Où l’on applique les parties les plus utiles de cette ſcience
à la théorie & à la pratique des différens ſujets qui peuvent
avoir rapport à la guerre.
Par M.
Royal & Militaire de Saint Louis, Membre des Académies Royales
des Sciences de France, d’Angleterre & de Pruſſe.
noncer ſuffiſamment ce que l’on s’y eſt propoſé, & qu’il
ſoit connu par pluſieurs éditions, je ne me crois pas
pour cela diſpenſé de rendre compte ici du Livre en gé-
néral d’une maniere plus détaillée, & des additions con-
ſidérables que j’y ai faites. Perſuadé &
convaincu, par
une longue expérience, que les Officiers & les Ingé-
nieurs militaires ne doivent pas étudier les Mathéma-
tiques de la même maniere qu’une perſonne qui vou-
droit s’y livrer entiérement, & en faire ſon étude prin-
cipale, j’ai tâché de réunir dans un ſeul volume tout ce
qui leur eſt abſolument néceſſaire, en joignant, autant
qu’il m’a été poſſible, les applications des principes que
je donne, à des exemples ſenſibles, & qui ont un rap-
port direct aux opérations qu’ils ſont obligés de faire
dans les places qu’ils ont à remplir. C’eſt ſans doute à
cela que je puis attribuer le ſuccès qu’il a eu, & c’eſt
pour le rendre encore plus intéreſſant que j’ai toujours
travaillé ſur le même plan. Preſque toutes les additions
que j’ai faites ont pour objet des queſtions ou des mé-
thodes utiles dans la pratique, dont la préciſion doit
être le but de toutes les études d’un Ingénieur. Si le
goût des Mathématiques n’avoit pas fait des progrès
auſſi ſurprenans depuis une quarantaine d’année, j’aurois
pu me contenter dans cette nouvelle édition de corri-
de donner des démonſtrations plus rigoureuſes & plus
élégantes de certaines propoſitions, ſans rien ajouter de
nouveau; mais eu égard aux connoiſſances que l’on
exige actuellement des Ingénieurs, j’ai fait toutes les
additions qui m’ont paru abſolument néceſſaires pour
rendre cet Ouvrage complet dans ſon genre. Une
théorie abrégée, mais rigoureuſement démontrée d’un
petit nombre de principes & des premiers élémens de
chaque partie des Mathématiques, analogue à l’art de
la guerre, & à tout ce qui en dépend;
c’eſt à quoi doi-
vent ſe borner les études d’un habile Militaire. S’il veut
après cela donner dans toutes les autres ſciences étran-
geres à ſa profeſſion, quoique dépendantes des Mathé-
matiques, il ne fait que décorer ſon eſprit, ſans ſe ren-
dre plus utile à l’état, qui ne peut tirer aucun ſecours
de ces vérités ſublimes, deſtinées plutôt à faire briller le
génie dans une aſſemblée de Sçavans, qu’à rendre des
ſervices importans au Prince dans des occaſions dange-
reuſes.
Cet Ouvrage eſt diviſé en ſeize Livres.
Dans le pre-
mier, je donne les premiers élémens d’Algebre, après
avoir donné les définitions des propoſitions dont on ſe
ſert en Géométrie, & des termes le plus en uſage dans
cette ſcience. On y traite d’abord du calcul arithmé-
tique, par rapport à la Multiplication & à la Diviſion,
en ſe ſervant de ce que l’on appelle communément par-
ties aliquotes: c’eſt une des premieres additions qui
m’a paru néceſſaire pour montrer aux Commençans
des manieres abrégées de faire ces opérations, qui de-
viennent fort longues en ſuivant les regles générales,
dans les cas où le multiplicande & le multiplicateur
Delà je paſſe
au calcul des fractions numériques & algébriques, aux-
quelles j’ai ajouté la théorie & la pratique des fractions
décimales, que je démontre par le principe de la nu-
mération: cette partie m’a paru indiſpenſablement né-
ceſſaire pour mettre un Ingénieur au fait des Livres
dont il eſt obligé de faire uſage. Tout le monde ſçait
que les Tables des ſinus, dont on ſe ſert ſi fréquem-
ment dans la Trigonométrie, ſont conſtruites par le
moyen des décimales. On opere toujours avec plus de
ſûreté quand on connoît la nature des nombres ſur
leſquels on opere. On voit encore dans le même Livre
un uſage important des décimales dans l’approxima-
tion des racines quarrées & cubiques qu’il faut déter-
miner avec tout le ſoin poſſible dans certaines occa-
ſions. J’ai encore ajouté un Traité complet du calcul
des Expoſans, que j’ai mis devant le chapitre de la for-
mation des puiſſances auxquelles ce calcul a un rapport
direct.
Dans le ſecond Livre, je traite des raiſons ou rapports
arithmétiques & géométriques, des progreſſions &
proportions qui en réſultent, dont je démontre les prin-
cipales propriétés. De la comparaiſon de la progreſſion
arithmétique des expoſans d’une même lettre à la pro-
greſſion géométrique des puiſſances de cette même
lettre, je déduis la nature & les principales propriétés
des logarithmes, dont on eſt obligé de faire uſage
dans un grand nombre de queſtions, & dont les Ingé-
nieurs doivent néceſſairement ſe ſervir dans les calculs
trigonométriques, pour déterminer avec préciſion des
diſtances inacceſſibles. Cette partie, dont je n’avois point
parlé dans l’ancienne édition, ſe trouve démontrée avec
j’eſpere qu’elle n’en ſera pas
plus difficile à concevoir. Je paſſe delà aux regles gé-
nérales de la méthode analytique dans la recherche de
la vérité. Je montre l’uſage &
l’application de tout ce
qui précede, ſoit en Arithmétique, ſoit en Algebre dans
cette partie, qui eſt la plus importante des Mathéma-
tiques, & quieſt eſſentiellement attachée à cette ſcience.
Je donne enſuite un grand nombre d’exemples ſur des
problêmes, donton peut avoir beſoin dans les différentes
opérations militaires, qui ſont du détail d’un Ingénieur.
J’ai auſſi ajouté quelques ſolutions générales pour ac-
coutumer les Commençans à ces expreſſions indéter-
minées & aux idées abſtraites, afin de leur faire mieux
ſentir l’avantage que l’on peut retirer de l’étude de l’ Al-
gebre. Enfin je termine ce Livre par un Traité complet
des Equations du ſecond degré, dont je n’avois dit que
deux mots dans la premiere édition. Dans cette partie
je diſcute la nature des racines poſitives & négatives;
je fais voir la différence des unes aux autres; les cas où
ce ſont les racines négatives qui réſolvent le problême
dans le ſens qu’on s’étoit propoſé: d’où il ſuit qu’on ne
doit point confondre les racines négatives avec celles
qui ne réſolvent pas le problême comme on le de-
mande. Comme dans la ſolution des équations du ſe-
cond degré on arrive quelquefois à des radicaux aſſez
compliqués, j’ai encore ajouté un petit Traité du calcul
des Incommenſurables.
Dans le troiſieme Livre, je commence à traiter de la
Géométrie, & j’examine d’abord les différentes poſitions
des lignes droites les unes à l’égard des autres; ce qui
me conduit à examiner les propriétés des angles & des
lignes paralleles. J’ai ajouté dans ce Livre quelques pro-
tendre ce que j’ai à dire dans les Livres ſuivans.
Le quatrieme Livre traite des propriétés des ſurfaces
en général, & comme il n’y a point de ſurfaces qu’on
ne puiſſe réduire en triangles, je commence par expli-
quer aſſez au long tout ce qui a rapport aux triangles
& aux parallélogrammes.
J’ai auſſi ajouté dans cette
partie pluſieurs propoſitions ſur les rapports des trian-
gles comparés entr’eux, ſoit qu’il s’agiſſe d’une ſimple
ſimilitude, ou d’une égalité parfaite.
Dans le cinquieme Livre, j’examine les propriétés
du cercle, principalement par rapport à la meſure des
angles, & delà je déduis celles des ſécantes intérieures
ou extérieures, & celles des tangentes;
j’en fais l’appli-
cation ſur quelques problêmes, dont la ſolution dépend
de ces mêmes propriétés.
Le ſixieme Livre eſt un Traité de l’inſcription &
de
la circonſcription des figures régulieres au cercle. J’exa-
mine enſuite, relativement à cet objet, les propriétés de
la quadratrice, dont je donne la conſtruction, & par
le moyen de laquelle je réſous d’une maniere aiſée les
problêmes que l’on peut propoſer ſur la diviſion des arcs
de cercle, ou des différens ſecteurs en pluſieurs parties
égales.
Dans le ſeptieme Livre, on applique la doctrine des
proportions aux figures planes: on y explique les rap-
ports des périmetres des figures ſemblables, & celui de
leurs ſurfaces. On donne enſuite la maniere de les ajou-
ter, ſouſtraire, multiplier, & diviſer, ſuivant une raiſon
donnée quelconque; ce que l’on fait par l’invention
des lignes proportionnelles à d’autres lignes données de
grandeur. J’ai ajouté dans cette partie deux théorêmes
gles qui ont un angle égal, compris entre côtés iné-
gaux, qui eſt d’un grand uſage dans la Géodéſie, &
l’autre ſur la maniere de trouver l’aire d’un triangle,
dont on connoît les trois côtés. La démonſtration que
j’en donne eſt une des plus ſimples que l’on puiſſe
trouver: le lecteur en jugera par la comparaiſon avec
celles de la même propoſition qui ſe trouvent dans les
autres Livres.
Après avoir examiné les principales propriétés des
lignes & des ſurfaces, je paſſe, dans le huitieme Livre, à
la théorie des ſolides ou corps, dont je recherche les
propriétés par rapport à leurs ſuperficies & à leurs ſoli-
dités. J’enſeigne la maniere de toiſer, non ſeulement les
priſmes, les pyramides, les cônes, les ſpheres, mais
encore les différentes parties de ces corps. A l’occaſion
de la pyramide tronquée, je donne une méthode gé-
nérale pour trouver une ſurface plane ſemblable à deux
autres propoſées, & moyenne géométrique entre ces
deux, ſans être obligé d’extraire de racines quarrées. Je
donne enſuite la maniere de trouver des ſolides qui
aient entr’eux une raiſon donnée, & je fais voir d’où
dépend la ſolution des problêmes de ce genre, qui ont
tous rapport à la duplication du cube. La méthode que
j’ai ſuivie dans ce Livre eſt entiérement différente de
celle qui ſe trouve dans les autres Elémens; elle eſt ſi
ſimple, qu’en moins de ſeize propoſitions, on voit tout
ce qu’Archimede a découvert de plus beau ſur la ſphere,
& de ma théorie, je laiſſe entrevoir celle de toiſer toutes
ſortes de voûtes en plein ceintre, qui auroient pour baſe
des polygones réguliers quelconques.
Ces huit premiers Livres font comme une premiere
Afin d’en faire voir
l’utilité, on a mis après chaque propoſition des corol-
laires qui en montrent la fécondité & l’on voit avec
admiration l’étendue de la Géométrie dont il ſuffit de
ſçavoir les premiers élémens pour découvrir les mêmes
vérités qui ſemblent ſe préſenter d’elles-mêmes à notre
eſprit, pour établir davantage l’utilité & l’importance
des premieres, & qui ſemblent par-là s’empreſſer de
nous dédommager des premiers ſoins que nous avons
pris pour arriver à la connoiſſance de ces premieres vé-
rités.
Comme les ſimples élémens renfermés dans les huit
premiers Livres ne ſont pas ſuffiſans pour entendre beau-
coup de choſes intéreſſantes, qui ſont traitées dans les
ſuivans, principalement la théorie du jet des bombes,
& le toiſé des voûtes qui demande une connoiſſance au
moins élémentaire des propriétés des ſections coniques,
je donne dans le neuvieme Livre un petit Traité, où
j’explique les principales propriétés de ces courbes par
rapport à leurs axes & à leurs diametres, dont je recher-
che les tangentes, & ſur leſquelles je donne quelques
problêmes.
Le dixieme Livre qui comprend la Trigonométrie &
le nivellement, peut encore être regardé comme un
des plus néceſſaires à un Ingénieur, dont tout l’Art dé-
pend de ces deux parties; la premiere dans la guerre,
& la ſeconde dans la paix, où il peut être chargé de
l’exécution des projets les plus importans, & qui ont
abſolument beſoin de la ſcience du nivellement. On
enſeigne dans ce Livre l’uſage des Tables des Sinus, Tan-
gentes, Sécantes, & de leurs Logarithmes;
la théorie
du calcul des triangles, que l’on applique enſuite à me-
les diſtances inacceſſibles ou acceſ-
ſibles; à la maniere de calculer les parties d’une forti-
fication, pour la tracer enſuite ſur le terrein. Comme
la meſure des diſtances inacceſſibles eſt de la derniere
importance dans les travaux militaires, je donne des pro-
blêmes nouveaux ſur la maniere de les déterminer, par
le moyen de certaines lignes connues qui ſe trouvent
déja déterminées. Ces problêmes, dont la ſolution dé-
pend des principes précédens, méritent l’attention de
ceux que j’ai eu en vue: ainſi ils ne peuvent mieux faire
que de les étudier avec ſoin.
Le onzieme Livre eſt un Traité du calcul ordinaire
des ouvrages de maçonnerie, où j’explique en même
tems le toiſé des bois. Cette partie eſt encore néceſſaire
aux Ingénieurs, qui ſont quelquefois obligés de faire
les devis & détails de tout ce qui doit entrer dans l’exé-
cution des ouvrages néceſſaires dans une fortification. On l’a traité d’une maniere ſi claire &
ſi facile, que les
Commençans pourront en peu de jours ſe rendre fa-
miliers ces ſortes de calculs.
Dans le douzieme Livre, on fait une application
générale de la Géométrie à la meſure des ſolides régu-
liers & irréguliers, qui peuvent ſe rencontrer dans la
pratique: par exemple, on y enſeigne la maniere de
toiſer la ſolidité des voûtes en plein ceintre, ou en tiers
point; celles des voûtes elliptiques ſurbaiſſées, ou ſur-
montées ſur des plans circulaires ou rectilignes. J’ai ajouté
auſſi dans cet endroit un Traité du Toiſé des ſurfaces
des voûtes à pans en plein ceintre, & des voûtes en lu-
nettes, ſans autre ſecours que les propriétés du cercle. Je donne auſſi le Toiſé du ſolide de ces mêmes voûtes.
Enſuite on applique les mêmes principes à t oiſer les
lons & les flancs concaves, les arrondiſſemens des con-
tre-forts, les pyramides tronquées qui ſe trouvent aux
angles des mêmes ouvrages, & l’onglet d’un batardeau.
Enfin je termine cette partie par l’expoſition d’un prin-
cipe général pour trouver les ſurfaces & les ſolides en-
gendrés par les mouvemens d’une ligne droite ou courbe,
& une ſurface rectiligne ou curviligne autour d’un axe de
révolution, par le moyen du centre de gravité de ces
lignes ou ſurfaces génératrices. Cette découverte peut
être regardée comme une des plus importantes que l’on
ait faite en Géométrie. Tout le monde convient que
l’on en eſt redevable au P. Guildin:
enſorte que l’on ap-
pelle ce principe communément la Regle du P. Guildin.
Le treizieme Livre eſt encore une application des
mêmes principes à la Géodéſie ou diviſion des champs
en parties qui aient entr’elles des rapports déterminés,
quelle que ſoit la figure du terrein que l’on veut partager,
& en commençant la diviſion par des lignes tirées d’un
point donné. Delà je paſſe à l’explication d’une ma-
chine connue de tout le monde, ſous le nom de compas
de proportion, parce que cet inſtrument eſt réellement
fondé ſur la nature & les propriétés des proportions.
Il
peut être d’un grand uſage pour abréger les opérations
dans un grand nombre de cas, comme pour trouver
des lignes proportionnelles à des lignes données, pour
couper des lignes données en parties égales, pour con-
noître les degrés d’un arc dont on a la corde, ou bien
pour diviſer un angle propoſé en pluſieurs parties égales,
enfin pour trouver des ſurfaces ou des ſolides qui aient
des raiſons données avec d’autres ſurfaces ou d’autres
ſolides propoſés; ce qui peut avoir une application,
peſanteurs & réciproquement.
Je donne enſuite un pro-
blême fort curieux ſur la maniere de faire l’analyſe de
la fonte de chaque eſpece de métal, dont le canon eſt
compoſé: j’ai fait voir par-là comment on pouvoit ap-
pliquer à l’Artillerie des queſtions qui lui paroiſſent
étrangeres, comme le problême d’Hieron, qui ne differe
que de nom de celui-ci. Enfin je termine ce Livre par
une diſſertation, où je recherche la longueur que doivent
avoir les boulets relativement à leur calibre, pour que
la force du boulet ſoit la plus grande qu’il eſt poſſible; &
je rapporte un précis des expériences que j’ai faites
depuis par ordre du Roi, pour reconnoître ſi cette
théorie étoit bien fondée; j’ai auſſi ajouté une for-
mule fort curieuſe à ce que j’avois dit dans l’ancienne
édition ſur la maniere de nombrer les boulets en pile
dans les Arcenaux: ſur quoi l’on pourra remarquer une
propriété des nombres triangulaires qui m’a paru mé-
riter attention pour la ſommation des nombres quarrés.
Le quatorzieme Livre eſt entiérement deſtiné à ex-
pliquer les regles du jet des bombes. Comme cette
théorie a un rapport direct avec le mouvement des
corps, j’explique d’abord les plus belles découvertes de
Galilée ſur les corps qui tombent, en vertu de la peſan-
teur, après avoir expliqué les regles principales du choc
des corps durs, parce que cette partie a auſſi un rap-
port direct au jet des bombes, où il faut eſtimer la
force que la bombe acquiert par la vîteſſe que ſa chûte
lui communique, afin de connoître les effets qu’elle
peut produire pour proportionner les ouvrages qui doi-
vent être à l’épreuve de la bombe à la force du choc. Je donne auſſi des ſolutions géométriques &
algébri-
des bombes, pour faire voir l’accord de l’analyſe avec
la conſtruction géométrique, & pour initier les Com-
mençans à l’application de l’Algebre à la Géométrie.
Dans le quinzieme Livre, j’explique les principales
propriétés des machines, en faiſant uſage du principe
de M. Varignon, &
quelquefois auſſi de celui de M.
Deſ-
cartes, quoique le premier ſoit plus géométrique. Après
avoir examiné les machines ſimples, qui font l’objet
de la méchanique en général, après avoir donné la
maniere d’en calculer les forces, on fait voir les diffé-
rens uſages auxquels elles ſont propres, ſoit pour les
manœuvres de l’Artillerie, ou pour la pratique des Arts. Ces mêmes principes généraux ſont enſuite appliqués
à la conſtruction des magaſins à poudre, ou de tout
autre édifice, où l’on examine la différence des pouſ-
ſées des voûtes en plein ceintre, avec celle des voûtes
ſurbaiſſées, ou des voûtes en tiers point. On détermine
enſuite quel eſt le choc des bombes & des boulets de
canon qui viennent rencontrer des ſurfaces horizontales
ou inclinées, & quelle élévation il faut donner à un
mortier, pour qu’une bombe venant à tomber ſur un
magaſin à poudre, choque la voûte avec toute ſa peſan-
teur abſolue.
Enfin le ſeizieme &
dernier Livre eſt une ſuite du
précédent. On y examine l’équilibre des fluides en-
tr’eux, ou avec les ſolides qui y ſont plongés. Les
vîteſſes des eaux qui s’écoulent par différentes ouver-
tures; les chocs des mêmes fluides contre des ſurfaces
en repos ou en mouvement, ſelon les vîteſſes, les den-
ſités, & la ſituation des corps expoſés au courant.
J’y
ai ajouté une théorie abrégée du choc d’un fluide contre
diſpoſée comme on voudra,
en ſuppoſant que les tranches horizontales de ce fluide
ont des vîteſſes qui ſuivent la raiſon des racines quarrées
des hauteurs. Enfin je termine ce Livre par un diſcours
ſur la nature & les propriétés de l’air, où l’on fait voir
comment la peſanteur de ce fluide produit tous les ef-
fets qu’on attribuoit autrefois à l’horreur du vuide. On
peut après cela voir dans notre Architecture Hydrau-
lique ce qui a rapport au reſſort de l’air, & à la force
prodigieuſe de ſa dilatation, confirmé par pluſieurs
expériences qui ſe trouvent détaillées dans le même
Ouvrage.
Qui traite des rapports, proportions, progreſſions arithmétiques &
géo-
métriques, des logarithmes, de la réſolution analytique des problêmes
du premier & du ſecond degré.
1.
LA Géométrie eſt une ſcience qui ne conſidere pas tant
la grandeur en elle-même, que le rapport qu’elle peut avoii
avec une grandeur de même nature qu’elle.
2.
Tout ce qui peut tomber en queſtion, s’appelle propoſi-
Il y en a de différentes ſortes, &
elles changent de nom
ſuivant leur objet. Par exemple,
3.
Axiome eſt une propoſition ſi claire, qu’elle n’a pas
beſoin de démonſtration pour qu’on en voie la vérité. De
ces propoſitions ſont les ſuivantes. Le tout eſt plus grand qu’une
de ſes parties; deux choſes égales à une même troiſieme, ſont égales
entr’elles; ſi à des quantités égales on ajoute des quantités égales,
les quantités qui en réſulteront ſeront encore égales, &c.
On fait
un grand uſage de ces propoſitions dans la Géométrie, ſi ſim-
ples qu’elles paroiſſent.
4.
Théorême eſt une propoſition dont il faut démontrer
la vérité.
5.
Problême eſt une propoſition dans laquelle il s’agit d’exé-
cuter quelqu’opération, ſuivant certaines conditions, & de
prouver enſuite que l’on a réellement fait ce qui étoit en
queſtion.
6.
Lemme eſt une propoſition qui en précéde une autre,
pour en faciliter l’intelligence & la démonſtration.
7.
Corollaire eſt une propoſition qui n’eſt qu’une ſuite ou
une conſéquence de la propoſition précédente. Comme toutes
ces propoſitions ont pour objet la grandeur; voici l’idée qu’il
faut s’en former.
8.
On appelle grandeur tout ce qui eſt ſuſceptible d’aug-
mentation ou de diminution. On conſidére en Géométrie
trois ſortes de grandeurs ou dimenſions; longueur, largeur, &
profondeur.
9.
La longueur conſidérée ſans largeur &
ſans profondeur,
ſe nomme ligne.
10.
La longueur &
la largeur conſidérées enſemble, ſans
avoir égard à l’épaiſſeur ou profondeur, ſe nomme ſurface. On l’appelle ſurface plane, lorſque tous ſes points ne ſont pas
plus élevés les uns que les autres, comme cela arrive dans les
ſurfaces plates & unies, telles que ſont celles des glaces ou
miroirs.
11.
La longueur, la largeur, &
la profondeur conſidérées
enſemble, ſe nomment corps ou ſolide. La longueur, la lar-
geur, & la profondeur ſont toutes des grandeurs de même
nature: on ne leur a donné différens noms que relativement
à la maniere dont on les conçoit placées dans les corps.
12.
Le point eſt l’extrêmité d’un corps ou d’une ſurface,
ou bien d’une ligne; on le conçoit comme indiviſible, ou
ſans dimenſion, c’eſt-à-dire qu’on ne lui attribue ni longueur,
ni largeur, ni profondeur. Ainſi le point ne peut être l’objet
de la Géométrie, qui ne conſidere que l’étendue avec laquelle
il n’a aucun rapport.
13.
La ligne droite eſt la plus courte de toutes celles que
l’on peut mener d’un point A à un autre point B, comme
A B. D’où il ſuit, 1°.
qu’il n’y a qu’un ſeul chemin qui ſoit
le plus court d’un point à un autre. 2°.
Que deux points
ſuffiſent pour déterminer la poſition d’une ligne droite. 3°.
Que ſi une ligne droite a deux points communs avec une
autre ligne, elle ſe confond entiérement avec elle.
14.
La ligne courbe eſt celle qui n’eſt pas la plus courte
d’un point à un autre, comme C D. Il y a donc une infinité
de lignes courbes qui peuvent paſſer par deux points, puiſqu’il
y a une infinité de chemins qui ne ſont pas les plus courts.
15.
La ligne mixte eſt celle qui eſt en partie courbe, &
en partie droite, comme E F.
16.
Une ligne perpendiculaire eſt une ligne droite C D, qui
que de l’autre.
17.
Le Quarré eſt une figure rectiligne, formée par quatre
les autres.
18.
Le Rectangle eſt un quadrilatere, dont tous les côtés ne
qui
aboutiſſent perpendiculairement les uns aux autres.
19.
Le Cube eſt un corps qui a la figure d’un dez à jouer,
dont toutes les dimenſions
ſont égales entr’elles; cette figure étant la plus ſimple de
toutes, on y ramene tous les ſolides: c’eſt pourquoi lorſqu’on
propoſe de trouver la ſolidité d’un corps on ſe ſert du mot
cuber, qui ſignifie la même choſe.
20.
Le Parallelepipede eſt un ſolide renfermé par ſix rectan-
gles, dont les côtés oppoſés ſont égaux, & qui n’a pas ſes
trois dimenſions égales.
21.
Il y a une maniere de conſidérer les trois eſpeces de
le ſolide ou corps,
qui eſt très-propre à expliquer beaucoup de choſes en Géo-
métrie; c’eſt d’imaginer la ligne compoſée d’une infinité de
points, la ſurface compoſée d’une infinité de lignes, & le
corps compoſé d’une infinité de plans. Pour faire entendre
ceci, conſidérez deux points, comme A B éloignés l’un
de l’autre d’une diſtance quelconque; ſi l’on ſuppoſe que le
point A ſe meut pour aller vers le point B, ſans s’écarter
ni à droite ni à gauche, & qu’il laiſſe ſur ſon chemin une
trace d’autres points, la ſomme de tous ces points formera
une ligne droite A B, puiſqu’il n’y aura point d’eſpace dans
la longueur A B, ſi petit qu’il ſoit, que le point A n’ait par-
Ainſi toute ligne droite peut être conſiderée, comme
formée par une multitude de points, dont la quantité eſt ex-
primée par la longueur de la même ligne.
22.
L’on concevra de même que le plan eſt compoſé d’une
car ſuppoſant que la ligne A C ſe meut
le long de la ligne C D, en demeurant toujours également
inclinée, il eſt viſible que ſi elle laiſſe après elle autant de
lignes qu’il y a de points dans C D, que lorſqu’elle ſera par-
venue au point D, toutes les lignes compoſeront enſemble la
ſurface B C.
23.
Enſin ſi l’on a un plan A B qui ſe meuve le long de
qu’il laiſſe autant de plans après lui qu’il y
a de points dans cette ligne, l’on voit que lorſqu’il ſera ar-
rivé à l’extrêmité C, il aura formé un corps tel que D B qui
ſera compoſé d’une infinité de plans, dont la ſomme ſera ex-
primée par la ligne B C, pourvu que cette ligne ſoit perpen-
diculaire au plan générateur.
24.
Comme on entend par la génération d’une choſe les
parties qui l’ont formée, il s’enſuit, ſelon ce qui vient d’être
dit, que le point eſt le générateur de la ligne; la ligne eſt la
génératrice de la ſurface, & la ſurface génératrice du corps;
&
par conſéquent le point peut être lui-même conſidéré com-
me le principe générateur de toute ſorte de grandeur.
25.
Si l’on ſuppoſe que la ligne A C ſoit de huit pieds, &
que l’on conſidere ces nombres com-
me exprimant la quantité de points qui ſe trouve dans ces
lignes, l’on verra qu’en multipliant 8 par 6, le produit 48
ſera la ſurface A D; car cette ſurface étant compoſée d’une
infinité de lignes, & chacune de ces lignes étant compoſée
d’une infinité de points, il s’enſuit que la ſurface eſt com-
poſée d’une infinité de points, dont la quantité eſt repré-
ſentée par le produit de tous les points de la ligne C D, par
rous les points de la ligne A C, c’eſt-à-dire de ſa longueur
A C, par ſa largeur C D, qui donne 48 pieds, qu’il faut bien
ſe garder de confondre avec le pied courant; car le pied cou-
tant n’eſt qu’une longueur ſans largeur, au lieu que ceux qui
ſont formés par le produit de deux dimenſions, ſont autant
de ſurfaces quarrées, qui ſervent à meſurer toutes les ſu-
perficies.
26.
Or comme le ſolide eſt compoſé d’autant de plans qu’il
plan A B par la ligne C B pour avoir le contenu de ce ſolide; ainſi ſuppoſant que le plan A B vaut 48 pieds quarrés, &
que le nombre des points de la ligne B C ſoit exprimé par
4 pieds courans, multipliant 48 par 4, on aura 192 pieds pour
la valeur du ſolide A C. Il faut encore faire attention que
ces pieds ſont différens du pied courant, & du pied quarré,
car ce ſont autant de ſolides qui ont un pied de long, un de
large, & un de haut, qui ſont par conſéquent des cubes,
puiſqu’ils ont les trois dimenſions égales: ainſi il faut remar-
quer que les lignes meſurent les lignes, les ſurfaces meſurent
les ſurfaces, & les ſolides meſurent les ſolides;
car la raiſon
ſeule nous démontre que la meſure doit être de même na-
ture que la choſe, ou la grandeur meſurée.
27.
Mais comme il s’agit beaucoup moins ici de chercher
la valeur abſolue des grandeurs, que le rapport qu’elles ont
entr’elles, nous nous ſervirons de lettres de l’alphabet pour
exprimer les grandeurs, afin de rendre générales les démonſ-
trations des propoſitions que nous établirons. Pour concevoir
la raiſon de cette généralité, on fera attention que la géné-
ralité d’un ſigne dépend de ſon indétermination; car dès-lors
qu’une grandeur eſt indéterminée, on peut l’appliquer à telle
eſpece de choſes que l’on voudra. Ainſi, par exemple, le
nombre 7 étant indéterminé par rapport à l’eſpece de ſes
unités, puiſqu’il ne ſignifie pas plus ſept hommes que ſept
chevaux, on peut l’employer pour marquer telle eſpece d’u-
nités que l’on voudra, d’hommes ou de chevaux, &c.
ainſi
ſon indétermination le rend d’autant plus général, & propre à
déſigner telle ſorte d’unité que l’on jugera à propos. Si donc l’in-
détermination d’un ſigne eſt la plus grande poſſible, ſa gé-
néralité ſera auſſi la plus grande qu’on puiſſe imaginer. Pour
arriver à ce dernier degré de généralité, on remarquera en-
core qu’une grandeur ne peut être indéterminée qu’en deux
manieres; ſçavoir, la premiere par rapport à l’eſpece ſeule-
ment, & non pas à l’égard du nombre des unités, &
la
ſeconde par rapport au nombre & à l’eſpece tout enſemble.
De cette premiere claſſe ſont les ſignes de l’Arithmétique, qui
ſont toujours indéterminés par rapport aux différentes ſortes
d’unités, & jamais à l’égard du nombre de ces unités;
&
de la ſeconde claſſe ſont les ſignes de l’alphabet ou les lettres,
employées pour les déſigner toutes, & n’étant point fixées
pour aucun nombre, peuvent auſſi être employées à les re-
préſenter en général tous. Donc puiſque l’indétermination
des lettres eſt la plus grande poſſible, leur généralité eſt auſſi
la plus grande, & par conſéquent tout ce qu’on démontre
par leur ſecours, eſt démontré généralement. On remar-
quera encore que l’on auroit pu prendre tout autre caractere
que ceux de l’alphabet, mais ces caracteres étant déja con-
nus, il étoit naturel de s’en ſervir, & c’eſt ce qui les a fait
préférer à tout autre.
28.
Pour exprimer une ligne, on ſe ſervira d’une des let-
tres de l’alphabet, a, b, c, d, e, &c;
&
pour exprimer un
plan, on en mettra deux l’une contre l’autre pour marquer
les deux dimenſions de ce plan; &
pour marquer un ſolide,
on en mettra trois de ſuite, parce qu’un ſolide quelconque
a trois dimenſions, & de plus, parce que l’on eſt convenu
de repréſenter la multiplication de deux grandeurs, en met-
tant ces grandeurs les unes auprès des autres. Par exemple,
ab repréſente un plan, dont les deux dimenſions ſont a & b,
& ſe multiplient l’une par l’autre;
de même b c d repréſente
un ſolide, dont les trois dimenſions ſont b, c, d, dont le
produit a donné ce ſolide.
29.
Comme dans une même propoſition on nomme tou-
jours les lignes égales par les mêmes lettres, & les lignes
inégales par des lettres différentes; dès que l’on verra a b, c d,
on jugera que ce ſont des rectangles, parce que leurs dimen-
ſions ſont inégales, au lieu que a a ſignifie un quarré, parce
que les deux dimenſions ſont égales.
30.
De même quand on verra a a a, l’on jugera que c’eſt
un cube, parce que les trois dimenſions ſont égales; &
quand
on verra a b c, on jugera que c’eſt un parallelepipede, puiſ-
que ſes trois dimenſions ſont inégales.
