ECHO:YHKVZ7B4.xml Alvarus Thomas Liber de triplici motu proportionibus annexis magiſtri Aluari Thome Ulixboneñ philoſophicas Suiſeth calculationes ex parte declarans lat 1509 open access http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/policy/oa_basics/declaration free
¶ Illuſtri et magnifico viro domino Petro de meneſes animi non minus ꝙ̄ ſanguinis gene-roſitate perdito liberalium ſimul et ſacrarum litterarum peritiſſimo aſylio protectoriqꝫ ſuo Aluarus Thomas ſalutem plurimam dicit.

PRodiderunt veteres clauem herculis templi ſui toxibus appēſam procul hinc canes et muſcas ſolo quidē olfactu abigere Nõ ſecus et omīs litteratorū chorꝰ qui ſuis monumentis eternitati cõmendari velint extimat ſuam feturam inſignis cuiuſpiaꝫ patroni nomine perinde vt claua fretam et ab omnibus oblocutorum aculeis vindicari et auſpicato in vulgus exire. Quos igitur fetus iam dudum parturio nunc pariturus et in lucem emiſſurus (genero­ſiſſime petre) tenellos adhuc et implumes tibi deſtino credo cõmendo patiare precor eas tuis ſub alia deliteſcere tuiqꝫ ſub nominis vmbra recumbere Cuius (ſpero) non minus ꝙ̄ herculee claue olfactu lon-ge repellantur canini rictus et oblatratores inuiduli. Te ſane vnū preceteris mihi patronū eo iuſtius elegerim et tua ipſius maieſtate familiariter (que tua eſt comitas) quondam vſus ſim et litterarū ſis non minus peritus ꝙ̄ apperens. Quis enim illiteratum litterarum defēſorem, libidinoſum pudicitie et iniuſtum iuſticie putauerit. Nempe (ſi chriſtiano poete credas) Nulla ſub iniuſto virtus eſt principe tuta. Nulla ſub inceſto caſtis eſt gloria rege. Quis aūt litteratuꝫ te neget qui patriis litteris apprime imbutus externarumqꝫ auidus vltimos gallie ſinus penetraſti non modo viſurus quos ex libris noue­ras verum et eos et alios parrhiſtis (vbi frequētem eruditorum noſti coronam) auditurus. Sic Pitha­goras memphitichos vates (vt cum ieronimo loquar.) Sic. Plato egiptum et architeu tarētinū eamqꝫ oram italie (que quondam magna grecia dicebatur) laborioſiſſime peragrauit. vt qui athenis magi-ſter erat et potens: cuiuſqꝫ dogmata achademie gymnaſia perſonabãt fieret peregrinus atqꝫ diſcipu-lus malens aliena verecunde diſcere ꝙ̄ ſua impudēter ingenere. Hac ſane in peregrinatione tua nõ me­diocrem glorie cumulum (vel inimico iudice) aſſequutus es. nec minorē ꝙ̄ illi tui fratres ſtudio rei mili-taris: quin et longe (auſim dicere) maiorem. Hi enim ex mediis barbariei penetralibus ex efferatis nu­midie ethiopieqꝫ gentibus ſummamt fateor fortitudinis laudem reportarunt ſed fluxam: ſed caducaꝫ Tibi vero theſaurum doctrine immarceſſibilem et perpetuū nec vetuſtatis cariem: nec euidente: nec ipſa deniqꝫ iouia fulmina reformidantem comparaſſi. Sed ne palpo videar et vanus aſſentator vel po­tius tuas laudes grauiore tuba decantandas ingenii culpa deteram, audaculum nimis calamum cõ-peſco Noſtros autem liberos (libros intelligo) quo et reliquos omnis ſoles vultu excipe tuoqꝫ patro-cinio non dedignare queſo vale.

Ioannes de haxa argutiſſimo viro domino hermãno lethemate de gouda germane natio­nis procuratori bene merito. Salutem

Aurea vinaci manat depectore virtus:

Pullulat et dexter iam grauitate furor.

Soluentur rabidi maturo robore gryphi

Surget et exiguis viribus hydra ferox.

Nam ſophie aluarus thomas radiãtis abiſſo

Septuplici merſus: condidit arte librum.

Hunc tamen arcta tenent mordaci ſcrinia dente

Quae tibi non aliis cuncta patere reor.

Fac pateat poſco placeat conſire fidelem:

Pallados et genti ferre memento pedem

Senſa docet ſophiae ſcrutans agioſmata gauro

Grandiſonae ſtudio: maxima quaeque canit.

Uendicet etetra pietas caligine lucem

Suppetat et cunctis membra toroſa viris.

Dionyſius faber vindocinenſis lectori Octoſticon.

Quiſs amas phiſicis annexa matemata ſenſis

Et dubio certum figere callepedem

Si vacat huic raptum volendo crede libello

Exigui minimum temporis articulum.

Grata ſatiſqꝫ tuo noris factura palato

Bis lectum relegas gratia maior erit

Nec repetita tibi pariet faſtidia crambe

Que ter lecta iuuant ter quoqꝫ lecta placent.

PReclara philonis in libro ſa­pientie exſtat ſantentia deum maximū optimumqꝫ rerum omnium natura ↄ̨-ſtantium opificem, cunctorum ſubſtãtiam atqꝫ cõ-paginem numero, menſura, ac pondere procre-aſſe atqꝫ diſpoſuiſſe: cui applaudit illud prophe-te qui profert numero ſeculum. Cui etiam aſtipu-latur diuus ille plato in thimeo. magna auctori-tate commendans deum numeris mundum fabri­caſſe. Quam ſcentētiam. Aurelius. Auguſtinus libro de ciuitate dei cõmendat. Quapropter inti­ma, ſecretioraqꝫ nature atqꝫ minerue penetralia, rerumqꝫ oīm naturalium reconditas paſſiones, ac motus qui numeris cõſiſtunt ꝑſcrutari atqꝫ ri-mari volentes. arithmeticam at geometricã aut ſaltem harū ſcententiaꝝ quedam requiſita docu-mēta neceſſum eſt anteponãt. Et non abs re quidē quoniam non ſolū elementaris hec regio: et natu­ralia illa entia: que in ea natura ꝓcreãda cenſuit his nuēris et geometricis ponderibus conſtant: verumetiam ethereus ille celorum globus (vt int plinius et ariſtoteles) pythagore ſcententia arith­meticis ꝓportionibus, muſiciſ tonis circūuolui­tur. Inquit enim ſaturnum dorio moueri, mercu­rium pthogo iouem phrygio. Quantã vim arith­metica ſcententia habeant ad philoſophiam vni-uerſaſ diſciplinas. luculenter in libro de legibꝰ diuus plato hoſtendit inquiens Legiſlator ciuibꝰ omnibus cipiat ne a numerorum ordine quo ad poſſunt diſcedant Nã nulla alia diſciplina ad rei familiaris gubernationē, ad rē publicã, ad artes deni vniuerſas, tãtã hꝫ vim: quantã hmõi nume­rorū cognitio. Sõnolentos, etiã a natura rudes, excitat. et dociles, memores, ſolerteſ, facit ter naturã ſuã diuīa arte ꝓficientes Incõcuſſa e et in­uiolata eſt arithmetice at geometrice ſcīa. cuiꝰ veritati ſacratiſſime ſanctiones auctoritatem pre­bēt īquiētes arithmeticã et geometricã in ſe ita­tē cõtinere et quãuis pietatis ſcīe non ſint: ſunt tñ maxīo admīculo at adiumento ipſi ſcīe pietatis vt clare. Aureliꝰ ille Auguſtinꝰ ī libro de doctri­na chriſtiana ſacrꝪ ↄ̨probat rõibus. Has eī ſapiēs ille ſalomõ dicit pediſſeq̈s, at ancillas theolo-gie: q̈s iubet vocari ad turrim, et ad menica cinita­tis. His eī ꝓſtergatis: qui ad theologiſãdū et phi-loſophãdū ꝓgredit̄̄ (ſi diuo Seuerino boetio cre­dimꝰ) ſuꝑflue conat̄̄. Ad philoſophiã vti temere his mathemathicis omiſſis documētis accedētes phīa ipſa ſacrilogos, ſui minimis īuaſores ve­ſtem ſuã in fruſtra lacerantes (teſte boetio) appel-lat. Et vt verū fatear hinc eſt /  nr̄is tꝑibus ob ha­rū diſciplinarū defectū: balbutiens at cõcutiēs viſa ē phīa. Plurimū e apḋ grecos phīa valuit ṗmatū obtinuit: q2 (vt int cicero) ī ſūmo hono-re apud illos geometrica fuit nihil apḋ eos ma­thematicis illuſtriꝰ Nõ ī merito igit̄̄: ſpeculationi­bus phyſicis triplicis motus: tractaculū ꝓportio­nū ex mathematicis codicibus deprõptū duximꝰ ponēdū et quãtū ingenioli nr̄i vires ſupetūt ab-ſoluēdū. ¶ Ad rē ipſaꝫ veniēdo: tractatulus hic ṗn­cipaliter tripatient̄̄. In prīa / e ꝑte prīcipali q̄dã cõmunia mathemathicalia cū terminoꝝ declara­tionibus ponã. In ſecūda / ꝓportionalitatē ꝓpor­tionū declarabo. In tertia / vero parte principali ea applicabo ad motus et motuum ꝓportiones.

plato in thimeo. Auguſti-nꝰ .12. de ciuitate. c. 18. pliniꝰ ī .2 nahiſ. c. 22. auguſti-nus .3. de doc chriſ boetiꝰ ṗ-mo de cõ. phi. ꝓpri­ma.
Capitulum primum de proportione et eius diuiſione. propoſi-tio nicho­machi.

OMnis numerus: et ſimiliter oīs qunatitas ad alium numerum relatus (vt ait nichomachus et boetius in primo arithmetice) aut eſt ei equalis: aut inequalis. ſi eſt equalis: conſtituit ꝓportionem equalitatis: ſi ve-ro inequalis: ex eo cū altero inequalitatis propor­tio conſurgit. ¶ Unde proportio eſt duorū nume-roꝝ: vel duarū quãtitatū: vnius ad alterã certa ha­bitudo. vt habitudo que eſt inter quatuor et .4. et que eſt inter duo et quatuor: et que eſt īter bipeda­le et pedale. Proportio e eſt terminus collecti-uus: pro duabus rebus et ſignanter quantis vel ꝓ pluribus ſupponens: cõnotando ipſas eſſe equa-les: vel vnam alteram aliquo exceſſu excedere. Un­de iſta conſequentia nichil valet. hec proportio eſt vna proportio / ergo eſt vnuꝫ ens: quia demonſtra­to pedali et bipedali non conſtituentibus vnū de illis eſt verum dicere:  ſunt aliqua ꝓportio puta dupla: et tamen illa duo non ſunt vnū ens. ¶ Du-plex autē eſt proportio. q2 quedã eſt ꝓportio equa­litatis: alia vero inequalitatis. ¶ Proportio eq̈-litatis: eſt habitudo duarum quantitatum vel nu­merorū equalium. vt habitudo q̄ eſt inter .8. et .8. pedale et pedale. Et ſumat̄̄ hic quãtitas: tã ꝓ quã-titate molis: quam pro quantitate virtutis. vt ca-pit beatus. Auguſtinus quinto de trinitate ¶ Sed proportio inequalitatis eſt duarum quantitatuꝫ vel numerorum: vnius ad alterum certa habitudo vt ꝓportio que eſt inter .2. et .4. pedale et bipedale ¶ Item proportionum inequalitatis: quedam eſt maioris inequalitatis: quedam. vero minoris.

diuiſio ꝓ­portionū auguſti-nus .5. de trinitate
diuiſio ꝓ­portionū īeq̈litatꝪ

¶ Proportio maioris inequalitatis eſt habitu-do maioris quantitatis ad minorem. vt habitudo que eſt inter .quattuor. et .2. ¶ Sed proportio mi-noris inequalitatis: eſt habitudo minoris quan-titatis ad maiorē. vt habitudo duorū ad .4. ¶ Ex quo ſequitur /  pro eiſdem ſupponunt iſti duo ter­mini proportio maioris inequalitatis et propor-tio minoris inequalitatis. Connotat tamen iſte terminus proportio maioris inequalitatis  numerus maior excedat minorem. iſte vero termi-nus ꝓportio minoris inequalitatis: connotat:  numero minor ſiue quantitatis minor exceditur a a maiore. Quando tamen ꝓportio maioris ine­qualitatis: non capitur pro aggregato ex nume-ris proportionem habentibus inequalitatis: ſed pro maiore numero. proportio vero minoris ine-qualitatis pro minore. Et iſto modo non ſunt ter­mini conuertibiles Nam iſto modo capiendo ſi .8 comparentur ad .4.8. ſunt ꝓportio maioris ine-qualitatis .2.4. minoris inequalitatis. ¶ Item ꝓ-portio inequalitatis. eſt duplex. quia quedem eſt rationalis: et quedam irrationalis. ¶ Propor-tio ratiõalis: eſt illa ꝓportio q̄ īmediate denomi-nat̄̄ ab aliq̊ certo nūero vĺ nūeroꝝ fractõe. vt du-pla: ſexaltera .etc̈. Alio mõ ꝓportio rõalis: ē dua­rum quantitatum ſic ſe habentiū:  idem eſt pars aliquota vtriuſ idē inquam ad bonum ſenſum. ¶ Ex quo ſequitur /  cuiuſlibet numeri ad quemli­bet alium numerum eſt proportio rationalis. quo­niam cuiuſlibet numeri vnitas eſt pars aliquota. ¶ Unde pars aliquota: ē illa que aliquoties ſum-pta reddit ſuum totum adequate. vt vnitas eſt pars aliquota numeri quarternarii. quoniã vni- tas ter ſumpta: adequate conſtituit ternarium et quater ſumpta: quaternarium. et dualitas eſt pars aliquota numeri octonarii. quoniam duali­tas quater ſumpta adequate numerū octonariuꝫ conſtituit. ¶ Ex quo patet /  dualitas non eſt ꝑrs aliquota numeri ſeptenarii quoniam non aliquo­ties ſumpta: reddit illud totum adequate. ¶ Pro­portio autem irrationalis: eſt illa que nõ immedi­ate ab aliquo numero denominatur. Alio modo proportio irrationalis: eſt duarum quantitatum ita ſe habentiū:  nulla pars aliquota vnius eſt ꝑs aliq̊ta alteriꝰ vt ꝓportio q̄ ē īter diametrū et co­ſtã ſui q̈drati. nã diameṫ excedit coſtã et nõ aliq̊ties nec ꝑ aliquã ꝑtem aliquotã. vel per aliq̈s ꝑtes ali­quotas. vt inferius probabitur in capitulo de ꝓ-portione irrationali. ¶ Proportionum auteꝫ ra-tionalium .5. ſunt ſpecies tres ſimplices: et due cõ­poſite. ¶ Simplices ſunt iſte. multiplex: ſuperpar­ticularis: et ſuprapartiēs. ¶ Compoſite vero ſunt multiplex. multiplex ſuperparticularis: mĺtiplex ſuprapartiens ¶ Unde proportio multiplex: eſt ꝓ­portio qua maius continet minus aliquoties ta-tū vt dupla, tripla .4. enim continent .2. bis. / et .6. continent .2. ter tantum Et ideo inter illos nume-ros eſt ꝓportio multiplex. ¶ Proportio vero ſu-perparticularis. eſt proportio qua maius cõtinet minus ſemel tãtū: et aliquam partem eius aliquo­tã adeq̈te. vt ꝓportio ſex ad .4. nã .6. cõtinet .4. ſe-mel t et medietatē q̄ eſt pars aliquota ipſoꝝ .4. ¶ Proportio autem ſuprapartiēs: eſt proportio qua maius continet minus ſemel tantū: et aliquot partes eius aliquotas: que ſimul non faciunt ali­quam eius partem aliquotam. vt ꝓportio que eſt inter .7. et .5. Nam .7. continent .5. ſemel tantum: et duas partes eius aliquotas: puta duas vnitates ¶ Sed proportio multiplex ſuperparticularis eſt illa qua maius continet minus aliquotiens: et cum hoc aliquam eius partem aliquotam tantuꝫ vt proportio que eſt inter nouem et .4. Nã .9. con-tinent .4. bis. / et vnam partem numeri quaternarii puta vnitatem. ¶ Proportio autem multiplex ſu­prapartiens: eſt illa qua maius continent minus aliquotiens et aliquot partes eiꝰ aliquotas: que non faciunt vnam eius partem aliquotam vt pro­portio que eſt inter .11. et .4. Nã .11. continent .4. bis / et tres partes aliquotas ipſorum .4. et ille nõ fa-ciunt aliquam partem aliquotam ipſorum .4.

alia diui­ſio ꝓpor­tionu ieq̈­litatis. pars ali­quota. Diuiſio ꝓportio­nū rõna-lium.
Sufficiē-cia quī numeri ꝓ­portiõis rõaĺ ma­ioris ine­q̈litatis.

¶ Harum autem proportionum: ſiue ſpecierum ꝓ­portionum ſufficientia: talis ratione haberi põt vt adducit Albertus de ſaxonia ī ſuo tractatu de proportionibus poſt alios mathematicos. Q oīs numerus: ſiue quantitas ad aliam quantitatē habens rationalem proportiouem: aut excedit eam: aut exceditur ab illa. Si excedit eam: aut continet ipſam aliquoties. aut ſemel tantū: et ali­quid vltra. aut pluries et aliquid vltra. Si primū / tunc erit proportio multiplex Si ſecūdū / aut illud aliquid vltra eſt vna pars eius aliquota adequa-te: aut ē plures partes aliquote que nõ faciūt vnã partem aliquotam. Si primum: ſic eſt ꝓportio ſu­perparticularis. Si ſecundum / eſt proportio ſuꝑ-partiens. Si vero maior quantitas continet mi-norē pluries. et aliquid vltra. vel illud quod vltra continet eſt pars aliquota adequate aut: plures partes aliquote: que non faciunt vnã. Si primum / ſic eſt proportio multiplex ſuperparticulares. Si ſecundum ſic eſt proportio multiplex ſupraparti-ens. Et quia quantitas maior habens proportio­nē rationalem ad quantitatem minorē nõ poteſt pluribus modis ad illam referri ſiue compara-ri. quam his quin modis conſequens eſt /  non poſſunt eſſe plures ſpecies proportionis rationa­lis his .5. Quãdoquidem eodem modo venari po­teſt minoris inequalitatis proportionum ſuffici­entia. Sola enim ratione: proportio maioris ine­qualitatis: et minoris differunt) De irrationali autem poſterius dicetur.

Cpitulum ſecundum / in quo agitur de ſpe­ciebus horum quin generum proportionū et de ipſarum generatione.

OMnis proportio ſiue omne ge­nus proportiõis: infinitas habet ſpecies Unde genus multiplicis: habet infinitas ſpecies denominatas a naturali ſerie numerorū puta duplã denominatã a binario triplã a terna­rio: milleculpam a millenario: centuplam a cen-tenario. et ſic in infinitū. ¶ Proportio e dupla: eſt illa qua maius continet minus: bis adequate vt .4. cum .2. et tripla qua maius continet minus: ter adequate. et quadrupla quater adequate. et ſic in infinitum. ¶ Generãtur autem omnes ꝓportio­nes duple que infinite ſunt iſto modo. Diſpona-tur / primo ſeries naturalis numeroꝝ in vna linea et in alia linea inferiori diſponantur omnes nu-meri excedentes ſe binario: incipiendo a binario in infinitum. Et iſto modo cõparando primum ſu-perioris linie primo inferioris: et ſecundū ſecūdo et tertiū tertio. et ſic in infinitum inuenientur infi-nite ꝓportiõis duple. in preſenti figura clare hoc poteris conſpicere.

gñatio ꝓ­portõnū duplarū

Per naturalem ſeriē numerorum: intelligas ordi­ne numerorū incipiēdo ab vnitate nullū numeruꝫ omittendo. vt .1.2.3.4. etc̈. ¶ Sed infinite ꝓportio-nes triple: iſto modo generantur Diſponatur / oēs nūeri ſcḋm ſeriē naturalē nūerorū incipiendo ab vnitate ī vna linea et ī linea īferiori diſponãt̄̄ oēs nūeri excedētes ſe ṫnario. et tūc cõparãdo ṗmū īfe­rioris ordinis prīo ſuperioris et ſecūdū ſecūdo et tertiū tertio: habebunt̄̄ infinite ꝓportiões triple.

gñatio ꝓ­portõnū triplarū
gñatio ꝓ­portõnū q̈drupla­rum:

Si vero velis gñare oēs ꝓportiões quadruplas: capias nūeros excedentes ſe q̈ternario. incipiēdo a nūero q̈ternario cū ſerie naturali nūeroꝝ. ¶ Si aūt quītuplã: capias oēs excedētes ſe nario ¶ Si ſextuplã ſenario. et ſic in infinitū vt facile eſt vide-re in figuris ſequentibus.

Gñatio quītupla­rum. Gñatio ſextupla­rum.

¶ Suꝑparticularis autē ꝓportio etiam infinitas habet ſpecies denoīatas a partibus aliquotis: et vnitate. puta a medietate: a tertia quarta quinta / et ſic in infinitū. Et ideo prima ſpecies eiꝰ et maxīa dicitur ſexquialtera. ſecūda vero ſexquitertia. ſex­ quiquarta. ſexquiquinta. / et ſic in infinitum.

Seqxui-totum.

¶ Unde ſexqui idē eſt quod totū. et altera idem eſt quod medietas. et ſic pportio ſexaltera: eſt qua maiꝰ cõtinet minus ſemel tantū: et medietatē eius Sexquitertia vero eſt qua maius continet minus ſemel tantū: et vnã tertiã eiꝰ. Et ſexquiquarta: qua maiꝰ cõtinet minꝰ ſemel tantū: et vnã quartã eius / et ſic in infinitū. ¶ Generantur autē ſpecies huius ꝓportionis iſto modo. Capiatur ordo naturalis numerorū incipiendo a binario. et cõparetur ſecū­dus primo: et tertius ſecundo: et quartus tertio: et ſic in infinitū. et habebūtur oēs ſpecies huiꝰ ꝓpor­tionis ſereatim. ¶ Si autē libet infinitas ſexquial­teras ꝓcreare: capientur in vna linea oēs numeri excedētes ſe binario: et in alia oēs numeri excedē-tes ſe ternario: et cõparetur primꝰ īferioris primo ſuꝑioris: et ſecūdus ſcḋo / et ſic in infinitū ¶ Si vero in vno ordine ponantur oēs numeri excedentes ſe ternario. et in alio excedētes ſe quaternario: ſcḋa ſpecies ꝓducetur. puta ſexquitertia. ¶ Si autē in vno ponãtur oēs excedentes ſe quaternario. et in alio quinario ꝓducetur tertia ſpecies: puta ſex-quarta. et ſic in infinitū in aliis ſpeciebus. vt patꝫ in figuris ſequentibus.

Genera-tio ſpēi ſuꝑparti-cularis. Gñatio ſexquial­terum. Genera-tio ſex-tertiarū.

¶ Proportio ſuprapartiens infinitas habet ſpe­cies: videlicet ſuꝑbipartiēs tertias: ſuꝑbipartiēs quītas: ſuꝑtripartiens quartas: et ſic in infinitum ¶ Unde ꝓportio ſuꝑbipartiēs tertias eſt qua ma­ius continet minus ſemel tantū: et duas tertias mi­noris. Unde in quolibet noīe huiꝰ ſpeciei ponūtur duo numeri. Primus numerus denotat numerū partiū aliquotaꝝ. Et ſecūdus denotat denoīatio­nes illaꝝ. vt cū dicimus ſuꝑbipartiens tertias. ly bi. dicit numeꝝ partiū aliquotarū. quas dicit eſſe duas. et ly tertias dicit / illas eſſe tertias partes nu­meri mīoris. et ſic exēplifica in aliis. ¶ Generãtur autē infinite ſpecies huius ꝓportionis iſto modo Capiatur in vna ſerie naturalis ordo numeroruꝫ incipiēdo a ternario. et in alia oēs impares īcipiē­do a quinario. et ↄ̨paret̄̄ primꝰ vniꝰ ordinis ṗmo alteriꝰ. et ſecundus ſecūdo et ſic in īfinitū et habebū­tur īfinite ſpecies huiꝰ ꝓportiõis. vt ptꝫ in figura

Genera-tio ſpeci­ei ſupra-partietꝪ.

¶ Proportio auteꝫ multiplex ſuperparticularis multas habet ſpecies. puta duplã ſexquialteram duplã ſexquitertiã, triplã ſexquialterã, triplã ſex­quitertiã, et ſic in infinitū: quartū ſpecierū diffini­tiones patent ex dictis. ¶ Generantur autē īfinite ſpecies eiꝰ hoc modo. Capiatur in vno ordine na­turalis ſeries numeroꝝ incipiendo a binario. et in alio ordine capiãtur oēs nūeri excedentes ſe na-rio: a nario exordiendo. et cõparãdo primū vniꝰ ordinis. primo alteriꝰ: cõſtabitur prima ſpecies. et referendo ſecundum ſecundo. / educetur ſecunda. / et ſic in infinitum. vt patet in figura.

Genera-tio ſpēi multipli­cis ſuper­particu-laris.

¶ Proportio vero multiplex ſuꝑparticularis īfi­nitas habet ſpecies: quarū q̄libet in infinitas etiã patit̄̄ ſpecies. puta duplã ſuꝑparticularē: triplaꝫ ſuꝑparticularē quadruplã ſuꝑparticularē: et ſic in infinitū. ¶ Unde ad ꝓcreandas infinitas duplas ſuꝑparticularis: capiant̄̄ due ſeries numerorū. et in prima ponat̄̄ naturalis ſeries numeroꝝ incipi­endo a binario. in alia vero ponãtur oēs numeri impares a quīario inchoãdo. et tūc referēdo primū inferioris ṗmo ſuperioris: et ſcḋm inferioris: ſcḋo ſuperioris: et ſic cõſequēter: habebūtur infinite ſpe­cies huiꝰ duple ſuꝑparticularis. ¶ Sed ad ꝓducē­das īfinitas triplas ſuꝑparticulares: cõſtituat̄̄ in ṗma ſerie naturalis ordo nūeroꝝ ſemota vnitate et in ſcḋa capiant̄̄ oēs nūeri excedētes ſe ternario incipiēdo a ſeptenario: tūc modo iã ſepiꝰ dicto: re­ferendo nūeros: infinitas triplas ſuperparticula­res educes. ¶ A generandas vero īfinitas quadru­plas ſuperparticulares: ↄ̨ſtituat̄̄ naturalis ſeries numeroꝝ a ṗmo nūero īchoãdo in linea ſuperiori in īferiori vero ordinet̄̄ quedã ſeries numeroꝝ: cõ­tinue excedētiū ſe q̈ternario īchoãdo a nouenario ¶ Ad generandã autē ſequentē ſpeciē: puta quītu­plã ſuperparticularē: capias ꝓ primo ordine na-turale ſeriē numerorū: ꝙ̄ ꝓ qualibet ſpecie debes capere. et ꝓ ſcḋo oēs numeros excedētes ſe nario incipiēdo ab vndenario. et pro ſequēti ſpecie puta ſextupla ſuperparticulari: capiant̄̄ oēs numeri ex­cedētes ſe ſenario: incipiēdo a tridenario numero ꝓ alia excedētes ſe ſeptenario: īchoãdo a quīdena­rio. et ſic in īfinitū. vt ptꝫ in figuris ſequentibus.

Gñatio duplarū ſuꝑparti­culariuꝫ. Triplaꝝ ſuꝑparti­culariū. Qua­druplaꝝ ſuꝑparti­culariuꝫ.

¶ Proportio vero multiplex ſuprapartiēs infini­tas habet ſpecies: vt dupla ſuprabipartiēs ṫcias tripla ſuprabipartiēs tertias: et ſic in īfinitū. coa-dunãdo oēs ſpecies ꝓportiõis multiplicis cū q̈li-bet ſuprapartiēte. et ecõuerſo. Et īfinitas ſimiliter habet ſpecies: quaꝝ q̄libet in infinitas etiã partit̄̄ ſpecies: vt puta dupla ſuprapartiēs: in duplã ſu-prabipartientē tertias: in duplã ſuprabipartiētē quītas: in duplã ſuprabipartientē quartas. et ſic in īfinitū. ¶ Generant̄̄ aūt dupla ſuperpartiēs iſto modo. Cõſtituat̄̄ naturalis ſeries nūeroꝝ īcipiēdo a ternario: q̄ ſemꝑ debet eſſe ṗma in q̈libet ſpecie tali: et in linea īferiori ponant̄̄ oēs nūeri: excedētes ſe ternario inchoãdo ab octonario. ¶ Pro gene-ratiõe vero triple ſuprapartiētis: in ſcḋa ſerie po­nant̄̄ oēs nūeri excedētes ſe q̈ternario īcipiēdo ab vndenario. ¶ Pro generatiõe aūt q̈druple ſupra­pariētꝪ: ponãtur in ſcḋa ſerie oēs nūeri. excedētes ſe nario: īcipiēdo a q̈tuordecim. Et ꝓ ſequēti ſpe-cie: capiant̄̄ oēs excedētes ſe ſenario. et ꝓ alia ſepte­nario. et ſic in īfinitū. vt ptꝫ in figuris ſequentibus

Gñatio duplarū ſupraꝑ-tientiū. Gñatio triplarū ſupraꝑti-entium.
Capitulū tertiū / in quo oſtenditur: et de­mõſtratur: proportionem irrationalem eſſe ponendam.

AD demonſtrandum inter a-liquas magnitudines ꝓportionē irra­tionalem inueniri: que nullo pacto ſit ſicut numeri ad numerum.

Suppono primo /  proportio qua-dratorum ſuperficialium: eſt proportio coſtarum dublicata. Hoc eſt ſi inter coſtas duorum quadra­torum ſuperficialium: ſit aliqua proportio maio-ris inequalitatis: inter quadrata erit proportio dupla: ad illã: que eſt inter coſtas ſignatorū qua-dratorū: vt ſi inter coſtas duorū quadratorū ine-qualiū ſuperficialiū: fuerit proportio dupla: inter quadrata erit proportio q̈drupla Hec ſuppoſitio clare ꝓbatur: et demõſtratur: inferiꝰ. in tertia ꝑte tractatu ſecūdo: capitulo .2. Uideas eã ibi.

Secunda ſuppoſitio. Quadratum diametri: ſe hꝫ ad q̈dratū coſte in ꝓportiõe dupla Hoc eſt q̈dratū cuiꝰ q̈libet coſta. eſt eq̈lis diametro alicuiꝰ q̈drati ſe hꝫ in ꝓportiõe dupla: ad illud q̈-dratū. Probat̄̄ hec ſuppoſitio: et ſit vnū q̈dratum magnū: cuiꝰ latꝰ ſit .d.c. et diameṫ ſit a.c. ſit aliḋ paruū cū iſto cõicans cuiꝰ coſta ſit .c.f. et diameter ſit .d.c et diuidat̄̄ q̈dratū maiꝰ: ꝑ duos diametros in quatuor triãgulos equales: vt ptꝫ in hac figura / quo poſito argr̄ ſic / ma-gnū q̈dratū ē duplū ad paruū q̈dratū et ipſū magnū q̈dratū eſt quadratū diame­tri ipſius parui qua­drati. vt ptꝫ manife­ſte / igit̄̄ quadratū di­ametti: ſe hꝫ ad q̈dra­tū coſte: in ꝓportiõe dupla. Cõſeq̄ntia ptꝫ cū mīore. et argr̄ maior. q2 q̈dratū magnū: cõtinet q̈termedietatē parui q̈drati. adeq̈te igr̄ ipſū ma-gnū q̈dratū: cõtinet bis adeq̈te: paruū q̈dratū. Cõ­ſequentia ptꝫ ex ſe: et ꝓbat̄̄ añs. q2 q̈dratū magnū q̈ter ↄ̨tinet t: ſicut ē triãgulꝰ .d.e.c. / vt ptꝫ. et ille tri­angulꝰ eſt medietas parui quadrati: vt manifeſte ptꝫ in figura. igit̄̄ magnū quadratū: quater conti-net adequate: mediante parui / qḋ fuit ꝓbandum.

Terita ſuppoſitio. diametri ad coſtã eſt ꝓportio: que eſt medietas duple. Probatur / q2 quadrati diametri ad quadratū coſte eſt ꝓportio dupla: vt ptꝫ ex ſcḋa ſuppoſitione. ergo diametri ad coſtã: eſt ꝓportio ſubdupla ad duplã. et ꝑ conſe­quēs medietas duple. Patet cõſequētia ex prima ſuppoſitione. Q ſemꝑ ꝓportio quadratorū: eſt dupla ad ꝓportionē coſtaꝝ. Et ſic ꝓportio coſtaꝝ eſt medietas ꝓportionis quadratoꝝ. Cum igitur proportio quadratoruꝫ fuerit dupla: coſtaꝝ pro-portio erit medietas duple.

Numeri primi.

Quarta ſuppoſitio cuinſlibet ꝓpor­tionis ſuprapartientis alter primorū numeroruꝫ eſt impar. Sunt autē primi numeri alicuius ꝓpor­tionis: qui in ea ꝓportiõe ſunt numeri: vt tria et .2. ſunt primi numeri ꝓportionis ſexquialtere: quia in naturali ſerie numeroruꝫ: inter nullos minores ꝓportio ſexquialtera inuenit̄̄: Probatur ſuppoſi­tio. q2 ſi non: detur oppoſitū. videlicet /  vter ſit numerus par. et arguitur ſic. vter iſtorꝝ eſt nume­rus par. ergo ſequitur /  vter illoꝝ eſt medietas / vt patet ex diffinitione numeri paris: et proportio medietatū: eſt eadē cū ꝓportione totoꝝ: vt conſtat et inferius ꝓbabis: igitur illi non erant primi nu-meri talis ꝓportiõis. q2 nõ erant minimi illiꝰ pro­portionis: cū ſue medietates ſint numeri minores et ꝑ ↄ̨ñs: nõ dediſti ṗmos nūeros: talis ꝓpoſitiõis

Quīta ſuppoſitio. Omne quadratū numeri īparis: eſt īpar. Probatur: q2 oē quadra-tum numeri īparis: eſt ille numerꝰ: qui reſultat ex ductu numeri īparis: in ſeipſum ſemel. vt patet ex ſcḋo arithmetice nichomachi. ſed oīs numerꝰ: re-ſultãs ex ductu numeri īparis in ſeipſum: eſt īpar / igitur oē quadratū numeri īparis: eſt īpar. Pro-batur minor: q2 ſi numerꝰ īpar: multiplicetur per numeꝝ parē immediate precedentē ipſum vt .5. per 4. / tunc reſultaret numerꝰ par: ſed quãdo multipli­catur per ſeipſum: ſiue dicetur ī ſeipſum ſemel (qḋ­ideꝫ ē) adhuc illi nūero pari: qui reſultabat ex mul­tiplicatione numeri paris: immediate preceden-tis: additur numerꝰ īpar: vt patet intelligenti. igr̄ totū reſultans: erit nūerꝰ īpar. Patet cõſequētia: q ſi numerꝰ īpar: addatur numero pari: reſulta­bit numerꝰ īpar. Exemplū / vt ſi ternariꝰ: multipli­cetur per numeꝝ parem: īmediate precedentē: puta binariū: reſultabit numerꝰ par: puta ſenariꝰ. et ſi vlteriꝰ addatur numerꝰ teruariꝰ: ſupra ſenariū re­ſultabit nouenarius: qui eſt numerꝰ īpar reſultãs ex ductu ternarii in ſeipſum ſemel.

Sexta ſuppoſitio. nullus numerus impar: eſt duplas ad aliquē numerū. Probatur: q2 ſi eſſet duplus ad aliquē numerū: iã ille numerꝰ eſſet ſua medietas adequate: et ſic diuideret̄̄ in du-as medietates: et ꝑ cõſequēs nõ eſſet impar.

Hīs iactis ſuppoſitiõibus: ſit prima cõcluſio. Nulla ꝓportio diametri ad coſtã: ē mĺti­plex, aut mĺtiplex ſuꝑparticularis: aut multiplex ſuprapartiēs. Probat̄̄ hec cõcluſio: oīs ꝓportio mĺtiplex, aut mĺtiplex ſuꝑparticĺaris, aut mĺti-plex ſuprapartiēs eſt dupla aut maior dupla: ſed nulla ꝓportio diametri ad coſtã: ē dupla aut ma-ior dupla: igit̄̄ nulla ꝓportio diametri ad coſtam eſt mĺtiplex: aut mĺtiplex ſuꝑparticularꝪ, aut mĺ-tiplex ſuprapartiēs. Ptꝫ ↄ̨ña in ſcḋo ſcḋe et maior ſimiliter: q2 oīs proportio multiplex: eſt dupla: vĺ mior: et oīs ꝓportio multiplex ſuperparticularis aut multiplex ſuprapartiens: eſt maior dupla: vt patebit ex cſḋa parte: igitur oīs proportio multi­plex: aut multiplex ſuꝑparticularis: aut mĺtiplex ſuprapartiens: eſt dupla: vel maior dupla. Iã ꝓ-batur minor. q2 oīs proportio diametri ad coſtã: eſt medietas duple: ſiue ſubdupla ad duplã (quod idē eſt) adequate: ergo nulla proportio diametri ad coſtã: eſt ipſa tota dupla: vel maior dupla Pa­tet antecedēs. ex tertia ſuppoſitione: et probat̄̄ cõ­ſequētia. q2 alias medietas eſſet equalis ſuo toti: vel maior. quod nõ eſt poſibile: deductis ſophiſta­rum quiſquiliis.

Secunda concluſio. nulla proportio diametri ad coſtã: eſt aliqua proportio ſuꝑparti-cularis. Probatur: q2 oīs proportio ſuꝑparticu- laris: eſt ſexquialtera: vel ſexquitertia: vel minor ſexquitertia: et nulla proportio diametri ad coſtã eſt ſexquialtera: vel ſexquitertia vel minor ſexter­tia. / ergo nulla proportio diametri ad coſtã: eſt ſu-perparticularis. Cõſequētia ptꝫ cū maiore mani-feſte: et probatur minor. q oīs proportio ſexqui-altera: vel ſexquitertia: vel minor ſexquitertia. eſt maior vel minor: medietate duple. et nulla propor­tio diametri ad coſtã: eſt maior vel minor medieta­te duple. q2 eſt equalis medietati duple. / vt patꝫ ex tertia ſuppoſitiõe. igitur nulla ꝓportio diametri ad coſtã: eſt ſexquialtera. vel ſextertia: vel minor ſexquitertia. Cõſequētia patet cū minore: et maior probatur: q2 ſexquialtera eſt maior quã medietas duple. et ſexquitertia minor quã medietas duple / et ex cõſequēti: ꝑ locū a maiori: quelibet minor ſex-tertia: eſt minor quã medietas duple. / ergo oīs pro­portio ſexquialtera. vel ſexquitertia: vĺ minor ſex­quitertia: eſt maior: vel minor: medietate duple. Probatur tamē ãtecedēs. q2 dupla. cõponit̄̄ ade-quate ex ſexquialtera: et ſexquitertia. / vt patet ex ſecūda parte. et ſexquialtera eſt maior. et ſexquiter­tia mīor. igitur ſexquialtera eſt maior quã medie­tas duple. et ſexquitertia minor quã medietas du­ple. Patet conſequētia ex ſexta ſuppoſitione q̈rti capitis ſecūde partis.

Tertia concluſio. Nulla proportio diametri ad coſtã eſt aliqua proportio ſuprapar-tiens. Probatur. q2 oīs proportio ſuprapartiēs: reperibilis eſt inter duos numeros: quoꝝ alter eſt impar. et nulla proportio diametri ad coſtã: repe­ribilis eſt inter duos numeros: quoꝝ alter eſt īpar / ergo nulla proporito diametri ad coſtã: eſt aliqua proportio ſuprapartiens Patet conſequentia in ſcḋo ſcḋe vt prius. et maior ex quarta ſuppoſitiõe et minor probat̄̄. q2 ſi nõ detur oppoſitū. videlicet /  proportio diametri ad coſtã: reperitur inter du­os numeros: quoꝝ alter eſt impar. ita  diameter et coſta: ſe habere poſſūt vt duo nūeri: quoꝝ alter eſt impar. vel igitur diameter erit numerꝰ impar: vel coſta ſi diameter: ſequitur /  quadratū ipſius diametri: erit numerꝰ impar. Patet cõſequētia ex quinta ſuppoſitione. et vltra quadratū diametri: eſt numerꝰ impar. ergo quadratū diametri: nõ eſt duplū ad quadratū coſte. Patet conſequentia ex ſexta ſuppoſitione. et cõſequēs eſt falſum: vt patet ex ſecūda ſuppoſitione. igitur et antecedens: Non eſt igitur dicendū /  diameter eſt numerus impar reſpectu coſte. ſi vero coſta ſit nūerꝰ īpar reſpectu diametri: ſequit̄̄ /  quadratū eiꝰ erit numerꝰ īpar ſed quadratū eiꝰ: eſt etiã quadratū diametri. q ipſa coſta: eſt diameter mīoris quadrati. vt patet in ſuperiori figura. Igit̄̄ quadratū diametri: eſt numerꝰ impar. Patet cõſequētia ex quinta ſuppo­ſitione. et per cõſequēs quadratū diametri: nõ eſt duplū ad q̈dratū coſte. Patet cõſequētia ex ſexta ſuppoſitione. et cõſequēs eſt falſum. vt patet ex ſe­cūda ſuppoſitione: igitur et ãtecedēs. Et ſic patet:  nec diameter ſe habet ſicut nūerꝰ īpar: nec coſta ¶ Aliquam autem quantitatem: ſe habere vt nu-merus impar reſpectu alterius: eſt ipſam diuidi ſaltē ad ymaginationē: in partes equales denoīa­tas a numero impari. vt in tres tertias: in quin quītas in ſeptem ſeptimas / et ſic cõſequēter. et hoc reſpectu alterius quãtitatis: diuiſe in partes illis equales. vt ſi pedale diuidatur in tres tertias et bi­pedale in ſexſexas quarum ſextarum quelibet eſt equalis vni tertie pedalis: tūc dico:  pedale ſe hꝫ vt nūerꝰ impar: reſpectu bipedalis. Tu tamē ad-uerte  etiã poteſt ſe habere vt nūerꝰ par: reſpectu bipedalis. tamē ſemꝑ īter pedale et bipedale erit ꝓportio dupla. Diameter autē et coſta: nū̄ ſic ſe poſſunt habere:  diameter ſe habeat vt numerus impar reſpectu coſte: vel econtra / vt ꝓbatū eſt.

Quid ſit quãtita-tē ſe hr̄e vt nūerꝰ.

Quarta cõcluſio. Omnis proportio diametri ad coſtã: eſt irrationalis Probatur hec cõcluſio. q2 oīs ꝓportio rationalis: eſt multiplex: aut multiplex ſuꝑparticularis, aut multiplex ſu-prapartiens, aut ſuꝑparticularis, aut ſuprapar­tiens, et nulla ꝓportio diametri ad coſtã: eſt mul-tiplex, aut multiplex ſuperparticularis, aut mul-tiplex ſuprapartiēs. vt patet ex prima cõcluſione aut ſuꝑparticularis. vt ptꝫ ex ſcḋa: aut ſuprapar-tiens: vt patet ex tertia. / igitur nulla ꝓportio dia­metri ad coſtã: eſt rationalis. Cõſequētia patet vt ſupra: et maior ex fine primi capitis. Illa enim eſt ſūma diuiſio ꝓportiõis rationalis: et vltra nulla ꝓportio diametri ad coſtã: eſt ratiõalis. et eſt pro­portio: igitur eſt proportio irrationalis. Patet cõſequentia a ſufficienti diuiſione.

Capitulum quartum / in quo agitur de infinitis ſpeciebus proportionis irratio­nalis: et de earum procreatione.

PRoportio irrationalis: per-inde at rationalis: in infinitas di-ſtribuitur ſpecies Ad quod mathema­tica induſtria inferendū: ponūtur alique ſuppões

Prima ſuppoſitio. Si due quantita­tes: ſe habent vt duo numeri: aggregatū ex eis: ſe habebit vt vnꝰ numerꝰ. Probatur. q2 ſemꝑ ex ad­ditiõe numeri ad numerū: reſultat numerꝰ maior

Secūda ſuppoſitio Si alique quan­titates. ſe habeant in ꝓportione rationali: ille ſe habebunt: vt duo numeri: et econtra. Patet ſup-poſitio hec ex diffinitione ꝓportiõis ratioalis: cū ſuo correlario: primo capite poſita.

Tertia ſuppoſitio. Si due quantita­tes ſe habeant in ꝓportione ratiõali: aggregatū ex eis: ſe habet in ꝓportione ratiõali: ad quãlibet illaꝝ quantitatū. Probatur hec ſuppoſitio. q ſi ſe habent in ꝓportione rationali: iã quelib3 illaꝝ ſe habet vt numerꝰ: vt patet ex ſecūda ſuppoſitõe et ſi quelibet illaꝝ ſe habet vt uūerꝰ: ſe aggregatū ex eis: ſe habet vt nūerꝰ. vt patet ex prima ſuppo­ſitiõe. et ꝑ cõſequens illiꝰ agggregati: quod ſe ha­bet vt numerꝰ: ad vtrã illarū quantitatū: que ſe habent vt numeri: erit ꝓportio rationalis. vt ptꝫ ex ſecūda ſuppoſitione: quod fuit ꝓbandum.

Qurata ſuppoſitio. Coſte: ad exceſſū quo diameter excedit coſtã: ꝓportio irrationalis Probatur. q2 ſi eſſet rationalis: iã ſe haberent vt duo numeri. vt patet ex ſecūda ſuppoſitiõe. et ſi ſe haberēt vt duo numeri: aggregatū ex eis: qḋ ade­q̈te eſt diameter haberet ſe in ꝓportione ratiõali ad vtrū illoꝝ. et ꝑ cõſequēs ad coſtam. vt patet ex tertia ſuppoſitione: et ſic diametri ad coſtam: eſſet rationalis proportio. quod eſt contra quratã cõ­cluſionem precedentis capitis.

Quinta ſuppoſitio. Si quantitatis moioris ad aliquã partē aliquota quãtitatis mi-noris ſit proportio rationalis: eiuſdē quãtitatis maioris ad totã quantitatē minorē erit ꝓportio-rationalis. Probatur. q2 ſi quantitatis maioris ad partē aliquotã quantitatis minoris eſt ꝓpor-tio rationalis: iam quantitas maior: et pars ali-quota minoris quantitatis ſe habent vt duo nu-meri. et ꝑ cõſequens pars aliquota minoris quati­tatis ſe habet vt numerus. et cū nõ ſit maior ratio de vna parte aliquota quã de qualibet tanta: ſe-quitur /  quelibet tanta: ſe habet vt numerꝰ. et per ↄ̨ñs aggregatū ex oībus partibꝰ aliquotꝪ ipſius mīoris: ſe habet vt nūerꝰ. vt ptꝫ ex ṗma ſuppoſiti­one: et illud aggregatū eſt ipſa mīor quãtitas: igr̄ ta mīor quãtitas ſe hꝫ vt numerꝰ: ad maiorē et ſic inter illas eſt ꝓportio rõnalis. et ſic ptꝫ ſuppoſitio

Sexta ſuppoſitio. Si due quantita­tes inequales ſe habeant in ꝓportione rationali. vtra illaꝝ ſe habet ad exceſſum quo maior exce-dit minorē in ꝓportione rationali: vĺ equalitatis Probatur hec ſuppoſitio. q ſi ille quantitates: ſe habent in ꝓportione rationali: ſe habēt vt duo numeri. et vltra ſe habent vt duo numeri: ergo ex-ceſſus quo vna excedit alterã eſt numerꝰ. q ſemꝑ numerꝰ excedit numerū ꝑ numerū. et vltra exceſſus eſt numerꝰ: et quelibet aliarū ſe habet vt numerus reſpectu illiꝰ exceſſus. igr̄ inter illū exceſſū et quãli­bet illarum quantitatem eſt proportio ratiõalis vel equalitatis: quod fuit probandum.

His ſuppoſitionibus poſitis: ſit pri-ma cõcluſio Infinite ſunt ſpecies ꝓportionis irra­tionalis minores dupla: et illarū in īfinitū parua eſt aliqua. Probatur prima pars huiꝰ cõcluſiõis / et capio coſtã vniꝰ quadrati: et ſuã diametrū. et vo­lo /  vniformiter in hora diminuat̄̄ exceſſus quo diameter excedit coſtã ad nõ quantū. ita  in fine diameter et coſta erūt equalia. quo poſito ſic argr̄ Inter diametrū que ſic diminuitur et coſtaꝫ erunt infinite ꝓportiones irratiõales cõtinuo minores dupla: igitur infinite ſunt ſpecies ꝓportiõis irra-tionalis minores dupla. Probatur ãtecedēs. q quãdo exceſſus: quo diameter excedit coſtã ꝑdide-rit medietatē ſui / tūc aggregatū ex alia medietate et coſta ſe habebit ad coſtã in ꝓportiõe irratiõali minori dupla. / et quãdo exceſſus diametri fuerit di­minutꝰ ad vnã quartã ſui: tūc aggregati ex coſta et illa quarta exceſſus diametri ad coſtã erit ꝓpor­tio irrationalis. et ſic cõſequēter ſemꝑ aggregatū ex coſta: et aliqua parte aliquota exceſſus ſe habe­bit ad coſtã in ꝓportione irratiõali mīori dupla: et infinita ſunt talia aggregata ex coſta et aliqua parte aliquota exceſſus: igitur infinite erūt ꝓpor­tiones irrationales cõtinuo minores dupla. Ptꝫ cõſequētia. et arguit̄̄ maior videlicet /  aggregatū ex coſta et medietate exceſſus diametri: ſe habet in ꝓportione irrationali ad coſtã: q2 ſi nõ. ſed ſe ba-bent in ꝓportione rationali. ſequitur:  vtra il­laꝝ: ſe habet ad exceſſum quo maior excedit mino­rem in ꝓportione rationali vel equalitatis. Ptꝫ ↄ̨ña ex ſexta ſuppoſitione. et cõſequēs eſt falſū. q ſi vtra illarū ſe haberet ad exceſſum quo diame­ter excedit coſtã: in ꝓportione rationali .etc̈. cū al-tera illarum ſit coſta: et exceſſus quo maior excedit minorē ſit medietas exceſſus diametri: ſequitur /  coſte ad medietatē exceſſus diametri erit ꝓportio rationalis. Patet hec cõſequētia ex ſe. et vltra ſe-quitur /  coſte: ad exceſſum diametri erit ꝓportio rationalis. Patet cõſequētia ex quīta ſuppoſitio­ne. hoc addito /  medietas exceſſus eſt pars aliq̊ta illius: cõſequēs eſt falſum: vt patet ex quarta igit̄̄ et ãtecedēs. Et ſic ꝓbabis.  aggregatū ex coſta et quarta parte exceſſus diametri ſe habet in ꝓpor-tione irratiõali ad coſtã: et ſimiliter  aggregatū ex coſta et octaua parte exceſſus / et ſic cõſequenter. Quod autē ille ꝓportiones cõtinuo ſint minores dupla: patet. q2 a principio ꝓportio diametri ad coſtã erat minor dupla. cū eſſet medietas duple: et cõtinuo diminuet̄̄ vſ ad nõ gradū: vt ptꝫ ex ſcḋa parte. igr̄ cõtinuo erit minor dupla. Itē continuo exceſſus erit minor et minor reſpectu eiuſdē quãti-tatis: ergo cõtinuo ꝓportio erit minor et mīor. Et ex hoc ptꝫ ſcḋa pars cõclſionis. q2 in infinitū mo-dicus erit exceſſus quãtitatis maioris ad quãtita­tē minorē: et ipſa quãtitas minor cõtinuo manebit equalis et īuariata. igitur infinite modica erit ꝓ-portio maioris ad quantitatem minorem. Conſe­quentia patet ex ſecūda parte. Et ſic patet prima concluſio. ¶ Ex hac concluſione ſequitur:  infini-tis modis poſſunt generari infinite ſpecies mino­res dupla irrationalis ꝓportiõis: vtpote ſi exceſ-ſus diametri diminuatur per partes ꝓportiona-les ꝓportione dupla: Alio modo ꝓportiõe tripla alio quadrupla. alio ſexquialtera. / et ſic in infinitū Patet correlariū intelligēti ꝓbationē cõculſiõis

Correla-rium. Gñatio infinitoꝝ ſpecierū ꝓportio-nis irra-tionalis.

Secūda cõcluſio. Infinite ſunt ſpe-cies ꝓportionis irratiõalis maioris dupla: et illa­rū infinite magna eſt aliqua. Probatur hec con-cluſio: et pono /  exceſſus quo diameter excedit co-ſtam: diminuatur vniformiter in hora vſ ad nõ quantū. et capio ꝓportionē que eſt coſte ad exceſſū diametri: et arguo ſic. Illa ꝓportio eſt maior du-pla irrationalis. et ꝓportio coſte ad medietatē il-lius exceſſus eſt etiã irratiõalis maior: et ꝓ-portio coſte ad quartã eſt etiã irrationalis maior dupla: et ſic in infinitū quelibet ꝓportio coſte ad aliquã partē aliquotã exceſſus eſt ꝓportio irrati-onalis et ſunt īfinite partes aliquote cõtinuo mi-nores et minores / ergo īfinite ſunt ꝓportiões irra­tiõales minores dupla. Probat̄̄ maior. q coſte ad exceſſū q̊ diameṫ excedit coſtã eſt ꝓportio irra-tionalis: ex q̈rta ſuppoſitiõe maior dupla: vt con-ſtat. q ille exceſſus eſt minor quã medietas coſte. q ſi eſſet medietas coſte aut moior: iam ibi eſſet ꝓportio ſexaltera īter diametrū et coſtã: vel ma-ior ſexquialtera: quod eſt falſum. vt ptꝫ ex pcedēti capite. ergo q̄libet ꝓportio coſte ad aliquã partē aliquotã exceſſus quo diameter excedit coſtam eſt ꝓportio irratiõalis maior dupla: qḋ fuit ꝓbãdū. Patet cõſequētia ex quīta ſuppoſitiõe. q ex illa ſuppoſitione. ſi coſta ad aliquã partē aliquotã ex-ceſſus quo diameter excedit coſtã ſe habet in pro-portione ratiõali: ipſius coſte ad totū illū exceſſū erit ꝓportio rationalis: ſed nõ ipſiꝰ coſte ad totū illū exceſſū quo diameter excedit coſtã eſt ꝓportio rationalis. vt ptꝫ ex quarta ſuppoſitiõe. igitur nõ coſta ad aliquã partē aliquotã exceſſus quo dia-meter excedit coſtã: ſe habet in ꝓportiõe ratiõali. Patet cõſequētia ꝑ ſyllogiſmū hypotheticum: a tota cõditionali cū deſtructiõe cõſequētis .etc̈. / et ſic patet prima pars. Et ſcḋa ꝓbatur facile. q2 in īfi- nitū magnꝰ erit exceſſus quo quantitas maior ex­cedet minorē. igitur in infinitū magna erit ꝓpor-tio quãtitatis maior ad minorē: et per cõſequens illarū infinitarū proportionū in infinitū magna erit aliqua: quod fuit probandū. Et ſic patet con-cluſio. ¶ Simile correlariū: correlario ṗme cõclu-ſiõis: hic poteris inferre de gñatione huiuſmodi proportionū irrationaliū. ¶ Plures adieciſſem cõcluſiones et correlaria: niſi obſtaret hanc mate­riã ex ſecunda parte in vniuerſum dependere. Nec mirari oportet: ſi plurimū in his duobus capitibꝰ cõtra morē et ordinē mathematicū: ſequētibꝰ vſus fuerim. Non e potuit hec materia alio mõ īduci

Capitulū quintū / in quo agit̄̄ de diuiſione corporis in partes proportionales qua pro­portione rationali quis voluerit.

QUoniam plerū in materia triplicis motus occurūt pleri caſus: in quibus oportet vti multiplici ſpecie diuiſionis corporis in partes ſuas proportiona­les variis et diuerſis ꝓportionibus rationalibus ideo ad vniuerſalē methodū inueniendam ſit.

Prīa ſuppõ. Nõ oēs ꝑtes alicuiꝰ cor­poris ī q̈s idē corpꝰ diuidit̄̄ ↄ̨tinuo ſe hñtes ī eadē ꝓportiõe: gr̄a exēpli a. ſūt oēs ꝑtes ꝓportionales eiuſdē corꝑis eadē ꝓportiõe a. Probat̄̄ / q2 poſſibi­le eſt /  vna medietas alicuiꝰ corꝑis diuidat̄̄ in oēs partes ſuas ꝓportione tripla: et omēs ille partes ſunt partes illiꝰ corporis totalis. in q̈s idē corpꝰ diuidit̄̄ hñtes ſe cõtinuo in ꝓportiõe tripla: 2. et tñ nõ ſunt oēs partes ꝓportionales illius corporis proportione tripla. Et capio in ſuppoſitiõe ly oēs collectiue in primo loco et in ſecundo.

Secūda ſuppoſitio. Oēs partes ali­cuius corporis innuite continue ſe habētes aliq̈ ꝓportione: puta a. et abſoluentes totū corpꝰ: ſunt oēs partes ꝓportionales eiuſdē corporis propor­tione a. Et volo dicere /  ſi aliquod corpꝰ diuidat̄̄ in infinitas partes continuo ſe habentes in ꝓpor­tione a. et abſoluētes totū corpus: ille ſimul ſunt oēs partes proportionales proportione a. Patꝫ hec ſuppoſitio: q2 ſic diuidere corpus eſt diuidere ipſū in oēs partes ꝓportionales proportione a. Patet hoc ex deſcriptione termini.

Tertia ſuppoſitio. Quãdocun ali­qua cõtinuo ꝓportionãtur aliqua ꝓportione geo­metrica: qualis eſt ꝓportio inter proportionata: talis eſt inter ſuas differētias ſiue exceſſeus: quod idem eſt: vt q2 .3. ad .4. ſe habet in ꝓportiõe dupla et ſimiliter .4. ad 2. / et cõtinuo proportionant̄̄ eadē proportione: ideo differentia ſiue exceſſus inter .8 et .4. ſe habet ad differãtiã ſiue exceſſum inter .4. et 2. in proportiõe dupla. Patet hec ſuppoſitio ex quīta proprietate proportionalitatis ſiue medie­tatis geometrice ex ſecūda parte capitulo ſecūdo

Quarta ſuppoſitio. Si aliquod cor­pus diuidatur in infinitas partes: et deperdendo primã illarū perdit aliquã ꝓportionē puta a. / hoc eſt efficitur in a. ꝓportione minꝰ: et ꝑdendo ſcḋam poſt primã iterum efficitur in a. minus: et ꝑdendo tertiam poſt ſecūdã iterum efficitur in a. minus. et ſic conſequenter ille partes ſunt oēs partes ꝓpor­tionales illius corporis ꝓportione a. / ſi vero ꝑden­do primã illarū non perdit vnam proportionē a. / et ꝑdendo ſecundã poſt primã: vnã alteram, ꝑden-do tertiã poſt ſecundã vnã alteram ꝓportionē a. / et ſic cõſequenter: tales partes nõ ſunt oēs partes ꝓportionales talis corporis ꝓportione a. Pro-batur prima pars / q2 ſi nõ: detur oppoſitū: videli­cet /  aliquod corpus diuiditur in aliquas partes iufinitas: et ꝑdēdo primã illarum ꝑdit ꝓportionē a. etc̈. et tamen nõ ſunt ille oēs partes ꝓportiona-les illius corporis ꝓportiõe a. et ſic tale corpus b. / et arguitur ſic / b. eſt diuiſum in infinitas partes: et ꝑdendo primã illarū in prima parte ꝓportionali hore exempli gratia: in fine illius partis eſt in a. ꝓportiõe minꝰ: et ꝑdendo ſecundã partē in ſecūda parte ꝓportionali tēporis: iterum efficitur in fine eiuſdem partis in a. proportione minꝰ quaꝫ erat in principio eiuſdē partis: et in tertia parte ꝓpor­tionali ꝑdēdo terntiã im efficitur minꝰ / quã erat in principio eiuſdē ꝑtis in a. ꝓportione: et ſic con­ſequēter. igitur in partibus ꝓportionabilibꝰ illiꝰ hore ſunt infinita corpora cõtinuo ſe habentia in ꝓportione a. Patet / q2 corpus qḋ eſt in principio me partis ꝓportionalis: ſe habet in ꝓportione a. ad illud quod eſt in prīcipio ſecunde et illud qḋ eſt in ncipio ſecunde ſe habet in ꝓportione a. ad illud quod eſt in principio tertie: et ſic cõſequēter / igitur illa infinta corpora continuo ſe habet in ꝓportiõe a. / et ex cõſequēti ſequit̄̄ /  exceſſus inter illa corpora cõtinuo ſe habēt in ꝓportiõe a. / puta exceſſus quo corpus in ncipio ṗme partis ꝓpor­tionalis excedit corpus in ncipio ſecunde: ſe ha­bet in ꝓportione a. / ad exceſſum quo corpus in n­cipio ſecūde excedit corpus in ncipio tertie: et ſic cõſequēter. Patet hec cõſequētia ex cedenti ſup­poſitione: et illi exceſſus ſunt ille partes que deper­dūtur in partibus ꝓportionalibus tēporis: ergo ille ꝑtes que deꝑduntur in illis partibus propor-tionalibus tēporis ſe habent cõtinuo in ꝓportõe a. Conſequētia patet: et ꝓbatur antecedens: quia corpus in principio me partis ꝓportionalis tē-poris: exedit corpus in principio ſecunde ꝑ illud quod deꝑdit in ia ma parte ꝓportionali tēpo-ris: et illud eſt ma illarum partiū in quas diuidi­tur corpus ex caſu: igitur aſſumptum verum Q ſic ꝓbabis de quocū alio exceſſu. et vltra ille par­tes in quas diuiditur illud corpus b. ſunt infinite cõtinuo ſe habentes in ꝓportione a. / et abſoluūt to­tum corpus: igitur ille ſunt oēs partes ꝓportiona­les illius corporis ꝓportione a. / quod fuit negatū Patet hec conſequentia ex ſecunda ſuppoſitione. Quod vero ille partes abſoluant totum corpus patet / quia per deperditionem illarū perditur to­tum corpus ad nõ quantum: cum deperdat infini­tam latitudinem proportionis: vt conſtat: igitur. Secūda pars patet facile / quia bene ſequitur de-perdendo illas partes continuo: tale corpus non continuo efficitur minus in proportione a. / ergo ſequitur /  non ſunt ibi in tali diminutione infini­ta corpora continuo ſe habentia in proportione a. modo ſuperius expoſito: ergo ſequitur /  exceſ­ſus illorum corporum non continuo ſe habent in proportione a. Patet conſequentia ex tertia ſup­poſitione: et illi exceſſus ſunt partes in quas diui­debatur ipſum corpus b. / igitur ipſe non ſunt par­tes proportionales corporis b. proportione a. / et per conſequens de primo ad vltimum ſequitur il­la ſecunda pars ſuppoſitionis.

His poſitis ſit prima cõcluſio. Quã­docun aliquod corpus diuiditur quouis genere proportionis: totū corpus ſe debet habere ad ag­gregatum ex omnibus partibus proportionalibꝰ ſequentibus primam: in ea proportione qua cor­pus diuiditur. Exemplum / vt ſi corpus diuidatur proportione ſexquialtera: oportet /  illud corpus ſe habeat ad aggregatum ex omnibus partibus proportionabilibꝰ. ſequentibus primam: in pro­portione ſexquialtera. Probatur hec concluſio: et volo /  b. corpꝰ diuidatur in partes proportiona­les proportione a. in infinitum: et arguo ſic / b. cor-pus diuiditur in partes proportionales propor­tione .a. in infinitum: igitur deperdendo primam partem proportionalem proportione a. ipſum ef­ficitur in a. proportione minus: patet conſequētia ex ſecunda parte quarte ſuppoſitionis: et vltra il­lud corpus b. deperdendo primã partem propor-tionalem a. efficitur ſiue manet in a. proportione minus et non manet niſi aggregatum ex omībus ſequentibus primam partem proportionalē: igi­tur illud corpus b. ſe habet ad aggregatum ex om­nibus partibus proportionabilibus ſequentibus primam eius partem proportionalem proportio­ne a. in eadem proportione a. / quod fuit ꝓbanduꝫ. Patet hec conſequentia: quia ſi illud aggregatū ex omnibus ſequentibus primã. etc̈. eſt minus ipſo b. corpore in a proportione: ſequitur /  ipſum b. corpus eſt maius illo aggregato ex omnibus ſe-quentibus primam in a. proportione.

Secunda cõcluſio. Ad inueniendū reſiduū a prima parte ꝓportionali quauis ꝓpor­tione rationali corpus diuidatur: capiãtur primi numeri talis ꝓportionis: et diuidat̄̄ corpus in tot vnitates quotus eſt numerꝰ maior illius propor­tionis: et ex illis partibꝰ ꝓ reſiduo a prima parte capiantur tot: quotus eſt numerus minor talis ꝓ-portionis. Exēplum / vt ſi vis diuidere corpꝰ ꝓpor-tione ſexquitertia: et videre quid reſtabit pro reſi-duo a prima parte proportionali: capias .4. et .3. primos numeros ꝓportionis ſexquitertie: et diui­das totū corpus in quatuor partes equales: quia numerus maior eſt quaternarius: et pro reſiduo a prima ꝑte ꝓportionali capias tres partes ex illis q2 numerus minor eſt ternarius. Probat̄̄ hec con­cluſio et volo /  b. corpus diuidatur proportione a. cuius proportionis primi numeri ſint c. maior numerus et d. minor / et arguo ſic. Iſtud corpus eſt diuiſum per partes ꝓportionales proportione a / ergo totū iſtud b. corpus ſe habet ad aggregatuꝫ ex oībus partibus ꝓportionabilibus ꝓportione a. ſequētibus primã in proportione a. Patet ↄ̨ña ex priori concluſione: et vltra totum b. ſe habet ad aggregatum .etc̈. in ꝓportione a. / ergo ſequitur /  ipſuꝫ b. ſe habet ad illud aggregatū ſicut c. nume­reus ad d. numerū / vt cõſtat et d. numerꝰ eſt nume­rus minor: ergo ſequitur /  aggregatū ex omībꝰ partibus ꝓportionalibꝰ proportione a. ſequē-tibus primã ſe habet vt numerus mīor primorum numerorū proportionis a. reſpectu maioris nu-meri: et nõ poteſt ſic ſe habere: niſi fiat diuiſio ta-lis corporis modo dicto in concluſione vel equiua­lenti / vt conſtat: igitur ſequitur concluſio.

Tertia cõcluſio. Ad diuidendū cor-pus per partes proportionales qua vis ꝓportõe multiplici capiēda eſt pro reſiduo a prima parte proportionali vna pars aliquota denoīata a nu­mero talē proportionē multiplicem denominante vt in diuiſione dupla proportione capiēda eſt vna medietas pro reſiduo a prima parte ꝓportionali et proportione tripla vna tertia et quadrupla vna quarta quintupla vero vna quinta et ſic ī infinitū Probatur hec cõcluſio: q ſemper corpus diuiſū per partes proportionales aliqua proportione ſe debet habere ad reſiduū a prima parte ꝓportio-nali in eadeꝫ ꝓportione qua diuiditur: vt patet ex prima concluſione: ſed quodlibet corpus ſe hab3 ad ſuã medietatē in proportiõe dupla et quodlib3 ad ſuã tertiã in tripla: ad quartã in quadrupla: et ſic conſequēter: ergo in qualibet diuiſione corpo-ris ꝓportione dupla debet capi ꝓ reſiduo a pri-ma parte proportionali medietas. et proportione tripla vna tertia: et q̈drupla vna quarta et quintu­pla vna quīta. et ſic in infinituꝫ: quod fuit ꝓbandū ¶ Ex hac cõcluſione ſequitur primo:  diuidendo corpus proportiõe dupla prima pars erit medie­tas, et ſecūda medietas reſidui: et tertia medietas reſidui, et ſic cõſequenter. ꝓportione tripla prima pars eſt due tertie totius: et ſecūda due tertie reſi-dui, et tertia due tertie reſidui a prima et ſecunda: et ſic ſine termino. ꝓportione vero quadrupla pri­ma pars eſt tres quarte, et ſecunda tres quarte re­ſidui. ꝓportiõe vero quītupla prima pars eſt qua­tuor quinte. et ſextupla quin ſexte et ſeptupla ſex ſeptime: et ſic ſine termino. Probatur hoc correla­riū: quia diuidendo proportione dupla: totum re­ſiduū a prima parte ꝓportõali eſt vna medietas / vt patet ex cõcluſione: igitur prima pars erit vna medietas Patet cõſequētia ex ſecūda ſuppoſitio­ne / q omnes partes proportionales totū corpꝰ abſoluūt. Item diuidendo ꝓportione tripla reſi­duū a prima parte ꝓportionali eſt vna tertia / igit̄̄ prima erit due tertie. Itē diuidēdo quadrupla re­ſiduū a ṗma eſt vna quarta / igit̄̄ prima eſt 3 quar-te. Quītupla vero eſt vna quīta / igitur prima erit quatuor quinte. Et ſimiliter arguēdū eſt de ꝓpor­tione ſextupla ſeptupla / et ſic cõſequenter. igit̄̄ cor-relarium verū. Antecedentia harū cõſequētiarum patēt ex ꝓxima concluſione et ipſe conſequentie ex ſecunda ſuppoſitione. ¶ Sequitur ſecūdo /  diui­dēdo corpus per partes proportionales ꝓportõe dupla: reſiduum a prima eſt equale prime parti: et ꝓportione tripla eſt ſubduplū ad ṗmã: et quadru­pla ſubtriplū: et quītupla ſubquadruplū: et ſextu-pla ſubquintuplū: et ſic ſine termīo. Patet hec cor­relariū facile ex priori et concluſione. Si e diui-dendo ꝓportione tripla prima pars eſt due tertie et reſiduū vna tertia cū vna tertia ſit ſubduplū ad duas tertias reſiduū a prima diuidēdo ꝓportiõe tripla erit ſubduplū ad primã. Item cū diuidēdo corpus ꝓportione quadrupla prima pars ſit tres quarte et reſiduuꝫ a prima vna quarta vna: autem quarta eſt ſubtripla ad tres quartas: igitur reſi-duū a prima parte diuidendo proportõe quadru­pla eſt ſubtriplum ad primã partem. Et hoc mo-do de aliis probabis.

Correla­riū ṗmū. Corelari­riū ſcḋm

Quarta cõcluſio. Ad diuidendū cor­pus qua vis ꝓportione ſuperparticulari: capiēda eſt ꝓ ṗma parte ꝓportionali vna pars aliquota denoīata a maiori numero ṗmorū numeroꝝ talis ꝓportionis. puta diuidendo ꝓportione ſexquial- tera: capienda eſt vna tertia pro ṗma parte: et ſex­quitertia. / vna quarta et ſexquiquarta vna quinta et ſexquiquīta vna ſexta: et ſic cõſequēter. Probat̄̄ / q ad diuidēdum corpus aliqua ꝓportione: pro prima parte capiēdus eſt exceſſus quo numerꝰ ma­ior et primus talis ꝓportionis excedit numerū mi­norē eiuſdē ꝓportiõis: vt facile educitur ex prima cõcluſione adiūcta ſcḋa ſuppoſitione: ſed primus numerꝰ et maior ꝓportionis ſuperparticularis ex­cedit numeꝝ minorē ſemꝑ vna parte aliquota ſui denoīta a numero maiore: vt primꝰ numerꝰ et ma­ior ꝓportionis ſexaltere excedit minorē per vnã tertiã ſui: et primꝰ numerꝰ et maior ꝓportiõis ſex-quitertie excedit minorē. per vnã quartã ſui primꝰ vero numerꝰ et maior ꝓportiões ſexquiquarte ex­cedit minorē per vnã quintaꝫ ſui: vt ptꝫ ex genera-tione ſpecierū ꝓportionis ſuperparticularis ca-pite ſecūdo huius partis: igitur diuidendo ꝓpor­tione ſexquialtera debet capi vna tertia ꝓ prima parte: et ſexquitertia vna quarta: et ſic conſequen­ter. Patet igitur concluſio. ¶ Ex hac concluſione ſequitur /  diuiſo corpore per partes ꝓportiona­les proportiõe ſexquialtera reſiduū a prima par­te eſt duplum ad primū: et ſexquitertia triplū: et ſex­quiquarta quadruplã: et ſexquiquinta. / quintuplū et ſic in infinitū. oppoſito modo ad ſpecies ꝓpor-tionis multiplicis incipiēdo a tripla. Probatur hoc correlariū. q diuiſo corpore proportiõe ſex­quialtera prima pars eſt vna tertia. / vt ptꝫ ex pre­cedēti concluſione: ergo reſiduum a prima eſt due tertie. Modo due tertie ſunt duplum ad vnã. Iteꝫ diuiſo corpore ꝓportiõe ſexquitertia prima pars corporis ē vna quarta: igit̄̄ reſiduū a prima eſt .3. quarte ſed triū quartarū ad vnã quartam eſt pro­portio tripla: igitur. Iteꝫ diuiſo corpore ꝓportio­ne ſexquiquarta prima pars eſt vna quinta / vt ptꝫ ex prima concluſione: igit̄̄ totū reſiduū eſt .4. quin­te. Modo .4. quītarum ad vnã quintam eſt pro-portio quadrupla et ſic de qualibet alia ꝓbabis Patet iſte conſequētie ex ſecunda ſuppoſitione.

Correla­rium.

Quinta concluſio. Ad diuidendum corpus qua placuerit ꝓportiõe ſuprapartiēti ge-nerentur ſpecies huiꝰ ꝓportionis ſereatim modo poſito in ſecundo capite huiꝰ partis: et diuidatur corpus in tot partes quotus eſt nūerus inferioris ordinis: et ex illis partibus capiantur tot pro re-ſiduo a prima parte ꝓportionali quotꝰ eſt nume­rus ſuperior: et reſiduū erit prima pars ꝓportio-nalis: Exemplū / vt cõſtituatur naturalis ſeries nu­meroꝝ incipiendo a ternario: et cõſtituatur inferꝰ ſeries omnium numerorum impariuꝫ incipiēdo a quinario / vt patet in figura.

Tunc ſi vis diuidere aliquod corpus in ꝓportiõe ſuprabipartiente tertias: q2 numerus inferior in illa ſpecie eſt quinariꝰ diuidas totū corpꝰ ī quī quintas: et q2 nūerus ſuperior eſt ternariꝰ: capias ꝓ reſiduo a ṗma parte ꝓportionali tres quītas et manebūt due quīte: et ille due quīte ſunt ṗma pars ꝓportiõalis ꝓportiõe ſuprabipartiēte tertias. Et iſto modo in oībus aliis ſpecieꝰ operaberis. Et q in capite ſcḋo vbi generant̄̄ ſpecies huiꝰ ꝓpor­tionis nõ oēs generant̄̄ quãuis generent̄̄ infinite Ideo ad diuidendū corpꝰ qua volueris ꝓportiõe ſuprapartiēte vtaris doctrina ſecūde cõcluſionis Patet hec cõcluſio facile ex cõcluſiõe ſecūda. ¶ Ex hac cõcluſione ſequit̄̄ /  in diuiſiõe corporis ṗma ſpecie ꝓportiõis ſuprapartientis ſignate inferiꝰ reſiduū a prima parte ꝓportiõali eſt ſexquialteꝝ ad primã: et in ſecūda ſpecie reſiduū a prima eſt ſex­quitertiū ad primã: et in tertia ſpecie eſt ſexquiq̈r­tū ad primã: et in q̈rta reſiduū a prima erit ſexqui­quītū ad primã: et ſic in īfinitū ꝓcedēdo ꝑ ſpecies ꝓportionis ſuꝑparticularis. Probat̄̄ hoc corre-lariū / q in prima ſpecie illaꝝ ſpecieꝝ generataꝝ in figura ꝓ reſiduo a prima parte ꝓportionali ca­piūtur tres quīte: et ꝓ prima parte manēt due quī­te / vt ptꝫ ex concluſione precedēti: ſed triū quītarū ad duas quītas eſt ꝓportio ſexquialtera: igr̄. Itē in ſcḋa ſpecie ꝓ reſiduo a prima parte ꝓportõali capiunt̄̄ quatuor ſeptime: et ꝓ prima tres ſeptime ſed quatuor ſeptimaꝝ ad tres ſeptimas in ꝓpor-tio ſextertia: igr̄. In tertia / vero ſpecie ꝓ reſiduo a prima capiūtur quī none: et pro prima reſidue q̈ttuor none: ſed n nonaꝝ ad quattuor nonas eſt ꝓportio ſexquiq̈rta igit̄̄. Et ſic ꝓbabis de qua­libet alia ſpecie illiꝰ figure. Ptꝫ igit̄̄ correlarium ¶ Sed ad īueniēdã ꝓportionē reſidui a ṗma par­te proportiõali ad ipſam primam in reſiduis ſpe­ciebus conſulas ſecundam concluſionem.

Sexta concluſio. Ad diuidendū cor­pus qua volueris ꝓportione multiplici ſuꝑparti­culari: generent̄̄ in nūeris ſpecies huiꝰ ꝓportiõis modo poſito in ſecūdo capite huiꝰ partis: et diui­datur corpus in tot partes quotꝰ eſt numerꝰ infe­rioris ordinis: et ex illis partibꝰ capiant̄̄ tot ꝓ re­ſiduo a prima parte ꝓportionali quotus eſt nume­rus ſuperior: et reſiduū erit prima pars ꝓportiõa­lis. Et eodē modo fiat diuidēdo ꝓportõe multipli­ci ſuprapartiēte: vt ad diuidendū corpꝰ ꝓportiõe dupla ſexquialtera: q2 numerꝰ maior ī illa ſpecie eſt quinariꝰ: diuidat̄̄ corpus in quī quītas: et q2 numerꝰ minor eſt binariꝰ capiant̄̄ due quīte ꝓ re-ſiduo a prima parte ꝓportiõali: et tres quīte erūt ṗma pars ꝓportionalis: et tres quīte reſidui ſcḋa et iteꝝ tres quinte reſidui a prima et ſcḋa, tertia: et ſic ſine termīo. Itē ſi vis diuidere corpꝰ ꝓportione dupla ſuprabipartiēte tertias diuidas corpus in octo octauas: q2 nūerꝰ octonariꝰ eſt nūerꝰ maior illius ꝓportiõis: et capias ꝓ reſiduo a ṗma parte proportiõali tres octauas: et reſidue quī octaue erūt prima pars ꝓportiõalis: et quī octaue reſi dui erūt ſcḋa pars proportiõalis: et ſic cõſequēter Ptꝫ hec cõcluſio ex ſcḋa cõcluſiõe ¶ Ex quo ſequit̄̄ /  in oībus ſpeciebꝰ ꝓportiõis multiplicis ſuꝑpar­ticularis aut multiplicis ſuprapartiētis: et etiã in oībus aliis reſiduū a prima parte ꝓportionali hꝫ ſe ad primã partē ꝓportiõalē in ea proportõe qua ſe habēt nūeri ſuperiores in figuris ſuaꝝ genera-tionū ad nūeros ꝑ quos īferiores excedūt ſuperio­res: vt in proportiõe dupla ſexquialtera q2 nūerꝰ ſuperior eſt binariꝰ et nūerus īferior quinarius: et quinariꝰ excedit binariū ꝑ ternariū. reſiduū a pri­ma parte ꝓportionali in tali proportiõe ſe habet ad primã partē proportionalē ſicut duo ad tria et q2 in proportiõe dupla ſuprabipartiente tertias nūerus ſuperior eſt ternariꝰ: et inferior octonariꝰ et octonariꝰ excedit ternariū ꝑ quīariū. ideo in ta­lis proportionis diuiſione reſiduū a prima parte proportiõali ſe hꝫ ad primã ſicut nariꝰ ad terna­riū. Probat̄̄ hoc correlariū ex ſecūda cõcluſione: q iuxta illam cõcluſionē reſiduū a prima parte ꝓportionali quauis ꝓportione rationali debet ſe habere vt numerꝰ minor talis ꝓportionis: et ꝑ cõ­ſequēs manebit ꝓ prima parte ꝓportiõali nume­rus ille quo numerꝰ maior talis ꝓportionis exce-dit minorē. Patet hec cõſequētia / q2 ſemꝑ corpus debet diuidi in tot partes quotus eſt numerꝰ ma-ior et primus ꝓportiõis qua debet fieri diuiſio: vt patet ex ſecūda cõcluſione: et pro reſiduo a prima debent capi tot partes ex illis quotus eſt numerꝰ minor vt dictum eſt. igitur relique partes remanē­tes erunt prima pars. Patet cõſequētia ex prima ſuppoſitione: et ille partes remanentes ſunt nume­rus quo numerus maior excedit minorē, vt patet: igitur prima pars ꝓportionalis eſt numerus quo maior numerꝰ et primꝰ proportionis qua ſit diui­ſio excedit minorē. Habet ſe / igitur totū reſiduū a prima parte proportionali ad primã partē pro-portionalē in ea proportione qua numerꝰ minor et primus talis proportionis ſe habet ad numerū quo maior et primus eiuſdem proportiõis excedit minorem. quod fuit probandum ¶ Ad habendam autē praxim huius correlarii in cõpoſitis propor­tionibus conſtituētur alique figure: quibus facile iudicabitur in qua proportiõe ſe habet reſiduū a prima parte ꝓportionali ad primã partē ꝓpor-tionalē. Ad quod facile inſpiciendū in ꝓportioni­bus duplis ſuperparticularibus conſtituatur na­turalis ſeries numeroꝝ incipiēdo a binario in īfe­riori linea: et in ſuperiori linea conſtituatur natu­ralis ordo numerorū incipiendo a ternario: tunc referendo primum inferioris ordinis. primo ſu-periois: habebis in qua ꝓportione ſe habet reſi-duū a prima parte proportiõali ad primã diuidē­do corpus prima ſpecie ꝓportionis duple ſuper-particularis: et referendo ſecundū inferioris ordi­nis ſecundo ſuperioris habebis illud idem in ſe-cunda ſpecie ꝓportionis duple ſuperparticula­ris. et ſic conſequenter vt patet in figura.

Correla-rium.

Sed ad praxim huiꝰ negocii in ſpeciebus ꝓporti­onis triple ſuꝑparticularis cõſtituatur in inferio­ri ſerie naturalis ordo numerorū incipiendo a bi­nario: et in ſuperiori conſtituãtur oēs numeri īpa­res incipiendo a quinario: et tunc referēdo primū inferioris ordinis primo ſuperioris: et ſecundū in­ferioris ſecūdo ſuperioris: et tertiū inferioris ter-tio ſuperioris: et ſic conſequenter. cõſpicies in qua ꝓportione ſe habet reſiduum a prima parte pro­portionali ad primã diuiſione corporis facto pro­portione tripla ſuperparticulari: vt ptꝫ in figura

Ad praticandū autē ita in ſpeciebus quadruple ſuꝑparticularis quintuple ſuꝑparticularis .etc̈. / cõ­ſtituatur naturalis ſeries numerorū incipiendo a binario in linea inferiori: et in ſuperiori oēs nume­ros excedentes ſe continuo ternario incipiendo a ſeptenario: et ſic habebis quod queris in ſpeciebꝰ ꝓportionis quadruple ſuꝑparticularis Ad quod inueniēdū in ſpeciebus ꝓportionis quītuple ſuꝑ­particularis cõſtituas in ſuperiori ordine oēs nu­meros excedentes ſe quaternario incipiendo a nu­mero nouenario: et in ſpecie ſequeuti coſtituas in ſuperiori ordine oēs numeros excedentes ſe qui­ nario incipiendo a numero vndenario: et ſic conſe­quenter in aliis ſpeciebus operaberis Patet hoc in figuris ſequentibus.

¶ Sed ad exercitiū huiꝰ vltimi correlarii in ſpecie­bus multipliciū ſuprapartientiū quedã etiaꝫ con-ſtituentur figuere. Unde ac facile īueniendã ꝓpor­tionē reſidui a prima parte ꝓportionali ad ipſaꝫ primã in ſpeciebus ꝓportionis duple ſupraparti­entis cõſtituatur naturalis ſeries incipiēdo a ter­nario inferiori linea: in ſuperiori vero cõſtituan-tur oēs numeri īpares incipiēdo a quinario: et tūc referēdo primū inferioris ordinis primo ſuperio­ris: et ſcḋm ſcḋo: et tertiū tertio id quod queris fa-cile reperies / vt patet in figura ſequenti.

¶ Ad īueniendã autē proportionē reſidui a prima parte ꝓportionali ad ipſam primã diuiſione cor­poris facta ꝓportione tripla ſuprapartiente con­ſtituatur ſupra naturalē ſeriē numeroꝝ incipiēdo a ternario vna ſeries omnium numerorum conti-nuo excedentium ſe ternario incipiendo ab octo-nario numero: vt patet in figura.

¶ Ad īueniendū autē ꝓpoſitū in ſpeciebus ꝓpor-tionis quadruple ſuprapartiētis ſupra naturalē ſeriē numeroꝝ incipiendo a ternario conſtituatur ſeries numeroꝝ ↄ̨tinuo excedentiū ſe quaternario incipiendo ab vndeuario: et ſic cõſequenter ſupra eandē naturalē ſeriē numeroꝝ incipiendo a terna­rio cõſtituatur ſeries numeroꝝ cõtinuo exedentiū ſe numero quinario īcipiēdo a numero quarto de­cimo: et ſic cõſequenter operaberis in aliis. Et hec de diuiſione corpoꝝ ꝓportione rationali.

Capitulū ſextū / ī quo datur modus di­uidendi corpus in partes proportiona-les proportione irrationali.

QUemadmodū quodlibet cor-pus diuidi poteſt ꝓportione rationali infinitiſ ſpeciebus eius / vt caput prece­dens oſtendit: ita etiã ꝓportione irrationali infi-nitiſ ſpeciebus eiꝰ quodlibet corpꝰ diuidi poteſt Pro cuius diuiſionis noticia ſit

Prima concluſio Quodlibet corpus diuiſū aliqua ꝓportione irrationali ſe debet ha­bere ad aggregatū ex oībus partibus ꝓportiona­bilibus tali ꝓportione ſequētibus primam in ea proportione qua totum diuidatur. Hec concluſio claram et euidentem ex prima precedentis capitis demonſtrationem ſortitur.

Secunda cõcluſio. Ad diuidendum corpus infinitis ꝓportionibꝰ irrationabilibꝰ mi­noribus dupla: vt puta ꝓportione diametri ad co­ſtam: aggregati ex medietate exceſſus quo diame­ter excedit coſtã et ipſa coſta ipſammet coſtam: et ſic cõſequenter / vt capite quarto oſtenſum eſt: de­bet ꝓ prima parte capi exceſſus quo maior quan-titas excedit minorem ita  reſiduum a prima ſit minor quantitas et totum corpus ſit maior quan-titas talis proportionis. Probatur hec cõcluſio ex precedenti / quoniam totū corpus diuiſum pro-portiõe aliqua irrationali ſe debet habere ad ag­gregatum ex omnibus ſequentibus primam tali diuiſione: in ea proportione qua ipſum corpus di­uiditur: igitur oportet /  totum corpus ſe habeat vt maior quantitas talis proportionis: et aggre-gatum ex omnibus ſequentibus primam vt minor quantitas: et per conſequens exceſſus / quo totum corpus excedit aggregatum ex omnibus ſequen-tibus primã erit prima pars proportionalis tali proportione. Patet conſequentia / quia reſiduum eſt aggregatū ex omnibus aliis a prima: ille igit̄̄ exceſſus erit prima / quod fuit probandū. ¶ Ex hac concluſione ſequitur primo /  ad diuidendum cor­pus proportione irrationali diametri ad coſtam oportet / pro prima parte proportionali capere ex­ceſſum quo diameter excedit coſtam: et pro ſecūda capere etiam exceſſum / quo illa coſta cum eſt dia-meter quadrati excedit coſtam illius quadrati / et ſic conſequenter: et addandam primã partem pro­portionale proportionis irrationalis / que eſt ag-gregati ex coſta et medietate exceſſus diametri ad ipſam coſtam capiatur pro prima parte propor-tionali illa medietas exceſſus: et pro ſecūda parte proportiõali capiatur tanta pars reſidui ad quã prima habeat illam proportionem / que eſt totius corporis ad aggregatum ex omnibus ſequen-tibus primam: et iterum in reſiduo a prima parte et ſecunda, pro tertia parte capiatur tanta pars ad quam ſecunda habeat illam proportionē quã prima habet ad ipſam: et ſic cõſequenter. Et ſimili modo operandum eſſet / ſi diuideretur corpus pro­portione irrationali / que eſt aggregati ex coſta et q̈rta parte, vel octaua, vel decimaſexta exceſſus /  diameter excedit coſtã ad ipſã coſtã. Ptꝫ correla-riū ex cõcluſione addita ſuppoſitiõe ſecunda pre­cedētis capitis: ille enim partes infinite continue ſe habent in proportione diuiſionis et totum ab-ſoluūt. ¶ Sequitur ſecundo /  diuiſo corpore per partes proportionales proportione irrationali / que eſt diametri ad coſtam: omnes partes impa-res continuo ſe habent in proportione dupla: et omnes pares ſimiliter: et oēs due inter quas me-diant due ſe habent continuo in proportione ſex-quialtera ad duplam: et omnes inter quas mediãt tres ſe habent in proportione quadrupla: et ſic cõ­ſequenter. Probatur / quia proportio que eſt pri-me partis proportionalis ad tertiam componi-tur ex duabus proportionibus equalibus quarū vtra eſt medietas duple: ergo ſequitur /  illa eſt dupla. Patet conſequentia: et probatur antece-dens: quia componitur illa proportio ex propor-tione prime partis ad ſecundam que eſt medietas duple: et ex proportione ſecunde ad tertiã que etiã eſt medietas duple: quoniam proportio diametri ad coſtã eſt medietas duple: vt patet ex tertia ſup­poſitione tertii capitꝪ. Et ſic probabis de quibuſ-cun duabus partibus paribus īmediatis: et etiã īparibus. Sed iam probo partes inter quas me-diant due ſe habere in proportione ſexquialtera ad duplam quia proportio inter tales partes cõ- ponitur ex proportione prime ad ſecundam: et ſe-cunde ad tertiam: et tertie ad quartam: ſed pro-portio prime ad tertiam eſt dupla: vt patet ex pro­batione precedentis partis: et proportio tertie ad quartam eſt proportio que eſt medietas duple: vt conſtat: ergo proportio prime ad quartam con-tinet duplam et medietateꝫ duple adequate: et per conſequēs talis proportio que eſt prime ad quar-tam eſt ſexquialtera ad duplam. Patet hec conſe­quentia ex diffinitione ſexquialtere. Et ſic proba-bis de aliis huiuſcemodi partibus. Sed iam ꝓbo tertiam parteꝫ / quia proportio partiū inter quas manent tres cuiuſmodi eſt proportio prime par-tis ad quintaꝫ cõponitur ex duabus duplis: puta ex proportione que eſt prime ad tertiaꝫ et tertie ad quintam que ſunt duple: vt patet ex prima parte huius correlarii: et per conſequens talis propor-tio prime ad quintam eſt dupla ad duplam cū con­tineat ipſam duplam bis: et per conſequens qua-drupla. Patet conſequētia ex diffinitione duple et ſecunda parte. Et hoc modo probabis de omni­bus ſimilibus. Patet hoc correlarium ſenſui in fi­gura ſequēti / in qua prima pars eſt diameter qua­drati maioris ibidem poſiti: et ſecunda eſt coſta eiuſdem quadrati: et tertia eſt coſta quadrati ſe-quentis: et tertia eſt coſta tertii quadrati: et diame­ter quarti: et quarta eſt coſta quarti quadrati: et diametri quinti: et quinta eſt coſta ipſius quinti quadrati: et ſic in infinitum poteris procedere ibi n. conſpicies /  prime ad tertiã eſt proportio du-pla et ſecunde ad quartam etiam dupla: et prime ad quintam eſt quadrupla.

Primuꝫ correlari­um. Secūduꝫ correlar̄.
Tertium correlar̄.

¶ Ex quo ſequitur tertio /  in tali diuiſiõe aggre-gatuꝫ ex oībus īparibus a prima īpari eſt equale ṗme: et aggregatū ex oībus paribꝰ a ſecunda q̄ eſt prima par eſt equale ſecunde: et aggregatum ex oībus imparibus ſe habet ad aggregatum ex om­nibus paribus in proportione que eſt medietas duple. Probatur prima pars huius correlarii / quia partes impares continuo ſe habent in pro-portione dupla / vt patet ex proximo correlario: igitur reſiduum ex omnibus īparibus ſequētibus primã imparem eſt equale prime impari. Patet conſequentia ex ſecundo correlario tertie conclu-ſionis quinti capitis. Et eodem modo probabis ſecundam partem. Sed iam probatur tertia / quo-niam medietas aggregati ex omnibus impari-bus ſe habet ad medietatem aggregati ex omni-bus paribus in proportione que eſt medietas du-ple: ergo totum aggregatum imparium ſe habet ad totum aggregatuꝫ parium in proportione du-pla. Patet conſequentia / per hanc regulam in quacun proportione ſe habent partes aliquote aliquarum quantitatum eiuſdem denominatio-nis in eadem ſe habent et ille quantitates totales / et per conſequens in proportione qua ſe habent due medietates aliquoꝝ in eadē ſe hñt tota illarū medietatū. Sed ꝓbat̄̄ añs / q2 prima pars ꝓporti-onalis īpar ſe habet ad ṗmã parē: que eſt ſecūda. in proportione que eſt medietas duple vt conſtat: quia illa eſt proportio diuiſionis: et prima pars proportionalis impar eſt medietas totius aggre­gati ex omnibus imparibus: et prima par que eſt ſecunda eſt medietas aggregati ex omnibus pa-ribus: vt patet ex duabus primis partibus corre-larii: ergo medietas omnium imparium ſe habet ad medietatem omnium parium in proportione que eſt medietas duple: quod fuit probandum.

Quartū correlar̄.

¶ Sequitur quarto /  diuiſo corpore per partes proportionales proportione irrationali que eſt medietas triple: omnes partes impares talis di-uiſionis ſe habent in proportione tripla: et etiam omēs pares: et omnes inter quas mediant tres in proportione nouocupla: et aggregatum ex omni-bus imparibus ſe habet ad aggregatum ex omni­bus paribus in proportione que eſt medietas tri-ple. Hoc correlarium cum precedenti ſimilem de-monſtrationem admittit.

Tertia concluſio: Ad diuidendū cor­pus in partes proportionales infinitis ſpeciebus proportionis irrationalis maioris dupla: vt pu-ta proportione que eſt totius diametri ad exceſſū quo ipſa diameter excedit coſtam et totius diame­tri cum medietate exceſſus quo excedit coſtam vel ad quarta in vel ad quintã vel ad ſextã vt ſuperiꝰ dictum eſt: pro prima parte proportionali capi-endus eſt exceſſus quo quãtitas maior excedit mi­norem in tali proportione: et quãtitas miuor pro reſiduo vt ſi velis partiri corpꝰ in partes propor­tionales proportione que eſt totius diametri ad exceſſum quo diameter excedit coſtam: capienda eſt coſta quadrati cuius illud corpus diuidendum eſt diameter pro prima parte proportionali: et ſic pro reſiduis maneat exceſſus que eſt quãtitas mi-nor talis proportionis: et pro ſecunda capien-da eſt coſta quadrati cuius totum aggregatum ex omnibus ſequentibus primam eſt diameter: et ad­dandam tertiam capiatur coſta quadrati cuius eſt diameter aggregatum ex omnibus ſequenti-bus primam et ſecundam. Et ad diuidendum ali-quod corpus proportione que eſt totius diametri ad medietatē exceſſus quo excedit coſtaꝫ, pro pri-ma parte ꝓportionali capiendus eſt exceſſus quo maior quantitas excedit minorem tali proporti-one. Conſtituendum .n. eſt totum corpus diameter alicuius quadrati / et tunc pro prima parte propor­tionali capienda eſt tanta pars illius corporis  pro omnibus ſequentibus non maneat niſi medie­tas exceſſus quo tale corpus exiſtens diameter ex­cedit coſtam eiuſdem quadrati: et addandam ſe-cundam partem proportionalem conſtituatur to­tum / quod ſequitur primã diameter alicuius qua-drati: et pro ſecūda parte capiatur tantum /  pro ſequentibus non maneat niſi medietas exceſſus quo talis diameter excedit ſuam coſtam / et ſic con­ſequenter. Patet hec concluſio eo modo quo ſe-cūda huius capitis. Hic poteris multa correlaria inferre ſed iam ad ea inferenda ex predictis faci-lem haberes aditum. Et hec de proportione irra-tionali: et de diuiſione corporum eadem irratio-nali proportione: de qua non eſt facile cum rotio-ne loqui.

Capitulum ſeptimum / in quo agi­tur de proportione ordinum par- tium proportionalium interſcala-riter ſe habentium.

OCcurrit nonnūquam in mate-teria de motu locali quo ad effectū et mo-tu augmentationis comparatio alicuius ordinis aliquarum partium proportionalium in­terſcalariter ſe habentiū ad alium ordinem par-tium proportionalium: vt cum volumus compara­re totum ordinem partium imparium toti ordini partium parium: vt iam ex parte tangebatur in precedēti capite: ideo non abs re pro noticia huiꝰ pono aliquas concluſiones.

Prima cõcluſio. Diuiſo corpore per partes proportionales quauis proportione: et ca­ptis certis ordinibus partium proportionalium interſcalariter ſe habentium: totum corpus ab-ſoluentibus: tunc illi ordines ſe habent continuo in proportione diuiſionis: vt ſi corpus diuidatur proportione dupla: et capiantur oēs partes inter quas mediant due pro primo ordine puta prima quarta, ſeptima, decima, tridecima .etc̈ / et deinde pro ſecundo ordine ſecunda, quinta, octaua, vn-decima, decima quarta, et ſic cõſequenter. et demū pro tertio ordine capiantur tertia, ſexta, nona, duodecima, quindecima, et ſic deinceps. Dico /  primus ordo ſe habet ad ſecundū in ꝓportiõe du-pla: et etiam ſecundus ad tertium in proportione dupla. Et eſto /  centum ordines caperes illi etiaꝫ in proportione dupla continuo ſe haberent. Pa-tet hoc / quoniam cuiuſlibet illorum ordinum con-tinuo partes correſpõdentes ſe habent in eadem proportione: igitur in quacū proportione ſe ha­bent continuo prime partes illorum ordinum in eadem proportione continuo ſe habent ille ordi-nes: ſed prime partes ſe habent in proportione di­uiſionis / vt conſtat: igitur et illi ordines. Proba-tur tamen cõſequētia per hanc regulam. Quado-cū aliqua diuiduntur equali ꝓportione in qua-cū proportione ſe habent prime partes propor­tionales in eadem proportione ſe habent et ipſa tota: quoniam ſunt partes aliquote eiuſdē deno-minationis. Modo in quacū proportione ſe ha­bent partes aliquote eiuſdem denominationis in eadem ſe habent et ipſa tota quorum ſunt partes aliquote / vt poſtea demonſtrabitur igitur.

Secunda concluſio per modum do-cumenti poſita. Ad ſciendū quota pars vel quote partes aliquote eſt quilibet illorum ordinum vi-dendum eſt quot ſint ordines: et tunc cõſtituantur in numeris tot proportiões diuiſionis quot ſunt illi ordinis dempta vna: et coadunētur omnes ter­mini illarum proportionum: et diuidatur totū in tot partes aliquotas quotꝰ eſt numerus reſultãs et dentur primo ordini tot ex illis partibas qnotꝰ eſt maximus numerus in illis proportionibus: et ſecundo ordini tot quotus eſt ſecundus numerus: et ſic conſequenter. Et ſic videbis quot partes ali-quotas et cuiꝰ denominationis continet primꝰ or­do: et ſecundus, et tertius, et ſic conſequenter. Exē-plum / vt ſi pedale fuerit diuiſum in partes propor­tionales proportione dupla conſtituantur tres ordines / vt paulo ãte exēplo expreſſimꝰ / q2 ibi tres ſunt ordines conſtituti: et proportio diuiſionis eſt dupla: conſtituas in numeris duas proportiones duplas: puta quattuor ad duo: et duo ad vnum: tunc coacerua illos numeros puta quaternarium binarum et vnitatem et inuenies .7. Diuidas igi-tur corpus in ſeptem ſeptimas: et pro primo ordi­ne capias quattuor ſeptimas: et pro ſecundo du-as ſeptimas: et pro vltimo vnam ſeptimam: et ſic comperies quot partes aliquotas continet quili-bet illorum ordinū. Et iſto modo in qualibet pro­portione operaberis facile autem hoc demonſtra­tur ex prima concluſione quoniam ſicut illi tres ordines cõtinuo ſe habent in proportione dupla et ſunt partes illius corporis: ita oprtet capere ꝑ­tes continuo ſe habentes in proportiõe dupla to­tum corpus abſoluētes eo  oꝑati ſumꝰ artificio

Tertia concluſio. Alicuius cõtinui partes aliquota proportionem aliquam rationa­lem acquirente: proportionē acquiſitam toti inue­nire. vt diuiſio corpore in quin partes aliquo-tas putas in .5. quintas vna illarum quintarum acquirente proportionem duplam: inuenire quan­tam proportionem totum illud corpus proportio­nē acquirat. In illo e caſu illud corpus propor-tionem ſexquiquintam acquirit: cum acquirat ſu­pra ſe vnã quintam: hoc eſt tantuꝫ quanta eſt vna eius quinta. Probaemtur hec concluſio / et diuidatur / a pedale in aliquot partes aliquotas gratia exē-pli in .7. / et acquirat vna illarum aliquam propor­tionem rationalem: tunc vel illa proportio acqui­ſita alicui illarum partium eſt multiplex vel non multiplex: ſi multiplex tunc aliquotiens vel ſemel acquirit ſupra ſe tantum quanta ipſa pars eſt. et tot partes equales ſibi quot acquirit ſupra ſe tot acrit ſupra oēs illas .7. partes aliquotas ī quas corpus erat diuiſum: et quelibet talis pars acqui­ſita illi parti eſt equalis cuilibet illarum partium aliquotarū in quas corpus eſt diuiſum: igitur ille partes acquiſite vel pars acquiſita eſt vel ſūt eiuſ­dem denominationis cū parte cui acquiruntur vĺ acquiritur: et ita ſi ille partes ī quas corpus diui­debatur ſunt ſeptime: et ille partes acquiſite ſunt due vel tres vel quattuor / et ſic cõſequenter: totum illud corpus acquiſiuit duas vel tres vel quatuor ſeptimas vel ſi eſt vna totum illud corpus acqui-ſiuit vnam ſeptimam: quo ad inuento: iam patet quãtam proportionē illud corpus acquiſiuit. Si e acquiſiuit tres tales partes et ille ſūt ſeptime iam acquiſiuit totum proportionem ſupratripar­tientem ſeptimas / et ſic habetur propoſitum vbi pars aliquota proportionem multiplicē acquirit Si autem acquirit rationalem nõ multiplicē ma-nifeſtum eſt /  illa denominatur ab aliqua parte aliquota vel ab aliquibꝰ partibꝰ aliquotis ade-quate vel inadequate (non eſt modo cura) ſicut du­pla ſexquitertia denominatur a numero binario cum tertia: et ſuprabipartiens tertias ab vnitate cum duabus tertiis. Dato igitur /  aliquam talē proportionem rationalem non multiplicē aliqua talium partium aliquotarum acquiſiuerit: ad in-uendiendum quam proportionem acquirit totum diuidatur quelibet pars aliquota in partes ali-quotas a quibus denominatur talis proportio / et tunc coaceruentur omnes ille partes aliquote: et numerus reſultans indicabit quota pars aliquo­ta totius eſt aliqua īmo quelibet illarum. deinde illis omnibus addantur ille partes aliquote ac-quiſite equales eis. et ſic inuenies quot partes ali­ quotas acquiſiuit totum: et per conſequens qua-lem proportionem vt ſi in exemplo poſito vna il-larum ſeptimarum acquirat proportionē ſupra­bipartientem tertias: et quoniam illa proportio denominatur ab vno cum duabus tertiis diuida­tur quelibet ſeptima in tres tertias: et multipliciē­tur .7. per tria / et reſultabunt .12. et iam ille nume-rus indicat tibi quamlibet illarum partium eſſe vnam viceſimam primam: et partes acquiſite ſunt equales illis quia ſunt tertie vnius ſeptime: et ſūt due. ergo acquiſiuit duas viceſimas primas et ſic ꝓportionē ſuprabipartiētē viceſimas ṗmas totū acſiuit. Si autē vna illarum ſeptimarū acquirat duplam ſexquitertiam: diuidas quamlibet ſepti­mam etiam in tertias: et multiplica ſeptē per tria et reperies / vt dictum eſt viginti vnum / et quia vna ſeptima acquiſiuit tantum quanta ipſa eſt puta vnam ſeptimam totius cuꝫ vna tertia illius ſepti­me: diuidas etiam illam ſeptimam acquiſitam in tres partes: et ille tres partes erunt tres viceſime prime totius / vt conſtat: et totum acquiſiuit illas tres et cum hoc vnam. Acquiſiuit igitur quattuor viceſimas primas: et per conſequens proportionē ſupraquadripartiētem viceſimas primas. Et iſto modo in omni alia ſpecie proportionis operabe­ris. Et ex hoc poteris inuenire proportionem quã acquirit totum duabus partibus eius aliquotis nequalibus: ſiue duabus non facientibus vnam: ſiue pluribus acquirentibus equalem proportio­nem vel etiam inequalem. Et conſimiliter cogno­ſces quam proportionem deperdit totum aliqua parte eius vel aliquibus partibus aliquotis oli-quam vel aliquas proportiēes deperdente vel de­perdentibus.

Capitulum octauum / in quo agi-tur de inuentione proportionis mi-noris inequalitatis et etiam maio-ris reſpectu cuiuſcū numeri ex re-bus diuiſibilibus compoſiti.

PLerum contingit tam in materia nitenionis difformis quã ꝓ­portiõis motuum querere proportio­nem ſubſequialteram vel ſubduplam vel aliquã-aliam minoris inequalitatis vel etiam maioris inequalitatis reſpectu numeri non habentis illaꝫ ſine fratione id eſt diuiſione vnitatis vel vnitatū talis numeri. vt ſi ponat̄̄ /  aliquod mobile per-tranſeat tripedale ſpacium in hora / tunc mouēs ſubdupla velocitate tranſit ſubduplum ſpacium ad tripedale in eodem tēpore. Modo non eſt poſ-ſibile dare ſubduplum ad tripedale ſine fractiõe vnitatis: quoniam bipedale cum dimidio eſt ſub-duplum tripedalis. Item contingit non nunquaꝫ querere ſexquialterum reſpectu numeri quinarii: et illud non poteſt dari ſine fractione vnitatis .7. enim cum dimidio ad .5. eſt proportio ſexquialte-ra. Quare pro inuentione talis proportionis ma­ioris aut minoris inequalitatis cum fractione.

Suppono primo /  duplex eſt nume­rus vt ad propoſitum ſufficit quidaꝫ eſt compoſi-tus ex vnitatibꝰ diuiſibilibꝰ .i. cuius quelibet vni­tas eſt res diuiſibilis: vt numerus trium pedaliū quattuor qualitatū .etc̈. alius vero numerus eſt cõ­ poſitus ex vnitatibus indiuiſibilibus vt numerus 5. punctorū .5. intelligentiarum et .10. animarū ra­tionalium. Hec ſuppoſitio ex ſe patet.

Secunda ſuppoſitio. Nõ oīs nume­rus habet ſubduplū. nec oīs habet ſubtriplum: et ſic conſequenter. Probatur / quoniã aliquis nume­rus puta rerum indiuiſibiliū cuiuſmodi: eſt nūerꝰ ternarius angelorū nõ poteſt diuidi in duo equa-lia: igitur nõ habet ſubduplū: nec in quatuor par­tes equales: et ſic non habet ſubquadruplum: et ſic probatur de aliis / igitur ſuppoſitio vera.

Tertia ſuppoſitio Oīs numerus re­rum diuiſibiliū habet ſubduplū ſubtriplū: et vni-uerſaliter oēm proportioneꝫ minoris inequalita-tis: et etiaꝫ maioris aut habere poteſt. Probatio huius ſuppoſitionis: quia talis numerus poteſt diuidi in duo equalia cū ſit numerus rerū diuiſi-bilium et tria equalia et in .4. et in 5. / et ſic in infini-tum Quare dabitur quilibet numerus habēs pro­portionē minoris inequalitatis ad ipſum: et etiaꝫ maioris. Nam ad ſui medietatē habebit propor­tionem duplã: ad tertiam triplã: ad duas tertias ſexquialteram: et ſic in infinitum.

Quarta ſuppoſitio Ad diuidendum numerū aliquem per alterum ſiue maiorē, ſiue mi­norem, ſiue equalem, ſiue oporteat vti fractione, ſiue nõ: diuidenda eſt quelibet vnitas numeri diui­dendi in tot partes aliquotas quotus eſt numerꝰ per quem fit diuiſio: et dande ſunt tot partes illa­rum cuilibet vnitati numeri ꝑ quē fit diuiſio quo-tus eſt numerus diuidendus: et ſic quelibet vnitas habebit equaliter. Exemplū / vt ſi velis diuidere nu­merū quinariū per numeꝝ ternariū: vt puta quī gradus in tres partes equales: vel quin denari­os per tres homines: diuidas quãlibet vnitatem numeri quinarii ī tres partes aliquotas: puta in tres tertias quia numerus per quem fit diuiſio eſt ternarius: deinde da quin tertias culibet vnita­ti ternarii: quia numerus diuidēdus eſt quinariꝰ Item ſi velis diuidere tria per quin: q2 numerus per quē fit diuiſio eſt quinarius: diuidas quãlibet vnitatē numeri ternarii diuidēdi in quī partes equales. puta in quī quītas et q2 numerus diui-dendus eſt ternarius: da cuilibet tres quintas: et quilibet illorū quī habebit equaliter. Probat̄̄ hec ſuppoſitio / q ſic diuendo cuilibet equaliter datur / vt patet ex ſe et nichil manet: ergo illa diui­ſio eſt cõpleta: et modus diuidendi ſufficiens: et per cõſequens ſuppoſitio vera. Probatur minor / q quando tria diuiditur per quin gratia exempli oportet iuxta tenorē ſuppoſitionis diuidere quã­libet vnitatē numeri ternarii in quī partes equa­les. et ſic erunt partes ille, ter, quin: et per conſe­quēs quīquies tres partes adequate / vt patꝫ: erūt igitur ibi quī ternarii illarū partiū adequate et datur cuilibet vnitati quinarii numeri vnꝰ terna­rius: igitur nullus ternarius manet / q illi terna­rii et vnitates numeri quinarii ſunt numero equa­les: igitur tunc nichil manet diuidendū. Et ſic pro­babis de quibuſcū aliis numeris quorum vnus per alterum diuiditur: ſequitur igitur ſuppoſitio

His ſuppoſitis pono talem regulam Ad diuidendum numerum ſe habentem in qua vo­ lueris proportione minoris inequalitatis ad quē­cū numerum volueris capias in numeris duos numeros ſe habentes in tali proportione: et diui-das numerum reſpectu cuiꝰ queris numerū ſe ha-bentem in proportione minoris inequalitatis in tot partes equales quotus eſt numerus maior ta­lis proportionis: et ex his capias tot illarū par­tium quotus eſt numerus minor dicte proportio-nis. Et ſic inuenies propoſitum. Hoc facili mõſtra­tur exemplo: vt ſi vis inuenire numerū ſe habentē in proportione ſubſexquitertia reſpectu numeri quinarii in rebus diuiſibilibus (quoniã in indiui­ſibilibus nõ eſt poſſibile / vt patet ex primis duabꝰ ſuppoſitionibus) capias in nūeris .4. et .3. qui ſūt numeri ſe habentes in proporſitione ſexquitertia et numerus maior eſt quaternariꝰ: diuidas nume-rum quinariū reſpectu cuius queris ſubſexquiter­tium numerum in quattuor partes equales: et hãc diuiſionem facies per quarte ſuppoſionis docu­mentū: et q2 nūerus mīor eſt ternariꝰ capias tres quartas quinarii: et illarum trium quartarū ad illum numerum quinarium qui componitur ade-quate ex quattuor talibꝰ eſt proportio ſubſexqui­tertia. Et iſto modo in omībus aliis operaberis Patet hec regula quoniã / tunc talis numerus ſe habebit ad illas ſuas partes aliquotas ſicut ſe habent nūeri proportionis queſite / vt conſtat: igit̄̄ illo modo oportet operari ad inueniēdū id quod docet regula: et per cõſequens regula vera.

Secunda regula. Ad inueniendum numerū ſe habentem in proportione maioris ine­qualitatis ad quem volueris numerū: et in quacū­ libuerit proportione: capias in numeris duos numeros ſe habentes in tali proportione: et diui­das numerū reſpectu cuius queris numerū ſe ha-bentē in illa proportione maioris inequalitatis in tot partes equales quotus eſt numerus minor talis proportionis: et tunc illi numero minori ſic diuiſio addas tot equales partes partibus diui­ſionis quot ſunt per quas numerus maior talis proportionis excedit minorē. et tunc numerus re-ſultans ex nnmero minori et illa additione eſt nu­merus ſe habens ad numerū ſic diuiſuꝫ in prppor­tione data maioris inequalitatis. Hoc facile de-clarabit exemplū Si e velis īuenire numeꝝ ſex­quialterū ad numerū quinariū in rebus diuiſibi-libus (in īdiuiſibilibus e id nequit fieri / vt dictū eſt) capias in numeris duos numeros ſe habētes in proportione ſexquialtera: vt puta .2. et .3: et q2 numerus minor eſt binarius diuidas numeꝝ qui­narium reſpectu cuius queris numerum ſexquial­terum in duas partes equales quod fiet ſecūdum documentum quarte ſuppoſitionis. Oportt e tunc diuidere .5. per .2. et quia ternarius numerus maior talis proportionis excedit numerum bina­rium minorem numerum talis proportionis per vnam vnitatem adequate: addas ſupra numeruꝫ quinariū vnam de illis partibus duabus in quas iam diuiſus eſt quinarius puta medietateꝫ ipſius quinarii: tūc aggregatum ex quinario et illa par­te ſe habet ad quinarium in proportione data pu­ta ſexquialtera. Patet hec regula ſicut ſuperior Applica probationem. Et hec breuiter de prima parte huius operis introductionis gratia dicta ſufficiant.

¶ Sequitur ſecunda pars de pro-portionalitatibus et de quibuſdam proportionum et proportionalita­tum proprietatibus et accidentiis.

Capitulum primum in quo a: gitur de diffinitione et diuiſione proportionalitatum. Nicho-machus.

pRoportionalitas iux­ta nichomachi ſententiam plurimum ad aſtrologiam muſicam, veterum lectio-nes intelligendas confert. Sed profecto ad phiſicam phiſicaſ calculatões nõ mi­nꝰ cõducit Ad cuiꝰ ītelligēti­am aduertēdū eſt differētiã eſſe inter ꝓportionē et ꝓportionalitatē. ¶ Proportio e / vt dictum eſt habitudo eſt duarū quantitatū ad inuicē cõpara-tarū. De qua ſuperius dictū eſt. ¶ Sed ꝓportiõa­litas eſt duarū ꝓportionū vel pluriū vnius ad al­teram certa habitudo. Ita vt ꝓportio: habitudo ſit numerorū ſiue quantitatū: ꝓportionalitas ve­ro proportionū collatio exiſtat. Sicut e numeri ad inuicē cõparãtur in maioritate et in minoritate ita ꝓportiones ad inuiceꝫ in maioritate et minori­tate referūtur. ¶ Naſcitur hinc oēm ꝓportionali­tatem ꝓportionē eſſe: quãuis nõ omīs ꝓportio ꝓ-portionalitas exiſtat. Patet hoc correlariū ex ſe Nam ꝓportio, aut genus, aut loco generis ſe ha-bet cū huic termino ꝓportionalitas comparatur Et aduerte /  in ꝓpoſito idem eſt medietas equa-litas et ꝓportionalitas: et eodē modo diffiniūtur. Medietas e eſt duarum vel pluriū ꝓportionum vnius ad alterã certa habitudo: vt habitudo que eſt inter ꝓportionē duplã et quadrupã. ¶ Poſita diffintione ꝓportionalitatis ponēda eſt diuiſio. Apud recentiores mathematicos vndecim ſunt ꝓportionalitates ſiue medietates: quarū vltima perfectiſſima eſt: q in ea oēs conſonãtie muſica­les ſimplices reperiūtur. Sed apud ãtiquos tres ꝓportionalitates famate reperiūtur: videlicet a-rithmetica, geometrica, et muſica ſiue harmonica ¶ Unde ꝓportionalitas arithmetica eſt quando diſpoſitis tribus quattuor vel pluribus terminis inter eos eedem differētie: ſed nõ eedem ꝓportio-nes reperiūtur. Exemplū / vt diſpoſitis his tribus terminis ſine numeris .1.3.5. inter quos nõ eadem ꝓportio reperitur: ſed bene eadē differētia. Uniꝰ e ad .3. eſt ꝓpotio ſubtripla: et triū ad .5. eſt pro-portio ſubſuꝑbipartiēs tertias. Modo ille pro-portiones nõ ſunt ſimiles. Differentia tamen. i ex­ceſſus quo ſecūdus numerꝰ excedit primū eſt equa­lis differentie qua tertius excedit ſecundum: quia vtra dr̄a eſt binarius. In ꝓpoſito e / hoc eſt in data diffinitione per terminos intelligas nume-ros ſereatim poſitos vel ea que ſe habēt vt nume­ri ſereatim poſiti: et ꝑ differētias ītelligas exceſſū quo vnus numerus excedit alterū. Reperies autē / hanc ꝓportionalitatē in naturali ſerie numerorū capiendo .6.7.8. comperies inter illos terminos diuerſas ꝓportiones: quoniã primi ad ſecundum eſt ꝓportio ſubſexquitertia / et ſecundi ad tertiū eſt ꝓportio ſubſexſeptīa et eſt equalis differētia in- tes illos terminos. Quare in illis terminis repe­ritur ꝓportionalitas arithmetica. Sunt enim illi termini continuo proportionabiles arithmetice. ¶ Unde termini continuo proportionabiles pro-portionalitate arithmetica ſunt illi inter quos cõ-tinuo eſt equalis exceſſus ita  ſicut primus exce-dit ſecundum aliquo exceſſu: ita ſecundus excedat tertium equali exceſſu: et tertius quartum / et ſic con­ſequenter: vel econtra ſi incipias a minoribus.

ꝓportio. Propor­tiõalitaſ Correla­riū ṗmū medietaſ Diuiſio ꝓportio­nalitate. Undecim medieta­tes. ꝓportio­nalitas arithme­tica. Differen­tia. Tertimini ↄ̨tinuo ꝓ-portiõa-les ꝓpor­tõalitate aritithme tica. Corrrela­riū ſcḋm

¶ Ex quo elicitur omēs numeros in naturali ſerie numerorum eſſe terminos continuo proportiona­biles proportionalitate arithmetica: quoniã con­tinuo ſe excedunt equali exceſſu puta vnitate

Correla-riū ṫciū.

¶ Sequitur vlterius proportiones duplam qua-druplam, octuplam, ſexdecuplam, trigecuplam ſecundam / et ſic conſequenter aſcēdendo per nume­ros pariter pares: eſſe terminos continuo propor­tionabiles arithmetice. quoniã continuo ille pro-portiones ſe excedūt per equalem proportionem: puta duplam Nam quadrupla excedit duplã per duplam: et octupla excedit quadruplam etiam per duplam: et ſimiliter ſexdecupla excedit octuplam per duplã: igitur ille proportiones continuo ſūt proportionabiles arithmetice. Antecedens patet / quia addendo duplam ſupraduplã efficitur qua-drupla: et addendo duplam ſupraquadruplã effi­citur octupla: et ſic conſequenter. Et ille proporti-ones continuo per illa additamenta ſe excedūt: et illa additamenta cõtinuo ſunt proportiones du-ple / igitur cõtinuo ſe excedunt per proportionem dulam: quod fuit probandum. Huius medietatis proprietates in ſequenti capite patebunt. Geo-metrica autem medietas ſiue ꝓportionalitas eſt quotienſcun tribus diſpoſitis terminis: aut plu­ribus inter eos eedem proportiones reperiuntur eedeꝫ vero differētie nequa̄. Et per eaſdē ꝓpor-tiones in propoſitio ītelligas proportiones equa­les. Et per equales proportiones intelligas pro-portiones eiuſdem denominationis. Cuiuſmodi ſunt proportio .4. ad .2. et 12. ad .6. Sunt e eiuſ-dem denominationis: eſt enim vtra illarum du-pla: vt conſtat ex priori parte. Unde omnes duple ſunt equales: oēs ſexquialtere, et oēs ſuprabipar-tientes tertias. Exemplū / huius medietatis in his terminis .2:4.8. reperitur: quoniã qualis eſt pro-portio primi ad ſecūdum talis eſt proportio ſecū­di ad tertium: vtrobi enim ſubdupla proportio inuenitur: ſed non ſunt eedem differentie: quoniã tertius terminus ſecundum numero quaternario excedit: ſecūdus vero primum binario dumtaxat ¶ Educitur ex dictis omnes numeros pariter pa-res cõtinuo geometrice proportionari. Inter eas enim cõtinuo proportio dupla eſt: vt patet in his terminis. 2 4 8 16

Geome-trica me-dietas. Correla­riū q̈rtū.
Correla­riū quītã

¶ Sequitur ſecundo omnes numeros impares cõ­tinuo ſe triplantes incipiendo a ternario conti-nuo proportionari geometrice. Nam ſi continuo ſe triplant: continuo ſe habent in proportione tri­pla: ex quo quilibet ſequens immediate preceden­tem ter continet: vt patet in his terminis .3.9.2.7. ¶ Elicitur tertio omnes proportiones denomi-natas a numeris pariter paribus relinquendo poſt ſecundum numerum pariter parem vnum nu­merum: poſt quartum duos poſt ſeptimum quat­tuor: et ſic conſequenter duplando continuo nu-meros intermiſſos: eſſe terminos continuo ꝓportionabiles geometrice: vt ꝓportio dupla, q̈drupla, ſexdecupla, cētecupla vicecupla, octupla / et ſic ↄ̨ñter: quoue reperiūtur in his ṫmīs

Correla­riū ſextã

¶ Hoc correlariū magis liquide patebit ex ſequē­tibus. Proprietates huiꝰ medietas in ſequēti ca­pite ponētur. ¶ Harmonica autē muſicave medie­tas ſiue ꝓportionalitas eſt quotienſcū diſpoſi-tis tribus termīs vel pluribus inter ipſos nec ſūt eedē ꝓportiones: nec differentie: ſed ſicut ſe habet maximꝰ terminꝰ ad minimū. ita ſe hꝫ differentia maiorū ad differentiã minoꝝ vt diſpoſitis his tri­bus terminis .6.4.3. inter eos non reperiunt̄̄ eedē ꝓportiões: nec eedē differētie: ſed ſicut ſe hꝫ maxi-mus eoꝝ ad minimū: ita differētie maximi ad me­diū et medii ad minimū ſeſe habēt: vt cõſtat. Aliq̄ ꝓprietates ſignantur huic hermonice medietati: ſed ille in poſterū oſtendent̄̄ ¶ Addit nichomachꝰ his tribus antiquis et famatis medietatibus ſiue ꝓportionalitatibus .7. recentiores proportiona-litates: vt cõpleretur numerus denariꝰ: qui apud antiquos pluris habebat̄̄: vt patꝫ ꝑ philoſophū decima quīta particula ꝓblematū: ſed has videre poteris apud Seuerinū boetiū in calce ſue arith­metice: et apud alios recentes mathematicos: Nõ e huic operi ſunt interſerēde. q philoſophan-tes nequa̄ eis in ſuis phiſicis calculationibꝰ vtū­tur. ¶ Hic tamē aduertendū eſt /  duplex eſt ꝓpor-tionalitas quedã cõiuncta: quedã vero diſiiuncta. ¶ Cõiuncta ꝓportionalitas eſt illa / q̄ in tribus vel pluribus termīs cõſiſtit cõtinue: vt ꝓportiõalitas reꝑta in his tribus termīs .3.6.12. Et huic medie­tati ꝓpriū eſt eſſe duarū ꝓportionū inter tres ter­minos ad minꝰ. Inter tres terminos vti ſolum due ꝓportiones reperiuntur: nec poſſunt reperiri plures vtendo illis terminis et nõ aliis niſi cõpa-retur primus ad vltimum. Sed tunc omnes termi­ni bis capiuntur. Quare notandum eſt /  quando dicimus /  inter tres terminos reperiuntur dum­taxat due ꝓportiões vel ad ſummū tres: ſi vltimꝰ comparetur ad primū ītelligendū eſt dūmodo nõ vtamur niſi illis tribꝰ termīs: et nõ aliquibꝰ aliis virtualiter intermediis. Inter .6. e et .12. multe reperiuntur ꝓportiones dūmodo vtamur termīs intermediis puta octonario, nouenario, denario et vndenario. ¶ Sed proportionalitas diuiſa ſiue diſiūcta eſt illa que cõſiſtit in .4. terminis aut plu­ribus diſcõtinue: vt ꝓportionalitas que eſt in his quattuor termīs: 1.2.6.12. eſt ꝓportiõalitas diſiū­ta Et huic ꝓpriū eſt ī quattuor termīs ad mininꝰ cõſiſtere diſcõtinue ꝓportionabilibus: ita  non eadem ſit proportio primi ad ſecundum et ſecundi ad tertium. Hoc patet in exemplo dato. ¶ His tribus medietatibus addenda eſt quedam medie-tas ſiue ꝓportionalitas que a mathematicis ma­xima et perfectiſſima dicitur. Unde medietas per­fectiſſima eſt illa que in quattuor terminis et tribꝰ interuallis cõſiſtit: in qua alie famate ꝓportiona­litates reperiri poſſunt: vt in iſtis quatuor termīs 6.8.9.12. Ibi e eſt maxima et perfectiſſima pro-portionalitas. Per interuallū intellige propor-tionē que eſt inter duos terminos īmediatos. Et ſic intelligēdo reperies dumtaxat inter quattuor terminos tria interualla: hoc eſt tres ꝓportiones ſereatim ſe habētes: vt in datis terminis reperies ꝓportiones .6. ad .8. et 8. ad .9. et .9. ad .12. ¶ Iſta medietas multas habet proprietates. ¶ Prima proprietas eſt /  ſi cõparetur tertius ad primū, et quartus ad tertium: reperitur proportionalitas arithmetica: quoniã reperiūtur eedem differentie et nõ eedem proportiones. ¶ Secūda proprietas Si comparetur quartus ad ſecūduꝫ, et tertius ad primū, reperietur proportionalitas geometrica / q vtrobi eſt ibi ſexaltera ꝓportio: differētie vero nõ vtrobi eedē: q vna differētia eſt nūerꝰ quaternariꝰ: alia vero ternariꝰ: igitur ibi eſt geo­metrice medietas. Patet ↄ̨ña ex diffinitione geo-metrica medietatis. ¶ Tertia proprietas. Si cū-paretur numerus quartus ad ſcḋm, et ſecūdus ad primū, reperies harmonicam, ꝓportionalitatem ¶ Quarta ꝓprietas. In iſta medietate perfectiſſi­ma oēs cõſonantie ſimplices compariūtur. Qua­tuor e ſunt muſice cõſonãtie ſimplices: videlicet tonus, diapente, diateſſeron, et diapaſon ¶ Unde tonus eſt duarū vocū quarum vna eleuatur ſuper alterã in ꝓportione ſexquioctaua vniꝰ ad alteran harmonica ↄ̨ſonãtia. vt inṫ duas voces quaꝝ vna ſe habet vt .8. et alia vt nouē: vel quaꝝ vna ſe ha-bet vt .16. et alia vt .18. ¶ Sed diateſſero eſt duarū vocum: quarum vna eleuatur ſuper alteram in ꝓ-portione ſexquitertia muſica conſonantia: vt in-ter duas voces ſe habentes vt .4. et .3. ¶ Diapente vero eſt hermonica cõſonãtia duarū vocum: qua-rum vna eleuatur ſuper alterã in ꝓportõe ſexqui­altera. vt inter duas voces ſe habentes vt .12. et .8 vt .3. et .2. ¶ Diapaſon vero eſt conſonãtia harmo­nica duarum vocum vel ſonorum (quod in preſen­tiarum pro eodem capio) quarū vna eleuatur ſu-pra alteram in ꝓportione dupla. / vt conſonatia illa harmonica que eſt inter duas voces ſe haben­tes ſicut .12. ad .6. eſt muſica conſonantia: que dia­paſon vocitatur. ¶ Ex quo ſequitur /  inter omēs harmonicas ſimplices cõſonantias diapaſon eſt maxima. Probatur / quia alie ſunt partes eius: igit̄̄ ſūt ea minores: Arguitur añs / q2 componitur diapaſon ex tono, diateſſeron, et diapente, igitur Probatur antecedens / q .12. ad .6. eſt diapaſon conſonantia: et talis conſonantia componitur ex cõſonantia .8. ad .6. que eſt diateſſeron: et ex conſo­nantia .9. ad .8. que eſt tonus: et ex conſonantia .12 ad .8. que eſt diapēte: igitur diapaſon ex aliis tri­bus ſimplicibus concentibus conſtruitur ſiue con­ponitur. Quare ſequitur diapaſon eſſe maximã muſicã cõſonantiã inter ſimplices. Dico inter ſim­plices / q multe ſunt cõpoſite conſonantie: vt di-tonus, ſemitonus, tritonus, bis diateſſeron, bis diapēte, bis diapaſon, et ter, et quater diapaſon / et ſic conſequenter. Sed cum difficultate maior cõ­ſonantia bis diapaſon reperitur in voce humana niſi ſtētor ab inferis rediret cuiꝰ mire vocis et ho-merus et philoſophus ſeptimo politicorū capite quarto meminit. Si tamen vox humana in aſcen­dendo in infinitū augmētaretur ſiue intenderetur vel aliquod inſtrumentū harmonicū: in infinitum duplicarentur harmonice conſonantie: et ſemper harmonicam ꝓportionalitatem ſeruarent ¶ Sed de his hactenus. Parum e philoſophie deſer-uiūt: ſed introducuntur omnia iſta vt clare inſpi-ciat phiſicus rerum naturalium indagator velo-citatem motuū non penes harmonicas conſonan­tias: aut muſicas equalitates ſiue proportionali-tates attendi debere: que vti concluſio niſi ter-minos predictos intelligeret ei perſpicua nõ eſſet ¶ Patet ſecundo ex dictis hanc medietatem / quã tertio adiecimus merito perfectiſſimam vocitari Cuiꝰ probatio eſt / q in dicta medietate tres fa-mate ꝓportionalitates reperiuntur arithmetica geometrica, et harmonica. In iſta etiã medietate oēs ſimplices harmonice cõſonantie reperiuntur ¶ Ex his omnibus demū infero oēm ſcientiã aliã oēm artem: philoſophie inſeruire. ei ancillari at famulari. vt facile ex his que dicta ſunt ꝑſpi­ci poteſt: et ſignanter inſeruirent iſta philoſophie. Pythagore qui aſtruxit celos corpora illa ſempi terna perpetuo harmonicis cõſonantiis circūuo-lui teſte philoſopho ſecūdo celi et mundi: et plinio ſecundo naturalis hiſtorie.

Muſica medietaſ Nicho-machus. phūs .5. ꝑti: ꝓble­matum. Alia di-uſio me-dietatuꝫ. Cõiūcta medietaſ Propor­tiõalitas diuiſa. maxima medietaſ ꝓetateſ medietaſ­tis perfe­ctiſſime. quatuor muſice cõ­ſonãtie. Diateſſe­ron. Diapēte diapaſõ Correla­riū ṗmū. cõpoſite. ↄ̨ſonãtie Stentoꝝ Correla-riū ſcḋm tertium. correlari­um. pythago­ras. phūs plinius.
Capitulum ſecundum / in quo ꝓbantur alique proprietates predictarum ꝓpor-tionalitatem ſiue medietatum.

AD inducendas mathemathi­co ordine aliquas ꝓprietates predicta­rum medietatum: ponende ſunt alique ſuppoſitiones: quarū alique erunt diffinitiones: et alique petentur ꝓpter earuꝫ euidentē noticiam: alique vero probabuntur ſit igitur.

Prima ſuppoſitio / que et difinitio. Medium eſt quod equali inter capidine diſtat ab vtro extemorum. vt numerus ternarius eſt medi­um inter quaternarium et binarium. quia equali exceſſu ſiue equali differentia ab vtro illoruꝫ di­ſtat: puta vnitate.

Secunda ſuppoſitio / que et difinitio Partes aliquote eiuſdem denominationis ſunt ille q̄ ab eodē numero denominãtur vt medietates a binario: tertie. a ternario. q̈rte a q̈ternario .etc̈.

Tertia ſuppoſitio / que etiam difini-tio eſt Aliquã quãtitatē continere aliquod equa-le in aliqua ꝓportione pluries adequate quã alia quantitas idem equale contineat: eſt illam quãti­tatem in eadem ꝓportione ſe habere ad alteram vt ſi aliqua quantitas contineat in ꝓportione ſex­quialtera adequate plura pedalia quã vna altera minor talis quantitas ſe habet ad minorem in ꝓ-portione ſexquialtera.

Quarta ſuppoſitio Si aliqua quan­titas vel numerus contineat tota vice ſecūdum nu­merum: quota vice tertius numerus cõtinet quar­tum vel tota vice et aliquã vel aliquot partes ali-quotas eiuſdem denominationis quota tertiꝰ cõ­tinet quartum et aliquam partem vel aliquot par­tes aliquotas eius adequate: qualis ē proportio inter primū et ſecundum talis eſt inter tertiū et q̈r­tum. Patet hec ſuppoſitio ex diffinitione nume-rorum habentium ad reliquos eandeꝫ proportio-nem. Sic eī tales numeri debent definiri vt cõſtat.

Quinta ſuppoſitio Si duo numeri vel quantitates diuidantur in partes aliquotas eiuſdem denominationis: quot partes illiꝰ deno­minationis ſunt in vno tot ſunt in altero. Patet / quia ſi ſunt eiuſdem denominationis: ab eodē nu-mero denominantur: vt patet ex ſecunda ſuppoſi­tione / et per conſequēs ſunt equales numero. Tūc enim alique partes aliquote alicuius quantitatis denominantur ab aliquo numero: quando talis quãtitas diuiditur in tot partes equales quot ſūt vnitates in tali numero:

Sexta ſuppoſitio Si duo numeri vel quantitates diuidantur in partes aliquotas eiuſdem denominationis: et perdit aliquam vel aliquod partes aliquotas ex illa vter illorū re-manentibus aliquibus: reſidue erunt eiuſdē deno­minationis. vt ſi bipedale diuidatur in .5. quin-tas et pedale ſimiliter: et perdit bipedale duas n­tas ex eis: et pedale ſimiliter: reſidue partes erunt eiuſdē denominatiõis: puta tertie: vt patet Pro­batur / quia in principio decremēti ille partes ali-quote illarum quantitatum ſunt equales numero et equales numero deperdentur ab vtra illaruꝫ quantitatum / vt ponitur remanentibus aliquibus ex illis: ergo remantes manebunt equales nu-mero. Patet conſequentia / q2 ſi ab equalibus nu-meris equales demas .etc̈. / et ꝑ conſequens ſemper denominabuntur ab equali numero: quare ſemꝑ erunt eiuſdem denominationis / vt patet ex diffini­tione.

Septima ſuppoſitio Qualis eſt pro­portio alicuius ad aliquam eius partem aliquo-tam: talis eſt cuiuſlibet alteriꝰ ad partē aliquotã eius conſiĺis denominationis. vt qualis eſt ꝓpor­tio alicuius quãtitatis ad ſuã medietatē tertiam quartam .etc̈. talis eſt cuiuſlibet alterius ad ſuã me­dietatem tertiã quartã .etc̈. Patet hec ex q̈rta ſup­poſitõe / hoc adito /  q̊ties aliq̈ quãtitas ↄ̨tinet ali­quam ſui partem aliquotaꝫ: toties quelibet alia quantitas continet partem ſui aliquotam cõſimi­lis denominationis: cum ſemper partes aliquote eiuſdem denominationis ſint equales numero / vt patet ex quinta ſuppoſitione:

Octaua ſuppoſitio Si aliqui duo nu­meri ſiue quantitates diuidantur in duas partes equales: cuiuſlibet illorum numerorum ad alterã illarum ſuarum partium eſt eadem ꝓportio. Et ſi vter duorum numerorum diuidatur in plures ꝑ­tes aliquotas eiuſdem denominationis quaꝫ ſint due: talis eſt ꝓportio vnius illorum numerorū ad aggregatū ex omnibus talibus partibus aliquo­tis dempta vna: qualis eſt alterius ad aggrega-tum ex omnibus dempta ſimiliter vna. / vt diuiſo ſenario in tres partes aliquotas: et ſimiliter ter­nario: talis eſt ꝓportio ipſius ſenarii ad aggre-gatum ex duabus tertiis eius qualis ē ternarii ad aggregatum ex duabus tertiis eius. vt conſtat.

Probatur ſuppoſitio. ſint duo numeri ſiue equa­les ſiue inequales. primus .a.b. ſecundus .c.d. diui­ſi in partes aliquotas eiuſdem denominationis et ſit primi numeri vna illarum partium .a. et reſi­due .b. ſecundi vero numeri ſit conſimilis pars ali­quota .c. et reſidue partes eiuſdem numeri .d. / et di­co /  talis ē proportio a.b. ad .b. qualis eſt .c.d. ad d. Quod probatur ſic / quia quota vice .a.b. conti-net .b. et aliquam partem aliquotam ipſius .b. to-ta vice .c.d. continet .d. quia ſemel / vt conſtat et vnã partem eius aliquotam euſdem denominationis cum parte aliquota ipſius .b. quam coutinet .a.b / igitur qualis eſt proportio .a.b. ad b. talis eſt pro­portio .c.d. ad .d. / quod fuit probãdū Patet hec cõ­ſequentia clare ex quarta ſuppoſitione.  autem .c. ſit pars aliquota ipſius .d. eiuſdem denominatio­nis cuius .a. eſt pars aliquota ipſius .b. / probatur / quia ſi .a.b. numerus perdat .a. et .c.d. ꝑdat .c. / tunc reſidue partes manebunt partes eiuſdem denomi­ uatiõis puta partes aliquote .b. et partes aliquo­te .d. / vt patet ex ſexta ſuppoſitione: et qualibet illa­rum in .b. equalis erit ipſi .a. quia antea erat equa­lis: ēt quelibet in .d. et equalis ipſi .c. eadē ratione / igitur .c. eſt pars aliquota .d. illius denominatio-nis cuius .a. eſt pars aliquota .b. / quod fuit probã-dum. Et ſic patet: ſecunda pars ſuppoſitionis: et prima patet de ſe: quia vter talium numerorum habet ad talem partem aliquotam ſui ꝓportionē duplam q2 eſt ſua medietas Continet eteuim eam bis: igitur ad eam habet proportionem duplam. ¶ Ex iſta ſuppoſitione ſequitur:  ſi vtra illaruꝫ quantitatum ſiue numerorum ſit diuiſorum in ꝑ-tes aliquotas eiuſdem denominationis ꝑdat vnã talē partē aliquotã adequate: eq̈le proportionem deꝑdit Patꝫ / q2 eq̈lē ꝓportionē vter hab3 ad ag­gregatū ex oībꝰ dēpta vna / vt ptꝫ ex .8. ſuppoſitiõe et illam deperdit / vt conſtat igitur. ¶ Sequitur ſe­cundo /  ſi vter duorum numerorum ſit diuiſus in ꝑtes aliquotas eiuſdē denominatiõs: et acrat vnã illarum partiū ſupra ſe ciſe eq̈le ꝓportionē acquirit vter Patet ex priori correlario. q2 quã­do vter illorum illam partem deperdit equalem ꝓportionē deperdit / ergo quando acquirit equa-lem acquirit: igitur.

Nona ſuppoſitio Si duo numeri in­equales ſiue quantitates ſe habeant in aliqua ꝓ-portione: et maior illorum deperdat aliquam pro­portionem ſtante minori inuariato: tunc ꝓportio inter maiorē et minorē deꝑdit illã ꝓportionē quã deꝑdit maior adeq̈te. dūmõ minor ſēꝑ maneat mi­nor. vt ſi ꝓportionis q̄ eſt inter .8. et .4. maior nūe­rus puta octonariꝰ ꝑdat ꝓportionē ſexquitertiaꝫ que eſt octo ad ſex illam ꝓportionem deperdit ꝓ-portio que eſt inter octo et quattuor. Probatur / et ſint .a.b. numerus maior et .c. numerus minor in-ter quos ſit proportio .g. ſit .b. numerus maior c. / et manifeſtum eſt /  ꝓportio .a.b. ad .c. componi-tur ex proportione .a.b. ad .b et .b. ad .c. vt poſtea vi­debitur. Deperdat igitur numerus maior ꝓpor-tioneꝫ que eſt .a.b. ad .b. / et arguitur ſic / ꝓportio .g. componebatur antea ex proportione .a.b. ad .b. et .b. ad .c. modo non manet niſi proportio .b. ad .c. / igitur proportio .g. ꝑdit ꝓportionē ab. ad .b. et illã deperdat numerus maior / igitur.

Decima ſuppoſitio Si duo numeri ſiue quantitates inequales ſe habeant in aliqua proportione: et minor deperdat aliquam propor­tionem ſtante moiore: illam proportionem acqui­rit proportio que eſt inter maiorem quantitatem et minorem. et ſi tantam proportionem deperdat quantitas maior ſicut minor: tunc proportio in-ter maiorem et minorem nec augetur nec diminui­tur: ſed ſemper manet equalis extremis manenti-bus quãtitatis. vt ſi proportionis que eſt inter .8. et .quattuor. minor numerus perdat proportionē duplam ſtante maiore proportio inter maiorem et minorem acquirit proportionem duplaꝫ: et ſi qñ numerus minor perdit duplã etiaꝫ maior perdat duplã: illi numeri manebūt in eadem proportiõe in qua antea ſe habebant. Erunt enim tn fine 4. et .2. Probatur prima pars ſuppoſitionis. et ſint .a. numerus maior et .b.c. numerus minor īter quos ſit proportio .g. et īuariato .a. perdat nume-rus minor proportionē que eſt .b.c. ad .c. / et manife­ ſtum eſt /  in fine proportio īter illos numeros cõ-ponetur ex proportione .a. ad .b.c. et .b.c. ad .c. et an­tea proportio illa inter illos numeros puta .g. e-rat preciſe proportio .a. ad .b.c: et modo ꝓportio inter illos numeros cõponitur ex illa ꝓportione g. que eſt .a. ad .b.c. et ex proportione .b.c. ad .c. / ergo acquiſiuit ꝓportionē que eſt .b.c. ad .c. et illam de-perdit quantitas minor .b.c. / igitur ꝓpoſitū. Se-cunda pars facile deducitur ex prima et penultīa ſuppoſitione: quoniam quantam ꝓportionem de­perdit quantitas minor tantam acquirit ꝓportio inter maiorem et minorem ſtante maiore: vt patet ex priori parte iſtius ſuppoſitionis: et quantam ꝓ­portionem deperdit quantitas maior tantam de­perdit proportio inter ipſam et minorē quantita­tem ſtante minore: vt patet ex penultima: igitur ſi tantam ꝓportionem deꝑdat maior quantitas ſi-cut deperdit minor quantitas: proportio illa in­ter maiorē et minorem nullã proportionē acquirit nec deperdit: et ſic in illas quantitates manet eadem proportio. ¶ Ex quo ſequitur /  ſi tantam proportioneꝫ adequate acquirat quãtitas minor quantam acquirit quãtitas maior: ſemper mane­bit eadem proportio. Probatur / quia ſi ille quan­titates illas proportiones equales quas acquiſi-uerunt deperdant manebunt in eadem proportio­ne in qua modo ſe habent: et illa eſt proportio in qua ſe habebant ante acquiſitionem illarum pro­portionum equaliū: igitur quando quãtitates ac­quirunt ꝓpportiones equales ipſe manet in eadē proportione in qua ſe habebant antea.

Undecima ſuppoſitio. Quecū pro­portio eſt inter aliquos numeros ſiue quãtitates talis eſt inter partes aliquotas conſimilis deno-minationis. vt qualis eſt proportio inter .8. et .4. talis eſt intermedietatē .8. et medietateꝫ .4. et quar­tam .8. et quartam .4. Probatur / ſint duo numeri primus .a.b.c. ſecundus .d.e.f. diuiſi in partes ali-quotas eiuſedem denominationis puta primus in a.b.c. et ſecundus in .d.e. et .f. / tunc dico /  qualis eſt proportio .a.b.c. ad .d.e.f. talis eſt .c. ad .f. Quod ꝓ­batur ſic. et ſit inter illos numeros ſiue quantita­tes .g. ꝓportio: et deperdat numerus maior .a. per­tem aliquotam et minor .d. partem aliquotam cõ­ſimilis denominationis: et manifeſtum eſt /  quã­tam proportionem deperdit numerus maior tan­tam deperdit numerus minor / vt patet ex prīo cor­relario octaue ſuppoſitionis / ergo reſidui numeri adhuc manent in eadē proportione puta .g. Pa-tet conſequentia ex ſeunda parte decime ſuppoſi­tionis: et reſidui numeri puta .b.c. et .e.f. adhuc ma­nent diuiſi in partes aliquotas eiuſdem denomi-nationis / vt patet ex ſexta ſuppoſitiõe: perdat igi­tur numerus maior .b. partem aliquotam et nume­rus minor .e. partem aliquotam: et ſequitur /  eq̈­lē ꝓportionē deperdit nūerꝰ maior et nūerꝰ minor / vt iã argutū eſt: ergo reſidui numeri manent in ca­dem proportione in qua antea ſe habebant puta g. / vt patet ex ſecunda parte decime ſuppoſitionis et reſidui numeri ſunt .c. et .f. / ergo c. et .f. ſe habent in .g. proportione et .c. et .f. ſunt ꝑtes aliquote eiuſ­dem denominationis datorum numerorum ſe ha­bentium in .g. proportione: igitur in quacun por­portione ſe habent alique quantitaters in eadem ſe habent ſue partes aliquote eiuſdem denomina­tionis / quod fuit probandum. ¶ Et hac ſuppoſi- tione ſequitur /  ſi duo numeri ſe habentes in ali­qua proportione acquirãt ↄ̨tinuo partes aliquo­tas eiuſdem denominationis: ſemper manebunt in eadem proportione. Patet / q2 vter illorū eq̈­lem proportionem acquirit. Patet / quia ſi vter illorum numerorum illas partes aliquotas eiuſ-dem denominationis deperderet eq̈lē ꝓportionē deꝑderet / vt patet ex ſuppoſitione: igitur quando acquirit equalem acquirit.

Duodecima ſuppoſitio. Si aliquid componitur ex duobus ſiue equalibus ſiue īequa­libus: et quantum deperdit vnum illorum tantuꝫ acquirit reliquum: compoſitum ex illis nichil ac-quirit vel deperdit ſed ſemper manet equale. Et hanc peto quia nota eſt ex ſe.

cal. de in­duc. gra-ſum et de mo. 10.

Prima concluſio Omne compoſitū ex duobus inequalibus inter que eſt mediuꝫ eſt du­plum ad medium inter illa vt compoſitum ex .4. et 2. eſt duplum ad ternarium numerum qui mediat inter illos Probatur / ſint a.c. duo īequalia .a ma­ius et .c. minus et ſit .b. medium inter .a.c. compoſi­tum ex a.c. ſit .d. / tunc dico /  .d. eſt duplum ad .b. Quod ſic probo / quia cū .b. ſit medium: equali dif­ferentia diſtat ab extremis ex prima ſuppoſitiõe / capio igitur illam differentiã ſiue exceſſum qua .a excedit b. / et addo illam .c. / et manifeſtum eſt /  .a. et b. manēt equalia: et ſimiliter .c. et .b. quia ipſi .c. ad dictus eſt exceſſꝰ / quo excedebatur a.b. / igitur ag-gregatum ex .a. et .c. componitur ex duobus equa­lidus .b. adequate. igitur tale aggregatum eſt du­plum ad .b. et tale aggregatum eſt .d. / igitur d. eſt duplum ad .b. et .d. eſt in tantum quantum erat añ variationem .a.c. / vt patet ex vltima ſuppoſitione / igitut .d. ante variationem a.c. eſt duplum ad .b. / quod fuit probandum. ¶ Ex hac concluſione ſequi­tur:  mediū inter duo inequalia eſt medietas ag­gregati ex eis. Patet / quia eſt ſubdupluꝫ / ergo me­dietas. ¶ Sequitur ſecūdo /  medietas aggrega­ti ex duobus inequalibus inter que eſt mediuꝫ: eq̈­liter ab vtro illorum diſtat. Probatur / q2 medi­etas illorum eſt equalis medio inter illa / vt patet ex precedenti correlario: ergo ſequitur /  equali-ter diſtat ab vtro. cum mediuꝫ ſit /  equaliter di­ſtat ab extremis / vt patet ex prima ſuppoſitione. ¶ Sequitur tertio /  omnis numerus circū ſe poſi­torum numerorum et equaliter ab eo diſtantium eſt medietas. Quod ſi eoruꝫ fuerit medietas illos ab eo eque diſtare conueniet. Probatur / ſint .a.c. duo numeri inter quos mediat .b. ſit aggregatū ex .a.c.d. / tunc .b. eſt medietas ipſius .d. / vt patet ex ṗmo correlario et ſi .b. eſt medietas aggregati .a.c. equaliter diſtat ab .a. et .c. / vt patet ex ſecundo cor-relario / ergo .a.c. equaliter diſtant .a.b. ¶ Sequi-tur quarto /  cõiuncte arithmetice medietatis me­diis terminus extremorum ſimul iunctorum ē me­dietas: vt captis his terminis .a.bc. continuo ꝓ-portionabilibꝰ arithmetice .b. medius terminus eſt medietas aggregati ex .a.c. Patꝫ ex primo cor­relario Et hec ſit prima ꝓprietas arithmetice me­dietatis Et intelligas hanc proprietatem quan-do tales termini continuo proportionaabiles hac ꝓ­portionalitate fuerint impares: vel quantitates continue. Alias plerū non inuenires medium in­ter tales terminos. ſicut inter .2.3.4.5 ¶ Sequitur quinto /  diſpoſitis .3. terminis continuo ꝓportio­ nabilibꝰ arithmetice: aggregatū ex maxīo termīo et mīmo ē due tertie aggregati ex illis tribꝰ termi­nis: et diſpoſitis .5. continuo proportionalibus arithmetice aggregatum ex maximo et minimo ē due quinte: et etiam aggregatum ex ſecūdo termi­no et quarto eſt due quinte: et poſitis .7. aggrega­tum ex maximo et minimo eſt due ſeptime ſimili-ter aggregatum ex ſecundo et ſexto et ex tertio et quinto. et vniuerſaliter vbicū plures termini in numero impari arithmetice continuo proportio­nantur ſemper aggregatum ex quibuſcū duo-bus equaliter diſtantibus a medio eſt due partes aliquote. aggregati ex omnibus illis quarū par­tium aliquotarum vtra denominatur a numero impari a quo denominantur illi termini. vt ſi ter­mini ſint vndeci3 denominabuntur due vndecime et ſi .13. due tridecime. Probatur hoc correlarium / et ſigno tres terminos .a.b.c. / et arguo ſic / aggrega­tum ex .a.c. eſt duplum ad .b. quia .b. eſt terminꝰ me­dius inter .a.c. ſed aggregatum ex a.b.c. componi­tur adeq̈te ex .b. et aggregato ex .a.c. duplo ad .b. / vt patet ex concluſione: ergo b. eſt vna tertia totiꝰ aggregati cum ter in illo contineatur adequate et per conſequens aggregatum ex .a.c. due tertie / qḋ fuit probandum. Item poſitis quin trrminis .a b.c.d.e. aggregatum ex .a. et .e. eſt duplum ad ter-minum medium .c. et ſimiliter aggregatum ex .b. et d. / vt patet ex concluſioīe et totum aggregatum ex illis quin terminis componitur adequate ex c. et ex aggregato .a. et .e. et aggregato ex .b. et .d. et vtrū­ illorum aggregatorum eſt duplum ad .c. / vt pro­batum eſt: ergo .c. eſt vna quinta totius aggrega-ti ex illis quin terminis: cum quīquies in illo ag­gregato contineatur: et per conſequens aggrega­tum ex .a. et .e. eſt due quinte: et ſimiliter aggrega-tum ex .b.d. cum ſit duplum ad .c Et iſto modo pro­babis capiendo quotcū alios terminos īpares continuo arithmetice ꝓportionabiles. Et iſta ſit ſecunda proprietas medietatis arithmetice.

mū cor-relarium Secūduꝫ correlari­um. Tercium correlari­um. Quartū correlari­um. prima ꝓ­prietas medieta-tis arith­metice. Quintū correlari­um. Secūda ꝓprietas medietaſ arithme-tice.

Secunda concluſio Si duo nume-ri a duobus numeris circum ſe poſitis equaliṫ di­ſtent: illis coniunctis erunt equales. Quod ſi eis equales fuerint: ab eis equidiſtare neceſſe eſt vt ca­ptis his terminis .2.3.4.5. numerus quinarus et binarius circunſtantes quaternarium et ternariū equaliter ſimul iuncti equantur quaternario et ter­nario ſimul iunctis et quia quinarius et binariꝰ ſimul iuncti equales ſunt quaternario et binario ſimul iuncti: ideo neceſſario ab illis equaliter di-ſtant. Probatur concluſio / et ſint .a.b.c.d.a.d. cir-cunſtantes reliqui vero intermedii: et diſtat .a. ab b.g. dnr̄a ita  .a. ſit maior numerus et eadem .g dnr̄ia excedat .c. ipſum .d. / tunc dico /  aggregatū ex .a.d. extremis numeris eſt equale aggregato ex b.c. intermediis a quibus alii equaliter diſtant.

Quod probatur ſic / et volo /  .a. perdat .g. dnr̄iaꝫ / ita  fiat equale b. et .d. acquirat illam ita  fiat equale .c. / et arguo ſic / facta tali variatione in a.d. aggregatū ex .a.d. ↄ̨ponit̄̄ adeq̈te ex duobꝰ eq̈libꝰ aliis duobus ex quibus adequate cõponitur ag-gretatum ex .b.c. / igitur facta tali variatiõe in .a. d. aggregatum ex .a.d. eſt equale aggregato ex .b c. et illud aggregatum ex .a.d. facta tali variatio­ne eſt equale aggregato .a.d. ante talem variatio­nem / vt patet ex vltima ſuppoſitione: igitur aggre­gatum ex .a.c. ante talem variationem eſt equale aggregato ex .b.c. / quod fuit probandum Sed iam probo /  facta tali variatione aggregatum ex .a. d. componitur ex duobus equalibus adequate il-lis duobus ex quibus adequate componitur ag-gregatum ex .b.c. / quia facta tali variatione .a. ef-ficit̄̄ eq̈le ipſi b. et d. efficit̄̄ eq̈le ipſi .c. / vt ↄ̨ſtat: igit̄̄ facta tali variatiõe aggregatū ex a.d. ↄ̨ponit̄̄ ade­te ex duobus aqualibus illis duobus puta .b.c. ex quibus componitur adequate aggregatum ex .b. c. / quod fuit oſtendēdum. Et ſic patet prima pars Secūda pars probatur: et ſint a.b.c.d. quattuor numeri a.d. circūſtantes .b. vero et .c. intermedii et diſtet .a. ab .b.g. differētia et .c. excedat .d. / tunc dico /  ſi aggregatū ex .b.c. eſt equale aggregato ex .a. d.b.c. equaliter diſtant ab .a.d. Quod ſic proba-tur / quia .a diſtat a.b.g. differentia: et .c.a.d. diſtat eadē differētia. igitur illi intermedii equaliter di­ſtãt ab illis extremis. Probatur minor / quia ſi .c. non eadem differentia diſtat a.d. ſicut a. ab .b. ca-pio / igitur vnum terminū qui ſit .f. a quo .c. diſtet eadē differentia qua .a. diſtat ab .b. / et tunc ex prio­ri parte aggregatuꝫ ex a. et .f. eſt equale aggrega­to ex .b.c. et per te aggregatum ex .a.d. eſt ēt equa-le aggregato ex .b.c: igitur aggregatum ex .a.f. eſt equale aggregato ex .a.d. / patet conſequentia ꝑ il­laꝫ dignitatē que eidē tertio equantur inter ſe ſūt equalia. et vltra aggregatum ex .a.f. eſt equale ag­gregato ex .a.d. / ergo ſequitur /  eodeꝫ cõmuni dē­pto puta a. reſidua manebunt equalia videlicet .f. et .d. et .c. diſtat .g. differētia qua a. diſtat ab .b. ab ipſo .f. / ergo .c. diſtat .g. differentia ab ipſo .d. / et ſic b.c. equaliter diſtant ab .a.d. numeris circunſtan-tibus / quod fuit probandum. Patet tamen conſe­quentia / quia que ſunt equalia qualiter diſtant a quouis tertio Hec cõcluſio in propria forma in­ſtantiam patitur: ſed ſic poſita eſt / quia ita poni­tur a iordano primo elementorum. Nam iſti nu-meri .8.8. equaliter diſtãt ab his duobus .4.4. in iſta ſerie .4.8.8.4. / et tamen extrema coniūcta nõ equantur mediis. Item iſti duo numeri .4.1. equa­liter diſtant ab his duobus extremis .8.5. in iſta ſeries .8.4.1.5. / et tamen medii iuncti non equãtur extremis coniunctis / vt conſtat. Item illi numeri . 4. et .4. coniuncti equantur his numeris ſimul iun­ctis .4. et .4. / et tamen duo intermedii non equali­ter diſtant a duobus extremis: quia non diſtant. ¶ Intellige igitur concluſionē in ſenſu in quo ma­thematici eam intelligunt. puta /  ſi duo nume-ri equaliter diſtēt a duobus numeris extrimis ita­ primus excedat ſecundum eadē differentia qua tertius quartum: vel primus excedatur a ſecundo ea differentia qua tertius exceditur a quarto illi intermedii ſimul iuncti extremis copulatis equã-tur.  ſi intermedii ab extremis diſtãtes ſimul iū­cti extremis equantur ab extremis eos equidiſta­re neceſſe eſt. ¶ Ex hac concluſione ſequitur arith­metice medietatis diſiūcte quattuor terminis ab­ſolute extrema ſimul iuncta collectis medii equa­ri. Et hec eſt tertia ꝓprietas mediedatis arithme­tice. Patet hoc correlarium facile ex precedēti cõ­cluſione Nam ſi quattuor termini proportionen­tur arithmetice et diſiiuncte ea differētia que erit inter primū et ſecundum. erit inter tertium et quar­tū Quare medii equaliter diſtabunt ab extremis coniunctis / igitur mediis equabuntur externa col­lecta iuxta doctrinam concluſionis. Et dixi notã- ter in correlario. quattuor terminis quia ſi ponã­tur plures termini non oportet illud verificari.

īueſtigat̄̄ itas ſe­cūde con­cluſionis Iordanꝰ .1. ele. Senſus ſecūde cõ­cluſionis Primu correlari­um. tertia ꝓ-prietas medieta­tis arith­metice.

Quare inconſiderate aliqui illam proprietatem abſolute ponūt. Patet enim inſtantia in his ter­minis .2.5.7.11.1.4. manifeſtum eſt enim /  aggre­gatum ex extremis minus eſt aggregato ex inter-mediis. Imo implicat aggregatum ex extremis equari omnibus itermediis ſimul ſumptis cum ſunt plures termini quattuor: quoniam ſuper ag­gregatum ex extermis puta ex primo et vltimo ad­dequatur aggregato ex ſecūdo et penultimo. ergo non aggregato ex omnibus intermediis quia il-lud erit maiꝰ. Si autem velis dicere ꝓprietatē il-lam intelligi /  aggregatum ex ṗmo et vltimo ade­quatur aggregato ex ſecūdo et penultimo: et etiã equatur aggregato ex tertio et ante penultimo .etc̈ / patet hoc eſſe falſum in datis terminis. Nã in il-lis duo et .14. conſtituunt .1.6. tertius tñ et ante pe­nultimus puta .7. et .10. conſtituunt .1.7. / igitur.

Secūduꝫ correlari­um.

¶ Sequitur ſecundo /  poſitis quattuor terminis proportionabilibus arithmetice ſiue cõiuncte ſi-ue diſiuncte aggregatum ex primo et vltimo ē me­dietas aggregati ex omnibus ſimul et etiam ag-gregatum ex ſecūdo. et tertio eſt medietas totius aggregati ex omnibus ſimul. Patet / quia illa ag­gregata ſunt eq̈lia ex cõcluſione et adequate com­ponunt aggregatū ex omnibus illis quattuor ter­minis: igitur vtrum illorū aggregatum eſt me-dietas aggregati ex omnibus illis terminis ſimĺ ſumptis / quod fuit probãdum. ¶ Sequitur tertio /  poſitis ſex terminis ſi octo. ſiue .10. et in quo-cun numero pari cõtinuo proportionabilibus arithmetice. aggregatum ex primo et vltimo et ag­gregatum ex ſecundo et penultimo et aggregatū ex tertio et ante penultimo / et ſic conſequenter eſt pars aliquota aggregati ex omnibus illis ter-minis denominata a numero ſubduplo ad nume-rum parem in quo conſtituuntur tales termini. vt ſi ſint ſex termini aggregatum ex primo et ſexto et etiam aggregatum ex ſecundo et quinto et ex ter-tio et quarto eſt vna tertia aggregati ex omnibus illis ſex terminis: et ſi fuerint octo talia aggrega­ta erunt quarte / q2 quarta denominatur a nume-ro ſubduplo ad numerum octonarium. Proba-tur hoc / et ſint ſex termini .a.b.d.c.e.f. ↄ̨tinuo arith­metice proportionabiles. et arguitur ſic / aggrega­tum ex a.f. eſt equale aggregato ex .b.e. / vt patet ex concluſione / quia illa extrema equaliter diſtãt ab illis mediis et eadem ratione aggregatum ex .c.d eſt equale aggregato ex b.e. / igitur ibi ſūt tria ag­gregata omnino equalia: et illa componunt ag-gregatum ex omnibus illis .6. adequate: igitur qḋ­libet illorum aggregatorum eſt vna tertia totius Et iſto modo probabis quando fuerint octo ter-mini / quia inuenies ibi quattuor aggregata equa­lia: et quando decem inuenies quin. Et ſic dein-ceps inuenies talia aggregata equalia in ſubdu­plo numero ad numerum terminorum: quoniam ſemper pro quolibet tali aggregato capis duos terminos / et per conſequens dualitatem illorum terminorum. Modo in quolibet numero pari in duplo pauciores dualitates reperiūtur quam vni­tates. Et ſic patet correlarium. ¶ Sequitur quar­to /  ſint quattuor termini non continuo propor-tionabiles arithmetice continuo tamen minores et minores continuo ſe excedētes minori et mino- ri differentia: aggregatum ex extremis eſt maius aggregato ex mediis: et eſt maius quaꝫ medietas aggregati ex illis quatnor terminis. vt captꝪ his terminis: 12.9.7.6. dico /  aggregatum ex .12. et. 6 eſt maius aggregato ex .9. et .7. et eſt maius quam medietas illorum quatuor terminorum coniūcto­rum. Probatur / ſint quatuor termini a.b.c.d. con­tinuo minores et minores continuo minori et mi­nori differentia ſeſe excedentes: et dico /  aggre-gatum ex a. et .d. eſt maius aggregato ex .b. et .c.

Tertium correlari­um. Cal. ḋ 10 ele. Quartū correlari­um. calcu. de 10. ele. cir­ca prin.

Quod ſic probatur / quia ſi c. excederet d. tãta dif-ferentia quanta a. excedit .b. / tunc aggregatum ex a. et d. eſſet equalis aggregato ex b.c. / vt patet ex concluſione: ſed modo c. excedit d. minori exceſſu / igitur d. eſt maius quam eſſet tunc et a. eſt equale: igitur aggregatum ex a.d. eſt maius quã eſſet tūc quia componitur ex vno tanto ex quanto / tunc cõ­poneretur et ex vno altero maiore quã tunc et hoc adequate: igitur modo eſt maius quam tunc: ſed tunc eſſet equale aggregato ex b. et c. / ergo modo ē maius aggregato ex b. et c. / quod fuit probandum Et ex hoc patet ſecunda pars correlarii / quoniam aggregatum ex omnibus illis terminis componi­tur ex duobus inequalibus adequate puta ex ag-gregato ex a. et d. et aggregato ex b. et c. et aggre­gatum ex a. et d. eſt maius aggregato ex b. et c. / igi­tur aggregatum ex a. et d. eſt maius quam medie-tas totius aggreti ex illis quatuor terminis Pa­tet hec conſequētia / q2 qñcun aliquid componi-tur ex duobus inequalibus adequate maius illo-rum eſt magis quam medietas totius / vt facile de­monſtrabitur. ¶ Sequitur quinto /  ſi ſint ſex ter­mini continuo minores minori exceſſu ſeſe con-tinuo excedentes aut .8. aut .10. aut in quouis nu-mero pari: aggregatuꝫ ex primo et vltimo eſt ma­ius quam pars aliquota denominata a numero ſubduplo ad numerum illorum terminorum: et ag­gregatum ex duobus terminis mediis et īmedia-tis eſt minus quam talis pars aliquota totius ag­gregati ex omnibus illis terminis. vt .19.14.10.7. 5.4. captis aggregatum ex .19. et .4. eſt maius quã vna tertia aggregati ex omnibus illis ſex termīs et aggregatum ex .10. et .7. eſt minus / vt patet cal-culanti Probatur correlarium / ſint ſex termini a b.c.d.e.f. continuo minori et minori differentia ſe­ſe excedentes. et dico /  aggregatuꝫ ex a. et f. ē ma­ius quam tertia aggregati ex omnibus illis ter-minis et aggregatum ex c.d. terminis mediis et ī-mediatis eſt minus quam tertia totius aggrega-ti ex omnibus ſex. Probatur / quia totum illud ag­gregatum ex omnibus illis ſex componixur ex tri­bus inequalibus adequate quorum primum ē ma­ius ſecundo et ſecundum maius tertio / igitur pri-mum eſt maius quam tertia totius: et tertium mi-nus quam tertia: Patet hec conſequentia quoni-am ſi primuꝫ eſſet vna tertia oporteret /  alia duo eſſent due tertie / et ſic non eēt vtrū alioꝝ duorum minus primo: et ſi primum eſſet minus qnaꝫ tertia oporteret /  aliquod aliorū eſſet maius primo: q2 alias illa tria non facerent tres tertias illius to-tius: et ſic nõ adequate componerēt totū. Et eodē modo patet /  tertium eſt minus quam tertia to-tius quia ſi eſſet tertia vel maius tertia oporteret /  vel reliqua duo eſſent due tertie vel aliquod illo­rum minus eo quod tameu eſt falſum. Et ex conſe­quenti arguitur: primum illorum eſt maius quam tertia totius et tertium minus quam tertia ſed pri­mum illormm eſt aggregatum ex a. et f. et tertium eſt aggregatum ex c.d. / igitur aggregatum ex a.f: eſt maius quam tertia illius totius et aggregatū ex c.d. minus. Couſequentia patet ex ſe Sed reſtat ſimul probare aggregatum ex omnibus illis ſex terminis cõponi ex tribus inequalibus quoruꝫ pri­mum eſt maius ſecundo 2. ſecundū maius tertio et  primum illorum eſt aggregatū ex a. et f. et ſccun­dū aggregatū ex b. et e. etc̈. quia aggregatum ex il­lis ſex terminis cõponitur adequate ex aggregato ex a. et f. et aggregato ex b. et e. et aggregato ex c. et d. / que ſunt tria aggregata partialia / vt conſtat: et aggregatum ex a. et .f. eſt maius aggregato ex b. et e. etc̈. / igitur propoſitū. Arguitur minor / quia ſi per tantã dnr̄aꝫ ſiue tantū exceſſū e. excederet f. ſicut a. excedit b. / tunc aggregatum ex a. et f. eēt equale ag­gregato ex b. et e. / vt patet ex ſecunda concluſione: ſed modo aggregatum ex a. et f. eſt maius / quã tūc quia vna pars eius v3 f. eſt maior / quam tunc et re-liqua equalis puta a. quia per minus exceditur f. ab vno tertio / quam tunc ab eodem / igitur aggre-gatum ex a. et f. eſt maius aggregato ex b. et e. / et ea­dem ratione probabitur /  aggregatum ex b. et e eſt maius aggregato ex c.d. / quod fuit ꝓbandum. Et equali ratione probabis /  cuꝫ dantur octo ter­mini continuo per minus et minus ſe excedentes: et continuo minores et minores:  tunc aggrega­tum ex primo et vltimo eſt maius ꝙ̄ quarta aggre­gati ex omnibus: et aggregatum ex quarto et quī­to eſt minus quam quarta. Et ſi ſint decem aggre­gatum ex primo et vltimo eſt maius quaꝫ vna quī­ta totius: et aggregatum ex quinto et ſexto eſt mi­nus quam quinta totius: et ſic conſequenter: quia tale aggregatum ex octo talibus terminis cõpo-nitur ex quatuor quorum quodlibet eſt cuilibet al­teri inequale. puta primū maius ſecundo et ſecun­dū maius tertio / et ſic ↄ̨ſequenter: et primū illoꝝ eſt aggregatū ex primo et vltimo et ſecundū ex ſecun­do et ſeptimo. et tertiū ex tertio et ſexto et quartum ex quarto et quinto. igitur maximū illorum puta aggregatū ex primo et vltimo eſt maius quã q̈r-ta et minimū puta aggregatū eſt quarto et quinto eſt minus quã quarta: Et ſic in omnibus aliis oꝑa­beris. Patet ergo correlariū. ¶ Sexto ſequitur /  ſi ſint plures termini in numero pari conſtituti cõ­tinuo maiores et maiores continuo maiori et ma­iori exceſſu ſe excedentes: aggregatum ex primo et vltimo eſt maius quã pars aliquota denoīata a numero ſubduplo ad numerū in quo illi termini conſtituuntur et aggregatū ex duobus mediis ī-mediatis equaliter diſtantibus ab extremis: mi-nus quam pars aliquota denoīata ab eodem nu­mero ſubduplo. vt .4.5.7.10.14.19. captis: aggre-gatum ex extremis puta ex .4. et .19. eſt maius quã tertia totius aggregati ex omnibus illis: et aggre­gatum ex .7. et .10. eſt minus quã tertia totius. Hoc correlariuꝫ ex cedenti ſuã ſortitur demonſtratio­nē et quidē euidenter quoniã in eiſdē terminis de­monſtratur ordine prepoſtero ſe habentibus: pu-ta in iſto incipiendo a minoribus in precedenti ve­ro a maioribus. ¶ Sequitur ſeptimo /  ſi ſint plu­res termini numero pari conſtituti continuo mi-nores et minores maiori et maiori exceſſu ſeſe cõ-tinuo excedenter: aggregatuꝫ ex primo et vltimo erit minor pars aliquota totius aggregati ex oī- bus quã ſit pars aliquota denoīata a numero ſub­duplo ad numerum parem in quo ſunt conſtituti dati termini: et aggregatum ex duobus mediis immediatis equaliter diſtantibus ab extremis eſt maius quaꝫ talis pars aliquota. vt captis his terminis .12.11.9.6. aggregatum ex .12. et ſex. eſt minus quam medietas aggregati oīm illorū me­dietas denomīatur a numero binario qui eſt ſub­duplus ad numerū quaternariū in quo illi termi-ni ſunt conſtituti: et aggregatum ex .11. et .9. eſt ma­ius quã medietas. Probatur: et ſint a.b.c.d.e.f.6. termini continuo minores et minores maiori con­tinuo dnr̄ia ſeſe excedentes: et q2 illi ſunt conſtitu­ti in numero ſenario dico /  aggregatū ex primo et vltimo eſt minor pars totius ꝙ̄ pars aliquota eiuſdem totius denoīata a numero ſubduplo ad ſenarium que eſt vna tertia. / et aggregatū ex duo­bus intermediis īmediatis equaliter diſtantibus ab extremis puta c.d. eſt maius quã talis pars ali­quota totius puta quã tertia. Probat̄̄ / q2 tale ag­gregatū cõponitur ex tribus partialibus aggre­gatis adequate puta ex aggregato ex a. et f. et ex aggregato ex b. et e. et aggregato et c. et d. et ag-gregatū ex a. et f. eſt minus ſecundo aggregato et ſecundū minus tertio. igitur aggregatū ex a. et f. eſt minus quaꝫ tertia totius: et aggregatū ex c.d. maius quã tertia totius. Patet hec conſequentia / quia quando aliquid cõponitur ex tribus quoruꝫ quodlibet cuilibet alteri eſt inequale: maius illoꝝ eſt maius quã tertia: et ſic dices quando cõponitur ex quatuor adequate quorū quodlibet cuilibet al­teri eſt īequale: et ex .5. et ex .6. / et ſic deinceps vt po­ſtea oſtendetur. Iam probo minorem videlicet /  aggregatū ex a. et f. eſt minus ſecundo aggrega-to puta ex b. et e. / q2 ſi tanto exceſſu. et dnr̄a a exce-deret b. quanta e. excedit f. / tunc aggregatū ex a. et f. eſſet equale aggregato ex b. et e. / vt patet ex ſecū­da concluſione: ſed modo aggregatū ex a.f. eſt mi­nus quã tunc: quia a. eſt tãtum ſicut tunc et f. eſt mi­nus quã tunc: quia maiori dnr̄ia exceditur modo quã tunc ab eodē puta e. / igitur aggregatū ex a. et f. eſt minus quã aggregatū ex b. et e. / et eadē ratio­ne ꝓbabis /  aggregatū ex b. et e. eſt minus aggre­gato ex c. et d. / et ſic patet minor et totū correlariū / quoniã et ſi iſta ſit particularis demonſtratio tñ dat formã vniuerſaliter ꝓbandi quibuſcū ter-minis paribus conſtitutis. ¶ Similia correlaria poteris inferre buſcun termīs īpari nūero cõ­ſtitutis ſiue continuo maioribus et maioribus ma­iori continuo dnr̄a ſe excedentibus: ſiue eocontra etc. / que omnia predictorum auxilio facile monſtra­ri poſſunt.

5. correla­riū. 6. corre-lariū 7. corre-lariū
1. ele. ior. 3. con. 4. ꝓprie­tas arith­metice medieta­tis.

Tertia concluſio in hac medietate arithmetica / quod ſub extremis continetur cum q̈­drato differentie. equale eſt quadrato medii. Hec concluſio eſt tertia decimi elementorum iordani et breuitatis cauſa hic non demonſtratur / quia eius demõſtratio prolixa eſt eo  dependet ex decima quarta et decima nona primi elementorum eiuſ-dem iordani. ¶ Aduerte tamen pro intelli­gentia contextus ipſius concluſionis /  illud dici­tur contineri. ſub extremis arithmetice ꝓportio-nalitatis quod reſultat ex ductu vnius extremi in alterum: vt numerus octonarius continetur ſub extremis huius ꝓportionalitatis .4.3.2. quia du-cendo .4. per .2. reſultant octo. Bis e .4. ſūt octo Item .32. continētur ſub extremis huius ꝓportio­nalitatis arithmetice .8.7.4. q ducendo .8. per . 4. reſultant: 32. Quater enim octo ſunt .32. ¶ Ad­uerte vlterius /  quadratū medii termini eſt illud quod reſultat ex ductu medii termini in ſeipſuꝫ: vt numerus nouenarius eſt quadratum medii in hac arithmetica proportionalitate .4.3.2. quia reſul-tat ex ductu numeri ternarii in ſeipſum. Nam ter tria ſunt nouē. ¶ Quadratū autē differentie eſt il­lud quod reſultat ex ductu differentie in ſeipſum: vt in hac arithmetica medietate .8.6.4. numerus quaternarius eſt quadratū dnr̄e. Nã differentia eſt numerus binarius / vt conſtat. Binarius enim ductus in ſeipſum quaternarium educit / vt cõſtat. ¶ His dictis ſenſus concluſionis eſt talis. Nume-rus reſultans ex ductu vnius extremi in alterū in medietate arithmetica continua cum numero re-ſultante ex ductu differentie in ſeipſam eſt equalis numero qui fit ex ductu medii in ſeipſū: vt in hac medietate .8. que fiunt ex ductu vnius extremi in al­terum iuncto quaternario numero qui fit ex dictu differentie in ſeipſaꝫ ſunt equalia .36. que fiunt ex ductu ſenarii medii termini in ſeipſum.

quadra-tū medii q̈dratuꝫ dnr̄ie.
4. cõclu-ſio prīa ꝓprietaſ medieta­tis geo-metrice.

Quarta concluſio in medietate geo-metrica q̈tuor terminis conſtituta ſi primus ad ſe­cundū ſicut tertius ad quartum: ita primus ad ter­tiū ſicut tertius ad quartū ſe habeat neceſſe eſt: vt quia ſicut ſe habent octo ad quatuor ita ſe habēt ſex. ad .tria. / conſequens eſt /  ſicut ſe habent .octo ad .ſex. ita quatuor ad tria. Probatur / ſint a.b. c.d. quatuor termini in medietate geometrica: et habeat ſe a. ad .b. ſicut c. ad d. / tūc dico /  ſicut ſe hꝫ a. ad .c. ita b. ad d. Qḋ ſic ꝓbat̄̄ et ṗmo ī nūerꝪ / q2 ſi ſicut ſe habet a. ad b. ita .c. ad .d.b. eſt pars vel par­tes aliquote reſpectu a. eiuſdem denoīationis ſi-cut d. ipſius c. et vltra b. eſt pars aliquota vel par­tes aliq̊te eiuſdē denoīationis reſpectu a. ſicut d. reſpectu c. / ergo ſicut ſe habet a. ad c. ita b. ad d. / qḋ fuit probandū. Secunda conſequētia patet ex vn-decima ſuppoſitione huius capitis: et prima ptꝫ ex hoc / quod inferius probabitur. Si aliqui duo numeri maiores habent ↄ̨ſimiles proportiones ad duos minores: illi minores numeri ſūt partes aliquote maiorū conſimilis denoīationis. Et ſit hec prima proprietas geometrice medietatis.

Probatur iaꝫ vniuerſaliter / ſint a.b.c.d. quatuor termini in hac medietate geometrica conſtituti ſi­ue continuo ꝓportionabiles, ſiue diſcontinue, ſi-ue proportione rationali, ſiue irrationali. et ipſi-us a. ad b. ſit f. proportio: et ſimiliter ipſius c. ad ipſum d. ſit f. proportio: et ſit a. ad .c.g. ꝓportio. et tunc dico /  etiam b. ad d. eſt g. proportio. Quod probatur ſic / et capio ꝓportionem g. / que eſt a. ad c. / et volo /  a deperdat ꝓportioneꝫ f. quam habet ad b. ita  in fine maneat equale ipſi b. / vt oportet et c. perdat eandem proportionem f. quam ex hy-potheſi habet ad ipſum d. ita  in fine maneat eq̈­le ipſi d. / et arguo ſic. huius ꝓportionis g. que eſt a ad c. equalem omnino ꝓportionē deperdit termi-nus maior ſicut minor: quia vter f. proportioneꝫ / vt patet ex hypotheſi: igitur facta tali diminutio­ne adhuc manet inter reſiduum maioris termini et minoris. eadem proportio g. / vt patet ex ſecunda parte decime ſuppoſitionis ſecundi capitis ſecun­de partis ſed reſiduū maioris termini eſt b. et reſi­duū mīoris d. / vt pꝫ ex hypotheſi: igit̄̄ b. ad d. ē g. ꝓ­ portio / qḋ fuit ꝓbãdū. Et ſic ptꝫ ↄ̨cluſio gñaliter.

1. correl. ſcḋa ꝓṗe­tas medi­etatꝪ gro­trice.

¶ Ex hac concluſione ſequitur primo /  conſtitu-tis quatuor terminis in hac medietate ſicut ag-gregatum ex primo et ſecundo ad ſecundū ita ag­gregatū ex tertio et quarto ad quartū vt conſtitu­tis his quatuor terminis .8.4.6.3. ſicut ſe habent 8. et .4. ad .4. ita .6. et .3. ad .3. Probatur / et ſint q̈-tuor termini in hac medietate geometrica ꝓpor-tionabiles a.b.c.d. / dico /  qualis eſt ꝓportio .ab. ad b. talis eſt .cd. ad d. Quod probatur ſic et vo­lo /  b. addatur ipſi a. et d. ipſi c. / et arguo ſic / ſicut ſe habet a. ad b. ita c. ad .d. / ergo b. eſt talis pars ali­quota vel partes aliquote et eiuſdem denomina-tionis reſpectu a. qualis eſt d. reſpectu c. (et proce­das a maioribus verſus minores) et b. additur ip­ſi a. et d. ipſi .c. / igitur equalem ꝓportionem acqui­rit a. ſupra ſe ſicut c. ſupra ſe Patet conſequentia ex correlario vndecime ſuppoſitionis: et eandeꝫ ꝓ­portionē quã acquiſiuit a. ſupra ſe acquiſiuit pro­portio ipſius a. ad b. et ſimiliter eam quam acqui­ſiuit c. ſupra ſe acquiſiuit ꝓportio ipſius c. ad d. / vt patet ex probatione none ſuppoſitionis / igitur facta tali acquiſitione qualis eſt proportio .ab. ad b. talis eſt .cd. ad d. / quod fuit ꝓbandum Pa-tet conſequentia / quia ꝓportio a. ad b. eſt equa-lis proportioni c. ad d. et equalem ꝓportionem ac­quirunt ille due proportiones / igitur ī fine manēt eq̈les / q2 ſi equalibus eq̈lia addas etc. ſꝫ in fine vna illaꝝ ꝓportionū ē .ab. ad .b. et alia ē .cd. ad d. / er-go proportio .ab. ad .b. eſt equalis ꝓportioni .cd. ad d. Eodē mõ ꝓbabis / ſi procedas ad minoribus ad maiores termīos in ꝓportiõe mīoris īeq̈litatꝪ Sed eadē hypotheſi retēta gñaliter probat̄̄ corre­lariū ſic: et volo /  a. diminuat̄̄ ad eq̈litatē b. et c. ad equalitatē d. / et ſic ꝑdēt eq̈les ꝓportiones ex hypo­theſi: deiñ reſiduū ipſius a. acrat ſupra ſeipſū b. et reſiduū c. arat ipſū d. / et manifeſtum eſt /  ag-gregati ex reſiduo a. et ipſo b. ad ipſū b. et aggre­gati ex reſiduo ipſiꝰ c. et ipſo d. ad ipſū d: eſt eq̈lis ꝓportio puta dupla: volo igit̄̄ /  aggregatum ex reſiduo ipſius a. et ipſo b. acrat illa quãtitatem quã deꝑdidit a. ita  maneat aggregatū ex a. et b. et aggregatū ex reſiduo ipſius c. et ipſo d. acrat quãtitatē quã deꝑdidit ipſū c. ita  maneat in fi-ne aggregatū ex c. et d. / et tunc ſetur /  aggregati ex a. et b. ad im b. et aggregati ex c. et d. ad ipſum d. ē eadē ꝓportio / qḋ fuit ꝓbãdū. Probat̄̄ ↄ̨ña. q2 illi termini añ acſitionē quãtitatū deꝑditaꝝ ab ipſo a. et ipſo c. / ſe hēbaut in eadē ꝓportione puta dupla / vt dictū ē: et acſiuerunt eq̈les ꝓportiones termini maiores illaꝝ ꝓportionū: igit̄̄ iter datos terminos manet eq̈lis ꝓportio: q2 ſi eq̈libꝰ eq̈lia addas etc Probatur minor: q2 medietates illorū terminorū maiorū eq̈les ꝓportiões acſiuer̄t: igi­tur et ipſi termini maiores eq̈les proportiões ac­ſinerūt / vt ptꝫ ex tertia cõcluſione ſeptimi capitꝪ ṗ­me ꝑtis: et p ↄ̨ñs proportiões quas hñt ad mīores terminos eq̈les proportiones acſiuerūt / vt ptꝫ ex ſuppoſitione huiꝰ. Et ſic ptꝫ correlariū / qḋ ſit medi­etatis geometrice ſcḋa proṗetas ¶ Setur ſeḋo /  in hac medietate cõſtitutis .4. termīs q̈lis ē ꝓpor-tio ṗmi ad m talis ē ꝓportio aggregati ex ṗmo et tertio ad aggregatū ex ſcḋo. et .4. vt cõſtitutis his terīs .12.6.4.2. q̈ĺ ē ꝓportio .12. ad .6. taĺ ē ꝓportõ 12. et .4: ad .6. et .2. Probat̄̄ / ſint .4: terī ī hac medie­tate a.b.c.d. / et dico /  ſic̈ a. ad b. ita aggregatū ex a. et c. ad aggregatū ex b. et d. Qḋ ſic oñdit̄̄ / et .1. ī nū­ris / et volo /  a. acrat c. et b. acrat d. (et ꝓcedo a maioribꝰ) / et arguit̄̄ ſic ſicut ſe hꝫ a. ad b. ita c. ad d / igr̄ ꝑmutatī ex .4. ↄ̨cĺoe ſicut ſe hꝫ a. ad c. ita b. ad d / et ex ↄ̨ñti ſer̄ /  c. ē ꝑs aliq̊ta vĺ ꝑtes reſpectu a. eiuſ­ dē denoīatiõis ſicut d. reſpectu b. vel eoↄ̈ ſi ꝓpor-tio a. ad c. ſit mīorꝪ īeq̈litatꝪ: et a. arit c. et b. arit d / igr̄ q̀lē ꝓportionē arit nūerꝰ maior hꝰ ꝓportõis q̄ ē a. ad b. talē acrit nūerꝰ mīor. Cõſequētia / ptꝫ ex ſcḋo correlario octaue ſuppõis: g̊ ī fine facta tali acſitiõe manet eadē ꝓportio ſiue eq̈lis illi q̄ ē īter a: et b. / vt ptꝫ ex correlario decime ſuppõnis / et in fi­ne manet proportio .ac. ad bd. / g̊ proportio .ac. ad .bd. ē equalis ꝓportioni a. ad b. / qḋ fuit probandū Sed eadē hypotheſi retēta probo gñaliter /  ſicut ſe hꝫ c. ad d. / ita ſe hꝫ aggregatū ex .ac. ad aggrega­tū ex .bd. Et arguo / ſic ſicut ſe hꝫ a. ad b. ita c. ad d. / g̊ ex ↄ̨cluſione ſicut ſe hꝫ a. ad c. ita b. ad d. diminuat̄̄ / igr̄ a. ad equalitatē c. et b. ad equalitatē d. / et ſic ma­nifeſtū ē /  equalē ꝓportionē deꝑdūt a. et b. Uolo igr̄ /  reſiduū ex a. acrat ſupra ſeipſū c. et reſiduū ex b. ipſū d. et tūc aggregati ex reſiduo a. et ipſo c. ad ipſū c. ē illa proportio q̄ ē aggregati ex r̄ſiduo b. et ipſo d. q2 dupla / vt ↄ̨ſtat: acrat g̊ aggregatū ex reſiduo a. et io c. quãtitatē quã ꝑdidit a. et ag-gregatū ex reſiduo b: et io d. quãtitatē quã deꝑdi­dit b. et tūc manifeſtū ē /  ꝓportio aggregati ex re­ſiduo a. et io c. ad ipſū c. et ꝓportio aggregati ex reſiduo b. et ipſo d. ad ipſū d. eq̈les ꝓportiones ac­rūt q2 medietates maioꝝ termīoꝝ equales ꝓpor­tiões acrūt puta illas quas antea pdiderūt et ſic maiores termī illaꝝ ꝓportionū eq̈les ꝓportiões acr̄t / vt pꝫ ex tertia ↄ̨cĺoe ſeptī capitis ṗme ꝑtꝪ: igr̄ īter illos termīos  ſūt iã .ac. et c. et .bd. et b. manet adhuc eq̈lis ꝓportio: et ꝑ ↄ̨ñs ſicut ſe hꝫ aggrega-tū ex a. et c. ad ipſū c. ita ſe hꝫ aggregatū ex b. et d. ad im d. / igr̄ ex ↄ̨cluſione ſicut ſe hꝫ aggregatū ex a. et c. ad aggregatū ex b. et d. ita ſe hꝫ c. ad d. / quod fuit ꝓbandū. Et ſolēt anti geometre et ſignanter calculator vti hoc correlario ſub his rermīs Qua­lis ē ꝓportio diuiſoꝝ talis ē ↄ̨iūctoꝝ: vt ſi ſint due ꝓportiões duple: et cõpulet̄̄ terminꝰ maior vniꝰ cū termīo maiore vlteriꝰ: et mīor vniꝰ cū mīore alteri­us īter illos termīos ſic ↄ̨iūctos manebit ꝓportio dupla. ¶ Setur .3. /  .4. termīs in hac medietate ↄ̨­ſtitutis: q̈lis ē ꝓportio ſcḋi ad ṗmū talis ē quarti ad tertiū vt ↄ̨ſtitutis. his 4: termīs .8.4.6.3. q̈lis ē ꝓportio .4. ad .8. talis ē .3. ad 6. Ptꝫ hoc coreela-riū facile / q ſꝑ ꝓportiões mīoris īeq̈litatis ſunt eq̈les īter ſe cū ꝓportiões maioris īeq̈litatis bus corrñdent īter ſe ſūt equales: et eoↄ̈. Sicut eī oēs duple ſūt equales: ita oēs ſubduple ſūt equales: et ſic̈ oēs ſubtriple ſṫ eq̈les: ita oēs triple igr̄ vĺr ſi ta­lis ꝓportio fuerit a. ad b. maioris īeq̈litatꝪ q̈lis ē c. ad d. ↄ̨ñs ē  ꝓportio mīoris īeq̈litatꝪ d. ad c. et b. ad a ſint eq̈les. Et ita ēt ꝓbaſſes ſi a. ad .b. fuiſſꝫ ꝓportio mīoris īeq̈litatꝪ. Et hec ſit .4. ꝓṗetas geo­metrice medietatꝪ. ¶ Set̄̄ .4. /  diſpoſitis .4. ter-mīs ſicut ṗmꝰ et ſcḋs ad m et tertiꝰ et quartꝰ ad q̈r ita ṗmꝰ ad m et tertiꝰ ad q̈rtū / vt ↄ̨ſtitutis his .4. termīs .8.4.2.1. / q2 .8. et 4. ad .4. ē talis ꝓportio q̈­lis ē .2. et .1. ad .1. / vt pꝫ ex ṗmo correlario huiꝰ ↄ̨clu­ſionis. Iõ q̈lis ē ꝓportio ṗmi ad m talis ē terti ad .4. / vt ↄ̨ſtat. Probat̄̄ ṗmo / ī nūeris ſint .4. nūeri a. b.c.d. et ſicut .ab.. ad .b. ita c. ad .cd. / tūc ḋt correĺm /  ſicut a. ad b. ita c. ad d. et ſit .a maiꝰ b. et c. maiꝰ d. et deꝑdat .ab:b. et .cd.d. / et arguit̄̄ ſic ſicut ſe hꝫ .ab. ad b. ita c.d. ad d. / igr̄ b. ē talis ꝑs aliq̊ta vel ꝑtes aliq̊te et eiuſdē denoīatiõis reſpectu ipſiꝰ .ab. / q̈lis ē d. reſpectu .cd. et .ab. ꝑdit b. et .cd. ꝑdit d. / g̊ illi duo nūeri maiores puta .ab. et .cd. ꝑdūt eq̈les ꝓportio­nes / vt pꝫ ex .1. correĺ. 8. ſuppõis / g̊ ſet̄̄ /  quãtã ꝓ­portionē adeq̈te ꝑdit ꝓportio ab. ad b. tãtã ade­q̈te ꝑdit ꝓportio .cd. ad d. / vt pꝫ ex nona ſuppoſiti­one: et ille ꝓportões ante erãt equales / vt ponitur igitur mõ manēt equales: q2 ſi ab equalibus equa­ lia demas etc. ſed modo manet proportio a. ad b. et c. ad .d. / ergo ille ſunt equales / quod fuit ꝓbãduꝫ Sꝫ vniuerſaliter probatur /  ſi ſicut ſe hꝫ a.b. ad b. ita .cd. ad d. / tūc ſic̈ ſe hꝫ a. ad b. ita c. ad .d. Qḋ ſic probatur / qr. ſicut ſe hꝫ a.b. ad b. ita c.d. ad d. / ergo ſicut ſe habet a.b. ad c.d. ita b. ad .d. / vt patet ex cõ­cluſione. Uolo igit̄̄ /  a.b. ꝑdat .b. et c.d. ꝑdat d. ita­ maneãt a. et c. / et tūc arguo ſic / a.b. et c.d. ſe habēt in ea proportione in qua ſe habent b. et d. q̄ ſit f. gr̄a argumenti: et a.b. terminus maior deperdit d. et c.d. terminꝰ minor deperdit d. / ergo inter de-perditum a maiori termino et deꝑditū a minori ē ꝓportio f. puta īter b. et d. et talis ꝓportio puta f. eſt īter a.b. et c.d. / vt ꝓbatū eſt: igit̄̄ facta tali deꝑ-ditione vel diminutione inter reſiduū ex a.b. et re-ſiduū ex c.d. manet ꝓportio f. / vt ptꝫ ex ſeptīo cor-relario quarte cõcluſionis octaui capitis huiꝰ par­tis: et reſiduū ex a.b. ē a: et reſiduū ex c.d. eſt c. / igit̄̄ īter a. et c. eſt f. ꝓportio ſicut inter .b. et d. et ꝑ ↄ̨ñs ſi­cut ſe hꝫ a. ad c. ita b. ad d. puta in f. ꝓportione: et ex cõſequēti ſetur ex cõcluſione /  ſicut ſe habet a ad b. ita c. ad d. / qḋ fuit probandū. Et eodē mõ pro­bares ſi a. eēt terminꝰ minor et b. maior. et ēt c. mi­nor et d. maior. ¶ Setur quīto /  diſpoſitis ī hac medietate q̈tuor terminis: ſicut aggregatū ex q̈r-to et tertio ad tertiū ita aggregatum ex ſecūdo et prīo ad primū vt diſpoſitis his termīs .8.4.6.3. ſi­cut ſe hñt 3. et .6. ad .6 ita .4. et .8. ad .8. Probat̄̄ / ſint 4 ṫmini ī hac medietate ↄ̨ſtituti a.b.c.d. / tūc ſicut ſe habet d.c. ad c. ita b.a. ad a. Qḋ ſic probat̄̄ / q2 bñ ſetur ſicut ſe habet a. ad b. ita c. ad d. / igitur ſicut ſe habet a.b. ad b. ita ſe habet c.d. ad d. / vt ptꝫ ex ṗmo correlario huiꝰ concluſionis: et vltra ſicut ſe habet a.b. ad b. ita c.d. ad d. / igit̄̄ ſicut ſe hꝫ d. ad d.c. ita b. ad b.a. / quod fuit ꝓbandū. Ptꝫ hec cõſe-quētia ex ꝓbatione tertii correlarii huius ↄ̨cluſio­nis. Et ſic patet correlariū. ¶ Sequitur ſexto /  diſ­poſitis .3. terminis cõtinuo ꝓportionabilibus hac medietate: et aliis tribus etiã cõtinuo ꝓportiona-bilibꝰ eadē medietate: et eadē ꝓportione qua tres priores cõtinuo proportionant̄̄: ſicut ſe habēt ex-trema ṗmi ternarii: ita ſe habēt extrema ſecundi. vt cõſtitutis .4. et .1.21.6.3. ſicut ſe habēt .4. ad .1. ita 21. ad .3. Sint ſex termini a.b.c.d.e.f. et continuo ꝓportionētur tres primi termini ꝓportione g. / et eadē ꝓportione cõtinuo ꝓportionent̄̄ alii tres pu­ta d.e.f. / et ſit ꝓportio cõpoſita adequate ex dupli­ci g.h. / tūc dico /  eadē eſt ꝓportio a. ad c. q̄ eſt d. ad f. Quod ſic oñditur. q2 ꝓportio a. ad .c. eſt .h. et ea-dē eſt d. ad .f. / igit̄̄ eadē eſt proportio a. ad c. q̄ eſt d. ad f. / qḋ fuit ꝓbãdū. q2 vtrobi h. proportio Pro­batur maior: quia proportio a. ad c. cõponitur ex duplici g. proportione adeq̈te puta ex proportio-ne que eſt a. ad b. q̄ eſt g. et b. ad .c. q̄ etiã eſt g. / igitur illa proportio a. ad c. eſt h. Patet conſequētia / q2 proportio h. vt ponit̄̄ cõponitur ex duplici g. ade-quate. Et iſto mõ probabis minorē: q proportio d. ad f. componitur ex duplici g. puta ex proportio­ne g. q̄ eſt d. ad e. et ex proportione g. que eſt e. ad f. adequate. Et ſic patet correlariū. Et pari demon-ſtratione oſtendes:  conſtitutis tribus quaterna­riis continuo proportionabilibus eadem propor­tione: et quin quinariis: et in quo volueris nūe-ro: in quacun proportione ſe habent extrema vniꝰ in eadē ſe habent extrema cuiuſuis alterius.

2. correl. 3. ꝓṗetaſ medieta­tꝪ geome­trice. eadē ē ꝓ-portio di­uiſoꝝ et ↄ̨­iūctoruꝫ. 4. ꝓprie­tas medi­etatꝪ geo­metrice 5. correĺ. 6. correl.
5. ꝓetaſ medieta­tis geo-metrice.

Quinta concluſio Quotlibet in hac medietate geometrica terminis conſtitutis conti­nuo proportionabilibus:: qualis eſt illoruꝫ termi­norū cõtinuo ꝓportio: talis eſt inter eorū differen­ tias ſiue exceſſns. vt conſtitutis his terminis .16.8 4.2.1. qualis eſt ꝓportio .6. ad .8. talis eſt exceſſus quo .16. excedunt .8. ad exceſſum quo .8. excedūt .4. et exceſſus quo .4. excedunt .2. ad exceſſum quo duo excedunt vnum / vt patet. Eſt enim inter illos exceſ-ſus proportio dupla quēadmodū īter terīos Pro­bat̄̄ / ſint .3. ṫmini cõtinuo ꝓportionabiles .f. ꝓpor-tione puta .ab.cd.e. et exceſſus quo primus excedit ſecunduꝫ ſit a: et exceſſus quo ſecundus excedit ter­tium ſit c. / tūc dico /  ſicut f. ꝓportio eſt inter illos terminos: vcꝫ īter primum et ſecundum et inter ſe-cundum et tertium. ita etiã eſt f. proportio inter a. et c. exceſſus ita  a. ad c. eſt proportio f. Quod ſic oſtendit̄̄ / q2 b. ad d. eſt ꝓportio f. et a. ad .c. eſt eadeꝫ proportio / igitur a. ad c. eſt f. proportio / quod fuit ꝓbandū. Probatur maior / quia b. eſt equale c.d. q2 a.b: excedebat preciſe per a. ipſum .cd. et ſic re-moto exceſſu .b. manebit equale c.d. et d. eſt equale e. eadem rõne: et inter .cd. et e. eſt f. proportio / vt po­nitur: ergo inter b: et d. eſt eadem f. proportio Pa­tet conſequentia / q2 oīm equaliū eſt eadem ꝓpor-tio Minor ꝓbatur / et capio vnū terminū ad quem a. habeat ꝓportionē f. qui ſit g. / et arguo ſic / ſicut ſe habet b. ad d. ita ſe habet a. ad g. puta in f. propor­tione: ergo ſicut ſe habet b. ad d: puta in f. ꝓportio­ne ita ſe habet a.b. ad g.d. puta in f. proportione. Patet hec conſequentia ex ſecundo correlario q̈r­te concluſionis: et .ab. etiam ad .cd. eſt proportio f. / vt ponitur igitur g.d. et c.d. ſunt equalia. Patet conſequentia / quia idem tertium eandē ꝓportiõeꝫ hꝫ ad vtrum illoꝝ: et vltra .gd. et c.d. ſūt eq̈lia: g̊ eodē cõi dēpto puta d. r̄ſidua manebūt eq̈lia / ſꝫ re­ſidua ſunt g. et c. / g̊ g. et c. ſunt eq̈lia et a. ad g. eſt f. proportio / vt poſitū eſt / ergo a. ad c. eſt f. proportio / quod fuit ꝓbandum Patet hec conſequētia / quia eiuſdē tertii ad vtrū duorū equaliū eſt eadem ꝓ­portio. Et ſic ptꝫ concluſio Q eo modo quo pro­batū eſt in illis tribus terminis probabitur quot­cnn diſpoſitis cõtinuo proportionabilibus hac medietate. Et hec ſit quinta proprietas medieta-tis geometrice. ¶ Ex hac concluſione ſequitur pri-mo /  ſi duo numeri inequales continuo diminuã­tur continuo in eadem ꝓportione manentes: con-tinno deperditū maiori numero ſe habet in eadeꝫ ꝓportione ad deperditū minori numero in qua cõ­tinuo ſe habent illi numeri qui diminuuntur. vt ſi numerus octonarius et quaternarius continuo di­minuantur continuo manētes in ꝓportiõe dnpla: continuo deperditum ab octonario ſe habebit in ꝓportione dupla ad deperditum a quaternario. Hoc correlarium facile ex demonſtratione conclu­ſionis probatur. ¶ Sequit̄̄ ſecundo /  ſi nõ conti-nuo deperditum maiori numero ſe habeat ad de­perditum a minori numero in eadem proportiõe: in qua continuo ſe habent illi numeri  diminuun­tur: illi duo numeri inequales  cõtinuo diminuū­tur non ſe habent in eadem ꝓportione etc. Patet hoc correlarium ex priori / q cedens correlariū eſt vna conditionalis a: igitur ex oppoſito ↄ̨ñtis eius ſequit̄̄ oppoſitum añcedentis: et ꝑ conſequēs conditionalis in qua arguitur ex oppoſito conſe­quentis illius ad oppoſitum añtis eſt vera: et ta-lis eſt correlarium / igitur correlarium verum.

