ECHO:1X8T70WB.xml Appolonius Pergaeus Apollonii Pergaei Conicorvm Lib. V. VI. VII. paraphraste Abalphato Asphahanensi : nunc primum editi ; additvs in calce Archimedis assvmptorvm liber, ex codibvs arabicis mss Abrahamus Ecchellensis Maronita latinos reddidit, Jo. Alfonsvs Borellvs curam in geometricis versione contulit et notas vberiores in vniuersum opus adiecit Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V. VI. VII. paraphraste Abalphato Asphahanensi : nunc primum editi ; additus in calce Archimedis assumptorum liber, ex codicibus arabicis mss Abrahamus Ecchellensis Maronita latinos reddidit, Jo. Alphonsus Borellus curam in geometricis versione contulit et notas uberiores in universum opus adiecit 1661 lat open access http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/policy/oa_basics/declaration free despecs=1.1.2
APOLLONII PERGÆI CONICORVM LIB. V. VI. VII. & ARCHIMEDIS ASVMPTOR VM LIBER.
APOLLONII PERGÆI CONICORVM LIB. V. VI. VII. PARAPHRASTE ABALPHATO ASPHAHANENSI

Nunc primùm editi.

ADDITVS IN CALCE ARCHIMEDIS ASSVMPTORVM LIBER, EX CODICIBVS ARABICIS M.SS. SERENISSIMI MAGNI DVCIS ETRVRIÆ ABRAHAMVS ECCHELLENSIS MARONITA

In Alma Vrbe Linguar. Orient. Profeſſor Latinos reddidit.

IO: ALFONSVS BORELLVS

In Piſana Academia Matheſeos Profeſſor curam in Geometricis verſioni contulit, & notas vberiores in vniuerſum opus adiecit.

AD SERENISSIMVM COSMVM III. ETRVRIÆ PRINCIPEM FLORENTIÆ, Ex Typographia Ioſephi Cocchini ad inſigne Stellæ MDCLXI. SVPERIORVM PERMISSV.
COSMVM TERTIVM ETRVRIÆ PRINCIPEM. 10: AL FONSVS BORELLIVS F.

H A V D puto, Sereniſsime Princeps, timorem cœleſtis irę, ſed Amorem potius, & beneficentiam primùm in orbe Deos feciſse; nec alios ab initio habitos cum Prodico cenſeo, quàm res humano generi ſummo-pere vtiles, & ſalutares. Et ſa-nè conſentaneum eſt in primorum hominum men-tibus, quibus reuelationis lumen non affulſit, excita-tam fuiſſe notitiam cuiuſdam naturæ, quæ eſſet mun-di veluti Princeps, & Parens, quotieſcumque non perfunctoriè attenderet animum præcipuè ad boni-tatis affluentiam, mirabiliumque, & inſignium vti-litatum comprehenſionem, qua Solaris ſplendidiſ-ſima machina lumine ſuo ordinatiſsimè circumacto cuncta viuificat, fouet, ac nutrit; mirarenturque li-beralitatem Telluris, cùm tot opes, ac copias plan-tarum, fructuum, animalium è ſinu ſuo veluti mater benigna mortalibus præbet. Hæc & fimilia dum priſci homines contemplarentur, fieri non potuit, quin tantorum munerum largitores grato affectu proſequerentur. Neque alia ratione cúm viri heroi-ca virtute præditi artes, & inuenta præclara valdè vtilia ingeniosè iuxta, ac liberaliter mortalibus con- tuliſſent, ſumma veneratione talem, ac tantam bo-nitatem ſuſceperunt, & Diuinitatis honores eis deſi-gnarunt, vt Cereri, Baccho, Herculi, Mercurio, & alijs. Horum autem illi præſtantiora bona attu-liſſe humano generi cenſendi ſunt, non qui fragi-lem, & limo affixam noſtram partem, ſed qui ani-mum Diuinæ auræ participem eruditione, ac ſapi-entia perfecerunt, & ornarunt. Hìnc artem, & facultatem illam tradentes, qua vaſti maris plani-tiem intrepidè perambulare non dubitamus coactis ventis imperata facere, ibidemque verſantes acu magnetica itinera ad vnguem menſuramus, & terræ plagas, & cœli, ſtellarumque loca, & ſitus medijs in tenebris conſtituti clarè conſpicimus. Vel hìnc qua pondera immenſa puſillis noſtris viribus tanta facilitate mouemus, vt terram vniuerſam è ſuo loco transferre ſe poſſe non diffiteretur magnus ille Ar-chimedes, ſi haberet, vbi pedem extra illam fige-ret. Aut qua naturæ miracula in elementis, plantis, animantibus perſcrutamur. Quaue ex fragili vitro lin-ceos oculos veluti efformantes adeò cœlo proximi efficimur, vt ferè ſummas mundi partes, & ſtellas innumeras hactenus inconſpicuas contrectare videa-mur. Aut eam tandem doctrinam Aſtronomicam, qua in Cęlum transuolamus, duabus nimirum alis Geometriæ, & Arithmeticæ, quibus Diuinæ Sa-pientiæ theſauros contemplando, ſumma dulcedine in hac mortali vita, gloriæ, felicitatiſque illius ineffa-bilis participes efficimur.

Sed quia felices admirabilium rerum inuentores vel fortunæ, vel temporum iniuria plerumque neque-unt ſua ſtudia, licet illuſtria, & ſalutaria poſteritati tranſmittere, ideo viris principibus ſingulari virtute præditis, ſine quorum auctoritate, & munificentia bonæ illæ artes omnino depreſſæ, contemptæ, & ſqualidæ deperirent, dum eas diuino inſtinctu pro-mouent, augent, atque in vitam reuocant, ne dum pares, ſed maiores gratias ijs habendas priſci homines cenſuerunt, quàm inuentoribus ipſis, cùm ipſi bonis illis alioqui non duraturis genus hominum beauerint.

Atqui inter iſtos Heroas digniſsimum ſibi meritò locum vindicarunt Maiores tui, Princeps Sereniſsime, quibus gratitudinis perpetuam deberi memoriam eru-diti omnes fatentur. Quippe poſtquam Barbarorum incurſionibus Europa vniuerſa, & Italia Princeps eius prouincia priſco nitore amiſſo, omni ornatu litterarũ, artium, bibliothecarum, lycęorum, imo humani-tatis, & politiæ ſpoliata diù iacuiſſet, Diuino fauore primus omnium ſurrexit Magnus ille Coſmus Medi-ceus, qui viros doctrina eximios cum vniuerſa ſupel-lectile Gręcæ ſapientiæ Conſtantinopolitani Imperij calamitatem fugientes eo affectu complexus eſt, vt omnium Muſarum parens appellari deberet, qui ob liberalitatem pluſquam regiam, & beneficentiam vbi-que terrarum effuſam, atque ob alia heroica geſta Pater Patrię prius ſalutatus fuerat. In eius locum ſuc-ceſsit Laurentius nepos, qui non ferro, & cęde, ſed ciuili prudentia, & alto conſilio Patriam, & pene Europam moderatus eſt: nec modo Poéticis lepori-bus ornatus, ſed profundiſsimæ Philoſophiæ Plato-nicæ innutritus, eamdem doctrinam opera, & ſtudio potiſsimum Marſilij Ficini è Gręco translatam illu-ſtratamque poſteris tranſtulit. Bibliothecam inſuper Laurentianam à maioribus inchoatam comparatis vndique manuſcriptis codicibus ſummo impendio, ſummaque cura locupletauit. Iſq; filium reliquit Leo-nem X. Pont. Max. , qui vniuerſi orbis viros eruditos dilexit, fouit, amplificauit: Bibliothecam Vaticanã mirificè inſtruxit: Vrbis Lyceum à fundamentis ere-xit, codicibus, & viris doctrina magnis ornauit, atq; priſca barbarie omnino deleta aureum litterarum ſæ-culum reſtituit. Sed Coſmus ille primus Magnus Dux Etruriæ mihi nunc non reticendus, qui præter præcla-ra bellica, & politica facinora, quibus Etruſcum Im-perium auxit, atque firmauit, promouendis diſcipli-nis ſedulò intentus Athenæum Piſanum, vt cum ma-ximè reparauit, vt profeſſoribus diſciplinarum fama præſtantibus nobilitauit: Florentinam Academiam inſtituit, Pandectarum libros ad fidem egregij, & ve-tuſtiſsimi codicis manuſcripti ampliſsimè excudi iuſ-ſit: tot inſignes Græci, Latini, Etruſci idiomatis ſcri-ptores vigilijs, & labore eruditiſsimorum virorum illu-ftratos typis edendos curauit: Paulum Iouium cum primis, & Io: Baptiſtam Adrianum ad ſui temporis hiſtorias conſcribendas ampliſsimis oblatis præmijs perſuaſit. Virtutes, atque opera tam Magni Paren-tis imitatus eſt Franciſcus, qui in Imperio ſucceſsit, & antiquitatis ſtudio maximè delectatus, præclaras, atq; innumeas venerandæ vetuſtatis reliquias, lapides, gemmas, numiſmata collegit. Hunc excepit Ferdi-nandus primus verè litteratorũ Mecoenas, qui Biblio-thecam codicibus Hæbreis, Chaldæis, Syriacis, Egy-ptijs, Perſis, & Arabicis (inter quos hi libri Apollo-nij, & Archimedis extant) feliciſsimè ditatam reli-quit, atque eruditiſsimos viros Hieronymum Mercu-rialem, Petrum Angelum, Iacobum Mazzonum, Io: Baptiſtam Raimundum, totq; alios largiſsimis ſtipen-pendijs euocauit, atq; aluit; Sacroſanctaq; Euangelia fidei propagandæ ſtudio imprimi, Euclidem quoque, Auicennam, Geographiam Nubienſem typis nitidiſ-ſimis Arabicè omnia edi curauit. Non abſimilis litte-rarum amore Coſmus Secundus, cuius nomen, ac glo-riam magnus ille Galilæus erga Principem de ſe opti-mè meritum gratiſsimus in cœlum vexit, ac inſculpſit; Vir nempe (vtGaſſendus ait) ſuper æthera notus; quo alium non extulit ætas hæc noſtra glorioſiorem; quip-pe tametſi orbis terrarum laudatis virorum illuſtrium dictis, factiſq; circumſtrepit, horum tamen omnium memoriam ſilentium altum breui inuoluet: nomen, quod ille cœlo inſcripſit, donec cœleſtia curæ erunt, apud homines perennabit. Tandem Ferdinandus Secundus ingenij perſpicacia mirabilis, maieſtate im-perij præclarus, virtutibus, & Philoſophia illuſtrior fe-liciter regnat: is eſt, cuius munificentia, ac fauore Eu-ropa vniuerſa in Etruſca hac regia (ne aulicum decus, aut cultum, nobilium obſequia, & famulitium, Muſæ-um ampliſsimum, ac ditiſsimum referam) eruditorum frequentiam philoſophantium, diſceptationes, ac per-petua exercitia literaria æſtimari, ac florere merito ſuſpicit, & veneratur; cum Muſæ reliquis in aulis tantũ non neglectæ huc ſe ſe recepiſſe veluti in ſedem ſuam videantur; hìc enim in delicijs habentur ſectio-nes anatomicæ, cœleſtes obſeruationes, chimica eſpe-rimenta, vniuerſęque naturalis philoſophiæ accurata inquiſitio. Vno verbo hinc credula philoſophia exu-lat; non hominum libri in pretio habentur, ſed Dei volumen, ſcilicet rerum natura veris, accuratiſq; expe-rimentis ſummo ſtudio indagatur, & colitur. Præcla- ris hiſce ſtudijs lactatus, & innutritus es, Princeps Se-reniſsimè, tot tantorumq; heroum progenies, quorum virtutes incomparabiles, & egregia geſta conſentaneũ eſt in te vno veluti foco ſpeculi parabolici ſimul colle-cta, & vnita ſplendeſcere, vt totas vires ſuas ſumma virtus experiatur, atq; ineffabilem bonitatem, benefi-centiæq; ſtudium, virtutum, artium, ſcientiarum cul-tum à maioribus acceptum ſtudiosè, & religiosè con-ſerues, atq; ad poſteros auctum tranſmittas.

Si igitur hominum genus natura dictante primum Deo Op. Max. , & beneficentiſsimo gratias iuſtis ho-noribus, & memori mente perſoluendas eſſe decreuit; atq; ne memoria beneficiorum deleretur templa, fa-na, feſtos dies, & ludos inſtituit. Secundo loco eoſ-dem ferè honores Heroibus, ac Principibus ſtatuit, nõ his qui armis, & cęde potentiam violenter ſibi vindi-carunt, ſed qui præſtantibus virtutibus ornati magna beneficia in homines contulerunt, ſique eos non hu-manis, ſed diuinis laudibus celebrari iuſsit, potiori iure tibi, Princeps Glorioſiſsimè, pręclariſsimorũ heroum, ac virtutum hęredi plauſus debitus, honores, laudes, & grati animi monumenta ab eruditis Europæ viris offeruntur. Quandoquidem magna, & certa illos ſpes tenet ampliſsimum patrimonium heroicarum virtutũ, quod Coſmus Pater Patriæ, Laurentius magnificen-tiæ exemplar, Leo ſui ſęculi felicitas, inſequenteſque generoſiſsimi Principes, atq; Heroes de genere huma-no, & bonis litteris optimè meriti tibi reliquerunt non ad ſaſtum, ſed ad imitationem, & ſtimulum gloriæ, nec externè, ſed in animo, & cordis ſacrario piè a te, ac reuerenter curandum, ſeruandum, amplificandum ea pręcipuè qua polles pręclara indole, ingenijq; acu- mine, ac felicitate, amoreq; ſcientiarum, ac bonarum artium, quibus te Deus, & Natura indulgentiſsimè cumulauit. Hoc quidem ſummopere precatur, & vouet eruditorum Reſpublica, ò Princeps longe in-comparabilis, idque vaticinatur ex hoc tuo pręclaro decore, & ſummæ bonitatis ſpecimine: Quippe, ò Principum decus, & ſtudioſorum delicium, perbellè docuiſti virtutis heroicę magis proprium eſſe benefa-cere, & alijs prodeſſe, quàm laudes meritas captare, & exigere; dum veluti epulo lautiſsimo in hac ſolemni pompa tuarum nuptiarum, ſcientiarum cultores dona-tos voluiſti; quid enim pretioſius, & magis expetitum veritatis ſtudioſis præbere poſſes, quàm Quintum, Sextum, & Septimum libros Conicorum Apollonij Pergæi hactenus deploratos, atq; lemmata Archime-dis, quæ Sereniſsimus Ferdinandus Secundus inclytus, atque optimus parens tuus ex Arabico verti, & ty pis excudi ad communem reipublicæ litterariæ bonum iuſsit? Tanto ergo pro beneficio

-- grates perſoluere dignas

-- Non opis eſt noſtræ, Numina tibi

-- pręmia digna ferant, quę te tam lęta tulerunt

-- ſęcula. qui tanti talem genuere parentes.

CAVE CHRISTIANE LECTOR.

ABalphatus Aſphahanenſis Apollonij Paraphra-ſtes religione Maumedanus fuit; quapropter aliquot locis more ſuę Gentis non modo Regi ſuo Abicaligiar Carſciaſeph nimium adulatur, verùm etiam impiè loquitur. Nihil tamen omiſsum eſt, vt antiquus Codex integrè, fideliterq; exhiberetur. Hęc eadem de Archimedis interprete dicta ſunto. De his te præmonitum volui, ne inter legendum piæ aures tuæ vel minimùm offenderentur.

IN NOMINE DEI MISERICORDIS MISERATORIS. PROOE MIVM ABALPHATHI FILII MAHMVDI, FILII ALCASEMI, FILII ALPHADHALI ASPHAHANENSIS. LAVS DEO VTRIVSQVE SECVLI DOMINO.

MATHEMATICA quamuis pra-ctica ſit ſcientia, ac diſciplina, cu-ius legibus, & præceptionibus diſ-ponitur, atq; dirigitur intellectiua potentia ad abſolutam, perfectam-que imaginum cognitionem, præ-ſcindendo à materijs, qui eſt pri-mus gradus aſcenſionis à ſenſibilibus ad intelligi-qilia; nihilominus ſuarum claritate demonſtratio-num, non ſolùm ab alijs differt ſcientijs verùm etiam longiſsimè ijs præſtat, atq; præcellit, eò quòd fæcium, ſordiumque dubitationum, & aliorum hu-iuſmodi generis accidentium expers omninò ſit, atq; libera. Ea autem propter ſe habet ad ſcientificam potentiam, quemadmodùm habent ſe limpidiſsima quæque orbi ſolis oppoſita ad viſiuam potentiam. Ex quo ad illam comparandam, conſequendamq; non excitatur intellectiua duntaxat vis, verùm etiam multùm exacuitur, atq; delectatur, ponderatis præ-ſertim, expenſisq; illius demonſtrationibus, & cer-tiſsima earum comprehenſa, & cognita veritate. Tunc quippè huius veritatis percepta animus odo-rationis ſuauitate, auidè, & ardentiùs appetit con-ſequi ea omnia, quæ illius ſuggerunt demonſtra-tiones, earumque potiri. Subindè verò procedere conatur vltrò ad vltimum finem, nempè ad pro-prietatum, & obiecti illius cognitionem, excelſita-tem, atque præſtantiam comparandam, tandemque ad ea omnia, quæ ad ipſam ſpectant. Quod qui-dem luminis cùm ipſius affulſerit ſtudioſis, & quàm præcellens ſit, animaduerterint, omnes ſuos con-tulerunt conatus ad libros componendos, conſcri-bendoſq; de ipſius elementis, principijs, ac omni-bus ijs, quę indè deriuantur, & eò ſpectant. Soli-diora porrò profeſsionis huius fundamenta omnium primus iecit Euclides in eo libro, quem de elemen-tis inſcripſit, in quo fundamentales continentur ra-tiones linearum tam rectarum, quàm curuarum, nec non ſuperficierum prouenientium vel ex earum ſingulis vel ex omnibus ſimul ſumptis. Rationes prætereà habentur ſolidorum prouenientium, vel ex ſuperficiebus rectilineis, qualia ſunt habentia baſes; vel ex curuis, qualia ſunt ſphœrica; vel ex hiſce compoſitis, quales ſunt ſuperficies Cylindro-rum, & Conorum. Verùm enim verò figuris ex ſegmentis ſuperficierum planarum prouenientibus, & cuiuſlibet etiam Solidorum Sphœricorum, Cy-lindricorum, atque Conicorum nullum hactenùs ia-ctum erat fundamentum, aut præmiſſa elementa, vel fundamenta aliqua. Ex quo illi priſci librorum Scriptores aliquid de ijs innuebant duntaxat, & quidem leuiter. De Sphœricis autem aliquid ex eo-rum legebant proprietatibus, & paſsionibus; ſiue ex proprietatibus ſegmentorum indè prouenientium; vel figurarum in ea incidentium; vel ex accidenti-bus quibuſdam ipſius Sphœræ, quæ ex eius proce-dunt motibus; vel quia ſe inuicem includunt, & componunt. Nam Sphœra aliqua opus illi erat ad Sphœræ vniuerſalis cognitionem conſequendam vna cum eius orbibus, ac motibus, & ad inuicem at-que ſua centra applicatione. Et id tandem, donec librum Almageſti compoſuit Ptolomæus, in quo ea omnia recondidit copiosè, quæ illi anguſtè, & leuiter hoc de argumento ſuis innuebant ſcriptis, tradens non ſolùm methodum, ac rationem eorum aſſequendi cognitionem, ſed, & inſtrumentorum etiam vſum. Quod profectò iactum fuit tamquàm vniuerſale quoddam fundamentum, ac principium ea omnia comprehendens, quæ ad Sphœrica perti-nent; vndè hac in re ſatis abundè ſtudioſorum ſiti, & deſiderio conſultum fuit. Porrò Appollonius profeſsionẽ, & diſciplinam hanc ad ſupremum per- fectionis perduxit gradum, Conicorum componen-do librum, qui Conicarum ſectionum complecti-tur proprietates, quæ ſublimiorem, eminentiorem-que diſciplinæ huius ſibi vindicant locum. Et ſane tot propoſitionibus, totque figuris illum ditauit, vt admirabiles illæ nuncupari meruerint, eò quòd contineant lineas curuas, ſeu medias inter rectas, ac circulares ſeſe inuicem ſecantes; adeoque miros quidem fundunt ſenſus, & proprietates. Quos qui-dem omneslibros, qui diſciplinæ huius fundamenta ſunt, ad Arabicam tranſtulere linguam illius ſtu-dioſi. Quamuis autem liber iſte Conicorum præ-ſtantiſsimus ſit, tam ratione ſui, quàm præclariſ-ſimi Auctoris, nihilominùs nimiam ob illius obſcu-ritatem, difficultateſque obuiam occurrentes, ac profundiſsimos, quos continet ſenſus; tum etiam ob innumeras, & admirabiles figuras, & propoſi-tiones; tandemque ob temporis diuturnitatem, in-genteſque perferendos labores ab interprete, qui eùm ex Græca transferat lingua, dudum neglectus fuit, ac penè etærnæ datus obliuioni, vt nemò ha-ctenùs illum, vel Commentarijs illuſtrauerit, vel congeſſerit in ordinem, quamquàm ſummè ſit ne-ceſſarius, ac vtiliſsimas complectatur propoſitiones, & figuras. Quapropter diù ſepultus, & ignotus iacuit, & penè ad defectum vſque, ac interitum, cùm apud Diſciplinæ ſtudioſos, tum etiam ipſos profeſſores, & fragmenta ex illo circumferebantur aliqua, & ea ſanè faciliora, quia obſcuriora euita-bant omnes, atque declinabant; vno verbo inte-grum hactenùs viderat nemo. Hinc mihi famulo viſum eſt, me Reipublicæ Literariæ gratam rem facturum, ſi eum in integrum reſtituam, ac in vnum congeram volumen, vt ita redactus facilis ſit portatu, ſub omnium verſetur oculis, omnium te-ratur manibus, & ad reliqua facilior reddatur adi-tus. Quem etiam librum comparare ſtudui Biblio- thecæ domini noſtri Regis præſtantiſsimi, munifi-centiſsimi, doctiſsimi, iuſtiſsimi, victoris, trium-phatoris, Fidei defenſoris, celſitudinis Monarcha-rum, gloriationis ſui generis, gloriæ religionis, ſolis Regum, Abicaligiar Carſciaſeph Filij Alì, Filij Phrami, Filij Haſami, Principis Fidelium, quem incolumem, ac ſoſpitem ſeruet Deus, eiuſque de-primat hoſtes, & proterat oſores. Nunc autem ali-quid de ordine, & rerum diſpoſitione, ac conciſa breuitate dicendum nobis ſupereſt. Nam rerum ordo, & accommodata diſpoſitio id intelligentiæ afferunt auxilij, quod in ſcientijs comparandis lu-culentiſsimæ demonſtrationes; conciſa verò breui-tas, ac ſuis terminis neceſſarijs expedita, & ritè di-ſpoſita, eandem penè proportionem habet ad in-telligentiam, ac cauſa ad cauſatum. Ea autem propter ordinis conſeruatrix virtus venatio dici ſo-lita eſt, & ſatis quidem appoſitè, & eleganter. Nam concepti ſenſus, & in mente comparati, ſi intra ordinis cancellos includantur, ſingulos ſuis di-ſpenſare momentis procliuè poterit conſeruatrix re-rum illa virtus. Simillimi, alioquin erunt feris per vaſtas vagantibus ſolitudines, ac nullo coércitis val-lo, quorum imagines, & motus ita ſeſe offerunt conſpicienti, & contemplanti, vt nullo negotio eas capere, & aucupari ſe poſſe arbitretur, at cum id præſtare tentat, ſtatim dilabuntur, atque euane-ſcunt. Ea planè ratione termini rerum ſingulos in mente conceptos ſenſus deſignantes, niſi ſuo coér-ceantur ordine dilabuntur, & euaneſcunt; præci-puè cùm modò hanc, modò illam fundant ſigniſi-cationem, cùm iuxta labentis temporis varietatem, tùm diuerſitatem regionum, & prouinciarum, vt non eadem vbique, & ſemper ſit par ratio, licet ijdem in anima maneant habitus. Ex quo palam, & planè relinquitur, quòd acquiſiti illi termini non inhæreant, quemadmodùm ſubſiſtenti eſſentiales inhærent differentiæ; neque etiam quemadmobùm proprietates neceſſariò conſequentes ſuo inhærent ſubiecto; ſed ea inhærent ratione, quá accidentia difficilè, ac tardè amouibilia. Quandoquidem ter-mini eiuſmodi vocabula ſunt quædam rebus impo-ſita, & applicata ad ſenſus commodè eliciendos, atque eruendos. Quod autem vel diuino factitatum eſt inſtinctu, vel Prophetica inſpiratione edoctum, ſicut indicat nobis Altiſsimus Deus dicens: ( in Al- corano ) & docuit Adamum cuncta nomina; vel iudicio, & calculo ſapientum virorum, quemad-modùm præſtitiſſe legimus primos illos artium in-uentores. & ſcientiarum; vel magna aliqua neceſ-ſitas hominum coégit vulgus ad eiuſmodi excogi-tandos terminos, rebuſque imponendos, ac tranſ-latione quadam vocabula mutuanda, & ad alias, atque alias res transferenda, ex quo ſynonymo-rum ea enata eſt ccpia. Nec vllus profectò ſapien-tum, qui has profeſsi ſunt Diſciplinas, aut qui ip- ſorum ſecuti ſunt veſtigia, hanc imponendorum terminorum rationem aſpernatus ſubindè eſt, aut ab illa abhorruit; quinimò acceptiſsima ſemper om-nibus fuit, vt quæ maximum rerum intelligentiæ ſplendorem affert, & claritatem. Eandem igitur hanc ob cauſam in colligendis, digerendiſque hiſce famulus libris, antiquorum ſapientum, & artium profeſſorum, inuentorumque inſiſtens veſtigijs, ter-minos, & vocabula ſingulis rebus imponere, & earum vim breui declarare definitione cenſuit, vt ita ſuis coércita omnia limitibus nequeant in varias partes, & ſenſus diffluere, ad conciliandam lecto-ri inter legendum hos Apollonij libros eam, quæ fieri poteſt, facilitatem. Innui prætereà eandem etiam ob cauſam obſcurioribus in locis expoſitionem aliquam, ne vlla ſubindè relinqueretur difficultas ad mentem Auctoris cumulatè aſſequendam. Tandem lectorem meum enixè rogo, vt excuſatum me habeat, ſi mendum aliquod, aut erratum meam ſubterfugerit diligentiam. Interea Deum ſup-pliciter depre-cor Altiſsimum, vt nos ad ea, quæ vtiliora nobis ſunt, demúm perducat.

Impiè adulatur Regi ſuo Paraphra ſtes Ara-bicus. Inſulsè ex Alco-rano pro-fert, quæ ſunt in Sa cra Gene-ſi.

Ne vacaret pagina ipſiusmet Apollonij Pergæi ex Epiſtola ad Eude-mum Argumenta in quatuor Conicorum libros poſteriores, qui Græcà linguà iniuria temporum perierunt, hìc apponuntur, quorum tres ex Arabicis M. SS. nunc exhibentur.

Reliqui autem quatuor libri ad abundatiorem ſcientiam pertinent. Quintus de Minimis, & Ma-ximis magna ex parte agit. Sextus de Æqualibus, & Similibus coni ſectionibus. Septimus continet Theoremata quæ determinandi vim habent. Octauus Problemata conica determinata.

Hæc eadem Pappus Alexandrinus lib. 7. Mathemat. Collect. , atq; Eutocius in Commentar. ad Apollonium.

ABRAHAMI ECCHELLENSIS IN LATINAM EX ARABICIS Librorum Apollonij Pergæi verſionem PRÆFATIO.

APOLLONIVS Pergæus vetuſtiſſimus, ac magni nominis Græcus auctor otto de Sectionibus Conicis conſcripſit libros. Horum priores quatuor hactenus omnium teruntur manibus; poſteriores verò, ne-ſcio quo fato, & rerum viciſſitudine ſunt amiſſi, ac non ſine magno literatorum animi mcerore iamdudum deplorati, & nuſquam perdiligenter non quæſiti ab ijs præſertim, qui Geo-metriæ, & Matheſeos operam nauant ſtudijs, ſed fuſtra diu. Tandem deprehenſum eſt, hos, quemadmodum, & reliquam penè Grecæ ſapientiæ ſupellectilem ad Arabum migraſſe ſcho-las, ibique Arabicè conuerſos, & Arabicis indutos ornamen-tis, in illius gentis tamquam extorres, & inquilinos latitaſſe Bibliothecis. Quamobrem eorum miſerti vicem Sereniſſimi Ma- gni Etruriæ Duces, inde magno ſoluto pretio redemerunt, ip-ſorumque tam præclara opera quaſi iure poſtliminij vindica-runt, ac demum patrio ſolo reddiderunt. Attamen ſat non-fuit, aut viſum eſt ſummis iſtis Principibus Apollonium in liber-tatem afferuiſſe, & ex Barbarorum eripuiſſe manibus, ac in ce-leberrrima tctius Europæ Auorum repoſuiſſe Biblioteca; ſed omnem nauarunt operam, & ſtudium, vt Latina etiam donati linguà in literatorum gratiam publici iuris fierent. Ea propter verè Magnus ille in omnibus Ferdinandus primus celeberrimam eam erexit Typographiam è nomine gentilitio Sereniſſimæ fa-miliæ Mediceam nuncupatam, cui nullam ſimilem, aut parem vidit Chriſtianus Orbis, aut viſurus vnquàm eſt; ſiue characte-rum, præſertim Arabicorum, ſpectes copiam, ſiue varietatem, ſiue nitorem, ſiue elegantiam. Dictis hiſce profectò noſtris ſpectatiſſimam, ac manifectiſſimam fidem faciunt Sacroſanti Euangeliorum libri, Auicennæ, Euclidis, aliaque Arabica ope-ra ijs edita typis, quæ omnibus Orientis gentibus admirationi ſunt, atque adeo auidiſſimè expetuntur, ac magno comparan-tur pretio. Sed hæc non typis duntaxat excudi iuſſit munifi-centiſſimu s Princeps, verùm etiam viros linguarum peritiſſi-mos ingenti conduxit ſtipendio, qui Arabicorũ Codicum va-carent verſionibus. Hos autem inter principem obtinebat locum Ioannes Baptiſta Raimundus vir, & ſcientiarum cognitione, & linguarum peritia omnium ore celebratiſſimus. Is autem, & ſcriptis literis, & familiaribus cum amicis colloquijs Apollonij librorum verſionem ſæpenumerò pollicitus eſt. Imò erant, qui libris editis verſionem iam à Raimundo confectam, & perfe-ctam eſſe, in vulgus iactarent. Verùm cum nunquam viſa fue-rit eiuſmodi verſio, neque inter ipſius ſcripta reperta, neque in Aduerſarijs notata, aut catalogo ipſius librorum adſcripta, quæ omnia religiosè hactenùs conſeruantur, hoc vnum creden-dum ſupereſt, eam votis ſolùm ſuſceptam, & cogitatione deli-neatam fuiſſe; rem autem, aut quòd per otium ipſi non licuit, aut ob Codicis lectionem, & ſcripturæ difficultatem, quæ maxima eſt, vel ob orationis abſtruſæ, & ſermonis ancipitem, ac mul-tiplicem verborum poteſtatem, vel tandem aliquam aliam ob cauſam, quàm, conijcere difficile eſt, perficere non potuiſſe. Nihilo tamen minùs Magni Principis, Magni Filij, Magni Ne-potes aut ab incœptis deſtiterunt, aut generoſiſſimi animi du-dum conceptum ſtudium remiſerunt. Quamobrem ante bien-nium ſcriptis à Sereniſſimo Principe Leopoldo literis officij ple-nis, & humanitate, tam proprio, quàm Magni Ferdinandi II. fratris nomine, impoſita mihi fuit hæc prouincia optatæ diu, & penè deſperatæ verſionis. Quo ſanè, vt ingenuè fatear, ni-hil iucundius, nihil carius, nihil antiquius accidere mihi po-terat; quòd hac data occaſione, aliquam grati animi ſignifica-tionem exhibere me poſſe putabam Sereniſſimo illi Principi, cuius ampliſſima in me beneficia ſum expertus. Memini profe-ctò, nec ex animo meo excidet, imo clauo fixum trabali ma-net, quanta in me contulit Magnus Ferdinandus Secundus or-namenta, quanta in me vſus eſt liberalitate, & beneficentia, non tantùm dum fortuna mihi arridebat, non ſolùm dum res ſuccedebant proſperè, non modò dum ad illum ab Amiro Fa-chraddino miſſus ſingulari felicitate fiuebar, ſed etiam in nau-fragio, & iactura illa barbarica, in Carrellina coniuratione, & proditione, in aduerſiſſima fortuna. Sed hæc omnia magis à me exprimi poſſunt profundiſſimo ſilentio, quàm verborum, copia, aut oratione altius exaggerata. Verùm enim verò dum arbitrabar, mirificam nactum me eſſe opportunitatem gratifi-candi Principi de me optimè merito, & exhibendi aliquod gra-ti animi ſignum, penè concepta excidi ſpe. Nam aperto Apol-lonij Codice, & coniectis in eum oculis duæ primo ferè intuitu ſeſe mihi obtulerunt difficultates, quas à me neque ſuperari, neque vinci poſſe prorsùs exiſtimaui. Hinc ſummus, & abſtru-ſus pudor, hinc plurimus ſudor ingenuè omnia fateor. Et eò magis intimis animi ſenſibus angebar, quod ea verſio non in ſeceſſu aliquo fiebat, & remotis arbitris, vbi aciem mentis ab-ducere, difficultates commodè expendere, animoque intento, & libero luſtrare quæ in rem eſſent, ac per otium poſſem, ſed præſentibus grauiſſimis viris, & quidem, ex tempore, & nulla data præmeditandi facultate, interpretationem facere compel-lebar. Ea fortè illorũ præclariſſimorũ virorũ de me erat opinio, & exiſtimatio, quàm tamen parum abfuit, quin penitus perdi-diſſem, cùm vix, & ne vix quidem ſcripturam illam legere poſ- ſem, quæ prima erat difficultas. Nam puncta aberant diacriti-ca imprimis (de punctis vocalibus hic non loquimur, nec eorũ inter legendum à peritis linguæ habetur ratio, aut negotium aliquod faceſſunt), nempè ea, quæ formam dant literis, lite-raſque conſtituunt, & ſine quibus literæ ſunt pura, ac nuda materia omni ſpoliatæ forma. Quid autem ſit materia omni ſpoliata forma, neque ipſi ſciunt Philoſophi, quorum id ſcire intereſt. Eodem prorſus ſe habent modo Arabum literæ, ſeu potiùs literarum ductus, & lineæ diacriticis hiſce carentes pun-ctis. Eadem enim figura, ſeu linea, exempli gratia, ſi vnum ei ſuperponitur punctum erit N. ſi verò ſupponatur, B. ſi duo ſuperponuntur, T. ſi tria Th. ſi duo ſupponantur, I. & ſic de cæteris ferè omuibus arguendum eſt. Si quis autem percontabi-tur, quid erit illa figura, & linea, ſi nullum adſit punctum? reſpondetur materia ſine forma, & quid ſit prorsùs ignoratur. Augebant etiam lectionis difficultatem ipſæ literarum figuræ, quæ ita raptim, & curſim, licet elegantiſſimè, ductæ erant, vt vix ab inuicem quandoque, & identim diſtinguerentur. Hæc autem difficultas terruit quidem primo aſpectu ſed breui, & ci-tius quàm credebam, ſuperata fuit, tum ſtudio, & diligentia, tum experientia, quàm ab ipſa ineunte ætate ex lectione eiuſmo-di ſcriptorum generis comparauimus.

Fallitur C.V. Ger. 10: V oſſius hoc tribu-ens Sixto V. P. M. C. 17. 29. de ſcient. Matbe-mat.

Altera difficultas, quæ ſe nobis obtulerat, maioris quidem erat ponderis, & momenti; verſabatur quippè circa diſciplinæ vocabulorum intelligentiam, & notionem, quorum ignari era-mus, & penitùs ieiuni. At hanc quoque difficultatem facili ne-gotio ſuperauimus ope, & opera Clariſſimi, atque Doctiſſimi Viri D. Ioannis Alphonſi Borelli Matheſeos in Piſana Acade-mia profeſſoris celeberrimi, qui, & verſionem ipſam promo-uerat apud Sereniſſimos Principes, & Codicem comportauerat idem Romam, ac perpetuus mihi aderat Dux, & Magiſter. Et ita ſanè ea omnia, quæ ad Diſciplinæ, eiuſque vocabulo-rum notionem pertinebant, clarè, dilucidè, & explicatè ordi-ne inſinuauit, vt breui meis auditoribus Matheſeos profeſſor vi-derer. Porrò quod hac in re magis mirandum eſt, nec ſilentio prætereundum, ea erat Viro illi Doctiſſimo ſingularis ingenij perſpicacitas, vt ſæpe in abſtruſis quibusdam locis, non ex in- tegris, inquam, præmiſſis, ſed ex vnica dictione totam illatio-nem inde colligeret, non ſenſu, ſed totidem penè verbis, ac ſi Arabica legeret verba, & linguæ veteranus eſſet profeſſor. Pro-indè verius ipſi, quàm mihi adſcribenda eſt hæc verſio, longè tamen abſit omnis adulatio, & animi propenſio in virum ami-ciſſimum. Hac mutua contentione, & interpretandi, & verten-di trium Menſium ſpatio verſio noſtra confecta, & abſoluta eſt, in qua horis tantummodò matutinis propter nimios calo-res æſtiuos conſumpſimus. Et hæc de ratione verſionis poſterio-rum librorum Apollonij, & methodo ſatis dicta ſint. Nunc de ipſo Apollonio, eiuſqne librorum Arabica verſione, & illius au-ctoribus nonnihil dicere, par, & conſentaneum eſt.

Apollonium ſub Achaz Filio Ioatham regis Iuda poſt Tha-letem Mileſium Floruiſſe, Arabes perhibent Scriptores. Sic enim lib. 3. Chronicorum in Achaz ſcriptum reliquit Gregorius Barhebræus: Poſt Thaletem celebris fuit in Geometricis præcipuè diſci-plinis Apollonius Naggiar. (ideſt faber lignarius) Is cornpoſuit Tra-ctatum de ſcientia Conicor. nempè de lineis, quæ neque rectæ ſunt, ne-que arcuatæ, ſeu curuæ, ſed inclinatæ. Notandum hìc eſt vocem Naggiar, quæ Apollonio tribuitur, vt cognomen, & nos fa-brum lignarium vertimus, poni (vt opinor) pro Geometra, & id fortè exindè, quòd inſtrumenta, quibus vtebantur Geometræ ex lignis olim conficiebantur. Quod, & indè conijcio, quia hoc idem vocabulum Euclidi quoque tribuitur apud eundem Gregorium ſic de illo ſcribentem. At Euclides Naggiar ex Vrbe Tyro erat.

De verſione autem librorum Apollonij in Arabicam linguam ita ſtatim ſubdit mox laudatus Gregorius: Ex his autem verſi ſunt in Arabicam linguam tempore Almamuni ſeptem libri, eius tamen præfatio indicat, octo fuiſſe libros; qui quidem Tractatus cum alio Tra-ctatu eiuſdẽ Apollonij cauſam dedere Euclidi ſuorum componendorum li-brorũ longum poſt tempus. In his longè videtur diſcrepare Grego-rius à communi Chronologorum ſententia, & opinione, qui Apollonium Floruiſſe ſcribunt anno periodi Iulianę 4474. ideſt annis ante Chriſtum Dominum 240. adeoque multò iunior eſt, quàm facit illum Gregorius. Diſcrepat prætereà ab ijſdem Chro-nologis in ætate Euclidis, quem Apollonio iuniorem agnoſcit, vbi illi eum collocant in anno periodi Iulianæ 4430. ideſt ante Chriſtum Dominum annis 284. iuxta quàm opinionem Apollo-nius iunior erit Euclide annis 44.

Almamun autem ſub quo facta eſt librorum Apollonij verſio in Arabicam linguam ex laudato Gregorio Chalipha ſecundò ſalutatus eſt An. Heg. 203. ex omnium ſcriptorum ſententia, qui annus ex Tabula Aerarum Iſmaelis Sciahinſciah, quàm re-fert in hiſtoria Gentium, reſpondet Anno Chriſti Domini ſola-ri 826. plùs minuſue. Nam Hegiram accidiſſe anno Chriſti 631. habet Iſmaèlis Tabula contra omnium Chronologorum Orientalium opinionem, qui eam reponunt in ann. Chriſti 622. & vndecim Heraclij, vno excepto Eutychio Alexandrino, qui eam reponit in ſua hiſt. Eccles. in an. Chriſti 614. ſcribit enim ibi: A Chriſto Domino noſtro vſque ad Hegiram ſunt anni 614. In quo octennio integro diſcrepat ab alijs Chronologicis. Sed hæc leuiter tetigiſſe, ſatis eſt; non eſt enim animus hic temporum apices data opera excutere, nec id ſanè vacat, nec huius lo-ci eſt.

Principem autem Almamunum, eam procuraſſe verſionem librorum Apollonij, non ſolùm facilè, ſed procerto credendum eſt. Nam is omnium ſcientiarum ſtudijs vehementiſſimè arde-bat, proindeque congerendorum vndique librorum nunquàm finem faciebat, eratque in eorum interpretes prolixiſſimus. Mira ſanè, quæ de illius, ac proaui Abugiahphar Almanſur animi propenſione in literas, & literatos viros refert Sahadus Filius Ahmedi Andaluſij in Hiſt. Arabum. Is, inquit ibi, erat ſtatus Arabum in gentilitate. Poſtquàm verò fauoribus proſequutus eſt Deus Altiſsimus Hacſemitas, deuoluitque ad eos imperium, conuerſæ mentes ſunt, & intellectus à ſtupore, in quo iacebant, & exſuſcitata ingeniorum acumina poſtquàm extincta erant. Horum autem primus, qui promouendis ſcientijs operam nauauit, erat Abugiahphar Almanſur ſecundus Chalipha. Qui tametſi luriſprudentiæ deditiſsimus eſſet, & peritiſsimus; nihilominus, & Philoſophtæ vacabat ſtudio, ſed arden-tius Aſtronomiæ. Cùm verò Imperij ſuſcepiſſet ſceptra Chalipha ſepti-mus Abdalla Almanſun filius Aaronis Raſcidi, abſoluit ea, quæ ince-perat Auus ipſius Almanſur, operamque dedit ſcientijs vbique inquiren-dis. Hinc Græcorum ſcripſit Imperatoribus rogans ſibi mitti quotquot haberi poſſunt Philoſophorum libri, qui quotquot comparare potuerunt mi-ſerunt ipſi. Quibus ille vertendis peritiſsimos quoſque ſelegit interpretes, & curam iniunxit interpretandi, & verſi ſunt eo ſtudio maiori, quod fieri poteſt. Quo autem facto homines non ſolùm incitabat, ſed & co-gebat quodammodò, vt ijs legendis, & ediſcendis operam darent. Ipſe verò ſapientes viros familiariſsimè conueniebat, eorumque perami-ce vtebatur conſuetudine, atque plurimum illorum delectabatur collo-quijs. Nouerat, & quippe optime, ſapientes viros Deo Altiſsimo mor-talium eſſe cariſsimos, ac ipſi coniunctiſsimos, eo quod ſeſe dederunt animæ rationalis virtutibus comparandis, poſthabitis, & contemptis ijs, quibus Sinenſes, ac Turcæ, eorumque ſimiles incumbunt. Hi enim oſtentare amant artium Mechanicarum ſubtilitatem, animæ ira-ſcibilis gloriantur potentijs, & concupiſcibilis iactant ſe ſe facultatibus. Cum tamen hæc omnia communia cum ijs ipſa habere bruta, ſcire de-beant; imò longè ab illis ſuperantur. Peritia, & ſubtilitate artis ab Apibus, quæ ſua examina, ſeu penarium ſexangula mirà conſtruunt arte. Audacia, & fortitudine à Leonibus, alijſque feris, quibus in hiſce haud comparandus eſt homo. Libidine, & Luxuria à ſuibus, at-que alijs, quæ hic memorari neceſſe non eſt. Hacque de cauſa ſapien-tes viri ſunt lampades in tenebris, & mortalium omnium Domini. Et heu quàm turpe, atque deforme eſt terrarum hoc orbis theatrum, quoties ſuis caret ſapientibus. Hæc Sahedus in Hiſtoria Arabum.

Noſtram autem verſionem hanc Arabicam quod attinet, alia prorsùs eſt ab ea, quæ ſub Almamuno confecta eſt. Hoc planè patet ex ipfius Auctoris Abalphathi in præfatione verbis. Dicit quippè ibi, ſe eam adornaſſe verſionem pro regis Abicaligiar Bibliotheca. Abicaligiar autem rex ſalutatus eſt, teſte Sciahin-ſciah, Gregorio, & alijs, Hegiræ anno 372. nempè annis 169. poſt Almamuni inaugurationem ijsdem, quos mox lauda-uimus, auctoribus.

Verſionem tamen illam, quæ ſub Almamuno facta eſt, ne-quaquàm vidit noſtræ huius verſionis auctor Abalphath, quemad-modùm ex verbis eius, quæ ad ſeptimi libri adiecit calcem, patet luculenter. Ibi enim, puto inquit, me in hoc, nempè in hac verſione concinnanda, quoſcunque alios anteuertiſſe. Itaque exiſtimat is noſter Auctor, ſe omnium primum Apollonij ver-ſionem Reipublicæ literariæ dediſſe. Quod, & in ipſa quoque innuit præfatione, aſſerens vſque ad ſua tempora nullam inte-gram librorum Apollonij extitiſſe inter Arabes verſionem; ſed fragmenta quædam. Ex quo arguere eſt, aut eum minimè an-tiquiorem Almamuni vidiſſe verſionem, aut iſtam non fuiſſe in-tegram, ſed Epitomem aliquam ex ſeptem Apollonij decer-ptam libris, de qua ille in præfatione. Vt vt ſit noſtra hæc alia prorsùs eſt ab ea, & ad ipſius auctoris calculos redacta, atque adeò integra, & omnium perfectiſſima, atque abſolutiſ-ſima.

Cæterũ admonitum volumus benignum lectorem, nos in hac verſione adornanda ſatis preſsè Arabicam ſecutos eſſe phraſim, nec omninò elegantiam, & venuſtatem linguæ expreſſiſſe, ar-bitrantes id maximè pertinere ad fidelis interpretis partes, & officium.

Ea autem quæ occurrunt circa ipſam phraſim, & vocabula nonnulla obſeruanda, Arabicæ Editioni reſeruauimus, rati ea commodius, & magis ad rem ibi exponenda eſſe, & ſuis ex-primenda characteribus. Interim benè vale, & hoc qualicunque fruere ſtudio, & labore.

PRÆFATIO AD LECTOREM.

ACCIPE tandem, ſtudioſe Lector, in ſolemni hac pompa nuptiarum Sereniſsimi Principis Etruriæ Regio ſplendore à Sereniſsimo Magno Duce parata tamdiu deploratos, & expetitos libros poſtremos Conicorum Apollonij Per-gæi, vtque ſine mora mens tua epulis hiſce lautiſsimis ſaturari poſsit, non te demorari diutine patiar in limine, recenſendo ſci-licet nomen Apollonij, patriam, ætatem, & opera ab eo conſcripta, ne-que inſuper doctrinæ conicæ ortum, & progreſſum à primis incunabulis ad virilem vſque, & vegetam ætatem, ad quàm Apollonius eam euexit, propter quod facimus magnus Geometra cognominatus eſt; hæc enim trita iam ſunt, & vulgaria: breuiter tantummodo percurram, quæ ad notitiam horum librorum facere videntur.

Illius pretioſiſsimæ bibliothecæ orientalis, quàm Sereniſsimo Ferdinan-do Primo gratitudinis ergo reliquerat lgnatius Neama Patriarcha Anti-ochenſis libellum nitidiſsimè Arabicè ſcriptum mihi oſtenderat Sereniſ-ſimus Princeps Leopoldus Muſarum decus, & gloria, noſtrique ſæculi lumen eruditum. Codici inſcripſerat Raimundus, ſiue quis alius: Otto libri de Conici d'Apollonio del Patriarca. Summa lætitia libellum exoſcu-latus, licet Arabici idiomatis ſim prorſus ignarus, non potui me conti-nere, quin ſaltem contrectarem, atque reuoluerem paginas illas; cumque præter figuras mihi ſatis notas quatuor priorum Apollonij librorum vidiſ-ſem alias conicas figuras, in quibus ab vno puncto in eis collocato edu-ctæ erant plurimæ rectæ lineæ ad coniſectionem, illico in mentem venere illa Eutocij verba in expoſitione epiſtolæ Apollonij ad Eudemum: Quin-tus, inquit, liber de Minimis, & Maximis magna ex parte agit; quemadmodum enim in elementis didicimus, ſi ab aliquo pun-cto in circulum lineæ ducantur, earum quidem, quæ ad conca-uam ipſius circumferentiam pertinent, maximam eſſe, quæ per centrum tranſit, earum vero, quæ ad conuexam, minimam eſſe, quæ inter dictum punctum, & diametrum interijcitur, ita & de coniſectionibus in quinto libro inquirit. Sexti, ſeptimi, & octa-ui libri propoſitum manifeſtè ab ipſo Apollonio explicatur. Cùmq; poſteà à quodam Maronita Arabicè callente accepiſſem tractatum, ſeu li-brum quintum Apollonij eſſe illum, in quo figuræ prædictæ delineatæ erant, pariterque in ſubſequenti libro ſexto conſpexiſſem figuras alias exprimentes æqualitatem, & ſimilitudinem ſectionum conicarum, mihi certum fuit, verè Apollonij eſſe libros illos. Haud tamen negabo ſcrupulum, ac du-bitationem iniectam, ex eo quod textus ille Arabicus non præferebat in fronte Apollonij, vel vllius alterius nomen, & definitiones primi libri centuriam ſuperabant, cum Apollonius non niſi nouendecim ſuo primo li-bro appoſuißet. Inſuper in prioribus quatuor libris non totidem figuras con-ſpiciebam, nec omnino ſimiles, eaſdemque, nec eodem ordine diſpoſitas, ac in textu Græco Eutocij videre eſt; quare cenſui librum prædictum epitomen eſſe Conicorum Apollonij ab aliquo alio conſcriptam. Hanc quoq; præclariſsimi Torricellij fuiſſe ſententiam poſtea didici ex eius Epiſtola ad eruditiſsimum Michaelem Angelum Riccium miſſam. Perſtiti tamen de-bere latinè verti lucubrationem tam eximiam, eruditiſq; optatiſsimam, nam niſi ipſiſsimum opus eſſet Apollonij, ſaltem ex ijſdemmet libris epi-tome illa deſumpta, & tranſcripta exiſtimari debuerat.

Igitur Sereniſsimus Ferdinandus Secundus Magnus Dux munificen-tia verè regia, qua bonas artes promouere ſtudet, annuente, & ſummo-pere coadiuuante Sereniſsimo Principe Leopoldo fratre Matheſeos, atque omnigenæ Sapientiæ perito cultore, atq; egregio vindice, præcepit, vt vo-lumen Arabicum Romæ latinè redderetur ab Abrahamo Ecchellenſe lingua-rum Orientalium doctiſsimo, & peritiſsimo profeſſore. Is quidem ſumma alacritate negotio ſuſcepto primùm bono me eſſe animo iuſsit; monuit enim nouum non eße apud Arabes libros nomine auctoris in fronte carere, oſten-ditque in proemio eiuſdem codicis apertiſsimè declarari eſſe libros Conico-rum Apollonij paraphraſticè expoſitos: deinde ex translatione priorum qua-tuor librorum patuit demonſtrationes propoſitionum penè non differre quoad doctrinam à textu Græco Eutocij, licet verbum verbo non reſponderet: nec mirari paucitatem figurarum, quandoquidem vna, eademq; figura quatuor, aut quinque propoſitionibus inſeruiret. Incomparabili igitur gau-dio perfuſus Apollonium penè è manibus ſublatum iterum amplexibus ſtrin-xi, & exoſculatus ſum. Sed moleſtum ſummopere fuit octauum librum deeſſe: collegi tamen lo: Baptiſtam Raimundum opuſculum arithmeticum (quod in hoc codice Arabico ſubſequitur libro Septimo Apollonij) pro octauo eiuſdem libro accepiſſe, pariterq; Hieronymum Lunadorum in libro de Ro-mana Curia nobis impoſuiſse, cum octo Apollonij libros ex Arabico tran-ſtuliſſe latinè Raimundum typis publicauit; quì enim fieri potuit, vt octo libros dediſſet is, qui an ſeptem, aut octo libri eſſent non animaduerterat?

Modo operæ pretium erit ante oculos ponere formam, & diſpoſitionem huius paraphraſis ab interprete Abalphatho editæ. Et primo ſciendum eſt eum collegiſſe ſimul ſeptem integros libros Conicorum Apollonij ex fragmen-tis, quæ hactenus apud Arabes ſparſim circumferebantur, diſpoſuiſſeque propoſitiones eorumdem librorum alio ordine, ac diuerſo ab Apolloniano, relictis tamen numeris antiquis, nam in primo libro poſt primam, & ſecundam propoſitiones ſubſequuntur vndecima, tertia, quarta, ſeptima, & ſic vlterius ſemper ordine perturbato procedendo. Hac nempe ratione ſimul collectis in eadem figura pluribus propoſitionibus, quas in locis diſsi-tis collocauerat Apollonius, putauit Abalphathus breuiùs ſe eas demonſtra-turum retenta ſemper Apollonij ſententia, ſcilicet ijſdem medijs, & eodem progreſſu, quo vſus eſt Apollonius, demonſtrat Paraphraſtes eaſdem pro-poſitiones. An vero variare noluerit reuerentia retentus, vel potius ne-quiuerit virium defectu, ( quippe ingenio non admodum felici, et inue-niendi ſagaci à natura donatus ) non auſim affirmare. Superaddit quoq; numeroſam farraginem aliarum definitionum, quibus compendioſiùs, & clariùs demonſirationes abſolui poſſe profitetur, quod quidem non rarò ipſe aßequitur; aliquaudo verò ob affectatam nimiam breuitatem obſcurior effi-citur : accidit quoque, vt aliquæ definitiones inutiles, & otioſæ ſint, vel repetitio declarationis earumdem prolixitatem creet maiorem.

Animaduerſione dignum eſt, quod Manuſcriptum licet non diſtin-guatur capitibus, aut paragraphis, ſed continuo, perpetuoquè ſermone proce-dat more Arabum, in eo tamen numerorum tria genera paſsim occurrunt, qui omnes ferè interlineares, pauci quidem in margine poſiti, aliqui ru-bris characteribus depicti, alij vero poſiti ſuper alios numeros in eadem linea, veluti fractiones numerorum deſcribi ſolent, hac ratione {9/49. } 50. vel {16/68}. 69. 70. 71. , & licet rarò ſynceri, & veridici ſint, conie-ci tamen ſupremos numeros indicare partes, ſeu ſectiones, in quas Abal-phathus librum diſtribuit, atq; partitur: infimi verò numeri docent quot-nam propoſitiones in vnaquaque ſectione contineantur: itaque hi nume-ri {16/68}. 69. 70. 71. ſignificant in lib. 5. Sect. 16. contineri Apollonij Propoſitiones 68. 69. 70. 71. reliqui numeri interlineares ſic diſpoſiti 24. ex 5. , vel 37. ex 6. citationes ſunt, indicantque Prop. 24. lib. 5. Conic. Apoll. , vel Prop. 37. lib. 6. Sed mirum quàm mendoſi ſint omnes fere numeri huius codicis ! in ſolo enim quinto libro frequenter duæ, vel tres propoſitiones diuerſæ vno, & eodem numero deſignantur, & è contra plures, & ſeparati numeri nulli propoſitioni tribuuntur; nuſpiam enim reperies propoſitiones 16. 17. 18. 24. 40. , & quamplurimas alias. Citationes poſtea inter propoſitiones interpoſitæ mendoſisſimæ, obſcuriores tene-bras obducunt, quare non parum laboris, & moleſtiæ habui, vt propoſitioni-bus horum ſubſequentium librorum numeros debitos, & legitimos aſsigna-rem; nam prioribus quatuor in libris propoſitionum numeri licet perturba-to ordine diſpoſitarum facilè reſtitui, & corrigi potuerunt ex Græco exem-plari, at in libris 5. 6. & 7. numeros erroneos ſerie propoſitionum alte-rata niſi ariolando aßequi quis poterit ? Cum ex Arabico codice mendas haſce numericas corrigi poſſe Excellentiſsimus Abrahamus Ecchellenſis deſperaſſet, repetitis litteris, vt coniecturis negotium perficerem, iuſsit; & ſiquidem propoſitiones Apollonij vno, vel altero tantum ordine diſponi po-tuiſſent, forſan mentem auctoris conijcere arduum non fuiſſet, ſed inter multas, & varias ſeries, quibus conica doctrina exponi poſſet, ſi eam, quàm Abalphathus elegit, aſſecutus fuero, fortunæ tribuendum erit.

Sed quid ego minutias numerorum conſector, cum in textu ipſo inſu-perabiles ferè, & maioris momenti difficultates ſuperſint? nulla propoſi-tio fuit, in qua ſententiæ, verba, aut numeri, aut litteræ non fuerint multifariam permutatæ, mutilatæ, aliæ pro alijs repoſitæ, atque in propo-ſitionibus pleriſque tituli ipſi, & expoſitiones ſummopere deprauatæ, vt prorſus ignoraretur quid nam demonſtrandum propoſuerit Apollonius. Ita-que verba, litteræ, numeri, citationes, imò ſententiæ deficientes, aut per-mutatæ vna cum affectata Paraphraſtis Arabici breuitate, & multipli-ci, & noua nomenclatura cimmerias tenebras effundebant. Haſce in an-guſtias redactus, quod potui, feci, vt germanum ſenſum Apollonij, & correctiſsimum exhiberem textum.

Hanc tamen cautionem adhibui, vt in notis ſemper bona fide appo-nerem ipſiſsima verba textus, quæ tranſtulerat ex codice Arabico me præ-ſente Excellentiſsimus Ecchellenſis, ibidemque rationes appoſui mutatio-nis, & correctionis factæ. Itaque perſæpe vbi ſententia videbatur obſcu-ra, neque diſtinctè explanata, tunc quidem meis verbisdeclaraui. Et quia multoties ob nimiam paraphraſtis breuitatem, vellibrariorum vitio propoſi-tiones nõ ſolide demonſtrantur, vel nequeunt ex præcedentibus deduci, addidi ex meo penu lemmata nonnulla, quibus euidenter confirmantur, quæ in textu ambiguitatem aliquam præſeferebant. Appoſui quoque prolixè pro-poſitionum caſus omnes neglectos in textu, eorumque demonſtrationes. Sed hiſce omnibus in rebus religioſus adeò fui, vt omnia diuerſo chara-ctere in notis memorauerim, exceptis tamenijs, quæ minoris momenti ſunt, vt litteræ tranſpoſitæ, & deficientes, & verba aliqua impro-pria, & non ſignificantia, quæ commemorare non cenſui, ne volumen in immenſum excreſceret.

Tandem potuiſſem quidem abundantioris doctrinæ gratia non pauca meo marte hiſce libris ſuperaddere non omnino forſan contemnenda, ſed parcus adeo fui, vt tantummodo quæ ad illuſtrationem, & ornatum operis facere videbantur, adiecerim ſuntq; nonnullæ propoſitiones additæ, quæ nouæ, & forſan inelegantes non erunt.

Conſiderandæ modo ſunt difficultates à præſtantiſsimo, et doctisſimo Clau-dio Midorgio propoſitæ contra Manuſcriptum Arabicum Apollonij, quod Cla-riſsimus, & de bonis litteris optimè meritus Golius ex oriente detulit, eædemq; difficultates eodem iure noſtrum Manuſcriptum, quod Golianum, petunt. Verba Merſenni in præfatione Conicorum Apollonij ſuæ ſynopſis Ma-thematicæ hæc ſunt. Suſpicatur autem Claudius Midorgius hos tres libros, (ſcilicet 5. 6. & 7. Conicorum Apollonij) eſſe cuiuſdam Ara-bis ſub Apollonio latentis, quòd in quinto ſuo libro primam propoſitionem ſexti Apollonij ſuperius allatam non ſolum in cono recto, ſed in quouis etiam ſcaleno, & illorum portioni-bus quibuſcumque datis poſſibilia quæque demonſtrat. Hæc qui-dem ratio quanti ponderis ſit æqui rerum æſtimatores iudicent, & ſi qui-dem omnes, qui in Geometricis mediocriter verſati ſunt optimè norunt ſucceſsiuè aliquid vlteriùs inueniri præter ea, quæ diuini Præceptores Euclides, Archimedes, Apollonius, & Ptolemæus ediderunt, facile enim eſſe inuentis addere quis ignorat? Nulli vnquam venit in mentem librum Spiralium non ab Archimede, ſed ab aliquo alio ſcriptum fuiſſe, propterea quod vniuerſaliùs quarumcumque ſpiralium paſsiones Neoterici demon-ſtrarunt; Nec quia admirabilis Maurolicus in ſuo quinto Conicorum libro, & alij recentiores, ſicuti præclarus Phyloſophus, & Mathematicus Vin-centius Viuianus Patritius Florentinus in ſuo erudito libro de Maximis, & Minimis alia longè diuerſa ab Apollonij ſpeculationibus excogitarunt, hos libros adulterinos eße auſi ſunt affirmare. Et ſicuti ipſemet Midor-gius non repudiauit librum primum Conicorum ab Eutocio editum, licet ipſe in ſuo libro tertio melius ſe demonſtraſſe propoſitiones 52. 53. 54. libri primi ſummopere glorietur, pari iure hi libri adulterini cenſendi non erunt non alia de cauſa, niſi quia propoſitiones horum librorum non cor-reſpondent, nec aſsimilantur admirandis cogitationibus in eius ſublimi mente repoſitis. Et ſane non dubito, quòd ſi Midorgius ipſe hos libros vidiſſet, & contrectaßet, omnino illius magni Apollonij eſſe abſq; vlla hæſitatione affirmaſſet. Nam primi quatuor libri continent eaſdem pro-poſitiones, & ſæpe numero eadem verba, quæ in textu Græco Eutocij leguntur: reliqui libri ſubſequentes docent ea, quæ in epiſtola ad Eudemum propoſuerat ſe demonſtraturum Apollonius, & quæ Pappus, & Eutocius diſtinctè, & expreſsè ibidem tractari affirmant. Rurſus profunda men-tis perſpicacia, methodus ſcribendi, & genius Apollonij adhuc ibidem conſpicitur, nec fieri potuit, vt à translatoribus, à Paraphraſte, à tem poris diuturnitate prorſus deleretur, atque mirandum ingenium Apollonij à tanta barbarie omnino occultaretur. Rurſus in confeſſo eſt opera Euclidis, Archimedis, Apollonij, Ptolomæi, & aliorum magnorum virorum Ara-bicè translata fuisſe, & expreſsè grauisſimi ſcriptores Arabi, præcipuè Gregorius Bar-Hebræus lib. 9. Chronicorum ait, opera Apollonij Arabicè translata primò fuisſe anno 200. AEgyræ Maumettanæ ſub Almen Kalypha à loanne Patricida, & poſtea ab alijs recentioribus. Quare dubitandum non eſt hos eſſe veros, atque legitimos tres poſtremos Conicorum libros Apollonij Pergæi Paraphraſticè ab Abalphatho deſcriptos.

Fruere modo, mi lector, præclaro, & admirando beneficio Serenisſi-mi Principis Etruriæ, qui regali magnificentia, et liberalitate pretioſisſimum hunc theſaurum humanisſimè largitur. Vale.

INDEX

Propoſitionum Lib. V. VI. VII. Conic. iuxta ſeriem numerorum ab Apoll, ſeruatam, cum Lemmatibus, & Propoſition, additis,

Vbi indicantur ſectiones, & paginę, in quibus propoſitiones reperiri debent.

### Lib. V. Propoſ. # Sect. # Pag. i # 1 # 5 ii # 1 # 5 iii # 1 # 6 iv # 2 # 8 v # 2 # 8 vi # 2 # 8 vii # 4 # 24 viii # 3 # 16 ix # 3 # 18 x # 3 # 18 xi # 5 # 26 xii # 4 # 24 xiii # 6 # 27 xiv # 6 # 27 xv # 6 # 27 xvi # 16 # 112 xvii # 16 # 112 xviii # 16 # 112 xix # 17 # 116 xx # 17 # 117 xxi # 17 # 117 xxii # 17 # 117 xxiii # 17 # 118 xxiv # 17 # 118 xxv # 17 # 119 xxvi # 7 # 29 xxvii # 7 # 29 xxviii # 7 # 29 xxix # 12 # 72 xxx # 12 # 72 xxxi # 12 # 72 xxxii # 18 # 124 xxxiii # 18 # 125 xxxiv # 18 # 125 xxxv # 18 # 125 xxxvi # 18 # 126 xxxvii # 18 # 126 xxxviii # 18 # 127 xxxix # 18 # 128 xxxx # 18 # 128 xxxxi # 15 # 109 xxxxii # 15 # 109 xxxxiii # 15 # 110 xxxxiv # 10 # 67 xxxxv # 10 # 68 Prop. # Sect. # Pag. xxxxvi # 18 # 126 xxxxvii # 18 # 128 xxxxviii # 18 # 129 xxxxix # 8 # 32 33 l # 8 # 33 lj # 8 # 34 lii # 8 # 35 liii # 8 # 35 liv # 8 # 39 lv # 8 # 39 lvi # 8 # 39 lvii # 8 # 40 lviii # 9 # 60 lix # 9 # 60 lx # 9 # 62 lxi # 9 # 62 lxii # 9 # 60 lxiii # 9 # 60 lxiv # 13 # 74 lxv # 13 # 74 lxvi # 13 # 75 lxvii # 13 # 76 lxviii # 11 # 70 lxix # 11 # 70 lxx # 11 # 71 lxxi # 11 # 71 lxxii # 13 # 77 lxxiii # 14 # 88 89 lxxiv # 14 # 90 lxxv # 14 # 90 lxxvi # 14 # 91 lxxvii # 14 # 92 ## Lib. V. Lemm. addita # Paginæ. i # 13 ii # 14 iii # 15 iv # 15 v # 30 vi # 31 vii # 31 viii # 57 ix # 78 x # 78 xi # 79 xii # 92 ## Lib. V. Prop. additæ # Paginæ i # 11 ii # 11 iii # 22 iv # 23 v # 54 vi # 86 vii # 101 viii # 103 ix # 103 x # 104 xi # 105 xii # 106 xiii # 107 xiv # 107 ### Lib. VI. Propoſ. # Sect. # Pag. i # 1 # 138 ii # 1 # 139 iii # 2 # 146 iv # 1 # 141 v # 3 # 152 vi # 2 # 147 vii # 2 # 147 viii # 3 # 153 ix # 2 # 148 x # 1 # 141 xi # 4 # 154 xii # 4 # 155 xiii # 4 # 156 xiv # 4 # 157 xv # 6 # 175 xvi # 6 # 177 xvii # 6 # 178 xviii # 7 # 191 xix # 7 # 191 xx # 8 # 193 xxi # 8 # 195 xxii # 8 # 197 xxiii # 8 # 198 xxiv # 8 # 198 xxv # 9 # 207 xxvi # 10 # 237 xxvii # 10 # 238 xxviii # 10 # 240 Prop. # Sect. # Pag. xxix # 11 # 247 xxx # 11 # 248 xxxi # 11 # 251 Antiquæ # Propoſ. # Præmiſſæ i # 5 # 168 ii # 5 # 168 iii # 5 # 168 iv # 5 # 168 v # 5 # 168 vi # 5 # 171 ## Lib. VI. Lemm. addita. # Pag. i # 150 ii # 158 iii # 159 iv # 160 v # 161 vi # 183 vii # 184 viii # 186 ix # 229 x # 246 ## Lib. VI. Prop. additæ. # Pag. i # 151 ii # 210 iii # 211 iv # 214 v # 216 vi # 219 vii # 220 viii # 222 ix # 226 x # 227 xi # 230 xii # 231 xiii # 233 xiv # 236 xv # 261 xvi # 262 xvii # 265 xviii # 267 xix # 267 Prop. # Pag. xx # 268 xxi # 269 xxii # 270 ### Lib. VII. Propoſ. # Sect. # Pag. i # 1 # 273 ii # 2 # 276 iii # 2 # 276 iv # 2 # 277 v # 1 # 274 vi # 2 # 278 vii # 2 # 278 viii # 3 # 282 ix # 3 # 283 x # 3 # 283 xi # 3 # 283 xii # 4 # 291 xiii # 4 # 291 xiv # 4 # 291 xv # 3 # 283 xvi # 3 # 283 xvii # 3 # 283 xviii # 3 # 283 xix # 3 # 283 xx # 3 # 283 xxi # 5 # 299 xxii # 4 # 291 xxiii # 1 # 274 xxiv # 5 # 298 303 xxv # 4 # 291 xxvi # 5 # 298 300 xxvii # 4 # 291 xxviii # 5 # 299 300 xxix # 4 # 291 xxx # 4 # 291 xxxi # 11 # 370 xxxii # 11 # 370 xxxiii # 6 # 314 xxxiv # 6 # 315 xxxv # 6 # 316 xxxvi # 6 # 316 xxxvii # 5 # 304 xxxviii # 7 # 323 xxxix # 7 # 324 xxxx # 7 # 325 xxxxi # 9 # 341 343 Prop. # Sect. # Pag. xxxxii # 5 # 301 xxxxiii # 5 # 298 302 xxxxiv # 8 # 333 xxxxv # 8 # 333 xxxxvi # 8 # 335 xxxxvii # 9 # 342 344 xxxxviii # 9 # 342 347 xxxxix # 10 # 358 L # 10 # 358 Lj # 10 # 358 ## Lib. VII. Lemm. addita. # Pag. i # 306 ii # 318 iii # 318 iv # 318 v # 319 vi # 327 vii # 327 viii # 328 ix # 328 x # 336 xi # 336 xii # 337 xiii # 349 xiv # 350 xv # 350 xvi # 361 xvii # 361 xviii # 364 ## Lib. VII. Prop. additæ. # Pag. i # 322 ii # 323 iii # 331 iv # 332 v # 341 vi # 341 vii # 357 viii # 357 ix # 368 x # 368
APOLLONII PERGAEI CONICORVM LIB. V. DEFINITIONES. I.

SI à puncto aliquo in axe ſectionis conicæ ſumpto egrediantur aliquę rectæ lineæ ad ſectionem, vocabo punctum illud, ORIGINEM.

II.

Et lineas, RAMOS.

III.

Segmentum autem axis intèr illud, & verticem ſectionis ei pro-ximiorem, MENSVRAM.

IV.

Sed ſi fuerit menſura æqualis ſemiſſi erecti, vocabo illam, COMPARATAM.

V.

Et perpendiculares cadentes ab extremitatibus ramorum ſuper axim vocabo, POTENTES illorum ramorum.

VI.

Abſciſſa verò illarum potentium, ABSCISSA ramorum.

VII.

Et inuerſa illarum potentium, INVERSA ramorum.

VIII.

Atque rectangulum contentum ſub inclinato, & aggregato in-clinati, & erecti, vel differentia tranſuerſi, & erecti vocabo, FI-GVRAM COMPARATAM.

IX.

In quolibet rectangulo applicato ad ſegmentum axis, ſi illud ſegmentum ad latitudinem illius rectanguli eandem proportio-nem habuerit, quam axis ad latitudinem figurę comparatæ vocabo illud, EXEMPLAR.

X.

Si ex puncto ſuper axim educatur perpendicularis ad vtraſque partes ſectionis, & ex puncto aliquo illius perpendicularis educan-tur lineæ terminatæ ad ſectionem ex vtraque parte, vocabo pun-ctum illud in perpendiculari ſumptum, CONCVRSVM.

XI.

Et lineas etiam, RAMOS.

XII.

Et qui ſecant menſuram, & terminantur ad ſectionem ex altera parte concurſus, RAMOS SECANTES.

XIII.

At qui non ſecat illam, & tranſit per concurſum, & terminatur ad axim, & ſectionem ſimul, RAMVM TERMINATVM.

XIV.

Sed cuiuſcumque rami ſecantis, cuius portio interſectionem, & axim intercepta eſt linea breuiſſima, vocabo illum, BREVISE-CANTEM.

XV.

Et vocabo ſegmentum axis inter perpendicularem, & verticem ſectionis proximior em interceptum, MENSVRAM, quoque.

XIV.

Et portionem ſectionis conicæ diſſectam ab ordinatione axis tranſeuntis per originem, ſiuè per coneurſum propè verticem pro-ximiorem ſectionis, vocabo, SEGMENTVM illius puncti.

NOTÆ.

HAE definitiones non ſunt Apollonij, ſed Interpretis Arabici, qui in proe-mio huius operis apertè ait, addidiſſe plurimas definitiones in libris Apol-lonij, quibus theoremata breuiſsimè propo- ni poſſe profitetur, vt in prioribus quatuor libris videre eſt. Eas autem exemplis illu-ſtrare conabor.

I. Sit quælibet coni ſectio A B C, cuius axis B D, & in eo ſumatur quodlibet pun-ctum D intrà ſectionem, à quo educantur rectæ lineæ D A, D E, D F, D C vſque ad ſectionem. Tùnc vocatnr punctum D, Origo.

II. Et lineæ D A, D E, & cæteræ vo-cantur, Rami.

III. Portio verò axis B D intèr origi-nem D, & verticem B interpoſita vocatur Menſura. Sed in ellipſi A B C G, ſi axis portiones D B, & D G inæquales fuerint, tantummodò minor portio B D vocatur Mẽ-ſura, non autem maior D G.

IV. Sit poſteà recta B I ſemiſsis lateris recti B H iam ſi menſura D B æqualis fue-rit ſemierecto B I, vocatur D B, Menfura comparata.

V. At ſi à terminis ramorum A, E, F C educantur ad axim perpendiculares A K, E L, F M, C N, ipſum ſecantes in K, L, M, N vocantur illærectæ lineæ Potentes illo-rum ramorum.

VI. Recta verò K B vocatur Abſciſſa rami D A, & L B Abſciſſa rami D E, & ſic reliquæ omnes.

VII. Sit poſteà O centrum ſectionis, iam axis portio ex centro O vſquè ad potentia-lem A K educta, ſcilicet O K vocatur In-uerſa rami D A, pariterque O M eſt Inuer-ſa rami D F.

VIII. Si ponatur recta linea B P ad axim perpendicularis, quæ in hyperbola fiat æqualis aggregato, in ellipſi verò fiat æqualis differentiæ laterum recti B H, & tranſuerſi G B, tunc rectangulum contentum ſub G B, & B P vocatur, Figura comparata.

IX. Poſteà ſi, vt G B ad B P ità ſiat ſeg- mentum axis D B ad D R, & compleatur parallelogrãmum rectãgulum B R, tunc ſpa-tium B R vocatur Exemplar. Pari ratione ſi, vt G B ad D P ità fiat ſegmentum axis D K ad latitudinem K S, compleaturque parallelogrammum rectangulum D S, voca-bitur paritèr D S Exemplar.

X. Et ſi C D perpendicularis fuerit ad axim B D, & producatur vltrà axim in E, atquè à puncto E extendantur vſquè ad ſectionem rectæ lineæ E B, E F, E G, vo-cabitur E punctum Concurſus.

XI. Et lineæ rectæ E B, E F, E G vo-cantur etiam Rami.

VII. Atquè linea recta E F ſecans axim in H vocatur Ramus ſecans.

XIII. Et recta linea E B conueniens cum axi in vertice ſectionis vocatur Ra-mus terminatus.

XIV. Si verò rami ſecantis E F por-tio cius H F inter ſectionem, & axim in-tercepta fuerit breuiſsima omnium linea-rum, quæ ex puncto H ad ſectionem duci poſſunt, tunc ramus E F vocabitur Breui-ſecans. In textu Arabico ſecans ramus vo-cabatur, mendosè, vt arbitror, non enim hæc definitio diſtingueretur à duodecima, definitione.

XV. Similitèr ſegmentum axis D B ſe-ctum à perpendiculari ad axim ex origine E ducta, vocatur quoquè Menſura.

XVI. Tandem ſi per punctum originis D, vel concurſus E ducatur ordinata A C, tunc figura contenta ab ordinata A C, & ſectione conica A B C, vocatur Segmentum illius puncti.

SECTIO PRIMA Continens propoſitiones I. II. & III. Apollonij. PROPOSITIO I.

Si ex centro D ſectionis A B (habentis centrum) egrediatur linea recta D F H bifariam diuidens A E erectum illius axis, quod ſit perpendiculare ſuper axim C A G, ſecans axis ordina-tionem B G I; vtiquè dimidium illius ordinationis, videlicet B G, poterit duplum plani, quod producit illa linea cum axi in-ter erectum, & illam ordinationem, nempè duplum A G H F.

QVia B G poteſt comparatum applicatum ad abſciſſam A G, & pla- num G F dimidium eſt illius comparati; ergò B G poterit duplum plani G F; & hoc erat oſtendendum.

a b
PROPOS. II.

PAritèr quoquè oſtendetur, ſi potens tranſierit per centrum ellipſis, quod B G poterit duplum trianguli A F G.

PROPOS. III.

SI verò in ellipſi cadat B G infrà cen-trum, poterit duplum differentię duo-rum triangulorum D A F, & D G H, nem-pè duplum plani G L. Et hoc erat pro-poſitum.

Notæ in Propoſitionem primam.

VOcat in primo libro interpres ſectiones habentes centrum hyperbolem, & ellipſim, & vocat erectum latus rectum ſectionis, vocat etiam ordina-tionem axis eam, quam nos ordinatim ad axim applicatam appellamus.

Quia BG poteſt comparatum applicatum ad abſciſſam AG, & c. Vocat inſuper parallelogrammum comparatum applicatum ad axis abſciſſam A G re-ctangulum ipſum A G I, quod quidem adiacet lateri recto A E latitudinem ha- bens abſciſſam A G excedens in hyperbola, & deficiens in ellipſi rectangulo ſi-mile ei, quod latere recto, & tranſuerſo continetur; ſcilicèt rectangulo C A E.

a 12. 13. lib. primi.

Et planum G F dimidium eſt illius comparati, & c. Non erit inutile paulo fuſius oſtendere id quod ob nimiam facilitatem Apollonius tantummodò in-nuit. Ducatur recta linea F K parallela axi D A ſecans ordinatam B G produ-ctam in K: quia figuræ latera C A, & A E ſunt ipſarum D A, A F duplicia ergo C E, & D F H parallelæ ſunt, eſtque K H parallela A E, cum ambo poſitæ ſint perpendiculares ad axim, & C A, F K ſunt quoquè æquidiſtantes, ergò triangulum F K H ſimile eſt triangulo C A E, & proptereà parallelogramma rectangula F K H, & C A E ſimilia erunt. Et quoniam quadratum ordinatæ B G æquale eſt rectangulo contento ſub latere recto E A, & abſciſſa A G exce- dente in hyperbola, & deficiente in ellipſi rectangulo F K H ſimile ei, quod la-teribus recto, & tranſuerſo continetur, ſcilicet G A E, & eſt A F ſemiſsis la-teris recti, igitur quadratum B G æquale eſt ſummæ in hyperbole, & differen-tiæ in ellipſi rectanguli G A F bis ſumpti, & rectanguli F K H, quod eſt æqua-le duplo trianguli F K H: ſed quadrilaterum A G H F æquale eſt aggregato in hyperbola, & differentiæ in ellipſi rectanguli G A F, & trianguli F K H, ergò quadratum B G æquale eſt duplo quadrilateri A G H F, ſeù diſſerentiæ triangu-lorum D A F, & D G H.

b Ibidem.
Notæ in Propoſitionem ſecundam.

SEcunda propoſitio facilè ex prima deducitur; nam, quando ordinata B G H I tranſit per cen-trum D ellipſis; tunc tria puncta G, D, H conue-niunt, & triangulum D G H euaneſcit, & ideò differentia trianguli D A F, & trianguli D G H nullum ſpatium habentis, erit triangulum ipſum D A F.

Notæ in Propoſitionem tertiam.

IN tertia propoſitione ſimilitèr, quandò ordinata B H G I cadit infrà centrum D ellipſis, tunc ducta C L parallela ipſi A E, erunt duo triangula D A F, & D C L æqualia inter ſe, cum ſint ſimi-lia, & latera homologa D A, D C ſint æqualia, quia ſunt ſemiaxes; proptereà differentia triangu-lorum D G H, & D A F, ſeù D C L erit trapezium C G H L, quod ſubduplum eſt quadrati ordinatæ B G.

SECTIO SECVNDA Continens propoſitiones IV. V. VI. Apollonij.

COmparata eſt minima ramorum egredientium ex ſua origine (4) in parabola (5) & hyperbola (6) pariterque in ellipſi (ſi comparata fuerit portio maioris duorum axium, & tunc maxi-mus eſt reſiduum tranſuerſi axis.) Reliquorum verò propinquior minimo remotiore minor eſt. Quadratum autem menſuræ mi-nus eſt quadrato cuiuslibet rami aſſignati (4) in parabola qui-dem quadrato ſuæ abſciſſæ (5) & in hyperbola (6) & ellipſi exemplari applicato ad abſciſſam illius rami.

PROPOSITIO IV.

SIt ſectio A B C, & axis eius C E, & inclinatus, ſiue tranſuerſa D C centrum G, atque erectum C F, & ex C E ſecetur C I æqualis C H (quæ ſit ſemiſſis erecti) & ex puncto originis I educantur rami I B perpen-dicularis, & I K, I L, I A, & per H, I in hyperbola, & ellipſi ducatur H I P, & per H, G recta H G T, ad quam ex A, B, K, L extendantur A P E T, B I S, K N R, L M O Q perpendiculares ſuper C E. Dico, quod C I, comparata mi-nor eſt, quam I L, & I L, quam I K, & I K, quam I B, & maximus ramorum in ellipſi eſt I D, & quod quadra-tum menſuræ I C mi-nus eſt quadrato I L, in parabola quidem quadrato C M, & in hyperbola, & ellipſi exemplari applicato ad C M. Quoniam in parabola L M poteſt duplum M C in C H, nempè C I (12. ex primo) & quadratum I L ęqua-le eſt aggregato duorum quadratorum L M, & M I, quadratum itaque L I æquale eſt quadrato M I, & M C in C I bis, quæ ſunt æqualia duobus quadratis C I, M C. Quadratum igitur C I minus eſt quadrato L I qua-drato ipſius M C, quæ eſt eius abſciſſa, & pariter oſtendetur, quod qua-dratum C I minus eſt quadrato I K quadrato N C, & minus quadrato I B quadrato C I, & minus quadrato A I quadrato E C.

a
PROPOSITIO V. & VI.

AT verò in hyperbola, & ellipſi producantur ex Q, O, H lineæ pa-rallelæ ipſi M C, & quia I C ex hypotheſi æqualis eſt H C, erit I M æqualis M O, quadratum itaque I M duplum eſt trianguli I M O, & quadratum L M duplum eſt trapezij C M Q H (prima ex 5.) ergo quadra- tum I L duplum eſt trianguli I C H vnà cum duplo trianguli Q H O, nem-pe cum plano rectanguli QZ; ſed quadratum I C eſt duplum trianguli I H C (eò quod C H æqualis eſt C I) ergo quadratum C I minus eſt qua-drato L I plano rectanguli Q Z.

a b

Deindè ponamus in ellipſi Y F æqualem differentiæ, & in hyperbola æqualem aggregato D C, C F; ergo propter ſimilitudinem duorum trian- gulorum G M Q, H V Q, & H V O, M I O, erit H V æqualis V O, & H V, vel ei æqualis O V ad V Q eſt, vt M G ad M Q, nempe vt G C ad H C, ſeù vt D C ad C F, igi-tur V O ad V Q eſt vt D C ad CF, & comparando ſum-mas terminorum ad antece-dentes in hyperbola, & dif-ferentias eorundem ad ante-cedentes in ellipſi fiet O Q ad V O (quæ æqualis eſt O Z, nempè M C) vt Y F ad Y C, & eſt Y C, æqualis D C, & Y F æqualis ſummæ in hyperbola, & differentiæ in ellipſi ipſarum D C, & C F; quadratum igitur I C mi- nus eſt quadrato I L rectangulo Q Z, quod eſt exemplar ſimile plano rectanguli C D in Y F, quæ eſt figura comparata. Atque ſic de-monſtrabitur, quod quadratum I C minus ſit quadrato I K exemplari ap-plicato ad N C, & minus eſt quadrato B I exemplari applicato ad I C, & minus quadrato A I exemplari applicato ad E C: Eſtque M C minor, quàm N C, & N C, quam C I, & C I, quàm C E; igitur L I maior eſt, quàm I C, & I K maior, quàm L I, & I B maior, quàm I K, & I A, quàm I B. Et hoc erat oſtendendum.

c d e
f g h Def. 8. 9. huius.
Notæ in pro poſitionem quartam.

QVoniam in parabola L M poteſt duplum M C, & c. Quadratum enim L M æquale eſt rectangu-lo ſub abſciſſa M C, & latere recto C F, eſtque C H ſemiſsis erecti C F; ergo L M poteſt duplum rectanguli M C H.

a
Notæ in propoſitionem quintam.

ERit I M æqualis M O, & c. Propter parallelas M O, C H, & ſimilitudi- nem triangulorum I M O, & I C H.

a

Ergo quadratum I L duplum eſt triã-guli I C H, & c. Eo quod quadratum I L æquale eſt duobus qua-dratis I M, M L in rectangulo triangulo I M L; Quadratis au-tẽ I M, & L M æqua-lia ſunt triangulum I M O bis ſumptum cum trapezio C M Q H bis ſumpto; & quia trapezium C M Q H æquale eſt trapezio C M O H, cum triangu-lo H O Q; at triangulo I M O, & trapezio C M Q H ſimul ſum-ptis æqualia ſunt triangulum I C H, cum triangulo H O Q. Ergo quadratum L I æquale erit duplo trianguli I C H cum duplo trianguli H O Q.

b 1. huius.

Deindè ponamus in ellipſi Y F æqualem D C, & in hy-perbola, & c. Textus videtur corruptus, quem ſic corrigendum puto. Ponamus γ F in ellipſi æ-qualem differentiæ, & in hyper-bola æqualem aggregato D C, & C F.

c

Propter ſimilitudinem triangulorum, & c. Sunt enim duæ rectæ lineæ C G, & V H æquidiſtantes, quæ ſecant rectas lineas conuenientes in Q, & O.

d

Erit H V æqualis V O, & c. Eo quòd M I oſtenſa eſt æqualis M O, eſtque H V ad V O in eadem proportione æqualitatis propter iam dictam ſimilitudinem triangulorum.

e

Igitur V O ad V Q eſt, vt D C ad C F, & conuerſa proportione dein- dè componendo in hyperbola, & inuertendo in ellipſi fiet in hyperbola Q O ad O V, & c. Textum corruptum, atque confuſum clariùs exponi poſſe cenſeo per Lemma inferius appoſitum hac ratione. Et comparando ſummas in hyperbola, & differentias terminorum in ellipſi ad antecedentes.

f

Vt Y F ad Y C, & in ellipſi, vt F C ad C F, & Y F in ellipſi æqualis D C, quadratum igitur, & c. Textum corruptum ſic corrigendum puto; & eſt r C æqualis D C, atque γ F æqualis ſummæ in hyperbola, & differentiæ in elli-pſi laterum D C, & C F.

g

Exemplar ſimile plano rectanguli C D in Y F in hyperbola, & Y C in ellipſi, & c. Hæc poſtrema verba expungenda duxi, tanquam ſuperuacanea.

Poteſt etiam ad imitationem Euclidis reperiri multitudo ramorum inter ſe-æqualium, qui ex origine duci poſſunt in eadem coniſectione. Itaque quoties menſura fuerit comparata, ſcilicet aqualis ſemiſsi lateris recti, tunc duo tan-tum rami inter ſe æquales a puncto originis ad vtraſque partes axis duci poſ-ſunt in qualibet coniſectione, eruntque illi, qui ad terminos L l cuiuslibet or-dinatim applicatæ L l ducuntur ab origine I, nam efſiciuntur duo triangula I M L, & I M l, quæ circa angulos æquales ad M, nẽ-pe rectos, habent latera æqualia, ſcilicet L M, & l M medietates ordinatim applicatæ, & ſegmentum axis I M inter ordinatam, & originem eſt latus commune; ergobaſes, ſeu rami I L, & I l ſunt æquales. Reliquiverò rami ſupra, vel infra terminum eiuſdem ordinatim applicatæ minores, aut ma-iores ſunt ramo ad eius terminum ducto; quare duo tantum rami ad vtraſque partes axis inter ſe æquales duci poſſunt.

PROP. I. Additar.

Rurſus quadratum rami I A remotioris a comparata ſuperat quadratum ra- mì I L propinquioris (in parabola quidem) rectangulo ſub differentia, & ſub aggregato abſciſſarum eorundem ramorum; in reliquis verò ſectionibus rectan-gulo ſub differentia abſciſſarum, & ſub recta linea, ad quam ſumma abſcißa-rum eandem proportionem habet, quam latus tranſuerſum ad ſummam in hy-perbola, & ad differentiam in ellipſi laterum tranſuerſi, & recti.

PROP. II.Add.

Et primò in parabola, quia quadratum I A æquale eſt quadrato I C cum qua- drato abſciſſæ C E; pariterque quadratum I L æquale eſt quadrato eiuſdem I C cum quadrato abſciſſæ C M; ergo exceſſus quadrati I A ſupra quadratum I L æqualis eſt differentiæ quadratorum E C, & C M; ſed exceſſus quadrati E C ſupra quadratum M C æqualis eſt rectangulo, cuius baſis æqualis eſt ſummæ la-terum E C, & C M; altitudo verò æqualis eſt E M differentiæ laterum eorun-dem quadratorum (vt de-ducitur ex elementis) igitur exceſſus quadrati I A ſupra quadratum I L æqualis eſt rectangulo, cuius baſis eſt ſumma abſciſſarum E C, C M, altitudo verò E M dif-ferentia earundem abſciſſa-rum.

4. huius. ibidem.

Secundò in hyperbola, & ellipſi fiat exemplar N T ap-plicatum ab abſciſſam C E. Et quia quadratum I A æ-quale eſt quadrato eiuſdem I C cum exemplari N T, & quadratum I L æquale eſt quadrato eiuſdem I C cum exemplari Q Z. Ergò exceſſus quadrati I A ſupra quadratum I L æqualis eſt differentiæ exemplarium N T, & Q Z. Poſteà ducatur recta Q N: quia trian-gula Q N S, O N Q. æqualia ſunt triangulo, cuius baſis æqualis eſt ſummæ re-ctarum N S, & O Q. altitudo verò V R, vel M E, ſuntque illa duo triãgula æqualia tra-pezio N O Q ſiue-exceſſui trianguli N H S, ſupra triangu-lum H O Q: ergo triã-gulum cuius baſis æ-quatur ſumme ipſa-rum N S, O Q alti-tudo verò E M, æqua-le eſt differentiæ triã-gulorum N H S, O H Q. Et ſimiliter eorum dupla, ſcilicet rectangulum, cuius baſis æqualis eſt ſum-mæ N S, O Q altitudo verò æqualis M E, erit differentia exemplarium rectã-gulorum N T, & Q Z; ſed ſumma altitudinum V H, H R, ſeu ſumma abſciſ-ſarum C M, C E ad ſum mam baſium N S, O Q eandem proportionem habet, quam vna H V ad vnam O Q, ſeu quam latus tranſuerſum D C ad ſummam-in hyperbola, & ad differentiam in ellipſi laterum tranſuerſi D C, & recti C F: Igitur differentia exemplar ium N T, Q Z, ſeu exceſſus quadrati I A ſupra-quadratum I L æqualis eſt rectangulo contento ſub E M differentia abſciſſarum, & ſub ſumma ipſarum N S, & O Q, ad quam ſumma abſcißarum eandem pro-portionem habet, quam latus tranſuerſum ad ſummam in hyperbola, & ad dif-ferentiam in ellipſi laterum tranſuerſi, & recti, quod fuerat propoſitum.

MONITVM.

E X varia diſpoſitione terminorum proportionalitatis ſcilicet duo-rum antecedentium, & duorum conſequentium conſurgunt plures modi argumentandi, quorum aliqui in elementis ex-poſiti non ſunt, aliqui verò ſignificantiſsimis vocibus, & breuiùs indicantur in textu Arabico, igitur, ne ſepius repetatur prolixa-expoſitio modorum argumentandi in proportionalibus, & non proportiona-libus, qui cumulatè inſeruntur in demonſirationibus Apollonij opere pre-tium erit eos ſemel hìc exponere.

LEMMA I.

Si quatuor quantitates eandem proportionem habuerint, antecedentes, vel cońſequentes ad terminorum ſummas, vel differentias in eadem ra-tione erunt; & è contra.

HAbeat A B ad B C eandem proportionem, quàm D E ad E H: ſequitur pri-mò, quod A C ad C B ſit, vt D H ad H E; & huiuſmodi argumentatio vocatur in elementis compoſitio terminorum proportionis: itaque ſummæ antece-dentium, & conſequentium ad eaſdem conſequentes ſunt etiam proportionales: ſi vero ex eadem hypotbeſi concludaiur, quod A C ad A B, ſit vt D H ad D E, vt nimirum ſummæ terminorum proportionis ad antecedentes ſint proportiona-les: quod quidem manifeſtum eſt, nam poſita fuit A B ad B C, vt D E ad E H; erit inuertendo C B ad B A, vt H E ad E D, & componendo C A ad A B erit vt H D ad D E: modo huiuſmodi argumentandi forma innominata eſt; poteſt autem breuitatis gratia appellari, Per comparationem ſummæ terminorum ad antecedentes.

Secundò concludi poteſt, quod A B ad A C ſit vt D E ad D H; quia, vt in prima parte dictum eſt, A C ad A B erat vt D H ad D E, ergo inuertendo A B ad A C erit vt D E ad D H: hæc argumentandi forma vocari poteſt, Per comparationem antece-dentium ad terminorum ſummas.

Tertiò concludi poteſt: quod B C ad C A, ſit vt E H ad H D; nam componen-do A C ad C B, erat vt D H ad H E, quare inuertendo B C ad C A erit vt E H ad H D, & hæc argumentatio fieri dicetur comparando conſequentes ad ter-minorum ſummas.

Deindè ſint eædem quatuor proportiona-les in ſecunda figura, nimirum totum A B ad ſegmentum eius B C ſit vt totum D E ad portionem eius E H; tunc reſiduum A C ad C B erit, vt reſiduum D H ad H E; hæc argumentatio ſieri dicitur in elementis, di-uidendo terminos proportionis, eſtque comparatio differentiarum terminorum ad conſequentes.

At ſi concludatur ex eadem hypotbeſi quod A B ad A C ſit vt D E ad D H; hæc argumentatio in elementis fieri dicitur per conuerſionem rationis eſtque comparatio antecedentium ad differentias terminorum.

Poſtea ex eadem hypotbeſi ſequitur quod A C ad A B ſit vt D H ad D E: quia per conuerſionem rationis, ſeu referendo antecedentes ad differentias terminorum eſt A B ad A C, vt D E ad D H; ergo inuertendo A C ad A B erit vt D H ad D E, & hæc argumentatio innominata fiet comparando differentias terminorum ad antecedentes.

Tandem ex eadem hypotheſi ſequitur, quod C B ad C A ſit vt E H ad H D: nam diuidenda eſt vt A C ad C B, ita D H ad H E; ergo inuertendo B C ad C A erit vt E H ad H D: & hæc argumentatio innominata fieri dicetur comparan-do conſequentes ad derenifftias terminorum.

LEMMA II.

Si prima A B ad ſecundam B C maiorem proportionem habuerit quàm tertia D E ad quartam E H: comparando antecedentes ad terminorum. ſummas habebit AB ad AC maiorem proportionem quàm D E ad D H.

FIat A B ad B F, vt D E ad E H; erit B F maior quàm B C, atque A F ma- ior quàm A C; ergo A B ad A F eandem proportionem habebit quàm D E ad D H; ſed eadem A B ad minorem A C maiorem proportionem habet quàm ad A F maiorem, ergo A B ad A C maiorem proportionem habet quàm D E ad D H.

Lem. I.

Secundò ijſdem poſitis, dico com- parando terminorum ſummas ad an-tecedẽtes A C ad A B habere minorem proportionem quàm D H ad D E. Quoniam ex præcedenti caſu A B ad A C maiorem proportionem habebat quàm D E ad D H; igitur inuertendo C A ad A B minorem proportionem habebit quàm D H ad D E.

Tertiò, dico quod comparando con-ſequentes adterminorum ſummas B C ad C A minorem proportionem habe-bit quàm E H ad H D; quia (ex hy-pothcſi) A B ad B C maiorem proportionem habet quàm D E ad E H componen-do A C ad C B maiorem proportionem habebit quàm D H ad H E, & inuerten-do B C ad C A minorem proportionem habebit, quàm E H ad H D.

Quartò, ij ſdem poſitis in quarta figura, dico quod comparando differentias terminorum ad conſequentes A C ad C B maiorem proportionem habebit quàm D H ad H E: quia ex conſtructione A B ad B F eſt, vt D E ad E H, diuiden-do A F ad F B erit vt D H ad H E; ſed A C maior eſt quàm A F, & C B mi-nor, quàm F B; igitur A C ad C B maiorem proportionem habebit quàm A F ad F B; & propterea A C ad C B maiorem proportionem habebit, quàm D H ad H E.

Quintò, dico quod è contra, comparando conſequentes ad differentias termi-norum C B ad C A minorem proportionem habebit quàm E H ad H D. Quia (ex præcedenti caſu) A C ad C B maiorem proportionem habebat quàm D H ad H E; ergo inuertendo C B ad C A minorem proportionem habebit quàm E H ad H D.

Sextò, dico quod comparando antecedentes ad differentias terminorum B A ad A C minorem proportionem habebit quàm E D ad D H. Quia ex conſtructione A B ad B F eſt, vt D E ad E H; ergo A B ad A F eſt, vt E D ad D H; ſed B A ad maiorem C A habet minorem proportionem quàm ad F A; igitur B A ad A C minorem proportionem habet quàm E D ad D H.

Ibidem.

Septimò, dico è contra, quod comparando differentias terminorum ad ante-cedentes C A ad A B maiorem proportionem habebit quàm H D ad D E. Quo-niam, ex præcedenti caſu, B A ad A C minorem proportionem habebat quàm E D ad D H; igitur inuertendo C A ad A B maiorem proportionem habebit quàm H D ad D E.

LEMMA III.

Si quatuor quantitates eandem rationem habuerint homologorum ſum-mæ, vel differentiæ in eadem ratione erunt.

OStenſum enim fuit in elemen- tis, quod proportionalium om-nes antecedentes ad omnes conſequen-tes eandem proportionem habent, quàm vna antecedentium ad vnam conſequentium. Similiter oſtenſum fuit, quod ſi totum ad totum eandem rationem habuerit, quàm ablatum ad ablatum, & reliquum ad reliquũ, vt totum ad totum ſe habebit; ſed vno verbo homologorum ſummæ, vel differentiæ in eadem ratione erunt iuxtà Arabici expoſitoris compendium.

LEMMA IV.

Si prima A B ad ſecundam D E maiorem proportionem habuerit, quàm tertia B C ad qnartam E H: dico, quod comparando homologorum ſummas A B ad D E maiorem proportionem habebit, quàm prima cum tertia, ideſt A C ad ſecundam cum quarta, ideſt D H.

FIat B F ad E H, vt A B ad D E: ergo A B ad D E eſt, vt A F ad D H; ſed A F maior eſt quàm A C, igitur A F ad eandem D H maiorem proportio-nem habet, quàm A C: & ideo A B ad D E maiorem proportionem habet, quàm A C ad D H.

Lem. 3.

Secundò ijſdem poſitis, dico, quod tertia B C ad quartam E H minorem pro-portionem habet quàm A C ad D H.

Fiat vt B C ad E H, ita I B ad D E, ergo C B ad E H eſt, vt C I ad H D; ſed A B maior eſt quàm I B, & ideo C A maior quàm C I; igitur I C ad eandem D H minorem proportionem habet quàm A C, & propterea B C ad E H minorem proportionem habebit quàm A C ad D H.

Ibidem.

Tertiò ijſdem poſitis in ſexta fi-gura, dico quod comparando homolo- gorum differentias prima A B ad ſe-cundam D E minorem proportionem habet quàm differentia A C ad diffe-rentiam D H.

Fiat B F ad E H, vt A B ad D E, ergo A F ad D H eſt vt A B ad D E, ſed A F minor eſt quam A C, ergo A F ad eandem D H minorem proportionem habet quàm A C: & propterea A B ad D E minorem pro-portionem habet quàm A C ad D H.

Lem.3.

Quartò, dico, quod tertia C B ad quartam H E minorem proportionem habet quàm differentia A C ad differentiam D H. Quoniam ex conſtructione A B ad D E eſt vt F B ad H E, erit F B ad H E, vt A F ad D H; ſed C B minor eſt quàm F B, atque A C maior quàm A F, & A F ad eandem D H minorem proportionem habet quàm A C; igitur C B ad H E eo magis habebit minorem proportionem quàm A C ad D H quæ erant oſtendenda.

Ibidem.
SECTIO TERTIA Continens VIII. IX. X. Propoſ. Apollonij.

SI menſura fuerit maior comparata, dummodo in ellipſi minor ſit medietate axis tranſuerſi, tunc minimus ramorum in ſe-ctionibus eſt, cuius potentialis abſcindit à menſura verſus origi-nem in parabola (8) lineam æqualem comparatæ, in hyperbo-la verò (9) & in ellipſi (10.) lineam, cuius inuerſæ proportio ad illam eſt, vt proportio figuræ & reliqui rami, quo accedunt ad minimum ſunt minores remotioribus; & quadratum minimæ minus eſt quadrato cuiuslibet rami aſſignati in parabola quidem (8) quadrato exceſſus ſuarum abſciſſarum, & in hyperbola (9) & ellipſi (10.) exemplari applicato ad exceſſum ſuarum inuer-ſarum.

SIt itaque ſectio A B C, & menſura I C, inclinatus, ſiue tranſuerſa E C, dimidium erecti C G, centrum F, origo I, & I H in parabola ſit equa-lis C G, & in hyperbola, & ellipſi F H ad H I ſit, vt F C dimidium incli-nati, ſeu tranſuerſæ ad C G, dimidium erecti, & educta ex H perpendi-culari H N, & coniuncta recta N I; Dico N I minimum eſſe ramorum egredientium ex I, & inſuper, propinquiores illi minores eſſe remotiori-bus ramis ex vtraque parte, & quod quadratum IN minus eſt quadrato MI (exempli gratia) in parabola quadrato QH, in hyperbola, & ellipſi exemplari applicato ad QH. Quoniam quadratum HN in parabola ęqua- le eſt HI, nempe C G in HC bis (11. ex primo) erit quadratum IN ęqua-le IH in HC bis cum quadrato HI; at ꝗuadratum M Q æquale eſt HI in QC bis (11. ex primo) igitur quadratum MI ęqua-le eſt IH in QC bis cum quadrato IQ; hoc autem eſt ęquale duobus quadra-tis IH, HQ, & IH in H Q bis; igitur quadratum I M æquale eſt IH in HC bis cum quadrato IH, quę ſunt æqualia quadrato NI vnà cum quadrato HQ. Quadratum igitur MI ex-cedit quadratum NI qua-drato HQ. Et conſtat quo-que, quadratum I L exce-dere quadratum I N quadrato P H; atque P H maior eſt, quàm Q H, ergo I L maior eſt, quàm I M, & I M, quàm N I. Ponamus iam B I perpendicularem ſuper C I, ergo quadratum B I ęquale eſt I C in I H bis (11. ex primo); quadratum igitur I N minus eſt quàm quadratum B I quadrato I H. Et quia quadra- tum O R ęquale eſt C R in I H bis excedet qua-dratum I N (quod eſt ęquale quadrato I H, & I H in H C bis) duobus quadratis HI, IR, & IH in IR bis, nem-pè quadrato R H; atquè ſic conſtat, quadratum.

b c
d e f

A I excedere quadratum I N quadrato D H; eſtque D H maior, quàm R H, igitur I A maior eſt, quàm I O, & I O quàm I N. Et hoc propofitum fuerat.

PROPOSITIO IX. & X.

AT in hyper- bola (10.) & ellipſi educa-mus rectas lineas, G F quidem ſecã-tem A D in a, & N H occurrẽtem F G in S, & I S ſecantem C G in T, pariterque M Q ſecantem F G in m, & I T in X, & ex punctis m, S, x educamus inter N S, M X rectas m y, X n, S Z pa-rallelas ipſi C I. Et quia C F ad C G, nempe F H ad H S poſita eſt, vt F H ad H I erit H I æqualis H S; quadratum igitur I H eſt æquale duplo trianguli I H S, & quadra-tum N H ęquale eſt duplo trape-zij H G; quare quadratum N I æquale eſt duplo trapezij I G; ſimiliter quadratum I Q ęquale eſt duplo trianguli I Q X, & quadra-tum M Q eſt æquale duplo trape-zij Q G; itaque quadratum ex I M æquale eſt duplo trapezij I G cum duplo trianguli m S X, quod eſt æ-quale plano m n: Et C F ad C G, nempe proportio figuræ eſt, vt S Z, nempe Z X ad Z m (& hoc quidem propter ſimilitudinem triangulorũ) quare comparãdo priores ad ſum- mas terminorum in hyperbola, & ad eorundem differentias in ellipſi fiet X Z (quæ eſt æqualis ipſi X n) ad X m, vt proportio inclinati, ſiue tranſuerſæ ad latitudinem figuræ comparatæ; igitur planum m n eſt exemplar, eſtque applicatum ad X n, nempe ad QH. Eodem modo conſtat, quod quadratum IL excedit qua-dratum I N quantitate exemplaris applicati ad H P, & quod quadratum B I excedit quadratum I N exemplari applicato ad I H, & quod quadra-tum I O excedit quadratum I N exemplari applicato ad R H (eo quod quadratum R I æquale eſt duplo trianguli R V I, & quadratum O R ęqua- le eſt duplo trapezij R G, at in ellipſi quando O R cadit infra centrum F æquale eſt duplo trapezij R K; quadratum igitur O I in ellipſi æquale eſt duplo trianguli K E F, quod eſt æquale F C G cum duplo trapezij V F, igitur quadratum O I in hyperbola, & ellipſi excedit duplum trapezij I G (quod eſt æquale quadrato N I) duplo trianguli V S0, quod eſt æquale exemplari applicato ad R H: & ſimiliter patet, quod quadratum A I ex-cedit quadratum N I exemplari applicato ad D H, eſtque D H maior quàm R H, & R H maior quàm I H; quare A I maior eſt, quàm O I, & O I maior, quàm B I, & B I, quàm N I, & quodlibet horum duorum ex-cedit N I poteſtate plano iam dicto, & hoc erat oſtendendum.

g
h
Prop. I. h. i Lem. 1. h. k l Def 9. m Prop. 1. h. Prop. 3. h. n o p
Notæ in Propoſitionem VIII.

S I menſura fuerit maior comparata, dummodò in ellipſi ſit portio tran- ſuerſæ, non maior medietate ipſius, tunc minimus, & c. Sic puto le-gendum: Si menſura fuerit maior comparata, dummodo in ellipſi minor ſit me-dietate axis tranſuerſi, tunc minimus, & c. Nam ſi menſura ſumi poſſet æqua-lis ſemitranſuerſo, tunc qui- dem origo eßet in centro elli-pſis, quare undecima propo-ſitio huius eſſet ſuperflua, in qua ſupponitur origo in ipſo-met centro ellipſis. Animad-uertendum eſt quod in hac propoſitione menſura neceſſa-riò ſumi debet in axe maiori ellipſis; quandoquidem menſu-ra I C ponitur maior, quàm C G, & C F maior quàm C I, ergo C F maior eſt quàm C G, & illius duplum ſcilicet axis E C maior erit duplo huius, ſed ut E C ad duplum C G, ita eſt quadratum E C ad quadratum Recti axis eiuſdem ellipſis: ergo E C eſt maior duorum axium ellipſis A B C.

a

Et educta ex H perpendiculari H N, & c. Ideſt ex H educta H N per- pendiculari ad axim C I, quæ ſecet ſectionem in N, & iuncta recta N I, pari-terque ductis reliquis ramis I M, I L, I B, I A, atque ab eorum terminis ad axim extenſis perpendicularibus, vt in propoſitionibus quarta, quinta, ſexta factum eſt.

b

Quadratum H N in parabola æquale eſt H I nempè C G in H C bis (prima ex quinto) & c. Hoc deduci non poteſt ex prima propoſitione huius libri, ſed potius ex vndecima libri primi; eſt enim quadratum H N æquale re-ctangulo contento ſub abſciſſa H C, & ſub latere recto, eſtque rectangu-lum ſub H C, & ſub ſemierecto C G ſemiſsis illius; igitur quadratum H N æquale eſt duplo rectanguli H C G.

c
d

Hoc autem eſt æquale duobus quadratis I H, H Q, & I H in H Q bis, & c. Poſt hæc verba ſubiun-go claritatis gratia, atque C H in H I bis æquale eſt duplo C Q in H I vna cum duplo Q H in H I.

Ergo quadratum B I æquale eſt I C in I H bis, & c. Hìc pariter, vt clarior reddatur demõſtratio, ſubiun-go, ſcilicet duplo rectãguli C H I vna cum duplo quadrati H I; erat autem quadratum N I æquale duplo rectan-guli C H I, & vnico quadrato H I, ergo, & c.

e

Et quia quadratum OR æqua- le eſt C R in I H bis, & c. Subiungo hanc declarationem. Scilicet duplo rectanguli C H I, & duplo quadrati H I cum duplo rectanguli R I H. Qua-re quadratum I O æquale eſt quadrato R I, duplo quadrati H I, duplo rectanguli R I H, & duplo rectanguli C H I: ſed quadratũ H R æquale eſt qua-drato R I, quadrato I H cum duplo rectanguli R I H. Ergo quadratum I O æquale eſt qua-drato H R, quadrato H I cum duplo rectanguli C H I; erat autem prius qua-dratum I N æquale quadrato I H cum duplo rectanguli C H I. Igitur exceßus quadrati I O ſupra quadratum I N eſt quadratum H R.

f
Notæ in Propoſitionem IX. & X.

AT in hyper- bola, & el-lipſi educamus G F ad a ex A D, & H N ad s ex F G, & I S ad T ex C G, ſi educta oc-currat ſectioni ad A, & M Q poſita ad m ex a, F G, & X in I T, & ex m, S X, m y, x n, S Z inter N S, M X, & c. Eadẽ phraſi inconcinna exponi-tur vniuerſa con-ſtructio buius pro-poſitionis, ideo cu-raui eam reddere clariorem, dicendo; Educamus rectas lineas G F quidem ſec antem A D in a, & c.

g

Quadratum igitur I H eſt æquale triangulo I H S, & c. Qaia nimirum. Quadratum I H eſt æquale duplo iſoſcelei, & rectanguli trianguli I H S.

h

Et ſimiliter quadratum I Q æquale eſt duplo trianguli I Q X, & c. Sci- licet duplo trapezij I S m Q cum duplo trianguli S m X.

i

Et hoc quidem propter ſimilitudinem triangulorum, at componendo proportionem in hyperbola, tum inuertendo, & reflectendo in ellipſi fit, & c. Huiuſmodi verba inepta ad concluſionem inferendam commutaui di-cendo; Quare comparando priores ad ſummas terminorum in hyperbola, & ad eorum differentias in ellipſi fit, & c. Quæ quidem expeditè (vt in primo præce-cedentium Lemmatum oſtenſum eſt) progreſſum declarant.

k
l

Vt proportio inclinati, ſiue tranſuerſæ ad latitudinem figuræ compara-tæ; igitur planum m n eſt exemplar, & c. Subiungo: nam, vt dictum eſt in quinta, & ſexta huius, poteſt hìc demonſtrari, quod figura m n ſimilis eſt ei, quæ continetur latere tranſuerſo E C, & ſumma in hyperbola, & differentia in ellipſi laterum tranſuerſi, & recti iuxta definitiones octauam, & nonam.

Quadratum R I æquale eſt duplo trianguli R V I, & quadratum O R in hyperbola æquale eſt duplo trapezij R G, & in ellipſi æquale eſt duplo trapezij R K, & c. Legendum puto quadratum R I æquale eſt duplo trianguli R V I, & quadratum O R æquale eſt duplo trapezij R G, at in ellipſi quando O R cadit infra centrum F æquale eſt duplo trapezij R K, & c. Deindè quum triangulum R V I ſimile ſit triangulo I H S propter parallelas V R, S H; ideò triangulum R V I erit quoque iſoſceleum, & rectangulum. Poſtea qua- dratum O R æquale eſt duplo trapezij R C G O; Sed in ellipſi quando ordinata O R cadit infra centrum F, tunc quidem ducta E K parallela C G, quæ ſecet G F in K, erit quadratum O R æquale duplo differentiæ triangulorum F R o, & F C G, ſeu F E K, quæ differentia æqualis eſt trapezio R E K o, ideoque duo quadrata ex I R, & ex R O, ideſt quadratum ex I O æquale erit triangulis F C G, & I R V bis ſumptis dempto duplo trianguli F R o.

m 1. huius.
Prop. 1. h.

Quod eſt ęquale triangulo F C G cum duplo trapezij V F, & c. Addo, quævidentur in textu deficere, ſeu cum duplo differentiæ triã-gulorum I V R, & F R o. In hyperbola verò quadratum O I æquale eſt ſpatio rectilineo V I C G o bis ſumpto, quare in hyperbo-la, & ellipſi quadratũ O I æquale eſt duplo trapezij I C G S cum duplo triãguli V o S.

n

Quod eſt æquale exemplari applicato ad R H, & c. Hoc enim conſtat ex ijs, quæ ſupra dicta ſunt.

o

Eſtque D H maior in hyperbola, quàm R H, itaque A I maior, quàm OI, & O I in omnibus maior, quàm B I, & c. Textum hunc corruptum ſic reſtituo: Eſtque D H maior, quàm R H, & R H maior quàm I H; itaque A I maior eſt, quàm O I, & O I maior quàm B I.

p

Similiter, vt in præcedenti ſectione factum eſt, reperietur multitudo ramo-rum inter ſe æqualium, qui ex origine ad ſectionem duci poſſunt. Exiſtente menſura I C maiore, quàm comparata, ſi differentia abſcißarum rami maioris, & breuiſsimi æqualis fuerit abſciſſæ rami breuiſsimi, erunt tantummodo tres rami inter ſe æquales; ſi verò maior fuerit, duo rami ſolummodo æquales erunt; at ſi fuerit minor eadem abſciſſa, erunt quatuor rami tantùm æquales inter ſe.

PROP. III. Add.

Et primò ramorum I O, & breuiſsimi I N abſciſſæ ſint R C, H C, & eorum differen-tia R H, ſitque R H æqualis H C, & producatur O R per-pendicularis ad axim quouſ-que ſecet ſectionem ex altera parte in puncto o, coniunga-turque ramus 10. Dico quod tres rami I O, 10, I C tan-tũmodo inter ſe æquales ſunt; quoniam quadrata in para-bola rectarum R H, & H C, ſeu in hyperbola, & ellipſi, rectangula exemplaria inter ſe ſimilia applicata ad R H, & H C æqualia ſunt inter ſe, cum eorum latera homologa R H, H C æqualia ſuppoſita ſint; eſtque exceſſus quadrati rami I O, vel 10, ſeu I C ſupra quadratum rami bre-uiſsimi I N æqualis quadrato R H, vel C H in parabola, & in reliquis ſectionibus, exemplaribus ſimilibus applicatis ad eaſdem rectas æquales R H, H C; igitur prædisti exceſſus tam in parabola, quàm in reliquis ſectioni-bus æquales ſunt inter ſe, & ideò quadrata ramorum I O, 10, I C, & rami ipſi æquales erunt: cumque quilibet alius ramus ſupra, vel infra ramum I O maior, vel minor ſit illo, non crunt plures, quam tres rami inter ſe æquales.

8. huius. 9. 10. h.

Secundò H D differentia abſciſſarum rami I A, & breniſsimi I N ſupponatur maior, quàm H C quæ eſt abſciſſa breuiſsimi rami I N; & producta ſimiliter ordinata D A vltra axim ad ſectionem in a, & coniuncta I a; Dico, quod duo rami tantummodo I A, & I a inter ſe æquales ſunt: Quia H D maior eſt, quàm H C, erit quadratum ex H D maius quadrato H C; pariterque exemplar appli-catum ad H D maius erit exemplari ei ſimili applicato ad H C, & ideo tam. quadratum I A, quàm I a maius erit quadrato I C, cum quodlibet illorum ma-iori exceſſu ſuperet quadratum breuiſsimi rami I N quam quadratqm I C, qua-re tam ramus I A, quàm I a (qui æquales ſunt) maiores erunt, quàm I C, & ideo maiores quàm intercepti inter I C, & I N, pariterque maiores, quàm in-terpoſiti inter I N, & I A, & minores omnibus alijs, qui infra ipſos cadunt. Quapropter duo tantùm rami I A, I a ab origine ad ſectionem duci poſſunt in-ter ſe æquales.

Tertiò ſint duæ abſciſſarum differentiæ H P, & H I æquales inter ſe, & quæ-libet earum minor H C abſciſſa rami breuiſsimi, & producantur perpendicula-res ad axim L P, B I, donec conueniant ex altera parte cum ſectione in l, & b, coniunganturque rami ad l, b. Dico, quatuor ramos I B, I L, I l, I b æquales inter ſe tantummodo duci poſſe; quia, vt dictum eſt, quilibet eorum ſuperat ra-mum breuiſsimum I N potentia eodem exceſſu, erunt radij ipſi I B, I L, I l, I b æquales inter ſe, reliqui verò ſupra, & infra ipſos maiores, aut minores erunt, & ideo non poſſunt duci plures, quàm quatuor rami iam dicti æquales. Quod erat oſtendendum.

Et inſuper quadratum rami à breuiſsimo remotioris ſuper at quadratum rami propinquioris, in parabola quidem rectangulo ſub exceſſu, & ſub aggregato differẽtiali ſuarum abſciſſarum ab abſciſſa rami breuiſsimi, in reliquis verò ſectionibus rectã-gulo ſub codem exceſſu differen-tiali, & ſub recta linea, ad quam ſumma differentialis eandem proportionem habet, quam latus tranſuer ſum ad ſummam in hy-perbola, & ad differentiam in ellipſi laterum recti, & tranſuerſi.

PROP. IV. Add.