31.
Les caracteres de l’alphabet ſont bien plus propres à
exprimer les grandeurs que les nombres; car quand je vois le
nombre 8, je ne ſçais s’il repréſente une ligne de huit pieds
courans, ou un plan de huit pieds quarrés, ou un ſolide de
huit pieds cubes; car un plan qui auroit quatre pieds de long
ſur deux pieds de large, auroit huit pour ſa ſuperficie; &
un
ſolide qui auroit ſes dimenſions exprimées par une ligne
Ainſi dans les opérations que l’on fait avec les chiffres, il faut
que la mémoire ſoit aſſujettie à retenir ce qu’ils ſignifient,
au lieu que celles qui ſe font avec les lettres, ne la fatiguent
aucunement, puiſque la nature des grandeurs eſt repréſentée
par les lettres mêmes; car dés que je vois a a, b c d, j’ap-
perçois auſſitôt que a a eſt un quarré, & que b c d eſt un ſo-
lide; au lieu que ſi ces grandeurs étoient repréſentées par des
nombres, je ne ſçaurois ce qu’elles ſignifient.
32.
Comme on fait avec les lettres de l’alphabet les opéra-
tions que l’on fait avec les nombres, c’eſt-à-dire l’Addition,
la Souſtraction, la Multiplication, la Diviſion, & l’Extraction
des racines, & que de plus on opére ſur les quantités incon-
nues, de même que ſur les quantités connues (& c’eſt encore
un des grands avantages du calcul algébrique ſur le numéri-
que), on eſt convenu de repréſenter les quantités connues
par les premieres lettres de l’alphabet a, b, c, d, e, &c.
&
les
quantités inconnues par les dernieres u, x, y, z, afin de les
diſtinguer des premieres.
33.
L’on ſe ſert en Algebre de quelques ſignes pour indi-
quer les opérations que l’on fait ſur les lettres: par exemple,
ce ſigne + ſignifie plus, & déſigne l’addition de la quantité
qui le précéde à celle qui le ſuit. Ainſi a + b marque que la
grandeur b eſt ajoutée à la grandeur a; on ſe ſert même quel-
quefois de ces ſignes dans les calculs numériques, & il y a
des occaſions où il vaut mieux dire 5 + 3 que 8, quoique l’un
foit égal à l’autre.
34.
Ce ſigne - ſignifie moins, &
déſigne la ſouſtraction
de la grandeur qui le ſuit de celle qui le précéde. a - b,
marque la différence de la grandeur a à la grandeur b.
35.
Si l’on veut marquer le produit d’une grandeur par
une autre, ou le faire en deux manieres, 1°. en mettant le
multiplicateur à côté du multiplicande, comme nous l’avons
déja dit, n°. 28.
Ainſi a b repréſente le produit de a par b, b c d
repréſente le produit des trois grandeurs b, c, d, les unes par
les autres. 2°.
On déſigne encore la multiplication de deux
ou de pluſieurs grandeurs, en mettant ce ſigne x entre deux,
ainſi a x b déſigne le produit de a par b, de même a x b x c
déſigne celui des trois grandeurs a b c, 2 x 3 x 4 déſigne celui
des trois nombres 2, 3, 4 qui vaut 24. Il eſt même quelque-
multiplication pour reconnoître plus aiſément les facteurs du
produit. On appelle facteurs les nombres ou quantités algébri-
ques, de la multiplication deſquels réſulte le produit dont il
s’agit.
36.
Quand on veut marquer qu’une grandeur eſt diviſée
par une autre, on met celle que l’on regarde comme divi-
dende au deſſus d’une petite barre horizontale, & celle que
l’on regarde comme diviſeur au deſſous de la même barre. Par exemple, {ab/c} déſigne que la grandeur a b eſt diviſée par
la quantité c; de même {bcd/gf} marque le quotient de b c d diviſé
par gf.
37.
Lorſqu’on verra ce ſigne = précédé d’une quantité,
& ſuivi d’une autre, cela voudra dire que ces quantités ſont
égales; c’eſt pourquoi on le nomme ſigne d’égalité:
ainſi a b
= c d, ſignifie que le produit a b eſt égal au produit c d.
38.
Les deux quantités algébriques différentes, entre leſ-
quelles ſe trouve le ſigne d’égalité, ſont nommées enſemble
Equation; ainſi a = b, ay = bx, cd + xx = bb, y = {ab/c}
ſont des équations.
L’on appelle membres de l’équation, les quantités qui ſe
trouvent de part & d’autre du ſigne d’égalité.
Ainſi les quan-
tités a b c, d f x ſont les membres de l’équation a b c = d f x,
dont a b c eſt le premier membre, & d f x le ſecond.
39.
Si l’on a un produit qui réſulte de la multiplication
d’une même lettre pluſieurs fois par elle-même, comme a a a,
a a a b b b, on peut abréger cette expreſſion en écrivant cette
lettre une ſeule fois, & mettant un peu au deſſus, vers la
droite, un nombre qui marque combien de fois cette lettre
ſe multiplie par elle-même, ou, ce qui revient au même, com-
bien de fois on auroit dû l’écrire: ainſi au lieu de a a a on écrit
aau lieu de a a b b on écrit a
au lieu de {aaabb/ccdd} on écrit
{aCe nombre eſt appellé expoſant.
40.
Si un même produit doit être pris un certain nombre
de fois, on écrit au devant le nombre qui déſigne combien de
fois il le faut prendre. Ainſi 3ab marque que l’on prend trois
fois le produit a b, 5aCe nombre eſt appellé coefficient;
il faut bien
ſe garder de le confondre avec celui que nous appellons expo-
ſant. b
ne peut jamais lui
être égal. Un exemple en nombre ſuffit pour en voir la diffé-
rence. Suppoſons que b = 5, on aura 3b = 3 x 5 = 15, &
b
41.
On ſe ſert quelquefois des expoſans pour marquer le
quarré ou le cube d’une ligne déſignée dans une figure. A B
marque le quarré de A B, A B
ligne.
42.
Quand une quantité algébrique a été multipliée une
fois, deux fois, trois ou quatre fois par elle-même, &c, le pro-
duit qui en réſulte eſt appellé puiſſance ou degré; ainſi a ou
a
deur a; aa ou a
ſou-
vent le quarré de a; de même aaa ou a
la troiſieme puiſſance, & quelquefois le cube de a;
enfin aaaa
ou a
le quarré-quarré de la même grandeur, puiſqu’il réſulte de
la multiplication du quarré aIl en eſt ainſi des
autres.
43.
Une puiſſance peut être regardée comme le produit
d’une certaine puiſſance par une autre puiſſance; ainſi a
le produit de a
la ſeconde.
44.
Il peut auſſi y avoir des puiſſances faites du produit
de deux ou pluſieurs lettres multipliées l’une par l’autre; car
ſi l’on multiplie a b par lui-même une fois, le produit a a b b
ſera la ſeconde puiſſance de la quantité a b: de même a
le cube de la même grandeur.
45.
Le nombre ou la grandeur algébrique de la multipli-
cation, de laquelle réſulte une puiſſance, eſt appellé racine,
& il y a autant de racines que de puiſſances;
ainſi a eſt la
racine quarrée de a
quieme de ac;
de même ab
abc eſt la racine quatrieme de a
46.
Les quantités algébriques ſont appellées incomplexes
ou monomes, lorſqu’elles ne ſont pas jointes enſemble par les
-;
ainſi ab, cd, {bb/a}, {ff/g} ſont des quantités in-
complexes ou monomes. Monome ſignifie qui n’eſt compoſé
que d’un ſeul terme; au contraire lorſqu’elles ſont liées en-
ſemble par les ſignes + & -, on les appelle complexes ou
polynomes, c’eſt-à-dire qui ont pluſieurs termes. Ainſi b c +
a d, e f + g h, a a b - b c d, {aa + cc/a}, a b + c d - a c ſont
des quantités complexes ou polynomes. Si les quantités algébri-
ques n’ont que deux termes, on les appelle quelquefois bi-
nomes, & trinomes lorſqu’elles en ont trois;
mais au delà elles
retiennent le nom général de polynomes; dans le dernier exem-
ple, a b, c d, a c ſont les termes de la quantité complexe a b
+ c d - a c.
47.
Lorſqu’une quantité algébrique n’eſt précédée d’aucun
ſigne, on ſuppoſe toujours qu’elle a le ſigne +, & alors on
l’appelle quantité poſitive, pour la diſtinguer de celles qui ſont
précédées du ſigne -, & ab que l’on appelle quantités néga-
tives: + a b eſt la même choſe que a b, &
eſt cenſé poſitif:
- a c, - b c, ſont des quantités négatives.
48.
Lorſqu’une quantité n’a point de coefficient, ni d’expo-
ſant particulier, on lui ſuppoſe toujours l’unité pour coeffi-
cient & pour expoſant.
Ainſi a b eſt la même choſe que 1a
a b c eſt le même que 1aainſi de toutes les autres.
49.
Lorſque des quantités incomplexes ou les termes d’une
quantité complexe contiennent préciſément les mêmes let-
tres, on les appelle des quantités ſemblables: ainſi 3ab &
2ab, 5ac & 2ac ſont des quantités ſemblables.
Il faut bien
remarquer que la ſimilitude des quantités algébriques ne dé-
pend ni des ſignes, ni des coefficiens, comme on le voit par
ces exemples, mais ſeulement des lettres & du nombre de
fois qu’elles ſont écrites. Pour reconnoître plus aiſément la
ſimilitude de pluſieurs termes, on obſervera dans les produits
de mettre les lettres dans leur ordre naturel ou alphabéti-
que; ainſi l’on écrira a b c, &
non pas c a b, ni b c a.
50.
Quand on a des quantités algébriques complexes, qui
renferment des termes ſemblables, il faut ajouter les coeffi-
donner le même
ſigne à leur ſomme, afin de réduire la quantité propoſée; ainſi 4ab - 2ac + 2ab - 3ac ſe réduit à 6ab - 5ac, 28abd +
15acf + 8abd + 7acf = 36abd + 22acf.
51.
Quand les quantités ſemblables ont des ſignes diffé-
rens, il faut ſouſtraire le plus petit coefficient du plus grand,
& donner á la différence le ſigne du plus grand.
Par exem-
ple, pour réduire cd + 6ab + 4aa - 4ab, on écrira cd + 4aa
+ 2ab en ôtant 4ab de 6ab; de même 2ab + 5cd + 3ab - 7cd
ſe réduit à 5ab - 2cd.
52.
Enfin lorſque deux termes ſont égaux, &
qu’ils ont
des ſignes différens, ils ſe réduiſent à rien; ainſi a
- a
différence.
53.
Pour ajouter enſemble des quantités algébriques, qui
ne ſont précédées d’aucuns ſignes, il faut les écrire de ſuite,
& les lier avec le ſigne +:
ainſi pour ajouter les quantités
a b, a c, a d, on écrira a b + a c + a d; de même la ſomme
des quantités e f, g h, m n eſt égale à e f + g h + m n.
54.
Si les quantités que l’on veut ajouter ſont complexes,
on les écrira de ſuite avec leurs ſignes, & après avoir réduit
les termes ſemblables, on aura la ſomme de ces quantités. Par exemple, pour ajouter 2aab - 3acd avec acc + 5acd
- 6aab, on écrira 2aab - 3acd + acc + 5acd - 6aab, ce
qui ſe réduit à acc + 2acd - 4aab. Pour ajouter 6add + 5aac
- 4abb avec 2aac - 2abb, l’on écrira 6add + 5aac - 4abb
+ 2aac - 2abb qui ſe réduit à 6add - 6abb + 7aac. Enfin
pour ajouter abc - ddc - dcc avec dcc - abc + 3ddc, on écrira
abc - ddc - ddc + dcc - abc + 3ddc qui ſe réduit à 2ddc. En
général dans l’Addition algébrique, ſoit des monomes, ſoit
des polynomes, on écrit les quantités à la ſuite les unes des
autres avec leurs ſignes, & l’on fait aprés la réduction des
quantités ſemblables, s’il y en a.
55.
Pour ſouſtraire une quantité algébrique d’une autre,
il faut l’écrire à la ſuite de celle dont on l’a ſouſtrait, en chan-
geant les ſignes de cette quantité, c’eſt-à-dire en mettant +
où il y a -, & - où il y a +:
il faut enſuite faire la ré-
duction des quantités ſemblables, s’il y en a.
Par exemple, pour ſouſtraire b b de a a, je l’écris à la ſuite
de a a avec le ſigne -, parce qu’il eſt cenſé avoir le ſigne +,
& la différence eſt a a - b b.
De même pour ſouſtraire c + d
de a + b, il faut changer les ſignes de c + d, & écrire a + b
- c - d qui ſera la différence demandée. Pour ſouſtraire
b - d de a + c, on écrira a + c - b + d. Pour ſouſtraire
2bb - 3cc de aa + bb, on écrira aa + bb - 2bb + 3cc, &
réduiſant, on aura aa - bb + 3cc. Enfin pour ſouſtraire ab
- dc + bb - 3aa de aa - dc + 3bc - bb, on écrira aa - dc
+ 3bc - bb - ab + dc - bb + 3aa, ce qui donne, en rédui-
ſant, 4aa + 3bc - 2bb - ab, il en ſeroit de même des autres.
Il n’eſt pas difficile de concevoir pourquoi on change le
ſigne +, exprimé ou ſous-entendu en -, car c’eſt en cela
préciſément que conſiſte la Souſtraction mais preſque
les ſignes de - en +, cependant cela eſt facile à compren-
dre, ſi l’on fait attention que pour ôter b - d d’une quan-
tité quelconque a + c, il ne faut pas ôter b tout ſeul, puiſ-
que ce ſeroit trop ôter de toute la quantité d, b étant plus
grand que b - d de la même quantité d; donc puiſque l’on
auroit réellement ôté d, en écrivant - b, il faut le remettre
en écrivant + d.
Mais comme on entendra mieux ceci par les nombres,
ſuppoſons qu’il faille retrancher du nombre 12 la quantité
6 - 2. Selon la regle, il faut écrire 12 - 6 + 2, dont la
différence eſt 8; car comme 6 - 2 eſt égale à 4, l’on voit
qu’on ne peut retrancher que 4 de 12, & que par conſéquent
ſi au lieu de 4 on en retranche 6, il faut rendre à 12 la quan-
Enfin pour expliquer ceci
d’une autre façon, ſuppoſons deux perſonnes, dont l’une a
cent écus & ne doit rien, &
l’autre au contraire n’a rien &
doit cent écus, il eſt certain que la premiere eſt plus riche
que la ſeconde de deux cens écus; par conſéquent ſi l’on
retranche - de +, la différence ſera +.
56.
Pour multiplier deux quantités quelconques incom-
plexes l’une par l’autre, il faut avoir égard aux ſignes, aux
coefficiens & aux lettres:
ainſi la Multiplication renferme
trois parties.
1°.
Si le multiplicande &
le multiplicateur ont le ſigne +,
on donnera le ſigne + au produit, & c’eſt ce que l’on expri-
me, en diſant que + par + donne +.
Si le multiplicande a le ſigne +, &
le multiplicateur le
ſigne -, le produit aura le ſigne -, & c’eſt ce que l’on ex-
prime, en diſant + par - donne -.
Si le multiplicande a le ſigne -, &
le multiplicateur le
ſigne +, le produit aura le ſigne -, ou bien - par +
donne -.
Enfin ſi le multiplicande &
le multiplicateur ont le ſigne
-, le produit aura le ſigne +, c’eſt-à-dire que - par -
donne +. Regle général, toutes les fois que le multiplicande
& le multiplicateur ont le même ſigne, le produit eſt poſitif
ou précédé du ſigne +, & il eſt négatif ou précédé du ſigne
- toutes les fois que le multiplicande & le multiplicateur
ſont des ſignes différens.
2°.
Si le multiplicande &
le multiplicateur enſemble, ou
ſéparément, ont des coefficiens différens de l’unité, on les
multipliera l’un par l’autre, & le produit ſervira de coefficient
au produit que l’on cherche.
3°.
Enfin pour multiplier les lettres les unes par les autres,
on les poſera de ſuite les unes auprès des autres pour indi-
quer la multiplication des grandeurs qu’elles déſignent; car
on a vu (n°. 35.)
que cette maniere de les diſpoſer a été choiſie
pour la marque de la multiplication. Tout ceci deviendra ſen-
ſible par des exemples.
Soit propoſé de multiplier la quantité 3ab ou + 3ab par
je dis par le premier article de la Regle, + par
+ donne +: paſſant enſuite aux coefficiens, je dis, 3 fois 2,
font 6; &
enfin aux lettres, ab par ac donne a
on aura donc
au produit 6aDe même 4ac, multiplié par
- 5aben diſant + par - donne -,
5 fois 4, font 20, ac par abDe même - 6a
multiplié par 4aenfin - 8abc par
- 5bcd, donne + 40ab
57.
Pour multiplier deux ou pluſieurs quantités qui ont des
expoſans, & qui ſont compoſées des mêmes lettres, il faut
ajouter les expoſans des mêmes lettres, & leur ſomme ſera
les expoſans des lettres du produit: ainſi 3a
De même a
car il eſt
évident que aab
donc le pro-
duit de ces quantités ſe trouvera, en plaçant toutes ces lettres
les unes auprès des autres, & ſera aaabbbbbccccc, ou a
en ſubſtituant les expoſans qui marquent combien de fois cha-
que lettre doit être écrite. Ceci eſt ſuffiſant pour la Multipli-
cation des quantités incomplexes.
58.
La Multiplication des quantités complexes ſe réduit à
celle des quantités incomplexes, en obſervant de faire au-
tant de multiplications particulieres qu’il y a de termes au
multiplicande & au multiplicateur, en ſuivant préciſément
les mêmes regles pour les ſignes, les coefficiens, & pour les
lettres. Si le multiplicateur n’a qu’un terme, il y aura autant
de multiplications particulieres par ce terme, qu’il y aura de
termes au multiplicande. Lorſqu’on aura trouvé tous les ter-
mes du produit, on obſervera d’en faire la réduction, s’il
s’en trouve de ſemblables: par exemple, pour multiplier 2a
+ b par 3c, l’on dira + par + donne +; 2 fois 3 font 6, a par
c donne ac, le premier terme du produit ſera 6ac: de même
on dira + par + donne +, 3 fois 1 c’eſt 3, b par c donne
bc, & le ſecond terme du produit ſera bc;
les ajoutant enſem-
ble, le produit total ſera 6ac + 3bc. Pour multiplier a - b
par d, l’on dira + par + donne +; 1 par 1 donne 1, a par d
donne a d, & le premier terme ſera + 1ad, ou ſimplement
ad: paſſant au ſecond, on dira - par + donne -;
1 par 1
le ſecond terme ſera - 1bd,
ou ſimplement - bd; les ajoutant enſemble, on aura ab - bd
pour le produit total.
Si le multiplicateur eſt auſſi complexe, ou compoſé de plu-
ſieurs termes, pour établir un certain ordre dans la maniere
de faire la multiplication, on met le multiplicande & le mul-
tiplicateur l’un au deſſous de l’autre, on multiplie tous les ter-
mes du multiplicande par tous les termes du multiplicateur; ce qui donne autant de produits particuliers qu’il y a de ter-
mes au multiplicateur, & dont chacun contient autant de
termes qu’il y en a au multiplicande. Ainſi pour multiplier
a + c par a + c, je mets une de ces quantités ſous l’autre,
& commençant à multiplier par la gauche, je dis a par a donne
aa, a par + c donne + ac; multipliant enſuite par le ſecond
terme c du multiplicateur, je dis + c par a donne + ac, &
+ c par + c donne + cc; additionnant le tout, le produit eſt
aa + ac + ac + cc; &
pour abréger, au lieu d’écrire deux
fois la même quantité ac, je marque ſeulement 2ac
59.
Pour multiplier a - b par a - b, je poſe encore une
de ces quantités ſous l’autre, & je dis a par a donne aa, &
puis a par - b donne - ab (car on ſous-entend toujours que
a a le ſigne +). Multipliant enſuite par la ſeconde lettre
du multiplicateur, je dis - b par a donne - ab, & - b par
- b donne + bb; après avoir fait l’addition je trouve au pro-
duit aa - 2ab + bb. Tout ceci eſt évident par le premier ar-
ticle du n°. 56;
ce ſeroit toujours la même choſe pour des
opérations plus compliquées, comme on peut le voir dans les
exemples qui ſuivent.
Car il eſt viſible que tous les termes intermédiaires ſe détrui-
ſent par la réduction, puiſqu’ils ont des ſignes différens, &
qu’ils ſont ſemblables avec les mêmes coefficiens.
Il n’eſt pas difficile de concevoir pourquoi + multiplié par
+ donne +; mais on n’apperçoit pas avec la même facilité
pourquoi + multiplié par -, ou - par + donne -, & l’on
conçoit encore moins comment - multiplié par - donne +; c’eſt pourquoi nous nous arrêterons principalement à expli-
quer ces derniers cas.
La raiſon du premier cas eſt, que multipliant par exemple
a - b par d, l’on ne peut multiplier a par d ſans que le pro-
duit a d ne ſoit plus grand qu’il n’étoit, parce que a eſt
plus grand que a - b, & par conſéquent pour ôter ce qu’il y
a de trop dans le produit a d, il faut multiplier b par d, &
ôter le produit b d de a d pour avoir a d - b d; ce qui fait
voir que + par - doit donner -.
Et pour le faire voir en nombres, multiplions 15 - 5 par
6: or comme 15 - 5 eſt égal à 10, c’eſt proprement 10 qu’il
faut multiplier par 6, & non pas 15 entiers, à moins que ſelon
la regle on ne multiplie auſſi 5 par 6 pour en ôter le produit
ce qui donne 60, de même
qu’on l’auroit eu en multipliant 10 par 6.
A l’égard du dernier cas, il paroît bien étrange que -
par - donne +; mais ce qui fait qu’on met +, c’eſt que
les deux termes, qui ſont précédés du ſigne -, donnant deux
multiplications négatives, par leſquelles on ôte plus qu’il ne
faut, l’on eſt obligé de mettre + au produit des deux termes
qui ont le ſigne -, pour remplacer ce que l’on avoit ôté de
trop. Par exemple, pour multiplier a - b par a - b, je vois,
aprés avoir fait la regle, que du produit aa il faut retrancher
- 2ab, & que retranchant plus qu’il ne faut de la quantité
bb, il faut rendre cette même quantité en la mettant avec
le ſigne +; ce qui remet toutes choſes dans l’état où elles
doivent être.
Comme cette regle eſt abſolument indiſpenſable pour la
pratique des opérations algébriques, on ne ſçauroit trop ſe
convaincre de ſa vérité & de la certitude des principes ſur leſ-
quels elle eſt appuyée. Pour cela, il ſuffit de faire attention
à la nature de la multiplication. En général, multiplier un
nombre par un autre, c’eſt prendre le premier autant de fois
qu’il eſt marqué par l’autre, & de la même maniere qu’il eſt
marqué par l’autre. On ſçait que l’on appelle multiplicande
celui que l’on doit prendre pluſieurs fois, & multiplicateur
celui qui marque combien de fois on doit prendre le premier.
Les unités du multiplicateur marquent combien de fois il
faut répéter le multiplicande, & le ſigne du même multi-
plicateur déſigne de quelle maniere il faut prendre le même
multiplicande. Si donc le multiplicateur a le ſigne +, la
multiplication ſe fait par addition, & ſi au contraire il a le
ſigne -, elle ſe fait par ſouſtraction, & le produit réſulte
d’une ſouſtraction répétée pluſieurs fois. Il faut encore con-
cevoir comment la multiplication ſe fait par ſouſtraction: pour cela on fera attention que les quantités négatives ne
ſont pas moins réelles que les quantités poſitives; mais elles
leurs ſont ſeulement oppoſées: on peut donc les multiplier
comme les autres. Ainſi ſi l’on regarde le bien que l’on poſſede
comme quelque choſe de poſitif, les dettes que l’on fait, ſeront
des grandeurs négatives, & l’on ſçait aſſez par expérience
qu’elles peuvent ſe multiplier, ainſi que les biens, quoique
bien plus facilement. Un homme qui accumule ſes dettes,
c’eſt ainſi qu’il faut entendre toutes
ces expreſſions. Tout cela poſé, + a x - b doit donner - ab;
car le multiplicande ayant le ſigne +, &
le multiplicateur le
ſigne -, indique qu’il faut ſouſtraire a autant de fois qu’il
eſt marqué par b. De même - a x + b doit donner - ab;
car le multiplicateur b étant poſitif, indique qu’il faut répéter
pluſieurs fois la quantité négative - a. Le réſultat de toutes
ces quantités négatives égales ne pourra jamais donner que
du négatif: ainſi - a x + b donne - ab:
enfin - a x - b
doit donner + ab; car le multiplicande ayant le ſigne - eſt
négatif, & le multiplicateur ayant auſſi le même ſigne, fait
voir que la multiplication ſe fait par ſouſtraction, c’eſt-à-dire
qu’il faut ſouſtraire la quantité négative - a autant de fois qu’il
eſt marqué par les unités de b, & par conſéquent c’eſt mettre
a autant de fois poſitif, par la même raiſon que pour ſouſ-
traire une quantité négative une fois, il faut la mettre une
fois poſitive. Enfin cette derniere partie de la regle des ſignes
répond parfaitement à ce que l’on dit ordinairement d’un
homme qui acquitte ſes dettes.
Les deux dernieres parties de la regle n’ont pas beſoin de
démonſtration; car il eſt évident que puiſque les coefficiens
ſont des nombres, ils doivent ſe multiplier comme des nom-
bres, & la maniere dont on indique la multiplication des let-
tres eſt de pure convention: ainſi elle ne peut être conteſtée.
Pour donner une idée de la facilité que l’on a de démon-
trer les propoſitions de Géométrie par le moyen du calcul
algébrique, j’ai cru qu’il étoit à propos, avant d’aller plus
loin, de faire une application de la multiplication à la dé-
monſtration des propoſitions ſuivantes.
60.
Le quarré d’une grandeur quelconque, exprimée par deux
lettres poſitives, eſt égale au quarré de chacune de ces lettres, plus
à deux rectangles compris ſous les mêmes lettres.
Car ſi l’on multiplie a + b par a + b, l’on aura au produit
b b, &
de deux rectangles compris ſous les mêmes lettres a & b, qui
ſont 2ab.
61.
Le cube d’une grandeur quelconque exprimée par deux let-
tres, eſt égal au cube de la premiere, plus au cube de la ſeconde,
plus à trois parallelepipedes du quarré de la premiere par la ſe-
conde, plus enfin à trois autres parallelepipedes du quarré de la
ſeconde par la premiere.
Car le quarré de a + b étant (n°.
60.)
aa + 2ab + bb,
ſi on le multiplie encore par a + b, l’on aura le cube a
+ 3abb
& b, plus trois parallelepipedes 3a
plus
enfin trois autres parallelepipedes du quarré bb par a, 3abb.
Nous nous ſervirons de ceci dans la ſuite pour démontrer
les opérations de la racine quarrée & cubique.
62.
Si l’on a une ligne A B diviſée en deux également au
en deux inégalement au point D, je dis que le rec-
tangle A D x D B, compris ſous les parties inégales A D &
D B, plus le quarré de la moyenne partie C D, eſt égal au quarré
de la moitié de la ligne, c’eſt-à-dire à
Nous nommerons A C ou C B a, C D x, ainſi D B ſera
a - x, & A D a + x.
Si l’on ajoute à A D x D B (aa - xx) le quarré de C D
(aa - xx + xx) = A C
ſe détruit dans le premier membre, on auroit aa = aa; ce
qu’il falloit démontrer.
63.
Il ſuit de cette propoſition, que ſi une ligne eſt coupée
en deux également en C, & en deux inégalement en D, le
quarré A C
de la moyenne partie C D, eſt égal au rectangle A D x D B,
compris ſous les parties inégales A D, D B; ce qui eſt évident,
puiſque A C
64.
Si l’on a une ligne droite A B diviſée en deux également
qu’on lui ajoute une droite B E, je dis que le rectangle
de la droite A E, ſomme de ces deux lignes par la droite B E que
l’on a ajoutée, avec le quarré de la moyenne C B, ſera égal au quarré
de la ligne C E, compoſée de la moitié C B, & de l’ ajoutée B E.
Nous nommerons A C ou C B a, C E x, ainſi B E ſera
x - a, & A E x + a.
Il eſt évident que ſi l’on ajoute au rectangle de A E x B E
(xx - aa) le quarré de C B (aa), l’on pourra former cette
équation A E x B E +
puiſqu’en effaçant tout ce qui ſe détruit, il vient xx = xx; C.
Q.
F.
D.
65.
Il ſuit de cette propoſition, que ſi à une ligne diviſée
en deux également l’on en ajoute une autre, le quarré de la
ligne C E, compoſé de la moitié de la ligne & de l’ajoutée,
moins le quarré de la moyenne C B, ſera égal au rectangle
compris ſous toute la ligne A E, & la partie ajoutée B E;
ce
qui eſt évident, puiſque C E
66.
Si l’on a deux lignes, dont la premiere ſoit double de la
ſeconde, je dis que le quarré de la premiere ſera quadruple du quarré
de la ſeconde.
Si de ces deux lignes la ſeconde ſe nomme a, la premiere
ſera 2a: or multipliant 2a par 2a, l’on aura 4aa pour le quarré
de la premiere; &
ſi l’on multiplie a par lui-même, l’on aura
aa pour le quarré de la ſeconde, & par conſéquent le quarré
de la premiere eſt quadruple du quarré de la ſeconde.
67.
Pour diviſer une quantité algébrique par une autre,
on met celle que l’on doit diviſer au deſſus d’une barre ho-
rizontale, & celle par laquelle on diviſe au deſſous de la même
barre (n°. 38.)
, en obſervant d’effacer les lettres communes
au dividende & au diviſeur, s’il y en a quelques-unes, &
ce
qui reſte marque le quotient. Ainſi pour diviſer a par b, j’écris
{a/b}, ce qui ſigniſie a diviſé par b; pour diviſer a b c par fg, j’é-
cris {abc/fg}; pour diviſer ab
{aabbccc/abcc}, ce qui ſe réduit à abc, en effaçant les lettres com-
munes au dividende & au diviſeur.
Si l’on multiplie le quo-
tient abc par le diviſeur abcc, l’on aura ace qui prouve
que la Diviſion eſt bien faite, puiſque le produit du diviſeur
par le quotient eſt égal au dividende.
68.
Si le dividende &
le diviſeur ſont chacun précédés de
coefficiens, il faudra les diviſer l’un par l’autre, ſelon les regles
de la diviſion des nombres, & le quotient ſera le coefficient
du quotient. Ainſi 21ab
{28abc
{36a
L’on peut remarquer que lorſque le dividende
& le diviſeur ont chacun des lettres ſemblables avec des ex-
poſans, la diviſion de ces lettres ſe fait par la ſouſtraction des
expoſans: ainſi {a
ainſi des autres.
69.
A l’égard des ſignes, ſi le dividende &
le diviſeur ont
chacun le même ſigne + ou -, il faut que le quotient ait le
ſigne +: la raiſon en eſt, qu’une quantité négative eſt con-
tenue dans une quantité négative, de la même maniere qu’une
quantité poſitive eſt contenue dans une quantité poſitive. Mais
s’ils avoient différens ſignes, le quotient auroit le ſigne -,
parce que les quantités poſitives & négatives étant des quan-
tités oppoſées les unes aux autres, ſe contiennent négative-
ment, & par conſéquent le quotient doit avoir le ſigne -.
Par exemple, + a
de même
- ab diviſé par - b donne + a; ce qui ſe peut encore dé-
montrer par la preuve de la Diviſion, par laquelle le pro-
duit du diviſeur par le quotient doit redonner le dividende.
Multipliant donc le quotient + a par le diviſeur - b, on
aura - ab, puiſque - par + donne - (n°. 57).
Si l’on diviſe
+ ab par - a, le quotient ſera - b; car multipliant le quo-
tient - b par le diviſeur - a, on aura + ab, puiſque - par
- donne + (n°. 57).
Enfin ſi l’on diviſe - ab par + a, le
quotient ſera - b; car multipliant le quotient - b par le divi-
ſeur + a, on aura - ab, puiſque - par + donne -.
70.
Si le dividende eſt complexe, &
le diviſeur toujours
incomplexe, on fera ſur chaque terme les mêmes opérations
que nous venons d’expliquer, & la ſomme des quotiens par-
ticuliers ſera le quotient total. Ainſi pour diviſer ab + ad par
a, je dis ab diviſé par a donne b, que j’écris au quotient. Je
dis enſuite ab diviſé par a donne d au quotient, qui étant
ajouté au premier b, donne pour le quotient total b + d; ce
qui eſt encore évident, puiſqu’en multipliant le quotient b + d
par le diviſeur a, on aura ab + ad égal au dividende.
71.