1. correĺ. 2. correĺ.
3. correĺ.

¶ Sequitur tertio /  ſi continuo deperdita a duo­bus numeris inequalibus manent in eadem pro-portione in qua ſe habent illi numeri in principio deperditionis: numeri remanētes cõtinuo manēt in eadem ꝓportione. vt ſi numerus duodenarius et ſenarius diminuantur: et continuo deperdituꝫ a duodenario ſe habeat in proportio dupla a ſenario: continuo illud quod remanet ex duode-nario ſe habet in proportione dupla ad illud qḋ remanet a numero ſenario. Et ſub tenore huiꝰ exē­pli ego intelligo correlarium Non enī in iſtis exa­ctꝰ ſenſus dialecticus ex expetendus ſed ipſa ma­thematica ſententia eſt efflagitanda. Hoc correla­rium perinde at primum demonſtrationem con­cluſionis exquirit. Applica vt vales.

4. correĺ.

¶ Sequitur quarto /  quandocun duo numeri ī­equales continuo creſcunt: et continuo ſe habent in eadem proportione: oportet /  continuo acqui­ſitū maiori numero ſe habeat in eadeꝫ proportio­ne ad acquiſitum minori in qua ſe habent illi nūe­ri creſcentes. vt ſi numerus quaternarius et ſena-rius continuo creſcant et continuo manent in pro­portione ſexquialtera: oportet /  continuo acqui­ſitum ſenario ſe habeat in proportione ſexquial-tera ad acquiſitum quaternario. Hoc correlariuꝫ eadem cum precedentibus demonſtratione oſten-ditur. ¶ Sequitur quinto /  datis quibuſcun duobus numeris inequalibus ſe habentibus ī ali­q̄ ꝓportiõe et ī ea ꝓportiõe ī q̄ mīor excedit̄̄ a maio­re ī eadē cõtinuo tardiꝰ creſcat maiore: cõtinuo ta­les numeri manent in eadem proportione. vt da-tis: 4. et .6. ſe habentibus in proportione ſexqui-altera: ſi quando ſex acquiſiuerint aliquod cremē­tum. quatuor acquirant in ſexquialtero minus: ip­ſi continuo manent in proportione ſexquialtera. Probatur hoc correlarium / quoniam ſi in eadem proportione in qua numerꝰ maior ſe habet ad mi­norem velocius creſcat quaꝫ minor: ſequitur /  cõ­tinuo inter acquiſitum minori numero eſt eadem proportio que eſt inter illos numeros. vt patet ex probatioue concluſionis: et per conſequens con-tinuo tales numeri manent in eadem proportione Et ſic patet correlarium

Sexta concluſio Datis tribus nu-meris in hac medietate conſtitutis: quod fit ex du­ctu extremi in extremum equale eſt quadrato me-dii: hoc eſt illi numero qui reſultat ex ductu medii termiui in ſeipſum. vt conſtitutis his tribus termi­nis .8.4.2. numerus ſexdenarius reſultans ex du-ctu octonarii in binarium eſt equalis numero qui fit ex ductu quaternarii in ſeipſū / vt conſtat. Pro­batur hec concluſio / ſint tres numeri a.b.c. in hac medietate conſtituti continuo ꝓportionabiles .g. ꝓportione: et ſit d. numerus reſultãs ex ductu a. in b. et e. ſit numerus reſultãs ex ductu b. in idē b. et f. numerus reſultans ex ductu a. in c. / tunc dico /  e. et f. ſunt equales. Qḋ ſic ꝓbatur: q d. ad e. eſt ꝓpor­tio g. et d. ad f. eſt eadē ꝓportio g. / ergo e. et f. ſunt equalia / quod fuit ꝓbandū. Patet conſequētia et maior oſtenditur. quia ſicut ſe hꝫ d. ad a. ita ſe ha-bet e. ad .b. q2 toties adeq̈te a. cõtinet̄̄ in d. quoties eſt vnitas in b. et toties continetur b. in e. quoties eſt vnitas in b. cum d. fiat ex ductu a in b. et e. ex du­ctu b. in b. / igit̄̄ ſicut ſe habet d. ad a. ita e. ad b. Con­ſequētia claret ex tertia ſuppoſitione huius capi-tis: et ex conſequēti ſicut ſe hꝫ d. ad a. ita e. ad b: er­go ſicut ſe habet d. ad e. ita ſe habet a. ad b. ſed a. ad b. eſt g. proportio / ergo .d. ad e. eſt g. ꝓportio / qḋ fuit ꝓbandū. Patet igitur maior. Iã probat̄̄ mi-nor. q2 d. in g. ꝓportione pluries cõtinet a. quaꝫ f. contineat idē a. adeq̈te: ergo d. ſe habet ad f. in g. ꝓportione Patet conſequentia ex tertia ſuppoſi­ctione allegata. Probatur antexedens / q2 d. toti­es continet a. quoties eſt vnitas in b. cuꝫ a. in b. du­catur et inde reſultat d. et f. toties continet a quo ties eſt vnitas in c. eadē rõue: ſꝫ in g. ꝓportiõe plu­ries continetnr vnitas in b. quã in c. cū b. et c. ſe ha­beant in g. ꝓportione: ergo in g. ꝓportione pluri­es cõtinetur a. in d. quã in f. / qḋ fuerat oñdendū. Et ſic patet cõclnſio q̄ ꝓfecto pulchra eſt et induſtria q̄ ſit huius medietatis. ſexta proprietas. ¶ Ex hac concluſione ſetur ṗmo /  ī hac medietate id quod fit ex ductu vnius extremi ad triū termīorū alterū extremū eſt numerꝰ quadratꝰ: Probatur / q2 talis numerus eſt equalis quadrato medii termini / g̊ eſt numerus quadratus Cõſequētia patet de ſe et añ­cedens ex concluſione. ¶ Sequitur ſecundo /  ſi cõ­ſtitutis duobus numeris ſe habentibus in aliqua ꝓportione maioris ineqnalitatis rationali. nūe-rus  fit ex ductu vnius extremi in alterū non eſt q̈­dratꝰ: inter tales termīos nõ eſt medium ꝓportio­nabile ꝓportione rationali: ita  ṗmi ad illḋ me-diū ſit eadē ꝓportio rationalis que eſt illius me-dii ad tertiuꝫ. Probatur hoc correlarium / qnia ſi inter tales numeros reperiatur mediū ꝓportiõa-bile ꝓportione rationali: puta aliquis numerus medio loco proportionabilis: iam ſequitur /  ibi­dē reperiuntur tres numeri cõtinuo ꝓportionabi­les hac medietate: et ꝑ cõſequēs numerꝰ  fit ex du­ctu extremi in extremum eſt equalis quadrato me­dii / vt patet ex coucluſione: igitur talis numerus ē quadratus / vt patet ex primo correlario / quod eſt oppoſitū añcedetis correlari ꝓbãdi. īfert igir̄ cor­relarii oppoſitū conſequentis oppoſitū añceden-tis / et ꝑ conſequēs correlarium verum. ¶ Sequitur tertio /  ſi medium proportionabile īter duos nu­meros ſe habētes in proportione maioris inequa­litatis nõ ſit latus numeri contenti ſub extremis: tunc numerus qui fit ex ductu vnius extremi in al-terū nõ eſt quadratus. Probatur / ſint a.c. duo nu­meri ſe habentes in proportione maioris inequa­litatis a. maior c. minor: et numerus qui fit ex du­ctu a. in c. ſit d. et e. ſit medium ꝓpõrtionale inter a et c. / tunc dico /  ſi e. non ſit latus ipſius d: d. nõ eſt numerus quadratus. Quod ſic oñditur: q2 ſi d: ſit numerus quadratus ſequitur /  eius latus eſt e. / igitur ex oppoſito ſequitur oppoſitum: et per con­ſequens correlarium verum. Probatur antece-dens / quia ſi d. eſt numerus quadratus cum nõ ſit quadratus a. nec quadratus ipſius c. / vt conſtat: q quando duo numeri inequales in ſeipſos du­cuntur quod inde ſit neutrius illoꝝ eſt quadratuꝫ: ſed eſt alicuius numeri minoris maiore illorum et maioris minore: ſit igitur talis numerus b. cuius d. eſt quadratum / et ſequitur /  a. ad b. eſt aliqua ꝓ­portio: conſtituo igitur tres terminos continuo ꝓ­portionabiles illa proportione a. ad b. que ſint a. b.h. / et ſequitur ex cõcluſione /  numerus qui fit ex ductu a. in h. eſt equalis ipſi d. et per te numerꝰ qui fit ex ductu a. in c. eſt equalis ipſi d. Imo eſt ipſum d. / igitur h. et c: ſunt numeri equales. Patet hec cõ­ſequentia / q2 ex ductu vuius tertii in vtrū illorū reſultat idem numerus. et ſic tot vnitates continet c. ſicut h. / et per conſequens ſunt equales. ſed inter a. et h. eſt mediū ꝓportionale quod eſt latus qua-drati quod fit ex ductu a. in h. quod latus eſt b. / igi­tur inter a. et c. eſt mediū ꝓportionale quod eſt la-tus quadrati quod fit ex ductu a. in h. / et per conſe­quens medium e. inter a. et c. eſt latus numeri d.  fit ex ductu a. in c. / quod fuit probandum. Et ſic pa­tet correlarium. ¶ Sequitur quarto /  conſtitutis duobus terminis ſe habentibus in aliqua ꝓpor-tione maioris inequalitatis rationali ſi numerus qui fit ex ductu vnius extremi in alterum ſit qua- dratus: inter tales numeros reperitur medium ꝓ­portionabile ꝓportione rationali ita  primi ad ipſum ſit ea proportio rationalis que eſt ipſiꝰ ad tertium. et illius numeri quadrati tale medium eſt vnum latus. Probatur prima pars huius corre-larii / quia illa pars eſt vna cõditionalis ex cuiꝰ op­poſito conſequentis / ſequitur oppoſitum antece-dentis: vt patet ex ſecundo correlario: igitur illa pars vera. Secunda probatur ex correlario īme-diate precendenti. ¶ Sequitur quīto /  inter ṗmos numeros ꝓportionis duple: triple: octuple: ſex-altere etc̈. non inuenitur medium ꝓportionabile ꝓ­portione rationali Probatur primo de dupla / q̄ eſt inter iſtos terminos .4.2. quoniam numerus  fit ex ductu vnius extremi in alterum puta .4. in .2. non eſt quadratus / igitur inter illa extrema non ī­uenitur medium ꝓportionabile proportione ra-tionali Añs patet intelligenti diffinitionem nu-meri quadrati. et conſequentia patet ex ſecundo correlario. Et eodē modo ꝓbabis reliquas ꝑtes. ¶ Et ex hoc habes pulchrū documentuꝫ ab cogno­ſcendū quãdo aliqua ꝓportio īeq̈litatꝪ habet ſub­duplam proportionem ad eam rationalem. Quã­do enim numerus reſultans ex ductu vnius extre-mi in alterum non eſt quadratus / tunc talis ꝓpor­tio non habet ꝓportionem rationalem ſubduplã ad illam cum non habeat medium ꝓportionabile ꝓportione rationali. et ſic tale medium inter ter-minos illius ꝓportionis non ſe habet vt numerꝰ reſpectu alicuius extremi illius ꝓportionis. Si eī ſe haberet vt numerus: maioris extremi ad ipſum eſſet aliqua ꝓportio rationalis: et ipſius ad mini­mum extremum eſſet eadem ꝓportio rationalis: et ſic iam ibi eſſent tres numeri continuo ꝓportiona­biles in hac medietate geometrica: et ſic numerus qui fit ex ductu extremi in extremū eſſet quadratꝰ / vt patet ex primo correlario / quod eſt oppoſitū da­ti. Et ex hoc facile elicitur ꝓportionem irrationa-lem neceſſario ponendã eſſe: quod nota.

1. correĺ. 2. correĺ. 3. correĺ. 4. correĺ. irrõnaliſ ꝓportio alio mõ ponenda oñditur.

Gratia ordinis obſeruandi medieta­tis harmonice aliquas proprietates ponã quas non intendo demonſtrare: quia huic operi paruꝫ conducunt. ¶ Prima proprietas Medietas har-monica in maioribus terminis maiorem ſeruat ꝓ­portionē quam in minoribus. Hoc eſt dicere /  ca­ptis tribus terminis hac medietate ꝓportionabi­libus: maior eſt proportio maximi ad mediū: quã medii ad minimū. vt conſtitutis his terminis .12.8 6. maior eſt proportio .12. ad .8. que eſt ſexquialte­ra quã .8. ad .6. que eſt ſexquitertia. ¶ Secunda ꝓ-prietas. tribus terminis in hac medietate conſtitu­tis medius terminus in collectas extremitates du­ctus dupluꝫ numero qui fit ex extremo in extremū ꝓducit. vt conſtitutis predictis terminis .12.8.6. et collectis extremis puta .6. et .12. que .18. conſtituūt numerus qui fit ex ductu medii puta octonarii in collectas extremitates puta ī .18. eſt duplus ad nu­merum qui fit ex ductu extremorum .12. ſcilicet ī .6 Quod patet / quia ille eſt .144. hic vero .72. mõ con­ſtat illū eſſe dupluꝫ ad hunc. ¶ Tertia proprietas in hac medietate determinatis extremis medius terminus reperitur ſi per extremorum coniuncto-rum numerum: numerus qui ex differentia extre-morum in minimū conſurgit diuiditur. iſ qui ex diuiſiõe relinquit̄̄ accipiat̄̄: at minimo extre-mo aggregatur. vt determinatis his terminis .6. et .3. / ſi vis inuenire medium harmonicum inter il-los addas extremū extrēo puta .3. iis .6 et erūt 9. / deiñ ducas dnr̄aꝫ inter .6. et .3. in .3. mīmū extremū: et quia illa differentia eſt .3. ex ductu eius in .3. fi-unt .9. diuidas / igitur .9. per .9. et relictū ex diuiſio­ne erit vnitas: addas igitur vnitatem ternario: et aggregatum ex illa vnitate et ternario eſt mediuꝫ harmonicum inter ſex. et tria: eſt enim aggregatū illud quaternarius numerus. Modo .6.4.3: ꝓpor­tionantur harmonice. ¶ Et hic aduerte /  quibuſ-cū duobus numeris inequalibus cõſtitutis hac doctrina mediante reperies medium terminū in-ter eos: et hoc cum fractione aut ſine inter .4. enim et .3. medium harmonicū eſt .3. cuꝫ tribus ſeptimis Quomodo autem inueniatur medium geometri-cum partim ex his / que dicta ſunt / patet et comple­te in poſterum dicetur.

ṗma ꝓṗe­tas medi­etatꝪ har­monice. ſcḋa ꝓṗe­tas medi­etatꝪ har­monice. 3. ꝓṗetas medieta­tis har-monice.
Capitulum tertium / in quo agitur de quibuſdam propor­tionalitatibus et modis argu­endi in eis.

SEx modos argumentandi pro­portionabiliter ſiue in ꝓportionalitati-bus quibus nonun̄. et philoſophi et cal­culatores phiſici vtūtur ponit Euclides ſexto ele-mentorum et recentiores mathematici poſt eum. ¶ Iſtarum autem argumentationum prima dici-tur conuerſa: ſecunda permutata: tertia coniun-cta. quarta diſiuncta. quinta euerſa: et ſexta equa. ¶ Pro intelligentia primi modi arguendi aduer­tendum eſt /  in propoſito antecedens alicuius ꝓ­portionis dicitur terminus / qui ad alterum com-paratur et conſequens terminus cui aliquis com­paratur / vt cum dicitur quatuor ad duo ille termi­nus quatuor eſt antecedens et duo conſequens / et ſi dicamus duo ad quatuor duo dicuntur antece-dens et quatuor conſequens ¶ Iſto ſuppoſito pro­portionalitas conuerſa eſt quando ex anteceden-tibus fiunt conſequētia: et eocontra. Uel aliter eſt proportionalis illatio in qua ex proportionibus maioris inequalitatis concluduntur proportio-nes minoris ineq̈litatis eis correſpondentes. ſic arguendo ſicut ſe habet octo ad quatuor ita duo a­d vnum / igitur ſicut ſe habet vnum ad duo ita qua­tuor ad octo. Et etiã econuerſo cõcludēdo ex pro­portionibus minoris inequalitatis ꝓportiones maioris īeq̈litatꝪ eis correſpõdētes. ¶ Permuta-ta ꝓportiõalitas dicit̄̄ / cū ex ãtecedēte ſcḋe ꝓporti-onis ſit ↄ̨ñs prime et ex ↄ̨ñti prime ſit añs ſcḋe. Uel aliter eſt diſpoſitis quatuor terminis geometri-ce proportionalibus primi ad tertium. et ſecundi ad quartum proportionalis illatio ſic arguendo ſicut ſe habet .8. ad .4. ita .2. ad .1. / igitur ſicut ſe ha­bent .8. ad .2. ita .4. ad vnū. Et iſto modo arguen-endi vtitur philoſophus in pleriſ locis vt in fi-ne ſecundi perihermenias: in tertio topi. et in pri­mo celi et mundi in tractatu de infinito. ¶ Coniun­cta proportionalitas eſt a diſiunctis terminis geo­meteice proportionabilibus ad coniunctos pro-portionalis illatio. tali modo arguendo: ſicut ſe habent .8. ad .4. ita .2. ad .1. / igitur ſicut ſe habent. octo et quatuor ad quatuor ita duo et vnū ad vnū ¶ Diſiuncta proportionalitas eſt a cõiunctis ter-minis geometrice proportionabilibus ad diſiun­ctos proportionalis illatio. tali modo arguendo / ſicut ſe habent 8. et .4. ad .4. ita duo et vnū ad vnū / igitur ſicut ſe habent octo ad quatuor ita duo ad vnum. ¶ Euerſa ꝓportionalitas eſt a diuiſis ter-minis geometrice proportionabilibus ad coniun­ctos ordine conuerſo ad coniunctam proportio- nalis illatio. iſto modo arguendo ſicut ſe ha-bent octo ad quatuor ita duo ad vnū. igitur ſicut ſe habēt vnū et duo ad duo ita quatuor et octo ad octo. Et differt iſte modus arguendi a tertio / quia in conſequente tertii inferuntur ꝓportiones ma-ioris inequalitatis in iſto autem inferuntur ꝓpor­tiones minoris inequalitatis. ¶ Equa aūt ꝓpor-tionalitas eſt duabus multitudinibus quantita-tum aut numerorū datis numero equalibus: et ꝓ-portionabilibus continuo eadem proportione: ex­cluſis mediis extremorum ꝓportionalis illatio. Iſto modo arguendo ſicut ſe habent .1.2.4. ita .4. 8.16. / igitur ſicut ſe habent .4. ad .16. ita .1. ad 4.

ꝓportõa­litas con­uerſa ꝑmutata Cõiūcta. diſiūcta. Euerſa. Equa ꝓ-portiõa-litas.

Poteris etiã exēplificare in aliis generibus pro-portionū addendo in qualibet illarū duarū mul-titudinū quotcun terminos volueris dūmõ ſint continuo ꝓportionabiles: et tot in vna multitudīe quot in altera. ¶ Et aduerte /  illa particula ſicut ſe habent que ponitur in oībus his modis arguē-di: denotat ſimilitudinē ſpecificã ꝓportionum. Et intelligitur ſic ſicut ſe habēt .1.2.4. ita .3.6.12. hoc eſt quacun ꝓportione ꝓportionantur ſereatim 1.2.4. / eadē ꝓportione ſpecifice ꝓportionant̄̄: 3.6. 12. ¶ Sed q hi ſex modi argumētandi in ꝓpor-tionalitatibus ſunt plurimū vſitati: et apud phi-loſophantes calculatores et apud primores ma-thematicoꝝ celebres habentur quibus magnam ſue doctrine partē demõſtrant: ideo nõ abs re eos arguendi modos in preſentiaꝝ duxi demonſtran­dos: q hoꝝ modoꝝ arguendi demõſtrationes ex precedenti capite eliciūtur facile. Sit igitur.

Denota-tio illius ꝑticule ſi­cut ſe hꝫ:

Prima concluſio. Argumentatio a cõuerſa ꝓportiõalitate eſt neceſſariū argumentū. Hec concluſio ſuã demonſtrationē ex tertio corre-lario quarte cõcluſionis precedentis capitis ſorti­tur: q illud correlariū principaliter oſtēdit hūc modū arguēdi ꝓportiõalitate cõuerſa eſſe validū

Secunda concluſio modus ratioci-nandi a ꝓportionalitate permutata ſiue cõmuta-ta infallibilis eſt. Probatur hec cõcluſio manife-ſte ex quarta precedentis capitis. Idem enim hec et illa intendunt.

Tertia cõcluſio Deductio illa et mo­dus arguendi qui ꝓportionalitati cõiuncte īnitit̄̄ omni exceptione eſt maior. Patet hec cõcluſio de-monſtratione euidenti ex primo correlario eiuſdē quarte concluſionis.

Quarta concluſio Forma ratiocinã­di a diſiūcta ꝓportiõalitate oēm exuperat inſtan-tiam. Semꝑ prauū excipio intellectū. Hec conclu-ſio patrocinante quarto correlario quarte cõclu-ſionis predicte manifeſta euadet.

Quinta concluſio Conſequentia il­la que ꝓportionalitas euerſa nūcupat̄̄ omne du-bietatis telū euertit facile: et inconcuſſa permanet Hec etiã cõcluſio quīti correlarii auxilio mõſtrat̄̄.

Sexta concluſio Equa argumenta­tio ita equitatis mediū ſureat: vt nullo inſtantie vicio in eã adducto ab equitatꝪ et rectitudinis tra­mite declinet. Huiꝰ concluſionis inconcuſſa equi-tas at īuiolata veritas clipeis et armis ſexti cor­relarii eiuſdē concluſionis munitur et defenſatur Et hec ad demõſtrandos predictos arguendi mo­dos dixiſſe ſufficiat / q illoꝝ correlarioꝝ demon-ſtratio harum cõcluſionum eſt euidens probatio.

Capitulum quartum / in quo agitur de ex-ceſſu cõpoſitione et diuiſione ꝓportionū.

AD inueſtigandum paucis ex quibus ꝓportionibus ꝓportio aliqua cõponitur: in quas reſoluitur: et qua vĺ quibus minorē excedit: pono aliquas ſuppoſitio-nes quarum alique ſunt diffinitiones: et petitio-nes: alie vero demonſtrabuntur.

Prima ſuppoſitio. Primi termini a-licuius ꝓportionis ſunt illi qui in ſua ꝓportione ſunt minimi. Minimi autē termini alicuiꝰ ꝓporti-onis (et loquor tam in quantitate continua quam diſcreta) ſunt quorū minor denominatur ab vni-tate: maior vero a numero vel numero cū fractiõe vel vnitate cū fractione. Hec nõ ꝓbatur / q2 diffini­tio eſt ſed exēplo explicatur binarius e et vnitas ſunt primi termini ꝓportionis duple: ternarius et vnitas triple: quaternarius et vnitas quadruple: et ſic cõſequenter. Unitas et vnitas cū medietate: et vnitas cū vnitate et tertia. Itē vnitas cū quarta et vnitas / et ſic cõſequenter ſunt primi termini ſuper-particulariū proportionum. Unitatis .n. cum me-dietate ad vnitatem eſt ſexquialtera: et vnitatis cum tertia ad vnitatem ſexquitertia: vnitatis cum quarta ſexquiquarta: et ſic conſequēter. Et iſto mo­do exēplificabis in aliis generibus proportionis.

Minimi termini.

Secunda ſuppoſitio. Denominatio alicuius ꝓportionis eſt illa que ſumitur a maiori primoꝝ terminoꝝ talis ꝓportionis. vt denomina­tio duple ſumitur a binario qui eſt maior termi-norū primoꝝ proportionis duple: et denominatio ſexquialtere ab vnitate cū dimidio. ¶ Ex quo ſe-quitur /  ſpecies ꝓportionis multiplicis denomi­nãtur cõſequenter a naturali ſerie numeroꝝ. Ptꝫ / q2 maior terminus primoꝝ terminoꝝ ꝓportionis duple eſt binariꝰ, triple, ternariꝰ, quadruple qua­ternarius: et ſic conſequēter ꝓcedendo per natura­lē ſeriē numeroꝝ referendo numeros ad vnitatem / igitur ex ſecūda ſuppoſitione tales ſpecies deno-minantur a naturali ſerie. ¶ Sequitur ſecundo /  ſpecies ꝓportionis ſuperparticularis denominã­tur ab vnitate cū aliqua parte aliquota. Probat̄̄ / q2 maior terminus primoꝝ numeroꝝ ꝓportionis ſexquialtere eſt vnitas cū dimidio: et ſexquitertie vnitas cū tertia: et ſexquiquarta cū quarta / et ſex-quiquinta cū quinta: et ſic conſequenter deſcendē-do per partes aliquotas denominatas continuo a naturali ſerie numeroꝝ: igitur ſpecies ꝓportio-nis ſuperparticularis denominantur ab vnitate cū parte aliquota. ¶ Sequitur tertio /  oēs ſpeci-es ꝓportionis ſuprapartientis denominantur ab vnitate cū aliquot partibus aliquotis nõ facien-tibus vnã. Probatur / q2 maior primoꝝ terminoꝝ ꝓportionis ſuprabipartientis tertias eſt vnitas cū duabus tertiis: et ſuprapartiētis quītas vni-tas cū duabus quintis: et ſuprabipartientis ſepti­mas vnitas cū duabus ſeptimis: et ſic conſequen-ter: diſcurrēdo per duas partes aliquotas nume-ri imparis. Item diſcurrendo per tres partes ali­quotas nõ facientes vnã. / per quatuor. / per quin / et ſic conſequenter: igitur ſpecies ꝓportionis ſu-prapartiētis denominãtur ab vnitate cū aliquot partibus aliquotis nõ facientibus vnã ¶ Sequit̄̄ quarto /  ꝓportiones cõpoſite denominãtur a nu­mero cū fractione partis aliquote vel partiū ali-quotarū nõ facientiū vnã. Oſtendas hoc correla-riū ſicut precedentia.

1. correla­rium. 2. correĺ. 3. correĺ. 4. correĺ.

Tertia ſuppoſitio. Oēs proportiões ſūt eq̈les quarū denoīationes ſunt eq̈les et illa ma­ior cuiꝰ denoīatio ē maior: et illa mīor: cuiꝰ denoīa­tio mīor. Illa autem denoīatio dicitur maior / que ſumitur a maiori numero cū fractione vel ſine: vel ab vnitate cū maiori fractione. Hec nõ demõſtra-tur / q2 diffinitio eſt / et a iordauo petitur in princi-pio ſecūdi elemētoꝝ. Exemplū / vt ꝓportio que eſt 8. ad .4. eſt equalis ꝓportioni que eſt .2. ad .1. quia vtra illarū denominatur dupla. Sexquialtera autē maior eſt ſexquitertia: q2 denominatio eius maior eſt: denominatur e ab vnitate cū medieta­te: altera vero ab vnitate cum tertia. Modo plus eſt vnitas cū medietate quã cū tertia.

Ior. ſcḋo ele.

Quarta ſuppoſitio. Omne totum ex quantolibet minori eo cõponitur: et diſtribuat ly quãtolibet pro generibus ſingnloꝝ. Probat̄̄ hec ſuppoſitio / q2 quãtūlibet minus aliquo maiori eo eſt pars illius: ergo ex quãtolibet tali cõponitur. Probatur antecedens / q2 capto vno pedali: quã-talibet mīor quãtitas pedali eſt ꝑs eiꝰ / vt ptꝫ ex ſe.

Quinta ſuppoſitio. Omne cõpoſitū ex duobus equalibus adequate: eſt preciſe duplū ad vtrū illoꝝ: et omne cõpoſitū ex tribus equali-bus adequate eſt triplum ad quodlibet illoꝝ: et ex quattuor quadruplū: et ex quin quintuplum .etc̈. Patet hec ſuppoſitio ex diffinitione dupli, tripli quadrupli, et ſic ſine termino.

Sexta ſuppoſitio. Omne cõpoſituꝫ ex duobus inequalibus eſt maius quã duplum ad minꝰ illoꝝ: et minus quã duplū ad maius illoꝝ: et ſi cõponatur ex tribus inequalibus: eſt maius quã triplū ad minimū illoꝝ: et minꝰ quã triplū ad ma-ximū: et ſi ex quattuor eſt maius quã quadruplum ad minimū illoꝝ: et minus quã quadruplū ad ma­ximū: et ſic conſequēter: ſi cõponatur ex quin, ex ſex .etc̈. Probatur prima pars: q2 illud cõpoſitum continet minus illorū duorū bis: et aliquid vltra: ergo eſt maius quã duplū ad illud. Cõſequētia eſt nota: et antecedens ꝓbatur: q2 ſi ↄ̨tineret minꝰ bis adequate iam illud eſſet ſua medietas: et per con-ſequens reſiduū etiã eſſet medietas: et ſic illa duo eſſent equalia / quod eſt contra hypotheſim. Alia pars huius partis ſimiliter ꝓbatur / q2 ſi eſſet du-plū ad maius illoꝝ / iã illud eſſet ſua medietas / qḋ modo eſt īpugnatū. Secūda pars probatur / quia illud cõpoſitū continet minimū illoꝝ triū ter et a-liquid vltra: ergo eſt pluſquã triplū ad illud. Con­ſequētia patet et antecedens ꝓbatur / q2 ſi cõtineret eū ter adequate iã illud eſſet vna tertia eius / vt ptꝫ ex ſe et ꝑ cõſequēs alie due partes eſſent due tertie / et ſic aggregatū ex eis eſſet dupluꝫ ad illud mini-mū: ſed hoc eſt falſum: q2 alterū illoꝝ duoꝝ eſt ma­ius iſto minimo: et aliud equale vel maius / vt con-ſtat: igitur aggregatū ex iſtis duobꝰ eſt maiꝰ quã duplū ad illud minimū. Alia pars huius partis ꝓbatur / q2 maximū illoꝝ triū eſt maius quã tertia / ergo cõpoſitū ex illis eſt minꝰ quã triplū ad illud. Cõſequentia patet et antecedens ꝓbatur / q2 ſi eſſet adeq̈te tertia iã alie due ꝑtes eſſent due tertie: et ſic aggregatū ex eis eſſet duplū ad illud / qḋ eſt falſuꝫ / q2 aggregatū ex aliis duobus componitur ex vno minori illo: et alio equali vel minori: igitur aggre­gatū ex eis nõ eſt duplū ad illud. Et ſic ꝓbabis ali­as partes. Patet igitur ſuppoſitio.

Septima ſuppoſitio. Quãdo aliqua latitudo ſiue exceſſus additur alicui maiorē ꝓpor­ tionē acquirit quã quãdo eidē additur minor ex-ceſſus ſiue latitudo: vt quando quaternario addi­tur quaternarius maiorē ꝓportionē acquirit quã quando ei additur binarius: Et ex conſequenti ſe-quitur /  quãdo alid deperdit aliquã latitudinē ſiue quantitatē maiorē ꝓportionē deperdit quaꝫ quando deperdit minorē latitudinē. Hec ſuppoſi­tio cū ſuo correlario propter ſui euidentiã nõ pro­batur: ſed ſimpliciter petitur.

Octaua ſuppoſitio. Quãdocū idē exceſſus ſiue latitudo additur maiori et mīori: ma­iorē ꝓportionē acquirit minꝰ quã maius. Et cum maius et minus deperdūt eandē latitudinē ſiue ex­ceſſum maiorē ꝓportionē deperdit minus quã ma­ius: vt ſi quaternarius et octonarius perdant bi-nariū maiorē ꝓportionē deperdit quaternarius quã octonarius. Quaternarius e perdit ꝓpor-tionē duplã: octonarius vero ſexquitertiã: vt con-ſtat. Et ſi binarius et ſenarius binariū acquirant binariꝰ eadē ratione maiorē ꝓportionē acquirit quam ſenarius: vt cõſtat. Probatur / ſint a.b. due quantitates ſine numeri ſiue que vis alie latitudi-nes a. maior et b. minor que ſe habeant in ꝓporti-one f. et acquirat tam a. quã b.d. exceſſum ſiue lati-tudinē: tunc dico /  b. maiorē ꝓportionē acquirit quã a. Quod ſic ꝓbatur: et volo /  quãdo a. acqui-rit d. antea quã b. acquirat ipſum d. acquirat vnã quantitatē ad quã d. ſe habet in ꝓportione f. et ſit illa quantitas e. / et arguitur ſic / a. et b. ſe habent in ꝓportione f. et quantitas acquiſita ipſi a ſe habet etiã in eadē ꝓportione ad quantitatē acquiſitam ipſi b. / ergo continuo a. et b. manent in eadē ꝓpor-tione f. in qua ſe habebant ante talē acquiſitionē. Patet hec cõſequentia ex quīto correlario quīte concluſionis ſecūdi capitis huiꝰ: et per cõſequens tantã ꝓportionē acquiſiuit b. ſupra ſe quantam a ſupra ſe. Si e b. acquiſiuiſſet minorē iã ꝓportio inter a. et b. fuiſſet augmentata: et ſi maiorem iam fuiſſet diminuta: q quantã ꝓportionē acquirit numerus minor vltra numeꝝ maiorē tantã deꝑdit ꝓportio inter illos numeros: et quantã numerus maior acquirit vltra minorē tãtã acrit ꝓportio inṫ illos nūeros ſiue q̄uis alia latitudo: vt ↄ̨ſtat ex ſuꝑioribꝰ et ex ↄ̨ñti quantã ꝓportionē acſiuit b. ꝑ acquiſitionē e. latitudinis tantã adequate acqui-ſiuit a. per additionē d. latitudinis et eocõtra. igit̄̄ quando b. acquirit d. maiorē latitudinē quã ſit e. maiorē ꝓportionē acquirit: et per cõſequens ma-iorē ꝓportionē acquirit b: acquirendo d. quam a. acquirendo d. / quod fuit probandū. Patet tamen conſequentia ex ſeptima ſuppoſitione huiꝰ capi-tis. Et ſic patet prima pars: et ſecunda facile ꝓba-tur / q ſi quando a. et b. acquirūt d. latitudinē ma­iorē ꝓportionē acquirit b. quã a. / ſequitur /  cū de­perdunt eandē d. latitudinē maiorē ꝓportionem deperdit b. quã a. Nam adequate perdit illã quã acquiſiuit et maiorē acquiſiuit: ergo maiorem de-perdit. Et ſic patet ſuppoſitio.

His iactis fundamentis ſit prima cõ­cluſio. Oīs ꝓportio multiplex, multiplex ſuꝑpar-ticularis, vel multiplex ſuprapartiens eſt maior ꝓportione ſuperparticulari vel ſuprapartiente. Probatur: q2 cuiuſlibet ꝓportionis multiplicis, multiplicis ſuꝑparticularis, vel multiplicis ſu-prapartiens, denominatio eſt maior quã alicu-ius ſuperparticularis vel ſuprapartientis: igitur quelibet ꝓportio multiplex, aut multiplex ſuper-particularis, aut multiplex ſuprapartiēs, eſt ma­ ior ꝓportione ſuꝑparticulari aut ſuprapartiente Conſequētia eſt nota ex tertia ſuppoſitione et an-tecedēs ꝓbatur: q2 denominationes illaꝝ ꝓpor-tionum multiplicis, multiplicis ſuꝑparticularis, et multiplicis ſuprapartientis, ſumūtur a nūero vel numero cum fractione: denominationis vero ſuꝑparticularis, aut ſuprapartientis, ſumuntur ab vnitate cū fractione: vt patet ex correlariis ſe-cunde ſuppoſitionis huiꝰ capitis: igitur denomi-nationes illaꝝ puta multiplicis: multiplicis .etc̈. ſunt maiores quã ſuꝑparticularis aut ſuprapar-tientis. Et ſic patet cõcluſio. ¶ Ex qua ſequitur pri­mo:  ꝓportiones multiplices ſuꝑparticulares: et multiplices ſuprapartientes ſunt maiores ꝓpor-tionibꝰ multiplicibꝰ: ita  quelibet multiplex ſuꝑparticĺaris, aut ſuprapartiēs, qualibet mul-tiplici ab eodē numero denominata eſt maior: vt dupla ſexquialtera eſt maior dupla: tripla ſexqui­quarta maior tripla: tripla e et tripla ſexquiq̈r­ta ab eodē numero denominantur: ſed nõ adequa­te. Patet hoc correlariū eo modo quo concluſio. ¶ Sequitur ſecūdo:  ex dictis faciliter eſt inueni­re modū cognoſcendi ꝓpoſitis ꝓportiõe ſuꝑpar-ticulari et ſuprapartiēte: que illaꝝ ſit maior. Pro­batur: et ꝓponantur due ꝓportiones a. ſuꝑparti-cularis et b. ſuprapartiēs: et cū quelibet ſuprapar­tiens denominetur ab vnitate cū fratione partiū aliquotaꝝ nõ facientiū vnã: et quelibet ſuꝑparti-cularis ab vnitate cū fractiõe partis aliquote: vt dictū eſt: et omne aggregatū ex partibus aliquotꝪ alicuiꝰ nõ facientibus vnã eſt qualibet parte ali-quota eiuſdē maius vel minꝰ: vel igitur illud ag-gregatū partiū aliquotaꝝ a quo denoīatur ꝓpor­tio b. ſuprapartiens eſt maius parte aliquota a qua denomīatur ꝓportio a. ſuꝑparticularis: aut minus: ſi maius tūc ꝓportio ſuprapartiēs eſt ma-ior data ꝓportione ſuꝑparticulari a. Sin minus tunc ꝓportio ſuꝑparticularis eſt maior data ꝓ-portiõe b. ſuprapartiente: q denomīatur ab vni­tate cū maiori fractione.

1. correla­rium. 2. correĺ.

Secunda concluſio. Oīs proportio extremi ad extremū cõponitur ex qualibet minori ꝓportiõe illa: vt ꝓportio dupla cõponitur ex qua­libet ꝓportione ſuprapartiente: et qualibet ſuper­particulari. Et diſtribuat ly qualibet pro generi-bus ſinguloꝝ. Probatur hec cõcluſio oſtenſiue ex quarta ſuppoſitione: q ſi omne cõpoſitū ex quã­tolibet minori eo cõponitur: et oīs ꝓportio eſt cõ-poſita ex aliquibus ꝓportionibus / vt ſupponitur cõſequens eſt /  oīs ꝓportio ex qualibet mīori ea cõponatur / quod fuit ꝓbandū. ¶ Ex hac cõcluſiõe ſequitur primo:  quelibet ꝓportio cõponitur ex qualibet ꝓportione medioꝝ ad īuicē: et mediorum ad extrema. vt ꝓportio dupla que eſt inter .8. et .4. cõponitur ex ꝓportione .7. ad .6. et .6. ad .5. que ſūt ꝓportiones medioꝝ: et ex ꝓportione .8. ad .7. et .5. ad .4. que ſunt extremi ad mediū et medii ad extre­mū. Probatur correlariū: q2 quelibet talis pro-portio eſt pars illius ꝓportiõis extremi ad extre-mū cū cõponat eã: et eſt minor illa vt patet ex ṗma cõcluſione: igitur cõponitur ex qualibet ꝓportiõe medioꝝ: et medioꝝ ad extrema. ¶ Sequitur ſecūdo /  oīs ꝓportio ex infinitis ꝓportionibus cõponit̄̄ Probatur / q ex qualibet minore ea cõponitur: vt ptꝫ ex cõcluſione: ſed qualibet data infinite ſunt minores: ergo quelibet ex infinitis cõponit̄̄. Pro-batur minor / q2 ymaginor quãlibet proportionē inequalitatis eſſe latitudinē in infinitū diuiſibilē q2 alias nõ poſſet augeri nec ad nõ gradū ꝓpor- tionis inequalitatis ſucceſſiue diminui. ¶ Sequit̄̄ tertio:  oīs ꝓportio poteſt in infinitas ꝓportio-nes diuidi: que ꝓportiones ſe habebūt vt partes ꝓportionales illiꝰ: et hoc qua volueris ꝓportiõe. Patet: q2 cū quelibet ꝓportio ſit latitudo quedã: ipſa habet medietatē, tertiã, quartã, ſextam, et ſic deinceps: et ꝑ cõſequens quauis ꝓportione diuiſi­bilis eſt in infinitas ꝓportiones que ſunt partes ꝓportionales eius. ¶ Sequit̄̄ quarto:  ſi aliqua ꝓportio maioris inequalitatis diminuatur vſ ad ꝓportionē equalitatis neceſſe eſt ipſam conti-nuo ſucceſſiue tranſire per īfinitas ꝓportiones mi­nores ea: vt ſi ꝓportio .8. ad .4. deueniat ad ꝓpor­tioneꝫ equalitatis per diminutionem ipſorum .8. vſ ad .4. neceſſe eſt eã tranſire per oēs ꝓportiões ex quibus cõponitur talis ꝓportio .8. ad .4. et ille ſunt infinte vt dicit ſecundū correlariū: igit̄̄. Ma­ior patet / q2 cū cõtinuo aliquid diminuitur vſ ad certã quantitatē per infinitas minores quantita­tes tranſit: vt notū eſt. Et ſic ſimiliter eſt de quali-bet latitudine que continuo ſucceſſiue diminuitur ſed ꝓportio .8. ad .4. eſt latitudo que continuo ſuc­ceſſiue diminuitur (vt pono) igitur. et ſic patet cor-relariū: q eo modo ꝓbabis de quauis alia.

1: correĺ. 2. correĺ. 3. correĺ.

Tertia concluſio. Quãlibet propor-tionē in duas equales ꝓportiões ſecare: vt capta ꝓportione que eſt .8. ad .4. ipſa in duas inequales diuidetur inuento numero ſine termino equaliter diſtante ab vtro extremoꝝ: puta īuento numero ſenario .8. e ad .6. eſt ꝓportio ſexquitertia: et .6. ad .4. proportio ſexquialtera: et hec maior eſt illa. Probatur hec concluſio: q2 aut talis ꝓportio da­tur inter duas quantitates cõtinuas: aut inter du­os numeros: ſi inter duas quantitates cõtinuas: ille erunt inequales: q de ꝓportione maioris in­equalitatis loquimur: capiatur igitur quantitas media inter illas que equaliter diſtat ab vtra il­larū: et tunc manifeſtū eſt /  maioris illaꝝ quanti-tatū ad quãtitatē mediã eſt vna ꝓportio: et medie quantitatis ad minimã illaꝝ eſt vna alia ꝓportio et illa ꝓportio que eſt inter illas quantitates di-uiditur in illas duas ꝓportiones ītermedias, q2 ex illis cõponitur / vt patet ex primo correlario ſe-cunde concluſionis: et prima illaꝝ que videlicet eſt maioris quantitatis ad mediã minor eſt illa que eſt medie ad alterū extremū minꝰ: igitur talis ꝓ-portio diuiditur in duas proportiões inequales / quod fuit ꝓbandū. Minor ꝓbatur: q2 illa quãti-tas media ꝑ tantū excedit minus extremū: ꝑ quan­tū adequate maius extremū excedit illã: igit̄̄ ma-ior eſt ꝓportio illius quantitatis medie ad minus extremū: quã alteriꝰ extremi puta maioris ad me­diã. Patet hec cõſequentia ex octaua ſuppoſitiõe huiꝰ capitis. Sin autē talis ꝓportio eſt inter nu-meros puta inter a. et c. quoꝝ a. eſt maior et c. mīor / vel igit̄̄ illi nūeri ſunt pares: vĺ nõ pares ſi pares manifeſtū eſt /  aggregatū ex eis eſt nūerus par: et ꝑ cõſequens hꝫ medietatē: et illa medietas eſt me­diū inter illos duos numeros a.c. / vt patet ex ṗmo correlario prime cõcluſionis ſecūdi capitis huiꝰ: ſit igitur illud mediū b. / et ſequit̄̄ /  a. ad b. eſt vna ꝓportio: et b. ad c. eſt vna altera: et ex illis cõponit̄̄ ꝓportio a. ad b. / vt ptꝫ ex primo correlario ſecūde cõcluſionis huiꝰ: et prima illaꝝ que videlicet eſt a. ad b. eſt minor quã illa que eſt b. ad .c. / quod ptꝫ vt ſupra: igitur ꝓportio a. ad c. in duas ꝓportiones inequales ſecatur. Sin nõ pares creſcat vter il-loꝝ duoꝝ numeroꝝ ad ſuū duplū: et ſequitur /  eq̈­lem ꝓportionē acquirit maior illoꝝ et minor puta duplã: manent igitur in eadē ꝓportione / vt ptꝫ ex correlario decime ſuppoſitiõis ſecūdi capitꝪ huiꝰ īueniatur / igitur mediū inter illos duos numeros et īueniētur due ꝓportiones tnequales in quas di­uiditur ꝓportio inter illos duos numeros / vt pre-oſtenſum eſt. Patet igitur vniuerſaliter concluſio ¶ Ex qua ſequitur primo /  quelibet proportio in infinitas ꝓportiones ſecari valet in numeris ſine vnitatis fractione: et capio ly infinitas ſyncathe-goreumatice. Probatur / q capta ꝓportione a. in numeris manifeſtū eſt /  illi numeri ſaltē ꝑ vni-tatē diſtabūt / hoc eſt ſaltē maior excedit minorē ꝑ vnitatē que vnitas eſt pars aliquota minoris: du­pletur igitur vter illoꝝ numeroꝝ: et ſequitur /  adhuc inter illos numeros duplatos manet ꝓpor­tio a. / vt paulo ãte deductū eſt: igitur iam exceſſus erit in duplo maior: q2 erit pars aliquota eiuſdē denomīationis numeri in duplo maioris: igitur iam ibi inter illos duos numeros reperietur vnꝰ numerus medius vt ſuperiꝰ oſtenſum eſt: et ꝑ cõſe-quens due ꝓportiones inequales in quas diuidit̄̄ talis ꝓportio. Iteꝝ duplent̄̄ illi numeri īter quos eſt ꝓportio a. et iam inter eos īuenientur tres nu-meri intermedii et ſic erūt quatuor ꝓportiões in-termedie. Et ſi tertio duplentur illi numeri īueni-entur ſeptē numeri intermedii: et ſic erūt .8. ꝓpor-tiones: et ſic in infinitū duplando ſemꝑ numeros. Data igit̄̄ quã volueris ꝓportione ipſa vel ſibi e-qualis (quod ꝓ eodē reputo) in infinitas ꝓportio-nes ſecari valet: quod fuit oſtendendū. Et ſicut ꝓ-batur in numeris: ita et facilius ꝓbabitur in quã-titatibus. Et ſicut ꝓbatur capiēdo primos nume-ros excedentes ſe vnitate: ita per locū a maiori ꝓ-babitur capiendo numeros excedētes ſe numero: vt ſatis conſtat. Patet igit̄̄ correlariū. ¶ Sequit̄̄ ſecūdo /  capitis tribꝰ terminis cõtinuo ꝓportio-nabilibus arithmetice: et captis aliis tribus ſic ſe habentibꝰ /  qualis eſt ꝓportio inter duos maio-res primi ternarii: talis ſit inter duos maiores ſe­cūdi ternarii: et qualis inter duos numeros primi ternarii: talis etiã ſit inter duos minores ſecundi ternarii: tūc termini ſecūdi ternarii ſunt ꝓportio-nabiles arithmetice: ſicut et termini ṗmi ternarii: vt captis his tribus terminis .4.3.2. qui ſunt pro-portiõabiles arithmetice: dico /  iſti .3. termini .8. 6.4. ſunt etiã arithmetice proportionabiles: q qualis eſt ꝓportio inter .4. et .3. talis eſt inter .8. et 6. et qualis inter .3. et .2. talis inter .6. et .4. / vt patꝫ Probatur / ſint tres termini a.b.c. ꝓportiõabiles arithmetice: et ſint alii trrs d.e.f. et ſit inter d. et e. talis ꝓportio qualis inter a. et b. et inter e. et f. q̈lis inter b. et c. Et tunc dico /  d.e.f. ſunt tres termini ꝓportionabiles arithmetice: Ad quod probandū volo /  exceſſus quo a. excedit b. ſit g. et quo b. exce­dit c. ſit h. equalis g. / vt oportet: et exceſſus q̊ d. exce­dit e. ſit i. et quo e. excedit f. ſit k. / et manifeſtū eſt /  g. eſt tota pars aliquota ipſiꝰ b. vel tote partes q̊ta vel quote i. eſt ipſiꝰ e. et eiuſdē denominationis: et h. eſt tota pars vel tote partes aliquote et eiuſdeꝫ denomīationis reſpectu c. ſicut k. reſpectu f. / vt ptꝫ ex probatione quarte ſuppoſitionis ſecūdi capi-tis huiꝰ. Quo ſuppoſito arguit̄̄ ſic / i. quod eſt ex-ceſſus inter d. et e. eſt equale ipſi k. / quod eſt exceſſus inter e. et f. / igit̄̄ illi tres termini d.e.f. ſunt ꝓporti-onabiles arithmetice. Cõſequentia ptꝫ manifeſte: et arguit̄̄ antecedens: q2 ſicut ſe habet b. ad .c. ita e. ad f. / igit̄̄ ſicut ſe habet b. ad e. ita c. ad f. Patet cõ-ſequentia ex ſecūda cõcluſione tertii capitis huiꝰ: et ex ↄ̨ſequenti ſicut ſe habet b. ad e. ita c. ad f. puta in l. ꝓportione / igitur g. ſe habet ad i. in l. ꝓporti-one et h. ad k. etiã in l. ꝓportione. Patet cõſequen­tia ex vndecima ſuppoſitione ſecūdi capitis huiꝰ: ille e ſunt partes aliquote eiuſdē denoīationis numeroꝝ ſe habentiū in l. ꝓportione: et vltra g. ſe habet ad i. in l. ꝓportiõe: et h. ad k. etiã in l. pro-portione: igit̄̄ ſicut ſe habet g. ad h. ita i. ad k. Ptꝫ per locū a. ꝑmutata proportione: ſed g. et h. ſe ha-bent in proportione equalitatis: igit̄̄ i. et k. / qḋ fuit probandñ. Probatur aliter correlariū tam in nu­meris quã in quãtitatibus cõtinuis: et retēta eadē hypotheſi: manifeſtū eſt /  ipſiꝰ a. ad d. et ipſiꝰ b. ad c. et ipſius c. ad f. eſt eadē ꝓportio: que ſit l. / q ex hypotheſi ſicut ſe habet a. ad b. ita ſe habet d. ad e. / ergo per locū a. permutata proportiõe ſicut ſe habet a. ad d. ita b. ad e. et vltra ſicut ſe habet b ad c. ita e. ad f. ex hypotheſi: ergo ꝑmutatim: ſicut ſe habet b. ad e. ita c. ad f. et a. ad d. eſt etiã ꝓportio illa que eſt b. ad c. / igit̄̄ eadē proportio eſt a. ad d. et b. ad e. et c. ad f. puta l. Quo ſuppoſito: probatur correlariū: q2 i. et k. ſūt equales: igit̄̄ .d.e.f. ſunt ter­mini cõtinuo proportionabiles arithmetice. Ptꝫ cõſequentia ex hypotheſi: iūcta diffinitione ꝓpor­tionalitatis arithmetice. Probat̄̄ antecedens: q2 ſicut ſe habet g. ad h. ita ſe habet i. ad k. ſed g et h. ſe habent in proportiõe equalitatis / vt ptꝫ ex hy-potheſi: igit̄̄ i. et k. ſe habent in proportione equa-litatis: et ſic ſunt equalia igit̄̄. Probat̄̄ antecedēs / q2 ſicut ſe habet g. ad i. ita h. ad k. / ergo ꝑmutatim ſicut ſe habet g. ad h. ita i. ad k. / qḋ fuit probandū. Probatur antecedens: q2 g. ſe habet ad i. in l. ꝓ-portione: et h. ſe habet ad k. in eadē l. proportione / igitur intentū. Probat̄̄ maior / q2 g. ſe hꝫ ad i. ſicut a. ſe hꝫ ad d. / igitur ſe hꝫ in l. ꝓportione. Patꝫ ↄ̨ña ex hypotheſi. Probat̄̄ antecedēs: et volo /  a. dimi­nuatur ad equalitatē b. ꝑdendo g. differentiã per quã excedit ipſum b. ex hypotheſi: et d. diminuatur ad equalitatē c. ꝑdendo i. differentiã ꝑ quã excedit e. ex hypotheſi: et manifeſtū eſt /  reſidui ex ipſo a. / qḋ eſt b. ad reſiduū ex ipſo d. / qḋ eſt e. adhuc eſt l. ꝓ­portio: vt ptꝫ ex hypotheſi: g̊ inṫ deꝑditū ab io a et deꝑditū ab io d. eſt etiã l. ꝓportio: et deꝑditū ab io a eſt g. et deꝑditū ab ipſo d. eſt i. / g̊ g. ſe hꝫ ad i. ſicut a. ad d. puta in l. ꝓportione. Ptꝫ tamen ↄ̨ña ex primo correlario quinte cõcluſionis ſecūdi ca-pitis huiꝰ partis. Et ſic ptꝫ maior. Iam ꝓbo mi-norē / q2 h. ſe hꝫ ad k. ſicut b. ſi ſe hꝫ ad e. / igr̄ ꝓpoſitū Probat̄̄ ãtecedēs: et volo /  b. diminuat̄̄ ad equa-litatē c: perdendo h. differentiã: et e. diminuat̄̄ ad equalitatē f. perdendo k. differentiã: et manifeſtuꝫ eſt /  reſidui ex ipſo b. / qḋ eſt c. ad reſiduū ex ipſo e. qḋ eſt f. eſt adhuc l. ꝓportio: vt patet ex hypotheſi: igitur inter h. deperditū a b. termino maiori, et k. deꝑditū ab c. ṫmīo minori eſt ēt l ꝓportio: vt ſu-pra argutū eſt / igr̄ h. ſe hꝫ ad k. ſicut b. ad e. puta in l. ꝓportione: qḋ fuit probandū. Et ſic ptꝫ correla-riū. Et hec ē ſuppoſitio quã calculator ponit ī ca-pitulo de inductione gradus ſummi circa princi-piū ſub iſta forma. Si ſint tria cõtinuo ꝓportio-nabilia ꝓportione arithmetica: et ſint alia tria cõ­ſimiliter ꝓportionabilia proportiõe geometrica ſicut prima tria: illa etiã ſunt cãtinuo ꝓportiõabi­lia proportiõe arithmetica. ¶ Sequit̄̄ ex hoc ter-tio /  ſi ſint tres termini arithmetice proportiõa-biles: et quilibet illoꝝ dupletur, aut tripletur, aut ſexquialteretur .etc̈. ſemꝑ ꝓportio extremi ad ex-tremū manet equalis: et cõtinuo manebūt illi tres termini arithmetice ꝓportiõabiles: et in ea ꝓpor-tiõe in qua termini augmētant̄̄ exceſſus augmētat̄̄ Probatur prima pars: quia ſemper vter extre-morum acquirit equalē proportionē: igitur con-tinuo inter ea manet eadem proportio. Secunda pars probatur: quia continuo manet eadem pro-portio inter medium et tertium continuo etiam manet eadem roportio que antea erat inter ſecun­dum et tertium eadem ratione qua inter extrema manet eadem proportio: igttur continuo illi ter-mini manent proportionabiles arithmetice.

Primuꝫ correlari­um. Secūduꝫ correlar̄. Calcu. de īduc. gra­dus ſūmi Tertium correlar̄.

Patet conſequentia ex precedenti correlario. Tertia autem ſic probatur: quia ſemper illi ex-ceſſus cõtinuo manent partes aliquote cõſimilis denominationis ſuorū numerorū: igitur in ea ꝓ-portione qua numeri fiunt maiores et illi exceſſus etiã fiūt maiores: quia ſunt partes aliquote illoꝝ numerorū eiuſdē denominationis. Et ſic patet cor­relariū. ¶ Sequitur quarto:  ſi ſint tres termini arithmetice ꝓportionabiles: et ſtante maximo il-lorū īuariato deſcreſcat minimus illoꝝ ſucceſſiue: ita  cõtinue illi tres maneant arithmetice ꝓpor-tionabiles: neceſſe eſt mediū in duplo tardius cõ-tinuo decreſcere minimo: neceſſe quo eſt ꝓporti-onē extremi ad extremū continuo augeri: vt datis his tribus terminis .12.8.4. et ſtantibus .12. decre­ſcant .4. perdendo binariū: ſi illi tres termini de-beant cõtinuo manere arithmetice ꝓportionabi-les: neceſſe eſt numerū mediū perdere vnitatē: et ſic manebunt arithmetice ꝓportiõabiles. Manebūt e .12.7.2. et manebit maior ꝓportio quã erat an­tea inter extrema. Probatur / et ſint a.b.c. tres ter-mini arithmetice ꝓportionabiles a. maximus c. vero minimus: et perdat c. vnã partē ſui que ſit d. et medietas d. ſit e. / et tunc dico /  cum c. perdit d.b. perdit e. adequate. Quod ſic ꝓbatur: quoniã illi tres termini cõtinuo manēt ꝓportiõabiles arith-metice: igitur medium inter extrema eſt medietas aggregati et extremis vt ex ſuperioribus conſtat: ſed facta tali diminutiõe aggregatū ex extremis eſt minus per d. latitudinē quã antea: quia illam perdit adequate: igitur medietas illius aggrega­ti effecta eſt minor per medietatē illius quod per-dit totū puta per medietatē ipſiꝰ d: ſed medietas ipſius d. eſt e. / igitur medietas illius aggregati fa­cta eſt minor per e. adeq̈te: et illa medietas eſt me-diū inter illa extrema: igitur medietas inter illa extrema perdidit e. / quod fuit probandū. Secūda vero pars patet ex priori parte decime ſuppoſiti-onis ſecundi capitis huius: quoniã numerus mi-nor creſcit ſtante maiore. Et hec eſt quedã ſuppo-ſitio quã ponit: et aliter probat calculator in prin­cipio capituli de intenſione elementi. ¶ Sequitur quinto /  oīs ꝓportio cõponitur ex duabus pro-tionibus puta maximi termini ad mediū: et medii ad minimū: et proportio maximi ad mediū minor eſt quã ſubdupla ad ipſam que eſt extremi ad ex-tremū: et proportio medii termini ad minimū ma­ior eſt quam ſubdupla: vt proportio ſexquialtera que eſt .6. ad .4. cõponitur ex proportione .6. ad .5 et .5. ad .4. et proportio .6. ad .5. minor eſt quã ſub-dupla: et .5. ad .4. maior eſt quã ſubdupla ad ſex-quialterã. Prima pars huius patet ex concluſiõe / et ſecūda probatur: quia omne cõpoſitū adequate ex duobus inequalibus eſt maius quam duplum ad minus illorum: et minus quam duplum ad ma­ius illorum / vt patet ex ſexta ſuppoſitione huius ſed omnis proportio componitur ex duabus pro­portionibus inequalibus quarum minor eſt ma- oris extremi ad medium: et maior medii ad mini-mum extremum: vt patet ex eadem cõcluſione: igi-tur omnis proportio eſt maior quãdupla ad pro-portionem que eſt maioris extremi ad medium: et minor quam dupla ad proportionem quē eſt me-dii termini ad minimum extremum. Patet conſe­quentia in primo prime: et ſic patet correlarium. ¶ Sequitur ſexto:  omnis proportio ſuperpar-ticularis componitur ex duabus quarum vna eſt maximi termini ad medium: et alia eſt medii ad mi­nus extremum: et vtra illarum eſt ſuperparticu-laris: et proportio medii ad minimum demonina-tur a parte aliquota denominata a numero du-plo ad numerū a quo denominatur pars aliquo-ta a qua denoīatur ꝓportio maximi ad minimū: et ꝓportio maximi termini ad medium denoīatur a parte aliquota denominata a numero īmedia-te ſequente numerum illum duplum: vt proportio ſexquialtera que eſt .6. ad .4. cõponitur ex duabꝰ inequalibus / vt dictum eſt: et vtra illarum eſt ſu-perparticularis. Nam proportio .6. ad .5. eſt ſu-perparticularis et .5. ad .4. ſimiliter: et proportio que eſt .5. ad .4. denomīatur a quarta que eſt pars aliquota denominata a numero in duplo maiore quam ſit numerus a quo denominatur medietas a qua medietate denominatur ſexquialtera. De-nominatur enim medietas a binario, et quarta a quaternario, et quinta denominatur a quinario qui eſt numerus ſequens immediate quaternariū Probatur prima pars huius ex correlario imme­diate precedenti: et ſecunda probatur / et quia om-nis proportio ſuperparticularis reperitur inter duos numeros immediatos: vt patet ex eius gene­ratione poſita in prima parte: capio igitur vnam proportionem ſuperparticularem que ſit f. et du-os terminos eius in numeris immediatos: puta a. maiorem: et c. minorem: et tunc dico /  propor-tio ſuperparticularis inter illos duos numeros immediatos cõponitur adequate ex duabus pro-portionibus ſuperparticularibus: ex vna videli-cet que eſt maximi ad medium: et altera que eſt me­dii ad extremum. Probatur quoniam cum a. et c. ſunt nnmeri immediati: et a. maior: ſequitur /  a. excedit c. per vnitatem: dupletur igitur tam c. quã a. / et manifeſtum eſt /  inter illos duos numeros duplatos manet eadeꝫ proportio que erat antea puta f. / vt patet ex correlario decime ſuppoſitio-nis ſecundi capitis huius: igitur exceſſus maioris termini. ſic duplati ad minorem etiam ſit dupla-tum erit in duplo maior: vt patet ex tertio corre-lario huius concluſionis: et antea erat vnitas / er-go modo eſt dualitas: et per conſequens inter nu­merum maiorem ipſius proportionis f. et nume-rum minorem mediat numerus excedens minimū illorum per vnitatem: et qui exceditur maximo illorum per vnitatem. Patet hec conſequentia / quia omnis numerus excedens alterum per dua-litatem diſtat ab eo per vnum numerum tantum in naturali ſerie numerorum / vt ſatis conſtat: ſit igitur talis numerus medius b. / et ſequitur /  ma-ximi termini illius proportionis f. ſuperparticu-laris date ad ipſum b. eſt proportio ſuperparti-cularis: et ipſius b. ad minimum extremum eiuſ-dem proportionis f. eſt etiam proportio ſuper-particularis: quia illi tres numeri ſunt imme-diati / igitur illa proportio f. ſuperparticularis cõponitur ex duabus proportionibus ſuperpar-ticularibus quarum vna eſt maximi ad medium: et altera medii ad minimū extremum / quod fuit pro­bandum. Patet tamen conſequentia / quia omnis proportio que reperitur inter duos numeros im-mediatos eſt ſuperparticularis / vt patet ex gene-ratione ſuperparticulariū. Sed tertia pars pro-batur / quia duplato ſic a. et c. numero vt ſupra: iã a. numerus ſic duplatus excedit c. ſic duplatū per dualitatem: et illa dualitas erit pars aliquota e-iuſdem denominationis ipſius c. ſicut antea erat vnitas quia adhuc manet proportio f. inter illos terminos: igitur adhuc maior illorum terminorū excedit minorem mediante eadem parte aliquota minoris: diuiſa igitur illa parte aliquota a mino-ris que eſt dualitas in duas partes equales / puta in duas vnitates manifeſtum eſt /  quelibet illarū partium in quas diuiditur eſt pars aliquota mi-noris denominata a numero in duplo maiori / vt conſtat: igitur numerus continens numerum mi-norem et talem partē aliquotam adequate ſe ha-bebit ad minorem numerum in proportione ſu-perparticulari denominata a parte aliquota que denominatur a numero duplo a quo denomina-tur tota illa pars aliquota continens illas duas vnitates: et talis numerus qui videlicet cõtinet nu­merum minorem et medietatem illius partis ali-quote ſic diuiſe eſt numerus medius inter extrema date proportionis ſuperparticularis: igitur pro­portio medii termini inter terminos proportiõis ſuperparticularis ad minimum extremum deno-minatur a parte aliquota denominata a numero in duplo maiore quaꝫ ſit numerus a quo denomi-natur pars aliquota a qua denominatur totalis illa proportio data ſuperparticularis. Conſe-quētia patet: et minor probatur: quia ſemper me-dius numerus inter duos excedit minorē per me-dietatem exceſſus quo maior excedit minorē quia alias nõ eſſet medius. Et ſic patet tertia pars cor­relari. Et quarta probatur / quia ad īuento medio inter terminos proportionis ſuperparticularis quod per ſolam vnitatem excedit numerum mino­rem: et per ſolam vuitatē exceditur a maiore vt eſt in propoſito: ibi reperiuntur tres numeri īmedia­ti in naturali ſerie numerorum / igitur proportio maximi eorum ad medium denominatur a parte aliquota denominata a numero īmediate ſequē-te numerū a quo denominatur pars aliquota de-nominans proportionem medii numeri ad mino­rem / vt patet ex prima parte aſpicienti generatio-nem ſuperparticularium in naturali ſerie nume-rorum. Et ſic patet correlarium quadripartitum / quod difficile apparet propter longitudinem ter­minorum quibus vtitur inprobatione. Et ideo de cetero cum voluero dicere /  aliqua proportio ſu-perparticularis denomīatur ab aliqua parte a-liquota denominata ab aliquo certo numero: di-cã /  talis proportio ſuperparticularis denomi-natur a tali numero gratia breuitatis: quia nulla ſuperparticularis denominatur a numero: ſed a parte aliquota et vnitate: et cū dico /  denomina-tur a parte aliquota intelligo inadequate quod ad propoſitum ſufficit. ¶ Sequitur ſeptimo /  in omni proportiõe ſuperparticulari capta propor­tione que eſt medii termini ad infimum: illa etiam componitur ex duabus ſuperparticularibus qua­rum vna ſimiliter eſt medii termini ad infimum: et illa denominatur a numero quadruplo ad nu-merum a quo denominatur illa ſuperparticula- ris proportio data: vt in proportione ſexquiquar­ta que eſt .20. ad .16. capta proportione que eſt in-ter .18. et .16. puta medii numeri ad īfimū: illa etiã cõponitur ex proportione medii termini eius pu-ta .17. ad .16. / et illa proportio denominatur a nu-mero quadruplo ad numerū a quo denominatur proportio ſexquiquarta: quia ꝓportio que eſt .17. ad .16. denominatus a numero ſexdecimo: et pro-portio .20: ad .16. a numero quaternario hoc eſt a parte aliquota denominata ab illo puta quater­nario (ſemper ſic intelligo) Modo ſexdecimus nu­merus eſt quadruplus ad quaternarium. Proba­tur: et capio vnam proportionem ſuperparticula­rem f. que ſit a. ad d. et medius numerus inter illa extrema ſit b. / tunc dico /  proportio b. ad d. com-ponitur ex duabus proportionibus ſuperparti-cularibus quaruꝫ vna eſt medii termini ad infimū qui medius terminus inter b. et d. ſit c. et illa puta c. ad d. denominatur a numero quadruplo ad nu-merū a quo denominatur proportio a. ad .d. Pri­ma pars videlicet /  ꝓportio que eſt b. ad d. com-ponitur ex duabus ſuperparticularibꝰ .etc̈. / patet ex īmediate precedenti: et ſecunda probatur / quia proportio b. ad d. denominatur a numero duplo ad numerum a quo denominatur f. ꝓportio a. ad d. / vt patet ex precedenti correlario: et proportio c. ad d. eadē ratione denominatur a numero duplo ad numerū a quo denominatur proportio b. ad d / vt patet ex eodem correlario: igitur proportio c. ad d. denomīatur a numero quadruplo ad nume­merū a quo denominatur ꝓportio f.a. ad d. / quod fuit probandū. Patet hec conſequentia: quia nu-merus duplus ad duplū alicuiꝰ certi dati eſt qua-druplus ad illum certum datum / vt conſtat: ſed nu­merus a quo denomīatur proportio c. ad d. eſt du­plus ad numerum a quo denominatur proportio b. ad d. et ille iterum eſt duplus ad numeruꝫ a quo denominatur proportio f.a. ad d. / igitur numerus a quo denominatur proportio c. ad d. eſt quadru-plus ad numerum a quo denominatnr proportio f. que eſt a. ad d. / quod fuit probandū. ¶ Sequitur octauo /  quacun proportione ſuperparticula-ri data denomīata ab aliquo certo numero: oīs proportio ſuperparticularis denominata a ma-iori numero vſ ad duplū incluſiue eſt maior quã medietas illius proportionis ſuperparticularis date: vt data proportione ſexquiquarta oīs pro-portio ſuperparticularis denominata ab olique numero a quaternario vſ ad octonarium inclu-ſiue qui eſt numerus duplus ad quaternarium eſt maior quam ſubdupla ad ſexquiquartã et ſic ſex-quiquarta, ſexquiſexta, ſexquiſeptima, ſexocta-ua, eſt maior quam ſubdupla ad ſexquiquartam. Probatur / quoniã quacun tali ſuperparticula-ri data ab aliquo numero denominata: propor-tio ſuperparticularis denominata a numero in duplo maiore eſt maior quam ſubdupla ad illam quia talis eſt medii termini ad infimū / vt patet ex quinto et ſexto correlario cõiunctis: igitur omnis ꝓportio ſuperparticularis denominata a nume-ro minori quã duplo ad numerū a quo denomina­tur data ꝓportio ſuꝑparticularis eſt maior quã ſubdupla ad illam datã ſuperparticularē. Patet hec cõſequentia per hoc /  oīs ſuperparticularis que denomīatur a minori numero eſt maior: quia talis denomīatur a maiori parte aliquota: et hoc auxiliante loco a maiori: et per conſequens pro-portione ſuperparticulari data denominata ab aliquo certo nūero: oīs ꝓportio ſuꝑparticularis denominata a maiori numero vſ ad dupluꝫ in-īcluſiue eſt maior quam ſubdupla ad illam ſuper-particularem datam. Patet igitur correlarium. ¶ Sequitur nono /  in omni proportione ſuper-particulari proportio maximi extremi eiꝰ ad me-dium eſt maior quam ſubdupla ad proportioneꝫ medii ad minimū extremum: vt data proportione ſexquitertia que eſt .8. ad .6. proportio .8. ad .7. eſt maior quam ſubdupla ad proportionem .7. ad .6. Probatur / quia ꝓportio maximi extremi ad me-dium in proportione ſuperparticulari quecun fuerit illa denominatur a numero ſuperparticu-ri īmediate ſequenti numerum a quo denomina-tur proportio medii ad minimū extremum / vt patꝫ ex quarta parte ſexti correlarii: et ſic denomīatur a numero minori duplo ad numeruꝫ a quo deno-minatur proportio medii ad minimū extremum: igitur talis proportio maximi ad medium eſt ma­ior quam ſubdupla ad proportionē medii ad mi-nimuꝫ extremum. Patet conſequentia ex octauo correlario. ¶ Sequitur decimo /  in omni propor­tione ſuperparticulari ꝓportio maximi extremi ad medium eſt maior quam ſubtripla ad illã pro-portionem ſuperparticularem. Probatur / quia dato oppoſito puta /  ſit ſubtripla aut mīor ſub-tripla: ſequeretur /  ipſa eſſet ſubdupla adequate ad proportionem medii ad minimū extremū, vel minor quam ſubdupla: ſed conſequens eſt falſum / vt patet ex nono correlario: igitur illud ex quo ſe-quitur: et per conſequens correlarium verū / quod fuit probandum. Sequela tamen probatur / quia quando aliquid componitur ex duobus inequali­bus adequate: et minus illornm eſt ſubtriplū eius puta vna tertia illud minus eſt ſubduplum ad re-ſiduū puta ad duas tertias: et ſi illud ſit minꝰ quã tertia illius totius illud eſt minus quã ſubdupluꝫ ad totū reſiduū: ſed ſic eſt in propoſito per te igi-tur intentum. ¶ Sequitur vndecimo /  data qua-cun proportione ſuperparticulari denominata ab aliquo numero: omnis proportio ſuperparti-cularis denominata a numero excedente illū per vnitatem adequate eſt maior quã medietas illius proportionis date. Patet hoc correlariū ex octa­uo correlario: quia omnis talis denoīatur nu-mero minori quam duplo ad numerū a quo deno­minatur data ſuperparticularis. ¶ Sequit̄̄ duo-decimo /  data naturali ſerie proportionum ſu-perticulariū puta ſexquialtera, ſexquitertia, ſex-quiquarta, et ſic deinceps: quelibet proportio ſu-perparticularis que denomīatur ab altero duo-rum numerorum īmediate ſequentium numerū a quo denominatur ſexquialtera eſt maior quã me-dietas ſexquialtere: et quelibet denominata ab a-liquo trium numerorum īmediate ſequentium nu­meruꝫ a quo denominatur ſexquitertia eſt maior quã medietas ſexquitertie: et quelibet denomina-ta ab aliquo quatuor numerorū īmediate ſequē-tium numerū a quo denomīatur ſexquiquarta eſt maior quam medietas eius: et ſic in infinitū ſemꝑ addendo vnū. Patet hoc correlariū / quoniã que-libet talis denominatur a numero duplo vel mi-nori duplo ad numerū a quo denominatur data proportio ſuꝑparticularis / vt patet intuenti: igi-tur quelibet talis eſt maior quam medietas date proportionis ſuperparticularis. Patet conſe-quentia ex octauo correlario.

4. correĺ Calcu. in prīcipio de ītē. ele. 5. correĺ. 6. correĺ. Documē­tū nõ pre­tereundū 7. correĺ. 8. correĺ. 9. correĺ. 10. correĺ 11. correĺ. 12. correĺ.

Quarta concluſio. Quibuſcū dua­bus ꝓportiõibus inequalibus propoſitis: maior illarū minorem per proportionē que eſt inter de-nominationes earum excedit: vt captis quadru-pla et tripla: quadrupla que eſt maior excedit tri-plam per proportionem que eſt inter .4. et .3. que eſt ſexquitertia. Et hoc ideo / quia tripla denomi-natur a ternario quadrupla vero a quaternario Et hic aduerte /  aliud eſt dicere proportio qua-drupla excedit triplam per proportionem ſexqui­tertiam: et ſe habet ad triplam in proportione ſex­quitertia. Nam ſexdecupla excedit octuplam per proportionem duplam: et ſe habet ad illã in pro-portione ſexquitertia / vt poſtea patebit. Et hoc do­cumentum debes memorie cõmendare ſi vis calcu­latorem intelligere in capitulo ſcḋo de medio nõ reſiſtēte / qḋ ego voco de medio vniformiter diffor­miter reſiſtente. Probatur concluſio ſupponēdo primū vnū manifeſtum / quod probatione non in-diget: videlicet  quacun quantitate continua ſignata ad eã poteſt dari omnis proportio poſſi-bilis capiendo maiorē quantitatem: quo ſuppo-ſito capio duas proportiones f. maiorem et g. mi-norem: et vtriuſ illarum proportionum minimū extremum ſit c. quantitas continua: et aliud ex-tremū f. proportionis ſit a. et aliud g. proportiõis ſit b. / ita  proportio f. ſit a. ad c. et proportio g. ſit b. ad c. / et ſint illi primi termini illarum proporti-onū gratia argumenti: et tunc dico /  proportio f. maior excedit proportionem g. per proportioneꝫ / que eſt inter denominationes illaruꝫ / hoc eſt inter terminos a quibus ille proportiones denominã-tur puta inter a. et .b. Quod ſic probatur / q2 f. pro-portio a. ad .c. maior componitur adequate ex ꝓ-portione a. ad b. et ex proportione b. ad c. que eſt g / vt patet ex ſecunda concluſione huius: igitur pro-portio a. ad c. continet adequate proportioneꝫ b. ad c. et vltra proportionē que eſt a. ad b. / igitur ꝓ-portio f. que eſt a. ad c. excedit proportionē g. que eſt b. ad c. per ꝓportionē que eſt a. ad b. / quod fuit probandum. Illa eni3 eſt proportio inter primos terminos illarum proportionū a quibus ille pro­portiones f. et g. denominantur. ¶ Ex hac conclu-ſione ſequitur primo /  capto vno termino habē-te duas proportiones maioris inequalitatis ad duos terminos minores inequales / vt oportet: ꝓ-portio inter illos duos minores terminos eſt illa per quam maior proportio excedit minorē: vt ca-pto octonario numero habente proportioneꝫ ad ternariū et quaternariū: dico /  ꝓportio octona-rii ad ternariū que eſt maior excedit proportionē octonarii ad quaternariū minorē per ꝓportionē que eſt inter quaternariū et ternariū. Probatur / ſint due ꝓportiones puta f. ꝓportio que ſit a. ad c. et g. ꝓportio minor que ſit a. ad b. / et tūc ego dico /  ꝓportio b. ad c. eſt illa per quã ꝓportio f. exce-dit ꝓportionē g. Probatur / q2 ꝓportio f. cõponi-tur adequate ex ꝓportione a. ad b. et ex ꝓportione b. ad c. / vt patet ex ſecūda concluſione: igitur ꝓpor­tio f. que eſt a. ad c. addit adequate ſupra ꝓportio­nē g. que eſt a. ad b. ꝓportionē b. ad c. / et per conſe-quens f. ꝓportio excedit ꝓportionē g. ꝑ ꝓportio-nē b. ad c. adequate cū illaꝫ adequate addat vltra alteraꝫ / et illa videlicet b. ad c. eſt proportio que eſt inter terminos minores illarum duarum propor­tionum inequalium / igitur correlarium verum.

Documē­tum. 1. correĺ.
2. correĺ.

¶ Sequitur ſecundo /  ſi duo numeri ſiue quanti-tates ſe habent in proportione tripla ſubquadru­plum maioris eſt ſubſexquitertium minoris: et ſi duo numeri ſe habēt in ꝓportiõe dupla ſubq̈dru-plū maioris eſt ſubduplū minoris: quēadmodum duobꝰ numeris ſe habētibus in proportione ſex-quialtera ſubduplum maioris eſt ſubſexquiterti-um minoris. Probatur prima pars / quia in caſu illius idē numerus habet duas proportiones ma­ioris inequalitatis ad duos numeros minores īequales puta triplam ad ſuū ſubtriplum et qua-druplam ad ſuum ſubquadruplum / vt conſtat: igi­tur proportio per quaꝫ quadrupla excedit triplã eſt proportio inter illos numeros minores puta ſubtriplum et ſubquadruplum / vt patet ex prece-denti: et proportio per quã quadrupla excedit tri-plam eſt ſexquitertia que eſt inter numerus deno­minantes illas / vt patet ex concluſione: igitur in-ter illos duos numeros minores puta ſubtriplū et ſubquadrupluꝫ eſt proportio ſexquitertia / quod fuit probandum. Et eodem modo probabis reli-quas partes et infinita talia correlaria. ¶ Sequi-tur tertio /  vniuerſaliter talis eſt proportio inter duas partes aliquotas inequales alicuius quan­titatis: qualis eſt inter numeros a quibus deno-minantur tales partes aliquote: vt capta quarta alicuius et etiam tertia eiuſdem: dico /  inter ter-tiam et quartam talis eſt proportio qualis eſt in-ter .4. et .3. puta ſexquitertia. Ad quod probanduꝫ peto primo /  quelibet pars aliquota alicuius de­nominatur a certo numero vt medietas a binario tertia a ternario: quarta a quaternario: quīta a quinario .etc̈. Peto ſecundo /  cuiuſlibet quanti-tatis ad quamlibet ſui partem aliquotam eſt pro­portio mĺtiplex denominata a numero a quo de-nominatur talis pars aliquota: vt cuiuſlibet quã­titatis ad ſuam quartam eſt proportio quadru-pla denominata a numero quaternario a quo denominatur quarta, et ad ſuam tertiã eſt tripla denominata a numero ternario a quo denomina­tur tertia: et ſic cõſequenter. Quibus baſibus ſup­poſitis oſtenditur correlarium: et ſit a. vna quan-titas: et ſit h. vna pars eius aliquota: et c. alia mi-nor pars aliquota eiuſdem a. et ſit a. ad .c.f. ꝓpor-tio: et a. ad b.g. proportio minor / vt oportet / et ſit d. numerus a quo denominatur b. pars aliquota: et e. a quo denominatur c. pars aliquota: et tūc dico /  tales eſt proportio inter b. et c. qualis inter d. et e. Quod ſic oſtenditur / quia proportio f. que eſt a. ad c. excedit proportionem g. que eſt a. ad b. per proportioneꝫ b. ad c. / vt patet ex primo correlario / et proportio per quã proportio f. excedit propor-tionem g. eſt illa que eſt inter denominatiões ſiue inter termininos a. quibus denominãtur f. et g. pro-portiones / vt patet ex concluſione: igitur propor-tio b. ad c. eſt proportio que eſt inter terminos a quibus denominatur f. et g. proportiões: et f. et g. proportiones denominantur a d. et e. numeris a quibus denominantur b.c. partes aliquote ipſiꝰ a. / vt patet ex ſecunda petitione igitur: talis eſt ꝓ-portio inter b. et c. qualis eſt inter d. et e. / quod fuit probandum. Et ſic patet correlariuꝫ. ¶ Sequitur quarto /  conſtituta naturali ſerie proportionuꝫ multipliciū: et conſtituta etiam naturali ſerie pro­portionum ſuperparticularium: ſecunda ſpecies proportionis multiplicis excedit primam ſpecieꝫ per primam ſpeciem proportionis ſuperparticu-laris puta per ſexquialterã: et tertia ſpecies mul-tiplicis excedit ſecundã: per ſecundam ſpeciem ꝓ-portionis ſuperparticularis: et quarta multipli-cis excedit tertiam: per tertiaꝫ ſuperparticularis / et ſic in infinitum. Probatur / quia captis primis duabus ſpeciebus ꝓportionis multiplicis puta dupla et tripla ille denominantur a. numero bina­ rio et ternario / vt conſtat: et tripla excedit duplam per proportioneꝫ que eſt inter illos numeros ter-narium videlicet et binarium / vt patet in concluſi-one: et inter illos eſt prima ſpecies proportionis ſuperparticularis / vt patet ex ſecundo capite pri-me partis vbi generantur infinite ſpecies propor­tionis ſuperparticularis ſereatim in naturali ſe­rie numerorum igitur. Item captis tripla et qua-drupla multiplicibus ille excedunt ſe: per propor­tionem que eſt .4. ad .3. / vt patet ex concluſiõe: et in-ter illos numeros eſt ſecunda ſpecies proportio-nis ſuperparticularis / puta ſexquitertia / vt patet ex loco preallegato: igit̄̄ correlariū verum quoniã eodem modo probabis de aliis. ¶ Sequitur quin­to /  per tot proportiones ſuperparticulares cõ-ſequenter / et ſereatim aſſumptas excedit quelibet ſpecies multiplicis proportiõis diſtans a. prima primã ſpeciem multiplicis: per quot vnitates nu-merus a quo denominatur illa ſpecies diſtat a numero a quo denomīatur prima ſpecies propor­tionis multiplicis puta dupla. Et ſic etiam dicen-dum eſt de qualibet alia ſpecie mĺtiplici a qua di-ſtat per aliquot ſpecies vt proportio quintupla excedit proportionē duplam per tres ſpecies pro­portionis ſuperparticulares ſereatim ſumptas videlicet per proportionem ſexquialteram que eſt 3. ad .2. et ſexquitertiam que eſt .4. ad .3. et ſexqui-quartam que eſt .5. ad .4. Patet hoc correlarium facile ex anteriori. ¶ Sequitur ſexto /  vniuerſa-lis ſeries proportionum ſuperparticularium in-finitam latitudinē proportionis conſtituit. Pro-batur / quia conſtituit infinite magnam proporti-onem multiplicem cum proportione dupla: igitur talis ſeries in infinitum magna latitudo eſt pro-portionis. Item talis ſeries proportionum ſuper­particularium eſt naturalis ſeries numerorum in­cipiendo a binario: ſed in infinitum magna pro-portio eſt alicuius numeri a binarium: igitur infi-nitum magna latitudo proportionis eſt natura-lis ſeries proportionum ſuperparticularium. Et hoc nota ad capitulum de augmentatione.

Tertium correlar̄. 4. correĺ. 5. correĺ. 6. correĺ.
Capitulum quintum / in quo reci-tatur paucis et impugnatur opinio baſani politi de proportione ſiue cõmenſurabilitate proportionum.

COnſueuerunt veteres  ſi-gnanter paripathetici philoſophan-tes amputare at reſecare contrari-as opinationes: et deinde veras interſerere. Ideo baſani politi opinionem in materia proportio-nalitatum ceteris mathematicis aduerſam pre-ſenti duximus expugnandam.

Sit igit̄̄ capitalis ſuppoſitio. Quod­libet habens ſubduplum eſt duplum ad ſuam me-dietatem et ſi ipſum eſt duplum ipſum continet ſu­am medietatem bis adequate. Hec petitio nec iuuat eam demonſtrare.

Secunda ſuppoſitio ſiue petitio. Omne duplum ad aliquod continet ipſum vel e-quale ei bis tantum: et ſi contineat ipſum pluſquã bis eſt pluſquam duplum ad illud.

Tertia ſuppoſitio. Si aliquid effici-tur in duplo minus ipſum perdit adequate medi-etatem ſui.

Quarta ſuppoſitio ſiue petitio. Oē quod ſucceſſiue diminuitur vſ ad non gradū eſt latitudo diuiſibilis: et in duas medietates: et ī tres tertias, et in quatuor quartas, et ſic conſequenter Diminuitur enim ad ſubduplum, ad ſubtriplum, ad ſubquadruplum: et ſic deinceps.

Quīta ſuppoſitio. Latitudo propor-tionis maiores inequalitatis eſt ſucceſſiue dimi-nuibilis vſ ad nõ gradum. Probatur tum pri-mo / quia maius extremum proportionis maioris īequalitatis ſucceſſiue valet diminui vſ ad equa­litatē minoris extremi: et in tali diminutione pro-portio maioris inequalitatis ſucceſſiue diminui-tur ad non gradum / vt conſtat: igitur in tali di-minutione quelibet proportio minor illa ſignata dabitur. Tum ſecundo / q2 vt baſanus concedit ve­locitas motus correſpondet magnitudini ꝓpor-tionis quo ad equalitatē: ſed ipſa velocitas mo-tus eſt diminuibilis continuo ſucceſſiue vſ ad nõ gradū: igitur et latitudo proportionis ſibi corre-ſpondens inequalitate. ¶ Ex hac ſequitur /  que-libet latitudo proportionis maioris inequalita-tis diuidi poteſt in duas medietates, in tres ter-tias, in quatuor quartas, et ſic deinceps. Patet hoc correlariū ex priore auxiliante quarta.

Sexta ſuppoſitio. Omne quod effi-citur ſubduplū ad id quod erat antea perdit me-dietatem ſui: et id quod remanet eſt tantū quantuꝫ eſt id quod perdidit / q perdidit aliã medietatem et cuiuſlibet quanti medietates ſunt equales.

His ſuppoſitis aduertendū eſt /  ba-ſanus volens defenſare quãlibet proportionalē ra-tionalē cuilibet alteri eſſe cõmenſurabilē aſtruxit proportionū cõmenſurabilitatē ſiue ꝓportioneꝫ aſſumendã eſſe ex denominationū ꝓportionibus ponens talem concluſionē. Proportionū propor­tio eſt earū denominationū proportio: vt quadru­pla eſt dupla ad duplã: q2 inter earum denomina­tiones ſiue numeros a quibus denominantur eſt proportio dupla, a binario enim dupla: et a qua-ternario quadrupla denomīatur. Item dupla eſt ſexquitertia ad ſexquialteram: q2 dupla a bina-rio ſexquialtera vero ab vnitate cū dimidio deno­minatur. Conſtat autem binarii ad vnitatem cum dimidio proportionem ſexquitertiam eſſe.

Contra baſanū primo.

Sed contra hanc opinationem mea ſententia mathemathicis principiis derogantē et contrariã: arguitur primo ſic. Ex hac opinione ſe­quitur octuplam eſſe duplaꝫ ad quadruplam: ſed conſequens eſt manifeſte falſū: igitur illud ex quo ſequitur. Sequela probatur / q2 illarū proportio-onū octuple videlicet et quadruple denominatio-nes ſiue numeros a quibus denominãtur, duple ꝓportiõis rationē habere conſtat .8. e ad .4. du­pla ꝓportio eſt: igitur expoſitiõe octupla dupla eſt ad quadruplã. Iã falſitatē cõſequentis oſten-damus ſuꝑeſt: q ſi octupla eſt dupla ad quadru-plã: ſequitur /  quadrupla eſt medietas ipſiꝰ octu­ple: vt ptꝫ ex prima ſuppoſitione: ſed cõſequēs eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur: q2 tūc ſeque-retur /  octupla cõtineret quadruplã bis adequa­te: ſed hoc eſt falſuꝫ / q2 cõtinet quadruplã et duplã adequate / vt ptꝫ in his terminis .8. ad .4. et .4. ad .1. Patet hec conſequentia ex ſecunda parte eiuſdē ſuppoſitionis. ¶ Et confirmatur / q2 omne dupluꝫ ad aliquod continet ipſum vel equale ei bis tantū ſed octupla eſt dupla ad quadruplã per te / igitur continet ipſum bis tantū: ſed cõſequens eſt falſuꝫ / q2 ſexdecupla cõtinet quadruplã bis tantū. Cõſe-quentia ptꝫ ex ſe: et minor eſt prima pars ſecunde ſuppoſitionis. ¶ Confirmatur ſecundo / q2 ſi poſi-tio eſſet vera / ſequeretur /  dupla eſſet medietas octuple: ſed hoc eſt falſum: igitur illud ex quo ſe-quitur: q2 ſecundū iſtã opinionē octupla eſt qua-drupla ad duplã / vt ptꝫ ex ꝓportione denoīationū duple et octuple: et ſi octupla eſt quadrupla ad du­plã iam ſequitur /  ipſa dupla eſt quarta octuple et nõ medietas. Quodlibet e eſt quadruplū ad ſui quartã: cum eã contineat quater adequate. Iã probatur ſequela: et capio ꝓportionē octuplam: et volo /  diminuatur quouſ fiat quadrupla ade-quate: vt poſito /  octo diminuãtur vſ ad quatu­or: et arguitur ſic: ipſa proportio octupla efficitur in duplo minor vĺ cõcedit poſitio. Efficitur enim q̈drupla que eſt ſubdupla ad octuplã: igitur ipſa proportio octupla perdit adequate medietatem ſui / vt ptꝫ ex tertia ſuppoſitione: et non perdit niſi duplã adequate / vt conſtat / igitur dupla eſt medie­tas octuple / qḋ fuit inferendū. ¶ Et ↄ̨firmat̄̄ tertio / q2 ſi iſta poſitio eſſet vera / ſeq̄ret̄̄ /  dupla eſſet eq̈-lis quadruple. Cõſequēs eſt falſum et cõtra opi-nantem / igitur illud ex quo ſequitur. Sequela ar-guitur / et volo /  potentia vt octo moueat reſiſten­tiam vt vnum velocitate vt quatuor exempli gra-tia / deinde volo /  potētia ſtante reſiſtentia: dimi-nuatur vſ ad ſubduplū: et arguo ſic / ille motꝰ ſiue velocitas vt quatuor diminuetur ad ſubduplum: igitur perdit medietatē ſui. Patet cõſequentia ex ſuppoſitione tertia: et per cõſequens nõ manebit niſi velocitas vt duo: et deperdet̄̄ velocitas vt duo / igitur tanta ꝓportio deperdita eſt quanta manet Patet hec cõſequētia / q2 ab equalibꝰ ꝓportioni-bus equales latitudines motuū ꝓueniūt: ſed ma-net quadrupla / ergo deperdita eſt ei equalis: ſed deperdita eſt dūtaxat ꝓportio dupla: ergo dupla eſt equalis quadruple: quod fuit inferendum.

Cõfirma­tio ṗma. Cõfirma­tio ſcḋa 3. confir-matio

Secundo arguitur ſic / ſi illa poſitio eſſet vera / ſequeretur /  quarta alicuiꝰ et ſua medie­tas eſſent equales ſed cõſequens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Sequela ꝓbatur / q2 dupla eſt quarta pars octuple et medietas octuple ꝑ po-ſitionē: igitur propoſitū. Maior probatur / q2 du­pla eſt quarta pars ipſius octuple cū octuple ad duplam ſit proportio quadrupla / vt patet ex po-ſitiõe. Minor probatur: et volo /  octupla perdat ꝓportionē duplã adequate: et manifeſtū eſt /  effi-citur quadrupla: et per cõſequens ſubdupla ad id quod erat antea / vt patet ex poſitione: igitur ꝑdit medietatē ſui. Patet cõſequentia ex tertia et ſexta ſuppoſitionibus: et non perdit niſi duplam: ergo dupla eſt medietas octuple / quod fuit probandū. ¶ Et confirmatur / quia ſi poſitio eſſet vera / ſeque-retur /  aliquid contineret alterum bis adequate et tamen non eſſet duplum ad illud: ſed minꝰ quaꝫ duplum: conſequens eſt manifeſte falſuꝫ et contra diffinitionem proportionis duple: igitur. Seque­la probatur: quia proportio dupla ſexquiquar-ta bis adequate continet ſexquialteram: patet in his terminis .9.6.4. Nouem enim ad quatuor eſt proportio dupla ſexquiquarta: et componitur adequate ex proportione .9. ad .6. et .6. ad .4. qua­rum vtra eſt ſexquialtera: et tamen ipſa propor­tio dupla ſexquiquarta eſt minor quam dupla ad ſexquialteram: igitur propoſitum.

Cõfirma­tio ṗma.

Probatur minor / q2 tripla eſt dupla ad ſequial-terã: et dupla ſexquiquarta eſt minor tripla / ergo dupla ſexquiquarta eſt minor quã dupla ad ſex-quialterã. Cõſequentia eſt nota cū minore: et ꝓbat̄̄ maior / q denominatiõis triple ad denoīationē ſexquialtere eſt proportio dupla. Triū e ad vnū cū dimidio eſt proportio dupla: igitur tripla eſt dupla ad ſexquialterã. Patet cõſequētia ex opi-nione. ¶ Cõfirmatur ſecūdo / q2 ſi poſitio eſſet vera / ſequeretur /  aliquid cõtineret alteꝝ pluſ̄ bis: et tamen eſſet adequate dnplū ad illud quod cõtinet adequate bis: et aliquid cõtineret alteꝝ minus quã bis hoc eſt contineret ipſum ſemel et medietatē eiꝰ ciſe et eſſet duplū ad illud et nõ ſexquialteꝝ. Oīa iſta cõſequentia ſunt cõtra diffinitiões et prīcipia mathematica / igitur et poſitio. Sūt e cõtra diffi­nitiones ſexquialtere et duple / vt cõſtat. Iã ꝓbatur ſequela / q2 tripla eſt dupla ad ſexalterã: et tamē cõtinet bis ſexquialterã: et aliquid vltra puta ſex-quitertiã: vt ptꝫ in his terminis .12.9.6.4:12. e ad .9. eſt proportio ſexquitertia et .9. ad .6. eſt vna proportio ſexquialtera et .6. ad 4. vna altera .12. vero ad .4. eſt tripla ex illis duabus ſexquialteris et vna ſexquitertia cõpoſita. Et ſic ptꝫ ſequela quo ad primã partē. Secūda pars patet de octupla et quadrupla: octupla e nõ cõtinet bis quadruplã et tamen eſt dupla ad illam / vt patet ex poſitione. ¶ Multa ſimilia poſſunt inferri / que manifeſte ſūt cõtra dignitates, petitiones, et diffinitiones ma-thematicas, qui debent ſupponi tan̄ principia ſcientie mathematice. ¶ Sed oīa hec argumenta facile (quãuis proterue et abſ ratione) reſcindit baſanus negando illas petitiones et diffinitiões: eas dūtaxat ad numeros ſiue quantitates conti-nuas reſtringendo ſiue limitando. Sed ꝓfecto et diminute loquit̄̄ et cõtra rationē: diminute quidē et inſufficienter, q2 nõ aſſignat diffinitionē ꝓpor-tions duple, quadruple, aut alterius ſufficienter que cuilibet cõtento ſub diffinito cõueniat: et cõtra rationē, q ſicut ipſe aſtruxit illas diffinitiones duple, quadruple .etc̈. cõuenire quantitatibꝰ dūta­xat et nūmeris: pari ꝓteruia quilibet poſſet defen­ſare at aſſeuerare illas diffinitiones dumtaxat cõuenire numeris cõpoſitis ex vnitatibus indiui-ſibilibus puta intelligentiaꝝ aut punctoꝝ: et nul-lis aliis. Sicut e ipſe negat hanc cõſequentiam ꝓportio dupla ſexquiquarta cõtinet bis adequa-te ſexquialterã / ergo eſt dupla ad illã: pari teme-rario auſu poſſet quilibet hanc cõſequentiã nega­re bipedale cõtinet bis adequate pedale / ergo eſt duplū ad pedale: et oī dubio ꝓcul cõtra eū nõ eſſet diſputandū ſi philoſopho primo phiſicoꝝ credat̄̄ Sed q2 ipſe diceret ſe nõ negare prīcipia mathe-matica: ſed ea coartare ſiue limitare: q illa non ſunt intelligenda in proportionibus.

Scḋa cõ-firmatio.
3. arguit̄̄

Idco cõtra eū tertio arguo ex prīci-piis iã limitatis ad ꝓportiones et hoc ſic ꝓportio ſexdecupla eſt dupla ad q̈druplã: et octupla tripla ad duplã vt deducã ex mathematicis prīcipiis: et ſecundū eum proportio ſexdecupla eſt quadrupla ad quadruplam vt ſuadet proportionū denomi-natio. Item ſecunduꝫ eum octupla eſt quadrupla ad duplam / vt denominationes duple et octuple oſtendunt: igitur ſua poſitio principiis mathema­ticis ad proportiones limitatis contrariatur / et ꝑ conſequens falſa. Conſequentia eſt nota cū mino­re / et maior probatur primo quantum ad priorem partem / quia capta proportione ſexdecupla inter 16. et .1. ibi reperiūtur .3. termini continuo propor- tionabiles proportione quadrupla vtpote .16.4: 1. / igitur extremi ad extremū puta .16. ad .1. eſt du-pla proportio ad proportionē primi ad ſecundū puta .16. ad .4. / vt patet ex decima diffinitione quī­ti elementorum euclidis expreſſe: et ex quinta diffi­nitione ſecundi elementorum iordani. Secunda pars maioris probatur / quoniã capta proporti-one octupla octo ad vnum: ibi reperiuntur quatu­or termini cõtinuo proportionabiles proportiõe dupla videlicet .8.4.2.1. / igit̄̄ extremi ad extremuꝫ puta .8. ad .1. eſt proportio tripla ad proportionē 8. ad .4. que eſt dupla. Patet conſequentia ex ea-dem decima diffinitione quinti elementoꝝ euclu-dis: et quinta ſecundi elementoꝝ iordani: Nec ba-ſanus poſſet hoc argumentū diſſoluere niſi prin-cipia arithmetica in eum adducta neget.

Eu. 5. ele. Iorda. 2 ele.

Quarto  ad opinãtē argr̄ / q vt ie ꝓfitet̄̄ in ſui operis ex ordio ſuarū ꝓportionū tra-ctatus introductorius eſt ad ſuiſethicas calcula-tiones: ſed ipſe calculator ſuiſeth longe aliter ſen­tit: et plurimū ab eo diſcrepat in materia de pro-portione proportionū vt ex quam plurimis locis eius percipere poſſumus: igitur nec calculatoris mentem intellexit nec eius tractatus ad eum intel­ligendum introducit: īmo potius extraducit. Pro­bat̄̄ minor. Tū primo / quoniã calculator in quīta concluſione prime opinionis de augmentatione dicit /  ſi aliquid augeatur in duplo velocius al-tero: et illud acquirat vnam proportionē f. in ali-quo tēpore neceſſe eſt in eodeꝫ tempore illud quod in duplo velocius augetur proportionem compo­ſitam ex duplici f. acquirere: cum in caſu calcula-toris ibidem illud quod in duplo velocius auge-tur continuo in duplo velocius augetur: ſed illa conſequentia nichil penitus valeret ſi baſani po-ſitio eſſet vera. q quando a. acquireret propor-tionem quadruplam et b. in eodem tempore in du­plo velocius augeretur adequate non eſſet neceſſe  b. in eodem tempore acquireret proportionem compoſitam ex duabus quadruplis: īmo neceſſe eſſet /  non acquireret tantum: ſed acquireret cõ-poſitã ex quadrupla et dupla que eſt octupla que ſecundū baſanū eſt dupla ad quadruplam. Tum ſecundo / quia idem calculator in capitulo de diffi­cultate actionis in primo argumento quo impu-gnat tertiam poſitiouem aſſumit potentiam mo-uentem a proportione ſexquialtera in aliquo me-dio: et dicit /  ſi illa potētia augeatur ad ſexquial­terum preciſe ſtante reſiſtentia medii  ipſa po-tentia mouebitur in duplo velocius adequate: ex quo immediate ſequitur /  proportio potentie ad reſiſtentiã fuit effecta in duplo maior. Patet con­ſequentia / quoniã ſecundū eum velocitas motuum ꝓportionū ꝓportionē inſequit̄̄ / vt ptꝫ ex principio capituli de motu locali: ſed cū potētia illa, habēs ꝓportionē ſexquialterã ad ſuã reſiſtētiã acquirit ſupra ſe proportionem ſexquialteram tota pro-portio componitur adequate ex duabus ſexquial­teris et efficitur dupla ſexquiquarta qualis eſt .9 ad .4. / igitur dupla ſexquiquarta ſecundum calcu­latorem eſt dupla ad ſexquialteram: et ſecundum baſanum tripla eſt dupla ad ſexquialteram: igi-tur ſua poſitio, ſuuſ ſuarum proportionuꝫ tra-ctatus non ad intelligendam calculatoris ſenten­tiam introducit ſed ei aduerſatur. Tum tertio / q2 idem calculator in vltimo capitulo de medio non reſiſtente concluſione octaua dicit expreſſe in pro­batione illius concluſionis /  ſexdecupla eſt du-pla ad quadruplã: et ſi ſic non eſſet. concluſio eſſet falſa et probatio nulla. et ſecundumm baſanum ē quadrupla ad quadruplam: igitur dicta baſani et calculatoris non coherent. ¶ Hoc idem ex mul-tis aliis locis calculatoris euidenter deprehēde-re potes. ſed hii loci ſufficiant. Et ſic relinquo po-ſitionem eius confutatam et exploſam: que tamē proterue defenſari poteſt: ſed nõ conſequenter ad mathemathica prīcipia vt dictū eſt. ¶ Ex his igit̄̄ abunde apparet /  proportio proportionū nõ eſt ſicut proportio denominationum.

Cal. ca. de aug. Cal. de diffi. ac. Calcu. de me. nõ re­ſiſ. capite ſecūdo. correĺm.
Capitulū ſextū / in quo agitur de pro-portionū proportione: cõmenſurabilita­te earūdem, et incõmenſurabilitate.

PRo ſpecialiori noticia propor­tionis ꝓportionū habenda ſit.

Prima ſuppoſitio. Cõmenſurabilia ſiue in ꝓportione rationali ſe habentia ſunt illa quorū idem eſt pars aliquota vt .4. et .2. pedale et bipedale. Unitas e eſt pars aliquota et duorū et quatuor: et medietas pedalis eſt pars aliquota et pedalis et bipedalis. Hec eſt diffinitio cõmenſura­biliū in principio decimi elementoꝝ euclidis.

eu. 10. ele.

Secunda ſuppoſitio. Ille proportio­nes dicūtur cõmenſurabiles quarum eadem pro-portio eſt pars aliquota. Patet ex priori.

Tertia ſuppoſitio. Quando aliqua ꝓportio cõponitur ex aliquot ꝓportionibus ade-quate ſemꝑ altera illarū eſt ꝓportio que eſt alicu-ius termini intermedii ad minimū extremū: vt ꝓ-portio quatuor ad duo componitur ex proportio­ne .4. ad .3. et trium ad duo que eſt alicuius termi-ni intermedii ad minimum extremum. Patet hec ſatis ex his que dicta ſunt in quarto capite huius partis.

Quarta ſuppoſitio Quilibet nume-rus eſt multiplex ad vnitatem Patet ex his que dicta ſunt in quarto capite: Et rurſns quia omīs numerus aut componitur ex duabus vnitatibus: et ſic eſt duplus ad vnitatem. vel ex tribus / et ſic eſt triplus, vel ex quatuor / et ſic eſt quadruplus: et ſic in infinitum. ¶ Ex hac ſequitur.

Quinta ſuppoſitio Cuiuſlibet pro-portionis multiplicis vnitas eſt minimum extre-mum.

Sexta ſuppoſitio. Nullus numerus eſt ſuprapartiēs, aut ſuperparticularis: aut mul­tiplex ſuprapartiens, aut multiplex ſuperparti-cularis ad vnitatem. Probatur / quoniã quilibet numerus adequate eſt multiplex ad vnitatem / vt patet ex quarta: igitur nullꝰ eſt ſuprapartiēs aut ſuperparticularis: aut multiplex etc. ad vnitatem

His ſuppoſitis ſit Prima concluſio Nulla proportio multiplex eſt pars aliquota ali­cuius proportionis non multiplicis. Probatur / quoniaꝫ multiplex nullius proportionis ſuperꝑ-ticularis aut ſuprapartientis eſt pars: cum quali­bet tali ſit maior: nec etiam alicuius non multipli­cis alterius: quia ſi ſic detur illa proportio et ſit a. / et multiplex pars aliquota eius ſit b. inter d. et e. terminos primos / et arguitur ſic b. proportio mul­tiplex eſt pars aliquota ipſius a. / igitur a. eſt pro-portio multiplex / quod eſt oppoſitum dati. Pro-batur conſequentia / quia ſi b. eſt pars aliquota ip­ſius a. / ſequitur /  ipſa b. proportio multiplex ali- quoties ſumpta reddit et componit ipſam a. pro-portionem: cõponat igitur c. vicibus ſumpta ade­quate: et tūc capio proportionem b. inter primos numeros eius ſiue terminos d. videlicet maiorem et e. minorem: et manifeſtum eſt /  e. eſt vnitas vt patet ex quinta ſuppoſitione: capio igitur / tūc vnū alium numerum que ſe habeat in proportione b. ad ipſum d. qui ſit f. et iterum vnum alterum qui ſe habeat in proportione b. ad f: et ſic c. vicibus: et ſit vltimus numerus ſic ſumptus g. / et manifeſtum eſt /  g. ad e. erit proportio compoſita ex b. ꝓpro-tione c. vicibus adequate: et illa proportio g. ad e. eſt multiplex quia eſt inter g. numerum et e. vnita-tem. Conſequentia patet ex quarta ſuppoſitione et ſexta: et illa eſt a. proportio per te / ergo a. ē mul multiplex / quod fuit probandum. Et ſic patet con-cluſio. ¶ Ex qua ſequitur /  nulla proportio non multiplex eſt dupla, quadrupla, aut aliqua alia de genere multiplici, ad aliquam multiplicem.

Probatur facile ex concluſione: quia ſi ſic: iã mul­tiplex eſſet pars aliquota illius nõ multiplicis / vt conſtat / quod eſt contra concluſionem.

Secunda concluſio Nulla propor-tio multiplex eſt cõmenſurabilis alicui proportio­ni ſuperparticulari aut ſuprapartienti. Proba-tur / quoniam cuiuſlibet proportionis multiplicis vnitas eſt minimum extremum: igitur nulla ꝓpor­tio multiplex eſt cõmenſurabilis alicui proportio­ni ſuperparticulari aut ſuprapartienti. Antece-dens patet ex quinta ſuppoſitione: et conſequen-tia probatur / quia detur oppoſitum conſequētis: et ſit illa proportio ſuperparticularis aut ſuper-partiens b. et multiplex et commenſurabilis a. / et ſequitur /  aliqua proportio eſt pars aliquota ip­ſius b. et ipſius a. / vt patet ex ſecunda ſuppoſitio-ne: ſit igitur illa proportio que eſt pars aliquota c. / et arguit̄̄ ſic / c. ē pars aliq̊ta ipſius a. / igr̄ a. ex ali­quot c. proportionibus adequate componitur.

Patet hec conſequentia ex definitione partis ali­quote: et vltra ex aliquot proportionibus c. ade-quate componitur: ergo altera illarum c. propor­tionum eſt alicuius termini ītermedii ad minimū extremum ipſius proportionis a. Patet hec con­ſequentia ex tertia ſuppoſitione. et c. non eſt ꝓpor­tio multiplex / vt conſtat: cum ſit pars aliquota ꝓ-portionis qualibet multiplice minoris. ergo ſe-tur /  minimum extremum talis ꝓportionis c. nõ eſt vnitas: et illud minimum extremum proportio­nis .c. eſt minimum extremum proportionis a. / igi­tur illud minimum extremum proportionis a. nõ eſt vnitas: et a. eſt multiplex per te: ergo non cuiuſ­libet multiplicis vnitas eſt minimum extremum / quod eſt oppoſitum antecedentis conſequentie ꝓ­bande et quinte ſuppoſitionis.

Tertia concluſio. Nulla proportio multiplex eſt commenſurabilis alicui multiplici ſuperparticulari aut multiplici ſuprapartienti.

Probatur: quia ſi aliqua proportio multiplex ſit commenſurabilis alicui proportioni multipli­ci ſuperparticulari: aut ſuprapartienti: aliqua ꝓ­portio eſſet pars aliquota vtriuſ puta multipli­cis, et multiplicis ſuperparticularis, vel multipli­cis ſuprapartientis que ſit c. / et arguo ſic / c. non eſt proportio multiplex / vt patet ex prima concluſio-ne huius: nec eſt ſuperparticularis: aut ſuprapar­tiens vt patet ex ſecunda: igitur erit multiplex ſu­perparticularis, aut multiplex ſuprapartiens: ſꝫ hoc eſt falſum / igitur c. non eſt pars aliquota pro­ portionis multiplicis vel multiplicis ſuperparti­cularis, vel multiplicis ſuprapartientis. Falſitas conſequentis probatur: quoniam ſi c. eſt pars ali­quota multiplicis ꝓportionis: capio talem ꝓpor­tionem multiplicem inter primos terminos eius: et arguo ſic: c: proportio multiplex ſuperparticu-laris, aut multiplex ſnpraꝑtiens, eſt pars aliquo­ta alicuius ꝓportionis multiplicis: igitur ex ali-quot c. illa proportio multiplex componitur. igi-tur ex conſequenti ſequitur /  alicuius termini in-termedii ad minimum extremū ipſius proportio-nis mĺtiplicis / qḋ minimū externū ē vnitas ē ꝓpor­tio c. / vt patet ex tertia ſuppoſitione: et illa ꝓpor-tio c. eſt multiplex ſuꝑparticularis, aut multiplex ſuꝑperpartiens: igitur alicuius numeri ad vnita-tem eſt ꝓportio multiplex ſuprapartiens aut mul­tiplex ſuperparticularis quod eſt oppoſitum ſex-te ſuppoſitionis: et per conſequens falſum: et ex conſequenti illud ex quo ſequitur videlicet /  c. eſt ꝓportio multiplex ſuperparticularis, aut multi-plex ſuprapartiens. Et ſic patet concluſio.

Quarta concluſio. Nulla proportio multiplex eſt commenſurabilis alicui proportio-ni rationali non multiplici. Probatur: quia nul­la ꝓportio multiplex eſt commenſurabilis alicui ſuperparticulari, aut ſuprapartienti / vt patet ex ſecunda, nec alicui multiplici ſuꝑparticulari, aut multiplici ſuprapartienti / vt ptꝫ ex tertia, igit̄̄ nul­la ꝓportio multiplex ↄ̨menſurabilis eſt alicui ꝓ-portioni rationali non multiplici. Et ſic patet cõ­cluſio.

Quinta concluſio Nulla proportio ſuperparticularis eſt commenſurabilis alicui ꝓ-portioni ſuperparticulari. Probatur ſupponen­do /  inter cuiuſlibet ꝓportionis ſuperparticula­ris primos numeros nullus numerus mediat vt viſum eſt in prima parte vbi agebatur de genera­tione ꝓportionum ſuperparticularium. quo ſup­poſito arguitur ſic: inter cuiuſlibet ꝓportionis ſu­perparticularis primos numeros nullus mediat numerus: igitur nulla talis ex aliquot ītermediis ꝓportionibus adequate componitur. Patet con­ſequentia / quia nulla eſt ꝓportio intermedia niſi ſit numerus intermedius: et vltra ex nullis ꝓpor-tionibus componitur. igitur nulla ꝓportio ē pars aliquota eius: et per conſequens ipſa non eſt com­menſurabilis alicui proportioni ſuperparticula­ri. Patet conſequentia / quia alias aliquid eſſet pars aliquota vtriuſ. Et ſic patet concluſio.

obiectio.

¶ Sed tu dices /  hec ꝓbatio eſt inefficax: quoniã concedit /  aliqua proportio ex nullis ꝓportioni­bus componitur quod eſt contra ea que dicta ſūt capite quarto huius partis. imo ꝓbatio nihil ali­ud probat niſi /  ex nullis ꝓportionibus equalibꝰ rationalibus componitur que ſint partes aliquo­te illius: cum hoc tamen ſtat /  aliqua ꝓportio ir-rationalis eſt pars aliquota duarum ꝓportionū ſuperparticularium: et ſic erunt commenſurabi-les. ¶ Sed hoc non obſtat / quia nulla ꝓportio ſuꝑ­particularis componitur ex alia ſuperparticula­ri et vna irrationali: ſicut nec aliq̄ rationalis cõ-ponitur ex vna rationali et altera irrationali a-dequate / vt probãt mathemathici. igitur nulla ſu­ꝑparticularis continet alteram ſuꝑparticularem ſemel aut aliquoties et vnam partem aliquotam eius que ſit ꝓportio irrationalis: quia tunc com-poneretur ex rationali et irrationali adequate: nec aliqua ſuꝑparticularis continet alteram ſe- mel vel aliquoties et aliquot partes eius aliquo-tas que ſint proportiones irrationales: quia tunc iam ille proportiones irrationales componerent vnam rationalem: quia alias componeretur illa ſuperparticularis ex rationali et irrationali: et ſi ille partes aliquote faciant vnam rationalem iaꝫ inter terminos illius ꝓportionis ſuꝑparticularis reperientur aliquot ꝓportiones rationales equa­les / vt patet intuenti: quod tamen eſt falſum cum non reperiantur inter primos numeros alicuius ꝓportionis ſuꝑparticularis.

reiicitur obiectio.

Sexta concluſio Inter rationales. tantum ꝓportio multiplex commenſuratur ꝓpor­tioni multiplici. Probatur / quia proportio multi­plex eſt commenſurabilis ꝓportioni multiplici / vt patet de quadrupla reſpectu duple: et inter ratio-nales nulla non multiplex eſt cõmenſurabilis ali­cui ꝓportioni multiplici / vt patet ex quarta cõclu­ſione / igitur propoſitum. Conſequentia patet ex dialectica.

Septima concluſio Omēs propor-tiones multiplices quarum denominationes ſunt de numero numerorum ſunt inter ſe cõmenſurabi­les. Hanc concluſionem ponit Nicholaus horen ſub forma dicta: ſed pono eam ſub alia forma cla­riori. Omnes ꝓportiones multiplices ꝓcedentes ſemper ſecundum dendminationem prime illarū ſunt cõmenſurabiles: ita  ſi prima illarum ſit du­pla. ſecunda immediate ſequens ſit etiam dupla: et ſic conſequenter tales ſunt cõmenſurabiles. Et vt paucis abſoluam omnes ꝓportiones quarum quelibet īmediate ſequētes ſunt eiuſdem denomi­nationis cum prima ſunt commenſurabiles Pa-tet hec concluſio / quoniam omnes tales ita ſe ha-bent  aliquid eſt pars aliquota vtriuſ / igitur. Et ad hoc videndum diſponatur vna ſeries nūe-rorum incipiendo ab vnitate ſemper duplando et vna alia ſemper triplando, et alia quadruplan-do, et alia quintuplando, et ſic in infinitum. et tunc dico /  omnes ꝓportiones primi ordinis ſunt cõ-menſurabiles inter ſe. et quelibet cuilibet alteri il­lius ordines: Et ſic etiam dicendum eſt de ꝓportio­nibus alioruꝫ ordinum. Patet hoc in his figuris

nicholaꝰ horen.

Et ſic etiam conſtitues ordines multarum ſuper-particularium et ſuprapartientium etc. Quod au­tem iſte ſunt commenſurabiles probatur / quoniã quelibet illius ordinis eſt equalis prime aut com­ponitur ex aliquot equalibus illi: igitur. ¶ Iſte concluſiones dempta prima et ſexta ſunt Nicho-lai horen cum ſuis probationibus ſaltem virtu-tes probationum et fundamenta ſunt ex ipſo.

cõtra ni-cholauꝫ horen.

¶ Sed videntur mihi ille probationes inefficaces Fundatur enim principaliter probatio ſecūde ter­tie et quarte in hac ſuppoſitione cuiuſlibet ꝓpor­tionis multiplicis vnitas eſt minimum extremum Modo illa ſuppoſitio falſa eſt / quoniam octo ad quatuor eſt proportio multiplex: tamen neutrum extremorum eius eſt vnitas: Sed diceret Nicho-laus horen et bene /  illa ſuppoſitio et ſi nõ ſit ve-ra diſtribuendo pro ſingulis generum. eſt tamen vera diſtribuendo pro generibus ſingulorum: et ī tali ſenſu capitur / vt patet intuenti.

Sꝫ contra / q2 in tali ſenſu capiendo eã non cõcluditur propoſitum ſed ſolum concludi­tur /  de qualibet ſpecie proportionis multipli-cis aliquod indiuiduum eiuſdem ſpeciei non ē cõ-menſurabile alicui ſuperparticulari, aut ſupraꝑ­tienti etc. / et adhuc vix id poteſt haberi contra pro­teruum. ¶ Sed diceret nicholaus /  ſatis ei ē ha-bere /  vna proportio dupla non eſt commenſura­bilis alicui proportioni non multiplici rationali / quoniam cuꝫ omnes duple ſint equales. quicquid non eſt commenſurabile vni certe non eſt commē-ſurabile alteri. Et certo credo /  in hoc fundatur principaliter deductio illarum concluſionū qua-rum fundamenta ſumuntur ex euclide ſeptimo et octauo elementorum. Notum eni3 eſt /  ſi aliquid eſt īcommenſurabile vni equalium etiam cuilibet erit incommenſurabile: quoniam omnia equalia ex equalibus adequate componuntur.

Sed contra diceret proteruus / quia dabiles ſunt due proportiones equales et tamen aliqua proportio eſt pars vnius: et nec illa nec ali­qua equalis ei eſt pars alterius: igitur non eſt in-conueniens aliquas duas proportiones eſſe equa­les: et aliquid eſſe partem vnius et nec illud nec tã­tum eſſe partem alterius: et per conſequens pari ratione poſſet dici /  quamuis omnes duple ſint equales: aliquid tamen eſt pars aliquota vnius / quod non eſt pars aliquota alterius nec tantum: quemadmodum aliqua proportio eſt pars alicu-ius proportionis duple: et tamen nec illa. nec ei eq̈­lia eſt pars alterius duple. Probatur aſſumptuꝫ de his duabus duplis quarum vna eſt .8. ad .4. et altera .2. ad .1. Nam illa que eſt .8. ad .4. componi-tur ex ꝓportione ſexquialtera et ſexquitertia que mediant inter ſua extrema: illa vero que eſt duoꝝ ad vnum ex nulla ſexquialtera aut ſexquitertia cõ­ponitur: quoniam nullus numerus mediat inter extrema illius. Nec valet dicere /  quamius nõ me­diat numerus mediat tamen vnitas cum fractio-ne aliqua: et illud ſufficit: quoniam vnitatis cum dimidio ad vnitatem eſt proportio ſexquialtera: Quoniaꝫ iam tunc haberem /  alicuius ꝓportio-nis ſexquialtere vnitas eſt alterum extremum / qḋ ipſe negare videtur. Et etiam habito illo: iam de-ſtruitur totus modus procedendi et ꝓbandi illas concluſiones et etiam quintã. Fundatur enim pro­batio illius quinte concluſionis in hoc:  īter nu­lius proportionis ſuperparticularis primos nu-meros reperitur aliqua ꝓportio rationalis que ſit pars eius. Modo illud eſt falſum vtendo fra-ctione vnitatis: inter .5. eī et .6. mediant .5. cū dimi­dio. Item eſto /  inter primos numeros ꝓportio-nis ſuperparticularis non mediat aliquis nume­rus mediat tamen inter non primos: et diceret ꝓ-teruus /  proportio ſuperparticularis inter non primos numeros componitur ex aliquot rationa­libus quibus eſt commenſurabilis: et tamen ipſa proportio inter primos numeros conſtituta non componitur ex talibus. Nec valet dicere /  non eſt imaginabile /  aliqua duo ſint equalia: et tamen aliquid ſit pars aliquota vnius et nullum tantuꝫ ſit pars aliquota alterius. quoniam diceret ꝓter­uus illud non eſſe imaginabile in quantitatibus continuis: ſed bene eſſe imaginabile in ꝓportioni­bus quoniam impoſſibile eſt dare duas quantita­tes cõtinuas equales: et  aliquid ſit pars vnius ſiue aliquota ſiue non. et  nullum tantuꝫ ſit pars alterius: et tamen illud datur in proportionibus Duarum enim intelligentiarum ad vnam intelli-gentiam eſt proportio dupla que non componi-tur ex ſexquialtera et ſexquitertia nec cum fractio­ne nec ſine. et tamen proportio dupla ei equalis .4. ad duo componitur ex ſexquialtera et ſexquiter-tia / vt patet. ¶ Hic tamen tu aduerte /  hee conclu­ſiones cum demonſtrationibus ſuis dependēt ex octaua propoſitione octaui elementorum euclidis que dependet ex .35. ſeptimi, et .14. et .18. et .21. ſepti­mi et tertia octaui. Et ideo difficilis eſt demonſtra­tio harum concluſionum: quia ex multis depēdēt Dicit tamen euclides in propoſitione allegata  ſi inter aliquos numeros non primos alicuius ꝓ­portionis reperiuntur aliqui numeri cõtinuo pro­portionabiles: totidē inter primos numeros eiuſ­dem proportionis reperiuntur. Et ideo tu ipſe ef-ficatiores demonſtrationes inquire.

Aduerte eu. 8. ele.

Octaua concluſio. Si fuerint tres termini continuo proportionabiles geometri-ce erit proportio extremi ad extremum dupla ad vtrã intermediam. et ſi fuerint .4. tripla, ſi .5. q̈-drupla: et ſic in infinitum. ſemper vno minus. hoc eſt ſi fuerint decem termini non erit ꝓportio decu­pla extremi ad extremum: ſed noncupla. Proba-tur: quoniam ſi ſunt tres termini continuo ꝓpor-tionabiles: reperientur ibi due ꝓportiones equa­les ex quibus adequate componitur ꝓportio ex-tremi ad extremum: et ſi quatuor tres. et ſi quin quatuor / et ſic conſequenter. Modo omne compo-ſitum ex duobus equalibus adequate eſt duplum ad quodlibet illorum, et ex tribus tripluꝫ, et ſic cõ­ſequenter / vt patet ex quinta ſuppoſitione quarti capitis huius partis: igitur cõcluſio vera: ¶ Et hec eſt decima diffinitio quinti elementorum euclidis et quinta diffinitio ſecundi elementorum iordani ¶ Et aduerte /  quotienſcun allego euclidē: ſem­per vtor noua traductione. Bartholomei3 am-berti.

eu. 5. ele. ior. 2. ele. Ne hoc tereas.

Nona concluſio Nulla proportio ra­tionalis habet ſubduplam rationalem. niſi habe­at numerū mediū ꝓportionabilem inter ſua extre­ma: et ſi non habet talem numerum non habet ſub­quadruplam proportionem rationalem, nec ſub­octuplam: nec ſubſexdecuplam: et ſic in infinitum procedendo per numeros pariter. Proba­tur prima pars huius concluſionis: quia ſi nõ de-tur oppoſitum videlicet /  aliqua proportio ha-beat ſubduplam rationaleꝫ que non habet nume­rum medium ꝓportionabilem inter ſua extrema: et ſit illa a. / et arguo ſic / a. proportio habet ꝓpor-tionem ſubduplam rationalem que ſit f. gratia ex­empli: igitur a. proportio componitur ex duplici f: adequate et per conſequēs vna illaruꝫ f. erit ma­ioris extremi ipſius a. ad aliquem numerum inter­medium: et altera eiuſdem numeri intermedii ad aliud extremum minus eiuſdem a. ꝓportionis: et per conſequens ille numerus intermedius erit me­dio loco proportionabilis / vt patet ex diffinitiõe numeri medio loco proportionabilis / quod eſt op­poſitum dati. Iam probatur ſecunda pars: quo-niam ſi inter terminos date ꝓportionis rationa­lis non fuerit numerus qui ſit medium proportio­nale: iam ibi non reperiuntur quin numeri cõti-nuo proportionabiles geometrice: et ſi non ſunt ibi quin numeri cõtinuo proportionabiles geo­metrice: iam extremi ad extremum non erit ꝓpor-tio quadrupla ad aliquam proportionem ratio- nalem intermediam: et per conſequens iam nõ ha­bet ſubquadruplam rationalem. Patet hec con-ſequentia / quia ex oppoſito ſequitur oppoſituꝫ / vt patet ex decima diffinitione quinti elementorum euclidis. Iam probo priorem conſequentiam vi-delicet /  ſi inter terminos date proportionis non fuerit numerus qui ſit medium proportionabile: non reperiuntur ibi .5. numeri cõtinuo proportio­nabiles. Que probatur ſic: q2 ex oppoſito conſe-quentis ſequitur oppoſitum ãtecedentis: q2 ſi ſūt ibi quin numeri continuo ꝓportionabiles iam ibi tertius numerus eſt medio loco ꝓportionabi-lis: quia primi ad ipſum eſt ea proportio que ē ip­ſius ad quintum / vt conſtat: quia ex equalibus cõ-ponuntur ille ꝓportiones adequate. Et ſic proba­bis alias partes. ¶ Ex hac concluſione ſequitur /  ſi inter terminos alicuius proportionis fuerit nu­merus qui ſit medium proportionabile ipſa ha-bet ſubduplam rationalem et ſi ipſius numeri me­dii proportio ad aliud extremuꝫ minus date pro-portionis haberit numerum qui ſit medium pro-portionabile: tunc tota proportio habet ſubqua­druplam rationalem: et ſi iteruꝫ illius numeri me­dii proportio ad minus extremum date ꝓportio-nis habuerit numerum qui ſit medium ꝓportio-nabile: iam data proportio habebit ſuboctuplaꝫ rationalem / et ſic in infinitum. Patet hoc correla­rium ex concluſione et eius ꝓbatione: auxilianti-bus correlariis ſexte concluſionis ſecūdi capitis

correĺm.

Decima concluſio notanda. Propo­ſita quauis proportione rationali an habeat ſub­duplam rationalem inueſtigare. vt propoſita du­pla aut tripla volo īueſtigare et ſcire ex predictis an habeat ſubduplã rationalem. Sit propoſita proportio rationalis f. inter a. numerū maiorem et b. numerum minoreꝫ. et volo inueſtigare vtrum f. ꝓportio habeat ſubduplã rationalem: tunc du-cam maiorem numerum in minorem / hoc eſt multi­plicabo a. per b. et ſi numerus inde ꝓueniens fue-rit quadratus: dico /  habet ſubduplam rationa­lem. ſin minus non habet ſubduplam rationalem Probatur prima pars videlicet /  ſi numerus qui fit ex ductu ipſius a. in b. ſit quadratus: tunc ha-bet ſubduplam rationalem. quia ſit talis numerꝰ eſt quadratus: tunc inter a. et b. eſt medius nume-rus proportionabilis / vt patet ex quarto correla­rio ſexte concluſionis ſecundi capitis huius par-tis: et ſi ſit numerus qui ſit medium ꝓportionabi­le inter a. et b. / ſequitur /  illa proportio habet ſub­duplam rationalem. Patet conſequentia ex cor-relario precedentis. Iam probatur ſecunda pars / quia ſi numerus qui fit ex ductu a. in b. non ſit qua­dratus: iam inter a. et b. non eſt numerus qui ē me­dio loco proportionabilis / vt patet ex ſecundo cor­relario ſexte concluſionis ſecundi capitis huius: et ſi non eſt numerus qui eſt medio loco proportio­nabilis inter a. et b. iam ille non habet ſubduplaꝫ rationalem / vt patet ex concluſione nona huius.

Patet igitur concluſio. ¶ Ex hac ſequitur /  du-pla non habet ſubduplam rationalem, nec tripla nec octupla, nec aliqua ſuperparticularis. Pro-batur / quoniam ducendo quatuor per duo reſul-tat numerus octonarius qui non eſt quadratus / vt conſtat: et ducendo .6. per duo: reſultat numerus duodenarius qui etiam non eſt quadratus: et du­cendo .16. per duo conſurgit numerus .32. qui non eſt quadratus vt apparet intelligenti. Item ducē­do .3: per duo producuntur .6. qui non ſunt nume-rus quadratus: et ſic probabis de qualibet alia ꝓ­ portione ſuperparticulari. ¶ Sequitur ſecundo /  propoſita qua volueris ꝓportione rationali. ī­ueſtigare poterimus vtrum habeat ſubquadru-plam rationalē ſuboctuplaꝫ, ſubſexdecuplam, et ſic in infinitum procedendo per numeros pariter pares. vt propoſita proportione ſexdecupla: vo-lo inueſtigare: vtrum habeat ſubquadruplam ra­tionalem, ſuboctuplam, ſubſexdecuplam, et ſic in infinitum. Ad quod inueſtigandum ſiue ſciendum ſit f. ꝓportio inter a. maiorem numerum et b. mi-norem: tunc aut inter a. et b. eſt numerus qui ſit me­dium ꝓportionabile aut non. ſi nõ: iam ſequitur /  non habet ſubquadruplam rationalē nec ſub-octuplam etc. / vt patet ex nona concluuſione: ſi ſic ſignetur ille et ſit h. / et tunc videndum eſt an nume­rus / qui fit ex ductu h. in b. ſit quadratus: et ſi ſic iã talis ꝓportio f. que eſt inter a. et b. habet ſubqua-druplam: ſi vero talis numerus non ſit quadratꝰ dico /  talis proportio non habet ſubquadruplã rationalem. Primum iſtorum probatur. quia ſi talis numerus qui fit ex ductu h. in b. ſit quadra-tus: iam inter h. et b. eſt numerus medio loco pro-portionabilis qui ſit k. / vt patet ex quarto correla­rio preallegato ſexte concluſionis ſecundi capitis huius: et ex conſequenti iam ꝓportio h. ad b. que eſt ſubdupla ad ꝓportionem f. habet ſubduplam proportionem rationalem / vt patet ex correlario none concluſionis: et ſi habet ſubduplam iam pro­portio f. habet ſubquadruplam: quia omne ſub-duplum ſubdupli eſt ſubquadruplum dupli / vt pa­tet ex ſecundo correlario quarte concluſionis q̈r-ti capitis huius / quod erat oſtendendum. Iam pro­batur ſecundum: quia ſi numerus qui fit ex ductu h. in b. non ſit quadratus iam proportio que eſt ī-ter h. et b. non habet numerū medio loco ꝓportio­nabilem / vt patet ex ſecundo correlario ſexte con-cluſionis preallegate: et ſi non habet mediū nume­rū ꝓportionabilem iã non habet ſubduplã ratio­nalem: et ſic eius medietas non eſt proportio rõa-lis et eius medietas eſt ſubquadruplum ꝓportio­nis f. que eſt a. ad b. / vt cõſtat: igitur proportio ſub­quadrupla ad f. non eſt rationalis / quod fuit oſtē-dendum. Alie particule correlarii ſimilem demon­ſtrationem ſortiuntur. Si eni3 non inueniatur ra­tionalis ſubquadrupla: nec ſuboctuplã rõnalem inuenies. Si vero ſubquadrupla reperta fuerit ra­tionalis: conſidera an ex ductu vnius extremita-lis ſubquadrupli in alterum reſultat numerꝰ qua­dratus: et ſi ſic concludas datam ꝓportionem ha­bere ſuboctuplam rationalē: quia ſua quarta ha­bet ſubduplam rationalem. ſin minus concludas eam non habere talem ſuboctuplam rationalem. Et ſic in aliis operaberis. ¶ Sequitur tertio /  ſi­gnata quauis ꝓportione rationali: inueſtigare et ſcire poterimus an habeat ſexquialteram ratio-nalem, ſexquiquartaꝫ, ſexquioctauam, ſexquiſex­decimã, ſexquitrigeſimã ſecundam, ſexquitrigeſi­mã quartã, et ſic in infinituꝫ: ꝓcedendo per ſpecies ꝓportionis ſuperparticularis denominatas a ꝑ­tibus aliquotis que partes aliquote a nūeris pa-riter paribus denominantur. vt ꝓpoſita ꝓportio­ne quadrupla: volo inueſtigare et ſcire an ia ha­beat ſexquialteram rationalem: tūc videbo an ha­beat medietatem rationalem per doctrinam deci­me concluſionis huius: et tunc ſi habeat medieta-tem rationalem: manifeſtum eſt  habet ſexquial<lb/>teram rationalem: quia non oportet ad dandam ſexquialteram ipſius quadruple aliud quam ad-dere ipſi quadruple ſuã medietatem puta duplã: quia aggregatum ex aliquo et medietate eiꝰ ē ſex­quialterum ad illud / vt conſtat ex diffinitione ſex-quialteri. Et iſto modo inuenitur octuplam eē ſex­quialteram ad quadruplam. Si vero inueſtigare et ſcire velis an q̈drupla habeat ſexquiquartam ſcias primo ꝑ doctrinam ſecundi correlarii: an ip­ſa proportio quadrupla habeat ſubquadruplaꝫ rationalem: et ſi ſic concludas /  habet ſexquiq̈r-tam rationalem: quoniam reperta quarta ipſius quadruple ad dandam ſexquiquartam ad ipſam quadruplam nihil aliud oportet quaꝫ addere ipſi quadruple ſuam quartam: et tunc aggregatuꝫ ex ipſa quadrupla et ſua quarta rationali ſe habet ad ipſaꝫ quadrumplam in proportiõe ſexquiquar­ta. Continet enim illud aggregatum ipſam qua-druplam et vnam quartam eius adequate. Et iſto modo inuenitur trigecuplam ſecūdam eſſe ſexqui­quartam ad ſexdecuplam. Et iſto modo in quali-bet proportione rationali īueſtigare poteris: an habeat ſexquioctauam, ſexquiſexdecimam, et ſic conſequēter rationales. Et ſic patet correlarium ¶ Ex quo ſequitur quarto /  ſi aliqua ꝓportio ra­tionalis non habet ſubduplam rationalem: ipſa non habet ſexquialteram rationalem, nec ſexqui­q̈rtã: nec ſexquioctauam: nec ſexquiſexdecimam: et ſic conſequenter. Probatur / quia ſi talis ꝓportio non habeat ſubduplam rationaleꝫ: ſequitur /  nõ habet numerum qui ſit medium ꝓportionale īter ſua extrema: et ſi nõ hꝫ numerū mediū etc. / ſequit̄̄   non habet ſubquadruplam, nec ſuboctuplam, nec ſubſexdecuplam rationalem / et ſic in infinituꝫ aſcendendo per numeros pariter pares / vt patet ex nona concluſione huius: et ſi non habet ſubdu-plam, nec ſubquadruplam: nec ſuboctuplam ra-tionales: et ſic conſequenter: iam manifeſtum eſt /  non habet ſexquialteram rationalem: nec ſex-quiquartam: nec ſexquioctauam: et ſic ſine fine / vt patet ex probatione precedentis correlarii. Et ſic ſi data proportio rationalis nõ habet ſubduplaꝫ rationalem: ipſa non habet ſexquialteram ratio­nalem: nec ſexquiquartaꝫ: nec ſexquioctauã etc. / qḋ fuit probandum. Et ſic patet correlarium. ¶ Se-quitur quinto /  ſi aliqua proportio ꝓpoſita non habuerit ſubduplam rationalem: ipſa non habe­bit duplam ſexquialteram rationalem nec duplã ſexquiquartam nec ſuprapartienteꝫ quartas, nec aliquam ſuprapartientem denominatam ab vni­tate et partibus aliquotis denominatis a nume-ro pariter pari: nec aliquam multiplicē ſuperpar­ticularem, aut multiplicē ſuprapartientem deno­minatã a numero et a parte vel partibus aliquo-tis que denominantur a numeris pariter paribꝰ Patet hoc correlarium facile: quia ſi data ꝓpor­tio non habuerit ſubduplam rationalem: iam nõ habet illas partes aliquotas rationales deno-minatas a numeris pariter paribus: vt patet ex quarto correlario: et ſi non habet illas partes ali­quotas que ſunt ꝓportiones rationales: iam non habet illas proportiones rationales denomina-tas ab illis partibus / vt conſtat. ¶ Ex quo ſequi-tur ſexto /  nec tripla, nec dupla, habent ꝓportio­nē ſexquialterã: ſexquiquartam: ſexquioctauam: duplã ſupratripartientē quartas rationalem: et ſic de multis aliis. Patet / quia neutra illarum ha­bet ſubduplam rationalem: vt patet ex primo cor­relario: igitur neutra illarum habet ſexquialterã ſexquiquartam etc. / vt patet ex īmediate preceden-ti. Inferas tu ſimilia correlaria particularia ex dictis.

correĺm. 2. correĺ. 3. correl. 4. correl. 5. correl. 6. correl.

Undecima concluſio. Nulla propor-tio rõnalis ſe habet ī aliqua proportiõe multipli­ci ad aliquam rationalem niſi inter primos nūe-ros eius reperiantur tot numeri cõtinuo ꝓportio­nabiles computatis etiam extremis vno plꝰ ade-quate: quotus eſt numerus a quo denomīatur da­ta ꝓportio multiplex. Exemplum. vt ſi velis inue-ſtigare et ſcire vtrum ꝓportio quadrupla ſe habe­at in ꝓportione dupla ad aliquam ꝓportioneꝫ rationalem: conſidera primum a quo numero de­nominatur proportio dupla: et īuenies /  a bina­rio iuxta doctrinam primi correlarii ſecunde ſup­poſitionis quarti capitis huius: tunc capias pri­mos numeros eius qui ſunt .4. et .1: et vide ſi inue-nias ibi tres numeros continuo ꝓportionabiles eadem ꝓportione cõputatis extremis: et ſi ſic dico /  ꝓportio quadrupla ſe habet in ꝓportione du-pla ad aliquaꝫ rationalem. Si enim ibi ſunt tres numeri continuo ꝓportionabiles computatis ex­tremis: iam illa ꝓportio quadrupla que eſt extre-mi ad extremum eſt dupla ad vtrã interdiarum: vt patet ex octaua concluſione: et ſi velis ſcire an quadrupla ſit tripla ad aliquam ꝓportionem ra­tionalem: quia tripla denominatur a numero ter­nario. videas vtrum inter primos numeros ꝓpor­tionis quadruple reperiantur tres nūeri vno plꝰ puta quatuor continuo ꝓportionabiles aliqua ꝓ­portione: et ſi ſic: tunc quadrupla ſe habet in pro-portione tripla ad aliquam ꝓportionē rationalē puta ad quãlibet illarum conſtitutarum inter ali­quos ex illis numeris continuo ꝓportionabilibꝰ et īmediatis: et quia tu non inuenies inter primos numeros ꝓportionis quadruple quatuor nume-ros continuo ꝓportionabiles computatis extre-mis: concludas /  quadrupla nõ habet ſubtriplã rationalem. Probatur hec concluſio. q2 ſi data ꝓ­portio rationalis que ſit a. ſe habeat in aliqua ꝓ­portione multiplici ad aliquam proportioneꝫ ra­tionalem que ſit b. / ſequitur /  a. aliquoties conti-net b. adequate / et ſic b. erit pars aliquota ipſius a denominata a numero a quo denominatur pro­portio multiplex in qua a. ſe habet ad b. / vt puta ſi a. ſe habet ad b: in proportione quadrupla erit b. vna quarta ipſius a. et ſic erit b. pars aliquota de­nominata a numero quaternario a quo denomi-natur ꝓportio illa multiplex puta quadrupla in qua a. ſe habet ad b: et ſi ſic iam neceſſe eſt  b. re-periatur inter aliquos numeros ipſius a. toties quoties eſt numerus a quo denominatur talis ꝓ-portio multiplex in qua a. ſe habet ad b. et ſi ſic iã inter terminos ipſius a. computatis extremis re-perientur tot nūeri quotus eſt ille numerus a quo denominatur data ꝓportio multiplex in qua a. ſe habet ad b. vno plus: quoniam ſemper termini ſi­ue numeri continuo ꝓportionabiles ſunt vno plu­res proportionibus inter ipſos ad inuentis / vt ptꝫ ex octaua concluſione huius: et ex conſequēti ſi nõ fuerint reperti tot numeri continuo ꝓportionabi-les inter aliquos numeros ipſius proportionis a. quotus eſt numerus a quo denominatur propor-tio multiplex in qua ponitur a. ſe habere ad b. / di-co /  tūc b. non eſt ꝓportio rationalis nec a. ſe ha­bet in tali ꝓportione multiplici ad aliquam pro-portionem rationalem. Probatur hec conſequē-tia / quia ſi ſe haberet ad b. proportioneꝫ rationa­lem in tali ꝓportione multiplici: iam aliquoties componeretur ex ipſa b. ꝓportione rationali et ꝑ conſequens aliquoties reperiretur b. inter nume-ros eius: puta toties quotus ē numerus a quo de- nominatnr data ꝓportio multiplex: et ſi ſic iã in-ter terminos eius computatis extremis reperiren­tur tot numeri continuo ꝓportionabiles quotus eſt numerus a quo denominatur dicta proportio multiplex: puta quoties a. cõtinet b. vno plus. igi­tur ex oppoſito: ſi non reperiantur tot numeri cõ-putatis extremis iam a. non ſe habet in tali ꝓpor­tione multiplici ad b. ꝓportionem rationalem.

nota.

¶ Utrum autē inter aliquos numeros date ꝓpor­tionis a. reperiantur tot numeri continuo ꝓpor-tionabiles computatis extremis vno plus quotꝰ eſt numerus a quo denominatur proportio multi­plex in qua ponitur a. ſe habere ad b. videndū eſt vtrum inter primos numeros eius inueniant̄̄ tot numeri continuo proportionabiles: et ſi ſic conclu­das /  inter numeros ipſius a. reperiuntur tot nu­meri continuo ꝓportionabiles: et ſi non inuenian­tur tot inter primos numeros date ꝓportionis: dicas /  inter nullos numeros eius reperiunt̄̄ tot numeri continuo ꝓportinoabiles computatis ex­tremis. Patet hec conſequentia / et deductio tota ex octaua ꝓpoſitione octaui elementorum eucli-dis in qua habetur /  ſi inter duos numeros ceci-derint aliqui numeri continuo ꝓportionabiles: inter quoſcun duos in eadem ꝓportione ſe ha-bentes cadent tot numeri continuo ꝓportionabi­les eadem ꝓportione qua ꝓportionautur alii. ex qua immediate infertur /  ſi inter duos numeros ſe habentes in ꝓportio a. ceciderint aliqui nume-ri continuo ꝓportionabiles ꝓportiõe que eſt vna tertia: aut vna quarta: aut vna quinta: ipſius a. in­ter primos numeros ipſius a. tot numeri cadēt ꝓ­portionabiles eadeꝫ ꝓportione que ſit tertia aut quarta: aut quinta ipſius a. / igitur ex oppoſito cõ­ſequentis ſi inter primos numeros a. proportio-nis non reperiantur aliqui numeri continuo pro­portionabiles ꝓportione que eſt vna tertia: vna quarta: quinta: ipſius a. et c. nec inter aliquos nūe­ros ipſius a. reperientur: quod fuit oſtendendum: Et ſic patet concluſio. ¶ Ex quo ſequitur primo. /  ꝓportio dupla ad nullam ꝓportionem rationa-lem ſe habet in ꝓportione dupla: aut tripla. aut quadrupla: aut in aliqua alia multiplici: nec quin­tupla, nec ſextupla etc. Probatur / quia inter pri-mos numeros ꝓportionis duple nullus numerus reperitur (computamus enim vnitatem pro nume­ro). Item inter primos numeros proportionis quintuple qui ſunt .5. et .1. non reperiuntur aliqui numeri continuo ꝓportionabiles adequate com­putatis extremis / vt conſtat. Et ſic patet etiam de ſextupla. Patet igitur correlarium. ¶ Sequitur ſecundo /  nulla ꝓportio ſuperparticularis ſe ha­bet in aliqua ꝓportione multiplici ad aliquam ꝓ­portionem rationalem. Patet / quia inter cuiuſli­bet ſuperparticularis primos terminos nullꝰ re-peritur numerus: igitur. ¶ Sequitur tertio /  pro­poſita quauis proportione rationali inueſtigare poſſumus an habeat aliquam ꝓportionem ratio­nalem que ſe habeat ad ipſam in ꝓportione ſex-altera: ſexquitertia: ſexquiquarta etc. / vt ꝓpoſita ꝓportione dupla: videre an ſit aliqua ꝓportio ra­tionalis que ſe habeat ad ipſam duplam in pro-portione ſexquialtera, ſexquitertia, aut in aliqua alia ſuperparticulari. Ad quod inueſtiganduꝫ et ſciendum videndum eſt an inter primos numeros ꝓportiouis duple aut cuiuſuis alterius rationa-lis ſint tres numeri continuo ꝓportionabiles cõ-putatis extremis: et ſi ſic: talis ꝓportio habet me­dietatem rationalem: et per conſequens ſexquial­ teram rationalem ad ipſam. Addendo enī et me-dietatem ſui conſtituetur ſexquialtera rationalis ad ipſaꝫ. Et ſi inter primos numeros eius compu­tatis extremis inueniantur quatuor numeri conti­nuo ꝓportionabiles: ipſa habebit tertiam ratio­nalem et per conſequens ſexquitertiam rationa-lem ad ſeipſam: et ſi reperiuntur .5. numeri conti-nuo ꝓportionabiles computatis extremis ia ha­bebit quartam rationalem: et per conſequens ſex­quiquartam rationalem / et ſic conſequenter. Et ſic patet correlarium. ¶ Sequitur quarto /  ꝓpo­ſita quauis ꝓportione rationali: inquirere et ſci-re poterimus an habeat aliquam ſuprapartien-tem, multiplicem ſuperparticulareꝫ, vel multipli­cem ſuprapartientem, rationales. vt ꝓpoſita pro­portione octupla īueſtigare poterimus et ſcire ex dictis an habeat ſuprabipartientem tertias ſu-prapartientem quartas rationales etc. Ad quod ſciendum et inueſtigandum: conſiderandum ē an data proportio rationalis habeat illam partem aliquotam rationalem: hoc eſt an aliqua propor­tio rationalis ſit tota pars aliquota eius quota eſt illa a qua denominatur dicta proportio ſupra­partiens, ant multiplex ſuperparticularis, aut multiplex ſuprapartiens: quod inueſtigari et ſciri debet ex vndecima concluſione: et ſi repperias /  habet proportionem aliquam rationalem que ſit talis pars aliquota eius: tunc manifeſtum ē /  ha­bet proportionem rationalem que denominatur a tali parte aliquota vel talibus partibus aliquo­tis (quod dico ꝓpter ſuprapartientes) ſi vero nõ: tunc manifeſtum eſt illam proportionem rationa­lem propoſitam non habere proportionem ratio­nalem denominatam a tali parte aliquota vel ta­libus partibus. Probatur hoc demonſtratione particulari que equiualebit vniuerſali. Data e ꝓportione ſexdecupla volo inueſtigare et ſcire an habeat proportionem ſupratripartientem quar-tas ad quod inueſtigandum conſiderabo ex doc-trina vndecime concluſionis an talis ꝓportio ſex­decupla habeat ſubquadruplam rationaleꝫ que ſit vna quarta eius: et inuento  ſic eo /  inter ter­minos eius computatis extremis inueniuntur quin numeri continuo ꝓportionabiles ꝓportio­ne dupla: aſſeuerabo conſtanter illam proportio­nem habere proportionem rationalem ſupertri-partientem quartas: et multiplicem ſexquiquar-tam et multiplicem ſupratripartientem quartas rationales. Quod ſic monſtratur Nam ſi ſupra il­lam proportionem ſexdecuplam que eſt .16. ad .1. addantur tres proportiones duple: tunc aggre-gatum ex ſexdecupla et illis tribus duplis ſuꝑ ad­ditis qualis eſt proportio .128. ad .1. ſe habebit ad proportionem ſexdecuplam in proportiõe ſupra-tripartiente quartas. Continet enim ſexdecu-plam et tres quartas eius. Item triplando illam proportionem ſexdecuplam / et addendo vnam ſui quartam habebis ꝓportionem triplam ſexquiq̈r­tam ad ſexdecuplam: et addendo ei duas quartas habebis triplam ſexquialteram: et addendo ſuꝑ illam triplatam .3. quartas habebis triplam ſu-pratripartientem quartas rationalem ad ſexde-cuplam. Omnia iſta patet ex diffinitionibus ſu-prapartiētis, multiplicis ſuperparticularis. aut multiplicis ſuprapartientis. hoc addito /  cuili-bet proportioni rationali addi poteſt queuis alia rationalis: aggregato ex ipſis manente rationa­li proportione. Ex quibuſcnn enim rationalibꝰ et quotcun: rationalis componitur: q2 alias in nūeris reperirent̄̄ irratiõales ꝓportiões: vt ſatis cõſtat ītelligēti. Et ſic ptꝫ correlariū. ¶ Sequit̄̄ n­to:  ꝓpoſita q̈uis ꝓportiõe ratiõali: nõ difficile ē īueſtigare et ſcire an habeat ꝓportionē rõnalē ſub multiplicē: an aliquã aliã rationalē minoris ineq̈­litatꝪ: vt ꝓpoſita ꝓportiõe dupla īueſtigare et ſci­re poterimꝰ an habeat ſubduplã: ſubtriplã: ſubq̈-druplã rationalē .etc̈. nec ne: cõſiderando primū ex doctrina vndecime ↄ̨cluſiõis: an habeat medieta-tem: tertiã: quartã: quintã rationales: et cõperien-tes  nõ: dicemus ipſam nõ habere ſubtriplam: ſubquadruplã .etc̈. rationales. Et eadem ratione dicemꝰ ipſam nõ habere ſubſextertiã rationalē: q2 nõ habet ꝓportionē cõpoſitã ex tribus quartis eius rationalibus: nec ſubſexquialterã rationalē: q2 nõ habet ꝓportionē compoſitã ex duabus ter-tiis eius rationalibus. Et ſic in omnibus aliis di­ces. Demonſtratio huius correlarii innititur huic baſi et fundamento /  nun̄ aliqua ꝓportio ratio­nalis cõponitur adequate ex vna rationali et vna irrationali. Applica tu demonſtrationē. Iſto mo­do inquirere debes an habet ſubſuprapartientē rationalē aut ſub multiplicē ſubſuprapartientem rationalē: aut ſub multiplicē ſubſuꝑparticularē: īueſtigando et inquirendo ex cõcluſione vndecima an talis ꝓportio rationalis ꝓpoſita habeat par­tem aliquotã rationalē vel partes a qua vel a qui­bus denominatur dicta ꝓportio minoris inequa­litatis: et ſi ſic aſcribenda eſt ei talis ꝓportio mi-noris inequalitatis rationalis: ſin minus: aſſeren­dum eſt ipſam nõ habere talē ꝓportionē minoris inequalitatis rationalē. Patet igit̄̄ correlarium. Profundius e velle illud demonſtrare eſt ipſuꝫ tenebris īuoluere. ¶ Sequitur ſexto per modum epilopi oīm eoꝝ / que preſenti capite digeſta ſunt:  quauis ꝓportione rationali ꝓpoſita: ſcire po-terimus an habeat aliquã ꝓportionē rationalem maioris inequalitatis ad ſeipſam et minoris ine-qualitatis: et quas habeat: et quas nõ. Et hoc ca-put diligenter conſidera quoniã ex eo pendet fer-me vniuerſalis huiꝰ materie īquiſitio: et ſuprema eius difficultas. ¶ His adde /  doctrina huius ca-pitis habita: ꝓpoſita aliqua certa velocitate ꝓ-ueniente ab aliqua ꝓportione rationali nota: iu-dicare poterꝪ de quacū alia velocitate a quauis alia ꝓportiõe ꝓueniente cõmenſurabiles ſint. nec ne. Item ꝓpoſita quauis velocitate ꝓueniente ab aliqua ꝓportione ratiõali nota: ſcire de quacū alia velocitate date velocitati cõmenſurabili a q̈ ꝓportiõe ꝓueniat: ratiõali vcꝫ vĺ irrationali / q̊ ex his ſcito et ſequētibꝰ: particulariꝰ ſcire poteris ex qua rationali vel irrationali ꝓueniat ſpecifice.

1. correl. 2. correĺ. 3. correl. 4. correl. 5. correĺ. 6. correĺ.
Capitum ſeptimū / in quo agitur de medie rei inuentione et proportione proportionuꝫ rationalis et irrationalis.

AD habendam aliqualē noti-ciã de ꝓportiõe ꝓportiõis rationalis et irrationalis et duarū irrationaliū ſit.

Prima ſuppoſitio. Oīs numerus ha­bet numerū ad ſe duplū, triplū, quadruplū, et ſic in infinitū: aſcēdendo per ſpecies ꝓportionis mul­tiplicis. Iſta ſuppoſitio patet ex ſe / q dato vno numero ex duabus vnitatibus adequate cõpoſito dabitur vnus alter compoſitus ex quatuor: et ille erit duplus: et alter ex ſex: et erit triplus: et alter ex octo: et erit quadrupus: et ſic ſine termino.

Secunda ſuppoſitio. Omnis nume­rus rerum diuiſibiliū ſiue quantitas habet cuius cū denominationis aliquam partem aliquotaꝫ cum fractione vel ſine fractione. Uolo dicere /  ſi-gnato quocun numero rerū diuiſibiliū talis nu­merus habet medietatē tertiam, quartam, quin-tam, ſextam, ſeptimam, et ſic in infinitū. Proba-tur: quia capto numero duodenario ille habet me­dietatem, puta numerum ſenariū: habet numerū quaternariū pro tertia, ternariū pro quarta, pro quinta vero habet numerū cū fractione, ad quam fractionē inueniendã oportet duodecim per quī diuidere: et exibit binariꝰ cū duabꝰ ntis iuxta do-ctrinã ſuperiꝰ poſitã octauo capite ṗme partꝪ. Et ſic operãdū eſt in cuiꝰ vis alteriꝰ ꝑtꝪ aliq̊te īuētiõe.

Tertia ſuppoſitio. Supra quēcū numerū rerum diuiſibiliū contingit dare numeꝝ continentē ipſum et medietatē: et alium continentē ipſum et vnam tertiam, et duas tertias: aut tres quartas: et ſic de qnibuſcun aliis partibus ali-quotis. Patet / q ad dandū numerū continentē ipſum et medietatē ſufficit addere illi medietatem ſui: et ad dandum numerū continentē ipſum et du-as tertias ſufficit ei addere illas duas tertias: vt patet ex ſe aſpicienti in numeris. Quomodo autē tales partes īueniant̄̄ cedēs ſuppoſitio declarat

Quarta ſuppoſitio. Quodlibet con-tinuū eſt duplū ad ſuã medietatē: triplū ad tertiã: quadruplū ad quartã: ſexquialterū ad duas ter-tias: et ſic de qualibet alia ſpecie ꝓportionis. Pa­tet hec ſuppoſitio ex diffinitionibus terminorum.

Quinta ſuppoſitio. Omnis ꝓportio habet medietatē: tertiam: quartã: et ſic in infinitū. Probatur hec ſuppoſitio / q2 oīs quantitas cõti-nua: et quodlibet cõtinuo ſucceſſiue diminuibile eſt huiuſmodi et oīs ꝓportio eſt quantitas continua aut cõtinuo partibiliter diminuibilis (et diſtribu-at ly omnis pro generibus ſingulorum more ma-themathicorum) / igitur propoſitum.

Sexta ſuppoſitio. Si aliq̄ due quã-titates cõtinue ſe habeant in aliqua proportione ratiõali vel irratiõali: dabilis eſt vna tertia qua-libet illarū maior que ſe habeat in eadē ꝓportiõe ad maiorē illaꝝ. vt ſi .4. et .2. ſe habeãt in aliqua ꝓ­portione dabilis eſt alter numerus puta .8. qui in eadem ꝓportione ſe habeat ad .4. et ſi diameter a. ſe habeat in aliqua ꝓportione ad coſtã b. dabilis eſt vna alia quãtitas puta c. que ſe habet in eadeꝫ ꝓportione ad b. Patet hec ſuppoſitio ex ſe.

His poſitis ſit prima cõcluſio. Que-libet ꝓportio ratiõalis in q̈libet ꝓportiõe multi-plici ab aliq̈ ratiõali excedit̄̄. Hoc eſt q̈libet ꝓpor-tio ratiõalis hꝫ ꝓportionē duplã: triplã: q̈druplã et ſic in īfinitū rõnales. Probat̄̄ hec ↄ̨cĺo / q ſi illa ꝓportio fuerit mĺtiplex manifeſtū ē /  ad nūeꝝ eiꝰ maiorē dabit̄̄ alis nūerꝰ ſe hñs in eadē ꝓportiõe / ad illū ſicut ille partes hꝫ ad minorē / vt ptꝫ ex ṗma ſup­poſitiõe: et tūc illiꝰ ad minimū erit ꝓportio dupla ad ꝓportionē medii ad minimū: q illa cõponit̄̄ ex duabꝰ eq̈libꝰ illi: et ſi addat̄̄ q̈rtꝰ nūerꝰ ſe hñs in eadē ꝓportione ad tertiū in qua tertius ſe habet ad ſecundū: ſicut poteſt fieri ex prima ſuppoſitiõe: iã ꝓportio illius ad minimū erit tripla ad ꝓpor-tionē ſcḋi ad minimū: et cū poſſint ſic addi infiniti ṫmini ↄ̨tinuo ꝓportiõabiles illa ꝓportiõe mĺtipli­ci / vt ptꝫ ex ṗma ſuppõe: ſequit̄̄ /  ad illã ꝓportionē dabit̄̄ ꝓportio dupla, tripla, q̈drupla, et ſic ī īfini­tū. Ptꝫ ↄ̨ña ex octaua ↄ̨cĺiõe cedētꝪ capitꝪ Si o illa ſit ſuꝑparticĺarꝪ ad maximū extremū eiꝰ adde­ tur aliquis numeris cū fractione vel ſine habens ſe in eadem proportione ad illud maius extremū: vt patet ex tertia ſuppoſitione: et tūc illius nume-ri ad minimū numerū erit ꝓportio dupla ad illaꝫ ſuperparticularē: q2 ibi erūt tres termini cõtinuo ꝓportionabiles .etc̈. Et iſto modo poteris cõſttue-re .5. terminos .6.7. continuo ꝓportionabiles: illa ꝓportione ſuperparticulari data: et ſic in infinitū / igit̄̄ dabitur ad eam quadrupla, quītupla, ſextu-pla rationalis: et ſic in infinitū. Et eodē modo pro­babis de quocū genere ꝓportionū rationaliuꝫ Et ſic patet concluſio.

Secūda cõcluſio. Quãuis quelibet ꝓportio rationalis in qualibet ꝓportione multi-plici ab aliqua ꝓportione ratiõali excedatur: ita­ quelibet ꝓportio rationalis habeat duplã, tri-plam, quadruplã, rationales / et ſic in infinitū: ni-chilominus nõ quelibet ꝓportio ratiõalis habet ſubduplã, ſubtriplã, ſubquadruplã, rationales. etc̈. Prima pars huiꝰ concluſionis patet ex priori concluſione: et ſecunda ꝓbatur: quia ꝓportio du-pla non habet ſubduplã rationalē, nec ſubtriplã, nec ſubquadruplã .etc̈. / vt patet ex doctrina vnde-cime concluſionis precedentis capitis: igitur non quelibet ꝓportio rationalis habet ſubduplã ſub­triplã, ſubq̈druplã ratiõales .etc̈. Ptꝫ igit̄̄ ↄ̨cluſio

Tertia cõcluſio. Aliqua ꝓportio ra-tionalis eſt dupla, tripla, quadrupla, et ſic in infi­nitū alicui ꝓportioni irratiõali. Probatur / quia ꝓportio dupla eſt huiuſmodi / igitur. Antecedens ꝓbatur / quia ꝓportio dupla habet medietatē ter­tiam, quartã, quintã .etc̈. / vt patet ex quinta ſuppo­ſitione: et ad medietatē ſui eſt dupla, et ad tertiaꝫ tripla, et ſic in infinitū / vt patet ex quarta ſuppo-ſitione: et nec eius medietas, nec eius tertia, et ſic in infinitū ſunt ꝓportiones rationales / vt patet ex ꝓbatione precedentis cõcluſionis: igit̄̄ ſunt ꝓpor­tiões irratiõales: igit̄̄ ipſa ꝓportio dupla eſt du-pla, tripla, quadrupla, et ſic in infinitū alicui pro­portioni irrationali / quod fuit probandum.

Quarta cõcluſio. Quelibet ꝓportio rationalis eſt cõmenſurabilis alicui proportioni irrationali. Probatur hec concluſio / q nulla ꝓ-portio ratiõalis habet quãlibet ſui partē aliquo-tam rationalē ꝓportionē: igitur quelibet eſt com­menſurabilis alicui rationali. Patet cõſequētia ſuppoſita cõſtantia: q quelibet quãlibet aliquo­tam habet) vt ly quãlibet diſtribuat pro generibꝰ ſingulorū (et nõ quãlibet habet rationalē ꝓporti-onē: igitur aliquam habet que eſt irrationalis ꝓ-portio: et illi eſt cõmenſurabilis / vt patet ex quarta ſuppoſitione: igitur ꝓpropoſitū. Probat̄̄ antecedēs / q inter nulliꝰ ꝓportionis terminos inueniūtur tot numeri cõtinuo ꝓportionabiles quot poſſunt ſignari partes aliquote: igitur aliqua pars ali-quota erit ꝓportio irratiõalis. Et ſic ptꝫ ↄ̨cluſio:

Quinta cõcluſio. Non oīs proportio irrationalis eſt ſubdupla, aut ſubtripla, et ſic con­ſequēter ad aliquã irrationalē: īmo multe irrati-onales ſunt ſubduple aut ſubtriple .etc̈. ad ratio-nales. Probatur hec ↄ̨cluſio facile: q medietas duple, quintuple, triple, octuple .etc̈. nõ eſt ſubdu-pla ad aliquã irrationalē: et tñ eſt irrationalis / vt ſatis patet ex decima ↄ̨cluſione cū ſuo primo cor-relario precedentis capitis / igitur concluſio vera.

Sexta concluſio. Quelibet ꝓportio in qualibet proportione rationali ab aliqua pro­portione rationali vel irratiõali exceditur. Pro-batur hec concluſio: quoniã data quacū propor­tione ad illam poteſt dari dupla, tripla, quadru­pla, et ſic cõſequenter procedendo per oēs ſpecies ꝓportionis multiplicis: quoniã poſſunt dari tres termini continuo ꝓportionabiles tali ꝓportione data: et quatuor, et quin, et ſex, et ſic conſequēter vt docet ſexta ſuppoſitio: et etiam data quacun dabitur vna que contineat ipſam et medietatē eiꝰ et alia que continet ipſam et vnã tertiã eius, et vnã quartam, et ſic in infinituꝫ. Item dabitur vna que cõtinet ipſam et duas tertias eius, vel tres quar-tas: et ſic in infinītum ſecundū omnē ſpeciem pro-portionis rationalis tam ſimplicis quam cõpo-ſite: et quelibet talis proportio erit rationalis vel irrationalis / vt patet ex primo capite prime par-tis: igitur quelibet proportio in qualibet propor­tione rationali ab aliqua proportione rationali vel irrationali exceditur. Patet igitur concluſio.

Septima cõcluſio. Quelibet ꝓpor-tio in qualibet proportione rationali aliquã ra-tionalem vel irratiõalem excedit. Probatur / q quelibet proportio poteſt diuidi in duas equales ratiõales vel non rationales: in .3. in .4. in .5. in .6. / et ſic in infinitū. vt patet ex quinta ſuppoſitione / et ſui medietatē in proportione dupla excedit: et ter-tiã in tripla: et quartã in q̈drupla: et ſic in infinitū / vt patet ex prima ſuppoſitione: et duas tertias in ſexquialtera: et tres quartas ī ſexquitertia: et tres quintas in ſuprabipartiente tertias: et ſic in infi-nitum diſcurrendo per ſingulas ſpecies propor-tionuꝫ rationalium: igitur quelibet proportio in qualibet proportione rationali aliquam ratio-nalem vel irrationalem excedit.

Ad generandas autē proportiones irrationales inter terminos proportionis ratio­nalis mediantes ſit.

Octaua cõcluſio que vocat̄̄ cõcluſio medie rei inuentionis. Si datis duabus rectis li-neis proportionabilibus proportione rationali vel irrationali in directum protractis coniūctis at ligatis: deſcribatur ſemicirculus: et a cõmuni medio ſiue puncto in quo vniuntur eleuetur linea directe orthogonaliter ad peripheriam vſ ſemi­circuli. talis linea ſcḋm cõtinuã ꝓportionalitatē inter datas lineas mediabit. Huiꝰ cõcluſionis ſen­ſus talis eſt. Si velis inter duas lineas ꝓportiõa-biles ꝓportione dupla aut quacun alia īuenire vnã que ſe habeat in eadē ꝓportione ad minorē in qua ſe habet maior ad ipſam: ↄ̨iūge illas duas li­neas et ſuꝑ illas deſcribas ſemicirculū: et a pūcto in quo iūgunt̄̄ ille due linee oriat̄̄ directe et ortho-gonaliter vna alia linea vſ ad circūferentiã cir-culi: et illa eſt linea q̄ querit̄̄: et ꝓportio maioris li-nee ad illã mediã eſt medietas ꝓportiõis q̄ eſt īter illã lineã maiorē et minimã ſic ↄ̨iunctas. Exemplū / huius concluſionis patet in hac figura.

Iſta cõncluſio / vt dicit thomos branardinꝰ in ſua geometria in capitulo de proportionalitate con-cluſione quarta longã et prolixã expetit demõſtra­tionem. Ideo ſufficiat ad eam euclidis auctoritas ſexto elementoꝝ propoſitione decima tertia.

1. correl. 2. correl. cal. ī capi­te de aug 3. correl. Branar­dinus. Eu. 6. ele

Nona cõcluſio. Ad inueniendã pro-portionē ſubduplã duple, aut alicuiꝰ alterius, cõ-ſtituantur due linee ſe habentes in ꝓportione illa cuiꝰ medietas queritur: et inueniatur media linea inter eas per artem precedentis cõcluſionis: et tūc maioris linee ad illam mediã et etiam illius medie ad minimã erit proportio que eſt media ſiue me-dietas talis proportionis. Et ſi velis īuenire ſub-quadruplã proportionē īuenias lineã mediã inter primã, et ſecundã et vnã aliam inter ſecundã et ter-tiam, et tunc quelibet illarū intermediarū erit ſub­quadrupla: q2 erūt ibi .5. termini continuo ꝓpor-tionabiles: igitur proportio extremi ad extremū eſt quadrupla ad quãlibet intermediam. Et ſi vis īuenire ſuboctuplã poſtquã īueniſti ſubq̈druplam inter quaſlibet duas lineas īmediate ſe habentes eleua vnã. Et ſi vis īuenire ſubſexdecuplã poſtquã īueniſti ſuboctuplã: īter quaſlibet duas eleua vnã artificio precedentis cõcluſionis / et ſic in infinitum duplicando. Hec concluſio patet ex priori patro-cinio octaue concluſionis precedentis capitis.

Decima cõcluſio. Quãuis facile ſit cuilibet ꝓportioni īuenirē ſubduplã, ſubquadru-plam, ſuboctuplã, ſubſexdecuplã, et ſic in infinitū aſcendendo per numeros pariter pares: difficile tamen eſt ſubtriplã, ſubquintuplã, ſubſextuplam / et ſic in infinitū per numeros impares vel impari­ter pares aſcendendo īuenire. Prima pars patet ex priori concluſione: et ſecūda eſt michi experimē­to cõperta: quãuis nicholaꝰ horen in ſuo tractatu ꝓportionū capite quarto velit dare modum per artem medie rei inuentionis ad īueniendam pro-portionem et ſubduplam, et ſubtriplam, et ſubſex-quialteram. ¶ Sed ſaluo meliori indicio et aucto-ritate tam circuaſpecti viri ſignanter in mathe-mathicis ſciētiis: videtur michi /  per artē medie rei īuentionis nõ poſſunt īueniri quatuor linee cõ­tinuo proportionabiliter ſe habentes. Quod ſic oſtendo: quia captis duabus lineis ſe habentibꝰ in ꝓportione dupla ad īueniendã quatuor lineas cõtinuo ꝓpprtionabiles: oportet inter illas duas īuenire alias duas cõtinuo ꝓportionabiles inter ſe et cū extremis / vt ipſemet fatetur: ſed hoc nõ põt fieri per medii rei īuentionē igitur. Minor proba­tur / q2 vel prima illarū duarū linearū que īuenit̄̄ inter illas duas īuenitur per illã artē vel nõ. ſi non habeo ꝓpropoſitū /  oportet dare aliã artē: ſi ſic tū manifeſtū eſt /  illa erit medio loco ꝓportionabi­lis inter lineas ſe habentes in ꝓportione dupla: et per cõſequens maioris linee ad ipſam / et etiam ipſius ad minimū erit proportio que eſt medietas duple: et tūc quero de īuentione ſecūde linee inter­medie: q2 vel ille īuenietur per artem medie rei in-uentionis vel nõ: ſi nõ habeo ꝓpoſitū: ſi ſic quero vel illa debet īueniri per illam artem inter illam mediam lineam et vltimam: vel inter primã et illã mediam: ſed neutrū iſtorum eſt diceudum igitur. Probatur minor: quoniã ſi inueniatur inter me-diam et vltimam: iam ille quatuor linee nõ erunt continuo proportionabiles: quoniã prime ad ſe-cundam erit medietas duple: et ſecunde ad tertiã et etiam tertie ad quartam erit ſubquadrupla du­ ple: quia erit medietas medietatis duple: vt patet ex nona concluſione huius: ſi vero īueniatur inter primam et mediam idē ſequitur. ¶ Ex quo ſequi-tur horen non tradidiſſe doctrinam ad inuenien-dam proportionē compoſitam ex duabus tertiis proportiõis duple puta ſubſequialterã ad duplã Probatur / quia vt ſonant verba eius videtur in-nuere illas lineas īueniendas eſſe per artē medie rei īuentionis / quod ſtare nõ poteſt / vt probatū eſt Et ſi hec nõ fuit intentio et mens venerabilis ma-giſtri. Nicholai horen detur imbecillitati et par-uitati ingenioli mei venia. Eligat igitur vnuſſ- / quod vult et me magis ſtudioſum quã maliuo-lum probet.

Contra horeu: Correĺ.
Capitulum octauū / in quo agitur decre-mento et decremento ꝓportionū.

QUoniã inſequētibus plerū ſeſe offert diminutio proportionis ex augmento reſiſtentie: aut virtutis decre­mento / et etiam augmentatio proueniens ex decre­mento reſiſtētie aut virtutis augmento. Ideo ope­re precium eſt in huiꝰ ſecunde partis calce aliquid de augmento et decremento ꝓportionū adiicere.

Pro quo ſuppono primo. Augere ſi-ue augmentare aliquã proportionē cõtingit mul-tipliciter: aut e maiori numero aliquid additur minore īuariato: aut decreſcente: aut minori ali-quid demitur maiore nõ variato aut creſcēte. aut vtro creſcente velocius tamen ꝓportiõabiliter creſcente maiore quã minore. Aut vtro diminu-to velocius tamē ꝓportionabiliter diminuto mi-nore quã maiore. Probat̄̄ / q capta proportione dupla que eſt .8. ad .4. cõtingit eã augeri ꝑ cremen­tū ipſoꝝ .8. ipſis .4. īuariatis vel decreſcētibus. vt ſi .8: acquirãt vnitatē ipſis .4. īuariatis: manebit ꝓportio maior dupla: nouē ad .4. q̄ eſt dupla ſex-quiquarta: ſi quãdo .8. acquirūt vnitatē .4. deper­dūt vnitatē: etiã manebit proportio maior dupla puta tripla. Itē ſi quieſcētibꝰ .8.4. deꝑdant bina­riū: augmentabit̄̄ ꝓportio / vt cõſtat: et ſi etiã tūc .8 aliquid acquirãt: etiã augmētabitur ꝓportio. Si vero .8. acquirãt quaternariū numeꝝ puta ꝓpor-tionē ſexquialterã: et q̈ternariꝰ numerꝰ acrat vni­tatē puta ꝓportionē ſexquiquartã: ꝓportio effi-cietur maior: Efficiet̄̄ e dupla ſuprabipartiens quītas. Si aūt .8: deꝑdant duo et .4. / ſiĺr duo aug-mētabit̄̄ etiã ꝓportio: q2 maiorē ꝓportionē deꝑ-dit numerꝰ mīor quã maior. Et ſic ptꝫ ſuppoſitio.

Secūda ſuppoſitio. Augmētare pro­portionē eſt addere ꝓportioni ꝓportionē ceteris paribꝰ: vt augere duplã eſt ei addere aliquã ꝓpor­tionē ceteris aliis manentibus paribus.

Ex quo ſequit̄̄ tertia ſuppoſitio ꝓpo-ſita vna ꝓportione quauis et duabꝰ aliis minori-bus: īueſtigare vtrū illa maior ex illis duabꝰ mi-noribꝰ adeq̈te ↄ̨ponit̄̄: vt ꝓpoſita ꝓportiõe dupla et ſexaltera, et ſetertia minoribꝰ, videre vtrum dupla ex ſexaltera et ſextertia adeq̈te cõponat̄̄. Probat̄̄ / ſit a. ꝓportio maior b: et c: mīores: et volo videre vtrū adeq̈te ↄ̨ponat̄̄ a. ex b. et c. Ad qḋ vidē-dū: addã c. ipſi b. / et ſi tūc ꝓportio ↄ̨poſita ex b. et c. adeq̈te eſt eq̈lis ipſi a. / ex illis adeq̈te cõponit̄̄ a. ſin minus: nõ ex his adequate componitur: ſed ex duabus maioribus, aut duabus minoribus.

Quarta ſuppoſitio. Diminuere ꝓ-portionē maioris ineq̈litatꝪ eſt ab ea demere ali-quã ꝓportionē maioris inequalitatis ceteris pa-ribus. Et hec diffinitio eſt. Contingit autē tot mo-dis proportionē maioris inequalitatis diminui: quot modis ipſam contingit augeri: de quibus in prima ſuppoſitione.

Quinta ſuppoſitio. Sēper plus di-minuitur ꝓportio maioris īequalitatis per aug-mentū minoris termini maiore nõ variato: quam per equale decrementū maioris minore nõ varia-to ceteris paribus. Et ſemper plus creſcit ꝓpor-tio per decrementū minoris termini: quã ꝑ equa-augmentū maioris ceteris paribꝰ. Prima pars huius ſuppoſitionis probatur: ſit vna ꝓportio f. inter a maiorē terminū et b. minorem. et perdat a. terminus aliquã partē ſui manente b. inuariato: tunc dico /  ſi a: nichil deperderet: et b. acquireret tantã partē quantã iam deperdit a. ceteris pari-bus: maiorē ꝓportionē deꝑderet f. ꝓportio quam iam deperdit. Quod ꝓbatur ſic: q2 b. per acquiſi-tionē illiꝰ partis maiorē ꝓportionē acquirit quã deꝑdat a: ꝑ deperditionē eiuſdē partis vel equa-lis: quod patet: q2 ſi tam a. quã b. deperderent illã partē: maiorē ꝓportionē deperderet b. quam a. / vt patet ex octaua ſuppoſitione quarti capitis huiꝰ partis: igitur quando b. acquirit illam partē et a. deperdit illam: maiorē ꝓportione acquirit b. quã deperdat a. (Suppono e /  ſemꝑ a. maneat ma­ius) / et ex conſequenti ſequitur /  maiorē ꝓportio-nem perdit f. / per augmentū minoris termini pu-ta b. / quã per equale decrementū maioris puta a. / quod fuit ꝓbandū. Patet hec cõſequētia / quoniã ſemper ꝓportio inter aliqua duo īequalia perdit illã ꝓportionē quã acquirit minꝰ extremū: et etiã illam quã deperdit maius extremū ceteris paribꝰ / vt patet ex ꝓbationibus none et decime ſuppoſi-tionū ſecundi capitis huius. Patet igitur prima pars. Et eodem modo demonſtrabis ſecundam Intelligo /  ſemper maior terminus maior ma-neat. Alias denmõſtratio nõ ꝓcederet. ¶ Ex quo ſequitur /  aliquando tantū diminuitur ꝓportio maioris inequalitais per crementū minoris nu-meri adequate ceteris paribus: quantū diminui-tur per equale decrementū maioris numeri. Pro­batur: et volo /  ſit vna ꝓportio inter quadrupe-dale et octupedale  manente quadrupedali in-uariato octupedale ꝑdat quadrupedale adequa-te: et ſequitur /  illa proportio diminuitur vſ ad ꝓportionē equalitatis: volo igitur iterū /  manē­te octupedali inuariato: quadrupedale acquirat ſupra ſe quadrupedale adequate: et ſequit̄̄ /  tunc etiã diminuitur proportio dupla vſ ad propor-tionē equalitatis: igitur correlariū verū ¶ Sequi­tur ſecūdo /  per equale decrementū maioris ter-mini et ſimul equale crementū minoris proportio manet equalis. Patet correlariū poſito /  octu-pedale a. deperdat quadrupedale: et quadrupeda­le b. acquirat tantū puta quadrupedale. quo poſi­to ſequitur /  in fine inter illos terminos erit pro­portio dupla ſicut erat in principio. Nã in fine b. erit octupedale a. vero quadrupedale: igitur.

1. correĺ. 2. correĺ.

His iactis ſit prima concluſio. Si vtra duaꝝ latitudinū inequaliū vniformiter cõ-tinuo diminuatur ſiue in tēpore equali ſiue ineq̈li ꝑdendo equalē latitudinē oīno: maiorē ꝓportionē deꝑdet minor latitudo quã maior: hoc eſt īter ipſã minorē latitudinem in principio diminutionis et ſeipſam in fine erit maior ꝓportio quã inter alte-ram maiorē latitudinē in principio et ſeipſam in fine. Exēplū / vt captis duabus latitudinibus puta pedali et bipedali ſiue vniꝰ gradꝰ et duoꝝ graduū (nõ eſt cura:) ſi latitudo pedalis ꝑdat in hora vni-formiṫ ſemipedale: et latitudo bipedalis in tãto tēpore vel maiore vel minori (Non īpedit ꝓpoſi-tum) perdat vniformiter ſemipedale adequate: maiorē ꝓportionē deperdit pedale quã ſemipeda­le: q inter pedale in principio et ſeipſum in fine eſt ꝓportio dupla: inter bipedale vero in prīcipio et ſeipſum in fine eſt ꝓportio ſexquialtera. Pro-batur hoc cõcluſio facile: q quandocun latitu-do maior et minor equalē partē ſiue exceſſū ſiue la­titudinē deperdūt: maiorē ꝓportionē deperdit la­titudo minor quã maior: vt ptꝫ manifeſte ex octa-ua ſuppoſitione quarti capitis huiꝰ partis: igit̄̄ concluſio vera. ¶ Ex hac concluſione ſequitur /  ſi aliq̈ latitudo maior puta a. vniformiṫ cõtinuo in aliquo tēpore deperdat aliquam partē ſui: et vna alia latitudo minor puta b. deperdat cõtinuo vni-formiter in tanto tēpore, maiori, vel minori (non curo) tantã partē adequate ſui: maior ꝓportio eſt inter latitudinē minorem in medio inſtanti prime medietatis tēporis in quo ipſa diminuitur et ſeip­ſam in medio inſtanti ſecūde medietatis eiuſdē tē­poris: quã īter latitudinē maiorē in inſtãti medio prime medietatis tēporis / in quo ipſa diminuitur et ſeipſaꝫ in inſtãti medio ſecūde medietatꝪ eiuſdē tēporis. Exemplū / vt capta latitudine .12. graduū et .8. graduū: et diminuatur latitudo: 12. graduuꝫ in hora cõtinuo vniformiter, deperdendo adequa­te quatuor gradus. et in tanto tēpore vel maiori vĺ minori (nõ curo) cõtinuo vniformiter deperdat la-titudo .8. graduū etiã quatuor gradus adequate: tunc ipſius latitudinis minoris in inſtanti medio ṗme medietatꝪ tꝑis in quo ipſa diminuit̄̄ ad ipſã in inſtãti medio ſecūde medietatis eiuſdē tēporis eſt maior ꝓportio: quã inter latitudinē maiorē in inſtanti medio prime medietatis temporis in quo diminuitur et ſeipſam in inſtanti medio ſecūde me­dietatis eiuſdē tēporis. Nam illa eſt ꝓportio ſu-prabipartiens quintas puta .7. ad .5. hec vero eſt ſuprabipartiens nonas puta .11. ad .9. Modo illa maior eſt hac / vt conſtat ex predictis. Hoc correla-riū eandē cū cõcluſione petit demonſtrationē: q ipſa latitudo maior ab inſtanti medio prime me-dietatis tēporis in quo diminuitur vſ ad inſtãs mediū ſecunde medietatis eiuſdē tēporis tantam latitudinē deperdit adequate: quantam latitudo minor perdit ab inſtanti medio prime medietatis tēporis in quo diminuitur vſ ad inſtans mediū ſecūde medietatis eiuſdē tēporis: q2 illa tempora ſunt medietates totaliū tēpoꝝ / vt conſtat in quibꝰ deperduntur medietates latitudinū deꝑdendarū adequate / igit̄̄ maiorē ꝓportionē deꝑdit minor la­titudo in tali tēpore: quã maior in tꝑe correſpõdē­ti. Patet hec ↄ̨ña ex ſcḋa parte octaue ſuppoſiti-onis allegate: et ꝓportio deꝑdita ab aliqua lati­tudine in aliquo tꝑe eſt ꝓportio īter eandē latitu-dinē in prīcipio talis tꝑis et ſeipſã in fine / vt patet / ergo maior eſt ꝓportio inter minorē latitudinē in inſtãti medio prime medietatis temporis in quo diminuit̄̄ ad ſeipſam in in inſtanti medio ſcḋe me­dietatis tꝑis eiuſdē: quã īter latitudinē maiorē in inſtãti medio ṗme medietatꝪ tꝑis in quo diminuit̄̄ et ſeipſã in inſtãti medio ſcḋe medietatis eiuſdem tꝑis / quod fuit ꝓbandū. Patet igitur correlariū. ¶ Ex quo ſequitur ſecundo /  ſi latitudo motus a. maior et b. minor diminuantur vniformiter cõti-nue in tempore equali vel inequali perdendo ade-quate equalem latitudinem: maior eſt proportio inter motum b. in principio temporis in quo ipſe diminuitur et ſeipſum in fine talis temporis: quã inter motum a. in principio temporis in quo ipſe diminuitur et ſeipſum in fine eiuſdem temporis: et ſimiliter maior eſt ꝓportio inter motum b. in inſtã­ti medio prime medietatis temporis in quo ipſe diminuitur et ſeipſum in inſtanti medio ſecunde. medietatis eiuſdem temporis: quam inter motuꝫ a. in inſtanti medio prime medietatis temporis ī quo ipſe diminuitur et ſeipſum in inſtanti medio ſecunde medietatis eiuſdem temporis. Prima pars huius auxilio concluſionis precedentis oſtē­ditur et ſecunda ex correlario facile ſuam demon­ſtrationem aſſumit. Et hoc correlarium eſt quar-tum ſuppoſitum calculatoris ī capite de motu lo­cali cõcluſione .38. / quod ponit ſub his verbis.

calcu. de mo. loca.

Omniū duarū latitudinum equalium extenſiue et inique intenſarum maior eſt proportio gradꝰ me­dii medietatis intenſioris in latitudine remiſſio-ri ad graduꝫ medium medietatis remiſſioris eiuſ­dem latitudinis / quam eſt proportio graduum me­diorum medietatum latitudinis remiſſioris.

Quas auteꝫ vocat latitudines extenſiue equales vide ibi. Et ex hoc probatur etiam regula / quã po­nit calculator in capite eodem ſoluendo argumen­tum factum contra .33. concluſionem / quam ibi nõ probat: ſed ipſa facile oſtenditur ex hac concluſio­ne et ſuo correlario / hoc addito /  in omni latitu-dine vniformiter difformi partium equalium ex-trema equaliter ſeſe excedunt: quia de talibus la­titudinibus intelligitur regula eius.

Secunda concluſio. Quando inter aliquos terminos eſt ꝓportio maioris inequali-tatis, et maior illorum terminorum acquirit ali-quam proportionem ſtante minore inuariato: vel minor terminus deperdit aliquam ꝓportionem ī­uariato maiore: proportio inter illos terminos augmentantur. Probatur / et ſint b. terminus ma­ior et .cd. minor inter quos ſit ꝓportio f. / et acqui-rat terminus b. vnam ꝓportionem que ſit .ab. ad b. / tunc dico /  proportio f. auget̄̄ ceteris aliis ma­nentibus paribus. Item ſi .cd. perdat ꝓportionē / que eſt .cd. ad d. proportio f. augmentatur. Pri-mum probatur / quia quando b. acquirit propor-tionē que eſt .ab. ad b. ceteris manentibus paribꝰ ipſi ꝓportioni f. que eſt b. ad .cd. / additur ꝓportio .ab. ad b. / ergo ſequitur /  ipſa ꝓportio f. augetur Patet hec conſequentia ex ſecunda ſuppoſitio­ne huius. Secunda pars ſimiliter oſtenditur: quo­niam quando terminus minor .cd. perdit ꝓportio­nem que eſt: cd. ad d. ꝓportioni f. que eſt b. ad .cd. / additur ꝓportio que eſt .cd. ad d. / quoniam in fine totalis ꝓportio componitur ex proportione b. ad .cd. et .cd. ad d. / ergo proportioni f. que eſt b. ad .cd. fuit addita ꝓportio que eſt .cd. ad d. / ergo ꝓportio f. fuit augmentata. Patet hec conſequentia ex ſe­cunda ſuppoſitione preallegata. Et ſic patet con-cluſio. ¶ Ex hac concluſione ſequitur primo /  cum inter aliquos terminos eſt ꝓportio maioris inequalitatis: et vtro creſcente maiorem propor­tionem acquirit maior terminus quam minor / tūc ꝓportio inter datos terminos augetur. Proba-tur / ſint duo termini .abc. maior: de. minor: et ſit ꝓ­portio c. ad .e.f et ꝓportio .abc. ad c. / excedat pro-portionē .de. ad e. per proportionē que eſt .abc. ad bc. / et acquirat e. ꝓportionem .de. ad e. et c. ꝓportio­nem que eſt .abc. ad c. / et tūc dico /  proportio f. au­getur. Quod ſic ꝓbatur / quia ſi c. acquireret adeq̈­te tantam proportionem quanta eſt .de. ad e. quaꝫ acquirit e. adhuc inter illos terminos maneret ꝓ­portio f. / vt patet ex correlario decime ſuppoſitio­nis ſecundi capitis huius partis: ſed modo c. ter-minus maior acquirit vltra proportionem quam acquirit terminus minor proportioneꝫ q̄ eſt .abc. ad .bc. / ergo ꝓportioni f. que eſt .bc. ad .de. / additur proportio .abc. ad .bc. / et per conſequens ꝓportio f. augetur / quod fuit probandum. Patet conſeq̄n-tia ex ſecunda ſuppoſitione. Patet igitur correla­rium. ¶ Sequitur ſecundo /  datis duobus termi­nis inter quos eſt ꝓportio maioris inequalitatis et diminuatur vter terminus: minore maiorem proportionem deperdente quam maior ꝓportio ī­ter datos terminos augetur. Probatur / ſint .ab. terminꝰ maior: et .cde. minor. et ſit inter .ab. et .cde. ꝓportio f. / et deperdat .ab. ꝓportionem que eſt .ab. ad b. et .cde. deperdat ꝓportionem que eſt .cde. ad e. / excedat proportio .cde. ad e. ꝓportionem .ab. ad b. per proportionem .cde. ad .de. / et tunc dico /  tali decremento facto in vtro illorum termino-rum ꝓportio f. augetur. Quod ſic probatur. quo-niam ſi .ab. terminus maior et .cde. terminus mi-nor equalem proportioneꝫ deperderent puta .ab. ꝓ­portionem que eſt .ab. ad b. et .cde. ꝓportionē que eſt .cde. ad .de. / tunc adhuc maneret ꝓportio f. / vt pa­tet ex ſecunda parte decime ſuppoſitionis. ſecun-di capitis huius: ſed modo vltra illam proportio­nem adhuc minor terminus deperdit ꝓportioneꝫ .de. ad e. / ergo ſequitur /  ipſi proportioni f. addi-tur ꝓportio .de. ad e. et ſic ꝓportio illa f. auget̄̄ / qḋ fuit probandum. ¶ Sequitur tertio /  quãdo duo termini ſe habent in proportione maioris īequa-litatis: et minor perdit aliquam ꝓportionē et ma­ior acquirit: ꝓportio inter illos terminos auge-tur. Patet correlarium ex concluſione.

1. correl. 2. correl. 3. correl.

Tertia concluſio. Qnando inter ali-quos terminos eſt ꝓportio maioris īequalitatis et maior illorum diminuitur ſtante minore: vel mi­nor augetur ſtante maiore: proportio inter illos terminos diminuitur. Probatur prima pars: et ſit proportio f. inter .ab. maiorem terminum et c. minorem: et ſtante c. deperdat .ab. ꝓportionem q̄ eſt .ab. ad b. / quam deperdit deperdendo a. parteꝫ ſui: tunc dico /  proportio f. diminuitur. Quod ſic probatur / quia a ꝓportione f. demitur aliqua ꝓ-portio puta proportio que eſt .ab. ad b. / igitur pro­portio f. diminuitur. Patet cõſequentia ex quar-ta ſuppoſitione: et antecedens probatur / quia ꝓ-portio f. componitur ex ꝓportione .ab. ad b. et b. ad c. in principio diminutionis / vt patet ex ſuperi­us dictis capite quarto huius: et ex illa prpportio­ne f. non manet niſi ꝓportio b. ad c. / igitur propor­tio f. perdit proportionem que eſt .ab. ad b. / qḋ fuit probandum. Secunda pars probatur: et ſint duo termini ſe habentes in proportione maioris ineq̈­litatis a. maior et c. minor inter quos eſt f. propor­tio: et acquirat c. terminus minor aliquam ꝓpor-tionem acquirendo b. ſupra ſe: io aggregato ex .bc. manente minore ipſo a. (Hoc enim ſupponit concluſio) et maneat a. inuariatum / tunc dico /  proportio f. diminuitur. Quod ſic probatur: quia ꝓportio f. in principio componitur ex pro-portione a. ad .bc. et ex ꝓportione .bc. ad c. / vt cõſtat et in fine talis augmentationionis termini mino-ris: ꝓportio illa manet ciſe proportio a. ad .bc. / vt conſtat: ergo ſequitur /  perdit proportionem que eſt .bc. ad c. / et ex conſequiti ſequitur /  diminui­tur / vt patet ex quarte ſuppoſitione. Et ſic patet concluſio. Ex quo ſequitur primo /  quando inter aliquos duos terminos eſt proportio maioris in­equalitatis: et vtro decreſcente maiorem ꝓpor-tionem deperdit maior quam minor: ꝓportio īter illos diminuitur: et vtro creſcente maiorem pro­portionem acquirat minor quam maior: propor-tio inter illos diminuitur. Probatur. prima ꝑs. et ſint .abc. maior terminus: et .de. minor īter quos ſit f: proportio: et excedat ꝓportio .abc. ad c. pro-portionem .de. ad e. per proportionem que eſt .bc. ad c. / et perdat maior terminus proportionē .abc. ad c. et minor ꝓportionem .de. ad e. / tunc dico /  ꝓ-portio f. inter illos terminos diminuitur. Quod ſic probatur / quia ſi maior terminus et minor per­derent equales ꝓportiones puta minor propor-tionē .de. ad e. et maior proportionem .abc. ad .bc. proportio inter illos terminos nec augeretur nec diminueretur ſed ſemper maneret f. / vt patet ex ſe-cūda parte decīe ſuppoſitionis ſecūdi capitꝪ huiꝰ partis: ſed modo maior terminus vltra illam pro­portionem equalem illi quaꝫ deperdit minor: ſtã­te minore ab vlteriori decremento adhuc perdit aliquam proportioneꝫ puta proportioneꝫ .bc. ad c. / ergo ſequitur /  proportio f. inter illos termīos diminuitur. Patet conſequentia ex tertia conclu­ſione. Quare patet prima pars. Et ſecunda ꝓba-tur eodem modo auxilio correlarii decime ſuppo­ſitionis ſecundi capitis huius partis: et iuuami-ne ſecunde partis huius concluſionis tertie.

1. correl.
2. correl.

¶ Sequitur ſecundo. /  quando inter aliquos ter­minos eſt proportio maioris inequalitatis: et ma­ior decreſcit: creſcente minore manente tamen mi­nore: proportio inter illos terminos diminuitur. Patet correlarium ex concluſione tertia iuuante loco a maiori.