Quoniam in parabola quadratum I L ſuperat quadratum I M eodem exceſſu, quo quadratum H P ſuperat quadratum H Q (cum quadratum H P, atque qua- dratum I N ſimul ſumpta æqualia ſint quadrato L I, & quadrata ex H Q, & ex I N æqualia ſint quadrato I M) ſed exceſſus quadrati H P ſupra quadratum H Q æqualis eſt rectangulo ſub P Q differentia, & P H, H Q, ſumma laterum eorundem quadratorum contento; igitur quadratum I L ſuperat quadratum ra-mi I M propinquioris breuiſsimo I N rectangulo ſub P Q exceſſu, & P H Q aggregato differentiali ab- ſciſſarum ramorum I L, I M ab abſciſſa rami breuiſ-ſimi.

Ex 8. hu.

Pari modo in hyperbola, & ellipſi quadratum I L ſu-perat quadratum I M eodẽ exceſſu, quo exemplar ap- plicatum ad H P ſuperat exemplar applicatum ad H L; ſed differentia exem-plarium applicatorum ad H P, & H Q æqualis eſt re-ctangulo ſub P Q exceſſu differentiali, & recta linea compoſita ex X m, & u l, ad quam ſumma differentialis P H Q eandem proportionem habet, quam latus trãſuerſum ad ſummam in hyperbola, & ad differentiam in ellipſi laterum tranſuerſi, & recti, vt in nota propoſitionis 5. oſtenſum eſt; igitur quadra-tum I L ſuperat quadratum I M iam dicto rectangulo ſub P Q, & ſub X m, & u l, quod erat oſtendendum.

Ex 9. 10. h.
SECTIO IV. Continens Propoſit. VII. & XII. Apollonij.

SIfuerit menſura A D minor com- parata A E, (12.) aut ſit pars lineæ breuiſſi-mæ, & axis in ellipſi ſit maior, erit A D breuiſſimus ramorum egredientium ex ori-gine eius in omnibus ſectionibus, vt ſunt F D, G D, B D, C D, & proximior illi minor eſt remotiore, nempe F D quam G D, & G D, quàm B D.

a

QVia A E eſt line a breuiſſima, igi- tur F E maior eſt illa; itaque an-gulus F A E maior eſt, quàm A F E; Ergo ille eſt multò maior quàm A F D, quare F D maior eſt; atque ſic patet quod G E maior ſit quàm E F, & ideo angulus G F E maior eſt, quàm E G F; igitur angulus G F D multò maior eſt, quàm F G D, & propterea G D ma-ior eſt, quàm D F, & ſimiliter B D, quàm G D, & D C, quàm A D, & hoc erat propoſitum.

b
c d
NOTÆ.

SI fuerit menſura A D minor comparata A E, & c. Senſus propoſitionis clarior ſic reddetur; Si fuerit menſura A D minor comparata A E, quæ in ellipſi ſumi debet in axi maiori eius (12.) aut ſit pars lineæ breuiſsimæ; erit A D minimus ramorum F D, G D, B D, C D, egredientium ex origine eius in omnibus ſectionibus, & proximior illi, & c.

a

Quia A E eſt linea breuiſſima, igitur, & c. Vt conſtructio compleatur ſu- biungo: Igitur ſi coniungantur rectæ lineæ E F, E G, E C, E B, & rectæ lineæ A F, F G, G B, A C erit F E maior, quàm A E.

b

Ergo hic eſt multò maior, quàm A F E, & c. Senſus clarior reddetur hac ratione: Ergo angulus F A E multò maior erit, quàm A F D, qui eſt portio mi-noris anguli, quarè F D ſubtendens angulum maiorem eſt maior, quàm A D.

c

Igitur ipſe multò maior eſt, & c. Superaddo rationem illationis dicendo; Et propterea angulus G F D maiorem excedens erit multò maior, quàm F G D, qui portio minoris eſt.

d

Manifeſtum eſt in prima figura propoſitionis 7. quando A D eſt portio axis minor comparata, quod tunc ex origine D duo tantummodo rami inter ſe æqua-les ad vtraſque partes axis duci poſſunt ad ſectionem, & erunt illi, qui ad ter-minos eiuſdem ordinatim ad axim applicatæ iunguntur ab origine D, vt conſtat ex ſuperiùs dictis.

At in ſecunda figura propoſitionis 12. poſſunt quidem ab origine D ad ſectio-nem duci hinc indè à breuiſsima D A, aliquando duo tantùm rami inter ſe æquales, aliquando tres, atque etiam quatuor inter ſe æquales, quæcognitio pen-det ex propoſitione 72. huius libri.

SECTIO QVINTA Continens XI. Propoſit. Apollonij.

LInearum egredientium ex D centro ellipſis A B C, breuiſſi-ma eſt ſemiaxis minor rectus illius, qui ſit B D, maxima verò eſt ſemiaxis tranſuerſus, qui ſit A D, & propinquiores maiori ſunt maiores remotioribus, vt H D, quam G D, & quadratum cuiuslibet rami, vt G D (exempli gratia) excedit quadra- tum breuiſſimę B D exemplari appli-cato ad inuerſam illius I D.

a

EDucamus itaque E A æqualem A D, & abſcindamus ex illa A F ęqua- lem dimidio erecti, & iungamus D F, D E, & perducamus ex G, H perpendiculares ad D A, & ſint G I M, H L N. Quia quadratum G I æ- quale eſt duplo trapezij I F (prima ex quinto) & quadratum I D eſt æqua-le duplo trianguli I D M, eo quod I D eſt æqualis I M, erit quadratum D G æquale duplo trianguli A D F (quod eſt æquale quadrato B D (2. ex quinto) vnà cum duplo trianguli Q M D, quod eſt æquale rectangulo Q P; igitur quadrati G D exceſſus ſupra quadratum B D eſt æqualis plano Q P, & quia D A, nempe E A ad A F eſt, vt D I, nempe M I ad I Q, & per conuerſionem rationis A E ad E F, ſcilicet dimidium tranſuerſæ ad illius exceſſum ſuper A F dimidium erecti, eſt, vt M I, nempe M P ad M Q; igitur planum Q P ſimile eſt figuræ comparatæ, & M P æqua-lis eſt D I. Similiter patet, quod quadratum D H excedit quadratum B D exemplari applicato ad D L, & quadratum D A ſuperat quadratum B D exemplari applicato ad D A: Eſt verò D I minor, quàm D L, & D L, quàm D A; igitur B D (quæ eſt dimidium recti) minor eſt, quàm G D, & G D, quàm D H, & D H quàm D A, quod erat oſtendendum.

b c d e Def. 8. 9. huius. f
NOTÆ.

ET debet eſſe linea breuiſſima perpendicularis ad menſuram, nempe B D perpendicularis D A, & c. Hæc omnino expungi debent, tanquam ſuperuacanea, axes enim eſſe nequeunt, niſi ad inuicem perpendiculares ſint; quare cenſeo ab aliquo verba illa addita textui Apollonij fuiſſe.

a

Educamus itaque E A, & c. Lego: Educamus itaq; E A perpendicularem, & æqualem A D.

b

Et perducamus ex G, H perpendiculares, & c. Et perducamus ex G, H perpendiculares ad D A, & ſint H L N, & G I M, quæ ſecent F D in Q, & D E in M, & N, atque à punctis Q, M educantur M P, Q O, parallelæ D A, quæ ſecent rectum axem B D in O, P. Addidi hæc poſtrema verba, vt conſtru-ctio completa ſit.

c

Eo quod I D eſt æqualis I M, & c. Quoniam ſicuti in triangulo D A E ſimili triangulo D I M (propter angulum D communem, & rectos angulos ad I, & A) latus D A æquale erat E A, ita latus D I æquale eſt I M.

d

Nempe M I ad I Q, & è contra, & c. Lego: Nempe M I ad I Q, & per conuerſionem rationis.

e

Cumque B D ſit dimidium axis recti erit perpendicularis ad A D men- ſuram, & c. Hæc verba poſtrema pariter expungi debent, niſi fortè corollarium propoſitionis exponunt, & tunc textus ſic reſtitui deberet. Ex dictis conſtat, li-neam breuiſsimam è centro ellipſis ad ſectionem ductam, perpendicularem eße ad axim eius maiorem.

f

Manifeſtum eſt ex centro ellipſis ad ſectionem duci non poſſe plures, quàm quatuor ramos inter ſe æquales, neque pauciores duobus; tres autem nequaquam; nam duæ medietates cuiuslibet axis æquales ſunt inter ſe, & quatuor rami ad extremitates duarum applicatarum ad axim æqualiter è centro diſtantium ducti æquales ſunt inter ſe.

SECTIO SEXTA Continens Propoſit. XIII. XIV. XV. Apollonij.

OStendamus modò cõ-uerſum harum pro- poſitionum; & eſt, quod li-nea breuiſſima B F continet cum ſua menſura A F angu-lum acutum, vt B F A in omnibus ſectionibus, & el-lipſi (ſi tamen non egre-diatur ex eius centro) eiuſ-que potentialis abſcindet menſuram (13) in parabola æqualem comparatæ (14) & in hyperbola (15) & ellipſi lineam, ad quam inuerſa eſt, vt pro-portio figuræ.

a

SIt centrum D, & dimidium erecti A C. Quia B F eſt linea breuiſſima, erit A F maior quàm A C, eo quòd ſi eſſet æqualis (4. 6. ex quinto) aut minor illa (7. ex quinto) eſ-ſet linea breuiſſima A F, aut pars illius, quod eſt falſum, igitur maior eſt, quàm A C; & pro-pterea A D ad A C maiorem proportionem habet, quàm ad A F; ponamus ergo, vt A D ad A C, ita D G ad G F in hyper-bola, & ellipſi; at in parabola ponamus G F æqualem A C, & ducatur ex G perpendicularis ad ſectionem. Dico, quod ei oc-curret ad B. Nam ſi occurrat ſectioni ad aliud punctum, vt H co- niuncta H F erit H F breuiſſima (8. 9. 10. ex quinto) ſed ſuppoſuimus B F eſſe breuiſſimam, quod eſt abſurdum, ergo perpendicularis occurrit ſectioni in B. Et quia angulus B G F eſt rectus, erit angulus B F G acutus, quod erat oſten-dendum.

b
NOTÆ.

ET eius potentialis ſecet menſuram in parabola, & c. Ideſt, & eius po- tentialis abſcindet ex menſura vſque ad originem, in parabola quidem ſegmentum æquale compara-tæ, & in hyperbola, & ellipſi lineam, ad quam inuerſa eandem proporportionem habet, quam la-tus tranſuerſum ad rectum.

a

Et ducatur ex G perpendicularis ad ſectio- nem, & c. Et ducatur ex G recta linea perpendi-cularis ad axim, & producatur vſque ad ſectio-nem.

b
SECTIO SEPTIMA Continens XXVI. XXVII. XXVIII. Propoſ. Apollonij. PROPOSITIO XXVI. & XXVII.

ANgulorum ab axi ſectionis A H, & à lineis breuiſſimis F B, H G contentorum proximiores vertici ſectionis mi-nores ſunt remotioribus, nempe angulus AFB minor eſt AHG.

SIt itaque centrum D, & ſemi inclinatus axis A D, ſiue ſemitranſuer-ſus, & dimidium erecti A C: educamus itaque duas perpendiculares GL, BI, & ſi ſectio fuerit parabole, erit FI æqualis LH, quia quælibet earum æqualis eſt A C (13. ex quinto) & L G maior eſt, quàm BI; an- gulus igitur F minor quàm H; ſi verò ſectio fuerit hyperbole, aut ellipſis, erit FI ad ID, vt HL ad LD, quia quælibet earum eſt, vt AC ad AD (14. 15. ex quinto) & permutando, erit I D ad L D nempe B I ad M L, vt I F ad L H, & anguli I, & L ſunt recti; igitur duo triangula BIF, M L H ſunt ſimilia, ideoque angulus A H G maior eſt, quàm angulus A F B, & hoc erat propoſitum.

a b c d
PROPOSITIO XXVIII.

Hinc patet, lineas breuiſſimas ſibi occurrere ad partes axis ſectionis.

QVia angulus AFB minor eſt, quàm angulus AHG; quare ſibi oc- currunt ad partes F, H, & hoc erat oſtendendum.

26. 27. h. e
NOTÆ.

EDucamus itaque duas perpendiculares, & c. Educamus itaque ex pun- ctis B, G duas G L, B I perpendiculares ad axim ei occurrentes in L, I. Et LG maior eſt, quàm B I, & c. Subiungo: Eo quod potentialis G L ma- gis recedit à vertice, quàm B I; ſi iam ducatur B M parallela axi in parabola, & ex centro educta in reliquis ſectionibus, ſecans G L in M, coniungaturque H M, erit in parabola M L minor quàm G L, & æqualis B I, & ideo angulus M H L minor erit angulo G H L, & æqualis angulo F, & propterea angulus F mi-nor eſt, quàm G H L.

a b

Si verò ſectio fuerit hyperbole, aut ellipſis, & c. Addo: Manifeſtum eſt rectam B D ex centro ductam ſectionem ſecare in B, & propterea occurrere po-tentiali G L à vertice remotiori, quàm B I inter puncta G, & L, & erit F I, & cætera.

31. lib. I. C

Erit ID ad LD, nempe B I ad M L, & c. Addo (propter parallelas B I, M L, & ſimilitudincm triangulorum D B I, & D M L.)

d

Quia angulus A F B minor eſt, quàm angulus A H G, & c. Addo: Et ſumpto communi angulo F H N erunt A F B, ſeu H F N, & F H N ſimul ſumpti minores duobus angulis G H A, F H N, qui duobus rectis æquales ſunt; quare B F, G H, concurrunt ad partes F, & H, vt in N.

e

Pro intelligentia ſequentium propoſitionum hæc præmitti debent.

LEMMA V.

Habeat A ad B maiorem proportionem, quàm C ad D. Dico, re-ctangulum ſub extremis A, D contentum maius eſſe eo, quod ſub me-dijs B, C continetur, & è conuerſo.

Flat vt C ad D, ita E ad B; patet ex elementis, A excedere ipſam E; qua-re rectangulum A D maius erit rectangulo E D: eſt verò rectangulum B, C ſub intermedijs contentum æquale ei, quod ſub extremis E, D quatuor proportionaliũ con-tinetur ; ergo rectangulum A D maius eſt re-ctangulo B C. Poſtea ſit rectangulũ A D ma-ius rectangulo B C; Dico A ad B maiorem pro-portionem habere, quàm C ad D; Si enim hoc verum non eſt, habebit A ad B eandem, aut minorem proportionem quàm C ad D, quare rectangulum A D æquale, aut mi-nus erit rectangulo B C, quæ ſunt contra hypotheſim ; igitur A ad B maiorem proportionem babet, quàm C ad D.

LEMMA. VI.

SIrectæ linea A B ſecetur bifariam in C, & non bifariam in D: Dico, quod ſemiſsis C B ad alterum ſegmentorum inæqualium D B habet maiorẽ proportionẽ, quàm reliquum inæqualiũ AD ad alter ã medietatẽ AC.

Quoniam quadratum ſemiſſis C B, ſeu re- ctangulum B C A maius eſt rectangulo A D B ſub inæqualibus ſegmentis contento; ergo ex præ-cedenti lemmate C B ad D B maiorem propor-tionem habet, quàm A D ad A C; Aſſumitur in ſequenti prop. 52. problema antiquum in-uentionis duarum mediarum continuè proportionalium inter duas rectas lineas datas, cuius conſtructio, & demonſtratio ab Apollonio inuenta adhuc legitur apud Eutocium, ſed organica quidem illa eſt, & ad manuum operationes maximè ac-comodata, non omnino diuerſa ab ea, quàm Hero, & philo ediderunt. At Par-menion aliam eiuſdem problematis demonſtrationem Apollonio tribuit paulò di-uerſam ab ea , quàm Eutocius recenſuit : eam ſane nec percepit, nec rite expo- ſuit, Philoponus, quàm enim petitionem non demonſtratam ipſe vocat conſequẽ-tia eſt neceſſaria ex deſcriptione hyperboles, quæ omnino ſubintelligi, & adiun-gi debet, vt colligitur ex Pappi verbis : hi enim (ſcilicet Hero, & Philo) aßerentes problema ſolidum eße, ipſius conſtructionem inſtrumentis tantum per-fecerunt congruenter Apollonio Pergæo, qui reſolutionem eius fecit per coniſe-ctiones. Erit igitur Apollonij propoſitio huiuſmodi.

Cõm. lib. 2. Arch. de Sphę a, & Cylin. Prop. 2. In lib. 5. Poſt Ana-lit. comm. 36. Coll. lib. 3. Prop. 4.
LEMMA VII.

INter rectam lineam A C maiorem , & B C minorem duas medias proportionales reperire.

Conueniant illæ ad angulos rectos in A , & compleatur Parallelogrammum A B D C, cui circumſcribatur circulus diametro D A, & per punctum D circa aſymptotos C A B deſcribatur hyperbole D F, & ducatur recta D M circulum tangens in D, & recta I D K ſectionem ibidem contingens , occurrens aſym-ptotis in I , & K, erunt quidem I D, & I K æquales inter ſe, & D C paral- lela eſt A K , ergo I C æqualis eſt C A : pari ratione K B æqualis erit B A, ſed poſita fuit C A maior quàm A B, ergo in triangulis I A D, & K D A baſis I A maior erit, quàm A K, & latera I D, D K æqualia ſunt, & D A eſt commune, igitur angulus A D I maior erit angulo A D K, & propterearecta line a I K ſectionẽ contingens in D intra circulũ cadet ad partes acuti anguli ADK, ſed quælibet recta linea ex D inter tangentes K D, & D M incedens ſecat circulum, & hyperbolam D F, ergo circuli periphe- ria, & hyperbole non ad eaſdem par-tes cauæ ſe mutuo ſecant in duobus pun- ctis : concurrant in D, & F, & co-niungatur recta linea D F, quæ pro-ducta ſecet aſymptotos in punctis G , & H : oſtendendũ eſt rectas B H, & G C eſſe duas medias proportionales quæſitas. Quoniã eiuſdem rectæ lincæ portiones G D, & F H inter hyperbolen, & aſym-ptotos interceptæ æquales ſunt inter ſe, addita communi D F, erunt F G, & G H inter ſe quoq; æquales quare rectangulum D H F æquale erit rectangulo F G D, ſed rectangulũ A H B æquale eſt rectangulo D H F , (eo quod ab eodem puncto H extra circulum poſito ducuntur duæ rectæ lineæ circulum ſecantes): ſimili modo rectangulũ A G C æquale eſt rectangulo F G D, igitur duo rectangula A G C, & A H B æqualia inter ſe erunt, & ideo vt G A ad A H, ita erit reciprocè B H ad G C, ſed vt G A ad A H; ita eſt D B ad B H, nec non G C ad C D, (propter æquidiſtantiã ipſarum D B, G A, & ipſarum C D, & A H, & ſimilitudinem triangulorum), quare D B, ſeu C A ad B H eandem proportionem habebit, quam B H ad G C, & eandem , quàm habet G C ad C D, ſeu ad A B, & propterea quatuor rectæ lineæ C A, B H , C G , & B A erunt in continua proportionalitate , quod erat propoſitum.

Prop. 4. lib. 2. Prop. 34. lib. 1. 3. lib. 1.
36. lib. 1. 33. lib. 4. 8. lib. 2. Ibidem.
SECTIO OCTAVA Continens Prop. IL. L. LI. LII. LIII. Apoll.

SI menſura non excedit comparatam, nullus ramorum ſecantiũ ex concurſu egredientium erit Breuiſecans: & lineæ breuiſſimæ ab extremitatibus ramorum ductæ in ſectione abſcindunt ex axi li-neam maiorem, quàm abſcindunt rami (51. & 52.) Si verò menſura excedit comparatã exponi debet linea certis quibuſdam legibus in-uenienda, quæ vocabitur TRVTINA. Et ſiquidẽ perpendicularis maior fuerit illa, tunc rami habebunt proprietates memoratas; ſi ve-rò æqualis fuerit, tunc inter ramos vnicus breuiſecans aſſignari po-teſt, & propietates reliquorũ ramorũ erunt illæ eædem ſuperius ex-poſitæ ſi verò minor eſt illa, ramorũ omniũ duo tantum breuiſecan-tes erunt, reliquorum verò, qui non intercipiuntur inter duosbre-uiſecantes, eædem propietates erunt; eorũ verò, qui intercipiuntur, lineæ breuiſſimæ egredientes ab earum extremitatibus abſcindunt ex axi lineas minores , quàm ſecant rami ipſi. Oportet autem in ellipſi, vt menſura ſumatur in maiori duorum axium, & rami egrediantur ad eius ſectionem.

a
PROPOSITIO IL. & L.

EXE concurſu ſuper perpendicularem ED educamus E B ſe-cantem menſuram A D in F, & ſectionem A B in B, & ſit A H dimidium erecti; ſitque menſura A D non maior, quàm H A. Dico quod BF non erit breuiſſima, & minima egrediens ex B abſcindit ex ſagitta maiorem lineam, quàm F A: at ſi fue-rit A D maior , quàm A H, tunc B F poteſt eſſe linea breuiſ-ſima.

b c

EDucamus iam B I perpendicularem ad axim, & ſupponamus prius A D non maiorem quàm A H , & ſit ſectio parabole ; igitur D I mi- nor eſt , quàm A H, & ponatur G I æqualis A H, erit B G minima (8. ex quinto) & abſcindit G A ex ſagitta maiorem , quàm A F; ſi verò ſe-ctio fuerit hyperbole, aut ellipſis, ſit centrum C; ergo A C ad A H non habet maiorem proportionem, quàm ad A D, quare C I ad I F maiorem proportionem habet, quàm C A ad A H; ponatur ergo I C ad I G , vt A C ad A H; ergo B G eſt minima , & abſcindit (9. & 10. ex quinto) G A maiorem , quam F A, quod erat oſtendendum.

d e
PROPOSITIO LI.

DEindè ſit D A maior quàm A C , ſitque prius ſectio pa-rabole , & ſecetur ex D A ipſa D F æqualis A C, & A G fiat pars tertia ipſius A F, educaturque B G perpendicularis ad axim, & vt D F ad F G, ita fiat B G ad lineam H (& hæc eſt Trutina) coniungaturque B E ; & ſiquidem D E fuerit ma- ior quàm H. Dico, quod nullus ramus breuiſecans duci poteſt.

a

Quoniam D E maior eſt, quàm H habebit D E ad B G, nempe D I ad I G maiorem rationem , quàm G F ad F D, & componatur propor-tio , vt demonſtretur , quod I G minor ſit , quàm D F, quæ æqualis eſt ipſi A C; breuiſſima itaque egrediens ex B abſcindit ex ſagitta A D maiorem lineam , quàm A I (13. ex quinto) ; poſtea ducamus ex E ad ſectionem ramos E K, E L ad vtramque partem B E, & duas per-pendiculares KM, LN, pro-ducamus vſq; ad QO tan-gẽtem ſectio-nem in B; & quoniã ſectio eſt, parabole, & OQ tãgens eſt, igitur OG eſt dupla ip-ſius A G, quę eſt ſemiſſis ip-ſi us F G; ergo G F æqualis eſt G O, erit igitur G O ad O M, nempe B G ad P M in maiori pro-portione, quã M F ad F G; itaque M K in F M minus eſt , quàm B G in G F, quod eſt minus quàm E D in D F propterea quod E D maior eſt quàm H; igitur E D in D F multò maius eſt, quàm K M in MF, quare ED ad M K, nempe D R ad R M maiorem rationem habet, quàm M F ad F D, & componendo patet, quod D F maior ſit, quàm R M. Igitur breuiſſima egrediens ex K (13. ex quinto) cadit extra R K; Et ſimili modo conſtat, quod breuiſſima egrediens ex puncto L cadit extra L S, quapropter duci non poteſt ex E ad ſectionem L B A linea, aliqua cuius portio intercepta inter axim, & ſectionem, ſit linea breuiſſima.

b
35. lib. 1. c d e f

Pariter demonſtrabitur, quemadmodum iam oſtenſum eſt, quod ſi E D fuerit æqualis H, tunc GI æqualis erit D F, quæ eſt æqualis ipſi A C; & ideo B I (8. ex quinto) vna eſt ex breuiſſimis, non autem R K, quia de-monſtrabitur, quod E D ad M K, nempe D R ad R M maiorem rationem habet, quàm M F ad F D, & propterea D F maior erit, quàm R M; bre-uiſſima ergo cadit extra R K. (13. ex quinto) Et S L quoque non eſt ex breuiſſimis, quod ita demonſtrabimus; Si N S minor eſt, quàm D F; ergo breuiſſima egrediens ex L cadit extra S L; Non igitur ex E duci poteſt ad ſectionem linea breuiſecans præter E B, & hoc erat oſtendendum.

g

Tertio loco ſit E D minor quàm H, & oſtendetur quod E D in D F minus eſt, quàm B G in G F; poſtea ponamus T G in G F æquale illi, & erigamus ſuper F perpendicularem F V, & ducamus per T ſectionem hyperbolicam circa duas continentes A F, & F V; duæ ſectiones ſe mu-tuò ſecabunt in duobus punctis, & ſint K, L, & educamus ex illis duas L N, P K M perpendiculares ad A D. Et quoniam perpendiculares K M, T G, L N parallelæ ſunt continenti V F, erit K M in M F æquale L N in N F (12. ex ſecundo) & quodlibet eorum æquale eſt T G in G F, quod fa-ctum eſt æquale E D in D F; igitur E D ad K M, nempe D R ad R M eſt vt M F ad F D, & componendo patet, quod D F eſt æqualis R M, & pro- pterea K R eſt linea breuiſſima (8. ex quinto.)

h 4. lib. 2. i

Et ſimiliter patebit, quod L S ſit breuiſſima.

k

Et cum B I intercipiatur inter illas patet etiam, quod B G in G F ma- ius ſit, quàm E D in D F, oſtendetur vt dictum eſt, quod I G maior ſit, quàm D F; breuiſſima ergo ducta ex B cadit inter I, & A.

l

Deindè ex concurſu E ad ſectionem parobolicam A B Z educamus E X, E Z; quas interſecant l Z, X Y perpendiculares ad A D, quæ parallelæ ſunt continenti F V ſecantes K T L hyperbolen, ergo a Y in Y F æquale eſt G T in G F, quod factum eſt æquale E D in D F, itaque E D in D F maius eſt, quàm X Y in Y F; igitur E D ad X Y, quæ eſt vt D b ad b Y maiorem rationem habet, quàm Y F ad F D, & componendo patet, quod F D maior eſt quàm b Y; itaque breuiſſima egrediens ex X abſcindit ex A D lineam maiorem, quàm b A; Simili modo demonſtrabitur, quod Z c non ſit breuiſſima, & quod breuiſſima egrediens ex Z abſcindit ex A D lineam maiorem, quàm A c, & hoc erat propoſitum.

m n
PROPOSITIO LII. LIII.

Deindè ſit ſectio hyperbole, aut ellipſis A B, & axis illius C A D, centrum C, & D A menſura, quæ ſit maior dimidio ere-cti, & perpendicularis E D. Dico, quod rami egredientes ex E habent ſuperiùs expoſitas proprietates.

a

ITaque per C producamus C I parallelam perpendiculari E D, & pona- mus quamlibet duarum proportionum C F ad F D, & E K ad K D, vt proportio figuræ, & educamus ex E, K rectas E I, K S parallelas ipſi C AD, & interponamus inter F C, C A duas medias proportionales C N, C O, & erigamus per O perpendicularem B O, quæ occurrat ſectioni in B; & ponamus proportionem alicuius lineæ, vt Q ad B O compoſitam ex C D ad D F, & F O ad O C, & ſit E D maior, quàm Q Trutina: Di-co, quod nulla breuiſecans egreditur ex E ad ſectionem, & linea breuiſ-ſima, egrediens ab extremitate cuiuslibet rami aſſignati, abſcindit cum A ab axi maiorem lineam, quàm ſecant illi rami. Producatur priùs E B ſecans axim in H, & quia E D maior eſt, quàm Q, ergo proportio E D ad B O (quæ componitur ex E D ad D K, nempe I C ad C S, & ex D K, nempe G O ad O B) maior eſt proportione, quàm habet Q ad B O, quæ ex hypotheſi componebatur ex C D ad D F, & ex F O ad O C; ſed E D ad D K eſt, vt C D ad D F (quia quælibet earum eſt, vt proportio figuræ compoſitæ, vel diuiſæ) remanet proportio O G ad O B maior ea, quàm habet F O ad O C; igitur O G in O C, nempe rectangulum C G maius eſt, quàm B O in O F: & ponamus rectangulum F G commune, erit rectangulum F S maius, quàm B G in G M; eſt verò rectangulum F S æquale rectangulo E M (eo quod E K ad K D, nempe ad F M eſt, vt S M ad M K, quia quælibet earum eſt, vt proportio figuræ; itaque re- ctangulum E M maius eſt, quàm M G in G B, & propterea E K ad B G, nempe K R ad R G maiorem rationem habet, quàm G M ad M K, ergo componendo, patet, quod K M, nempe D F maior eſt, quàm G R, & ideo E I ad K M, nempe C D ad D F, ſeu I C ad C S minorem propor-tionem habet, quàm E I ad G R, quæ eſt, vt I T ad B G, propter ſimi-litudinem duorum triangulorum E I T, B G R, ergo I T ad B G maiorem rationem habet, quàm I C ad C S, ſeu ad O G; & comparando homo- logorum differentias in hyperbola, & eorum ſummas in ellipſi, habebit C T ad B O, nempe C H ad H O maiorem rationem, quàm I C ad C S, nempe C D ad D F, & diuidendo in hyperbola, & componendo in elli-pſi C O ad O H, habebit maiorem proportionem quàm C F ad F D, quæ eſt, vt proportio figuræ; igitur breuiſſima egrediens ex B (9. 10. ex quinto) abſcindit cum A maiorem lineam, quàm A H.

b Lem. 7. c d e f g Lem. 5. præmiſſ. h i ibidem. K Lem. 4. præm

Poſteà educamus ex E lineam occurrentem ſectioni in V, & produca-mus eam, quouſque occurrat C I ad X, & ducamus per B lineam tan- gentem ſectionem, quæ occurrat inclinato, ſiue tranſuerſæ in a, & per V ducamus perpendicularem ſuper axim, cui occurrat ad c, & occurrat tan-genti B a in d; & quoniam O G ad O B, quemadmodum demonſtraui-mus, maiorem proportionem habet, quàm F O ad O C, ponamus fO ad O B, vt F O ad O C, & per f producamus f g h parallelam axi A D: Et quia f O ad O B eſt, vt F O ad O C, erit rectangulum f O C æquale B O in O F, & ponamus rectangulum f F communiter fiet B f in f g æquale g F in F C, & quia C O inuerſa in trutinatam C a æquale eſt quadrato C A dimidij inclinati, ſiue tranſuerſæ (39. ex primo) erit O C ad C A, vt C A ad C a; igitur C a eſt linea quinta proportionalis aliarum quatuor linearum proportionalium aſſignatarum; ergo F C ad C O eſt, vt C O ad C a, & comparando homologorum differentias erit F O ad O a, vt F C ad C O, quæ eſt, vt f B ad B O, nempe f h ad O a; igitur proportiones ipſarum F O, f h ad eandem O a eædem ſunt; ergo ſunt æquales; & pro-pterea f i ad i h maiorem proportionem habet, quàm ad f g, & compo- nendo f h ad i h, nempe B f ad V i maiorem proportionem habet, quàm i g ad g f; ergo B f in f g, nempe rectangulum g C maius eſt quàm i V in i g, & ponamus rectangulum g e commune, erit aggregatum rectan- gulorum C g, g e, in hyperbola, vel eorum exceſſus in ellip ſi maior, quàm M e in e V, ergo rectangulum C M, nempe rectangulum E M mul-tò maius eſt, quàm V e in e M, & propterea E K ad e V, nempe K Y ad Y e maiorem proportionem habet, quàm e M ad M K, & componendo patet, quod e Y minor ſit, quàm K M, & conſtat (quemadmodum antea demonſtrauimus) quod breuiſſima egrediens ex V abſcindit ab axi maio- rem lineam quàm c Z.

l m n 37. primi. o
Lem. 4. p q Lem. 5. r s

Simili modo conſtat, quod breuiſſima egrediens ex l eiuſdem ſit rationis.

t

DEindè ſit E D æqualis Q, inde demonſtrabitur, (quemadmodum ſu-pra factum eſt) quod B H tantùm ſit linea breuiſſima, & quod mi- nima egrediens ex V abſcindit ab axi cum A maiorem lineam, quàm A Z, & quod minima egrediens ex l ſecet maiorem lineam, quàm A m.

a

Tandem pona- mus E D minorẽ, quàm Q, ergo E D ad B O minorẽ proportionem ha-bet, quàm Q ad eandem; & demõ-ſtrabitur (quemad- modum dictũ eſt) quod G O ad O B minorem propor-tionem habeat, quàm F O ad O C; & ponamus O G ad O o, vt F O ad O C; & produca-mus per o ſectionẽ hyperbolicam cir-ca duas continen-tes S M, M F, quę ſecet ſectionem A B in V, l, & iun-gamus E V, E l, & producamus ex V, l duas perpendiculares V c, l P, quæ parallelæ ſint continenti M F, ergo o G in G M eſt æquale V e in e M (12. ex ſecundo) & quia G O ad O o eſt, vt F O ad O C erit o O in O F æquale rectangulo G C, & pona-mus rectangulum F G commune fiet rectangulum C M (quod erat ęquale rectangulo M E) æquale ipſi o G in G M, quod eſt æquale ipſi V e in e M; ergo rectangulum E M æquale eſt ipſi V e in e M. Tandem proſe-quamur ſuperiorem demonſtrationem, vt oſtendatur veritas reliquarum propoſitionum, & hoc erat propoſitum.

b c d e
PROPOSITIO LIV. LV.

ITaque oſtenſum eſt, vti memorauimus, quod ex concurſu duarum breuiſſimarum ad coniſectionem non egrediatur alia breuiſecans præter illas duas, & quod reliqui rami ex eorum concurſu educti ad ſectionem habent proprietates ſuperiùs ex-poſitas.

a
PROPOSITIO LVI.

In ellipſi ramorum, ſecantium vtrumque axim, à concurſu vl-tra centrum poſito egredientium, vnius tantum portio, inter axim maiorem, & ſectionem intercepta, erit linea breuiſsima, ſiue menſura ipſam comparatam, nec non perpendicularis ipſam trutinam ſuperet, æquet, vel ab ea deficiat.

a

SIt ſectio ellipſis A C B, & axis maior tranſuerſus A B perpendicularis E F, centrum D, & ponamus D G ad G F, vt proportio figuræ, & ſi- militer E H ad H F, & producamus per H rectam I H K parallelam ipſi A B, & per G rectã I G L ipſi E F, quæ ſibi occurrant in I, & ducamus per punctum E ſectionem hyperbolen E M C cir-ca duas eius continen-tes L I, I K, quæ oc-curret ſectioni A C B ellipticæ, quia I L, I K ſunt duæ cõtinentes ſe-ctionem E M C, & pro-portio E H ad H F po-ſita eſt, vt D G ad G F; ergo E H prima proportionalium in H I, nempe G F quartam, æquale eſt D G ſecundæ in I G, nempe F H tertiam; ergo punctum M eſt in il-lius diametro, & propterea ſectio hyperbole E M C tranſit per centrum ſectionis ellipſis A C B; quare duæ ſectiones ſe inuicem ſecant, ſitque concurſus in C, & producamus per E, C lineam occurrentem duabus con- tinentibus ſectionem in L, K, & producamus duas perpendiculares C N, K O ſuper A B. Et quia K C, L E ſunt æquales (16. exſecundo) erit G F æqualis O N; quare F O æqualis eſt ipſi G N; atque E H ad H F, nempe E K ad K P, ſeu F O (quæ eſt æqualis ipſi G N) ad O P eandem propor-tionem habet, quàm D G ad G F, quę eſt ęqualis ipſi O N, & ideo G N ad O P eſt, vt D G ad O N, & comparando homologum differentias D N ad N P erit, vt D G ad G F, quæ eſt proportio figuræ; ergo C P eſt li-nea breuiſſima. (10. ex quinto) Et hoc ſuit ptopoſitum.

b
c 4. lib. 2 d e 8. lib. 2. f Lem. 3.
PROPOSITIO LVII.

Et dico, quod non reperiatur vllus alius ramus, à quo ab- ſcindi poſſit inter ſectionem, & D B linea breuiſſima.

g

NAm ſi producantur E H, E G ad vtraſque partes ipſius E C ſecan- tes D B in K, I, & producamus per D perpendicularem ad A B, quæ occurrat ſectioni ad L, & ipſi E C ad M, quia iam productæ ſunt ex concurſu M duæ breuiſecantes M C, M L (51. ex quinto) igitur linea educta ex M ad H ab-ſcindit ex D B cum B ma-iorem lineam, quàm ſecat breuiſſima egrediens ex H (11. ex quinto) & linea edu-cta ex M ad G abſcindit ex D B lineam minorem ea, quàm ſecat linea breuiſſima egrediens ex G (51. ex quinto) ſed E H, & E G efficiunt abſciſſas oppoſito modo; ergo non ſunt duæ breuiſecantes, & propterea non reperitur alius ramus, cui competat proprietas ipſius E C, & hoc erat oſtendendum.

h
i k
Notæ in Propoſit. IL. L.

SI verò menſura excedit comparatam educatur linea, ad quam com- paratur perpendicularis, & vocabo lineam illam Trutinam, & c. Sic legendum puto: Si verò menſura excedit comparatam exponi debet linea certis quibuſdam legibus inuenienda, quæ vocabitur Trutina.

a

Ex E concurſu ſuper perpendicularem, & c. Ideſt. Ex E concurſu per- pendicularis E D ad axim A G, & ramoram ſecantium educamus E B ſecantem menſuram, & c.

b

Tunc B F non eſt ex minimis, & c. Dico quod B F non erit recta linea minima earum, quæ inter punctum ſectionis B, & axim intercipitur.

c

Et ponatur G I æqualis A H, & c. Et ponatur G I æqualis A H, iungatur- que B G, cumque A D poſita ſit non maior, quàm H A, erit illius portio F I minor, quàm A H, ſeu quàm G I, ergo B G eſt breuiſsima, & c.

d 8. huius.

Ergo C A ad A H non habet maiorem proportionem, quàm ad A D; quare D I ad I F, & c. Ergo G A ad A H non habet maiorem proportionem, quàm ad A D, & addatur indirectum recta A L æqualis A H in hyperbola, & auferatur in ellipſi; quare C A ad A L non habet maiorem proportionem, quàm ad A D, & componendo in hyperbola, & diuidendo in ellipſi C L ad A L, non habet maiorem proportionem, quàm C D ad D A, ſed C D ad A D minorem proportionem habet, quam ad eius ſegmentum I D, ergo diuidendo in hyperbo-la, & componendo in ellipſi habebit A C ad A D, & adhuc ad A L, ſeu A H minorem proportionem, quàm C I ad I D, habet verò C I ad I D minorem ra-tionem, quàm ad eius ſegmentum I F; igitur C I ad I F maiorem proportionem habet, quàm C A ad A H.

e
Notæ in Propoſit. LI.

DIco quod nul- lus ramus bre uiſecans duci po-teſt, & c. Dico, quod ex concurſu E ad ſe-ctionem nullus ra-musbreuiſecans duci poteſt.

a

Quoniam D E maior eſt, quàm H, & c. Quoniam D E maior eſt, quàm H habebit E D ad B G maiorem rationem, quàm H ad eandem B G; poſita autem fuit inuersè G F ad F D, vt H ad B G; ergo E D ad B G maiorem ra-tionem habet, quàm G F ad F D; & pro- pter parallelas D E, B G, & ſimilitudinẽ triangulorum E D I, & B G I, eſt D I ad I G, vt E D ad B G; igitur D I ad I G ma-iorem proportionem habet, quàm G F ad F D, & componendo D G ad G I maio rem rationem habebit, quàm eadem G D ad D F; & Ideo I G mi-nor eſt, quàm D F.

b
c

Igitur G F æqua-lis eſt GO, ergo G O ad O M, & c. Igi-tur G F æqualis eſt G O, & quia F O ſecatur bifariam in G, & non bifariam in M (ex lemmate ſexto huius libri) habebit ſemisſis G O ad vnum ſegmentorum inæqualium M O maiorem pro-portionem, quàm reliquum ſegmentum M F ad alteram medietatem F G, ſed pro-pter parallelas P M, B G, & ſimilitudinem triangulorum B G O, P M O eſt G O ad O M, vt B G ad P M, ergo B G ad P M maiorem proportionem habet, quàm M F ad F G: habet verò B G ad minorem M K maiorem proportionem, quàm ad M P (cum punctum P tangentis cadat extra ſectionem); ergo B G ad K M adhuc maiorem pro-portionem habet, quàm M F ad F G.

Itaque K M in M F minus eſt, quàm B G in G F, & c. Quoniam prima B G ad ſecundam K M maiorem proportionem habet, quàm tertia M F ad quartam F G; ergo ex lemmate quinto huius librirectangulum ſub intermedijs contentum K M F minus erit rectangulo B G F ſub extremis cõtento; poſtea, quia H ad B G ex hypotheſi erat, vt G F ad F D, poſita autem fuit E D maior, quàm H, quæ eſt prima propor-tionalium; ergo E D ad B G maiorem proportionem habet, quàm G F ad F D, & pro- pterea rectangulum ſub extremis E D F maius erit rectangulo ſub intermedijs con-tento B G F; fuit autem rectangulum B G F maius rectangulo K M F; igitur rectan-gulum E D F multò maius eſt, quàm rectangulum K M F, & ideo, ex eodem lemma-te quinto, E D ad M K, nempe D R ad R M (propter ſimilitudinem triangulorum E D R, & K M R) maiorem rationem habet, quàm M F ad F D.

d Lem. 5.

Et componendo patet, quod D F, & c. Quoniam D R ad R M maiorem ratio- nem habet, quàm M F ad F D, componendo D M ad M R habebit maiorem propor-tionem, quàm eadem M D ad D F, & propterea D F mator eſt, quàm R M, eſt verò ſemisſis erecti A C æqualis D F ex conſtructione, igitur M R minor eſt A C medieta-te lateris recti, & propterea breuiſsima educta ex K ſecat ex axi ſegmentum maius, quàm M R; ideoque cadit extra, ſcilicet infra ramum K R E.

e 8. huius.

Et ſimili modo conſtat, quod breuiſſima egrediens ex puncto L cadit extra S L, & c. Ad vitandam confuſionem figuræ, & prolixitatem demonſtrationis appoſui duas figuras, in quibus duo caſus ijſdem caracteribus notantur, itaque abſq; nouo labore, ſi inſpiciatur ſecunda figura, ijſdem verbis prioris caſus, oſtendetur ca-ſus ſecundus.

f

Pariter demonſtrabitur, quemadmodum iam oſtenſumeſt, & c. Pars ſecun- da huius propoſitionis innuitur tantummodo pauciſsimis verbis; quare maioris cla-ritatis gratia integram demonſtrationem hìc afferre libuit.

g
Demonſtratio ſecundæ partis. PROPOSITIONIS LI.

Eſto E D æqualis trutinæ H: Dico ex concurſu E vnicum tantùm breui-ſecantem ramum duci poſſe.

In eadem ſigura, quia ex conſtructione H ad B G eſt, vt G F ad F D, ponitur verò E D æqualis H; ergo E D ad B G, ſeu D I ad I G (propter ſimilitudinem triangulo-rum E D I, B G I) eſt, vt G F ad F D, & componendo D G ad G I eſt, vt eadem G D ad D F; ideoque I G æqualis eſt D F, ſeu A C ſemierecto; igitur B I eſt breuiſsima.

8. huius.

Poſte a ducto quolibet ramo E K ſupra breuiſecantem E B (in prima figura, & in-fra in ſecunda) occurrente axi in R, & ducta K M perpendiculari ad axim, quæ eum ſecet in M, & tangentem O B in P. Quoniam (vt dictum eſt) O F ſecatur bifariam in G, & non bifariam in M, ergo (ex lemmate ſexto huius libri) G O ad O M, ſeu G B ad P M (propter ſimilitudinem triangulorum B G O, & P M O) & multo magis G B ad illius portionem K M habebit maiorem proportionem, quàm M F, ad F G; ideoque rectangulum K M F ſub intermedijs contentum minus erit rectangulo B G F contento ſub extremis nõ proportionalium; ſed rectangulum B G F æquale eſt rectan-gulo E D F (propterea quod D F, ad F G erat, vt B G ad H, ſeu ad ei æqualæm E D) igitur rectangulum K M F minus erit rectangulo E D F, & propterea E D ad K M, ſeu D R ad R M (propter ſimilitudinem triangulorum E D R, K M R) maiorem ra-tionem habebit, quàm M F ad F D, & componendo, eadem D M maiorem rationem habebit ad R M, quàm ad F D, & propterea R M minor erit, quàm F D, ſeu quàm A C; igitur minimus ramorum ex K ad axim cadentium fertur infra K R; Quapro- pter ramus E K ſupra, vel infra breuiſecantem E B ad ſectionem ductus non eſt bre-uiſecans, & abſcindit ex axi ſegmentum A R minus, quàm abſcindat breuiſsima ex K ad axim ducta, quod erat oſtendendum.

Lem. 5. pręmiſ. Lem. 5. pręmiſ. ex 8. 13. huius.

Tertio loco ſit E D minor, quàm H, & oſtendetur, & c. Quia H ad B G eſt, vt G F ad F D, eſtque E D minor, quàm H; ergo E D ad B G minorem proportionem habet, quàm G F ad F D; & ideo rectangulum E D F ſub extremis contentum minus eſt rectangulo B G F, quod ſub intermedijs continetur; ponatur iam rectangulum T G F æquale rectangulo E D F, & per F ducatur F V perpendicularis ſuper axim A D.

h Lem. 5. pręmiſ.

Et componendo, patet, quod D F eſt æqualis R M, & c. Nam D Rad R M eſt, vt M F ad F D, & componendo, eadem D M ad R M, atque ad D F, ſeuad ſemi-erectum A C eandem proportionem habebit, & ideo D F eſt æqualis R M.

i

Et ſimiliter patebit, quod L S ſit breuiſſima, & c. Secundus caſus abſque vllo labore oſtenſus erit ijſdem verbis, & caracteribus, quibus caſus primus expoſitus fuit, ſi inſpiciatur ſecunda figura.

k

Et cum B I intercipiatur inter illas patebit etiam, & c. Et cum B I intercipia- tur inter duos ramos breuiſecantes E K, qui ducuntur ex punctis K, in quibus hy-perbole K T L ſecat parabolen A B L, cadet punctum T hyperboles intra parabolen; quare rectangulum B G F maius erit rectangulo T G F, ſeu K M F, quod æquale eſt rectangulo E D F, vt dictum eſt, quare E D ad B G, ſeu D I ad I G (propter ſimili- tudinem triangulorum E D I, B G I) habebit minorem proportionem, quàm G F ad F D, & componendo, eadem D G ad G I minorem proportionem habebit, quàm ad F D, ſiue ad A C, & ideo I G maior erit, quàm A C.

l Lem. 5. præmiſ.

Deinde ex con- curſu E ad ſectio-nem, & c. Deinde ex concurſu E ad ſe-ctionem A B parabo-len educantur duo ra-mi E X ſupra breui-ſecantem E K in pri-ma figura, & infra eamdem in figura ſe-cunda, & ex punct is X ducantur due X Y perpendiculares ad axim, ſecantes axim in Y, & hyperbolen K T in a exiſtẽte extra parabolen; cumque duæ rectæ a Y, necnõ T G parallelæ ſint cõ-tinenti F V, & inter-ponātur inter hyper-bolẽ K T, & reliquã continentem F A eritrectangulum a Y F æquale rectangulo T G F, quod factum eſt æquale rectangulo E D F, eſtque X Y portio ipſius a Y; igitur rectangulum E D F maius erit rectangulo X Y F, & ideo E D ad X Y, ſeu D b, ad b Y (propter ſimilitu- dinem triangulorum E D b, X Y b) maiorem rationem habet, quàm Y F ad F D, & componendo eadem D Y ad Y b maiorem proportionem habebit, quàm ad D F, ſeu C A.

m
12. lib. 2. Lem. 5. præmiſ.

Simili modo demonſtrabitur, & c. Abſquenoua demonſtratione propoſitum oſtendetur inſpiciendo ſecundam ſiguram.

n
Notæ in Propoſ. LII. LIII.

DIco, quod rami egredientes ex E habent ſuperiùs expoſitas proprieta- tes, & c. Ideſt eaſdem, quas habent rami in parabola educti iuxta compara-tionem perpendicularis E D ad T rutinam.

a

Et ponamus quamlibet duarum proportionum C F ad F D, & I S ad S C, vt proportio figuræ, & educamus ex E, S, & c. Ideſt fiat diſtantia ex centro vſque ad perpendicularem E D ad eius portionem D F in hyperbola, vt ſumma late-ris tranſuerſi, & recti ad latus rectum, & vt eorum differentia in ellipſi ad latus rectum ita fiat C D ad eius productionem D F; tunc enim C F ad F D diuidendo in hyperbola, & compo- nendo in ellipſi habe-bit eandem propor-tionem, quàm latus tranſuerſum ad re-ctum; pariterq; fiat E K ad K D in eadẽ proportione figuræ, & ex E, K educamus rectas E I, K S pa-rallelas axi A C D, ſecantes I C, & L F parallelas ipſi E D in I, S, L, & M. Immutaui poſtremã partem conſtructio-nis, vt manifeſte er-roneã in textu Ara-bico; Si enim I C ad libitum ſumpta ſeca-tur in S in ratione C F ad F D non ca-det neceſſariò E L parallela C D ſuper punctum I.

b

Et interponamus inter F C, C A du-as C N, C O pro-portionales illis duabus, & c. Textum corruptum ſic reſtituo: Interponamus in-ter F C, & A C duas medias proportionales, itaut F C, N C, C O, C A ſint continuè proportionales, quod fieri poſſe conſtat ex lemmate 7. huius librt.

c

Et ponamus proportionem lineæ alicuius, vt eſt Q compoſitam, & c. Vo- catur Trutina in hyperbola, & ellipſi linea recta Q, quæ ad B O compoſitam propor-tionem habet ex C D ad D F, & ex ratione F O ad O C.

d

Producatur priùs E B ſecans axim in H, & c. Producatur priùs E B ſecans axim in H, & rectam S K in R, nec non rectam I C in puncto T.

e

Ergo E D ad B O, quæ componitur ex E D ad D K, & c. Nam poſita inter- media D K, proportio E D ad B O compoſita erit ex ratione E D ad D K, & ex ra-tione D K ad B O; eſt verò I C ad C S, vt E D ad D K (propter parallelas I E, S K, C D) atque D K eſt æqualis G O in parallelogrammo G D; ergo proportio E D ad B O componitur ex ratione I C ad C S, & ex ratione G O ad O B.

f

Sed E D ad D K eſt, vt CD ad DF, quia quælibet earum vt proportio figuræ compoſitæ, vel diuiſæ, & c. Quia E K ad K D, atque C F ad F D eandem proportionem habebant, quàm latus tranſuerſum ad rectum; ergo componendo in hyperbola, & diuidendo in ellipſi erit E D ad D K, vt C D ad D F.

g

Et ponamus re- ctangulum F G cõ-mune, & c. Scilicet rectangulũ F G ad-datur in hyperbola, & auferatur cõmu-niter in ellipſi.

h

Et propterea E K ad B G, nempe K R ad R G, & c. Quia propter ſimili-tudinem triangulo-rum E K R, & B G R erit E K ad B G, vt K R ad R G; qua-re K R ad R G maio-rem proportionẽ ha-bet, quàm G M ad M K; & componen-do K G ad G R ma-iorem rationem ha-bet, quam eadem G K ad K M, quare K M, nẽpe e i æqua-lis D F maior eſt, quàm G R.

i

Et auferẽdo ho- mologũ ab homo-logo in hyperbola, & coniungendo e a in ellipſi, habebit, & c. Scilicet comparando homologorum differentias in hy- perbola, eorundem ſummas in ellipſi, ideſt C T ad B O, nempe C H ad H O (pro-pter ſimilitudinem triangulorum C H T, & O H B) habebit maiorem proportionem, quàm I C ad C S, nempe C D ad D F.

k Lem. 4. præmiſ.

Poſtea educamus ex E lineam occurrentem ſectioni in V, & c. Educamus ex E lineam occurrentem ſectioni in V, quæ ſecet axim in Z, & S M in Y.

l

Et per f producamus f g h parallelam axi A D, & c. Et per f ducamus f g pa- rallelam axi A D, quæ ſecet tangentem B a in h, & L F in g, atque V c ſecet illam in i, & S M in e.

m

Et ponamus rectangulum F f communiter, & c. Et communiter addamus in hyperbola, & auferamus in ellipſi rectangulum F f, fiet rectangulum B fg æquale rectangulo g F C. Nomina Inuerſi, & Trutinatæ definita fuerunt in primo libro ab interprete Arabico.

n

Igitur C a eſt li- nea quinta propor-tionalis aliarum. quatuor, & c. Quia poſitæ fuerunt qua-tuor rectæ lineæ F C, N C, O C, C A con-tinuè proportionales, eſt que C A ad C a, vt O C ad C A; ergò pri- ma F C ad tertiam, O C eamdem propor-tionem habet, quàm O C ad quintam C a continuè proportio-nalium, quare com-parando homologorũ differentias F O ad O a eſt, vt F C ad C O; ſedfacta fuit vt F O, ad O C, ita f O ad O B; ergo compo-nendo in hyperbola, & comparando dif-ferentias terminorũ ad conſequentes in, ellipſi, eſt F C ad C O, ſeu F O ad O a, vt f B ad B O; nempe vt f h ad eandem O a, propter ſimilitudinẽ triangulorum B fh, & B O a; & ideo F O, & fh æquales ſunt.

o
37. lib. 1. Lem. 4. præmiff. Lem. 2. præm.
p

Et propterea fi ad i h maiorem proportionem habet, quàm ad f g, & c. Quia F O, ſeu g f oſtenſa fuit æqualis fh erit g h ſecta bifariam in f, & non bifa-riam in i propterea (ex lemmate ſexto huius lib.) habebit fh ad ih, ſcilicet B f ad di (propter ſimilitudinem triangulorum B fh, dih) maiorem proportionem, quàm ig ad gf, ſed B f ad V i portionem ipſius d i habet maiorem proportionem, quàm ad di; ergo B f ad V i habet maiorem proportionem, quàm i g ad g f, ergo rectangulum B f g, nempe rectangulum g C (quod eſt oſtenſum ei æquale) maius eſt rectangulo V i g.

Lem. 5. In nota litere n præm.

Et ponamus rectangulum g e commune, & c. Et addamus in hyperbola, & auferamus in ellipſi rectangulum g e communiter.

q

Et propterea E K ad e V, nempe K ad Y e, & c. Sunt enim triangula E K Y, & V e Y ſimilia, ergo E K ad e V eſt, vt K Y ad Y e, quarè K Y ad Y e maiorem pro-portionem habet, quàm e M ad M K, & componendo, eadem K e maiorem propor-tionem habet ad e Y, quàm ad M K, ſeu ad F D; vnde patet, quod e Y minor ſit, quam F D.

r

Et conſtat quemadmodum antea demonſtrauimus, & c. Quoniam e Y mi- nor oſtenſa eſt, quam K M ergo eadem E I ad r e, ſeu I X ad V e (propter ſimilitu-dinem triangulorum E I X, r e V) maiorem proportionem habebit, quàm E I ad M K, ſeu I C ad C S, veladei æqualem c e; igitur comparando homologorum ſum- mas in ellipſi, & eo- rundem differentias in hyperbola C X ad c V, vel (propter ſimilitudinem triã-gulorum X C Z, V c Z) C Z ad Z c ma-iorem proportionem habet, quàm I C ad C S, vel C D ad D F; & componendo in ellipſi, & diui-dendo in hyperbola C c ad c Z maiorẽ proportionem habe-bit, quàm C F ad F D, & ideo breuiſ-ſima egrediens ex V abſcindit lineã ma-iorem, quàm A Z.

ſ
Lem. 4. 9. 10. huius.

Simili modo cõ-ſtat, quod breuiſ- ſima egrediens ex l eiuſdem ſit ratio-nis, & c. Abſque no-ua demonſtratione in ſecunda, & quar ta figura propoſitum oſtenſum erit.

t

Deinde ſit E D æqualis Q, inde demonſtrabitur (quemadmodum ſu- pra factum eſt) quod B H tantum ſit linea breuiſſima, & c.

a
Secunda pars buius propoſitionis, quam Apollonius non expoſuit hac ratione ſuppleri poteſt.

Sit E D æqualis Trutinæ Q habebunt E D, atque Q eandem proportionem ad B O, componitur verò proportio E D ad B O ex rationibus E D ad D K, & D K ad B O, ſeu O G ad B O; componebatur autem proportio Trutinæ Q ad B O ex rationibus C D ad D F, & F O ad O C; ergo ablata communiter proportione E D ad D K, vel C D ad D F, relinquetur proportio G O ad O B eadem propor-tioni F O ad O C; ergo rectangulum G O C ſub extremis contentum æquale erit rectangulo B O F ſub intermedijs compræbenſo, addatur in hyperbola, & aufe-ratur in ellipſi communiter rectangulum F G, erit rectangulum F S æquale re-ctangulo B G M; Et quia I S ad S C, vel E K ad K D, velad F M erat, vt C F ad F D, vel vt S M ad M K; ergo rectangulum E M æquale eſt rectangulo F S; & propterea rectangulum E M æquale erit rectangulo B G M; quapropter vt E K ad B G, ſeu K R ad R G, ita erit G M ad M K, & componendo, eadem K G eandem propor-tionem habebit ad R G, atque ad M K, vnde R G æqualis e-rit M K, vel F D, quare eadem E I ad K M, vel C D ad D F, ſiue I C ad C S eandem proportio-nem habebit, quam eadem E I ad R G, vel I T ad B G (pro-pter ſimilitudinem triangulorum I E T, & G R B) ergo com-parando homologo-rum ſummas in elli-pſi, vel differentias in hyperbola C T ad B O, vel C H ad H O (propter ſimilitu-dinem triangulorum C H T, & O H B) eandem proportionẽ habebit, quàm I C ad C S, vel C D ad D F, & diuidendo in hyperbola, & cõ-ponendo in ellipſi C O ad O H eandem proportionem habebit, quàm C F ad F D, ſiue quàm habet latus tranſuerſum ad rectum; & propterea B H eſt breuiſsima linearum ex B ad axim cadentium.

Lem. 4. 9. 10. huius.

Deinde educatur quilibet ramus E V ſupra, velinfr a breuiſecantem E B, qui productus ſecet rectam I C in X, & C A in Z, atque S M in γ, & educatur ex V recta V e perpendicularis ad axim, ſecans D F in c, & S M in e, atque contingentem ſectionem in puncto B, ſcilicet ipſam B a ſecet in d. Et quia (vt modo oſtenſum eſt) rectangulum F S æquale eſt rectangulo B G M, ſuntque pa-riter oſtenſæ O C, A C, C a proportionales; ergo C a eſt quinta proportionalis poſt quatuor præcedentes F C, N C, O C, A C continuè proportionales; & ideo F C ad C O eſt, vt C O ad C a; ergo comparando homologorum differentias tam in hyper- bola, quàm in ellipſi erit, F O ad O a, vt F C ad C O: eſt autem G B ad B O, vt F C ad C O, vt antea oſtenſum eſt; ergo G B ad B O erit, vt F O ad O a; ſed propter ſimilitudinem triangulorum B G b, B O a eſt G B ad B O, vt G b ad O a; ergo F O, ſeu M G ad O a eandem proportionem habet, quàm G b ad eandem O a; & propterea M G æqualis eſt G b; cumque M b ſecetur æqualiter in G, & inæqua-liter in e (ex lemmate 6. huius) G b ad e b, ſeu B G, ad d e, propter ſimilitu-dinem triangulorum B G b, & B O a, & multo magis B G ad V e portionem ipſius d e habebit maiorem proportionem, quàm, e M ad G M; ergo rectangulum BG M ſub extremis cõtentum maius erit rectãgulo V e M ſub medij s compræhenſo; erat autem prius re-ctangulum B G M æquale rectangulo E M; ergo rectangulũ E M maius eſt re-ctangulo V e M, & propterea E K ad V e, ſeu K γ ad γ e (propter ſimilitudi-nem triangulorum E Y K, & V e Y) ma-iorem proportionem habebit, quàm e M ad M K, & compo-nendo, eadem K e ad Y e maiorem pro-portionem habebit, quàm ad M K; ergo Y e minor eſt, quàm M K, quare E I ad Y e, ſeu I X ad e V (propter ſimilitudi-nem triangulorum I E X, e Y V) habebit maiorem proportio-nem, quàm eadem. E I ad M K, ſeu I C ad C S, velad c e; & propterea comparando homologorum ſummas in ellipſi, & earundem differentias in hyperbola C X ad c V, vel C Z ad Z c (propter ſimilitudinem triangulorum C Z X, V c Z) maiorem proportio-nem habebit, quàm S K, ad K M, ſeu C D ad D F, & diuidendo in hyperbola, & componendo in ellipſi C c ad c Z habebit maiorem proportionem, quàm C F ad F D, ſeu quàm latus tranſuerſum ad rectum, & propterea breuiſsima linea- rum cadentium ex puncto V ad axim abſcindet ſegmentum maius, quàm A Z, & ramus E V non erit breuiſecans, quod ſuerat oſtendendum.

Lem. 3. Lem. 5.
Lem. 5. Lem. 4. ex 9. 10. huius.

Et demonſtrabitur, quemadmodum dictum eſt, quod G O ad B O mi- norem proportionem habet, quàm F O ad O C, & c. Nam proportio E D ad B O componitur ex rationibus E D ad D K, & D K, ſeu G O ad B O. Pariterque proportio Trutinæ Q quæ erat maior quàm E D ad B O componitur ex ratio-nibus C D ad D F, & F O ad O C, auferatur communis proportio E D ad D K, vel C D ad D F, remanet proportio G O ad O B minor proportione F O ad O C.

b

Et producamus ex V, l duas perpendiculares V e, l P, quæ, & c. Et producamus ex V, & V duas perpendiculares V e, quæ parallelæ ſint continenti F M, & ſecent reliquas lineas in ſignis antea expoſitis; Rectangulum ergo V e in e M æquale eſt rectangulo V e M, alterius figuræ, & c.

c

Et ponamus re- ctangulum F G cõ-mune, & c. Scili-cet, addatur in hy-perbola, & aufera-ratur in ellipſi com-muniter rectangulis F G.

d

Tandem proſe- quamur ſuperiorẽ demonſtrationem, vt oſtendatur veri-tas reliquarũ pro-poſitionum, & c.

e

Demonſtratio ab Apollonio breuitatis gratia neglecta ſic perficietur.

Quoniam rectã-gulum E M æquale eſt rectangulo V e M, igitur vt E K ad V e, ſeu K γ ad γ e (propter ſimilitudinem triangulorum E K γ, & V e γ) ita erit e M ad M K, & componendo, eadem e K habebit ad e γ, atque ad M K eandem proportionem, ideoque e γ æqualis eſt M K; quare E I ad K M, ſeu I C ad C S eandem pro-portionem habebit, quàm E I ad e γ, ſeu quàm I X ad e V (propter ſimilitudi-nem triangulorum I E X, & e γ V) quare comparando homologorum differentias in hyperbola, & eorundem ſummas in ellipſi C X ad c V, vel C Z ad Z c (propter ſimilitudinem triangulorum C Z X, c Z V) habebit eandem proportionem, quàm I C ad C S, vel C D ad D F, & diuidendo in hyperbola, & componendo in ellipſi C c ad c Z eandem proportionem habebit, quàm C F ad F D, ſeu quàm habet latus tranſuerſum ad rectum, & propterea recta linea V Z eſt breuiſsima omnium, quæ ex V ad axim A D duci poſſunt.

Lem. 3. 9. 10. huius.

Iiſdem prorſus verbis oſtenſum erit, quod recta linea l m ſit breuiſsima om-nium cadentium ex puncto l ad axim, ſi nimirum apponãtur caracteres prioris caſus, vt patet in ſecunda, & quarta figura.

Iiſdem poſitis oſtendendum eſt, ramum B E, interceptum inter duos breuiſe-cantes E V, non eſſe breuiſecantem, atque lineam breuiſsimam ex B ad axim A D extenſam cadere ſupra ramum B E verſus verticem A.

Quoniam rectangulum B G M maius eſt rectangulo O G M, atque oſtenſum ſuit rectangulum E M æquale rectangulo O G M; ergo rectangulum B G M maius eſt rectangulo E M, & propterea E K ad B G, ſeu K R ad R G (propter ſimilitudi- nem triangulorum) minorem proportionem habet, quàm G M ad M K, & com- ponendo eadem K G ad G R minorẽ pro-portionem habebit, quãad K M, & pro-pterea G R maior e-rit, quàm K M, vnde E I ad G R, ſeu I T ad G B (propter ſi-militudinem trian-gulorum E I T, R G B) minorem propor-tionem habet, quàm E I ad K M, ſeu I C ad C S; & ideo com-parando homologarũ ſummas in ellipſi, & eorundem differen-tias in hyperbola C T ad O B, ſiue C H ad H O (propter ſi-militudinem trian-gulorũ) habebit mi-norẽ proportionem, quàm I C ad C S, vel C D ad D F, & diuidendo in hyper-bola, & componendo in ellipſi C O ad O H habebit minorem proportionem, quàm C F ad F D, ſiue quàm latus tranſuerſum habet ad rectum; ergo breuiſsima ex B ad axim ducta eum ſecat ſupra punctum H, & abſcindit lineam minorem, quàm A H.

Lem. 5.
Lem. 4. Ex 9. 10. huius.

Rurſus ijſdem poſitis, oſtendendum eſt, ramum E p cadentem ſupra ramum E V verſus verticem, velinfra infimum breuiſecantem E V non eße breuiſecan-tem, & abſcindere ex axi minorem lineam, quàm abſcindit breuiſsima ex pun-cto p ad axim ducta. Ducatur ex p recta linea p x perpendicularis ad axim, eum ſecans in x, & ſecans S M in r, & hyperbolen V o in t, pariterque ramus E p ſecet S M in z, & A F in q, atque I C in f. Quoniam hyperbole V o ſe-cat coniſectionem A B in V, & p ponitur ſupra V ad partes A; ergo t cadit extra ſectionem A B, & propterea t r maior erit, quàm p r; vnde rectangulum p r M minus erit rectangulo t r M; ſed propter aſymptotos S M, M F eſt rectan- gulum t r M æquale rectangulo o G M, ſeu rectangulo E M, vt dictum eſt; ergo rectangulum p r M minus eſt rectangulo E K M, & propterea E K ad p r, ſeu K z ad z r (propter ſimilitudinem triangulorum) maiorem proportionem habet, quàm r M ad M K, & componendo, eadé K r ad r z maioré proportioné habet, quàm ad M K; ergo r z minor eſt, quàm M K; ideoque E I ad r z, ſeu I f ad r p (propter ſimilitudinem triangulorum E I ſ, & r p z) maiorem proportionem habet, quàm E I ad M K, ſeu I C ad C S, vel ad r x; ergo comparando homo- logorum ſummas in ellipſi, & eorundem differentias in hyperbola C ſ ad x p, ſiue C q ad q x (propter ſimilitudinem triangulorum) maiorem proportionem habebit, quàm I C ad C S, vel C D ad D F, & diuidendo in hyperbola, & com-ponendo in ellipſi, C x ad x q maiorem proportionem habebit, quàm C F ad F D, ſiue quàm latus tranſuerſum ad rectum, quapropter breuiſsima ex p ad axim ducta ſecat maiorem lineam, quàm A q. Quæ omnia oſtendenda fuerant.

12. lib.2. Lem. 5. Lem. 4. Ex 9. 10. huius.
Notæ in Propoſ. LIV. LV.

ITaque oſtenſum eſt, vti memorauimus, quod ex concurſu duarum, breuiſſimarum ad illam ſectionem non egrediatur alia breuiſecans prę-ter illas duas, & quod reliqui rami ex eorum concurſu educti ad ſectio-nem habent proprietates ſuperius expoſitas.

a

Senſum germanum huius conſectarij, in quo duæ propoſitiones Apollonij con-tinentur, non eſt facile diuinare in tanta Apolloij breuitate, & textus Arabici inſigni corruptione; videtur enim recenſere, & recolligere concluſionem quam-dam præcedentium propoſitionum: at hoc fieri nullo modo debebat in duabus pro-poſitionibus 44. & 45. Rurſus ſi theoremata ſunt, demonſtrari non poterant ante propoſitiones 51. 52. 53; ſed for ſan numeri Arabici non 44. & 45; ſed 54. & 55. eſſe debent, quod mirum non eſt, cum numeri paſsim in hoc codice Arabico deformati reperiantur. Itaque in hac ambiguitate ſuſpicor, textum ſic reſtitui poſſe.

Si in coniſectione duæ breuiſecantes ductæ fuerint ab eorum concurſu, nullus alius ramus ductus erit breuiſecans: Et ramorum ab eodem con-curſu extenſorum, qui inter breuiſecantes intercipiuntur, abſcindunt axis ſegmenta maiora, & qui non intercipiuntur, minora, quàm abſcindant lineæ breuiſsimæ ab eorum terminis ad axim ductæ: oportet autem in, ellipſi, vt duo rami, & perpendicularis cadant inter axis maioris ver-ticem, & centrum ſectionis.

PROP. 5. Addit.

Sit coniſectio A B C, cuius axis A D, & in hyperbola, & ellipſi centrum E; & ſumantur quælibet duo puncta B, & C, quæ in ellipſi ſint in eodem eius quadrante, & ducantur B F, C H perpendiculares ad axim, & in parabola, fiant F G, & H I æquales ſemiſsi lateris recti; at in hyperbola, & ellipſi fiat E F ad F G, nec non E H ad H I, vt latus tranſuerſum ad rectum, coniun-ganturq; rectæ B G, & C I. Manifeſtum eſt B G, & C I eſſe lineas breuiſsimas, quæ ſi producantur vltra axim (ex 28. propoſitione huius libri) conuenient alicubi, vt in K. Dico, quod ex concurſu K nullus alius ramus breuiſecans duci poteſt ad ſectionem A B C. Extendatur ex K ſuper axim A D perpendi-cularis K D, & reperiatur ſectionis Trutina L competens menſuræ A D ipſius concurſus K, vt in propoſitionibus 51. & 52. præcipitur. Et certè perpendicu-laris K D non erit maior, quàm L, aliàs duci non poſſet ramus vllus breui- ſecans ex concurſu K ad ſectionem A B C, quod eſt falſum; factæ enim fuerunt K B, & K C breuiſecantes; Similiter K D non exit æqualis Trutinæ L, quan-doquidem tunc vnica tantummodo breuiſecans ex K ad ſectionem A B C duci poßet, quod rurſus falſum eſt, poſitæ enim fuerunt duæ breuiſecantes; igitur per-pendicularis K D neceſſario minor erit Trutina L, & ideo ex concurſu K duæ tantummodo breuiſecantes ad ſectionem A B C duci poſſunt, quæ ſunt B K, C K; & propterea nullus alius ramus breuiſecans ex concurſu. K ad ſectionem A B C duci poteſt præter duos K B, & K C; quod erat primo loco oſtendendum.

8. 9. 10. huius. 51. 52. huius. 51. 52. huius.

Secundo ijſdem poſitis, dico, quod rami ducti inter K B, & K C cadunt infra lineas breuiſsimas ab eorom terminis ad axim ductas, & quod rami producti ex K ſupra breuiſccantem K B verſus A verticem ſectionis, vel infra ramum bre-uiſecantem K C abſcindunt axis ſegmenta ex vertice minora, quàm abſcindant lineæ breuiſsimæ ab eorum terminis ad axim ductæ. Reperiatur denuo Trutina L, oſtendetur, vt prius perpendicularis K D minor, quàm L, & duæ tantummo-do breuiſecantes K B, & K C; quare quilibet ramus ex K ad ſectionis punctum, inter B, C poſitum extenſus, ſecat ſegmentum axis ex vertice A maius quàm ab-ſcindat linea breniſsima ab eius termino ad axim ducta: pariterque quilibet ra-mus ex K ad punctum ſectionis ſupra B, poſitum, vel infra ramum K C exten-ſus, abſcindet ſegmentum axis ex A minus, quàm ſecet linea breuiſsima ab eius termino ad axim ducta; quod erat oſtendendum.

51. 52. huius.
Notæ in Propoſit. LVI.

R Eperitur quidem in ramis aggregati ſecantis bifariam inclinatum, ſuper quod non cadit perpendicularis, breuiſecans vna tantum, quo-modocumque ſe habeant perpendicularis, & menſura, & c.

a

Senſum huius propoſitionis nec Apollonius quidem ſi reuiuiſceret inſigni bar-barie corruptum perciperet, cenſeo tamen, ſic reſtitui debere.

In ellipſi ramorum ſecantium vtrumque axim à concur ſu vltra centrum po-ſito egredientium, vnius tantùm portio inter axim maiorem, & ſectionem inter-cepta erit linea breuiſsima; ſiue menſura ipſam comparatam, nec non perpendi-cularis ipſam Trutinam ſuperet, æquet, vel ab ea deficiat.

Sit ſectio ellipſis A C B tranſuerſa A B, & c. Lego; Sit ſe-ctio ellipſis A C B, & axis maior A B, cen-trum D, & perpendi-cularis E F ſecans a-xim in F inter cen-trũ ellipſis D, & ver-ticem A.

b

Et ducamus per punctum E ſectionẽ hyperbolicam E M C circa duas eius continentes, & c. Ideſt circa duas asymptotos I L, I H per E deſcribatur hyperbole E M C, quæ ſecet axim A B æquidiſtantem alteri asym- ptoton in aliquo puncto vt in M; oſtendetur punctum M ſuper ellipſis centrum D cadere.

c 12. & 13. lib. 2.

Ergo E H prima in proportione in IH ſubſequentem, nempe G F ſub- ſequens ipſam M G quartam, æquale eſt ſubſequenti D G ſecundæ in, I G nempe F H tertiam. Ergo punctum N, & c. Textus corruptus ſic reſti-tui poſſe cenſeo; Ergo E H prima proportionalium in H I, nempe G F quartam æquale eſt D G ſecundæ in I G, nempe F H tertiam, & c. Propterea quod E H ad F H, atque D G ad G F poſitæ fuerunt, vt latus tranſuerſum ad rectum; ergo re-ctangulum ſub D G, & H F, ſeu I G, extremis quatuor proportionalium, æqua-le eſt rectangulo ſub intermedijs E H, & F G, ſeu H I, eſt que punctum E in, hyperbola E M C cuius aſymptoti K I, L I; ergo punctum D in eadem hyperbola exiſtit; ſed erat prius in ellipſis diametro A B, ſcilicet in centro; quare in eorum communi ſectione exiſtet: erat autem punctum M communis ſectio hyperboles E C, & axis ellipſis A B; igitur puncta M, & D coincidunt, & hyperbole E D C tranſit per centrũ ſectionis ellipticæ A C B, & ideo hyperbole E D C, quæ in infinitũ extendi, & dilatari poteſt neceſſario ſecabit finitam ellipſim alicubi, vt in C.

d 8. lib. I.

Et producamus per E C lineam, & c. Et producamus per E C rectam li- neam, quæ occurrat continentibus in L, K, & ſecet axim ellipſis in P.

e

Erit G F æqualis O N, quare F O, & c. Quia duæ rectæ lineæ A O, L K ſecantur à parallelis I L, F E, C N, K O proportionaliter, & ſunt K C, L E æquales, ergo O N, F G inter ſe æquales erunt, & addita communiter N F erit F O æqualis N G; Et quoniam E H ad H F eſt vt E K ad K P (propter pa-rallelas K I, O A) nempe vt F O, ſeu ei æqualis G N ad O P (propter paral-lelas E F, O K) ſed eandem proportionẽ habet D G ad G F, quàm E H ad H F; ergo G N ad O P eandem proportionem habet quàm D G ad G F, & compa-rando homologorum differentias D N ad N P erit vt D G ad G F, ſeu vt latus tranſuerſum ad rectum; & ideo C P eſt breuiſsima.

8. lib. 2. Lem. 3. 10. huius.

Quia in ſequenti propoſitione 57; & in alijs adhibetur propoſitio non adhuc demonſtrata; nimirum poſita C P linea breuiſsima, pariter que I D ſemiſsi axis recti minoris etiam breuiſsima (ex II. huius) quæ occurrant vltra axim in, M deducuntur ea omnia, quæ in propoſitionibus 51. & 52. ex hypotheſi omni- no diuerſa eliciebantur; nam in dictis propoſitionibus perpendicularis ex concur-ſu ad axim ducta efficiebat in ellipſi menſuram (iuxta deſinitionem 15. huius libri) minorem medietate axis tranſuerſi, ideſt perpendicularis ex concurſu ca-debat inter centrum ſectionis, & proximiorem verticem: hic vero perpendicu-laris ex concurſu M per centrum D ellipſis tranſit.

Animaduertendum eſt hoc theorema demonſtratum fuiſſe ab Apollonio Propoſ. 35. huius libri, quod tamen paraphraſtes neſcio an iure in fine huius voluminis tranſpoſuit; Sed quia predicta propoſitio 35. omnino hic eſt neceſſaria, & pendet ex alijs præcedentibus, libuit potius aliam independentem demonſtrationem af-ferre quam ordinem propoſitionum ſatis alter atum denuo perturbare.

LEMMA VIII.

IN ellipſi ABC linea breuiſsima F G, & ſemiaxis minor rectus B D conueniant in E, erunt E F, & E B duæ breuiſecantes, duca-tur quilibet ramus E H inter eos: Dico E H non eſſe breuiſecantem, & cadere infra lineam breuiſsimam ductam ex puncto H ad axim.

Ducantur ex F, & H rectæ F K, H L perpendiculares aa axim rectum B D eum ſecantes in K, & L, pariterque ducantur F M, H N perpendiculares ad axim tranſuerſum A D eum ſecantes in M, N. Et quia F G eſt breuiſsima, ergo D M ad M G eandem proportionem habet, quàm latus tranſuerſum C A ad eius latus rectum; ſed propter parallelas D E, M F, eſt D M ad M G, vt E F ad F G, ſeu E K ad K D (propter parallelas G D, F K) quare E K ad K D eandem proportionem habet, quàm latus tranſuerſum ad rectum, & diuidendo E D ad D K eandem proportionem habebit, quàm differentia lateris tranuerſi, & recti ad latus rectum, eſt vero D L maior, quàm D K (cum H L parallela ipſi F K cadat inter punctum K, & B) igitur E D ad maiorem D L minorem proportio-nem habet, quàm ad D K, & propterea componendo E L ad L D minorem pro-portionem habebit, quàm latus tranſuerſum ad rectum: eſt vero E H ad H I, vt E L ad L D (propter parallelas I D, H L) pariterque D N ad N I eſt, vt E H ad H I (porpter parallelas E D, N H) quare D N ad N I erit vt E L ad L D, & propterea D N ad N I minorem proportionem habebit, quàm latus tranſuer-ſum C A ad eius latus rectum, & ideo linea breuiſsima ex puncto H ad axim A D ducta cadet ſupra ramum H I E verſus verticem A, atq; E H non erit bre-uiſecans, quod erat primo loco oſtendendum.

15. huius. 10. huius.

Secundo ducatur ramus E O ſecans maiorem axim in P inter verticem A, & breuiſecantem E F; Dico E O non eſſe breuiſecantem, & breuiſsimam ex puncto O ad axim A D ductam cadere infra ramum O P E; Ducantur O Q, O R per-pendiculares ad axes, ſecantes eos in Q, R. Manifeſtum eſt Q D minorem eſſe, quàm K D, & propterea E D ad D Q maiorem proportionem habebit, quàm ad D K, & componendo E Q ad Q D maiorem proportionem habebit, quàm E K ad K D: oſtenſa autem fuit E K ad K D, vt latus tranſuerſum C A ad eius la-tus rectum; igitur E Q ad Q D maiorem proportionem habebit, quàm latus tranſuerſum ad rectum; ſed (propter parallelas P D, O Q) vt E Q ad Q D ita eſt E O ad O P, & propter parallelas E D, R O, vt E O ad O P, ita eſt D R ad R P; ergo D R ad R P eſt, vt E Q ad Q D, & propterea D R ad R P ma-iorem proportionem habebit, quàm latus tranuer ſum C A ad eius latus rectum; igitur E O non erit breuiſecans, & breuiſsima ex puncto O ad axim ducta cadit infra ramum E O verſus D, quod erat oſtendendum.

ex 10. huius.
Notæ in Propoſ. LVII.

ET dico, quod non repe- riatur vllus alius ramus, & c. Ideſt ſit rurſus linea bre-uiſsima C M, quæ producta, concurrat cum perpendiculari E F in E, quæ ſecet axim in F vltra centrum D ad partes ver-ticis A. Dico, quod præter ra- mum E C nullus alius ramus breuiſecans ex concurſu E ad ſectionem duci poteſt, qui cadat in eodem quadrante B L, quem breuiſecans interſecat.

Nam ſi producantur E H, E G, & c. Ducantur quilibet rami E H, E G ad vtraſque partes breuiſecantis E C intra quadrantem B L, qui ſecent D B in K, & I, & producatur per centrum D recta M D L perpendicularis ad axim B A, quæ ſecet ſectionem in L, & ramum E C in M.

h

Et quia iam productæ ſunt ex concurſu M duæ breuiſecantes, & c. Quia C M breuiſsima ex hypotheſi occurrit ſemiaxi minori recto L D breuiſsi-mæ pariter (ex 11. huius) in M, ſequitur (non quidem ex 51. 52. huius, ſed ex lemmate 8. præmiſſo) quod linea recta ex M ad H coniuncta cadat infra breuiſsimam ex puncto H ad axim B A ductam, & coniuncta recta M G cadit ſupra breuiſsimam ex puncto G ad axim ductam.

i

Sed E H, & E G efficiunt abſciſsas oppoſito modo, & c. Quia ab eodem puncto H ſectionis ducuntur tres rectæ lineæ. H E, H M, & breuiſsima ex H ad axim B A ducta, quarum intermedia eſt H M, eo quod breuiſsima ex H ad axim A B cadit ſupra H M ad partes B, vt dictum eſt, & H E cadit infra H M ad partes A; ergo H E cadit infra breuiſsimam ex H ad A B ductam, & propterea E H nan erit breuiſecans: Similiter breuiſsimaex G ad A B extenſa cadit infra G M ad partes A, vt dictum eſt; at E G cadit ſupra G M ad partes B; ergo E G cadit ſupra breuiſsimam ex G ad axim A B ductam, quare E G non eſt breuiſecans.

k Lem 8. 1 bidem.
SECTIO NONA Continens Propoſ. LVIII. LIX. LX. LXI. LXII. & LXIII.

I Am ex puncto dato C extra, vel intra ſectionem A B (quod in axi I A non ſit) poſſumus rectam lineam ducere, cuius portio intercepta inter ſectionem, & axim ſit linea breuiſſima.

a
PROPOSITIO LVIII.

Sit ſectio parabole, & producamus perpendicularem C E ſu-per I E A, & ponamus E F æqualem dimidio erecti, & du-camus G F parallelam ipſi C E, & per C ducamus hyperbolen H C B circa duas continentes illam G F, I F, quæ occurat ſe-ctioni A B in B, & per B, C producatur linea occurrens con-tinenti I A in I, & continenti G F in G: Dico, quod B I eſt linea breuiſsima.

4. lib. 2. b

Producatur perpendicularis B K. Quoniam C I æqualis eſt B G (sexta ex ſecundo) erit E I æqualis K F, & E F, K I erunt æquales, atque ſup- poſita, eſt E F æqualis dimidio erecti; ergo K I ita eſt pariter; Quare B I eſt breuiſsima, (octaua ex quinto) & hoc erat probandum.

C 8. lib. 2.
PROPOSITIO LIX. LXII. & LXIII.

D Einde fit ſectio hyperbole, aut ellipſis, cuius centrum D, & lineis, atque ſignis in eodem ſtatu manentibus, ponamus D F ad F E, & ſimiliter C L ad L E, vt proportio figuræ, & producamus per L ip-ſam O M parallelam A I F, & per F ipſam G M parallelam C E, & fa-ciamus ſectionem H C B hyperbolen tranſeuntem per punctum C circa continentes G M, O M, quæ occurret ſectioni A B (in ellipſi quidem vt demonſtrauimus) in hyberbola vero eo quod O M parallela axi D A in- clinato ſubtendit, ſi producatur, angulum ſubſequentem continentiæ an-gulum ſecabit A B, & corda, ſi producatur, occurret ſectioni; Ergo O M ingreditur ſectionem A B, & ampliatur ſectio A B per extenſionem, longè à duabus lineis O M, M G, & ſectio B C prope illas ducitur (deci- moſexta, ex ſecundo) igitur duæ ſectiones A B, C B ſibi occurrunt, vt in B, & ducamus per B, C lineam occurrentem D F A in I, & G F in G; Et quia B O æqualis eſt ipſi C G (octaua ex ſecundo) erit O N æqualis ipſi M L, & O L ipſi N M; ergo O L, nempe N M, ſeu K F ad E I eſt, vt C L ad C E, nempe D F ad D E, ergo K F ad E I eſt, vt D F ad E D comparando homologorum ſummas in hyperbola, & eorundem differentias in ellipſi, & iterum comparando antecedentes ad differen- tias terminorum fiet D K ad K I, vt D F ad F E, quæ eſt vt proportio figu-ræ; igitur B I eſt linea breuiſſima (9. 10. ex quin-to) & hoc erat probandum.

a
4. lib. 2. 56. huius. b 14. lib. 2. c d Lem. 3. Lem. 1.
PROPOSITIO LX.

D Einde perpendicularis egrediens ex C cadat ad centrum D ſectionis A B hyperboles, & ponamus C E ad E D, vt proportio figuræ, & producamus ex E ad ſectionem rectã lineam E B, quæ parallela ſit D E, producaturque C B, quæ occur-rat axi in G. Et quia C E ad E D, nempe C B ad B G, nempe D H ad H G eſt, vt proportio figuræ; erit G B linea breuiſſima (nona ex quinto) quod erat oſtenden-dum.

a b
PROPOSITIO LXI.

S It poſtea punctum C, & perpendicularis C F, & F remotius à vertice ſectio-nis, quàm ſit centrum, & po-namus C E ad E F, vt eſt proportio figuræ, & ſimiliter D G ad G F, & ex E pro-ducamus E H, quæ ſit paral-lela ipſi F A, & ex G, D. ad illam G I, D K, quæ ſint parallelæ ipſi C F; & duca-mus ſectionem hyperbolen tranſeuntem per D, quam contineant I H, I G, quæ occurret ſectioni A B ſimiliter in B; Itaque per B, C producamus lineam, quæ occurrat axi F A in L, & ipſi E H in M. Dico, quod B L eſt linea breuiſſima. quia ducta perpendiculari H N, C E ad E F, ſeu ad K D, eſt vt D G ad G F, nempe vt K I ad I E, & propterea E C in E I erit æquale rectangulo D I ſubſequenti (octaua ex ſecundo) nempe rectangulo B I conſequenti; Ergo C E in E I eſt æquale B H in H I, & propterea B H ad C E, nempe H M ad M E eſt, vt E I ad I H; ergo H I, nempe N G æqualis eſt E M, & ideo L F ad E M, nempe ad N G eſt, vt C F ad E C, nempe D F ad D G, quia quælibet earum aſſignata eſt, vt proportio figuræ; ergo L F ad N G eſt, vt D F ad D G; itaq; comparando homologorum differentias L D ad D N, vt D F ad D G; & per conuerſionem rationis, & poſtea diuidendo D N ad N L erit, vt D G, ad G F, quæ eſt vt propor-tio figuræ; Ergo B L eſt linea breuiſſima ( nona ex quinto ) & hoc erat oſtendendum.

4 lib. 2. a b 12. lib. 2.
Notæ in Propoſit. LVIII.

I Am poſſumus producere ex puncto aſſignato C extra datam ſectionem A B, aut intra (ſi punctum non fuerit ad axim I A) lineam diuiden-tem ex illo inter ſectionem, & axim lineam breuiſſimam, & c. Sic legen-dum puto. Ex punto dato C extra, vel intra ſectionem A B, quod in axi non ſit, lineam rectam ducere, cuius portio incercepta inter ſectionem, & axim ſit linea breuiſsima.

a

Et per C ducamus ſectionem H C B circa duas continentes illam G F, I F, quæ occurrat ſectioni A B (16. ex 5.) in B, & c. Scilicet ducamus per C hyperbolen H C B circa aſymptots G F, F I, & quia aſymptoti, & hyperbo- le H C B productæ ad ſe ipſas ſemper proprius accedunt, atque parabole A B producta ſemper magis ab axi A I remouetur; igitur hyperbole H C B, & para-bola A B ſe mutuo ſecabunt; ſecent ſe ſe in puncto B. Animaduertendum eſt, quod in textu Arabico aſſumitur hæc concluſio, vt demonſtrata in propoſitione 16. huius quinti libri; & ſiquidem numeri huius citationis mendoſi non ſunt, hæc propoſitio ſexta decima deſideratur in hoc libro.

b 4. lib. 2. 14. 2. Ex 8. 1.

Producatur perpendicularis B K. Quoniam C I, & c. Ex puncto B ad axim ducatur perpendicularis B K, ſecans eum in K; quoniam quando punctum C ponitur intra parabolen, tunc B G æqualis eſt I C; quando vero cadit extra, tunc C G eſt æqualis B I, & addita communi B C erit I C æqualis B G, cumq; duæ rectæ lineæ I G, I F conuenientes in I ſecentur à rectis lineis K B, E C, F G inter ſe parallelis, eo quod ſunt perpendiculares ad eundem axim; ergo I G, & I F ſecantur in ijſdem rationibus, & propterea E I æqualis erit K F; ſicuti I C æqualis erat B g, pariterque I K æqualis erit E F, ſicuti I B æqualis erat C G; poſita autem fuit E F æqualis ſemierecto; igitur K I ſemiſsi lateris recti pariter æqualis erit.

c 8. lib. 2.
Notæ in Propoſit. LIX. LXII. & LXIII.

E T lineis, atque ſignis eodem ſtatu manentibus, & c. Ideſt punctum C extra, aut intra ſectionem ponatur, dummodo non ſit in axi, ducaturq; C E perpendicularis ad axim, ſecans eum in E, & vt latus tranſuerſum ad re-ctum, ita ſiat D F ad F E, atque C L ad L E, & per L producatur O L M pa-rallela A I, & per F ducatur F M G parallela C E, quæ ſecet O M in M, & per C deſcribatur hyperbole H C B circa aſymptotos G M O, quæ in ellipſi per eius centrum D tranſibit, & ideo eam ſecabit ſicuti oſtenſum eſt in 56. huius.

a 4. lib. 2.

Eo quod O M parallela axi D A inclinato ſubtendit, & c. Quoniam in hyperbola O M parallela axi ſecat vtrãque linearum continentium angulum, qui deinceps eſt ei, qui hyperbolen continet ſectioni occurret, & producta ſectio- nem A B ſecabit, & ideo O M cadit intra ſectionem A B, atque hyperbole A B producta ſemper magis, ac magis recedit tum ab M O parallela axi, cum ab M G parallela tangenti verticali, & ſectio H C B, & asymptoti O M G ad ſe ip- ſas jemper propius accedunt, igitur ſectiones A B, B C conueniunt; ſecent ſe ſe in B, & ducamus per B, C lineam occurrentem axi in I, ipſi M O in O, & M G in G.

b 11. lib. 2. 14. lib. 2.

Et quia B O æqualis eſt ipſi C G, & c. Cum lineæ rectæ O M, O G ſe ſe- cantes in O, ſecentur à parallelis E C, K B, F G proportionaliter, erit O N æqualis M L, ſicuti O B æqualis erat C G, & O L, æqualis erit N M, ſicuti O C æqualis erat B G, cumque triangula O C L, & I C E ſint ſimilia propter parallelas O L, I E, erit O L ad E I, vt L C ad C E; eſt vero M N, ſeu F K æqualis ipſi L O, igitur F K ad E I eſt, vt L C ad E C, ſed ex conſtru-ctione erat D F ad F E, vt C L ad L E, ſciluet vt latus tranſuerſum ad rectum; ergo antecedentes ad ſummas terminorum in hyperbola, & ad eorundẽ differen- tias in ellipſi ſci-licet C L ad C E erit vt D F ad D E, & propterea K F ad E I erit, vt D F ad D E, & cõparando ho-mologorum ſum-mas in hyperbola, & eorundem dif-ferentias in elli-pſi, K D ad D I erit, vt D F ad D E, & iterum comparando antecedentes ad differentias ter minorum fiet D K ad K I, vt D F ad F E, ſeu vt latus tranſuer ſum ad rectum; igitur B I eſt linea breuiſsima.

c 8. lib. 2. Lem. 1.
Lem. 3. Lem. 1.
Ex 9. 10. huius.

Si autem componamus proportionem in hyperbola deinde abſcinda- mus, & reijciamus oppoſitum ab oppoſito in ellipſi, deinde inuertamus fiet K D ad K I, vt D F ad F E, & c. Sed textum mendoſum corrigi debere, vt ſupra factum eſt conſtat ex præcedenti nota.

d
Notæ in Propoſit. LX.

DEinde ſit perpendicularis ex C, & c. Siex puncto C extra hyperbolen po- ſito perpendicularis ad axim ducta ad centrum eius D pertingat, duci de-bet pariter ex puncto C recta linea ad ſectionem, cuius portio inter axim D F, & ſectionem A B ſit linea breuiſsima; fiat C E ad E D, vt latus tranſuer ſum ad rectum, & ex E ducatur E B par allela axi, ſecans hyperbolen in B, & ex B du-catur B H perpendicularis ad axim, ſecans eum in H.

a

Et quia C E ad E D, nempe C B ad B G, & c. Quia propter parallelas B E, F D eſt C E ad E D, vt C B ad B G, & propter parallelas D C, H B, eſt D H ad H G, vt C B ad B G, quare D H ad H G erit, vt C E ad E D: poſita autem fuit C E ad E D, vt latus tranſuer ſum ad rectum; igi-tur D H ex centro hyperboles ad H G eandem proportionem habet, quàm latus tranſuerſum ad rectum, & propterea G B erit linea breuiſsima.

b
9. huius.
Notæ in Propoſit. LXI.

SIt poſtea punctum C, & perpendicularis C F, & c. Si à puncto C extra hyperbolen A B poſito, C F perpendicularis ad axim efficiat F A ſegmentũ tranſuerſi axis maius ſemiſse eius D A, & ponantur C E ad E F, atque D G ad G F, vt latus tranuer ſum ad rectum, & ducatur ex E recta E H parallela F A, quæ ſecetur à rectis D K, G I ad axim per-pendicularibus in K, & I, & per D ducatur hyperbole D B circa aſymptotos H I G, occur-ret hyperbole A B (vt in Prop. 59. 62. 63. oſtenſum eſt) ali-cubi, vt in B, coniungatur rect a linea B C, quæ occurrat axi in L, & ipſi E H in M, duca-turque ex B perpendicularis ad axim eum ſecans in N, & re-ctam E M in H. Dico, quod B L eſt linea breuiſsima.

a
4. lib. 2.

C E ad E F, nempe K D eſt, vt D G ad G F, & c. Quoniam ex conſtru- ctione C E ad E F, ſeu ad ei æqualem K D, in parallelogrammo D E, eſt vt D G ad G F, ſcilicet vt latus @ anſuerſum ad rectum, eſtque K I ad I E, vt D G ad G F propter parallelas D K, G I, F E; ergo vt prima C E ad ſecundam D K, ita eſt tertia K I ad quartam I E, & propterea rectangulum C E I ſub extremis contentum æquale eſt rectangulo D K I ſub intermedijs compræhenſo; eſt vero rectangulum B I æquale rectangulo D I cum compræhendantur ab hyper-bole D B, & aſymptotis H I G; ergo rectangulum C E I æquale eſt rectangulo B H I; & propterea B H ad C E, nempe H M ad M E (propter ſimilitudinem triangulorum B H M, C E M) eandem proportionem habebit, quàm E I ad I H, & componendo eadem H E ad H I, atque ad E M eandem proportioner habebit; & ideo H I ſeu ei æqualis N G æqualis erit E M, quare eadem L F ad N G, atque ad E M eandem proportionem habebit: ſed propter ſimi-litudinem triangulorum L C F, M C E eſt F C ad E C, vt F L ad M E, ſeu ad N G, & erat C E ad E F, necnon D G ad G F in eadem propor-tione lateris tranſuerſi ad rectum, & ſummæ terminorum ad antece- dentes terminos, ſcilicet F C ad E C, necnon F D ad D G ean-dem proportionem habent; quare L F ad N G eandem proportionem habet, quàm F D ad D G, & compa-rando homologorum differentias L D ad D N eandem proportionem habebit, quàm F D ad D G, & comparando conſe-quentes ad differentias termi- norum D N ad L N erit, vt D G ad F G, ſcilicet vt latus tranſuer ſum ad rectum; quapropter B L eſt linea breuiſsima.

b 12. lib. 2. Lem. 1. Lem. 3. Lem. 1. 9. huius.
SECTIO DECIMA Continens Propof. XXXXIV. XXXXV. Apollonij.

SI ex axe recto ellipſis ſumatur menſura ab origine, quæ ad ſemiaxim rectum non habeat minorem proportionem, quàm habet figura ſuæ tranſuerſæ, tunc quicumque ramus ſecans, ab illa origine ad fectionem ductus, abſcindit ex axe tranſuerſo ad verticem ſectionis lineam minorem ea, quàm abſcindit linea breuiſsima egrediens ab eius termino in ſectione poſito ad tran-ſuerſum axim; ſi vero fuerit proportio ad ſemirectum minor, tunc ramorum ſecantium vnus eſt breuiſecans; reliqui vero, qui ſequuntur extremum tranſuerſæ habent proprietates ſuperius ex-poſitas, & qui ſequuntur extremitatem recti, ſecant ex tranſuer-ſa lineam maiorem ea, quàm abſcindit breuiſsima egrediens ab eius termino.

a
PROPOSITIO XXXXIV.

Sit A D dimidium axis recti, & minoris ſectionis ellipticæ A B C, & meuſura A E, quæ ſit maior, quàm A D, & pro-portio illius ad iſtam non ſit minor proportione figuræ ſectionis; Dico, quod linea breuiſsima egrediens ab extremitate cuiuſcum-que rami ſecantis educti ex E ad ſectionem A B C, ſecat ex tranuerſa B C cum vertice B, vel C lineam maiorem ea, quàm abſcindit ille ramus.

b

Ponatur ramus E F, & ducamus ex F ad vtrum- que axim duas perpendiculares F H, F I. Et quia proportio E A ad A D non eſt minor proportio-ne ſiguræ, ſed minor eſt, quàm E H ad H D, nem-pe E F ad F G, ſeu D I ad I G, erit proportio ſigu-ræ minor, quàm D I ad I G, & ponamus D I ad I K, vt eſt proportio figuræ, & iungamus F K; erit ergo F K linea breuiſſima (10. ex 5.) & iam ſecat K B maiorem, quàm B G, & G F non erit breuiſſima; & hoc erat propoſitum.

c 10. huius.
PROPOSITIO XXXXV.

SI autem fuerit ratio E A ad A D minor, quàm proportio figuræ, ponamus E H ad H D in proportione figuræ, & producamus per-pendicularem H F, & iungamus F E, & duca-mus perpendicularem F I. Et quoniam E H ad H D, nempe D I ad I G eſt, vt proportio figu-ræ, erit F G linea breuiſſima (10. ex 5.) Et quo-niam iam educti ſunt ex E duo breuiſecantes F E, & E A (11. ex 5.) tunc à terminis ramo-rum egredientium ex E, qui terminantur ad ſe-ctionem B F, linea breuiſſima egrediens erit re-motior ab ipſo B, & qui terminatur ad ſectio-nem A F, breuiſſima egrediens ab extremitate illius erit proximior, ipſi B (51. 52. ex 5.) & hoc erat oſtendendum.

a
Notæ in Propoſ. XXXXIV.

PVto, numeros 53. & 54. Propoſitionum huius ſe- ctionis mendoſos eſſe, nam Propoſitio 53. poſita fuit in præmiſſa ſectione, & Propoſitio 54. inferius appoſita reperitur; Cenſeo igitur, eſſe Propoſitiones XXXXIV. & XXXXV.

Si ex axe recto ellipſis ſumatur menſura, & c. Hoc eſt ſi ex axe minori, recto ellipſis ſumatur menſu-ra, quæ habeat non minorem proportionem ad ſemi-axim rectum, quàm habet axis tranſuerſus ad ſuum latus rectum, quilibet ramus ſecans, ab origine ad ſe-ctionem ductus, abſcindit ex axe tranſuerſo ad ver-ticem ſectionis minorem lineam, quàm ſecat linea breuiſsima ab eius termi-no ad axim tranſuer ſum ducta. Si vero menſura ad minorem ſemiaxim re-ctum proportionem minorem habuerit, quàm latus tranſuer ſum ad rectum, tunc vnicus ramus erit breuiſecans; reliqui vero ſequentes terminum tranſuerſi, ha-bent ſuperius expoſitas proprietates, & ſequentes extr emitates axis recti, ſecant ex tranſuer ſa maiorem lineam, quàm ſecet breuiſsima ab eius termino ad axim tranſuer ſum ducta. Quod autem menſura neceßario ſumi debeat in axe minori ellipſis patet, nàm ex hypotheſi rami ſunt ſecantes non quidem ex concurſu, ſed ex origine ducti igitur origo cadit infra centrum, & menſura maior erit medie-tate axis vt in textu habetur; debet autem habere menſura ad ſemiaxim rectum maiorem aut eandem proportionem, quàm axis tranſuerſus habet ad eius latus rectum, ergo proportio axis tranſuerſi ad ſuum latus rectum erit maioris inæqua-litatis, & propterea tranſuerſus axis erit maior quàm axis rectus.

a

Sit A D dimidium axis recti ſectionis ellipticæ A B C, & c. Sit A D di- midium axis minoris, & recti ellipſis A B C, ſitque menſura A E maior, quàm A D, & E A ad A D habeat maiorem, aut eandem proportionem, quàm habet latus tranſuerſum B C ad eius rectum latus.

b

Ponatur ramus E F, & producamus ex F, & c. Ducatur quilibet ramus ſecans E F, & ex F ad vtrumque axim perpendiculares F H, F I, quæ ſecent eos in H, & I. Et quia D H minor eſt, quàm D A, habebit eadem E D ad D H maiorem proportionem, quàm ad D A, & componendo E H ad H D, ma-iorem proportionem habebit, quàm E A ad A D; eſt vero E F ad F G, vt E H ad H D (propter parallelas D G, H F) nec non D I ad I G eſt, vt E F ad F G (propter parallelas E D, I F) ergo D I ad I G maiorem proportionem ha-bet, quàm E A ad A D: habebat autem E A ad A D maiorem, aut eandem proportionem, quàm latus tranſuer ſum B C ad eius rectum latus; igitur D I ad I G maiorem proportionem habebit, quàm latus tranſuer ſum B C ad eius rectum latus: fiat iam D I ad I K, vt latus tranſuer ſum B C ad eius latus rectum, iungaturque F K, erit I K maior, quàm I G, & F K linea breuiſsima, quæ ſe- cat ſegmentum axis K B maius, quàm B G, vnde E F non erit breuiſcans.

c 10. huius.
Notæ in Propoſ. XLV.

SI autem fuerit ratio E A ad A D minor, quàm proportio figuræ, & c. Habeat E A ad A D minorẽ proportionem, quàm latus tranſuer ſum B C ad eius rectum latus, & fiat E H ad H D, vt latus tranſuer ſum ad rectum; ha-bebit E H ad H D maiorem proportionem, quàm E A ad A D, & diuidendo eadem E D ad D H habebit maiorem proportionem, quàm ad D A; & pro-pterea D H minor erit, quàm D A; vnde ex puncto H ſi eleuetur H F perpen-dicularis ad D A intra ſectionem cadet, & ſecabit eam alicubi, vt in F: duca-tur poſtea ex F recta F E, quæ ſecet axim in G, & F I perpendicularis ad axim B C eum ſecans in I. Et quoniam, propter parallelas G D, F H, eſt E F ad F G, vt E H ad H D, pariterque, propter parallelas E D, I F, eſt D I ad I G, vt E F ad F G, quare D I ad I G eandem proportionem habet, quàm E H ad H D, ſeu quàm latus tranſuer ſum B C ad eius latus rectum; & propterea F G eſt breuiſsima.

a 10. huius.

Et quoniam iam eductæ ſunt ex E duæ breuiſecantes, & c. Textus Ara- bicus vſque ad finem propoſitionis eſt omnino corruptus, cum ſupponat propoſi-tionem non demonſtratam, vt in propoſitione 56. notaui; Itaque, ſic eum reſti-tui poſſe cenſeo. Quoniam ex conſurſu E breuiſsimæ F G, & ſemiaxis recti minoris D A rami educti ad ſectionem F A ſecant axis ſegmenta vſque ad verticem B maiora, quàm abſcindant breuiſsimæ ab eorum terminis ad axim ductæ, ſcilicet breuiſsimæ cadunt ſupra ramos (ex Lemmate 8. præmiſſo) ſimi-liter rami ex concur ſu E ad ſectionem B F ducti cadunt ſupra breuiſsimas ab eorum terminis ad axim extenſas (ex eodem Lemmate 8.) & hoc erat oſten-dendum.

b
SECTIO VNDECIMA Continens Propoſ. LXVIII. LXIX. LXX. & LXXI. Apollonij. PROPOSITIO LXVIII. LXIX.

SI occurrant duæ tangentes alicui ſectioni A B C, vt ſunt A F, E F, vtique quod abſcinditur ex tangente proximiori vertici ſectionis, qui eſt B minus eſt ſegmento abſciſſo ex alia, nempe E F minor eſt, quàm A F.

a

Iuncta enim A E, & in parabola ex F producta linea F I parallela axi B D e-rit illa diameter, bi-fariam ſecans E A in G (34. ex 2.) Simi- liter ex centro H pro-ducamus H F G, quæ eſt quoque diameter (34. ex 2.) bifariam ſecans E A in G, & ducamus A D in pa-rabola, & hyperbola perpendicularem ſuper axim D B. Ergo angulus A I G in parabola eſt rectus, & in hyperbola obtuſus; ergo F G A erit obtuſus in illis omnibus; quare maior eſt, quàm angulus F G E, & A G æqualis eſt ipſi G E, & F G communis; igitur E F minor eſt, quàm F A.

b
30. lib. 2. Ibidem.
PROPOSITIO LXX.

P Oſtea in ellipſi iungamus E H, A H, & C ſit extremitas axis recti; erit A H minor quàm E H (11. ex 5.) & angulus EGH, nempe A G F maior erit, quàm A G H, ſeu E G F, ergo E F minor eſt, quàm F A, & hoc erat propoſitum.

c
PROPOSITIO LXXI.

P Atet ex hoc, quod ſi producantur ex duo- bus punctis contactus in ellipſi perpendi-culares E M, A L, & fuerit E M minor, exempli gratia, tunc tangens educta ab eius extremitate minor quoque eſt, quemadmodum demonſtrauimus, & hoc erat oſtendendum.

d
Notæ in Propoſit. LXVIII. LXIX. LXX. & LXXI.

S I occurrant duæ tangentes alicui fectioni A B C, aut circulo, vt ſunt, & c. Ideſt ſi coniſectionem A B C contingant duæ rectæ A F, E F in pun-ctis A, & E concurrentes in F, erit portio tangentis inter occurſum, & conta-ctum vertici B proximiorem intercepta, minor ea, quæ inter occur ſum, & re-motiorem à vertice contactum continetur: oportet autem in ellipſi B verticem, eſſe axis maioris. Expungo verba, aut circulo, tanquam erronea, & incaute ab aliquo textui ſuperaddita. Circulum enim tangentes ab eodem puncto ductæ inæquales eſſe nequeunt.

a

Et ducamus A D in parabola, & hyperbola, & c. Et ducamus A D in parabola, & hyperbola perpendicularem ſuper axim B D, ſecantem eum in D, atque G F H in I; cumque in parabola diameter F G I ſit parallela axi B D, erit angulus A I G rectus æqualis interno, & oppoſito ad eaſdem partes, angu-lo D; in hyperbola vero cum triangulum H D I ſit rectangulum in D, erit ex-ternus A I G obtuſus, eſtque in triangulo G I A angulus externus A G F maior interno, & oppoſito A I G, recto in parabola, & obtuſo in hyperbola; erit quo-que angulus F G A obtuſus in parabola, & hyperbola.

b

Et angulus E G H, & c. Zuia F H eſt diameter ſecans bifariam E A in G; ergo triangula E G H, & A G H habent àuo latera ægualia E G, A G, & G H, commune; eſtque H E, vertici B axis maioris ellipſis propinquior, maior remotiore H A; ergo angulus E G H maior erit angulo A G H; eſtque angulus A G F æqualis E G H maiori, & E G F æqualis minori A G H; igitur angulus A G F maior eſt angulo E G F, & latera circa inæquales angulos ſunt æqualia ſingula ſingulis, ergo tangens A F maior eſt, quàm E F.

c 30. ex 2. Com. 11. huius.

Patet ex hoc, quod ſi producantur ex duo- bus punctis contactus in ellipſi perpendiculares E M, A L; & fuerit E M minor, exempli gra-tia, tunc tangens educta ab eius extremitate, quæ eſt in ſectione, minor quoque eſt, & c. Si enim ex punctis E, A contactuum in ellipſi ducan-tur ad axim minorem K C perpendiculares E M, & A L ſecantes eum in M, & L, fueritque E M minor, quàm A L, tunc quidem punctum E magis recedit à vertice B axis maioris, quàm punctum A; & propterea, ex præmiſſa 70. huius libri, erit tangens E F minor, quàm A F. Expungo deter-minationem ab aliquo incaute additam (quæ eſt in ſectione) manifeſtum enim eſt ducinon poſſe contin-gentem ellipſim à perpendicularis termino M in axi minori poſito, ſed à termi-no E in ſectionis peripheria conſtituto.

d
SECTIO DVODECIMA Continens XXIX. XXX. XXXI. Propoſ. Appollonij.

Q Vælibet linea recta A E D tangens fectionem aliquam A F B in A extremitate lineæ breuiſſimæ A C eſt perpeudi-cularis ſuper illam, nẽpe D A C eſt angulus rectus. Et ſi fuerit perpendicularis ſuper illam vtique tanget ſectio-nem.

Alioquin producatur perpendicu- laris C E ſuper A D, erit A C maior, quàm E C, ergo maior eſt, quàm F C; ſed eſt minor, cũ ſit minor, quàm C F, quod eſt abſurdum. Igitur an-gulus D A C, eſt rectus, quod erat oſtendendum.

a

Si verò fuerit D A C rectus, erit A D tangens, alioquin ſit tangens A G; ergo C A G erit rectus, ſed erat C A D rectus, quod eſt abſurdum; ergo A D eſt tangens, & hoc erat probandum.

b
Notæ in Propoſit. XXIX. XXX. & XXXI.

A Lioquin producatur perpendicularis C E, & c. Exiſtente C A lineæ breuiſsima, & A D tangente, ſi C A non eſt perpendicularis ad tangen-tem ducatur ex origine C recta C E perpendicularis ad tangentem A D, ſecans eam in E, & ſectionem in F, erit in triangulo A C E angulus C A E acutus, & minor angulo recto E, & propterea C A ſubtendens maiorem angulum re-ctum, maior erit quàm C E, quæ acutum ſubtendit: cumque punctum E tan-gentis cadat extra ſectionem, erit C F minor, quàm C E; ideoque C A multo maior eſt, quàm C F, quapropter C A non erit breuiſsima, quod eſt contra, hypotheſin.

a

Si vero fuerit D A C rectus, & c. Quia C A ſupponitur breuiſsima, & angulus D A C rectus, erit A D tangens; nam ſi hoc verum non eſt, ducatur ex puncto A recta linea A G, contingens ſectionem in A; ſecabit vtique tangens A G ipſam D A, & erit an-gulus C A G rectus nimirum contentus à breuiſsima C A, & tangente A G, ex proxime demon-ſtrata propoſitione; ergo duo anguli recti C A D, & C A G æquales ſunt inter ſe, pars, & totum, quod eſt abſurdum.

b 33. 34. lib. 2.
SECTIO DECIMATERTIA Continens Propoſ. LXIV. LXV. LXVI. LXVII. & LXXII. Apollonij. PROPOSITIO LXIV. LXV.

S I ramorum ſecantium D C, D B, D A eductorum ex con-curſu D ad fectionem C A non fuerint duo breuiſecantes, vtique minimus eorum eſt, ramus terminatus D A, qui ambit cum axe A E angulum acutum; nempe D A E, & reliquorum propinquior illi minor eſt remotiore, ſcilicet D B maior, eſt quàm D A, & D C quàm D B.

Si vero inter illos fuerint duo breuiſecantes tunc vicinior vertici ſectionis eſt maximus ramorum, & maiori proximior, eſt maior, & minori propinquior eſt minor.

Producamus perpendicularem D E ſuper axim E A, & reperiatur Tru- tina F. Et primo loco nullus ramus ſit breuiſecans, iam ſi D B, non eſt maior, quàm D A, ſit æqualis illi, & ducamus duas perpendiculares A G, A H ſuper E A, & D A. Et quia A G tangit ſectionem, cadet A H intra ſectionem, & ducamus rectam B I tangentem ſectionem in B. Quoniam ex D non educitur ad ſectionem A C vllus breuiſecans, erit E A non maior dimidio erecti (49. 50. ex 5.) aut erit D E maior quàm F (52. ex 5.) Iis poſitis vtique linea breuiſſima ex B educta abſcin-dit cum A ex axi lineam maiorem, quàm A K (49. 50. 51. 52. ex 5.) verùm linea breuiſſima continet cum tangente B I angulum rectum (29. 30. ex 5.) igitur D B I eſt acutus, quare ſi centro D, interuallo D B cir-culus deſcribatur, tunc B I cadit intra circulum, & A H cadit extra id ipſum, quia eſt perpendicularis ad D A; igitur circulus ſecat coniſectio-nem; ſecet eam in L, & iungamus L D, ducamuſque L G ſectionem, tangentem. Pater (vt dictũ eſt) quod D L G ſit acutus; ergo L G cadit intra circulum B L A, ſed cadit extra, quod eſt abſurdum; ergo B D non eſt æqualis ipſi A D. Neque minor illo eſſe poteſt; quia ſi ſecetur D M maior, quàm D B, & minor, quàm D A, & centro D, interuallo D M, circulus M L N deſcribatur, tunc D N, nempe D M maior eſt, quàm D B, & propterea circulus N L M ſecat coniſectionem. Subinde, patebit (quemadmodũ demoſtrauimus) quod D B non ſit minor, quàm D A; igitur D B maior eſt, quàm D A.

a b 33. 34. lib. 1. c d 33. 34. lib, 1. e f

Poſtea dico, quod D C maior eſt, quàm D B; quia demonſtrauimus, angulũ D B O eſſe obtuſum, & patet, quod D C P eſt acutus, & proce-dendo trito iam itinere demonſtrabimus, quod Q O neceſſe eſt, vt cadat intra circulum C Q B. Et quod ſi fuerit D C minor, quàm D B, aut æ-qualis, neceſſe eſt, vt Q O cadat intra circulum C Q B; ſed cecidit ex-tra, quod eſt abſurdum; igitur D C maior eſt, quàm D B, & D B ma-ior, quàm D A, quod erat oſtendendum.

g
PROPOSITIO LXVI.

IN ſectione elliptica A B C, cuius axis maior A C eius centrum D, & D B dimidium recti, duci nequeat ex E ad quadrantem A B breuiſecans, & producatur perpendicularis E F; Dico punctum F cadere inter D A.

Quia ſi caderet inter C, D du- ci poſſet ex E ad ſectionem A B aliqua breuiſecans (56. ex 5.) quod eſt contra ſuppoſitionem. Deinde patet, quemadmodum demonſtrauimus in parabola, & hyperbola, quod E A minima ſit linearum, & ramorum ad ſectionem B A cadentium, & propinquior illi, minor ſit remotiore, & hoc erat propoſitum.

a b pr. 64. 65. huius.
PROPOSITIO LXVII.

P Oſtea repetamus figuras, paraboles, & hyperboles, & quoquot ſunt illius ſigna, & ſupponamus quod ipſius D B portio B K, ſit tantummodo linea breuiſſima; Dico, quod D A quoque minima eſt linearum egredientium ex D ad ſectionem A C, & illi propinquiores ſunt minores remotioribus.

a b

Quia educitur ex D vnus tantum breuiſecans erit menſura E A maior dimidio erecti, & D E æqualis F Trutinæ (51. 52. ex 5.) vnde ſequi-tur, quod lineæ breuiſſimæ eductæ ab extremitatibus reliquorum ramo-rum abſcindunt cum A ab axi line-as maiores, quàm ſecant illi rami. Ducamus prius ad ſectionem B A ramum D G, inde conſtat D G ma- iorem eſſe, quàm D A (64. 65. ex 5.) Dico iam, quod D B maior eſt illa, alioquin eſſet æqualis, vel mi-nor illa, & producamus D H ad ſectionem B G; ergo D H maior eſt, quàm D G, quia remotior eſt ab D A (64. 65. ex 5.) quare maior eſt, quàm D B, & ex illo ſecetur D I maior, quàm D B, & minor, quàm, D H, & centro D interuallo D I deſcriptus circulus ſecabit ſectionem, B G, ſecet eam in M, & iungamus D M; ergo D M, nempe D I, quæ conceſſa fuit maior, quàm D B eſt etiam maior, quàm D H, propterea quod eſt remotior ab D A, quàm D H (64. ex 5.) igitur D I maior eſt quàm D H, quod eſt abſurdum; quare D B maior eſt, quàm D H.

c
d e

Patet etiam, quod D B minor ſit, quàm D C, alioquin eſſet vel illi æqualis, aut maior, & ducamus D N ad ſectionem C B; ergo D N mi-nor eſt, quàm D C, eò quod proximior eſt D A (64. ex 5.) quare mi-nor eſt, quàm D B, & fecetur D O ex D B maior, quàm D N, & mi-nor quàm D B, & centro D, interuallo D O circulus deſcriptus ſecabit ſectionem exempli gratia, in Q, & iungamus D Q, igitur D Q minor eſt quàm D N, ſed eſt æqualis D O, quæ ſuppoſita fuit maior, quàm D N, ergo D Q maior eſt, quàm D N; verum eſt minor illo, quod eſt abſur-dum; igitur D C non eſt minor D B, neque æqualis; quare maior illa. eſt. Atque ſic patet, quod D B minor ſit omnibus lineis egredientibus ex D ad ſectionem B C, & illi proximiores ex illa parte, minores ſunt remotioribus. Quapropter manifeſtum eſt, quod D A ſit minimus omni-um ramorum egredientium ex D ad ſectionem A B C, & reliqui proxi-miores illi, minores ſunt remotioribus, quod erat oſtendendum.

f g
PROPOSITIO LXXII.