Quand le dividende &
le diviſeur ſont chacun des
quantités algébriques complexes, on ſuit à peu près le même
procédé que dans la diviſion des nombres. Par exemple, pour
diviſer aa + 2ab + bb par a + b, je poſe les premiers termes
du diviſeur ſous les premiers termes du dividende, & je com-
mence par chercher combien de fois le premier terme a du
diviſeur eſt contenu dans le premier terme a
en diſant, en a
au quotient: je multiplie le diviſeur entier a + b par a, &
ce que je fais
contraires, & j’ai aa + 2ab + bb - aa - ab;
ce qui ſe
réduit à ab + bb. Je fais ſur le reſte la même opération, en
diſant ab diviſé par a, donne b au quotient, que je mets à
côté du premier terme que j’ai déja trouvé: je multiplie pa-
reillement le diviſeur entier a + b par b, ce qui me donne
pour produit ab + bb, qu’il faut encore retrancher du reſte
ab + bb, ce que je fais en le mettant à la ſuite de cette quan-
tité avec des ſignes contraires: j’ai donc ab + bb - ab - bb,
ce qui ſe réduit à zero par la regle de la réduction des quan-
tités ſemblables, d’où je conclus que le quotient eſt a + b,
puiſqu’il ne reſte rien.
72.
Pour diviſer a
ci-deſſus, aje multiplie le
diyiſeur entier a - b par le quotient a, dont le produit eſt
aa - ab, que je retranche du dividende, en le mettant après
avec des ſignes contraires pour avoir le reſte aa - 2ab + bb
- aa + ab, ce qui ſe réduit à - ab + bb. Je fais ſur le reſte
la même opération, & je dis - ab diviſé par a, donne - b,
que j’écris à la ſuite du premier terme du quotient: je mul-
tiplie le diviſeur a - b par - b, & j’ôte le produit - ab + bb
du reſte qui m’a ſervi de dividende pour avoir - ab + bb
+ ab - bb, qui ſe réduit à zero par la réduction des quan-
tités ſemblables, d’où je conclus encore que a - b eſt le quo-
tient.
73.
Pour diviſer aa - bb par a + b, je dis aa diviſé par a
donne a, qui étant multiplié par le diviſeur, donne pour pro-
duit aa + ab; le retranchant du dividende, il reſte aa - bb
- aa - ab; qui étant réduit, donne - bb - ab, ou - ab
- bb, que je diviſe encore par a + b, en diſant - ab diviſé
par + a donne - b. Multipliant le diviſeur par - b, il vient
- ab - bb, qui étant retranché du dividende partiel, donne
- ab - bb + ab + bb ou zero, en effaçant ce qui ſe dé-
truit; d’où il ſuit quele quotient eſt a - b, ce qui eſt évident,
puiſqu’en multipliant ce quotient par le diviſeur, on retrouve
le dividende.
1
Produit aa + ab (a, premier quotient.
Souſtraction aa + 2ab + bb - aa - ab.
{Réduction ou nou- \\ veau dividende { ab + bb/Diviſeur a + b} (b, ſecond quotient.
Produit ab + bb
Souſtraction ab + bb - ab - bb = o.
2
Diviſeur a - b
Produit aa - ab
Souſtraction aa - 2ab + bb - aa + ab (a, I
{Réduction ou nou- \\ veau dividende { - ab + bb/Diviſeur a - b} (- b, ſecond quotient.
Produit - ab - bb
Souſtraction - ab + bb + ab + bb = o.
3
}
Produit aa + bb
Souſtraction aa - bb - aa - ab
Réduction ou nouveau dividende.
{- ab - bb
Diviſeur a + b (- b, ſecond quotient.
Produit - ab - bb
Souſtraction - ab - bb + ab + bb = o.
4
total a
Produit a
Souſtraction a
{Réduction ou di- \\ vidende partiel { a
Produit a
Souſtraction a
{Réduction ou nou- \\ veau dividende { a
Produit a
Souſtraction a
{Réduction ou nou- \\ veau dividende {ab
Produit ab
Souſtraction ab
Quoique le quotient ait plus de termes que le dividende,
il ne faut pas croire pour cela que le dividende ſoit plus petit
que le quotient; car tant que le diviſeur a - b ſera quelque
choſe de poſitif, le produit du quotient poſitif a
+ b par la quantité poſitive a - b, donnera certainement au
produit quelque choſe de plus grand que ce même quotient: donc a
+ abD’ailleurs en Algebre une quantité qui a plus
de dimenſion qu’une autre, eſt toujours regardée comme la
plus grande.
Si l’on avoit des quantités plus compoſées que les précé-
dentes, on ſuivroit le même procédé dans l’opération, comme
ſi l’on propoſoit de diviſer la quantité 6a
+ 15bc + 12c
du diviſeur, & le reſte ſe feroit comme on le voit ci-deſſous.
{Dividende 6a
total.
/Diviſeur 2a + 3c (3a, premier quotient.
}
Produit 6a
Souſtraction 6a
{Réduction ou nou- \\ veau dividende { 10ab + 8ac + 15bc + 12cc/Diviſeur 2a + 3c (5b, ſecond quotient.
}
Produit 10ab + 15bc
Souſtraction 10ab + 8ac + 15bc + 12cc - 10ab - 15bc.
{Réduction ou nou- \\ veau dividende {8ac + 12cc/Diviſeur 2a + 3c} (4c, troiſieme quotient.
Produit 8ac + 12cc
Souſtraction 8ac + 12cc - 8ac - 12cc = o.
Si le dividende &
le diviſeur contenoient pluſieurs puiſ-
ſances d’une même lettre, il faudroit diſpoſer les termes du
dividende par rapport aux différentes puiſſances d’une même
lettre, en regardant comme premier terme celui dans lequel
cette puiſſance ſeroit la plus élevée, comme ſecond celui où
elle ſe trouveroit d’un degré moins élevée, & ainſi des autres.
Ayant fait la même opération ſur le diviſeur, il faudroit faire
la Diviſion ſelon les regles précédentes; c’eſt ce que l’on ap-
pelle ordonner une quantité par rapport à une lettre. Par
exemple, ſi l’on propoſe de diviſer 22a
19a
par ordonner le dividende par rapport à la lettre a, en regar-
dant le terme 8a
plus haute puiſſance de la lettre a; &
en ſuivant le même
principe, on aura le dividende ordonné, 8a
+ 12al’on
aura le diviſeur ordonné, 4aLe reſte
de la Diviſion ſe fera préciſément comme les précédentes.
{Dividende 8a
total.
}
Produit 8a
Souſtraction 8a
- 10a
{Réduction ou nou- \\ veau dividende { 12a
}
Produit.
12a
Souſtraction 12a
- 15a
Nous n’avons point parlé des quatre Regles ordinaires d’A-
rithmétique, parce que nous avons ſuppoſé que ceux qui étu-
dieront ce Traité, ſçauront au moins l’Addition, la Souſtrac-
tion, la Multiplication & la Diviſion;
mais comme pluſieurs
pourroient n’avoir aucune connoiſſance des parties plus rele-
vées, & même ignorer la maniere dont on doit pratiquer la
Multiplication dans certain cas, lorſque le multiplicateur &
nous
allons commencer par expliquer la méthode de faire cette opé-
ration par le ſecours des parties aliquotes, que nous applique-
rons ſur le champ à des exemples. Cette partie eſt d’autant
plus néceſſaire, qu’elle ſervira beaucoup pour l’intelligence
du toiſé, que nous donnerons dans la ſuite.
74.
On dit qu’une grandeur eſt partie aliquote d’un tout
ou d’une autre grandeur, lorſqu’elle eſt contenue un nombre
de fois juſte dans cette autre. Ainſi le pied eſt partie aliquote
de la toiſe, parce qu’il y eſt contenu ſix fois juſte; le ſol eſt
une partie aliquote de la livre, parce que la livre vaut vingt
ſols: de même ces autres nombres, 2, 4, 5, 10 ſols ſont des
parties aliquotes de la livre, parce que chacun d’eux eſt con-
tenue exactement un certain nombre de fois dans la livre.
Lorſqu’une grandeur n’eſt pas contenue exactement dans
une autre, & ſans reſte, elle eſt appellée partie aliquante
de cette grandeur: ainſi 9 ſols eſt une partie aliquante de la
livre, parce que cette grandeur eſt contenue deux fois dans la
livre, avec un reſte 2; de même 17 ſols, 15 ſols ſont des par-
ties aliquantes de la livre pour la même raiſon: 5 pouces,
7 pouces, 8 pouces ſont des parties aliquantes du pied, parce
que chacune de ces grandeurs ſont contenues dans le pied,
avec des reſtes.
75.
Quoique, ſelon les définitions précédentes, une partie
aliquante ne puiſſe pas être partie aliquote d’un même tout,
néanmoins on peut décompoſer cette quantité en d’autres,
qui ſoient parties aliquotes du tout, & dont la ſomme ſoit
égale à la partie aliquante propoſée; ainſi ce nombre 17 ſols
eſt égal à 10 + 5 + 2, qui ſont chacun des parties aliquotes
de la livre, dont il n’eſt qu’une partie aliquante. Tout l’art
des opérations que nous allons faire conſiſte à décompoſer les
parties aliquantes en parties aliquotes, en faiſant enſorte, au-
tant qu’il eſt poſſible, que ces parties ſoient non ſeulement par-
ties aliquotes de ce tout ou de l’unité principale, mais encore
les unes des autres.
76.
On appelle multiplication complexe celle dans laquelle
ſemble, contiennent chacun des unités de différentes eſpeces,
quoique réductibles à la même, ainſi que dans la queſtion
ſuivante.
On demande le prix de 45 toiſes 3 pieds de maçonnerie, à
9 liv. la toiſe.
Pour avoir le prix que l’on cher-
che, il faudra multiplier 45 toiſes
3 pieds par 9 liv. ou, pour mieux
dire, il faudra prendre 45 fois 9l. &
la moitié de 9 livres, parce que
3 pieds ſont la moitié d’une toiſe,
dont le prix doit auſſi être moitié
du prix de la toiſe: car en général il eſt ridicule de dire que
l’on multiplie des livres, des ſols & des deniers par des toiſes,
des pieds, des pouces, &c.
D’ailleurs, ſuivant un tel énoncé,
il eſt impoſſible de déterminer la nature des unités du pro-
duit: mais il faut regarder un des nombres comme un nom-
bre abſtrait, c’eſt-à-dire dont les unités ne marquent que des
nombres de fois, & dont les parties marquent des parties cor-
reſpondantes d’une fois. Ainſi dans notre exemple, comme
on cherche le prix de 45 toiſes 3 pieds, à 9 liv. la toiſe, puiſque
pour une toiſe il faut prendre une fois 9 liv. pour 45 toiſes, il
faudra prendre 45 fois 9 livres, & pour 3 pieds, moitié d’une
toiſe, il faudra prendre une moitié de fois 9 liv. ou la moitié
de 9 liv. Le produit de 9 liv.
par 45 liv.
eſt 405 livres, la moitié
de 9 liv. eſt 4 liv.
10 ſols;
ainſi la ſomme 409 liv.
10 ſols eſt le
prix demandé.
On demande le prix de 3 toiſes 2 pieds 6 pouces, à 5 liv.
4 ſ.
6 den.
la toiſe courante.
Pour avoir le prix de-
mandé, il faudra multi-
plier 5 liv. 4 ſ.
6 den.
par
3 toiſes 2 pieds 6 pouces,
ou, pour mieux dire, il fau-
dra chercher le prix de 3
à 5 liv. 4 ſols 6 den.
le prix
celui de ſix pouces, en conſidérant ces nom-
bres comme des parties de la toiſe, & prenant pour leur prix
les mêmes parties du prix de la toiſe. Ayant diſpoſé ces nom-
bres l’un au deſſus de l’autre, comme on voit ici, on commen-
cera la Multiplication par les plus petites eſpeces, parce qu’il
n’y a qu’un chiffre au rang des livres, & l’on dira:
3 fois 6 font
18, poſe 6 d. &
retiens 1 pour 12.
On paſſera delà aux ſols,
en diſant, 3 fois 4 font 12, & 1 que j’ai retenu c’eſt 13, que
je poſe au rang des ſols. On paſſera de même aux livres, &
l’on dira, 3 fois 5 font 15 l., que je mets au rang des livres.
Pour avoir le prix de deux pieds, on fera attention que deux
pieds étant le tiers de la toiſe, il faudra auſſi que le prix de
deux pieds ſoit le tiers du prix de la toiſe: par conſéquent il
faudra diviſer le prix de la toiſe par 3, en diſant, le tiers de
5 l. eſt 1 pour 3, reſte 2 l.
ou 40 ſols, qui joints avec les 4 ſols
ſuivans, font 44, dont le tiers eſt 14 pour 42, reſte 2 ſols ou
24 den., leſquels joints avec les 6 den.
ſuivans, font 30 den.
,
dont le tiers eſt 10, que l’on poſera au rang des deniers. Enfin
pour avoir le prix de 6 pouces, on remarquera que 6 pouces
étant le quart de 2 pieds ou 24 pouces, le prix de 6 pouces
doit être le quart du prix de deux pieds, & l’on prendra le
quart d’une liv. 14 ſ.
10 den.
, en diſant, le quart d’une livre
n’eſt point, je poſe zero au rang des livres; je réduis la livre en
ſols, ce qui me donne 20 ſols, leſquels ajoutés à 14, font 34,
dont le quart eſt 8 pour 32, reſte 2 ſ. ou 24 den.
, leſquels
ajoutés aux dix ſuivans, font 34 den., dont le quart eſt 8 {1/2},
que je poſe au rang des deniers. Faiſant l’addition de ces dif-
férens produits, on aura pour le prix total de 3 toiſes 2 pieds
6 pouces, à 5 liv. 4 ſ.
4 den.
la toiſe, 17 liv.
17 ſols 0 {1/2} den.
On demande le prix de 43 aunes deux tiers d’étoffe, à 12 l.
10ſ.
8 den.
l’aune.
Comme dans cet exemple la premiere partie 43 du multi-
plicateur eſt compoſée de deux chiffres, & que l’on ne verroit
pas tout d’un coup la valeur de 43 fois 8 deniers, on commen-
cera la Multiplication par les plus hautes eſpeces. On cher-
chera donc d’abord le prix de 43 aunes à 12 livres, le prix
de 43 aunes à 10 ſols, & le prix de 43 aunes à 8 deniers.
On trouvera le prix de 43 aunes, à 12 liv.
l’aune, en multi-
Pour
avoir enſuite le prix de
43 aunes, à 10 ſols, on
remarquera que le prix
de 43 aunes, à une livre,
ſeroit 43 liv.; donc puiſ-
que 10 ſols ſont la moitié
d’une livre, le prix de
43 aunes, à 10 ſols, ſera
la moitié de 43 liv. On
en prendra donc la moi-
tié, en diſant: la moitié
de 4 eſt 2, que l’on poſera
au deſſous des dixaines
de livres; la moitié de 3 eſt 1, que l’on poſera ſous les unités
des livres, reſte une livre, dont la moitié eſt 10 ſols, que l’on
poſera au rang des ſols. Pour avoir le prix de 43 aunes, à 8 d.
on remarquera que 8 den.
ſont le tiers de 2 ſols:
on commen-
cera donc par chercher le produit de 43 aunes, à 2 ſols, que
l’on barrera, parce qu’il ne doit point entrer dans la ſomme.
Pour avoir le faux produit, on prendra le cinquieme de celui
que l’on vient de trouver pour 10 ſols, en diſant: le cin-
quieme de 21 liv. eſt 4, que je poſe au rang des livres, reſte
une livre, laquelle jointe avec 10 ſols, donne 30 ſols, dont le
cinquieme eſt 6. Je prends le tiers de ce produit, en diſant:
le tiers de 4 liv. eſt une liv.
pour 3, reſte une livre, qui jointe
avec les 6 ſols ſuivans, donne 26 ſols, dont le tiers eſt 8 pour
24, reſte 2 ſols ou 24 deniers, dont le tiers eſt 8, que je poſe
au rang des deniers, & j’ai le prix de 43 aunes, à 8 deniers
l’aune. Enfin pour avoir le prix des deux tiers d’aunes, je
prends deux fois le tiers du prix d’une aune, en diſant: le tiers
de 12 liv. eſt 4 livres, que je poſe au rang des livres.
Le tiers
de 10 ſols eſt 3 pour 9, reſte un ſol ou 12 deniers, qui joints
aux 8 ſuivans, font 20, dont le tiers eſt 6 {2/3}; j’écris deux fois
le produit, puis faiſant l’addition des produits particuliers, je
trouve pour le prix total 547 liv. 5 ſols 9 den.
On demande le prix de 5 marcs 6 onces 2 gros de cuivre, à
4 liv. 7 ſols 8 den.
le marc.
Tout le monde ſçait que la livre vaut deux marcs, le marc
8 onces, l’once 8 gros, le gros 3 deniers, le denier 24 grains,
ce qui donne 9216 grains pour la livre. Cela poſé,
Ayant diſpoſé ces deux
ici, en regardant 4 liv. 7 ſ.
8 den.
comme le multipli-
cande, & 5 marcs 6 onces
2 gros comme le multipli-
cateur: comme la partie de
ce même multiplicateur, qui
contient les marcs, n’eſt
compoſée que d’un ſeul chiffre, on cherchera d’abord le prix
de 5 marcs, à 4 liv. 7 ſols 8 den.
le marc, que l’on trouvera
en multipliant 4 liv. 5 ſols 8 den.
par 5, à commencer par les
deniers, en diſant, cinq fois 8 font 40 deniers, je poſe 4, &
retiens 3 pour 36; paſſant enſuite aux ſols, 7 fois 5 font 35,
& 3 que j’ai retenue font 38, poſe 18, &
retiens une livre;
paſſant de même aux livres, 5 fois 4 font 20, & une que j’ai
retenue font 21. Pour avoir après cela le prix de 6 onces,
qui eſt une partie aliquante du marc, on les diviſera en ces
deux parties, 4 & 2, qui ſont chacune partie aliquote du
marc, & partie aliquote l’une de l’autre;
&
comme 4 onces
ſont la moitié du marc, on prendra la moitié du prix d’un
marc, en diſant, la moitié de 4 liv. eſt 2, la moitié de 7 ſols
eſt 3 pour 6, reſte un ſol ou 12 deniers, qui joints avec les 8
ſuivans, font 20, dont la moitié eſt 10; on prendra de même
la moitié de ce dernier produit pour avoir le prix de deux
onces, que l’on trouvera d’une livre 1 ſol 11 den. Enfin pour
avoir le prix de deux gros, on remarquera que le gros étant la
8
& par conſéquent le prix de deux gros ſera auſſi la huitieme
partie de celui de deux onces, que l’on vient d’écrire. On dira
donc, la huitieme partie d’une livre n’eſt point, je poſe o au
rang des livres; la huitieme partie de 21 ſols eſt 2 pour 16,
reſte 5 ſols, qui valent 6 deniers, leſquels joints avec les 11 d.
ſuivans, donnent 71, dont la huitieme partie eſt 8 pour 64,
avec un reſte 7; ce qui donne en tout pour le prix de deux gros,
o liv. 2 ſols 8 den, {7/8}.
Ajoutant ces différens produits, on aura
le prix total de 25 liv. 6 ſols 9 den.
{7/8}.
On demande le prix de 325 marcs 7 onces 5 gros 2 deniers
16 grains d’un certain métal, à 54 liv. 18 ſols 9 den.
le marc.
Comme le premier terme du multiplicande, &
celui du mul-
tiplicateur ſont nombres compoſés de pluſieurs chiffres, on
cherchera d’abord le prix de 325 marcs, à 54 liv. le marc, ce
qui ſe fera en multipliant 325 par 54; on cherchera enſuite le
prix de 325 marcs, à 18 ſols le marc, ce qui ſe fera en divi-
ſant 18 ſols en ſes parties, 10 + 4 + 4, qui ſont chacune des
parties aliquotes de la livre, & prenant pour 10 ſols la moitié
de 325, en diſant, la moitié de 3 eſt 1 pour 2, reſte 1, qui joint
avec le 2 ſuivant fait 12, dont la moitié eſt 6; la moitié de
5 eſt 2 pour 4, reſte une livre ou 20 ſols, dont la moitié eſt
10 ſols, que je poſe au rang des ſols. Pour 4 ſols on cherchera
le cinquieme de 325, parce que 4 ſols fait la cinquieme partie
l’on dira la cinquieme partie de 32 eſt 6 pour
30, reſte 2, qui joints avec le 5 ſuivant, font 25, dont la cin-
quieme partie eſt 5, ainſi l’on écrira deux fois 65, qui eſt le
cinquieme de 325, & l’on aura le prix de 325 marcs à 18 ſols.
On paſſera enſuite aux deniers 9, que l’on diviſera en deux
parties, 6, 3, dont la premiere 6 eſt la huitieme partie de 4 ſols,
& la ſeconde 3 eſt moitié de la premiere 6;
on prendra donc
la huitieme partie du prix que l’on vient de trouver pour 4 ſ. en diſant la huitieme partie de 65 eſt 8 pour 64, poſe 8 au rang
des livres, reſte 1 liv. ou 20 ſols, dont la huitieme partie eſt 2 ſ.
pour 16, reſte 4 ſols ou 48 deniers, dont la huitieme partie eſt
6 deniers; pour 3 den.
on prendra la moitié de ce que l’on vient
de trouver pour 6, & l’on aura évidemment 4 liv.
1 ſol 3 den.
Toutes ces opérations achevées, on aura le prix de 225 marcs,
à 54 liv. 18 ſ.
9 den.
le marc;
&
comme cette partie devient
déja un peu compliquée, on pourra d’abord prendre la ſomme
de ces produits particuliers, pour être moins expoſé à ſe tromper
dans l’addition totale. On paſſera enſuite aux onces, &
l’on
diviſera lenombre 7, qui marque combien il y en a en 4, 2, 1,
qui ſont chacune partie aliquote du marc, & partie aliquote
l’une de l’autre; pour 4 onces on prendra la moitié de 54 liv.
18 ſols 9 den. en diſant, la moitié de 54 livres eſt 27 livres, la
moitié de 18 ſols eſt 9 ſols, la moitié de 9 den. eſt 4 den.
{1/2};
pour 2 onces on prendra la moitié de ce que l’on vient de trou-
ver, en diſant, la moitié de 27 eſt 13 pour 26, je poſe 13 au
rang des livres, reſte 1 liv. ou 20 ſols, qui joint avec les 9 qui
ſont après, donne 29 ſols, dont la moitié eſt; 14 pour 28,
reſte un ſol ou 12 deniers, qui joints avec le 4 ſuivant, font
16 deniers, dont la moitié eſt 8 (on négligera ici toutes les
fractions, parce qu’elles ne pourroient monter qu’à 3 ou 4 d.
& que d’ailleurs, pour en avoir exactement la ſomme, cela ſup-
poſeroit le calcul de ces nombres, que nous n’avons pas encore
donné). Pour une once on prendra encore la moitié de ce
que l’on vient de trouver, en diſant, la moitié de 13 eſt 6
pour 12, reſte 1 liv. ou 20 ſols, qui joints avec les 14 ſuivans,
font 34, dont la moitié eſt 17; la moitié de 8 deniers eſt 4
On paſſera des onces au gros, & l’on diviſera 5 en deux par-
ties, 4 & 1, pour 4 gros on prendra la moitié du prix d’une
once, parce que l’once vaut 8 gros, & l’on aura 3 liv.
8 ſ.
8 d.
Pour un gros on prendra le quart du prix de 4 gros, en diſant,
n’eſt point, je poſe zero au rang des livres,
le quart de 68 eſt 17, le quart de 8 eſt 2.
On paſſera pareillement aux deniers, &
pour 2 den.
on pren-
dra deux fois le tiers de 17 ſols 2 den. que l’on vient de trouver
pour le prix du gros, qui vaut 3 deniers, & l’on aura 5 ſ.
8 den.
que l’on écrira deux fois.
Enfin pour avoir le prix de 16 grains,
on prendra encore deux fois le tiers de 5 ſols 8 den. que l’on
vient de trouver pour le prix d’un denier, qui vaut 24 grains,
dont 16 grains ſont les deux tiers, & l’on aura un ſol 10 den.
que l’on écrira deux fois; ajoutant tous ces prix particuliers,
on aura le prix total de 325 marcs 7 onces 5 gros 2 den. 16 gr.
que l’on trouvera, par l’addition, de 17907 liv. 15 ſols 11 den.
On pourroit, ſans ſçavoir le calcul des fractions, opérer ſur
les plus petites parties des deniers, en imaginant le denier diviſé
en douze parties, & chaque partie diviſée encore en douze au-
tres parties, ainſi pour {1/2} on prendroit 6, pour {1/3} on prendroit 4,
& ainſi de ſuite, &
dans l’addition de ces parties, on retiendroit
autant de deniers que l’on auroit trouvé de fois douze. Nous
allons appliquer cette méthode à l’exemple ſuivant.
On demande le prix de 247 toiſes 5 pieds 9 pouces de maçon-
nerie, à 25 liv. 19 ſols 11 den.
la toiſe.
Après avoir diſpoſé le mul-
le multiplica-
teur, comme on le voit ici,
on multipliera d’abord 247
par 25 pour avoir le prix de
247 toiſes, à 25 liv. la toiſe.
On cherchera enſuite le prix
de 247 toiſes, à 19 ſ. en pre-
nant d’abord pour 10 ſols la
moitié du nombre 247, regar-
dé comme 247 livres, & l’on
dira, la moitié de 2 eſt 1, la
moitié de 4 eſt 2, la moitié de
7 eſt 3 pour 6, reſte une livre
ou 20 ſols, dont la moitié eſt
10. On cherchera pareille-
l’on prendra la moitié du
prix que l’on vient de trouver pour 10, en diſant, la moitié de
12 eſt 6, la moitié de 3 eſt 1, reſte 1 liv. qui joint avec les 10 ſ.
ſuivant fait 30 ſols, dont la moitié eſt 15.
On prendra encore
le prix de 247 toiſes, à 4 ſ. en prenant le cinquieme de 247, &
l’on dira le cinquieme de 24 eſt 4 pour 20, le cinquieme de 47
eſt 9 pour 45, reſte 2 liv. ou 40 ſols, dont le cinquieme eſt 8,
que l’on poſera au rang des ſols. Ces opérations faites, on aura
le prix de 247 toiſes, à 19 ſols: caril eſt évident que 10 + 5 + 4
eſt égal à 19: on cherchera enſuite le prix de 247 toiſ.
à 11 den.
& pour ce, l’on partagera les 11 den.
en parties aliquotes de
4 ſols, 6 + 3 + 2, & comme 6 eſt le 8
on prendra le huitieme du prix que l’on vient de trouver pour
4 ſols, en diſant, la huitieme partie de 49 eſt 6 pour 48, reſte
une livre ou 20 ſols, qui joints avec les 8 ſuivans, fait 28 ſols,
dont le huitieme eſt 3 pour 24, reſte 4 ſ. ou 48 deniers, dont
le huitieme eſt 6. Pour 3 den.
on prendra la moitié du der-
nier prix que l’on trouvera de 3 liv. 1 ſol 9 den.
Enfin pour
2 den. on prendra le tiers de ce même nombre, que l’on trou-
vera de 2 liv. 1 ſol 2 deniers:
on cherchera enſuite le prix de
5 pieds, que l’on diviſera en deux parties 3. 2, pour 3 pieds,
on prendra la moitié du prix de la toiſe, en diſant, la moitié
de 25 eſt 12 pour 24, reſte 1 ou 20, qui joints à 19, font 39;
la moitié de 39 ſols eſt 19 pour 38, reſte 1 ſol ou 12 den. qui
joints aux 11 ſuivans, font 23, dont la moitié eſt 11 den. &
ſuivant la remarque précédente, la moitié de 12 eſt 6. Pour
2 pieds on prendra le tiers du même prix, en diſant: le tiers
de 25 eſt 8 pour 24, reſte 1 liv. ou 20 ſols, leſquels joints avec
les 19 ſuivans, font 39, dont le tiers eſt 13; le tiers de 11 eſt
3, reſte 2 ou 24, dont le tiers eſt 8. Enfin pour avoir le prix
de 9 pouces, je les regarde comme 6 + 3: pour 6 pouces, je
prends le quart du prix de deux pieds, en diſant, le quart de
8 eſt 2, le quart de 13 eſt 3 pour 12, reſte 1 ſol ou 12 den. qui
joints avec les 3 ſuivans, font 15, dont le quart eſt 3, reſte 3
ou 36, qui joints aux 8 ſuivans, font 44, dont le quart eſt 11.
Enfin pour 3 pouces je prends la moitié de 2 liv. 3 ſ.
3 den.
{11/12}
que je trouve d’une livre 1 ſol 7 den. {11/12}.
A joutant tous ces pro-
duits particuliers, on aura pour le prix total de 247 toiſes
5 pieds 9 pouces, à 25 liv. 19 ſols 11 den.
la toiſe;
6445 liv.
@7 ſols 8 deniers.
76.
SI l’on diviſe une unité quelconque, que nous appelle-
rons unité principale, comme une toiſe, un pied, une livre, &c.
en un certain nombre de parties égales, chacune de ces parties
ſera appellée unité fractionnaire, pour la diſtinguer de l’unité
principale que l’on diviſe, & le nombre qui marquera com-
bien on prend de ces parties égales, ſera appellé une fraction,
que l’on exprime ainſi, {2/3}, {5/6}, & que l’on prononce deux tiers,
cinq ſixiemes. On a déja vu qu’une barre placée entre deux
grandeurs, indique la diviſion de la grandeur ſupérieure, &
c’eſt encore ce qui arrive ici.
77.
Le nombre que l’on met au deſſous de la barre s’appelle
dénominateur, parce qu’il fait voir en combien de parties égales
on a partagé ou diviſé l’unité principale. Dans les fractions pré-
cédentes, les nombres 3 & 6 ſont les dénominateurs de ces
fractions, parce qu’ils déſignent que les unités principales ont
été diviſées en trois ou en ſix parties égales.
78.
Le nombre que l’on met au deſſus de la barre horizon-
tale s’appelle numérateur, parce qu’il compte effectivement
combien on prend de parties égales: ainſi 2 &
5 ſont les nu-
mérateurs des fractions {2/3} & {5/6}.
Les fractions algébriques ſe
marquent préciſément de la même maniere; ainſi {a/b}, {c/d}, {f/g} ſont
des fractions algébriques, dont les numérateurs ſont a, c, f,
& les dénominateurs b, d, g.
79.
Si le numérateur eſt égal, plus petit ou plus grand que
le dénominateur, la fraction ſera auſſi égale à l’unité, ou plus
petite ou plus grande que l’unité; car un tout eſt égal à toutes
ſes parties priſes enſemble, & plus grand qu’une de ſes parties,
plus petit que toutes ſes parties priſes enſemble, ajoutées à
quelqu’une de ſes parties.
80.
La grandeur d’une fraction dépend de la grandeur du
numérateur de cette fraction; enſorte que de deux fractions
qui ont même dénominateur, la plus grande eſt celle qui a le
plus grand numérateur, & la plus petite, celle qui a le plus petit
numérateur; car il eſt évident que la fraction {5/6} eſt plus grande
que la fraction {3/6}, par la même raiſon que 5 eſt plus grand que
3, quelle que ſoit la nature des unités du 6 & du 3, pourvu
qu’elle ſoit la même pour l’un & pour l’autre.
81.
Plus le nombre dans lequel on diviſe un même tout eſt
grand, plus chaque partie eſt petite, & par conſéquent plus le
dénominateur d’une fraction eſt grand, le numérateur reſtant
le même, plus auſſi la fraction eſt petite; c’eſt ce que les Géo-
metres expriment, en diſant que deux fractions qui ont un
même numérateur ſont entr’elles réciproquement comme leurs
dénominateurs; car il eſt évident que la fraction {2/3} eſt plus
grande que la fraction {2/5}, pourvu qu’elles ſoient chacune frac-
tion d’une même unité principale, d’une toiſe par exemple,
d’un pied, &c.
82.
Les fractions étant des parties de certaines grandeurs ou
unités principales, ſont de même nature qu’elles, & par con-
ſéquent ſont ſuſceptibles comme elles d’augmentation ou de
diminution. Donc on peut faire ſur les fractions les mêmes
opérations que l’on fait ſur les entiers, c’eſt-à-dire qu’on peut
les ajouter, les ſouſtraire, les multiplier, ou les diviſer les unes
par les autres.
Outre les quatre opérations qui leur ſont communes avec
les nombres entiers, il y en a trois autres qui leur ſont parti-
culieres, & dont les premieres dépendent.
La premiere de ces
trois eſt d’évaluer une fraction, ou de déterminer ſa valeur en
quantités connues; la ſeconde eſt de réduire les fractions à
leurs moindres termes, & la troiſieme eſt de les réduire au
même dénominateur. Nous allons commencer par expliquer
ces opérations, par le ſecours deſquelles on pourra faire aiſé-
ment toutes les autres.
83.
Evaluer une fraction, ou, ce qui eſt la même choſe, trouver
en valeurs connues, moindre que l’unité principale, une quantité
égale à une fraction propoſée.