Quarta concluſio Quando inter ali­quos terminos eſt aliqua proportio maioris ine­q̈litatis: et vter terminꝰ eq̈lem proportionē ac-quirit vel deperdit: tunc proportio inter illos nec augetur nec diminuitur. Patet hec concluſio fa-cile quantum ad deperditioneꝫ ex ſecunda parte decime ſuppoſitionis: et quantum ad acquiſitio-nem ex correlario eiuſdem decime ſuppoſitionis ſecundi capitis huins. ¶ Ex quo ſequitur primo /  ſi vter duorum terminorum equalium eque velo­citer proportionabiliter creſcat vel deſcreſcat con­tinuo: inter illos terminos continuo manet eadeꝫ proportio / et ſi continuo inter duos terminos in-ter quos eſt proportio maioris inequalitatis cre­ſcentes vel deſcreſcentes maneat eadem propor-tio continuo eque velociter ꝓportionabiliter cre­ſcunt vel deſcreſcunt. Patet hec correlarium ex ſe­cunda parte decime ſuppoſitionis ſecūdi capitis huius cum ſuo correlario et loco a coniuncta pro­portione. ¶ Sequitur ſecundo /  ſi ꝓportio maio­ris ad minus minoretur: et vter terminus mino­ret̄̄: velociꝰ ꝓportionabiliṫ minorat̄̄ maior ṫminꝰ quam minor. Et ſi illa ꝓportio minoretur ꝑ ma-iorationem vtriuſ termini tardius ꝓportiona-biliter maioratur maior quam minor. Probatur prima pars: quia ſi eque velociter ꝓportiõabiliṫ vter terminꝰ diminueret̄̄ ↄ̨inuo inter illos termi­nos maneret eadem proportio / vt patet ex priori correlario: et ſi minor terminus velocius propor-tionabiliter minoretur quam maior: tunc propor­tio inter illos terminos augetur / vt patet ex ſecū- do correlario ſecunde concluſionis huius: igitur ſi vtro termino decreſcente ꝓportio inter eos di­minuatur: velocius proportionabiliter minorat̄̄ maior quam minor / quod fuit probandum. Pa-tet conſequentia / quia vtro termino decreſcente nõ poſſunt illi termini ſe habere pluribus modis quam  eque velociter proportionabiliter decre-ſcant, vel  minor velocius ꝓportionabiliter ma­iore vel eocontra: ſed primo et tertio modo vtro decreſcente non poteſt ꝓportio inter eos dimi­nuitur oportet /  velocius ꝓportionabiliter ma-ioretur maior quã minor. Et ſic patet prima pars Secunda pars probatur / quia ſi vter terminus maior videlicet et minor eque velociter proportio­nabiliter maioretur: proportio inter eos nec au-getur nec diminuitur / vt patet ex primo correla-rio huius quarte concluſionis: et ſi vtro illoruꝫ creſcente velocius ꝓportionabiliter creſcat ma-ior quam minor proportio inter eos augetur / vt patet ex primo correlario ſecunde concluſiõis hu­ius: igitur ſi vtro creſcente ꝓportio īter illos di­minuitur: tardius proportionabiliter maioratur maior quã minor / quod fuit ꝓbandum. Patet cõ-ſequentia vt prius. Et ſic patet correlarium. Et hoc correlarium eſt quedam ſuppoſitio calculato­ris in capitulo de augmentatione ↄ̨cluſione ſepti­ma prime opinionis. ¶ Sequitur tertio /  quãdo inter aliquos terminos eſt proportio maioris in­equalitatis: et vtro termino creſcente, inter ac-quiſitum maiori termino et acquiſitū minori ē ma­ior ꝓportio quã ſit ꝓportio inter illos terminos: tunc data ꝓportio augetur. et ſi ſit minor propor-tio inter datos terminos diminuitur. et intelligo ſemper maiori termino acquirente maiorem lati­tudineꝫ quã acquirat minor: quia alias non opor­teret. Exēplū / vt capto pedali et bipedali īter que eſt proportio dupla: et pedali acquirente vnã q̈r-tam pedalis: bipedale acquirat pedale: tunc pro-portio inter illas duas quantitates augetur: q2 ī fine manet inter illas quantitates ꝓportio dupla ſuprabipartiens quintas qualis eſt .12. ad .5. ſi vero pedali acquirente pedale: bipedale acquirat pedale cum dimidio: tunc proportio inter illas du­as quantitates diminuitur: quia in fine manet ꝓ-portio ſupratripartientes quartas dūtaxat qua­lis eſt .7. ad 4. Probatur prima pars: et ſint b. ter­minus maior: et d. minor inter quos ſit f. ꝓportio / et acquirat b.a. latitudinem: et d. acquirat c. et ip-ſius a. ad ipſum c. ſit proportio g. maior propor-tione f. / et tunc dico /  illa proportio f. augetur ita­ ī fine ipſius .ab. ad .cd. erit maior ꝓportio quã f. Quod ſic probatur / et capio vnam aliam latitu­dinem / que ſit h. ad quam a. ſe habet in ꝓportione f. / et ſequitur /  ſi d. acquireret h. / quando b. acqui-rit a. / tunc inter .ab. et .hd. maneret proportio f. / vt patet ex quinto correlario quinte concluſionis ſe­cundi capitis huius: ſed modo .cd. eſt minus ipſo .hd. / ergo ſequitur /  ipſius .ab. ad ipſum .cd. eſt maior ꝓportio quam ipſius .ab. ad ipſum .hd. / q2 idem comparatum ad duo inequalia maiorem ꝓ­portionem habet ad minus illorum quam ad ma­ius / et ex conſequenti .ab. ad ipſum .cd. eſt maior ꝓ­portio quam f. / quod fuit ꝓbandnm. Sed reſtat ꝓ­bare /  .hd. eſt maius quam .cd. quia h. eſt maius ipſo c. cum a. maiorem ꝓportionem habeat ad c. quam ad h. / vt ponitur: ergo ſequitur /  .hd. ē ma-ius .cd: Patet conſequentia / quia ab vtro illo-rum dempto eodem equali d. illud quod remanet maius fuit pars maioris: ſed remanet h. maiꝰ / er-go erat pars maioris et erat pars ipſius .hd. / er-go .hd. eſt maius / quod fuit ꝓbandum. Et ſic patet prima pars. iam probatur ſecūda pars et volo /  inter b. et d. ſit ꝓportio f. et acquirat b.a. ſupra ſe: et d. acquirat c. ſupra ſe: ſit ipſius a. acquiſiti b. maiori termino ad ipſum c. acquiſituꝫ minori ter­mino proportio g. minor ꝓportione f. / tunc dico /  ꝓportio f. inter illos terminos diminuitur: ita  in fine ipſius .ab. ad ipſum .cd. erit minor ꝓportio quam f. Quod ſic ꝓbo et capio / h. latitudinem ad quam a. habet ꝓportionem f. / et arguo ſic / ſi quãdo b. acquireret h. adhuc inter illos terminos ma-neret ꝓportio f. puta inter .ab. et .hd. / vt patet ex quinto correlario quinte concluſionis ſecundi capitis huius: ſed modo .cd. eſt maius ipſo .hd. / er­go ipſius .ab. ad ipſum .cd. eſt minor ꝓportio quã ad ipſum .hd. / et per conſequens minor quaꝫ f. / qḋ fuit ꝓbandum. Sed reſtat probare /  ipſum .cd. eſt maius ipſo .hd. / quod ſic oſtenditur / quia dem-pto eodem communi ab .hd. et a.cd. / videlicet dē-pto ipſo d. ex .cd. manet maius quam ex .hd. / igi-tur .cd. eſt maius ipſo .hd. Patet cõſequentia ex dignitate arithmetica: et probatur aſſumptuꝫ / q2 ex .hd. manet h. et ex .cd. manet c. adequate / vt con­ſtat et a. habet maiorem proportionem ad h. quã idem a. habeat ad c. / vt poſitum eſt: igitur c. eſt ma­ius h. et c. manet ex .cd. et h. ex .hd. / igitur qḋ ma-net ex .cd. eſt maius illo quod manet ex .hd. eodeꝫ communi dempto / quod fuit probanduꝫ. Et ſic pa­tet correlarium. ¶ Sequitur quarto /  quando in­ter aliquos terminos eſt proportio maioris ine-qualitatis: et vtro termino creſcente: ꝓportio ī­ter eos augetur: tunc inter acquiſitum maiori ter­mino et acquiſitum minori eſt ꝓportio quaꝫ ſit ꝓ­portio inter illos terminos quibus ſit acquiſitio Si auteꝫ ꝓportio inter datos terminos diminua­tur creſcente vtro: inter acquiſitum maiori et ac­quiſitum minori erit minor ꝓportio quam inter datos terminos. Patet hoc correlarium ex prio­ri demonſtratione paucis mutatis. ¶ Sequit̄̄ quī­to /  quando inter aliquos terminos eſt propor-tio maioris inequalitatis: et vtro decreſcente in­ter deperditum a maiori termino et deperditum a minori eſt minor ꝓportio quam inter datos ter­minos. tunc ꝓportio inter datos terminos maio­ratur: et ſi ſit maior ꝓportio inter illa deperdita proportio inter datos terminos diminuitur. Ex-emplum / vt capto bipedali et pedali: ſi bipedale ꝑ­dat pedale: et pedale quartam pedalis: tunc pro-tio inter datos terminos diminuitur: quia in fine talis diminutionis illorum terminorum manet ꝓ­portio ſexquitertia quatuor quartarum videlicet ad tres quartas et ſi bipedale perdat pedale et pe­dale tres quartas ꝓportio maioratur: Manet eī in fine ꝓportio quadrupla vnius pedalis ad q̈r-taꝫ. Probatur / ſit .ab. maior terminus .cd. minor / inter quos ſit proportio f. / et inter a. et c. partes il-lorum terminorum ſit ꝓportio g. minor ipſa pro-portione f. et deperdat .ab. ipſam a. partem et .cd. c. partem: tunc dico /  in fine talis deperditionis ꝓportio inter illos terminos augetur: ita  pro-tio b. ad d. qui ſunt termini manentes eſt maior ꝓ­portione f. Quod probatur ſic / quia facta tali di-minutione in vtro illorum terminorum: manet preciſe proportio inter b. et d. et illa eſt maior ꝓ-portione f. / igitur propoſituꝫ. Maior eſt nota cuꝫ conſequentia: et probatur minor: et ſit h. vna lati­tudo ad quam a. ſe habet in ꝓportione f. / et arguo ſic ſi quando .ab. perdit a.cd. perdit h. / tunc inter illos terminos maneret ꝓportio f. / vt patet ex ter­tio correlario quinte concluſionis ſecundi capitis huius partis: ſed modo quando .ab. perdit a.cd. perdit c. quod eſt maius ipſo h. / ergo ipſum .cd. qñ perdit c. manet minus quam quando deperdit h. et ex conſequenti ipſius b: ad id quod manet deꝑ-dito c. ab ipſo .cd. puta ad ipſum d. eſt maior pro-portio quã ipſius b. ad id quod manet ex ipſo .cd. deperdito h. Patet conſequentia ex ſe: et ex con-ſequenti ſequitur /  proportio b. ad d. eſt maior ꝓ­portione f. / quod fuit probanduꝫ. Sed iam probo illam minorem videlicet /  quando .ab. ꝑdit a.cd. perdit c. / quod eſt maius ipſo h. Quod ſic proba-tur / quia ipſius a. ad ipſum h. eſt maior proportio quam eiuſdem a. ad ipſum c. / vt patet ex caſu / igit̄̄ c. eſt maius ipſo h. / quod fuit oſtendendum. Patet conſequentia / quia eiuſdem ſemper eſt maior pro­portio ad minus quam ad maius. Et ſic patet pri­ma pars. Secunda pars probatur: ſint .ab. termi­nus maior .cd. minor inter quos ſit ꝓportio f. et in­ter a. et c. ſit proportio g. maior ꝓportione f. et de­perdat .ab.a. et .cd.c. / ita  in fine maneat preciſe proportio inter b. et d. / et tunc dico /  in fine illa ꝓ­portio ipſius b. ad d. manet minor f. Quod ſic ꝓ-batur: et volo /  quando .ab. perdit a.cd. perdat h. ad quam latitudinem h.a. habet ꝓportionem f. / et arguo ſic / ſi quando .ab. perdit a.cd. perderet h. / tunc illi termini manerent in eadem proportione puta f. / vt patet ex tertio correlario quinte conclu­ſionis ſecundi capitis huius: ſed modo in caſu cõ­cluſionis quando .ab. ꝑdit a.cd. perdit c. / quod eſt minus ipſo h. / ergo ipſum .cd. quando ꝑdit c. ma-net maius quam quando perdit h. / et ex conſequē-ti ipſius b. ad id quod manet deperdito c: a.cd. eſt minor proportio quam ſit f. que eſt ipſius b. ad id quod manet ex .cd. deperdito h. / quod fuit proban­dum. Sed iam probo /  c. ſit maius ipſo h. / q2 ipſi-us a. ad ipſum h. eſt maior proportio quam eiuſ-dem a. ad ipſum c. ex hypotheſi: ergo ipſum c. eſt maius ipſo h. / quod fuit oſtendendum. Patet con­ſequentia vt prius et per conſequens correlariuꝫ ¶ Sequitur ſexto /  quando inter aliquos termi-nos eſt ꝓportio maioris inequalitatis: et decre-ſcente vtro termino ꝓportio inter eos augetur: tunc deperditi a maiori termino ad deperdituꝫ a minori eſt minor ꝓportio quam ſit proportio īter datos terminos in principio talis diminutionis. Et ſi vtro illoruꝫ decreſcente: ꝓportio inter eos diminuitur: tunc deperditi a maiori termino ad deperditum a minori eſt maior ꝓportio / quam ſit ꝓportio inter datos terminos in principio talis diminutionis. Hoc conuerſum precedentis corre-larii ex eius probatione facile oſtenditur paucis adiunctis. ¶ Et circa predicta correlaria aduerte /  ipſa moderanda ſunt cum maior terminus ma­nens continuo maior maiorem latitudinem acqui­rit vel deperdit quam minor: alias correlaria nõ erunt īmunia a falſitate: nec ſequentibus aliquo modo ſeruirent. ¶ Sequitur ſeptimo /  datis duo­bus terminis ſe habentibus in aliqua ꝓportione / et capta aliqua parte maioris ſe habente ad cer-tam parteꝫ minoris in ea ꝓportione in qua ſe ha­bent dati termini: reſidua maioris et minoris ſe habent etiam in eadem proportione dati termi-ni exemplum / vt capto pedali et bipedali ſe habē-tibus in ꝓportiõe dupla: et capta vna quarta ma­ioris et altera quarta minoris que etiaꝫ ſe habēt in proportione dupla: reſidua, puta tres quarte maioris, et tres quarte. minoris. ſe habent etiam in proportione dupla. / vt promptum eſt videre.

1. correĺ. 4. correl. 5. correl. 6. correĺ. 7. correl.

Probatur / ſit .ab. terminus maior .cd. minor in-ter quos ſit ꝓportio f. et ſit etiam eadem ꝓportio f. inter a. partem maiores et c. partem minoris: et tunc dico /  inter reſiduas partes puta inter b. et d: eſt etiam proportio f. Quod ſic probatur facile et volo /  .ab. perdat a. et .cd. perdat c. / et arguitur ſic / inter deperditum a termino maiori et deperdi­tum a termino minori eſt eadem ꝓportio que ē in-ter ipſos terminos puta f. / igitur illis deperditis adhuc inter reſidua manet eadem ꝓportio f. / vt pa­tet ex tertio correlario quinte ↄ̨cluſionis prealle-gato: ſed reſidua ſunt b. et d. / ergo inter b. et d. ē ꝓ­portio f. / quod fuit probandum. Patet igitur cor-relarium. ¶ Sequitur octauo /  quando inter ali­quos terminos eſt aliqua proportio et vtro illo­rum decreſcente manet inter eos continuo eadem proportio et alter illorum remittitur vſ ad non gradum: etiam et alter. Probatur / et ſint a. et b. il­li termini inter quos ſit proportio f. et decreſcēte vtro illorum continuo inter eos manet f. ꝓpor-tio / et remittatur b. ad non gradum / tunc dico /  ēt a. remittitur ad non gradum Quod ſic ꝓbatur / quia inter a. et b. continuo terminos decreſcentes continuo manet proportio f. / igitur continuo a. et b. eque velociter proportionabiliter decreſcunt / vt patet ex primo correlario quarte concluſionis hu­ius ſed infinitam proportioneꝫ deperdit b. / igit̄̄ a. in eodem tempore adequate infinitam deperdit et ſic in eodem tempore deuenit vſ ad non graduꝫ / quod fuit probandum.

8. correl.

Quinta concluſio. Quando aliqua proportio maioris inequalitatis maioratur per maioris extremi crementum ſtante minori: tūc da­ta ꝓportio efficitur maior per illam proportionē per quam maior terminus augmentatur. Et quã-do aliqua proportio maioris inequalitis ma-ioratur per minoris termini decrementum ſtante maiori: tunc ipſa data proportio efficitur maior per illam proportionem quam deperdit terminꝰ minor ſiue per quam terminus minor efficitur mi­nor / quod idem eſt. Probatur prima pars huiꝰ cõ­cluſionis / et ſit f. proportio inter b. terminum ma-iorem et c. minorem et b. acquirit ſupra ſe a. acqui­rendo h. proportionem que eſt .ab. ad b. / tunc dico /  proportio f. per h. proportionem maioratur ꝑ quam etiam maioratur ipſum b. maior terminus Quod probatur ſic / q2 facto tali cremento: ꝓpor-tio .ab. ad c. componitur ex proportiõe .ab. ad b. et b. ad c. / ergo proportioni f.b. ad c. fuit addita ꝓ­portio h. que eſt .ab. ad b. / vt patet rx hypoteſi: igi-tur ex conſequenti proportio f.b. ad c. fuit augmē­tata per h. proportionem / per quaꝫ augmentatur b. terminus maior / quod fuit probandum. Patet conſequentia ex ſecunda ſuppoſitione: et ex conſe­quenti prima pars. Eodem modo demonſtrabis ſecundam partem concluſionis Et ſic manifeſta ē concluſio. ¶ Ex hoc ſequitur primo /  quando ali­qua proportio maioris inequalitatis augetur ꝑ maiorationem maioris termini. et minorationē minoris: tunc data ꝓportio augetur et efficit̄̄ ma­ior per proportionem compoſitam ex proportio-ne per quam maior terminus efficitur maior ſiue quam ſupra ſe acquirit terminus maior, et ex pro­portione per quam minor terminus efficitur mi-nor, ſiue quam minor terminus deperdit / qḋ idem eſt. Patet hec correlarium ex concluſione: quoni-aꝫ ſi ſtante minore termino in prima parte tempo­ ris in quo fit talis maioratio ꝓportionis: maior terminus acquireret totam illam ꝓportionē quã debet acquirere in toto tēpore: et in ſecunda par-te eiuſdem temporis ſtante iam maiore: minor de­perderet illam ꝓportionem quam debet deperde­re in toto tempore: tunc ꝓportio īter illos termi-nos in prima parte temporis efficietur maior per proportionem per quam maior terminus effici-tur maior / vt patet ex prima parte concluſionis: et in ſecunda parte eiuſdem temporis efficiet̄̄ adhuc maior ceteris manentibus paribus per proportio­nem per quam minor terminus efficitur minor / vt patet ex ſecunda parte huius concluſionis: igitur in toto illo tempore cathegorematice efficitur il-la proportio maior per ꝓportionem compoſitaꝫ ex proportione per quam maior terminus effici-tur maior et ex proportione per quam minor ter-minus efficitur minor: vt patet, et in caſu correla-rii data ꝓportio in fine talis crementi manet ade­quate tanta quanta modo in caſu dato: igitur in caſu correlarii per tantam ꝓportionem efficit̄̄ ma­ior per quam iam in caſu dato: et in caſu dato effi­citur maior per proportionem compoſitam ex ꝓ-portione per quam maior terminus efficitur ma-ior et ex proportione per quam minor efficitur mi­nor: igitur per illam compoſitam ex illis duabus data ꝓportio efficitur maior ī caſu correlarii / qḋ fuit probandum. ¶ Sequitur ſecundo /  quando aliqua proportio maioris inequalitatis augetur vtro eius termino creſcente: tunc ipſa efficietur maior per proportionem per quam proportio ac­quiſita maiori termino excedit ꝓportionem acſi­tam minori termino. Probatur / et ſit f. proportio inter b. maiorem et d. minorem: et acquirat b. ter-minus ꝓportionem g. acquirendo ſupra ſe a. lati­tudinem: et d. acquirat h. ꝓportionem acquirēdo ſupra ſe c. latitudinem / ita  in fine maneat ꝓpor-tio ipſius .ab. ad: cd. excedat tamen proportio g. proportionem h. per e. proportionem: et tunc di-co /  data proportio f. efficitur maior per e. ꝓpor­tionem. Quod ſic probatur / quoniam ſi quando minor terminus acquirit h. proportionem: maior terminus acquireret tantaꝫ adequate: inter illos termīos adhuc maneret proportio f. / adequate vt patet ex correlario decime ſuppoſitionis ſecundi capitis huius: ſed modo vltra h. proportionē ma-ior terminus acquirit adhuc e. proportionem: mi­nore vltra nichil acquirente: igitur illa ꝓportio f. per e. proportionem efficitur maior / quod fuit pro­bandum. Patet conſequentia ex concluſione Ma­nifeſtum igitur correlarium. ¶ Sequitur tertio /  quando aliqua proportio maioris inequalitatis augetur vtro eius termino decreſcente: tnnc ia proportio efficitur maior per illam proportiõem per quam proportio deperdita a termino minori excedit proportionem deperditam a termino ma­iori. Probatur: et ſit .ab. terminus maior: et .cde. minor inter quos ſit ꝓportio f. et perdat terminꝰ maior proportionem que eſt .ab. ad b. et minor ꝓ­portionem .cde. ad e. que excedat proportionē de­perditam a maiori termino per proportionē .de. ad .e. que vocetur g: et tunc dico /  proportio f. effi­citur maior per proportionem g. Quod ſic ꝓba-tur / quoniam ſi quando maior terminus .ab. per-dit proportionem .ab. ad b. minor perderet adeq̈­te ꝓportionem .cde. ad .de. / tunc inter b. et .de. ma­neret adhuc proportio f. / vt patet ex ſecunda par-te decime ſuppoſitionis ſecundi capitis huiꝰ par­tis: et mõ minor terminus, nichil deperdente aut acquirente maiore, deperdit vltra proportioneꝫ g. que eſt d.e. ad e. / igitur per illam propotionē g. proportio f. efficitur maior. Patet conſequentia ex ſecunda parte cõcluſionis. ¶ Sequitur quarto /  ſi ſint quatuor quãtitates equales quarū ſecun­da ſtantibus aliis creſcat, aliquam quantitatem acquirendo ſupra primaꝫ: et deinde tertia creſcat ſtante prima, ſecunda, et quarta tantã quantitatē adequate acquirendo ſupra ſecundã quantã ſecū-da habet ſupra primã: et deinde quarta omnibus aliis īuariatis creſcat eandem quantitatem ac-quirendo ſupra tertiam: in fine proportio maxi-ma, que ſcilicet eſt inter duas quantitates mino-res, per maiorem proportionem excedit tertiam que eſt illarum trium proportionū minima: vt ca-ptis quatuor pedalibus ſi ſecundum illorū peda-lium creſcat aliis quieſcentibus acquirendo ſemi­pedale: et deinde tertium illorum pedalium aliis inuariatis acquirat ſemipedalem quantitatē ſu-pra ſecundum, quod iam eſt pedale cum dimidio: et poſtremo quartum illorum aliis ſimiliter inua-riatis creſcat acquirendo tantam quantitatē ade­quate ſupra tertium illorum: ita  fiat bipedale cum dimidio in fine proportio maxima que vide-licet eſt ipſius pedalis cum dimidio ad pedale per maiorem proportionem excedit ſecundam pro-portionem vt puta bipedalis ad pedale cum dimi­dio quam iſtamet ſecunda excedit tertiam que eſt bipedalis cum dimidio ad bipedale quia prima et maxima que eſt ſexquialtera excedit ſecundã pu­ta ſexquitertiam per proportionē ſexquioctauaꝫ ſecunda autem excedit tertiam que eſt ſexquiquar­ta per proportionem ſexquiquīdecimam / vt patet ex quarta concluſione quarti capitis huiꝰ partis Modo ſexquioctaua ſexquiquindecima maior eſt / vt conſtat. Probatur correlarium / et ſint quatuor quãtitates equales ſiue continue ſiue diſcrete (in idem redit) a.b.c.d. quarum ſecunda puta b. acqui­rat ceteris quieſcentibus k. latitudinem ſupra ip-ſum a. / ita ta b. quantitas excedat a. quanti-tatem per k. latitudinē: et deinde tertia quantitas puta c. ceteris inuariatis eandem k. latitudinem acquirat ſupra b. et poſtremo quarta quantitas puta d. eandem k. latitudinem acquirat ſupra c. / tunc dico /  in fine et poſt iſtorum quatuor diuerſa­rum quantitatum equalium diuerſaꝝ latitudinū acquiſitionē, proportio maxima puta ipſiꝰ b. ad a. per maiorē ꝓportionē excedit ſecundã ꝓportionē puta ipſius c. ad b. quã ipſa ꝓportio c. ad b. exce-dit ꝓportionē minimã que videlicet eſt ipſiꝰ d. ad c. Quod ſic ꝓbatur / et ſit ꝓportio ipſiꝰ b. ad ipſum a.f. et ꝓportio ipſius c. ad b.m. et ꝓportio ipſius d. ad c.n. ſit e. quantitas que habeat ad ipſã b. quã­titatē ꝓportionē f. et h. altera quantitas que ha-beat ad c. ꝓportionē m. quo poſito q2 ipſa e. quan­titas maior eſt ipſa c. quantitate quia e. quantitas maiorē ꝓportionē habet ad vnã tertiū vtpote ad b. quantitatē quã c. quia ipſius e. ad b. eſt f. ꝓpor-tio et ipſius c. ad .b. eſt m. ꝓportio minor f. ꝓporti-one / vt patet diligenter intuenti: ſit igitur latitu-do ſiue quantitas qua ipſa e. quantitas excedit c. quantitatem p. et quia eadem ratione h. eſt maior quantitas quam ipſum d. ſit exceſſus ipſius h. ſu-pra d.q. Quibus poſitis ſic argumentor ꝓportio f. excedit ꝓportionem m. per ꝓportionem que eſt e. ad c. / vt patet ex primo correlario quarte conclu­ ſionis quarti capitis huius ſecunde partis et pro­portio m. excedit proportionem n. per proportio-nem h. ad d. eadem ratione et proportio e. ad c. eſt maior quam proportio h. ad d. / igitur proportio maxima puta ipſius b. ad a. que eſt f. ex hypotheſi per maiorem proportionem excedit ſecundam pu­ta ipſius c. ad b. que eſt m. quam ipſa proportio c. ad b. excedit proportionem minimã / que videlicet eſt ipſius d. ad c. puta n. / quod fuit probandum. Cõ­ſequētia eſt nota et ſimiliter maior: ſed minor pro-batur / quia exceſſus ipſius e. ſupra ipſum c. eſt ma­ior quam exceſſus ipſius h. ſupra ipſum d. et c. eſt minus quam d. / vt patet ex caſu / igitur maior eſt ꝓ­portio ipſius e. ad c. quaꝫ ipſius h. ad ipſum d. / qḋ erat oſtendendum. Conſequentia patet per hanc maximam. Maior exceſſus additus minori, maio­rem proportionem facit quam minor vel equalis additꝰ maiori. Que maxima clara euadit ex octa­ua ſuppoſitione quarti capitis huius. Et maior probatur / et capio latitudinem reſultantem ex k. et p. coniunctis qua quidē latitudine e. excedit ipſuꝫ b. / vt patet aſpicienti caſum et latitudinē reſultan-tē ex k. et q. coniūctis qua latitudine h. excedit ipſū c. / et arguo ſic / latitudo .kp. maior eſt quaꝫ latitudo kq. / ergo eodē cõmuni vel equali dempto ab vtra puta k. id quod manet ex .kp. maiori puta p. maiꝰ eſt quam id quod manet ex .kq. minori puta q. et p. eſt exceſſus ipſius e. ſupra c. et q. eſt exceſſus ipſius h. ſupra d. / vt dicit hypotheſis / igitur exceſſus ipſiꝰ e. ſupra c. maior eſt ꝙ̄ exceſſus ipſius h. ſupra d. / qḋ fuit probandum. Conſequētia eſt manifeſta / et an-tecedens arguitur videlicet /  latitudo .kp. maior eſt quam latitudo .kq. quia latitudo .kp. maiorem proportionem habet ad vnū tertium puta k. quaꝫ latitudo kq. / igitur latitudo kp. maior eſt quã lati­tudo kq. Conſequentia claret et antecedēs proba-tur / quia latitudo kp. habet f. ꝓportionē ad ipſuꝫ k. et latitudo .kq. habet m. proportionem ad idē k. et f. proportio maior eſt proportione. m. / igitur la-titudo .kp. maiorem proportionem habet ad vnū tertium quam latitudo .kq. Cõſequentia patet cū minore / et maior probatur et prius quo ad priorē partem / quia iſte tres quantitates a. et b. et e. ſunt continuo proportionabiles f. proportione / vt pa-tet ex caſu: ergo inter exceſſum quo maxima illa-rum quãtitatum excedit mediam, et exceſſum quo media excedit minimam eſt f. proportio. Conſe-quentia patet ex quinta concluſione ſecundi capi-tis huius ſecunde partis: et exceſſus quo maxima quantitas puta e. excedit mediam que eſt b. eſt la-titudo .kp. et exceſſus quo media quantitas puta b. excedit minimam vtpote a. eſt latitudo k. / igitur latitudo .kp. habet f. proportionem ad ipſum .k. / qḋ fuit ꝓbãdū. Et ſic ptꝫ prior pars. Et poſterior probatur videlicet /  latitudo .kq. habet m. pro-portionem ad idem k. / quia iſte tres quantitates b.c.h. ſunt continuo proportionabiles m. propor­tione: vt patet ex caſu: igitur inter exceſſum quo maxima puta h. excedit mediam puta c. et exceſſuꝫ quo media quantitas puta c. excedit minimam puta b. eſt m. proportio: vt patet ex quinta conclu­ſione preallegata: et exceſſus quo h. excedit c. eſt la­titudo k.q. et exceſſus quo c. excedit b. eſt ipſum k. / igitur latitudo .kq. habet m. proportionem ad ip­ſum l2. / quod fuit probandum. Patet igitur poſte­rior pars maioris et per conſequens totum corre-larium.

1. correl. 2. correl. 3. correl. 4. correĺ.
5. correĺ. Calcu. de lo. elo.

¶ Hinc patet primum notabile calculatoris / quod ponit in capitulo de loco elementi circa principiū in ſecundo argumento ſub iſta forma. Si ſint qua­tuor termini continuo proportionales arithme-tice: proportio maxima que ſcilicet eſt inter termi­nos duos minores eorum quatuor per plus exce-dit ſecundam proportionem quam iſta ſecunda ex­cedat tertiam que eſt minima illarum trium pro-portionum que ſunt inter illos quatuor terminos

Sexta cõcluſio. Quando aliqua pro­portio diminuitur per decrementum termini ma-ioris ſtante minore: tunc ꝓportio illa efficitur mi-nor per eam proportionem per quam maior ter-minus efficitur minor, ſiue per eam quam termi-nus maior deperdit. Et quando aliq̈ proportio efficitur minor per crementū minoris termini ſtã-te maiore: tunc proportio inter illos terminos ef-ficitur minor per proportione quam acquirit mi-nor terminus ſiue per quam efficitur maior. Exē-plum / vt capta ꝓportione dupla bipedalis ad pe-dale que efficiatur minor per decrementum bipe-dalis ſtante pedali: proportio illa dupla efficitur minor per proportionem quam deperdit bipeda-le. Sic exēplificabis de alia parte. Probatur pri­ma pars / ſit a.b. maior terminus: et c. minor inter quos ſit proportio f. et deperdat a.b. proportionē a.b. ad b. ſtante c. / tunc dico /  proportio illa f. effi-citur minor per proportionem a.b. ad b. quã per-dit terminus maior. Quod probatur ſic / quia ãte tale decrementum termini maioris: proportio a. b. ad c. componitur ex proportione a.b. ad b. et b. ad c: / et per tale decrementum termini maioris de-mitur a b. illa proportione f. proportio a.b. ad b. / igitur proportio illa f. efficitur minor per propor­tionem a.b. ad b. / quod fuit probandum. Et ſic ptꝫ prima pars. Et eodem modo probabis ſecūdã. ¶ Ex quo ſequitur primo /  quando aliqua ꝓpor­tio diminuitur per decremētum maioris termini et crementum minoris: tunc talis proportio effici-tur minor per proportionem compoſitam ex pro-portiõe / quam deperdit maior terminus et ex pro-portione quam acquirit minor. Patet hoc corre-larium facile ex dictis et concluſione. ¶ Sequitur ſecūdo /  quando aliqua proportio maioris ine-qualitatis diminuitur per crementū vtriuſ ter-mini: ipſa efficitur minor per proportionem per quam proportio acquiſita minori excedit propor­tionem acquiſitam maiori. Probatur / et ſit ꝓpor­tio f. inter b. terminū maiorē et d. minorē et acqui-rat b. terminus proportionē g. acquirando a. la-titudinem ſupra ſe: et terminus d. acquirat ꝓpor-tionem h. per acquiſitionem c. excedat propor-tio acquiſita ipſi d. proportionem acquiſitã ipſi b. per proportionem e. / tunc dico /  in fine talis cre­menti illorum terminorum proportio inter illos terminos a.b. et c.d. eſt minor proportiõe f. que eſt inter b. et d. per proportionem e. per quã propor-tio acquiſita termino minori excedit proportio-nem acquiſitam termino maiori. Quod ſit proba­tur: quoniam ſi quando b. acquirit proportioneꝫ g.d. acquireret tantaꝫ adequate: ſemꝑ inter illos maneret eadem proportio / vt ſepius argutum eſt / ſed modo terminus minor puta d. vltra illã pro-portionem g. quam acquirit terminus maior ac-quirit proportionem e, quieſcente maiori a.b. vl-teriori acquiſitiõe / igitur illa proportio que eſt in fine videlicet / a.b. ad c.d. efficitur minor per ꝓpor-tionem per quã proportio acquiſita termino mi- nori excedit proportionem acquiſitam termino maiori / quod fuit probandum. ¶ Sequitur tertio /  quando aliqua proportio maioris inequalita­tis diminuitur per vtriuſ eius termini decremē­tum: talis proportio efficitur minor per propor-tionem per quam proportio deperdita a maiori termino excedit proportionem deperditam a mi-nori. Probatur / ſit a.b.c. maior terminus d.e. mi-nor inter quos ſit f. proportio: et deperdat termi-nus maior proportionem que eſt a.b.c. ad c. et ter-minus minor proportionē d.e. ad e. excedat pro­portio deperdita a termino maiori proportionē deperditam a termino minori per proportionem h. que ſit b.c. ad c. / et tunc dico /  in fine talis decre-menti proportio f. efficitur minor per proportio-nem h. Quod ſic probatur / quia ſi quando d.e. perdit proportionē d.e. ad e., a.b.c. perderet pro-portionem a.b.c. ad b.c. / tunc inter tales terminos adhuc manent f. proportio / vt ſepius probatū eſt: ſed modo ipſe terminus maior a.b.c. vltra talem proportionem perdit adhuc proportionem h. que eſt b.c. ad c. / ergo per illam proportioneꝫ h. que eſt b.c. ad c. illa proportio f. efficitur minor / quod fuit probandum. Patet igitur correlarium.

1. correĺ. 2. correĺ. 3. correĺ.
4. correĺ. Calcu. in capite de aug.

¶ Sequitur quarto /  ſi ſint duo proportionabi-lia aliqua proportione maioris inequalitatis et proportio inter illa minoratur per vtriuſ mino-rationem: proportio deperdita a maiori erit ma-ior proportione deperdita a minori per propor-tionem per quam proportio inter maius et minus fiet minor: hoc eſt per proportionem que deperdi-tur inter maius et minus. Probatur / ſit proportio f. inter a. terminum maiorem et b. terminum mino­rem et decreſcente tam a. quam b. efficiatur f. pro-portio minor per proportionem h. / tunc dico /  h. eſt proportio per quam proportio deperdita ab a. termino maiore excedit proportionem deperdi­tam a.b. termino minore. Quod ſic ꝓbatur / quo-niam quando aliqua proportio maioris inequa-litatis minoratur. per decrementum vtriuſ ex-tremi: ipſa efficitur minor per proportionem / per quam proportio deperdita a maiore termino ex-cedit proportionem deperditam a minori / vt patꝫ ex anteriori correlario: ſed proportio f. que eſt a. ad b. minoratur decreſcente vtro termino: ergo ſequitur /  ipſa proportio f.a. ad b. efficitur mi-nor per proportionē per quam proportio deper-dita a termino maiori puta a. excedit proportio-nem deperditam a minore puta b. ſed illa propor­tio eſt h. ex hypotheſi: igitur proportio h. eſt pro-portio per quam proportio deperdita a maiori termino puta a. excedit proportionem deperditã a minori puta b. / quod fuit probandum. Et hec eſt quedam regula et ſuppoſitio quam calculator po­nit in reſponſione ad argumentum / quod facit cõ-tra duas vltimas concluſiões in capitulo de aug-mentatione in opinione prima.

Septima concluſio. Si aliqua quã-titas maior creſcat reſpectu quantitatis minoris non variate acquirendo ſupra ſe aliquã propor-tionem: tantam proportionem acquirit ſupra nu­merum minorem hoc eſt ſupra proportionem quã habet ad numerum minorem quantam acquirit ſupra ſe. Et ſi quantitas maior manens maior re­ſpectu quantitatis minoris inuariate deſcreſcat ſi­ue perdat aliquam proportionem: quantam pro-portionem deperdit a ſeipſa tantam deperdit re-ſpectu quantitatis minoris: hoc eſt a proportiõe quam habet ad quantitatem minorem. Exempluꝫ / vt capta proportione que eſt .12. ad .8. volo /  nu-merus maior puta .12. creſcat quouſ conſtituant 16. / tūc manifeſtū eſt /  numerus maior acquiſiuit ſupra ſe proportionem ſexquitertiam: et tantam acquiſiuit ꝓportio .12. ad .8. / vt conſtat. In fine e illa componitur ex ſexquialtera et ſexquitertia. Si vero .12. diminuantur vſ ad .9. ſtantibus. 8. / tunc proportio .12. ad .8. deperdit proportio-nē ſexquitertiam quam deperdit numerus maior. Prima pars huius concluſionis patet ex prima parte quinte concluſionis: et ſecunda ex prima ſex­te concluſionis huius. ¶ Ex quo ſequitur primo /  ſi quantitas maior creſcat vel decreſcat manens maior reſpectu quantitatis minoris inuariate: tantam proportionem acquirit vel deperdit re-ſpectu quantitatis minoris quantam reſpectu ſui Patet ex concluſione. ¶ Sequitur ſecundo /  ſi quantitas maior creſcat vel decreſcat manēs ma­ior reſpectu duarum quantitatum minorum ſiue equalium ſiue inequalium: equalem propotionē acquirit vel deperdit reſpectu vtriuſ quantita-tis ipſis inuariatis manentibus. Patet hoc cor-relarium / quoniam aliquam proportionem acqui­rit vel deperdit quantitas maior reſpectu ſui: et quantãcun acquirit vel deperdit reſpectu ſui tã­tam acquirit vel deperdit reſpectu cuiuſcun quã­titatis minoris inuariate / vt patet ex priori: igitur quantam acquirit vel deperdit reſpectu ſui tantū reſpectu duarum quantitatum minorū ſiue equa-lium ſiue inequalium / quod fuit probandum.

1. correĺ.

Octaua concluſio. Si quantitas mi­nor creſcat reſpectu quantitatis maioris non va-riate: quantam proportionem acquirit ſupra ſe tantam deperdit quantitas maior reſpectu mino­ris. Hoc eſt per tantam proportionem proportio maioris quantitatis ad minorem efficitur minor. Si vero quantitas minor decreſcat reſpectu ma-ioris quantitatis inuariate: tantam proportionē acquirit quãtitas maior ſupra minorem per quã­tam ipſa minor fiet minor. Hoc eſt proportio quã­titatis maioris ad minorē efficitur maior per pro­portionem quam deperdit quãtitas minor. Pri-ma pars huius concluſionis patet ex ſecūda par-te quinte cõcluſionis et ſecunda, ex ſecunda parte ſexte concluſionis huius ¶ Ex quo ſequitur primo /  ſi quantitas minor creſcat vel decreſcat reſpe-ctu maioris inuariate: tantam proportionem ac-quirit vel deperdit proportio quantitatis maio-ris ad minorē quãtam acquirit vel deperdit quã-titas minor manens minor reſpectu ſui ipſius.

Patet hec correlarium ex concluſione. ¶ Sequi-tur ſecundo /  ſi quantitas minor creſcat vel de-creſcat reſpectu duarum quantitatum maiorum ſiue equalium ſiue inequalium: tantam proporti-onem acquiret vel deperdet vna quantitas maior reſpectu quantitatis minoris ſicut altera maior reſpectu eiuſdem quãtitatis minoris. Patet hoc correlarium / quia vtra illarum quantitatū ean­dem proportionem acquiret vel deperdet: puta il­lam quam acquirit vĺ deperdit quantitas minor / vt patet ex concluſione ¶ Sequitur tertio /  ſi due quãtitates maiores inequales eque velociter cre-ſcant vĺ decreſcant reſpectu eiuſdem quantitatis minoris inuariate: maiorem proportionē acqui-rit vel deperdit minor illarum quantitatum ma-iorum quam maior reſpectu eiuſdem quantitatis minoris inuariate. Probatur / quoniam quanti- tas minor maiorem proportioneꝫ acquirit ſupra ſe aut deperdit reſpectu ſui quam maior illarum quantitatum maiorum: igitur maiorem propor-tionem acquirit vĺ deperdit reſpectu quantitatis minoris inuariate minor illarum quantitatum quam maior. Patet conſequentia ex primo corre­lario ſeptime concluſionis / et antecedens patet ex octaua ſuppoſitione quarti capitis huius partis ¶ Sequitur quarto /  ſi due quãtitates minores inequales eque velociter creſcant vel decreſcant reſpectu quantitatis vtra maioris inuariate: maiorem proportionē acquirit vel deperdit quã-titas illa maior reſpectu minoris quam reſpectu maioris. Hoc correlarium ex ſecundo correlario huius concluſionis octaue iuncta octaua ſuppo-ſitione quarti capitis preallegati ſuam demon-ſtrationem ſortitur. ¶ Sequitur quinto /  ſi due quantitates maiores ſiue equales ſiue inequales acquirant vel deperdant equales proportiones ipſis tamen manentibus maioribus reſpectu du-arum quantitatum minorum ſiue equalium ſiue inequalium: vtra illarum equalem proportionē acquirit vel deperdit reſpectu vtriuſ mīoris in-uariate. Patet hoc correlarium / quoniam tantaꝫ proportionem vtra illarum acquirit vel deper-dit reſpectu vtriuſ minoris quantam reſpectu ſui / vt patet ex primo correlario ſeptime concluſi-onis / ſed equalem vtra illarum acquirit vel de-perdit reſpectu ſui / igitur equalem reſpectu vtriuſ­ quantitatis minoris inuariate. ¶ Sequitur ſex­to /  ſi due quantitates minores eque proportio-nabiliter creſcant vel decreſcant reſpectu quanti-tatum vtra maiorum: equalem proportionem vtra illarum maiorum acquirit vel deperdit re-ſpectu vtriuſ minoris. Patet hoc correlarium ex primo correlario huius octaue concluſionis.

2. correĺ. 3. correĺ. 4. correĺ

¶ Multe alie cõcluſiones et correlaria ex his dua-bus vltimis concluſionibus auxiliantibus ceteris predictis poſſent facile induci ſed ſufficiãt iſte que ordinãtur ad infendas regulas quas ponit calcu­lator de motu locali ¶ Et hec de ſecunda parte hu­ius operis: in qua ſi quid ex paruitate ingenii aut defectu mathematice artis inculte aut rudi miner­ua depromptū ſit: veniam peto. Uix enim hec poſ-ſunt leuigato ſermone exarari. Si vero quid lau-ro dignum reperiatur: deo optimo maximo gra-tie reddantur a quo omne datum optimum et om-ne donum perfectum iacobi primo. ¶ Sequentem vero partem in quatuor tractatus diſtribuam.

Iacobi primo.

Primus ad ſcribetur motui locali penes cauſam Secundus motui locali penes effectum. Tertius motui rarefactionis at augmentatiõis. Quar-tus autem motui alterationis.

Sequitur liber de triplici mo­tu huius operis tertia pars

Tertie partis tractatus pri-mus ī quo agitur de motu quo ad cauſam.

Capitulum primum / in quo ponitur et improbatur vna opinio: de cauſa velocitatis motus.

QUoniã errores elimi-nãdi et extirpandi ſunt antea ̄ veritas inferatur: ideo pre-mittūtur et improbantur falſe opiniones more communiter hanc tractantium materiam.

Prima opinio de velo­citate motuum penes cauſam fuit aliquorum phi­loſophorū dicentium velocitatem in motu atten-di debere penes proportionem exceſſus potentia-rum ſupra ſuas reſiſtētias: ita  ſi exceſſus vnius potentie ſupra ſuam reſiſtentiaꝫ fuerit duplus ad exceſſum alterius potentie ſupra ſuam reſiſtentiã motus / ille erit duple velocitatis ad alium motuꝫ / vt ſi .6. moueant .3 / et .4. moueant .2. / hoc eſt actiui-tas vt .4. / quia exceſſus .6. ad .3. eſt ſexquialterus ad exceſſum .4. ad .2. in ſexquialtero velocius .6. mouebunt .3. ꝙ̄ .4.2. Et ſic conſequenter dicas in aliis. Hanc opinionem fundant eius factores in verbo philoſophi primo celi et mundi capitulo de infinito. inferentis velocitatem motuum penes ex­cellentiã exceſſus: et in verbo commentatoris quar­to phiſicorum cõmento .35. et .39. in quibus locis vi-detur huic opinioni ſatis applaudere.

Contra primam opinio-nē inſtat̄̄

Sed cõtra iſtam opinionē arguitur / qui ſi illa eſſet vera / ſequeretur /  motus proueni-tes ab equalibus proportionibus eſſent inequa-les: ſed conſequens eſt falſum / igitur illud ex quo ſequitur. Sequela probatur et volo /  potentia vt 8. moueat reſiſtentiam vt .4. et potentia vt .4. mo-reſiſtentiaꝫ vt .2. / quo poſito arguitur ſic. Ille due proportiones potentiarum ad reſiſtentias ſunt equales cum vtra ſit dupla: et tamen vna illarū puta .8. ad .4. velocius mouet ꝙ̄ altera igitur pro­poſitum. Minor probatur / quia exceſſus eſt maior / igitur ſecundum opinionem velocitas eſt maior. ¶ Dices concedendo ſequelam: et negando falſi-tatem conſequentis.

Sed contra / quia tunc ſequeretur  aliquam duo mobilia mouerentur ab equalibꝰ pro­portionibus: tamen vnum in duplo velocius mo-ueretur altero / ſed conſequens eſt falſum / ergo il-lud ex quo ſequitur. Sequela probatur retento ſu­periori caſu. Nam potentia vt .8. mouebit reſiſtē-tiam vt quatuor in duplo velocius ꝙ̄ potentia vt quatuor moueat reſiſtentiaꝫ vt .2. quoniã exceſſus eſt duplus / et tamen ille proportiões ſunt equales igitur propoſitum. ¶ Dices concedendo qnod in-fertur: nec illud habes pro inconuenienti: īmo pro ſequela opinionis.

Dicitur
Replica

Sed contra / quia tunc ſequeretur  ſi aliqua potentia moueret aliquam reſiſtentiam aliquali velocitate: medietas potentie non moue-ret medietatē reſiſtentie tanta velocitate cõſequēs eſt falſum: et contra philoſophum ſeptimo phiſi-corum expreſſe ponentem oppoſitum / igitur illud ex quo / ſequitur ſequela probatur et volo /  poten­tia vt .8. moueat reſiſtentiam vt quatuor: deinde medietas potentie vt octo puta .4. moueat medie-tatē reſiſtentie puta duo quo poſito arguo ſic / po­tentia vt octo in duplo plus excedit ſuam reſiſten­ tiam ꝙ̄ medietas eius / que eſt vt quatuor excedat medietatem ſue reſiſtentie / que eſt vt .2. cum vna ex-cedat per quatuor et alia per .2. / igitur non tanta velocitate medietas potentie mouet medietatem reſiſtentie / quanta tota potentia mouet totam re-ſiſtentiam / quod fuit inferendum.

Cõfirma­tio.

¶ Et confirmatur / quia ſi opinio eſſet vera / ſeque-retur /  ſi duo equi traherent duas nauas diuiſim per vnã horam:  illi equi coniūcti traherent illas duas naues coniūctim in duplo velocius: ſed con­ſequens eſt contra experientiã / igitur illud ex quo ſequitur. Sequela ꝓbatur / quoniã ipſis coniūctis exceſſus eſſet duplus ad exceſſum vtriuſ diuiſim / igitur velocitas eſſet dupla: conſequentia patet ex opinione. Sed antecedēs probatur / quia quando­cun ſunt due proportiones equales: ſi minores numeri vniantur et maiores ſimiliter / et fiat vna ꝓ­portio: exceſſus in tali proportiõe eſſet duplus ad exceſſum cuiuſlibet alterius. Exemplum / vt capta proportiõe .4. ad .2. / et vna alia ſibi equali in eiſdē terminis puta .4. ad .2. / deinde vniendo minores numeros puta binarium cum binario et maiores puta quaternarium cum quaternario: reſultabit proportio dupla .8. ad .4. / et ibi numerus maior ex­cedet minorem numerum duplo exceſſu ad exceſſū aliarum proportionum / vt patet ad ſenſum. Aliud exemplum: capiantur due proportiones ſexquial­tere in eiſdem terminis: puta .6. ad .4. et .6. ad .4. / et manifeſtum eſt /  exceſſus in talibus proportioni­bus eſt binarius. Et ſi vniantur numeri mino-res et maiores reſultabit proportio .12. ad .8. / que erit ſexquialtera: in qua maior numerꝰ excedit mi­norē quaternario: et per cõſequens duplo exceſſus ad aliū exceſſū et ſic infallibiliter īuenies in omni ſpecie proportiones cuiuſcun generis fuerit: vt patet abunde ex ſecūda parte in tertio correlario tertie concluſionis quarti capitis.

Cõfirma­tio ſcḋa.

¶ Confirmatur ſecundo / quoniam ſi poſito eſſet vera: ſequeretur /  capta vna libra plumbi ele-uantis in rota mediam libram ex oppoſito per aliquod ſpacium in aliquo tempore:  due libre eleuarent vnam libram ex oppoſito in duplo mi-nori tempore: et per conſequens in duplo velocius / ſed hoc eſt manifeſte falſum: et contra experientiã que ſatis facile haberi poteſt: igitur illud ex quo ſequitur. Sequela probatur / quia exceſſus eſſet du­plus ad priorem exceſſum: puta exceſſus quo due libre excedunt vnam libram / ad exceſſum quo vna libra excedit mediam libram: vt in priori ↄ̨firma-tione probatum eſt. ¶ Et propter hoc relinquitur hec opinio contraria experimento et rationi et ſen­tentie paripatheticorum.

Ad fulcimentum autem predicte opi­nionis que innititur auctoritatibus philoſophi et cõmentatoris. Dicitur cõcedendo predictas au-ctoritates: et negando conſequentiam: et ratio eſt: quia cum philoſophus aut cõmentator dicunt ve-locitatem motus ſequi exceſſum aut excellentiam potentie motoris ſupra ſuam reſiſtentiam: intelli­gitur per excellentiam ſiue exceſſum potentie mo-toris ſupra ſuam reſiſtentiam exceſſus vnius pro-portionis ſupra alteram ita  ſit ſenſus: quanto vna ꝓportio excedit alteram tanto velocitas mo-tus proueniens ab illa excedit velocitatem motus prouenientem ab alia. Et  iſta ſit intentio philo­ſophi patet ex regula / quam ponit in ſeptimo phi­ſicorū ſuperius allegata que (vt latius poſtea di-citur) ſic intelligi debet. Si aliqua virtus moueat aliquod mobile / hoc eſt aliquam reſiſentiam ali-quãta velocitate ſubdupla virtus mouet ſubdu-plam reſiſtentiam equali velocitate: hoc eſt. Si a-liqua proportio maioris inequalitatis moueat aliquam proportionē minoris inequalitatis ali-qua velocitate: proportio equalis illi in minori-bus terminis mouebit equali velocitate: quod la-tius poſtea declarabitur.

Capitulum ſecundū / in quo recitantur et improbantur ſecunda et tertia opinio-nes. de cauſa velocitatis motuum.

SEcunda opinio ponit velocita­tem motus ſequi proportionem exceſſus potentie motoris ad potentiã rei mote. Et vult dicere hec opinio /  velocitas in motibus ſequitur proportionem exceſſus actiuitatis moto­ris ad actiuitatem rei mote. Ita  ſi vnus motor ita ſe habeat reſpectu ſui mobilis /  actiuitas eiꝰ excedaṫ actiuitateꝫ mobilis per quatuor gradus / et actiuitas alterius motoris excedat actiuitatem ſui modilis per duos gradus:  tunc primus mo-tor mouebit in duplo velocius ſecūdo. Et iſta opi-nio videtur coincidere cum prima dempto /  vna comparat actiuitatem ad reſiſtentiã: et altera acti-uitatem ad actiuitatem.

Obiicit̄̄ ſecunde opinioni

Sed contra hanc opinionem arguit̄̄ ſic / quia ſi illa eſſet vera / ſequeretur /  aliquod mo-uens ſucceſſiue moueret ſine reſiſtētia: īmo ita cito cum reſiſtentia ſicut ſine reſiſtentia / ſed conſequēs eſt falſum igitur, illud ex quo ſequitur: ſequela ꝓ-batur et pono caſum /  ſit virtus: vt .8. agentis: et virtus vt quatuor patientis in quo ſit reſiſtentia: vt .2. / et ſit aliquod aliud paſſum in quo nulla ſit re­ſiſtentia ſed dumtaxat actiuitas vt quatuor: quo poſito arguitur ſic. Agens vt .8. eque velociter a-git in vtrū iſtorum paſſorum: cum proportiones actiuitatum ſint equales: et tamen in vno paſſo a-git cum reſiſtentia: et in alio ſine reſiſtentia igitur propoſitum.

Tertia opinio eſt /  ponit velocitatē in motu ſequi proportionem reſiſtentiarum inter ſe: ita  ſi ſint duo agentia equalia: et moueãt du-as reſiſtentias inequales: in quacun ꝓportione vna reſiſtentia eſt minor alia in eadē proportione velocius mouetur: vt ſi virtus vt octo moueat re-ſiſtentiam: vt .4: et reſiſtentiam: vt .3. quia reſiſten-tia: vt .3. eſt in ſexquitertio minor reſiſtentia: vt .4. ideo virtus vt .8. in ſexquitertio velocius mouebit reſiſtentiam vt .3. ꝙ̄ reſiſtentiam vt .4.

Sed contra iſtaꝫ opinionē arguitur ſic. Supponendo /  ſi aliqua virtus puta vt .8. / ſuf­ficiat mouere aliquod mobile aliquanta velocita­te /  eadē virtus ſufficit mouere aliquod aliud mo­bile in duplo tardius, et aliquod in triplo, et aliqḋ in quadruplo, et ſic in infinitum. Ita  ſi virtus vt 8. ſufficit mouere aliquod mobile in hora ꝑ leucã: eadem virtus ſufficit mouere aliquod maius mo-bile in hora per mediam leucam: et illamet virtus ſufficit mouere aliquod maius in hora per tertiã partem leuce: et aliquod aliud per quartaꝫ: et ſic in infinitū. quo poſito ſic arguitur / ſi opinio eſſet ve-ra ſequeretur /  mouens vt .8. poſſet mouere quã-tumcun mobile: ſed conſequens eſt falſum: quia tunc eſſet infinite actiuitatis: igitur illud ex quo ſequitur. Sequela probatur: et pono /  mouens vt 8. moueat reſiſtentiam vt .4. per leucã in hora ade­quate: quo poſito tale mouens poteſt mouere ali-quod mobile in duplo tardius puta in hora per mediam leucam, vt patet ex ſuppoſitione: et nõ ni­ſi mobile vt .8. / vt patet ex opinione: quoniã ꝓpor-tio velocitatem ſequitur ꝓportionem reſiſtentiaꝝ ſed velocitas eſt ſubdupla: ergo reſiſtentia dupla Itē aliquod mobile poteſt mouere illa virtus ſub-tripla velocitate: vt patet ex ſuppoſitione: et non niſi triple reſiſtentie / vt patet ex opinione: et ſic in infinitum: igitur propoſitū. Et hec ſola ratio ſuffi­cienter hanc opinionem deſtruit et elidit.

Capitulum tertium / in quo ponitur alia opinio et vera.

QUarta opinio et vera eſt que nūc cõmuniter tenetur: et ponit velocita-tem motus ſequi ꝓportionē ꝓportionū hoc eſt proportionē geometricã: vt ſi aliqua virtꝰ moueat aliquã reſiſtentiã a proportione dupla: et vna alia moueat eandē reſiſtentiam vel vnã aliaꝫ (in idem reddit) a proportione quadrupla: talis virtus mouēs a proportione quadrupla in eadeꝫ proportione velocius mouet in qua proportione quadrupla proportio duplam excedit: et quia ex-cedit quadrupla duplam in proportione dupla, vt ptꝫ ex ſexto capite ſecunde partis: ideo quadru­pla proportio in duplo velocius mouet. Et ſi ali-qua virtus moueat aliquam reſiſtentiã a propor-tione ſexquialtera: et alia mouet eandem reſiſten-tiam in proportione tripla: tunc virtus mouens a proportione tripla velocius mouet virtute mouē-proportione ſexquialtera in ea proportione qua tripla ſexquialteram exuperat: et quia talis ꝓpor­tio que eſt inter triplam et ſexquialteram eſt irra-tionalis: vt ex ſexto et ſeptimo capitibꝰ ſecūde par­tis facile monſtratur: ideo nec ſpaciū pertranſitū a ꝓportione tripla excedit ſpaciū pertranſitum a proportione ſexquialtera in proportione aliqua multiplici, nec ſuperparticulari, nec ſupraparti-ente, nec multiplici ſuperparticulari, nec multipli­ci ſuprapartiente, quod poſtea magis elucidabit̄̄ Et pro fundamento et baſi huius opinionis pono duas concluſiones.

Prima concluſio / velocitas motꝰ nec penes proportionem exceſſus potentiarū ad inui-cem, nec penes proportionem actiuitatū ad inuicē / nec reſiſtentiarum inter ſe attenditur. Probatur hec concluſio ex hiis / que in ſuperioribus capitibꝰ in impugnationibus triū opinionū dicta ſunt.

Secunda concluſio. Uelocitas mo-tuū ſequit̄̄ / et attendi hꝫ penes ꝓportionē propor-tionū: ita  in quacū proportione vna ꝓportio eſt maior aut mīor alia: ī eadē ꝓportiõe velocitas maior aut minor euadet. Et ſi fuerat proportio ꝓ­portionū rationalis: rationales velocitates erūt et ſi irrationalis: cõmenſurari nõ poterunt veloci-tates taliū motuū. Probatur hec concluſio ſic / de­clarata per ſillogiſmum diuiſim eo ordine quo eam paulus venetus inducit quoniã velocitas et tarditas motus attendi habet penes ꝓportioneꝫ exceſſiuū inter ſe, aut penes ꝓportionē actiuitatū inter ſe, aut reſiſtentiarum, aut penes ꝓportiõe ꝓportionū: ſed nõ penes .3. prima / vt ptꝫ ex ãterio-ri cõcluſione. igitur penes quartum / quod fuit pro­bandum. Cõſequentia patet a ſufficienti diuiſiõe Nõ e ymaginari valent aliqui alii modi ſaltem um apparentia quibus attendi habet motuū ve-ocitas et tarditas / igitur diuiſio ſufficiens.

Sed pro maiori explanatione predi­cte opiniones. Cõtra eã arguit̄̄. Primo ſic alique due ꝓportiones in caſu ſunt equales / et tamen ve-locitates ex eis prouenientes nõ ſunt equales / igr̄ opinio falſa ꝓbatur antecedens / et volo /  ſit vnū pedale terre graue vt .8. / et vnū ſemipedale graue vt .4. / et duo aeres quoꝝ vnus ſit duplus ad alterū in magnitudine / et maior ſit reſiſtentie vt .4. / et mi-nor vt .2. / et moueat̄̄ terra grauitatis vt .4. per aerem reſiſtentie vt .2. / quo poſito ſic arguo: iſte ꝓ-portiones ſunt equales / vt patet / q2 vtra dupla et tamen velocitates ex eis ꝓuniētes ſunt īequa-leꝝ / igitur ꝓpoſitū maior eſt nota / et minor ꝓbatur / et quero an diuiſio maioris aeris ſit maior diuiſi­one minoris aut minor aut equalis: ſed nõ equa-les q2 alias ſequeret̄̄ aerē maiorē et minorem eſſe equales / vtra e ꝓportio ſuū mediū diuidet to-taliter / igitur erit maior aut minor / et per cõſequēs tales diuiſiones erunt inequales / qḋ fuit ꝓbandū

Cõtra ve­rã opini­onē obii-citur.

Reſpõdeo negãdo añs. Et ad ꝓbati­onē admiſſo caſu dico ad punctū argumēti /  ille diuiſiões totales erūt inequales / q2 forte vna erit diuiſio vniꝰ leuce et alia dimidie leuce et cū infert̄̄ / ergo velocitates erūt inequales / nego illã conſe-quentiã / ſed bene ſequitur /  velocitates erūt ine-quales quãtitatiue. Dupliciter autē cõtingit et ve-locitates et reſiſtentias eſſeinequales puta quãti­tatiue et qualitatiue. Tūc e velocitates ſūt equa­les qualitatiue quãdo ab equalibus ꝓportionibꝰ ꝓueniūt et reſiſtentie / tūc ſunt equales qualitatiue quando equalē difficultatē faciūt potētie agenti: ſed tūc ſunt equales quãtitatiue quãdo ſunt equa­lis quãtitatis. De hoc latius vide thomã brauar-dīnū / qui hoc argumentum format in ſuo tractatu proportionum penultimo capite.

Secūdo contra eandē opinionē ar-guitur ſic / magnes eque velociter trahit ad ſe ma­gnū ferrū et paruū ferrū et tamen ad magnū et ad paruū / nõ habet equales ꝓportiões / igitur ab ine-qualibꝰ ꝓportionibus equales effectus ꝓueniunt / quod eſt cõtra opinionē antecedēs / ꝓbatur ꝑ expe­rientiã nã capto magnete / et poſito prope illū fer-ro alicuiꝰ quãtitatis ita  ferrū cõiungatur ei: et poſtea moueatur magnes eque cito mouebit̄̄ fer-rum ſicut magnes etiã ſi apponatur aliquod fer-rum maius illo / quod tunc magnes ſufficiat attra­here / et moueatur magnes eque velociter mouebi-tur ferrū cum magnete / igitur propoſitū. Omnia iſta ex experientia haurire oportet.

¶ Et confirmatur / quia ſi in horolohio ſolarī .etc̈. lari ponatur magnes taliter /  ſi circūgeretur in circuitu: horologii eque cito acus ſiue ferrum exi-ſtens intus / quo demonſtratur polus articus ſicut magnes. Et ſi maioretur ferrū dū tamen ſufficiet moueri a magnete eque velociter mouebitur ſicut magnes et ſicut mouebitur minus ferrū / igitur ꝓ-poſitum videlicet /  eque velociter magnes mouet magnū ferrū et paruū. ¶ Reſpondet cõmentator ſeptimo phiſicorū / cõmento quarto ad punctū ar-gumentatiõis /  in argumento falſum ſupponit̄̄ videlicet /  magnes moueat et attrahat ad ſe fer-rum / ſed dicit ferrū mouere ad magnetem ex natu­rali inclinatione ſicut mouetur ad locū naturalē / hoc tñ ſit mediãte qualitate quadã ꝓducta ab io gnete in iṗo ferro / et ſic negat̄̄ maior argumēti.

Cõmēta-tor ſepti-mo phi.

Sed cõtra hanc ſolutionem replicat brauardinus / quia ſi illud eſſet verum ſequeretur /  nõ ita velociter moueretur magnum ferrum ad magnetem ſicut paruū, quod tamē eſt falſum: ſal-tem vt ipſi opinantur. Sequela tamen probatur / quoniam citius valet magnes alterare magnum ferrum ꝙ̄ paruum: igitur citius mouebitur fer-rum paruum /  magnū ad magnete. Huic reſpõ-det brauardinus negando conſequentiam ſed ra-tionē non aſſignat vel ſi cauſam aſſignat eam nõ capio: et ideo reſpõdeo negando ſimiliter ſequelã Et ad probationem nego illud quod aſſumis vide­licet /  velocius magnes alterat paruum ferrum: ̄ magnum q in tali alteratione nulla eſt cõtra­rietas nec magis reſiſtit magnum ferrum ꝙ̄ par-uum / quare eque cito alterantur.

Brauar-dinus.

Sed contra / quia ſi ea que dicta ſunt eſſent vera / ſequeretur /  quantūcun ferrum mo­ueretur ad magnetem. Item  maius ferrum al-teratū a magnete velocius moueretur paruo fer-ro: ſed vtrum iſtorum eſt falſum vt ratio et expe-rientia docet igitur ſolutio nulla. Sequela tamē quo ad primam partem deducitur quoniã ſi ma-gnes non attrahat ferrum: et moueat ferrum: ſed ipſum ferrum alteratum ad magnetem mouetur: ſequitur /  ita bene mouebitur magnū ferrum ſi-cut paruum cum tam paruū ꝙ̄ magnum habeant naturales inclinationes: vt moueãtur ad magne-tem. Sed ſequelū quo ad ſecundaꝫ partem probo quoniã maior virtus eſt motiua in maiori ferro ̄ in minori: ergo ſequitur /  ceteris paribus velo-cius ex natura a propria mouetur vel ſaltem natuꝫ eſt moueri ad quēcū locū ad quē naturaliṫ moue­t̄̄: ſed ad magnetē mouet̄̄ naturaliṫ / igit̄̄ ꝓpoſitum

Reſpondeo negando ſequelaꝫ quo ad vtram partem. Et ad probationem dico /  ideo quantūcun magnū ferrum non mouetur ad ma­gnetem / quia ſemper in tali motu eſt aliqua reſiſtē­tia ex parte grauitatis: et hoc dummodo magnes non ſit deorſum et ferrum ſurſum: quoniã tunc mo­ueret grauitas. Quare in iſto loco tali vtendum cenſeo diſtinctione et ſuppoſitione. Suppono e /  ferrum non mouetur ad magnetē niſi mediante qualitate producta a magnete inferro: et quanto illa eſt intenſior tanto velocius ferrum mouet ſe-met ipſum ad magnetem. Deinde ſit talis diſtin-ctio: quia vel qualitas producta a magnete eſt e-qualis in intenſione ipſi grauitati ipſius ferri: aut eſt maioris intentionis aut minoris. Si mino­ris vel equalis: cum grauitas reſiſtat / vt dictuꝫ eſt nulla tenus fiet motus cum equalitatis vel mino-ris inequalitatis obſtet proportio: ſi vero eſt ma-ioris intenſiõis ipſa qualitas qua a magnete fer­rum alteratur ꝙ̄ ipſa grauitas ferri: impune fa-tendum eſt ferrum ad magnetem moueri a ſeipſo

Sed contra quoniam iam ex hoc ſe-quitur ferrum paruum / quod minoris grauitatis eſt velocius ad magnetem moueri maiori ferro ce­teris eque libratis / qnoniam proportio actiuita-tis ad reſiſtentiam minoris ferri erit maior ꝓpor­tione eiuſdem actiuitatis ad maiorem reſiſtentiã eiuſdam ferri / ſed hoc eſt falſum igitur.

Cõtra cõ­mēta.

Rñdeo ↄ̨̨cedēdo / qḋ infert̄̄ cd dicat mentator et alii Non enim occurit mihi aliꝰ ſol-uendi modus. De hac materia vide brauardinuꝫ preallegato loco et auctoreꝫ .6. inconuenientium queſtione .3. in illo articulo / in quo dubitat nund magnes ſufficiat ſibi ſuppoſitum ferrum altera-re / vbi multa de virtute motiua magnetis ſubtili-ter et calculatorie inquirit. Non tamen pretereū­da cenſeo duo correlaria que thomas brauardi-nus in hac materia perpulchre infert. ¶ Quorum primum eſt /  ſi ſortes habeat in manu magneteꝫ que ſufficiat alterare ferrum vnius libre: et eleue-tur illud ferrum ad magnetem et coniungatur ei: ita  tã magnes ꝙ̄ ferrū pendeat a manu ſortis: non plus ponderat magnes ꝙ̄ magnes et ferrum ſimul nec econtra. Huius ratio eſt quoniam ma-gnes non attrahit ferrū ſed ferrū alteratū ſuapte natura magnetem expedit. ¶ Secundum correla­riū /  ſi in aliqua equilibra ſiue ſtatera ex vno la-tere ponatur ſcutum: et ex alio ponatur pondꝰ ſcu­ti factum ex magnete: et ſimul cum pondere pona­tur aliquod ferrum quod magnes ille ſufficit alte­rare / non plus ponderabit ferrum et pondus ſcu-ti ꝙ̄ pondus ſcuti preciſe. Cuius ratio eſt quoniaꝫ ſtatera non ſuſtinet ferrū ſed magnes. Iſta tamen correlaria vulgo afferunt admirationem.

1. correl. 2. correl.
Quartum capitulum / in quo ponunt̄̄ ſeptē regule de propor­tionalitate motus quas ponit philoſophus ſeptimo phiſico-rum quas etiam in preſenti ca-pite examinandas duxi.

QUoniam philoſophi regulas de comparabilitate motuum facile dã-nãt: ideo nõ inconcinue hoc in loco eas examinare decreuimus

Prima regula / ſi aliqua virtus ſiue aliqua potentia moueat aliquod mobile per ali-quod ſpacium in aliquo tempore: eadem potentia mouebit medietatem illius mobilis per duplum ſpacium in eodem tempore.

Secunda regula / ſi aliqua potentia moueat aliquod mobile per aliquod ſpaciuꝫ ī ali aliquo tempore eadem virtus mouebit medieta-tem illius mobilis per idem ſpacium in ſubduplo tempore. ¶ Ex quibus regulis infertur talis regu­la. Si aliqua potentia moueat aliquod mobile ꝑ aliquod ſpacium in aliquo tempore: dupla virtꝰ mouebit idem mobile per duplum ſpacium in eo­dem tempore.

Tertia regula / ſi aliqua potentia mo­ueat aliquod mobile per aliquod ſpacium in ali-quo tempore: eadem potentia mouebit idem mo-bile per medietatem illius ſpacii in ſubduplo tem­pore.

Quarta regula / ſi aliqua potētia mo­ueat aliquod mobile per aliquod ſpacium in ali-quo tempore: medietas talis potētie mouebit me­dtetatem mobilis per idem ſpacium in eodem tē-pore.

Quinta regula / ſi aliqua potētia mo­ueat aliquod mobile per aliquod ſpacium in ali-quo tempore: non eſt neceſſe eandem potentiã mo­uere duplum mobile per idem ſpacium in duplo tempore.

Sexta regula / ſi aliqua potētia mo-ueat aliquod mobile per aliquod ſpacium in ali-quo tempore: non eſt neceſſe medietatem talis vir­tutis mouere idem mobile in duplo tempore.

Septima regule / ſi aliqua potentie moueant aliqua mobilia per aliquod ſpacium in aliquo tempore diuiſim: et eedem potentie coniun­ctim mouebunt illa mobilia coniuncta per idem ſpacium in aliquo eodem tempore. ¶ Sed ꝓ cla-riori intelligentia harum regularum.

Contra primã arguitur / ſi b. moueat reſiſtentiam / vt quatuor medietas talis reſiſten-tie non mouebitur a tali virtute per duplū ſpaciū in eodem tempore: igitur. Añs probatur / quoniaꝫ virtus vt ſex mouebit reſiſtentiam vt duo magis ̄ ī duplo velocius / igitur nõ mouebit in eodē tēpore per duplū ſpaciū adequate. Probatur ãtecedēs / q ꝓportio .6. ad duo que eſt tripla excedit ꝓpor­tionē ſexquialterã que eſt .6. ad .4. pluſ̄ in duplo / igitur velocitas ab ea ꝓueniens eſt maior ꝙ̄ du-pla reſpectu velocitatis ꝓuenientis a ꝓportione ſexquialtera. Patet cõſequētia ex opinione quar­ta quã ſuſtentamus. Sed antecedens ꝓbatur / quia ꝓportio tripla adequate ex proportione dupla / et ꝓportione ſexquialtera cõponitur / vt ptꝫ ex quar-to capite ſecūde partis / et ille due ſunt inequales / vt ptꝫ ex eodē quarto capite / ergo ad minorē illaꝝ que eſt ſexquialtera ipſa proportio tripla eſt ma-ior ꝙ̄ dupla / patet hec conſequentia ex ſexta ſup-poſitione quarti capitis ſecunde partis. ¶ Dices forte /  argumentū nõ concludit contra regulam. quoniã in regula non ponitur /  preciſe illa potē-tia mouebit medietatem in duplo velocius: ſed di­cit /  mouebit in duplo velociꝰ. Sed hoc nichil eſt dicere quoniam eodē modo dixiſſet in ſexquialte-ro velocius vel in ſexquitertio. Et ideo non ſatiſ-cit. Item nec ſic intellecta regula eſt vera quoniaꝫ ſi virtus / vt .12. moueat reſiſtentiaꝫ / vt quatuor ali­qua velocitate eadeꝫ potentia non poterit medie­tatem reſiſtentie / que eſt vt duo dupla velocitate immo mouebit minus ꝙ̄ dupla velocitate / igit̄̄ re-gula ſic intellecta falſa. Probatur antecedens / quoniã virtus / vt .12. mouet reſiſtentiam / vt quatu-or a proportione tripla et reſiſtentiam / vt duo a ꝓ­pprtione ſextupla modo proportio ſextupla ē mi­nor ꝙ̄ dupla reſpectu triple / igitur non mouet ī du­plo velocius. Patet conſequentia ex opinione / et arguitur antecedens quoniã ſextupla cõponitur ex tripla et dupla adequate / vt patet ex quarto ca­pite preallegato / et tripla eſt maior dupla: vt pa-tet ex eodem capite / igitur ipſa ſextupla eſt minor ̄ dupla reſpectu triple. patet conſequentia ex ſex­ta ſuppoſitione eiuſdem capitis

Dicitur

Sed contra illam regulam quam in­tuli ex duabus primis arguitur ſic. Aliqua poten­tia mouet aliquam reſiſtentiam aliquanta velo-citate: et tamen ipſa duplicata non mouet in du-plo velocius eandem reſiſtentiam: igit̄̄ regula fal­ſa. Probatur antedens et volo /  aliqua poten-tia moueat reſiſtentiam a proportione ſexquial-tera qualis eſt .6. ad .4. aliquanta velocitate. quo poſito ipſa potentia duplata / que erit vt .12. mo-uebit reſiſtentiam vt .4. pluſ̄ in duplo velocius. igitur aſſumptum verum. Probatur antecendens / quoniã .12. ad .4. eſt proportio tripla modo tripla maior ꝙ̄ dupla eſt ad ſexquialteram / vt probatuꝫ eſt in primo argumento / igitur velocitas ab ea ꝓ-ueniens maior ꝙ̄ dupla eſt ad proportionem ſex-quialteram.

Tertio arguitur contra quintam re­gulam / quoniã ſi potentia vt octo moueat reſiſten­ tiam vt .2. aliquanta velocitate neceſſe eſt eandem potentiam vt octo natam eſſe mouere duplam re-ſiſtentiaꝫ in ſubdupla velocitate. et potentia vt .8 eſt aliqua potentia: et reſiſtentia vt duo aliqua re­ſiſtentia: igitur. Si aliqua potētia moueat aliquã reſiſtentiã in aliquo tempore ali̄ta velocitate: ea­dem mouebit duplam reſiſtentiã in ſubdupla ve-locitate / quod eſt oppoſitum regule. Patet hec cõ­ſequentia ab inferiori ad ſuuꝫ ſuperius.

Quarto contra ſeptimam arguitur ſic / quoniã ſi potētia vt ſex moueat reſiſtentiaꝫ vt quatuor et potentia vt .8. moueat reſiſtentiã etiaꝫ vt .4. diuiſim ille potentie coniuncte non mouebūt eaſdem potentias coniunctas in duplo velocius. igitur regula falſa. Probatur antecendens / quoni­am proportio reſultans ex illis duabus potētiis ſimul ſumptis et duabus reſiſtentiis etiam ſimul ſumptis eſt proportio .14. ad .8. que eſt minor du-pla. eſt enim proportio ſupertripartiēs quartas. Modo illa eſt minor dupla / vt ptꝫ ex tertia ſuppo­ſitiõe ſuperiꝰ allegati q̈rti capitis / g̊ ſequit̄̄ /  nõ eque velociter manebit talis proportio ſicut ãtea mouebat dupla que eſt .8. ad .4.

Ad iſta reſpondetur ꝑ ordinē ad pri-ma duo argumenta reſpondet paulus venetus et brauardinus  ille regule philoſophi intelligun­tur preciſe de proportione dupla: modo inſtantie fuerunt adducte in alia ſpecie proportionis ¶ Ad tertium reſpondeo /  non eſt ad propoſitum ma-terie non valet eni3 conſequentia ab inferiori ad ſuum ſuperius cum dictione illatiua. Adduxi ta-men illud argumentum / q ſemper tenet in pro-portione quadrupla. ¶ Ad quartuꝫ reſpondeo /  regula philoſophi ſeptima intelligitur dūmodo ille proportiões ſint equales. Que aūt ſunt equa­les patet ex tertia ſuppoſitione quarti capitis ſe­cunde partis. Sed quia ex ſolutione quã dat bra-uardinus ad primū argumentū / ſequitur philoſo­phum poſuiſſe regulas ſatis inſufficientes: que ­ciſe in vna ſpecie proportionis tenerent. Ideo di­co aliter /  philoſophus capit potentiaꝫ pro pro­portione maioris inequalitatis. Et iſto modo ca-piendo regule habēt veritatem in omni genere ꝓ­protionum. Et argumentum nichil concludit / q oportet quando duplatur potentia duplare pro-portionem: et non curare de potentia: ita  ſit ſen­ſus prime regule ſi aliqua potētia moueat aliquã reſiſtentiã per aliquod ſpacium in aliquo tempo-re etc. eadem mouebit ſubduplam reſiſtentiam etc. id eſt ſi aliqua virtus moueat aliquã reſiſtentiam ab aliqua proportione eadem virtus mouebit re-ſiſtentiam ad quam habet proportionem duplaꝫ ad aliam proportionem .i. ad quam habet ꝓpor-tionē duplicatã in duplo velocius. Et ſenſus huiꝰ regule eſt ſi aliqua potentia moueat aliquam reſi­ſtentiam in aliquo tempore etc. dupla virtus mo-uebit eandem reſiſtentiam in duplo velocius hoc ē ſi aliqua virtus moueat aliquam reſiſtentiam ab aliqua proportione: dupla proportio mouebit in duplo velocius. Et ſic intelliguntur alie regule.

Qūo in-telligunt̄̄ regule phī.
1. correl.

¶ Ex quo ſequitur /  ſi virtus ſe habens ad aliquã reſiſtentiam in proportione irrationali diametri ad coſtam moueat ali̄tum velociter: proportio dupla ad eandē reſiſtentiã mouebit in duplo velo­cius. ¶ Secundo igitur /  non oportet q̄rere in q̈-libet proportione proportionem rationalem ī du­plo tardius mouentem eam reſiſtentiam: ſed ſa-tis eſt /  detur ꝓportio rationalis vel irrationa- lis. et hec de regulis philoſophi.

2. correl.
Capitulum quintum / in quo ponuntur regule ſiue concluſiones velocitatis et tar­ditatis motus penes proportionem pro­portionum conformiter ad intentionem calculatoris.

AD inducendas ſeriatim ma­thematico more concluſiones docētes velocitatem et tarditatē motus penes cauſam iuxta opinionem quartam ſit.

Prima ſuppoſitio / ab equalibus pro­portionibus equales velocitates proueniunt: et ab inequalibus inequales. et a rationalibus rationa­les: et ab incõmēſurabilibus īcõmēſurabiles Pa­tet hec ſuppoſitio ex opinione que ponit velocita­tem ſequi proportionem ꝓproportionum.

Secundua ſuppoſitio ab equalibꝰ pro­portionibus que ſunt partes aliarum proportio­num ſiue equalium ſiue inequalium equales velo­citates proueniunt. Declaro hanc ſuppoſitionem et capio proportionem triplam et duplam: et ma­nifeſtum eſt:  vtriuſ proportio ſexquialtera eſt pars. dico tunc /  quãtam velocitatē producit ſex­quialtera que eſt pars duple tantam velocitatem ꝓducit ſexquialtera que eſt pars triple. Proba-tur ex priori ſuppoſitione / quia ſexquialtera que eſt pars duple et ſexquialtera que eſt pars triple ſunt equales proportiones.

Tertia ſuppoſitio / ꝑ additionē equa­lium proportionum ſuper proportiones equales vel inequales: velocitates equaliter intenduntur Declaro hoc in terminis et capio proportionem duplam et quadruplam / et volo /  vtri addatur proportio ſexquialtera: qua addita dico /  equa­liter intendunt proportiones ille ſiue ille potentie motū ſuum intendunt / et tantam velocitatem ac-rit proportio maior ſicut et minor ſupra velocita­tem habitam ante additionem proportionis ſex­altere. Probatur hec ſuppoſitio ex ſecūda / quia il­la proportio ſexquialtera efficitur pars duaꝝ ꝓ-portionum inequalium / igitur cum vtra equalē velocitatem producet.

Quarta ſuppoſitio / ꝑ decremētū dua­rum proportionū equalium que ſunt partes dua­rum proportionū ſiue equalium ſiue inequalium: equales velocitates perdētur. ¶ Declarat̄̄ hec ſup­poſitio et capio proportionem duplam et triplaꝫ / et volo /  vtra deperdat proportionem ſexqui-alterã / tunc dico /  ſi proportio dupla ꝑdat duos gradus velocitatis etiam duos adequate perdit proportio tripla. Patet hec ſuppoſitio ex priori / quoniam ille due proportiones deperdite cū eēnt equales: equalē velocitatem producebant: igitur per decrementum illarum equales velocitates ꝑ-duntur / quia perduntur ipſemet quas ipſe produ­cebant.

Quinta ſpupoſitio / ꝑ additionē equa­lis ̄titatis maiori et minori ̄titati maior ꝓpor­tio acquiritur minori ̄titati ꝙ̄ maiori. ¶ Hec eſt octaua ſuppoſitio quarti capitis ſecunde partis.

Sexta ſuppoſitio eq̄ velociṫ intēde­re motum: eſt in equali tempore equales ꝑtes ade­quate acquirere: et eque proportionabiliter intē-dere eſt in equali tempore equales proportiones acquirere: Et ſimiliter dicendum eſt de eque velo-citer remittere et eque proportionabiliter / vt ſi nu­ merus ſenarius aequirit binarium et numerꝰ qui­narius in eodem tempore etiam binariuꝫ: dico /  eque velociter intenduntur ſed non eque ꝓportio-nabiliter ſed ſi numerus ternarius acquirat vni-tatem et numerus ſenarius acquirat in eodem tē-pore dualitatem: dico /  tunc eque proportionabi­liter acquirunt et non eque velociter. quoniam tã­ternarius numerus quam ſenarius ꝓportionem ſexquitertiaꝫ acquirit / vt facile eſt intueri. Hec dif­finitio eſt.

His ſuppoſitis miſſis ſit prima con­cluſio. Si aliqua potentia creſcit reſpectu reſiſtē-tie non variate: tantam proportioneꝫ acquirit ſu­pra ſe quantam ſupra ſuam reſiſtentiam et eocon­tra: Probatur hec concluſio auxiliante ſeptima concluſione octaui capitis precedentis partis.

Nam potentia ſe habet vt quantitas maior et re-ſiſtentia vt minor ſi actiuitas ꝓdeat.

Secunda concluſio Si aliqua vir-tus decreſcat reſpectu reſiſtentie non variate. tan­tam proportionem deperdit reſpectu ſue reſiſten­tie quantam reſpectu ſui ipſius. vt capta potentia vt .4. et reſiſtentia vt .2. ſi potentia / vt quatuor effi­ciatur in ſexquitertio minor perdendo vnitatem ſiue proportionem ſexquitertiam: eandem ꝓpor-tionem ſexquitertiam perdit reſpectu ſue reſiſten­tie vt duo. Probatur hec concluſio ex ſeptima cõ­cluſione i capitis preallegata eo modo quo prior.

Tertia concluſio Si aliqua reſiſtē-tia creſcat vel decreſcat reſpectu potentie non va­riate: tantam proportionem acquiret vel deper-det reſpectu ſui ipſius quantam acquiret vel deꝑ-det reſpectu talis potentie. Hoc eſt: tantam acqui­rit vel deperdit talis potentia reſpectu eiuſdeꝫ re­ſiſtentie. Patet hec concluſio ex octaua concluſio­ne octaui capitis allegati et ſuo prīo correlario

Quarta concluſio Si potētia creſ-cat vel decreſcat reſpectu potentie non variate: tã­tam proportionem acquirit vel deperdit reſpectu ſue reſiſtentie qnantam acquirit vel deperdit reſ­pectu ſui ipſius. Probatur hec concluſio ex primo correlario ſeptime concluſionis capitis prealle-gati / et facile ex prima et ſecunda huius deducitur

Quinta concluſio. Si aliqua potē-tia eque velociter creſcit vĺ decreſcit reſpectu dua­rum reſiſtentiarum ſiue equalium ſiue inequaliuꝫ eque velociter cum vtra illarum intendet vel re­mittet motum ſuum Probatur hec concluſio / quo­niam illa potentia equalem ꝓportionem acquirit vel deperdit reſpectu vtriuſ reſiſtentie / vt patet ex prima concluſione huius / et ſecunda parte ſepti­me concluſionis octaui capitis preallegati et ſuo ſecundo correlario / igitur equalem velocitatē ac-quirit vel deperdit reſpectu vtriuſ reſiſtentie.

Patet conſequentia ex tertia ſuppoſitione.

Sexta concluſio Si aliqua reſiſtē-tia creſcat vel decreſcat reſpectu duarum poten-tiarum ſiue equalium ſiue inequaliū non variata­rum: vtra potentia eque velociter cum illa reſi-ſtentia intendet vel remittet motum ſuum. Pro-batur hec concluſio / quoniam reſpectu vtriuſ po­tentie equalem ꝓportionem acquirit vel deperdit / vt patet ex ſecundo correlario octaue concluſiõis octaui capitis preallegati: igitur vtra potentia equalem velocitatem acquirit vel deperdit.

Septima concluſio Si due potētie inequales eque velociter creſcant vel decreſcãt reſ­pectu eiuſdem reſiſtentie non variate: potentia mi­nor velocius intendet vel remittet motū ſuū Pro­batur hec concluſio / quoniam ſemper potentia mi­nor per equale crementum vel decrementū additū ſibi vel deperditum et maiori: maiorem ꝓportio-nem acquiret vel deperdet quam maior. vt ptꝫ ex quinta ſuppoſitiõe huius capitis: igitur talis po­tentia velocius intendet vel remittet motum ſuuꝫ Conſequentia patet ex prima ſuppoſitione. Ab equalibus enim ꝓportionibus acquiſitis ſiue de-perditis inequales velocitates acquiruntur ſiue deperduntur / et per idem ſequitur /  ad acquiſitio­nem vel deperditionem maioris maior velocitas acquiritur vel deperditur

Octaua concluſio Si due reſiſtētie inequales eque velociter creſcant vel decreſcãt reſ­pectu eiuſdem potentie non variate: illa potentia velocius intendet vel remittet motum ſuum cū mi­nori reſiſtentia quam cum maiori. Probatur hec concluſio / quoniam ſemper minor reſiſtentia ma-iorem proportionem acquirit vel deperdit ꝑ equa­lem deperditionē vel additionē ipſi et maiori / igi­tur potentia cum ea velocius intendet vel remittet motū ſuum. Patet conſequentia auxilio duarum primarum ſuppoſitionum.

Nona concluſio Si due potentie in-equales eque velociter creſcant vel decreſcant reſ­pectu duarum reſiſtentiarum ſiue equalium ſiue ī­equalium: potentia minor ſemper velocius inten­det vel remittet motum ſuum ſiue agat cum reſiſtē­tia maiore ſiue minore. Patet hec concluſio ex ſe-ptima huius.

Decima concluſio Si due reſiſten-tie inequales creſcant vel decreſcant reſpectu dua­rum potentiarum ſiue equalium ſiue inequalium: potentia agens cum minore velocius intendet vel remittet motum ſuum. Hec patet ex octaua.

Undecima concluſio Si due potētie equales vel inequales eque ꝓporrionabiliter creſ­cant vel decreſcant reſpectu eiuſdem reſiſtentie nõ variate: tales potentie eque velociter intendēt vel remittēt motus ſuos. Patet hec concluſio ex ſexta ſuppoſitione / que diffinit iſtum terminum eque ꝓ­portionabiliter auxilio prime ſuppoſitionis.

Duodecima concluſio Si due reſi-ſtentie equales ſiue inequales eque ꝓportionabi-liter creſcant vel decreſcant reſpectu eiuſdem po-tentie non variate. talis potentia cum vtra illa­rum reſiſtentiarum eque velociter intendet vel re-mittet motum ſuum. Hec cum precedente eandem ſortitur demonſtrationem.

Tridecima concluſio Si due poten-tie inequales eque ꝓportionabiliter creſcant vel decreſcant reſpectu duarum reſiſtentiaruꝫ ſiue eq̄­lium ſiue inequalium non variatarum: ipſe eque­velociter intendent vel remittent motus ſuos. Pa­tet hec concluſio ex prima ſuppoſitione auxiliãte vltima diffiniente eque velociter et eque propor-tionabiliter.

Quartadecima concluſio Si due re­ſiſtentie inequales creſcant vel decreſcant eque ꝓ­portionabiliter reſpectu duarum potentiarum ſi­ue equalium ſiue inqualium: tales potentie eque velociter intendent vel remittent motus ſuos. Ex probatione prioris hec probata euadit.

Quindemica concluſio Si due po-tentie per earum intenſionem eque velociter inten­dunt motus ſuos cum eadem vel diuerſis reſiſten­tiis non variatis: ipſe eque proportionabiliṫ creſ­cunt: et ſi per earum remiſſionem etc. eque velociter remittunt motus ſuos. ipſe eque proportionabili­ter decreſcunt. Hec patet ex vndecima. Et dicit cal­culator /  eſt eius ↄ̨uerſa. Intellige ad ſenſuꝫ ma­thematicum.

Decimaſexta concluſio Si ꝑ cremē­ta aliquarum reſiſtentiarum vel decrementa, po-tentia vel potentie cum illis reſiſtentiis mouentes vniformiter moueantur: tales potentie eque pro-portionabiliter creſcunt vel decreſcunt cuꝫ ſuis re­ſiſtentiis. Patet concluſio quia ad hoc /  propor­tio maneat ſemper equalis et numeri eius creſcūt vel decreſcunt. neceſſe ē /  quãtãcu ꝓportionē nu­merus maior acquirat vel deperdat tantam pro-portioneꝫ acquirat vel deperdat numerus minor / vt patet ex primo correlario quarte concluſionis octaui capitis ſecunde partis igitur.

Decimaſeptima concluſio Si potē-tia creſcens vel decreſcens vniformiter mouetur et eque velociter: neceſſe eſt reſiſtentiam eque ꝓpor-tionabiliter creſcere vel decreſcere et eocõtra Hec ex primo correlario quarte concluſionis prealle-gato patrocinio prime ſuppoſitionis huius ma-nifeſta euadit.

Decimaoctaua cõcluſio Si reſiſten­tia creſcat vel decreſcat et potentia eque velociter mouetur ipſa potentia eque proportionabiliter creſcit vel deſcreſcit cum ſua reſiſtentia et eocontra Hec precedentis probationem aſſumit.

Decimanona concluſio Si potētia eque velociter moueatur et ipſa difformiter creſ-cit vel decreſcit: neceſſe eſt ſuam reſiſtentiam dif-formiter creſcere vel decreſcere. Patet hoc ex pro­batione aliarum.

Uigeſima concluſio Si aliqua reſi-ſtentia vniformiter creſcat vel decreſcat potētia eque velociter mouente: neceſſe eandem potentiaꝫ creſcere vel decreſcere vniformiter. Patet conclu­ſio / quia alias non maneret eadeꝫ proportio / vt pa­tet ex correlario preallegato et per conſequēs nec eandem velocitas.

Uigeſimaprima cõcluſio Si aliqua potentia vniformiter creſcat reſpectu reſiſtentie non variate: talis potentia tardius et tardius in­tendit motum ſuum Probatur hec concluſio ex ſexta ſuppoſitione. Continuo enim eadem latitu-do addetur maiori et maiori numero: igitur con-tinuo acquiretur minor ꝓportio et ſic cõtinuo mo­tus tardius et tardius intendetur.

Uigeſimaſecūda concluſio Si ali-qua potentia vniformiter decreſcat reſiſtentia nõ variata: ipſa continuo velocius et velocius remit­tet motum ſuum. Hec itidem patet ex ſexta ſuppo­ſitione.

Uigeſimatertia cõcluſio Si aliqua reſiſtentia vniformiter creſcat reſpectu potētie nõ variate: talis potentia tardius et tardius remit-tet motum ſuum. Hec modo quo precedens ꝓbat̄̄.

Uigeſimaquarta ↄ̨̨cluſio Si aliqua reſiſtentia vniformiter decreſcat potentia nõ va-riata: talis potentia velocius et velocius intendet motum ſuum. Patet / quoniam continuo maioreꝫ proportionem acquirit. vt patet ex ſexta ſuppo-ſitione.

Uigeſimaquinta concluſio Si ali-qua potentia tardius et tardius creſcat reſpectu reſiſtentie non variate. ipſa tardius cõtinuo et tar­dius intendet motum ſuum. Patet hec concluſio ex vigeſimaprima per locum a maiori: quoniaꝫ ſi ſemper vniformiter creſceret: tardius continuo et tardius intenderet motum ſuum. igitur ſi cõtinuo tardius creſcat: a fortiori tardius et tardius iutē­det motum ſuum.

Uigeſimaſexta concluſio Si aliqua potentia velocius continuo decreſcat reſpectu re­ſiſtentie non variate: ipſa contiuuo velocius remit­tet motum ſuum. Patet ex vigeſimaſecunda ſuf-fragante loco a maiori.

Uigeſimaſeptima concluſio Si ali-qua reſiſtentia tardius continuo creſcat reſpectu potentie non variate: ipſa potentia continuo tar­dius remittet motum ſuum. Patet ex vigeſimater­tia auxilio loci a fortiori.

Uigeſimaoctaua concluſio Si ali-qua reſiſtentia continuo velocius decreſcat reſpe­ctu potentie non variate: talis potentia continuo velocius intendet motum ſuum Patet ex vigeſi-ma quarta.

Uigeſimanona cõcluſio Si due vel tres, vel quatuor, aut quotlibet potentie inequa-les, eque velociter creſcant vel decreſcant reſpectu eiuſdem reſiſtentie non variate: minima illarum velocius intendet vel remittet motum ſuum. Pa-tet hec concluſio ex ſexta ſuppoſitione. quoniaꝫ il­li minori potentie per additionem vel remotionē equalis latitudinis, ſemper accreſcit vel decreſcit maior proportio.

Triceſima cõcluſio Si due aut tres aut quatuor: aut quotlibet reſiſtentie: eque veloci-ter creſcant vel decreſcant reſpectu eiuſdem potē-tie non variate: ſemper talis potentia cum mini-ma illarum velocius intendet vel remittet motum ſuum. Hec et precedens equaleꝫ ſubeunt demõſtra­tionem. ¶ Nunc modicum a ſerie diſcedentes ope­re precium eſt aliquas concluſiones his aducere.

Triceſimaprima concluſio. Si du-plum et ſubduplum eque velociter ad non graduꝫ remittantur: in maiori tempore remittitur duplū quam ſubduplum. Probatur hec concluſio. quo-niam capto quaternario et binario ſi eque veloci­ter et vniformiter remittantur quando due vnita­tes quaternarii remiſſe ſunt: reſtant due: et bina-rius eſt complete remiſſus. igitur oportet /  in tē-pore ſequenti remittantur alie due vnitates qua-teruarii: poſt̄ binarius eſt ad non gradum dedu­ctus et per conſequens concluſio vera.

Triceſimaſecunda concluſio Si du­plum et ſubduplum vniformiter remittant̄̄ et con­tinuo eque velociter: tempus remiſſionis dupli eſt duplum ad tempus remiſſionis ſubdupli. Et conſi­militer dicatur de triplo, quadruplo, ſexqualte-ro, et ſic in infinitum. quoniam tempus tripli erit triplum: et quadrupli quadruplum: et ſexquialte­ri ſexquialterum, et ſic deīceps. Probatur hec cõ­cluſio / quoniam duplum continet bis ſubduplum et triplum ter ſubtriplum et ſic in infinitum / ergo ſi remittantur vniformiter et eque velociter conti­nuo neceſſe eſt cum ſubduplum fuerit remiſſum: re­ſtat tantum de duplo remittendum quantuꝫ erat ſubduplum: et cum ſubtriplum fuerit remiſſum re­ſtet bis tantum remittendum etc.

Triceſimatertia cõcluſio Si dupluꝫ et ſubduplum vniformiter et eque velociter remit­tantur ad non gradum: et quodlibet illorum cõti-nuo tardius et tardius ſubduplum in minori tem­pore quam ſubduplum remittetur. ita  ſi duo re­mittantur in vna hora .4. remittentur in maiori tē­pore quam ſit tempus duarum horaruꝫ. Probat̄̄ hec concluſio et capio .4. et .8. et volo /  vniformi-ter et eque velociter remittantur: ſed continuo ta-men quodlibet illorum tardius et tardius. Uolo dicere /  ſemper quando remittitur vnitas vnius puta ſubdupli remittatur vnitas alterius ſed con­tinuo tardius et tardius / hoc eſt  ſi vtriuſ vni­tas prima fuerit remiſſa in media hora alia vni-tas ī maiori tempore adequate remittatur. Quo poſito manifeſtum eſt:  ſi in vna hora fuerit re-miſſus quaternarius etiam in eadem hora remiſ-ſus eſt quaternarius ab octonario et ab io octo­nario reſtat remittendus quaternarius et conti-nuo tardius remittetur. igitur in maiori tempore quam alter quaternarius / igitur totum tempus in quo duplum remittitur adequate eſt maius quaꝫ duplum ad tempus in quo remittitur ſubduplum

Triceſimaquarta concluſio. Si du-plum et ſubduplum remittantur eque velociter et continuo velocius et velocius: totale tempus re-miſſionis dupli eſt minus quam duplum ad tem-pus totalis remiſſiõis ſubdupli. Et volo dicere /  ſi duo et quatuor remittant̄̄: ita  quando remit-titur vnitas binarii / tunc adequate remittatur vni­as quaternarii ſed tamen velocius: ſic  ſi prima vnitas binarii et quaternarii remittatur in hora: ſecunda vnitas in minori tempore remittatur. di­co /  tempus totale in quo remittūtur ipſa .4. eſt minus quam duplum ad tempus totalis remiſſio­nis ipſorum .2. Probatur hec concluſio / q2 ſi eque­velociter et vniformiter remittentur quo ad tem-pus: tunc tempus remiſſionis dupli eſſet adequa-te duplum ad tempus remiſſionis ſubdupli / vt di-cit triceſimaſecunda concluſio / ſed modo cõtinuo velocius remittuntur duplum et ſubduplum: igi-tur duplum in minori tempore quam duplum ad tempus remiſſionis ipſius ſubdupli totaliter re-mittetur. ¶ Et confirmatur / quia quãdo .2. et .4. re­mittuntur eque velociter. et continuo velocius et ve­locius: tempus in quo remittetur prima medietas ipſorum .4. erit equale tempore in quo remittun-tur .2. et tempus remiſſionis alterius medietatis ipſorum .4. eſt minus tempori remiſſionis prime medietatis: ergo totum tempus remiſſionis ipſo-rum .4. eſt minus quam ſubduplū ad tēpus remiſ-ſionis ipſius dualitatis.

Triceſimaquinta concluſio Aliquid alio pluſ̄ in duplo citius remittitur: et tamē quã­diu manent ambo eque velociter continuo remit-tuntur. Probatur hec concluſio. et capio pedale et bipedale: ſiue albedinem vnius gradus et albedi­nem duorum graduum: et volo /  incipiant remit­ti / et ↄ̨tinuo taliter remittant̄̄:  in eq̈libus tꝑibus equales partes deperdant: continuo tamen tardi­us et tardius quo poſito ſic arguo. vnus gradus pluſquã in duplo citius remittetur quam duo gra­dus. vt patet ex triceſimatertia concluſione. et ta-men continuo eque velociter quamdiu ſimul ma-ment remittuntur. vt patet ex caſu / igitur conclu-ſio vera.

Triceſimaſexta concluſio /  iſta con­ſequentia nihil valet a. eſt duplum et b. ſubduplū et pluſquã in duplo citius deperditur b. / ſubduplū quam a. / duplum igitur velocius deperditur b. ſub­duplum quã. duplū Stat e cū añte /  a. duplum in aliquo tēpore ita velociter mouetur ſicut b. ſub­duplū ex anteriori concluſione / quod eſt oppoſitū tertie exponentis ipſius conſequentis. Sed hec cõ­ſequentia eſt bona b. eſt ſubduplū et a. duplū eius et pluſquã in duplo velociꝰ deperditur ſiue remit­titur quã b. / et vtrum illorum ſemper remittitur vniformiter: ergo a. velocius remittetur quã b. / ſꝫ antecedens talis conſequentie eſt impoſſibile: vt patet ex triceſimaſecunda concluſione. Partes eī antecedentis repugnant.

Triceſimaſeptima concluſio Si ali­qua potentia inuariata mouetur per mediū vni-formiter difforme inuariatum a remiſſiori extre-mo incipiendo: talis potentia continuo tardius et tardius acquirit ſibi reſiſtentiam. Probatur hec concluſio ſupponendo /  oīm duarū partiū equa­lium corporis vniformiter difformis extremum ī­tenſius per equalem latitudinem excedit extremū remiſſius. vt capta latitudīe vniformiter difformi a quarto vſ ad octauum: prime quarte extremū intenſius puta vt .5. excedit remiſſius per vnū gra­dum: et ſecunde quarte extremum intenſius / puta vt ſex excedit extremum remiſſius eiuſdem quarte / vt .5. etiam per vnum gradum: et ſic conſequenter Et hoc non ſolum habet verum de partibus equa­libus immediatis verumetiam de mediatis / vt facile eſt intueri et etiam hoc in capite decimo hu­ius tractatus probabitur. Iſto ſuppoſito proba-tur concluſio quoniam continuo pertranſitioneꝫ duarum partium equalium equaliter acquiret de reſiſtentia Quando enim pertranſibit ſecundam quartã: tantã reſiſtentiã acquiret ſuper reſiſtentiã habitã quantã tranſeundo primã quartam ade-quate: et tantã reſiſtentiã acquiret adequate tran­ſeundo primã octauã ſicut ſecundã: et ſicut tertiaꝫ et ſicut quartam. et ſic de quibuſcun partibꝰ eq̈-libus: et continuo tardius et tardius talis poten­tia mouetur: quia ſemper ſibi accreſcet reſiſtentia ipſa inuariata: igitur tardius continue acquiret ſibi reſiſtentiam.

Triceſimaoctaua concluſio Si ali-qua potentia non variata continuo moueatur ꝑ medium vniformiter difforme implendo ab extre­mo intenſiori continuo velocius et velocius decreſ­cet ſibi de reſiſtentia. Patet / quia continuo veloci­us et velocius mouetur et continuo equalem par-tem tranſeundo equalem reſiſtentiaꝫ deperdit / igi­tur continuo velocius et velocius decreſcit ſibi de reſiſtentia.

Triceſimanona cõcluſio Si aliqua potentia non variata mouetur per mediū vnifor­miter difforme ab extremo remiſſiori incipiendo: talis potentia continuo tardius et tardius remit­tit motum ſuum. Patet / quia tardius et tardiꝰ ac-creſcet ſibi de reſiſtentia: igitur continuo tardius et tardius remittit motum ſuum. Patet conſequē­ tis ex vigeſimaſeptima concluſione.

Quadrageſima concluſio Si aliqua potentia non variata mouetur per mediuꝫ vnifor­miter difforme incipiendo ab extremo intenſiori: talis potentia continuo velocius et velocius intē-dit motū ſuum. Patet / quia continuo velocius et velocius decreſcit ſibi de reſiſtentia: igitur conti-nuo velocius et velocius intendit motuꝫ ſuum Pa­tet conſequentia ex vigeſimaoctaua concluſione.

Quadrageſimaprima ↄ̨̨cluſio Stat duas potētias equales moueri per mediū vnifor­miter difforme incipiendo ab extremo remiſſiori eiuſdē medii ipſis et medio ſimplicter inuariatis et tamē vnam moueri velocius altera Probatur hec concluſio et capio vnum mediū quadratū vni­formiter difforme a non gradu vſ ad octauū vel a certo gradu (in idē redit) / et volo /  a. et b. ſint due potentie equales: et incipiat vna moueri ab extre­mo remiſſiori per diametrū et alia per lineam re-ctã ab eodem extremo: quo poſito ſic arguo a. et b. mouebuntur: et a. non mouebitur tardius ipſo b. nec eque velociter adequate: ergo velocius. Ma-ior ptꝫ cum conſequentia. et minor probatur. q2 ſi mouerentur equaliter ſequeretur /  equales potē­tie cum inequalibus reſiſtentiis equaliter mouerē­tur / et per conſequens ab inequalibus proportio-nibus equales motus proueniunt: quod eſt contra primã ſuppoſitionē huius capitis et directe cõtra opinionem. Sequela tamen probatur / quoniam capto quocū pūcto diametri equaliter diſtante ab angulo quadrati: hoc eſt a linea quadrati fa-ciente angulum ſicut certus pūctus: eſt minoris re­ſiſtentie quã pūctus exiſtens in linea recta equali-ter diſtante cum ipſo. ergo ſequitur /  ſemꝑ a. ha-bebit minorē reſiſtentiam / et per conſequens maio­rem proportionem ad talem pūctū quã b. in pun-cto ſibi correſpondente: et tamen per te a. et b. mo­uentur equaliter: igitur ꝓpoſituꝫ. Q, aūt in tali puncto diametri ſit ſemper reſiſtentia minor quã in puncto ſibi correſpõdente ī linea directe / et per-pendiculariter ꝓcedente ꝓbatur / quoniaꝫ ſemper talis punctus plus diſtat a gradu ſūmo illius cor­poris / quam punctus ſibi correſpondens in linea directe et perpēdiculariter procedente. igitur ſem­per in eo eſt minor reſiſtentia et per conſequens ꝓ­portio maior Patet hec demonſtratio aſpicienti figuram quadrataꝫ vniformiter difformē quo ad reſiſtentiam / que ſit .a.b. et .c.d. et extremū remiſſiſ­ſimū ſit .ac. et linea diametralis ꝑ quã a. mouetur ſit .ad. et linea per quam mouetur b. ſit .cd.

qua figura inſpecta patet facile ꝓpoſitum. Et hec de his concluſionibus in quibus ferme ſequutus ſum calculatorem in capitulo de motu locali dem­pta vltima quam adiunxi.

Sextum capitulum / in quo ponūtur alique obiectiones contra aliquas concluſiones ſuperioris capitis.

COntra quintam concluſio-nem arguitur ſic. per intenſionem et cre­mētum alicuius reſiſtētie reſpectu dua­rum potentiarum inequalium minor potentia ve­ locius remittit motū ſuum quã maior: igitur ſex-ta ↄ̨cluſio falſa. Arguit̄̄ antecedēs et pono /  ſit a. potētia vt .8. et b. potētia vt .4. et c. reſiſtētia vt 2. et d. reſiſtētia vt vnū: et agat vtra illaꝝ potētiaꝝ cū vtra illarum reſiſtentiarū: et creſcat c. reſiſten­tia vt .2. vniformiter / quo ad vſ ſit vt .4. et d. reſiſtē­tia itidem vniformiter creſcat / quo ad vſ ſit vt .4. creſcat tamen reſiſtētia vt .2. in duplo velociꝰ quã reſiſtentia vt vnū. ita  quando reſiſtentia vt vnuꝫ acquiſiuerit vnum gradum reſiſtentie: reſiſtentia vt duo acquirat duos. quo poſito ſic argumentor b. potentia vt .4. velocius remittit motum ſuum cū c. reſiſtentia vt .2. quã a. potentia vt .8. cum ea-dem reſiſtentia vt duo. igitur aſſumptum verum.

Probatur antecedens / quoniaꝫ eque velociter po­tentia a. vt .8. remittet motū ſuum cum reſiſtentia c. vt .2. ſicut potentia b. vt .4. cū reſiſtentia d. / vt vnū quoniam proportiones erunt equales: et eque ve-lociter ꝓportionabiliter deperduntur. igitur ſem­per manebunt equales ad inuicem ſed b. potentia vt .4. velocius remittet motū ſuum cū c. reſiſtentia vt .2. quam cū d. reſiſtentia vt vnum / ergo b. poten­tia vt .4. velocius remittet cum c. motū ſuum. quaꝫ a. potentia vt .8. cū eodē c. / quod fuit probandum. Conſequentia patet cū maiore: et minor probatur / quoniam velocius deperditur proportio b. ad c. quam proportio b. ad d. / ergo velocius remittitur motus proueniens a proportione b. ad c. / quã mo­tus proueniens a proportione b. ad d. Conſequen­tia eſt nota et arguitur antecedens. quoniam pro­portio b. potētie vt 4. ad c. reſiſtētiã vt .2. ē ī duplo minor ꝓportione b. potētie vt .4. ad d. reſiſtentiã vt vnum: quoniam vna dupla et alia quadrupla. et plꝰquã ī duplo citiꝰ remittet̄̄ ꝓportio b. ad c. quã ꝓportio b. ad d. / igr̄ velociꝰ remittet̄̄ ꝓportio b. ad c. quã b. ad .d. / quod fuit probandū. Conſequentia eſt nota / vt apparet cum maiore: et minor ꝓbatur / quoniam quando reſiſtentia c. acquiſiuerit duos gradus reſiſtentie / tunc proportio b. ad c. erit omī­no deperdita. et in eodem tempore adequate ꝑde­tur proportio dupla ipſi quadruple, et acquiretur vnus gradus dūtaxat ipſi reſiſtentie d. / et reſtabūt acquirendi duo qui debēt acquiri vniformiter: er­go illi acquirentur adequate ī duplo tempore ad acquiſitionem primi: et ſic ſequitur /  tempus de-perditionis proportionis b. ad c. eſt ſubtriplū, ad tempus deperditionis proportionis b. ad d. / et per conſequens pluſquã in duplo citius deperditur ꝓ­portio b. ad c. quã b. ad d. / quod fuit probanduꝫ.

Reſpondeo negando antecedens: et ad probationē admiſſo caſu negat̄̄ añs: et ad pro-bationē negatur hec minor b. velociꝰ remittet mo­tū ſuū cū c. quã cum d. / et ad ꝓbationē negatur an-tecedens et ad probationē antecedētis negat̄̄ hec ↄ̨ña in qua eſt virtus argumenti: proportio b. ad c. ē in duplo minor ꝓportione b. ad d. / et pluſquaꝫ in duplo citius deperdetur proportio b. ad c. quã ꝓportio b. ad .d. / ergo velocius deperdetur propor­portio b. ad .c. / quã deperdetur proportio b. ad d. / ſi­cut eam eſſe negandam docet triceſimaſexta con-cluſio In probatione tamē ↄ̨ñe negate adducit calculator duas conditionales: quarū neutra eſt bona ↄ̨ña. Ipſe tamē nihil ad eas reſpondet Pro quarū impugnatione pono aliqua correlaria.

inrit̄̄ bo­uitaſ ↄ̨ña­rū calcu.
1. correl.

¶ Primū correlariū in caſu argumenti d. reſiſtē-tia vt vnum et .c. reſiſtentia vt .2. / non vniformiter creſcūt / et tamē vtra illarum vniformiter creſcit. Probatur / quia quando reſiſtentia vt vnum ac-rit vnitatem: reſiſtentia vt .2. acquirit dualitē gra­ duū. igitur nõ vniformiter creſcūt. Antecedēs ptꝫ ex caſu. Sed ſecūda pars ꝓbatur: q vtra illaꝝ inequalibus tēporibus equales latitudines reſiſ­ſtentie acquirūt: vt ptꝫ ex caſu. Ex hac correlariuꝫ eſt ſimile dialectico ſortes / et brunellꝰ nõ ſunt fra-tres: et tamen vter illoꝝ eſt fratrer. ¶ Secunduꝫ correlariū ſtat /  ſubduplū in ſubduplo tempore adequate ad tēpus deꝑditionis dupli deꝑdatur: et quãdo deperdat̄̄ ſubduplū etiã duplū deperdat̄̄ quãius nõ totaliter: et nichilominꝰ nõ eque velociṫ deperdat̄̄ ſubduplū cum duplo. Probat̄̄ et pono caſum /  ſint pedale a. et bipedale b. / et incipiat de-perdi taliter:  īmedietate hore future deperdat̄̄ pedale a. adequate: et tūc ſit deperditū a. bipedali b. ciſe ſemipedale: et totū reſiduū deperdat ī me-dietate ſeq̄nti adequate: quo poſito iam ptꝫ corre­larium. ¶ Ex quo ſequitur tertiū correlariū:  hec cõſequentia nichil valet. Si a. ſubduplū in ſubdu­plo tēpore adequate deperdit̄̄ ad b. duplū: a. et b. eque velociter deperdūtur. In caſu e poſito an-tecedens eſt verū et cõſequēs falſum. Nec puto cal­culatorē voluiſſe illã cõcedere. Iſta tamen cõſequē­tia eſt bona: ſi ſubduplū in ſubduplo tēpore ade-quate deperdit̄̄ et vniformiter cū ſuo duplo: iam eque velociter deperdit̄̄. ¶ Quartū correlarium. Iſta cõſequentia nichil valet: pluſquã in duplo ci-tius deperdit̄̄ ſubduplū quã duplū: igitur velociꝰ perditur ſubduplū quã duplū. Patet hoc correla­riū ex dictis in ſolutione argumentati. ¶ Quintum correlariū. Stat duas ꝓportiones eque velociter deperdi per crementū ſuaꝝ reſiſtentiarū: et tamen reſiſtentias nõ eque velociter creſcere: īmo hoc ne­ceſſariū eſt vbi reſiſtētie ſūt īeq̈les .etc̈. Probat̄̄ cor­relariuū ſupponēdo  ad hoc /  aliquã ꝓportio eq̄ velociṫ ↄ̨tinuo et vniformiṫ cū deꝑdat̄̄: rerit̄̄ /  in­eq̈libꝰ tēporibꝰ equales ꝓportiones partiales ille due deperdant: vt ſi ꝓportio quadrupla eque ve-lociter debeat deperdi cū ꝓportione dupla: requi-ritur /  quando adequate quadrupla perdit ſex-quitertiã. etiã dupla ſexquitertiã perdat adequa-te: et ſic cõſequenter. Sed ad hoc /  due reſiſtentie eque velociter et vniformiter deperdãtur requirit̄̄ /  inequalibꝰ tēporibꝰ equales latitudines reſiſtē-tiarū deperdant. Hoc patet ex ſexta ſuppoſitione cedētis capitis. Ad hoc e  vniformiter remit-tatur ꝓportio: requiritur /  inequalibꝰ tēporibꝰ equales latitudines ꝓportionū deperdãtur: et ad hoc /  vniformiter remittatur reſiſtentia: requirit̄̄ /  inequalibꝰ tēporibꝰ equales latitudines reſiſtē­tiarū deperdãtur vt ptꝫ. Quo ſuppoſito ꝓbatur correlariū in caſu argumentati. ibi e reſiſtentia c. / vt .2. in duplo velocius creſcit quã reſiſtentia d. / vt vnū et tamen quãdo ꝓportio a. potentie / vt .8. ad c. reſiſtentiã / vt 2. perdit ꝓportionē duplã: etiã pro-portio ipſiꝰ b. potētie / vt 4. ad d. reſiſtentiã / vt vnū ꝑdit ꝓportionē duplã: et ſic ibi ſtat proportiões per crementū reſiſtētiaꝝ eque vĺociter deꝑdi: et tamen reſiſtētias nõ eque velociter creſcere. Et  hoc ſit neceſſariū vbi reſiſtētie ſiue mīores termini ꝓpor-tionū fuerit inequales: ptꝫ / q2 īplicat duo inequa-lia eque velociter creſcere et eque ꝓportiõabiliter / vt ptꝫ ex octaua ſuppoſitione quarti capitis et ex octauo capite ſecūde partis per totū. ¶ In his q̄ quaſi demõſtratiue ꝓcedūt: deducas locoꝝ diuer-ſitatē: cū ceterꝪ litigioſis captiūculis ſophiſtarū ¶ Aduerte tamen /  nõ in toto tꝑe ille ꝓportiões puta dupla et quadrupla eque velociter deperdū­tur: et loquor de ꝓportione b. potentie vt .4. ad re­ſiſtentiã c. vt duo et ꝓportione b. potentie vt .4. ad d. reſiſtentiã vt vnū. Sed quãdiu ſimul remittunt̄̄ eque velociter decreſcunt ſiue remittuntur. ¶ Sed q2 ex ſentētia philoſophi primo celi veritates in-quiſitores arbitros eſſe decet et nõ inimicos: ideo ſecūdo loco aduerte:  in cõſequētia calculatoris ly eque velociter poteſt capi dupliciter: videlicet reſolutorie / vt eualeat huic aliqua equali veloci-tate. vt ſit ſenſus huiꝰ ꝓpropoſitionis ſubduplū eque­velociter remittitur cū duplo: id eſt aliqua equali velocitate ſubduplū equaliter remittitur cum du­plo. Et iſto modo cõſequentia calculatoris eſt bo­na cū his que ſupponit ex parte antecedētis. Alio modo ly eque velociter poteſt capi exponibiliter / vt ſit ſenſus huiꝰ ꝓpoſitionis ſubduplū eque velo­citer remittit̄̄ cū duplo: hoc eſt ita velociṫ remittit̄̄ ſubduplū ſicut duplū et ē cõtra. Et in iſto ſenſu hec conſequentia nõ valet b. ſubduplū puta pedale in ſubduplo tēpore adequate deꝑditur ad a. dupluꝫ puta bipedale: ergo eque velociter ꝑditur b. ſub-duplū ſicut a. duplū. Probatur: nam poſito  pe­dale remittatur vniformiter in hora: et bipedale in duabus horis adequate remittatur vſ ad nõ quantū: ita tamen  in tēpore in quo remittit̄̄ pe-dale remittatur aliquid de bipedali: in triplo tar­dius tamen gratia exēpli: et in aliqua parte ſecū-de hore remittatur etiã aliquid de bipedali ita ve­lociter ſicut antea remittebat̄̄ pedale: et in aliqua alia parte remittatur ipſum bipedale velociꝰ quã vti̄ remittebatur pedale ſubduplum: quo poſito antecedens eſt verum et conſequens falſum. Nam tertia exponens conſequentis eſt falſa / videlicet iſta in nullo tempore a. duplum velocius remitti-tur quam b. ſubduplū / vt patet. Et ita debet dari tertia exponens in talibus addendo ly tēpore / q alias oporteret vti circulatione in exponendo: ꝑ-inde at alti concedunt quod michi non placet. Hac diſtinctione vtendo pariter et expoſitione: fa­cile hec dicta in predictis correlariis dictis calcu-latoris conciliabis: eſto  calculator de facto nõ aduerſetur dictis. ¶ Hec ex ſcriniis dialectice non abs re nec inconſulte huic argumento interſeren-da decreui: quoniam defeſſam mathemathicis et ſcientia demonſtratiua mentem dialectice at ſo­phiſtice argumētiones plurimū oblectant. Nam teſte philoſopho decima octaua particula pro-blematum ſecundo problemate. Agoniſtice, ligi-tioſe, at ſophiſtice argumentatioues, et pluri-mum ſunt exercitatiue: et vltra alias diſputatio-nes: lõge plus iuuant at delectant. His adde /  iſte terminus citius dupliciter poteſt capi: pri-mo modo / vt dicit temporis propinquitatem: ſe-cundo vero modo / vt dicit tēporis breuitatem: et hoc poſteriori modo accommodatius propoſito deſeruit.

2. correĺ. 3. correĺ. 4. correĺ. 5. correĺ. Aduerte Aduerte pḣs pri-mo celi. Eque ve-lociter ca­pitur du­pliciter. Expoſi-tio ipſiꝰ ita et ſi-cut. pḣs deci­ma octa­ua partꝪ ꝓble. Citiꝰ ca-pit̄̄ du-pliciter

Secundo contra primam ſuppoſi-tionem: et vniuerſaliter contra fundamentum to-tius opinionis arguitur ſic: quia ſi illa ſuppoſi-tio eſſet vera: ſequeretur /  aliqua potētia poſſet pertranſire aliquam reſiſtentiam: et tamen non poſſet illam pertranſire: hoc manifeſte implicat: igitur illud ex quo ſequitur. Sequela probatur / et pono caſum /  ſit vna reſiſtentia vniformiter dif-formis a gradu / vt duo vſ̄ ad quartum et ſit vna potentia vt .4. / que inuariata incipiat pertranſi-re talem reſiſtentiam ſiue incipiat moueri in tali reſiſtentia: ab extremo remiſſiori: quo poſito ar-guitur ſic / illa potentia nun̄ perueniet ad finem illius reſiſtentie: igitur non pertranſibit illam.

Sed  illã ꝑtranſibit arguitur: q2 quãlibet par-tem eius proportionalē ꝓportione dupla mino-ribus terminatis verſus extremū intenſius per-tranſibit: igitur totã reſiſtentiã pertranſibit. Cõ-ſequentia patet: q2 oēs partes ꝓportionales pro­portione dupla illius reſiſtentie totã illam reſi-ſtentiã conſtituūt. Sed iam reſtat ꝓbare pro ꝓba­tione alterius partis /  nun̄ ad finē deueniet: q2 nõ ſufficit in tēpore finito tranſire illã reſiſtentiã: igitur nun̄ deueniet ad finē illius reſiſtentie. Ar-guitur antecedens et capio vnã aliam reſiſtentiam difformiter difformē diuiſam per partes ꝓpor-tionales ꝓportione dupla: cuius prima pars pro­portionales ſit vniformis vt duo et ſecūda vt tria et tertia vt .3. cū dimidio et quarta vt tria cū dimi-dio et dimidio dimidii / et ſic ↄ̨ſequenter aſcenden-do: ita  quelibet pars ꝓportionalis tali ꝓpor-tionis duple diuiſione / ſit vniformiter intenſa in iſta reſiſtentia difformiter difformi ſicut punctus initiatiuus conſimilis partis in reſiſtētia vnifor-miter difformi: et ſint tales reſiſtentie equales ex-tenſiue / quo poſito ſic argumentor iſta potētia vt 4. non ſufficit ꝑtranſire iſtã reſiſtentiã difformem in tēpore finito / et iſta reſiſtentia minꝰ reſiſtit quã alia vniformiter difformis / vt conſtat reſpiciēdo ad reſiſtentiã partiū ꝓportionaliū vniꝰ et alteriꝰ: igitur talis potentia vt .4. nõ ſufficit pertranſire talē reſiſtentiã vniformiter difformē a ſecūdo gra­du vſ ad quartū / quod fuit ꝓbandū. Cõſequētia eſt nota cū minore et maior arguitur / q2 aliquantū tēpus requirit illa potentia ad pertranſeundum primã partē ꝓportionalē: et tantū vel maiꝰ requi­rit ad ꝑtrãſeundū ſcḋam: et iterū tantū vel maius ad ꝑtranſeundū tertiã: et ſic cõſequenter: et ſunt in­finite partes ꝓportionales: igitur in nullo tēpo-re finito ſufficit talis potentia illã reſiſtentiã dif-formiter difformē ꝑtranſire. Conſequentia patet / et ꝓbatur antecedēs / q tranſeundo primã partē ꝓportionalē / que eſt vt duo mouetur a ꝓportione dupla: et tranſeundo ſcḋam / que eſt vt .3. mouetur a ꝓportione ſexquitertia: et tranſeundo tertiã / que eſt vt .3. cū dimidio mouetur a ꝓportione ſexqui-ſeptima / et ſic conſequenter ſemꝑ a minori ꝓpor-tione quã ſubdupla ad precedentē: igitur cõtinuo tranſeundo partē ꝓportionalē ſequentē, requirit maiꝰ tēpus quã trãſeūdo partē precedentē. Patet cõſequentia / q ſi cotinuo moueretur a ſubdupla ꝓportione in parte ꝓportionali ſequenti ad pro-portionē qua mouebatur in parte īmediate pre-cedenti: ſemꝑ adequate tantū tēpus requireret ad tranſeundū partē ſequentē ſicut īmediate prece-dentē: q2 partes continuo ſe habent in ꝓportione dupla et ſimiliter ꝓportiones ſe tunc haberent in ꝓportione dupla: ſed modo cõtinuo in parte ſe-quenti mouetur a minori ꝓportione quã ſubdu-pla ad ꝓportionē / qua mouetur in parte īmediate precedenti: igitur continuo maius tēpus requirit ad pertranſeundū partē ſequentē quã precedentē Sed  cõtinuo moueatur a minori ꝓportiõe quã ſubdupla in parte ſequenti quã in parte īmediate precedenti patet / q2 in prima mouetur a ꝓportiõe dupla / et in ſecūda a ꝓportiõe ſexquitertia modo ſexquitertia minor eſt quã ſubdupla duple / vt ptꝫ ex ꝓbatione tertie cõcluſiõis quarti capitis ſcḋe partis et ſexta ſuppoſitione capitis eiuſdē. Itē in tertia mouet̄̄ a ꝓportiõe ſexquiſeptīa: modo ſex­ſeptīa minor eſt quã ſubdupla ſextertie / et ſic cõ-ſequenter / vt patet ex ſexta ſuppoſitione quarti ca­pitis preallegati: igitur.

Reſpõdeo ad argumentum breuiter / negando ſequelã: et ad ꝓbationē dico /  illa ↄ̨ña nichil valet: quãlibet partē ꝓportionalē ſecundū hanc diuiſionē hoc mobile ꝑtranſibit: ergo totuꝫ ſpaciū ſiue reſiſtentiã ꝑtranſibit: īmo ſicut ꝓbat argumentū ſi mobile et illa reſiſtentia ſimul ma-nerent ꝑ infinitū tēpus: ꝑ īfinitū tēpus mobile mo­ueret̄̄ ſupra reſiſtentiã / et nū̄ veniret ad terminū.

Sed ↄ̨̨tra q2 poſſibile eſt /  potētia vt 4. ꝑtranſeat reſiſtentiã difformē in tꝑe finito, cuiꝰ ṗma pars ꝓportiõalis eſt vniformiter difformis a duobꝰ vſ ad tertiū, et ſecūda etiã vniformiter difformis a tertio vſ ad tertiū cū dimidio, et ſic cõſequenter vſ ad quartū excluſiue: igit̄̄ poſſibi-le eſt potentiã vt .4. ꝑtranſire reſiſtentiã vniformi-ter difformē a duobꝰ vſ ad quartū: et per conſe-quens male negatū eſt hoc. Arguit̄̄ antecedens: et pono /  ſit vna reſiſtentia pedalis diuiſa per par­tes ꝓportionales ꝓportione quadrupla: cuiꝰ pri-ma pars ꝓportionalis ſit vniformiter difformis a ſecūdo vſ ad tertiū, et ſecunda a tertio vſ ad tertiū cū dimidio, et ſic cõſequēter vſ ad quarū excluſiue: deinde capio vnã aliã reſiſtentiã ſimili-ter pedalē: diuiſam per partes ꝓportionales ꝓ-portione quadrupla: cuiꝰ prima pars ꝓportiona­lis ſit vniformis vt .3. et ſecūda vt .3. cū dimidio, et tertia vt .3. cū dimidio et dimidio dimidii, et ſic cõ-ſequēter: ita  quelibet pars ꝓportiõalis in tali reſiſtentia ſit vniformiter intēſa ſicut gradus in-ſiſſimꝰ in parte cõſimili ſiue correſpondēte in alia reſiſtentia pedali cuiꝰ partes ꝓportionales ſunt vniformiter difformes: quo poſito ſic argumētor iſta ſecūda reſiſtentia cuiꝰ partes ꝓportiõales ſūt vniformes eſt maioris reſiſtentie quã altera: vt ſa­tis facile ptꝫ intelligenti reſiſtentiã partiū ꝓpor-tionabiliū in vna et in altera: et tamen potentia vt 4. ſufficit in tēpore finito ꝑtranſire iſtã ſecundam reſiſtentiã: igit̄̄ et alterã cuiꝰ partes ꝓportionales ſunt vniformiter difformes. Cõſequētia ptꝫ ꝑ locū a maiori et maior ſimiliter: et minor ꝓbat̄̄: ſuppo-nendo /  oīs ꝓportio ſuꝑparticularis diuidit̄̄ in duas ꝓportiones / quaꝝ vna eſt medii numeri ad minimū et alia maximi ad mediū: et illa que eſt ma­ximi ad mediuꝫ, eſt maior quã tertia pars totius ꝓportionis ſuꝑparticularis: vt ptꝫ ex decimo cor­relario tertie cõcluſionis quarti capitis ſecunde partis. Hoc ſuppoſito ſic arguo potentia / vt .4. in aliquo tēpore ꝑtranſit prima partē ꝓportionalē talis reſiſtentie: et in ſubſexquitertio tēpore ꝑtran­ſit ſcḋam: et ſic cõſequēter ita  quãlibet ſequentē ꝑtranſit in ſubſextertio tēpore ad tēpus in quo ꝑtrãſit īmediate cedentē: igit̄̄ totū tēpus in quo pertranſit oēs partes alias a prima eſt triplū ad tempus in quo pertranſit primã: vt patet intelli-genti quintum caput prime partis: et tempus in quo pertrãſit primam eſt finitū: igitur totū tēpus aggregatū eſt finituꝫ. Sed iam probo antecedens / quoniam in aliquo tempore pertranſit primam: ſignetur igitur illud tempus et ſit vna hora gra-tia exempli: et in illa hora per illam partem con-tinuo mouetur a proportione ſexquitertia: quia reſiſtentia eſt vt .3. et potentia vt .4. et tranſeundo ſecundam partem proportionalem / que eſt vt .3. cū dimidio mouetur a proportione ſexquiſeptima: que vt patet ex ſuppoſitione non eſt ſubtripla ad ſexquitertiam ſed maior quam ſubtripla: ſed ſi illa eſſet ſubtripla tranſiret ſecundam partem ꝓportiõalē in ſubſexquitertio tēpore / ergo modo ꝑtranſit illã in ſubſexquitertio tēpore vel minori. Cõſequentia eſt nota et minor ꝓbatur: q2 ſi tran-ſeundo ſecundã moueretur a ſubtripla ꝓportiõe et ſecūda eſſet equalis prime extēſiue / tūc in triplo tēpore ꝑtranſiret illã ad tēpus in quo pertranſit primã puta in tribus horis q ꝑtranſit primã in hora / vt poſitū eſt: ſed modo illa ſecunda pars eſt ſubquadrupla ad primaꝫ / ergo in ſubquadruplo tēpore ꝑtranſibit eam: ſed ſubquadruplū ad tres horas ſunt .3. quarte: et tres quarte ſūt ſubſexqui­tertiū ad vnã horã in qua ꝑtranſit primã partem / igitur ſecundã trãſit in ſubſexquitertio tēpore ad primã. Et ſic ꝓbabis /  tertiã in ſubſexquitertio tēpore ꝑtranſit ad ſecundã: et de oībus aliis con-ſequenter. adiutorio ſecūdi correlarii quarte con­cluſionis quarti capitis ſecunde partis.

Reſpondeo ad replicã cõcedendo an­tecedens: dūmodo ille partes ꝓportiõales illius reſiſtentie nõ ſe habeant in ꝓportione dupla nec in aliqua minori: et nego cõſequentiã. Et ratio eſt / q2 talis reſiſtentia de qua cõceditur nõ eſt vnifor-miter difformis: nec talis potētia requirit tantū tēpus ad ꝑtranſeundū ſecundã partē ꝓportiõa-lem quantū ad ꝑtrãſeundū primã: vt iam ꝓbatuꝫ eſt. ¶ Ex deductione et ſolutione huiꝰ argumenti ſequitur primo:  ſi potentia vt quatuor cõtinuo moueretur per mediū vniformiter difforme a non gradu reſiſtentie vſ ad quartū: et perpetuo du-raret potentia et mediū taliter diſpoſitū: ꝑpetuo ipſa moueretur: et nun̄ ipſuꝫ ꝑtranſiret. Patet hoc correlariū ex deductiõe et ſolutiõe argumenti ¶ Sequitur ſecūdo:  reſiſtentia vniformiter dif-formis nõ correſpõdet gradui medio reſiſtentie: ita  tantū reſiſtat ſicut gradus medius. Proba­tur hoc ex cedenti correlario / q2 alias ſequeretur  potentia vt .4. poſſet in tēpore finito ꝑtranſire reſiſtentiã vniformiter difformē a nõ gradu vel a gradu certo minori vſ ad quartū / q2 moueretur in ea a ꝓportiõe dupla vel aliqua alia certa eua­lenter per totã illã reſiſtentiam. ¶ Sed q2 aliquis poſſet dicere /  correſpõdet gradui medio: dūmo­do g̈dus ſūmꝰ talis teſiſtētie nõ ſit eq̈lis potentie mouēti in ea vel minor. Ideo aliter ꝓbo dictum correlariū ratiõe Gaythani de thebis ſi memini: q2 ſi correſpõderet gradui medio ſeq̄ret̄̄ /  poten­tia vt .9. in equali tēpore adequate ꝑtranſiret re-ſiſtentiã vniformiter difformē a nõ gradu vſ ad octauū: in quo adequate ꝑtranſiret ſcḋaꝫ medie-tatē eiꝰ: ita  ita cito ꝑtranſiret totū ſicut eiꝰ me-dietatē adequate: ſed ↄ̨ñs eſt manifeſte falſū: igit̄̄ illud ex quo ſequit̄̄. Sequela ꝓbatur / q2 talis po-tentia vt .9. haberet ad totã illã reſiſtentiã ꝓpor-tionē duplã ſexquiquartã: cū tota illa reſiſtentia ſit per te vt .4. qui eſt gradus mediꝰ. Modo .9. ad 4. eſt ꝓportio dupla ſexquiquarta: et ad ſecundaꝫ medietatē haberet ꝓportionē ſexquialterã: cum gradus eiꝰ medius ſit vt .6. Modo .9. ad .6. eſt ꝓ-portio ſexquialtera: ſed ꝓportio ſexquialtera eſt ſubdupla ad duplã ſexquiquartã / vt patꝫ ex ſexto capite ſcḋe partis et ſpaciū trãſeundū ab illa pro­portiõe puta ſcḋa medietas eſt ſubduplū ad totã illã reſiſtentiã: ergo ſequit̄̄ /  ī equali tēpore ꝑtrã­ſit illã ſcḋam medietatē et totã illã reſiſtentiã: qḋ fuit ꝓbandū. ¶ Sequit̄̄ tertio /  quãuis potentia vt .4. nõ ſufficit ꝑtrãſire reſiſtentiam vniformiter difformē a ſcḋo g̈du vſ ad quartū: cuiꝰ videlicet prima pars ꝓportiõalis ꝓportiõe dupla incipit a ſcḋo vſ ad tertiū et ſcḋa īcipit a tertio vſ ad tertiū cū dimidio / et ſic cõſequēter: nichilominꝰ tñ talis potētia vt .4. ſufficit ꝑtrãſire tantã reſiſten-tiã extenſiue: cuiꝰ videlicet prima pars ꝓportiõa-lis ꝓportione quadrupla eſt oīno cõſimilis reſi-ſtētie cū prima parte ꝓportiõali ꝓportiõe dupla alterius reſiſtentie vniformiter difformis, et ſcḋa cū ſecūda, et tertia cū tertia, et ſic cõſequēter. Pri­ma pars ptꝫ ex deductione et ſolutione argumēti et ſecūda ex deductione et ſolutione replice. ¶ Se-quitur quarto /  quãuis potētia vt .4. nõ ſufficit ꝑtranſire in aliquo tēpore finito reſiſtentiã peda­lem vniformiter difformē terminatã ad quartū: cuiꝰ videlicet prima pars ꝓportiõalis ꝓportione dupla incipiat a ſcḋo et terminet̄̄ ad tertiū .etc̈. vt poſitū eſt in priori ꝑte cedētꝪ correlarii: nichilo­minus vbi talis reſiſtētia pedalis efficeretur qua­drupedalis per rarefactionē aut augmentationē (nõ eſt cura) ita tamen  ille partes reſiſtētie que cõtinuo ſe habebant in ꝓportione dupla cõtinuo ſe habeant in ꝓportione quadrupla quo ad extē-ſionē: ipſis tamē manētibꝰ ſemꝑ in eodē ſtatu quo ad ītēſionē: potētia vt .4. ſufficit tūc illã reſiſtentiã in tꝑe finito ꝑtrãſire. Patet ṗma pars correlarii ex ṗori correlaro et ſcḋa ex deductiõe replice. ¶ Ex q̊ correlario ſequitur facile quītū /  quãuis talis reſiſtentia ſic ad quadruplū augeat̄̄ extenſiue: ni­chilominus tamē infinite partes eiꝰ ꝓportiõales diminuūtur, et efficiūtur minores extenſiue. Pri-ma pars ponit̄̄ / et ſcḋa ꝓbatur / q2 ſi infinite mane­rent tante quãte erant antea: cū maneãt eque in-tenſe et eque reſiſtētes: eo modo reſiſterēt quo reſi­ſtebant antea quãdo cõtinuo ſe habebãt in ꝓpor­tione dupla: ſed antea requirebat̄̄ tēpus infinitū ad ꝑtranſeundū illas a tali potentia: cū tantū tē­pus requirebat̄̄ ad ꝑtranſeundū aliquã partē vel maiꝰ quantū ad quãlibet cedentē: vt ptꝫ ex dedu­ctione argumēti: igitur modo etiã requireret̄̄ tē-pus infinitū: ſed hoc eſt falſum / vt patꝫ ex cedenti correlario / igitur illud ex quo ſequitur: et ꝑ conſe­quēs dicendū eſt /  īfinite efficiūtur minores extē-ſiue: cū nec etiã dicendū ſit /  efficiant̄̄ maiores vt facile eſſet ꝓbare ꝑ locū a maiori. Et hoc etiã faci­le ptꝫ experimēto: nã capto tali pedali ſic diuiſo ꝑ partes ꝓportiõales ꝓportiõe dupla vt poſituꝫ eſt: et augeatur prima pars ꝓportiõalis eius ad quadruplū: ita  efficiat̄̄ bipedalis: tūc ad hoc /  ſecūda efficiatur ſubquadrupla ad ipſaꝫ oportet ipſam ſimiliter augeri ad duplū: ita  efficiatur ſemipedalis: et oportet tertiam manere nec auctã nec diminutã: q2 eſt vna octaua: ſed oportet iam quartam minui ad ſubduplū: q2 erat vna decima ſexta et oportet  efficiatur vna triceſimaſecūda: vt ſit ſubquadrupla ad octauã que eſt tertia pars / et tunc manebit equalis cū quīta parte et ſic opor-tebit quintã ad ſubquadruplum minui: et ſextam ad ſuboctuplum: et ſic in infinitū / vt patet intuenti igitur. Et ferme hoc modo intendit calculator ꝓ-bare in capitulo de augmentatione concluſione quindecima probatione ſecunda:  quantūcun modicum ſit aliquod ſubiectum diuiſum per par­tes proportionales certa proportione: et ſit aliud quantūcun magnum diuiſum in partes propor­tionales proportione maiori: aliqua erit pars proportionalis minoris, maior parte proporti-onali correſpondente maioris. ¶ Sequitur ſexto /  quãuis talis reſiſtentia aucta in quantitate ad quadruplum vel octuplum quocun modo pla-cuerit: dummodo partes reſiſtentie que antea ſe habebant in proportione dupla quo ad extenſio­nem ſe habeãt quo ad extenſionē in proportione quadrupla, valeat in tēpore finito pertranſiri a potentia vt .4. vt dictū eſt: nichilominus ſi dimi-nuatur talis reſiſtentia quo ad extenſionē ad ſub-duplū vel ad ſubtriplū .etc̈. ita  efficiatur ſemipe­dalis, vel vna tertia, vel quarta, vel quinta: et ſic in infinitū: dūmodo partes reſiſtentie cõtinuo ma­nent in eadē ꝓportione in qua ſe habebant antea puta dupla: potentia vt .4. (intelligo ſemꝑ nõ va-riata) in nullo tēpore finito valet talē reſiſtentiam pertranſire. Patet facile ex primo correlario.

1. correĺ. 2. correĺ. Gaytha-uus de thebis. 3. correĺ. 4. correĺ. 5. correĺ. Calcu. in capite de augmen. 6. correĺ
7. correĺ.

¶ Sequitur ſeptimo /  quãuis potentia vt .4. non ſufficit in tēpore finito pertranſire pedalē reſiſten­tiam diuiſam in partes ꝓportionales ꝓportione dupla: ad cuiꝰ primã habet ꝓportionē duplam et ad ſecundã ſexquitertiã et ad tertiã ſexquiſeptimã et ad quartã ſexquiquīdecimã et ſic in infinitum: vt ponebatur in caſu argumenti: nichilominꝰ tamen talis potentia ſufficit pertranſire in tēpore finito reſiſtentiã pedalē diuiſam in partes ꝓportiõales ꝓportione dupla ſimiliter: ad cuius primã habet ꝓportionē duplã et ad tertiã ſexquialterã et ad ter­tiã ſexquitertiã et ad quartã ſexquiquartã et ſic in infinitū aſcendendo per ſpecies ꝓportiõis ſuper-particularis nulla pretermiſſa. Prima pars hu-ius correlarii probata eſt in argumento: et ſecūda ꝓbatur: q2 talis potentia in aliquo tēpore finito ſufficit pertãſire primã partē parē que eſt ſecūda in ordine: et in minori quã ſit equalis ſufficit ꝑtrã-ſire oēs ſequentes pares: et ſimiliter. in aliquo tē-pore finito ſufficit pertranſire primã imparē: et in minori tēpore quã in triplo ad illḋ ſufficit pertrã-ſire oēs ſequentes impares: igitur oēs ſimul tam pares quã impares ſufficit ꝑtranſire in tēpore fi-nito. Cõſequētia patet ex ſe / et arguitur maior / q ſi illa potentia cõtinuo haberet ꝓportionē ſubdu­plam ad partē parem ſequentē ad illã ꝓportionē quã habet ad partē parem īmediate precedētem: ↄ̨tinuo ꝑtranſiret partē ſequentē parem in duplo minori tēpore quã īmediate precedentē cū ipſa ſit ſubquadrupla ad parē īmediate precedentem / et ꝑ cõſequens ſi tranſiret primã parē in hora adequa­te: ſecundã parē tranſiret in media hora: et ſequē-tem parē in ſubduplo tēpore: et ſic oēs pares ꝓtrã­ſiret in duabus horis / vt patet ex quīto capite pri­me partis. modo ad quãlibet ſequentē parē habet maiorē ꝓportionē quã ſubduplã ad ꝓportionem quã habet ad partē parē īmediate precedentē: igi­tur cõtinuo modo velocius mouebitur: et per con-ſequens minus quã in equali tēpore ꝑtrãſibit oēs pares ſequentes primã / quod fuit probandū. Sed iam ꝓbo iſtã minorē videlicet /  modo habet ad quãlibet partē parē ſeq̄ntē maiorē ꝓportionē quã ſubduplã ad ꝓportionē quã hꝫ ad partē parē īme­diate cedentē. Quod ſic ꝓbo / q2 ad primã parteꝫ ꝓportionalē parē que eſt ſecunda hꝫ ꝓportionem ſexquialterã: ad ſcḋam / q̄ eſt q̈rta hꝫ ꝓportioneꝫ ſexquiquartã. Modo ſexquarta eſt maior quam medietas ſexaltere. Itē ad tertiã partē parē que eſt ſexta hꝫ ꝓportionē ſexſextã / vt ptꝫ ex caſu: mo­do ſexſexta maior eſt quã medietas ſexquiq̈rte / et ſic ↄ̨ñter / vt ptꝫ ex octauo correlario tertie ↄ̨cluſio­nis q̈rti capitis ſcḋe partis. Sed iã ꝓbo maiorem prīcipalis argumēti videlicet /  in aliquo tꝑe fini­to ſufficit ꝑtrãſire primã partē īparē: et in minori quã triplo oēs īpares ſequētes. Qḋ ſic demõſtro / q2 ſi ad quãlibet ſequētē īparē haberet ↄ̨tinuo ꝓ-portionē ſubtriplã ad ꝓportionē quã haberet ad īparē īmediate cedentē / tūc ꝑtrãſiret oēs īpares ſequētes primã in triplo tardius quã primã ade- quate: ita  ſi trãſiret primã īparem in vna hora oēs īpares ſequētes primã in tribus horis adeq̈-te ꝑtrãſiret: ſed modo cõtinuo mouetur a maiori ꝓportione tranſeūdo aliquã partē imparē ſequē­tem primã quã tūc ꝑtranſeūdo eandē q2 continuo a maiori quã ſubtripla / igitur modo in minori tē­pore quã triplo ꝑtranſibit oēs īpares ſequentes primã quam primã. Cõſequentia ptꝫ et maior ꝓ-batur: q2 ſi tranſiret primã imparē in hora: et trã­ſecūdo ſcḋam moueretur a ꝓportione ſubtripla et ipſa eſſet equalis prime: tūc in triplo tēpore ꝑ-tranſiret ipſam puta in tribꝰ horis: ſed modo il-la ſecūda pars ꝓportionalis impar eſt ſubqua-drupla / ergo in ſubquadruplo tēpore modo ꝑtrã­ſit eam: et per ↄ̨ñs in ſubſexquitertio tēpore ad tē­pus in quo ꝑtrãſit primã. Patet hec ↄ̨ña ex ſcḋo correlario quarte cõcluſiõis quarti capitis pre-allegati. Et ſic ꝓbabitur de quibuſcū aliis dua­bus partibꝰ īparibꝰ: videlicet  cõtinuo ꝑtranſi­bit quãlibet partē īparem ſequentē in ſexquiter-tio tēpore minori quã īmediate precedentē: et ſic ſi tranſit primã in hora oēs alias ꝑtranſit in tribꝰ horis / vt ptꝫ intelligenti quintū caput prime par­tis. Sed reſtat ꝓbare minorem videlicet /  modo cõtinuo pertranſit a maiori ꝓportione quãlibet partē īparem ſequentem / quã tūc faceret eandem. Quod ſic probo / q primã tranſit a ꝓportione dupla / vt ptꝫ ex caſu: et ſecundã imparē que eſt ter-tia a ꝓportiõe ſexquitertia. Modo ſexquitertia maior eſt quam ſubtripla duple: vt ptꝫ ex decimo correlario tertie ↄ̨cluſiõis q̈rti capitis allegati. Itē tranſit tertiã imparē que eſt quinta in ordine a ꝓportione ſexquiquinta. Modo ſexquiquinta maior eſt quam ſubtripla īmo maior ꝙ̄ ſubdupla ad ſexquitertiã / vt ptꝫ ex octauo correlario eiuſdē cõcluſiõis / et ſic cõſequēter / vt facile ꝓbat dictum correlariū / igitur cõtinuo ꝑtranſit a maiori ꝓpor­tiõe quãlibet partē imparē quã tūc faceret eandē Et ſic ptꝫ correlariū. ¶ Sequitur octauo /  hec cõ­ſequētia nichil valet hoc mobile ſufficit ꝑtranſi-re cū hac reſiſtentia quãlibet partē ꝓportionalē huiꝰ pedalis: et quãlibet ſequentē in minori tēpo-re quã īmediate precedentē: igitur ſufficit trãſire pedale cū hac reſiſtentia. Et loquor in antecedēte de partibus ꝓportionalibꝰ ꝓportione dupla ſe-cundū hanc diuiſionē. Probatur correlariū / et vo­lo /  aliquod pedale diuidatur ꝓportione dupla et  aliqua potētia puta et .8. gr̄a exēpli ſufficiat ꝑtranſire primã partē ꝓportionalē in hora: et ſe-cundã in media hora cū quarta. / et tertiã in media hora cū octaua: et quartã in media hora cū decīa ſexta: et ſic in īfinitū taliter /  quãlibet preter pri-mã ꝑtranſiret in media hora cū aliquo tꝑe vltra: qḋ tēpus vltra eſſet cõtinuo ſubduplū: quo poſito iã ptꝫ totū correlariū. Q manifeſtū eſt /  requi­rerent̄̄ īfinite medie hore ad ꝑtrãſeundū illud pe-dale: et tñ q̄libet pars ꝓportiõalis ſequēs in mi-nori tꝑe ꝑtrãſit̄̄ quã īmediate cedēs et quamlibet ſufficit pertranſire / vt notum eſt: igitur.

8. correĺ.

Tertio contra omnes concluſiones ſimul arguitur ſic: ille vel maior pars illarum ſupponit vnū falſū / ergo ſūt falſe. Arguit̄̄ añs / q2 ſupponūt aliquã reſiſtentiã poſſe vniformiter ſuc­ceſſiue diminui ab aliq̈ ponã: ſed hoc nõ eſt poſſi-bile igit̄̄. Minor ꝓbat̄̄ / q2 det̄̄ potētia vt .8. q̄ vni-formiter corrūpat et remittat reſiſtentiã vt .4. per vnã horã / et arguitur ſic: iſta potentia vt .8. remit-tit vniformiter in hora reſiſtentiam vt .4. / ergo in medietate hore remittit medietatē reſiſtentie: et per conſequens talis potentia agit a proportiõe dupla alterius proportionis Nã antea agebat a dupla et mõ a quadrupla. ſed quadrupla eſt du-pla duple. vt patet intelligenti ſextū capitulum ſe­cunde partis: igitur agit a duplo maiori velocita­te. quoniam velocitas ſequitur proportionem pro­portionū / vt patet ex prima ſuppoſitione precedē­tis capitis. et per conſequens corrumpit tantū re­ſiſtentie in ſecunda parte proportionali propor-tione dupla: et per conſequens non vniformiter / quod fuit probandum. ¶ Dices forte concedendo quod infertur. videlicet  nulla reſiſtentia poteſt vniformiter deperdi in aliquo tempore: ſꝫ hoc nõ eſt contra concluſiones.

Dicitur.

Sed contra / quia manifeſtum ē hoc eſſe contra viceſimã concluſionem igitur Item re-ſiſtentia poteſt vniformiter remitti a potentia / igi­tur ſolutio nulla. Arguitur antecedens / et pono ca­ſum /  eque velociter proportionabiliter ſicut re-mittitur reſiſtentia ab aliqua potentia ita ꝓpor-tionabiliter potentia decreſcat: ita  potentie ad reſiſtentiam maneat cõtinuo eadē proportio: quo poſito motus continuo erit vniformis / igitur vni-formiter deperdetur tunc reſiſtentia. Quod vero tunc motus erit vniformis / patet ex decima octa-ua concluſione precedentis capitis.

Reſpondeo / igitur ad argumentum negando antecedens et ad probationem pono du­as concluſiones.

inrit̄̄ an poſſit re­ſiſtentia vniformi­ter deꝑdi

Prima concluſio. Nulla reſiſtentia poteſt vniformiter deperdi per actionem alicuius potentie non variate, nec ab extrinſeco impedite. Patet hec concluſio ex deductione argumenti.

Secunda concluſio Aliqua reſiſten­tia poteſt vniformiter remitti ab aliqua potentia continuo eque proportionabiliter variata et mi-norata cum ſua reſiſtentia: vel eque proportiona­biliter impedita ſicut reſiſtentia remittitur. Pa-tet hec concluſio ex deductione replice Et dico no-tanter aut eque proportionabiliter impedita etc. quoniaꝫ ſi ſit aliqua reſiſtentia vt .4. que remitta­tur a potentia vt .8. non variata ſed ab aliquo ex­trinſeco impedita: taliter  quando reſiſtētia fue­rit vt .3. impediantur duo gradus actiuitatis ipſi­us potentie: et quando reſiſtentia fuerit vt duo im­pediantur alii duo gradus actiuitatis ipſius po­tentie: continuo fiet actio a proportione dupla.

correla.

¶ Sequitur ex iſtis correlarium /  vbicū aliqua potentia agit in ſuam reſiſtentiam eam corrumpē­do ſine reactione: neceſſe eſt reſiſtentiam difformi­ter remitti ceteris aliis paribus. et vbicun potē-tia introducit in aliquod paſſuꝫ ſuam qualitatē: difformiter eam introducit ceteris aliis paribus.

argumē-tū calcu.

Quarto contra eaſdes concluſio-nes arguitur ſic / quia ſi ille eſſent vere: ſequeretur hec concluſio /  omnes potentie inuariate ſiue eq̈­les ſiue inequales idem mediū non variatum trã-ſeuntes in quo acquiritur aut deperditur motus: eandem latitudinem motus acquirerent vel deꝑ­derent. ſed conſequens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur Sequela eſt nota / quia equales pro-portiones acquirerent vel deperderent / igitur eq̈-les latitudines motus. Sed falſitas conſequētis oſtenditur / et pono caſum /  ſit vnum medium vni­formiter difforme a gradu vſ ad certum graduꝫ intenſiorem: et volo /  ſint due potentie equa- les a. et b. quarū vna puta a. incipiat moueri a me­dio gradu verſus extremum intenſius: et alia pu-ta b. īcipiat moueri ab extremo remiſſiori verſus medium. quo poſito ſic argumentor maiorem ꝓ-portioneꝫ habet b. potentia ad quodlibet punctū medietatis remiſſioris quam habeat a. ad ſimile punctum ſiue correſpondens medietatis intenſio­ris: creſcat igitur ipſum a. quo ad vſ ad quodli-bet punctum medietatis intenſioris habeat maio­rem proportionem quam b. ad ſimile punctuꝫ me­dietatis remiſſioris: et capio inſtans in quo a. ha­bet equalem proportionem ad quodlibet punctuꝫ medietatis intenſioris ſicut b. ad ſimile punctum medietatis remiſſioris: et volo /  continuo mouea­tur a tali proportione. quo poſito ſequitur /  a. eq̈­liter mouebitur per medietatem intenſiorem ſicut b. per medietatem remiſſiorem. et equalem latitu­dinem motus deperdet a. per intenſiorem mouen­do ſicut b. ꝑ medietatē remiſſiorē: ſꝫ b. minorē la-titudinem deperdet per intenſiorem medietatem mouendo quam per remiſſiorem / ergo per intēſio­rem medietatem minorem latitudinem motus de­perdit b. quam a. / et per conſequens non equalem / quod fuit probandum.

Reſpondeo ad argumentum admit-tendo caſum et negando illud quod aſſumitur vel ſupponitur. videlicet /  dabile ſit inſtãs in quo a. habeat talem proportionem ad quodlibet pūctū medietatis intenſioris qualem habet b. ad pūctū ſimile ſiue correſpondens ī medietate remiſſiori.

Quãuis enim poſſibile ſit  habeat maiorem. et  habeat minorem: non tamen  habeat equaleꝫ ¶ Ex quo ſequitur primo /  hec conſequentia ni-chil valet a. tranſit de minori ad maiꝰ: ergo a. trã­ſit per eq̈le Inſtantia enim eſt in propoſito Trã-ſit enī a. de minori proportione reſpectu cuiuſlib3 puncti ad maiorem: et non equalem cuilibet pun-cto: Analogia poteſt faciliter capi quoniaꝫ dato  ſint hic tres homines quorum nullus eſt ſortes: et mīmus illorum ſit pedalis, alter bipedalis, et maximus tripedalis, et ſit ſortes ſemipedalis: et creſcat ſucceſſiue ſortes quo ad vſ ſit quadrupe-dalis. tunc manifeſtum eſt /  ſortes tranſibit a mi­nori quantitate / quam ſit quantitas alicuius iſto­rum ad maiorem quantitatem quam ſit quãtitas alicuius iſtorum: et tamen nunquaꝫ tranſibit per quantitatem equalem cuilibet quantitati illorum Quare iſta conſequentia nichil valet a. tranſibit a minori quãtitate quantitate iſtorū. ad maioreꝫ quantitatem quãtitate iſtorum / ergo per equalem quantitatem cuilibet quantitati iſtorum. Et totū hoc prouenit a termino diſtributo. ¶ Sequitur ſe­cundo /  iſta conſequentia nihil valet iſte angulꝰ tranſit a minori augulo quam ſit angulus ſemi-circuli ad maiorem angulum quam ſit angulꝰ ſe-micirculi / ergo tranſit per equalem. Patet hoc correlarium in hac figura.

1. correl. 2. correĺ.
Cãpanꝰ ī ↄ̨mē. 16. ↄ̨clu. ter-tii. ele. eu

Et eſt campani in cõmento decime ſexte concluſio­nis tertii elementorum euclidis / vbi oſtendit ſimi-les argumentationes non valere. Et idem ponit brauardinꝰ in capitulo de circulis ↄ̨cluſiõe ſeptīa

Brauar-dinꝰ capi­te .4. con­cluſio .7.
argumē-tū calcu.

Quinto arguitur ſic Si ille regule eſſent vere: ſequeretur /  ſi aliqua reſiſtentia vni-formiter ꝓportionabiliter creſceret reſpectu dua­rum potentiarum equaliuꝫ potentium moueri cū tali reſiſtentia: tales potentie vniformiter remit-terent motus ſuos. ſed conſequens eſt falſum / igi-tur illud ex quo ſequitur. Sequela eſt nota. et falſi­tas conſequentis oſtenditur. q2 ex illo ſequitur /  alique due potentie equales ab eodem gradu ve-locitatis incipiunt remittere motus ſuos ad non gradum ſemper eque velociter remittendo. et nihi­lominus non equaliter mouentur ſed conſequens manifeſte implicat / igitur illud ex quo ſequitur.

Sequela probatur et pono duas poteutias equa­les / vt .8.a. videlicet et b. / et capio duo media equa-lis reſiſtētie c. videlicet et d. reſiſtentie vt .4. et c. ſit pedalis quãtitatis et d. ſemipedalis. et moueatur a. potentia ſupra c. pedale: et b. ſupra d. ſemipeda­le per horam. et creſcat reſiſtentia vtriuſ eque ꝓ­portionabiliter vniformiter per horam in qua d. ſemipedale rarefiat vniformiter ſecundum partē non pertranſitam: taliter  in fine hore ſit etiam pedale ſicut c. / quo poſito arguitur ſic / a. et b. incipi­unt remittere motus ſuos ab equali gradu veloci­tatis propter eque proportionale crementum re-ſiſtentie: et mouebuntur ſemper vniformiter: et ta-men non mouebuntur eque velociter in illa hora. igitur propoſitum. Maior patet ex caſu et minor probatur / quoniam a. pertranſibit c. pedale in ho­ra et b. nõ pertranſibit d. / quod in fine preciſe erit pedale nec aliquod tantum: igitur non equaliter mouebuntur. Maior patet ex caſu et minor ꝓba-tur / quoniam b. remittit motum ſuum ad non gra­dum in illa hora / et d. ſpacium vniformiter rarefit ſecundum partem non pertranſitam / ergo aliquã­do in hora / aliqua pars non tranſita velocius mo­uebitur quam ipſum b. / et per conſequens nūquã ipſum b. perueniet ad illam partem. Patet hec cõ­ſequentia Nam ſi aliquod mobile mouetur in ali­quo medio: et pars aliqua ipſius medii antecedēs mouetur velocius ipſo mobili: nun̄ illud mobile perueniet ad illam partem / vt ſatis conſtat ſed ſic fit in propoſito igitur. ¶ Et confirmatur quoniaꝫ / ſi illud conſequens eſſet verum ſequeretur in caſu poſito /  b. pertrauſiret d. ante finem hore et tamē non pertranſiret in hora ipſum d. / hoc manifeſte ī­plicat igitur. Secunda pars huius conſequentis deducta eſt. et prima probatur ſupponendo /  qñ aliquid mouetur vniformiter difformiter vſ ad non gradum in aliquo tempore: ſpaciū pertran-ſitum in prima medietate illius temporis eſt tri-plum ad ſpacium pertranſitum in ſecunda medie­tate / vt poſtea in capite tertio ſecundi tractatꝰ oſtē­detur. Suppono ſecundo /  d. ſemipedale in inſtã­ti medio temporis motus erit tres quarte / vt patet Quoniam ipſum d. acquirit ſemipedalem quan-titatem vniformiter in illa hora / igitur ī ṗma me-dietate hore acrit medietateꝫ ſemipedalis puta vnam quartã adequate Quo poſito ſic argumē-tor motus ipſius b. eſt vniformiter difformis ad uon gradum in illa hora / vt patet ex caſu et moue­tur equaliter cum a. / ſed a. in prima medietate ho-re pertranſit tres quartas pedalis / vt patet ex pri­ma ſuppoſitione: igitur tunc b. pertranſit tres q̈r­tas pedalis adeq̈te ipſius d. ſꝫ d. tūc adeq̈te ē quã­titatis trium quartarum / vt patet ex ſecunda ſup-poſitione: igitur tunc d. in medio hore eſt adequa­te pertranſitum / quod fuit probandum. Confirma­tur ſecundo / quia ſi illud conſequens eſſet verū ſe- queretur /  per motum vniformiter difformē ad non gradum non pertranſiretur in triplo maius ſpacium in prima medietate temporis quam in ſe­cunda / ſed iſtud conſequens eſt falſum / vt inferiꝰ lo­co preallegato oſtendetur / igitur illud ex quo ſe-quitur. Sequela probatur / quoniam in caſu poſito in inſtanti medio temporis .b. non pertran­ſit tres quartas: et illud eſt triplum ſpacium ad re­ſiduum pedalis puta ad vnã quartam / igitur pro­poſitum Minor eſt nota et maior probatur / quo-niam ex caſu b. ſpacium ſiue medium debet conti-nue per horam vniformiter rarefieri ſecundum ꝑ-tem non pertranſitam: ergo in ipſa hora in quoli­bet inſtanti intrinſeco debet eſſe aliqua pars non pertranſita: ſed ſi in medio inſtanti temporis b. ꝑ­tranſiret tres quartas in illo inſtanti ipſum b. eſ­ſet in termino illius ſpacii / et nulla pars tunc eſſet non pertrãſita (Erit enim d. ſpacium in inſtanti medio adequate quantitatis trium quartarū pe­dalis adequate / vt probatum eſt in anteriori con-firmatione) / igitur in tali inſtanti ille tres quarte non ſunt adequate pertranſite / quod fuit proban­dum. Alias enim iam non rarefieret / tunc ſecū­dum partem non pertranſitam. ¶ Confirmat̄̄ ter­tio / quia ſi illud conſequens eſſet veruꝫ ſequeretur in caſu poſito /  cū motus vniformiter difformis deueniret ad velocitatem equalem velocitati rare­factionis (rarefactio enim motus localis eſt) nul-lum penitus punctum talis ſpacii poſſet pertran-ſire. quoniam poſt illud inſtans / quodlibet pūctuꝫ precedens mobile mouebitur velocius ipſo mobi­li quoniam tale punctum mouebitur vniformiter / et b. continuo remittet motum ſuum. ſed hoc ē fal-ſum igitur illud ex quo ſequitur Falſitas conſeq̄n­tis oſtenditur / quoniam tunc ſequeretur /  b. ãtea quam deueniret ad non gradum motus: ceſſaret moueri ſuper dato ſpacio vel in dato ſpacio d.

1. ↄ̨firma­tio. 2. confir. 3. confir.

Item ſequeretur /  ipſum b. equalis potētie cū a. non poſſet pertranſire equalem reſiſtentiam cū a. / et hoc eſt impoſſibile igitur. Sequela probat̄̄ / quo­niam b. non poteſt pertranſire mediuꝫ d. poſtquã deueniret ad equalitatem motus cum medio: et ta­men medium d. eſt equalis reſiſtentie cuꝫ medio c / quod pertranſit a. igitur propoſitum.

Reſpondeo breuiter ad argumentuꝫ cum duabus confirmationibus non admittendo caſum. Argumenta enim probant caſum implica­re Probant enim /  b. nunquam deueniet ad ter-minum ipſius d. / et confirmatio prima ꝓbat /  de­ueniet ad terminum eius in medio īſtanti tempo-ris: et ſic implicat /  rarefiat dūtaxat ſecundum ꝑ­tem non pertranſitam cum ceteris particulis ca-ſus. ¶ Pro ſolutione tertie confirmationis ſup-ponendem eſt /  rarefactio eſt motus localis. Se­cundo ſupponendum eſt /  duplex eſt medium per quod aliquid mouetur quando ipſum mediū ra-refit Quoddam enim eſt medium quod per motuꝫ ſuum etiam mouet mobile in eo exiſtens. cuiuſmo­di eſt nauis que mouet nautã ad motū ſui: ita  ſi nauta moueatur verſus illam partem verſus quã mouetur nauis duplici motu mouetur: et motu na­uis et motu proprio. Ita etiam ſit de homine natã­te in flumine qui ſi natet verſus fluctum illius flu­minis duplici motu mouetur et motu proprio et motu fluminis trahentis ipſum. Aliud eſt mediuꝫ ad cuius motum localem nõ mouetur mobile ī eo exiſtens cuiuſmodi eſt aer. Diuidit enim mobile potius aerem quam trahetur ab aere. ¶ His poſi­tis reſpondeo ad confirmationem diſtinguendo illatum / quia aut illud medium d. eſt medium pri-mo modo puta trahens mobile cuiuſmodi eſt na-uis aut aqua trahens natantem / et ſic ego nego ſe­quelam. Dico enim /  tale mobile quod ꝑ tale me­dium mouetur: mouetur tota velocitate qua mo-uetur ipſum mediū et inſuper velocitate propria: et ſic aggregatum ex illis duabus velocitatibus conſtituit velocitatem maiorē velocitate qua mo-uetur ipſum mobile per rarefactionem. Et ſic põt ſemper pertingere quamdiu mouetur: aliqḋ pun­ctum precedens ipſuꝫ. quoniam quãdiu mouetur intenſiori velocitate (computatis vtriuſ velocita­tibus) mouetur quã aliquod punctum precedens ipſum. Sed cū motu proprio deuenerit ad nõ gra­dum mouebitur a medio dūtaxat / et ſemper mane­bit in eodem puncto medii. Si vero medium d. ſit medium ſecundo modo non trahens ipſum mobi­le concedo illatum / et ad probationem dico /  non habeo pro inconuenienti quando vna illarum re­ſiſtentiarum mouetur et alia quieſcit Ibi enim ce­tera non ſunt paria. ¶ Hec argumenta partim ſunt ex calculatore traducta: que ideo huic operi ī­terſerui quoniam aliquid ſubtilitatis et difficul-tatis pre ſe ferunt. Tum etiam vt redderetur ipſe calculator peruius et vadis plenus.

duplex ē mediuꝫ ꝑ qḋ alid mouetur
Septimum capitulum / in quo inquiri­tur: vtrum aliqua potentia non varia-riata per medium vniforme aut diffor-me, vniformiter ad non gradum vel ad gradum ſuum motum remittere aut in­tendere valeat.

ÃTea materia que ī titulo hu­ius capitis tangitur valeat clare expe­diri: ponam aliquas concluſiones qui­bus probandis vnicam duobus correlariis adiū­ctam ſuppoſitionem premittam. Que talis eſt.

Si b. latitudo motus minor  a. ma­ior diminuantur vniformiter in tempore equali vel inequali perdendo adequate equalem latitu-dinem motus: maior eſt proportio motus b. in pri­ma medietate temporis in quo ipſum b. diminui-tur ad ſeipſum in ſecunda medietate eiuſdem tem­poris, quam ſit motus a. in prima medietate tem­poris in quo ipſum a. diminuitur ad ſeipſum ī ſe-cunda medietate eiuſdem tēporis. Patet hec ſup­poſitio ex ſecunda parte ſecundi correlarii prime concluſionis vltimi capitis ſecunde partis / hoc ad­dito /  motus vniformiter difformis et vniformi-ter remiſſus correſpondet motui exiſtēti in medio inſtanti temporis / in quo remittitur vniformiter: quia talis motus eſt ſuus gradus medius. ¶ Ex quo ſequitur primo /  ſi b. potentia minor in ali-quo tempore c. medium tranſeundo vniformiter remittet motū ſuum. et a. potentia maior in tempo­re minori (vt opꝫ) idē c. mediū trãſeūdo vniformiṫ remittit motum ſuum: maior eſt ꝓportio velocita­tis ipſius b. in prima medietate tēporis in quo b. vniformiter remittit motum ſuum ad velocitateꝫ ſecunde medietatis eiuſdem temporis quam velo­citatis ipſius a. ī prima medietate temporis ī quo idem a. vniformiter remittit motum ſuum ad velo­citatem ſecunde medietatis eiuſdē temporis. Pa­tet hoc correlarium ex ſuppoſitione / quia quando b. potentia minor vniformiter remittit motū ſuū in aliquo tempore c. medium tranſeundo: et a po-tentia maior in tempore minori etiam vniformi-ter remittit motum ſuum: iam latitudo motꝰ qua mouetur b. potentia minor et latitudo motus ma­ ior qua mouetur a. potentia maior in tempore eq̈­li vel inequali diminuuntur vniformiter equalem latitudinem adequate deperdendo / ergo maior ē proportio motus ſiue velocitatis ipſius b. / in pri-ma medietate temporis in quo ipſum b. vniformi­ter remittit motum ſuum ad motum / quo idem b. mouetur in ſecunda medietate eiuſdem temporis / quam ſit proportio motus ipſius a. / in prima me-dietate temporis in quo vniformiter remittit mo­tum ſuum ad motum in ſecunda medietate eiuſdē temporis. Conſequentia patet ex ſuppoſitione et antecedens ex iſta concluſione. Diuerſe potentie inuariate idem medium inuariatum tranſeuntes (Nam de inuariatis potentiis et medio inuaria-to eſt ſermo) / in quo medio acquiritur aut deperdi­tur motus equalem latitudinem motus acquirūt vel deperdunt. ¶ Ex quo ſequitur ſecundo /  ſi b. potētia minor in d. tempore c. medium tranſeūdo vniformiter remittit motū ſuū: et a. potētia maior in e. tempore mouendo equalem latitudinem mo-tus vniformiter deperdit adequate ſicut b. / tunc ſi velocitatis b. in prima medietate d. temporis ad velocitatem eiuſdē b. in ſecunda medietate eiuſdē temporis ſit f. proportio: minor proportio erit ve­locitatis a. in prima medietate e. temporis ad ve-locitatem a. in ſecunda medietate eiuſdē temporis quam f. ꝓportio. Patet hoc correlarium ex ſup-poſitione.

1. correl. 2. correl.

His premiſſis ſit prima cõcluſio. Ali­qua potentia non variata ſemper tranſeundo re-ſiſtentiam vniformē: vniformiter continuo remit-tit motum ſuum ad non gradum et ad gradum.

Probatur hec concluſio / et volo /  ſit aliquod me­dium vniforme reſiſtens vt .4. et potentia vt .8. q̄ non variata moueatur per illud: ſic tamen  illḋ medium creſcat in reſiſtentia vniformiter ꝓportio­nabiliter per totum. ita  inequalibus tempori-bus equales proportiones reſiſtentiarum acqui-rat per totum / quo ad ſit reſiſtentia vt .8. / quo poſi-to illud mobile tranſeundo illud medium remit-tit motum ſuum vniformiter primo ad certū gra-dum deinde ad non gradum / igitur concluſio ve-ra. Antecedens probatur / quoniam reſiſtentia creſ­ſcit ſemper eque proportionabiliter / igitur poten­tia non variata mouens per eam vniformiter mo­tum ſuū / remittit ſiue ad gradum ſiue ad non gra-dum. Patet conſequētia ex ſexta et quarta ſuppo­ſitionibus quīti capitis huius tractatus coniunc­tis. ¶ Hic tamen tu aduerte /  quãuis illa potētia non variata ſemꝑ mouetur per medium vniforme / hoc eſt per medium / quod in quolibet īſtanti tem-poris in quo mouetur eſt vniforme: per nullum ta­men mediū aliqua vniformitate vniforme ſemper mouetur / quia illḋ medium continuo habet aliam et aliaꝫ vniformitatē. ¶ Ex quo ſequitur /  aliqua potentia non variata ſemper tranſeūdo medium / quod in quolibet inſtanti temporis in quo moue-tur eſt vniforme: vniformiter intendit motum ſuuꝫ Patet / ſi illa potentia vt .8. incipiat moueri per reſiſtentiam vt .8. vniformiter proportionabili-ter in reſiſtentia decreſcentem per totum.

corelar.

Secunda concluſio Aliqua potentia non variata pertranſeundo mediuꝫ difforme: vni­formiter remittit motum ſuum et ad gradum et ad non gradum. Probatur hec concluſio et capio duo media equalia quorum vtrū ſit reſiſtētie vt 4. per totum: et volo /  fiat de vno illorum omni-no eodem modo ſicut ponitur in precedenti cõclu­ ſione: et moueatur per illud potentia vt .8. nõ va-riata. ſecundum vero per quod mouetur alia po-tentia vt .8. non variata taliter diſponatur /  qñ in priori medio fuerit aliqua reſiſtentia per totū: in ſolo puncto vbi eſt mobile in ſecundo medio ſit adequate tanta reſiſtentia ceteris inuariatis ita­ poſtquã alicui puncto aliqua latitudo reſiſten-tie addita eſt nulla ei vlteriꝰ addatur aut remouea­tur ita  manet per totum difforme in fine quo po­ſito mobile motum in ſecundo medio remittet mo­tum ſuum vniformiter primo ad gradum et dein-de ad non gradum / igitur concluſio vera. Antece-dens probatur / quia mobile motum in primo me-dio vniformiter remittit motum ſuū / vt ptꝫ ex prio­ri concluſione: et ſecundum mobile motū in ſecun-do medio in quolibet inſtãti temporis / quo ſic mo-uetur eſt motum equali velocitate adequate cū pri­mo: igitur ſecundum mobile etiam vniformiter re­mittet motū ſuum. Patet conſequentia / quia ſi il-la duo continuo equaliter mouentur et vnum illo­rum in medietate temporis perdit aliquam velo-citatem et in quarta. et in quinta. / et ſic conſequēter / igitur et alterū in medietate temporis tantã velo-citateꝫ deperdit adequate ſicut ṗmū et in q̈rta tan­tã: et in quinta tantã: et ſic conſequenter: igitur ſi vnum vniformiter remittit motū ſuū etiam alterū motū ſuū vniformiter remittet / quod fuit proban-dum. ¶ Ex quo ſequitur /  aliqua potentia nõ va-riata tranſeundo medium difforme inuariatū: va­let vniformiter remittere motum ſuum. Proba-tur hoc correlarium et volo /  illud ſecundum mo-bile quod mouetur per medium difforme poſtquã ſemel tale ſecundum medium difforme pertranſie­rit / quando idem medium variabatur: ipſo medio quieſcente mobile inuariatum pertranſeat idem medium eo modo quo antea pertranſibat: hoc eſt incipiendo ab eodem puncto verſus idem pūctuꝫ: quo poſito illud mobile tranſeundo illud mediuꝫ inuariatum remittit motū ſuū vniformiter / igitur correlarium verum. Probatur antecedens / q2 ta-le mobile continuo eque velociter pertranſit illud medium inuariatum ſicut pertranſibat illud quã­do medium variabatur: ſed quando variabatur vniformiter remittit motū ſuū: ergo et quando nõ variatur etiam vniformiter remittit motū ſuum.

1. correl. triceſīa ſeptīa cõ­cluſio cal­cu.

Patet maior / quoniam continuo partes medii il­lius inuariati et intenſiue et extenſiue tantum reſi-ſtunt ipſi mobili quantum conſimiles partes me-dii variati cum illa media ſint oīno equalia exten­ſiue: et continuo partes conſimiles que pertranſe-untur equaliter reſiſtunt omnino. In punctis e correſpondentibus equalem omnino reſiſtentiaꝫ habent. ¶ Sequitur ſecundo /  aliqua potentia ī­uariata mediū inuariatum tranſeundo: vniformi­ter continuo intendit motum ſuum. Probat̄̄ hoc correlarium poſito /  potentia que pertranſit ali­quod medium inuariatum a pūcto remiſſiori mo-uendo verſus punctum intenſius remittendo vni-formiter continuo motum ſuum: iterum motu re-trogrado moneatur a puncto intenſiori verſus re­miſſius. quo poſito talis potentia vniformiter in­tendit motum ſuum quē antea vniformiter remit­tebatur igitur.

2. confir.

Tertia concluſio Nulla potentia nõ variata tranſeundo mediuꝫ vniformiter difforme non variatum: poteſt vniformiter remittere aut ī­tendere motū ſuum. Patet hec concluſio ex trige-ſima nona et quadrageſima concluſionibus quin­ti capitis huius tractatꝰ. ¶ Ex quo ſequitur /  ali­ qua potentia non variata tranſeundo mediū vni­formiter difforme non variatum taliter poteſt ip­ſum pertranſire:  vniformiter continuo mouea-tur. Probatur / quoniam ſi moueatur ab vno ex-tremo laterali ad aliud extremum ſibi correſpon­dens ſemper vniformiter mouebitur / igitur corre-larium verum. Probatur antecedens / quoniã ſem­per mouebitur cum equali reſiſtentia. cum omnia puncta in linea recta laterali exiſtentia in tali me­dio equalis ſunt reſiſtentie. Et hoc ſiue mobile ſit diuiſibile ſiue indiuiſibile. ¶ Iam ex hoc ſequitur /  tribus modis poteſt ſpacium vniformiter dif-forme pertranſiri a potentia non variata: Uno modo ipſa continuo remittente motum. Alio mo-do ipſa continuo intendente motã. Tertio modo ipſa continuo vniformiter mota. Non excludo ta­men alios modos. Si enim moueretur in circulo ī tali ſpacio aliquando intenderet motuꝫ et aliquã­do remitteret.

1. correl. 2: correl.
Triceſīa­octaua ↄ̨­cluſio cal­cu.

Quarta concluſio Si aliqua poten-tia non variata tranſeundo aliquod medium non variatum vniformiter remittit motū ſuum ad gra­dum vel ad non gradū: nulla maior vel minor idē medium tranſeundo medio et ipſa inuariatis vni­formiter motū ſuū remittit. Probatur / ſit b. potē­tia minor que inuariata in d. tempore pertranſit c. medium inuariatū: continuo vniformiter remit­tendo motum ſuum. et ſit a. poña maior que iuua-riata in e. tempore c. medium inuariatū tranſit. et dico /  a. potentia maior c. mediuꝫ tranſeundo nõ continuo vniformiter remittit motū ſuū Quod ſic probatur / ſit g. ſpacium quod pertranſitur in me-dietate d. temporis a b. potentia minore perden-do medietatē velocitatis deperdende: et ſit h. ſpa-cium pertranſitum ab eadē potentia in ſcḋa me-dietate eiuſdē temporis adequate ad quod h. ſpa­cium habeat g. proportionē f. que proportio f. eſt ꝓportio velocitatis qua mouetur b. potētia ī pri­ma medietate d. tēporis ad velocitatē qua moue-tur eadē potentia in ſecunda medietate eiuſdē tē-poris. quo poſito ꝓbo /  a. potentia maior c. medi­um tranſeundo non continuo vniformiter remit-tit motū ſuū. quia ſi non: detur oppoſitum videli­cet /  in caſu a. potentia maior inuariata c. mediū inuariatū in e. tempore adequate tranſeundo. vni­formiter remittit motū ſuū / et arguo ſic / a. potētia maior et c. vniformiter remittit motū ſuū in e. tem­pore / igitur in prima medietate eiuſdē e. temporis pertranſit g. ſpaciū et in ſecunda h. ſpacium inter que ſpacia eſt proportio f. ex hypotheſi: et vltra in prima medietate e. temporis a. pertranſit g. ſpa-cium et in ſecunda h. inter que eſt proportio f. / ergo velocitatis qua a. mouetur in prima medietate e. temporis ad velocitatem qua mouetur in ſecun­da eſt f. proportio: conſequens eſt contra ſecundū correlarium ſuppoſitionis huius capitis / igitur et antecedens: et per conſequens contradictorum an­tecedentis eſt verum / quod fuit probandum Secū­da conſequentia patet per hanc maximam Eadē eſt proportio velocitatū equalibus temporibꝰ co­extenſarum: et ſpaciorum ab eiſdē pertranſitoruꝫ Et prima conſequentia probatur in qua eſt vis ꝓ­bationis / q2 ſi a. potentia maior et c. in e. tempore vniformiter remittit motum ſuum. ipſa a. potētia in prima medietate e. temporis medietatē veloci-tatis deperdende adequate deperdit: et ipſa a. po­tentia illam medietatem velocitatis deperdende deperdendo adequate, g. ſpacium adequate per­tranſit / igitur a. potentia in prima medietate: tē­ poris g. ſpacium pertranſit adequate et eadem ra-tione h. ſpacium in ſecunda medietate eiuſdem temporis pertranſit / quod fuit probandum. Ma-ior eſt nota / et minor probatur / quia b. potentia il-lam medietatem velocitatis deperdende deper-dendo adequate g. ſpacium adequate pertranſit / vt patet ex hypotheſi: igitur a. potentia eandem medietatem deperdendo idem g. ſpacium adequa­te pertranſit: quia diuerſe potentie ſiue equales ſiue inequales idem medium et eaſdem partes me-dii difformis in quibus acquiritur vel deperditur motus tranſeundo equalem latitudinem motus acquirunt vel deperdunt / vt patet ex quarto argu-mento ſexti capitis huius tractatus: igitur minor vera. Et eodem modo probabis ſecundam par-tem concluſionis videlicet /  vbi aliqua potentia etc̈. nulla minor inuariata idem medium inuaria-tum tranſeundo: vniformiter continuo remittit motum ſuum: quia ſi ſic: ſit illa potentia minor b. et potentia que inuariata ſufficit illud c. medium pertranſire continuo vniformiter remittendo mo-tum ſuum ſit a. / et arguo ſic / a. pertranſeundo c. me-dium vniformiter continuo remittit motum ſuum et b. potentia minor idem c. medium tranſeundo vniformiter continuo remittit motum ſuum: igitur vbi b. potentia minor tranſeundo c. medium, vni-formiter continuo remittit motum ſuum a. poten-tia maior idem c. medium tranſeundo vniformi-ter continuo remittit motum ſuum / quod eſt contra priorem partem concluſionis. Patet igitur con-cluſio. ¶ Ex hac cõcluſione facile ſequitur /  nulle due potentie inequales nõ variate tranſeuntes idē mediū adequate poſſunt ad nõ gradū ſuos motus remittere. Probatur correlariū / quia ſi nõ ſit verū detur oppoſitū videlicet /  aliquarū duarū poten­tiarum inequaliū vtra idē mediū adequate tran-ſeundo remittat motū ſuū ad nõ gradū / et arguitur ſic / vtra potentiarū inequaliū idem mediū ade-quate tranſeundo remittit motū ſuū ad nõ gradū / igitur maiorē latitudinē motus deperdit potentia maior quã minor idem mediū adequatū tranſeund-do / ſed conſequens eſt falſum / et contra concluſionē quarti argumenti ſexti capitis preallegatã: igitur et antecedens. Sequela tamen probatur / q ſi ille potentie ſunt inequales nõ variate: maior illarum intenſiori latitudine motus mouetur ſupra eãdem reſiſtentiã quã minor: et tamē vtra per te remittit motum ſuū ad nõ gradū: igitur maiorē latitudineꝫ motus perdit maior quã minor;: etc̈. igitur. ¶ Sequi­tur ſecūdo /  ſi aliqua potētia nõ variata tranſeū-do aliquod mediū nõ variatū remittit motum ſuū ad nõ gradum: oīs potentia maior nõ variata re-mittens in eodem medio motum ſuū remittit illum ad gradū. et oīs minor remittit ad nõ gradū in ali-quo puncto medii intrinſeco. Probat̄̄ prima pars / q illa potentia maior remittit ibi motum ſuū et nõ remittit ad non gradum / vt patet ex antecedenti correlario: igitur remittit illū ad gradum. Secun-da pars probatur / q oīs minor potētia in aliquo puncto intrinſeco deueniet ad proportionem equa­litatis: igitur in aliquo puncto intrinſeco remittet motū ſuum ad nõ gradū. Patet hoc etiã facile exē-plo / quoniã ſi ſit aliqua potentia vt .4. et incipiat re­mittere motum ſuum et remittat ad non gradū ali-quod medium pertranſeundo: neceſſe eſt cum ipſa ſit inuariata medium illud in ſuo extremo intenſio­ ri reſiſtere vt .4. et in nullo puncto alio ãteriori tan­tum reſiſtere quoniã alias iam in tali puncto motꝰ ad non gradum deueniret et ſic non pertranſiret to­tum: capiatur tunc alia potentia minor vt tria vel vt duo (in idem redit) remittens in eodē medio mo-tum ſuum / tunc manifeſtum eſt /  illa potētia ad nõ gradum remittet motum ſuum cum deueneret ad punctum reſiſtentie vt duo vel ad punctum reſiſten­tie vt tria ſi ipſa fuerit vt tria: et tale punctū eſt pun­ctum intrinſecum / vt ſatis patet quoniam extrinſe­cum reſiſtit et .4. / igitur talis potentia minor ad nõ gradum remittet motum ſuum in aliquo puncto in­trinſeco / quod fuit probandum.

1. correĺ. 2. correĺ.
Trigeſi-ma .9. cõ­cluſio cal­culatorꝪ

Quinta concluſio. Si aliqua poten-tia non variata in aliquo medio difformi non va-riato vniformiter ad non gradum motum ſuum re­mittit: omnis potentia maior inuariata idem me-dium tranſeundo inuariatum in infinitum veloci-ter remittit motum ſuum verſus extremum inten-ſius eiuſdem medii deueniēdo. Probatur / ſit b. po-tentia minor que inuariata c. medium inuariatum tranſeundo: vniformiter remittit motum ſuum ad non gradum continuo d. gradu velocitatis. ſit a. potentia maior que inuariata ipſum c. medium in­uariatum totaliter pertranſeat remittendo motuꝫ ſuuꝫ procedendo continuo per eandem lineam per quam ꝓcedit b. (Semper enim hoc modo intelligo et ſi propter breuiloquium id non explicem) / tunc di­co /  a. potentia maior verſus extremum intenſius c. medii deueniendo in infinitum velociter remittit motum ſuum. Quod ſic probatur / quia a. verſus ex­tremum intenſius c. medii deueniendo in infinitum velocius remittit motum ſuum quam b. et b. conti-nuo certe velociter remittit motum ſuum puta d. gradu / ergo a. in infinitum velociori gradu re-mittit motum ſuum quam ſit d. gradus / et per con-ſequens in infinitum velociter remittit motum ſuū / quod eſt probandū. Conſequentie ſunt manifeſte et minor ex hypotheſi patet / et maior arguitur / quia a. et b. cum ſint potentie inuariate idem medium in­uariatum traſeuntes eaſdem partes eiuſdem me-dii tranſeundo equales latitudines motus deper-dunt adequate / vt iam ſepius argutum eſt / ſed a. verſus extremū ītēſiꝰ c. medii deueniendo in infini­tum velocius pertranſibit aliquam partem ipſius c: medii quam b. pertranſibit eandem / ergo a. in in-finitum velocius remittet motum ſuum verſus ex-tremum intenſius c. medii deueniendo quã b. / quod fuit probandum. Patet hec conſequentia / quoniã ita velociter ſicut a. pertranſit aliquam partem c. medii ita velociter remittit motum ſuū deperden-dum in illa parte medii et b. ſimiliter: ſed in infini-tum velocius pertranſibit a. aliquam partem ipſi-us c. medii quam b. pertranſibit eandem: igitur in infinitum velocius a. remittet motum ſuum verſus extremum intenſius c. medii deueniendo quam b. Sed iam probatur minor / et capio proportionem / quam habet a. ad extremum intenſius c. medii que ſit f. / et arguo ſic: continuo a. mouebitur a propor-tione f. vĺ a. maiori: et b. ab īfinite modica propor-tione mouebitur tranſeundo illud medium: ergo ab in infinitū maiori proportione tranſeundo ali-quam partem c. medii mouebitur a. quam b. ean-dem partem tranſeundo: igitur a. verſus extremū intenſiꝰ c. medii deueniēdo in īfinitū velociꝰ ꝑtrã-ſibit aliquã partē eiuſdē c. medii quã b. ꝑtranſibit eadē / quod erat probandum. Et ſic patet concluſio ¶ Ex quo ſequitur:  ſi aliqua potentia inauriata aliquod mediū inuariatū tranſeundo continuo re­mittat motū ſuū vſ ad nõ gradum ſiue vniformi-ter ſiue difformiter: oīs potentia maior inuariata idem mediū inuariatū tranſeūdo continuo remit-tendo motum ſuū ad extremū intenſius eiuſdē me-dii deueniendo: in infinitū velocius remittit motuꝫ ſuū quã data potentia minor. Probatur / quia illa potentia quecū detur in infinitū velocius moue-bitur aliquam partē illius medii tranſeūndo ſus extremū intenſius deueniendo quaꝫ data potentia minor: igitur in infinitū velocius remittit motū ſuū quã illa data potētia minor. Patet hec cõſequētia / q ita velociter ſicut potentia maior pertranſit a-liquã partē c. medii ita velociter remittit motū de-perdendum in illa: et ſimiliṫ. potentia minor: igitur ſi in infinitū velocius potentia maior mouetur trã-ſeūdo aliquam partē c. medii quã potentia minor tranſeundo eandē: ipſa potētia maior in infinitum velocius remittit motū ſuū quã potētia minor. An­tecedens ꝓbatur / vt ſupra q potentia maior a ꝓ-portiõe quã habet ad extremū intēſius ipſiꝰ medii cõtinuo mouebit̄̄ vel a maiori: et potētia minor ab in infinitū minori verſus extremū intēſius deueniē-do: igitur in infinitū maiori velocitate mouebitur ꝑtrãſeūdo aliquã partē ipſiꝰ medii potētia maior quã potētia minor ꝑtrãſeūdo eanſdē ſus extremū intenſius deueniendo. Et ſic patet correlarium.

1. correĺ.
q̄drage-ſima con­cĺio cal-cĺatoris

Sexta concluſio. Si aliqua potentia īuariata tranſeūdo aliqḋ mediū difforme īuaria-tum vniformiter remittit motū ſuū ad nõ gradū in extremo intēſiori: oīs potentia minor in infinitum tarde remittit motū ſuū mouēdo per idē mediū ver­ſus punctū intrinſecū eiuſdem medii ad quē habet ꝓportionē equalitatis deueniendo. Probatur / ſit b. potētia maior que īuariata c. mediū īuariatum tranſeūdo vniformiter cõtinuo d. gradu velocita-tis remittit motū ſuū ad nõ gradū in extremo intē­ſiori c. medii: et ſit a. potentia minor que inuariata ꝑtē c. medii (vt oportet) trãſeundo remittat ↄ̨tinuo motū ſuū verſus e. pūctū intrinſecū ad quē hꝫ ꝓpor­tionem equalitatis: q2 neceſſe eſt / ipſam habere ad aliquē punctū intrinſecū illꝰ c. medii ꝓportionem equalitatis / vt ptꝫ ex ſecūdo correlario quarte con-cluſionis huiꝰ. Tūc dico /  a. potentia verſus e. pū­ctum veniendo in infinitū tarde remittit motū ſuū. Quod ſic ꝓbatur / q2 a. potentia verſus e. punctū ve­niendo in infinitū tardius remittit motū ſuū quam b. potentia: et b. potentia certe velociter cõtinuo pu­ta d. gradu velocitatis remittit motū ſuū ex hypo-theſi: igitur a. potentia in infinitum tarde remittit motū ſuū. Patet ↄ̨ſequentia cū minore: et arguitur maior: q2 a. potentia verſus e. punctū veniendo in infinitū tardius pertranſit aliquam partē ipſius c. medii quam b. pertrãſeat eandē: et tam a. quam b. eaſdem partes c. medii tranſeundo equalē latitu-dinē motus deperdunt adequate: vt ſepe argutum eſt: igitur a. potentia verſus e. punctuꝫ veniendo in infinitū tardius remittit motum ſuū quam b. potē-tia: quod fuit probandum. Cõſequentia probatur: quoniã a. tranſeundo aliquam partem c. medii ver-ſus e. punctum veniendo tantam latitudinem mo-tus deperdit ſicut b. pertranſeundo eandē adequa­te. ergo ſi a. in infinitum tardius pertranſit aliquã partem ipſius c. medii verſus e. pūctum deuenien-do quam b pertranſeat eandem in infinitum tardi­us remittit motum ſuum tranſeundo talem parteꝫ / quam b. tranſeundo eandem. Sed probatur maior et capio proportionem / quam habet b. ad punctum e. ipſius c. medii que ſit f. / et arguo ſic / a verſus e. pū-ctum deueniendo ab in infinitum minori proporti-one mouetur tranſeundo aliquã partem quam ſit f. proportio a qua vel maiori continuo mouetur b. tranſeundo talem partem: quia ab infinite modi-ca proportione mouebitur a. verſus c. punctum ve-niendo: cum ſucceſſiue remittat motum ſuum conti­nuo verſus idem e. punctum veniendo ad non gra-dū: et b. verſus e. punctū veniendo ↄ̨tinuo mouet̄̄ ab f. proportione vel a maiori: ergo ſequitur /  in in-finitū tardius mouetur a. tranſeūdo aliquam par-tem c. medii verſus e. punctum veniendo quam mo-ueatur b. eandem partem tranſeundo: et ex conſe-quenti in infinitum tardius a. potentia verſus e. punctū veniendo aliquam partem c. medii pertran­ſit quam b. pertranſeat eandem / quod fuit proban­dum. ¶ Ex quo ſequitur primo /  vbicun aliqua potentia inuariata aliquod medium tranſeundo ſucceſſiue remittit motum ſuum vſ ad non gradū ſiue vniformiter continuo, ſiue difformiter, ſiue de­uendo ad extremum illius medii, ſiue ad punctum intrinſecum: omnis potentia minor inuariata re-mittens motum ſuū ad non gradum in aliquo pun­cto, in infinitum tardius ad idem punctum venien-do remittit motum ſuum quam data potentia ma­ior cum ad idem punctū deuenit in quo illa minor habet non gradum motus. Probatur hoc correla­rium: et ſit a. potentia maior que remittat inuaria-ta c. medium inuariatum tranſeundo vel partē eiꝰ vniformiter, vel difformiter ſucceſſiue cõtinuo, mo­tum ſuum ad non gradum: et b potentia minor que in puncto citeriori eiuſdem medii qui punctus ſit d. remittat ad non gradum motum ſuum: ipſa b. po-tentia inuariata cum ad d. punctum ipſius c. medii inuariati deuenit vniformiter vel difformiter re-mittente motum ſuum continuo ſucceſſiue: tunc di-co /  b. potentia in infinitum tardius remittet mo-tum ſuum verſus d. punctum deueniendo quam a. potentia maior verſus idem d. punctum veniendo. Et ſic dicendum eſt de quibuſcun duabus inequa­libus potentiis: et de infinitis potentiis ſimiliter quarum nulla eſt equalis alteri. Quod probatur ſic: quia in infinitum tardius pertranſibit b. poten­tia minor aliquam partem c. medii verſus d. pun-ctum veniendo quam a. potentia maior pertranſi-bit eandem: et a. et b. eaſdem partes c. medii tranſe-undo equales latitudines motus deperdunt: vt ſe-pe argutum eſt: igitur b. potentia minor verſus d. punctum veniendo in infinitum tardius remittet motum ſuum quam a. potentia verſus idem d. pun­ctum veniendo. Conſequentia et maior ſuperius ar­gute ſunt. Patet igitur correlarium. ¶ Sequitur ſecundo /  vbicū aliqua potentia nõ variata me-dium inuariatum tranſeundo vniformiter conti-nuo remittit motum ſuum ad extremum intenſius deueniendo ad gradum vel ad non gradum: ipſa ſiue ei equalis idem medium tranſeundo continuo ſucceſſiue procedendo ab extremo intenſiori verſus extremum remiſſius continuo per eandem lineam per quam antea mouebatur remittendo motum ſu­um, vniformiter continuo intendit motum ſuum: et omnis maior inuariata ab eodem puncto intenſio­ri ꝓcedēdo per eandē lineã, per quã ꝓcedit potētia intendens motū ſuū vniformiter inuariata diffor-miter cõtinuo ītendit motū ſuū: et ſimiliter oīs mi-nor habēs ad extremū intenſius eiuſdē medii pro-portionē maioris īequalitatis. Prima pars huiꝰ correlarii patet ex ſecūdo correlario ſecūde cõclu-ſionis huius capitis: et ſecūda breuiter ꝓbatur ſic / q2 vbicū aliqua potentia īuariata mediū īuaria­tum tranſeūdo ↄ̨tinuo vniformiter remittit motū ſuū ad extremū intenſius deueniendo: oīs maior vel minor verſus idem extremū veniendo per ean-dem lineã cõtinuo difformiter remittit motū ſuum ipſa et medio continuo inuariatis / vt ptꝫ ex quarta concluſione huiꝰ: et oīs potentia inuariata mediū inuariatū tanſeundo ab extremo intenſiori rece-dendo per eandem lineam oīno eodē modo inten-dit motum ſuū ſicut remittit ab extremo remiſſiori ꝓcedendo per eandē lineam verſus extremū inten­ſius: ergo oīs maior ab eodē puncto intenſiori ꝓ-cedendo per eandē lineã per quam ꝓcedit potētia intendens motum ſuū vniformiter: ipſo medio in-uariato: difformiter cõtinuo intendit motum ſuuꝫ et ſimiliter oīs minor habens ad extremū intēſius eiuſdem medii ꝓportionē maioris inequalitatis. Et ſic patet correlariū. Et ſi fortiorē demonſtrati-onē exoptas: vtaris demonſtratione adducta ad quartã concluſionē paucis mutatis: que ſeſe ṗma fronte intelligenti probationē illius concluſionis offerūt. ¶ Sequitur tertio /  vbicū aliqua potē-tia īuariata vniformiter cõtinuo ſucceſſiue intēdit motū ſuū vſ ad nõ gradum: mediū īuariatū trã-ſeundo ab extremo intenſiori verſus remiſſius: oīs potentia maior ab eodem extremo intenſiori ꝓce-dens continuo per eandē lineã in infinitū velociter intendit motum ſuū. Probatur facile: q quãdo ipſa potentia maior mouetur verſus extremū in-tenſius cõtinuo remittendo motum ſuū .etc̈. in infi-nitum velociter remittit motū ſuū / vt patet ex quin­ta cõcluſione huius capitis: et oīno eadem veloci-tate intendit motū ſuū retrogrado motu per ean-dem lineã mouēdo ſicut antea remittebat in eiſdeꝫ partibus eiuſdem linee: ergo oīs talis potentia maior que ſic mouetur motu retrogrado ab extre­mo intenſiori verſus remiſſius per eandē lineam etc̈. in infinitū velociter intendit motum ſuū / quod fuit probandū. Et ſic patꝫ correlariū. ¶ Sequitur quarto /  vbicun aliqua potentia īuariata me-dium īuariatum tranſeundo cõtinuo ſucceſſiue in­tēdit motum ſuū ad nõ gradum ſiue vniformiter ſiue difformiter: oīs potentia minor habens pro-portionē maioris inequalitatis ad aliquã parteꝫ eiuſdē medii in infinitū tardius intendit motum ſuū a puncto ad quē habet proportionē equalita­tis recedendo verſus remiſſius extremū: quã data potētia maior ab eodē puncto recedendo verſus extremū remiſſiꝰ. Ptꝫ hoc correlariū ex predictis

1. correĺ. 2. correĺ. 3. correĺ. 4. correĺ.
Capitulū octauū / in quo inquiritur an due potentie īequales idē mediū īuariatū tran-ſeūtes valeãt vniformiter remittere aut intē­dere motum ſuum per ambarū vel alterius earum variationem.

POſt̄ ſuperiori capite oſtēſū eſt nullas duas potētias īequales īua-riatas: id eſt quarum nulla variat̄̄ idem mediū īuariatū trãſeūtes poſſe vniformiter intē-dere aut remittere motū ſuū: iã īquirendū eſt an ꝑ alteriꝰ eaꝝ vel ambaꝝ variationē id fieri valeat.

Cuiꝰ inſitiõi mittat̄̄ ꝓ baſi  fūda­mēto talis ſuppoſitio. Si aliq̈ potētia vniformiṫ ↄ̨tinuo ſuū motū remittēs aut ītēdēs aliq̈ potētia in certa ꝓportione cõtinuo velocius mouetur: ne-ceſſe eſt potentiã ipſam tardius motã cõtinuo vni­formiter motū ſuū remittere aut intendere. Et ſi aliqua potentia vniformiter cõtinuo ſuū motum remittens aut intendens aliqua alia potentia in certa ꝓportione cõtinuo tardius mouetur: neceſſe eſt potentiã velocius motã vniformiter itidē con-tinuo motū ſuū remittere aut intendere. Exemplū / vt data potētia que incipit a gradu octauo exclu-ſiue moueri cõtinuo vniformiter remittēdo motū ſuū: et in dupla ꝓportione cõtinuo velocius moue­do quã vna alia potētia que incipit moueri a gra­du quarto excluſiue: tūc dico /  neceſſe eſt /  illa po­tentia que incipit moueri a quarto gradu excluſi-ue cõtinuo vniformiter remittat motum ſuū: Pro­batur / et ſit a. potentia remittens continuo vnifor-miter motū ſuū: et ſit b. potentia que cõtinuo in f. ꝓportiõe tardius mouetur quã a. potentia: et ma-nifeſtū eſt /  etiã b. potentia remittit motū ſuū: q2 alias motus illarū potentiarū nõ cõtinuo mane-rent in eadē ꝓportione. Uolo igitur /  potētia a. perdat in toto tēpore adequate in quo mouetur c. latitudinē motus: et b.d. latitudinē motus: et tunc dico /  d. latitudo motus deperdenda a b. poten-tia tardius mota vniformiter cõtinuo remittetur Probatur / q2 d. latitudo motus in qualibet me-dietate tēporis in quo deperdetur perdet vnã me-dietatē ſui, et in qualibet tertia vnã tertiam, et in qualibet quarta, vnã quartã, et ſic conſequenter: igitur d. latitudo deperdenda a b. potentia tar-dius mota vniformiter continuo remittetur. Pa-tet conſequentia ex diffitione remiſſionis vnifor-mis alicuius latitudinis. Probatur antecedens: quoniã quandocun aliqua pars aliquota c. la-titudinis ab a. potentia deperdende deperdetur adequate conſimilis pars aliquota et eiuſdem de­nominationis deperdet d. latitudo: ſed in quali-bet medietate temporis in quo ille latitudines re­mittuntur c. latitudo perdit vnam medietateꝫ ſui: et in qualibet tertia vnam tertiam ſui, et in quali-bet quarta quartam, et ſic conſequenter: quia c. la­titudo vniformiter remittitur continuo / vt patet ex hypotheſi / igitur d. latitudo in qualibet medie-ta temporis in quo remittitur perdit vnã medie-tatem ſui, et in qualibet tertia tertiam, et in quali-bet quarta quartam, et ſic cõſequenter. Patet cõ-ſequentia cum minore: et probatur maior: quoniã continuo latitudo motus quo mouetur a. ad lati-tudinem motus quo mouetur b. eſt proportio f. ex hypotheſi: et continuo motus quo mouetur a. et etiam latitudo motus quo mouetur b. remittūtur / ergo inter latitudinem deperditam a. motu quo mouetur a. maiore, et latitudinem deperditam a motu minori quo mouetur b. eſt continuo propor­tio f. / vt patet ex primo correlario quinte concluſi-onis ſecūdi capitis ſecunde partis: et latitudo de-perdenda a motu quo mouet̄̄ a. eſt c. et latitudo de­ꝑdēda a motu quo mouet̄̄ b. eſt d. / igit̄̄ inter c. et d. eſt ꝓportio f. / et ex cõſequēti ſequit̄̄ /  inter partes aliquotas eiuſdē denoīatiõis ipſiꝰ c. et ipſiꝰ d. pu-ta īter medietatatē c. et medietatē d, et īter tertias et īter quartas, et ſic cõſequēter eſt etiã ꝓportio f. Ptꝫ hec ↄ̨ña ex vndecima ſuppoſitiõe ſcḋi capitis allegati: et vltra īter ꝑtes aliq̊tas eiuſdē denoīa­tionis c. latitudīs eſt ꝓportio f. et ↄ̨tinuo īter ꝑteꝫ deꝑditã ab ipſo c. et deꝑditã a d. eſt f. ꝓportio / vt ꝓ­batū eſt / g̊ quãdocū aliq̈ pars aliq̊ta c. latitudīs ab a. potētia deꝑdēde deꝑdet̄̄: adeq̈te ↄ̨ſimilis ꝑs aliq̊ta et eiuſdē denoīatiõis deꝑdet d. latitudo / qḋ fuit probandum. Et eodem modo probabis cum vtra potentia iutendit motum ſuum altera illa-rum que cotinuo in certa ꝓportione velocius mo- uetur vniformiter cõtinuo intendēte motū ſuū. Et conſimiliter et ex eiſdem principiis ſecundam par­tem deduces.

Secūda ſuppoſitio. Si aliqua potē-tia nõ variata tranſeūdo mediū nõ variatu vnifor­miter cõtinuo remittit motū ſuū: maiorē latitudi-nem motus deperdit tranſeundo partē magis re-ſiſtentē quã ſibi equalē minus reſiſtentē. Patet / q2 diutius inmoratur tranſeundo partē magis reſi-ſtentē quã ei equalē minus reſiſtentē: ergo ſi vnifor­miter remittat motū ſuū maiorē latitudinē motꝰ deperdit tranſeundo partē magis reſiſtentē quaꝫ ſibi equalē minꝰ reſiſtentē: igitur ſuppoſitio vera.