SI eductæ fuerint ex D duæ breuiſecantes D C, D B, quorum ſegmenta G C, B K ſint breuiſſima, & D B propin-quior ſit vertici ſectionis; Di-co, quod D B maximus eſt ra-morum egredientium ad ſectio- nem A B C, & minimus eorũ D C, & ramorum egredientiũ ad ſectionem A C, qui D B propinquiores maiores ſunt remotioribus, & propinquiores D C (ex ramis egredientibus ad ſectionem in ea parte) mino-res ſunt remotioribus.

a

Sit F Trutina, & quia iam ducti ſunt ex D duo breuiſecantes, ideo E A excedit dimidium erecti, & D E minor eſt, quàm F (51. 52. ex 5.) his poſitis, vtique lineæ breuiſſimæ egredientes ab extremitatibus ramo-rum qui ſunt in ſectione B C abſcindunt ab axi EA minores lineas, quàm abſcindunt rami (51. 52. ex 5.) & qui ducuntur ab extremitatibus egre-dientium ad reliquas ſectiones abſcindunt lineas maiores. Educamus ita-que ramos D H, D I ad ſectionem B C, & ducamus B L, L H M, & I M tangentes ſectionem in punctis B, H, I; quia B K eſt breuiſsima erit I. B D angulus rectus, & quia breuiſſima egrediens ex H abſcindit cum A ab axi E A lineam minorem, quàm ſecat D H erit L H D obtuſus, & iungamus D L; igitur duo quadrata D H, H L minora ſunt, quàm qua-dratum D L, quod eſt æquale duobus quadratis L B, D B; verum L B minor eſt, quàm H L (68. ex 5.) ergo D B maior eſt, quàm D H. atq; ſic patet, quod D H maior ſit, quàm D I, quia D H M eſt acutus, & D I M obtuſus: & D I maior ſit, quàm D C. Quare B D maximus eſt ra-morum egredientium ad B C, & iam demonſtratum eſt, quod ſit maxi- mus ramorum egredientium ad B A (64. 65. ex 5.)

29. 30. huius. Ex 29. 30. huius. Ibidem. b c

Ponamus poſtea N extra ſectionem B C, & iungamus D N, itaque, linea breuiſſima egrediens ex N abſcindit ab axi E A maiorem lineam, quàm ſecat D N; ergo tangens in N continet cum D N angulum acu- tum: poſtea oſtendetur, quemadmodum hic dictum eſt, quod D C mi-nimus ſit reliquorum ramorum egredientium ad reliquas ſectiones, & ſit minimus ramorum egredientium ad A C, quare manifeſtum eſt, quod D B ſit maximus ramorum, & D C minimus, & quod maioribus pro-pinquiores ſunt maiores remotioribus, & minoribus propinquiores, mi-nores ſunt remotioribus, quod erat oſtendendum.

51. 52. huius. d Ex 29. 30. huius.
MONITVM.

ANtequam huius Decimætertiæ Sectionis explicationes, atque emendationes aggrediamur, vt Notæ breuiores, clarioreſque reddentatur, & teſtus Arabici menda facilius corrigi poſſent, operæ pretium duximus (amice lector) Lemmata ſequentia præmittere.

LEMMA IX.

Si ad coniſectionem, atque ad vnum quadrantem ellipſis A B C à concurſu D nullus ramus duci poſsit, qui ſit breuiſecans; Dico, quod quilibet ſecans ramus D B cum tangente H B G per eius terminum B ducta efficit angulum D B H ad partes verticis A acutum, & D B G, qui deinceps eſt, obtuſum.

Quoniam nullus ramus ex concurſu D ad ſectionem A C ductus eſt breui-ſecans, erit (ex conuerſa propoſitionis 49. 50. 51. 52. huius) menſura A E aut non maior ſemiſſe lateris recti, aut perpendicularis D E maior Trutina, quæ ſit F, & ideo quilibet ramus ſe-cans D B cadit ſupra breuiſsimam ex puncto B ad axim ductam, eſt verò breuiſsima ex puncto B ad axim ducta perpendicularis ad G B H tangentem ſectionem in B; ergo angulus D B H, verticem A reſpiciens eſt acutus, & qui deinceps eſt D B G erit obtuſus.

29. 30. huius.
LEMMA X.

Iiſdem poſitis, ſi à concurſu D vnicus tantum ramus D B breuiſe-cans ad ſectionem A B duci poteſt; Dico, quod quilibet alius ramus ſecans D 1 ſupra, vel infra breuiſecantem D B poſitus efficit cum recta L I H tangente ſectionem in I angulum D I L, verticem reſpicien-tem, acutum, & D I H, qui deinceps eſt, obtuſum.

Nam ex conuerſa propoſitione 51. & 52. huius perpendicularis D E æqualis crit Trutinæ F, & ideo quilibet ramus D I poſitus ſupra, velinſra breuiſecantẽ (qui eſt D B) cadit ſupra breuiſsimam ex puncto I ad axim ductam, quæ per- pendicularis eſt ad tangentem L I H, & propterea angulus D I L, verticem A reſpiciens erit acutus, & conſequens angulus D I H obtuſus.

51. 52. huius. 29. 30. huius.
LEMMA XI.

Iiſdem poſitis, ſi à concurſu D duo breuiſecantes D C, D B ad ſe-ctionem A B duci poſſunt; Dico, quod quilibet ramus ſecans D I poſi-tus ſupra breuiſecantem D B vertici proximiorem, vel infra infimum breuiſecantem D C, efficit cum recta L I H tangente ſectionem in I an-gulum D I L, reſpicientem verticem A, acutum, & conſequentem D I H obtuſum, & quilibet ramus D O inter breuiſecantes poſitus efficit cum recta G O N ſectionem tangente in O angulum D O G verticem reſpicientem obtuſum, conſequentem vero D O N acutum.

Quia (ex conuerſa propoſitione 51. & 52. huius) perpendicularis D E mi- nor eſſe debet Trutina F, & propterea quilibet ramus D I ſupra breuiſecantem D B, vel infra breuiſecãtem D C cadit ſupra breuiſsimam ex puncto I ad axim ductam, cum qua contingens L I angulum rectum conſtituit; ergo angulus D I L verticem reſpiciens, eſt acutus, & conſequens D I H obtuſus; Similiter qui-libet ramus D O inter breuiſecantes poſitus cadit infra breuiſsimam ex puncto O ad axim ductam, & cum illa ſectionem contingens G O efſicit angulos rectos, igitur angulus D O G verticem reſpiciens, eſt obtuſus, & conſequens D O N acutus.

51. 52. huius. 29. 30. huius. Ibidem.
Notæ in Propoſ. LXIV. & LXV.

ANtea Apollonius docuit qui nam rami ab origine ad coniſectionem ducti eſſent minimi, & quo ordine reliqui rami ſe ſe excederent, modo agit de ramis axim ſecantibus à concurſu ductis, & quærit qui minimus, & qui maximus ſit, & quo ordine diſponantur.

Producamus perpendicularem D E ſuper axim, & c. Si nullus ramus breuiſecans à concurſu D ad ſectionem A C duci poteſt; Dico, quod ramus ter-minatus D A eſt minimus omnium ramorum ſecantium D B, D C, & propin-quiores vertici A minores ſunt remotioribus; ducatur D E perpendicularis ad axim eum ſecans in E, & reperiatur Trutina F. Et ſiquidem D A non eſt minor quolibet alio ramo ſecante D B infra ipſum poſito erit æqualis, aut maior illo; ſitque prius D A æqualis D B, ſi fieri poteſt, & ex puncto A verticis du-catur A G perpendicularis ad axim A E, quæ continget ſectionem in A, pari- terque ducatur recta A H perpendicularis ad ramum A D inclinatum ad axim; & quia A H cadit infra A G ad partes axis cum D A, ad quam illa perpen-dicularis eſt, extendatur vltra axim A E, nec poſsit inter tangentem A G, & ſectionem conicam A B, aliqua recta linea intercipi; igitur A H cadit intra coniſectionem, & angulus E A H eſt acutus.

a 17. lib. 1. 32. pr.

Quoniam ex D non educitur ad ſectionem A C vllus breuiſecans, & c. Sequitur quidem ex hac hypotheſi, quod menſura E A non ſit maior ſemierecto aut ſi maior eſt, ſit quoque perpendicularis D E maior Trutina F, ex conuerſa propoſitione 51. 52. huius per deductionem ad inconueniens.

b Ex 49. 50. huius.

Quare ſi centro D interuallo D B, & c. Circulus enim B I L H A ra- dio D B deſcriptus tranſibit per verticem A cum radius D B poſitus ſit æqualis D A, cumque angulus D B I ſit acutus, ex Lemmate nono, cadet neceſſario B I intra circulum B I L.

c

Ig tur circulus ſecat coniſectionem, & c. Quia B I cadit extra coniſe- ctionem, quàm tangit, & intra circulum B L A, vt dictum eſt, è contra re-cta A H cadit intra eandem coniſectionem, & extra ipſum circulum, quem, tangit, cum H A perpendicularis ſit ad circuli radium D A; igitur circulus B I L A fertur extra coniſectionem ad partes B I, & intra eandem ad partes A H; quare neceſſario coniſectionem ſecat.

d

Patet, vt dictum eſt, quod D L G ſit acutus, & c. Hoc enim ſequitur ex nono Lemmate præmiſſo, reſpicit enim angulus D L G verticem A; & ideo eſt acutus, & cadit neceſſario recta L G intra circulum B L A radio D L deſcri-ptum ad partes L A; & portio circuli L H A cadit intra coniſectionem L A; igitur recta L G cadit intra coniſectionem L A, ſed cadit extra eandem ſectio- nem, cum contingat eam in L, quod eſt abſurdum.

e 35. 36. lib. 1.

Deinde patebit, quemadmodum demonſtrauimus, & c. Quia D M fa- cta eſt maior, quàm D B, & minor quàm D A, eſtque circuli radius D N æqualis D M; ergo punctum M cadit intra coniſectionem, N vero extra ip-ſam; & propterea circulus M L N ſectionem conicam ſecabit alicubi, vt in L, & portio circuli M L intra coniſectionem A L incidet: rurſus ducatur radius D L, & L G coniſectionem tangens in L erit, vt priùs angulus D L G acu- tus; & ideo L G cadit intra circulum L M, & propterea intra coniſectionem A L, ſed eadem L G cadit extra ipſam, quia eam contingit in L, quod eſt ab-ſurdum; quare ramus D A non eſt maior, quàm D B; ſed priùs neque illi æqualis erat; igitur ramus terminatus D A minor eſt quolibet ramo ſecante D B infra ipſum poſito, & propterea minimus erit omnium ſecantium.

f 33. 34. lib. 1.

Poſtea dico, quod D C maior eſt, quàm D B, & c. Demonſtratio ſe- cundæ partis huius propoſitionis, quàm Apollonius innuit (quia conſtructione, ac progreſſu ſimili ſuperiori perſici poteſt) hac ratione reſtituitur. Demonſtran-dum eſt quemlibet ramum D B vertici A proximiorem eße minorem quolibet ramo D C remotiore. Ducantur recta C P contingens ſectionem in C, & O B tangens ſectionem in B, & recta B R perpendicularis ad ramum D B; & ſi quidem ramus D C non concedatur maior, quàm D B, ſit primo ei æqualis, ſi fieri poteſt, & centro D interuallo D C deſcribatur circulus C P R, qui tran-ſibit per punctum B, ob æqualitatem radiorum D C, D B; & quia (ex Lem-mate nono) angulus D C P verticem reſpiciens, eſt acutus, recta C P cadet intra circulum C P R; ſed cadit extra coniſectionem, cum ſit contingens; igi-tur portio circularis peripheriæ C P ducitur extra coniſectionem C Q B: rur-ſus, quia angulus D B O eſt obtuſus (ex nono Lemmate, cum verticem A non reſpi-ciat) ergo R B perpendicularis ad D B cadit intra coniſectionẽ, cum B O poſita ſit eã contingens: cadit verò eadem B R extra circulum B R Q, cum ſit perpendicu-laris ad circuli radium D B; igitur circuli portio B R intra coniſectionem ca-det: ſed priùs eiuſdem circuli portio C P extra eandem ſectionem ducebatur; igitur idem circulus ſecat coniſectionem alicubi, vt in Q, ducaturque denuo ramus D Q, & Q O contingens ſectionem in Q; Vnde (ex nono Lemmate) angulus D Q O erit acutus; & propterea recta Q O intra circuli portionem; Q R conſtituta intra coniſectionem cadet, quod eſt abſurdum; recta enim Q O extra coniſectionem Q A cadit, quàm contingit in Q; non ergo ramus D C æqualis eſt ipſi D B. Sit ſecundò D C minor, quàm D B (ſi fieri poteſt) ſe-ceturque D T minor quàm D B, ſed maior quàm D C; & centro D interuallo D T deſcribatur circulus T Q S; is quidem ad partes B cadet intra, ad par-tes vero C extra coniſectionem; & propterea eam alicubi ſecabit, vt in Q; & ducto ramo D Q, & Q O contingente ſectionem in Q, erit angulus D Q O acutus, & ideo recta Q O cadet intra circulum T Q, & propterea intra coniſectionem, quod eſt abſurdum; Q O enim cadit extra ſectionem Q A, quàm contingit in Q; non ergo ramus D C minor eſt, quàm D B, ſed neque æqualis priùs oſtenſus fuit; igitur quilibet ramus D B vertici A propinquior minor eſt quolibet ramo remotiore D C, quod erat oſtendendum.

g 33. 34. lib. 1. Lem. 9.
Notæ in Propoſ. LXVI.

QVia ſi caderet inter C, D ducipoſ- ſet, & c. Quotieſcumq; enim perpen-dicularis E F cadit ſuper centrũ D, vel ſecat ſemiaxim D C inter D, & C, tũc ex concurſu E vnicus ramus breuiſecans du-ci poteſt ad ſectionem B A, qui nimirum ca- dit inter verticem remotiorem A, & axim minorem D B: ſed ex hypotheſi nullus ra-mus ex concurſu E ad quadrantem ellipſis A B duci poteſt, qui ſit breuiſecans; igitur per-pendicularis E F ſecat ſemiaxim A D in puncto F poſito inter A, & D.

a 45. 56. huius.

Deinde patet, quemadmodum demon-ſtrauimus in vtraque hyperbola, & c. Permuto particulam [vtraque] vt manifeſtè erroneam, legi enim debet in parabola, & hyperbola. Quod vero ra-mus terminatus E A minimus ſit omnium ramorum ſecantium manifeſtum eſt ex demonſtratione propoſitionis 64. 65. , quæ compræhendit etiam ellipſim, quando menſura F A minor eſt ſemiaxi A D, vt ex propoſitione 52. patet. Et ſi-militer ramorũ ſecantium ex concurſu E ad ſectionem A B ductorum propinquio-res vertici A minores ſunt remotioribus ex eadem demonſtratione 64. 65. huius.

Ex demonſtratione præmiſſa propoſitionum 64. & 65. deduci poteſt conſectarium, à quo notæ ſubſe-quentes breuiores reddantur. COROLLARIVM PROPOSIT. LXIV. & LXV.

SI in aliqua peripheria cuiuslibet coniſectio- nis omnes rami ſecantes, qui à concurſu duci poſſunt, cum tangentibus ab eorum ter-minis ductis conſtituunt angulos, qui verti-cem reſpiciunt, acutos; rami proximiores ver-tici ſectionis minores erunt remotioribus.

Ex eo enim, quod ïn propoſitionibus 64. & 65. , omnes rami D A, D L, D B, D Q, D C, & reliqui omnes, qui duci poſſunt ex con-curſu D ad ſectionem A B C efficiunt cum tangentibus ſectionẽ à terminis A, L, B, Q, C angulos, verticem A reſpicientes, acutos, vt ſunt D A V, D L G, D B I, D Q O, D C P, oſtenſus eſt ramus D A minor quàm D B, & D B propinquior vertici A, minor ramo D C remotiore.

Notæ in Propoſ. LXVII.

POſtea repetamus figuram vtrã- que hyperboles, & c. Lego; Repetamus figuras paraboles, & hy-perboles, & ſupponantur denuo eædem lineæ æductæ ex concurſu D ad ſectio-nem; & perpendicularis D E, atque Trutina F, & omnium ramorum ſe-cantium vnicus tantummodo D B ſit breuiſecans.

a

Et illi propinquiores ſint maio- res remotioribus, & c. Sed mendo-sè; legi debet: Et illi propinquiores ſint minores remotioribus.

b

Quia educitur ex D vnus tantum breuiſecans, & c. Legi debet. Quia educitur ex concurſu D vnus tantum breuiſecans, erit menſura E A maior di-midio erecti, & D E perpendicularis ad axim æqualis erit Trutinæ F.

Conuerſ. 51. 52. huius. c

Inde conſtat D G maiorem eſſe, quàm D A, & c. Quia ex concurſu D ad ſectionem A C vnicus ramus D B breuiſecans ſupponitur igitur omnes rami cadentes inter A, & B præter infimum D B conſtituunt cum tangentibus ſectio-nem, ab eorum terminis ductis, angulos reſpicientes verticem A acutos; & pro- pterea ramus terminatus D A minor eſt quolibet ramo D G infra ipſum, & ſu-pra ramum D B poſito; atque ramus D G minor eſt quolibet alio à vertice re- motiore ducto ex D ad peripheriam A B. Dico iam, quod ramus D B maior eſt quolibet ramo D G, poſito infra verticem A, & ſupra breuiſecantem D B; Si enim hoc verum non eſt, erit D B æqualis, aut minor, quàm D G, & tunc ducto quolibet ramo D H ad ſectionem G B infra ramum D G, erit D H re- motior à vertice A maior propinquiore D G, & propterea ramus D B adhuc minor erit ramo D H.

d Lem. 10. Coro 11. 64. 65. huius. Ibidem.

Ergo D M nempe D I, & c. Quia D M, vt remotior à vertice A, eſt ma- ior, quàm propinquior D H eſt vero D L, atque D I æqualis D M cum ſint radij eiuſdem circuli; ergo D I portio maior eſt, quàm totum D H, quod eſt abſurdum; quare D B maior eſt quolibet ramo D G infra verticem A, & ſu-pra ramum D B poſito; & propterea D B multo maior erit, quàm D A.

e Ibidem.

Ergo D N minor eſt, quàm D C, & c. Dubitare quis poſſet, an ramus D N, quia propinquior eſt vertici A ſit minor remotiore ramo D C, vt in pro-poſitione 64. & 65. verificabatur; & ratio eſt, quia hypotheſes ſunt diuerſæ, nam ibi nullus ramus breuiſecans à concurſu D ad ſectionem A C duci poſſe ſupponebatur, in hac vero propoſitione 67. ponitur vnicus breuiſecans D B, at ſcrupulus omnis tolletur, ſi dicatur, non quidem ex propoſitionibus 64. & 65. ſed ex demonſtratione ibi allata, ſeu ex Corollario in fine notarum appoſito, propoſitum deduci, nam duo rami D C, & D N poſiti infra ſingularem breuiſecantem D B efficiunt cum re- ctis tangentibus ſectionẽ angulos ver-ticem reſpicientes acutos; igitur vt in ſecunda parte propoſitionum 64. & 65. demonſtratum eſt, eritramus D N vertici propinquior minor re-motiore ramo D C.

f
I em. 10.

Et centro D, interuallo D O circulus deſcriptus ſecabit ſectio-nem exempli gratia in Q (56. ex 5.) & iungamus, & c. Videtur om-nino expungenda citatio in textu appoſita; (56. ex 5.) nam circulum O Q ma-nifeſtum eſt, ſecare coniſectionem alicubi, vt in Q, cum radius D O poſitus ſit minor D B, & maior D N; poſtea, quia D Q propinquior eſt vertici A, quàm D N, & omnes rami à D ad peripheriam ſectionis N Q ducti, effici- unt cum ſuis tangentibus angulos, verticem reſpicientes, acutos; igitur D Q mi-nor eſt, quàm D N, quod eſt abſurdum; poſita enim fuit D O, ſeu ei æqualis D Q, & D P maior, quàm D N.

g Lem. 10. Coroll. 64. 65. huius.
COROLLARIVM PROPOSIT. LXVII.

A Ngulorum à ramis ſecantibus, qui à cõ- curſu ad coniſectionem duci poſſunt, cum tangentibus ab eorum terminis ductis cõ-præhenſorum, ſi vnus tantnm rectus fuerit, reliqui omnes verticem reſpicientes acuti; ra-mi proximiores vertici ſectionis, minores erũt remotioribus.

Ex eo enim, quod in propoſitione 67. om-nes rami D A, D L, D C, & reliqui om-nes, qui duci poſſunt ex concurſu D ad ſectio-nem A B C, cum tangentibus ſectionem à ter-minis A, L, C compræhenderunt angulos ver-ticem reſpicientes D A V, D L G, D C P acutos, & tantummodo vnus D B I rectus fuit oſtenſus eſt ramus D A minor, quàm D L, & D L vertici A propinquior, mi-nor, quàm D B, atq; D B minor quolibet remotiore D C.

Notæ in Propoſit. LXXII.

ET minimus eorum D C, & c. Textus videtur mendoſus; nam vt inferius oſtendetur, ramus breuiſe-cans D C à vertice remotior, non ſem-per minimus eſt omnium ramorum ca-dentium ex concurſu D ad ſectionem A B C; itaque legendum puto; D C eſt minimus ramorum cadentium ad peripheriam ſectionis B C N; quod manifeſtè indicatur ex determinatione in fine propoſitionis appoſita; inquit enim: propinquiores D C (ex ramis egredientibus ad ſectionem in ea par-te) minores ſunt remotioribus, vbi conijcitur, Apollonium noluiſſe pronũ-ciare, ramum D C minimum eße omnium, qui in ſectione A C N duci poſſunt, neque propinquiores D C minores eſſe quolibet remotiori ad partes verticis A conſtituto, ſed tantummodo eorum, qui in ſectione C B, & in inferiori C N ducuntur minimum eſſe D C, & ei propinquiores minores eſſe remotioribus.

a

Atque ſic patet, quod D H maior ſit, quàm D I, & c. Ex vndecimo enim Lemmate angulus D H M eſt acutus, & D I M obtuſus, & coniuncta D M erunt duo quadrata D H, H M maiora quadrato D M, quæ ſubtendit angulum acutum; quadratum verò D M maius eſt duobus quadratis D I, I M, ergo multo magis duo quadrata D H, H M ſimul ſumpta maiora ſunt duobus quadratis D I, I M ſimul ſumptis, & auferatur ex aggregato maiori quadra-tum minus H M, & ex minori tollatur quadratum maius I M (cum contin-gens H M propinquior vertici A minor ſit remotiore M I) remanet quadratũ D H maius quadrato D I, & propterea ramus D H maior erit ramo D I, & ſimili modo ramus D I maior oſtendetur ramo D C.

b 68. 69. huius.

Et iam demonſtratũ eſt, & c. Scilicet: quia omnesrami ex D ad peripheriã A B ducti efficiunt cum ſuis tangentibus angulos verticem reſpicientes acutos; & propterea ramus D B maior erit quolibet alio ramo inter B, & A ducto; ideoque D B erit maximus cadentium in peripheria A B.

c Lem. 11. Coroll. 64. 65. huius.

Poſtea oſtendetur, quemadmodum hìc dictum eſt, & c. Textus eſt val- de corruptus, ſic reſtituendum puto; Oſtendetur, quemadmodum ſupra dictum eſt, (scilicet in ſecunda parte propoſ. 67.) quod D C minimus ſit omnium ra-morum ad ſectionem infimam C N cadentium, & vt hic oſtenſum eſt, ſit mi-nimus ramorum egredientium ad ſectionem B C; quare patet, quod D B ſit maximus ramorum cadentium ad ſectionem A C, & D C ſit minimus caden-tium ad ſectionem B C N, & quod propinquiores maioribus, ſunt maiores re-motioribus in peripheria ſectionis A C, & propinquiores minoribus, ſunt mi-nores remotioribus in peripheria ſectionis B C N, & hoc erat oſtendendum.

d

Quod autem infimus ramus breuiſecans D C non ſit neceſſario minimus om-nium ramorum cadentium ad peripheriam ſectionis A B, modò oſtendetur.

In coniſectione duos ramos hreuiſecantes, ducere, quorum infimus maior ſit ramo ſecante poſito in peripheria à vertice, & ſuprema bre-uiſecante compræhenſa: oportet autem in ellipſi, vt rami ſecantes ad vnum eius quadrantem ducantur à concurſu, inter axim minorem, & verticem collocato.

PROB.6. Addit.

In coniſectione A B C, cuius ver- tex A axis A D, & in hyperbola, & ellipſi centrum E ducatur quæli- bet breuiſsima F B: poſtea ſecetur F G ex axi, ita vt punctum G non cadat ſupra verticem A, ſeceturque F H non maior, quam F G, ducan-turque rectæ H C, G G parallelæ ipſi F B occurrentes ſectioni in C, & G, coniungaturque recta C G ſecans F B in I: patet, C I maiorem non eſſe, quàm I G; propterea quod G C, G H à parallelis ſecantur proportio-naliter; Deinde ex C ducatur alia breuiſsima C K, occurrens B F vl-tra axim in L, iungaturque ramus G L: oſtendendum eſt L C maiorem eſſe, quàm L G. Secetur C G bifa-riam in M, atque per M ducatur ſe-ctionis diameter M N parallela axi in parabola, & per centrum exſten-ſa in reliquis ſectionibus, occurrens ſectioni in N, ducaturque O N ſe-ctionem contingens in N, iungantur- que L M, & L N, quæ ſecet G C in P. Quoniam G I æqualis, aut ma-ior eſt, quàm I C, cadet punctum M bipartitæ diuiſionis totius C G, vel in I, vel inter I, G, & in vtro-que caſu punctum N cadet inter G, & B (eoquod diameter M N paral-lela axi in parabola, aut ex centro E educta in reliquis ſectionibus effi-cit angulum N M L ad partes ver-ticis A) & ideo ramus L N cadens ſupra duos breuiſecantes L C, L B ad partes verticis efficit cum tangen- te O N angulum acutum L N O ver- ticem A reſpicientem; eſtque G C or-dinatim applicata ad diametrum N M parallela tangenti verticali O N; ergo angulus L P G externus æqua-lis erit angulo L N O interno, & op-poſito, & ad eaſdem partes conſtitu-to; & ideo angulus G P L acutus quoque erit, at in triangulo P M L angulus internus L M P, & oppo-ſitus minor eſt externo L P G acuto; igitur angulus L M P acutus pariter erit, & L M C obtuſus; ſuntq; intrian-gulis L M G, & L M C circa an-gulos inæquales, latera G M, M C æqualia, & L M commune; ergo L C maior eſt, quàm L G, quod erat faciendum.

8. 9. 10. huius. 8. 9. 10. 26. 27. 28. huius. 33. 34. lib. 1.
Lem. 11. 5. lib. 2.

E contra fieri poteſt, vt infimus breuiſecans ramus L C æqualis, aut minor ſit ramo aliquo ſupra breuiſe-cantem reliquum B L poſito. Nam L C minor eſt, quàm B L, & maior effici poteſt ramo non vltra ſectionis verticem A collocato ex prima parte huius pro-poſitionis, ſed rami à concurſu L educti cadentes inter puncta A, & B ſucceſ-ſiuè augentur quo magis à vertice A recedunt; Ergo ramus L C æqualis, aut minor erit aliquo ramo ab eodem concurſu L educto inter puncta A, & B cadente; igitur manifeſtum eſt ramum breuiſecantem C L infimum duorum breuiſecantium, non eſſe ſemper minimum omnium ramorum cadentium ex concurſis L ad peripheriam ſectionis A B C, ſed tan-tummodo minorem eſſe eorum, qui inter duo breuiſecantes B L, C L cadunt, & reliquorum infra ramum C L cadentium, atque aliquorum in pe-pheria A N exiſtentium propè maximum L B; quapropter exiſtimandum eſt, in-curia alicuius verba illa non ſine Apollonij iniuria textui irrepſiſſe.

SECTIO DECIMAQVARTA Continens Propoſ. LXXIII. LXXIV. LXXV. LXXVI. & LXXVII. PROPOSITIO LXXIII.

SI ex concurſu E non exiſtente ſuper rectum minorem elli- pſis A B C ducatur ad ſectionem A B vnicus ramus vtrum-que axim ſecans, cuius portio G I inter ſectionem, & axim maiorem A C ſit breuiſſima, vel duo breuiſecantes; vtique ra-morum ſecantium ex illo concurſu egredientium maximus erit breuiſecans, qui ſectionis rectum ſecat, nempe E G, & illi proximior maior eſt remotiore; minimus verò eorum eſt, qui terminatur à vertice ſectionis proximiori concurſui, nempe E C, & illi propinquiores minores ſunt remotioribus, nempe in-ter C G. Si autem egrediantur ex illo tres breuiſecantes, & duo illorum ſecuerint menſuram, & vnus ſecuerit rectum, vtique qui rectum ſecat eſt maximus ramorum ſecantium: & ramorum inter mediam breuiſecantem, & remotiorem verticem ſectionis à concurſu cadentium, proximior illi, eſt maior remotiore, & maximus duorum reliquorum breuiſecantium eſt ille, qui vertici proximus eſt, & ramorum, inter proximiorem verticem ſectio-nis, & intermedium breuiſecantem cadentium, vicinior illi, ma-ior eſt remotiore.

a

Erigamus itaque ſuper D perpendicularem D B occurrentem E G in, L; ergo eſt dimidium recti, & E non eſt indirectum, quia non egredi-tur ex E, niſi vnicus breuiſecans; inſuper lineæ breuiſſimæ egredien- tes ab extremitatibus reliquorum ramorum abſcindunt ab axi A C cum C, lineam maiorem, quàm ſecant rami illi. (51. 52. ex 5.) His po-ſitis manifeſtum eſt, quod E C F eſt acutus; atque E C minima eſt linea-rum egredientium ex E ad quadrantem E B, & illi propinquior, minor eſt remotiore; modo demonſtrandum eſt, quod E K maior quoque eſt, quàm E B, producamus itaque B M, M K tangentes, ergo M B E eſt obtuſus, & M K E acutus (29. ex 5.) quia breuiſſima egrediens ex K abſcindit cum A minorem lineam, quàm ſecat K E (57. ex 5.) eo quod K cadit inter duas lineas L B, L G; & iungamus M E; ergo duo qua-drata M B, B E minora ſunt, quàm quadratum M E, quare minora, erunt duobus quadratis M K, K E, & M B maior eſt, quàm M K, ergo B E minor eſt, quàm K E; & ſic demonſtratur, quod G E maior ſit, quàm K E; Nam ſi producamus G N tangentem, tunc N G E eſt re-ctus, quia G I eſt breuiſſima, & N K E obtuſus; ergo G E maior eſt, quàm E K; itaque G E maximus eſt ramorum egredientium ex E ad ſe-ctionem G C, & minimus eorum E C, atque propinquior E C minor eſt remotiore.

b c d 70. huius. 30. huius.

Educamus ex E ad ſectionem A G, E A, E O, oſtendetur quod E G maior ſit, quàm E O, & E O, quàm E A. Erigamus itaque ad A C perpendicularem A P; ergo E A P eſt obtuſus, & producamus P O Q tangentem; ergo P O E eſt acutus, quia linea breuiſſima egre- diens ex O ſecat cum A lineam maiorem; ergo E O maior eſt, quàm E A: atq; ſic patet, quod E G maior ſit, quàm E O (29. ex 5.) quia Q G E eſt rectus, & Q O E obtuſus, & G Q maior, quàm O Q, ergo E G maximus eſt ramorum egredientium ex E ad ſectionem A B C, & minimus eorum E C, & propinquiores minimo, remotioribus minores ſunt, & propinquiores maximo, ma-iores ſunt remotioribus; quod erat oſtenden-dum.

e 57. huius.
PROPOSITO LXXIV.

DEinde ſint E H, E G duo breuiſecantes, & E G ſecet rectum B D. Dico, quod E G eſt maximus ramorum, egredientium ex E ad ſectioncm A B C, & E C eſt minimus.

Producatur perpendicularis E F, quæ non cadet ſuper centrum; ſi e-nim per centrum duceretur, duci poſſet ex E, aut vnicus breuiſecans tantum (44. ex 5.) aut tres (45. ex 5.) quod eſt contra hypotheſin; er- go E F per centrum non tranſit, cadat ſuper C D; & quia ducuntur ex E duo breuiſecantes, erit C F maior dimidio erecti, & E F æqualis Tru-tinæ (52. ex 5.) patet itaquè, vti antea demonſtrauimus, quod E G maximus ſit ramorũ, & E C minimus; atquè propinquior maximo, maior eſt, & propinquior minimo, eſt minor.

Ex 45. huius. a
PROPOSITO LXXV.

POſtea educamus ex E tres breuiſecantes E G, E H, E I, & ſecent E I, E H menſuram, & E G ſecet rectum in L. Dico, quod E G eſt maximus ramorum egredientium ex E ad ſectionem A B C, & ramorum inter A H cadentium propin-quiores illi, maiores ſunt remotioribus, & E I eſt maximus ra-morum egredientium ad ſectionem H C, & illi propinquiores maiores ſunt remotioribus.

a

Quoniam I K, H M ſunt duæ breuiſſimæ conſtat, quod E I maximus ſit ramorum cadentium ad illam ſectionem (72. ex 5.) & propinquior illi maior eſt remotiore: nec non; quia H M, G N ſunt duæ breuiſſimæ conſtat, vt dictum eſt, quod G E ſit maximus ramorum cadentium vtrin-que ad ſectionẽ A H. Dico etiam, E G maiorem eſſe, quàm E I; nam ſi producatur I O parallela ipſi A C, & iungatur E O, ducanturque per- pendiculares I P, O Q, G R, E F S, quia G N, I K ſunt breuiſſimæ er it D P ad P K, quæ eſt, vt proportio figuræ, vt D R ad R N; ergo F P ad P K minorem proportionem habet, quàm F R ad R N, & diuidendo F K ad K P, nempe F E ad I P, minorem proportionem habet, quàm, F N ad N R, nempe F E ad G R: ergo F E ad I P minorem proportio-nem habet, quàm ad G R, & propterea G R minor eſt, quàm I P, quæ eſt æqualis O Q, cuius punctum O remotior eſt à vertice, quàm G, & ideo E G maior eſt, quàm E O. (74. ex 5.) Et quia O T æqualis eſt T I erit O S maior quàm S I, & S E perpendicularis ad O I eſt com-munis; igitur O E maior eſt, quàm E I; & oſtenſa eſt E G maior, quàm O E; Ergo E G maior eſt, quàm E I, quod erat oſtendendum.

b c 74. huius. d 15, huius.
PROPOSITIO LXXVI.

SI ex concurſu E in recto E B poſito ellipſis A B C nõ edu-catur breuiſecans præter E B, qui tranſeat per centrum; erit E B ma-ximus ramorum ſecantium ex con-curſu ad ſectionem egredientium.

a

Si vero ex illo educatur alius bre- uiſecans erit æqualis vni breuiſecan-ti ex altera parte recti poſito, & omnium reliquorum erit maximus.

b

Quia breuiſſimæ egredientes ab ex-tremitatibus reliquorum ramorum ab-ſcindunt cum C, vel A lineas maiores, quàm ſecent rami (illi 44. ex 5.) de-monſtrabitur ductis tangentibus, per extremitates illorum (quemadmodum, antea oſtenſum eſt) quod E B ſit maximus ramorum egredientium ad duos quadrantes C B, B A, & hoc erat oſtendendum.

PROPOSITIO LXXVII.

POſtea educatur alius breuiſe- cans E F; Dico, quod eſt æ-qualis vni breuiſecanti E G æque remoto à recto D B, & eſt maxi-mus reliquorum omnium.

a

Quia B D, F H ſunt duæ breuiſſimæ, ergo rami egredientes ad ſectionem B F abſcindunt cum A maiores lineas, quàm ſecent breuiſſimæ, egredientes ab eorum extremitatibus: idem dicendum eſt de ramis educti ad ſectionis peripheriam B G, & rami educti ad peripherias C G, A F abſcindunt cum C, vel A lineas minores (45. ex 5.) conſtat itaque adhibitis li- neis tangentibus, vt dictum eſt, quod E F ſit maximus ramorum ſecan-tium ex E ad C B A egredientium, excepto vno E G, cui eſt æqualis, quod erat oſtendendum.

b c
Notæ in Propoſit. LXXIII.

PR O clariori intelligentia propoſitionum huius ſectionis hæc præmitto.

LEMMA XII.

Si in ellipſi A B C à concurſu E ductus fuerit ramus E G ſecans vtrumque axim in H, & 1, cuius portio G 1, inter axim maiorem A C, & ſectionem intercepta, ſit linea breuiſsima; dico, quod quili-bet alius ramus E K inter breuiſecantem G E, & axim minorem in-terceptus, efficit cum ſectionem tangente K P angulum E K P acutum, reſpicientem verticem C concurſui propinquiorem: & quilibet. ramus E L inter breuiſecantem G E, & axim maiorem poſitus efficit cum tan-gente L M angulum E L M reſpicientem eundem verticem A acu-tum.

Ducatur E F perpendicularis ad axim maiorem, eum ſecans inter verticem c, & centrum D in F, & ex concurſu axis minoris B H, & breuiſsimæ G E, scilicet ex H ducantur rectæ H K, & H L; pariterque ex punctis, K, & L ducantur ad axim maiorem A C lineæ breuiſsimæ K N, L O, ei occurrentes in N, & O. Luoniam (ex præmiſſo Lemmate 8.) à concurſu H ducitur ramus H K inter breuiſecantes H B, H G interceptus; ergo H K cadit infra breuiſ-ſimam K N ad partes verticis C; eſt vero angulus N K P rectus à tangente, & breuiſsima contentus; ergo angulus H K P erit acutus, cum H K cadat in-ter N K, & tangentem K P; cadit vero E K infra ramum H K verſus C; igi-tur angulus E K P reſpiciens verticem C proximiorem concurſui E erit acutus.

29. 30. huius.

Similiter (ex eodem Lemmate 8.) quia ramus H L ducitur inter breuiſecan-tem H G, & verticem A à concurſu E remotiorem, cadet ipſe ſupra breuiſsimã L O, eſtque angulus O L M ad partes verticis A rectus; ergo H L M acutus erit, cumque E L cadat ſupra H L verſus A; igitur angulus E L M, verticem A re-motiorem reſpiciens, erit acutus, quod erat oſtendendum.

Ibidem.

Si à concurſu E non exiſtente ſuper recto ellipſis A C, producatur vni- cus ramus ſecans ipſam A C, vt E G, cuius ſegmentum G I, & A C ſit breuiſsimum, vel duo breuiſecantes; vtique maximus ſecantium ramorum egredientium ex illo concurſu, eſt breuiſecans, qui rectum ſectionis ab-ſcindit, nempe E G, & c. Textum mendoſum ſic reſtituendum cenſeo. Si ex concur ſu E non exiſtente ſuper axim rectum minorem ellipſis A B C ducatur ad ſectionem A B vnicus ramus vtrumque axim ſecans, cuius portio G I inter ſe-ctionem, & axim maiorem A C intercepta ſit linea breuiſsima; vel ducatur præ-ter E G alius ramus breuiſecans, menſuram tantummodo abſcindens; vtique, ramorum ſecantium, ex illo concurſu egredientium, maximus erit ille, qui axim rectum ſectionis diuidit, & c.

a

Erigamus itaque ſuper D perpendicularem, & c. Scilicet ex centro ſectio- nis D eleuetur D B perpendicularis ad axim maiorem A C, occurrens ſectioni in B, & ipſi E G in L, & propterea D B erit ſemiſsis recti axis, & punctum E in axi B D non exiſtit ex hypotheſi, & c.

b

Quoniam non egreditur ex E niſi vnus breuiſecans, ergo lineæ breuiſsi- mæ egredientes ab extremitatibus reliquorum ramorum, abſcindunt ab axi cum A C, L A lineam maiorem, quàm ſecent illorum rami (51. 52. ex 5.) & iam patet, quod ſi ita ſe res habet L E C eſt acutus; quia E C breuiſsima eſt linearum egredientium ex E ad quadrantem A B, & pro-pinquior illi, minor eſt remotiore, & c. Sic legendum puto; Luia præter E G, vtrumque axim ſecantem nullus alius breuiſecans duci poſſe à concurſu E ad ſectionem ſupponitur, ergo lineæ breniſsimæ egredientes ab axtremitatibus reli-quorum ramorum in quadrante C B abſcindunt ab axi A C cum vertice C li-neas maiores, quàm ſecent rami (51 52. ex 5.) pariterque conſtat, quod an-gulus E C F ſit acutus, atque ramus E C eſt minimus egredientium ex E ad qua- drantem C B, & propinquior minimæ, minor eſt remotiore. Demonſtrandum, modo eſt, quod K E maior quoque eſt, quàm E B, & c.

c 64. 65, huius.

Producamus itaque M B, M K tangentes; ergo M B E eſt obtuſus, & M K E eſt acutus (29. ex 5.) quia breuiſsima egrediens ex K abſcindit A lineam minorem, quàm A E (57. ex 5.) eo quod K eſt inter duo ſegmen-ta L B, L G: & iungamus M E; ergo duo quadrata M B, B E minora, ſunt, quàm quadratum M E, quæ minora ſunt duobus quadratis M K, K E, & c. Ideſt: ex punctis B, K ducantur duæ tangentes ſectionem M B, K M occurrentes in M, & quia angulus D B M rectus eſt contentus ab axe, & tangen- te, & cadit B E inter C, & D ergo angulus E B M eſt obtuſus; poſtea, quia E K cadit infra breuiſsimam E G, & ſupra minorem axim B D, ergo angulus E K M reſpiciens verticem C propinquiorem concurſui, erit acutus, & iuncta M E erunt duo quadrata E B, B M minora quadrato E M, eſtque quadratum E M minus duobus quadratis E K, K M circa acutum angulum (cum prior a angulum obtuſum compræhendant,) Igitur duo quadrata E B, B M ſimul ſum-pta minora ſunt duobus quadratis E K, K M: eſtque quadratum M B maius quadrato M K, cum contingens M K, proximior vertici A axis maioris minor ſit remotiore B M; igitur quadratum E B, ſcilicet reſiduum minoris ſummæ mi-nus erit quadrato E K, & propterea ramus E B minor erit, quàm E K.

d Conue ſ. 32. lib. 1. Lem. 12. 70. huius.

Et educamus ex E ad ſectionem A G, E A, E O, & patebit, quod E G maior fit, quàm E O, & E O, quàm E A: erigamus itaque ad A C perpendicularem A P; ergo E A P eſt obtuſus: & ducamus P O Q tan-gentem; ergo P O E eſt acutus, quia linea breuiſsima egrediens ex O ab-fcindit cum A lineam maiorem, & P O eſt maior, quàm P A; ergo E O maior eſt quàm E A, atque ſic patet, quod E G maior ſit, quàm E O, & c. Demonſtratio poſtremæ partis huius propoſitionis neglecta ab Apollonio ob ſui fa-cilitatem occaſionem errandi alicui præbere poſſet, propter verba illa poſtrema textui ſuperaddita; non enim ex maiori ſumma duorum laterum P O, O E ſi au-feratur maior O P, & ex minori ſumma P A, A E auferatur minor P A, neceſſa-rio reſiduum maioris, ideſt E O maior erit quam E A reſiduum minoris; itaque ſenſus huius contextus talis erit.

e

Ex concurſu E ad ſectionem A G ducantur rami E A, & quilibet alius E O; oſtendendum eſt, E G maiorem eſſe, quàm E O, & E O maiorem, quàm E A: du-cantur A P, Q O tangentes ſectionem in A, & O conuenientes in P, & tangenti G Q in Q. manifectum eſt angulum E A P obtuſum eſſe, cum angulus C A P ſit rectus pariterque quilibet ramus E O inter breuiſecantem E G, & verticem A remotiorem interceptus efficit angulum E O P, verticem A reſpicientem acutum, & ſic reliqui omnes rami inter puncta G, & A cadentes; quare (ex Corollario propoſitionum 64. & 65.) ramus E A minor erit quolibet ramo E O inter verti-cem A, & G cadente: rurſus, quoniam breuiſecans E G conſtituit cum tangente angulũ E G Q rectum; quare ex concurſu E ad ſectionis peripheriam G A omnes rami cadentes efficiunt cum tangentibus angulos, verticem A reſpicientes, acutos, & vnus tantummodo E G Q eſt rectus; igitur (ex Coroll. propoſ. 67. huius) ramus E O vertici A propinquior minor eſt remotiore E G; Quapropter ramus breuiſecãs E G maximus eſt omnium ramorum ſecantium ad peripheriam A B C cadentium.

Conuerſ. 32. lib. 1. Lem. 12. 29. 30. huius. Lem. 12.

At adhuc non conſtat, ramum E C minimum eſſe prædictorum ramorum om-nium, niſi priùs oſtendatur, E C minorem eſſe quolibet ramo ad peripheriam A G educto: & hoc etiam ob ſui facilitatem neglectum fuit ab Apollonio. Abſol-uetur tamen hac ratione.

Quoniam perpendicularis E F cadit inter C, & D, igitur A F maior eſt, quàm C F, & F E eſt communis circa angulos rectos in triangulis C F E, A F E, igi-tur C E minor eſt, quàm E A: eſtque E A minor quolibet alio E O inter A, & G cadente, igitur E C minor eſt omnium ramorum cadentium ad peripheriam A G, ſed priùs minor oſtenſus fuit reliquis omnibus cadentibus ad peripheriam C B G; igitur ramus E C minimus eſt omnium ſecantium, quod erat oſtendendum.

Notæ in Propoſ. LXXIV.

ERgo E F per centrum non tranſit, cadat ſuper C D, & quia produ- cti ſunt ex E duo breuiſecantes; ergo C F excedit dimidium erecti, & E F æqualis eſt Trutinæ (52. ex 5.) patet itaque, vt antea demonſtra-uimus, quod E G ſit maximus ramorum, & E C minimus, & c. Quoniam in 11. huius oſtenſum eſt, quod ſemiaxis minor ellipſis eſt ramus bre-uiſsimus, ergo ſi incidentia perpendicularis E F ſuper axim A C, ideſt punctum F eſt centrum ellipſis educerentur ex concurſu E tres breuiſecantes, nimirum E H, E G, & E F producta, quæ eſſet axis minor ellipſis: hoc autem eſt con-tra hypotheſim, cum ducti ſint ex E duo breuiſecantes: ergo eorum vnus E H menſuram C F ſecat, quæ minor eſſe debet ſemiſſe axis maioris C D; igitur ex conuerſa propoſitione 50. huius, menſura C F maior erit ſemiſſe lateris re-cti, & (ex conuerſa propoſ. 52. huius) erit perpendicularis E F æqualis Tru-tinæ. Demonſtratio huius propoſitionis neglecta ab Apollonio, propterea quod eodem ferè modo, ac præcedens oſtendi poteſt, breuiſsimè perficietur in hunc modum.

a

Quoniam à concurſu E vnicus tantum breuiſecans E H ad quadrantem C B ducitur; igitur C E minimus eſt omnium ramorum cadentium ad ſectionis pe-ripheriam C B, & E C vertici B propinquior minor eſt remotiore E H, & E H minor, quàm E B: rurſus, quia ramorum cadentium ex E ad peripheriam B G vnus tantummodo breuiſecans E G conſtituit cum tangente N G angulum rectum, & reliqui omnes rami cadentes ſuper totum arcũ G B, conſtituunt cum ſuis tangentibus angulos acutos, reſpicientes verticem C; igitur quilibet ramus E B propinquior vertici C minor eſt quolibet remotiore ramo E K, & E K mi-nor eſt remotiore E G: & propterea ramus E G maximus eſt omnium cadentium ad peripheriam C B G. Poſtremò, quia ramorum cadentium inter breuiſecan-tem E G, & remotiorem verticem A axis maioris, vnicus tantũ E G efficit cum ſua tangente angulum E G N rectum; reliqui vero omnes cadentes inter G, & A efficiunt cum ſuis tangentibus angulos, reſpicientes verticem A remotiorem, acutos; igitur (ex Corollario propoſ. 67. huius) ramus E G maior eſt quolibet ramo E O vertici A propinquiore, & E O maior eſt, quàm E A: quapropter breuiſecans E G vtrumque axim abſcindens maximus eſt omnium ex E caden-tium ad ſemiperipheriam ellipſis C B A, & ramus E C, vt in præcedenti dictũ eſt, minimus erit omnium, atque propinquiores maximo ex eadem parte maio-res erunt remotioribus, & cadentium ad peripheriam C B G minimo C E pro-pinquiores, minores erunt remotioribus, quod erat oſtendendum.

Propoſ. 67. huius. Ex 29. 30. huius. Lem. 12. Coroll. prop. 67. huius. 29. 30. huius. I em. 12. huius.
Notæ in Propoſit. LXXV. a

POſtea ducamus ex E tres breuiſecantes E G, E I, E H, & ſecent E I menſuram, & E G ſecet rectum in L, & c. Ideſt: Poſtea ſi ex concur-ſu E ducti fuerint tres breuiſecantes E G, E I, E H; quorum duo E I, E H ſe-cent menſuram in K, & M: E G vero ſecet axim rectum in L, & axim ma-iorem A C in N. Dico, & c.

Quoniam I K, N M ſunt duæ breuiſſimæ conſtat, quod E I maximus ſit ramorum egredientium ad illius ſectionem (52. ex 5.) & reliquorum ra-morum propinquior illi, maior eſt remotiore, & c. Ideſt: Quia in quadran- te ellipſis C B ducuntur à concurſu E duo breuiſecantes E I, E H; igitur (ex propoſitione 72. huius) erit breuiſecans E I vertici A propinquior maximus om-nium ramorum cadentium ex concurſu E ad ellipſis peripheriam C H; & pro-pinquior maximo E I maior erit remotiore, ſed non omnium ramorũ cadentium ad quadrantem C B, ſed eorum ſolummodo, qui inter verticem C, & infimum breuiſecantem E H, & aliquorum propè ipſum; nam rami ſecantes cadentes pro-pè punctum H hinc inde ſucceſsiuè augentur, vt dictum eſt in notis propoſ. 67. in eiuſque Corollario.

b

Nec non, quia H M, G N ſunt duæ breuiſſimæ, conſtat, vt dictũ eſt, quod G E ſit maximus ramorũ egredientiũ ex vtroque latere eius ad A H, & c. Quorũ verborũ ſenſus hic eſt. Quiaex concurſu E ducuntur duæ breuiſecantes E G & E H ad ſemiellipſim A B C, quarum E G ſecat vtrumq; axim, at E H ſecat tantummodo menſuram; ergo, ſicuti in præcedenti propoſ. 74. oſtenſum eſt, erit ramus E G maximus omniũ cadentiũ ad peripheriam H A, & c. At quia dubitari poſſet de certitudine huius conſequentiæ, quandoquidem hypotheſes non ſunt om-nino eædem; in propoſitione enim 74. non tres, ſed duo tantummodo breuiſecan-tes ex concurſu E ad ſectionem C B A ducebãtur, hic vero etiam tertia breui-ſecans ducitur: ſed ſi conſideretur progreſſus Apollonij, eandem concluſionem ex vtraque hypotheſi deduci poſſe percipitur; nam (ex propoſitione 72. huius) bre-uiſecans E H, infra breuiſecantem, E I poſitus, minimus eſt omnium ramorum cadentium ex E ad peripheriam H B ellipſis, & propinquior minimo E H mi-nor eſt remotiore, reliquorum vero ramorum cadentium ad quadrantem B A ma-ximus eſt breuiſecans E G, vt oſtenſum eſt in præcedenti propoſit. 74. ex Lemma-te 12. huius, & ex Corollario propoſit. 67, atque propinquior ramus maximo E G eorum, qui ad quadrantem B A cadunt maior eſt remotiore; quapropter ra-mus E G maximus eſt omnium ramorum ex E ad ellipſis peripheriam H A ca-dentium.

c
d

Dico etiam, quod E G maior ſit, quàm E I, & c. Ideſt: Oſtendetur etiam, quod ramus E G maximus etiam ſit omnium ramorũ cadentium ad peripheriam C H, propterea quod E G oſtendetur maior E I maximo eorum, qui ad periphe-riam C H duci poſſunt. Ducatur ex puncto I recta I O parallela axi matori A C, quæ ſecabit axim minorem, & ſectionem, cum punctum I cadat inter ver-tices C, & B duorum axium; ſecet igitur ſectionem in O, coniungaturque E O, atque ex punctis I, O, G, E ducantur perpendiculares ad axim I P, O Q, G R, E F S, quæ ſecent axim in P, Q, R, F, & I O in S, & quia G N, & I K ſunt breuiſsimæ; ergo D R ad R N, atque D P ad P K eandem proportio- nem habent, nimirum eam, quàm habet latus tranſuerſum ad rectum; eſt verò K F minor, quàm D K, atque R F maior, quàm D R; igitur F P ad P K mi-norem proportionem habet, quàm D P ad P K, ſeu quàm D R ad R N, & mul-to minorem, quàm F R ad R N; quare diuidendo F K ad K P minorem pro-portionem habebit, quàm F N ad N R, & propter parallelas F E, I P, & ſi-militudinem triangulorum E K F, I K P eſt E F ad I P, vt F K ad K P; igi-tur E F ad I P minorem proportionem habet, quàm F N ad N R; ſed propter ſimilitudinem triangulorum E F N, G R N eſt E F ad G R, vt F N ad R N; igitur eadem E F ad I P minorem proportionem habet, quàm ad G R; & pro-pterea I P, ſeu ei æqualis O Q (in parallegrammo rectangulo P O) maior erit, quàm G R, & propterea punctum O recedit à puncto G verſus B, ideoq; ramus E G maximus, maior erit ramo E O, & c.

15. huius. 74. huius.
Notæ in Propoſ. LXXVI.

SI autem non educatur ex concurſu E ad rectum E B ellipſis A B C breuiſecans præter tranſeuntem per centrum, vt E B, vtique erit ma-ximus ramorum ſecantium egredientium ex concurſu ad ſectionem.

a

Si vero eductus fuerit ex illo alius breuiſecans, ipſe erit ramus maximus, & c. Imperceptibilis eſt ſenſus huius textus, quia, præter phraſis Arabicæ difficultatem, nonnulla verba in textu deſiderantnr; itaq; ſic legendum puto. Si ex concurſu E in re-cto E B poſito ellipſis A B C non educatur breuiſecans præter E B tranſeuntem per cen-trum, erit E B maximus ramorum ſecan-tium ex concurſu ad ſectionem egredientiũ.

Si vero ex illo educatur alius breuiſe-cans, erit æqualis vni breuiſecanti ex altera parte recti poſito, & omnium re-liquorum erit maximus: Si enim hæc extrema verba non opponerentur, propo-ſitio non eſſet vera, vt oſtendetur.

Quia breuiſſimæ egredientes ab extremitatibus reliquorum ramorum abſcindunt cum A, vel B lineam maiorem, quàm ſecet ramus illius (49. ex 5.) demonſtratum ergo eſt in lineis tangentibus ad extremitatem il-lius, quemadmodum antea, & c. Mendoſe citatur quadrageſima nona huius, debet potius legi 43. in qua oſtenſum eſt, quod quotieſcunque ramus E B ad ſe- miaxim minorem B D habet eandem, aut maiorem proportionem, quàm latus tran-ſuerſum A C ad eius latus rectum; tunc nullus alius ramus ad ſectionem A B C breuiſecans duci poteſt, & quælibet linea, breuiſsima vt F H ducta ex puncto F ad axim A C cadit infra ramum E F adpar-tes centri, & propterea ſi per F ducatur F I contingens ellipſin quilibet ramus E F efficiet cum tangente angulum E F I reſ-picientem verticem A acutum: Similiter ſi ducatur A K contingens ſectionem in A co- niungaturque E A, erit quoque angulus E A K acutus, & ducta B L contingente ſectionem in B erit angulus E B L rectus; quapropter omnes rami ex concurſu E ad quadrantem A B ducti efficiunt cum ſuis tangentibus angulos reſpicientes verticem A acutos, & vnus tantummodo E B L eſt rectus; igitur ramorum ca- dentium ex E ad quadrantem B A minimus eſt E A, & quilibet ramus E F propinquior vertici A minor eſt quolibet remotiore; & propterea E B erit ma-ximus: ſimili modo E B maior erit quolibet ramo E G in quadrante B C exiſten-te; Et hic eſt ſenſus, ni fallor illorum verborum; demonſtrabitur in lineis tangentibus, quemadmodum antea oſtenſum eſt, & c.

b
ex 29. 30. huius. ex 32. lib. 1. Coroll. 67. huius.
Notæ in Propoſit. LXXVII.

POſtea educatur E F, qui eſt maxi- musramorum, & c. Repono hic ſimi-liter verba, quæ in textu deſiderantur; Po-ſtea educatur alius breuiſecans E F; Dico, quod eſt æqualis vni breuiſecanti E G æquè remoto à recto D B, & eſt maximus reli-quorum omnium.

Quia B D, F H ſunt duæ breuiſſimæ; ergo rami egredientes ad ſectionem B F abſcindunt cum A lineas maiores, quàm ſecent breuiſſimæ egredientes ab eorum extremitatibus, & rami egredien-tes ad duas peripherias C B, F A abſcindunt cum A, vel C lineas mino-res (52. ex 5.) & c. Quia in ellipſi ſemiaxis minor B D, & breuiſsima F H concurrunt in E; ergo quilibet ramus ex E ad peripheriam F B ductus cadit infra breuiſsimam ab eius termino ad axim A C ductam: ſimiliter, quia ramus E G æquè recedit ab axi D B, ac ramus E F; propterea, ne dum ramus F E æqualis erit ramo E G, ſed ſimiliter quilibet alius ramus incidens inter E B, & E G eadet infra breuiſsimam ab eius termino ad axim A C ductam verſus D, & rami cadentes ad peripherias A F, & C G cadunt ſupra breuiſsimas ab eorum terminis ad axim C A ductas ad partes A, & C.

Lem. 8. huius. Ibidem. Ibidem.

Conſtat itaque, vt dictum eſt de lineis tangentibus, quod E F ſit ma-ximus ramorum ſecantium egredientium ex E ad A B C, quod erat oſten- dendum, & c. Quæ poſtrema verba ſic intelligi, ac corrigi debent. Quia qui- libet ramus ex E ad A F ductus cadit ſupra breuiſsimam ad partes A ab eius termino ad axim C A ductam; igitur, vt multoties dictum eſt, conſtituit cum ſua tangente angulum reſpicientem verticem A acutum, ſicuti angulus E A K acutus quoque eſt, & omnium ramorum ad peripheriam A F cadentiũ tantum-modo angulus E F 1 eſt rectus; igitur omnium ramorum ex E ad peripheriam A F cadentium maximus eſt F E remotiſsimus à vertice A, eſtque ramus E G æqualis E F, & E G maximus eſt ramorum cadentium ex E ad peripheriam G C; igitur ramus E F maximus etiam eſt ramorum cadentium ad peripheriam G C: poſtea ducto quolibet ramo E M inter F, B, & M N tangente ſectionem in M, quæ conueniat cum tangente I F in N, quia E M, vt dictum eſt, cadit infra breuiſsimam ex M ad axim B A ductam, cum qua contingens N M an-gulum rectũ conſtituit, (ex 30. huius) ergo angulus E M N reſpiciens verticem A eſt obtuſus, & angulus E F N eſt rectus, cum F O ſit breuiſsima, igitur duo quadrata E F, F N maiora ſunt duobus quadratis E M, M N ſimul ſumptis, & ablatum quadratum M N ex minori ſumma maius eſt ablato quadrato N F, cum contingens N F vertici A maioris axis propinquior ſit; ergo quadratum E F maius ex quadrato E M, ideoque ramus E F maior erit quolibet ramo E M inter F, & B poſito. Non ſecus oſtendetur E M maior quàm E B; quare ramus E F maximus erit omnium cadentium ad peripheriam F B. Eodem mo-do ramus breuiſecans E G maximus erit omnium cadentium ad peripheriam G B; & propterea ramus E F maximus erit omnium ad peripheriam F B G ca-dentium; Quapropter ramus breuiſecans E F æqualis erit vni tantummodo E G æquè ab axi remoto, & maximus omnium ramorum ex concurſu E ad ſemi-ellipſim A B C cadentium, quod erat oſtendendum.

Lem. 8. huius. Coroll. Prop. 67. huius. 70. huius.

Sicuti in prioribus propoſitionibus factum eſt, reperientur, quotnam rami in-ter ſe æquales à puncto concurſus ad coniſectionem duci poſſunt, qua occaſione afferam propoſitiones aliquas non iniucundas, quarum prima erit.

Si ad coniſectionem B A à concurſu D vnicus tantum breuiſecans D A duci poſsit, & ducatur quælibet F C parallela perpendiculari D E inter productionem breuiſsimæ, & axim intercepta quem ſecet in F, re- periaturque Trutina K minoris, vel maioris menſuræ F B: dico perpen-dicularem C F minorem eſſe Trutina K.

PROP.7. Addit.

Secentur primo in parabola abciſsæ B H, & B N æquales trienti exceſſus inæ-qualium menſurarum ſupra ſemierectum (vt præcipitur in propoſitione 51. hu-ius) manifeſtum eſt, abſciſſam B N minorem eſſe ipſa B H, quando B F minor eſt, quàm B E, & maior, quando B F ſuperat ipſam B E; eo quod eorum tri-plæ, vna cum ſemierecto, ideſt menſura B F minor fuerat in primo caſu, & maior in ſecundo, quàm menſura B E.

In hyperbola vero, & ellipſi fiat proportio rectæ H L ad ſemiaxim tranſuer- ſum L B ſubtriplicata eius, quàm inuerſæ L E ſegmentum L G homologum la-teri tranſuerſo habet ad ſemiaxim tranſuerſum (ex præſcripto propoſit. 52. & 53. huius) pariterque fiat proportio N L ad L B ſubtriplicata eius quàm inuer-ſæ minoris L F in primo caſu, & maioris in ſecundo, ſegmentum homologum lateri tranſuerſo habet ad L B.

Lem. 7. huius.

Quoniam in primo caſu maius ſegmentum G L ad eandem L B habet maio-rem proportionem, quàm minus ſegmentum ex L F diſſectum; igitur earum; ſubtriplicatæ proportiones inæquales erunt, videlicet H L ad L B maiorem pro-portionem habebit, quàm N L ad ipſam L B, & propterea H L maior erit, quàm N L, & ablata communi L B, erit H B abſciſſa maioris menſuræ ma-ior, quàm N B abſcißa menſuræ minoris. Similiter oſtendetur in ſecundo ca-ſu, quod abſciſſa N B maioris menſuræ maior eſt, quàm B H. Oſtendedum modo eſt, perpendicularem C F in vtroque caſu minorem eſſe trutina K; Si enim hoc verum non eſt, ſi fieri poteſt, ſit C F maior trutina K; igitur ex con-curſu C ad ſectionem B A nullus ramus breuiſecans duci poteſt, quod eſt contra hypotheſim; erat enim A I breuiſsima; quare C F non erit maior trutina K. Sit ſecundo C F æqualis K, ſi fieri poteſt, ergo ramus principalis C O ductus legibus propoſit. 51. 52. huius cui competit trutina K erit breuiſecans ſin-gularis eorum, qui ad ſectionem duci poſſunt, nec vllus alius, præter C O, bre-uiſecans erit: cadit vero ramus C A infra, vel ſupra ramum C O, propterea quod abſciſſæ B H, & B N inæquales oſtenſæ ſunt; igitur ramus C A diuerſus à breuiſecante ſingulari C O non erit breuiſecans, quod eſt contra hypotheſin; non ergo perpendicularis C F æqualis erit Trutinæ K, ſed priùs, neque maior illa erat; igitur perpendicularis C F neceſſario minor erit Trutina K; quod erat oſtendendum.

51. 52. huius.

Iiſdem poſitis, ſi in productione breuiſsimæ A I ſumatur quodlibet punctum C citra terminum D perpendicularis D E, à puncto C duci poterit alter ramus breuiſecans ſupra C A incedens; & ſi punctum C ſumatur vltra punctum D poterit ex C duci alter ramus breuiſecans infra ipſum C A.

PROP. 8. Addit.

Quoniam quælibet recta C F parallela perpendiculari D E interpoſita inter productionem breuiſsimæ A I, & axim minor eſt Trutina K nouæ menſuræ B F (ex præcedenti propoſ.) propterea ramus principalis C O cadit ſupra ipſum C A, quando B F minor eſt, quàm B E, & tunc quidem duci poteſt hyperbola ex puncto A circa aſymptotos (vt in propoſitione 51. & 52. factum eſt) quæ pro-ducta occurret ſectioni B A inter B, & O, vt in P, & coniuncto radio C P, erunt duo rami C A, & C P breuiſecantes, quorum infimus eſt C A. Si vero punctum C ſumatur vltra punctum D, tunc quidem menſura B F maior erit, quàm B E, & propterea abſciſſa N B maior, quàm H B, & ideo principalis ramus C O cadet infra ramum C A; & denuo facta eadem conſtructione propo-ſit. 51. & 52. huius, erunt duo rami C P, & C A breuiſecantes, quorũ ſupre-mus verſus B erit C A, quod erat probandum.

51. 52. 53. huius.

Sit coniſectio, vel ellipſis portio quadrantis B A G, cuius axis B E, perpendicularis E D, euiuſque Trutina L ſit minor perpendiculari D E, & centro D, interuallo cuiuslibet rami ſecantis D A circulus Z A γ deſcribatur, & ex puncto A ducatur recta A x contingens ſectio- nem: Dico, quod circumpherentia Z γ ſecat tangentem rectam lineam x A, & coniſectionem B G in puncto A.

PROP. 9. Addit.

Quoniam perpendicularis D E ponitur ma- ior trutina L; ergo quilibet ramus D A cadit ſupra breuiſsimam ex puncto A ad axim B E ductam: efficit vero breuiſsima cum tangente A x angulum rectum; ergo angulus D A x eſt acutus; & propterea recta A x cadit intracir-culum A Z; ſed A x cadit extra coniſectio- nem B A, quàm contingit; ergo circumferen-tia Z A cadit extra ſectionem B A, & extra tangentem A x: poſtea ducatur quilibet ramus D G infra ramum D A ſecans circumferentiã circuli in r: & quia ramus D A propinquior eſt vertici B, quàm D G, erit D A minor, quàm D G; eſtque D γ æqualis D A (cum ſint ambo radij eiuſdem circuli) ergo D γ minor erit, quàm D G: & propterea quodlibet punctum γ peripheriæ cir-cularis infra punctum A poſitum cadet intra coniſectionem B G; & ideo cir-cumferentia Z A γ ſecat tangentẽ, & coniſectionẽ in A, quod erat propoſitum.

51. 52. huius. 29. 30. huius. 35. 36. Lib. 1. 64. 65. huius.

Iſdem poſitis, ſit perpendicularis D E æqualis Trutinæ L, & ſit D A ſingularis ille ramus breuiſecans, qui ex concurſu D ad ſectionem B G duci poteſt; perficiaturque conſtructio, vt antea factum eſt; Dico, circulum Z A γ ſecare coniſectionem in A, & contingere rectam Ax.

PR. 10. Addit. 51. 52. huius.

Ducatur quilibet ramus D F ſupra breuiſe- cantem D A, ſecans circuli peripheriam in Z, & quilibet alius ramus D G infra D A ſecans eandem peripheriam in γ. Et quia ex con-curſu D ad ſectionem B G vnicus tantum bre- uiſecans D A duci poteſt; igitur ramus D F propinquior vertici B minor eſt remotiore D A, & D A propinquior vertici B minor eſt remotiore D G: ſuntque rectæ D Z, D γ æ-quales eidem D A (cum ſint radij eiuſdem, circuli) ergo D Z maior eſt, quàm D F, & D γ minor, quàm D G; & propterea quodli-bet punctum Z circuli ſupra A ſumptum ca-dit extra coniſectionem B F A, & quodlibet infimum punctum γ eiuſdem circuli cadit intra eandem coniſectionem A G; quapropter circumferentia circuli Z A γ ſecat coniſectionem B A G in A. Po-ſtea quia recta A x contingens ſectionem in A perpendicularis eſt ad breuiſe-cantem D A, cum I A ſit breuiſsima; igitur recta linea x A, quæ perpendicu- laris eſt ad radium D A, continget circulum Z Y γ. Quapropter circulus Z A γ ſecant coniſectionem B A G in A, & tangit eandem rectam lineam A x, quàm contingit ſectio conica B A G, & in eodem puncto A, quod erat oſtendendũ.

Ibidem. 67. huius. 29. 30. huius.
COROLLARIVM.

HInc conſtat, ſupremam circuli peripheriam A Z cadere in locum à tan-gente X A, & coniſectionem B A contentum, infimam vero circuferen-tiam A γ cadere ne dum infra tangentem, ſed etiam infra coniſectionem A G; eoquod recta A X cadit extra circuli peripheriam A Z, quàm contingit in A, & eadem circumferentia A Z cadit extra ſectionem A B, quàm ſecat in A, vt dictum eſt.

Mirabile quidem hoc videri poterit aliquibus, qui contingentiæ angulos, quos vocant, verè angulos eſſe cenſent; nam hic duæ circumſerentiæ curuæ, conica nimirum B A G, & circularis Z A γ ſe mutuo ſecant in A, & tamen ambo tanguntur ab eadẽ recta linea A X in eodem puncto A, in quo illæ ſe mutuò ſecant. Vnde colligent etiam, quod anguli contingentiæ facti à coniſectione B A G, & recta linea X A non ſunt æquales inter ſe, quando punctum A in vertice axis non exiſtit; nam duo anguli contingentiæ circumſerentiæ circularis, & rectæ tangentis X A æquales ſunt inter ſe: at angulus contingentiæ ſectionis conicæ ſu-premus reſpiciens verticem B maior eſt angulo contingentiæ circularis, vt dictũ eſt: infimus vero angulus contingentiæ à ſectione conica, & eadem tangente contentus minor eſt eodem angulo contingentiæ circularis, & propterea ſupremus angnlus contingentiæ ſectionis conicæ maior erit inferiori.

Sit perpendicularis D E minor trutina L, ſintque D A, & D C duo illi rami, qui tantummodo breuiſecantes eſſe poſſunt omnium ramorum ex concurſu D ad ſectionem B C cadentium; atque cen-tro D, interuallo D A deſcri-batur circulus Z A γ; pari-terque centro D, interuallo D C deſcribatur circulus O C Q; ducanturque rectæ X P, M P contingentes coniſectionem in A, & C. Dico, circulũ Z A γ contingere coniſectio-nem in A, & extra ipſam cadere, at circulum O C Q contingere eandem coniſectionem in C, & intra ipſam cadere.

PROP. II. Addit. Ex 51. 52. 53. huius.

Ducantur quilibet rami D F, D G ſupra, & infra breuiſecantem D A, ſe-cantes circulum Z A γ in Z, & γ; pariterque ducantur quilibet rami D G D N ſupra, & infra breuiſe- cantem D C, ſecantes circulum O C Q, in O, & Q, dummo-do D G non ducatur infra D C in primo caſu, nec ſupra D A in ſecundo. Quoniam ramus D A ſupremus duorum breuiſecan-tium maximus eſt omnium ra-morum cadentium ad periphe-riam B A C; igitur D A maior erit, quàm D F, & quàm D G; ſunt verò D Z, & D γ æqua-les eidem D A (cum ſint radij eiuſdem circuli) ergo D Z ma-ior eſt, quàm D F; pariterque D γ maior eſt quàm D G: & propterea duo quælibet puncta Z, γ eiuſdem circuli Z A γ ca-dunt extra coniſectionem B A G; & ideo circulus Z A γ tan-tummodo in puncto A coniſectio-nem extrinſecus tangit.

72. huius.

Poſtea quia ramus D C infimus breuiſecantium eſt minimus omnium ramo-rum cadentium ex D ad peripheriam A C N, ergo ramus D C minor eſt, quàm D G, & quàm D N: ſunt vero D O, D Q æquales eidem D C (cum ſint radij eiuſdem circuli) igitur D O minor eſt, quàm D G: pariterque D Q minor eſt, quàm D N: quare quælibet duo puncta O, Q circuli O C Q hinc inde à puncto C cadunt intra coniſectionem B C N, & ideo circulus O C Q intrinſecus con-tingit coniſectionem in C, quod erat oſtendendum.

72. huius.

Si ad coniſectionem, vel ad portionem qua-drantis ellipſis B A C, ex concurſu D duci non poſsit, niſi vnicus tan-tum breuiſecans D A, atque centro D, interual-lo D A circulus Z A γ deſcribatur; Dico, om-nium circulorum tangen-tium eandem rectam li-neam X A P (quàm cõtingit quoque coniſectio in A) vnicum eſſe cir- culum Z A γ, qui coniſectionem in puncto A ſecat.

PROP. 12. Addit.

Sumatur enim quodlibet punctum G in productione breuiſsimæ A I ſupra, vel infra punctum D: manifeſtum eſt (ex 8. præcedentium propoſit.) à puncto G duci poſſe duos breuiſecantes ramos, quorum A G erit infimus, ſi punctum G cadit ſupra punctum D, & tunc circulus radio G A deſcriptus continget coniſe- ctionem intrinſecus in A: ſi vero punctum g cadat infra punctum D, tunc pa- riter ex g duo breuiſecantes duci poſſunt ad ſectionem, quorum ſupremus erit g A; & propterea circulus radio g A deſcriptus continget coniſectionem B AC extrinſecus in A; quaproptcr circulus radio D A deſcriptus (quem contingit eadem recta linea X A quæ tangebat ſectionem in A) vnicus erit, qui ſectionem B C ſecet in A, quod erat oſtendendum.

11. Additarũ. 8. Additarũ. 11. Additarũ.

Circulorum omnium intrinſecus tangentium coniſectionem non in axis vertice, aſsignari non poteſt maximus: tangentium vero intrinſecus ſe-ctionem in termino axis maximus erit, cuius radius æqualis eſt ſemie-recto.

PROP. 13. Addit.

Repetatur figura, & hypotheſis præcedẽtis pro poſitionis. Quoniã qui-libet circulus radio G A minori, quàm D A de-ſcriptus ſemper intrin-ſecus tangit coniſectio-nem in A (vt in præce-dẽti propoſitione dictum eſt) vbicumque ponatur centrum G ſupra punctũ D; neque augendo ra-dium G A efſicitur alius contactus circuli, & ſe-ctionis, quàm intrinſe-cus, & tunc primo cir-culus deſinit intrinſecus tangere ſectionem in A, quando D A efſicitur radius, ſcilicet quando non amplius intrinſecus ſectionem tangit, ſed eam ſecat in A; quapropter aſsi-gnari non poteſt maximus circulorum tangentium intrinſecus ſectionem in A. Quod verò circulorum intrinſecus tangentium eandem ſectionem in vertice axis B, ille, cuius radius B K æqualis eſt ſemierecto B H ſit maximus, oſtenſum eſt à Maurolico propoſ: 5. 8. & 11. libri 5. Conicorum. Patet ergo propoſitum.

Iiſdem poſitis: dico circulorum omnium extrinſecus tangentium coni- ſectionem minimum aſsignari non poſſe.

PROP. 14. Addit.

Sumpto in eadem ſi- gura quolibet puncto g infra punctum D, quo-niam circulus radio g A deſcriptus contingit ex-trinſecus coniſectionem in A, nec vnquam ceſ-ſabit prædictus cõtactus extrinſecus, licet magis, ac magis in infinitum, punctum g ipſi D pro-pinquior fiat, & tunc de-mum ceſſat huiuſmodi extrinſecus contactus, quando deſcribitur cir-culus radio D A, qui quidem ſectionem ſecat in A, vt dictũ eſt; qua-propter minimus omniũ extrinſecus ſectionem, tangentium in A aſsignari nequit. Quodvero extrinſecus tangentium eandem ſectionem in vertice axis B non poſsit aſsignari minimus, patet; nam omnes circuli, quorum radij maiores ſunt ſemierecto ſectionis, eam extrinſecus tan- gunt; & tunc demum eiuſmodi contactus extrinſecus ceſſat, quando radius cir-culi æqualis efſicitur ſemierecto: at tunc intrinſecus ſectionem tangit; quapro-pter reperiri non poteſt minimus circulorum coniſectionem extrinſecus tangenti-um: quod erat oſtendendum.

11. Addit. Maurol. 4. 7. & 10. lib. 5. Conic.

Ex dictis colligitur, quod ex concurſu ad quamlibet coniſectionem poßunt du-ci tres, vel quatuor ramiſecantes inter ſe æquales: in ellipſi vero, & in reliquis ſectionibus ſi rami ſecantes non fuerint, duci poteſt vnus, vel duo rami inter ſe æquales.

Nam circulus radio alicuius breuiſecantis deſcriptus tangit, vel ſecat coni-ſectionem, & ſiquidem eam extrinſecus tangit, neceſſario eandem bis ſecat, ſi fuerit parabole, aut hyperbole, quæ infinitè augẽtur, & dilatãtur; & propterea radij circuli ad occurſus, & contactum ducti æquales ſunt interſe; & ideo tres rami tantum erunt æquales: ſi vero deſcribatur circulus, cuius centrum eſt con-curſus, radius vero minor eſt maximo, & maior minimo duorum breuiſecan-tium: tunc quidem neceſſario circulus quatuor in punctis ſectioni conicæ occur-ret: & propterea quatuor radij ad occurſus ducti erunt inter ſe æquales.

At in ellipſi ſi concurſus ſiat circuli centrum, radius vero breuiſecans maxi-mus trium, qui in ea duci puſſunt, circulus prædicto radio deſcriptus continget quidem exterius ellipſim, neque deinceps vnquam ei occurret: & propterea ra-mus ille maximus erit vnicus, cum nullus alius ei æqualis duci poſsit in eadem ellipſi: ſi verò à concurſu in productione axis ellipſis poſito deſcribatur circulus, cuius radius minor ſit maximo ramo, ſed maior vtroque terminato; tunc qui-dem circulus duobus in locis ellipſi occurret; & propterea duo tantum rami inter ſe æquales erunt; pari modo, quando à concurſu tres breuiſecantes ad ellipſin, educuntur, tunc quidem circulus, cuius centrum eſt concurſus, radius vero mi-nor maximo breuiſecantium, & maior duobus reliquis neceßariò ellipſin duobus in locis ſecabit; & ideo duo tantummodo rami inter ſe æquales erunt.

SECTIO DECIMAQVINTA Continens Propoſ. XXXXI. XXXXII. XXXXIII. Apollonij. PROPOSITIO XXXXI.

IN hyperhola angulus contentus à linea breuiſſima, & à men- ſura minor eſt angulo compræhenſo à linea diſtante cum cõ-tinente.

a

Sit hyberbole A B, eius axis D C, linea breuiſſima B C, duo con-tinentes D E, D F, & diſtantia ſit A E, & dimidium erecti A G: Di-co, angulum B C D minorem eſſe angulo D E A. Educamus itaque perdendicularem B H, & iungamus B D, quæ ſecet A E in I. Quia. D A ad A G eſt, vt D H ad H C (14. ex 5.) & I A ad A D eſt, vt B H ad H D; ergo ex æqualitate, I A ad A G, eandem proportionẽ habebit, quàm B H ad H C, & propterea E A ad A G, nempe D A ad diſtantiam A E maiorẽ pro-portionem habebit, quàm B H ad H C igitur angulus B C H minor eſt, quàm D E A, quod erat oſtendendum.

b 9. huius.
PROPOSITO XXXXII.

IN parabola lineæ breuiſſimæ productæ occurrunt ſectioni ex vtraque parte.

a

Quoniam breuiſſima eſt linea recta ſecans diametrum paraboles intra ſectionem; & propterea ſectioni occurret ex vtraque parte (28. ex pr.) & hoc erat oſtendendum.

27 lib. 1.
PROPOSITIO XXXXIII.

SI inclinatus axis hyperboles erectum non excedit, nulla li- nearum breuiſſimarum ſectioni ex altera parte occurret: ſi verò maior illo fuerit, tunc breuiſſimarum linearum aliquæ oc-currunt ſectioni, aliquæ verò non occurrunt.

a
b

Sit priùs D A non maior, quàm A G: & quia D A ad A G eandẽ pro-portionem habet, quàm quadratum D A ad quadratum A E, erit D A non maior quàm A E; & propterea angulus D E A non crit maior an-gulo E D A: ſed maior fuerat angulo B C H (41. ex 5.) ergo angulus E D A, nempe A D F maior eſt, quàm B C D, & propterea B C, D F non conueniunt ad partes C, F; igitur B C non occurrit ſectioni ad par-tes K, A; eo quod ſi illam ſecaret, etiam ipſi D F occurreret (8. ex 2.) quare non occurrit ſectioni in duobus punctis.

Deinde ſit D A maior, quàm A G habebit E A ad A G maiorem proportionẽ, quàm ad A D; & po-natur I A ad A G, vt E A ad A D; ergo I A minor eſt, quàm E A, quare recta D B, illam diuidens, occurret ſectioni, & cadat in B, du-caturque linea breuiſſima B C, & B H perpendicularis ad D C; erit I A ad A D, vt B H ad H D; eſt-que D A ad A G, vt D H ad H C; ergo I A ad A G, nempe E A ad A D eſt, vt B H ad H C, & pro-pterea duo triangula E A D, B H C ſunt ſimilia; igitur angulus B C H æqualis eſt E D A, nempe F D A; quare B C, D F ſunt parallelæ, nec poſſunt ſe ſe mutuo ſecare; ergo B C non occurret ſectioni K A. Lineæ vero breuiſſimæ, quæ in peripheria A B cadunt, continent cum. C A angulos minores angulo B C D (26. 27. ex 5.) vnde non occurrent ipſi D F, & propterea neque ſectioni occurrent. At ille, qui cadit extra hanc ſectionis peripheriam; ſi producatur continet cum C D angulum. maiorem angulo B C D (26. 27. ex 5.) igitur productus occurrit D F, & occurrit ſectioni A K: quod erat oſtendendum.

c Secunda lib. 2. 14. huius. 13. lib. 2. Conuerſ. 8. lib. 2.
Notæ in Propoſ. XXXXI.

ANgulus contentus à breuiſſima linea, & menſura minor eſt angulo contento à diſtante cum continente in ſectione, & c. Adijcio par- ticulam in hyperbole, quæ in textu deſideratur. Vocat interpres Arabicus li-neam diſtantem ipſam A E, quæ contingit hyperbolem in vertice axis A, & interponitur inter verticem A, & continentem, ſeu asymptoton D E.

Sit ſectio, D C diameter illius, & c. Legendum puto; Sit hyperbole A B eius axis D C. Poſtea quia D A, ad A G, ſeu latus tranſuer ſum ad rectum eſt, vt D H ad H C, atque I A ad A D eſt, vt B H ad H D (propter ſimilitudi-nem triangulorum I A D, & B H D) ergo ex æqualitate ordinata I A ad A G eſt vt B H ad H C: deinde quia linea A E media proportionalis eſt inter ſe-miaxim tranſuerſum D A, & ſemierectum A G, cum quadratum ipſius A E quadrans ſit figuræ quæ ad diametrum per A ductum conſtituitur; igitur E A ad A G erit, vt D A ad A E, eſt vero E A maior, quàm I A; igitur I A ad A G minorem proportionem habet, quàm E A ad A G, ſeu quàm D A ad A E: erat autem B H ad H C, vt I A ad A G: igitur B H ad H C minorem propor-tionem habet, quàm D A ad A E: fiat poſtea L A ad A E, vt B H ad H C circa angulos rectos A, H, coniungaturq; L E, manifeſtum eſt, L A minorem eſſe-D A, & angulum A E L minorem eſſe angulo A E D: ſed propter ſimili-tudinem triangulorum B H C, L A E eſt angulus C æqualis angulo A E L; & proptrea angulus A E D maior eſt angulo B C H.

b Ex 14. huius. 3. lib. 2.
Notæ in Propoſ. XXXXII.

QVia eſt linea recta ſecans diametrum paraboles; & c. Addo illam par- ticulam breuiſſimam, quæ in textu deſiderari videtur.

a
Notæ in Propoſit. XXXXIII.

INclinatum ſi non excedit erectum, nulla linearum, & c. Addo, quæeui- denter deſiciunt in textu, legi enim debet: Axis inclinatus ideſt tranſuer-ſus ſi non excedit erectum, & c.

a

Et quia D A ad A G eſt vt quadratum D A ad quadratum A E, & c. Eo quod quadratum A E æquale eſt quartæ parti figuræ, quæ ad duplam ſemia- xis D A applicatur, ſcilicet æquale eſt rectangulo D A G; igitur D A, A E, A G ſunt continuæ proportionales: ponitur vero D A æqualis, aut minor, quàm A G; igitur D A æqualis, aut minor quoque erit, quàm A E; & propterea in triangulo D E A erit angulus D E A æqualis, aut maior angulo A D E, ſeu A D F (cum angulus continentiæ ſecetur bifariam ab axi) & prius erat an- gulus C minor angulo A E D; igitur angulus B C D minor erit alterno angulo F D C; vnde conſtat rectas lineas F D, C B concurrere poſſe, ſi vlterius pro-ducantur ad partes D, B; non autem ad partes C, & F.

b 3. lib. 2. 41. huius.

Quia ſi occurreret illi occurreret D F (7. ex 2.) ſecaretque ſectionem in duobus punctis, & c. Senſus huius textus talis eſt. Quoniam, vt oſtensũ eſt, recta B C inſinite producta non occurrit asymptoto D F ad partes F C; igi- tur recta C B producta non ſecabit peripheriam hyperboles ad partes K; nam ſi ipſam ſecaret, ſecaret quoque asymptoton D F ad partes F, quod non poni- tur. Ex his inferri debet concluſio principalis, nimirum, quod B C non occurrit ſectioni duobus in punctis: & hac ratione textum alioqui corruptum emendaui.

c 8. lib. 2. Ibidem.

Lineæ vero breuiſſimæ, quæ ca- dunt ad peripheriam ſectionis B A, continent angulos minores, quàm B C D, vtique non occur-runt D F, & c. Ideſt: quia quælibet breuiſsima ex puncto peripheriæ A B ad axim ducta efſicit angulum propin- quiorem vertici, minorem ipſo angulo C; & propterea quælibet breuiſsima, ad peripheriam A B extenſa ſecabit ne- ceſſario ipſam B C vlterius productam ad partes C: ſed prius oſtenſa fuit B C parallela asymptoto D F; igitur quæ-libet breuiſsima ad peripheriam A B educta ideſt inter parallelas poſita non occurret alteri æquidiſtantium D F ad partes F, ſed ad partes oppoſitas verſus D; eo quod quælibet recta linea intra hyperbolam ducta non ſecat peripheriam ſe- ctionis in ea parte, in qua continentem D F nõ ſecat; At quælibet alia breuiſsima infra C B ducta, neceſſario efſiciet ad axim angulum maiorem, quàm C; & pro-pterea vlterius producta ſecabit ipſam B C ad partes C; ſed quælibet breuiſsima extra parallelas poſita quæ ſecat vnam æquidiſtantium B C, ſecabit quoq; reli-quam ad eaſdem partes F C; quare prius ſectioni occurret, vt dictum eſt.

d 26. 27. huius. 28. huius. Conuerſ. 8. lib. 2. 26. 27. huius. 28. huius.
SECTIO DECIMASEXTA Continens XVI. XVII. XVIII. Propoſ. Apollonij.

SI menſura comparata ſumpta fuerit in axe recto minore elli- pſis, erit maximus ramorum ab eius origine egredientium, & illi propinquior maior eſt remotiore: minimus vero ramorũ eſt differentia recti, & comparatæ, & illi propinquior, minor eſt remotiore, atque exceſſus quadrati comparatæ ſupra qua-dratum cuiuſcunque rami aſſignati æqualis eſt exemplari appli-cato ad abſciſſam illius rami, ſiue comparata ſit minor, aut æqualis, aut maior recto.

a

Sit D C rectus a- xis minor ſectionis ellipticæ A B C ſit-que C I comparata, & rami I H, I K, I B, I L, I A, I D, & ſemiſſis erecti ſit C F, & centrum E, & educamus F E quouſque ſecet D M perpendicularem ad axim in M, & F I occurrat D M in N, & ducantur ad axim perpendiculares H O T S, K P V, B E, L Q, A R: & ſit in prima figura C I minor recto, in ſecun-da æqualis, in tertia vero maior. Conſtat, quemadmodum demonſtra- uimus in propoſitione ſexta huius, quod quadratum I C æquale ſit du-plo trianguli I C F; at quadratum O H duplum eſt trapezij O T F C (1. ex 5.) & quadratum I O duplum eſt trianguli O I S; ergo quadra-tum I C, nempe duplum trianguli I F C excedit quadratum I H duplo trianguli F T S, quod eſt æquale rectangulo T a: & conſtat, vti dictum eſt, quod ſit exemplar applicatum ad O C; ergo quadratum I C excedit quadratum I H exemplari applicato ad O C abſciſſam ipſius I H. Patet etiam, quod quadratum I C excedit quadratum I K exemplari applica-to ad P C; idemque conſtat in I B; igitur I C maior eſt, quàm I H, & I H, quàm I K, & I K, quàm I B: poſtea, in figura prima, & tertia. , quia triangulum F C E æquale eſt triangulo D E M; ergo quadratum. I C æquale eſt duplo trianguli N F M cum duplo trianguli D I N, qua-dratum vero I D æquale eſt duplo trianguli D I N; igitur quadratum. I D minus eſt, quàm quadratũ I C duplo trianguli N F M, quod æqua-le eſt exemplari applicato ad D C, & quadratum I R æquale eſt duplo trianguli I X R, & quadratum A R æquale eſt duplo trapezij R M (3. ex 5.) ergo quadratũ I A minus eſt, quàm quadratum I C duplo trianguli F Z X, quod æquale ex exemplari applicato ad C R (6. ex 5.) ſimiliter quadratum I L minus eſt, quàm quadratum I C exemplari applicato ad C Q; eſtque C D maior, quàm C R, & C R quàm C Q; ergo I A ma-ior eſt, quàm I D, & I L, quàm I A; quod erat propoſitum.

b c
d
e
Notæ in Propoſit. XVI. XVII. XVIII.

COmparata ſi fuerit ex recto duorum axium ellipſis crit maximus ra- morum, & c. Addidi particulam illam axis minoris, quæ in textu defi-ciebat, nunquam enim C F ſemiſsis lateris recti, eſſe poteſt maior C E ſemiſſe lateris tranſuerſi, niſi C D fuerit axis minor ellipſis.

a

Conſtat, quemadmodum demonſtrauimus in propoſitione 6. & c. Quo- niã menſura I C ſupponitur cõparata, ideſt æqualis ipſi C F ſemiſsi lateris recti; propterea triangulum I C F iſoſceleum erit, & rectangulum in C; & ideo qua-dratum I C æquale erit duplo trianguli I C F: eadem ratione propter parallelas S O, & C F, erit triangulum I O S ſimile triangulo I C F, & propterea illud quoque iſoſceleum erit, & rectangulum in O, & ideo quadratum I O æquale, erit duplo trianguli I O S: eſt verò quadratum O H æquale duplo trapezij F T O C; igitur quadratum I H ( quod eſt æquale duobus quadratis I O, O H circa angulum rectum O) æquale erit duplo trianguli I O S cum duplo trapezij F T O C, ſed hæc duo ſpatia minora ſunt duplo integri trianguli I C F, eſtque de-fectus duplum trianguli F T S, ſiue rectangulum S T b a; igitur duplum trian-guli I C F, ſiue quadratum I C maius eſt quadrato I H, & exceſſus eſt rectan-gulum T a: quod vero rectangulum T a ſit exemplar demonſtrabitur modo, vt in ſexta propoſitione huius.

b 1. huius.

Et conſtat, vt dictum eſt, quod ſit exemplar applicatum ad O C, & c. Quoniam rectæ S a, T b, I C ſunt parallelæ, erunt triangula I C F, & S a F, ſimilia; pariterque duo triangula E F C, T b F ſimilia erunt; & propterea S a ad a F eandem æqualitatis proportionem habebit, quàm I C habebat ad C F, ſi-militer T b ad b F eandem proportionem habebit, quàm E C ad C F, ſeu quàm latus tranſuerſum D C ad eius latus rectum: eſtvero T b æqualis S a, ſeu a F; ergo F a ad F b eandem proportionem habet, quàm latus tranſuerſum D C ad eius latus rectum; & comparando antecedentes ad differentias terminorum. , erit F a, ſeu b T ad b a, vt latus tranſuerſum D C ad differentiam eiuſdem tranſuerſi, & recti lateris; quare parallelogrammũ rectangulum S b, erit exem- plar applicatum ad abſciſſam O C.

c Lem. 1. huius. Defin. 9. huius.

Igitur I C maior eſt, quàm I H, & I H, quàm I K, & c. Eo quod abſciſ- ſa O C minor eſt, quàm C P, & C P minor, quàm C E: ſuntque prædictæ ab-ſciſſæ latera homologa exemplarium, quæ ad eaſdem abſciſſas applicantur; at- que prædicta exemplaria ſimilia ſunt inter ſe, cum circa angulos rectos latera habeant eandem proportionem, quàm latus tranſuerſum D C ad differentiam. eiuſdem tranſuerſi, & recti lateris; quare exceſſus quadrati I C ſupra quadra-tum I H minus eſt exceſſu eiuſdem quadrati I C ſupra quadratum I K; & ad huc minus exceſſu quadrati I C ſupra quadratum I B, & propterea recta I C minori exceſſu ipſam I H ſuperabit, quàm ipſam I K; & adhuc minori exceſ-ſu ſuperabit I K, quàm excedat I B; & ideo I C maior erit, quàm I H, & I H maior, quàm I K, & I K maior, quàm I B.

d Defin. 9. huius.

Ergo quadratum I C æquale eſt duplo trianguli N F M cum duplo trianguli D I N, & c. Quoniam quadratum I C æquale eſt duplo trianguli I C F, ſeu duplo trianguli I F E vna cum duplo trianguli E F C; eſtque duplum trianguli E D M æquale duplo trianguli E C F; igitur quadratum I C æquale eſt duplo trianguli I F E vna cum duplo trianguli E M D: ijs vero triangulis æquatur duplum trianguli N F M vna cum duplo trianguli D I N; igitur qua-dratum I C æquale eſt duplo trianguli N F M vna cum duplo trianguli D I N: eſt vero quadratum I D æquale duplo trianguli D I N; igitur exceſſus quadrati I C ſupra quadratum I D eſt triangulum N F M bis ſumptum; ſcilicet exem-plar applicatum ad latus tranſuerſum D C.

e
SECTIO DECIMASEPTIMA Continens XIX. XX. XXI. XXII. XXIII. XXIV. & XXV. Propoſ. Apollonij. PROPOSITIO XIX.

SI menſura E C ſumatur in axe minori ellipſis A B C, ſitque maior comparata; erit maximus omniũ ramorũ egredientiũ ex ſua origine, vt E F, E B, E G; & maximo propinquior, maior erit remotiore, nempe E F, quàm E B, & E B, quàm E G.

a

Coniungamus rectas A G, G B, B F, F C; & ſecetur C H æqualis compara-tæ: iungãturque F H, H B, H G.

b

Et quoniam H C maior eſt, quàm H F, (16. 17. 18. ex 5.) erit angulus H C F minor, quàm H F C; & ideo multo minor erit, quàm E F C, quare E C maior eſt, quàm E F: & ſic conſtat, quod E F maior ſit, quàm E B, & E B, quàm E G, & E G, quàm A E; quod erat oſtendendum.

PROPOSITIO XX. XXI. & XXII.

SI in ellipſi A B C menſura I C in axe minori C D ſumpta minor fuerit comparata, C F, & maior dimidio axis E C, ( perficiaturque figura, vt antea ) dico, quod omnium ramorum I A, I B, I K, I H, I C egredientium ex origine I maximus eſt I B, cuius potentialis B G abſcindit à menſura verſus origi-nem rectam G I, ad quàm inuerſa E G eandem proportionem habet, quàm D C ad eius erectum; Et quadratum maximi I B ſu-perat quadratum cuiuslibet alterius rami I K exemplari applica-to ad G P differentiam eorum abſciſſarum.

a

Quoniam proportio E G ad G I facta eſt, vt E C ad C F, nempè E G ad G V, erit G V æqualis G I; & propterea quadratum G I æquale. eſt duplo trianguli G I V, & quadratum G B æquale eſt duplo trapezij G F (1. ex 5.) ergo quadratum I B æquale eſt duplo trianguli I C S cum duplo trianguli F S V; & ſic conſtat, quod quadratum I K æquale eſt du-plo trianguli I C S cum duplo trapezij S L; & propterea quadrati I B ex-ceſſus ſupra quadratũ I K æqualis erit duplo trianguli L T V, quæ æqua-lia ſunt exemplari applicato ad G P (6. ex 5.) atque ſic oſtendetur, quod I B potentia ſuperat I H; eſtque exceſſus exemplar applicatum ad G O, & ſuperat quoque I A poteſtate, eſtque exceſſus æqualis exemplari ap-plicato ad G Q; eſt vero G O maior, quàm G P; ergo I B maior eſt quã I K, & quàm I H; & ſic oſtendetur, quod I B maior ſit, quàm I A; & hoc erat oſtendendum.

b
PROPOSITIO XXIII. & XXIV.

EContra, ſi maximi rami origo ponatur in axi minore, at non in cẽtro ellipſis, nec ſit menſura continet cum ipſa menſura angulum acutum, & eius inuerſa ad abſciſſam à poten-tiali cum origine habet eandem pro-portionem figuræ axis recti minoris: ſi vero educatur ex centro, erit per-pendicularis ſuper rectum.

a

Sit ſectio elliptica A B C centrum D, & E origo, quæ ſit in axi mino- ri C A, & E F ramus omnium maximus; erit vtique E C, vel maior ſemierecto, aut æqualis, aut minor illo; ſed ſi eſſet æqualis, aut maior eſ-ſet quoque E C maximus ramorum (16. 17. 18. 19. ex 5.) ergo C E mi-nor eſt dimidio erecti, & ideo aliqua minor, quàm D C ad reſiduam vſq; ad E eandem proportionẽ habebit, quàm D C ad ſemiſſim erecti; & ſit D G ad G E, & ex G ad axim ducamus perpendicularem: hanc, dico, occur-rere ſectioni in F; alioquin occurrat ei in H, & iungamus E H; igitur E H eſt maximus ramus (20. ex 5.) & propterea maior, quàm E F, qui maximus ſuppoſitus fuit, & hoc eſt abſurdum; igitur occurrit ſectioni in F; & quia G eſt rectus angulus, erit F E G acutus. Siverò ramus maxi- mus educatur ex cẽtro, vt D B erit perpendicularis ſuper A C; alioquin educatur D I perpẽdicularis ad axim; igitur D I eſt ſemiſsis axis tranſuer-ſi (11. ex 5.) & propterea eſt ramus omnium maximus, ſed D B ſuppo-ſitus fuit maximus, quod eſt abſurdum, vti dictum eſt; quare patet pro-poſitum.

b c d
PROPOSITIO XXV.

SI in ellipſi ramus maximus E B mẽ-ſuram ſecans vltra ori-ginem E, in axe eius minori exiſtentem, pro-ducatur ad F, fiet F B maximus omniũ ramo-rum F G, F H, FI, ab eodem puncto, ad ſe-ctionem A B C caden-tium, & propinquior maximo maior eſt remotiore.

a

Educamus B G, B H, H I, I A, E G, E H, E I; & quia E B maior eſt, quàm E H, erit angulus B H E maior, quàm E B H; igitur angulus B H F multo maior erit, quàm H B F, & propterea B F maior, eſt quàm F H; atque ſic demonſtrabitur, quod H F maior ſit, quàm F I, & F I, quàm F A; & hoc erat oſtendendum.

b
Notæ in Propoſit. XIX.

SI vero fuerit menſura E C ex recto duorum axium ellipſis A B C, fed ſit maior comparata, & c. Similiter bic declarari debet, quod axis rectus ſit minor; & propterea lego: Si menſura E C ſumatur in axe minori ellipſis, & c.

a

Nam ſi coniungamus A G, B G, B F, F C, & c. Ideſt; ſecetur C H æqualis com-paratæ, ſeu ſemiſsi lateris recti axis A C; quia menſura E C ſuppoſita eſt maior compa-rata, erit quoque E C maior, quàm C H, & propterea recta linea E F cadet infra H F; ideoque angulus C F E maior erit angulo C F H: eadem ratione angulus F B E maior erit angulo F B H, atque angulus B F E mi-nor erit angulo B F H, & ſic de reliquis, cumque C H ſit æqualis comparatæ, & ſit maior C D ſemiße axis recti minoris, omnium ramorum ex origine H ad elli- pſim C F B G, cadentium maximus erit H C; & propterea H C maior erit, quàm H F, & in triangulo H F C angulus H F C oppoſitus maiori lateri ma-ior erit angulo C; eſtque oſtenſus angulus E F C maior angulo H F C; igitur in triangulo C E F erit angulus C F E maior angulo F C E; & propterea ra-mus E C maior erit, quàm E F: ſimili modo, quia ramus H F propinquior ma- ximo maior eſt remotiore H B, erit angulus H F B minor angulo H B F: ideo-que angulus E F B, pars minoris, adbuc minor erit angulo E B F, maiorem excedente; & propterea in triangulo E F B erit ramus E F propinquior maxi-mo E C, maior remotiore E B, & c.

b 16. 17. 18. huius. Ibidem.
Notæ in Propoſit. XX. XXI. XXII.

SI vero fuerit menſura I C minor comparata, quæ ſit C F, nempe ſe- miſſe erecti, & maior dimidio recti E C, & origo ſit in recto, aut in eius productione, vt in I; tunc maximus ramorum egredientium ex origi-ne, vt I A, I B, I K, I H eſt cuius inuerſi proportio E G (poſt abſolu-tionem figuræ cum perpendicularibus, & lineis præcedentibus) ad ab- ſciſſam eius potentialis ex menſura cum origine, vt I G eſt, vt propor-tio figuræ recti, vt D C ad erectum illius, & quadratum eius, nẽpe qua- dratum maximi, qui eſt I B, ſuperat quadratum cuiuslibet illorum exem-plari applicato abſciſſionibus eorum potentialium, & c. Senſus buius tex-tus penè vix diuinari poteſt inter tot menda, & phraſis Arabicæ obſcuritatem; puto tamen, eum eſſe, quem in textu appoſui, vbi paucula verba immutaui, quæ deſiderari videbantur, aliqua verò tranſpoſui, vt ſenſus continuari poſſet.

a

Cæterum animaduertendum eſt in biſce propoſitionibus, ſicuti in 8. 9. & 10. buius libri ſupponi vt res manifeſta intra ſectionem duci poſſe à puncto originis ramum maximum, vel breuiſsimum, ideſt neceſſario reperiri debere ramum, cuius potentialis abſcindit à menſura verſus originem rectam lineam, ad quàm inuerſa eandem proportionem babeant quàm axis tranſuerſus ad ſuum erectum: boc autem ſine demonſtratione admittere nefas eſt. Ergo quod in textu deſidera-tur ſuppleri poteſt bac ratione. Quia C I maior eſt, quàm C E, ſed minor, quàm C F; ergo eadem E C ad minorem C I maiorem proportionẽ babet, quàm ad C F; & comparando antecedentes ad differentias terminorum C E ad E I maiorem proportionem babebit, quàm E C ad differentiam ipſius C F à C E; quare aliqua magnitudo minor quàm prima ſcilicet G E ad E I eandem propor-tionem habebit, quàm C E ad differentiam ipſarum C F, & C E: & iterum comparando antecedentes ad ſummas terminorum E G ad G I eandem proportio-nem babebit, quàm E C ad C F; quare punctum G cadet intra ſectionem, pa-riterq; G B ad axim perpendicularis occurrens ſectioni in B cadet intra eandem ſectionem: & ideo duci poterit ramus I B, qui oſtendetur maximus reliquorum omnium.

Quoniam proportio G E ad E I facta eſt, vt E C ad C F, & c. Nam vt axis D C ad eius erectum, ſeu vt ſemiaxis E C ad ſemierectum C F, ita facta eſt E G ad G I: ſed propter parallelas G V, & F C: & ſimilitudinem triangulorum E G V, E C F eſt E G ad G V, vt E C ad C F; & propterea eadem E G ad duas G V, & G I babebit eandem proportionem, & ideo I G æ-qualis erit G V, & triangulum I G V iſoſceleum, & rectangulum erit in G; quare quadratum I G duplum erit trianguli I G V: eſt verò quadratum B G æquale duplo trapezij G C F V; ideſt duplo trapezij G C S V, cum duplo trian- guli F S V; igitur quadratum I B (quod eſt æquale duobus quadratis I G, G B circa angulum rectum G) æquale eſt duplo trianguli I G V duplo trapezij G C S V cum duplo trianguli F S V; ideſt quadratum I B æquale eſt duplo trian-guli I S C cum duplo trianguli F S V; & quoniam propter parallelas C S, & G V, triangulum I C S ſimile eſt iſoſcelio, & rectangulo triangulo I G V, erit, quadratum I C æquale duplo trianguli I C S iſoſcelei, & rectanguli in C; ergo exceſſus quadrati I B ſupra quadratum I C æquale eſt duplo trianguli F S V; eſt verò rectangulum, cuius baſis F S, altitudo verò C G æquale duplo trianguli F S V; atque buiuſmodi rectangulum eſt exemplar applicatum ad abſciſſam G C, vt in notis prop. 16. 17. & 18. litera c. oſtenſum eſt igitur quadrati I B exceßus ſupra quadratum I C eſt exemplar applicatum ad abſciſſam G C: Simili modo quadratum I K oſtendetur æquale duplo trianguli I C S vna cum duplo trapezij L T S F; atque dupli trianguli I C S cum duplo trianguli F S V ex-ceſſus ſupra duplum trianguli I C S cum duplo trapezij L T S F eſt duplum trianguli L T V; ergo quadrati I B exceſſus ſupra quadratum I K eſt duplum trianguli L T V, ſeu exemplar applicatum ad G P differentiam abſciſſarum. Poſtea quia triangula ſimilia E C F, E D M ſunt æqualia, cum eorum bomologa latera E C, E D æqualia ſint; ergo addito communi triangulo I E V, erit trian-gulum E C F cum triangulo E I V, ſeu triangulũ I C S cum triangulo F S V æquale duobus triaugulis E D M, & I E V, ſeu duobus triangulis M V N, & N I D: erat autem quadratum I B æquale duplo trianguli I C S cum duplo tri-anguli F S V; igitur quadratum I B æquale erit duplo trianguli M N V cum duplo trianguli N I D; eſtque quadratum I D æquale duplo trianguli iſoſcelei, rectanguli I D N; igitur quadratum I B ſuperat quadratum I D, eſtque exceſ-ſus duplum trianguli M N V ſeu exemplar applicatum ad G D. Tandem quia quadratum I Q æquale eſt duplo trianguli iſoſcelei rectanguli I Q X, atque quadratum Q A æquale eſt duplo trapezij Q M; igitur quadratũ bypotbenuſæ I A æquale eſt duplo trianguli I D N cum duplo trapezij X N M Z; ergo exceſ-ſus quadrati I A ſupra quadratnm I D æqualis eſt duplo trapezij X N M Z; exceſ-ſus autem trianguli N M V ſupra trapezium N Z eſt triangulum X Z V; & erat quadrati I B exceſſus ſupra quadratum I D, triangulum ipſum M V N bis ſumptum. Igitur quadrati I B exceſſus ſupra quadratum I A eſt duplum trian-guli X Z V, ſeu exemplar applicatum ad G Q. Quod autem exemplaria æqualia ſint prædictis triangulis bis ſumptis, oſtenſum eſt in prop. 6. buius.

b 1. huius.
Notæ in Propoſ. XXIII. XXIV.

EContra linea maxima, ſi non egredia- tur ex centro, continet cum mẽſura angulum acutum, & proportio illius in-uerſæ ad abſciſſam eius potentialis ex mẽ-ſura cum origine, eſt vt proportio figuræ recti. Si verò fuerit extra centrum, erit perpendicularis ſuper rectum, & c. Mani-feſtè nõ nulla in textu Arabicc deficiunt; ali-qua verò immutari debent; alioquin propo-ſitio vera non eſſet, itaque legendum puto: E contra ſi maximi rami origo ponatur in axi minore, & c: Vt in textu babetur.

a

Sit ſectio A B C elliptica, & E origo, & E F linea maxima, & c. Ad- didi pariter in bac expoſitione verba, quæ deſiciunt; nimirum: Sit centrum D, & origo E, quæ ſit in axi minori A C.

b

Et ideo D C ad dimidium erecti eſt linea minor, quàm D C, & ſit D G ad G E, & c. Nonnulla adiungi debent buic textui corruptiſsimo, ne ſint verba nil prorſus ſignificantia, itaque ſic legendum puto. Et ideo aliqua minor, quàm D C ad reſiduam vſque ad E eandem proportionem babebit, quàm D C ad ſemiſſem erecti; & ſit D G ad G E, & c. Quæ verba breuiſsimè more Apollonij expoſita ſic confirmantur. Quia E C oſtenſa eſt minor dimidio erecti axis mi-noris C A, fiat C K æqualis dimidio erecti; erit E C minor quàm C K, & ablata communi D C erit D E minor, quàm K D; & propterea D E ad ean-dem D C minorem proportionem babebit, quàm K D: fiat E D a d D G, vt K D ad D C, erit D G minor, quàm D C: & componendo, E G ad G D eandem proportionem babebit, quàm K C ad C D, & inuertendo, D G ad G E eandem proportionem babebit, quàm D C ſemiſsis axis recti ad C K ſemiſsim erecti eiuſdem axis; & ex G ducatur G F perpendicularis ad axim, quàm, dico, oc-currere ſectioni in F termino maximi rami E F.

c

Et ſi maxima fuerit extra centrum, vt D B erit perpendicularis, & c. Textus euidenter corruptus ſic corrigi debet. Si verò ramus maximus educatur ex centro, vt D B, & c.

d
Notæ in Propoſ. XXXV.

SI producatur vna linearum maximarum, vt E B ad latus illius originis E ad punctum F, fiet maxima linearum egredientium ab illo puncto F G, F H, F I, F A ad ſectionem B I A in directum, & propinquior illi maior eſt remotiore, & c. Immutaui nonnulla, quæ ad propoſitionis integrita-tem facerc videbantur: vt in textu babetur.

a

Erit angulus BHE ma- ior, iquàm E B H, & c. Eo quod ramorum omnium ab origine E ad ellipſim C B H cadentium maximus ſuppo-nitur E B; ergo maior erit, quàm E H, & propterea angulus E B H minori late-ri oppoſitus minor erit angu-lo E H B: cadit vero recta H F infra H E; propterea quod punctum F infra pun-ctum E exiſtit; igitur angu-lus F H B maior eſt angulo E H B; & ideo angulus F H B multo maior erit angulo F B H; igitur ramus F B, maiorem angulum ſubtendens, maior erit, quàm F H, & c.

b
SECTIO DECIMAOCTAVA Continens XXXII. XXXIII. XXXIV. XXXV. XXXVI. XXXVII. XXXVIII. XXXIX. XXXX. XXXXVII. XXXXVIII. Propoſit. Apollonij. PROPOSITIO XXXII.

IN ellipſi A B C rami cuiuslibet maximi G H vtrumque axim ſe-cantis portio N H inter axim maio-rem, & ſectionem intercepta, eſt li-nea breuiſsima.

a

Producatur rectus axis minor A D vl-tra centrum D ad I, G, & ex I, G ad ſe-ctionem ducantur duo rami maximi G H, I K, qui ſecent tranſuerſum B D in N, M, & ſit B E dimidium erecti axis B D, & A F dimidium erecti axis A G; & edu-cantur perpendiculares ad axes H O, H P, K Q, K R. Dico, N H breuiſsimum eſſe ramorum egredientium ex H. Quia G H eſt linea maxima, erit D A ad A F, nempe B E ad B D, vt D O ad O G (22. ex 5.) nempe N H ad H G, ſeu N P ad P D; ergo B E ſemiſsis erecti ad B D ſemiſsim tranſuerſi eſt, vt N P ad P D, & ideo N H eſt breuiſsima linearum egredientium ex N (10. ex 5.) & fic oſtendetur, quod ſi K I fuerit maximus, erit K M breuiſſima.

b
PROPOSITIO XXXIII. XXXIV.

EContra oſtendetur, quod duæ breuiſſimæ, ſi producantur ad partes ſuarum originum vſque ad axim minorem rectũ ellipſis, fient duo maximi; & lineæ maximæ mutuò ſe ſecant in-ter tranſuerſum, & rectum in eadem parte, & quod continent cum menſura angulos, quorum proximior vertici ſectiouis ma-ior eſt.

a

Quia D Q ad Q I eſt, vt D O ad O G, quia quælibet earum eſt, vt D A ad A F (22. ex 5.) diuidendo, & permutando, fiet D Q minor ad D O maiorem, vt D I ad D G; ergo D I minor eſt, quàm D G, & K Q maior, quàm H O; quare angulus I maior eſt, quàm G; igitur H G, K I, ſe mutuo ſecantes, conueniunt in L.

b

Et conſtat, quod occurſus duarum breuiſsimarum (ſi producantur ver-ſus ſuam originem) erit intra angulum contentum à duabus medietati-bus axium ellipſis B D, D C ſupra vnum eorum, nempe punctum L ca-dit intra angulum B D C. Quoniam breuiſsimæ N H, M K ſe mutuò ſe-cant, ſi producantur ad partes ſuæ originis (28. ex 5.) occurrent vtique extra B D, & intra A G (33. ex 5.) & hoc erat oſtendendum.

PROPOSITIO XXXV.

SI per centrũ ellipfis tranſierit vna duarum breuiſſimarum, vtique rami egrediẽtes ab eorum occurſu ad ſectionis quadrantem alterius breuiſſi-mæ habebunt proprietates expoſitas in propoſitionibus 54. & 55.

a

In ellipſi A B C ſit punctum E occur-ſus duarum breuiſſimarum B D, C I, & centrum ſectionis D: & ex E educamus E F, quæ ſecet tranſuerſum a-xim in H. Dico, quod H F nõ eſt breuiſſima, & quod breuiſſima egre-diens ex F abſcindit ex ſagitta A C cum A lineam maiorem, quàm A H. Quoniam G I eſt breuiſſima; igitur F H, ſi eſſet quoque breuiſſima, occurreret ipſi G I intra angulum A D E: ſed non occurrit ei, niſi in E, ergo F H non eſt breuiſſima; & quia F E non cadit inter duas breuiſe-cantes E B, E G; ergo breuiſſima, egrediens ex F, abſcindit ex ſagitta lineam maiorem, quàm A H (54. ex 5.) quod erat oſtenden@um.

34. Huius.
PROPOSITIO XXXVI.

IN ſectione elliptica quatuor lineæ breuiſſimæ, vt B D, F I, G K, H L, non conueniunt omnes in vno puncto.

Alioquin ſit occurſus in E, & prius ſit B D perpendicularis ſuper A C, tranſi-ens per D centrum ſectionis; & quia E eſt occurſus duarum breuiſſimarum B D, F I, & B E tranſit per centrum; igitur G K non eſt linea breuiſſima, quod eſt contra hypotheſim. Si vero nullus eorũ tranſit per centrum, educamus per cen-trum D O perpendicularem ad A C; qua-re duæ breuiſſimæ F I, G K conueniunt intra angulum A D O (34. ex 5.) ſimi-liter H L, M N breuiſſimæ occurrunt in-tra angulum C D O (34. ex 5.) ſed cõ-ueniunt in E, quod eſt abſurdum; igitur quatuor lineæ breuiſſimæ non cõueniunt in vno puncto; quod erat oſten-dendum.

35. huius.
PROPOSITIO XXXVII. XLVI.

IN coniſectione A B, cuius centrum D duci non poſſunt-duæ lineæ maximæ in ellipſi, neque duæbreuiſſimæ in omnibus ſectionibus, vt A E, A F ad vnum punctum A circumferentiæ ſectionis terminatæ.

Educamus A G perpendicularem ad axim B E. Si itaque ſectio fue-rit parabole, fiet E G æqualis F G, quia quælibet earum eſt æqualis di-midio erecti (13. ex 5.) ſi vero fuerit hyperbole, aut ellipſis, fiet D G ad G E, vt D G ad G F; quia quælibet earum eſt, vt proportio figuræ (14. 15. ex 5.) igitur G F æqualis eſt G E, quod eſt abſurdum. Simi-liter ſi B G fuerit minor duarum axium ellipſis, & fuerint A E, A F rami maximi oſtendetur, quod G F æqualis ſit G E (23. ex 5.) Patet igitur, vt dictum eſt, quod ex vno puncto ſectionis educi non poſſunt ad axim illius duæ lineæ maximæ, neque breuiſſimæ, & hoc erat oſten-dendum.

PROPOSITIO XXXVIII.

SI linea maxima, aut breuiſſima, vt C B, producatur extra ſe-ctionem A B ad D, erit eius portio B D extra ſectionem abſciſſa mini-ma omnium linearum D E, D F, D A egredientium ab illo pnncto ad circumferentiam ſectionis: reliqua-rũ vero propinquior, illi minor eſt remotiore.

Educatur B G, tangens ſectionem in B; erit D B minor, quàm D H; ergo mul-to minor eſt, quàm D E: & iungamus F E, F A, erit angulus F E D obtuſus, & propterea D E minor eſt, quàm D F, & ſimiliter D F minor, quàm D A; quod erat oſtendendum.

a
PR OPOSITIO XXXIX.

IN ſectione A B elliptica quælibet perpendicularis F D ad lineam maximam C D, ab eius termino D in ſectione poſito educta, continget coniſectionem.

Alioquin ſecet illam, & in eius produ-ctione D G ſumatur punctum G intra ſe- ctionem: & educamus B G C, igitur G C maior eſt, quàm C D, quia ſubtendit rectum angulum C D G, & propterea B C multo maior eſt, quàm C D, quod eſt abſurdum; igitur educta illa linea eſt tangens; quod erat oſten-dendum.

a
PROPOSITIO XXXX.

E Contra ſi fuerit F D tangens, erit perpendicularis ſuper maximam D C.

Alioquin educamus aliam E D perpendicularem ſuper illam; ergo E D tangit ſectionem in puncto D (39. ex 5.) ſed F D ſuppoſita fuit tan-gens; igitur duæ D F, & D E tangunt ſectionem in vno puncto, quod eſt abſurdum (36. ex I.)

PROPOSITIO XXXXVII.

Q Vælibet linea D E ex puncto contactus D ad axim alicuius ſectionis A B educta per-pendicularis ad tangentem D C, erit linea breuiſſima, aut maxima.

Alioquin educamus D F breuiſſimam, vel maximam; ergo D C perpendicularis eſt ſuper D F; ſed C D ſuppoſita fuit per- pendicularis ſuper D E; quod eſt abſur-dum: quapropter demonſtratũ eſt, quod fuerat propoſitum.

Ex 10. & 20. huius. 40. huius.
PROPOSITIO XXXXVIII.

T Res lineæ maximæ E F, G H, I K ad vnum ellipſis quadrã-tem A F B cadentens non cõueniunt in vno puncto.

a

Alioquin cõueniant in O, & quia ſunt lineæ maximæ erunt M K, H N, L F, li-neæ breuiſſimæ (32. ex 5.) & conueniunt in puncto O; quod eſt abſurdũ (54. ex 5.) oſtenſum ergo eſt, quod fuerat propoſitũ.