On diviſera l’unité principale en autant de parties égales
qu’il y a d’unités au dénominateur; on multipliera enſuite le
quotient par le numérateur, & le produit ſera la valeur de la
fraction propoſée. Comme ſi l’on propoſoit d’évaluer cette
fraction {2/5} de liv. je diviſe la livre, qui eſt ici l’unité principale,
& qui vaut 20 ſols, en cinq parties égales, dont chacune eſt
4 ſols, leſquels multipliés par le numérateur 2, font connoître
que la fraction {2/5} de liv. vaut 5 ſols.
De même ſi l’on propoſe
d’évaluer cette fraction {5/6} de pied, je diviſe le pied ou 12 pouces
en ſix parties égales, leſquelles ſont chacune de deux pouces,
je multiplie ce quotient 2 par le numérateur 5; le produit 10
me marque que la fraction {5/6} de pied vaut 10 pouces. Cette
premiere opération n’a pas lieu dans les fractions algébriques,
{a/b} eſt {a/b}, & l’on ne pourroit l’évaluer qu’après avoir ſubſtitué à
la place de a & de b les grandeurs qu’elles expriment.
84.
On dit qu’une fraction eſt réduite à ſes moindres termes,
ou à ſa plus ſimple expreſſion, lorſque le numérateur & le dé-
nominateur de cette fraction n’ont pas d’autres diviſeurs com-
muns que l’unité: ainſi ces fractions {2/3}, {7/5}, {8/9} ſont des fractions
réduites à leurs moindres termes. Il n’en eſt pas de même des
fractions {3/9}, {4/16}, qui ſont telles, qu’on en peut trouver d’autres
qui leur ſoient égales, & dont les termes ſoient plus petit,
comme {1/3} pour la premiere, & {2/8} ou {1/4} pour la ſeconde, que l’on
trouve en diviſant les deux termes de la premiere par 3, & les
deux termes de la ſeconde par 2 ou par 4.
85.
Si le nombre par lequel on diviſe les deux termes d’une
fraction eſt le plus grand diviſeur poſſible, commun au nu-
mérateur & au dénominateur, la fraction qui réſultera des
deux quotiens, diviſés l’un par l’autre, ſera auſſi la plus ſimple
fraction poſſible, & égale à la premiere.
86.
En Algebre une fraction eſt réduite à ſes moindres ter-
mes, lorſqu’elle n’a point de lettre commune au numérateur
au dénominateur.
Ainſi {a/b}, {c/d}, {gf/mn} ſont des fractions algé-
briques irréductibles.
87.
Trouver le plus grand commun diviſeur de deux nombres,
360 & 792, ou, ce qui eſt la même choſe, réduire la fraction {360/792} à
ſes moindres termes.
On diviſera le plus grand nombre 792 par le plus petit 360,
& négligeant le quotient 2, on diviſera de nouveau le plus petit
360 par le reſte 72; &
comme la diviſion de ces deux nombres
ſe fait exactement, on en conclura que 72 eſt le plus grand
diviſeur poſſible, commun aux deux nombres 792 & 360.
De même ſoit propoſé de trouver le plus grand commun di-
viſeur des deux nombres 91 & 294, ou, ce qui eſt la même
choſe, de réduire la fraction {91/294} à ſes moindres termes; je
diviſe le plus grand nombre 294 par le plus petit 91, il vient
3 au quotient, que je néglige, avec un reſte 21; je diviſe le
plus petit nombre 91 par le reſte 21, il vient encore 3 au quo-
tient, que je néglige pareillement, avec un reſte 7: je diviſe
le premier reſte 21 par le ſecond 7, & comme la diviſion ſe
fait exactement & ſans reſte, je conclus que le nombre 7 eſt
le plus grand commun diviſeur aux deux nombres 294 & 91.
En général le reſte qui diviſe exactement le reſte précédent, eſt
toujours le plus grand commun diviſeur que l’on cherche; di-
viſant donc le numérateur & le dénominateur de la 1
{360/792} par le plus grand diviſeur commun 72, on aura la frac-
tion {5/11}, qui eſt irréductible, & égale à la propoſée.
Diviſant
de même le numérateur & le dénominateur de la ſeconde
fraction {91/294} par le plus grand commun diviſeur 7, on aura la
nouvelle fraction {13/42} égale à la précédente, & réduite à ſa plus
ſimple expreſſion.
Pour concevoir la raiſon de ces opérations, on fera atten-
tion, 1°. qu’un nombre qui diviſe exactement une grandeur,
eſt auſſi diviſeur exact de ſes multiples, ou des nombres qui
réſultent du produit de cette grandeur par une autre quelcon-
que. Par exemple, ſi 3 eſt diviſeur de 6, il ſera auſſi divi-
30, &
c.
2°.
Qu’un nombre qui diviſe les deux parties d’un tout,
ſera auſſi diviſeur du tout, parce qu’un nombre eſt égal à
toutes ſes parties priſes enſemble; ainſi le nombre 3 étant di-
viſeur des nombres 9 & 6, eſt auſſi diviſeur de leur ſomme 15.
3°.
Que ſi un nombre eſt diviſeur d’un tout &
d’une de ſes
parties, il ſera auſſi diviſeur de l’autre partie; car s’il ne la di-
viſoit pas, il ne ſeroit pas diviſeur du tout, ce qui eſt contre
l’hypotheſe: ainſi le nombre 3 étant diviſeur du tout 15, &
d’une de ſes parties 9, eſt auſſi diviſeur de l’autre 6.
Cela poſé, que a &
b repréſentent les deux nombres, dont
on demande le plus grand commun diviſeur, que a diviſé par
b donne un quotient f avec le reſte d, on aura a = bf + d; car un dividende quelconque eſt égal au produit du diviſeur
par le quotient joint au reſte de la diviſion. Que b, diviſé par
le premier reſte d, donne un quotient g avec le reſte c, on aura
par la même raiſon b = dg + c: enfin que le dernier reſte c
diviſe exactement le premier d, en donnant h au quotient, on
aura encore d = ch; &
raſſemblant toutes ces égalités, on
aura a = bf + d, b = dg + c, & d = ch.
Or il eſt évident
que c eſt diviſeur des quantités a & b, car puiſque c eſt di-
viſeur de d, il eſt auſſi diviſeur de ſon multiple dg; d’ailleurs
il eſt diviſeur de lui-même; donc il diviſe dg + c;
donc il eſt
diviſeur de b, à cauſe de l’équation b = dg + c. Puiſque c eſt
diviſeur de d & de b, il eſt auſſi diviſeur des multiples de b;
donc il diviſe bf + d; donc il eſt diviſeur de a, à cauſe de
l’égalité a = bf + d.
Si l’on met dans l’équation b = dg + c la quantité ch à la
place de d qui lui eſt égale, on aura b = cgh + c; ſubſtituant
pareillement cette valeur de b dans celle de a, ainſi que celle
de d, on aura a = cfgh + cf + ch; donc au lieu de la frac-
tion {a/b} on auroit, ſuivant les ſuppoſitions que nous avons faites,
{cfgh + cf + ch/cgh + c}, dans laquelle fraction il eſt aiſé de voir qu’il n’y
a que la quantité c qui ſoit un diviſeur commun au numéra-
teur & au dénominateur, &
que cette lettre eſt en même tems
le plus grand commun diviſeur. Comme le procédé numé-
rique eſt préciſément le même, il faut auſſi qu’il faſſe trouver
le commun diviſeur que l’on cherche; ainſi l’on pourra tou-
88.
Réduire deux ou pluſieurs fractions à un même dénomina-
teur, de maniere qu’elles ſoient toujours égales aux fractions pro-
poſées.
S’il n’y a que deux fractions, on multipliera le numérateur
& le dénominateur de chacune par le dénominateur de l’autre;
&
s’il y en a pluſieurs, on multipliera le numérateur &
le dé-
nominateur de chacune par le produit des dénominateurs des
autres fractions.
Dans l’un &
dans l’autre cas les fractions auront même dé-
nominateur; car le produit de tant de nombres que l’on vou-
dra, multipliés les uns par les autres, ſera toujours le même. De plus, chacune ſera égale à la premiere fraction propoſée,
puiſque le numérateur augmente par la multiplication dans
la même proportion que les parties du dénominateur dimi-
nuent. La regle eſt précìſément la même pour les fractions
algébriques, & ſe démontre de la même maniere, comme on
le va voir dans les exemples ſuivans.
Soient propoſées les fractions {2/3} &
{4/5}, pour être réduites au
même dénominateur, on multipliera les deux termes 2 & 3
de la premiere par le dénominateur 5 de la ſeconde, & réci-
proquement les deux termes 4 & 5 de la ſeconde par le déno-
minateur 3 de la premiere, & l’on aura les deux nouvelles frac-
tions {10/15} & {12/15} égales aux précédentes, &
réduites en même dé-
nomination. De même pour réduire les fractions algébriques
{a/b} & {c/d} à la même dénomination, je multiplie a &
b par d, &
les termes c & d de la ſeconde par b, pour avoir les fractions
{ad/bd}, {cb/bd} qui ſont égales aux précédentes, & ont même déno-
minateur bd.
Si l’on a pluſieurs fractions, comme {2/3}, {3/4}, {5/6} à réduire, on
multipliera les termes 2 & 3 de la fraction {2/3} par 24, produit
des deux autres dénominateurs 6 & 4;
de même les termes 3
& 4 de la fraction {3/4} par le nombre 18, produit des dénomina-
teurs 3 & 6 des deux autres;
&
enfin les termes 5 &
6 de la frac-
tion {5/6} par 12, produit des dénominateurs 3 & 4 des deux
l’on aura les trois nouvelles fractions {48/72}, {54/72}, {60/72}
égales aux précédentes, & qui ont même dénominateur.
En agiſſant de même, on verra que les fractions {a/b}, {c/d}, {f/g}
deviendront celles-ci {adg/bdg}, {cbg/bdg}, {bdf/bdg}, qui ont évidemment même
dénominateur.
89.
Après avoir réduit les fractions propoſées en même dé-
nomination, il eſt à propos de voir ſi le dénominateur n’a pas
quelque diviſeur par lequel on puiſſe diviſer tous les numéra-
teurs, afin de ſimplifier les nouvelles fractions, ainſi que dans
l’exemple précédent, où l’on peut diviſer tous les numéra-
teurs & le dénominateur commun par 6, ce qui réduit les frac-
tions à celles-ci {8/12}, {9/12}, {10/12} égales aux premieres, ayant même
dénomination, & les plus ſimples que l’on puiſſe trouver, qui
rempliſſent ces conditions.
90.
S’il y a pluſieurs dénominateurs parmi les fractions à
réduire, qui ayent entr’eux un diviſeur commun, deux par
exemple, on pourra diviſer une fois par ce diviſeur chaque ter-
me des nouvelles fractions réduites; s’il y en a trois qui ayent
un diviſeur commun, on pourra diviſer toutes les nouvelles
fractions deux fois de ſuite par le même diviſeur, ou bien, ſi
l’on veut, une fois par le quarré de ce diviſeur commun. Dans
l’exemple propoſé ci-deſſus; on a diviſé toutes les nouvelles
fractions par 6, parce que deux d’entr’elles avoient un même
diviſeur 3, ſçavoir, la fraction {2/3} & fraction {5/6}, &
deux autres
des mêmes fractions avoient à leurs dénominateurs un divi-
ſeur commun 2, ſçavoir, la fraction {3/4} & la fraction {5/6}, c’eſt
pourquoi l’on diviſe par 2 x 3 ou par 6. On trouvera aiſément
la raiſon de ces opérations, ſi l’on décompoſe les dénomina-
teurs de ces fractions dans leurs facteurs.
91 Si les fractions que l’on veut ajouter enſemble n’ont pas
un même dénominateur, on commencera par les y réduire: ainſi ſi l’on propoſe d’ajouter enſemble les fractions {2/3}, {4/5}, {5/6}, on
les réduira au même dénominateur, ſuivant l’art. 88, &
l’on
aura à la place de ces fractions {60/90}, {72/90}, {75/90}, ou plus ſimplement
(article 89.) {20/30}, {24/30}, {25/30}, qui ſont égales aux précédentes.
On
d’une nouvelle fraction, qui conſervera le même dénomina-
teur commun, & qui ſera la ſomme des fractions propoſées;
cette ſomme ſe trouvera {69/30} ou {23/10}, qui eſt irréductible.
On opé-
reroit de même ſur des fractions littérales; ainſi {a/b} + {c/d} + {f/g}
= {adg + bcg + bdf/bdg}.
Si les fractions ont déja même dénomination, on n’aura
pas la peine de les y réduire, le reſte de l’opération s’achevera
comme dans le cas précédent. La raiſon de cette opération eſt
évidente, car puiſque les fractions comptent des unités de
même eſpece, étant réduites au même dénominateur, la ſomme
de ces fractions ne differe pas de celle des numérateurs, par la
même raiſon que la ſomme de ces différens nombres, 10 écus,
20 écus, 15 écus eſt égale à la ſomme des nombres 10 + 20
+ 15 = 45 écus.
92.
Si les fractions ont un même dénominateur, on fera
une nouvelle fraction, dont le numérateur ſoit égal à la dif-
férence des numérateurs des fractions propoſées, & qui retien-
dra le même dénominateur. Par exemple, ſi l’on veut ôter
{4/6} de {5/6}, on ôtera le numérateur 4 du numérateur 5, & l’on
écrira le reſte 1 au deſſus de la barre de diviſion, en mettant
au deſſous le dénominateur pour avoir la fraction {1/6} égale à la
différence des fractions propoſées. De même {5/9} - {3/9} = {2/9}, &
en Algebre {a/b} - {c/b} = {a - c/b}, {d/f} - {g/f} = {d - g/f}.
Si les fractions n’ont pas un même dénominateur, on com-
mencera par les y réduire (n°. 88), &
le reſte ſe fera comme
dans le premier cas, ſoit ſur les fractions numériques, ſoit ſur
les fractions algébriques. Par exemple, ſi l’on propoſe d’ôter
la fraction {3/7} de la fraction {2/3}, on les réduira d’abord en celles-ci
qui leur ſont égales, {14/21} & {9/21}, dont la différence eſt {5/21} égale à
celle des fractions primitives {3/7} & {2/3};
de même {5/8} - {4/9} = {45/72} - {32/72}
= {13/72}. De même pour ôter de la fraction {a/b} celle-ci {c/d}, on les
réduira d’abord au même dénominateur, & prenant la diffé-
rence des numérateurs des nouvelles fractions, on aura pour
de même encore {f/g} - {d/h}
= {fh - dg/gh}, {r/s} - {x/z} = {rz - sx/sz}, &c.
93.
Si l’on avoit pluſieurs fractions à ôter de pluſieurs au-
tres fractions, on commenceroit par réduire celles que l’on
doit ôter en même dénomination (ſelon l’art. 88.)
pour avoir
une ſeule fraction égale à leur ſomme; on feroit la même choſe
pour les fractions dont on doit ſouſtraire les premieres: enfin
on prendra la différence de ces nouvelles fractions, & l’on
aura celle des fractions propoſées. Par exemple, ſi l’on veut
ôter les fractions {1/2}, {2/9}, {4/5} des fractions {2/3}, {3/4}, {5/6}, je réduis les
premieres en même dénomination, pour avoir à leur place les
fractions {45/90}, {20/90}, {72/90}, dont la ſomme eſt {137/90}. Je réduis pareille-
ment les fractions {2/3}, {3/4}, {5/6} en même dénomination pour avoir à
leur place les fractions {48/72}, {54/72}, {60/72}, ou plus ſimplement {8/12}, {9/12},
{10/12}, dont la ſomme eſt {27/12}; réduiſant donc les deux fractions {137/90}
& {27/12} en même dénomination, la premiere deviendra {1644/1080}, &
la ſeconde {2430/1080}; prenant la différence de ces fractions, on aura
celle des fractions propoſées de {786/1080}. On voit par cet exemple
comment on peut déterminer laquelle de deux fractions eſt la
plus grande, & de combien l’une ſurpaſſe l’autre, ce qui dans
certains cas ne s’apperçoit pas tout d’un coup comme dans ces
deux-ci, {48/55} & {27/32}, à moins que l’on n’ait beaucoup d’habitude
au calcul.
94.
Si l’on vouloit ſouſtraire un entier &
une fraction d’un
autre entier, & d’une autre fraction, il faudroit d’abord
réduire l’entier en fraction, ce qui ſe feroit en le multipliant
par le dénominateur de la fraction qui lui eſt jointe: ainſi pour
que a - {cx/d} ſoit tout en fraction, il faut multiplier a par d, &
écrire {ad - cx/d}; de même pour ne faire qu’une ſeule fraction
de l’entier 2y + {bb/f}, l’on multipliera 2y par f pour avoir la frac-
tion {2fy + bb/f}; enſuite pour ſouſtraire ces deux fractions l’une
de l’autre, par exemple, {ad-cx/d} de {2fy + bb/f}, je les réduis au
même dénominateur, & j’ai pour la ſeconde {2dfy + bbd/df}, &
pour
la premiere {adf - cfx/df}, dont la différence eſt {2dfy + bbd - adf + cfx/df}.
ſuffit de faire attention que les fractions ayant même dénomi-
nateur, leur différence eſt préciſément celle des numérateurs; car il eſt évident que la différence de {3/5} &
{2/5} eſt {1/5}, par la même
raiſon que la différence de 3 à 2 eſt 1.
95.
Une fraction n’eſt plus que la moitié, le tiers ou le quart
de ce qu’elle étoit, ſi on multiplie ſon dénominateur par 2,
par 3 ou par 4, puiſque le nombre des parties dans leſquelles
on diviſe l’unitéprincipale devenant double, triple ou qua-
druple, chaque partie diminue dans la même proportion, &
que d’ailleurs on n’en prend que le même nombre, puiſque le
numérateur ne change pas.
96.
On peut multiplier une fraction par un entier ou par
une autre fraction. Si le multiplicateur eſt un entier, on mul-
tipliera le numérateur de la fraction par l’entier donné, le pro-
duit ſera le numérateur d’une nouvelle fraction, qui conſer-
vera le même dénominateur que la fraction multiplicande, &
cette nouvelle fraction ſera le produit cherché. Par exemple,
ſi l’on veut multiplier la fraction {2/3} par l’entier 4, je multiplie
le numérateur 2 par l’entier 4, & le produit 8 ſera le numéra-
teur de la fraction {8/3} égale au produit cherché. De même la
fraction {4/5} x 6 = {24/5} la fraction {27/32} x 3 = {81/32}; il en eſt de même
pour les fractions algébriques. Le produit de {a/b} x c = {ac/b}, {a/g} x
√c+d\x{0020}={ac + ad/g}, {fg/a} x √a - b\x{0020} = {afg - bfg/a}.
97.
Si le multiplicateur eſt auſſi une fraction, on multi-
pliera les deux numérateurs l’un par l’autre, & les deux déno-
minateurs de même, le produit des numérateurs ſera le nu-
mérateur d’une nouvelle fraction, dont le produit des déno-
minateurs ſera le dénominateur, laquelle fraction ſera le pro-
duit cherché: ainſi {2/3} x {4/5} = {8/15}, {3/5} x {8/9} = {24/45} ou {8/15}, en les rédui-
ſant à leur plus ſimple expreſſion: il en ſeroit de même ſi les
fractions étoient algébriques, {a/b} x {c/d} = {ac/bd}, {fg/a} x {bd/gh} = {bdfg/agh} =
{bfd/ah}; de même {a + b/c}x{a - b/g} = {aa - bb/cg}, {a-b/f}x{c-d/g} = {ac-bc-ad+bd/fg}.
Pour entendre la raiſon de ces opérations, on fera atten-
tion qu’une fraction devient d’autant plus grande, que ſon nu-
mérateur augmente, le dénominateur reſtant le même; donc
pour avoir une fraction deux ou trois fois plus grande, il ſuffit
de multiplier le numérateur par 2 ou par 3: donc pour le pre-
mier cas, pour multiplier une fraction par un entier, il ſuffit
de multiplier le numérateur de la fraction par l’entier.
Pour le ſecond cas, lorſque le multiplicateur eſt auſſi une
fraction, on remarquera que lorſque je multiplie une fraction
{2/3}, par exemple par {4/5}, & que je multiplie d’abord le numéra-
teur 2 de la premiere par le numérateur 4 de la ſeconde, je
multiplie par un nombre cinq fois trop grand, puiſque je ne
me propoſe pas de multiplier cette fraction par l’entier 4, mais
ſeulement par la cinquieme partie de 4; &
c’eſt ce que je fais
effectivement en multipliant le dénominateur 3 par le déno-
minateur 5 (art. 95);
car après cette multiplication, les par-
ties ne ſont plus que la cinquieme partie de ce qu’elles étoient
avant.
98.
Si l’on avoit un entier &
une fraction à multiplier par
un entier & une fraction, on donneroit à chaque entier le
même dénominateur que la fraction qui l’accompagne, en le
multipliant par le dénominateur, & le diviſant par le même;
on multiplieroit les deux nouvelles fractions qui en réſulte-
roient l’une par l’autre, & le produit ſeroit le produit que l’on
demande. Par exemple, (3 + {5/6}) x (4 + {8/9}) = ({18 + 5/6}) x ({36+8/9})
= {23/6} x {44/9} = {1012/54}; de même pour multiplier {bx/a} - y par {bx/a} +y
je réduis les entiers en fractions, en le multipliant par le dé-
nominateur de la fraction, à laquelle ils ſont liés par les ſignes
+ ou -, & il vient {bx - ay/a} &
{bx + ay/a}, &
multipliant les deux
numérateurs l’un par l’autre, c’eſt-à-dire bx - ay par bx + ay,
il vient bbxx - abxy + abxy - aayy ou bbxx - aayy, à qui
il faut donner pour dénominateur le produit des dénomina-
teurs des deux fractions, qui ſera aa, & l’on écrira {bbxx - aayy/aa}
pour le produit de la multiplication, ou bien {bbxx/aa} - yy.
99.
Si dans le premier cas le multiplicateur étoit égal au
dénominateur de la fraction propoſée, le produit ſeroit égal
au numérateur, & alors la multiplication ſe fait, en ôtant le
dénominateur, ainſi {2/3} x 3 = 2, {a/b} x b = b.
Si dans le même cas le dénominateur étoit diviſible par
l’entier propoſé, il faudroit faire la diviſion, & du quotient
faire le dénominateur d’une nouvelle fraction qui auroit même
numérateur, & ſeroit le produit demandé.
Ainſi pour multi-
plier {5/12} par 3, on diviſera le dénominateur 12 par 3, & le quo-
tient 4 ſera le dénominateur d’une nouvelle fraction {5/4}, qui
conſervera le même numérateur, & ſera égale au produit cher-
ché. En opérant de cette maniere, la fraction qui viendra ſera
tout d’un coup réduite à ſa plus ſimple expreſſion, & l’on n’a
pas deux opérations à faire. Il eſt de plus évident que la frac-
tion {5/4} eſt le produit de la fraction {5/12} par 3, puiſque les par-
ties dans leſquelles on diviſe l’unité principale ſont devenues
trois fois plus grandes qu’elles n’étoient, & que l’on en prend
toujours le même nombre.
100.
Dans le ſecond cas, c’eſt-à-dire lorſque le multiplica-
teur eſt auſſi une fraction, ſi le numérateur de la fraction mul-
tiplicande eſt diviſible par le dénominateur de la fraction
multiplicateur, & réciproquement le dénominateur de la pre-
miere diviſible par le numérateur de la ſeconde, on fera les
diviſions, le premier quotient ſera le numérateur d’une frac-
tion, & le ſecond le dénominateur de la même fraction, la-
quelle ſera le produit que l’on cherche. Par exemple, ſi l’on
propoſe de multiplier la fraction {8/9} par la fraction {3/4}, dans leſ-
quelles le numérateur 8 de la premiere eſt diviſible par le dé-
nominateur 4 de la ſeconde, & réciproquement le dénomina-
teur 9 de la premiere diviſible par le numérateur 3 de la ſe-
conde. Je diviſe donc 8 par 4, &
9 par 3;
des quotiens 2 &
3,
je fais la fraction {2/3}, qui eſt le produit demandé: en opérant
de cette maniere, la fraction qui vient au produit eſt tout d’un
coup réduite à ſa plus ſimple expreſſion, au lieu qu’il auroit
fallu réduire la fraction {24/36} que l’on eût trouvée, en ſuivant le
procédé ordinaire. On doit faire attention à cette remarque,
lorſque les fractions que l’on veut multiplier les unes par les
autres ſont des nombres un peu conſidérables.
101.
Il arrive quelquefois dans ce ſecond cas, que le pro-
duit eſt plus petit que le multiplicande, ce qui paroît d’abord
ſurprenant; mais on ne ſera pas long-temps embarraſſé par
cette difficulté apparente, ſi l’on fait attention à la nature de
la Multiplication, qui eſt une opération, par laquelle on cher-
che un nombre qui ſoit au multiplicande, comme le multi-
plicateur eſt à l’unité. Si donc le multiplicateur eſt plus petit
que l’unité, il faut que le produit ſoit auſſi plus petit que le
multiplicande; ce qui arrivera néceſſairement toutes les fois
que la fraction propoſée pour multiplicateur ne vaudra pas un
entier. D’ailleurs, quand je multiplie une fraction {8/9} par une
autre {3/4}, c’eſt-à-dire que j’en prends les trois quarts, qui ſeront
certainement plus petits que cette fraction.
102.
La Multiplication des fractions ſert à faire connoître
ce que c’eſt qu’une fraction de fraction, qui paroît d’abord
quelque choſe de bien compliqué. Si l’on demande, par exem-
ple, ce que vaut la moitié des trois quarts des quatre cin-
quiemes d’un écu, on multipliera, les unes par les autres, les
fractions {1/2}, {3/4}, {4/5}; ce qui donnera au produit {12/40} ou {3/10}:
je diviſe
l’écu en dix parties pour en avoir le dixieme, il me vient 6 ſols: donc {3/10} valent 18 ſols;
&
par conſéquent 18 ſols ſont la moitié
des trois quarts des quatre cinquiemes d’un écu. Enfin on re-
marquera encore que l’on peut énoncer une même fraction de
pluſieurs manieres. On peut dire que la fraction {3/10} d’écu vaut
les trois dixiemes d’un écu, ou la dixieme partie de trois écus.
Toutes ces expreſſions reviennent abſolument au même; car
ſi trois écus ſont triples d’un écu, en prenant la dixieme partie
de trois écus, on ne prend qu’un dixieme; &
prenant les trois
dixiemes d’un écu, on en prend trois fois plus, ce qui fait
une compenſation parfaite.
103.
On peut diviſer une fraction par un entier, ou par
une autre fraction. Si le diviſeur eſt un entier, on multipliera
le dénominateur de la fraction dividende par cet entier, & le
produit ſera le dénominateur d’une nouvelle fraction, qui
ayant même numérateur, ſera le quotient demandé. Pour
diviſer la fraction {3/4} par 5, on multipliera le dénominateur 4
par l’entier 5, & la fraction {3/20} eſt le quotient cherché:
de même
La regle eſt la même
pour les quantités algébriques: {a/b} diviſé par c = {a/bc};
la frac-
tion {fg + gh/c} diviſée par d = {fg + gh/cd}, {aa - bb/a} diviſé par a + b
= {aa - bb/c x c + b} = {a - b/c}, car aa - bb eſt le produit de a + b par
a - b; donc a + b ſe trouve un diviſeur commun au numé-
rateur & au dénominateur, &
par conſéquent la fraction eſt
réductible.
104.
Si le numérateur de la fraction dividende étoit divi-
ſible par l’entier donné, on feroit la diviſion, afin de n’être
point obligé de réduire la fraction qui viendroit au quotient,
& qui ſeroit néceſſairement réductible ſi l’on multiplioit le dé-
nominateur par l’entier propoſé pour diviſeur: ainſi la frac-
tion {8/9} diviſée par 4 = {2/9}, {35/48} diviſé par 7 = {5/48}, en général {ab/c}
diviſé par b = {a/c}, {fgh/cd} diviſé par gh = {f/cd}. La raiſon de toutes
ces opérations ſe tire toujours du même principe; car diviſer
une fraction par un entier, comme 2, 3 ou 4, c’eſt en cher-
cher une qui ne ſoit que la moitié, le tiers ou le quart de la
fraction propoſée, & c’eſt ce que l’on exécute effectivement,
en ſuivant l’une ou l’autre méthode. Dans la premiere, lorſ-
qu’on multiplie le dénominateur, les parties dans leſquelles on
diviſe l’unité principale, ne ſont plus que la moitié, le tiers ou
le quart de ce qu’elles étoient, puiſque leur nombre devient
double ou triple, ou quadruple: donc la fraction n’eſt plus
auſſi que la moitié, le tiers ou le quart de ce qu’elle étoit,
puiſque l’on ne touche pas au numérateur. Dans la ſeconde
pratique, les parties reſtent bien les mêmes, puiſque l’on ne
touche pas au dénominateur; mais la fraction diminue par la
diviſion du numérateur, qui n’eſt plus que la moitié, le tiers
ou le quart de ce qu’il étoit, ſuivant qu’il a été diviſé par 2 ou
par 3, ou par 4. Seulement il eſt à remarquer que l’une de ces
deux méthodes peut toujours avoir lieu, puiſqu’il eſt toujours
poſſible de multiplier un nombre par un autre, & que la ſe-
conde n’eſt d’uſage que lorſque le numérateur eſt diviſible par
l’entier donné; auquel cas on doit préférer cette méthode à la
plus générale, pour que la fraction ſoit réduite à ſes moindres
termes dès la premiere opération.
105.
Si le diviſeur eſt auſſi une fraction, on multipliera le
la fraction diviſeur, & le dénominateur de la même fraction
dividende par le numérateur de l’autre, c’eſt ce qu’on appelle
ordinairement multiplier en croix. Cette regle eſt générale
pour les fractions numériques & algébriques;
ainſi pour di-
viſer la fraction {2/3} par la fraction {4/5}, je multiplie le numérateur
2 de la premiere fraction dividende par le dénominateur 5
de la fraction diviſeur; je multiplie de même le dénomi-
nateur 3 de la premiere par le numérateur 4 de la ſeconde, &
mettant les deux produits 10, 12 en fraction, j’ai pour quo-
tient des fractions données, diviſées l’une par l’autre, la frac-
tion {10/12} ou {5/6} qui lui eſt égale. De même la fraction {15/17} diviſée
par {3/4} = {15 x 4/17 x 3} = {60/51} = {20/17}, en réduiſant le produit. En général
une fraction {a/b} diviſée par {c/d} = {a x d/b x c} = {ad/bc}, une fraction {df + gh/b}
diviſée par la fraction {a/c} = {cdf + cgh/ab}, {a + b/c} x {df/a - b} = {√a + b\x{0020} x √a - b\x{0020}/cdf}
= {aa - bb/cdf}, & ainſi des autres.
La raiſon de cette opération eſt toujours déduite des mê-
mes principes que les précédentes. Quand je multiplie le dé-
nominateur 3 de la fraction {2/3} par le numérateur 4 de la frac-
tion {4/5}, je rends la fraction propoſée cinq fois plus petite
(art. 103.)
que je ne me propoſe de le faire, puiſque je ne veux
pas la diviſer par quatre entier, mais ſeulement par la cinquieme
partie de 4, puiſque la fraction {4/5} ne vaut que cela (art. 102);
donc il faut la rendre cinq fois plus grande pour la remettre dans
l’état où elle doit être; c’eſt ce que je fais en multipliant en-
ſuite le numérateur de la fraction dividende par le dénomina-
teur 5 de la fraction diviſeur. La démonſtration ſubſiſte tou-
jours dans toute ſa force pour les fractions algébriques, cepen-
dant on peut la prouver directement comme il ſuit.
Pour prouver que la fraction {a/b}, diviſée par la fraction {c/d}
donne au quotient {ad/bc}, nous ſuppoſerons que {a/b} = f, & que
{c/d} = g, & nous ferons voir que {ad/bc} = {f/g}:
pour cela, faites at-
tention que puiſque l’on a par hypotheſe {a/b} = f, & {c/d} = g, on
c = dg.
Mettant donc ces valeurs de a &
de c dans la fraction {ad/bc}, on aura la nouvelle fraction {bfd/bdg}, qui
étant réduite à ſa plus ſimple expreſſion, devient {f/g}; donc {ad/bc}
= {f/g}: C.
Q.
F.
D.
106.
Si le numérateur de la fraction dividende eſt diviſible
par le numérateur du diviſeur, & le dénominateur de la même
fraction diviſible par celui du diviſeur, il faudra faire les di-
viſions, & les quotiens mis en fraction, ſeront le quotient de-
mandé, qui ſe trouvera de cette maniere réduit à ſa plus ſimple
expreſſion. Par exemple, pour diviſer la fraction {8/9} par la frac-
tion {2/3}, je diviſe le numérateur 8 par le numérateur 2, & le
dénominateur 9 par le dénominateur 3, avec les quotiens 4
& 3, je fais la fraction {4/3}, qui eſt le quotient que l’on demande.