Tertia ſuppoſitio. Alicuiꝰ medii ſuꝑ quo īuariato aliqua potentia īuariata mouēs cõ­tinuo vniformiter remittit motū ſuū duabus par­tibus īequalibus, ſignatis quarū vtrã in aliquo tēpore adequato adequate pertranſit: et quãlibet partē exceſſus per quē maior pars excedit minorē illa potentia tranſeundo, cū maiori reſiſtentia cõ-tinuo mouetur quã quãlibet partē equalē minoris tranſeundo: maior eſt ꝓportio velocitatis deper-dite a tali potentia ſuper maiori parte mouendo ad velocitatē deperditã mouendo ſuper parte mi­nori quã ſit taliū partiū ꝓportio: Exemplū / vt ſi a. potentia ſuꝑ c. mediū mouēs vniformiter remittit motū ſuū: ſignatis prima quarta c. medii et ſecun-da medietate eiuſdē c. medii quaꝝ vtrã in aliquo tēpore adequate peranſit: maior eſt ꝓportio quaꝫ dupla (que eſt inter partes ſignatas) velocitatis deperdite ab a. potentia mouēdo ſuꝑ ſecūda me-dietate ad velocitatē deperditã in prima quarta eiuſdē medii mouendo. Probatur / et ſit medium c. ſuper quo īuariato vniformiter continuo a. poten­tia remittit motū ſuū cuius vna pars minor ſit d. et ſecūda maior ſit .ef. excedat .ef. ipſum d. per f. partē: et quamlibet partē ipſius f. minorē d. tran-ſeundo moueatur a. cū maiori reſiſtentia quã mo-uetur quãlibet ſibi equalē tranſeundo cū ſuper d. parte mouetur: et vtram illarū partiū puta d. et ef. in aliquo tēpore adequato adequate pertrãſit: ita  in tēpore adequato in quo pertrãſit d. nichil pertrãſeat ſuꝑficiale quin ſit d. aut pars illius: et in tēpore in quo adequate pertrãſit .ef. nichil ſuꝑ-ficiale pertranſeat quin ſit .ef. aut pars eius (ſeclu­do multas alias cauillationes que nichil ꝓpoſito conducūt) et ſit inter .ef. et d. ꝓportio g. moueatur potentia a. pertranſeundo e. partē cū equali reſi-ſtentia adequate ſicut tranſeundo d. partē vel cum maiori / vt oportet / tūc dico /  velocitas deperdita ab a. tranſeundo partē .ef. ſe habet in maiori pro-portione ad velocitatē deperditã ab eadē potētia a. tranſeundo d. partē quã ſit ꝓportio g. Quod ſic ꝓbatur: q2 tēporis in quo adequate ꝑtranſitur .ef. pars ab ipſa potētia a. ad tēpus in quo adequate pertranſitur d. pars eſt maior ꝓportio quã g. / ergo velocitatis deperdite in pertranſitione .ef. partis adequate ad velocitatē deperditã in pertranſitiõe d partis adequate eſt maior ꝓportio quã g. / quod fuit ꝓbandū. Patet cõſequētia: q2 quãdo aliqua latitudo in aliquo tēpore cõtinuo vniformiter re-mittitur ſiue deperditur in qua ꝓportiõe ſe habēt tēpora in eadē ſe habent latitudines deperdite: vt facile ex diffinitione vniformis remiſſionis alicu-ius latitudinis ptꝫ. Sed ꝓbatur antecedens: quia velocitas qua pertranſitur adequate .ef. pars ve-locitate qua pertranſitur d. pars eſt minor: ergo tēporis in quo adequate pertrãſitur .ef. pars ade­quate ad tēpus in quo pertrãſitur d. pars adequa­te eſt maior ꝓportio quã g. Conſequentia ptꝫ / q2 ſi velocitas qua pertranſitur .ef. pars eſſet equalis velocitati qua pertranſitur d. pars iam temporis in quo pertrãſitur .ef. ad tēpus in quo pertrãſitur ipſū d. eſſet g. ꝓportio que videlicet eſt inter illas partes .ef. et d. / igitur ſi velocitas qua pertrãſitur ef. pars adequate velocitate qua pertranſitur d. eſt minor: iam ꝓportio tēporis in quo pertrãſitur ef. pars adequate, ad tēpus in quo pertrãſitur d. pars adequate eſt maior ꝓportio quã g. Ptꝫ hec cõſequeatia / q2 maius tēpus requiritur ad pertrã-ſeundū ſpaciū .ef. adequate minori velocitate quã ad pertranſeundū ipſum adequate aliqua maiori Sed iam probatur antecedens: videlicet  veloci-tas qua pertranſitur adequate .ef. pars velocita-te qua pertranſitur d. pars minor, eſt minor: quia velocitas qua pertranſitur e. pars ab ipſa poten-tia a. eſt equalis vel minor velocitate qua adequa­te pertraſitur ab eadem potentia d. pars cū ex hy-potheſi in pertranſitione e. partis adequate mo-ueatur a. potentia cum equali vel maiori reſiſten-tia quã in pertrãſitione d. partis adequate: et ipſi velocitati qua pertranſitur e. pars adequate addi­tur extenſiue adhuc minor velocitas in pertranſi-tione f. partis magis reſiſtentis / vt conſtat: igitur tota velocitas qua pertranſitur .ef. pars adequa-te eſt minor tota velocitate qua ꝑtranſitur d. pars adequate: quod fuit inferendum. Ptꝫ hec cõſequē-tia: q2 ſi alicui latitudini intenſionis addatur ex-tenſiue aliqua latitudo minoris intenſionis (cete-ris paribꝰ) totalis illa latitudo aggregata ex ad­dita et preexiſtenti efficitur minoris intenſionis: vt ſi latitudini vniformiter difformi ab octauo vſ ad quartū addatur vna latitudo minoris intēſio-nis puta a. quatuor vſ ad ſecundū: aggregatum ex eis efficitur minoris intenſionis: q2 preexiſtens erat vt .6. aggregata vero ex preexiſienti et addita eſt vt .5. Et ſic patet ſuppoſitio.

Quarta ſuppoſitio. Alicuius medii ſuꝑ quo īuariato aliqua potentia īuariata mouēs cõtinuo vniformiter remittit motū ſuū duabꝰ par­tibus inequalibus ſignatis: quarū vtram in ali­quo tēpore adequato adequate pertranſit: et quã-libet partē exceſſus per quē maior pars excedit mi­norē illa potentia tranſeundo cū minori reſiſtētia cõtinuo mouetur, quã quãlibet partē equalē mino­ris tranſeundo: velocitatis deperdite a. tali potē-tia ſuꝑ maiore parte mouēdo ad velocitatē deper­ditam mouendo ſuper parte minori: nec eſt talium partiū ꝓportio nec maior. Probatur: et ſit mediū c. ſuꝑ quo īuariato vniformiter cõtinuo a. potētia inuariata remittit motum ſuū: cuius vna pars mi­nor ſit d. et ſecunda maior ſit .ef. excedat .ef. ipſū d. per f. partem: et quamlibet partem ipſius f. mi-norem d. tranſeundo moueatur a. cum minori re-ſiſtentia quam mouetur quamlibet ſibi equalem tranſeūdo cum ſuper d. parte mouetur: et vtram illarum partium puta d. et .ef. in aliquo tempore adequato adequate pertranſit .etc̈. Et ſit inter .ef. et d. proportio g. moueatur potentia a. tranſeū-do c. partem cum equali reſiſtentia adequate ſicut tranſeundo d. partem vel cum minori / vt oportet: tunc dico /  velocitas deperdita ab a. tranſeundo partem .ef. nun̄ ſe habet ad velocitatem deper-ditam ab eadem potentia a. tranſeūdo d. partem in g. proportione: nec in maiori.

Quod ſic ꝓbatur: q2 tēporis in quo adequate per­tranſitur .ef. ab ipſa potentia a. ad tēpus in quo adequate ꝑtranſitur d. pars nõ eſt ꝓportio g. nec maior: ergo velocitatis deꝑdite in pertranſitiõe ef. partis adequate ad velocitatē deꝑditã in ꝑtrã­ſitiõe d. partis adequate nõ eſt ꝓportio g. nec ma-ior: quod fuit ꝓbandū. Patet cõſequētia vt ſupra / et antecedens ꝓbatur: q2 velocitas qua adequate ꝑtranſitur .ef. pars eſt maior velocitate qua ꝑtrã-ſitur d. pars adequate: et .ef. ad d. eſt proportio g. / ergo tēporis in quo adequate ꝑtranſitur .ef. pars ad tēpus in quo adequate ꝑtranſitur d. pars non eſt ꝓportio g. nec maior. Cõſequentia patꝫ: quia ſi velocitas qua adequate ꝑtranſitur .ef. pars eſſet equalis velocitati qua ꝑtranſitur d. pars: iam tē-poris in quo ꝑtranſitur .ef. ad tēpus in quo ꝑtrã-ſitur d. pars eſſet ꝓportio g. (que videlicet eſt inter illas partes .ef. et d. / vt conſtat) / igitur ſi velocitas qua ꝑtranſitur .ef. pars eſt maior velocitate qua pertranſitur d. pars adequate iam tēporis in quo adequate ꝑtranſitur d. pars nõ eſt ꝓportio g. nec maior. Patet hec cõſequentia / q2 minus tēpus re-quiritur ad ꝑtranſeundū ſpaciū .ef. adequate ma­iori velocitate quã ad ꝑtranſeundū ipſum adequa-te aliqua velocitate minori. Sed iam ꝓbatur an-tecedens videlicet /  velocitas qua adequate per-tranſitur adequate .ef. pars eſt maior velocitate qua adequate ꝑtrãſitur d. pars: q2 velocitas qua ꝑtranſitur adequate .e. pars ab ipſa potētia a. eſt equalis vel maior velocitate qua adequate ꝑtran-ſitur d. pars (cū ex hypotheſi in pertranſitione .e. partis adequate moueatur a. potētia cū equali vĺ minori reſiſtentia quã in pertranſitione d. partis adequate) et ipſi velocitati qua ꝑtranſitur .e. pars adequate additur extēſiue adhuc maior velocitas in pertranſitione f. partis minus reſiſtentis / vt cõ­ſtat: igitur tota velocitas qua ꝑtranſitur .ef. pars adequate eſt maior tota velocitate qua pertranſi-tur d. pars adequate: quod fuit oſtēdendū. Patet hec cõſequentia: q2 ſi alicui latitudini intenſionis addatur extēſiue aliqua latitudo maioris intēſio­nis .etc̈. totalis illa latitudo aggregata ex addita et preexiſtenti efficitur maioris intēſionis: vt ſi la-titudini vniformiter difformi q̈rto vſ ad octa-uum addatur vna alia maioris intēſiõis puta ab octauo vſ ad duodecimū: aggregatū ex eis effi-cit̄̄ maioris intēſiõis / vt cõſtat. Et ſic ptꝫ ſuppoſitio

q̈drageſi­ma ṗma ↄ̨cĺo. cal.

His ſuppoſitis. Sit prima concluſio Ubi aliqua potentia non variata vniformiter re-mittit motū ſuū ad nõ gradū mediū īuariatū trã-ſeūdo: aliqua maior ꝑ ſui cõtinuã intenſionē idem mediū īuariatū trãſeūdo valet motū ſuū vniformi­ter ad gradū remittere. Probat̄̄: ſit b. potētia que īuariata c. mediū īuariatū trãſeūdo vniformiter ad nõ gradū motū ſuū remittat: ſit a. potentia maior q̄ ab eodē puncto c. medii incipiēdo moueri cū ipſo b. ab in duplo maiori ꝓportiõe īcipiat mo­ueri quã b. et cõtinuo in duplo velociꝰ moueat̄̄ quã b. ꝑ variationē ipſiꝰ a. potētie (q2 alias medio īua­riato hoc nequit fieri / vt ptꝫ ex quarta ↄ̨cluſiõe pre­cedētis capitis): tūc dico /  a. potētia ↄ̨tinuo vni-formiter remittit motū ſuū ad gradū ↄ̨tinuo intē-tendo potentiã ſuã. Quod ꝓbatur ſic: q2 a. poten-tia cõtinuo vniformiter remittit motū ſuū trãſeū-do illud mediū: et per nullū tēpus ſtabit inuariata aut remittet potentiã ſuã idē mediū trãſeūdo: igit̄̄ cõtinuo vniformiter remittit motū ſuū, cõtinuo in­tendendo potentiã ſuã. Cõſequētia ptꝫ ex ſe: et ꝓba­tur maior / q2 a. potentia cõtinuo in duplo velocius mouetur quam b. potentia / vt ptꝫ ex hypotheſi: et b. potētia cõtinuo vniformiter remittit motū ſuum: igitur a potētia idem mediū tranſeūdo vniformi-ter remittit motū ſuū cõtinuo. Patet hec cõſequē-tia ex ſecūda parte prime ſuppoſitionis. Iam pro­batur minor / q2 ſi a. per aliquod tēpus ſtat īuaria-ta vel remittit potentiã ſuam: detur illud et ſit g. et pars pertranſita ab ipſa .a. potentia in g. tēpore adequate ſit .ef. et pars ꝑtranſita ab ipſa b. poten­tia in eodē g. tēpore ſit d. / et manifeſtū eſt /  ipſius ef. ad ipſam d. partē eſt ꝓportio dupla, cū ſemper a. moueatur in duplo velocius ipſa potentia b. / vt ptꝫ ex hypotheſi: quo poſito arguitur ſic: latitudi­nis motus deperdite ab ipſa b. potētia tranſeūdo ef. partē adequate, ad latitudinē motus deꝑditã ab ipſa b. potētia tranſeūdo d. partē adequate in g. tēpore eſt maior ꝓportio quã dupla que eſt īter illas partes .ef. et d. / ergo latitudinis deperdite ab a. potētia ſtante vel remittente potentiã ſuam trã-ſeundo .ef. partē in g. tēpore adequate ad velocita­tem deperditã ab ipſa b. potentia tranſeundo d. partē adequate in g. tēpore eſt maior ꝓportio quã dupla: ſed cõſequens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Probatur cõſequentia: q2 oēs potentie īuariate idem mediū īuariatū trãſeūtes .etc̈. equa-lem latitudinē motus deꝑdunt: et ſi aliqua potētia trãſeundo mediū īuariatū remittendo motū ſuum etc̈. et remittat potentiã: ipſa maiorē latitudinem motus deperdit quã ſi ſtaret idem mediū tranſeū-do / vt conſtat: et ptꝫ ex quarto argumento ſexti ca-pitis huius. Sed falſitas cõſequentis ꝓbatur: q2 ſi latitudinis motus deperdite ab ipſa a. potētia in g. tēpore ad latitudinē motꝰ deperditã ab ipſa b. potentia in eodē g. tēpore eſt maior ꝓportio quã dupla: et a principio latitudinis motus ipſius a. ad latitudinem motus ipſius b. erat proportio duplo: ſequitur /  facta tali deperditione: latitu-dinis motus ipſius a. ad latitudinem motus ipſi-us b. eſt minor ꝓportio quam dupla: quod eſt con-tra hypotheſim. Conſequentia tamen ptꝫ / ex ſecū-da parte quinti correlarii quarte ↄ̨cluſionis octa­ui capitis ſecunde partis. Iam ꝓbatur antecedēs videlicet /  latitudinis deperdite ab b. potētia trã­ſeundo .ef. partē adequate ad velocitatē deperdi-tam etc̈. q2 ipſius .ef. partis ad d. partē eſt propor­tio dupla ex caſu: et ipſa potētia b. tranſeūdo quã­libet partem exceſſus ipſius .ef. partis minoreꝫ d. parte mouetur cū maiori reſiſtentia quã tranſeun­do quãlibet partē equalē ipſius d. partis (cū que-libet pars exceſſus quo .ef. pars excedit d. partem magis diſtat a puncto initiatiuo c. medii a quo in­cipit motus quam aliqua pars ipſius d. partis q2 per totum illum exceſſum ad minus a potentia b. potentiam precedit) / ergo latitudinis deperdite a b. potentia tranſeundo .ef. partem adequate ad ve­locitatem deperditam ab ipſa b. potentia tranſe-undo d. partem adequate in g. tempore eſt maior proportio quam dupla: quod fuit inferendū. Pa­tet conſequentia ex tertia ſuppoſitione huius. Q, vero a. potentia remittat motum ſuuꝫ ad gradum in extremo intenſiori / patet ex ſecundo correlario quarte concluſionis ſeptimi capitis huius tracta­tus, auxiliante loco a maiori: quia illa potētia cõ­tinuo intenditur. Et ſic patet concluſio. ¶ Ex quo ſequitur. Q, vbi aliqua potentia non variata vni­formiter continuo remittit motum ſuum ad non gradū mediū īuariatū trãſeūdo: oīs potentia ma­ior ꝑ ſui ↄ̨tinuã ītenſionē idē mediū īuariatū tran-ſeūdo valet motū ſuū vniformiṫ ad g̈dū remittere.

1. correĺ.

Probat̄̄: ſit b. potētia que c. mediū inuariatū trã­ſeūdo vniformiter cõtinuo īuariata ad nõ gradū remittit motū ſuū: et ſit a. potētia maior (q̄cū ſit illa) que ab eodē puncto c. medii īcipiat moueri cū b. potētia a ꝓportione in h. ꝓportiõe maiori quã ſit ꝓportio a qua excluſiue incipit moueri b. et cõ-tinuo moueat̄̄ a. potētia per ſui variationē in h. ꝓ-portione velociꝰ ipſa b. potetia / et tūc dico /  a po-tētia vniformiṫ cõtinuo remittit motū ſuū ad g̈dū tranſeūdo c. mediū per ſui cõtinuã intenſionē. Qḋ ſic ꝓbatur: q2 a. potētia ↄ̨tinuo vniformiṫ remittit motū ſuū tranſeūdo c. mediū: et per nullū tempus ſtat īuariata aut remittit potētiã ſuã: igit̄̄ cõtinuo vniformiter remittit motū ſuū trãſeūdo c. mediū per ſui cõtinuã intenſionē. Cõſequentia ptꝫ: et pro­batur maior: q2 a. potentia cõtinuo in h. ꝓportiõe velocius mouetur quã b. potentia: vt ptꝫ ex hypo-theſi: et b. potētia cõtinuo vniformiter remittit mo­tum ſuū: ergo a. potentia cõtinuo vniformiter re-mittit motū ſuū. Patet cõſequentia / vt in ꝓbatiõe cõcluſiõis. Iam ꝓbatur minor / q2 ſi a. per aliquod tēpus ſtat īuariata, aut remittit potentiã ſuã, det̄̄ illud tēpus: et ſit g. in quo a. potentia adequate ꝑ-tranſit .ef. partē: et in eodē g. tēpore b. potētia per­trãſeat d. partē: et manifeſtū eſt /  ipſius .ef. partis ad partē d. eſt proportio h. cū ſemꝑ a. moueatur in h. ꝓportiõe velocius / vt ptꝫ ex hypotheſi. Quo po­ſito arguitur ſic / latitudinis deperdite ab ipſa b. potentia tranſeūdo .ef. partē adequate ad latitu-dinē motus deperditã ab eadē b. potētia tranſeū-do d. partē adequate in g. tēpore eſt maior ꝓpor-tio quã h. / igitur latitudinis deperdite ab a. potē-tia īuariata vel remittente potentiã ſuã tranſeun-do .ef. partē adequate ad latitudinē deperditã ab ipſa b. potētia tranſeūdo d. partē adequate in g. tēpore eſt maior ꝓportio quã h. / ſed conſequens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Cõſequentia ptꝫ vt ſupra: et antecedens ſimiliter cum falſitate conſequentis. Patet igitur correlarium.

q̈drageſi­ma ſecū-da cõclu-ſio calcu.

Secūda ↄ̨̨cluſio. Ubi aliqua potētia nõ variata tranſeūdo aliquod mediū īuariatum vniformiter cõtinuo ad nõ gradū remittit motum ſuū: aliqua potentia maior per cõtinuã eiꝰ remiſ-ſionē tranſeūdo idē mediū remittit motū ſuū vni-formiter cõtinuo ad nõ gradū. Probatur: ſit b. po­tentia que nõ variata c. mediū īuariatū tranſeūdo vniformiter cõtinuo motū ſuū remittat ad nõ gra­dum: et ſit a. potentia que habet in duplo maiorē ꝓportionē ad punctū initiatiuū c. medii in extre-mo remiſſiori quã habeat b. potentia ad punctuꝫ mediū eiuſdem c. medii: et ponatur b. potentia ad punctū mediū ipſius c. medii: et a. potētia in pūcto initiatiuo eiuſdē c. medii remiſſiori: et incipiant in eodē inſtanti moueri ab illis punctis verſus extre­mū intēſius: et taliter varietur a.  cõtinuo mouea­tur in duplo velocius quã ipſa b. potentia: et tunc dico /  ipſa potentia a. cõtinuo vniformiter motū ſuū et hoc vſ ad nõ gradū remittit per continuã eius remiſſionē. Quod ſic ꝓbatur: q2 a. potētia cõ­tinuo remittit motū ſuū vniformiter c. mediū trã-ſeundo: et per nullū tēpus ſtabit īuariata in poten­tia aut intendet potentiã ſuã: igitur a. potētia trã­ſeūdo c. mediū īuariatū cõtinuo vniformiter remit­tit motū ſuū per continuã eius remiſſionē. Cõſequē­tia ptꝫ ex ſe: et maior iam arguta eſt in precedenti concluſione: et minor ꝓbatur / q2 ſi per aliquod tē-pus potentia a. ſtat inuariata, aut intendit potē-tiam ſuã, detur illud tēpus, et ſit g. in quo a. poten­tia pertranſeat adequate .ef. partē: et b. potentia d. partem adequate: et manifeſtum eſt /  ipſius .ef. partis ad ipſam d. partē eſt proportio dupla cum a. potētia continuo moueatur in duplo velociꝰ b. / ex hypotheſi Quo poſito arguitur ſic / latitudinis motus deperdite ab ipſa potentia b. tranſeundo ef. partem ad latitudinē deperditam ab eadē po-tētia b. tranſeūdo d. partem adequate in g. tēpo-re nõ eſt proportio dupla nec maior: igitur latitu-dinis deperdite ab a. potentia inuariata vel inten­dente potentiã ſuam tranſeundo .ef. partem ad la­titudinē deperditam a b. potentia tranſeundo d. partem in g. tempore adequate non eſt proportio dupla nec maior: ſed conſequēs eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Cõſequentia probatur / quia oēs potentie inuariate idem mediū īuariatū tran­ſeuntes .etc̈. equalē latitudinem motus deperdunt et ſi aliqua potentia mediū inuariatum tranſeun-do remittat motum ſuū intendens potentiã ſuam: minorem latitudinem motus deperdit quam ſi ſta­ret idem mediū tranſeundo .etc̈. / vt conſtat: et argu-tum eſt ſupra. Sed falſitas conſequētis probatur / quia ſi latitudinis motus deperdite ab ipſa a. po­tentia tranſeundo .ef. partem in g. tempore ade-quate ad latitudinem deperditam ab ipſa b. potē­tia tranſeundo d. partem adequate in eodē g. tem­pore nõ eſt proportio dupla nec maior dupla: et a principio latitudinis motus ipſius a. potentie ad latitudinē motus ipſius b. potentie quarū vtra remittitur erat ꝓportio dupla: ergo facta tali re-miſſione latitudinis motus ipſius a. ad latitudinē motus ipſius b. nõ eſt proportio dupla: quod eſt contra hypotheſim. Cõſequentia patet ex primo correlario quinte concluſionis ſecundi capitis ſe-cunde partis. Iam probatur antecedens videlicet /  latitudinis deperdite ab ipſa potentia b. tran-ſeundo .ef. partem ad latitudineꝫ deperditam ab eadem potentia b. in g. tempore adequate non eſt proportio dupla, aut maior dupla: quia ipſiꝰ .ef. partis ad ipſam d. parteꝫ eſt proportio dupla ex caſu: et ipſa potentia b. tranſeundo quãlibet par-tem exceſſus quo .ef. excedit d. minorē ipſa d. par-te mouetur cum minori reſiſtentia quam quãlibet partem equalem ipſius d. partis tranſeundo: cum q̄libet pars exceſſus quo .ef. pars excedit d. partē minꝰ diſtet a. puncto remiſſiori initiatiuo c. medii quã aliqua pars ipſiꝰ d. partꝪ. (Signo e exceſſū ſus punctū īitiatiuū c. medii minꝰ reſiſtentē quē exceſſū ſemꝑ voco f) / igit̄̄ latitudīs deꝑdite ab ipſa b. potētia trãſeūdo .ef. partē adeq̈te ad latitudinē deꝑditã ab eadē potētia trãſeūdo d. partē adeq̈te in g. tꝑe nõ eſt ꝓportio dupla aut maior dupla / qḋ fuit īferendū. Ptꝫ ↄ̨ña ex quarta ſuppoſitiõe huiꝰ Sed q2 cõcluſio ſupponit potētiã a. eſſe maiorē b. / ideo reſtat illud ꝓbare. Qḋ ſic ꝓbo / q2 a. ꝑ ↄ̨tinuã ſui remiſſionē ꝑtrãſit totū c. mediū in tēpore ī quo adequate b. ꝑtrãſit eiuſdē c. medii īuariati medie-tatē: igitur ipſa a. potentia eſt maior b. potentia. Patet conſequentia ex ſe / et antecedens probatur / quia a. in duplo velocius cõtinuo mouetur quam b. / vt patet ex hypotheſi: et a. incipit moueri a. pun-cto iniciatiuo c. medii: et b. a puncto medio eiuſdeꝫ c. medii in eodē inſtanti cum ceteris poſitꝪ in caſu: igitur eque cito erunt in termino ipſius c. medii: et per conſequens in tēpore in quo adequate b. per-tranſit vnam medietatem c. medii inuariati a. ꝑ-trãſit totū c. mediū / quod fuit ꝓbandū. Q, autē a. potētia remittat motū ſuū ad nõ gradū / ꝓbat̄̄ / q cõtinuo ex hypotheſi inter motū ipſius a. et motū ipſius b. eſt proportio dupla vtro illorū motuū decreſcente: et motus ipſius b. potentie remittitur ad non gradum: igitur etiam motus ipſius a. ī eo­dem tempore remittitur ad non gradum. Patet conſequentia clare ex octauo correlario quarte cõ­cluſionis octaui capitis ſecunde partis. Et ſic pa­tet concluſio. ¶ Ex quo ſequitur /  vbi aliqua po-tentia non variata aliquod medium inuariatum tranſeundo continuo vniformiter remittit motuꝫ ſuum: omnis potentia maior per ſui continuã re-miſſionem idem medium inuariatum tranſeundo continuo vniformiter remittit motum ſuum Pro­batur: et ſit b. potentia que inuariata c. mediū trã­ſeundo inuariatum vniformiter continuo remit-tit motū ſuum: ſit a. potentia maior que ad pun­ctum initiatiuū c. medii habeat proportionem ī h. proportione maiorem quam ſit proportio quam habet b. potentia ad punctum medium eiuſdem c. medii: et a. poña continuo quãdiu mouetur prece­dente b. potentia moueatur in h. proportione ve-locius per ſui variationem (medio ſemper inua-riato) et incipiant in eodem īſtanti moueri b. a pū­cto medio a. vero a puncto initiatiuo c. medii ī ex-tremo remiſſiori. tunc dico /  a. potentia tranſeū-do aliquam partem ipſius c. medii vniformiter cõ­tinuo remittit motū ſuum: et hoc per ſui cõtinuam remiſſionem. Quod ſic probatur / quia per quam­libet partem prime medietatis quaꝫ pertranſibit mouendo vniformiter continuo remittit motum: et hoc continuo remittendo potentiam ſuam: igi-tur a. potentia aliquam partem c. medii tranſeū-do continuo vniformiter remittit motum ſuum ꝑ ſui continuam remiſſionem. Conſequentia patet: et probatur maior vt ſupra in hac cõcluſione: et mi­nor oſtenditur ſic / quia per nullum tempus talem partem tranſeundo manet inuariata, aut intēdit potentiam ſuam cum caſu: igitur continuo talem partem tranſeundo remittit potentiam ſuã. An-tecedens probatur / quia ſi per aliquod tempus ta­lē partē trãſeundo ſtat aut remittit potentiã ſuaꝫ cum caſu: detur illud tempus: et ſit g. in quo a. po-tentia pertranſeat adequate partem c. medii .ef. et b. pertranſeat partem d. in eodē g. tempore: et ma­nifeſtum eſt /  ipſius .ef. partis ad ipſam d. parteꝫ eſt proportio h. cum a. in h. proportione continuo velocius moueatur quaꝫ b. / ex hypotheſi. Quo po­ſito arguitur ſic / latitudinis motꝰ deperdite ab ip­ſa b. potentia tranſeūdo .ef. partem adequate ad latitudinem deperditam ab eadeꝫ potentia b. trã­ſeundo d. partem in g. tempore adequate non ē ꝓ­portio h. nec maior: igitur latitudinis deꝑdite ab a. potentia inuariata vel intendente potentiã ſuã tranſeundo .ef. partem adequate in g. tempore ad latitudinem deperditam ab ipſa b. potentia tran­ſeundo d. partem in eodem g. tempore adequate non eſt proportio h. nec maior: ſed conſequens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur: videlicet /  potentia a. tranſeundo .ef. partem continuo ma-net inuariata aut intendit potentiam ſuam. Con­ſequentia patet vt ſupra in hac concluſione: et ſimi­liter conſequens cum falſitate conſequentis

correla.

Tertia concluſio Ubi aliqua poten-tia non variata vniformiter continuo remittit mo­tum ſuum aliquod medium inuariatum tranſeun­do: omnis maior valet idem medium inuariatum tranſeundo motum ſuum continuo vniformiter re­mittere: et hoc aliquando ꝑ ſui cõtinuam remiſſio-nem: et aliquando per ſui continuam intenſionem Probatur / ſit b. potentia que inuariata vniformi­ter continuo remittat motum ſuum c. medium īua­ riatum tranſeundo: ſit a. potentia maior cuiꝰ ꝓ­portio ad punctum initiatiuum in extremo remiſ­ſiori ipſius c. medii ſe habet ad proportionem b. potentie ad idem punctum in proportione f. / et po­natur b. potentia in principio ſecunde partis pro­portionalis ipſius c. medii diuiſi proportione f. (ſiue f. proportio rationalis ſit ſiue non. nõ eſt cu-ra) et a. potentia ponatur in puncto initiatiuo ip-ſius c. medii in extremo remiſſiori: et manifeſtum ē /  proportionis ipſius a. ad punctum initiatiuuꝫ ipſius c. medii in extremo remiſſiori ad proportio­nem ipſius b. potentie ad punctum initiatiuum ſe­cunde partis proportionalis ipſius c medii diuiſi proportione f. eſt maior proportio quam f. que ſit h. Nam proportio a. ad punctum initiatiuū ſe ha­bet in proportione f. ad proportionem ipſiꝰ b. ad idem punctum: et proportio ipſius b. ad punctum initiatiuum ſecunde partis proportionalis ꝓpor­tione f. eſt minor quaꝫ ſit proportio ipſius b. ad pū­ctum initiatiuum: ergo idem tertium puta ꝓpor-tio ipſius a. ad punctum initiatiuum habet maio­rem proportionem ad proportionem b. potentie ad punctum initiatiuum ſecunde partis propor-tionalis c. medii quam ad proportioneꝫ ipſius b. potentie ad punctum initiatiuum ipſius c. medii.

Incipiat / igitur a. potentia moueri in eodem inſtã­ti a puncto initiatiuo c. medii in h. proportione ve-locius quam b. potentia incipiat moueri a pūcto initiatiuo ſecunde partis proportionalis etc. et a. per ſui continuam variationem continuo mouea­tur in h. ꝓportione velocius ad terminum vſ c. medii deueniēdo ꝙ̄ b. potētia. Et tūc dico /  a. po­tentia continuo vniformiter remittit motū ſuum c. medium inuariatum tranſeundo quod inuaria­tum b. potentia inuariata tranſit vniformiter cõ-tinuo remittēdo motū ſuum: et hoc aliquando per ſui continuam remiſſionem, aliquando vero per ſui continuam intenſioneꝫ: Quod ſic probatur / q2 a. potentia continuo vniformiter remittit motum ſuum c. medium tranſeundo: et per aliquam par-tem talis temporis in quo remittit motum ſuum continuo remittetur in potentia ſua: et per totam reſiduam parteꝫ continuo intendet̄̄ ī potentia: er-go a. poña continuo vniformiter remittit motum ſuum c. medium inuariatum tranſeundo, aliquan­do per ſui continuam remiſſionem, aliquando ve­ro per ſui continuam intenſionem. Conſequentia patet: et minor probatur: quia a. poña continuo in h. proportione velocius mouetur quam b. poten-tia vniformiter continuo remittens motum ſuum / igitur a. potentia continuo vniformiter remittit motum ſuum. Patet conſequentia ex prima ſup-poſitione huius. Prima pars minoris probatur / quia a. potentia per aliquam partem temporis ī quo vniformiter remittit motum ſuuꝫ ſequetur b. potentiam cum reſiſtentia minori mouendo conti­nuo: igitur potentia a. per illud tempus conti-nuo remittet potentiam ſuam. Patet conſequen-tia / quia ſi per aliquod tempus ſtaret vel intende-ret̄̄ in potentia b. potentiã ſeq̄ndo: et mouendo ↄ̨ti­nuo cum reſiſtentia minori medio inuariato et per illud tempus non continuo remittit potentiam ſu­am: ſignetur illud tempus: et ſit g. in quo a. pertan­ſeat adequate .ef. partem: et b. potentia d. partem adequate: et manifeſtum eſt /  ipſius .ef. partis ad ipſam d. partem eſt proportio h. cum a. potentia continuo moueatur in h. proportione velocius ip­ſa b. potentia ex hypotheſi. quo poſito arguitur / ſic latitudinis motus deperdite ab ipſa potentia b. tranſeundo .ef. partem ad latitudinem deperdi­tam ab eadem potentia tranſeundo d. parteꝫ ade­quate in g. tempore nõ eſt proportio h. nec maior: igitur ſi a. potentia ſtat vel intenditur in potentia per g. tempus tranſeundo .ef. partem etc. / ſequēdo b. potentiam latitudinis deperdite ab a. potentia inuariata vel intendente potentiam ſuam tranſe­undo .ef. partem ad latitudinem deperditam a b. potentia tranſeundo d. partem in g. tempore ade­quate non eſt proportio h. nec maior: ſed cõſeq̄ns eſt falſum / igitur et antecedens videlicet /  a. potē-tia ſtat vel intenditur in potentia per g. tempꝰ trã­ſeundo .ef. partem etc. / et per conſequens oppoſitū conſequentis non ſtat cum antecedente / et per con-ſequens conſequentia bona / quod fuit probãdum Conſequentia patet / quia omnes potentie inequa­les idem medium tranſeuntes etc. equalem latitu-dinem motus deperdunt: et ſi aliqua poña mediuꝫ inuariatum tranſeundo remittat continuo motū ſuum intendens potentiam ſuam: minorem latitu­dinem motus deperdit quam ſi ſtaret etc. / vt ſepiꝰ dictum eſt. Sed falſitas conſequentis probata ē in ſecunda concluſione: et etiam antecedens. Sed iam probo ſecūdam partem minoris / quia illa po­tentia a. per aliquod tempus adequate continuo / ſequitur potentiam b. mouendo / tunc cum reſiſten-tia minori: et per totum reſiduum precedet potētiã b. mouendo continuo cum reſiſtentia maiori: et per totum illud tempus in quo ſic precedit potentiam b. continuo intenditur in potētia: igitur illa pars vera. Probatur maior / quia a. potentia attinget potentiã b. antea quã b. potentia deueniat ad ter­minum c. medii: et cum attigerit eam: continuo pre­det eam cum continuo in h. proportione velocius moueatur: igitur a. potentia per aliquod tempus adequate ſequetur b. potentiam: et per totum reſi-duum temporis precedet eam. Probatur maior videlicet /  a. potentia attinget b. potentiam ante terminum c. medii q2 a. in h. proportione cõtinuo velocius mouetur: et a. deuenit vſ ad terminum c. medii ex hypotheſi: igitur cum a. deuenit ad ter-minum c. medii b. / adhuc eſt in aliquo pūcto intrin­ſeco ipſius c. medii: et per conſequens aliquando attingit eam: et continuo poſtea cedit eam. Pa-tet conſequentia / quia ſi eque primo eſſent in termi­no c. medii vel b. ante a. iam ſpacium pertranſituꝫ in totali illo tempore ab ipſa a. potentia ad ſpa-cium pertranſitum ab ipſa b. potentia in eodeꝫ tē­pore non eſſet proportio h. / vt patet ex hypotheſi: hoc addito /  diuiſo aliquo corpore per partes ꝓ­portionales proportione f. illud corpus ſe habet ad totum a prima parte proportionali in propor­tio .f. / vt patet ex prima concluſione quinti capitis prime partis: et ex conſequenti ſequitur /  veloci-tatis ipſius a. ad velocitatem ipſius b. non eſt con­tinuo ꝓportio h: et per conſequens a. non cõtinuo in h. proportione velocius mouetur quam b. / quod eſt oppoſitum antecedentis et ſic oppoſitum cõſe-quentis infert oppoſitum antecedentis / et per con­ſequens conſequentia bona. Sed iam probo /  a. potentia continuo per totum illud tempus in quo precedet potentiam b. continuo intendit potētiaꝫ ſuam: quia per nullam partē illius temporis ſtat inuariata aut remittit potentiam ſuam: et conti-nuo variatur / vt patet ex quarta concluſione pre-cedentis capitis. igitur continuo per totum illud tempus in quo ſic precedit intendit potentiam ſuã Iam probatur /  a. per nullam partem illius tem­poris ſtat inuariata aut remittit potentiam ſuã: quia ſi non: detur illḋ tꝑs: et ſit g: et in illo a. poten­tia adequate pertranſeat .ef. partem: et in eodem g. tempore b. poña pertranſeat d. partem: et mani­feſtum eſt /  ipſius .ef. partis ad partem d. eſt pro­portio h. cum ſemper a. moueatur in h. proportio­ne velocius / vt patet ex hypotheſi. Quo poſito ar­guitur ſic / latitudinis motus deperdite ab ipſa b. poña tranſeundo .ef. partem adequate ad latitu-dinem motus deperditam ab eadem b. potentia tranſeundo d. partem adequate in g. tempore eſt maior proportio quam h. / igitur latitudinis deꝑ-dite ab a. poña inuariata vel remittente potētiaꝫ ſuam tranſeundo .ef. partem adequate in g. tēpo-re ad latitudinem deperditaꝫ ab ipſa b. poña trã­ſeundo d. partem adequate in g. tempore eſt ma-ior proportio quam h. Conſequentia patet / vt ſupra in prima concluſione: et antecedens itidem cum falſitate conſequentis. Et ſic patet concluſio.

q̈drageſi­ma cõclu­ſio calcu.

Quarta concluſio Ubi aliqua poten­tia non variata vniformiter cõtinuo remittit mo­tum ſuum ad non gradum mediū inuariatum trã­ſeundo: aliqua minor per continuã eius intenſio-nem continuo vniformiter remittit motum ſuum: et hoc ad non gradum idem medium inuariatum trãſeundo. Probatur / ſit b. poña que īuariata cõ­tinuo vniformiter remittit motuꝫ ſuum ad nõ gra­dum totum c. medium tranſeundo īuariatum: ſit a. potentia que ad punctuꝫ initiatiuum vltime q̈r­te puta magis reſiſtentis habeat proportionem in quadruplo minorem proportione quam habet b. poña ad pūctum initiatiuum c. medii: et īcipiãt ī eodem inſtanti b. potentia inuariata moueri a pū­cto īitiatiuo c. medii in extremo remiſſiori: et a. po­tentia a puncto initiatiuo vltime quarte ipſius c. medii et moueat̄̄ a. poña cõtinuo in quadruplo tar­dius ipſa b. poña. tunc dico /  tam a. quam b. vni-formiter continuo remittit motum ſuum vltimaꝫ quartam c. medii tranſeundo vſ ad non graduꝫ et a. eſt minor b. et tranſeundo illam vltimam quar­tam continuo ītendit potentiam ſuam. Quod ſic oſtenditur / quia a. continuo vniformiter remittit motum ſuum: et a. eſt minor quam b. et continuo in­tendit potentiam: et remittit motum ſuum ad non gradum: igitur ꝓpoſitum. Conſequentia patet: et probatur maior / quia a. in certa ꝓportione conti-nuo tardius mouetur quaꝫ b. et b. continuo vnifor­miter remittit motum ſuum / ergo et a. Conſequen-tia patet ex prima parte prime ſuppoſitionis hu-ius: et antecedēs ex hypotheſi. Sed iam probatur prima pars minoris / quia b. potentia ad pūctum initiatiuum vltime quarte habet ꝓportionē ſub-duplam ad ꝓportionem quam habet eadem potē­tia b. ad pūctum initiatuum c. medii: cum remittat motum ſuum ad non gradum vniformiter c: medi­um tranſeundo. et ſic ī inſtanti medio totius tem-poris eſt in principio vltime quarte: et tunc habet ꝓportionem ſubduplam adequate ad proportio­nem quam habet in principio motus / vt patet ex ṗ­mo notato tertii capitis ſecundi tractatus huius partis: et ad idem punctum a. potentia habet mi-norem ꝓportionem / vt patet ex hypotheſi / igit̄̄ ip-ſa eſt minor b. poña / quod erat ꝓbandum. Secun-da pars minoris ꝓbatur / quia ſi a. per aliquod tē­pus ſtat inuariata vel remittit poñam ſuam, de-tur illud, et ſit g. et pars pertranſita ab a. in g. tem­pore ſit d: et pars pertranſita adequate in eodē g. tempore ab ipſa poña b. ſit .ef. / et manifeſtum eſt /  ipſius .ef. ad ipſam d. partem eſt ꝓportio quadru­pla: cum ſemper b. poña moueatur in quadruplo velociꝰ ipſa poña a. / vt patet ex hypotheſi / quo po­ſito arguitur ſic / latitudinis motus deperdite ab ipſa b. potentia tranſeundo .ef. partem in g. tem­pore adequate ad latitudinem motus deperditaꝫ ab eadem poña b. tranſeundo d. partem non eſt ꝓ­portio quadrupla nec maior: ergo latitudinis de­perdite ab b. poña tranſeundo .ef. partem in tēpo­re g. ad latitudinem motus deperditam ab a. po-tentia ſtante inuariata vel remittente poñam ſuã tranſeundo d. partem in g. tempore adequate nõ eſt proportio quadrupla nec maior quadrupla: ſꝫ conſequens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequit̄̄. Patet conſequentia / quia omnes poñe inuariate idem medium tranſeuntes etc. equalem latitudinē motus deperdunt. et ſi aliqua poña tranſeūdo idē medium īuariatum remittendo motum ſuum etc. remittat poñam ſuam: ipſa maiorem latitudineꝫ motus deperdit quam ſi ſtaret idem medium inua­riatum tranſeundo: vt conſtat ex quarto argumē­to ſexti capitis. Sed falſitas conſequentis proba­tur / quia ſi latitudinis deperdite ab ipſa b. poten­tia tranſeundo .ef. partem in g. tempore ad veloci­tatem deperditam ab a. poña tranſeundo d. par-tem in eodem g. tempore non eſt ꝓportio quadru-pla nec maior: et a principio latitudinis motus ip­ſius b. ad latitudinem motus ipſius a. eſt ꝓportio quadrupla: ſequitur /  facta tali variatione lati-tudinis motus ipſius b. ad latitudinem motus ip­ſius a. non eſt ꝓportio quadrupla: quod eſt cõtra hypotheſim. Conſequentia tamen patet ex primo correlario et ſecundo quinte concluſionis ſecundi capitis ſecunde partis. Iam ꝓbatur antecedens videlicet /  latitudinis motus deperdite a b. poña tranſeundo in g. tempore .ef. partem ad latitudi-nem deꝑditam ab eadem b. poña tranſeundo d. ꝑ­tem nõ eſt ꝓportio quadrupla nec maior: quia ii­us .ef. ꝑtis ad d. partem eſt ꝓportio quadrupla ex caſu: et ipſa poña b. tranſeundo quãlibet ꝑtem ex­ceſſus iius .ef. ꝑtis minorem d. ꝑte: mouetur cum minori reſiſtentia quam tranſeundo quamlibet ꝑ­tem equalem ipſius d. ꝑtis: cum quelibet pars ex-ceſſus quo .ef. pars excedit d. ꝑtem minus diſtet a puncto iniciatiuo c. medii a quo incipit motus (ſi­gno enim exceſſum illum verſus punctum remiſſiꝰ c. medii a quo incipit motus) / ergo latitudinis de­perdite ab ipſa b. poña tranſeundo .ef. ꝑtem in g. tempore adequate ad latitudinem deꝑditaꝫ ab ea­dem b. poña tranſeundo d. ꝑtem non eſt ꝓportio quadrupla nec maior: quod fuit ꝓbandum. Pa-tet conſequentia ex quarta ſuppoſitione huius

Q, autem a. poña remittit motum ſuum ad non gradum: ꝓbatur / quoniam cõtinuo ex hypotheſi ī­ter motum ipſius b. et motum ipſius a. eſt ꝓportio quadrupla: vtro illorum motuum decreſcente: et motus ipſius b. poñe tranſeuntis quatuor quar­tas ipſius c. medii in extremo intenſiori eiuſdeꝫ c. medii remittitur ad non gradum: igitur etiã mo-tus ipſius a. poñe mouentis in quadruplo tardiꝰ in eodem tempore tranſeundo vltimam quartam c. medii in extremo intenſiori remittitur ad nõ gra­dum. Patet conſequētia ex octauo correlario q̈r­te concluſionis octaui capitis ſecunde ꝑtis: Et ſic patet concluſio. ¶ Ex quo ſequitur /  vbi aliqua poña non variata aliquod medium tranſeūdo vni­formiter remittit motum ſuum: omnis minor hñs ꝓportionem maioris inequalitatis ad punctū in­itiatiuum eiuſdem medii in extremo remiſſiori vni­formiter continuo remittit motum ſuum idē medi­um tranſeundo īuariatum per continuam ſui intē­ ſſonem. Probatur / ſit b. poña que variata totuꝫ c. medium inuariatum tranſeundo vniformiter re-mittit motum: et a poña minor habens ad initiati­uum punctum c. medii in extremo remiſſiori ꝓpor­tionem maioris inequalitatis: et cum ipſa a. poña habeat ad aliquem punctum intrinſecum eiuſdeꝫ c. medii etiam ꝓportionem maioris inequalitatis ponatur ia poña a. in tali puncto et b. poña in ṗn­cipio c. medii in extremo remiſſiori: et ꝓportionis ipſius b. ad punctum initiatiuum c. medii ad pro-portionem ipſius a. quam habet ad punctum in-trinſecum ad quod ponitur ſit h. ꝓportio: et incipi­at ī eodē īſtãti ab illis pūctis moueri a. et b. ſꝫ b. cõ­tinuo in h. ꝓportione velocius ia poña a. / et mani­feſtum eſt /  non ſubito b. poña deueniet ad pūctū a quo incipit moueri a. poña: capio igitur ſpaciuꝫ / quod abſoluet a. poña in tempore in quo b. poña deueniet ad pūctum a quo incipit moueri a. poña et ſit illud ſpacium d. / et tunc dico /  tam a. quam b. tranſeundo d. mediū vniformiter remittet motuꝫ ſuum: et a. poña continuo d. medium tranſeundo ī­tendit poñam ſuam. Quod ſic oſtenditur / quia a. poña tranſeundo d. medium continuo vniformi-ter remittit motum ſuum / vt ſupra in concluſione quarta probatum eſt: et ipſa a. poña continuo trã­ſeundo d. ꝑtem intendit poñam ſuam: igitur ꝓpo­poſitum. Probatur minor / quia ſi a. per aliquod tempus d. medium inuariatum tranſeundo ſtat ī-uariata vel remittit potentiam ſuam. detur illud tempus et ſit g. et pars pertranſita ab a. in g. tēpo­re adequate ſit e. et pars pertranſita adequate in eodem g. tempore ab ia poña b. ſit .ef. / et manife-ſtum eſt /  iius .ef. partis ad e. partem eſt ꝓportio h. quia continuo potentia b. in h. ꝓportione velo-cius mouetur quaꝫ ipſa potentia a. / vt patet ex hy­potheſi. Quo poſito arguitur ſic / latitudinis mo-tus deperdite ab ipſa b. potentia tranſeundo .ef. partem in g. tempore adequate ad latitudinē mo­tus deperditam ab eadeꝫ potentia b. tranſeundo e. partem non eſt proportio h. nec maior: ergo la-titudinis deperdite ab ia b. poña tranſeundo .ef: ꝑtem in g. tempore adequate ad latitudinem mo-tus deperditam ab a. potentia ſtãte inuariata vel remittente potentiam ſuam tranſeundo e. parteꝫ in g. tempore adequate non eſt ꝓportio h. nec ma­ior: ſed conſequens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Conſequentia patet cum antecedente ex ꝓbatione concluſionis: et ſimiliter falſitas conſe­quentis Patet igitur correlarinm.

q̈drageſi­ma q̈rta ↄ̨clu. cal.

Quinta concluſio Ubi aliqua poten­tia inuariata inuariarum medium tranſeundo vniformiter continuo remittit motum ſuum ad nõ gradum: aliqua minor per cõtinuam ſui remiſſio­nem continuo vniformiter remittit motum ſuum ad non gradum in aliquo puncto intrinſeco dati medii idem medium inuariatum trãſeundo Pro­batur / ſit b. poña que vniformiter continuo remit­tit motum ſuum totum c. medium tranſeundo vſ ad nõ gradum: ſit a. poña minor que habeat ad punctum initiatiuum c. medii in extremo remiſſio­ri ꝓportionem in ſexquialtero maiorem quam b. poña habeat ad punctum initiatiuum vltime q̈r-te magis reſiſtentis: ponatur a. poña in puncto initiatiuo c. medii in extremo remiſſiori: et b. poña in puncto initiatiuo vltime quarte magis reſiſten­tis: et in eodem inſtanti incipiant ab illis punctis moueri a. cõtinuo in ſexquialtero velocius io b. quo ad b. deueniat ad extremum intenſius c. medii in quo habet non gradum motus: et manifeſtū eſt / cum ſemper a. moueatur in ſexquialtero velocius ipſa b. poña:  cum b. deſcripſerit vltimam quar­tam pertranſibit a. adequate tres octauas: tunc dico /  a tranſeundo illas tres octauas continuo remittit vniformiter motum ſuum: et hoc ad non gradum continuo remittendo potentiam ſuam.

Quod ſic oſteditur / quia a. tranſeundo illas tres octauas continuo vniformiter remittit motū ſuū / vt patet ex prima ſuppoſitione iuncta hypotheſi: et tranſeundo illas tres octauas continuo remit-tit potentiam ſuaꝫ / igitur etc. Minor probatur / q2 ſi per aliquod tempus ipſa potentia a. tranſeūdo illas tres octauas ſtat, aut intenditur ſignetur il­lud et ſit g. in quo a. tranſeat .ef. adequate, et b. in eodem tempore g.d. partem adequate pertranſe­at ad quam d. partem pars .ef. habet ꝓportiõem ſexquialteram / vt patet intuēti hypotheſim: Quo poſito arguo ſic / latitudinis motus deperdite ab ipſa b. potentia tranſeundo .ef. partem adequate ad latitudinem motus deperditã ab eadem potē-tia tranſeundo d. partem in g. tempore adequate non eſt ꝓportio ſexquialtera nec maior: igitur la­titudīs deperdite ab ipſa potētia a. inuariata vel intendente potentiam ſuam tranſeundo .ef. ꝑtem in g. tempore adequate ad latitudinem deperdi-tam ab ipſa potentia b. tranſeundo adequate d. partem in eodem tempore g. non ē ꝓportio ſexqui­altera nec maior: ſed conſequens eſt falſuꝫ: igitur illud ex quo ſequitur. Conſequentia patet / vt ſu-pra in concluſione ſecunda et ſimiliter antecedēs cum falſitate conſequentis: Et ſic patet concluſio. ¶ Ex quo ſequitur /  vbi aliqua potentia inuaria­ta aliquod medium inuariatum tranſeundo vni-formiter continuo remittit motum ſuum ad non gradum: omnis potentia minor habens ad pun-ctum initiatiuum eiuſdem medii ī extremo remiſ­ſiori ꝓportionem maioris inequalitatis ideꝫ me­dium inuariatum tranſeundo continuo vniformi­ter remittit motum ſuum vſ ad non gradum in aliquo puncto intrinſeco per continuam ſue po-tentie remiſſionem. Probatur / ſit b. potentia que inuariata c. medium inuariatum vniformiter re-mittit motum ſuum ad non gradum: ſit a. poña minor que habeat ad punctum initiatiuum eiuſ-dem c. medii in exiremo remiſſiori ꝓportionem in h. ꝓportione minorem quam ſit ꝓportio ipſiꝰ po­tentie b. ad idem punctum initiatiuum ponatur b. potentia in īitio ſecunde partis ꝓportionabi-lis ipſius c. medii diuiſi ꝓportione h. minoribus verſus extremu m intenſius terminatis: et incipiãt in eodem inſtanti a punctis in quibus ponuntur moueri verſus extremum intenſius: ſit continuo inter motus illarum potentiaruꝫ ea ꝓportio ade­quate que eſt inter ꝓportionem quam habet a. ad punctum initiatiuum c. medii et ꝓportionem quaꝫ habet b. ad punctum initiatiuum ſecunde partis ꝓportionalis ipſius c. medii diuiſi h. ꝓportione: tunc dico /  a. et b. continuo vniformiter remittūt motum ſuum vſ ad non gradum idem medium inuariatum tranſeundo: a. continuo remittēte po­tentiam ſuam. Quod ſic oſtenditur / quia vel pro-portio ipſius a. ad punctum initiatiuum ipſius c. medii eſt equalis ꝓportioni ipſius b. ad punctum initiatiuum ſecunde partis ꝓportionalis c. medii diuiſi etc. vel maior vel minor (Eſt enim altera al-teri comparabilis: cum vtra ſit maioris inequa­litatis ex hypotheſi) Si ſit equalis ſequitur /  cõ-tinuo equaliter mouebuntur ex hypotheſi: et ex cõ­ſequenti cum b. fuerit in termino c. medii ī quo mo­ tus eius eſt remiſſus ad non gradum ex hypothe-ſi a. erit in aliquo puncto intrinſeco tantum vide-licet diſtante ab extremo remiſſiori c. medii quan­tum diſtat extremū intenſius a puncto a quo ince­pit moueri b. / vt ↄ̨ſtat (eq̄ velociṫ eī a. cū b. ↄ̨tinuo mouetur) et in tali puncto a. poña remittit motum ſuum ad non gradum cum nunquam moueat̄̄ ve-locius aut tardius quam b. / igitur a. poña tranſe-undo illam partem c. medii continuo vniformiter remittit motum ſuum ad non gradum: et continuo tranſeundo illam partem remittit potentiam ſuã / igitur propoſitum. Probatur minor videlicet /  a. potentia continuo tranſeundo illam partem re­mittit potentiam ſuam: quia ſi non detur tempus per quod poña a. tranſeundo illam partem c. me­dii ſtet inuariata, aut intendat poñam ſuam, et ſit g. ſit pars pertranſita ab a. potentia in g. tem-pore adequate f. et pertranſita .ab. potentia in eo­dem tempore e. / quo poſito arguitur ſic. maior eſt latitudo motus deperdita a b. poña tranſeundo e. partem quam latitudo deperdita ab eadem poña b. tranſeundo f. parteꝫ adequate / vt patet ex ſecunda ſuppoſitione huius capitis (Magis eni3 reſiſtit e. quam f. / vt patet intuenti) / ergo maior eſt latitudo motus deperdita ab ipſa poña b. tranſe­undo e. partem in g. tempore adequate quã ſit la-titudo deperdita ab a. poña ſtante inuariata vel ī­tendente continuo poñam ſuam f. partem tranſe-undo in eodem g. tempore adequate: ſed cõſequēs eſt falſum / igitur illud ex quo ſequitur: Patet hec conſequentia / quia potentie inequales inuariate idem medium etc. tranſeundo equalem latitudinē motus deperdunt. et ſi aliqua potentia tranſeūdo idem medium inuariatum remittendo motum ſuuꝫ etc. intendo motum ſuum etc. intendat potentiam ſuam: minorem latitudinem motus deperdit quã ſi ſtaret idem medium inuariatum tranſeundo / vt patet ex quarto argumento ſexti capitis ſepius allegato. Sed falſitas conſequentis probatur: q2 ſi latitudo motus deperdita ab ipſa b. potētia e. ꝑtē trãſeūdo ī g. tꝑe adeq̈te ē maior quã latitudo deperdita ab eadē b. poña trãſeūdo f. ꝑtē in g. tꝑe adeq̈te: et a prīcipio motus ipſiꝰ b. eſt eq̈lis motui ipſius a. / ergo ſequitur /  facta tali variatione la­titudo motus ipſius b. non eſt equalis latitudini motus ipſius a. / quod eſt contra hypotheſim. Cõ-ſequentia patet ex primo correlario quinte cõclu­ſionis ſecundi capitis ſecunde partis. Si autē ꝓ-portio a. ad punctum initiatiuum c. medii eſt ma-ior ꝓportione b. ad punctum initiatiuum ſecunde partis ꝓportionalis c. medii diuiſi per partes ꝓ­portionales ꝓportione h. ſit maior in l. ꝓportio-ne / et ſequitur /  cõtinuo in l. ꝓportione ipſa potē-tia a. velocius mouebitur quaꝫ potentia b. / et ex cõ­ſequenti cū b. fuerit in termino c. medii in quo mo­tus eius eſt remiſſus ad non gradum / ex hypothe-ſi a. erit in aliquo puncto in l. ꝓportione magꝪ di­ſtante ab extremo remiſſiori c. medii quam diſtat extremum intenſius a puncto a quo a. poña ince-pit moueri: et in tali puncto remittit motū ſuū ad non gradum / vt facile ex octauo correlario quar-te concluſionis octaui capitis ſecunde partis ar-gui poteſt eo modo quo ſepius argutum eſt: et con­tinuo deueniendo vſ ad illud punctum vniformi­ter remittit motum ſuum: quemadmodum ſepius argutum eſt: et continuo remittit potentiam ſuam et punctus ille in quo motus eius remiſſns ē ad nõ gradum eſt intrinſecus: igitur propoſitum. Sed probatur /  a. poña continuo remittit potentiam ſuam quia a. potentia nunquam attinget b. poten­tiam precedentem: igitur continuo mouebitur cum minori reſiſtentia. et per conſequens cõtinuo remit-tit potentiam ſuam. Patet hec conſequentia ex ſe-pius ſuperius dictis. Et probatur antecedens vide­delicet /  a. nūquam attinget b. quia ſi attingit de-tur in quo inſtanti attingit / et ſequitur /  ſemper an­tea a principio mouebatur cum minori reſiſtentia: et per conſequens remittebat poñam ſuam cõtinuo vt iam ſepe argutum eſt: igitur continuo manſit mi­nor: et in illo tempore adequate pertranſit maius ſpacium per te: q2 b. precedebat: et continuo moue-batur: igitur in eodem tempore adequate mai ſpa­cium pertranſit poña minor continuo manens mi-nor cum eadem reſiſtentia non variata quam potē­tia maior manēs maior / quod eſt impoſſibile: et per conſequens illud ex quo ſequitur videlicet /  aliquã­do a. attingat b. Et ex hoc ſatis cõſtat /  punctus il­le in quo motus eius eſt remiſſus ad non graduꝫ eſt punctus intrinſecus: quia motus eius eſt remiſſus ad non gradum in eodem inſtanti in quo motus b. et non in eodem puncto medii: quia iam attingeret b. et b. ī extrinſeco. Si autem proportio ipſius a. ad punctum initiatiuum c. medii eſt minor ꝓportione ipſius b. ad punctum initiatiuum ſecunde partis ꝓ­portionalis ipſius c. medii diuiſi ꝓportiõe h. etc. ſit minor in l. ꝓportione: et ſequitur /  continuo ia po­tentia a. in l. ꝓportione tardius mouebitur quam poña b. / et ex conſequenti cum b. fuerit in termino c. medii in quo motus eius eſt remiſſus ad non gradū / ex hypotheſi a. erit in puncto aliquo intrinſeco in l. ꝓportione minus diſtante ab extremo remiſſiori c. medii / quam diſtet extremuꝫ a puncto a quo incepit moueri b. / vt conſtat: et in tali puncto a. poña remit-tit motum ſuum ad non gradum / vt patet ex ſuperi-oribus et continuo vniformiter remittendo motum ſuum: et hoc per continuam eius remiſſionem / igitur ꝓpoſitum. Prima pars minoris patet ex prīa ſup­poſitione huius. Sed  continue remittat potētiaꝫ ſuam probatur: quia ſemper mouebitur cum mino­ri reſiſtentia quam b. in l. ꝓportione tardius conti-nuo remittendo motum vniformiter: igitur cõtinue remittit poñam ſuam: Conſequentia patet intelli-genti modum probandi alias concluſiones: et an­tecedens ſimiliter. Et ſic ptꝫ correlarium.

correla.

Sexta concluſio Ubi aliqua potentia inuariata aliquod medium inuariatum tranſeun-do vniformiter continuo remittit motum ſuum ad non gradum: omnis poña minor habens ꝓportio-nem maioris inequalitatis ad punctum initiatiuū c. medii in extremo remiſſiori valet motum ſuum cõ­tinuo vniformiter ad non gradum remittere idem medium inuariatum tranſeundo. aliquando inten­dendo potentiam, quando vero continuo remit-tendo. Probatur hec concluſio / et ſit b. poña que in­uariata c. medium inuariatum tranſeundo conti-nuo vniformiter remittit motū ſuū ad nõ gradū ī ex­tremo intenſiori c. medii: ſit a. poña minor habēs ad punctum initiatiuum c. medii in extremo remiſ-ſiori ꝓportionem maioris inequalitatis in h. ꝓpor­tione minorem quam ad idem punctum habeat b. potentia: et manifeſtum eſt /  ad aliquod punctum intrinſecum habet a. potentia proportionem equalitatis: capio igitur totam illam partem c. medii a puncto videlicet initiatiuo in extremo re-miſſiori vſ ad illum punctum ad quem habet pro­portionem equalitatis ipſa a. poña: et diuido illaꝫ partem per partes ꝓportionales ꝓportione h. et po­ natur a. poña in initio ſecūde partis ꝓportionalis illius partis c. medii ſic diuiſi ꝓportione h. / et cõſtat ꝓportionem quam habet b. ad punctum initiatiuū c. medii in extremo remiſſiori ſe habere in maiori ꝓ­portione quam h. ad ꝓportionem quaꝫ habet a. po­tentia minor ad illum punctum intrinſecum in quo pouitur: ſit igitur illa ꝓportio l. et incipiat ab eo-dem inſtanti moueri illa poñe: b. a puncto initiati-uo c. medii in extremo remiſſiori: a. vero a puncto il­lo in quo ponitur: et ita varietur a. /  continuo mo-ueatur in l. ꝓportione tardius ipſa b. poña. tunc di­co /  a. continuo vniformiter remittit motum ſuum ad non gradū, aliquando intendendo continuo po­tentiam ſuam, aliquando vero continuo remitten-do. Quod ſic probatur: quia a. continuo vniformi-ter remittit motum ſuum vſ ad non gradum cum continuo in l. ꝓportione tardius moueatur ꝙ̄ ipſa potentia b. continuo vniformiter remittens motuꝫ ſuum vſ ad non gradum in eodem tempore adeq̈-te: et per totum tempus quo precedet a. poña, ipſam potentiam b. (quia precedit ex hypotheſi) ipſa con-tinuo intendet poñam ſuaꝫ: et per totum tempꝰ quo ſequetur b. potentiam, ipſa continuo remittit po-tentiam ſuam: igitur a. potentia continuo vniformi­ter remittit motum ſuum ad non gradum aliquãdo continuo intendendo poñam et aliquando cõtinuo remittendo. Conſequentia patet: et probatur ante-cedens: ꝓbando primum /  a. poña aliquando ce­det: et aliquando ſequitur b. poñam: quia b. poten-tia deueniet ad punctum ad quem habet a. potētia ꝓportioneꝫ equalitatis in principio motus: et tunc a. poña ſequetur eam: igitur a. poña aliquando ſe-quetur b. poñam: et aliquando precedet / vt patet ex hypotheſi: igitur per aliquod tempus precedet / et ꝑ aliquod ſequetur: Sed ꝓbatur /  cum b. erit ad pū­ctum ad quem a principio motus a. habet propor-tionem equalitatis. ipſa b. potentia precedet a. / q2 ſi continuo b. potentia moueretur velocius in h. ꝓ-portione quam a. cum reſiduo hypotheſis: eque pri­mo a. et b. deuenirent ad illum punctum ad quem a. potentia habet proportionem equalitatis a prin-cipio motus: quoniam tunc pertranſirent in eodem tempore adequate ſpacia ſe habentia in h. ꝓportio­ne / vt patet ex hypotheſi: iuuamine prime concluſio­nis quinti capitis prime partis: ſed b. modo conti-nuo in maiori ꝓportione velocius mouetur ia po­tentia a. / quam tunc ceteris omnibus paribus: igi-tur citius modo et prius b. potentia attinget illū pū­ctum quam a. potentia: et per conſequens cuꝫ b. erit ad punctum ad quem a principio motus a. habet ꝓ­portionem equalitatis: ipſa b. potentia precedet a. / quod fuit probandum. Et iſto probato iam probo primam partem minoris videlicet /  per illud tem-pus quo precedet a. potentia ipſaꝫ poñam b. ia a. poña continuo intendit poñam ſuam: quia per nul­lam partem talis temporis ipſa poña a. ſtat inua-riata, aut remittit poñam ſuam: igitur continuo in­tendit poñam ſuam. Probatur antecedens: quia ſi per aliquam partem illius temporis poña a. ſtat in­uariata, aut remittit poñam ſuam: ſignetur illud. et ſit g. et pars pertranſita adequate in eodem g. tem­pore ab ipſa potentia b. ſit .ef. et pars ꝑtranſita ab a. poña in eodem d. tꝑe ſit d. / et manifeſtum eſt /  ip-ſius .ef. partis ad d. partem eſt ꝓportio l. cum ſem-per b. poña in l. proportione velocius moueatur ip­ſa a. poña / vt patet ex hypotheſi. Quo poſito argui­tur ſic / latitudinis motus deperdite ab ipſa poña b. tranſeundo .ef. parteꝫ in g. tempore adequate ad latitudinem motus deperditam ab eadem potētia b. tranſeundo d. partem non eſt proportio l. nec ma­ior: ergo latitudinis motus deperdite ab ipſa b. po­tentia tranſeundo .ef. partem in tempore g. adequa­te ad latitudinem motus deperditam ab a. potētia ſtante inuariata vel remittente potentiam ſuã tran­ſeundo d. partem in g. tempore adequate non eſt ꝓ­portio l. nec maior: ſed conſequens eſt falſuꝫ: igitur illud ex quo ſequitur. Patet conſequentia: q2 om-nes poñe inuariate ſiue equales ſiue inequales ideꝫ medium etc. tranſeundo equalem latitudinem mo-tus deperdunt: et ſi aliqua potentia tranſeundo ali­quod medium inuariatum remittendo motum ſuuꝫ etc. remittat potentiam ſuam: ipſa maiorem latitu­dinem motus deperdit quam ſi ſtaret idem mediuꝫ inuariatum tranſeundo etc. / vt conſtat ex quarto ar­gumento ſexti capitis ſepius allegato. Sed falſi­tas conſequentis ꝓbatur / quia ſi latitudinis deper­dite ab ipſa potentia b. tranſeundo .ef. partem ī g. tempore ad velocitatem deperditam ab a. poña trã­ſeundo d. partem in eodem g. tempore non eſt pro-portio l. nec maior: et a prīcipio motus ipſius b. ad motum ipſius a. eſt proportio l. / ſequitur /  facta ta­li variatione latitudinis motus ipſius b. ad latitu­dinem motus ipſius a. non eſt ꝓportio l. nec maior / quod eſt contra hypotheſim. Conſequentia tamen patet ex primo et ſecundo correlariis quinte conclu­ſionis ſecundi capitis ſecunde partis: Sed antece-dens eodem modo ꝓbabis omnino quo probatum eſt in quarta concluſione huius. Iam probat̄̄ ſecun­da pars minoris videlicet /  per totum tēpus quo a. poña b. poñam ſequetur: continuo a. poña remit­tet potentiam ſuam. quia ſi per aliquam partem il­lius temporis ſtat inuariata, aut intendit potentiã ſignetur illa pars temporis, et ſit g. in quo a. tranſe­at d. partem adequate, et b. in eodem g. tempore .ef. partem adequate pertranſeat: et manifeſtum ē /  ip­ſius .ef. partis ad ipſam d. partem eſt ꝓportio l. / vt patet intuenti hypotheſim. Quo poſito arguo ſic / latitudinis motus deperdite ab ipſa b. poña tran­ſeūdo .ef. partem adequate ad latitudinē motus de­perditam ab eadem b. poña tranſeundo d. partem adequate eſt maior ꝓportio ꝙ̄ l. / igitur latitudinis motus deperdite ab ipſa poña b. tranſeundo .ef. ꝑ-tem in g. tempore adequate ad latitudinem motus deperditam ab ipſa poña a. ſtante inuariata vel in­tendente poñam ſuam tranſeundo adequate d. par­tem in eodem g. tempore eſt maior ꝓportio ꝙ̄ l. / ſed conſequens eſt falſum / igitur illud ex quo ſequitur. Conſequentia cum falſitate conſequentis patet: et antecedens ꝓbatur videlicet /  latitudinis motus deperdite ab ipſa poña b. tranſeundo .ef. parteꝫ in g. tempore adequate ad latitudinem motus deper-ditam ab eadem poña b. tranſeundo d. partem ade­quate: eſt maior ꝓportio quam l. quia ipſius .ef. ꝑ-tis ad d. partem eſt ꝓportio l. et quamlibet partem exceſſus minorem d. parte ipſius .ef. partis b. poña tranſeundo continuo mouetur cum maiori reſiſten­tia quam tranſeundo quãlibet partem equalem ip­ſius d. partis: quoniaꝫ quelibet pars illius exceſſus plus diſtat a puncto initiatiuo c. medii quam que-libet pars ipſius d. partis diſtat ab eodem puncto (ſigno enim exceſſum verſus extremum intenſius) / igitur ex tertia ſuppoſitione huius. latitudinis de­perdite ab ipſa b. poña tranſeundo .ef. partem ī g. tempore adequate ad latitudinem motus deperdi­tam ab eadem b. poña tranſeundo d. partem ade­quate eſt maior ꝓportio quam l. / quod erat oſtendē­dum. Patet igitur concluſio.

Septima concluſio / vbi aliqua poten­ tia vniformiter continuo remittit motum ſuum ad non gradum aliquod medium inuariatum tranſe-undo: poña ei equalis valet continuo vniformiter remittere motum ſuum ad non gradum idem medi­um tranſeundo per ſui continuam remiſſionem.

Probatur / ſit b. poña que īuariata vniformiter cõ­tinuo remittit motum ſuum ad non gradum c. me-dium tranſeundo inuariatum: ſit a. poña ei equa­lis: et ponatur b. poña in puncto initiatiuo vltime quarte magis reſiſtentis ad quem habet proportio­nem ſubduplam ad illam quam habet ad punctum initiatiuum c. medii in extremo remiſſiori / et pona-tur poña a. ad punctum initiatiuū c. medii in extre-mo remiſſiori ad quam habet ꝓportioneꝫ in duplo maiorem ad ꝓportionem quam habet b. ad punctū in quo ponitur / vt conſtat: cum ſint equales: incipi-ant / igitur moueri ille due poñe in eodē īſtanti a pū­ctis in quibus ponuntur et moueatur a. continuo in duplo velocius b. / tunc dico /  a. continuo vniformi­formiter remittit motum ſuum ad non gradum: et hoc per ſue poñe continuam remiſſioneꝫ. Quod ſic ꝓbatur / quia a. continuo vniformiter remittit mo-tum ſuum / vt ſepius ꝓbatuꝫ eſt: et remittit ad nõ gra­dum: et continuo remittit potentiam ſuam: igitur ꝓ­poſitum. Probatur prima pars minoris / quoniaꝫ ſemper a. mouetur in duplo velocius quam b. ex hy­potheſi: igitur / quando b. potentia erit in termino c. medii a. potentia erit in termino duarum ṗmarū quartarum. Patet hec conſequentia adiecta hypo­theſi antecedenti: ſed cum b. remittit motum ſuum ad non gradum etiam a remittit motum ſuum ad non gradum: quia continuo motus illarum poten-tiarum ſe habent in proportione dupla: igitur cum vnus totaliter deperditur: etiam et alter: et ex conſe­quenti cuꝫ b. poña remittit motum ſuum ad nõ gra­dum in extremo intenſiori c. medii a. potentia remit­tit motum ſuum ad non gradum in fine duarū pri-marum quartarum. Sed iam probo ſecundam par­tem minoris videlicet /  a. continuo remittit poten­tiam ſuam: quia ſi per aliquod tempus ſtaret aut ī­tenderet potentiam ſuam, ſignetur illud tempus et ſit g. in quo a. potentia tranſeat adequate .ef. par-tem, et in eodem g. tempore b. potentia pertran-ſeat d. partem adequate: et manifeſtum eſt /  .ef. ꝑ-tis ad d. partem eſt proportio dupla. / quo poſito ar­guitur ſic latitudinis motus deperdite ab ipſa po­tentia b. tranſeundo .ef. partem ad latitudinem de­perditam ab eadem poña b. tranſeundo d. partem in g. tempore adequate non eſt ꝓportio dupla: igi-tur latitudinis deperdite ab a. poña ſtante inuaria­ta vel intendente poñam ſuam tranſeundo .ef. par­tem adequate ī g. tempore ad latitudinem deper­ditam a b. poña tranſeundo d. partem in eodem g. tempore adequate non eſt ꝓportio dupla: ſed con-ſequens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Cõ­ſequentia patet cum falſitate conſequentis ex ſupe­rius dictis. Iam probatur antecedens / quia .ef. par­tis ad d. partem eſt ꝓportio dupla et b. poña tran-ſeundo quamlibet parteꝫ exceſſus minorem d. quo exceſſu .ef. pars excedit d. partem mouetur cõtinuo cum maiori reſiſtentia quam tranſeundo quamli-bet partem equalem ipſius d. partis quia quelibet pars talis exceſſus īmo tota .ef. pars minus reſiſtit cum ſit ꝓpinquior extremo remiſſiori ipſius c. me-dii / vt patet ex ꝓbatione prioris partis: igitur lati­tudinis motus deperdite ab ipſa potentia b. tran­ſeundo .ef. partem adequate ad latitudinem deꝑ-ditam ab eadem poña tranſeundo d. partem ade-quate non eſt ꝓportio dupla. Patet hec cõſeq̄ntia ex quarta ſuppoſitiõe huius. Et ſic patet concluſio. ¶ Ex quo ſequitur /  vbi aliqua potentia inuaria-ta vniformiter continuo remittit motum ſuum .etc̈. potentia ei equalis idem medium inuariatū tran-ſeundo valet vniformiter continuo motum ſuum re­mittere per ſui continuam intēſionem. Probatur / ſit b. potena que inuariata totnm c. medii tran-ſeundo vniformiter continuo valet motum ſuū re-mittere: ſit a. potentia equalis que ponatur ad punctum initiatiuū vltime quarte magis reſiſten-tis b. potētia poſita in extremo remiſſiori c. medii / et manifeſtum eſt /  proportio b. ad punctuꝫ in quo ponitur eſt dupla ad proportionem a. ad punctum in quo ponitur: incipiant igtur in eodem inſtãti ab illis punctis continuo moueri a: et b. b potentia cõ-tinuo in duplo velociꝰ ipſa a. ponã. Tūc dico /  a. poña illã vltimã quartã trãſeundo (quã īuariatã b. potentia inuariata tranſeundo vniformiter contic­nuo remittit motum ſuum) vniformiter cõtinuo re-mittit motum ſuum per ſue potentie coutinuã intē-ſionem. Quod ſic probatur / quia a. potentia conti­nuo vniformiter remittit motum ſuum / vt conſtat: et hoc continuo inteudendo potentiam ſuam: igitur propoſitum. Probatur minor: quia ſi ipſa poten-tia a. per aliquod tempus ſtat inuariata aut remit­tit potentiam ſuam, ſignetur illud tempus, et ſit g. in quo b. potentia tranſeat .ef. partem adequate: et in eodem g. tempore a potentia pertrãſeat d. par­tem adequate: et cõſtat / ipſius .ef. partis ad d. par-tem eſſe duplam proportionem / et ptꝫ ex hypotheſi: quo poſito arguitur ſic / latitudinis motus deperdi­te ab ipſa potentia b. tranſeundo .ef. partem ad la­titudinem motus deperditam ab eadem potentia b. tranſeundo d. partem adequate non eſt propor-tio dupla: igitur latitudinis motus deperdite ab ipſa b. potentia tranſeundo .ef. partem in g. tempo­re adequate ad latitudinem deperditam ab a. po-tentia tranſeundo d. partem in g. tempore adequa­te non eſt proportio dupla: ſed conſequens eſt fal-ſum: igitur illud ex quo ſequitur. Conſequentia ptꝫ cum falſitate conſequentis ex ſuperius dictis: et ar­guitur antecedens quia ipſius .ef. partis ad ipſam d. partem eſt proportio dupla: et quamlibet parteꝫ exceſſus minorē ipſa d. parte quo exceſſu .ef. pars excedit d. partem tranſeundo b. potentia mouetur cum minori reſiſtentia quam equalem partem ipſi­us d. partis tranſeundo: quoniam quelibet pars illius exceſſus: īmo tota .ef. pars minus reſiſtit quã ipſa d. pars: igitur latitudinis motus deꝑerdite a b. potentia tranſeundo .ef. partem in g. tēpore ade­quate ad latitudinem motus deperditã ab eadem potentia b. tranſeundo d. partem non eſt propor-tio dupla. Et ſic ptꝫ correlariū. ¶ Patet etiã quibꝰ modis poña equalis potētie remittēti motū ſuū cõ­tinuo vniformiter īuariatū mediū trãſeundo valet motū ſuū remittere. Utrū autē poña aliqua vnifor­miter medio īuariato remittēte cõtinuo motū ſuū, valeat equalis poña cõtinuo vniformiter remitte-re motū ſuū, aliqñ ītendendo poñam, aliqñ vero re­mittendo: tu ipſe inras. Et ſi e michi id īpoſſibi­le eſſe appareat nichilominus demõſtratio efficax non occurrit.

3. correĺ. Dubiū

Octaua cõcluſio. Ubi aliqua potētia īuariata mediū īuariatū tranſeundo cõtinuo vni-formiter remittit motū ſuū: aliqua maior valet cõ-tinuo vniformiter: et eque velociter cū eadē motum ſuū remittere per ſui continuã intenſionē. Proba-tur / ſit b. potentia que īuariata c. mediū inuariatū trãſeundo cõtinuo vniformiter remittit motū ſuuꝫ ſit a. potentia maior que ad aliquē punctū intrī-ſecū ipſius c. medii habeat equalē proportionē illi ꝓportioni quã habet b. potentia ad punctū initia-tiuū c. medii in extremo remiſſiori: et moueãtur ille potentie cõtinuo ab eadē ꝓportione: et tunc dico /  ipſa a. potentia cõtinuo vniformiter et eque veloci-ter cū b. potentia remittit motū ſuū illam partē c. medii tranſeundo que intercipitur inter punctū ter­minatiuū c. medii in extremo intenſiori et punctum a quo incipit ipſa a. potentia moueri. Quod ſic ꝓ-batur / q2 a. potentia continuo vniformiter motum ſuū: et continuo eque velociter remittit ſicut b. potē­tia tranſeundo illam partē c. medii que ſignatur in hypotheſi. Et cõtinuo intendit potentiã ſuã: igitur ꝓpoſitū. Maior ꝓbatur / q2 motus ipſius a. ↄ̨tinuo eſt equalis motui ipſiꝰ b. ex hypotheſi: et b. cõtinuo vniformiter remittit motū ſuū datã partē c. medii quã etiã pertranſit a. trãſeuudo: igitur a. continuo vniformiter et eque velociter remittit motū ſuū cuꝫ ipſa b. potentia tranſeundo datam partē c. medii. Patet cõſequentia: quoniã ſi ab equalibus equa-lia demas remanētia ſunt equalia. Et demo rema­nentes motus a. motibus deperditis. Iam ꝓbatur minor: quoniã ſi per aliquod tēpus a. potentia ſtat inuariata, aut remittit potentiã ſuã: ſignetur illud et ſit g. in quo b. potentia pertranſeat adequate d. partē c. medii et a. potentia in eodē g. tēporē pertrã­ſeat e. partē adequate. Et manifeſtū eſt /  ipſius e. ad d. eſt ꝓportio equalitatis / vt patet ex hypotheſi Quo poſito arguitur ſic / latitudinis motus deper­dite ab ipſa b. potentia tranſeundo e. partē ad la-titudinē motus deperditam ab eadem b. potentia tranſeundo d. partem in g. tēpore adequate non eſt ꝓportio equalitatis: igitur latitudinis motus de-perdite ab a. poteutia ſtante aut remittente poten­tiam ſuã tranſeundo e. partē in g. tēpore adequate ad latitudinē motus deperditã a b. potentia tran-ſeundo d. partē in eodem g. tēpore adequate nõ eſt proportio equalitatis. Conſequens eſt falſum: vt patet ex probatione maioris: igitur illud ex quo ſequitur. Conſequentia patet per locum a maiori auxiliante quarto argumento ſexti capitis huius tractatus: vbi habetur /  omnes potentie inuari-ate idem medium inuariatum tranſeuntes .etc̈. An-tecedens autem patet manifeſte ex ſecunda ſuppo-ſitione huius capitis: hoc addito /  e. pars magis reſiſtit ꝙ̄ d. quia a. continuo mouetur in parte ma-gis reſiſtente ex hypotheſi. Et ſic patet concluſio.

¶ Ex quo ſequitur /  vbi aliqua potentia non va-riata continuo vniformiter remittit motum ſuum ad non gradum medium inuariatum tranſeundo: omnis potentia maior per ſui continuam intenſi-onem idem medium inuariatum tranſeundo valet motum ſuum continuo vniformiter remittere. Et hoc continuo ꝙ̄ data potentia inuariata velocius remittendo. Prima pars huius correlarii eſt pri-mum correlarium prime concluſionis huius capi-tis. Et ſecunda probatur: ſuppoſſto hypotheſi pre­dicti correlarii videlicet /  a. potentia maior ipſa b. potentia continuo moueatur velocius in h. pro-portione ꝙ̄ eadem b. potentia. Et tunc dico /  a. po­tentia continuo velocius remittit motum ſuum ̄ ipſa b. potentia. Quod ſic probatur: quia a. potē-tia continuo velocius in h. ꝓportione remittit mo­tum ſuū ꝙ̄ b. / igitur continuo velocius remittit mo-tum ſuū ꝙ̄ b. ↄ̨ña patet. Et probatur añs / q2 motus b. et a. continuo remittuntur cõtinuo ſe habentes in eadē ꝓportione puta h. et motꝰ a. cõtinuo eſt ma-ior: igr̄ cõtinuo motus deꝑditꝰ ab a. eſt in h: ꝓpor-tione maior motu deꝑdito a b. et ꝑ ↄ̨ñs a. potentia cõtinuo velociꝰ in h. ꝓportiõe remittit motū ſuū ̄ b. / qḋ fuit ꝓbandū: ptꝫ ↄ̨ña ex ṗmo correlario quīte cõcluſiõis ſecūdi capitis ſcḋe partꝪ. ¶ Setur ſcḋo /  vbi aliq̈ poña nõ variata .etc̈. oīs maior ꝑ ſui cõti-nuã remiſſionē idē mediū īuariatū trãſeundo cõti-nuo vniformiter remittit motū ſuū. Et hoc cõtinuo velociꝰ data potētia minori. Prima pars huiꝰ cor­relarii eſt correlariū ſecūde cõcluſiõis huiꝰ capitis Et ſcḋa pars (ſuppoſita hypotheſi eiuſdē correla-rii) eandē cū precedenti demonſtrationem affectat ¶ Sequit̄̄ tertio. Ubi aliqua potētia nõ variata cõ­tinuo mediū nõ variatū trãſeūdo motū ſuū vnifor­miṫ ad nõ gradū remittit: oīs minor hñs ad pūctū eiuſdē medii initiatiuū in extremo remiſſiori ꝓpor­tionē maioris īequalitatis valet motū ſuū cõtinuo vniformiter remittere ꝑ ſui cõtinuã remiſſionē. Et hoc cõtinuo ita velociter remittēdo ſicut ipſa potē­tia maior īuariata. Prima pars huiꝰ eſt correla-riū quīte cõcluſionis. Et ſcḋa demõſtrationē huius exrit. ¶ Setur q̈rto:  vbi aliqua potētia īuaria­ta mediū īuariatū trãſeundo .etc̈. Oīs minor hñs. etc̈. (ſub tenore cedētis). Et hoc cõtinuo velociꝰ re-mittēdo motū ſuū ꝙ̄ potētia maior īuariata. ¶ Se­quit̄̄ quīto:  vbi aliqua poña īuariata .etc̈. (ſub te­nore ſexte cõcluſionis). Et hoc cõtinuo tardiꝰ poña minore remittente quaꝫ poña maior īuariata. Hec duo correlaria facile ex dictis oſtenſionē accipiūt manifeſtã ¶ His adde /  tot correlaria et cõcluſiões poſſunt īferri et demõſtrari de intēſione motꝰ cõti-nuo vniformi in medio īuariato, ſicut de remiſſiõe Quēadmodū e dictū eſt /  vbi aliqua potētia in­uariata mediū īuariatū trãſeundo vniformiter cõ­tinuo remittit motū ſuū a certo gradu vſ ad non gradū: aliqua maior ꝑ ſui cõtinuam intēſionē vni-formiter cõtinuo valet motū ſuū remittere idē me-diū trãſeundo. ita etiã poteſt poni talis cõcluſio  vbi potētia aliqua īuariata aliqḋ mediū trãſeūdo īuariatū, vniformiter ↄ̨tinuo motū ſuū a nõ gradu vſ ad certū gradū intendit: aliqua poña maior ꝑ ſui cõtinuã remiſſionē valet motū ſuū cõtinuo vni-formiter intēdere idē mediū īuariatū tranſeundo. Et iſto modo multa ſimilia poteris inferre. Que oīa predictorum auxilio ſuam ſortiuntur oſtenſio-nem ſiue demonſtrationem.

2. correĺ. 3. correĺ. 4. correĺ. 5. correĺ.
Capitulum nonum / quod obiicit cõcluſioni­bus duoꝝ cedentium capitum.

COntra ſcḋaꝫ ↄ̨̨cluſionē ſepti-mi capitis argr̄ ſic: q2 illa cõcluſio eſt ī-poſſibilis: igr̄ nõ eſt bene poſita. Pro-batur añs: q2 ſi illa poſſet verificari maxīe eſſet in caſu poſito ad eã oſtendendã capite ſeptimo: ſed in illo caſu m mobile / qḋ cõtinuo mouet̄̄ ꝑ mediū dif­forme cõtinuo mouet̄̄ cū minori reſiſtētia quã mo-bile primū / qḋ mouet̄̄ ꝑ mediū 6vniforme: igit̄̄ illud mobile m, qḋ mouet̄̄ in illo ſcḋo medio difformi cõtinuo velociꝰ mouet̄̄ quã primū mobile in illo ca­ſu illiꝰ cõcluſionis: et ꝑ ↄ̨ñs in tali caſu m mobile nõ vniformiter remittit motū ſuū. Probat̄̄ minor / q2 cõtinuo vna medietas ſcḋi mobilis qḋ in medio difformi mouet̄̄ cū minori reſiſtētia mouet̄̄ quã cor­reſpõdēs medietas alteriꝰ mobilis in ṗmo medio: et ſcḋa medietas ſcḋi mobilis cõtinuo mouet̄̄ cū re-ſiſtētia eq̈li aut minori quã correſpõdēs medietas alteriꝰ mobilis qḋ mouet̄̄ in ṗmo medio: igr̄ cõti-nuo m mobile mouet̄̄ cū minori reſiſtētia in ſuo ſe­ cūdo medio difformi quã motū ī ṗmo medio. Pro­batur añs / q2 ex caſu ibi poſito cõtinuo vnꝰ punctꝰ ad quē eſt mobile in illo medio difformi tantū reſi­ſtit adequate ſicut libet punctꝰ ṗmi medii: et nullꝰ aliꝰ t: igr̄ tota vna medietas ſcḋi mobilis ꝓpin-quior videlicet pūcto remiſſiori mouet̄̄ cõtinuo cū minori reſiſtētia quã correſpõdēs medietas mobi­lis / qḋ mouet̄̄ in ṗmo medio: et ſcḋa medietas ſcḋi mobilis nõ hꝫ tantã reſiſtentiã quantã hꝫ correſpõ­dens medietas mobilis in ṗmo medio niſi in vno pūcto puta in quo eſt extremitas ipſiꝰ ſecūdi mobi­lis / vt ponit caſus: igr̄ continuo vna medietas ſcḋi mobilis / qḋ in medio difformi mouet̄̄ cū minori re-ſiſtentia mouet̄̄ quã correſpõdēs medietas alteriꝰ mobilis in ṗmo medio: et ſcḋa medietas ſecūdi mo­bilis cõtinuo mouet̄̄ cū reſiſtētia equali aut mino-ri quã correſpõdēs medietas alteriꝰ mobilis / quod mouet̄̄ in ṗmo medio: qḋ fuit ꝓbandū. ¶ Dices for­te negãdo minorē: et ad ꝓbationē: dices breuiṫ ar-guentē ſupponere falſū. Supponit e /  mobilia de quibꝰ ſit mētio in caſu illiꝰ cõcluſiõis ſint quãta ſiue diuiſibilia quo ad trinã dimēſionē: et hoc (vt in quis) eſt falſū: q2 loq̄ris de mobili īdiuiſibili vĺ ſal­tē lineali. Et de talibus non procedit argumentū.

Dicitur.

Sed ↄ̨̨tra q hoc nõ ſoluit argumē-tū. Tū ṗmo / q2 īdiuiſibile nõ eſt ꝓprie mobile ſcḋm pḣm ſexto phiſicoꝝ: et ṗmo de gñatiõe. Tū ſcḋo / q2 m mediū cõtinuo minꝰ reſiſtit illi mobili quã pri-mū reſiſtat ṗmo mobili / eſto /  ſint illa mobilia īdi­uiſibilia: igr̄ ponere illa mobilia īdiuiſibilia non ſoluit argumentū: et ꝑ ↄ̨ñs ſolutio nulla. Probat̄̄ añs / q cõtinuo tota pars ꝑtrãſeunda ipſiꝰ ſecūdi medii minꝰ reſiſtit ſuo mobili quã cõſimilis pars in primo medio reſiſtat mobili / qḋ in eo mouet̄̄: et ſole ille partes diuidende ſiue ꝑtrãſeunde reſiſtunt illis mobilibꝰ: igr̄ m mediū cõtinuo minꝰ reſiſtit illi mobili quã primū reſiſtat ṗmo mobili. Maior ꝓbatur / q2 ciſe vnū punctū illiꝰ partis ad qḋ vide­licet eſt illud mobile reſiſtit t ſicut qḋlibet punctū partis correſpõdētꝪ in ṗmo medio: et qḋlibet alioꝝ pūctoꝝ in eadē parte ſcḋi medii minꝰ reſiſtit quam qḋlibet pūctū correſpõdēs in ṗmo medio: vt ptꝫ ex caſu. Nã in illo caſu ponit̄̄ /  cū in priori medio fue­rit aliq̈ reſiſtētia ꝑ totū: in ſolo pūcto vbi eſt mobi­le in ſcḋo medio ſit adeq̈te tanta reſiſtentia ceteris īuariatis: igr̄ pars ꝑtrãſeūda in ſcḋo medio minꝰ reſiſtit quã correſpõdens pars in primo medio. Et minor ꝓbat̄̄ / q2 ꝑ te ideo ponit̄̄ mobile indiuiſibile ne partes ſequētes ei reſiſtēt. Et ſi dicas /  ei reſi-ſtãt: cū ſint minoris reſiſtētie in ſcḋo medio quã in ṗmo: ſemꝑ habebo /  m mediū minꝰ reſiſtit quam primū / qḋ īferre intēdebã. ¶ Dices forte ṗmo ad au­ctoritatē pḣi /  ipſe lotur de mobili ꝓprie. Tum etiã / q2 poſſūt illa mobilia ſignari linealia. Ad ali­ud dices negãdo añs vcꝫ /  m mediū minꝰ reſiſtat ſuo mobili: et ad punctū ꝓbatiõis dices /  arguēs ſupponit falſū. Supponit e /  ille ꝑtes oēs ꝑtrã­ſeūde reſiſtãt reſiſtētia accidētali: qḋ tu nõ cõcedis. Nõ e in motu locali aut diuiſiõis oēs ꝑtes illius / qḋ diuidit̄̄ reſiſtūt / vt dicit calculator in capitulo de reactiõe ſoluēdo quartū experimentū Et ideo (vt in­quis) ſolꝰ pūctꝰ ꝑtrãſeūdꝰ reſiſtit mobili, ſiue linea diuidēda q̄ linea in vtro medio eſt eq̈lis reſiſtētie

pḣs ſex-to phiſi. ṗmo de gñatiõe. Dicitur. Calcu. in capite de reactiõe.

Sed ↄ̨̨tra. Tū primo / q2 nullū mediū reſiſtit alicui indiuiſibili quo ad localē mutationē Non e mediū reſiſtit mutationi locali niſi q2 reſi­ſtit ſue diuiſioni. Modo īdiuiſibile nõ diuidit me-diū vt illud ꝑtrãſeat: cū ſimĺ poſſet eſſe cū quolibet pūcto medii. Tū ſecūdo / q2 tunc ſequeret̄̄ /  nullum mobile extenſū et vndiqua diuiſibile poſſet vnifor­miter cõtinuo motū ſuū remittere mediū difforme tranſeūdo / ſed hoc eſt falſū: igit̄̄ illud ex quo ſequit̄̄ Falſitas cõſequētꝪ ptꝫ: q2 tūc ſequeret̄̄ /  nullū mo-bile corporeū poſſet motū ſuū cõtinuo vniformiter remittere mediū īuariatū trãſeūdo: q oporteret tale eſſe difforme. Sequela ꝓbat̄̄ / q ſi aliqḋ mobi­le vndiqua diuiſibile poſſet vniformiter cõtinuo remittere motū ſuū mediū difforme tranſeūdo: ma­xime eſſet in caſu cõcluſiõis quã īpugnamꝰ: ſed hoc eſt falſum: igitur nullū mobile corporeū poteſt mo­tum ſuū cõtinuo vniformiter remittere mediū īua-riatū trãſeūdo. Maior ptꝫ: et ſi neges illã: des aliū caſum. Et minor probatur / q2 in illo caſu mobile qḋ mouetur in ſecūdo medio velociꝰ mouetur cotinuo quã mobile motū in primo medio: igitur in illo ca-ſu illud mobile nõ vniformiter cõtinuo remittit mo­tum ſuū, vel ſaltē ſequitur /  ꝓbatio illiꝰ cõcluſiõis eſt īefficax: q2 principaliter inititur huic fundamē-to qḋ illa duo mobilia cõtinuo eque velociter mo-uentur / vt ptꝫ ibi. Probatur ãtecedes / q2 vt diceba-tur in argumento prma medietas ſecundi mobilis mouetur cõtinuo cū mīori reſiſtētia quã ſibi corre-ſpõdens in mobili qḋ mouetur in primo medio: et alia medietas ſecūdi mobilis mouetur cõtinuo cuꝫ equali aut minori reſiſtētia quã medietas ſibi cor-reſpõdens alteriꝰ mobilis qḋ mouetur in ſcḋo me-dio / vt probatū eſt: ergo mobile qḋ mouetur in ſcḋo medio velociꝰ mouetur cõtinuo quã mobile motum in primo medio. Patet cõſequentia / q2 ex caſu illa mobilia ſūt oīno equalis virtutis: igit̄̄ ſi m moue­tur continuo cum minori reſiſtētia: im ↄ̨tinuo ve-lociꝰ mouetur. ¶ Dices forte ad punctū argumenti /  illud mediū non reſiſtit niſi ſue diuiſioni. Et ideo m partes iã diuiſas inter quas eſt mobile tale me­diū nõ reſiſtit mobili: ſed ciſe m partes diuiden-das. Et nõ adhuc m quãlibet diuidendã: ſed ciſe m lineã vel ſuꝑficiē diuidendã cui ex termitas mo-bilis eſt ꝓxima: ita  vult hec reſpõſio ymaginari  cū gladiꝰ aliquid diuidit: partes iã diuiſe inter quas eſt gladius nõ reſiſtūt gladio ne diuidat ſiue moueatur diuidendo, nec etiã tota pars q̄ reſtat di­uidenda reſiſtit illi gladio m ſe et qḋlibet ſui: ſed ciſe m ſuꝑficiē vel lineã cui ↄ̨tinuo acuties gladii eſt ꝓxima. Et huic reſpõſioni videt̄̄ ſuffragari au­ctoritas calculatoris in capitulo de reactione lo-co paulo ante allegato.

Calcula. de reacṫ.

Sed contra. Tū primo / q2 hec ſolutio nullo pacto eſt apparens noīali qui huiuſcemodi ſuperficies et lineas negat. Tum ſecundo / quia quã­do aliquid diuiditur per motū localē in duas me-dietates oportet vtrã illaꝝ medietatū lo­caliter cedēdo: et tūc vtra illaꝝ medietatū reſiſtit mobili ne a ſuo loco moueat̄̄. Tū tertio / q2 tunc ſe-queretur /  eque facile eſſet diuidere vnã groſſam trabē ꝑ mediū ſicut vnã paruã partē illius / qḋ tñ eſt manifeſte falſū et ↄ̨tra expēriētiã. Sequelã tñ ptꝫ / q2 īſtrumēto diuiſio nõ maior pars reſiſtit cū diui-dit totã trabē quã cū diuidit paruã partē eiꝰ q2 nõ niſi ſuꝑficies aut linea ex ſolutiõe. Tū quarto / quia motus naturalis factꝰ ꝑ mediū vniforme velocior eſt in fine quam in principio vt inquit pḣus octauo phiſicoꝝ textu cõmenti ſeptuageſimi ſexti: cuiꝰ cau­ſa talis a naturalibꝰ aſſignatur:  illud mediū mi­nus reſiſtit in fine quã in principio: quia tūc minor pars eiꝰ reſtat diuidenda: et per ↄ̨ñs magis reſiſtit magnū mediū quã paruū. Quod tñ nõ eſſet verum ſi nõ quelib3 pars medii diuidēdi reſiſteret mobili diuidenti. Itē experiūtur natantes in flumine cum īmergūtur vſ ad fundum: et poſtea iteꝝ ad ſuper­ficiē aque redeūtes tanto aquã eis minus reſiſtere quãto ꝓximiores ſunt ſuꝑficiei: qḋ nõ eſſet ſi dūta-xat ſuperficies illa diuidenda reſiſteret.

pḣus .8. phi. tex. cõ. 76.

Et ideo reſpõdeo ad argumentū ne-gando añs: et ad ꝓbationē cõceſia maiore negãdo minorē: et ad ꝓbationē dico breuiter /  oportet di­cere partes / iam diuiſas nõ reſiſtere illi mobili ſed dūtaxat ſuꝑficies vel linea diuidenda / vt dictū eſt: et cū ꝓbatur /  quelibet pars diuidenda reſiſtit: di­co /  illud apparet michi verū naturaliter loquē-do. Ad ſingula e entia naturalia aſpiciēs nullibi inſtantiã cõperto. Quapropter et ſi illa cõcluſio et ſuus modus ꝓbandi nõ cohereat naturalibus ni-chilominꝰ tamē illa eſt poſſibilis. Nõ tamē audeo aſſeuerare nullã potentiã poſſe naturaliter motuꝫ ſuū cõtinuo vniformiter remittere mediū īuariatū difforme cõtinuo trãſeūdo: ne numero indoctoruꝫ aſcribar qui ad pauca reſpiciētes enūciat facile: teſte pḣo primo de gñatione textu cõmenti ſeptimi

primo ḋ gñatiõe tex. cõ. ſe­ptimi.

Scḋo / ↄ̨̨tra primã ↄ̨̨cluſionē octaui ca­pitis arguitur ſic / q2 vbi aliqua potētia nõ varia-ta idem mediū īuariatū tranſeūdo vniformiter cõ­tinuo remittit motū ſuū ad non g̈dū: oīs maior ad extremū intēſiꝰ deueniendo in īfinitū velociter re-mittit motū ſuū idem mediū tranſeundo: igitur in tali medio nulla maior vniformiter remittit motū ſuū. Cõſequētia eſt nota: q nulla que vniformiter remittit motū ſuū in īfinitū velociter remittit mo-tum ſuū: q iam non vniformiter remitteret. Sed añs eſt quinta cõcluſio ſeptimi capitis huiꝰ tracta­tus. ¶ Dices / et bene diſtinguēdo añs / aut vbi illa po­tentia maior manet cõtinuo nõ variata, et ſic cõce-do, aut ſi potētia varietur, et ſic ego nego: et ad ꝓ-bationē nego /  ſit quīta cõcluſio ſeptī capitis .etc̈. Dicit e / illa cõcluſio oīs poña maior nõ variata.

Dicitur.

Sed cõtra hãc ſolutionē arguitur ſic / q vbi illa poña maior variatur iuxta tenorē hu-ius ṗme ↄ̨cluſiõis: adhuc ipſa in īfinitū velociṫ re-mittit motū ſuū ſus extremū ītēſiꝰ deueniēdo: igr̄ ſolutio nulla. Cõſequētia eſt nota / et argr̄ añs: et ca­pio vnã potētiã / vt .8. q̄ vniformiṫ cõtinuo nõ varia­ta c. mediū īcipiēs a duobꝰ et termīatū ad .8. trãſeū­do remittit motum ſuum ad nõ grdum / et capio vnã aliã maiorē vt .16. q̄ variata ſufficit vniformiter cõ­tinuo remittē motū ſuū ad g̈dū totale c. mediū trã­ſeūdo: ꝑ ſui ↄ̨tinuã ītēſionē / et capio vnã ṫciã poñam q̄ ſit vt .10. / q̄ nõ variata trãſit idē mediū: et volo /  po­tētia vt .16. et poña vt .10. ponãtur in prīcipio vltime q̈rte magis reſiſtētꝪ ipſiꝰ c. medii vtpote in puncto reſiſtētie vt .4. a quo ſiĺ īcipiãt moueri ſus extre-mū ītēſiꝰ: q̊ poſito argr̄ ſic / poña vt .16. velociꝰ cõti-nuo remittit motū ſuū quã poña vt .10. illã q̈rtã trã­ſeūdo: et potētia vt .10. in īfinitū velociṫ remittit mo­tū ſuū / vt ptꝫ ex quīta cõcluſiõe ſeptimi capiꝪ alle-gata: igr̄ poña / vt .16. in īfinitū velociṫ remittit mo­tū ſuū / qḋ fuit ꝓbãdū. Ptꝫ ↄ̨ña cū mīore: et argr̄ ma­ior / q2 cõtinuo maiorē ꝓportionē ꝑdit poña vt .16. quam potentia vt .10. / igitur potentia vt .16. cõtinue velocius remittit motū ſuū quã potentia vt .10. Ar-guitur antecedens / q2 potentia vt .16. continuo mo­uetur velociꝰ quã potentia vt .10. q continuo mo-uebitur a ꝓportione dupla: et potentia vt .10. nū̄ poſt illū punctū qui eſt vt .5. mouebitur ab illa pro-portione: igitur cõtinuo potentia vt .16. trãſit par- tem equalē vel maiorē magis reſiſtentiã quã potē-tia vt .10. / et per cõſequēs ↄ̨tinuo potentia illa vt .16. maiorē proportionē deperdit per acquiſitionē re-ſiſtentie quã potentia vt .10. Patet hec conſequētia ex ſecūda ſuppoſitione octaui capitis huiꝰ. Quã-uis e hec potentia varietur: nichilominus ex par­te acquiſitionis reſiſtentie tantã ꝓportionē vel ma­iorem deperdit ac ſi maneret cõtinuo īuariata: igi­tur cõtinuo maiorē ꝓportionē deperdit / quod fuit probandum.

Reſpondeo negãdo antecedens:  ad ꝓbationē admiſſo caſu nego maiorē: et ad ꝓbatio-nem nego antecedens videlicet /  continue maiorē ꝓpõrtionē deperdit: et cum ꝓbatur concedo antece­cedens / et nego cõſequentiã: ſed bene ſequitur /  ma­iorē reſiſtentiã ꝓportiõabiliter acquirit. Quãuis e deperdat cõtinue ꝓportionē maiorē per acqui-ſitionē reſiſtentie tamen ſemper aliquã ꝓportionē acquirit per intenſionē potentie. Et ſic argumentū bene ꝓbaret ꝓpropoſitū ſi potentia non intenderetur

Sed contra / quia tunc ſequeretur /  ſi potentia illa remitteretur cõtinuo ipſa nõ poſſet vniformiter remittere motū ſuū illud mediū tran-ſeundo: ſed cõſequens eſt contra correlariū ſecūde ↄ̨cluſionis octaui capitis huiꝰ / igitur ſolutio nulla Probatur ſequela / q2 tūc talis potentia continuo moueretur velocius alia potentia maiore nõ varia­ta difformiter remittente motū ſuū idem medium tranſeundo verſus extremū intenſius: igitur con-tinuo maiorē ꝓportionē deperderet: et per conſe-quens velocius continuo remitteret motū ſuū quã potentia maior vt .10. nõ variata: et ſic nõ vniformi­ter. Cõſequentia tamen ptꝫ ex ſecūda ſuppoſitione octaui capitis preallegata. Sed ãtecedens arguit̄̄ videlicet /  potentia illa vt .16. cõtinuo velociꝰ mo-ueretur: et pono potentiã vt .16. ſimul cum potentia vt .10. ad principiū vltime quarte puta ad punctum vt .4. / et pono potentiã vt .8. q̄ nõ variata ꝑtrãſeūdo c. mediū īuariatū cõtinuo vniformiter remittit mo-tū ſuū ad punctū ītrīſecū eiuſdē vltime q̈te / ad qḋ ha­bet ꝓportionē irrationalē ſubduplã duple: et mo-ueantur ſic oēs ille potentie ſimul ab eodē inſtanti / quo poſito ptꝫ /  maior potentia variata puta vt 16. cõtinuo velocius mouebitur quã potentia vt .10. q potentia vt .16. incipit moueri a multo maiori proportione: igitur propoſitum. Hec e a dupla ſexquialtera: illa autem a quadrupla ſuum motum inchoat / vt patet ex caſu.

Reſpõdeo negando ſequelã /  ad pro-bationē nego /  potentia vt .16. continuo velocius mouebitur quã potentia vt .10. maior nõ variata / et cū ꝓbatur admiſſo caſu nego antecedens. Dico e /  illa potentia maior vt .16. variata antea quã de-euniat ad finē ab in infinitū parua ꝓportione mo-uebitur q ipſa ſic cõtinue remittente cū altera re­mittente motū ſuū ad nõ gradū: neceſſe eſt ipſã ad nõ gradū remittere ſimiliter motū ſuū: et ſic ab in īfinitū parua ꝓportiõe moueri / vt ſepiꝰ ſupra argu­gutū eſt. ¶ Ex quo ſequit̄̄ /  ſi aliqua potētia varia­ta moueretur vniformiter cõtinuo remittēs motuꝫ ſuū ad nõ gradū cū alia nõ variata: et moueret̄̄ cõ-tinuo a ꝓportiõe in cētuplo vel millecuplo vel quã-tūcun volueris maiori: ipſã ab in infinitū parua ꝓportiõe mouebit̄̄ antea quã deueniat ad finē quã­quecū potētia quãtacū parua nõ remittēte mo­tum ſuū ad nõ gradū idē mediū trãſeūdo. Hoc ptꝫ ex ꝓbatione concluſionum precedentis capitis.

1. correĺ.

Tertio principaliter cõtra eandē cõ-cluſione arguit̄̄ ſic / q2 ſi illa eſſet vera / ſeq̄ret̄̄ a. potē­tiã maiorē variatã in īfinitū intēdi: ſed ↄ̨ſequēs eſt falſū: igit̄̄ illud ex quo ſequit̄̄: falſitas cõſequentis apparet manifeſte: q tūc nõ cõtinuo remittet mo­tum ſuū. Plus e aliquãdo accreſceret ſibi de pro­portiõe ꝑ intēſionē ſue potentie quã deꝑderet̄̄ ꝑ re-ſiſtentie acquiſitionē. Seq̄la tamē ꝓbat̄̄ / q in īfi-nitū vetociter intendit̄̄ ipſa a. potētia: igit̄̄ ipſa in īfinitū ītendit̄̄. Aneecedēs ꝓbat̄̄: q in īfinitū velo-citer ꝓportiõabiliter accreſcet ſibi reſiſtētia / vt ptꝫ ex ꝓbatiõe quīte cõcluſiõis ſeptimi capitis huiꝰ: et ipſa cõtinuo vniformiter remittit motū ſuū: igit̄̄ in īfinitū velociter accreſcit ſibi potentia. Minor eſt nota ex cõcluſiõe: et ꝓbat̄̄ ↄ̨ña / q ſi ſolū finite velo-citer accreſceret ſibi potētia: et reſiſtētia in īfinitum velociter ei accreſceret ſequeret̄̄ /  nõ ſemꝑ eque ve­lociter deꝑderet ꝓportionē: et ꝑ ↄ̨ñs nõ vniformiter remitteret motū ſuū: igit̄̄ ſi cõtinuo vniformiter re­mittit motū ſuū: et in īfinitū velociter ꝓportiõabi-liter acquirit̄̄ ſibi reſiſtētia: ſequit̄̄ /  potētia eiꝰ in īfinitū velociter intēdit̄̄. Patet hec ↄ̨ña / q oppo-ſitū cõſcqrētis cū altera parte ãtecedētis īfert op-poſitū alteriꝰ partis eiuſdē ãtecedētis. Sed iã ꝓbo ãtecedēs / q̄ eſt vna cõditiõalis videlicet /  ſi ſolū fini­te velociter creſceret ſibi potētia et reſiſtētia in īfini­tū velociter ei accreſceret / tã ſeq̄ret̄̄ /  nõ ſemꝑ eque­velociter deꝑderet ꝓportionē: et ſic nõ vniformiter cõtinuo remitteret motū ſuū: q2 ſi ſolū finite veloci-ter accreſceret ſibi potētia: et reſiſtētia in īfinitū ve-lociter ei accreſceret: tã ſeq̄ret̄̄ /  in īfinitū velocius ꝓportiõabiliter accreſceret ei reſiſtētia quã poten-tia: et ꝑ ↄ̨ñs in īfinitū maiorē ꝓportionē deꝑderet ꝑ acquiſitionē reſiſtētie quã acquireret ꝑ acquiſitio-nē potētie: et ex cõſequēti in īfinitū velociter deper-deret ꝓportionē: et ſic nõ ſemꝑ eque velociter deper­deret ꝓportionē nec continuo vniformiter remitte­ret motū ſuū: et ſic de primo ad vltimū ptꝫ illa ↄ̨ña ꝓbanda. Cõſequētia ptꝫ videlicet /  ſi ſolū finite ve­lociter accreſceret ſibi potētia: reſiſtētia in īfinitū velociter ei accreſceret ſequeret̄̄ /  in īfinitū velociꝰ ꝓportionabiliter accreſceret ei reſiſtentia quã po-tentia: q ſi cõtinuo eque velociter accreſceret ſibi reſiſtētia ſicut potētia: velocius ꝓportiõabiliter ac­creſceret quã potētia / vt ptꝫ ex octaua ſuppõe q̈rta capitꝪ ſcḋe partꝪ: hoc addito /  ↄ̨tinuo potētia ma­net maior: ſꝫ modo ī īfinitū velociꝰ accreſcit ſibi re­ſiſtētia quã potētia: g̊ in īfinitū velociꝰ ꝓportiõabi­liṫ accreſcit ſibi reſtētia quã potētia / qḋ fuit ꝓbãdū

Reſpõdeo negãdo ſeq̄lã:  ad ꝓbatio-nē nego ↄ̨ñam / q̄ nulliꝰ eſt apparētie. Stat e /  ali­quid in īfinitū velociṫ intēdi in hora: et tñ ſolū finite intēdi: vt ſatis cõſtat ſi diuiſa hora ꝑ partes ꝓpor­tiõales ꝓportiõe q̈drupla: in ṗma illaꝝ acrit̄̄ ali-cui corpori vnꝰ gradꝰ calditatis, et in ſcḋa dimidiꝰ et ī ṫcia, vna q̈rta, et ſic ↄ̨ñter: ꝑ partes ꝓportioãles ꝓportione dupla: tunc manifeſtuꝫ eſt /  tota illa ca­liditas erit duorum graduum in fine adequate / vt patet ex ſecundo correlario tertie concluſionis quī-ti capitis prime partis: Ibi enim acquiritur illa q̈-litas per partes ꝓportionales ꝓportione dupla: igitur reſiduuꝫ a prima eſt equale prime: et prima erit vnus gradus: ergo totum eſt duorum graduuꝫ adequate / vt patet ex ſucūdo correlario preallega-to: et tamen in infinitum velociter acquiritur illa ca­liditas: quoniam qualitas illa acquiritur in ſecun­da parte ꝓportionali in duplo velocius quã in pri­ma et in tertia in duplo velocius quam in ſecunda. / et ſic conſequenter: igitur ꝓpoſitum. Arguitur an-tecedens / quoniam qualitas acquiſita in ſecunda ꝑ­te propoſtiouali eſt equalis qualitati acquiſite in medietate prime partis proportionalis (Uolo e  acquirat vniformiter) et aquiritur in duplo mino­ri tempore quam ſit illa medietas prime partis ꝓ-portionalis / vt conſtat intelligenti quintum caput prime partis: igitur ī duplo velocius acquiritur il­la qualitas in ſecunda parte ꝓportionali quam in prima. Et iſto modo arguatur de qualitate acquiſi­ta in tertia parte ꝓportionali reſpectu qualitatis acquiſite in ſecunda. Bene tamen concedo pro reſo­lutione argumenti /  illa poña verſus extremum in­tenſius deueniendo in infinitum velociter intendi-tur / vt probat argumentum. ¶ Ex quo ſequitur pri-mo /  ſtat aliquid in infinitum velociter augeri ac-quirendo preciſe quantitatem pedalem in hora.

1. correl.

Patet hoc ſupponendo /  hora diuidatur per par­tes proportionales proportione quadrupla, aut quintupla (in idem redit) et vnum corpus in prima parte ꝓportionali acquirat ſemipedale, et in ſecun­da quartam partem pedalis, et in tertia octauaꝫ, et ſic conſequenter in ſubdupla ꝓportione. quo poſi-to manifeſtū ē (vt patet ex ſolutione argumenti) /  illud corpus in infinitum velociter augetur: et tamē ſolum finite augetur acquirendo adequate quan-titatem pedalem in hora: Nam acquirit infinita cõ­tinue ſe habentia in ꝓportione dupla: igit̄̄ reſiduū a primo eſt equale primo / vt patet ex ſecundo corre-lario tertie concluſionis quinti capitis preallega-to: et primo acquiſitum eſt ſemipedale: ergo totum eſt pedale. ¶ Sequitur ſecundo /  aliquid in infini-tum tarde intenditur: et tamen finite intenditur.

2. correl.

Probatur ponendo /  hora diuidatur per partes ꝓportionales ꝓportione dupla: et in prima parte ꝓportiõali aliquod corpus acquirat quatuor gra­dus, et in ſecunda vnum, et in tertia vnam quartam vnius gradus: et ſic conſequenter procedendo per ꝑ­tes ꝓportionales proportione quadrupla. quo po­ſito manifeſtum eſt /  illud corpus in infinitum tar­de intenditur: quoniaꝫ in ſecunda parte proportio­nali in duplo tardius quaꝫ in prima, et ī tertia ī du­plo tardius quam in ſecunda, et ſic conſequēter: igi­tur in infinitum tarde intenditur. Probatur ante-cedens / quoniam in ſecunda parte tale corpꝰ acqui­rit ſubduplam intenſionem ad intenſionem acqui-ſitam in medietate prime partis: et medietas prime et ſecunda ſunt equales: igitur ī equali tempore ſub­duplam intenſionem acquirit / et per conſequens in duplo tardius intenditur. Et ſic ꝓbabitur de qua-litate acquiſita in tertia, et de quacun alia reſpe-ctu qualitatis acquiſite in parte precedenti eaꝫ im­mediate. igitur propoſitum. Sed  finite intenda-tur patet: quia preciſe in toto tempore illo acquirit quin gradus cum tertia. Nam in prima parte ꝓ-portionali acquirit quatuor gradus: et in ſecunda vnum: et ſic conſequenter ꝓcedendo per partes pro­portionales proportione quadrupla: ergo reſiduū ab acquiſito in prima eſt ſubtriplum ad illud / vt pa­tet ex ſecundo correlario preallegato: ſed acquiſi-tum in prima eſt quatuor graduum: igitur acquiſi-tum in omnibus ſequentibus a prima eſt gradꝰ cū tertia: et ſic totum eſt quin graduum cuꝫ tertia / qḋ fuit probandum. ¶ Sequitur tertio /  infinite intē­di eſt infinitam qualitatem acquirere vel infinitam intenſionem: ſed in infinitum velociter intendi eſt in aliquo tempore aliquam qualitatē acquirere ali-quanta velocitate: et aliam in duplo maiori veloci-tate (ſiue ſit tanta ſiue minor non eſt cura) et aliam in triplo maiori: et ſic conſequenter vt poteſt exem-plo primi correlarii oſtendi. Conſimiliter diffini-as in infinnitum tarde intendi.

3. correl.
4. correl.

¶ Sequitur quarto /  quamuis poña non variata intendens motum ſuum per medium vniformiter difforme velocius intendat motum ſuum continuo tranſeundo partem minus reſiſtentem quam ma-gis reſiſtentem: nichilominus tamen poña non va-riata difformiter intendens motum ſuum per me-dium difforme per quod poña minor continuo vni­formiter intendit motum ſuum: velocius ītendit ip­ſa potentia maior non variata motum ſuum tran-ſeundo partem magis reſiſtentem quam minus re-ſiſtentem. Prima pars correlarii patet ex quadra­geſima concluſione quinti capitis huius tractatus Et ſecunda probatur / quia quacun parte data ꝓ-portionabili illius medii procedendo a minoribus verſus maiores in qua aliqualiter ītendit talis po­tentia maior motum ſuum: in aliqua minore prece­dente magis reſiſtente velocius intendebat motum ſuum cum in infinitum velociter antea intendebat motum ſuum / vt patet ex tertio correlario quinte cõ­cluſionis ſeptimi capitis huius tractatus: igitur ve­locius intendebat talis potentia motum ſuum cum parte magis reſiſtente / quod fuit probandum.

Quarto contra ſecundam concluſio-nem octaui capitis arguitur ſic / quia ſi illa eſſet ve-ra ſequeretur /  vbi aliqua potentia inuariata ali­quod medium inuariatum tranſeundo cõtinuo vni­formiter remittit motum ſuum ad non gradum in puncto terminatiuo eiuſdem medii in extremo intē­ſiori: omnem potentiam maiorem idem mediã trã­ſeundo adequate vniformiter continuo poſſe remit­tere motum ſuum ad non gradum in eodem puncto terminatiuo per continuam ſue potentie remiſſio-nem / ſed hoc eſt falſum: igitur et concluſio. Falſitas conſequentis probatur / et capio a. poñam que habe­at ad punctum initiatiuum c. medii quod inuaria-tum b. poña inuariata pertranſit continuo vnifor-miter remittēdo motum ſuum ad non gradum etc. ꝓportionem in ſexquialtero maiorem quam b. ad idem punctum: et arguo ſic / a. potentia tranſeūdo c. medium non valet vniformiter continuo remittere motum ſuum vſ ad non gradum in puncto termi­natiuo c. medii in extremo intenſiori per continuaꝫ ſue potentie remiſſionem: igitur non vbi potentia ī­uariata aliquod medium tranſeundo inuariatum etc. ad non gradum in puncto terminatiuo etc. om-nis potentia maior idem medium tranſeundo ade­quate, vniformiter continuo poteſt remittere motū ſnum vſ ad non gradum in eodem puncto termi-natiuo per continuam ſue potentie remiſſionem. qḋ eſt oppoſitum conſequentis. Antecedens probatur / quia ſi a. potentia tranſeundo c. medium valet re-mittere motum ſuum vſ ad non gradum in pūcto terminatiuo etc. per continuam ſue poñe remiſſio-nem: maxime remitteret vniformiter continuo mo-tum ſuum vſ ad non gradum in puncto termina-tiuo etc. caſu quo b. poña inuariata inciperet moue­ri a puncto initiatiuo ſecunde partis ꝓportionalis c. medii diuiſi in partes ꝓportionales ꝓportione ſexquialtera verſus extremum intenſius eiuſdem c. medii: et a. potentia a puncto initiatiuo c. medii ver­ſus extremum intenſius eiuſdem: taliter  cõtinuo per ſui variationem in ſexquialtero velocius moue­retur a. quam b. ſed hoc non: igitur Maior ptꝫ / q2 tunc tam a. quam b. eque primum deuenirent ad pū­ctum terminatiuum c. medii in quo vtra remitte-ret motū ſuum ad non gradum: cū a. per caſum in ſexquialtero velocius continuo moueretur quam b. / vt conſtat igitur: Sed minor probatur / quia a. po­tentia in illo caſu c. medium tranſeundo non remit­tit motum ſuum ad non gradum in puncto termi-natiuo eiuſdem c. medii: igitur minor vera: Antece­dens probatur / q2 a. potentia citius deueniet ad pū­ctum terminatiuum c. medii quam b. poña: ergo cū caſu ſequitur /  a. poña c. medium tranſeundo non remittit motum ſuum ad non gradum in pūcto ter­minatiuo c. medii etc. Probatur antecedens / quia ſi a. poña continuo in ſexquialtero velocius mouere-tur quam b. poña: eque primo a. et b. deuenirent ad pnnctum terminatiuum c. medii. ſed modo a. poten­tia mouetur velocius quam tunc: ergo modo citius deuenit ad punctum terminatiuum c. medii quaꝫ b. potentia: Maior patet: et minor ꝓbatur / quia a. po­tentia ad punctum initiatiuum c. medii habet maio­rem ꝓportionem quam ſexquialteram ad ꝓportio­nem b. potentie ad punctum initiatiuum ſecunde ꝑ­tis ꝓportionalis c. medii diuiſi in partes ꝓportio-nales ꝓportione ſexquialtera: et a. poña nõ deper-dit ſubito aliquam latitudinem potentie (vt volo) / igitur īmediate poſt inſtans initiatiuum motus a. potentia plus quam in ſexquialtero velocius mo-uebitur b. poña / quod erat ꝓbandum: Conſequētia patet / quia ſi a. potentia ad punctum initiatiuū etc. habet maiorem ꝓportionem quam ſexquialteram ad ꝓportionem b. potentie ad punctum initiatiuū ſecunde partis etc. et a. poña non perdit ſubito ali-quam latitudinem potentie: proportio ipſius a. ad punctum initiatiuum etc. continet ꝓportionem ſex-quialteram ad ꝓportionem ipſius b. ad punctuꝫ in­itiatiuum ſecunde partis proportionalis etc. et ali-quam proportionem vltra illam. quam ꝓportionē vltra non ſubito deperdit: et per conſequens īmedi­ate poſt inſtans initiatiuum motus a. potentia plꝰ quã in ſexquialtero velocius mouebitur b. poña.

Et ſic de primo ad vltimum patet conſequentia.

Sed maior probatur videlicet /  a. poña ad pūctuꝫ initiatiuum c. medii habet maioreꝫ ꝓportionē quã ſexquialteram ad proportionem b. poñe ad pūctuꝫ initiatiuum ſecunde partis ꝓportionalis c. medii diuiſi etc. quia a. ponã ad punctum initiatiuuꝫ c. me­dii habet proportionem ſexquialteram ad ꝓportio­nem quam habet b. poña ad ideꝫ punctum / vt patet ex caſu: et ꝓportio ipſius b. ad punctum initiatiuuꝫ c. medii eſt maior quam ꝓportio eiuſdem b. poten-tie ad punctum initiatiuum ſecunde partis ꝓportio­nalis: quia b. potentie inuariate minus reſiſtit pun­ctum initiatiuum c. medii quam punctum initiuati­uum ſecunde partis ꝓportionalis eiuſdem c. medii diuiſi etc. / vt conſtat: igitur a. poña ad pūctum īitia-tiuum c. medii maiorem habet ꝓportionem quam ſexquialteram ad ꝓportionem b. poñe ad punctum initiatiuum ſecunde partis ꝓportionalis c. medii diuiſi etc. Conſequentia patet / quia maior eſt ꝓpor­tio alicuiꝰ tertii adminꝰ quam eiuſdem terti ad ma­ius / vt patet ex ſecunda parte.

Dicitur.

¶ Dices forte negando ſequelam īmo / vt bene ꝓbat argumentuꝫ illud eſt falſum: niſi poña a. ſubito ali­quam latitudinem poñe deperderet. Si enim ali-qua potentia poneretur ad punctum initiatiuuꝫ c. medii cuius ꝓportio ad idem punctum eſſet mille-cupla ad ꝓportionē b. poñe ad punctum initiatiuū ſecunde partis ꝓportionalis c. medii diuiſi per ꝑ-tes ꝓportionales ꝓportione ſexquialtera etc. et illa potentia ſic variaretur /  īmediate ab illo puncto ī­itiatiuo recedēdo moueretur adequate in ſexquial­tero velocius b. poña recedente ad puncto initiatiuo ſecunde partis ꝓportionalis verſus extremum ītē-ſius et continuo ſic moueretur. tunc vt conſtat tam il­la poña quam b. poña eque primū deuenirent ad ex­tremuꝫ intenſius c. medii in quo vtra remittit mo­tum ſuum ad non gradum: cõtinuo remittendo mo­tum ſuum vniformiter: et hoc per illus poñe conti-nuam remiſſionem. Sed tunc poña illa ſubito per-deret aliquam latitudinem poñe: et etiã ſubito deꝑ­deret ꝓportionem quam continet vltra ꝓportiõem que eſt ſexquialtera ad ꝓportionem ipſius b. poñe ad punctum initiatiuum ſecunde partis ꝓportiona­lis c. medii diuiſi etc. Attamē alias non eſt veruꝫ (vt dicis) quēadmodum bene probat argumentum.

Sed contra / quia vbi aliqua potentia inuariata aliquod medium inuariatum tranſeun-do continuo vniformiter remittit motum ſuum vſ ad non gradum in puncto terminatiuo eiuſdē me-dii in extremo intenſiori: omnis ponã maior idem medium tranſeundo adequate: vniformiter conti-nuo remittit motum ſuum vſ ad nõ gradum in eo­dem puncto terminatiuo per continuam ſue potētie ſucceſſiuam remiſſionem: igitur ſolutio nulla. Ante­cedens probatur ſupponendo /  īter quodlibet pū­ctum intrinſecum cuiuſuis medii per quod inuaria­tum aliqua poña inuariata continuo vniformiter remittit motum ſuum ad non gradum in extremo ī­tenſiori, et pūctum initiatiuum eiuſdem medii, me­diat prima pars ꝓportionalis illius medii diuiſi ꝓportione dupla ad ꝓportionem in qua ſe habet ꝓportio illius poñe ad punctum initiatiuum ad ꝓ­portionem eiuſdem poñe addatum pūctum intrin­ſecum. Exemplū / vt poſito /  b. poña īuariata c. me-dium īuariatum tranſeundo vniformiter continuo remittat motum ſum vſ ad non gradum in extre-mo intenſiori et dato vno puncto intrinſeco ad quē talis poña b. habeat ꝓportionem in duplo mino-rem quam ſit ꝓportio quam habeat ad punctuꝫ ini­tiatiuum / tunc inter punctum īitiatiuum et illud pū-ctum intrinſecum mediat prima pars ꝓportiona-lis illius medii diuiſi ꝓportione quadrupla dupla duple. Quod ſic probatur / quia inter punctum ini-tiatiuum illius c. medii et punctum intrinſecum eiuſ­dem ad quod b. poña habet in duplo minorem pro­portionem quam ad punctum initiatiuum: mediat prima pars ꝓportionalis c. medii adequate diuiſi per partes ꝓportionales proportione quadrupla quia inter illa puncta mediant tres quarte que ſūt prima ꝓportionalis ꝓportione quadrupla: quoni­am in inſtanti medio totius temporis. in quo ade-quate b. poña c. medium pertranſit continuo remit­tendo motum ſuum vſ ad non gradum erit b. po­tentia ad punctum terminatiuum trium quartarū ab eadē b. ponã pertranſitarum: et in inſtanti me-dio totius illius temporis habebit ad punctum in quo / tunc eſt ꝓportionem ſubduplam ad ꝓportio-nem quam habet ad punctum initiatiatiuum eiuſ-dem c. medii quia perdit ſuam ꝓportionem vnifor­miter continuo: igitur inter punctum initiatiuuꝫ c. medii et punctum ad quod b. poña habet ꝓportio-nem in duplo minorem ꝙ̄ habeat eadem b. potētia ad punctum īitiatiuum mediant tres quarte: et per conſequens prima pars ꝓportionalis c. medii pro­portione quadrupla: quod fuit probandum Item īter punctum īitiatiuum c. medii et pūctum ad quod b. poña habet in ſexquitertio minorem ꝓportioneꝫ ̄ ad punctum īitiatiuum mediat prima pars pro­portionalis c. medii proportione ſupraſeptipartiē­te nonas que eſt dupla ad ſexquitertiam. quia īter illa puncta mediãt ſeptem ſexdecime que ſunt prīa pars ꝓportionalis ꝓportione ſupraſeptipartiēte nonas / vt patet intelligenti quintum caput prime partis: igitur. Antecedens probatur / quia b. poña in inſtanti terminatiuo prime quarte temporis in quo adequate c. medium pertranſit habet ad pun-ctum in quo / tunc eſt ꝓportionem in ſexquitertio mi­norem ad ꝓportionem quam habet ad punctum in­itiatiuum: et in eodem inſtanti terminatiuo prime quarte illius temporis eſt in fine ſeptem ſexdecima­rum c. medii pertranſitaruꝫ ab ipſa b. poña: igitur inter punctum initiatiuum c. medii et punctum ad quod b. poña habet in ſexquitertio minorem ꝓpor­tionem quam ad punctum initiatiuum mediant ſe-ptem ſexdecime c. medii / quod fuit probandum. Cõ­ſequentia patet: et maior ꝓbat̄̄ / q2 in prīa quarta tē­poris in quo adequate b. poña c. medium pertran-ſit perdit eadem b. poña vnam quartam ꝓportiõis quam habet ad punctum initiatiuum c. medii: quia illa ꝓportio debet vniformiter continuo deperdi: igitur in inſtanti terminatiuo illius quarte habet tres quartas preciſe illius proportionis quam ha­bet ad punctum initiatiuum: et per conſequens pro­portionem in ſexquitertio minorem / quod fuit pro-bandum. Nunc probo minorem videlicet /  in inſtã­ti terminatiuo prime quarte illius temporis eſt in fine ſeptem ſexdecimarum ab ea pertranſitaruꝫ etc. quia ſi b. poña in prima quarta illius temporis mo­ueret̄̄ adequate ita velociter ſicut in tota hora ca-thegorematice puta gradu medio totius motus, b. poña in illa quarta pertranſiret adequate vnam quartam c. medii que eſt quatuor decime ſexte / vt pa­tet ex ſecundo notato tertii capitis ſecundi tracta-tus: ſed modo mouetur b. poña in illa quarta in ꝓ-­portione ſupratripartiente q̈rtas velocius. igitur modo pertranſit ī illa quarta ſeptem ſexdecimas. (quandoquidem ſeptem ſexdecimaruꝫ ad quatuor ſexdecimas eſt ꝓportio ſupratripartiens quartas) / et per conſequēs in fine illius prime quarte tempo­ris in quo c. medium pertranſit b. poña eſt in fine ſe­ptem ſexdecimarum ab ea pertranſitarum / qḋ fuit probandum. Conſequentia patet cum maiore: et mi­nor probatur / quia gradus medius motꝰ quo b. po­tentia mouetur in illa quarta eſt in ꝓportione ſu-pratripartiente quartas maior quam gradus me-dius motus quo eadem b. potentia mouetur adeq̈-te in tempore in quo c. ſpacium ſiue medium pertrã­ſit: igitur b. poña in illa prima quarta mouetur ī ꝓ­portione ſupratripartiente quartas velocius quã in toto tempore quo c. mediuꝫ pertranſit / quod fuit probandum. Antecedens probatur / quia motꝰ qui ꝓuenit a ꝓportione quam habet b. poña ad pūctuꝫ initiatiuum c. medii cum tribus quartis eiuſdem ꝓ­portionis ad motum prouenientem a proportione quam habet b. poña ad punctum initiatiuum c. me­dii tantummodo eſt proportio ſupratripartiens quartas / vt patet: quia inter illas ꝓportiones ē ꝓ-portio ſupratripartiens quartas: igitur medietas motus ꝓueniens a proportione quã habet b. poña ad punctum initiatiuum c. medii cum tribus quar-tis eiuſdem ꝓportionis adiunctis: eſt maior in pro­portione ſupratripartiente quartas quam medie-tas motus prouenientis a ꝓportione quam habet b. poña ad punctū initiatiuum c. medii tantūmodo / vt patet vndecima ſuppoſitione ſecundi capitis ſecunde partis. ſed medietas motus prouenientis a ꝓportione quam habet b. poña ad punctum īitia­tiuum c. medii cum tribus eius quartis adiunctis ē gradus medius motus / quod b. poña mouetur in il­ la prima quarta: et medietas motus ꝓuenientis a ꝓportione quam habet b. potentia ad punctum in­itiatiuum c. medii tantummodo eſt gradus medius motus quo b. poña mouetur in tota hora adequa-te: igitur gradus medius motus quo mouetur b. po­tentia in illa prima quarta eſt maior in proportio­ne ſupratriꝑtiente quartas quam gradus medius motus quo mouetur eadem b. poña ī tempore ī quo c. medium pertranſit / quod fuit probandum. Conſe­quentia patet cum maiore: et probatur maior quo ad primam partem videlicet /  medietas motus ꝓ­uenientis a proportione quaꝫ habet b. poña ad pū­ctum initiatiuum c. medii cum tribus quartis eius coniunctis eſt gradus medius motus quo mouetur eadem poña b. in prima quarta: quia motus quo mouetur b. poña in prima quarta incipit a motu ꝓ­ueniente a proportione quam habet b. ad punctum initiatiuum c. medii. et terminatur ad motum ꝓue-nientem a tribus quartis eiuſdem proportionis / vt patet intuenti: igitur medietas motus aggregati ex motu proueniente a proportione quam habet b. poña ad punctum initiatiuum c. medii et ex motu ꝓ­ueniente ex tribus quartis eius eſt gradus medius inter illos. Patet conſequentia ex primo correla-rio prime concluſionis ſecundi capitis ſecunde ꝑ-tis: et ꝑ conſequens medietas motus prouenientis a proportione quam habet b. poña ad punctum in­itiatiuum c. medii et tribus quartis eius adiunctis eſt gradus medius motus quo mouetur b. poña ī il­la prima quarta / quod fuit probandum. Iam pro-bo ſecundã ꝑtem minoris videlicet /  medietas mo­tus ꝓuenientis a proportione quam habet b. poña ad punctum initiatiuum c. medii eſt gradus mediꝰ motus quo mouetur eadem b. poña in tempore in quo c. medium pertranſit adequate: quia cuiuſlib3 motus vniformiter difformis ad non gradum ter-minati gradus medius eſt medietas motus remiſ-ſiſſimi qui non eſt in illo motu totali vnifomiṫ dif­formi / vt patet facile intelligenti tertium caput ſe-cundi tractatus: ſed motus proueniens a propor-tione quam habet b. poña ad punctum initiatiuum c. medii eſt remiſſiimus qui non eſt in illo motu to-tali quo mouetur adequate in tempore in quo c. me­dium pertranſit: igitur gradus medius motus quo mouetur in tempore. in quo b. poña c. medium ꝑtrã-ſit eſt medietas motus prouenientis a proportio-ne quam habet b. poña ad punctum initiatiuum c. medii / quod fuit probandum. Conſimiliter omnino ꝓbabis in omnibus ſpeciebus ꝓportionum: videli­cet /  inter punctum initiatiuum c. medii et punctum intrinſecuꝫ ad quod b. poña habet in qua volueris ſpecie ꝓportionis proportionem minorem, mediat prima pars ꝓportionalis adequate c. medii diuiſi in partes proportionales ꝓportione dupla ad il-lam ſpeciem proportionis.

¶ Hoc ſuppoſito probatur antecedens / quod aſſum­ptum eſt in replica. et ſit b. poña que c. medium inua­riatum tranſeundo continuo vniformiter remittit motum ſuum ad non gradum in extremo intenſiori eiuſdem c. medii. et ſit a. poña maior quecū volue-ris: cuius ꝓportio ad punctum initiatiuum c. medii in extremo remiſſiori ſit in f. proportione maior ꝓ-portione b. poñe ad idem punctum initiatiuuꝫ c. me­dii et ponatur b. potentia ad punctum intrinſecum c. medii ad quod habet proportionem in f. ꝓportio­ne minorem ꝓportione eiuſdem b. poñe ad punctuꝫ initiatiuum c. medii. et manifeſtū ē /  proportio ip-ſius a. ad punctum initiatiuum c. medii eſt in dupli-ci f. ꝓportione maior proportione ipſius b. ad illḋ punctum intrinſecum c. medii. quia proportionis a. ad punctum initiatiuum c. medii ad proportiõeꝫ ipſius b. ad idem punctum initiatiuum eſt propor-tio f. et proportionis ipſius b. ad punctum initiati-uum c. medii ad proportionem eiuſdem b. ad pūctū illud intrinſecum eſt etiam proportio f. / igitur pro-portionis a. ad punctum initiatiuum c. medii ad ꝓ-portionem ipſius b. ad punctum illud intrinſecum eſt duplex proportio f. incipiant / igitur in eodem in­ſtanti moueri b. ab illo puncto intrinſeco c. medii: et a. a puncto initiatiuo continuo per ſui variationeꝫ in duplici f. proportione velocius quam b. poña: et arguo ſic / a. poña c. medium inuariatnm tranſeun-do continuo vniformiter remittit motum ſuum: q2 continuo in certa proportione velocius mouetur b. poña continuo ſuum motum vniformiter remitten­te: et a. et b. eque primo deueniet ad extremum inten­ſius c. medii in quo b. remittit motum ſuum ad non gradum: et a. potentia continuo ſucceſſiue remittit potentiam ſuam: igitur tam a. quam .bc. medium ī­uariatum tranſeundo continuo vniformiter remit­tit motum ſuum ad non gradum in extremo intenſio­ri a. continuo ſucceſſiue remittente poñam ſuam.

Conſequentia patet cum maiore / et minor probatur / quia totius c. medii ad reſiduum a puncto intrinſe­co ad quod ponitur b. poña eſt proportio dupla ad ad proportionem f. et a. poña c. medium tranſeūdo continuo in dupla ꝓportione ad f. velocius moue-tur quam b. poña: igitur in eodem tempore a. poña pertranſit totum c. medium in quo b. poña ꝑtranſit reſiduum a puncto intrinſeco ad quod ponitur: et ꝑ conſequēs a. et b. eque primo deuenerit ad extremū intenſius c. medii / quod fuit probandum. Conſequē­tia patet cum minore: et maior ꝓbatur ex prima cõ­cluſione quinti capitis prime partis, hoc addito /  inter punctum initiatiuum c. medii et punctum intrī­ſecum c. medii ad quod ponitur ipſa potentia b. me­diat prima pars proportionalis c. medii diuiſi du­plici proportione f. / quod patet ex hypotheſi iūcta ſuppoſitione. Sed  a. poña tranſeundo c. mediuꝫ continuo ſucceſſiue remittit poñam ſuam eo modo probatur / quo ſepius probatum eſt precedēti capi-te: Et ſic patet aſſumptum.

Reſpondeo igitur ad argumentuꝫ cõ­cedendo ſequelam et negando falſitatem conſequē­tis: et ad probationem nego antecedens: et ad ꝓba-tionem antecedentis nego /  hoc maxime fieret ca-ſu quo b. potentia inciperet moueri a puncto initia ­tiuo ſecunde partis ꝓportionalis c. medii diuiſi in partes proportionales ꝓportione ſexquialtera: ſꝫ illud fieret caſu quo b. potentia inciperet moueri a puncto illo intrinſeco c. medii ad quod habet in du­plo minorem proportionem ad proportionem quã habet eadem potentia b. ad punctum initiatiuum eiuſdem c. medii: vt ex deductione replice facile pro­bari poteſt.

Quinto contra eandem concluſioneꝫ arguitur ſic / quoniam vbi aliqua poña non varia-ta tranſeundo medium inuariatum continuo vni-formiter remittit motum ſuum ad non gradum. om­nis maior non variata in infinitum velociter remit­tit motum ſuum in eodem medio verſus extremum intenſius deueniendo: ſed ſi continuo talis potētia maior verſus extremum intenſius deueniēdo remit­teretur magis remitteret de motu ſuo quam ſi ſta-ret: igitur omnis potentia maior que per tale medi­um continuo remittitur in infinituꝫ velociter remit­tit motum ſuum: et per conſequens non vniformiter quod eſt contra concluſionem. Conſequentia patet per locum a maiori: et maior eſt quinta concluſio ſe­ptimi capitis huius tractatus: et minor ꝓbatur / q2 potentia maior que continuo remittitur verſns ex-tremum intenſius deueniendo maiorem latitudinē motus deperdit tranſeundo aliquam partem ꝙ̄ de­perderet eandem tranſeundo quando continuo ma­neret iuuariata: igitur plus de latitudine motus de­perdit quando remittitur ꝙ̄ quando non variatur Antecedens probatur / quia quãlibet partem tran-ſeundo quando remittitur maiorem proportioneꝫ deperdit: quoniam deperdit ratione acquiſitionis reſiſtentie tantam quantam deperderet ſi ſtaret īua­riata: et inſuper perdit aliquam aliam proportio-nem ratione remiſſionis ſue potentie. igitur maio-rem proportionem deperdit tranſeundo aliquam ꝑ­tem quando remittitur ꝙ̄ quando non remittitur. et per conſequens maiorem latitudinem motus de­perdit tranſeundo aliquam partem quando remit­titur ꝙ̄ quando non variatur / quod fuit probandū

Reſpondeo breuiter concedendo ma-iorem, et minorem, et negando conſequentiam. Et ratio eſt quia quamuis tranſeundo aliquam par-tem verſus extremum intenſius deueniendo maio-rem latitudinem motus deperdat quando remitti-tur ꝙ̄ quando ſtat inuariata: nichilominus illam ꝑ­dit tardius. Modo ad hoc /  conſequentia valeret oportet aſſumere /  quando remittitur tranſeundo aliquam partem velocius deperdit ſuam velocita-tem ꝙ̄ quando ſtat vel eque velociter: et tunc conſe-quentia valeret per locum a maiori: ſed tunc negã-dum eſſet aſſumptum.

argumē-tum cal-culatorꝪ.

Sexto contra quintam concluſioneꝫ octaui capitis arguitur ſic / in caſu concluſionis a. potentia minor variata que continuo intenditur in infinitum tarde remittit motum ſuum verſus extre­mum intenſius deueniendo: igitur non vniformiter et per conſequens concluſio falſa. Conſequentia eſt nota, et antecedens probatur, et pono /  ſimul cum ipſa poña a. minore que intenditur īfinite maiores ea: minores tamē ipſa poña b. (que inuariata c. me­dium inuariatum tranſeundo vniformiter cõtinuo remittit motum ſuum ad non graduꝫ) moueantur non variate: taliter  continuo cuꝫ a. deuenerit ad aliquod punctum c. medii ſit cum eadem potentia a. aliqua illarum potentiarum non variatarū que que pro eodem puncto et in eodem inſtanti ſit equa­lis ipſi a. et in eodem inſtanti incipiant moueri ab illo puncto verſus extremum intenſius ita  conti­nuo a. ſit cum alia et alia illarum potentiarum que pro tunc ſit equalis illi. Quo poſito ſic argumētor / quelibet illarum potentiarum non variatarū qua­rum quelibet eſt minor ipſa poña non variata ī ali­quo puncto intrinſeco c. medii mouendo verſus ex-tremum intenſius in infinitum tarde remittit mo-tum ſuum: et poña a. que continuo intenditur, con-tiuuo tardius remittit motum ſuum quam aliqua illarum (et volo /  ly aliqua illarum ſtet preciſe con­fuſe tantum non diſtributiue) / igitur ipſa potētia a. in infinitum tarde remittit motum ſuum / quod fu­it probandum: Conſequentia patet, et maior pro-batur per ſextam concluſionem ſeptimi capitis pre­allegati: et minorem ſic arguo / quoniam quocun ī­ſtanti dato illius temporis in quo ſic mouentur il-le potentie, potentia a. eſt ſimul cum aliqua illaruꝫ potentiarum non variatarum in aliquo puncto in­trinſeco c. medii / vt patet ex caſu: et incipiunt a. et il-la alia pontentia non variata ab eodē pūcto tran­ ſire idem ſpacium: et a. continuo intenditur: et alia potentia nõ: ſed manet inuariata: igitur a. tardius remittit motum ſuū quam illa potentia: et ſic potē-tia a. continuo tardius remittit motum ſuū quam aliqua illarum (eſto /  ly aliqua illarum ſtet confu­ſe / vt dictum eſt). Conſequentia tamen patet / q2 in-tenſio potentie impedit remiſſionē motus: ſed ipſa a. potentia continuo intenditur, alia vero potētia nõ: igitur ſua intenſio impedit remiſſionem motus

Reſpondeo negando antecedens vi-delicet /  a. in infinitū tarde remittit motum ſuū: et ad probationē admiſſo caſu concedo maiorem: et nego minorem. In nullo enim tēpore a. cõtinuo tar­dius remittit motum ſuū quam aliqua illarum po­tentiarum (etiam ſi ly aliqua illarum ſupponat cõ­fuſe tantū) et ad probationem minoris nego conſe­quentiã, et ad probationē nego /  vniuerſaliter in-tenſio potentie impediat remiſſionem motus in eo­dem tēpore. Uolo dicere /  ſtat /  due potentie ſint equales, et incipiant ab eodē puncto remittere mo­tum ſuū, et vna intenditur, et alia nõ: tamen illa que intenditur velocius remittat motum ſuū ꝙ̄ illa que nõ intenditur in eodem tempore. Et etiã poteſt ſta-re oppoſitum vt apparebit inferius: ſed bene con-cedo /  intenſio potentie impedit remiſſionem ideꝫ ſpacium adequate tranſeundo. Uolo dicere /  ſi a-liqua potētia tranſeundo vnam certam partē illiꝰ c. medii remitteret motum ſuū ſi maneret nõ varia-ta: dico /  eandem partem tranſeundo quando in-tenditur nõ tantū remitteret motum ſuū / vt ſepius dictum eſt. Sed iſto modo intelligēdo probatio nõ procedit / q2 velocitas et tarditas remiſſionis latitu­dinis motus debet attendi penes tēpus in quo fit et nõ penes ſpaciū in quo fit / vt ptꝫ in diffinitione ve-locis et tardi ſexto phiſicorū. ¶ Ex his ſequitur pri­mo /  ſtat duas potētias equales incipere moueri ab eodē puncto alicuiꝰ medii in eodē inſtanti ſus idē punctū quarū vna intenditur, et alia nõ varia-tur, et ſe habere tripliciter. Uno modo /  potentia nõ variata remittat motum ſuū, et alia que intēdi-tur in potētia continuo moueatur vniformiter, vt ſi tantã ꝓportionē acquirat per intenſionē potentie quantã deperdit per acquiſitionē reſiſtentie. Scḋo modo poſſunt ſe ita habere /  nõ variata continuo remittat motum ſuū, et illa que intenditur continuo intendat motū ſuū idē mediū tranſeundo: vt eſto  maiorē proportionē acquirat per ſui intenſionem quam deperdat per acquiſitionē reſiſtētie. Tertio modo poſſunt ſe habere taliter /  nõ variata conti­nuo remittat motū ſuū, et altera que intenditur ſi-militer continuo remittat motum ſuū: vt poſito  illa que intēditur maiorē proportionem deperdat per acquiſitionē reſiſtentie ꝙ̄ acquirat per intēſio­nem potentie. ¶ Sequitur ſecundo /  ſtat duas po-tētias equales incipere moueri ab eodē puncto ver­ſus idem punctū medii per quod vtra cõtinuo re-mittit motum ſuū: et vnam intendi et aliam manere īuariatam: et tamen illam que intenditur tardius remittere motum ſuū. Probatur / et ſit b. potentia que nõ variata c. mediū īuariatū pertranſit vnifor­miter cõtinuo remittando motum ſuū: et a. potētia equalis ei ponatur in puncto intrinſeco c. medii ad quod a. potentia habet in h. ꝓportione ꝓportionē minorē quã b. potētia habeat ad punctū initiatiuū c. medii: et moueatur b. potētia puncto initiatiuo c. medii: et a. potentia ſimul a puncto intrinſeco ad quod habet in h. ꝓportione ꝓportionē minorē: cõ-tinuo in h. ꝓportione tardius mouendo quã b. po-tentia: et manifeſtum eſt /  a. potentia cõtinuo vni- formiter remittit motum ſuū in h. proportione tar­dius ꝙ̄ b. potentia: et ante̄ b. attingat a. continuo a. intēdit potentiã ſuam. Incipiat / igitur vna alia potentia equalis ipſi a. ſimul in eodem inſtanti ab eodem puncto verſus idem punctum inuariata mo­ueri cum a. potentia intendente continuo poñaꝫ ſu­am: et clarum eſt /  vtra illarum vniformiter re-mittit motuꝫ ſuum: et a. potētia continuo intendēs potentiam ſuam continuo in h. proportione tardi­us / vt ex dictis in octauo capite facile ꝓbari poteſt: igitur correlarium verum ¶ Sequitur tertio /  ſtat duas potentias equales incipere moueri in eodem inſtanti, ab eodem puncto, verſus idem punctum, alicuius medii per quod vtra continuo remittit motum ſuum: et vnam illarum manere inuariatam et aliam continuo remitti: et tamen illam que con-tinue remittitur velocius continuo remittere motū ſuum. Probatur correlarium caſu prioris correla­rii retento: hoc addito /  b. potētia ponatur in pū­cto intrinſeco c. medii: et a. potētia equalis ei in pū-cto initiatiuo: et ſimul in eodem inſtanti ab illis pū­ctis incipiant moueri a. continuo in ea proportiõe velocius in qua proportio ipſius a. ad punctū ini-tiatiuū eſt maior proportione ipſius b. ad punctuꝫ intrinſecum c. medii / ad quod ponitur cum alia po-tentia ei equali inuariata. Quo poſito ex dictis in octauo capite facile probatur correlarium. Et hec de motu penes cauſam in medio difformiter diffor­mi variato, et inuariato, potentia variata, et quie-ſcente, dicta ſufficiant.

pḣus .6. phi. 1. correĺ. 2. correĺ 3. correl.

¶ Sequitur de motu locali penes cauſam in medio vniformiter diffor-mi eſcente: potētia cõtinuo variata.

Capitulum decimum / in quo oſten-ditur, et traditur noticia velocitatis motus penes cauſam in medio vni-formiter difformi quieſcente: poten-tia continuo variata.

COnſequenter dicēdum eſt de velocitate motus / qui fit in medio vni-formiter difformi quieſcente variata ta­men continuo potentia: inſequendo calculatorē in ſecūdo capitulo de medio nõ reſiſtēte: quãuis illud caput nõ debet dici ſiue inſcribi de medio non reſi-ſtente: q2 in eo non agitur niſi de medio vniformi-ter difformiter reſiſtente. ¶ Ad inducendas igit̄̄ cõ-cluſiones: vnicam premitto ſuppoſitionem.

In omni latitudine vniformiter dif-formi, oīm duaꝝ partiū equaliū extremū intēſiꝰ ꝑ equalē latitudinē excedit extremū remiſſiꝰ. Proba­tur / q2 cuiuſlibet latitudinis vniformiter difformis vtriuſ medietatis extremū intēſiꝰ per equalē la-titudinem excedit extremum ſuū remiſſius: et cuiuſli­bet tertie extremum intenſius per equalem latitudi­nem excedit extremū remiſſius, et cuiuſlibet quarte et cuiuſlibet quinte .etc̈. et ſic de quibuſcū aliis par­tibus equalibus, ſiue partes aliquote ſint ſiue non igitur in latitudine vniformiter difformi oīm dua-rum partium equaliū extremū intenſius per equa-lem latitudinem excedit extremū remiſſius. Conſe-quentia ptꝫ, et probatur antecedens, q2 captis dua­bus medietatibus extremū intenſius intenſioris ꝑ equalē latitudinē excedit extremū remiſſius eiuſdē: ſicut extremū intēſius remiſſioris medietatis extre­mū remiſſius eiuſdē remiſſioris medietatis vel nõ gradū. Quod probatur ſic / quia extremū intenſius medietatꝪ remiſſioris eſt g̈dus mediꝰ inter extremū intēſius intēſioris medietatis et extremū remiſſius remiſſioris medietatis vt cõſtat: igitur per equaleꝫ latitudinem diſtat ab vtra: et per conſequens per quantum excedit extremū remiſſius medietatis re­miſſioris cuius eſt extremuꝫ intenſiua, per tantum exceditur ab extremo intenſiori intenſioris medie-tatis cuiꝰ medietatis eſt extremū remiſſius. Patet hec cõſequentia ex vltima ſuppoſitione ſecūdi capi­tis ſecūde partis. Itē captis tribus tertiis per tan­tum extremū intenſius remiſſioris tertie excedit ex­tremū remiſſius eiuſdē tertie, per quantuꝫ extremū intenſius tertie īmediate ſequētis excedit extremū remiſſius eiuſdem tertie: et per quantum extremum intenſius vltime tertie excedit extremum remiſſius eiuſdem. Quod probatur ſic / quia extremū intenſiꝰ tertie remiſſioris eſt gradus medius inter extremū intenſius tertie īmediate ſequentis et extremum re-miſſius remiſſioris tertie: igitur equali latitudine diſtat ab extremo intenſiori tertie īmediate ſequē-tis et ab extremo remiſſiori tertie remiſſioris: et per cõſequens ille gradus medius per equalem latitu-dinem excedit extremū remiſſius tertie remiſſioris cuiꝰ eſt extremū intenſius ſicut exceditur ab extre-mo intenſiori tertie īmediate ſequentis cuiꝰ eſt ex-tremū remiſſius. Et iſto modo ꝓbabis /  extremuꝫ intenſius ſecunde tertie per equalem latitudinem excedit extremū remiſſius eiuſdem tertie: ſicut extre­mū intenſius vltime tertie īmediate ſequentis exce­dit ſuū extremum remiſſius. Et ſic habebis /  per equalem latitudinem cuiuſlibet illarum tertiarum extremum intenſius excedit extremum remiſſius eiuſdem. Item captis duabus partibus equalibus ſiue tribus, ſiue quattuor que nõ ſunt pars aut par­tes aliquote: cuiuſlibet illarū extremū intēſius per equalem latitudinē excedit ſuū extremū remiſſius. Quod ſic probatur / q2 captis duabus illarū īme-diatis extremū intēſius remiſſioris partis eſt gra-dus medius inter extremū intenſius intēſioris par­tis et extremū remiſſius remiſſioris illarum: igitur per equalem latitudinem diſtat ab extremo inten-ſiori intēſioris partis et ab extremo remiſſiori par­tis remiſſioris: et per conſequēs ille gradus mediꝰ per equalem latitudinē excedit extremū remiſſius remiſſioris partis illarum cuiꝰ eſt extremū intenſi­us: et exceditur ab extremo intenſiori partis inten-ſioris cuiꝰ eſt extremū remiſſius. Et iſto modo pro-babis ſignatis tribus /  per equalē latitudinē ex-tremū intenſius tertie excedit ſuū extremū remiſſiꝰ et extremū intenſius ſecunde excedit ſuū extremum remiſſius. Et ſic habebis /  cuiuſlibet illarū trium partiū extremū intenſius per equalem latitudineꝫ excedit extremū remiſſius. Et ſic in omnibus aliis partibus equalibꝰ operaberis. Patet igitur ſup-poſitio. ¶ Ex quo ſequitur /  oīs potentia latitudi­nem vniformiter difformē īuariatam pertranſiēs: equales partes tranſeundo incipiēdo ab extremo remiſſiori equalem latitudinē reſiſtentie adequate acquirit. Probatur / q2 talis potentia tranſeundo aliquam partē adequate, acquirendo reſiſtentiam illã reſiſtentiã adequate acquirit per quã extremū intenſius illius partis excedit extremum remiſſius eiuſdem partis / vt ſatis conſtat: et cuiuſlibet partis equalis (ex precedenti ſuppoſitione) extremū inten­ſius per equalem latitudinem excedit extremum re­miſſius: igitur talis potentia latitudinem reſiſten­tie vniformiter difformem inuariatam pertranſi-ens: equalem latitudinem reſiſtentie adequate ac-quirit. Et ſic ptꝫ correlarium. ¶ Sequitur ſecundo /  omnis potentia latitudinem reſiſteutie vniformi­ter difformē īuariatã pertranſiens incipiendo ab extremo intēſiori, equales partes tranſeūdo, equa­lem latitudinē reſiſtentie adequate deperdit. Ptꝫ / quia incipiēdo ab extremo remiſſiori, equales par­tes tranſeundo equalem latitudinē reſiſtentie ade-quate acquirit / vt ptꝫ ex precedenti correlario: igit̄̄ incipiendo ab extremo intenſiori, equales partes tranſeundo equalem latitudinē reſiſteutie adequa­te deperdit: quia in eiſdem partibus eandem lati-tudinem reſiſtentie adequate deperdit quaꝫ antea in eiſdem acquirebat. Et ſic patet correlarium.

1. correĺ. 2. correĺ.

Hoc iacto fundamento ſit prima con-cluſio. Omnis potentia mouens continuo vnifor-miter mediū vniformiter difforme īuariatum tran­ſeundo incipiendo ab extremo remiſſiori: continuo vniformiter intendit potentiam ſuam, ceteris iuua­mentis ac impedimētis deductis. Probatur: ſit c. mediū vniformiter difforme quod inuariatū a. po-tentia vniformiter continuo mouendo ab f. propor­tione pertranſeat ab extremo remiſſiori incipiēdo moueatur continuo a. potentia ſecundū propor-tionem quam habet ad īmediatem reſiſtentiam, ce­teris aliis iuuaminibus et obſtaculis deductis: tūc dico /  a. potentia cõtinuo vniformiter intendit po­tentiam ſuam. Quod ſic oſtenditur / quia a. poten-tia continuo ſe habet in f. proportione ad ſuam re-ſiſtentiam. Nam a. potentia continuo ab f. propor­tione mouetur ex hypotheſi: et ſua reſiſtentia conti-nuo vniformiter creſcit: igitur a. potentia cõtinuo vniformiter creſcit: et per conſequens a. potentia cõ­tinuo vniformiter intendit potentiam ſuam / quod fuit probandum. Patet hec cõſequentia ex proba-tione prime ſuppoſitionis octaui capitis huiꝰ tra-ctatus / hoc addito /  reſiſtentia eſt terminus minor continuo proportionis f. et potentia a. terminꝰ ma-ior. Probatur minor / quia a. potentia continuo in equalibus partibus temporis equales partes illiꝰ reſiſtentie vniformiter difformis pertranſit conti-nuo acquirendo reſiſtentiam, quia mouetur conti-nuo vniformiter verſus extremū intenſius: et conti-nuo equales partes tranſeundo equalem latitudi-nem reſiſtentie acquirit / vt ptꝫ ex primo correlario ſuppoſitionis: igitur continuo in equalibus parti­bus temporis equalem latitudinem reſiſtentie ac-quirit: et per conſequens reſiſtentia ipſius a. poten­tie vniformiter continuo creſcit / quod fuit proban-dum. Et ſic patꝫ concluſio. ¶ Ex quo ſequitur /  oīs potentia continuo mouens vniformiter, mediū vni­formiter difforme inuariatum tranſeundo, incipi-endo ab extremo intenſiori: continuo vniformiter remittit potentiã ſuã: ceteris aliis deductis. Pro-batur: ſit c. medium vt ſupra quod inuariatū a. po-tentia vniformiter continuo mouendo ab f. propor­tione pertranſeat ab extremo intenſiori incipiēdo / tunc dico /  a. potentia continuo vniformiter remit­tit potentiam ſuam. Quod ſic oſtēditur / quia a. po­tentia continuo ſe habet in f. proportione ad ſuam reſiſtentiam (cum continuo moueatur ab f. propor-tione ex hypotheſi) et ſua reſiſtentia vniformiter cõ­tinuo decreſcit ſiue diminuitur: igitur a. potentia continuo vniformiter remittit potentiam ſuã. Pa­tet cõſequentia ex probatione prime ſuppoſitionis octaui capitis preallegati. Minor probatur / quia a. potentia continuo in equalibus partibus tēpo-ris equales partes illius reſiſtētie vniformiter dif-formis pertranſit continuo deperdendo reſiſten-tiam (cum continuo vniformiter moueatur verſus extremū remiſſius ex hypotheſi) et continuo verſus extremū remiſſius mouēdo, equales partes tran-ſeūdo, equalē latitudinē oīno reſiſtētie deperdit / vt patet ex ſecundo correlario ſuppoſitionis: igitur a. potentia continuo in equalibus partibus tēpo-ris equalem latitudinem reſiſtentie deperdit: et per conſequens reſiſtentia ipſius a. potentie continuo vniformiter decreſcit ſiue diminuitur / qḋ fuit pro-bandum. Patet igitur correlarium.

3. correĺ.
Prima cõcluſio calcula.

Secunda concluſio. Oīs potentia a non gradu potentie creſcens continuo vniformiter tranſeundo medium vniformiter difforme īuaria-tum ad non gradū terminatum, incipiendo ab ex-tremo remiſſiori: continuo vniformiter mouetur. Probatur / ſit c. medium vniformiter difforme ad non gradum terminatum vt in caſu concluſionis: ſit a. potentia que a nõ gradu potentie continuo vniformiter creſcens c. medium in d. tempore ade-quate pertranſit, ab extremo remiſſiori incipiēdo moueatur continuo ſecundum proportionem po­tentie ad reſiſtentiam ſibi īmediatam ceteris dedu­ctis: ſit etiam b. potentia que in eodem d. tēpore adequate continuo vniformiter mouendo per ſui variationem pertranſeat idem c. medium ab extre­mo remiſſiori incipiendo: et manifeſtum eſt ex con-cluſione precedenti b. potentiam a non gradu po-tentie continuo vniformiter intendere potentiã ſuã Dico igitur tunc /  a. potentia continuo vniformi-ter mouetur c. medium tranſeundo. Quod ſic oſten­ditur / quia a. et b. continuo eque velociter mouētur oīno: et b. cõtinuo vniformiter mouetur tranſeundo c. mediū / quod etiam pertranſit a. / vt patet ex hypo-theſi: igitur a. potentia continuo vniformiter mo-uetur c. medium tranſeundo / quod fuit probandum Cõſequentia ptꝫ cum minore: et arguitur maior / q2 a. et b. potentie cõtinuo ſunt in eodem puncto c. me­dii: igitur cõtinuo eque velociter mouētur omnino Cõſequentia ptꝫ: et probatur antecedens / quia ſi nõ detur inſtans in quo a. ſit in pūcto citeriori, aut vl-teriori: et ſit e. / et arguitur ſic / in e. inſtanti d. tēporis a. eſt in puncto citeriori vel vlteriori ipſius c. medii quam b. et a. et b. cõtinuo ſunt equalis potentie: igit̄̄ nõ eque cito pertranſibūt c. medium / quod eſt cõtra hypotheſim. Patet cõſequentia / q2 ſi a. eſt in pūcto vlteriori: et cõtinuo eſt equalis b. / ſequitur /  citius deueniet ad terminum c. medii quam b. et ſi in cite-riori et cõtinuo eſt equalis ipſi b. / ſequitur /  tardiꝰ deueniet ad terminū c. medii. Alias eadem potētia vel equalis eque cito abſolueret totam reſiſtētiam et partem eius adequate / quod eſt impoſſibile dedu­ctis litigioſis captiūculis. Sed tã probo illas po-tentias continuo eſſe equales / q2 detur oppoſitum videlicet /  aliquãdo altera illarum ſit altera ma-ior: et ſequitur cum cõtinuo vniformiter creſcant in eodem tempore a nõ gradu potētie /  ipſa cõtinuo erit maior: et per cõſequēs citius abſoluet c. mediū quam altera / quod eſt contra hypotheſim. Patet cõſequentia / quia potentia continuo maior maius ſpacium pertranſit in eodem tēpore quam poten-tia in eodē tēpore continuo minor ea. ¶ Et ſic patet concluſio / que eſt prima calculatoris in ſecūdo eius capite de medio non reſiſtente quam aliter nititur demonſtrare: ſed ſaluo meliori iudicio demonſtra­tio eſt inefficax. Innititur e huic cõſequentie per nullū tēpus terminatū ad principiū a. intendit mo­tum ſuū nec remittit: ergo a. nun̄ intendit motum ſuū aut remittit. Modo illa cõſequētia nõ eſt bona Stat e /  a. potentia per nullū tēpus terminatuꝫ ad inſtans initiatiuū intendat aut remittat motuꝫ ſuū: et tamen per aliquod tēpus nõ terminatum ad principium tēporis intēdat aut remittat motū ſuū Diuiſa e hora per partes proportionales mino­ribus verſus inſtans initiatiuū motus terminatis a. potentia in qualibet impari intendente motum: et in qualibet pari remittente: tunc per nullū tēpus terminatum ad principium intendit motum ſuum: nec per aliquod tale remittit: et tamen intendit mo­tuꝫ ſuū: et remittit per aliquod tēpus nõ terminatū ad principium temporis. Et hoc forte nare ſagaci­ol faciens calculator adiecit ſecundam probationē aſſumens /  a. potentia per nullum tempus inten-dit motum ſuū nec remittit: ita arguens: quia ſi ſic ſit illud inſtans c. in quo incipit iutendere motum ſuū aut remittere: et ſit f. proportio ex qua cõtinuo vniformiter mouebitur ante c. / et ſequitur /  conti-nuo ante in f. proportione tardius creſcit reſiſtētia ̄ eius potentia .etc̈. In qua probatione calculator duo aſſumit dubia et probãda que aduerſarius de­monſtrationem vndiqua certam et inuiolabilem efflagitans negaret. Aſſumit e primo pro certo et manifeſto /  aliquod eſt inſtans intrinſecum tēpo-ris in quo primo incipit intendere motum ſuū aut in quo primo incipit remittere motum ſuum ita  nun̄ antea remittit nec intendit motum ſuum. Ad amuſſim vero omnia dubitabilia ſibi demonſtrari expetens diceret nullum tale eſſe inſtans: ſicut con-tingeret cum in qualibet parte pari intenderet in qualibet vero impari remitteret / vt dictum eſt. Se-cundo aſſumit /  ante illud c. inſtans intrinſecū a. potentia mouetur vniformiter / quod eſt probandū Et ſic ptꝫ modum illum probandi predictam con-cluſionem inefficacem eſſe qui et ſi ſcientiam nõ ge-neret magnam tamen fidem facit.

Contra calcula-torē.

Tertia cõcluſio. Si potentia que mo­uetur vniformiter cõtinuo medium vniformiter difforme īuariatum et ad nõ gradum terminatum incipiendo ab extremo remiſſiori: et cõtinuo creſcē-do vniformiter quouſ deueniat ad extremū intē-ſius: et deīde retrograde moueatur verſus extremū remiſſius cõtinuo vniformiter et eque velociter de-creſcendo ſicut antea creuit: ipſa continuo vnifor-miter mouebitur. Probatur / ſit a. potentia que ab extremo remiſſiori c. medii vniformiter difformis nõ variati et ad nõ gradum terminati incipiendo, continuo vniformiter mouetur per continuum ſue potentie vniforme crementum, quo ad vſ ad extre­mū intenſius ipſius c. medii deueniat / ad quod ha-beat proportionē f. a qua antea continuo moueba­tur: ſit b. potētia ei equalis que (vt oportet) ad idē extremum intenſius habet f. proportionem. Uarie-tur igitur / ipſa b. potentia taliter continuo ab eodē extremo intenſiori verſus remiſſius,  cõtinuo mo­ueatur ab f. proportione: et a. ſimul in eodem inſtãti incipiat moueri cum b. potentia verſus extremū re­miſſius cõtinuo vniformiter et eque velociter remit-tendo potentiam ſuam ſicut antea intendebat: ſit g. tempus in quo a. antea vniformiter potentiã ſuã intendebat totum c. medium adequate tranſeundo et h. ſit tempus in quo adequate b. potentia pertrã­ſit c. medium. Tunc dico /  a. ſic mouendo continuo vniformiter mouetur. Quod ſic oſtēditur / q2 a. et b. continuo eque velociter mouētur: et b continuo vni-formiter mouet̄̄ ex hypotheſi: ergo a. vniformiṫ mo­uetur cõtinuo / qḋ fuit ꝓbandū. Conſequentia ptꝫ cū minore: et arguit̄̄ maior / q2 a. et b. poñe cõtinuo ſunt in eodē pūcto c. medii: igr̄ a. et b. ↄ̨tinuo eque velociṫ mouentur. Conſequentia patet: et probatur antece­dens / quia ſi non: detur inſtans in quo a. ſit in pun-cto vlteriori vel citeriori quam b. et ſit illud inſtans e. / et argr̄ ſic in e. inſtãti a. potētia eſt in puncto vlte- riori vel citeriori quam b. et a. continuo eſt equalis ipſi b. et incipit ab eodē pūcto cū b. ſus idē pūctū moueri per eandem reſiſtentiam .etc̈. / ergo eadē po-tentia vel equalis eque cito tranſit aliquod totum medium ſicut partem eius adequate / quod eſt īpoſſi­bile. Conſequentia patet / quia ſi a. eſt in puncto ci-teriori quam b. et eſt equalis continuo ipſi b. etc̈. / ſe-quitur /  in eodem tēpore in quo a. pertranſit ſpa-cium interceptum inter punctum initiatiuum c. me­dii a quo incipit motus et punctum in quo a. eſt in inſtãti e, b. pertranſit totum illud ſpaciū pertran-ſitum ab a. et inſuper partem illam per quam b. pre­cedit a. / ergo ſi a. eſt in pūcto citeriori quam b. et eſt equalis continuo ipſi b. etc̈. / ſequitur /  eadem po-tentia vel equalis eque cito tranſit aliquod totum medium ſicut eius partem adequate. Et ſi a. ſit in vl­teriori, et continuo eſt equalis ipſi b. etc̈. / ſequitur /  in eodem tēpore adequate in quo b. pertranſit ade­quate ſpacium interceptum inter punctum initia-tiuum c. medii a quo incipit motus et punctū in quo b. eſt in inſtanti e. ipſa a. potentia pertranſit totum illud ſpacium pertranſitum ab ipſa potentia b. et inſuper partem illam per quã ipſa potentia a. pre­cedit potentiam b. / ergo ſi a. eſt in puncto vlteriori quam b. et eſt continuo equalis ipſi b. etc̈. / ſequitur /  eadem potentia vel equalis eque cito tranſit ali-quod totum medium, ſicut eius partem adequate. Iam probatur minor videlicet /  a. continuo eſt e-qualis ipſi b. quia a. et b. in principio h. tēporis ſūt equales, et tam a. quã b. in h. tempore continuo vni­formiter remittitur vſ ad non gradum ſue poten­tie: ergo continuo in h. tempore a. eſt equalis ipſi b. Conſequētia patet cum maiore: et probatur minor / quia b. vniformiter remittit potentiam ſuam in h. tempore ex correlario prime concluſionis, et ad nõ gradum / vt patet ex correlario ſecunde cõcluſionis et a. etiam in h. tempore cõtinuo vniformiter remit-tit potentiam ſuam vſ ad non gradum: igitur tã a. quam b. in h. tempore cõtinuo vniformiter remit-titur vſ ad non gradum. Conſequētia patet cum maiore, et probatur minor, quia g. tēpus eſt equale ipſi h. (cum tam in g. quam in h. adequate pertran-ſeatur c. ſpacium continuo ab f. proportione / vt fa-cile deducitur ex hypotheſi) et a. potentia continuo vniformiter et eque velociter remittit potentiam ſu­am in tēpore in quo mouetur retrograde ab extre-mo intenſiori ſicut antea in g. tempore intendebat omnino: et h. eſt tempus a cuius principio incipit a. potentia retrograde moueri: et remittere potentiã ſuam / vt patet ex hypotheſi: igitur a. potentia vni-formiter continuo remittit potentiam ſuam in h. tempore vſ ad non gradum / quod fuit probandū. Et ſic patet concluſio.

1. correĺ.

¶ Ex hac concluſione ſequitur primo /  ſi talis po-tentia que ſic vniformiter cõtinuo mouens, pertrã-ſit illam reſiſtentiam vniformiter difformē incipi-endo ab extremo remiſſiori ↄ̨tinuo vniformiter in-tendendo potentiam ſuam, cum fuerit in termino incipiat retrograde moueri ab extremo intenſiori verſus remiſſius, vniformiter remittendo potentiã ſuam, cõtinuo tamen tardius quam antea intende­bat: ipſa potentia citius pertranſibit eandem reſi­ſtentiam quam antea. Probatur facile et ponatur /  per idem medium vniformiter difforme inuaria-tum ad non gradum terminatum, moueantur due potentie puta a. et b. creſcentes a non gradu conti-nuo vniformiter et eque velociter, incipiendo in eo-dem inſtanti ab extremo remiſſiori: et manifeſtum eſt /  eque velociter continuo mouebuntur eque cito idem medium abſoluentes: cum igitur fuerint in ex­tremo ītēſiori īcipiãt ſimĺ in eodē īſtãti retrograde moueri ab extremo ītēſiori ſus remiſſiꝰ: et vna pu­ta a. vniformiter et eque velociter adeq̈te remittēte continuo potentiam ſuam ſicut antea intendebat, alia puta b. continuo tardius ſuam potentiam re-mittat quam antea. Quo poſito ſic arguit̄̄ ille due potentie incipiunt in eodem inſtanti ab eodem pū-cto moueri: et illa que tardius remittitur puta b. cõ­tinuo erit maior altera (vt patet / quia modo ſunt e-quales) et mouebuntur per eandem reſiſtentiã om-nibus aliis impedimentis ſecluſis: igitur continuo b. potentia que tardius remittit potentiam ſuam precedit alteram et velocius ea mouetur, quia con-tinuo erit maior, et in minori reſiſtentia, et per con-ſequens citius deuenit ad terminum illius reſiſtē-tie quam altera: et altera eque cito pertrãſit illam ſicut antea / vt patet ex probatione precedentis con­cluſionis: ergo illa que tardius continuo remittit potentiam ſuam ꝙ̄ ãtea, citius pertranſit eandem reſiſtentiam quam antea / quod fuit probanduꝫ. Et ſic patet correlarium ¶ Sequitur ſecundo /  b. po-tentia que tardius remittitur altera / vt ponitur in caſu precedentis correlarii: citius deuenit ad termi­num illius medii quod retrograde pertranſit quã ad non gradum remittatur. Patet correlarium / q2 b. citius deueniet ad terminuꝫ illius medii quã alia potentia que velocius continuo remittitur: igitur quando b. deuenerit ad terminum dicti medii, alia potentia adhuc erit in puncto intrinſeco illius me-dii: erit etiã aliqualis intenſionis, b. vero poten-tia que continuo tardius remittitur pro tali inſtã-ti maioris erit intenſionis: igitur b. potentia que tardius remittitur citius deuenit ad terminū illius medii / quod retrograde pertranſit ꝙ̄ ad non gra-dum remittatur. Et ſic patet correlarium.

2. correĺ.
3. correĺ.

¶ Sequitur tertio /  in caſu primi correlarii b. po-tentia que continuo tardius remittitur: continuo intendit motum ſuū. Probatur / quia continuo re-ſiſtentia cum qua mouetur b. maiorem proportio-nem deperdit quam ipſa potentia b. per ſui dimi-nutionem: igitur continuo proportio inter b. potē-tiam et reſiſtentiã cum qua mouetur augetur: et per conſequens continuo b. potentia intendit motum ſuum / quod fuit probandum. Conſequentia patet ex ſecundo correlario ſecunde concluſionis octaui capitis ſecunde partis / hoc addito /  reſiſtentia eſt terminus minor, et potentia terminus maior. Pro­batur antecedens / quia reſiſtentia cum qua moue-tur b. continuo maiorem proportionem deperdit quam reſiſtentia cum qua mouetur a. et reſiſtentia cum qua mouetur a. continuo equalem proportio-nem deperdit ſicut ipſa potentia a. / vt patet ex ſecū­da parte primi correlarii quarte concluſionis octa­ui capitis preallegati (Continuo enim inter a. po-tentiam et ſuam reſiſtentiã eſt eadem proportio, a. et ſua reſiſtentia continuo deſcreſcentibus) et a. po-tentia continuo maiorem proportionem deperdit quam b. / vt patet ex ſecunda parte octaue ſuppoſi-tionis quarti capitis ſecunde partis iuncto loco a maiori (continuo enim a. potētia minor eſt ipſa b. potentia: et continuo maiorem latitudinem deper-dit / vt patet probatione primi correlarii huius) / igitur continuo reſiſtentia cum qua mouetur b. ma­iorem proportioneꝫ deperdit quam ipſa potentia b. / quod erat probandum. Patet hec conſequentia per hoc /  quicquid eſt aliquo maius eſt quolibet minori illo maius: hoc addito /  continuo propor­tio deperdita a reſiſtentia ipſius b. eſt maior pro- portione deperdita ab ipſa potentia a. et continuo proportio deperdita ab ipſa potentia a. eſt adhuc maior proportione deperdita ab ipſa potentia b. Patet igitur correlarium.

4. correĺ.

¶ Sequitur quarto:  illa potentia b. que tardius remittitur deueniens verſus non gradum talis me­dii ſiue reſiſtentie: in infinitum velociter mouebi-tur: in infinitum velociter intendit motum ſuum. Patet hoc correlariū / et capio gradū quē habebit talis potentia b. in fine: et ſit vt .2. (gratia exempli) / et arguo ſic / quãdo potentia b. erit in gradu reſiſten­tie vt vnū in illa reſiſtentia terminata ad nõ gradū mouebitur a ꝓportione dupla, et in ſubduplo gra­du reſiſtentie mouebitur a dupla ꝓportione ad du-plam puta a quadrupla, et in ſubduplo ad illum a proportione octupla, et ſic in īfinitū ꝓcedendo per ꝓportiões denoīatas a numeris pariter paribus / igitur ab infinita ꝓportione mouetur b. veniendo verſus nõ gradū talis reſiſtentie: et ꝑ cõſequens in infinitū velociter mouetur. Et ſic ptꝫ ſecunda pars correlarii videlicet /  in infinitū velociter intendit motum ſuū. Ptꝫ igr̄ correlariū. ¶ Sequitur quinto /  ſi aliq̈ potētia / q̄ mouet̄̄ vniformiṫ mediū vniformi-ter difforme terminatū ad nõ gradū pertranſeun-do per continuū ſue potentie vniforme crementum incipiēdo ab extremo remiſſiori, incipiat retrogra­de moueri ab extremo intenſiori verſus remiſſius vniformiter continuo remittendo potentiaꝫ ſuam velocius tamen quam antea intendebat: talis po-tentia tardius cõtinuo mouebitur quã antea moue­batur tranſeūdo illã reſiſtentiam. Et ſic mouendo, velociꝰ quã antea vniformiter potētiã ſuã remittēs nõ ſufficit venire ad terminū illius reſiſtētie. Pro-batur ſint a. et b. due potētie equales / q̄ ab extremo remiſſiori verſus intenſius extremū c. medii vnifor-miter difformis terminati ad nõ gradū moueãtur continuo vniformiter per ſue potentie continuū et vniforme crementū quo ad vſ deueniant ad termi­nū c. medii: cum igitur fuerint in extremo intenſiori incipiant retrograde moueri in eodē inſtanti ab ex­tremo intenſiori verſus remiſſiꝰ: et vna puta a. vni-formiter et eque velociter mouente ſicut antea et vni­formiter et eque velociter adequate remittente po-tentiã ſuã ſicut antea intendebat: alia puta b. con-tinuo velocius vniformiter remittat potentiã ſuaꝫ quã antea. Quo poſito argr̄ ſic / prima pars corre-larii q2 a. et b. in principio motus retrogradi ſunt equales: et b. continuo erit minor: igitur continuo tardius mouetur ꝙ̄ a. (cū moueantur per eandē re-ſiſtentiã) / et per cõſequens tardius mouetur quã an-tea mouebatur q2 a. ita velociter mouetur modo ſi­cut antea adequate mouebatur b. / vt ptꝫ. Et ſic ptꝫ prima pars. Secūda pars ꝓbatur / q2 cū b. cõtinuo tardius moueatur ꝙ̄ a. / vt ptꝫ ex prima parte huius correlarii: et incipiant in eodē inſtanti ab eodē pun­cto verſus eandē differentiã moueri, cū ceteris po-ſitis in caſu, ſequitur /  cum a. fuerit in termino, b. nondū erit in termino: ſed in aliquo puncto intrin­ſeco illius reſiſtentie: et tunc iam a. potentia erit re­miſſa ad nõ gradū: igitur tunc b. potentia iam erit remiſſa ad nõ gradum / vt ptꝫ ex caſu per locū a ma­iori: et ſi tunc a. potentia erit remiſſa ad non gradū iam non poterit ſic ad non gradum remiſſa vlteriꝰ moueri vt deueniat ad terminū illius reſiſtentie / qḋ fuit probandum. Et ſic ptꝫ correlarium.

5. correĺ.
Decima cõcluſio calcu.

Quarta concluſio. Si ab extremo re-miſſiori medii vniformiter difformis ad nõ gradū terminati incipiat aliqua potentia moueri a non gradu intendendo potentiam ſuam, continuo ve-locius et velocius: ipſa continuo intendit motum ſuum. Et ſi tardius et tardius continuo intendatur ipſa continuo remittet motum ſuum. Probatur prima pars. Sit a. potentia que c. medium tranſe-undo / vt ponitur in concluſione: continuo velocius et velocius intendat potentiam ſuam a non gradu etc̈. Tunc dico /  a. potentia continuo intendit mo-tum ſuum c. medium tranſeundo. Quod ſic oſtendi­tur / quia a. nun̄ vniformiter mouetur: quia alias tunc vniformiter intenderet potentiam ſuam (vt pa­tet ex prima concluſione) quod tamen eſt contra hy­potheſim. Nec continuo remittit motum ſuum: nec aliquando intendit: et aliquando remittit aut econ­tra: igitur continuo a. potentia intendit motum ſu­um c. medium tranſeundo / quod fuit probandum: Cõſequentia cum maiore patet. Et probatur pri-ma pars minoris videlicet /  a. nõ continuo remit-tit motum ſuum: quia ſi ſic: capio vnam partem il-lius temporis per quod continuo remittit termina­tam ad principium totius temporis: et ſit propor-tio f. quam habet a. ad ſuam reſiſtentiam in inſtan­ti medio illius partis. Et arguo ſic / in fine ſecunde medietatis illius partis a. habet maiorem propor­tionem quam f. ad ſuã reſiſtentiam: igitur propor-tio a qua mouetur a. non continuo diminuitur: et ꝑ conſequens a. non continuo remittit motum ſuū Patet conſequentia: et probatur antecedens / quia inter acquiſitum potentie et acquiſitum reſiſtentie in ſecunda medietate illius partis temporis eſt ma­ior proportio quam f. et in principio illius medie-tatis ſecunde inter potentiã et reſiſtentiam eſt pro-portio f. adequate ex caſu: igitur in fine ſecunde me­dietatis illius partis ipſa potentia a. habet maio­rem proportionem quã f. ad ſuam reſiſtentiã: quod erat inferendum: ↄ̨ſequētia ptꝫ ex tertio correlario quarte concluſionis octaui capitis ſecunde partis Et probatur antecedens / quia in illa ſecunda me-dietate maiorem latitudinē potentie acquirit ꝙ̄ eſt tota illa quam acquiſiuit in prima (cum continuo velocius creſcat ex hypotheſi) et reſiſtentia minorē latitudinem acquirit in illa ſecunda medietate ̄ eſt tota illa quã acquiſiuit in prima: quia per te tar­dius a. mouetur in ſecunda ꝙ̄ in prima: et equales partes c. medii tranſeūdo equales latitudines ade­quate acquirit ſua reſiſtentia: igitur inter acquiſi-tum potentie et acquiſitū reſiſtentie in ſecunda me-dietate illius partis temporis eſt maior proportio ̄ f. / patet ↄ̨ſequētia / q2 ſi in illa ſcḋa medietate ac-quireret tantam potentiam ſicut in prima, et tantã reſiſtentiam etiam ſicut in prima: tunc inter illa ac­quiſita eſſet proportio f. / igitur ſi maiorem poten-tiam acquirit ꝙ̄ tunc et minorem reſiſtentiã ꝙ̄ tunc inter acquiſitum potentie et acquiſitum reſiſtentie in ſecunda medietate illius temporis eſt maior pro­portio ꝙ̄ f. Iam probo ſecundam partem minoris videlicet /  non aliquando intendit: et aliquando remittit. Quia ſi poſt̄ intendit remittit motum ſuum detur tempus per quod remittit poſt̄ im-mediate antea intendebat: et capio vnum inſtans in illo tempore remiſſionis in quo habet a. talem proportionem qualem habebat antea quando in-tendebat motum que ſit f. Et arguo ſic / in aliquo tē­pore immediate ſequente illud inſtans in quo a. ha­bet proportionem f. ad ſuam reſiſtentiam inter ac-quiſitum potentie et inter acquiſitum reſiſtētie erit maior proportio quã f. / ergo ſequit̄̄ /  proportio f. intēditur / et per conſequens motus non remittitur: patet cõſequētia ex tertio correlario quarte cõclu-ſionis octaui capitis ſecūde partis: antecedēs pro­batur / q2 in aliquo tēpore īmediate ſequēte illud in­ſtans in quo a. habet ꝓportionē f. ad ſuã reſiſten-tiã, potētia velociꝰ creſcit ꝙ̄ antea quãdo intende-bat motū in aliquo tēpore equali īmediate ſequē-te inſtans in quo habuit f. ꝓportionē: et reſiſtentia tardiꝰ ſibi creſcit ꝙ̄ antea in tanto tēpore poſcã ha­buit f. ꝓportionē. Sed antea quãdo intēdebat mo-tū in equali tēpore īmediate ſequēte inſtãs in quo a. habuit f. proportionē inter acquiſitū potentie et ac-quiſitū reſiſtentie erat maior ꝓportio ꝙ̄ f. / ergo in tanto tēpore īmediate ſequēte illud inſtans in tem­pore remiſſionis in quo inſtanti a. habet ꝓportio-nē f. ad ſuã reſiſtentiã inter acquiſitū potentie et ac-quiſitū reſiſtentie erit maior ꝓportio ꝙ̄ f. / ptꝫ con-ſequētia per locū a maiori. Probatur tertia pars minoris videlicet /  nõ aliquãdo remittit et aliquã­do poſtea intēdit: q2 ſi ſic detur inſtãs in quo poſcã remiſit incipit intēdere. Et arguo ſic / vel ſemꝑ ante illud inſtans remitebãt vel aliquãdo intendebat et poſtea remittebat. Sed nõ primum vt dicit prima pars minoris: nec ſcḋm vt dicit ſecūda pars mino­ris: ergo nõ aliquando remittit, et poſtea intendit / quod fuit inferendū: ptꝫ cõſequētia: et maior ꝓba-tur / q2 nõ vniformiter mouebitur / vt ptꝫ ex prima cõ­cluſione huiꝰ. Et ſic ꝓbabis aliã partē cõcluſionis paucis mutatis: ptꝫ igitur concluſio.

Quinta cõcluſio. Si ab aliquo pūcto medii vniformiter difformis incipiat aliqua poña per ſue potētie cõtinuū vniforme crementū cõtinuo vniformiter moueri, et potētia equalis ei cõſimili-ter oīno creſcēs incipiat a pūcto remiſſiori moueri in eodē medio: talis potētia cõtinuo remittit motū ſuū. Et ſi eadē potentia inciperet moueri a puncto inteſiori illiꝰ medii: ipſa cõtinuo intenderet motum ſuū. Probatur prima pars cõcluſionis / ſit a. potē-tia que vniformiter cõtinuo mouetur c. mediū vni-formiter difforme ad nõ gradū terminatū trãſeū-do per ſue potentie vniforme cõtinuū crementū, in puncto intrinſeco eiuſdē c. medii exiſtens: ſit b. po­tentia ei equalis in pūcto remiſſiori eiuſdē c. medii exiſtens oīno cõſimiliter creſcens cū a. et moueãtur a. et b. ab illis pūctis verſus extremum intenſius c. medii: tūc dico /  b. cõtinuo remittit motum ſuum. Quod ſic ꝓbatur / q2 ꝓportio ipſiꝰ b. ad ſuã reſiſtē-tiã cõtinuo diminuit̄̄: ergo b. ↄ̨tinuo remittit motū ſuū. Cõſequentia ptꝫ: et ãtecedēs ꝓbatur / q2 cõtinuo reſiſtentia ipſiꝰ b. maiorē ꝓportionē acquirit quã ipſa b. potētia: igitur cõtinuo ꝓportio ipſius b. ad ſuã reſiſtentiã diminuitur. Patet conſequentia ex ſecūda parte primi correlarii tertie ↄ̨cluſiõis octa­ui capitis ſecūde partis: hoc addito /  b. potentia eſt terminus maior et ſua reſiſtentia terminꝰ minor Antecedens ꝓbatur / q2 cõtinuo reſiſtentia ipſiꝰ b. maiorē ꝓportionē acquirit quã reſiſtentia ipſiꝰ a. et cõtinuo reſiſtentia ipſius a. et ipſa b. potētia ac-quirunt equalē ꝓportionē: igitur cõtinuo reſiſten-tia ipſius b. maiorē proportionē acquirit ꝙ̄ ipſa b. potentia / quod fuit ꝓbandū. Patet cõſequētia per hoc /  illud quod aliquo eſt maius: eſt quolibet illi equali maius. Et maior ꝓbatur / q2 cõtinuo b. potē-tia velocius et per minorē reſiſtentiã mouetur ꝙ̄ a. potētia: igitur cõtinuo reſiſtētia ipſius b. potentie maiorē ꝓportionē acquirit ꝙ̄ reſiſtentia ipſius a. Cõſequentia patet ex octaua ſuppoſitione quarti capitis ſecūde partis iuuamine loci a fortiori. Et antecedens ptꝫ / q2 b. potentia cõtinuo equalis ipſi a. mouetur continuo per reſiſtentiã nõ gradui c. me­dii pinquiorē ꝙ̄ a. potentia / vt ptꝫ ex caſu: igitur cõtinuo b. potentia velocius et per minorē reſiſten-tiã mouetur ꝙ̄ a. potentia / quod fuit ꝓbandū. Sed iam ꝓbo minorē videlicet /  cõtinuo reſiſtentia ip-ſius a. et ipſa b. potentia acquirūt equalē ꝓportio-nem: q2 cõtinuo reſiſtentia ipſius a. et ipſa a. poten­tia eqnalē ꝓpottionē acquirūt / vt ptꝫ ex ſecūda par­te primi correlarii quarte concluſionis octaui ca-pitis preallegati (cū a. potētia cõtinuo moueatur ab eadem ꝓportione ipſa a. poteutia et ſua reſiſtē­tia continuo creſcentibus) et ipſa a. potētia et ipſa b. potentia continuo ſimiliter equalē ꝓportionem acquirunt / vt ptꝫ ex caſu: igitur continuo reſiſtentia ipſius a. et ipſa b. potentia acquirunt equalē ꝓpor­tionē / quod fnit ꝓbandū. Patet conſequentia per hoc /  illud quod eſt vni equale: eſt cuilibet illi eq̈li equale. Et ſic ptꝫ prima pars. Iam ꝓbatur ſecun-da pars cõcluſionis. Sit a. potentia que mouetur continuo vniformiter .etc̈. vt ſupra ſit b. potentia ei equalis cõſimiliter oīno creſcens ſicut a. poſita in puncto intenſiori c. medii: et moueãtur ſimul ab illis punctis verſus extremū intenſius c. medii: tūc dico /  b. potentia continuo intendit motum ſuum Quod ſic ꝓbatur / q2 cõtinuo ꝓportio ipſius b. ad ſuã reſiſtentiã augetur: igitur continuo b. potentia intēdit mutū ſuū. Antecedēs ꝓbatur / q2 cõtinuo b. poña maiorē ꝓportionē acrit ꝙ̄ ſua reſiſtētia: igr̄ cõtinuo ꝓportio ipſius b. ad ſuã reſiſtentiã auget̄̄. Patet cõſequentia ex primo correlario ſecūde cõ-cluſionis octaui capitis: hoc addito /  b. potentia ſe habet vt terminus maior et ſua reſiſtentia vt ter­minus minor. Sed antecedens ꝓbatur / q2 continuo reſiſtētia ipſius a. maiorē ꝓportionē acquirit quã reſiſtentia ipſius b. et continuo reſiſtentia ipſius a. et ipſa b. potentia equalē ꝓportionē acquirūt: igit̄̄ continuo b. potentia maiorē ꝓportionē acquirit ̄ reſiſtentia eiuſdē b. / quod fuit probandū. Conſequen­tia patet per hoc /  ſi aliquid eſt alio maius quod-libet equale illi eſt maius eodem. Et maior ꝓbatur / q2 continuo a. potentia velocius et per minorē reſi­ſtentiã mouetur ꝙ̄ ipſa b. potentia / vt patet ex caſu / igitur continuo reſiſtentia ipſius a. maiorē ꝓpor-tionē acquirit ꝙ̄ reſiſtentia ipſius b. Cõſequentia patet ex octaua ſuppoſitione quarti capitis ſecū-de partis iuncto loco a fortiori: hoc addito /  tam a. quã b. equales partes illius medii tranſeūdo .etc̈ equalē reſiſtentiã acquirūt / vt ptꝫ ex primo correla­rio ſuppoſitionis. Sed iam ꝓbo minorē videlicet /  continuo reſiſteutia ipſius a. et ipſa b. potentia equalē ꝓportionē acquirunt: quia continuo reſiſtē­tia ipſius a. et ipſa a. potentia equalē ꝓportioneꝫ acquirunt / vt ſupra argumentū eſt: et ipſa a. poten-tia et b. potentia continuo itidē equalē ꝓpornalem acquirūt / vt ptꝫ: igttur continuo reſiſtentia ipſius a. et ipſa b. potentia equalē ꝓportionē acqtirūt / qḋ fuit ꝓbandum. Et ſic ptꝫ ſecūda pars et ex hoc tota cõcluſio. ¶ Ex quo ſequitur primo /  ſi a. potentia cõtinuo mouetur vniformiter per ſui continuum et vniforme crementum tranſeundo c. mediū infinitū vniformiter difforme vel ſaltē cuius quilibet pars finita ſit vniformiter difformis b. potentia ei equa­lis poneretur in puncto remiſſiori eiuſdem medii ̄ ſit punctus in quo pro tunc eſt a. potentia: ipſa b potentia eſto /  continuo per infinitū tempus velo­cius moueatur uun̄ a. potentiã attinget: ceteris iuuamentis et impedimentis deductis. Patet cor-relarium / quia alias eadem potentia vel equalis eque cito / aliquod totum pertranſiret ſicut partem eiuſdem ceteris paribus / quod eſt impoſſibile. Con­ſimiliter dicas /  a. nunquam attingeret b. / eſto /  ꝑ infinitum tempus velocius moueretur, ſi b. in pun-cto intenſiori c. medii infiniti etc. poneretur.

1. correĺ. 5. conclu­ſio calcu­latoris.
2. correl.

¶ Sequitur ſecūdo /  ſi aliqua poña ab aliquo pū­cto intrinſeco medii vniformiter difformis incipi-at vniformiter continuo moueri per ſue poñe con-tinuum et vniforme crementum: omnis poña maior vniformiter et eque velociter omnino creſcens cum ea ab eodem puncto incipiens moueri verſus extre­mum intenſius, continuo remittit motum ſuum.

Probatur / ſit a. poña que vniformiter cõtinue mo­netur per ſui continuum et vniforme crementum ꝑ c. medium infinitum vniformiter difforme vel ſaltē cuius quelibet pars finita ſecundum certam diuiſio­nem eſt vniformiter difformis mouendo: ſit po-tentia b. maior ꝙ̄ a. omīno eodē mõ creſcens cuꝫ a. et moueantur a. et b. potentie ab aliquo puncto ipſiꝰ c. medii verſus puncta intenſiora. tunc dico /  b. po­tentia continuo remittit motum ſuum. Quod ſic ꝓ­batur / quia cum a. potentia per c. medium infinituꝫ mouendo vniformiter continuo creſcet in potētia manifeſtum eſt /  ipſa a. poña ſuper c. medium infi-nitum mouendo aliquando erit tante potētie ade-quate: quante modo eſt ipſa potētia b. ponatur / igi­tur b. quieſcere quo ad vſ a. potentia ad illḋ pun-ctum c. medii deuenerit ad quod a. poña erit tante poñe adequate quante nunc eſt b. potentia: et tunc moueantur in eodem inſtanti verſus puncta inten-ſiora .a. a puncto / ad quod tunc eſt .b. vero a puncto ad quod ponitur quieſcere continuo omnino eodē modo creſcens ſicut a. poña. Quod poſito arguitur / ſic modo b. poña continuo remittit motum ſuum. et modo b. poña eque velociter et eadem velocitate oī­no mouetur qua moueretur ſi a. poña in eodem in-ſtanti ab eodem puncto a quomodo b. incipit mo-ueri, inciperet moueri cum b. verſus eandem diffe-rentiam: igitur ſi a. poña in eodem inſtanti ab eo-dem puncto a. quomodo b. incipit moueri, incipe-ret moueri cum b. verſus puncta intenſiora b. potē-tia continuo remittit motum ſuum / quod fuit pro-bandum. Maior patet / quia a. potentia conti-nuo vniformiter mouente per ſue potentie vnifor-me crementum: b. poña ei equalis modo: incipit mo­ueri per idem mediuꝫ a puncto remiſſiori continuo vniformiter et eque velociter creſcens cum a. poten­tia: igitur b. potentia continuo remittit motum ſuū Patet conſequentia ex prima parte concluſionis. Patet igitur correlarium.

3. correla.

¶ Sequitur tertio /  ſi aliqua poña ab aliquo pun­cto intrinſeco medii vniformiter difformis īcipiat vniformiter continuo moueri per continuuꝫ ſue po­tentie vniforme crementum omnis poña minor ha­bens proportionem maioris inequalitatis ad ideꝫ punctum intrinſecum vniformiter et eque velociter omnino creſcens cum ea ab eodem puncto incipiēs moueri verſus puncta intenſiora: continuo ītendit motum ſuum. Probatur / ſit a. poña que vniformi-ter etc. ꝑ c. medium mouendo vt ſupra ſit b. poten-tia minor a. habens ad punctum in quo eſt a. ꝓpor­tionem maioris inequalitatis, et vniformiter: et eq̄ velociter omnino creſcens cum a. moueantur a: et b. potentie ſimul ab eodē puncto ipſius c. medii ver­ſus puncta intenſiora. tunc dico /  b. poña cõtinuo intendit motum ſuum. Quod ſic oſtenditur / q2 cum a. poña c. medium vniformiter difforme ad nõ gra­dum terminatum vniformiter continuo mouendo pertranſit a non gradu poñe vniformiter creſcens: manifeſtum eſt /  antea ꝙ̄ a. ad punctum in quomo­do eſt deuenerit: fuit tante potentie adequate quan­te eſt modo a. poña minor: ponatur igitur a. ad illḋ punctum ad quod fuit tante potentie quante ē mo­do b. et moueantur ſimul a. et b. verſus extremum in­tenſius c. medii .a. a puncto ad quod fuit tante poñe quante eſt modo b. poña minor .b. vero a puncto ad quod ſimul ponitur cum a. et creſcat b. eque veloci-ter omnino et vniformiter ſicut a. Quo poſito ar-guitur ſic. modo b. poña continuo intendit motum ſuum: et modo b. poña eque velociter omnino moue­tur ſicut moueretur ſi a. poña in eodem inſtanti ab eodem puncto a quomodo b. incipit moueri: incipe­ret moueri verſus extremum intenſius: igitur ſi a. poña in eodem inſtanti ab eodem puncto a quomo­do b. incipit moueri, inciperet moueri cuꝫ b. verſus extremū intenſius b. poña cõtinuo intendit motum ſuum / quod fuit probandum. Antecedens patet ex ſecunda parte quinte concluſionis huius / et per con­ſequens correlarium

4. correl.

¶ Sequitur quarto /  ſi aliqua poña ab aliquo pū­cto medii vniformiter difformis infiniti: ſaltem cu­ius ſecundum certam diuiſionem quelibet pars eſt vniformiter difformis incipiat vniformiter conti-nuo moueri per ſue potentie vniforme et continuuꝫ crementum. omnis potentia maior vniformiter et eque velociter omnino creſcens cuꝫ ea poſſet ad ali­quem punctum incipere moueri a quo verſus pūcta intenſiora eiuſdem medii mouendo vniformiter cõ­tinuo et eque velociter omnino cum ea moueretur. Probatur et ſit a. poña / que vniformiter continue mouetur etc. per c. medium infinitum cuius quelibet pars ſecundum certam diuiſionem eſt vniformiter difformis: ſit b. poña maior a. in quacun volue-ris ꝓportione (non eſt cura) omnino eodem mõ cre­ſcens cum a. / tunc dico /  b. poña omnino eodem mõ creſcens cum a. ad aliquem punctum c. medii poteſt incipere moueri verſus puncta intenſiora vniformi­ter continuo et eque velociter ſicut a. mouendo.

Quod ſic ꝓbatur / quia cum a. poña per c. medium infinitum mouendo vniformiter continuo creſcit in poña, manifeſtum eſt /  ipſa a. poña ſuper c. mediū infinitum mouendo aliquando erit tante potentie adequate in aliquo puncto c. medii quante eſt mo-do ipſa b. poña: ponatur igitur b. quieſcere in illo puncto c. medii quod ad vſ a. poña ad illud punctū c. medii deuenerit ad quod ipſa a. poña erit tãte po­tentie adequate quante nunc eſt b. poña: et tunc mo­ueantur et a. et b. in eodem inſtanti ab illo pūcto ad quod a. erit tante potentie quante eſt ꝓ nunc b. qui­eſcens verſus puncta intenſiora et b. omnino vnifor­miter et eque velociter creſcat cum a. Quo poſito manifeſtū eſt /  b. poña ab illo puncto recedēdo ver­ſus puncta intenſiora vniformiter et eque velociter cõtinuo mouebitur ſicut a. cum mõ a. et b. ſint equa-les et per equale crementum altera continuo alteri manebit equalis: igitur b. poña. omnino eodeꝫ mõ creſcens cum a. ad aliquem punctum c. medii põt in­cipere moueri verſus puncta intenſiora vniformi-ter cõtinuo et eque velociter ſicut a. mouendo / quod fuit ꝓbandum / et ſic patet correlarium.