Notæ in Propoſit. XXXII.

L Inea maxima ſecat tranſuerſam in pũ- cto, cuius intercepta inter punctum illud, & ſectionem, eſt linea breuiſſima, & c. Verba, quæ in textu Arabico deſideran-tur ſupplenda cenſui, vt æquiuocationes tolle-rentur.

a

Quia G H eſt linea maxima, erit D A ad A F, nempe B E ad B D, & c. Quia in 22. huius oſtenſum eſt, lineæ maximæ G H potentialem H O ſecare ſemiaxim minorẽ A D in O, vt ſit D O ad O G in eadẽ propor-tione figuræ axis minoris A C; ſcilicet erit, vt D A ſemiaxis minor ad A F eius ſemie-rectum; ſed vt A D ad A F, ita eſt B E ſe-miſsis lateris recti axis tranſuerſi ad B D ſemiſſem eiuſdem tranſuerſi; igitur D O ad O G eandem proportionem habebit, quàm E B ad B D; ſed propter parallelas N D, H O, eſt N H ad H G, vt D O ad O G; pariter-que propter parallelas D G, H P, erit N P ad P D, vt N H ad H G; & pro-pterea N P ad P D eandem proportionem habebit, quàm D O ad O G, ſeu quàm E B ad B D; & permutando D P ad P N erit, vt D B ad B E, ſeu vt axis tranſuerſus ad eius, erectum; & propterea linea N H erit breuiſsima.

b 15. huius.
Notæ in Propoſit. XXXIII. XXXIV.

E Contra oſtendetur, quod duæ breuiſſimæ, ſi educantur ex parte ſuæ originis ad rectum, fient duo maximi cum relatione ad rectum: Et oſtendetur ex dictis, quod lineæ maximæ mutuò ſe ſecant inter diame trum, & rectum, & c. Textũ corrigi debere maniſeſtum eſt ex dictis ſuperius

a
b

Quia D Q ad Q I eſt, vt D O ad O G, & c. In eadem figura propoſitionis 32. præcedentis perſiciatur conſtructio, vt priùs quia duæ K M, H N ſunt breuiſsimæ li- neæ; ergo M R ad R D, nec non N P ad P D eandem proportionem habent, ſcilicet eam quàm habent latus rectum ad tranſuer-ſum, ſeu eandem quàm habet ſemierectus E B ad ſemiaxim B D; eſt verò C A ad eius latus rectum, ſeu D A ad A F, vt E B ad B D; igitur tam M R ad R D, quàm N P ad P D eandem proporiionem habent, quàm D A ad A F; ſed propter parallelas C D, R K, P H, cſt M K ad K I, vt M R ad R D; pariterque N H ad H G eandem proportionẽ habet, quàm N P ad P D; atque propter pa-rallelas D B, Q K, O H eſt D Q, ad Q I vt M K ad K I, & D O ad O G eſt vt N H ad H G; ergo tam D Q ad Q I, quàm D O ad O G eandem proportionem habent, quàm D A ad A F, ſeu quàm axis mi- nor A C ad ſuum erectum, & propterea tam K I, quàm H G eſt ramus maxi-mus; igitur ſi duæ lineæ breuiſſimæ H G, & K I producantur quouſque axim minorem ſecent in punctis G, & I efficientur rami omnium maximi. Poſtea quia D Q ad Q I, eſt vt D O ad O G; permutando D Q ad D O eandem propor-tionem habebit, quàm Q I ad O G; & permutando, & comparando antecedentes ad differentias terminorum erit D Q ad D I, vt D O ad D G: eſtque D Q minor quàm D O; igitur Q I minor eſt, quàm O G; pariterque D I minor eſt, quàm D G; & propterea punctum I cadit inter exim B D, & ramum H G; eſtque etiam potentialis K Q propinquior & parallela axi maiori, & ideo maior re-motiore H O; igitur punctum K cadit inter axim B D, & ramum H G; & propterea ramus K I ſecat ramum H G in puncto L inter puncta H, & G: ſed duæ breuiſsimæ K M, H N ſe ſecant vltra axim B D: igitur occurſus L cadit intra angulum B D C ab axibus compræhenſum. Tandem quia K I ſecat H G inter puncta G, & H; ergo efficit angulum externum K I A maio-rem interno, & oppoſito G: & propterea ramus K I propinquior vertici B, quàm H G efficiet cum axe minore C A angulum A I K maiorem.

Pr. 15-huius. 15. lib. I. 20. 21. 22. huius. 36. huius.
Notæ in Propoſit. XXXV.

SI tranſeat per centrum ellipſis vna duarum breuiſſimarum; vtique ra- mi, & c. Hæc propoſitio parum differt à 54. & 55. buius, vbi oſtenſum eſt, quod ſi duo rami E B, E G breuiſecantes ex eodem concurſu E ad ellipſim A B ducuntur, quilibet alius ramus E F, extra breuiſecantes poſitus, cadet ſu-pra breuiſsimam ex puncto F ad axim A C ductam: hic vero ſupponuntur duæ breuiſsimæ B D, GI, quarum B D per centrũ tranſit, quæ productæ concurrunt in puncto E axis minoris, & concluditur, quodrami E F, portio F H, nedũ breuiſsima non eſt, ſed ſupra ipſam breuiſsimã ex puncto F eductam cadit.

a

Sed duo hic notanda ſunt. Primo, quod hæc prop. 35. non poterat poſtponi, nã vſum habet in 57. huius vbi malè citatur prop. 52. loco hu-ius 35. , vt ibidem inſinuatum eſt. Secundo, quod hæc demonſtratio non videtur omnino perſecta nam pendet ex prop. 34. , & ex eius conuerſa, quæ demonſtrata non reperitur qua-re ſuperuacanea non fuit noua demonſtratio in Lemmat. 8. appoſita.

Notæ in Prop. XXXVI.

SI verò nulla earum tranſit per centrũ, educamus D O, & c. Si enim fuerint quatuor lineæ breuiſſimæ G K, F I, H L, M N, quarum nulla per centrum D tranſit, ſi-militer oſtendetur, quod non conueniunt in vno puncto E; nam ducto ſemiaxe minori D O neceſſe eſt, vt punctum E concurſus duorũ breuiſecantiũ E G, E F cadat intra angulũ A D O; pariterque idem punctum E concurſus duorum breuiſec antium E H, E M, cadet ne-ceſſario intra angulum C D O, ſed idem pun-ctum E nequit duobus in locis reperiri, ni-mirũ intra angulum A D O, & intra angu-lum C D O, igitur non poſſunt ab eodẽ puncto educi ad ellipſim quatuor rami breuiſecantes.

a 34. huius. Ibidem.
Notæ in Prop. XXXVIII.

NAm ſi educamus B G tangentem erit B D minor quàm D H, & c. Quo-niam C B eſt linea breuiſſima, aut ſi maxima eſt, eius portio erit breuiſſima, & G B cõtin-gens ſectionem in eius termino B perpendicu-laris ad B C; propterea in triangulo B D H latus H D, ſubtendens angulum rectum B, maius erit latere D B; eſt verò D E maior, quàm D H, eo quod punctum H contingentis B G cadit extra ſectionem; igitur linea B D minor eſt, quàm D E, & propterea angulus D E B acutus erit, quare eſt minor obtuſo angulo D B E; cadit verò F E infra rectam B E, quam ſecat in E, propter curuitatem ſectionis F E B; igitur angulus D E F obtuſus quoque erit, & an-gulus D F E acutus; & propterea recta linea D E minor erit, quàm D F; ea-dem ratione oſtendetur D F minor, quàm D A.

a 32. huius. 29. 30. huius.
Notæ in Propoſit. XXXIX.

ALioquin ſecet illam, & ſecemus ex, & D G intra ſectionem, & c. Si e-nim recta F D non contingit ellipſim A B, ſecet eam ſi fieri poteſt in D: quare F D pro-ducta in directum cadet intra ſectionem, & in producta recta linea F D G ſumatur quod-libet punctum G dummodo intra ſectionem exiſtat, & per G ad concurſum C coniunga-tur recta linea G C, quæ producta occurrat ſectioni in B: & quia ex hypotheſi recta F D G perpendicularis erat ad maximum ramum D C, ergo in triangulo D G C rectangulo erit hypothenuſa G C maior quàm D C, & ideo B C multo maior erit quàm D C; quod eſt abſurdum, ſuppoſita enim fuit D C omnium maxima earum, quæ ex C ad ſectionem A B duci poſſunt.

Notæ in Propoſit. XXXXVIII.

ALioquin occurtant in O, quia iſtæ lineæ ſunt maximæ, & c. Secant e-nim lineæ maximæ ſemiaxim maiorem D A in punctis M, N, & L: & ſiquidem tres li-neæ maximæ conueniunt in vnico puncto O, erunt ſegmenta inter axim maiorem, & ſe- ctionem intercepta, nimirum M K, N H, L F lineæ breuiſſimæ; quarum duæ quæquè L F, N H educuntur ab eodem puncto concur-ſus O: igitur (ex 54. 55. huius) tertius ra-mus O K ab eodem concurſu O eductus non erit breuiſecans; quod eſt contra hypotheſim.

32. buius.
LIBRI QVINTI FINIS.
APOLLONII PERGAEI CONICORVM LIB VI. DEFINITIONES. I.

SEctiones ÆQVALES ſunt, quæ ad inuicem ſu-perpoſitæ ſibi mutuò congruunt.

II.

SIMILES verò ſunt, in quibus omnes po-tentiales ad axium abſciſſas vtrobique ſunt in ijſdem rationibus, tum abſciſſæ ad abſciſſas.

III.

Et linea, quæ ſubtendit ſegmentum circumferentiæ circuli, aut ſectionis coni vocatur BASIS illius ſegmenti.

IV.

Et linea, quæ bifariam diuidit ordinationes æquidiſtantes baſi illius, vocatur DIAMETER illius ſegmenti.

V.

Et eius terminus, qui eſt ad ſectionem, VERTEX ſegmenti.

VI.

Et SEGMENTA ÆQVALIA ſunt, quæ ſuperpoſita ſibi mu-tuò congruunt.

VII.

Et SIMILIA ſunt, quorum baſes cum diametris æquales an-gulos continent, & in eorum ſingulis ductæ lineæ baſi parallelæ numero æquales ad abſciſſas diametrorum ſunt in ijſdem ratio-nibus tum abſciſsæ ad abſciſsas.

VIII.

CONI SIMILES ſunt, quorum axes æquè ad baſes inclinati, ad diametros baſium proportionales ſunt.

IX.

Et dicitur conus continere ſectionem, & ſectio in cono po-ſita eſse, ſi ſectio tota fuerit in ſuperſicie coni, aut cadat in illa, ſi producatur ex parte baſis.

NOTÆ.

DEſinitiones huius ſeſti libri ferè omnes ſunt Appollonij, in paucis quidem alteratæ ab interprete Arabico: quod quidem conſtat teſtimonio Eutocij Aſcalonitæ, qui in tertiam propoſitionem ſecundi æquiponder antium Archime-dis affert definitionem ſimilium portionum conicarum ſectionum, traditam ab Apollonio in eius ſeſto libro: & ſanè ordo doctrinæ exigebat, vt prius ſectio-nes æquales, & ſimiles definirentur, vt poſtea earum symptomata demonſtrari poſſent: ſed animaduertendum eſt, hactenus nomen ſectionis conicæ ſignificaſſe quamlibet indeterminatam portionem curuæ lineæ in coni ſuper ſicie ortam ex ſe-ctione alicuius plani non per verticem coni ducti, non conſiderando termiuos eius neque menſuram. Segmentum verò ſignificat portionem aliquam ſectionis conicæ determinatæ menſuræ, & certis finibus terminatam; at multoties ſignificat ſu-perficiem à coniſectione, & recta linea eam ſubtendente contenta. Igitur ad confuſionem vitandam vocabo huiuſmodi ſuperficiem planam, Mixtam ſuperficiẽ ſectionis conicæ. Modò in relatis definitionibus prius quænam coniſectiones vo-cari debeant inter ſe æquales exponit Apollonius.

I. Et primo; Si fuerint duæ quælibet coni- ſectiones B A C, E D F, quarum axes A G, D H; vertices verò A, & D, & ſiquidem intelligatur ſectio B A C ſuperpoſita ſectioni E D F, vt nimirum vertex A ſuper verti-cem D cadat, atque axis A G ſuper axim D H, atque pariter peripheriæ B A C, & E D F ſibi mutuò congruant: tunc quidem vo-cantur duæ dictæ ſectiones conicæ æquales in-ter ſe. V bi notandum eſt, non oportere lon-gitudinem curuæ B A C æqualem eſſe longi-tudini curuæ E D F; ſicuti, vt duo anguli rectilinei dicantur æquales, & ſibi mu-tuò congruentes, neceſſe non eſt, vt rectæ li-neæ, angulos continentes, ſint æquales longi-tudine, dummodo certum ſit, quod lineæ ipſæ vlterius productæ ſemper ſibi mutuò congruant; ſic pariter peripheriæ conicarũ ſectionum A B, & D E, ſi vlterius producantur, ſemper ſibi mutuò congruent.

II. Codex Arabicus habet. Similes verò ſunt, quarum proportio po-tentium in vna earum ad ſua abſciſſa eſt eadem proportioni aliarum po-tentium ad ſua abſciſſa, & proportio abſciſſarum in vna earum ad ſua op-poſita abſciſſa eadem eſt. Putabit forte quiſpiam, me nimis licentiosè tran-sformaſſe potius, quàm emendaſſe textum in hac ſecunda definitione; ſed is ſciat velim, non meo arbitratu id feciſſe ſed ex præſcripto eiuſdem Apollonij pluribus in locis; non qui-dem in hiſce compendioſiſſimis definitionibus, in quibus vna particula omiſſa, vel addita (vt paſſim cõtingit in codicibus vetuſtiſſimis) ſenſum omninò permutat; ſed ijs in locis in quibus oratione continua exponit, & exem-plis declarat germanum ſenſum huius ſecun-dæ definitionis, & ſeptimæ ſubſequentis, vt ſuis in locis monebitur. Primo igitur ſupple-ri debent particulæ ad conterminas axium abſciſſas, quæ in textu omnino ſubintelligi debent vt expreſsè declaratur in propoſ. 11. 12. 15. & 16. huius libri, quibus in locis ſemper in ſectionibus ſimilibus præcipitur vt abſciſſæ tantummodo in axibus ſu-mantur, aut æquè ſint inclinatæ ad conterminas potentiales. Secundò poſtrema verba ſunt in ijſdem rationibus tum abſciſſæ ad abſciſſas poſſent retineri cũ ſenſum definitionis non omnino intollerabilẽ reddant: & inſuper in textu gre-co Eutocy repetantur, & eius ſenſus talis eſt. In coniſectionibus B A C, E D F, quarum axes A G, D H ſi ductæ fuerint quotcunq; potentiales, ſeu ad axim applicatæ B C, E F, I L, M O occurrentes axibus in G, H, K, N hac lege, vt potentialis B C ad abſciſſam G A eandem proportionem habeat quàm potentialis E F ad abſcißam H D, & potentialis I L ad abſciſſam K A ſit, vt M O ad N D, & tandem abſciſſa G A ad K A ſit, vt abſciſſa H D ad N D: & hoc v eri-ficetur in omnibus alijs potentialibus eadem lege ductis; tunc quidem duæ illæ ſectiones ſimiles appellantur iuxta Eutocij, & Mydorgij ſententiam.

Ego contra puto, hanc expoſitionem neq. Apollonio, neq. veritati conciliari poße, vt ad propoſ. 12. oſtendetur attamen exiſtimo, definitionem hac ratione formari poße.

Similes coniſectiones ſunt, in quibus quælibet axium abſcißæ erectis pro-portionales etiam ad conterminas potentiales eandẽ rationem habent: quæ omni-no conformis eſt præcedenti definitioni, præterquam in poſtrema particula, vbi enim ait. Sunt in ijſdem rationibus tum abſciſſæ ad abſciſſas. Legendum eſſet: ſunt in ijſdem rationibus tum abſciſſæ ad erecta. Sed an hæc parti-cula corrigi debeat, vel non, alij videant.

III. Si verò fuerit portio ſectionis conicæ B A C, vel circunferentiæ circuli, atq. recta linea B C eam ſubtendat, & ſecet in duobus punctis B, & C, voca-tur B C, Baſis prædicti ſegmenti B A C.

IV. Et ſi in eodem ſegmento ducantur or- dinatæ parallelæ baſi B C, atque recta linea A M ſecet omnes æquidiſtantes ipſi B C bifa-riam in punctis M, N, & O vocabitur A M: Diameter eiuſdem ſegmenti.

V. Et terminus eiuſdem diametri A ad ſectionem poſitus, vocatur Vertex ſegmenti.

Tres prædictæ definitiones ſuperadditæ ab interprete Arabico fuerunt, vt ego puto, quandoquidem omnino neceſſariæ non ſunt.

VI. Sicuti in prima definitione ſectiones ſibi mutuò congruentes æquales vo-cabantur, ſic pariter, ſi ſegmentum B A C ſuperpoſitum ſegmento E D F ſibi mutuò congruant, ſunt duæ illæ lineæ curuæ æquales inter ſe.

VII. Declarat Apollonius in hac definitio- ne ſeptima, quænam ſegmenta conica ſimilia inter ſe cenſeri debeant. Vt ſi fuerint dua-rum conicarum ſectionum ſegmenta B A C, & E D F, quarum diametri A M, & D L eſſiciant cum ordinatim applicatis, ſeu cum baſibus B C, & E F angulos æquales in M, & L, & in vnaquaque earum ductæ fuerint pares multitudines applicatarum, quæ ſint ba-ſibus æquidiſtantes, vt G H, & I K, & in eis veriſicentur hæ conditiones, vt habeat B C ad abſciſſam M A eandem proportionem, quàm E F ad abſcißam L D, & G H ad ab-ciſſam N A eandem proportionem habeat, quàm I K ad abciſsam O D, & tandem ab-ciſsa M A ad abſciſſam A N eandem propor-tionem habeat, quàm abſcißa L D ad abſciſ-ſam D O; tunc quidem vocat Apollonius duo ſegmenta B A C, & E D F ſimilia inter ſe. Et hic primo animaduertendum eſt, dìfinitionem ſegmentorum ſimilium relatam ab Eutocio Aſcalonita in 3. prop. lib. 2. æquipond. Archimedis, non eße integram: in ea enim deſiderantur illa verba, quarum baſes cumdiametris continent angulos æquales, ſine quibus definitio eſſet erro- nea, vt optime notat Mydorgius. Hoc au-tem ita eße verba textus Arabici aper-te declarant, habent enim. Et ſimilia ſunt quorum baſes continent cum dia metris angulos re-ctos legẽdum æqua- les, & educantur in quolibet eorum ordinationes ad ſuas baſes numero æquales, quarum proportio cum diametris eſt, vti diximus in ſectioni-bus ſimilibus. Idem repetit in propoſ. 15. huius lib. rurſus in propoſ. 16. li-tera a inquit: Et quod anguli à potentialibus, & abſciſſis contenti ſint æquales in duobus ſeg-mentis, erit ſegmentum H A G ſimile ſegmento ICK: & c. & propoſ. 17. litera c ait: & anguli comprehenſi à potenti-bus, & abſciſſis ſunt æ-quales; & c. propterea duo ſegmenta ſunt ſimi-lia; Et in eadem propoſ. litera d dicit. Quia propter ſimilitudinem duorum ſegmentorum conti-nebunt potentes cum ſuis abſciſſis angulos æquales. Et codem modo ſem-per loquitur Apollonius; quare dubitandum non eſt, in Eutocij definitione hæc eadem verba deſiderari.

Immutaui poſtea verba ſubſequentia; nam ordinationes, ſeu ordinatim ap-plicatæ ducuntur ad diametros, non ad baſes, & debent eſſe baſibus æquidiſtan-tes. Deinde breuitas affectata poſtremæ partis huius definitionis non Apollonio, ſed Arabico Interpreti tribui debet, nam eadem expreſſe, & extenſe declaratur in textu Eutocij his verbis. In quarum ſingulis ductis lineis baſi parallelis numero æqualibus, ſint ipſæ parallelæ, & baſes ad abſciſſas diametrorum partes ſumptas à verticibus in ijſdem rationibus, tum abſciſſe ipſæ ad ab-ſciſſas. In textu verò Arabico hæc non habentur expreſsè, ſicut in ſecunda de-finitione, quàm citat hiſce verbis. Et educantur ex quolibet eorum ordina-tiones baſibus parallelæ numero æquales, quarum proportio cum diame-tris eſt, vti diximus in ſectionibus ſimilibus.

MONITVM.

AMOR veritatis, & muneris ſuſcepti ratio exigere vide-tur, vt definitiones ſectionum conicarum ſimilium, quæ cir-cunferuntur, accuratius examinentur, ne (vt Mydorgij verbis vtar) à magnis nominibus (Eutocium dico, Com-mandinum, & Mydorgium) præiudicium diutius fiat veritati, hoc au-tem ad propoſ. 11. 12. huius lib. præſtabo. Interim monendus es Le-ctor, in definitione ab Eutocio relata aliqua verba deficere (nimirum quod abſciſſæ in axibus, aut diametris æquè ad ordinatas inclinatis ſumantur) in definitiombus Commandini aliquod deſiderari, & eas me- rito reiectas à Mydorgio ſuiſſe, nam licet latera tranſuerſa proportiona-lia ſint lateribus rectis, non tamen duæ eiuſdem nominis ſectiones ſimi-les erunt, niſi diametri æquè inclinatæ ſint ad ordinatim ad eas applica-tas: tandem deſinitionem Mydorgij ſimilium ſectionum pariter imperfe-ctam eſſe ſuſpicor; nam licet duæ ſectiones, quibus competit tradita de-finitio, ſeu paſsio eiuſdem definitionis, ſint reuera ſimiles, non tamen è conuerſo ſimilibus ſectionibus conuenit ſolummodo definitio, ſeu eius paſ-ſio, curn aliquando appoſita paſsio in eiſdem reperiatur: quod perinde eſt, ac ſi quis putaret triangulum æquilaterum aliquando latera inæqualia ha-bere poſſe.

VIII. In hac deſinitione manifeſtè aliquid deſideratur: inquit enim (Coni fimiles ſunt quorum axium proportio ad diametros ſuarum baſium eadem eſt.) Quod quidem verificatur tantummodo in conis rectis: at in ſcalenis de-bent neceſſario axes conorum efficere æquales inclinationes ſuper baſes: Quod quidem in ſequentibus propoſitionibus manifeſtè ab Apollonio declaratur. Ita-que textum hac ratione reſtitui debere puto. Coni ſimiles ſunt, quorum axes æ-que ad baſes inclinati ad diametros baſium proportionales ſunt.

IX. Sectio genita in ſuperſicie coni à plano eum ſecante, non per verticem eius ducto dicitur in dicto cono poſita, & contenta; & conus ille continere di-citur eandem ſectionem: & licet coniſectio exhibeatur extra conum; dicetur ni-hilominus contineri ab illo cono, in quo ſectio illa accomodari poteſt, ſeu in quo ab aliquo plano ſecante effici poteſt in coni ſuperficie eadem illa coniſectio.

SECTIO PRIMA Continens Propoſit. I. II. IV. & X. PROPOSITIO I.

QVælibet duæ ſectiones parabolicæ A B, C D, ſi habue- rint axium erectos A I, C N æquales: erunt inter ſe æ-quales. Si verò duæ illæ ſectiones fuerint æquales, erunt axium erecta æqualia inter ſe.

a

Quoniam ſuperpoſita axi C H ſuper axim A G, cadet ſectio C D ſu- per ſectionem A B: ſi enim cadere non concedatur ſuper illam, ſigne-tur (ſi fieri poteſt) punctum eius D, extra ſectionem A B cadens: & educatur D F perpendicularis ad axim; & perficiatur planum rectangu-lum F N, & ab axi A G ſecetur A E æqualis C F; & educatur ex E pespendicularis B E, & perficiatur planũ E I. Et quia A I, A E æquã- tur C N, C F, vnaquæque ſuo ho-mologo: igitur planum I E, nempe (12. ex 1.) quadratum B E æquale eſt rectangulo F N, nempe quadrato D F (12. ex 1.) ergo B E æqualis eſt D F; ſi autem ſuperponatur axis axi cadet D ſuper B, quæ tamẽhaud cadere conceſſum fuerat: & hoc eſt abſurdum; ergo fieri non poteſt, vt duæ ſectiones æquales non ſint.

b
11. lib. 1. Ibidcm.

Præterea ſupponamus duas illas ſe- ctiones æquales eſſe inter ſe, & fiat F C æqualis E A, & educamus ad axes perpendiculares B E, D F, & per-ficiamus plana rectangula F N, E I. Quia ſectio A B cadit ſuper ſectionem C D, & A E ſuper C F cadet; alioquin eſſent in eadem parabola duo axes: ergo F cadit ſuper E, & D ſuper B, & propterea B E potens planum E I (12. ex 1.) æqualis erit D F potenti planum F N (12. ex 1.) ; ergo duo plana ſunt æqualia; ſed ſunt applicata ad æquales F C, A E; igitur C N, A I erectæ æquales ſunt. Et hoc erat oſtendendum.

c 11 lib. 1. Ibidem. d
PROPOSITIO II.

SI duæ ſectiones hyperbolicæ, aut duæ ellipſes A B C, D E F habuerint axium figuras G I, H K ſimiles, & æquales; duæ illæ ſectiones æquales erunt. Si verò duæ ſectiones æquales fuerint, earũ figuræ axiũ erunt æquales, ſimiles, & ſimiliter poſitæ.

a

Quoniam facta conuenienti ſuperpoſitione axis A M ſuper axim D O, cadet quoque ſectio A B ſuper ſectionem D E: ſi enim non cadit ſu-per illam, ſumatur (ſi fieri poteſt) eius punctum B, extra ſectionem. D E cadens; & producatur ad axim perpendicularis B L vſque ad P: & perficiatur planum A P applicatum comparatum; & ſecetur D N æqua-lis A L, & erigatur per N ad axim perpendicularis N E, & producatur vſque ad R, perficiendo planum D R applicatum comparatum; Et quia A I æqualis eſt D K, & A L æqualis D N: erit planum I L, æquale pla-no K N; cumque G I, H K ſint duæ figuræ ſimiles, & æquales, pariter- que I P, K R; ergo duo plana A P, D R ſunt æqualia: & propterea E N, B L, quæ illa ſpatia poſſunt (13. 14. ex 1.) ſunt æquales. Si autem ſuperponatur axis axi cadet B L ſuper E N, eoquod duo anguli N, & L ſunt æquales; igitur B cadit ſuper E, quod prius cadere non concedeba-tur: & hoc eſt abſurdum. Quapropter ſectio ſectioni æqualis eſt.

b 12. 13. lib. I.

Deinde ponamus duas ſe- ctiones æquales, vtique con-gruet ſectio A B ſectioni D E, & axis A L axi D N, quia ſi non cadit ſuper illum, eſſent in hyperbola duo axes, & in ellipſi tres axes, quod eſt ab-ſurdum (52. 53. ex 2.) Et fi- at A L æqualis D N, & reli-qua perficiantur, vt prius ca-dent duo puncta L, B ſuper N, E; ideoque B L æqualis erit E N; & poterunt æqua-lia rectangula A P, D R applicata ad æquales A L, D N (13. 14. ex 1.) ergo L P æqualis eſt N R. Similiter ponatur A M æqualis D O, & edu-cantur C M Q, F O S duæ ordinationes, oſtendetur, quod M Q æqua-lis eſt O S, & L M æqualis N O; & propterea duo plana P Q, R S ſunt æqualia, & ſimilia; igitur duo plana G P, H R ſunt æqualia, & ſimilia, & L P oſtenſa eſt æqualis N R: ergo G L æqualis eſt H N, & A L æ-qualis D N; & propterea G A æqualis eſt D H, & A I æqualis D K. Quapropter duæ figuræ G I, H K ſunt æquales, & ſimiles. Quod erat oſtendendum.

c 48. lib. 2. d 12. 13. lib. 1.
PROPOSITIO IV.

SImili modo demõſtrabitur, quod duæ ſectiones oppoſitæ ſintſimi- les, & æquales.

a

Eo quod axis inclinatus eſt communis', & erecti ſunt æquales (16. ex 1.) & prot pterea earum figuræ æquales quoque ſun-inter ſe. Et hoc erat propoſitum.

14. lib. 4.
PROPOSITIO X.

PAriter conſtat, quod ſi poten- tiales cum ſuis abſciſſis cõpræ-hendant angulos æquales obliquos, eadem conſequentur, quæ prius dicta ſunt.

a

Et hoc erat propoſitum.

Notæ in Propoſit. I.

QVælibet duæ ſectiones parabolicæ, vt A B, C D, quarum relationes ſunt duo plana A L, C M, & erecti earum A I, C N æquales. ipſæ quo-que ſunt æquales. Si verò duæ illæ ſectio-nes fuerint æquales, vtique earum appli-cata, & erecti erunt æquales, & c. Verba illa propoſitionis (applicata ſunt duo plana A L, C M, & c.) caſu in textum irrepſiſſe puto, eo quod rectangula illa A L, C M, ne-dum æqualia non ſupponuntur, ſed è contra. conſtruuntur, atque demonſtrantur æqualia eſ-ſe inter ſe.

a

Quia ſi ponamus ſagittam C H ſuper ſa- gittã A G, cadet ſectio C D ſuper ſectio-nem A B: 11 verò non cadit ſuper illam, ſignemus ſuper literam, in quam non ca-dit punctum D: & c. Sic legendũ puto. Quo- niam, ſuperpoſita axi C H ſuper axim A G, & c. vt in textu habetur. Si enim axis C H ſuper axim A G applicatur, ita vt vertices A, C coincidant, neceſſariò ſectio C D cadet ſu-per ſectionem A B alias aſſignari poſſet pun-ctum eius D, extra ſectionem A B cadens.

b

Præterea ponamus duas ſectiones æqua- les, & C F æqualis A E, & c. Textum cor-ruptum ſic reſtituendum cenſeo. Præterea ſup-ponamus, duas illas ſectiones æquales eſſe in-ter ſe, & fiat C F æqualis A E, educamus ad axes perpendiculares B E, D F, & c. Sic enim diſtinguitur hypotheſis propoſitionis à conſtru-ctione eius.

c

Ergo ſectio A B cadit ſuper ſectionem. C D, & A E ſuper C F: alioqui eſſent ſe-ctioni parabolicæ duo axes; ergo F cadit ſuper E, & c. Quoniam (ex hypotheſi) ſectio-nes A B, & C D æquales ſunt, facta intellectuali conuenienti ſuperpoſitione, ſi-bi mutuò congruent, & vertex A cadet ſuper verticcm C. Dico iam, axim A E cadere ſuper axim C F: alioquin in eadem parabola, ſcilicet in duabus pa-rabolis ſibi congruentibus à communi vertice C, vel A, duo axes A E, & C F ducerentur: quod eſt impoſſibile. Quare axis A E cadit ſuper axim C F.

d
Notæ in Propoſit. II.

SI fuerint figuræ duarum ſectionem hyperbolicarum, aut duarum elli- pſium, vt duo plana G I, H K in A B, D E ſimiles, & æquales; vtique duæ ſectiones æquales erunt: ſi vero duæ ſectiones ſint æquales earum figuræ erunt æquales, ſimiles, & c. In duabus ſectionibus A B, & D E ſumi debent figuræ G I, & H K, non qualeſcunque, ſed illæ, quæ ad axes fiunt, nimirum debent eſſe G A, & H D axes inclinati, ſeu tranſuerſi, & A I, atque D K eorum latera recta; tunc quidem, ſi figuræ axium G I, H K fue-rint ſimiles, & æquales, conicæ ſectiones B A, D E æquales quoque oſtenduntur in propoſitione. Quod verò particula illa (axium) deſideretur in textu propo-ſitionis, conſtat ex primis verbis immediatè ſequentis conſtructionis. Inquit enim. Quoniam ſi ponamus axim A M ſuper axim D O, & c.

a

Cumque G I, H K ſint duæ figuræ ſimiles, & æquales, pariterque I P, K R; ergo duo plana A P, D R ſunt æqualia, & c. Quia rectangula I P, G I circa communcm diametrum G I P conſiſtunt, erunt inter ſe ſimilia: pariterque K R ſimile erit rectangulo K H: quare duo rectangula I P, & K R ſimilia ſunt duobus rectangulis G I, H K inter ſe ſimilibus; & ideo illa inter ſe quoque ſimilia erunt, & habent latera homologa æqualia, illa nimirum, quæ opponuntur æqualibus abciſsis A L, & D N, igitur rectangula P I, & R K æqualia ſunt inter ſe: ſunt verò rectangula N K, & L I æqualia quoque (cum latera circa angulos rectos æqualia habeant, ſingula ſingulis) ergo duo rectangu-la A P, & D R æqualia ſunt inter ſe.

b

Quia, ſi non cadit ſuper illum, eſſent ſectioni hyperbolicæ duo axes, & in ellipſi tres axes, & c. Quoniam æquales ſectiones B A, E D ſibi mutuò congruunt, & vertices A, & D coincidunt, ſiquidem axis A L non cadit ſuper axim D N (cum ambo tamen axes ſint) haberet vnica ſectio, ſcilicet duæ ſe-ctiones congruentes, duos axes A L, & D N conuenientes in eodem puncto ver- ticis, quod in hyperbola eſt im- poſſibile; in ellipſi verò, in qua ſemper duo axes reperiuntur ſe ſe ſecantes in centro ad angulos rectos, reperietur tertius axis, ille nimirum, qui ab eodem ver-tice A ducitur in eadem ſectione A B, & non coincidit cum axi A L.

C
48. lib. 2.

Ideoque B L æqualis eſt N E, & poterunt A P, D R, ap-plicata ad A L, D N æqualia & c. Quia quadrata æqualium. B L, E N æqualia ſunt rectangulis A P, D R; erunt illa æqualia, & corum latera A L, D N facta ſunt æqualia; igitur reliqua duo latera L P, N R æ-qualia quoque ſunt. Simili modo oſtendetur, quod M Q æqualis eſt O S, ſeù L T æqualis eſt N V, & L M, ſeu T Q æqualis eſt N O, ſeu V S; erant autem. prius L P, N R æquales; igitur reſiduæ P T, & R V æquales erunt, ſed quia T Q, & G L ſunt parallelæ pariterque V S, & H N; ergo vt T P ad P L ita eſt Q T ad L G, ſimili modo vt V R ad R N ita eſt S V ad N H; habent ve-rò duæ æquales T P, & V R ad duas æquales P L, & R N eandem proportio-nem, igitur duæ æquales Q T, & S V eandem proportionem habent ad L G, & N H, & propterea hæ erunt æquales, & ablatis æqualibus A L, D N, erunt reliquæ A G, & D H inter ſe æquales, & habet G A ad A I eandem proportionẽ, quàm Q T ad T P, ſeu quàm S V ad V R; pariterq; H D ad D K eſt vt S V ad V R (propter parallelas & ſimilitudinẽ triangulorũ) igitur vt G A ad A I itaerit H D ad D K, & propterea etiam conſequentes A I, & D K æquales ſunt inter ſe, & compræhendunt angulos rectos A, & D; ergo ſiguræ G A I, & H D K ſimi-les ſunt inter ſe, & æquales.

d
Notæ in Propoſit. IV.

I Am ergo demonſtratum eſt, quod duo vertices tympani ſunt ſimiles, & æqua-les, & inclinatus communis inter vtrum-que verticem (16. ex 1.) ergo figura eſt communis, & c. Hæc propoſitio eſt veluti Co-rollarium primæ partis ſecundæ propoſitionis in qua oſtenſum eſt, quod ſi duæ hyperbolæ habue-rint axium ſiguras æquales, & ſimiles, erunt quoque ſectiones ipſæ æquales, & congruentes; habent verò ſectiones oppoſitæ A B, & D E (quæ vocantur Vertices Tympani ab Arabico interprete) figuras D A H, & A D I axis D A æquales, & ſimiles (vt in 14. primi libri demonſtrauit Apollonius); ergo ſectiones oppo-ſitæ æquales erunt inter ſe, & congruentes.

Notæ in Propoſit. X.

SImiliter conſtat, quod ſi potentes contineant cum ſuis abſciſſis angu-los equales obliquos, iudicium eſt, quod memorauimus in ſectioni- bus, & c. Senſus huius propoſitionis talis eſt. In duabus ſectionibus conicis, ſi cum earum diametris ordinatim applicatæ contineant angulos æquales, non re-ctos, & earum latera recta ſint æqualia in parabolis, in reliquis verò ſectioni- bus latera recta, & tran-ſuerſa æqualia, itaut figuræ ipſæ æquales ſint; erunt ſe-ctiones ipſæ inter ſe æqua-les: & è conuer ſo, ſi ſectio-nes æquales fuerint, habe-bunt latera æqualia earum diametrorum, cum quibus ordinatim applicatæ angulos æquales, non rectos continent.

a

Demonſtrationes non apponuntur ab Apollonio, quia ijſdem verbis omnino in eiſdem figuris ab ſolui poßunt. Sint enim primo duæ parabolæ A B, & C D, at-que earum diametri A G, & C H efficiant æquales angulos F, & E, cum ordi-natim ductis D F, & B E, ſintque latera recta A I, C N æqualia. Dico, ſectiones æquales eſſe. Sumatur quodlibet punctum B in ſectione B A ducaturque ordinatim applicata B E, ſeceturque C F æqualis A E, & ducatur ordinatim D F. Maniſeſtum eſt, rectangula E A I, & F C N æqualia eße (cum latera ſint æqualia, ſingula ſingulis); his verò rectangulis æqualia ſunt quadrata or- dinatim applicatarum B E, D F; ergo & quadrata ſunt æqualia, atque eorum latera B E, D F æqualia quoque. Si igitur parabolæ ſuperponantur ita, vt punctum E ſuper F, & diameter A E ſuper C F cadat, neceſſariò punctum A ſuper C cadet (propter æqualitatem abſcißarum) atque punctum B ſuper punctũ D incidet (propterea quod anguli E, & F æquales ſunt, pariterque rectæ B E, & D F ſunt æquales), & quia quodlibet punctum B parabolæ A B cadit ſemper ſuper ſectionem C D; ergo duæ ſectiones B A, & D C ſibi mutuò congruunt, & ideo æquales ſunt. Non ſecus conuerſum huius propoſitionis demonſtrari poteſt.

11. lib. 1.

Altera verò pars propoſitionis breuius de- monſtrabitur hac ratione. In duabus hyperbo-lis, aut ellipſibus efficiant ordinatim applicatæ B E, D F cum diametris A E, & C F angu-los æquales, & non rectos; ſintque tranſuerſa latera G A, & H C æqualia, pariterque late-ra recta A I, & C N æqualia. Dico, ſectiones B A, C D æquales eſſe. Sumatur quodlibet punctum B ſectionis B A, ducaturque ad A E diametrum ordinatim applicata B E, ſecetur-que C F æqualis abſciſſæ A E, ducaturque F D ad H C F diametrũ ordinatim applicata. Erit rectangulum G E A ad quadr atum B E, vt la-tus tranſuerſum G A ad rectum A I; pariter-que rectangulum H F C ad quadratum F D erit, vt H C ad C N: habent vero duæ æqua-les G A, & H C eandem proportionem ad duas æquales A I, & C N; igitur rectangulum G E A ad quadratum B E eandem proportionem ha- bebit, quàm rectangulum. H F C ad quadratum D F, ſunt verò rectangula G E A, H F C æqualia inter, ſe (quandoquidem eorum la-tera A E, C F facta ſunt æqualia) quæ addita ipſis A G, & C H æqualibus eſ-eſſiciunt latera E G, & F H æqualia; ergo quadrat a d a um B E, & D F æqua-lia ſunt inter ſe; & ideo ordinatim applicatæ B E, & D F æquales erunt. Quare facta, vt prius, intellectuali ſuperpoſitione; nedum veriex A ſuper C, ſed etiam quodlibet punctum B ſectionis A B ſuper ſectionem C D cadet; ideo-que ſectiones ſibi mutuò congruent, & æquales erunt.

E conuerſo, ſi ſectiones B A, & C D æquales ſupponantur, ſibi mutuò con- gruent, & ideo à communi vertice A, ducta qualibet diametro A E, vel C F, ad quàm ordinatim applicetur quæ-libet B E, ſeu D F in angulo non re-cto; ſintque latera tranſuerſa, & recta G A, A I, atque H C, C N. Dico, huinſmodi latera, & ſiguræ ſeu rectã-gula G A I, H C N æqualia, & ſimi-lia eſſe inter ſe, & ſibi mutuò congru-entia. Si enim hoc verum non eſt, eo-rum diametri G I, & H N ſimiliter poſitæ, & ſubtendentes communem an-gulum A non coincident; & ideo æquidiſtantes erunt aut ſe mutuò ſecabunt in vno puncto: ducatur ergo à termino E alicuius ordinatim applicatæ B E recta linea E M parallela lateribus rectis A I, C N, ita vt ſecet diametros ſigurarum ſupra aut inſra occurſum in duobus punctis M, & O. Igitur in ſectione A B idem quadratum ordinatim applicatæ B E, ſeu D F æquale erit rectangulo A E M, & in ſectione D C æquale erit rectangulo C F O, ſuntque abſciſſæ A E, & C F æquales; ergo M E, & O F æquales inter ſe ſunt: pars, & totum quod eſt abſurdum: Non ergo latera ſigurarum inequalia ſunt. Quod erat oſtenden-dum.

SECTIO SECVNDA Continens Propoſit. III. VI. VII. & IX. PROPOSITIO III.

COniſectio non eſt æqualis ſectioni quæ eiuſdem generis cũ illa non ſit.

Etenim elli- pſis non erit æ-qualis alicui pa-rabolæ, aut hy-perbolæ quia illa eſt termina-ta, hæ verò ſunt indeterminatæ. At parabola D E F, cuius axis D I non erit æ-qualis hyperbolæ A B C, cuius axis A G, & inclinatus A H. Quia ſi abſcindantur A K, K G æquales D L, L I, & educamus ad axes perpen-diculares B K, C G, E L, F I: Dico, quod ſectio D F non eſt æqualis ſectioni A C; quia ſi eſſet æqualis illi, facta ſuperpoſitione, ſibi mutuò congruerent, & caderent puncta E, F, L, I, ſuper B, C, G, K, & eſſet F I æqualis C G, atque E L æqualis B K; ideoque quadratũ F I ad qua-dratum E L eſſet, vt D I ad D L (19. ex 1.) eſſetque quadratum C G ad quadratum K B, vt A G ad K A, quod eſt abſurdum; quia illius pro-portio ad iſtam eſt, vt H G in G A ad H K in K A (20. ex 1.) Igitur ſectio parabolica non eſt æqualis ſectioni hyperbolæ, nec ſectio aliqua. æqualis eſt ſectioni, quæ non ſit eiuſdem generis; Et hoc erat oſten-dendum.

20. lib. 1. 21. lib. 1
PROPOSITIO VI.

QVælibet duæ ſectiones A B C, & D H F, quarum portio vnius ſuperpoſita portioni alterius congruit, ſunt æquales inter ſe.

a

Alioquin congruat portio B C portio- ni E F, at non cadat portio A B ſuper D E, ſed cadat in ſitu E G, & educamus lineam tangentem duas ſectiones in H, & educamus E I, D G F parallelas tangen-ti; & ex H ad ſemipartitionem ipſius E I ducatur H K, quæ occurrat D F in L. Et quia H L ſecat bifariam lineam paral-lelam tangenti ab eius termino ductæ; ergo eſt diameter vniuerſæ ſectionis (5. ex 2.) quare bifariam ſecat vnamquan-que ex D F, G F, & fiet D L æqualis G L, quod eſt abſurdum: igitur ſectio A B C tota congruit ſectioni D H F. Quod erat oſtendendum.

34. lib. 1. 7. lib. 2.
PROPOSITIO VII.

DVæ ordinationes axis in qualibet coniſectione abſcindunt à ſectione ex vtraque parte axis duas portiones, quarum ſi vna alteri ſuperponatur ſibi mutuò congruent, nec congruunt alicui aliæ portioni ſectionis.

a

Sit coniſectio A B C, & eius axis B D, & ſu- mantur in ſectione puncta G, C, ab eis educã-tur duæ ordinationes G H, C A occurrentes axi in I, D. Dico, quod B G congruit B H, & G C ipſi H A, & ſuperſicies B D C ſuperficiei B D A, & ſegmentum B G C ſegmento B H A. Quoniam axis B D bifariam diuidit G H, A C in I, D, vtique G I ipſi I H congruet, & D C ipſi D A, & duo puncta G, C ſuper duobus punctis H, A cadent, & portio ſectionis conicæ G C ſuper portionem H A, & G B ſuper H B: Et dico, quod portio H A non congruit alicui alteri portioni, quàm G C: ſi enim poſſibile eſt cõgruat portioni C K, & por-tio H B congruet portioni, quæ continua-tur ipſi K C; ergo cadet B ex H B non ſu-per B ex C G B; quia portio H B non eſt æqualis portioni C B; & propterea incidet axis B D in alium locum, eſſentque eidem ſectioni plures axes: quod eſt abſurdum; (51. 52. ex 2.) igitur non cadit H A niſi ſuper C G. Vt fuerat propoſitum.

b
48. lib. 2.
PROPOSITIO IX.

M Anifeſtum eſt ex demoſtratis, quod portiones ſectionum æqualium non congruunt ſibi inuicem, niſi earum di-ſtantiæ à verticibus ſint æquales.

a

Oſtenſum enim eſt ſibi non congruere, quarum diſtantiæ à verticibus non ſunt æquales, quia portio H A, ſi caderet ſuper portionem C K, & earum diſtantiæ à B non eſſent æquales, conſequitur, quod in hyperbola ſint duo axes, & in ellipſi tres axes: quod eſt abſurdum (51. 52. 53. ex 2.)

48. lib. 2

Si autem in ellipſi cadit axis A E tranſuer- ſus ſuper axim rectum illius, vtique differunt inter ſe, & non ſibi inuicem congruunt ſectio-nes.

b

Conſtat etiam, quod in ſectionibus inæ-qualibus, vt A B C, D E F portio vnius ea-rum non congruit portioni alterius.

Alioqui congruet B A ipſi D E, & congrue-ret etiam E F ipſi B C (6. ex 6.) eſſetque ſe-ctio C B A æqualis ſectioni F E D: at ſuppo-ſuimus, non eſſe æquales, quod eſt abſurdum: ergo non congruit portio alicuius ſectionis portioni alterius ſectionis, cui æqualis non eſt. Et hoc erat oſtendendum.

Notæ in Propoſit. III.

ETenim ellipſis non eſt æqualis alicui hyperbolæ, & c. Suppleri debet in textu verbum (parabolæ) dicendo. Etenim ellipſis non eſt æqualis alicui parabolæ, aut hyperbolæ, quia illa eſt determinata; hæ verò ſunt indeterminatæ, ſcilicet ellipſis eſt finita parabole verò, & hyperbole in infinitum extendi poſ-ſunt, & propterea nulla ratione æquales oſtendentur.

a
Notæ in Propoſit. VI.

QVælibet duæ ſectiones A B C, D E F, quarum vnaquæque literarum ſuperpoſita literis alterius con- gruit; vtique ſunt æquales, & c. Legendum puto. Quælibet duæ ſectiones A B C, & D E F, quarum portio vnius, alterius portioni ſuperpoſita congruit ſunt æquales inter ſe.

a
Notæ in Propoſit. VII.

ORdinationes axis in qualibet hyper- bolarum abſcindunt à ſectione ex vtraque parte axis duo ſegmenta, quæ, ſi cadit vnum ſuper alterum, ſibi mutuò congruunt, nec excedunt, nec deficiunt, nec congruunt alicui portioni ſectionis, & c. Expungi debent verba aliqua huius te-xtus ſuperuacanea, & aliqua adiungi, vt ſenſus continuus talis ſit. Duæ ordinationes axis in qualibet coniſectione abſcindunt à ſectione ex vtraque parte, axis duas portiones, quarum vna alteri ſuperpoſita ſibi mutuò congruent, nec cõgruunt alicui aliæ portioni ſectionis.

a

Quoniam axis B D bifariam diuidit G H, A C, & c. Ex eo enim quod omnes applicatæ ad axim B D ſecantur bifariam ab illo, & ad angulos rectos, ſi intelligatur ſuperficies B I G, ſuperpoſita ſuperfi-ciei B I H, itaut axis ſuper axim cadat, atque vertex B ſit communis neceſ-ſario punctum I commune erit, atque recta I G cadet ſuper I H, cum anguli G I B, & H I B recti ſint, atque punctum G cadet in H, propter æqualitatem duarum ordinatim applicatarum I G, I H: eadem ratione quælibet alia puncta ſectionis G B inter G, & B ſumpta cadent ſuper B H; & ideo portio ſectionis conicæ G B congruet portioni B H, & eidem æqualis erit. Simili modo conſtat, portionem G C æqualem eße portioni H A, & ſic ſuperficies ipſæ. Quod verò portio H A non con-gruat alicui alteri ſegmento C K præter G C, con-ſtat ex eo, quod ſi portiones K C, & A H ſibi mu-tuò congruunt, vt nimirum punctum C ſuper H, & punctum K ſuper A cadat: & concipiatur punctũ C idem ac N, & K idem ac O, & portio O N L æqualis immo eadem ſectio K C B, & illius axis L M omnino idem ac axis B D: tunc quidem (ex precedenti prop. 6.) ſectiones ipſæ A B, & K B, ſeu O L æquales erunt, & ſi-bi mutuò congruentes: & propterea H B cadet ſuper portionem maiorem C B ſeu ei æqualem N B L (cum H B æqualis oſtenſa ſit ipſi G B) & ideo vertices B, & L duarum axium B D, & L M in duabus ſectionibus A B, & K B ſeu O N L inæqualibus non conuenient: quapropter in duabus congruentibus, ſeu in eadem ſectione duo axes B D, & L M exiſtent, quod eſt abſurdum, quia eſt contra propoſ: 48. libri 2.

b
Notæ in Propoſit. IX.

MAnifeſtum eſt ex demonſtratis, quod portiones ſectionum æqua- lium non congruunt, & c. Sicuti in propoſ. 7. dictum eſt, quod duæ portiones non æqualiter à vertice axis diſtantes ſibi mutuò congruere nõ poſſunt, ita hic in duabus quibuslibet æqualibus coniſectionibus idem verificari oſtendi-tur, quod nimirum duæ portiones cuiuslibet ſectionis conicæ, vel duarum æqua-lium ſectionum inæqualiter à vertice axis diſtantes non ſint congruentes. Hoc autem alia ratione demonſtrare ſuperuacaneum non erit, cum demonſtratio, quæ in textu Arabico corrupto affertur non omnino ſufficiens videatur, ſed prius oſtendendum eſt.

a
LEMMAI.

IN duabus æqualibus coniſectionibus A B C, & D E F, quarum axes A G, D H deſcribere duos circulos æquales contingentes coni-cas ſectiones, quorum is, qui propinquior eſt vertici extrinſecùs, reli-quus verò intrinſecùs ſectionem tangat.

In ſestione A B C ducatur ramus breuiſe- cans ſingularis I L ſecans axem in G, ſitque I punctum concur ſus perpendicularis I K, & breuiſecantis; & à quolibet puncto B inter L, & verticem A ducatur alius ramus bre-uiſecans B M, qui occurret L I vltra axim in M, & inter puncta G, & I; coniungatur- que recta linea B 1. Quoniam angulus L G A acutus eſt, erit angnlus G M N internus, & oppoſitus in triangulo G M N minor illò, & ideo acutus, & pro- pterea qui deinceps eſt angulus B M I erit obtuſus, & ideo in triangulo I B M latus I B ſubtendens maximum angulum obtuſum maius erit latera B M; ſedra-mus I L maior eſt, quàm I B, propterea quod remotior eſt à vertice A, igitur ramus I L maior erit, quàm B M: Secari ergo poterunt æquales rectæ lineæ L R, B S, quæ ſint minores quidẽ, quàm I L, ſed maiores, quàm M B; & deſcribantur duo circuli, quorum radij ſint S B, & R L æquales, atque centra ſint S, & R; Manifeſtum eſt circulum, cuius radius B S contingere coniſectionem A C in puncto B, & extrinſecùs incedere, propterea quod radius B S maior eſt maximo breuiſecantium M B à concurſu M educto; è contra circulus radio R L deſcri- ptus intrinſecùs continget eandem coniſectionem in L cum ramus M L minor ſit ſingulari breuiſecante L I. Tandẽ in ſectione D E F ſecetur axis abſcißa D H æqualis A N, & in angulo D H P æquali angulo A N B ducatur radius γ H P, qui fiat æqualis S B, & cẽtro γ radio verò γ P circulus deſcribatur. Et quia in ſectionibus æqualibus abſciſſæ, breuiſecantes, anguli ab eis contenti, & circu-li deſcripti ſunt æquales, & congruentes; igitur circulus radio γ P deſcriptus, contingit coniſectionem D E F extrinſecùs; ſicuti circulus radij S B tangebat ſectionem A B C in B extrinſecùs. Vterat propoſitum.

51. 52. 53. lib. 5, 28. lib. 5. 8. Addir. lib. 5. 13. 14. 15. lib. 5. 67. lib. 5. Ex 12. Addit. lib. 5. 8. Addit. lib. 5. Ibidem.

Hoc demonſtrat o oſtendetur, quod in duabus coniſectionibus A B C, D E F æqualibus, quarum axes A G, D H duæ portiones B C, & E F non æquè ab axium verticibus remotæ non erunt ſibi congruentes.

PROP. 1. Addit.

Si enim poſſibile eſt B C, & E F ſibi mutuò congruant, & ſumatur interme-dium punctum commune, vel duo puncta coincidentia L, & P, & quia portio-nes B C, E F inæqualiter diſtant à verticibus, ergo puncta coincidentia L, P non erunt æquè à verticibus remota; ſit ergo P propinquius vertici D, quàm eſt L vertici A, & per L, & P ducantur rectæ lineæ L O, P Q tangentes ſectiones, & ex lẽ- matæ præcedenti deſcribantur duo circuli æ-quales Z P T, & V L X radijs I L & S P, quorum Z T extrinſecus tangat ſectionẽ in P, & V X intrinſecus in L, cumque eo-rum radij I L, S P ſint breuiſecantes, erunt perpendiculares ad L O, P Q contingentes ſectionem in L, & P; atque portiones B C, E F ſibi mutuò congruunt, ideſt conſtituunt vnicam communem peripheriam, ergo rectæ lineæ L O, P Q contingentes eandem ſectionem ſibi mutuò congruent, pariterque breuiſe-cantes æquales L I, P M ad illas perpendiculariter inſiſtentes crunt congruentes quoque; & propterea circuli V X, Z T ab ijs radijs geniti erunt quoque congru- entes; ideoque ſi vnus eorum, nempe Z T extrinſecùs tangit communem portio-nem conicam B C, reliquus V X extrinſecùs quoque eam langet, ſed ex conſtru-ctione intrinſecùs ſectionem tangebat, quod eſt abſurdum: Non ergo duæ por-tiones B C, & E F non æquè à verticibus axium remotæ ſibi mutuo congruent-Quod erat oſtendendum.

33. 34. lib. 1. 29. 30. lib. 5. 35. 36. lib. 1.

Si autem cadit in ellipſi axis A C tranſuerſus ſuper axim rectum illius; vtique excedit illam, & non ſibi mutuò congruunt ſectiones, & quædam congruunt, & c. Senſus eſt. Si intelligantur duæ ellipſes, habentes axes tran-ſuerſos A B, & G H æquales inier ſe, pariterque axes rectos C D, I K æquales: & axis A B tran-ſuerſus vnius ponatur ſuper I K axim rectum al-terius, ita vt centra ſibi mutuò congruant in E: tunc quidem, quia axes in ellipſi inæquales ſunt (alias eſſet circulus) igitur extremitates axis tran-ſuerſi A B non cadunt ſuper extremitaites axis re-cti K I, neque G, H cadunt ſuper C, D; & ideo circumferentiæ ellipſium ſe ſe mutuò ſecant qua-tuor in locis, vt in libro 4. oſtenſnm eſt.

b
SECTIO TERTIA Continens Propoſit. V. & VIII. PROPOSITIO V.

SI per centrum E ellipſis A B, C D tranſeat linea recta A C vſque ad ſectionem; vtique bifariam diuidit ſuperſiciem ſectionis, & circumferentiam illius, ſcilicet erit ſuperſicies A B C æqualis ſuperficiei A D C.

Nam ſi A C fuerit axis ſectio- nis, vtique circumferentia A B C congruet A D C, nam ſi non cõ-gruit ſignemus locum B, quod al-teri ſectioni nõ coincidat, & pro-ducamus ex illo perpendicularem B F ſuper A C vſque ad D. Er-go B D ordinata eſt ad C A, & propterea B F ſuperpoſita cõgru-et ipſi D F, & cadet B ſuper D, quia B F æqualis eſt D F (8. ex 1.) ; ſed non cadebat ſuper illum; quod eſt abſurdum. Igitur circumfe- rentia A B C æqualis eſt circumferentiæ A D C, & ſuperficies illius æ-qualis ſuperficiei.

Iam linea G H tranſiens per centrum ellipſis non ſit axis. Ducamus ex G, H ſuper axim C A duas perpendiculares G I, H K, quæ pertin-gant ad L, M. Et quia ſi ponatur A D C ſuper A B C, congruit G I ſuper L I (7. ex 6.) & cadet G ſuper L, quia G I æqualis eſt I L, & cadit circumferentia C G ſuper circumferentiam C L; ergo ſuperſicies C I G æqualis eſt ſuperficiei C I L: & quia B C D congruit B A D, & ſu-perficies ſuperficiei, cadet C I ſuper A K, & L I ſuper K H, & circum-ferentia C L ſuper circumferentiam A H (quia E I æqualis eſt E K) & ſuperficies C I L congruit ſuperficiei A K H; & propterea ſuperficies A K H æqualis eſt G I C, & triangulum E G I æquale eſt triangulo E K H; igitur ſuperficies A E H æqualis eſt ſuperficiei G E C, & circumferentia A H æqualis eſt circumferentiæ G C, eritque circumferentia C D H, & ſuperficies eius æqualis A B G, & ſuperficiei illius. Quare G H tranſiens per centrum ſectionis A B C D bifariam eam diuidit. Et hoc erat oſten-dendum.

PROPOSITIO VIII.

SImiliter conſtat, quod ſi ex quolibet quadrante ellipſis ſe-centur circumferentiæ, per quarum extremitates rectæ li-neæ coniunctæ ſint ad eundem axim ordinatim applicatæ, & æquè à centro remotæ; vtique ſunt congruentes, & æquales, nec alicui portioni eiuſdem ſectionis vna illarum æqualis eſt.

Nam demonſtrauimus, quod duæ ſuperficies G I C, L I C ſibi congruunt, nec non congru-unt, duabus ſuperficiebus H A K, M A K (5. ex 6.) ; & ſi eduxerimus duas ordinationes N O, P Q, quarum diſtantiæ à centro ſint æqua-les, ſimili modo oſtendetur, quod ſuperficies N R C, O R C, A S Q, A S P ſint congruen-tes (5. ex 6.) & quod circumferentiæ N C, C O, A Q, A P ſint congruentes, remanebunt quatuor ſegmenta G N, L O, H Q, M P con-gruentia, & ſuperficies quoque eorum congru-entes. Et inſuper dico, quod quodlibet horum ſegmentorum non congruit alicui alio ſegmen-to; nam ſequeretur, quod in eadem ellipſi ſint tres axes, vti dictum eſt, Quare patet propoſitum.

a
b 48. lib. 2.
Notæ in Propoſit. V.

ATque B C D congruit B A D, & ſuperficies ſuperficiei, & c. Quo- niam in ſecunda figura B D eſt axis ellipſis per centrum E ductus; ergò vt in prima parte huius propoſitionis dictum eſt, ſibi mutuò congruent ſemielli-pſes B C D, & B A D.

a
Notæ in Propoſit. VIII.

NAm demonſtrauimus, & c. Expoſitio huius propoſitionis hæc erit. Sit ellipſis A B C D, cuius axes C A, & B D, & in quolibet eius qua-drante ſignentur tales circumferentiæ N G, O L, H Q, M P, vt coniunctæ rectæ lineæ O N, G L, H M, Q P ſint ad axim A C ordinatim applicatæ ſe-cantes eum in R, I, K, S; ſintque binarum extre-marum N O, P Q à centro E diſtantiæ æquales E R, E S, & binarum intermediarum L G, H M æquales à centro diſtantiæ E I, E K oſtendendum eſt ſegmenta G N, L O, H Q, M P æqualia eße.

a

Et inſuper dico, quod quodlibet horum ſeg- mentorum non congruet alicui alio ſegmento, & c. Si enim in eodem, vel in duabus ellipſis qua-drantibus ſumantur ſegmenta G N, & M P non æque ab axis vertice B vel à verticibus A, C eiuſdem axis remota, non erunt congruentia, vt deducitur ex propoſ. 1. additarum huius.

b
SECTIO QVARTA Continens Propoſit. XI. XII. XIII. & XIV. PROPOSITIO XI.

QVælibet ſectio parabolica, vt A B, cuius axis B C, & ere-ctum B D ſimilis eſt cuilibet ſectioni parabolicæ, vt E F, cuius axis F H, & erectum F I.

Ponamus itaque C B ad B D, vt H F ad F I, & diuidantur tam B C, quàm F H in punctis K, L, M, N in eiſdem rationibus, & educamus ſu-per eas ordinationes O P, Q R, A S, T V, X Y , E Z. Quia B C ad B D eſt vt H F ad F I, & A C eſt media proportionalis inter C B, B D (12. ex 1.) pariterque E H inter H F, F I (12. ex 1.) igitur A C ad C B eſt, vt E H ad H F , & A S dupla ipſius A C ad C B eſt, vt E Z ad H F; cumque B C ad B L poſita ſit, vt H F ad F N, erit B D ad B L, vt I F ad F N; igitur Q R ad L B eſt vt X Y ad N F; atque ſic oſtendetur, quod O P ad K B eſt, vt T V ad M F, quare proportio ordinationum axis vnius ſectionum ad ſua abſciſſa eſt, vt proportio ordinationum alte-rius ad ſua abſciſſa, & proportiones abſciſſarum vnius ſectionis ad abſciſ-ſa alterius ſectionis eædem ſunt. Quare ſectio A B ſimilis eſt ſectioni E F. Quod erat oſtendendum.

Ex 11. Lib. 1. a Defin. 2. huius.
PROPOSITIO XII.

SI duarum hyperbolarum, aut ellipſium duæ axium figuræ fuerint ſimiles, vtique ſectiones ſimiles erunt: Si verò fue-rint ſectiones ſimiles, figuræ etiam ſimiles erunt.

Sint ſectiones A B, E F, earum axes inclinati, vel tranſuerſi B a, F b, & erecti earum B D, F I, & maneant ſigna, ordinationes, & proportio- nes eædem, quæ in præcedenti propoſitione. Quoniam figura ſectionis A B ſimilis eſt figuræ ſectionis E F, erit quadratum H E ad H b in H F, vt quadratum A C ad C a in C B; & b H in H F ad quadratum H F, vt a C in C B ad quadratum C B (nam poſuimus H F ad F b, vt C B ad B a) ergo ex æqualitate, quadratũ E H ad quadratũ H F eſt, vt quadra-tum A C ad quadratum C B: & propterea E Z ad H F eſt vt A S ad C B; Atque ſic oſtendetur, quod X Y ad N F ſit vt Q R ad L B, & T V ad M F ſit vt O P ad K B; ergo proportiones ordinationum axis vnius earum ad ſua abſciſſa ſunt eædem rationibus aliarum ordinationum axis ad ſua abſciſſa, & alternatiuè. Quare duæ ſectiones ſunt ſimiles.

a b
Defin. 2. huius.

E contra oſtendetur, quod ſi duæ ſectiones fuerint ſimi- les, earũ figuræ ſimiles quo-que erunt. Quia eſt A C ad C B, vt E H ad H F, & ean-dem proportionem habent earum quadrata, atque quadratum H F ad H F in H b eſt, vt quadratum C B ad C B in C a (eo quod H F ad F b poſita fuit, vt C B ad B a); ergo ex æ-qualitate quadratum E H ad b H in H F, nempe I F ad F b (20. ex 1.) eſt, vt quadratum A C ad a C in C B, nempe vt D B ad B a (20. ex 1.) ; quare figuræ duarum ſectionum ſunt ſimiles. Et hoc erat oſtendendum.

Ex def. 2. buius. 21. lib. 1. Ibidem.
PROPOSITIO XIII.

PArabola non eſt ſimilis hyperbolæ, neque ellipſi.

Hyperbolæ, ſeu ellipſis A B ſit axis B C, & inclinatus, ſeu tranſuerſus B a, & E F ſit ſectio parabolæ, cuius axis F H. Dico, quod ſectio E F non eſt ſimilis ſectioni A B hyperbolicæ, aut ellipticæ, alioquin ſit ſimi- lis alicui earum (ſi poſ- ſibile eſt) ergo poſſu- mus educere in ſingulis ſectionibus potentes, quæ habeant ad ſua ab-ſciſſa axium eaſdẽ pro-portiones, & abſciſſæ in ter ſe ſint proportiona-les; ſintque illæ V M, Y N, P K, R L. Quia Y N ad N F poſita fuit, vt R L ad L B, & N F ad F M, vt L B ad BK, & F M ad M V, vt B K ad K P; ergo Y N ad M V in potentia, nem-pe N F ad M F (cum ſectio ſit parabola 19. ex 1.) nempe L B ad B K ex contructione erit, vt R L ad K P potentia, quæ eandem proportionem habent, quàm a L in L B ad a K in K B; quia ſectio eſt hyperbolæ, aut ellipſis (20. ex 1.) quare a L in L B ad a K in K B eſt, vt L B ad B K; quare a L eſt æqualis a K: quod eſt abſur-dum. Igitur parabole non eſt ſimilis vlli reliquarum ſectionum. Et hoc erat probandum.

b
20. lib. 1. 21. lib. 1.
PROPOSITIO XIV.

ET ſic oſtendetur, quod hyperbolæ non eſt ſimilis ellipſi.

Alioquin ſequitur, quod quadratum R L ad quadratum K P, nempe a L in L B ad a K in K B in hyperbola eſt, vt quadratum Y N ad quadratum M V, ſeu vt b N in N F ad b M in M F in el-lipſi. His poſitis: quia L B ad B K po- ſita fuit, vt N F ad M F; ergo a L ad a K eandem proportionem habet, quàm b N ad b M: & hoc eſt abſurdum. Qua-re ſectio A B non eſt ſimilis E F; vt fue-rat propoſitum.

a 21. lib. 1.
MONITVM.

IN principio huius libri monuimus, definitionem ſimilium conicarum ſectionum, quæ circunfertur, vitioſam eſſe; quod hic oſtendendum ſuſcepimus: ſed prius hæc demonſtranda ſunt.

LEMMA II.

IN duabus coniſectionibus A B, E F eiuſdem nominis ſint axium figuræ G B D, K F I ſimiles inter ſe, ideſt tranſuerſa latera G B, K F proportionalia ſint lateribus rectis B D, F I : duci debent in ſingu-lis ſectionibus ſeries applicatarum ad axes, ita vt axium abſciſſæ (quæ proportionales ſunt inter ſe) ad conterminas potentiales non ſint in ijſdem rationibus.

Sumantur duæ abſciſſæ B C, F H, quarum C B ad B D habeat maiorem pro-portionem, quàm habet H F ad F I, & C B, H F ſecentur proportionaliter in R, V. , & per ea puncta ducantur ad axes ordinatim applicatæ A C, E H, Q R, T V. Quoniam quadratum A C ad rectangulum G C B eandem proportio- nem babet, quàm latus rectum D B ad tranſuerſum G B, pariterq; quadratum E H ad rectangulum K H F eſt vt I F ad F K; atq; D B ad B G ex hypotheſi, eſt vt I F ad F K; ergo quadratum A C ad rectangulum G C B eandem pro-portionem habet quàm quadratum E H ad rectangulum K H F : & quia G B ad B D eſt vt K F ad F I, & D B ad B C minorem proportionẽ habet quàm I F ad F H, ergo ex æquali G B ad B C, minorem proportionem habet quàm K F ad F H, & componendo in hyperbola, & diuidendo in ellipſi G C ad C B ſeu rectangulum G C B ad quadratum B C minorem proportionẽ habebit quàm K H ad H F, ſeu quàm rectangulum K H F ad quadratum F H : erat autem quadratum A C ad rectangulum G C B vt quadratum E H ad rectangulum K H F ; igitur ex æquali, quadratum A C, ad quadratum C B minorem propor-tionem habet quàm quaàratum E H ad quadratum H F, & ideo A C ad C B minorem proportionem habebit, quàm E H ad H F. Poſtea quia C B ad B R erat vt H F ad F V, & prius G B ad B C minorẽ proportionem habebat, quàm K F ad F H, ergo ex æquali G B ad B R minorem proportionem habet, quàm K F ad F V, & componendo in hyperbola, & diuidenào in ellipſi G R ad R B, ſeu rectangulum G R B ad quadratum B R minorem proportionem habet, quàm K V ad V F, ſeu rectangulum K V F ad quadratum V F ; ſed propter ſimili-tudinem figurarum, vt prius quadratum Q R ad rectangulum G R B eſt vt qua-dratũ T V ad rectangulum K V F; ergo ex æquali quadratum Q R ad quadra-tum R B minorem proportionem habet, quàm quadratum T V ad quadratum V F, & Q R ad R B minorem proportionem habebit, quàm T V ad V F. Et ſic reliquæ omnes abſciſſæ : quapropter patet propoſitum.

21. lib. 5.
COROLLARIVM.

HInc conſtat in duabus ſimilibus coniſectionibus duci poſſe duas ſeries appli-catarum ad axes, itaut abſciſſæ axium, quæ inter ſe proportionales ſunt, ad ſuas potentiales nonſint in ijſdem rationibus. Quandoquidẽ ex prima parte propoſitionis 12. quotieſcunque axium figuræ ſimiles ſunt etiam ſectiones ipſæ ſunt ſimiles.

LEMMA III.

IN ijſdem figuris habeat G B ad B D maiorem proportionem, quàm K F ad F I duci debent duæ ordinatim ad axes applicatæ, quæ ad conterminas abſciſſas eandem proportionem habeant.

Ducatur quælibet ordinata E H, producanturq; vt ſecet coniunctam K I in L, & vt D B ad B G ita fiat L H ad H N, atq; fiat G C ad B C, vt N H ad H F, ducaturque ordinata A C; quæ producta ſecet coniunctam G D in P. Di-co A C, & E H eße quæſitas. Quoniam quadratum A C ad rectangulum G C B eandem proportionem habet, quàm D B ad B G, ſeu L H ad H N, & rectã. gulum G C B ad quadratum B C eſt vt G C ad C B, ſeu vt N H ad H F, ergo ex æqualitate quadratum A C ad quadratum C B eſt vt L H ad H F, ſeu vt rectangnlum L H F ad quadratum H F; vel potius vt quadratum E H ad quadratum H F; ideoque A C ad C B erit vt E H ad H F. Quod erat propoſi-tum.

21. lib. 1.
12. 13. lib. 1.
LEMMA IV.

SI G B ad B D maiorem proportionem habuerit, quàm K F ad F I: Dico in ſingulis ſectionibus reperiri non poſſe binas axium ab-ſciſſas inter ſe proportionales, quæ ad conterminas potentiales ſint in eiſ-dem rationibus.

Si enim fieri poteſt, ſit A C ad C B, vt E H ad H F, & Q R ad R B ſit, vt T V ad V F, atque C B ad B R ſit vt H F ad F V; con-iungantur rectæ G D, K I quæ ſecẽt ordinatas in S, P, X, L; & ſecen-tur C a æqualis R S, & H b æqualis V X, ſuntq; æquidiſtantes; ergo co-niungentes S a, R C æquales ſunt, & parallelæ, & ſic etiam coniun-gentes X b, & V H, quare quadratum A C, ſeu rectangulum P C B ad qua-dratum C B eandem proportionem habet, quàm quadratum E H, ſeu rectangu- lum L H F ad quadratum H F; ideoque P C ad C B eandem proportionem ha-bet, quàm L H ad H F; eſt verò C B ad B R, vt H F ad F V, & per conuerſio-nem rationis C B ad C R eſt vt H F ad H V, ergo ex æquali C P ad C R eſt vt L H ad H V: Eodem modo oſtendetur, quod S R, ſeu a C ad R C eſt, vt X V, ſeu b H ad V H; erat autem P C ad C R vt L H ad H V; ergo a P dif-ferentia ipſarum S R, P C ad G R, ſeu ad S a eſt vt b L differentia ipſarum X V, L H ad H V, ſeu ad X b; eſtque D B ad B G vt P a ad S a (propter pa-rallelas a S, C G, & parallelas a P, & B D) pariterque I F ad F K eſt vt L b ad b X, ergo D B ad B G eandem proportionem habet, quàm I F ad F K; quod eſt contra hypotheſim, non ergo binæ axium abſciſſæ inter ſe proportionales reperiri poſſunt in ſectionibus A B, & E F, quæ ad conterminas potentiales ſint in eiſdem rationibus; quod erat oſtendendum.

12. 13. lib. 1.
COROLLARIVM.

HInc conſtat in duabus ſectionibus eiuſdem nominis ſi axium figuræ G B D, & K F I non ſuerint ſimiles, neque ſectiones A B, & E F, ſimiles eſſe. Nam eſt impoſſibile, vt omnes, ideſt infinitæ axium abſciſſæ inter ſe proportio-nales ad conterminas potentiales ſint in eiſdem rationibus, cum neque bine in ſingulis reperiri poſſint ex hac propoſitione.

LEMMAV.

IN eiſdem figuris rurſus G B ad B D maiorem proportionem habeat, qnàm K F ad F 1 : Dico quod minimè reperiri poſſunt axium ab-ſcißæ erectis proportionales, quæ habeant eandem rationem ad contermi-nas potentiales.

Secentur quælibet abſciſſæ, B C, F H ita vt C B ad B D ſit vt H F ad F I, & ducantur ordinatim ad axes applicatæ A C, E H, quæ productæ ſecent, con-iunctas G D, K I in P, L, atque fiat γ B ad B D vt K F ad F I, iungatur-que γ D ſecans A P in M. Manifeſtum eſt rectam C M inæqualem eſſe C P, (propterea quod γ B minor eſt, quàm G B, cum ad eandem B D minorem pro-portionem habeat, quàm G B, ideoque punctum Y, & recta γ D cadent intra, triangulum G B D, & punctum M intra ipſum cadet, aut extra G D pro-ductam). Quoniam D B ad B γ eſt vt I F ad F K, & erat C B ad B D vt H F ad F I ; ergo ex æquali C B ad B γ erit vt H F ad F K, & comparando terminorum ſummas in hyperbola, & differentias in ellipſi ad antecedentes, γ C ad C B erit vt K H ad H F; eſt verò M C ad C R vt L H ad H K (eoquod triãgula M C R, & L H K ſimilia ſunt triangulis ſimilibus B D Y, I F K,) ergo ex æquali M C ad C B erit vt L H ad H F, & rectangulum M C B ad quadra-tum C B eandem proportionem habebit, quàrn rectangulum L H F ad quadra-tũ H F; ſed rectangulũ M C B æquale nõ eſt rectangulo P C B (cum M C oſtenſa ſit inæqualis P C); ergo rectangulum P C B, ſeu quadratum A C ad quadratum C B non eandem proportionem habet, quàm rectangulum L H F, ſeu quadratum E H ad quadratum H F; & propterea A C ad C B non eandem proportionem habebit quàm E H ad H F. Idem oſtendetur in reliquis omnibus abſciſſis ſimi-liter poſitis. Quare patet propoſitum.

12. 13. lib. 1.
COROLLARIVM I.

MAnifeſtum eſt in coniſectionibus non ſimilibus duci poſſe duas ſeries appli-catarum ad axes, itaut abſciſſæ ſimiles, ſeu proportionales inter ſe adcõ-terminas potentiales non ſint in ijſdem rationibus.

COROLLARIVM II.

Colligitur pariter conuertendo, quod in duabus ſectionibus eiuſdem nominis ſi duæ ſeries abſciſſarum ſimilium in axibus poſitæ fuerint, & in vna ſe-rie abſciſſæ ad conterminas potentiales maiorem proportionem habeant, quàm in altera ſerie, fieri poteſt vt ſiguræ axium non ſint inter ſe ſimiles: Quod verifi-catur ſaltem in caſu præcedentis propoſitionis.

His præmiſſis, quoniam paſſo in definitione poſita eſſentialiter conuenit defini-to eſt impoſſibile, vt eidem ſubiecto definito competant duæ paſſiones diuerſæ, & inter ſe oppoſitæ, exempli gratia, fieri non poteſt, vt in triangulis ſimilibus ali- quando anguli vnius inæquales ſint angulis alterius, aut aliquaudo latera circa angulos æquales non ſint proportionalia; ita in definitione Mydorgiana, quia co-niſectiones dicuntur ſimiles in quibus omnes axium abſcißæ, quæ proportionales ſunt inter ſe in ijsdem ſunt rationibus ad conterminas potentiales, igitur eidem ſubiecto deſinito, ideſt in duabus ſectionibus conicis ſimilibus, eſt impoſſibile, vt reperiatur ſeries aliqua infinitarum ſimilium abſciſſarum in axibus, quæ ad con-terminas potentiales non ſint in ijſdem rationibus, & ſiquidem duæ paſſiones op-poſitæ eidem ſubiecto definito conueniant nulla earum erit eius paſſio eſſentialis, & ideo definitio bona non erit: vt exempli gratia quia in duobus ſimilibus cir-culorum ſegmentis duo triangula inſcripta poſſunt eſſe æquiangula, & etiam non æquiangula; ergo ſimilitudo inſcriptorum triangulorum non eſt paſſio eſſentialis ſegmentorum circularium ſimilium inter ſe, & ideo non erit bæc bona definitio: Similia circulorũ ſegmenta ſunt in quibus deſcribi poſſunt duo triangula ſi-milia, & ratio eſt, quia per definitionem nedum natura rei declaratur, & indi-catur, ſed etiam diftinguitur, & diuerſificatur à qualibet alia; & quoniam in ſectionibus ſimilibus reperiuntur duæ ſeries ſimilium abſciſſarum, quæ ad con-terminas potentiales non ſunt in ijſdem rationibus; & è contra ex definitione, Mydorgij duæ ſeries ſimilium abſciſſarum, quæ ad conterminas potentiales ſunt in ijſdem rationibus, eſſentialiter conueniunt definito; igitur hæ duæ oppoſitæ paſſiones conueniunt eidem ſubiecto definito, ſcilicet ſectionibus ſimilibus iu-xta Mydorgij ſententiam : quapropter tradita definitio ſectionum ſimilium vi-tioſa erit, & manca.

Coroll. Lem. 2. huius.

Vt autem hoc clarius pateat ex- ponantur duæ ſectiones A B, E F eiuſdem nominis, quarum axes B C, F H, & propoſitum primò ſit de-monſtrare ſectiones illas eſſe ſimiles inter ſe; ergo oſtendendum eſt paſ-ſionem definitionis traditæ conueni-re ſectionibus A B, E F; quod ni-mirum ſimiles axium abſcißæ in, ijſdem rationibus debent eſſe adcõ-terminas potentiales, & quia in, definitione nulla cautio, vel determinatio adhibetur, igitur ſumi poſſunt quæ-libet axium abſciſſæ B C, F H, & hæc ſecari proportionaliter in R, V, & à punctis diuiſionum duci poßunt ad axes ordinatim applicatæ A C, E H, Q R, T V; & ſupponamus demonſtratum eſſe, quod B C ad C A ſit vt F H ad H E, pariterque vt B R ad R Q ſit vt F V ad V T, tunc quidem ex vi definitionis deducitur, quod ſimiles ſint ſectiones A B, & E F. At quia demonſtrari poteſt in ijſdem ſectionibus (ſumendo abſciſſas B C, F H ad libitum, & proportiona-liter diuidendo eas in R, & V) quod B C ad C A habet maiorem proportionem, quàm F H ad H E; pariterque B R ad R Q maiorem proportionẽ habeat, quàm F V ad V T, & ſic ſemper; ergo non poterit deduci ſimilitudo potius quàm non ſimilitudo; ideoque definitio ſimilium ſectionum erit vitioſa, quandoquidem ex ea duæ contradictoriæ deducuntur.

ex Lem. 2. huius. Coroll. 2. Lem. 5. huius. Coroll. 2. Lem. 5. huius.

Secundo loco ſupponantur duæ ſectiones A B, & E F ſimiles inter ſe, & pro-poſitum, ſit demonſtrare quod axium figuræ, ſeu rectangula G B D, & K F I ſint ſimilia, quæ quidem, eſt propoſitio 3. libri 4. Mydorgij, eiuſque præparatio, ſeu conſtructio talis eſt (, & appono eius verba immutatis tantummodo literis fi-gurarũ) ſint à ſectione A B ordinatim ad axim B C applicatæ binæ quæ-quæ A C, Q R, & vt C B ad B R ita ſit, H F ad F V, ordinatimque à ſe-ctione E F applicentur E H, T V ( ſubſequitur poſtea demonſtratio ſic.) Quoniam igitur ſimiles ponuntur ſectiones A B, E F, & ſunt H F, F V portiones portionibus C B, B R fimiles, (ideſt proportionales) vt B C ad C A, ita erit F H ad H E, & vt B R ad R Q, ita erit F V ad V T, & c.

Huiuſmodi verba ſubtiliori trutina expendenda ſunt. In præparatione, ſeu conſtructione aſſumit abſcißas B C, & F H abſque vlla lege, aut determinatione; ergo ſumi poſſunt cuiuſcunq; longitudinis: quare fieri poteſt vt C B ad latus re-ctum B D non habeat eandem proportionem quàm habet F H ad F I, & tunc licet C B , H F diuidantur proportionaliter, & ducantur potentiales, & c. A C ad C B habebit maiorem, aut minorem proportionem quàm E H ad H F, & pa-riter Q R ad R B non habebit eandem rationem, quàm T V ad V F, & ſit vl-terius in tota ſerie; ſed ex hoc ſequitur, quod poſſint eſſe figuræ axium inter ſe non ſimiles; Mydorgius autem ſimiles eſſe concludit; igitur ex eadem hypotheſi, & ex eadem definitione deducitur, quod ſectiones ſimiles habent figuras axium, ſimiles inter ſe, & non ſimiles, quod eſt impoſſibile; non igitur definitio à My-dorgio tradita legitima, & perfecta eſt: quod fuerat oſtendendum.

Lem. 2. huius. Coroll. 2. Lem. 5. huius.

Quod vero deſinitio à me reformata tribui poſſit Apollonio conijcitur præcipuè ex demonſtratione ſecundæ partis propor. 12. ibi enim ex hac ſuppoſitione, quod ſcilicet duæ ſectiones A B, & E F ſint ſimiles deducit earum figuras ſimiles eſſe. Ait enim: quia eſt A C ad C B vt E H ad H F, & eandem proportioné habent earum quadrata, atque quadratum H F ad rectangulum: F H b eandem proportionem habet quàm quadratum C B ad rectangulũ B C a ( co quod H F ad F b poſita fuit vt C B ad B a) ergo, & c. Modo ſi ac-curatè hæc verba perpendantur non poterit hic vſurpari vulgata definitio Euto-cij, vel Mydorgij nam cum ſectiones A B, E F ſupponantur ſimiles, ea tan-tummodo quæ in definitione ſimilium ſectionum perhibentur concedi poßunt, & nihil amplius; igitur ſi in definitione non includitur particula illa [ abſciſſæ H F, C B’ ad erecta, vel tranſuerſa latera F b, B a ſint proportionalia ] deliran- tis potius, quàm demonſtrantis eſſet dicere. Eo quod H F, ad F b poſita fuit vt C B ad B a; vbi nam, aut quando hoc ſuppo-ſitum eſt, ſi in definitione non continetur? Nec ſuspicari po-teſt caſu hæc verba in textu ir-repſiß, cum in alijs locis repe-tantur, & ab eis pendeat tota demonſtratio; igitur in defini-tione vulgata addenda eſt illa particula, abſciſſæ fint in ea-dem ratione ad erecta;

Rurſus in propoſ. II. & I. parte 12. quando concluſio demonſtrationis eſt quod ſectiones A B, E F ſimi-les ſint: tunc quidem quia tenetur oſtendere Apollonius definitionem traditam, conuenire ſectionibus A B, E F, non aßumit incautè abſciſſas homologas C B, H F, ſed ait in II. propoſitionc ponamus C B ad B D vt H F ad F I, & in 12. inquit, nam pofuimus H F ad F b vt C B ad B a & c. Poſtea in pro-poſitione 16. litera a: ergo M A ad A P, ideſt abſciſſa ad erectum eſt vt O C ad C Q, ſeu vt homologa abſcißa ad latus rectum, & angulus O æqualis eſt M: patet igitur, vt diximus in II. ex 6. quod ſi, & c. Ex quibus locis ſatis apertè colligitur ( ni fallor ) id quod ſupra rationibus non leuibus inſi-nuaui, quod abſciſſæ proportionales eſſe debent erectis in ſectionibus ſimilibus.

Sed hic animaduertendum eſt, eandem definitionem non poſſe æquè aptari ſe-ctionibus conicis, atque ſegmentis conicis ſimilibus, vt perperam cenſuit Mydor-gius: nam in ſegmentis conicis ſimilibus A B C, & D E F diametrorum æquè ad baſes inclinatarum abſciſſæ homologæ ex ſui natura determinatæ ſunt, quan-doquidem non poßunt eße maiores, neque minores quàm G B, & H E, quæ inter baſes A C, & D F ſegmentorum conicorum, & vertices B, E intercipiuntur; at ſi in conicis ſectionibus A B S, & K F G ſint axes tranſuerſis a B, & b F ad ſua latera recta B D, & F I in eadem proportione, tunc quidem ſimiles e-runt curuæ lineæ A B S, & K F G, quæ poßunt habere indeterminatas, & mul-tiplices longitudines, immo poßunt in inſinitum prolongari, ſi fuerint parabolæ vel hyperbolæ, nec habent baſes, à quibus circumſcribantur, igitur in ſectionibus ſimilibus A B, & G F homolegæ axium abſciſſæ B C, F H non ſupponuntur iam dißectæ, & determinatæ; quare poßunt eße cuiuſcunque menſuræ, & habere poſ-ſunt eandem, & non eandem proportionem ad conterminas potentiales; & ideo ad vitandam incertitudinem adiungi debet determinatio, quod prædictæ homo-logæ abſcißæ B C, F H proportionales ſint lateribus rectis B D, F I, at in ſeg-mentis, ſeu portionibus ſectionum conicarum ſimilium inutilis omnino eßet illa determinatio. An verò hæc mea ſententia omninò reijci debeat alijs iudicandũ relinquo.

Propof. 12. huius lib. I.
Notæ in Propoſit. XI.

CVmque B C ad B L poſita ſit vt H F ad F N, & c. Quia inuertendo D B ad B C eandem proportionem habet quàm I F ad F H, & C B ad B L eſt vt H F ad F N; ergo ex æquali ordinata D B ad B L eandem proportio-nem habebit, quàm I F ad F N; eſtque ordinatim applicata Q L media pro. portionatis inter abſciſſam B L, & latus rectum B D ( cum in parabola quadra-tum Q L æquale ſit rectangulo L B D ) pariterque X N media proportionalis eſt inter F N, & I F; ergo Q L ad L B eſt vt X N ad N F, & antecedentium, duplæ, ſcilicet Q R ad L B, atque X r ad N F in eadem ratione erunt. Non ſecus oſtendetur O P ad K B vt T V ad M F.

a
11. lib. I.
Notæ in Propoſit. XII.

SVpponamus itaque ſectiones A B, E F, earum inclinati, vel tran- ſuerſi B a, F b, & erecti eorum B D, F I ordinationes, & propoſitio-nes, vti diximus, & c. Ideſt. Sint axes inclinati, ſiue tranſuerſi B a, F b, & maneant ſigna, ordinationes, & proportiones eædem, quæ in præcedenti propoſi-tione; ſcilicet fiat C B ad B D, vt H F ad F I, & quia D B ad B a eſt vt I F ad F b ( propter ſimilitudinem figurarum D B a, I F b ) ergo ex æquali C B ad B a erit vt H F ad F b; & comparando antecedentes ad ſummas termino-rum in hyperbola, & ad differentias in ellipſi erit B C ad C a vt F H ad H b: poſtea diuidantur tam B C, quàm F H in ijſdem rationibus in punctis K, L, M, N, & educantur ordinatim applicatæ, ſeu æquidiſtantes baſibus O P, Q R, A S, T V, X r, E Z.

a

Quoniam figura ſectionis A B ſimilis eſt figuræ ſectionis E F erit qua- dratum H E ad H b in H F, vt quadratum A C ad C a in C B, & b H in H F ad quadratum H F, vt C a in C B ad quadratnm C B ( nam po-ſuimus H F ad F b, vt C B ad B a, & c.) Quouiam in figuris, ſeu rectan-gulis ſimilibus D B a, & I F b habet D B ad B a eandem proportionem, quàm I F ad F b, & vt D B ad B a, ita eſt quadratum A C ad rectangulum B C a, pariterque vt I F ad F b ita eſt quadratum E H ad rectangulũ F H b ſed ( ſi-cut in præcedenti nota dictum eſt) C a ad C B, ſeu rectangulum B C a ad qua-dratum C B eandem proportionem habet, quàm H b ad H F, ſeu quàm rectan-gulum F H b ad quadratum F H; igitur ex æqualitate quadratum A C ad qua-dratum C B eandem proportionem habet, quàm quadratum E H ad quadratum H F.

b 21. lib. I.

Atque quadratum H F ad H F in H b eſt vt quadratum C B ad B C in C a (eo quod H F ad F b poſita fuit C B ad B a), ergo ex æqualitate, & c. Ideſt ſumã tur axium abſcißæ C B, H F, quæ ſint proportionales lateribus rectis B D, & F I, ſeu proportionales ſint lateribus tranſuerſis B a, & F b, & ſecẽtur abſciſſæ B C, & F H proportionaliter in punctis K, L, M, N, & per puncta diuiſionum ducantur ordinatim applicatæ A C, Q L, E H, X N, & c. Quia ſe-ctiones A B, E F ſupponuntur ſimiles; ergo ex definitione 2. huius A C ad C B eandem proportionem habebit, quàm E H ad H F, nec non Q L ad L B erit vt X N ad N F; & ideo quadratum A C ad quadratum C B eandem proportionẽ habet, quàm quadratum E H ad quadratum H F; & quia ex conſtructione, iuxta leges definitionis 2. vt C B ad B a ita erat H F ad F b, & comparando antecedentes ad terminorũ ſummas in hyperbolis, & ad differentias in ellipſibus, habebit B C ad C a, ſeu quadratum B C ad rectangulum B C a eandẽ propor-tionem quàm F H habet ad H b, ſeu quàm quadratum F H habet ad rectangu-lum F H b; ergo ex æqualitate quadratum A C ad rectangulum B C a eãdem proportionem habet, quàm quadratum E H ad rectangulum F H b; eſt verò la-tus rectum D B ad latus tranſuerſum B a, vt quadratum A C ad rectangulum B C a, pariterque latus re ctum I F ad tranſuer ſum F b eſt vt quadratum E H ad rectangulum F H b, igitur D B ad B a eandem propor-tionem habebit quàm I F ad F b, & ideo figuræ axium ſimiles erunt.

C
21. lib. 1.
Notæ in Propoſit. XIII.

SInt axes earum B C, & inclinatus, ſeu tranſuerſus B a, & c. Addidi verba, quæ in expoſitione propoſitionis deficiunt. Hyperbole, ſeu ellipſis A B ſit axis B C, & inclinatus, ſeu tranſuerſus B a, & E F ſit parabole, cuius axis F H, & c.

a

Alioquin ſit (ſi poſſi- bile eſt) ſimilis vni ea-rum, & minima ſimilis earum figuræ, quæ non ſunt ſimiles ſuis figuris: deinde poſſumus produ-cere in ſingulis ſectioni-bus potentes, & c. Non nulla verba ex hoc textu expunxi vt ſuperuacanea eiuſq; ſenſus hic eſt. Sie-nim par abolæ E F ſimilis eſt hyperbolæ, aut ellipſi A B (ex definitione ſimilium figurarum) duci poßunt in vnaquaque duarum ſi-milium ſectionum ordina- natim ad axium applicatæ, numero pares, quæ ad abſciſſas ſint proportionales, tum abſcißæ inter ſe: V nde ſequitur poſtrema concluſio, quæ in textu habetur, quod nimirum rectangulum a L B ad rectangulum a K B eandem proportionem habeat, quàm abſciſſa, L B ad abſciſſam K B: ſed quotieſcunque duo rectangu-la eandem proportionem habent, quàm baſes, illa ſunt æque alta: igitur altitu-dines a L, & a K æquales ſunt inter ſe, pars, & totum: quod eſt absurdum.

b
Defin. 2.
Notæ in Propoſit. XIV.

ALioquin ſequitur, quod quadratum R L ad quadratum K P, & c. In propoſitione deficit expoſitio, quæ talis eſt. Sit A B quælibet hyperbolc, & E F quælibet ellipſis. Dico A B ipſi E F ſimilem non eße. Sint eorum axes late-ra tranſuerſa, & recta eadem, quæ in præ-cedenti propoſitione poſita ſunt. Et ſiqui-dem ſectiones A B, & E F ſimiles credan-tur, neceßario ex definitione ſecunda, duci poterunt ad axes ordinatim applicatæ nu-mero pares proportionales abſciſſis, tum abſciſſæ inter ſe proportionales: & vt in præcedenti propoſitione oſtenſum eſt, qua-dratum R L ad quadratum P K, ſcilicet rectangulum a L B ad rectangulum a K B in hyperbola eandem proportionem habebit, quàm quadratum γ N ad quadratum V M, ſeu quàm rectangulum b N F ad rectangulum b M F in ellipſi, ergo rectangulum a L B ad rectangulum a K B eandem proportionem habet, quàm rectangulum b N F ad rectangulum b M F: ſed eorundem rectangulorum baſes proportionales ſunt, eo quod L B ad B K erat vt N F ad F M; igitur eorundem altitudines proportionales erunt, ſcilicet a L ad a K eandem proportionem habebit, quàm b N ad b M, ſed in hyperqola a L maior eſt, quàm a K; in ellipſi verò contra b N minor eſt, quã b M; igitur maior a L ad minorem a K eandem proportionem habebit, quàm minor b N ad maiorem b M. Luod erat abſurdum.

a
21. lib. 1. Ibidem.
SECTIO QVINTA Continens ſex Propoſitiones Præmiſſas, PROPOSITIO I. II. III. IV. & V.

SI in triangulis A B C, D E F in duobus circulorum ſeg- mentis A T C, D G F deſcriptis, à duobus angulis B, E, educantur duæ rectæ lineæ B T H, E G I efficientes cum baſibus A C, D F duos angulos H, I æquales (incidentes in prima figura extra duo ſegmenta, & in ſecunda intra, at in ter-tia intra duos ſemicirculos), & fuerit proportio plani rectan-guli ex portionibus lineæ baſis inter angulum prouenientem, & duos angulos reliquos trianguli, nempe A H in H C ad qua- dratum interceptæ inter prouenientem angulum, & circuli peri-pheriam, nempe ad quadratum H B in quolibet caſu eadem ſit, quàm D I in I F ad quadratum I E, vel H A in H C ad quadratum H T ſit, vt D I in I F ad quadratum I G; ſintque duo priores anguli, inter ſe æquales, & prouenientes extra duo triangula poſiti: vel duo priores recti, & prouenientes intra duos angulos non ſint recti; aut duo priores non recti, & pro- uenientes recti intra duo triangula: vel duo priores diuerſæ, aut eiuſdem ſpeciei, ſed duæ lineæ efficiant duos angulos æqua-les cum lateribus duorum triangulorum ſubtendentibus angulos prouenientes: vtique duo priora triangula ſunt ſimilia.

I
2 3 4 5

Quia C H in H A; nempe T H in H B ad quadratum H B, quod eſt, vt H T ad H B eandem proportionem habet, quàm D I in I F, nempe G I in I E ad quadratum I E, quod eſt vt I G ad I E, erit B H ad H T, vt E I ad I G; ſimiliter, & eorum quadrata; oſtendetur igitur ex æqua- litate, quod ſi fuerit A H in H C ad quadratum H B, vt D I in I F ad quadratum I E, quod A H in H C ad quadratum H T ſit etiam, vt I D in I F ad quadratum I G. Dico iam, quod triangulum A B C ſimile eſt triangulo D E F. Si enim hoc verum non eſt, non erit angulus A æqua-lis vni duorum angulorum D, vel F: ſitque angulus D maior, quàm A, & fiat angulus K D F æqualis A, iungaturque F K; quia angulus K, ve-luti E, eſt æqualis angulo B; ſimilia erunt triangula A B C, D K F, & e-ducamus K L parallelam E I: quare K L F ſimile quoque erit B H C ideoque H A ad H B eſt vt D L ad L K, & H C ad H B, vt F L ad L K; igitur H A in H C, nempe B H in H T ad quadratum H B, quod eſt, vt H T ad H B, quæ oſtenſa eſt; vt I G ad I E, erit vt D L in L F, nẽ-pe K L in L M ad qua- dratum K L: & propte-rea M L ad L K erit vt G I ad I E in omnibus fi-guris; & hoc eſt abſurdũ in prima figura: in ſecun- da verò ſecentur bifariam E G, K M in N, O, & iungatur N O, quæ pa-rallela erit L I, quia ſunt duæ perpendiculares ſu-per K M, E G, quæ ſunt parallelæ; ergo I N eſt æqualis L O, & quia E G ad E I iam oſtenſa eſt vt K M ad K L; ergo E N ad E I eſt, vt O K ad K L: & diuidendo erit N I ad I E, vt O L, quæ eſt æqualis N I ad L K. Et hoc quoque eſt abſurdum.

b
c d

In figura autem tertia educamus duas perpendiculares E P Q, K R S ſuper diametrum D F, cui occurrant in P, R: & iungamus G Q, M S, quia erat G E ad E I, vt M K ad L K, & propter ſimilitudinem trian-gulorum I E P, K L R, E I ad E P eſt, vt L K ad K R, atque E P ad E Q eſt, vt R K ad K S, & angulus G E Q æqualis eſt M K S; ergo E G Q ſimile eſt M K S, quare angulus G æ-qualis eſt angulo M, & propterea periphe-riæ E F Q, & K F S, quibus inſiſtunt, æ-quales erunt, quod eſt abſurdũ: eſt enim E F Q maior, quàm K F S; ergo duo triã-gula A B C, D E F in omnibus figuris ſunt ſimilia. Quod e-rat oſtendendum.

e
PROPOSITIO Præmiſſa VI.

DEinde ſint duo anguli B, E qualeſcunque; ſed angulus A B H, vel C B H æqualis angulo D E I, aut F E I: & ſupponantur reliqua omnia iam dicta.

a

Quia proportio C H in H A ad quadratum H B ſuppoſita eſt, vt F I in I D ad quadratum I E, & H C, vel H A ad H B eſt, vt F I, vel D I ad I E; erit etiam H A ad H B, vt I D ad I E, & duo anguli H, I ſunt æquales; igitur triangulum H B A, aut H B C ſimile eſt triangulo E D I, aut E F I, quare duo triangula A B C, D E F ſimilia ſunt; Et hoc erat oſtendendum.

Notæ in Propoſit. Præmiſſas I. II. III. IV. & V.

AFferuntur in hac ſectione aliquæ propoſitiones ſimul coaceruatæ, quæ lem-maticæ ſunt, & vſum habent in ſequentibus propoſitionibus; ſanè conij-citur ex hoc titulo PRAEMISS AE rubeis characteribus inſcripto, huiuſmodi lẽ-mata T extui Apollonij ab Arabico Interprete, vel ab aliquo alio ſuperaddita fuiſſe; licet Pappus Alexandrinus libro 7. afferat eadem ferè lemmata, tanquã propria, & conferentia ad Apollonij ſexti libri intelligentiam.

Poteſt tamen propoſitio vniuerſalis breuius exponi hac ratione. Si à vertici-bus duorum triangulorum à duobus circulis compræhenſorum rectæ lineæ ductæ efficiant cum baſibus angulos æquales; atque eorundem ſegmentorum inter baſim, & peripheriam interceptorum quadrata ad rectangula ſub factis ſegmentis ba- ſium eandem proportionem habeant, fuerintque anguli verticales inter ſe æquales, vel qui à lateribus, & à vertice ductis continentur, ſint æquales: ſemper trian-gula erunt ſimilia.

Dico iam, quod triangulum A B C ſimile eſt triangulo D E F, ſi enim hoc verum non eſt, ſit angulus D maior, quàm angulus A, & c. Textus alterari debuit, nam duo triangula B A C, & E D F ponuntur non ſimilia, & propterea æquiangula non erunt, ſcilicet non habebunt duos angulos æquales duo-bus angulis alterius trianguli; ſed ex hypotheſi anguli verticales A B C, & D E F æquales erant; ergo angulus B A C non erit æqualis angulo E D F, neque angulo E F D; alias dicta triangula eßent æquiangula, & ſimilia, quod non ponitur; igitur neceſſe eſt, vt angulus A non ſit æqualis vni duorum angulorum D, vel F, poſtea rectangulorum A H C, & D I F tam latus A H ipſius H C non ſit maius, quàm D I ipſius I F, & ad punctũ D fiat angulus F D K æqua-lis angulo A.

a

Quare K L F ſimile quoq; erit B H C, & c. Luoniã angulus F D K æqualis eſt factus angulo C A B, & angulus F K D ſeu ei æqualis F E. D eſt ipſi angu-lo A B C æqualis (cum in ſimilibus circulorum ſegmentis exiſtant), igitur in triangulis F K D, & C B A tertius angulus K F D æqualis erit tertio angulo C; & propter parallelas K L, E I eſt angulus D L K æqualis angulo D I E; eſt verò angulus A H B ex hypotheſi æqualis eidem angulo D I E; ergò angulus D L K æqualis eſt angulo A H B, & F L K æqualis angulo C H B: at oſtenſus fuit angulus K F L æqualis angulo B C H; ergo angulo C B H æqualis eſt angulus F K L; ideoque triangula C B H, & F K L ſimilia erunt. Pariterq; duo trian-gula B A H, & K D L ſimilia erunt, cum angulus L æqualis ſit angulo H, & angulus K D L æqualis ſit interno B A H.

b

Et hoc eſt abſurdum in prima figura, & c. Luoniam ſunt rectæ lineæ in circulo applicatæ K M, E G parallelæ inter ſe; ergo coniunctæ rectæ lineæ E K, G M parallelæ erunt inter ſe, aut conuenient extra circulum cum diametro bifa-riam, & ad angulos rectos diuidente applicatas E G, K M; ſed eadem rectæ lineæ G M ſecat trianguli baſim F A I intra circulũ, aut extra ipſum inter puncta I, A, & F (propterea quod angulus E I F conſtituitur à duabus in circulo applicatis extra ipſum concurrentibus); ergo tres coniunctæ rectæ lineæ K E, M G, & I L, nec ſunt omnes inter ſe parallelæ, nec in vno puncto cõueniunt, & propterea E I, & K L, ſectæ non erunt proportionaliter in punctis G, [& M, ſed prius oſtenſa fuit E I ad I G vt K L ad L M; quod eſt abſurdum.

c

In ſecunda verò ſecentur bifariam E G, K M in N O, & c. Sunt enim in tertio caſu K M, & E G perpendiculares ad baſim D F; igitur ſi ſecentur bifariam in O, & N coniuncta recta linea N O diameter circuli erit, quando-quidem diuidit bifariam duas equidiſtantes in circulo applicatas; & ideo eas ſecat ad angulos rectos, ſicuti D F eaſdem perpendiculariter ſecabat; & propte-rea I N O L parallelogram-mum erit, cuius latera op- poſita N I, & O L æqualia crunt. Poſtea quia oſtenſa fuit I G ad I E, vt L M ad L K; ergo ſummæ termi- norum ad conſequentespro portionales erunt; ſcilice G E ad E I erit vt M K ad K L, & antecedentiũ ſemiſ-ſes N E ad E I, vt O K ad K L: & diuidendo, duæ æ-quates N I, O L eandem proportionem habebunt ad I E, & L K; ideoq; I E æqualis eſt L K. Et quoniã triangulum A B H ſimile eſt triangulo D K L; ergo A H ad H B eandem pro-portionem habet, quàm D L ad L K; eſtque triangulum B H C ſimile triangu-lo K L F; ergo B H ad H C eſt vt K L ad L F, & ex æqualitate vt A H ad H C ita eſt D L ad L F; erat autem ſegmentum A H non maius ſegmento H C; ergo D L maius non erit ſegmento L F; ſed erat ſegmentum D I non maius ſegmen-to I F, igitur duo ſegmenta D I, & D L non ſunt maiora, ideſt non ſunt ma-iora medietate totius D F, ſed diameter parallela ipſis K M, & E G ſecat D F biſariam; ergo K M, E G ad eaſdem partes diametri cadunt verſus D, & ſunt inter ſe parallelæ; ergo inæqualiter à centro diſtant; ideoque inæquales erunt in-ter ſe, & earum meditates N E, O K inæquales erunt; & ablatis æqualibus N I, O L remanebunt I E, L K inæquales. Quod eſt abſurdum: oſtenſæ enim fue-runt prius æquales inter ſe.

d
Lem. 1.

In figura autem tertia ducamus duas perpendiculares, & c. In quarto caſu ſupponuntur baſes A C, & D F per centra circulorum tranſire, eo quod anguli A B C, & D E F recti ſupponuntur, atque rectæ lineæ B H, E I non ſunt perpendiculares ſuper eaſdem baſes, licet intra circulos efficiant angulos B H C, & E I F inter ſe æqua-les: perſecta igitur conſiru- ctione, vt prius ad diame-trũ D F, ducãtur ex punctis E, & K perpendiculares E Q, K S, quæ diuidẽtur bi-fariã, & ad angulos rectos in P, & R. Et quoniam (vt in præcedenti caſu oſtẽ-ſum eſt) G E ad E I ean-dem proportionem habet, quàm M K ad K L, cum-que latera I E, L K ſint parallela, pariterque P E, & K R æquidiſtent, atque baſes I P, L R in dire-ctum poſitæ ſint, erunt triangula I E P, & L K R æquiangula, & ſimilia: & propterea I E ad E P erit, vt. L K ad K R: eſt verò P E ad eius duplam E Q, vt R K ad eius duplam K S (cum diameter ſecet eas bifariam, quas perpendi-culariter prius ſecabat) ergo, ex æquali ordinata, erit G E ad E Q, vt M K ad K S; ſuntq; anguli verticales G E Q, & M K S æquales, propterea quod conti-nẽtur à rectis lineis quæ binæ binis ſunt æquidiſtantes; ergo triangula G E Q, & M K S ſimilia ſunt inter ſe: & propterea angulus E G Q æqualis erit angulo K M S.

e

Et propterea ſegmentum E F Q maius ſimile erit ſegmento K F S mi- nori: quod eſt abſurdum, & c. Legendum puto. Et propterea periheriæ E F Q, & K F S, quibus inſiſtunt æquales erunt: quod eſt abſurdum. Eſt enim E F Q maior, quàm K F S.

f
Notæ in Propoſit. Præmiſſ. VI.

DEinde ſint duo anguli B, E qualeſcumque; ſed angulus A B H, vel C B H æqualis angulo D E I vel F E I, & condictiones, vti dixi- mus, & c. Expoſitio, atque demonſtratio huius propoſitionis obſcura eſt propter nimiam eius breuitatem: itaque duo eius caſus diſtingui debent hac ratione. In duobus triangulis A B C, D E F ſupponantur anguli H, & I æquales, pariter-que anguli H B A, I E D æquales inter ſe; ideoque duo triangula A B H, & D E I ſimilia erunt, & propterea A H ad H B eandem proportionem habebit, quàm D I ad I E; ſed ex vniuerſali hypotheſi rectangulum C A H ad quadra-tum H B eandem proportionem habet, quãm rectangulum F I D ad quadratum I E, & componuntur proportiones rectangulorum ad quadrata iam dicta ex ra-tionibus laterum circa angulos æquales H, & I, ſuntque oſtenſæ proportiones A H ad H B, atque D I ad I E eædem inter ſe; igitur reliquæ componentes pro-portiones, ſcilicet C H ad H B, atque F I ad I E eædem quoque erunt inter ſe, & compræhendunt angulos æquales H, & I; igitur triangula C H B, & F I E ſimilia ſunt inter ſe: & propterea angulus B C A æqualis erit angulo E F D, ſed anguli B A C, & E D F æquales ſunt inter ſe, quia eorum conſequentes æquales erant in triangulis æquiangulis B A H, & E D I, igitur duo triangu-la B A C, & E D F æquiangula, & ſimilia inter ſe erunt.

a

Simili modo ſi ſupponantur anguli C B H, & F E I æquales, cum anguli H, & I æquales ſint, erunt triangula B C H, & E F I ſimilia inter ſe, & vt prius, oſtendentur quoque triangula ablata B A H, E D I æquiangula, & ſimilia in-ter ſe (propterea quod circa angulos æquales H, & I babent latera proportiona-lia); & ideo reſidua triangula C A B, & F D E erunt quoque ſimilia, vt propoſitum fuerat.

SECTIO SEXTA Continens Propoſit. XV. XVI. & XVII. PROPOSITIO XV.

DVarum hyperbolarum, aut ellipſium, ſi figuræ diametro-rum, quæ axes non ſint, fuerint ſimiles, atque potentes contineant cum diametris angulos æquales: vtique ſectiones ſunt ſimiles.

Sint ſectiones A B, C D hyperbolicæ, vel ellipticæ earum diametri, quæ non ſint axes I A K, L C M, & earum centra G, H, & duo axes ſint E B, F D: & educamus duas tangentes A R, C S ad duos axes, quæ continebunt cum duabus diametris A K, C M duos angulos æqua-les, eo quod parallelæ ſunt potentialibus ad diametros eductis; & edu-camus à B, D ad duabus diametros A K, C M tangentes B N, D O, & circumducamus ſuper triangula B N G, H D O duos circulos, & ex A, C educamus ad axes duas potentiales A P, C Q, & per B, D ducamus I B T, L D V parallelas ipſis A R, C S, quæ ſecent duos circulos in B, T, D, V: eritque G I in I N, ſcilicet ei æquale T I in I B ad quadra- tum potentialis I B, vt H L in L O, ſeu L V in L D ad quadratum L D, eò quod quælibet ex dictis proportionibus eadem eſt proportioni fi-guræ K A, & M C (39. ex 1.) , ergo T I ad I B eſt, vt V L ad L D, & angulus I, qui æqualis eſt ipſi R A G æqualis eſt angulo L, qui æqualis eſt S C H; igitur angulus G æqualis etiam eſt angulo H: & propterea G A R ſimile eſt H C S, & pariter G A P, H C Q ſunt ſimilia, quia P, Q ſunt recti, vnde A P R, C Q S ſunt etiã ſimilia, & proportio vniuſcuiuſq; eorum, nempe G P, P R ad P A, eſt, vt proportio H Q, S Q ad C Q; igitur G P in P R ad quadratum P A, nempe B E ad erectum illius (39. ex 1.) eſt vt H Q in Q S ad quadratum C Q, nempe D F ad erectum illius (39. ex 1.) ; igitur figuræ duorum axiũ ſunt ſimiles, & duæ ſectiones ſimiles ſunt (12. ex 6. ( ſed oportet in ellipſi, vt duæ diametri, ideoque duo axes ſint ſimul aut tranſuerſi, aut ſimul re-cti. Et hoc erat propoſi-tum.

b
37. lib. 1. Propoſ. 2. præmiſſ. c 37. lib. 1.
PROPOSITIO XVI.

SI ſectiones A B, C D ſimiles inter ſe, quæ ſint prius para-bolæ, tangant lineæ A E, C F terminatæ ad earum axes E B, F D, & contineant cum illis angulos æquales E, F, & in qualibet earum educantur ordinationes G H, I K ad diame-tros L A M, N C O tranſeuntes per puncta contactus axibus æquidiſtantes, & fuerit proportio ſuarum abſciſſarum A M, C O ad lineas tangentes A E, C F eadem; vtique ordinationes abſcindent ex ſectionibus ſimilia ſegmenta, & ſimiliter poſita, vt G A H, I C K. Si verò ordinationes ſecuerint ſimilia ſegmen-ta; vtique ſectiones ſimiles erunt, & abſciſſarum ad lineas tan-gentes proportio erit eadem, atque lineæ tangentes continebunt cum axibus angulos æquales.

Educamus enim duas B L, D N ſuper duos axes B E, F D perpendi-culares, quæ tangent ſectiones in B, D: & ponamus A P ad duplam A E, vt R A aſſumpta ad A L ei ſimilem, nec non C Q ad duplam C F, vt aſſumpta S C ad C N; igitur P A, Q C ſunt erecti duarum diametro-rum L M, N O (52. ex 1.) ergo G M poteſt P A in A M, (12. ex 1.) & ſimiliter I O poteſt O C in C Q, (12. ex 1.) & propter æquidiſtan- tiam E B, L A, atque F D, C N ſunt ſimilia E R B, R L A, atque D S F, S N C; & duo anguli E, F ſuppoſiti ſunt æquales; igitur angulus R A L æqualis eſt S C N, & N, L ſunt recti; quare R A ad A L, nempe P A ad duplam A E eſt, vt S C ad N C, nempe vt Q C ad duplam C F, & M A ad A E ſuppoſita eſt, vt O C ad C F: ergo M A ad A P eſt, vt O C ad C Q, & angulus O æqualis eſt M. Oſtendetur igitur (vt diximus in 11. ex 6.) quod ſi ad abſciſſas A M, C O egrediantur quælibet potentes, ad ſua abſciſſa eandẽ proportionẽ habebunt ſi abſciſſæ ad abſciſ-ſas ſint in cadem proportione, & quod anguli à potentialibus, & ab- ſciſſis contenti, erunt æquales in duabus ſectionibus: quare erit ſegmen-tum H A G ſimile ſegmento I C K atque ſimiliter poſitum.

32. lib. 1. 49 lib. 1. 11. lib. 1. lbidem. a
Defin. 7. huius.

Deinde ijſdem ſignis in eiſdem figuris manẽtibus, vt prius de-ſignatis ſupponatur, ſegmentum H A G ſimile ipſi K C I. Dico, quod angulus E æqualis erit F, & M A ad A E erit, vt O C ad C F.

Quoniam duo ſegmenta ſunt ſimilia erit angulus O æqualis M, & duo anguli E A L, F C N illis æquales, ſunt quoque inter ſe æquales; ergo duo anguli F, E, qui illis æquales ſunt, erunt inter ſe æquales, eoquod A E, C F parallelæ ſunt G H, I K, & anguli N, L ſunt recti; ergo duo triangula proportionis ſunt ſimilia, ideoque R A ad A L, nempe P A ad duplam A E eſt, vt C S ad C N, nempe Q C ad duplam C F: & quia G M poteſt P A in A M (12. ex 1.) & ſimiliter I O poteſt Q C in C O; ergo P A ad G M eſt, vt Q C ad O I, & G M ad M A eſt, vt I O ad O C; quia duo ſegmenta ſunt ſimilia, & E A ad A M eſt, vt C F ad C O: & iam oſtenſum eſt, quod duo anguli E, F ſunt æquales. Et hoc erat oſtendendum.

Defin. 7. 49. lib. 1. 11. lib. 1. b
PROPOSITIO XVII.

DEinde ſectiones ſint hyperbolicæ, aut ellipticæ, & reliqua ſupponantur, vt prius.

a

Educamus C c perpendicularẽ ſuper axim D F, & A a perpendicula-rem ſuper axim B E; atque V, Y ſint duo centra. Ergo (propter ſimi-litudinem duarum ſectionum) erit V a in a E ad quadratum A a potentis, vt Y c in c F ad quadratum C c ( 39. ex 1. ) quæ habent eandem pro- portionem, quàm figuræ axis habent, & angulus F ſuppoſitus eſt æqualis E: ergò Y c C ſimile eſt V a A: & propterea angulus Y æqualis eſt V, & angulus F C Y æqualis E A V: & propter ſimilitudinem N D Y, L B V æquales ſunt duo anguli C N S, A L R; ergo ſimilia ſunt C N S, A L R. Quare C S aſſumpta ad ei coniugatam C N eſt vt R A ad A L: & po-namus C Q ad duplam C F, vt C S ad C N, nec non A P ad duplam A E, vt A R ad A L; igitur Q C, A P ſunt erecti duarum diametrorum C Y X, A V T ( 53. 54. ex I. ) ſed C F ad C X duplam ipſius C Y eſt vt A E ad A T duplam ipſius A V, propter ſimilitudinem C F Y, A E V: ergo ex æqualitate Q C ad C X diametrum inclinatam, ſeu tranſuerſam eſt vt A P ad A T; & propterea figuræ earundem diametrorumſunt ſimi- les, & quia CO ad C F ſuppoſi-ta eſt, vt A M ad A E: ergo ex æqualitate Q C ad C O eſt, vt P A ad A M: Quare potentes ad duo eius ab-ſciſſa C O, A M, à quibus diuidũ-tur bifariam, eã-dem proportio-nem habent: & proportio abſciſ ſarum in vna ſectionum ad homologa abſciſſa alterius eſt eadem ( 12. ex 6. ), & anguli compræhenſi à potentibus, & abſciſſis ſunt æquales; quia æquales ſunt duobus angulis R A L, S C N æqualibus, & propterea duo ſegmenta ſunt ſimilia.

37. lib. I. 12. huius. b 6. præmiſ. huius. 50. lib. I. c
Defin. 7. huius.

Poſtea oſtendetur, quod ſi duo ſegmenta fuerint ſimilia, erit angulus F æqualis E, & A M ad A E, vt O C ad C F.

Quia propter ſimilitudinem duorum ſegmentorum continebunt poten- tes cum ſuis abſciſſis angulos æquales, & erit proportio potentium ad ab- ſciſſas eadem, & proportio abſciſſarum, in vna earum ad ſua homologa in altera, erit eadem. Et quia V a in a E ad quadratũ a A eandem propor- tionem habet, quàm Y c in c F ad quadratum c C, & duo anguli a, & c ſunt recti; atque angulus C, nempe O æqualis eſt A, nempe M, propter ſimilitudinem ſegmentorum: ergo triangulum A E V ſimile eſt C F Y, & angulus V æqualis eſt angulo Y; pariterque angulus E æqualis eſt F, & A V ad A E eandem proportionem habet, quàm Y C ad C F. Po-namus iam P A ad duplam A E, vt Q C ad duplam C F; ergo ex æqua-litate A T diameter ad A P erectum eius eſt, vt C X diameter ad C Q erectum eius ( 53. 54. ex I. ) & T M in M A ad quadratum M G eandẽ proportionem habet, quàm X O in O C ad quadratum O I: at ſuppoſi-tum eſt quadratum A M ad quadratum M G, vt quadratum C O ad qua-dratum O I; ergo ex æqualitate T M in M A ad quadratum A M, nem-pe T M ad M A, eandem proportionem habet, quàm X O in O C ad quadratũ O C, nempe X O ad O C; quare di-uidendo, vel cõ-ponendo, & ex æqualitate A M ad A E eſt vt C O ad C F: & iã oſtenſũ eſt, quod duo anguli F, & E ſunt æqua-les. Quare pa-tet propoſitum.

d Defin. 7. huius.
21. lib. I.
Notæ in Propoſit. XV.