En ſuivant la regle générale, on auroit multiplié 8 par 3, &
9 par 2, ce qui auroit donné la fraction {24/18}, qui ne vaut en
effet que {4/3}, en diviſant ſes deux termes par 6, qui leur eſt com-
mun. Il ſera toujours poſſible de faire la diviſion, en ſuivant
la regle générale, mais il faut préférer cette derniere à la pre-
miere, lorſque la diviſion peut ſe faire.
107.
Si l’on avoit un entier &
une fraction à diviſer par un
entier & une fraction, on réduiroit chaque entier en fraction,
qui auroit même dénominateur que la fraction à laquelle il eſt
uni par les ſignes + & -, &
l’on feroit la diviſion de ces
fractions, ſuivant l’une des regles précédentes. Ainſi pour di-
viſer 6 + {3/4} par 2 + {5/6}, je change la premiere en {27/4}, & la ſe-
conde en {17/6}, je multiplie ces deux fractions en croix, & j’ai
pour le quotient {162/68} ou {81/34}, qui eſt irréductible.
108.
Il y a encore une autre maniere de diviſer une fraction
par une autre fraction, en opérant ſur le numérateur ou ſur
le dénominateur ſeulement. On opére ſur le numérateur ſeu-
lement, lorſque le numérateur du dividende eſt diviſible par
celui du diviſeur; &
voici ce qu’on fait en ce cas:
on diviſe
le numérateur du dividende par celui du diviſeur, & enſuite
on multiplie le quotient par le dénominateur du même divi-
ſeur, le produit étant diviſé par le dénominateur du dividende,
donne le quotient des deux fractions. Par exemple, ſi l’on
propoſe de diviſer la fraction {18/49} par la fraction {3/5}, je diviſe le
numérateur 18 du dividende par le numérateur 3 du diviſeur,
viſeur, le produit 30 diviſé par 49 me donne une fraction {30/49}
égale au quotient que je cherche: cette pratique ſe déduit tou-
jours des mêmes principes. Quand je diviſe 18 par 3, j’ai une
fraction cinq fois plus petite que celle que je cherche, car ce
n’eſt pas par 3 que je veux la diviſer, mais par {3/5}, ou la cin-
quieme partie de 3; c’eſt donc pour rétablir cette trop grande
diminution, que je multiplie par 5 le quotient que j’ai trouvé.
On opére ſur le dénominateur ſeulement, lorſque le déno-
minateur du dividende eſt diviſible par le dénominateur du
diviſeur, & voici ce que l’on fait:
On diviſe le dénomina-
teur du dividende par celui du diviſeur, & on multiplie le
quotient par le numérateur du diviſeur; ce nouveau produit
ſert de dénominateur à une fraction qui retient toujours le
même numérateur que la fraction dividende, & cette fraction
eſt le quotient cherché. Par exemple, pour diviſer la fraction
{18/49} par la fraction {5/7}, je diviſe le dénominateur 49 par 7; je
multiplie le quotient 7 par le numérateur 5 du diviſeur, le pro-
duit eſt 35, que je fais ſervir de dénominateur à une nouvelle
fraction, dont le numérateur eſt toujours 18, & j’ai {18/35} pour
le quotient demandé. La raiſon de cette méthode eſt encore
aiſée à déduire des principes que l’on a donnés. Quand je diviſe
le dénominateur du dividende par le dénominateur 7 du di-
viſeur, j’ai une fraction ſept fois plus grande que la précé-
dente, maisje veux qu’elle ſoit ſeulement {5/7} de fois plus grande
que la propoſée; donc il faut multiplier le nouveau quotient,
afin que par la multiplication du dénominateur il y ait une com-
penſation de ce que l’on avoit fait de trop. En général on doit
encore préférer ces méthodes à la méthode générale, lorſ-
qu’elles peuvent avoir lieu; car en opérant ainſi, les quotiens
ſeront irréductibles ſi le dividende avoit été réduit à ſa plus
ſimple expreſſion avant de commencer la Diviſion: dans les
exemples précédens, ſi l’on eût ſuivi la regle générale, on eût
trouvé pour le premier {90/147}, pour le ſecond {126/245}, au lieu des frac-
tions {30/49} & {18/35}.
109.
OUtre les fractions dont nous venons de parler, il y en
a encore d’autres qui ſont d’un grand uſage en Mathématique,
& dont la connoiſſance eſt abſolument néceſſaire pour avoir
dans certaines occaſions les grandeurs dont on a beſoin avec
toute la préciſion poſſible.
110.
Si on diviſe un tout ou unité principale par l’unité,
ſuivie d’un ou de pluſieurs zero, par les nombres 10, 100,
1000, 10000, &c, qui ſont les puiſſances ſucceſſives de 10,
& que l’on prenne pluſieurs de ces parties égales, la fraction
qui marque combien on prend de ces parties égales, eſt ap-
pellée fraction décimale, & ſe marque ainſi:
{3/10}, {7/100}, {48/1000}, &
ainſi des autres.
On a trouvé le ſecret d’opérer ſur ces ſortes de fractions,
préciſément de la même maniere que l’on opére ſur les nom-
bres naturels; &
de plus, de réduire toute fraction donnée à
une fraction décimale qui lui ſoit égale, ou qui n’en différe
que d’une quantité infiniment petite, & c’eſt ce qui a rendu
leur uſage ſi fréquent dans les Mathématiques.
111.
Puiſque les fractions décimales ſont des fractions, on
peut les exprimer comme les autres fractions; ainſi pour mar-
quer 3 dixiemes, 58 centiemes on peut écrire {3/10}, {58/100}: mais il
y a une autre maniere de les marquer, c’eſt d’écrire le numé-
rateur ſeulement, en ſous-entendant le dénominateur. Par
exemple, au lieu d’écrire {3/10}, {58/100}, on écrit. 3.
58, en mettant
un point ſur la gauche du numérateur, de maniere qu’il y ait
après ce point autant de chiffres qu’il y auroit de zero au dé-
nominateur après l’unité; de même s’il y avoit des entiers
joints aux fractions, comme 15 {25/100}, 38 {245/1000}, on pourroit écrire
15. 25 &
38.
245.
De cette maniere, quoique le dénomina-
teur ne ſoit pas exprimé, on peut cependant toujours le con-
car s’il y a deux chiffres après le point, on concluera
que le dénominateur eſt 100, s’il y en a trois, on concluera
que le dénominateur eſt 1000, & ainſi de ſuite.
112.
Il ſuit delà que ſi l’on a des expreſſions, comme 253.
27, cela ſignifie 253 {27/100}, de même que 483.
547 ſignifie 483
entiers {547/1000}. Il ſuit encore delà que ſi l’on veut mettre ſous
cette forme la quantité 28 {3/100}, il faudra l’écrire ainſi, 28. 03,
en mettant un zero devant le 3, afin qu’il y ait deux chiffres
après le point, pour que l’on connoiſſe que le dénominateur
eſt l’unité ſuivie de deux zero ou 100. De même pour mettre
ſous cette forme 53 {48/10000}, on écrira 53. 0048, en mettant
deux zero avant les chiffres 48, pour marquer que le déno-
minateur a quatre zero après l’unité, & compte des dix mil-
liemes.
113.
S’il n’y avoit point d’entiers avec la fraction, mais ſeu-
lement {325/1000}, on écriroit ainſi: 0.
325, en faiſant voir par le
zero mis avant le point, qu’il n’y a pas d’entier. Si l’on fait
bien attention, on verra que cette expreſſion 0.325 eſt égale à
{3/10} + {2/100} + {5/1000}; car {3/10} eſt égale à {30/100}, à {300/1000}, &
{2/100} = {20/1000},
puiſqu’une fraction ne change pas de valeur lorſqu’on multiplie
ſon numérateur & ſon dénominateur par un même nombre:
donc au lieu d’exprimer la fraction 0.
325 en diſant 325 cen-
tiemes, on auroit pu l’énoncer ainſi: 3 dixiemes, 2 centiemes,
5 milliemes; ce qui fait voir que les chiffres de cette quantité
0.325 vont en augmentant en proportion décuple, en allant
de droite à gauche, & diminuent dans la même proportion,
en allant de gauche à droite: car il eſt évident qu’un centieme
eſt dix fois plus grand qu’un millieme, & qu’un dixieme eſt
dix fois plus grand qu’un centieme. En conſidérant les frac-
tions décimales ſous ce point de vue, on peut les définir en
diſant que ce ſont des nombres moindres que les entiers qui
ſuivent la proportion des différens ordres de la numération.
En effet, après avoir fixé le terme des unités ou nombres en-
tiers, rien n’empêche d’imaginer d’autres nombres, dont les
unités ſuivent toujours la même progreſſion, ainſi que dans ce
nombre 6325.489, dans lequel les unités du premier chiffre 2,
qui eſt à la gauche du 5, où ſe terminent les entiers, ſont dix fois
plus grandes que les unités du même 5, & les unités du 4 qui
eſt immédiatement à la droite du même 5, ſont dix fois plus
petites que les unités du 5, ou les unités du 3 qui occupe le
plus grandes que celles du même 5, & les unités du 8 qui tient
le ſecond rang vers la droite, après le 5, ſont cent fois plus
petites que les unités du même 5, & ainſi des autres qui pour-
roient occuper des rangs égaux, tant vers la droite, que vers
la gauche du chiffre des unités: enſorte que l’on peut dire, en
partant de ce chiffre vers la droite, unités, dixiemes, cen-
tiemes, milliemes, &c, de même que l’on dit, en partant de
ce même chiffre vers la gauche, unités, dixaines, centaines,
mille, &c.
Cette maniere d’enviſager les fractions décimales
jette un grand jour dans toutes les opérations que l’on fait ſur
elles, & l’on ne peut ſe la rendre trop familiere.
114.
Pluſieurs fractions décimales, comme 0 3, 0.
54, 0.
008,
ou leurs égales, {3/10}, {54/100}, {8/100}, étant ſous leur premiere forme,
pourront aiſément ſe réduire à la même dénomination; car
{3/10}, comme on l’a déja dit, eſt égal à {30/100}, à {300/1000}, & {54/100} eſt égal
à {540/1000}: donc les fractions propoſées pourront auſſi s’écrire ſous
cette forme, 0.300, 0.
540, 0.
008.
Il eſt évident que ces chan-
gemens ne font point changer la valeur des fractions, puiſque
l’on ne fait par cette opération que multiplier les numérateurs
& dénominateurs par les mêmes nombres.
Ces principes une
fois bien compris, il eſt aiſé de voir que l’on peut opérer ſur
les fractions comme ſur les nombres entiers; &
comme l’on
peut réduire toute fraction en fraction décimale qui lui ſoit
égale, ou qui n’en différe pas ſenſiblement, il ſuit auſſi que
l’on peut rappeller toutes les opérations des fractions à celles
des nombres entiers: c’eſt pourquoi nous n’entrerons pas dans
un grand détail d’exemples. Nous allons commencer par ex-
pliquer l’art de faire ſur ces quantités les quatre Regles prin-
cipales de l’Arithmétique; nous donnerons enſuite la maniere
de réduire une fraction quelconque en décimales, & les diffé-
rentes applications que l’on peut faire de ces opérations aux
calculs qui ſont le plus en uſage.
115.
Si les fractions propoſées ne ſont pas réduites à la même
dénomination, on commencera par les y réduire (art. 113):
de maniere que les dixiemes ſoient ſous les dixiemes, les cen-
tiemes ſous les centiemes, les milliemes ſous les milliemes,
formant chacun une colonne verticale, & l’on fera l’Addition
ſuivant les regles que l’on a données pour l’Addition des nom-
bres entiers. Par exemple, ſi l’on veut avoir la ſomme des
fractions 0.3, 0.
25, 0.
489, 0.
056, on les réduira en même dé-
nomination que le nombre 0.489, ou 0.
056, dont chacun a
des milliemes, & l’on aura, en les diſpoſant par ordre comme
il convient,
095, # c’eſt-à-dire l’entier,
& {95/1000}.
116.
S’il y avoit des entiers joints aux
vans, 25.43, 3.
054, 69.
067, 36.
48, ce
ſeroit préciſément la même opération, &
l’on auroit, en les ajoutant comme on voit
ici, après les avoir réduit à la dénomination
de 3.054, 134.
031, c’eſt-à-dire 134 entiers, plus lafraction {3@/1000}.
On peut même ſe diſpenſer de réduire les frac-
ſervant tout le reſte, comme on l’a expliqué au
commencement de l’art. 114.
Ainſi ſi l’on veut
ajouter les fractions ſuivantes, 0.35, 0.
48, 054,
0.345, 0.
0048, on les diſpoſera comme on le voit
ici, & l’on aura pour la ſomme que l’on a demandée
117.
Si les fractions n’ont pas même dénomination, pour
plus grande facilité, on commencera par les réduire à celle du
plus grand dénominateur, ſuivant la méthode de l’art. 113;
enſuite on les diſpoſera de maniere que les dixiemes ſoient au
deſſous des dixiemes, les centiemes ſous les centiemes, &
ainſi des autres nombres: cela fait, on fera la Souſtraction
025 de
0.5894, on écrira comme on voit ici,
& faiſant la Souſtraction, le reſte ſera .
.
.
Si l’on avoit des entiers &
des fractions à ſouſtraire d’un
entier & d’une fraction, la méthode ſeroit toujours la même:
ainſi pour ôter 47.
9453 de 68.
05489, on écrira,
fans même ſe donner la peine de réduire le pre-
mier à la domination du ſecond, & le reſte ſera
La démonſtration de ces deux opérations eſt la même que
celle des mêmes opérations ſur les nombres entiers; car puiſ-
que l’on prend la ſomme ou la différence des dixiemes, des cen-
tiemes, des milliemes, on a auſſi la ſomme ou la différence de
ces fractions, puiſqu’elles ne contiennent que des dixiemes,
des centiemes, & des milliemes, &
c.
La preuve de ces deux
opérations ſe fait auſſi comme dans les autres par l’opération
contraire; ainſi il n’eſt pas néceſſaire d’inſiſter davantage.
118.
Pour multiplier deux nombres l’un par l’autre, donc
un ſeul, ou tous les deux enſemble, renferment des parties
décimales, on fera la Multiplication comme ſi ces nombres
étoient tous nombres entiers; &
lorſqu’on aura trouvé le pro-
duit, on ſéparera vers la droite autant de chiffres qu’il y a de
décimales, tant au multiplicande qu’au multiplicateur. Les
chiffres qui ſeront à la gauche du point marqueront les en-
tiers, & ceux qui ſeront à la droite marqueront les décimales.
Par exemple, pour multiplier 24.
35 par 2.
3, on écrira
Ayant fait la Multiplication comme s’il
n’y avoit point de décimales, & trouvé
le produit 56005, on écrira 56.005, fai-
ſant enſorte qu’il ſe trouve trois chiffres à
la droite du point, parce qu’il y avoit trois
rangs de décimales, tant au multipli-
cande qu’au multiplicateur, ſçavoir, 2 à l’un, & 1 à l’autre.
De même pour multiplier 4.
35 par 6.
7, j’écris
Faiſant la Multiplication comme s’il n’y
avoit point de décimales, je trouve le produit
29145, & j’écris 29.
145, faiſant enſorte qu’il
y ait trois rangs de décimales aprés le point,
parce qu’il y en a deux au multiplicande, &
un au multiplicateur.
119.
Il pourroit arriver que le nombre des rangs de déci-
males du multiplicande & du multiplicateur fût plus grand
que le nombre des chiffres du produit; ce qui arrive lorſqu’il
n’y a point d’entiers joints aux fractions décimales, & qu’elles
ſont d’un certain ordre; en ce cas on mettroit vers la gauche
autant de zero qu’il ſeroit néceſſaire, pour qu’il y ait après le
point autant de rangs de chiffres qu’il y en a au multiplicande
& au multiplicateur.
Par exemple, ſi l’on propoſe de multi-
plier ces deux nombres, qui ne contiennent
que des décimales, 0.
0054 par 0.
012, les
ayant diſpoſés comme on voit ici, fait la
multiplication comme à l’ordinaire, & trouvé
le produit 648 des chiffres ſignificatifs, multi-
pliés les uns par les autres, on écrira 0.0000648,
en faiſant enſorte, par l’addition de quatre
zero, qu’il y ait après le point autant de rangs qu’il y en a,
tant au multiplicande qu’au multiplicateur.
De même 0.
0048, multiplié par 0.
027,
donne au produit, en multipliant les chiffres
ſignificatifs les uns par les autres, 1296, &
j’ajoute à ce produit, vers la gauche, trois zero,
afin qu’il y ait autant de rangs de décimales
après le point qu’il y en a, tant au multipli-
cande qu’au multiplicateur.
Pour entendre plus aiſément la raiſon par laquelle on dé-
montre l’opération précédente, nous l’appliquerons au pre-
mier exemple, dans lequel il s’agiſſoit de multiplier 24.35 par
2.3.
Lorſque je multiplie ces nombres l’un par l’autre, com-
me s’ils n’avoient point de décimales, je rends le multiplicande
cent fois plus grand qu’il n’eſt, puiſque les unités du 4 qui ſe
vent par la ſuppreſſion du même point au rang des centaines. De même je rends le multiplicateur 2.
3 dix fois plus grand
qu’il n’eſt effectivement, en le conſidérant comme 23: le pro-
duit qui réſulte de ces deux nombres ſera donc dixfois cent fois
plus grand qu’il ne doit être, ou mille fois plus grand: donc pour
le réduire à ſa juſte valeur, il faudra le rendre mille fois plus petit;
& c’eſt ce que l’on fait en retranchant vers la droite autant de
rangs de décimales qu’il y en a, tant au multiplicande qu’au
multiplicateur. Dans notre exemple, on en a retranché 3, ce
qui a fait que le chiffre 6 du produit 56005, qui étoit au rang
des mille, s’eſt trouvé au rang des unités, en écrivant 56.005.
On appliquera le même raiſonnement à tout autre exemple.
120.
Pour diviſer un nombre décimal par un autre, ſoit
qu’ils ne contiennent l’un & l’autre que des décimales, ſoit
que le dividende & le diviſeur ayent encore, outre ces déci-
males, des nombres entiers, ou ſeulement l’un des deux, regle
générale, on regardera ces nombres comme s’ils étoient tous
nombres entiers: on les diviſera l’un par l’autre, ſuivant la
méthode de la Diviſion des nombres entiers; &
lorſqu’on aura
trouvé le quotient, on fera enſorte qu’il y ait après le point
un nombre de décimales égal à celui du dividende, moins
celui du diviſeur.
Soit, par exemple, propoſé de diviſer 88.
392 par 254.
Je diviſe ces deux nombres comme s’ils
étoient 88392 &
254, ayant trouvé le quo-
tient 348, j’écris 34.8, de maniere qu’il y ait
après le point un rang de décimales, parce
qu’il y en a trois au dividende, & deux au di-
viſeur, dont la différence eſt 1.
Soit propoſé de diviſer 158.
0802 par 32.
46.
Je diviſe ces deux nombres comme
& ayant trouvé le quoitient 487, je l’é-
cris ainſi, 4.87, c’eſt-à-dire quatre en-
tiers {87/100}, en faiſant enſorte qu’il y ait
deux chiffres de décimales, parce que
la différence de 2 à 4 eſt 2.
121.
Il ſuit de cette Regle générale, que s’il y a autant
de décimales au diviſeur qu’au dividende, le quotient ſera des
entiers; car puiſque (hyp.)
le diviſeur a autant de rangs de
décimales que le dividende, la différence ſera 0, & par con-
ſéquent il n’y aura point de décimales au’quotient. Il ſuit en-
core delà, que s’il n’y a point de décimales au diviſeur, il y en
aura autant au quotient qu’au dividende. Si le dividende n’a-
voit point de parties décimales, ou en avoit moins que le di-
viſeur, on lui ajouteroit autant de zero qu’il ſeroit néceſſaire,
pour que le nombre de ſes décimales fût égal à celui des déci-
males du diviſeur, & dans ce cas le quotient aura toujours
des entiers, à moins que le nombre des entiers du diviſeur ne
fût plus grand que celui des entiers du dividende. Par exem-
ple, ſi l’on propoſe de diviſer 883.92 par 2.
54, le quotient
ſera 348, parce que la différence des décimales du dividende à
celles du diviſeur eſt zero.
De même ſi l’on veut diviſer 5952 par
24, on ajoutera deux zero au dividen-
de, parce qu’il y a deux rangs de déci-
males au diviſeur: puis faiſant la diviſion
des nombres 5952.00, 1.
24 comme s’ils
étoient 595200, 124, on trouvera le quo-
tient de 4800 entiers.
Pour entendre plus aiſément la démonſtration de cette Regle
générale, nous allons établir pluſieurs principes.
122.
Une fraction décimale qui contient des entiers &
des
des décimales: ainſi la fraction 24.
32, qui vaut 24 entiers &
32 centiemes, peut être énoncée ainſi, deux mille quatre cens
trente-deux centiemes; car {2400/100} ou deux mille quatre cens cen-
tiemes, valent 24 entiers, puiſque le numérateur eſt 24 fois
plus grand que le dénominateur.
123.
Les unités du quotient doivent toujours être de même
nature que celles du dividende, lorſque le diviſeur eſt un nom-
bre entier qui marque des nombres de fois: ainſi ſi le divi-
dende a pour unités des milliemes, & que le diviſeur ſoit un
nombre entier abſtrait, comme 3 ou 4, le quotient vaudra le
tiers ou le quart des milliemes du dividende, & aura par con-
ſéquent des unités de même nature.
124.
Plus un diviſeur eſt grand, le dividende reſtant le
même, plus le quotient eſt petie; &
réciproquement plus le
diviſeur eſt petit, le dividende étant toujours ſuppoſé le mê-
me, plus le quotient eſt grand: car il eſt viſible que plus un
nombre eſt petit, plus il eſt contenu de fois dans un autre.
Pour rendre cette démonſtration plus intelligible, nous al-
lons appliquer les raiſonnemens au premier exemple. Quand
je diviſe ce nombre 88.392 par celui-ci, 2.
54, comme s’ils
étoient des nombres entiers, le quotient 348 que je trouve, ne
doit avoir que des nombres entiers par le ſecond principe: mais puiſque le dividende eſt 88.
392, &
non pas 88392, c’eſt-
à-dire 88 milles 392 milliemes, les unités du quotient, par le
ſecond principe, doivent être des milliemes: doncle quotient
348 eſt mille fois plus grand qu’il ne doit être, en ſuppoſant
le diviſeur toujours entier, & que les unités du dividende ſont
des milliemes: il faudroit donc en ce cas l’écrire ainſi, 0.
348.
Préſentement ſi l’on ſuppoſe que le diviſeur devienne ce qu’il
eſt réellement, c’eſt-à-dire 2.54, ou deux cens cinquante-quatre
centiemes, puiſque les centiemes ſont cent fois plus petits que
les unités, le nombre 2.54 ſera auſſi cent fois plus petit que
donc le quotient doit devenir cent fois plus grand;
&
c’eſt ce que l’on fait en retranchant un rang de décimales vers
la droite dans le quotient 0.348, qui devient 34.
8:
car en opé-
rant ainſi, les unités du 3 qui étoient des dixiemes, ſont deve-
nues des dixaines, les unités du 4 qui étoient des centiemes,
ſont devenues des unités ſimples, & par conſéquent le quo-
tient 0.348 étant écrit ainſi 34.
8, eſt devenu cent fois plus
grand; d’où il ſuit que la méthode que l’on a donnée met les
choſes dans l’état où elles doivent être.
Pour entendre la raiſon des opérations énoncées dans l’ar-
ticle 120, on fera attention que le quotient d’une diviſion ne
change pas, lorſqu’on multiplie le diviſeur & le dividende
par un même nombre. Ainſi 12 diviſé par 4, donne 3 au quo-
tient: que je multiplie 12 &
4 par 5, le quotient des produits
60 & 20, diviſés l’un par l’autre, ſera toujours 3.
Cela poſé,
lorſque je diviſe deux nombres, qui ont chacun même nom-
bre de décimales, comme s’ils n’en avoient point, je ne fais
que multiplier le dividende & le diviſeur par un même nom-
bre; ce qui ne doit point changer le quotient:
ainſi quand je
diviſe 88 3.92 par 2.
54, comme s’ils étoient 88392 &
254,
je multiplie le dividende & le diviſeur par 100;
le quotient ne
doit donc pas changer: mais le quotient de 88392 diviſé par
254, eſt 348: donc ce même nombre eſt auſſi le quotient de
883.92 diviſé par 2.
54.
Cette raiſon peut donner la démonſ-
tration de tous les cas imaginables, c’eſt pourquoi on fera
très-bien de l’étudier avec attention.
125.
Premier uſage.
Approcher ſi près que l’on voudra du
quotient d’une diviſion qui ne peut pas ſe faire ſans reſte.
On cherchera d’abord le quotient du dividende, diviſé par
le diviſeur, & l’on mettra à la ſuite du reſte autant de zero
que l’on voudra avoir de décimales au quotient: ſi l’on veut
avoir le quotient à un millieme ou un dix millieme près, on
ajoutera trois ou quatre zero à la ſuite du reſte, & l’on conti-
nuera la diviſion comme à l’ordinaire, en mettant les chiffres
à la ſuite du quotient comme ils viendront, après les avoir
ſéparés des entiers du quotient par un point, comme on va
voir dans l’exemple ſuivant.
Soit propoſé de diviſer 353 par 15, &
de trouver un quo-
tient qui ne differe pas du vrai quotient de la dix millieme
partie de l’unité.
Après avoir diviſé 353 par 15, &
trouvé
ce reſte quatre zero, parce que je veux
pouſſer les décimales juſqu’aux dix mil-
liemes, & continuant la Diviſion comme
à l’ordinaire, je dis, en 80 combien de fois
15, cinq fois; je poſe 5 au quotient (après
avoir mis un point à la ſuite du 3 pour ſé-
parer les entiers des décimales); cinq fois
15 font 75, que je poſé ſous 80. 75 de 80,
reſte 5; j’abaiſſe un zero à côté du 5, &
je
dis, en 50 combien de fois 15, trois fois; je poſe 3 au quotient;
trois fois 15 font
45, de 50, reſte 5; j’abaiſſe encore un zero, &
diviſant 50
par 15, je trouve encore 3 au quotient; &
comme l’on eſt ar-
rivé à un reſte 5, qui ſera toujours le même, les quotiens qui
ſuivront ſeront auſſi toujours les mêmes, & l’on aura tout d’un
coup un quotient qui ne différera pas, ſi l’on veut, du vrai
quotient de la cent millionieme partie de l’unité.
126.
Second uſage.
Trouver une fraction décimale égale
à une fraction donnée moindre que l’unité, ou bien, ce qui
revient au même, faire la diviſion d’un nombre par un nom-
bre plus grand que lui.
Soit propoſé de réduire la frac-
la même choſe, de trouver le quo-
tient approché de 5 diviſé par 7,
juſqu’à ce qu’il ne differe pas de la
millieme partie de l’unité. On ajou-
tera à la ſuite du numérateur 5 ſix
zero, & faiſant la diviſion comme
à l’ordinaire, on trouvera au quo-
tient 0.714285, ou 174 mille 285
millioniemes pour le quotient de 5
diviſé par 7, ou pour la valeur ap-
prochée de la fraction {5/7}, avec un
reſte cinq, ou cinq millioniemes,
Si l’on vou-
loit continuer plus loin la Diviſion, on trouveroit une ſuite
infinie de périodes égales à 714285; car il eſt évident qu’en
mettant un zero à la ſuite du 5, on auroit encore 50 à diviſer
par 7, & les mêmes quotients reparoîtroient avec les mêmes
reſtes, ce qui donneroit en un inſtant une approximation pro-
digieuſe, mais cependant toujours telle, qu’il y manqueroit
quelque choſe. Dans la pratique la plus rigoureuſe, on ſe con-
tente ordinairement de ſix chiffres décimaux, ou tout au plus
de huit.
127.
Il y a des fractions qui peuvent ſe réduire en fractions
décimales, & d’autres qui ne peuvent jamais s’y réduire, com-
me la fraction {5/7} & la fraction {6/7}, pour laquelle on trouveroit
0.857142, 857142, &
c.
en ſuivant le même procédé que nous
avons ſuivi pour la premiere. Il n’en eſt pas de même des frac-
tions {4/5}, {5/16}, pour leſquelles on trouve des fractions décimales
complettes & ſans reſte, 0.
8, 0.
3125, en ſuivant toujours le
même procédé.
128.
Troiſieme uſage.
Réduire en fraction décimale les par-
ties connues d’une certaine meſure, comme de la toiſe, du
pied, & de la livre, &
c.
On fera d’abord une fraction qui
aura pour numérateur le nombre des parties que l’on veut ré-
duire en décimales, & pour dénominateur, le nombre qui
marque combien de fois cette partie eſt contenue dans la me-
ſure dont il s’agit. On réduira cette fraction en décimales par
l’article précédent, & l’on aura la fraction décimalc deman-
dée. Par exemple, ſi je veux avoir une fraction décimale de
la toiſe, qui vale 5 pieds, ou bien réduire 5 pieds en parties
décimales de la toiſe, je prends cette fraction {5/6}, dont le nu-
mérateur 5 exprime le nombre de pieds, dont je veux avoir la
valeur en décimales, & le dénominateur 6 marque combien
de fois le pied eſt contenu dans la toiſe: jeréduis cette fraction
en décimale, ſuivant l’art. 125, &
j’ai pour la valeur de 3 pieds
en décimale, 0.8333, qui n’en differe pas de la dixmillieme
partie de la toiſe. De même ſi je veux réduire 9 pouces en dé-
cimales de la toiſe, ou, ce qui revient même, avoir une partie
décimale de la toiſe égale à 9 pouces, je prends la fraction {9/72},
dont le numérateur ſoit 9, & le dénominateur le nombre 72, qui
me marque combien de fois le pouce eſt contenu dans la toiſe,
& diviſant 9 par 72, ſelon la méthode de l’art.
125, je trouve
125.
Si l’on vouloit avoir une partie décimale de la toiſe égale à
5 pieds 9 pouces, il n’y auroit qu’à prendre la ſomme des deux
nombres 0.8333, &
0.
125, ou 0.
1250 que l’on trouveroit de
0.9583.
129.
Si l’on vouloit réduire en parties décimales de la livre,
des nombres de ſols & de deniers, on s’y prendroit de la même
maniere. Par exemple, ſi l’on me demande une partie déci-
male de la livre égale à 7 ſols 8 den. je cherche d’abord une
partie décimale de la livre, égale à 7 ſols; ce que je fais en di-
viſant 7 par 20, ou en cherchant une fraction décimale égale
à la fraction {7/20}, que l’on trouvera de 0.35={35/100}.
Je cherche
enſuite une fraction décimale de même valeur que la fraction
{8/240}, qui vaut 8 deniers, puiſque le denier eſt la 240
livre, que je trouve de 0.0333, &
prenant la ſomme de ces
deux fractions, j’ai pour la valeur de 7 ſols 8 den. en fractions
décimales de la livre, 0.3833.
130.
Quatrieme uſage des fractions décimales.
Faire la multi-
plication des nombres complexes par le moyen des décimales.
Soit propoſé de trouver le prix de 27 toiſes 5 pieds 9 pouces,
à 4 liv. 7 ſols 8 den.
la toiſe.
Je réduis les 5 pieds 9 pouces en parties
127, &
j’ai 279583 de toiſe;
de même je réduis
les 7 ſols 8 den. en parties décimales de la
livre, & j’ai par l’art.
128, 4
3833, je mul-
tiplie ces deux nombres l’un par l’autre, au
lieu de multiplier 27 toiſes 5 pieds 9 pouces
par 4 liv. 7 ſols 8 deniers, &
ayant trouvé
le produit 122.54961639, je fais enſorte
qu’il y aìt huit rangs de décimales après le
point (art. 117), parce qu’il y en a quatre au multiplicande
& au multiplicateur, &
j’ai 122 au rang des livres, reſte à
ſçavoir ce que vaut la fraction décimale 0.54961639, expri-
mée en ſols & en deniers:
c’eſt ce que nous allons expliquer
dans l’article ſuivant.
131.
Réduire une fraction décimale en parties connues,
ou, ce qui eſt la même choſe, évaluer une fraction décimale.
On multipliera la fraction décimale par le nombre qui mar-
que combien de fois la quantité à laquelle on veut réduire, eſt
&
lorſ-
qu’on aura trouvé le produit, le nombre qui ſe trouvera hors
du rang des décimales, ſera celui que l’on demande: par exem-
ple, ſi l’on me propoſe d’évaluer cette fraction de livre 0.35
en ſols, je multiplie 0.35 par 20, le produit eſt 7.
00;
d’où je
conclus que cette fraction vaut 7 ſols, puiſque le nombre 7 ſe
trouve hors du rang des décimales. De même ſi l’on me propoſe
d’évaluer en pieds & pouces cette fraction de toiſe 0.