5. correl. 14. ↄ̨clu-ſio cal.

¶ Sequitur quinto /  ſi aliqua poña ab aliquo pū­cto ītrīſeco medii vniformiter difformis ad nõ gra­dum terminati incipiat vniformiter continuo mo-ueri per ſue poñe a nõ gradu vniforme et cõtinuum crementum: omnis poña minor vniformiter et eque­velociter omnino creſcens cum ea poſſet ad aliqueꝫ punctum eiuſdem medi incipere moueri a quo ver-ſus puncta intenſiora eiuſdem medii mouendo vni­ formiter continuo et eque velociter omnino cum ea moueretur. Probatur et ſit a. poña / que vniformi-ter cõtinuo mouetur etc. per ſui a non gradu poten­tie vniforme et continuum crementum. ſit b. poña minor a. vtcū volueris (non eſt cura) omnino eo-dem mõ creſcens cum a. / tunc dico /  b. poña omni-no eodem mõ creſcens cum a. ad aliquem punctum c. medii poſſe incipere moueri verſus puncta inten­ſiora vniformiter continuo et eque velociter cum ea mouendo. Quod ſic ꝓbatur / quia cum a. poña c. me­dium tranſeundo a non gradu potentie vniformi-ter continuo creſcat: manifeſtum eſt /  a. poña ãtea ̄ ad punctum in quomodo eſt deuenerit fuit ad ali­quod punctum tante potentie adequate quante mõ eſt ipſa b. poña minor. ponãtur / igitur a. et b. ſimul ad illud punctuꝫ ad quod a. erat tãte poñe adequa­te quante mõ eſt ipſa b. poña minor et in eodem in-ſtanti incipiant moueri verſus extremum intenſius ipſius c. medii Quo poſito manifeſtum eſt /  b. po-tentia vniformiter continuo et eque velociter moue­tur cum a. cum continuo a. et b. per eandem reſiſten-tiam mouentes ſint equales / igitur b. poña omnino eodem modo creſcens cum a. ad aliquem punctum c. medii poteſt incipere moueri verſus puncta inten­ſiora vniformiter continuo et eque velociter ſicut a. mouendo / quod fuit probandum. Patet igitur cor­relarium.

Capitulum vndecimum / in quo pulchre admodum comparantur motus diuerſa-rum potentiarum in eodem medio vnifor­miter difformi inuariato mouentium per earum potentiarum vniforme crementum

TRadita (vt potuimus) noti-cia velocitatis et tarditatꝪ motus penes cauſam potentie per ſui crementū in me­dio vniformiter difformi inuariato mouentis: con­ſequens eſt / vt comparando motus diuerſarum po­tentiarum in medio vniformiter difformi inuaria-to mouentium per earuꝫ poñarum vniforme cremē­tum concluſiones inducamus. Pro quo ſit iſta ſup­poſitio.

Quelibet potentia medium vniformi­ter difforme inuariatum ad non gradum termina-tum ſuo continuo motu abſoluens ab extremo re-miſſiori inchoando: in ea ꝓportione cum maiori re­ſiſtentia mouetur continuo in qua plus a remiſſio-ri termino eiuſdem medii ipſa potentia diſtat.

Probatur hec ſuppoſitio. quia in reſiſtentia vni-formiter difformi omnis reſiſtentia in ea ꝓportiõe eſt maior adequate in qua plus diſtat ab extremo ī quo eſt non gradus / vt patet ex diffinitione qualita­tis vniformiter difformis quarto tractatu: igitur omnis poña medium vniformiter difforme ad non gradum terminatum ſuo motu abſoluens ab extre­mo remiſſiori inchoando: in ea ꝓportione ma­iori reſiſtentia mouetur continuo in qua ſua reſiſtē­tia plus diſtat ab extremo remiſſiori eiuſdeꝫ medii / et per conſequens in ea ꝓportione cum maiori reſi-ſtētia mouetur in qua ipſamet poña plus diſtat ab eodem extremo remiſſiori eiuſdem medii: quod fuit probandum. Patet conſequentia / quia tantum di­ſtat potētia in tali medio vniformiter difformi ab extremo remiſſiori eiuſdem medii adequate quãtuꝫ reſiſtētia eiuſdem medii ad quam eſt extremitas ta­lis potentie. Et ſic patet ſuppoſitio. ¶ Naſcitur hīc omnem poñam altera continuo velocius medium vniformiter difforme inuariatum et ad non gradū terminatum abſoluentē, in ea ꝓportione continuo moueri cum maiori reſiſtentia ꝙ̄ altera: in qua ia velocius quam altera continuo mouetur. Patet correlarium / quia talis poña continuo in ea ꝓpor-tione mouetur cum maiori reſiſtentia. in qua plꝰ di­ſtat ab extremo remiſſiori eiuſdem medii termina-ti ad non gradum / vt patet ex ſuppoſitione. et talis poña continuo in ea ꝓportione pluſ̄ altera diſtat ab extremo remiſſiori eiuſdem medii terminati ad non gradum in qua velocius mouetur adequate / vt conſtat. igitur talis poña continuo in ea ꝓportiõe mouetur cum maiori reſiſtentia in qua ipſa velociꝰ ̄ altera continuo mouetur / quod fuit probandum Et ſic patet correlarium.

correla.

Hoc premiſſo ſit prima cõcluſio Dua­bus potentiis aliquod medium vniformiter diffor­me ad non gradum terminatum tranſeundo vnifor­miter continuo mouentibus per earum a non gra-du poñe vniforme et continuuꝫ crementum vna al­tera in certa ꝓportione velocius continuo creſcen-te: poña que velocius continuo creſcit velocius con­tinuo mouetur: in minori tamen ꝓportione velociꝰ continuo quam ſit ꝓportio in qua continuo velociꝰ creſcit. Probatur / ſit a. poña que c. medium vnifor­miter difforme terminatum ad nõ gradum tranſe-undo vniformiter continuo mouetur per ſue poten­tie a non gradu vniforme crementum: et b. poña c. medium tranſeundo in f. ꝓportiõe velocius creſcat continuo ꝙ̄ a. poña idem c. medium tranſeundo cõ-tinuo vniformiter mouendo. tunc dico /  b. potētia mouetur velocius ipſa poña a. in minori tamen ꝓ-portione velocius quam ſit f. ꝓportio in qua b. po-tentia velocius continuo creſcit ꝙ̄ poña a. Quod ſic ꝓbatur / q2 b. poña mouetur velocius continuo ̄ a. / vt conſtat (citius enim vniformiter continuo mo­uendo c. medium pertranſit) et b. poña non mouetur in f. ꝓportione velocius nec in maiori: igitur b. po-tentia mouetur velocius quam ia poña a. in mino­ri tamen ꝓportione velocius quam ſit f. / quod fuit ꝓbandum. Conſequentia patet cum maiore. et ar-guitur prima pars minoris videlicet /  b. poña nõ mouetur velocius a. poña in f. ꝓportione quia ſi b. potētia mouetur velocius in f. ꝓportione. ſequitur /  continuo reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiam ipſi­us a. eſt f. ꝓportio / vt patet ex correlario ſuppoſitio­nis: et ex hypotheſi b. poñe ad a. potentiam eſt f. ꝓ-portio (cum b. a nõ gradu in f. ꝓportione continuo velocius creſcat quam a. etiaꝫ a nõ gradu creſcēs) / igitur qualis eſt ꝓportio ipſius b. potentie ad ipſã a. poñam talis eſt ꝓportio reſiſtentie ipſius b. ad re­ſiſtentiam ipſius a. quia vtra f. / et per conſequens permutatim qualis eſt ꝓportio ipſius b. poñe ad re­ſiſtentiam eiuſdem b. potentie talis eſt ꝓportio ip-ſius a: poñe ad reſiſtentiam eiuſdem a. poñe: et ꝑ cõ-ſequēs mouentur ab eadem ꝓportione / qḋ eſt fal-ſum. Et ſic patet /  b. nõ mouetur in f. ꝓportione ve­locius ipſa poña a. Iam probatur ſecūda pars mi­noris videlicet /  b. nõ mouetur in maiori ꝓportio-ne quam ſit f. velocius a. potentia: quia tunc ſeque­retur /  continuo tardius moueretur quam a. potē­tia (vt facile deducitur) / quod eſt falſum. Et ſic patet concluſio. ¶ Ex quo ſequitur primo /  duabus po-tētiis aliquod medium vniformiter difforme ad nõ gradum terminatum tranſeundo vniformiter con-tinuo mouentibus per earum a non gradu poten­tie vniforme et continuum crementum. vna in tri-plo velociꝰ continuo creſcente ꝙ̄ altera que vnifor-miter idem medium tranſeundo mouetur a ꝓpor-tione dupla. potentia que in triplo velocius conti-nuo creſcit mouetur velocius continuo. velocius in­ quam in maiori proportione ꝙ̄ ſexquialtera in mi­nori tamen velocius quam dupla. Probatur et ſit a. potentia / que continuo c. medium tranſeundo mo­uetur a ꝓportione dupla per ſue potentie a nõ gra­du vniforme et continuū crementum: ſit b. potētia que idem c. medium tranſeundo creſcit a non gra-du continuo in triplo velocius quam a. poña. tunc dico /  b. poña mouetur continuo velocius ꝙ̄ a. po-tentia in maiori ꝓportione ꝙ̄ ſexquialtera: et in mi­nori quam dupla. Quod ſic ꝓbatur / quia b. potētia nõ mouetur in ſexquialtera ꝓportione velociꝰ ade-quate: nec in minori. Similiter b. poña nõ mouetur in dupla ꝓportione velocius: nec in maiori: igitur b. potentia mouetur in maiori ꝓportione velocius quam ſexquialtera: et in minori ꝙ̄ dupla: quod fuit ꝓbandum. Maior ꝓbatur / quia ſi b. mouetur in ſex­quialtera ꝓportione velocius ꝙ̄ ipſa poña a. ade-quate: ſequitur /  cõtinuo reſiſtentia ipſius b. eſt in ſexquialtero maior reſiſtentia ipſius a. (quia c. me­dium eſt vniformiter difforme ad non graduꝫ ter-minatum) et vltra reſiſtentia ipſius b. eſt in ſexqui-altero maior reſiſtentia ipſius a. et ipſius b. ad reſi­ſtentiam ipſius a. eſt ꝓportio ſextupla (cum compo­natur ex tripla que eſt ipſius b. ad potentiam a. et ex dupla que eſt ipſius a. ad ſuam reſiſtentiam) / igi-tur ipſius b. ad reſiſtentiam eiuſdem b. eſt propor-tio quadrupla quia ſexquialterum ad ſubſextuplū ad aliquod eſt ſubquadruplum ad illud et per cõſe-quens b. mouetur a ꝓportione quadrupla: et ex hoc in duplo velocius ꝙ̄ a. continuo mouens a ꝓportio­ne dupla: et non in ſexquialtero velocius adequate / quod fuit ꝓbandum. Sed  b. non moueatur in minori ꝓportione velocius quam ſexquialtera pro­batur: quia tunc reſiſtentia ipſius b. ad reſiſtentiaꝫ ipſius a. eſſet minor proportio quam ſexquialtera: vt patet ex correlario ſuppoſitionis huius et ipſiꝰ b. ad reſiſtentiam ipſius a. eſt ꝓportio ſextupla (vt ſupra argutum eſt) / ergo ipſius b. ad reſiſtentiaꝫ ip­ſius b. eſſet maior ꝓporio quam quadrupla. Pa-tet conſequentia per hoc /  quando aliquis nume-rus eſt ſextuplus ad alterum talis numerus eſt ma­ior quam quadruplus ad omnem numerum qui eſt minor ſexquialtero ad ſuum ſubſextuplum (vt pa-tet intelligenti quartum caput ſecunde partis) Iaꝫ ꝓbatur minor / quia ſi b. mouetur in duplo velocius ̄ a. / ſequitur cum caſu /  reſiſtentia ipſius b. conti-nuo eſt dupla ad reſiſtentiam ipſius a. / vt patet ex correlario ſuppoſitionis (cum c. mediuꝫ terminetur ad non gradum) et vltra reſiſtentia ipſius b. conti-nuo eſt dupla ad reſiſtentiaꝫ ipſius a. et ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. eſt ꝓportio ſextupla (vt ꝓba-tum eſt) / ergo ipſius b. ad reſiſtentiam eiuſdem b. eſt ꝓportio tripla. Patet hec conſequentia per hoc /  omne duplum ad ſubſextuplum alicuius numeri ē ſubtriplum ad talem numerum (vt patet intelligen­ti quartam concluſionem quarti capitis ſecunde ꝑ­tis cum ſuis correlariis) / et per conſequens ſequitur /  b. mouetur a ꝓportione tripla que non eſt dupla duple (vt patet intelligenti ſextum caput ſecunde ꝑ­tis) / et ex hoc b. non mouetur in duplo velocius a. po­tentia mota a ꝓportione dupla: quod fuit ꝓbandū Sed  non moueatur a maiori dupla: patet / q2 tūc reſiſtentia ipſius b. eſſet maior quam dupla ad reſi­ſtentiam ipſius a. et ſic ipſius b. ad reſiſtentiam ipſi­us b. eſſet minor ꝓportio quam tripla (vt facile de­ducitur ex dictis) / et per conſeqnens non mouetur a maiori ꝓportione quam dupla cuꝫ nulla minor tri­pla: nec ipſa tripla ſit dupla ad duplam. Et ſic pa-tet correlarium. ¶ Sequitur tertio /  duabus potē­ tiis aliquod medium vniformiter difforme ad non gradum terminatum tranſeundo. vniformiter cõ-tinuo mouentibus per earuꝫ a non gradu poñe vni­forme et continuum crementum: vna altera in du­plo velocius continuo creſcente: et poña que tardiꝰ creſcit continuo mouente a ꝓportione ſexquialte-ra: poña que velocius continuo creſcit velocius cõ­tinuo mouetur: in minori tamen ꝓportione quã du­pla: et maiori quam ſexquialtera. Probatur / et ſit b. poña que in duplo velocius continuo creſcat po­tentia a. continuo mouēte a ꝓportione ſexquialte­ra c. medium terminatum ad non gradum pertran­ſeundo Quo poſito arguitur ſic / b. poña nõ moue-tur in dupla ꝓportione velocius nec in maiori (vt patet ex concluſione) / nec b. poña mouetur in ſexqui­altera ꝓportione velocius adequate, nec in minori / igitur b. potentia mouetur continuo in minori pro­portione quam dupla velocius, et in maiori quam ſexquialtera: quod fuit ꝓbandum. Conſequentia patet cum maiore et arguitur minor / quia ſi b. po-tentia mouetur in ſexquialtera ꝓportione velociꝰ quam a. / ſequitur /  reſiſtentia ipſius b. eſt ſexquial­tera ad reſiſtentiam ipſius a. / vt patet ex correlario ſuppoſitiõis (quia medium eſt terminatum ad non gradum) / et vltra reſiſtentia ipſius b. eſt ſexquialte-ra ad reſiſtentiam ipſius a. et ipſius b. ad reſiſten-tiaꝫ ipſius a. eſt proportio tripla: ergo ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius b. eſt ꝓportio dupla / et per con-ſequens b. mouetur a proportione dupla.

1. correl. 3. correl.

Patet tamen cõſequentia per hoc /  omne tripluꝫ ad aliquem numerum eſt duplum ad numerum ſex­quialterum ad illum numerum ſubtriplum (vt con­ſtat intelligenti quartum caput ſepius allegatum et vltra b. mouetur a ꝓportione dupla, et dupla nõ eſt ſexquialtera ad duplam: Sed maior quaꝫ ſexqui­altera: vt patet ex ſexto capite ſecunde partis: igi-tur b. mouetur in maiori ꝓportione velocius quaꝫ ſexquialtera / quod fuit ꝓbandum. Sed  b. nõ mo­ueatur in minori ꝓportione quam ſexquialtera ve­locius: ꝓbatur / quia tunc reſiſtentia ipſius b. eſt mi­nor quam ſexquialtera ad reſiſtentiam ipſius a. / et per conſequens ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius b. eſt maior ꝓportio quam dupla: vt patet per hanc maximam. Omnis numerus triplus ad alterum eſt maior quam duplus ad omnem numerum minorē numero ſexquialtero ad illum ſubtriplum (vt pa-tet intuenti) / et ſi b. mouetur a maiori ꝓportiõe quã dupla: conſequens eſt /  b. mouetur in maiori pro-portione quam ſexquialtera velocius ipſa a. poña mouente continuo a ꝓportione ſexquialtera (ſiqui­dem dupla, et omnis maior ea, maior eſt quam ſex-quialtera ad ſexquialteram) Componitur e du-pla ex ſexquialtera, et ſexquitertia: et ſexquitertia maior eſt quam medietas ſexquialtere: vt patet ex nono correlario tertie concluſionis quarti capitis ſecunde partis. ¶ Infinita ſimilia correlaria intel­ligens primam et ſecundam partem huius operis ex his / que dicta ſunt / et ſtatim dicent̄̄ propria indu­ſtria poterit inferre. ¶ Et ſi queras / ex quo b. moue-tur in minori ꝓportione quam dupla velocius a. et in maiori quaꝫ ſexquialtera in qua ꝓportione ade­quate b. mouetur velocius quam a.

Nota q̄-ſtionem.

Reſpõdeo  dico primo /  in nulla ſu-perparticulari (vt patet) / q2 nulla ſuperparticula-ris eſt maior proportione ſexquialtera, nec in ali-qua multiplici ſuperparticulari, nec multiplici ſu­prapartiente: quia nulla talis eſt minor dupla (vt conſtat intelligenti ſextum caput ſecunde partis) Reſtat igitur / vt moueatur in aliqua ꝓportione ſu- prapartiente velocius: vel in aliqua proportione irrationali. Et ſi queras in qua proportione ſupra­partiente vel irrationali.

calcu. ī 2. capite de medio nõ reſiſtēte.

Reſpondeo et dico ſecundo / cum calcu­latore in calce ſexte concluſionis ſecundi capitis de medio non reſiſtente  id īquirere maiori egeret ſtu­dio quaꝫ vtilitatem afferret. Et vt beato hieronimo placet noctibus diebuſ ad id excogitandum tor-queri at incomprehenſibili chaos immergi eſt in obſcuritate mentis ambulare.

hiero. 37. d. c. nõne.

Secunda concluſio Duabus poten-tiis aliquod medium vniformiter difforme ad non gradum terminatum tranſeundo vniformiter con­tinuo mouentibus per earum a non gradu poten-tie vniforme et continuum crementum: vna velociꝰ continuo ꝙ̄ altera creſcente in proportione maio-ri in ea proportione a qua altera continuo moue-tur: potentia que velocius continuo creſcit: velociꝰ continuo mouetur in ea proportione a qua moue-tur altera. Probatur / ſit a. poña que c. medium vni­formiter difforme terminatum ad non graduꝫ trã­ſeundo vniformiter continuo mouetur ab f. ꝓpor-tione per ſue potentie a non gradu vniforme et con­tinuum crementum ſit .h. proportio maior f. ꝓpor­tione in ipſamet f. ꝓportiõe: et ſit b. poña que idem medium pertranſeundo vniformiter continuo mo-uetur creſcens continuo in h. ꝓportione velociꝰ: tūc dico /  b. poña continuo velocius mouetur ꝙ̄ a. po-tentia (velocius inquam in ꝓportione f.) Quod ſic probatur / quia b. continuo mouetur velocius ipſa a. potentia in certa proportiõe (vt patet ex dictis) / et non continuo mouetur velocius in maiori ꝓpor-tione quaꝫ ſit f. nec in minori: igitur b. continuo mo­uetur in f. proportione velocius. Conſequentia ē no­ta cum maiore: et probatur prima pars minoris vi­delicet /  b. non mouetur in maiori ꝓportione quã ſit f. velocius: quia ſi b. mouetur velocius ꝙ̄ a. ī ma­iori ꝓportione quam ſit f. / ſequitur /  reſiſtentie ip-ſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. eſt maior proportio quam ſit f. Patet conſequentia / quia c. medium eſt vniformiter difforme ad non gradum terminatum et vltra reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiaꝫ ipſius a. eſt maior proportio ꝙ̄ ſit f. / ergo ipſius b. ad reſiſtē­tiam ipſius b. eſt minor ꝓportio ꝙ̄ ſit h.

Patet hec conſequentia / quia ipſius a. ad reſiſten-tiam eiuſdem a. eſt proportio f. (ex hypotheſi) et re­ſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. eſt ma-ior proportio quam ſit f. / ergo maior eſt reſiſten-tia ipſius b. quam ipſa potentia a. Patet conſeq̄n­tia / quia reſiſtentia ipſius b. habet maiorem ꝓpor-tionem ad vnum tertium puta ad reſiſtentiam ipſi-us a. quam a. potentia habeat ad idem tertium. Et vltra maior eſt reſiſtentia ipſius b. quam ipſa a. po­tentia. et b. habet h. proportionem ad a. potentiam / ergo b. habet minorem ꝓportionem quam h. ad re­ſiſtentiam eiuſdem b. / et per conſequens b. mouetur continuo a minori proportione quam h. et h. ꝓpor­tio eſt in f. proportione maior quaꝫ ſit f. proportio (vt patet ex hypotheſi) / ergo b. continuo mouetur in minori proportione velocius quam ſit f. proportio et ſic non mouetur in maiori proportione velocius a. quam ſit f. ꝓportio / quod fuit ꝓbandum. Sed iaꝫ probo ſecundam partem minoris videlicet /  b. nõ mouetur velocius ꝙ̄ a. in minori ꝓportione quam ſit f. quia ſi mouetur in minori ꝓportione quam ſit f. velocius / ſequitur /  continuo reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtētiã ipſiꝰ a. ē minor ꝓportio quã ſit f. ex cor­relario ſuppoſitionis et vltra continuo reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. eſt minor propor­tio quam ſit f. et b. ad a. habet proportionem h. / igi-tur b. habet ad reſiſtentiam ipſius b. maiorem pro­portionem quam ſit h. Patet conſequentia / q2 reſi­ſtentia ipſius b. eſt minor quam a. potentia. Sed  a. poña ſit maior ꝙ̄ reſiſtentia ipſius b. / patet / quia a. habet maiorem proportionem ad ſuam reſiſten-tiam quam reſiſtentia ipſius b. habeat ad eandē re­ſiſtentiam ipſius a. (cum a. ad ſuam reſiſtentiaꝫ ha­beat f. proportionem: reſiſtentia autem ipſius b. ad eandem reſiſtentiam per te minorem) / igitur ipſa a. potentia maior eſt quam reſiſtentia ipſius b. Pa-tet conſequentia per hanc maximam quod habet maiorem proportionem ad vnum tertium eſt maiꝰ Et vltra ex illo conſequenti b. habet maiorem pro-portionem ad reſiſtentiaꝫ ipſius b. quam ſit h. et b. mouetur continuo ab illa proportione quam ſemel habet ad ſuam reſiſtentiam (quia continuo vnifor-miter) et h. proportio eſt in f. proportione maior ip­ſa f. proportione ex hypotheſi: igitur ꝓportio a q̈ mouetur b. eſt maior ipſa proportione f. in maiori proportione ꝙ̄ ſit f. / et per conſequens b. non moue-tur in minori proportione velocius a. quam ſit f. / qḋ fuit probandum: et ſic patet minor: et per conſequēs tota concluſio. ¶ Ex quo ſequitur primo /  ſi a. po-tentia continuo moueatur a proportione tripla etc. et b. a non gradu potentie idem medium tranſeun-do continuo creſcat velocius in proportione vicecu­pla ſeptupla qualis eſt .27. ad .1. / tunc ipſa b. poten-tia maior mouetur continuo in triplo velocius ip-ſa a. potentia minore. Probatur / quia ꝓportio in qua b. potentia maior velociꝰ creſcit a. potentia mi­nore eſt tripla ad proportionem a qua mouetur a. potentia minor: et a. potentia minor mouetur a tri­pla proportione: igitur b. potentia maior mouetur continuo in triplo velocius a. potentia minore / qḋ eſt probandum Patet conſequentia ex concluſio-ne. ¶ Sequitur ſecundo /  ſi a. potentia minor mo-ueatur a proportione quadrupla in caſu concluſio­nis: et b. poña maior creſcat continuo velocius in ꝓ­portione ducentecupla quingecupla ſextupla qua­lis eſt proportio .256. ad .1. / tunc b. potentia maior mouebitur in quadruplo velocius adequate. Pro-batur / quia ꝓportio in qua b. poña maior creſcit ve­locius a. potentia minore eſt quadrupla ad propor­tionem a qua mouetur a. poña minor: et ꝓportio a qua mouetur a. poña minor eſt quadrupla: ergo b. poña maior mouetur in quadruplo velocius b. po-tentia minore / quod eſt probandum. Patet conſe-quentia ex hac concluſione. Et ſic patet correlariuꝫ ¶ Sequitur tertio /  ſi a. potentia minor in caſu cõ­cluſionis moueatur continuo ab illa ꝓportione ir­rationali que eſt ſexquialtera ad duplam que voce­tur h. et b. poña maior creſcat velocius continuo a. potentia minore in proportione k. irrationali que ſe habeat ad proportionem h. in ipſa h. proportio­ne que eſt ſexquialtera ad duplam / tunc b. potentia maior mouebitur velocius ipſa a. poña minore in ꝓ­portione h. que eſt ſexquialtera ad duplam. Patet hoc correlarium facile ex concluſione et probatione eius que vniuerſalis eſt. ¶ Et ſic poteris inferre pro­prio labore quotcun velis ſimilia correlaria ſecū­da parte huius operis intellecta.

1. correl. 2. correl. 3. correl.

Tertia concluſio Duabus potentiis aliquod medium vniformiter difforme ad nõ gra-dum terminatum tranſeundo vniformiter cõtinuo mouentibus per earum a non gradu poñe vnifor-me et continuum crementum, vna altera in maio- iori proportione velocius continuo creſcente quaꝫ ſit proportio a qua altera continuo mouetur: potē­tia que velocius continuo creſcit velocius continuo mouetur in maiori proportiõe ꝙ̄ ſit ꝓportio a qua mouetur minor. Probatur / ſit a. potentia que c. me­dium vniformiter difforme ad non gradum termi-natum pertranſeat: vniformiter continuo mouēdo ab f. proportione per ſue potentie a non gradu vni­forme crementum: ſit b. potentia que idem c. medi­um pertranſeundo a non gradu potentie in h. pro-portione maiori f. in maiori proportione quam f. continuo velocius creſcat vniformiter continuo mo­uens. tūc dico /  b. potentia mouetur velocius ꝙ̄ ip­ſa potentia a. in maiori proportione velocius quã ſit f. Quod ſic probatur / quia b. mouetur velociꝰ ̄ a. et non mouetur velocius in f. ꝓportione adequa-te: nec in minori ꝙ̄ f. / igitur b. mouetur velocius in in maiori ꝓportione ꝙ̄ ſit f. Conſequentia patet cū maiore. Et probatur minor / quo ad primam parteꝫ quia ſi b. mouetur velocius a. in f. ꝓportione: ſequit̄̄ ex correlario ſuppõis /  ↄ̨tinuo reſiſtētie ipſiꝰ b. ad reſiſtentiam ipſius a. eſt f. proportio adequate: et vl­tra reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiã ipſiꝰ a. ↄ̨tinuo eſt proportio f. / igitur ipſius b. ad reſiſtentiam ipſi-us b. eſt h. proportio: Patet conſequentia / quia re-ſiſtentia ipſius b. et ipſa poña a. ſunt equalia: quia vtrum habet f. proportionem ad vnum tertiū pu­ta ad reſiſtentiam ipſius a. per te: et ipſius b. ad a. ē h. proportio / g̊. ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius b. ē h. proportio: igitur de primo ad vltimum patet cõ-ſequentia. Et vltra ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius b. eſt h. proportio a qua mouetur ipſa b. potentia continuo: et h. proportio eſt maior f. proportione in maiori proportione quam ſit f. proportio ex hypo­theſi: igitur b. mouetur velocius a. in maiori ꝓpor-tione velocius quam ſit f. / quod eſt probandum. Iã probatur ſecunda pars minoris videlicet /  b. non mouetur in minori proportione velocius quam ſit f. Quod ſic probatur / quia ſi b. mouetur in minori proportione velocius ipſa a. potentia quam ſit f. / ſe­quitur ex correlario ſuppoſitionis /  continuo re-ſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiaꝫ ipſius a. eſt minor proportio quam f. et vltra reſiſtentie ipſius b. ad re­ſiſtentiam ipſius a. eſt minor ꝓportio quam ſit f. et b. habet ad a. ꝓportionem h. ex hipotheſi. igitur b. ad reſiſtentiam eiuſdem b. eſt maior ꝓportio quam ſit h. Patet conſequentia / quia a. eſt maior ꝙ̄ reſi-ſtentia ipſius b. (cum a. ad vnum puta ad reſiſten-tiam eiuſdem a. habet maiorem ꝓportionem ꝙ̄ re-ſiſtentia ipſius b. ad idem tertium) / igitur ipſius b. ad reſiſtētiã eiuſdē b. ē maior ꝓportio quã ipſius b. ad ipſū a. et ipſiꝰ b. ad i3 a. ē ꝓportio h. / igr̄ ipſiꝰ b. ad reſiſtentiam eiuſdeꝫ b. eſt maior proportio quã h. Et vltra ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius b. eſt ma-ior proportio quam h. et ab illa proportione b. con­tinuo mouetur (cum moueatur a proportione quaꝫ habet ad ſuam reſiſtentiaꝫ) / igitur b. mouetur a ma­ori proportione ꝙ̄ ſit h. et h. proportio eſt maior f. proportione in maiori proportione quam f. ex hy-potheſi: igitur b. mouetur velocius a. in maiori pro­portione quam ſit f. ꝓportio. Patet conſequentia / quia ſi aliquid excedit vnum tertium in aliqua pro­portione: omne maius illo excedit idem tertiū ī ma­iori ꝓportione (vt conſtat) / ſed ſic eſt in ꝓpoſito  h. ꝓportio eſt maior f. ꝓportione in maiori ꝓportio-ne ꝙ̄ ſit ipſa f. ꝓportio: et ꝓportio a qua mouet̄̄ b. ē maior h. / ergo ꝓportio a qua mouetur b. eſt maior f. ꝓportione in maiori proportione quam ſit f. et ſic habetur  b. mouetur velocius in maiori ꝓportio- ne quam ſit f. / quod fuit ꝓbandum. Et ſic patet con­cluſio. ¶ Ex quo ſequitur primo /  ſi a. poña minor in caſu concluſionis moueatur continuo a ꝓportio­ne ſexquitertia et b. poña maior creſcat in duplo ve­locius a. poña minore: tunc b. poña maior mouetur velocius a. poña minore in maiori ꝓportione ꝙ̄ ſex­quitertia: in minori tamen ꝓportione velocius quã dupla. Secunda pars huius correlarii patet ex pri­ma concluſione huius: et prima ex hac concluſione: quoniam proportio dupla in qua b. potentia ma-ior velocius creſcit quam a. potentia minor: eſt maior quam ſexquitertia ad ſexquitertiam immo maior quam dupla / vt patet ex quīto correlario ter­tie concluſionis quarti capitis ſecunde partis.

1. correl.
2. correl.

¶ Sequitur ſecundo /  ſi a. potentia minor in caſu concluſionis moueatur ab aliqua ꝓportione ſuper­particulari: et b. poña maior continuo creſcat ī tri­pla ꝓportione vel in aliqua alia maiore tripla ve-lociꝰ ꝙ̄ a. poña minor: tunc b. poña maior continuo velocius mouebitur a. poña minore in maiori pro-portione quam ſit aliqua ꝓportio ſuperparticula­ris: et in minore ꝓportione ꝙ̄ ſit tripla. Patet ſecū­da pars correlarii ex prima concluſione huius: et prima pars ex hac tertia quia omnis tripla vel ma­ior tripla eſt maior quaꝫ ſuperparticularis ad quã­libet ſuperparticularem (cum tripla ſit maior ꝙ̄ du­pla ad maximam ſuperparticulareꝫ que eſt ſexqui­altera) / vt conſtat intelligenti ſecundam partem hu­ius operis: qui innumera ſimilia correlaria facile poterit inferre.

Quarta concluſio Duabus potētiis aliquod medium vniformiter difforme ad non gra­dum terminatum tranſeuntibus: vniformiter con-tinuo mouentibus per earum a non gradu potētie continuum et vniforme crementum: vna altera in maiori ꝓportione velocius continuo creſcente quã ſit ꝓportio a qua altera continuo mouet̄̄ in minori tñ ꝓportõe maiori ꝙ̄ ſit illa a q̈ mouet̄̄ alṫa poña q̄ velocius continuo creſcit: velocius continuo moue­tur altera, in minori tamen ꝓportione ꝙ̄ ſit ꝓpor-tio a qua altera mouetur continuo. Probatur / ſit a. poña que c. medium tranſeundo etc. vt ſupra con­tinuo moueatur ab f. ꝓportione ſit b. poña q̄ idē c. medium tranſeundo a non gradu potentie in h. ꝓ­portione que ſit maior ꝙ̄ f. (maior inquam in mino­re tamen ꝓportione ꝙ̄ ſit f.) continuo velocius creſ­cat ipſa a. poña: tunc dico /  b. poña mouetur velo-cius ꝙ̄ a. in minori tamen ꝓportione velocius quã ſit f. Quod ſic probatur / quia b. non mouetur velo­cius a. in f. ꝓportione: nec in maiori: ergo b. moue-tur velocius a. in minori ꝓportione quam ſit f. / qḋ fuit ꝓbandum. Conſequentia patet ex hypotheſi: et ꝓbatur maior: quia ſi b. moueretur velocius a in f. ꝓportione: reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiam ipſiꝰ a. continuo eēt f. ꝓportio. (Hec conſequentia plerū­ arguta eſt) et vltra reſiſtentie ipſius b. ad reſiſten­tiam ipſius a. continuo eſt f. ꝓportio: et ipſius a. ad reſiſtentiam ipſius a. eſt f. ꝓportio: igitur reſiſtētia ipſius b. et ipſum a. ſunt equalia. Conſequentia pa­tet / quia habent eandem ꝓportionem ad vnum ter-tium: et vltra reſiſtentia ipſius b. et ipſum a. ſunt eq̈­lia, et ipſius b. ad ipſum a. eſt h. ꝓportio ex hypothe­ſi: igitur ipſius b. ad reſiſtentiam eiuſdem b. eſt h. ꝓ­portio. Patet conſequentia / quia eiuſdem ad duo equalia eſt eadem ꝓportio: et vltra ipſius b. ad reſi­ſtentiam ipſius b. eſt h. ꝓportio et a tali mouetur ip­ſum b. cum continuo moueatur vniformiter a ꝓpor­tione quam habet ad ſuam reſiſtentiam: et h. ꝓpor- tio eſt maior f. proportione in minori proportione quam ſit f. ex hypotheſi: igitur b. mouetur in mino-ri proportione velocius a. quam ſit f. / quod fuit pro­bandum. Sed iam ꝓbatur minor videlicet /  b. nõ mouetur velocius in maiori proportione quam ſit f. / quod ſic ꝓbatur / quia ſi b. moueretur velocius a. ī maiori proportione quam ſit f. ꝓportio a qua mo-uetur a. / ſequitur /  continuo reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. eſt maior proportio quam f. et vltra reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiaꝫ ipſius a. eſt maior proportio quam f. et ipſius a. ad eandem reſiſtentiaꝫ ipſius a. eſt f. proportio adequate ex hy­potheſi. igitur continuo reſiſtentia ipſius b. eſt ma­ior a. poña. Patet conſequentia / quia reſiſtentia ip­ſius b. habet maiorem proportionem ad vnū terti­um puta ad reſiſtentiam ipſius a. Et vltra ex con-ſequenti continuo reſiſtentia ipſius b. eſt maior a. potentia. et ipſius b. ad a. eſt proportio h. / igitur ip­ſius b. ad reſiſtentiam eiuſdem b. eſt minor ꝓportio quam h. et ab illa mouetur continuo b. / igitur b. con­tinuo mouetur a minori proportione ꝙ̄ h. et h. pro-portio eſt maior f. proportione a qua continuo mo­uetur a. (in minori tamen ꝓportione quaꝫ ſit f.) / igi­tur proportio a qua moueatur b. eſt maior quam f. a qua mouetur a. in minori proportione quam f. / et per conſequens b. mouetur continuo velocius a. in minori ꝓportione quam ſit f. / quod fuit probandū: Patet tamen conſequentia / quia cum aliquid exce­dit vnum tertium in aliqua proportione: omne mi­nus maius tamen illo tertio excedit idem tertium ī minori proportione. ſed per te proportio a qua mo­uetur b. potentia eſt maior quam ꝓportio f. et mi-nor quam h. proportio: igitur. Et ſic patet antece-dens cum concluſione. ¶ Has tres concluſiones pul­chras diligenter nota Poſſunt enim ex eis inferri infinite concluſiones cum multis quas ponit calcu­lator in ſecundo capite de medio non reſiſtente.

1. correl.

¶ Ex quo ſequitur primo /  ſi a. potentia minor mo­ueatur ab aliqua proportiõe minore multiplici ra­tionali in caſu concluſionis puta ab aliqua propor­tione ſuperparticulari aut ſuprapartiente. et b. po­tentia maior creſcat velocius a. potentia minore in alqua proportione multiplici: tunc b. potentia ma­ior non mouebitur velocius b. poña minore in pro-portione a qua mouetur a. potentia minor. ſed in maiore vel minore ſecundum tenorem tertie vel q̈r-te concluſionis. Patet hoc correlarium / quia vt pa­tet ex ſuperioribus: nun̄ maior potentia mouetur velocius minore mota a ꝓportione rationali in ea ꝓportione a qua mouetur minor: niſi quando pro-portio in qua maior velocius creſcit ſe habet ad ꝓ­portionem a qua mouetur minor in ꝓportione ra-tionali: ita  qualis eſt proportio a qua mouetur minor talis debet eſſe proportio inter proportiõeꝫ in qua maior velocius creſcit, et proportionē a qua minor mouetur / vt patet: ſed nulla ꝓportio multi-plex ſe habet ad proportionem minorem multipli-ci rationalem in aliqua ꝓportione rationali: vt pa­tet ex ſecunda et ſexta concluſionibus ſexti capitis ſecunde partis / igitur correlarium verum.

2. correl.

¶ Sequitur ſecundo /  ſi a. potentia minor mouea­tur ab aliqua ꝓportione multiplici: et b. potentia maior creſcat velocius ipſa a. potentia in aliqua ꝓ­portione multiplici ſuperparticulari: aut multipli­ci ſuprapartiente. tunc b. potentia maior nõ moue­tur velocius a. minore in ꝓportione multiplici a q̈ mouetur a. potentia minor Probatur / quia ſi ſic iã ꝓportio in qua creſcit b. maior potentia velocius a. minore ſe haberet ad proportionem a qua moue­ tur a. potentia minor in eadem ꝓportione multipli­ci a qua mouetur eadē a. poña minor / vt patet ex ſe­cunda cõcluſione huius: ſed hoc eſt falſum / quia nul­la multiplex eſt cõmenſurabilis ꝓportioni multipli­ci ſuperparticulari, aut multiplici ſuprapartienti / vt patet ex tertia cõcluſione ſecunde partis: igitur illud ex quo ſequitur eſt falſum: et per conſequēs cor­relarium verum. ¶ Sequitur tertio /  ſi a. poña mi­nor moueatur ab aliqua ꝓportione non multipli-ci rationali: et b. poña maior creſcat velocius mino­re in proportione aliqua multiplici: tunc b. poten-tia maior nõ mouetur velocius a. poña minore in ꝓ­portione a qua mouetur a. poña minor. Patet cor­relarium / quia alias ſequeretur /  proportio non multiplex in qua b. poña maior velocius creſcit a. poña minore ſe haberet ad ꝓportionem non multi­plicem rationalem a qua mouetur a. poña minor ī eadem proportione non multiplici rationali a qua mouetur a. potentia minor / vt patet ex ſecunda con­cluſione huius: ſed conſequens eſt falſum / vt patet ex quarta concluſione ſexti capitis ſecunde partis: igitur illud ex quo ſequitur: et per conſequens cor-relatium verum. ¶ Sequitur quarto /  ſi a. potētia minor moueatur ab aliqua proportione ſuperpar­ticulari: et poña b. maior creſcat velocius a. poten-tia minore in aliqua ꝓportione ſuperparticulari: tunc b. potentia maior nõ mouetur velocius a. potē­tia minore in ea ꝓportione ſuperparticulari a qua mouetur a. poña minor. Probatur / quia alias ſe-queretur ex ſecunda concluſione cum aliis  ꝓpor-tio ſuperparticularis in qua b. poña maior velociꝰ creſcit minore ſe haberet ad ꝓportionem ſuperpar­ticularem a qua mouetur a. poña minor in eadem ꝓportione ſuperparticulari a qua mouetur eadem a. poña minor: ſed hoc eſt falſum. quia nulla ꝓpor-tio ſuperparticularis eſt cõmenſurabilis alicui ſu­perparticulari / vt patet ex quinta concluſione ſexti capitis ſecunde partis: igitur illud ex quo ſequitur / et per conſequens correlarium verum.

3. correl. 4. correl.
5. correl.

¶ Sequitur quinto /  nūquam poña maior poteſt moueri velocius minore in ꝓportione multiplici a qua mouetur minor. niſi ipſa maior creſcat conti-nuo velocius minore in alia ꝓportione multiplici. Patet hoc correlarium / quia ſola multiplex eſt pro­portioni multiplici cõmenſurabilis / vt patet ex ſex­ta concluſione ſexti capitis ſecunde partis.

6. correl.

¶ Sequitur ſexto /  ſi in caſu huius quarte conclu-ſionis a. poña minor cõtinuo moueatur ab aliqua proportione multiplici: et b. poña maior creſcat ve­locius a potentia minore in aliqua ꝓportione mul­tiplici ſuperparticulari vel multiplici ſuprapartiē­te compoſita ex proportione multiplici a qua mo-uetur minor: et aliqua ſuperparticulari, vel ſupra-partiente (vt oportet): tunc illa b. potentia maior mouetur velocius a. potentia minore in minori pro­portione quam ſit proportio a qua mouetur a. po-tentia minor: et etiam in minori ꝓportione quaꝫ ſit ea in qua velocius creſcit a. poña minore. Proba-tur prima pars ex hac quarta concluſione / quia om­nis ꝓportio multiplex ſuperparticularis, aut mul­tiplex ſuprapartiens eſt minor quam multiplex ad totum reſiduum eius dempta proportione ſupra-partiente aut ſuperparticulari quam vltra illam multiplicem continet / vt patet / quoniam ipſa nõ cõ-tinet talem multiplicem niſi ſemel: ergo non exce-dit illam in aliqua ꝓportione multiplici ſed in mi-nori. Et ſic ex concluſione ſequitur /  mouetur ī mi­nori proportione velociꝰ ꝙ̄ ſit talis proportio mul­tiplex a qua mouetur potentia minor. Sed ſecūda pars correlarii patet ex prima parte eiuſdem, et ex prima concluſione huius. Et ſic patet correlarium. ¶ Innumera poteris ſtudio ſe lector proprio labo-re his ſimilia inferre correlaria.

Octaua cõcluſio calcula.

Quinta cõcluſio. Duabus potentiis aliquod medium vniformiter difforme ad nõ gra-dum terminatum tranſeundo vniformiter cõtinuo mouentibus, vna altera velocius continuo creſcē­te in ea proportione que proportionem a qua mo-uetur altera per proportionem duplam excedit: po­tentia que velocius continuo creſcit velocius conti-nuo mouetur in proportione dupla ipſa potentia minore. Probatur / ſit a. potentia que c. mediū .etc̈. tranſeundo continuo mouetur ab f. proportione ꝑ ſui a non gradu potentie continuū et vniforme cre-mentum: ſit h. proportio que f. proportionem ex-cedat per proportionem duplam, et ſit b. potentia que idem c. medium tranſeundo a nõ gradu poten-tie cõtinuo in h. proportione velocius creſcat quaꝫ a. potentia: tunc dico /  b. potentia continuo in du­plo velocius mouetur a. potētia minore. Quod ſic probatur / quia b. mouetur velocius a. / vt conſtat, et non mouetur velocius in maiori proportione quã dupla, nec in minori: igitur b. mouetur adequate ī duplo velocius: quod fuit probandū. Conſequen-tia ptꝫ cum maiore, et prima pars minoris proba-tur / quia ſi b. mouetur in maiori proportiõe quam dupla velocius ipſa potentia a. / ſequitur /  reſiſten­tie ipſius b. ad reſiſtentiã ipſius a. eſt maior quam dupla et proportio ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. componitur adequate ex duplici f. et proportiõe dupla: igitur demendo a proportione ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. proportionem que eſt reſiſten­tie ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. non manet du­plex f. ſed minus. Patet cõſequētia / quia per te pro­portio reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiã ipſius a. eſt maior quam ſit proportio dupla: et vltra demendo a proportione ipſius b. ad reſiſtentiã ipſius a. pro-portionē que eſt reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiaꝫ ipſius a. nõ manet duplex f. ſed minus, et demendo a proportione ipſius b. ad reſiſtentiã ipſius a. pro-portionem que eſt reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiã ipſius a. non manet niſi proportio que eſt ipſius b. ad reſiſtentiam eiuſdem b. / igitur proportio que eſt ipſius b. ad reſiſtentiam eiuſdem b. nõ eſt duplex f. ſed minus, et ab illa proportione continuo b. poten­tia mouetur: igitur continuo b. mouetur a propor-tione que nõ eſt duplex f. ſed minus: et a. potentia cõ­tinuo mouetur ab f. proportione: igitur b. potētia mouetur velocius a. in minori proportione quam dupla: et per conſequens nõ in maiori proportione quam dupla: quod fuit probandū. Sed  propor-tio ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. componitur adequate ex duplici f. et proportione dupla: patet / quia proportio ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. cõponitur adequate ex proportione h. que eſt ipſiꝰ b. ad ipſum a. et ex proportiõe f. que eſt ipſius a. ad reſiſtentiam ipſius a. / vt conſtat. et proportio h. eſt vnū f. et proportio dupla adequate / vt ptꝫ: q2 h. exce­dit f. per duplam proportionem adequate ex hypo­theſi: igitur proportio ipſius b. ad reſiſtentiam ip-ſius a. cõponitur adequate ex duplici f. et ex propor­tione dupla / quod fuit probandum. Et ſic patet pri­ma pars minoris. Iam probatur ſecunda pars mi­noris videlicet /  b. nõ mouetur velocius a. in mino­ri proportione quam dupla: quia ſi b. mouetur ve-locius a. in minori proportione quam dupla: ſequi­tur /  continuo reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. eſt minor preportio ꝙ̄ dupla proportio, et vltra reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. cõ­tinuo eſt minor proportio ꝙ̄ dupla: et proportio ip­ſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. cõponitur adequa-te ex duplici f. et ex proportione dupla / vt ſupra ar-gutum eſt: igitur demendo a proportione ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. proportionem que eſt reſi­ſtentie ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. manet ma­gis quam duplex f. Patet cõſequentia / quia per te proportio que eſt reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiã ipſius a. eſt minor proportio quam dupla: et vltra demendo a proportione ipſius b. ad reſiſtentiã ip-ſius a. proportionem que eſt reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. manet magis quam duplex f. et demendo a proportione ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. proportionem que eſt reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. manet proportio ipſius b. ad reſiſtentiam eiuſdem b. / igitur proportio b. ad re­ſiſtentiam eiuſdem b. eſt maior quam duplex f. et ab illa proportione b. potentia continuo mouetur: igi­tur b. continuo mouetur a maiori proportione quã dupla ad f. et a. potentia cõtinuo mouetur ab f. pro­portione: igitur b. continuo mouetur velocius a. in maiori proportione quam dupla: et per conſequēs non mouetur velocius in minori proportione quaꝫ dupla / quod fuit probanduꝫ. Et ſic patet concluſio / que eſt octaua concluſio calculatoris in ſecundo ca­pite de medio non reſiſtente. ¶ Ex quo ſequitur pri-mo /  ſi in caſu cõcluſionis a. potentia cõtinuo mo-ueatur a proportione ſexquialtera: et b. potētia ma­ior creſcat in triplo velocius continuo ipſa a. potē-tia minore: ipſa potentia b. mouetur cõtinuo in du-plo velocius a. potētia minore. Probatur / quia tri­pla excedit ſexquialteram per duplam / vt patet ex quarta concluſione quarti capitis ſecunde partis / igitur ex hac concluſione ſequitur /  ſi a. potentia minor moueatur a proportione ſexquialtera, et b. potentia maior creſcat in triplo velocius  b. potē­tia maior mouetur cõtinuo in duplo velocius a. po­tentia minore / quod fuit probandum. ¶ Sequitur ſecundo /  ſi a. potentia minor moueatur a. propor­tione dupla, et b. potentia maior creſcat in quadru­plo velocius continuo: ipſa potentia b. mouetur cõ­tinuo in duplo velocius a. potentia minore. Patet / quia quadrupla excedit duplam per duplam / vt ptꝫ ex quarta concluſione preallegata igitur ¶ Sequit̄̄ tertio /  ſi a. potētia minor moueatur a proportiõe quadrupla et b. potentia maior creſcat in octuplo velocius: tunc b. potentia maior mouetur continuo in duplo velocius. Patet / quia octupla quadruplã per duplam excedit / vt patet ex quarta concluſione preallegata. ¶ Sequitur quarto /  ſi a. potentia minor moueatur cõtinuo a proportione ſexquiter-tia et b. potentia maior continuo creſcat in propor­tione dupla ſuprabipartiēte tertias velociꝰ b. potē­tia maior mouetur cõtinuo in duplo velocius. Ptꝫ / quia dupla ſuprabipartiens tertias ſexquitertiaꝫ per duplam excedit / vt patet ex quarta concluſione preallegata. Et iſto modo infinita talia correlaria poteris inferre,

1. correl. 2. correĺ. 3. correĺ. 4. correĺ.
Capitulum duodecimum: aliqui-bus predictarum concluſionum pre-cedentium capitum obiiciens.

HIs concluſionibus velocitatē motus in medio vniformiter difformi in-uariato declarantibus (vt potuimus) ali-qua ex parte expeditis: nunc opere precium eſt lima diſputationis ea que dicta ſunt polire at limare.

Et ideo ſecūde concluſioni decimi ca- pitis obiicitur ſic. Si illa cõcluſio eſſet vera: ſeque-retur /  due potentie equales continuo manentes equales idem medium vel equale tranſeuntes vna altera continuo velocius moueretur cõſequens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Falſitas conſe­quentis ptꝫ: quia reſiſtentiis equalibus potētiiſ equalibus, neceſſe eſt motus eſſe equales / vt ſatis cõ­ſtat: quia tunc proportiones equales erūt ex quibꝰ equales motus conſurgunt. Sed iam ſequela dedu­citur / et capio vnū pedale et vnū ſemipedale: et per vtrū illorum ſit extenſa latitudo reſiſtētie vnifor-miter difformis a nõ gradu vſ ad octauū: et inci-piat a. potentia moueri a nõ gradu reſiſtentie in pe­dali vniformiter continuo, creſcens vniformiter a nõ gradu potentie / vt ſepius dictum eſt: et b. poten-tia incipiat moueri a non gradu reſiſtentie in ſemi­pedali, continuo vniformiter et eque velociter cre-ſcens ſicut a. potentia. Quo poſito ſic argumentor illa duo media ſunt equaliter reſiſtentia cum habe­ant equalem reſiſtentiam oīno: puta a non gradu vſ ad octauum: et a. et b. continuo manentes equa­les vniformiter mouentur / vt dicit ſecunda cõcluſio quam impugnamus: et a. velocius mouetur quã b. / igitur propoſitum. Maior eſt nota et minor proba­tur: et ſuppono /  quãdo in duobus mediis inequa­libus extenditur eadem latitudo reſiſtentie vnifor-miter difformis a non gradu vſ ad certum gradū in ea proportione in qua ſe habent media ad inuicē quantitatiue, in eadē proportione plus diſtat qui-libet punctus a non gradu in medio maiori quam conſimilis punctus in medio minori: ita  ſi vnum mediū ſit duplum ad alterum: gradus medius per duplum maius ſpacium diſtat a non gradu in me-dio maiori ꝙ̄ in medio minori. Et ſic de quocū a-lio puncto. Hoc ptꝫ ex diffiniitõe qualitatis vnifor-miter difformis quarto tractatu. Quo ſuppoſito arguitur ſic minor: quia a. et b. mouentur vniformi­ter continuo / vt dicit illa ſecunda concluſio quã im­pugnamus: et a. non mouetur ita velociter ſicut b. adequate: nec tardius: igitur a. cõtinuo velociꝰ mo-uetur quã b. / quod fuit probandū. Cõſequentia ptꝫ et arguitur maior: q2 ſi a. mouetur ita velociter ade­quate ſicut b. / ſequitur (cū cõtinuo a. et b. ſunt equa-les) /  cõtinuo in quocū puncto eſt a. in medio pe-dali in conſimili puncto eſt b. in medio ſemipedali. Patet cõſequētia ex ſe et vltra: in quocū puncto eſt a. in pedali in ↄ̨ſimili eſt b. in ſemipedali: et quod­libet punctū ī pedali in duplo plus diſtat a nõ g̈du ̄ cõſimile punctū in ſemipedali: igit̄̄ cõtinuo in du­plo plus diſtat a. a puncto a quo īcepit moueri ꝙ̄ b. cū tam a. quã b. inceperūt moueri a nõ gradu illius reſiſtentie: et ꝑ cõſequēs a. ↄ̨tinuo in duplo velocius mouetur ꝙ̄ b. et ex hoc nõ ita velociter adequate / qḋ eſt ꝓbandū. Sed tã probo minorē videlicet /  a. nõ mouet̄̄ tardius ꝙ̄ b. q2 ſi mouetur tardiꝰ: ſequit̄̄ /  cõtinuo eſt in puncto magis reſiſtente ꝙ̄ b. et ſi cõti-nuo eſt in pūcto magis reſiſtente ꝙ̄ b. / ſequit̄̄ /  con-tinuo pluſ̄ in duplo velociꝰ mouetur ꝙ̄ b. / et ꝑ ↄ̨ñs nõ tardius / qḋ fuit ꝓbandū. Patet ↄ̨ña / q2 ſi ↄ̨tinuo a. eſſet in pūcto ↄ̨ſimili ſiue equali illi pūcto in quo eſt b. cõtinuo a. in duplo velociꝰ moueret̄̄ ipſo b. / vt ꝓbatū eſt: igit̄̄ ſi cõtinuo ſit in pūcto adhuc magis reſiſtente / ſequitur /  continuo velocius mouetur ̄ b. Patet conſequentia per locum a maiori.

Reſpõdeo cõcedendo quod īfertur / q2 illud ſufficienter demõſtrat argumentū: et nego fal­ſitatē cõſequētis: et cū ꝓbatur nego /  ille reſiſtētie ſint ſimpliciter equales. Ad equalitatem enim reſi­ ſtentiarum (quod nota) ſaltem vniformiter diffor-mium non ſufficit equalitas intenſionis, ſed etiam extenſionum equalitas requiritur / vt probat argu-mentum.

Quid re­rit̄̄ ad e­q̈litatem reſiſtētia­rum.

Sed ↄ̨̨tra: q2 ſi ſolutio eſſet vera vide­licet /  quãto eadē reſiſtētia vniformiter difformis eſt in minori medio tantū plus reſiſtit ſed nõ adeq̈-te: ſequeret̄̄ /  hoc ꝓueniret ratiõe dēſitatꝪ: ſed hoc eſt falſum: igit̄̄ ſolutio nulla. Sequela ptꝫ / q2 nõ vi­detur alia ratio. Sed falſitas cõſequētis arguitur / q2 volo /  pedale et ſemipedale ſint eq̈liter dēſa ſi-cut facile ſit / vt ptꝫ ex primo capite tertii tractatꝰ: et eadē latitudo reſiſtētie vniformiter difformis extē-datur ꝑ pedale et ſemipedale. Quo poſito ptꝫ /  il-le q̈litates ſūt eque rare: q2 ſūt in ſubiectis eq̈liter raris. (Raritas e vel dēſitas accidētis penes ra-ritatē vel dēſitatē ſubiecti cõmenſurari hꝫ) et tamē eadē poña velociꝰ mouet̄̄ in reſiſtētia pedali ꝙ̄ in ſe­mipedali / vt probatū eſt: igit̄̄ illud non prouenit ex parte raritatis aut denſitatis / quod fuit ꝓbandū.

Raritas q̈litatis vnde ſu-matur.

Reſpondeo vt michi apparet pro nūc concedendo ſequelam: et negando falſitatem conſe­quentis: et ab probatione admiſſo caſu nego /  ille qualitates ſint eque rare in maiori ſubiecto et in mi­nori: et cum probatur / quia ſubiecta ſunt eque rara concedo illud: et cum infertur ergo et accidentia: ne­go conſequentiam: et ad probationem nego /  ex ra­ritate ſubiecti debeat ſumi raritas accidētis in or-dine ad aliud accidens: ſed debet ſumi ex multitu-dine forme accidentalis ſub proportionali quanti­tate. Credo tamen /  naturaliter loquendo in den-ſiori ſubiecto eſt denſius accidens ceteris paribus Et ſi hec ſolutio tibi non placeat: dicas /  maior re­ſiſtentia in medio minori quam in maiori prouenit ex minoritate medii: hoc eſt  continuo ibi fiet mo-tus minoris velocitatis, prouenit ex parte minoris extenſionis conſimilis reſiſtentie illi que eſt in me-dio maiori. Quoniam vt placet calculatori in ca-pitulo de reactione in primo notabili quod ponit, denſitas nõ ſimpliciter auget rei potentiam. Et cū querit̄̄ quare / igitur dēſius fortius agit aut reſiſtit. Reſpõdet /  hoc eſt ratiõe melioris applicationis: quēadmoduꝫ diuerſitas figure eſt cauſa velocioris motus teſtimonio philoſophi .4. ce. et mūdi tex. cõ. 42. Et ſi hec ſolutio tibi non placeat: quere aliam. Argumentum e conuīcit concedere illatum.

Calcula. de react. q̈rto ce. et mū. tex. cõ. 42.

Sed cõtra vtrã ſolutionem arguit̄̄ ſic: quia ſi hoc eſſet verum videlicet /  in caſu poſito eadem potentia vel equalis continuo velocius mo­uetur per reſiſtentiã conſimilis intenſionis in me-dio maiori quam in minori: ſequeretur /  poſſibile eſſet  eadem potentia eque cito pertranſiret me-dium duplum ſicut medium ſubduplum per quod tardius mouetur: dūmodo illa media eſſent oīno eodem modo qualificata per eandem reſiſtentiam vniformiter difformem: ſed conſequens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Sequela patet quoniã ſi ex eo /  medium eſt minus potentia equalis in eo tardius mouetur per conſimilem reſiſtentiam vni-formiter difformē: ſequitur /  in quacun propor-tione medium eſt minus in eadem proportione ea-dem potentia tardius illud pertranſit reſiſtentia exiſtente eadem vel conſimili. Sed falſitas conſe-quentis oſtenditur / quia ſi eque cito potetia a. eſſet in fine pedalis ſicut potentia b. in fine medii ſemipe­dalis: (cū vtrū illoꝝ medioꝝ terminet̄̄ ad gradum octauū) / ſequit̄̄ /  in illo īſtãti (cū ille poñe ſint eq̈les et reſiſtentie equales) equalem ꝓportionem habe-rent: et cum cõtinuo mouentur vniformiter / vt dicit concluſio quam impugnamus: ſequitur /  ſemper antea habebant equalem ꝓportionem qualem ha­bent in termino motus: et per cõſequens ſemꝑ equa­liter mouebūtur: quod eſt contra ſolutionem.

Reſpondeo negando ſequelam et ad ꝓbationem dico /  quãuis ſemper in medio mino-ri ceteris paribus qualificato conſimili reſiſtentia vniformiter difformi, eadem vel cõſimilis potētia tardius moueatur: nõ tamen tardius in ea ꝓporti-one qua eſt minus: immo in minori tardius. Ita  ſemper eadem potentia citius pertranſibit minus medium quam maius: dummodo talia media ſint qualificata eadem vel cõſimili qualitate vniformi-ter difformi. Quod ſic ptꝫ / quia a. potentia nõ põt eque cito pertranſire mediū maius ſicut b. medium minus: vt nuperrime ꝓbatum eſt, nec citius: q2 tūc a minori ꝓportione moueretur a. quam b. et per cõ­ſequens tardius quod eſt cõtra principalē ſolutio-nē. Sequela tamen ptꝫ / quia quando a. eſſet cum re­ſiſtentia vt .8. potentia b. ei equalis eſſet cum mino­ri reſiſtentia cum adhuc nõ eſſet in fine per te. Qua­re cõcedendum eſt /  ſemper pertranſitur citius me­dium minus quã maius in caſu poſito.

Sed contra / quia tunc ſequeretur hec concluſio /  infinite potentie darentur equales po­tentie a. que inciperent ſimul moueri cum potentia a. per media qualificata eadē vel conſimili qualita­te vniformiter difformi: et in infinitum tardius con­tinuo moueretur vnū illorum quam a. et tamen que­libet aliarum potentiarum citius pertranſibit me­dium ſuū ꝙ̄ a. / ſed conſequens videtur impoſſibile: igitur illud ex quo ſequitur. Sequela probatur et pono caſum /  ſit vnū pedale / per quod extendatur latitudo reſiſtentie vniformiter difformis a nõ gra­du vſ ad octauū / vt dictum eſt ſupra: et ſit aliud in duplo minus, et aliud in triplo, et aliud in quadru-plo, et ſic in infinitum: et per quodlibet illorum extē­datur eadem vel conſimilis latitudo reſiſtentie vni­formiter difformis a nõ gradu vſ ad octauū: et in aliquo inſtanti incipiat a. creſcēdo a nõ gradu po-tentie moueri cõtinuo a ꝓportione dupla per me-dium pedale: et in quolibet aliorum mediorum inci­piat in eodem inſtanti etiam conſimilis potentia conſimiliter oīno creſcens moueri a nõ gradu reſi-ſtentie: ita  quelibet maneat cõtinuo equalis ipſi a. Quo poſito patꝫ ſecunda pars illati videlicet /  quelibet aliarum potentiarū ab a. citius pertran-ſibit medium ſuū quam a. Hoc e dicit ſolutio pre­cedentis replice. Et arguitur prima pars videlicet /  in infinitum tardius continuo mouetur aliqua il­larum quam a. / quia citius a. preteribit punctū me-diū illiꝰ pedalis per quod mouetur hoc eſt punctuꝫ vt .4. quam aliqua aliarū potentiarū pertranſibit ſuū mediū per quod ipſum mouetur: et in infinituꝫ minus eſt aliquod illorū mediorū per quod mouet̄̄ aliqua illarū potentiarū, quam eſt medietas peda­lis per quod mouetur a. / vt ptꝫ ex caſu: igitur in infi­nitū tardius ꝙ̄ a. mouetur aliqua illaꝝ potentiarū / quod fuit ꝓbandū. Cõſequentia ptꝫ cum minore: et arguitur maior: q2 nulla aliaruꝫ potentiarū eque cito deueniet ad terminū ſui medii ſicut a. deueniet ad punctum mediū pedalis per quod mouetur. nec citius aliqua illarum deueniet ad terminū ſui me-dii ꝙ̄ a. deueniet ad punctum medium pedalis per quod mouetur: igitur citius a. preteribit punctum medium quam aliqua aliarum deueniet ad finem medii / per quod mouetur / quod fuit probandū. Cõ­ſequentia patet et arguitur maior. quia ſi eque cito aliqua illarum deueniret ad terminū ſui medii ſi-cut a. deueniet ad punctum mediū: ſignetur illa et ſit b. / et arguo ſic / cum primū a. eſt in puncto medio qui eſt vt .4.b. eſt in puncto terminatiuo totius latitu-dinis qui eſt vt .8. / et a. mouetur a proportiõe dupla / vt ponitur: igitur qualis eſt proportio ipſius a. ad reſiſtentiam ipſius a. talis eſt proportio reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. / et per conſequens reſiſtentia ipſius b. et ipſa potentia a. ſunt equales cum habeant eadem proportionem ad vnū tertiuꝫ: et a. et b. ſunt equales ex caſu: igitur reſiſtentia ipſiꝰ b. et b. ſunt equales: ſic b. mouetur a proportione equalitatis / quod eſt impoſſibile. Patet igitur /  nulla illarum poteſt eque cito venire ad punctū ter­minatiuū ſui medii, ſicut a. ad punctum medium pe­dalis per quod mouetur. Sed iam probo minorem videlicet /  nulla illarum citius deueniet ad termi-nū ſui medii quam a. deueniat ad punctum medium ſui pedalis per quod mouetur: quia ſi ſic ſit illa b. / et arguo ſic, b. potentia equalis ipſi a. eſt in puncto terminatiuo ſui medii puta in puncto vt .8. et a. eſt in minori puncto quam vt .4. et mouetur a. potentia a proportione dupla: igitur maior eſt proportio re­ſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. ꝙ̄ ſit pro­portio ipſius a. ad reſiſtentiam ipſius a. et a. et b. ſunt equales: igitur maior eſt reſiſtentia b. quam b. / et per conſequens b. mouetur a. proportione mino-ris inequalitatis / quod eſt impoſſibile. Patet ta-men conſequentia / quia pūcti vt .8. ad punctū quod­libet minus puncto vt .4. eſt maior proportio quam dupla: et ipſius a. ad reſiſtentiam eiuſdē que eſt mi-nor puncto vt .4. eſt proportio dupla: igitur reſiſtē­tia b. maiorem proportionem habet ad reſiſtentiã ipſius a. quaꝫ a. habeat ad reſiſtentiam eiuſdem a. / et per conſequens maior eſt reſiſtentia ipſius b. quã a. potentia / quod fuit probandum. Patet conſequē­tia per hanc maximam: id quod habet maiorē pro­portionem ad vnū tertium eſt maius. Patet igitur totum illatum.

Reſpondeo / igitur concedendo quod infertur vt demonſtrat argumentum. ¶ Ex hoc ar-gumento et ſolutionibus replicarū eiuſdem / ſequi-tur primo:  vbicun ſunt infinite potentie vt po-nitur in caſu vltime replice: neceſſe eſt /  potētia que mouetur in maximo illorum mediorum pretereat punctum ad quod punctum intenſiſſimū illius me-dii habet ſimilem proportionem illi proportioni a qua mouetur illa potentia, quam aliqua aliarum potentiarum equalium deueniat ad extremum ſui medii. Uolo dicere /  ſi potentia in maxima illorū mediorum (loquor ſemper incipientibus a nõ gra-du) moueatur a proportione quadrupla: citius de-ueniat ad punctum ad quem intenſiſſimus punctus puta vt .8. (ſi medium terminetur ad illum) habeat proportionem quadruplam, quam aliqua aliaruꝫ potentiarum pertranſeat ſuum medium. Ita  in tali caſu oportet /  prius veniat ad punctum vt .2. et pretereat illum. Alias enim vel alia potentia mo­ueretur a proportione equalitatis vĺ minoris ine-qualitatis vt facile eſt inducere ¶ Sequitur ſecūdo /  ſi ſint duo media inequalia per que extēditur ea-deꝫ latitudo reſiſtentie vniformiter difformis a nõ gradu vſ ad octauū: et incipiant due potentie mo­ueri per illa media a nõ gradu illiꝰ reſiſtentie: et con­tinuo creſcãt ille potētie vniformiter īcipiēdo a nõ g̈du potētie: illa tñ que mouet̄̄ in medio mīori in ea ꝓportione velociꝰ creſcat altera q̄ mouet̄̄ in medio maiori in qua proportione maius medium excedit minꝰ: tūc cõtinuo vniformiter et eque velociter oīno ille potentie mouētur. Uolo dicere /  ſi ſint duo me­dia ſe habentia in proportione dupla, per que ex-tenditur cõſimilis latitudo reſiſtentie vniformiter difformis terminata ad non gradum: et moueatur vna potentia in minori medio incipiendo a nõ gra­du medii, et a nõ gradu potentie, continuo creſcen-do vniformiter: et in medio maiori moueatur vna alia potentia incipiēdo ſimiliter creſcere a nõ gra­du potentie, et a non gradu reſiſtentie: quia inter illa media eſt proportio dupla creſcat cõtinuo po-tentia que mouetur in medio minori in duplo velo-cius altera que mouetur in medio maiori: tunc di-co  ille potentie mouentur equaliter. Probatur correlariū vniuerſaliter. Et ſuppono /  in quacū proportione ſe habent talia media per que extendi­tur latitudo eadem vel cõſimilis reſiſtentie vnifor-miter difformis terminate ad nõ gradū: in ea pro-portione ſe habēt puncta equi diſtantia a nõ gradu in illis mediis. Quod ptꝫ facile ex diffinitione qua­litatis vniformiter difformis quarto tractatu. Hoc ſuppoſito probatur correlarium. Et ſint duo me-dia ſe habentia in f. proportione et moueatur a. po­tentia in maiori continuo vniformiter: et b. in mino­ri: et creſcat b. cõtinuo in f. proportione velocius a. Quo poſito ſic argumentor / potentia b. que moue-tur in medio minori nõ mouetur velocius a. nec tar­dius: igitur cõtinuo equaliter. Patet conſequētia / et probatur maior: quia ſi b. mouetur velocius quã a. / ſequitur /  b. eſt in puncto magis diſtante a non gradu ſui medii ꝙ̄ a. / igitur mouetur a. minori pro-portione ꝙ̄ a. / et per conſequēs tardius. Patet hec conſequentia / quia ſi eſſent in punctis equidiſtanti­bus mouerentur ab eadem proportione: quoniam tunc f. proportio eſſet inter illa puncta / vt patet ex ſuppoſitione: et inter potentias etiam eſſet f. pro-portio: ergo ſequitur /  ille potentie haberent e-quales proportiones ad ſuas reſiſtentias. Patet conſequentia / quia ſi inter b. et a. eſt f. proportio: et inter reſiſtentiam ipſius b. et reſiſtentiam ipſius a. eſt f. proportio: igitur qualis eſt proportio ipſiꝰ b. ad a. talis eſt reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. et ſi talis eſt proportio ipſius b. ad a. qua-lis eſt reſiſtentie ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius a. / ſequitur permutatim ex ſecunda concluſione tertii capitis ſecunde partis /  talis eſt proportio ipſius b. ad reſiſtentiam ipſius b. qualis eſt ipſiꝰ a. ad re-ſiſtentiam ipſius a. / et ſic ptꝫ conſequentia. Et vltra ex ↄ̨ſequēti ille potentie a. et b. / tunc haberent equa-les proportiones ad ſuas reſiſtentias: ergo modo proportio ipſius b. ad ſuam reſiſtentiam eſt minor quam proportio ipſius a. ad ſuam reſiſtentiam: et per conſequens mouetur tardius. Patet conſequē­tia / quia b. eſt in maiori reſiſtentia quam tunc eſſet. Et per hoc ptꝫ minor / quia ſi b. mouetur tardiꝰ quã a. / ſequitur /  eſt in minori reſiſtentia quam eſſet ſi moueretur equaliter ſicut a. ſed ſi moueret̄̄ equali-ter ſicut a. moueretur ab eadem proportione: et mo­do mouetur in minori reſiſtentia quam tunc: ergo a. maiori proportione/ et per conſequens velocius et nõ tardius / quod eſt oppoſitum conceſſi. Et ſic patꝫ antecedens et per conſequens totum correlarium. ¶ Sequitur tertio /  ſi ſint duo media ineq̈lia qua­lificata eadem vel conſimili reſiſtentia vniformiter difformi terminata ad nõ gradum: et incipiant due potentie non variate in eodem inſtanti moueri per illa media: et talis ſit proportio potentie mouentis in medio minori ad reliquam potentiaꝫ qualis eſt proportio medii maioris ad medium minus: tunc tales potētie cõtinuo eque velociter mouētur. Pro­batur: et ſint duo media īter que eſt ꝓportio f. et ſint due potentie a. et b. et b. ad a. ſit f. proportio: et in-cipiat b. moueri in minori medio ad non gradu et a. in maiori. Quo poſito arguo ſic / a. et b. continuo ſunt in punctis equidiſtantibus a nõ gradu ſui me-dii: ergo continuo eque velociter mouentur. Patet conſequentia / quia pūcta equaliter diſtantia ſe ha­bent in f. proportione: vt patet ex ſuppoſitione ſu-perioris correlarii: ergo ſequitur /  ſi potētie ſunt in punctis eque diſtantibus  ipſe mouentur ab e-quali proportione. Patet conſequentia vt in ſupe­riori correlario. Et ex conſequenti ſequitur:  ſi b. eſt in puncto magis propinquo non gradui ꝙ̄ a.  iã mouetur a. maiori ꝓportione ꝙ̄ a. q2 eſt in remiſ­ſiori puncto quã eſſet ſi eſſet in puncto equidiſtanti ſicut a. / et per cõſequens moueretur velocius ꝙ̄ a. Et ſi eſſet in puncto magis diſtanti a nõ gradu ꝙ̄ a. / iã ſequitur /  tunc moueretur cū reſiſtentia intenſiori quã ſi eſſet in puncto equidiſtãti ſicut pūctus in quo eſt a. / et per ↄ̨ſequēs moueret̄̄ tardiꝰ quã a. et ſic nõ ve­lociꝰ. Patet cõſequētia / q2 ſi eſſet in puncto equidi-ſtanti ſicut a. moueretur ab equali ꝓportione: ergo quãdo eſt in intēſiori mouetur a minori. Et ſic patꝫ veritas correlarii / q ad b. moueri velociꝰ a. / ſequit̄̄ ipſum moueri tardius: et ad b. moueri tardius, ſe-quitur ipſum moueri velocius. Opus eſt dicere igi­tur /  continuo mouetur equaliter cum ipſo a.

1. correĺ. 2. correĺ 3. correĺ.
4. correĺ.

¶ Sequitur quarto:  dabile eſt medium vniformi­ter difforme in reſiſtentia ad nõ gradum termina-tum: quod potentia a non gradu potentie creſcens vniformiter continuo, nõ valet vniformiter conti-nuo mouendo ſuo motu abſoluere ab extremo re-miſſiori inchoando. Probatur / et capio vnū mediū difforme in quantitate vniformiter difforme in re-ſiſtentia terminata ad non gradū: cuius medii pri-ma medietas puta remiſſior ſit longior quam ſecū­da in ſexquialtero / vt patet in figura.

Et incipiat b. potentia ab extremo remiſſiori talis medii moueri creſcendo a nõ gradu potentie conti-nuo vniformiter inchoando ab extremo remiſſiori vt ſepius poſitū eſt: et moueatur quo ad vſ ad ex-tremū intenſius deueniat per lineã rectam: tunc di­co /  ipſa potentia b. nõ cõtinuo vniformiter moue­tur illud medium tranſeundo. Quod ſic probatur / q2 ſi b. potentia cõtinuo vniformiter moueretur pu­ta a. proportione f. exempli gratia in ſexquialtero minori tēpore totam ſecundã medietatē magis re-ſiſtentē abſolueret quaꝫ primã quia ipſa eſt in ſex-quialtero breuior ex hypotheſi: et ex cõſequenti ſe-quitur /  b. potentia tranſeundo ſecundã medieta-tem in ſexquialtero minorē potētiam acquirit quã tranſeundo primam medietatem: cum vniformiter continuo intendatur: et tranſeundo eandē ſecundã medietatē ſue reſiſtentie, tantam latitudinē acqui-rit adequate ſicut tranſeūdo primã q2 reſiduã me-dietatē latitudinis: igitur tranſeundo ſecundã me-dietatem inter acquiſitū potentie et acquiſitū reſi-ſtentie nõ eſt tanta proportio ſicut tranſeundo pri-mam: et tranſeundo primam eſt proportio f. / vt pa-tet / quia continuo ab f. proportiõe mouetur per te: igitur tranſeundo ſecundam medietatem non mo-uetur ab f. proportione: ergo non mouetur cõtinuo vniformiter / quod fuit probandum. Conſequentia patet ex ſecundo correlario quinte concluſionis ſe-cundi capitis ſecunde partis. Nam quod ibi dici-tur de rationalibus quantitatibus de quibuſcū ex eadem quinta concluſione facile demonſtrari va­let. Et ſic patet correlarium. ¶ Et ex hoc habes do-cumentum notandum /  predicte concluſiones duo­rum precedentium capitum intelliguntur cum po-tentie mouentur in medio vniformiter difformi per­fecte q̈drato, vel quadrilatero vniformis latitudi-nis et profunditatis continuo. ¶ Utrum autem ta-lia media requirantur ad predictas cõcluſiones ve­rificandas, ita  cum nullis aliis mediis potentie poſſint moueri ſecundum tenorem predictarum cõ-cluſionum quam cum illis tu ipſe inquiras.

quõ ↄ̨clu­ſiones de­cimi et vn­decimi ca­pitū dñt reſtringi
argumē-tū calcu.

Secundo contra tertium correlariū quinte concluſionis decimi capitis arguitur ſic. q2 b. potentia in caſu illius correlarii aliquando vni-formiter mouetur dato  motus ille perpetuo con­tinuetur: igitur non cõtinuo intendit motum ſuum / et per conſequens correlariū falſuꝫ. Conſequentia patet / et arguitur antecedens: quia motus ipſius b. quando ſimul incipit moueri ab eodem puncto cuꝫ a. ſolum finite diſtat a gradu velocitatis quo mo-uetur a. et a. continuo vniformiter mouetur: et b. con­tinuo intendit motum ſuum: et ſic perpetuo mouebū­tur: ergo velocitas ipſius b. tandem deneniet ad eq̈­litatem velocitatis motus a. et b. / tunc vniformiter mouebitur / igitur propoſitum. Patet conſequētia / quia non eſt dabilis latitudo inter motum maiorē et minorem quin illa per continuam intenſioneꝫ mi­noris tandem valeat acquiri vt ſatis cõſtat: igitur b. in tempore finito poteſt acquirere latitudinē mo­tus per quam motus ipſius a. excedit motum ipſiꝰ b. Sed  tunc b. vniformiter mouebitur probatur. quia tūc b. mouebitur ab eadē proportione: et ita ve­lociter ſicut a. mouetur ī illo puncto quia a. ſemper mouetur vniformiter: et per conſequens ſequitur /  in illo puncto erit b. potentia tanta quanta fuit a. potentia in illo puncto: et creſcit vniformiter conti­nuo et eq̄ velociter ſicut a. et ex hoc ſicut a. creſcebat ibi / et per conſequens mouetur vniformiter ſicut a. / quod fuit probandum.

Reſpondeo negando antecedens: et ad probationem concedo antecedens / et nego conſe­quentiam: et cum probatur / quia nulla eſt latitudo finita inter duos motus inequales maiorem vide-licet et minorem quin illa valeat in tempore finito acquiri a minori motu ꝑ continuã eiꝰ maiorationē: diſtīguo illud, aut ſi talis minor motus vniformi-ter continuo intendatur aut velocius et velocius / et ſic ego bene concedo illud: aut ſi continuo intenda-tur tardius et tardius, et ſic ego nego. Non e tunc oportet. Poſſibile enim eſt  vnus gradus motus ſemper ſit in acquiri per infinitum tempus. Hoc eſt  vnum mobile continuo per infinitum tempus in­tendat motum ſuum: et nun̄ acquirat vnum gradū motus per quem exceditur a motu velociori ſed be­ne quēlibet motum citra. Ut ſi in prima hora illius infiniti temporis acquirat primaꝫ partem propor­tionalem vnius gradus: et in ſecunda ſecundam et in tertia tertiam: et ſic cõſequenter. ¶ Ex quo ſequitur primo /  potentia a. in infinitum tarde in-tenderet motum ſuum eſto  motus eius perpetuo duraret. Patet quia alias ſequeretur /  in tempo-re finito poſſet venire ad equalitatem motus b.

1. correl.
2. correl.

¶ Sequitur ſecundo /  potentia a. que vniformi-ter continuo mouetur non poteſt attingere potētiã maiorem precedentem ipſam que eque velociter et vniformiter continuo intenditur ſicut ipſa potētia a. de qua videlicet ſit mentio ī ſecūdo correlario n­te concluſionis preallegate. Probatur / quia a. non poteſt incipere moueri eque velociter ſicut illa po-tentia precedens ipſam potentiam a. / ergo ſequitur /  non poteſt attingere ipſam que velocius moue-tur et precedit. Conſequentia patet, et arguitur an-tecedens: quia ſi mouebitur aliquando eque veloci­ter ſicut maior precedens: et illa maior precedens continuo remittit motum ſuum: ſequitur /  a. potē-tia aliquando cõtinuo certe velocius mouebit̄̄ quã illa potentia que continuo remittit motum ſuum: et precedit: et ex conſequenti ſequitur /  a. potentia ali­quando attinget illam potentiam maiorem prece-dentem (dato /  perpetuo duraret motus illarū po­tentiarum in tali medio) / et per conſequens eque ci-to pertranſiretur aliquod ſpacium a potentia ma­iore et a potentia minore / quod eſt impoſſibile (cete-ris deductis) Patet conſequentia / q2 omne mobile ſequens alteruꝫ qḋ ab aliqua certa ꝓportione con­tinuo velocius eo mouetur (dūmodo perpetuo ſic moueantur) tandem attinget illud vt facile demon­ſtrari potet. ¶ Sequitur tertio /  illa potentia ma-ior precedens continuo tardius remittit motū ſuū: et ſi perpetuo moueretur per tale medium in infini-tum tarde remitteret motum ſuum. Probatur hoc correlarium / quia ſi velocius et velocius remitteret motum ſuum vel vniformiter continuo: tandem de­ueniret ad equalitateꝫ motus ipſius a. vniformiter continuo mouentis: et tunc tardius moueretur: quod ſuperiori correlario improbatum eſt. Patet igitur correlarium. ¶ Sequitur quarto /  iſta con-ſequentia nihil valet a. in īfinitum modicum diſtat ab aliqua iſtarum potentiarum: et a. qualibet iſtaꝝ potētiaꝝ verſus eandem differentiam continuo ve­locius mouetur: ergo ſequitur /  a. aliquando attī­get alquam illarum potentiarum eſto /  perpetuo motus eius duraret. Probatur / et pono /  a. potentia ponatur in puncto initiatiuo c. medii quod vniformiter continuo mouendo pertranſit ꝑ ſue potentie ad non gradu continuuꝫ et vniforme cre­mentum: et in quolibet puncto intrinſeco eiuſdem c. medii ponatur potentia vna que vniformiter conti­nuo a non gradu potentie et eque velociter ſicut a. creſcat: mouendo verſus extremum intenſius c. me-dii a ꝓportione ſui ad ſuam reſiſtentiam. Quo po­ſito antecedens illius ↄ̨ñe eſt verum: et conſequens falſum: igit̄̄ correlariū uꝫ. Q, tunc antecedens il-lius conſequētie eſt verum / patet / quia prima pars eius eſt ex ſe nota: et ſecunda patet ex quinta conclu­ſione decimi capitis. Sed  conſequens ſit falſum probatur / quia ſi a. aliquando attingit aliquam il­larum potentiarum: et continuo a. eſt equalis cuili-bet aliarum potentiarum ex hypotheſi: et quelibet aliarum poñarum continuo intendit motum ſuum / ſequitur /  a. aliquando intendit motum ſuum cum aliqua illarum poñarum mouendo ab eodem pun­cto cum ea continuo eque velociter: ſed conſequens eſt falſum / vt patet ex ſecunda cõcluſione decimi ca­pitis: igitur et antecedens. Item ſi a. aliquando at-tingit aliquam illarum poñarum ſequitur /  eadeꝫ poña eque cito pertranſiret totum ſicut eius partē ceteris paribus / quod eſt impoſſibile: Et ſic patet correlarium. ¶ Sequitur quinto /  ad arguendum a. poñam velocius continuo mouentem b. poñam ­cedentem mouētem tamen tardius aliquando attī­ gere. opus ē ſic argumentari a. poña in certa ꝓpor­tione adequate vel inadequate velociꝰ continuo mo­uetur ꝙ̄ b. poña precedens / igitur a. poña tandeꝫ b. poñam attinget (eſto /  ꝑpetuo motus eius dura-ret) Patet hoc correlarium ex ſe. ¶ Plura alia ar­gumenta contra pleraſ duorum precedentiuꝫ ca-pitum concluſiones adducit calculator in ſecundo capite de medio non reſiſtente: ſed ea omnia intelle­ctis his / que dicta ſunt facile diſſoluuntur. Poſſet hic etiam plures induci concluſiones de velocitate motus in medio vniformiter difformi vtrī ad gra­dum terminato et de diuerſarum poñarum motuuꝫ comparatione in huiuſcemodi medio: ſed ex predi-ctis a perpſicaciuſculo ingenio aliquali tamen la-bore comprehendi valent Ideo ſuperſedeo et hec de his dixiſſe ſufficiat.

3. correl. 4. correl. 5. correl.

¶De motu penes cauſam in medio vni-formiter difformi non variato finis.

¶ Sequitur de motu penes cauſam in medio non reſiſtente.

Capitulum tridecimum / in quo ponū­tur alique concluſiones velocitatē mo­tus penes cauſam declarãtes in medio non reſiſtente in quo eſt progreſſio la-titudinis reſiſtentie vniformiter diffor­mis: gradu intenſiori quieſcente.

QUoniam iam ſupereſt ponere aliquas concluſiones de velocitate et tar­ditate motus penes cauſam in medio nõ reſiſtente in quo eſt progreſſio, generatio, ſiue extē­ſio latitudinis reſiſteutie partibiliter quo ad ſubie­ctum. Ideo pro hiis concluſionibus īducendis ma­thematico ordine aliquas ſuppoſitiones per mo-dum terminorum declarationis duximus premit-tendas.

Prima ſuppoſitio Reſiſtentia in pro-poſito accipitur pro quadam qualitate diſtincta a ſuo ſubiecto cõnotando ipſam natam eſſe impedi-re velocitatem motus: ne mobile ita cito pertranſe­at ſpacium in quo ipſa eſt: ſicut pertranſiret ſi ipſa non eſſet: et loquor de reſiſtentia motus localis.

Secunda ſuppoſitio Per medium nõ reſiſtens in propoſito intelligendum eſt ſpacium ſe­paratum a tali qualitate id eſt carens reſiſtentia inſtar vacui quod antiqui philoſophãtes ponebãt cuius vacui philoſophus quarto de phiſico auditu tractatu ſecundo capitibus ſecundo et tertio memi­nit. Quare non ī merito Calcu. in concluſionibꝰ de medio non reſiſtente nonnū̄ tale ſpacium vacuuꝫ appellat: ſepius vero medium non reſiſtens.

phūs .4. phi. cal. ḋ me: nõ reſiſ.

Tertia ſuppoſitio. Qualitas que par­tibiliter alicui ſubiecto acquiritur: tripliciter põt acquiri: Uno modo partibiliter quo ad intenſionē tantum. Alio modo partibiliter quo ad intenſionē et extenſionem ſimul: Et tertio modo partibiliter ſiue ſucceſſiue quo ad extenſionem tãtū ſiue quo ad ſubiectum tantum (quod idem eſt in propoſito) pri­mi duo modi declarabuntur inferius in quarto tra­ctatu. Sed tertius modus nunc venit declarandus Pro quo aduertendum eſt /  tunc qualitas dicitur acquiri: ſiue progredi: ſiue generari: (quod idem ē) partibiliter quo ad ſubiectum tantum quando ip-ſã continuo efficitur maior: et continuo magis extē­ditur per ſubiectum: et nullo pacto efficitur intēſior et talis acquiſitio quo ad partes ſubiecti ſit per ac- quiſitionem raritatis ipſi qualitati. Hoc autem fa­miliari exemplo poteſt ſic declarari. Nam capto pedali albo per totum volo /  pedali manente nec rarefacto nec condenſato. et diuiſa hora preſenti ꝑ partes proportionales proportione dupla maio-ribus terminatis verſus inſtans initiatiuum in pri­ma parte proportionali illa albedo cõdenſetur ad ſubduplum relinquendo primam partem ꝓportio­nalem pedalis ꝓportione dupla: et maneat preciſe in reſiduis partibus ꝓportionalibus: et in ſecunda parte temporis relinquat ſecundam partem ꝓpor­portionalem pedalis cõdenſando adhuc ad ſubdu­plum: Et in tertia iterum ad ſubduplum / et ſic conſe­quenter. Et maneat in fine hore illa albedo nõ quã-ta in illo ſubiecto indiuiſibiliter in eo exiſtens: dein­de diuiſa hora futura per partes proportionales ordine prepoſtero puta minoribus verſus initiati-uum inſtans terminatis: incipiat illa albedo exten­di partibiliter per illud ſubiectum ita rarefiendo ſi­cut condēſabatur: ita  in qualibet ꝓportio­nali ſequenti efficiatur ī duplo maior / ꝙ̄ fuit in par­te proportionali īmediate precedenti. Tunc in tali caſu illa albedo dicitur in illa ſecunda hora gene-rari partibiliter / quo ad ſubiectum tantuꝫ. Et de ta­li modo ꝓgreſſionis ſiue generationis latitudinis reſiſtentie loquendum eſt in propoſito. Et hoc mo-do intelligit Calcu. caſum prime concluſionis in ca­pitulo de medio non reſiſtente.

Quarta ſuppoſitio Latitudo reſiſten­tia vniformiter difformis tripliciter valet progre-di ſiue extendi continuo manens vniformiter dif-formis ſub eadem intenſione in medio non reſiſten­te. Uno modo quieſcente extremo remiſſiori ſiue nõ gradu: ceteriſ punctis mouentibus. Secundo mo­do quieſcente extremo remiſſiori: ceteriſ punctis mouentibus. Tertio modo neutro extremo totali-ter quieſcente: ſed latitudine reſiſtentie a latere ī la­tus mouente: vel vna parte extremi mouente: et alte­ra quieſcente et ſic mille aliis modis poteſt imagina­ri talis reſiſtentie progreſſio. Sed duo primi modi duntaxat preſenti conſiderationi deſeruiunt.

Quinta ſuppoſitio Latitudine reſiſtē­tie manente vniformiter difformi ſic mouente vt di­ctum eſt: neceſſe eſt puncta extremo quieſcenti ꝓpin­quior a tardius moueri. Patet / quia alias reſiſten-tia non maneret vniformiter difformis / vt patet ex diffinitione qualitatis vniformiter difformis.

¶ His adde /  cum dicimus potentiam moueri cum huiuſcemodi reſiſtētia progrediente: intelligimus ipſam per lineam breuiſſimam moueri ab extremo in extremum.

His poſitis ſit prima concluſio Dato medio non reſiſtente a cuius vno extremo incipiat progredi partibiliter latitudo reſiſtentie vniformi­ter difformis altero extremorum ſiue intenſiori ſi-ue remiſſiori quieſcente / vt declaratum eſt in tertia ſuppoſitione: ipſa latitudine cõtinuo manēte vni­formiter difformiter extenſa: omni gradu eius cõ­tinuo vniformiter mouente: ſi aliquod mobile ali-quando cum tali reſiſtentia mouetur vniformiter ipſum in eo tempore continuo eſt ad idem punctum illius reſiſtentie dummodo mobile nõ varietur nec reſiſtentia quo ad intenſionem aut remiſſionem.

Probatur hec concluſio / quoniaꝫ ſi tale mobile ali­quando mouetur vniformiter cum tali reſiſtētia / ſe­quitur /  in illo tempore continuo mouetur ab ea-dem proportione ſed nullam eandem proportionē habet ad duo diuerſa puncta illius reſiſtentie cum ſit vniformiter difformis ex caſu / ergo ſetur /  nū-̄ eſt cum diuerſis punctis in illo tēpore in quo mo­uetur vniformiter. Patet conſequentia /  ſi in eo tē­pore eſſet cum diuerſis punctis iam diuerſas ꝓpor­tiones haberet maiorem videlicet cum vno quaꝫ cū altero / vt patet / quia eiuſdem ad minus maior eſt ꝓ-portio ꝙ̄ ad maius. Patet igitur concluſio.

1. correl.

¶ Ex quo ſequitur /  vbi in tali reſiſtentia ſic ꝓgre­diente / vt dictum eſt / aliquod mobile non variatum aliquando mouetur vniformiter: ipſum poſt hoc cõ­tinuo mouetur vniformiter. Probatur / quia ſi tale mobile aliquãdo mouetur vniformiter / ſequitur /  ipſum in eo tempore cõtinuo eſt in eodem puncto / vt patet ex concluſione: et ſi in eo tempore continuo eſt in eodem puncto / ſequitur /  illud mobile non ſuffi-cit cum illo puncto mouere velocius  punctus ille mouet̄̄ et cõtinuo illud mobile habebit eandem pro­portionem ad illum punctum (quia non variabitur / vt pono) / et continuo punctus ille mouetur vniformi­ter et eque velociter ex caſu: igitur ſequitur /  pūctꝰ ille nū̄ precedet mobile: nec vn̄ mobile precedet punctum: et mouebitur: igitur continuo mouetur cū illo puncto eque velociter et vniformiter / quod fuit probandum: Patet igitur correlarium.

2. correl.

¶ Sequitur ſecundo /  vbi in medio non reſiſtente ē progreſſio ſine exrenſio latitudinis reſiſtentie vni-formiter difformis altero extremoꝝ quieſcente quo­libet puucto continuo mouente difformiter potētia ꝓgrediens cum tali reſiſtētia nū̄ continuo vnifor­miter mouetur. Probatur / quia ſi per aliquod tem­pus continuo vniformiter moueretur: per illud tem­pus continuo eſſet cum eodem puncto: et ſi ſit conti-nuo per aliquod tempus cum eodem puncto cuꝫ qui­libet punctus difformiter mouetur: ſequitur /  ipſa potentia difformiter mouetur. Patet igitur corre­larium.

Secunda concluſio Ubi in medio nõ reſiſtente fit progreſſio latitudinis vniformiter dif­formis vtrim ad gradum terminate quieſcēte ex­tremo intenſiori. et remiſſiori velocius mouente ̄ potentia ſufficit mouere cuꝫ illo et quolibet eius pū­cto intrīſeco vniformiter mouente: potentia illa ſi-mul et ab eodem puncto incipiens moueri cum tali reſiſtentia non valet diuerſi mode moueri: hoc ē ali­quando intendendo, et aliquando remittendo, vel aliquando intendendo: et aliquando vniformiter mouendo: vel aliquando remittendo, et aliquando vniformiter mouendo. Probatur / quia talis potē-tia non poteſt aliquando intendere: motum ſuum et aliquando remittere: nec aliquando intendere mo­tum ſuum et aliquando vniformiter mouere: nec ali­quando remittere motum ſuum: et aliquando vni-formiter mouere: igitur concluſio vera. Antecedens probatur / quia talis poña non poteſt aliquãdo vni­formiter moueri et immediate poſt hoc intēdere aut remittere motum ſuum: nec poteſt aliquando inten­dere motum ſuum: et immediate poſt hoc remittere: nec poteſt aliquando remittere: et immediate poſt hoc intendere: nec aliquando intendere: et immedia­te poſt hoc vniforlter moueri: nec aliquando re-mittere: et immediate poſt hoc vniformiter moueri: igitur talis poña non poteſt aliquando intendere motum ſuum: et aliquando remittere: nec aliquan-do intendere motum ſuum, et aliquando vniformi-ter moueri: nec aliquando remittere motum ſuum, et aliquando vniformiter moueri: quod fuit probã­dum. Conſequentia eſt manifeſta: et maior patet ex correlario precedentis concluſionis, et prima pars minoris probatur videlicet /  talis poña non po-teſt aliquando intendere motum ſuum et immedia-te poſt hoc remittere: quia ſi ſic detur inſtans ī quo incipit remittere ante quod inſtans immediate in-tendebat motum ſuum in quo inſtanti talis poten­tia ſit in puncto a. a quo incipit remittere motū ſu­um per te continuo cum intenſiori pūcto mouendo ̄ ſit a. / et capio vnam partem illius reſiſtentie termi­natam ad punctum a. per quam mouendo ipſa po-tentia continuo intendit motum ſuum: et manifeſtū eſt /  ipſa potentia ſic intendens motum ſuum cõti­nuo per illam partem velocius mouetur cum quoli­bet puncto illius reſiſtentie quam ille punctus mo-uetur: Alias enim non continuo intenderet per illã partem mouendo: Et ex alia parte per te ipſa poña cõtinuo remittit motum ſuum per illam reſiſtentiã vel aliquam eius partem mouendo: igit̄̄ ipſa poña non continuo per illam partem velocius mouetur cum quolibet puncto illius reſiſtentie quam ille pū­ctus mouetur: Et ſic ſequitur contradictio (Quãdo­quidem omnia illa puncta vniformiter ↄ̨tinuo mo-uētur ex caſu concluſionis.) Iam probo ſecūdam ꝑ­tem minoris videlicet /  illa poña non poteſt aliqñ remittere motum ſuum, et immediate poſt hoc intē-dere: quia ſi ſic: detur inſtans in quo incipit intēde-re ante quod inſtans immediate remittebat motuꝫ ſuū in quo inſtanti talis poña ſit in puncto a. a quo incipit intendere motum ſuum per te continuo cum remiſſiori puncto mouēdo ꝙ̄ ſit a. / et capio vnam ꝑ-tem illius reſiſtentie terminatam ad a. punctum per quam mouendo continuo remittebat motum ſuum / et manifeſtum eſt /  ipſa ſic remittens motum ſuum cõtinuo per illam partem mouendo tardius moue­tur cum quolibet puncto illius partis quam ille pū­ctus mouetur. Alias enim non continuo remitteret motum ſuum per illam partem mouēdo. Et ex alia parte ipſa poña per te continuo intendit motuꝫ ſu­um per illam reſiſtentiam vel aliquam eius partem mouendo: igitur ipſa poña non cõtinuo per illam partem velocius mouetur cum quolibet puncto illi­us partis ꝙ̄ ille punctus mouetur. Et ſic ſequitur cõ­tradictio: cum omnia illa puncta vniformiter con­tinuo mouētur ex caſu concluſionis. Sed iam ꝓba-tur tertia pars minoris vcꝫ /  illa poña non poteſt aliquando intendere motum ſuum: et īmediate poſt hoc vniformiter moueri: quia ſi ſic detur inſtans in quo incipit vniformiter moueri ante quod inſtans immediate intendebat motum ſuum. in quo inſtan­ti talis poña ſit in puncto a. a quo incipit vniformi­ter moueri per te: et ſequitur /  tunc incipit moueri cum a. velocius ꝙ̄ vn̄ antea mouebatur: et ita velo­citer ſicut a. mouetur per te, cum in a. incipiat vni-formiter moueri. et ſic continuo eē in eodē puncto a. ex prima cõcluſione: igitur ipſa poña non eſt in pū­cto a. / quod eſt oppoſitum dati. Patet conſequētia / quia a. punctus et ipſa poña inceperūt ab eodem in­ſtanti moueri ex caſu concluſionis: ergo ſi vſ ad ī­ſtans datum continuo poña mouetur tardius ꝙ̄ a. punctus / ſequitur /  ipſa poña in inſtãti dato nõ eſt in puncto a. / quod eſt probandum. Probatur tamē maior videlicet /  in inſtanti dato incipit illa poña cum a. velocius moueri ꝙ̄ vn̄ antea mouebatur q2 per aliquod tempus per te cõtinuo illa poña ante-̄ attingat a. eſt in maiori reſiſtentia quã ſit a. ſeq̄n­do ipſum a. / igitur ſemper antea ꝙ̄ attīgat a. / ſequi-tur ipſum a. cum nõ ſit poſſibile cum caſu cõcluſio-nis  aliquando precedat et aliquãdo ſequatur a. punctum cum quo ſufficit mouere ita velociter ſicut punctus a. mouetur / vt patet intuenti: quia alias ſe­ queretur cum ipſa poña non ſaltet a puncto ī pun­ctum (vt ſemper ſuppono) /  aliquando fuit in pun­cto a: et ſi ſic ſequitur /  ſemper mãſit ī pūcto a. q per te ita velociter ſufficit mouere cum puncto a. ſi-cut punctus a. mouetur. Et ex conſequenti ſequitur /  ſemper ante̄ attingat a. eſt in maiori reſiſten-tia quã ſit a. / et ſic in inſtanti dato incipit illa poten­tia cum a. velocius moueri quã vn̄ antea moueba­tur / quod fuit probandum. Sed iam probo quartã partem minoris videlicet /  illa poña nõ poteſt ali­quando remittere motum ſuum, et immediate poſt hoc vniformiter moueri: quia ſi ſic detur inſtans in quo incipit vniformiter moueri ante quod inſtans immediate remittebat motum ſuum in quo inſtan-ti talis poña ſit in puncto a. a quo incipit vniformi­ter moueri per te: et ſequitur /  tunc incipit moueri cum a. tardius quã vn̄ antea mouebatur, quoniã ſemper antea preceſſit a. mouens cum remiſſiori re­ſiſtentia / vt patet ex probatione precedentis partis et incipit ita velociter moueri per te ſicut a. (cum ī a. incipiat vniformiter moueri) et ſic continuo eſſe ī eo­dem puncto a. ex prima concluſione / igitur ipſa po-tentia in inſtanti dato non eſt in puncto a. / quod eſt oppoſitum dati. Patet conſequētia / quia ipſa po-tentia et a. pūctus inceperūt in eodem inſtanti mo-ueri ex caſu cõcluſionis: ergo ſi vſ ad inſtans da-tum illa poña mouetur velocius cõtinuo quã a. pun­ctus ſequitur /  illa poña in inſtanti dato non eſt in puncto a. / quod eſt probandum. Et ſic patet quarta pars minoris et per conſequens concluſio.

1. correl.

¶ Ex quo ſequirur /  vbi progreditur latitudo reſi-ſtentie etc. / vt ponitur in cõcluſione: et potentia ſiue mobile incipit ab eodem puncto in eodem inſtan-ti moueri cum tali reſiſtentia: neceſſe eſt /  tale mo-bile continuo vniformiter moueatur vel  cõtinuo intendat motum ſuum: vel continuo remittat. Pa-tet hoc correlarium facile ex concluſione.

.2correl.

¶ Sequitur ſecundo /  vbi in medio nõ reſiſtente fit progreſſio latitudinis difformis cuius nulla pars eſt vniformis cuiuſ omnes partes immediate ſe-cundum extenſionem ſunt immediate ſecundum in-tenſionem: vtrim ad gradum terminate, quieſcē-te extremo intenſiori: et remiſſiori velocius cõtinuo mouente ꝙ̄ poña data ſufficit moueri cum illo, om­ni puncto eius intrinſeco vniformiter continuo mouente: talis poña incipiens ſimul moueri a pun­cto a quo incipit talis latitudo progredi non valet diuerſi mode moueri, puta aliquando intendendo aliquando remittendo, vel aliquando intendendo et aliquando vniformiter mouendo etc. Hoc correla­rium eadem qua concluſio demonſtratione oſten-ditur.

Tertia concluſio Ubi in medio nõ re-ſiſtente eſt progreſſio ſiue extēſio latitudinis reſiſtē­tie vniformiter difformis in vtro extremo ad gra­dum terminate, quolibet puncto intrinſeco conti-nuo mouente vniformiter, quieſcente extremo īten­ſiori: et remiſſiori velocius mouente quã mobile qḋ in tali reſiſtentia mouetur ſufficit moueri cum illo: tale mobile habens ꝓportionem maioris inequali­tatis ad extremum intenſius. incipiens ſimul ab eo­dem puncto moueri cum tali reſiſtentia cõtinuo vni­formiter mouetur. Probatur / et ſit talis poña b. / et arguo ſic / b. poña in caſu cõcluſionis vel cõtinuo in­tendit motum ſuum, vel continuo remittit motū ſu­um, vel cõtinuo vniformiter mouetur: vt patet ex ſe­unda concluſione et ſuo primo correlarioi: ſed b. po­tentia nõ cõtinuo intendit motum ſuum: nec ↄ̨tinuo remittit motum ſuum: igitur continuo vniformiter mouetur: quod fuit probandum. Conſequentia pa­tet cum maiore: et prima pars minoris probatur vi­delicet /  b. poña non cõtinuo intendit motum ſuuꝫ quia ſi ſic detur ꝓportio a qua incipit moueri cõti-nuo intendendo motum ſuum que ſit f. quam habet ad punctum a. illius reſiſtentie a quo īcipiendo mo­ueri continuo per te intendit motum ſuum: et ille pū­ctus a. moueatur cõtinuo a .g. proportione minore f. (vt oportet) Non enim incipit b. poña moueri a. ꝓ­portione quam habet ad extremuꝫ quieſcens: quia tunc per aliquod tempus infinita puncta precede-rent b. poñam quorum quodlibet cõtinuo a minori ꝓportione mouetur ꝙ̄ ſit proportio quam habet b. poña ad extremum quieſcens / vt patet ex caſu cõclu­ſionis: quandoquidem ab infinite modica ꝓportio­ne aliquod punctum illius reſiſtentie moueatur / qḋ tamen eſſe nequit: cum ab eodem puncto in eodē in­ſtãti incipiat quodlibet illorum pūctorum moueri cum illa poña b. Capio igitur / tunc c. punctum re-miſſius ipſo a. puncto quod moueatur ab h. ꝓpor-tione minore f. ꝓportione a qua mouet̄̄ poña b. ma­iore tamen ꝓportione g. a qua mouetur a. punctum / et arguo ſic / b. poña incipit intendere motum ſuum incipiendo moueri ab a. puncto ſucceſſiue verſus c. punctum et alia puncta remiſſiora: igitur per aliqḋ tempus c. pūctum precedit ipſam b. poñam: ſed con­ſequens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Cõ­ſequentia patet / et falſitas conſequentis arguitur: quia b. poña et c. punctum incipiunt in eodem inſtã-ti ab eodem puncto verſus eãdem differētiam mo-ueri etc. et ipſa poña b. continuo mouetur a maiori ꝓportione quam punctum c. / igitur cõtinuo ipſa b. poña precedit punctum c. / et per conſequens pūctum c. nū̄ precedit eam / quod eſt oppoſitum conſequē-tis: Et ſic patet prima pars minoris. Sed ſecunda ꝓbatur videlicet /  b. poña nõ cõtinuo remittit mo-tum ſuum: quia ſi ſic detur proportio a qua incipit moueri continuo remittendo motum ſuum que ſit f. quam habet ad punctum a. illius reſiſtentie a quo ī­cipiendo moueri continuo per te remittit motum ſu­um: et illud punctum a. moueatur continuo a g. pro­portione maiore f. / vt oportet (Non enim incipit b. potentia moueri a proportione quam habet ad ex­tremum quieſcens / vt ſupra argutum eſt) Capio igi­tur / tunc c. punctuꝫ ītenſius ipſo a. puncto quod mo­ueatur ab h. proportione maiore f. a qua mouetur poña b. minore tamen ꝓportione g. a qua mouetur a. punctuꝫ: et arguo ſic / b. poña incipit remittere mo­tum ſuum incipiendo moueri ab a. puncto ſucceſſi-ue c. puncto et aliis punctis intenſioribus mouenti-bus verſus poñam et eam ſequentibus: igitur ꝑ ali-quod tempus b. poña precedit c. punctum. ſed conſe­quens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Cõſe-quentia eſt nota, et falſitas conſequentis arguitur / quia b. poña et c. punctum incipiunt in eodem inſtã-ti ab eodem puncto etc. et ipſa poña b. cõtinuo moue­tur a minori ꝓportione ꝙ̄ punctum c. / igitur cõtinuo c. punctum precedit b. poñam: et ꝑ conſequens b. po­tentia nun̄ precedit c. punctum / quod eſt oppoſitū conſequentis. Et ſic patet ſecunda pars minoris et ex hoc tota concluſio. ¶ Ex quo ſequitur /  vbi ī me­dio non reſiſtente eſt progreſſio ſiue extenſio latitu­dis reſiſtentie difformis cuius nulla pars eſt vnifor­mis: cuiuſ omnes partes īmediate ſecundum extē­ſionem ſunt immediate ſecundum intenſionem vtrū­ ad gradum terminate: quolibet puncto eius ītrī­ſeco mouente cõtinuo vniformiter quieſcente extre-mo intenſiori: et remiſſiori velocius continuo mouē­ te quã mobile quod in tali reſiſtentia mouetur ſuf-ficit moueri cū illo: tale mobile habens ꝓportionē maioris inequalitatis ad extremū intenſius inci-piens ſimul ab eodem puncto progredi ſiue moue-ri cum tali reſiſtentia, vniformiter continuo moue-tur. Patet cdrrelariū ex ꝓbatione concluſionis.

correla.

Quarta concluſio. Ubi in medio non reſiſtentie eſt ꝓgreſſio ſiue extenſio latitudinis vni-formiter difformis vtrim ad gradū terminate, quolibet puncto eius intrinſeco continuo intendē-te motum ſuū, quieſcente extremo intenſiori: et re-miſſiori velocius continuo mouente quam mobile quod in tali reſiſtentia mouetur ſufficit moueri cū illa: tale mobile habens ꝓportionē maioris īequa­litatis ad extremū intenſius incipiens ſimul ab eo­dem puncto progredi ſiue moueri cum tali reſiſten­tia continuo remittit motum ſuū. Probatur et ſit illi b. potentia: et arguo ſtc / b. potentia nun̄ vnifor­miter mouetur, cū caſu concluſionis / vt patet er ſe-cundo correlario prime concluſionis: nec continuo intendit motum ſuum: nec aliquando remittit et im­wediate poſtea intendit, aut econtra: igitur b. po-tentia continuo remittit motum ſuum. Conſequen­tia patet cnm maiore, et probatur prima pars mi-noris, quia ſi ſic detur proportio a qua incipit mo-ueri b. potentia continuo intendendo motum ſuum que ſit f. quã habet ad punctum a. illius reſiſtentie a quo incipiendo moueri continuo per te intendit motum ſuū: et illud punctū a. incipiat moueri a pro­portione g. minori ꝓportione f. (vt oportet per te) Non e incipit aliquod punctū illius reſiſtētie a nõ gradu moueri, cum extremū remiſſius continuo ve­locius mouetur quaꝫ potentia ſufficit mouere cum illo ex caſu cõcluſionis: quia alias potentia ſubito abſolueret totum illud mediū nõ reſiſtēs, cū ſubito eſſet extra reſiſtentiam. Capio igitur / tunc c. punctū remiſſius ipſo a. quod incipit moueri ab h. ꝓpor-tione minore f. ꝓportione a qua incipit mouere b. potentia, maiore tamen ꝓportiõe g. a qua incipit moueri a. punctū: et arguo ſic / b. potentia incipit in­tendere motum ſuū incipiendo moueri ab a. pūcto verſus c. punctū et alia puncta intenſiora: igitur ꝑ aliquod tempus per qḋ c. punctū mouetur a ꝓpor-tione minori f.c punctum ꝓcedit b. potentiam: ſed conſequens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Conſequentia eſt nota, et falſitas conſequentis ar-guitur / quia b. potentia et c. punctū incipiūt in eodē inſtanti ab eodem pūcto moueri verſus eandē dif-ferentiã etc̈. et ipſa b. potentia per illud tempus per quod c. punctū mouetur continuo a minori ꝓpor-tione quã ſit f. mouetur cõtinuo a maiori ꝓportiõe quã c. punctū cum a maiori f. / igitur per illud tēpus per quod c. punctum mouetur a proportione mi-nori f.b. potentia precedit punctum c. / et per conſe-quens per nullum tale tempus per quod c. punctuꝫ mouetur a proportione minori f.c. punctum prece-dit b. potentiam / quod eſt oppoſitum conſequentis Et ſic patet prima pars minoris. Sed iam proba-tur ſecunda videlicet /  b. potentia non aliquando remittit motum ſuum, et immediate poſtea intēdit, quia ſi ſic det̄̄ inſtans in quo incipit intendere an-te quod inſtans immediate remittebat motum ſu-um in quo inſtanti b. potentia ſit in puncto a. a quo incipit intendere motum ſuum per te continuo cum remiſſiori puncto mouendo quam ſit a. Capio igi-tur vnam partem illius reſiſtentie terminatam ad punctum a. per quam b. potentia mouēdo cõtinuo remittebat motum ſuum, et manifeſtum eſt /  ipſa potentia b. ſic continuo remittēs motum ſuum per illam partē mouēdo tardius mouetur cum quoli-bet puucto illius partis quam ille punctus moue-tur. Alias enim non cõtinuo b. potentia remitteret motum ſuū illam partē tranſeundo. Et ex alia par­te ipſa potentia b. per te continuo intendit motum ſuū per illam reſiſtentiã vel aliquã eius partē mo-uendo: igitur tunc ipſa potentia b. nõ continuo per illam partē velocius mouetur cum quolibet puncto illius partis ꝙ̄ ille punctus mouetur / qḋ eſt falſum: q2 antea quilibet pūctus illius partis velocius mo­uebatur ꝙ̄ potentia ſufficit moueri cum illo: igitur etiã modo (cū quilibet pūctus cõtinuo intēdat mo-tum ſuū). Et ſic ptꝫ ſecūda pars minoris. Sed iam ꝓbo tertiã partc̈ vcꝫ  b. potētia nõ aliquãdo intē-dit motum ſuū, et īmediate poſtea remittit, q2 ſi ſic detur inſtans in quo incipit remittere poſt̄ inten-debat: et arguo ſic, quia tūc vel b ↄ̨tinuo antea intē­debat, vel aliquãdo remittebat et īmediate poſtea intendebat: nõ primū (vt ptꝫ) ex prima parte mino-ris: nec ſcḋm (vt ptꝫ) ex ſecūda: igitur b. potentia nõ aliquãdo intendit motū ſuū, et īmediate poſtea re-mittit / quod fuit ꝓbandū. Et ſic ptꝫ tertia pars mi­noris: et ex tota cõcluſio. ¶ Ex quo ſequitur /  ſi illa reſiſtentia ꝑpetuo ſic ꝓgrederetur vt dicitur in con­cluſione, et potentia duraret ꝑpetuo, et nõ depone-retur violēter ab illa reſiſtentia: ipſa potentia per­petuo ibi remitteret motū ſuū et data certa ꝓpor-tione ipſa continuo moueretur a maiori illa. Pro­batur prima pars correlarii / q2 talis potētia nū̄ deueniet ad punctū velociſſime motū (cū tale pun-ctū cõtinuo moueatur velocius ꝙ̄ ipſa potētia) q tale incipipit moueri a maiori ꝓportione ꝙ̄ poten­tia ex caſu cõcluſionis: et continuo intēdit motū ſuū potētia ſuū motū continuo remittente: nec etiã vn̄ talis potentia ꝑueniet ad extremū quieſcēs: cū con­tinuo magis recedat ab eo mouēdo a maiori ꝓpor­tione cõtinuo ꝙ̄ ſit ꝓportio quã habet ad extremū) / igr̄ talis potentia cõtinuo erit in pūcta intrinſeca illiꝰ reſiſtētie cõtinuo remittens motū ſuū ex cõclu-ſione. Et ex hoc ptꝫ ſecūda pars: nã illa potētia cõ-tinuo mouetur a maiori ꝓportione ꝙ̄ ſit ꝓportio quã habet eadē potentia ad extremū quiſcens (cum ipſa potentia ſit continuo in puncto intrinſeco re-miſſiori puncto intenſiori illius reſiſtentie quieſcē-te: igitur data certa ꝓportione talis potentia mo­uetur a maiori illa / quod fuit probandum.

1. correĺ.
2. correĺ.

¶ Nec hoc pretereas  idem dici queat de reſiſten-tia difformi cuius nulla pars eſt vniformis, cuiuſ omnes partes immediate ſecundum extenſionem ſunt immediate ſecundum intenſionem vtrin ad gradum terminata quod de reſiſtentia vniformiter difformi in vtro extremo terminata ad gradum / in hac concluſione et ſuo correlario dictum eſt.

Quinta concluſio. Ubi in medio non reſiſtente eſt progreſſio ſiue extenſio latitudinis re­ſiſtentie vniformiter difformis in vtro extremo ad gradum terminate, quolibet eius puncto intrin­ſeco continuo remittente motum ſuum, et extremo intenſiori quieſcente, remiſſiori vero velocius in-cipiente moueri quam mobile quod in tali reſiſten­tia mouetur ſufficit moueri cū illo: tale mobile ha-bens proportionem maioris inequalitatis ad ex-tremum intenſius incipiens ſimul ab eodem pun-cto progredi ſiue moueri cum tali reſiſtentia con-tinuo intendit motum ſuum.

Probatur / et ſit illa b. potentia: et arguo ſic / b. potē­tia nun̄ vniformiter mouetur / vt ptꝫ ex ſecūdo cor­relario prime concluſionis: nec continuo remittit motū ſuū: nec aliquãdo intendit et īmediate poſtea remittit: aut econtra: igitur b. potentia cõtinuo in-tendit motū ſuū / quod ruit ꝓbandū. Cõſequētia ptꝫ cū maiore, et ꝓbatur prima pars minoris / q2 ſi ſic detur ꝓportio a qua incipit moueri b. potentia cõ-tinuo remittendo motum ſuū que ſit f. quã habeat ad a. punctū illius reſiſtentie a quo incipiendo moue-ri continuo per te remittit motū ſuū et illud punctū a. incipiat moueri a ꝓportione g. maiore f. / vt opor­tet (Alias e b. potentia nõ remitteret motum ſuū) / et capio / tunc c. punctū intenſius a. puncto / quod inci-pit moueri ab h. ꝓportione maiore f. / a qua incipit moueri b. potentia minori tamen g. proportione a qua incipit moueri a. punctū: et arguo ſic / b. poten-tia incipit remittere motum ſuū incipiendo moue-ri ab a. puncto ſucceſſiue: a. puncto et aliis punctis intenſioribus verſus potentiã mouentibus et ſequē­tibus eam: igitur per aliquod tempus b. potentia precedit c. punctū: ſed cõſequens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Cõſequentia eſt nota, et falſi-tas conſequentis arguitur, q2 b. potentia et c. pun-ctum incipiunt in eodē inſtanti moueri ab eodē pū-cto etc̈. et ipſa b. potentia continuo mouetur a mino­ri ꝓportione quã punctū c: quia a minori f. cõtinuo cū remittat continuo motum ſuū per te: igitur per illud tempus continuo c. punctū precedit b. poten-tiam, et per cõſequens b. potentia nõ ꝑ illud tēpus precedit c. punctū / quod eſt oppoſitū conſequentis. Et ſic patet prima pars minoris. Sed ſecūda ꝓba­tur videlicet /  b. potentia nõ aliquãdo intendit, et īmediate poſtea remittit, quia ſi ſic detur inſtans / in quo incipit remittere ante quod īmediate inten-debat motum ſuū in quo inſtanti b. potentia ſit in puncto a. / a quo incipit remittere motum ſuū per te continuo cū intenſiori puncto mouendo quã ſit a. Capio igitur / vnã partem illiꝰ reſiſteutie termina-tam ad a. punctū per quã b. potentia mouendo con­tinuo intendebat motum ſuū, et manifeſtū eſt /  ip-ſa potentia b. ſic continuo intendens motum ſuum per illam partem mouendo velocius mouetur cum quolibet puncto illius partis ꝙ̄ ille punctus moue­tur. Alias e non continuo b. potentia intenderet motum ſuū illam partē tranſeundo. Et ex alia par­te ipſa potentia b. per te continuo remittit motum ſuū per illam reſiſtentiã vel aliquã eius partē mo-uendo: igitur tunc ipſa potentia b. nõ continuo per illam partē mouendo tardius mouetur cum quoli­bet puncto illius partis quã ille punctus mouetur: ſed cõſequens eſt falſum. q2 antea quilibet punctus illius partis tardius mouebatur quã potentia b. ſufficit moueri cū illo: igitur etiam modo cū conti-nuo quilibet punctus motum ſuum remittat. Et ſic ptꝫ ſecunda pars minoris. Sed iam tertia ꝓbatur videlicet /  b. potentia nõ aliquãdo remittit motū ſuū, et immediate poſtea intendit, quia ſi ſic detur inſtans in quo incipit intendere poſt̄ remittebat / et arguo ſic, quia tunc vel b. potentia continuo an-tea remittebat, vel aliquando intendebat et īmedia­te remittebat (cum nun̄ poſſit vniformiter moueri ex ſecundo correlario prime concluſionis) non pri-mū / vt ptꝫ ex prima parte minoris nec ſecundum / vt patet ex ſecunda: igitur b. potentia nõ aliquãdo re­mittit motum ſuum, et immediate poſtea intendit / quod fuit probandum. Et ſic patet tertia pars mi-noris et ex hoc tota concluſio. ¶ Ex quo ſequitur primo /  vbi in medio non reſiſtente eſt progreſſio ſiue extenſio latitudinis reſiſtentie vniformiter dif­formis in vtro extremo ad gradum terminate, quolibet eius puncto intrinſeco continuo remitten­te motum ſuum, quieſcente extremo intenſiori: et re­miſſiori velocius incipiente moueri quã mobile qḋ in tali reſiſtentia mouetur ſufficit mouere cum illo et extremo remiſſiori remittente motum ſnū ad non gradum vel vſ ad motum prouenientē a propor-tione a qua incipit tale mobile moueri continuo in­tendēs motū ſuū īcluſiue, vel ad minorē: tandē mo-bile illud ad eodem puncto cum tali reſiſtentia in-cipiens progredi deueniet ad extremum remiſſiſſi-mum eiuſdeꝫ latitudinis: dummodo ipſum mobile continuo / quo ad vſ reſiſtentiã inuenerit moueat̄̄. Probatur correlarium / quoniam ſi extremum re-miſſius illius reſiſtentie remittat motum ſuum ad non gradum, vel ad motum illum a quo incipit b. potentia in caſu concluſionis moueri intendendo motum ſuum, vel ad minorē ſequitur / cum b. poten-tia a motu a quo incipit moueri continuo intendit motum ſuum  cum extremum remiſſius illius re-ſiſtentie remiſerit ſuum motum ad motum a quo b. potentia incipit moueri, vel ad minorem, b. poten-tia in certa proportione continuo velocius moue-tur ꝙ̄ extremum remiſſius illius reſiſtentie cõtinuo illud extremum inſequendo, et per conſequens tan-dem in tempore finito illud extremū attinget / quod fuit probandum. Patet igitur correlarium.

1. correĺ.
2. correĺ.

¶ Sequitur ſecundo /  illud idem dici poteſt de re-ſiſtentia difformi cuius nulla pars eſt vniformis, cuiuſ omnes partes īmediate ſecundum extenſio­nem ſunt immediate ſeundum intenſionem, vtrin ad gradum terminata / quod de reſiſtentia vnifor-miter difformi etc̈. dictum eſt in hac concluſione et ſuo correlario. Hoc patet ex probatione cõcluſiõis et ſui correlarii. ¶ Ex his omnibus concluſionibus ſequitur tertio /  quãuis ita ſit vt in concluſiõibus ponitur quando ſimul ab eodem puncto in eodem inſtanti per eandem lineam potentia et talis latitu­do reſiſtentie incipiūt progredi ſiue moueri verſus idem punctum: nõ tamen quando potentia incipe-ret moueri quãdo illa latitudo iam mouetur. Tunc enim in caſu quarte concluſionis poſſet ipſa poten­tia intendere motum ſuum, et in caſu quinte conclu­ſionis remittere. Patet hoc facile / quoniam poſſet pro aliquo inſtanti poni violenter in aliquo pūcto quod velocius mouetur quã potentia ſufficiat mo-ueri cum illo, vel in puncto quod tardius mouetur quam potentia ſufficit adequate mouere cum illo et ſic indifferenter intendet motum ſuū vel remittet

3. correĺ.
Quartumdecimum capitulum: in quo ponuntur concluſiones de velo-citate motus in medio non reſiſtente, in quo eſt progreſſio ſiue extenſio la-titudinis reſiſtentie nõ gradu aut ex­tremo remiſſiori quieſcente inſequē-do ordinem et modum calculatoris.

Expeditis concluſionibus de ve-locitate motus in medio non reſiſtente in quo eſt progreſſio latitudinis reſiſtentie vniformiter difformis quieſcente extremo intenſio­ri. Iam reſtat inducere concluſiones de eadem ma­teria quieſcente non gradu aut extremo remiſſiori Quibus inducendis aliquas ſolito more ſuppoſi-tionis premittam.

Prima ſuppoſitio. Latitudine reſiſtē­tie vniformiter difformis ad nõ gradū terminate, cõtinuo mouēte ſiue ꝓgrediente ꝑ mediū nõ reſiſtēs ipſa cõtinuo vniformiter difformi manēte et nõ gra­du eius cõtinuo quieſcēte: quodlibet eiꝰ punctū in-trinſecū in ea ꝓportione cõtinuo quolibet altero re­miſſiori velocius mouetur in qua eſt ipſo intenſius Probat̄̄: ſit a. latitudo reſiſtentie vniformiter dif-formis ad nõ gradū terminate, q̄ cõtinuo vniformi­ter difformis manēs ꝓgrediat̄̄ ſucceſſiue ꝑ mediuꝫ nõ reſiſtēns nõ gradu eiꝰ quieſcēte eo modo quo ſu-periꝰ declaratū eſt in tertia et quarta ſuppoſitioni­bus cedentis capitis: ſit b. punctꝰ intrinſecꝰ intē­ſior c. vero etiã intrinſecꝰ et remiſſior inter q̄ puncta ſit proportio f. Tūc dico /  b. pūctus continuo in f. ꝓportione velocius mouet̄̄ ipſo c. pūcto. Quod ſic oſtendēt̄̄: q2 intēſionis ipſiꝰ b. pūcti ad intēſioni c. puncti cõtinuo eſt proportio f. ex hypotheſi: et con-tinuo a. latitudo reſiſtentie manet vniformiter dif-formis ad nõ gradū terminata: igitur cõtinuo di-ſtantie quãtitate ipſius b. a nõ gradu ad diſtantiã ipſius c. a non gradu eſt proportio f. Patet conſe-quentia ex diffinitione qualitatis vniformiter dif-formis quarto tractatu: et continuo diſtantia ipſiꝰ b. a nõ gradu et diſtantia ipſius c. a nõ gradu maio­rantur per cõtinuū motū ipſius b. et ipſius c. / igitur cõtinuo diſtantie acquiſite per motum ipſius b. ad diſtantiã acquiſitã per motū ipſius c. eſt proportio f. Patet cõſequentia ex primo et ſecūdo correlario quīte cõcluſionis ſecūdi capitis ſecūde partis: et ꝑ cõſequens cõtinuo b. punctus in f. proportione ve-locius mouetur c. puncto / quod fuit probandum. Et ſic patet ſuppoſitio.

Secūda ſuppoſitio. Latitudine reſi-ſtentie vniformiter difformis vtrī ad gradū ter-minate, cõtinuo mouēte ſiue ꝓgrediente pēr mediū nõ reſiſtens, ipſa cõtinuo manente vniformiter dif-formi et extremo eius remiſſiori quieſcente: quodli-bet punctū eius intrinſecū in maiori ꝓportione cõ­tinuo quolibet altero intrinſeco remiſſiori velociꝰ mouetur quã ſit proportio in qua eſt ipſo intenſius Probatur: ſit a latitudo reſiſtētie vniformiter dif-formis vtrin ad gradum terminate que cõtinuo manens vniformiter difformis ꝓgrediatur ſucceſſi­ue per medium nõ reſiſtens extremo remiſſiori eius quieſcente / vt ſepe ſupra dictū eſt. ſit b. punctus ex­trinſecus intenſior .c. vero etiã intrinſecus et remiſ­ſior, inter que puncta ſit ꝓportio f. Tunc dico /  b. punctus ↄ̨tinuo in maiore ꝓportione quã f. velociꝰ continuo mouet̄̄ c. pūcto. Qḋ ſic oñdit̄̄ / et capio / d. la­titudinē reſiſtentie vniformiter difformis cõtinuo eiuſdē extenſionis oīno cū a. incipientē in extremo intenſiori ab eadē gradu cū a. terminatã tamen ad nõ gradū: et ſit h. punctus qui tantū diſtat continuo ab extremo remiſſiori d. latitudinis adequate quã­tum b. diſtat ab extremo remiſſiori ipſius a. latitu-dinis: et ſit k. pūctus remiſſior h (vt oportet) / qui cõ­tinuo tantū diſtat adequate ab extremo remiſſiori d. latitudinis quãtū c. diſtat ab extremo remiſſiori ipſius a. Et ſit l. ꝓportio h. puncti ad ipſum k. Et ar­guo ſic / cõtinuo h. punctus in l. ꝓportione mouetur velocius k. puncto / vt ptꝫ ex precedenti ſuppoſitiõe. Et cõtinuo in eadē l. ꝓportione b. punctus mouetur velocius ipſo c. puncto (vt patꝫ intuenti caſum). Et intenſionis ipſius h. puncti ad intenſionem ipſius k. puncti eſt maior ꝓportio quã intenſionis ipſius b. ad intenſionem ipſius c. puncti que eſt f. ex hypo- theſi: ergo k. ꝓportio eſt maior quã f. ꝓportio et k. eſt ꝓportio a qua velocius mouetur b. quã c. et f. eſt ꝓportio intenſionis ipſius b. puncti ad ipſum c. po­tentiarū: ergo b. punctus cõtinuo in maiori ꝓpor-tione quam f. velocius mouetur c. puncto: quod fuit ꝓbandū. Cõſequentia ptꝫ cū maiore cū prima par­te minoris. Et ſecūda pars minoris ꝓbatur videli­cet / ꝙ̄ intenſionis ipſius h. puncti ad intenſionē etc̈. quia b. et c. ſunt pūcta intenſiora quã h. et k. / vt ↄ̨ſtat / et b. minori exceſſu excedit c. quã h. ipſum k. (cum to­tus exceſſus inter extrema d. latitudinis ſit maior toto exceſſu inter extēa ipſiꝰ a. latitudīs: et ſic inter extrema partiū equaliū ipſius d. eſt maior exceſſus quã inter cõſimiles partes ipſius a) / ergo intenſio-nis ipſius h. puncti ad intenſionē ipſius k. pūcti eſt maior ꝓportio quã intenſionis ipſius b. puncti ad intenſionē ipſius c. puncti que eſt f. / quod fuit infe-rendum. Et ſic patet ſuppoſitio.

Tertia ſuppoſitio. Quandocun ali­que potentie que continuo inequaliter mouetur in­cipiūt in eodem inſtanti moueri / vt attingant eque cito / et in eodem inſtanti duo mobilia precedētia ta­les potentias que mobilia etiam continuo mouen-tur recedendo ab ipſis potentiis: et in principio motus diſtat potentia velocius mota a mobili / qḋ ipſa inſequitur pluſ̄ reliqua tardius mota a ſuo in ea ꝓportione qua velocius continuo mouetur: oportet ſi eque cito debeat vtra potentia ſuū mo­bile attingere:  in ꝓportione in qua potentia ve-locior velociꝰ mouetur potentia tardiore in ea pro­portione mobile quod debet attingi a potētia tar-diore tardius moueatur quam mobile quod debet attigi a potentia velociore. Uolo dicere:  ſi ſortes et plato incipiant in eodem inſtanti moueri perſe-quendo ſuos equos fugientes: et ↄ̨tinuo ſortes mo­ueatur in duplo velocius platone: et in inſtanti ini-tiatiuo motus equus ſortis in duplo plus diſtet a ſorte quã equꝰ platonis a platone: oportet /  equꝰ platonis (cū plato tardiꝰ moueatur) in duplo tar-dius moueatur ꝙ̄ equus ſortis: ſi vter ſuū equum eque cito debeat attingere. Probatur / ſit a. poten-tia velocius continuo mota inſequens c. mobile cõ-tinuo ab ea recedens: et b. potentia continuo tardiꝰ mota inſequens d. mobile continuo ab ea recedens diſtet in principio motus a. potētia plus in f. pro­portiõe a c. quã b. ab ipſo d. et in eadem f. ꝓportiõe a. potētia continuo velocius moueatur ipſa b. po-tentia: et ſic moueantur continuo vt tandē in eodem inſtanti quod ſit e. attingant ſua mobilia preceden­tia. Tunc dico /  oportet d. in f. ꝓportione cõtinuo tardiꝰ moueri ipſo c. Quod ſic oſtendit̄̄ / q2 cõtinuo a. mouetur in f. ꝓportione velociꝰ ipſa b. potentia inſequendo mobilia precedentia vſ ad inſtans e. ex hypotheſi: igitur ſpacii pertranſiti ab a. poten-tia vſ ad inſtans e. ad ſpaciū pertranſitū a b. po-tentia vſ ad idem e. inſtans eſt ꝓportio f. / ptꝫ con-ſequētia ex ſe: et vltra ſpacii ꝑtrãſiti ab a. potentia vſ ad inſtãs e. ad ſpaciū ꝑtrãſitū a b. potētia vſ ad idē inſtãs eſt f. ꝓportio: igr̄ demēdo ab illis ſpa­ciis partes ſe ſi abētes in f. ꝓportione, puta ſpaciū ꝑ qḋ a principio motꝰ a. diſtat a c. et ſpaciū ꝑ qḋ a principio motus b. poña diſtat a d. q̄ ex hypotheſi ſe hñt in f. ꝓportiõe reſidua ſpacia ſe hñt in f. ꝓpor­tione: ptꝫ conſequentia ex ſeptimo correlario quar­te concluſionis oceaui capitis ſecunde partis.

Sed reſidua ſpacia puta reſiduum ſpacii maioris pertranſiti ab a. et reſiduū ſpacii minoris pertran­ſiti a b. potentia ſunt ſpacia pertranſita a c. mobi­ li et a d. mobili: igitur ſpacii pertranſiti a c. mobili ad ſpacium pertrãſitū a d. mobili eſt f. ꝓportio: et per conſequens d. mouetur tardiꝰ c. in f. ꝓportione / qḋ fuit ꝓbandū: ptꝫ ergo ſuppoſito. ¶ Ex hac ſup-poſitiõe ſequitur /  ſi mobile quod debet attingi a potentia tardius mota moueatur in maiori ꝓpor-tione tardius alio ꝙ̄ ſit proportio diſtantiaꝝ: tunc citius attingetur a ſua potētia. Et ſi velociꝰ tardiꝰ attingetur: patet facile.

1. correĺ.

Quarta ſuppoſitio / latitudine reſiſtē-tie vniformiter difformis mouente modo dicto per mediū nõ reſiſtens: potentia que cū tali reſiſtentia mouetur nun̄ preterit partē vel punctū illius re-ſiſtentie qui velocius mouetur quã potentia ſufficit moueri cum illo. Nec vn̄ punctus qui tardius mo­uetur quã potentia ſufficit moueri cū illo preterit potentiã. Nec etiã punctus qui ita velociter mouet̄̄ ſicut potentia ſufficit moueri cū illo preterit poten­tiã aut preteritur ab ea. Patet hec ſuppoſitio faci­le intelligenti modum ſe habendi illius latitudinis ſic progredientis in illo medio non reſiſtente.

His ſuppoſitis. Sit prima concluſio Progrediente in medio nõ reſiſtente latitudine re­ſiſtentie vniformiter difformis a nõ gradu vſ ad certū gradū: quieſcente nõ gradu: et quolibet pun-cto eius continuo vniformiter moto: potentia in-cipiens ſimul moueri cū tali reſiſtētia continuo vni­formiter mouebitur: dūmodo extremū intenſiꝰ ta-lis reſiſtentie velocius cõtinuo moueatur quã talis potentia ſufficit mouere cum illo aut equaliter. Et intelligo in oībus cõcluſionibus  ipſa latitudo cõ­tinuo maneat vniformiter difformis. Probatur hec cõcluſio. Et ſit illa potentia in caſu cõcluſionis b. Et arguo ſic / b. potentia nun̄ intendit: nec vn̄ remittit motū ſuū cõtinuo mouendo cū tali reſiſtē-tia in caſu dicto: et mouebitur cum tali reſiſtētia in caſu cõcluſionis / igitur b. continuo vniformiter mo­uebitur / quod fuit ꝓbandū. Patet cõſequētia ex ſe Et probatur maior / q2 ſi per aliquod tēpus b. potē­tia intēdit motū ſuū ſignetur pūctus / in q̊ eſt in in-ſtanti medio talis tēporis qui ſit a. / et arguo ſic / vel ipſe punctus a. mouetur ita velociter ſicut potentia ſufficit mouere cū illo: vel velociꝰ vel tardiꝰ. Si ita velociter iam ſequitur /  nõ intēdit motum ſuū per illud tēpus: ſed vniformiter poſt illud inſtans con-tinuo mouebitur (cū ſemꝑ erit ī illo pūcto / vt ptꝫ ex quarta ſuppoſitione huiꝰ). Et ſi tardius ſequitur /  iã potentia remittit motū ſuū: q2 mouebitur ver-ſus puncta intēſiora. Si vero velocius ipſe punctꝰ a. moueatur quã ipſa potentia b. / ſequit̄̄ (cū ſemper a. moueat̄̄ vniformiter) /  potētia b. nun̄ teriuit a. punctū. Ptꝫ cõſequētia eſt quarta ſuppoſitione: et vltra b. potentia nū̄ preteriuit a. punctū et īme-diate ante inſtans in quo eſt in illo pūcto a. cede-bat illud: igr̄ ſemꝑ ante illud inſtans ceſſit illud: et per cõſequens ſemꝑ ante illud inſtans mouebat̄̄ cū maiori reſiſtētia quã modo et tardius, et modo mo-uetur a. punctus velocius quam b. potentia / ergo ſemꝑ ante illud inſtans a. pūctus mouebat̄̄ velociꝰ quã b. potētia, et inceperūt b. potētia et a. punctꝰ in eodē inſtãti et ab eodē pūcto ſus eandē differentiã moueri. ergo modo a. cedit b. et ꝑ ↄ̨ñs nõ ſūt ſimĺ / qḋ eſt oppoſitū dati. Sed iam ꝓbat̄̄ minor vcꝫ /  per nullū tēpus remittit motum ſuū ſtante caſu:  ſi ſic detur punctꝰ in quo talis poña eſt in īſtanti medio talis tꝑis qui ſit a. Et arguo ſic / ipſa poña b. remit­tit motū ſuū ꝑ te: ergo ipſa modo continuo ꝓcedit ſus pūcta intēſiora veniēdo ad a. punctū quomo­ do velociꝰ mouet̄̄ ꝑ te: ergo ſemꝑ ãtea poña b. ſeque­batur a. punctū mouēs cõtiuuo cū minori reſiſtētia quã modo: ptꝫ ↄ̨ña / q2 nõ poteſt cū caſu priꝰ cedere et poſtea ſequi (vt facile deducit̄̄ ex quarta ſuppoſi-tioue) / et ex cõſequēti ſequit̄̄ /  cõtinuo antea moue-bat̄̄ velociꝰ quã modo cū a. pūcto, et modo etiã velo­cius quã a. punctꝰ motꝰ cõtinuo vniformiter: ergo ſemꝑ ceſſit b. poña a. punctū, et modo etiã cedit: et ꝑ ↄ̨ñs ſunt ſimĺ et ꝑ te ſunt ſimĺ / ergo cõtradictio / et ſic ptꝫ totū antecedens: et per cõſequēs concluſio.

Secunda concluſio / latitudine vni-formiter difformi ſic ꝓgrediente (vt dictū eſt) ꝑ me-diū nõ reſiſtens quolibet puncto intrīſeco cõtinuo intēdente motū ſuū: quieſcēte nõ gradu vĺ extremo remiſſiori, extremo intēſiori velociꝰ cõtinuo mouē­te quã poña q̄ mouet̄̄ cū tali reſiſtētia ſufficiat mo-ueri cū illo: talis poña incipiens moueri ab eodem pūcto, et in eodē inſtãti cū tali reſiſtētia cõtinuo in-tēdit motū ſuū quãdiu cū tali reſiſtētia mouet̄̄ ſtan-te caſu. Probat̄̄ / q2 talis poña ꝑ nullū tēpus moue­tur vniformiter: nec ꝑ aliqḋ tēpus remittit motum ſuū cū tali reſiſtētia ſtante caſu: et mouet̄̄ (vt pono) / igr̄ cõtinuo intēdit motū ſuū: ↄ̨ña eſt nota / et maior ptꝫ manifeſte ex ſcḋo correlario prime cõcluſionis cedentis capitis. Sed minor ꝓbat̄̄ videlicet /  per nullū tēpus remittit motū ſuū ſtante caſu: q2 ſi ſic detur aliqḋ tēpus per qḋ cõtinuo remittit motum ſuū, et ſigno punctū in quo poña eſt in īſtãti medio illiꝰ tēporis: et ſit a. Et arguit̄̄ ſic / in illo inſtãti po-tētia eſt in a. pūcto: et remittit motū ſuū ꝑ te / igr̄ ve­locius mouet̄̄ ipſo a. ꝓcedēdo cõtinuo ſus pūcta intēſiora. Et vltra velociꝰ mouet̄̄ ipſo a. pūcto ꝓce­dendo ↄ̨tinuo ſus pūcta intēſiora: et ipſe a. pūctꝰ ſemꝑ ãte tardiꝰ mouebat̄̄ quã modo: cū cõtinuo ex caſu intēdat motū ſuū: et poña ſemꝑ antea velociꝰ mouebat̄̄ ꝙ̄ modo cū ↄ̨tinuo ãtea eſſet in remiſſiori reſiſtētia ſiue pūcto quã eſt a. ī quomodo eſt (nõ e priꝰ ceſſit ipſa poña a. punctū, et deinde ipſe a. pū­ctus teriuit ipſã potētiã / vt ptꝫ ex q̈rta ſuppoſiti-one) / igr̄ ſemꝑ ãtea velociꝰ mouebat̄̄ poña ꝙ̄ a. pū-ctꝰ: et ꝑ ↄ̨ñs modo cedit ipſa ponã a. pūctū cū īci-piūt ab eodē pūcto in eodē inſtãti moueri et ſic non eſt modo in ipſo a. pūcto: et nūc eſt in illo ꝑ te: igit̄̄ ↄ̨tradictio: et ſic ptꝫ /  nõ eſt dicendū illã potentiaꝫ per aliquod tempus remittere motum ſuum: quod fuit probandum. Patet ergo concluſio.

Tertia concluſio. Progrediēte latitu­dine vniformiter difformis reſiſtētie etc̈. / vt dictū eſt quieſcēte nõ g̈du, aut extremo remiſſiori, quolibet pūcto ītrīſeco ↄ̨tinuo remittēte motū ſuū, intēſiori extremo īcipiēte velociꝰ moueri ꝙ̄ poña q̄ mouet̄̄ cū tali reſiſtentia ſufficiat moueri ad illo: talis poña īcipiēs moueri cū tali reſiſtētia in eodē inſtanti ab eodē pūcto ↄ̨tinuo ̄diu ſic mouet̄̄ cū tali reſiſtētia ſtãte caſu remittit motū ſuū. Probat̄̄: q talis po­tētia mouet̄̄ cū tali reſiſtētia / vt ptꝫ. Et ꝑ nullū tēpꝰ vniformiṫ mouet̄̄ ſtate caſu (vt ptꝫ ex ſcḋo correla-rio ṗme ↄ̨cluſiõis cedētis capitis. Nec ꝑ aliqḋ tē-pus intēdit motū ſuū mouēdo cū tali reſiſtētia: igr̄ ↄ̨tinuo remittit motū ſuū mouēdo cū tali reſiſtētia ſtãte caſu / qḋ fuit ꝓbandū Ptꝫ ↄ̨ña, et ꝓbat̄̄ ſcḋa ꝑs maioris vcꝫ /  ꝑ nullū tēpꝰ intendit motū ſuū: q2 ſi ſic detur punctꝰ in quo potētia eſt in inſtãti medio talis temporis, et ſit a. Et arguitur ſic / per illud tem­pus potentia intendit motum ſuū per te, et in inſtã-ti medio illius eſt in a. puncto: igitur ille pūctus a. precedet ipſam potentiam immediate poſt illud in­ſtans, et potentia erit cum remiſſiori puncto: patet cõſequentia intelligenti modum procedendi talis reſiſtentie: et vltra precedet ipſam: igitur velocius mouetur ꝙ̄ potētia: et ſemper antea velocius a. mo-uebatur ꝙ̄ modo cum cõtinuo remittat motum ſuū ex caſu: et potētia ſemper antea mouebatur tardiꝰ ̄ modo: quia cõtinuo precedebat ipſum a. mouen-do cum maiori reſiſtētia quã a. non e aliquando ſequebatur potentia ipſum a. punctū et poſtea pre-ceſſit ipſum a. patet ex quarta ſuppoſitione. Nam ſemper antea a. velocius mouetur quam potentia: igitur ſemper a. precedit potentiam et ſic modo in inſtanti dato nõ ſunt ſimul (incipiunt enim ab eodē inſtanti et puncto) et ſunt in eodem inſtanti ſimul per te: ergo cõtradictio, non eſt igitur dicendum  aliquando potentia intendit motum ſuū / qudd fuit probandum: patet ergo concluſio.

Quarta concluſio. Ubicun in me-dio nõ reſiſtente fit progreſſio latitudinis reſiſten-tie vniformiter difformis partibiliter quo ad ſub-iectum modo expoſito quolibet puncto eius intrin­ſeco cõtinuo vniformiter intendente motum ſuum non gradu, aut extremo remiſſiori quieſcente: po-tentia ſimul incipiens moueri in eodem inſtanti et ab eodem puncto cum tali reſiſtentia continuo in-tendit motum ſuum. Et ſi pro aliquo inſtanti pro quo intendit motum ſuum ad aliquod punctum hoc eſt exiſtens in aliquo puncto, poneretur in puncto minus reſiſtente illius reſiſtentie. Ipſa tar­dius intenderet motum ſuum. Prima pars huius cõcluſionis patet ex immediate precedente. Et pro-batur ſecūda. Latitudine reſiſtētie vniformiter dif-formis ad nõ gradum terminate procedente / vt po-nitur in caſu cõcluſionis. Sit b. potentia in aliquo inſtanti in c. puncto ſit e. punctus in g. ꝓportione remiſſior c. puncto in quo e. puncto b. potentia pro eodem inſtanti ponatur. Tunc dico /  b. potentia tardius intendit motum ſuum ad e. punctum ꝙ̄ ad c. Quod ſic oſtenditur: quia potentia b. poſita ad punctum c. per cõtinuam acquiſitionem minoris re­ſiſtentie: citius acquirit aliquam proportionem ̄ ipſa poſita ad punctum e. acquirat eandem: igit̄̄ b. potentia tardius intendit motum ſuum ad e. pū-ctum ꝙ̄ ad c. / quod fuit probandum. Cõſequētia ptꝫ ex ſe / et ꝓbatur antecedens quia poſito /  pro eodeꝫ inſtanti pro quo b. eſt ad c. punctū potentia ei equa­lis ponatur ad punctū e. illa potentia equalis ipſi b. tardius aliquam ꝓportionem acquirit ꝙ̄ ſit pro­portio quam acquirit ad punctum c.b. potētia / igr̄ b. potentia poſita ad punctum c. per acquiſitioneꝫ minoris reſiſtentie citius acquirit aliquã propor-tionem quã ipſa poſita ad punctū e. acquirat ean-dem. Cõſequentia patet: et ꝓbatur antecedens. Et pono /  cū b. eſt ad punctū c. potentia ei equalis a. ponatur ad punctū e. et ſit d. punctus in quo b. potē­tia debet acquirere ꝓportionē h. ad quem (vt opor­tet) c. punctus habet ꝓportionem h. et ſit f. punctus in quo a. potentia debet acquirere eandem ꝓpor-tionem h. inter que puncta e. et f. eſt etiam ꝓportio h. (vt oportet). Et tunc a. potentia tardiꝰ acquirit h. ꝓportionem quã b. / igitur ꝓpoſittū. Probatur. autecedēs q2 f. punctꝰ tardius attinget a. ꝙ̄ d. ipſã potentiã b. et in illis pūctis debent a. et b. acquirere ꝓportionē h. / ergo tardius acquiret ꝓportionē h. ̄ b. / qḋ fuit ꝓbandū. Sed iam ꝓbo añs videlicet /  tardius f. attinget a. etc̈. quia f. a principio motꝰ in g. proportiõe minꝰ diſtat a mobili / quod inſequit̄̄ / quã d. diſtet a b. et continuo f. mouetur in g. proportio­tione tardius quã d. / et tamen a. nõ mouetur in g. ꝓ-portione nec in maiori proportione tardius quã b. / igit̄̄ nõ ita cito nec citius f. attinget a. quã d. ipſam potētiam b. ſed tardius / quod erat inferendū. Ptꝫ cõſequentia ex tertia ſuppoſitione huiꝰ cū ſuo cor-relario (applica vtpotes). Iam ꝓbo primã parteꝫ maioris: q2 ſicut ſe habet c. ad d. ita e. ad f. ex caſu: igitur permutatim ſicut ſe habet c. ad e. (puta in g. proportione ex hypotheſi) ita ſe habet d. ad f. puta in g. proportione. Et vltra c. ad e. eſt g. proportio et latitudo eſt vniformiter difformis ad non gradum terminata quieſcente nõ gradu: igitur cõtinuo di-ſtantie quantitatiue ipſius c. a nõ gradu ad diſtan-tiam ipſius e. ab eodem non gradu eſt g. proportio Patet conſequentia ex prima ſuppoſitione hu-ius. et vltra diſtantie ipſius c. a non gradu ad diſtã­tiam ipſius e. etc̈. eſt proportio g. et etiam diſtantie ipſius d. ad diſtantiam ipſius f. eadem ratione eſt ꝓportio g. / igitur demendo / a diſtantia c. a nõ gra-du diſtantiam d. a nõ gradu, et demendo / a diſtãtia c. a nõ gradu diſtãtiam f. a nõ gradu que (vt cõſtat) ſunt partes aliarū diſtantiarū puta c. et e. a nõ gra­du: remanentes diſtantie ſe habent in eadem g. pro­proportione, et ſic reſidui diſtantie ipſius c. a non gradu ad reſiduū diſtantie ipſius e. a nõ gradu eſt g. proportio: ptꝫ cõſequentia ex ſeptimo correlario quarte cõcluſionis octaui capitis ſecunde partis. Sed reſiduū diſtantie ipſius c. a nõ gradu eſt diſtã­tia ipſius c. a d. et reſiduum diſtantie ipſius e. a non gradu eſt diſtantia ipſius e. ab f. (vt conſtat) / igitur diſtãtie ipſius c. a d. ad diſtantiã ipſius e. ab f. eſt g. proportio. Et a principio motus a. eſt in e. et b. in c. / igitur f. in g. proportione a principio motus minꝰ diſtat ab a. mobili / quod īſequitur / quã d. diſtat ab b. / que fuit prima pars maſoris inferenda. Sed ꝓ-batur ſecunda pars maioris: quia f. punctus in g. proportione eſt remiſſior d. puncto (vt ꝓbatum eſt) / igitur continuo in g. proportiõe tardius mouetur ipſo puncto d. / quod fuit ꝓbandū. Patet cõſequē-tia ex prima ſuppoſitione huiꝰ / et ſic ptꝫ totū antece­dens. Et eodē modo ꝓbabis cū latitudo ad gradū in vtro extremo terminat̄̄, auxiliãtibꝰ loco a ma-iori: et ſecunda ſuppoſitione huius et etiam tertia. Et ſic patet concluſio.

Quīta ↄ̨̨cluſio. Data potētia intēdēte motū ſuū modo dicto ad aliquē gradū reſiſtētie in latitudine / vt diximus mota: oīs potentia maior q̄ ad eūdem punctū intederet motū ſuū, tardiꝰ intēde­ret. Et oīs minor velocius. Hec eſt ſeptīa cal. quã ſic ꝓbo primo quo ad primã partē: q2 data aliqua po­tentia q̄ ad aliquē gradū intēdit motū ſuū ꝑ acqui­ſitionē minoris reſiſtētie. oīs maior ad eundē pun-ctū intēdens motū ſuū tardiꝰ illã minorē reſiſtētiã acquiret cõtinuo: igit̄̄ oīs maior tardiꝰ ibi intēde-ret motū ſuū. Ptꝫ ↄ̨ña / q2 nõ aliter ibi aliq̈ potētia intēdit motū ſuū ꝙ̄ ꝑ cõtinuã minoris reſiſtētie ac-quiſitionē: vt patet: añs tñ ꝓbatur: quia oīs maior velocius mouet̄̄ recedendo a tali reſiſtētia et īcipiūt ab eodē pūcto ī eodē īſtãti: igit̄̄ illa reſiſtētia tardiꝰ attīget illã maiorē potentiã ꝙ̄ minorē: et ꝑ ↄ̨ñs tar-dius illa potentia maior acquiret illã minorē reſi-ſtentiã / qḋ fuit ꝓbandū. Et eadē oīno eſt ꝓbatio ſe-cūde partis: q minor citius acquirit minorē reſi-ſtentiã quã maior acrat eandē / ptꝫ ergo concluſio. ¶ Ex hac cõcluſiõe ſet̄̄ ṗmo /  latitudīe ſic mota / vt dictū eſt: quocū gradu illiꝰ dato, dabit̄̄ vna poña q̄ ita tarde ſufficit ibi intendere motū ſuū,  nulla alia poteſt ita tarde intendere ſtante caſu. latitu-dine ſic mota. Probatur / q2 ad oēm reſiſtentiã fini­tã quãlibet ꝓportionē maioris īeq̈litatꝪ hꝫ aliqua poña (vt patet ex ſe) / igr̄ nulla eſt dabilis reſiſtentia aliqua proportione mota quin detur potentia que ſufficit moueri eadem velocitate, et proportione cū illa. Signetur / igitur in illa latitudine ſic mota vnus punctus / et ponatur ad illum in hoc inſtanti potentia b. que ita velociter ſufficit mouere cum il-lo ſicut pro tali inſtanti mouetur talis pūctus: quo poſito, arguitur ſic / b. intendet motum ſuum, cum punctus ille in quo nunc ponitur īmediate poſt hoc precedet b. quia punctus intendit continuo motum ſuum et incipit velocius mouere ꝙ̄ b. ſufficit moue-ri cum illo. Et nulla alia potentia ſufficit cum tali gradu exiſtens in tali inſtanti tardius intēdere mo­tum ſuum: igitur propoſitum, conſequentia patet cum maiore, et minor probatur, quia ſi aliqua ſuf-ficit tardiꝰ intēdere motū ſuū detur illa et ſit a. / et ar­guo ſic / a. ſufficit tardius intendere motum ſuum ̄ b. / igitur ipſa eſt maior b. vel minor, vel equalis. Si equalis iam non ſufficit tardius ſed equaliter. Si minor ſequitur /  non ſufficit tardius, ſed velocius / vt patet ex quinta concluſione precedēti. Si maior ſequitur /  talis potentia non intendit motum ſuū ſed remittit q2 velociꝰ ſufficit moueri cū puncto da­to ꝙ̄ datus punctus incipiat moueri et per aliquod tempus cõtinuo remittet a. motum ſuū / quo ad vſ ſit in aliquo puncto qui incipit ita velociter moue-ri ſicut a. ſufficit moueri cum illo: et ſic nõ poteſt di­ci /  a. tardius remittit motum ſuum ꝙ̄ b. cum non remittat incipiendo moueri ab illo puncto: patet ergo minor, et per conſequens correlarium.

7. cõclu. Calcu. 1. correĺ.
2. correĺ

¶ Sequitur ſecundo /  latitudine ſic mota / vt dictū eſt in quarta concluſione: ſignato quouis puncto talis latitudinis ſic mote dabitur vna potētia que poſita in illo aliqualiter velociter intendit motum ſuum: et nulla non equalis ei ſufficit ita velociter in­tendere motum ſuum poſita in illo puncto pro eo-dem inſtanti. Probatur facile / quia quocun pun-cto dato dabitur vna potentia habens ad eū pro-portionem equalitatis: ponatur ergo talis poten-tia in illo puncto ſic intendente motum ſuum: et ma­nifeſtum eſt /  talis punctus incipiet precedere po-tentiã, cū potentia nõ ſufficiat moueri cum illo aut illum precedere / vt conſtat, et ſic illa potentia conti-nuo poſt illud inſtans intendet motum ſuū. Et nul-la alia potentia ſufficit velocius intendere motum ſuum exiſtens pro eodem inſtanti in tali puncto ̄ illa data: igitur correlarium verum. Conſequentia patet cum maiore, et minor probatur: quia vel illa q̄ ſufficit (ſi ſit aliqua .etc̈.) eſt maior data potētia vĺ minor, vel equalis. Si maior iam tardius intendit ex quinta concluſione. Si equalis illa non intēdet velocius ſed equaliter. Si minor ipſa nec intendit nec remittit motum ſuum / quia ad infinita puncta remiſſiora habet proportionem minoris inequali­tatis / vt ptꝫ intelligenti naturam qualitatis vnifor­miter difformis: patꝫ igitur /  nulla alia potentia ſufficit velocius intendere motum exiſtens pro eo-dem inſtanti in tali puncto ꝙ̄ alia data. Patet er-go minor: et per conſequens correlariū ¶ Sequitur tertio /  latitudine ſic mota / vt dictū eſt in ↄ̨cluſione quouis puncto illius reſiſtentie dato dabiles ſunt infinite potentie que in eodem inſtanti poſite in il-lo puncto continuo intenderent motum ſuum. Et in­ter illas dabilis eſt vna que ita tarde incipit inten­dere motum ſuum  nulla tardius. Et datur vna que ita velociter /  nulla velocius ſufficit intendere in eodē inſtanti ab eodem puncto procedendo. Hoc correlarium ex duobus precedentibus ſuam oſten-ſionem accipit. ¶ Sequitur quarto /  latitudine ſic nota / vt dictum eſt in quinta concluſione: quocun pūcto illius dato in quouis inſtanti temporis: da­bitur minima velocitas a qua potentia certa in-cipiens moueri a tali puncto pro eodē inſtanti ſuf-ficit intendere motum ſuum. Patet facile hoc cor-relariū ex primo correlario et ex eiꝰ caſu. De b. e potentia verificatur preſens correlariū. ¶ Et ſimi-liter dabilis eſt maxima velocitas a qua potentia certa incipiens moueri a tali puncto ſufficit inten-dere motus ſuū: vt patet ex caſu ſecundi correlarii

3. correĺ. 4. correĺ.

Sexta concluſio. Datis duobus me-diis non reſiſtentibus inequalibus per que exten-dantur due reſiſtentie equales intenſiue reſiſten-tie vniformiter difformis quieſcente non gradu vĺ remiſſiori extremo: et quilibet punctus latitudinis que per maius medium extenditur in certa propor­tione continuo velocius moueatur ꝙ̄ ſibi correſpõ­dens punctus in medio minori: potentia poſita in maiori medio ad vnum puuctum continuo velocius mouebitur ꝙ̄ ſibi equalis poſita ad punctū ſibi cor­reſpondens in minori medio: et hoc dūmodo tales potentie intendãt motus ſuos. Probatur / quia po­tentia in medio minori exiſtens non incipit moueri equaliter cum potentia in maiori exiſtente, nec ve-locius: igitur tardius: et per conſequens potentia mouēs in maiori medio incipit velocius moueri ̄ potentia mouens in minori medio. Et poſt̄ velo-cius mouetur ſemper velocius mouetur: ergo con-tinuo potentia mota in maiori medio velocius mo­uetur ꝙ̄ potentia mota in minori medio: quod fuit probandum Conſequentia ptꝫ: et probatur /  potē­tia in minore medio exiſtēs nõ incipit moueri equa­liter cum potentia in maiori medio exiſtente: quia ſi incipit moueri equaliter per aliquod tempus ſe­quitur /  per illud tempus continuo eque cito at-tinget eam equalis reſiſtentia illi que attigit aliaꝫ in medio maiori. Sed conſequens eſt falſum: igitur et antecedens. Cõſequentia patet: ſed falſitas cõſe-quentis probatur / quia in aliqua certa ꝓportione quilibet punctus inſequens potentiã in medio mi-nori minus diſtat ab illa potētia quam inſequitur: et in eadem proportione tardius mouetur cõtinuo ̄ pūctus ſibi correſpõdens in medio maiori diſtet a potentia quam inſequitur et etiam moueatur (vt patet caſum intuēti) / et potētia in medio minori ita velociter mouetur recedendo a tali puncto ſicut po­tentia in medio maiori fugit cõſimile punctū per te / igitur talis punctus citius attinget potentiam in medio maiori ꝙ̄ cõſimilis punctus attingat aliam potentiam in medio minori: et per cõſequens nõ cõ­tinuo eque cito: quod eſt oppoſitum cõſequentis et ſic illud cõſequens eſt falſum. Cõſequētia tamē ptꝫ ex tertia ſuppoſitiõe: et eius correlario. Et per ideꝫ ꝓbatur /  nõ incipit moueri velocius: quia tunc ſe-queretur /  certus punctus citius attingeret eam ̄ ſibi ſimilis in maiori medio attingeret aliam. Sed hoc eſt falſum: quia quãdo potētia mouetur in mi-nori medio equaliter cum alia mouente in maiori: adhuc citius attingeret punctus potentiam in ma-iori medio ꝙ̄ cõſimilis pūctus attingeret potentiã in minori medio (vt ptꝫ ex probatione precedentis partis) ergo per locum a maiori multo citius attin­get potentiam in maiori medio quando potentia in minori mouetur velocius ꝙ̄ potentia in maiori medio. Sed iam probo /  poſt̄ velocius mouetur ſemper velocius mouetur quia iam nõ poteſt inci-pere moueri equaliter ꝓcedendo ab equalibus pū­ctis / vt ꝓbatū eſt: et modo mouetur velociꝰ et nõ põt moueri tardiꝰ niſi prius moueat̄̄ equaliter: et nõ po­teſt incipere moueri equaliter / vt ꝓbatum eſt: ergo poſt̄ mouetur velocius: ſemper mouetur velocius / quod fuit probandum. Patet ergo concluſio.

1. correl.

¶ Ex hac concluſione ſequitur primo /  datis dua-bus latitudinibus equalibus reſiſtentie vniformi-ter difformis inequaliter extenſis per inequales ꝑ­tes mediorum non reſiſtentium: et quilibet punctus reſiſtentie minus extenſe in aliqua proportione in-cipiat vniformiter intendere motum ſuum cõtinuo velocius puncto ſibi correſpondente in latitudine magis extenſa: poña poſita in reſiſtentia minus ex­tenſa in aliquo puncto cū quo incipit intendere mo­tum ſuum velocius continuo mouebitur poña equa­li poſita in conſimili puncto in latitudine magis ex­tenſa dūmodo ibi intendat motum ſuum. Proba-tur correlarium / quia talis poña poſita in latitudi­ne minus extenſa incipit velocius moueri: et poſt̄ ſic mouetur ſemper velocius mouetur ſtante caſu: igitur correlarium verum: Arguitur maior / q2 ſi in­ciperet tardius vel equaliter moueri: et quilibet pū­ctus minoris reſiſtentie minus diſtat ab eã ꝙ̄ pun-ctus conſimilis diſtat a potentia mota in latitudi-ne magis extenſa: et quilibet punctus velocius mo-uebitur immediate poſt hoc: ergo citius immedia-te poſt hoc aliquis punctus minoris reſiſtentie at-tinget in latitudine minus extenſa poñam ibi mo-tam quã conſimilis attingat poñam in latitudine magis extenſa. Patet conſequentia ex tertia ſup-poſitione: et per conſequens immediate poſt hoc ve­locius mouebitur alia (cum moueatur cum minori reſiſtentia.) Sed minor eãdem cum minori precedē­tis concluſionis demonſtrationem exigit. Et ſic pa­tet correlarium. ¶ Sequitur ſecundo /  datis dua-bus: vel quotcū latitudinibus reſiſtētie vniformi­ter difformis equalis reſiſtentie inequalitater exten-ſis et quilibet punctus vnius moueatur eque veloci­ter ſicut punctus correſpondens in alia: et hoc conti­nuo vniformiter: poña que mouetur in medio mino­ri / hoc eſt in minus extenſa reſiſtentia continuo tar-dius mouetur ꝙ̄ poña ei equalis que mouetur in la­titudine magis extenſa et hoc dūmodo ille potētie incipiant a conſimilibus punctis. Probatur cor-relarium / quia talis potentia in latitudine minus extenſa incipit tardius mouere ꝙ̄ alia in latitudi-ne magis extenſa: et poſt̄ mouetur tardius non po­teſt incipere equaliter moueri: nec velocius: igitur continuo tardius mouetur. Patet conſequentia: et tam maior ꝙ̄ minor probantur eodem modo ſicut probantur in concluſione precedenti.

2. correl.
3. correl. decīa cõ-clu. cal.

¶ Sequitur tertio /  tam in caſu concluſionis quã correlariorum continuo in quolibet tempore ade-quate terminato ad inſtans initiatiuum motus: ve­locius intendit motum ſuum poña mota in maiori medio ꝙ̄ in minori. Probatur / quia dato quocū tali tempore ſemper in inſtanti terminatiuo illius potentia que eſt in maiori medio in caſu concluſio-nis eſt cū puncto minus intenſo ſiue mouetur a ma-iori ꝓportione ꝙ̄ alia poña in medio maiori / vt pa­tet ex concluſione: et inceperunt ab equali velocita-te: ergo in illo tempore adequate maiorem veloci-tatem acquiſiuit potentia mota in maiori medio ̄ alia mota in minori: et per conſequens velocius ī ta­li tempore adequate intendit motum ſuum. Et ſic ꝓ­batur de alia poñe / que eſt in latitudine minus intē­ſa in caſu precedentis correlarii reſpectu potentie que in caſu eiuſdem correlarii eſt in latitudine ma-gis extenſa. Et ſic patet correlariū. Et hec ſub aliis verbis tamen: eſt decima concluſio calculatoris ̄­uis eam ſic non probet. ¶ Multe alie concluſiones poſſent in hac materia adduci, et ex predictis euidē­ ter inferri, nihilominus breuitatis cauſa ſuperſe-deo in ſequenti capite aliquas ex eis in deductioni­bus argumentorum probaturus.

Quindecimum caput / quod obiicit ali-quibus que dicta ſunt in precedentibꝰ duo­bus capitibus: inferendo aliquas conclu-ſiones de velocitate motus in reſiſtētia dif­formiter difformi progrediente per medi-um non reſiſtens: et in latitudine vniformi­ter difformi condenſante ſe ad non quãtū in medio non reſiſtente.

IAm aggredior impugnare ali-qua eorum que dicta ſunt in tridecimo: et quarto decimo capitibus: et ſignanter ter-tiam ſuppoſitionem tridecimi capitis baſim / et fun­damentum omnium dictorum in predictis capiti-bus.

Et ideo cõtra eam primo arguitur ſic Non eſt poſſibile latitudinem reſiſtentie acri par-tibiliter quo ad ſubiectum tantum / vt dicit ſuppoſi­tio / igitur illa falſa. Conſequentia patet et argui-tur antecedens / quoniam ſi illud eſſet poſſibile: ſe-queretur /  ab inequalibus proportionibus equa-les velocitates prouenirent: ſed hoc eſt falſum: et cõ­tra baſim totius huius operis: igitur illḋ ex quo ſe­quitur: Falſitas conſequentis eſt nota, et probatur ſequela, et pono caſum /  ſint duo media non reſiſtē­tia equalia: et per vnum illorum extendatur parti-biliter quo ad ſubiectuꝫ dūtaxat vna reſiſtentia dif­formiter difformis cuius prīa medietas ſit vnifor-mis continuo vt .2. et ſecunda vt .6. et moueatur qui­libet punctus eius vniformiter ↄ̨tinuo: puncto ve-lociſſime moto, continuo moto a proportione qua­drupla: et puncto medio a dupla (vt oportet) / et ꝑ ali­ud medium extendatur a non quanto vna latitudo vniformis per totum vt .4. quolibet puncto eius in­trinſeco mouente vniformiter: et puncto velociſſime moto: continuo moto a proportione quadrupla ita­ continuo tales latitudines maneant equales, et equaliter moueantur: moueatur cum vtra illa­rum vna poña vt .8. in eodem inſtanti, ab eodē pun­cto: per eandem lineam inchoando: Quo poſito ſic argumentor. poña que mouetur cum latitudine vni­formi mouetur equaliter omnino: et continuo eque­velociter cum potentia que mouetur cum latitudi-ne difformiter difformi: et tales potentie non poſ-ſunt continuo moueri ab eadem proportione cum nullus punctus in latitudine difformiter difformi ſit equalis reſiſtentie adequate cum aliquo puncto reſiſtentie vniformis (quandoquidem quodlibet in reſiſtentia vniformi ſit vt .4. et in difformiter diffor­mi quodlibet eſt vt .2. vel vt .6. adequate) / igitur ab inequalibus proportionibus equales velocitates proueniunt / quod fuit probandum: Conſequentia patet cum minore: et maior probatur. quia potētia que mouetur cum reſiſtentia vniformi continuo eſt in puncto medio illius reſiſtentie: et poña que moue-tur cum reſiſtētia difformi ſimiliter ē in medio eiuſ­dem reſiſtentie difformis: et eque velociter continuo mouetur mediuꝫ vnius ſicut medium alterius / vt pa­tet ex caſu: igitur eque velociter continuo mouetur cum reſiſtentia vniformi ſicut alia poña cum diffor­mi / quod fuit probandum. Conſequentia patet cuꝫ minore: et arguitur prima pars maioris / q2 poña cū reſiſtentia vniformi vt .4. ↄ̨tinuo mouet̄̄ a ꝓpor-tione dupla cum ipſa ſit vt .8. et punctus medius ta­lis latitudinis etiam continuo mouetur a propor-tione dupla ex caſu: et incipiunt moueri ab eodē pū- cto per eandem lineam in eodem inſtanti: ergo con­tinuo ſunt ſimul / quod fuit probandum Iam probo ſecundam partem maioris / quia potentia que mo­uetur cum reſiſtentia difformi non poteſt in caſu eē citra punctū medium in medietate remiſſiori: nec vl­tra mediū ī medietate intenſiori: et mouetur conti-nuo cum latitudine: igitur continuo eſt in medio ta­lis latitudinis. Conſequentia patet, et minor ꝓba-tur / quia ſi aliquando poſſet in caſu eſſe citra pun-ctum medium ī medietate remiſſiori capio inſtans ī quo eſt in illa, et arguitur ſic / vel continuo potentia illa a principio motus eſt citra punctum medium īmedietate remiſſiori vel continuo vltra punctū me­dium immediate intenſiori: vel aliquando citra pū­ctum medium: et aliquando vltra: nullum iſtorum ē dicendum: igitur: Non primum quia tunc ſequere-tur /  a principio motus talis poña mouetur conti­nuo a proportione quadrupla cum tota illa medie­tas ſit vniformis vt .2. et poña vt .8. et continuo po­tentia eſt citra punctum medium per te: igitur (cum poña et punctus medius ſuum motum inchoant ab eodem puncto in eodem inſtanti) / ſequitur /  maior velocitas prouenit a proportione dupla ꝙ̄ a qua-drupla quod eſt tantum vel maius inconueniens ̄ illud quod inferre intendimus: Nec dicendum ē ſe-cundum / quia tunc ſequeretur /  a principio motus talis potentia cõtinuo mouetur a proportione ſex-quitertia cum tota illa medietas ſit vniformis vt 6 et poña vt .8. et continuo poña eſt vltra punctū me-dium per te: igitur (cuꝫ poña et punctus mediꝰ ſuum motum inchoant ab eodem puncto in eodem inſtã-ti et per eandeꝫ lineam) ſequitur /  maior velocitas prouenit a proportione ſexquitertia ꝙ̄ a dupla qḋ eque magnum inconueniens eſt ſicut illud quod in-ferre intendimus: Sed  non ſit dicendum tertium probatur / quia ſi aliquando eſt citra punctum medi­um, et aliquando vltra capio inſtans in quo ē citra punctum medium: et arguitur ſic / vel a principio mo­tus ſemper fuit citra punctum medium in medieta­te remiſſiori: vel aliquando vltra punctum medium in medietate intenſiori: et deinde in medietate remiſ­ſiori: Non primum quia tunc ſequeretur /  cõtinuo moueretur per totum illud tempus a proportione quadrupla, et tamen moueretur tardius per te quã punctus medius qui mouetur a ꝓportione dupla: ſed hoc eſt impoſſibile, igitur illud ex quo ſequitur: Nec dicendum eſt ſecundum / quia ſi tranſit per pun­cta intenſioris medietatis ad puncta medietatis re­miſſioris / neceſſe eſt /  tranſeat per punctum mediū / vt conſtat: et ſi venerit ad punctum medium nū̄ ab eo diſcedet: igit̄̄ illa poña nū̄ eſt vltra pūctū medi­um in medietate intenſiori et deinde in medietate re­miſſiori. Conſequentia patet cum maiore / et proba-tur minor / quia ſi illa poña venerit ad punctū medi­um: nullus punctus medietatis remiſſioris vn̄ po­tentiam precedet / quia cum quolibet tali poña ſuffi­cit mouere velocius quam ipſe mouetur, nec ia po­ctentia aliquem punctum intenſioris medietatis -cedet vn̄ (cuꝫ quodlibet tale velocius mouatur ̄ potentia ſufficit mouere cum illo) / igitur ſi talis po­tentia venerit ad punctum medium nū̄ ab eo diſce­det / quod fuit probandum.

Reſpondeo ad argumentum negan-do antecedens: et ad probationem nego ſequelam: et ad probationem admiſſo caſu concedo maiorem / et nego minorem, et ad probationem minoris con-cedo /  nullus eſt ibi punctus ad quem adequate ta­lis poña habet proportionem duplam, et cum infer­ tur / ergo non poteſt continuo moueri a proportiõe dupla negatur conſequentia / et ratio eſt / quoniã quã­uis ad nullum punctum habeat ꝓportionem duplã adequate habet tamē ad duo ſimul videlicet ad ex-tremum prime medietatis et ad initium ſecunde.

Sed contra / quia extremum prime medietatis eſt vt .2. et principium ſecunde vt: 6. Mo­do duo et ſex ſunt octo, et poña eſt vt octo. ergo ad illa habet talis poña proportionem equalitatis et non duplam: et per conſequens ſolutio nulla.

Reſpondeo /  difficile eſt mihi ſoluere argumentum et in eo diu cogitaui. Dico tamen ad replicam negando conſequentiam. Et ratio ē / quia illa puncta vt .2. et vt .6. non faciunt reſiſtentiam vt 8. Imo dico /  illa duo puncta principium ſecunde medietatis et finis prime ita ſe habent  in reſiſten­do equiualent puncto reſiſtentie reſiſtentis vt .4.

regula

Unde pono talem regulam.

Ubicun aliqua potentia mouetur cum aliqua reſiſtentia difformi: et eſt in parte illius reſiſtentie que tardius mouetur quam poña ſufficit moueri cuꝫ illa adequate: et pars immediate ſeq̄ns velocius mouetur quã potentia ſufficit mouere cum illi vel eque velociter: tunc talis reſiſtentia reſiſtit ille poñe tantum adequate quantum reſiſteret vna reſiſtentia ad quam haberet illa poña adequa-te talem proportionem a quali mouetur illa reſiſtē­ſtentia cui potentia continuo eſt proxima. Et ideo / tunc talis reſiſtentia equiualet alteri ad quam po-tentia talem proportionem habet. Hac regula pre ſuppoſita.

Reſpondeo ad argumentum diſtīguē­do minorem: aut  talis poña non poteſt in caſu cū illis reſiſtentiis moueri cum eadē proportione quã vtra illarum habeat formaliter ad aliquam illa­rum reſiſtētiarum: et ſic conceditur: aut quã habeat equiualenter: et ſic negatur.

Sed cõtra q2 ſi hec ſolutio eſſet bona ſequeretur /  eadem potentia nõ variata mouetur eque velociter adequate cū reſiſtentia maiori ſicut cū minori: ſed hoc videtur impoſſibile: igitur illud ex quo ſequitur. Sequela ꝓbatur, et volo /  in caſu argument</gap> tota ſecunda medietas illius reſiſtentie perdat per totum vniformiter vnū gradum ita  maneat vniformis vt .5. moueatur tamen eadē ve-locitate qua antea mouebatur. Quo poſito iã po-tentia vt .8. cõtinuo erit in puncto medio illius reſi­ſtentie qui mouetur eque velociter ſicut antea: ergo talis potentia mouetur eque velociter adequate ſi-cut antea et reſiſtentia ſua eſt minor quã antea: igit̄̄ aſſumptum verum.

Reſpondeo concedendo / quod īfertur dūmodo talis potentia nõ moueatur a proportiõe quam formaliter habet ad talem reſiſtentiam, ſed a proportione quam habet ad illam equiualenter ¶ Ex quo ſequitur primo /  etiam ſi ſecunda me-dietas in infinitum intederetur: et prima in infini-tum remitteretur potentia tamen ſemper vniformi­ter mouetur. Quod nihilomiuꝰ mirabile apparet. ¶ Sequitur ſecundo /  vbicuuq aliqua reſiſtentia difformiter difformis cuius vtra medietas eſt et manet vniformis incipit progredi a non quanto in medio non reſiſtente: quolibet puncto eius intrinſe­co continuo vniformiter mouente: omnis poña que ſimul incipit moueri cum illa cõtinuo mouetur vni­formiter. Probatur / quia cū ea medietate cum qua incipit moueri continuo mouebitur et talis medie-tas eſt vniformis: igitur continuo vniformiter mo-uebitur: Patet conſequentia cum minore. et argui-tur maior: et capio punctum / in quo eſt in medietate in qua incipit moueri in aliquo inſtanti temporis terminati ad inſtans initiatiuum motus per quod mouetur in illa medietate (Totalis enim motꝰ quo illa potentia mouetur incipit ab aliqua velocitate proueniente a proportione quam habet potentia ad aliquem punctum intrinſecum illius medietatis vt ↄ̨ſtat e)x dictis / et arguo ſic / vel talis pūctus velo­cius mouetur quam potentia: vel tardius: vel eque­velociter: Si primum ſequitur /  talis potentia nõ eſt in illo puncto quia inceperunt poña et talis pun­ctus ab eodem puncto in eodem inſtanti etc. et poña mouebatur tardius puncto in quo ponitur eſſe: et potentia et punctus mouentur vniformiter: igitur. Nec ſecundum puta  tardius / quia tunc ſequere-tur /  non eſt in illo puncto quoniam continuo ta-lis punctus mouetur tardius ꝙ̄ potentia, et incepe­runt in eodem inſtanti ab eodem puncto etc. / igitur dicendum eſt tertium puta /  mouetur equaliter: et per conſequens ſemper mouebitur cum illo pūcto et ſic ſemper erit in eadem medietate: quod fuit pro­bandum. Patet igitur correlarium.

1. correl. .2correl.
3. correl.

¶ Sequitur tertio /  vbicun aliqua latitudo reſi­ſtētie difformiter difformis cuiꝰ multe ꝑtes ſūt vni­formes et nulla difformis ſecundum ſe et quodlibet ſui a non quanto incipiat progredi partibiliter ꝑ medium non reſiſtens, quolibet eius puncto intrin­ſeco continuo vniformiter mouente: omnis potētia que cum tali reſiſtentia ab eodeꝫ puncto incipit mo­ueri continuo vniformiter mouebitur. Probatur / quia cum quacun illarum partium vniformium talis poña īcipit moueri: cū ea ſemꝑ mouebit̄̄: igit̄̄ cõtinuo vniformiter mouebitur. Conſequentia pa-patet arguitur antecedens / quoniam in quacū parte vniformi prīo mouetur cum illa continuo mo­uetur: igitur propoſitum. Probatur antecedens / q2 dato aliquo inſtanti temporis per quod mouetur in tali parte in qua primo mouetur / arguitur ſic / vel punctus in quo in illo īſtanti eſt: mouetur velocius quam potentia: vel tardius: vel equaliter: Nõ pri-mum nec ſecundum / quod probatur ſicut in precedē­ti correlario: igitur dicendum eſt tertium videlicet /  equaliter / et per conſequens /  continuo mouebi-tur in illa parte et in illo puncto et ſic continuo vni­formiter / quod fuit probandum. ¶ Intelligatur cor­relarium dūmodo talis potētia ab aliqua certa ꝓ­portione incipiat moueri. Quia alias dabitur vna latitudo reſiſtentie in qua non dabitur (ſaltem di-ceret aduerſarius) pars cum qua potentia incipit moueri Imo quacun data dabitur aliqua magis reſiſtens cum qua antea mouebatur (vt diceret ad-uerſarius) vt puta ſi alicuius latitudinis quelibet pars proportionalis certa proportione ſit vnifor-mis alia et alia vniformitate vſ ad equalitatē po­tentie aſcendendo excluſiue.

4. correl.

¶ Sequitur quarto /  vbi potētia mouetur vt poni­tur in caſu precedentis correlarii ipſa continuo eſt in eodem puncto Probatur / quia non poteſt dici /  punctus in quo potentia eſt moueatur velocius aut tardius ipſa / vt patet eſt probatione precedētis cor­relarii / ergo mouetur equaliter / et per conſequens continuo eſt in illo / quod fuit probandum.

5. correl.

¶ Sequitur quinto /  ſi in medio non reſiſtēte a nõ quanto progrediatur latititudo reſiſtentie ſic ſe ha­bens /  cuiuſlibet partis eius proportionalis pro-portione dupla minoribus terminatis verſus pun­ ctum quieſcens prima medietas ſic reſiſtat poñe vt 8.  quilibet eius punctus tardius moueatur ꝙ̄ po­tentia ſufficit adequate moueri cum illo: et ſecunda medietas ſic eidem potentie reſiſtat  quilibet eius punctus velociꝰ moueatur quã potentia ſufficit mo­ueri cum illo: talis poña in eodem inſtanti cum illa reſiſtentia ab eodem puncto progrediens continuo cum tali reſiſtentia mouetur vniformiter. Probatur / q2 talis poña cum illa reſiſtentia mouetur / vt patet / quia ad quemlibet punctum illius habet proportio­nem maioris inequalitatis: et ab aliquo puncto ali­cuius partis proportionalis incipit moueri (vt con­ſtat) et continuo eſt ad punctum medium eiuſdeꝫ par­tis proportionalis qui continuo mouetur vniformi­ter: ergo continuo talis poña mouetur vniformiter / quod fuit probandum: Patet cõſequentia cum ma­iore: et minor videlicet /  continuo eſt ad punctū me­dium talis partis proportionalis probatur eodeꝫ modo ſicut probatur in argumento potentiã ſemꝑ eſſe in puncto medio reſiſtentie de qua fit mentio in caſu eiuſdem argumenti. eadem enim eſt probatio: patet ergo correlarium. ¶ Et ſi dicas non eſt maior ratio /  continuo ſit in puncto medio vnius partis proportionalis illius reſiſtētie quã alterius. quia ī cuiuſlibet partis proportionalis puncto medio po­terit ſic vniformiter moueri: ergo continuo eſt cum cuiuſlibet partis proportionalis puncto medio vel nullius. Dico negando antecedens: imo deus illud determinat  potius ſit in puncto medio vnius par­tis proportionalis quam alteriꝰ: et volūtas ſua eſt ratio in propoſito. Oportet enim ſupponere hanc regulam in philoſophia.

regula.

Ubicun aliqua potentia naturalis ex ſe eſt omnino indifferens ad aliqua multa, et nõ poteſt omnia illa ſimul: prima cauſa omnium rerū naturalium a qua dependet celuꝫ et natura tota (vt ait philoſophus duodecimo methaphiſices) illam potentiam ad alterum illorum ſua voluntate deter­minat, et hoc ſecundum ordinem nature et concurſu generali operatur ipſe rerum omnium opifex. Nec hec ſolutio extranea videatur quoniaꝫ oportet ita ſoluere argumentum defractione fili equalis forti­tudinis in omnibus partibus ſuis: cuius meminit philoſophus ſecundo celi et mundi in calce. et argu­mentum de introductione graduum caliditatis: et de productiõe luminis a cãdela: quare videlicet pri­us produxit lumen a. in vna camera quã in altera cum prius illuminat vnam cameram, et poſtea alte­ram. Et hec ē comunis ſolutio in philoſophia: et -cipue apud parrhiſienſes.

phūs .12. met. tex. co. 38. pḣs 2. ce. et mun.

Secundo ad idem arguitur ſic. Si la­titudo reſiſtentie vniformiter difformis poſſet ſic ꝓ­gredi partibiliter quo ad ſubiectum tantum / vt di-citur in prīa ſuppoſitione: ſequeretur /  etiam ipſa manens vniformiter difformis continuo poſſet cõ-denſari ad non quantum ſubiecto eius quieſcente: ſed conſequens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequi­tur. Conſequentia eſt nota. Et arguitur falſitas cõ­ſequentis / quia ſi ita poſſet condenſari manens con­tinuo vniformiter difformis. ſequeretur /  eadē po­tentia vel equalis citius pertranſiret eandeꝫ vel eq̈­lem reſiſtentiam magis extenſam quam minꝰ exten­ſam: ſed conſequēs eſt falſum / igitur illud ex quo ſe­quitur Sequela tamen probatur: et capio duas la-titudines vniformiter difformes equales extenſiue et intenſiue omnino puta a quarto vſ ad non gra-dum extenſas per duo pedalia gratia exempli: et vo­lo /  in inſtanti a. ponatur vna potentia vt .8. in ex­ tremo intenſiori vnius et alia etiam vt .8. in extremo intenſiori alterius: et moueantur ille potentie conti­nuo verſus non gradum illarum latitudinum vna illarum continuo quieſcente: et manente pedali: et altera illarum continuo ſe cõdenſante ſubiecto eiꝰ manente pedali: moueatur tamen punctus vt .4. in latitudine que mouetur a minori ꝓportione ꝙ̄ ſit proportio a qua potentia ſufficit moueri cum illo. Quo poſito ſic argumentor illa latitudo / que mo-uetur continuo erit minor ꝙ̄ illa que quieſcit per to­tum tempus motus: et tamen poña que mouetur in illa tardius pertranſibit illam ꝙ̄ potentia que mo­uetur in reſiſtentia maiori quieſcente: igitur. Ma-ior eſt nota ex caſu: et minor probatur / quia continuo poña que mouetur cū reſiſtentia ſe condenſante mo­uetur tardius ꝙ̄ potentia que mouetur cum alia re­ſiſtentia quieſcente: et tandē per continuum motum deuenient ad non gradum illarum reſiſtentiarum / vt ponitur in caſu: igitur citius poña que mouetur ī reſiſtentia quieſcente deueniet ad non gradum illi-us reſiſtentie in qua mouetur ꝙ̄ poña que mouet̄̄ cū reſiſtentia ſe condenſante. Conſequentia patet cuꝫ minore: et maior probatur / quia illa potentia q̄ mo­uet̄̄ cū reſiſtētia ſe ↄ̨denſãte in libet pūcto medii pe­dalis ꝑ qḋ extēdebat̄̄ illa reſiſtētia cū maiori reſiſtē­tia mouetur quam alia potentia q̄ mouetur in reſi­ſtentia quieſcente in conſimili puncto ſiue correſpõ­dente: igitur illa poña que mouetur cum reſiſtentia ſe condenſante continuo tardius mouetur quã alia potentia que mouetur cum reſiſtentia quieſcente.

Conſequentia patet et arguitur antecedens: q2 con­tinuo in quolibet puncto illius medii pedalis ꝑ qḋ a principio extendebatur reſiſtentia ſe condenſans eſt maior et maior reſiſtentia quovſ in illo puncto nõ ſit aliq̈ reſiſtentia: et in quolibet puncto medii pe­dalis / per quod extenditur reſiſtentia quieſcēs ma-net eadem reſiſtentia continuo: igitur potentia que mouetur cum reſiſtentia ſe condenſante in quolib3 puncto medii pedalis / per quod extendebatur a prī­cipio eadem reſiſtentia ſe condenſans cum maiori reſiſtentia mouetur ꝙ̄ alia poña que mouetur cum reſiſtentia quieſcente in conſimili puncto ſiue cor-reſpondente: Patet conſequētia / quia in prīcipio in punctis correſpondentibus illorum mediorum ē eadem reſiſtentia omnino / vt patet: et maior proba­tur / quia ex caſu continuo puncta intenſiora illiꝰ re­ſiſtentie ſe condenſantis mouentur verſus pūcta re­miſſiora eiuſdem reſiſtentie: igitur continuo in quo­libet puncto medii pedalis / per quod in prīcipio ex­tendebatur latitudo ſe condenſans eſt maior et ma­ior reſiſtentia: dummodo in illo puncto ſit aliqua reſiſtentia.

Reſpondeo concedendo quod infer-tur et negando falſitatem conſequentis: et ad pro-bationem concedo illud quod infertur / vt probat ar­gumentum: Nec illud eſt inconueniens ſignanter quando vna illarum latitudinum reſiſtentiaruꝫ ſic / condenſatur vt ponitur in caſu argumenti et altera quieſcit. ¶ Ex quo ſequitur primo:  ſtat eandē po-tentiam velocius moueri continuo tranſeundo ali-quam reſiſtentiam minus extenſam quam tranſeū­do eandem magis extenſam. Probatur et capio / duas latitudīes vniformiter difformes equales ex­tenſiue et intenſiue omnino puta ab octauo vſ ad quartum extenſas per duo pedalia exempli gratia / et volo /  in eodem inſtanti ponatur vna potentia. vt .8. vel vt .10. (non eſt cura) in extremo remiſſiori vnius: et alia ei equalis in extremo remiſſiori alte-rius: et moueantur ille potentie continuo verſus ex­tremum intenſius illarum latitudinum: vna illarū continuo qnieſcente et manente pedali, et altera il-larum continuo ſe condenſante (ſubiecto tñ eiꝰ ma­nente pedali) verſus extremū ſui intēſius quieſcēs: moueatur tamen punctat .4. in latitudine que con-denſatur a minori proportione ꝙ̄ ſit ꝓportio a qua potentia ſufficiat moueri cum illo. Quo poſito ſic argumentor illa latitudo / que mouetur cõtinuo erit minor ꝙ̄ illa que quieſcit: et poña que mouetur cum illa velocius mouetur illam reſiſtentiam tranſeun-do quam potentia que mouetur in reſiſtentia ſibi equali quieſcente: igitur correlarium verum. Ma-ior eſt nota ex caſu et minor probatur: quia potētia que mouetur cum reſiſtentia ſe condenſante in quo­libet puncto medii pedalis per qḋ in prīcipio extē­debat illa reſiſtētia cū mīori reſiſtētia mouet̄̄ ꝙ̄ alia poña q̄ mouetur in reſiſtetia eſcente in cõſimili pū­cto ſiue correſpondente: igitur illa potentia q̄ mo-uetur cum reſiſtentia ſe condenſante velocius moue­tur ꝙ̄ alia potentia que mouetur cum reſiſtentia e­ſcente. Conſequentia patet / et arguitur antecedens / quia continuo in quolibet puncto illius medii pe-dalis / per quod in principio extendebatur reſiſten-tia ſe condenſaus eſt minor et minor reſiſtentia: cum ex caſu continuo puncta remiſſiora illius reſiſtētie ſe condenſantis moueantur verſus puncta intenſio­ra et extremum intenſius eiuſdem reſiſtentie: et ī quo­libet puncto medii pedalis / per quod extenditur re­ſiſtentia quieſcens manet eadem reſiſtentia vtpote que erat in illo in principio: igitur poña que moue-tur cum reſiſtentia ſe condenſante in quolibet pun-cto medii pedalis / per quod extendebatur in princi­pio eadem reſiſtentia ſe condenſans cum minori re­ſiſtentia mouetur quam alia potentia que moue-tur cum reſiſtentia quieſcente in conſimili puncto ſi­ue correſpondente. Conſequentia patet / quia in prī­cipio in punctis correſpondentibus illoruꝫ medio­rum eſt eadem reſiſtentia omnino. Q, ſi volueris demonſtrare ipſam poñam cum reſiſtentia ſe con-denſate continuo velocius moueri: ideo modo pro­bes quo probabitur ſequens correlarium. Patet igitur correlarium. ¶ Sequit̄̄ ſecundo /  datis dua­bus latitudinibus vniformiter difformibus equa-libus intenſiue et inequalibꝰ extenſiue: et captis dua­bus potentiis equalibus quarum vna incipit mo-ueri per minus extenſam et altera per magis extēſã ab extrēo remiſſiori: eſcētibꝰ ↄ̨tinuo latitudinibꝰ: potentiis non variatis: poña que mouetur cum re-ſiſtentia minus extenſa tardius continuo mouetur quam altera que mouebitur cum reſiſtentia magis extenſa. Probatur. Sit a. potentia que mouetur cum reſiſtentia magis extenſa: et b. cum reſiſtentia minus extenſa Tunc dico /  b. continuo mouetur tardius ia a. potentia. Quod ſic oſtenditur: quia b. non continuo mouetur velocius ꝙ̄ a. Nec per aliquod tempus mouetur equeuelociter: Nec ꝑ ali-quod tempus mouetur velocius et immediate ante mouetur per aliquod tempus tardius: Nec ecõtra / ergo continuo b. mouetur tardius ipſa potentia a. / quod fuit probandum. Conſequentia eſt nota. Et probatur maior: vcꝫ /  b. non continuo mouetur ve­locius quam a. quia ſi continuo mouetur velocius quam a. / ſequitur /  continuo b. eſt in puncto magis diſtante a principio ſui medii ꝙ̄ a. Et per conſeq̄ns ſequitur /  continuo eſt in maiori reſiſtentia: et con­tinuo mouetur tardius: quod eſt oppoſitum dati.

1. correl. .2correl.

quod etiam probare intēdimus. Iam probatur pri­ma pars minoris: videlicet /  non per aliquod tem­pus mouetur eque velociter: quia ſi ſic capio inſtãs initiatiuum talis temporis: in quo (vt oportet ꝑ te) a. et b. ſunt inequalibus reſiſtentiis: Et arguo ſic / ꝑ aliqḋ tempus poſt tale inſtans b. poña ↄ̨tinuo mo­uetur eque velociter ſicut a. per te: ergo cõtinuo ꝑ il­lud tempus b. poña eſt in puncto equaliter diſtante a pūcto in quo ipſa eſt in principio talis temporis ſicut a. potentia ab eque reſiſtēte puncto in ſuo ma­iori medio ſiue reſiſtentia magis extenſa: et quilib3 punctus eq̈liter diſtans a pūcto ↄ̨ſimilis intēſiõis in minori medio et in maiori: ī mīori ſiue ī reſiſtētia minus extenſa eſt intenſior puncto ſibi correſꝑõdē­te in reſiſtentia magis extenſa / vt patet: ergo per il­lud tempus continuo b. eſt in maiori reſiſtentia: et ꝑ conſequens continuo mouetur tardius: et non eque­velociter / quod probare intendimus. Pro-batur ſecunda pars minoris: videlicet /  non per aliquod tempus mouetur velocius: et īmediate poſt etc. / quia ſi ſic ſignetur inſtans / in quo b. incipit mo-ueri per aliquod tempus velocius ante quod īmedi­ate continuo per aliquod tempus tardius moueba­tur. Et ſequitur /  in tali inſtanti a. et b. habēt equa­les proportiones ad puncta in quibus ſunt quia ſi b. habeat maiorem ſequitur /  īmediate antea ha-bebat maiorem, et ſic non īmediate antea mouebat̄̄ tardius ꝙ̄ a. / et ſi minorem ſequitur /  īmediate poſt illud inſtans datum mouetur tardius et ſic non tūc incipit velocius moueri ꝙ̄ a. Tunc igitur ſic arguo / a. et b. in inſtanti dato ſunt ad puncta eque intenſa et b. incipit continuo velocius moueri recedendo a ſuo puncto ꝙ̄ a. / ergo b. incipit continuo magis di-ſtare ab illo puncto ꝙ̄ a. a conſimili: et per conſeq̄ns īcipit continuo eſſe in maiori reſiſtentia quã a. / et ex hoc ſetur incipit continuo tardius moueri et non velocius / quod eſt oppoſitum dati. Sed probatur tertia pars minoris videlicet /  non per aliquod tempus b. potentia velocius mouetur et immediate poſt continuo per aliquod tempus tardius moue-tur: quia ſi ſic. Capio inſtans / in quo b. incipit mo-ueri tardius quã a. per aliquod tempꝰ īmediate an­te quod per aliquod tempus continuo velociꝰ mo-uebatur quã a. Et arguo ſic / vel continuo ante illud inſtans b. mouetur velocius quã a. vel aliquando tardius et īmediate poſt velocius: Sed neutrū iſtoꝝ eſt dicendum: ergo non per aliquod tempus b. potē­tia velocius mouetur et īmediate poſt per aliquod tewpus continuo tardius mouetur. Patet conſeq̄n­tia / quia b. nū̄ eque velociter mouetur ſicut a. ex ṗ-ma parte minoris Sed probatur minor / quia nõ ē dicendum primum / vt patet ex maiore: nec ſecunduꝫ / vt patet ex ſecunda parte minoris: ergo propoſitū Et ſic patet tota minor et per conſequens correla-rium / quod fuit ꝓbandum. ¶ Sequitur tertio /  vbi­cun in latitudinibus ſic vniformiter difformibus equalibus intenſiue et inequalibus extenſiue / vt po-nitur in caſu precedentis correlarii alique potentie incipiunt moueri procedendo ab extremis remiſſio­ribus: poña que mouetur in reſiſtentia minus exten­ſa ſemper citius deueniet ad finem ſue reſiſtentie

3. correl.

Hoc eſt citius pertranſibit totam ſuam reſiſtentiaꝫ quam altera pertranſeat ſuam reſiſtentiam magis extenſam ̄uis ipſa tardius continuo moueant̄̄ eã adequate pertranſeundo. Probatur correlarium / qui potentia que mouetur cum reſiſtentia minꝰ ex­tenſa continuo mouetur tardius ex precedenti cor-relario. igitur continuo eſt in intenſiori reſiſtentia: et continuo citius deueniet ad aliquem punctum re­ ſiſtentie quam poña que mouetur in reſiſtentia ma­gis extenſa deueniat ad conſimile punctum. Conſe­quentia patet ex probatione precedentis correlarii / et per conſequens citius deueniet ad punctum extre­mum reſiſtentie minus extenſe ꝙ̄ poña ei equalis de­ueniat ad idem punctum in reſiſtentia magis exten­ſa et ex hoc citius pertranſibit illam / quod fuit pro-bandum. ¶ Sequitur quarto /  datis duabus lati­tudinibus reſiſtentie vniformiter difformis equali­bus intenſiue: et inequalibus extenſiue: et captis dua­bus potentiis equalibus quarum vna incipit mo-ueri per minus extenſam: et altera per magis exten­ſam ab extremo intenſiori quieſcentibus continuo latitudinibus et potentiis non variatis: poña que mouetur cuꝫ reſiſtentia minus extenſa continuo ve­locius mouetur quã altera que mouetur cum reſiſtē­tia magis extenſa: Hoc correlariuꝫ facile ex proba­tione precedentis demonſtratur: hoc premiſſo /  oī­um punctorum equaliter diſtantium in illis latitu-dinibus ab extremo intenſiori punctus in latitudi­ne minus extenſa minus reſiſtit ꝙ̄ punctus ſibi cor­reſpondens in latitudine magis extenſa Quod pa­tet intuenti. ¶ Sequitur quinto /  latitudine reſiſtē­tie vniformiter difformi ſic ſe condenſante / vt po-nitur in caſu argumenti: quolibet eius puncto ītrin­ſeco continuo vniformiter mouente, quieſcente gra­du remiſſiori: et intenſiori tardius mouente quã po­tentia que incipit moueri cum illo mouetur cum eo­dem, potentia et omni pūcto verſus intenſius extre­mum quieſcens mouentibus: omnis talis poña que ſic mouetur continuo intendit motum ſuum. Pro-batur / quia talis poña continuo velocius mouetur quã punctus in quo pro tunc eſt: et continuo moue-tur verſus minorem reſiſtentiam: igitur propoſitū Conſequentia patet cum minori ex caſu: et maior ꝓ­batur / quia talis potentia velocius mouetur quam punctus velociſſime motus / vt patet ex caſu: ergo ̄­quicun alter eiuſdem latitudinis Patet con-ſequentia / quia quilibet aliorum qui mouetur tar-dius mouetur: et ad ipſum habet potentia maioreꝫ proportionem / igitur etc. ¶ Sequitur ſexto /  ſi li­bet punctus intrinſecus talis reſiſtentie ↄ̨tinuo mo­ueretur verſus extremum remiſſius quieſcens: conti­nuo remittendo motum ſuum: potentia etiam con-tinuo intenderet motum ſuuꝫ: dūmodo incipiat po­tentia velocius moueri ꝙ̄ punctus qui velociſſime mouetur. Patet hoc correlarium ex precedenti iun­cto loco a fortiori. ¶ Sequitur ſeptimo /  latitudi-ne reſiſtentie vniformiter difformis ſic ſe condenſã­te: vt poſitum eſt quolibet puncto eius intrinſeco cõ­tinuo ſucceſſiue intendente motum ſuum, et potētia velocius incipiat moueri a puncto velociſſime mo-to quã talis punctus incipit moueri: ipſis mouen-tibus verſus extremum remiſſius / non oportet /  talis potentia continuo intendat motum ſuum: nec oportet /  continuo remittat motū ſuum / nec opor­tet /  aliquando intendat et aliquando remittat: ſꝫ poteſt aliquando intendere, et aliquando remitte-rē: oportet tamen /  incipiat intendere. Probatur quia caſu poſito /  ſit vna latitudo r̄ſiſtētie ab octa­uo vſ ad non gradum: et incipiat poña vt .12. mo-ueri cum illa ſe condenſante / vt poſitum eſt: quoli-bet puncto intrinſeco continuo intendente motum ſuum taliter  quando poña deuenerit ad punctuꝫ vt ſex / tunc primo punctum vt ſex incipiat moueri a proportione dupla. / et iam ſequitur (cum ille pūctus continuo intendat motum ſum) /  poña non ſufficit ipſum precedere: ſed ipſe precedet potentiam: et ſic poña manebit cum intenſiori reſiſtentia et remittit motum ſuum. Et ſic iam patet /  non oportet /  ſem­per intendat nec  ſemper remittat Sed  nõ opor­tet  aliquado intendat: et aliquando remittat pa­tet, ponēdo /  nū̄ punctus vt ſex moueatur a pro-portione dupla īmo ſemper a minori imo  maxi-ma proportio a qua mouebitur punctus vt .8. ſit mi­nor ſexquialtera continuo tamen moueatur a ma-iori et maiori. Quo poſito iam patet /  poña conti­nuo intendit motum ſuum. Ultima vero pars cor-relarii patet ex caſu correlarii. ¶ Illam tamen par­ticulam que dicit /  aliquando poteſt intendere et aliquaudo remittere tan̄ probaliter poſitã re-linquo Non enim eam ſufficienter demonſtraui / q2 non probo poſſibilitatem caſus / in quo illam dico eſſe veram Diſcutiat igitur eam alter.