SI figuræ diametrorum hyperbolarum, aut ellipſium fuerint ſimiles diſ- ſimilium axium, & potentes illarum diametrorum contineant ſimul angulos rectos, vtique ſectiones ſimiles ſunt, & c. Textus mendoſus huius propoſitionis ex ſubſequenti expoſitione, & demonſtratione corrigi debuit.

a

Et G I in I N æquale ipſi T I in I B ad quadratum I B potentis eſt, vt H L in L O æquale ipſi V L in L D ad quadratum L D; quia, & c. Quo-niam à puncto B ſectionis A B ad diametrum K A I ducuntur ordinatim appli-cata B I, & B N contingens ſectionem in B ſecantes diametrum in I, & N; igitur rectangulum G I N ad quadratum ordinatim applicatæ I B eandem pro- portionem habebit, quàm latus tranſuerſum K A ad eius latus rectum: eadem ractione in ſectione C D erit rectangulum H L O ad quadratum ordinatim ap-plicatæ D L, vt latus tranſuerſum M C ad eius latus rectum; propterea quod à puncto D ducitur D O ſectionem contingens, & D L ordinatim applicata ad diametrum M C, ei occurrentes in L, & O. Et quoniam ex hypotheſi latus tranſuerſum K A ad eius latus rectum eandem proportionem habet, quàm latus tranſuerſum M C ad eius latus rectum, cum figuræ harum diametrorum ſup-poſitæ ſint ſimiles; ergo rectangulum G I N ad quadratum I B eandem propor-tionem habet, quàm rectangulum H L O ad quadratum L D: deinde quia in duobus triangulis G B N, & H O D ſunt duo anguli G B N, & H D O equales, nẽpe recti ( cum B N, & D O ſectiones contingentes in terminis axium E B, & F D efficiant cum ipſis angulos rectos ) atq; à verticalibus angulis B, & D du-cuntur ad baſes rectæ lineæ B I, D L efficientes angulos I, & L æquales, eo quod æquales ſunt angulis æqualibus R A G, & S C H propter æquidiſtantiam linearum B I, A R, atque linearum D L, S C, & in ſuper rectangulum G I N ad quadratum I B eandem pro-portionem habet, quàm re-ctangulum H L O ad qua-dratum L D; igitur trian- gula G B N, & H D O ſi-milia ſunt inter ſe; & pro-pterea angulus G æqualis e-rit angulo H.

b 37. lib. I.
Coruerſ. 32. lib. I.
Propoſ. 2. pręmiſſ.

Et proportio vniuſcu-inſque eorum, nempe G P, P R ad P A eſt, vt proportio H Q, Q S ad C O; & c. In triangulis enim ſimilibus G P A, & H Q C circa angulos rectos P, & Qerit G P ad P A, vt H Q ad Q C: pariter in duobus triangulis ſi-milibus R P A, & S Q C habebit R P ad P A eandem porportionem quàm, S Q ad Q C; proportio verò rectanguli G P R ad quadratum P A componitur ex ijſdem rationibus laterum circa angulum rectum P: pariterque proportio rectan-guli H Q S ad quadratum Q C ex rationibus laterum circa angulum rectum Q componitur, ſuntque oſtenſæ prædictæ componentes proportiones eædem inter ſe; igitur rectangulum G P R ad quadratum P A eandem proportionem habe-bit, quàm rectangulum H Q S ad quadratum Q C; ſed habet rectangulum G P R ad quadratum P A eandem proportionem, quàm axis tranſuerſus E B ad eius latus rectum ( propterea quod ab eodem puncto A ſectionis ducitur contin-gens A R, & ordinatim applicata ad axim A P) atque eodem modo rectangu- lum H Q S ad quadratum Q C eandem proportionem habet, quàm axis tran-ſuerſus F D ad eius latus rectum; igitur axis tranſuerſus E B ad eius latus rectum eandem proportionem habet, quàm latus tranſuerſum F D ad eius latus rectum; & propterea figuræ axium duarum ſectionum A B, & C D ſimiles in-ter ſe erunt; & ideo conicæ ſectiones ſimiles erunt.

37. lib. I. Ibidem.
12. huius.

Sed oportet in ellipſi, vt duo axes ſint ſimul, aut tranſuerſi, aut recti-ſimul, & c. Addidi verba, quæ videntur in textu deficere. Sed oportet in elli-pſi, vt duæ diametri, ideòque duo axes ſint ſimul, aut tranſuerſi, aut ſimul re-cti. Licet enim multoties diametri coniugatæ ellipſium æquales eße poſſint, ni-hilominus eæ ſumi debent, quæ ad eaſdem partes reſpiciunt axes tranſuerſos, alias conſtructio, atque demonſtratio non ſequeretur, vt manifeſtum eſt.

MONITVM.

PRo intelligentia propoſ. 16. & 17. præmitti debent tria hæc lem-mata.

LEMMA VI.

SI in duobus parabolicis ſegmentis A B C, & D E F baſes A C, & D F cum diametris G B, & H E æquales angulos G, & H non rectos contineant, atque efficiant abſciſſas G B, & H E dia-metrorum ad latera recta B I, & E K proportionalia; erunt ſegmenta ſimilia inter ſe.

Secentur diametrorum abſciſſæ G B, & H E in ijſdem rationibus in L, M, N, O, & ab ijſdem punctis educantur baſibus æquiſtantes, ſeu ad diametros or-dinatim applicatæ P Q, R S, T V, X Y. Quoniam ex hypotheſi G B ad B I eſt, vt H E ad E K; eſtque A G media proportionalis inter G B, & B I; pari- terque D H media proportionalis eſt inter H E, & E K; igitur A G ad G B eſt, vt D H ad H E; Et quoniam inuertendo L B ad B G eſt, vt N E ad E H, atque B G ad B I poſita fuit, vt H E ad E K; ergo ex æquali ordinata L B ad B I erit, vt N E ad E K, quare vt L B ad P L, mediã proportionalẽ inter L B, & I B, ita erit N E ad N T mediam proportionalem inter N E, & E K. Eo-dem modo oſtendetur, quod R M ad M B eandem proportionem habet, quàm X O ad O E: & hoc ſemper continget in quibuslibet alijs diuiſionibus proportiona-libus abſciſſarum, ſuntque anguli G, & H æquales; igitur ſegmenta A B C, & D E F ſimilia ſunt inter ſe. Quod erat oſtendendum.

II. lib. I.
Defin. 7. huius.
LEMMA VII.

S I in duobus ſegmentis A B C, & D E F hyperbolicis, aut ellipti-cis, baſes A C, & D F cum diametris G B, & H E, æquales angulos G, & H obliquos continentes, efficiant abſciſſas G B, & H E proportionales lateribus rectis B I, & E K, atque tranſuerſis B Z, & E a, erunt ſegmenta ſimilia inter ſe.

Secentur abſcißæ G B, & H E in ijſdem rationibus, ducanturque ordinatim applicatæ vt in precedenti factum eſt. Quoniam G B ad B I eſt, vt H E ad E K, & inuertendo Z B ad B G eſt, vt a E ad E H, ergo ex æquali ordinata Z B latus tranſuerſum ad B I latus rectum erit, vt a E latus tranſuerſum alte-rius ſectionis ad E K eius latus rectum: eſt verò rectangulum Z G B ad qua-dratum ordinatim applicatæ G A, vt latus tranſuerſum Z B ad rectum B I; pariterque rectangulum a H E ad quadratum ordinatim applicatæ D H, vt tranſuerſum a E ad latus rectum E K, ſuntque prædicta latera figurarum oſtẽ-ſa proportionalia; igitur rectangulum Z G B ad quadratum A G eandem pro-portionem habet, quàm rectangulum a H E ad quadratum D H; ſed quadratum B G ad rectangulum Z G B eandem proportionem habet, quàm G B ad G Z (propterea quod G B eſt illorum altitudo communis) pariterque quadratum E H ad rectangulum a H E eſt, vt H E ad H a, ſeu vt G B ad G Z; igitur qua-dratum G B ad rectangulum Z G B eandem proportionem habebit, quàm qua-dratum E H ad rectangulum a H E; quare ex æquali quadratum G B ad qua-dratum G A eandem proportionem habebit, quàm quadratum E H ad quadratũ H D; ideoque inuertendo A G ad G B erit vt D H ad H E. Rurſus, quia in-uertendo L B ad B G eſt vt N E ad E H; ſed G B, atque H E ad latera trã-ſuerſa proportionalia ſunt; igitur L B ad B Z erit vt N E ad E a; & propte-rea, vt prius quadratum L B ad rectangulum Z L B erit, vt quadratum E N ad rectangulum a N E; eſtque rectangulum Z L B ad quadratum ordinatim applicatæ P L, vt rectangulum a N E ad quadratum T N, (ſcilicet vt latera tranſuerſa ad recta, quæ proportionalia oſtenſa ſunt); igitur ex æquali ordinata quadratũ B L ad quadratum P L eandem proportionẽ habebit, quàm quadratũ E N ad quadratum T N; quare vt prius dictum eſt, P L ad L B eandem pro-portionem habebit, quàm T N ad N E; & hoc ſemper contingit in reliquis om-nibus diuiſionibus abſciſſarum in eiſdem rationibus ſectis; ſuntque anguli G, & H æquales inter ſe, licet non recti, igitur (ex definitione 7.) ſegmenta A B C, & D E F ſimilia ſunt inter ſe. Quod erat oſtendendum.

LEMMA VIII.

SI duo hyperbolica, aut elliptica ſegmenta A B C, D E F fuerint ſimilia, quorum baſes A C, D F efficiant cum diametrorum ab-ſciſsis B M, E O angulos æquales M, & O; ſintque eorum tranſ-uerſa latera T B, Z E, recta vero B L, E Q. Dico figuras eorum; ſiue rectangula T B L, & Z E Q ſimilia eße.

Secentur ſegmentorum abſciſſæ M B, O E proportionaliter in N, P, & per ea puncta ducantur ordinatim ad diametros applicatæ G N, I P æquidiſtantes baſibus, efficientes abſciſſas B N, E P, coniunganturq; duæ rectæ lineæ T L, Z Q ſecantes rectas lineas N H, M V, P K, O S æquidiſtantes lateribus rectis B L, E Q in punctis H, V, K, S, atque à punctis H, & K ducantur rectæ lineæ H X, K R parallelæ diametris occur-rentes ipſis M V, O S in X, & R. Quoniam ſegmenta ſup-ponuntur ſimilia erit A M ad M B, vt D O ad O E, & G N ad N B erit vt I P ad P E, atque quadratum A M, ſeu ei æquale rectangulum B M V, ad quadratum M B eandem proportionem habebit, quàm, quadratum D O, ſeu ei æquale rectangulum E O S ad quadratum O E; ſed vt rectangulum B M V ad quadra-tum M B ita eſt M V ad M B (cum M B ſit eorum altitudo communis) pari-terque vt rectangulum E O S ad quadratum O E, ita eſt O S ad O E; quare M V ad M B eandem proportionem habebit, quàm O S ad O E; non aliter oſten-detur N H ad N B eandem proportionem habere, quàm P K ad P E: erat autem M B ad B N vt O E ad E P; ergo compa-rando antecedentes, & poſtea conſequentes ad differentias terminorum erit B M ad M N vt E O ad O P; atque B N ad N M eã-dem proportionem habebit, quàm E P ad P O. Quare ex æquali V M ad M N erit vt S O ad O P, atque H N ad N M erit vt K P ad P O; & differentia ipſarum V M & H N ideſt X V ad M N, ſeu ad X H ean-dem proportionem habebit, quàm differentia ipſarum S O, & K P, ideſt S R ad O P, ſeu ad R K; quapropter V X ad X H erit vt S R ad R K; ſed quia X V, L B inter ſe, nec non X H, & B T ſunt parallelæ, atq; etiam S R, Q E inter ſe, nec nõ R K, & E Z ſunt æquidiſtantes; erunt triangula V X H, & L B T ſimilia, pariterque triangula S R K, & Q E Z inter ſe ſimilia; ideoque erit L B ad B T vt V X ad X H, pariterque Q E ad E Z erit vt S R ad R K; erat autem prius V X ad X H, vt S R ad R K; igitur L B ad B T eandem proportionem habebit, quàm Q E ad E Z; & propterea circa roctos angulos B, E, figuræ ſectionum ſimiles erunt inter ſe. Quod erat oſtendendum.

Defin. 7. huius. 12. 13. lib. 1. Ibidem.
Lem. 1. lib. 5.
Notæ in Propoſit. XVI.

ERgo M A ad A P eſt vt O C ad C Q, & angulus O æqualis eſt M, oſtendetur (vt diximus in 11. ex 6.) quod, & c. Sequitur enim ex æqualitate ordinata, quod M A ad A P eandem proportionem habet, quàm O C ad C Q, cumque ſint duo ſegmenta parabolica H A G, & K C I, quorũ diame-tri A M, & C O efficiunt cum baſibus G H, & K I angulos M, & O æquales inter ſe (cum ſint æquales angulis R A L, & S C N æqualibus à contingentibus verticalibus parallelis baſibus, & à diametris contentis) atque abſcißa M A ad latus rectum A P eandem proportionem habet, quàm altera abſcißa O C ad C Q latus rectum alterius ſectionis; igitur duo ſegmenta H A G, & K C I ſimilia ſunt inter ſe.

a
Lem. 6. huius.

Et quia G M poteſt A P in A M, & ſimiliter I O poteſt C Q in C O; ergo P A ad G M eſt, vt C Q ad I O, & G M ad M A eſt, vt I O ad O C; quia duo ſegmenta ſunt ſimilia, & E A ad A M, eſt vt F C ad C O; & c. Senſus huius textus confuſi, talis eſt. Quia ſegmenta H A G, & K C I ſimilia ſupponuntur erit A M ad M G, vt C O ad O I, & quadratum A M ad quadratum M G erit vt quadratum C O ad quadratum O I; eſt verò rectangulum P A M æquale quadrato G M; pariterque rectangulum Q C O eſt æquale quadrato I O; igitur quadratum A M ad rectangulum P A M eandem proportionem habet, quàm quadratum C O ad rectangulum Q C O; & propte-rea M A ad A P eandem proportionem habebit, quàm C O ad C Q; ſed prius oſt enſa fuit P A ad A E, vt Q C ad C F; igitur ex æquali ordinata erit M A ad A E, vt O C ad C F, ſuntque anguli E, & F æquales, vt dictum eſt. Et hoc erat propoſitum.

b Defin. 7. huius. 11. lib. 1.
Notæ in Propoſit. XVII.

DEinde ſint ſectiones hyperbolicæ, aut ellipticæ, & reliqua in ſuo ſtatu, & c. Ideſt. Supponantur ſectiones hyperbolicæ, vel ellipticæ A B, & C D ſimiles inter ſe, ſcilicet figuræ axium V B, & γ D ſint ſimiles inter ſe, atque à verticibus A, & C duarum diametrorum A M, & C O ductæ ſint re- ctæ lineæ contingentes A E, & C F, efficientes cum axibus angulos A E B, & C F D æquales, ſintque H G, & K I ordinatim ad diametros applicatæ, ſcili-cet æquidiſtantes contingentibus verticalibus; & habeat abſciſſa M A ad portio-nem contingentis A E eandem proportionem, quàm abſcißa O C habet ad por-tionem contingentis C F; Dico ſegmenta H A G, & K C I ſimlia eſſe inter ſe.

a

Ergo Y c C ſimile eſt V a A, & c. Quoniam duæ ordinatim ad axes ap- plicatæ A a, & C c perpendiculares ſunt ad axes, erunt in triangulis A a E, & C c F duo anguli a, & c recti: atque ex hypotheſi duo reliqui anguli E, & F æquales quoque ſunt; igitur tertius angulus a A E æqualis eſt tertio angulo c C F, cumque in duobus triangulis V A E, atque γ C F ab eorum verticibus A, & C ducuntur ad baſes V E, & γ F duæ rectæ lineæ A a, & C c continentes cum baſibus angulos æquales, nempe rectos, & rectangulum V a E ad quadra-tum a A eandem proportionem habet, quàm rectangulum γ c F ad quadratum c C, vt in textu oſtenſum eſt: atq; duo anguli a A E, & c C F æquales oſten- ſi ſunt inter ſe; igitur erunt triangula V A E, & γ C F ſimilia inter ſe; ergo angulus V æqualis eſt angulo γ, atque angulus E A V æqualis erit angulo F C γ: poſtea, quia B L, & D N con-tingunt ſectiones in verticibus a- xium efficient an-gulos V B L, & γ D N rectos, cũ-que duo anguli V, & γ oſtenſi ſint æ-quales, in trian-gulis V B L, γ D N, anguli V L B, & γ N D æquales erunt in-ter ſe, & qui de-inceps A L R, & C N S ſunt æquales inter ſe; & ideo triangula A R L, & C S N ſimilia ſunt inter ſe.

b ex 37. lib. 1. Propoſ. 6 præmiſſ.
Conuerſ. 32. lib. 1.

Et propterea figuræ earundem diametrorum ſunt ſimiles, & c. Quia ex hypotheſi M A ad A E erat, vt O C ad C F; atque (propter ſimilitudinem triangulorum A E V, & C F γ) vt E A ad duplam ipſius A V, ſeu ad latus tranſuerſum A T, ita eſt F C ad duplam ipſius C γ, ſeu ad latus tranſuerſum C X alterius ſectionis; ergo ex æquali ordinata erit M A ad A T, vt O C ad C X; oſtenſum autem fuit latus tranſuerſum T A ad A P latus rectum eius ha-bere eandem proportionem, quàm alterius ſectionis latus tranſuerſum X C ad eius latus rectum C Q; ergo ex æquali ordinata M A ad A P eandem propor-tionem habet, quàm O C ad C Q; quare duæ abſciſſæ A M, & O C eandem proportionem habent ad latera recta, atque ad tranſuerſa earundem diametro-rum, atque efficiunt baſes H G, & K I cum diametris angulos M, & O æqua- les inter ſe: propterea quod æquales ſunt angulis E A V, & F C γ æqualibus (propter æquidiſtantiam rectarum H G, & A E; nec non K I, & C F) igitur erunt duo ſegmenta H A G, & K C I ſimilia inter ſe.

C Defin. 7. huius.

Quia propter ſimilitudinem duorum ſegmentorum continebunt poten- tes cum ſuis abſciſſis angulos æquales: & erit proportio potẽtium ad ab-ſciſſa eadem, & proportio abſciſſarum in vna earum ad alia ſimilia eadẽ, quia V a in a E ad quadratum A a, eſt vt Y c in c F ad quadratum C c, & duo anguli a, & c ſunt æquales; ergo angulus Y æqualis eſt angulo V, & angulus C, nempe O æqualis A, nempe M propter ſimilitudinem duorum ſegmentorum; igitur A E V ſimile eſt Y F C, & angulus E; & c. In hoc textu nonnulla verba deficiunt, aliqua verò tranſpoſita ſunt, vt nullus ſenſus colligi poſſit: tamen eum reſtitui poße cenſeo vt ibidem videre eſt. Quo-niam duo ſegmenta H A G, & K C I ſupponuntur ſimilia efficient diametri A M, & C O cum baſibus G H, & K I angulos M, & O æquales, licet non rectos; eruntque figuræ earumdem diametrorum ſimiles inter ſe: & propterea habebit T A ad eius erectum eandem proportionem, quàm X C ad eius latus rectum; igitur ſectiones A B, & C D ſimiles ſunt, ideſt ductis axibus V B, & γ D erunt figuræ axium ſimiles inter ſe: ducuntur verò à punctis A, & C ad axes ordinatim applicati A a, & C c, atque contingentes A E, & C F; igitur re- ctangulum V a E ad quadratum a A eandem proportionem habebit, quàm axis tranſuerſus ad eius erectum, ſeu quàm axis tranſuerſus alterius ſectionis C D ad eius erectum: ſed in eadem proportione eſt rectangulum γ c F ad quadratũ c C; igitur in duobus triangulis A V E, & C γ F rectæ A a, & C c cũ baſibus angulos æquales a, & c, nempe rectos efficiunt, cum ordinatim applicatæ ſint ad axes; atque duo anguli verticales V A E, & γ C F æquales ſint inter ſe, cum propter parallelas æquales ſint angulis O, & M æqualibus in ſegmentis ſimilibus; igitur duo triangula A E V, & C F γ æquiangula, & ſimilia ſunt inter ſe: & proptered V A ad A E erit, vt γ C ad C F, & c.

d Lem. 8. huius. 15. huius. 47. lib. 2. 12. huius. 37. lib. 1. 37. lib. 1. Propoſ. 7. præmiſſ.

Ponamus iam P A ad duplam A E, vt Q C ad duplam C F: ergo ex æqualitate A T diameter ad A P erectum eius, & c. In hoc textu nonnulla videntur deficere, eiuſq; ſenſus talis erit. Quia veluti ſupra dictum eſt, triã-gula R A L, & S C N ſimilia ſunt inter ſe, habebit R A ad A L eandem pro-portionem, quàm S C ad C N: Ponamus iam P A ad duplam A E, vt R A ad A L, & Q C ad duplam C F, vt S C ad C N, erunt A P, & C Q latera re-cta diametrorum A M, & O C; ſed earundem diametrorum figuræ oſtenſæ ſunt ſimiles; igitur latus tranſuerſum A T ad A P erectum eius eſt, vt latus tran-uerſum X C ad C Q erectum eius. Et quia vt latus tranſuerſum ad rectum ita eſt rectangulum T M A ad quadratum M G, & ſimiliter rectangulum X O C ad quadratum O I eandem proportionem habebit, quàm latus tranſuerſum ad rectum, ſcilicet eandem, quàm habent latera figurarũ earundẽ diametrorũ; igi-tur rectangulum T M A ad quadratum M G eandem proportionẽ habebit, quàm rectangulum X O C ad quadratum O I; habet verò M G ad M A eandem pro-portionem, quàm I O ad O C propter ſimilitudinem ſegmentorum; ergo quadra-tum G M ad quadratum M A erit vt quadratum I O ad quadratum O C: & propterea ex æquali ordinata rectangulum T M A ad quadratum M A, ſeu T M ad A M eandem proportionem ha-bebit, quàm X O C ad quadratum O C, ſeu eandẽ, quàm habet X O ad C O, & com-parando conſequẽ tes ad differẽtias terminorum M A ad A T eandem proportionem ha-bebit, quàm O C ad C X: erat autẽ prius T A ad A E, vt X C ad C F; igitur ex æquali M A ad A E erit, vt O C ad C F, & fue-runt oſtenſi anguli E, & F æquales. Quod erat oſtendendum.

e 50 lib. 1. Lem. 8.
21. lib. 1.
SECTIO SEPTIMA Continens Propoſit. XVIII. & XIX.

CViuslibet ſectionis A B C duo ſegmenta C F, A E ca-dentia inter duas ordinationes A C, E F ad vtraſque par-tes axis B V ſunt inter ſe ſimilia, & ſimiliter poſita, nec ſunt ſimilia alteri ſegmento (niſi in ellipſi, in qua quatuor ſeg menta memorata in propo-ſitione 8. ſunt æqualia, ſimi-lia, & ſimiliter poſita, quæ al-teri ſegmẽto ſimilia nõ ſunt.

Quoniam vnumquodque eo- rum alteri congruit, nec non cõ-gruunt duo ſegmenta GI, K H in ellipſi (7. 8. ex 6.) at non ſunt ſimilia alteri ſegmento: ſi enim hoc fieri poteſt, ſit ſegmentum L M ſimile ſegmento F C. Et quia F C congruit A E. Ergo duo ſegmenta L M, A E ſunt ſimilia, producamus A E, L M quouſque occurrant axi in N, O, erit angulus N æqualis O (vti demonſtrauimus in 16. & 17. huius) atque A N pa- rallela erit L O. Edu-catur iam R Q bifariã diuidens A E, L M in P, Q: quare erit diame ter ſectionis (32. ex 2.) & educatur R V paral-lela A N, quæ ſectionẽ continget (18. ex 1.) . Et quia duo ſegmen-ta L M, A E ſunt ſi-milia habebit maior Q R ad eandem R V eandem proportionẽ, quàm habet minor R P; quod eſt abſurdum. Quare non ſunt ſimilia duo ſegmenta A E, C F alteri ſegmento. Quod erat oſtenden-dum.

a b
28. lib. 2. 17. lib. 1. 16. 17. huius.
Notæ in Propoſit. XVIII. & XIX.

QVuoniam vnumquodque corum alteri congruit, nec non congruunt duo ſegmenta G I, K H in ellipſi (7. 8. ex 6.) at non ſunt ſimilia alteri ſegmento, & c. Ideſt. Sit prius ſectio A B C parabole, vel hyperbole. Quoniam duæ A C, & E F ordinatim ad axim B D applicatæ ab- ſcindunt ex vtraque parte axis duo ſegmen- ta A E, & C F congruentia, propterea ſi-milia erunt, atque ſimiliter poſita. Secundo, in ellipſi ductæ ſint ad axim quatuor ordina-tim applicatæ, quarum binæ extremæ E F, & I K æqualiter à centro D diſtent; pari-terque binæ intermediæ A C, & G H æqua- liter diſtent ab eodem centro: quare quatuor ſegmenta G I, H K, C F, & A E æqualia erunt, & ſibi mutuo congruent, & propterea ſimilid quoque inter ſe erunt.

a 7. huius.
8. huius.

Erit angulus N æqualis O, vti demõ- ſtrauimus, & c. Quoniam duo ſegmenta L M, & A E, ponuntur ſimilia, atque eorum baſes L M, & A E productæ occurrunt axi in O, & N: igitur vt demonſtratum eſt, anguli à contingentibus verticalibus ſegmen-torum ſimilium L M, & A E cum axi com-muni B D eiuſdem ſectionis continebunt an- gulos æquales; ij verò anguli æquales ſunt angulis O, & N, cum baſes L M, & A E parallelæ ſint contingentibus verticalibus eorundem ſegmentorum; igitur an-guli L O B, & A N B æquales ſunt inter ſe; & propterea duorum ſegmentorũ baſes L M, & A E parallelæ ſunt inter ſe.

b Prop 16. 17. huius.
SECTIO OCTAVA Continens Propoſit. XX. & XXI. Apollonij. PROPOSITIO XX.

SI in quibuslibet ſimilibus coniſectionibus A B C, & D E F ductæ fuerint ad axes B O, E Q ordinatim applicatæ A C, D F, N L, P M, quarum illæ, quæ ad eaſdem partes verticum B, & E ducuntur efficiant abſciſſas erectis proportionales, ſci-licet I B ad B G ſit, vt K E ad E H, nec non L B ad B G, vt M E ad E H: Dico ſegmenta facta ab ordinatis ſimiliter poſi-tis eſſe inter ſe ſimilia, ac ſimiliter poſita, ſcilicet N A ipſi P D, atque A B ipſi D E, nec non N B ipſi P E.

a

Sintque primò ſectiones parabolæ; & educamus N A ad B L in O, & P D ad M E in Q. Et quia G B ad B I eſt, vt H E ad E K, & B L ad B G eſt vt M E ad E H; ergo L B ad B I, nempe L N ad I A potentia (19. ex 1.) nempe L N ad O I eandem proportionem habet, quàm M E ad E K, nempe P M ad D K potentia, nempe M Q ad Q K, & per con-uerſionem rationis O L ad L I erit, vt Q M ad M K: eſtque I L ad L B, vt K M ad M E; ergo O L ad L B eſt, vt Q M ad M E, & L B ad L N eſt, vt E M ad M P (propter ſimilitudinem duarum ſectionum) ergo ex æqualitate O L ad L N erit, vt Q M ad M P; ſuntque M, & L duo an-guli recti; ergo N L O ſimile eſt P M Q; & per R, S ſemipartitiones ip-ſarum N A, D P ducamus ipſas T V, X Y parallelas duobus axibus, & ex duobus punctis V, Y, educamus perpendiculares V Z, Y a ſuper duos axes. Et quia N O ad O A eſt, vt P Q ad Q D comparando antecedẽ-tes ad ſemiſſes differentiarum terminorum vel ad ſemiſummas eorũ fiet N O ad R O, nempe N L ad L T, quæ eſt æqualis ipſi V Z, nempe L B ad B Z longitudine (19. ex 1.) vt P Q ad Q S, nempe P M ad X M æ-qualem ipſi Y a, nempe longitudine, vt M E ad E a (19. ex 1) igitur comparando differentias terminorum ad antecedentes, erit Z L ad L B, vt a M ad M E, & L B ad L O eſt, vt M E ad M Q; ergo ex æqualitate L Z ad L O, nempe N b ad N O eſt, vt M a ad M Q, nempe P c ad P Q crat autem prius N R ad N O, vt S P ad P Q, & comparando ſemisũ- mas, vel ſemidifferentias terminorum ad eorundem differentias O R ad R b erit, vt Q S ad S c, & R b ad R V eſt, vt S c ad S Y; quia duo triangula V R b, Y S c ſunt ſimilia; ergo R O ad R V eandem pro-portionem habet, quàm Q S ad S Y; ſed tangens in V perueniens ad L O æqualis eſt O R, cui parallela eſt; quia cadit inter duas lineas parallelas; & ſimiliter tangens in Y parallela eſt S Q, & ei æqualis; ergo V R ab-ſciſſa ad tangentem eſt, vt abſciſſa S Y ad eius tangentem, & angulus Q æqualis eſt angulo O; igitur duo ſegmenta N V A, P Y D ſunt ſimilia (16. ex 6.) & pariter duo ſegmenta A B C, D E F, atque duo ſegmen- ta N B, P E ſunt ſimilia inter ſe, & ſimiliter poſita.

b 20. lib. 1.
c Defin. 2. d 20. lib. 1. Ibidem. e f g

Deinde ponamus aliud ſegmentum P d. Dico non eſſe ſimile alicui prædictorum ſegmentorum, quia non abſcinduntur à duabus ordinationi-bus vnius axis (18. ex 6.) . Et hoc erat oſtendendum.

h
PROPOSITIO XXI.

SInt poſtea duæ illæ ſectiones hyperbolicæ, & ellipticæ ſi-miles, & earum centra T, X (remanentibus lineis, & ſi-gnis, vt prius) & ducantur duæ contingentes V e, & Y f.

Quoniam B G ad B I ſuppoſita eſt, vt H E ad E K, & pariter G B ad B L, vt H E ad E M; ergo ex æqualitate, & per conuerſionem rationis B L ad L I eſt vt E M ad M K; & propter ſimilitudinem duarum ſectio- num N L ad A I nempe L O ad O I eſt, vt M P ad D K, nempe M Q ad Q K, & antecedentes ad ſummas vel differentias terminorum, ſcilicet O L ad L I eandem proportionem habebit, quàm Q M ad M K, & ex æqualitate O L ad L B erit, vt Q M ad M E, ſed B L ad L N eſt, vt E M ad M P, cum ex ſuppoſitione ſectiones ſint ſimiles; ergo O L ad L N eſt, vt Q M ad M P; ſuntque L, M duo anguli recti: ergo anguli O, Q, nempe e, f ſunt æquales: deinde ducantur V Z, Y a ad axes ordinatæ; ergo (propter ſimilitudinem duarum ſectionum) T Z in Z e ad quadra- tum Z V eandem proportionem habebit, quam X a in a f ad quadratum a Y, & angulus e æqualis eſt angulo f; igitur V e T ſimile eſt Y f X, & pariter O T R, Q X S; & propterea O e ad R V eandem proportionem habebit, quàm Q f ad Y S, & propter ſimilitudinem duarum ſectionum B I ad I A eſt, vt E K ad K D, & A I ad I O, vt D K ad K Q propter ſimilitudinem duorum triangulorum; ergo (ex æqualitate, & comparan- do antecedentes ad ſummas vel differentias terminorum) erit B I ad B O, vt E K ad E Q, ſed B T ad B I erat, vt X E ad E K (propter ſimilitu-dinem duarum ſectionum) ergo ex æqualitate, & rurſus comparando antecedẽtes ad ſummas vel differentias ter- minorum B T ad T O erit, vt X E ad X Q, cumque T Z in Z e ad quadratum V Z ſit vt X a in a f ad quadra-tum a Y (39. ex 1.) & qua-dratum V Z ad quadratum Z e eſt, vt quadratum a Y ad quadratũ a f erit T Z in Z e, ad quadratũ Z e, nempe T Z ad Z e vt X a in a f ad quadra tum a f nempe G a ad a f, & comparãdo antecedentes ad differnntias terminorũ in hy-perbola, & ad eorum ſummas in ellipſi, fiet Z T ad T e, nẽ-pe quadratum B T (quod eſt æquale ipſi Z T in T e (39 ex 1.) ad quadratnm T e eſt, vt X a ad X f, nempe a X in X f, quod eſt æquale quadrato E X (39. ex 1.) ad qua-dratum X f; ergo B T ad T e potentia eſt, vt E X ad X f; & propterea T B ad T e erit, vt E X ad X f; & iam oſtendimus, quod B T ad T O eſt, vt E X ad X Q; igitur ex æqualitate, & comparando terminorum differentias ad conſequentes erit O e ad e T, vt Q f ad f X; ſed T e ad e V eandem proportionem habet quam X f ad f Y, eo quod oſtenſa ſunt ſimilia triangula V T e, Y X f; quare O e ad e V eſt vt Q f ad f Y; & iam oſtendimus, quod O e ad R V eandem proportionem habet, quàm Q f ad S Y; ergo R V ad V e eſt, vt S Y ad Y f, & angulus e æqualis eſt angulo f; igitur duo ſegmenta N V A, P Y D ſimilia ſunt inter ſe (17. ex 6.) & ſimiliter poſita. Inſuper dico, non eſſe ſimilia alicui alte-ri ſegmento; quia non abſcinduntur ab vna ordinatione, aut duabus, & earum diſtantia in ellipſi à centro non eſt æqualis (18. ex 6.) , & hoc erat oſtendendum.

a b Lem. 1. lib. 5. c d Propoſ. 6. pręmiſſ. Lem. 1. lib. 5. e
Ibldem. 37. lib. 1. 37. lib. 1. Ibidem.
Lem. 1. lib. 5.
PROPOSITIO XXII.

SEctionum non ſimilium A B C, D E F vnum ſegmentum vnius non eſt ſimile alicui ſegmento alterius.

Si enim hoc verum non eſt, ſit ſegmentum G C ſectionis A B C (ſi fieri poteſt) ſimile ipſi H F alterius ſectionis D E F, & iungamus G C, H F, eaſdẽq; bifariam ſecemus in I, K; iungamuſque L I, M K; quæ ſint duæ diametri, & ſecent ſegmenta in B, E: ſi itaque fuerint duo axes, cũ duo ſegmenta ſint ſimilia, vtique egrederentur in eorum ſingulis ordina- tiones ad duos axes, numero æquales, continentes cum axibus angulos rectos, & proportiones ordinationum ad ſua abſciſſa in qualibet earum eſſent æedem, ac abſciſſæ ad abſciſſas proportionales quoque eſſent. Et propterea duæ ſectiones A B C, D E F ſimiles erunt, ſed iam ſuppoſitæ fuerunt non ſimiles; quod eſt abſurdum. Si verò I L, M K non fuerint axes, educamus ex B, E ad duos axes L P, M Q duas perpendiculares B P, E Q, & duas tangentes B N, & E O: itaque (propter ſimilitudinẽ duorum ſegmentorum) ſimilia erunt B N L, E O M; & pariter L B P, M E Q; atque quadratum B P ad L B in P N, nempe in eadem propor- tione figuræ diametri A L (40. ex 1.) erit vt quadratum E Q ad M Q in O Q, nempe in eadem proportione figuræ diametri D M (40. ex 1.) quapropter duæ proportiones figurarum earundem ſectionum ſunt eædem inter ſe; & propterea duæ ſectiones ſunt ſimiles (12. ex 6.) at ſuppoſitæ fuerunt non ſimiles. Quod eſt abſurdum.

44. lib. 2. Defin. 7. huius. Defin. 2. huius. a b
37. lib. 1. Ibidem.
PROPOSITIO XXIII.

SI autem ſectio A B C fuerit parabola, & ſectio D E F hy-perbola, aut ellipſis: manifeſtum eſt, ſectiones non eſſe in- ter ſe ſimiles. Et dico quod duo ſegmenta G C, H F non ſunt ſimilia.

13. huius.

Si enim ſimilia eſſent haberent conditiones ſimilitudinis, quod eſt im- poſſibile, quemadmodum oſtenſum eſt in omnibus ſectionibus ad propo-ſitionem 13. ſi vero vna earum fuerit hyperbole, altera verò ellipſis, idipſum oſtenſum eſt ad propoſitionem 14. Et hoc erat propoſitum.

a
PROPOSITIO XXIV.

CViuslibet coniſectionis A C D portio B A C D non erit arcus circuli.

Si enim hoc verum non eſt educamus in illa chordas A B, C D, A C, quarum nulla alteri ſit parallela: & educamus E F parallelam A B, & E G parallelam A C, atque G H parallelam C D, & per ſingularum dua-rum æquidiſtantium ſemipartitiones iungamus K I, L M, N O, quæ qui- dem lineæ perpendiculares ſunt ad præ- dictas chordas, ſuntque etiam diametri ſectionis, ergo I K, L M, N O ſunt axes, nec ſibi in directum coincidunt; quia chordæ primo eductæ inter ſe parallelæ non erant: hoc autem eſt abſurdum, quia in qualibet ſectione reperiri non poſſunt plures, quàm duo axes (52. ex 2.) ; ergo fieri non poteſt, vt ſectionis conicæ portio ſit arcus circuli. Quod erat oſtendendum.

48. lib. 2.
Notæ in Propoſit. XX.

QVodlibet duorum ſegmentorum, vt A B C, D E F in duobus ſeg- mentis ſimilibus, vt N A C, P D F abſciſſa ſint ab ordinatis duo-rum axium ſectionum, vt A C, D F, N L, P M, A M, A S, K M ad latus ſuarum verticum vt B, E; ſitque proportio earum abſciſ-ſarum ad erecta duorum ſegmentorum eadem, nempe I B ad B G, vt K E ad E H, & L B ad B G, vt M E ad E H: vtique duo ſegmenta A B C, D E F, N B, P E ſimilia ſunt, & ſimilia poſitione: & c. Textus hic adeo corruptus eſt, vt ne Apollonius quidem, ſi reuiuiſceret, ſenſum ex verbis tam inconcinnis, & non coherentibus elicere poſſet. Itaque diuinando eam eſſe veram lectionem cenſeo; quàm in textu appoſui.

a

Educamus itaque N A ad O ex B L, & P D ad Q ex M E, quia B G ad B I eſt, vt H E ad E K, & B G ad B L eſt vt H E ad E M; ergo L B ad B I, nempe L N ad A I (19. ex 1. (nempe L O ad O I eſt vt M E ad E K, nempe P M ad D K, nempe M Q ad Q K; & contra O L ad L I, vt V M ad M K, & c. Addenda non nulla verba, quæ deficiunt, & reliqua reſtituenda cenſui, vt in textu leguntur. Zuoniam B G ad B I eſt vt H E ad E K, & B L ad B G eſt vt M E ad E H; ergo, ex æqualitate, L B ad B I eandem proportionem habet, quàm M E ad E K, ſed quadratum N L ad qua-dratum A I eſt in parabola, vt abſcißa L B ad B I; pariterque quadratum P M ad quadratum D K eſt, vt M E ad E K: & propterea quadratum N L ad quadratum A I eandem proportionem habebit quàm quadratum P M ad quadra-tum D K; igitur N L ad A I eandem proportionem habebit, quàm P M ad D K; ſed vt N L ad A I ita eſt L O ad O I (propter parallelas A I, N L, & ſimi-litudinem triangulorũ A I O, & O N L) pariterg; vt P M ad D K ita eſt M Z ad Z K (propter ſimilitudinem triangulorum Q M P, & Q K D) igitur L O ad O I eandem proportionem habebit, quàm M Q ad Q K; & compa-rando antecedentes ad differentias, vel ſummas terminorum O L ad L I eandem proportionem habebit, quàm Q M ad M K.

b 20. lib. 1.

Et B L ad L N eſt vt E M ad M P (propter ſimilitudinem duorum ſegmentorum) ergo ex æqualitate O L ad L N, & c. Sequitur quidem hoc non propter ſimilitudinem ſegmentorum, quandoquidem ſegmenta ſimilia non ſupponuntur ſed quia ſemper parabolæ ſunt ſimiles, & in eis poſitæ ſunt axium abſciſſæ L B, & M E proportionales lateribus rectis B G, & E H, propterea (vt in prop. 11. huius oſtenſum eſt ) B L ad L N eandem proportionem habebit quàm E M ad M P; ſed prius L B ad B I erat vt M E ad E K, ergo comparã-do differentias terminorum ad antecedentes erit I L ad L B vt K M ad M E, eſtq; oſtenſa O L ad L I vt Q M ad M K, ergo ex æquali ordinata O L ad L B erit vt Q M ad M E.

c 11. huius.

Et quia N O ad O A eſt vt P Q ad Q D inuertamus proportionem, deinde bifariam ſecemus duas tertias partes, & inuertamus eas quoque fiet N O ad O R, nempe N L ad L T in eadem ratione ipſi V Z, nempe L B ad B Z, vt D Q ad Q T, nempe P M ad P X æqualem ipſi Y a, nempe M E ad E a, & c. Quoniam L O ad O I oſtenſa fuit vt M Q ad Q K, & propter parallelas I A, L N, nec non D K, M P eſt N O ad O A, vt L O ad O I; pariterq; P Q ad Q D eſt vt M Q ad Q K; igitur N O ad O A eandẽ proportionẽ habet, quàm P Q ad Q D, & comparando antecedentes ad ſemidif-ferentias, vel ſemisũmas terminorũ erit N O ad R A, vt P Q ad S D: & pro- pterea N O ad O R ſummã, vel differentiã conſequentium eandem proportionem habebit, quàm P Q ad Q S; ſed propter parallelas R T, & O L eſt L N ad T L, vt N O ad O R: pariterque (propter parallelas S X, & Q M) eſt P M ad X M, vt P Q ad Q S; igitur N L ad L T eandem proportionem habet, quàm P M ad M X: ſuntque in parallelogrammis V L, & γ M latera oppoſita æqua-lia V Z ipſi T L, atque a γ ipſi X M; igitur N L ad V Z eandem proportio-nem habet, quàm P M ad γ a, & ita erunt earum quadrata; ſed vt quadratũ N L ad quadratum V Z ita eſt abſciſſa L B ad abſcißam B Z, pariterque vt quadratum P M ad quadratum γ a, ita eſt abſciſſa M E ad abſcißam E a; er-go L B ad B Z eandem proportiònem habet, quàm M E ad E a.

d
20 lib. 1.

Et occurrere faciamus par pari remanet O R ad R b, vt Q S ad S c, & c. Quoniam oſtenſa fuit O N ad O R, vt Q P ad Q S, per conuerſionem rationis O N ad N R erit vt Q P ad P S, pariterque oſtenſa fuit b N ad N O, vt c P ad P Q; ergo ex æquali b N ad N R eſt vt c P ad S P, & diuidendo b R ad R N erit vt c S ad S P; ſed erat inuertendo R N ad N O, vt S P ad P Q; quare comparando antecedentes ad differentias terminorum erit N R ad R O vt P S ad S Q; ideoq; rurſus ex æqualitate b R ad R O erit vt c S ad S Q; eſtq; V R ad R b vt γ S ad S c (eo quod triangula V R b, & γ S c ſunt ſimilia triangulis ſimilibus O N L, & Q M P propter æquidiſtantes) ergo ex æquali ordinata V R ad R O eandem proportionem habet, quàm γ S ad S Q.

e

Sed tangens in V perueniens ad L O, & c. Si enim ex punctis γ, V du- cantur V e, & γ f tangentes parabolas, & producantur quouſque ſecent axes in e, & f eſſicientur duo parallelogramma V e O R, & γ f Q S, in quibus tã-gentes V e, & γ f efficientur æquales ipſis O R, & Q S: & propterea inuer-tendo R V abſciſſa ad contingentem V e æqualem ipſi R O eandem proportionem habebit, quàm abſcißa S γ ad contingentem γ f æqualem ipſi S Q, atque effi-ciunt prædictæ contingentes cum axibus angulos e, f æquales ipſis O, & Q æ-qualibus propter parallelas; igitur ſegmenta N V A, & P γ D ſimilia ſunt in- ter ſe.

f Prop. 16. huius.

Et pariter duo ſegmenta A B C, D E F, atque duo ſegmenta N B, P E ſunt ſimilia inter ſe, & ſimiliter poſita, & c. Hoc manifeſtum eſt, ſi enim coniungantur rectæ lineæ N C, & P F, & bifariam diuidantur, atque ducan-tur diametri, & c, vti fecimus in ſectione N A, oſtendetur ſimiliter (ex ea-dem 16. propoſitione) ſegmenta N C, P F ſimilia eſſe inter ſe. Non ſecus ſi coniungantur rectæ lineæ N B, & P E, & bifariam diuidantur, atque ducan-tur diametri, & reliqua perficiantur, vt prius, oſtendentur codem modo, ſegmẽ-ta N B, & P E ſimilia inter ſe.

g

Deinde ponamus ſegmentũ P d; quia non abſcindunt illa duæ ordina- tiones vnius axis (18. ex 6.) , & hoc erat, & c. Sed legendum puto vt in textu apparet. & horum verborũ ſenſus erit; fieri non poteſt, vt ſegmentũ p d ſit ſimile ipſi N A, vel N B, propterea quod in ſectione P F ſegmenta P d vni tan-tummodo portioni ſimile eſt (præter quàm in ellipſi), & ambo intercipi debent à duabus ordinatim applicatis ad axim E Q: & propterea ſegmenta P D, vel P E non erunt ſimilia ipſi P d, & quia N A oſtenſum eſt ſimile P D, pariterque N B oſtenſum eſt ſimile P E; igitur ſegmentum P d ſimile non eſt, neque N A, neque ſegmento N B; quod erat oſtendundum.

h
Notæ in Propoſit. XXI.

QVoniam G B ad B I, ſuppoſita eſt vt H E ad E K, & c. Quia L B ad B G ex bypotheſi erat, vt M E ad E H, & inuertendo G B ad B I erat vt H E ad E K; ergo ex æqualitate L B ad B I erit vt M E ad E K; & per conuerſionem rationis B L ad L I erit vt E M ad M K.

a

Et propter ſimilitudinem duarum ſectionum N L ad A I, nempe L O ad O I eſt, vt P M ad F K, nempe M Q ad Q K, & c. Quoniam duæ ſe-ctiones N B, & P E ſimiles ſuppoſitæ ſunt, & axiũ abſciſſæ L B, M E, nec non I B, K E ad latera recta B G, & H E proportionales ſunt; igitur N L ad A I eandem pro- portionem habebit, quàm P M ad D K: & quia triangula N L O, & A I O ſimilia ſunt pro- pter parallelas N L, & I A, pariterque triangula P M Q, & D K Q ſimilia ſunt; igitur L O ad O I erit vt N L ad I A; pariterque M Q ad Q K erit vt P M ad D I, ſeu vt N L ad A I: & propterea L O ad O I erit vt M Q ad Q K.

b
Cc 2
ex 12. huius.

Et ex æqualitate L O ad L B erit vt Q M ad M E, ſed L B ad L N eſt vt M E ad M P, cum ex ſuppoſitione ſectiones ſint ſimiles, & c, Quoniam O L ad L I oſtenſa fuit, vt Q M ad M K; atque prius oſtenſa ſuit B L ad L I, vt E M ad M K; ergo inuertendo I L ad L B erit, vt K M ad M E; & propterea ex æqualitate O L ad L B erit vt Q M ad M E; ſed B L ad L N eſt, vt E M ad M P; igitur ex æqualitate O L ad L N erit vt Q M ad M P; ſuntque duo anguli L, & M recti; ergo triangula O L N, & Q M P æquiangula erunt; & propterea anguli O, & Qæquales inter ſe erunt; ſed quia contingentes verticales V e, & γ f parallelæ ſunt or dinatim applicatis N A, P D ad diametros V R, & γ S; igitur angulus V e B æqualis erit angulo N O L; pariterque angulus γ f E æqualis erit angulo P Q M; & propterea anguli e, & f æquales erunt inter ſe.

c ex 12. huius.

Ergo propter ſimilitudinem duarum ſectionum T Z in Z e ad quadra- tum Z V eandem proportionem habebit quàm X a in a f ad quadratum a Y, & angulus e æqualis eſt angulo f; igitur V e T ſimile eſt Y f X, & pariter, & c. Quoniam in ſectionibus ſimilibus V B, & γ E axes tranſuerſi lateribus rectis proportionales ſunt, & ductæ ſunt ad axes ordinatim applicatæ V Z, γ a, & contingentes V e, γ f, eſtque rectangulum T Z e ad quadratum Z V, vt latus tranſuerſum ad rectum, pariterque rectangulum X a f ad qua-dratum a γ, vt axis tranſuerſus ad erectum; igitur rectangulũ T Z e adqua-dratum Z V eandem proportionem habet, quàm rectangulum X a f ad quadra-tum a γ, & à verticibus V, γ duorum triangulorum V e T, & γ f X ductæ ſunt ad baſes rectæ linæ V Z, γ a efficientes angulos rectos, cum ordinatim applicatæ ſint ad axes; atque angulus V e Z oſtenſus eſt æqualis angulo γ f a, igitur tertius angulus Z V e æqualis erit tertio angulo a γ f; & ideo duo triã- gula V T e, & γ X f ſimilia erunt inter ſe: & propterea circa angulos æquales T, & X latus e T ad T V eandem proportionem habebit, quàm f X ad X γ: cumque duæ contingentes verticales V e, γ f parallelæ ſint ordinatim applicatis N A, & P D ad diametros V R, γ S, erit O e ad R V, vt e T ad T V; pa-riterque Q f ad S γ erit, vt f X ad X r: erat autem e T ad T V, vt f X ad X γ; igitur pariter O e ad R V eandem proportionem habebit, quàm Q f ad S γ; ſed B I ad I A eſt, vt E K ad K D.

d 12. huius. 37. lib. 1.
Propof. 6 præmiſſ. 12. huius.

Sed B T ad B I erat vt X E ad E K propter ſimilitudinem duarum ſe- ctionum, & c. Quoniam ex hypotheſi abſcißa axis I B ad latus rectum B G erat vt abſciſſa K E ad latus rectum E H; & propter ſimilitudinem ſectionum latera erecta G B, & H E ad axes tranſuerſos, & ideo ad eorum ſemißes T B & E X eandem proportionem habebunt; ergo ex æquali I B ad B T erit vt K E ad E X, & inuertendo T B ad B I erit vt X E ad E K. Sed libet aliam expoſitionem afferre Apollonij principijs cõue-nientiorẽ. Quia ex definitione 2. huius libri legitime inter pre-tata, & ſicuticõſtat ex 12. prop. huius. In ſectionibus ſimilibus non quælibet axium abſcißæ ad conterminas potentiales habent eandem rationem; ſed illæ tan-tummodo, quæ figuræ lateribus proportionales ſunt: itaq; in ſe-ctionibus ſimilibus A B, D E vt quælibet axium, abſcißæ B I, E K ad conterminas poten-tiales I A, K D ſint proportio-nales, neceße eſt, vt eædem I B, & E K lateribus figurarum B T, E X proportionales ſint.

e 12. huius.

Et quadratum V Z ad quadratum Z e eſt, vt quadratum a Y ad qua- dratum a f, & c. oſtenſa enim fuerunt duo trìangula V Z e, & γ a f ſimilia inter ſe; & ideo latera circa angulos rectos Z, & a proportionalia erunt; & pariter eorum quadrata.

f

Inſuper dico non eſſe ſimilia alicui alteri ſegmento, & c. Sicutì in præ- cedenti propoſitione factum eſt oſtendetur, quod ſegmentum N C non eſt ſimile alicui alio ſegmento in altera ſectione P E, quando non compræhenduntur ab ordinatim ad axes applicatis, & in ellipſibus æqualiter à centris diſtant.

g
Notæ in Propoſit. XXII.

ET propterea duo ſectiones A B C, D E F ſimiles erunt, & c. Quo- niam ſegmenta G B C, & H E F poſita ſunt ſimilia, erunt diamctrorum ſeu axium (in hoc caſu) L B, & M E ſiguræ ſimiles inter ſe; & ideò ſectiones A B C, & D E F ſimiles erunt.

Lem. 8. huius.
ex 11. 12. huius.

Itaque propter ſimilitudinem duorum ſegmẽtorum ſimlia erunt B N L, E O M, & pariter L B P, & M E Q atque quadratum B P ad L P in P N nempe, & c. Huius ſecundæ partis demonſtrationem, quàm non ſinceram Pa-raphraſtes Arabicus nobis tranſmiſit omittere opere pretium erit, eandemq; bre- uius demonſtrare hac ratione. Quia ſegmenta C B G, & F E H ſimilia ponun-tur; ergo erunt figuræ diametrorum B I, E K ſimiles inter ſe in angulis I, K æqualibus, & ſectiones ipſæ C B G, & F E H ſimiles inter ſe erunt; quod eſt contra hypotheſin.

b
Lem. 8. huius. Prop. 15. huius.
Notæ in Propoſit. XXIII.

SI enim ſimilia eſſent haberent conditiones ſimilitudinis, quod eſt im- poſſibile, & c. Si enim concedantur ſegmenta G B C in parabola, & H E F in hyperbole, vel ellipſi, ſimilia inter ſe; igitur in vnaquaque earũ duci poſ- ſent ad diametros ordinatim applicatæ numero æquales, efficientes angulos æqua- les cum diametris, quæ abſciſſis ſint proportionales, & abſciſſæ quoque inter ſe. Vnde ſequitur, quod portiones eiuſdem diametri E K à centro M ad omnes or-dinatim ad diametros applicatas ſint æquales inter ſe, vt oſtenſum eſt in propo-ſitione 13. huius: quod eſt impoſſibile.

a Defin. 7. huius.

Quando verò ſectio A C eſt byperbole, ac ſectio D F eſt ellipſis, ſimiliter, vt in 14. propoſitione huius, oſtendetur; quo abſciſſæ in hyperbola, & ellipſi ſint proportionales; & propterea omnes habebunt rationes maioris inæqualitatis, aut omnes habebunt, proportiones inæqualitatis minoris, quod tamen in prædicta 14. propoſitione impoſſibile eſſe oſtenditur.

Notæ in Propoſit. XXIV.

SI enim hoc verum non eſt, & c. Quod quælibet portio B A D ſectionis conicæ A B G nullo pacto circumferentia circuli eſſe poſſit ſic oſtendetur. Quia in circulo rectæ lineæ diuidentes bifariam duas parallelas inter ſe ſunt neceſſariò diametri circuli, qui perpendicu- lariter ſecant prædictas parallelas applica-tas; igitur ſi curua linea B G D fuerit cir-culi peripheria rectæ lineæ K I, L M, & N O diametri circuli, erunt perpendicula-res ad ordinatim applicatas æquidiſtantes inter ſe; ſed quia etiam A B G ſupponitur ſectio conica, erunt K I, L M, N O axes prædictæ ſectionis conicæ eo quod bifariam, & ad angulos rectos diuidunt ordinatim ap-plicatas. Rurſus quia prædictæ ordinatim applicatæ non ſunt omnes inter ſe parallelæ, eo quodex conſtructione applicatæ A B, A C, C D non fuerunt ductæ æquidiſtantes; igi-tur tres axes I K, L M, N O indirectum non coincidunt; quare in ſectione conica B A G reperiri poſſent tres axes; quod eſt impoſſibile.

a
48. lib. 2.
SECTIO NONA Continens Propoſit. XXV.

SI duo plana æquidiſtantia conum aliquem ſecuerint, atque in eo efficiant duas hyperbolas, aut ellipſes; vtique ſectio-nes ſimiles inter ſe erunt, ſed non erunt neceſſariò æquales.

b

Efficiant duo plana parallela D E N F, G H P I in baſim coni A C duas rectas lineas D F, G I, & pla-num per axim coniductum efficiat triangulum A B C perpendiculare ad duo illa plana parallela; quæ ab illo ſecentur in E K, H L. Erunt D F, I G perpendiculares ad A C, & educamus B M parallelam ipſis E K, H L; & vt quadratum B M ad A M in M C; ita ponatur N E ad E O, & ita P H ſiat ad H Q, erunt N E, P H inclinata duarũ ſectionũ F E D, I H G, aut eorum tranſuer-ſæ; igitur O E, H Q erunt eorum erecta, & propterea figuræ duarum ſectionũ ſunt ſimiles; igitur duæ ſectio- nes ſimiles ſunt. Et ſi quidem fuerint N E, P H æquales; ipſæ quoque æquales erunt, alias non; Et hoc erat propoſitum.

b
12. 13. lib. 1. 12. huius.
2. & 10. huius.
Notæ in Propoſit. XXV.

SI abſcindant conum aliquem duo plana parallela prouenient duæ ſe- ctiones hyperbolicæ, vel quia duæ ſectiones ſunt ſimiles, & c. Quæ, immutanda cenſui vt in textu videre eſt.

a

Sint abſciſſiones duorum planorum æquidiſtantium cum baſi I G, F D, & ſecet conum planum tranſiens per eius axim, & c. Addidi verba, quæ in textu d ſiderantur, quæ expoſitionem perſiciunt. Animaduertendum eſt, hanc propoſitionem conuertibilem non eſſe; licet enim plana parallela in eodem cono eſſiciant ſectiones ſimiles, verum non eſt, quod quotieſcunque in eodem cono duæ ſe{ct}iones ſunt æquales, vel ſimiles inter ſe, tunc quidem earum plana ſunt æqui-diſtantia: Sicuti enim in eodem cono ſcaleno deſignari poßunt circuli æquales ſubcontrariè poſiti, ſic etiam reliquæ coniſe{ct}iones ſubcontrariè conſtitutæ effici poſſunt æquales, & ſimiles inter ſe: hæc autem, ſicuti etiam quamplurima vi-deri poſſunt in libris neotericorum.

b

Sed non alienum erit à noſtro inſtituto hic paucis conſiderare paſſiones, & de-ſcriptiones ſe{ct}ionum conicarum ſimilium, vel æqualium, quæ æquidiſtantes, ſeu asymptoticæ vocantur. Et licet hæ ab alijs inuentæ, & traditæ ſint, non nul-la tamen noua in medium afferam: non enim rerum nouitas ex ſubie{ct}i nouita-te tantummodò arguitur, imo de ſubie{ct}o antiquo poſſunt nouæ ſpeculationes af-ferri, atque corrigi, & cõpleri ea, quæ apicem perfe{ct}ionis non attingunt, & hæc quidem omnia noua dici poterunt, & poſſunt, & debent zelo veritatis e-uulgari, nec propterea prædeceßorum nominibus, ant inuentionibus iniuria in-fertur.

Primus itaque omnium ( quod ſciam ) Pappus Alexandrinus libro ſeptimo col-le{ct}ionum Mathematic arum propoſitione 208. lemmate ſexto in quintum librum Apollonij, conſiderauit concentricas hyperbolas inter ſe ſimiles, eundẽ axim habentes, ad eaſdem partes cauas inter ſe ſe non concurrere, ſed ſemper ad ſe ipſas vi-cinius accedere. Poſtea Gregorius à Santo Vincentio oſtendit, quod duæ parabo- læ inter ſe æquales, ſimiliter poſitæ circa communem axim, vel diametrum, pa-riter nunquàm conueniunt, & parallelæ ſunt inter ſe, & in infinitum produ{ct}æ ſemper magis ad inuicem accedunt; atque propoſit. 139. de Hyperbola conſidera-uit duas hyperbolas æquales, & ſimiles, quæ pariter in infinitd extensæ nunquàm conueniunt, & ſimul cum Pappo putat, rite co@cludi poſſe, quod prædi{ct}æ ſe{ct}io-nes, in infinitum extenſæ, ſint asymptoti, & ſemper magis, ac magis ad inui-cem appropinquentur ex eo, quod re{ct}æ lineæ inter ſe æquidiſtantes inter duas ſe{ct}iones interceptæ, ſucceſſiuè ſemper diminuantur. Propoſitiones quidem recon-ditæ, & ſcitu iucundæ, ſed an æquè certæ, & indubitatæ cenſeri debeant, in-quiremus, aliquibus tamen præmiſſis.

Parab. pr 344.

In qualibet hyperbola I E, cuius asymptoti C A B, duarum re{ct}arum linea- rum F I, G K inter ſe æquidiſtantium, ab vna asymptoto A C ad hyperbolen, edu{ct}arum, ſit F I propinquior centro, quàm G K, quando ambo cadunt infra centrum A ad partes C; vel F I magis à centro recedat, quando ambo cadunt vltra centrum in eadem asymptoti produ{ct}ione A Z; aut F I ſupra, & G K in-fra centrum A exiſtat: In quo libet caſu dicetur, F I vlterius tendere ad partes centri, vel asymptoti A B, quàm G K.

DEFINI TIO Addita.

Non ſecus ſi ab eadem asymptoto A C educantur quatuor rectæ lineæ inter ſe æquidiſtantes F I, G K, H L, C E, quarum duæ priores F I, G K, centro pro-pinquiores ſint, quando omnes infra centrum A collocantur; vel magis à centro recedant, quando omnes in productione A Z exiſtunt; aut certe duæ F I, G K ſupra centrum, & H L, C E infra centrum exiſtant: Tunc ſimiliter in quoli-bet caſu dicentur rectæ lineæ F I, G K vlterius tendere ad partes centri, & asympoti A B, quàm duæ aliæ H L, C E.

PROP.2. Addit.

Si in vna aſymptoto A C, hyperboles D E ſumantur duo ſegmenta æqualia F G, H C, & à punctis diuiſionum ducantur quatuor rectæ lineæ F I, G K, H L, C E parallelæ inter ſe, vſque ad hyperbolen: Dico quod differentia duarum æquidiſtantium F I, G K ad partes cen-tri, & alterius aſymptoti A B vlterius tendentium, maior erit differen-tia reliquarum H L, C E.

Ducantnr à punctis E, K rectæ lineæ E S, K R parallelæ asympto-to A C, quæ efficiant parallelogrã-ma C S, G R. Patet I R eſſe dif-ferentiam æquidiſtantium F I, & G K; pariterque L S eſſe differen-tiam æquidiſtantium H L, C E; & coniungantur rectæ lineæ E I, & K I, ducaturque E O parallela I K, ſecans H L in O. Et quia recta linea E I cadit intra curuam ſectionem conicam E K I, & pun-ctum K eiuſdem conicæ ſectionis inter E, & I exiſtit; ergo recta linea I K poſita intra conicũ ſegmentum E K I ſupra eius baſim E I cadit; & ideo ei parallela E O cadit infra eandem ſeg-menti conici baſim E I, & propterea occurret ipſi H L intra coniſectionem, & infra punctum L in ſectione poſitum, vt in O; & ideo O S maior erit, quàm, S L. Et quoniam S E, & R K ſunt inter ſe parallelæ ( quia eidem A C æqui-diſtant) pariterque E O, & K I factæ ſunt parallelæ, atque S O, & R I (ex hypotheſi) æquidiſtantes erant; igitur duo triangula E S O, & K R I ſimilia ſunt inter ſe, & eorũ latera homologa E S, & K R æqualia ſunt inter ſe (quiæ in parallelogrãmis C S, & G R latera E S, R K æqualia ſunt oppoſitis C H, G F inter ſe æqualibus, ex hypotheſi) igitur reliqua latera homologa S O, & R I æqualia ſunt inter ſe; & propterea R I differentia æquidiſtantium F I, G K ad partes centri A, & asymptoti A B vlterius tendentium, maior erit, quàm S L, quæ portio eſt ipſius S O, & eſt differentia æquidiſtantium H L, & C E alte-rius ſegmenti H C. Quod erat oſtendendum.

Ex conſtructione, & demonſtratione huius propoſitionis colligitur, quod ſi à duobus punctis eiuſdem asymptoti A C ad hyperbolen ducantur duæ rectæ lineæ inter ſe parallelæ; illa, quæ ad partes centri A, & asymptoti A B vlterius ten-dit, maior eſt reliqua. Nam recta linea K R, asymptoto A C parallela cadit ex-tra ſectionem, & ideo ſecat interceptam parallelam F I, quæ erit maior, quàm F R, ſeu G K; igitur F I ad partes centri A vlterius tendens maior eſt quali-bet alia parallela G K ad partes oppoſitas tendente. Eadem ratione F I maior erit quàm H L, & H L maior, quàm C E. Vnde patet propoſitum.

COROL LAR.

Si fuerint duæ hyperbolæ A B, & D E æquales, & ſimiles ad eaſ- dem partes cauæ, quarum centra H, & L, & aſymptoti G H I, & K L M, nec non axes A H, & D L ſint parallelæ inter ſe, & rectæ lineæ B E, & C F ab hyperbolis interceptæ parallelæ fuerint rectæ H L centra coniungenti; erunt B E, & C F æquales ipſi H L, & in-ter ſe.

PROP.3. Addit.

Si autem parallelæ ſint alicui rectæ lineæ L f diuidenti angulum K L H contentum à recta linea L H cen- tra coniungente, & interiore aſympto- to L K, in qua B E, & C F poſitæ ſunt: Dico B E vlterius tendentem. ad partes reliquæ aſymptoti L M ma- iorem eſſe, quàm C F.

Dd 2

Si vero B E, & C F parallelæ ſint alicui rectæ lineæ H g diuidenti angulum L H G à recta linea L H centra coniungente, & eadem aſym-ptoto H G contentum: Dico B E vl-terius tendentẽ ad partes reliquæ aſym-ptoti H I minorem eſſe, quàm C F. Rectæ lineæ parallelæ B E, C F ſe- cent æquidiſtantes aſymptotos H G, L K in punctis N, O, P, Q. De-bent autem coniſectiones in eodem pla-no collocari ſicuti aliæ omnes, quæ in. ſequentibus propoſitionibus 4. 5. 6. 7. 8. & 9. vſurpantur ſemper in vno plano poſitæ intelligi debent.

Et primo duæ rectæ B E, C F paralle-læ ſint rectæ lineæ H L centra coniungen-ti. Quoniam hyperbolæ A B, D E æqua-les ſunt, & congruentes; atque æquidiſtan-tes asymptoti H N, L P æque inclinan-tur ad æquales ſemiaxes tranſuerſos H A, & L D; & ſegmenta asymptotorum H N, L P æqualia ſunt in paralle-logrammo H P, nec non duo anguli H N B, & L P E æquales ſunt inter ſe, pro-pter parallelas asymptotos: igitur duæ figuræ A H N B A, & D L P E D æquales erunt, & congruentes: quapropter interpoſitæ rectæ lineæ N B & P E congruẽ-tes, & æquales erunt; & addita vel ablata communi B P, erit N P æqualis B E: eſt verò N P æqualis H L, eo quod H P parallelogrammum eſt; igitur intercepta B E æqualis eſt rectæ lineæ H L centra coniungenti. Eadem ratione quælibet alia intercepta C F parallela ipſi H L eidem æqualis oſtendetur: qua-propter duæ interceptæ æquidiſtantes B E, & C F inter ſe æquales erunt.

Secundo B E, C F parallelæ ſint alicui rectæ lineæ L f diuidenti angulum K L H; ideoque P L f N, & Q L f O parallelogramma erunt: ſecetur L T æqua- lis H N, atque L V æqualis H O; ducan-turque T X, V Z parallelæ ipſis N B, O C ſecantes reliquam hyperbolen in X, Z; eritque ( vt in prima parte oſtenſum eſt) T X æqualis N B, atque V Z æqualis O C. Et ſiquidem B E, C F cadunt infra cen-tra H, L ad partes G, K, cadent quoque infra L f eis parallelam per L ductam in-fra centrum H incidentem, & ideo N f, ſeu ei æqualis P L in parallelogrãmo P f minor erit, quàm H N; eſtque L T æqua-lis H N; igitur L P minor erit, quàm L T ; & propterea punctum P propin-quius erit centro L, quàm T: Eadem ratione oſtendetur, quod punctum Q pro-pinquius ſit centro L, quàm V, & P propinquius centro quàm Q; ergo quatuor æquidiſtantium P E, Q F, T X, V Z cadentium infra centrum ad partes K, duæ P E, T X vlterius ad partes centri, vel asymptoti L M tendunt, quàm, duæ Q F, V Z. At ſi B E, C F ſecent rectã lineam centra coniungentem inter duo centra H, & L, manifeſtum eſt puncta P, & Q cadere ſupra centrum L, atque duo puncta N, & O cadere infra centrnm H alterius hyperboles, cumque L T ſecta ſit æqualis ipſi H N ad eaſdem partes; pariterque L V æqualis ipſi H O cadent puncta T, & V infra centrum L; & P vlterius tendit quàm Q ad partes, eiuſdem centri L. igitur in tali caſit quatuor æquidiſtantium duæ P E, T X vlterius tendent ad partes centri, & asymptoti L M, quàm duæ aliæ æqui-diſtantes Q F, V Z. Quando verò B E, & C F cadunt vltra centra H, & L in productionibus æquidiſtantium asymptotorum G H, K L: quia N P cadit ſupra, & L f infra centrũ H, ergo in parallelogrammo P f recta N f, ſeu ei æ-qualis L P maior erit quàm N H: facta autem fuit L T æqualis H N; igitur L T minor eſt, quàm L P; Eadem ratione L V minor erit, quàm L Q, at-que P vlterius tendit quàm Q ad partes centri L, & ab ijſdem punctis caden-tibus ſupra centrum L in productione asymptoti K L ducuntur quatuor rectæ lineæ inter ſe æquidiſtantes vſque ad hyperbolen D Z; igitur duæ P E, T X vl- terius tendunt ad partes centri, vel asymptoti L M, quàm duæ Q F, V Z. Secetur poſtea P a æqualis N B, atque Q b æqualis O C. Et quia T X æqua-lis oſtenſa fuit N B erit P a æqualis ipſi T X; eſtque P E maior quàm T X; propterea quod illa vlterius tendit ad partes cẽtri L, quàm T X; igitur P E ma-ior erit, quàm P a, & earum differentia erit E a. Simili modo oſtendetur Q b æqualis V Z, & minor quàm Q F, quarum differentia F b: cumque Q P æqualis ſit ipſi N O, propterea quod ſunt latera oppoſita eiuſdem parallelogram-mi; igitur T V, quæ oſtenſa fuit æqualis O N erit quoque æqualis Q P, & sũ-pta communiter Q T erit Q V æqualis T P, atque à terminis æqualium ſeg-mentorum eiuſdem asymptoti L K ducuntur vſque ad hyperbolen E Z quatuor rectæ lineæ inter ſe æquidiſtantes, & earum binæ P E, T X vlterius tendunt ad partes centri, & asymptoti L M, quàm binæ Q F, V Z; igitur differentia priorum, ſcilicet E a maior erit poſteriorum differentia F b; eſtque B a æqua-lis N P, propterea quod æqualibus N B, & P a ponitur communiter B P; pa-riterque O Q æqualis eſt C b; ſuntque N P, & O Q æquales inter ſe, nempe latera oppoſita eiuſdem parallelogrammi; igitur B a, & C b æquales ſunt inter ſe: ijs verò adduntur exceßus inæquales E a, F b efficietur E B vlterius ten-dens ad partes asymptoti H I maior, quàm F C. Quod erat primum.

Def. add. Def. add.
Ibidem. Coroll. Propoſ. 2. addit. Propoſ. 2. addit.

Tertio ijſdem poſitis N E, O F ſint parallelæ alicui rectæ lineæ H g diuidẽti angulum L H G, & propterea extensæ productionem asymptoti M L ſecabunt, & parallelæ erunt alicui recta lineæ ex L diuidenti angulum H L M, eo quod paral-lelæ erãt rectæ H g diuidenti angulum L H G, & prius B E vlterius, quàm C F ten-debat ad partes asymptoti H I; ergo è con-tra C F vlterius tendet ad partes asymptoti H G, & educũtur ab asymptoto L M producta, & parallelæ ſunt rectæ lineæ ex L diuidenti angulũ H L M, contentum à recta linea cen-tra coniungente, & a symptoto M L, in qua illæ cadunt; igitur ( ex prima parte huius propoſitionis) C F maior erit, quàm B E; & è contra B E vlterius tendens ad partes asymptoti H I minor erit, quã C F; vt propoſitum fuerat.

Sint duæ æquales parabolæ A B, D E ad eaſdem partes cauæ, qua- rum diametri G I, H K ſint congruentes aut parallelæ inter ſe, nec nõ ad eas ordinatim applicatæ B Z K, L X N ſint parallelæ alicui rectæ diuidenti angulum G H K à recta linea G H vertices coniungenti, & diametro H K interioris ſectionis D H contentum, ſi diametri congruentes non fuerint. Dico quod, B E, L M portiones applicatarum à ſectioni-bus ad eaſdem partes interceptæ, ſemper magis diminuentur, quo magis à verticibus recedunt; efficienturque minores quacumque recta linea pro-poſita, ſi diametri ſunt congruentes: ſi verò ſunt parallelæ nunquam mi-nores erunt portione ordinatæ inter diametros intercepta. At ſi paral-lelæ fuerint alicui rectæ lineæ diuidenti angulum H G I à recta G H, & diametro I G exterioris ſectionis A G contentum, ſemper magis au-gentur, ſed erunt ſemper minores ea quæ à diametris intercipitur. Vel ſi fuerint parallelæ diametris non congruentibus, ſemper magis augentur, quo magis à concurſu recedunt.

PROP. 4. Addit.

Sit F G latus rectum diametri G I in, parabola G B, ordinatim applicatæ B E K, & L M N ſecent diametrum G I in X, Z, & diametrum H K in N, K, & ſecetur abſciſſa G I æqualis H K, & G R æqualis H N; ideoque R I æqualis erit N K, ſeu X Z (propterea quod in parallelogrammo N Z oppoſita latera æqualia ſunt) ducan-turque ordinatæ O I, Q R, quæ erunt æqua- les, & congruentes ipſis E K, M N pro-pter æqualitatem ſectionum, & abſciſſarũ ſimilium diametrorum; ducanturque à pun-ctis E, L, Q rectæ lineæ E S, L T, Q V parallelæ diametris occurrentes ipſis B E, & O I in S, T, V: manifeſtum eſt S M æqualem eße O V, eo quod in perallelogrammis Q I, & S K latera oppoſita ſunt æqualia, & ipſæ ordinatæ E K O I; nec non M N, Q R æquales oſtenſæ ſunt: Deinde producantur, B E, O I ad ſectionem in C, P; Et quia differentia qua-dratorum B Z, L X, ſeu T Z, ideſt rectangulum B T C æquale eſt differentiæ rectangulorum Z G F, & X G F ſeu rectangulo ſub abſciſſarum differentia X Z, & latere recto G F. Simili modo rectangulum O V P æquale erit rectangulo ſub abſciſſarum differentia R I, & latere recto G F: ſuntque rectangula contenta ſub X Z, G F, & ſub R I, G F æqualia, propterea quod later a X Z, R I æqua-lia oſtenſa ſunt, & latus rectum G F eſt commune; igitur rectangula B T C, & O V P æqualia ſunt; ideoque vt T C ad V P, ita reciprocè erit O V ad B T. Et primò quia diametri G Z, H K coincidunt, & parabolæ H D compræhendi-tur ab A G: erit G Z maior quàm H K, ſeu quàm G I, & B Z maior quàm E K, & L X quàm M N. Si verò B E, L M parallelæ ſunt alicui rectæ lineæ H Y diuidenti angulum G H K; ergo Y Z, ſeu ei æqualis H K, vel G I minor erit, quàm G Z. Eadem ratione G X maior erit, quàm G R; quare ordinatim applicata B Z maior erit, quàm O I, & Z C maior, quàm I P; pariterque L X, ſeu T Z maior erit, quàm Q R, ſeu V I; ideoque T C maior erit, quàm V P: erat autem O V ad B T reciprocè, vt T C ad V P; ergo O V, ſeu ei æqua-lis S M maior erit, quàm B T: ij verò addantur æquales L S, T E, quæ in parallelogrammo S T ſunt latera oppoſita, igitur L M, maior erit quàm B E.

ex 10. ex 21. huius. ex II. lib. I.

Deinde quando diametri G I, H K ſibi mutuo congruunt ſit b minor qualibet data recta linea, & à vertice H ducatur H d cuius quadratũ æquale ſit rectangulo H G F, & fiat vt b ad H d, ita H d ad aliam rectam lineam æqualem C E; atq; vt H d ad ſemiſſem sũmæ C E, & b potentia, ita fiat longitudine H G ad G K, ducaturque B K C ordinatim applicata ad diametrum G I. Quoniam quadra- tum E K æquale eſt parallelogrammo H K, G F (propterea quod parabolæ ſunt æquales, & diametri ſimiles) & ijs adduntur inter ſe æqualia quadratum d H, & rectangulum H G F, erunt duo quadrata E K, & d H ſimul ſumpta æqualia rectãgulo K G F, ſeu quadrato B Z; quare differentia quadratorũ B K, & E K, ideſt rectanguli B E C æqualis erit quadrato d H; & propterea d H media pro-portionalis eſt inter C E, B E, ſed facta fuit media proportionalis inter C E, & b; Ergo B E æqualis eſt b; ideoque R E minor @@ qu@libet recta linea data. Quando verò diametri G Z, H K ſunt æquidiſtantes, ijsdem poſitis ducatur O n parallela diametris ſecans B E in n. Quia n Z eſt æqualis O I. & erat E K æqualis O I, ergo n Z, & E K æquales ſunt, & addita, vel ablata comm@ni Z E erit n E æqualis Z K; & propterea quælibet intercepta B E @@ior erit in ſecundo caſu, & minor in tertio, quàm n E, ſeu Z K à diametris compræben-ſa.

II. lib. I.

Tertio quando B E, L M parallelæ ſunt alicui rectæ G a diuidenti angulum H G I, erit K a, ſeu ei æqualis G Z minor, quàm H K, ſeu quàm G I, atq; vt prius rectangula B T C, & O V P æqualia erunt, & eorum latera reciprocè proportionalia, eſtque S M æqualis minori O V, ergo S M minor erit quàm B T; & additis æqualibus L S, & T E, erit L M minor quàm B E.

Tandem ſint interceptæ B E, L M parallelæ G V, H C portionibus interce-ptarum diametrorum non congruentium, & à terminis B, E, L, M, ducan-tur ad diametros ordinatim applicatæ, eas ſecantes in Z, K, I, N, O, S, & ſectiones in P, & R; & cadat B E inter duas diametros. Quoniam punctum B cadit inter verticem G, & punctum C eiuſdem parabolæ G C; igitur Z B K ordinatim applicata ad diametrum G I neceßario ſecabit diametrum G I intra ſectionem in Z, & producta occurret K N extra eandem in K. Non ſecus oſtendetur, quod E N I or-dinatim applicatæ ad diametrum H N, punctum N cadit intra, & I ex-tra eandem ſectionem H E, & pro-pterea recta C H minor erit, quàm K N, ſeu B E ei æqualis in parallelo-grammo E K; pariterque Z I, ſeu ei æqualis B E minor erit, quàm G V. Cadat poſtea L M extra duas diame-tros ad eaſdem partes. Quoniam in parallelogrammo L S latera L O, M S æqua-lia ſunt; eſtque S R maior quàm M S, ſeu quàm O L; ergo (vt in prima parte huius propoſitionis oſtenſum eſt) rectangulum M S R, ſeu rectangulum ſub S V, & latere recto G F maius erit quadrato L O, ſeu rectãgulo O G F, & propterea S V maior erit, quàm O G, & addita communi O V; erit O S, ſeu ei æqualis L M, in parallellogrammo L S, maior quàm G V. Quod erat oſtendendum.

II. lib. I.

Idem omnino verificari in ellipſibus demonſtrari facile poſſet, quod breuitati ſtudens libens omitto.

SCHO-LIVM.

Si fuerint duæ quælibet coniſectiones A B C, D E F æquales, & ſi- miles ad eaſdemque partes cauæ, quarum diametri B H, E I (æquè in-clinatæ ad ordinatim ad eas applicatas) æquidiſtantes ſint inter ſe, vel congruentes; & ducantur quælibet rectæ lineæ A D, K L à ſectionibus interceptæ, parallelæ rectæ lineæ B E vertices coniungenti: erunt illæ æquales inter ſe.

PROP. 5. Addit.

Si enim hoc verum non eſt, ſit A D ſi fieri pote@t maior, aut minor, quàm B E, & ſe-t@tur A R æqualis B E: pa-tet punctum R cadere intra, aut extra ſectionem D E (ſed in eius plano cum ſectiones in eodem plano exiſtant) iungan-turque rectæ lineæ A B, E R, quæ æquales erunt, & pa-rallelæ inter ſe, cum ſint con-iungentes æqualium, & æqui-diſtantium B E, & A R. Po-ſtea ducatur A H ordinatim applicata ad diametrum B H efficiens abſcißam H B; ſeceturque abſciſſa E I in altera ſectione æqualis B H; iunganturque H I, I D, & I R. Et quoniam B H, E I ſunt æquales, & parallelæ; ergo H I æqualis erit, & parallela ipſi B E (vel quia additur communis H E, vel propter parallelogrammum B I) ſed prius A R æqualis erat, & parallela eidem B E; igitur A R, & H I æquales ſunt inter ſe, & æquidiſtantes; ideoque coniungentes A H, R I erunt æquales, & paral-lelæ; ſuntque anguli A H B, & R I E æquales inter ſe, cum ab æqualibus la-teribus in triangulis A B H, & R E I æquilateris inter ſe contineantur; ergo R I ordinatim quoque applicata eſt ad àiametrum E I; atque in ſectionibus æ-qualibus abſciſsæ B H, E I diametrorum ſimilium, ſci-licet æque inclinatarum ad ſuas ordinatas æquales ſunt inter ſe; nec non ordinatæ A H, I R æquales ſunt oſten-sæ; igitur ſicut punctum A in ſectione A B cadit, ita pun-ctum R in ſectione E D exi-ſtit; ſed poſitus fuit intra, aut extra ipſam, quod eſt ab-ſurdũ: Non igitur recta linea A D maior, aut minor eſſe poteſt, quàm B E; ideoque ei quælibet alia intercepta K L æqualis omnino erit. Simili ratiocinio oſtendetur æquidiſtans ipſi B E eidem æqualis; quapropter interce-ptæ A D, K L, & B E æqua-les erunt inter ſe: Quod erat oſtendendum.

ex 10. huius.

Si duæ parabolæ B A C, F D E æquales ad eaſdem partes cauæ, conſtitutæ ſue-rint circa axes A K, D G æquidiſtantes, & non con-gruentes ſe mutuo ſecabunt.

SCHO-LIVM.

Ex vertice D axis G D ducatur D H perpendicularis ad axim A K, eum ſe-cans in H, & deſcribatur alia parabolæ I H L æqualis prioribus B A, vel E D, cuius axis ſit K H, & ver- tex H, & ſicuti in propoſi-tione 4. additarum factum eſt, reperiatur B F C ordina-tim ad axes applicata ſecans parabolas in E, B, I, & axes in G, K, ita vt intercepta B I æqualis ſit D H, ſen G K, quæ in parallelogrammo D K ei æqualis eſt. Quoniā parabolæ E D, & I H æqua- les ſunt, & axium abſciſſæ D G, H K æquales cum ſint latera oppoſita paralle- logrammi D K; ergo ordinatim ad axes applicatæ E G, & I K æquales ſunt, & ablata communi I G, erit E I æqualis G K, ſeu D H; erat autem intercepta B I æqualis eidem D H; igitur B I erit æqualis E I; & propterea punctum E parabolæ E D F cadet ſuper punctum B parabolæ B A C; ergo duæ parabolæ B A C, & E D F conueniunt in vno puncto, & in eo ſe mutuo tangere non poſ-ſunt; igitur ſe mutuo ſecant. Quare patet propoſitum.

ex prop@@. huius. Maurol. 27. lib Conic.

His demonſiratis manifeſtè percipitur, quod ex ſucceſſiua diminutione rectarũ æquidiſtantium, inter coniſectiones interceptarum, deduci non poteſt, coniſe-ctiones magis ad ſe ipſas propius accedere; propterea quod in ij ſdem ſectionibus aſymptoticis duci poßunt interceptæ rectæ lineæ inter ſe æquidiſtantes, quæ ſint omnes æquales inter ſe, nimirum illæ, quæ parallelæ ſunt alicui communi dia-metro, vel rectæ lineæ vertices earum coniungenti, vt in propoſitione 5. additarũ oſtenſum eſt. Similiter aliæ interceptæ rectæ lineæ, inter ſe æquidiſtantes ſucceſſiuè augentur aliæ verò ſucceſſiuè diminuuntur verſus caſdem partes, vt in propoſitione 3. & 4. addit. oſtenſum eſt. Et hoc nedũ verificatur in ſectionibus non congruen-tibus, & asymptoticis, ſed etiã in duabus æqualibus, & inter ſe ſimilibus ſectioni-bus ſe mutuo ſecantibus, dummodo earum axes paralleli ſint, in ijs enim inter-ceptæ rectæ lineæ inter ſe æquidiſtantes, tendentes ad eaſdem partes, etiam illæ, quæ proprius ad punctum occurſus ſcctionum conicarum accedunt, poßunt dimi-nui, pariterque inter ſe æquales eße, & quod mirum eſt poßunt ſemper magis augeri. Si igitur æquidiſtantes interceptæ ſunt menſuræ diſtantiarũ duarum ſe-ctionum, eædem coniſectiones cenſeri debent modo parallelæ, & æqualibus inter-uallis inter ſe diſtantes, modo ad eaſdem partes ſtringi, & coanguſtari, & ſi-mul dilatari magis, ac magis, quod omnino videtur abſurdum. Non igitur ex eo qnod omnes interceptæ rectæ lineæ inter ſe æquidiſtantes ſunt æquales inter ſe; propterea ſectiones ipſæ crunt parallelæ, & asymptoticæ, & ſemper æquali in-teruallo ad inuicem ſeparatæ; neque ex eo quod prædictæ parallelæ magis augẽ-tur, vel diminuuntur interualla augeri, vel ſtringi cenſendum eſt.

Et præcipuè præſtantiſſimus Gregorius à Sancto Vincentio neſcio an iure de-monſtrationem propoſitionis 14. libri 2. ipſiuſmet Apollonij inſufficientem repu-tauerit, propterea quod Apollonius deduxit rectas lineas hyperbolen compræbendẽ-tes, quæ aſymptoti vocantur ſemper magis, ac magis ſectioni viciniores fieri ex eo quod rectæ lineæ inter ſe æquidiſtãtes, interceptæ inter rectas asymptotos vocatas, & hyperbolen contentam ſucceſſiuè ſemper magis, ac magis diminuantur; & è contra aßeruit cum Cardano, & quodam Rabino Moſe diſtantiam hyperbolæ à re-ctis asymptotis ſumi debere, non à quibu ſcunque rectis lineis interceptis inter ſe parallelis, ſed tantummodo à rectis lineis perpendicularibus ad aſymptotos, quæ ſolummodo, inquiunt ipſi, diſtantias determinant; at reuera hæc animad-nerſio non videtur neceßaria: perinde enim eſt conſiderare rectas lineas ab hy-perbole ad vnam rectam lineam continentium ductas, quæ efficiat cum illa an-gulos æquales, ac ſi perpendiculares eßent ad eandem: at quando rectæ lineæ in-terceptæ ſunt inter ſe æquidiſtantes, tunc omnes efficiunt ſuper rectam lineam continentem hyperbolen angulos æquales ad eaſdem partes; & propterca (ex inæ-qualitate prædictarum æquidiſt antium) optimè concluditur cum Apollonio inæ-qualitas perpendicularium, ſeu diſtantiarum. Quando verò conſiderantur duæ lineæ curuæ veluti ſunt duæ parabolæ, vel duæ hyperbolæ, vel ellipſes, tunc qui- dem nulla ratione rectæ lineæ inter ſe æquidiſtantes, inter curuas interceptæ de-terminare poſſunt prædictarum curuarum diſtantias; quandoquidem inæquali-ter ſemper inclinantur ad quamlibet prædictarum curuarum, & rectæ lineæ in-terceptæ, quæ ſunt perpendiculares ad vnam ipſarum, non erunt inter ſe æqui-diſtantes. Et quia, vt dictum eſt, prædictæ perpendiculares ſunt diſtantiarum legitimæ menſuræ, nunquàm concludi poteſt certo, quod prædictæ ſectiones ſint æquidiſtantes. vel ſibi ipſis ſucceſſiuè viciniores ſiant, niſi conſiderentur rectæ lineæ interceptæ ad vnam ſectionum perpendiculares: quod quidem hucuſque quod ſciam factum non eſt, neque forſan huiuſmodi ſpeculatio inuentu facilis erit, aut iniucunda.

In parabola, vel hyperbola A B C ad eius axim E A I ducere ra- mum breuiſſimum æquidiſtantem alicui rectæ lineæ E F, quæ oportet, vt efficiat cum axi ad partes ſectionis angulum A E F acutum, ſed in hyperbola ſit minor ſemiße vnius recti, & angulus F E X ab vna asymptoto, & recta linea E F contentus ſit acutus.

PROP. 6. Addit.

Fiat angulus A E D æqualis an- gulo A E F, & ex vertice A du-catur recta linea A B efficiens an-gulum I A B, qui ſimul cum an-gulo A E F vnum rectum angulũ compleat; ſed in hyperbola, quia vterq; angulus X E A, & A E F deficit à ſemirecto erũt ambo mino-res ſumma præcedentium, ſcilicet vno angulo recto; ergo ablato cõmuni angulo A E F, erit angulus I A B maior angulo A E X. Poſtea, quia tam A E F, quàm A E D minor eſt ſemiſſe vnius anguli recti, & A E F cum angulo I A B vnum rectum angulum complent; ergo angulus I A B maior erit angulo D E A: & propterea recta linea A B producta neceſſario ſecabit vtram-que rectam lineam E D, & E X asymptotum extra ſectionem cadentem ad par-tes D, X; ideoque A B hyperbolen ſecabit in aliquo alio puncto B. In parabola verò, quia recta linea A B axim ſecat in vertice A non ad angulos rectos (cum anguli I A B, & A E F rectum compleant) ergo A B ſectioni occurrit in duobus pun-ctis. Secetur iam A B bifariam in L, & per L ducatur diameter ſectionis L G ſectioni occurrens in G, & per G ducatur contingens G H, ſeu parallela A B ſecans axim in H, & per G ducatur I G O per-pendicularis ad G H. Dico I G problema efficere. Quoniam pro- pter parallelas G H, B A, eſt an- gulus G H A, ſeu E H N æqualis angulo B A I; ſed anguli B A I, & A E F vnicum rectum com-plent; ergo duo anguli N H E, & N E H ſimul ſumpti vni recto æ-quales ſunt, & propterea in trian-gulo E N H reliquus angulus N rectus erit: erat quoque angulus I G H rectus; igitur I G (qui eſt ramus breuiſſimus cum ſit perpen-dicularis ad tangentem G H) eſt æquidiſtans rectæ lineæ E F; quod erat propoſitum.

17. 27. lib. I. 35. 36. lib. I. 5. lib. 2.
31. lib. 5.

Facile deducitur, quod ſi angulus A E F fuerit rectus in parabola, & non fuerit ſemirecto minor in hyperbole facta eadem conſtructione quilibet ramus breuiſſimus I G æquidiſtans erit rectæ lineæ diuidenti angulũ A E F.

SCHO-LIVM.

Nam angulus A I G ab axi, & ramo breuiſſimo contentus eſt acutus, ſed an-gulus F E A in parabola eſt re- ctus; ergo recta linea I G paralle-la eſt alicui rectæ lineæ diuidenti angulum A E F, in hyperbela ve-rò factus eſt angulus A E D æqua-lis angulo A E F, qui ſemirecto minor non eſt; propterea erit totus angulus D E F rectus, aut obtu-ſus; ergo in triangulo E M N ex-ternus angulus F N M maior in-terno, & oppoſito angulo E recto, vel obtuſo, erit quoque obtuſus, & angulus I G N rectus eſt; igitur I G, F N ſe viciſſim ſecabunt vltra punctum E, & ideo I G parallela erit rectæ lineæ diuidenti angulum A E F. Quod erat oſtendendum.

13. 14. 15. lib. 5. 31. lib. 5.

Sint duæ parabolæ, vel duæ hyperbo- læ æquales, & ſimiliter poſitæ H B D, & I F G circa communem axim A H I: intercepta axis portio erit diſtantia ſectio-num omnium maxima, & ei propinquior remotiore maior erit.

PROP. 7. Addit.

Sint centra E, & K, asymptoti P E O, Q K R, & à vertice H, & à quibuslibet punctis interiores ſectionis B D eleuentur lineæ breuiſſimæ, ſeu perpendiculares ad rectas curuam B D contingentes in eiſdem punctis, quæ ſint H A, B A, & D C, quæ ſecent re-liquam ſectionem in punctis I, F, & G. Manifeſtum eſt interceptas I H, F B, G D eſſe minimas linearum rectarum, quæ à punctis I, F, G ad ſectionem B D duci poßunt; & ideo eædem interce- ptæ erunt diſtantiæ quorunlibet punctorum ſectionis I F G à ſectione B D: & propterea erunt diſtantiæ prædictarum curuarum. Oſtendendum modo eſt H I maiorem eſſe, quàm B F, & B F maiorem, quàm D G, & ſic ſemper. Duca-tur à puncto F intercepta recta linea F M parallela axi I H, atque à puncto G ducatur recta linea G N parallela ipſi F B, quæ occurrant ſectioni B D in M, N. Et quoniam F M æquidiſtat vertices coniungenti I H, erit intercepta F M æqualis I H, ſed cum ramus B A ſit breuiſſimus, & eius portio F B erit quoque breuiſſima omnium, quæ ex puncto F ad eandem ſectionem B H duci poſſunt; quare B F minor erit quàm F M, & F M oſtenſa fuit æqualis I H; igitur di-ſtantia intercepta F B minor erit quàm I H.

8. 9. 10. 30. lib. 5. 38. lib. 5. 5. aiddit. huus. 38. lib. 5.

Secundò quia duæ interceptæ B F, N G parallelæ inter ſe productæ occurrunt axi intra ſectiones ad partes A C, & in parabola, quàm ſecabunt in binis pun- ctis, erunt ſaltem ordinatim applicatæ ad aliquàm diametrum: in byperbolis verò parallelæ erunt rectæ lineæ diuidenti angulum P E K à recta linea E K centra coniungente, & E P interiore asymptoto contentum; propterea tam in parabo- lis, quàm in hyperbolis intercepta B F, quæ vlterius tendit ad partes reliquæ asymptoti E O maior erit intercepta N G; ſed quia G D eſt linea breuiſſima om- nium, quæ ad ſectienem H D duci poſſunt, cum ſit portio breuiſſimæ D C, quæ perpendicularis eſt ad rectam contingentem in D, igitur G D minor erit, quàm G N; eſtque G N oſtenſa minor, quàm F B; ergo G D minor erit, quàm F B.

27. lib. 1.
3. & 4. addit. 38. lib. 5.

In parabolis autem, quia duci poteſt aliqua recta linea, vt N G parallela cuilibet interceptæ B F; itaut ſit N G minor quacunque recta linea data (quan- do nimirum ad aliquam diametrum ordinatim ſunt applicatæ, ſcilicet, quando vna ipſarum, puta B F occurrat axi intra ſectiones; quod quidem neceſſario eueniet, quando B A eſt ramus breuiſſimus) eſtque ramus breuiſſimus D G mi- nor eadem G N; igitur diſtantia ſectionum G D minor erit quacunque recta linea propoſita. Quia verò (vt conſtat ex demonſtratione caſus 2. propoſ. 3. addit. huius) quælibet recta linea G D intercepta inter hyperbolas conueniens cum axi intra ſectiones maior eſt portione eiuſdem rectæ lineæ C D G inter æ-quidiſtantes asymptotos E P, & K Q intercepta; igitur interuallum inter duas hyperbolas, licet ſucceſſiuè ſemper magis, ac magis diminuatur, nunquàm ta-men minor effici poterit interuallo duarum æquidiſtantium hyperbolas continen-tium E P, & K Q; Quod quidem eſt perpendiculare ad vtramque rectam con-tinentem E P, & K Q; eſtque prædicta perpendicularis minima omnium in-terceptarum inter eas.

Prop. 4. addit. 27. lib. 1.

Duarum parabolarum, vel hyperbolarum A B, D E æqualium, & ſimilium, quarum axes A O, D Y, nec non asymptoti H I K, L M N ſint parallelæ inter ſe, & ſimiliter poſitæ: Sectionum diſtantia maxima parallela erit vertices coniungenti, & ei propinquiores ex vtraq; parte maiores ſunt remotioribus vſq; ad concurſum: ſi veró diſtantiam ma-ximam non habent ſemper augentur quo magis à concurſu recedunt.

PROP. 8. Addit.

Cadat concurſus ſectionum Z inter axes A G, & D Y, & aſym-ptoti I K, M N coincidant, aut ſibi ſint viciniores, quàm I H; M L. Et primò angulus Y D A ab axe Y D, & D A vertices con-iungente contentus ſemirecto minor non ſit in hyperbola, ſitque rectus in parabola, & vltra concurſum. Z, ad partes axis D Y, & asym-ptotorum magis diſſitorum H I, L M: ſumantur in compræhenſa ſectione A B quælibet puncta, B, P, à quibus ad axim ducantur rami breuiſſimi O B, Q P præter axim A O, & ſecent ex- ternam curuam in G, E, R, & occurſui Z, vel communi asymptoto I M N, aut vicinioribus asymptotis I K, M N ſit A G propinquior, quàm E B, & E B propinquior, quàm R P: Oſtendendum eſt curuarum diſtantiam A G minorem eße, quàm B E, & B E, quàm P R. Ducantur interceptæ G S parallela E B, & E X parallela R P. Et quia in parabola angulus Y D A rectus ſupponitur, & in hyperbola non eſt minor ſemirecto, ergo quilibet ramus breuiſſimus E B, vel R P æquidiſtans erit rectæ lineæ diuidenti angulum A D Y in parabsla, & angulum M I H in hyperbola; ſed duarum parallelarum E B, G S, vel R P, E X eſt G S vertici propinquior, vel vlterius tendit ad partes asymptoti I K, quàm E B; ergo G S minor eſt, quàm E B; eſtque G A minor, quàm G S, quia illa eſt portio, vel productio lineæ breuiſſimæ O A; igitur G A adhuc minor erit quàm E B. Eadem ratione E B minor oſtendetur, quàm R P. Poſtea ſi occur-ſus Z cadit extra duos axes, inter axim A G, & occurſum aut ad partes asym- Protorum coincidentium, vel propinquiorum, ad oppoſitas partes citra axim G A, ſumantur duo puncta C, T, & ab cis ducantur ad axim rami breuiſſimi O C, Q T ſecantcs externam ſectionem in F, V, & ab occurſu, vel communi asym-ptoto, vel ab asymptotis vicinioribus I K, M N magis recedat A G, quàm C F, & C F, quàm T V; Dico G A maiorem eſſe, quàm C F, & C F maiorem, quàm T V. Ducantur interceptæ F a parallela G A, & V b parallela C F. Et quia in parabola F a propinquior eſt occur ſui ſectionum, & parallela eſt dia- metro G A; at in hyperbola F a parallela eſt axi G A, vel D Y diuidenti an-gulum M I H, & F a vlterius tendit ad partes asymptoti I K, quàm G A; ergo F a minor eſt, quàm G A: eſtque C F productio rami breuiſſiimi minor quàm F a; ergo A G maior erit, quàm C F. Eodem ratiocinio oſtendetur C F maior, quàm T V.

8. 9. & 10. lib. 5.
SCHO-LIVM. Prop. 6. addit. Prop. 3. 4. addit. 7. & 38. lib. 5.
Poſtr. pars pr. 4. add. huius. Pars 3. prop. 3. addit. huius.
38. lib. 5.

Secundò angulus Y D A ſit acutus in parabolis, at in hyperbolis minor ſe-mirecto, & M I H ab asymptoto I H, & recta linea centra coniungente con-tentus ſit acutus: Manifeſtum eſt duci poſſe ramum breuiſſimum, vt O B ad ſe- ctionem interiorem A B, qui parallelus ſit rectæ lineæ D A vertices coniungenti, vel I M centra coniungenti; & ex vtraque parte ipſius rami O B præter axim A G ducantur quilibet breuiſſimi rami Q P, d e, i l, O C, qui ſecent exter- nam peripheriam in R, f, m, F. Oſtendendum modò eſt in eiſdem coniſectio-nibus E B eſſe diſtantiam omnium maximam, & R P propinquiorem maximæ maiorem eſſe remotiore f e; pariterque m l maiorem eſſe quàm G A. Ducantur interceptæ R g, m n parallelæ E B, & f h parallela R P, nec non G S paral-lela m l, & F a parallela G a. Quoniam interceptæ R g, m n parallelæ ſunt eidem E B, & recta linea D A vertices coniungens, vel I M centra coniun- gens parallela facta fuit eidem E B; ergo E B, R g, m n erunt omnes inter ſe æquales; eſtque R P minor, quàm R g; pariterque m l minor, quàm m n, quia iliæ ſunt productiones breuiſſimorum ramorum Q P, & i l; igitur quæ-libet diſtantia R P, vel l m ex vtraque parte ipſius E B ſumpta minor eſt, quàm E B; ideoque E B erit omnium maxima. Deinde quia O B parallela eſt A D, vel M I, & rami breuiſſimi O B, Q P ſe ſecant vltra axim A O; ergo recta linea R P Q producta ſecabit quoque reliquam parallelarum D A, vel I M ad partes O A M; ideoque interceptæ R P, f h parallelæ erunt alicui re-ctæ lineæ diuidenti angulum D A O ab axe interioris parabola, & vertices coniungente contentum, vel angulum I M L ab asymptoto interioris hyperbolæ, & centra coniungente contentum; igitur R P propinquior verticibus, vel vlte- rius tendens ad partes reliquæ asymptoti M N maior erit quàm f h; eſtque f h maior f e quæ eſt productio rami breuiſſimi; ergo diſtãtia R P propinquior maximæ E B maior erit, quàm f e. E contra quia breuiſſimus ramus i l m cadit inter duas parallelas E B, & D A, & ſecat ramũ breuiſſimum E B ad partes O i; ergo l m occurrit A D, vel M I ad partes D, vel I; ideoque intercepta m l, & ei parallela G S erunt æquidiſtantes alicui rectæ lineæ diuidenti angulum Y D A, in parabolis, vel H I M in hyperbolis: & propterea G S propinquior ver- tici parabolæ, vel vlterius tendens ad partes reliquæ asymptoti M N minor erit, quàm m l; eſtque G A productio rami breuiſſimi minor quàm G S; ergo m l maior erit, quàm G A; & ſic vlterius G A maior erit C F, quando oc-curſus Z ſectionum cadit vltra interceptam F C ad partes T V; vt in prima parte oſtenſum eſt.

Propoſ. 6. addit. huius. 8. 9. & 10. lib. 5. Propoſ. 5. addit. huius. 38. lib. 5. 38. lib. 5. 3. 4. addit.
38. lib. 5. 28. lib. 5. 3. 4. addit. 38. lib. 5.

Iiſdem manentibus: dico poſtea, quod vltra diſtantiam maximam E B ad partes R P, diſtantiæ, licet ſemper diminuantur non efficiuntur minores inter-uallo diametrorum æquidiſtantium D Y, A O in parabolis, vel interuallo asym-ptotorum collateralium I H, M L in hyperbolis, vt facile deducitur ex 3. & 4. additarum. At ad partes asymptotorum congruentium hyperbolæ ad ſe ſe ipſas propius accedunt, interuallo minori quolibet dato: Nam in locum ab hyperbole B A C, & asymptoto M N contentum extenditur altera hyperbole E D F; ſed diſtantia hyperbolæ B A C ab asymptoto M N efficitur minor qualibet data: igi-tur diſtantia hyperbolæ D G F compræhenſæ ab hyperbole intercipiente minor erit qualibet data diſtantia.

Tandem ijſdem poſitis ducantur ex altera parte concurſus Z rami breuiſſimi O C, Q T, qui eſſiciant diſtantias F C, T V. Dico F C propinquiorem con-curſui Z minorem eße, quàm T V. Quoniam angulus Y D A, vel Y I M ſup- ponitur acutus; ſuntque I D Y, M A O inter ſe, parallelæ; ergo angulus D A O, vel I M O, & multo magis I M N erit obtuſus; ſed quilibet ramus breuiſſimus Q V T parallelus F a eſſicit cum axi A O angulũ acutũ; igitur ramus breuiſſimus Q T, & ei parallelus F a ſunt æquidiſtantes alicui rectæ lineæ diuidenti angu-lum D A O, vel I M N; ideoque F a propinquior concurſui, vel vlterius ten- dens ad partes reliquæ asymptoti I H minor eſt, quàm T V; eſtque F C minor quàm F a (quia illa eſt portio rami breuiſſimi) ergo F C minor eſt, quàm T V. Quod erat propoſitum.

13. 14. lib. 5. Propoſ. 3. & 4. add.
12. lib. 5.

In duabus hyperbolis C A D, H G I ſimilibus, concentricis, & ſimiliter poſitis circa com-munem axim B A G, ideſt conſiſtant circa cõmunes asym-ptotos E B F: Dico ſectionum C A D, H G I interualla sẽ-per minui, quo magis ab axis vertice recedunt; atque effici poſſe minora interuallo quolibet dato.

PROP. 9. Addit.

Deſcribatur hyperbole M G N æqualis, ſimilis, & ſimiliter poſita ipſi C A D circa communem axim A G. Et quoniam hyperbolæ H G 1 ſemiaxis tranſuer ſus B G maior eſt tranſuer ſo ſemiaxe B A, hyperboles C A D, pariter-què latus rectum illius maius erit buius latere recto (cum later a figurarum ſint proportionalia in hyperbolis ſimilibus:) igitur hyperbole H G I maior eſt hyper-bola M G N (quod ab alijs oſtenſum eſt), & conſiſtunt circa communē axim A G, & vertex G eſt communis; igitur hyperbole H G I compræbendit hyperbolen M G N; & ideo hyperbole H G I cadit inter duas hyperbolas G M, & A C : & propterea hyperbole G H multo magis ſucceſſiuè vicinior efficitur hyperbolæ A C, quàm hyperbole G M; ſed duæ hyperbole æquales, & ſimiliter poſitæ A C, & G M ſemper magis, ac magis ad inuicem approximantur, igitur multo magis hy-perbolæ concentricæ A C, & G H ſemper magis, ac magis ad ſe ſe ipſas appro- pinquantur, & inter ſe non conuenient vt Pappus demonſtrauit. Tandem, quoniã lineæ breuiſſimæ, quæ perpendicularis eſt ad tangentem hyperbolem G H portio ab asymptoto E B, & ſectione H G compræ henſa effici poteſt minor quacunque recta linea propoſita; cadit verò hyperbole A C inter ſectionem G H, & continen- tem B E; igitur multo magis diſtantia inter hyperbolas G H, & A C minor erit quacunque recta linea propofita. Quod erat oſtendendum.

12. huius. & ex 53. lib. 1. 12. huius. Propoſ. 7. addit. lib. 7. prop. 208. 29. 30. lib. 5. Propof. 4. lib. 2.

Si in duobus conis ducta fuerint duo triangula per axes A B C, D E F ſimilia, & ſimiliter poſita, atq; ſectionum I G H, & N L M dia-metri G O, L K æque ad baſes inclinatæ intercipiant cũ triangulorum la-teribus A B, D E eiſdem G O, L K parallelis, portiones O B, K E æquales; vel cum axibus conorum Aγ, D Z diametris æquidiſtantibus intercipiant portiones O Y, K Z æquales, & efficiant angulos A Y C, D Z F aquales : erunt conicæ ſectiones inter ſe æquales, & in qualibet earum, duplum interceptæ poterit figuram ſectionis.

PROP. 10. Add.

Primò in parabolis, quia triangula A B C, D E F ſunt ſimilia, erit B C ad C A vt E F ad F D, & G O, L K ſunt parallelæ homologis A B, D E; ergo O C ad C G, & B O ad G A eandem proportionem habebunt, quàm B C ad C A, ſeu eandem, quàm habet E F ad F D; eſtque E K ad L D vt E F ad F D; ergo B O ad G A eſt vt E K ad L D; ſuntque B O, E K æquales; igitur G A æqualis eſt L D: & quia in triangulis ſimilibus rectangulum B A C ad quadratum B C, ſeu A G ad latus rectum G R eandem proportionem ha- bet; quàm rectangulum E D F ad quadratum E F, ſeu quàm D L habet ad la-tus rectum L S; igitur A G ad G R erit vt D L ad L S; ſuntq; A G, D L oſtenſæ æquales ergo G R, & L S latera recta æqualia ſunt, & diametri ſectio-num eſſiciunt angulos G O H, L K M æquales; ergo parabolæ H G I, & M L N æquales ſunt inter ſe.

11. lib. 1. Prop 10. huius.

In hyperbolis verò, quoniam P G parallela eſt axi A Y, & A V parallela, eſt baſi B C, & latera P B, & A C ſunt communia; igitur P V ad V A eſt vt A Y ad Y B, & G V ad V A eſt vt Y A ad Y C: habet verò eadem A Y ad æquales Y B, Y C eandem rationem ergò P V, & G V ad eandem V A habent eandem proportionem, & ideo P V æqualis eſt V G, atq; punctum V erit cen-trum ſectionis, & quadratum A Y æquale erit quadrato V O (propter paral-lelogrammum V Y), & quadratum V O æquale eſt rectangulo P O G cum qua-drato V G; pariterque quadratum C Y æquale eſt rectangulo C O B cum qua drato O Y, & habet quadratum A Y ad quadratum C Y eandem proportionem, quàm latus tranſuer ſum P G ad latus rectum G R, ſeu eandem, quàm habet rectangulum P O G ad rectangulum C O B, ergo diuidendo quadratum V G ad quadratũ O Y eandem proportionem habebit, quàm quadratum A Y ad quadratũ Y C, ſeu vt P G ad G R, ſeu vt quadratum P G ad rectangulum P G R, & ideo quadratum duplæ V G, ſeu P G eandem proportionem habebit ad re-ctangulum P G R, atq; ad quadratum duplæ ipſius Y O; quare quadratum duplæ ipſius O Y æquale erit figuræ ſectionis ſeu rectangulo P G R. Eodem modo oſtendetur X centrum hyperbolæ M L N, & quadratum L Z ad quadratum du-ple K Z eſſe vt quadratum D Z ad quadratum Z F, ſeu vt Z L ad L S, & ideo quadratum duplæ ipſius K Z æquale erit figuræ ſectionis, ſeu rectangulo Z L S. Tandem, quia propter ſimilitudinem triangulorum per axes, ſunt anguli C, F æquales, & anguli Y, Z pariter æquales ( cum ex hypotheſi diametri G O, L K parallelæ axibus AY, D Z efficiant angulos G O C, L K F æquales); ergo A Y ad Y C erit vt D Z ad Z F, & earum quadrata etiam proportionalia erunt; ſed P G ad G R eſt vt quadratum A Y ad quadratum Y C, atque Z L ad L S eſt vt quadratum D Z ad quadratum Z F ; igitur P G ad G R ean-dem proportionem habet, quàm Z L ad L S, & propterea figuræ ſectionem erunt ſimiles; ijs autẽ figuris æqualia oſtenſa ſunt quadrata dupliciũ O Y, & K Z, quæ ſuppoſitæ fuerunt æquales; igitur figuræ P G R, & Z L S ſimiles, & æquales ſunt inter ſe, atque diametri æquæ inclinatæ ſunt ad ordinatim ad eas applicatas H I, M N; igitur ſectiones H G I, M L N æquales ſunt inter ſe, ſimiles, & congruentes, quarum figuræ æquales ſunt quadratis duplicium inter-ceptarum O Y, & K Z, quod erat propoſitum.

21. lib.1. ex 12. huius. Prop. 10. huius.
LEMMA IX.

S I in duobus conis A B C, D E F, baſes ſint in eodem plano, & duo triangula per axes A B C, D E F fuerint ſimilia, & ſimi-liter poſita, & in eodem plano exiſtentia, erunt coni ſimiles inter ſe.

Ducantur à verticibus A, & D duæ rectæ A G, & D H perpendiculares ad baſes conorũ, & à terminis axium A Y, & D Z coniungantur rectæ lineæ Y G, & Z H. Quoniã planum, in quo exiſtunt duo triangula A B C, D E F ſecat planum, in quo baſes conorum iacent in vna recta linea, quæ baſis eſt vtriuſque trianguli per axes conorum ducti; ideoque B C, & E F in directum conſtitutæ erunt, & circa angulos æquales B, & E latera A B ad B C, atque D E ad E F ſunt proportionalia ( propter triangulorum A B C, & D E F ſimilitudinem) erunt quoque ad conſequẽtium ſemiſſes proportionales, ſcilicet A B ad B Y erit, vt D E ad E Z circa angulos æquales, & propterea triangula A B Y, & D E Z ſimilia erunt: & ideò duo anguli B Y A, & E Z D, externus interno, æqua-les erunt inter ſe; igitur Y A, & Z D in eodem plano exiſtentes, parallelæ erunt inter ſe; ſunt quoque A G, D H inter ſe parallelæ ( cum ſint perpendicu-lares ad idem planum baſium ) ergo duo anguli Y A G, & Z D H æquales ſunt inter ſe; atquè anguli G, & H æquales ſunt, nempe recti; igitur in triangu-lis A Y G, & D Z H, duo poſtremi anguli A Y G, & D Z H æquales ſunt inter ſe: hi autem anguli inclinationes ſunt axium conorum ad ſuas baſes; igi-tur axes A Y, & D Z æque ſunt inclinati ad ſuas baſes: ſuntque proportiona-les ad baſium ſemidiametros Y B, & Z E ( cum triangula A B Y, D E Z ſi- milia oſtenſa ſint ); igitur coni A B C, & D E F ſimiles ſunt inter ſe. Quod erat oſtendendum.

Defin. 8. huius.

Data parabola Z duos conos ſimiles exhibere, vt idem planum ef- ficiat in eis duas parabolas æquales eidem datæ parabolæ, quæ asympto-ticæ ſint, & ſibi ipſis viciniores fiant diſtantia minore quacunque data.

PROP. 11. Addit.

In quolibet plano fiat angulus I H C æqualis angulo inclinationis diametri, & baſis parabolæ Z , & per H C extenſo alio quolibet plano ducatur in eo B H G perpendicularis ad X H C; & fiat quodlibet triangulum H G K, & vt qua-dratum H G ad rectangulum H K G, ita fiat latus rectum parabolæ Z ad pro- ductionem K E, & ab E ducatur A E B parallela 1 H, quæ ſecet G H in B: poſtea producatur H K, vt cumq; in I, & per I ducatur A 1 D parallela E G, quæ ſecet B G in D; & in plano B X D C, diametris B G, B D, fiant duo circuli, qui ſint baſes duorum conorum, quorum vertices A, & E, & in eo-rum ſuperficiebus planum per X I C ductum, efficiat ſectiones C I X, & F K T. Dico eas eße parabolas quæſitas. Quoniam recta E G facta eſt parallela. ipſi A D; igitur duo triangula A B D, & E B G per axes conorum ducta ſi-milia, & ſimiliter poſita in eodem ſunt plano; & duo circuli baſium in eodem ſunt plano; ergo coni A B D, & E B G ſimiles erunt: poſtea quia triangula. A B D, & E B G ſimilia ſunt, & I K H communis diameter ſectionum ad coincidentes baſes C X, F T æque inclinata, & recta linea A E B à verticibus conorum ducta parallelæ ſunt inter ſe, atque intercipiunt in angulis æqualibus A B H, & E B H communem portionem B H baſium triangulorum ſimilium. per axes; ergo parabolæ C I X, & F K T æquales ſunt inter ſe. Secundò, quia propter parallelas E B, K H ſunt triangula E B G, H K G ſimilia; ergo qua-dratum B G ad rectangulum B E G ſcilicet latus rectum parabolæ F K T ad K E eſt, vt quadratum H G ad rectangulum H K G, ſed latus rectum parabolæ Z ad K E fuit vt qtadratum H G ad rectangulum H K G; igitur duo latera recta, parabole Z, atq; parabole F K T ad eandem K E habent eandem pro-portionem, & propterea æqualia ſunt, & diametri, ad baſes æque inclinatæ ſunt ex conſtructione; igitur parabole F K T, & ei æqualis C I X erit æqua- lis eidem parabolæ Z. Tertiò quia ſectionum plano, & communi diametro I K H æquidiſtat cummune lateris A E B, in quo duo coni ſe ſe contingunt; ergo latus A E B nunquàm occurret plano C I X: ſed duæ ſuperficies conicæ tantum-modò ſe ſe tangunt in latere A E B, & reliquis omnibus in locis ſeparatæ ſunt; igitur duæ parabolæ C I X, F K T in illo plano poſitæ per contactum A E B non tranſeunte, & extenſæ in duabus conicis ſuperficiebus nunquàm conuenien-tibus, erunt asymptoticæ. Quartò quia duæ parabole C I X, F K T æquales ſunt, & ſimiliter poſitæ circa communem diametrum I K H; ergo earum di- ſtantiæ ſemper magis, ac magis diminuuntur quouſque ſint minores qualibet recta linea data. Quod erat faciendum.

Lem. 9. huius. Prop. 10. addit. 11. lib. 1. Prop. 10. huius. Propof. 7. addit.

Data hyperbola Z duos conos ſimiles exhibere, vt idem planum in, eis efſiciat duas hyperbolas æquales, & ſimiles datæ, quæ aſymptoticæ ſint, & ſibi ipſis ſemper viciniores fiant, non tamen interuallo minore recta linea data.