9583, je
multiplie d’abord ce nombre par 6, qui marque combien de
fois la toiſe contient le pied, je trouve au produit 5.7498,
d’où je conclus d’abord que cette fraction vaut cinq pieds; la
partie décimale 7498 exprime donc des parties décimales de
pieds. Pour ſçavoir ce qu’elle vaut de pouces, je multiplie ce
nombre par 12, qui marque combien de fois le pouce eſt con-
tenu dans le pied, le produit eſt 8.9976;
d’où je conclus en-
core que 0.7498 de pied valent 8 pouces, puiſque 8 ſe trouve
au rang des entiers; &
de plus je prends 9, à cauſe que la frac-
tion reſtante {9976/10000} eſt preſque égale à l’unité: donc la fraction
décimale de toiſe 0.9583 vaut 5 pieds 9 pouces, comme on le
ſçait par l’art. 127.
La raiſon de cette pratique eſt aiſé à déduire de la nature
des décimales; car lorſque je multiplie la fraction 0.
35 de liv.
par 20, le produit 7.
00 eſt bien vingt fois plus grand, mais il
n’exprime plus que des parties décimales de ſols, au lieu qu’au-
paravant il exprimoit des parties décimales de livres, qui ſont
vingt fois plus grandes.
En ſuivant ce procédé, on trouvera que la fraction de livre
0.54961639, vaut 10 ſols 11 den.
+ {907840/1000000};
&
ſi l’on eût
cherché le même prix, ſuivant les regles des parties aliquotes,
on auroit trouvé 122 liv. 11 ſols o d.
; ce qui montre la préci-
ſion de chacune de ces méthodes. Cependant il faut avouer
que celle des parties aliquotes a quelque choſe de plus expé-
ditif dans la pratique, quoique les principes ſur leſquels cha-
que méthode eſt fondée ſoient fort ſimples, & à la portée de
tout le monde.
132.
Lorſque les fractions décimales contiennent beaucoup
de chiffres, on retranche ordinairement les deux derniers, vu
Par exemple, pour évaluer
cette derniere fraction de livres 54961639, on aura à peu près
la même préciſion en évaluant celle-ci, 5497, que l’on a, en
retranchant les quatre derniers chiffres de la précédente, &
mettant une unité au 6 pour compenſer ce retranchement. On verra encore d’autres uſages des fractions décimales dans
l’extraction des racines quarrées & cubiques, qui ſont encore
plus importans que les précédens.
133.
39.)
qu’un expoſant eſt un
nombre que l’on met vers la droite d’une lettre, un peu plus
élevée qu’elle, & qui marque combien de fois on auroit dû
écrire cette lettre, ou combien de fois elle eſt multipliée par
elle - même. a
tielles. Mais on trouve ſouvent en Algebre des quantités qui
ont des expoſans poſitifs & négatifs, poſitifs entiers, &
poſitifs
fractionnaires, négatifs entiers, & négatifs fractionnaires,
comme aon trouve même quelquefois des
lettres qui ont zero pour expoſant, comme a°, b°, &c.
Il
s’agit de ſçavoir ce que peuvent ſignifier ces expreſſions, c’eſt
ce que nous allons démontrer, & c’eſt à quoi ſe réduit ce qu’on
appelle calcul des expoſans.
Comme ce calcul eſt fondé ſur ces deux ſuppoſitions, 1°.
que
deux lettres ou pluſieurs, miſes à côté l’une de l’autre, déſi-
gneront toujours le produit des grandeurs qu’elles expriment; 2°.
Que pour diviſer deux grandeurs algébriques l’une par
l’autre, il faut les poſer en fraction, & effacer les lettres com-
munes au diviſeur & au dividende, ou communes au numéra-
teur & au dénominateur, il faut ſe rendre attentif à tout ce
qui eſt renfermé dans ces deux hypotheſes, & l’on en déduira
aifément tout ce que nous allons voir.
134.
Pour multiplier deux grandeurs qui ont les mêmes
lettres avec différens expoſans l’une par l’autre, il faut écrire
ces lettres les unes à côté des autres, & leur donner la ſomme
des expoſans des deux facteurs: ainſi a
a
car a
a
donc ade même a
a
= aaaabb : donc a
135.
Comme la Diviſion fait toujours le contraire de la
Multiplication, elle doit auſſi ſe faire par une voie oppoſée: donc puiſque la multiplication des quantités qui ont les mêmes
lettres, avec différens expoſans, ſe fait par l’Addition de ces
mêmes expoſans, la Diviſion doit ſe faire par la Souſtraction
des expoſans des lettres communes au dividende & au diviſeur:
ainſi {ac’eſt ce que l’on fait, lorſqu’après les
avoir mis en fraction, on efface les lettres communes au nu-
mérateur & au dénominateur;
car{a
mérateur & au dénominateur, il vient a au quotient, de même
que par la Souſtraction des expoſans. Tout de même {a
{aaaabbccccc/aaabcc} = abccc = abc
Souſtraction des expoſans, en faiſant {a
= abcDe même {d
demê-
me encore {a
mérateur & au dénominateur, ou bien en faiſant la ſouſtrac-
tion des expoſans aOn voit à préſent ce
que c’eſt qu’un expoſant négatif; car il eſt évident que le né-
gatif vient de la ſouſtraction d’un nombre plus grand, ôté d’un
plus petit que lui: donc une quantité qui a un expoſant né-
gatif eſt le quotient d’une certaine puiſſance d’une lettre di-
viſée par une plus haute puiſſance de la même lettre; ainſi
ac, car {a
{adonc en diviſant le numérateur &
le dénominateur de
la fraction par une même grandeur a
{1/amais on trouve auſſi le quotient de {a
5 du diviſeur de l’expoſant 3 du dividende, & le quotient eſt
donc a
en général une lettre élevée à
une puiſſance négative eſt égale au quotient de l’unité, diviſée
par la même puiſſance poſitive de la même lettre. a
{1/aainſi des autres.
136.
Si l’expoſant du diviſeur eſt égal à l’expoſant du divi-
dende, la différence de l’expoſant ſera zero: donc a° = {a
= {ac.
Donc en général a° = 1;
car une
grandeur, diviſée par elle-même, donne toujours 1 au quo-
tient, puiſqu’elle ſe contient une fois.
137.
On appelle puiſſance en général, tout produit qui ré-
ſulte de la multiplication d’une quantité multipliée pluſieurs
fois par elle-même. a, a
que ces produits réſultent de a, multiplié pluſieurs fois par
lui-même: dans ces exemples il a été multiplié trois fois,
deux fois, cinq fois, parce que les expoſans ſont 3, 2 & 5.
138.
Comme la multiplication d’une même lettre, qui a dif-
férens expoſans, ſe fait par l’addition des expoſans (art. 133),
les puiſſances d’une quantité algébrique, qui a déja un ex-
poſant, ou les produits de cette quantité, multipliée pluſieurs
fois par elle-même, ſe trouveront par l’addition de cet expo-
ſant, répétés autant de fois qu’il y a d’unité dans la puiſſance
à laquelle on veut élever cette quantité; mais l’addition ré-
pétée d’un même nombre ſe fait par la multiplication: donc
la formation des puiſſances d’une quantité exponentielle ſe
fera en multipliant ſon expoſant par le nombre qui marque
la puiſſance à laquelle on veut l’élever: ainſi pour élever a
la 3
même trois fois, quatre fois, ou cinq fois, ou, ce qui eſt la
même choſe, le multiplier par 3, par 4, ou par 5, & l’on aura
pour la 3a
De même pour
élever a
les expoſans des lettres a, b, c, qui ſont 2, 3, 4 par 5, & les
produits, mis à côtés des mêmes lettres, donneront la puiſ-
De même la quatrieme
puiſſance de cainſi du reſte.
139.
Si l’on avoit une fraction que l’on voulût élever à une
puiſſance, & dont le numérateur &
le dénominateur fuſſent
chacuns des quantités exponentielles, on l’éleveroit à cette
puiſſance en multipliant les expoſans du numérateur & du dé-
nominateur par l’expoſant de la puiſſance; car une fraction
multipliée par une fraction eſt égale au produit des numéra-
teurs, diviſé par celui des dénominateurs. Ainſi pour élever
la fraction {a
{ade même la 3
& ainſi des autres.
140.
L’extraction des racines fait préciſément le contraire
de la formation des puiſſances. Extraire la racine d’une quan-
tité algébrique, c’eſt chercher la quantité qui, multipliée par
elle-même, a donné la quantité dont on cherche la racine. Comme il y a différentes puiſſances, il y a auſſi différentes
racines: la racine quarrée d’une quantité algébrique eſt la
lettre ou quantité, qui multipliée une fois par elle-même, a
donné le quarré propoſé; la racine cube eſt celle qui, multi-
pliée deux fois par elle-même, a donné le cube propoſé, ou
bien dont l’expoſant, multiplié par 3, a donné ce même cube.
Si l’on veut indiquer cette racine, on ſe ſert du ſigne √\x{0020}, que
l’on appelle ſigne radical, & qui ſert pour marquer toutes les
racines, en mettant au deſſus un chiffre qui marque la racine
que l’on veut prendre. Ainſi
indiquent les racines ſeconde, troiſieme, quatrieme ou cin-
quieme; quand on veut marquer une racine quarrée, on
ſous-entend preſque toujours le 2, & l’on marque ainſi √\x{0020}:
par exemple, √a
de la quantité a
de aLa racine quarrée de a
la
racine cube de ade même la
racine quatrieme de a
ainſi de ſuite.
141.
Comme l’extraction des racines eſt une opération di-
rectement oppoſée à la formation des puiſſances, que celle-ci
niere dont on doit la pratiquer doit auſſi être directement op-
poſée à celle dont on ſe ſert pour l’élévation des puiſſances. Mais (n°.
136.)
la formation des puiſſances ſe fait, en mul-
tipliant l’expoſant de la quantité que l’on veut élever par
l’expoſant de la puiſſance à laquelle on veut élever cette quan-
tité; donc l’extraction des racines ſe fera en diviſant l’expo-
ſant de la quantité donnée par l’expoſant de la racine que l’on
demande. Si l’expoſant de la grandeur donnée eſt diviſible
par l’expoſant de la racine, on aura la racine exacte, ſinon on
aura pour la racine cherchée une quantité, dont l’expoſant ſera
une fraction, ou bien on ſe contentera d’indiquer la racine,
en la mettant ſous le ſigne √\x{0020}, au deſſus duquel on mettra un
nombre qui marque la racine que l’on demande. Tout ceci
s’entendra aiſément par des exemples. Pour avoir la racine
quarrée ou 26 par 2, ex-
poſant de la racine; je mets les quotiens 1 &
3 en expoſant
à côté des lettres ab, & j’ai pour la racine demandée a
(car lorſqu’une lettre n’a pas d’expoſant, on lui ſuppoſe tou-
jours l’unité pour expoſant). Si l’on multiplie ab
lui-même une fois, on aura adonc ab
racine quarrée de apour avoir la racine cinquieme de
afaiſant la diviſion des ex-
poſans par l’expoſant 5 de la racine cinquieme, j’ai ade même
le cube de 2 eſt 8, celui de a eſt a
de c
Si l’on me demande la racine cinquieme de a
les expoſans 6 & 8 ne ſont pas diviſibles par 5, expoſant de la
racine, je puis indiquer cette racine en deux manieres, ou
bien en mettant le ſigne √\x{0020} avec un 5 au deſſus devant la quan-
tité a
lettres ab les expoſans fractionnaires {6/5}, {8/5}, en cette maniere: a
ces deux expreſſions
elles déſignent chacune la racine cinquieme d’une même
grandeur.
142.
Il ſuit delà, que lorſqu’on trouvera une quantité avec
un expoſant fractionnaire, on en pourra conclure que l’on
quantité élevée à une puiſſance égale au numérateur de la frac-
tion: ainſi a
X c.
143.
Il ſuit encore des mêmes principes, que a
{1/√acar par la fin de l’art.
134.
a
par la même
raiſon aMais par l’article précédent a
donc
ade même a
de même encore
aainſi desautres.
On voit
par tout ce que nous venons de dire ce que ſignifie un expo-
ſant poſitif ou négatif entier, ce que ſignifie un expoſant en-
tier, fractionnaire poſitif ou fractionnaire négatif, & enfin ce
que c’eſt qu’un expoſant zero.
144.
Lorſqu’on aura une des expreſſions précédentes, com-
me aautres ſemblables, on pourra pren-
dre en leurs places leurs égales, {1/a1 à
la place de aréciproquement ſubſti-
tuer les premieres expreſſions à la place des ſecondes, ſi le
calcul le demande ainſi. Voici les formules générales de toutes
ces expreſſions: a
Si l’on avoit des fractions algébriques, dont on voulût
extraire les racines, on extrairoit celle du numérateur & celle
du dénominateur, ſuivant les regles précédentes, en ſuppo-
ſant que les deux termes ſont des quantités incomplexes: car
puiſque l’on éleve les fractions à des puiſſances propoſées, en
y élevant le numérateur & le dénominateur (art.
139), il
faut, par la raiſon contraire, extraire les racines, en prenant
celle du numérateur & celle du dénominateur.
Ainſi la racine
ſeconde de {a
{aainſi des autres.
145.
On trouve les puiſſances des quantités algébriques
complexes de la même maniere que celles des quantités al-
gébriques incomplexes, c’eſt-à-dire en multipliant ces quan-
tités par elles-mêmes autant de fois moins une qu’il y a d’unités
dans l’expoſant de la puiſſance à laquelle on veut élever cette
quantité. Pour avoir le quarré de a + b, je multiplie a + b
par a + b, & j’ai (art.
60.)
a
Demême le quarré
ou la ſeconde puiſſance de a - b eſt ad’où il
ſuit que généralement le quarré d’un binome contient tou-
jours les quarrés des deux termes, plus ou moins deux rectan-
gles du premier par le ſecond; plus, lorſque les deux termes
ſont poſitifs ou négatifs, & moins lorſque l’un ou l’autre eſt
négatif: car il eſt clair que -
+ bb, de même que que -
donne
Si la quantité que l’on veut élever au quarré avoit plus de
deux termes, 4 ou 5, par exemple, comme a + b + c + d,
on trouveroit toujours le quarré de cette quantité, en la mul-
tipliant une fois par elle-même: mais on peut le trouver d’une
maniere beaucoup plus expéditive. Je prends d’abord les quar-
rés de tous les termes qui compoſent cette quantité, ſoit que
tous ces termes ſoient poſitifs, ſoit que tous ſoient négatifs,
ou qu’il y en ait de poſitifs & de négatifs.
Je prends enſuite le
double du premier terme, que je multiplie par tous les ſui-
vans, en donnant au produit le ſigne du premier terme, ſi
chacun des ſuivans a le même ſigne que ce premier terme, &
un ſigne différent ſi celui du terme par lequel je multiplie le
double du premier eſt différent de celui du même premier. Je
prends pareillement le double du ſecond, que je combine avec
les ſuivans par multiplication, en ſuivant la même regle; je
prends de même le double du troiſieme, que je combine en-
core de même avec les autres, juſqu’à ce que je ſois arrivé à
l’avant dernier, que je combine avec le dernier de la même
maniere, & l’opération eſt achevée.
Ainſi pour élever a + b - c + d - f + g à la ſeconde puiſſance,
poſent cette quantité, & j’ai pour une premiere partie du
quarré que je cherche aje prends
enſuite le double du premier terme a, qui eſt 2a, que je com-
bine par multiplication avec tous les ſuivans, & j’ai pour une
ſeconde partie du quarré que je cherche 2ab - 2ac + 2ad -
2af + 2ag, en donnant le ſigne + aux termes qui ont le même
ſigne + que 2a, & le ſigne à ceux qui ont le ſigne -.
Je
prends pareillement le double de b, qui eſt 2b, & le combi-
nant, ainſi que j’ai fait pour a, avec ceux qui le ſuivent, j’ai
- 2bc + 2bd - 2bf + 2bg pour la troiſieme partie du quarré
que je cherche. Je prends encore le double de - c, qui eſt - 2c,
& j’ai - 2cd + 2cf - 2cg, en mettant + aux termes qui ont
le ſigne -, & - à ceux qui ont le ſigne +.
Je trouve de
même, en prenant le double du quatrieme terme d, qui eſt 2d,
- 2df + 2dg; &
enfin prenant le double de - f, qui eſt
- 2f, je trouve - 2fg pour la derniere partie du quarré que
je cherche. Ajoutant toutes ces parties, j’ai pour le quarré de-
mandé a
- 2af + 2ag - 2bc + 2bd - 2bf + 2bg - 2cd + 2cf - 2cg
- 2df + 2dg - 2fg. La preuve de cette pratique ſe fera en
multipliant cette quantité par elle-même, & l’on trouvera les
mêmes quantités, quoique dans un ordre différent. Mais la
valeur du quarré ne dépend pas de l’ordre dans lequel les
termes ſont diſpoſés: il ſera toujours le même, pourvu qu’il
y ait autant de termes qu’il doit y en avoir, & que chacun
d’eux ait le ſigne qu’il doit avoir. On pourroit encore ſe ſervir
du même abrégé, ſi les termes avoient des coefficiens diffé-
rens de l’unité. Par exemple, le quarré de 3a - 2b + 4c ſe
trouvera en ſuivant cette méthode, 9a
+ 24ac - 16bc.
146.
Pour extraire la racine quarrée d’une quantité algé-
brique complexe, par exemple, celle de la quantité a
+ bb, il faut dire, la racine de aa eſt a, qu’il faut poſer à la
racine: ayant multipliée cette racine par elle-même, il faut
ôter le produit aa de la quantité propoſée pour avoir le reſte
enſuite il faut doubler a, &
diviſer le reſte 2ab
+ bb par ce diviſeur 2a. Faiſant la diviſion de 2ab par 2a, il
vient b, qu’il faut mettre à la ſuite de la racine, & à la ſuite
du diviſeur 2a. Enfin il faut multiplier par ce quotient b le
diviſeur devenu 2a + b, & ſouſtraire le produit 2ab + bb du
reſte 2ab + bb; &
comme il ne reſte rien après la ſouſtraction,
l’on conclura que la racine de a
Pour voir ſi l’on a bien fait l’opération, on multipliera la
racine a + b par elle-même, & comme le produit eſt a
+ bb égal à la quantité propoſée, on ſera ſûr que l’on a bien
opéré.
147.
Pour extraire la racine quarrée de a
faut dire, la racine quarrée de a
racine; enſuite ôter le quarré aa de cette racine de la quantité
propoſée pour avoir le reſte, - 2ab + bb, qu’il faut pareille-
ment diviſer par + 2a, le quotient eſt - b, que je poſe à la
racine, & à côté du diviſeur.
Je multiplie 2a - b par - b, le
produit eſt 2ab + bb; ôtant ce produit de - 2ab + bb, comme
il ne reſte rien, je conclus que a - b eſt la racine.
a
Reſte 2ab + b
Souſtract. 2ab - bb
0 0
{a + b, racine.
2a diviſeur.
2a + b
b
2ab + bb
a
Reſte - 2ab + bb
Souſtraction + 2ab - bb
0 0
{a - b, racine.
2a diviſeur.
2a - b
- b
- 2ab + bb
148.
De même pour avoir la racine quarrée de la quantité
9a
je dis, la racine quarrée de 9a
& j’ôte le quarré de cette racine de la quantité propoſée:
pour
avoir le reſte - 12ab + 4b
cette racine 3a, & j’ai 6a pour diviſeur.
Je diviſe - 12ab par
& à côté du diviſeur 6a;
ce qui me donne 6a - 2b, que je
multiplie par - 2b, pour avoir le produit - 12ab + 4bb,
que j’écris au deſſous du premier reſte avec des ſignes con-
traires pour avoir un ſecond reſte, en effaçant ce qui ſe détruit,
que je trouve être 24ac - 16bc + 16cje double encore ce
que j’ai trouvé à la racine pour avoir le nouveau diviſeur 6a
- 4b, par lequel je diviſe le premier terme 24ac du ſecond
reſte; ce qui me donne au quotient 4c, que j’écris à la ſuite
de la racine, & à côté du diviſeur 6a - 4b:
je multiplie cette
ſomme par le même quotient 4c, & j’en ôte le produit 24ac
- 16bc + 16c&
comme la Souſtraction ſe
fait ſans reſte, je conclus que 3a - 2b + 4c eſt la racine du
quarré propoſé: je leve cette quantité au quarré, &
je trouve
qu’elle donne effectivement une quantité égale à celle que
l’on avoit donnée pour en extraire la racine.
9a
-9a
1
- 16bc + 16cc
+ 12ab - 4bb
Second reſte 24ac - 16bc + 16c
- 24ac + 16bc - 16c
0 0 0}
{3a - 2b + 4c, racine.
6a premier diviſeur.
6a - 2b
- 2b
- 12ab + 4bb
6a - 4b, 2
6a - 4b + 4c
+ 4c
24ac - 16bc + 16cc
Il eſt évident que la méthode dont on ſe ſert pour extraire
la racine doit la faire trouver néceſſairement, ſi la quantité
propoſée en a une: car nous avons déja vu pluſieurs fois que
le quarré d’une quantité complexe contient le quarré du pre-
mier terme, le double du premier par le ſecond, & le quarré
du ſecond. Lorſque l’on a pris la racine quarrée du premier
terme, on a celui de la racine: ainſi pour avoir le ſecond de la
même racine, il n’y a qu’à doubler ce premier, & diviſer par
ce double un terme qui renferme deux lettres; &
ſi l’on a un
quotient, ce ſera le ſecond terme de la racine, pourvu que le
quarré de ce ſecond terme ſoit encore contenu dans la quan-
tité propoſée. Or par notre méthode on prend le quarré de
tiplier le tout par ce ſecond terme; &
s’il ne reſte rien, on ſera
ſûr que la quantité eſt un quarré parfait, & de plus celui des
deux termes que l’on a trouvés, puiſque l’on a pu en ſouſtraire
le quarré du premier, le double rectangle du même premier
par le ſecond, & le quarré du ſecond.
Le raiſonnement eſt
toujours le même, quelque ſoit le nombre des termes de la
racine; car on peut toujours regarder ce que l’on a trouvé
comme le premier, & ce que l’on cherche comme le ſecond
d’une quantité de deux termes, puiſque l’on peut toujours
réduire un polinome quelconque, comme a + b + c + d à
un binome, en ſuppoſant a + b + c = f; ce qui donne
a + b + c + d = f + d.
149.
Si la quantité propoſée pour en extraire la racine n’eſt
pas un quarré parfait, on ſe contentera d’indiquer que l’on
en prend la racine, en la mettant ſous le ſigne √, que l’on
appelle radical, comme nous avons déja vu: ainſi la racine de
aa-bb eſt √aa - bb\x{0020}, la racine de a
√al’on appelle ces quantités, des quantités
radicales ou irrationnelles, quelquefois incommenſurables.
150.
Le quarré d’un nombre quelconque ſe trouve en mul-
tipliant ce nombre par lui-même: ainſi le quarré de 3247 ſe
trouveroit en multipliant ce nombre une fois par lui-même,
ſuivant les regles de la Multiplication. Mais pour déterminer
avec plus de préciſion les différentes parties qui compoſent ce
quarré, & faire entendre plus aiſément ce que nous avons à
dire ſur l’extraction des racines, nous rapporterons la forma-
tion du quarré de ce nombre à celle du quarré d’une quantité
algébrique complexe, en le regardant lui-même comme une
quantité de cette nature, & le décompoſant en ſes parties
3000 + 200 + 40 + 7, & faiſant 3000 = a, 200 = b, 40 = c,
7 = d: donc le quarré 3247, ou de 3000 + 200 + 40 + 7
ſera repréſenté par celui de la quantité algébrique a + b + c + d,
qui eſt a
+ dd, ou a
En faiſant toutes les Multiplications néceſſaires, on trouvera
x d + dd.
Sur quoi l’on remarquera qu’en partageant ces produits par-
tiels en tranches de deux chiffres chacunes, excepté la der-
niere à gauche, qui peut n’en contenir qu’un,
1°.
Le quarré du chiffre ſignificatif 3 du premier terme 3000,
aura après lui autant de tranches de deux chiffres chacunes,
qu’il a de chiffres après lui dans le nombre 3247, & qu’ainſi
ce quarré doit ſe trouver au produit total dans la premiere
tranche à gauche 10.
2°.
Que le produit 1200000 fait du double 6000 du pre-
mier terme 3000, multiplié par le ſecond 200, ſera renfermé
dans le premier chiffre de la ſeconde tranche, joint au reſte
que l’on aura eu, en ôtant le quarré de 9000000 de la premiere.
3°.
Que le quarré du même ſecond terme 40000 ſera en-
core contenu dans le dernier chiffre de la ſeconde tranche,
ayant après lui autant de tranches qu’il y a de chiffres dans le
nombre 3247; d’où il ſuit, en réſumant ces trois articles, que
les deux premieres tranches contiennent le quarré 9000000 du
premier terme 3000, le double du produit du premier terme
3000, par le ſecond 200, & enfin le quarré du ſecond.
4°.
Que le produit du double des deux premiers termes par
le ſecond 40, repréſenté par √2a + 2b\x{0020} x c, lequel eſt 256000,
ſe trouvera renfermé dans le premier chiffre 3 de la troiſieme
tranche, puiſque le 6 eſt directement au deſſus du 3 de cette
tranche, & que le quarré 1600 du même troiſieme terme ſera
encore contenu dans la troiſieme tranche, jointe à ce qu’il
précéde. Ainſi les trois premieres tranches contiennent le
quarré des trois premiers termes, le double du premier, mul-
tiplié par le ſecond, & le double des deux premiers par le troi-
+ √2a + 2b\x{0020} x c.
5°.
Enfin l’on verra que le double du produit des trois pre-
miers termes 3000 + 200 + 40, multipliés par le ſecond, eſt
renfermé dans le premier chiffre de la derniere tranche, &
que le quarré de ce dernier terme 7 eſt renfermé dans le der-
nier chiffre de la derniere tranche; &
qu’ainſi le quarré de la
grandeur complexe 3000 + 200 + 40 + 7, ou du nombre
3247, eſt renfermé dans le nombre 10443009, puiſque ce
nombre renferme tous les produits dont il peut être compoſé.
Tout cela poſé, il ſera facile d’entendre ce que nous allons
dire ſur l’extraction des racines.
151.
Extraire la racine quarrée d’un nombre, c’eſt cher-
cher un nombre qui, multiplié par lui-même, donne au pro-
duit un nombre égal au nombre propoſé: extraire la racine de
25, c’eſt chercher le nombre 5, qui multiplié par lui-même
une fois, donne 25 au produit. Toutes les fois qu’un nombre
propoſé, pour en extraire la racine, ne contiendra que deux
chiffres, ou ſera moindre que 100, on pourra, ſans aucune
opération, trouver ſa racine vraie ou la plus proche, par le
moyen de la Table ſuivante.
Mais lorſque les nombres ſeront plus conſidérables, l’opé-
ration devient plus compliquée, & c’eſt ce que nous allons
détailler, après que nous aurons donné les réflexions ſui-
vantes, qui ſont néceſſaires pour une exacte démonſtration
de la regle générale de l’extraction des racines quarrées.
152.
Le plus grand nombre poſſible de deux chiffres 99 ne
peut avoir plus d’un chiffre à ſa racine: car ſuppoſons qu’il
puiſſe en avoir deux, & que ce nombre de deux chiffres ſoit
le plus petit poſſible, qui eſt 10, ou élevant 10 au quarré, on
verra que ce quarré 100 eſt plus grand que 99: donc un nom-
bre de deux chiffres quelconque ne peut en avoir plus d’un à
ſa racine; ce qui eſt viſible auſſi par la Table précédente.
Ainſi
toutes les racines d’un chiffre ſont compriſes, depuis 1 juſqu’à
99 incluſivement.
153.
Le plus grand nombre poſſible de quatre chiffres ne
peut en avoir plus de deux à ſa racine. Prenons le plus grand
nombre poſſible de quatre chiffres, qui eſt 9999, puiſque ſi on
lui ajoute l’unité, il devient 10000, qui en a 5; &
ſuppoſons
que ce nombre puiſſe avoir à ſa racine le plus petit nombre
compoſé detrois chiffres, qui eſt 100, j’éleve 100 à ſon quarré,
& il me vient 10000, qui eſt plus grand que le nombre 9999:
donc il ne peut pas avoir à ſa racine aucun nombre de trois
chiffres. D’où il ſuit que toutes les racines de deux chiffres
ſont renfermées, depuis 100 juſqu’à 9999 incluſivement.
154.
Le plus grand nombre de ſix chiffres ne peut en avoir
plus de trois à ſa racine. Prenons le plus grand nombre de ſix
chiffres, qui eſt 999999, & ſuppoſons qu’il puiſſe avoir pour
racine le plus petit nombre de quatre chiffres, qui eſt 1000,
j’éléve 1000 à ſon quarré, & j’ai 1000000, qui a ſept chiffres,
& eſt plus grand que le nombre 999999, &
par conſéquent
ce nombre ne peut donner que trois chiffres à la racine. D’où
il ſuit que les racines de trois chiffres ſont renfermées, depuis
10000 juſqu’à 999999 incluſivement.
155.
En continuant le même raiſonnement, on verra que
toutes les racines de quatre chiffres ſont compriſes, depuis
1000000 juſqu’à 99999999; que les nombres ou racines de 5
chiffres ſont contenues depuis 100000000 juſqu’à 9999999999
incluſivement, &c.
156.
Il ſuit de tout ce que nous venons de dire, qu’en gé-
néral un nombre aura toujours à ſa racine autant de chiffres
qu’on aura de tranches de deux chiffres, en le partageant de
deux en deux de droite à gauche, excepté la derniere tranche,
qui peut n’en contenir qu’un.
Ainſi 99 ne peut avoir qu’un chiffre, parce qu’il n’a qu’une
tranche de deux chiffres. 100 &
9999 auront deux chiffres à
leurs racines, parce qu’en les diviſant en tranches de cette
maniere: 1,00;
99,99, chacun en contient deux.
De même
10000 & 999999 auront auſſi trois chiffres à leurs racines,
ainſi que tous les nombres qui leur ſont intermédiaires, parce
qu’en partageant chacun en tranches, on a 1,00,00 & 99,99,99;
ils contiennent chacun trois tranches.
De plus, le quarré du
premier chiffre ſe trouvera dans la premiere tranche, le quarré
troiſieme ſe trouvera dans la troiſieme tranche; ce qui revient
encore à ce que nous avons vu précédemment dans la forma-
tion algébrique du quarré du nombre (art. 150).
Cela poſé,
nous allons donner la regle générale, & nous en ferons l’ap-
plication à quelques exemples.
157.
Un nombre étant donné pour en extraire la racine,
on partagera ce nombre en tranches de deux chiffres chacunes,
excepté la premiere à gauche, qui peut n’en contenir qu’un
ſeul; on cherchera quel eſt le plus grand quarré contenu dans
la premiere tranche, on en prendra la racine, que l’on poſera
à la racine, à côté d’un nombre propoſé, après l’avoir ſéparé
par une petite barre verticale; on élevera cette racine à ſon
quarré pour l’ôter de la premiere tranche, & l’on écrira le reſte
au deſſous, & l’opération ſera faite ſur la premiere tranche.
A côté de ce reſte, on abaiſſera la ſeconde tranche, en met-
tant un point au deſſous du premier chiffre de cette ſeconde
tranche; on doublera ce que l’on a trouvé à la racine, &
par
ce nombre on diviſera les chiffres qui ſont terminés au premier
chiffre de la ſeconde tranche; on mettra le quotient à la ſuite
du diviſeur, & on multipliera le diviſeur ainſi augmenté par
ce même quotient. Si le produit peut être ôté des chiffres du
reſte & de la ſeconde tranche, le quotient ſera le ſecond chiffre
de la racine, & on le poſera à côté du premier chiffre.
Si ce
produit étoit plus grand, on diminueroit le quotient d’une
unité, & l’on feroit l’opération de même, juſqu’à ce qu’on
eût un nombre que l’on pût retrancher des chiffres ſur leſ-
quels on opére; &
l’ayant trouvé, on cherchera le reſte qui
doit venir par la ſouſtraction de ce produit.
On abaiſſera la troiſieme tranche à côté de ce reſte, en met-
tant un point ſous le premier chiffre de la troiſieme tranche,
& l’on diviſeroit les chiffres terminés au premier de la troi-
ſieme, par le double de ce qu’on auroit trouvé à la racine: on
poſera de même ce quotient à côté du diviſeur; &
ſi le pro-
duit du divifeur ainſi augmenté, multiplié par le quotient,
donne un produit moindre que le ſecond reſte, joint à la troi-
fieme tranche, ce quotient ſera le troiſieme chiffre de la racine;
ce quotient, poſé à côté du diviſeur, multipliant le tout, donne
un produit moindre, ou au moins égal aux chiffres ſur leſquels
on opére.
S’il n’y a que trois tranches, &
qu’après avoir retranché ce
produit il ne reſte rien, on aura la racine demandée; s’il y en
davantage, on abaiſſera la tranche ſuivante à côté du reſte,
& l’on fera toujours la même opération, en prenant toujours
pour diviſeur le double des chiffres que l’on a trouvés à la ra-
cine, & prenant pour les termes de la racine ceux qui auront
les conditions expliquées ci-devant; ſçavoir, que le produit
de ce nombre par lui-même, plus le produit du même nom-
bre par le diviſeur ſoit plus petit, ou au moins égal aux chiffres
ſupérieurs.