4. correl. 5. correl. 6. correl. 7. correl.
8. correl.

¶ Sequitur octauo /  latitudine reſiſtentie vnifor-miter difformis ſic ſe condenſante ſubiecto eius e­ſcente et quolibet puncto illius dempto remiſſiori continuo mouente vniformiter: potentia incipiens moueri ab extremo intenſiori verſus remiſſius ve-locius et velocius intendit motum ſuum: dummodo velocius incipiat moueri quã gradus a quo īcipit moueri moueatur. Probatur correlarium / quia di­diuiſo totali tempore in quo pertinget extremū re­miſſius in duas partes equales manifeſtum eſt /  plus reſtabit tranſeundum de reſiſtentia in ſecūda medietate quã pertranſitum ſit quia plus reſtabit de ſubiecto pertranſeundum quã pertranſitum. igi­tur plus de reſiſtentia. Probatur antecedens / quia in prima medietate illius temporis potentia nõ de­ueniet ad medium illius ſubiecti: et per conſeq̄ns nec ad medium illius reſiſtentie cum medium illius reſi­ſtentie iam ſit vltra medium illius ſubiecti: igitur plus tam de ſubiecto quã de reſiſtentia reſtabit trã­ſeundum in ſecunda medietate quã in prima. Pa-tet antecedens clare / q2 velocius talis poña moue-bitur in ſecunda medietate quã in prima: ergo plus pertranſibit in ſecunda quam in prima: et ſic in pri­ma non pertranſibit medietatem Et ſic probabi-tur diuiſa ſecūda medietate in duas partes equa-les  plus pertranſeundum eſt in ſecunda quã per­tranſitur in prima. Et iterum illa in duas / et ſic con­ſequenter velocius in quolibet tēpore ſequenti quã in precedenti: et ſic velocius ꝓportionabiliter ſibi decreſcit reſiſtentia in ſecunda medietate quam in prima / vt patet intuenti cunabula huius materie: et per conſequens velocius et velocius intendit motū ſuum / qund fuit probandum. ¶ Sequitur nono /  vbicun poña in latitudine ſic cõdenſante cõtinuo intendit motum ſuum, ſiue quolibet puncto qui mo­uetur mouente vniformiter: ſiue continuo remitten­te: ſiue intendente talis poña velocius et velocius in­tendit motum ſuum. Patet correlarium ex dictis. ¶ Sequitur decimo /  vbicū extremum intenſius quieſcit quolibet puncto alio continuo vniformiter mouente et condenſante: poña incipiens velociꝰ mo­ueri quam extremū remiſſius a quo incipit mouea­tur mouendo verſus extremnm intenſius continuo remittit motum ſuum dūmodo nullum punctuꝫ ita velociter moueatur ſicut poña ſufficit moueri cū il-lo imo tardius Correlarium hoc facile patet intel-ligenti ea que dicta ſunt. ¶ Cir materiam huiꝰ ar-gumenti poſſent multc alie concluſiones induci po­nendo  extremū intenſius quieſcat et verſus illud continuo alia puncta condenſentur:  aliquando condenſentur: et aliquando rarefiant: et quando vniformiter: quando tardius et tardius qñ ve-locius et velocius. Sed q2 ex dictis facile tales con­cluſiones poſſent induci ideo ſuperſedeo.

.9 correl. 10. corre.

Tertio contra primam concluſionem quartidecimi capitis arguitur ſic argumento cal-culatorio. Quia aliquando in caſu illius concluſio­nis poña non mouetur vniformiter / igitur concluſio falſa. Probatur antecedens / et pono /  poña vt .8. q̄ ſit a. incipiat moueri cuꝫ latitudine reſiſtentie vni­formiter defformis a non gradu vſ ad octauū / vt ponitur in caſu illius cõcluſionis: et ſit mediū ī quo adequate illa latitudo extenditur a non quanto b. / et ſint infinita media equalia ipſi b. / et per primã me­dietatem primi adequate ſit extenſa illa latitudo q̄ extenditur a non quanto in b. / et in ſecundo medio il­lorum ſit extenſa eadem latitudo in duplo minori parte adequate / et in tertio in quadruplo minori / et in quarto in octuplo minori / et ſic conſequenter / et in inſtanti in quo incipit poña vt 8. moueri ī b. medio cum latitudine progrediente a non quanto in quo-libet aliorum mediorum incipiat moueri poña eq̄-lis ipſi potentie vt: 8. ipſa latitudine in quolibet il­lorum mediorū continuo acquirendo equalem quã­titatem quantitati quam acquirit eadem latitudo in b. / ita  quilibet punctus in quolibet illorum me­diorum moueatur equaliter in vno ſicut in altero et ſicut in b. Quo poſito arguitur ſic / īmediate pꝰ hoc demonſtrato inſtanti īitiatiuo motus in infinitum tarde in equali tempore mouebit̄̄ aliquod illorum mobiliū et tardius a. poña in b. medio quã aliquod illorū: ergo in infinitū tarde incipit a. moueri: et per conſequens nõ vniformiter: et ſic cõcluſio falſa. Cõ­ſequentia patet / et probat̄̄ maior / q2 īmediate pꝰ hoc inſtans in equali tempore infinite modicum ſpaciū pertranſibit aliquod iſtorum mobilium. ergo īme-diate poſt hoc inſtãs in equali tempore in infinitum tarde meubit̄̄ aliquod illorū mobiliū in aliquo il­lorū mediorū. Conſequentia eſt nota, et antecedens probatur / q2 īmediate poſt hoc inſtans in equali tē­pore in infinitū modicū ē aliquod illorū medioruꝫ: et nullum illorum poña ſufficit pertranſire cum ha­beat ad extremum eius ꝓportionem equalitates: ergo īmediate poſt hoc inſtans initiatiuū in equali tempore in infinitum modicū ſpacium pertranſibit aliquod illorum infinitorū mobilium. Conſequen-tia patet / q2 ſi in infinite modico ſpacio mouetur ali­quod illorum: in infinitum modicum ſpacium per-tranſit. Sed minor videlicet /  a. tardius mouetur quã aliqḋ illorū infinitoꝝ mobiliū Probatur / quia a. continuo eſt in minus extenſa reſiſtentia equali ī­tenſiue reſiſtentie in qua mouetur quodlibet alterū / igitur continuo tardius mouetur Patet conſeqnē­tia ex ſecundo correlario ſexte concluſionis prece-dentis capitis. ¶ Et confirmatur etiam / q2 ſi a. equa­liter vel velociꝰ continuo mouet̄̄ ipſū eſſet ↄ̨tinuo in­equali vel mininori teſiſtentia: ſed quelibet equalis vel minor reſiſtentia in latitudine in qua mouetur a. minus diſtat a puncto initiatiuo motus quã con­ſimilis diſtet in aliquo aliorum mediorum in quoꝝ quolibet eſt magis extenſa ipſa latitudo: igitur ſi continuo a. eſt in minori reſiſtentia vel inequali ia poña a. continuo eſt propinquior puncto initiati-uo motus / et per conſequens tardius continuo mo-uetur Et ſic ſi mouet̄̄ equaliter vel velocius ſetur /  continuo tardius mouetur.

Reſpondeo negando antecedens /  ad probationem admiſſo caſu concedendo minorē / q2 argumentum bene probat eam concedendam / et ne­go maiorem / et ad probarionem nego /  immediate poſt hoc demonſtrato inſtanti initiatiuo motus in infinitum tarde moueatnr aliquod illorum / et ad ꝓ- bationē negãdo añs vcꝫ  īmediate poſt hoc in eq̈li tēpore in īfinitū paruū ſpaciū ꝑtranſibit aliqḋ illo­rum mobiliū equaliū ipſi a. et cū ꝓbat̄̄ / q2 īmediate poſt hoc in aliquo tꝑe in īfinitū modicū erit mediū in quo mouet̄̄ aliqḋ illoꝝ nego illud: īmo quocnu tꝑe dato poſt hoc in illo latitudo in qua mouet̄̄ a. erit extēſa per aliquã partē medii: et in eodē tēpore ꝑ maiorē partē medii erit extenſa eadē latitudo iu quolibet alioꝝ medioꝝ / vt ptꝫ ex caſu: q quantãcū­ extenſionē acquirit illa latitudo in medio b. in q̊ mouetur a. tantã adequate in eodē tēpore acquirit eadē latitudo in quolibet alioꝝ medioꝝ ſupra extē­ſionē quã iam habet in quolibet illoꝝ: et ſic cõtinuo in quolibet alioꝝ medioꝝ erit magis extēſa illa la­titudo quã in b. medio in quo mouetur a.

Sed contra / q2 ſi latitudo in quolibet illoꝝ medioꝝ a b. ſtaret tūc in infinitū tarde moue-tur aliquod illoꝝ mobiliū in aliquo illoꝝ mediorū in aliquo tempore poſt inſtans initiatiuū motus / et tunc a. moueretur adhuc quolibet illoꝝ tardiꝰ: igr̄ Maior ꝓbato eſt ſuperius / q īmedietate poſt in-ſtans initiatiuū motus in equali tēpore in infinitū modicū erit ſpaciū pertranſitū ab aliquo illoꝝ cū in infinitū modicū ſit aliquod illoꝝ mediorū. Sed iam ꝓbatur minor / q2 quãdo ille latitudines mouē­tur in illis mediis / vt poſitū eſt in argumento a. mo­uetur quolibet illoꝝ mobiliū tardius / vt ptꝫ ex ar-gumento et in nulla ꝓportione incipit aliquod illo­rum mobiliū velocius moueri mouente latitudine quã quieſcente: ergo a. quolibet illoꝝ medioꝝ quie-ſcente et latitudine in eis ſimiliter incipit quolibet illoꝝ tardius moueri. Minor ꝓbatur / quia ſi nõ de­tur aliquod illoꝝ quod ſit d. quod in aliqua ꝓpor-tione puta dupla incipiat velocius moueri latitu-dine mota quã latitudine quieſcente / et arguitur ſic / d. in duplo velociꝰ incipit moueri latitudine ſic mo­uente / vt ponitur in caſu argumenti quã ſic quieſcē­te, ponatur igitur /  incipiat moueri ſimul in quie­ſcente latitudine et in mouente: et arguitur ſic / in du­plo velocius per te incipit moueri d. in latitudine mouente quã quieſcente: ergo immediate poſt hoc demonſtrato inſtanti initiatiuo motus d. in latitu­dine mota in duplo plus diſtabit a puncto initia-tiuo motus quã in latitudine non mota et erit in la­titudine mota in puncto in duplo remiſſiori: et in latitudine non mota in puncto in dnplo intenſiori / igitur īmediate poſt hoc latitudo mota erit in du-plo maior in loco vbi mouetur quã in loco vbi quie­ſcit: ſed conſequens eſt falſum / quia ſucceſſiue in ca­ſu ſit extenſior vbi mouetur quã eſt in loco vbi quie-ſcit / vt ponitur igitur. Ultima conſequentia proba­tur / quia ſi tantum diſtaret a puncto initiatiuo mo­tus in latitudine non mota punctus in quo poten-tia eſt in inſtanti in quo ſic mouetur in duplo tar-dius quantum diſtat punctus ſubduplus in quo eſt potentia in latitudine mota: manifeſtum eſt /  illa latitudo mota eſſet in duplo extenſior latitudine quieſcente in loco in quo quieſcit: quia tantum di-ſtaret in latitudine mota aliquis punctus ab extre­mo remiſſiori quantum duplus punctus diſtaret in latitudine non mota: et ſic manifeſtum eſt /  in loco in quo mouetur eſt in duplo extēſior quã in loco in quo quieſcit. Et ſic probabitur quacun alia pro-portione data /  īmediate poſt hoc in eadem pro-portione latitudo in quo mouetur erit maior lati-tudine vbi quieſcit. Dico in eadē vel maiori: et ſem-ꝑ ſuppono latitudīes manere vniformiṫ difformes

Reſpondeo ad replicam concedendo maiorem, et negando mnorem, et ad probationem nego /  in nulla proportione incipit aliquod illo-rum velocius mouere latitudine mouente quã ipſa quieſcente: immo do oppoſitum puta /  in aliqua proportione incipit aliquod illorum velocius mo-ueri latitudine mouente quam ipſa quieſcente. Et cum petitur /  detur / quod illorū ſic in aliqua pro-portiõe velociꝰ īcipit moueri latitudīe mouēte quã quieſcente. Dico /  ly aliquod illorū ſupponit con­fuſe tantum. Et ideo non debet ſignari: quãuis ſi-gnetur proportio quia ly proportiõe ſupponit de-terminate. ¶ Ex quo ſequitur /  in aliqua propor-tione incipit aliquod illorum velocius moueri la-titudine mota quam quieſcente et tamen in nulla proportione aliquod illorum incipit velocius mo-ueri latitudine mota quam quieſcente. Patet cor-relarium ex logica et ex improbatione oppoſiti hu­ius propoſitionis aſſumpte in nulla proportione incipit aliquod illorum etc̈. ¶ Sequitur ſecundo /  in infinitum tarde incipit aliquod illorum moueri quieſcentibus illis latitudinibus et tamen nullum illorum aliqua proportione incipit tardius moue­ri altero. Prima pars huiꝰ correlarii patet ex ſu-perioribus: et ſecunda probatur / quia quodlibet il­lorū ab eadem reſiſtentia vel ab equali incipit mo-ueri: ergo nullum illorum aliqua proportione in-cipit moueri velociꝰ altero: q2 alias ſeq̄ret̄̄ /  illam maiorē ꝓportionē ſubito acreret / quod eſt falſuꝫ.

1. correĺ. 2. correĺ.

Quarto contra quartam concluſio-nem quartidecimi capitis arguitur ſic. Si illa con­cluſio eſſet vera / ſequeretur in caſu /  a. potētia quo­cun gradu intrinſeco alicuius reſiſtentie per quã mouetur dato: incipit velocius intendere motum ſuum et moueri: quolibet illorum punctorum inci-piente motum ſuum intendere a non gradu et po-tentia ſimul: ſed conſequens eſt falſum / igitur illud ex quo ſequitur. Sequela probatur / et pono /  ſit vna latitudo a non gradu vſ ad octauum vnifor-miter difformis progrediens a non quanto quoli-bet eius puncto intrinſeco incipiente a nõ gradu intendere motum ſuum: et tncipiat ſimul cum tali latitudine moueri potentia vt .8. / quo poſito argui­tur ſic / quilibet punctus intrinſecus incipit vnifor-miter intendere motum ſuū a non gradu / vt ptꝫ ex caſu: et potētia ſimiliter (q ſi potētia inciperet a gradu: iam quolibet pūcto inciperet velociꝰ moue­ri et ſic quodlibet inciperet cedere: et per cõſequēs nõ moueret̄̄ cū illa latitudine: ſed ſubito pertrãſi-ret totū mediū nõ reſiſtēs) et in illo caſu a quolibet pūcto intrīſeco illiꝰ latitudīs īcipit velociꝰ moueri: et velociꝰ ītēdere motū ſuū: igr̄ ꝓpoſitū. Ptꝫ ↄ̨ña cū maiore: et ꝓbat̄̄ mīor / q qḋlibet punctū intrīſecū īcipit cedere: g̊ q̊libet pūcto intrīſeco īcipit velociꝰ intendere motū ſuū et moueri. Probat̄̄ añs / q2 ipſa īcipit a nõ g̈du: g̊ īcipit a pūcto ſibi eq̈li ꝓcedēdo cõ­tinuo ſus pūcta minꝰ intēſa: g̊ ſequit̄̄ /  qḋlibet in­trīſecū īcipit cedere. ¶ Et ↄ̨firmat̄̄ / q2 ſi nõ det̄̄ / igit̄̄ pūctꝰ ītrīſecꝰ illiꝰ latitudinis quē nõ ceſſit a. et ma­nifeſtū eſt /  a. hꝫ ad illū certã ꝓportionē: et ſemꝑ ꝑ­te mouebat̄̄ cū remiſſiori pūcto a prīcipio motꝰ: g̊ ſequit̄̄ /  talis poña ab aliq̈ certa ꝓportiõe incipit moueri: et nõ īcipit a nõ g̈du qḋ eſt ↄ̨tra caſū. Patꝫ ↄ̨ña / q2 ↄ̨tinuo mouet̄̄ a maiori ꝓportiõe ꝙ̄ ſi ꝓpor­tio quã hꝫ ad illū pūctū quē nū̄ ceſſit etc̈. Sꝫ iã ꝓ­bat̄̄ falſitas ↄ̨ñtis / q2 ſi a poña īcipit q̊libet puncto intrīſeco velociꝰ moueri / ſequit̄̄ /  inſtãti qḋ eſt pñs et initiatiuo motꝰ ia poña nõ mouet̄̄ velociꝰ q̊libet pūcto ītrīſeco: et īmediate poſt inſtãs / qḋ eſt pñs mo­uebit̄̄ velociꝰ quolibet pūcto intrinſeco: ſed ↄ̨ñs eſt falſū: igr̄ illud ex quo ſetur. Falſitas ↄ̨ñtis ꝓbat̄̄: q īmediate poſt inſtãs qḋ eſt ſens cõtinuo infini­ta puncta intrīſeca velociꝰ mouebūtur ipſa poten-tia a. / igr̄ nõ īmediate poſt inſtãs / qḋ eſt ſens moue­bitur velociꝰ quolibet pūcto intrīſeco / qḋ eſt oppo-ſitū cõſequētis illati. Cõſequētia ptꝫ, et ꝓbat̄̄ añs, q īmediate poſt inſtãs / qḋ eſt ſens īfinita pūcta cedēt ipſã potentiã / vt ptꝫ, q2 illa potentia erit in aliquo pūcto intrīſeco cū intēdat ꝑ te ↄ̨tinuo motū ſuū: ergo īmediate poſt hoc cõtinuo īfinita puncta velociꝰ mouebūtur ipſa a: poña / qḋ fuit ꝓbandum.

Senariꝰ tñ puto cõfūdere ly aliq̄ ꝓ­portione ↄ̨firmat̄̄.

Reſpõdeo cõcedēdo / qḋ infert̄̄  negã-do falſitatē ↄ̨ſequētis, et ad ꝓbationē falſitatis cõ­ſequētis, cõcedo ↄ̨ſequētiã, et negãdo añs: nec illud añs eſt ꝓpoſitio q̄ infert̄̄ in argumēto: ſꝫ ꝓpoſitio q̄ infert̄̄ eſt iſta quolibet g̈du intrīſeco illiꝰ reſiſtētie dato incipit a. poña velociꝰ moueri: et velociꝰ inten­dere motū ſuū q̄ vera et ꝓbata eſt ſufficienter. ¶ Ex quo ſetur /  quolibet gradu ſiue pūcto ītrīſeco il-lius reſiſtentie īcipit a. potētia velociꝰ moueri: et tñ nõ īcipit moueri quolibet gradu ſiue pūcto intrīſe-co illiꝰ reſiſtentie velociꝰ. Patet correlariū ex lo-gica et caſu. Unã illaꝝ ꝓpoſitionū eſt īmediate ex-ponibilis: et alia nõ. ¶ Sequit̄̄ ſecūo /  in caſu ar-gumenti quocū gradu ſiue pūcto intrīſeco illius reſiſtētie īcipit a. velociꝰ moueri: et tñ ãte quodlibet īſtãs futuꝝ poſt īſtãs / qḋ eſt ſens velociꝰ īfiniti g̈dꝰ ſiue pūcti intrinſeci mouebūtur. Patet hoc corre-lariū ex deductione argumēti. Et eſt duodecima cõ­cluſio calculatoris in primo capite de medio nõ re­ſiſtente. ¶ Setur tertio /  ſi poſt̄ latitudo illa re­ſiſtentie mouet̄̄ cõtinuo vniformiter cū poña incipi­ente moueri cū illa: quilibet pūctus eiꝰ intrinſecus incipiat moueri velociꝰ vniformiter quã antea: mo­tus illiꝰ potētie incipiet eſſe retrogradꝰ quo ad reſi­ſtentiã. Incipiet e intēdere motū ſuū. Et ſi poſtea quilibet punctꝰ reſtitueret̄̄ priſtine velocitati vnifor­miter: poña iteꝝ incipiet ꝑtrãſire eandē reſiſtentiã remittendo motū ſuū. Et poteſt hoc fieri infinities ſi motus latitudinis īfinities variet̄̄. Probat̄̄ cor-relariū / et pono /  in latitudīe data a nõ gradu vſ ad octauū moueat̄̄ pūctus vt .4. a ꝓportiõe dupla vniformiṫ ꝑ aliqḋ tēpꝰ: et ꝑ idē tēpꝰ moueat̄̄ poña vt octo cū illo pūcto vt .4. etiã a ꝓportiõe dupla: et de-inde in īſtãti a. īcipiat ſubito ille pūctꝰ vt .4. moueri a ꝓportiõe q̈drupla. Quo poſito manifeſtū ē /  ille pūctꝰ īcipiet cedere poñaꝫ īcipiet intēdere motū ſuū: intēdat igr̄ motū ſuū / quo ad vſ veniat ad punctū a. vel b. (nõ eſt cura) et cū ꝑuenerit ad il-lud punctū incipiat latitudo iteꝝ moueri eo modo q̊ mouebat̄̄ ãtea vniformiṫ puta g̈dus vt .4. īcipiat moueri a ꝓportiõe dupla: et g̈dꝰ vt .8. a q̈drupla vni­formiṫ ↄ̨tinuo. Quo poſito iã poña iteꝝ incipit re-mittere motū ſuū q̊ ad vr ſit ī pūcto vt .4. q lꝫ pūctꝰ citra .4. / tunc tardiꝰ mouet̄̄ / tūc ꝙ̄ poña ſufficit moueri cū illo, q cū pūcto vt .4. ſufficit moueri po­tētia a ꝓportiõe dupla et ab eadē mouet̄̄ punctꝰ vt 4. et lꝫ pūctꝰ remiſſiora minori, et ipſa poña cū lꝫ remiſſiori a maiori ꝙ̄ dupla ſufficit moueri: igr̄ qḋ­lꝫ remiſſiꝰ cū q̊ eſt īcipit ꝑtrãſire et ꝑ ↄ̨ñs ãtea ꝙ̄ deue­niet ad pūctū vt .4. ↄ̨tinuo remittet motū ſuū. Et ſic ptꝫ correlariū. ¶ Hec igr̄ ꝓ īgenioli mei tenuitate de velocitate motꝰ penes cauſã ī medio difformiter difformi variato, et eſcēte poña ſiĺr variata et eſcē­te, itidē ī medio vniformiter difformiter reſiſtēte et īuariato, etiã in medio nõ reſiſtente in quo fit parti­bilis acquiſitio reſiſtentie vniformiter et difformi-ter difformis / dicta ſint tanta.

1. correĺ. 2. correĺ. Duodeci­ma ↄ̨cĺo calcu. 3. correĺ.

¶ Setur tractatꝰ ſecūdꝰ huiꝰ tertie ꝑtis in q̊ de-termīat̄̄ de velocitate et tarditate motꝰ penes effe-ctū, exordiendo primo a motu locali tan̄ a priori

Capitulū ṗmū / in quo ponūtur aliq̈ cõia elemēta ī hac materia definitiões vcꝫ diuiſionibꝰ adiunctis

PHiloſophorū prīcipis ariſtote­lis pleriſ in locis ſue pḣie huic nr̄o inii-tio a pṗme accõmoda extat ſententia. Ait e ꝓhemio phiſicoꝝ, et ī prīcipio moralis pḣie īdu­cēdo platõis teſtīoniū, duplicē reꝝ cognoſcēdi eſſe viã a ṗori vcꝫ / et ꝑ cauſas vſ ad elemēta reſoluēdo et ꝑ effectū q̊s duos cognoſcēdi tramites ṗmo poſte­rioꝝ capite illo in quo demouſtrationē ipſã partit̄̄ q2 et ꝓpṫ quid appellat: ſuapte tñ natura ītellectui nr̄o vt eidē pḣo placet allegato ꝓhemio īnata at- congenita eſt via ꝑ effectū rē dinoſcendi: tam et ſi vtro tramite ipſaꝝ reꝝ cognitionē attīgere vale-at. Exacta igr̄ at tradita / vt potuimꝰ velocitatꝪ et tarditatꝪ motꝰ noticia penes ṗmū modū ꝓpter d vcꝫ / et ꝑ cauſã q̄ cauſa ꝓportiõalitas geometrica eſt iã nūc ſens opus nos īducit at admonet ad tra-dendã noticiã velocitatis et tarditatis motꝰ penes m modū cognoſcēdi hoc ē peues effectū. Proceda­mus igr̄ / a motū locali ꝓpṫ ſui dignitatē at ṗori-tatē exordiū ſumētes. Suppoſita igr̄ definitiõe mo­tus localis dico /  biꝑtitꝰ eſt motꝰ localis. Nã dã eſt motꝰ localis vniformis, quidam vero difformis

pḣs in ꝓ­hemio phiſicoꝝ
Diuiſio motꝰ lo-calis.

Motꝰ localis vniformis ē / quo ī equa­libꝰ tꝑis eq̈lia ſpacia ꝑtrãſeūtur rarefactiõe et cõ-dēſatiõe deductis, deductis etiã aliis paruis ſqui­liis cuiuſmodi eſt ↄ̨tra mutatio ſpacii vĺ qḋ non ſit aliqḋ ſpaciū: ſufficit e veꝝ vĺ ymaginaꝝ ſpacium Exēplū / vt ſi mobile ī hora adeq̈te ꝑtrãſeat leucã. Et ī ṗma parte ꝓportiõali hore ṗmã ꝑtē ꝓportiõalē leu-ce in ſcḋa ſcḋaꝫ / et ſic ↄ̨ñter. ¶ Motꝰ o difformis eſt qñ ī eq̈libꝰ ꝑtibꝰ tꝑis nõ eq̈lia ſpacia ꝑtrãſeūtur ce-teris paribꝰ, deductꝪ deducēdis: vt ſi mobile ꝑtrã-ſeat in hora adeq̈te leucã, in ṗma medietate vnam q̈rtã et in ſcḋa tres q̈rtas talis motus eſt difformis ¶ Motꝰ difformis diuidit̄̄ / q2 dã eſt vniformiṫ dif-formis, dã o difformiṫ difformis. Motꝰ vnifor-miter difformis (vt cõiter definit̄̄) eſt triplex dã eſt vniformiṫ difformis q̊ ad ſubiectū t, dã q̊ ad tē-pꝰ t, dã o q̊ ad ſubiectū et tēpꝰ ſiĺ. ¶ Motꝰ vni-formiṫ difformis q̊ ad ſubiectū vt cõiter definit̄̄ eſt qñ cuiꝰcū ꝑtis ſubiecti dimidiū t excedit̄̄ ī velo-citate ab extremo velociori illiꝰ ̄tū excedit extre-mū tardiꝰ motū ī velocitate. Exēplū / vt motꝰ rote fi­guli: et ꝑ dimidiū ītelligas pūctū ī medio vĺ  yma­gīarie ē ibi ṫmīſãdo. ¶ Motꝰ o vniformiṫ diffor-mis q̊ ad tēpꝰ ē qñ cuiꝰcū ꝑtꝪ / accepte m tēpꝰ .i. q̄ adeq̈te ē ī aliq̈ ꝑte tꝑis g̈dꝰ mediꝰ  ē ī medio taĺ ꝑtꝪ tãto excedit extremū remiſſiꝰ ̄to excedit̄̄ ab intēſio­ri. Exēplū / vt ſi aliqḋ mobile incipiat moueri a non g̈du cõtinuo intendendo vniformiter motū ſuū per aliqḋ tēpꝰ: tūc talis motꝰ eſt vniformiter difformis q̊ ad tēpꝰ. ¶ Motꝰ aūt vniformiter difformis quo ad tēpꝰ, et quo ad ſubiectū: definit̄̄ ↄ̨iūgēdo definiti­ones motꝰ vniformiṫ difformis quo ad tēpꝰ, et quo ad ſubiectū. ¶ Motꝰ aūt difformiṫ difformis cõſi-militer diuidi poteſt: videlicet motuū difformiter difformiū alius eſt difformiter difformis quo ad tempus, alius quo ad ſubiectum, alius quo ad tem­pus et ſubiectū ſimul. Et ſimiliter poteſt diuidi mo­tus vniformis, quãuis proprie ſecundum definiti-onem datam ille motus ſit vniformis, quo in equa­libus partibus temporis equalia ſpacia pertran-ſeūtur: et in nullis equalibus inequalia, ſiue talis motꝰ ſit vniformis quo ad ſubiectū ſiue difformis. ¶ Sed q definitio motꝰ vniformiter difformis q̊ ad ſubiectū q̄ cõiter dat̄̄ michi ſufficiēs nõ videtur. Ideo vt definitio motꝰ vniformiter difformis adī-ueniat̄̄ vt poſſibile erit. Querit̄̄ an definitio illa mo­tus vniformiṫ difformis q̊ ad ſubiectū ſit bñ aſſig̈ta

Diuiſio motꝰ dif­formis. Diuiſio motꝰ lo-calis dif­formiter diffor-mis. Queſtio vtrū defi­nitio mo­tus vni-formiter difforīs q̊ ad ſub­iectuꝫ ſit bene aſſi­gnata.

Et arguit̄̄ primo /  non q2 ſcḋ3 illã nul­lus ē motꝰ vniformiter difformis q̊ ad ſubiectū igr̄ Argr̄ añs / q2 ſi eſſet alis motꝰ vniformiter diffor-mis quo ad ſubiectū maxīe effet motꝰ rote quo mo-uet̄̄ circulariter: ſꝫ talis motꝰ nõ eſt vniformitēr dif-formis q̊ ad ſubiectū: igr̄ ↄ̨ña ptꝫ cū maiore: et argr̄ mīor / q2 ſi talis motꝰ ē vniformiter difformis capio vnã rotã q̄ moueat̄̄ vniformiṫ difformiṫ a nõ g̈du in cētro vſ ad octauū in circūferētia: et arguo ſic / taĺ motꝰ ꝑ te ē vniformiṫ difformis a nõ gradu vſ adu octauū / g̊ velocitas eius corrñdet g̈dui medio puta vt .4.  mediꝰ g̈dus vt .4. eſt in pūcto medio taĺ rote / ſꝫ ↄ̨ñs eſt falſū: igr̄ illud ex quo ſetur, ↄ̨ña ptꝫ ſup-poſita opinione tenēte motū vniformiter difformē corrñdere motui exiſtēti in medio corporis mobilis Falſitas ↄ̨ñtis ꝓbat̄̄ / q2 alis pūctus qui tardiꝰ mo­uet̄̄ ꝙ̄ punctꝰ exiſtēs in medio illiꝰ rote mouet̄̄ veloci­tate vt .4. / g̊ ſetur /  alter pūctꝰ puta medius talis rote velociꝰ mouet̄̄ ꝙ̄ vt .4. Cõſequentia ptꝫ, et argr̄ añs, q2 pūctus exiſtēs in medio ſemidiametri inter centrū et circūferētiã mouet̄̄ velocitate vt .4. et talis pūctꝰ tardiꝰ mouet̄̄ ꝙ̄ pūctus exiſtēs in medio rote: igr̄ ꝓpoſitū. Argr̄ maior capio vnã rotã a.b.c. / et vo­lo /  ītra illã deſcribat̄̄ vnꝰ circulꝰ ei cõcētricꝰ cuiꝰ diameter ſit ſubdupla ad diametrū totius rote, et trãſeat talis circulꝰ ꝑ mediū pūcti ſemidiametri,  circulꝰ ſit f.gh. / vt ſcribit̄̄ in figura. Quo poſito ſic argumētor pūctꝰ mediꝰ ſemidiametri deſcribit circulū f.g.h. et talis cir­culꝰ ſiue talis linea cir-cularꝪ eſt ſubdupla ad circulū a.b.c. ſiue ad li-neã circūferētialē talis rote / q̄ deſcribit̄̄ a pun-cto velociſſime moto ta­lis rote, q2 circūferētia circuli cuiꝰ diameter eſt dupla ad diametrū alteriꝰ circuli mīoris eſt dupla ad circūferentiã mīoris circuli. Modo ſic eſt ī ꝓpo­ſito de diametrꝪ, et ꝑ ↄ̨ñs de circūferētiis illoꝝ duo­rū circuloꝝ: igr̄ ille pūctꝰ ſemidiametri mouet̄̄ velo­citate vt .4. Probat̄̄ hec ↄ̨ña / q2 ſubduplã lineã de-ſcribit ad lineã deſcriptã a pūcto velociſſime moto et talis pūctꝰ mouet̄̄ velocitate vt .8. vt poſitū ē: igr̄ ille pūctꝰ mediꝰ ſemidiametri (q mouet̄̄ ſubdupla velocitate) mouet̄̄ vt .4. / qḋ fuit ꝓbandū. Sꝫ iã ꝓbat̄̄ mīor vcꝫ /  talis pūctꝰ tardiꝰ mouet̄̄ ꝙ̄ pūctꝰ exiſtēs in medio rote (et nõ loquor hic de medio centrali q2 tale mediū nõ mouet̄̄: ſꝫ de medio qḋ eſt īter cētrū et circūferētiã) / et arguo ſic / talis pūctꝰ mediꝰ ſemidia-metri eſt in fine tertie q̈rte totiꝰ corporis illiꝰ rote et in prīcipio vltīe q̈rte ꝓcedendo ſus cētrū: igr̄ pū-ctus exiſtēs in medio totiꝰ magnitudinis ipſiꝰ rote eſt ꝓximior circūferētie ꝙ̄ ille pūctꝰ mediꝰ ſemidia-metri / et ꝑ ↄ̨ñs mouet̄̄ velociꝰ ꝙ̄ ille pūctꝰ mediꝰ ſemi­diametri / qḋ fuit ꝓbãdu. Ptꝫ ↄ̨ña ītelligēti naturã motꝰ vniformiṫ difformis. ¶ Dices forte / et bene ne-gãdo añs, et ad ꝓbationē ↄ̨cedēdo maiorē, et negã-do mīorē, et cū ꝓbat̄̄ admitto caſū cū his q̄ ibi ſup-ponūtur, et ↄ̨cedo añs et ↄ̨ñam, et diſtīguo ↄ̨ñs ̄tuꝫ ad illã particulã in qua dr̄ /  talis g̈dus mediꝰ eſt ī pūcto exiſtēti in medio talis rote, q2 aut tu ītelligꝪ de medio magnitudīs illiꝰ rote qḋ quidē mediū eſt in medio īter cētrū et circūferētiã talis rote diuidē-do illã rotã in duas rotas cõcētricas eq̈lis magni-tudinis ̄uis ſint īeq̈lis ãbitꝰ et circūferētie / vt ptꝫ in figura: et ſic nego, aut loqueris de pūcto exiſtēte in medio lõgitudinis īter cētrū et circūferetiã, et ſic bñ ↄ̨cedo /  ibi eſt gradꝰ mediꝰ / vt bene ꝓbat argumētū Unde dico /  ̄uis in q̈litate vniformiter difformi mediꝰ gradꝰ debeat eſſe in medio corporis ̄tū ad magnitudinē In motu tñ vniformiter difformi nõ oportet /  g̈dus mediꝰ ſit in medio corporis ̄tū ad magnitudinē: ſꝫ oportet /  ſit in medio corꝑis ̄tū ad lõgitudinē (ſumēdo lõgitudinē eius a puncto nõ moto ſiue tardiſſime moto vſ ad punctū velociſſi-me motū) q2 ſcḋm illū modū cedit ille motꝰ vnifor­miter difformis.

Dicitur.

Sed ↄ̨̨tra arguit̄̄ ſic / q2 aliqua pars il­liꝰ rote nõ mouet̄̄ vniformiter difformiter: g̊ ſequit̄̄ /  ipſa tota rota nõ mouet̄̄ vniformiter difformiter Cõſequētia ptꝫ ſcḋm hãc opinionē / q2 oportet /  in motu vniformiter difformi cuiuſlꝫ partꝪ g̈dꝰ mediꝰ (id eſt  eſt in medio lõgitudinis / vt dictū eſt) / t ex-cedat īfimū ̄tū excedit̄̄ a ſūmo (vt ptꝫ ex definitõe) / ꝓbat̄̄ añs / q2 datur ibi vna pars in illa rota cuius pūctꝰ mediꝰ ſcḋm lõgitudinē nõ t excedit vnū ex-tremã ̄tū excedit̄̄ ab altero in velocitate: igr̄ talis pars nõ mouet̄̄ vniformiter difformiter. Probat̄̄ añs, et ſigno in tali rota vnū q̈dratū nõ equaliū la-teꝝ cuiꝰ pūctꝰ mediꝰ ſit pūctꝰ mediꝰ ſemidiametri in­ter cētrū et circūferētiã et tangat tale q̈dratū extre-mitates circunferentie ex vtro latere / vt patuit in ī figura ſupra poſita: ſit illud quadratū .a.b.c.d. / et arguo ſic / pūctꝰ exiſtēs in medio illiꝰ q̈drati moue­tur vt .4. cū ſit pūctꝰ mediꝰ ſemidiametri īter centrū et circūferentiã illiꝰ rote quē ſuperiꝰ ꝓbauimꝰ moue­ri velocitate vt .4. et pūcta extrema q̄ tãgūt extremi­tates rote mouetur velocitate vt .8. Ergo g̈dus me­dius neutrū extremoꝝ excedit, et ꝑ ↄ̨ñs nõ t q̈tum excedit̄̄ ab vno excedit reliquū / qḋ fuit ꝓbãdū ¶ Di-ces forte negãdo añs: et ad probationē negãdo iteꝝ añs / et cū probat̄̄ ↄ̨cedo /  pūctꝰ mediꝰ illiꝰ q̈drati mo-uetur velocitate vt q̈tuor, et ↄ̨cedo etiã /  duo pūcta extrema talis quadrati applicata circūferētie rote mouētur velocitate vt .8. Sed nõ debēt capi extre-ma motꝰ illiꝰ partꝪ ſcḋm talē lõgitudinē ̄uis de fa­cto illa ſit lõgitudo talis partis: ſed d3 ſumi in tali parte ꝓcedēdo m latitudinē ꝑ lineã rectã a centro rote ꝓcedentē ꝑ mediū talis partis vſ ad circūfe-tiã / vt ptꝫ in figura ſuperiꝰ poſita. Modo poteſt dici īmo de facto ita eſt /  quãto gradꝰ mediꝰ excedit̄̄ a g̈du velociſſime moto illiꝰ ꝑtis exiſtētis in tali linea tantū excedit tardiſſimum exiſtentem in tali parte.

Dicitur.

Sed cõtra q2 vtra medietas illius q̈drati a.b.c.d. mouet̄̄ velociꝰ ꝙ̄ vt .4. / g̊ ſetur /  to-tū illud q̈dratū mouet̄̄ velociꝰ ꝙ̄ vt .4. / ↄ̨ña ptꝫ / q2 to-tius velocitas cõficit̄̄ ex partiū velocitatibꝰ, et velo-citatis denoīatio ex vtriuſ medietatis denoīatio­nibus cõſtat̄̄. Sed ꝓbat̄̄ añs / q2 vtra medietas il-lius q̈drati equaliter mouet̄̄ puta medietas e. et me­dietas f. cum equaliter diſtent a centro illiꝰ rote, et vtra illaꝝ velociꝰ mouetur ꝙ̄ vt .4. / igitur ꝓpoſi-tum. Cõſquētia ptꝫ / et arguit̄̄ minor / q2 vtriuſ me-dietatis pūctus mediꝰ mouet̄̄ velocius ꝙ̄ vt .4. cum vtriuſ medietatis tam e. ꝙ̄ f. punctus mediꝰ plus diſtet a centro quã punctus medius totius: vt patꝫ in figura: igit̄̄ vtra illaꝝ medietatū f. et e. velocius mouetur quam vt quatuor / quod fuit probandum.

1. confir-matio.

¶ Et confirmatur / quia cuiuſlibet motus vniformi-ter difformis gradꝰ velociſſimꝰ .i. quo mouet̄̄ pun-ctus velociſſime motꝰ t excedit gradū mediū ̄tū gradꝰ mediꝰ excedit gradū quo mouet̄̄ pūctus tar-diſſime motꝰ vt cõcedit hec opinio et cõis ſcola: ſed motꝰ talis q̈drati a.b.c.d. nõ eſt huiuſmodi, igr̄ ta-lis motꝰ nõ eſt vniformiter difformis. Minor ꝓbat̄̄ / q2 gradꝰ velociſſimꝰ illiꝰ partis eſt gradus octauꝰ cū quadratū illud applicet̄̄ circūferētie rote: et me-dius eſt vt quatuor, et motꝰ illiꝰ nõ terminat̄̄ ad nõ gradū: ergo ſetur /  gradus velociſſimꝰ ꝑ maiorē latitudinem excedit mediuꝫ quam medius excedat infimum / quod fuit probandum.

2. confir-matio.

¶ Confirmatur ſecundo principale argumentum / q2 ſi motꝰ talis rote eſſet vniformiter difformis a nõ gradū vſ ad octauū / ſeq̄ret̄̄ /  adequata velo-citas illiꝰ rote eſſet vt quatuor: ſed ↄ̨ñs eſt falſū: igr̄ illud ex quo ſetur. Cõſequētia eſt nota, et falſitas ↄ̨ñtis argr̄ / q2 velocitas totiꝰ illiꝰ partis q̄ claudit̄̄ circulo minori .d.e.f. eſt vt duo cuꝫ ſit a quarto vſ ad nõ gradū, et velocitas totiꝰ reſidui eſt vt ſex cum ſit a quarto vſ ad octauum, et ſi eſſet in medietate adequate faceret ad denoīationē totiꝰ motꝰ vt tria. modo eſt in ſexquialtero maiori parte medietate: g̊ ſetur /  motꝰ eiꝰ facit ad denoīationē totiꝰ in ſex-altero magis: et ꝑ ↄ̨ñs / vt quatuor cū dimidio (cum quatuor cū dimidio ad tria ſit ꝓportio ſexaltera) / g̊ ſetur /  talis motus adequate eſt velocior quã vt quatuor cū dimidio, et ꝑ ↄ̨ñs velocior quã vt quatu­tor / qḋ fuit ꝓbandū. Sed iã ꝓbo /  illa pars rote q̄ eſt totū reſiduū a minori circulo eſt in ſexquialtero maior medietate, q2 illa pars eſt tres quarte totiꝰ rote: igr̄ in ſexaltero eſt maior medietate Probat̄̄ / q2 medietas eſt due q̈rte: mõ triū quartaꝝ ad duas q̈rtas eſt ꝓportio ſexaltera. Sed iã ꝓbo añs vcꝫ /  reſiduū illius rote a minori circulo ſit tres quarte illius rote quia totius rote ad minorem totum cir-culū eſt ꝓportio quadrupla: g̊ totū reſiduū a mīori circulo qui eſt vna quarta eſt tres q̈rte: ſꝫ illa ꝑs eſt totū reſiduū a mīori circulo / vt notū eſt: g̊ illa ē tres q̈rte totiꝰ rote / qḋ fuit ꝓbandū. Sꝫ iã ꝓbo /  totius rote ad mīorē circulū ei cõcētricū ſit ꝓportio q̈dru-pla, q2 vt demõſtrat brauardinꝰ ī tractatu ꝓporti-onū capite q̈rto ſēꝑ īter duos circulos īeq̈les eſt du­plicata ꝓportio ad ꝓportionē q̄ eſt īter diametros eorūdē circuloꝝ. ita  ꝓportio circuloꝝ eſt ꝓportio diametroꝝ duplicata / vt etiã facile poteſt intueri in figura ſuppoſita ſꝫ diametri totiꝰ rote ad diametꝝ circĺi d.e.f. ē ꝓpor­tio dupla: g̊ totiꝰ rote ad circulū .d e.f. eſt ꝓportio q̈-drupla q̄ ē dupla ad duplã / qḋ fuit ꝓbandū. Qḋ o diametri ad dia­metꝝ ſit ꝓportio dupla / ptꝫ ex caſu prīcipalis argu-mēti. Et ſic ex hac deductiõe ptꝫ /  totꝰ ille motꝰ eſt vt quī q2 ille tres q̈rte denominã vt q̈tuor cū di-midio, et alia q̈rta  eſt mīor circulꝰ denoīat vt di-midiū (cū ſit vt duo) / igr̄ totꝰ motꝰ eſt vt quī et ſic nõ eſt adequate vt quatuor / quod fuit probandum.

Brauar-dinꝰ ī tra­ctatu ꝓ-portio-nū capi-te .4.

Scḋo prīcipaliṫ arguit̄̄ ſic Si illa dif­finitio eſſet bona ſeq̄ret̄̄ /  motꝰ celi nõ eſſet vnifor- miter difformis q̊ ad ſubiectū: ſꝫ ↄ̨ñs eſt falſū / et ↄ̨tra cõiṫ opinãtes / ir̄ illḋ ex q̊ ſetur. Seq̄la ꝓbat̄̄ / et diuido ṗmū mobile in duas medietates ꝑ coluꝝ vcꝫ ꝓcedē­tē a polo artico ꝑ polū antarticū et ꝑ capita arietꝪ et libre / q̊ poſito arguo ſic / nulla illaꝝ medietatū mo­uet̄̄ vniformiṫ difformiṫ: igr̄ nec celū mouet̄̄ vnifor-miṫ difformiṫ. Cõſequētia ptꝫ, et argr̄ añs / q neu-triꝰ illaꝝ medietatū pūctꝰ  eſt ī medio tãtū excedi-tur in velocitate a pūcto velociſſime moto ̄tū exce-dit pūctū tardiſſime motū ſiue nõ g̈dū cū pūctꝰ exi-ſtēs in medio ſit pūctꝰ exñs in circulo enoctiali  ē pūctꝰ velociſſime motꝰ: igr̄ a nullo excedit̄̄ in veloci­tate / et ꝑ ↄ̨ñs nõ t excedit a pūcto velociſſime moto quantum excedit punctū tardiſſime motum vel nõ gradum velocitatis / quod fuit probandum.

¶ Et confirmat̄̄ / q2 ſi eſſet aliquis motus vniformi-ter difformis q̊ ad ſubiectū maxīe eſſet motꝰ localis q̊ ꝑ rarefactionē mouet̄̄ vnū q̈dratū qḋ rarefit vni-formiter a nõ g̈du in extremo eſcēte vſ ad octauū in altero extremo: ſꝫ hec nõ, igr̄. Maior eſt nota cū ↄ̨ña, et ꝓbat̄̄ mīor / q2 nõ cuiuſlꝫ ꝑtis illiꝰ g̈dus mediꝰ t excedit̄̄ a velociſſimo quãto excedit g̈dū tardiſſi­mū illiꝰ ꝑtis vĺ nõ g̈dū: igr̄ totū illud q̈dratū nõ mo­uet̄̄ vniformiṫ difformiṫ q̊ ad ſubiectū. Cõſequētia ptꝫ ex definitiõe, et argr̄ añs, et ſigno vnã partē ī me­dietate illiꝰ q̈drati q̄ velociꝰ rarefit: et ſit illa pars figurata ꝑ modū duoꝝ lateꝝ vniꝰ triãguli faciētis vnū angulū ſupra punctū mediū ex vno latere et ex alio infra vt apparet in figura hic infra ſcripta.

Tūc ſic argr̄ / illa ꝑs eſt ꝑs illiꝰ q̈dra-ti: et tñ ipſa nõ mouet̄̄ vniformiṫ dif-formiṫ: igr̄ ꝓpoſitū. Argr̄ añs / q2 pū­ctus exñs in medio illiꝰ ꝑtis in linea ꝓcedēte a pūcto nõ moto vſqꝫ ad pū­ctū velociſſime motū ipſiꝰ q̈drati eſt pūctus mediꝰ totiꝰ q̈drati qui mouet̄̄ vt quatuor / vt ptꝫ in figura: igr̄ ſi talis mouet̄̄ vniformiter diffor-miter ſequit̄̄ / totꝰ motꝰ eiꝰ eſt vt quatuor / ſed ↄ̨ñs eſt falſū: igr̄ illud ex quo ſequit̄̄. Falſitas ↄ̨ñtis pro­bat̄̄ / q2 vtraqꝫ medietas talis partis velociꝰ mouet̄̄ ꝑ rarefactionē quã vt quatuor q2 vtriuſqꝫ illaꝝ pū-ctus mediꝰ eſt intēſior ꝙ̄ vt .4. cū vtriuſqꝫ illaꝝ me-dietatū pūctus mediꝰ ſit ſupra punctū exiſtentē in medio illiꝰ q̈drati: et ſic vtraqꝫ illaꝝ mouet̄̄ velociꝰ ̄ vt quatuor: g̊ ꝑ ↄ̨ñs tota illa pars cuiꝰ ille ſūt me­dietates mouet̄̄ velociꝰ ꝙ̄ vt q̈tuor / qḋ eſt oppoſituꝫ aut ſaltē īfert oppoſitū ↄ̨ñtis / qḋ erat ꝓbãdū falſū.

In oppoſitū tñ arguit̄̄ / ꝑ cõmunē au-ctoritatem recentiū pḣoꝝ hãc definitionē ponentiū

Pro ſolutiõe  enodatiõe huiꝰ q̄ſtiõis pono aliquas cõcluſiones quibꝰ mediantibꝰ adīue­niatur definitio motus vniformiter difformis quo ad ſubiectum.

Prima ↄ̨̨cluſio. Motꝰ vniformiṫ dif-formis quo ad ſubiectū nõ bene definit̄̄ iſto modo. Motus vniformiter difformis quo ad ſubiectū eſt cuiꝰ oēs partes īmediate ſcḋm extenſionē ſunt īme-diate ſcḋm intenſionē motus ſiue velocitatū ita  remiſſiſſimus gradus velocitatis qui eſt in intēſio-ri ſit remiſſiſſimus qui non eſt in remiſſiori illarum duarum partium ſibi immediatarum. Probatur hec concluſio: quia pono caſum /  ſit vna rota que que mouetur a non gradu vſ ad certum gradum ita  a centro eius eſcente vſ ad mediū ſemidia­metri ſit motus vniformiter difformis a nõ gradu vſ ad quatuor et a pūcto medio ſemidiametri vſ- ad circūferentiã ſit motus vniformiter difformis a quarto vſ ad duodecimū (volo enim /  talis ro­ta ſit flexibilis q2 alias non video quomodo / hoc eſ­ſet poſſibile) / quo poſito arguitur ſic / motus ille nõ eſt vniformiter difformis et tamen omnes partes ī-mediate ſecundū extenſionem ſunt īmediate ſecun-dū intēſionē: igitur illa definitio cõuenit aliis a dif­finito / et per ↄ̨ñs non eſt bona. Minor eſt nota ex ca-ſu: et maior probatur / quia ſi eſſet vniformiter dif-formis cū incipiat a. duodecim et terminat̄̄ ad non gradū pūctꝰ mediꝰ ſemidiametri moueret̄̄ velocita­te q̄ eſt gradus medius inter duodecim et nõ gradū: ſed hoc eſt falſum / vt patet ex caſu q talis punctus mouetur vt quatuor vt ponitur:

Secunda cõcluſio Motus vniformi­ter difformis quo ad ſubiectum nõ bene definitur iſto modo Motꝰ vniformiter difformis quo ad ſub­iectum eſt quando cuiuſcun partis ſubiecti pun-ctus qui eſt in medio (loquor de puncto vero vel ima­ginario) tanto exceditur in velocitate ab extremo il­lius partis velociſſime moto quantuꝫ excedit extre­mum remiſſiſſime motum eiuſdem partis ſiue non motum (quod dico propter motum terminatum ad non gradum) Hec concluſio bene probatur per pri­mum argumentum principale ante oppoſitum et ꝑ ſecundam confirmationem eius. Illud e argumē­tum et confirmatio oſtendunt /  non oportet mediū gradum motus vniformiter difformis / quo ad ſub-iectum eſſe in medio magnitudinis corporis moti vniformiter difformiter quo ad ſubiectum: ſed bene oportet /  ſit in medio longitudinis talis corporis modo expoſito in argumento.

Tertia cõcluſio Motus vniformiter difformis quo ad ſubiectum non bñ definitur ſic.

Motus vniformiter difformis quo ad ſubiectū eſt quando cuiuſcun partis ſubiecti dimidium ſiue punctus qui eſt in medio talis partis (in medio in-quã ſecundum longitudinem) tantum exceditur ī ve­locitate a puncto ſiue ab extremo velociſſime moto quantum excedit punctum ſiue extremuꝫ tardiſſime motum in velocitate ſiue extremum nõ motuꝫ (quod dico propter motum terminatum ad non gradum) Probatur hec concluſio per vltimam replicam pri­mi argumenti huius dubitatiõis: et per ſecundū ar­gumentum: Nam ſi illa definitio eſſet bona / ſeque-retur /  quelibet pars illius quod vniformiter dif-formiter mouetur quo ad ſubiectum etiam vnifor-miter difformiter moueretur quo ad ſubiectū vt fa­cile deducitur ex illa definitione: ſed tenendo illã de­finitionem / ſequitur oppoſitum videlicet /  non que­libet pars illius quod vniformiter difformiter mo­uetur etc. / vt probat vltima replica primi argumēti et ſecūdum argumentum.

definitio motꝰ vni­formiter diffor-mis q̊ ad ſubiectū.

Quarta concluſio Motus vniformi­ter difformis quo ad ſubiectum / vt pro nūc mihi ap­paret bene definitur ſic Motus vniformiter diffor­mis quo ad ſubiectum eſt quando quilibet punctus ſubiecti intrinſecus et etiam extrinſecus velociſſime motus in ea proportione velocius mouetur in qua magis diſtat a centro talis motus. Exemplum / vt ſi rota moueatur vniformiter difformiter: requiri-tur /  in quacun ꝓportione puncta magis diſtãt a centro ipſius rote in ea ꝓportione velocius moue­antur Et per centrū in propoſito ego intelligo pū-ctum quieſcens exiſtens in illo corpore quod ſic mo­uetur vniformiter difformiter vel a quo imagina-rie ꝓcedit talis motus. Et volo dicere /  ſi corpus moueatur vniformiter difformiter quo ad ſubiectū a non gradu vſ ad certum gradum, oportet /  in quacun proportione puncta magis diſtant a pū-cto illius ſubiecti in quo eſt non gradus motus in ea velocius moueantur. Si vero tale corpus qḋ mo­uetur vniformiter difformiter quo ad ſubiectū ita ſe habeat /  quilibet punctus eius moueatur ita  motus eius incipiat a certo gradu remiſſiori et ter-minetur ad certum gradum intenſiorē vt verbi gra­tia incipiat a quarto et terminetur ad octauuꝫ ſicut eſt de motu totius reſidui a circulo minori exiſtente intra rotam in caſu primi argumenti: tunc ad inue­niendum centruꝫ talis motus oportet addere cor-pori aliquod corpus quod moueatur vniformiter difformiter a non gradu ad gradum vt quatuor vĺ remiſſimum quo mouetur aliud corpus cuius mo-tus vtrim terminatur ad gradum: et ſi tunc omīa puncta illius corporis cuius motus in vtro extre­mo terminatur ad gradum in ea ꝓportione velociꝰ moueantur in qua plus diſtant a puncto non moto corporis dati qui quidem punctus tunc eſt centrum illius motus tunc tale corpus vniformiter difformi­ter mouetur quo ad ſubiectum. Probatur hec con-cluſio / quia illa definitio cõuenit omni et ſoli etc. / igi­tur eſt bona: et antecedens pro nunc alio modo non probatur niſi quia omni motui  cõmuniter cõcedi­tur vniformiter difformis quo ad ſubiectum con-uenit illa definitio, et ſoli tali: igitur propoſitum.

1. correl.

¶ Ex hac concluſione et predictis ſequitur /  cuiuſli­bet quod vniformiter difformiter mouetur quo ad ſubiectum quelibet pars quantitiua vniformiter difformiter mouetur quo ad ſubiectum. Probatur / quia cuiuſlibet talis partis quilibet punctus in ea proportione velocius mouetur in qua plus diſtat a centro illius motus / ergo ſequitur /  quelibet pars quantitatiua illius quod vniformiter difformiter mouetur quo ad ſubiectum etiam vniformiter dif-formiter mouetur quo ad ſubiectum Conſequentia patet ex definitione: et antecedens patet / quoniam ſi­cut illa puncta mouentur in toto ita etiam in illa ꝑ­te totius in qua ſunt / vt notū eſt. ¶ Sequitur ſecūdo /  non oportet /  motus vniformiter difformis quo ad ſubiectum correſpondeat gradui motus exiſten­ti in medio magnitudinis talis corporis: nec in me­dio longitudinis. Probatur hoc correlarium / quo ad primam partem ex primo argumento et eius ſe­cunda confirmatione: Et quo ad ſecundam partem ex confirmatione ſecundi argumenti.

.2correl.
3. correl.

¶ Sequitur tertio /  motus vniformiter difformis quo ad ſubiectum cõmenſurari habet penes gradū medium inter ſummã et infimū vel non gradum vbi­cun ſit talis gradus. Patet / quia non videtur aliꝰ modus cognoſcendi totalem velocitatem motꝰ vni­formiter difformis quo ad ſubiectuꝫ. Et per hoc pa­tet concluſio reſponſiua ad dubitationem / q̄ talis ē.

Definitio illa / que cõmuniter dat̄̄ de motu vniformiter difformi quo ad ſubiectum non eſt ſufficienter aſſignata: quoniã nec valet ſi intelli­gatur de medio magnitudinis nec ſi ītelligatur de medio longitudinis / vt declaratum eſt in ſecūdo cor­relario. His poſitis.

Reſpondeo ad argumenta ante oppo­ſitum /  illa ſunt pro concluſione reſpoſiua. Quia tamen in primo argumēto queritur an in motu vni­formiter difformi quo ad ſubiectum gradus mediꝰ debeat eſſe in medio corporis quo ad magnitudinē vel quo ad longitudinem / dico /  neuter illoruꝫ me­diorum requiritur /  ſit in medio corporis / vt dicit ſecundum correlarium. ¶ Ad replicam tamen reſ-pondetur negando antecedens / vt ibi dicitur / quam­ uis talis replica ſit pro concluſione. Quia tamē in­quirit penes quē punctum debeat ibi attendi motꝰ illius quadrati / dico /  debet attendi penes punctū qui mouetur gradu medio inter gradum octauum quo mouetur punctus velociſſime motus illius par­tis et gradum quo mouetur punctus tardiſſime mo­tus eiuſdem quadrati vbicun talis punctus fue-rit: de ſitu enim eius non eſt curandum. Sed ad vi-dendum an tale quadratum moueatur vniformiter difformiter oportet aſpicere an in quacū propor­tione quilibet punctus eius magis diſtet a centro ī ea velociꝰ moueatur. Et hoc ſufficit et requiritur ad motum vniformiter difformem / vt ibi dictum eſt: et quia ſic eſt de illo quadrato. Ideo dico illud moue-ri vniformiter difformtter. ¶ Ad ſecundam confir-mationem concedo ſequelam / et nego falſitatem cõ-ſequentis: et ad probationem dico /  denominatio motus non debet attendi penes denominationem partium ita  quantocun motus fuerit in maiori parte ſubiecti tanto plus denominat. vt bene pro-bat argumentum / quãuis hoc oporteat in qualita-te / vt poſtea dicetur. Sed quomodo debeat cogno-ſci velocitas talis motus dictum eſt: et poſtea latiꝰ. dicetur.

Ad ſecundū argumentū / cum ſua con­firmatione dico /  ſunt pro concluſione reſpcnſiua quia impugnant definitionem communeꝫ Dico ta­men /  motus celi eſt vniformiṫ difformis / vt poſtea dicetur / quia quodlibet punctum eius in ea propor­tione in qua plus diſtat a polo proximiori vel eque propinquo in ea velocius mouetur Dico / eque pro­pinquo ꝓpter puncta exiſtentia in equinoctiali: de hoc poſtea dicetur. ¶ Quantū ad confirmationem dico /  illud quadratū vniformiter difformiter mo­uetur per rarefactionem et ſimiliter illa pars que ſi­gnatur in eo. Et cum probatur /  non dico /  illa ꝓ­batio eſt pro me et contra definitionem quam īpug-gno. Et hec de dubitatione. ¶ Sed de velocitate motꝰ penes effectū eſt difficultas per quid habeat attendi Ideo recitãde ſunt opiniones in hac mate­ria cõmuniter occurrentes. Unde duplex eſt opinio cõmunis tam de motu vniformiter difformi quo ad tempus quaꝫ de motu vniformiter difformi quo ad ſubiecum et quo ad ſubiectum et tempus ſimul.

penes d velocitaſ penes ef-fectū hē-at attēdi

Prima opinio eſt guillermi hentiſbe-ri qui dicit /  velocitas motus vniformiter diffor-mis quo ad ſubiectū d3 attēdi penes punctū velociſ­ſime motuꝫ De vniformiter autē difformi quo ad tē­pus coincidit cum ſecunda opinione / que dicit /  mo­tus vniformiter difformis quo ad tempus debet at­tendi penes gradum medium quo ad tempus id eſt penes gradum quo mouetur mobile in medio ta-lis temporis: et motus vniformiter difformis quo ad ſubiectum debet attendi penes gradum mediuꝫ totius latitudinis vniformiter difformis. Et hec eſt communior opinio:

¶ Aduertendum tamen /  quando dicimus /  velo­citas motus vniformiter difformis debet attēdi pe­nes gradum mediuum voluminis dicere /  tale mo­bile vniformiter difformiter motum mouetur ade-quate ita velociter ſicut mouetur punctus in quo eſt gradus medius talis latitudinis Et quãdo dicitur /  motus vniformiter difformis quo ad tempus ve-locitas debet attendi penes gradum mediū qui eſt in medio temporis volumus dicere /  tam veloci-ter mouetur in illo tempore adequate illud mobile: ac ſi per totum illud tempus moueretur illo gradu quem habet in medio illius temporis.

¶ Aduertendum eſt vlterius /  velocitas motꝰ quo ad effectum debet attendi penes ſpacium pertranſi­tum: ita  quanto ſpacium pertranſitum fuerit ma­ius in equali tēpore tanto motus erit velocior. Di-co tamen /  non debet attendi velocitas motus lo-calis penes ſpacium corporale nec penes ſpacium ſuperficiale ſed penes ſpacium lineale deſcriptum a certo puncto / q2 tunc ſi vnus equus traheret duas trabes inequales eque velociter tamen ſequeretur /  maior velocius moueretur / cum deſcribat maius ſpacium corporale et ſuperficiale quam minor: qḋ tamen falſum / quia equaliter mouentur cū in vtra- punctus medius equale ſpacium deſcribat. Et ſic etiam dicendum eſt de motu circulari vniformi-ter difformi quo ad ſubiectum /  velocitas eius ha­bet attendi penes lineam circularem deſcriptam a puncto / in quo eſt gradus medius illius latitudinis motus vniformiter difformis. Uelocitas motꝰ vni­formiter difformis quo ad tempus et quo ad ſubie-ctum debet attendi penes lineaꝫ deſcriptam a pun­cto / in quo eſt medius gradus talis latitudinis. Et ſimiliter dicenduꝫ eſt de motu difformiter difformi quo ad tempus.  velocitas eius debet attendi penes ſpacium pertranſitum in tali tempore: Qualiter autem quantitas talis ſpacii debeat cognoſci / quia ibi eſt huius materie precipua inquiſitio in fequent­tibus ſuo loco declarabitur. ¶ Ex his tamen īfer-tur iſtam conſequentiam non valere. Iſta rota vni­formiter difformiter mota quo ad ſubiectuꝫ deſcri­bit maiorem lineam quam punctus in quo eſt gra-dus medius totius latitudinis motus: igitur moue­tur velocius quam ille punctus quia antecedens eſt verum cum punctus exiſtens in circunferentia ſiue peripheria ipſius rote deſcribat maiorem lineam quam punctus in quo eſt gradus medius latitudi­nis motus et vtra illarum linearum per motuꝫ ro­te deſcribitur Similiter arguendo de celo dabitur antecedens verum et cõſequens falſum / vt aliquali-ter viſum eſt et poſtea videbitur. ¶ Secundo ſequi-tur /  iſta conſequentia non valet iſta rota vnifor-miter difformiter mouetur quo ad ſubiectum / et ci-tius trãſibit lineam circularem equalem linee de-ſcripte a puncto / in quo eſt medius gradus latitudi­nis quam talis punctus / in quo eſt gradus medius latitudinis motus deſcribat ſuam lineam: ergo ro­ta citius mouetur quam talis punctus Manifeſtū eſt enim /  rota ſecundum ſe totam quantocun ꝑ­tio tempore moueatur deſcribit talem lineam: pun­ctus vero nõ. Et ideo dictum eſt /  debet attendi pe­nes lineam ab vno puncto continuo deſcriptam de quo tamen latius in ſequentibus. ¶ Tertio ſequi-tur /  iſta conſequcntia non valet: iſtud lignum ma­ius ſpatium pertranſibit quam illud in eodem tem­pore: igitur velocius mouebitur in eodem tempore Probatur captis / vt iam dictum eſt duobus lignis in equalis craſſitudinis et longitudinis / que ab vno equo equaliter trahãtur / et manifeſtum eſt /  maius ſpacium corporale ſuperficiale et etiam lineale (nõ tamen ab eodem puncto continuo deſcriptum) per­tranſit quam aliud lignum minus: nihilominus ta­men talia ligna equaliter mouentur. ¶ Hiis ſuper-ficie tenꝰ dictꝪ / vt intelligat̄̄ ordo ꝓcedendi ī hac ma­teria. primo diſceptabo penes / quid habeat atten-di velocitas motus difformis qno ab ſubiectū hoc eſt tam vniformiter difformis quã difformiter dif-formis quo ad ſubiectum. Et ſecundo diſputabo pe­nes / quid habeat attendi velocitas motꝰ difformis quo ad tempus tam vniformiter difformis ꝙ̄ dif-formiter difformis quãtū ingenioli nr̄i capacitas ſe extendit In ea e parte eſt abyſſus multa et huiꝰ materie laborynthus a capacitate intellectus fini-ta in extricabilis et incomprehenſibilis: vt ibi vide-bitur in poſitione variorum caſuum varia mõſtra et difformitates motuum difformiter difformiū ad tempus ponentium. Et poſtremo aliquid quam bre­uiſſime potero de velocitate motus difformis quo ad ts et quo ad ſubiectū ſimul et ēt motꝰ mixti deter­minabo Et ſic trimembris dūtaxat erit huius mate­rie diſceptatio, et inquiſitio quibus determinatis abſoluta fere erit.

.1. correl. 2. correl. .3. corre.
Capitulum ſecundum / in quo inueſtiga­tur diſputatiue et per modum queſtionis penes quid attendi habeat motus loca-lis difformis quo ad ſubiectum velocitas

COnſequenter ad primi puncti expeditionem accedens Queritur penes quid tam̄ penes effectum motus diffor-mis quod ad ſubiectum velocitas attendi habeat: an videlicet penes lineam deſcriptam a puncto ve­lociſſime moto: an penes lineam deſcriptam a pun­cto in quo eſt gradus medius: an penes reductionē ad vniformitatem.

opinio hētiſberi

Et arguitur primo /  non debeat attē­di penes primum / vt opinatur hentiſber in tracta-tu de motu locali capite primo: quia ſi ſic ſequeret̄̄ pari ratione /  deberet attendi penes punctum tar­diſſime motum: ſed hoc eſt falſum cum aliquãdo nõ detur: igitur. Patet conſequentia / quia non vide-tur maior ratio de vno ꝙ̄ de altero. ¶ Dices /  ar-guens dat rationem dicens /  plerum non datur punctus tardiſſime motus: et ideo non poterit con-tinuo velocitas motus penes talem punctū attēdi.

Sꝫ ↄ̨̨tra q2 etiã vt inferiꝰ videbit̄̄ da-tur aliquis motus difformis quo ad ſubiectum cu-ius non datur punctus continuo velociſſime motus / vt patebit in rota rarefiente: igitur etiam non po-teſt continuo attendi penes talem punctum: et ſi ta-lis punctus continuo maneat non tamen linea quã diſcribit adequate. ¶ Et confirmatur / quia tunc ſe­queretur /  rota vniformiter difformiter mota mo­ueretur continuo ita velociter ſicut medietas eius que velocius mouetur: ſed hoc eſt falſum: igitur Cõ­ſequentia patet et falſitas conſequentis oſtenditur / quoniam cum vtra medietas ſit equalis non va-let ratio ſufficiens aſſignari quare potius ita velo­citer mouetur tota rota ſicut medietas vna et non ſi­cut altera (et volo /  ly ita et ſicut diſtribuat): igitur ſi ita velociter ſicut vna etiam ſicut et altera vel ſi-cut neutra. ¶ Dices /  ideo dicitur moueri ita velo-citer ſicut medietas eius que velociꝰ mouetur: et nõ ſicut illa que tardius mouetur: quia iuxta dictū phi­loſophi ſecundo de anima dignum eſt vnumquod- a digniori denominari. Tum etiam quia illd qḋ deſcribitur a medietate / que velocius mouetur de-ſcribitur a tota rota cathegorematice: et nullū ma-ius ſpacium a tota rota deſcribitur: ſed quodlibet minus vſ ad non gradum vel ad certum gradum Non autem ſic eſt de ſpacio deſcripto a medietate tardius mota.

cõfirma-tio. phūs .2. de aīa.

Sed contra / quia plerum nõ datur punctus extremus: vt poſito /  deus corrumpat in rota omnia puncta extrema. Item etiam nominali­ſando non datur punctum extremum / quia termini­ſta omnia talia indiuiſibilia negat: et ſigmentum re­putat: igitur ſaltem ſecundum viam nominaliū nõ poteſt ſumi velocitas motus difformis / quo ad ſub­ iectum penes lineam a puncto velociſſime moto de­ſcriptam. ¶ Dices /  in tali caſu velocitas illiꝰ mo-tus debet attendi penes lineam deſcriptam a pun-cto imaginario poſito in peripheria / hoc eſt tota ro­ta tantam lineam deſcribit et tam velociter moue-tur / quam velociter mouetur vnus punctum qui eſſet in peripheria talis rote.

Dicitur

Sed contra capio vnam rotam / q̄ dif-formiter mouetur quo ad ſubiectum / et cum incipit moueri incipiat maiorari per rarefactionem ita  punctus eius extremus continuo magis ac mgis di­ſtat a centro ita  in principio totius rote diame-ter ſit pedalis et in fine bipedalis. quo poſito ſic ar­guitur velocitas talis motus non poteſt attendi pe­nes lineam deſcriptam a puncto velociſſime moto: igitur propoſitum. Arguitur antecedens / quia ta-lis punctus nullam lineam deſcribit: quod proba-tur ſic / quia nullam circularem vt notum eſt cū non redeat ad idem punctum / a quo receſſit ſed ad pun-ctum in duplo magis diſtans a centro. nec etiam li­neam rectam aliquam deſcribit: et non videtur quã aliam lineam deſcribat: igitur non datur ibi linea deſcripta a tali pnncto penes / quam poſſit veloci-tas motus illius rote commenſurari ¶ Et confirma­tur / qua illa rota non mouetur ita velociter ſicut pū­ctus eius extremus mouetur in principio motus / vt notum eſt / cum maiorem lineam deſcribat per totū tempus / quam ſi rota maneret īuariata quo ad ma­gnitudinem, nec tanta velocitate quanta mouetur in fine motus nec in medio inſtanti motus / quia tūc hoc eſſet coincidere cum alia opinione que commen­ſurat penes gradum medium: igitur non videt̄̄ pe-nes / quid attendi habeat velocitas talis motus. Et ſic habetur /  non omnis velocitas motus diffor-mis quo ad ſubiectum attendi habeat penes veloci­tatem puncti velociſſime moti.

2. confir.

Secundo principaliter contra eandē partem arguitur: quia ſi illud eſſet verum ſequere-tur hec concluſio /  aliquod mobile continuo vnifor­miter moueretur et tamen quilibet punctus eius in­trinſecus continuo intenderet motum ſuuꝫ / ſed hoc videtur impoſſibile / igitur illud ex quo ſequitur.

Sequela tamen probatur: et capio vnam rotã quaꝫ diuido in duas medietates circulares concentricas / vt patet ſupra in figura et rarefiat continuo vnifor­miter dum talis rota mouetur circulariṫ medietas interior verſus circunferentiam condenſando me-dietatem ſuperiorem verſus circunferentiam quieſ­centibus continuo punctis circunferentialibus: ita  continuo equaliter diſtant a centro. quo poſito il­la rota continuo vniformiter mouetur / vt notum eſt ex opinione et tamen quilibet punctus eius intrin-ſecus continuo intendit motum ſuum (cum con-tinuo magis ac magis diſtet a centro et ↄ̨tinuo ma­iorem lineam deſcribat) igitur. Poteſt vniuerſali-ter inferri talis concluſio ſi in tali rota corrumpan­tur extrema puucta. ¶ Dices /  hoc non eſt inconue­niens / vt beue probat argumentum: Imo etiã alia opinio idem tenetur concedere.

Contra quia tunc pari pacto ſequere-tur /  aliquod mobile continuo vniformiter moue-retur: et tamen quilibet punctus eius intrinſecus cõ­tinuo remitteret motum ſuum: ſed hoc videtur incõ­ueniēs: igitur Sequela probatur caſu poſito /  me­dietas rote ſuperior rarefiat verſus medietatē in-tenſiorem eam condenſando punctis extremis e-ſcentibus / quo poſito facile apparet propoſitum.

dicitur.

¶ Dices /  iſte due concluſiones tam illate: et ab iſta opinione / et altera ſunt concedende. Et ideo ſunt cor­relaria et non inconuenientia.

Contra quia tunc ſequeretur /  a qua­libet parte proportionali alicuius mobilis ſecun-dum certam diuiſionem procedendo demeretur ali­qua velocitas: ita  quelibet ſecundum talem diui­ſionem moueatur minori velocitate ꝙ̄ antea mo-uebatur: et tamen totum mobile mouetur continuo vniformiṫ et eq̄ velociṫ ſicut ãtea: ſꝫ ↄ̨ſeq̄ns eſt falſū: igitur illud ex quo ſequitur: Falſitas conſequentis oſtenditur / quia alias ſequeretur /  tota velocitas poteſt demi a partibus proportionalibus manen­te tamen ſemper velocitate totius equali / quod eſt mere impoſſibile. Patet hoc poſito /  in hora con-tinue cuiuſlibet partis proportionalis ſecundum / hanc diuiſionem remittatur motus quo ad vſ ve-niat ad non gradum / tunc continuo per illam horã tale mobile per te mouebitur equaiiter et vniformi-ter: ergo adhuc poſt illud inſtans terminatiuum po­terit ſic moueri motu partium ad non gradum re-miſſo: Sed iam probo ſequelam: et pono caſum /  vna rota diuidatur per partes proportionales cir­culares concentricas minoribus terminatis verſus peripheriam rote: et a prima dematur medietas ſue velocitatis et a ſequenti eam puta a ſecunda demat̄̄ medietas vnius gradus et a tertia quarta vniꝰ gra-dus: et ſic conſequenter procedendo per partes ſub­duplas quo poſito a puncto extremo nulla veloci-tas demitur: et mouetur: igitur continuo mouet̄̄ vni­formiter Patet conſequentia et tamen quelibet ꝑs eius proportionalis ſecundum certam diuiſionem mouetur velocitate minori / ꝙ̄ mouebatur antea Sed ad inferendum  quelibet pars proportiona­lis ſecundum talem diuiſioneꝫ moueatur ſubdupla velocitate oportet ponere in caſu /  a qualibet illa­rum dematur medietas velocitatis qua antea mo-uebatur: et ſic habebitur propoſitum. Et ſi tibi caſꝰ appareat difficilis / vt nunc michi videor facile erit verificare illum caſum in rota flexibili puta aque vĺ alterius liquoris exiſtentis intra ſperam rotundaꝫ et quilibet punctus eius moueatur quieſcente cētro motu circulari: partibus eius mouentibus eodē mo­do quo ponitur in caſu:

Tertio principaliter contra ſecundaꝫ partem queſtionis videlicet /  non debet attēdi pe-nes gradum medium arguitur ſic: quia ſi illud eſſet veruꝫ ſequeretur /  ſi vna rota moueretur difformi­ter quo ad ſubiectum a non gradu vſ ad certū gra­dum ita  pars illa que eſt a centro vſ ad medie-tatem ſemidiametri moueatur a non gradu vſ ad quartum: et reſidua pars vſ ad circunferentiã mo­ueatur a quarto vſ ad duodecimum / tunc talis ro­ta moueretur velocitate vt ſex: ſed conſequens ē fal­ſum / igitur illud ex quo ſequitur Sequela probatur / quia ille eſt gradus medius inter duodecimū et non gradum. Sed iam arguitur falſitas conſequentis / quia tunc ſequeretur /  illa rota eque velociter mo­ueretur ſicut ſi motus eius eſſet vniformiter diffor-mis a non gradu vſ ad duodecimum. Sed conſe-quens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Con-ſequentia apparet: et falſitas conſequentis argui-tur / quia ſi illa rota moueretur vniformiter diffor-miter a non gradu vſ ad duodecimum: tunc pun-ctus medius ſemidiametri moueretur velocitate vt ſex / et per conſequēs maiori velocitate quam modo et quilibet punctus intrinſecꝰ maiori velocitate quã modo / vt ſatis patet intueti: ergo ſequitur /  illa ro­ ta mouetur / tunc maiori velocitate quã modo. Pro­batur hec conſequentia / quia modo videlicet quan-do vna pars eius que incipit a centro rote et termi-natur ad medium ſemidiametri mouetur a nõ gra-du vſ ad quartum et reliqua pars a quarto vſ ad duodecimum: a velocitate vel penes velocitatem alicuius puncti intrinſeci eius commēſuratur et at­tenditur motus illius rote, et ab eodem poſtea deb3 attendi quando velocius mouetur: igitur propoſi-tum: quia rota manet: nec rarefacta: nec condenſa­ta: et idem continuo manet punctus eius mediꝰ quã­do mouetur ſic motu difformiter difformi et quam­do mouetur motu vniformiter difformi.

dicitur.

¶ Dices negando ſequelam: et ad probationem: di­ces /  non eſt cõtra te: quia tu vis dicere /  / debet at­tendi motus difformis quo ad ſubiectum penes gra­dum mediuꝫ quando talis motus eſt vniformiṫ dif­formis quo ad ſubiectum: ſed non quando eſt diffor­miter difformis: qnia tunc ſequenda eſt tertia pars queſtionis videlicet penes reductionem ad vnifor-mitatem.

Sed contra / quia ſi in omni motu vni­formiter difformi quo ad ſubiectum debeat veloci-tas attendi penes gradum medium / vel igitur ꝑ gra­dum medium intelligitur gradus qui eſt medio ta-lis ſubiecti quo ad magnitudinem: vel ī medio quo ad longitudinem, vel in medio quo ad magnitudi-nem et longitudinem ſimul / ſed nullum iſtorum ē di­cendum: igitur non debet motus vniformiter diffor­mis quo ad ſubiectum velocitas penes gradum me­dium commenſurari et attendi. Maior quo ad pri-mam partem videlicet /  non debeat attendi penes gradum medium hoc eſt exiſtentem in medio ſubie-cti / quo ad magnitudinem patet ex primo argumē-to: et ſecunda confirmatione eius in dubitatiõe for-mata in priori capite / et quo ad ſecundam partē pa­tet ex confirmatione ſecundi argumenti eiuſdem du­bitationis prioris capitis. Sed quantum ad tertiã partem patet manifeſte / quia quãdo rota mouetur ſic vniformiter difformiter quo ad ſubiectum a nõ gradu in centro vſ ad certum gradum in circunfe­rentia procedendo a centro vſ ad circunferentiaꝫ nullus idem punctus eſt in medio magnitudinis et longitudinis ſignanter quando  rota eſt vbi eq̈­lis craſſitudinis Tamen volo efficatiori argumēto meo iudicio confirmare ſecundam partem minoris videlicet /  non debeat velocitas motus vniformi-ter difformis quo ad ſubiectum attendi penes pun­ctum exiſtentem in medio mobilis quantum ad lon-gitudinem. Et in predicta rota de qua ſepe mentio facta eſt a centro eius vſ ad circunferētiam ſigno vnam colūnã ex cuius baſi in centro rote educo line­am giratiuam girantem omnes partes proportio­nales talis columne / vt ↄ̨muniter ponitur et volo /  talis rota moueat̄̄ vniformiṫ difformiter q̊ ad ſub-iectum a non gradu vſ ad octauum / quo poſito ſic argumentor illa linea giratiua mouetur vniformi­ter difformiter cum ſit pars corporis vniformiter difformiter moti et tamen motus eius non correſpõ­det gradui exiſtenti in medio corporis quantuꝫ ad longitudinem cum nullum tale ſit / vt notum eſt: igi-tur aliquod mouetur vniformiter difformiter quo ad ſubiectum cuius motus velocitas non attendi-tur penes gradum motus exiſtentem in medio eius quantum ad longitudinem. Simile argumentum fierit / ſi a centro rote educeretur vna linea que circū­daret primo primam partem proportionalem cir­cularem illius rote, et ſecundam et tertiam et quartã et ſic cõſequēter: et manifeſtū eſt /  talis linea erit in­finita habens cõtinuo circuitiones maiores, et mo­uetur vniformiter difformiter: et nullã eſt eius me-diū quantū ad longitudinē. et per ↄ̨ñs nõ poteſt mo­tus eius cõmenſurari penes gradū exiſtentē in me-dio eiꝰ quantū ad lõgitudinē. Preterea cõſimile ar­gumentū eſſet oīno ſi ſignaretur vnū quadratum a centro illiꝰ rote vſ ad circūferentiã: et ꝓtraheret̄̄ vna linea girans oēs partes ꝓportionales eiꝰ per modum cuiuſdam diametri infinite / vt philoſophi oſtendunt communiter in materia de infinito. Illa enim mouetur vniformiter difformiter quo ad ſub-iectuꝫ cum ſit pars corporis vniformiter difformi-ter moti quo ad ſubiectum: tamen in eo non repe-ritur punctus medius.

Quarto principaliter contra eandem ſecundã partē cõcluſionis argr̄: q2 ſi illa pars eſſet vera / ſequeretur /  celū nõ mouetur ita velociter ſi-cut linea equinoctialis (et loquor de primo mobili) / ſed cõſequēs eſt falſum: igitur et antecedēs. Conſe-quētia ptꝫ et coloratur falſitas cõſequētis: q2 ſi nõ mouet̄̄ ita velociter ſicut linea enoctialis, et linea enoctialis eſt linea exiſtens in medio eiꝰ: ergo mo­bile motū vniformiter difformiter quo ad ſubiectū nõ mouetur ita velociter ſicut pūctus exiſtēs in me-dio eiꝰ. ¶ Dices negando falſitatē conſequentis: et ad ꝓbationē dices /  in celo, et in quolibet corpore ſperico motꝰ velocitas debet attendi penes lineaꝫ deſcriptã a pūcto exiſtente in medio inter polum et punctū velociſſime motū: et ſic motꝰ primi mobilis cõmenſurari hꝫ penes lineã deſcriptã a pūcto /  eſt in medio inter polum ſiue articum ſine autarticum et lineam equinoctialem.

Dicitur.

Sed cõtra. Q2 vel debet attēdi penes lineã deſcriptã a pūcto medio in ſuperficie cõcaua vel in ſuperficie cõuexa: ſed nullū iſtoꝝ eſt dicendū: igr̄. Antecedens argr̄ / q2 punctus exiſtens in medio quãtū ad ſuperficiē cõuexã nõ eſt ſimpliciter in me-dio nec punctꝰ exiſtens in ſuꝑficie cõcaua: igr̄. Item tale mobile nõ mouetur ita velotiter ſicut ſuꝑficies cõuexa nec ita tarde ſicut ſuꝑficies cõcaua: ergo ſe-quitur /  velocitas eiꝰ nõ habet attendi penes pun­ctū hoc eſt penes lineã deſcriptã a puncto exiſtente in ſuperficie conuexa: nec in ſuperficie concaua.

Dicitur.

¶ Dices /  velocitas illius primi mobilis menſu-randa eſt a puncto exiſtente in medio inter ſuperfi­ciem concauam et conuexam inter polum et punctū velociſſime motum totius orbis.

Contra. Quia tunc ſequeret̄̄ hec con-cluſio /  ſi primum mobile condenſaretur verſus ſuperficiem conuexam quieſcentem ipſum cõtinuo velocius et velociꝰ moueretur: et ſi rarefieret verſus concauam quieſcente etiam conuexa ipſum mobi-le cõtinuo tardius et tardius moueretur / ſed conſe-quens eſt falſum: q2 tunc ſequeret̄̄ /  ̄tocū illud mobile efficeret̄̄ maiꝰ tardius moueretur, et quãto minus velociꝰ quod videtur abſurdū. cū ceteris pa-ribus videatur /  corpus maius maiorē lineã de-ſcribat quã minꝰ. Sed ſequela probatur / q2 quãto punctus medius magis accedat ad ſuperficiē con-uexã per condenſationē tanto magis recedit a cen­tro, et per cõſequens maiorē lineã deſcribit, et quã­to magis recedit a ſuperficie cõuexa magis accedit ad centrū ſpere vel ad axem: et per cõſequens mino­rem lineam circularem deſcribit, et ſic tardius mo­uetur / quod fuit probandū. ¶ Dices ↄ̨cedēdo cõclu- ſionem ſicut concedenda eſt.

Dicitur.

Sed cõtra. Quia tunc ſequeretur /  ſi omnes ſpere intermedie corrumperentur, et pri-mum mobile quieſcente conuexa ſuperficie rarefie-ret verſus axem quo ad vſ ex orbe efficiat̄̄ ſpera ſolida vnicam ſuperficiem dumtaxat habens: tūc illud mobile iam factum ſpera ſolida longe tardi­us moueretur quam antea, et etiam moueretur vni­formiter difformiter quo ad ſubiectum: ſed conſe-quens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Se-quela patet ex opinione et ſolutiõibus datis. Sed falſitas conſequentis quo ad primam partem ar-guitur / quia tunc ſequeretur /  ab equali propor-tione inequales motus prouenirēt: ſed conſequēs eſt falſum: et contra baſim et fundamentum totius huius operis: igitur illud ex quo ſequitur. Seque-la tamen probatur / quia modo intelligentia mouet primum mobile ab aliqua proportione, et tunc ip-ſū ſic rarefactū / vt ponitur ab eadem proportione mouetur ad eadem intelligentia / quia volo /  nullo pacto plus reſiſtet quam antea reſiſtebat, et tamen tardius mouetur vt dicis: igitur ab eadem propor­tione inequales velocitates proueniunt / quod fuit probandum. ¶ Et ſi dicas /  in celo nulla eſt reſi-ſtentia nec ibi proprie motus factus a certa pro­portione inter actiuitatem et reſiſtentiam: ponamꝰ caſum ſimilem de quodam orbe habente grauita-tē facto ex aliquo mixto vel aliquo elemento quod ſic rarefiat quoaduſ efficiatur ſpera ſolida nul-la addita grauitate vel leuitate: et moueatur ab ea­dem virtute a qua antea mouebatur / quo poſito ſe-quitur illam: igitur. Sed falſitas ſecunde par-tis conſequentis arguitur / quia talis motus non ita ſe habet  quanto punctus magis diſtat a cen­tro tanto velocius moueatur / vt patet de punctis terminatibus axem / qui maxime diſtant a centro et tamen nõ mouent̄̄: igitur talis motꝰ nõ eſt vnifor-miter difformis quo ad ſubiectū. Patet conſequē-tia a definitione ad definitum negatiue. Nec valet dicere /  per centrū in tali motu debet ītelligi po-lus / quia etiam contra illud procedit ratio. Nõ e quanto punctus in illa ſpera ſolida magis diſtat a polo tanto velocius mouetur / vt patet de punctis exiſtentibus prope centrum ſpere circa axem que puncta ita tarde mouentur ſicut aliqua que ſunt ꝓ­pinquiora polo: ergo nec centrum ſphere eſt cen-trum talis motus nec polus ¶ Et confirmatur / quia ſi illa opinio eſſet vera / ſequeretur /  ſi aliqua rota continuo condenſaretur verſus centrū mouente e-tiam ſuperficie conuexa et motore non mouente a maiori conamine: tunc continuo illa rota tardius et tardius moueretur: ſed conſequens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Sequela ꝓbatur / quia continuo punctus medius minorem lineam deſcri-bit: igitur tardius mouetur. Falſitas tamen con-ſequētis arguitur / quia illa rota eque velociter cir­cuit ſicut ãtea: g̊ eque velociter mouetur ſicut antea Patꝫ ↄ̨ña / q2 circuitio talis rote nihil aliud eſt quã motus circularis talis rote. Item hec circuitio eſt ita velox ſicut antea et hec circuitio eſt hic motur circularis: igitur hic motus circularis eſt ita velox ſicut antea / et per conſequens illa rota tunc non tar­dius mouetur / quod fuit probandum. ¶ Dices for-te negando falſitatem conſequentis, et ad probati­onem concedo /  ita velociter circuit ſicut antea, et negando /  ita velociter mouetur, et cum probatur per ſyllogiſmum expoſitorum: dico / quod male cõ­cluditur ſed oportet inferre: ergo hic motus circu- laris eſt ita velox circulatio ſicut antea vt conclu-datur maior extremitas de minori. Quãuis enim idē ſit circulatio et motus circularis nõ tamen pe-nes idem iudicari debet velocitas circuitiõis et ve-locitas motus localis circularis / vt poſtea dicetur.

Confir-matio. Dicitur.

Sed ↄ̨̨tra. Q2 ſi illa ſolutio eſſet bona ſeq̄ret̄̄ /  ab eadē ꝓportione potētie ad ſuã reſiſtē-tiã ꝓuenirēt īequales motꝰ, et equales circuitiones / qḋ eſt falſū. Seq̄la ptꝫ facile ex ſolutiõe. Poſitum eſt e /  poña moueret ab eodē conamine rotã cõti­nuo equaliter reſiſtentē / et dictū eſt /  a tali ꝓporti-one ꝓueniebãt īequales motꝰ. eq̈les aūt circuitiões ¶ Dices forte /  iã / tūc nõ eſt eadē ꝓportio īter mo-uēs et mobile ſed eſt mīor. Sed hoc nõ põt dici q volo /  poña ſit naturalis: et maneat in rota tanta reſiſtētia ſicut ãtea erat vt poſitū eſt. Et ſi hoc non admittas equa lance currit ↄ̨tra te argumentū de circuitiõibꝰ q2 tūc ex īequalibꝰ ꝓportiõibꝰ ꝓuenirēt equales circuitiões et īequales motꝰ / qḋ tã incõueni­ens videt̄̄ ſicut reliquū. ¶ Et ideo dices forte / vt di-cūt alii  nõ eſt incõueniēs ab eq̈li ꝓportiõe eq̈les circuitiões īequales autē motꝰ ꝓuenire / vt dictū eſt.

Dicitur.

Sed ↄ̨̨tra. Q2 hoc dato iã deſtruit̄̄ fū­damentū totiꝰ materie: et iã pari facilitate ꝓteruus phiſicꝰ cõcederet  a ꝓportiõe dupla, et a ꝓportio-ne quadrupla equales velocitates nate ſunt ꝓueni­re. et multa ſimilia q̄ ſunt abſona calculatori pḣo ¶ Qua ꝓpter dicūt alii ad argumētū concedendo conſequentiã, et negãdo falſitatē ↄ̨ñtis: et ad pun-ctū ꝓbationis negant /  talis rota ãtea et poſt mo­uebat̄̄ ab equali ꝓportione / q2 vt dicūt magnitudo rote tenet ſe ex ꝑte poñe. Mõ manēte eodē conamīe poñe rota tardiꝰ mouet̄̄ et a minore ꝓportione quia ãtea magnitudo iṗiꝰ rote iuuabat poñaꝫ ad deſcri­bendã lineã. Mõ vero cū ipſa rota cõtinuo efficiat̄̄ minor nõ ita iuuat poñam ſicut añ Qḋ facile exem­plo declarart põt. Manifeſtū eſt e /  ſi in ſuꝑficie alicuiꝰ rote addat̄̄ alid eiuſdē ſpeciei cõtinuatū cū rota nulliꝰ grauitatis: et ſortes giret totū illud ab eodē conamine illa totalis rota velociꝰ mouet̄̄ quã mouebat̄̄ ãtea pars eiꝰ et tñ poña manet eq̈lis et re-ſiſtentia rote: ſed totalis proportio eſt maior quia iuuatur ibi poña ſortis a magnitudine rote.

Reſpon­ſio cõis.

Sed ↄ̨̨tra. Q2 magnitudo tenet ſe ex parte reſiſtētie: g̊ nõ ex parte potētie etiã manente eq̈li g̈uitate oīno. Probat̄̄ añs de orbe / qui maio-ratur ꝑ rarefactionē quovſ fiat ſpera ſolida qui tūc tardiꝰ mouet̄̄ quã qñ erat minor / vt patꝫ ex ſcḋa replica huiꝰ quarti argumēti. ¶ Dices ſicut dicēdū eſt /  nec magnitudo, nec paruitas in talibꝰ tenet ſe ex parte poñe vt ſatis ꝓbat replica: ſed diſtãtia pūcti a cētro penes cuiꝰ motū d3 attēdi velocitas to­tiꝰ mobilis puta ipſiꝰ pūcti ī q̊ eſt g̈dꝰ mediꝰ totiꝰ la-titudīs motꝰ tenet ſe ex ꝑte poñe. CeterꝪ e paribꝰ iuuat poñaꝫ ad velociꝰ deſcribēdū lineã / ꝙ̄ deſcribit qñ recedit a cētro: et ꝑ contrariū iuuat ad deſcribē-dam tardiꝰ qñ magis accedit ad centrū a quo exori­tur motus. Et ſic dico /  qñ rota rarefit verſus cir-cunferentiam mouente circūferentia: tota ꝓportio efficitur maior, et quando condenſatur ordine con-uerſo tota ꝓportio efficitur minor.

Dicitur.

Sed ↄ̨̨tra Q2 iſta ſolutio nõ ſatiſfacit adhuc e ſequit̄̄ /  ab īeq̈libꝰ ꝓportiõibꝰ eq̈les cir-cuitiões ꝓueniūt / qḋ eſt īpoſſibile. Ptꝫ ↄ̨ña / q2 ſorte cū eq̈li cõamīe ↄ̨tinuo girante ſiue rota rarefiat ſi-ue ↄ̨dēſet̄̄ ipſe eque velociter ↄ̨tinuo circuit et tñ ꝑ te ꝓportio eſt continuo maior vel minor: igr̄ ꝓpoſitū.

Quīto ↄ̨̨tra eandē partē arguit̄̄ ſic / ali­s motꝰ eſt vniformiṫ difformis q̊ ad ſubiectū: et tñ eiꝰ velocitas nõ corrñdet g̈dui medio: igr̄. Añs ꝓba­tur et ſuppono /  rarefactio ſit motꝰ localis diffor-mis q̊ ad ſubiectū. q̊ ſuppoſito pono /  ſint duo pe-dalia ſcḋm oēm dimēſionē puta a.b. / et volo /  a ra-refiat vniformiṫ quovſ efficiat̄̄ in duplo longiꝰ et in duplo latiꝰ vniformiṫ, et b. rarefiat vniformiter q̊vſ efficiat̄̄ in ſexaltero lõgiꝰ, et in ſexaltero la­tius vniformiṫ ita  a. in fine ſit vnū q̈dratū cuiꝰ co­ſta ſit dupla ad coſtã eiuſdē in prīcipio rarefactõis et b. ſit aliud q̈dratū cuiꝰ coſta in fine rarefactionis ſit ſexaltera ad coſtã eiꝰ in prīcipio rarefactiõis / q̊ poſito ſic argr̄: ſi ille motꝰ q̊ mouet̄̄ a. et etiã q̊ mouet̄̄ b. debeãt ↄ̨mēſurari penes pūctū mediū / ſequit̄̄ /  a adeq̈te in duplo velociꝰ moueret̄̄ quã b. / ſed ↄ̨ñs eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Seq̄la ꝓbatur / quia pūctus medius ipſius a. in toto illo tempore rarefactionis pertrãſibit vnū ſemipedale q2 pūctꝰ extremius mouet̄̄ ꝑ pedale: et pūctus medius ipſius b. mouet̄̄ ꝑ quartã pedalis cū pūctꝰ extremꝰ eiuſdeꝫ b. moueat̄̄ ꝑ ſemipedale: ſed ſemipedalis ad quar-tã pedalis eſt ꝓportio dupla / vt ptꝫ: igitur in duplo velociꝰ mouet̄̄ a. quã b. / qḋ fuit ꝓbãdū. Sed falſitas ↄ̨ñtis arguitur ſuppoſita illa concluſione geome-trica vcꝫ  ſemꝑ quadrata ꝑfecta equalis craſſitu-dinis ſe habent in proportione duplicata ad ꝓpor­tionē ſuarū cõſtarū / vt poſtea dicetur ī capitulo de augmentatione. ſi vero ſint vndiqua quadrata ꝑfecta tunc ſe habēt in ꝓportione triplicata ad pro­portionē ſuarū coſtarū. Quo ſuppoſito ſic arguit̄̄ / pedale a. in duplo ſuprabipartiente quintas velo­cius rarefit quã pedale b. et ipſa rarefactio eſt motꝰ localis vt ſuppoſitū eſt: ergo in duplo ſuprabipar­tiente quintas velocius mouetur a. quã b. / et per cõ-ſequēs nõ in duplo adequate / quod fuit probandū. Conſequentia apparet, et arguitur maior / quia pe­dale a. efficitur quadruplū in fine rarefactionis ad ipſum in principio quia in principio rarefactionis coſte ipſius a. ad coſtam eius in fine rarefactionis eſt proportio dupla cū ceteris poſitis in caſu: ergo ipſius quadrati a. in fine ad ipſum in principio eſt proportio quadrupla que eſt duplicata proportio coſtarū, et antea erat illud pedale adequate: ergo acquiſiuit tria pedalia: et aliud puta b. acquiſiuit pedale cum quarta preciſe: igitur quantitatis ac-acquiſite ipſi a. ad quãtitatē acquiſitã ipſi b. eſt pro­portio dupla ſuꝑbipartiēs ntas: et tãta ē ꝓportio rarefactionis ipſius a. ad rarefactionē ipſiꝰ b. igit̄̄ Sed iã ꝓbo /  b. acſiuit pedale cū quarta q2 coſte ipſiꝰ b. in fine ad coſtã eiuſdē in prīcipio rarefactio­nis eſt ꝓportio ſexaltera. g̊ totiꝰ quadrati b. in fi-ne ad ipſū in prīcipio eſt ꝓportio dupla ſexquiq̈rta q̄ eſt dupla ad ſexalterã. Ptꝫ ↄ̨ña ex ſuppoſitione et antea b. erat pedale: g̊ acſiuit pedale cū quarta / qḋ fuit ꝓbandū. Simile argumētū poſſet fieri de ra­refactione duarū ſperarū ſolidarū equaliū in ṗnci­pio rarefactiõis: et in fine ita ſe habētiū  diametri vnius ad diameirum alterius eſſet ꝓportio dupla.

Sexto prīcipaliṫ arguit̄̄  hoc ↄ̨̨tra ter­tiã ꝑtē q̄ſtionis vcꝫ /  debet attēdi motꝰ localis dif-formis velocitas quo ad ſubiectū penes reductiõeꝫ ad vniformitatē. q2 motus circularis in ſubiecto cir­culari nõ t reduci ad vniformitatē: igitur nõ debet attendi penes reductionē ad vniformitatē. ¶ Et cõ-firmatur / q2 ſi reduceretur ad vniformitateꝫ motus circularis alicuiꝰ rote a non gradu vſ ad octauū vel oporteret reducēdo ab aliqua parte capere ali­ quã certam velocitatē et ponere ī equali parte ſicut fit in reductione qualitatis vniformiter difformis vel capiendo ab aliq̈ parte et ponēdo in minori vel a mīori et ponēdo in maiori. Nõ tertiū / q2 tūc facile reducēdo ad vniformitatē ꝓbaret̄̄ /  velocitas illiꝰ rote ſit īfinita q2 caperet̄̄ a prima parte ꝓportiõali vnꝰ g̈dus, et a ſcḋa t, et a tertia t: et poneret̄̄ per totã rotã: et ſic eſſet īfinita velocitas. Nec ſcḋm / quia tūc ſeq̄ret̄̄ /  tota velocitas eſſet minor quã vt q̈tu-or vt ſi velocitas totiꝰ rote poneret̄̄ īmedietate eiꝰ et ibi eſſet vniformis vt quatuor: deinde accipiendo medietatē illiꝰ latitudinis motꝰ reducta ad vnifor-mitatē puta duos g̈dus. et ponēdo eos in alia me-dietate et ſic tota velocitas maneret vt duo: Nec eſt dicendū primū / q2 diuiſa illa rota in duas partes cõcentricas quaꝝ vna ſit quarta pars totiꝰ rote, et reſidua ſus circūferentiã ſit tres quarte / vt pone-batur in cedēti capite in ſcḋa cõfirmatiõe puta vl­tima primi argumēti. Deinde volo /  ille tres q̈rte reducant̄̄ ad vniformitatē / et ptꝫ /  erūt vniformis in motu g̈du ſexto cū totalis motꝰ illiꝰ partis q̄ cõ-ponit̄̄ ex illis tribꝰ quartis ſit vniformiter diffor-mis a quarto vſ ad octauū: et volo etiã /  reducat̄̄ alia pars ꝓpe centū ad vniformitatē: et manifeſtū eſt /  erit vt duo motꝰ eiꝰ: cū ſit vniformiter diffor-mis a non gtadū vſ ad quartū. Deinde volo /  a q̄libet triū quartaꝝ magis intēſaꝝ remoueat̄̄ vnꝰ g̈dusꝰ / et ponat̄̄ in quarta minꝰ intēſēſa / q̄ eſt vt duo / et manifeſtū eſt /  oēs quarte manebūt vt quī vni-formes: et ꝑ ↄ̨ñs tota illa velocitas talis motꝰ vni-formiter difformis reducendo ad vniformitatē re-mouēdo a parte equali et ponēdo ſibi in equali erit vt quin / quod eſt falſum: quia eſt vt quatuor cum eſt a non gradu vſ ad octauū: igr̄ velocitas mo-tus vniformiter difformis quo ad ſubiectū nõ de-bet cõmenſari penes reductionē ad vniformitatē. ¶ Dices forte cõcedēdo /  motꝰ circularis nõ poteſt reduci ad vniformitatē ipſo manēte in ſubiecto cir­culariter moto q2 hoc repugnat et ītellige ſicut ītel­ligendum eſt: ſed bene talis velocitas reduceret̄̄ ad vniformitatē qua tale mobile moueat̄̄ vniformiter motu recto quolibet pūcto deſcribente tantã lineã quantã deſcribit pūctꝰ mediꝰ. Et hoc loquendo de motu circulari / vt loquūtur terminiſte. Si autē lo-quimur / vt reales credo /  dicendū eſſet ſcḋm eoruꝫ viã /  motꝰ circularis eſſentialiter eſſet circularis ita  talis motꝰ nõ põt eſſe quin ſit motꝰ circularis q2 differt ſpecie eſſentiali a motu recto. Et ideo / vt modꝰ reſpõdendi huic argumēto et etiã cognoſcē-di velocitatem motus difformis quo ad ſubiectum ſit vtri vie communis.

Confir-matio. Dicitur.

Reſpõdeo alter  de facto motꝰ diffor­mis quo ad ſubiectū velocitas nequa̄ cõmēſura-ri debet ꝑ reductionē ad vniformitatē: ſed cõmēſu-randa eſt penes denoīationē partiū nõ ̄tū ad ma­gnitudinē: ſed ̄tū ad lõgitudinē Uolo dicere /  nõ in ea ꝓportionē qua pars eſt maior altera in ea ꝓ-porõe velocitas motꝰ exiſtēs in ea plus facit ad de-noīationē totiꝰ velocitatis. Sꝫ volo dicere /  in ea ꝓportiõe in qua eſt lõgior ceteris paribꝰ in ea plus facit ad denoīationē totiꝰ ita  t adequate mo-uet̄̄ vna rota ̄tū vna linea ꝓcedēs a cētro illiꝰ ro-te vſ ad circūferentiã. Et ſi talis linea moueat̄̄ a nõ g̈du vſ ad octauū etiã tota rota. Et põt vena-ri velocitas motꝰ illiꝰ linee penes denoīationē iſto mõ medietas huiꝰ linee q̄ velociua mouet̄̄, mouet̄̄ vt ſex: igr̄ denoīat totū moueri vt tria: et alia medietas totius vt vnū: et ſic tota linea mouetur vt quatuor.

Sed ↄ̨̨tra. Q2 ſi talis modꝰ cognoſcē-di velocitatē motꝰ difformis q̊ ab ſubiectū eſſet vĺr validꝰ ſeq̄ret̄̄ /  dabilis eēt vna ꝑs rote vniformiter difformiṫ mote q̄ nõ vniformiṫ difformiṫ moueret̄̄ īmo nõ eēt dabilis g̈dꝰ q̊ adeq̈te moueret̄̄: ſꝫ q̊libet īadeq̈te citra ſūmū / et ↄ̨ñs oī opiniõi aduerſat̄̄: igr̄ illud ex q̊ ſequit̄̄. Seq̄la ꝓbat̄̄ / et capio vnã rotã que moueat̄̄ vniformiṫ difformiṫ a nõ g̈du vſ ad octa-uū, et ſigno in ea vnã colūnã cuiꝰ vnū extremū tãgat cētrū et aliud circūferētiã. Deīde educo lineã girati­uã ꝓcedentē a cētro talis rote et girantē oēs partes ꝓportiõales taĺ colūne (et loquor de linea giratiua ſicut loquūtur noīales ̄uis idē eſſet ſi loq̄rer ſcḋm reales) / q̊ poſito ſic arguitur talis linea eſt. ꝑs illius colūne: et hꝫ īfinitas ꝑtes eq̈les quaꝝ q̄libet mouet̄̄ maiori et velociori g̈du quã q̈tuor, et hꝫ īfinitas eq̈-les quaꝝ q̄libet mouet̄̄ velociꝰ quã quī, et ſic ↄ̨ñter vſ ad octauū g̈dū excluſiue: et reſidue partes ſolū ſūt finite vt facile eſt ītueri: igr̄ talis linea mouetur maiori vtlocitate quã vt quatuor quã vt quī ꝙ̄ vt ſex etc̈. vſ ad octauū g̈dū excluſiue / qḋ fuit ꝓbãdū

In oppoſitū tamē eſt coīs ſchola aſſe­rens velocitatē motꝰ difformis quo ad ſubiectū ali­quo illorū modorū attendi debere ſiue cõmēſurari

Pro deſciſioue huiꝰ q̄ſtionis ſupponē­da eſt diffinitio motus vniformiter difformis quo ad ſubiectū. Et etiã diffinitio motꝰ difformiter dif-formis quo ad ſubiectū q̄ ſuꝑiori capite poſite ſunt ¶ Item aduertendū eſt /  in motu circulari duo cõ-ſiderãda ſunt: puta ipſa circuitio: et ipſe motus cir-cularis: quãuis eī idē ſit motꝰ circularis et circuitio penes aliud tñ cõmenſurari habet velocitas circui­tionis: et velocitas motus circularis: ſicut idē eſt al­bedo et ſiĺitudo: et penes aliḋ cognoſci hꝫ intēſio al­bedinis: et ītenſio ſiĺitudinls qḋ facile ex dialecticis ꝑcipi põt. In iſtis eī aſpicienda eſt appellatio ne in ea fallamur: Uelocitas e motꝰ circularis attendi­tur penes lineam deſcriptam a certo puncto vt infe­riꝰ declarabit̄̄. Sed velocitas circuitionis attēdi hꝫ penes angulū deſcriptū in tãto vel tanto te circa centrū: ita  ſi in eq̈li te duo mobilia ſiue eq̈lia ſi-ue ineq̈lia circulariter mota eq̈les angulos circa cē­trū deſcribūt ipſa eq̈liter circueūt et circūgyrãt: Si vero in eodē te ineq̈les deſcribãt circa cētrū angu­los: notū euadet eorū circuitiones ineq̈les eē. Et hec opinio eſt cõiter loq̄ntiū: et ſignãter Pauli veneti ī ſua ſūma in libro phiſicoꝝ capitulo .35. vide eū ibi. Poſſet tñ facile attēdi velocitas circuitiõis penes velocitatē motꝰ alicuiꝰ pūcti equaliter diſtãtis a cē­tro: hoc eſt dicere /  ſi in duobus mobilibꝰ circulari­ter ſiue eq̈lia ſint ſiue īequalia duo pūcta eq̈liter di­ſtãtia a cētro equaliter moueant̄̄: talia mobilia eq̈­liter circueūt. Nõ tñ arbitreris  quãto pūctū ē pro­pinquiꝰ cētro tãto velociꝰ circuit: q qḋlibet eq̄ve-lociter circuit cū altero dūmõ corꝑis motꝰ ſit vnifor­miter difformis quo ad ſubiectū Quare ꝑſpicuū ē videre diſtãtiã pūctorū nullo pacto conferre ad ve­locitatē circuitiõis (loquor de diſtãtia a cētro) quã­uis plurimū ad velocitatē motꝰ circularis vt ſupe-rius tactū eſt in quodã argumēto: et inferius tange­tur. His ſuppoſitis ſit.

Penes d hꝫ at-tēdi velo­citas cir­caitiõis. paulꝰ ve­netꝰ ī ſū. phiſi. ca. 35.

Prīa ↄ̨̨cluſio. Uelocitas motꝰ vnifor-miṫ difformis quo ad ſubiectū nõ d3 attēdi aut cõ-menſurari penes velocitatē pūcti exiſtētis in medio corporis quãtū ad magnitudinē vt bene probat ter­tium argumentum huius capitis

Scḋa ↄ̨̨cluſio. Uelocitas motus vni- miter difformis q̊ ad ſubiectū nõ d3 attendi penes velocitatē pūcti exiſtētis in medio mobilis quãtū ad lõgitudinē. Ptꝫ hec ↄ̨cluſio ex eodē argumēto.

Tertia concluſio Uelocitas motꝰ vni­formiter difformis quo ad ſubiectū cõmēſurari d3 penes gradū mediū totiꝰ latitudinis talis motus vniformiter difformis vbicū fuerit talis gradus ſiue in medio corꝑis ̄tū ad magnitudinē ſiue non (non eſt cura) Probat̄̄ hec cõcluſio / q ceteri modi cognoſcēdi velocitatē motꝰ vniformiter difformis quo ad ſubiectū ſuperioribꝰ argumētis īprobãtur reſtat / igitur vt penes modum datum cognoſcatur

Quarta cõcluſio. Uelocitas motꝰ dif-formiter difformis quo ad ſubiectum cognoſci põt penes denoīationē partiū quantū ad longitudinē Intelligēdo ꝑ lõgitudinē diſtantiã a nõ gradu ta-lis motꝰ vel a g̈du tardiſſimo ſus g̈dus velociores / vt declaratū eſt in vltimo argumēto. Probat̄̄ hec ↄ̨cluſio / q2 nõ occurrit alter modꝰ facilior ad cogno­ſcendū huiuſmodi velocitatem per denominationē / igr̄ tali modo īueſtiganda eſt motꝰ difformiter dif-formis quo ad ſubiectū velocitas. Nec replica fa-cta de linea giratiua in vltīo argumēto huiꝰ capitꝪ hãc ↄ̨cluſionē valet vllo pacto infirmare / vt patebit ex ſolutione eiuſdem replice.

Quinta concluſio. Probabile eſt ve-locitatē motꝰ difformis quo ad ſubiectū attēdi de-bere penes gradū ſummū. Ptꝫ / q2 ad illã opinionē q̄ eſt hentiſberi nullū incõueniēs ſequit̄̄: īmo oīa ar­gumēta q̄ in eū adducūiur facillime diſſoluūtur.

Opinio hentiſbe­ri.

Sexta cõcluſio. Diſtantia punctorū a cētro a q̊ ꝓcedit motꝰ difformis q̊ ad ſubiectū te-net ſe ex ꝑte potētie: et auget ꝓportionē poñe ad re­ſiſtentiã. necnõ eidē potētie eſt adiumento. et ꝑ op-poſitū ꝓpintas. nec magnitudo aut paruitans a-lid facit. Probat̄̄ facile hec cõcluſio ex deductiõe q̈rti argumēti huiꝰ capitis. ¶ Ex q̊ ſequit̄̄ /  nõ ſtat aliquã rotã q̄ mouet̄̄ a tute ſortis vt q̈tuor rare-fieri et maiorari ꝑ ↄ̨tinuã elõgationē pūctoꝝ a cētro et ipſã cõtinuo ab eadē ꝓportiõe moueri ceteris pa­ribꝰ. Ptꝫ correlariū hoc, q2 diſtãtia pūctoꝝ. adau-get ꝓportionē. Similiter dicendū eſt / ſi cõdenſaret̄̄ rota ſorte cõtinuo mouēte a tute vt q̈tuor. tunc e totalis ꝓportio cõtinuo diminuit̄̄ ꝓpṫ deꝑditionē diſtante punctorum a centro.

correĺ.

Septima cõcluſio. Propīquitas aut diſtãtia pūctoꝝ a cētro nichil cõducit ceterꝪ paribꝰ ad velocitatē circūgiratiõis ſiue circuitiõis / qḋ idē eſt. Probat̄̄ / q2 eq̄ velociter oīa pūcta cõplēt circu-los ſuos / vt ptꝫ ī rota in ſpera lune ſolis, et ſic ↄ̨ñter ꝓcedēdo et eq̈les ãgulos faciūt circa centrū: igr̄ eq̄ velociter circueūt / et ꝑ ↄ̨ñs diſtãtia nichil ↄ̨fert ¶ Ex q̊ ſequit̄̄ /  nū̄ ↄ̨cēdendū eſt ab eq̈libꝰ ꝓportiõibꝰ īeq̈les motꝰ circulares ꝓuenire, aut ab ineq̈libꝰ ꝓ-portiõibꝰ eq̈les circuitiões / vt ſolutio q̈rti argumēti oñdit. ¶ Sequit̄̄ ex hac ſolutiõe ſcḋo /  ſi in eodem axe ponant̄̄ īfinite rote ↄ̨tinuo mīores et mīores ita  diametri prime ſit dupla ad diametrū ſecūde, et ſcḋe ad diametrū tertie, et ſic ↄ̨ñter: et ſortes moue-at oēs illas rotas mediãte illo axe: in īfinitū tarde mouet̄̄ ibi aliqua rota: nichilominꝰ tñ q̄libet rota ita velociter circuit ſicut prima. Patꝫ prima pars / q2 īfinite modicū circulū deſcribit aliqua illaꝝ ro-tarū in eodē tꝑe: igr̄. Scḋa pars ꝓbat̄̄ / q2 eque cito q̄libet circuitionē ſuã ſicut prima cõplet: igr̄ q̄libet eque velociter circuit ſicut prima. Ite ↄ̨tinuo cuiuſli­ bet illaꝝ ãguīus deſcriptꝰ circa cētrū eſt eq̈lis ãgu-lo deſcripto a ṗma rota: igr̄ quelibet illaꝝ cõtinuo equaliter circuit cū prima Ex quo facile apparet  magnitudo ſiue diſtãtia pūctoꝝ nihil facit ad velo­citatē circuitiõis: ſed bene ad velocitatē motꝰ circu-laris. ¶ Sequit̄̄ vlteriꝰ /  in caſu dicto nõ ab eadē proportiõe adequate ſortes mouet primam rotã et ſcḋam: ſed a maiori primã quã ſcḋam. q2 diſtantia pūctoꝝ medioꝝ eſt adiumēto potētie ſortis. ¶ Hic tñ tu aduerte  nõ volo dicere / quãlibet illaꝝ rotaꝝ moueri adeq̈te a certa ꝓportiõe: ſed bene q̄libet il-larū mouet̄̄ a certa ꝓportiõe inadequate. Nec volo dicere / ̄libet illaꝝ circūgirare ſiue ꝓpriã circuitio­nē efficere a certa ꝓportiõe adeq̊te: ſed bene īadeq̈-te. Qḋ ideo dixerim / q ſi cõcedat̄̄ ſortē potētie vt 4. circūgirare rotã in octuplo minorē prima a cer­ta ꝓportiõe adequate cū oporteat talē ꝓportionē eſſe maiorē ꝓportiõe a qua ſortes circūducit primã rotã (cū maior rota magis reſiſtit ſue circūgiratiõi quã mīor) / tã ſeq̄ret̄̄ /  ab īeq̈libꝰ ꝓportiõibꝰ equa-les circuitiões ꝓuenirēt qḋ vitare intēdit ſeptīa cõ­cluſio. Et ideo in ꝓpoſito ymaginandū eſt de illis rotis ſicut de īfinitis rotis partialibꝰ cõcētricis ro­te alicui cuiꝰ ſūt partes. Manifeſtū eſt e /  q̄libet illaꝝ rotaꝝ eque velociter circuit cū qualꝫ aliarū: et cuiuſlꝫ illaꝝ circuitio ꝓuēit ab eadē ꝓportiõe inade­quate ſiue partialiter q ꝓuenit ab eadē ꝓportiõe a qua circuitio totalis rote efficit̄̄ ſicut e dicere-mus ſortē potētie / vt .4. mouentē põdus reſiſtentie vt .2. velocitate vt .4. mouere quãlibet partē illiꝰ põ­deris velocitate vt q̈tuor et a ꝓportione dupla: ſed hoc īadequate. ¶ Ad īducēdã octauã ↄ̨cluſionē ſolu­tiuam quinti argumenti preſentis queſtiõis pono aliquas ſuppoſitiones geometricas.

1. correĺ: 2. correĺ. 3. correĺ.

Prima ſuppoſitio Si ſūt due quãtita­tes equalis ꝓfunditatis vniformiter, et eq̄ late vni-formiter, et vna lõgior allera in q̈cū ꝓportiõe eſt lõgior in eadē eſt maior. Exēplū / vt ſi ſit vnū pedale pedaliter latū, et pedaliter ꝓfundū, et ſit alia quã-titas eq̄ ꝓfunda et eq̄ lata vniformiter, et in duplo longior: manifeſtū eſt /  illa eſt in duplo maior q2 cõtinet duo pedalia. Probat̄̄ hec ſuppoſitio facile / q cū tales latitudines ſint vniformes in latitudī­ne et ꝓfūditate illud qḋ maior plꝰ cõtinet ē eque la-tū et eque ꝓfundū vniformiter ſicut mīor: ergo alia quãtitas maior cõtinet totã minorē et illud vltra: et illḋ ē eq̄ magnū adeq̈te ſicut tã lõga ꝑs mīoris quã­tatis: igr̄ in q̈cū ꝓportiõe lõgitudo maioris ex­cedit longitudinem minoris in eadeꝫ proportione magnitudo maioris excedit magnitudinis mīoris

Secūda ſuppoſitio Si due quantita­tes ineq̈les ſint eq̄ profunde vniformiter et eq̄ longe vniformiter et vna latior altera: in q̈cū ꝓportiõe vna eſt latior in eadē eſt maior. Exēplū / vt ſi ſit vna quãtitas bipedalis ſcḋm lõgitudinē pedalis ſcḋ3 la­titudinē et ꝓfūditatē vniformiter et alia vniformiṫ eque lõga et eq̄ ꝓfunda et ī ſexquialtero latior: erit ī ſexquialtero maior. Ptꝫ hec ſuppoſitio ſicut ṗor.

Tertia ſuppoſitio Si ſint due quan-titates eq̄ longe eque late vniformiter: et vna ſit in aliq̈ ꝓqortione ꝓfundior altera: in eadē ꝓportione in q̈ eſt ꝓfundior ē maior. Exemplū / vt ſi ſit vna ma-gnitudo bipedaliter lõga pedaliter lata et pedali-ter ꝓfunda et vna alia bipedaliter lõga et pedaliter lata et ſemipedaliter profunda / tūc dico /  alia quã­titas maior in ea ꝓportione in q̈ eſt ꝓfundior ī ea ē maior puta in dupla. Patet etiam hec ſicut prima His ſuppoſitionibus premiſſis ſit hec.

Octaua ↄ̨̨cluſio ꝓportio quadratorū ꝑfectoꝝ et eque ꝓfundoꝝ vniformiter eſt ꝓortio co­ſtaꝝ duplicata. Et voco quadratū pērfectū cuiꝰ oēs coſte ſunt eq̈les et oēs anguli recti eq̈les. Nõ intelli-gas tñ /  velim dicere /  oēs coſte debent eſſe eq̈les ſcḋm oēm dimēſionē: ſed ſatis eſt ſcḋm latitudinem et lõgitudinē. Exēplū / vt ſi ſit vnū q̈dratū pedaliter longū, pedaliter latū et pedaliter ꝓfundū: et aliud bipedaliter longū bipedaliter latū et ſolū pedali-ter ꝓfundū / tūc dico /  vnū eſt q̈druplū ad alteꝝ: q coſte ſe habēt in proportio dupla et magnitudi-nes ſe habebãt in ꝓportiõe dupla ad duplã cuiuſ-modi eſt q̈drupla ꝓportio. Probat̄̄ hec cõcluſio et capio duo q̈drata ꝑfecta eq̈liter ꝓfunda vniformiṫ / ꝝ minꝰ ſit a. et maiꝰ c. et habeat ſe coſta ipſius c. ad coſtã ipſiꝰ a. in ꝓportione f. / tūc dico /  ipſiꝰ c. ad ip­ſum a. eſt ꝓportio duplicata ad ꝓportionē ipſiꝰ f. Quod ꝓbo ſic et capio vnū aliud corpꝰ puta b. /  ſit eque ꝓfundū et eque latū ſicut a. vniformiter et in f. ꝓportiõe lõgiꝰ et manifeſtū eſt /  ipſiꝰ b. ad ipſuꝫ a. eſt ꝓportio f. / vt ptꝫ ex prima ſuppoſitiõe: et ipſius c. ad ipſum b. eſt etiã f. ꝓportio: vt ptꝫ ex ſcḋa ſuppo-ſitione: q cū ipſū c. (vt ponit̄̄ in caſu) ſit in f. ꝓpor-tione latiꝰ quã ipſum b. et eſt eque longū et eque ꝓ-fundū ſicut ipſum b. / igr̄ eſt in f. ꝓportiõe maiꝰ ipſo b. / vt oſtēdit dicta ſcḋa ſuppoſitio: igr̄ ipſius c. ad ipſuꝫ a. eſt ꝓportio duplicata ad ꝓportionē f. Ptꝫ hec ↄ̨ña ex cõcluſione octaua ſexti capitis ſcḋe par­tis / q ibi ſunt .3. termini cõtinuo ꝓportiõales f. ꝓ-portionē / q b. ad a. eſt ꝓportio f. et c. ad b. eſt ꝓpor­tio f. / igr̄ c. ad a. eſt proportio duplicata ſiue dupla ad ꝓportionē f. / vt clare oſtendit dicta octaua con­cluſio allegata. ¶ Ex hac cõcluſione ſequit̄̄ tale cor-relariū /  ꝓportio duoꝝ corpoꝝ cuboꝝ ſiue ꝑfecte quadratoruꝫ ſimpliciter cuiuſmodi ſunt data ſiue taxilli quoꝝ lõgitudo eſt eq̈lis latitudini et ꝓfūdi-tati: ē ꝓportio coſtaꝝ triplicata. Exēplū / vt ſi fuerit vnū corpꝰ cubū pedaliṫ ꝓfundū et aliud corpꝰ cubū bipedaliter ꝓfundū dico /  illud bipedalittr ꝓfun­dū eſt octuplū ad illud pedaliter ꝓfundū / q coſte ad coſtã ē ꝓportio dupla / igr̄ ex correlario oꝫ ꝓpor­tionē magnitudīs eē triplã ad ꝓportionē duplã: et illa ē octupla / vt pꝫ ex ſcḋa ꝑte: igr̄. Probat̄̄ hoc cor­relariū et capio duo corꝑa cuba quoꝝ latera ſiue co­ſte ſe habeãt in f. ꝓportiõe et ſit minꝰ illoꝝ a. et maiꝰ illoꝝ d. / deīde capio b. corpꝰ /  ſit eq̄ ꝓfnndū et eque latū ſicut a. et in f. ꝓportiõe lõgiꝰ: deīde capio q̈rtū corpꝰ puta c. / qḋ ſit eq̄ longū et eq̄ ꝓfundū ſicut b. et ī f. ꝓportiõe latiꝰ: et arguo ſic / d. ad c. eſt f. ꝓportio / vt pꝫ ex ſcḋa ſuppõe et b. ad a. ē f. ꝓportio / vt pꝫ ex ṗma / igr̄ d. ad a. eſt triplicata ꝓportio ſiue tripla ad ꝓ-portionē f. / vt ptꝫ ex .8. ↄ̨cluſiõe ſexti capitꝪ ſcḋe ꝑtꝪ / qḋ fuit ꝓbãdū. ¶ Ex q̊ ſequit̄̄ /  datꝪ duobꝰ q̈drãgu­lis cubis quoꝝ coſte ſe hñt in ꝓportiõe ſexaltera: maiorꝪ q̈drãguli ad mīorē ē ꝓportio tripla ſuꝑtri­partiēs octauas q̈lis .27. ad .8. Probat̄̄ q / vt ptꝫ ex cedēti correlario ꝓportio duoꝝ cuboꝝ ſiue q̈dra­toꝝ perfectorū ē ꝓportio coſtaꝝ triplata: ſꝫ ꝓpor-tio tripla ſuꝑtriꝑtiēs .8. eſt tripla ad ꝓportionē ſex­alterã / q̄ ē īter coſtas datoꝝ q̈dratoꝝ: igr̄ talia q̄-drata cuba ſe hñt ī ꝓportiõe tripla ſuꝑtriꝑtiēte .8. Maior ptꝫ cū ↄ̨ña: et ꝓbat̄̄ minor / q ꝓportior .27. ad .8. ↄ̨ponit̄̄ ex tribꝰ ſexalterꝪ. Sint e īter illos nūeros .4. termini cõtinuo ꝓportiõales ꝓportione ſexaltera. Nã .27. ad .18. eſt ꝓportio ſexaltera et 18. ad .12. eſt ꝓportio ſexaltera et .12. ad .8. ſexalte­ra. ¶ Setur vlteriꝰ /  datis duobꝰ q̈dratis cubicis quoꝝ latera ſe hñt in ꝓportiõe tripla: īter maius et minꝰ reperit̄̄ ꝓportio vicecupla ſeptupla: qualis eſt ꝓportio .27. ad vnū. Ptꝫ hoc correlariū ex primo correlario hoc addito /  proportio vicecupla ſe-ptupla ex tribꝰ triplis cõponit̄̄ / qḋ facile eſt ꝓſpice­re. Nã .27. ad .9. eſt ꝓportio tripla: et .9. ad .3. eſt pro­portio tripla: et .3. ad vnū ſimiliter tripla ꝓportio Iſto modo ꝓcedēdo aliquãtula primeditatiõe et cõ­ſideratione cõpoſitionis ꝓportionū: īfinita corre-laria ex dicto primo correlario īferri valent et ſi-militer ex cõcluſione. ſed differantur vſ ad mate-riam de augmentatione.

1. correĺ. 2. correĺ. 3. correĺ.
Cõcluſio brauarḋ

Nona cõcluſio. Scḋm opinionē q̄ po­nit velocitatē motus difformiter difformis quo ad ſubiectū attendi debere penes gradū ſummū: ꝓpor­tio motus duaꝝ ſperaꝝ ſiue duoꝝ orbiū: pariter duoꝝ circuloꝝ in equali tēpore ceteris paribꝰ circū­giratoꝝ eſt ſicut ꝓportio ſuoꝝ diametroꝝ. Proba­tur hec cõcluſio / q ꝓportio perimetroꝝ circulorū eſt ſicut ꝓportio diametroꝝ: et quãto vna diameter eſt maior altera tanto maiorē lineã deſcribit eius punctꝰ maxime a centro diſtans: igr̄ cõcluſio vera. ¶ Hic tñ aduerte /  ad inducendã hanc concluſionē proceſſu mathematico oportet maiori apparatu vti quã ſens exigat opus: ſatis eſt e in iſtis. Eu-clidi et mathematicoꝝ ṗmoribꝰ fidē exhibere. In hac e cõſideratione phiſica mathematice ſcien­tie ſubalternari nõ dedignatur: quēadmodū in ſci­entia de iride ſubalternata perſpectiue dinoſcitur teſte philoſopho primo poſteriorum.

Pḣs pri-mo po-ſteriorū.

Decima cõcluſio. Proportio motuū duaꝝ ſpheraꝝ ſolidaꝝ eſt ſicut ꝓportio diametro-rum. Et hoc ſcḋm oēm opinionē. Probat̄̄ ex priori ̄tum ad opinionē / q̄ dicit velocitatē attendi debe-re penes punctū velociſſime motū. Sed ̄tū ad aliã opinionē ptꝫ / q ſcḋm aliã velocitas ſpere ſolide debet attendi ſcḋm lineã deſcriptã a pūcto medio ſemidiametri īter centrū et circūferentiã: et ꝑ ↄ̨ñs a puncto deſcripto ab vna quarta ſemidiametri: ſed in quacū ꝓportione vna diameter eſt maior alte­ra in eadē vna quarta eſt maior vna quarta alteriꝰ / ergo ſcḋm hãc opinionē in quacū ꝓportionē dia­meter vniꝰ ſpere ſolide erit maior diametro alteriꝰ in eadē ꝓportiõe maiorē lineã deſcribet punctꝰ me­dius ſemidiametri: et per ↄ̨ñs ꝓportio motus erit ſicut ꝓportio diametrorum / quod fuit probandū.

Undecima ↄ̨̨cluſio Proportio motuū duaꝝ ſperaꝝ īequaliū in eode tēpore circūgirataꝝ dūmodo ſint ſolide eſt ſubtripla ad ꝓportionē ſpe­raꝝ īter ſe. Probat̄̄ hec cõcluſio / q ꝓportio mo-tuū duaꝝ ſperaꝝ eſt ꝓportio diametroꝝ taliū ſpe­raꝝ / vt ptꝫ ex priori: ſꝫ ꝓportio ſperaꝝ īequaliū eſt ꝓportio diametroꝝ triplata ſiue eſt tripla ad pro­portionē diametroꝝ / qḋ idē eſt / vt patꝫ ex vltīa decī elemētoꝝ. Euclidis g̊ ꝓportio diametroꝝ eſt ſubtri­pla ad ꝓportionē ſperaꝝ et talis ē ꝓportio motuū / igr̄ ꝓportio motuuū duaꝝ ſperaꝝ ineq̈liū etc. ē ſub­tripla ꝓportio ad proportionem ſperarū inter ſe. ¶ Ex quo ſequit̄̄ /  ſi vna ſpera eſt in octuplo maior altera /  mouet̄̄ preciſe in duplo velociꝰ altera: et ſi vna ſpera fuerit in triplo ſupertripartiēti octauas maior altera ipſa mouet̄̄ in ſexaltero velociꝰ alte­ra. Ptꝫ hoc correlariū / q̊ ad primã ꝑtē q ꝓportio octupla eſt tripla ad duplã: g̊ ſi ſpere ſe habēt ī octu­pla ꝓportione motꝰ earū ſe habebūt in dupla q̄ eſt ſubtripla ad octuplã: ptꝫ ↄ̨ña ex immediate prece-dēte ↄ̨cluſione. Eodē mõ ptꝫ / q̄ ad ſcḋaꝫ partē q ſi ſpere ſe habent in ꝓportione tripla ſuꝑtripartiēti octauas / ↄ̨ñs eſt motus eaꝝ ſe habere in ꝓportione ſubtripla ad ꝓportionē triplã ſuꝑtripartiētē octa­nas / vt ptꝫ ex ↄ̨cluſiõe: et talis eſt ꝓportio ſexalte-ra / vt oſtenſū eſt in ſcḋo correlario octaue ↄ̨cluſiõis huiꝰ capitis / igr̄ ꝓpoſitū: de ꝓportiõe autē ſperaꝝ et de motuū eaꝝ ꝓportiõe videas theodoſiū deſperꝪ et pulchrã doctinã necnõ ſubtile artificiū cõcluſionū qua in hac materia thomas brauardibꝰ et in capi-tulo quarto et vltimo tractatꝰ ꝓportionū / quas edi­dit mathematico apparatu īducit: his poſitis ſit.

1. correĺ.

Duodecima ↄ̨̨cluſio reſpõſiua ad q̄ſti­onē. Quēadmodū ꝓbabile eſt velocitatē motus de quo eſt ſens inſitio attēdi debere penes lineã de-ſcriptã a pūcto in quo eſt g̈dus mediꝰ aut penes re-ductionē ad vniformitatē denoīatiõis: ita ꝓbile eſt talē motū attēdi debere penes lineã a pūcto velo-ciſſime moto deſcriptã ſiue talis punctꝰ velociſſime motꝰ ſit verꝰ ſiue ymaginariꝰ: prima pars huiꝰ ↄ̨clu­ſionis aliq̈liter ptꝫ ex dictīs et et declabit̄̄ ꝑ ãplius in argumētoꝝ ſolutiõibꝰ. Scḋa o pars ptꝫ ex cõ-cluſiõe quīta huiꝰ. Si tñ plus affectas hãc ſecundã partē ↄ̨cluſiõis īueſtigare ſto erit tibi guillermus hentiſber in ſuo tractatu de motu locali capite pri­mo illã cū ſuis ↄ̨mētariis ad extremū vſ diſcutiēs

hētiſber

Ad rationes ante oppoſitū q2 vtrã opinionē ſuſtinemꝰ oꝑe ciū eſt oēs illas rõnes ſol-uere: ̄uis ille q̄ ſūt ↄ̨tra vnã opinione ſint ꝓ altera

Ad prṫmã dico / vt dictū eſt ibi cū dice-bat̄̄ /  ideo velocitas motꝰ difformis quo ad ſubie-ctū attendi d3 penes punctū velociſſime motū q2 di­gnū eſt vnūqḋ a digniori denoīri. Itē q2 aliqñ nõ datur punctꝰ tardiſſime motus vt ibi dr̄: et ad re-plicã reſpõdeo /  ̄uis nõ detur aliqñ pūctꝰ qui ve-lociſſime mouet̄̄ verꝰ: datur tñ ymaginariꝰ / qḋ ſuffi­cit: et ſimiliter nõ detur linea vera datur tñ ymagi-naria quã deſcribit: et loquor in ꝓpoſito de o vel ymaginario vt ad ꝓpoſitū cõducit. Et ꝑ hoc ptꝫ ad primã cõfirmationē cū ſua replica prima. Et ad ſe-cundã replicã / q̄ ponit rotã cõtinuo rarefieri ita  cõtinuo magis diſtent pūcta extra a centro admit-to caſum et nego añs: et ad ꝓbationē nego /  nullaꝫ lineã deſcribat: et cū ꝓbat̄̄ / q2 nec rectã nec circularē cõcedo añs: et nego cõſequētiã. Multe e linee ſunt que nec recte nec circulares ſunt / vt patꝫ de linea pro media parte recta et ꝓ media circulari. Hoc idē ptꝫ de linea giratiua et de filio ad globum redacto. Et ideo dico /  talis linea habet ſe quaſi ad modum linee giratiue vel curue.

Ad ſecūdã cõfirmationē dico breuiṫ /  talis rota mouet̄̄ ita velociter ſicut pūctꝰ eiꝰ extre­mꝰ mouet̄̄ in toto tꝑe adequate. Et ſi queras cui cor­reſpõdet velocitas illiꝰ pūcti ī toto illo tꝑe adeq̈te.

Reſpõdeo / vt michi videt̄̄ ꝓ nūc /  cor­reſpõdet velocitati quã talis pūctꝰ hꝫ in inſtanti me-dio totiꝰ tꝑis. Nã ymaginor illū punctū moueri vni­formiter quo ad tēpꝰ cõtinuo vniformiter intēden-do motū: et cū dicis / qḋ hoc eſt cõicidere cū alia opi­nione, nego tibi illud, et ratio eſt / q2 alia opinio di-ceret in illo caſu rotã illã moueri cõtinuo ita velo-cīter ſicut pūctꝰ / qui eſt in medio ſemidiametri inter centrū et circūferentiã  lõge tardiꝰ moue^ quã pū-ctus peripherie: et ↄ̨ñter diceret /  velocitas motus totiꝰ rote corrñdet velocitati motꝰ qua hꝫ ille pūctꝰ qui eſt in medio illius ſemidiametri mouetur in me­dio totius temporis in quo mouetur.

Ad ſcḋm argumentū reſponſum eſt ibi vſ ad vltimã replicã ad quã reſpõdeo ↄ̨ceden­do / qḋ īfert̄̄, et negãdo falſitatē ↄ̨ñtis, et cū ꝓbat̄̄ fal­ſitas ↄ̨ñtis nego ſeq̄lã vcꝫ /  ſtabit punctū extremū moueri ita velociṫ ſicut ãtea mouebat̄̄ q̈libet parte ꝓportiõali carēte velocitate ſiue eſcēte. Sꝫ dico /  cū aliq̈ pars ꝓportiõalis deuenerit ad nõ graduꝫ velocitatꝪ tota rota eſcit. Utrū aūt poſſet fieri / qḋ in calce argumēti ponit̄̄ vcꝫ /  a q̈libet ꝑ parte ꝓpo-tionali ſcḋm certã diuiſionē demat̄̄ medietas velo-citatis abſ hoc /  demat̄̄ alid a pūcto exiſtēte in peripheria rote nõ eſt michi certū: nichilominꝰ vi­detur /  pari ratione concedendum ſit ſicut conce-ditur procedens illatum.

Dubiū.

Ad tertiã rationē reſpõdēt priores cõ­cluſiões huiꝰ capitis poſite in corꝑe huiꝰ queſtiõis.

Ad quartū argumentū dictum eſt ibi vſ ad vltimã replicã ad quã reſpõdet ſeptīa ↄ̨clu-ſio cū ſuo correlario: diſtãtia e pūctoꝝ vĺ ꝓpin-tas nichil cõfert ad velocitatē circūgirationis, nec auget, nec minuit ꝓportionē ſꝫ dūtaxat īpedimētū circūgirandi / qḋ forte eſt g̈uitas exiſtēs in corꝑe cir­cunducto. Si nulla e eſſet g̈uitas aut aliqḋ aliud īpedimentū eque cito giraretur magna rota ſicut parua: et ſi potentia circungirans eſſet naturalis ſubito circungiraretur.

Ad quintū negat̄̄ añs:  ad ꝓbationē admiſſo caſu et ſuppoſitiõe ↄ̨cedo illatū vcꝫ /  a. ade­quate in duplo velociꝰ mouet̄̄ ꝙ̄ b. / et nego falſitateꝫ ↄ̨ñtis, et ad ꝓbationē admiſſa ↄ̨cluſiõe geometrica / q̄ ibi ſupponit̄̄ cõcedo /  a. pedale in duplo ſuꝑbi-partiēti quītas velociꝰ rarefit quã pedale b. et  ra­refactio eſt motꝰ localis et cū infert̄̄ / g̊ in duplo ſuꝑ-bipartiēti quãtas velociꝰ mouet̄̄ a. ꝙ̄ b. / nego ↄ̨ñam ̄uis e idē ſit rarefactio et motꝰ: penes tñ aliud cõ­mēſurari habet velocitas rarefactiõis et motus lo­calis ſicut dictū eſt de circuitione et motu circulari.

Ad ſextã rõnē dictū eſt ibi vſ ad re-plicã de linea girãte columnã: ad quã dico /  motꝰ talis linee giratiue nõ d3 reduci ad vniformitatē vt ſupponit replica: ſed totū reſiduū illius linee qḋ eſt ſupra pūctū in quo eſt mediꝰ g̈dus motꝰ quo mo­uet̄̄ totalis rota d3 capi ac ſi eſſet medietas totius linee. Tã velociter e mouet̄̄ illa linea giratiua ſi-cut vna linea recta exiēs a cētro rote vſ ad circū-feretiã eiꝰ. Et ideo velocitas illiꝰ linee giratiue cõ-mēſurari hꝫ penes velocitatē talis linee recte. Et ſi hec ſolutio tibi nõ placet vexes īteīlectū ad cõperiē-dã aliã. Nõ e ꝓ nūc alia michi occurit. Argumē­tū in oppoſitū nõ eſt magis ꝓ vna opiniõe quã pro reliqua. Et ideo queſtio noſtra his paucis contēta terminum ſumat.

Capitulū tertiū / in quo oſtendit̄̄ modꝰ cogno-ſcendi ſiue cõmenſurandi motū vniformieer diffor-mem et difformiter difformem quo ad tempus quo ad velocitatem et tarditatem in omni ſpecie .etc̈. In oī ſpecie ꝓportiõis rõnalis et irrõalis per modū q̄ſtiõis ꝓcedendo.

Exactis vt potuimus difficulta-tibus circa motꝰ difformis quo ad ſubiectū ↄ̨tingē­tibꝰ: iã reſtat accedere ad difficultates circa cogno­dã et ↄ̨mēſurandã velocitatē motꝰ difformis quo ad tēpꝰ occureētes. Circa qḋ talē q̄ro q̄ſtionē. ¶ Utrum oīs motus vniformiter difformis quo ad tempus menſurari habet penes gradum medium: et omīs difformiter difformis quo ad tēpus penes reducti­onē ad vniformitatē ſiue pēnes cõmenſurationem denoīatiõis q̈ denoīatiõe denoīat mobile moueri.

Et arguitur primo /  motus vnifor-miter difformis velocitas no eſt gradn illiꝰ medio ↄ̨menſurãda / q2 ſeq̄retur /  omne quod mouetur in aliquo tempore vniformiter diffõrmiter a non gra­du vſ ad certum gradum id eſt a non gradu vſ ad duo decimum moueretur in duplo tardius quã mobile motum per idem tempus gradu duo deci-mo continuo / ſed conſequens eſt falſum: igitur illḋ ex q̊ ſet̄̄. Cõſeq̄ntia pꝫ / q2 in toto illo te tale mobi­le motū vniformiṫ difformiṫ mouet̄̄ ita velociṫ ac ſi moueretur motu vt ſex ſi talis motus debeat correſ­pondere gradui medio cum ſex ſit gradus mediꝰ in­ter duodecim et non gradū: ſed ſi continuo per ideꝫ tempus moueretur gradu ſexto in duplo tardiꝰ mo­ueretur mobili moto gradu duodecimo vniformi-ter: igitur. Sed falſitas conſequentis oſtenditur / q2 ſi in illo tempore moueretur in duplo tardius quaꝫ mobile motum gradu duodecimo: vel igitur ī vtra­ medietate moueretur in duplo tardius, vel in ali­qua: vel in aliqua non: ſed neutrum iſtorum eſt dicē­dum: igitur. Non primum / quia in prima mouetur in quadruplo minus: igitur non in duplo minꝰ nec ſecundum: quoniam in ſecunda medietate non mo-uetur in duplo minus ſed in ſexquitertio Uelocitas enī ſecunde medietatis temporis correſpondet gra­dui nouo: vt ptꝫ ex iſto mõ dicendi. ¶ Forte dices et be­ne ad illud quod querit argumentum /  in toto tem­pore adequate mouetur in duplo minus quam mo­bile motum vniformiter vt duodecim: tamē per nul­lam partem temporis mouetur adequate in duplo minus. Et ideo illa conſequentia non valet: moue-tur in iſto tempore in duplo minus. ergo in vtra medietate: vel in aliqua: vel in aliqua non. Nam in prima mouetur in quadruplo minus quam mobile gradu duodecimo et in ſecunda in ſexquitertio.

Sed contra / quia tunc ſequeretur /  omne mouens vniformiter a non gradu vſ ad cer­tum gradum in triplo velocius moueretur in ſecun­da medietate temporis quam in prima: ſed conſe-quens eſt falſum: igitur. Sequela patet / quoniã ī ſe­cunda medietate / vt dicis mouetur velocitate ſubſex­quitertia ad gradum intenſiorem: et in prima medi­etate mouetur velocitate ſubquadrupla ad eundeꝫ gradum intenſiorem: ſed omne ſubſexquitertiū ad aliquod eſt triplum ad quartam eius vel ad ſubqua­druplum illius / quod idem eſt: igitur gradus mediꝰ prime medietatis eſt triplus ad gradum medium ſecunde medietatis. ¶ Dices et bene concedendo / qḋ infertur / vt poſtea oſtendetur in quadam propoſi-tione.

Sed contra / quia ſi illa ſolutio eēt bo-na ſequeretur /  in ſecunda medietate prime medie­tatis in triplo velocius moueretur illud mobile quã in prima eiuſdem medietatis: et diuiſa illa medieta­te adhuc in duas in ſubtriplo moueretur: ſed conſequens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Falſitas con­ſequentis probatur / quia tunc ſequeretur / quodlib3 mobile incipiens moueri a non gradu vſ ad certū gradum infinita tarditate moueri per aliquod tem­pus: ſed conſequens eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur: ſequela probatur / quoniã in mediate poſt inſtans initiatiuum motus tale mobile mouebitur aliquantula velocitate: et in duplo minori et in tri-plo minori et in quadruplo / et ſic conſequenter: igi-tur infinita tarditate mouebitur / quodlibet tale mo­bile: Antecedens patet ex ſolutione. Sed falſitas cõ­ ſequentis arguitur / quia alias ſequeretur mobile / quod continuo infinite velociter intendit motum ſu­um infinitum tarde moueri: ſed conſequens videtur implicare / igitur illud ex quo ſequitur: Et ſequela ꝓbatur pono caſum /  ſint īfinita mobilia .a.b.c. etc. que moueantur per horaꝫ vniformiter difformi­ter incipiendo a non gradu et a. moueatur per ean-dem a non gradu vſ ad octauum: et b. a non gra-du vſ ad ſextumdecimum: et c. a non gradu vſ ad triceſimum ſecundum et conſequenter ꝓcedendo ꝑ numeros duplos: et hoc in eadem hora: quo poſito ſic argumentor / quodlibet iſtorum mobilium infini­ta tarditate per aliquod tempus mouebitur. ſed in ta velocitate aliquod iſtorum per idem tempus in-tendet motum ſuum. ergo aliquod iſtorum quod in­finita tarditate per aliquod tempus mouebitur in­finita velocitate per aliquod tempus intendit mo-tum ſuum / quod fuit probaudum.

cõfirma-tio.

¶ Et confirmatur / quia ſi quilibet motus vniformi­ter difformis commenſurari debeat penes graduꝫ medium ſequeretur /  motus a certo gradu vſ ad non gradum vt exempli gratia quo aliquod mobi­le mouetur a quarto vſ ad non gradum remitten­do motum ſuum in hora: et motus quo aliquod mo­bile mouetur vniformiter difformiter a non gradu vſ ad quartum in eadem hora eſſent omnino eq̈-les / ſꝫ hoc eſt falſum: igr̄ illud ex quo ſetur. Seque-la probatur vtriuſ eī motus illorū duorum motu­um gradus medius eſt vt duo / et per conſequens illi motus ſunt equales. Sed iam oſtenditur falſitas contequentis: quia tunc ſequeretur /  ſi aliquis mo­tus intenderetur a gradu vt .4. vſ ad gradū du-plum in hora et alter motus equalis illi puta vt .4. ab eodem gradu quarto ln eadem hora vniformi-ter et eque velociter remittatur vſ ad quietem ſiue ad non gradum motus: tunc talis motus qui remit­titur non dumtaxat vniformiter et eqne velociter re­mitteretur ſicut alter motus equalis ei intendere-tur in eodem tempore: ſed hoc eſt falſum / quia quã-tam latitudineꝫ acquirit ille motus qui intenditur tantam adequate deperdit ille motus qui remitti-tur in eodem tempore. Naꝫ ille  intenditur cum ſit vt .4. acquirit .4. gradus ſupra ſe: et in eodeꝫ tempo­re ille qui remittitur vſ ad non gradum cum ſic vt quatuor perdit etiam quatuor gradus in eodē tem­pore. Sed iam probo ſequelam / quoniam ille motꝰ vt .4. qui remittitur in hora vſ ad non gradum re­mittitur in eadem hora ad ſuum ſubduplum, et ad ſuum ſubquadruplum: et ad ſuum ſuboctuplum: et ſic in infinitum Motus vero alter qui intendit̄̄ pre­ciſe intenditur ad ſuum duplum. igitur in infinituꝫ maiorem proportionem deperdit motus qui remit­titnr quam acquirat motus qui intenditur: et ꝑ con­ſequens non ita velociter ſicut vnus remittitur al-ter intenditur / quod fuit probandum.

¶ Dices forte ad punctum argumenti diſtinguen-do illatum aut  in eadem hora non remittat̄̄ eque­velociter vnus motus ſicut alter intenditur equali­tate geometrica / et ſic conceditur / vt bene probat ar-gumentum, aut equalitate arithmetica / et ſic nega-tur: Ad hoc enim  eque velociter vnus motus re-mittatur ſicut alter intenditur equalitate arithme­tica ſufficit  quantancū latitudinem vnus ac-rat in aliquo tempore, tantam alter deperdat ī eo­dem tempore: et ita ſit in caſu poſito: ſed ad hoc  aliquis motus intendatur equeuelociter geometri­ce ſicut alter remittitur geometrice: oportet /  quã-tãcun proportionem vnus acquirat ſupra ſe ī ali­quo tempore tantaꝫ alter qui remittitur deperdat in eodem tempore. Modo non ſit ſic in propoſito:

Sed contra / quia tunc ſequeretur /  ſi motus vt .4. vel aliquis alter intendatur ad ſuum duplum vniformiter / et alter motus ei equalis remi­tatur in eadem hora ad non gradum ſiue ad quietē / tunc ille qui remittitur in infinitum velocius remit­titur quam alter qui intenditur intendatur Quod tamen eſt falſum cum tantam latitudinem vnus ac­quirat ſicut alter deperdat.

dicitur.

¶ Dices et bene diſtinguendo illatum aut  ī infini­tum velocius remittatur in eodem tempore veloci-tate geometrica: et ſic conceditur aut arithmetica: et ſic negatur.

Sed cõtra quia tunc ſequeretur /  nõ eſſet poſſibile /  ita velociter geometrice intendere­tur vnus motus in tempore finito vniformiter ſicut motus ei eq̈lis remitteretur vniformiter ad nõ gra­dū in eodē tꝑe: ſed conſequens videtur falſum (cum equalem latitudineꝫ vnus motus deperdat ſicut al­ter acquirit) / igitur illud ex quo ſequitur. Sequela tamen probatur quoniam / vt patet ex reſponſione motus qui remittitur ad non gradum infinitam ꝓ-portionem deperdit, et motus qui intenditur ſoluꝫ finitam: igitur non eque velociter geometrice vnus motus intenditur ſicut alter ei equalis remittitur ī eodem tempore. ¶ Confirmatur ſecundo / quo­niam ſi motus vniformiter difformis correſponde­ret ſuo gradui medio ſequeretur / quando duo mo-tus equales vniformiter difformes remitterentur ī hora vnus ī duplo velocius altero ille qui tardiꝰ re­mittitur / quando eſt remiſſus ad ſubduplum: alter eſſet remiſſus ad ſubquadruplum et non ad quieteꝫ ſiue ad non gradum: ſed conſequens falſum / vt pa-tet intuenti: igitur illud ex quo ſequitur: Sequela tamen probatur quoniam / ſi in eodem tempore vnꝰ continuo in duplo velocius altero remittitur ſeq̄re­tur / quando vnus deperdit proportionem duplam alter deperdit proportionem quadruplam / et in tē-pore quo vnus quadruplam alter ſexdecuplaꝫ que eſt dupla ad quadruplam. vt patet ex ſecunda par­te capite ſexto. ¶ Confirmatur tertio / q ſi mo-tus vniformiter difformis correſponderet gradui medio ſequeretur /  ſi eſſent duo motus vniformi-ter difformes equales incipientes ab eodem gra-du terminati ad eundem vel ad non gradum et vnꝰ illorum puta a. in duplo velocius continuo intende­retur quam alter puta b. / et talis intenſio duraret ī infinitum /  aliquando a. eſſet motus duplus ad b. / ſed conſequens eſt falſuꝫ: igitur illud ex quo ſequit̄̄ Seq̄la probatur / q2 qñcū b. acrit aliquã latitudi­nē a. acrit duplã: et ſꝑ in duplo velociꝰ a. acret ali­quem gradum / quam eundem acquirit b. / et hec inten­ſio procedit in infinitum: igitur aliquãdo a. erit mo­tus duplus ad b. Probatur hec conſequentia / quo­niam per infinitam latitudinem excedet latitudo ac­quiſita ipſi a. latitudinem acquiſitam ipſi b. / igitur aliquando totus motus a. erit duplus ad totuꝫ mo­tuꝫ b. Cõſequētia apparet nota et arguit̄̄ añs / q2 ī in­finitum maior erit latitudo acquiſita ipſi a. quã la-titudo acquiſita ipſi b. / quia per infinitos gradꝰ la-titudo acquiſita ipſi a. excedet latitudinem ipſiꝰ b. / igitur ꝑ infinitã latitudinē excedit latitudo acquiſi­ta ipſi a. latitudinē acquiſitã ipſi b. Probat̄̄ ante­cedens / quoniam latitudo acquiſita ipſi a. cum ſem­per erit dupla ad latitudinem acquiſitam ipſi b. / qñ erit vt .4. excedit latitudineꝫ ipſius b, per duos gra­dus et quando vt .8. per .4. et quando vt centum per 50. et quando vt .1000. per .500. / et ſic in infinitum: igi­ tur per infinitos gradus latitudo acquiſita ipſi a. excedet latitudinem acquiſitam ipſi b. / quod fuit ꝓ­bandum. Sed iam probatur falſitas conſequentis quoniam / ſi aliquando totus motus a. ad totuꝫ mo­tum b. erit duplus. ſignetur illud inſtans / in quo ita erit / et arguitur ſic / totus motus a. ad totum motum b. eſt duplus / ergo ſi vna pars ipſius a. eſt dupla ad vnam partem b. totum reſiduum de a. eſt dupluꝫ ad reſiduum de b. / ſed conſequens eſt falſum: igitur illḋ ex quo ſequitur. Falſitas conſequētis probatur / q2 in illo inſtanti totum acquiſitum a. eſt duplū ad to­tum acquiſitum b. / et tamen reſidua pars de a. non eſt dupla ad reſiduam partem de b. / ſed ille partes ſunt equales ſicut erant in principio: et ſic ſequitur /  quando vna pars a. eſt dupla ad vnam partem b. totum reſiduum a. non eſt duplum ad totum reſi-duum b. / et ſic a. non eſt duplum ad b. Patet hec con­ſequentia ex ſeptimo correlario q̈rte concluſionis octaui capitis ſecunde partis.

2. confir. .3. confir.

¶ Et confirmatur quarto et vltimo / quia ſi oīs mo-tus vniformiter difformis commenſurari hꝫ gradu medio: vel igitur in quolibet tali motu ille gradus medius eſt ſubduplus adequate ad intenſius extre­mum talis motus vel maior ſubduplo: vel minor: nullum iſtorum eſt dicendum igitur. Probatur mi­nor / quia capto motu vniformiter difformi ab octa­uo vſ ad quartum gradus medius eius eſt vt .6. / et talis eſt dumtaxat ſubſexquitertius ad gradum ī­tenſiorem: et non ſubduplus: igitur non in omni mo­tu vniformiter difformi gradus medius eſt ſubdu-plus ad gradum intenſiorem. Item capto motu vniformiter difformi ab octauo vſ ad non gradū medius gradus eius eſt ſubduplus ad extremū in-tenſius: igitur non in omni motu vniformiter dif-formi gradus medius eſt maior quam ſubduplus. Item nullus gradus medius alicuius motꝰ vnifor-miter difformis eſt minor quam ſubduplus ad ex-tremum intenſius / vt facile eſt intueri: igitur illa mi­nor vera. ¶ Dices ſicut dicendum eſt negando illaꝫ minorem: immo in aliquibus motibus vniformiter difformibus gradus medius eſt preciſe ſubduplus ad gradum ſummū eiuſdem motus / vt patet in om­ni motu vniformiter difformi terminato ad nõ gra­dum. In omni motu vero vniformiter difformi ter-minato vtrim ad gradum. gradus medius eſt ma­ior quam ſubduplus ad extremum intenſius / vt po­ſtea oſtenditur.

dicitur.

Sed contra / quia tunc ſequeretur /  aliquando gradus medius alicuius motus vnifor­miter difformis vtrim terminati ad gradum eēt ſubſexquitertius ad gradum ſummum: aliquando ſubſexquialterius: aliquando ſubſexquiquartus: et ſic in infinitum. Quod ſi concedis ſicut conceden­dum eſt ſequitur /  nulla poteſt inueniri certa regu­la et vniuerſalis ad ſciendum in quolibet motu vni­formiter difformi quanto plus pertranſitur per to­tum motum in medietate intenſiori quam in medie­tate remiſſiori: quod videtur ſatis inconueniens.

Secundo principaliter tangendo ve­locitatem, motus difformiṫ difformis cuius nulla pars eſt vniformis comparando ipſum ad vnifor­miter difformem: arguitur ſic. quia ſi prima pars et ſecunda queſtionis eſſent vere: ſequeretur /  aliqui duo motus ſunt modo equales: et in tempore equa-li equales latitudines deperdent ſucceſſiue ita  in fine illius temporis erunt equales: et tamen ꝑ vnuꝫ illorum motuum maius ſpacium continuo pertrã-ſitur quã per alium: hoc videtur īpoſſibile: igitur illud ex quo ſequitur. Impoſſibilitas conſequētis arguitur quoniam / ſi illi motus ſunt equales in prī­cipio: et manent equales in fine: et in toto tempore re­miſſionis illorum equales latitudines deperdunt adequate: ſequitur /  in toto illo tempore cathego­reumatice illi motus ſunt equales: et per conſequens non maius ſpacium in eodeꝫ tempore pertranſitur per vnum quam per reliquum: et per te eſt oppoſitū / igitur contradictio. Sequela tamen probatur et ca­pio duos motus equales gratia exempli vt .8. puta a.b. / et volo /  a. vniformiter iu hora ſequenti deper­dat .4. gradus: ita  medietas illorum: .4. deperda­tur ī medietate illius tꝑis, et vna q̈rta in quarta ꝑte et quinta in quinta, et ſic confequenter: ita  cõtinuo in equali tempore ſit equalis deperditio .b. vero in hora illa deperdat .4. gradus ſucceſſiue non vnifor­miter ſed continuo velocius: ita  in qualibet par-te temporis ſequentis velocius quã in precedenti ſi­bi equali / quod facile poteſt fieri iſto modo: ſi dini-ſa illa hora per partes proportionales proportio­ne quadrupla, in prima illarum deperdat medie-tatem illius medietatis deperdēde, et ī ſecunda par­te proportionali proportiõe quadrupla ſubduplū et in tertia ſubquadruplum / et ſic in infinitum: et ma­nifeſtum eſt /  iam illo latitudo continuo deperdi-tur: continuo velocius et velocius / vt facile eſt intue­ri Quo poſito ſic arguitur per motum b. / cõtinuo ꝑ totam horam pertranſibitur maius ſpacium quaꝫ per motum a. / et in fine et in principio ſunt equales, et in eodem tempore equalem latitudinem deperdēt adequate: igitur intentum. Conſequentia patet cuꝫ minore: ſed arguitur maior videlicet /  continuo ꝑ motum b. tranſibitur maius ſpacium quam ꝑ mo-tum a. / quia continuo motus b. eſt maior et intenſior motu a. / igitur continuo per illum maius ſpacium pertranſibitur in eodem tempore Conſequentia ſe manifeſtat et arguitur antecedens / quia b. motus in nullo inſtanti intrinſeco illius hore erit equalis a. nec miuor: ergo continuo maior. Probatur antece­dens / quia ſi in aliquo inſtanti motus b. erit equa-lis aut minor ipſi a. ſignetur illud: et ſit c. inſtãs in-trinſecū / et arguitur ſic / in iſto inſtanti a. motus et b. ſunt equales: ergo ex caſu equalem perdiderunt la­titudinem: et equales reſtat deperdenda ipſi a. et ip­ſi b. et a. / continuo vniformiter deperdet illam deper­dendam ex caſu: et b. velocius quam antea deperde­bat. et antea deperdebat equaliter cum a: ergo velo­cius deperdet modo totam latitudinem deperden-dam ꝙ̄ a. / et per conſequens citius tota latitudo de­perdenda erit deperdita iꝑſi b. quam ipſi a. / quod ē cõtra caſum: Et per locum a maiori probabitur ſi-militer /  pro nullo inſtanti motus b. eſt minor mo-tu. ¶ Et confirmatur ſuppoſito / quia vna pars pro­portionalis proportiõe quadrupla eſt due partes proportione dupla: et per conſequens due partes ꝓ­portionales ꝓportione quadrupla ſunt .4. propor­tione dupla: et ſic conſequenter procedendo per nu­meros pariṫ pares: quod poteſt patere intuenti n­tum caput prīe partis Quo ſuppoſito ſic argumē-tor ex caſu in fine prime partis proportionalis pro­portione quadrupla b. perdet primam partem pro­portionalem proportione dupla latitudinis deper­dende / et tunc a. deperdit duas partes proportiona­les proportione dupla latitudinis deperdende: q2 tunc ſunt tranſacte due partes proportionales tē-poris proportione dupla / vt patet ex ſuppoſito: et a. motus remittitur vniformiter / vt patet ex caſu.

cõfirma-tio.

In fine vero ſecunde partis proportionalis tempo­ris proportione quadrupla b. deperdit duas par- tes proportionales latitudinis deperdende ꝓpor-tione dupla: et a .4. q ille due partes ꝓportõe qua­drupla ſunt quatuor partes preportionales ꝓpor­tione dupla: igitur continuo maior latitudo eſt de­perdita a. quam ipſi b. vſ ad inſtans terminatiuū et ſic ſemper in quolibet inſtanti intrinſeco illiꝰ ho-re motus b. eſt velocior motu a. / quod fuit proban-dum. ¶ Dices et bene ad argumentum concedendo / quod infertur vt bene probat argumentum, et negã­do falſitatem conſequentis: et cum aſtruitur illa fal­ſitas conſequentis negatur conſequenria Immo cõ­ceditur /  in principio illi motus ſunt equales, et in fine equales, et equalem latitudinem adequate de-perdunt in eodem tempore et tamen in toto illo tem­pore vnus eſt intenſior altero / vt pulchre probat ar­gumentum.

dicitur.

Sed contra ſi ſolutio veritati eſſet cõ­ſona talis ex ea duceretur concluſio:  videlicet ali­qui duo motus ſe habent modo in proportione du­pla et per idem tempus vniformiter et eque velociter remitterentur adequate: et tamen ſemper in illo tē-pore ſpacium pertranſitum a maiori erit pluſ̄ du­plū ad ſpaciū pertranſituꝫ a minori: ſꝫ cõſeq̄ns vr̄ falſū: cū illo mõ ſe hñt ī ꝓportiõe dupla et ſꝑ equali­ter remittūtur. apparet igitur /  cõtinuo manebūt ſe habētes in ꝓportione dupla: et ſic ſpaciū ꝑtran-ſitum a maiori nõ eſt pluſquam duplū ad ſpacium pertranſitū a minori: et ſic illud conſequens eſt fal­ſum: et per conſequēs illud ex quo ſequitur ꝓbatur tamē ſequela et pono caſum /  ſint .a. et .b. motus: et a. ſit duplus ad .b. / et remittantur continuo eque ve­lociter et vniformiter a. et b. perdendo equalē lati­tudinē omnino per totū tempus. quo poſito ſic ar-gumentor in toto illo tēpore remiſſionis motus a. erit pluſquã duplus ad motum b. et modo a. ſe ha­bet ad b. in ꝓportione dupla: et continuo in illo tē-pore eque velociter remittentur .etc. / igitur cõcluſio vera. Conſequentia patet cū minore / et arguit̄̄ ma­ior: et volo /  ſit c. equale ipſi a. in principio / et con-tinuo remittatur taliter /  coutinuo ſe habeat in ꝓ­portione dupla ad b. / et arguitur ſic. continuo c. ꝑ-det maiorē latitudinē quã b. q2 continuo duplam / vt patet ex primo et ſecūdo correlariis quinte con-cluſionis ſecūdi capitis ſecūde partis / igitur conti­nuo maiorem quã a. cū a. et b. deperdant equales latitudines continuo / vt patet per caſum: et in prin­cipio a. et c. ſunt equalia: igitur continuo a. motus erit maior c. motu et c. continuo adequate eſt duplꝰ ad b. / ergo continuo a. erit maior motus quã duplꝰ ad b. / quod fuit ꝓbanduꝫ Patet hec conſequentia per hanc maximam. Quando duo inequalia ha-bent aliquas ꝓportiones ad vnū et idem tertium maiorem proportionem ad idem tertiū habet ma­ius illorū quam minus: vt ſatis conſtat.

Tertio principaliter tangendo mate­riam principaliter intentam in hoc capite de com­menſuratione motus difformiter difformis cuius difformitas in infinitum procedit ſecundum nume­rum partium proportionalium: arguitur ſiic. Si motus difformiter difformis commēſurari habe-ret penes reductionem ad vniformitatē aut penes denominationē ſue intēſionis ſequeretur hec con-cluſio:  videlicet aliquis eſſet motꝰ difformis qui non poſſet ad vniformitatem reduci et cuius non poſſet dari certa intenſio: conſequens eſt falſū / igit̄̄ illud ex quo ſequitur: Falſitas conſequentis patet et arguitur ſequela et diuido horam in duas par-tes inequales quarum vtra ſe habet ad totã ho- ram in proportione irrationali / et volo /  in maio­ri illarum moueatur a. mobile gradu octauo et in minori illarū moueatur idem mobile gradu quar­to (Semper in iſtis argumentis ſuppono /  vni gra­dui velocitatis in hora correſpondeat pedanea per­tranſitio) quo poſito ſic argumentor talis motus eſt difformiter difformis: et tamen non poteſt redu-ci ad vniformitatem: Nec eius valet dari ſiue aſſi-gnari determinata intenſio: igitur. Maior eſt nota / et minor probatur ſupponēdo /  quanto aliq̈ pars motus totalis eſt tn minori parte temporis tãto mi­nus facit ad denominationem intenſionis totiꝰ mo­tus ceteris aliis paribus: et tanto minus de ſpacio per talem motum tranſitur: vt motus vt vnum par-tialis in vna quarta hore facit ad intenſionem to-tius motus vt vna quarta, et per illum in illa quar-ta pertranſitur quarta pars pedalis. Et generali-ter obſeruandum eſt /  in quacun proportione ſe habet pars temporis ad totuꝫ tempus in eadem ſe habet velocitas motus in llla parte ad velocitateꝫ totalis motus in toto tempore. Quo poſito argui-tur aſſumptum / quia motus vt .8. in illa parte tem-poris non ſe habet in aliqua proportione rationa­li ad totalem motum, nec etiam vt quatuor: et penes tales proportiones debet inueſtigari eius intenſio et reductio ad vniformitatem: igttur non poteſt da­ri eius determinata intenſio aut reductio ad vnifor­mitatem. Conſequentia patet cum minore: et argui­tur maior / quia partes temporis in quibus ſunt illi motus ſe habent ad totum tempus in proportione irrationali / vt poſitum eſt: igitur etiam motus illa­rum partium ad totalem motum. Conſequentiã de­clarat ſuppoſitio. ¶ Dices forte et bene concedendo /  talis motus non poteſt dari determinata inten-ſio et rationalis reductio ad vniformitatem: ita  ī­tenſio illius motus ſe habeat ad motum alicuius il­larum partium in proportione aliqua rationali: nec hoc eſt inconueniens, nec contra tituluꝫ queſtio­nis: quia intelligitur titulus queſtionis dūmodo ꝑ­tes in quibus tales motus ponūtur ſe habeãt in ꝓ-portione rationali. Unum tamen eſt / quod poſtea oſtendetur /  talis motus totalis eſt intenſior quã motus vt ſex.

Dicitur.

Sed contra ſolutionem arguitur ſic / quia aliquis eſt motus difformis cuius partes ſūt in partibus temporis rationalē ꝓportionē haben­tibus ad totū tempus: et tamē talis motꝰ nõ valet reduci ad vniformitatē, nec valet inueniri certa eiꝰ intenſio: igit̄̄ ſolutio nulla. Arguitur antecedēs et pono caſum /  diuidatur hora per partes ꝓportio­nales proportione dupla: et in prima a. mobile mo­ueatur aliquatulū velociter exempli gratia vt .2. et in ſecunda in duplo velocius quã in prima. et in ter­tia in triplo: et ſic conſequenter aſcendendo per om­nes numeros. quo poſito ſic arguitur / talis mo-tus eſt difformiter difformis cuius partes ſunt in partibus temporis habentibꝰ proportionē ratio-nalem in ordine ad totum: et tamē non inuenit̄̄ nec dabilis eſt certa intenſio eiꝰ nec reductio ad vnifor­mitatem: igitur propoſitū: tota ratio patet dem-pta minore / que ſic arguit̄̄ / q2 ille motus videtur eſſe infinitus: igitur nõ valet dari determinata eiꝰ intē­tio ſaltem finita de qua loquimur. Probatur añs / quia in infinitū intēſus eſt ille motus in illa hora: igitur apparet /  ſit īfinitus. ¶ Dices forte /  tota-lis ille motus eſt ita intenſus ſicut motus qui fit in ſecunda parte ꝓportionali temporis: ita  talis motus eſt ī duplo ītenſior motu facto ī prima par­te ꝓportionali tēporis: et reduciter ad vniformita­ tem ſupponendo /  per quamlibet partē illius ho­re eſt motus vt duo et per totū reſiduū a prima par­te ꝓportionali eſt motꝰ vt .4. et per totū reſiduum a ſecunda eſt motꝰ vt .6. et per totū reſiduū a tertia eſt motus vt .8. / vt facile patet ex caſu: ita  queli-bet pars ſequens alterã cū oībus ſequētibus eam excedit immediate precedentem per duos gradus. Quo ſuppoſito arguitur reductio vniformitatis talis motus: et volo /  capiãtur duo gradus extēſi per totū reſiduū a. prīa ꝑte ꝓportionali: et ponan­tur in prima ſibi equali. Diuidendo e proportio­ne dupla totū aggregatū ex oībus immediate ſe-quentibus aliquã eſt equalis illi / vt patet ex quinto capite prime partis) / deinde capiantur duo gradꝰ a toto a ſecunda / et ponãtur in ſecunda: et nichil po­natur vlterius in prima: aut ſecunda: deinde a ſe-quentibus tertiam capiantur duo gradus / qui po­nantur in tertia: et ſic cõſequenter. quo poſito in fi­ne totus ille motus erit vniformis vt .4. / igit̄̄ dabi-lis eſt eius intēſio et ad vniformitateꝫ reductio ha­betur e /  velocitas totalis motus eſt dupla ad velocitatem eiꝰ que eſt in prima parte proportio-nali hore.

Dicitur.

Sed contra / quia tunc ſequeretur /  ſi hora diuidatur per partes ꝓportionales ꝓpor-tione tripla et per primã illarū moueat̄̄ aliquod mobile aliquantula velocitate: et ꝑ ſecundam du­pla velocitate: et per tertiam tripla: et ſic in infini­tuꝫ vt in priori caſu. tale mobile etiã moueret̄̄ in to­tali hora adequate dupla velocitate ad velocitatē qua mouetur in prima parte proportionali hore / ſed cõſequens eſt falſum / igitur illud ex quo ſequit̄̄ Sequela probatur / quia non videtur maior ratio­ni iſto caſu quam in cedenti: falſitas tamē conſe­quentis arguitur / quia talis motus eſt dūtaxat in ſexquialtero velocior motu prime partis propor-tionalis temporis: igitur non eſt ī duplo velocior. Conſequentia patet: et arguitur añs: et volo gra-tia argumēti /  motus prime partis proportiona­lis ſit vt .2. / quo poſito ſic argumētor motus vt duo eſt per totam horã. ergo talis motus denominat totū moueri vt duo in tota hora motꝰ vero vt duo ſuperadditus in ſecunda parte ꝓportionali et in oībus ſequentibus eſt in ſubtriplo tempore: et eſt equalis intenſionis cñ aliis duobꝰ gradibꝰ per to­tum: igitur in triplo minus denominat. Duo vero gradus extenſi per tertiã partē ꝓpottionalē et to­tum reſiduū ſunt in triplo minori ſubiecto / ergo ad­huc in triplo minꝰ denominãt: et ſic conſequenter ꝓcedendo per ſubtriplam proportionē: ergo tota­lis denominatio talis motꝰ facti in illa hora con-flatur ex infinitis cõtinuo ſe habentibꝰ in ꝓportio­ne ſubtripla: igitur reſiduū a prima eſt ſubdupluꝫ ad primū / vt patet ex correlario prīe ↄ̨cluſionis nti capitis prime partis et primū illoꝝ erat vt duo hoc eſt prima denomīatio erat vt .2. / igitur oēs alie de­nominatiões ſunt vt vnū: modo duo et vnū ſūt tria / igit̄̄ totalis motꝰ velocitas eſt vt .3. et velocitas in prima parte ꝓportionali eſt vt .2. / ergo velocitas to­talis motus ſe habet in ꝓportiõe ſexquialtera ad velocitatem eiuſdē motꝰ in prima parte ꝓportio-nali temporis / quod fuit ꝓbandū: patet tamen con­ſequentia / q2 triū ad duo eſt ꝓportio ſexquialtera.

Quarto principaliter tangēdo motꝰ difformiter difformis quorū partes diuerſis con-tinuo ꝓportionibus ſe habent: arguitur ſic: q2 ali­quis eſt motus difformiter difformis cuius nõ eſt dabilis vniformitas nec denoīationis intēſio: igit̄̄ titulus queſtiõis falſus. Arguitur añs: et pono ca-ſum /  a. mobile in prima parte proportionali ꝓ-portione dupla huius hore moueat̄̄ aliquantuluꝫ velociter: et in ſecunda in ꝓportione ſexquialtera velocius ꝙ̄ in prima et in tertia in ꝓportione ſex­quarta velocius quã in ſcḋa: et ſic conſequenter ꝓ-cedendo per omnes ſpecies proportionis ſuꝑparti­cularis: quo poſito talis motus eſt vniformiter dif­formis: et non eſt dabilis eius intenſio: nec reductio ad vniformitatem: igitur. Arguitur minor / quia nõ apparet cuius intenſionis ſit ille motus niſi fuerit infinite: cum in infinitum velociter moueatur a. mo­bile in aliqua parte proportionali temporis: igit̄̄ non repertiur eius certa intenſio.

dicitur.

¶ Dices et bene negando minorem: et quoniam ar-gumentum nihil aliud petit niſi intenſionem talis motus, et vniformitatem, et quomodo cognoſci de-beat: et inueſtigari. Ideo dico /  totalis illius mo-tus velocitas correſpondet velocitati ſecunde par-tīs ꝓportionalis: et ſic illud mobile a. in totali tem­pore mouetur in ſexaltero velociꝰ quã in prīa ꝑte proportionali temporis. Quod ſic oſtenditur ſup­poſito gratia argumenti /  in prīa parte ꝓportio-nali moueatur vt duo: et  quelibet pars ſequēs al­teram cum toto reſiduo ſequenti eã excedit īmedia-te precedentem ſe per vnum ſemper equaliter (vt fa­cile eſt intueri) illis ſuppoſitis ſic argumētor duo gradus velocitatis qui ſunt per totam horam de-nominant totuꝫ a. moueri vt duo in illa hora: et vnꝰ gradus extenſus ſiue continuatus per totum reſi-duum a prima parte ꝓportiõali / quod eſt ſubduplū ad totum tempus denominat vt dimidium: quoniã ſi eſſet per totum denominaret vt vnum: ergo ī ſub­duplo denominat quia eſt in ſubduplo tēpore. Itē alter gradus qui eſt in toto reſiduo a. ſecunda par­te proportionali denominat in ſubduplo minꝰ quã ille qui eſt in toto reſiduo a prima: cum illa tempo-ra ſe habeant in proportione ſubdupla: et ſic conſe­quenter: igitur totalis denominatio omnium illo-rum motuum demptis duobus gradibus extenſis per totam horam componitur ex infinitis cõtinuo ſe habentibus in proportione ſubdupla: ergo reſi-duum a primo eſt equale primo Patet conſequen-tia ex correlario preallegato: et primum eſt vt dimi­dium: ergo totus ille motus vt eſt vt vnū: et veloci-tas proueniens a duobus gradibus per totam ho­ram eſt vt duo: ergo totus motus adequatus illius hore eſt vt tria: et velocitas prime partis id eſt quaꝫ habet in prima parte ꝓportionali temporis eſt vt duo: et trium ad duo eſt ꝓportio ſexquialtera: ergo velocitas illius totalis motꝰ ſe habet in ꝓportiõe ſexquialtera ad velocitatē quã habet in prima ꝑte ꝓportionali: et ſic ſe habet velocitas ſecunde par-tis ꝓportionalis ad velocitatem prime / quod fuit probandum.

Sed contra mutando paululum ca-ſum: volo /  a. in prima ꝓportionali hore ꝓportio­ne dupla aliquantulū velociter moueat̄̄: et in ſecū-da in ſexquialtero velociꝰ quã in prima: et in tertia in ſexquitertio velocius quã in prima: et in quarta in ſexquiquarto velocius quã in prima: et ſic conſe-quenter procedēdo per oēs ſpecies ꝓportionis ſu-perparticularis ſemꝑ referēdo ad primã partem. Quo poſito arguitur ſic / talis motus eſt difformiṫ difformis quo ad tempꝰ: et non valet ad vniformi-tatē reduci, aut certa eius intēſio eiꝰ inueniri: igit̄̄ minor patet / q2 nõ apparet modus quo ille motus poſſet ad vniformitatē reduci: et ſi aduerſariꝰ hoc neget, det illum modū: et in dubie facile erit calcu- latori philoſopho illum impugnare. ¶ Et confir-matur / quia ſi aliquod mobile moueat̄̄ ī prima ꝑte ꝓportionali huiꝰ hore aliq̈ ꝓportiõe aliquantuluꝫ velociter: et in ſecūda in duplo velocius et in tertia in ſexquitertio velocius quã in prima et in quarta in ſexquiquīto velocius quã in prima: et in quinta in ſexquioctauo velociꝰ: et inſequēti in ſexquiduo-decimo velociꝰ: et ſic in infinitū ꝓcedendo interſca­lariter ꝑ ſpēs ꝓportionis ſuꝑparticularis ↄ̨tinuo vna pĺes omittēdo: tūc taĺ motꝰ ē difformiṫ diffor­mis quo ad temdus: et nõ poteſt eius certa intenſio dari. igit̄̄. Et ſic poteſt etiam formari caſus vbi inṫ ſcalariter ꝓcedat̄̄ per eaſdē ſpecies ꝓportiõis ſuꝑ­particularis cõtinuo plures omittēdo duas dicen­do ī ſexquialtero, in ſexquiquīto: ī ſexquidecīo, in ſexquidecimo ſeptimo. Item ꝓcedendo per eaſdem ſpecies cõtinuo dimittendo plures ꝑ tres vel q̈tuor vel per .5. vel per .6. et ſic in īfinitū: et dabunt̄̄ motꝰ difformes quo ad tēpus: et tamē ipſi non poſſūt ad vniformitatē reduci: igitur: ¶ Cõfirmat̄̄ ſecundo et pono caſum /  in prima parte ꝓportiõali aliquod mobile moueat̄̄ aliquantulū velociter et in ſecūda ī ſexquialtero velocius quã in prima: et in tertia in ſuperbipartiēte tertias velocius quã in prima: et in quarta in ſexquitertio velocius ꝙ̄ in prima: et in quinta in ſuꝑpartiente quartas velocius quam in prima: et in ſexta in ſexquiquarto velocius ꝙ̄ in pri­ma: et ſic cõſequenter ꝓcedēdo per oēs ſpecies pro­portiõis ſuperparticularis interſerēdo ſpecies ꝓ­portiõis ſuprapartientis: tūc tale mobile mouet̄̄ difformiter quo ad tempus: et tamē motꝰ illiꝰ vni­formitas nõ poteſt venari: igit̄̄ titulꝰ q̄ſtiõis ē falſꝰ ¶ Confirmatur tertio / et pono caſū /  a. mobile in prima parte ꝓportiõali moueat̄̄ aliquãtulū: et in ſecunda in duplo plus: et in tertia in ſexquialtero plus quã in prima: et in quarta in ſuperbipartien­te tercias plus quã in prima: et in quinta in duplo ſexquialtero plus quã in prima: et in ſexta in duplo ſuperbipartiēte tertias velocius quã ī prima et in ſeptima in triplo velocius quã in prima: et ſic cõſe-quenter capiēdo primoquin: et conſequen-ter alias .5. et ſic in infinitū. Quo poſito illoꝝ motꝰ eſt difformiter difformis: et tamē illius velocitas non valet perſcrutari igitur.

.1. confir. 2. confir. .3. conur.

In oppoſitum tamen eſt vniuerſalis opinio cõmuniter philoſophantiū / q̄ in hac parte multū vigoris acroboris habet Preterea ꝑ quēli­bet talē motū difformem in totali tēpore adequate ꝑtranſitur aliquod ſpaciū adequate: et tale ſpaciū in tali tēpore ab aliqua velocitate vniformi natum eſt pertranſiri: igit̄̄ illa velocitas vniformis eſt tan­ta quanta eſt velocitas illius motꝰ difformis quo illud ſpaciū in eodē tempore pertrãſitur adequate Quod patet per diffinitionē motꝰ eque velocis: igi­tur quilibet motꝰ difformis alicui vniformi corre-ſpondet cui equiualet / quod fuit probandum.

Pro deciſione huius queſtionis tria faciemus. Primo aliqua notabimꝰ, ſecundo non­nullas cõcluſiones quibꝰ facilis erit ad queſitum reſponſio eliciemus. Proſtremo vero reſpondebi­mus ad argumenta in oppoſitum.

Pro primi expeditione repetētes quo­dãmodo ea que ſuperius iam tacta ſunt dicamus /  duplex eſt motus difformis quod ad tempus puta difformiter difformis et vniformiter difformis.

Utriuſ membri definitio ſuperiꝰ data eſt. Sꝫ mo­tus vniformiter difformis quo ad tempꝰ adhuc du­ plex eſt: Nam quidam eſt vniformiter difformis ter­minatus ad non gradum in altero extremo. Alter vero eſt vniformiter difformis vtrobi ad graduꝫ terminatus. Et de vtro iſtorum dicitur /  gradui ſuo medio correſpondet: id eſt gradui motus quem habet in medio temporis. Nam quanto velociꝰ mo­uetur mobile motum vniformiter difformiter medi­ante medietate talis motus intenſiori tanto tardiꝰ mouetur mediãte medietate remiſſiori, et ſic eque ve­lociter mouetur ac ſi moueretur gradu medio. Et ad cognitionem talis gradus medii pono aliq̈s ꝓ­poſitiones.

Prima propoſitio In omni latitudīe vniformiter difformi incipiente a gradu a termina­ta ad non gradum: gradus medius eſt ſubduplus ad extremuꝫ intenſius: ita  ſi latitudo incipiat ad octauo et terminatur ad nõ gradū: gradus medius eſt gradus quartus q2 quartus gradꝰ eſt ſnbduplꝰ ad octauum. Ad quam ꝓpoſitionem oſtendendam ſupponendum eſt /  quandocun ſunt iufiniti ter­mini cõtinuo ꝓportionales ꝓportione dupla / tūc to­tum aggregatum ex eis eſt duplum ad totuꝫ aggre­gatū ex oībus ſequētibus primū. Secūdo ſupponē­dum eſt /  medium eſt illḋ quod equaliter dlſtat ab extremis Hee ſuppoſitiones ſatis aperte ſunt ex ṗ­ma et ſecunda partibus. His ſuppoſitis arguitur ꝓ­poſitio: et volo /  diuidatur latitudo vniformiter difformis a nõ gradu vſ ad certum gradum ī par­tes ꝓportionales continuo ſe habentes ī ꝓportio­ne dupla: et arguo ſic / gradus initians aggregatuꝫ ex omnibus latitudinibus ſequentibus primam eſt medius: et talis eſt ſubduplus ad gradum intenſio­rem illius latitudinis / igitur talis latitudinis vni-formiter difformis terminate ad non gtadum: gra­dus medius eſt ſubduplus ad extremum intenſius eiuſdem latitudinis: et ſic ꝓbabis de qualibet alia Conſequentia patet, et arguitur maior / q2 talis gra­dus equaliter diſtat ab extremis illius latitudinis / vt patet ex prima ſuppoſitione Nam initiat ſecun­dam medietatem latitudinis: et terminat primam: igitur eſt medius gradus: Patet conſequentia ex ſecunda ſuppoſitione. Sed  iſte ſit ſubduplus ad extremum intenſius probatur: quia ipſe bis ſūptꝰ conſtituit extremum intenſius adequate: igitur.

Alio modo Hentiſber deducit hanc concluſionem in ſuo tractatu de motu locali capite primo.

Secunda propoſitio Gradus mediꝰ motus vniformiter difformis vtrobi ad gradum terminati eſt intenſior quaꝫ ſubduplus ad extremū intenſius. Probatur hec ꝓpoſitio / quia omnis gra­dus ſubduplus ad extremum intenſius tantum di-ſtat ab extremo intenſiori quantum a nõ gradu: ſꝫ uullus gradus medius latitudinis vtrobi ad gra­dum terminate tantum diſtat ab extremo intenſio-ri eius quantum a non gradu: igitur nullus gradꝰ medius latitudinis vtrobi ad gradum terminate eſt ſubduplus ad extremum intenſius eiuſdem lati-tudinis: nec remiſſior / vt ꝓbabītur: ergo intenſior.

Conſequentia patet in ſecundo ſecunde. Et maior patet ex precedēti propoſitione: et minor probatur / quia tantum talis gradus diſtat ab extremo inten­ſiori quantū diſtet adequate ab extremo remiſſiori ſed non tantum talis gradus medius diſtat ab ex-tremo intenſiori quantum diſtat a non gradu / vt ſa­tis patet de ſe: igitur non tantuꝫ diſtat ab extremo intenſiori quãtum a non gradu Patet conſequētia per hanc maximam Quando aliqua duo ſunt eq̈- lia cd eſt maius vno eſt maius altero. Et per hoc patet facile /  talis gradꝰ ē intenſior gradu ſudu-plo ad extremum intenſius. q2 magis diſtat a non gradu quam gradus ſubduplus ad extremum in-tenſius / et ſic patet propoſitio.

Tertia proportio Cuiuſlibet latitudi­nis motus vniformiter difformis terminati ad nõ gradum: medietas intenſior eſt in triplo intenſior medietate remiſſiori. Probatur hec ꝓpoſitio ſup-ponendo /  quando ſunt tres termini continuo ꝓ-portionabiles ꝓportione dupla / tūc extremi ad ex-tremū eſt proportio duplicata / et per conſequens q̈­drupla. Hoc ſuperius oſtenſum eſt in ſecunda par-te ſexti capitis octaua concluſione. Secundo ſup-ponendum eſt /  in qualibet tali latitudine motus vniformiter difformis terminati ad non gradum gradus initians ſecundam partem proportionalē ꝓportione dupla eſt ſubduplus ad extremum inten­ſius: et gradus initians tertia tem proportio­nalem eſt ſubduplus ad gradum initiantē ſecundã: et ſic conſequenter (loquor de partibus proportiõa­libus quantitatiuis) Suppono vlterius /  ſubſex­tertium ad quadruplum alicuius eſt triplum ad il-lud ſubquadruplum. Quod probatur facile / quia ſi eſt ſubſexquitertium ad illud eſt tres quarte eius: et ſubquadruplum ad illud quadruplum eſt vna quar­ta: igitur illud ſubſexquitertium erit triplum ad il­lud ſubquadruplum. Patet conſequentia / q2 triuꝫ quartarum ad vnam quartam eſt ꝓportio tripla. His ſuppoſitis probatur ꝓpoſitio: et diuido vnam talem latitudinem per partes ꝓportionales ꝓpor­tione dupla: quo poſito arguitur ſic / gradus mediꝰ medietatis intenſioris eſt triplus ad graduꝫ medi­um medietatis remiſſioris et penes tales gradꝰ me­tri habent velocitates illarum medietatū / vt dictū eſt. igitur medietas intenſior eſt triple intenſionis ad medietatem remiſſiorem / quod fuit probandum Patet conſequentia cuꝫ minore / et arguitur maior / quia vt patet ex ſecunda ſuppoſitione gradus ini-tians tertiã partem proportionalem eſt ſubduplꝰ ad initiantem ſecundam: et intians ſecundam ad in­itiantiantem primam: igitur initians primaꝫ eſt q̈­druplus ad initiantem tertiam / vt patet ex prīa ſup­poſitione: et ille eſt gradus medius ſecunde medie-tatis puta remiſſioris: igitur gradus medius me-dietatis remiſſioris ē ſubquadruplus ad extremuꝫ intenſius medietatis intenſioris: et gradus mediꝰ medietatis intenſioris eſt ſubſexquitertius ad ex-tremum intenſius: ergo eſt triplus ad gradum me­dium medietatis remiſſioris qui eſt ſubquadruplꝰ ad extremum intenſius latitudinis. Patet conſe-quentia ex tertia ſuppoſitione. Sed reſtat ꝓbare /  gradus medius medietatis ītenſioris eſt ſubſex­quitertius ad extremum intenſius eiuſdcm medie­tatis: Quod probatur ſic / quia talis gradus ē me-dius inter duplum et ſubduplum puta inter extre-mum intenſius illius medietatis et extremuꝫ remiſ­ſius eiuſdem qui eſt ſubduplus ad illum: igitur ta-lis gradus medius eſt ſubſexquitertius ad illū du­plum puta ad illud extremum intenſius / quod fuit probandum. Patet conſequētia per hanc maximã Omnis gradus medius inter duplum et ſubduplū eſt ſexquialterꝰ ad ſubduplum et ſexquitertius ad duplum / vt patet de ſenario mediãte inter .4. et .8. de ternario mediante inter binarium et quarterna­rium et de nouenario mediante inter ſenariū et duo­denarium: et vniuerſaliter in omnibus.

Quarta ꝓpoſitio / que ſequit̄̄ ex priori Oīs potentia mouēs vniformiter difformiter lati­tudine terminata ad nõ gradū: in triplo plus ꝑtrã­ſit ī medietate in qua mouet̄̄ intēſius ꝙ̄ ī medietate tēporis in qua mouetur remiſſius: vt ſi in medieta-te in qua mouetur remiſſius ꝑtranſit vnū pedale: in alia ꝑtranſit tripedale. Probatur hec propoſitio facile ex priori: q motꝰ fluens in medietate in qua mouetur velocius eſt triplus ad motū factū in me-dietate tēporis in qua mouetur remiſſiꝰ / vt dicit pre­cedens: igit̄̄ ꝑtrãſitū in medietate in qua mouetur velocius erit triplū ad ꝑtranſitū in reliqua medie-tate. Cõſequentia ptꝫ / q2 tēporibꝰ exiſtentibus equa­libus et velocitatibus in equalibus ſpacia ꝑtranſi-ta ſe habent in ea ꝓportione in qua ſe habent velo­citates: vt facile induci poteſt ex definitione velocio­ris et tardioris data ſexto phiſicoꝝ ¶ Ex quo ſequi­tur /  ſi a. mobile moueatur ꝑ horam vniformiter difformiter incipiendo a non gradu vſ ad certum gradū et in prima medietate vnã leucã ꝑtranſit: in ſecūda medietate triū leucarū ſpaciū abſoluet. Et ſi ordine prepoſtero moueri incepiſſet puta ab illo dato gradu vſ ad nõ gradū in prima medietate hore tribus abſolutis leucis: vna dumtaxat reſta-ret tranſeunda in ſecunda tēporis medietate.

Quinta ꝓpoſitio. Si aliquod mobile moueatur vniformiter difformiter a nõ gradu vſ ad certū gradū in aliquo tēpore: ipſum adequate ſubduplū ſpaciū ꝑtranſit ad ſpaciū natū ꝑtranſiri illo gradu intenſiori ꝑ idem tēpus cõtinuato. Pro­batur / q2 totalis velocitas illius motus eſt ſubdu-pla ad velocitatē illius gradus iutenſioris eiuſdē latitudinis: igitur ſubduplū ſpaciū ꝑtranſibitur mediante vna illaꝝ ad ſpaciū ꝑtranſitū ab illa que eſt in duplo intenſior dūmodo tēpora ſint equalia ſi ſpaciorum proportio proportionem velocitatū eodem tempore ſequitur / vt oportet. Ex hac ſequit̄̄.

Sexta ꝓpoſitio que talis eſt. Omne mobile motū vniformiter difformiter a certo gra-du vſ ad certū gradū in aliquo tēpore maiꝰ ſpa-ciū quã ſubduplū ꝑtranſit in eodem tēpore ad ſpa­ciū natū ꝑtranſiri mediante extremo intenſiori il-lius latitudinis ꝑ idem tēpus cõtinuato. Probat̄̄ / quia ſi talis latitudo inctperet a gradu ſuo inten-ſiori et terminaretur ad nõ gradū: ciſe illud mobi­le ꝑtranſiret in illo tēpore ſubduplū ſpaciū ad ſpa­ciū natū ꝑtranſiri mediante extremo intenſiori il­lius latitudinis ꝑ idem tēpus cõtinuato / vt patꝫ ex priori: ſed modo illa latitudo ab illo gradu incipi­ens et ad gradū terminata eſt intenſior / vt ptꝫ ex ſe­cunda / ergo in equali tēpore maiꝰ ſpaciū quã illud ſubduplum pertranſibit / quod fuit probandum.

Septima ꝓpoſitio. Si aliqḋ mobile vniformiter difformiter moueat̄̄ a certo gradu in-tēſiori ad cetū gradū remiſſiorē ī hora: ipſū in pri­ma medietate hore minus quã triplū ſpaciū ꝑtran­ſit ad ſpaciū ꝑtranſitū in ſecunda medietate hore in qua tardiꝰ mouetur. Probatur / quia ſi talis la-titudo motus diuidatur ꝑ partes proportionales ꝓportione dupla ſecundū partes tēporis: ille par-tes nõ cõtinue ſe habebūt in ꝓportione dupla ſicut ſe habent tales partes in latitudine terminata ad nõ gradū: igr̄ reſiduū oīm partiū a prima non eſt ſubtriplū ad velocitatē prime ſed maius quã ſub-triplū: et ꝑ conſequens ſpaciū ꝑtranſitum in oībus partibus a prima puta in ſecūda medietate eſt ma­ius quã ſubtriplum ad ſpacium pertranſitū in pri­ ma. Antecedens patet intuenti et conſequentia pro­batur / quia quanto proportio aliqua in qua ſe ha­bent cõtinuo aliqua infinita eſt minor tanto aggre­gatum ex omnibus ſequentibus primū eſt maius. Item patet predicta propoſitio exemplariter / q capta latitudine incipiente a duodecim et termina­ta ad quatuor gradus medius medietatis intenſi­oris eſt vt decem: et gradus medius medietatis re-miſſioris eſt vt .6. modo gradus ſextus nõ eſt ſub-triplus ad duodenarium: et ſic in omni alia lati-tudine inuenies predicte propoſitionis certitudinē ¶ Et ſi queras quomodo cognoſcēdum ſit in omni latitudine motus vtrim ad graduꝫ terminata in qua proportione ſe habeat extremuꝫ intenſius ad gradum mediuꝫ eiuſdem latitudinis: et in qua pro-portione plus pertrãſitur mediante medietate in-tenſiori talis latitudinis quam mediante medieta­te remiſſiori.

Queſtio

Rſpõdeo /  in hac materia nulla põt dari certa et vniuerſalis regula. Quoniã ſecundū / quod extremum intenſius et remiſſius ſe habent in alia et alia ꝓportiõe ad īuicē: ita ſe habet gxadꝰ me­dius ad extremū intenſius talis latitudinis in alia et alia ꝓportiõe: tamen poſſent ſiguari peculiares regule certis ſpeciebus proportionum accõmode Si enim extrema ſe habeant in proportiõe dupla gradus medius eſt ſubſexquitertius ad extremum intenſius. Si vero extrema ſe habent in proporti-one tripla: tunc gradus medius erit ſubſexquial-terus ad extremum intenſius. Si vero ſe habent in proportione quadrupla: tunc gradus medius eſt ſubſupertripartiens quintas ad extremum inten-ſius. Si vero ſe habeant in proportione ſextupla: gradus medius eſt ſuperquintipartiens ſeptimas ad gradum intenſiorem. et ſic diuerſis proportioni­bus diuerſe regule aſſignatur. ¶ Quereret tamē aliquis vlterius quo tramite et menſura poſſet fa-cile inueſtigari gradus medius in omni latitudīe.

Queſtio

Reſpondeo /  per hanc regulam quia aut latitudo illa terminatur ad nõ gradū / tūc diui­datur extremum intenſius per medium: et vna me-dietas eſt gradus medius. Si vero incipit a gradu et terminatur ad gradum: tunc ſubduplum ad ag-gregatum ex extremo intenſiori et remiſſiori eſt gra­dus medius inter illa extrema. Exemplum primi / vt ſi aliqua latitudo incipiati ab octauo et termina­tur ad non gradum: quoniam medietas ipſorum 8. eſt .4. ideo gradus quartus eſt gradus medius. Exemplum ſecundi / vt ſi aliqua latitudo incipiat ab octauo et terminatur ad quartum. dico /  gra-dus ſextus eſt gradus mediꝰ qui eſt ſubduplus ad aggregatum ex 8. et .4. Illud enim aggregatum eſt vt duodecim: et ſic vniuerſaliter reperies omni ſe-cluſa exceptione.

Notandum eſt ſecundo /  motum ve-locitates quando ſunt equales quãdo inequa-les intenſiue: et ſi equales, aut coextenſe partibus temporis equalibus, aut inequalibus. Si vero in­equales idem etiam contingit, quia aut extendun-tur per tempora equalia, aut per inequalia. Si ſint inequales inequalibus coextenſe temporibus / hoc contingit dupliciter quia aut maior velocitas coextenditur tempori maiori aut minori. Exemplū primi / vt ſi velocitas vt .4. coextendatur vni hore: hoc eſt mobile moueatur vt .4. per vnam horam et vt duo per dimidiam. Exemplum ſecundi / vt ſi aliquod mobile moueatur velocitate vt quatuor per mediam horam, et velocitate vt duo per horam Item ſi maior velocitas coextendatur tēpori mīori et minor maiori. hoc coutingit tripliciter / quia aut ꝓportio tempoꝝ excedit ꝓportionē velocitatū aut ꝓportio velocitatū excedit ꝓportionē tempoꝝ aut ꝓportiones tempoꝝ et velocitatū ſunt equales. Exē-plum primi / vt ſi aliquod mobile in hora moueatur vt duo, et in quarta hore vt quatuor: tunc ꝓportio tempoꝝ excedit proportionē velocitatū. Nam ipſa tēpoꝝ proportio quadrupla eſt: velocitatū vero du­pla / vt patet aſpicienti. Exemplū ſecundi / vt ſi mo-bile moueatur vt vnū per horã, et in media vt .3. / tūc proportio tempoꝝ eſt dupla, velocitatū o tripla: exuperat igitur velocitatū proportio tempoꝝ pro-portionē. Exemplū tertii / vt ſi aliquod mobile mo-ueatur in hora vt vnū, et aliud in media vt duo: con­ſtat ꝓportionē tempoꝝ ꝓportioni velocitatū equa­ri: vtra e dupla eſt: et velocitatū, et tempoꝝ. Hac longa diuiſione velocitatū exacta: ipſa velocita­te fruſtrat ī conciſa: opere preciū eſt cuilibet huiꝰ di-uiſionis fruſto et membro peculiarē propoſitioneꝫ aſſcriberet. Sit igitur.