PRO 1. 12. Addit

In quolibet plano fiat angulus H I M æqualis angulo inclinationis diametri, & baſis datæ hyperboles Z, & per M I extenſo quolibet alio plano ducatur in eo B I C perpendicularis ad M I K; & ſumpto quolibet puncto O in recta linea I H producta, ducatur à puncto O in plano per O I B extenſo recta linea O A parallela ipſi B I, & ſecetur O A æqualis ſemiſſi potentis figuram ſectionis Z, cuius rectum latus ad tranſuerſum eandem proportionem habeat quàm quadra-tum A O ad quadratum O H; atque à puncto A àucatur recta linea A D G parallela ipſi H I, & coniungatur A H, quæ ſecent rectam lineam G I in pun-ctis G, & C, & ſectur recta linea G B æqualis G C iungaturq; A B, & à quolibet puncto D in recta A G ſumpto ducãtur in eodem plano A B C duæ re-ctæ lineæ D E, & D F @ parallelæ lateribus A B, & A C; eruntque triangula A B C, & D E F ſimilia, & ſimiliter poſita: poſtea in plano per B C, M K ducto, diametris B C, & E F, fiant duo circuli B K C, E L F, qui ſint ba-ſes duorum conorum, quorum vertices ſint A, & D, & in eorum ſuper ficie-bus planum per H I, M K ductum efficiat ſectiones K H M, & L X S: Dico eas eſſe quæſitas. Quoniam duo triangula A B C, D E F ſimilia, & ſimiliter poſita in eodem ſunt plano, pariterque duo circuli baſium in vno plano exiſtunt; ergo duo coni A B C, & D E F ſimiles erunt; poſtea quia triangula A B C, & D E F ſimilia ſunt, & communis ſectionum diameter H X I æque inclina-tur ad coincidentes baſes M K, S L, & axi communi A D G æquidiſtat, & in angulis æqualibus intercipiunt G I communem portionem baſium triangulorum ſimilium per axes; igitur hyperbolæ K H M, & L X S æquales ſunt, & ſimi-les inter ſe, & earum figuris æqualia ſunt quadrata ex dupla interceptæ G I deſcripta. Secundò quia ( propter parallelas A O, & B C ) triangula H O A, & A G C ſimilia ſunt; igitur quadratum A G ad quadratum G C, ſeu ad re-ctangulum B G C eandem proportionem habebit, quàm quadratum H O ad qua-dratum O A, ſeu quàm latus tranſuerſum ad rectum figuræ Z; ſed vt quadra- tum A G ad rectangulum B G C, ita eſt latus tranſuerſum ad rectum hyperbo-les K H M; igitur duæ hyperbolæ Z, & K H M, habent figurarum latera, porportionalia; ſuntq; prædictæ figuræ æquales cum ſint æquales quadratis ex du-plis ipsarum A O, & interceptæ G I: quæ ſunt æquales in parallelogrammo G O, & habent angulos à diametris, & baſibus contenti, æquales inter ſe: erunt hyperbolæ K H M, & Z æquales, & ſimiles inter ſe: & propterea ſectio L X S, quæ ſimilis, & æqualis oſtenſa eſt ipſi K H M, erit quoque æqualis, & ſimilis eidem ſectioni Z. Tertiò, quia in duobus conis ſimilibus, & ſimiliter poſitis circa communem axim A D G, ſuperficies nunquàm conueniunt, propterea, quod latera A B, & D E, à quibus generantur in tota reuolutione inter fc, parallela conſeruantur; igitur duæ ſectiones K H M, & L X S, exiſtentes in eodem plano ſecante duas ſuperficies, quæ licet in infinitum producantur vbique ſeparatæ ſunt, erunt aſymptoticæ. Quartò, quia duæ hyperbolæ H K M, & L X S ſunt æquales, ſimiles, & ſimiliter poſitæ circa communem diametrum H X I, earum diſtantiæ ſemper magis, ac magis diminuuntur; nunquam tamen mi-nores efſici poſſunt interuallo duarum æquidiſtantium, hyperbolas continentium. Et hoc erat propoſitum.

Lem. 9. huius. Prop. 10. add. 12. lib. 1. 10. 12. huus. Prop. 7. addit.

Data hyperbola X duos conos ſimiles exhibere vt idem planum in eis efficiat duas hyperbolas ſimiles, & æquales datæ, quæ aſymptoticæ ſint, & ex vna parte ſibi ipſis viciniores fiant interuallo minori quolibet da-to: ex altera verò parte ad ſe ipſas propius accedant interuallo tamen maiore dato: oportet autem vt angulus ab aſymptotis ſectionis X con-tentus ſit acutus.

PROP. 13. Addit.

In quolibet @l@no fiat angulus A d O æqualis angulo inclinationis diametri, & baſis hyperb l@ X; & per o d extenſo quolibet alio planol, ducatur in eo re-cta linea B d C perpendicularis ad O d G, & ſumpto quolibet alio puncto b in recta linea G O in plano per B G C O ducto, centris d, & b deſcribantur duo cireuli G C O B, & G Q P L ſe ſe contingentes in communi puncto G rectæ li-neæ G O ducaturque diameter L b Q æquidiſtans ipſi B C: & vt latus rectum ad tranſuer ſum ſectionis X, ita fiat quadratum G d ad quadratum d A; & coniungantur rectæ lineæ A G, & A O, ducaturque ex puncto P recta linea P N parallela ipſi O A occurrens G A in N, atque A, & N fiant vertices duorum conorum A B C, & N L Q, & ſecetur D d æqualis ſemiſſi potentis figuram ſectionis X; ducaturque per punctum D planum E M F æquidiſtans plano com-muni A G O per axes ducto, efficiens in conicis ſuperficiebus ſectiones H I K, & T V c; Dico eas eſſe hyperbolas quæſitas. Quoniam propter parallelas A O, N P eſt A G ad G O, vt N G ad G P, & ad ſemißes conſequentium, ſcilicet A G ad G d, atque N G ad G b proportionales erunt, ideoque A d, N b erunt pa-rallelæ, & A d ad d G, ſeu ad d C eſt vt N b ad b G, ſeu ad b Q; eſtque d C etiam parallela b Q; ergo plana A B C, & N L Q parallela ſunt, & anguli A d C, & N b Q æquales ſunt, atque triangula A d C, & N b Q ſimilia crunt inter ſe; ideoque circa angulos æquales C, & Q erit A C ad C d, vt N Q ad Q b, & ad conſequentium duplas, ſcilicet A C ad C B, atq; N Q ad Q L proportionales erunt; & propterea triangula A B C, & N L Q ſimilia exunt, & ſimiliter poſita, & inter ſe parallela; ergo efficient in duobus planis A O G, & M E F inter ſe æquidiſtantibus ſectionũ diametros I D, & V a parallelas conorũ axibus A d, & N b, & inter ſe; quare conſtituent cum ſectionũ baſibus soincidentibus angulos æquales I D H, & V a T & cum ipſis D d, & a b etiã parallelis inter ſe continebunt angulos æquales I D d, & V a b, eruntque in-terceptæ D d, a b æquales ( cum ſint latera oppoſita parallelogrammi D b); igitur hyperbole H I K, & T V e æquales ſunt inter ſe, & ſimiles atq; earum figuris æqualia ſunt quadrata ex duplis interceptarum D d, & a b. Et quia triangula A G O, N G P ſunt ſimilia in eodem plano, ſuntque pariter duo cir-culi baſium in vno plano extenſi; igitur coni A B C, & N L Q ſimiles ſunt inter ſe. Secundo quia vt quadratum A d ad rectangulum G d O, ſeu ad re-ctangulum B d C ita eſt latus tranſuerſum ad rectum ſectionis H I K, & (ex conſtructione) in eadem proportione erat latus tranſuer ſum ad rectum hyperbo-les X, atque anguli I D K, & A d O æquales ſunt inter ſe (propterea quod D I, d A parallelæ ſunt, pariterque D K, d O parallelæ ſunt inter ſe, cum communes ſectiones ſint plani baſis, & duorum planorum æquidiſtantium K I H, & O A G): & erat angulus inclinationis diametri, & baſis hyperbolæ X æ-qualis angulo A d O; igitur diametri ſectionum X, & H I K ad ſuas baſes æque inclinantur, & habebant latera earundem figurarum proportionalia; ſuntq; prædictæ figuræ æquales, cum ſint æquales quadrato ex dupla interceptæ D d vt dictum eſt: igitur ſectiones H I K, & X ſimiles ſunt inter ſe, & æquales; ideoque reliqua ſectio T V d, quæ æqualis, & congruens oſtenſa eſt ipſi H I K, erit quoque ſimilis, & æqualis eidem hyperbolæ X. Tertiò quoniam plana H I K, & G A O æquidiſtantia ſunt, nunquam conuenient; & ideo plannum H I K nunquam lateri A N G alterius plani occurret; ſed ſuperficies conicæ ſe ſe tan-tummodo tangunt in communi latere A N G, & alibi perpetuo ſeparatæ incedunt; igitur duæ ſectiones H I K, & T V e in plano E I K exiſtentes, quæ infinitè producuntur in ſuperficiebus conicis, nunquam ſe ſe mutuo ſecant; igitur ſectio-nes ipſæ aſymptoticæ ſunt. Quartò ducantur rectæ lineæ G E, O F, P R tan-gentes circulos in extremitatibus communis diametri G P O, quæ parallelæ erunt inter ſe (cum perpendiculares ſint ad communem diametrum G P O): poſtea producantur plana E G A, F O A, R P N tangentia conos in lateribus G A, O A, & P N, & extendantur quouſque ſecent planum conicæ ſectionis H I Kin rectis lineis E S M, F M, R S. Et quoniam duo plana æquidiſtantia G A O, et E M F efficiunt in eodem plano E G A, vtrumque conum contingente, duas rectas lineas G A, E M æquidiſtantes inter ſe: pari ratione in plano tangente F O A erunt rectæ lineæ F M, et O A parallelæ inter ſe: ſimili modo in plano R P N erunt P N, et R S inter ſe æquidiſtantes, cumque A O, et N P paral-lelæ ſint, erunt quoque F M, et R S inter ſe æquidiſtantes; ſuntque E M, et M F aſymptoti continentes hyperbolen E I K pariterq; rectæ lineæ E S, S R ſunt aſymptoti hyperboles T V e: quare duæ hyperbolæ H I K, et T V e, ſimiles ei-dem X, et æquales, & ſimiliter poſitæ, quarum duæ asymptoti F M, R S æqui-diſtantes ſunt; reliquæ verò E M, & E S coincidunt (cum exiſtant in eodem plano tangente E A), & angulus ab eis contenctus E M F, vel E S R eſt acu-tus (cum æqualis ſit acuto angulo ab asymptotis ſectionis X contento, propter ſi- militudinẽ ſectionũ, vt ab alijs oſtenſum eſt): poterit ergo duciramus breuiſſimus in ſectione T V e adpartes V e qui æquidiſtãs ſit rectæ lineæ V I vertices ſectionũ coniungenti: eritque illius breuiſſimæ portio inter ſectiones compræhenſa diſtantia omniũ maxima; & propterea interualla ſectionũ ad vtraſq; partes maximæ diſtã-tiæ ſucceſſiuè diminuuntur, & ad partes æquidiſtantiũ asymptotorũ F M, R S dimi- nuuntur quidem; ſed non efficiuntur minora interuallo quo parallelæ asymptoti diſtant inter ſe; ex altera verò parte perueniri poteſt ad interuallum minus quolibet dato. Et hoc erat faciendum.

Prop. 10. addit. huius. Lem. 9. huius. 10. 12. huius. Maurol. lib. 3. de lin. horar. ca. 6. 7. Propoſ. 6. addit. huius. Propoſ. 8. addit. huius.

Data hyperbola eadem X præcedentis propoſitionis deſcribere duos ſi- miles conos, vt idem planum in eis efficiat duas hyperbolas ſimiles da-tæ ſectioni, quæ asymptoticæ ſint, & ex vtraque parte ſibi ipſis vici-niores fiant interuallo minori quolibet dato.

PROP. 14. Add.

In quolibet plano fiat angulus A d G æqualis angulo inclinationis diametri, & baſis hyperbolæ datæ X, & per G d extenſo quolibet alio plano, ducatur in eo recta linea B d C perpendicularis ad G d O, & ſumpto quolibet alio puncto b in recta linea B C in plano per B G O extenſo, centris d, & b, deſcribãtur duo circuli inter ſe æquales G C O B, & S Q P L ſe ſe ſecantes in duobus punctis R, a: atq; vt latus rectum ad tranſuerſum ſectionis datæ X, ita fiat quadratũ G d ad quadratũ d A, & ducatur recta linea A N M parallela ipſi B C, quæ ſecet b N æquidiſtantẽ d A in N, & coniungantur rectæ lineæ A B, A C, N L, N Q, & fiant A, & N vertices duorũ conorũ A B C, N L Q, & in eorũ ſuper ficiebus planum M c T æquidiſtans planis A G O, & N S P efficiat ſectiones H I K, & T V c, quarum diametri D V I genitæ à triangulis A B C, & N L Q per axes in eodem plano exiſbentibus ſunt æquidiſtantes axibus conorum A d, N b, propter planorum æquidiſtantiam: Dico, eas eſſe hyperbolas quæſitas. Qnoniam (propter æquidiſtantiam oppoſitarum linearum) eſt ſpatium A b parallelogram-mum; igitur conorum axes A d, N b æquales ſunt inter ſe, & æquè inclinan-tur ad communem rectam lineam B C Q (propter æquidiſtantiam earundem A d, N b); ſuntque æqualium circulorum radij d B, d C, b L, b Q æqua-les inter ſe; igitur triangula A B C, N L Q ſimilia ſunt inter ſe, & ſimili- ter poſita in eodem plano; ſuntquè etiam duo circuli baſium in vno plano extenſi; igitur coni A B C, & N L Q ſimiles ſunt inter ſe; & quoniam, vt latus tranſuerſum ad rectum ſectionis datæ X, ita eſt quadratum A d ad quadratum radij G d, & ita eſt latus tranſuerſum ad rectum ſectionis H I K; pariterque vt quadratum N b ad quadratum radij L b ita eſt latus tranſuerſum ad rectũ hyperbolæ T V c; Et quadrata axium ad quadrata radiorum baſeos eandem proportionem habet ideo latus tranſuerſum ad rectum ſectionis H I K eandem proportionem habebit, quàm latus tranſuerſum ad rectum alterius ſectionis T V c, ſeu eandem, quàm babet latus tranſuerſum ad rectum datæ ſectionis X; atque diametri I V D, & diameter ſectionis X æquè inclinantur ad baſes, vt dictum eſt; igitur duæ ſectiones H I K, & T V c, nedum datæ hyperbolæ X; ſed etiam inter ſe ſimiles ſunt. Secundò quoniam duæ peripheriæ circulorum baſium circa communem diametrum B C Q ſe ſe mutuo ſecant in duobus pun-ctis R, & a, quæ neceſſario cadunt inter duas circulorum diametros G O, S P perpendiculares ad communem diametrum B C Q; igitur ſuperficies conorum viciſſim ſe ſecant ſemper inter duo triangula, per conorum axes A G O, & N S P, in reliquis autem locis ſeparatæ ſunt; planum verò efficiens ſectiones H I K, T V c cadit nõ inter axes A d, & N b; igitur duæ ſectiones H I K, & T V c exiſtentes in duabus conicis ſuperficiebus, non ſe ſecantibus, nunquàm con-uenient, & asymptoticæ erunt. Tertiò quoniam recta linea N A M per verti-ces conorum ducta parallela eſt communi baſi B Q triangulorum per axes, & ſecat diametrum communem D V I in M: ergo (ſicuti oſtenſum eſt in prop. 10. addit. huius) erit punctum M centrum ſectionis H I K, atq; centrum alterius ſectionis T V c; ergo duæ ſectiones H I K, & T V c ſimiles ſunt inter ſe, concentricæ, & ſimiliter poſitæ circa communem diametrum D V I; igitur ſe- ctionum interualla ſemper magis, ac magis in infinitum minuuntur, & repe-riri poßunt minora quolibet interuallo dato. Et hoc erat oſtendendum.

Lem. 9. huius. Prop. 12. huius. Propoſ. 9. addit. huius.
SECTIO DECIMA Continens Propoſit. XXVI. XXVII. & XXVIII. PROPOSITIO XXVI.

IN cono recto, cuius triangulum per axim ſit A B C reperi-re ſectionem datæ parabolæ D E æqualem, cuius axis E F, & erectum E G.

Vt quadratum A C ad C B in BA, ita ponatur E G ad B H: & educa-mus H I parallelam B C, & exten-datur per H I planum eleuatum ſuper triangulum A B C ad angulos rectos efficiens in cono ſectionem K H L. Dico eam æqualem eſſe ſectioni D E. Quia quadratum A C ad C B in B A eſt, vt E G ad B H; ergo poten-tes eductæ ad axim H I in ſectione K H L poſſunt applicata contenta ab abſciſſis illarum potentium, & ab E G; quare E G erit erectum ſectionis K H, & idem etiam eſt erectum ſectionis D E; ergo duo erecta duarum ſectionum ſunt æqualia, & propterea ſectiones æquales ſunt (1. ex 6.)

a

Et dico, quod in cono A B C reperiri non poteſt ſectio alia parabo- lica, cuius vertex ſit ſuper A B, quæ eidem D E ſit æqualis. Si enim hoc eſt poſſibile, ſit axis illius ſectionis M N, qui quidem cadet in trian-gulo A B C; quia conus eſt rectus, & erectum illius ſit M O; atq; M O ad M B erit, vt G E ad B H; eſtque B H maior, quàm B M; ergo M O minor eſt, quàm G E; quare ſectio, cuius axis eſt M N non eſt æqualis ſectioni D E; & tamen ſuppoſita fuit æqualis illi, quod eſt abſurdum. Quare patet propoſitum.

b ex conu. Prop. 1. huius.
PROPOSITIO XXVII.

SIt deinde hyperbole A B, cuius axis C D, inclinatus B D, & erectus B E; atque quadratum axis F G dati coni recti F H I ad quadratum G H ſemidiametri baſis eius, non habeat maiorem proportionem, quàm habet figura, ſcilicet quàm habet D B ad B E.

a

Sit prius proportio eadem, & producamus I F ad K; & ducamus K L ſubtendentem angulum H F K, quæ parallela ſit ipſi F G, & æqualis exiſtat ipſi D B; & per K L planum extendatur eleuatum ad angulos re-ctos ſuper planum trianguli H F I, quod efficiet in ſuperſicie conica ſe-ctionem hyperbolicam, cuius axis erit L M, & inclinatus K L. Et quia F G parallela eſt K L, erit quadratum F G ad G I in G H, vt K L in- clinatus ad illius erectum, ſiue vt D B ad B E; facta autem fuit K L æ-qualis D B; ergo erectus inclinati K L æqualis eſt B E; & propterea ſe- ctio, cuius axis eſt L M æqualis eſt ſectioni A B. Nec reperiri poterit in cono H F I alia ſectio hyperbolica, cuius vertex ſit ſuper H F, quæ æqualis ſit A B; quia, ſi reperiri poſſet eſſet illius axis in plano trianguli H F I, & eius inclinatus, ſubtendens angulum H F K æqualis eſſet D B, nec tamen eſſet K L, nequè ipſi æquidiſtans (eo quod, ſi æquidiſtaret ipſi K L, non eſſet eidem æqualis.) His poſitis ſi educatur ex F linea ipſi patallela cadet inter F G, F H, aut inter F I, F G; ſitque F N; igitur quadratum F N ad I N in N H eſt, vt D B ad B E: quod eſt abſurdum; quia quadratum F N maius eſt, quàm quadratum F G, & N H in N I minus eſt, quàm quadratum G H.

12. lib. 1. 2. huius. b
12. lib. 1.

Poſtea habeat quadratum F G ad quadratum G H minorem propor-tionem quàm babet D B ad B E; & circumſcribamus circa triangulum. H F I circulum ; & producamus F G quouſque occurrat circuli circum-ferentię in O; ergo quadratum F G ad quadratum G H, nempe ad F G in G O habet minorem proportionem, quàm D B ad B E: & ponamus F G ad G P, vt D B ad B E ; & per P ducamus P Q parallellam H I ; & coniungamus F R, F Q; quæ occurrant H I in S, N: quare D B ad B E eſt, vt F G ad G P, quæ eſt, vt F N ad N Q; nempe vt quadra-tum F N ad F N in N Q æquale ipſi I N in N H, atque vt quadra-tum F S ad F S in S R, nempe vt quadratum F S ad I S in S H; & edu-camus T V, K L, quæ ſubtendant duos angulos H F K, I F T, & ſint parallelæ ipſis F N, & F S, & æquales ipſi D B; igitur duo plana per K L, T V extenſa ſuper triangulum H F I ad angulos rectos eleuata, pro-ducunt in cono H F I ſectiones hyperbolicas, quarum axes L M, V X, & inclinati ipſarum L K, T V, & ſinguli earum ad ſuos erectos eandem proportionem habent, quàm D B ad B E, & propterea figuræ ſectionum ſimiles ſunt, & æquales, ideoque ſectiones, quarum axes ſunt L M, V X ſunt æquales ſectioni A B.

c d 2. huius.

Nec reperitur ſectio præter iam dictas, cuius vertex ſit ſuper aliquam duarum linearum H F, F I, & ſit æqualis ſectioni A B. Quia ſi reperiri poſſet, caderet eius axis in planum trianguli H F I, illiuſque axi educa-tur parallela F Z a, quæ non cadet ſuper F R, neque ſuper F Q, eritq; quadratum F Z ad I Z in Z H, quod eſt æquale ipſi F Z in Z a, nempe F Z ad Z a eandem proportionem haberet, quàm D B ad B E; ſed D B ad B E eſt, vt F G ad G P, nempe F Z ad Z b; ergo proportio F Z ad Z b, & ad Z a eſt eadem; & propterea Z b æqualis eſt Z a, quod eſt abſurdum.

e

Ponamus iam quadratum F G ad G H in G I maiorem proportionem habere, quàm D B ad B E. Dico in cono H F I exhiberi non poſſe ſe-ctionem æqualem hyperbolæ A B. Si enim exhiberi poſſet illius axi ali-qua parallela reperiretur vt F N: & quadratum F N ad I N in N H ma-iorem proportionem habens, quàm quadratum F G ad quadratum G H, erit vt D B ad B E; quæ minor eſt proportione quadrati F G ad qua-dratum G H: quod eſt abſurdum. Non ergo reperitur in cono H F I ſe-ctio æqualis hyperbolæ A B. Et hoc erat oſtendendum.

PROPOSITIO XXVIII.

SIt iam ſectio elliptica A B, cuius axis tranſuerſus B D, & erectus illius B E, & circa coni triangulum H F I deſcri- bamus circulum, & ex F ducamus lineam ad H I, occurrentem ipſi extra circulum in K, & occurrat circulo in L, itaut ſit F K ad K L, vt D B ad B E (& hoc eſt facile, vti demonſtraui-mus in 59. ex 1.) , & educamus in triangulo chordam M N parallelam F K, & æqualem D B; Aio quod planum tranſiens per M N erectum ſuper triangulum coni producit in cono H F I ſectionem ellipticam, æqualem ſectioni A B.

a
b c

Quia D B tranſuerſus ad eius erectum B E eandem proportionem habe-bat, quàm F K ad K L, nempe quàm quadratum F K habet ad F K in-K L, quod eſt æquale ipſi I K in K H; eſtque vt M N parallela ipſi F K ad illius erectum; quare D B ad B E eandem proportionem habet, quàm M N ad illius erectum; & M N æqualis eſt D B; igitur figuræ dua- rum ſectionum A B D, M O N P ſunt æquales, & ſimiles, & ideo duæ illæ ſectiones ſunt æquales. Dico inſuper, quod non reperitur in. cono H F I vlla alia ſectio elliptica, habens verticem ſuper F I, cuius axis non æquidiſter alicui duarum F L K, quæ æqualis ſit eidem B A D. Quia ſi poſſibile eſſet, oſtenderetur axis eius cadere in planum trianguli H F I, quia ſectio eſt elliptica, & æqualis ſectioni A B, vtiq; eius axis occurret F I, F H, & æqualis eſt D B; cumque vertex illius ſit ſuper F I, non cadet axis eius ſuper M N, nec ipſi erit parallelus; & ideo edu-cta F Q parallela axi eius non cadet F Q ſuper F K, & ſecabit arcum F H in R; eritque proportio axis illius ſectionis ad eius erectum, nempe quadratum F Q ad I Q in Q H, quod eſt æquale ipſi Q F in Q R, nẽ-pe vt F Q ad Q R, ita erit D B ad B E, quæ eandem proportionem ha-bet quàm F K ad K L, & diuidendo permutandoq; F R maior ſubtenſa ad minorem F L eandem proportionem habebit, quàm R Q minor in-tercepta ad maiorem K L; quod eſt abſurdum: non ergo reperitur in co-no H F I ſectio elliptica, verticem habens in F I, quæ ſit æqualis ſe-ctioni A B, præter ſuperius expoſitam. Et hoc erat propoſitum.

13. lib. 1. d 2. huius. e 13. lib. 1. f
Notæ in Propoſit. XXVI.

ERgo potentes egredientes ex ſe- ctione L H K ad axim H I pote-runt applicatum, quod continet ab-ſciſſum illius potentis cum G E; ergo G E eſt erectus ſectionis L H; & eſt etiã erectus ſectionis D E; igitur duo applicata duarum ſectionũ ſunt æqua-lia, & ideo ſectio D E congruit ſe-ctioni K H L, & propterea æquales ſunt, & c. Ex eo quod quadratum A C baſis trianguli per axim coni recti ad rectangulum C B A, ſub eius lateribus contentum, habet eandẽ rationem, quam G E ad H B, ſufficienter deducitur, quod G E ſit latus rectum tàm parabolæ L H K, quàm D E; & ideo erit parabole L H æqualis D E. Non igitur neceſſe eſt, vt rectangula ſub abſciſſis, & lateribus rectis æqualibus oſtendãtur æqualia inter ſe, & inde eliciatur æqualitas, & con-gruentia ſectionum. Quapropter caſu il-la verba in Codice Arabico irrepſiße. puto.

a
11. lib. 1. Propoſ. 1. huius.

Et dico, quod non reperiatur in. ſectione A B C alia ſectio parabolica; quia ſi reperiretur, & c. Verba, quæ in hoc textu addidi ex ſerie demonſtra-tionis facile colliguntur: Sed animaduertendum eſt, quod ne dum in cono recto, ſed in quolibet cono ſcaleno quomodolibet per axim ſecetur triangulo A B C, de-ſignari poteſt in eius ſuper ficie parabole æqualis datæ D E.

b

Ducatur C P contingens circulum baſis in C, & in parabola D E ducatur diameter E F, & contingens verticalis, quæ contineat angulum F E G æqua- lem angulo B C P; ſitque G E latus rectum diametri F E; atque vt quadratum C A ad rectangulum C B A, ita fiat G E ad H B, & per H extendatur pla-num L H K æquidiſtans plano per B C P ducto. Dico ſectionem L H K eße pa-rabolen quæſitam. Quia plana æquidiſtantia L H K, & B C P efficiunt in cir-culo baſis rectas P C, L K inter ſe parallelas, & in plano A B C efficiunt re-ctas H I, B C inter ſe parallelas; ergo anguli B C P, & H I L æquales ſunt, ſed in parabola D E diameter E F eſſicit cum ordinatis ad eam applicatis angulos æquales F E G, ſcilicet ei, qui cum tangente verticali conſtituit, ſeu angulo B C P; ergo duarum ſectionum L H K, & D E, diametri H I, & E F æque ſunt inclinatæ ad ſuas baſes, cumquè latus rectum parabolæ L H K ad H B ſit, vt quadratum C A ad rectangulum C B A, ſeu vt G E ad H B; igitur duo late-ra recta ſimilium diametrorum I H, & F E ad H B eandem proportionem ha-bent; & ideo æqualia ſunt inter ſe; quare ſectiones ipſæ æquales, & congruen-tes erunt. Quod erat oſtendendum.

51. lib. 2. Conu. 46. lib. 1.
10. huius.

Multoties in eodem cono duæ parabolæ æquales ſnbcontrariæ duci poßunt, vt Mydorgius demonſtrauit.

Notæ in Propoſit. XXVII.

DEinde ſit hyperbole, vt A B, & axis illius C D, & inclinatus B D, & erectus B E, ita vt non ſit proportio quadrati axis coni ad quadratum dimidij diametri illius baſis, vt quadratum F G ad quadratum G H, maior, quàm proportio figuræ ſectionis: & c. Senſus huius propoſi-tionis hic erit. In cono recto F H I, cuius triangulum per axim H F I repe-rire ſectionem æqualem hyperbole datæ A B, cuius tranſuerſus axis D B, & latus rectum B E. Oportet autem, vt quadratum F G axis dati coni ad qua-dratum radij G H circuli baſis non habeant maiorem proportionem, quàm ha- bent figuræ latera, ſcilicet, quàm habet D B ad B E. At quomoao duci de-beat ſubtenſa K L quæ æqualis ſit ipſi D B, & parallela alteri F G, oſtendetur inferius.

a

Et non reperitur in cono H F I alia ſectio hyperbolica ſuper F H, & æqualis A B, & c. Addidi verba quæ ad huius textus integritatem facere vi-debantur.

b

Et educamus T V, K L, quæ ſubtendant duos angulos L F K, I F T, & ſint parallelæ ipſis F N, F S, & æquales D B, & c. Quomodo au-tem hoc fieri poſſit modo oſtendemus. Sumatur in recta linea H F quodlibet punctum c inter F, & H; atque à puncto c ducatur recta linea c d parallela ipſi F N, vel F S, quæ ſecet productionem alterius lateris I F in d, & quàm proportionem habet c d ad D B, eandem habeat C F ad F L, & per punctum L ducatur recta L K parallela ipſi c d. Manifeſtum eſt c d ad L K eandem pro-portionem habere, quàm c F ad F L, ſeu quàm c d ad B D; & ideo K L æ-qualis erit B D, & ſubtendit angulum L F K, eſtque parallela ipſi c d, ſeu ipſi F N, vel F S. Et hoc erat faciendum.

c

Igitur duo plana tranſeuntia per K L, T V eleuata ſuper triangulum. H F I ad angulos rectos producunt in cono H F I duas ſectiones hypor-bolicas, quarum axes L M, V X, & inclinati ipſarum L K, V T, & ſingulì eorum ad ſuos erectos ſunt, vt D B ad B E; ergo figuræ trium. ſectionum ſunt ſimiles, & æquales; & propterea duæ ſectiones, qua-rum axes ſunt L M, V X ſunt æquales ſectioni A B, & c. Ex textu men-doſo expungi debent ſuperuacanea aliqua verba, ſicut in contextu habetur. Non enim verum eſt, quod duæ tantummodo hyperbole æquales eidem A B duci poſſunt in cono recto H F I, vertices habentes in lateribus H F, & F I, ſed quatuor inter ſe æquales eße poßunt; nam ſuper latus F H duci poſſunt duæ hyperbole, quarum axes tranſuerſi K L æquales ſint ipſi B D, & æquidiſtan-tes ſint rectis lineis F N, & F S. Quod ſic oſtendetur. Quoniam recta linea Q R ducta eſt parallela ipſi H I erunt duo arcus circuli intercepti H Q, I R æquales inter ſe; & ideo duo anguli ad peripheriam H F Q, & I F R æquales erunt inter ſe; poſita autem fuit K L æqualis, & parallela ipſi F N; igitur duo anguli alterni K L F, & H F N æquales ſunt inter ſe: pari ratione; quia reliqua K L ducta eſt parallela ipſi F S, erit angulus externus S F I æqualis interno, & oppoſito, & ad eaſdem partes L K F; & ideo duo triangula L F K habent angulum F, communem, & duos angolos in ſingulis triangulis K, & L æquales; igitur ſunt æquiangula, & ſimilia, & , vt antea dictum eſt, fieri poſſunt duæ rectæ lineæ K L æquales eidem D B, & inter ſe: ſi igitur per duas rectas lineas K L ducantur plana perpendicularia ad planum trianguli per axim H F I, eſſicientur in cono recto duæ hyperbole, quarum bini axes tranſuerſi K L ſunt æquales: & quia, propter parallelas H I, Q R, eſt F N ad N Q ſeu qua-dratum F N ad rectangulum F N Q vt F S æd S R ſeu vt quadratum F S ad rectangum F S R; ſed rectangulum H N I æquale eſt rectangulo F N Q, & rectangulum H S I æquale eſt rectangulo F S R: ergo quadratum F N ad re-ctangulum H N I eandem proportionem habet, quàm quaàratum F S ad rectã-gulum H S I; eſtque latus tranſuerſum K L ad ſuum latus rectum, vt quadra- tum F N ad rectangulum H N I, pariterque latus tranſuerſum K L alterius ſectionis ad ſuum latus rectum eſt vt quadratum F S ad rectangulum H S I: igitur duo æqualia latera tranſuerſa K L ad ſua latera recta eandem proportio-nem habent, & ideo huiuſmodi latera recta æqualia ſunt inter ſe; ideoque duæ hyperbole genitæ, habentes vertices in eodem latere F H, æquales ſunt inter ſe, quas vocat Mydorgius ſubcontrarias. Simili modo duæ aliæ hyperbole inter ſe, & prioribus æquales in eodem cono duci poßunt, vertices habentes in latere F I.

d 12. lib. 1. Ibidem. 10. huius.

Nec reperitur tertia, cuius vertex ſit ſuper aliqua duarum linearum H F. , F I, & ſit æqualis ſectioni A B, quia, & c. Immutaui particulam, quæ propoſitionem reddebat falſam, id quod colligitur ex conſtructione, & progreßu demonſtrationis: Quælibet enim alia ſectio, præter quatuor aſſignatas, habebit axem æquidiſtantem alicui rectæ vt F Z, quæ cadit inter F N, & F S; & hæc oſtendetur inæqualis prædictis ſectionibus, & ipſi A B.

e

Deinde ponamus quadratum F G ad GH maius, quàm D B ad B E. Dico, non reperiri in cono H F I ſectionem æqualem ſectioni A B: nam, ſi reperiretur, eſſet vel æqualis parallela ſuo axi, & erit quadratum N F ad I N in N H, & c. Legendum eße vt in textu dixi conſtat ex progreſſis totius propoſitionis. I am facili negotio demonſtratio perfici poteſt, nam axis F G minor eſt quàm F N, quæ ſubtendit angulum rectum G, quadratum vero G H ſemiſſius totius H I maius eſt rectangulo I N H, ſub inæqualibus ſegmen-tis contentum; propterea quadratum F N ad rectangulum I N H maiorem pro-portionem habebit, quàm quadratum G F ad quadratum G H: eſtque D B ad B E, vt quadratum F N ad rectangulum I N H; propterea quod F N paral- lela eſt axi illius ſectionis, quæ poſita fuit æqualis A B; igitur D B ad B E maiorem proportionem habet, quàm quadratum F G ad quadratum G H; quod eſt contra hypotheſin: habebat enim quadratum F G ad quadratum G H maio-rem proportionem, quàm D B ad B E. Non ergo reperitur in cono; & c.

f 12. lib. I.

Sicutì in præcedenti propoſitione factum eſt, nedum in cono recto, ſed etiam in quolibet cono ſcaleno, quomodolibet per axim ſectio à triangulo H F I deter-minari poßet, quando, & quomodo in eo deſignari poſſet ſectio æqualis datæ hy-perbole A B. Quod ab alijs factum eſt.

Notæ in Propoſit. XXVIII.

DEinde ſit ſectio elliptica, vt A B, & axis eius tranſuerſus B D, & erectus illius B E; & ſit triãgulum coni H F I, & circumducamus circa illum circulum, & educamus ex F lineam F L K occurrentem ipſi extra circulum in K; & occurrat circulo in L ita vt ſit F K ad K L, vt D B ad B E; & eſt facile ( vti demonſtrauimus in 59. ex I.) , & c.

a

Senſus propoſitionis hic erit. In cono recto, cuius triangulum per axim H F I reperire ſectionem æqualem datæ ellipſi A B, cuius axis tranſuerſus D B, & latus rectum B E. In conſtructione poſtea duci debet recta linea F L K extra circulum, & triangulum ad vtraſque partes, alias conſtructio non eſſet perfecta.

Lemma verò, quod repoſuiſſe, dicit Arabicus interpres in I. libro, ab hoc ſequenti for ſam diuerſum non erit.

LEMMAX.

SEcetur latus F I in S, vt ſit F I ad I S in eadem ratione, quàm habet axis tranſuerſus D B ad latus re-ctum B E: & ducatur S L æquidiſtans trianguli baſi H I, quæ ſecet circulum ex vtraque parte in L, & coniungantur re-ctæ lineæ F L, producanturque quoſquè ſecent baſim H I in punctis K.

Quoniam in triangulo F I K ducitur recta linea S L æquidiſtans baſi I K, erit F I ad I S, vt F K ad K L: ſed erat D B ad B E, vt F I ad I S; igitur F K ad K L eandem proportionem habebit: quàm D B ad D E.

Et educamus in triangulo chordam M N parallelam K F, & æqualem D B, & c. Non vna, ſed duplex recta linea M N duci poteſt parallela cuilibet duarum F K, quæ interius ſubtendat angulum verticis F trianguli H F I per axim ducti. Et poteſt etiam effici M N æqualis ipſi D B, vt in expoſitione præ-cedentis propoſitionis oſtenſum eſt.

b

Itaque planum, tranſiens per M N, producit in cono H F I ſectionem ellipticam æqualem ſectioni A B; quia, & c. Addidi verba, quæ in textu deſiderantur, vt ſenſus perfectus ſit.

c

Ergo duæ illæ ſectiones ſunt æquales, & c. Concipi debet ſectio N O M P, duplex, quia nimirum duæ ſectiones ſub contrariæ, æquales ſunt, vt faci-le cum Mydorgìo oſtendi poteſt.

d

Et dico, quod non reperiatur in cono H F I ſectio elliptica, habens verticem ſuper F I; quia ſi poſſibile eſſet, & c. Textus valde corruptus ex-poſito modo reſtitui debere conſtat ex progreſſu demonſtrationis.

e

Et diuidendo F R maior ad minorem R Q eſt vt F L minor ad maio- rem K L, & c. Supplendæ fuerunt particulæ aliquæ ad tollendam equiuocatio-nem.

f
SECTIO VNDECIMA Continens Propoſit. XXIX. XXX. & XXXI. PROPOSTIO XXIX.

DAto cono recto A B C, conum exhibere ei ſimilem, qui datam ſectionem D E F contineat, cuius axis E G, & erectus E H; ſitque prius ſectio parabole.

Super E G educatur planum ad ſectionem D E F ad angulos rectos eleuatum, in quo duca-tur E I K, quæ contineat cum E G angulum æqualem ipſi angulo C: & ponamus E H ad E K, vt A C ad C B, & faciamus ſuper E K tri-angulum E L K ſimile triangulo A B C, vt an-gulus verticalis L æqualis ſit angulo B. Facia-mus etiam conum, cuius vertex ſit L, eiuſque baſis circulus, cuius diameter ſit E K, qui ſit eleuatus ſuper triangulum E L K ad angulos re-ctos: erit igitur angulus E K L æqualis ipſi C, ſed angulus K E G factus fuit etiam eidẽ æqua- lis; igitur L K, quod eſt latus trianguli per a- xim coni tranſeuntis, parallelum erit ipſi E G: & propterea planum, in quo eſt ſectio D E F producit in cono ſectionem parabolicam; & quia A C ad C B eſt, vt H E ad E K, & vt E K ad K L; igitur H E ad E L (quæ eſt æqualis ipſi K L) eandem proportionem habet, quàm quadratum E K ad quadratum K L, nempe ad K L in L E: quaproptor H E eſt erectus ſectio- nis prouenientis in cono, ſed eſt etiam erectus ſectionis D E F; igitur D E F exiſtit in ſuperfi-cie coni, cuius vertex eſt L, qui ſimilis eſt co- no A B C: eo quod triangulum A B C ſimi-le eſt triangulo E L K. Dico etiam, quod ſectio D E F contineri non poteſt ab aliquo alio cono, ſimili cono A B C, cuius vertex ſit ex eadẽ parte ſectionis præter conum iam exhibitum. Nam (ſi poſſibile eſt) ſit conus habens verticem M, & triangulum eius erectum ſit ſuper planum ſectionis D E F, & communis ſectio illius, & coni ſectionis erit axis eius; eſtque E G illius axis; ergo hæc eſt abſciſſio communis eorundem pla-norum; ſed eſt E G abſciſſio communis plani ſectionis, & plani trianguli K E L, ſuper quod eſt etiam erectum; igitur duo triangula E L K, E M I ſunt in eodem plano, & angulus L æqualis eſt M (propter ſimilitudinẽ duorum conorum); ergo E M eſt indirectum ipſi E L, & educta E K ad I ſectio D E F continebitur in cono, cuius vertex eſt M: ſi autem pona- mus proportionem lineæ alicuius ad E M, eandem quàm habet quadra-tum E I ad I M in M E, linea illa eſſet erectus ſectionis D E F; ſed H E erat erectus ſectionis D E F; igitur H E eſt illa linea, hæc autem ad E L eandem proportionem habebat, quàm quadratum E K ad K L in L E; ergo quadratum E K ad K L in L E eandem proportionem habet, quàm quadratũ E I ad I M in M E; igitur H E ad E M, & ad E L ean-dem proportionem habet: quod eſt abſurdum. Non ergo in aliquo alio cono ſectio contineri poteſt, vt diximus. Et hoc erat propoſitum.

a
b c d 11. lib. 1. Def. 8. huius. Def. 8. f Def. 9. 11. lib. 1.
PROPOSITIO XXX.

SI ſectio hyperbolica D E F, cuius axis E G inclinatus E H, & erectus E I (oportet autem, vt quadratum axis B Q coni recti ad quadratũ ſe-midiametri baſis illius A Q non maiorẽ proportionẽ habeat, quàm habent fi-guræ latera). Et habeat prius eandem proportionẽ, quàm H E ad E I, & producamus A B ad M, & ſuper H E in plano erecto ad ſectionẽ D E F deſcribamus ſegmentũ circuli E L H, quod capiat angulum æqualem an-gulo M B C, & bifariam ſecemus arcum E O H in O, & educamus per-pendicularem O N ſuper H E; & producamus illam, quouſque occur- rat circumferentiæ in L, & iungamus E L, & L H, quæ occurrat in K perpendiculari ex puncto E ſuper lineam E H. Et quia E K parallela eſt L O erit angulus K æqualis H L O, qui eſt ſemiſſis anguli H L E, & hic eſt æqualis duobus angulis K, K E L; igitur ſunt æquales; quare K L E eſt æquicrus, & angulus K L E æqualis eſt A B C; quia angulus H L E æqualis eſt M B C; quapropter K L E ſimile eſt A B C, quia æqualia crura etiam habet! Si autem ponamus K L E triangulum coni, cuius vertex L, & planum illius trianguli erectum ad planum D E F; vtique planum ſectionis producit in cono hyperbolen, cuius axis E G, inclina-tus E H; eo quod ſi educamus L P, B Q perpendiculares in duobus triangulis, habebit quadratum B Q ad C Q in Q A (quod eſt vt H E ad E I) eandem proportionem, quàm quadratum L P ad P K in P E: quare potentes æductæ in illa ſectione ad axim E G, poterunt compa-rata, applicata ad E I erectum; ſed potentes, eductæ in ſectione D E F, poſſunt quoque illa applicata; ergo ſectio D E F æqualis eſt ſectioni, prouenienti in cono, cuius vertex eſt L, & exiſtit in eodem plano, ha-betque eundem axim: quare conus, cuius vertex L continet ſectionem D E F, & eſt ſimilis cono A B C.

a
c 12. lib. 1. Defin. 9.

Dico rurſus, quod nullus alius conus ſimilis cono A B C, cuius ver-tex ſit in ea parte, in qua eſt L, præter iam dictum, continebit hanc eandem ſectionem. Si enim hoc verum non eſt, contineat illam alius conus ſimilis cono A B C, cuius vertex R in plano L E G; atque latera illius ſint E R, R T. Quia angulus E R T æqualis eſt E L K, & eorum conſequentes æquales inter ſe in eodem circuli ſegmento E L H exiſtent, eo quod T R produſta occurrit axi tranſuerſo E H in H, & iungamus R O, & ex E educamus E T, quæ ſit parallela coniunctæ rectæ lineæ O R; vnde angulus O R H æqualis eſt O R E) propter æqualitatem arcuum ſuorum, & ſunt æquales duobus angulis R T E, R E T, ergo E R T eſt æquicrus, & angulus T R E æqualis eſt A B C: educatur iam R S pa-rallela H E, tunc quadratum R S ad T S in S E eandem proportionem habebit, quàm E H inclinatus ſectionis D E F ad E I erectum illius; eo quod ſectionem D E F continet conus, cuius vertex eſt R; ſed H E ad E I eandem proportionẽ habet, quàm quadratum B Q ad C Q in Q A eſtq; C Q æqualis Q A, atq; T S æqualis S E, & T S ad S E eandẽ pro- portionẽ habet, quã T R ad R H, ſeu quàm E V ad V H; igitur E V æqua-lis eſt V H; quod eſt abſurdum; propterea quo L O diameter, quæ ad illã perpendicularis eſt, bifariam ſecat eam in N. Oſtenſum igitur eſt, non repe-riri conum alium continentem ſectionem D E F, præter ſuperius expoſi-tum. Tandem ſupponamus, quadratum B Q ad quadratum Q A habere minorem proportionem, quàm E H ad E I. Patet quadratum L P, nẽ- pe N E, ſeu O N in N L ad quadratum E P, nempe ad quadratum N L, ſcilicet O N ad N L habere minorem proportionem, quàm H E ad E I: ponamus iam O N ad N X, vt H E ad E I, & per X ducamus R X Y parallelam H E, & iungamus E R, O R, & H R producatur ad T quouſque ſecet E T parallelam ipſi O R. Oſtendetur (quemadmodum ſupra dictum eſt) quod E T R, B A C ſunt iſoſcelia, & ſimilia. Et quia E H ad E I eſt vt O N ad N X; nempe vt O V ad V R, nempe vt O V in V R, quod eſt æquale ipſi E V in V H ad quadratum V R; hæc au-tem proportio componitur ex E V, nempe S R ad V R, nempe ad E S, & ex proportione V H ad V R, nempe S R ad S T, ex quibus compo-nitur proportio quadrati R S ad S T in S E; igitur quadratum R S ad E S in S T eandẽ proportionem habet, quàm H E ad E I; & propterea planum ſectionis D E F in cono, cuius vertex eſt R, & illius trianguli latera R E, R T, producit ſectionem hyperbolicam, cuius inclinatus eſt E H, & erectus E I; quare conus cuius vertex eſt R, continet ſectionẽ D E F, nec non continet illam alius conus, huic cono ſimilis, cuius vertex eſt Y; & hi duo coni ſunt ſimiles cono A B C, nec continet illam ter-tius alius conus, qui ſimilis ſit cono A B C, nam (ſi hoc ſieri poſſibile eſt) contineat illam alius conus, cuius vertex Z, & punctum verticis illius incidet in arcum E L H, & iungamus O Z, quæ ſecet H E in e: Inde demonſtrabitur, quod H E ad E I habebit neceſſario eandem pro-portionem, quàm O e ad e Z; quod eſt abſurdum, quia haberet eandem proportionem, quàm O N ad N X. Quapropter non continet illam ter-tius alius conus ſimilis cono A B C.

d
e f g h

Supponamus iam, quadratum B Q ad quadratum Q A maiorem pro-portionem habere, quàm H E ad E I. Dico, exhiberi non poſſe conum ſimilem cono A B C, qui contineat ſectionem D E F. Alioquin conti-neat illam conus, cuius vertex eſt R, & demonſtrabitur, quod O V ad V R ſit, vt H E ad E I, quæ habet minorem proportionem, quàm qua-dratum B Q ad quadratum Q A, quæ oſtenſa eſt eadem, quàm O N ad N L; ergo O V ad V R; nempe O N ad N X minorem, proportionem habet, quàm eadẽ O N ad N L, quod eſt abſurdum. Non igitur conti-nebit ſectionem D E F conus ſimilis cono A B C. Vt propoſitũ fuerat.

i
PROPOSITIO XXXI.

SIt tandem ſectio elliptica A B C, eiuſque tranſuerſus axis A C, & erectus A D, & in plano perpendiculariter erecto ad ſectionis pla-num A B C, fiat ſuper A C ſegmentum circuli, quod capiat angulum. æqualem angulo F, eumque bifariam diuidamus in H, & iungamus A H, C H, & ex H educamus H I, quæ ſecet circulum in K, & occurrat ſub- tenſæ extra circulum in I; ſitque H I ad I K, vt A C ad A D: & e-ducamus H L M eaſdem conditiones habens; & iungamus C K, A K, ducaturque K N parallela A C, & A N parallela H I, quæ ſecet K C in O. Quia H I in I K (quod eſt æquale ipſi C I in A I ad quadratum I K) eſt vt A C ed A D; & proportio C I in A I ad quadratum I K componitur ex ratione C I ad I K, nempe K N ad N O (propter ſimili- tudinem duorum triangulorum), & ex ratione A I, nempe K N ad I K, nempe ad A N ( propter parallelas ), & ex his duabus proportionibus componitur proportio quadrati K N ad A N in N O; ergo quadratum. K N ad A N in N O eandem proportionem habet, quàm A C tranſuer-ſus ad A D erectum; igitur planum, in quo eſt ſectio A B C, in cono cuius vertex eſt K, & baſis circulus, cuius diameter A O producit ſe- ctionem ellipticam, cuius tranſuerſus eſt A C, & erectus A D: quare ſectionem B A C continet; & quia angulus H K C, nempe A O K æ- qualis eſt H A C, & angulus C H A æqualis eſt C K A, remanet angu-lus H C A æqualis O A K; eritque H C A, quod ſimile eſt F E G, ſi-mile quoque O K A; quapropter O K A iſoſceleum, & ſimile eſt ipſi F E G; igitur conus, cuius vertex eſt K, ſimilis eſt dato cono F E G, & quidem continet ſectionem A B C, vti diximus. Similiter quoque oſtendemus, quod eandem ſectionem continebit alius conus, cuius ver-tex eſt L, ſi educantur A L, L C. Et alius conus, præter hos duos, iuxta hanc hypotheſin non continebit illam: Alioquin contineat illam, alius conus, cuius vertex ſit Q, & triangulum A Q P: & oſtendetur, quemadmodum ſupra dictum eſt, quod communis ſectio plani, per axim illius coni ducti, erecti ad planum ſectionis A B C, & plani ſectionis eſt A C, & quod punctum verticis illius coni ſit in circumferentia ſeg-menti A H C, & ſit Q, ducamus per H Q rectam H R, & iungamus C Q, A Q, & educamus A S parallelam H Q R, & Q S parallelam A C, erit Q A P triangulum illius coni, & eſt iſoſceleum, erit quadratum Q S ad A S in S P, vt C R in R A; quod eſt æquale ipſi H R in R Q ad quadratum R Q, nempe H R ad R Q; ergo H R ad R Q eſt, vt A C ad A D, quæ eſt, vt H I ad I K; ergo diuidendo permutandoq; H K maior ad H Q minorem, eandem proportionem habebit, quàm K I mi-nor ad R Q maiorem: & hoc eſt abſurdum. Non ergo reperiri poteſt tertius conus, continens ſectionem B A C. Et hoc erat oſtendendum,

Notæ in Propoſit. XXIX.

ET faciamus ſuper E K triangulum ſimile triangulo A B C, & c. Ni- mirum, fiat angulus K E L æqualis angulo A, & angulus L fiat æqualis angulo B.

a
Lem. 10. huius. b
13. & 54. lib. 1. Defin. 9. huius. c Defin. 8. huus. d e a

Ergo L K, quæ eſt latus trianguli tranſeuntis per axim E G para llelũ eſt E G, & c. Legi debet, vt in textu videre eſt. Hoc conſtat ex conſtructio-ne; nam duo anguli alterni G E K,, & L K E æquales ſunt eidem angulo C.

b

Et propterea planum, in quo eſt ſectio D E F producit in cono ſectionem parabolicam, & c. Quoniam planum circuli, cuius diameter E K perpendiculare eſt ad planum trianguli L E K: igi-tur ſi ducatur planum N F O æquidiſtans circulo E K ſecans planum D E F in recta linea D G F, erit quoque circulus, & perpendicularis ad planum triã-guli per axim L E K: ſed ex conſtructione planum D E F perpendiculare quoque erat ad idem trian-gulum per axim E L K; igitur D F communis ſectio eorundem planorum perpendicularis quoque erit ad idem planum L N O, & efficiet angulos rectos cum diametro circuli N O, & cum E G, quæ in eodẽ pla-no exiſtunt, & cũ illo conueniunt in puncto G; ſuntq; E G, & L O parallelæ: igitur planum ſectionis D E F producit neceſſariò in cono L N O producto parabolam.

C
11. lib. 1.

Igitur H E ad E L, quæ eſt æqualis ipſi L K eamdem proportionem, habet, quàm quadratum E K ad quadratum K L, & c. Quoniam conus L E K ſimilis eſt cono recto A B C erit quoque rectus: & propterea duo latera trianguli per axim E L, & L K æqualia erunt inter ſe, & ideo E K ad K L, atque ad E L eandem proportionem habebit, & c.

d

Et dico, quod ſectio D E F non reperitur in alio cono ſimili cono A B C, cuius vertex ſit ex parte plani ſectionis præter hunc conum, & c. Ideſt. Nullus alius conus rectus continebit eandem parabolam D E F, qui ſit ſinilis cono A B C, & vertex E parabole magis, aut minus recedat à vertice coni, quàm E L.

e

Ergo E M eſt indirectum ipſi E L, & c. Quia D G baſis ſectionis conicæ perpendicularis eße debet ad G O, & ad G E, & ideo ad triangulum per axim vtriuſque coni recti L E K, & M E I; & conueniunt plana eorundem trian-gulorum in E G axi conicæ ſectionis geniti ab eis; ergo dicta triangula in eo-dem plano exiſtunt per rectas E G, & G O ducto; & in vtroquè cono triangu-lorum per axes latera L K, & M I parallela ſunt eidem axi E G paraboles: ergo L K, M I parallelæ ſunt inter ſe, & anguli L, & M æquales ſunt pro-pter ſimilitudinem triangulorum per axes in conis ſimilibus: igitur L E, & M E ſunt quoq; parallelæ, & conueniunt in E vertice paraboles; ergo in directum ſunt conſtitutæ.

f
Notæ in Propoſit. XXX.

ITa vt non ſit proportio quadrati axis coni, B Q ad quadratum ſemi- diametri baſis illius vt C Q minor proportione figuræ ſectionis, & c. Rurſus datus ſit conus rectus A B C, cuius axis B Q ſemidiameter circuli ba- ſis ſit C Q, exhiberi aebet alius conus ſimilis dato, qui datam byperbolen D E F contineat; oportet autem, vt quadratum axis coni B Q ad quadratum ſemi-diametri illius Q A non babeat maiorem proportionem, quàm habet axis tran-ſuerſus H E ad latus rectum E I.

a

Et producamus L H ad E I occurret in K perpendiculari rectæ ad pun- ctum E linea H, & c. Ideſt ſi ducatur recta linea E K in plano circuli H L E perpendicularis ad H E, ſeu parallela ipſi L N coniuncta recta linea H L ſeca-bit reliquam æquidiſtantium E K in K.

b

Quapropter K L E ſimile eſt A B C, quia æquicrus etiam eſt: ſi au- tem ponamus K L E triangulum coni, cuius vertex L, & planum trian-guli illius erectum ad planum D E F; vtique planum, quod eſt in ſectione producit in cono ſectionẽ hyperbolicã, cuius axis E G, & inclinatus E H, & c. Quoniam in duobus triangulis A B C, & E L K ſunt anguli verticales B, & L æquales inter ſe, cũ externi M B C, & H L E æquales facti ſint; & angulus H L N æqualis ſit interno, & oppoſito K, & angulus N L E æqualis eſt alterno angulo L E K propter parallelas N L, E K, & quilibet eorũ eſt medietas externi anguli H L E; ergo angulus K æqualis erit angulo L E K, & trianguliũ L E K erit iſoſceliũ, ſed triangulum A B C per axim coni recti ductum eſt quoque iſoſcelium; igitur duo anguli ſupra baſim A, & C æquales ſunt inter ſe; erant autem prius ver-ticales anguli B, & L æquales; igitur triangula A B C, & E L K æquiangula, & ſimilia ſunt. Ducatur poſtea recta linea L P perpendicularis ad baſim E K, quæ eam ſecabit bifariam in P, & ducatur planum per E K perpendiculare ad planum E L K, & in eo diametro E K fiat circulus, qui ſit baſis coni, cuius vertex L, & ducatur planum F D a æquidiſtans plano circuli E K; efficietur alius circulus F D a perpendicularis ad planum trianguli per axim L E K; erat autem ex conſtructione planum byperboles D E F perpendiculare ad idem planum per axim E L K; igitur duorum planorum communis ſectio, quæ ſit F G D per-pendicularis quoque erit ad planum trianguli L E K: & ideo efficiet angulos F G E, & F G a rectos, & G E H producta ſubtendit angulum externum trian-guli conici E L K; quapropter planum D E F efficiet in cono E L K byperbolen, cuius axis tranſnerſus erit H E.

c

Alias eontineat illam alius conus ſimilis cono A B C, ſitque vertex eius R in plano L E G, & duo latera trianguli illius ſint E R, T R; ergo angulus E R T æqualis eſt E L K, & eſt in cir cumferentia arcus E L H; ergo T R ſi producatur, occurret H: & c. Senſus buius textus corrupti ta-lis eſt: Si enim fieri poteſt, vt aliquis alius conus, vt E R T, qui ſimilis ſit cono A B C, vel E L K, contineat eandem byperbolam D E F, & conorum, vertices R, & L ad eaſdem partes tendant, erunt duo plana iriangulorum per axes conorum ducta perpendicularia ad planum ſectionis D E F; alias E G non eßet axis hyperbole D E F; Et quia coni ſitpponuntur ſimiles erunt quoque triangula per axes E L K, & E R T ſimilia int er ſe; & ideo anguli verticales. L K, & E R T æquales inter ſe erunt, atque ſu bſequentes anguli E L H, & E R H æquales quoque inter ſe erunt, & ſubtendunt commune latus tranſuerſum H E; igitur duo anguli E L H, & E R H in eodem circuli ſegmento conſiſtunt. Textus igitur corrigi debebat vt dictum eſt.

d E ex Def. 8.

Atque T S æqualis eſt ipſi E, & T S ad S E eſt, vt T R ad R H, quæ eſt vt E V ad V N; ergo E V æqualis eſt V H, & c. In duobus triangulis iſoſcelijs inter ſe ſimilibus A B C, & E R T ab æqualibus angulis verticalibus A B C, & E R T ducuntur rectæ lineæ B Q, R S ſecantes baſes in Q, & S: eſtque quadratum R S ad rectangulum E S T, vt quadratum B Q ad rectangu-lum A Q C, & ſecatur A C bifariam in Q; oſtendendum eſt E T in duas par-tes æquales in S quoque ſecari. Si enim boc verum non eſt E T in alio puncto bifariam diuidetur vt in b iungaturquè R b. Quoniam à verticibus triangulorum, A B C, & R E T iſoſcelium ducuntur re-ctæ lineæ B Q, R b diuidentes baſes bifa-riam in Q, b, ergo anguli ad Q, & b ſunt recti, & erant anguli A, & E æquales (propter ſimilitudinem eorundem triangu-lorum) igitur triangula A B Q, & E R b ſimilia ſunt, ideoq; B Q ad Q A erit vt R b ad b E, & quadratũ B Q ad quadratum Q A erit vt quadratũ R b ad quadratũ b E; erat autem quadratum R S ad rectangulum E S T vt quadratum B Q ad quadratum Q A; ergo quadratum R b ad quadratum b E eandem proportionem habet, quàm quadratum R S ad rectangulum E S T; eſtque quadratum R b minus quadrato R S (cum perpendicularis R b minor ſit quàm R S) quarè qua-dratum ex b E ſemiſſe totius E T minus erit rectangulo E S T ſub ſegmentis inæqualibus eiusdem E T contento; quod eſt abſurdum: quarè neceſſario E T bifariam ſecatur in S. Poſtea propter parallela R S, & H E, vt T S ad S E ita erit T R ad R H; & propter parallelas R V, & E T erit E V ad V H, vt T R ad R H, ſeu T S ad S E: oſtenſa autem fuit T S æqualis S E; igitur E V æqualis eſt V H, quod eſt abſurdum.

e

Patet quadratum L P nempe N E, ſeu O N in N L ad quadratum E P, nempe ad quadratum N L, ſcilicet O N ad N L habere minorem pro-portionem, quàm H E ad E I: ponamus iam O N ad Z X, vt H E ad E I; & per X ducamus X R, & iungamus E R, & c. Suppoſita conſtructione prioris caſus, quandò conus rectus E L K factus eſt ſimilis cono A B C quadra-tum L P ad quadratum E P habebat eandem proportionem, quàm O N ad N L, ſeu quàm quadratum B Q ad quadratum Q A: modò in hac altera ſuppoſitione conceditur quadratum B Q ad quadratum Q A habere minorem proportionem, quàm E H ad E I; igitur O N ad N L minorem proportionem habebit, quàm, H E ad E I; & fiat O N ad N X vt H E ad E I, erit N X minor quàm N L, & ideo punctum X intra circulum cadet, & per X ducta R X Y parallelæ H E; vtique ſecabit circulum in duobus punctis, vt in R, & Y. Quod verò recta, R X Y duci debeat parallela ipſi H E, non quomodocunque, patet ex contextu ſequenti, nam debent O X, O R ſecari in N, & V proportionaliter, quarè tex-tus debuit omnino corrigi.

f

Oſtendetur, quemadmodum dictum eſt, quod E T R, & A B C ſunt iſoſcelia, & ſimilia, & c. Quoniam arcus circuli E O, & O H æquales ſunt inter ſe ex conſtructione, erunt anguli E R O, & O R H æquales inter ſe, & propter parallelas O R, & E T eſt angulus O R E æqualis alterno T E R; at-què externus H R O æqualis eſt interno, & oppoſito R T E; igitur duo anguli R E T, & R T E æquales ſunt inter ſe; & propterea triangulum E R T erit iſoſcelium. Rurſus quia duo anguli E L H, E R H in eodem circuli ſegmento couſtituti æquales ſunt inter ſe, & erat ex conſtructione angulus M B C æqualis angulo H L E; igitur anguli H R E, & M B C æquales ſunt inter ſe, & ideo conſequentes anguli verticales E R T, & A B C æquales erunt inter ſe, eſt quo-que triangulum A B C per axim coni recti iſoſcelium igitur duo triangula, E R T, & A B C ſimilia ſunt inter ſe. Et quia vt dictum eſt O N ad N X eandem proportionem habet, quàm H E ad E I, atque propter parallelas V N, & R X eſt O V ad V R vt O N ad N X, & ſumpta cõmuni altitudine V R erit rectangulum O V R ad quadratum V R, vt H E ad E I: eſt verò rectangulum H V E æquale rectangulo O V R (propterea quod duæ rect æ line æ O R, H E ſe ſe ſe-cant intra circulum in V) igitur rectangulum H V E ad quadratum V R eandẽ proportionẽ habet quàm H E ad E I; cumq; proportio rectanguli H V E ad qua. dratum V R compoſita ſit ex duabus rationibus, ipſius E V ad V R, ſeu R S ad S E, (propter parallelogrammum V E S R), & ex proportione H V ad V R, quæ eadem eſt proportioni ipſius R S ad S T (propterea quod triangula H V R, & R S T ſimilia conſtituuntur ab æquidiſtantibus H V, R S, & V R, S T) quapropter duæ proportiones R S ad S E, & R S ad S T componentes proportio-nem quadrati R S ad rectangulum E S T eædem ſunt rationibus, ex quibus componitur proportio rectanguli H V E ad quadratum V R; & ideo quadratum R S ad rectangulum E S T eandem proportionem habebit, quàm rectangulum H V E ad quadratum V R, ſeu eandem quàm habet H E ad E I; igitur ſi fiat conus, cuius vertex R, & baſis circulus diametro E T, cuius planum perpen-diculare ſit ad planum trianguli E R T, erit triangulum E R T iſoſcelium per axim prædicti coni extenſum, atq; ad ipſum ſectionis D E F planum eſt quo-que perpendiculare, & eius axis G E ſubtendit angulum E R H, qui deinceps eſt angulo verticis; igitur planum D E F in cono E R T generat hyperbolen, cuius axis inclinatus eſt E H, & erectus E I: & propterea conus E R T com-prehendit hyperbolen D E F. Rurſus ſi recta R X producatur quouſque ſecet peripheriam circuli L E ex altera parte in puncto Y; atque denuò coniungantur rectæ lineæ E Y, & H Y, quæ extendatur quouſquè conueniat cum recta linea ex puncto E parallela ipſi O Y in puncto aliquo, quod concipiatur eſſe d; fieri poterit alius conus (cuius vertex Y, baſis circulus diametro E d erectus ad planum trianguli) ſimilis cono E R T, ſiue A B C: Oſtendetur ſicuti modo di-ctum eſt, quod idem planum H D F eſſiciet in cono γ d E eandem hyperbolen D E F.

g

Inde demonſtrabitur quod E H ad E I neceſſe eſt, vt habeat eandem proportionem, quàm O e ad e Z: & hoc eſt abſurdum, & c. quia conus Z E f continet hyperbolen D E F neceſſariò eius axis tranſuerſus E H ſubten-det angulum H Z E, qui deinceps eſt anguli verticis trianguli per axim; & propter ſimilitudinẽ conorũ rectorum, ſunt triangula per axes A B C, E R T, & E Z f ſimilia inter ſe, & anguli verticales B, Z, & R æquales erunt inter ſe; ideo conſequentes anguli M B C, & H R E, nec non H Z E æquales erunt in-ter ſe, & ſubtenduntur ab eadem recta linea H E; ergo in eodem circuli ſeg-mento conſiſtunt: & propterea punctum Z in circuli peripheria H Z E cadit. Poſtea (vt in propoſitione 53. primi libri, & in hac eadem propoſitione demon-ſtrauit Apollonius) conſtat quod H E ad E I habet eandem proportionem, quàm O e ad e Z; & prius O V ad V R erat vt H E ad E I; ergo O V ad V R eã-dem proportionem habet quàm O e ad e Z; ſed quia punctum Z non cadit in R, neque in γ alias conus E Z f non eſſet alius à præcedentibus E R T, & E γ d; ergo O e ad e Z non habet eandem proportionem, quàm O V ad V R, quod eſt abſurdum.

h

Et demonſtrabitur quod O V ad V R ſit vt H E ad E I, & c. Repeta- tur denuo conſtructio primi caſus huius propoſitionis, vt fiat conus rectus L E K ſim lis cono A B C, tunc quidem quadratum L P ad quadratum E P habe-bit eandem proportionem, quàm O N ad N L, ſeu quàm quadratum B Q ad quadratum Q A; ſed in hac poſtrema ſuppoſitione conceditur quadratum B Q ad quadratum Q A habere maiorem proportionem, quàm H E ad E I; igitur O N ad N L maiorem proportionem habebit, quàm H E ad E I; ſed quia co-nus E R T ponitur continere ſectionem D E F: habebit O V ad V R eandem proportionem, quàm H E ad E I (vt ex 53. primi deducitur, & in hac pro-poſitione denuò factum eſt): igitur O N ad N L maiorem proportionem habebit quàm O V ad V R; oſtenſa autem fuit O N ad N X, vt O V ad V R; ergo O N ad N L maiorem proportionem habebit, quàm O N ad N X: quod eſt abſur-dum, nam N X minor eſt, quàm N L.

i
Notæ in Propoſit. XXXI.

DEinde ſit ſectio elliptica A B C, & tranſuerſa illius A C, & erectus A D, & circunducamus ſuper A C in plano erecto ad ſectionis planum A B C ſegmentum circuli, quod capiat angulum æqualem an-gulo F: & c. Rurſus conus exhiberi debet ſimilis cono dato E F G, qui datam ellipſim A B C contineat, ſitque axis tranſuerſus ellipſis C A, eiuſque latus rectum A D.

a

Quia H I in I K, quod eſt æquale ipſi C I in I A, ad quadratum I A eſt, vt A C ad A D, & C I in A I ad quadratum I K nempe K N ad N O propter ſimilitudinem duorum triangulorum, & ex A I, nempe N K ad I K nempe A N vt parallelas conſtituamus lineas, & ex his dua-bus proportionibus componitur proportio quadrati N K ad A N in N O, & c. Senſus huius textus valdè corrupti hic eſt. Quia ex conſtructione H I ad I K erat vt C A ad A D, & ſumpta communi altitudine I K, erit rectangu- lum H I K ad quadratum I K, vt H I ad I K ſeu vt C A ad A D; eſtque rectangulum C I A æquale rectangulo H I K; igitur rectangulum C I A ad qua-dratum I K eandem proportionem habet, quàm C A ad A D; componitur verò proportio rectanguli C I A ad quadratum I K ex duabus proportionibus laterum C I ad I K, & A I ad I K: & propter parallelas N O, I K, atque K N, & C I, & latus commune C O K duo triangula C I K, & K O N ſimilia ſunt; igitur K N ad N O eſt, vt C I ad I K; & quia in parallelogrammo I N la-tera oppoſita ſunt æqualia K N ad N A eandem proportionem habebit quàm A I ad I K; quapropter duæ rationes K N ad N O, & K N ad N A componunt proportionem quadrati K N ad rectangulum A N O, quæ eadem eſt proportioni rectanguli C I A ad quadratum I K; & propterea quadratum K N ad rectan-gulum A N O eandem proportionem habebit, quàm A G ad A D. Si igitur fiat conus, cuius vertex K baſis circulus diametro A O deſcriptus, cuius pla-num perpendiculare ſit ad planum A K C; atque per rectam A C æquidiſtan-tem ipſi K N planum ducatur perpendiculare ad idem planum A K C genera-bitur ellipſis, cuius axis tranſuerſus erit A C, & latus rectum A D. Textus igitur corrigi debere ex dictis manifeſtum eſt.

b

Et quia angulus H K C nempe A O K æqualis eſt H A C, & angulus C H A æqualis eſt C K A remanet angulus H C A æqualis O A K erit H C A ſimile F E G ſimile quoque O K A; ergo, & c. Quoniam ex con-ſtructione ſegmentum A H C capax eſt anguli æqualis angulo F erit angulus A H C æqualis angulo F; & quia peripheria A H C ſecta eſt bifariam in H; ergo ſubtenſa latera A H, & H C æqualia ſunt: & propterea triangulum A H C iſoſcelium, & ſimile erit triangulo E F G; propterea quod anguli verticales æ-quales ſunt inter ſe; ſunt verò duo anguli A H C, & A K C in eodem circuli ſegmento; ergo æquales ſunt inter ſe; pariterque duo anguli C A H, & C K H in eodem circuli ſegmento conſtituti, æquales ſunt inter ſe, & propter paralle- las A O, K H ſunt anguli alterni A O K, & H K O æquales inter ſe; igitur angulus A O K æqualis erit angulo C A H; & propterea in duobus triangulis K A O, & H C A tertius angulus A C H æqualis erit tertio angulo K A O, & propterea triangulum K A O iſoſcelium, & ſimile erit triangulo H A C, ſiuè F G E; igitur conus, cuius vertex K baſis circulus A O perpendicularis ad planum trianguli A K O erit conus rectus, & ſimilis cono E F G dato.

C

Alioquin contineat illum conus alius, cuius vertex ſit Q, & triangu- lum Q A P, & oſtendetur quemadmodum dictum eſt, quod planum tranſiens per axim illius coni erectum ad planum ſectionis A B C ſectio communis cum plano ſectionis eſt A C, & quod punctum verticis illius coni ſit in circumferentia ſegmenti A H C, & c. Quia ſupponitur, quod conus Q A P ſimilis cono E F G contineat ellipſim A B C, cuius axis tranſuer-ſus C A, & latus rectum A D; igitur triangulum per axim coni ductum Q A P, nedum ſimile erit triangulo E F G, ſed etiam perpendiculare erit ad pla-num ellipſis A B C, & propterea conſiſtet in plano circularis ſegmenti A H C pariter erecti ad planum A B C, per idem axim A C extenſum, & eſt angu-lus A Q C æqualis angulo verticali F propter ſimilitudinem duorum triangu-lorum, & ex conſtructione primæ partis huius propoſitionis, eſt ſegmentum A H C capax anguli æqualis angulo F; ſecaturque bifariam in H; igitur angulus A Q C æqualis ipſi F in peripheria ſegmenti A H C exiſtit. Ducatur poſtea Q S parallela lateri tranſuer ſo ellipſis A C, quæ ſecet baſim trianguli per axim Q A P productam in S, & à puncto H bipartitæ diuiſionis ſegmenti A H C coniungatur recta linea H Q producaturq; quouſq; occurratrectæ lineæ C A in R. Quoniã duo anguli A H C, & A Q C in eodẽ circuli ſegmento conſtituti æqua-les ſunt inter ſe; pariterq; duo anguli C A H, & C Q H in eodẽ circuli ſegmento exiſtentes ſunt æquales, & eſt angulus A P Q æqualis angulo P A Q in triangu-lo iſoſcelio Q A P; & angulus P A Q æqualis angulo C A H in triangulis ſimi-libus; igitur angulus A P Q æqualis eſt alterno angulo P Q H; & propterea recta linea H R parallela eſt ipſi A S; & erat prius Q S parallela ipſi C R, & recta linea C P Q eſt communis; igitur triangula C R Q, & Q S P ſimi-lia ſunt, & ſpatium R S parallelogrammum eſt; eritque vt prius dictum eſt proportio quadrati Q S ad rectangulum A S P eadem proportioni rectangnli C R A ad quadratum R Q; eſt vero quadratum Q S ad rectangulum A S P, vt ellipſis axis tranſuerſus C A ad eius latus rectùm A D, propterea quod conus A Q P ſupponitur continere ellipſim A B C; igitur rectangulum C R A ad qua-dratum R Q eandem proportionem habet, quàm C A ad A D; eſt verò rectan-gulum H R Q æquale rectangulo C R A; igitur rectangulum H R Q ad qua-dratum R Q ſeu H R ad R Q eandem proportionem habebit, quàm C A ad A D; ſed in priori caſu facta eſt H I ad I K in eadem proportione, quàm C A ad A D; igitur H R ad R Q eandem proportionem habebit quàm H I ad I K.

d

Ergo diuidendo H K maior ad minorem K I erit vt minor H Q ad ma- iorem Q R, & c. Ideſt quia H R ad R Q eſt vt H I ad I K, & diuiden-do H Q ad Q R eandem proportionem habebit quàm H K ad K I, & permu-tando H Q ad H K erit vt Q R ad K I: quod eſt abſurdum; quandoquidem in circulo ſubtenſa H Q à centro remotior minor eſt, quàm H K, at exterius comprehenſa Q R maior eſt, quàm K I. Quapropter fieri non poteſt, vt ali-quis alius conus A Q P præter iam dictos contineat ellipſim A B C, & ſit ſi-milis dato cono E F G. Textus ergo confuſus corrigi debebat.

e

Ad propoſitionem 77. libri quinti egi de contactibus circulorum, & ſectionum coni-carum, eorumque admirabilia ſymptomata à nemine adhuc quod ſciam excogitata patefeci, non tamen prædicta diſceptatio omnino perfe-cta, & abſoluta fuit: itaque iuxta loci exigen-tiam hic afferam coronidis loco eiuſdem doctri-næ complementum.

Per rectam lineam coniungentem ver- tices duorum conorum eandem baſim ha-bentium ducere duo plana vtrumque co-num tangentia: oportet autem rectam li-neam vertices coniungentem extra peri-pheriam circuli communis baſis cadere.

PROP. 15. Addit.

Circulus A M C ſit communis baſis duorum conorum, quorum vertices B, & E, & co-niuncta recta linea B E extra peripheriam circuli A M C cadat: duci debent duo plana tangentia vtroſque conos per eandem rectam lineam B E extenſa. Et primo recta linea E B plano circuli A M C æquidiſtet, & ducto quolibet plano per E B circulum ſecante in recta linea N O erit ipſa N O pirallela E B; tunc ducatur diameter A M perpendicularis ad N O, & per A, & M ducantur A D, M V tangentes circulum, ſiue perpendiculares ad idem diametrum M A; erunt igitur tangentes A D, & M V parallelæ eidem N O, erat au-tem E B parallela ipſi N O; igitur duæ cir-culum tangentes A B, & M V parallelæ ſunt idem E B; & propterea A D, & E B in eo-dem ſunt plano, vtrumque conum tangente cum per vertices E, & B ducatur, & per A D baſis circulum tangentem. Eadem ratione M V, & E B ineodem plano vtrumque conum tangente exiſtent. Si verò recta E B plano cir-culi non æquidiſtat producta alicubi planum eiuſdem circuli ſecabit extra circulum ipſum, vt in γ, & tunc quidem à puncto γ extra, circulum poſito ducantur duæ contingentes γ A, & γ M. Manifeſtum eſt, rectas lineas A γ, B E in eodem plano iacere: tranſit verò præ-dictum planum per vertices B, & E duorum conorum, atque per γ A tangentem circulum baſis communis; igitur planum A E B vtrum-que conum contingit. Eodem modo planum E B M ex altera parte vtrumq; conum tanget. Et hoc erat faciendum.

In qualibet coniſectione H A I cuius diameter A L non ſit axis, per eius verticem A aliam coniſe-ctionem in eodem plano deſcribere, quæ priorem abſcindat, atque eadem recta linea vtramq; ſectionem tangat in puncto mutuæ earum abſcisſionis.

PROP 16. Addit

Sicut in conſtructione prop. 11. & 12. addit. factum eſt, deſcribatur conus B A C comprehendens ſectionem H A I, cu ius vertex B baſis circulus A M C per ſectionis verticem A ductus, & trian-gulum per axim B A C efficiat diame-trum A L: & in duobus circulis æqui-diſtantibus A C M, & in eo, qui per ſectionis baſim H I ducitur idẽ planum ſectionis conicæ deſignet duas parallelas A D, H I, & planum trianguli per axim efficiat circulorũ diamctros C A, & eum, qui per L ducitur æquidiſtantes inter ſe: ergo ſicuti baſis H I perpendicularis eſt ad circuli diametrum per L ductam, ſeu ad baſim trianguli per axim, ita D A perpendicularis eſt ad circuli diametrum C A, & propterea A D, planorum H A I, & A C M communis ſectio, tanget circulum A C, & ideo ſuperficiem ipſam conicam, & ſectionem in ea exiſtentem continget; & diameter A L non erit perpendicularis ad tangentem, ſeu ordinatim applicatam A D per verticem A, alias A L eſſet axis, quod non ponitur. Deinde in plano D A B ex A du-catur recta linea A E perpendicularis ad A D ſupra, vel infra circulum, & vertice quolibet puncto E ſumpto in recta linea A E, & baſi circulo A C M fiat alter conus E A C, in cuius ſuperficie planũ D A H I deſignet ſectionẽ F A G, & in ea triangulum per axim E A C efficiat diametrum A K: Et quia eadem re-cta linea D A perpendicularis eſt ad A C, atque ad A E ſe ſecantes in A; ergo D A perpendicularis eſt ad planum C E A, atque planum D A C extenſum per perpendicularem D A, erit quoque perpendiculare ad planum trianguli per axim C E A, quare triangulum per axim efficiet diametrum A K, quæ erit axis ſectionis F A G, atque D A perpendicularis erit ad axim A K exiſtentem in plano C E A, ad quod D A eſt perpendicularis, & cum ea conuenit: quare D A ordinatim ad axim applicata perverticem A tanget ſectionem F A G, quæ prius in eodem puncto A tangebat ſectionem H A I in eodem plano exiſtentem; & propterea eadem recta A D vtramque ſectionem tangit in puncto A. Poſtea coniungatur recta linea B E, & quia rectæ lineæ B A, A D, A E ſunt in eo-dem plano tangente vtrumque conum (cum per vertices B, & E, atque per D A contingentem circulum baſis communis ducatur) & E A, & B A angulum conſtituunt, cum E A poſita ſit perpendicularis ad D A, at B A ad eandem ſit inclinata, & exiſtunt in eodem plano; ergo recta B E parallela eſt, aut ſecat contingentem D A extra circulum vt in D. Poterit igitur ex propoſ. 15. addi-tarum duci per rectam B E planum aliud B E M V vtrumq; conum contingens, & per rectam B E extendatur aliud planum E N O B inter duo plana contin-gentia prope verticem A vbicumq; cadens, quod ſecet vtrumque conum, & cir-culum baſis in recta linea N O, & ſuperficies duorum conorum in lateribus B N Q, E N, B O, E O R, quarum B N occurret ſemiſectioni A H in quolibet eius puncto Q prope verticem A, eo quod portio A H, & peripheria A N C ex cepto puncto eius A totæ inter duo plana conos tangentia intercipiuntur; & eadem ratione E O occurret ſemiſectioni A G in quolibet eius puncto R vltra verticem A ad partes G. Et quoniam in eo- dem plano trianguli E N B (ſcili-cet plani B N O E ſecantis vtrum-que conum) à puncto E ducitur re-cta linea E O intra angulum N E B; ergo vlterius producta ſecabit latus B N ſubtendentem angulum N E B inter puncta N, & B, vt in X, & propterearecta linea N X intra triã-gulum E N O, & ideo intra conum E A C intercepta erit; ſimiliter re-cta linea O X intra triangulum B N O, & intra conum B A C interclu-ſa erit: quare quodlibet aliud punctũ Qlateris conici B N citra, vel vltra interclusã portionẽ N X cadet neceſ-ario extra ſuperficiem coni E A C, & ideo quodlibet punctum Q in pro-ductione lateris coni B N ſumptum & in ſemiſſe ſectionis conicæ H A prope verticem A cadet extra ſemiſ-ſem ſectionis F A, quæ in ſuperfi-cie coni E A C exiſtit, & ad eaſ-dem partes vergit. Pari modo quod-libet aliud punctum R lateris conici E O citra, vel vltra intercluſam portionẽ X O cadet extra ſuperſiciem coni B A C, & ideo quodlibet punctũ R ſumptum in medietate ſectionis conicæ A G prope verticem A cadet extra medietatem ſectionis A I, quæ in ſuperficie coni B A C exiſtit, & ad eaſdem partes vergit. Igitur ſe-ctio H A I abſcindit coniſectionem F A G in vertice communi A, vbi ambo tanguntur ab eadem recta li-nea A D. Quod erat faciendum.

32. lib. I.

Si fuerint quotcunque coni ſuper circulum communem ba-ſis deſcripti, habentes latus com-mune indefinitè extenſum in-triangulis per axes ad baſes perpendicularibus, atque per ter-minum lateris communis duca-tur planum efficiens coni ſectio-nes tangentes baſim: habebunt illæ latera recta æqualia inter ſe, eritquè ſectio ſingularis, ſi fuerit par abole, vel circulus: ſi verò fuerit ellipſis, aut hy-perbole erunt infinitæ.

PROP. 17. Addit.

Sit conus A D C ſingularis, & A B C ſit multiplex, habentes cir-culum A C baſeos communem, & latus A B D productum commu-ne ſumptum ſit in triangulis per axes conorum perpendicularibus ad circulum baſis B C, atque à ter-mino A ducatur planũ ſecans cir-culi A C planum in recta linea, quæ perpendicularis ſit ad diame-trum C A, quod efficiat in cono quidem A B C ſectionem A N, cuius latus rectum ſit X, & latus tranſuerſum A F: in cono verò A D C efficiat ſectionem A M, cu-ius latus rectum Z, & diameter communis A E; ſitque ſectio A N hyperbole, circulus, aut ellipſis circa axim maiorem, aut mino-rem; Sectio verò ſingularis A M in cono D A C ſit parabole, & ducatur B H parallela diametro ſectionis A E ſecans circuli diametrum A C in H: & du-catur C O parallela D A ſecans A E in O. Dico latus rectum Z paraboles A M æquale eſſe lateri recto X cuiuſlibet alterius ſectionis A N; & ſupponantur tres parabolæ A M inter ſe æquales earumq; latera recta Z æqualia, quæ in tribus fi-guris apponẽtur, vt confuſio euitetur. Quoniam vt latus rectum X ad tran-ſuerſum A F ſectionis A N, ita eſt rectangulum A H C ad quadratum B H: hæc verò proportio componitur ex ratione C H ad H B, & ex ratione A H ad H B: eſtque C A ad A F, vt C H ad H B (propter parallelas F A, H B, & ſimilitudinem triangulorum) & vt A H ad H B, ita eſt A C ad C D, ſeu ad A O (cum C D, & H B ſint parallelæ, atque D O ſit parallelogrammum) com-ponunt verò hæ duæ proportiones rationem quadrati C A ad rectangulum F A O: ergo vt rectangulum A H C ad quadratum H B; ita eſt quadratum C A ad rectangulum F A O, & pro- pterea vt X ad A F, ita erit qua-dratum A C ad rectangulum F A O, ſed vt F A ad A D (ſum-ptis æqualibus altitudinibus A O, C D) ita eſt rectangulum F A O ad rectangulum A D C; quare ex æquali X ad A D erit vt quadra-tum A C ad rectangulum A D C; tandem vt Z latus rectum para-boles A M ad D A ita eſt quadra- tum A C ad rectangulum A D C; igitur X, & Z ad eandem D A habent eandem proportionem quàm quadr atum A C ad rectangulum A D C, & propterea latera recta X, & Z æqualia ſunt inter ſe. Et quoniam in quolibet caſu ſectio-nis conicæ A N latus rectum X ſemper æquale eſt Z lateri recto vnius eiuſdemq; paraboles A M; ergo latera recta X reliquarum omnium ſectionum æqualia ſunt inter ſe, licet ſectiones illæ ſint inæquales, & habeant latera trã-ſuerſa inæqualia, imò neque eiuſ-dem ſpeciei ſint. Quod erat pro-poſitum.

12. & 13 lib. I.
II. lib. I.

Admiratione dignum præcipuè eſt in hac propoſitione, quod ſi ſe-ctio A N fuerit circulus, vnicus tantummodò erit; nam circuli la-tus rectum X æquale erit eius dia-metro, ſeu axi tranſuerſo A F; eſt-que ſemper latus rectum eiuſdem menſuræ, vt aſtenſum eſt; igitur circuli diameter F A idem ſemper erit; & propterea circulus, qui à tali plano generari poteſt ſingularis erit, nimirum ille, qui in vnico cono A B C efficit triangula per axim ſimilia, & ſubcontraria B A C, & B F A. Manifeſtum quoq; eſt parabolem A M ſingularem eße, nam ſupponitur idem circulus baſis A C, & in plano per axim coni cõmune latus A D B ſemper eoſdẽ angulos D A E, & D A C efficere conceditur; igitur vt ſectio A M ſit parabole neceßariò recta à puncto C duci debet parallela diametro par aboles A E; cum ergo in triangulo per axim D A C detur baſis A C inuariabilis quia circulus vnicus ſupponitur eiuſ- què anguli D, & D A C; dabitur quoq; eius ſpecies ſemper eadem, immo triã-gulum per axim inuariabile erit, qui ſemper eodem modo inclinatur ad circu-lum baſis C A: & propterea conus D A C ſemper idem erit, & eodem modo ſectus, vnde ſectio par aboles A M eadem ſemper omnino erit, habens idem latus rectum Z. In hyperbole verò, aut ellipſi latera C B poſſunt ſupra, vel infra C D parallelam ipſi A E à puncto C ductam, extendi, & ſic efficientur tranſuer-ſa latera A F inæqualia inter ſe, cumque coni ſectiones A N habeant latera recta X æqualia inter ſe, latera verò tranſuerſa A F inæqualia, & hyperbola-rum commune latus rectum habentium illa maior eſt, cuius axis tranſuerſus eſt minor: & duarum ellipſium commune latus rectum habentium, illa maior eſt cuius axis tranſuerſus eſt maior; igitur ellipſes, aut byperbole, quæ in conis prædicta lege conſtructis deſcribuntur non ſingulares ſed infinitæ eſſe poßunt. Vbi notandum eſt, quod ellipſes poßunt eſſe eæ quæ ad maiores, aut ad minores axes adiacent. Pari modo conſtat quod ſi in conis ſuperius expoſitis fiant ſe-ctiones conicæ conſtituentur ad eundem axim quinque ſectiones commune latus rectum habentes ſe ſe in eodem vertice tangentes, & earum intima erit elli- pſis, quæ ad axim minorem adiacet, & non erit vnica, ſed multiplex, & om-nes cadent intra circulum, circulus verò intra ellipſim ad axim maiorem acco-modatam cadet, hæc verò intra parabolen conſtituetur, & inter circulum, & parabolen infinitæ ellipſes ſe in eodem puncto verticis tangentes collocari poſ-ſunt. T andem parabole compræhendetur ab infinitis alijs hyperbolis ſe ſe in eo-dem puncto tangentibus.

Maurol. 2. lib. 5. Conic. Maurol. prop. 28. lib. 5. Conic.

Si in qualibet coniſectione B A C ducatur breuiſecans ſingularis D A, tunc quælibet alia coniſectio M A N, cuius axis ſit eadem breuiſe-cans, & A L ſemiſſis erecti eius minor ſit eadem ſingulari breuiſecan-te A D. Dico ſectionem M A N interius contingere priorem ſectionem B A C in A.

PROP. 18. Addit. ex 51. 52. lib. 5.

Quia A L minor eſt, quàm A D ſumi poterit recta A O maior quidem quàm A L, & minor quàm A D, & centro O interuallo O A deſcribatur circulus P A Q. Manifeſtum eſt, quod circulus P A Q ſectionem M A N exterius continget in A, at circulus P A Q interius priorem ſectionem B A C tanget, vt oſtenſum eſt, igitur coni ſe- ctio M A N continget ſectionem B A C interius in A. Quod erat oſtenden-dum.

Maurol. pr.4.7.10. 14. lib. 5. Conic. Prop. 12. Addit. lib. 5.

Iiſdem poſitis ſi ſectionis T A V, cuius axis A D ſemiſſis eius e- recti fuerit A R maior quàm D A, quæ eſt ſingularis breuiſecans ſe-ctionis B A C. Dico, quod T A V exterius contingit ſectionem B A C in A.

PROP. 19. Add.

Quoniam A R maior ponitur quã A D ſumi poterit recta A X minor quidem, quàm A R, ſed maior quã A D, & centro X interuallo X A deſcribatur circulus I A S. Patet (ex demonſtratis ſuperius) circulum I S extrinſecus tangere coniſectionem B A C; at ſectio T V extrinſecus circulum I S tangit in eodem puncto verticis A, ergo ſectio T V extrin-ſecus tangit coniſectionem B A C in eodem puncto A. Quod erat oſten-dendum.

ex pr. 14. addit. lib. 5. Maurol. pr. 3. 6. 9. 13. lib. 5. Conic.

Si in eodem plano circulus F A G ſecuerit coniſectionem H A I in puncto A quod non ſit vertex axis eius, atque eadem recta linea D A contingat circulum, & ſectionem in eodem puncto A; Dico quod quæ-libet alia coniſectio S A Z in eodem plano cum illis poſita cuius axis ſit idem circuli diameter A K habens Y ſemiſſem lateris recti axis æqualẽ radio circuli F A G: ſecabit quoque eandem coniſectionem H A I in eodem puncto A, atque continget eandem rectam lineam A D in A.

PROP. 20. Addit. ex 16. addit. huius.

Deſcribantur (vt in 16. additarum huius libri factum eſt) duo coni A B C, Scalenus comprehendens ſectionem H A I, & conus rectus E A C comprehen-dens circularem ſubcontrariam ſectionem F A G, quorum baſis communis ſit circulus A M C, ita vt idem planum per vertices conorum B, & E, & per A D contingentem eundem circulum baſis extenſum tangat vtrumque conum in lateribus A B, & A E. Poſiea ſi S A Z optatur parabole ducatur in plano A E C ex C recta C N parallela A K axi ſectionis F A G; ſi verò S A Z dſideratur hyperbole, aut ellipſis producatur axis A K in directum extra aut intra ſectionem, & in recta linea K A O ſecetur portio A O æqualis lateri tranſuer-ſo ſectionis S A Z, coniungaturque recta linea C O, ſecans E A in N (eo quod axis K A in plano A E C erecto ad circulũ A M C, exiſtit) & vertice N fiat alter conus N C A. Manifeſtum eſt in cono recto E A C deſignari ab eo-dem plano D A K circulum F A G, at in cono recto N A C efficietur alia ſe-ctio conica circa communem axim A K, quæ ſe ſe mutuo, & eandem rectam lineam D A tangent, in communi vertice A, atque circuli F A G, & ſectio- nis genitæ in cono N A C duo latera recta erunt æqualia, & propterea ſectio-nis genitæ in cono N A C ſemilatus rectum æquale erit radio circuli γ ſeu di-midio erecti ſectionis H A I, & ſi habuerit latus tranſuerſum erit æquale A O; ergo ſectio genita in cono N A C, & ſectio S A Z circa communem axim A K habent latus rectum cummune duplum ipſius γ, & etiam commune latus tranſuerſum A O: Quare ſectio genita in cono N A C, & S A Z æquales ſunt inter ſe, & congruentes; quapropter idem planum D A K, quod efficit in cono Scaleno B A C ſectionem H A I, deſignat quoque in cono recto N A C ſectio-nem S A Z: habent verò hi duo coni circulum baſis communem, & idem pla-num per contingentem A D, & per vertices B, & N ductum vtrumque co-num tangit; igitur (vt demonſtratum eſt in 16. Addit. huius) ſectio conica S A Z abſcindet aliam ſectionem H A I, & ambæ tangentur ab eadem recta linea D A in eodem puncto mutuæ abſciſſionis A. Quod erat propoſitum.

Prop. 17. addit. huius. 10. huius.

Si in qualibet coniſectione B A C ducatur breuiſecans ſingularis D A, & quælibet alia coniſectio I A K, cuius axis ſit D A, atque ſemiſſis lateris recti axis ſectionis I A K ſit æqualis breuiſecanti D A. Dico, ſectionem I A K contingere eandem rectam lineam G A, quàm tangit ſectio B A C, & abſcindere reli-quam coniſectionem in eodem pun-cto A.

PROP. 21. Addit.

Deſcribatur centro D interuallo D A circulus T A S conſtat (ex prop. 10. additarum libri quinti) circulum T A S ſecare coniſectionem B A C in A, cumque circa eundem axim D A po-nantur circulus T A S, atque coniſectio I A K, cuius lateris recti ſemiſſis æ-qualis eſt D A radio circuli T A S, ergo coniſectio I A K abſcindit coniſectio- nem B A C in eodem puncto A, in quo ſecatur à circulo T A S, & tanguntur ab eadem contingente G A in puncto A. Quod erat, & c.

20. addit. huius.

Sectionum conicarum circa axim communem poſitarum datam coniſe- ctionem abſcindentium non in eius vertice, quas omnes eadem recta li-nea contingat, erunt ſingulares tantummodo parabolæ, & circulus, elli-pſes verò, & hyperbole erunt infinitæ.

PROP. 22. Addit.

Quoniam circa communem axim D A conſtitui poßunt parabolæ, circulus, infinitæ hyperbolæ, & infinitæ ellipſes habentes ſemilatus rectum axis æqualẽ ſingulari breuiſecanti D A in ſectione conica B A C educto, & hæ omnes ab- ſcindunt coniſectionem B A C in A. Ergo patet propoſitum.

Prop. 17. addit. huius. Prop. 21. addit. huius.

Hinc colligitur dari non poſſe coniſe-ctionem minimam extrinſecus tangen-tium, neque maximam intrinſecus tã-gentium eandem coniſectionem in pun-cto A extra verticem axis poſito.

Nam quælibet coniſectio, cuius ſemie-rectum axis minus eſt breuiſecante ſingulari D A intrinſecus tangit ſectionem B A C in A, & ſi ſemierectum maius fuerit eadem D A extrinſecus eandem ſectionem B A C continget, neque vnquam ceſſant prædicti contactus extrin- ſeci, vel intrinſeci quouſque ſemierectum axis efficitur æquale breuiſecanti D A: at tunc non amplius contingit, ſed ſecat eam in A. Quare patet propoſi- tum.

Prop. 18. addit. huius. Prop. 19. addit. huius. Prop. 21. addit. huius.

Conſtat etiam quod parabolarum vnica tantummodò, & circulorum vnicus etiam abſcindit coniſectionem B A C in A, & contingit eandem contingentem A G in A.

At hyperbolarum, atque ellipſium abſcindentium eandem ſectionem B A C in A, quas omnes eadem recta linea A G tangit in A non poteſt affignari maxi-ma, neque minima.

Nam vt dictum eſt ad 17. Additarum huius libri infinitæ hyperbolæ ſe ſe contingentes in vertice axis deſinunt in parabolam vnicam, & poſt parabolam interius ſe ſe ſucceſſiuè contingunt infinitæ ellipſes ad axim maiorem adiacen-tes, quæ deſinunt in circulum vnicum, ac poſt circulum interius eum contin-gunt inſinitæ ellipſes ad axim minorem adiacentes, quarum omnium ſemiere-cta latera axium æqualia ſunt breuiſecanti ſingulari D A datæ ſectionis B A C. Quare patet propoſitum.

LIBRI SEXTI FINIS.
DEFINITIONES. I.

SI diuidatur inclinatum ſecundum proportionem figuræ, aut addatur vni axium ellipſis linea, earumque differentia, aut aggregatum ad ean-dem lineam habeat eandem proportionem fi-guræ: vocabo homologam inclinati PRÆSE-CTAM.

II.

Et homologam erecti INTERCEPTAM.

III.

Atque punctum, quod eſt extremum ipſius interceptæ, & dia-metri: vocabo TERMINVM COMMVNEM.

IV.

Reliquum verò TERMINVM DIVIDENTEM.

V.

Et differentiam, vel ſummam lateris, & interceptæ: vocabo IN-TERCEPTAM COMPARATAM.

VI.

Differentiam verò, aut ſummam lateris, & præſectę: vocabo PRÆSECTAM COMPARATAM: hoc autem latus refer-tur ad diametrum, quæ bifariam diuidit lineam coniungen-tem verticem ſectionis, & terminum potentis huius lateris: reliquæ verò lineæ referuntur ad hoc latus.

VII.

Inſuper vocabo duas diametros coniugatas, & æquales in elli-pſi, ÆQVALES.

Et ſi quidem ad vtraſque partes axis ſectionis duæ diame-tri educantur, quæ ad ſua erecta eandem proportionem ha-beant, vtique vocabo cas ÆQVALES.

VIII.

Diametros verò æquales ad vtraſque partes duarum axium elli-pſis cadentes, voco Homologas illius axis: ſuntque homo-logæ diametri in ellipſi tranſuerſa ad tranſuerſam, & recta ad rectam.

NOTÆ.

I. P Rima definitio breuiſſimè exponi poteſt hac ratione. Si axis tranſuerſus interius in hyperbola diuidatur, aut exterius in ellipſi, ſecundum pro-portionem figuræ, ſegmentum homologum axis tranſuerſi vocabo Præſectum, vt ſi fuerit hyperbole, vel ellipſis A B, cuius axis tranſuerſus A C, centrum D, latus rectũ A F, & in hyperbola ſecetur C A inter vertices A, & C; in ellipſi verò ſecetur exterius in puncto G, ita vt ſumma, vel differentia ipſarum G A, & axis C A, ideſt C G ad G A habeat proportionem figuræ ſcilicet eandem, quàm habet latus tranſuerſum C A ad latus rectum A F; tunc quidem vocatur recta linea C G Præſecta.

II. Atque G A vocatur Intercepta.

III. Punctum verò A extremum interceptæ G A, & diametri C A vocabitur terminus communis dua-rum linearum, ſcilicet axis C A, & additæ, vel ablatæ A G.

IV. Punctum verò G, in quo axis A C interius, vel exterius diuiditur ſecundum proportionem figuræ voca-tur terminus diuidens; Si verò ſece-tur C H æqualis A G vocabitur etiã C H intercepta, & A H præſecta, atque C terminus communis, & H terminus diuidens.

V. Si diameter I L ſecuerit biſa-riam ſubtenſam A B à ſectionis ver tice A eductam, atque à termino B ducatur B E perpendicularis ad axim eum ſecans in E, tunc quidem axis ſeg-mentum C E ab oppoſito vertice C ductum, vocat interpres Latus. Poſtea ſum-mam in prima ellipſi, & differentiam in reliquis figuris lateris C E, & inter-ceptæ H C, nimirum ipſam lineam H E, vocat Interceptam comparatam.

VI. Et lateris C E, & præſectæ G C differentia in tribus prioribus figuris, & ſumma in figura quarta, ideſt G E, vocatur Præſecta comparata.

VII. Ducantur in ellipſi A B C duæ diametri coniugatæ I L, & N O, quæ inter ſe ſint æquales. Vel tranſuerſa I L ad eius latus rectum eandem propor-tionem habeat, quàm eius coniugata N O ad ſuum latus rectum; tunc quidem vocat pariter diametros coniugatas I L, N O AEquales.

SECTIO PRIMA Continens Propoſit. I. V. & XXIII. Apollonij. PROPOSITIO I.

SI in parabola A B à termino axis A D educatur recta linea A B ſubtendens ſegmentum @ectionis A B, & ab eius termino ducatur B D ad axim perpendicularis; vtiquè illa chorda poterit eius abſciſſam D A in aggregatum abſciſſæ, & erecti.

Fiat A F æqualis erecto A E. Quia quadratum A B eſt æquale quadrato D A cum quadrato D B, quod eſt æquale ipſi A D in A F; igitur eſt æqua-le ipſi F D in D A. Quod erat oſtendendum.

a
PROPOSITIO V. & XXIII.

IN parabola A B C cuiuſcumque diametri B F erectus B H ex-cedit axis A D erectum A E quadruplo abciſſæ A D potentis à termino illius diametri ad axim ductæ 23. & diametri C G, re- motioris ab axe, erectus C I maior eſt erecto B H diametri propin-quioris B F quadruplo differentiæ axis abſciſſarum potentium à terminis diametrorum ad axim ductorum.

a

Educamus A L, B K tangentes in A, B, & B N perpendicularem ad B K, erit K D in D N æquale quadrato D B, quod eſt æquale ipſi A E in A D; ergo K D ad D A eandem proportionem habet, quàm A E ad D N: eſtque D K dupla ipſius A D (37. ex 1.) igitur A E eſt dupla ipſius D N; quarè A E cum duplo D K, nempe cum quadruplo A D eſt æqualis duplo K N, nempe B H (eo quod N K ad B K tangentem ean-dem proportionem habet, quàm aſſumpta M B ad B L coniugatam (57. ex 1.) (propter ſimilitudinem duorum triangulorum); ergo B H æqualis eſt quadruplo A D cum A E; quarè erectus diametri B F excedit A E quadruplo A D. & A O maior eſt, quàm A D; ergo erectus diametri C G remotioris maior eſt, quàm erectus B F proximioris quadruplo D O differentiæ abſciſſarum. Et hoc erat oſtendendum.

11. lib. 1. 35. lib. 1. b 44. lib. 1. c
Notæ in Propoſit. I.

QVia quadratum A B eſt æquale quadrato D A, & c. Quoniam re- ctangulum F D A æquale eſt rectangulo F A D ſubſegmentis vna cum quadrato reliqui ſegmenti D A; eſtque latus rectum A E æquale A F; igitur rectangulum F D A æquale eſt rectangulo D A E vna cum quadrato D A; ſed quadratum ordinatim ad axim applicatæ B D æquale eſt rectangulo D A E ſub abſciſ-ſa & latere recto contento; igitur rectangu-lum F D A æquale eſt duobus quadratis B D, & D A: eſtquè quadratum A B ſubtenden-tis rectum angulum D æquale duobus quadra-tis B D, & D A; igitur quadratum ſubten-ſæ A B æquale eſt rectangulo A D E ſub ab-ſciſſa D A, & ſub D F, quæ æqualis eſt ei-dem abſciſſæ cum latere recto.

a
2 1. lib. 1.
Notæ in Propoſit. V. & XXIII.

ET diametri G C remotioris ab axe erectus C I maior eſt erecto B H diametri propinquioris B F, & c. Videtur hæc 23. propoſitio deficiens; cum omnino inueriſimile ſit Apollonium non animaduertiſſe rem adeo facilem; quod nimirum diametri G C remotioris ab axe erectus C I maior ſit erecto B H diametri B F proximioris quadruplo differentiæ axis abſciſſarum potentium à terminis diametrorum ad axim ductorum.

a

Quare A E cum duplo K D, nempe cum quadruplo A D eſt æqualis duplo K N, nempe dimidio B H, & c. Zuoniam B H latus rectum diame- tri B F ad duplum contingentis B K eſt vt M B ad B L, ſed (propter æqui-diſtantes, & ſimilitudinem triangulorum L B M, & K N B) vt M B ad B L, ita eſt duplum N K ad duplum R B; ergo latus rectum B H æquale eſt du-plo K N; ſed prius oſtenſum eſt quod D A æqualis eſt medietati ipſius D K, & D N æqualis medietati ipſius A E; igitur duplum K N æquale eſt duplo K D, ſeu quadruplo A D cum duplo D N, ſeu cum A E.

b 49. lib. 1. 35. .lib. 1.

Et A O maior eſt, quàm A D; ergo erectus diametri C G remotioris maior eſt quàm erectus B F proximioris, & c. Addidi in bac concluſione verba bæc (quadruplo D O differētiæ abſciſſarum) quæ videntur deficere. Ma-nifeſtum enim eſt, quod C I latus rectum diametri C G ab axe remotioris ſu-perat latus rectum B H diametri F B axi propinguioris quadruplo D O diffe-rentiæ abſeiſſarum axis ab ordinatis à verticibus earũdem diametrorum ductis; nam B H æqualis oſtenſa eſt E A vna cum quadruplo A D, eademque ratione C I æqualis eſt eidem axis lateri recto E A cum quadruplo A O; ergo exceſſus C I ſupra B H erit æqualis quadruplo differentiæ D O.

c
SECTIO SECVNDA Continens Propoſit. II. III. IV. VI. & VII. Apollonij. PROPOSITIO II. & III.

SI in ſectione A B à termino cõmuni A vtriuslibet interceptæ educatur linea recta A B vſq; ad ſectionem, atquè ab eius termino B ad axim A E ducatur perpendicularis B E; erit qua-dratum A B ad rectangulum contentum à rectis lineis inter per-pendicularis incidentiam, & terminos interceptæ, nempe A E in G E habebit eandem proportionem, quàm habet inclinatus, ſiuè tranſuerſus A C ad præſectam C G.

a

Sit itaque A F erectus A C, & ponamus A E in E H æquale quadra-to B E; igitur A E in E H ad A E in E C, nempe H E ad E C eſt vt A F ad A C, & vt A G ad G C; ergo H E ad E C eſt vt A G ad G C; & componendo in hyperbolis, & diuidendo in ellipſibus, deinde comparando homologorum differentias in duabus figuris prioribus, & ſummas homologorum in reliquis, fiet A H ad G E, vt C A ad C G; ergo A H in A E; nempe quadratum A B ad G E in A E eſt vt C A inclinatus, ſiue tranſuerſus ad C G præſectam. Quod fuerat propoſi-tum.

b
PROPOSITIO IV.

SI hyperbolen, aut ellipſin A B tangat recta linea I M in I, & occurrat axi A C in M; vtique ipſius I M quadratum ad quadratum ſemidiametri ND coniugatæ ipſi I L habebit eã-dem proportionem, quàm axis contenta M S ad eius inuerſam S D.

a

Educantur A Q, M R perpendiculares ad axim vſque ad I L, ponatur-que linea P, quæ ad I M eandem proportionem habeat, quàm K I ad Q I, ſeu eandem, quàm habet M I ad I R; Ergo P eſt ſemiſſis erecti diametri I L (52. ex 1.) atque D N dimidium coniugatæ diametri N O poterit P in I D, atque I M poterit P in I R; & ideo I R ad I D, nempe M S contenta ad S D inuerſam eandem proportionem habet, quã quadratum tangentis I M ad quadratum N D ſemiſſis coniugatæ ipſius I L. Et hoc erat propoſitum.

50. lib. 1.
PROPOSITIO VI. & VII.

SI in hyperbole, aut ellipſi addantur axi tranſuerſo, vel au- ferantur ab inclinato duæ interceptæ A G, C H ab eius terminis A, C, atque à vertice ſectionis A educatur recta linea A B ad terminum alicuius potentialis B E, & per centrum D ducãtur diametri coniugatæ I L, N O, ita vt rectus N O æqui-diſtet ipſi lineæ A B: vtiquè proportio figuræ inclinatæ, vel tranſuerſæ coniugatarum, quæ eſt eadem proportioni quadrati I L ad quadratum N O, erit quoquè eadem, quàm habent li-neæ inter incidentiam illius ordinatim applicatæ ad axim, & ter-minos diuidentes duarum interceptarũ, ſcilicet vt H E ad E G.

a

Educamus I M tangentem, & I S perpendicularem. Et quia A D eſt æqualis D C, & A K æqualis K B (eo quod I L cum ſit coniugata N O bifariam diuidit A B) erit C B parallela ipſi I D, & propterea M S ad S D, nempè A E ad E C (propter ſimilitudinem triangulorum) eſt vt quadratum I M ad quadratum N D (4. ex 7.) & quadratum I D ad qua-dratum I M eſt vt quadratum C B ad quadratum B A (propter ſimilitu-dinem triangulorum); ergo proportio quadrati I D ad quadratum N D eſt compoſita ex ratione A E ad E C, & ex ratione quadrati C B ad qua-dratum B A; ſed proportio quadrati C B ad quadratum B A eſt compo-ſita ex ratione quadrati C B ad C E in E H, & ex ratione C E in E H ad A E in E G, & ex ratione A E in E G ad quadratum A B; eſt vero quadratum C B ad C E in E H, vt C A ad A H (3. ex 7.) atquè A E in E G ad quadratum A B eſt vt G C ad C A (2. ex 7.) , & proportio C E in E H ad A E in E G, componitur ex ratione C E ad A E, & ex H E ad E G; igitur proportio quadrati I D ad quadratum N D compo-ſita eſt ex proportione C A ad A H, & ex G C ad C A, atque ex C E ad E A, & A E ad E C, & tandem ex H E ad E G; ſed C A ad A H, & G C ad C A componunt proportionem C A ad ei æqualem A C: ſi-militer C E ad E A, & A E ad E C eſt vt E C ad ſe ipſam: quare ſi hæ proportiones auſerantur, remanebit E H ad E G, vt quadratum I D ad quadratum N D: nempe erit eadem ac proportio figuræ diametri I L. Quod erat oſtendendum.

b
Notæ in Propoſit. II. III.

SI in ſectione A B à termino communi A interceptæ, & c. Addidi par-ticulam vtriuslibet interceptæ vt propoſitio efficiatur vniuerſalis compræhen- dens quartum caſum in poſtrema figura, quàm ſuperaddidi, vti neceſſariam, pro intelligentia octauæ propoſitionis.

a

Et componendo in hyperbola, & diuidendo in ellipſi prima deindè coniungendo in duabus figuris prioribus, & occurrere faciamus reſpe-ctiuum cum reſpectiuo in reliquis figuris poſt inuerſionem, vt fiat, & c. Ideſt componendo in byperbolis, & in ellipſibus comparando differentias termi norum ad conſequentes, deinde comparando homologorum differentias in duabus figuris prioribus, & ſumas in reliquis, innc enim A H ad G E eſt, vt A C ad C G, & ſumpta communi altitudine E A, erit tectangulum H A E ad re-ctangulum G E A, vt A C ad C G. Seà rectangulum H A E æquale eſt qua-drato A E vna cum rectangulo H E A, cui æquale eſt quadratum B E, ergo quadratum A B æquale eſt rectangulo H A E (propterea quod A B ſubtendit angulum rectum E in triangulo B A E) quare quadratũ A B ad rectangulum A G E eandem proportionẽ habet quàm C A ad C G.

b
Notæ in Propoſit. IV.

SI hyperbolen, aut ellipſim A B tangat recta linea I M, & occurrat axi A C in M, vtique ipſius I M quadratum, & c. Suppleri debet conſtructio, quæ deficit in hac propoſitione, vt nimirum ſenſus continuatus ſit à punctis M, A, I educatur ad axim perpẽdiculares M R, A Q, & I S ſecãtes diametros in R, Q, & S, & A Q, I M ſe mutuò ſecent in K, erit I S ordinatim ad axim applicata, & A Q, ſicuti etiam I M contingit ſectionem. vocat autem Interpres rectam lineam M S, quæ inter tangentem, & ordinatam interijcitur Contentam, atque D S vocat Inuerſam.

a
Notæ in Propoſit. VI. & VII.

SI addatur duabus extremitatibus tranſuerſæ, aut inſiſtant ad duas ex- tremitates recti, aut diminuatur à duabus extremitatibus inclinati A, & C duo intercepta, & c. Expungo verba appoſititia. Aut inſiſtat ad duas extremitates recti; quæ ſenſum perturbant.

a

Educamus I M tangentem, & I S perpendicularem. Et quia A D eſt æqualis D C, & c. Ideſt Educamus I M contingentem ſectionem in I, quæ ſecet axim in M, & I S ad axim perpendicularem, ſeu ordinatim applica-tam, eum ſecans in S. Et quia trianguli A C B duo latera A C, A B ſecan-tur proportionaliter, ſcilicet bifariam in D, & K; ergo I D parallela eſt baſi C B: eſtquè tangens I M parallela ipſi B A, cum ambo ad diametrum I L ſint ordinatim applicatæ; pariterquè I S parallela eſt B E ( cum ſint ad axim per-pendiculares ) igitur triangula M I S, A B E ſimilia erunt; pariterquè trian-gula D I S, C B E erunt ſimilia: & ideo M S ad S I erit vt A E ad E B, & S I ad S D erit, vt B E ad E C: quarè ex æquali ordinata M S ad S D ean-dem proportionem habebit, quàm A E ad E C: eſtquè quadratum I M ad qua-dratum N D, vt M S ad S D; ergo quadratum I M ad quadratum N D eſt, vt A E ad E C, & c.

b
Prop. 5. lib. 2. Prop. 4. huius.
SECTIO TERTIA Continens Propoſit. Apollonij VIII. IX. X. XI. XV. XIX. XVI. XVIII. XVII. & XX.

VIII. IN hyperbola, vel ellipſi quadratum axis inclinati, ſiue tranſuerſi ad quadratum ſummæ duarum diametrorum coniugatarum eiuſdem ſectionis habebit eandem proportionem, quàm productum præſectæ axis in ſuam interceptam compara-tam ad quadratum ſummæ ſuæ interceptæ, & potentis compa-ratarum.

IX. Vel ad quadratum differẽtiæ coniugatarum eã-dem proportionem habet, quàm productum præſectæ in ſuam interceptam compara-tam ad quadratum differen-tiæ interceptæ, & potentis comparatarum.

X. Vel ad rectangulum ſub duabus coniugatis con-tentum eandem proportionem habet, quàm præſecta axis ad ſuam potentem comparatam.

XI. Ad ſummam verò duorum quadratorum ex coniugatis eandem proportionem habet, quàm præſecta ad ſummam præ-ſectæ, & interceptæ comparatarum.

XV. Sed ad quadratum erecti vnius coniugatæ eandem pro-portionem habet, quàm præſecta axis in ſuam interceptam com-paratam ad quadratum ſuæ præſectæ comparatæ.

XIX. Sed ad quadratum differentiæ vnius coniugatarum, & eius erecti eandem proportionem habet, quàm productum præ-ſectę axis illi diametro homologę in ſuam interceptam compa-ratam ad quadratum exceſſus præſectæ, & interceptæ compara-tarum.

XVI. Ad quadratum verò ſummæ inclinatæ diametri, & eius erecti eandem proportionem habet, qnàm præſecta axis in ſuam interceptam comparatam ad quadratum ſummæ interceptæ, & præſectæ comparatarum.

XVIII. Sed ad figuram inclinatæ vnius coniugatarum ean-dem proportionem habet, quàm axis præſecta ad præſectam comparatam.

XVII. Et ad ſummam duorum quadratorum inclinatæ, & erecti vnius coniugatarum eandem proportionem habet, quàm præſecta in interceptam comparatam ad duo quadrata præſectæ, & interceptæ comparatarum.

XX. Et tandem ad exceſſum duorum quadratorum laterum figuræ inclinatæ duarum coniugatarum eandem proportionem habet, quàm productum præſectæ in interceptam comparatã ad exceſſum quadratorum præſectæ, & interceptæ comparatarum.

Iiſdem figuris manentibus ſit H V potens comparata, & I P ſit erectũ ipſius I L. Dico quod quadratum A C ad quadratum ſummæ I L, & N O eſt vt C G in E H ad quadratum E H V. Quia quadratũ A D æquale eſt S D in D M (39. ex I.) ergo S D in D M ad quadratum I D, nem- pe E C in C A ad quadratum C B (propter ſimilitudinem triangulorũ) eſt vt quadratum A D ad quadratum I D, nempe vt quadratum A C ad quadratum I L: eſtque quadratum C B ad C E in E H, vt C A ad A H, ſeu ad C G (2. 3. ex 7.) ideſt vt A C in C E ad C G in C E, & permutando; igitur A C in C E ad quadratum C B, quod habebat (vt oſtenſum eſt) eandem proportionem, quàm quadratum A C ad quadratum I L, erit vt G C in C E ad C E in E H, nempe vt C G ad E H, ſeu C G in E H ad quadratum E H; igitur quadratum. A C ad quadratum I L eandem proportionem habet, quàm C G in. E H ad quadratum E H. Et quadratum I L ad quadratum N O, ſeu L I ad I P eſt vt H E ad E G (6. 7. ex 7.) ſcilicet vt quadratum E H ad H E in E G, quod æquale ſuppoſitum fuit quadrato H V; Ideoque I I. ad N O eandem proportionem habebit, quàm E H ad H V; qua-propter quadratum I L, ſiue ad quadratum ſummæ ipſarum I L, N O eſt vt quadratum H E ad quadratum E H V; ſiue ad quadratum differentiæ I L, & N O erit vt quadratum E H ad quadratum differentiæ E H, & H V, ſiue ad I L in N O habebit eandem proportionem, quàm E H ad H V; ſiue ad duo quadrata I L, N O eandem proportionem habebit, quàm E H ad ſummam E H, E G; eo quod quadratum I L ad quadra-tum N O eſt vt E H ad E G; ſiue inſuper ad quadratum I P eandem proportionem habebit, quàm quadratum E H ad quadratum E G; vel potius ad quadratum differentiæ I L, & I P erit vt quadratum E H ad quadratum differentiæ E H, & E G, vel rurſus ad quadratum rectæ li-neæ ex L I, & I P compoſitæ, erit vt quadratum H E ad quadratum ſummæ duarum H E, E G, atque ad L I in I P eandem proportionem habebit, quàm H E ad E G; vel ad quadratum ipſius L I cum quadrato I P habebit eandem proportionem, quàm quadratum H E ad duo qua- drata H E, & ipſius E G, ſiue ad differentiam duorum quadratorum L I, & ipſius I P eandem proportionem habebit, quàm quadratum H E ad differentiam duorum quadratorum H E, & E G. Et iam oſtenſum eſt quod quadratum A C ad quadratum I L eandem proportionem habet, quàm C G in H E ad quadratum H E; 8. ergo ex æqualitate quadratum A C, fiue ad quadratum ſummæ I L, N O eſt, vt C G in H E ad qua-dratum E H V; 9. ſiue ad quadratum differentiæ eius, quæ eſt inter I L, N O eſt vt C G in H E ad quadratum exceſſus E H ſupra H V: 10. ſiue ad I L in N O erit, vt C G ad H V: 11. ſiue ad duorum quadrato- rum I L, N O ſummam, erit vt C G ad ſummam G E, E H; 12. ſiue ad quadratum I P erit, vt C G in H E ad quadratum E G: 13. ſiue ad quadratum differen- tiæ L I, I P erit, vt C G in E H ad quadratum differentiæ H E, E G: 14. ſiue ad quadratum ex recta linea æquali sũmæ dua-rum L I, I P, erit vt C G in E H ad quadratum ex recta li-nea compoſita ex H E, E G: 15. ſiue ad L I in I P erit vt C G ad G E: 16. ſiue ad duo quadrata ex L I, & ex I P erit vt C G in E H ad duo quadrata E G, & E H: 17. ſiue ad differentiam duorum quadratorum ex L I, & ex I P erit vt C G in E H ad differentiam duorum quadratorum ex H E, & ex E G. Et hoc erat propoſitum.

a
37. lib. I. b c d e
f g h i k l
Notæ in Propoſit. VIII.