158.
Soit propoſé d’extraire la racine quarrée du nombre
1936, je partage ce nombre en tranches de deux chiffres cha-
cune, en l’écrivant ainſi, 19,36; &
je dis, en 19 quel eſt le
plus grand quarré qui y ſoit contenu, ce quarré eſt 16, dont
la racine eſt 4, je poſe 4 à la racine, après avoir ſéparé le
nombre 1936 de ſa racine par une petite barre verticale. Je
dis enſuite, quatre fois 4 font 16 de 19, reſte 3: j’abaiſſe la
ſeconde tranche 36 à côté du reſte 3, en mettant un point ſous
le premier chiffre 3 de cette tranche: je double le chiffre 4
que j’ai trouvé à la racine pour avoir le diviſeur 8, par lequel
je diviſe les deux premiers chiffres 33 du reſte, & de la ſeconde
tranche; &
je dis en 33 combien de fois 8, quatre fois:
je
poſe 4 à côté du diviſeur 8; ce qui me donne 84, que je mul-
tiplie par le même quotient 4, en diſant, quatre fois 4 font
16, poſe 6 & retiens 1:
quatre fois 8 font 32, &
1 que j’ai
retenu font 33: le produit eſt 336, qui ôté de 336, reſte o;
d’où je conclus que 44 eſt la racine du quarré propoſé.
Pour
voir ſi je ne me ſuis pas trompé, j’éleve 44 à ſon quarré, il
me vient 1936, qui eſt le nombre propoſé.
159.
Soit propoſé d’extraire la racine du nombre 10543009,
après l’avoir partagé en tranches de deux chiffres chacune, &
placé comme on voit ci-après à la gauche d’une barre verti-
cale, à côté de laquelle je dois mettre la racine: je dis, en 10
quel eſt le plus grand quarré qui y ſoit contenu, ce quarré eſt
9, dont la racine eſt 3, que je poſe à la racine: j’éleve 3 à ſon
quarré, il me vient 9, que je retranche de 10, reſte 1. J’abaiſſe
la ſeconde tranche 54 à côté du reſte 1, en obſervant de mettre
un point ſous le premier chiffre 5; &
doublant ce que j’ai
trouvé à la racine, il me vient 6 pour diviſeur: je dis en 15
combien de fois 6, deux fois; j’écris 6 au deſſous du diviſeur,
& je mets à côté le quotient 2, &
je multiplie 62 par 2, le
produit eſt 124, lequel retranché de 154, donne 30 pour ſe-
cond reſte: j’abaiſſe la ſeconde tranche, qui eſt 30, à côté du
reſte 30, en mettant un point ſous le premier chiffre 3 de cette
ſeconde tranche; je double ce que j’ai à la racine pour avoir
le ſecond diviſeur 64, par lequel je diviſe les chiffres 303, &
je dis en 30 combien de ſois 6, cinq ſois, je poſe le 5 à la ſuite
de 64, en écrivant 645. Je multiplie ce nombre par 5, &
comme le produit 3225 ne peut pas être ôté du 3030, j’eſſaie
le 4; j’écris donc 644, &
multipliant ce nombre par 4, le pro-
duit eſt 2576, qui pouvant être ôté de 3030, m’indique que
ce 4 eſt bon, & je le poſe à la racine.
J’ôte le nombre 2576
de 3030, le reſte eſt 454, à côté duquel j’abaiſſe la quatrieme
tranche, en mettant un point ſous le premier chiffre 0 de cette
tranche 09 pour diviſer les chiffres 4540 par le double de ce
qui eſt à la racine, qui eſt. 648.
Je dis donc en 45 combien de
fois 6, ſept fois, je poſe le 7 à côté du diviſeur 648, en écri-
vant 6487, & je multiplie ce nombre par 7, le produit eſt
45409, lequel étant préciſément égal au nombre 45409, in-
dique que le 7 eſt bon: je le poſe à la racine qui ſe trouve de
3247, comme on le ſçait d’ailleurs par l’article 150.
10,54,30,09
1 54
1 24
3030
2576
45409
45409
00000
{ 3247
6, I62
2
124, produit.
64, 2
645
5
prod. d’épreuve
644
4
2576, produit.
648, 3
6487
7
45409, produit.
Preuve de l’opération.
3247
3247
22729
12988
6494
9741
10543009
160.
Soit propoſé d’extraire la racine du nombre 867972,
je diviſe ce nombre en tranches de deux chiffres chacune, en
l’écrivant ainſi: 86,79,72;
puis je dis, en 86 quel eſt le plus
grand quarré qui y ſoit contenu, ce quarré eſt 81, dont la ra-
cine eſt 9, que je poſe à la racine; j’éléve 9 à ſon quarré, &
j’ôte ce quarré 81 de 86, reſte 5: j’abaiſſe à côté du 5 la ſe-
conde tranche 79, en mettant un point ſous le premier chiffre
7, ce qui me donne 57 à diviſer par 18, double de 9, qui eſt
à la racine. Je fais la diviſion, &
je dis, en 5 combien de fois
1, il y eſt cinq fois; mais comme je vois aiſément qu’il n’eſt
pas bon, parce qu’il me donneroit un produit trop fort, j’eſ-
ſaie tout d’un coup le 4, en le mettant à la ſuite du diviſeur
84: je multiplie 184 par 4, le produit eſt 736, qui étant plus
grand que 579, me marque que le 4 n’eſt pas encore bon, ainſi
je ne le mets point à la racine. J’éprouve le 3, en mettant 183,
& multipliant ce nombre par 3, le produit eſt 549;
comme
ce produit eſt moindre que 579, je mets le 3 à la racine. J’ôte
enſuite 549 de 579, le reſte eſt 30; j’abaiſſe à côté de ce reſte
la troiſieme tranche 72, en mettant le point ſous le premier
ce qui eſt à la racine: je dis donc en 3 combien de fois 1, il
y eſt trois fois: mais comme je vois que le 3 eſt trop fort,
j’eſſaie le 2 en le mettant à côté du diviſeur 186; ce qui me
donne 1862, que je multiplie par 2; le produit eſt 3724:
comme ce produit eſt plus grand que 3072, je conclus que le
2 n’eſt pas encore bon; je mets 1 à la racine, qui ſera cer-
tainement bon, puiſqu’en mettant 1 à la ſuite du diviſeur, &
multipliant par 1, le produit eſt 1861, moindre que 3072:
j’ôte ce nombre 1861 de 3072, le reſte eſt 1211.
Sil’on veut faire la preuve de cette opération, il faudra élever
la racine 931 que l’on a trouvée à ſon quarré, lui ajouter le reſte
1211, & l’on doit trouver un nombre égal au nombre propoſé.
86,79,72
579
549
30772
1861
Reſte 1211
{ 931
18, I184
4
produit d’épreuve.
183
3
549, bon produit.
186, ſecond diviſeur.
1862
2
produit d’épreuve.
1861
1
1861
Preuve de l’opération.
931
931
931
2793
8379
866761
1211
867972
Maniere d’approcher le plus près qu’il eſt poſſible de la racine
quarrée d’un nombre, dont on ne peut avoir la racine ſans reſte,
par le moyen des décimales.
161.
Comme le principal uſage de la racine quarrée dans la
Géométrie, & ſurtout dans la Géométrie pratique, eſt de
trouver en nombre le côté d’un quarré égal à une quantité de
toiſes, ou de pieds quarrés, il eſt néceſſaire, pour agir avec
plus de préciſion, d’approcher le plus près qu’il eſt poſſible de
l’on néglige ſoient de ſi petite valeur, qu’on puiſſe les regarder
comme de nulle conſéquence. Pour cela, voici ce qu’il faut
faire.
162.
On ajoutera au nombre propoſé, pour en extraire la
racine, autant de tranches de deux zero chacune, que l’on vou-
dra avoir de décimales à la racine; &
aprés avoir ſéparé les
entiers de la racine d’avec les décimales qui doivent ſuivre,
on continuera le procédé de l’extraction des racines, préciſé-
ment de la même maniere qu’il ſe pratique ſur les nombres
entiers, comme on le verra dans l’exemple ſuivant.
8,69,00,00,00,
469
441
2800
2336
46400
41209
519100
471584
Reſte 47516
{ 29,478
4, premier diviſeur. 49
9
441
58, ſecond diviſeur.
585
5
produit d’épreuve.
584
4
2336, bon produit.
588, troiſieme diviſeur.
5888
8
produit d’épreuve.
5887
7
41209, bon produit.
5894, 4
58948
8
471584
163.
Soit propoſé d’extraire la racine de 869, juſqu’à ce que
la racine ne différe pas d’un millieme de la vraie valeur. On
ajoutera au nombre propoſé ſix zero, parce que l’on veut avoir
des milliemes, en écrivant au lieu de 869, 8,69.00,00,00, &
après les avoir partagé en tranches de deux en deux, on dira
en 8 quel eſt le plus grand quarré qui y ſoit contenu; ce quarré
eſt 4, dont la racine eſt 2, que je poſe à la racine. J’ôte ce
quarré 4 du premier chiffre 8, il me reſte 4, à côté duquel
j’abaiſſe la ſeconde tranche 69, en mettant un point ſous le 6,
afin de faire voir que c’eſt 46 que je diviſe par le diviſeur 4,
double de la racine. Je dis donc, en 46 combien de fois 4,
neuf fois, je poſe 9 à côté du diviſeur 4, & au deſſous, &
je
multiplie 49 par 9, le produit eſt 441, moindre que 469; ce
qui me montre que le 9 eſt un des chiffres de la racine. J’ôte
441 de 469, le reſte eſt 28. J’abaiſſe à côté de ce reſte la pre-
miere tranche de décimales, en mettant un point ſous le pre-
mier zero, pour marquer que c’eſt 280 que je veux diviſer par
le nombre 58, double de ce qui eſt à la racine. Je fais la Divi-
ſion, & je dis, en 28 combien de fois 5, il y eſt cinq fois:
je
poſe le 5 à côté du diviſeur 58, & au deſſous, &
je multiplie
585 par 5, le produit eſt 2925, qui étant plus grand que 28,00,
me marque que l’on ne peut pas mettre 5 à la racine: je prends
le 4, & j’écris 584, queje multiplie par 4, le produit eſt 2336,
lequel étant moindre que 2800, me marque que le 4 eſt bon,
& je le poſe à la racine, après avoir ſéparé les entiers 29 des
décimales par un point. J’ôte ce produit 2336 de 2800, le reſte
eſt 464, à côté duquel j’abaiſſe la ſeconde tranche de déci-
males, en mettant un point ſous le premier zero. Je diviſe
4640 par 588, double de ce qui eſt à la racine; &
je dis, en 46
combien de fois 5, il y eſt 8, je poſe le 8 à côté du diviſeur
588; &
au deſſous de ce même diviſeur, je multiplie 5888 par
8, le produit eſt 47104, qui étant plus grand que 46400, fait
voir que je ne puis pas mettre 8 à la racine; je prends le 7, que
je mets à côté du diviſeur 588, & au deſſous, puis multipliant
5887 par 7, le produit eſt 41209; &
comme ce produit eſt
moindre que 46400, je poſe le 7 à la racine. Je retranche le
produit 41209 de 46400, le reſte eſt 5191, à côté duquel j’a-
baiſſe la troiſieme tranche, en mettant un point ſous le pre-
mier zero, pour diviſer le nombre 51910 par 5894, double de
ce que j’ai trouvé à la racine. Je fais la Diviſion, en diſant,
mais comme je vois
que le 9 eſt trop fort, je paſſe au 8; je poſe 8 à côté du divi-
ſeur & au deſſous, &
je multiplie 58948 par 8:
le produit eſt
471584; &
comme il eſt moindre que le nombre 519184, je
poſe le 8 à la racine, qui ſe trouve de 29.478, ou, ce qui re-
vient au même, 29 entiers, plus {478/1000}.
164.
Si l’on ſuppoſe que le nombre 869 ſoit un nombre
de toiſes quarrées, ce que l’on trouve à la racine au rang
des entiers, marque des toiſes linéaires, & le nombre que l’on
trouve au rang des décimales, marque des parties de toiſes
linéaires, comme des pieds, des pouces, & des lignes.
Pour
ſçavoir ce que vaut de pieds la partie décimale {478/1000} ou 0.478,
on multipliera, ſuivant la regle (art. 131.)
le nombre 478 par
6, qui marque combien la toiſe contient de pieds; &
le reſte
par 12, qui marque combien le pied vaut de pouces, & le reſte
encore par 12, qui marque combien le pouce vaut de lignes. En ſuivant ce procédé, tous les nombres qui ſe trouveront
hors les décimales, marqueront les parties de la toiſe que l’on
demande, qui ſont 2 pieds 10 pouces 4 lignes 11 points, ou
ſi l’on veut, à cauſe du reſte que l’on a encore négligé dans
les décimales, 2 pieds 10 pouces 5 lignes. La racine du nom-
bre 869 toiſes eſt donc 29 toiſes 2 pieds 10 pouces 5 lignes.
165.
Si l’on a un nombre compoſé de toiſes, pieds &
pouces
propoſé pour en extraire la racine, comme ſi l’on demandoit
celle du nombre 24 toiſes 3 pieds 9 pouces, il faudroit réduire
les fractions {1/2} & {9/72} de toiſes, qui ſont la même choſe que
3 pieds 9 pouces, en fractions décimales de la toiſe, ſuivantla
méthode de l’art. 128;
de la ſomme de ces deux fractions dé-
cimales, & du nombre propoſé faire un ſeul nombre, que l’on
trouvera de 24.625000, dont on extraira la racine, ſuivant les
méthodes données ci - devant; cette racine ſe trouvera de
4,962, c’eſt-à-dire de 4 toiſes, plus {962/1000} de toiſes que l’on éva-
luera, ſuivant la méthode de l’art. 131, &
que l’on trouvera
de 5 pieds 9 pouces 3 lignes 2 points.
166.
Pour démontrer les opérations précédentes, nous ex-
trairons encore la racine quarrée du nombre 676, & nous fe-
rons voir la raiſon de chaque opération.
On voit par les articles 152, 153, 154 &
155 pour quelle
raiſon on diviſe le nombre donné en tranches de deux chiffres
chacune, & comment chaque tranche doit donner un chiffre
à la racine. Cela poſé, pour extraire la racine de 676, après
avoir partagé le nombre en tranches de deux chiffres chacune,
excepté la premiere qui n’en contient qu’un, je dis, la racine
quarrée de 6 eſt 2, que je poſe à la racine, & qui vaut 20, puiſ-
qu’il doit y avoir deux chiffres à la racine, dont il eſt le pre-
mier. Lors donc que j’éleve 2 au quarré, &
que je retranche 4
de 6, c’eſt comme ſi j’élevois 40 au quarré, & que je retranchaſſe
400 de 600, puiſque le 6 vaut réellement 600. Selon la regle,
j’abiſſe la ſeconde tranche à côté du reſte 2, & j’ai 276:
je
mets un point ſous le 7, parce que nous avons fait voir que le
double du premier terme, multiplié par le ſecond, doit ſe
trouver compris dans les deux premiers chiffres 27 (n°. 150);
mais j’ai le double du premier, &
ce nombre 27 contient le
double du premier, multiplié par le ſecond: donc en diviſant
27 par le double du premier, je dois trouver le ſecond: je fais
la Diviſion, & je dis, en 27 combien de fois 4, il y eſt ſix fois:
je mets le 6 à côté du diviſeur & au deſſous, ſelon la regle;
ce
qui me donne néceſſairement par la Multiplication le quarré
de 6, lequel doit être contenu dans les deux derniers chiffres:
je dis donc ſix fois 6 font 36, je poſe 6 & retiens 3;
ſix fois
4 font 24, & 3 de retenus, font 27, le produit eſt 276:
donc
le 6 eſt le ſecond chiffre de la racine: donc 26 eſt la racine du
nombre propoſé, puiſque ce nombre contient le quarré du
premier 2 ou 20, qui eſt 400, le double du premier 40, mul-
tiplié par 6 ou 240, & enfin le quarré 36 du ſecond.
Le raiſonnement que nous faiſons pour une racine de deux
chiffres ſe peut appliquer à tout autre; car on pourra toujours
partager un nombre quelconque de chiffres en deux parties,
dont la premiere contiendra tous les chiffres, excepté le der-
nier à droite, & la ſeconde contiendra le dernier chiffre.
De
cette maniere, on verra que lorſqu’on aura trouvé la racine
des premiers chiffres, le reſte qui viendra, joint avec la der-
niere tranche, doit contenir le double des premiers chiffres
trouvés, multiplié par le dernier avec le quarré du dernier. D’ailleurs ce double produit ſera toujours placé de maniere,
que les chiffres ſignificatifs de ce même produit ſeront tou-
jours terminés au premier chiffre de la derniere tranche: donc
Ceci
peut encore ſe démontrer indépendamment de cette ſuppoſi-
tion, par la formation du quarré, expliquée au n°. 150, &
même on ne peut mieux faire que d’y recourir encore, pour
voir de quelle maniere on a déduit de cette formation la regle
que nous venons de voir; c’eſt en cela que conſiſte l’eſprit
géométrique, & c’eſt par l’étude de la compoſition des quan-
tités que l’on acquiert le grand art de les décompoſer; je dis
le grand art, car c’eſt le plus difficile de toute la Géométrie,
& la décompoſition des quantités eſt ſon objet dans toutes
les méthodes de calcul que l’on propoſe.
167.
Nous avons déja vu, n°.
61, que le cube d’une quan-
tité, compoſée de deux termes, contient le cube du premier
terme, le cube du ſecond, plus deux parallelepipedes, dont
le premier a pour baſe le triple du quarré du premier, & le ſe-
cond pour hauteur, & l’autre a pour baſe le triple du quarré
du ſecond, & pour hauteur le premier;
ce que nous avons
démontré généralement, en élevant a + b à ſon cube, que nous
avons trouvé a
168.
Le cube d’une quantité, compoſé de trois termes, ou de
quatre termes, ſe trouvera de même, en multipliant cette
quantité deux fois de ſuite par elle-même; mais on peut la
trouver plus aiſément, en rapportant la quantité à l’expreſſion
générale a + b, qui peut repréſenter une quantité complexe
quelconque, en faiſant, par exemple dans celle-ci, c + d + f
+ g, c + d = a, & f + g =b.
Voici de quelle maniere on
s’y prendroit pour élever tout d’un coup c + d + f + g au cube. On prendroit d’abord le cube de c + d, qui eſt c
3cdde même le cube de f + g, qui eſt f
+ 3fgon prendroit enſuite le triple du quarré de c + d
que l’on trouvera de 3c
par f + g, ce qui donnera 3c
+ 3dDe même on prendra le triple du quarré de f + g,
qui ſera 3ff + 6fg + 3g
l’on aura 3cff + 6cfg + 3cgajou-
tant tous ces produits enſemble, on aura pour le cube total de
+ d
+ 6cdg + 3d
169.
Quand cette méthode n’auroit pas l’avantage d’être
plus expéditive, & moins ſujette à jetter dans l’erreur, elle
devient ici néceſſaire, pour faire connoître comment on peut
ramener la formation du cube d’une quantité complexe de
tant de termes que l’on voudra, à la formation du cube,
du binome a + b; &
pour montrer pareillement comment
l’extraction des racines cubes des mêmes polinomes ſe rappelle
à l’extraction de la racine cube de a + b.
De même ſi l’on vouloit élever au cube la quantité complexe
3c + 2d + 5f, on feroit 3c + 2d = a, & 5f = b.
Cela poſé,
on chercheroit d’abord a
binome 3c + 2d au cube, ſuivant la regle du binome a + b, &
qui eſt 27cOn chercheroit enſuite
le triple du quarré du premier terme, multiplié par le ſecond,
ou 3aOn prendroit de
même le triple du quarré du ſecond, multiplié par le premier,
ou 3abenfin on auroit
pour bEn aſſemblant toutes
ces quantités, on auroit pour le cube du trinome 3c + 2d + 5f,
27c
225cf
170.
Pour extraire la racine cube d’une quantité algébri-
que, il faudra prendre d’abord la racine cube d’un des termes
de cette quantité, qui ſera un cube parfait, & l’écrire à la
racine: pour avoir le ſecond terme de la racine, il faudra
prendre le triple du quarré du premier terme que l’on vient de
mettre à la racine, & par cette quantité diviſer un terme du
polinome propoſé qui puiſſe donner un quotient exact; il fau-
dra ajouter à côté du diviſeur le triple du premier terme, mul-
tiplié par ce quotient, le quarré du même quotient, & multi-
plier le tout par le même quotient; &
ſi le polinome propoſé
eſt un cube parfait, & n’a que quatre termes, il faut que le
produit qui viendra, ſoit égal à ce qui reſte de la même quan-
171.
Soit propoſé d’extraire la racine cube du polinome
aAyant diſpoſé cette quantité à la gau-
che d’une barre verticale, comme on le voit ci-après, je dis,
la racine cube de aj’éleve cette
racine à ſon cube, & ôtant a
vient pour reſte 3aPour avoir le ſecond terme
de la racine, j’éleve la grandeur a à ſon quarré, dont le triple
3aJe cherche dans le reſte un terme diviſible par 3a
je vois
que le premier de ce reſte 3a
3ame donne au quotient b.
J’écris au deſſous du diviſeur
3a
du quarré du premier terme, le triple du premier par le ſecond,
& le quarré du ſecond ou du quotient b:
je multiplie cette
quantité par le même quotient b, & j’ai 3a
qui eſt égal au reſte, & me fait voir que b eſt le ſecond terme
de la racine. Je le mets donc à la ſuite de a, ce qui me donne
a + b pour la racine cube demandée.
a
- a
Reſte 3a
Souſtract. - 3a
0 0 0
{a + b, racine.
3a
3a
b
3a
172.
Soit encore propoſé d’extraire la racine cube de la quan-
tité 27cAyant écrit cette quantité
à la gauche d’une ligne verticale, de l’autre côté de laquelle je
dois mettre la racine, je dis, la racine cube de 27c
puiſqu’en élevant 3c au cube, j’ai 27cj’ôte ce cube de la
quantité propoſée, le reſte eſt 54cJe triple
le quarré de ce qui eſt à la racine, & j’ai pour diviſeur 27c
Je cherche dans le reſte un terme qui ſoit diviſible par 27c
terme eſt 54cj’écris au
vans, + 18cd + 4dd, je multiplie toute cette quantité par le
quotient 2d; &
comme le produit eſt 54c
égal au reſte, je conclus que 2d eſt le ſecond terme que je
cherche, & je le mets à la racine, qui eſt 3c + 2d.
27c
- 27c
Reſte 54c
- 54c
0 0 0
{ 3c + 2d, racine.
27c
27c
2d
54c
173.
Si la quantité devoit avoir plus de deux termes à la
racine, on ſuivroit toujours le même procédé, c’eſt-à-dire
que l’on prendroit pour diviſeur le triple du quarré de ce que
l’on auroit trouvé pour diviſer le reſte par cette quantité, & le
quotient qui viendroit ſe détermineroit de la même maniere
que l’on a déterminé le ſecond terme de la racine. Par exem-
ple, ſi l’on me propoſe d’extraire la racine cube de la quantité
27c
+ 225cfAprès avoir trouvé les deux
premiers termes de la racine 3c + 2d, avec le reſte 135cc.
comme il eſt marqué ci-après, pour avoir le troiſieme terme
de la racine, il faudra prendre pour diviſeur le triple du quarré
de ce qui eſt à la racine, que l’on trouvera être 27c
+ 12dd: on cherchera donc un terme qui ſoit diviſible par
27cce terme eſt le premier du dernier reſte 135c
diviſé par 27cj’écris au deſſous du
diviſeur ce même diviſeur, avec les quantités ſuivantes, 45cf
+ 30df + 25ff, dont les deux premiers termes ſont le triple de
ce qui eſt à la racine, multiplié par le quotient 5f; le troi-
ſieme, le quarré du même quotient 5f: je multiplie toute cette
quantité par 5f, & comme le produit qui en réſulte détruit
tous les termes du dernier reſte, étant pris en moins, je con-
clus que 5f eſt le troiſieme terme de la racine, & je le poſe à
la ſuite des autres.
Reſte { 135c
225cf
- 135c
- 225cf
Produit
négatif. 0 0 0 0 0 0
{ 3c + 2d + 5f, racine.
27c
27c
+ 30df + 25ff x 5f
Cette pratique porte ſa démonſtration avec elle;
car il eſt
évident qu’en la ſuivant, on doit reconnoître ſi la quantité
propoſée eſt un cube, puiſque l’on ôte de cette quantité toutes
les parties qui forment le cube d’une quantité complexe. Quand on a un peu d’habitude au calcul, on voit tout d’un
coup ſi une quantité propoſée eſt un cube parfait; car ſi elle
ne contient que deux termes, trois termes, ou cinq, ſix, ſept,
huit, neuf, & non pas dix termes, on ſera ſûre qu’elle n’eſt
point un cube parfait; car elle ne peut être cube parfait que
d’un binome ou d’un trinome, ou d’une quantité plus com-
pliquée, & le binome ne donne que quatre termes à ſon cube,
& le trinome en donne dix:
donc les intermédiaires ne ſont
pas des cubes.
174.
Pour élever un nombre comme celui-ci, 47 à ſon cube,
on peut le faire en deux manieres, ou en multipliant 47 par
lui-même pour avoir ſon quarré 2209, & multipliant encore
ce quarré par 47, ce qui donnera 103823, ou bien en ſe ſervant
de la formule apour cela, je regarde
le nombre 47 comme une quantité complexe, que je repré-
ſente par a + b; ſçavoir 40 par a, &
7 par b, ce qui me donne
40 + 7 = a + b. Je cherche d’abord a
& j’ai a
je prends enſuite le triple du quarré de
40, que je multiplie par 7, pour avoir 3a
3aJe cherche pareillement 3ab
premier, multiplié par le quarré du ſecond, ce qui donne
3abenfin pour b
Raſſemblant toutes
Qu’en diviſant les produits par-
ticuliers & le cube total en tranches de trois chiffres chacune,
excepté la derniere à gauche, qui peut n’en contenir que deux
ou un; que le nombre 64, cube du premier chiffre 4 de la
quantité 47, a après lui autant de tranches de trois qu’il y a de
rangs de chiffres à ſa racine; ſçavoir une tranche de, 000 après
64, & un chiffre 7 après 4 dans 47.
2°.
Que le produit repréſenté par 3a
que le triple du quarré de 4 ou 16, qui eſt 48, multiplié par
7 ou 336, a deux zero après lui: donc il aura auſſi deux chif-
fres après lui dans le cube total, & ſera contenu dans les chif-
fres qui ſe terminent au premier 8 de la ſeconde tranche.
3°.
Que le produit repréſenté par 3ab
premier chiffre 4, multiplié par 49, quarré du ſecond, a un
rang de chiffres après lui, puiſqu’il eſt 5580; &
qu’enfin le cube
du ſecond chiffre 7 eſt renſermé tout entier dans la ſeconde
tranche.
Ceci ſuppoſé, il ſera facile d’entendre la méthode de l’ex-
traction de la racíne cube que nous allons donner, après quel-
ques remarques, qui ſont abſolument néceſſaires, pour qu’il
n’y ait rien à déſirer ſur cette partie.
Pour extraire la racine cube d’une quantité quelconque, il
faut d’abord connoître les cubes des neuf premiers chiffres; ce que l’on connoîtra par le moyen de la Table ſuivante, qui
ſuffit, lorſque les nombres propoſés n’ont que trois chiffres.
175.
On remarquera d’abord que le plus grand nombre de
trois chiffres ne peut avoir qu’un chiffre à ſa racine cube, car
le plus grand nombre de trois chiffres eſt 999, & le plus petit
de deux chiffres eſt 10, dont le cube 1000 eſt de quatre chif-
ainſi toutes les racines cubes d’un chiffre ſont compriſes
incluſivement depuis 1 juſqu’à 999.
176.
Le plus grand nombre de ſix chiffres ne peut en avoir
que deux à ſa racine; le plus grand nombre de ſix chiffres eſt
999999, & le plus petit de trois chiffres eſt 100, dont le cube
eſt 1000000, qui a ſept chiffres, & eſt plus grand que 999999.
Ainſi toutes les racines cubes de deux chiffres ſont compriſes
depuis 1000 juſqu’à 999,999 incluſivement.
177.
Le plus grand nombre de neuf chiffres ne peut en avoir
que trois à ſa racine; car le plus grand nombre de neuf chif-
fres eſt 999999999, & le plus petit nombre de quatre chiffres
eſt 1000, dont le cube eſt 1000000000 qui contient dix chif-
fres, & eſt néceſſairement plus grand que 999999999;
d’où il
ſuit que les racines cubes de trois chiffres ſont compriſes, de-
puis 1000000 juſqu’à 999,999,999 incluſivement.
178.
En continuant toujours le même raiſonnement, on
verra qu’en général un nombre propoſé doit avoir autant de
chiffres à ſa racine cube qu’il aura de tranches de trois chiffres
chacune, excepté la premiere à gauche, qui peut n’en con-
tenir que deux ou même un, mais que l’on regarde toujours
comme une tranche; car 999 ne donne qu’un chiffre à la ra-
cine, comme on l’a démontré, art. 175, &
ce nombre ne
contient qu’une tranche de trois chiffres. 1000 donne deux
chiffres à la racine cube, parce que, outre la tranche des trois
zero, il contient encore une tranche d’un chiffre. De même
999999 ne peut donner que deux chiffres à la racine, ainſi
que tous les intermédiaires entre lui & 1000, parce qu’ils ne
contiennent que deux tranches, & ainſi des autres.
Tout cela poſé, nous allons donner la regle générale, &
l’appliquer à quelques exemples.
179.
1°.
On commencera par partager le nombre donné en
tranches de trois chiffres chacune, en comptant pour une
tranche la premiere à gauche, qui peut ne contenir que deux
chiffres, ou même un ſeul.
2°.
On cherchera le plus grand cube contenu dans la pre-
miere tranche à gauche, on en prendra la racine, que l’on
la racine par une barre verticale. On élevera cette racine à ſon
cube, que l’on ôtera de la premiere tranche, & l’opération ſera
achevée pour cette tranche.
3°.
A côté du reſte que l’on aura trouvé, en ôtant le cube
du premier chiffre de la racine de la premiere tranche, on
abaiſſera la ſeconde tranche, en obſervant de mettre un point
ſous le premier chiffre de cette ſeconde tranche: pour avoir le
ſecond chiffre de la racine, on élevera le premier au quarré,
dont on prendra le triple, qui ſera le diviſeur dont il faudra
ſe ſervir pour trouver le ſecond chiffre de la racine.
4°.
On diviſera les chiffres terminés à celui ſous lequel on
a mis un point, par le diviſeur trouvé, & l’on aura un quotient,
que l’on éprouvera comme il ſuit, avant que de le poſer à la
racine. Il faudra ajouter enſemble les produits repréſentés par
3a
chiffre que l’on éprouve, le triple du premier terme de la ra-
cine par le quarré du même chiffre, & enfin le cube de ce
même chiffre, en obſervant de les placer avant l’addition, de
maniere qu’ils ſe paſſent tous d’un chiffre en avant. Il faudra
ôter la ſomme de la ſeconde tranche, jointe au reſte que l’on
a trouvé, & ſi la ſouſtraction ſe peut faire, on mettra le chiffre
à la racine, ſinon il faudra diminuer d’une unité, juſqu’à @e
que la ſomme de ces produits ſoit moindre, ou tout au moins
égale aux chiffres ſur leſquels on opere. Si le nombre propoſé
n’a que deux tranches, l’extraction ſera faite, & la racine ſera
la racine exacte que l’on cherche, ſi la ſouſtraction n’a pas
donné de reſte. Si le nombre avoit encore d’autres tranches,
on les abaiſſeroit l’une aprés l’autre à côté du dernier reſte, en
déterminant les diviſeurs, & les chiffres que l’on doit mettre à
la racine, comme on a fait pour le ſecond chiffre de la même
racine.
180.