Capitalis propoſitio. Si velocitates ſint equales equalibus coextenſe temporibus: mo-bilia in eiſdem mota equalia ſpacia in eiſdē tēpo-ribus abſoluūt (ceteris aliis deductis) vt puta ra-refactione condenſatione ſpacii et prepoſtera mo-tione / vt concluſiones ſexto phiſicoꝝ oſtendunt. Si vero velocitates equales per īequalia labantur tē­pora: tunc in ea ꝓportione mobile in maiori tēpo-re maius ſpaciū pertranſit quam in minori: in qua ipſū maius tēpus ſe habet ad minus. Prima pars huiꝰ ꝓpoſitionis patet ex ſe: et ſecunda ꝓbatur: ſup­poſito /  quando aliquid mobile mouetur vnifor-miter per aliquod tēpus in quacū ꝓportione ſe habent partes tēporis ad totū: in ea ꝓportione ſe habent ſpacia pertranſita in illis temporibus ad ad ſpaciū pertranſitū in toto tēpore: quo ſuppoſi-to arguitur ſic mobile quod mouetur in maiori tē-pore et mobile motū in minori tēpore mouētur vni-formiter et eque velociter. ergo in eq̈libꝰ tēporibus equalia ſpacia ꝑtranſeunt / vt patet ex priori parte: ergo quantū ſpaciū mobile motū in minori tēpore ꝑtranſit in totali ſuo tēpore: tantū adequate per-trãſit mobile motū in maiori tēpore in tēpore ſibi equali: ergo qualis eſt ꝓportio illius tēporis ma-ioris ad tēpus minus talis eſt ꝓportio ſpacii ꝑtrã­ſiti in tēpore maiori ad ſpaciū ꝑtranſitū in tēpore minori / quod fuit ꝓbandū: et cõſequentia patet ex ſuppoſito hoc adiecto /  qualis eſt ꝓportio totius tēporis ad illam ſuã partem equalē tēpori minori talis eſt proportio ipſius maioris temporis ad il-lud minus tempus / vt patet de ſe.

Secūda ꝓpoſitio. Quãdo inequales velocitates equalibus tēporibus coextendūtur: tūc mobile quod maiore velocitate mouetur in ea pro­portione maius ſpaciū ꝑtranſit ꝙ̄ alterum / mobile in qua ſe habet velocitas maior ad minorē. Pro-batur hec ꝓpoſitio (̄uis facilis ſit) / quia ſi mobile motū velocitate maiori in tēpore a. moueretur ade­quate equali velocitate ſicut mouetur aliud mobile motū velocitate minori in eodē a. tempore / tūc illa duo mobilia equalia ſpacia ꝑtranſirent in a. tēpo­re / vt ptꝫ ex priori parte cedentis ꝓpoſitionis: ſed modo illud mobile mouetur in aliqua proportione puta in f. velocius quã tunc: ergo in f. proportione maius ſpaciū pertranſit quã tunc: et per conſequēs maius ſpaciū ꝑtranſit in eodem tēpori in f. ꝓpor- tione quã alterū mobile motum in eodem tempore velocitate in f. proportione minori.

Tertia ꝓpoſitio. Si inequales velo-citates in equalibus tēporibus coextendunt̄̄, et ma­ior velocitas maiori tempori coextendatur: et mīor minori: tunc mobile quod mouetur in maiori tem-pore maius ſpaciū ꝑtranſit in ꝓportione cõpoſita temporis maioris ad tempus minus: et velocitatis maioris ad velocitatē minorē. Exemplū / vt ſi mobi­le a. moueatur per horã vt quatuor, et b. per mediã horã, vt .2. / tunc dico /  a ꝑtranſit maius ſpacium quã b. in ꝓportione cõpoſita ex ꝓportione hore ad mediã horam: et velocitatis vt .4. ad velocitatem vt duo. / et cū vtra illaꝝ ꝓportionū ſit dupla: conſe-quens eſt /  cõpoſita ex eis ſit quadrupla / vt patet ex ſecunda parte: et per conſequens in quadruplo maius ſpaciū ꝑtranſit a. in hora quam b. in media hora. Probatur hec concluſio / quia ſi a. et b. moue-rentur equaliter in illis duobus temporibus ine-qualibus: tunc a. ꝑtranſit maius ſpaciū quam b. in illa ꝓportione in qua ſe habent tēpora / vt patet ex ſecunda parte prime ꝓpoſitionis: et modo a. in ali-qua proportione que ſit f. maiori velocitate mouet̄̄ quã tunc: ergo in f. proportione maius ſpaciū per-tranſit quã tunc. Patet conſequētia / quia quanto in eodem tempore velocitas eſt maior: tanto in eo-dem tempore per eandeꝫ maius ſpaciū ꝑtranſitur. Ergo proportio ſpacii ꝑtranſiti a mobili quod ve-lociꝰ mouetur ad ſpaciū ꝑtranſitū a mobili / quod tardius mouetur componitur adequate ex propor­tione tēporū: et ex proportione velocitatū que eſt f. / quod fuit probandū. Patet / quia inter terminos il­lius proportionis reperiūtur iſti termini puta ſpa­ciū ꝑtranſitum ab illa velocitate maiori in maiori tempore et ſpaciū pertranſitū in eodem maiori tē-pore a velocitate equali velocitate minoris tempo­ris: et ſpacium ꝑtranſitum a velocitate minoris tē-poris in minori tempore: ſed primi termini ad ſe-cundū eſt proportio f. que eſt proportio velocitatū et ſecundi ad tertiū eſt proportio tempoꝝ: et totalis illa ꝓportio q̄ cõponit̄̄ ex illis duabꝰ eſt proportio ſpacii ad ſpaciū: g̊ ꝓportio ſpacii ꝑtrãſiti a mobi­li velociori ad ſpaciū ꝑtrãſitū a mobili tardiori cõ-ponitur ex ꝓportiꝰe velocitatis ad velocitatē: et tꝑs ad tēpus / quod fuit probandū: et ſic ptꝫ propoſitio ¶ Ex hac propoſitione ſequitur primo /  ſi a. mo-ueatur per vnã horã velocitate vt .6. et b. ꝑ mediam horã velocitate vt .4. /  ſpaciū ꝑtranſitū ab a. erit triplū ad ſpaciū ꝑtranſitū a.b. Ptꝫ / q ex propor­tione tēporis ad tēpus, et velocitatis ad velocitatē quaꝝ prima eſt dupla: et ſecūda ſexaltera cõponit̄̄ tripla proportio / vt ptꝫ in his terminis .6. ad .4. et 4. ad .2. et in illa proportione a. mouet̄̄ velociꝰ b. / vt ptꝫ ex precedenti propoſitione: igitur propoſitum.

Correĺ.

Sequit̄̄ ſcḋo /  ſi a. mobile moueat̄̄ ꝑ horã velocitate vt .6. et b. ꝑ duas tertias hore velo-citate vt .4. /  in minori proportione maiꝰ ſpacium ꝑtrãſit a. ꝙ̄ b. ꝙ̄ in priori caſu. Ptꝫ / q2 tūc ſpaciū ꝑ-trãſitū ab a. erit duplū ſexquiq̈rtū ad ſpaciū ꝑtrã-ſitū a.b. et in priori caſu erat triplū: g̊ in minori pro­portione maiꝰ ſpaciū ꝑtraſit a. quã b. in iſto caſu ̄ in priori. Ptꝫ ↄ̨ña / q2 tripla eſt maior ꝙ̄ dupla ſex-quiquarta proportio. Probo tamen maiorē / quia proportio tēporis ad tēpus eſt ſexaltera: et ſimili­ter velocitatis ad velocitatē: ergo ſpaciū ꝑtrãſitū ab a. eſt maiꝰ ſpacio ꝑtrãſito a b. in proportione cõ­poſita ex duabꝰ ſexalteris, q̄ eſt dupla ſexquiq̈rta / vt patet in his terminis: 9.6.4. auxiliantibus his que dicta ſunt in ſecunda parte huius operis capi­te quarto. Infinita alia correlaria poſſūt ex hac ꝓ­poſitione inferri. Sed iſta ſufficiant pro praxi pro­poſitionis habenda.

Quīta ꝓpoſitio. Si maior velocitas tēpori minori coextendat̄̄ et minor maiori, et ꝓpor-tio velocitatis maioris ad velocitatem minoris ſit equalis ꝓportioni tēporis maioris ad tēpus minꝰ tūc illa mobilia equalia ſpacia ꝑtranſeūt. Exēplū / vt ſi a. mobile per mediã horã moueatur velocitate vt .4. et b. mobile per horã velocitate vt .2. tunc quia proportio tēporis ad tēpus eſt dupla / et velocitatis etiã ad velocitatē dupla ſequitur /  a. et b. equalia ſpacia ꝑtranſeūt. Probat̄̄ hec ꝓpoſitio: ſit a. mo-bile qḋ moueatur ꝑ aliqḋ tēpus: et b. mouetur ꝑ tē-pus in f. ꝓportione maius: et in f. ꝓportione minori velocitate: tūc ibi ꝓportio velocitatū et tēpoꝝ ſunt equales q2 vtra f. / igit̄̄ ſi a. moueat̄̄ equali veloci-tate cū b. tunc in f. ꝓportione b. maius ſpaciū per-tranſit quã a. q2 in ꝓportiõe tēporis / vt ptꝫ ex ſcḋa parte prime propoſitionis: ſed modo a. mouet̄̄ in f. ꝓportione velocius quã tunc: ergo in f. ꝓportione maius ſpacium ꝑtranſit quã tunc in eodē tēpore: vt ptꝫ ex ſecūda ꝓpoſitione: ergo tantū ſicut b. Patet ↄ̨ña per hanc maximã quãdo aliqua duo ſe habent in aliqua ꝓportione vt puta f. Si minꝰ illoꝝ acqui­rit illã ꝓportionē f. ſupra ſe, efficitur equale alteri / quod erat maius: vt ſi quaternariꝰ ad quē octona-rius habet ꝓportionē duplã acquirat ſupra ſe ꝓ-portionē duplã efficiet̄̄ equalis octauario / vt ptꝫ de ſe: et ſic ptꝫ ꝓpoſitio. ¶ Ex hac ꝓpoſitione ſequitur /  ſi a. mobile moueatur per horã velocitate vt .4. et b. mobile per duas tertias hore velocitate vt ſex b. et a. equalia ſpacia ꝑtranſeūt. Probatio / q2 qua­lis eſt ꝓportio tꝑis maioris ad tempus minꝰ: talis eſt ꝓportio velocitatis fluentis per tēpus minꝰ ad velocitatem per maius tēpus labentem. (Utrobi enim ſexquialtera proportio reperitur.

Correĺ.

Quīta ꝓpoſitio. Si maior velocitas tēpori et extendatur minori, et minor velocitas ma­iori tēpori: ꝓportio velocitatis tēporis ꝓportio­nē exuperet: tūc mobile minori tēpore motū maius ſpaciū deſcribet ꝙ̄ mobile motū in maiori tēpore in ea ꝓportione per quã velocitatū ꝓportio tēpoꝝ ꝓportionē excedit. Exemplū / vt ſi a. mobile moueat̄̄ per horã velocitate vt .2. et b. mobile per mediã ho-ram velocitate vt .8. tunc b. mobile maius ſpacium ꝑtranſit quã a. mobile in ea ꝓportione per quã pro­portio quadrupla velocitatū excedit ꝓportitioneꝫ duplã tēpoꝝ. Et q2 quadrupla velocitatū duplam tēpoꝝ per duplã antecedit notū euadet ſpaciū a b. mobili pertrãſitū ad ſpaciū ab a. mobili ꝑtranſi-tū duplū eſſe. Uniuerſalitcr tamen mathematico ordine hanc quintã ꝓpoſitiouē inducamus. Sit e a. mobile quod per aliquod tēpus aliqua velocita­te moueatur: et b. mobile moueatur per tēpus in f. ꝓportione minus: et velocitate in g. ꝓportione ma-iori quã velocitas qua mouetur a. ſit g. ꝓportio maior f. excedat g. ꝓportio ꝓportionē f. per h. ꝓ-portionē. quibꝰ ſtructis ſic argr̄: ſi ꝓportio veloci-tatis b. ad velocitatē a. eſſet equalis ꝓportiõi tēpo-ris tn quo mouet̄̄ a. ad tēpus in quo mouetur b. que eſt f.a. et b. equalia ſpacia ꝑtranſirent in illis tēpo-ribus in equallbꝰ / vt cedens ꝓpoſitio demonſtrat puta quarta. Sed modo velocitas qua mouet̄̄ b. eſt in h. ꝓportione mãior velocitate / qua tunc moueret̄̄ / ergo in h. ꝓportione maius ſpaciū pertranſit mo- do b. quã tunc: q ſicut ſe habent velocitates in a-liquo tēpore: ita ſpacia pertranſita in eodē / vt ptꝫ ex ſecūda ꝓpoſitione: et ex conſequenti ſequitur / ­modo b. in h. proportione maius ſpaciū pertrãſit ̄ a. q a. et b. tunc equalia ſpacia pertranſirent: et h. ꝓportio eſt ꝓportio per quã g. ꝓportio velocitatū excedit f. proportionē tēpoꝝ: igr̄ b. mouetur velocius ipſo a. in ꝓportione per quã ꝓportio velocitatum temporum proportionem excedit: quod fuit ꝓban-dum: et ſic patet propoſitio.

Correĺ.

¶ Ex hac propoſitione ſequitur /  ſi a. mobile mo-ueatur per horã velocitate vt duo: et b. mobile per mediã horam, velocitate vt .6.  b. mobile in ſexqui­altero maius ſpaciū pertranſit quã a. vt ſi a. per-trãſit bipedale b. tripedale ꝑtrãſit. Probat̄̄ / q2 ibi velocitates inequales in equalibus temporibus co­extenduntur: et mbior velocitas maiori tempori co­extenditur / vt notū eſt: et proportio velocitatū que tripla eſt, proportionē tēporum duplã per ꝓporti-onem ſexquialterã antecedit. Hec igitur ſignum eſt et fidem facit auxilio precedentis propoſitionis b. mobile in ſuo tēpore quo mouetur ſexquialterum ſpaciuꝫ ad ſpaciū ab a. exactū abſoluiſſe: quod ab iniitio ꝓpoſitū fuit ¶ Inferas tuo marte mĺta huic ſimilia correlaria que ex hac quīta propoſitiõe ſuã demonſtrationem facile ſortiūtur. Hoc e cor-relariū: ideo poſitū eſt: quia neceſſe intelligentem particularia fantaſmata ſpeculari. teſte philoſo-pho ſecūdo de aīa: nichil eſt in īteliectu quin priꝰ quodammodo ſingulariter preceſſerit in ſenſu de ſenſu et ſeaſato aſſerente philoſopho.

phdot;us .2. de aīa

Sexta ꝓpoſitio. Ubicun maior ve­locitas tꝑri coaſſiſtit mīori, mīor o maiori eſt ꝓ­portio velocitatū tm ꝓportiõe īferior et mīor, tūc mobile qḋ maiori velocitate mouent̄̄ mīori te mīo­rem magnitudinē deſcribet quã mobile motū ma-iori tēpore in ea ꝓportione per quã temporū ꝓpor­tio velocitatū ꝓportioni effertur. Exemplū / vt ſi a. mobile per horan moueatur velocitate vt duo ade-quate, et b. per mediã horam moueatur velocitate vt .3. tunc b. minꝰ ſpaciū pertranſit quã a (minꝰ in-quam) in ꝓportione ſexquitertia per quã ſexquiter­tiam ꝓportio dupla tēporuꝫ ꝓportionē ſexalterã velocitatū excedit: ſi igitur a. pedale pertrãſeat: b. tres quartas deſcribet. Generaliṫ tñ iudicat̄̄ ↄ̨clu-ſio iſto modo. Sit a. mobile per aliquod tēpus mo­tum aliqua velocitate, b. vero per tēpus in g. ꝓpor-tione minus, et moueatur b. in f. ꝓportione minori tamen g. velocius ipſo a. excedat g. ꝓportio pro-portionē f. per h. ꝓportionē: tunc a. maius ſpaciuꝫ pertranſit in h. ꝓportione ꝙ̄ b. Quod ꝓbatur ſic. quia ſi proportio velocitatis qua moueatur b. mobi­le per tempus minus eſſet equalis proportioni tē-porum: tunc b: equale ſpaciū pertranſiret adequa-te in tempore in quo mouetur ſpacio pertrãſito ab a. in tempore in quo a. mouetur, vt patet ex quarta prppoſitione: ſed modo mouetur b. velocitate in h. proportione minori quam tunc: igitur b. pertran-ſit modo ſpacium in eodem tempore in h. propor-tione minus quam tunc / vt patet ex ſecunda propo-ſitione, et ex conſequenti ſequitur /  medo pertran­ſit b. ſpacium in h. proportione minus quam a. q a. pertranſit tantum ſicut tūc pertranſibat b. / quod fuit probandum. Sed iam probo illam minorem: videlicet  b. modo mouetur velocitate in h. ꝓpor-tione minori quam tunc, per hanc maximã. Quan­docun duo numeri inequales habent duas pro-portiones ad vnum tertium: tunc in ea proportione minor illorū eſt minor maiore per quã maior ꝓportio excedit minorē: id eſt per quam ꝓportio maioris numeri ad illud tertiū excedit ꝓ-portionē minoris numeri ad idem tertiū. Quoniã ꝓportio maioris ad idē tertiū cõponit̄̄ ex ꝓportio­ne illius ad numeꝝ minorem, et numeri minoris ad idem tertiū. Hoc eſt primū correlariū quarte cõclu­ſionis quartis capitis ſcḋe partis. Sed ita eſt in ꝓ-poſito /  ſi ꝓportio velocitatis maioris ad veloci-tatē minorē eſſet equalis g. ꝓportioni tēpoꝝ: tunc ipſa iam excederet ꝓportionē quã modo habet pu­ta f. per h. ꝓportionē / vt ptꝫ ex caſu: ergo modo illa velocitas maior eſt in h. ꝓportione minor quã tūc / qḋ fuit ꝓbandū. ¶ Et vt hec theoretica non ſit expers practice tale infero correlariū. Si equꝰ a. moueret̄̄ velocitate vt .4. in hora adequate, et equus b. velo-citate vt .6. adequate in media hora, et ipſe equꝰ b. 6. leucas pertranſeat in illa media hora: neceſſe eſt equū a. ad extremū .8. leucarum in hora deuenire. Probat̄̄ / q in dicto caſu equus b. motꝰ in mino-ri tēpore maiore velocitate mouet̄̄ ipſo equo a. mo­to in maiore tēpore et ꝓportio dupla tēpoꝝ excedit ꝓportionē velocitatū ꝑ ſexquitertiã ꝓportionē: igr̄ auxilio cedentis ꝓpoſitiõis ꝑſpicuū euadit equū a. in ſexquitertio maius ſpaciū ꝑtranſire quã equꝰ b. ꝑtranſeat. Sed equus b. ex caſu ſex leucarū ſpa-ciū ꝑtranſit in illa media hora: igitur a. ſpaciū .8. leucaꝝ in hora cõpleuit (quãdoquidē .8. ad .6. ſex-tertia eſt ꝓportio) ¶ Hoc ſenario numero ꝓpoſiti-onū lata illa diſtinctio velocitatum fimbrias ſuas colligat, ſiquidem ſenarius perfectus eſt.

Correĺ.

Notandū eſt tertio tãgendo materiã ſecūdi argumēti pricipalis ante oppoſitū /  aliud eſt latitudinē motꝰ vniformiter intendi aut vnifor-miter remitti: aliud vero mobile vniformiter mo-ueri. Unde cum latitudo motus vniformiter inten-ditur a nõ gradu vel a gradu ad certū gradū ſemꝑ mobile vniformiter difformiter mouetur. Et ſimi-liter quãdo vniformiter remittitur aliquis motus a gradu vſ ad nõ gradū vel certū gradū / tunc mo­bile vniformiter difformiter mouetur. Nã latitudo motus ſi acquiſita aut deꝑdita coextendit̄̄ vnifor­miter difformiter tēporis partibꝰ, ita  illiꝰ motꝰ cuiuſlibet partis gradus mediꝰ tanto exceditur a ſūmo quantū excedit infimū vel nõ gradū. Quare definitiue arguendo relinquit̄̄ oēm talē motum ſic vniformiter acquiſitū vel deperditū eſſe vniformi-ter difformē. Hanc materiã latiꝰ īquiras recurren­do ad hentiſberū in ſuo tractatu de motu locali ca­pite primo in fine adiūctis eiuſdē hentiſberi cõmē-tariis. Inſuꝑ aduerte /  latitudo motꝰ tripliciter acquiri põt vt ad ꝓpoſitū noſtrū ſufficit vel deꝑdi Quod ideo dixerim / q multis aliis modis et re-mitti et intendi põt motꝰ latitudo: ſed hii tres dūta­xat nr̄o quadrant ꝓpoſito. Primo modo latitudo motꝰ põt acri vel deꝑdi cõtinuo vniformiter, vt pu­ta qñ mobile in partibꝰ equalibꝰ tꝑis eq̈les gradꝰ velocitatis acrit vel deꝑdit cõtinue. Scḋo põt lati­tudo motꝰ acri vel deꝑdi cõtinuo velociꝰ et velociꝰ vt puta qñ mobile in q̈libet parte ſequēti tꝑis con-tinuo maiorē latitudinē motꝰ deꝑdit quã in equali cedenti. Tertio modo poteſt latitudo motus ſiue velocitas acquiri vel deperdi cõtinuo tardiꝰ et tar-dius: vt puta quãdo mobile ↄ̨tinuo in qualibet par­te ſequēti tēporis minorē latitudinē motꝰ deperdit quam in equali precedente. ¶ Qua diuiſione pre-miſſa pono aliquas propoſitiones.

Prima propoſitio. Si aliquis motus vniformiter cõtinuo intendatur vel remittat̄̄ a cer-to gradu vſ ad certū gradū vel ad nõ gradū eius velocitas gradui medio correſpõdet. Probat̄̄ hec ꝓpoſitio / q2 talis motꝰ ſic intenſſus aut remiſſus eſt vniformiter difformis / vt ptꝫ ex principio huiꝰ nota­bilis auxiliante definitione motꝰ vniformiter dif-formis: igitur eiꝰ velocitas gradui ſuo medio corre­ſpondet. Patet hec conſequentia ex notabili pri-mo huius capitis.

Secūda ꝓpoſitio. Oīs motꝰ cõtinuo velocius et velocius intenſus correſpondet quantū ad velocitatē gradui remiſſiori medio gradu inter extremū intēſionis eiꝰ in principio motꝰ et īter extre­mū intēſionis in fine motꝰ. Exemplū / vt ſi motus vt 4. cõtinuo intēdat̄̄ ꝑ horã quovſ ſit vt .8. ita  ac-quirat quatuor gradꝰ in hora et illã latitudinē .4. graduū cõtinuo velocius et velociꝰ acquirat in ipſa hora: tūc tota eiꝰ velocitas correſpõdet minori gra­dui ſexto gradu qui eſt gradus mediꝰ inter .4. et .8. hoc eſt illud mobile nõ tã velociter mouetur in illa hora adequate quã velociter moueretur ſi cõtinuo vniformiter moueret̄̄ gradu ſexto medio. Probat̄̄ hec ꝓpoſitio. Sit a. motꝰ et b. motꝰ equalis ei in prī­cipio: et volo /  a. ꝑ horã cõtinuo vniformiter inten­dat̄̄ vſ ad c. gradū acquirendo certã latitudinē, et b. cõtinuo in eadē hora adequate intendat̄̄ etiã vſ ad c. gradū acrendo eandem latitudinē adequate quã acrit a. ita  in fine tēporis a. et b. erūt equa-les c. gradu ſicut etiã in principio ſunt equales: ac-quirat tamē b. illa in latitudinē cõtinuo velocius et velociꝰ quã a. acquirit cõtinuo vniformiter. Et ar-guit̄̄ ſic / velocitas ipſiꝰ a. correſpõdet gradui medio inter c. gradū et gradū in quo eſt a. et b. in principio / vt patꝫ ex cedēte ꝓportione. et velocitas motus b. correſpondet minori gradui quam gradui medio / igr̄ oīs motus cõtinuo velocius et velociꝰ intenſus correſpondet gradui remiſſiori medio gradu inter extremū eiꝰ intēſius et remiſſius. Ptꝫ hec cõſeq̄ntia / q2 idē eſt gradus mediꝰ vĺ equalis inter extrema a. motꝰ et b. motus, vt ponit caſus. Et ſicut ꝓbatur de b. in ꝓpoſito, ita arguendū eſt de quocū alio mo­tu cõtinuo velociꝰ et velociꝰ intenſo. Sed iam reſtat ꝓbare minorē / q2 motus b. in quolibet inſtãti intrī-ſeco erit minor motu a. / ergo velocitas eiꝰ in toto tē­pore adequate minori gradui correſpõdebit quaꝫ velocitas ipſiꝰ a. Sed velocitas ipſiꝰ a. correſpon-det gradui medio inter extrema ipſius b. / vt ꝓbatū eſt: ergo velocitas b. correſpõdet gradui remiſſiori gradu medio inter extrema eiuſdē b. / quod fuit pro­bandū. Sed iã ꝓbo illud añs vcꝫ /  motus b. in quo­libet inſtanti intrinſeco eſt minor et remiſſior motu a. q2 ſi nõ detur aliquod inſtans in quo ſit maior vĺ equalis et ſit c. tale inſtans illiꝰ hore: et argr̄ ſic / in c. inſtãti b. motꝰ eſt eq̈lis a. motu cū caſu poſito: g̊ eq̈-les latitudīes acſiuerūt adeq̈te in tꝑe termīato ad illud inſtãs, et eq̈les reſtãt acrēde vſ ad c. gradū, et ↄ̨tinuo b. velocius acret latitudinē illã acrendã poſt illud inſtãs quã ãtea idē b. acſiuerit, et ãtea a. et b. acſiuerūt eq̈liter, et ↄ̨tinuo a. poſt illud inſtans acret vniformiter: g̊ velociꝰ et citius b. acquiret c. gradum quã a. / quod eſt contra caſum. Et eodē mo-do probabitur /  in illo inſtanti motus b. nõ eſt in-tenſior motu a. / quia iã ſequeretur /  ante illud in-ſtans velociꝰ acrebat b. latitudinē motus quã a. et poſt illud inſtãs velociꝰ acret ex caſu reſiduū lati-tudinis acrende quã antea, et ꝑ ↄ̨ñs poſt illud in-ſtãs velociꝰ et citiꝰ acret reſiduū latitudinis acrē-de quã a. / et ſic citiꝰ habebit c. gradū quã a. / quod eſt contra caſum. Et ſic patet illa minor probata.

¶ Et confirmatur Quia a. et b. in principio ſūt mo­tus equales: et in toto tempore debent acquirere eq̈­les latitudines: et in quolibet inſtanti intrinſeco eſt plus acquiſitum ipſi a. quã b. illius latitudinis ac-quirende. igitur continuo a. motus eſt maior b. Cõ­ſequentia eſt ſatis manifeſta. et minor patet / q2 con­tinuo in quolibet inſtanti intrinſeco maior pars re­ſtat acquirenda talis latitudinis ipſi b. quã ipſi a. cum b. continuo velocius et velocius acquirat. et a. vniformiter: igitur in quolibet inſtanti intriuſeco maior pars latitudinis eſt acquiſita ipſi a. quã ip-ſi b. et hec eſt quinquageſima quarta concluſio cal-culatoris in capitulo de motu locali.

54. ↄ̨clu. cal. in c: ḋ mo. lo.

Tertia propoſitio Omnis motus ve-lociꝰ et velociꝰ deꝑditꝰ quãtū ad tranſitioneꝫ ſpacii inteuſiori gradui gradu medio correſpondet hoc ē tale mobiie motum illo motu maius ſpacium in il-lo tempore pertrãſit adequate quã ſi gradu medio inter extrema illius motus continuo vniformiter moueretur in illo tempore. Hec propoſitio proba-ta eſt in ſecundo argumento prīcipali ante oppoſi­tum in hoc capite. Et hec eſt quinquageſima ſecun-da ↄ̨cluſio calculatoris in predicto capitulo de mo­tu locali ¶ Ex hac concluſione ſequitur /  ſi a. mobi­le moueatur in hora incipiendo ab octauo vſ ad quartum continuo vniformiter remittendo motum ſuum, et b. mobile moueatur etiam in hora ab octa­uo vſ ad quartum continuo velocius et velociꝰ re­mittēdo motum ſuum et a. pertranſit .6. pedalia b. pertranſibit pluſ̄ ſex pedalia. Probatur / q2 mo-tus a. correſpondet gradui medio qui eſt ſextus. vt patet ex prima propoſitione: motus vero b. correſ-pondet gradui intenſiori medio / vt patet ex tertia ꝓ­poſitione. ¶ Sequitur ſecundo /  ſi a. incipiat mo-ueri ab octauo vſ ad quartum vniformiter et b. in eodem tempore moueatur incipiendo a decimo ſex­to vſ ad duodecimum perdendo latitudinem .4. graduum velocius et velocius: tunc continuo b. mo-uebitur pluſ̄ in duplo velocius a. et continuo per-tranſibit pluſ̄ duplum ſpacium ad ſpacium in eo­dem tempore pertranſitum ab a. Probatur / q2 qñ a. et b. continue et vniformiter remitterentur perdē­do .4. gradus continuo inter a. et b. ſſet maior ꝓpor­tio quã dupla, īmo continuo maior et maior: q ꝑ equalem remſſionem maioris et minoris: maiorē ꝓ­portionem deperdit minus quã maius / vt patet ex octaua ſuppoſitione quartis capitis ſecunde partis et quando ſunt duo numeri ſe habentes in aliqua ꝓ­portione, et continuo equaliter remittuntur: conti-nuo ſe habent in maiori et maiori ꝓportione: igitur ſequitur / ſi ille velocitates a. et b. que ſe habent in ꝓ­portione dupla eque velociter remittantur cõtinuo ſe habebunt in maiori ꝓportione quã dupla: et ſic b. coutinuo ſe haberet in maiori ꝓportione quã du­pla ad ipſum a. ſed modo continuo eſt minus deꝑ-ditum ipſi b. quam ipſi a. cum cõtinuo reſtat ei plus deperdendum / vt facile patet ex caſu / igitur per locū a maiori continuo b. motus erit pluſ̄ in duplo ve­locior ipſo a. motu. Ex quo ſequitur alia pars cor-relarii /  videlicet pluſ̄ duplum ſpacium pertran­ſibit b. quam a. in eodē tempore. ¶ Sequitnr tertio /  ſi tam. quã b. remitterentur ad ſuum ſubduplum in hora: ita  a. deperdat in hora continuo vnifor-miter quatuor gradus et b. octo continuo velocius et velocius: ſequitur /  b. pluſ̄ duplum ſpacium in hora pertranſibit quã a. Probatur / quia ſi b. motꝰ vniformiter remitteretur ꝑ totam illam horam ꝑ-dendo vniformiter .8. gradus ſicut a. perdit vnifor­ miter quatuor: tunc motus eius correſpõderet gra­dui medio duplo ad gradum medium motus a. / vt patet / q2 gradus medius inter .16. et .8. eſt .12. et gra­dus medius inter .8. et .4. eſt vt .6: modo .12: ad .6. eſt proportio dupla: ſed modo quando ſic velocius et velocius et velocius remittitur ſua velocitas correſ­pondet intenſiori gradui quã tunc: vt patet ex ter-tia propoſitione: igit̄̄ in noſtro caſu b. motus ī illa hora ꝑtranſibit pluſ̄ duplū ſpaciū ad ſpaciū ꝑtrã­ſitum ab a. in eodem tempore. Quod tamen prima fronte videtur mirabile quia in principio motꝰ b. eſt duplus ad motum a. adequate et in toto tempo­re perdit motum duplum ad motum quē perdit a. tamen bene aſpicienti materiam proportionū ap-parebit neceſſarium.

.52. ↄ̨clu. cal. in c. ḋ mo. lo. .1. correl. 2. correl. 3. correl.
quītage-ſimaquī­ta calcu.

Quarta propoſitio Omnis motꝰ tar-dius et tardius intenſius quantum ad pertranſitio­nem ſpacii gradui intenſiori medio correſpondet. Probatur / quia ſi continuo vniformiter talis mo-tus (qui ſit a) intenderetur: ipſe preciſe correſpõde-ret gradui medio quantum ad pertranſitionē ſpa­cii / vt patet ex prima propoſitione: ſed modo in quo­libet inſtanti intrinſeco temporis per quod a. mobi­le mouetur: mouetur velocius quã tunc: ergo: veloci­tas eius modo correſpondet gradui intenſiori me-dio: quia intenſiori quã tunc. Conſequentia patet et arguitur minor: et volo /  b. ſit motus in prīcipio hore equalis ipſi a. qui in eadem hora vniformiter continuo acquirit equalem latitudinem illi quã ac­quirit a. adequate ipſo tamē a. tardius et tardius continuo acquirente ita  ſicut ſunt equales in prī­cipio ita ſunt equales in fine. Quo poſito ſic argu-mentor / continuo b. motus erit remiſſior ipſo a. mo­tu et a. motus intenſior: igitur continue a. motꝰ erit intenſior quã tunc quãdo continuo vniformiter in-tenderetur ſicut b. quia b. et a: tunc ſemper eēnt eq̈-les. Sed iam probo /  continuo a. motus erit inten­ſior b. motu: quia ſi non detur aliqḋ inſtans in quo non ſed in illo ſit equalis vel remiſſior ipſo b. et ſit tale inſtans c. terminans vnam quartam gratia ar­gumenti vel quintam: vel ſextam non eſt cura. Et ar­guo ſic / in illo inſtanti a. motus et b. motus ſunt eq̈-les per te: et in principio erant equales ex caſu et in tota hora adequate equales latitudīes ſunt eis ac­quiſite: et equales reſtant acquirende poſt illud in-ſtans c. et quãtam latitudinem b. acquiſiuit in illa quarta tantam acquiret in qualibet ſequenti ade-quate: quia vniformiter intenditur et a. ex caſu in q̈­libet quarta ſequenti minus acquirit ꝙ̄ in illa pre-cedenti c. / vt patet ex caſu quoniã continuo tardius et tardius acquiret illam latitudinem acquirendã / igitur in toto tempore ſequenti c. minorem latitudi­nem acquiret quã b. et antea acquiſiuerat equalem: igitur in toto tempore adequate minorem latitudi­nē acquiret a. quã b. / quod eſt contra caſum: Et ſic probabitur ꝑ locum a maiori /  in nullo inſtãti mo­tus a. eſt remiſſior motu b. Et ſicut argutum eſt ſu-umndo quartam temporis argui poteſt ſumendo quãcun partem aliquotam vel non aliquotam vĺ quotcū: et ſic patet proportio. Et hec eſt quinqua-geſima quinta calculatoris

Quinta proportio Omnis motus tar­dius et tardius deperditus: gradui remiſſiori me-dio correſpondet. Probatur hec propoſitio. Sit enim a. motus vt .8. qui in hora ſequenti adequate perdat aliquaꝫ latitudinem in hora ita  maneat in fine minor c. gradu et hoc cõtinuo vniformiter b. vero ſit motus equalis ipſi a. et perdat in hora ade­ quate tantam latitudinem ſicut a. ita  in fine a. et b. maneant equales. Quo poſito ſic argumentor / ve­locitas ipſius motus a. correſpõdet gradui medio inter extremum ipſorum a. et b. in principio et ertre­mum eorundem in fine (dico eorundem / quia illi mo­tus tam in principio ꝙ̄ in fine ſunt equales / vt po­nit caſus) Sed b. motus in quolibet inſtanti intrin­ſeco illius temporis erit remiſſior ipſo a. motu: igi­tur b. motus remiſſiori gradui correſpondet quam a. motus et a. motus correſpondet gradui medio in­ter extrema ipſius b. / igitur b. motus correſpondet gradui remiſſiori quam ſit gradus medius inter ex­trema eiuſdem b. motus. Conſequentia patet / quia extrema b. motus et a. motus ſunt equalia. Et maior patet ex prima ꝓpoſitione: et minor proba-tur ſic: quia ſi non detur oppoſitum illius minoris videlicet /  non in quolibet inſtanti etc. ſed in aliquo equalis vel intenſior: et et ſit illud c. terminans vnaꝫ ſextã gr̄a argumēti / et arguo ſic / ī illo īſtãti c. ꝑ te mo­tus a. et motus b. ſunt equales: et in principio erant equales et equalem latitudinem debent deperdere: ergo equalem latitudinem deperdiderunt: et eq̈les reſtant ab eis deperdende, et a. in qualibet ſexta ſe­quente c. tantã deperdet ſicut in precedēte quia vni­formiter deperdet et b. in qualibet ſequēte ſexta mi­nus deperdet quã in precedente quia continuo tar-dius et tardius deperdit / vt dicit caſus: et in precedē­te deperdet tantum ſicut a: igitur in qualibet ſexta ſequente c. inſtans b. minus deperdet quã a. ei ante c. inſtans equalem latitudinem deperdit: ergo in to­to tempore illius hore b. minorem latitudinem de-perdit quã a. / quod eſt contra caſum. Et eodem mo-do probabitur iuuamine tamen loci a maiore  b. motus in inſtanti non eſt intenſior a c. motu. Et ſic patet minor: et per conſequens tota propoſitio. Et hec eſt quiuq̈geſima tertia ↄ̨cluſio calculatoris in dicto capitulo de motu locali. ¶ Ex hac pro-poſitione ſequitur /  ſi mobile a. moueatur vnifor-miter difformiter ab octauo vſ ad quartum per-dendo latitudinem motus vt 4. vniformiter conti-nuo ī hora et mobile b. moueatur in eadem hora ab octauo vſ ad quartum perdendo etiam latitudi-nem vt .4. continuo tardius et tardius: tunc ſi a. per­tranſeat .6. pedalia b. pertranſibit minus. Proba­tur / quia ſi a. tranſit .6. pedalia illa .6. pedalia. ſunt ſpacium natum tranſiri a gradu medio ipſius mo­tus a. vniformiter difformis, et motus b. correſpon­det remiſſiori gradui gradu medio: igitur mobile b. minus pertranſit quam ſex pedalia. Minor pa-tet ex precedenti propoſitione.

53. cal. ī c. de mo. lo correlar.

Sexta ꝓpoſitio Omnis latitudo mo­tus conſimiliter omnino perdita et acſita vni gra­dui omnino correſpondet. Uolo dicere /  ſi ſit ali-quis motus qui gratia exempli incipiat a non gra­du et intendatur vſ ad octauum in hora adequate vniformiter: et alter motus vel idem remittatur in hora vniformiter ſicut intendebatur ab octauo vſ ad non gradum: tales motus eidem gradui correſ­pondet: et ſic exemplificatu in aliis. Probatio hu-ius concluſionis facilis eſt quoniam tanta oīno eſt latitudo motus in via intenſionis quanta in via re­miſſionis quoniam omnino eodem modo intendi-tur ſicut remittitur. igitur eidem gradui correſpon­det. Et ſic patet iſta propoſitio / que etiam ſuperius probata eſt in tractatu de motu penes cauſam. Et hec eſt quinquageſima ſexta concluſio calculatoris in capitulo preallegato de motu locali. In quo lo-co idem calculator facit paruam obiectionem con- tra hanc concluſionem Uide eum ibi.

.56. cal. ī c. ḋ mo. l.

Notanduꝫ eſt quarto / vt ſuperius ta-ctum eſt velocitates motuum dupliciter inueſtigari poſſe videlicet ex cõmenſuratione ſpaciorum ꝑtran­ſitorum: et hoc ab effectu: et a poſteriori quod in -ſenti tractatu inquirimus. Alio vero modo ex cõ-menſuratione et proportionalitate proportionum a quibus proueniunt velocitates ille: Et cuꝫ aliqua ars ab huius ſcientie primoribus tradita ſit ad in­ueſtigandas proportiões a quibus velocitates mo­tuum proueniunt. Ideo non abs re aliquas propo­ſitiones huic famulantes inueſtigationi pñti operi inſerendas cenſui.

ↄ̨cluſiõſe horen. trac. pro­por. c. 4.

Prima propoſitio Quauis velocita-te data: et quacun proportione propoſita: cuiuſ-dam artis ingenio inueſtigari poteſt. an data ve-locitas a propoſita proportione: aut a minori aut maiore proueniat. Exemplum / vt data aliqua velo-citate que ſit a. cuius proportionem a qua videlicet proueniat talis velocitas a. ignoramus: et propoſi­ta quauis proportione videlicet dupla: vel tripla vel quadrupla inueſtigare et per artem inuenire  videlicet talis velocitas a. proueniat a tali propor­tione dupla propoſita (exempli gratia) an a maio­ri: an a minorl. Ad cuius probationem ſit illa velo­citas a. qua moueatur c. reſiſtentia a b. potētia cu-ius proportionem ad c. ignoro: et ſit proportio ꝓ-poſita michi nota dupla exempli gratia: tunc ad ī­ueſtigandum: et inueniendum: an illa velocitas a. ꝓ­ueniat a maiori proportione quã dupla: an a mino­ri: an ab equali: capio vnam aliam potentiam que ſit d. que ſe habet in proportione dupla ad b. potē­tiam: et moueat vtra illarum potentiarum c. reſi­ſtentiam: et manifeſtum eſt /  d. velocius mouet c. re­ſiſtentiam quam b. Tūc his ſic poſitis: arguitur ſic / vel d. mouet c. reſiſtentiam in duplo velocius quam b. moueat eãdem reſiſtētiã: vel magis quã in duplo velocius: vel minus. Si in duplo velocius ſequitur /  proportio d. ad c. eſt dupla ad proportionem b. ad c. Patet / quia velocitates ſunt duple et talis ꝓ-portio componitur ex ꝓportione d. ad b. et b. ad c. / vt patet ex quarto capite ſecunde partis: ergo pro­portio b. ad c. eſt medietas proportionis d. ad c. / er­go reſiduum puta ꝓportio d. ad b. eſt reliqua medi­etas et eſt proportio dupla vt poſitum eū: ergo alia proportio b. ad c. eſt etiam proportio dupla cum ſit alia medietas. Modo omnes medie-tates ſunt equales. Et ſic inuentum /  illa ē veloci-tas a. prouenit a proportione dupla / quod fuit īue­ſtigandum. Si vero d. poña maior moueat c. reſi-ſtentiam magis quam in duplo velocius quã b. / tūc ſequitur /  ꝓportio d. ad c. eſt maior quã dupla ad ꝓportionē b. ad c. quia velocitas ꝓueniens a pro-portione d. ad c. eſt maior ꝙ̄ dupla ad velocitatem prouenientem a proportione b. ad c. et proportio d. ad c. componit̄̄ adequate ex ꝓportione d. ad b. et b. ad c. / ergo proportio b. ad c. eſt minus ꝙ̄ medietas: quia alias tota proportio non eſſet maior ꝙ̄ dupla ad illam ſui partem: et totum reſiduum puta ꝓpor-tio d. ad b. eſt ꝓportio dupla et eſt maius: igitur il-la proportio b. ad c. eſt minor dupla / quod a princi­pio fuit inueſtigandum. Si autē d. poña maior mo­ueat c. reſiſtentiam minus ꝙ̄ in duplo velocius: tūc illa proportio d. ad c. eſt minor qnã dupla ad ꝓpor­tionem b. ad c. / patet / quia velocitas eſt minor quam dupla: et vltra eſt minor quã dupla ad ꝓportioneꝫ b. ad c. / ergo illa proportio b. ad c. eſt maior quã me­dietas totius ꝓportionis d. ad c. Conſequentia pa­ tet de ſe: et vltra eſt magis quã medietas: ergo totū reſiduuꝫ (quod eſt ꝓportio d. ad b) eſt minus illa ꝓ­portione b. ad c. : et illud reſiduum eſt proportio du­pla: ergo illa proportio b. ad c. eſt maior ꝓportio quã dupla a qua prouenit illa velocitas a. Et ſic ha­betur /  velocitas a. prouenit a maiore ꝓportione quã dupla / quod a principio fuerat inueſtigandum Et ſic vniuerſaliter probabis propoſita proportio­ne vel tripla vel ſexaltera vel quauis mutatis mu-tandis.

Secunda propoſitio. Captis duabus potentiis inequalibus mouentibus eandem reſiſtē­tiam: et ſcita ꝓportione inter illas potentias: ſcita etiam proportione in qua maior potentia velocius mouet reſiſtentiam quã minor moueat eandem: ar-tificio quodam reperitur quanta eſt ꝓportio maio­ris potentie ad reſiſtentiam: et etiam minoris potē­tie ad eandem reſiſtentiam: Exemplum / vt poſito  ſortes ſit duple poñe ad platonē: et moueat tam ſor­tes quã plato a. mobile: et moueat ſortes illḋ a. mo­bile in ſexquialtero velocius platone / tunc volo in-ueſtigare / que ꝓportio ſit ſortis ad illam reſiſtētiã a. et platonis ad eandem reſiſtentiam. Quod ſic oñ­ditur. ſortes mouet ī ſexquialtero velocius a. reſiſtē­tiam quã plato: ergo ꝓportio ſortis ad a. eſt ſex-altera ad ꝓportionem platonis ad idem a. et vltra eſt ſexquialtera ad ꝓportionem platonis ad a. / er-go ꝓportio platonis ad a. eſt due tertie ꝓportiõis ſortis ad a. quia ſemper ſubſexquialterum ad ali-quid eſt due tertie illius: et vltra illa ꝓportio plato­nis ad a. eſt due tertie ꝓportiones ſortis ad a. / ergo totum reſiduum eſt vna tertia totius ꝓportiõis ſor­tis ad a. / vt patet de ſe: et totum reſiduum eſt ꝓpor-tio ſortis ad platonem dupla nota / vt poſitum eſt / quia totalis ꝓportio ſortis ad a. componitur ex ꝓ­portiõe ſortis ad platonem: et platonis ad a. / vt pa­tet ex quarto capite ſecunde partis: ergo dupla ꝓ-portio eſt vna tertia ꝓportionis ſortis ad a. / et ꝑ cõ­ſequens tota ꝓportio ſortis ad a. eſt tripla a ꝓpor­tionem duplam que eſt vna tertia eius: et ſic eſt pro-portio octupla: cum octupla ſit tripla ad duplam / vt patet ex ſecunda parte octaua concluſione ſexti capitis Iuter termīos e ꝓportionis octuple re-periuntur .4. termini cõputatis extremis ↄ̨tinuo ꝓ­portionabiles ꝓportioe dupla. Et ſic habetur / q̄ ꝓ-portio ſit ſortis ad a. reſiſtentiam / quod fuit inueſti­gandum: et quia ꝓportio platonis ad a. eſt due ter­tie ꝓportionis ſortis ad a. que eſt octupla / cõſequēs eſt  ſit quadrupla: q q̈drupla ē due tertie ꝓpor­tionis octuple: et ſic habetur que ꝓportio ſit plato-nis ad a. / quod a principio extitit ꝑſcrutandum

Tertia proportio Data quauis potē-tia mouente duas reſiſtentias inequales inter quas reſiſtentias eſt proportio nota: notū eſt in qua ꝓ­portione velocius data potentia moueat minorem ̄ maiorem: mathematica induſtria ꝓportiões po­tentie ad vtram reſiſtentiam quales videlicet exi­ſtant inueſtigare licebit vt ſi ſortes proiiciat in ali­quo tempore lapidem a. et in eodem vel equali lapi­dem b. minorem inter quos lapides eſt ꝓportio no­ta gratia argumenti dupla: moueat ſortes illos lapides ab eadem virtute: ſit ſcitū /  moueat ſor­tes b. lapidem in triplo velocius quã a. lapidē gra­tia exempli Iam inueſtigare intendimus ingenio artis mathematice / que eſt illa proportio a qua ſor­tes mouet b. lapideꝫ, et que ſit illa a qua moueat a. lapidem vtrum videlicet dupla: an tripla: aut aliq̈ alia: quia hoc ignotum eſt. Non enim ſequtiur mo- uet in triplo velocius b. quã a. / ergo a ꝓportione tri­pla mouet b. Quando enim aliquid mouet aliud a ꝓportione dupla adhuc dabitur aliquid quod ī tri­plo tardius in eodem tempore ab eodem mouetur: vt ſuperius dictum eſt. His ſuppoſitis volo inueſti­gare a qua ꝓportione ſortes mouet a. lapidem: et a qua b. lapidē: et arguo ſic / ſortes in triplo velociꝰ mouet b. quã a. / ergo ſequitur /  ꝓpoſtio ſortis ad b. lapidem eſt tripla ad ꝓportionem ſortis ad a. la­pidē (ſidē ꝓportio velocitatū ꝓportionē ꝓportio-nū inſequatur: et econtra) et vltra ꝓportio ſortis ad b. eſt tripla ad ꝓportionem ſortis ad a. / igitur pro-portio ſortis ad a. eſt vna tertia totius ꝓportionis ſortis ad b. et ꝓportio ſortis ad b. componitur ex ꝓ­portione ſortis ad a. et a. ad b. adequate / vt patet in­telligenti quartum caput ſecunde partis: et ꝓpor-tio ſortis ad a. eſt vna tertia / vt dictum eſt: ergo reſi­duum puta ꝓportio a. ad b. ſunt due tertie: et illa ꝓ-portio a. ad b. eſt dupla nota / vt poſitum eſt. ergo ꝓ­portio dupla eſt dupla ad ꝓportionem ſortis ad a. que eſt vna tertia. et dupla due tertie proportionis ſortis ad b. Modo duarū tertiarum ad vnam ter-tiam eſt ꝓportio dupla: Et ſic habetur /  illa ꝓpor­tio ſortis ad a. qua ſortes mouet a. lapidem eſt ſub­dupla ad duplam. Eſt enim medietas duple / quod erat inquirendum. Et ſic ſimiliter habetur /  illa ꝓ­portio ſortis ad b. id eſt qua ſortes mouet b. lapidē eſt ſexquialtera ad duplam. componitur ex dupla a. ad b. et medietate duple ſortis ad a. / quod fuit al-terum inueſtigandum. ¶ Ex hac ꝓpoſitione ſequi-tur /  ſi ſortes moueat b. lapidem per tantum ſpa-cium quantus eſt diameter quadrati: et a. lapidem per tantum ſpacium quanta eſt coſta eiuſdem qua-drati: tunc ꝓportio ſortis ad a. lapidem id eſt a qua mouet a. lapidem eſt pluſ̄ dupla ad ꝓportionem duplam: et proportio qua ſortes mouet b. lapidem eſt pluſ̄ tripla ad duplam. Quod ſic ꝓbatur: q2 tota ꝓportio ſortis ad b. ſe habet ad ꝓportionem ſortis ad a. ſicut diameter ſe habet ad coſtam: ergo ꝓportio ſortis ad a. eſt ſicut coſta. et ꝓportio ſortis ad b. eſt ſicut diameter et ſic ꝓportio a. ad b. eſt ſicut exceſſus diametri ad coſtam: ſed ille exceſſus eſt mi­nor quã ſubduplus ad coſtam: quia coſta cõtinet il-lum exceſſum pluſ̄ bis / vt patet ex ſecunda cõcluſio­ne et eiuſdem ꝓbatione quarti capitis prime ꝑtis: et illa ꝓportio a. ad b. que eſt ſicut exceſſus diame-tri ad coſtam eſt ꝓportio dupla / vt poſitum eſt: et eſt minus quã ſubdupla ad proportioneꝫ ſortis ad a. / vt dictum eſt: igitur ꝓportio ſortis ad a. eſt maior quam dupla / quod fuit vnum ꝓbandum. Sed  ꝓ-portio ſortis ad b. ſit maior quã tripla ad duplam / iam pene argutum eſt. Componitur enim illa ex ꝓ-portione ſortis ad a. que eſt pluſ̄ due duple vt ꝓ-batum eſt: et ex ꝓportione a. ad b. dupla: ergo cõpo­nitur ex vna dupla: et duabus maioribus dupla a­dequate: et ſic cõtinet pluſ̄ tres duplas: conſeq̄ns eſt igitur vt ſit illa proportio ſortis ad b. maior ̄ tripla ad duplam: qnod fuit alterum inducendum. ¶ Ex quo ſequitur /  illa ꝓportio ſortis ad b. ē pluſ­̄ octupla. Eſt enim octupla adequate tripla ad du­plam / vt patet ex octaua concluſione ſexti capitis ſe­cunde partis: et illa ſortis ad b. maior quam tripla ad duplam / vt ꝓbatum eſt: igitur ꝓpoſitum.

.1. correl. 2. correl.

Quarta propoſitio Data quauis velo­citate: quauiſ ſignata ꝓportione: arithmetico ap­paratu an ꝓportio a qua ꝓuenit illa velocitas pro­portioni ſignate cõmenſurabilis exiſtat an nõ ope­re preciū erit īueſtigare. vt eſto /  ſortes moueat a. lapidem velocitate b. et ignotum ſit a qua propor- tiõe mouet ſortes ſiue ꝓueniat illa velocitas b. et ꝓ­ponitur ſiue ſignatur proportio ſexquialtera: tunc arithmeticis principiis īueſtigare poſſumus an ꝓ­portio ſortis ad a. a qua prouenit velocitas b. ſit ꝓ­portioni ſexquialtere ꝓpoſite et ſignate cõmenſura­bilis nec ne. Quo inueſtigatur iſto modo: capio vnum lapidem qui ſit c. ſubſexquialterum ad a. la-pidem: et moueat ſortes in eodem tempore vel equa­li ab eadem virtute a. et c. / tunc arguitur ſic / vel ſpaci­um per quod ſortes in illo tempore mouet c. eſt com­menſurabile ſpacio per quod mouet a. in eodem tē­pore, vel nõ. Si nõ iã illa ſpacia ſe habebunt in ali­qua ꝓportione irrationali et ſic proportio ſexqui-altera erit irrationalis ꝓportioni a qua prouenit velocitas b. que eſt ſortis ad a. Quod probatur ſic / quia ſi illa ſpacia ſint incõmenſnrabilia / conſeq̄ns eſt /  proportiones a quibus proueniunt ſint incõ-menſurabiles. ſed proportiones a quibus proueni­unt ſunt ſortis ad a. et ſortis ad c. / igitur proportio ſortis ad c. eſt incõmenſurabilis ꝓportioni ſortis ad a. minori proportione ſortis ad c. / igitur exceſſus qua proportio ſortis ad c. excedit ꝓportionem ſor­tis ad a. eſt incõmenſurabilis proportiõi ſortis ad a. Probatur hec conſequentia per hanc maximaꝫ. Quandocun duo ſunt incõmenſurabilia exceſſus quo maius illorum excedit minus eſt etiam incõmē­ſurabilis minori / vt ꝓbatuꝫ eſt in prima parte hu­ius operis de exceſſu diametri ad coſtam quarto ca­pite ſuppoſitione quarta: ſaltem ex modo proban­di illius ſuppoſitiõis patet. Sed proportio ſortis ad c. eſt incõmenſurabilis proportioni ſortis ad a. et excedit proportionem ſortis ad a. per proportio­nem a. ad c. ſexquialteram: ergo ꝑ datam maximaꝫ proportio ſexquialtera eſt incõmenſurabilis ꝓpor­tioni ſortes ad a. a qua prouenit velocitas b. / quod fuit vnum inducenduꝫ. Si vero ſpacia illa videlicet ꝑ que ſortes mouet c. et mouet a. ſint commenſurabi­lia: ſequitur /  propoitio ſexquialtera ꝓpoſita eſt cõmenſurabilis proportioni ſortis ad a. a qua pro­uenit b. velocitas Qḋ ſic probatur / quia ſi illa ſpa-cia ſunt cõmenſurabilia ſint illa cõmenſurabilia.

argumenti gratia proportione dupla. / et ſequitur /  proportio ſortis ad c. eſt dupla ad proportioneꝫ ſortis ad a. Cõſequentia ſepius arguta eſt: ergo ſe­quitur /  illa ꝓportio ſortis ad a. eſt medietas eius / et per conſequens totum reſiduum / quod eſt propor­tio a. ad c. eſt alia medietas: ſed totum reſiduum eſt proportio ſexquialtera. / ergo proportio ſexquialte­ra eſt medietas illius ꝓportionis ſortis ad c. et alia medietas eſt proportio ſortis ad a. a qua prouenit velocitas b. / ergo ſequitur /  illa ꝓportio ſortis ad a. a qua prouenit velocitas b. eſt equalis proportio­ni ſexquialtere: et ſic probabis ꝑticulariter in omni­bus: Sed vniuerſaliter probabitur ſic / proportio ſortis ad c. eſt cõmenſurabilis ꝓportioni ſortis ad a. a qua prouenit velocitas b. et proportio ſortis ad c. excedit proportionem ſortis ad a. etc̈. per propor­tionem a. ad c. ſexquialteram adequate: igitur pro­portio illa a. ad c. ſexquialtera eſt cõmenſurabilis ꝓportioni ſortis ad a. / quod fuit inducendum. Con­ſequentia patet ꝑ hanc maximam Quotienſcun duo inequalia ſunt cõmenſurabilia exceſſus maio-ris ſupra minus eſt ipſi minori cõmenſurabilis: q eſt pars aliquota vel ꝑtes aliquote vtriuſ / vt pa-tet ex ſexta ſuppoſitione q̈rti capitis ſecunde par-tis. Sed in ꝓpoſito ꝓportio illa ſexquialtera a. ad c. eſt exceſſus quo proportio ſortis ad c. excedit pro­portionem ſortis ad a. a qua prouenit b. velocitas: ergo proportio ſexquialtera cõmenſurabilis eſt pro­ portioni ſortis ad a. a qua prouenit velocitas b. / qḋ fuit inducendum. ¶ Et hee quatuor cõcluſiones (ne alienis ſpoliis triumphare videamur) ex officina et ꝑſpicaci minerua doctiſſimi magiſtri Nicolai ho-horen deprompte ſunt et excerpte quas in ſuo trac-tatu proportionum quarto capite ſuis fulcimētis et probationibus mathematicis reperies munitas ¶ Exactis notabilibus et ex conſequenti parte huiꝰ corporis noſtre queſtionis abſoluta ad ſecundaꝫ ꝑ­tem accedendum eſt in qua multe et egregie conclu-ſiones (quibus medieantibus queſtio diſſoluetur) ꝓ­babūtur: at inducentur

Nicolaꝰ horem.

Prima concluſio Diuiſo aliquo cor-pore ſiue latitudine ꝑ partes ꝓportionales quauis libuerit ꝓportione: totum illud corpus ſiue latitu-do ſe habet ad reſiduum a prima ꝑte proportionali in ea proportione q̈ ipſum ſiue latitudo ipſa diui-ditur. Hec eſt prima et fundamentalis concluſio cui innuitur quintum caput prime partis huius ope-ris vide eam ibi.

Secunda concluſio Diuiſo aliquo tē­pore per partes ꝓportionales quauis ꝓportione: et ſit aliquod mobile quod aliquãta velocitate mo-ueatur in prima parte ꝓportionali et in ſecunda in duplo maiori ꝙ̄ in prima: et in tertia in triplo ma-iori ꝙ̄ in prima: et in quarta in quadruplo maiori / et ſic conſequenter aſcendendo per omnes ſpecies proportionis multiplicis: talis velocitas totius il­lius temporis et omnium illarum partium propor­tionalium ſe habet ad velocitatem prime partis ꝓ­portionalis in ea proportione in qua ſe habet to-tum illud tempus ſic diuiſuꝫ in ordine ad primam partem proportionalem. vt ſi illud ts diuiſim fue­rit in partes proportionales ꝓportione ſexquial-tera: et velocitates illarum partium proportiona-lium diſponantur modo quo ponit concluſio: tunc dico /  totalis illa velocitas totius illius temporis adequate ſe habet ad velocitatem prime partis ꝓ-portionalis in proportione tripla. ex eo  totū tē-pus diuiſuꝫ ꝑ partes proportionales proportione ſexquialtera ſe habet ad primam proportionalem in proportiõe tripla. Eſt enim ṗma pars vna tertia totius / vt oſtendit quarta cõcluſio quinti capituli ­me partis huius operis. Probatur tamen vniuer­ſaltter hec cõcluſio. et ſuppono /  quando velocita-tes ſe habent eo mõ q̊ textꝰ cõcluſionis pretēdit tūc ꝑ totū ts extendit̄̄ illa velocitas / q̄ extendit̄̄ ꝑ ṗmã partem proportionalem, et ꝑ totum reſiduū a prīa extenditur tanta adequate nõ cõicans cum prima ꝑ totum corpus extenſa, et per totum reſiduum a pri-ma et ſecunda ꝑte proportionali iterum extenditur tanta velocitas adequate nõ cõmunicans cum aliq̈ precedeutinm: et ſic cõſequenter. Hec ſuppoſitio pa­tet manifeſte intuenti: q ſi velocitas ſecunde par-tis ꝓportiõalis ē dupla ad velocitatē prīe et tertie tripla etc. ſcḋa ipſa ↄ̨tinet bis tã intenſã velocitatē ſicut ē prīa nõ cõmunicãtē: et tertia pars cõtinet ter tantam: et ſic cõſequenter. et per conſequens reſidu­um a prima continet vniformiter bis tantam velo­citatem ſicut eſt prima (quãuis nõ adequate. Conti­net enim adhuc maiorem) et reſiduum a ſecunda ꝑ-te proportionaliter tantaꝫ per totum quamuis in­adequate: et ſic conſequenter ſemper ille partes ex-cedunt ſe continuo per equalem velocitatem veloci­tati prime partis ꝓportionalis. Hoc ſuppoſito

Probatur cõcluſio et volo /  hora ſit diuiſa ꝑ par-tes ꝓportionales aliq̈ proportione (quauis libue-rit) que ſit g. et coextēdantur ille velocitates / vt dicit caſus concluſionis per illas partes proportiona-les et ſit proportio totius hore diuiſe per partes proportionales proportione g. ad primam parteꝫ proportionalem f. / tunc dico /  tota illa velocitas totius hore ſe habet in proportione f. ad propor-tionem prime partis proportionalis. Quod pro-bo ſic: quia velocitas equalis velocitate prime par­tis proportionalis extenſa per illam horam ali-quid facit ad intenſionem totius velocitatis: quia eſt pars eius / vt oſtendit ſuppoſitio cedens: et tan­ta velocitas ſicut illa ſuperaddita preexiſtenti ex-tenditur per totum reſiduum a prima parte pro-portionali proportione g. / vt etiam dicit ſuppoſi-tio: igitur illa in g. proportione minus facit / quia eſt equalis alteri extenſe per totum, et eſt in tempo­re in g. proportione minori / vt dicit prima conclu-ſio, quia tempus diuiditur proportione g. / ergo to­tum ſe habet ad reſiduum a prima parte propor-tionali in g. proportione. Item per totum reſiduū a prima parte proportionali et ſecunda extenditur iterum tanta velocitas non communicans cum a-liqua precedentium: et illud tempus reſiduum a pri­ma et ſecunda ſe habet in g. proportione ad totum reſiduum a prima: igitur illa velocitas ei coextēſa in g. proportione minus denominat quam prece-dens velocitas equalis ei coextenſa ſubiecto in g. proportione maiori / et ſic conſequenter: igitur de-nominatio totius illius velocitatis componitur ex infinitis continuo ſe habentibus in proportione g: ergo illa denominatio totius velocitatis ſiue illa tota velocitas (quod pro eodem capio) ſe habet ad primam illarum denominationum ſiue velocitatū que eſt prime partis proportiõalis et etiam totius reſidui a prima, in proportione f. / quod fuit infercn­dum. Patet hec conſequentia: quia ſemper quan-do aliquid diuiditur proportione g. ipſum ſe ha-bet ad primã partē proportionalem in ꝓportione f. / vt poſitum eſt. Et ex hoc patet /  in caſu concluſio­nis tota velocitas ſe habet ad velocitatē prime par­tis proportiõalis in ea proportione in qua habet totum tempus in ordine od primam partem pro-portionalē proportione qua diuiditur ipſum tem-pus / quod fuit probandum.

Tertia cõcluſio. Diuiſa hora vel tem­pore aliquo quauis proportiõe f. volueris: et in pri-ma parte proportionali talis proportionis mobi­le aliquod moueatur adequate certa velocitate, et aliud mobile vĺ idē in tota illa hora vel tēpore mo-ueatur eadem velocitate: tunc in quacun propor-tione ſe habuerit tempus ad primam partem pro-portionalem: in ea proportione ſe habebit ſpaciū abſolutum ſiue pertranſitum in toto tempore ad ſpacium pertranſitum in prima parte proportio-nali: vt ſi aliquod mobile moueatur velocitate vt .2. in prima parte proportiõali hore proportione tri-pla, et aliud vel idem mobile moueatur in tota ho-ra adequate eadem velocitate vt .2. / tūc dico /  illud mobile quod mouetur iu tota hora velocitate vt: 2. vel correſpondente ei: ſexquialterum ſpacium per-tranſit ad ſpacium pertranſitum velocitate vt .2. in prima parte proportionali quoniam omne totum diuiſum per partes proportionales proportione tripla ſe habet ad primam partem proportiona-lem in proportione ſexquialtera / vt patet ex primo correlario ſecunde concluſionis quinti capitis pri­me partis. Probatur tamen facile hec concluſio: quoniam quãdo velocitas eſt vniformis in aliquo tempore, ipſa diuiditur in eaſdem partes propor­tionales in quas diuiditur tempus / vt patet in phi­ loſopho ſexto phiſicorū vbi inquit ꝓ motus et ma-gnitudo pertranſita perinde at tempus diuidi-tur: ergo quancun proportionem habebit totum tempus ad primam partem proportionalem: ean-dem habet velocitas: et per conſequens totum ſpa-cium pertranſitum in toto tempore ad ſpaciū per-tranſitum in prima parte. Patet hec conſequen-tia ex prima concluſione ſecundi notabilis. In ca-ſu enim velocitas equales inequalibus coexten-duntur temporibus / ergo ſpacia ſe habent in pro-portione temporum: ſed minus tempus eſt prima pars proportionalis, et tempus maius eſt totum diuiſum in partes proportionales: ergo ſpacium pertranſirum in toto tempore ſe habet ad ſpacium pertranſituꝫ in prima parte proportionali ſicut ſe habet totum tempus ad primam partem propor-tionalem eius / quod fuit probandum.

pḣus .6. phiſicoꝝ.

Quarta concluſio. Diuiſa hora qua-uis proportione volueris in partes proportiona-les: et in prima illarum partium proportionalium mobile aliquod aliquanta velocitate moueatur, et in ſecunda in duplo maiori velocitate ꝙ̄ in prima: et in tertia in triplo maiori ꝙ̄ in prima, et ſic con-ſequenter: tunc illo caſu totalis velocitas ſe habe-bit ad velocitatem prime partis proportionalis in ea proportione in qua ſe habebit totum tempus ad primam partem proportionalem eius: et ſpa-cium in toto tempore adequate pertranſitum ſe habebit ad ſpaciū abſolutum in prima parte pro-portionali in proportione duplicata. Uolo dicere /  ſi hora diuidatur modo poſito in concluſione et exempli gratia diuidatur proportione ſexquialte-ra: et moueatur mobile per illas partes propor-tionales proportione ſexquialtera / vt dicit caſus concluſionis: tunc totalis velocitas talis motus ſe habebit ad velocitatem prime partis proporti-onalis in proportione tripla: quia ſic ſe habet to-tum diuiſum proportione ſexquialtera ad primaꝫ partem proportionalem / vt patet ex quarta conclu­ſione quinti capitis prime partis: et ſpacium per-tranſitum in tota hora ad ſpacium pertranſitum in prima parte proportiõali ſe habet in ꝓportio-ne dupla ad triplam: quia tripla eſt proportio ve-locitatum. Modo illa proportio tripla ad duplaꝫ eſt noncupla / vt patet ex octaua concluſione ſexti capitis ſecūde partis. Et ſic ſi ꝑtranſit vnū pedale in ṗma parte ꝓportiõali: nouē ꝑtrãſit in tota hora Demõſtratur concluſio ſic: ſit vnum mobile quod adequate moueatur velocitate prime partis pro-pprtionalis per primam partem proportionalem dumtaxat, et tranſeat ſpacium c. et aliud mobile moueatur per totam horam velocitate prime par-tis proportionalis. et pertranſeat ſpacium b. et tertiū mobile moueatur per totam horam totali illa velocitate ſicut ponitur in caſu concluſiõis que ſe habet in f. proportione ad velocitatē prime par-tis proportionalis: in qua f. proportione ſe habet totum tempus ad primam partē eius proportio-nalē / vt dicit ſecunda concluſio et prima pars hu-ius concluſionis: et pertranſeat ſpacium a. / et argui­tur ſic / ſpacii a. ad ſpacium b. eſt f. proportio: quo-niã tempora in quibus pertranſeuntur ſunt equa-lia: et velocitas qua pertranſitur a. in f. proporti-one eſt maior velocitate qua pertraſitur b. / vt patet ex caſu. Et etiam ſpaci b. ad ſpacium c. eſt propor-tio f. et a. eſt ſpacium pertranſitum in tota hora in caſu concluſionis: et c. pertranſitum in prima parte proportionali: igitux propoſitum. Maior patet ex ſecunda propoſitione ſecundi notabilis huius capitis. Et minor ex ſecunda parte prime propoſitionis eiuſdem notabilis.

¶ Alio modo et breuiꝰ demonſtratur concluſio ſic: velocitatis totius hore ad velocitatem prime par-tis proportionalis eſt proportio f. et temporis to-tius hore quod eſt maius ad tempus prime partis proportionalis eſt etiam f. proportio: ergo ſpacii pertranſiti in tota hora ad ſpacium pertranſitum in prima parte proportionali eſt proportio com-poſita ex duplici proportione f. / et per conſequens ſpacium pertranſitum in tota hora ad ſpaciū per­tranſitū in prima parte proportionali eſt propor-tio dupla ad proportionem velocitatum que eſt f. Patet tamen conſequentia ex tertia propoſitione ſecundi notabilis huius capitis.

1. correĺ.

¶ Ex his concluſionibus ſequitur primo:  diuiſa hora per partes proportionales proportione mul­tiplici, ſiue dupla, ſiue tripla, ſiue quadrupla, ſiue quauis alia multiplici: et in prima parte proporti-onali aliquod mobile moueatur aliquantulum, et ī ſcḋa in duplo maiori velocitate ꝙ̄ in ṗma: et ī ṫcia in triplo ꝙ̄ in prima / vt precedentis theorematis caſus oſtendit: totius illius velocitatis ad velo-citatem prime partis proportionalis erit propor-tio dupla, ſi diuiſio facta fuerit proportiõe dupla: et ſexquialtera ſi tripla: et ſexquitertia ſi quadru-pla: et ſic in infinitum aſcendendo ſeriatim per ſpe-cies proportiõis ſuperparticularis et multiplicis. et ſpacli pertranſiti in tota hora ad ſpacium per-tranſituꝫ in prima parte eſt proportio quadrupla que eſt dupla ad duplam et hoc ſi fiat diuiſio par-tium proportionalium proportione dupla: ſi vero fiat proportione tripla: ſpacii pertranſiti in tota hora ad ſpacium pertranſitum in prima parte erit proportio dupla ad ſexquialteram que eſt dupla ſexquiquarta: ſi vero fiat diuiſio proportione qua­drupla: tunc ſpacii pertranſiti in tota hora ad ſpa­cium pertranſitum in prima parte proportionali erit proportio dupla ad ſexquitertiam que eſt ſu-pra ſeptipartiens nonas: et ſi fiat diuiſio proporti-one quintupla: tunc totius ſpacii ad ſpacium per-tranſitū in prima parte proportionali eſt propor-tio dupla ad proportioneꝫ ſexquiquartam que eſt proportio ſupra nonipartiens ſexdecimas: et ſic in infinitum duplicando proportionem velocitatum. Prima pars huius correlarii patet ex ſecūda con­cluſione manifeſte et ſecunda pars eiuſdem ex quar­ta: et applica ſi potes ¶ Sequitur ſecundo particu-lariter /  diuiſa hora per partes proportionales proportione ſextupla: et in prima illarū moueatur aliquod mobile aliquanta velocitate, et in ſecunda in duplo maiori, et in tertia in triplo, modo ſepi-us recitato: tunc totius velocitatis ad velocitatem prime partis proportionalis eſt proportio ſexqui­quinta: et ſpacii pertranſiti in tota hora ad ſpaciū pertranſitū in prima parte proportionali eſt pro-portio ſupra vndecimpartiens viceſimas quintas Probatur prima pars huius correlarii: quia velo­citate ita ſe habente vt ponitur: totalis velocitas ex omniū partium velocitatibus conſurgens ſe ha­bet ad velocitateꝫ prime partis proportionalis in proportione in qua ſe habet totum tempus ad pri­mam partem proportionalem / vt patet ex ſecunda concluſione: ſed hora diuiſa per partes proporti-onales proportione ſextupla ſe habet ad primam partem proportionalē in proportione ſexquiquin­ta / vt docet quītum capitulum prime partis huius operis: igitur tota illa velocitas ſe habet ad velo- citatē prime patis proportionalis in proportione ſexquiquinta / quod fuit probandum. Sed iam pro­batur ſecunda pars: quia proportio ſupra vndecī-patiēs viceſimas quintas eſt dupla ad proportio-nem ſexquiquītam / vt patet in his terminis .36.30. 25. iuuamine ſexti capitis ſecunde partis huiꝰ ope-ris: igitur ſpacium pertranſitum in tota hora ad ſpacium pertranſitum in parte ꝓportionali ſe ha-bet in proportione ſupra vndecimpartiente viceſi-maſquintas. Patet hec conſequentia ex quarta cõ­cluſione. ¶ Sequitur tertio /  diuiſa hora per par­tes proportionales proportione octupla: et in eiſdē moueatur aliquod mobile modo pluries reſūpto totius velocitatis ad velocitatē prime partis pro-portionalis eſt ꝓportio ſexquiſeptima: et ſpacii ꝑ-tranſiti in tota hora ad ſpacium pertranſitum in prima parte proportionnali erit proportio dupla ad ſexquiſeptima que eſt ſuper quindecimpartiens quadrageſimas: cuiuſmodi eſt .9. cū ſeptima ad .7. et .64. ad .49. Probatur prima pars correlarii: quia hora ſic diuiſa per partes proportiõales pro­portione octupla ſe habet ad primaꝫ partem pro-portionalem in proportione ſexquiſeptima / vt ptꝫ ex quīto capite prime partis huiꝰ operis: et in eadē proportione ſe debet habere velocitas totiꝰ ad ve-locitatem prime partis / vt dicit ſecunda concluſio: igitur propoſitum. Secunda pars probatur: quia proportio ſupra quindecimpartiens quadrageſi-maſnonas eſt dupla ad proportionem ſexquiſepti­mam / vt patet in his terminis .64.56. et .49. patro­cinio ſexti capitis ſecunde partis: igitur in ſupra-quīdecimpartiens quadrageſimaſnonas ſe habet ſpacium pertranſitū in tota hora ad ſpacium per-tranſitum in prima parte proportiõali / quod fuit probandum. Patet tamen conſequentia: ex quar-ta concluſione. ¶ Ex hoc modo poteris inferre in-nita correlaria ſimilia retento caſu velocitatis et variando continuo diuiſionē hore, que omnia cor-relaria ſuffragantibus ſeēunda et quarta conclu-ſionibus facilem ſortiuntur demonſtrationem.

2. correĺ. 3. correĺ.

Quinta concluſio generi proportiõis ſuperparticularis ſpeciebuſ eius deſeruiens. Di­uiſa hora per partes proportionales proportiõe ſuperparticulari ſexquialtera, ſexquiquarta, ſeu quauis alia ſuperparticulari: diſtributa veloci-tate partibus illis proportionalibus ita vt mobi-le in prima illarum moueatur aliqnantulum, et in ſecunda in duplo velocius, et in tertia in triplo ve-locius ꝙ̄ in prima, et ſic conſequenter in caſu ſepiꝰ repetito: tunc tota velocitas ſe habet ad velocita-tem prime partis proportionalis in proportione tripla ſi fuerit hora diuiſa in proportione ſexqui-altera. ſi vero fuerit diuiſa in proportione ſexqui-tertia: in proportione quadrupla: ſi in proportio-ne ſexquiquarta: in proportione quintupla. et ſic cõ­ſequenter aſcendendo ſeriatim per ſpecies propor­tionis ſuperparticularis et multiplicis. Et ſpacia pertranſita in totali tempore ad ſpacia prime par­tis proportionalis ſe habent in proportione du-plicata (duplicata inquam ad triplam ſiue dupla ad triplam: ſi fuerit diuiſio facta in proportione ſexquialtera: et quadrupla ſi fuerit facta diuiſio in proportione ſexquitertia: et ſic conſequenter).

Probatur hec concluſio / que infinitas habet par-tes in termino illo / et ſic cõſequenter incluſas et pri­mo probatur eius prima pars que eſt de ꝓportiõe velocitatum ex ſecunda concluſione: hoc addito /  totum diuiſum proportione ſexquialtera ſe habet ad primam partcm in proportione tripla: et totuꝫ diuiſum proportione ſexquitertia in proportione quadrupla: et ſic conſequenter / vt prima pars quin-to ſuo capitulo oſtendit. Et ſic patet prima pars. Secunda vero patet ex quarta concluſione hoc ad­dito /  in caſu concluſionis proportio ſpacii per-tranſiti in tota hora ad ſpacium pertranſitum in prima parte eſt dupla ad proportionem totius ve­locitatis ad velocitatem prime partis proportio-nalis temporis.

1. correĺ.

¶ Ex hac ↄ̨cluſione ſequitur primo /  diuiſa hora per partes proportionales proportione ſuperpar­ticulari quauis libuerit: diſtributa velocitate vt in caſu ſecunde concluſionis ponitur, ita videlicet /  mobile in prima parte proportiõali moueatur aliquantulum, et in ſecunda in duplo velocius, et in tertio in triplo velocius ꝙ̄ in prima, et in quarta in quadruplo velocius ꝙ̄ in prima, et ſic conſequenter / tūc tota velocitas erit equalis velocitati tertie par­tis proportiõalis ſi fuerit facta diuiſio ꝓportione ſexquialtera: et ſi fuerit diuiſio facta ſexquitertia tota velocitas erit equalis velocitati quarta par-tis proportionalis: et ſi fuerit facta diuiſio propor­tione ſexquiquarta erit equalis velocitati quinte partis proportionalis: et ſic conſequenter aſcendē­do per ſpecies proportionis ſuperparticularis et per partes proportionales. Probatur correlariū facile ex ſecunda concluſione: quoniã facta diuiſio-ne hore proportione ſexquialtera: tota hora ſe ha-bet ad primam partē in proportione tripla / vt con­ſtat: ergo tota velocitas vt dicit concluſio ſe habet ad velocitatē prime partis proportionalis in pro-portione tripla et in tali proportione ſe habet ve-locitas tertie partis proportionalis ad velocitatē prime / vt dicit caſus igr̄. Itē diuiſiõe facta ꝑ partes ꝓportiõales ꝓportiõe ſexquitertia: totū ſic diuiſuꝫ ſe habet ad primam partem proportionalem in ꝓ­portione quadrupla: ergo totalis velocitas ſe ha-bet ad velocitatem prime partis proportiõalis in proportione quadrupla / vt patet ex ſecūda conclu-ſione: et tanta eſt velocitas quarte partis / igitur. Et ſic probabis reſiduas partes in infinitum.

2. correĺ.

¶ Sequitur ſecūdo /  hora diuiſa per partes pro-portionales proportione ſexquialtera et mobile a. in prima parte moueatur aliquantulū, et in ſecun-da parte in duplo velocius, et in tertia in triplo ve-locius q̈ in prima, et ſic conſequenter: vt in prima parte proportionali pertranſit vnum pedale: in to­ta hora pcriranſit nouē. Probatur / quia illo caſu poſito velocitatis totius ad velocitatē prime par-tis eſt proportio tripla: vt patet ex precedenti: igi-tur ſpacii pertraſiti in tota hora ad ſpaciū ꝑtran-ſitum in prima parte eſt ꝓportio dupla ad triplam / vt ptꝫ ex quarta huius: ſed noncupla eſt dupla ad triplam ex ſecūda parte huius operis capite ſexto / igitur totius ſpacii pertrãſiti in tota hora ad ſpa­cium pertranſitum in prima parte eſt ꝓportio non­cupla / quod fuit probandum. ¶ Sequitur tertio /  diuiſa hora vel tempore aliquo proportione qua-uis ſuperparticulari / vt poſitum eſt in primo corre­lario: ſpacii pertrãſiti in tota hora ad ſpaciū per-tranſitum in prima parte eſt proportio dupla ad proportionem quam habet velocitas tertie partis ad velocitatem prime partis ſi fuerit diuiſio facta proportione ſexquialtera: ſi vero fiat proportione ſexquitertia in proportione dupla ad proportio-nem velocitatis quarte partis ad velocitatem pri-me. ſi ſexquiquarta in proportione dupla ad pro-portionem velocitatis quinte partis ad velocita- tem prime / et ſic conſequenter. Et quia hoc correla-rium manifeſte ſequitur ex predictes ꝓbatione non indiget. ¶ Ex quo ſequitur quarto /  hora diuiſa per partes proportionales proportione aliqua ſuperparticulari quauis volueris: et aliquod mo-bile moueatur in prima etc̈. / vt poſitū eſt: ſpacii per­tranſiti eſt tota hora eſt noncuplum ad ſpaciū per-tranſitum in prima parte proportionali ſi fuerit diuiſio facta proportione ſexquialtera: ſi vero pro­portio eſt ſequitertia: eſt ſexdecuplum: ſi autē pro­portione ſexquiquarta: eſt vicecuplum quintuplū. ita  in prima parte pertranſit vnum pedale in to­ta hora viginti quin pedalia: et ſic conſequenter. Patet hoc correlarium ex predictis. ¶ Innumera alia correlaria inferre poteris ſi virtutē et robur, ſecunde et quarte concluſionis diligenter inſpexe-ris: non ſolum in generibus proportionum multi-plicis at ſuperparticularis: verū etiam pari faci­litate in omnibus aliis generibus puta ſuprapar-tiente multiplici ſuperparticulari multiplici ſu-perpartiente.

3. correĺ. 4. correĺ

Sexta cõcluſio. Diuiſa hora quauis proportione libuerit et in quacun proportione ſe habuerint due partes immediate in eadem propor­tione vel maiori ſe habuerit velocitas minoris par­tis ad velocitatem maioris: tota illa velocitas eſt infinita: ſpacium pertranſitum pari ratione infi­nitum erit. Probatur ſecnnda pars concluſionis quoniam in illo caſu mobile / quod ſic mouetur tan­tum ſpacium pertranſit in ſequenti parte ſicut in priori vel maius et ſunt infinite partes proportio-nales: ergo in totali hora infinitum pertranſibit. Patet cõſequentia cum minore: et arguitur maior / q qualis eſt proportio prime partis ad ſecundaꝫ partē proportionalē talis eſt ꝓportio velocitatis ſecunde partis proportionalis ad velocitatem pri­me partis vel maior: igitur tantum ſpaciū pertran­ſit in ſecūda ſicut in prima vel maius. Item qualis eſt proportio ſecunde partis ad tertiam partem ta­lis eſt proportio velocitatis tertie partis ad ſecun­de / et ſic conſequenter de quibuſcun duabus par-tibus proportionalibus immediatis / vt ptꝫ ex caſu concluſionis: igitur in qualibet pate immediate ſe­quente alteram maiorem, mobile motum tali velo­citate pertranſit tantum ſpacium ſicut in īmediate precedenti vel maius / quod fuit probãdum. Patet tamen conſequentia ex quarta et quīta ꝓpoſitioni­bus ſecundi notabilis. Et ſic patet ſecunda pars et per conſequens prima. Si enim mediante illa velo­citate mobile pertranſit infinitum ſpacium: conſe­quens eſt illam velocitatem infinitam eſſe. (Eſt e in tempore fiuito) Patet igitur concluſio.

1. correĺ.

¶ Ex quo ſequitur primo /  ſi hora diuidatur per partes proportionales proportione dupla: vt mo­bile moueatur in prima parte aliquantulum, et in ſecunda in duplo velocius ꝙ̄ in prima, et in tertia in duplo velocius ꝙ̄ in ſecunda, et in quarta in du-plo velocius ꝙ̄ in tertia, ſpacium pertranſitum erit infinitum. Patet correlarium ex concluſione quo-niam in quacun proportione ſe habent partes ꝓ­portionales īmediate continuo: in eadem propor-tione ſe habet velocitas partis minoris ad veloci­tatem partis maioris: et per conſequens totum il-lud mobile pertranſit in qualibet ſequenti primaꝫ tantum quantum iu prima. Infinitum igitur ſpa-cium tranſcurret / quod fuit probandū. ¶ Sequitur ſcḋo /  partita hora per partes ꝓportiõales ꝓpor­tione ſexquitertia: et in prima parte proportionali a. mobile moueatur aliqua velocitate, et in ſecunda in ſexquialtero velocius ꝙ̄ in prima, et in tertia in ſexquialtero velocius ꝙ̄ in ſecunda, et in quarta in ſexquialtero velocius ꝙ̄ in tertia, et ſic conſeque-ter: ſpacium pertranſitum in tota hora erit infi-nitum. Probatio: quia in qualibet parte ſequen-ti primam a. mobile maius ſpacium abſoluet ̄ in prima: q contiuo maior eſt proportio velocita­tis minoris ad velocitatē maioris ꝙ̄ ſit temporis maiors ad tempus minus: igitur per quintã pro-poſitionem ſecundi notabilis in qualibet ſequenti primã maius ſpacium ꝑtranſibit ꝙ̄ in prima: et ꝑ conſequens in tota hora infinitum ſpacium tranſ-curret: quod fuit probandum. ¶ Tertio ſequitur:  ſi hora fuerit diuiſa per partes proportionales proportione aliqua ſuprapartienti: et continuo ve­locitates partium proportionaliū immediataruꝫ puta velocitas minoris partis ad velocitatem ma­ioris ſe habuerit in aliqua proportione multiplici vel multiplici ſuperparticulari, vel multiplici ſu-perpartienti: ſpaciū ꝑtranſitū in tota hora erit in-finitum. Patet hoc correlarium / quia continuo ma­ior erit ibi proportio velocitatum temporum ma-iorum et minorum ꝙ̄ proportio maioris temporis ad minꝰ tēpus igitur. Interas ad libitū correlaria

2. correĺ. 3. correĺ.

Septima cõcluſio. Partita hora per partes proportionales qua libuerit proportione mobile continuo mouente velocius in parte ſequē­ti quam in parte cepenti: velocius nihilominus in proportiõe minori ꝙ̄ ſit proportio diuiſionis) ſpa­cium ꝑtranſitum in tota hora ſe habebit ad ſpaci-um ꝑtranſitum in prima parte ꝓportionali in pro­portione qua aliquod totum diuiſum proportione qua maior proportio temporis excedit proportio-nem velocitatum ſe habet in ordine ad primã par-tem ꝓportionalem. Hoc theorema multiplicibus verbis implicitum et intricatū familiarem et exem-plarem enucleationem efflagitat. Exemplo / igitur vtens volo dicere:  ſi hora fuerit diuiſa ꝑ partes ꝓportionales ꝓportione quadrupla exempli gra­tia: et a. mobile moueatur in prima parte ꝓportio-nali aliquanta velocitate, et in ſecūda in duplo ma­iori velocitate, et in tertia in duplo maiori ꝙ̄ in ſe-cunda, et ſic in qualibet ſequenti in duplo maiori velocitate quam in immediate ꝑcedenti (quoniam ꝓportio illarum velocitatum que eſt dupla excedi-tur a ꝓportione tempoꝝ que eſt quadrupla ꝑ ꝓpor­tionem duplam) / dico /  totale ſpacium ꝑtranſituꝫ in illa totali hora ſe habet ad ſpaciū ꝑtranſitū in prima parte proportionali: ſicut ſe habet aliquod corpus diuiſum ꝓportione dupla in ordine ad ſuã primam partem / vt poſt modum correlaria fami-liariter oſtendent. Probatur tamen concluſio ge-neraliter / et ſit hora diuiſa ꝑ partes ꝓportionales ꝓportione g. maiore: ſit continuo velocitatis par­tis minoris ad velocitatē partis maioris īmedia-te cedentis ꝓportio f. minor quã ſit ꝓportio g. ex-cedat ꝓportio g. ꝓportionem f. mediante ꝓpor-tione h. Tunc dicit / theorema ſpacium ꝑtranſitum in totali hora ſe habere ad ſpacium ꝑtranſitum in prima parte ꝓportionali illius hore, in ea ꝓporti­one in qua ſe habet aliquod diuiſum ꝓportione h. ad primam partem ꝓportionalem eiuſdem ꝓpor-tionis h. Quod ſic ꝓbatur / quia prime partis pro-portionalis hore ad ſecundã partem ꝓportialē eiuſdem eſt ꝓportio g. maior: et velocitatis ſecunde partis proportionalis ad velocitatē prime partis ꝓportionalis eſt ꝓportio f. minor / vt ponit caſus: et g. ꝓportio temporis maioris ad tempus minus ex­cedit f. ꝓportionem velocitatis temporis minoris ad velocitatem temporis maioris (quod tēpus ma­ius eſt prima pars proportionalis et minus ſecun-da) per h. ꝓportionem / vt ponitur in caſu: igitur in h. ꝓportione maius ſpacium ꝑtranſitur a mobili in prima parte proportionali quã in ſecunda. Ptꝫ hec conſequentia ex ſexta ꝓpoſitione ſecundi nota­bilis huius queſtionis. Et ſic argumentaberis de ſecunda et tertia /  in h. proportione maius ſpaci-um pertranſitur in ſecunda quam in tertia: et ſic de quibuſcun duabus partibus immediatis argu-mentatione exordiri licebit: igitur illa ſpacia per-tranſita ſe habent continuo in h. proportiõe ita  primi ad ſecundum ſit h. proportio et ſecundi ad ter­tium / et ſic conſequenter: igitur aggregatum ex om­nibus illis ſpaciis ſe habebit ad ſpacium pertran­ſitum in prima parte proportionali in ꝓportione in qua ſe habet totum diuiſum in ꝓportione h. ad pri­mam partem ꝓportionaleꝫ eiuſdem ꝓportionis h. / quod fuit probandū. ¶ Ex hac concluſione ſequi­tur primo:  partitione hore facta per partes pro­portionales ꝓportione quadrupla: velocitatibus continuo ſe habentibus in ꝓportione dupla: ita  velocitatis ſecunde partis ꝓportionalis ad velo-citatem prime ſit proportio dupla, et velocitatis tertie ad velocitatem ſecunde ſit etiam proportio dupla .etc̈. ſpacium pertranſitum in tota hora eſt duplum ad ſpacium pertranſitum in prima parte proportionali. Probatur / quia proportio illoruꝫ temporum quadrupla excedit ꝓportionem duplã velocitatum per proportionem duplam / vt patet ex quarta concluſioue quarti capitis ſecunde partis: igitur totale ſpacium pertranſitum in illa hora eſt duplum ad ſpacium pertranſitum in prima parte proportionali hore. Patet conſequentia ex prece-denti concluſione: hoc addito /  quodlibet diuiſuꝫ per partes proportionales proportione dupla ſe habet ad primam partem proportionalem in pro-portiõe dupla. Arguitur tamen et familiarius pro­batur correlarium: et volo /  ſpacium pertranſituꝫ in prima parte proportionali proportione dupla ſit pedale: et arguo ſic / ſpacium pertranſitum in ſe-cunda parte proportionali eſt ſubduplum ad ſpa-tium pertranſitum in prima, et ſpacium pertranſi-tum in tertia ad ſpacium pertranſitum in ſecunda / et ſic conſequenter ſe habent illa ſpacia in propor-tione ſubdupla: et primuꝫ illorum eſt pedale: igitur totum aggregatum ex omnibus ſequentibus pri-mum eſt pedale: et per conſequens totum ſpacium eſt bipedale: et ſic duplum ad ſpacium pertranſituꝫ in prima parte proportiõali quod eſt pedale: quod fuit inferendū. Probatur tamen maior /  illa ſpa­cia pertranſita in partibus proportionalibus ſe habent in proportione ſubdupla quoniam prime partis ad ſecundam eſt proportio quadrupla per caſum: et velocitatis ſecunde ad velocitatem prime eſt proportio dupla per caſum: igitur ſpacium per­tranſitum in ſecunda eſt ſubduplum ad ſpaciū per­tranſitū in prima: et ſic argues de ſpacio pertran-ſito in tertia ad ſpacium pertranſitum in ſecunda: et de quibuſcun ſpaciis pertranſitis in duabus partibus īmediatis proportionalibus: igitur illa ſpacia continuo ſe habent in proportione ſubdu-pla: quod fuit probandum. Patet conſequentia ex ſexta propoſitione ſecundi notabilis: hoc addi-to /  proportio quadrupla excedit proportionem duplam per ipſammet duplam: vt ſecunda pars loco preallegato docet.

1. correĺ.

¶ Sequitur ſecūdo /  diuiſa hora ꝑ partes ꝓpor-tionales ꝓportiõe ſuꝑtripartienti quartas cuiuſli­bet partis velocitate ſe habente ad velocitatē par-tis maioris īmediate precedentis in ꝓportione ſex­quialtera ſpaciū pertranſitū in tota hora ſe habet ad ſpaciū pertranſitū in prima parte proportionali in ꝓportione ſeptupla: abſoluto pedali in prima parte: ſeptē pedalia in tota hora abſoluētur. Pro­batur hoc correlariū ex cõcluſione īmediate precedē­ti: quia partes ꝓportionales tēporis ſe habent cõ-tinuo in ꝓportione ſuꝑtripartienti quartas: et ve-locitates partiū īmediatarū ſe habent in ꝓportiõe ſexaltera / vt ponit caſus: et ꝓportio ſuꝑtripartiēs q̈rtas excedit ꝓportionē ſexquialteram ꝑ .4. ꝓpor-tionē ſexquiſextaꝫ / vt ptꝫ in his terminis .7.6.4. / igr̄ ſpaciū ꝑtranſitū in toto tēpore ſe habebit ad ſpa-cium pertranſitū in prima parte proportionali in ꝓportione ſeptupla / quod fuit ꝓbandū. Patet cõ-ſequentia ex cõcluſione ſeptima: hoc adiecto /  cor­pus diuiſum proportione ſexquiſexta ſe habet ad primã ſui partē in ꝓportione ſeptupla: vt patet ex prima parte huiꝰ operis. Familiarius tamen ꝓba­tur ſic, et ſuppono /  mobile ꝑtranſit in prima par­te proportionali vnum pedale, et arguo ſic / mobile pertranſit in prima parte proportionali vnum pe­dale: et in ſecunda in ſexquiſexto minus, et in tertia in ſexquiſexto minꝰ ꝙ̄ in ſecunda: et ſic conſequēter ꝓcedendo per ꝓportiones ſexquiſextas: igitur to-tale ſpaciū componitur ex illis infinitis continuo ſe habentibus in ꝓportione ſexquiſexta: ergo ag-gregatū ex omnibꝰ ſequētibus primã eſt ſextupluꝫ ad primū / vt ptꝫ ex prima parte huiꝰ operis capite quinto: et primū eſt vnū pedale: ergo totū reſiduum eſt ſextupedale, et ꝑ cõſequens totū ſpaciū eſt ſeptē pedū / quod ſe habet in proportiõe ſeptupla ad vnū pedale ꝑtranſitū in prima parte ꝓportiõali / quod fuit ꝓbandum. Probatur tamen antecedens vide­licet /  illud mobile in qualibet parte ſequenti per­tranſit ſubſexquiſextū ſpaciū ad ſpaciū ꝑtranſitū in īmediate cedenti, quia prime partis ꝓportio-nalis ad ſecundã eſt ꝓportio ſuꝑtripartiens quar-tas, et velocitatis ſecunde partis ꝓportionalis ad velocitatē prime eſt ꝓportio ſexquialtera: ſed ꝓpor­tio ſuꝑtripartiens quartas tempoꝝ excedit ꝓpor-tionē velocitatū ſexquialterã per ꝓportionē ſexqni­ſextam / vt notū eſt: igitur ſpaciū pertranſitū in ſe-cunda parte ꝓportionali eſt ſubſexquiſextū ad ſpa­cium pertranſitū in prima. Patet conſequentia / ex ſexta ꝓpoſitione ſecundi notabilis ſepius allega-ta. Et ſic ꝓbabis de ſpacio pertranſito in tertia ad ſpacium ꝑtranſitum in ſecunda, et de ſpaciis ꝑtrã-ſitis in duabus partibus īmmediatis quibuſcun ſignatis: ergo cõtinuo ſpaciū pertranſitū in aliqua parte ꝓportionali ſequente eſt ſubſexquiſextū ad ſpacium ꝑtranſiium in parte īmediate precedente: quod fuit ꝓbanduꝫ. Inferas tuo ingenio et labore ſimilia infinita correlaria. Iſta enim ſufficiūt pro praxi concluſionis.

Octaua cõcluſio. Partita hora ꝑ part­tes ꝓportionales quauis ꝓportione volueris, et in certa ꝓportione continuo velocius mobile moueat̄̄ in parte cedente maiore quã in īmediate ſequenti minori: ſpaciū ꝑtranſitum in totali hora ſe habe-bit ad ſpaciū ꝑtranſitum in prima parte ꝓportio-nali in ꝓportione qua ſe habet aliquod totū diui-ſum in partes ꝓportionales ꝓportione compoſi-ta ex proportione temporis puta partis propor-tionalis maioris ad partem immediate ſequenteꝫ minorem, et velocitatis partis maioris ad veloci- tatem partis minoris ad primam partem prpor-tionalem talis diuiſionis. Hoc inuolutum theo-rema exemplari declaratione reſoluatur: volo e dicere /  conſciſa hora per partes proportionales proportione dupla, et in prima parte proportiõa-li aliquod mobile moueatur aliquanta velocitate q̄ in ſecunda parte proportionali in ſexquialtero minori velocitate, et in tertia in ſexquialtero mīor velocitate quã in ſecūda, et ſic cõſequēter ita  cu-iuſlꝫ ꝑtis cedētis maioris velocitas ad velocitatē mīoris īmediate ſequētꝪ ſexalterã ꝓportionē ha-beat: tūc dicit theorema poſitū. ſpaciū ꝑtranſitū in totali hora ſe habere ad ſpaciū ꝑtranſitū in prima parte proportionali in proportione ſequialtera: q proportio compoſita ex proportione dupla tē­porum et ſexquialtera velocitatū eſt tripla: et quod­libet totū diuiſum per partes proportione tripla ſe habet ad primã proportionalem partem eius in proportione ſexquialtera. Probatur tamen vni-uerſaliter cõcluſio: ſit hora diuiſa per partes pro-portionales portiõe g. et moueatur mobile in ali-qua certa proportione velocius continuo in parte cedenti maiore quam in minore ſequente ita  cõ­tinuo maior velocitas ſit in parte maiori quam in minore īmediate ſequente, ſit proportio cõtinuo velocitatis partis maioris ad velocitatem partis minoris f. compoſita proportio ex g. et f. ſit h. / tūc ſpaciū ꝑtranſitum in totali hora ſe pabet ad ſpa-cium ꝑtranſitum in prima parte proportionali in ꝓportione in qua ſe habet aliquod totum diuiſum in partes proportionales ꝓportione h. ad primaꝫ partem ꝓportionalē eiuſdem diuiſionis videlicet proportione h. Quod probatur ſic / quia ſpacii ꝑ-tranſiti in prima parte proportionali ad ſpacium ꝑtranſitū in ſecunda parte ꝓportionali eſt propor­tio h. et ſpacii ꝑtranſiti in ſecunda ad ſpaciū ꝑtran­ſiti in tertia eſt etiam proportio h. / et ſic conſequen-ter de ſpaciis ꝑtranſitis in duabus partibus pro-portionalibus īmediatis quibuſuis demonſtratis / ergo totale ſpaciū ꝑtrãſitū in tota hora componit̄̄ ex infinitis continuo ſe habentibus in proportione h. / igitur totale ſpaciū ſe habet ad primū illoꝝ ſpa­ciorum / quod eſt ꝑtranſitū in prima parte propor-tionali in proportiõe in qua ſe habet aliquod totū diuiſum ꝑ partes ꝓportionales proportione h. ad primã eius partē / quod fuit probandū. Patet con-ſequentia / quia eodem modo ſe habent illa ſpacia continuo ſe habentia in proportione h. ſicut ſe ha-bent partes proportionales alicuiꝰ continui pro-portiõe h. Probatur tamen añs videlicet /  ſpacii ꝑtranſiti in prima parte ꝓportionali ad ſpaciū ꝑ-tranſitū in ſecūda eſt ꝓpertio h. et ſpacii ꝑtrãſiti in ſcḋa ad ſpaciū ꝑtranſitum in tertia etc̈. quia prima pars proportionalis eſt maius tempus quã ſecun-da in g. proportione, et ei coextenditur velocitas in­tenſior quam ſeēunde in f. proportione / vt dici hipo­teſis: et h. proportio eſt proportio cõpoſita ex g. et f. proportionibus ex hypoteſi: igitur ſpaciū ꝑtranſi­tum in prima parte ꝓportiõali ſe habet ad ſpaciū ꝑtrãſitū in ſecūda in h. ꝓportiõe. Cõſimili argumē­to ꝓbabis de quibuſcū ſpaciis ꝑtranſitis in qui­buſcū duabus partibus immediatis: quod erat inferendum. Patet tamen conſequentia ꝑ tertiam propoſitionem ſecundi notabilis huius queſtiõis. ¶ Ex hac ſolutione ſequitur primo /  partitiõe ho­re facta ꝑ partes proportionales proportione ſu-prabipartiēte tertias, et in prima parte ꝓporõali moueatur aliquod mobile aliquãta velocitate, et ī ſecunda in ſuprabipartiente quintas minore et in tertia in eadē proportiõe ſuprabipartiēte quintas mīore velocitate quã in ſecūda / et ſic cõſequēter: tūc ſpaciū ꝑtranſitū in totali hora ſe habet ad ſpaciū ꝑtranſitū in prima parte ꝓportionali in ꝓportiõe ſuꝑtripartiente quartas, qualis eſt .7. ad .4. Pro-batur / q2 ſpaciū ꝑtranſitū in prima parte ꝓporti-onali ſe habet ad ſpaciū ꝑtranſitū in ſecunda in ꝓ­portiõe dupla ſexquitertia, et in eadē ꝓportione ſe habet ſpaciū ꝑtranſitū in ſeeunda ad ſpaciū ꝑtrã­ſitum in tertia, et ſic cõſequenter: igitur totale ſpa-ciū ſe habet ad ſpaciū ꝑtranſitū in prima parte ꝓ­portiõali in ꝓportione ſupratripartiēte quartas Patet hec cõſequentia ex priori cõcluſione: hoc ad­dito /  quodlibet corpus diuiſū per partes ꝓpor-tionales ꝓportiõe dupla ſexquitertia ſe habet ad primã partē ꝓportionalē in ꝓportione ſuꝑtripar­tiente quartas: vt facile eſt intueri ex prima parte huiꝰ operis. Probat̄̄ tamen antecedens. Quia ꝓ-portio prime partis tēporis ad ſecundã eſt ſuꝑbi-partiens tertias, et velocitatis prime partis ad ve­locitatē ſecunde eſt ꝓportio ſuꝑbipartiens quītas / igitur totius ſpacii ꝑtranſiti in prima parte ꝓpor­tionali que eſt maius tēpus ad ſpaciū ꝑtranſitū in ſecunda parte ꝓportionali eſt ꝓportio dupla ſex-tertia: et ſic ꝓbabis de ſpaciis ꝑtranſitis in aliis partibꝰ quibuſcū īmediatis. Cõſequentia ꝓbat̄̄ / ꝑ tertiã ꝓpoſitionē ſecūdi notabilis huiꝰ q̄ſtionis hoc addito /  proportio dupla ſextertia cõponit̄̄ adequate ex ꝓportione ſuꝑbipartiente tertias, et ſuꝑbipartiente quintas: vt ptꝫ in his terminis .7. .5.3. / et ſic ptꝫ correlariū ¶ Sequitur ſecundo /  diui­ſa hora ꝑ partes ꝓportionales ꝓportione dupla mobili cõtinuo in duplo tardius mouente in parte ſequēti minori quã in parte maiori īmediate prece­denti illã: ſpaciū ꝑtranſitū in totali hora ſe habet ad ſpaciū ꝑtranſitū in prima parte proportionali hore in ꝓportione ſexquitertia. Probatio / q2 pro­portio cõpoſita ex ꝓportione tēporis maioris ad tēpus minꝰ dupla, et velocitatis temporis maioris ad velocitatē tēporis minoris ſimiliter dupla eſt quadrupla, vt ſatis ↄ̨ſtat: et quodlibet totū diuiſū ꝑ partes ꝓportionales ꝓportione quadrupla ſe habet ad primã partē ꝓportionalē in proportione ſexquitertia, vt ptꝫ ex prima parte: igr̄ totale ſpa-ciū ꝑtranſitū in illa hora in caſu correlarii ſe ha-bet ad ſpaciū ꝑtranſitū in prima parte ꝓportiõali in ꝓportione ſexquitertia / quod fuit ꝓbandū. Cõ-ſequentia ptꝫ ex cõcluſione octaua ¶ Sequit̄̄ tertio­ / diuiſa hora in partes ꝓportionales ꝓportione tripla, mobili cõtinuo in quadruplo tardiꝰ mo-uēte in parte ſequenti minori ꝙ̄ in īmediate ceden­ti eã: ſpaciū ꝑtranſitū in totali hora ſe habebit ad ſpaciū ꝑtranſitū in prima parte ꝓportionali in ꝓ­portione ſexquivndecima: pertranſito pedali in prima: duodecim vndecimas pedalis ī totali hora abſoluet. Probatur / q2 ꝓportio cõpoſita ex ꝓpor­tione tēporis maioris ad tēpus minꝰ tripla et velo-citatis tēporis maioris ad velocitatē tēporis mi-noris quadrupla eſt duodecupla, vt patet in his terminis .12.4.1. et quodlibet totū diuiſuꝫ ꝑ partes ꝓportionales ꝓportione duodecupla ſe habet ad primã ſui partē ꝓportionalē in ꝓportione ſexqui vndecima, vt ptꝫ ex prima parte: igitur ſpaciū per­tranſitū a mobili in totali tēpore ſe habet ad ſpa­cium ꝑtranſitum in prima parte proportionali in proportione ſexquivndecima. Patet cõſequentia ex octaua concluſione.

Correĺ. 2. correĺ.

Nona concluſio. Diuiſa hora per par­tes ꝓportiõales q̈uis ꝓportione, et in certa ꝓpor-tiõe ↄ̨tinuo mobile velociꝰ moueat̄̄ ī qualibet parte pari ſequenti quã in pari īmediate precedenti eaꝫ et ſimiliter in certa proportione equali maiori, vel minori, continuo in qualibet parte ſequente impa­ri velocius moueatur quã in impari īmediate pre-cedenti: ſpaciū pertranſitū in totali hora erit infi-nitū dūmodo ꝓportio velocitatū ſit equalis pro-portioni tempoꝝ vel maior: et ſi ꝓportio velocita-tum partiū pariuꝫ, et ꝓportio velocitatū partium impariū fuerit minor ꝓportione tempoꝝ: tunc ſpa­cium pertranſitū in omnibus partibus paribus ſe habet ad ſpaciū pertranſitū in prima illaꝝ pariū in ꝓportione qua ſe habet aliquod totum diuiſuꝫ per partes ꝓportionales ꝓportione per quã pro-portio tempoꝝ excedit ꝓportionē velocitatum ad primã partē ꝓportionale eiuſdē totius. Et ſimili-ter dicendū eſt de ſpacio ꝑtranſito in omnibꝰ par-tibus imparibus. Declaratur hec cõcluſio iſto mo­do: diuidatur hora per partes proportionales proportione dupla, et capiantur ex vno latere oēs ꝑtes pares: et ex alio oēs īpares, et in qualibet īpa­ri ſequente moueatur a. mobile in quadruplo velo­cius quã in impari īmediate precedenti eam: tunc dicit prima pars concluſionis /  illud mobile in­finitū ſpaciū ꝑtranſit et etiã infinitū ſpaciū tranſi-ret ſi in qualibet ſequēti impari moueretur in quī-tuplo velocius quã in impari īmediate precedenti eam quia ꝓportio velocitatū eſt ibi maior vel equa­lis ꝓportioni tempoꝝ. Tēpora e illa continuo ſe habent in ꝓportione quadrupla. Si vero mobile in qualibet parte ſequeti impari moueretur in du-plo velociꝰ preciſe ꝙ̄ in parte īmediate precedenti impari, diuiſione ſic facta in partes ꝓportionales ꝓportione dupla: tunc ſpaciū ꝑtranſitū in omnibꝰ partibus paribus ſe habet ad ſpaciū ꝑtrauſitū in prima pari in ꝓportione dupla: et ſpaciū ꝑtran­ſitum in omnibus partibus imparibus etiã ſe ha-bet ad ſpaciū pertranſitū in prima impari in pro-portione dupla: quia proportio tempoꝝ quadru-pla excedit ꝓportionem velocitatū duplam ꝑ du-plam: et corpus diuiſum per partes ꝓportionales ꝓportione dupla ſe habet ad primã partē propor­tionalem etiam in ꝓportione dupla, et etiã veloci-tas maior eſt coextenſa tempori minori. Ideo to-tum ſpaciū pertranſitū in omnibus partibus im-paribus eſt duplū ad ſpaciū ꝑtranſitū in prima illarū impariū. Et conſimiliter dicendum eſt de pa­ribus. Probatur hec concluſio ex predictis, et hoc generaliter: et primo patet prima pars ex ſexta concluſione: et ſecunda ex ſeptima. ¶ Ex hac conclu­ſione ſequitur primo /  partita hora per partes ꝓ­portionales ꝓportione dupla: et in prima illarum mobile moueatur aliquanta velocitate vuiformi-ter, et in ſecūda moueat̄̄ vniformiter intēdendo mo­tū ſuū a gradu quo mouetur in prima vſ ad gra-dum duplū: et in tertia moueatur illo gradu duplo vniformiter: et in quarta intendat vniformiter mo-tum ſuū ab illo gradu duplo vſ ad gradū duplū illius, ita  in omnibus partibus imparibus mo-ueatur vniformiter continuo in duplo velocius in ſequente impari ꝙ̄ īmediate precedenti impari, et in qualibet parte pari moueatur intendendo mo-tum ſuum vniformiter a gradu partis imparis im­mediate precedentis vſ ad gradum partis paris īmediate ſequentis: ita  velocitates partium im-parium reducte ad vniformieatem etiam ſi habe-ant continuo in proportione dupla: tunc ſpacium totale pertranſitum in hora ſe habebit in propor-tione tripla ſexquialtera ad ſpacium pertranſi-tum in prima parte proportionali impari. Pro- batur correlarium et in prima parte proportiona-li ꝑtranſeat illud mobile vnum pedale et arguitur ſic In omnibus partibus tam paribus quam īpa-ribus ꝑtranſit illud mobile tria pedalia cum dimi­dio: ſed triū pedaliū cum dimidio ad vnum pedale eſt ꝓportio tripla ſexquialtera: igitur correlarium verum. Arguitur maior / quia in prima ꝑte impari ꝑtranſit vnum pedale et ſpacia pertranſita in om-nibus partibus imparibus continuo ſe habent ī ꝓ­portione dupla quoniam velocitates cõtinuo ſe ha­bent in ꝓportione dupla et tempora in quadrupla: et ſic totale ſpacium ꝑtranſitum in omnibus parti­bus imparibus erit duplum ad ſpacium ꝑtranſitū in prima illarum / vt patet ex ſeptima concluſione. ergo ꝑ cõſequens totale ſpacium pertranſitū in om­nibus erit bipedale. Et ſpacium pertranſitum in om­nibus paribus eſt pedale cum dimidio. Quod pro­batur ſic / quia cõtinuo velocitatis partis paris ad velocitatem ꝑtis imparis immediate precedentis eſt ꝓportio ſexquialtera: (cum velocitas illius par­tis paris correſpondeat gradui medio inter gradū velocitatis illius partis imparis immediate prece­dentis et gradum duplum) et ſemper gradus mediꝰ inter duplum et ſubdupluꝫ eſt ſexquialterus ad ſub­duplum / vt conſtat. igitur talis gradus medius erit ſexquialterus ad graduꝫ partis imparis immedia­te precedentis: igitur ſpacium pertranſitum in pri­ma parte ꝓportionali impari ſe habet ad ſpacium pertranſituꝫ in prima parte proportionali pari in ꝓportiõe ſexquitertia / vt patet ex ſexta propoſitio­ne ſecundi notabilis ſed ſubſexquitertium ad peda­le ſunt tres quarte et in omnibus ſequentibus pari­bus pertranſibit tantum: igitur in omnibus ſimul pertranſibit ſex quartas que faciunt pedale cum di­midio. et in imparibus pertrãſibit bipedale: igitur in omnibus partibus ſimul paribus et imparibus pertranſibit tria pedalia cum dimidio / quod fuit ꝓ­bandum. Reſtat tamen probare /  in omnibus par­tibus paribus ſequentibus ṗmã t pertranſit ſicut in prima. Nam ille partes pares cõtinuo ſe habēt in proportione quadrupla et velocitates continuo ſe habent in proportione dupla aſcendendo / vt pa-tet ex caſu correlarii: ergo totale ſpacium pertran-ſitum in omnibus paribus eſt duplum ad ſpaci-um pertranſitum in prima illarum et ſic illud ſpaci­um eſt .6. quarte. Conſequentia patet ex ſeptima cõ­cluſione: hoc addito /  proportio temporis excedit ꝓportionem velocitatum ꝑ ꝓportionem duplam: et totum diuiſum per partes ꝓportionales propor­tione dupla eſt duplum ad primam illarum.

1. correĺ.
2. correl.

¶ Secundo ſequitur /  diuiſa hora per partes ꝓ-portionales proportione quadrupla: et in prima ꝑ­te moueatur mobile aliquanta velocitate vniformi­ter, et in ſecunda intendat motum ſum vniformiter ab illo gradu quo mouetur in prima vſ ad triplū et in tertia moueatur vniformiṫ illo triplo gradu et in quarta moueatur vniformiter intendendo motū ſuum a gradu quo mouebatur in tertia vſ ad tri­plum illius: et ſic conſequenter ſemper in qualibet pari intendendo gradum īmediate precedentis im­paris vſ ad triplum eiuſdem gradus vniformiter ſpacium pertranſitum in totali hora ſe habebit ad ſpacium pertranſitum in prima parte proportio-nali impari in proportione ſupra vndecīpartiente tridecimas. Probatur ſupponendo /  medium in­ter triplum et ſubtriplum eſt duplum ad ſubtriplū vt medium inter vnum et .3. eſt .2. / quod eſt duplū ad vnum. Supponitur ſecūdo /  velocitas ꝑtium īpa-rium immediatarum continuo ſe habent in propor­ tione tripla et etiam partium parium / vt patet aſpi­ciēti caſū correlarii His ſuppoſitis eſto /  mobile ī prima parte proportionali pertranſit tridecim pe­dalia: arguitur ſic in omnibus partibus imparibꝰ illud mobile pertranſit ſexdecim pedalia: et in om-nibus paribus pertranſit octo: igitur in tota hora ꝑtranſibit viginti q̈tuor: et .24. ad .13. pedalia ꝑtrã­ſita in prima parte proportionali eſt proportio ſu­pra vndecīpartiens tridecimas: igitur propoſituꝫ Maior ꝓbatur / quia ꝓportio temporum ꝑtum im-parium que eſt ſexdecupla / vt conſtat: excedit ꝓpor­tionem velocitatis triplam ꝑ ꝓportionalem quītu­plam ſexquitertiam, qualis eſt .16. ad .3. et quodli-bet totum diuiſum ꝓportione quintupla ſexquiter­tia ſe habet ad primam ꝑtem eius ꝓportionaleꝫ in ꝓportione ſupertripartiente tridecimas / vt patet ex prima parte capite quinto: igitur in omnibus ꝑ­tibus ꝓportionalibus imparibus illud mobile per­tranſit .16. pedalia: Patet conſequentia ex ſeptīa concluſione huius: hoc addito /  in prima parte im­pari pertranſit .13. pedalia: et .16. ad .13. eſt ꝓportio ſupertripartiens tridecimas. Et ſic patet maior Minor ꝓbatur / quia ꝓportio temporum partium parium ſexdecupla / vt conſtat excedit proportionē velocitatum triplam per ꝓportionem quintuplam ſexquitertiam / vt patet ex probatione maioris: et quodlibet totum diuiſum ꝓportione quintupla ſex­quitertia ſe habet ad primam partem eius propor­portionalem in proportione ſupertripartiente tri­decimas: vt patet ex prima parte capite quinto: igi­tur in omnibus partibus paribus pertranſit illud mobile ſpacium ſe habens ad ſpacium pertranſitū in prima illarum pariuꝫ in ꝓportione ſupertripar­tiente tridecimas: et ſpacium pertranſitum in pri-ma parium eſt ſpacium. ſex pedalium cum dimidio / igitur ſpacium pertranſituꝫ in omnibus partibus paribus eſt .8. pedum Patet conſequen-tia: q2 .8. ad .6. cum dimidio eſt proportio ſupertri­partiens tridecimas. Probatur tamen /  in pri-ma parte ꝓportionali illud mobile pertrãſit .6. pe­dalia cum dimidio: quia illa pars eſt ſubquadru-pla ad primã imparem: et velocitas illius eſt dupla ad velocitatem ṗme imparis / vt patet facile ex ṗmo ſuppoſito: igitur in illa ꝑte mobile pertranſit .6. pe­dalia cum dimidio. Patet conſequentia ex ſexta ꝓ­poſitione ſecundi notabilis, addito /  in prima ꝑ-te ꝓportionali impari ꝑtranſit .13. pedalia: et ſic pa­tet minor: et ꝑ conſequens totum correlarium ¶ Sequitur tertio /  partita hora ꝑ ꝑtes ꝓportio-nales ꝓportione quadrupla: et mobile in qualibet parte ſequente impari in quadruplo velocius mo-ueatur ꝙ̄ ī immediate cedēti impari: et in qualibet ſequenti pari etiam in quadruplo velocius mouea­tur ꝙ̄ in immediate cedenti pari: et in duplo velo-cius in prima ꝑte pari ꝙ̄ in ṗma impari: tunc tota-le ſpacium ꝑtranſitum in hora ſe habet ad ſpaciuꝫ ꝑtranſitum in ṗma parte ꝓportionali impari ī ꝓ­portione dupla Hoc correlarium ex dictis facile ꝓ­bari t ¶ Inferat quilibet ſuopte ingenio ꝓpriiſ viribus nõnulla ſimilia correlaria Poſſunt enim īfinita inferri. vt puta ſi hora diuidatur ꝓportione dupla: et omnium partium parium velocitates con­tinuo ſe habeãt in ꝓportione ſexquialtera: omniū- imparium ꝓportio velocitatum ſit ſexquitertia ſit velocitatis ṗme paris ad velocitatem ṗme im­paris ꝓportio ſexquiquarta: tunc calcula totale ſpcium ad ſpacium ꝑtranſitum in ṗma parte. Item conſciſa hora in partes ꝓportionales ꝓportiõe tri­pla: et omnium partium imparium immediatarum velocitates ſe habeant in ꝓportione ſexquiquarta omnium vero parium in ꝓportione ſexquiquinta: excedat velocitas ṗme partis paris velocitatem ṗme partis imparis in proportiõe ſexquiſexta: tūc inueſtiga ꝓportionem totius ſpacii ad ſpaciuꝫ per­tranſitū in prima innitendo cedentibus. Itē parti­ta hora in partes ꝓportionales ꝓportiõe quadru­pla: mobili in omni īpari ſequente mouēte in ſex­quiſexto velocius ꝙ̄ in immediate ꝓcedente impari et in omni pari ſequente in ſexquiſeptimo velocius quã in pari immediate precedente: ſuperet veloci­tas prime partis paris velocitatem prime imparis in ꝓportione ſexquioctaua: tunc cõmenſura totale ſpacium ſpacio prime partis ꝓportionalis precedē­tibus ſuffultus Et ſic aſcendendo per ſpecies ꝓpor-tionis multiplicis in diuidenda hora velocitatibꝰ ſe habentibus continuo in diuerſis ꝓportionibus ſuperparticularibus infinitam multitudinem ſe ſe ↄ̨ſequētiū cõcluſionum inferre valebis. Deinde diui­ſa hora aliqua multipli ſimplici vel compoſita ve-locitatibus partiuꝫ imparium cõtinuo ſe habētibꝰ in ꝓportione aliqua ſuprapartiente: et partium pa­riū immediatarum velocitatibus continuo ſe habē­tibus in aliqua alia ꝓportione ſuprapartiente: ex-cedente velocitate prime partis paris velocita-tem prime partis imparis in aliqua alia propor-tione ſuperpartiente infinita correlaria inferre po­teris. Preterea partita hora per partes pro­portionales ꝓportione multipici: quarūcun dua­rum ꝑtium ꝑ .4. partes ꝓportionales diſtantiū ve-locitatibus ſe habentibus in aliqua ꝓportione ſu­perparticulari vel ſuperpartiente ita vt ṗme diſtã­tes ꝑ .4. partes ꝓportionales vt puta prima et ſex­ta ſe habeant in velocitate in ꝓportione ſexquial-tera: et ſeptime velocitas ad velocitatem ſecunde in ꝓportione ſexquitertia: et octaue velocitas ad velo­citatem tertie in ꝓportione ſexquiq̈rta: et none ve-locitas ad velocitatem quarte in ꝓportione ſexqui­quinta: et decime velocitas ad velocitatem quinte ī ꝓportione ſexquiſexta: et vndecime velocitas ad ve­locitatem ſexte in ꝓportione ſexquialtera: et ſic ite-rum aſcendendo vſ ad proportionem ſexquiſextã et deinde redeundo vſ ad ꝓportionem ſexquial-teram / et ſic conſequenter: ita  omnes diſtantes ꝑ 4. incipiendo a ṗma ſe habeant in ꝓportione ſex­altera in velocitate: et incipiendo a ſecunda in ſex­tertia: et a tertia in ſexquiquarta: et a quarto in ſex­quiquinta: et a quinta in ſexquiſexta: et non plus.

.3. correl.

Ita poteris facere de partibus inter quas cõtinuo mediant octo ꝑtes aſcendendo a prima vſ ad de-cimã: et ſic in infinitum poteris variare caſus reten­ta ſemper aliqua vniformiter ꝓportionum Et ſi-cut inferuntur multa correlaria quando velocitas maior coextenditur ꝑtibꝰ minoribus. ita plura alia poſſunt inferri quando continuo velocitas maior coextenditur partibus minoribus que omnia ex ṗ-oribus facile inducuntur. Et quia nimium in iſtis immorari vltra modum eis inherere, eſt a melio­ribus ſublimioribuſ ꝓſtergari: Ideo calculator his dedaleis laberinthulis implicitꝰ: verbiſ mul­tiplicibus multiformibuſ ꝓportionibus implica­tus: inflate bucce garritum contineat.

Decima concluſio Diuiſa hora ꝑ par­tes ꝓportionales ꝓportione dupla et a. mobile in prima ꝑte ꝓportionali moueatur aliquantula ve-locitate: et in ſecunda in ſexquialtero maiori veloci­tate: et in tertia in ſexquiquarto maiori velocitate ̄ in prima: et in quinta in ſexquiſexdecimo maiori quã in prima / et ſic conſequenter aſcendendo ꝑ ſpe- cies ꝓportionis ſuperparticularis denominatas a numeris pariter paribus (Meliꝰ tñ diceret̄̄ deſcē­dēdo: q2 ꝓportiões ſuꝑparticulares ſūt mīores quã­to a maiori numero denominantur hoc eſt a parte aliquota denominata a maiori numero) ſpacium ꝑ­trauſitum in totali hora ſe habet ad ſpacium per-tranſitum in prima ꝑte ꝓportionali in ꝓportione dupla ſexquitertia. Probatur et ſit gratia exempli velocitas ṗme ꝑtis ꝓportionalis vt duo, ꝑtrãſeat­ a. mobile mediante illa velocitate in prima ꝑte ꝓ­portionali bipedale: et arguitur ſic / illa velocitas vt duo coextenditur toti hore, quia in qualibet parte ꝓportionali hore velocitas eſt maior quam vt duo vt habetur ex caſu et tota hora eſt dupla ad primaꝫ partem ꝓportionalem eius in qua mobile pertran­ſit bipcdale mediante velocitate vt duo: igitur me-diante illa velocitate coextenſa toti hore pertran-ſit quadrupedale: et mediantibus exceſſibus parti-um ꝓportionalium ſupra illam velocitatem vt duo pertranſit duas tertias pedalis que faciūt vnã ter­tiam duorum pedalium: igitur totuꝫ ſpacium ſe ha­bebit ad ſpacium pertranſitum in prima parte ꝓ-portionali in proportione dupla ſexquitertia cuiuſ­modi eſt ꝓportio ipſoꝝ quatuor cum duabus ter-tiis vnius ad duo Probo tamen /  mediantibꝰ il-lis exceſſibus ꝑtranſeat duas tertias pedalis: quo­niam cum velocitas ſecunde ꝑtis ꝓportionalis ſit ſexquialtera ad velocitatem prime que eſt vt duo ſe­quitur /  exceſſus velocitatis ſecunde ad velocitatē prime eſt vnus gradus et quia tertia excedit primã in ꝓporeione ſexquiquarta / ſequitur /  exceſſus eius eſt medietas vnius gradus quoniam duorum cū di­midio ad duo eſt proportio ſexquiquarta, et veloci­tas quarte partis ſe habet ad velocitatem prime ī ꝓportione ſexquioctaua: igitur exceſſus eius ē vna quarta: igitur in illo caſu exceſſus ſecunde ad exceſ­ſum tertie eſt ꝓportio dupla et exceſſus tertie ad ex-ceſſum quarte dupla ſimiliter: et ſic conſequenter re­peries illos exceſſus ſe habere in ꝓportione ſubdu­pla et ſubdupla. et coextenduntur partibus cõtinuo ſe habentibus in ꝓportione ſubdupla et ſubdupla / igitur continuo illa ſpacia mediantibus illis velo­citatibus ꝑtranſita ſe habet in ꝓportione ſubqua-drupla / et ꝑ conſequens aggregatum ex omnibꝰ eis ſe habebit ad primum illorum in ꝓportione ſexqui­tertia et ṗmum illorum eſt vnum ſemipedale: ergo totum erit vnum ſemipedale cum vna ſexta peda-lis: et ꝑ conſequens due tertie vnius pedalis / qḋ fuit ꝓbandum. Sed iam ꝓbo /  mum illorum ſit vnum ſemipedale quoniam primum illorum ꝑtranſit̄̄ me­diante exceſſu ſecunde ꝑtis ꝓportionalis ſupra pri­mam qui exceſſus eſt vnus gradus mediante quo ī prima parte ꝓportionali pertranſitur vnum peda­le: igitur mediante illo in ſecunda parte ꝓportiõa-li ſubdupla ad illam pertranſitur vnum ſemipeda­le / quod fuit ꝓbandum. Patet conſequentia ex ſecū­da ꝑte prime ꝓpoſitionis ſecundi notabilis.

¶ Ex hac concluſione ſequitur primo /  ſi fuerit ho­ra diuiſa ꝓportione dupla: et in prima illarum par­tium moueatur aliquod mobile aliquanta velocita­te, et in ſecunda in ſupertripartiente quartas maio­ri velocitate, et in tertia in ſupertripartiente octa-uas maiori velocitate ꝙ̄ in prima: et in quarta in ſu­ꝑtripartiente ſexdecimas maiori ꝙ̄ in prima et in quinta in ſuꝑtripartiente triceſimas ſecundas ma­iori velocitate ꝙ̄ in prima / et ſic conſequenter ꝓcedē­do per ſpecies ꝓportionis ſupertripartientis de-nominatas a numeris pariter paribus ſiue a par-tibus aliquotis denominatis ab illis numeris: ſpa­ cium ꝑtranſitum in toto tempore eſt dupluꝫ ſexqui­alterum ad ſpacium pertranſitum in prima parte proportionali Quod probatur eſto /  velocitas ṗ­me partis ſit vt .4. et pertranſeatur quadrupedale mediante illa per totam horam exrenſa: et ſic medi­ante illa in prima ꝑte ꝓportionali bipedale / et ar-guitur ſic / mediãte illa velocitate extenſa ꝑ totã ho­ram mobile ꝑtranſit quadrupedale et mediantibꝰ exceſſibus quibus velocitates partium proportio-nalium aliarum a prima excedunt primam pertrã­ſitur vuum: et ſic mediante totali illa velocitate per­tranſeuntur quin pedalia in totali illa hora: et n­tupedalis ad bipedale pertranſitum in prima par­te proportionali hore eſt proportio dupla ſexqui-altera. igitur propoſitum. Probatur tamen /  me­diantibus illis exceſſibus pertranſitur vnum peda­le: quia mediante exceſſu quo velocitas ſecunde par­tis excedit velocitatem prime pertranſeuntur tres quarte et mediante exceſſu quo tertia excedit primã pertranſitur ſubquadruplum ſpacium ad tres q̈r-tas / et ſic conſequenter (quia illi exceſſus cõtinuo ſe habent in proportione ſubdupla / vt facile eſt intue­ri: et continuo coextenduntur tempori in duplo mi­nori) / igitur aggregatum ex omnibus illis ſpaciis pertranſitis mediantibus illis exceſſibus cõponi-tur ex infinitis continuo ſe habentibus in propor-tione ſubquadrupla et ex hoc illud habet ſe ad pri-mum illoruꝫ ī proportione ſexquitertia / vt patet ex prima parte capite quinto: et primum illoruꝫ ē tres quarte pedalis: ergo totum eſt pedale: Patet con-ſequentia / q2 pedalis ad tres quartas eſt propor-tio ſexquitertia. Sed reſtat probare ſpacium per-tranſitum ab illo exceſſu quo ſecunda pars propor­tionalis excedit primam eſſe tres quartas quia ve­locitas ṗme partis eſt vt .4. et velocitas ſecunde ꝑ-tis habet ꝓportionē ſuꝑtripartienteꝫ q̈rtas ad ve-locitatē prīe / igit̄̄ eſt vt .7. et ſic exceſſus eſt trium gra­duū: ſꝫ mediãte vno gradu in prīa ꝑte ꝓportionali mobile ꝑtranſibat dimidium pedale vt habetur ex caſu: igitur mediante vno gradu in ſecunda parte ꝓportionali que eſt in duplo minor mobile pertrã­ſit vnam quartam et ſunt ibi tres gradus exceſſus: igitur mediantibus illis ꝑtranſibit tres quartas / quod fuit ꝓbandum. ¶ Sequitur ſecundo /  parti-ta hora ꝑ partes ꝓportionales proportiõe dupla et in prima illarum mobile aliquod moueatur aliq̈ velocitate: et in ſecunda illarum in ſexquitertio ma­iori: et in tertia in ſexquiſexto maiori ꝙ̄ in prima et in quarta in ſexquiduodecuplo maiori ꝙ̄ in prima / et ſic conſequenter aſcendo ꝑ numeros pares conti­nuo ſe habentes in ꝓportione dupla exordiendo a numero ternario: hoc eſt ꝑ ſpecies ꝓportionis ſuꝑ-particularis denomīatas a partibus aliquotis de­nominatis ab illis numeris: ſpacium pertranſituꝫ in totali hora eſt duplum ſuperbipartiens nonas ad ſpacium pertranſitum in prima parte ꝓportio­nali. Probatur eſto exempli cauſa /  velocitas pri­me partis ꝓportionalis ſit vt .3. et mediante illa mo­bile pertranſeat in prima parte ꝓportionali tripe­dale: et ꝑ conſequens mediante illa extenſa ꝑ totaꝫ horam ſextipedale: et arguitur ſic mediante illa ve­locitate vt .3: coextenſa toti hore mobile ꝑtranſibit ſextipedale: et mediantibus excrementis quibus ve­locitates parttium ꝓportionalium aliarum a pri-ma excedunt primam mobile pertranſit duas ter-tias pedalis: igitur in totali illa hora pertranſit ſextipedale cum duabus tertius: ſed ſextipedalis cū duabus tertiis ad tripedale pertranſituꝫ in prima parte ꝓportionali eſt proportio dupla ſuperbipar­ tiens nonas: igitur propoſitum. Sed iam probo /  mediantibus exceſſibus velocitatum quibus alie ꝑ­tes proportionales excedunt velocitatem ṗme mo-bile pertranſit duas tertias. quia velocitas ſecun-de partis ꝓportionalis excedit velocitatem prime ꝑ vnum gradum (eſt enim velocitas prime vt .3. et ſe­cunde ſexquitertia ad illam) et mediante vno gradu in prima parte ꝓportionali mobile pertranſit vnū pedale: ergo mediante illo gradu mobile ꝑtranſit vnum ſemipedale in ſecunda parte proportionali ſubdupla ad primam: et mediante exceſſu quo tertia pars excedit primam pertranſit ſubquadruplū ad illud ſemipedale. et mediante exceſſu quo quarta ex­cedit primam adhuc pertranſit ſubquadruplū ad precedens / et ſic conſequenter: quia illi exceſſus con-tinuo ſe habent in ꝓportione ſubpupla / vt patet ex caſu: et continuo extenduntur in duplo minori par­te: igitur aggregatum ex omnibus illis ſpaciis per­tranſitis mediantibus illis exceſſibus componitur ex infinitis continuo ſe habentibus in proportione ſubquadrupla. igitur ſe habet ad primum illorum in ꝓportione ſexquitertia. Conſequentia ſepiꝰ ar-guta eſt. et cum primum illorum ſit ſemipedale: con­ſequens eſt vt aggregatum ex omnibus illis ſit due tertie (ſiquidem duarum tertiarum ad ſemipedale ſit ſexquitertia proportio) Et ſic patet probandum et totum correlarium. ¶ Innumera talia correlaria poſſunt inferri diuidendo horam aliis ſpeciebus ꝓ­poportionis: et faciendo exceſſus quibus alie par-tes excedunt primam in certa ꝓportiõe continue ſe habere: vt ſi hora diuidatur per partes proportio­nales ꝓportione tripla: et in prima illaruꝫ aliquod mobile moueatur aliquanta velocitate et in ſecun-da in duplo ſexquialtero maiori: et in tertia in du-plo ſexquiſexto: et in quarta in duplo ſexquidecimo octauo maiori ꝙ̄ in prima: et in quinta in duplo ſex­quiquīquageſimo quarto maiori ꝙ̄ in prima: et ſic conſequenter procedendo ex parte ꝓportionis mul­tiplicis ſuperparticularis per numeros ſe haben-tes continuo in ꝓportione ſubtripla Ibi enim ex-ceſſus ſe habent in proportione ſubtripla Itē ſi ho­ra partiatur per partes ꝓportionales ꝓportione ſuperbipartiente tertias et a. mobile in prima mo-ueatur aliquanta velocitate et in ſecunda in triplo ſexquiquinto velocius: et in tertia in triplo ſexqui-decimo velocius ꝙ̄ in prima: et in quarta in triplo ſexqui viceſimo velocius ꝙ̄ in prima: et in quinto in triplo ſexquiquadrigeſimo progrediendo per ſpe­cies denomīatas a numeris imparibus ſiue ab vni­tate et partibus aliquotis denominatis ab illis nu­meris continuo ſe habentibus in ꝓportione dupla exordiendo a quinario. Et ſic conſequenter poteris infinita ſimilia ponere

2. correl.

Undecima concluſio Diuiſa hora per partes proportionales quacun libuerit propor-tione et in prima mobile moueatur aliquanta velo­citate et in ſecunda in ſexquialtero maiori: et in ter-tia in ſexquitertia maiori ꝙ̄ in ſecunda: et in quarta in ſexquiquarta maiori ꝙ̄ in tertia et in quinta ī ſex­quiquinto maiori ꝙ̄ in quarta / et ſic conſequenter. et ſi nõ valeat regula vniuerſalis ſignari ad reperi­endum ſpacium pertranſitum in totali hora: nichi­lominus tamen qualibet ſpecie diuiſionis hore ſi-gnata poteſt certitudinaliter inueſtigari ſpaciuꝫ ꝑ­tranſitum in tota hora: et ꝓportio eius ad ſpacium pertranſitum in prima parte ꝓportionali. Proba­tur hec concluſio / et primo probatur ſecunda ꝑs eiꝰ. quia ſit hora fuerit diuiſa per partes proportiona­ les proportione dupla: et moueatur mobile vt dicit̄̄ in caſu concluſionis: ſpaeium pertranſitum in to-tali hora ſe habebit ad ſpacium pertranſitum in ṗ­ma parte proportionali in proportione tripla.

Quod ſic probatur eſto /  velocitas prime partis ſit vt duo et ſecunde vt .3. et tertie vt .4. ſicut apparet ex caſu cõncluſionis: et mediante illa velocitate pri-me partis ꝓportionalis vt duo que etiã coextendi­tur toti hore pertranſeat mobile bipedale ī prima parte ꝓportionali: et per conſequens quadrupeda­le in tota hora / et arguo ſic illud mobile mediante il­la velocitate vt duo extenſa per totam horam per-tranſit quadrupedale: et mediantibus exceſſibus -bus partes ꝓportionales ſe excedunt pertranſit bi­pedale: igitur in tota hora ꝑtranſit ſex bipedalia: ſed ſex pedalium ad duo pedalia pertranſita in pri­ma parte eſt ꝓportio tripla: igitur. Patet conſeq̄n­tia cum maiore: et arguitur minor: videlicet /  medi­antibus illis exceſſibus mobile pertranſit pedale. quia mediante illo gradu quo ſecunda pars ꝓpor­tionalis excedit primam qui eſt extenſus etiam a to­to reſiduo a prima illud mobile pertranſit vnū pe-dale quia mediantibus duobus gradibus coexten­ſis illi parti id eſt toti reſiduo a prima pertranſit bi­pedale / vt ponitur: mediante vno igitur extenſo eidē pertranſitur vnum pedale: et mediante etiã vno gra­du quo tertia pars excedit ſecundam extenſo ꝑ to-tum reſiduum a prima et ſecunda pertranſit ſubdu-plum ad pedale quia extenditur ꝑ in duplo minorē partem: et mediante exceſſu quo quarta excedit ter-tiam qui eſt etiam vnus gradus extenſus per totuꝫ reſiduum a prima ſecūda et tertia / quod ē ſub­duplum ad totum reſiduum a prima et ſecūda et ter­tia pertranſit illud mobile in duplo minus ꝙ̄ medi­ante precedente: igitur ſpacium totale pertranſitū mediantibus illis exceſſibus componitur ex aliqui­bus continuo ſe habentibus in ꝓportiõe ſubdupla et ſubdupla: et primum eſt pedale: ergo totum eſt bi-pedale / quod fuit ꝓbandum. Item partita hora in partes proportionales ꝓportiõe ſexquialtera mo­bili mouente eodem modo quo ponitur in caſu cõ­cluſionis: ſpacium pertranſitum in tota hora ē ſex­tuplum ad ſpacium pertranſitum in prima parte ꝓ­porionali hore. Probatur et ſit gratia argumenti velocitas prime partis ꝓportionalis / vt duo et me­diante illa coextenſa toti hore pertranſeat mobile tripedale: et per conſequens mediante illa in ṗma ꝑ­te ꝓportionali ꝑtranſibit pedale qua ṗma ꝑs ꝓpor­tionalis eſt ſubtripla ad totum diuiſum tali ꝓpor­tione: quo poſito arguitur ſic mediante illa veloci-tate / vt duo coextenſo toti hore ꝑtranſit tripedale et mediantibus exceſſibus etiam ꝑtranſit tripedale: igitur in totali hora ꝑtranſit ſexpedalia: et in prīa parte ꝓportionali vnum pedale / vt ponitur: igitur totale ſpacium ſe habet ad ſpacium pertranſitum ī prima parte ꝓportionali in ꝓportiõe ſextupla / qḋ fuit ꝓbandum. Sed iam probo /  mediantibus ex-ceſſibus pertranſit tripepale quia velocitas ſecun-de partis ꝓportionalis excedit velocitatem prime per totum reſiduum a prima parte proportionali: igitur mediante illo mobile pertranſit vnum peda­le. Patet hec conſequentia / quia mediante vno gra­du in prima parte proportionali mobile pertranſit ſemipedale vt apparet ex caſu: igitur mediante vno gradu extenſo per totum reſiduum a prima parte ꝓ­portionali vnum pedale cum totum reſiduum a pri­ma parte ſit duplum ad illam: et mediante exceſſu quo tertia pars excedit ſecundam / qui eſt etiam vnꝰ gradus ꝑ totum reſiduum a prima et ſecunda exten­ ſus pertranſibit ſubſexquialterum ad illud peda-le: et mediãte exceſſu quo quarta excedit tertiam ex-tenſo per totum reſiduum a prima ſecunda et ter-tia pertranſit etiam ſubſexquialterum ad precedēs cum illi exceſſus continuo ſint equales continuo co­extenſis partibus ī ſexquialtero minoribus: igitur illud ſpacium pertranſitum mediantibus illis ex-ceſſibus componitur ex infinitis continuo ſe haben­tibus in proportione ſexquialtera. / igitur totius il­lius ſpacii ad primum illorum ſpaciorum eſt ꝓpor­tio tripla: et primum eſt pedale: ergo totum eſt tri-pedale / quod fuit probandum. Et ſic patet /  aliquando totale ſpacium eſt ſextuplum aliquan-do triplum ad ſpacium pertranſitum in prima par­te ꝓportionali ¶ Et ex his infertur prima pars cõ-cluſionis videlicet /  non eſt vna regula certa: quaꝫ parteꝫ ꝓbaliter pono / quia forte eſt modus: et cer­ta regula: et nõ occurrit mihi Apparet etiã veritas ſecunde partis / quia quauis ꝓportione propoſita qua tempus diuiditur, mobili mouente / vt ponitur in caſu concluſionis ex dictis poteſt inueniri ſpa-cium pertranſitum in totali tēpore. ¶ Alio tamen modo poterit tale ſpaciū ad inueniri primo imagi­nando medietatem velocitatis prime partis eſſe ſe motam per totam horam: et tunc inuenitur ſpaciū pertranſitum in totali hora mediante reſidua velo­citate manente ex quarta concluſione huius. q2 tūc reſidua velocitas ſe habebit omnino ſicut ponit il­la concluſio. deinde illo ſpacio ſic ad inuento adiū-ge ſpacium natum ꝑertranſiri a velocitate quã ſub­traxeris et ſic totum ſpacium erit ad inuentum quo relato ad ſpacium pertrãſitum in prima parte pro­portionali habebitur queſitum. Exemplum / vt par­tita hora per ꝑtes ꝓportionales ꝓportione dupla mobili moto / vt dictum eſt in caſu concluſionis pre­cedētis: et ſit velocitas prīe ꝑtis ꝓportiõalis vt duo q̄ velocitas ē coextēſa toti hore: et mediãte illa velo­citate vt duo coextenſa toti hore pertranſeat mobi­le exēpli gratia bipedale. remoueas igitur ad ima­ginationem vnum gradum illius velocitatis vt duo que extenditur per totam horam. et tunc manifeſtū eſt /  illa ſemota mobile mouebitur aliqua veloci-tate in prima: et in ſecunda in duplo maiori et in ter­tia in tripla maiori quã in prima etc. / et ſic conſequē­ter: igitur totalis velocitas ſe habebit ad velocita­tem prime partis ꝓportionalis in ꝓportione du-pla ex ſecunda concluſione: et ſpacium pertranſituꝫ in totali hora ſe habebit in ꝓportione duplicata ad ſpacium pertranſitum in prima parte ꝓportio­nali mediante velocitate vt vnum (quia oportet in-telligere alium gradum ſemotum mediante cuius velocitate vnius videlicet gradus mobile pertran-ſit ſemipedale in prima parte ꝓportiõali) / ergo me­diante tota velocitate pertranſit bipedale. et mediã­te illo gradu quē remoueras extenſo per totam ho­ram pertranſit vnuꝫ pedale in tota hora: igitur to­tale ſpacium eſt tripedale: et in prima parte propor­tionali mediantibus illis duobus gradibus ꝑtrã-ſibat pedale: igitur totum ſpaciuꝫ eſt triplū ad ſpa­cium pertranſitum in prima parte Et ſic iudicabis de omnibus.

Duodecima cõcluſio: Si ſit aliquod ts diuiſū ꝑ partes ꝓportiõales ꝓportione dupla et in prima parte ꝓportiõali mobile moueatur ali-quanta velocitate: et in ſecunda in duplo velocius quã in prima: et in tertia in ſexquialtero velocius ̄ in prima: et in quarta in ſexquitertio velociꝰ quam in prima. / et ſic conſequenter procedendo per omēs ſpecies proportionis ſuperparticularis: ſpaciū ꝑ-tranſitum in totali tempore eſt maius quã duplum ad ſpacium pertranſitum in prima parte ꝓportio­nali, et minus ꝙ̄ quadruplum. Probatur prīa ꝑs / quia diuiſa ſic hora per partes proportionales ꝓ-portione dupla: et mobili moto continuo vniformi­ter illo motu quo mouetur in prima parte ꝓportio­nali ſpaciū pertrãſitū adequate in tota hora eſſet adequate duplum ad ſpacium pertranſitum in pri­ma parte proportionali / vt patet ex ſe: ſed mõ mo-bile velocius mouetur quam tunc in qualibet ꝑ­te proportionali dempta prima modo velociꝰ mo-uetur quã tunc / et in prima eque velociter ſicut tunc: igitur pertranſit pluſ̄ duplum ſpaciuꝫ ad ſpaciū pertranſitum in prima parte proportionali. Pro­batur ſecunda pars: quia ſi illud mobile mouetur ī prima parte proportionali aliquantum velociter: et in ſecunda in duplo: et in tertia in triplo velocius quã in prima: et ſic conſequenter vt ponitur in caſu quarte concluſionis: tunc adequate pertranſiret q̈­druplum ſpacium ad ſpacium pertranſitum in pri­ma parte ꝓportionali: vt patet ex quarta concluſio­ne: ſed modo mouetur in totali hora tardius quam tunc ꝑ omnes partes proportionales dempta pri-ma et ſecunda. / et in prima et ſecunda equaliter ſicut tunc: igitur modo pertranſit minus ſpacium quam tunc in totali hora: et tunc quadruplum pertranſit ad ſpacium pertranſitum in prima parte ꝓportio­nali: igitur modo minus quam quadruplū / qḋ fuit ꝓbandum. Et ſic patet concluſio. ¶ Ex cuius ꝓba-tione ſequitur primo /  ſi fuerit tempus diuiſum ꝑ partes ꝓportionales proportione ſexquialtera: et mobile moueatur eodem modo quo dictum eſt ī ca-ſu concluſionis: ſpacium pertranſitum in totali ho­ra erit maius quã triplum ad ſpacium pertranſitū in prima parte ꝓportionali: et minus quã non ocu-plum. Probatur prima pars / quia ſi mobile moue­retur vniformiter per totam horam illa velocitate qua mouetur in prima parte ꝓportionali adequa-te: tunc ſpacium pertranſitū in totali hora eſſet tri­plum ad ſpacium pertranſitum in prima parte pro­portionali quia tota hora ē tripla ad primã ꝑtē ꝓ-portionalem ꝓportione ſexquialtera: ſed modo in totali hora mouetur intenſius quã tunc / vt patet: er­go ſequitur /  modo pertranſibit maius ſpacium quã tunc: et tunc pertranſit triplum ſpacium ad ſpa­cium pertranſitum in prima parte ꝓportionali: er­go modo maius quã triplum: quod fuit ꝓbandum. Probatur ſecunda pars / quia ſi mobile moueretur eodem modo quo ponitur in caſu quarte cõcluſiõis diuiſa ſic hora per partes ꝓportionales ꝓportio-ne ſexquialtera. / tunc ꝑtranſiret nonocuplam ſpaci­um ad ſpacium pertranſitum in prima parte pro-portionali: vt patet ex quinta concluſione: et eius ſe­cundo correlario: ſed modo tardius mouetur in to-tali hora quam tunc: ergo modo tranſit minus ſpa­cium quã nonocuplū ad ſpaciū pertranſitum in pri­ma parte ꝓportionali: quod fuit ꝓbandum.

.1. correl.
2. correl.

¶ Sequitur ſecundo /  hora diuiſa per partes pro­portionales ꝓportione ſuperbipartiente tertias: mobili moto in prima parte proportionali aliquã­tula velocitate: et in ſecunda in ꝓportione ſupertri-partiēte quartas velocius: et in tertia in proportio­ne ſupertripartiente octauas velocius quã in ſecū-da: et in quarta in ꝓportione ſupratripartiente de-cimas ſextas velocius ꝙ̄ in tertia: et ſic conſequēter ſpacium pertranſitum in totali hora erit maius ̄ duplum ſexquialterum ad ſpacium ꝑtranſitum in prima parte ꝓportionali et minus quã ſexdecuplū ſexquiquartum. ¶ Sequitur tertio /  diuiſa hora ꝑ partes proportionales tripla proportione: et ī pri­ma parte proportionali mobile moueatur aliquã-tula velocitate. et in ſecunda in ſuprabipartiente ter­tias maiori velocitate: et in tertia in ſuperbipartiē­te quintas maiore velocitate ꝙ̄ in prima: et in quar­ta in ſuperbipartiente ſeptimas maiori ꝙ̄ in prīa et in quinta in ſuperbipartiente nonas maiori ꝙ̄ in prima: et ſic conſequenter procedendo ꝑ ſpecies pro­portionis ſuperbipartientis denominatas a nūe-ris īparibꝰ vĺ a ꝑtibꝰ aliq̊tis a nūeris īparibꝰ deno­minatis: ſpacium ꝑtranſitum in totali hora ē ma-ius ꝙ̄ ſexquialterum ad ſpacium pertranſitum in ṗ­ma parte proportionali: et minus quã dupluꝫ ſex-quartum. ¶ Sequitur quarto /  diuiſa hora ꝑ par-tes ꝓportionales ꝓportione quadrupla: et in ṗma ꝑte proportionali mobile moueat̄̄ aliquantula ve­locitate: et in ſecunda in ſexquialtero velocius: et in tertia in ſuperbipartienti tertias velocius ꝙ̄ in pri­ma: et in quarta in ſupertripartiente quartas velo­cius ꝙ̄ in prima: et in quinta in ſuperbipartiente n­tas velocius ꝙ̄ in prima et in ſexta in ſupertripar-tiente octauas velocius ꝙ̄ in prima: et ſic conſequen­ter in partibus imparibus procedendo per propor­tionem ſupertripartientem: et in paribus ꝑ ꝓportio­nem ſuperbipartientem: ſpacium pertranſitum in totali hora eſt pluſ̄ ſexquitertium ad ſpacium per­tranſitum in prima parte ꝓportionali: et minꝰ quã ſuperſeptipartiens nonas ad ſpacium pertranſi-tum in prima Iſta tria correlaria eandem cum ſu-periori correlario ſortiuntur demonſtrationem.

.3. correl. 4. correl.
Queſtio

¶ Sed queret equilibris calculator ad amiſſim om­nia coniectans et numerorū quadã ſtatera appen-dens adequatam velocitatem qua in tota hora il-lud mobile mouetur: et adequatum ſpacium ꝑtran-ſitum a tali mobili in caſu duodecime concluſionis et quatuor lateralium correlariorum eam ſequenti­um. Hinc curioſe queſtioni (cui queſtioni querente proteruo difficilis eſt reſponſio) ei ſilentium impo-nens per duas ꝓpoſitiones reſpõdeo.

Prima propoſitio Si velocitas in in­finitum difformis aliquã coherentiam ſiue ꝓportio­nem continuo ſeruat: facile eſt totalem velocitatem cõmenſurare: et ſpacium mediante illa tranſitū mē­tiri. Patet hec ꝓpoſitio / quia ſi continuo velocita-tes in eadem proportione ſe habeant: et etiam ſpa­cia ſe in aliqua ꝓportione continuo ſe habebunt: et tunc cognita illa ꝓportione iam totale ſpacium ſe habebit ad ſpacium pertranſituꝫ in prima parte ꝓ­poſtionali in ea ꝓportione in qua ſe habebit totū eadem proportione diuiſum ad primam eius ꝑtem ꝓportionalem / vt dictum eſt ſupra.

Secunda propoſitio Non habentibꝰ illis velocitatibus difformibus aliquam cõtinuo ī­ter ſe proportionem ſicut ſit in caſu duodecime con­cluſionis et ſequentium correlariorum: impoſſibile eſt naturaliter intellectum finite capacitatis talem velocitatem ſic difformē ad vniformitatem redige­re: et adequatum ſpacium pertranſitum infallibili­rer aſſignare. Probatur hec ꝓpoſitio / quia cū ſint ibi iufinite velocitates inequales ſi nullam vnifor-mitateꝫ proportionum inter ſe ſeruent ſed cõtinuo ſe habeãt in alia et alia proportione oporteret intel-lectum infinitas ꝓpoſitiones rimari, et deinde con-ſiderare quantum velocitas in vna ꝓportione mi-nor altera plus facit ad pertrãſitum ſpacii ꝙ̄ alte­ra in eadem proportione minor: ſed impoſſibile eſt /  intellectus finite capacitatis iſta infinita proſpi­ ciat et ſine tali preſpectione et preſcrutatione nõ po­terit ſpacium pertranſitum in totali tempore meti­ri: conſequens igitur erit /  in tali caſu nequit certi­tudinaliter reſponſionem ferre Et ſic patet ꝓpoſi-tio. Credo tamen animas ſeparatas a corpore et in­telligentias in imꝑſpecto tempore omīa iſta cogno­ſcere Ceſſet / igitur dolor querulantium et non putat homo ſua terminus clauſa intelligentia et finita ca­pacitate vniuerſalem rerum naturalium amplitu-dineꝫ difformes monſtruoſaſ motiones amplecti at comprehendere. Hoc enim valde difficile eſt ꝑ-inde at infinitam magnitudinem finito loco ꝑſtrī­gere Quare non abs re ſapientiſſimus ille ſalomõ rerum naturalium difformes motus animo reuol-ueus res naturales quo ad ſui motiones cognitu difficiles cenſuit ecclaſiaſtes primo capite inquiēs Cunte res difficiles: non poteſt eas homo explica­re ſermone quare non ſatiatur oculus viſu nec au­ris auditu Quam ſententiã pertractans hugo car­dinalis inquit explicat ecclaſiaſtes quam in explica­bilis ſit rerum naturalium mitabilitas dicēs cun-ctas res naturales difficiles eſſe tū ad ītelligendū tū ēt ad explicãdū Nec eī nūerari poſſūt mĺtitudīe nec ↄ̨hendi quãtitate: nec inueſtigari queunt ꝓfun­ditate Et ſubdit infirmitati noſtri intellectus cõdo­lens. Quantis ergo tenebris homo inuoluit̄̄: quan­ta ignorantie cecitate humanus ſenſus coartatur / vt vix pauca etiam ſecundum ſuperficiem attinge-re poteſt qui ſi ſingula ſecundū exteriorē ſpē3 cerne­ret: vim lateutem, naturam inuiſibilem rerū nul-latenus penetraret. Uniuerſitas igitur rerum om-nino hoī incõhēſibilis et m exteriorē ſpē3 ē et m ī­terioreꝫ qualitatē Hec ille Quare non ſolum in -dictis caſibus non valet infallibiliter adequatum ſpacium tali velocite difformi pertranſitum inue-niri (quãuis de facto ſit aliquod adequatum ſpaci­um / quod adequate pertranſitur) verumetiam ī no­tioribus aliis caſibus talis ſpacii certitudo cecutiē­tibus nobis in hoc ſeculo non valet reperiri: et certi­tudinaliter metiri: vt ſi quiſpiam ponat /  partita hora per partes ꝓportionales proportione dupla mobile in prima parte ꝓportionali aliquantū ve-lociter mouatur, et in ſecunda in ſexquialtero velo­cius et in tertia in ſexquiquinto et in quarta in ſex­octauo ꝙ̄ in prima. / et ſic conſequenter procedendo per ſpecies proportionis ſuperparticularis inter ſcalariter continuo duos omittendo. Item ſi diui-ſa hora per partes ꝓportionales ꝓportione tripla a. mobile in prima parte proportionali moueatur aliquãtulum: et in ſecunda in ſexquiquinto velocius et in tertia in ſexquinono velocius ꝙ̄ in prima, et in quarta in ſexquitridecimo velocius ꝙ̄ ī prima et in quinta in ſexdecimo ſeptimo velocius ꝙ̄ in prima / et ſic conſequenter procedendo per ſpecies propor-tionis ſuperparticularis continuo omittendo tres Item ſic procedendo continuo omittendo quatuor Item omittendo continuo quin et .6. et .7. / et ſic cõ­ſequenter: infinite dabuntur velocitates difformes quarum vniformitas a nobis nequa̄ naturaliter reperiri poteſt. Deinde diuiſa hora per partes ꝓ-portionales ꝓportione quadrupla. et in prima par­te ꝓportionali moueatur a. mobile aliquantū velo­citer: et in ſecunda in duplo ſexquialtero velocius: et in tertia in ſupertripartiente quartas velocius ꝙ̄ ī prima: et in quarta in ſexquialtero velocius ꝙ̄ in ṗ­ma et in quinta in triplo velocius ꝙ̄ in prima: et ī ſex­ta in dupla ſexquiſexto velocius ꝙ̄ in prima / et ſic cõ­ſequenter ꝑmiſcendo ſeriatim ſpecies diuerſorum generum proportionis. ¶ Ex his ſatis facile appa­ ret multa talia nobis incomprehenſibilia eſſe. Nec tamen propterea hec ars reiicienda eſt: quoniã et ſi infinita ſint nobis incomprehēſibilia: infinita etiã mathematica demonſtratione valent a nobis infal­libiliter demonſtrari. puta ea que continuum ordi-nem alicuius ꝓportionis obſeruant vt ſuperius di­ctum eſt Cetera vero ſicut nullum ordinem ſeruant ita nullis regulis ſcientie aſtringi valent ¶Hic ta-men vnum aduertendum eſt /  plerun homo arbi­trabitur nullam eſſe ſeriem aut ordinem proportio­num in aliquo caſu ſibi propoſito: nihilominꝰ ma­turius et diutius conſideranti occurret talis ordo. ſicut in caſu quarte concluſionis non apparet ali-quis ordo alicuius ꝓportionis continue: nihilomi­nus ibi reperitur continuo equalitas velocitatū in partibus inequalibus. ¶ Sed petes / d igitur calcu­latori proponenti tales caſus in publica et celebri litteraria paleſtra reſpondendum ſit.

cccleſia-ſtes .1. ca. hugo car­di. nota. Queſtio
horen.

Reſpondeo ponendo / quandam ꝓpo-ſitionem quã ponit doctiſſimus ꝓportionū indaga­tor magiſter nicholaus horen. ¶ Ubicun occurrit multiplicitas ꝓportionum inṫ quas facile nõ repe­ritur proportio cenſendum eſt multas earum irra-tionales eſſe ad inuicem, quare et ſpacia pertranſi­ta irrationalia eſſe Qua propter cuꝫ talis caſus ꝓ­ponitur reſpondendum eſt ſpacium pertranſitū in tota hora incõmenſurabile eſſe ſpacio pertranſito in prima parte ꝓportionali. ¶ Sed dices īſtabit ta­men totis viribus illiberalis at acerrimus calcu­lator: grandia verba trutinando inflata bucca: ſupercilio eleuato: rugata fronte: at ore tragi-co: rationem ſuam inſolubilem perſonabit, multiſ­ clamoribus reſpondentem vulgo ſuperatum at­ deuictum nitetur oſtendere.

Reſpondeo /  in ſimili negocio dupli-ci cautela vtendum cenſeo ¶ Prima pro delubrio et ridiculo habeatur argumentum eius tan̄ inutile et intelligibile petatur calamus et atramentariū / vt ſpecie multiplicationis ceteriſ algoriſmi ſpe-ciebꝰ calculari valeat velocitatis ītēſio in caſu ꝑ eū poſito. ¶ Secunda cautela Dicatur breuiter arguē­ti /  talis velocitas non poteſt infallibiliter et certi­tudinaliter calculari perinde at multe alie diffor­mes velocitates non valent naturaliter ad vnifor-mitatem reduci. Et ſi clamoribus velit reſponden-tem expugnare oppoſitum aſſeuerendo: proponat ei reſpondens ſimilem caſum et dicat ei vt certificet illi de ſpacio pertranſito adequato mediante tali velocitate difformi. Et ſi dixerit /  non eſt poſſibile naturaliter inuenire velocitatem adequatam in ta­li caſu: ſubiungat reſpondens /  nec in ſuo ſimiliter pari ratione. Si autem dicat opponens ſe nolle ta­le ſpacium aſſignare quauis aſſignabile ſit natura­liter: hoc idem dicat ei reſpondens. Et hac cautela reſpondendi (ſi fas eſt etiam eam cautelam in ꝓpo­ſito appellare) vſus eſt redemptor noſter luce .20. cuius oculis omnia nuda et aperta ſūt ad hebreos quarto cum interrogantibus principibus ſacerdo­tum in qua poteſtate hoc facis: dixit: interrogabo vus et ego vnum aliud verbum. Reſpondente michi baptiſmus iohannis de celo erat an ex hominibus qui perplexi in reſponſione ne videlicet in igno-miniam aut iram populi inciderent: reſpondebant ſe neſcire. Et rurſum ſubiunxit dominus nec ego di­cam vobis in qua poteſtate hec facio ¶ His exactis ſecundum noſtri ingenioli capacitatē ſit concluſio reſponſiua ad queſtionem.

luce .20. hebre. 4.

Oīs motꝰ vniformiter difformis quo ad tempus menſurari habet penes gradum mediū Omniſ difformiter difformis quo ad tempus pe­nes reductionem ad vniformitatem ſiue penes cal-culationem denominationis: et ſi in nõ nullis caſi-bus difficile ſit aut impoſſibile naturaliter ad admiſ­ſim infallibiliter velocitatem menſurare. Hec cõ­cluſio ſuum colorem apparentiam et probabilita-tem ex ſuperioribus ſortitur.

Ad rationes ante oppoſitum Ad pri-mam reſponſum eſt ibi vſ ad vltimam replicã ad quã reſpondeo concedendo ſequelam: et negãdo fal­ſitatē cõſequentis: et cū ꝓbatur / quia alias ſequere-tur mobile qḋ continuo īfinite velociter intēdit mo­tū ſuū infinite tarde moueri: nego illã ſequelã et ad ꝓbationē admitto caſū: et ad argumentū cõcedo an­tecedēs capiēdo ly infinita ī maiore et minore ſin ca­thegorematice et nego cõſequētiã. ¶ Ex quo ſequit̄̄ /  in caſu poſito quodlibet illoꝝ īmediate poſt hoc infinita tarditate mouebit̄̄ et tñ īmediate poſt hoc infinita velocitate mouebitur aliquod illorū Cor-relarium hoc facile patet ex caſu. ¶ Sequitur ſecun­do /  in caſu poſito qḋlibet iſtoꝝ īmediate poſt hoc in infinitū modicū ſpacium per aliquod tempus ꝑ-tranſibit: et tñ īmediate poſt hoc infinite magnum ſpaciū ꝑtrãſibit aliquod illoꝝ ꝑ aliquod tempus.

.1. correl. 2. correl.

Patet correlariū / quia ſpacia velocitatibus cõmē­ſurantur. ¶ Sequitur tertio /  īmediate poſt hoc in­finita tarditate mouebitur aliquod illorum: et nul­lum iſtorum īmediate poſt hoc mouebitur ita tarde ſicut a. et a. mouebitur: et ipſuꝫ a. nõ īmediate pꝰ hoc infinita tarditate mouebitur. Probatur correlari­um et pono caſum /  ſint infinita mobilia a. b.c. etc. et incipiat a. moueri ab octauo vſ ad non gradum ī hora vniformiter difformiter: et b. a gradu duplo vſ ad non graduꝫ in prima medietate: et c. adhuc a gradu duplo ad illum in prima quarta hore vſ ad non gradum. et d. a gradu duplo a quo incipit c. in prima octaua hore vſ ad non gradum et ſic in ī­finitum Quo poſito ſequitur /  immediate pꝰ hoc infinita tarditate mouebitur aliquod iſtoruꝫ: quia immediate poſt hoc erit aliquod iſtorum prope nõ gradum motus: et aliud in duplo propinquius non gradui: et aliud in quadruplo: et ſic conſequenter / et nullum iſtorum immediate poſt hoc mouebitur ita tarde ſicut a. quoniam quodlibet illorum incipit ve­locius moueri quã a. dempto a. et quodlibet illoruꝫ immediate poſt hoc per aliquod tempus mouebi-tur velocius quã a. / ergo nullum iſtorum immedia-te poſt hoc mouebitur ita tarde ſicut a. in eodem tē-pore Et  a. nõ immediate poſt hoc infinita tardi-tate mouetur. Probatur / quia immediate poſt hoc mouetur maiori quã vt .6. / igitur non infinita tardi­tate mouebitur. Et ſic patet correlariū. ¶ Ad ṗmaꝫ confirmationē reſponſum eſt ibi vſ ad vltimaꝫ re­plicam: ad quã reſpondeo negando ſequelam im-mo dico /  poſſibile eſt  eque velociter geometrice intendatur vnus motus in tempore finito ſicut al-ter remittitur ipſis in principio exiſtentibus equa-libus: ſed oportet illum qui intenditur infinitam ve­locitatem acquirere in illo tempore finito in quo al­ter motus remittitur ad non gradum. et ad proba-tionem ſequele dico /  rñſio loquit̄̄ de motu  vſ ad certū gradū finite intenditur: et de tali bene con­cedo  nõ eſt poſſibile ipſū eque velociter ꝓportio-nabiliter intēdi ſicut alter motus ad non gradū re­mittit̄̄. ¶ Ad ſecundã confirmationem que facilis ē: rñdeo negãdo ſequelã īmo dico /  qñ vnus eſt remiſ­ſus ad ſubduplū alter eſt remiſſus ad nõ gradū. Et cū ꝓbatur /  non q2 qñ vnus eſt remiſſus ad ſubdu­ plum perdidit proportioneꝫ duplam: et alter remit­titur in duplo velocius adequate: ergo debuit per­didiſſe proportionem quadruplam preciſe q̄ eſt du­pla duple: nego conſequentiam. Et ratio eſt / q2 illḋ mobile non ſufficit ad illum motum remitti in du-plo velocius altero qnia hic non loquimur de velo­citate geometrica ſed arithmetica que debet attē-di penes latitudinem deperditam: et non penes ꝓ-portionem deperditam et ſic debet ſemper capi quã­do dicitur eque velociter, ſi non addatur propor-tionabiliter aut geometrice. ¶ Ad tertiam confir-mationem reſpondeo negando ſequelam: et cum ꝓ­batur / quia ſemper a. in duplo velocius acquiret la­titudinem quã b. et hec intenſio procedit in infinituꝫ etc. / igitur aliquando a. erit duplus motus ad b. ne-go conſequentiam: et cum probatur conſequentia. quia per infinituꝫ latitudo acquiſita ipſi a. excedet latitudinem acquiſitam ipſi b. / ergo aliquando mo­tus a. erit duplus ad motum b. conceſſo anteceden-te nego conſequentiam / vt argumentum probat eã negandam eſſe. ¶ Ad quartam confirmationem reſ­ponſum eſt vſ ad vltimam replicam ad quam reſ­pondet ſeptima propoſitio primi notabilis huius queſtionis cum annotationibus ibi poſitis.

.3. correl:

Ad ſecundam rationem reſpondeo cõ­cedēdo ſequelã et negando falſitatem conſequentis et ad ꝓbationem concedo  illi motus ſunt equales in principio et equales in fine et equalem latitudinē deperdunt in totali illo tēpore cathegorematice: et cū infertur / ergo in toto illo tꝑe ſunt equales: nego illã conſequentiam: quia non mediantibus eis eq̈-le ſpaciū pertranſitur / vt patet ex tertia concluſiõe tertii notabilis: et ex deductione argumēti. Et hec ē ſolutio ibi poſita. Et ad replicam conceditur ſeque­la: et negatur falſitas ↄ̨ñtis vt docet argumentum: et ſecundum correlarium tertie propoſitionis ter-tii notabilis.

Ad tertiam rationeꝫ reſpondeo negã­do ſequelam. immo dico /  dabitur certa intenſio ī caſu poſito in argumento. ſed non erit rationalis ad intenſionem velocitatis prime partis: Nec hoc requiritur. Quod tamen totalis ille motus ſit intē­ſior motu vt ſex vniformi probatur / quia ſi hora eēt diuiſa in duas partes equales et in prima illarum mobile moueretur vt octo. et in ſecunda vt quatuor totus motus eſſet vt ſex (vt notum eſt) ſed motus iſte de quo fit mentio in caſu argumenti eſt intenſior: cū maior pars quã medietas ſit vt octo et reſidua vt 4. / ergo ſequitur /  ille motus eſt intenſior quã mo-tus vt ſex / quod fuit probandum. Et ad primam re-plicam dictum eſt ibi. Ad vltimam vero reſpondeo negando conſequentiam ſicut docet eam negandã ſecunda concluſio huius capitis vide eam ibi.

Ad quartam rationem reſponſum eſt ibi vſ ad replicam ad quam replicam cum ſuis cõ­firmationibus patet reſponſio ex duodecima con-cluſione huius capitis cuꝫ ſuis correlariis: Uide eã Et hec de queſtione et capitulo tertio.

Capitulum quartum in quo diſputatiue īquiritur quõ motus difformis quo ad ſubiectū et ts ſimul: pa­riter motus mixti veloci­tas cognoſci debeat.

ABſoluta ſuperioribus capiti-bus doctrina perſcrutande motus dif-mis quo ad ſubiectū et difformis quo ad tempus velocius: iã nūc reſtat velocitateꝫ motus difformis quo ad tempus et quo ad ſubiectū ſimul itidē motus mixti inquiramus ſolito per more diſ­putatiue ꝓcedētes. ¶ Queritur ergo penes qḋ tan-̄ penes effectum motus difformis quo ad tempus et ſubiectū ſimul necnõ motus mixti velocitas atten­di habeat. an vcꝫ motꝰ difformis quo ad ts et ſub-iectū ſimul velocitas menſurari debeat penes lineã deſcriptam mediante velocitate vniformi ad quaꝫ talis velocitas difformis reduci habet: et an motus mixti velocitas attendi habeat penes ſpacium com­poſitum ex ſpaciis ꝑtranſitis mediantibus pluri-bus motibus quibus ſimul moueatur mobile motū motu mixti.

Et arguitur primo /  velocitas motꝰ difformis quo ad tempus et ſubiectum ſimul nõ at­tendi habeat penes lineam deſcriptam etc. Quia ſi ſic ſequeretur /  adequata velocitas talis motꝰ mē­ſuranda eēt penes reductionē ad vniformitatē: ſed ↄ̨ñs eſt falſum / igitur illud ex quo ſequitur /. Seque-la patet et arguitur falſitas conſequentis. quia tūc ſequeretur /  ſi vna rota inciperet moueri circulari­ter cõtinuo vniformiter intendo motū ſuū a gradu quarto vſ ad octauū in hora adequate: tunc talis rota in tota illa hora moueretur adequate veloci-tate vt ſex tranſeundo ſpaciū natū abſolui a veloci­tate vt .6. in hora adeq̈te: ſed ↄ̨ñs eſt falſū / igitur il-lud ex quo ſequitur /. Sequela ptꝫ / q2 tota illa veloci­tas q̄ (vt conſtat) eſt vniformiter difformis a quar-to vſ ad octauum correſpondet motui vniformi vt 6. ex ſupradictis Falſitas conſequentis probatur: q2 tunc ſequeretur /  ſi illa rota ſic incipiens moue­ri vniformiter difformiter cõtinuo vniformiter in-tendendo motum ſuum a quarto vſ ad octauū cõ­tinuo etiã rarefieret per illam horam: ipſa adeq̈te moueretur etiã velocitate vt .6. / ſed conſequens ē fal­ſum / igitur illud ex quo ſequitur /. Sequela patet / q2 ille motus vt ponitur eſt vniformiter difformis a q̈r­to vſ ad octauū: et velocitas vniformis cui correſ­pondet eſt vt .6. / ergo ſi illa rota mouetur vniformi­ter difformiter continuo ī illa hora: a quarto vſ ad octauum: ipſa adequate in illa hora mouetur ve­locitate vt .6. Sed iam ꝓbo falſitatem conſequētis / q2 ſi illa rota nõ rarefieret ſed ſoluꝫ moueretur mo­tu circulari vniformiter difformi in illa hora a q̈r-to vſ ad octauū ſine rarefactione: tūc ipſa moue-ret̄̄ ī illa hora adeq̈te velocitate vt .6.: ſed addita il-la rarefactiõe ipſa mouet̄̄ velociꝰ ꝙ̄ tūc: igr̄ ī illo ca­ſu quo rarefit ipſa mouet̄̄ maiori velocitate ꝙ̄ ſit ve­locitas vt .6. Cõſequentia patet ex ſe et arguitur mi­nor / q2 ex ſuperius dictis velocitas totiꝰ illius rote attendi hꝫ cõtinuo penes pūctū mediū vel ſūmū. ſꝫ pūtus medius et ſūmꝰ in tota hora adequate ꝑ mo-tū circularē quo mouet̄̄ a q̈rto vſ ad octauum per­tranſit t ſpaciū ac ſi nõ rarefieret: et in ſuꝑ ꝑ motū rarefactionis pertranſiuit illud ſpaciū ꝑ qḋ plꝰ di­ſtat a centro illiꝰ rote ꝙ̄ diſtabat a prīcipio illiꝰ mo­tus: igr̄ maius ſpaciū ꝑtrãſit qñ rarefit ꝙ̄ qñ nõ ra­refit / quod fuit probandum. ¶ Dices et bene ad ar-gumentum concedendo ſequelam et negando falſi-tatem conſequentis. et ad ꝓbationem concedo ſeq̄-lam et nego iterum falſitatem conſequentis: et cū ꝓ-batur nego ſequelam:  vlꝫ ſi illa rota ſic incipiēs moueri vniformiter difformiter continuo vniformi­ter intendendo motum ſuum et ipſa adequate mo-ueretur etiam velocitate vt ſex. Et ratio eſt / quia il-la rota mouetur duplici motu per vtrū deſcriben­do ſpacium: puta motu circulari vel quodammodo habente naturam motus circularis (quia continuo mouetur ſuper eodem axe quamuis non proprie li­neam circularem deſcribat / vt ſuperius dictum eſt) et inſuper mouetur punctus a cuius velocitate deb3 ſumi totalis velocitas ipſius rote motu rarefactio­nis continuo recedendo a centro Quare velocitas illius puncti et ex conſequenti ipſius rote debet cõ-menſurari penes lineam aggregatam ex linea quã deſcriberet ille punctus ſecluſa rarefactione: et pe-nes lineam breuiſſimam per quam plus diſtat a cē­tro ꝙ̄ ante rarefactionem diſtabat.

Dicitur.

Sed contra / quia tunc ſequeretur /  ſi rota b. inciperet moueri circulariter puncto eius medio a cuius velocitate (vt ſuppono) debet com-menſurari totalis rote velocitas mouēte in prima parte proportionali hore proportiune quadrupla diuiſe velocitate vt quatuor et in ſecunda in duplo velocius: et in tertia in duplo velocius ꝙ̄ in ſecun-da: et ſic conſequenter: et cum hoc in qualibet parte proportionali illa rota vniformiter rarefieret tali­ter  ille punctus medius in qualibet parte ꝓpor-tionali acquireret pedalem diſtanttam a centro ſu­pra diſtantiam habitam: tunc ipſa rota in illa ho-ra adequate finite deſcriberet ad lineam deſcriptam in prima parte proportionali: ſecundum conſequens eſt falſum / igitur illud ex quo ſequitur: Sequela patet ex primo correlario ſeptime concluſionis preceden­tis capitis: et falſitas conſeqnentis probatur quia punctus ille a cuius velocitate debet ſumi veloci-tas totius rote infinitam lineam deſcribit in illa hora. ergo ſequitur /  non pertranſit in totali ho-ra duplum ſpacium adequate ad ſpacium ꝑirã-ſitum in prima parte proportionali: Antecedens probatur / quia ille punctus deſcribit lineam in illa hora qua magis diſtat a centro per pedale ꝙ̄ an-tea: et per bipedale ꝙ̄ antea: et per quadrupedale: et ſic in infinitum: cum ex caſu in qualibet parte pro­portionali deſcribit pedalem diſtantiam per rare­factionem recedendo a centro. igitur ille punctus ī-finitam lineam deſcribit in illa hora / quod fuit pro­bandum.

Secundo principaliter contra ſecun­dam partem queſtionis arguitur ſic. quia ſi illa pars eſſet vera ſequeretur /  aliquod mobile in ali­quo tempore continuo remitteret motum ſuum pro­prium vſ ad non gradum: et tamen continuo in eo­dem tempore velocius et velocius ſpacium pertran­ſiret: ſed hoc videtur implicare / igitur illud ex quo ſequitur. Sequela probatur. et pono /  ſortes mo-ueatur in aliqua naui verſus eandem differentiam verſus quam mouetur nauis ab aliquo gradu: con­tiuuo remittendo motum ſuum vſ ad non gradū ipſa naue continuo intendente motum ſuum ab eo­deꝫ gradu velocius ꝙ̄ ſortes remittat. Quo poſito ſortes continuo remittit motuꝫ ſuum et hoc vſ ad non gradum: et tamen continuo in eodem tempore velocius et velocius ſpacium pertranſit: quod fuit probandum: igitur propoſitum. Maior patet ex ca­ſu et minor probatur. quia continuo velocitas mix-ta ſiue compoſita ex velocitate propria qua moue-tur ſortes et ex velocitate ipſins nauis eſt maior et maior cum continuo maiorem velocitatem acqui-rit ꝙ̄ deperdit ex caſu: igitur continuo ſortes velo-cius et velocius ſpacium pertranſit / quod fuit pro-bandum. ¶ Dices et bene concedendo ſequelam.

Dicitur.

Nec hoc eſt inconueniens quando mobile mouetur motu mixto ex motu proprio et motu lationis.

Sed cõtra / q2 tūc ſequeretur /  ſtaret ī caſu ſortē valde fatigari nitendo moueri nullo im­pedimēto poſito imo ipſo ſorte habēte optimã diſ­poſitionē. ad currenduꝫ et ad mouēdū: et tñ nullo pa­cto moueri: ſed hoc ē falſuꝫ igitur. Falſitas ↄ̨ñtꝪ pꝫ / q2 ſi nullū ē īpedimentū: et ſortes nitit̄̄ moueri: ſet̄̄ /  ipſe ſortes mouetur. Itē ſortes fatigat̄̄: et nõ niſi q2 mouetur: igr̄ ſortes mouetur Seq̄la tñ ꝓbatur et pono caſu /  ſortes ſit in naui q̄ moueat̄̄ ſus oriē-tē: et ſortes nitatur moueri ſus occidentē. ita  ſor­tes deſcribat aliquod ſpaciū in ipſa naui ita velo­citer ſicut nauis mouetur adequate: et moueat̄̄ na-uis ita velociter  ſortes fatigetur plurimū. Quo poſito arguitur ſic / ſortes fatigatur nitendo moue­ri nullo īpedimēto poſito et tñ nõ mouetur igr̄. Mi-nor ꝓbatur / q2 ſortes ſemꝑ eſt in eodē loco reſpectu ſpacii fixi ex quo debet ſumi idētitas loci et īmobili­tas. vt patet ꝑ ph quarto phiſicoꝝ dicentē locū eē terminū cõtinētis īmobilē ṗmū: igitur ſortes ī tali caſu nõ mouet̄̄ (nullū eī ſpaciū fixū deſcribit) / igitur

Tertio prīcipalit̄̄ ↄ̨̨tra eadē ꝑtē q̄ſtio­nis arguitur ſic: q2 nullꝰ eſt motꝰ mixtus. g̊ illa pars ſupponit falſum et ꝑ ↄ̨ñs falſa. Añs ꝓbatur / q2 ſi eſſet alis motus mixtus maxime eſſet motus cõpo­ſitus ex aſcenſu et deſcēſu: ſꝫ nullus eſt dabilis ta-lis: igitur. Probat̄̄ minor / q2 ſi alis talis eēt dabi­lis: ſeq̄retur /  dabile eēt vnū corpꝰ finitū cuius vna pars aſcenderet et alia deſcenderet: et relictum ſue naturali diſpoſitione ſic ꝑpetuo moueretur ↄ̨tinuo vna ꝑte eiꝰ aſcendente et alia deſcendēte: ſꝫ ↄ̨ñs ē fal­ſum: igr̄ illḋ ex quo ſet̄̄. Seq̄la ꝓbatur et pono caſū /  terra ſit ꝑforata ꝑ cētrū mūdi ab oriēte in occidē­tē: et capiat̄̄ globꝰ terre vniformis grauitatis vĺ ali­cuiꝰ alteriꝰ figure (ī idē reddit) descēdat illa terra ꝑ illḋ foramē vſ. ad cētrū mūdi illo foramīe vacuo exñte ꝑmittat deꝰ illã terrã moueri tãdiu ̄diu ha­buerit ꝓportionē maioris ineq̈litatis ad mouēdū. Quo poſito ſic argumētor. illa terra ꝑpetuo moue­bit̄̄ ↄ̨tinuo vna ꝑte eiꝰ aſcēdēte et alṫa deſcēdēte: igr̄ ꝓpoſitū Probat̄̄ añs / q2 īclinatio illiꝰ ṫre ē  cētrū eiꝰ ſit cētrū mūdi: cū idē ſit locꝰ totiꝰ et ꝑtꝪ prīo celi. igr̄ illa terra ſue naturali diſpoſitioni relicta cõti­nuo mouebit̄̄ quovſ (ſi fieri t) cētrū eiꝰ ſit cētrum mundi: ſꝫ ſic mouēdo ꝑ infinitū ts mouebit̄̄ ãtea̄ (ſi fieri t) cētrū eiꝰ fiat cētrū mūdi: igr̄ illa terra ꝑ-petuo mouebit̄̄ cõtinuo vna ꝑte eiꝰ aſcendēte et alia deſcēdēte: qḋ fuit ꝓbandū Sꝫ iam ꝓbo /  talis terra ſic mouēdo ꝑ infinitū ts mouebit̄̄ antea ꝙ̄ etc. cētrū eiꝰ fiat cētrū mūdi. Qḋ ſic ꝓbat̄̄ et volo /  diuidat̄̄ illa terra in q̈tuor ꝑtes eq̈les: et  vna illaꝝ ſit vltra cen­trū reliq̄ vero tres ſint citra centrū: et manifeſtū eſt  q̈rta vltra cētrū reſiſtit tribꝰ q̈rtis citra cētruꝫ ne deſcēdãt vt ↄ̨ſtat: et deſcēdūt ſiue īcipiūt deſcendere illi tres q̈rte a ꝓportione tripla mouēdo vel mīori: vt patet ex caſu: diuido igr̄ medietatē exceſſus quo pars citra cētrū excedit ꝑtē vltra cētrū q̄ dē medie-tas exceſſus eſt vna q̈rta īter cētrū illius globi et cē­trū mundi: et hoc ꝑ ꝑtes ꝓportionales ꝓportiõe du­pla maioribꝰ ſus cētrū mūdi terminatis quo poſi­to arguit̄̄ ſic q̄libet pars ꝓportionalis illius exceſ­ſus descēdet: et ꝑ tãtū tꝑis vel maiꝰ mouebit̄̄ ſiue de­ſcēdet q̄libet ſicut īmediate cedens eã: et ſūt infini-te: igr̄ ꝑ infinitꝫ ts mouebitur talis terra / qḋ fuit ꝓ­bãdū Probat̄̄ minor / q2 ṗma illaꝝ ꝑtiū deſcendet a ꝓportione tripla vel minori. et ſcḋa deſcendet a ꝓ­portione ſuprabiꝑtiēs tertias vel minori q̄ ē minor ̄ ſubdupla ad triplã vt ↄ̨ſtat intuenti: et tertia a ꝓ­portione ſuprabipartiente ſeptimas vel minori q̄ eſt minor ꝙ̄ ſubdupla ad ꝓportionē ſuprabipartiē­ tē tertias / vt patet aſpiciēti: et quarta deſcendet a ꝓ­portione ſuprabipartiente quīdecimas vel minori q̄ eſt minor ꝙ̄ ſubdupla ad ꝓportioneꝫ ſuprabipar­tientē ſeptimas / et ſic ↄ̨̨ñter repperies  q̄libet pars ꝓportionalis medietatis illius exceſſus ſequēs de­ſcendit a ꝓportione ſubdupla vel minor ad ꝓpor-tionē a qua īcipit deſcendere pars īmediate prece-dens: et ille ꝑtes ꝓportionales cõtinuo ſe hñt in pro­portione dupla: igr̄ ꝑ tãtū tꝑis vel maius mouebit̄̄ ſiue descēdet q̄libet pars ꝓportionalis ſicut īmedi­ate cedēs eã: vel ſaltē ſequitur ꝑ infinitum ts mo­uebitur talis terra / qḋ ꝓbare intendimus.

In oppoſitū tñ arguit̄̄ ſic / q2 penes ali­quid menſnrãda ē tã̄ penes effectū velocitas motꝰ difformis ſcḋm ts et ſubiectum ſimul et ēt motꝰ mix­ti: et nõ niſi penes id qḋ dr̄ ī titulo q̄ſtiõis: igr̄ qõ a

Pro enucleatione huius parue q̄ſtio-nis notãdū eſt primo:  ī oī motu difformi quo ad ts et ſubiectū ſimul velocitas mēſurãda ē penes re­ductionē ad vniformitatē ſaltē denoīationis vt ſu­perius dicebat̄̄ ī ſecūdo capite huiꝰ tractatꝰ ¶ Hoc tñ vnū aduertendū eſt  motus difformis quo ad tē­pus et ſubiectū ſimul aliqñ fit ſecluſo alio motu ſub­iecti puta rarefactionis aut ↄ̨dēſatiõis etc / vt cuꝫ ro­ta nõ rarefacta aut cõdēſata cõtinuo circulariṫ ve-locius et velocius mouet̄̄ aut tardius et tardius. Ali­quando vero fit talis motus cõcomitante rarefacti­one aut condēſatione ſiue augmentatione etc. Pri-mo mõ debet mēſurari talis motꝰ velocitas penes velocitatem qua mouet̄̄ pūctꝰ medius aut velociſ-ſime motꝰ ſcḋm diuerſitatē opinionuū eo mõ quo ſu­perius dicebatur de motu difformi quo ad ſubiectū t Et ēt mēſurãda ē velocitas illiꝰ motus penes li-neã deſcriptã a pūcto medio talis corꝑis vel velo-ciſſime moto: ſed tale pūctū duplici motu mouetur motu vcꝫ locali et rarefactionis ſiue cõdēſatiõis etc. Et ideo tale pūctū tantã lineã deſcribit ac ſi moue-retur ṗmo mõ: et in ſuꝑ deſcribit illã lineã ꝑ quã plꝰ diſtat ſi rarefiat: aut minus ſi condenſetur: a cētro talis motꝰ ꝙ̄ antea diſtabat a principio motꝰ. vt ſi rota moueat̄̄ ī hora cõtinuo rarefiēdo: ita  ꝑ rare­factionē acrat pūctus penes cuiꝰ motū debet attē­di velocitas rote pedalē diſtãtiã a cētro ſupra diſtã­tiã iã habitã: et moueat̄̄ talis pūctus motu circula-ri cõtinuo velociꝰ et velociꝰ: tūc dico /  velocitas ta-lis motus mēſurãda eſt penes lineã quã deſcriberet motu illo circulari ſi non rarefieret: et penes illã li-neã pedalē quã motu rarefactionis deſcribit

Hic tñ tu aduerte /  nõnū̄ mouet̄̄ aliqḋ mobile et motu recto er circulari et rarefactionis ſimul: ita  cõtinuo cētrū illiꝰ corꝑis moueatur: quēadmodū contingit ſi pila vel aliqḋ aliud corpꝰ ſpericū vel al­teriꝰ figure moueat̄̄ motu recto et circulari continuo rotando continuo rarefiendo et ī hoc et ſimili caſu velocitas talis mobilis iudicãda eſt penes velocita­tē cētri mobilis. Nõ eī video quo° certiꝰ et cõmodius talis motꝰ velocitas ↄ̨mēſurari dēat. ¶ Ex his faci­le pꝫ ↄ̨ſiderãti  tot modꝪ tīgit corpꝰ moueri motu difformi quo ad ts et ſubiectū ſimul quot ↄ̨tīgit ip­ſū moueri motu difformi quo ad ts dūtaxat. Põt eī pūctꝰ penes cuiꝰ velocitatē attendi d3 talis motꝰ velocitas in q̊libet illoꝝ triū modoꝝ moueri ī prīa ꝑte ꝓportionali hore ̄uis ꝓportione ꝑtite aliquã­tula velocitate. et in ſcḋa in duplo velociꝰ: et ī tertia ī triplo velociꝰ ꝙ̄ ī ṗma: et ſic ↄ̨ñter. vel quouis alio° et tūc ī iſto et ſiĺibꝰ caſibus velocitas et ſpaciū ꝑtran­ſitū mediãte tali velocitate ex his q̄ dcã ſūt ceden-tibus captis cõmode menſuratur inſpectis theore-matibus ibidem demonſtratis

dupliciṫ dr̄ alid moueri motu mixto ex pĺibꝰ mo­tibus.

Notandem eſt ſecundo /  dupliciṫ t intelligi alid moueri motu mixto ex pĺibꝰ motibꝰ Primo modo eque primo ita  ſecūdum ſe et quod­libet ſui moueatur de per ſe quolibet illorum motu­um: et non aliquo illorum ad motum alterius: vt qñ idem mouetur ſimul motu locali et motu alteratio­nis. Secundo modo dicitur aliquid moueri motu mixto ex pluribus motibus non eque primo: ſꝫ vno motu ex ſe: et alio ad motum alterius: ſic  vnus il-lorum motuuꝫ ſit illi mobili ꝓprius: et alter nõ. quē­admodum fit quãdo homo mouetur in naui mota. Et de tali motu mixti principaliter in preſenti no-tabili loqui intendimus Poteſt addi tertius modꝰ qui eſt cum vna pars aſcendit et alia deſcendit ¶ Un­de velocitas talis motus debet attendi penes ſpa-cium interceptum inter punctum fixū et quieſcens et punctum ſiue terminum in quo eſt tale mobile in fi-ne motus: hoc eſt penes lineam deſcriptã a tali mo­bili inter illos duos terminos. vt ſi ſortes incipiat moueri ſimul cum naue mota verſus orientē veloci­tas motus ſortis debet cõmenſurari penes lineam deſcriptam ab ipſo ſorte a puncto fixo a quo ince-pit ſortes moueri vſ ad punctum fixum in quo eſt ſortes in termino motus. Et hoc vniuerſaliter ē ve-rum ſiue ſortes moueatur ad oppoſitum nauis: ſi-ue verſus eandē differētiã verſus quã mouetur na­uis ſiue nec ad oppoſitam differentiam necud ean-dem ſicut eſſet ſi ſortes moueretur a ſeptentrione ī meridieꝫ in naui mota ab oriente in occidentem.

penes d velocitaſ motꝰ mix­to hēat attendi
correlari­um petri ḋ aliaco.

Ex quibus pulchre et ingenioſe infert dominꝰ car­dinalis de aliaco quatuor correlaria que ſub eadē forma ſequuntur ſub qua ea ſcriptis mandauit

.1. correl.

Primum eſt /  poſſibile eſt ex duobus rectis mo-tum circularē deſcribere id eſt  poſſibile eſt alid moueri duplici motu recto deſcribendo circulū vel partes circuli: Uerbi gratia. deſcribatur vnus cir-culum deinde deſcribatur linea contingens circulū in puncto: equalis diametro illius circuli: et eque di­ſtans ab illo diametro. et in iſta linea in puncto con­tactus ſit muſca a. et vltra ponatur /  iſta linea iuci­piat moueri vniformiter infra circulum quovſ co­operiat diametrū illius circuli: et muſca īcipiat mo­ueri vniformiṫ ſupra illã ſic  dū linea illa cooꝑiet diametrū circuli  tūc muſca ſit in extrēo pūcto li­nee Tūc in iſto caſu muſca deſcribit q̈rtã ꝑtē circuli et tamen mouetur ſoluꝫ duobus motibus rectis ſcꝫ vno ex ſe et alio ad motū linee. Et ſi ponatur /  illa linea moueat̄̄ vltra diametrū quovſ contingat circulū ī pūcto in alia parte circuli: et muſca reuer-tat̄̄ ad locū ſuū. Tūc cū muſca ꝑuenerit ad cõtactū: muſca ſcripſerit medietatē circuli. et ſi vltra adhuc ponat̄̄ illã lineã aſcendere: in fine habebit̄̄  muſca deſcripſerit circulū. ¶ Scḋm correlariū /  ex duo-bus motibꝰ rectis põt fieri vnꝰ motus mixtus ī eodē tꝑe deſcribēs coſtã alicuiꝰ q̈drati et diametrū eiuſdē Uerbi gr̄a deſcribat̄̄ q̈dratū: et īcipiat eiꝰ coſta ſuꝑi­or deſcendere quovſ cooꝑiat coſtã inferiorē: et vl-tra ponat̄̄ /  muſca a. ſit in vno termino illius coſte et īcipiat moueri vniformiter ꝑ illã coſtã ſic  dū co­ſta cooꝑiet aliã coſtã  tunc muſca ſit in alio termīo coſte. Tūc in iſto caſu muſca a. deſcribit diametrū q̈drati: et etiã coſtã eiꝰ in eodē tꝑe: q2 mouet̄̄ ſuꝑ illã coſtã motu ꝓprio. ¶ Tertiū correlariū Poſſibile ē idē mobile moueri motu ſimplici cuius quelibet ꝑs mouet̄̄ motu mixto Uerbi gr̄a ſi aliquod ſpericū de­ſcendat rotãdo ꝑ diametrū mundi ad cētrū: tūc illḋ totū rotūdū mouet̄̄ motu ſimplici: tñ q̄libet pars ꝑ-ticipat de circuitiõe ī ſuo motu et ſic q̄libet pars mo­uetur motu mixto. ¶ Quartū correlarium Poſſi- bile eſt ex duobus motibꝰ regulibus fieri vnū ir-regularē: Uerbi gr̄a moueat̄̄ nauis vniformiter ab oriēte in occidentē: moueat̄̄ etiã ſortes vniformiter circulariter intra nauē: et certū eſt  ex illis duobꝰ motibus reſultat vnus irregularis: quia cū ſortes eſt in medietate nauis in qua mouetur ad motū ſiue cū motu ipſius nauis tunc motus eius velocitatur. et dū eſt in alia medietate tunc motus eius retarda­tur. Per motū aūt regularē motum vniformē intel­ligas: per irregularē vero motū difformē et hoc quo ad ts: ¶ Multa his ſimilia correlaria ex dictis fa­cile poteris inferre.

2. correl. .3. correl. 4. correl.

Notandum eſt tertio. Tangendo ma­teriã tertii argumēti (cuius principalis inquiſitio ē an terra de qua fit mentio in caſu eius perpetuo ſic moueretur: ita  non poſſet relicta ſue naturali diſ­poſitioni taliter moueri  centrū eius fiat centrum mundi)  teſte phõ primo de celo et mundo idē ē na-turalis locus totiꝰ et partis. Inquit e ad quēcū locum natum eſt aliquid natura moueri ad eundeꝫ natū eſt moueri quodlibet congenee cõſimiliſ na-ture. Quare ſi aliqua terra: eſſet in aere: remoto ī­pedimento ipſa deſcenderet quo ad vſ cētrū eius ēfficeretur cētrū mūdi. Nec pars illius terre reſiſtit ipſi terre ne cētrū eius fiat cētrū mundi: q idem eſt appetitus partis et totius cuius ē pars vt ſatis na­turaliter inducit calculator in capitulo de loco ele-mēti Unū tñ eſt qḋ ex ſubtili minerua et officina eiuſ­dem calculatoris in hoc notabili inferre intendo: vcꝫ  ꝑforata ipſa terra vt ponit̄̄ ī caſu tertii argu­menti et deſcendente q̈drato terreo vt ibidē ponit̄̄ ſi cū talis globus deuenit ad cētrū terre pars vltra cē­trū reſiſteret parti citra cētrū ne deſcēderet: ꝑpetuo tale q̈dratū ibi moueretur ceteris īpedimētis et ad­iumētis deductis. ¶ Ad qḋ demonſtrãdū: īducã du-as ſupoſitiones quarum prior eſt.

phūs .i. ce. et mū. cal. lo. ele.

Tali quadrato ſic deſcendente: vna- parte eius minore medietate illius quadrati exi-ſtente vltra centrum mundi reſidua vero parte to-tiꝰ q̈drati exiſtēte citra cētrū mūdi: pars intercepta inter cētrū mūdi et cētrū talis q̈drati ē medietas ex­ceſſus quo pars citra cētrū mūdi excedit ꝑtem exi-ſtentē vltra cētrū mundi: Exēplū vt ſi vua quarta ta­lis q̈drati fuerit vltra centrū mundi adequate tres erūt citra cetrū. et ſic pars citra centrū mundi exce-dit ꝑtē vltra centrū mūdi ꝑ duas quartas / vt cõſtat: et medietas talis exceſſus ē vna q̈rta ex quo totꝰ ex-ceſſus eſt duarū q̈rtarū: et vna quarta ciſe interci-pit̄̄ inter cētrū illiꝰ quadrati et centrū mundi q2 vna medietas medietatis cuiꝰ vna pars eſt vltra cētrum mūdi et reliq̈ ē citra centrum mūdi / igit̄̄ pars interce­pta inter centrū mūdi et centrū talis q̈drati ē medi­etas talis exceſſus Hac exēplari ꝓbatione miſſa ꝓ-batur gñaliter ſuppoſitio. Sit pars ītercepta īter cētrū q̈drati et centrū mūdi d. ſit c. pars eq̈lis ipſi d. ī medietate ſuꝑiori talis q̈drati hoc eſt magis re­mota a cētro: et ſit reſidua pars talis medietatis ſu­ꝑioris b. q̄ pars b. (vt opꝫ) ē eq̈lis ꝑti vltra cētrū (ſi eī ab eq̈libꝰ eq̈lia demas remanētiã ſūt eq̈lia: eq̈les eī ſūt medietates illius globi et ēt d. et c.) Tūc dico /  d. eſt medietas totius exceſſus quo pars citra cē­trum mundi excedit partem vltra centrum mundi. Quod ſic oſtenditur. quia tota pars citra centrum mūdi excedit partem vltra centrum mūdi per d. et c. adequate et d. eſt equale ipſi c. ex hypotheſi / ergo d. eſt vna medietas illius totalis exceſſus compoſiti ex c. et d. quo totali exceſſu pars citra centrum mūdi ex­cedit partem vltra cētrū mundi / quod fuit ꝓbandū Patet ↄ̨ña cū minore et ꝓbatur maior: q2 tota ꝑs citra centrum mundi continet b. partem equalem parti citra centrū mūdi ex hypotheſi: et inſuꝑ cõti-net d. et c. / igr̄ ꝑ d. et c. pars citra centrū mūdi exce-dit partē vltra centrū mundi / qḋ fuit ꝓbandū. Ptꝫ ↄ̨ña intelligenti / quid ſit vnū excedere alterum per aliquid: et ſic patet ſuppoſitio .