IIſdem figuris manentibus ſit H V potens comparata, & c. Præter defi- nitiones ſuperius expoſitas hic duæ aliæ declarari debent, ignotum enim eſt quid nam nomine Figuræ comparatæ, & Potentis comparatæ intelligi debeat. Itaq; rectangulum ſub præſecta comparata, & intercepta comparata contentum, ideſt rectangulum H E G vocatur Figura comparata: & ſi quadratum rectæ li-neæ H V æquale fuerit rectangulo H E G vocatur H V Potens comparata.

a

Ergo S D in D M ad quadratum D I, nempe E C in C A ad qua- dratũ C E, & c. AEqualia enim ſpatia, ſcilicet rectangulũ S D M, & quadratũ D A ad idem quadratum I D habent eandem proportionem; ſed quia triangula M I D, & A B C ſimilia ſunt, propterea quod latera homologa ſunt parallela inter ſe; pariterquè triangula D S I, & C E B ſunt ſimilia, vt oſtenſum eſt in 6. & 7. huius; ergo S D ad D I erit vt E C ad C B, atquè M D ad D I eſt vt A C ad C B erunt compoſitæ proportiones eædem inter ſe, ſcilicet rectan-gulum S D M ad quadratum D I eandem proportionem habebit, quàm rectan-gulum E C A ad quadratum C B; quare vt quadratum A D ad quadratum D I, ſeu vt quadruplum ad quadruplum, ſcilicet vt quadratum A C ad qua-dratum I L, co quod A D, & I D ſemiſſes ſunt diametrorum A C, I L.

b 37. lib. I.
Notæ in Propoſit. IX.

SIue ad quadratum differentiæ eius, quæ eſt inter I L, N O eſt vt C G in H E ad quadratum E H, H V, & c. Licet nouem ſubſequentes propoſitiones facile ex octaua deducantur, nequeunt tamen omnes ſimul conglo-batæ vnico bauſtu deuorari; itaque opere prætium erit aliquantisper breuita-tem nimiam Arabici Interpretis relinquere. Tria demonſtrata ſunt in propoſi-tione octaua, quæ in ſequentibus nouem propoſitionibus vſum babent. Primò quod quadratum A C ad quadratum I L eandem proportionem habeat, quàm rectangulum C G in H E ad quudratum H E. Secundò quod I L ad N O ean-dem proportionem habeat, quàm H E intercepta comparata ad H V potentem comparatam. Tertio quod quadratum I L ad quadratum N O, ſeu L I ad eius latus rectum I P, ſit vt H E ad E G, vel vt quadratum H E ad rectangulum H E G, vel ad quadratũ H V. Modo propoſitio nona ſic demonſtrabitur. Quia I L ad N O eandem rationem habet quàm H E ad H V, erunt antecedentes ad differentias terminorum proportionales, ideſt I L ad differentiam ipſarum I L, & N O eandem proportionem habebit, quàm H E ad differentiam ipſarum E H, & H V: atquè quadratum I L ad quadratum ex differentia ipſarum I L, & N O deſcriptum eandem proportionem habebit, quàm quadratum H E ad quadratum ex differentia ipſarum E H, & H V deſcriptum: erat autem qua- dratum A C ad quadratum I L, vt rectangulum C G in H E ad quadratum E H; ergo ex æquali ordinata quadratum A C ad quadratum ex differentia ip-ſarum I L, & N O deſcriptum eandem proportionem habebit, quàm rectangu-lum C G in H E ad quadratum ex differentia ipſarum E H, & H V.

c 15. & 16. lib. I.
8. huius.
Notæ in Propoſit. X.

SIue ad I L in N O erit vt C G ad H V, & c. Quia I L ad N O habe- bat eandem proportionem, quàm E H ad H V poſitis communibus altitudi-nibus I L, & E H habebit quadratum I L ad rectangulum I L in N O eandẽ proportionem, quàm quadratum E H ad rectangulum E H in H V; ſed qua- dratum A C ad quadratum I L habebat eandem proportionem, quàm rectangu-lum C G in E H ad quadratum E H; ergo ex æqualitate quadratum A C ad rectangulum ſub I L in N O eandem proportionem habet, quàm rectangulum C G in H E ad rectangulum E H in H V, ſiue quàm habet C G, ad H V.

d ex prop. 8. huius.
Notæ in Propoſit. XI.

SIue ad duorum quadratorum I L, N O ſummam erit vt C G ad ſum- mam G E, & E H, & c. Quia quadratum I L ad quadratum N O erat, vt H E ad E G, antecedentes ad ſummas terminorum erunt proportionales, ſcilicet quadratum I L ad quadratum I L ſimul cum quadrato N O eandem pro- portionem babebit, quàm H E ad ſummam ipſarum H E, & E G; erat au-tem quadratum C A ad quadratum I L, vt C G ad E H; ergo ex æqualitate quadratum A C ad quadrata ex I L, & ex N O ſimul ſumpta eandem pro-portionem babebit, quàm C G, vel H A ad ſummam ipſarum H E, & G E.

e Prop. 8. huius.
Notæ in Propoſit. XV.

SIue ad quadratum I P erit vt C G in E H ad quadratum E G, & c. Quoniam I L ad I P erat vt H E ad E G; ergo quadratum I L ad qua-dratum I P erit vt quadratum H E ad quadratum E G; erat autem quadra-tum A C ad quadratum I L, vt rectangulum C G, ſeu A H in H E ad qua-dratum E H; igitur ex æqualitate quadratum A C ad quadratum I P ean-dem proportionem habebit, quàm rectangulum A H E ad quadratum G E.

f
Notæ in Propoſit. XIX.

SIue ad quadratum differentiæ L I, & I P erit vt C G in E H ad qua- dratum differentiæ H E, E G, & c. Quia I L ad I P erat vt H E ad E G, comparando antecedentes ad terminorum differentias, ſcilicet I L ad dif-ferentiam ipſarum I L, & I P eandem proportionem habebit, quàm E H ad differentiam ipſarum E H, & E G, & quadratum I L ad quadratum ex dif-ferentia ipſarum I L, & I P deſcriptum eandem proportionem habebit, quàm quadrætum H E ad quadratum ex differentia ipſarum H E, & G E deſcriptũ: erat autem quadratum C A ad quadratum I L, vt rectangulum A H E ad quadratum H E; ergo ex æqualitate quadratum A C ad quadratum ex diffe-rentia ipſarum I L, & I P eandem proportionem habebit, quàm rectangulum A H E ad quadratum ex differentia ipſarum H E, & E G.

g
Notæ in Propoſit. XVI.

SIue ad quadratum ex recta linea æquali ſummæ duarum I L, & I P erit, vt C G in H E ad quadratum ex recta linea compoſita ex H E, E G, & c. Quia I L ad I P erat vt H E ad E G comparando, antecedentes ad ſummas terminorum, erit I L ad I L, & I P ſimul ſumptas, vt H E ad H E, & E G ſimul ſumptas, & quadratum I L ad quadratum ex ſumma ipſarum I L, & I P deſcriptum, erit vt quadratum H E ad quadratum ex ſumma duarum H E, & E G deſcriptum; & erat prius quadratum A C ad quadra-tum I L, vt rectangulum A H E ad quadratum H E; igitur ex æqualitate quadratum A C ad quadratum ex ſumma ipſarum I L, & I P deſcriptum eã-dem proportionem habebit, quàm rectangulum A H E ad quadratum ex ſumma ipſarum H E, & E G deſcriptum.

h
Notæ in Propoſit. XVIII.

SIue ad I L in I P erit, vt C G in G E, & c. Quia I L ad I P eſt vt H E ad G E poſitis communibus altitudinibus I L, H E habebit quadratum I L ad rectangulum ſub I L, & I P eandem proportionem, quàm quadratum H E ad rectangulum H E G: ſed quadratum A C ad quadratum I L eandem proportionem habebat, quàm rectangulum A H E ad quadratum H E; ergo ex æqualitate quadratum A C ad rectangulum L I P eandem proportionem habebit quàm rectangulum A H E ad rectangulum H E G, ſeu vt A H, vel C G ad G E.

i
Notæ in Propoſit. XVII.

SIue ad duo quadrata ex I L, & I P erit, vt C G in E H ad duo qua- drata E G, & E H, & c. Quoniam I L ad I P erat vt H E ad E G, & quadratum I L ad quadratum I P erit vt quadratum H E ad quadratum E G: & comparando antecedentes ad terminorũ ſummas quadratum I L ad qua-dratum I L vna cum quadrato I P habebit eandem proportionem, quàm qua-dratum H E ad ſummam quadrati H E cum quadrato E G: ſed prius quadra-tum A C ad quadratum I L erat vt rectangulum A H E ad quadratum H E; igitur quadratum A C ad ſummam quadrati I L cum quadrato I P eãdem pro-portionem babebit quàm rectangulum A H E ad quadratum E G vna cum qua-drato E H.

k
Notæ in Propoſit. XX.

SIue ad differentiam duorum quadratorum I L, I P erit, vt C G in H E ad differentiam duorum quadratorum ex H E, & ex E G, & c. Quoniam vt dictum eſt quadratum I L ad quadratum I P eandem proportionẽ habet, quàm quadratum H E ad quadratum G E, & comparando anteceden-tes ad terminorum differentias quadratum I P ad differentiam quadrati I L à quadrato I P eandem proportionem habebit, quàm quadratum H E ad diffe-rentiam inter quadratum H E, & quadratum E G: eſtque quadratum C A ad quadratum I L, vt rectangulum A H E ad quadratũ H E; ergo ex æquali quadratum A C ad quadratorum ex I L, & ex I P differentiam eandem pro-portionem habebit, quàm rectangulum A H E ad quadratorum ex E G, & ex E H differentiam.

l
SECTIO QVARTA Continens Propoſit. Apollonij XII. XIII. XXIX. XVII. XXII. XXX. XIV. & XXV.

XII. XIII. DIfferentia quadratorum duorum axium hy-XXV. perboles æqualis eſt differentiæ quadra-torum quarumlibet duarum diametrorum coniugatarum.

XXVIIII. Nempe differẽtiæ inter quadrata à figuris earumdẽ diametrorum æquales ſunt.

XXVII. Et differentia duorum axium maior eſt differentia quarumlibet duarum diametrorum coniugatarum.

XXII. Et ſumma quadratorũ duorum axium ellipſis æqualis eſt ſummæ quadratorum quarumlibet duarum diametrorum con-iugatarum.

XXX. Nempe ſummæ quadratorum, & figurarum earundem diametrorum homologarum ſunt æquales.

XIIII. Axis verò tranſuerſi quadratũ ad differentiam quadra-torum duarum diametrorum coniugatarum eandem proportio-nem habet, quàm præſecta ad duplam inuerſæ.

In eiſdem figuris, quia quadratum A C ad quadratum ſui coniugati (in propoſitione 12. 13. 25.) nempe C A ad A F erectum ipſius eſt, vt Præſecta C G ad Interceptam G A, ſiue ad C H; ergo quadratum A C in hyperbola ad differentiam quadratorum axium ipſius, & in elli-pſi ad eorundem ſummam eandem proportionem habet, quàm C G ad H G. Demonſtratum autem prius fuit, quadratum C A ad quadratum I L eandem proportionem habere, quàm C G ad H E, & quadratum I L ad quadratum N O eandem proportionem habet, quàm H E ad E G; Inſuper quudratum I L ad ſummam quadratorum I L, N O in elli-pſi, aut ad eorundem differentiam in hyperbola eandem proportionem habebit, quàm H E ad H G; & in propoſitione 14. vt H E ad exceffum H E, E G, quod eſt duplum D G; igitur ex æqualitate quadratum A C, ſiue ad ſummam duorum quadratorum I L, N O, quemadmodum habetur in propoſitione 22. & 30. ſiue ad eorundem differentiam, veluti habetur in propoſitionibus 12. 13. 14. eandem proportionem habebit, quàm C G ad H G, ſiue ad duplum D G, vt in propofitione 14. & de-monſtratum fuit in eadem proportione eſſe quadratum A C ad ſummam quadratorum A C, & eius coniugati, & eſt propoſitio 25. aut ad eorun-dem differentiam, & eſt propoſitio 12. quapropter ſumma quadratorum I L, N O coniugatarum in ellipſi, nempe quadratum I L vna cum eius figura eſt æquale aggregato quadrati A C vna cum quadrato eius coniu-gati 30. nempe quadrato A C, & illius figuræ, & in hyperbola diffe-rentia quadratorum I L, N O nempe exceſſus quadrati I L ſuper illius figuram æqualis eſt differentiæ duorum quadratorum A C, & recti illius nempe quadrato A C, & illius figuræ 27. & oſtenſum iam eſt, quod I L in hyperbola maior eſt, quàm A C; ergo differentia A C & illius con-iugati maior quàm differentia I L, & N O: atquè fic oſtendetur, quod differentia I L, & N O maior ſit, quàm differentia quarumlibet duarum coniugatarum ab axi remotiorum. Et hoc erat oſtendendum.

a ex Def. 1. & 2. b
6. & 7. huius. c
Notæ in Propoſit. XII.

IN eiſdem figuris, quia quadratum A C ad quadratum ſui coniugati in propoſitione 12. & 25. nempe A C ad A F erectum ipſius eſt vt præ-ſecta C G ad Interceptam G A, ſeu C H: ergo quadratum A C in hy-perbola ad differentiam quadratorum axium ipſius, & in ellipſi ad illo-rum ſnmmam eſt, vt C G ad H G, & c. Ideſt. Quia quadratum A C ad quadratum axis ei coniugati Q R, ſiue C A ad eius erectum A F eandem pro- portionem habet, quàm præſecta C G ad Interceptam G A, vel ad C H, & comparando antecedentes ad terminorum differentias in hyperbola, & ad ter-minorum ſummas in ellipſi, quadratum C A ad differentiam quadratorum ex axi A C, & ex axi Q R habebit in hyperbola eandem proportionem, quàm C G ad differentiam inter C G, & C H: in ellipſi verò quadratum A C ad ſum-mam quadratorum ex A C, & ex Q R eandem proportionem habebit, quàm C G ad ſummam ipſius C G cum C H.

a Defin. 1. & 2. huius.

Et quia iam demonſtratum eſt, quod quadratum C A ad quadratum I L ſit, vt C G ad E H, & c. Relicta abſtruſa complicatione propoſitionum Arabici Interpretis diſtinctiori methodo, ſicuti in præcedenti ſectione factum eſt propoſitiones declarabimus. Quoniam in hyperbola quadratum I L ad quadra-tum N O eandem proportionem habet, quàm H E ad E G comparando antece-dentes ad terminorum differentias, quadratum I L ad differentiam quadrati I L à quadrato N O eandem proportionem habebit, quàm H E ad ipſarum H E, & E G differentiam; ſed quadratum A C ad quadratum I L eſt vt C G ad H E (veluti in propoſitione 8. oſtenſum eſt) ergo ex æqualitate quadratum A C ad quadratorum ex I L, & ex N O differentiam eandem proportionem habebit, quàm C G ad ipſarum H E, & E G differentiam, ſeu ad H G: ſed in eadem hyperbola quadratum A C ad quadratorum A C, & Q R differen-tiam eandem proportionem habet, quàm C G ad ipſarum C G, & C H diffe-rentiam, ſeu ad H G (veluti in principio huius propoſitionis dictum eſt) ergo quadratum A C ad quadratorum ex A C, & ex Q R differentiam, eandem proportionem habebit, quàm ad quadratorum ex I L, & ex N O differentiam; & ideo in hyperbola differentiæ quadratorum axium A C, & Q R æqualis eſt diffcrentiæ quadratorum I L, & N O coniugatarum.

b 6. huius.
Notæ in Propoſit. XIII.

QVoniam in ellipſi quadratum I L ad quadratum N O eandem proportio- nem habet, quàm H E ad G E; comparando antecedentes ad terminorũ ſummas quadratum I L ad quadratorum ex I L, & ex N O ſum-mam eandem proportionem habebit, quàm H E ad ipſarum H E, & E G ſum-mam: ſed quadratum A C ad quadratum I L eſt, vt C G ad H E (vt in octa-ua propoſitione dictum eſt) ergo ex æquali quadratum A C ad quadratorum ex I L, & ex N O ſummam eandem proportionem habebit, quàm C G ad ſum-mam ipſarum H E, & E G, ſeu ad G H: ſed in principio præcedentis notæ oſtenſum eſt, quod in ellipſi quadratum A C ad quadratorum ex A C, & ex Q R ſummam eandem proportionem habet, quàm C G ad ſummam ipſarum C G, & C H, ſeu ad G H: quarè quadratum A C eãdem proportionem habet ad ſum-mam quadratorum ex C A, & ex Q R, quàm ad ſummam quadratorum ex I L, & ex N O; & propterea in ellipſi quadrata duorum axium A C, & Q R ſimul ſumpta æqualia ſunt quadratis duarum coniugatarum diametrorum I L, & N O ſimul ſumptis.

7. huius.
Notæ in Propoſit. XXIX.

QVoniam in hyperbola differentia quadratorum ex axi A C, & ex axi Q R æqualis eſt differentiæ inter quadratum I L à quadrato eius coniugatæ N O; eſtque Q R media proportionalis inter ſiguræ latera A C, & A F; ergo rectangulum C A F ſub extremis contentum æquale eſt quadrato in-termediæ Q R: Et propterea differentia inter quadratum A C, & rectangu-lum C A F æqualis erit differentiæ inter quadratum A C à quadrato Q R. pari ratione erit differentia quadrati I L à rectangulo L I P æqualis differen-tiæ quadrati I L à quadrato N O; & propterea in hyperbole differentia qua-drati axis A C à rectangulo ſub figuræ lateribus contentum C A F æqualis eſt differentiæ quadrati diametri I L à rectangulo L I P ſub lateribus figuræ eius.

12. huius. 16. lib. 1.
Notæ in Propoſit. XXX.

QVoniam in ellipſi quadratorum ex A C, & ex Q R ſumma æqualis eſt ſummæ quadratorum ex I L, & ex N O: eſtque rectangulum C A F æquale quadrato Q R, & rectangulum L I P æquale quadrato N O (vt in præcedenti nota dictum eſt) igitur in ellipſi quadratum axis A C, & rectangulum C A F ſub eius lateribus cõtentum ſimul ſumpta æqualia ſunt qua-drato ex I L cum rectangulo figuræ eius L I P.

Prop. 13. huius. ex 15. lib. 1.
Notæ in Propoſit. XIV. & XXV.

QVoniam nedum in hyperbola, ſed etiam in ellipſi quadratum A C ad ſum-mam quadratorum ex I L, & ex N O eandem proportionem habet, quã A H ad ſummam ipſarum H E, & E G, atque quadratorum ex I L, & ex N O ſumma ad eorundem quadratorum differentiam eandem propor-tionem habet, quàm ipſarum H E, & E G ſumma ad earundem differentiam; evgo ex æquali quadratum A C ad quadratorum ex I L, & ex N O differen-tiam eandem proportionem habet, quàm C G, ſiue H A ad ipſarum H E, & E G differentiam; ſed in ellipſi ipſarum H E, & E G differentia æqualis eſt duplo E D; igitur in ellipſi quadratum A C ad quadratorum ex I L, & ex N O differentiam eandem proportionem habebit, quàm præſecta C G ad duplum inuerſæ E D.

Notæ in Propoſit. XXVII.

ET oſtenſum iam eſt, quod I L in hyperbola maior eſt, quàm A C; ergo differentia A C, & illius coniugati maior eſt, quàm differen-tia homologorum ſuorum à ſuis coniugatis, & differentia proximioris ho-mologi ad ſuam coniugatam maior eſt differentia remotioris à ſua coniu-gata, & c. Hoc autem ſic demonſtrabitur. In diametris A C, & I L produca-tur A M æqualis Q R, & I K æqualis N O, & ab ijsdem ſecentur A S æqua-lis Q R, & I T æqualis N O. Quoniam M S bifariam ſecatur in A, & ei indirectum additur S C, erit rectangulum M C S cum quadrato ex A S, ſeu ex Q R æquale quadrato ipſius A C; ergo rectangu-lum M C S æquale eſt dif-ferentiæ quadrati A C à quadrato Q R: pariratione rectangulum K L T vna cum quadrato N O æquale erit quadrato I L: ergo ſi-militer rectangulum K L T æquale eſt differentiæ quadratorum ex I L, & ex N O; eſtquè quadratum I L maius quadrato A C, cum diameter I L in hyper-bola maior ſit, quàm axis C A; igitur rectangulum K L T vna cum quadrato N O maius erit rectangulo M C S vna cum quadrato Q R: eſt verò rectangu-lum M C S æquale rectangulo K L T (cum ſint differentiæ quadratorum ex con- iugatis diametris, quæ in hyperbola oſtenſæ ſunt æquales); ergo quadratum N O, ſcilicet reſiduum maioris ſummæ, maius erit quadrato Q R, quod eſt reſi-duum ſummæ minoris: & propterea N O maior erit, quàm Q R: erat autem I L maior quàm C A; igitur I L cum N O, ſeu K L maior erit, quàm A C, & Q R ſimul, ſiue quàm M C: ſed in rectangulis M C S, & K L T æquali-bus, vt K L ad M C, ita reciprocè C S ad L T; igitur C S, ſeu differentia ipſarum A C, & Q R maior eſt, quàm L T, ſeu differentia ipſarum I L, & N O in hyperbola.

C
Prop. 12. huius.

Si poſtea præter I L ponatur alia diameter ab axe remotior cum ſua coniu-gata erit ſimiliter differentia quadratorum ex diametris coniugatis remotiori-bus ab axi æqualis differentiæ quadratorum axium A C, & Q R, & ideo æqualis erit differentiæ quadratorum ex I L, & ex N O; eſtque pariter diame-ter illa remotior ab axe maior quàm I L; ergo ſimili ratiocinio oſtendetur, quod differentia coniugatarum diametrorum ab axe remotiorum minor eſt, quàm dif-ferentia propinquiorum I L, & N O.

SECTIO QVINTA Continens Propoſit. XXI. XXVIII. XXXXII. XXXXIII. XXIV. & XXXVII.

AXes hyperboles ſi fuerint æquales, tunc quælibet diame-tri coniugatæ in illa ſectione æquales ſunt 21. ſi verò fue-rit 28. vnus duorum axium in hyperbola, aut ellipſi maior, tunc eius diameter homologa maior erit ſua coniugata, quouſ-què ad duas æquales diametros coniugatas in ellipſi peruenia-tur, & axis maior ad ſuum coniugatum, ſiuè ad erectum eius maiorem proportionem habet, quàm quælibet alia diameter eiuſdem ſectionis ad ſibi coniugatam, ſiue ad eius erectum; eritque proportio maioris diametri axi proximioris ad ſibi con-iugatam, ſiue ad eius erectum maior proportione maioris con-iugatarum ab illo remotioris ad minorem, ſiue ad eius erectũ. Et minima figurarum diametrorum erit figura axis inclinati, ſiue tranſuerſi, & maxima erit figura recti in ellipſi: atque figuræ reliquarum diametrorum (ſiue diametri ſint inclinatæ, vel tran-ſuerſæ) maiores ſunt, quã figuræ diametrorũ ab axi remotiorũ 24. Et in ellipſi erectus axis tranſuerſi minor eſt, quã erectus cuiuslibet alterius diametri, & erectus proximioris diametri minor eſt erecto cuiuslibet remotioris 37. Et exceſſus axis tranſuerſi ſuper e-ius coniugatum maior eſt, quã exceſſus homologarum diame-trorum, ſuper ſuas coniugatas, & exceſſus proximioris homo-logæ ſuper ſuam coniugatam maior eſt, quàm exceſſus re-motioris ſuper eius coniugatã. Et differentia duorum laterum figuræ axis maior eſt, quàm differentia duorum laterum figuræ ſui homologi; pariterque pro-ximioris axi homologi differentia duorum laterum figuræ eius maior eſt, quàm differentia duorum laterum figuræ remotioris.

a
PROPOSITIO XXI. & XXVIII.

SIt itaque ſectio A B P, & duo axes coniugati eius A C, Q R, centrum D; ſintque I L, N O duæ aliæ diametri con-iugatæ; pariterque S T, V X, & educamus ad axim C A M perpendiculares B E, P M. Dico quod ſi fuerit A C æqualis Q R; erit quoque I L æqualis ipſi N O, & S T ipſi V X. Si verò fuerit eorum aliquis reliquo major, vtique eius homologa diameter maior quoque erit ſua coniugata, & ſimiliter in reli-quis propoſitionibus.

Sit prius alter axis A C maior in prima figura, ſed Q R in ſecunda; ſintque A G, C H duæ interceptæ diametri A C. Et quia quadratum A C ad quadratum Q R, nempe A C ad eius erectum eſt vt A H ad H C, ſeu ad A G; & habet H A ad A G maiorem proportionem in prima figura, & minorem in ſecunda, quàm H E ad E G, quæ oſtenſa eſt ( 6. 7. ex 7. ) vt quadratum I L ad quadratum N O, nempe I L ad eius erectum. Et ſimiliter proportio illa maior, aut minor eſt, quam H M ad M G, quæ eſt vt quadratum S T ad quadratum V X; igitur A C ad Q R, ſiue ad erectum ipſius A C in prima maiorem proportionem habet, & in ſecunda minorem, quàm I L ad N O, ſiue ad erectum ipſius I L, ſiue quàm S T ad V X, vel ad erectum ipſius S T; ſed quia H E ad E G in prima figura maiorem proportionem, & in ſecunda minorem, quàm H M ad M G habebit I L ad N O maiorem pro-portionem in prima, & minorem in ſecunda, quàm S T ad V X, cum-que H E in prima figura ſit maior, & in ſecunda minor, quàm E G, pari-terque H M, quàm M G, erit I L in prima maior, & in ſecunda minor, quàm N O, ſimiliterque S T, quàm V X.

ex Def. I. huius.

XXI. Deinde ſit A C æqualis QR in hyperbola fiet A C æqualis ere-cto, & conuenient duo puncta H, & G in puncto D, eritque A C ad Q R vt A D ad ſe ipſam, ſiue vt A C ad ſe ipſam, quæ eſt vt D E ad ſe ipſam, & hæc oſtenſa eſt, vt quadratum I L ad quadratum N O; igi- tur I L, & N O ſunt æquales, & ſic demonſtrabitur, quod S T, V X ſunt æquales, & hoc erat propoſitum.

b
Prop. 6. huius.
PROPOSITIO XXVI

At in ellipſi fieri po- teſt, vt H E ſit æ-qualis E G, ſi nimirum punctum B cadat in Q, & tunc B E cadetſuper Q D, & erit diameter I L æqua-lis ſuæ coniugatæ; & vo-cabo eas æquales.

Quia C G ad C H, nempe quadratum A C ad ſuam fi-guram maiorem proportionem habet in primis figuris, & mi-norem in ſecunda ellipſi, quàm C G ad G E, nempe quàm quadratum A C ad figuram ipſius I L ( 18. ex 7. ) & C G ad G E in primis figurisma-iorem proportionem habet, & in ſecunda ellipſi minorem, quàm C G ad G M, nempe quàm quadra-tum A C ad figuram ipſius S T ( 18. ex 7. ) ergo figura ipſius A C eſt minor; in ſecunda verò maior quàm figura ipſius I L; & ſimiliter figura ipſius I L maior, aut minor eſt figura S T. Et hoc eſt propoſitum.

PROPOSITIO XXXXII.

In hyperbole, & ellipſi sũ- ma duorum axium minor eſt ſumma quarumlibet duarum cõ-iugatarum diametrorum eiuſdẽ ſectionis.

XXXXIII. Et planum ab eis contentũ minus eſt plano à dua-bus coniugatis contento, & planum à proximioribus axi coniugatis contentum minus eſt plano à remotioribus con-tento.

Iiſdem figuris manentibus, quia in hyperbole A C minor eſt quàm I L, & I L, quàm S T; & ſiquidem A C æqualis fuerit Q R, erit quo-que I L æqualis N O, & S T æqua-lis V X ( 21. ex 7. ) ergo ſumma ipſorum A C, Q R minor eſt, quã ſumma I L, N O, & quàm S T, V X: ſi verò A C non fuerit æqua-lis ipſi Q R, vtique differentia duo- rum quadratorum A C, Q R æqua-lis erit differentiæ quadratorum I L, N O: & propterea ſumma ipſorum A C, Q R minor erit, quàm ſum-ma I L, N O: & hæc ſumma ex hac eadem demonſtratione minor etiam erit, quàm ſumma duarum S T, V X. At in ellipſi; quia A C ad Q R maiorem proportionem habet, quàm I L ad N O ( 28. ex 7. ) habebit quadratum ex ſumma A C, Q R ad earundem duarum ſummam quadratorum maiorem proportionem, quàm quadratum ſummæ I L, N O ad quadratorum ſummam earundem: & ſumma duorum quadratorum ipſarum æqualis eſt ſummæ duorum quadratorum A C, Q R ( 22. ex 7. ) ergo ſumma A C, Q R minor eſt, quàm ſumma I L, N O, atque ſic oſtendetur, quod sũ-ma I L, N O minor eſt, quàm ſumma S T, V X. Quod erat propoſitũ.

12. 13. huius. d e
PROPOSITIO XXXXIII.

D Einde in ellipſi quadratum ſummæ A C, Q R minus eſt quadrato ſummæ I L, N O; & ſumma duorum quadratorum A C, Q R æqualis eſt ſummæ duorum quadratorum I L, N O (22. ex 7. ) igitur remanet A C in Q R minus quàm I L in N O, & ſimiliter I L in N O minus erit, quàm S T in V X.

f

Sed in hyperbola, quia quilibet axium minor eſt homologa diame-tro coniugatarum; igitur planum rectangulum ab axibus contentum mi-nus eſt eo quod à duabus coniugatis continetur hoc igitur in hyperbo-le manifeſtum eſt.

In ellipſi autem, quia A C ad Q R maiorem proportionem habet; quàm I L ad N O per conuerſionem rationis, & permutando maior A C ad minorem I L minorem proportionem habebit, quàm differentia ipſa-rum A C, Q R ad differentiam ipſarum I L & N O; & propterea diffe-rentia ipſarum A C, & Q R maior erit differentia reliquarum I L, & N O. Et ſimiliter oſtendetur, quod exceſſus I L ſuper N O maior ſit, quàm exceſſus S T ſuper V X.

g
PROPOSITIO XXIV.

Et quia in ellipſi qua- dratum Q R, nempe figura axis A C minor eſt in prima, & maior in ſe-cunda ellipſi, qdàm qua-dratum N O, nempe quã figura I L ( 28. ex 7. ) eſtque A C maior in pri-ma, & minor in ſecunda figura quàm I L ; igitur erectum ipſius A C minus eſt in prima figura, & ma-ius in ſecunda, quàm ere-ctum I L. Et ſic oſtende-tur, quod ereæum ipſius I L maius ſit, ſiue minus, quàm erectum S T.

h

Et quia erectum ipſius A C minus eſt in prima ellipſi, & maius in ſecun-da, quàm erectum ipſius I L, & A C maior eſt in prima, & minor in ſecun-da figura quàm I L, igi-tur differentia A C, eiuſq; erecti, quæ ſunt duo la-tera figuræ A C, in quo- libet caſu maior erit differentia I L, eiuſque erecti. Pari modo oſtende-tur quod differentia ipſius I L, & eius erecti maior ſit differentia ipſius S T, eiuſque erecti. Et hoc erat oſtendendum.

PROPOSITIO XXXVII.

In hyperbole differentia la-terum figuræ axis inclinati maior eſt differentia laterũ figu-rę ſui homologi eiuſdẽ ſectionis: & differẽtia laterum figuræ in- clinati proximioris axi maior eſt differentia laterum figuræ inclinati ab illo remotioris.

In hyperbole A B P ſit axis C A, & I L, S T ſit duæ aliæ dia-metri, & centrum D; atque ere-ctus ipſius A C ſit A F, & ipſius I L ſit I K, atque ipſius S T ſit S Z: & educamus C B, C P, pa-rallelas duabus homologis diame-tris I L, S T, & duas ad axim perpendiculares B E, P M, ſece-muſque duas interceptas C H, A G, & ſit inclinatus A C in prima figura maior, quàm A F, in ſecũ-da verò minor. Et quoniam A C ad A F ſupponitur vt H A ad A G erit quadratum A C ad quadratum differentię ipſarum A C, A F, vt quadratum H A ad quadratum H G, at ad quadratum differentię ipſa-rum I L, I K eſt, vt E H in H A ad quadratum H G (19. ex 7.) ad quadratum verò differentię S T, S Z eſt, vt H M in H A ad quadratum H G (19. ex 7.) eſt verò M H in H A maius quàm E H in H A, atque E H in H A maius quàm quadratum H A; igitur A C ad differentiam ipſarum A C, A F minorem proportionem habet, quàm ad differentiam ipſarum I L, I K, & ad differentiam earundem I L, I K minorem pro-portionem habet, quam ad differentiam ipſarum S T, S Z; igitur diffe-rentia ipſarum A C, A F maior eſt, quàm differentia ipſarum I L, I K, atquè differentia earundem I L, I K maior eſt quàm differentia S T, S Z. Quod erat propoſitum.

Notę in Propoſit. XXVIII.

S It in primis figuris axis A C maior, quàm axis Q R. Quia quadratum A C ad quadratum Q R eandem proportionem habet, quàm H A ad A G: eſtque G A minor quàm G E; ergo H G ad G A maiorem proportionem habet quàm ad G E: & componendo in hyperbola, & diuidendo in ellipſi H A ad A G maiorem proportionem habet, quàm H E ad E G; ſed H E ad E G eandem proportionem habet, quàm quadratum I L ad quadratum N O; ergo quadra-tum A C ad quadratum Q R maiorem proportionem habet, quàm quadratum I L ad quadratum N O : & propterea A C ad Q R maiorem proportionem habet, quàm I L ad N O : & ſunt quoquè earundem proportionum dupli-catę pariter inęquales, nimirum axis A C ad eius latus rectum A F maio-rem proportionem habebit, quàm dia-meter I L ad eius latus rectum I K. Secundò quia G E minor eſt, quàm G M ; ergo H G ad G E maiorem pro-portionem habet, quàm ad G M ; & componendo in hyperbola, & diuidendo in ellipſi H E ad E G maiorem proportionem habebit, quàm H M ad M G, & quadratum I L ad quadratum N O habet eandem proportionem, quàm H E ad E G ; nec non quadratum S T ad quadratum V X eandem proportionem habet, quàm H M ad M G ; ergo quadratum I L ad quadratum N O maiorem pro-portionem habet, quàm quadratum S T ad quadratum V X, & I L ad N O maiorem proportionem habebit, quàm S T ad V X, & earundem proportio-num duplicatę inęquales quoque erunt, ſcilicet I L ad eius latus rectum maio-rem proportionem habebit, quàm S T ad eius latus rectum. Deindè in ſecun-dis figuris ſit axis A C minor quàm Q R. Quia H A minor eſt, quàm H E; nec non H E minor quàm H M ergo H A ad eandem H G minorem proportio-nem habebit, quàm H E, & compa-rando antecedentes, ad terminorum ſummas vel ad differentias H A ad A G minorem proportionem habet, quàm H E ad E G, & ſimiliter H E ad E G minorem proportionem habet, quàm H M ad M G : eſt verò quadratum A C ad quadratum Q R, vt H A ad A G, & quadratum I L ad quadratum N O, vt H E ad E G ; pariterquè quadratum S T ad quadratum V X eſt, vt H M ad M G ; & ideo A C ad Q R mino-rem proportionem habebit, quàm I L ad N O, & I L ad N O minorem propor-tionem habebit, quàm S T ad V X; & ſimiliter earundem proportionum dupli- catę eodem ordine inęquales erunt, ſci-licet A C ad eius latus rectum minorem proportionem habebit quàm I L ad etus rectum latus, & c. Ad perfectionem partis ſecundę propoſitionis 28. requiri-tur hoc.

ex 15. 16. lib. 1. Defin. 1. huius. 6. & 7. huius.
ex 15. 16. huius. 6. & 7. huius.
Lem. 2. lib. 5. ex 15. 16. lib. 1. Defin. 1. huius. Prop. 7. huius. ex 15. 16. lib. 1.
LEMMA. I.

I N ellipſi cuius axes inęquales ſunt, duas diametros coniugatas inter ſe ęquales reperire.

In eadem figura coniungatur recta linèa A Q terminos axium coniungens, & per centrum huic parallela ſit e d, perq; idem centrum, & ſemipartitionem applicatę A Q ducatur diameter a b: Dico diametros coniugatas a b, & e d ęquales eſſe inter ſe. Quoniam à termino Q ordinatim applicatę A Q ad dia-metrum a b ducitur ad axim perpendicularis Q D cadens in centrum D; ergo H D ad D G eandem proportionem habet, quàm quadratum diametri a b ad quadratum eius coniugatę c d; ſuntquè H D, & G D ęquales inter ſe, cum ſemiaxes, atquè interceptę ſint ęquales inter ſe; ergo diametri coniugatę a b, & c d ęquales erunt inter ſe hoc pręmiſſo.

Prop. 7. huius.

Reperiantur in ellipſi duę diametri coniugatę inter ſe ęquales a b, e d, & inter a, & A ponantur diametri I L, S T, quarum coniugatę N O, & V X, & ducãtur reliquę rectę lineę, vt prius factum eſt, & pona-tur primo loco axis A C maior quàm Q R: Dico I L maiorem eſſe ipſa N O, & S T maiorem V X. Quia quadratum A C ad quadratum Q R eandem propor- tionem habet, quàm H A ad A G, & quadratum I L ad qua-dratum N O eandem proportio-nem habet, quàm H E ad E G; pariterquè quadratum S T ad quadratum V X eandem propor- tionem habet, quàm H M ad M G ; ſed in prima hyperbola, & prima ellipſi H A maior eſt, quàm A G, & H E maior, quã E G, atquè H M maior, quàm M G; igitnr quadratum I L ma- ius eſt quadrato N O, & qua- dratum S T maius quadrato V X ; ideoquè quando axis A C maior eſt, quàm Q R, crit dia-meter I L maior eius coniugata N O, & S T maior quàm V X. Pari ratione, quandò axis A C minor eſt, quàm Q R erit H A minor, quàm A G, & H E mi-nor, quàm E G, atque H M mi-nor, quàm M G : & propterea in ſecunda hyperbola, & ſecun-da ellipſi etiam diameter I L minor erit, quàm N O, & S T minor erit quàm V X. Idem, contingit in reliquis diametris, dummodò in ellipſi cadant inter A, & a, nam a b eſt ęqualis ſuę coniugatę e d: & vltra pũ-ctum a ad partes Q diametri cadentes minores ſunt ſuis coniugatis in prima ellipſi, & maiores in ſecunda, cum propinquiores ſint axi Q R.

Defin. 1. huius. Prop. 7. huius.

Si verò fuerit vnus duorum axium in hyperbola aut ellipſi maior, tunc eius homologa diameter coniugata maior eſt, & c. Non nulla in hoc texta deficiunt; non enim omnes diametri in ellipſi ſunt inęquales vt in Lemmate I. oſtenſum eſt, & ideo textus corrigi debuit.

a
Notę in Propoſit. XXI.

ET conuenient duo puncta H, & G in puncto D ; eritque A C ad Q R, vt A D ad ſe ipſam, ſiue vt A C ad ſe ipſam, & c. Quia qua- dratum A C ad quadratum Q R eſt vt C G ad G A, & vt quadratum, I L ad quadratum N O, ita eſt H E ad E G, nec non quadratum S T ad quadratum V X eſt vt H M ad M G; ſed quandò axium quadrata ſunt inter ſe ęqualia, tunc quidem pręſecta C G, ſeu H A ęqualis eſt interceptę G A, & terminus G, ſeu H cadit in cẽtro D; & ideo H E vel D E ęqualis eſt E G vel E D : pariterq; H M ęqualis eſt M G: quarè coniugatarũ diametrorũ quadra-ta ęqualia ſunt inter ſe; & etiã tranſ-uer ſa latera ſuis erectis ęqualia erunt.

b
Defin. 1. Prop. 7. huius.

Quia C G ad A G, nempe quadratum A C ad ſuam figuram in ma- iori, & in figura ſecunda ellipſi in minori proportione, & c. Ideſt. In, prima, & ſecunda figura hyperboles, & in prima figura ellipſis habet C G ad G A maiorem proportionem, quàm ad G E, eo quod G E maior eſt, quàm G A: at in ſecunda figura ellipſis propor-tio minor eſt; quia G E minor eſt, quã A G. Propoſitum verò aliter oſtendetur hac ratione.

c

Quoniam ex demonſtratis in nota propoſit. 27. in hyperbola, atquè ex propoſitione 11. libri quinti in ellipſi erit axis minor, & rectus Q R minor diametro recta N O, & N O minor remotiore V X, ideoquè quadratum Q R minus erit quadrato N O, & qua-dratum N O minus quàm quadratum V X : eſt verò figura, ſeu rectangulum C A F ſub extremis contentum ęquale quadrato Q R ex media proportionali inter illas deſcriptum: pariterquè re-ctangulum L I K ęquale eſt quadrato diametri ei coniugatę N O, nec non, rectangulum T S Z ęquale erit qua-drato V X, ergo rectangulum C A F minus eſt rectangulo L I K, atque rectangulum L I K minus eſt rectangulo T S Z. E contra in ellipſi ſecunda. Quia. Q R maior eſt, quàm N O, & hęc maior, quàm V X ; ergo rectangulum C A F maius eſt rectangulo L I K, & hoc maius erit rectangulo T S Z.

15. lib. 1.
Notę in Propoſit. XXXXII.

E Rit igitur aggregatum A C, Q R minus quàm aggregatum I L, N O, & c. Hoc oſtenſum eſt in nota propoſit. 27. huius.

d

At in ellipſi, quia A C ad Q R maiorem proportionem habet, quàm I L ad N O, erit quadratum aggregati A C, Q R ad ſummam duorum quadratorum ipſarum in maiori proportione, quàm quadratum aggregati I L, N O ad ſummam duorum quadratorum earundem, & ſumma duo-rum quadratorum ipſarum, & c. Fiat A R ęqualis duabus A C & Q R, I O fiat ęqualis duabus I L, & N O ; atquè ſecetur A R in m, vt ſit A m ad m R, vt I L ad L O. Quia in prima ellipſi A C ad Q R, vel ad C R (in hac figura) maiorem proportionem habet, quàm I L ad N O, ſeu ad L O (in pręſenti figura); Ergo A C ad C R maiorem proportionem habet, quàm A m ad m R; ideoq; A C ad ean- dem A R maiorem proportionem ha-bebit quàm A m; & propterea A m minor erit, quàm A C : ſed A m maior eſt quàm M R, eo quod I L priori homologa maior eſt, quàm L O : at in ſecunda ellipſi A C ad C R minorem proportionem habet, quàm I L ad L O, ſeu quàm A m ad m R; & A C ad eandem A R minorem pro-portionem habet quàm A m; ideoque A C minor erit, quàm A m, & A m minor quàm m R, ſicuti I L minor eſt, quàm L O ; & propterea ſecta A R bifariam in n in vtroq; caſu C n ſemidifferentia maximè, & minimè ſcilicet A C, & C R maior erit, quàm m n ſemidifferentia inæqualium intermedia-rum A m, & R m: ſuntque duo quaarata ex A C, & ex C R æqualia qua-dratis ex R n, & ex C n bis ſumptis, atquè quadrata ex A m, & ex R m æqualia ſunt quadratis ex R n, & ex m n bis ſumptis, ſed duplum quadrati n C cum duplo quadrati n R maiora ſunt duplo quadrati n m cum duplo qua-drati n R (cum n R ſit communis, & n C maior ſit n m); igitur in vtroque caſu duo quadrata ex maxima, & ex minima, ſcilicet quadratum A C vna cum quadrato C R maiora ſunt quadrato A m, & quadrato m R ſimul ſum-ptis: & quadratum A R minorem proportionem habet ad ſummam quadrato-rum ex A C, & ex C R, quàm ad ſummam quadrati A m, & quadrati m R; ſed quadratum I O ad quadratum I L vna cum quadraio L O eandem pro-portionem habet, quàm quadratum A R ad ſummam duorum quadratorum ex A m, & ex m R (propterea quod A R, & I O diuiduntur proportionaliter in m, & L): igitur quadratum A R ad ſummam quadrati A C vna cum qua-drato C R minorem proportionem habet, quàm quadratum IO ad ſummam qua-drati I L cum quadrato L O.

e
Prop. 21. hu us.
Lem. 2. lib. 5.
Lem. 2. Lib. 5.

Non ſecus oſtendetur, quod quadratum ſumme I L, & N O ad quadrati ex I L, & quadrati ex N O ſummam habet minorem proportionem, quàm qua-dratum ſumme S T, & V X ad quadratorum ex S T, atquè ex V X ſum- mam: & ideo I L cum N O minores erunt, quàm S T cum V X.

ex 22. huius.
Notæ in Propoſit. XXXXIII. f

R Emanet A C in Q R minus quàm I L in N O, & pariter I L in N O minus quàm S T in V X, & c. Quia ſi ex quadrato ſummæ A C, & Q R quferantur duo quadrata ex C A, & ex Q R ſimul ſumpta, re-manent duo rectangula ſub C A, & Q R contenta: pariterque duplum re-ctanguli ex I L in N O eſt rcſiduum quadrati ex ſumma ipſarum I L, & N O deſcripti, poſtquàm ablata ſunt quadratum ex I L, & quadratum ex N O ſimul; ſed bina quadrata vtrinq; ablata ſunt æqualia inter ſe in ellipſi; & ſumma A C, Q R minor eſt quàm ſumma I L, N O; Ergo duplum re-ctanguli ſub C A & ſub Q R mi-nus eſt duplo rectanguli I L in N O, & rectangulum ſub A C, & Q R minus eſt rectangulo ſub I L, & N O.

f
Prop. 22. huius. Prop 42. huius.

Q Via A C ad Q R maiorem pro- portionem habet, quàm I L ad N O poſt cõuerſionem rationis, & permutationem A C ma-ior ad I L, minorem, habebit pro-portionem minorem, quàm exceſſus A C ſuper Q R ad exceſſum I L ſu-per N O, & c. Hoc quidem verum eſt in ellipſi, (veluti dictum eſt ad propoſ. 28. huius) quandò maior axis eſt A C, ſed quandò A C eſt minor, atque A C ad Q R minorem proportio-nem habet, quàm I L ad N O, opere prætium erit, demonſtrare, quod tunc etiam differentia axium A C, & Q R maior ſit differentia diametrorum I L, & N O. Quoniam exiſtente C A mi-nore, quàm Q R (ex 28. huius) A C ad Q R minorem proportionem habet, quàm I L ad N O; & inuertendo Q R ad A C maiorem proportionem habebit, qu àm N O ad I L, & per conuerſioné rationis Q R ad differentiam ipſarum Q R, & A C minorem proportionem habebit, quàm N O ad differentiam ipſarum N O, & I L; & permutando Q R maior ad minorem N O habebit proportionem minorem, quàm differentia ipſarum Q R, & A C ad differentiam ipſarum N O, & I L: & propterea differentia ipſarum Q R, & A C maior erit, quàm differentia ipſarum N O, & I L.

g

Poſtea quandò C A eſt maior axis, tunc I L ad N O maiorem proportionem habet, quàm S T ad V X; & ſimiliter per conuerſionem rationis, & permu-tando maior I L ad minorem S D habebit minorem proportionem, quàm diffe-rentia coniugatarum diametrorum I L, & N O ad differentiam coniugatarum S T, & V X, quapropter axi propinquiorum diametrorum I L, & N O diffe-rentia maior erit, quàm remotiorum coniugatarum S T, & V X differentia.

28. huius.

E contra quandò C A eſt axis minor idem concludetur, vti paulo ante fa-ctum eſt.

Notæ in Propoſit. XXIV.

I Gitur erectum ipſius A C mi- nus eſt in prima, & maius in-ſecunda, quàm I L, & ſic oſten-detur, quod erectum ipſius I L ma-ius ſit, ſiue minus quàm erectum. S T, & c. Quoniam in prima ellipſi rectangulum C A F minus eſt rectan- gulo L I K; ergo A C ad I L mino-rem proportionem habet reciproce, quã I @ ad A F; quare I K ad aliquam aliam quantitatem maiorem, quàm. A F eandem proportionem habebit, quàm A C ad I L; eſtquè A C maior quàm I L in prima ellipſi; ergo multò magis I K maior erit quàm A F. Pari ratione in eadem prima ellipſi rectan-gulum L I K minus eſt rectangulo T S Z, & I L axi maiori propinquior ma-ior eſt, quàm S T; ergo S Z maior erit, quàm I K.

h Pro p. 28. h uius.

E contra in ſecunda ellipſi rectangulum L I K minus erit rectangulo C A F; & rectangulum T S Z minus erit rectangulo L I K; eſtquè T S maior quàm I L, & I L maior, quàm A C; igitur reciprocè A F maior erit, quàm I K, & I K maior, quàm S Z.

Ibidem.
SECTIO SEXTA Continens Propoſit. XXXIII. XXXIV. XXXV. & XXXVI. PROPOSITIO XXXIII.

A Xis inclinatus ſi non fuerit minor dimidio ſui erecti, vti-que eius erectus minor eſt erecto cæterarum diametrorum inclinatarum eiuſdem ſectionis, & axi proximioris inclinati ere-ctus minor eſt, quàm erectus remotioris.

XXXV. Et ſi ſuerit axis inclinatus minor dimidio erecti, vti-que ad vtraſque eius partes cadent duæ inclinatæ, quarum quæ-libet æqualis eſt ſemiſſi erecti ipſius, atque eius erectus minor eſt erecto cuiuslibet inclinati ad vtraſque partes eius poſitæ, & erectus proximioris minor eſt erecto remotioris.

In hyperbole A B N ſint A C, I L, P Q, S T diametri inclinatæ, & A F ſit erectus ipſius A C, I K ipſius I L, P R ipſius P Q, & S Z ipſius S T: ſitquè axis A C non minor medietate ipſius A F. Dico, quod A F minor eſt, quàm I K, & I K minor quàm P R, & P R minor quàm S Z. Educantur C B parallela I L, & C N ipſi P Q & C X ipſi S T: & ducantur B E, N M, X V perpendiculares ad axim C A E. Quoniam ſi A C æqualis eſt ipſi A F, etiam I L æ-qualis eſt ipſi I K (21. ex 7.) & P Q ipſi P R; eſtque A C minor quam I L, & I L, quàm P Q; ergo A F minor eſt, quàm I K, & I K minor quàm P R. Si verò A C maior eſt, quàm A F eſſet I L maior, quàm I K: & I L ad I K mino-rem proportionem habebit, quàm A C ad A F (28. ex 7.) & I L ma-ior eſt quàm A C; igitur A F minor eſt, quàm I K: atquè ſimiliter pa-tebit I K minorem eſſe quàm P R, & P R, quàm S Z.

ex 38 lib. 5. 21. huins.
PROPOSITIO XXXIV.

D Einde ſit A C minor, quàm A F, dummodò minor non ſit dimi-dio eius: & ſecentur duæ præſectæ A H, C G, quæ erunt æqua-les; pariterque A G, C H interceptæ æquales; ponaturque linea γ æqua-lis ſummæ G E, G A. Et quia A G non eſt maior duplo A H, & γ maior eſt duplo A G, erit γ in A H maius, quàm quadratũ A G; igitur γ in A E ad γ in A H, nempe E A ad A H minorem proportionẽ habebit, quã γ in A E ad quadratum A G; ideoquè E H ad H A, nẽpe E H in H A ad quadratum A H minorẽ proportionẽ habebit, quàm γ, ſeu eidem æqules E G, G A in A E, cum quadrato A G (quæ ſunt æqualia quadrato G E) ad quadratum A G; ergo E H in H A ad quadratum E G, ſeu (vt oſtenſum eſt in 15. ex 7.) quadratum A C ad quadratum I K minorem proportionem habebit, quàm quadratum A H ad quadratũ A G, ſeu quã quadratum A C ad quadratum A F. Igitur A C ad I K minorem pro-portionem habet, quàm ad A F; & propterea A F minor eſt quàm I K. Simili modo oſtendetur quod I K minor ſit, quam P R: etenim ſi pona-tur linea f æqualis ſummæ M G, G E: cum G E non ſit maior duplo E H, & f maior ſit duplo G E; igitur f in E H maius eſt quadrato G E. Poſtea oſtendetur (quemadmodum antea dictum eſt) quod M H ad H E, nempe M H in H A ad E H in H A minorem proportionem habet quàm quadratum M G ad quadratum G E; & permutando M H in H A ad quadratum M G, ſeu quadratum A C ad quadratum P R(15. ex 7.) minorem proportionem habebit, quàm E H in H A ad quadratum G E, nempe quàm quadratum A C ad quadratum I K: & propterea A C ad P R minorem proportionem habebit, quàm ad I K; ideoquè I K minor eſt, quàm P R: & pariter P R minor, quàm S Z.

PROPOSITIO XXXV. & XXXVI.

S It poſtea A C minor dimidio A F; erit A G maior duplo A H, & ideo H G maior eſt, quàm H A: ponatur iam H M æqualis H G, ducaturque ad axim perpendicularis N M ; iungaturque N C, & educa-tur diameter P Q parallela N C. Et quia M H medietas eſt ipſius M G, erit P Q dimidium ipſius P R (6. ex 7.) Inter duas diametros P Q, A C ducatur diameter I I. , & C B ei parallela, & ad axim perpendicularis B E. Quoniam M H in H E minus eſt quadrato H G; addito communi producto ex G E, & G H in E H, erit M H in H E cum E G, atquè G H in H E, nempe ſumma M G, G E, quæ eſt æqualis ipſi f in E H minus erit, quàm quadratum H G cum aggregato E G, G H in E H, quæ ſunt æqualia quadrato G E; igitur f in E H minus eſt quadrato E G. Poſtea vti prius dictum eſt oſtendetur, quod quadratum A C ad quadratum P R maiorem proportionem habet, quàm ad quadratum I K: & propterea P R minor eſt, quàm I K. Non aliter oſtendetur quod I K minor ſit, quàm A F. Ponatur poſtea diameter S T extra locum inter P Q, A C compræhenſum, ducaturque C X ei parallela, & ad axim perpendicularis X V. Igitur V H M maius erit quàm quadratum H G, & eodem modo procedendo, tandem oſtendetur quod quadratum A C ad quadratum S Z minorem proportionem habet, quàm ad quadratum P R, & ideo P R minor erit quàm S Z. Non ſecus oſtendetur quod S Z minor eſt erecto cuiuslibet inclinati cadentis ad partem S T extra illam. Itaque demonſtratum eſt, quod P R minor ſit erecto cuiuslibet diametri ſectionis cadentis ad vtraſque partes ipſius P Q verſus A, & X, & ere-cti proximiores diametro P Q minores ſunt remotioribus. Et hoc erat propoſitum.

In Sectionem VI.

IN Expoſitione ſequentium Propoſitionum difficultas, quæ à nimia prolixitate oritur, ineuitabilis eſt, niſi Methodus in textu ſeruata aliquantisper relin-quatur: propterea non nulla lemmata præmittam, ex quibus ſemel demonſtra-tis caſus omnes ſequentium propoſitionum facillime, & breuiſſime deducnntur.

LEMMA II.

SI recta linea H G producatur in A & E, ita vt A H, pariter-que E H, non maior ſit H G: Dico rectangulum ex A G E ſumma inæqualium ſegmentorum in E H intermediam ſectionem, mi-nus eſſe quadrato ex ſegmento intermedio minore E G.

Fiat H M æqualis H G, & quia A E æqualis, aut minor eſt, quàm M E; & E G maior, quàm E H, ergo A E ad M E minorem proportionem babet, quàm E G ad E H, & permutando A E ad E G minorem proportionem habebit, quàm M E ad E H, & cõ-ponendo A G ad G E minorem proportionem habebit, quàm M H, ſeu ei æqua-lis G H aà H E, & iterum componendo A G E ad G E minorem proportionem habebit, quàm G E ad E H: quare rectangulum ex ſumma A G E in H E minus erit quadrato ex intermedia G E, vt propoſitum fuerat.

LEMMA III.

IIſdem poſitis ſint A H, & E H non minores quàm G H, vel H M: Dico rectangulum ex A G E in E H maius eſſe quadrato ex E G.

Quia A G maior eſt quàm E G, & G H non maior ipſa H E, ergo A G ad G E maiorem proportionem habet, quàm G H ad H E, & componendo A G E ad E G maiorem proportionem habebit, quàm G E ad E H, & ideo rectangu-lum ex A G E in E H maius erit quadrato ex G E.

LEMMA IV.

IIſdem poſitis ſit A H ma-ior, ſed E H minor ea-dem M H ſemiſſe totius M G: Dico quod ſi proportio ip-ſius A G ad G E fuerit eadem rationi G H ad H E, erit rectangulum ſub A G E in E H æquale quadrato ex G E, & ſi pro-portio illa maior fuerit, erit quoque rectangulum maius quadrato; & ſi illa proportio minor fuerit, Rectangulum quadrato miuus erit.

Et primo, quia A G ad G E ponitur vt G H ad H E; componendo A G E ad G E, erit vt G E ad E H, & rectangulum ſub extremis contentum, ni-mirum ſub A G E in E H, æquale erit quadrato ex intermedia G E.

Secundo, ſi A G ad G E maiorem proportionem habuerit, quàm G H ad H E, componendo A G E ad G E maiorem proportionem habebit, quàm G E ad E H, & ideo Rectangulum ſub A G E in E H maius erit quadrato ex G E. pari ratione ſi A G ad G E minorem proportionem habuerit, quàm G H ad H E, oſtendetur Rectangulum ex A G E in E H minus quadrato G E.

LEMMA V.

IN hyperbola, cuius axis C A, & erectus A F, præſecta H A, in-tercepta G A, diameter L I, cuius erectus I K, latus C E, & diameter Q P, cuius erectus P R, latus C O: Dico quod erectus P R ab ipſo erecto I K, vel ab A F atque rectangulum ſub O G E in G H ab ipſo quadrato G E, vel rectangulum ex O G A in A H ab ipſo quadrato G A, vna deficiunt, vel vna æqualia ſunt, aut vna excedunt.

Et primo ponatur rectangulum ſub O G E in E H æquale quadrato E G, er-go idem rectangulum ſub O G E in E O ad rectangulum ſub E G O in E H, ſeu E O ad E H eandem proportionem habet, quàm ad quadratum G E, & propterea E O ad E H erit vt rectangulum ſub E G O in E O ad quadratum G E, & componendo O H ad E H, ſeu rectangulum O H A ad rectangulum E H A, erit vt rectangulum ſub G E, & G O in O E vna cum quadrato E G, ſeu vt quadratum ex O G ad quadratum ex G E, & permutando rectangu-lum A H O ad quadratum O G, erit vt rectangulum E H A ad quadratum G E, ſed vt rectangulum O H A ad quadratum O G, ita eſt quadratum A C ad quadratum P K, & vt rectangulum E H A ad quadratnm ex G E, ſeu vt quadratum A C ad quadratum A F, vel ex I K; quapropter idem quadratum A C ad quadratum ex P K, atque ad quadratum ex A F vel I K eandem pro-portionem habet, & ideo quadrata ipſa æqualia ſunt, & eorum latera P K; & A F, vel I K pariter æqualia erunt.

15. huius. ex Def. & 15. huius.

Eodem modo quando rectangulum ſub O G E in E H maius eſt quadrato G E, tunc quidem idem rectangulum, cuius altitudo O G E, baſis vero O E, ad rectangulum, cuius altitudo O G E, baſis verò E H, ſeu O E ad E H, mino-rem proportionem habebit, quàm ad quadratum E G, & componendo, atque permutando, vt prius factum eſt, habebit rectangulum O H A ad quadratum O G, ſiue quadratum A C ad quadratum P K minorem proportionem, quàm rectangulum E H A ad quadratum G E, ſeu quàm quadratum A C ad qua- dratum A F, vel I K, & propterea P K maior erit, quàm A F, vel I K.

15. huius.

Quando verò rectangulum ſub E G O in E H minus eſt quadrato E G, tunc quidem oſtendetur eodem progreſſu quadratum P K minus eſſe quadrato A F, vel I K, quod erat propoſitum.

Notæ in Propof. XXXIII. & XXXIV.

QVoniam ex hypoteſi C A minor non eſt medietate ipſius A F, eſtque A H ad A G, vt C A, ad A F, ergo A H maior, aut æqualis eſt medietati ipſius A G, & ideo A H maior, aut æqualis eſt reſiduo H G, quare E H, atque eius portio A H non minores ſunt eadem G H; ergo re-ctangulum ſub E G A in A H ma-ius erit quadrato A G, atque I K maior erit quàm A F.

Def. 2. huius.
Lem. 3. huius.
Lem. 5.

Simili modo, quia tam M H, quam E H excedunt ipſam G H, erit rectangulum ſub M G E in E H maius quadrato A G, atque P R maior, quam I K.

Lem. 3. huius. Lem. 5. huius.
Notæ in Propoſit. XXXV.

QVia ex hypoteſi axis A C minor eſt ſemi A F, erit A H minor medieta-te ipſius A G, & ideo A H minor erit H G: fiat igitur M H æqualis H G, & per M (quæ intra ſuctionẽ cadet) ad axim ordinatim applicata ducatur N n occurrens ſectioni in N, & n, à quibus iungantur N C, n C, & eis æquidiſtantes diametri P Q, & p q extendantur, quarũ erecta P R, & p r. Oſtendendum eſt P Q ſubduplam eſſe ipſius P R, atq; P R, & p r æquales eße inter ſe, & minima eſſe erectorum quarumlibet Diametrorum eiuſdem ſectio-nis. Quoniam vt H M ad M G ita eſt P Q ad P R, & p q ad p r, erat au- tem H M ſubdupla ipſius M G, ergo Diameter P Q ſubdupla eſt erecti eius P R, pariterque p q ſubdupla eſt ipſius p r: atque Diametri P Q, & p q æquales ſunt inter ſe, cum æque recedant ab axi A C, atque earum commune latus ſit C M. Poſtea quia tam E H, quàm M H maiores non ſunt eadem H M, vel G H, ergo rectangulum ſub M G E in E H minus eſt quadrato E G, & ex lem. 5. P R minor eſt I K.

Prop. 6. huius. Lem. 2. huius.

Similiter quia tam E H, quàm A H minor eſt eadem H M, ergo rectan- gulum ſub E G A in A H minus eſt quadrato A G, & I K minor erit, quàm A F. tandem, quia tam V H, quàm M H non eſt minor eadem G H, ergo re-ctangulum V G M in M H maius erit quadrato G M, & ideo S Z maior erit, quàm P R, & ſic vlterius: quare P R minimum eſt laterum rectorum quarum- libet Diametrorum eiuſdem hyperboles.

Lem. 2. & 5. hui. Lem. 3. Lem 5.

In hyperbole latus rectum alicuius Diametri reperire, quod æquale ſit lateri recto axis; ſed oportet, vt axis tranſuerſus A C minor ſit me-dietate eius erecti A F.

PROP. 1. Addit

Reperiatur Diameter P Q, quæ ſubdupla ſit eius erecti P R, ſitque C M la- tus, & fiat e G ad G A, vt M H ad H A, & ducatur ordinatim applicata ad axim e d, coniungaturque recta d C, & extendatur diameter a b paralle-la ipſi d C, cuius latus rectum ſit a c. Dico a c æquale eſſe A F: quia e G ad G A facta fuit vt M H, ſiue G H ad H A, ergo rectangulum ſub e G A in A H æquale eſt quadrato G A, ideoque erectum a c æquale erit erecto A F, quod erat propoſitum.

ex 35. hu. Lem. 4. huius. Lem. 5. huius.

Dato latere recto I K diametri hyperboles I L reperire latus rectum alterius Diametri, quod æquale ſit lateri recto I K: oportet autem, vt Diameter I L cadat inter axim, @ aliam Diametrum, quæ ſub-dupla ſit ſui erecti.

PROP. 2. Addit.

Reperiatur Diameter Q P, quæ ſubdupla ſit ſui erecti P R, eiuſque latus ſit M C; ergo ex hypotheſi I L cadet inter axim A C, & Diametrum P Q, & propterea terminus E lateris C E cadet inter A, & M, igitur reperiri po-terit V G, quæ ad G E eandem proportionem habeat, quàm maior M H ad minorem H E, & vt prius, lateris C V ducatur diameter S T, cuius latus rectum S Z: dico S Z æquale eße I K: quia V G ad G E eſt, vt M H, ſeu G H ad H E, ergo rectangulum ſub V G E in E H æquale eſt quadrato G E, ideoque S Z æquale I K; quod erat propoſitum.

ex 35. hu. Lem. 4. huius. Lem. 5. huius.

Deducitur ex prima propoſitione additarum quod in aliqua hyperbola reperi-ri poßunt tria diametrorum latera recta æqualia inter ſe; ſi nimirum in hyper-bola, cuius axis C A minor ſit medietate eius lateris recti, reperiantur vtrin-que duæ diametri b a, quarum latera recta a c æqualia ſint ipſi A F; tunc quidem tria illa latera recta æqualia erunt inter ſe: reliqua verò latera recta diametrorum cadentium inter A, & a maiora erunt latere recto A F; & la-tera recta diametrorum cadentium vltra punctum a ad partes B maiora ſunt latere recto a c, propterea quod magis recedunt ab omnium minimo latere re-cto P R.

ex 35. huius.

Simili modo in eadem hyperbola reperiri poßunt quatuor diametrorum latera recta æqualia inter ſe, ſi nimirum ex ſecunda propoſitione additarum dato la-tere recto I K diametri I L reperiatur æquale latus rectum S Z alterius diame-tri S T, & ex altera parte axis ducantur duæ aliæ diametri æquè ab axi re-motæ ac illæ, erunt quatuor recta latera earum æqualia inter ſe, & maiora quolibet latere recto diametri cadentis inter I, & S ad vtraſque partes axis: minora verò erunt quolibet latere recto diametri cadentis vltra punctum I ad partes verticis A, vel infra puncta S ad partes a, vt deducitur ex 35. huius.

SECTIO SEPTIMA Continens Propoſit. XXXVIII. XXXIX. & XXXX. PROPOSITIO XXXVIII.

IN hyperbole axis inclinatus ſi non fuerit minortriente erecti ipſius, erunt duo latera figuræ axis minora, quàm duo late-ra figuræ cuiuslibet inclinatæ coniugatarum, quæ in eadem ſe-ctione conſiſtunt, & duo latera figuræ inclinati proximioris axi minora ſunt, quàm duo latera figuræ remotioris inclinati.

Si verò fuerit axis minor parte tertia ſui erecti aſſignari po-terunt ad vtraſque eius partes duo æquales diametri, quarum quælibet pars tertia ſit ſui erecti, atque duo latera figuræ eiuſ-dem minora ſunt duobus lateribus figuræ cuiuslibet alterius dia-metri ad vtraſque eius partes in eadem ſectione cadentis: & duo latera figuræ diametri ei propinquiores minora ſunt duobus la-teribus figuræ remotioris.

In eadem figura ſupponatur prius hyperboles axis A C non minor ſuo erecto, erit P Q maior quàm A C, & S T maior quàm P Q: ideoquè erectus ipſius A C minor erit erecto ipſius P Q (33. ex 7.) , & erectus ipſius P Q minor eſt erecto ipſius S T; igitur duo latera figuræ A C mi-nora ſunt, quàm duo latera figuræ P Q, & duo latera figuræ P Q mino-ra, quàm duo latera figuræ S T.

PROPOSITIO XXXIX.

D Einde ſit A C minor quàm A F, ſed non ſit minor tertia parte eius; igitur A H non erit minor tertia parte ipſius H C: & pro-pterea non eſt minor quadrante ipſius A C; ideoque C A in A H non. eſt minus quarta parte quadrati A C; quare C A in A M quater ſum-ptum ad C A in A H quater, nempe M A ad A H non habet maiorem proportionem, quàm quadruplum ipſius A C in A M ad quadratum A C. Et ponamus M m æqualem M A, componendo M H, ad H A, nempe M H in H A ad quadratum H A non habebit maiorem propor- tionem, quàm C M in M A quater ſumptum vna cum quadrato C A, nempe quàm quadratum C m ad quadratum A C; ideoque M H in H A ad quadrarum H A minorem proportionem habet quàm quadratum. C m ad quadratum A C. Et permutando M H in H A ad quadratum. C m, ſeu ad quadratum ex ſumma ipſarum G M; & M H, ad quod habet eandem proportionem quàm quadratum C A ad quadratum ſum-mæ P Q, & P R (17. ex 7.) habebit minorem proportionem, quàm quadratum A H ad quadratum A C, ſeu quàm quadratum A C ad qua-dratum ſummæ ipſarum A C, & A F; igitur ſumma ipſarum A C, & A F minor eſt quàm ſumma ipſarum P Q, & P R. Et quia M H maior eſt quarta parte ſummæ ipſarum M G, & M H; ergo quadruplum C m in M H maius eſt quadrato C m, & ponatur V u æqualis A V; igitur quadruplũ V M in C m ad quadruplum M H in C m, ſcilicet V M ad M H minorem proportionem habebit, quàm quadruplum V M in C m ad quadratum C m: & componendo V H ad H M, nempe V H in H A ad M H in H A minorem proportionem habebit, quàm V M in C m quater ſumptum, vel u m in m C bis ſumptum cum quadrato C m (eo quod u m dupla eſt ipſius V M quæ omnia ſimul ad idem quadratum C m minorem proportionem habet, quàm quadratum C u. Ergo V H in H A ad quadratum C u, ſcilicet quadratum A C ad quadratum ſummæ ipſarum S T, & S Z (17. ex 7. ) minorem proportionem habet quàm M H in H A ad quadratum C m, ſeu qnàm quadratum A C ad quadra-tum ſummæ ipſarum P Q, P R (17. ex 7.) quapropter P Q, & P R ſi-mul ſumptæ minores ſunt, quàm S T, & S Z ſimul ſumptæ.

a
PROPOSITIO XXXX.

S It A C minor triente ipſius A F, erit A H minor dimidio ipſius H G, & ponatur M H æqualis dimidio H G, & du- camus perpendicularem, & diametrum. Dico, quod P Q æ-qualis eſt trienti ipſius P R.

Educamus inter P Q, A C diametrum I L, & educamus C B ei æ-quidiſtantem, & perpendicularem B E, & ſecemus E l æqualem E A erit ſumma ipſarum G E, & E H æqualis C l; eſtque H E minor quam M H, quæ quarta pars eſt ipſius C m; ergo ſumma ipſarum M G, H E in M H quater ſumptum minus eſt quadrato C m: auferatur communi-ter M G, H E in M E quater ſumptum remanebit quadruplum ſummæ M G, H E in H E minus quàm quadratum C l (quia M G, H E ſimul ſumptæ, nempe M C vna cum A E in M E quater ſumptum æquale eſt quadrato l m; quod eſt duplum M E, & aggregatum C E, A E, nem-pe C l in l m bis ſumptum ) igitur aggregatum M G, & H E in M E quater ſumptum ad aggregatum M G, H E in H E quater ſumptum, nẽ-pe G E ad H E maiorem proportionem habebit, quàm ad quadratum l C. & componendo M H ad H E, ſeu M H in H A ad E H in H A habebit maiorem proportionem, quàm M G, H E in M E quater ſum-ptum cum quadrato l C (quæ æqualia ſunt quadrato C m) ad quadra-tum l C: & permutando erit M H in H A ad quadratum C m, nempe ad quadratum ſummæ ipſarum M G, & M H, ſeu quadratum A C ad quadratum ſummæ ipſarum P Q, P R (17. ex 7.) maiorem proportio-nem habebit, quàm E H in H A ad quadratum l C (quod eſt æquale quadrato ſummæ ipſarum G E, E H ) quod erit vt quadratum A C ad quadratum aggregati ipſarum I L, I K: quapropter A C ad duo latera figuræ P Q maiorem proportionem habet, quàm ad duo latera figuræ I L. Et propterea duo latera figuræ P Q minora ſunt, quàm duo latera figuræ I L. Simili modo eſtendetur, quod duo latera figuræ I L minora ſunt, quàm duo latera figuræ A C.

Educamus poſtea C X extra ſegmentum A N; & educamus diametrũ S T ei parallelam, & ad axim perpendicularem X V, erit aggregatum. G V, M H in M H quater ſumptum maius quàm quadratum C m; & ad-damus communiter aggregatuin M H, G V in M H quater ſumptum; oſtendetur vt antea, quod duo latera ſiguræ S T maiora ſunt, quàm duo latera figuræ P Q.

Oſtendetur quoque in reliquis diametris cadentibus ad vtraſque par-tes ipſius P Q in eadem ſectione, quod duo latera ſiguræ diametri ipſi P Q proximioris minora ſunt, quàm duo latera figuræ remotioris.

In Sectionem VII. Propoſit: XXXVIII. XXXIX. & XXXX. LEMMA VI.

S I recta linea H G bifariam ſecta in D producatur vtcumque ad A, @ E, ita vt D H non maior ſit quàm H E, vel H A, @ E D maior ſit, quàm D A: dico rectangulum ſub E D A in H A maius eſſe quadrato D A.

Quia E D maior ad minorem D A habet maiorem proportionem, quàm D H non maior ipſa H A, ad H A, ergo componendo E D A ad D A maiorem proportionem ha-bet, quàm D A ad A H, & pro-pterea rectangulum ſub extremis contentum, ſcilicet ſub E D A in A H, ma-ins eſt quadrato D A.

LEMMA VII.

I Iſdem poſitis, ſi D H non minor fuerit quàm H A, vel H E, ſitque H E maior, quàm H A: dico rectangulam ſub E D A in A H minus eſſe quadrato D A.

Fiat H M æqualis maiori H D, erit E A differentia minimæ H A, & in-termediæ H E minor, quàm M A, quæ eſt differentia maximæ M H, & mi-nimæ H A, & A D maior eſt quàm A H, ergo E A ad M A minorem pro-portionem habet, quàm D A ad A H, & permutando E A ad A D habebit mi-norem proportionem, quàm M A ad A H, & componendo E D ad D A mino-proportionem habebit, quàm M H, ſiue D H ad A H, & iterum componendo E D A ad D A minorem proportionem habebit, quàm eadem D A ad A H, & propterea rectangulum ſub E D A in A H minus erit quadrato D A.

LEMMA VIII.

I Iſdem poſitis ſi D H maior fuerit, quàm A H ſed minor quàm E H, fueritque proportio E A ad A D eadem proportioni M A ad A H, dico rectangulum ſub E D A in A H æquale eſſe quadrato D A: ſi verò proportio illa maior fuerit, vel minor rectangulum ſimiliter qua-drato maius, vel minus erit.

Quia E A ad A D po- nitur vt M A ad A H, componendo E D ad D A, erit vt M H, ſeu D H ad H A, & iterum componen-do E D A ad D A, erit vt D A ad A H, & propterea rectangulum ſub E D A in A H æquale erit qua-drato D A.

Quando verò E A ad A D maiorem proportionem habet, quàm M A ad A H, t@nc bis componendo E D A ad D A maiorem proportionem habebit, quàm D A ad A H, & propterea rectangulum ſub extremis; ſcilicet ſub E D A in A H maius erit quadrato intermediæ D A: non ſecus quando E A ad A D minorem peoportionem habet, quàm M A ad A H, oſtendetur rectangulum ſub E D A in A H minus quadrato ex D A.

LEMMA IX.

I N hyperbola, cuius axis A C, erectus A F, præſecta H A, in-tercepta G A, centrum D, diameter I L, eiuſque erectus I K, @ C E ſit latus eiuſdem, ſitque diameter Q P, cuius erectus P R, @ latus L O: dico quod rectangulum ſub O D E in E H ab ipſo qua-drato D E, atque Q P R ſumma laterum figuræ Diametri P Q ab L I K ſumma laterum figuræ I L, vel ab ipſa C A F ſumma laterum figuræ axis, vna deficiunt, vel vna æqualia ſunt, aut vna excedunt.

Et primo rectangulum ſub O D E in E H æquale ſit quadrato D E, ergo ad hæc duo ſpatia æqualia eandem proportionem habebit idem rectangulum ſub E D O in O E, ſed vt rectangulum ſub E D O in O E ad rectangulum ſub E D O in E H, ita eſt O E ad E H, (propterea quod æquales altitudines ha-bent), igitur vt O E ad E H, ita eſt rectangulum ſub E D O in O E ad quadratum D E, & componendo O H ad E H, ſiue rectangulum O H A ad rectangulum E H A eandem proportionẽ habebit, quàm rectangulum ſub E D O in O E vna cum quadrato D E, ſeu quàm quadratum D O ad quadratum D E, vel potius vt quadratum ex dupla D O ad quadratum ex dupla D E, nempe vt quadratum ex G O H ad quadratum ex G E H, quare permutando rectangulum O H A ad quadratum ex G O H eandem proportionem habebit, quàm rectangulum ex E H A ad quadratum ex G E H, ſeu vt quadratum ex A C ad quadratum ex C A F, vel ex L I K; ſed vt rectangulum A H O ad quadratum ex G O H, ita eſt quadratum ex A C ad quadratum ex Q P R: quare idem quadratum A C eandem proportionem habet ad quadratum ex Q P R, quàm ad quadratum ex C A F, vel ex I R L, & propterea quadrata ipſa æqualia ſunt, & ſumma laterum Q P R æqualis eſt ſummæ laterum C A F, vel I L K.

Prop. 16. huius. Ibidem.

Secundo ſit rectangulũ ſub E D O in E H maius quadrato D E, tunc quidem idem rectangulum ſub E D O in O E ad rectangulum ſub O D E in E H mi-norem proportionẽ habebit, quàm ad quadratum ex D E, ſeu O E ad E H mi-norem proportionem habebit, quàm ad quadratum ex D E; & componendo ſumpta eadem altitudine H A, quadruplicando poſtrema quadrata, & permu-tando, & ex 16. huius, idem quadratum A C ad quadratum ex Q P R mi-norem proportionem habebit, quàm ad quadratum ex C A F, vel ex L I K, & propterea ſumma Q P R maior erit, quàm C A F, ſeu quàm L I K.

Tertio ſit rectangulum ſub E D O in E H minus quadrato D E, patet quod idem rectangulum ſub E D O in O E ad rectangulum ſub E D O in E H, ſeu O E ad E H maiorem proportionem habet, quàm ad quadratum D E, & com-ponendo ductis prioribus terminis in A H, quadruplicando poſtrema quadrata, permutando vt prius, idem quadratum A C ad quadratum ex Q P R, maiorem proportionem habebit, quàm ad quadratum ex C A F, ſeu ex L I K, & pro-pterea ſumma Q P R minor erit, quàm C A F, vel L I K, quæ erat oſten-denda.

Notæ in Propoſit. XXXVIII. XXXIX.

QVia axis C A minor non eſt triente eius erecti A F, eſtq; H A ad A G vt C A ad A F, ergo H A æqualis, aut maior eſt parte tertia ipſius A G; & A H æqualis, aut maior erit, quàm ſemiſſis ipſius H G differentiæ illa-rum, eſtque G H ſecta bifariam in D, ergo H A æqualis, aut maior erit, quàm D H, eſtque H E maior quàm H A, ergo pariter H E maior eſt, quàm D H, quare rectangulum ſub E D A in A H maius erit quadrato D A, atque ſumma laterum figuræ L I K maior, quàm ſumma laterum figuræ axis C A F.

Lem. 6.
Lem. 9.

Similiter quia H M maior eſt, quàm H E, erit quoque H M maior, quàm D H, & propterea ex lemma 6. & 9. ſumma Q P R maior erit, quàm ſum-ma L I K.

Notæ in Propoſit. XXXX.

QVia C A minor eſt triente ipſius A F, eſtque H A ad A G vt C A ad A F, ergo H A minor eſt tertia parte ipſius A G, & minor ſemiſſe diffe- rentiæ H G, & ideo H A minor erit, quàm H D: ſecari ergo poterit H M æqualis D H, quæmaior erit, quàm A H, ducaturq; per M ad axim ordinatim applicata N M n occurrens ſectioni in punctis N n, à quibus iungãtur C N, & C n, ijſdemque æquidiſtantes ducantur duæ diametri P Q, & p q, quarum la-tera recta P R, & p r. Oſtenàendum eſt P Q ſut erecti P R, atque p q ſui erecti p r ſubtriplam eße, ſed duo figuræ latera P Q, P R æqualia eſſe alterius figuræ lateribus p q, p r, & inſuper P Q, P R minima eſſe laterum figuræ cuiuſlibet alterius diametri eiuſdem ſectionis, & latera figurarum minimis pro-ximiora, eſſe minora lateribus figurarum remotiorum.

Quia H M ad M G eandem proportionem habet quàm P Q ad P R, vel p q ad p r, eſtque H M ſubtripla ipſius M G (cum M H facta ſit æqualis H D) ergo P Q ipſius P R, pariterque p q ipſius p r ſubtripla eſt: & ſunt latera figuræ Q P R æqualia lateribus q p r alterius figuræ, cum diametri Q P, & q p æquè recedant ab axi, & habeant latus commune C M.

Prop. 6. huius.

Quod verò ſumma laterum figuræ Q P R minima ſit reliquarum ſummarũ laterum figuræ cuiuſlibet diametri ſic oſtendetur.

Quia A H, & E H minora ſunt, quàm H M, ſiue D H, ergo rectangulum ſub E D A in A H minus eſt quadrato D A, & ſumma L I K minor eſt ſum- ma C A F.

Lem. 7. Lem. 9.

Pariter quia M H æqualia eſt H D, & H E minor eadem, ergo ambo non erunt maiores eadem D H, ergo rectangulum ſub M D E in E H minus erit quadrato D E, atque ſumma Q P R minor erit, quàm L I K.

Lem. 7. Lem. 9.

Rurſus quia V H maior, eſt quàm M H, ſeu quàm D H, erunt illæ non, minores eadem D H, ergo rectangulum ſub V D M in H M maius erit qua-drato D M, atque ſumma T S Z maior erit, quàm ſumma Q P R.

Lem. 6. Lem. 9.

In hyperbola reperire diametrum, cuius figuræ latera æqualia ſint lateribus figuræ axis: oportet autem vt axis A C minor ſit triente erecti eius. Reperia-tur diameter P Q ſubtripla erecti eius P R, eiuſque latus ſit C M, & fiat e A ad A D, vt M A ad A H, & lateris C e ducatur diameter a b, cuius ere-ctus a c. Dico hanc eße diametrum quæſitam: quia e A ad A D eandem pro-portionem habet, quàm M A ad A H, erit rectangulum ſub e D A in A H æquale quadrato D A, & ſumma laterum b a c æqualis erit laterum figuræ axis ſummæ C A F.

PROP. 3. Addit. ex 40. huius. Lem. 8. Lem. 9.

In eadem hyperbola data diametro I L reperire aliam diametrum, ita v@ eius figuræ latera æqualia ſint lateribus figuræ datæ diametri I L: oportet au-tem vt I L cadat inter axim, & diametrum P Q ſubtriplam eius erecti. Sit C E latus diametri I L, & C M, ſit latus diametri P Q, & quia punctum E cadit inter M, & A, erit H E minor, quàm H M, vel D H: fiat V E ad E D, vt M E ad E H, ergo rectangulum ſub V D E in E H æquale erit quadrato E D, & ex lemma 9. ſumma laterum T S Z æqualis erit ſummæ la-terum L I K; quod erat propoſitum.

PROP. 4. Addit. ex 40. huius. Lem. 8.

Facile colligitur ex 3. additarum, quod in hyperbola cuius axis ſubtripla ſit erecti eius aſſignari poſſunt tres ſummæ laterum figurarum trium Diametrorum quæ æquales ſint inter ſe. Ex 4. verò additarum in eadem Hyperbola aſſignari, poßunt quatuor ſummæ laterum figurarum quatuor diametrorum, quæ æquales ſint inter ſe.

Deinde ſit A C minor, quàm A F, ſed non ſit minor eius triplo, er-go A H non erit minor triplo H C, & c. Textus mendoſus omnino corrigi debuit, nam ex contextu ſequenti deducitur A C non tripla minor, ſed minor parte tertia ſupponi debere ipſius A F.

a
SECTIO OCTAVA Continens Propoſit. XXXXIIII. XXXXV. & XXXXVI.

IN hyperbole ſi quadratum axis inclinati minus non fuerit di-midio quadrati ex differentia ipſius, & ſui erecti, vtique quadratum diametri figuræ eius minus eſt, quàm quadratum diametri figuræ cuiuſcumque alterius inclinati eiuſdem ſectionis.

XXXXVI. Si verò minus fuerit cadent ad vtraſque partes eius duæ inter ſe æquales diametri, quarum vniuscuiuſlibet qua-dratum æquale eſt quadrato exceſſus ſui erecti, & quadratum diametri figuræ ipſius minus eſt quàm quadratum diametri figu-ræ cuiuſlibet alterius inclinati ad vtraſque eius partes cadentis: & diameter figuræ inclinati proximioris illi minor eſt quàm dia-meter figuræ inclinati remotioris.

Iiſdem figuris manentibus ſupponatur prius A C non minor quàm A Demonſt F; ergo P Q non erit minor quàm P R (28. ex 7.) & duo quadrata A prop. 44. C, A F nempe diameter figuræ A C minor eſt quàm diameter figuræ P Q; & pariter diameter figuræ P Q minor eſt, quàm diameter figuræ S T. Sit iam A C minor quàm A F, & eius quadratum non minus dimi- dio quadrati exceſſus ipſius A F ſuper A C. Et quia A C ad A F ean-dem proportionem habet, quàm A H ad A G; ergo duplum quadrati A H non eſt minus quadrato H G; ergo M H in H A bis ſumptum ma-ius eſt quadrato H G, & addatur communiter duplum G A in A H fiet duplum ſummæ G A, M H, vel C M in A H maius quàm duplum G A in A H cum quadrato H G, ſeu quàm quadratum G A cum quadrato A H: quare duplum C M in M A ad duplum C M in A H, ſeu M A ad A H minorem proportionem habet, quàm duplum C M in M A ad qua-dratum G A vna cum quadrato A H: & componendo habebit M H ad H A, ſeu M H in H A ad quadratum A H minorem proportionem quàm duplum C M in M A cum duobus quadratis ipſarum G A, & A H (quæ omnia ſimul æqualia ſunt quadrato M G cum quadrato M H) ad qua-dratum A G cum quadrato A H: & permutando M H in H A ad qua-dratum G M cum quadrato M H (nempe quadratum A C ad duo qua-drata laterum figuræ P Q) ſiue ad quadratum diametri figuræ P Q (17. ex 7.) minorem proportionem habebit, quàm quadratum H A ad qua-dratum A G cum quadrato A H, ſeu quàm quadratum A C ad quadra-tum diametri figuræ eius; igitur quadratum A C ad diametrum figuræ P Q minorem proportionem habet, quàm ad diametrum figuræ A C: & ideo diameter figuræ P Q maior erit diametro figuræ A C. Præterea, quia duplum quadrati M H maius eſt quadrato H G; ergo V H in M H bis maius erit, quàm quadratum H G: & oſtendetur (quemadmodum diximus) quod diameter figuræ S T maior ſit quàm diameter figuræ P Q.

Demonſt. prop. 45.
PROPOSITIO XXXXVI.

SIt poſtea quadratum A C minus dimidio quadrati ex differentia ipſa-rum C A, & A F; erit duplum quadrati A H minus quadrato H G & ponamus duplum quadrati M H æquale quadrato H G: & educamus ad axim perpendicularem N M, & iungamus N C; & ducamus diame-trum P Q parallelã ipſi N C, erit H M ad M G, vt P Q ad P R, & pro- pterea quadratum P Q dimidium erit quadrati exceſſus ipſius P R; ergo P Q eſt vna æqualium: ponatur inſuper inter A, & P diameter I L, & conſtructio perficiatur, vt prius. Et quia duplum quadrati M H æquale eſt quadrato H G, erit duplum M H in H E minus quadrato H G, & ponatur communiter duplum G E in E H; igitur duplum aggregati M G in E H minus eſt quadrato G E cum quadrato E H; & oſtendetur que-madmodum diximus antea, quod quadratum diametri figuræ P Q mi-nus ſit quadrato diametri figuræ I L; & quadratum diametri figuræ I L minus ſit quadrato diametri figure A C.

6. huius. a

Deindè ducatur diameter inclinata S T extra ſegmentum A P, & C X ei parallela, & ad axim perpendicularis X V: & quia duplum quadrati M H æquale eſt quadrato H G erit duplum V H in H M maius quadrato H G: ponatur communiter duplum G M in M H, fiet duplum aggregati V G, M H, in M H maius quadrato M G cum quadrato M H: quare duplum aggregati V G, & M H in M V ad duplum aggregati V G, & M H in M H, nempe M V ad M H minorem proportionem habebit, quàm duplum aggregati V G, & M H in M V ad quadratum G M cum quadrato M H: & componendo oſtendetur (quemadmodum antea di-ctum eſt) quod quadratum A C ad diametrum figuræ P Q maiorem pro-portionem habeat, quàm ad diametrum figuræ S T. Eadem prorſus cõ-tingent in reliquis omnibus diametris. Quapropter diameter figuræ P Q minor eſt diametro figuræ cuiuslibet diametri ad vtraſque eius partes in eadem ſectione exiſtente. Quod erat oſtendendum.

In Sectionem VIII. Propoſit. XXXXIIII. XXXXV. & XXXXVI. LEMM A.X.

SI rectæ lineæ G H bifariam ſectæ in D addantur ſegmenta H A, & H E atque proportio dupli E H ad H G eadem fuerit propor-tioni G H ad H A: dico duplum rectanguli ex G A, & H E in H A æquale eſſe quadratis ex G A, & ex A H: ſi verò proportio illa maior fuerit, erit quoque rectangulum maius quadratis: ſi verò propor-tio fuerit minor, rectangulum minus erit quadratis.

Primo quia ſi duplum E H ad H G, eſt vt G H ad H A, ergo duplum re-ctanguli E H A æquale erit quadrato G H, & addatur communiter duplum rectanguli G A H, erit duplum rectanguli ex ſumma G A, & E H in A H æquale duplo rectanguli G A H cum quadrato G H; his verò ſpatijs æquantur quadrata ex G A, & ex A H, ergo duplum rectan-guli ex ſumma G A, E H in A H æquale erit duobus quadratis ex G A, & ex A H.

Secundo, quia duplum E H ad H G, maiorem proportionem habet, quàm G H ad A H, ergo duplum rectanguli E H A maius eſt quadrato G H, & ad-dito communiter duplo rectanguli G A H, erit duplum rectanguli ex G A, E H in A H maius duobus quadratis ex G A, & ex A H.

Tertio, quia duplum E H ad H G minorem proportionem habet, quàm G H ad A H, ergo duplum rectanguli E H A minus eſt quadrato G H, & addito duplo rectanguli G A H, erit duplum rectanguli ex G A, E H in A H minus quadratis ex G A, & ex A H.

LEMM A XI.

SI recta linea G H ſecetur exterius in A, E, & ſit eadem G H differentia nedum ſegmentorum G E, & E H, ſed etiam duo-rum ſegmentorum G A, & A H: dico quod quadrata ex maximo, & ex vno intermediorum ſegmentorum, ſcilicet ex G E, & ex E H æqualia ſunt quadratis ex reliquo intermediorum, & ex minimo ſegmento, ſci-licet ex G A, & ex A H vna cum duplo rectã- guli ex ſumma extremorum, vel intermediorum in differentiam mini-morum ſegmentorum, ſcilicet ex G A cum H E in E A.

Quia duplum rectanguli G A H cum duplo rectanguli G A E æquatur duplo rectanguli ſub G A in H E, addito cõmuniter duplo rectanguli H E A erit du-plum rectanguli G E H æquale duplo rectanguli G A H cum duplo rectanguli ex ſumma G A, H E in E A; & addito communi quadrato G H, erit duplum rectanguli G E H cum quadrato G H, ſcilicet duo quadrata ex G E, & ex E H, erunt æqualia illis om-nibus ſpatijs, ſcilicet duplo rectanguli ex ſumma G A, H E in E A cum duplo re-ctanguli G A H ſimul cum quadrato ex G H: ſed duplo rectanguli G A H cum quadrato G H æqualia ſunt duo quadrata ex G A, & ex A H, ergo duo quadrata ex G E, & ex E H æqualia erunt quadratis ex G A, & ex A H cum duplo rectanguli ex G A; & H E in E A, quod erat oſtendendum.

LEMM A XII.

IN hyperbola, cuius axis A C, erectus A F, præſectæ C G, H A, centrum D, atque diameter I L, eiuſque erectus I K, & latus C E, pariterque altera diameter Q P, cuius erectus P R, & latus C O: dico quod duplum rectanguli ex G E cũ O H in H E à duobus quadratis ex G E, & ex E H; nec non quadrata Q P, & P R late-rum figuræ diametri Q P à quadratis ex L I, & ex I K, vel ex C A, & ex A F, vna deficiunt, aut vna æqualia ſunt, vel vna exce-dunt.

Quia duplum rectanguli ex G E, O H in H E æquale eſt quadratis ex G E & ex E H, ergo idem rectangulum, cuius altitudo G E, & O H, baſis verò O E bis ſumptum ad duplum rectanguli, cuius altitudo G E, O H, baſis verò H E, ſeu O E ad H E eandem proportionem habet, quàm duplum rectanguli ex G E, & O H in O E ad quadrata ex G E, & ex E H: quare componen-do O H ad E H, ſeu O H A ad E H A eandem proportionem habebit, quàm duo quadrata ex G O, & ex O H ad duo quadrata ex G E, & ex E H, & permutando O H A ad quadrata ex G O, & ex O H, ſeu quadratum ex A C ad quadrata ex Q P, & ex P R eandem proportionem habebit, quàm rectan-gulũ E H A ad quadrata ex G E, & ex E H, ſeu erit vt quadratum A C ad quadrata ex I L, & ex I K, vel ad quadrata ex C A & ex A F: quare duo quadrata ex Q P, & ex R P æqualia ſunt duobus quadratis ex I L, & ex I K, vel ex C A, & A F.

Lem. 11. huius. 17. huius. Ibidem.

Secundo quia duplum rectanguli ex G E, O H in H E minus ponitur quadratis ex G E, & ex E H, igitur idem ſpatium ſcilicet duplum rectanguli ex G E, & O H in O E ad duplum rectanguli ex G E, & O H in H E, ſiue O E ad H E maiorem proportionem habet, quàm duplum rectanguli ex G E, O H in O E ad quadrata ex G E, & O H, & vt prius componendo, ex lemmate 11. & permu-tando, ex 17. huius; idem quadratum A C ad quadrata ex Q P, & ex P R maiorem proportionem habebit quàm ad quadrata ex I L, & ex I K, vel ad quadrata, ex C A, & ex A F: quapropter quadrata ex Q P, & ex P R mi-nora erunt quadratis ex I L, & ex I K, vel quadratis ex C A, & ex A F.

Tertio quia duplum rectanguli ex G E, O H in H E maius eſt ſumma qua-dratorum ex G E, & ex E H, igitur, eodem progreſſu, habebit quadratum A C ad ſummam quadratorum ex Q P, & ex P R minorem proportionem, quàm ad ſummam quadraterum ex I L, & ex I K, vel ex C A, & ex A F: & propterea ſumma priorum quadratorum maior erit ſumma poſteriorum, vt fue-rat propoſitum.

Notæ in Propoſit. XXXXIV. & XXXXV.

QVia C A maior eſt, quàm A F, vel ſi minor eſt quadratum ex C A, minor non eſt dimidio quadrati ex differentia C A, & A F, eſtque H A ad A G vt A C ad A F, & H A ad G H, vt A C ad differen-tiam ipſarum A C, A F, ergo quadratum H A ad dimidium quadrati G H erit vt quadratum A C ad dimidium quadrati ex differentia ipſarum A C, & A F, quare quadratum ex H A minor non erit ſemiſſe quadrati H G, ideoq; duplum quadrati A H minor non erit quadrato H G, eſtque duplum rectanguli E H A, vel M H E maius duplo quadrati A H, ſeu maius quadrato H G; propterea duplum E H ad H G maiorem proportionem habebit, quàm G H ad H A, ideoque duplum rectanguli ex G A, H A in A H maius erit quadra- tis ex G A, & ex A H, & inſuper ſumma quadratorum ex I L, & ex I K maior erit, quàm ſumma quadratorum ex C A, & ex A F.

Lem. 10. Lem 12.
Notæ in Propoſit. XXXXVI.

QVia quadratum axis C A minus eſt ſemiße quadrati ex differentia ipſa-rum A C, & A @, eſtque H A ad A G, vt C A ad A F, atque G H eſt differentia ipſarum A H, & A G, igitur quadratum ex A H minus eſt ſemiſſe quadrati G H: fiat iam quadratum ex M H æquale ſemiqua-drato ex G H, & lateris C M fiant duo diametri Q P, & q p, eorumque erecta ſint P R, & p r: dico ductas diametros æquales eſſe, & quadratum ex P Q æquale eſſe quadrato ex differentia ipſarum P Q, & P R.

Quia vt M H ad G M, ita eſt diameter Q P ad eius erectum P R, ergo comparando antecedentes ad terminorum differentias, erit M H ad H G, vt P Q ad differentiam ipſarum P Q, & P R, & pariter eorundem quadrata proportionalia erunt, eſtque quadratum ex H M æquale ſemiquadrato ex G H, ergo quadratum ex P Q æquale erit ſemiquadrato ex differentia P Q, & P R, & ſic quadratum ex p q æquale erit ſemiquadrato ex differentia ip-ſarum p q & p r; & ſunt diametri P Q, & p q æquales, cum æquè rece-dant ab axi, & habeant latus commune C M.

ex 6. hu.

Secundo dico quod ſumma quadratorum ex Q P, & ex P R minor eſt qua-libet alia ſumma quadratorum laterum figuræ alterius diametri.

Quia duplum rectanguli M H E minus eſt duplo quadrati M H, ſeu ſingu-lari quadrato ex G H, ergo duplum M H ad H G minorem proportionem ha-bet, quàm G H ad H E, ergo duplum rectanguli ex G E, & M H in E H minus erit ſumma quadratorum ex G E, & ex E H & propterea ſumma qua-dratorum ex Q P, & ex P R minor erit ſumma quadratorum ex I L, & ex I K.

Lem. 10. huius. Lem. 12. huius.

Tertio, quia duplum rectanguli ex E H A minus eſt duplo quadrati M H, ſeu ſingulari quadrato ex G H, ergo duplum E H ad H G minorem proportio- nem habet, quàm G H ad H A, ergo duplum rectanguli ex G A, E H in A H minus erit ſumma quadratorum ex G A, & ex A H: quare ſumma quadra- torum ex I L, & ex I K minor erit, quàm quadratorum ſumma ex A C, & ex A F.

Lem. 10. huius. Lem. 12. huius.

Quarto quia duplum rectanguli V H M maius eſt duplo quadrati ex M H, ſeu ſingulari quadrato ex G H, ergo duplum V H ad H G maiorem proportio-nem habet, quàm H G ad H M, & propterea duplum rectanguli ex G M, & V H in M H maius erit ſumma quadratorum ex G M, & ex M H, & ideo ſumma quadratorum ex T S, & S Z maior erit quadratorum ſumma ex Q P, & ex P R, & ſic de reliquis: quare ſumma quadratorum ex Q P, & ex P R minima eſt omnium, vt fuit propoſitum.

Lem 10 huius. Lem. 12. huius.

In hyperbola reperire diametrum, cuius figuræ duo quadrata laterum æqualia ſint quadratis laterum figuræ axis: oportet autem vt quadra-tum axis C A minus ſit ſemiquadrato ex differentia laterum ſiguræ eius C A, & A F.

PROP. 5. Addit.

Quia ex hypotheſi quadratum axis A C minus eſt ſemiquadrato ex differen-tia laterum figuræ A C, A F, vt in nota propoſit. 46. dictum eſt, quadratum ex A H minus eſt ſemiquadrato ex G H: fiat duplum e H ad H G, vt G H ad H A, & lateris C e ducatur diameter b a, cuius erectus c a, ergo duplum rectanguli ex ſumma G A, e H in A H æquale eſt ſummæ quadratorum ex G A, & ex A H, & ſumma quadratorum ex a b, & ex a c æqualis erit quadrato-rum ſummæ ex A C, & ex A F, quod erat oſtendendum.

Lem. 10. huius. I em. 12. huius.

In eadem hyperbola diametrum reperire, cuius figuræ duo quadrata, laterum æqualia ſint quadratis laterum figuræ datæ diametri I L: opor-tet autem vt I L cadat inter axim, & diametrum P Q, cuius qua-dratum ſubduplum ſit quadrati ex differentia P Q, & ex P R.

PROP. 6. Addit

Sit C E latus diametri I L, & fiat duplum V H ad H G, vt G H ad H E, & ponatur S T diameter lateris C V, cuius erectus ſit S Z: erit igitur duplũ rectanguli ex G E, & V H in E H æquale quadratis ex G E, & ex E H, & propterea ſumma quadratorum ex T S, & ex S Z æqualis erit quadratorum, ſummæ ex L I, & ex I K, quod erat propoſitum.

Lem. 10. Lem. 12. huius.

Deducitur pariter ex 5. propoſitione additarum in eadem hyperbola tres dia-metros reperiri poſſe, quarum laterum ſummæ quadratorum æquales ſint in-ter ſe.

Et ex 6. propoſitione additarum deducitur, quod quatuor diametrorum eiuſ-dem hyperbolæ laterum ſummæ quadratorum æquales eße posſunt inter ſe.

Et educamus inter A P inclinatam I L: quia quadruplum quadrati M H æquale eſt quadrato H G, & c. Suppleri debent ea, quæ deficiunt, alioqui conſtructio imperfecta eßet: duci igitur debet C B parallela diametro I L, quæ occurrat ſectioni ad punctum B, à quo ad axim perpendicularis ducatur B E ſecans axim in E.

a
SECTIO NONA Continens Propoſit. XXXXI. XXXXVII. & XXXXVIII.

IN ellipſi duo latera figuræ maioris axis tranſuerſi minora ſunt duobus lateribus figuræ cuiuslibet alterius diametri, & duo latera figuræ diametri axi maiori proximioris minora ſunt duo-bus lateribus figuræ diametri remotioris.

a

XXXXVII. Si verò duplum quadrati A C maius non fuerit quadrato ex ſumma duorum laterum ſuæ figuræ; vtique quadra-tum diametri ſuæ figuræ minus erit quadrato diametri figuræ cu-iuſlibet alterius diametri eiuſdem ſectionis, & quadratum dia-metri figuræ proximioris axi minus erit quadrato diametri figu-ræ remotioris.

XXXXVIII. Si autem duplum quadrati axis tranſuerſi maius fuerit quadrato ex ſumma duorum laterum ſuæ figuræ, æquidem reperientur ad vtraſque eius partes duæ diametri æquales, & cu- iuslibet earum quadratum bis ſumptum æquale erit quadrato ex ſumma duorum laterum ſuæ figuræ; & quadratum diametri ſuæ figuræ minus eſt quadrato diametri figuræ alterius cuiuſcunque diametri exiſtentis in eodem quadrante eiuſdem ſectionis; & diameter figuræ proximioris minor eſt diametro figuræ remo-tioris.

PROPOSITIO XXXXI.

IN ellipſi A B C ſit A C axis maior, & y O minor, & ſint P Q, & S T duæ aliæ diametri, ſitque A F erectus ipſius A C, & P R erectus ipſius P Q, & O f ipſius y O. Dico quod C F minor eſt, quàm Q R, & Q R, quàm T Z, & T Z, quàm y f.

Ducantur A N, A X ordinatim applicatæ ad diametros P Q, S T, & duæ ad axim perpendiculares N M, X V, & interceptæ A G, C H. Quia quadratum A C ad quadratum y O, nempe A C ad A F eandem, proportionem habet, quàm C G ad G A, ſeu ad C H habebit quadra- tum C A ad quadratum C F ſummæ ipſius C A, eiuſque erecti eandem proportionem, quàm quadratum C G, nempe C G in A H ad quadra-tum G H: & quadratum A C ad quadratum y O eandem proportionem, habet, quàm G C in C H ad quadratum C H: eſtquè quadratum y O ad quadratum ſummæ y f, vt quadra- tum C H ad quadratum H G; er-go quadratum A C ad quadratum y f eſt, vt C G in C H minorem ad quadratum H G; ſed quadra-tum A C ad quadratum C F ean-dem proportionem habet, quàm. G C in maiorem A H ad quadra-tum G H; igitur A C ad C F ma-iorem proportionem habet, quàm ad y f: & propterea C F ſumma, A C, & erecti illius minor eſt, quàm y f, quæ eſt ſumma y O, & erecti illius. Et quoniam C G in, M H, quod minus eſt, quàm C G in A H ad quadratum H G eandem proportionem habet, quàm qua-dratum A C ad quadratum Q R ſummæ diametri, & erecti ipſius P Q (16. ex 7.) quare quadratum A C ad quadratnm C F maiorem proportionem babebit, quàm ad quadratum Q R, & propterea C F minor erit, quam Q R. Et quoniam C G in V H ad quadratum H G eſt vt quadratum A C ad quadratum T Z ad quàm ordinatim applicatur A X (16. ex 7.) erit C F minor quàm T Z: cumque C G in H M ad quadratum H G maiorem proportionem, habeat, quàm G C in V H ad quadratum idipſum H G habebit quadra- tum A C ad quadratum Q R maiorem proportionem quàm ad quadratũ T Z. Et pariter oſtendetur, quod quadratum A C ad quadratum T Z maiorem proportionem habet, quàm ad quadratum y f; quapropter C F minor eſt quàm Q R, & Q R minor, quàm T Z, & T Z minor, quàm y f. Quod erat oſtendendum.

b Defin. 1. huius.
PROPOSITIO XXXXVII.

IN eadem figura ſi duplum quadrati A C maius non fuerit quadrato ſummæ C F. Dico, quod diameter figuræ eius minor eſt diametro figuræ Q P R, & diameter figuræ Q P R minor eſt diametro figuræ T S Z.

Quoniam duplum quadrati A C non excedit quadratum ſummæ C A F; ergo duplum quadrati C G, nempe G C in A H bis ſumptum non, excedit quadratum H G, & propterea C G in H M bis ſumptum minus eſt quadrato H G: tollatur communiter duplum M G in H M remanebit duplum H M in C M minus duobus quadratis ex M H, & ex G M: & propterea A M in M C bis ſumptum ad H M in M C bis ſumptum, nẽ-pe A M ad M H habebit maiorem proportionem, quam duplum A M in M C ad duo quadrata ex H M, & ex G M: & componendo A H ad H M, ſeu quadratum A H ad A H in H M maiorem proportionem ha-bebit quàm duplum A M in M C cum duobus quadratis ex H M, & ex M G (quæ omnia ſimul æqualia ſunt duobus quadratis C G, & H C) ad duo quadrata M H, & M G; igitur quadratum A H ad A H in H M maiorem proportionem habet, quàm duo quadrata C G, & C H ad duo quadrata H M, & G M, & permutando quadratum A H ad duo qua-drata C G, & H C, ſcilicet quadratum A C ad quadratum diametri figuræ eius maiorem proportionem habet, quàm A H in H M ad duo quadrata M G, & M H, ſeu quàm quadratum A C ad quadratum dia-metri figuræ P Q (19. ex 7.) quapropter diameter figuræ P Q maior eſt diametro figuræ A C. Ducatur poſtea diameter S T, & ad eam or-dinatim applicata A X, & ad axim perpendicularem X V. Et ſiqui-dem G M minor eſt, quàm V H cum A G, & C H ſint æquales, erunt duo quadrata H M, & M G maiora duobus quadratis H V, V G: hæc autem maiora ſunt quàm duplum V H in V d: ergo duplũ M V in V d ad duplum H V in V d, nempe V M ad V H maiorem proportionem habet, quàm duplũ M V in V d ad duo quadrata ex V H, & ex V G: & componendo M H ad H V, ſeu M H in H A ad V H in H A maiorem propor-tionem habebit, quàm duplum M V in V d cum duobus quadratis ex V H, & ex V G, quæ omnia ſi-mul ſunt vt duo quadrata M H, & M G ad duo quadrata V H, & V G: & permutando M H in H A ad duo quadrata H M, & G M, ſeu vt quadratum A C ad quadra-tum diametri figuræ P Q (19. ex 7.) maiorem proportionem habebit, quàm V H in H A ad duo quadrata V H, & V G, ſeu quàm quadratum A C ad quadratum diametri figuræ S T (19. ex 7.) quare diameter figuræ S T maior eſt diametro figuræ P Q. Poſtea quia y O eſt media proportionalis inter A C, & A F erit quadratum A C ad quadratum y O, vt A C ad A F, nempe vt C G ad C H, ſeu vt C G in C H ad quadratum C H, & quadratum y O ad ſum-mam quadratorum y O, & O f, nempe ad quadratum diametri ſuæ figuræ eſt vt quadratum H C ad quadratum C G cum quadrato H C: quare ex æqualitate quadratum A C ad quadratum @diametri figuræ y O eandem, proportionem habet, quàm C G, ſeu A H in H C ad duo quadrata ip-ſius C G, atque ipſius C H: igitur A H in H V maiorem ad duo qua- drata ex V G minori, & ex V H, ſeu vt quadratum A C ad quadratum diametri figuræ S T (19. ex 7.) maiorem proportionem habebit, quàm A H in H C minorem ad duo quadrata ex G C, & C H maiora, ſcili-cet vt quadratum A C ad quadratum diametri figuræ y O (19. ex 7.) ; igitur quadratum diametri figuræ y O maior eſt quàm quadratum diametri figuræ S T. Si verò G M non fuerit minor quàm V H; vtique duo qua-drata ex G M, & M H non erunt maiora duobus quadratis ex V G, & ex V H: at A H in M H ad duo quadrata ex G M, & ex M H, nempe quadratum A C ad quadratum diametri figuræ P Q habebit maiorem, proportionem, quàm A H ad H V ad duo quadrata ex V H, & ex V G, ſcilicet vt quadratum A C ad quadratum diametri figuræ S T; igi-tur diameter figuræ S T maior eſt diametro figuræ P Q. Eadem prorſus oſtendentur, quando punctum V cadit vltra punctum D ad partes A in-ter puncta D, & M. Et hoc erat propoſitum.

PROPOSITIO XXXXVIII.

S It iam duplum quadrati A C maius quadrato C A F, erit duplum quadrati A H maius quadrato G H: ponatur duplum quadrati H M æquale quadrato G H: & ducatur ad axim perpendicularis M N; iun- gaturque A N, eiuſque diameter P Q extendatur, erit H M ad M G, vt P Q ad P R (7. ex 7.) ; ergo, & quadratum H M ad quadratum H G erit, vt quadratum P Q ad quadratum P R, & quadratum H M ad duo quadrata ex H M, & ex M G eandem proportionẽ habebit, quàm quadratum P Q ad quadratum diametri ſuæ figuræ: educatur poſtea dia-meter I L inter A, & B, & erectum illius ſit I K ad quàm ordinatim ducta ſit A B, & ad axim perpendicularis ſit B E erit quadratum M H, nec non G H in H D æquale dimidio quadrati H G; igitur G H ad M H erit vt M H ad H D: & comparando homologorum differentias erit M G ad M D, vt G H ad H M: & propterea duplum G H in M D, ſeu quadruplum H D in D M eſt æquale duplo G M in M H: & propterea duplum G M in M H maius erit quàm duplum G E in M H; ponatur communiter duplum E M in H M cum quadruplo quadrati M D, & fiat D d æqualis D M, fiet duplum E d in M H maius quadrato H M cum quadrato M G; igitur d E in E M bis ſumptum ad duplum E d in M H. nempe E M ad M H minorem proportionem habebit, quàm duplum d E in E M ad duo quadrata ex M G, & ex M H: & componendo E H ad M H, ſeu E H in H A ad M H in H A minorem proportionem habe-bit, quàm duplum d E in E M vna cum quadratis ex M H, & ex M G, quæ æqualia ſunt duobus quadratis H E, & G E ad duo quadra-ta ex M G, & ex H M. Et ſic pariter oſtendetur, quod quadratum H A ad H E in H A minorem proportionem habebit, quàm duo quadrata ex H A, & ex A G ad duo quadrata ex H E, & ex E G. Atque de-monſtrabitur quemadmodum antea dictum eſt, quod quadratum diame- tri figuræ P Q minus eſt quadrato diametri figuræ I L, & quadratum diametri figuræ I L minus eſt quadrato diametri figuræ A C. Ponãtur poſtea diametri S T, & γ O vltra diametrum P Q, ſitque A X ordinatim applicata ad diametrum S T, & V X ad axim perpendicularis ſit, oſten-detur (quemadmodum in præcedentibus dictum eſt) quod diameter fi-guræ P Q minor ſit diametro figuræ S T, & diameter figuræ S T minor ſit diametro figuræ γ O, vbicunque ſecet ad axim perpendicularis X V ipſam A C. Et hoc erat oſtendendum.

In Sectionem IX. Propoſit. XXXXI. XXXXVII. & XXXXVIII. LEMMA. XIII.

Sl recta linea G H ſecetur bifariam in D, & non bifariam in O, E, atque fiat G a æqualis H E; ſi quidem proportio dupli O H ad H G eadem fuerit proportioni G H ad H E, erit duplum rectan-guli ex differentia ipſarum E H, G O in H O æquale quadratis ex G O, & ex O H: ſi verò proportio illa maior fueri erit rectangulum ma-ius quadratis; & ſi eadem proportio fuerit minor, idipſum rectangulum quadratis minus erit.

Et primo quia duplum O H ad H G eſt vt G H ad H E, ergo duplum rectanguli O H E æquale erit quadrato ex G H; auferatur cõmuniter du-plum rectanguli H O G, quia H O eſt communis rectangulo-rum altitudo, remanet duplũ rectanguli ex differentia ipſa-rum E H, G O, ſeu ex diffe-rentia ipſarum G a, & G O in H O, ſeu remanet duplum rectanguli a O H æquale quaàrato H G minus duplo rectanguli G O H: huic verò differentiæ æqualia ſunt duo quadrata ex G O, & ex H O, ergo duplum rectanguli a O H æquale eſt ſummæ quadrato-rum ex G O, & ex O H.

Secundo, quia duplum O H ad H G maiorem proportionem habet, quàm G H ad H E, ergo duplum rectanguli O H E maius erit quadrato G H, & ablato communiter duplo rectanguli G O H erit duplum rectanguli ex differen-tia ipſarum E H, & G O in H O maius, quàm ſumma quadratorum ex G O, & ex H O.

Tertio ſi duplum O H ad H G minorem proportionem habuerit, quàm G H ad H E, eodem progreſſu oſtendetur, quod duplum rectanguli ex differentia ipſarum E H, & G O in H O minus eſt quadratis ex G O, & ex H O, quod erat propoſitum.

LEMMA XIV.

Ilſdem poſitis ſit G E minimum ſegmentorum, dico quod duo qua-drata ex E H, & ex G E, ſcilicet ex maximo, & minimo ſeg-mentorum æqualia ſunt duobus quadratis ex O H, & ex G O inter-medijs ſegmentis vna cum duplo rectanguli ſub differentijs minimæ G E à duabus intermedijs G O, & H O.

Fiat H a æqualis G E, ergo O a erit differentia ipſa-rum E H, & G E, ſicuti O E eſt differentia ipſarum G O, & G E. Et quia duo quadra-ta ex maximo, & ex mini-mo ſegmentorum, ſcilicet ex H E, & ex E G æqualia ſunt duplo quadrati ex G D ſe-miße totius, cũ duplo quadrati ex E D intermedia ſectione; eſtque duplum quadrati ex E D ſemiſſe ipſius E a æquale duplo rectanguli E O a ex inæqualibus ſegmentis vna cum duplo quadrati ex intermedia ſectione O D, ergo duo quadrata ex G E, & ex E H æqualia ſunt his omnibus ſpatijs, ſcilicet duplo quadrati ex G D, & duplo quadrati ex D O cum duplo rectan-guli E O a, ſed duo quadrata ex inæqualibus ſegmentis G O, & ex O H æqua-lia ſunt duplo quadrati ex ſemiſſe totius G D cum duplo quadrati ex interme-dia ſectione O D, igitur exceßus ſummæ quadratorum ex G E, & ex E H, ſupra ſummam quadratorum ex G O, & O H æqualis eſt duplo rectanguli ex E O a, quod erat oſtendendum.

LEMMA XV.

IN ellypſi, cuius axis A C, erectus A F, diameter I L, eiuſq; erectus I K, & latus C E, & ſimiliter altera diameter Q P, cuius ere-ctus P R, & latus C O: dico quod duplum rectanguli ex differentia ipſarum E H, G O, in H O à duobus quadratis ex G O, & ex O H, atque aggregatum quadratorum larerum I L, & I K figuræ dia-metri I L ab aggregato quadratorum laterum P Q, & P R fignræ al-terius diametri, vna deficiunt, aut vna æqualia ſunt, vel vna exce-dunt.

Fiat O d differentia ipſarum E H, & G O, & primo quia duplum rectan-guli ex d O H æquale eſt quadratis ex G O, & ex H O, ergo duplum rectan-guli d O E ad duplum rectanguli d O H, ſeu O E ad H O eandem proportio-nem habet, quàm duplum rectanguli d O E ad duo quadrata ex G O, & ex H O, & componendo, erit E H ad H O, ſeu rectangulum E H A ad rectangu- lum O H A vt àuo quadrata ex G E, & ex E H ad duo quadrata ex G O, & ex H O, & permutando rectangulum E H A ad quadrata ex G E, & ex E H, ſeu quadratum ex A C ad quadrata ex I L, & ex I K, vel ad quadrata ex A C, & ex A F eandem proportionem habebit, quàm rectangulum O H A ad quadrata ex G O, & ex H O, vel quadratum A C ad duo quadrata ex P Q, & ex P R, quapropter duo quadrata ex I L, & ex I K, ſeu ex A C, & A F æqualia erunt duobus quadratis ex P Q, & ex P R.

Lem. 14. huius. 17. huius. Ibidem.

Secundo ſit duplum rectanguli d O H minus quadratis ex G O, & ex H O. duplum rectanguli d O E ad duplum rectanguli d O H, ſeu O E ad H O ha-bebit maiorem proportionem, quàm duplum rectanguli d O E ad duo quadrata ex G O, & ex H O, & rurſus componendo ex lem. 2. lib. 5. & ex lem. 14. & permutando, atque ex 17. propoſit. huius habebit idem quadratum A C ad duo quadrata ex I L, & ex I K maiorem proportionem, quàm ad duo quadrata ex P Q, & ex P R: quapropter duo quadrata ex I L, & ex I K minora erunt duobus quadratis ex P Q, & ex P R.

Tertio ſit rectangulum d O H maius duobus quadratis ex G O, & ex H O. duplum rectanguli ex d O E ad duplum rectanguli d O H, ſeu O E ad H O ha- bebit minorem proportionem, quàm duplum rectanguli d O E ad duo quadrata ex G O, & ex O H, & componendo ex lem. 14. permutando, & ex 17. hu- ius, tandem erunt duo quadrata ex I L, & ex I K maiora duobus quadratis ex P Q, & ex P R.

Sl in ellypſi termini E, O laterum C E, C O, diametrorum I L, & P Q cadant hinc inde à centro D, ſitque D O maior quàm D E, dico quod qua-drata ex P Q, & ex P R maiora ſunt quadratis ex I L, & ex I K.

Quia O H minor eſt, quàm E H, ſed duo quadrata ex G O maximo, & O H minimo ſegmentorum eiuſdem rectæ lineæ G H maio-ra ſunt duobus quadratis ex G E, & ex E H intermedijs ſegmentis; ergo O H ad E H, minor ad maiorem ſeu rectangulum O H A ad rectangulum E H A minorem proportionem habet, quàm maior ſumma quadratorum ex G O, & ex O H ad minorem ſummam qua-dratorum ex G E, & ex E H, & per-mutando rectangulum O H A ad duo qua-drata ex G O, & ex O H, ſeu quadratum A C ad duo quadrata ex P Q, & ex P R minorem proportionem habebit, quàm rectangulum E H A ad duo quadrata ex G E, & ex E H, ſen quàm quadratum A C ad duo quadrata ex I L, & ex I K: igitur duo quadrata ex P Q, & ex\P R maiora ſunt duobus quadra-tis ex I L, & ex I K, quod erat oſtendendum.

17. huius. 17. huíus.
Notæ in Propoſit. XXXXI.

IN ellypſi, cuius axis maior A C, quia rectangulum A H E ad quadratum H G eſt, vt quadratum A C ad quadratum ex L I K, vel ad quadratum ex C A F, atq; quadratum ex G H ad rectangulum A H M eandem proportio- nem habet, quàm quadratum ex Q P R ad quadratum A C, igitur ex æquali perturbata rectangulum A H E maius ad minus rectangulum A H M eandem proportionem habet, quàm quadratum ex Q P R ad quadratum ex L I K, vel ad quadratum ex C A F: eſtque rectangulum A H E maius rectangulo A H M, ergo quadratũ ex ſumma Q P R maius eſt quadrato ex ſumma L I K, & propterea linearũ sũma Q P R maior erit, quàm sũma L I K, vel quàm ſum- ma C A F. Tandem quia rectangulum A H M ad quadratum ex ſumma H M G eandem proportionem habet, quàm quadratum A C ad quadratum ex Q P R, ſed quadratum ex H C G ad rectangulum ex A H C eandem proportionẽ habet, quàm quadratnm ex sũma Y O f ad quadratum A C, (@o quod H C eſt intercepta comparata diametri Y O, cum Y O ſecet bifariam ad eam ordinatim applicatam A C, atque ab eodem pun- cto C perpendicularis ad axim ducta cadat ſuper idem punctum C), igitur ex æquali perturbata rectangulum A H M maius ad minus rectangulum ex A H C eandem proportionem habet, quàm quadratum ex ſumma Y O f ad qua-dratum ex ſumma Q P R, & propte-rea ſumma laterum Y O f maior erit, quàm ſumma Q P R.

Prop. 16. huius.
ex 16. huius. lbidem.
Notæ in Propoſit. XXXXVII.

QVia duplum quadrati A C non eſt maius quadrato ex C A F, ergo du-plum quadrati ex A H æquale, aut minus erit quadrato ex ſumma G H, eſtque duplum rectanguli ex E H A, vel ex E H M minus duplo quadrati A H, igitur minus quoque erit quadrato ex G H, igitur du-plum M H ad G H minorem proportionem habet, quàm G H ad E H, ergo duplum rectanguli ex differentia ipſarum E H G M in M H minus eſt duobus quadratis ex G M, & ex H M: quare duo quadrata ex I L, & ex I K minora erunt duobus quadratis ex Q P, & ex P R, & ſic duo quadrata ex Q P, & ex P R minora ſunt duobus quadratis ex T S, & ex S Z.

Lem. 13. huius. Lem. 15. huius.
Notæ in Propoſit. XXXXVIII.

QVia ex hypotheſi duplum quadrati A C maius eſt quadrato ex C A F, ergo duplum quadrati ex A H maius erit quadrato ex H G. Fiat igitur quadratum ex M H æquale ſemiquadrato G H, & lateris C M fiant duæ diametri Q P, & q p, quarum erecta ſint P R, & p r: Dico duplum quadrati Q P æquale eße quadrato ex ſumma laterum Q P R: Quia Q P ad P R eſt vt H M ad M G, & antecedentes ad terminorum ſummas, & eorum quadrata proportionalia erunt, ſcilicet quadratum Q P ad quadratum ex Q P R eandem proportionem habebit, quàm quadratum ex M H ad quadratum ex H G: erat autem quadratum M H ſubduplum quadrati ex H G, igitur qua-dratum ex P Q ſubduplum eſt quadrati ex Q P R. Eadem ratione quadra-tum ex q p ſubduplum erit quadrati ex q p r, & diametri Q P, & q p æqua-les erunt, cum æque recedant ab axi, & habeant commune latus C M.

Prop. 7. huius.

Poſtea quia punctum E cadit inter M, & A, erit duplum rectanguli M H E maius duplo quadrati ex M H, ſeu maius quadrato G H, & propterea du-plum M H ad H G maiorem proportionem habebit, quàm G H ad H E, ergo duplum rectanguli ex differentia ipſarum E H, & G M in M H maius erit duobus quadratis ex G M, & ex M H, & propterea duo quadrata ex I L, & ex I K ſimul ſumpta maiora erunt duobus quadratis ex Q P, & ex P R.

Lem. 13. Lem. 15. huius.

Similiter duplum rectanguli E H A maius erit quadrato ex G H, & pro-pterea duplum E H ad H G maiorem proportionem habebit, quàm G H ad H A, & ideo duplum rectanguli ex differentia ipſarum A H, & G E in E H maius erit duobus quadratis ex G E, & ex E H: igitur duo quadrata ex C A, & A F maiora erunt duobus quadratis ex I L, & ex I K.

Lem. 13. huius. Lem. 15. huius.

Rurſus quia V H minor eſt, quàm M H erit duplum rectanguli V H M mi-nus duplo quadrati M H, ſeu minus quadrato G H, igitur duplum V H ad H G minorem proportionem habet, quàm G H ad H M, & propterea duplum rectanguli ex differentia ipſarum M H, & G V in V H minus erit duobus quadratis ex G V, & ex V H, & propterea duo quadrata ex Q P, & ex P R minora erunt duobus quadratis ex T S, & ex S Z: ſi verò D V maior fue-rit quàm D M, erunt duo quadrata ex Q P, & ex P R minora duobus qua- dratis' ex T S, & S Z: igitur ſumma duorum quadratorum ex Q P, & ex P R minor eſt ſumma quadratorum duorum laterum figuræ cuiuſlibet alterius diametri eiuſdem ellipſis.

Lem. 13. huius. Lem. 15. huius. Lem 16. huius.

In ellipſi reperire diametrum, cuius duo quadrata laterum figuræ eius æqualia ſint quadratis laterum figuræ axis maioris: oportet autem Vt quadratum axis maioris A C maius ſit ſemiquadrato ex ſumma laterum C A F figuræ eius.

PROP. 7. Addit

Quia ex hypotheſi quadratum axis maioris A C maius eſt ſemiquadrato ex ſumma C A F, ergo, vt in nota prop. 48. dictum eſt, duplum quadrati ex A H maius eſt quadrato ex H G; fiat duplum rectanguli e H A æquale quadra-to ex G H, & lateris C e fiat diameter a b cuius erectus a c. Dico hanc eſſe diametrum quæſitam.

Quoniam duplum rectanguli e H A æquale eſt quadrato ex G H, ergo dup-lum e H ad H G eſt vt G H ad H A, eritq; duplum rectanguli ex differentia ipſarum A H, & G e in e H æquale quadratis ex G e, & ex e H, & ſum- ma quadratorum ex b a, & ex a c æqualis erit quadratorum ſummæ ex A C, & ex A F, quod erat oſtendendum.

Lem 13. Lem. 15.

In eadem ellypſi diametrum reperire, cuius duo quadrata laterum figuræ eius æqualia ſint quadratis laterum figuræ datæ diametri I L: oportet autem vt I L cadat inter axim, & diametrum P Q, cuius quadratum ſubduplum ſit quadrati ex ſumma laterum Q P R.

PROP. 8. Addit.

Sit C E latus diametri I L, & fiat duplum V H ad H G, vt G H ad H E, & ponatur S T diameter lateris C V, cuius erectus ſit S Z: erit igitur duplum rectanguli ex differentia ipſarum E H, & G V in V H æquale qua- dratis ex G V, & ex V H, ideoque ſumma quadratorum ex L I, & ex I K æqualis erit quadratorum ſummæ ex T S, & S Z, quod propoſitum ſuerat.

Lem. 13. huius. Lem. 15. huius.

Colligitur ſimiliter ex 7. propoſit. additarum, quod in vna ellypſi tres dia-metri reperiri poßunt, quarum ſummæ quadratorum laterum æquales ſint inter ſe: & ex 8. propoſit. additarum deducitur, quod quatuor diametrorum eiuſ-dem ellypſis laterum ſummæ quadratorum æquales poſſunt eſſe inter ſe, ſed oportet vt quadratum axis maioris datæ ellypſis maius ſit, quàm dimidium qua-drati ex ſumma laterum figuræ axis C A F.

Duo latera figuræ axis tranſuerſi minora ſunt duobus lateribus ſiguræ cæterarum diametrorum, & duo latera figuræ diametri axi proximioris minora ſunt duobus lateribus figuræ remotioris, & c. Addidi ea, quæ defi-cere videbantur in hoc textu.

a

Iiſdem figuris manentibus cum ſuis ſignis oſtendatur quod duplum quadrati A C, ſi non exceſſerit F, quod diameter eſt illius figuræ minor, quàm diameter ſiguræ I L, & diameter figuræ I L, quàm diameter figuræ P Q, & c. Legendum puto vt in textu apparet.

b

Et ſic oſtendetur quod ſi punctum V inciderit ſuper D A, & oſtende- tur D, & M, & c. Legendum puto, vt in textu videre eſt.

c
SECTIO DECIMA Continens Propoſit. XXXXIX. XXXXX. & XXXXXI.

XXXXXI. IN hyperbola, & ellipſi, ſi axis tranſuerſus minor fuerit ſuo erecto, differentia quadratorum duorum laterum figuræ axis eius maior eſt, quàm differentia quadrato-rum laterum figuræ cuiuslibet alterius diametri ei homologæ. Et differentia quadratorum laterum figure homologæ proximioris axi ſemper maior eſt in hyperbola, quàm differentia quadratorum laterum figuræ remotioris: at in ellypſi quouſque diameter tran-ſuerſa æqualis non fiat ſuo erecto.

a

XXXXX. Et in hyperbola differentia quadrati axis inclinati ab eius figura minor erit ſemidifferentia quadratorum duorum laterum figuræ ſui homologi.

XXXXIX. Si verò in hyperbole axis inclinatus maior fuerit ſuo erecto, vtique differentia quadratorum duorum laterum fi-guræ axis minor erit differentia quadratorum laterum figuræ al- terius homologæ diametri, atque differentia quadrati axis ab eius figura maior erit ſemidifferentia quadratorum duorum late-rum figuræ ſuæ homologæ, & minor erit integra differentia eo-rundem quadratorum.

In fectione A B N ſit axis A C maior in figura prima, & in ſecunda minor, ſintquè I L, P Q duæ aliæ diametri, quæ in ellipſi cadant inter axim, & vnã æqualium; ducanturque duæ ordinationes A B, A N ad diametros I L, P Q, & duas ad axim perpendiculares B E, N M; ſit-que A F erectus ipſius A C, & A G, C H duæ interceptæ: ponaturque in ellipſi X D æqualis E D, habebit E H ad H A minorem proportio- nem in prima hyperbola, & maiorem in reliquis, quàm E D ad D A, ſeu quàm E X, quæ eſt ſumma in hyperbola, & differentia in ellipſi ipſarum E G, & E H ad A C differentiam ipſarum H A, A G; & qua- dratum A C in omnibus figuris ad differentiam quadratorum A C, & A F eandem proportionem habet, quàm quadratum A H ad differentiam duorum quadratorum A H, & G A: atque E H ad H A minorem pro-portionem habet in duabus primis figuris, & maiorem proportionem in duabus ſecundis, quàm E G ad G A, comparando homologorum ſum-mas, erit E H ad H A, vt E H cum E G ad H A cum G A, nempe ag-gregatum E H, E G in earundem differentiam ad aggregatum H A, A G in earundem differentiam, quod eſt æquale differentiæ duorum qua-dratorum E H, E G; nempe quadratum A C ad differentiam quadrato-rum duorum laterum figuræ I L minorem proportionem habet (in prima ellipſi), & maiorem (in ſecunda) quàm quadratum A H ad aggrega-tum H A, A G in earundem differentiam, quod eſt æquale differentiæ quadratorum H A, A G, nempe quadratum A C ad differentiam qua- dratorum duorum laterum figuræ eius; igitur quadratum A C ad diffe-rentiam quadratorum duorum laterum figuræ I L minorem proportionem habet, in prima ellipſi, & maiorem in reliquis, quam ad differentiam quadratorum duorum laterum figuræ A C; ergo differentia quadratorum duorum laterum figuræ A C minor eſt in prima ellipſi, & maior in cæ-teris, quàm differentia quadratorum duorum laterum figuræ I L. Præte-rea M H ad H E minorem proportionem, aut maiorem habet, quàm M G ad G E: & ponamus in ellipſi Y D æqualem D M, oſtendeturquè quod M H in H A minus ſit in prima ellipſi, & maior in cæteris, quàm duarum M G, M H ſumma in earum differentiam M Y: & oſtendetur quemadmodum dictum eſt, quod differentia quadratorum duorum late-rum figuræ I L maior eſt, quàm differentia quadratorum duorum late-rum figuræ P Q.

b c

Deinde in hyperbola ponamus I K erectum ipſius I L, erit differentia quadratorum duarum I L, I K (quæ eſt æqualis K L in ſummam L I, I K) maior illa, quàm I L in L K, quod eſt æquale differentiæ quadrari I L, & eius figuræ, nempe differentiæ quadrati A C, & eius figuræ (29. ex 7.) & non eſt maior in prima, quàm duplum, & in ſecunda ma-ior duplo, & hoc eſt propoſitum.

In Sectionem X. Propoſit. XXXXIX. XXXXX. & XXXXXI. LEMMA XVI.

S I rectæ lineæ A B bifariam ſectæ in C vtrinque addantur æquales portiones A D, & B E, dico rectangulum ſub tota D E, & ſub intermedia A B æquale eſſe differentiæ quadratorum ex A E, & ex A D.

Apponatur F D æqualis D A, vel B E: & quia F D æ-qualis eſt B E addita communi B D, erit F B æqualis D E, & ideo rectangulum F B A æ-quale erit rectangulo ſub D E, & ſub A B, ſed quadratum B D æquale eſt quadrato D A cum rectangulo F B A, (eo quod F A ſecta eſt bifariam in D, & ei in directum additur A B), ergo quadratum D B æquale eſt quadrato D A vna cum rectangulo ſub D E, & ſub A B, & propterea re-ctangulum ſub D E, & ſub A B contentum æquale eſt differentiæ quadrati B D, ſeu A E à quadrato D A, quod erat oſtendendum.

LEMMA XVII.

IN hyperbola, & ellypſi, cuius centrum D, axis A C, erectus A F, præſectæ A H, G C, & in ea diameter I L, cuius erectus I K, & latus C E, pariterque diameter Q P, cuius erectus P R, eiuſque latus C M, ſi fuerit proportio ipſius H M ad M D eadem proportioni H E ad D E, vel eadem proportioni H A ad D A, erit differentia quadratorum ex lateribus Q P, & ex P R figuræ diametri Q P æqualis differentiæ quadratorum ex lateribus figuræ diametri I L, vel A C: ſi verò proportio illa minor fuerit erit prior differentia quadrato-rum maior reliqua, & ſi illa proportio maior fuerit, erit prima quadra-torum differentia minor reliqua.

Fiat D X æqualis D E, & D γ æqualis D M, & primo quia H M ad M D eſt vt H E ad D E, permutando M H ad H E erit vt D M ad D E, ſeu vt duplũ M γ ad duplum E X, & ſumptis altitudinibus H A, & G H erit rectangulum M H A ad rectangulum E H A vt rectangulum ſub γ M, & G H ad rectan- gulum ſub E X, & G H, & permutando rectangulum M H A ad rectangulum ſub γ M, & G H, ſeu ad differentiam quadratorum ex H M, & ex M G eandem proportionem habebit, quàm rectangulum E H A ad rectangulum ſub E X, & ſub G H, ſeu ad differentiam quadratorum ex H E, & ex E G: eſt verò quadratum A C ad differentiam quadratorum ex P Q, & ex P R, vt rectangulum M H A ad differentiam quadratorum ex H M, & ex M G, pa-riterque idem quadratum A C ad differentiã quadratorum ex I L, & ex I K eſt, vt rectangulum E H A ad differentiam quadratorum ex H E, & ex E G, igitur idem quadratum A C ad differentiam quadratorum ex P Q, & ex P R eandem proportionem habet, quàm ad differentiam quadratorum ex I L, & ex I K, & propterea differentia quadratorum ex Q P, & ex P R æqualis eſt quadratorum differentiæ ex I L, & ex I K, ſiue æqualis eſt quadratorum differentiæ ex A C, & ex A F.

Lem. 16. huius. Ibidem. Prop. 20. huius. Ibidem.

Secundo H M ad M D minorem proportionem habeat, quàm H E ad D E, vt prius permutando habebit H M ad H E minorem proportionem, quàm D M ad D E, ſeu quàm duplum M γ ad duplum E X, & ſumptis communibus al-titudinibus H A ad G H, & permutando ex lem. 16. & propoſit. 20. huius, idem quadratum A C ad differentiam quadratorum ex P Q, & ex P R mino-rem proportionem habebit, quàm ad differentiam quadratorum ex I L, & ex I K, quapropter differentia quadratorum ex P Q, & ex P R maior erit, quàm differentia quadratorum ex I L, & ex I K, ſeu maior, quàm differentia qua-dratorum ex A C, & ex A F.

Tertio habeat H M ad M D maiorem proportionem quàm H E ad D E: vt prius permutando, ſumptis communibus altitudinibus H A, & G H, & denuo permutando ex lem. 16. & prop. 20. huius, ſequitur quod idem quadratum ex A C ad differentiam quadratorum ex P Q, & ex P R maiorem proportio-nem habet, quàm ad differentiam quadra orum ex I L, & ex I K, quare dif-ferentia quadratorum ex P Q, & ex P R minor erit, quàm differentia qua-dratorum ex I L, & ex I K, ſiue minor, quàm diffirentia quadratorum ex A C, & ex A F, quæ erant oſtendenda.

LEMMA XVIII.

IN ellipſi ſi diameter a b bifariam ſecuerit rectam lineam A O ter-minos axium coniungentem, erit a b æqualis ſuo erecto a c. Zuia axis A C bifariam diuiditur in centro D ab axi O D perpendiculari ad axim A C, quæ educitur à termino O ipſius A O ordinatim applicatæ ad diametrum a b, habebit diameter a b ad eius erectũ a c eandem proportionem æqualitatis quàm habet H D ad D G, igitur diameter a b æqualis eſt eius la-teri recto a e, quod erat propoſitum.

Prop. 7. huius.
Notæ in Propoſit. XXXXIX.

QVia in hyperbola axis A C maior ponitur erecto eius A F, eſtque A H ad H C vt A C ad A F, ergo præſecta A H maior portio eſt totius C A, & ideo punctum H cadit inter C, & D, & punctum E cadit inter M, & D, igitur eadem H D ad maiorem D M habebit minorem proportio- nem, quàm ad minorem D E, & componendo H M ad M D minorem propor-tionem habebit, quàm H E ad E D, & ideo differentia quadratorum ex P Q, & ex P R maior erit, quàm differentia quadratorum ex I L, & ex I K, ſeu maior quàm differentia quadratorum ex A C, & ex A F.

Lem. 17. huius.

Rurſus quia rectangulum C A F maius eſt quadrato A F, (propterea quod rectangulum illud medium proportionale eſt inter maius quadratum ex A C, & quadratum minus ex A F), ergo differentia quadrati A C à rectangulo C A F, ſcilicet difſerentia ſpatiorum maximi, & intermedij, minor erit, quàm differentia inter quadratum maximum A C, & minimum A F, ſed differen-tia quadratorum ex A C, & ex A F minor oſtenſa eſt, quàm differentia qua-dratorum ex I L, & ex I K, ergo multo magis differentia quadrati A C à re-ctangulo C A F minor erit, quàm differentia quadratorum ex I L, & ex I K.

Tandem quia quadratum A C ad ſemidifferentiam quadratorum ex I L, & ex I K eandem proportionem habet, quàm rectangulum E H A ad ſemifferen- tiam quadratorum ex E H, & ex E G, vel ad ſemiſſem rectanguli ex E X in G H, vel potius ad rectanguluw ſub E D, & ſub G H; ſed quadrati A C à rectangulo C A F differentia ad quadratum ipſum A G, ſeu differentia A C, & A F ad A C eandem proportionem habet, quàm H G ad H A, ſeu quàm rectangulum E H G ad rectangulum E H A, igitur ex æquali differentia qua- drati A C à rectangulo C A F ad ſemidifferentiam quadratorum ex I L, & ex I K eandem proportionem habebit, quàm rectangulũ E H G ad rectangulum ſub E D, & G H, eſtq; primũ rectangulũ reliquo rectangulo æquè alto maius, cum eius baſis E H maior ſit, quàm E D, igitur differentia quadrati A C à rectangulo C A F maior erit, quàm ſemidifferentia quadratorum ex I L, & ex I K.

Prop. 20 huius. Lem. 16. huius. ex Def. 2. huius.
Notæ in Propoſit. XXXXX.

SI hyperbole axis A C minor fuerit eius erecto A F, quia H M maior eſt, quàm H E, & punctum H cadit inter D, & A, ergo H M ad H D ma- iorem proportionem habebit, quàm H E ad eandem H D, & comparando ante-cedentes ad terminorum ſummas H M ad M D maiorem proportionem habebit, quàm H E ad E D, quare differentia quadratorum ex P Q, & ex P R minor erit, quàm differentta quadratorum ex I L, & ex I K, ſeu minor quàm dif-ferentia quadratorum ex A C, & ex A F.

Lem. 17. huius.

Poſtea, quia vt in precedenti nota dictũ eſt, differentia quadrati A C à rectan-gulo C A F ad ſemidifferentiã quadratorũ ex I L, & ex I K eandem proportionẽ habet, quàm rectangulum E H G ad rectangulum ſub E D, & ſub G H, eſt-que illud rectangulum minus rectangulo iſto æquè alto, (cum illius baſis E H minor ſit, quàm E D), igitur differentia quadrati A C à rectangulo C A F minor eſt, quàm ſemidifferentia quadratorum ex I L, & ex I K.

Notæ in Propoſit. XXXXXI.

IN qualibet ellypſi ſit diameter a b æqualis eius erecto a c, eius latus erit C D, & diametri I L, & P Q cadant inter A C, & a b, earum laterum C E, & C M, termini E, & M cadent inter D, & A, & M cadat inter E & D, propterea M H ad M D maiorem proportionem habebit, quàm H E ad E D, igitur differentia quadratorum laterum figuræ P Q minor erit diffe- rentia quadratorum laterum figuræ I L, vel figuræ A C.

ex Lem. 18. huius.
Lem. 17. huius.

In ellypſi reperire diametrum, cuius differentia quadratorum la-terum figuræ eius æqualis ſit diffe-rentiæ quadratorum laterum figuræ axis maioris A C.

PROP. 9. Addit.

Secetur H D in e, vt H e ad e D eandem proportionem babeat, quàm H A ad A D, & ex puncto e educa-tur ad axim perpendicularis e h occur-rens ſectioni in h, & coniungatur a h, quàm bifariam ſecet diameter f d, cuius erectus d g: dico diametrum, f d eße quæſitam. Quia H e ad e D eandem proportionem habet, quàm H A ad A D, ergo differentia quadrato- rum ex f d, & ex d g æqualis eſt dif-ferentiæ quadratorum ex A C, & ex A F, quod erat propoſitum.

Lem. 17. huius.

In ellypſi reperire diametrum, cuius differentia quadratorum late-rum eius figuræ æqualis ſit diffe-rentiæ quadratorum laterum figuræ datæ diametri I L: oportet autem vt data diameter cadat inter axim maiorem A C, & diametrum a b æqualem ſuo erecto a c.

PROP. 10. Addit.

Sit C E latus diametri I L, & diuidatur H D in V, vt habeat H V ad V D eandem proportionem, quàm H E habet ad E D, & ducta vt prius ad axim perpendiculari V X occurrens ſectioni in X, & coniuncta A X, quam bifa-riam ſecet diameter T S, cuius erectus S Z; dico hanc eſſe quæſitam. Quo- niam H V ad V D eandem proportionem habet, quàm H E ad E D, igitur differentia quadratorum ex T S, & ex S Z æqualis eſt differentiæ quadratorum ex I L, & ex I K, quod propoſitum fuerat.

Lem. 17. huius.

Deducitur ex 9. propoſitione additarum, atque ex propoſit. 51. huius, quod in ellypſi exceſſus quadrati cuiuſlibet diametri tranſuerſæ ſupra quadratum ere-cti eius ſucceſſiue decreſcit ab axi maiori A C vſque ad diametrum a b æqua-lem ſuo erecto, atque ab hac diametro defectus quadrati cuiuſlibet tranſuerſæ diametri à quadrato erecti eius ſucceſſiue augetur, quouſque perueniatur ad dia-metrum f d, cuius differentia quadratorum figuræ eius æqualis ſit differentiæ quadratorum figuræ axis maioris A C, & vltra diametrum f d differentiæ præ-dictæ ſemper magis augentur quouſque perueniatur ad axim minorem γ O cuius differentia quadratorum figuræ eius maxima eſt omnium differentiarum inter quadrata laterum figuræ cuiuſlibet diametri eiuſdem ellypſis.

ex Prop. 50. huius.

Conſtat quoque ex 9. propoſitione additarum, quod in ellypſi tres diametri reperiri poßunt, quarum differentia quadratorum figurarum laterum earum æquales ſint inter ſe.

Et ex 10. additarum reperiri poſſunt quatuor diametri, quarum differentiæ quadrat orum laterum figurarum earum æquales ſint inter ſe: in hyperbole verò hoc non contingit, nam ab axi differentiæ quadratorum laterum figuræ cuiuſli- bet diametri ſucceſſiue augentur, ſi axis maior fuerit ſuo erecto, at ſi minor fuerit prædictæ differentiæ quadratorum ſucceſſiue diminuuntur.

ex Prop. 49. huius. ex Prop. 50. huius.

Differentia (8. 15.) duorum quadratorum duorum laterum figuræ axis maior eſt in hyperbola (51.) , & ellypſi, quàm differentia quadratorum duorum laterum figuræ homologæ diametri ſectionis, & differentia ho-mologi proximioris axi maior eſt differentia homologi remotioris: hoc autem ſi axis in hyperbola minor fuerit ſuo erecto (49.) ; ſi verò fuerit maior oppoſitum pronunciandum eſt (50.) , & differentia quadrati axis inclinati, & figuræ eius minor eſt ſemidifferentia quadratorum duorum laterũ figuræ ſui homologi, ſi axis inclinatus minor eſt ſuo erecto (49.) ſi verò fuerit maior exceſſus axis maior erit dimidio exceſſus quadrato-rum duorum laterum figuræ homologi, & minor quàm tota, & c. Legen-dum puto: in qualibet ellypſi, & c. vt in textu apparet.

a

Et ſit P Q in ellypſi vna & hellip; , & educamus A B, A N, & c. Repleui lacunam, vt in textu videre eſt.

b

Ergo E H ad H A minor eſt quàm E D ad D A, nempe E X exceſſus E G, E H ad A C exceſſum H A, A G, & quadratum A C in omni-bus figuris ad differentiam duorum quadratorum A G, A F, vt quadra-tum A H ad differentiam duorum quadratorũ A G, & E H ad H A mi-nor in duabus primis, & maior in duabus ſecundis, quàm E G ad G A, & iungamus ergo E H ad H A, nempe E H ad H A, quàm aggrega- tum E H, E G in ſuum exceſſum ad aggregatum H A, E G in ſuum ex-ceſſum æqualis exceſſui duorum quadratorum E H, E G, nempe qua-dratum A C ad exceſſum quadratorum duorum laterum figuræ I L mi-nor in prima ellypſi, & maior in ſecunda, quàm quadratum A H ad ag-gregatum H A, A G in eorum exceſſu æqualis, & c. Hæc omnia corrigi debuiſſe nemo negabit, atque hinc manifeſtum eſt non pauca in textu arabico deſiderari, cum propoſitio 51, vera non ſit abſque determinationibus ſuperius expoſitis.

c
SECTIO VNDECIMA Continens Propoſit. XXXII. & XXXI. Apollonij.

IN ellypſi, & ſectionibus coniugatis parallelogrammum ſub axibus contentum æquale eſt parallelogrammo à quibuſcun-que duabus coniugatis diametris comprehenſo, ſi eorum anguli æquales fuerint angulis ad centrum contentis à coniugatis dia-metris.

a

Sint duo axes A B, C D in ellipſi A C B D, ſiue in ſectionibus coniugatis A, B, C, D, & ſint F G, I H aliæ duæ coniu-gatæ diametri, & ducantur per puncta F, I, G, H, lìneæ tangentes coniſectiones, quæ ſibi mutuo occurrant ad puncta K, L, M, N: & producatur A B ex vtraque parte vſque ad tangentes, eaſque ſecet in O, P, & ſit centrum E. Dico quod A B in C D æquale eſt ſpatio parallelogram-mo M K: ſit itaque F R perpendicularis ad A B; & ponamus S R mediam propor-tionalem inter O R, R E.

Et quia quadratum A E ad quadratum E C eandem proportionem habet, quàm O R in R E, nempe quàm quadratum S R ad quadratum F R (37. ex 1.) erit A E ad E C nempe quadratum A E ad A E in E C, vt S R ad F R, nempe S R in O E ad F R in O E, & permutando erit qua-dratum A E, nempe R E in O E (39. ex 1.) ad S R in O E, vt A E in E C ad F R in O E, & quadratum O F ad quadratum E H, nempe triangulum E O F ad triangulum E H P (24. ex 2.) propter ſimilitudinem duorum triangulorum eſt, vt OR ad R E (4. ex 7.) , & ſpatium parallelogrammum E K medium proportionale eſt inter duplum trianguli E O F, & duplum trianguli E H P; & S R me-dia proportionalis eſt inter O R, & R E, erit duplum trianguli E O F ad parallelogrammum E K, vt S R ad R E; nempe S R in O E ad R E, in O E, quæ oſtendetur eſſe, vt F R in O E, quod eſt æquale duplo trianguli O F E ad A E in E C; ergo parallelogrammum E K æquale eſt ipſi E A in E C, & propterea quadruplum illius ſpatij, quod eſt pa-rallelogrammum M K æquale eſt ipſi B A in C D. Et hoc erat propo-ſitum.

b c

Hic eſt finis libri ſeptimi Apollonij, quemadmodum illum di- ſpoſui, & puto me præueniſſe in hoc quoſcunque alios, illumquè repo-ſui in Bibliotheca Domini Noſtri Regis Glorioſiſſimi, Beneficentiſſimi, Victorioſi; Deus vmbram illius conſeruet ſuper omnes famulos eius, & greges, & ad finem perducat omnia illius deſideria, & cogitationes, & labor famuli eius ſit iuxta eius beneplacitum; & Laus Deo Domino ſæculorum, & orationes eius ſint ſuper Maumethum, eiuſque ſequaces. Explicit anno D XIII. ſcribente Mahamudo filio Maſudi Medici Scira-zeni decima die di Alkade Anno DCCCXXV.

* * In ſequẽ-tibus Pa-raphraſtes Arabicus impiè, & Maume-danorum more lo-quitur.
Notæ in Propoſit. XXXI. & XXXII.

PLanum axium coniugatarum in ellipſi, & c. Ideſt in ſectionibus coniu- gatis, & in ellipſi rectangulum ſub axibus coniugatis contentum æquale eſt parallelogrammo ſub diametris coniugatis in angulo æquali, ei qui ad cen-trum à diametris continetur. In textu arabico reperitur numerus 9. in illa propoſitione, quæ ellipſim conſiderat, ſed mendoſe, vt arbitror debet potius cenſeri propoſit. 32.

a

Et quia quadratum A E ad qua- dratum E C eſt, vt O R in R E, nempe quadratum S R ad quadra-tum F R, & c. Quoniam axis rectus D C medius proportionalis eſt inter a-xim tranſuerſum A B, eiuſque latus rectum, quadratum A B ad quadra-tum D C, vel eorundem quadrantes, ſcilicet quadratum ſemiaxis A E ad quadratum ſemiaxis E C eandem pro-portionem habebit, quàm axis tran-ſuerſus A B ad eius latus rectum, ſed rectangulum E R O ad quadratum F R eandem proportionem habet, quàm axis tranſuerſus A B ad eius latus rectum, atque quadratum S R æquale eſt rectan-gulo E R O (eo quod S R facta fuit me-dia proportionalis inter E R, & R O) erit quadratum S R ad quadratum F R, vt latus tranſuerſum A B ad eius latus rectum: quare quadratum A E ad quadratum E C eandem proportio-nem habebit, quàm quadratum S R ad quadratum F R: & A E ad E C ean-dem proportionem habebit, quàm S R ad F R: & ſumptis altitudinibus A E, & O E erit quadratum A E, ſeu ei æquale rectangulum R E O ad rectangu- lum A E C, vt rectangulum ſub S R, & ſub O E ad rectangulum ſub F R, & ſub O E, & permutando rectangulum R E O ad rectangulum ſub S R, & ſub O E, ſeu vt R E ad S R eandem proportionem habebit, quàm rectangu-lum A E C ad rectangulum ſub F R, & ſub O E: & inuertendo rectangulum ſub F R, & ſub O E ad rectangulum A E C eandem proportionem habet quàm S R ad R E.

b
Prop. 37. lib. I. Ibidem.

Et quadratum F O ad quadratum E H, nempe triangulum E F O ad triangulum E H P, & c. Quia G F, I H ſunt diametri coniugatæ, quibus æquidiſtant contingentes F O, & L H erunt triangula E O F, & E H P ſimi-lia, quorum latera homologa O F, & E H; & ideo triangulum E O F ad triangulum E H P eandem proportionem habebit, quàm quadratum O F ad quadratum E H: eſtque O R ad R E, vt quadratum O F ad quadratum E H, igitur triangulum E O F ad triangulum E H P eandem proportionem habebit, quàm O R ad R E. Ducatur poſtea recta linea E K, erit triangulum E F K medium proportionale inter duo ſimilia triangula E O F, & E H P (eo quod triangulum E O F ad triangulum E F K æquè altum eandem proportionem ha-bet quàm O F ad F K, ſeu ad latus E H ei homologum) poſita autem fuit S R media proportionalis inter O R, & R E; ergo triangulum E O F ad trian-gulum E F K eſt vt S R ad R E: eſtquè parallelogrammum E K æquale duplo trianguli E F K; ergo duplum trianguli E O F ad parallelogrammum E K ean-dem proportionem habet, quàm S R ad R E; Et quia rectangulum ſub O E, & ſub perpendiculari R F æquale eſt duplo trianguli E O F (cum habeant baſim O E communem, & eandem altitudinem perpendicularis R F); igitur rectan-gulum ſub O E, & ſub R F ad parallelogrammum E K eandem proportionem habebit, quàm S R ad R E: ſed prius rectangulum ſub O E, & ſub R F ad rectangulum A E C eandem proportionem habebat, quàm S R ad R E: ergo idem rectangulum ſub O E, & ſub R F ad parallelogrammum E K eandem proportionem habet, quàm ad rectangulum A E C; & propterea parallelogram- mum E K æquale eſt rectangulo A E C; & eorum quadrupla erunt æqualia, ſcilicet parallelogrammum M K æquale erit rectangulo ſub B A, & ſub D C compræhenſo. Quod erat propoſitum.

c
Prop. 4. huius.
LIBRI SEPTIMI FINIS.
LIBER ASSVMPTORVM INTERPRETE THEBIT BEN-KORA EXPONENTE AL MOCHT ASSO Ex Codice Arabico manuſcripto SERENISS. MAGNI DV CIS ETRVRIÆ, ABRAHAMVS ECCHELLENSIS Latinè vertit. IO: ALFONSVS BORELLVS Notis Illuſtrauit.
Præfatio ad Lectorem.

SI pulchrum illud Epicharmi effatum tenes ( amice Lector ) neruos, atque artus eſſe ſapientiæ non temerè, ac imprudenter credere, non adeò faci-lis eſſe debes, vt Archimedis nomen lemmata hæc pretioſiora efficiens tibi impoſturam, aut fu-cum facere patiaris, atque alterius contemptiſ-ſimi auctoris opuſculum immeritò tanto viro tri-buas; & ſiquidem maiores noſtri æquum iudi-cium dixere, vt ſine inuidia culpa plectatur, non ita moroſus, ac dif-ficilis eſſe debes, vt ſua ei denegare velis leui quacumque ſuſpicione, quæ facile excuti poſsit; verum ab omni præiudicio liberum te cupio, & memorem illius adagij: Ne quid nimis. Tibi igitur ſic affecto no-tionem huius controuerſiæ omnino relinquo, quod vt liberè, & ritè exe-qui valeas, ſedato animo nullum meum iudicium interponens, afferam primò rationes, quibus perſuaderi quis poſſet hoc opuſculum iniurià Archimedi tributum fuiſſe, & mox coniecturas recenſebo, quæ eiuſdem Archimedis idipſum opus eſſe fortè non inaniter probant; ſicque penſitatis, & compoſitis vtrinque rationum ponderibus ſententiam liberè pronuncies tuam per me licet.

Et primò animaduerſione dignum eſt in Collect. Mathemat. Pappi Alexand. frequentiſsimè commemorari ea, quæ Archimedes conſcripſit, præcipuè lib. 5. & lib. 8. De Spiralibus, de Solidis Polyedris, de Cir-culi Menſura, de Sphæra, & Cylindro, & multoties citantur, & tranſcribuntur Archimedeæ propoſitiones, neque vſpiam huius Opuſculi (apud Arabes hactenus latentis) mentio vlla fit. Neque Ptol. in Ma-gnæ Conſtr. lib. 2. tribuit Archimedi prop. 5. cap. 9. ibi relatam, cum tamen ſoleat eſſe adeò gratus, vt lib. 6. cap. 7. propoſitionem ab Ar-chimede ſumpſiſſe fateatur. Neque ipſemet Archimedes huius Opuſculi vnquam meminit, qui alioquì valdè prolixè enumerat, & recenſet ea, quæ in proprijs libris continentur, & demonſtrantur. Inexcuſabiles inſu-per errores, atque allucinationes, quæ in huiuſmodi propoſitionibus repe-riuntur, immò puerilia alia Opuſcula, quæ citantur vt Archimedis, ſa-tis apertè videntur oſtendere nunquam diuinum illud ingenium buiuſmodi minutias ſomniaſſe; cum, vt Carpus Antiochenſis ait, referente Pappo, quæ præcipua ſunt in Geometria, breuiter quidem, ſed diligenter conſcri-pſerit Archimedes. Tandem præcipuæ propoſitiones huius Opuſculi ſimiles ſunt eis, quæ recenſentur quidem, & demonſtrantur lib. 4. Collect. Ma-them. Pappi Alex. , eaſque Archimedis eſſe non aſſerit; immò in quibuſ-dam libris antiquis circumferri affirmat.

Zuod verò dictæ rationes tanti roboris, ac efficaciæ non ſint, vt pe-nitus euincant huiuſmodi Opuſculum ab aliquo alio tributum Archimedi fuiſſe, ex modo dicendis patebit. Et primo optimè norunt, qui in Pappi libris euoluendis vllam operam impenderunt lib. 7. Collect. recenſere eum prolixè, & accuratè quamplurima opera Apollonij Pergæi, quorum pars maxima non extat, & enumer are propoſitiones, & lemmata vſ-que ad figuras, & tamen qui huiuſmodi minutias curat, & adnotat, idem integra opera eiuſdem Apollonij non commemorat. Sufficiant hæc in-ſignia ſpecimina. De admirandis aſtronomicis demonſtrationibus à Pto-lemæo ſummoperè laudatis lib. 12. cap. 1. Magnæ Conſtr. , ne verbum quidem. De libro Comparationis Dodecaedri, & lcoſaedri ab Y pſicle memorato, altum ſilentium. Si igitur idem Pappus opera Archimedis non ex profeſſo, ſed obiter, & ſparſim commemorat, mirum non eſt ta-cuiſſe aliqua eius opera, vt ſunt hæc lemmata.

Secundò Ptolemæus non affirmat lib. 2. prop. 5. proprio marte à ſe inuentam fuiſſe, nec eam Archimedi, aut alicui alij tribuit, quare fieri potuit, vt eam ex libro antiquo deſumpſerit, à quo nomen Archimedis caſu expunctum fuiſſet, vt poſtea oſtendetur.

Tertiò Archimedes quoque in ſuis libris exiſtentibus Græcè, & Ara-bicè non recenſet omnia opera à ſe conſcripta, & edita, nam liber de inſidentibus humido, & de Polyedris recenſentur quidem à Pappo, non autem ab Archimede. Liber Mechanicus de Sphæropæia nominatur à Carpo Antiochenſe apud Pappum. Liber de Figuris Iſoperimetris aſſer- uatur apud Arabes tantum; non igitur adulterina buiuſmodi lemmata erunt, propterea quod Archimedes ea non nominat in paucis libris reſiduis, & fortè commemorata fuerunt in aliquibus alijs ex multis operibus eius iniuria temporum deperditis.

In proh. lib. 8. Lib. 5. pr. 17. In proh. lib. 8.

Quartò ſane negari non poßunt euidentiſsimi errores in hiſce demon-ſtrationibus, qui certè lemmatum auctori tribuendi non ſunt, vt ſuis in locis adnotabo; explanatorum enim imperitia ſæpenumero propoſitiones vniuerſaliter pronunciatæ violenter in ſenſu particulari, & deformi ex-ponuntur. Neque mirum eſt opera antiquorum magni nominis paſsim, & multis modis deformata fuiße tranſcriptorum incuria opponendo notas marginales, detrahendo, & ſuperaddendo textui alienas ſententias, ac teſtimonia, & hoc præcipuæ in codicibus Arabicis frequentiſsimè obſer-uauit Excell. Abrahamus Ecchellenſis. Sed nihilominus in tanta tran-sformatione à vetuſtate, & ignorantia amanuenſium profecta veſti-gium aliquod ſubobſcurum admirandi, & perſpicui Archimedis ingenij dignoſcitur.

Tandem non inani coniectura ex Pappi, & Eutocij teſtimonijs pro-bari poteſt idipſum, quod Arabes ratum habent, ſcilicet Archimedem huius libelli auctorem fuiſſe. Et primo aio præter reliqua operaiam nota edidiſſe Archimedem librum Lemmatum, quod quidem deducitur ex Eutocio in Comment. prop. 4. lib. 2. de Sphæra, & Cylindro, vbi ait: Id, quod promiſerat ſe demonſtraturum, (ſcilicrt Archimedes) in nullis exemplaribus reperire eſt, quare etiam Dionyſodorum de-prehendimus nunquam in ea incidiſſe, adeoque cum non potue-rit relictum (ab Archimede) lemma attingere diuerſam viam ſu-ſcepit vniuerſi problematis, quam deinceps deſcribemus. Dio-cles porrò idipſum in libro à ſe de Pyrijs inſcripto, promiſſum fuiſſe ab Archimede nunquam præſtitum opinatus, ſupplere con-tendit, cuius conatum mox apponemus, quod & ipſum pariter à ſuperius propoſitis diſcedit; itidem enim ac Dionyſodorus alia demonſtrandi ratione problema ſtruit. IN QVODAM AVTEM VETERI LIBRO (neque enim diuturnæ pepercimus diligentiæ) ſupraſcripta incidimus theoremata haud exiguam tamen haben-tia obſcuritatem præ erratis, multiformiterque mendoſa in figu-rationibus. Eamdem equidem veritatem, quam inquirebamus, atque in parte domeſticam Archimedi linguã Doricam ſeruabant, vſitatiſque pridem rerum nominibus conſcripta erant, quæ nunc parabola, recti coniſectione, quæ hyperbole, obtuſi anguli ſe-ctione vocata; vt ex his ſuſpicari liceat EADEM IPSA FOR-TEAN ESSE, QVÆ IN FINE SCRIBENDA PROMIT-TEBANTVR; quare attentius incumbentes, (cum ipſam hy-potheſim, qualiter perſcripta fuerat, præ mendarum copia (vt diximus) ſatis incommodam, & abſtruſam reperiremus,) ſen-ſum inde paucis elijcientes communi, & plana dictione (vt fieri potuit) deſcribimus. Vniuerſaliter autem primum theorema de-ſcribetur, vt definitis manifeſtetur, deinde reſolutis in proble-mate accomodabitur. Inferius

Præmiſſis autem problematis, quæ hìc apponuntur, ſcilicet duplam eſſe ipſam D B ipſius B F, & c. (Nota quod hic loquitur de lemmatibus adiunctis,) & paulò poſt; animaduertendum eſt au-tem, & hæc quæ ab Archimede dicta ſunt conſonare ijs, quæ nos reſoluimus (ſcilicet ijdem adductis lemmatibus). Deinde cum dixerit, quod ſuperius dictum vniuerſaliter habet determinatio-nem, adiectis autem problematibus ab eo inuentis, hoc eſt ip-ſam D B duplam eſſe ipſius B F, & ipſam B F maiorem ipſa F H, & c. Hìc manifeſtè Eutocius declarat propoſita lemmata in anti-quo codice inuenta Archimedis fuiſſe.

Hæc igitur conſentanea verbis Archimedis, qua fieri potuit, dilucidè expoſuimus.

Conſtat ergò ex Eutocij ſententia librum antiquum ab eo repertum, & recognitum, eſſe opus Archimedis, licet titulo Auctoris caruerit, & men-doſiſsimum eſſet, atque ignotum Dionyſodoro, Diocli, & pleriſque Græcorum diù iacuiſſet; etenim ex ſtylo, ex ſubiecto promiſſo, ex lingua Dorica, & ex vocibns vetuſtis Archimedi familiaribus concluſit lem-mata prædicta Archimedis fuiſſe. Sed adhuc difficultas hæret, nam licet concedamus ſcripſiſſe Archimedẽ, & edidiſſe librum lemmatum ab Eutocio memoratum, diuerſus omnino erit ab eo, quem Thebitius Arabicè tranſ-tulit, nam in iſto non reperitur lemma illud, qnod promiſerat Archime-des ſe demonſtraturum.

Hæc difficultas duplici coniectura ſi non frangi, ac reſolui ſaltem de-bilitari poteſt; liber enim antiquus lemmatum Archimedis ne dum titulo carebat ſuo, ſed erat valdè corruptus, deficiens, & mendoſus; quarè non ſine diuturno, ac pertinaci labore ſenſus illius lemmatis elicere potuit Eutocius, vnde fieri potuit vt Græcus codex ad Arabes tranſmiſſus de-terior, & magis mutilus adhuc fuerit eo exemplari, in quod incidit Eu-tocius, vel potius incuria, aut vitio librariornm Arabum, & ama-nuenſium eiuſdem codicis quamplurima lemmata perierunt, inter quæ aſſumptum in prop. 4. lib. 2. de Sphæra, & Cylindro excidit. E con-trà aliquæ propoſitiones ſimiles eis, quæ leguntur in hoc Arabico codice de Arbelo extant apud Pappum lib. 4. Collect. prop. 14. 15. & 16. , quas ait circumferri in quibuſdam libris antiquis, ſcilicet in libro Græco incerti Auctoris propoſitiones lemmaticas continente; at teſtimonio Thebitij magni nominis viri, & omnium Arabum, liber ex Græco translatus continens ferè eadem lemmata, quæ recenſentur à Pappo, tribuitur Archimedi, ſi-cuti prius Eutocius multiplici coniectura libri antiqui lemmatum à ſe re-perti Archimedem auctorem fecit; quare ergo nos eiſdem coniecturis per-ſuaſi eidem Achimedi tribuere dubitabimus Opuſculum hoc ab Arabibus aſ-ſeruatum, in quo ſi mendarum copiam ſpectes, ſimile omnino erit ei, quod Eutocius nactus eſt? Hæ ſunt rationes, mi lector, quas tibi exa-minandas relinquo in hoc perplexo negotio nulla diſsimulata difficultate.

Interim ſcito hoc manuſcriptum Arabicè elegantiſsimè exaratnm in Bibliotheca Sereniſsimi Magni Etruriæ Ducis diù aſſeruatum fuiße; eius tamen editionis ſpe facta tandem anno 1658. Sereniſsimus F erdinan-dus Secundus Magnus Etruriæ Dux Romæ aſportandum humaniſsimè mihi credidit, vt rei litterariæ bono latinè traduceretur, præſtitumque fuit opera, & ſtudio celeberrimi, & peritiſsimi Orientalium linguarum profeßoris Abrahami Ecchellenſis, ipſoque dictante religioſiſsimè, & accuratè ipſe calamo excepi, in eoque paucula quædam in notis anima-duertenda cenſui tum in contextu plurimis mendis corrupto, tum in ſcholijs Arabicis Almochtaſſo non admodum in Geometria verſati. Addidi in fine huins libri duas alias Archimedis propoſitiones ab Euto-cio repertas quarum altera fortaſſe illa eadem eſt quæ hìc deficit, nam Almochtaſſo in proemio ait, propoſitiones huius Opuſculi ſexdecim eſſe, cum tamen poſtrema ſit decimaquinta. Et licet hæc eadem lemmata anno præterito edita fuerint Londini, non tamen hac noſtra editione fraudan-dus es, amice lector. Vale.

MISERICORDIS MISERATORIS CVIVS OPEM IMPLORAMVS. LIBER ASSVMPTORVM ARCHIMEDIS, INTERPRETE THEBIT BEN-KORA, Et exponente Doctore ALMOCHTASSO ABILHASAN, Halì Ben-Ahmad Noſuenſi. PROPOSITIONES SEXDECIM.

ASſerit Doctor Almochtaſſo hunc librum referri ad Ar-chimedem, in quo ſunt propoſitiones pulcherrimæ paucæ numero, vtilitatis verò maximæ de principijs Geometriæ, optimæ atque elegantiſſimæ, quas ad-numerant profeſſores huius ſcientię ſummæ interme-diorum, quæ legi oportet inter librum Euclidis, & Almageſtum; at verò quædam illius propoſitionum loca indi-gent alijs propoſitionibus, quibus propoſitiones illæ clariores eua-dant. Et quidem ipſe Archimedes has indicauit propoſitiones, eaſ-que retulit in alijs ſuis operibus, dum dixit quemadmodum demon-ſtrauimus in propoſitionibus rectangulorum: item & quemadmodũ demonſtrauimus in noſtra expoſitione agentes de triangulis; rurſus quemadmodum demonſtrauimus in propoſitionibus quadrilate-rum; & retulit in propoſitione quinta demonſtrationem hac de re magis peculiarem. Deinde compoſuit Abuſahal Alkuhi librum, quem inſcripſit ordinationem libri Archimedis de aſſumptis, & tra-ctauit demonſtractionem huius propoſitionis via vniuerſaliori, ac meliori, nec non ea, quę dependent ex compoſitione proportionis, quod quidẽ cum id comperi, attexui locis obſcurioribus huius libri expoſitionem, ſeu marginales poſtillas, & confirmaui quod ille indi-cauerat propoſitionibus, vti iudicaueram, & retuli ex propoſitioni-bus Abiſahal duas propoſitiones, quibus opus eſt ad propoſitionem quintã declarandam, reliquas omittens breuitatis gratia, & eo quod non ſint neceſſarię.

PROPOSITIO I.

SI mutuo ſe tangant duo circuli, vt duo circuli A E B, C E D in E, fuerintque eorum diametri parallelæ, vt ſunt duæ diametri A B, C D, & iungantur duo puncta B, D, & conta-ctus E [lineis] D E, B D, erit linea B E recta.

Sint duo centra G, F, & iunga- mus G F, & producamus ad E, & educamus D H parallelam ipſi G F. Et quia H F æqualis eſt ipſi G D, ſuntque G D, E G æquales, ergo ex æqualibus F B, F E remanebunt G F, nempe D H, & H B, quæ erunt æquales, atque duo anguli H D B, H B D æquales. Et quia duo anguli E G D, E F B ſunt re-cti, atq; duo anguli E G D, D H B ſunt æquales, remanebunt duo anguli G E D, G D E, qui inter ſe, & duobus angulis H D B, H B D æquales erunt; ergo angulus E D G æqualis eſt angulo D B F, & com-prehenſus angulus G D B eſt communis, ergo erunt duo anguli G D B, F B D (qui ſunt pares duobus rectis) æquales duobus angulis G D B, G D E: igitur ipſi quoque ſunt æquales duobus rectis, ergo linea E D B eſt recta, & hoc eſt, quod voluimus.

SCHOLIVM ALMOCHTASSO.

DIcit Doctor; Et quidem dici poteſt cum duo anguli H D B, H B D ſint æquales, & angulus D H B rectus, quod erit angulus B D H ſemirectus, & ſimiliter angulus E D G, & angulus G D H rectus, ergo tres anguli ſunt æquales duobus rectis, igitur linea E D B eſt re-cta. Idem ſequitur, ſi illi duo circuli ſe mutuo exterius contigerint.

Notæ in Propoſit. I.

HAEc eſt vna earum Propoſitionum, quas Pappus in quodam libro antiquo reperit, qui, vt deduximus ex Eutocio, ab Archimede conſcriptus diu apud Arabes latuit. Hæc aſſumitur in propoſit. 14. lib. 4. Collect. Pappi, eam-que ſupplet Commandinus, ſed extat expreſſe lib. 7. propoſit. 110. eiuſdem Pappi, eſtque demonſtratio vniuer ſaliſſima comprehendens caſum neglectum in hac demonſtratione, ſcilicet quando duo circuli ſeſe exterius contingunt, & licet non laboret vitio Arabici textus, non tamen illa omnino ſincera eſt: con-ueniunt tamen in vniuerſalitate propoſitionis, quàm valde peruersè ſcholiaſtes Arabicus expoſuit; allucinatur enim quando ait, & quia duo anguli E G D, & E F B ſunt recti, & c. Nam inferius citatur, & vſurpatur hæc prima propoſitio vniuerſaliſſimè, ſcilicet exiſtentibus angulis G, & F acutis, vel ob-tuſis, & ſic reuera ſonant verba propoſitionis, vbi ait, quorum diametri A B, C D ſunt parallelæ, & ſic pariter habetur in prædicta propoſitione Pappi; quare textus omnino corrigi debuit, vt pronuncientur anguli E G D, & E F B æquales, non recti. Neſcio tamen quomodo expoſitio Almochtaſſi excuſari poſ-ſit, qui ſupponit diametros A B, & C D perpendiculares ad rectam lineam F G E, quod quidem in vnico caſu veriſicatur, vt dictum eſt. Peccat poſtea demonſtratio Pappi lib. 7. pr. 110. , vbi conatur oſtendere duo centra, & pun-ctum contactus circulorum eſſe in vnica recta linea; quod quidem in 3. Ele-ment. Eucl. oſtenſum ſupponi debuerat.

PROPOSITIO II.

SIt C B A ſemicirculus, quem D C, D B tangant, & B E perpendicularis ſuper A C, & iungamus A D, erit B F æqualis ipſi F E.

Demonſtratio. Iungamus A B, eamque producamus in directum, & educamus C D, quouſque illi occurrat in G, & iungamus C B. Et quia angu-lus C B A eſt in ſemicirculo, erit re-ctus, remanet C B G rectus, & D B E C eſt parallelogrammum rectangulum, ergo in triangulo G B C rectangulo edu-citur perpendicularis B D ex B erecta ſuper baſim, & B D, D C erunt æqua-les, eo quod tangunt circulum, ergo C D eſt etiam æqualis ipſi D G, quemad-modum oſtendimus in propoſitionibus, quas confecimus de rectangulis. Et quia in triangulo G A C linea B E educta eſt parallela baſi, & iam educta eſt ex D ſemipartitione baſis linea D A ſeca ns parallelam in F, erit B F æqualis ipſi F E, & hoc eſt quod voluimus.

SCHOLIVM ALMOCHTASSO.

DIcit Doctor: Quod autem C D ſit æqualis ipſi D G, vti remittit ad ſuum librum de propoſitionibus rectangulorum, eo quod duo angu-li D C B, D B C æquales ſunt propter æqualitatem D B, D C, & an-gulus D B C cum augulo D B G eſt rectus, & ſimiliter angulus D C B cum angulo C G B: neceſſe eſt, vt ſint duo anguli D G B, D B G æqua-les etiam, ergo duo latera D B, D G ſunt æqualia.

Rurſus ſi dicatur quod proportio C D ad D B ſit vt proportio D B ad D G, & D C æqualis ipſi D B, ergo D B æqualis eſt D G, eſſet para-bola. Dicit, quod vero B F ſit æqualis F E, hoc conſtat ex eo quod caſus A D ſuper duas lineas B E, G C parallelas in triangulo A G C, exigit eorum ſectio in eadem proportione, & id quidem, quia A D ad A F eandem proportionem habet, quam G D ad B F, & quam D C ad E F, ergo G D ad B F eſt vt D C ad E F, & permutando G D ad ei æ-qualem D C, eſt vt B F ad E F, & propterea ipſæ etiam ſunt æquales.

Notæ in Propoſ. II.

HVius ſecundæ propoſitionis expoſitio, & demonſtratio inſigniter deformata eſt; in propoſitione enim ſupponuntur duæ rectæ D C, D B tangere cir-culum tantummodo, non autem conſtituere angulum rectum, & ſolummodo re-cta linea B E perpendicularis ducitur ad diametrum A C, quare male in de-monſtratione pronunciatur quadrilaterum B D C E parallelogrammum rectan-gulum, cum ferè ſemper ſit Trapetium: pariterque errat, quando ait rectam B D perpendicularem eſſe ſuper C G, quæ nunquam vera ſunt, niſi in vnico caſu, quando ſcilicet B E cadit perpendiculariter ſuper centrum circuli.

Interim notandum eſt hanc elegantem propoſitionem, inſignem vſum habere pro inueſtigatione menſuræ circuli, & recta-rum in eo ſubtenſarum; deduci namque poßunt non contemnenda problemata; Si enim quis cupiat circulo adſcribere duas figuras or dinatas ſimiles, quarum circum-ſcripta ſuperet inſcriptam exceſſu minori quolibet dato, facile problema abſoluetur, pariterque proportio diametri ad circuli peripheriam ſatis compendioſe deduci poteſt, quandoquidem inter figuram ordinatam eidem circulo inſcriptam, cuius ſemilatus eſt E B, & circumſcriptam duplo laterum numero, cuius duo ſemila-tera ſunt C D B, circulus intermediat; & Perimeter circumſcriptæ figuræ ad Perimetrum inſcriptæ eandem proportionem habet, quam diameter C A ad A E, quæ proportio minui ſemper magis, ac magis poteſt in infinitum; & tandem ex 3. propoſ. ſequenti, ex continua ſemipartitione quadrantis circuli elici poſſunt ſubtenſæ ſucceſſiuè ſubdiuiſæ in infinitum, & propterea dabitur proportio dia-metri A C ad ſemiſubtenſam B E, ſed datur quadratum ipſius B E, igitur da-tur rectangulum A E C ſub ſegmentis diametri, & datur E C ex iam dicta 3. propoſ. igitur datur quoque E A; eſtque B E ad C D B, vt E A ad diametrũ A C, igitur quarta quantitas innoteſcet, ſcilicet rectæ C D B, quæ æqualia ſunt vni lateri Poligoni circumſcripti duplo laterum numero, & ideo habebitur menſura totius Perimetri tum Poligoni inſcripti, cum circumſcripti, quare menſura ipſius peripheriæ circuli, quæ intermedia eſt, facili negotio inueſtiga-bitur.

PROPOSITIO III.

S It C A ſegmentum circuli, & B punctum ſuper illud vbicumque, & B D perpendicularis ſuper A C, & ſegmentum D E æquale D A, & arcus B F æqualis arcui B A, vtique iuncta C F erit æqualis ipſi C E.

Demonſtratio. Iungamus lineas A B, B F, F E, E B; & quia arcus B A æqualis eſt arcui B F, erit A B æqualis B F, & quia A D æqualis eſt E D, & duo anguli D ſunt recti, & D B communis, ergo A B æqualis eſt B E, & propterea B F, B E ſunt æqua-les; & duo anguli B F E, B E F ſunt æquales. Et quia quadrilaterum. C F B A eſt in circulo, erit angulus C F B cum angulo C A B ipſi op-poſito, immo cum angulo B E A, æqualis duobus rectis; ſed angulus C E B cum angulo B E A, æquales ſunt duobus rectis, ergo duo anguli C F B, C E B ſunt æquales, & remanent C F E, C E F æqualas; ergo C E æqualis eſt C F, & hoc eſt quod voluimus.

Notæ in Propoſit. III.

HAEc eſt propoſ. 5. cap. 9. lib. 1. Almag. Ptol. , ſed hic vniuerſalius pro-nunciatur; Ptolomeus enim ſupponit ſegmentum A B C ſemicirculum eſſe, & ex cognita circumferentia A F, & corda F C, & illius medietate A B, quærit chordam A B; eſt enim rectangulum ſub C A D æquale quadrato ipſius A B, eſtque nota A D medietas differentiæ inter diametrum A C, & chor-dam differentiæ F C; at propoſitio Archimedea verificatur in quolibet circuli ſegmento ſiue maiori, ſiue minori; ex datis enim circumferentijs A C, A B, A F, & F C vna cum cordis A C, & F C, haberi quidem poteſt chorda A B paulo difficilius, ſi nimirum ex chorda A C tollatur chorda F C, & differen-tia A E bifariam ſecetur in D, & ex arcu cognito B C datur angulus A, atque angulus D rectus eſt, ergo triangulum A B D ſpecie notum erit, & propterea proportio D A ad A B cognita erit, eſtque D A longitudine data, igitur A B longitudine innoteſcet.

Notandum eſt quod figura appoſita in hac propoſ. non exprimit omnes caſus propoſitionis, quandoquidem ſemicirculus eſt A B C, & propterea ex præceden-tibus erroribus Arabici expoſitoris ſuſpicari licet non ritè eum percepiſſe Archi-medis mentem.

PROPOSITIO IV.

A B C ſemicirculus, & fiant ſuper A C diametrum duo ſemicirculi, quo-rum vnus A D, alter vero D C, & D B perpendicularis, vtique figura pro-ueniens, quam vocat Archimedes AR-BELON, eſt ſuperficies comprehenſa ab arcu ſemicirculi maioris, & duabus cir-cumferentijs ſemicirculorum minorum, eſt æqualis circulo, cuius diameter eſt perpendicularis D B.

Demonſtratio. Quia linea D B media proportionalis eſt inter duas li-neas D A, D C, erit planum A D in D C æquale quadrato D B, & ponamus A D in D C cum duobus quadratis A D, D C communiter, fiet planum A D in D C bis cum duobus quadratis A D, D C, nempe quadratum A C, æquale duplo quadrati D B cum duobus quadratis A D, D C, & proportio circulorum eadem eſt, ac proportio quadratorum, ergo circulus, cuius diameter eſt A C, æqualis eſt duplo circuli, cuius diameter eſt D B cum duobus circulis, quorum diametri ſunt A D, D C, & ſemicirculus A C æqualis eſt circulo, cuius diameter eſt D B cum duobus ſemicirculis A D, D C; & auferamus duos ſemicirculi A D, D C communiter, remanet figura, quàm continent ſemicirculi A C, A D, D C, & eſt figura, quàm vocauit Archimedes Arbelos æqua-lis circulo, cuius diameter eſt D B, & hoc eſt quod voluimus.

Notæ in Propoſit. IV.

H AEc forſan eſt vna earum propoſitionum, quas Pappus legit in libro an-tiquo de menſura ARBELI, ſeu ſpatij àtribus ſemicircumferentijs circulo-rum comprehenſi, vt ait Proclus, quæ quidem elegantiſſima eſt, eiuſque inuen-tionis Lunulæ Hyppocratis Chij originem extitiße puto; eſt enim Hyppocratis Lunula ſuperficies plana à quadrante peripheriæ circuli maioris, & ſemiſſe pe-ripheriæ circuli ſubdupli comprehenſa: Arbelus vero recentiorum eſt ſpatium à triente, & à duobus ſextantibus circumferentiarum trium circulorum æqua-lium comprehenſum, & hiſce duobus ſpatijs facilè quadrata æqualia reperiri poſſunt; at Arbeli Archimedis, & Procli hucuſque reperta non eſt quadratura; ſed poteſt quidem aſſignari circulus prædicto ſpatio æqualis.

PROPOSITIO V.

SI fuerit ſemicirculus A B, & ſignatum fuerit in eius diametro punctum C vbicumque, & fiant ſuper diametrum duo ſe-micirculi A C, C B, & educatur ex C perpendicularis C D ſu-per A B, & deſcribantur ad vtraſque partes duo circuli tan-gentes illam, & tangentes ſemicirculos, vtique illi duo circuli ſunt æquales.

Demonſtratio. Sit al- ter circulorum tangens D C in E, & ſemicircu-lum A B in F, & ſemi-circulum A C in G, & educamus diametrũ H E, erit parallela diametro A B, eo quod duo anguli H E C, A C E, ſunt recti, & iungamus F H, H A, ergo linea A F eſt recta, vti dictum eſt in propo-ſitione 1. & occurrent A F, C E in D, eo quod egrediuntur ab angulis A, C minoribus duobus rectis, & iungamus etiam F E, E B, ergo E F B eſt etiam recta, vti dixi-mus, & eſt perpendi-cularis ſuper A D, eo quod angulus A F B eſt rectus, quia cadit in ſe-micirculum A B, & iun-gamus H G, G C, erit H C etiam recta; & iun-gamus E G, G A, erit E A recta, & produca-mus eam ad I, & iun-gamus B I, quæ ſit etiam perpendicularis ſuper A I, & iungamus D I; & quia A D, A B ſunt duæ rectæ, & educta ex D ad lineam A B perpendicularis D C, & ex B ad D A perpendicularis B F; quæ ſe mutuo ſecant in E, & educta A E ad I eſt perpendicularis ſuper B I, erunt B I D rectæ, quemadmo-dum oſtendimus in Propoſitionibus, quas confecimus in expoſitione tra-ctatus de triangulis rectangulis: & quia duo anguli A G C, A I B ſunt recti, vtique B D, C G ſunt parallelæ, & proportio A D ad D H, quæ eſt vt A C ad H E, eſt vt proportio A B ad B C, ergo rectangu-lum A C in C B æquale eſt rectangulo A B in H E; & ſimiliter demon-ſtratur in circulo L M N, quod rectangulum A C in C B æquale ſit re-ctangulo A B in ſuam diametrum, & demonſtratur inde etiam, quod duæ diametri circulorum E F G, L M N, ſint æquales, ergo illi duo circuli ſunt æquales. Et hoc eſt quod voluimus.

SCHOLIVM ALMOCHTASSO.

DIcit Doctor. Clarum quidem eſt quod citauit ex expoſi-tione triangulorum rectangulorum in præfatione; & eſt quidem propoſitio vtilis in principijs, ac præſertim in triangulis acutangulis, qua opus eſt in propoſit. 6. huius libri, & eſt hæc. Ex triangulo A B C eduxit perpendiculares B E, C D ſe mutuo ſecantes in F, & coniunxit A F, & produxit ad G, hæc vti-que erit perpendicularis ſuper B C.

Iungamus itaque D E, erunt duo anguli D A F, D E F æquales, quia circulus comprehendens triangulum A D F tranſit per punctum E, eo quod angulus A E F eſt rectus, & cadent in illo ſuper eundem ar-cum, & etiam angulus D E B æqualis eſt angulo D C B, quia circulus continens triangulum B D C tranſit etiam per punctum E, ergo in duo-bus triangulis A B G, C B D ſunt duo anguli B A G, B C D æquales; & angulus B eſt communis, ergo A G B æqualis eſt an-gulo C D B recto, ergo A G eſt perpendicularis ſuper B C. Hoc præmiſſo repe-tamus ex propoſit. quàm attulit Archimedes D A, A B, & perpendiculares D C, A I, B F, B I, & li-neam D I. iam ſi B I D non fuerit linea recta, iun-gamus B G D rectam, erit angulus A G B rectus ex præmiſſa propoſitione, & erat angulus A I B rectus, ergo internus in triangulo B I G æqualis eſt oppoſito externo, & hoc eſt abſur-dum, igitur linea B I D eſt recta. Deinde attulit duas propoſitiones ex in-terpretatione Alkauhi, qua-rum prima eſt hæc.

SCHOLIVM PRIMVM ALKAVHI.

S I non fuerint duo ſemicirculi tangentes, ſed mutuo ſe ſecantes, & perpendicularis fuerit in loco mutuæ ſectionis, idem ſe-quitur.

Sint itaque ſemicirculi A B C, A D E, F D C, & duo illi ſemicir-culi ſe mutuo ſecantes in D, & B G perpendicularis ſuper A C inſiſtat, & circulus I H L tangat circulum A B C in H, & circulum A D E in L, & perpendicularem in I. Dico eſſe æqualem circulo, qui eſt in al-tera parte. Hoc modo, Educamus I M parallelam ipſi A C, & iungamus A H, quæ tranſibit per M, quemadmodum demonſtrauit Archimedes, & producamus eam quouſque occurrat perpendiculari N G in N, & iungamus I A, quæ tranſibit per L, & producamus illam ad O, & iun-gamus C O, O N, quæ erit linea recta, & iungamus M E, quæ tranſi-bit per L, & iungamus C H, quæ tranſibit per I; & linea C O N pa- a eſt lineæ E M, & proportio A N ad N M, nempe proportio A G ad I M eſt vt C A ad C E, ergo rectangulum A G in C E æquale eſt rectangulo C A in I M; & quia G D eſt perpendicularis in duobus circulis C D F, E D A ſuper duas diametros C F, E A, erit rectangu-lum C G in G F æquale quadrato G D, & rectangulum A G in G E æquale etiam eſt illi, ergo rectangulum C G in G F æquale eſt rectan-lo A G in G E, & proportio C G ad G A eſt vt proportio E G ad G F, immo vt proportio C E ad F A reſiduam; ergo rectangulum C G in F A, eſt æquale rectangulo C A in I M cui æquale eſt rectangulum G A in C E. Et ſi fuerit in altera parte circulus modo præfato eadem ra-tione oſtendemus, quod reſtangulum C A in diametrum illius circuli æquale ſit rectangulo C G in A F, & oſtendetur quod duæ diametri duo-rum circulorum ſint æquales.

Prop. I. huius.
SCHOLIVM SECVNDVM ALKAVHI.

POrrò ſecunda eſt hæc. Dicit quod ſi duo ſemicirculi non ſint tangentes, nec ſe mutuo ſecantes, ſed ſeparati, & perpendicularis tranſeat per concurſum duarum linearum tangen- tium eos, quæ ſunt æquales idem ſequetur.

Sint itaque ſemicirculi A B C, A D E, F G C, vti diſpoſuimus, & duæ lineæ N G, N D tangentes illos duos ſemicirculos in G, D, & æ-quales, ſibique occurrentes in N, & linea B N tranſiens per punctum N perpendiculariter erecta ſuper A C, & tangat illam circulus M N I in I, & idem tangat circulum A B C in H, & circulum A D E in L, & educamus diametrum I M parallelam ipſi A C, & iungamus C H, quæ tranſibit per I, & iungamus M E tranſibit per L, & iungamus A I tranſibit per L, & producamus eam ad P, & iungamus C O tranſibit per P, eritque parallela ipſi E M, & erit proportio A O ad O M, nem-pe proportio A N ad M I vt proportio A C ad C E, & rectangulum A N in C E æquale rectangulo A C in I M. Et eodem modo oſtendetur, quod rectangulum C N in F A ſit æquale rectangulo A C in diametrum circuli, qui eſt ex altera parte; & quia rectangulum C N in N F æqua-le eſt quadrato G N, & eſt æquale quadrato D N, quod eſt æquale re-ctangulo A N in N E erit rectangulum C N in N F æquale rectangulo A N in N E, & proportio C N ad A N vt E N ad N F, & vt propor-tio totius C E ad totum A F, ergo rectangulum A N in C E æquale eſt rectangulo C N in F A, & iam oſtenſum eſt, quod A N in C E æqua-le eſt rectangulo A C in I M, & quod rectangulum C N in F A ſit æqua-le rectangulo A C in diametrum alterius circuli: ergo duæ diametri ſunt æquales, & duo circuli æquales, & hoc eſt quæſitum.

Prop. I. huius. Ibidem, Scholium præc. Almoc.
Notæ in Propoſit. V.

HAEc propoſitio parum quidem differt à poſtrema parte propoſit. 14, 16. & 17. lib. 4. Pappi Alex. , ſi figuram, conſtructionem, & progreſſum demonſtrationis ſpectes; differunt tamen in concluſione, quæ demonſtranda pro- ponitur; oſtendit enim Pap-pus, ſicut, & Archime-des, ſemicircularis diame-tri ſegmentum maius A C ad circuli intercepti dia-metrum H E habere ean-dem proportionem, quàm maioris circuli diameter A B habet ad reliquum ſeg-mentum eius B C, pari-terque B A ad A C ean-dem proportionem habet, quàm C B ad reliqui circuli intercepti L M N diametrum: ex hiſce ſequitur concluſio Archimedea, nam ſi A C ad H E eandem rationem habet, quàm A B ad B C, permutando B A ad A C erit vt C B ad H E igitur eadem C B ad duas circulorum diametros H E, & L N eandem proportionem habet, & pro-pterea circulorum diametri H E, & L N æquales ſunt inter ſe. Mirum ta-men eſt hanc concluſionem, quàm præ manibus Pappus habebat, non ani-maduertiſſe, demonſtrat tamen quamplurima ſymptomata pulcherrima circu-lorum in Arbelo deſcriptorum, quæ tamen in hoc opuſculo Archimedi tributo pariter recenſeri debebant, ſi hic liber eſſet idem antiquus ille à Pappo viſus, in quo huiuſmodi lemmata circumferebantur: ſed for ſan librariorum vitio, & incuria codex corruptiſſimus ad Arabes tranſmißus non omnes illas admirandas propoſitiones, ſed vnius tantum particulam continebat, ſicut è contra liber ille antiquus, in quo Pappus prædicta lemmata reperit, carebat concluſione in hi-ſce lemmatibus demonſtrata. Cæterum propoſitiones in ſcholijs additæ manifeſtæ quidem ſunt, ſed abſque duabus prioribus poßet propoſitum facillimè demon-ſtrari, Reliquæ duæ propoſitiones ſuperadditæ ad Arabibus faciles quidem ſunt.

PROPOSITIO VI.

SI fuerit femicirculus A B C, & in eius diametro ſumatur punctum D, & fuerit A D ipſius D C ſexqui altera, & deſcribantur ſuper A D, D C duo ſemicirculi, & ponatur cir-culus E F inter tres ſemicirculos tangens eos, & educatur dia-meter E F in illo parallela diametro A C, reperiri debet pro-portio diametri A C ad diametrum E F.

Iungamus enim duas lineas A E, E B, & duas lineas C F, F B, erunt C B, A B rectæ, vti dictũ eſt in prima propoſit. Deſcribamus etiam duas lineas F G A, E H C, oſtendeturque eſſe quoque rectas; Simili-ter duas lineas D E, D F, & iungamus D I, D L, & E M, F N, & producamus eas ad O, P; Et quia in triangulo A E D, A G eſt per- pendicularis ad E D, & D I eſt quoque perpendicularis ad A E, & iam ſe mutuo ſecuerunt in M, ergo E M O erit etiam perpendicularis, que-madmodum oſtendimus in expoſitione, quàm confecimus de proprieta-tibus triangulorum, & cuius demonſtratio iam quidem præceſſit in ſupe- riori propoſitione; Similiter quoque erit F P perpendicularis ſuper C A, & quia duo anguli, qui ſunt apud L, & B ſunt recti, erit D L parallela ipſi A B, & pariter D I ipſi C B, igitur proportio A D ad D C eſt vt proportio A M ad F M, immo vt proportio A O ad O P, & proportio C D ad D A vt proportio C N ad N E, immo vt proportio C P ad P O, & erat A D ſexquialtera D C, ergo A O eſt ſexquialtera O P, & O P ſexquialtera C P, ergo tres lineæ A O, O P, P C ſunt proportio-nales: & in eadem menſura, in qua eſt P C quatuor, erit O P ſex, & A O nouem, & C A nouendecim, & quia P O æ qualis eſt E F, erit proportio A C ad E F vt nouendecim ad ſex, igitur reperimus dictam proportionem. Etiam ſi fuerit A D ad D C qualiſcumque vt ſexquiter-tia, aut ſexquiquarta, aut alia, erit iudicium, & ratio, vti dictum eſt. Et hoc eſt quod voluimus.

Notæ in Propoſit. VI.

HAEc propoſitio nil prorſus differre videtur à 16. propoſit. lib. 4. Pappi Alex. eſt tamen pars illius, & particulariter demonſtrata, quod quidem peccatum alicui expoſitori tribui debet; nunquam enim Archimedes propoſitionẽ illam, quam vniuerſaltſſimè demonſtrare potuißet, exemplis numericis tam pueriliter oſtendiſſet. Pappus igitur quærit menſuram diametri illius circuli, qui in loco inter tres circunferentias circulares interijcitur, quod Arbelon ap-pellatur, & oſtendit quidem diametrum ſemicirculi maioris A C ſecari in duo-bus punctis O, & P à perpendicularibus cadentibus à terminis E, & F dia-metri circuli in Arbelo inſcripti, ac diuidi in tria ſegmenta A O, O P, P C continue proportionalia in eadem ratione, quàm habet A D ad D C, & in- ſuper oſtendit perpendicularem E O æqualem eſſe circuli diametro E F. Itaque in quadrato ſpatio E O P F, circuli diameter E F, ſiue O P media proportio-nalis erit inter A O, & P C. Zuam ergo proportionem habent tres continuè proportionales in eadem ratione A D ad D C ſimul ſumptæ ad illarum inter- mediam, eandem habebit diameter maioris ſemicirculi A C ad O P, ſiue E F. Zuæ deinde Pappus demonſtrat perpendiculares à centris circulorum in collate-ralibus ſpatijs prædicti Arbeli exiſtentium eſſe multiplices diametrorum eorum circulorum à quibus educuntur ſecundum ſeriem natur alem numerorum ab vni-tate creſcentium, proprietas quidem eſt admirabilis, de qua in hac propoſitio-ne Archimedis altum ſilentium, quod forte temporum iniuriæ tribuendum eſt.

Poſſent in hiſce duabus propoſitionibus non pauca problemata ſuperaddi, quo-modo nimirum in prædicto ſpatio à tribus ſemicirculis comprehenſo circuli in-numerabiles deſcribi debeant, & alia quamplurima facilia, quæ lectorum ſa-gacitati relinquuntur.

PROPOSITIO VII.

SI circulus circa quadratum deſcriptus fuerit, & alius intra illum, vtique erit circumſcriptus duplus inſcripti.

Sit itaque circulus compre- hendens quadratum A B, cir-culus A B, & inſcriptus C D, & ſit diameter quadrati A B, & eſt diameter circuli circumſcri-pti, & educamus C D diame-trum circuli inſcripti parallelam ipſi A E, quæ eſt ei æqualis. Et quia quadratum A B duplum eſt quadrati A E, ſiue D C, & proportio quadratorum ex dia- metris circulorum eſt eadem proportioni circuli ad circulum, igitur cir-culus A B duplus eſt circuli C D, & hoc eſt quod voluimus.

SCHOLIVM ALMOCHTASSO.

DIcit Doctor Almochtaſſo. Iam compoſui tractatum de con-ficiendo circulo, cuius proportio ad datum circulum ſit vt proportio data. Qua ratione conficiendæ ſunt omnes ſiguræ rectilineæ, & quem vſum habeant in arte illæ figuræ, & afferam hic ex illis vnam propoſitionem, quæ cõgruit expoſitioni huius propoſitio-nis, & eſt tanquam epitome illarum propoſitionum, & illationis ex illis, & eſt hæc. Volumus conficere circulum, qui ſit quinta pars circuli, exempli gratia.

Circulus cuius habemus diametrum eſt A B, & addamus eius partem quintam, & eſt B C, & deſcribamus ſuper A C ſemicirculum A D C, & educamus perpendicularem B D, & quia proportio A B ad B C eſt, vt proportio quadrati A B ad quadratum B D, erit quilibet circulus factus, vel, figura ſuper B D quæſita à nobis, & hoc, quia proportio circuli, qui eſt ſuper A B, vel figuræ, quæ eſt ſuper illam, ad circu-lum, vel figuram factam ſuper B D facit illam figuram, & ſimiliter po-ſitam, erit vt proportio A B ad B C, & hoc eſt quod voluimus.

PROPOSITIO VIII.

SI egrediatur in circulo linea A B vbicumque, & producatur in directum, & ponatur B C æqualis ſemidiametro circuli & iungatur ex C ad centrum circuli, quod eſt D, & producatur ad E, erit arcus A E triplus arcus B F.

Educamus igitur E G parallelam ipſi A B, & iungamus D B, D G: & quia duo anguli D E G, D G E ſunt æquales, erit angulus G D C duplus anguli D E G, & quia angulus B D C æqualis eſt angu-lo B C D, & angulus C E G æqualis eſt angulo A C E, erit angulus G D C du-plus anguli C D B, & totus angulus B D G triplus anguli B D C, & arcus B G æqualis arcui A E, triplus eſt arcus B F, & hoc eſt, quod voluimus.

SCHOLIVM ALMOCHTASSO.

DIcit Doctor Almoch- taſſo. Cum dicit ar-cum B G æqualem eſſe ar-cui A E, id ex eo eſt pro-pter æquidiſtantiam duarum cordarum. Sint itaque in circulo A B C cordæ A C, B D parallelæ; Dico quod duo arcus A B, C D ſunt æquales,

Iungamus A D, ergo duo anguli C A D, A D B ſunt æquales; & propterea duo arcus ſunt æquales, & conuerſum eodem modo demon-ſtratur.

Notæ in Propoſit. VIII.

HAEc quidem propoſitio elegantiſſima eſt, quæ ſi problematicè reſolui poſ-ſet via plana, reperta iam eßet tripartitio cuiuſlibet anguli.

Breuius tamen demonſtratio perfici poteſt hac ratione. Iuncta recta E B, quia in triangulo Iſo-ſcele B D C duo anguli C, & C D B æquales ſunt, eſtque pariter externus angulus B D C duplus an-guli D E B in triangulo Iſoſcelio D E B, ergo angulus C duplus eſt anguli B E C, & propterea illi an-guli ſimul ſumpti, ſeu externus an-gulus A B E triplus erit anguli B E F, & circunferentia A E tripla ipſius B F.

PROPOSITIO IX.

SI mutuo ſe ſecuerint in circulo duæ lineæ A B, C D, (ſed non in centro) ad angulos rectos, vtique duo arcus A D, C B ſunt æquales duobus arcubus A C, D B.

Educamus diametrum E F parallelam ipſi A B, quæ ſecet C D biſa-riam in G, erit E C æqualis ipſi E D; & quia tam arcus E D F, quam E C F eſt ſemicirculus, & arcus E D æqualis arcui E A cum arcu A D, erit arcus C F cum duobus arcubus E A, A D æ-qualis ſemicirculo, & arcus E A æqualis arcui B F, ergo ar-cus C B cum arcu A D æqualis eſt ſemicirculo, & remanent duo arcus E C, E A nempe arcus A C cum arcu D B æquales illi, & hoc eſt quod voluimus.

PROPOSITIO X.

SI fuerit circulus A B C, & D A tangens illum, & D B ſe-cans illum, & D C etiam tangens, & educta fuerit C E parallela ipſi D B, & iuncta fuerit E A ſecans D B in F, & educta fuerit ex F perpendicularis F G ſuper C E; vtique bifa-riam ſecabit illam in G.

Iungamus A C, & quia D A eſt tangens, & A C ſecans circulum erit angulus D A C æqualis angulo cadenti in alterno ſegmento A C nempe angulo A E C, & eſt æqualis angulo A F D, eo quod C E, B D ſunt parallelæ, ergo anguli D A C, A F D ſunt æquales, & in duobus triangulis D A F, A H D ſunt duo auguli A F D, H A D æquales, & angulus D communis, propterea erit rectãgulum F D in D H æquale quadrato D A, immo quadrato D C, & quia proportio F D ad D C eſt eadem proportioni C D ad D H, & angulus D communis, erunt triangula D F C, D C H ſimilia, & angulus D F C æqualis D C H, qui æqualis eſt angulo D A H, & hic eſt æqualis angulo A F D, ergo duo anguli A F D, C F D ſunt æquales, & D F C æqualis angulo F C E, & erat D F A æqualis angulo A E C, ergo in triangulo F E C ſunt duo anguli C, E æquales, & duo anguli G recti, & latus G F commune, propterea eri@ C G æqualis ipſi G E, ergo C E bifariam ſecatur in G, & hoc eſt, quod voluimus,

PROPOSITIO XI.

SI mutuo ſe ſecuerint in circulo duæ lineæ A B, C D ad an-gulos rectos in E, quod non ſit in centro, vtique omnia quadrata A E, B E, E C, E D æqualia ſunt quadrato diametri.

Educamus diametrum A F, & iungamus lineas A C, A D, C F, D B; Et quia angulus A E D eſt rectus, erit æqualis an-gulo A C F, & angulus A D C æqualis A F C, eo quod ſunt ſuper arcum A C, & remanent in duobus triangulis A D E, A F C duo anguli C A F, D A E æquales erunt pariter duo arcus C F, D B æquales immo, & duæ cordæ eorum æquales, & duo quadrata D E, E B æquantur quadrato B D, nempe C F, & duo quadrata A E, E C æquantur quadrato C A, & duo quadrata C F, C A æquantur quadrato F A, nempe diametri, igitur quadrata A E, E B, C E, E D omnia ſunt æqualia quadrato diametri, & hoc eſt quod voluimus.

SCHOLIVM ALMOCHTASSO.

DIcit Doctor. Huius eſt alia facilior demonſtratio ea, quam attulit Archimedes; quæ eſt huiuſmodi. Iungamus A D, C B, B D; & quia angulus B E D eſt rectus, erunt duo anguli E B D, E D B æquales vni recto, & duo A D, B C, æqua-les ſemicirculo, ergo duæ cordæ eo-rum in potentia ſunt æquales diame-tro; ſed duo quadrata A E, D E æqualia quadrato A D, & duo qua-drata C E, B E ſunt æqualia qua-drato C B, ergo quadrata A E, E B, C E, E D æqualia ſunt quadra-to diametri; & hoc eſt quod vo-luimus.

PROPOSITIO XII.

SI fuerit ſemicirculus ſuper diametrum A B, & eductæ fue-rint ex C duæ lineæ tangentes illum in duobus punctis D, E, & iunctæ fuerint E A, D B ſe muto ſecantes in F, & iun cta fuerit C F, & producatur ad G, erit C G perpendicularis ad A B.

Iungamus D A, E B. Et quia, angulus B D A eſt rectus, erunt duo anguli D A B, D B A reliqui in, triangulo D A B æquales vni recto, & angulus A E B rectus, igitur ſunt æquales ei, & ponamus angulum F B E communem, ambo anguli D A B, A B E ſunt æquales F B E, F B E, immo angulo D F E exter-no in F B E. Et quia C D eſt tan-gens circulum, & D B ſecans illum, angulus C D B æquatur angulo D A B, & pariter angulus C E F æ-quatur angulo E B A, ergo duo an-guli C E F, C D F ſimul æquales ſunt angulo D F E. Et iam quidem planum fit ex noſtro tractatu de fi-guris quadrilateris, quod ſi educan- tur inter duas lineas æquales ſibi oc- currentes in aliquo puncto, vti ſunt duæ lineæ C D, C E, duæ lineæ ſe mutuo ſecantes, vti ſunt duæ lineæ D F, E F, & ſuerit angulus ab illis contentus vt eſt angulus F æqualis duobus angulis, qui occurrunt dua-bus [lineis] ſe inuicem ſecanti-bus, vti ſunt duo anguli E, D ſimul, erit linea egrediens à puncto con-curſus ad punctum ſectionis, vti eſt linea C F æqualis cuilibet linearum ſibi occurrentium, vt C D, vel C E, propterea erit C F æqualis ipſi C D, ergo angulus C F D eſt æqua-lis angulo C D F, nempe angulo D A G, ſed angulus C F D cum an-gulo D F G eſt æqualis duobus re-ctis, ergo angulus D A G cum angulo D F G æqualis eſt duobus rectis, & remanent in quadrilatero A D F G duo anguli A D F, A G F æqua-les duobus rectis, ſed angulus A D B rectus eſt, ergo angulus A G C eſt rectus, & C G perpendicularis ad A B, & hoc eſt quod voluimus.

SCHOLIVM ALMOCHTASSO.

DIcit Doctor de demonſtratione, quàm citat ex tractatu de figuris quadrilateris. Sint duæ lineæ æquales ſibi oc-currentes A B, A C, & punctum concurſus A, & ſe inuicem ſecantes B D, D C, & punctum ſectionis D, & ſit angulus B D C æqualis duobus angulis A B D, A C D, & iungamus A D; Dico quod ſit æqualis A B.

Alioquin vel eſt minor A B, vel maior illa, & ſit maior, & abſcindatur A E æqua-lis A B, & iungamus B E, ergo duo anguli A E B, A B E ſunt æquales; ſed angulus A E B maior eſt angulo A D B, & pariter angulus A E C, qui eſt æqualis A C E ma-ior eſt angulo A D C, omnes ergo anguli B E C, vel duo anguli ſimul A B E, B C E maiores ſunt duobus angulis A B D, A C D, pars ſuo toto, quod eſt abſurdum. Dein-de ſit A D minor quàm A B, & ponamus A F æqualem A B, & iungamus B F, F C, remanet, vt dictum eſt, quod angulus F, immo duo anguli A B F, A C F minores ſint duobus angulis A B D, A C D, totum ſua parte, & hoc eſt abſurdum, ergo manet propoſitum.

Notæ in Propoſit. XII.

LEmma aſſumptum in demonſtratione huius pulcherrimæ propoſitionis poteſt directè oſtendi hac ratione.

Si in quadrilatero A C D B duo latera A C, & A B æqualia fuerint, atque angulus C D B æqualis duobus angulis C, & B ſimul ſumptis. Dico rectam A D ipſi A C, vel A B æqualẽ eſſe. Producatur C A, in E, vt A E fiat æqualis A B, iungaturque B E. Quia in triangulo Iſo- ſcelio B A E angulus E æqualis eſt angulo A B E, & angulus C D B æqualis eſt duobus angulis C, & D B A ſimul ſumptis, ergo duo anguli C D B, & E (oppoſiti in quadrilatero C D B E) æquales ſunt tribus angulis C, D B A, & A B E, ſeu duobus angulis C, & D B E, ſed qua-tuor anguli quadrilateri E C D B æquales ſunt quatuor rectis, ergo duo anguli oppoſiti E, C D B duobus rectis æquales ſunt, & propterea qua-drilaterum ipſum circulo inſcribi poteſt, cuius circuli centrum erit A, cum tres rectæ lineæ C A, A B, A E æquales poſitæ ſint, & propte-rea A D radius quoque circuli erit æqualis ipſi C A.

PROPOSITIO XIII.

SI mutuo ſe ſecent duæ lineæ A B, C D in circulo, & fue-rit A B diameter illius, at non C D, & educantur ex duo-bus punctis A, B duæ per- pendiculares ad C D, quæ ſint A E, B F, vtique ab-ſcindent ex illa C F, D E æquales.

Iungamus E B, & educamus ex I, quod eſt centrum, per-pendicularem I G ſuper C D, & producamus eam ad H in E B. Et quia I G eſt perpendicu-laris ex centro ad C D illam bi-fariam diuidet in G, & quia I G, A E ſunt duæ perpendicu-lares ſuper illam, erunt paral- lelæ, & quia B I æqualis eſt I A, erit B H æqualis ipſi H E, & pro-pter earum æqualitatem, & quia B F eſt parallela ipſi H G, erit F G æqualis ipſi G E, & ex G C, G D æqualibus remanent F C, E D æqua-les. Et hoc eſt quod voluimus.

PROPOSITIO XIV.

SI fuerit A B ſemicirculus, & ex eius diametro A B diſſectæ ſint A C, B D æquales, & efficiantur ſuper lineas A C, C D, D B ſemicirculi; & ſit centrum duorum ſemicirculorum A B, C D punctum E, & ſit E F perpendicularis ſuper A B, & producatur ad G: vtique circulus, cuius diameter eſt F G æqualis eſt ſuperficiei contentæ à ſemicirculo maiori, & à duo-bus ſemicirculis qui ſunt intra illum, & à ſemicirculo medio qui eſt extra illum, & eſt figura, quam vocat Archimedes Salinon.

Quia D C bifariam ſecatur in E, & addita eſt illi C A, erunt duo quadrata D A, C A dupla duorum quadratorum D E, E A, ſed F G æqualis eſt ipſi D A, ergo duo quadrata F G, A C dupla ſunt duorum quadratorum D E, E A: & quia A B dupla eſt A E, & C D dupla. quoque E D, erunt duo quadrata A B, D C quadrupla duorum qua-dratorum D E, E A, immo dupla duorum quadratorum G F, A C ſi-militer etiam duo circuli, quorum diametri ſunt A B, D C dupli ſunt eorum, quorum diametri ſunt G F, A C, & dimidij eorum, quorum, diametri ſunt A B, C D æquales duobus circulis, quorum diametri ſunt G F, A C, ſed circulus, cuius diameter A C, eſt æqualis duobus ſe- micirculis A C, B D, ergo ſi auferamus ex illis duos ſemicirculos A C, B D, qui ſunt communes, remanet figura contenta à quatuor ſemicircu-lis A B, C D, D B, A C, (quæ ea eſt, quàm vocat Archimedes Sali-non) æqualis circulo, cuius diameter eſt F G, & hoc eſt quod voluimus.

PROPOSITIO XV.

SI fuerit A B ſemicirculus, & A C corda Pentagoni, & ſe-miſſis arcus A C ſit A D, iungatur C D, & producatur vt cadat ſuper E, & iungatur D B, quæ ſecet C A in F, & ducatur ex F perpendicularis F G ſuper A B, erit linea E G æqualis ſemidiametro circuli.

Iungamus itaque lineam C B, & ſit centrum H, & iungamus H D, D G, & A D. Et quia angulus A B C, cuius baſis eſt latus Pentagoni, eſt duæ quintæ partes recti, quilibet duorum angulorum C B D, D B A eſt quinta pars recti, & angulus D H A duplus eſt anguli D B H, ergo angulus D H A eſt duæ quinte partes recti. Et quia in duobus trian-gulis C B F, G B F duo anguli B ſunt æquales, & G, C recti, & latus F B commune, erit B C æquale ipſi B G: & quia in duobus triangulis C B D, G B D duo latera C B, B G ſunt æqualia, & ſimiliter duo an-guli ad B, & latus B D commune, erunt duo anguli B C D, B G D æquales, & quilibet eorum eſt ſex quintæ partes recti, & eſt æqualis an-gulo D A E externo quadrilateri B A D C, quod eſt in circulo, ergo remanet angulus D A B æqualis angulo D G A, & erit D A æqualis ip-ſi D G. Et quia angulus D H G eſt duæ quintæ partes recti, & angulus D G H ſex quintæ partes recti, remanet angulus H D G duæ quintæ par-tes recti, & erit D G æqualis G H. Et quia A D E externus quadrila-teri A D C B, quod eſt in circulo, eſt æqualis angulo C B A, & eſt duæ quintæ partes recti, & æqualis angulo G D H. Et quia in duobus triangulis E D A, H D G ſunt duo anguli E D A, H D G æquales, & pariter duo anguli D G H, D A E, & duo latera D A, D G, erit E A æquale H G, & ponamus A G commune, erit E G æquale A H, & hoc eſt quod voluimus.

Et hinc patet, quod linea D E æqualis ſit ſemidiametro circuli, quia angulus A æqualis eſt angulo D G H, ideo erit linea D H æqualis li-neæ D E. Et dico quod E C diuiditur media, & extrema proportione in D, & maius ſegmentum eſt D E; & hoc quia E D eſt corda hexago-ni, & D C decagoni, & hoc iam demonſtratum eſt in libro elemento-rum, & hoc eſt quod voluimus.

Impie vt Mahume-tanus Para phraſtes loquitur.

Finis libri Aſſumptorum Archimedis. Laus Deo ſoli, & orationes eius ſint ſuper Dominum noſtrum Mahometum, & ſuos ſocios.

Notæ in Propoſit. XV.

EX hac propoſitione non pauca colligi poſſunt; Si enim coniungantur rectæ lineæ C H, & C G, erit triangulum B C E iſoſcelium ſimile triangulo H D E, & ſimiliter poſitum; pariterque triangulum H C G ſimile quidem erit ipſi G D A, & in vtriſque baſes ſimiliter ſecantur, nam angulus B C E in tres partes æquales diuiditur à rectis lineis H C, & G C, quarum quæli-bet duæ quintæ partes eſt vnius recti, atque angulus E C G rurſus bifariam diuiditur à recta C A: non ſecus tres anguli E D A, A D G, & G D H æquales ſunt inter ſe, atque quilibet eorum duæ quintæ vnius recti. Et effi-ciuntur quatuor rectæ lineæ E A, A D, D G, D C, inter ſe, & lateri de-cagoni regularis circulo inſcripti æquales. Pari modo rectæ lineæ E D, E G, G C, H C, H A, æquales ſunt inter ſe, & lateri hexagoni regularis circulo inſcripti. Tandem recta linea C B ſubtendens tres partes decimas circumfe-rentiæ totius circuli æqualis eſt rectæ lineæ C E, ſcilicet compoſitæ ex latere hexagoni, & latere decagoni regularium eidem circulo incſriptorum. Præterea recta linea E G ſecatur in A extrema, ac media ratione, cuius maius ſegmen-tum eſt E A latus decagoni, & recta A H ſimiliter diuiditur in G, cuius ma-ius ſegmentum eſt G H decagoni latus, & tota E H ſecatur in A, & G ex-trema, ac media ratione, pariterque recta E B ſimiliter ſecatur in H, cuius minus ſegmentum H B eſt æquale lateri exagoni circulo inſcripti. Breuius ta-men propoſitio ſic demonſtrari poſſet.

Quia oſtenſa eſt C D æqualis D G, & A D æqualis eſt eidem D C; cum ambo ſint latera decagoni, ergo D G æqualis eſt D A. Poſtea iuncta A C, quid angulus A H D, vel C H D quinta pars eſt duorum rectorum, ergo angulus C D H ad baſim iſoſcelij, duæ quintæ partes erit duorum rectorum, & ideo an-gulus C D H duplus erit anguli D H E, eſtque externus angulus C D H æqua-lis duobus internis, & oppoſitis D H E, & D E H in triangulo D E H, ergo angulus C D H duplus quoque erit reliqui anguli E, & propterea angulus D H E æqualis erit angulo E, & ſubtenſa latera D E, D H æqualia quoque erunt, ſed prius D A, D G æqualia erant ſubtendentia angulos æquales, & reliqui anguli eiuſdem ſpeciei ſunt, igitur E A æqualis eſt H G. Reliqua manifeſta ſunt.

In præfatione huius operis memini non eße omnino improbabile hunc libellum Archimedis non alium fuiſſe ab illo antiquo lemmatum libro ab Eutocio reper-to, quod præcipuè ex verbis eiuſdem Eutocij in Comment. propoſit. 4. lib. 2. de Sphæra, & Cylindro comprobatum fuit: illa fideliſſimè translata ex textu Græco ab amicis doctiſſimis cum iam in præfatione excuſa eßent aliam tranſlationem ex Arabico Manuſcripto Sereniſſimi Magni Ducis miſit Excell. Abrahamus Ecchel-lenſis deſumptam ex editione Abuſahli Alkuhi qui pariter librum ordinatio-nis lemmatum Archimedis conſcripſit, vt in proemio huius operis teſtatur Almochtaſſo. Verba eius ſunt hæc, quæ paulo clarius propoſitum confirmare vi-dentur: & meminit Eutocius Aſcalonita in Comment. huius libri, quod Archimedes promiſerit demonſtrationem huius in hoc ſuo libro, quod in nullo exemplari reperitur, quod promiſit. Atque ita vnuſquiſque tam Dyoniſodorus, quàm Diocles poſt illum progreſſus eſt per aliam viam, quàm ille (ſcilicet Archimedes) in hoc libro in diuiſione Sphæræ in duas partes, quæ datam habeant proportionem. Dixit, & ego reperi in Veteri Libro Theoremata ſatis obſcura propter multitudinem errorum, qui in eo ſunt, nec non menda, quæ occurrunt in figuris propter igno-rantiam amanuenſium, erantque in co Doricæ dictiones, quarum vſus Archimedi familiaris erat, & vocabula ipſi propria; hinc vtebatur loco ſectionum parabolæ, & hyperbolæ, rectanguli, & obtuſanguli coni ſe-ctionibus quamobrem operam ipſi nauaui, donec aſſecutus ſum iſtam propoſitionem, & eſt iſta, & c.

Modo quia in prædicto libro antiquo ab Eutocio reperto recenſentur duæ pro-poſitiones, quarum vnam promiſerat ſe demonſtraturum Archimedes, & vtra-que in noſtro opuſculo iniuria temporum deficit: earum altera forſan erit 16. illa propoſitio in proemio ab Almochtaßo numerata vbi ait propoſitiones huius opuſculi ſexdecim eſſe, cum tamen poſtrema ſit 15. quare inutile forſan non erit eas hic reponere, præcipuè quia Eutocius non rite eas reſtituit, nec omninò repurgauit à mendis, quibus ſcatebat exemplar antiquum ab ipſo inuentum. Et primo noto, quod Eutocius eas vocat theoremata, cum potius problemata ſint, & ſic etiam ab eodem Eutocio poſtmodum appellantur. Forſan hoc accidit, quia in libro illo antiquo in formam theorematum ſcripta erant, ſed Eutocius vt ad propoſitionem Archimedis ea accomodaret, forma problematica ea expoſuit. Rurſus Eutocius primum theorema ſe expoſiturum pollicetur, vt deinde analyſi problematis Archimedei accomodetur. Vnde conijcere licet alterum theorema additum, vel alteratum ab Eutocio, vel ab aliquo alio fuiſſe, in quo proponit, quod, ſi aliqua recta linea ſecta ſit in duo ſegmenta, quorum vnum duplum ſit alterius, ſolidum parallelepipedum rectangulum contentum ſub quadrato ma-ioris, & ſub minore ſegmento maximum erit omnium ſimilium ſolidorum, quæ ex diuiſione eiuſdem rectæ lineæ in quolibet alio eius puncto conſurgunt. Et hoc quidem oſtenditur per ſectiones conicas, contra artis præcepta; peccatum enim eſt non paruum apud Geometras, problema planum per conicas ſectiones reſoluere cum via plana abſolui poſſit, hoc autem preclari nonnulli viri pariter adnotarunt, & præſtiterunt, vt nuper accepi.

PROPOSITIO XVI.

SI recta linea A B ſit tripla A C, non vero tripla ipſius A D; Dico parallelepipedum rectangulũ contentum ſub qua-drato C B in A C maius eſſe parallelepipedo ſub quadrato D B in A D.

Producatur A B in E, vt ſit B E æqualis B C. Quoniam B C dupla erat ipſius A C, erit E C quadrupla ipſius A C, & propterea rectan-gulum A C E æquale erit quadruplo quadrati A C, ſcilicet æquale erit quadrato C B: Eſt vero in primo caſu, rectangulum A D E maius re-ctangulo A C E, in ſecundo vero minus, (eo quod punctum D in pri-mo caſu propinquius eſt ſemipartitioni totius A E, quàm C, in ſecuudo verò remotius); igitur ſi fiat C D ad D O, vt quadratum C B ad rectan- gulum A D E, erit in primo caſu D O maior, quàm C D, in ſecundo vero minor; & propterea A O minor erit, quàm A C in vtroque caſu. Et quia quadratum C B ad rectangulum A D E eſt vt C D ad D O, igi-tur ſolida parallelepipeda reciproca erunt æqualia, ſcilicet ſolidum qua- drato C B in D O ducto æquale erit ſolido, cuius baſis rectangulum A D E, altitudo vero C D, ſeu potius æquale erit ſolido, cuius baſis re-ctangulum E D C, altitudo vero A D, & propterea vt quadratum B C ad rectangulum E D C, ita erit reciproce A D ad D O, & comparando antecedentes ad terminorum differentias in primo caſu, & ad eorundem ſummas in ſecundo caſu, erit quadratum B C ad quadratum D B vt A D ad A O, & denuo ſolidum parallelepipedum rectangulum contentum ſub quadrato B C in A O æquale erit ei, cuius baſis quadratum D B, altitudo vero A D: Eſt vero A O oſtenſa minor, quàm A C in vtroque caſu, igitur parallelepipedum, cuius baſis quadratum B C, altitudo A C maius eſt eo, cuius baſis eſt idem quadratum B C, altitudo A O; ideoque parallelepipedum, cuius baſis quadratum B C, altitudo A C maius eſt quolibet parallelepipedo, cuius baſis quadratum B D, altitudo A D: quare patet propoſitum.

PROPOSITIO XVII.

SIt A B tripla ipſius A E, maior vero quàm tripla alterius C A, ſecari debet eadem A B citra, & vltra E, in O, ita vt parallelepipedum, cuius baſis quadratum O B, altitudo O A æquale ſit parallelepipedo, cuius baſis quadratum E B, altitu-do A C.

Fiat rectangulum A C B F, & producantur latera C A, F B, & fiat rectangulum C F N æquale quadrato E B, & ducta diametro C E G com- pleantur parallelogramma rectangula A L, A K, L B, B K, atque axe F G, latere recto F N deſcribatur parabole F M ſecans H G in M; erit igitur in parabola quadratum M G æquale rectangulo G F N ſub abſciſ- ſa, & latere recto contento, ideoque idem quadratum F G ad rectangu-lum N F G, atque ad quadratum M G eandem proportionem habebit: eſt vero quadratum F G ad rectangulum N F G, vt F G ad F N, cum F G ſit illorum altitudo communis, nec non vt C F G ad C F N ſum-pta nimirum C F communi altitudine, ergo rectangulum C F G ad C F N eandem proportionem habebit, quam quadratum F G ad quadra-tum M G, & permutando rectangulum C F G ad quadratum F G erit vt rectangulum C F N ad quadratum G M, ſed vt rectangulum C F G ad quadratum F G, ita eſt C F ad F G, & E A ad A C, igitur E A ad A C erit vt rectangulum C F N ad quadratum G M, ſeu vt quadratum E B, vel K G ad quadratum G M: eſt vero A C minor, quàm A E, quæ triens eſt totius A B, igitur M G minor eſt, quàm G K. Poſtea per B circa aſymptotos A C F deſcribatur hyperbole B K, quæ tran- ſibit per punctum K, cum parallelogramma A F, & C K æqualia ſint propter diagonalem C E G, quare punctum M paraboles cadet intra hyperbolem B K, ſed parabole F M occurrit aſymptoto C F in ver-tice F, & occurrit etiam aſymptoto C A in aliquo alio puncto, cum C A ſit parallela axi F G paraboles, & hyperbole ſemper intra aſymptotos incedat, igitur parabola F M bis hyperbolæ occurrit ſupra, & inſra pun- ctum M: ſint occurſus X, à quibus ductis parallelis ad aſymptotos com-pleantur parallelogramma R P, & A F, quæ erunt æqualia inter aſym-ptotos, & hyperbolen conſtituta, & propterea C O S parallelogrammo- rum diameter erit, & vna linca recta: & quia O A ad A C eſt vt C F ad F S, ſiue vt rectangulum C F N ad rectangulum S F N: erat autem quadratum E B æquale rectangulo C F N ex conſtructione, & quadra- tũ O B, ſiue X S in parabola æquale eſt rectangulo S FN, ergo AO ad A C eſt vt qua-dratum E B ad quadratum O B, & propterea parallele-pipedum, cuius baſis quadra-tum O B, altitudo O A æ-quale erit parallelepipedo ba-ſe quadrato E B, altitudine A C contento, quod erat propoſitum.

Prop. 52. lib. 1. Prop. 11. lib. 1.
Prop. 4. & 12. lib. 2. Prop. 26. lib. 1. ex 1. & 2. lib. 2. Prop. 12. lib. 2.
Prop. 11. lib. 1.

Ex hiſce propoſitionibus de-ducit inſuper Eutocius aliqua, quæ non omnino firma, & cer-ta mihi videntur, nam ex eo quod recta linea vt I X tangit vtramq; coniſectionem (hyper-bolen ſcilicet B X, & parabo-len F X) in eodem puncto X concludit hyperbolen interius contingere parabolen quàm de-inceps non ſecat ad eaſdem par-tes axis illius. Hoc autem omnino neceſſarium nõ eſt ex demonſtra-tis à me in prop. 20. 21. & 22. Adàit. lib. 6. Apoll. fieri enim poteſt vt Parabole exte-rius hyperbolen tangat in X, & poſtea hinc inde eam ſecet. Poteſt inſuper hyperbole ſecare eandem parabolam in eodem puncto X, licet ambo in eodem puncto tangantur ab aliqua recta li-nea, vt eſt I X; quod quidem adnotaſſe fuit operepretium.

FINIS.

Dominus Carolus de Datis videat, & referat an in hoc opere ſit aliquid quod repugnet # fidei Catholicæ, & bonis moribus. Die 3. Iulij 1660.

Vinc. de Bardis Vicar. Gener. Florent.

Illuſtriſſime, ac Reuerendiſs, Dom.

Vidi hæc antiquorum, maximorumq; Geometrarum Apollonij, atq; Archimedis Ope-# ra nunquam edita, nec in ijs reperi aliquid fidei Catholicæ, & bonis moribus aduer-# ſum; Quamobrem maximo Reip. literariæ bono, & gloria eorum qui in ijs vertendis, # atq; illuſtrandis ſtudium, atque operam feliciſsimè collocarunt euulganda cenſeo: # dummodo quædam loca notentur Arabicorum interpretum, quibus Maumedanos # ſe præbent. Florentiæ die 7. Iulij 1660.

Carolus Dati manupropria.

Imprimatur ſeruatis ſeruandis 7. Iulij 1660.

Vinc. d. Bardis Vicar. Gener. Flor.

Excellentiſs. Aduocatus Dominus Auguſtinus Coltellini S. Offic. Florentiæ Conſultor # videat hoc opus intitulatum APOLLONII PERGÆI, & c. & referat. # Die 7. Iulij 1660.

Fr. Ang. Octau. de Populo S. Offic. Flor. Canc. de mand.

Reuerendiſs. Pater Domine.

Duorum Geometriæ luminum monumenta, quæ diu in tenebris ſepulta, adeò ſtudio-# ſorum oculos latuerunt, vt inter deperdita fruſtra deſiderarentur, & nunc Opera # Clariſs. Virorum, verſa, & illuſtrata in lucem prodeunt remoranda non puto; cum # etſi Ethnico fonte cadant, nihil tamen (ſalutaribus monitis Arabica interpretum ſu-# perſtitione detecta) aduerſus Chriſtianam pietatem contineant.

August. Coltellini S. Officij Conſultor, & librorum cenſor.

Stante ſupradicta atteſtatione Imprimatur. Die 16. Iulij 1660.

Fr. Ang. Octau. de Populo S. Off. Florent. Cancell. demand.

Alexander Victorius Senator Sereniſs. MagniDucis Auditor.

REGISTRVM.

* ** *** **** ABCDEFGHIKLMNOPQRSTVXYZ Aa Bb Cc Dd Ee Ff Gg Hh Ii Kk Ll Mm Nn Oo Pp Qq Rr Sſ Tt Vu Xx Yy Zz Aaa Bbb Ccc Ddd Eee Fff Omnes ſunt duerni, excepto * qui eſt ternus.

PAgina 7. linea 27. ad margine. prop. 1. huius. pag. 14. lin. 4. ad differentiam. p. 24. 1. 21. marg. prop. 2. addit. p. 31. 1. 27. marg. in lib. 1. lin. 34. & B A. lin. 40. I D, D K. p. 32. 1. 15. & D H. p. 36. 1. 21. figuræ) p. 40. 1. 17. (53. ex 5. ) 1. 33. intercipiuntur, & . 1. 38. ergo C A. p. 46. 1. 5. ita inquam. p. 49. 1. 35. componebatur inſuper. p. 50. 1. 46. B G b, & d e b. p. 56. 1. 15. marg. 4. & 13. 1. 48. pariterque L D. p. 62. 1. 7. ſit D A. p. 70. 1. 14. marg. 56. 57. lib. 1. & 30. lib. 2. p. 72. 1. 12. maior quam. p. 73. 1. 13. mar. 33. 34. lib. 1. p. 78. 1. 4. reddantur, & textus. p. 86. 1. 17. appliceturque recta. p. 96. 1. 7. ſuper bipartitio-nem axis. p. 99. 1. 11. ex vero P F minor quam D P. 1. 44. legi 44. 45. in qua. p. 109. 1. 20. dele poſtillam. p. 110. 1. 31. marg. appone d. p. 111. 1. 31. aut minor angulo. p. 129. 1. 35. & inuertendo. ibidem marg. 10. hui. p. 130. 1. 26. dele omnia ab O G víq; ad comparando. p. 138. 1. 8. oppoſita. p. 139. 1. 18. mar. d. p. 141. 1. 8. mar. 14. lib. 1. p. 146. 1. 18. mar. 12. 13. lib. 1. p. 151. 1. 18. mar. 8. & 11. addit. lib. 5. 1. 19. M L, & R L. 1. 22. œqualibus axium. p. 161. 1. 13. ductam in hyperbola) p. 168. 1. 30. quod eſt. p. 172. 1. 29. ſed in primo caſu recta linea. 1. 30. baſim F I. ibid. puncta I. & F; nec F I ſecat bifariam ſubtenſas G E, M K; propterea. p. 175. 1. 26. mar. a. 1. 35. ad duas. p. 176. 1. 15. mar. d. p. 183. 1. 1. mar. d. p. 189. 1. 29. mar. lemma 7. 1. 47. applicatæ. p. 190. 1. 8. mar. prop. 2. præmiſ. p. 193. 1. 6. XX. XXI. XXII. XXIII. XXIV. p. 196. 1. 25. nempe X a. p. 197. 1. 29. ad L P. p. 202. 1. 23. mar. 18. huius. p. 207. 1. 6. quod. 1. 33. mar. a. p. 213. 1. 11. hyperbolen E Z. p. 214. 1. 38. mar. ex 20. huius. p. 217. 1. 21. ideoque ei æqualis omnino erit. Simili ratiocinio oſtendetur quælibet alia intercepta K L æquidiſtans. p. 223. 1. 6. mar. Schol. prop. 6. addit. p. 228. 1. 18. ergo comparando homologorum differentias. ibid. mar. lem. 3. lib. 1. p. 233. 1. 4. mar. prop. 7. & ex 8. addit. p. 235. 1. 37. hyperbolen H I K. p. 240. 1. 3. mar. f. p. 244. 1. 14. & I F R, ſeu H F N, & I F S. p. 248. 1. 35. ſit ſectio. p. 250. 1. 4. quod L O. p. 256. 1. 12. parallela. p. 259. 1. 12. quàm A C. p. 260. 1. 16. per eundem. p. 262. 1. 1. eandem. 1. 4. A D, & 1. 41. & eam, quæ. p. 264. 1. 13. ſecabit rectam. p. 268. 1. 22. conus E A C. p. 269. 1. 8. mar. ex prop. 5. lib. 1. 1. 9. 10. 20. expunge recto. 1. 15. ſectio-nis F A G. p. 275. 1. 10. rectangulo A D F. p. 280. 1. 14. G E A eandem. p. 291. 1. 3. XXIX. XXVII. p. 298. 1. 6. XXIIX. XXVI. p. 303. 1. 16. . erectum. p. 306. 1. 23. ad perfectionem prop. 26. p. 313. 1. 7. mar. prop. 26. huius. p. 318. 1. 25. quàm G H E ad E H, & (quando G cadit inter E, & H), multo maiorem quàm G E. p. 319. 1. 17. E H ab ipſo quadrato G E. p. 321. 1. 9. quadrato E G. 1. 11. XXXV. XXXVI, p. 323. 1. 2. diametri ad eaſdem partes. p. 325. 1. 7. 21. & 23. (16. ex. 7.) p. 326. 1. 11. quæ eſt dupla. 1. 14. M E ad. 1. 20. (16. ex 7.) p. 327. quàm D H A ad A H, & in primo caſu multo maiorem, quàm, p. 328. 1. 33. latus C O. p. 329. 1. 22. quàm E D O in O E. p. 331. 1. 27. vt axis tranſuerſus A C. p. 335. 1. 7. ipſius P R ſupra P Q. 1. 11. aggregati M G, H E. p. 338. 1. 18. G E, & E H. p. 341. 1. 3. axis tranſuerſi C A. p. 343. 1. 9. mar. dele b. p. 344. 1. 7. mar. b. p. 346. 1. 15. mar. c. p. 347. 1. 7. ad quadratum Q P R, & . p. 350. 1. 13. O H, & G E. p. 356. 1. 14. mar. lem. 15. p. 386. 1. 31. mar. lib. 4. Coll. prop. 14. p. 391. 1. 9. mar. lib. 4. Coll. prop. 13. p. 392. 1. 15. quæ erit. p. 404. 1. 37. A B E, A C E.

Errata in figuris.

Pag. 12. in eius figura deeſt recta N Q, & D terminus axis. pag. 22. fig. 1. deeſt recta I N. pag. 30. in parabola decſt N in occurſu B F, G H. pag. 37. deeſt P in puncto incidentiæ perpendicularis à puncto 1 ſuper S K. pag. 46. deeſt A in vertice axis. pag. 93. deeſt recta L O. pag. 112. in tribus ſequentibus figuris deeſt ramus I B. pag. 213. fig. 1. litteræ C, Q commutari debent. pag. 240. fig. 2. & pag. 246. producantur F L, H I ad K. pag. 268. fig. 2. linea curua A Z duci debet inter A G, & A D. pag. 368. fig. 3. in puncto I ponatur X.