Scḋa ſuppoſitio. Qñ inter aliquos terminos eſt ꝓportio maioris īequalitatis et ma-iore quartã exceſſus quo minorē excedit deꝑdente adequate: minore eandē dūtaxat quartã acren-te que a minori deperdit̄̄: ꝓportio inter datos ter-minos pluſ̄ ad ſubduplum ſui diminuit̄̄ et ex ↄ̨ñti data ꝓportio vltra ſuã medietatē deꝑdit. Probat̄̄ ſit ꝓportio f. īter a. terminū maiorem et e. terminū minorē: diuidat̄̄ exceſſus quo a. excedit e: in q̈tuor partes equales adequate hoc eſt in quatuor q̈rtas et ſignētur ibi īter a. et e. ãnumeratis extremis n termini cõtinuo arithmetice ꝓportionabiles quoꝝ primꝰ ſit a. ſecūdus b. qui excedit̄̄ ab a. ꝑ vnã quar-tã illiꝰ exceſſus quo a. excedit e. adequate, et tertius ſit c. qui excedat̄̄ a b. ꝑ aliã quartã illius exceſſus, et quartꝰ ſit d. que excedat̄̄ a c. ꝑ vnã aliã quartã ex-ceſſus, et quītus ſit e. terminꝰ minor ꝓportiõis date qui excedit̄̄ ab ipſo d. ꝑ vltimam quartã exceſſus: et manifeſtū eſt illos quī termīos cõtinuo eſſe arith­metice ꝓportionabiles cū equali exceſſu exupe­rent. deꝑdat igr̄ a. terminꝰ maior vnã quartã exceſ-ſus illã vcꝫ ꝑ quã b. terminū excedit: et illã adequate acrat e. terminꝰ minor. Tūc dico /  data ꝓportio diminuit̄̄ et plus quã ſuã medietatē deꝑdit et ex hoc plus quã ad ſubduplū diminuit̄̄. Quod ſic oſtendi­tur / q2 ꝓportio f. diminuit̄̄ et plus quã ſui medieta-tem deꝑdit ꝓpoſitū. Maior ptꝫ manifeſte ex ſe­cūdo correlario tertie concluſionis octaui capitis ſecūde partis auxiliãte hypotheſi: et minor ꝓbatur / q2 illa ꝓportio f. q̄ eſt inter a. et e. cõponit̄̄ adequate ex quatuor proportionibꝰ puta ex ꝓportiõe d. ad e. et ex ꝓportiõe c. ad d. et ex ꝓportiõe b. ad c. et ex q̈rta ꝓportione ipſiꝰ a. ad b. / vt cõſtat cõſideranti hypo-theſim: et ille ꝓportiones ſunt cõtinuo minores et minores et minori exceſſu continuo ſeſe excedunt: igitur aggregatum ex duabus extremis proporti-onibus puta ex ꝓportione d. ad e. et ex ꝓportione a. ad b. eſt maiꝰ quã medietas aggregati ex illis qua­tuor ꝓportionibꝰ: et ꝑ ↄ̨ñs eſt maius quã medietas ipſiꝰ f. ꝓportionis adequate ex illis quatuor ꝓpor­tionibꝰ cõpoſite. Ptꝫ hec ↄ̨ña ex quarto correlario ſecūde cõcluſionis ſecūdi capitis ſecunde partis: et aggregatū ex illis extremis ꝓportiõibꝰ ꝑdit ꝓpor­tio f. / vt ptꝫ ex hypotheſi auxiliãte primo correlario ſexte concluſiõis octaui capitis ſecūde partis. (Ter-minꝰ e maior puta a. cū deꝑdit exceſſum quo exce­dit b. deꝑdit ꝓportionē q̄ eſt ipſiꝰ a. ad b. et terminꝰ minor puta e. cū acrit illū exceſſum quo excedit̄̄ a d. acrit illã ꝓportionē adequate q̄ eſt ipſiꝰ d. ad e.) / igr̄ ꝓportio f. plus quã ſui medietatē deꝑdit / qḋ fuit ꝓbandū. Prima pars mīoris vcꝫ  ille ꝓportiões ſunt cõtinuo minores et mīoris ꝓbat̄̄ / q2 qñ īter ali-quos termīos eſt aliqua ꝓportio maioris inequa-litatis: et maiores equali exceſſu excedūt ſuos mīo-res ſemꝑ inter maiores eſt minor ꝓportio quã inter mīores / vt ptꝫ ex octaua ſuppoſitiõe quarti capitis ſecūde partis: ſed oēs illi termini .a. b.c.d. excedūt ſuos minores eq̈li exceſſu et d. et e. ſunt minores quã d. et c. et d. et c. mīores quã c. et b. et c. et b. minores quã b. et a. / igr̄ ꝓportio ipſiꝰ d. ad e. eſt maior ꝓportiõe c. ad d. et ꝓportio c. ad d. maior eſt ꝓportionē b. ad c. et ꝓportio b. ad c. maior ꝓportiõe a. ad b. et ſic ille ꝓportiones ſunt ↄ̨tinuo minores et mīores / qḋ fuit ꝓbandū. Sed iã ꝓbo aliã partē minoris vcꝫ  cõti­nuo minori exceſſu ſe excedant: q2 ꝓportio ipſiꝰ d. ad e. ꝑ maiorē ꝓportionē excedit ꝓportionē ipſiꝰ c. ad d. quã ꝓportio ipſius c. ad d. excedit ꝓportionē ipſiꝰ b. ad c. et ꝓportio ipſiꝰ c. ad d. ꝑ maiorē ꝓpor-tionē excedit ꝓportionē b. ad. c. quã ꝓportio b. ad c. excedat ꝓportionē a. ad b. / igr̄ ille ꝓportiões conti-nuo minori exceſſu ſe excedūt. Maior ptꝫ ex quinto correlario quīte cõcluſionis octaui capitis ſecūde partis q .b.c.d.e. ſunt quatuor termini continuo arithmetice ꝓportionabiles ex hypotheſi: igr̄ pro­portio q̄ eſt inter duos termīos mīores puta inter d. et e. ꝑ plus excedit ſecūdã ꝓportionē q̄ eſt inter c. et d. quã illa ſcḋa excedat tertia q̄ eſt ipſiꝰ b. ad c. / vt ptꝫ ex correlario allegato. Et ſic ꝓbabis minorem capiendo iſtos quatuor terminos cõtinuo arithme­tice ꝓportionabiles puta .a. b.c.d. Et ſic ptꝫ corre-larium. ¶ Cõſimiliter ꝓbares /  diuiſo exceſſu quo maior terminꝰ excedit minorē in qñ partes eq̈les maiore termino deꝑdente vnã illaꝝ quītaꝝ minore acrente eandē  tūc ꝓportio inter datos termīos perdit plus quã duas quītas ſui et ſi exceſſus diui-datur in ſex partes equales maiore deꝑdente vnã illaꝝ et minore acrente eandē: ꝓportio īter datos terminos perdit plus quam vnã tertiã: et ſi diuidat̄̄ exceſſus in ſeptē maiore deꝑdente vnã illaꝝ et mīore acrente eandē: ꝓportio inter datos termīos ꝑdit plus quã duas ſeptimas / et ſic ↄ̨ñter. Oīa iſta patēt ex deductionibꝰ quīti correlarii prime cõcluſionis et quīti correlarii ſecūde cõcluſionis ſecūdi capitis ſecūde partis. ¶ Ex his inducit̄̄ et demõſtratur ꝓpo­ſitū vcꝫ  illud quadratū terreū ꝑpetuo moueret̄̄ in tali caſu. Sit vna pars illiꝰ q̈drati vltra centruꝫ mūdi minor medietate: et diuidat̄̄ pars intercepta inter centrū illiꝰ quadrati et centrū mūdi q̄ eſt me-dietas totiꝰ exceſſus partis citra centrū mundi ad partē vltra centrū mūdi ex prima ſuppoſitione et hoc ꝑ partes ꝓportionales ꝓportione dupla ma-ioribꝰ ſus centrū mundi terminatis: q̄ pars ſit d. ſit totū illud quadratū vniforme in grauitate: ſit etiã ꝓportio totiꝰ partis citra centrū mūdi ad par­tē vltra centrū mūdi f. Quo poſito ſic argr̄ q̈dratū illud tamdiu mouebit̄̄ quãdiu aliqua pars ipſius d. partis intercepte inter centrū q̈drati et centrum mundi fuerit citra centrū mūdi q tamdiu excedet pars citra centrū partē vltra centrū q2 tūc cõtinuo erit maior: ſed ꝑpetuo aliqua pars ipſiꝰ d. partis erit citra centrū mūdi: g̊ ꝑpetuo tale q̈dratū moue­bitur / qḋ fuit ꝓbandū. Cõſequētia ptꝫ cū maiore et ꝓbat̄̄ minor / q2 ꝑpetuo aliqua pars aggregati ex oībus partibꝰ ꝓportionalibꝰ ipſiꝰ d. partis deſcē­det: g̊ ꝑpetuo aliqua pars ipſiꝰ d. partis erit citra centrū mūdi / qḋ fuit ꝓbandū, Cõſequētia ptꝫ et pro­batur añs / q2 prima pars ꝓportionalis ipſius d. partis incipit deſcēdere a ꝓportiõe f. vt habet̄̄ hy-potheſi: et ſecūda pars ꝓportiõalis ipſiꝰ d. partis incipit deſcēdere a ꝓportiõe ſubdupla ad ꝓportio­nē f. vel a minori: et tertia īcipit deſcēdere a ſubdu-pla vel minori ſubdupla ad ꝓportionē a q̈ incipit deſcēdere ſcḋa / et ſic ↄ̨ñter q̄libet pars ꝓportiõalis ipſiꝰ d. ſequēs īcipiet deſcēdere a ꝓportione ſubdu­pla vel minori ad ꝓportionē a qua īcipit deſcēde-re pars īmediate cedēſupra: et q̄libet pars quãdiu ali-d eiꝰ deſcēdit cõtinuo deſcēdit ſiue mouet̄̄ a mīori ꝓportione ꝙ̄ ſit illa a qua incipit illa eadem pars deſcēdere (cū cõtinuo partis citra centrū mūdi ad partē vltra centrū mūdi ꝓportio a qua partes ille deſcendūt cõtinuo diminuatur: continuo e pars citra centrū mūdi efficit̄̄ minor et pars vltra centrū mūdi maior) / igr̄ perpetuo aliqua pars aggregati ex oībus partibꝰ ꝓpotiõalibꝰ ipſiꝰ d. partis deſcē-det / qḋ fuit ꝓbandū. Conſequētia ꝓbat̄̄ / q2 ſi q̄libet pars ꝓportionalis cõtinuo ipſius d. partis diuiſe ꝓportione dupla deſcēderet ſiue moueret̄̄ a ꝓpor-tione a qua ipſa īcipit deſcendere: ꝑpertuo aliqua pars aggregati ex oībus partibꝰ ꝓportionalibus ipſiꝰ d. partis deſcēderet / g̊ ſi q̄libet pars ꝓportio-nalis ipſiꝰ d. partis cõtinuo deſcēderet et mouetur a ꝓportione minori ꝙ̄ ſit illa a qua īcipit deſcēde-re: ꝑpetuo aliqua pars aggregati ex oībus parti-bus ꝓportionalibꝰ ipſiꝰ d. partis deſcendit / qḋ fuit ꝓbandū. Cõſequētia ptꝫ cū ãtecedēte ex deductione ſecūdi argumēti ſexti capitis primi tractatꝰ huius partis: hoc addito /  ille partes cõtinuo ſe habent in ꝓportione dupla: et in tꝑe in quo adequate deſcē­dit aliqua pars ſcḋm ſe vel aliquid eiꝰ tereundo centrū mūdi ipſa pars deſcribit t ſpaciū quanta ipſamet pars eſt / vt ptꝫ intuenti caſum. Sed iã ꝓbo ſcḋam partē maioris vcꝫ  ſecūda pars ꝓportona­lis ipſiꝰ d. partis īcipit deſcēdere a ꝓportione ſub­dupla ad ꝓportionē f. vĺ minori: q2 cū primū ṗma pars proportionalis ipſius d. partis eſt totaliter vltra centrū mūdi, pars citra centrū mundi perdit quartã partē exceſſus quo excedit partē vltra cen-trū mūdi: et illã acquirit pars vltra centrū mūdi / vt cõſtat: g̊ tūc ꝓportio f. partis citra centrū ad partē vltra centrū ꝑdit pluſ̄ medietatē ſui: et pluſ̄ ad ſubduplū ſui diminuit̄̄: ptꝫ ↄ̨ña ex ſecūda ſuppoſi-tione huiꝰ notabilis hoc addito  pars citra cen-trū eſt terminꝰ maior proportionis f. et pars vltra centrū eſt terminꝰ minor. Et ab illa proportione q̄ eſt minor quã ſubdupla ad f. īcipit ſecūda pars ꝓ-portionalis ipſiꝰ d. partis deſcēdere / vt cõſtat: g̊ ꝓ-poſitū. Et iſto modo ꝓbabis  tertra īcipit deſcen­dere a ꝓportione ſubdupla vel mīori ſubdupla ad proportionē a qua incipit deſcendere ſecūda: et ſic ↄ̨ñter de aliis partibꝰ. Sed iã ꝓbo maiorē vcꝫ  cū primū prima pars proportionalis ipſiꝰ d. partis eſt totaliter vltra centrū pars citra centrū mundi perdit quartã partē exceſſus quo ipſa excedit par-tem vltra centrū mūdi: q2 ipſa d. pars eſt medietas exceſſus quo pars citra centrū excedit partē vltra centrū / vt ptꝫ ex prima ſuppoſitione huiꝰ notabilis / g̊ prima pars proportionalis proportione dupla ipſiꝰ d. partis eſt quarta pars totiꝰ exceſſus: et illã ꝑdit pars citra centrū mūdi primū ipſa eſt tota­liter vltra centrū: g̈ propoſitū. Ptꝫ g̊ maior: et totū añs / et ꝑ ↄ̨ñs cõcluſio q̄ fuerat probanda. ¶ Ex his infero aliqua correlaria. Primū in caſu huiꝰ de-monſtrationis īmediate poſt inſtãs / qḋ eſt preſens aſcendet alid īmediate poſt illud deſcēdet : et tñ nichil īmediate poſt hoc aſcendet qḋ īmediate poſt hoc deſcendet. Probat̄̄ prima pars / q2 quocun inſtanti dato illiꝰ tꝑis in quo deſcēdet tale quadra­tū q̄libet pars illiꝰ quadrati q̄ eſt citra centrū īme-diate poſt tale inſtans deſcendet / vt ſatis conſtat et īmediate poſt idē inſtans aliqua talis pars aſcen-det: igr̄ in caſu demonſtrationis, īmediate poſt in-ſtans / qḋ eſt preſens alid aſcēdet qḋ īmediate poſt idē inſtans deſcendet ſcḋa pars ptꝫ ex falſitate ſue cõtradictorie. Ad hoc e  aliquid aſcendat non ſufficit aliquã partē eiꝰ aſcendere: ſed requiritur /  maior pars ꝙ̄ eiꝰ medietas aſcendat. Conſimiliter dicat̄̄ de deſcensu. ¶ Scḋm correlariū. Immediate poſt inſtans qḋ eſt preſens aſcendet alid qḋ ſens aſcendet alid qḋ īmediate poſt idē inſtans deſcen­det: et tñ nõ īmediate poſt inſtãs qḋ eſt ſens deſcen­ det alid qḋ īmediate poſt idem inſtans aſcendet. Ptꝫ prima pars huiꝰ ex priori correlario. Et ſcḋa ꝓbat̄̄ / q2 ↄ̨tradictoria illiꝰ eſt falſa / vt ptꝫ ꝑ falſitatē prime exponētis q̄ eſt iſta poſt inſtans quod eſt pre­ſens deſcendet aliquid quod īmediate poſt idem in­ſtans aſcendet q2 nulla pars illiꝰ corporis quadra­ti que poſt inſtans quod eſt preſens deſcendit īme-diate poſt idem inſtans aſcendet. ¶ Tertiū correla­riū. Immediate poſt inſtans quod eſt ſens aſcen-det alid qḋ īmediate poſt idē inſtans quod eſt pre­ſens deſcendet: et tñ nichil ſimul aſcendet, et deſcen-det adequate diuiſiue capiendo ly. et ſicut ſtat  ſor­tes īmediate poſt hoc erit albus, et immediate poſt hoc erit niger: et tamen nõ ſimul erit albus et niger Patet correlarium. ¶ Ex his tribus notabilibus patet facile reſponſio ad queſtionem.

1. correĺ. 2. correĺ. 3. correĺ.

Ad rationes ante oppoſitū. Ad primã reſponſum eſt ibi vſ ad replicam ad quam reſpo-deo negando ſequelam, et ad probationem dico /  illud correlarium ibi adductum ad probationem illiꝰ ſequele nõ eſt ad propoſitū, q2 ſupponit ꝓpor­tionē tēpoꝝ excedere proportionē velocitatū. Cuiꝰ oppoſitū ī caſu argumēti eſt verū. Cõmēſurãda e eſt vtra velocitas, et qua illud corpus mouet̄̄ cir-culariter, et qua mouetur motu rarefactiõis pūcto eiꝰ a quo debet ſumi velocitas totiꝰ motus cõtinuo acquirente maiorē et maiorē diſtantiam a centro / vt ptꝫ ex deductione eiuſdē replice. ¶ Ex quo ſequitur /  poſſibile eſt aliquod corpꝰ circulare cõtinuo vni-formiter et eque velociter moueri: et tñ ipſū ↄ̨tinuo rarefieri et effici maiꝰ. Probat̄̄ ponēdo /  vna rota incipiat moueri circulariter pūcto medio ſemidia-metri incipiēte moueri velocitate vt .4. et volo /  ſiĺ incipiat rarefieri illud corpus acquirendo in hora pedalē diſtantiã adequate a centro ſupra diſtan-tiã habitã, eo tñ modo moueat̄̄ ille punctꝰ medius ſemidiametri  nun̄ ꝑtranſeat ſiue deſcribat ma­iorē lineã in aliquo tꝑe ꝙ̄ nata ſit deſcribi a veloci-tate vt .4. in eodē tꝑe quo poſito ſequit̄̄ correlariū. ¶ Sequit̄̄ ſecūdo /  ſi aliqua rota in hora moueat̄̄ circulariter puncto medio ſemidiametri continuo motu circulari mouēte vniformiter, motu vero ra-refactionis cõtinuo intendente motū ſuū in q̈libet parte proportionali hore ꝓportione dupla ſequē-te in duplo velociꝰ rarefiente ꝙ̄ in īmediate cedēti tūc ſpaciū deſcriptū a tali puncto eſt infinitū. Ptꝫ hoc correlariū ex ſexta concluſione ꝑcedētꝪ capitis

1. correĺ 2. correĺ.

Ad ſecundã rationē reſponſum eſt ibi vſ ad replicã: ad quã reſpõdeo negando ſequelã et ad probationē nego  nullū ſit īpedimentū. īmo cõtra motio nauis eſt ſorti īpedimento. Fatigat̄̄ tñ ſortes nõ ꝑ motū quo deſcribat aliquod ſpacium fixū: ſed q2 deſcribit aliquod ſpaciū nõ fixū ad cuiꝰ deſcriptionē nõ ſequit̄̄ ſortē proprie moueri. Ma-net enim ſortes in eodem loco fixo.

Ad ṫciã rationē rñdeo negãdo añs: et ad ꝓbationē ↄ̨cedo maiorē, et nego mīorē et ad ꝓba­nē diſtinguo ſeq̄lã aut ſi tale corpꝰ ſit taliter diſpo­ſitū  partes eiꝰ proportionales ꝓportiõe dupla ita ſe habeant  ſcḋm eã dimenſionē ſcḋm quã de-ſcendūt cõtinuo ſe habet in ꝓportione dupla oībꝰ aliis iuuamentis et īpedimētis deductis: et ſic cõce-do ſequelã. Si vero partes eiꝰ proportionales pro­portione dupla ſe habuerīt in maiori proportione quã ſit ꝓportio dupla et hoc quantū ad dimēſionē ſcḋm quã deſcendūt, et ſic nõ oportet. Nego igitur illo modo ſeq̄lã. ¶ Ex q̊ ſequit̄̄ /  ita põt aliqḋ cor- pius diſponi difformiṫ in partibꝰ ſuis  ipſū ī tꝑe finito mouebit̄̄ q̊vſ cētrū eiꝰ ſit cētrū mūdi. Pro-bat̄̄ et pono /  ꝑs ītercepta īter centrū mūdi et cētrū corporis diuidat̄̄ ꝑ partes proportionales ꝓpor-tione dupla maioribꝰ ſus centrū mūdi termina-tis / vt ponit̄̄ in tertio notabili q̄ pars ſit d. et poſt̄ prima pars proportionalis ipſiꝰ d. partis ꝑtrãſit centrū q̄ (vt ſuppono) ꝑtranſit centrū ſcḋm ſe et qḋ-libet ſui in hora, ſigno ꝓportionē a qua d3 tcrtia pars proportionalis d. partis incipere ꝑtranſire centrū mūdi q̄ ſit f. Et manifeſtū eſt /  aliqḋ ſpaciū ſufficit ꝑtrãſiri ī medietate hore mediante velocita­te nata prouenire a proportiõe f. pono igr̄ /  ſcḋa pars proportionalis ipſiꝰ d. partis diminuat̄̄ m dimenſionē ſcḋm quã ꝑtrãſit centrū mūdi, quouſ ſit ſcḋm illã dimenſionē equalis ſpacio nato ꝑtrã-ſiri ab .f. proportiõe in medietate hore. ipſa tñ ſemꝑ manēte tanta quãta erat antea: ita  augeat̄̄ ſcḋm aliã dimenſionē. Et poſt̄ ſcḋa pars proportiona­lis d. ꝑtis ꝑtranſit cētrū mūdi ſcḋm ſe et qḋlꝫ ſui ſi-gno ꝓportionē q̄ ſit g. a qua d3 quarta pars ꝓpor­tiõalis deſcēdere q̄ eſt minor f. / vt cõſtat. Et manife-ſtū eſt /  aliquod ſpaciū ſufficit ꝑtranſiri in quarta parte hore mediante ꝓportiõe g̊ pono igr̄ /  tertia pars ꝓportionalis d. partis dimīnuat̄̄ ſcḋm dimē­ſionē ſcḋm quã ꝑtranſit centrū mūdi quovſ ſcḋ3 illã dimenſionē ſit eq̈lis ſpacio nato ꝑtranſiri a g. ꝓportione in quarta parte hore. Et ſic fiat de qua-libet ſequēte  ipſa vcꝫ diminuat̄̄ ſcḋm dimenſionē ſcḋm quã ꝑtranſit centrū mūdi quovſ ſit equalis ſpacio nato ꝑtranſiri a ꝓportione a qua d3 īcipere ꝑtranſire centrū mūdi pars īmediate ſequēs et hoc in tꝑe ſubduplo vel minori ꝙ̄ ſit tēpus in quo ade-quate pars īmediate cedens ꝑtranſit centrū mūdi qualibet tñ cõtinuo manēte tanta quãta erat antea ita  augeat̄̄ ſcḋm aliã dimenſionē. Tūc manifeſtū eſt /  totū illud corpus poſt̄ prima pars d. partis teriuit centrū mūdi mouebit̄̄ ciſe ꝑ vnã horã vĺ ꝑ minꝰ tēpꝰ ante quã centrū illiꝰ corporis fiat centrū mūdi. Quod ſic oſtendit̄̄ / q2 quelibet pars ꝓporti-onalis ipſiꝰ d. partis ſequēs ꝑtranſibit in caſu po­ſito cētrū in tꝑe ſubduplo vĺ mīori ad tēpus in quo ꝑtranſibit pars īmediate cedens / vt facile ptꝫ ex ca­ſu: et prima ꝑtranſit centrū in vna hora vt ſupponi­tur: ergo oēs alie pertranſibunt in vna hora vel in minori tempore et ſic in tempore finito centrū illiꝰ corporis fit centrū mūdi: põt igitur taliter diſponi corpus  ipſum in tēpore finito preciſe mouebitur quovſ centrum eiꝰ fiat centrum muudi / quod fuit probandū. Et hoc ex ſequitur /  demonſtratio cal-culatoris in capitulo de loco elementi non eſt effi-cax non enim limitat ſiue determinat diſpoſiteonē illius corporis quod tamen oportet / vt ptꝫ ex dictis

Oñditur Cal. de-monſtra­tio in effi­cax.

Sequitur tractatus tertius huius tertie partis de motu rarefactionis  condenſationis.

Capitulū primū in quo diſputatiue inquiritur. Quid ſi raritas et dēſitas et penes d raritatis et dēſitatis intēſio et rarefactiõis et condenſationis ſit velocitas attendenda.

Exacto tractatu de motu locali inſequendo veſtigia patrū, et maioꝝ ſub-iungã tractatū de motu augmeutationis et rarefactionis et inquirendo ſubſtantiã raritatis et denſitatis velocitatem et tarditatem rarefacti-onis et condenſationis.

Quero vtrum raritas  denſitas ſit poſſibilis, et argr̄ primo /  nõ q2 ſi raritas et denſi­tas ſit poſſibilis, vel tã raritas ꝙ̄ denſitas dicunt̄̄ poſitiue, et ſunt qualitates aut nõ: nullum iſtoꝝ eſt dicendū: igr̄ nec raritas nec denſitas eſt poſſibilis nõ primū q2 raritas ita ſe habet  equevelociter et eque proportionabiliter ſicut raritas acquirit̄̄ ita velociter et proportionabiliter denſitas deꝑditur: ſed hoc non põt eſſe de duobꝰ poſitiuis: igr̄ raritas et dēſitas nõ ſūt qualitates poſitiue. Maior ꝓbat̄̄. Quia quantū aliquid de raritate acrit t deper­dit de denſitate cū acſitio raritatis nõ ſit niſi dē, perditio denſitatis et eque ꝓportionabiliter ſicut alid rarefit ſiue efficit̄̄ magis rarum ita ꝓportiõa­biliter efficit̄̄ minꝰ diuiſum q2 ſi in duplo magis ra­riū efficit̄̄ alid illud in duplo minꝰ denſum efficit̄̄ et ecõtra: igr̄ equevelociter et eque ꝓportionabiliter ſicut raritas acrit̄̄: ita denſitas deꝑdit̄̄, et ſic patet maior. Probatur minor / q2 ſi aliqua duo poſitiua poſſunt ita ſe habere  equevelociter et eque ꝓpor­tionabiliter ſicut vnū deꝑdit̄̄ ita aliud augeat̄̄ ſeu intēdat̄̄ ſint illa a. et b. et augeat̄̄ a. et deꝑdatur b. Et argr̄ ſic / vĺ a. et b. ſūt eq̈lia vt īeq̈lia ſi eq̈lia et argr̄ ſic Eq̄velociṫ auget̄̄ a. ſicut diminuit̄̄ b. / g̊ ↄ̨tinuo a . erit maiꝰ b. et cõtinuo t a aē;ret quãtū b. deꝑdet. Cõ-ſequentia ptꝫ de ſe / q2 equevelociter auget̄̄ vnū ſi-cut aliud diminuit̄̄. Et vltra cõtinuo a. erit maiꝰ b. et ↄ̨tinuo t acrit a. ̄tū deꝑdit b. / igr̄ ↄ̨tinuo b. ma­iorē ꝓportionē deꝑdit ꝙ̄ a. acrit et ꝑ ↄ̨ñs non eque­velociter et eque ꝓportionabiliter auget̄̄ a. ſicut di­minuit̄̄ b. / ptꝫ hec ↄ̨ña ꝑ hanc maximã geometricam Qñcun certa latitudo ſiue quantitas demitur a. minori: et addat̄̄ maiori maiorē ꝓportionē deꝑdit minꝰ ꝙ̄ acrat maiꝰ (q ꝑ additionē equalis quãti­tatis maiori et minori: maiorē ꝓportionē acrit mi­nus ꝙ̄ maiꝰ / vt dictū eſt in ſcḋa parte) / igr̄ ꝑ ſubſtra­ctionē cuiuſdē a minori et appoſitionē maiori ma-iorē ꝓportionē deꝑdit minꝰ ꝙ̄ acrat maius: et ſic ptꝫ /  ſi ſint equalia nõ põt vnū illoꝝ equevelociter et eque ꝓportiõabiliter augeri ſiue aliud diminui. Si vero ſint inequalia et minꝰ illoꝝ diminuatur et maiꝰ illoꝝ auget̄̄ equevelociter iã ſequeret̄̄ /  minꝰ illoꝝ maiorē ꝓportionē deꝑdit ꝙ̄ maius acrat / vt ptꝫ ex ſuperiori deductione. Si vero maiꝰ diminuit̄̄ ita velociter ſicut minꝰ auget̄̄: ſequit̄̄ /  cõtinuo ma­iorē ꝓportionē acrit minꝰ ꝙ̄ deꝑdat maius: q2 qñ aliqua latitudo demitur a maiori et addit̄̄ minori: maiorē ꝓportionē acrit minꝰ ꝙ̄ deꝑdat maiꝰ: igr̄ et ſic ptꝫ /  nõ eſt dicendū raritatem et denſitatē eſſe qualitates poſitiuas. Sed nec diceuumū eſt ipſas nõ eſſe qualitates q2 hoc eſt contra cõmentatorem in ſeptīo phiſicoꝝ quē inſequit̄̄ ibi Burleꝰ et in tra­ctatu ſuo de intenſione formarū. ¶ Dices forte ad punctū argumēti negando  ſit īpoſſibile vnū po-ſituū equevelociter et eque ꝓportiõabiliter augeri ſicut diminuit̄̄. Et ad ꝓbationē dices /  argumen-tū illud nõ ꝓbat qñ maiꝰ diminuit̄̄ et minꝰ auget̄̄: vt in diminutione ſextipedalis et augmentatione qua­drupedalis. Cū e ſextipedale deperdit duo peda­lia, et illa acrat q̈drupedale in eodē tꝑe, manifeſtū eſt /  ita velociter diminuitur ſextipedale ſicut au-getur quadrupedale et eque ꝓportiõabiliter: quia ſextipedale deꝑdit ꝓportionē ſexquialterã et qua­drupedale acquirit tantam vt notum eſt.

Dicitur.

Sed cõtra / q2 ſaltē habeo /  duo poſi-tiua nõ poſſunt ita ſe hēre.  cõtinuo equevelociter et eque ꝓportionabiliter ſicut vnū auget̄̄ ita alteꝝ diminuatur. Sed cõtinuo equevelociter et eq̄ ꝓpor­ tionabiliter ſicut raritas augetur ita et dēſitas di­minuit̄̄ / g̊ raritas et denſitas nõ ſunt poſitiua. Con­ſequētia eſt nota cū minori, et argr̄ maior / q2 ſi illḋ eſſet poſſibile de aliquibꝰ poſitiuis: hoc maxīe eſſet qñ maiꝰ diminuit̄̄ et minꝰ auget̄̄ ſicut dictū eſt in ſo-lutione: ſed hoc nõ: igr̄. Probat̄̄ minor / q2 vel illud minꝰ qḋ augetur ſemꝑ in augmentatione manebit minꝰ altero, vel aliqñ deueniet ad equalitatē: ſi cõ-tinuo illud qḋ augetur erit minꝰ illo qḋ diminuitur et ita velociter diminuit̄̄ maiꝰ ſicut augetur minus ſequit̄̄ /  cõtinuo in toto illo tꝑe in quo erit minus ipſum velociꝰ ꝓportiõabiliter augebit̄̄ ꝙ̄ aliud di-minuitur volo dicere in quolibet inſtãti intrinſeco illiꝰ tēporis: ptꝫ hec ↄ̨ña regulã geometricã. Qñcū­ aliqua latitudo demit̄̄ a maiori et addit̄̄ minori ipſo manēte minori ꝙ̄ illud ad quo demit̄̄ illa latitu­do cõtinuo maiorē ꝓportionē acquirit illud minꝰ ̄ deꝑdat illud maiꝰ. Quod ptꝫ / q2 ſi poſt̄ illa la­titudo eſt addita minori addat̄̄ tanta latitudo illi maiori a quo fuit dēpta, minorē ꝓportionē acret illud maiꝰ ꝙ̄ deꝑdet illud minꝰ: g̊ qñ maius deꝑdat illã latitudinē et minꝰ acrit eandē maiorē ꝓporti-onē acrit minꝰ ꝙ̄ deꝑdat maiꝰ, cū nõ deꝑdat niſi illã quã acſiuit: igr̄ illa regula eſt vera. Si aūt illa ꝑueniant ad equalitatē, iã nõ eque velociter et eque ꝓbationabiliter vnū illoꝝ augebitur ſicut aliud di­minuitur / vt ꝓbatū eſt in argumento ¶ Cõfirmatur Quia raritas et denſitas inter ſe nõ differūt cū idē ſit ꝓpinquitas punctoꝝ et diſtantia eorūdē: igr̄ ille nõ ſunt qualitates poſitiue. ¶ Cõfirmat̄̄ ſcḋo. Q2 ſi eſſent qualitates eſſent cõtrarie: ſed hoc eſt falſū / q2 tūc nullū rarū eſſet denſum et eocõtra et aliquid eſſet qḋ nõ eſſet rarū ne dēſum : q2 rarū et denſum eſſent termini cõtrarii. ¶ Cõfirmatur tertio. Quia tūc ſetur /  poſſibile eſt dare rarū vniformiter dif­forme a certo gradu vſ ad nõ gradū, vt ab octa-uo vſ ad nõ gradū: ſed ↄ̨ñs eſt falſū: g̊ et illud ex q̊ ſetur. Cõſequētia ꝓbatur: q2 oīs qualitas corpo-rea poteſt eſſe vniformiter difformis a certo gradu vſ ad nõ gradū: ſed raritas eſt huiuſmodi per te igr̄. Maior ptꝫ / q2 vbicū eſt qualitas vniformis: ibi eſt vna medietas intenſiua vniformiter diffor-mis a maximo gradu quē hꝫ illa qualitas vſ ad nõ gradū: vt ptꝫ iutuenti. Sed iam argr̄ falſitas cõ­ſequentis / q2 ſit illud a. / et arguo ſic / illud eſt vniformi­ter difformiter rarū ab octauo vſ ad nõ gradū: g̊ prima pars ꝓportionalis eiꝰ eſt aliqualiter rara et ſcḋa in duplo minꝰ rara, et tertia in duplo minꝰ ra-ra ꝙ̄ ſcḋa, et ſic ↄ̨ñter / vt ptꝫ de albedine vniformiter difformi ab octauo vſ ad nõ g̈dū, et ꝑ ↄ̨ñs ṗma ꝑs ꝓportiõalis eſt aliq̈liṫ denſa, et ſcḋa in duplo den­ſior, et tertia in duplo denſior ꝙ̄ ſcḋa. etc̈. / igr̄ a. eſt infinite denſū q2 infinitã materiã cõtinet ſub finita quãtitate, nã q̄libet pars ꝓportionalis cõtinet tan­tam materiã ſicut prima: q2 in quacū ꝓportione aliqua pars ꝓportiõalis eſt minor prima in eadē eſt denſior prima, et vltra a. eſt īfinite denſum: g̊ nõ eſt rarū, et ſic nõ eſt vniformiter difformiter rarum / quod eſt oppoſitū cõceſſi. ¶ Cõfirmatur quarto / q2 rarū eſt qḋ ſub magna quãtitate cõtinet parum de materia, denſum vero eſt /  ſub parua quãtitate cõ­tinet multū de materia: et hoc deſcribendo rarū et denſum: g̊ dato  a. nullã qualititatē haberet et ſub finita quantitate finitam materiam contineret ad huc illud eſſet rarum et denſum, vt facile deducitur ex deſcriptione rari et denſi: igitur raritas et den-ſitas nõ ſunt qualitates nec poſitiue ſe habent.

1. confir-matio 2. confir-matio 3. confir-matio 4. confir­matio.

Scḋo prīcipaliter. Tangēdo penes quid maioritas raritatis et dēſitatis attēdat̄̄ argr̄ ſic. Si raritas et denſitas eſſent poſſibiles vel ī qua­cun ꝓportione raritas efficitur maior: ꝓportio quãtitatis ad materiã efficiret̄̄ maior, et nõ quãti-tas in illa ꝓportione, vel in quacū ꝓportione ra­ritas efficit̄̄ maior: quãtitas efficit̄̄ maior. Sed neu­trū iſtoꝝ eſt dicendū: igr̄ raritas et denſitas nõ ſūt poſſibiles. Minor ptꝫ / q2 iſte due ſunt famate opi-niones quas maior tangit de maioritate et minori­tate raritatis et nõ plures ꝓ nūc practicantur. Sed iam ꝓbatur minor: et primo  nõ in quacū ꝓpor­tione raritas efficitur maior proportio quãtitatis ad materiã efficitur maior: q2 tūc ſeq̄retur /  ad du­plationē raritatis nõ ſeq̄retur duplatio quãtita-tis q2 aliqñ ſequitur magis ꝙ̄ duplatio quantita-tes, et aliqñ minꝰ, et aliqñ adequata duplatio: igr̄. ſed ↄ̨ñs eſt falſū: igr̄. Falſitas ↄ̨ñtis argr̄ / q2 rarum eſt qḋ ſub magna quãtitate cõtinet modicū de ma-teria, ergo illud erit in duplo magis rarum quod ſubdupla maiori quantitate ↄ̨tinet equale de ma-teria, et ſic ſemꝑ ad duplationē raritatis ſequitur duplatio quãtitatꝪ. Sed iam ꝓbo ſequelã: et capio vnū pedale cuiꝰ quãtitatis ad materiã ſit ꝓportio ſexaltera et volo /  dupletur eiꝰ raritas quo po-ſito argr̄ ſic / quãtitas illiꝰ pedalis nõ efficitur in du­plo maior: ſed ciſe in ſexaltero maior: igr̄ ꝓpoſi­tum. Probat̄̄ añs, q2 in fine ꝓportio quantitatis ad materiã erit dupla ad ſexquialterã puta dupla ſexquiq̈rta: g̊ ſetur,  ciſe quãtitas acſiuit pro­portionē ſexalterã et nõ duplã. Ptꝫ ↄ̨ña / q2 ꝓpor-tio quãtitatis ad materiã in fine cõponitur ex dua­bus ſexalteris: et iã quãtitas ad materiã habebat ꝓportionē ſexquialterã: g̊ modo ciſe acſiuit ſexal­terã ſupra ſe. Probat̄̄ ſcḋa / q2 ſi acſiuiſſet duplaꝫ ꝓportionē ſupra ſe in fine ꝓportio quantitatis ad materiã fuiſſet tripla q̄ ex dupla et ſexaltera cõpo­nitur et ſic nõ ad duplationē raritatis fuiſſet ſequu­ta duplatio ꝓportionis cū tripla ſit maior ꝙ̄ du-pla ad ſexalterã / vt pꝫ ex ſecūda parte huiꝰ operꝪ et ſic ſetur /  ad duplationē raritatis aliqñ ſetur minꝰ ꝙ̄ duplatio quãtitatis. Q, vero aliqñ ſeq̈tur ciſe duplatio quãtitatis ꝓbatur ponendo  ꝓportio quãtitatis ad materiã ſit dupla, et  du­pletur raritas, et ſic habebitur intentū. Nã tūc ꝓ-portio quãtitatis ad materiã efficeretur quadru-pla q̄ eſt dupla ad duplã, et iã antea ꝓportio ̄tita­tis ad materiã fuit dupla adequate: g̊ modo acſi-uit aliquã ꝓportionē duplã, et ſic ſetur /  quãtitas acſiuit duplã ꝓportionē ſupra ſe: q tantã acſi-uit ſupra ſe quantam ſupra ſuam materiam. Sed iam ꝓbo /  nõ in quacū ꝓportione raritas effici­tur maior quãtitas efficitur maior: q2 alias ſeq̄ret̄̄ /  poſſet dari infinite rarū: ſed ↄ̨ñs eſt falſum: igr̄ et illud ex quo ſetur. Seq̄la ꝓbatur et capio vnū pe-dale vniforme ꝑ totū et volo /  rarefiat in īfinitum quo poſito illud erit īfinite raꝝ q ad duplationē eiꝰ ſetur duplatio raritatis et ad triplationē quã­tatis ſetur triplatio raritatis / et ſic cõſequenter: et acquiret̄̄ quãtitas īfinita: g̊ raritas īfinita. Sed falſitas ↄ̨ñtis argr̄ et ſi illud eſt infinite rarū: ſequit̄̄ /  nullã materiã cõtinet, et vltra nullã materiã cõti­net. g̊ nec eſt rarū nec eſt dēſum. Conſequētia ptꝫ et argr̄ ſeq̄la q vt ſuppono ipſum eſt vniforme, et vniformiter rarefactū: ſi igr̄ hꝫ aliquã materiaꝫ in aliqua parte ſui cū ipſum ſit vniforme: ſetur /  in qualibet tanta ſui parte hꝫ tantaꝫ ſicut ipſa eſt: et ſunt infinite partes illi parti equales: g̊ ſetur /  hꝫ īfinitã materiã, et ſic eſt īfinite raꝝ / qḋ fuit ꝓbandū

Tertio prīcipaliṫ arguit̄̄ ſic. Si rari-tas et denſitas eſt poſſibilis: vel per ipſam rarefa-ctionem acquireretur ſubſtantia: vel quantitas ſed neutrum iſtorū eſt dicendum: igitur non primum / q2 rarefactio non ponitur motus ad ſubſtantiã: quia tunc eſſet generatio: nec ſecundem quia tunc ſequi-tur penetratio dimenſionum naturaliter quod eſt ī­poſſibile. Sequela ꝓbatur: et poſito  aliquid pu-ta pedale rarefiat per totum vniformiter per vnam horam quouſ ſit bipedale et arguitur ſic in quo-libet inſtanti intrinſeco talis rarefactionis illḋ pe­dale habet per totum aliam et aliam quantitatem per te et quelibet pars eius rarefit: et non corrumpi-tur quantitas prehabita. igitur manet cum illa eã penetrando. Conſequentia non eſt dubia: et maior arguitur. quia in quolibet inſtanti intrinſeco illud eſt magis rarum ꝙ̄ in inſtanti precedenti: igitur in quolibet tali eſt maior quantitas acquiſita ꝙ̄ in -cendenti. et ſic in quolibet habet aliam et aliam quan­titatem /  fuit probandum. Sed iam probatur mi-nor: quia quantitatis precedens non habet contra-rium. igitur non corrumpitur: nam ſi corrumpere-tur maxime eſſet a contratio: aut a deſitione ſubie-cti aut ab abſentia conſeruantis ſed nullo iſtorum modorum poteſt corrumpi: cum non poſſit a contra­rio: nec a deſitione ſubiecti nec ab abſentia conſer-uantis. cum nec habet contrarium nec ſubiectuꝫ de­ſinat nec ab aliquo dependet in ↄ̨ſeruando ꝙ̄ a ſub­iecto Nec valet dicere vt innuit Marſilus  quan­titas ſequens non manet cuꝫ precedente ymmo cor­rumpitur maiori adueniente quantitate: quia (vt ī­quit) quantitas maior minori contrariatur: tū pri­mo quia quantitates contrariari eſt ↄ̨tra oēm mo­dum opinãdi phõphoꝝ: et ſignanter phī oppoſituꝫ aſſerentis: Tum ſecundo quia tunc pars contraria­tur toti. Nam per eum omnis quantitatis pedalis cõ­trariatur ſemipedali: mõ ſemipedalis quantitas ē pars pedalis quãtitatis: Tum tertio / quia ſequere­tur in quacun rarefactione infinitas quantitates to­tales corrūpi: et infinitas tales generari: ſꝫ hoc eſt falſum / igr̄ et illud ex quo ſequit̄̄. falſitas ↄ̨ñtis ꝓba­tur / quia nulla virtus finita poteſt infinita totalia gignere aut corrumpre: Sequela tamen ꝓbatur / q2 in quolibet inſtanti per eum eſt noua qualitas ī toto: et ſunt infinita inſtantia in quãtulocū tꝑe ra­refactonis: ergo ſunt īfinite quantitates noue to-tales / et ꝑ ↄ̨ñs īfinite corrupte: cū in quolibet inſtan­ti ītrīſeco incipiat eſſe aliqua quantitas per primū eſſe et eãdē quãtitas in eodē deſinat eſſe per vltimū eē et hec eſt eadem ymaginatio oīno ſic ymaginatio burlei de intenſione formarū. Et ideo dices aliter et bene cum doctore ſubtili  ꝑ rarefactionē nec ac­rit̄̄ ſubſtantia: nec quantitas: ſed rarefactio ē mu­tatio localis adhūc ſenſū  ꝑ rarefactionē acrit̄̄ locꝰ maior̄ antea et ꝑ ↄ̨dēſationē deꝑdit̄̄ locꝰ: Ita  cū alid rarefit ꝑtes eiꝰ magis diſtant ꝙ̄ antea ꝑ­tes in̄ mediate: q īmediate ſꝑ īmediate manēt

marſiliꝰ Dicitur.
Scotus.

Cõtra Q2 ſi ī rarcfactiõe dūtaxat ac­reret̄̄ maior locꝰ ſeret̄̄ in oī rarefactione oīa natu-ralia rarefieri vel penetrationē dimenſionū eē: ſed vtrū iſtoꝝ naturaliter eſt impoſſibile. igr̄ rarefa-ctio ēt iſto mõ eſt naturaliter īpoſſibilis. Seq̄la ꝓ-bat̄̄ et ponat̄̄ vnū pedale rarefieri q̊uſ ſit bipedale: et acrat locū pedalē loco habito: in q̊ locu pedali erat pedale aeris qḋ pedale aeris vocet̄̄ a. et arguit̄̄ vel a. manet adhuc cū corpore rarefacto in eodē lo-cõ vel non: ſi ſic habeo intentū vcꝫ  cū alid rare- fit ē penetratio dimenſionū. Si nõ manet ſed expel­lebat̄̄ ad aliū locū pedalē / tunc ſetur /  corpus exi-ſtens in iſto alio loco pedali pellebat̄̄ ad aliū locū: et exiſtens in illo ad aliū locū et cū nõ ſit ꝓceſſus ī in­finitū in illis pedalibꝰ antea ꝙ̄ deueniat̄̄ ad celū ſe-quitur /  etiã celū pellebat̄̄. et in tali mutatione lo-cali ſꝑ fiebat rarefactio: cum motus ſit cauſa rare-factiõis: igr̄ data vna rarefactione oīa alia rarefi-unt. vel ſaltē mutant̄̄ localiter / quod fuit ꝓbandum nõ e maius incõueniens eſt  oīa rarefiãt ꝙ̄  om­nia mutant locū: cū vnū rarefit Nec oportet dicere /  cū alid rarefit alid denſat̄̄ et eo cõtra vt inquit hentiſber in illo ſophiſmate neceſſe eſt alid ↄ̨dēſa­ri cū alid rarefit q2 cū rarefactio et condenſatio ſi fiant a diuerſis cauſis et cõtrariis puta condenſa-tio a frigiditate et rarefactio a caliditate / vt patet ex quarto metheororū vel ab aliis cauſis ↄ̨trariis: volo /  in loco vbi fit rarefactio nulla penitꝰ ſit fri-giditas aut aliqua cauſa condenſans quo poſito nulla fiet condenſatio propter deffectum cauſe con­denſantis et tunc fiet rarefactio: igitur rarefactio poſſiblis eſt ſint condenſatione. Nec valet dice-re  ̄uis non ſit cauſa ſufficiens condenſationis in loco vbi fit rarefactio nichilominus alibi eſt ta-lis cauſa et ibi ordine nature fiet cõdenſatio: q2 tunc ſequeretur /  oportet omnia corpora intermedia ī­ter locum rarefactionis et condenſationis mutari / quod tamen eſt falſum: Sequela patet / q2 alias ī lo­co rarefactionis daretur penetratio dimenſionum et in loco condenſationis daretur vacuum / vt patet inſpicienti.

hētiſber. phūs .4, metheo.

Quarto arguitur ſic Si rarefactio et condenſatio eſſent poſſibiles ſequeretur /  rarū vni­formiter difforme vĺ difformiter difforme cuiꝰ vtra­ medietas eſt vniformis correſponderet gradui medio: ſed couſequens eſt falſum / ergo et añs. Seq̄-la patet et falſitas conſequentis arguitur: et capio vnum pedale cuius vna medietas ſit rara vt octo et alia vt quatuor. et arguitur ſic. Si raritas illius pe­dalis correſponderet ſuo gradui medio ſequeretur /  illud pedale poſſet ad vniformitatem reduci: ita  continuo correſpoudret tali gradui medio me-dietate intenſiore continuo tantum perdente ̄tum alia acquirit. ſed conſequens eſt falſum. igitur et an­tecedens: falſitas conſequentis probatur et volo /  medietas rara vt octo perdat vnum gradum rari-tatis: et tãtum acquirat medietas minus rara quo poſito ſic argumentor tale pedale rarefit et tamen tantū acquirit raritatis medietas minus rara quã­tū deperdit medietas magis rara. igitur nõ poteſt reduci ad vniformitatē ipſo cõtinuo manente eque raro. Conſequentia patet cum maiore et arguitur minor: q2 quando medietas rarior que eſt vt octo perdit vnum gradum raritatis: ipſa efficitur in ſex­quiſeptimo minus rara et ſic perdit vnam octauaꝫ ſui que eſt vna ſexdecima pedalis: et medietas mi-nus rara acquirit vnum gradum raritatis et habe­bat quatuor: ergo efficitur in ſexquiquarto rarior. et ſic efficitur in ſexquiquarto maior: et per conſe-quens acquiſiuit vnam quartam ſui: et illa quarta eſt vna octaua pedalis: igitur maiorem quantita-tem acquiſiuit totale pedale ꝙ̄ deperdit, cnm acqui­ſiuit octauam et deperdit ſexdecimam dumtaxat) nec acquiſiuit materiam aliquam, nec deperdit. igitur ipſum pedale efficitur rarius ꝙ̄ antea: et per conſequens non poteſt illo modo ad vniformita-tē reduci ipſo ↄ̨tinuo manente eq̄ raro: et eq̄ denſo. ¶ Dices forte ↄ̨cedēdo /  nõ eſt poſſibile tale rarum ad vniformitatē reduci medietate rariori tãtum de­perdente quantū minus rara medietas acquirit ip­ſo difformi manēte cõtinuo ſub eodē gradu rarita­tis: ſed bene t fieri  reducat̄̄ ad vniformitatē ſub eodē gradu ſub quo eſt puta ſub gradu medio in to­to tꝑe: ̄uis in te medio ſit magis raruꝫ. hoc eſt in quolibet inſtanti intrīſeco. Uolo dicere /  poſt̄ pars minꝰ rara acſiuerit medietatē exeſſꝰ ꝑ queꝫ medietas magis rara excedit eã tunc totum mane-bit eq̄ rarum ſicut erat in principio qñ erat difformi-ter difforme cuiꝰ vtra medietas erat vniformis.

Sꝫ ↄ̨̨tra Q2 volo /  in hora illa medie­tas q̄ eſt vt octo deꝑdat duos gradꝰ et t acrat me­dietas minus rara puta vt quatuor quo poſito in fi­ne pars minꝰ rara acſiuit medietatē exeeſſus per quē exceſſū pars magis rara excedebat eã: et totum manet vniforme ſub gradu medio inter octauum et quartū  ē vt ſex et tūc totale corpꝰ eſt rarius ꝙ̄ erat in principio qñ erat difformiter difforme cuiꝰ vtra­ medietas eſt vniformis. igr̄ antea erat minus ra­rū ꝙ̄ vt ſex. / et ꝑ ↄ̨ñs ſolutio nulla: Coña pꝫ cū maio-re: et argr̄ minor v3  tale corpꝰ rarefit. q2 in fine ē maius ꝙ̄ erat antea et nullã materiã acſiuit: igr̄ ra­refit: Argr̄ maior / q2 medietas eiꝰ puta rarior effe-cta eſt in ꝓportione ſextertia minus rara: et ꝑ ↄ̨ñs in eadē ꝓportione minor: et ſic ia deꝑdit vnã quar­tã ſui q̄ ē vna octaua pedalis: medietas vero minꝰ rara effecta eſt in ſexaltero rarior / vt pꝫ ex caſu igr̄ effecta ē ī ſexquialtero maior: et ſic ipſa acſiuit medie­tatē ſui ſupra ſe q̄ medietas eiꝰ eſt vna quarta peda­lis: igr̄ totū illud corpꝰ in duplo maiorē quãtitatē acſiuit ꝙ̄ deꝑdit: igr̄ eſt maiꝰ: qḋ fuit probandum. ¶ Dices forte et bene /  nõ t ſic / rarū vniformiṫ dif­forme cuiꝰ vtra medietas eſt vniformis ad vnifor­mitatē reduci: ſed ſubtiliter dicit ſuiſeth calcula­tor ad reducendū raritatē ad vniformitatē oportet reducere denſitatem: ſicut ad reducendã remiſſiõeꝫ oportet reducere intenſionē: q2 oē vniformiter den­ſū ē vniformiter rarū: et ſic ſi dēſitas eſt vniformita­ti reſtituta etiam raritas.

Dicitur. calcula. ſuiſeth.

Sꝫ ↄ̨̨tra / q2 tūc ſeret̄̄ /  denſum vni-formiter difforme cuius vna medietas eſt dēſa vni-formiter vt octo et alia medietas vt quatuor poſſet reduci ad vniformitatem medietate denſiori tãtum perdente adequate quantum medietas minus dē-ſa acquirit: ipſo corpore contino manente eque denſo: ſed conſequens ē falſum / igitur illud ex quo ſequitur Falſitas cõſequenis probatur et pono /  medietas vnius pedalis ſit denſa vt octo: et alia vt quatuor; et ī vna medietate hore deꝑdat medietas denſior vnum gradum denſitatis et tantum acqui-rat medietas minus denſa. Quo poſito ſic arguo totale corpus in illa media hora cõdenſatur: ergo ſequitur /  non valet ſic ad vniformitatem reduci ꝑ te minus denſa tantum acquirente quantuꝫ magis denſa deperdit: continuo ipſo manente eque den-ſo. Conſequentia patet: et arguitur antecedens / q2 ipſum efficitur minus quã antea et nullã materiam deperdit: ergo ſequitur /  cõdenſatur: Patet cõſe-quentia cum minore et arguitur maior videlicet  efficitur minus: q2 medietas denſior perdit vnum gradum denſitatis: et ſic efficitur in ſexquiſeptimo minus denſa: igitur in ſexquiſeptimo magis rara. et maior et per ↄ̨ñs acrit vnã ſeptimam ſui que eſt quatuor decīa vnius pedalis: alia vero pars vel me­dietas que eſt denſa vt quatuor acquirit vnuꝫ gra-dum denſitatis. et ſic efficitur in ſexquiquarto den-ſior et per ↄ̨ñs in ſexquarto minor et ſic ꝑdit vnam quintã ſui q̄ eſt decima vniꝰ pedalis: igr̄ illud tota-le corpus perdidit vnã decimã: et acrit vnã quatuor decimã ſui. magis igr̄ deꝑdit ꝙ̄ acrit et ex ↄ̨ñti effi­citur minus ꝙ̄ erat antea  fuit ꝓbãdū. ¶ Dices et bñ /  argumentū bñ ꝓbat talia difformia in dēſitate poſſe ſic ad vniformitatē reduci iis manētibꝰ con-tinuo ſub eodē gradu dēſitatꝪ: q2 neceſſe ē qñ ſic vna medietas t acquirit quãtum: alia deperdit de dē­ſitate: ipſa difformia per aliquod tempus condēſa­ri: et ꝑdere quantitatē: ſed tunc per tempus ſequens tantum rarefient ̄tum antea fuerunt condenſata, et ſic in totali tempore ipſa nec rarefiunt nec condē­ſantur vt ſi medietas vt octo in hora perdat duos gradus adequate: et tantum medietas vt quatuor adequate acquirat: tunc in fine quantū vna medie-tas acquiſiuit tantum alia deperdit et manebit ade­quate illud pedale in fine tante quantitatis quante erat antea. Quod patet ſic /q2 illa medietas vt octo perdit proportionem ſexquitertiam denſitatis: et per conſequens ipſa efficitur in ſexquitertio maior / igitur ipſa acquiſiuit vnam tertiam ſui que eſt vna ſexta pedalis: altera vero medietas effecta eſt in ſex­quialtero denſior: igitur in ſexquialtero minor: et ꝑ conſequens ipſa deperdit vnam tertiam ſui que eſt ſexta vnius pedalis: igitur quantū illud corpus ac­quiſiuit de quantitate tãtum deperdit: et in fine ma­nebit vniforme ſub gradu medio qui eſt ſextus: igr̄ nunc illi gradui ſua denſitas correſpondet. quod fuit inducendum.

Dicitur.

Sed contra hanc ſolutionē arguitur ſic / q2 tale pedale per totam illam horam rarefit: igitur per nullam partem illius hore condenſatur et etiam in fine manebit rarius ꝙ̄ antea: et ſic nõ ma­nebit ita denſum ſicut antea: nec eidē gradui correſ­pondebit et per conſequens ſolutio nulla. Arguitur ãtecedēs / quia continuo in illa hora per maioreꝫ ꝑ­tem erit deperditio denſitatis ꝙ̄ acquiſitio eiuſdē eodē gradus / vt patet ex caſu: ergo illḋ pedale remit­titur in denſitate et per conſequens ipſum rarefit ꝑ totum illud tempus / quod fuit probandum. Antece­dens patet / quia continuo pars que remittitur ī dē­ſitate erit maior ꝙ̄ pars que intenditur in denſita-te / vt patet intuenti. Conſequentia patet a ſimili / q2 ſi continuo aliquod corpus per maiorem parteꝫ ac­quirit albedinem ꝙ̄ nigredine eodem gradu ma-nifeſtum eſt /  tale corpus remittitur in nigridine: dato  ipſum antea fuerit nigrū vt facile eſt inſpi-cere: igr̄ a ſimili ſi per maiorē partē ē remiſſio den­ſitatis ꝙ̄ intenſio eiuſdem eodeꝫ gradu ſequitur to­tum remitti in denſitate. ¶ Et confirmatur Q2 non eſt dabile inſtans in toto illo tempore in quo tale corpus incipit rarefieri poſt̄ condenſabatur: igi-tur falſum eſt dicere  ſemper quando aliquod cor­pus ſic ad vniformitatem denſitatis reducit̄̄  tm per aliquod tempus primo condenſatur et deiñ ꝑ tempus ſequens rarefit acquirendo quantitatem quam perdiderat Probatur antecedens / q2 maxīe tale inſtans eſſet inſtans medium illius temporis in quo videlicet medietas denſitatis deperdende a medietate denſiori eſt deperdita et reliqua medie-tas incipit deperdi: ſed hoc eſt falſum / igitur illḋ ex quo ſequitur Sequela patet / q2 non videtur qḋ in-ſtans ſit illud niſi fuerit medium inſtans. Falſitas tamen conſequentis arguitur: et capio vnum bipe-dale cuius vna medietas ſit denſa vt duodecim et alia vt dimidium: et volo /  per horam vniformiter medietas denſior deperdat quin gradus cum tri­bus quartis et t acrat medietas minus dēſa ita  totum in fiue maneat vniforme. et arguitur ſic ante inſtans medium totius temporis. incipiet tale corpus rarefieri poſt̄ condēſabit̄̄: igitur inſtans mediū illius temporis non eſt inſtans in quo tale corpus incipit rarefieri poſt̄ antea condenſabat̄̄. Conſequētia pꝫ et arguit̄̄ añs et volo /  illa medie-tas denſior deperdat vniformiter duos gradꝰ den­ſitatis et illos acrat medietas minus denſa / et ma­nifeſtum eſt /  medietas denſior efficitur in ſexqui­quinto minus denſa et ſic acquirit ſupra ſe vnam quintam pedalis: et alia medietas efficitur in quī-tuplo denſior ꝙ̄ erat antea et ſic deꝑdit q̈tuor quin­tas ſui et manet ciſe vna quīta pedalis: volo dein­de  medietas dēſior ꝑdat medietatem vnius gra-dus et t acrat medietas minꝰ denſa eq̄ velociter: Et argr̄ ſic / in tꝑe illo in q̊ pars denſior deperdit me­dietate vnius gradus et pars minꝰ denſa t acrit iã totū rarefit. et illud ts eſt añ inſtans medium vt pꝫ ex ſe: igr̄ añ inſtãs mediū totiꝰ tꝑis īcipit tale cor­pus rarefieri poſt̄ cõdēſabat̄̄. pꝫ ↄ̨ña et argr̄ ma­ior / q2 in te illo pars dēſior q̄ ē maior pedali deꝑ-dit ꝓportionē ſexquidecimã nonnã in dēſitate et ſic acrit vnã decimã nonã vniꝰ pedalis et plus. Pars vero minus denſa efficit̄̄ in ſexquiquīto denſior, et ꝑ ↄ̨ñs in ſexquinto minor et ſic perdit vnã ſextã ſui et ipſa eſt vna quinta pedalis. g̊ perdit vnã ſextam quinte pedalis: et ſexta vnius quīte pedalis eſt vna trigeſima pedalis / vt pꝫ intuenti: igr̄ illḋ totale cor­pus ꝑdit vnã trigeſimã vniꝰ pedalis et acrit pluſ̄ vnã decimã nona in te illo añ inſtãs mediū: igitur plus acrit de quãtitate ꝙ̄ deperdit et per cõſeq̄ns rarefit / quod fuit probandum.

cõfirma.

Quīto prīcipaliṫ argr̄ ſic Si raritas et denſitas eēnt poſſibiles. Seq̄ret̄̄ /  datis duobꝰ corporibꝰ inequalibus maiore plus continente de materia ꝙ̄ minus ſemꝑ maius eſſet dēſius minore. ↄ̨ñs eſt falſū. igr̄ et añs Seq̄la ſuadet̄̄ q2 capto cor-pore bipedali vniformiter qḋ habeat tres gradus materie. et pedali  habeat vnum gradū materie dūtaxat manifeſtū eſt  maius eſt dēſius mīore q2 ſi manente eadem quãtitate maius ꝑderet vnū gra­dū materie. ipſū rarefieret: et in fine maneret vnifor­miter eq̄ denſū cū pedali. igr̄ mõ eſt denſius illo pe­dali / qḋ fuit ꝓbãdū Falſitas tñ ↄ̨ñtis ꝓbat̄̄ et capio vnū pedale qḋ habeat duos gradus materie: et vnū bipedale vniforme qḋ habeat tres / et argr̄ ſic / illud pedale ē dēſius illo bipedali maiori continēte plus de materia: igr̄ nõ ſi alid eſt maiꝰ plꝰ ↄ̨tinēs de ma­teria ꝙ̄ aliud minꝰ eo ipſū ē eo: dēſiꝰ. Probat̄̄ añs et volo /  ſtãte quãtitate ipſius pedalis perdat me-dietatē vniꝰ gradꝰ materie. q̊ poſito illḋ pedale ra­refit vt notū eſt et in fine manebit eq̄ dēſū cū bipeda­li: igr̄ antea erat dēſius. Coña pꝫ cū maiore et argr̄ minor / q2 illud pedale in fine manebit eq̄ dēſū ſicut medietas illius bipedalis q2 cõtinebit t de mate­ria adeq̈te ſicut medietas illius bipedalis: et bipe-dale eſt vniforme vt ponit̄̄: g̊ illud pedale eſt ita dē­ſū ſicut bipedale / qḋ fnit ꝓbãdū. ¶ Dices et bñ negã­do ſeq̄lã īmo aliqñ minꝰ ē dēſius maiore: et eↄ̈: et ali­qñ eq̄ denſum vt apparere poteſt ex argumento.

Dicitur.

Sꝫ ↄ̨̨tra Q2 tūc ſeq̄ret̄̄ /  nõ poſſet da­ri certa regula ad ſciēdū qñ vnū e denſius altero: et qñ maius eſt dēſius minore vel econtra: quod ſi ne-ges des illam. ſed cõſequēs eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur.

Sexto prīcipaliṫ argr̄ ſic  hoc tãgen­do rara difformia. Q2 ſi raritas et denſitas eſſent poſſibiles ſeq̄ret̄̄ /  dabile eēt raꝝ vniformiter dif­forme ab aliquo gradu vſ ad non gradū: et eiꝰ ra­ ritas correſponderat gradui medio: ſed ↄ̨ñs eſt fal­ſum: igitur et antecedēs. Sequela ꝓbatur / quia da­bile eſt rarum vniformiter difforme a certo gradu vſ ad nõ gradū: g̊ etiã pari forma dabile eſt rarū vniformiter difforme a certo gradu vſ ad nõ gra­dū. Sed falſitas conſequentis ꝓbatur / q2 ex illo ſe-quitur aliquid eē rarū et idē non eē rarum / quod eſt impoſſibile: Sequela ꝓbatur / q2 capto tali corpo-re vniformiter difformiter raro a gradu quarto vſ­ ad non gradū: tale corpus eſt raꝝ vt duo ꝑ te cū eius raritas correſpondeat ſuo gradui medio: et eſt nõ rarū cū ſit infinite dēſum: igr̄ intentū: minor pro­batur / q2 prīa ꝑs ꝓportionalis illiꝰ corporis ꝓpor­tione dupla eſt aliq̈liter denſa. et ſecunda in duplo denſior et tertia in quadruplo et ſic in infinitū: igit̄̄ illud corpus eſt infinite dēſum: et per ↄ̨ñs non rarum. Q, ſecunda pars ꝓportiõalis ſit in duplo den-ſior prīa patet / q2 eſt in ſubduplo rarior;: g̊ in duplo denſior: pꝫ ↄ̨ña q ī quacū ꝓportione raritas ē minor: in eadem denſitas ē maior. vt ſatis facile ꝓ­bari t ex diffinitionibꝰ magis rari et magis denſi et añs pꝫ / q2 prīa ꝑs ꝓportionalis eſt rara vt tria, cū eius raritas ſit vniformiter difformis a quatuor vſ ad duo: et ſcḋa pars proportionalis eſt rara vt vnū cū dimidio: ſꝫ vnū cū dimidio eſt ſubdupluꝫ ad tria. igr̄ ſcḋa pars ꝓportionalis eſt in ſubduplo ra­rior ꝙ̄ prima / qḋ fuit ꝓbãdū. Et ſic ꝓbabis /  tertia eſt in duplo denſior ꝙ̄ ſcḋa et quarta in duplo den-ſior ꝙ̄ tertia: et ſic in infinitū. igit̄̄ totū cõtinet infini­tã materiã ſub finita quantitate: et ꝑ ↄ̨ñs non eſt ra-rū. Oīs e pars illius ꝓportionalis tantū cõtinet de materia ſicut prīa / vt pꝫ calculatanti igit̄̄. ¶ Dices et bñ negando ſequelã et ad ꝓbationē conceſſo añte negãdo ↄ̨ñam / q2 ad raꝝ vniformiter difformi a cer­to gradu vſ ad non gradū ſetur ipſum eſſe rarū et non rarum vt bene ꝓbat argumentum. Ad rarū vero vniformiṫ difforme a gradu vſ certū gradū illḋ nõ ſetur: nec aliud etiam incõueniens iõ negã-da eſt ſimilitudo.

Dicitur

Sꝫ ↄ̨̨tra Q2 eadē rõe ſeq̄ret̄̄ /  nõ poſ­ſet dari denſū vniformiter difforme a certo gradu vſ ad non gradū: ſed ↄ̨ñs ē falſū: igr̄ et añs. Seq̄­la pꝫ / q2 non eſt maior ratio de raritate vniformiṫ difformi a gradu vſ ad nõ gradū quã de dēſitate vniformiter difformi a gradu vſ ad nõ graduꝫ: g̊ ſi vnū nõ eſt dabile: nec aliud cõcedēdū erit. Sꝫ iã ꝓ­bat̄̄ falſitas conſequentis / q2 ad denſum vniformi-ter difforme a certo gradu vſ ad nõ gradū nulluꝫ ſetur incõueniens: igr̄ denſū vniformiter difforme a certo gradu vſ ad nõ gradū ē poſſiblle. Et ſi ne­gas  ad illud nullū ſequat̄̄ īcõueuiēs des illud / igr̄ inconueniēs / qḋ ſetur. et nõ poteris. q2 nõ ſequitur illud quod ſequitur ad rarum vniformiter diffor-me a certo gradu vſ ad non gradum: nec aliquod aliud: igitur. Antecedens probatur / quia licet talis vniformiter difformiter denſi etc. ſecunda pars pro­portionalis ꝓportione dupla ſit in ſubduplo den­ſior et per conſequens duplo rarior ꝙ̄ prima et ter-tia in duplo rarior ꝙ̄ ſecunda: et quarta ꝙ̄ tertia et ſic in infinitum: non tamen eo illud denſum vnifor-miter difformiter etc. eſt infinite rarum. Continet enim ſub finita quantitate aliquam materiam: vt patet. igitur non ſequitur tale inconueniens / quod fuit probandum. ¶ Et confirmatur Quia ſi raritas et denſitas eſſent poſſibiles ſequeretur /  poſſet dari infinite denſum / ſed conſequens eſt fal-ſum. igitur illud ex quo ſequitur falſitas conſequē­tio oſtenditur / q2 illud denſum īfinite eēt aliq̈liṫ ma­gnū. et poſſet eiꝰ pūcta adhuc mag approxīari et ad inuicem approximari: et tūc tale condenſaret̄̄: igi-tur non eſſet ante illam approximationem puncto­rum infinite denſum. Conſequentia patet et mi-nor ꝓbatur. q2 condenſari nihil aliud eſt ꝙ̄ puncta approximari / vt patet ex deſcriptione cõdēſatiõis ¶ Dices et bñ cõcedēdo ſeq̄lã et negãdo falſitatē cõ­ſequētis: et ad ꝓbatiouē concedo /  pūcta illiꝰ cor-poris poſſūt ad inuicē aproximari: et nego  tunc condenſaretur tale corpus: et cū ꝓbat̄̄ /  ſic per dif­finitionem condenſationis: dico /  non ſic deſcribi­tur condēſatio. Sed de hoc videbit̄̄ poſtea. Si enim alicuius pedalis prīa pars ꝓportionalis propor-tione dupla alid cõtineat de materia: et ſecūda t de materia: et tertia t: et ſic ↄ̨ñter. Ita  prima ſit aliquãtulū denſa: ſecūda ī duplo dēſior: et tertia ī q̈­druplo: et ſic cõſequēter: tūc cõſtat  tale corpꝰ ē īfi-nite dēſū: et ſub pedali quantitate infinitam mate-riam continet.

.1. confir.

Sꝫ ↄ̨̨tra / q2 ſi ſolutio eſſet a ſeq̄ret̄̄ /  poſſet dari finitū īfinite dēſū vniformiter: ſꝫ ↄ̨ñs eſt falſū: igr̄ ſolutio nulla. Seq̄la ꝓbat̄̄ / q2 tale corpus de quo fit mētio in ſolntiõe eſt finitū īfinite dēſū dif­formiter / vt dictis: igr̄ illud corpꝰ finitū t reduci ad vniformitatē: q̊ facto tale corpꝰ finitū eſſet īfinite dē­ſū vniformiter: igit̄̄. Sꝫ iã ꝓbat̄̄ falſitas ↄ̨ñtis: q2 ſi alid eſt finitum infinite dēſū vniformiter ſetur /  prīa pars ꝓportionalis eſt ita denſa ſicut ſcḋa ade­quate: et ſecunda ſicut tertia et tertia ſicut quarta / et ſic ↄ̨ñter: et vltra prīa pars ꝓportiõalis eius eſt ita dēſa ſicut ſcḋa adequate etc. / igit̄̄ ſecūda ī duplo mi­nus continet de materia ꝙ̄ tertia: et ſic ↄ̨ñter: g̊ reſi­duū ex oībus dēpta prīa habet t de materia ſicut prima: ſꝫ materia prime eſt finita: igit̄̄ materia to-tius corporis ē finita: et quãtitas ſimiliter finita: igr̄ totū corpꝰ ē finite denſū. et ſic nõ eſt vniformiter īfini­te dēſū / qḋ fuit ꝓbandū. Et ſi dicas /  ſecūda ꝑs pro­portionalis continet tãtã materiã ſicut prīa et q̄lib3 ſequens ſimiliter quia īfinitã: iã ſet̄̄ /  ad quodlib3 pūctū talis corporis ē materia īfinita: et  ē penetra­tio dimenſionū vel  materia ṗme ꝑtis ꝓportiona­lis ē reducta ad nõ quãtū: et ſiĺr materia ſcḋe. et ter-tie / et ſic ↄ̨ñter: et ꝑ ↄ̨ñs totū illud corpꝰ erit reductum ad nõ quãtū et ſic nõ erit finitū īfinite dēſū vniformi­ter / qḋ fuerat demonſtrãdū. ¶ Cõfirmat̄̄ ſcḋo Q2 ſi ra­ritas eēt poſſibilis: ēt poſſibilis eēt raritas īfinita ī ſubiecto finito: ſꝫ ↄ̨ñs eſt falſū. igr̄ illud ex quo ſe­tur. Seq̄la apparet et falſitas ↄ̨ñtis deducir̄: q2 vel tale ſubiectū finitū cõtinet infinitã materiã vel fini-tã ſi infinitã iã illud nõ ē rarū: et ꝑ ↄ̨ñs nõ ē īfinite ra­rū. Si finitã vel igr̄ cõtinet tãtã quantã vnū aliḋ ſub­ieetū eq̈le illi finite rarū vel maiorē vel minorē. Si tantã ſet̄̄ /  illa ſubiecta ſūt eq̄ rara: et vnū ē finite raꝝ. ir̄ et aliud. Si maiorē iã ſet̄̄ /  hoc nõ eſt ita ra­rū. Si minorē cū nõ ſit poſſibile  aliq̈ materia ſit ī­finite modica ſet̄̄ /  ī aliq̈ ꝓportiõe materiã mino-rē cõtinebit et ſic in eadē ꝓportiõe erit magꝪ rarū et ꝑ ↄ̨ñs nõ erit īfinite rarū / quod fuit ꝓbandum.

Septīo prīcipaliṫ argr̄ ſic īrēdo ma­teriam de raritate et dēſitate difformi. q2 ſi raritas et dēſitas eſſent poſſibiles ſeq̄ret̄̄ /  pedale cuius pri­ma ꝑs ꝓportionalis ꝓportione dupla eſſet aliquã­tulū rara et ſecunda in duplo rarior ꝙ̄ prīa: et tertia ī duplo rarior ꝙ̄ ſcḋa et q̈rta in duplo rarior ꝙ̄ ter­tia: et ſic ↄ̨ñter eſſet infinite rarū: ſed ↄ̨ñs eſt fl: igit̄̄ illud ex q̊ ſetur Seq̄lã ꝓbat̄̄ / q2 raritas prīe ꝑtis ꝓ­portiõalis illiꝰ corꝑis denoīat totale corpꝰ aliquã­tū rarū et raritas ſcḋe ꝑtis ꝓportionalis t deno-minat et raritas tertie ꝑtis: ſiĺr / et ſic ↄ̨ñter: igit̄̄ ibi ſūt īfinite denoīatiões eq̈les nõ cõicãtes illud corpꝰ denoīantes: igit̄̄ illud corpꝰ ē īfinite raꝝ. Añs pꝫ / q2 raritas ſcḋe ꝑtis eſt in ſubduplo ſubiecto: et ī duplo maior ꝙ̄ prime ꝑtis raritas: igr̄ t denoīat totale corpꝰ ſicut raritas prīe partis et eadē rõne raritas tertie t ſicut raritas ſcḋe / et ſic ↄ̨ñter: igt̄̄ intētū Sꝫ falſitas ↄ̨ñtis ꝓbat̄̄: q2 illud corpꝰ pedale ſub finita quãtitate cõtinet aliquãtã materiã: igr̄ nõ ē īfinite rarū. itē illud pedale ē aliq̈liṫ denſū: igr̄ nõ ē īfinite raꝝ. Coña pꝫ et arguit̄̄ añs / q2 prīa ꝑs ꝓportiõalis illiꝰ pedalis eſt aliq̈liṫ denſa: et ſcḋa in duplo minꝰ et tertia ī duplo minꝰ ꝙ̄ ſcḋa: et ſic ↄ̨ñter: igr̄ prima ꝑs ꝓportionalis cõtinet aliquãtã materiã et ſcḋa in q̈druplo minorē: et tertia in q̈druplo minorē ꝙ̄ ſcḋa / et ſic ↄ̨ñter: igit̄̄ aggregatū ex illis oībꝰ materiebꝰ dēpta mã prīe ꝑtis eſt ſubtriplū ad materiaꝫ prīe ꝑtis ſed materia prime ꝑtis eſt vt tria (vt ſuppono) / igit̄̄ tota materia illiꝰ corꝑis pedalis eſt vt q̈tuor: et ꝑ ↄ̨ñs illud corpus eſt ita dēſū adeq̈te ſicut vnū aliḋ pedale vniformite qḋ hꝫ q̈tuor gradꝰ materie / qḋ fuit ꝓbãdū. Et ↄ̨firmat̄̄ Et capio vnū corpꝰ cuiꝰ prīa ꝑs ꝓportiõalis ꝓportiõe dupla ſit aliquãtulum rara vniformitet puta vt duo: et ſecūda in duplo minus et tertia in duplo minus ꝙ̄ ſcḋa / et ſic ↄ̨ñter ſequitur /  illud corpus eſſet rarum et nõ eſſet rarum: ſed cõ-ſequens implicat: igit̄̄ et q̄ſtio Sequela ꝓbatur / q2 illud eſt rarū vt vnū cuꝫ vna tertia: igr̄ illud eſt raꝝ Añs ꝓbatur / q2 ſi eſſet vnum corpus cuius prīa pro­portionalis ꝓportione dupla eēt intenſa vt duo: et ſecunda in duplo minus. et tertia in duplo minus ̄ ſecunda / et ſic couſequenter. totū eēt intenſū vt vnuꝫ cū vna tertia / vt ꝓbabitur infra. de intenſione: igit̄̄ pari ratione illud corpꝰ cuiꝰ vna ꝑs ꝓportionalis ꝓportione dupla eſt rara vt duo: et ſcḋa in duplo minus et tertia in duplo minus ꝙ̄ ſcḋa / et ſic cõſequē­ter eſt rarū vt vnū cū vna tertia / quod fuit ꝓbanduꝫ Sed  nõ ſit rarū ꝓbat̄̄ / q2 eſt infinite denſū: g̊ nõ eſt rarum antecedens ꝓbatur / q2 ſub finita quantitate infinitam materiam continet / quod probatur / q2 q̄-libet pars proportionalis continet tantum de ma­teria ſicut prima: ergo tota materia illius totiꝰ eſt infinita añs ꝓbatur / q2 cū ſecunda pars ꝓportiõa-lis eſt in duplo minus rara ꝙ̄ prīa ipſa eſt in duplo denſior ꝙ̄ prīa et eſt in duplo minor: g̊ t cõtinet de materia adeq̈te quãtã cõtinet prīa. Coña ptꝫ / q2 ſi ſe­cūda eēt eq̄ dēſa cū prīa in duplo minorē materiaꝫ cõtiueret ꝙ̄ prīa / vt patet: ergo cū modo ſit ī duplo denſior ꝙ̄ tunc eſſet mõ ſub eadē quãtitate in duplo maiorē materiã cõtinet ꝙ̄ tunc contineret. Et eodē° ꝓbabis /  tertia tãtã materiã cõtinet ſicut ſecūda et q̈rta ſicut tertia et ſic ī iufinitū: et ſic pꝫ /  iliud conti­net infinitã materiã ſub finita quãtitate / qḋ fuit pro­bãdū. ¶ Cõfirmaṫ ſcḋo Et capio vnū pedale cuiꝰ pri­ma ꝑs ꝓportiõalis ꝓportione decupla ſit dēſa ali­qualiter et ſcḋa ī duplo magis: et tertia ī duplo ma­gis ꝙ̄ ſcḋa et quarta in duplo magis ꝙ̄ tertia: et ſic couſequenter: et ſic arguo ſequeretur ex queſtiõe  illud corpus eſſet infinite denſum: ſed conſequēs eſt falſum: igitur illud ex quo ſequitur. Sequela pro-batur / quia ſi alicuius corporis diuiſi per partes ꝓ-portionales propoſitione dupla prima pars ꝓpor­tionalis ſit aliquantulum denſa: et ſecunda in du-plo denſior: et tertia in duplo denſior ꝙ̄ ſecun-da: et quarta in duplo denſior ꝙ̄ tertia: et ſic conſe-quenter: totum illud corpus eſt infinite denſum cuꝫ contineat ſub finita quantitate infinitam materi-am / vt probatum eſt in confirmatione ſuperiori: igitur pari ratione etiam corpus diuiſum per par­tes ꝓportionales ꝓportione decupla cuius prima ꝑs ꝓportionalis ſit aliquãtulū denſa et ſcḋa in du-plo magis et tertia in duplo magis ꝙ̄ ſecūda: et ſic conſequēter erit etiã denſū infinite / qḋ fuit ꝓbãdum Sed modo ꝓbatur falſitas conſequētis / quia illud corpus diuiſū ꝓportione dedupla etc. ſub finita quã­titate cõtinet finitã materiã ciſe: igr̄ eſt finite den-ſum. Añs ꝓbatur et ſuppono /  prīa eius pars ſit dēſa vt vnū: ſecūda pars ꝓportionalis eius ſi tãtã materiã contineret quantã continet prima eēt ī de-cuplo denſior / et ꝑ ↄ̨ñs vt decē cū ſit in decuplo mīor ſed modo eſt in quintuplo minus denſa ꝙ̄ tunc eēt: et hoc ſub eadē quãtitate (quia duplum ad ſubdecu­plū eſt ſubquītuplū ad decuplū / vt patet) et mõ eſt ­ciſe denſa vt duo / vt ptꝫ ex caſu: igr̄ mõ in quītuplo minus continet de materia ꝙ̄ tūc ↄ̨tineret ſꝫ tūc cõ-tinet tantã materiã quãtã cõtinet prīa: igr̄ mõ ī quī­tuplo minorē materiã ↄ̨tinet ꝙ̄ prīa: et pari rõe ter­tia pars ꝓportionalis in quintuplo minus de ma­teria ↄ̨tinet ꝙ̄ ſecūda et q̈rta in quītuplo minꝰ ꝙ̄ ter­tia etc. / igr̄ aggregatum ex omnibus illis materie-bus eſt ſexquiq̈rtum ad materiã prīe ꝑtis ꝓportio­nalis: ſed materia prīe ꝑtis ꝓportionalis eſt finita vt quatour vt ſuppono: igr̄ tota materia totiꝰ cor-corporis eſt vt quī: et ꝑ ↄ̨ñs finita / qḋ fuit ꝓbandū

.1. confir. 2. confir.

Octauo arguit̄̄ ſic. Quia ſi raritas et denſitas eēt poſſibilis ſequeretur /  aliquid eſſet ī-finite denſum. et idem eſſet denſum ſolum finite: ſed ↄ̨ñs īplicat: igr̄ et illḋ ex q̊ ſet̄̄. Seq̄la ꝓbat̄̄ et capio vnū dēſū vniformiṫ diuiſū ꝑ ꝑtes ꝓportõales ꝓpor­tione dupla et volo /  ī prīa ꝑte huiꝰ hore pars pro­portiõalis ṗma ↄ̨denſet̄̄ aliquantū: et in ſcḋa ꝑte iſti­us hore ſecūda ꝑs corꝑis illiꝰ cõdenſet̄̄ in duplo plꝰ et in tertia ꝑte tertia in triplo plus. et ſic ↄ̨ñter Quo poſito in fine hore tale corpꝰ eſt finite denſū et īfinite q2 infinite denſa ē aliq̈ pars eiꝰ. igr̄ ꝓpoſitū. Q, ſit finite denſū argr̄ ſic / q2 apparet  ſit denſū ciſe ſi-cut ſcḋa ꝑs ꝓportionalis eius vt deducebat̄̄ ſuꝑius de motu: et īfra videbit̄̄ de q̈litate difformiter ſic exi­ſtente in corꝑe pedali. ¶ Dices forte negãdo ſeq̄lam et ad probationem admiſſo caſu negando  illud ſit in fine īfinite dēſū: et ad ꝓbationē cū dr̄ īfinite dē­ſa ē aliq̈ pars eiꝰ: igr̄ ē infinite dēſū ↄ̨ceſſo añte: ne-gat̄̄ ↄ̨ña: q2 nec de motu nec de intenſione tenet illa ↄ̨ña: et ſic pꝫ /  ſolū eſt finite denſum in fine.

Dicitur.

Sꝫ ↄ̨̨tra / q2 ſi illḋ corpꝰ in fine eēt ſolū finite denſū poſſet dari eius adeq̈ta denſitas / ſꝫ ↄ̨ñs eſt falſū: igr̄ et añs. Coña pꝫ: et argr̄ falſitas ↄ̨ñtꝪ: q2 ſi poſſet dari eiꝰ adeq̈ta denſitas maxīe eēt dando denſitatē ſcḋe ꝑtis ꝓportionalis: ſꝫ illḋ corpꝰ nõ eſt in fine ita denſū ſicut ſcḋa pars ꝓportiõalis eiꝰ: igr̄ ꝓpoſitū. Minor ꝓbat̄̄ et volo /  ṗma ꝑs ꝓportiona­lis illius corꝑis ↄ̨denſet̄̄ ad ſubduplū: et tūc pꝫ ex ca­ſu /  ſcḋa pars cõdenſabit̄̄ ad ſubq̈druplū: q2 ī du-plo magꝪ. et arguo ſic / ī fine tale corpꝰ nõ erit ī qua­druplo dēſiꝰ ꝙ̄ ſit nūc / igr̄ in fine nõ erit ita dēſū ſi-cut ſcḋa pars ꝓportionalis eiꝰ q̄ erit in fine in q̈dru­plo denſior ꝙ̄ nūc. Añs ꝓbat̄̄ / q2 in fine illḋ corpus nõ erit in q̈druplo minus ꝙ̄ ſit nūc ſꝫ maiꝰ: et eq̈liter ↄ̨tinebit de materia ī fine ſicut nūc: igr̄ ī fine nõ erit ī q̈druplo dēſiꝰ ꝙ̄ ſit nūc Maior ꝓbat̄̄ / q2 prīa ꝑs ꝓ-portiõalis eiꝰ q̄ mõ ē medietas ↄ̨dēſabit̄̄ ab ſubdu-plū. igr̄ ī fine manebit q̈rta illiꝰ (illiꝰ in̄ in ṗncipio) et alie ꝑtes ꝓportiõales nõ ↄ̨dēſant̄̄ ad nõ q̈ntū: igr̄ aggregatū ex illa ṗma ꝑte et aliis erit magꝪ ꝙ̄ q̈rta illiꝰ ī prīcipio. igr̄ ī fine illḋ corpꝰ nõ erit ī q̈druplo minꝰ ꝙ̄ ſit nūc / qḋ fuit ꝓbãdū. ¶ Et ↄ̨firmat̄̄ Et capio vnū pedale diuiſū ꝑ ꝑtes ꝓportionales ꝓportione dupla: et prīa ſit aliq̈liṫ dēſa: et ſcḋa in ſexquialtero dēſior et tertia ī ſextertia dēſior ꝙ̄ prīa et q̈rta ī ſex­q̈to dēſior ꝙ̄ prīa / et ſic ↄ̨ñṫ ꝓcedēdo ꝑ oēs ſpēs ꝓ-portiõis ſuꝑparticularis / et arguo ſic / ſi raritas et dē­ſitas eſſet poſſibilis tale corpꝰ eēt alicuiꝰ denſitatis / ſꝫ hoc ē falſū: igr̄. Minor ꝓbat̄̄ / q2 nõ t dari eiꝰ ade­quata denſitas: igr̄ nõ eſt alicuiꝰ adeq̈te denſitatꝪ: g̊ ꝓpoſitū. ¶ Cõfirmat̄̄ ſcḋo Et capio vnū pedale diui­ſū ꝑ ꝑtes ꝓportionales ꝓportiõe tripla: et prīa ali­quantulū dēſa: et ſecūda in duplo magis dēſa et ter­tia in ſexaltero denſior ꝙ̄ prīa et q̈rta in ſuꝑbiꝑti­ente tertia denſior ꝙ̄ prīa et quīta in duplo ſexal-tero dēſior ꝙ̄ prīa: et ſexta in duplo ſuꝑbipartiente tertias denſior ꝙ̄ prīa: et ſeptima ī triplo denſior ̄ prīa / et ſic ↄ̨ñter capiēdo prīo prīas ſpēs qnin ge-nerū ꝓportionū et deinde alias quin / et ſic cõſequē­ter. Quo poſito ſic arguo / ſi denſitas eſſet. poſſibi-lis daret̄̄ adequata denſitas illius corꝑis: ſed ↄ̨ñs eſt falſū: igr̄ / et illud ex quo ſetur. Et ſi aduerſarius minorem neget det illam: et in dubie facile eum cal-culator philoſophus impugnabit.

.1. confir. 2. confir.

Nono argr̄ ſic. Si q̄ſtio eſſet a ſeq̄-ret̄̄ alid ſiĺ rarefieri et ↄ̨dēſari: ſꝫ ↄ̨ñs eſt īpoſſibile / g̊ et añs. Seq̄la ꝓbat̄̄: et pouo /  pedale vniforme di­uidat̄̄ ꝑ partes ꝓportiõales ꝓportiõe dupla: et in ṗma pate ꝓportiõali huiꝰ hore ṗma pars ꝓportio­nalis talis corꝑis rarefiat ad duplū ſui, et in ſcḋa parte ꝓportiõali ſcḋa ↄ̨dēſet̄̄ ad ſubduplū: et in ter­tia ſiĺr ad ſubduplum: et ſic ↄ̨ñter Quo poſito argr̄ ſic in fine tale corpꝰ eſt rariꝰ: et ſiĺr dēſiꝰ ꝙ̄ ſit modo: igr̄. Qḋ ſit dēſiꝰ ꝓbat̄̄ / q2 īfinite partes eiꝰ ſunt den­ſiores in duplo ꝙ̄ erãt ãtea: igr̄ totū eſt dēſiꝰ ꝙ̄ erat ãtea. Sꝫ  ſit rariꝰ ꝓbat̄̄ / q2 eſt maiꝰ ꝙ̄ erat antea: et non niſi ꝑ rarefactionē vt facile habet̄̄ ex caſu: igit̄̄ ipſū eſt rariꝰ: añs ꝓbat̄̄ / q2 plus quãtitatis acſiuit ṗma pars ꝓportiõalis ꝙ̄ ꝑdidit aggregatū ex oī-bus ſequētibꝰ eã: igr̄ totale corpꝰ effectū eſt maius. Añs ptꝫ: q2 ṗma pars ꝓportiõalis cū eſſet ſemipe-dalis acſiuit ſemipedalē quãtitatē: et oēs alie ſe-quētes perdiderūt quartã ꝑtē pedalis: igr̄ ṗma ꝑs magꝪ acſiuit ꝙ̄ oēs alie ſentes ꝑdiderūt Minor ꝓ-bat̄̄ / q2 ſcḋa ꝑs ꝓportõaĺ q̄ ē vna q̈rta pedaĺ ꝑdidit medietatē ſui: et ſic ꝑdidit octauaꝫ pedalis: et tertia ꝑdidit medietatē illiꝰ octaue, et q̈rta iteꝝ ſubduplã quãtitatē ad tertiã: et ſic ↄ̨ñter ꝓcedēdo ꝑ ꝓportiõeꝫ ſubduplã: igr̄ aggregatū ex oībꝰ partibꝰ ꝓportiõa­libꝰ ſeq̄ntibꝰ ſcḋam ꝑdidit t ̄titatis ̄tū ꝑdidit ſcḋa: et ſcḋa ꝑdidit vnã octauã pedalis: igr̄ aggre-gatū ex ipſa et oībꝰ ſeq̄ntibꝰ eã ꝑdidit q̈rtã partē pe­dalis / qḋ fuit ꝓbãdū: et ꝑ ↄ̨ñs totū corpus acſiuit q̈rtã partē pedalis: et ſic eſt maiꝰ in ſexquiq̈rto: et ꝑ ↄ̨ñs eſt rarefactū / qḋ fuit ꝓbãdū. ¶ Et cõfirmat̄̄ et pono caſū /  ſit aliqḋ corpꝰ diuiſū ꝑ partes ꝓpor-tiõales ꝓportiõe dupla: et volo /  in ṗma ꝑte ꝓpor­tionali huiꝰ hore rarefiat ṗma pars talis corporis ſus ſcḋam ↄ̨dēſando ſcḋam ad ſubduplū eq̄ velo­ciṫ ita  t rarefiat ̄tū alia ↄ̨denſabit̄̄ oībꝰ aliis eſcētibꝰ: et ī ſcḋa ꝑte ꝓportiõali rarefiat ſcḋa ſus tertiã cõdēſando tertiã ad ſubduplū et in tertia ra­refiat tertia verſus quartã condenſando eã ad ſub­duplū ceteris eſcētibꝰ. et ſic in īfinitū Quo poſito in fine hore illud corpus ē dēſiꝰ ꝙ̄ erat et etiã rarius / igitur aliquid ſimul rarefit et cõdenſat̄̄ ſi raritas et denſitas ſit poſſibilis. Añs ꝓbat̄̄ / q2 prīa ꝑs ꝓpor­tionalis eſt maior ꝙ̄ erat antea: et aggregatū ex ip­ſa et ſecunda maius ꝙ̄ erat antea: et aggregatū ex ipſa ſecunda et tertia maius ꝙ̄ erat antea, et aggre­gatū ex mille primis, et ex quotcun finitis compu­tata prima eſt maius ꝙ̄ erat antea: igr̄ illud corpꝰ totale eſt maius ꝙ̄ erat antea: et ꝑ cõſequēs rarius. Antecedens probatur / quia aggregatū ex ṗma et ſe­cūda eſt maiꝰ ꝙ̄ erat antea q2 prīa acſiuit aliquan­tam quantitatē: et ſecunda ſubduplam perdidit: igi­tur aggregatū ex illis magis acquiſiuit ꝙ̄ ꝑdiderit / et ſic ꝓbatur de quocū aggregato. Sed  tale cor­pus nõ ſit rarius ꝓbat̄̄ / q2 in fine adequate ē t quã­tum erat antea: igitur non eſt rarius. Probat̄̄ / an-tecedens / q2 prima pars ꝓportionalis eius aliquã quantitatem acquiſiuit (acquiſiuit inquã ad bonum ſenſum vt in propoſito debet ſumi) et aggregatum ex omnibus ſequentibus tantū adequate deꝑdidit: g̊ illud corpus manet equale t vi3 quãtū erat an-tea Minor probatur / q2 prima pars ꝓportionalis acquiſiuit aliquã quãtitatē: et ſecūda perdidit in du­plo minorem: et tertia in duplo minoreꝫ perdidit ̄ ſecunda: et ſic conſequenter / ergo aggregatum ex oī­bus ſequentibus primam quantitatē eſt equale pri­me: et illa eſt quãtitas deꝑdita: igitur quantitas de­perdita eſt equalis oīno quãtitati aquiſite

cõfirma.

Decimo prīcipaliter arguitur ſic. Si raritas et denſitas eſſet poſſibilis ſequeretur /  ali­quod corpus pedale per totã horã iſtam ſequentem eſſet maius ꝙ̄ nunc eſt: et in fine eſſet adequate eque magnum ſicut nunc eſt: et tamen tunc nihil perderet ſꝫ hoc apparet impoſſibile: igitur impoſſibilitas cõ­ſequētis coloratur q2 ſi ꝑ totã horaꝫ eſſet maius ̄ nūc eſt capio / igr̄ quãtitatē et exceſſum ꝑ quã erit ma­ius per totã horã: , arguitur ſic talis exceſſus erit deꝑditꝰ in fine hore: et erit ꝑ totã iſtam horam. igit̄̄ alid ꝑdit in fine hore / quod fuit negatum: et ſic par­tes illiꝰ illati nõ ſe cõpatiuntur. Sed ſequela proba­turi et pono pono caſum / ꝙ̄ in prima medietate huius ho-re future prima medietas pedalis corporis date ra­refiat ad duplū et in ſecunda medietate iterū condē­ſetur vniformiter et eque velociter ſicut rarefiebat: quo poſito in fine hore tale corpꝰ erit adequate pe-dale: et t adequate erat in principio et per totã ho­rã erit maiꝰ pedali: igitur ꝓpoſituꝫ. ¶ Dices et bene concedendo illatum nec illud inconuenit.

Sed cõtra ſi illud eſſet verū ſequeret̄̄ pariformiter /  alid eſt nūc pedale et ꝑ totã iſtã ho­rã ſequentē cõtinuo erit maiꝰ et tñ in fine erit minꝰ ̄ nūc eſt: nihil in fine deꝑdēdo: ſed conſequēs videtur impoſſibile: igit̄̄ illud ex quo ſetur. Sequela tñ de­ducit̄̄: et capio vnū corpus pedale diuiſū ad ymagi-nationē ꝑ partes ꝓportionales: et hora ſimiliter fu­tura diuidat̄̄ (maiorbus terminatis ſus inſtãs / qḋ eſt pñs) et in prīa ꝑte ꝓportionali hore acrat prīa pars corporis vnū pedale ceteris quieſcētibꝰ: et ī ſe­cunda ꝑte ſecunda pars corporis acrat duo peda­lia cõdenſando primã vſ ad ſubduplã quãtitatem reſpectu illiꝰ quã hꝫ in īſtãti pñti: et in tertia acrat tertia ꝑs corporis q̈tuor pedalia ↄ̨dēſando ſcḋam ad ſubduplã quãtitatē reſpectu illiꝰ quã hꝫ in īſtãti pñti: et ſic in īfinitū. quo poſito in fine hore illud cor­pus manebit ſubduplū reſpectu magnitudinis quã nūc hꝫ q2 q̄libet pars ꝓportionalis eius cõdēſabit̄̄ ad ſubduplū: et tñ in illo īſtanti in fine nihil deꝑdet q cd ꝑdet: ꝑdet in aliqua parte ꝓportionali: et ꝑ totã horã cõtinuo erit maius: et maius vt facile ex caſu iudicat̄̄ ymo ex caſu in īfinitū creſcit: igr̄ ꝓpoſi­tū. Eodē modo poſſet deduci concluſio illata eſto  illud pedale nõ augeretur in infinitū imo ſemꝑ eſſet citra bipedale: ponēdo  in prīa ꝑte ꝓportiõali ho­re ṗma pars ꝓportionalis illiꝰ pedalis acrat vnã partē ꝓportionē vnius pedalis et in ſecunda ꝑte ꝓ-portionali acquirat ſcḋa pars duas ṗmas ꝑtes ꝓ-portionales et prīa cõdenſarett̄̄ ab ſubſexalterū vel ad ſubſextertium ī idē īcidit reſpectu quãtitatꝪ quã habet in inſtanti / qḋ eſt pñs et ſic in īfinitum. quo po­ſito manifeſtū eſt  illud corpꝰ ſꝑ erit maius et ma-ius ꝑ totã illã horã: et nū̄ erit bipedale: et tñ in fine erit minus (minus in̄ in ſubſextertio) q perdet vnã quartã vt patuit ex regulis ꝓportionum: ſꝫ hoc videtur inconueniens: igitur.

In oppoſitū arguit̄̄ experimēto  au­ctoriate: Experimēto ſic nã videmus aquã igni op­poſitã maiorari et puncta in ea magis diſtare ꝙ̄ au­tea: et talis maioratio a phīs rarefactio vocat̄̄: igr̄ rarefactio ē poſſibilis ꝑ ↄ̨ñs raritas. Itē videmꝰ aquam bulientem cum ab igne ſeperatur minora-ri et eius puncta ꝓximiora effici: et talis minoratio vocatur a phīs coudenſatio: igitur condenſatio eſt poſſibilis et per conſequens denſitas. Auctoritate autem probatur: Nam philoſopbus quarto phiſi­corum in capitulo primo videlicet Sunt autem qui­dam qui per rarum et denſuꝫ opinantur manifeſtū eſſe vacuū: aſſerit rarū et denſum eſſe / igitur. Itē phi­loſophus et commētator eius ſeptimo phiſicorum cõmento quindecimo ponunt motum rarefactiõis et condenſationis vbi cõmentator īquit denſitas ni­hil aliud eſt ꝙ̄ trãſmutatio alicuius ad minorē ma­gntiudinem: Raritas vero econtra: hoc idem habe­tur ex philoſopho quarto metheororum cõmento decimo ſeptimo / igitur raritas et denſitas ſunt poſ­ſibiles.

phūs. .4. phiſi. phūs et cõmē. 7. phi. cõ. 15 phūs .4: me. cõ. 17

Pro deciſione huius q̄ſtionis tria or-dine faciemus primo notabilis diuerſarum opini-onum et complurium terminorum declaratiua po-nemus. Secundo aliquas concluſiones de intenſio­ne denſitatis difformis inducemus: et tertio quedã dubia cum ſolutionibus argumentorum ante op-poſitum adiiciemus.

Notãdū eſt prīo /  de entitate ſiue ſub­ſtantia ipſius raritatis et denſitatis quadruplex ē opinio / vt ex dictis calculatoris in capitulo de rari­tate et denſitate circa principiū clare haberi poteſt

Prima opinio eſt /  raritas et dēſitas ſunt qualitates contrarie velut albedo et nigredo: ita  ipſa raritas nõ eſt ipſa res rara. nec eſt pun-ctorum diſtantia in materia ꝓportionata ſecundū hanc opinioneꝫ: ſed eſt vna qualitas ſicut eſt nigre­do que ſi fuerit in ſubiecto denominabit ipſum ra-rum dūmodo contrariū non impediat puta denſi-tas. Si vero non fuerit talis qualitas ī aliquo ſub­iecto puta in igne aut in aere / tunc nec aer nec ignis diceretur rarus. Et huius opinionis vt ſuperiꝰ ta-ctum eū in quodam argumento fuerunt aliqui doc­tores vt Galterus Burleus in ſeptimo phiſicorum et in ſuo tractatu de intenſione formarum. Et com­mentator ſeptimo phiſicorum commento quindeci­mo vt ſibi imponit burleus. Eiuſdem etiam ſenten­tie fuit Paulus venetus in quarto phiſicorum. et ēt hec queſtio temporibus archite philoſophi qui pre­dicamnta edidit vĺ quē imitatus eſt philoſophus in libro predicamentorum agitabatur inter philo­ſophos: vt facile eſt intueri ex verbis phī in capitu­lo de qualitate in libro predicamentorum vbi dubi­tat an rarum et denſum ſint qualia hoc eſt denomi-nata a q̈litatibus an ſint poſitiones nec opineris ſolum de terminis ibi eſt contentionem.

burle. 7. phi. cõ. 7. phi paulꝰ ve­netus .4. architas phūs ī ­di: quali.

Secunda opionio eſt /  raritas dicitur poſitiue denſitas vero eſt priuatuū eius: et mea ſen­tentia hec opinio voluit aſſere raritatem eē quã-dã qualitatē et denſitatem eſſe priuationem eius: ſi­ cut lux eſt quedam qualitas: et tenebre ſunt eiꝰ pri-uatio. et intenſio eſt quedaꝫ qualitas: et remiſſio eiꝰ priuatio: ita  quando aliquid rarefit aliqua qua­litas que dicitur raritas ei acquiritur cum vero cõ­denſatur non acquiritur ei aliqua qualitas que di­catur denſitas: ſed tale corpus deperdit raritatem Alii aūt aliter intelligunt hanc opinionem dicen-tes  ſecundum eaꝫ, ne raritas, ne denſitas ſūt qualitates: ſed ipſa raritas eſt ipſamet res rara: et ipſa denſitas ipſammet res denſa. Dicitur tamen raritas poſitiuum ſecundum hanc opinionem: q2 quando aliquid rarefit ei acquiritur quantitas ip­ſum efficitur maius: quando viro condenſatur ip­ſum efficitur minus. Et ideo raritas dicitur poſiti­ue: denſitas vero priuatiue: quia per denſitatē ſub-iectum aliqua quãtitate priuatur per raritatē ve-ro aliquam quantitatem acquirit.

Tertia opinio eſt /  denſitas dicitur poſitiue et raritas priuatiue non tamen dicit den­ſitatem eſſe qualitatem: et addit  ex vniformi rare­factione alicuius per tempus ſecundum ſe totuꝫ ac­quiritur vniformiter quãtitas: addit ſecundo  ſi rarius et denſius equalis quantitatis eque veloci-ter rarefiunt: denſius maiorem quantitatem acqui­rit ꝙ̄ rarius.

Quarta vero poſitio eſt /  denſitas di­ditur poſitiue. et raritas priuatiue: et  raritas eſt ipſamet res rara: et denſitas ſimiliter: et differt hec opinio a tertia. quia addit contradictorias ꝓpoſi­tiones duabus propoſitionibus quas addit tertia / vt poſtea plus declarabitur. Hãc autem opinionē principaliter intendo ſuſtentare et declarare. q2 ea eſt quã deffenſat calculator in hac materia ceteros excellens. et quia ipſa et dictis philoſophorum et naturalibus experimentis conformior ceteris opi­nionibus apparet. Hic oponionibus ſic recitatis.

Querit̄̄ vtrum ipſe ſint ſuſtentabiles et ſignãter de tribꝰ primis. ¶ Et argr̄ primo /  ṗma nõ ſit poſſiblis per argumentū primū ante oppo-ſitū in quo ꝓbatur /  raritas et denſitas nõ poſſūt poſitiue accipi ſicut albedo et nigredo.

Secundo arguit̄̄. Si raritas  den-ſitas eſſent qualitates et ſignanter contrarie / vt di­cit opinio. Sequeretur /  aliquid nec eſſet rarum nec denſum: et contineret finitam materiam ſub fi-nita quãtitate / ↄ̨ñs eſt falſum: ergo et ãtecedēs. Se­quela ꝓbatur: et pono /  ſit a. corpꝰ pedale habens duos g̈dus materie: et habeat q̈tuor gradus rarita­tis et quatuor denſitatis quo poſito illud nec eſt ra­rum: nec eſt denſum: q2 raritas et dēſitas ſunt qua-litates cõtrarie equales in ipſo: et ſic ſe īpediunt: et tñ ipſum certã materiã cõtinet ſub finita quãtitate / vt ponit caſus igr̄. Sed iam probo falſitatē ↄ̨ñtis: q2 ſetur bene cõtinet finitã materiã ſub finita quãti-tate: g̊ ſequit̄̄ /  eſt rarū / vt ptꝫ ex diffinitione rari: et nõ eſt rarum ꝑ te: igr̄ ↄ̨tradictio.

Tertio contra eandem opinionem ar­guitur: quia ſi illa eſſet vera ſequeretur /  aliquid eſſet infinite rarū quod eſſet etiam denſum: ↄ̨ñs im­plicat: igr̄. Argr̄ añs, et pono /  a. ſit vnū corpꝰ di-uiſum ꝑ partes ꝓportionales ꝓportione dupla: et prima pars ꝓportionalis ſit aliqualiter rara: et ſe­cunda in duplo magis et tertia in duplo magis ̄ ſecūda: et quarta in duplo magis ꝙ̄ tertia: et ſic in infinitū: quo poſito argr̄ ſic / a. eſt infinite rarum: et eſt dēſuꝫ: igr̄ ꝓpoſitū Probatur maior / q2 raritas prime partis ꝓportionalis denoīat ipſum aliqua­liter raꝝ: et raritas ſecūde partis t (cū ſit dupla in ſubdupla parte) et raritas tertie t ſicut rari-tas ſecūde (cū ſit dupla in ſubduplo ſubiecto) et ſic in infinitū: igr̄ q̄libet pars ꝓportiõalis alia a pri-ma denoīat t illud corpꝰ rarum ſicut prima: et ſūt infinite: igr̄ infinite rarum denominãt illud corpꝰ: et ſic eſt infinite rarum Sed  ſit denſum probatur / quia habet finitam materiam vt notum eſt ſub fini­ta quantitate vt ponitur: igitur eſt denſum.

Contra ſcḋam opinionē quarto argr̄ ſic / q2 ſi illa eſſet a ſeq̄ret̄̄ / q2 oē raꝝ eſſet īfinite deſū et ſic eſſet raꝝ et nõ eēt raꝝ: qḋ īplicat: ꝓbatur ſeq̄la / q2 in oī raro m illã opinionē eſt infinita denſitas: igr̄ oē rarum eſt īfinite denſum. Argr̄ añs: et capio aliquod raꝝ in quo ſit ꝑ totū raritas vt quatuor q̄ ꝑ te eſt quedã qualitas aut poſitiue dr̄. Diuido igr̄ illã raritatē ꝑ partes ꝓportionales m intenſionē et hoc ꝓportione dupla: et arguo ſic / prima pars ꝓ-portionalis illius raritatis eſt aliqualiter denſa, ſiue hꝫ aliquã denſitatē: ſicut pars intēſa qualita-tis hꝫ aliquã remiſſionē: et ſecūda pars ꝓportiona­lis eſt in duplo minor raritas: igr̄ in duplo maior denſitas et tertia in quadruplo minor raritas quã prima: igr̄ in quadruplo maior dēſitas: et quarta in octuplo minor raritas / g̊ in octuplo maior dēſi-tas: et ſic in īfinitū: g̊ īfinita dēſitas eſt in tali corꝑe. ¶ Et cõfirmat̄̄. Quia vbicū eſt aliquod poſituū ibi eſt in īfinitū de ſuo priuatiuo (dūmodo priua-tiuū et poſitiuū ſe cõpatiant̄̄) ſed raritas ſe hꝫ po-ſitiue: et denſitas priuatiue: et ſe cõpatiunter: ergo vbicū eſt aliqua raritas ibi eſt infinita denſitas ſeu in īfinitū magna denſitas. Probat̄̄ maior īdu­ctiue / q2 vbi eſt aliq̈ magnitudo ibi eſt in īfinitū par­ua quantitas: et vbi eſt aliqua diſtãtia ibi eſt in īfi-nitū magna ꝓpintas: q2 ꝓpintas dr̄ priuatiue ad diſtantiã. et vbicū eſt aliqua intenſio ibi īfinita remiſſio eſt vt facile eſt intueri: q2 ibi eſt aliqualis intenſio: et ſubdupla, et ſubquadrupla, et ſic in īfini­tum: et ſic de aliis priuatiue ſi que ſint talia.

Confir-matio

Quninto contra eandē arguo ſic. Si raritas diceret̄̄ poſitiue ſeq̄ret̄̄ /  aliquod corpus aliqualiter rarū ꝑ ſolã rarefactionē ſiue inductio-nē raritatis: et motū ↄ̨ñtem raritatē  motꝰ eſt aug­mentatio: ipſum efficiret̄̄ denſius: ſed ↄ̨ñs eſt mani­feſte falſum: q2 tunc ipſum efficiret̄̄ maiꝰ equaliter cõtinens de materia: ergo nõ efficeretur denſiꝰ: īmo rariꝰ / et ſic illud ↄ̨ñs eſt falſum. Sed iã ꝓbo ſequelã et capio vnū corpꝰ tripedale cuius vna medietas ſit rara vt duodecim: et alia rara vt duo: et volo /  illa rara vt duo acrat duos g̈dus raritatis quieſcēte altera rara vt duodecim. Quo poſito argr̄ ſic in fi­ne illiꝰ rarefactionis illud corpꝰ eſt minꝰ rarū ꝙ̄ an­tea: igr̄ ꝓpoſitū Añs argr̄: q2 antea illud corpꝰ erat rarum vt ſeptē: q2 medietas rara vt .12. denoīabat vt ſex: et medietas rara vt duo denoīabat vt vnum / igr̄ tota illa raritas erat vt ſeptē: et modo eſt vt ſex cū duabꝰ tertiis ciſe: igr̄ eſt minꝰ rarum ꝙ̄ antea. Sed iam ꝓbo /  modo eſt rarū vt ſex cū duabꝰ ter-tiis ciſe: q2 illud corpꝰ eſt modo tripedale, q2 ãtea erat bipedale et eius vna medietas pedalis effecta eſt in duplo maior: et ſic effecta eſt bipedalis et per conſequens effecta eſt due tertie totiꝰ et ille due ter-tie habent raritatem vt quatuor per totum: et ſic il-la raritas denominat totum rarum vt duo cū dua­bus tertiis. Reliquuꝫ vero pedale que eſt vna tertia eſt rarum vt duodecim: et ſic denominat totum vt q̈­tuor: modo quatuor et duo cum duabus tertiis ſūt ſex. cū duabꝰ tertiis: ergo totū eſt rarum vt ſex cum duabꝰ tertiis / quod fuit ꝓbandū. Et hoc eſt optimū argumētū cõtra iſtã opinionē quod apparētiſſime impugnat eã ſiue teneatur ſecundum iſtam opnionē raritatem eſſe qualitatem ſiue non: dummodo di-catur raritas poſitiue.

Sexto ↄ̨̨tra eandē ſcḋam opinionem argr̄. Si raritas eſſet qualitas aut poſitiue dicere­tur: ſeq̄retur /  difformiter difforme cuius vtra medietas eſſet vniformis nõ correſpõderet ſuo gra­dui medio: ſed ↄ̨ñs eſt falſum:. igr̄ / et illud ex quo ſe-quit̄̄. Seq̄la ꝓbat̄̄: et pono /  ſit vnū bipedale cuiꝰ vna medietas ſit rara vt octo, et alia vt q̈tuor, et ar­guit̄̄ ſic / raritas iſtiꝰ corꝑis nõ correſpõdet ſuo g̈dui medio que eſt vt ſex: igr̄. Argr̄ añs: et volo /  medie­tas rara vt octo deꝑdat duos g̈dus raritatis: et t acrat medietas minꝰ rara vniiformiter in eodem tēpore quo poſito in fine totū illud manebit vnifor­me vt ſex, et manebit rariꝰ ꝙ̄ eſt modo: g̊ raritas eiꝰ nõ correſpondet g̈dui medio q̄ eſt raritas vt ſex. Sꝫ iam ꝓbo minorē vcꝫ  illud corpus in fine manebit rariꝰ ꝙ̄ ſit modo: q2 illa medietas q̄ eſt rara vt qua­tuor acret proportionē ſexaltera raritatis ſupra ſe, et eſt vnū pedale: igr̄ acret ſemipedale: medie-tas vero rarior deꝑdet ꝓportionē ſextertiã rari-tatis et eſt pedalis: igr̄ deꝑdet vnã quartã pedalis: ergo ſequit̄̄ / ꝙ̄ maiorē quantitatē acrit totū illud corpꝰ ꝙ̄ deꝑdit: et ꝑ ↄ̨ñs eſt rariꝰ ꝙ̄ antea: et eſt rarū vniformiter vt ſex puta g̈du medio inter .4. et .8. igr̄ antea qñ erat difforme erat minus rarū ꝙ̄ ſit gra-dus mediꝰ : et ſic ſua raritas non correſpõdebit ſuo gradui medio, quod fuit probandum.

Septimo. Contra tertiã opinionē ar­guitur ſic: et ſignãter contra primã ꝓpoſitionē quã addit opinio vcꝫ  ex vniformi rarefactiõe ſiue ac-quiſitione raritatis per tēpus ſequit̄̄ vniformis ac­quiſitio quantitatis q2 ſi ita eſt: capio vnū pedale rarū vt quatuor / et volo /  acquirat vniformiter per horam quatuor gradus raritatis: et argr̄ ſic / in illa hora totale illud pedale difformiter acquirit quanti­tatē: et vniformiter raritatē: igr̄ illa ꝓpoſitio falſa Maior ꝓbatur vcꝫ /  difformiter acrit ̄titatē q2 bene ſequitur vniformiter acrit raritatē: ergo vni­formiter deꝑdit denſitatē. Patet ↄ̨ña / quia nichil aliud eſt vniformiter acrere raritatē ꝙ̄ vniformi-ter deꝑdere denſitatē (raritas e ſecundū hanc o-pinionē priuatiue dr̄) et vltra vniformiter deperdit denſitatē: g̊ difformiter acrit quantitatem: añs eſt verū : g̊ et ↄ̨ñs. Probo tñ hanc vltimã cõſequentiam / q2 cõtinuo in equali tēpore tale corpus maiorē ꝓ-portionē denſitatis deꝑdit: igr̄ continuo in equali tēpore maiorē quantitatē acrit. Conſequētia ptꝫ / q2 eque ꝓportionabiliter ſicut deꝑditur denſitas maioratur quantitas: et añs ꝓbatur / q2 ↄ̨tinuo illa denſitas qñ deꝑditur eſt minor: et cõtinuo eque velo­citer deꝑditur: g̊ cõtinuo maiorē ꝓportionē deꝑdit pꝫ ↄ̨ña ex ſcḋa ꝑte q̈rto capite octaua ſuppoſitiõe ¶ Confirmatur / q2 ſecūda ꝓpoſitio quã addit hec ſe-tunda opinio: videlicet  ſi rarius et denſius equa­lia eque velociter rarefiant: cõtinuo denſiꝰ maioreꝫ quantitatē acquirit ꝙ̄ rarius repugnat alteri pro­poſitioni quã addit quã immediate ꝓcedens argu-mentum impugnat: igitur illa opinio non coheret ſibi ipſi: arguitur antecedens et capio duo pedalia vnū denſum vt quatuor et aliud denſum vt duo et ma­nifeſtum eſt ſecundam iſtam opinionem  denſum vt duo ē magꝪ raꝝ / volo igit̄̄ /  vtrū illoꝝ rarefiat eque velociter acquirendo infinitam raritatem in hora. quo poſito arguo ſic / vtrum illorum in hora acquiſiuit equalē quantitatem quia infinitam cum vtrum ſit infinite rarum in fine et vniformiter ac­rebat raritatem ſicut quantitatem / vt dicit prima ꝓpoſitio: et tamen vnum illorum erat denſius et ali­ud rariꝰ et eque velociter rare fiebant per illud tem­pus / ergo non ſi rariꝰ et denſius equalis quantita­tis eque velociter rarefiant denſius maiorem quan­titatem acquirit ꝙ̄ rarius q2 in caſu illo acquirit equalem. vel ſi ſic iam non vniformiter ſicut acrit̄̄ raritas acquiritur quantitas: et ꝑ ↄ̨ñs vna ꝑs repu­gnat alteri ¶ Dices forte /  hec opinio intelligit dū­modo vtrum acquirit finitam raritatem modo in propoſitio vtrum acquirit īfinitam.

ↄ̨firma. Dicitur

Sed contra. Quia eſto  vtrū ac-quirit finitam raritatem rarius videlicet et denſiꝰ adhuc tamen rarius maiorem quantitatem acqui­rit / igitur ſolutio nulla. Arguitur antecedēs et volo /  ſint duo pedalia a. et b.a. denſum vt quattuor b. denſum vt octo et tam a. ꝙ̄ b. acquirat duos gra­dus raritatꝪ / quo poſito arguitur ſic / a. maiorē quã­titatem acquirit quã b. et eſt rarius b. et eque velo-citer rarefit cum b. / igitur quãdo rarius et denſius eque velociter rare fiunt rarius maiorem quantita­tem acquirit ꝙ̄ denſius. Probat̄̄ maiori / q2 ſi a. ac-quirit duos g̈dus raritatis: et b. ſimiliter: ſequit̄̄ /  vtrū illoꝝ deꝑdit duos g̈dus denſitatis: et ſic a. efficitur in duplo minꝰ dēſum, et per ↄ̨ñs efficitur in duplo maiꝰ, et acrit vnū pedale, b. vero cū deꝑdat duos g̈dus denſitatis et ſit vt octo, deꝑdit ꝓporti-onē ſextertia denſitatis, et ſic efficit̄̄ in ſextertio maiꝰ, et per ↄ̨ñs acrit vnã tertiã pedalis: et aliud rariꝰ acrit vnū pedale / vt dictū eſt: igr̄ maiorē quã­titatē acrit rarius ꝙ̄ denſius eq̈le qñ et eque velo-citer rarefiūt: quod fuit ꝓbandū. Et hec ferme ſunt ex ſubtili minerua Calculatoris excerpta qui mul-ta alia in has tres opiniones argumenta coniecit que apud eum poteris conſpicere.

calcula.
cõmē. 7. phi. c. 15.

In oppoſitum arguit̄̄ / pro prima opi-nione auctorttate cõmentatoris ſeptimo phiſicorū cõmenento quindecimo vt ſuperius allegatum ē. Itē raritas et denſitas videntur effectus qualitatū pri­marum: igitur ſunt qualitates ſecunde.

Pro ſecunda opinione arguit̄̄ ſic / ſem­per ad inductionē raritatis ſequitur acquiſitio ali­cuius poſitiui puta quantitatis: igitur raritas eſt quoddã poſitiuuꝫ. Colorat̄̄ ↄ̨ña / q2 nullū priuatiuū neceſſario eſt cauſa alicuiꝰ poſitiui: hoc eſt nõ eſt ne­ceſſe  ad priuationē alicuiꝰ poſitiui ſequat̄̄ neceſ-ſario neceſſitate ſimpliciter acſitio alteriꝰ poſitiui / g̊ ſi raritas eſſet ſiue diceret̄̄ priuatiue: nun̄ ad ac­ſitionē eiꝰ neceſſario ſimpliciter ſeq̄retur acſitio quãtitatis aut alicuiꝰ alteriꝰ poſitiui. ¶ Et ↄ̨firmat̄̄ hoc inductiue nun̄ enim ad acquiſitionem ſilentii / ſequitur neceſſario acquiſitio alicuius poſitiui: nec ad acquiſitionem tenebrarum, nec ad acquiſitionē paruitatis: et ſimiliter remiſſionis: et ſic de ſingu-lis priuatiuis: igitur ſi raritas eſſꝫ priuatiuū nõ ne­ceſſario ad acquiſitionem raritatis ſequeretur ac-quiſitio alicuiꝰ poſitiui Patet hec cõſequentia a ſi­mili. ¶ Pro tertia opinione non arguo / quia nõ in-tendo ea deffenſare quamuis forte ſit deffēſabilis.

cõfirma.

Pro ſolutione huius dubitationis ad­uertendum eſt  cum occurrit contrapugnantia et opinionum diuerſitas de entitate alicuius rei tunc diuerſimode opinantes diuerſas talis rei couſtitu­unt diffinitiões. et proprietates vt cū occurrit diffi- cultas de cõplexe ſignificabilibꝰ an ſint ētia in reꝝ natura exiſtentia, an ſint entia largo modo capi-endo eo modo quo latius Gregoriꝰ de arimino hãc materiã in primo ſententiaꝝ diſquirit: oportet  hi qui opinant̄̄ cõplexe ſignificabilia eſſe vere entia realia q̄ ſignificantur ꝑ extrema ꝓpoſitionis alio modo diffiniant cõplexe ſignificabilia ꝙ̄ hi qui opi­nantur ea nõ eſſe vere et realiter entia. Et ſiĺr dicen­dum eſt de diuerſitate opinionū inquirentiū enti-tatē ſecundaꝝ intentionū. Scotꝰ e diceret / ſcḋam intentionē eſſe obiectiue in intellectu, nec eſſe crea-turã aut creatorē. Noīalis vero diceret ſcḋam intē­tionē eſſe terminū, et eſſe vere ens creatorē, aut cre-turã. Nec noīalis admitteret diffinitionē realis aut eo cõtra, ſi debeat ſerio reſpondere. Et idē di-cendū eſt de quãtitate quã realis dffinit eſſe acci-dens inherens ſubſtantie nullo pacto eſſe ſubſtan-tiã. Noīalis vero eocõtra oppoſitã diffinitionem quãtitati aſſcribit. Idē dicendū eſt de paternitate / quã realis diffinit eſſe accidens reſpectiuū intrin-ſecus diſtinctū a patre. Noīalis vero dicit paterni­tatē eſſe patrē / qui de ſubſtantia ſua genuit filiū: et ꝓfecto ſi realis admitteret diffinitionē noīalis ne­qua̄ poſſet contradictionē euadere. Eocõtra vero de noīalibꝰ cenſendū eſt. Ex quibꝰ ꝑſpicuū euadet opere preciū eſſe cū controuerſia et opinionuū repu-gnantia de rerū entitate interuenerit ſiue occurre­rit ꝑ opinionū varietate varias diffinitiões cude-re. Ex quo clare deducitur in hac opinionū varie-tate circa entitatē raritatis et denſitatis neceſſe eē ꝑ opinionū varietate varias raritatis et denſita-tis deſcriptiones aſſignare. Primã e opinionē aut ſcḋam diffinitionibus quarte vti, eſſet perinde at nominalē in cõtrouerſia de relatione an a fū-damento diſtinguat̄̄ realiū diffinitionē aſſumere. His e diffinitionibꝰ aſſumptis facile ad cõtradi-ctionē duceret̄̄. Dico igr̄ ad ꝓpoſitū accedendo /  ſcḋm primã opinionē q̄ ponit raritatē et denſitatē eſſe qualitates oportet ſic diffinire: raritas eſt que­dam qualitas qua aliquid denoīatur rarū ſiue na­tum eſt denoīari. rarū o eſt res habens raritatē denominantē ipſam rarã. denſitas vero eſt aliqua qualitas qua aliquid denoīatur denſum ſiue natū eſt denoīari: denſum quidē eſt res habens denſita­tem denoīanteꝫ ipſam denſã. ¶ Ex quo ſequit̄̄ pri-mo /  ſi ſit vnū pedale habens quatuor gradus ra­ritatis hoc eſt illius qualitatis: et habeat in tri-plo plus de materia quã aliud pedale quod habet duos gradus eiuſdē qualitatis illud quod habet in triplo plus de materia eſt magis rarū in duplo ¶ Ex quo ſequit̄̄ ſecūdo hanc ↄ̨ñam nõ valere ſcḋm hanc opinionē: iſta duo ſunt equalia et vnū illoruꝫ habet in quadruplo plus de materia ꝙ̄ aliud: ergo illud eſt in duplo denſius ꝙ̄ aliud, q hec opinio nullo modo aſpicit materiã: ſed preciſe gradus il-lius qualitatis q̄ eſt denſitas ſiue raritas. ¶ Sequit̄̄ tertio /  hec ↄ̨ña nichil valet ſecundū hãc opinionē hoc pedale hꝫ multū de materia ſub modica quã-titatē: g̊ eſt denſuꝫ q poſſibile eſt  habeat multã materiã: et nullã denſitatē habeat: quare nõ erit dē­ſum / vt ptꝫ ex diffinitiõe data. Et dicas /  ibi argr̄ a diffinitione ad diffinitū negat illud hec opinio: q oīno eodē mõ ↄ̨ſiderat de raritate et dēſitate et a caliditate et frigiditate. ¶ Set̄̄ q̈rto aliqḋ peda­le eſſe  nec eſt rarū ne denſum ptꝫ de illo pedali in quo ſunt quatuor gradus raritatis et quatuor gradus denſitatis. ſūt e raritas et denſitas cõ-trarie qualitates ſuas denoīationes in gradibus equalibꝰ equaliter extenſis īpedientes more aliaꝝ repugnãtiū qualitatū ¶ Set̄̄ quīto /  ̄uis cõiter ad acquiſitionē denſitatis ſequat̄̄ diminutio quã­titatis et ad introductionē raritatis ſequatur aug­mentatio quãtitatis vt in pluribꝰ: tñ nõ neceſſario id quod condenſatur diminuit̄̄ aut id quod rarefit augetur. Rarefactio e et cõdenſatio ſunt altera-tiones, nec ſecundum illã opinionē eas neceſſario inſequūtur augmentio et diminutio. Quēadmodū vt in pluribꝰ caliditas rarefacit et inducit extenſi-onē quantitatis: et frigiditas diminuit in pluri­bus quantitatē: nõ tñ neceſſario hoc fit, nec natura­liter, nec ſimpliciter. Stat e aliqua calefieri et ↄ̨ti­nuo magis et cõtinuo minorari: vt poſtea in dubio quodã patebit. ¶ Sed inſequendo ſcḋam opinionē diffinienda eſt ſic raritas: raritas eſt quedã quali-tas qua aliquid dr̄ rarū vel que nata eſt rarū de-noīare: rarū o eſt habēs raritatē ipſū denoīanē Denſitas vero eſt raritas remiſſia eo modo quo di­cimus remiſſionē eſſe qualitatē remiſſam: puta nõ infinite intenſam. Denſum vero eſt habens rarita­tem finitã denoīantē ipſum rarū. ¶ Ex quo ſequit̄̄ /  eodē mods loquendū eſt ſecundū hanc opinionē de raritate ſicut de intenſione, et de denſitate ſicut de remiſſione. ¶ Sequit̄̄ ſecūdo /  eodē modo ſecū­dum hãc opinionē et precedentē raritas difformis ad vniformitatē reducitur ſicut albedo difformis. ¶ Sequit̄̄ tertio /  nõ repugnat ſecundū hanc opi-nionē pedale habere infinitã materiã: et eſſe rarum vt puta ſi habeat infinite intenſam raritatem. His poſitis pono duas concluſiones.

gregoriꝰ de ari. 2. ſentētia. Scotus. diffītiõeſ m ṗmaꝫ opiniõeꝫ .1. correl. 2. correl. .3. correl: 4. correĺ .5. correl. dtffīnitiõeſ iuxta ſe-cūdã opi­nionem. 1. correĺ. 2. correĺ. 3. correĺ.

Prima concluſio. Et ſi prima opinio multa concedat que cõiter et paſſim negantur ipſa tñ ꝓbabilis eſt. Prima pars ptꝫ ex correlariis ſu-pra ex ea inductis. ſecunda patꝫ per rationē in op-poſitū adduciã: et tertia vcꝫ  ſit facile ſuſtentabi-lis patebit ſoluendo rationes qui ei aduerſantur.

Secūda concluſio. Secunda opinio licꝫ videatur extranea ex eo q2 in diſſuetudinē abiit tñ ipſa ꝓbalitate fulcitur et deffenſatur. Prima pars ex ſe ptꝫ ſaltē diebꝰ noſtris. Secūda autē in argumento in oppoſitū coloratur. Et ſic ptꝫ / quid dicendū ſit ad dubiū /  vcꝫ due prime opiniones ꝓ­babiles et ſuſtētabiles ſunt. De tertia o nichil ad preſens dico ꝓpter eas ꝓpoſitiones quas addit q̄ nõ multū coherent vt argumenta in eã oſtendunt

Ad argumenta ante oppoſitū contra primã opinionē. Ad primū reſpondebitur in calce queſtiõis: vbi dicetur ad argumenta in oppoſitum q̄ſtionis principalis. ¶ Ad ſecundū reſpondeo cõ-cedendo ſequelã: et negando falſitate cõſequētis et ad ꝓbationē nego conſequentiã: et cū ꝓbatur ꝑ locū a diffinitione nego illã eſſe diffinitionē vt di-ctum eſt. et ꝓfecto videtur michi illam diffinitionē etiam ſecundū quartã opinionē nõ esse ſufficientē: q ſequeretur nullū accidens aut formã ſubſtan-tialē poſſe rarefieri nec etiam quãtitatē: licet diſtī­guatur a re quanta q talia nullã materiã conti-nent: niſi velis ꝓterue dicere aliqua rarefieri poſſe que rara eſſe nõ poſſunt: ſed dubio ꝓcul cõueniens eſt vt ea que rarefiãt etiã rara dicãtur. ¶ Ad tertiū negatur ſequela, et ad ꝓbationē admitto caſum, et concedo illud corpus eſſe infinite raꝝ perinde at concederetur illud eſſe infinite album ſi ſic haberet infinitam albedinē ſuo ī permixtã contrario: et ne-go illud eſſe denſum: et ad ꝓbationē nego cõſequē-tiam nec ibi argr̄ a diffinitiõe ad diffinitū / vt dictū eſt ¶ Ad quartū quod eſt coutra ſecuudã opinionē reſondeo negando ſequelã, et ad ꝓbationē ↄ̨cedo añs: et nego conſequentiã: non e maioris coloris aut apparentie eſt illa ↄ̨ña  iſta in quolibet ma-gno eſt īfinita paruitas / g̊ quodlibet magnū eſt īfi-nite paruū, vel ꝙ̄ iſta in quolibet intenſo eſt īfini-ta remiſſio capiendo ly īfinitū ſyncathegoreuma-tice: g̊ quodlibet īfinitū eſt īfinite remiſſum: ſed ille cõſequētie nichil valent / vt ſatis cõſtat: g̊ nec alte-ra. Ad quintū / quod eſt cõtra ſecundã opinionē re-ſpõdeo cõcedendo ſequelã vt bene ꝓbat argumen-tum, et negando falſitatē conſequentis. Cēſere e aut iudicare aliquid eſſe minus aut magis rarum ſecundū hanc opinionē ex maioritate aut minorita­te quantitatis ſtante eadē materia: eſt a principio huiꝰ opinionis plurimū deuiare. Si tñ tu velis in-telligere per rarefactionē, rarefactionē totius ſiue īductionē raritatis qua totū rarefit, et ſic eo modo nego iſtã ſequelã: q in caſu argumenti totū iſtud corpus nõ rarefit: ſed efficitur minꝰ rarū vt bene ꝓ­bat argumentū. Si vero ꝑ rarefactionē intelligas rarefactionē partialē qua aliqua pars illiꝰ corpo­ris acrit aliquos gradus illius qualitatis que eſt raritas, et ſic eo modo concedo tibi ſequelã vt con-ceſſi: nec iſtud cõſequens videtur afferre maiꝰ incon­ueniens ꝙ̄ iſtud (ſuppoſito  caliditas vt in pluri-bus augmentat ſiue maior at quantitatē) aliquod calidū ꝑ ſolã calefactionē ſiue inductionē calidita-tis et motū cõſequētem vt in pluribꝰ inductionē ca-liditatis qui motus eſt augmentio efficitur minus calidū: ſed iſtud cõſequēs nõ eſt incõueniens / vt pro­babitur: igr̄ nec aliud ꝓbatur mīor: et poſito  vna medietas corporis bipedalis ſit calida vt .12. et alia vt duo, et acrat medietas calida vt duo duos gra­dus caliditatis: ita vt efficiatur calida vt quatuor alia medietate quieſcente: et efficiat̄̄ alia medietas minꝰ calida qñ acrit illos duos gradus in duplo maior. quo poſito iſtud corpꝰ efficitur minꝰ calidū ̄ antea, et hoc ſolū ꝑ īductionē caliditatis et motū vt in pluribꝰ cõſequentē inductionē caliditatis: igr̄ ꝓpoſitū. Cõſequētia ptꝫ cū minore, et argr̄ maior: q2 iſtud corpus in principio inductionis illiꝰ calidi­tatis eſt calidū vt ſeptē, et in fine eſt calidū vt ſex cū duabꝰ tertiis: vt ptꝫ ex mõ ꝓbãdi quarti argumēti quod modo ſoliumꝰ: igr̄. Alio modo etiã põt nega­ri ſequela ſimpliciter, et hoc ſi teneamꝰ intenſionē qualitatis correſpondere ſuo gradui ſummo: q id oportebit dicere ſecundū hanc opinionē de rari­tate difformi: q ſecundū eã raritas qualitas eſt. ¶ Ad ſextū / quod eſt etiã cõtra ſcḋam opinionē re-ſpondeo negando ſequelã, et ad ꝓbationē admiſſo caſu, concedo  in fine illud corpus manebit rarū vt ſex: et nego  manebit rariꝰ ꝙ̄ ſit modo, et ad ꝓ-bationē nego hanc cõſequentiã: maiorē quantita-tem acrit ꝙ̄ deꝑdit manente eadem materia: g̊ eſt rariꝰ. Et ratio eſt: q2 intenſio raritatis nõ ſequitur maiorationē ꝓportionis quantitatis ad materiã: ſed ſequitur additionē gradus raritatis ſequētis gradibꝰ cedentibꝰ: ſicut fit de albedine et nigredīe Rariꝰ autē m modū huiꝰ opinionis eſt illud  hꝫ raritatē magis denominantē ipſum: ſiue habeat plus de quantitate ſiue minꝰ nõ eſt cura. ¶ Ad ſepti­mū argumentū quod eſt cõtra tertiã opinionē cuiꝰ fundamēta et prīcipia nõ exacte capio nõ reſpõdeo nec decreui ad argumeuta eã expugnantia reſpon­dere: nec illi opinioni ſuppetias dare.

Notandū eſt ſcḋo circa materiã ſecñ-di argumenti principalis ante oppoſitū:  vt ex-ſcrinio calculatorio in capite de raritate et denſita­ te colligi põt (et quidē aperte) duplex eſt opinio ra-tione fulcita: penes quid habeat attendi: et cõmen­ſurari raritatis aut denſitatis maioritas. quaruꝫ prior eſt /  ipſa raritas attenditur penes ꝓporti-onē quantitatis ſubiecti ad eiꝰ materiã et maiori-tas raritatis penes maiorē ꝓportionē quantitatꝪ ad materiã. Denſitas autē penes ꝓportionē mate-rie ad quantitatē, et eiuſdē raritas penes maiorem ꝓportionē materie ad quantitatē (et loquor de pro­portione maioris inequalitatis) Exemplū vt ſi īter quantitatē vniꝰ pedalis et ſuã materiã ſit ꝓportio dupla illud eſt rarū: et ſi alteriꝰ pedalis quãtitatis ad materiã eſſet ꝓportio maior dupla illud eſt ma­gis rarū: q2 ꝓportio eſt maior: et ſi vniꝰ alteriꝰ pe-dalis materie ad quantitatē eſt ꝓpoportio dupla illud eſt denſum: et ſi ꝓportio materie ad quantita­tem maioretur illud efficeretur denſius. Poſterior autē opinio diiudicat raritatē penes quantitatem in cõparationē ad materiã vel (vt verbis calculato­riis loquar) in materia ꝓportionata. differentiam autē inter has duas opinationes talis ferme a cal­culatore ſignatur loco preallegato: nã prima opi-natio aſſeuerat ad duplationē raritatis non ſequi duplationē quantitatis: nec ad ſexalterationem raritatis etiã ſequi quantitatē effici in ſexquialte­ro maiorē: ſed dicit ad duplationem raritatis ſiue ſexquialterioneꝫ ſequi duplationem proportio­nis quãtitatis ad materiam ſiue ſexquialteratio-nem et ſic de aliis proportionibus. ¶ Secunda vc-ro aſſerit ſemper ad duplationem ſequi duplatio-nem quantitatis: et ad triplationem raritatis ſe-qui idemtidam triplationem quantitatis. Exem-plum vt eſto  vniꝰ pedalis ꝓportio quãtitatis ad materiam ſit ſexaltera et dupletur eius raritas: tunc ſecundū hanc opinionem eius quantitas non efficitur in duplo maior (et ſi raritas ad duplum maioretur) ſed duplatur ꝓportio quantitatis ad materiã: ita  efficitur ꝓportio quantitatis ad ma­teriam dupla ad ſexquialterã cuiuſmodi eſt ꝓpor-tio dupla ſexquarta qualis eſt nomē ad quatuor et ſic illa quantitas effecta eſt in ſexquialtero ma-ior vt pote pedalis cū dimidia. Sed ſi tale pedale ſecundū alteram opinionē efficitur in duplo rariꝰ eius quantitas duplabitur et efficietur bipedalis: et ſic ptꝫ /  ſecundã priorem opinionem  ad dupla­tionē raritatis nõ ſequitur duplatio quantitatis. Secundū alterã vero ſemꝑ ſequitur duplatio quã­titatis raritatis duplicationem. Et vt hec opinio clarius intelligatur et eius fundamenta et baſes co­gnoſcant̄̄. ¶ Quero vtrū ipſa poſſit vera ſuſtētari.

Et argr̄ primo  nõ. Q ſi ipſa eſſet a ſequeretur /  quelibet ꝓportio quantitatis ad materiam certos gradus raritatis ꝓduceret ita  vbicun eſſet proportio dupla quantitatis ad ma­teriam: ibi eſſent certi gradus raritatis  ſint duo gratia exēpli et vbi eſſet ꝓportio quadrupla quã-titatis ad materiã ibi eſſent in duplo plures gra-dus raritatis. Et vbi eſſet ſexaltera ꝓportio quã-titatis ad materiã: ibi eſſet raritas nata ꝓuenite a ꝓportiõe ſexaltera que ſe habet ad raritatē natã ꝓuenire a ꝓportione dupla ſicut ſe hꝫ ſexquialtera ꝓportio ad ꝓportionē duplã: ſed hoc couſequens eſt falſum: igr̄ et illud ex quo ſequitur. Sequela pro­batur / q m hanc opinionē certa ꝓportio quãti-tatis ad materiã certã raritatē ꝓducit: et in duplo maior ꝓportio in duplo maiorē raritatē, et in ſex­altero maior ꝓportio ī ſexaltero maiorē rarita-tem: igr̄ in quacū ꝓportione ſe hñt ꝓportiones quantitatis ad materiã in eadē ꝓportione ſe hñt raritates ab eis producte, et ꝑ ↄ̨ñs a qualibet pro-portione certa raritas nata eſt ꝓuenire  fuit pro-bandū. Sed falſitas cõſequentis oſtenditur / q2 ſe-queret̄̄ /  cū pedale in quo eſt ꝓportio quadrupla quantitatis ad materiã, et tripedale in quo eſt du-pla ꝓportio quãtitatis ad materiã augmētaret̄̄ ad duplã quantitatē, eque velociter acrerēt de ra­ritate: ſed hoc videtur falſum. igr̄ et illud ex quo ſe­quit̄̄. Falſitas cõſequentis oſtenditur: q2 cū illa pu­ta tripedale et pedale augmentãtur ad duplã quã-titatē: etiã augmentantur ad duplã raritatē q2 ſi-cut quantitas efficitur maior ita etiã raritas ma-nente eadē materia: ſed tripedale minorē raritatē habebat ꝙ̄ pedale. et quodlibet illoꝝ acſiuit tantã raritatē quantã habebat cū vtrū fuerit augmen-tatū ad duplum: g̊ ſequitur /  maiorē raritatē ac-ſiuit pedale quã tripedale: patꝫ hec ↄ̨ña: q2 qñ duo inequalia efficiūtur in duplo maior a maiorē lati-tudinē acquirit maiꝰ quã minꝰ: vt cõſtat. Sed ſeque­la probatur: q2 vtrū illoꝝ acrit ꝓportionem du­plam: g̊ ſequitur /  vtrū illoꝝ acrit raritatē na­tam prouenire a proportione dupla: ſed m iſtam opinionē oīs raritas nata prouenire a proportiõe dupla eſt equalis cuilibet nate ꝓuenire a quacū proportione dupla: igr̄ propoſitū. ¶ Dices forte et bene concedendo ſequelã et negando falſitatē con-ſequentis: et ad probationē concedo ſequelã: et ne-go falſitatē conſequentis et ad probationē falſita-tis ↄ̨ñtis: nego hanc cõſequētiã hoc efficitur in du-plo maiꝰ: g̊ in duplo rariꝰ: īmo vt m argumentuꝫ ante oppoſitū prīcipalis queſtiõis oſtendit aliqñ ſtat  aliqñ ad duplationē quantitatis ſequeatur duplatio raritatis et aliqñ minor et aliqñ maior.

Sꝫ ↄ̨̨tra. Quia tunc ſequeret̄̄ /  qñ-cun duo equalia quantitatiue, ſiue equalia, ſiue inequalia in raritate equaliter acquirerēt de quã­titate: ipſa equaliter rarefierent: ſed conſequens eſt falſum: igr̄ et illud ex quo ſequitur. Falſitas cõ-ſequentis probatur: q2 ſint duo corpora equalia ī eque rara q̄ equales quãtitates acrant: tūc eque ꝓportionabiliter ſicut acrunt de quantitate ac-runt de raritate: ſed equalē ꝓportionē acrunt de quantitate: g̊ equaliter acrunt de raritate: et rari­tas vniꝰ eſt minor ꝙ̄ raritas alterius: g̊ raritas mi­nor mīorē latitudinē raritatꝪ acrit  raritas ma­ior: ptꝫ hec cõſequentia ꝑ hanc maximã. Qñcun aliqua duo inequalia eque velociter ꝓportionabi­liter maiorantur velociꝰ maiorat̄̄ maiꝰ in eodē tꝑe / vt pꝫ ſi ſex et quatuor debeant ad ſexalteꝝ maio­rari eodem tꝑe adequate: tunc e in tꝑe quo ſex ac­quirit tria quatuor atrit duo. / vt conſtat: ſed in ꝓ-poſito. vtra illarū raritatū eque ꝓportionaliter maiorat̄̄: g̊ maior raritas maiorē latitudinē rari-tatis acrat ꝙ̄ minor in eodē tꝑe. Sed ſequela ꝓba­tur q illa ſunt equalia, et equales quãtitates ac­runt: igr̄ equales ꝓportiones, et vltra equales pro­portiones: g̊ equales raritates ptꝫ cõſequentia: q2 ab equalibꝰ ꝓportionibus quãtitatis ad materiã equales raritates nate ſunt prouenire: vt patet ex opinione et reſponſione: igitur.

Scḋo ad idē argr̄ ſic. Si illa poſitio eſſet vera ſequeretur /  oporteret ſignare gradꝰ in quantitate, et etiã in materia: ſed hoc eſt falſū: igr̄ illud ex quo ſetur. Falſitas ↄ̨ñtis oſtēditur: q nec quantitas, nec materia ſuſcipiant magis et minus / igr̄ nõ habent gradus. Sed ſeq̄la ꝓbatur / q rari-tas et raritatꝪ maioritas penes ꝓportionē quãti- tatis ad materiã d3 ſumi: vt dicit opinio et dēſitas eocontra penes ꝓportionē materia ad quantitatē / g̊ oportet quãtitatē materiã exuperare cū aliquid rarū dicit̄̄: et materiã quantitatē excedere cū alid denſum efficitur: ſed nun̄ quantitas exuperat ma­teriam extenſiue: q2 ſunt equalis extenſionis: igit̄̄ oportet /  exuperet intenſiue: q2 alias nun̄ erit ꝓ-portio maioris inequalitatis quantitatis ad ma-teriã vel econtra. ¶ Dices et bene concedendo ſeque­lam, ꝑ gradus quantitatis nõ intelligendo gradꝰ intenſionis quãtitatis: ſed intelligendo certas ꝓ-portiones quantitatis vt puta  vna quarta peda­lis ſit vnus gradus quantitatis: et vna octaua pe-dalis medietas vniꝰ gradus quantitatis etc̈. vnus vero gradus materie ſit certa portio materie vtpo­te tanta quãta eſt in vna octaua vniꝰ pedalis terre exiſtēs in ſua naturali diſpoſitione quod (exēpli gratia dico) capias e ꝓ libito quãtū volueris de materia ꝓ vno gradu, et etiã de quantitate ſicut di­cimus de gradibꝰ qualitatis: et m hoc negetur fal­ſitas conſequētis, et concedat̄̄  nec quantitas: nec materia ſuſcipiūt magis et minꝰ: cū hoc tñ ſtat  et ſi quantitas nõ hꝫ gradus intentionales hꝫ tñ extē­ſionales. et ſimiliter ̄uis materia nõ hꝫ gradus in­tenſionales hꝫ tñ gradus entitatiuos qui ſunt par­tes ipſius materie vt declarant cõiter hanc mate-riam de raritate et denſitate tractantes.

Dicitur.

Sed cõtra. Quia tunc ſequeretur /  nullū rarū eſſet denſuꝫ: ſed hoc eſt falſum: igr̄ illud ex quo ſequitur. Falſitas ↄ̨ñtis oſtēditur, q2 capto vno denſo finite benſo, illud eſt rarū: igr̄. Probat̄̄ añs, q2 illud ſub magna quantitate continet parū de materia: igr̄ eſt rarum, ptꝫ ex diffinitione rari. Sed iam ꝓbo ſequelã, q ſi aliquid eſt rarū in eo quantitas ſe hꝫ in ꝓportiõe maioris inequalitatis ad materiã, et ſi ipſum eſſet denſum in eo materia ſe hꝫ in ꝓportione maioris in inequalitatis ad quã-titatē: ſed īpoſſibile eſt  in eodē ſaltem exiſtēte in eodē loco etc̈. quantitas excedat materiam, et exce-datur ab ea: igr̄ īpoſſibile eſt  aliquid ſit rarum et denſum: quod fuit ꝓbandū. ¶ Dices et bene conce-dendo ſequelã (vt hec opinio eã concedit) et negãdo falſitatē ↄ̨ñtis, et ad ꝓbattonē negando hanc con-ſequentiam in hoc corpore eſt modica materia ſub magna quantitate: g̊ hoc eſt rarum, nec ibi argr̄ a diffinitiõe ad diffinitū: ſed oportet dicere vt poſtea clarius et latius dicetur in hoc corpore quantitas excedit materiam, et hꝫ ad materiam ꝓportionem maioris inequalitatis: igitur illud corpus eſt rarū / et ſic conſequentia eſt bona.

Dicitur.

Sed contra. Quia tunc ſequeret̄̄ hec concluſio aliquod corpus naturale, nec eſt rarum nec denſum naturaliter. Seq̄la ꝓbatur / q2 capio a. pedale in cuiꝰ qualibet quarta eſt vnꝰ gradus ma-terie: quo poſito ibi inter materiã et quantitatē eſt ꝓportio equalitatis: igr̄ ibi gradus quãtitatis nõ excedūt gradus materie. igr̄ tale pedale nõ eſt raꝝ nec gradus materie excedūt gradus quantitatis: igr̄ nõ eſt denſum: igr̄ aliquod pedale eſt  nec eſt rarū nec eſt denſum / quod fuit probandū. Falſitas ↄ̨ñtis oſtenditur / q2 tale pedale hꝫ certã materiam ſub certa quantitate puta paruã materiã ſub ma-gna quantitate: igr̄ illud eſt rarū. ¶ Dices et bene concedendo quod infertur.

Dicitur.

Sed contra. Quia tunc ſequeretnr /  bipedale ī cuiꝰ vna medietate eſt ꝓportio dupla quãtitatis ad materiã et iu alia eſt ꝓportio eq̈lita- tis quantitatis ad materiã eſſet rarū: et bipedale in cuiꝰ vna medietate eſſet ꝓportio dupla quãtita-tis ad materiã et in alia eſſet ꝓportio dupla mate-rie ad quantitatē eſſet denſum et nõ rarū et bipeda­le in cuiꝰ vna medietate eſſet ꝓportio dupla quan-titatis ad materiã: et in alia eſſe ꝓportio ſexal-ra materie ad quantitatē nec eſſet rarū nec denſuꝫ / ſed cõſequēs videtur falſum: igr̄ illud ex quo ſequit̄̄ Seq̄la ꝓbatur / q ſi in vna medietate bipedalis eſt ꝓportio dupla quantitatis ad materiaꝫ: et in alia ꝓportio equalitatis cū vtra medietas bipedalis ex dictis habeat quatuor gradus quantitatis: ſe-quitur /  vna medietas illiꝰ bipedalis hꝫ duos g̈dꝰ materie, et altera .4. / et ꝑ ↄ̨ñs totum illud bipedale hꝫ ſex gradus materie et hꝫ .8. quãtitatis: g̊ in eo eſt ꝓportio maioris inequalitatis quãtitatis ad ma-teriã / et ꝑ ↄ̨ñs ipſū eſt rarū / et ſic ptꝫ prima pars illa­ti. Secūda pars ꝓbatur / q ſi vna medietas bipe-dalis ita ſe hꝫ  in ea eſt ꝓportio dupla quautita-tis ad materiã, et in reliqua materie ad quantitatē et vtra medietas bipedalis hꝫ q̈tuor gradꝰ quãti­tatis / ſequit̄̄ /  vna medietas illiꝰ bipedalis habet duos gradus materie et reliqua hꝫ octo: et ꝑ conſe-quens materia illiꝰ bipedalis eſt vt decē, et quanti-tas eſt vt octo: igr̄ in hoc bipedali eſt ꝓportio ma-ioris inequalitatis materie ad quantitatē hoc igr̄ fidē facit illud bipedale denſum eſſe. Et ꝑ hoc etiaꝫ ptꝫ tertia pars: q in tali bipedali (ſi bene calcula­ueris) reperies octo gradus materie gradibꝰ quã-titatꝪ equari. Quare illud bipedale nec rarum nec denſum erit / quod fuit ꝓbãdū. Sed iã ꝓbo falſita­tem cõſequentis: q illud bipedale in cuiꝰ vna me-dietate eſt dupla ꝓportio quantitatis ad materiã et in alia eſt dupla ꝓportio materie ad quantitatē hꝫ vnã medietatē rarã vt duo: et aliū denſaꝫ vt duo volo e /  ꝓportio dupla nata ſit ꝓducere rarita­tem vt duo, et etiã denſitatē vt duo Nec valet hoc ne­gari: q2 aliqua ꝓportio nata eſt ꝓducere raritateꝫ vt duo: et aliqua denſitatē vt duo: ponãtur igr̄ ille ꝓportiones in illis medietatibꝰ et ſic ſemꝑ ꝓcedit argumentū: igr̄ illud bipedale nec eſt rarū, nec dē-ſum. Ptꝫ hec cõſequētia a ſimili: q ſi vniꝰ bipeda­lis vna medietas eſſet calida vt duo et altera frigi-da vt duo: illud nec eſſet calidum nec frigidum. Et ſic facile eſt inferre oppoſitum aliarum partium.

Tertio ad idē argr̄. Si hec opinio eēt vera ſeq̄retur /  rarum difformiter difforme cuius vtra medietas eſſet vniformis nõ correſponderet ſuo gradui medio: ſed cõſequēs eſt falſum: igr̄ illud ex quo ſequitur. Falſitas cõſequētis oſtenditur: q2 oē qualificatū vniformiter difforme correſpondet ſuo gradui medio: et etiã difformiter difforme cuiꝰ vtra medietas eſt vniformis: igr̄ a ſimili ita d3 eſſe ꝓpoſito. Seq̄la ꝓbatur. et capio vnū bipedale in cuiꝰ vna medietate ſit ꝓportio dupla quãtitatis ad materiã, et in alia medietate ſit ꝓportio quadru­pla, et volo /  ꝓportioni dupla correſpondeãt duo gradus raritatis, et ex hoc quadruple quatuor: ita  vna medietas ſit rara vt duo, et alia vt quatuor Quo poſito ſic argumentor: illud bipedale eſt dif-formiter difforme cuiꝰ vtra medietas eſt vnifor-mis, et eiꝰ raritas nõ correſpondet ſuo gradui me-dio: igr̄ ꝓpoſitū. Argr̄ minor / q ſi eiꝰ raritas cor-reſponderet ſuo gradui medio: ipſa eſſet vt tria vt ſatis ptꝫ, nã gradus vt tria eſt medius inter q̈tuor et duo: ſed hoc eſt falſum: igr̄. Cuiꝰ cõſequētis falſi-tas oſtenditur q raritas vt tria q̄ eſt ſexquialtera ad raritatē vt duo correſpondet ꝓportioni ſexal­tere ad ꝓportionē duplã que ꝓportio ſexquialtera vcꝫ ad duplã eſt ꝓportio irrationalis / vt ptꝫ ex ſecū­da parte huiꝰ operis: ſed quãtitatis illiꝰ bipedalis ad ſuã materiã nõ eſt ꝓportio irrationalis que eſt ſexquialtera ad duplã: g̊ ſequitur /  raritas illius bipedalis nõ eſt vt tria. Ptꝫ hoc cõſequentia / q ra­ritas vt tria non eſt nata ꝓuenire niſi a ꝓportione ſexquialtera ad duplã. Secundū / e hanc opinio-nē in quacū ꝓportione ſe habent raritates ad in­uicē in eadē ꝓportione ſe habent ꝓportiones a qui­bus ꝓueniūt. Sed iam ꝓbo /  quantitatis illiꝰ bi-pedalis ad ſuã materiã nõ ſit ꝓportio irratiõalis que ſit ſexquialtera ad duplã: q materia vniꝰ me­dietatis eſt duoꝝ graduū puta illiꝰ in qua eſt ꝓpor­tio dupla quantitatis ad materiã: et materia alte-rius medietatis eſt vniꝰ gradus, et ſic tota materia eſt vt tria quantitas vero vt octo, q vna quarta pedalis eſt vnꝰ gradus quantitatis vt predictū eſt modo .8. ad .3. eſt ꝓportio dupla ſuꝑbipartiens ter­tias q̄ eſt minor ꝙ̄ ſexquialtera ad duplã. Cõtinet e duplã et ſexquitertiã adequate ſupra duplam et ſexquitertia eſt minor ꝙ̄ medietas duple vt patꝫ ex ſecūda parte huius operis: g̊ cõtinet duplã, et minꝰ ̄ medietatē duple adequate: , ꝑ cõſequēs eſt mīor ̄ ſexquialtera ad duplã. Itē ſexquialtera ad du-plam eſt irrationalis / vt dictū eſt iſta vero: eſt rati-onalis: g̊ nõ eſt ſexquialtera ad duplã / quod fuit ꝓ-banduꝫ. Nec valet dicere /  non oportet ſic ſignare gradus quantitatis aut materiae q2 quocū modo ſignētur ſemꝑ erit ꝓportio rationalis quãtitatis ad materiã in tali caſu et iſta raritas vt tria non eſt nata ꝓuenire ꝓportione aliqua rationali: eſto  raritas vt duo nata ſit produci a ꝓportiõe dupla.

Quarto argr̄ ſic. Si iſta opinio eſſet vera ſeq̄retur /  nõ poſſet dari cui g̈dus correſpõ-deat raritas vniꝰ pedalis ſic ſe habentis  prima pars ꝓportionalis eiꝰ ſit aliq̈liter rara et ſcḋa in duplo, tertia in triplo, quarta in quadruplo ꝙ̄ pri­ma, et ſic cõſequenter: ſed conſequēs eſt falſum: igr̄. Itē ſeq̄retur /  nõ poſſet dari cui correſpõderet ra-ritas pedalis cuiꝰ prima pars ꝓportionalis ꝓpor­tiõe dupla eſſet aliqualiter rara, ſecūda in duplo, tertia in quadruplo ꝙ̄ prima et quarta, in octuplo et quīta in ſexdecuplo: et ſic couſequenter : proceden­do per numeros pariter parer: ſed hoc videtur ab-ſurdum: igr̄. Seq̄la ptꝫ / q ad īueniendū in ſimili-bus caſibꝰ raritatē adequatã taliū corpoꝝ oportet ad īuenire materiã totalē totiꝰ corporis, et tūc vide­re in qua ꝓportione ſe hꝫ quantitas illiꝰ corporis ad illã materiã: et ex hoc raritatē talis corporis di­iudicare: ſed nõ eſt modus īueniēdi in talibꝰ et ſimi-libus caſibꝰ materiã totius corporis: etiã ad inuen­ta et ſcita materia prime partis ꝓportionalis: igr̄ nõ põt ſciri totalis raritas illoꝝ corpoꝝ ſic diffor-miū in raritate. Sꝫ iam ꝓbo /  nõ põt materia illiꝰ corporis īueſtigari, q cõtinue materia partis ꝓ-portionalis ſequentis eſt minor materia partis ī-mediate cedentis. Et in nulla certa ꝓportione cõ-tinuo minor: ſed cõtinuo in alia et in alia: et ſunt iſte materie partiales infinite: igr̄ nõ apparet modus quo totalis materia menſuretur: igitur.

Quīto argr̄. Si iſta optnio eſſet vera ſeq̄retur /  raritas diceretur poſitue eodeꝫ modo quo denſitas cū nõ ſit maior ratio de raritate ꝙ̄ de denſitate: ſed cõſequēs eſt falſum: igr̄ illud ex quo ſequitur. Falſitas cõſequētis oſtenditur / q ſi ra-ritas diceretur poſitiue ſequeret̄̄ /  poſſet dari vnū finitū īfinite rarū: ſed cõſequēs eſt falſum: igr̄ illud ex quo ſequitur. Falſitas huiꝰ cõſequentis oſtendit̄̄ quoniã ſignetur illud et ſit vnū pedale / et arguo ſic / illud pedale eſt infinite rarum: igitur in eo eſt infi-nita ꝓportio quantitatis ad materiam: ſed quã-titas eſt finita: ergo materia eſt infinite modica: ſed non eſt dabilis materia infinite modica: igitur eo nulla eſt materia vel ipſum nõ eſt infinite rarum ſed non eſt dicendum  in eo nulla eſt materia: er-go eſt dicendum  non eſt infinite rarum / quod fuit probandum.

In oppoſitū tamen arguitur ſic / quia hec apinio eſt adeo ſuſtentabilis et rationabilis ſi­cut ſecunda: ergo eo modo poteſt deffenſari vera ſicut ſecunda. Antecedens patebit ſoluendo. ea que hanc poſitionem opugnant.

Pro ſolutione huius dubitationis: et exacta huius opinionis inquiſitione. Cõſideran­dum eſt /  in hac opinioue ſicut et in aliis, peculia-ribus definitionibus raritatis et denſitatis ſiue ra­ri et denſi vtendum eſt. Cum enim hec opinio dicat ad raritatem requiri proportionem maioris ine-qualitatis quantitatis ad materiam: et ad denſita­tem ecõtra requiri proportionem maioris inequa-litatis materie ad quantitatem id ſignum nobis erit, et fidem faciet rarum hoc pacto diffiniri debe-re. Rarum eſt illud in quo eſt proportio maioris in­equalitatis quantitatis ad materiam. Denſum ve-ro ita deſcribi debet. denſum eſt illud in quo eſt ꝓ-portio maioris inequalitatis materie ad quanti-tatem. Aliter tamen poſſunt iſti termini ſic deſcri-bi manente eadem ſententia paululum verbis va-riatis. Rarum eſt cuius quãtitas eiuſdem materi-am exuperat. Denſum vero eſt cuius materia ſuam excedit quantitatem. Quo in loco intelligendum eſt hanc opinionem, et materie, et quantitati gra-dus aſcribere: nõ quidem intenſionales: ita  ipſa quantitas ſit intenſa, aut ipſa materia, velut albe­do ſiue nigredo: ſed habet certas partes ſue ſubſtã­tie ſiue entitatis ipſa materia: et ſimiliter ipſa quã­titas certas portiones quas iſta opinio gradꝰ ap-pellat: vt ſi dicamus quartã partem vnius pedalis vnū gradum quantitatis eſſe, et medietatē quarte mediū gradum quantitatis, et ſic cõſequenter: tunc recte dicemus pedale quatuor gradus quãtitatis cõtinere, et bipedale octo, et ſic cõſequēter, et pari in­duſtria nõ abs re aſſignauerit hec opinio ipſa ma-terie gradus: vt ſi dicamꝰ mariam exiſtentē in vna octaua parte pedalis terre exñtis in ſua naturali diſpoſitiõe eſſe vnū gradū materie, et medietatem illiꝰ materie vnū mediū gradū, et ſic ↄ̨ñter diuiden-do ex ↄ̨ñti manifeſtū nobis eſſet vnū pcdale terre in ſua naturali, et optima diſpoſitione exiſtēs .8. gra­dus materie ↄ̨tinere, et bipedale terre decē et ſex, et ſic ↄ̨ñter aſcēdendo: et iſto mõ aſſignãdo g̈dus et ii materie et quãtitati facile erit inſpicere qñ gradus quãtitatis excedunt gradꝰ materie: aut econtra, et ſic iuidicare: vtrū tale corp° debeat dici dēſum, aut nõ. Nã ſcḋm hanc opinionē nullū dēſum eſt rarum nec rarū eſt dēſum. Qḋ ſic patꝫ manifeſte. Si e a. eſt dēſum gradꝰ materie ipſiꝰ a. exuperant gradus quãtitatis eiꝰ. Si vero im a. ſit rarū iam gradus quãtitatis gradꝰ materie exuperãt: ſed īpoſſibile ē  idē ſit maiꝰ altero: et ecõtra. Ideo nõ eſt poſſibile huic opinioni adherēdo idē ſimul fater rarū et dē-ſum vel ſaltē in eodē loco etc̈. Sequit̄̄ ſecūdo iuxta hanc opinionē  nullū infinitarū vbi eſt infinitum de materia eſt rarū aut denſum. Patet / q2 ibi, nec ma­teria exuperat quantitatē, nec ab ea ſuperatur: vt conſtat. Sequitur tertio /  aliquod finitū eſt quod nec eſt rarū, nec denſum: et tamen habet materiam Patet de pedali habēte quatuor gradus materie eſto /  quarta pedalis ſit vnus gradus quantitatꝪ In tali enim pedali, nec quantitas excedit mate-riam, nec ab ea exceditur.

d rarū d dēſuꝫ.

Aduertendum eſt ſecundo /  diuerſi-mode hec opinio, et communis qui ī ſequenti no-tabili declarabitur cenſent raritatem duplari, tri­plari: aut in aliqua alia proportione augeri. Nam opinio cõmunis aſſeuerat ad duplationem quan-titatis ſequi duplationem raritatis: et econtra ad duplationem raritatis ſequi duplationem quan-titatis. Hec vero opinio oppoſitum dicit. Ali-quando enim ad duplationem raritatis dupla-tur quantitas, aliquando vero efficitur in ſexqui-altero maior dumtaxat. vt ſecundum huius prin-cipalis queſtionis argumentum oſtendit. Unum ta­men certum habet hec opinio: dicit enī ſemper ad dupla tionem raritatis ſequi duplationē propor-tionis quantitatis ad materiam: vt ſi ipſa propor­tio quantitatis ad materiã fuerit dupla: duplata raritate erit quadrupla: et ſi fuerit quadrupla: du-plata raritate erit ſexdecupla. Si autem tripla du­plata raritate erit nonocupla. ſi vero fuerit ſexqui­altera: duplata raritate erit dupla ſexquiquarta: et ſic in aliis exemplificandum eſt.

1. correĺ.

¶ Ex quo educitur clare /  ſi quantitatis ad ma-teriam fuerit proportio minor dupla: duplata ra-ritate nequaquam duplabitur quantitas: ſed mi-nus quam ad duplam augebitur: quemadmo-dum promptum eſt in proportione ſexquitertia intueri. Si veruo fuerit proportio maior dupla neceſſum erit quantitatem pluſ̄ ad duplum au-geri. Si autem fuerit dupla dumtaxat quanti-tatis ad materiam proportio: raritate dupla-ta quantitas ipſa dupla euadet dumtaxat. Patet hoc correlarium in ſingulis inducenti. Ipſum enim correlariū mathematico ordine et apparatu oſten­dere ſiue demõſtrare maiori ſollicitudini eſſet quã huic opinioni adiumento. Radix tamen et baſis hu­ius opinionis eſt: ex qua baſi facile ea que ab hac opinione aſſeuerantur claram ſortiuntur demon-ſtrationem. Eſt e hoc fundamentum: cuilibet pro­portioni quantitatis ad materiam determinati gradus raritatis correſpondent: itidem et cuilibet proportioni materie ad quantitatem determinati gradus denſitatis correſpondent: perinde at in motus velocitate certe proportioni potentie ad re­ſiſtentiam certa motuum velocitas correſpondet: et duple proportioni dupla motus velocitas: et ſex­quialtere proportioni ſexquialtera velocitas aſcri­bitur: volo dicere /  ſecundum hanc opinionē pro-portioni duple quantitatis ad materiam corre-ſpondent certi gradus raritatis qui gratia exem­pli ſint duo, ita videlicet  vbicun ſiue in magno corpore ſiue in paruo dupla proportio quantita-tis ad materiam reperiatur iudicabitur tale cor-pus rarum adequate vt duo: et vbicun reperietur proportio quadrupla quantitatis ad materiam raritas erit vt .4. quoniam proportio quadrupla dupla eſt ad ipſam duplam: et ſic conſequenter tu poteris exemplicare in aliis proportionum ſpe-ciebus et generibus.

¶ Ex quo ſequitur /  raritas proueniens a pro-portione tripla non ſe habet in aliqua proportio-ne rationali ad raritatem prouenientem a propor­tione dupla. Quod ptꝫ / q2 ꝓportio dupla et tripla nõ ſe hñt ī in ꝓportiõe rõnali / igitur nec raritas pro-ueniens a ꝓportione dupla ad raritatē ꝓuenieutē a proportione dupla: quod patet quia proportio dupla et tripla non ſe habent in proportione ra-tionali / vt patet intuenti tractatum proportionum ¶ Et exinde deducitur  ſi quãtitatis alicuius cor-poris ad ſuam materiam fuerit proportio tripla et alterius corporis fuerit proportio dupla: rarita-tes illorum corporum ſunt incõmenſurabiles ¶ De­ducitur vlterius  ſi quantitas alicuius corporis rari ſine acquiſitione materie quadrupletur: ipſuꝫ corpus quatuor gradus raritatis acquiret ſupra raritatem prehabitam: quoniã talis raritas ipſi proportioni quadruple correſpõdet: et ſi aliud cor-pus rarum acquirat proportionē triplam ſue quã­titatis ſine materie augmento aut decremento: ta-le corpus acquiret maiorem raritem quam vt .2. in nulla tamen proportione rationali maiorem ade-quate. Patet hoc / quia raritas vt duo correſpon-det proportioni duple: maior igitur raritas corre­ſpondet triple: cum ipſa ſit maior et cū ipſa in nul-la proportione rationali ſit maior: ſequens eſt in nulla proportione rationali ſibi maiorem rarita-tem correſpondere quã duple. Caute igitur reſpon­dendum eſt cum queritur quante raritatis eſt cor-pus in quo quãtitatis ad materiam eſt proportio tripla. Non e ſignanda eſt talis raritas per ali-queꝫ numerū. Quēadmodum ſi queratur quãta eſt velocitas correſpondens proportioni duple. et di-catur exempli gratia  eſt vt .2. et deinde queratur quantã eſt velocitas correſpondens proportioni triple: nullo modo ſignanda eſt per aliquem nume­rum: cum e inter quoſcū numeros ſit proportio rationalis / vt conſtat: et proportio velocitatum ſe-quatur proportionem proportionū: naſceretur in de proportionem triplam duple proportioni fore cõmenſurabilem proportione ratiõali: quo nichil in hac ſcientia falſiꝰ. Et ſi queras an ſecundū hanc opinionē raritas vel denſitas diſtinguatur ab ip-ſa materia. ¶ Reſpondeo  non. Nã quando dici­mus iſtud corpus eſt rarum vt .2. adequate: volumꝰ dicere /  ibi eſt proportio dupla quãtitatis ad ma­teriam: eſto  proportioni duple correſpondeant duo gradus raritatis: et ſic in aliis proportionibꝰ exēplificandū eſt. ſēper tamen cauēdo proporti-oni irrationali ad duplam aſſignes raritatē aliq̊ numero ſignatam: ¶ Aduertendū eſt tertio /  ſcḋm hanc opinionem ad diiuidicandū raritatē alicuius corporis ſiue vniformis ſiue difformis: aſpicienda eſt totalis eius quantitas, et totalis eius materia. Et deinde inſpiciēda eſt ꝓportio totius quãtitatis ad totã eius materiã: et ſecundã illam metiri opor-tet raritatem talis corporis: vt ſi ſit vnū bipedale cuius vna medietas ſit rara vt .2. et alia vt .4. ad vi­dendum quanta eſt totius bipedalis raritas: capi­enda eſt tota materia illius bipedalis que vt ↄ̨ſtat ex predictis eſt vt .3. et deinde capienda eſt tota quã-titas, que eſt vt .8. cum bipedale contineat .4. q̈rtas pedalis: et aſſerendū eſt talem raritatem eſſe tantã quãta ꝓportioni .8. ad .3. que eſt dupla ſuperbipar-tiens tertias correſpondet. Et ſic īuenietur totam raritatem illius corporis non eſſe vt .3. ſed minorē: vt patet ex deductione tertii argumenti huiꝰ dubii. ¶ Ex quo ſequitur ſecundū / hanc opinionē rarita-tem difformiter difformē cuius vtra medietas eſt vniformis vel vniformiter difformis nõ correſpon­dere ſuo gradui medio vt argumentū tertiū alle-gatū bene oſtendit. ¶ Ex quo ſequitur vlteriꝰ /  ra-ritas difformis nõ eſt iudicanda penes reductioneꝫ ad vniformitatē ſui: ſed penes reductionē ad vnifor­mitatē ſue materie: vt ſi vna medietas cuiuſdã bi- pedalis habeat vnū gradū materie et alia habeat duos capienda eſt vna medietas vniꝰ gradus illo-rum duoꝝ et addenda eſt alteri medietati ipſiꝰ bi-pedalis et illud manebit vniformiter rarum et eque rarū ſicut antea: (volo e /  nulla fiat deperditio aut acquiſitio quãtitatis aut materie). Et eodē mö debet fieri ſi prima pars ꝓportionalis, et ſecunda haberet in quadruplo minꝰ quã prima, et tertia in quadruplo minꝰ quã ſcḋa, et ſic cõſequenter: tūc re-ducenda eſt materia ad vniformitatē et videndū eſt quãta eſt tota materia et tota quãtitas: et penes ꝓ-portionē totiꝰ quãtitatis ad totã materiã diiudica­bitur raritas. Eſt iſto etiã modo metienda eſt denſi­tas corporis denſi penes videlicet ꝓportionē to-tius materie ad totã quãtitatē: et nõ penes denomi­nationē quēadmodū fit in qualitatibꝰ difformibꝰ Quod diligenter aīaduerte ſi hanc opinionē de-fenſare affectas. ¶ Sed nõ abs requireres quomõ iudicanda eſt et mēſuranda materia corporis rari aut denſi in quo eſt infinita difformitas ita  diui­ſo tali corpore ꝓportione dupla nulla pars ꝓpor-tionalis ſecundū talē diuiſionē ſit ita rara aut den­ſa ſicut alia vt tangitur in quarto argumēto huiꝰ queſtionis. ¶ Reſpõdeo breuiter /  aliquando ma­teria talis corporis ſe habet continuo in certa propoſitione: ita  materie prime ad materiã ſcḋe partis ſit aliqua ꝓportio: et materie ſecūde ad ma­teriam tertie ſit eadē ꝓportio: et ſic cõſeqnēter: ali-quando vero nõ eadē cõtinuo ꝓportio obſeruatur ſed in infinitum variatur puta ſi materie prime ad materiã ſecūde ſit ꝓportio dupla: et materie partꝪ ſecūde ad materiã tertie ſit ꝓportio tripla: et ma-terie tertie ad materiã quarte ſit quadrupla: et ſic cõſequēter aſcendendo per ſpecies ꝓportiõis mul-tiplicis: et tūc nõ eſt poſſibile capacitati intellectus finite adequate illã materiam menſurare vt iam in ſimili dictū eſt circa materiã de motu locali penes effectū. Sed ſi materie illarū partiū ꝓportionaliū cõtinuo ſe habeant in eadē proportione: facile erit diiudicare totalem materiam ex concluſionibus et correlariis quīti capitis prime partis huiꝰ operis

3. correĺ. 4. correĺ .1. correĺ. 2. correĺ. Queſtio Solutio q̄ſtionis.

Ad ratiões ante oppoſitū huiꝰ dubii. Ad primã reſponſū eſt ibi vſ ad replicã ad quam reſpõdeo ↄ̨cedēdo ſequelã, q2 illud ↄ̨ñs manifeſte ſequit̄̄ ex hac poſitiõe: et negat̄̄ falſitas ↄ̨ñtis: et ad ꝓbationē: datis illis duobus corporibꝰ equalibus quãtitatiue et īequalibꝰ in raritate et cū ſic argr̄ eq̄ ꝓportionabiliṫ ſicut iſta duo corpora acquirūt de quãtitate acquirūt de raritate: negat̄̄ illud m hãc opinionē: īmo dico /  oīa corpora ſiue eq̈lia quãti-tatiue, ſiue īeq̈lia, ſiue eq̄ rara ſiue nõ, q̄ eque ꝓpor­tionabiliṫ acquir̄t de quãtitate eq̈liṫ oīno acquir̄t de raritate: q eq̈les ꝓportiones acquirūt, et ſemꝑ ab equalibꝰ ꝓportionibꝰ eq̈les raritates nate ſunt ꝓuenire / vt dictū eſt. ¶ Ad ſecundã rationē reſpõſū eſt ibi vſ ad replicam: ad quam reſpondeo conce­dendo ſequelam: et negando falſitatem conſequen­tis. Et ad probationem negatur hec conſequentia in qua eſt vis rationis: vna medietas huius bipe-dalis eſt denſa vt duo adequate, et alia rara vt duo adequate: et raritas et denſitas non ſe compatiunt̄̄ immo ſe cohabent ſicut cecitas et viſus; / igitur illud corpus nec eſt rarum non eſt denſum: et ad probationē que conſiſtit in quadam ſimilitudine concedo an-tecedens: et nego conſequentiam: quia non eſt oīno ſimile de illis qualitatibus et de raritate et denſi-tate que ſunt duo oppoſita priuatiue: nam ſi homo eſſet cecus ſecundum vnum oculum et vidēs ſecundum alterum: adhuc talis homo eſſet videns Item ſecundum hanc opinionem intenſio raritatis aut denſitatis non debet ſumi aut meuſurari pe-nes denſitates partium vt oſtendit tertium notabi­le huius dubii. intenſio autem calidi aut frigidi po­teſt meuſurari ex intenſionibus partium: et ideo il-la ſimilitudo nnllo pacto quadrat huic propoſito.

Ad tertiam rationem reſpondeo con-cedēdo ſequelam ſicut probat argumentum: et nego falſitatem conſequentis: et ad ꝓbationem nego con­ſequentiam: et ad ꝓbationem conſequentie: nego ſi­militudinem ꝓpter rationem dictam in ſolutione ſecunde rationis.

Ad quartam rationem reſpondeo ne-gando ſequelam: immo dico /  in aliquibus talibꝰ caſibus poteſt facile reperiri adequata materia in aliquibus vero non ſaltem naturaliter ab intelle-ctu finite capacitatis / vt dictum ē tertio notabili hu­ius dubii In primo tamen caſu huius argumenti vi­delicet  prima pars ꝓportionalis ſit aliqualiter rara: et ſecunda in duplo: et tertia in triplo: et ſic con­ſequenter diuiſione facta per partes ꝓportiõales proportione dupla: et proportione quãtitatis prīe partis proportionalis ad ſuam materiam exiſten-te dupla tunc materie illarum partium proportio­nalium continuo ſe habent in proportione quadru­pla: et ſic ſcita materia prime partis proportiona-lis facile ſcietur totalis materia: in infinitis tamen caſibus vbi variatur proportio illud a finito inge-nio et intellectu percipi non poteſt.

Ad quintam rationem reſpondeo ne-gando ſequelam: et cum petitur ratio quare potiꝰ raritas dicitur priuatiue quam poſitiue ſecnndum hanc opiniouem reſpondeo /  ideo dicitur potius priuatiue quam poſitiue: quia raritas intenditur ad deperditionem ſiue remiſſionem alicuius poſiti­ni puta materie ſine acquiſitione alicuius poſitiui quod nū̄ eſt verum etiam de aliquo poſitiuo. Quod ve-ro ita fiat: aut poteſt fieri: volo /  diminuatur ſiue dematur materia alicuius pedalis ſucceſſiue ad nõ gradum nullo pacto maiorata quantitate: quo po­ſito iam patet /  ibi nullum poſitum acquiritur: ſꝫ contiuuo deperditur: nichilominus continuo pro-portio quantitatis ad materiam maiorabitur: et ſic continuo raritas intenditur. Sed quia hec ra-tio eque bene concludit denſitatem dici priuatiue quēadmodū et raritatem. quoniam per diminutio-nem continuam quantitatis ſiue acquiſitione mate­rie intenditur ipſa denſitas. ideo cum queris cau­ſam quare raritas potius priuatiue dicitur quam denſitas. Reſpondeo /  eſt illa quãtū in argumēto aſſumis videlicet quia non poteſt reperiri infinita raritas in ſubiecto ſiue corpore finito: ſi tamen dice­retur poſitiue poſſet infinita raritas in ſubiecto fi-nito reperiri / vt patet de omni poſitiuo magis et mi­nus ſuſcipiente. Et per hoc patet reſponſio ad du-bium.

Opinio coīs

Notandem eſt tertio tangēdo opinio­nem commuuem quam calculator in capitulo de ra­ritate inſequitur. et communiter moderni.  ſecun-dum hanc opinioneꝫ aliter deſcribendi ſunt iſti ter­mini: rarum: denſum: rarefieri: condenſari quam ſe­cundum opiniones precedentes. Rarum enim eſt il-lud quod ſub magna quantitate continet modicuꝫ de materia Denſum vero eſt illud quod ſnb modi- ca quantitate multum continet de materia. Condē-ſari vero eſt effici magis denſum. Rarefieri enim ē fieri magis rarum. magis autem rarum eſſe eſt ſub maiori quantitate continere eandem materiam fi-nitam quam antea continebat: vel ſub eadē quanti­tate finita continere minus de materia: vel ſub mi-nori: quantitate minus proportionale de materia quam antea. Sed magis denſum eſt illud quod ſub eadem quãtitate continet plus de materia: vel ſub-minori quantitate eandem materiam finitã vel ma­iorem vel minorem in minori tamen proportione ̄ quantitas ſit minor. vel ſub maiori quantitate magis proportionale de materia. Et ſi alique par­ticule que non facile occurūt reſtant his diffini-tionibus adiiciende eas addas cum argumenta ad illud coegerint. Definitio enim breuis debet eſſe ex ſua natura teſtimonio ciceronis in ſua nona retho­rica. ¶ Ex his diffinitiouibus ſequitur primo /  ma­le deſcribitur ſic condenſari Condenſari eſt pun-cta ad inuicem magis approximari quoniam ſtat  puncta magis approximentur: er in ea propor-tione qua magis approximētur dematur de mate-ria: et ſic tale corpus non condenſabitur. et tamen puncta magis ad inuicem approximantur. Item dato pedali infinite denſo puncta illius poſſunt ma­gis approximari: et tamen ipſum non condenſabi-tur: quia iam eſt infinite denſum. Eodem modo di-cas de rarefactione ſiue de rarefieri. Non eni3 ſem­per rarefieri ē puncta magis diſtare: pedale enim ī­finite denſum poteſt maiorari ſtante ſua materia et tamen non rarefiet. ¶ Sequitur ſecundo /  ſtat ali-quod eſſe rarum a quo aufertur medietas ſue mate­rie manente quantitate: et tamen ipſum non effici-tur rarius. Patet de corpore infinito habente ma-teriam finitam preciſe quod eſt infinite raruꝫ a quo ſi dematur medietas materie ipſum non efficietur rarius cum modo ſit infinite rarum.

d raruꝫ d dēſuꝫ d ↄ̨dēſa­ri. qḋ rarefi­eri. cicero ī 4. rethori. .1. correl. 2. correl.
3. correl.

¶ Sequitur tertio /  aliquod corpus eſt denſum et finitum a quo ſi remoueatur medietas quantitatis manente materia: ipſum non efficietur denſius.

Patet de pedali infinite denſo poſito /  minore-tur ad ſubduplum manente ſua materia.

.4. corel.

¶ Sequitur quarto /  ſtat quantitatem alicuius fi­niti diminui: et ſimiliter eius materiam. et ipſum cõ­denſari. ſtat ſimiliter ipſum rarefieri. et ſtat ipſum nec rafefieri nec condenſari. Probatur prima pars / quia ſtat ipſum plus proportionabiliter per­dere de quantitate ꝙ̄ de maieria: et tunc ipſum con­denſabitur vt poſtea ex quibuſdam concluſionibus patebit. et ſtat ipſum eque proportionabiliter de-perdere de quantitate ſicut de materia: et ſic ipſum nec rarefieri nec condenſari. et ſtat ipſum magis proportionabiliter deperdere de materia ꝙ̄ de quã­titate: et ſic rarefieri. Et propterea poſitum eſt in de­finitione vel minorem in minore tamen proportio-ne ꝙ̄ quantitas ſit minor. Et eodem modo poteris dicere /  aliquid per acquiſitionem quantitatis et materie rarefit. et nõnun̄ condenſatur. Si enim eque proportionabiliter acquirit de materia ſi-cut de quantitate nec rarefit nec condenſatur. ſi ve-locius proportionabiliter acquirit de quantitate ̄ de materia rarefit. Omnia iſta patent mediante tali fundamento. Si in ea proportione in qua ali-quod corpꝰ eſt maius in ea plus cõtinet de materia altero corꝑe mīore illa duo ſūt eq̄ rara et eq̄ denſa: et ſi in maiori ꝓportione plus cõtineret de quanti-tate quã de materia ꝙ̄ alterum minus: ipſum eſt ra­rius eo. Si vero in maiore ꝓportione illud maiꝰ cõ­tinet de materia quã de quantitate reſpectu alteri­ us minoris ipſum eſt denſius illo minori. Pro quo intelligendo in ſuo fundamento: et radice ponã ali-quas concluſiones: quadam diuiſione prepoſita q̄ talis eſt. ¶ Corporum ꝓportionabi­liū ad inuicem in raritate et denſitate: quedam ſunt equalia: quedam inequalia. Item equalium que-dã cõtinēt equaliter de materia: quedam inequali-ter. Corporum inequalium quedam cõtinent equa-liter de materia quedã vero nõ. Exēplū / vt ſi ſint duo corpora quorum vnū eſt pedale et aliud ſemipeda-le poſſibile eſt  vnū t contineat de materia ſicut aliud vel vnum cõtineat plus de materia ꝙ̄ aliud. Item corporum inequalium inequaliter contenen-tiū de materia: quedam ita ſe habent  minus con­tinet minus de materia: quedã ita ſe habent  mi-nus continet magis de materia. Item minorum cõ­tinentium minus quã maius: quoddam cõtinet mi-nus in ea ꝓportione qua eſt minus: quoddã in ma-iori ꝓportione: quoddã vero in minori. Exemplum / vt ſi ſint duo corpora quorum vnū eſt pedale aliud ſemipedale poſſibile eſt  ſemipedale cõtineat ma­teriam in duplo minorem: in triplo maiorem: et in ſexquialtero minorē quã ↄ̨tineat pedale. Itē corpo­rum inequaliū quorū minus continet plus de mate­ria ꝙ̄ maius. quoddã cõtinet plus de materia quaꝫ maius in equali ꝓportione qua eſt minus. quoddã in maiori quoddã vero in minori ꝓportione quã ē minus: Exēelū / vt captis pedali et ſemipedali poſſi-bile eſt  ſemipedale continet in duplo plus de ma­teria quam pedale: Poſſibile ē  in triplo: poſſi­bile eſt etiam  in ſexquialtero. His diuiſionibꝰ po­ſitis pono aliquas concluſiones quarum

Prima cõcluſio eſt hec. Corpora equa­lia equaliter continentia de materia ſunt equaliter rara et equaliter dēſa dūmõ ſint rara et denſa. Hec concluſio patet ex diffinitionibus rari et denſi.

Secunda concluſio Si aliqua duo in equalia equaliter contineant de materia: minus il­lorum in eadem ꝓportione eſt denſius in qua ē mi-nus. Probat̄̄ hec concluſio et capio duo corpora in equalia gratia exempli pedale et ſemipedale habē-tia equaliter de materia / et volo /  ſemipedale rare­fiat quovſ ſit pedale ſine acquiſitione aut deper-ditione materie. quo poſito in fine illa duo corpora ſunt eque rara et denſa / vt patet ex prima concluſio-ne: et illud quod antea erat minus perdidit propor­tionem duplam denſitatis cum acquiſiuerit duplã raritatem / vt patet per duplam punctorum diſtan-tiam ſine acquiſitione aut deperditione materie: igitur antea erat in duplo denſius quã ſit modo: et per conſequens in duplo denſius quolibet equali modo in denſitate. quoniam in quacun ꝓportio-ne aliquid excedit aliud in eadeꝫ ꝓportione excedit quolibet equale illi: igitur concluſio vera:

Tertia concluſio Si fuerint duo cor-pora inequalia: et minus illorum cõtinet plus ḋ ma­teria quã maius: tunc minus eſt denſius in propor-tione compoſita ex proportione qua maius excedit minus: et ex proportione qua materia minoris ex-dit materiam maioris: Probatur et capio pedale et ſemipedale quod cõtinet in duplo maigs de ma-teria quã pedale: et volo /  illud ſemipedale rarefi-at quouſ ſit bipedale: quo poſito arguitur ſic in fi­ne talis rarefactionis illud corpꝰ quod antea erat ſemipedale eſt eque denſum adequate cum alio cor­pore pedali cū ſubdupla quãtitate duplã maṫiã cõ­tiuet: et ipſum eſt in quadruplo minus denſum quã erat antea cum modo puncta in quadruplo plꝰ di- ſtent etc. / igitur ipſum erat antea in quadruplo deu­ſius quã ſit modo: et per conſequens in quadruplo denſius quolibet quod eſt modo equale ei in den-ſitate: igitur ipſum antea cum eſſet ſemipedale erat in quadruplo denſius illo pedali: et proportio qua­drupla eſt ꝓportio compoſita ex ꝓportione quãti-tatis qua maius excedit minus puta dupla: et ex ꝓ-portione qua materia minoris excedit materiam maioris ſimiliter dupla / vt patet ex ſecunda parte huius operis: igitur intentum. ſic enim vniuerſali-ter probabis.

Quarta concluſio Si ſint duo corpo-ra inequalia inequaliter continentia de materia. ita  ī q̈cū ꝓportiõe minꝰ minus eſt ī eadē ꝓpor-tione continet minus de materia. talia corpora ſūt equaliter denſa. Patet hec concluſio de ſe quoniã capto corpore pedali vniformiter denſo / manifeſtū eſt /  medietas eius eſt eque denſa ſicut totum: et ſi-cut medietas eſt in duplo minor ita in duplo minus continet de materia. Et iſto modo vniuerſaliter ꝓ-babis de quibuſcun aliis proportionibus ſiue ra­tionalibus ſiue non rationalibus

Quinta concluſio Si ſint duo corpo-ra inequalia: et minus contineat minus de materia quam maius in maiore proportione quam ma-ius excedat minus: tunc maiꝰ eſt deſius minore ī ea ꝓportione qua ꝓportio materie ad materiam exce­dit ꝓportionē quantitatū: Uel ſub aliis verbis ea-dē rententa ſententia. Si duorū corporum inequa-liū ꝓportio materie maioris ad materiam mino-ris excedit ꝓportionē quãtitatis ad quantitatem: maius illorum eſt denſius in ꝓportione ꝑ quã pro-portio materie maioris ad materiã minoris exce-dit ꝓportionē quantitatū. Probat̄̄ hec concluſio et capio duo corpora ſe habentia in ꝓportione du­pla / et volo /  materia maioris ſit tripla ad materi­am minoris quo poſito maius eſt denſius in ꝓpor­tione ſexquialtera ꝑ quã ꝓportio tripla excedit du­plam: igr̄ cõcluſio vera. Añs ꝓbatur: et pono /  cor­pus maius condenſetur quovſ ſit equale minori puta ad ſubduplū / quo poſito argr̄ ſic. Illud corpꝰ quod antea erat maius eſt in triplo denſius altero corpore quod antea erat minus eo: et ꝑ talē cõdēſa-tionē ciſe acquiſiuit duplam denſitatem: ergo ſe-quitur /  antea habebat ſexquialteram: igitur ip-ſum erat ãtea in ꝓportione ſexaltera dēſiꝰ / qḋ fuit ꝓbandū. Sequela tamē ꝓbatur / q2 qñ alid efficit̄̄ in aliqua ꝓportiõe maiꝰ reſpectu alterius: et tūc ac­quirit preciſe vnã partē talis ꝓportionis ſequitur /  iã antea habebat alterã ꝑtem: ſed tale corpꝰ ac-ſiuit ꝓportionē triplã id eſt effectū eſt denſius ī pro­portione tripla: et nõ acſiuit niſi duplã: ergo ſequi­tur /  iã antea habebat adequate ſexquialterã: q tripla ex dupla et ſexquialtera cõponit̄̄ adequate. Et iſto mõ ꝓbabis de buſcū aliis ꝓportiõibus.

Sexta concluſio Si fuerint duo cor­pora inequalia: et ꝓportio quantitatū fuerit ma-ior proportione materie maioris ad materiã mi-noris. tunc minus eſt denſius maiori in ꝓportione qua proportio quantitatis excedit ꝓportionē ma-terie. Probat̄̄ hec concluſio: et volo /  ſint duo cor-pora puta pedale et bipedale: et bipedale in ſexqui-altero plus cõtineat de materia ꝙ̄ pedale: tūc dico /  pedale eſt denſius bipedali in ꝓportione ſexqui­tertia. quoniam ꝑ talem ꝓportionē ſexquitertiam ꝓportio quãtitatis maioris ad quãtitatē minoris q̄ ē dupla excedit ꝓportionē maṫie maiorꝪ ad maṫi­am minoris q̄ ē ſexaltera / vt ↄ̨ſtat Probat̄̄ hoc ſic Q ſi materia corporis minoris ꝑderet ꝓportio-nē ſexquitertiã ſue materie ſtante quantitate: tunc maius et minꝰ eſſent eque denſa / vt ptꝫ ex quarta cõ­cluſione. In ea e ꝓportione qua minꝰ eſt minꝰ in ea minꝰ ↄ̨tineret de materia. Sed modo illud corpꝰ minꝰ in ſextertio plus de materia cõtinet denſius quã tūc: et tunc erat ita denſum ſicut modo eſt illud bipedale: g̊ modo in ſextertio eſt denſiꝰ illo bipe-dali: et ꝓportio ſexquitertia eſt illa ꝑ quã ꝓportio quãtitatis maioris ad quantitatē minoris excedit ꝓportionē materie maioris ad materiã minoris: g̊ ꝑ ↄ̨ñs minꝰ eſt denſius maiore in ꝓportione ꝑ quantuꝫ ꝓportio quantitatis maioris ad quantitatē mino­ris excedit ꝓportionē materie maioris ad materiã minoris. Et ſic ꝓbabis buſcū duabꝰ ꝓportiõibꝰ ̄titatū et materieꝝ īeq̈libꝰ ꝓpoſitꝪ ī caſu ↄ̨cluſiõis

Ultima cõcluſio. Si duoꝝ corporum inequaliū ꝓportio quantitatis ad quantitatē ſiue materie ad materiã fuerit irrationalis: tūc ꝓpor-tio raritatis vniꝰ et denſitatis ſimiliter ad denſita­tem et raritatē alteriꝰ eſt irratiõalis. Probat̄̄ / ſicut concluſio q ꝓportio quantitatis vniꝰ ad quan-titatē alteriꝰ nõ denoīatur ab aliquo certo numero ita etiã diſtantia punctoꝝ nõ denoīatur ab aliquo certo numero: et ꝑ ↄ̨ñs iam ꝓportio raritatis vnius ad raritatē alteriꝰ eſt irratiõalis / ptꝫ ↄ̨ña ꝑ diffini-tioneꝫ ꝓportiõis irratiõalis in ṗma ꝑte huiꝰ oꝑis.

Notãnda eſt quarto / q̄dã diuiſio dēſita­tū partibꝰ alicuiꝰ ſubiecti inherentiū q̄ diuiſio huic materie multū claritatis et vtilitatis affert: ex qua ꝓpoſitiones nõ nulle deducūtur: ex quibꝰ ꝓpoſiti-onibus quedã cõcluſiones huiꝰ materie ſubtilitatē cõprehendētes naſcūtur. Diuiſio vero ſub his ver-bis deſcribetur. ¶ Denſitates per diuerſas partes ſubiecti diſtribute qñ ſūt equales in gradu: ſepiꝰ o īequales. Exemplū primi: vt ſi vtra medietas vniꝰ pedalis ſit denſa vt .4. Exemplū ſecūdi: vt ſi al­tera medietas ſit vt .8. et altera vt .4. Itē ſi ſūt equa­les in gradu ipſe denſitates, aut extendūtur parti­bus ſubiecti equalibꝰ, aut īequalibus. Exempla in prõptu ſunt. Itē ſi ſunt inequales in gradu: aut per partes equales ſubiecti extendūtur, aut ꝑ īequales Preterea ſi denſitates inequales inequalibꝰ par-tibus ſubiecti inhereãt: hoc cõtinget dupliciter: q2 aut maior denſitas maiori parti inheret, aut mino­ri. Exemplū primi / vt ſi denſitas vt .4. inhereat ſiue coextendatur medietati pedalis: et dēſitas vt .3. vni q̈rte eiuſdē pedalis. Prepoſtero ordine denſitates illis partibus diſtribuendo. exemplum ſecūdi mē-bri patebit. Itē ſi ītenſior dēſitas parti ſubiecti mi­nori aſſcribitur et remiſſior denſitas maiori parti: hoc tripliciter euenire ſolet: q2 aut ꝓportio illarū partiū ſubiecti ꝓportionē illaꝝ denſitatū excedit, aut ꝓportio denſitatū proportionē partiū ſubiecti excedit. aut ꝓportio illaꝝ partiū eſt equalis ꝓpor-tioni denſitatū. Exemplū primi / vt ſi in vna medie-tate pedalis ponat̄̄ denſitas vt .8. et in vna quarta denſitas vt .12. tūc ꝓportio partiū eſt maior ꝓpor-tione denſitatū. Nã hec ſexquialtera eſt, illa auteꝫ dupla. Exemplum ſecūdi / vt ſi in medietate ſubiecti ponatur denſitas vt .4. et in quarta ponat̄̄ dēſitas vt .12. tunc ꝓportio denſitatū excedit ꝓportionem partiū ſubiecti: Nã hec dupla eſt: illa vero tripla vt conſtat. Exemplū tertii / vt ſi in vna tertia ponatur denſitas vt .6. et in vna ſexta denſitas vt .12. tūc ea-dem eſt ꝓportio illaꝝ partiū, et etiã illaꝝ denſita-tum. Utra e dupla eſt. Hac partitione ſiue diui- ſione exacta at conſūmata: reſtat quaſdē ꝓpoſi-tiones preambulas ſequentiū cõcluſionū probare

Prima ꝓpoſitio. Si denſitates eque intenſe ſiue gradu equales (quod idē eſt) partibus eiuſdē ſubiecti extendatur equalibus: ipſe equali-ter totū denominãt. Si o partibus ſubiecti ineq̈-libus aſſcribant̄̄: tūc illa deuſitas q̄ maiori parti ſubiecti aſſcribit̄̄ plus totū ipſuꝫ ſubiectū denoīat in ꝓportione in qua ſe hñt ille partes ſubiecti ad ī-uicē: vt ſi denſitas vt .4. ſit in vna medietate alicuiꝰ ſubiecti: et tanta denſitas intenſiue ſit in vna quar-ta eiuſdē ſubiecti: tūc in duplo plus denomīat totū ilud ſubiectū denſitas ī medietate quã denſitas in quarta: q2 medietatis ad quartã eſt ꝓportio dupla Probatur tñ ſecūda pars huiꝰ ꝓpoſitionis (quia prima ex ſe ptꝫ) q ex poſitione quã iam ſuſtinemꝰ et cedenti notabili recitauimꝰ / ptꝫ /  denſitas exi-ſtens in parte ſubiecti in ea ꝓportione minꝰ deno-minat ſuū ſubiectū in qua eſt in minori parte ſubie­cti: igr̄ in quacū ꝓportione aliq̈ denſitas per ma-iorem partem alicuius ſubiecti extenditur quã alia e equalis in gradu: in eadē ꝓportione plus ſuum ſubiectū denominat / quod fuit probandum.

Scḋa ꝓpoſitio. Qñ inequales denſi­tates equalibus partibus ſubtecti inherent: tūc in­tenſior denſitas in ea ꝓportione plus denominat totū ſubiectū in qua eſt intenſior. Probat̄̄ / q ſi il-le denſitas eſſent equales in gradu cum inhereant partibus equalibus ipſum equaliter totū denſum denominarēt: vt docet prior pars cedentis cõclu-ſionis: ſed modo vna illaꝝ denſitatū eſt intēſior in f. ꝓportione exempli gratia et ſicut eſt intenſior ita plus denoīat ceteris paribus: igr̄ in f. ꝓportione plus denoīat ꝙ̄ reliqua, et in f. ꝓportione eſt inten-ſior / vt ponitur: igr̄ in ea ꝓportiõe in qua intenſior plus totū ſubiectū denoīat / quod fuit probandum.

Tertia ꝓpoſitio. Si inequales den-ſitates in gradu partibus eiuſdē ſubiecti inequali­bus accõmodant̄̄, et intenſior maiori parti depute­tur remiſſior vero minori: tunc intenſior denſitas plus denominant totū ꝙ̄ remiſſior in ꝓportione cõ-poſita ex ꝓportione partis maioris ad partē mi-norē, et denſitatis intenſioris ad denſitatē remiſſi-orē. Exemplū / vt ſi in vna medietate pedalis ponat̄̄ denſitas vt .4. et in quarta eiuſdē ponat̄̄ denſitas vt .2. / tūc dico intenſionē exiſtentē in medietate ſub-iecti in quadruplo plus denominare illud ſubiectū denſitate exiſtente in quarta eiuſdē ſubiecti: q ꝓ-portio illaꝝ partiū et etiã denſitatū eſt dupla et ſic cõpoſita ex illis duplis eſt quadrupla: vt ptꝫ. Pro­batur tñ hec ꝓpoſitio vniuerſaliter: et ſit a. dēſitas intenſior ꝑ maiorē partē extenſa b.o remiſſior ꝑ minorē partē extenſa: tūc a. denſitas denoīat ſub-iectū totale pluſ̄ b. denſitas in ꝓportione cõpoſi-ta ex ꝓportione partis in qua eſt a. ad partē in qua eſt b. q̄ ꝓportio ſit c. et ex ꝓportiõe denſitatis a. ad dēſitatē b. q̄ ꝓportio ſit d. Qḋ ſic oſtenditur / q2 ſi a. denſitas eſſet equalis b. denſitati tūc a. plus deno-minaret ſubiectū ꝙ̄ b. in ꝓportione c. q̄ eſt ꝓportio partiū. vt pꝫ ex ſecūda parte prime cõcluſionis: ſꝫ modo a. eſt intenſior denſitas quam tunc eſſet in d. ꝓportione q̄ eſt ꝓportio illaꝝ denſitatū: igr̄ modo in d. ꝓportione plus denoīat totū quã tūc. Ptꝫ tñ hec ↄ̨ña / q2 quãto aliqua denſitas eſt intenſior cete­ris paribus exiſtēs in aliqua parte ſubiecti, tanto plꝰ facit ad denoīationē ſui ſubiecti vt tenet hec po­ſitio: igr̄ nūc a. denſitas plus facit ad denoīationē ſui ſubiecti quã b. in c. proportione partium, et in d. ꝓportione intenſionū illaꝝ denſitatū ſimul: igitur plus denoīat a. quã b. ſuū ſubiectū in proportione q̄ adequate cõponitur ex proportione c. partiū et d. intenſionū illaꝝ dēſitatum: quod fuit probandum.

Quarta ꝓpoſitio. Si intenſior denſi­tas parti extendatur minori: et remiſſior maiori: ſit­ equalis ꝓportio partiū ad inuicē: et etiã denſita-tum: tunc ille denſitates equaliter ad totius deno-minationē faciūt. Exemplū / vt ſi in vna medietate ponatur denſitas vt .4. et in vna quarta vt .8. quia tunc inter partes et inter denſitates eſt proportio dupla. Ideo t adequate facit ad denoīationē to-tius ſubiecti denſitas vt .8. in vna quarta quantuꝫ denſitas vt .4. in vna medietate: q2 vtra facit vt duo vt ptꝫ calculanti et aſpicienti attentius. Pro-batur tñ generaliter / et ſit a. denſitas intenſior per minorē partē extenſa et b. remiſſior extenſa ꝑ ma-iorē partē, et ſit f. ꝓportio inter illas partes et etiã ſi .f. proportio inter illas denſitates a .b. / tunc dico  b. deuſitas equaliter denoīat totū ſuū ſubiectuꝫ cū ipſa a. denſitate. Quod ſic argr̄ / ſi a. dēſitas exi­ſtens in minori parte quã b. eſſet equalis in gradu ipſi b. tunc in f. ꝓportione minꝰ denoīaret totum ̄ b. modo denoīat / vt ptꝫ clare ex ſecūda parte prime ꝓpoſitionis: ſed m