Soit propoſé d’extraire la racine cube du nombre
103823. Aprés avoir partagé ce nombre en tranches de trois
chiffres chacune, je dis, en 103 quel eſt le plus grand cube
qui y ſoit contenu? Ce cube eſt 64 (comme on le peut voir
aiſément par la Table des cubes), dont la racine cube eſt 4,
Je poſe 4 à la racine, à la droite du nombre propoſé, après
je ſouſtrais le cube 64
de cette racine 4 de 103, le reſte eſt 39. J’abaiſſe enſuite la ſe-
conde tranche 823 à côté du reſte 39, en mettant un point
ſous le premier chiffre 8, pour marquer que 398, eſt le
dividende ſur lequel il faut opérer, & qui contient le triple
du quarré du premier terme, multiplié par le ſecond: pour
avoir ce ſecond terme, je triple le quarré de 4, & j’ai 48 pour
diviſeur, par lequel je diviſe 398, en imaginant le chiffre 8
du diviſeur ſous le chiffre 8 du dividende partiel, & je dis,
en 39 combien de fois 4, il y eſt neuf fois; mais comme je
prévois que le 9 n’eſt pas bon, j’eſſaie le 8, quoique je ſçache
bien qu’il n’eſt pas non plus celui que je demande, mais pour
montrer la maniere dont on fait l’épreuve. Je multiplie d’abord
le diviſeur par 8, & j’ai 384 qui me repréſente le produit dé-
ſigné par 3aJe multiplie enſuite le nombre 12, triple de ce
qui eſt à la racine, par 64, quarré de 8, le produit eſt 768,
que j’écris au deſſous du premier 384, de maniere qu’il dé-
borde le dernier chiffre 4 d’un rang vers la droite, & ce nom-
bre me repréſente 3abEnfin je prends le cube de 8, qui eſt
512, que j’écris au deſſous du ſecond produit, de maniere que
le 2 déborde d’un rang le dernier chiffre 7 de ce ſecond pro-
duit. J’ajoute ces trois nombres enſemble, &
je trouve la
ſomme 46582. Comme ce produit eſt plus grand que le reſte,
joint avec la ſeconde tranche 39823, je conclus que le 8 n’eſt
pas encore bon; je diminue d’une unité, &
j’éprouve le 7 de
la même maniere: je multiplie le diviſeur 48 par 7, &
j’ai 336,
qui me repréſente le produit déſigné par 3aje multiplie
enſuite 12, triple de ce qui eſt à la racine, par 49, quarré de
7, & j’ai au produit 588, que je place de maniere, que le der-
nier chiffre 8 déborde d’un rang le dernier chiffre du produit
ſupérieur, & ce produit me déſigne 3ab
Enfin j’éleve 7 au
cube, qui eſt 343, que j’écris encore au deſſous du ſecond
produit, de maniere que le dernier chiffre 3 paſſe le dernier
du produit ſupérieur d’un rang vers la droite: j’ajoute enſem-
ble ces produits, & je trouve que leur ſomme eſt 39823, égale
au nombre ſur lequel j’opere; d’où je conclus que le 7 eſt bon,
je le poſe à la racine, que je trouve être 47, comme on le ſçait
déja par l’article 174.
103,823
64
39823
39823
00000
{47, racine.
48 = 3a
384 = 3a
768 = 3ab
512 = b
46592 = 3a
336 = 3a
588 = 3ab
343 = b
39823 = 3a
}Epreuve du 8.
}Epreuve du 7.
181.
Soit propoſé d’extraire la racine cube du nombre
99865243. Aprés avoir partagé ce nombre en tranches de
trois chiffres en trois chiffres, à commencer par la droite, je
cherche d’abord la racine cube de 99,865, préciſément de la
même maniere que dans l’exemple précédent, en faiſant abſ-
traction pour un moment de la troiſieme tranche 243. Je dis
donc en 99 quel eſt le plus grand cube qui y ſoit contenu? Ce
cube eſt 64, dont la racine eſt 4, que je poſe à la racine, à la
droite du nombre propoſé: je cube 4, &
j’ôte le produit 64 de
99, le reſte eſt 35, & toute l’opération eſt faite pour la pre-
miere tranche. J’abaiſſe la ſeconde tranche 865, en mettant
un point ſous le premier chiffre de cette tranche, pour mar-
quer que le nombre 358 contient le triple du quarré du pre-
mier terme, multiplié par le ſecond. Je triple le quarré de ce
qui eſt à la racine, & j’ai le diviſeur 48, par lequel il faut di-
viſer 358 pour avoir le ſecond chiffre de la racine. Je diviſe
donc 358 par 48, & je dis, en 35 combien de fois 4, il y eſt
huit fois; mais ni le 8 ni le 7 ne peuvent être mis à la racine,
car en faiſant l’épreuve du 7, comme dans l’exemple précé-
dent, on verra que les produits déſignés par 3a
qu’il faut retrancher du reſte, joint à la ſeconde tranche, don-
nent un nombre trop grand 39823. Ainſi j’éprouve le 6;
pour
cela je multiplie le diviſeur 48 par 6 pour avoir le produit 288,
déſigné par 3aJe multiplie enſuite le triple de ce qui eſt à
j’ai 432, qui
me repréſente 3ab
de maniere que le dernier chiffre 2 ſurpaſſe d’un rang vers la
droite le chiffre ſupérieur. Enfin j’écris le cube de 6, qui eſt
216, de maniere que le 6 déborde encore d’un rang; je prends
la ſomme de ces trois produits, que je trouve être 33336. Comme ce nombre eſt moindre que 35865, je conclus que le
6 eſt bon, & je le poſe à la racine;
je ſouſtrais 33336 de 35865,
& le reſte eſt 2529.
Si l’on n’avoit pas encore la troiſieme
tranche 243, l’opération ſeroit achevée, & la racine ſeroit
46, avec le reſte 2529, qui ne pourroit pas donner une
unité mais puiſqu’elle s’y trouve, il faut encore déterminer
le troiſieme chiffre de cette racine: pour cela, je quarre 46 à
part, & je trouve pour ſon quarré 2116, dont je prends le
triple, qui eſt 6348, par lequel je dois diviſer le nombre qui
contient le troiſieme chiffre, multiplié par le triple du quarré
du premier terme, que je regarde comme 46; j’abaiſſe la troi-
ſieme tranche 243 à côté du reſte 2529, en mettant un point
ſous le premier chiffre 2 de cette tranche, & je diviſe 25292
par 6348, en diſant, en 25 combien de fois 6, il y eſt quatre
fois; mais en faiſant l’épreuve comme ci-devant, on verroit
que le 4 ne peut pas être mis à la racine, ainſi j’éprouve le 3.
Je prends d’abord le produit du diviſeur par 3, que je trouve
19044, qui me repréſente 3a
ce qui eſt à la racine, que je multiplie par 9, quarré du chiffre
3, que j’éprouve, & j’ai 1242 que je place au deſſous du pre-
mier produit, de maniere que le 2 déborde d’un chiffre, &
ce produit me repréſente 3abEnfin j’écris au deſſous de ce
ſecond produit 27, cube de 3, de maniere que le 7 déborde
d’un rang les chiffres ſupérieurs: j’ajoute ces trois grandeurs
enſemble, & j’ai pour leur ſomme 1916847.
Comme ce pro-
duit eſt moindre que 2529243, je conclus que le 3 eſt bon, &
je le poſe à la racine. J’ôte ce dernier produit du nombre
2529243, le reſte eſt 612396, qui ne pouvoit donner une
unité de plus à la racine, & de cette maniere l’opération ſe
trouve achevée.
99865243
64
35865
33336
2529243
1916847
612396
{463
48 = 3a288 = 3a
432 = 3ab
216 = b
33336 = 3a
6348 = 3a
19044 = 3a
1242 = 3ab
27 = b
1916847 = 3a
} Epreuve du 6.
} Epreuve du 3.
182.
On ajoutera au nombre propoſé, pour en extraire la
racine, autant de tranches de trois zero chacune que l’on vou-
dra avoir de décimales à la racine: on extraira d’abord la ra-
cine du nombre propoſé, comme on a fait ci-devant, & aprés
avoir trouvé le reſte, puiſque la racine n’eſt pas complette, on
abaiſſera auprés de ce reſte la premiere tranche, & l’on opérera ſur
cette partie comme ſur des nombres entiers; on fera l’épreuve
des chiffres qu’il faudra mettre à la racine, préciſément de la
même maniere, comme on verra ſuſaffimment dans l’exemple
ſuivant, dans lequel on ſe contentera d’indiquer les opérations
ſans s’arrêter à les détailler.
183.
Si l’on ſuppoſe que 694 ſoit un nombre de toiſes, dont
on demande la racine en toiſes, pieds, pouces, il faudra ré-
duire les décimales 853 en valeur connue, ſuivant la méthode
de l’article 131, en multipliant ce nombre 0.853 par 6, pre-
nant les entiers pour les pieds, & multipliant encore le reſte
par 12 pour avoir les pouces, & ainſi de ſuite pour les lignes
& les points.
En opérant de cette maniere, on verra que la
racine cube de 694 toiſes cubes eſt 8 toiſ. 5 pieds 1 pouce 5 lig.
184.
Si au contraire on propoſoit un nombre qui contînt
des toiſes, des pieds, des pouces pour en extraire la racine,
aux pieds, pouces, lignes, qui ſont joints au nombre entier,
en chercher la racine, ſuivant les regles précédentes; &
la ra-
cine que l’on trouvera ſera celle que l’on demande, exprimée
en toiſes & parties décimales de toiſes, que l’on réduira en
pieds, pouces, lignes & points, ſuivant la méthode de l’ar-
ticle 131.
694,000,000,000
512
182000
169 472
12 528000
11 682125
845875000
705142479
{8.
853
192 = 3a1536 = 3a
1536 = 3ab
512 = b
169472 = 3a
23232 = 3a
116160 = 3a
6600 = 3ab
125 = b
116821
25 = 3a
2349675 = 3a
7049025 = 3a
23895 = 3ab
27= b
705141477= 3a
185.
Le cube d’un nombre quelconque peut être regardé
comme celui d’un binome, dont le premier terme repréſente
cous les chiffres, excepté le premier à droite, & le ſecond
repréſente ce dernier. Or le cube d’un binome contient le
cube du premier terme, le triple du quarré du premier par le
ſecond, le triple du premier par le quarré du ſecond, & le
cube du ſecond: ainſi il n’y a qu’à faire voir que par la mé-
thode propoſée on détermine toutes ces parties, dont le cube
eſt compoſé; c’eſt ce qu’il eſt aiſé de reconnoître:
car dans le
premier exemple, lorſque je poſe 4 à la racine cube, comme
je poſe, dont le cube eſt 64000, que je retranche de 10383,
& le reſte eſt 39823.
Je triple enſuite le quarré de 4, &
je di-
viſe 398 par 48, comme ſi je diviſois 39823 par 4800, puiſ-
que le 8 eſt poſé ſous le premier chiffre de la ſeconde tranche. Or il eſt certain que le quotient qui doit me venir eſt le ſecond
terme de la racine, puiſque le triple du quarré du premier ter-
me par le ſecond doit avoir deux chiffres après lui: d’ailleurs
j’ôte encore le triple du quarré du ſecond par le premier, par
la maniere dont je poſe le produit du triple du premier terme
par le quarré du ſecond, en l’avançant d’un rang vers la droite,
puiſque ce produit ne doit avoir qu’un chiffre après lui, &
enfin j’ôte le cube du ſecond terme. D’où il ſuit que j’ai ôté
du nombre propoſé toutes les parties qui forment un cube, &
ſi le cube eſt parfait, il ne doit rien reſter après la ſouſtraction
de la ſomme de ces trois produits. Si le cube eſt imparfait,
on prend toujours le plus approchant, à quelque défaut près,
mais on eſt aſſuré qu’il ne s’en faut pas d’une unité que la ra-
cine ne ſoit celle qu’on cherche par l’épreuve que l’on fait,
puiſque ſi l’on augmentoit d’une unité, le cube de la racine
ſeroit plus grand que le nombre propoſé.
On appliquera le même raiſonnement à une racine de tant
de chiffres que l’on voudra, puiſque l’on peut regarder les chif-
fres trouvés comme le premier terme de la racine, & celui qui
reſte à trouver comme le ſecond, en regardant le nombre
propoſé comme s’il ne contenoit que deux tranches.
La preuve de l’extraction des racines quarrées &
cubiques
ſe fait en élevant les racines trouvées au quarré ou au cube: ſi le nombre propoſé étoit un quarré ou un cube parfait, on
doit trouver en multipliant la racine une ou deux fois par elle-
même un nombre égal au premier; ſi les nombres ne ſont pas
des quarrés ou des cubes parfaits, en ajoutant le reſte avec la
même puiſſance de la racine, on doit retrouver le nombre
propoſé.
186.
Pour extraire la racine quarrée d’une fraction numé-
rique, il faut extraire la racine du numérateur & du dénomi-
des deux racines en faire une nouvelle fraction,
qui ſera la fraction demandée: ainſi la racine de {16/25} eſt {4/5}, &
ainſi des autres. La raiſon eſt, que l’on éleve une fraction au
quarré, en multipliant le numérateur par lu-même, ainſi que
le dénominateur. Ainſi pour en extraire la racine, il faut
prendre celle du numérateur & du dénominateur.
187.
Quand le dénominateur de la fraction n’eſt pas un
quarré, on multiplie le numérateur & le dénominateur par ce
même dénominateur: de cette maniere la fraction n’a pas
changé de valeur, & de plus le dénominateur eſt un quarré
parfait, ce qui contribue beaucoup à déterminer exactement
la valeur de la racine fractionnaire. Ainſi pour extraire la ra-
cine quarrée de {3/8}, je multiplie 3, & 8 par 8 pour avoir la frac-
tion {24/64}, dont la racine eſt à peu près {5/8}, puiſqu’en l’élevant au
quarré il vient {25/64}, qui ne differe de la fraction {3/8} que de {1/64}. De
même la racine de {3/5} ou de {15/25} eſt {4/5}, ou à peu près: quand on
veut les avoir encore plus exactement, il faut chercher une
fraction décimale égale à la fraction propoſée, & en extraire
la racine, ſuivant les regles ordinaires.
188.
De même pour extraire la racine cube d’une fraction
numérique, il faudra chercher celle du numérateur & celle du
dénominateur: par exemple, la racine de {216/64} eſt {6/4} ou {3/2};
de
même celle de {512/729} eſt {8/9}. Si le dénominateur n’étoit pas un cube
parfait, on multiplieroit les deux termes de la fraction par le
quarré du même dénominateur pour avoir la racine cube que
l’on demande avec plus de préciſion; tout ceci eſt évident par
la formation des puiſſances des fractions.
Où l’on traite des raiſons ou rapports, proportions &
pro-
greſſions géométriques & arithmétiques, des Logarithmes,
de la réſolution analytique des Problêmes du premier &
ſecond degré, & de leurs opérations.
189.
ON appelle homogenes les grandeurs de même nature,
comme deux lignes, deux ſurfaces ou deux ſolides, deux eſpaces
ou deux tems, &c.
190.
Les grandeurs qui ne ſont pas de même nature, ſont
appellées grandeurs hétérogenes: ainſi une toiſe &
une livre de
monnoie ſont des grandeurs hétérogenes: ainſi qu’une ligne
& une ſurface, ou bien un ſolide &
un tems, parce ces gran-
deurs ne peuvent pas ſe contenir l’une l’autre, n’étant pas de
même nature.
191.
On appelle raiſon ou rapport de deux ou de pluſieurs
grandeurs, la comparaiſon que l’on peut faire de ces grandeurs
entr’elles. Ainſi pour déterminer combien il peut y avoir de
ſortes de raiſons ou de rapports, il faut examiner en combien
de manieres on peut comparer une grandeur à une autre.
192.
1°.
On peut comparer une grandeur à une autre, en
examinant combien cette grandeur ſurpeſſe celle à laquelle on
la compare, ou de combien elle en eſt ſurpaſſée, & cette com-
paraiſon eſt appellée raiſon ou rapport arithmétique. Ainſi ſi je
que je trouve, en retranchant 5 de 15, eſt le rapport arith-
métique de 15 à 5, que l’on marque ordinairement ainſi,
15 - 5; &
de même en Algebre a - b eſt le rapport arith-
métique de a à b. D’où il ſuit qu’en général on peut toujours
connoître le rapport arithmétique de deux grandeurs par la
Souſtraction, puiſque c’eſt par cette opération que l’on peut
connoître de combien l’une ſurpaſſe l’autre.
193.
2°.
On peut comparer une grandeur à une autre, en
examinant combien l’une contient l’autre, ou y eſt contenue,
& cette comparaiſon eſt appellée rapport géométrique.
Ainſi
dans la comparaiſon que je fais de 12 à 4, je puis examiner
combien de fois 12 contient 4; &
dans celle de a à b, je puis
examiner combien de fois a contient b, & comme on ne le peut
ſçavoir que par la Diviſion, ce rapport ſe marque ainſi, {12/4},
{a/b}; car on peut prendre une diviſion indiquée pour la diviſion
même, ou pour le quotient qui réſulte de leur diviſion. Ainſi
lorſqu’il eſt beſoin, on peut ſe ſervir de ces termes, diviſiòn
indiquée, quotient, fraction, raiſon ou rapport géométrique, puiſ-
que tous ſignifient la même choſe ou le même nombre. Le
quotient de 12 diviſé par 4 eſt 3; la fraction {12/4} eſt 3, le rap-
port géométrique de 12 à 4 eſt encore 3. Il faut remarquer
encore que comme l’on ſe ſert plus communément dans les
Mathématiques de rapport géométrique, on dit tout ſimple-
ment rapport, pour exprimer le rapport géométrique de deux
grandeurs.
194.
Les grandeurs qui ont entr’elles un rapport de nom-
bre à nombre, ſont appellées commenſurables, parce qu’elles
ont au moins l’unité pour commune meſure: par exemple,
une ligne de quatre pieds eſt dite commenſurable avec une
ligne de neuf pieds, parce que le rapport de ces deux lignes
eſt celui des deux nombres 4 & 9.
195.
Les grandeurs qui n’ont point un rapport de nombre
à nombre, ou qui ne peuvent avoir de meſures communes, ſi
petites qu’elles ſoient, ſont nommées incommenſurables. Par
exemple, ſi l’on a un quarré de 16 pieds, & un autre de 32
pieds, la racine du premier quarré ſera incommenſurable avec
celle du ſecond: car comme 32 n’eſt point un quarré parfait,
ſi près que l’on puiſſe approcher de ce nombre, il y aura tou-
&
cette racine ſera incommenſurable avec
celle de 16, puiſque l’on ne pourra jamais la déterminer exac-
tement.
196.
Dans un rapport quelconque arithmétique ou géomé-
trique, il y a toujours deux termes, le premier eſt appellé anté-
cédent, & le ſecond conſéquent;
dans le rapport de 12 à 4, 12
eſt l’antécédent, & 4 eſt le conſéquent;
dans celui de a à b,
a eſt antécédent, & b conſéquent.
197.
Une raiſon eſt égale à une autre, quand l’antécédent
de l’une contient autant de fois ſon conſéquent que l’antécé-
dent de l’autre contient le ſien. Par exemple, la raiſon de 12
à 4 eſt égale à celle de 15 à 5, parce que 12 contient 4 autant
de fois que 15 contient 5, ſçavoir trois fois. Cette égalité de
raiſon ſe marque quelquefois ainſi, {12/4} = {15/5}; &
ſi a a même
rapport avec b que c avec d, l’on peut encore exprimer cette
égalité de rapport, en mettant {a/b} = {c/d}, qui fait voir que les
quatre grandeurs a b & c d forment deux rapports géométri-
ques égaux.
198.
Comme cette expreſſion {12/4} ou {a/b} repréſentent égale-
ment des rapports géométriques des diviſions & des fractions:
on remarquera que lorſqu’il s’agira de rapport, on appellera le
terme qui eſt au deſſus de la ligne, antécédent, & le terme qui
eſt au deſſous, conſéquent; &
que quand il s’agira de diviſion,
le premier ſera appellé dividende, & le ſecond diviſeur;
&
qu’enfin lorſqu’il s’agira de fraction, le premier ſera appellé
numérateur, & le ſecond dénominateur.
199.
On appelle raiſon d’égalité celle où l’antécédent eſt
égal au conſéquent, & raiſon d’inégalité, lorſque les deux
termes ſont inégaux; ce qui peut arriver de deux manieres:
la premiere, quand l’antécédent eſt plus grand que le conſé-
quent, & pour lors on nomme cette raiſon, raiſon de plus
grande inégalité; &
lorſque l’antécédent eſt plus petit que le
conſéquent, on l’appelle raiſon de moindre inégalité.
200.
Deux rapports égaux forment ce que l’on appelle une
proportion; ſi les deux rapports égaux ſont arithmétiques, la
proportion eſt arithmétique; ſi les deux rapports égaux ſont
géométriques, la proportion eſt géométrique. Ainſi dans
toute proportion il y a quatre termes, puiſque chacun des
deux rapports en a deux. Il y a proportion arithmétique entre
que la troiſieme ſurpaſſe la quatrieme, ou bien lorſque la ſe-
conde ſurpaſſe la premiere autant que la quatrieme ſurpaſſe la
troiſieme. Ainſi ces quatre nombre 9 7, 5 3 forment une
proportion arithmétique, que l’on peut marquer ainſi, 9 - 7
= 5 - 3, ou 2 = 2. Mais on la marque plus communément
de cette maniere, 9. 7:
5.
3, que l’on prononce ainſi, 9 eſt à
7, comme 5 eſt à 3. Le point qui eſt entre le 9 &
le 6 ſignifie
eſt à, & les deux points qui ſont entre chaque rapport, ſigni-
fient comme. Le point qui ſépare les deux termes du ſecond
rapport, ſignifie la même choſe que celui qui eſt entre les deux
premiers termes 9 & 7.
La proportion arithmétique ſe mar-
que de même en Algebre. Si a - b = c - d, on écrit ſi a.
b:
c.
d
que l’on exprime, en diſant, a eſt à b arithmétiquement,
comme c eſt à d. Il y a proportion géométrique entre quatre
nombres, lorſque le premier contient le ſecond, ou y eſt con-
tenu autant de fois que le troiſieme contient le quatrieme, ou
y eſt contenu. Ainſi ces quatre nombres 12, 4, 15 &
5, ſont
en proportion géométrique, puiſque 12 contient 4 autant de
fois que 15 contient 5: cette proportion peut ſe marquer ainſi,
{12/4} = {15/5}, & cette maniere eſt peut-être la plus naturelle;
mais
le plus communément on la marque ainſi, 12. 4 :
: 15.
5,
c’eſt-à-dire que 12 eſt à 4 géométriquement, comme 15 eſt à
5. La proportion géométrique ſe marque de même en Al-
gebre: ainſi ſi a contient b autant de fois que c contient d,
on écrit a. b :
: c.
d.
201.
Une proportion arithmétique ou géométrique eſt ap-
pellée diſcrete, lorſque les quatre termes ſont quatre gran-
deurs différentes; &
lorſque dans l’une ou l’autre le même
nombre eſt conſéquent d’un rapport, & antécédent de l’autre,
la proportion eſt appellée continue; ainſi ces trois grandeurs
3, 5, 7 ſont en proportion arithmétique continue, parce que
l’on a 3. 5 :
5.
7, &
cette proportion ſe marque ainſi · 3.
5.
7
que l’on exprime, en diſant, 3 eſt à 5, comme 5 eſt à 7 arith-
métiquement, afin de la diſtinguer de la proportion diſcrete
arithmétique, comme celle-ci, 2.4:
8.
10, &
autres ſembla-
bles. De même ces trois grandeurs 18, 6, 2 forment une pro-
portion géométrique continue, parce que 18. 6 :
: 6.
2, où
l’on voit que 6 eſt conſéquent dans le premier rapport, & an-
récédent dans le ſecond. Pour diſtinguer cette eſpece de pro-
./.
.}
18.6.
2, de même en Algebre {.
./.
.} a.
b.
c marque que les trois
grandeurs a, b, c forment une progreſſion géométrique.
201.
Les quantités qui forment une proportion arithméti-
que ou géométrique ſont appellées proportionnelles. Le premier
& le dernier terme d’une proportion quelconque ſont appellés
extrêmes, & le ſecond &
le troiſieme ſont appellés moyens.
Dans les proportions continues arithmétiques ou géométri-
ques, le terme qui ſert de conſéquent & d’antécédent eſt ap-
pellé moyen arithmétique ou géométrique.
Je crois devoir avertir ici ceux qui commencent la Géo-
métrie, qu’il eſt de la derniere importance de bien ſçavoir les
propoſitions de ce ſecond Livre, particuliérement la premiere
& ſes corollaires, puiſque c’eſt preſque par elle ſeule que ſont
démontrées toutes les propoſitions où il s’agit de rapport & de
proportion. Pour leur en faciliter l’intelligence, nous leur
donnerons pluſieurs démonſtrations de cette propoſition, &
nous nous arrêterons principalement à celles qui ſont démon-
trées par des raiſons métaphyſiques.
Si quatre grandeurs ſont en proportion géométrique, le produit
des extrêmes ſera égal à celui des moyens, c’eſt-à-dire que ſi l’on a
a. b :
: c.
d, on aura ad = bc.
202.
Puiſqu’une proportion n’eſt autre choſe que l’égalité
de deux rapports, au lieu de l’exprimer ainſi, a. b :
: c.
d, on
peut la marquer de cette maniere, {a/b} = {c/d}. Si je multiplie les
deux termes de cette égalité par une même grandeur bd, je ne
troublerai point l’égalité; ainſi j’aurai {abd/b} = {cbd/d@}:
mais {abd/b} =
ad, en effaçant la lettre b, commune au numérateur & au dé-
nominateur; &
de même {cbd/d}=6c:
donc on aura ad = bc.
Ce qui
prouve que le produit des extrêmes eſt égal au produit des
moyens. C.
Q.
F.
D.
203.
Puiſque l’on a a.
b :
: c.
d, à cauſe de l’égalité des rap-
ports {a/b}, {c/d}; ſi l’on ſuppoſe que {a/b} = f, on aura auſſi {c/d}=f.
Mul-
tipliant chaque membre de la premiere égalité par b, on aura
{ab/b} = bf, ou a = bf; multipliant chaque membre de la ſe-
conde égalité par d, on aura {cd/d} = df, ou c = df: donc en
mettant dans la proportion a. b :
: c.
d à la place de a &
de c
ſur valeurs bf & df, on aura bf :
b :
: df :
d, ou le produit des
extrêmes eſt égal à celui des moyens, puiſque l’un & l’autre
donne également bdf.
204.
Suppoſons qu’au lieu de la proportion a.
b :
: c.
d on
me donne celle-ci 12. 6 :
: 4.
2;
il faut démontrer pour quelle
raiſon le produit des moyens 6 x 4 eſt égal au produit des ex-
trêmes 12 x 2. Pour cela je fais attention que 12 étant double
de 6; ſi je viens à multiplier 12 &
6 par le même nombre 4,
le produit de 12 par 4 ſera double du produit de 6 par le même
nombre 4; mais ſi au lieu de multiplier 2 par 4, je multiplie
ce nombre par un autre, qui ne ſoit que la moitié de 4, il eſt
néceſſaire que le produit devienne la moitié de celui de 12 par
4: donc il ſera égal à celui de 6 par 4, puiſqu’il perd autant
du côté du multiplicateur 2, que le nombre 6 gagne par ſon
multiplicateur 4. En un mot, 6 n’eſt que la moitié de 12;
mais
par la nature de la proportion, il a un multiplicateur double
de celui de 12, ce qui fait une compenſation parfaite. On peut
appliquer ce raiſonnement à tel autre rapport que ce ſoit, ſoit
numérique, ſoit algébrique. Ainſi notre démonſtration eſt
générale, parce qu’elle ne dépend pas de l’exemple auquel elle
eſt appliquée, mais de l’univerſalité des principes ſur leſquels
elle eſt fondée.
205.
Il ſuit de cette propoſition, que dans une proportion
géométrique continue, le produit des extrêmes eſt égalau quarré
du terme moyen: car ſi l’on a {.
./.
.} a.
b.
c, ou bien a.
b :
: b:
c,
on aura ac = bb.
206.
Il ſuit encore que connoiſſant les trois termes a, b, c
d’une proportion, on pourra connoître le quatrieme; car ſi
l’on nomme x ce quatrieme, l’on aura a. b :
: c.
x;
par con-
ſéquent ax = bc, ou bien en diviſant chaque membre de l’é-
galité par a, {ax/a}, ou x = {bc/a}, qui fait voir que pour trouver ce
quatrieme terme, il faut multiplier le ſecond par le ſecond par le troiſieme,
& diviſer le produit par le premier.
207.
Il ſuit encore qu’on peut prendre le produit du ſecond
& du troiſieme terme d’une proportion diviſé par le premier,
pour le quatrieme terme de la même proportion: car comme
x eſt égal à {bc/a}, on pourra avec les trois termes a, b, c écrire
a. b :
: c, {bc/a}, &
c’eſt ſur cette proportion qu’eſt fondée la regle,
appellée Regle de Trois, qui fait trouver le quatrieme terme
d’une proportion, dont les trois autres ſont connus. Si dans
une proportion quelconque on connoît trois termes, on pourra
toujours connoître le quatrieme, de quelque maniere qu’ils
ſoient diſpoſés.
208.
De même dans la proportion continue, connoiſſant
les deux premiers termes, on pourra connoître le troiſieme,
en diviſant le quarré du moyen par le premier. Ainſi ayant les
deux premiers termes a,b de la proportion continue, on aura
x = {bb/a}, puiſque a. b :
: b.
{bb/a}.
209.
Mais ſi l’on avoit le premier terme a &
le troiſieme c,
& qu’on voulût avoir le terme moyen, que nous appellerons x,
on multipliera le premier & le troiſieme l’un par l’autre, &
l’on prendra la racine du produit; cette racine ſera la moyenne
proportionnelle demandée: car ayant a :
x :
: x :
c, on aura
xx = ac, & par conſéquent x = √ac\x{0020}
210.
Si quatre grandeurs ſont diſpoſées de telle ſorte que le pro-
duit des extrêmes ſoit égal au produit des moyens, ces quatre gran-
deurs ſeront proportionnelles.
Si quatre grandeurs a, b, c, d donnent ad = bc, je dis que
l’on aura a. b :
: c.
d, ou bien que {a/b} = {c/d}.
Pour le prouver il
n’y a qu’à diviſer les deux membres de l’équation ad=bc, par
une même grandeur bd, on aura {ad/bd}={bc/bd}, ou en effaçant les
lettres communes pour faire la diviſion {a/b}={c/d}. Or comme on
a diviſé des grandeurs égales par d’autres grandeurs égales, on
aura des quotients égaux {a/b} & {c/d} qui donnent a.
b :
: c.
d.
C.
Q.
F.
D.
211.
Ce théorême, qui eſt l’inverſe du précédent, ſert à
faire voir que quatre grandeurs ſont proportionnelles, en fai-
ſant voir que le produit des extrêmes eſt égal à celui des moyens: c’eſt pourquoi il eſt à propos d’être bien prévenu de ce prin-
cipe, qui ſera le fondement de toutes les démonſtrations al-
gébriques que nous allons donner.
212.
Il ſuit de cette propoſition, qu’une équation peut tou-
jours être regardée comme ayant un de ſes membres formé du
produit des extrêmes, & l’autre de celui des moyens d’une
proportion; &
que l’on peut même faire une proportion avec
les racines des produits qui forment chaque membre de l’é-
quation, comme on le verra ailleurs.
213.
Il ſuit encore du théorême précédent, que ſi quatre
grandeurs ſont en proportion géométrique, elles le ſeront
encore dans les quatre changemens ſuivans, que l’on déſigne
par ces mots invertendo, alternando, componendo, dividendo,
& que d’autres appellent en raiſon inverſe, en raiſon alterne,
compoſition & diviſion.
214.
Pour changer une proportion donnée en raiſon in-
les conſéquens à celle des antécédens, c’eſt-à-dire que ſi
a. b :
: c.
d, on aura auſſi b.
a :
: d.
c;
ce qui eſt bien évident,
puiſqu’on vient de voir que les quatre termes d’une propor-
tion peuvent toujours former une équation; &
comme la
proportion inverſe, auſſi-bien que la directe donne b c = a d; il s’enſuit qu’en renverſant les termes, cela n’empêche pas
qu’ils ne ſoient en proportion.
215.
Pour changer une proportion en raiſon alterne ou al-
ternando, on met les moyens à la place les uns des autres ſans
changer les extrêmes, c’eſt-à-dire que ſi l’on a a. b :
: c.
d, on
aura auſſi a. c :
: b.
d;
ce qui eſt bien évident, puiſqu’on a tou-
jours a d pour le produit des extrêmes, & b c pour le produit
des moyens; &
que ces produits ſont égaux, à cauſe de la pre-
miere proportion a. b :
: c.
d qui donne a d = b c.
216.
Pour changer une proportion en compoſant ou com-
ponendo, on ajoute le conſéquent à l’antécédent, & l’on com-
pare la ſomme au conſéquent ou à l’antécédent: on fait la
même opération pour chaque rapport, c’eſt-à-dire que ſi l’on
a a. b :
: c.
d, on aura auſſi a + b.
b :
: c + d.
d;
ce
qui ſera évident, ſi l’on fait voir que ces quatre termes don-
nent un produit des extrêmes égal au produit des moyens. Le
produit des extrêmes eſt a d + b d, & celui des moyens eſt
b c + b d, évidemment égal au premier, puiſque la proportion
primitive donne a d = b c, & que b d eſt égal dans l’un &
dans
l’autre.
217.
Le changement appellé dividendo, que l’on pourroit
nommer avec plus de raiſon detrahendo ou de ſouſtraction, ſe
fait en ôtant le conſéquent de l’antécédent, dans chaque rap-
port, & en comparant chaque différence à l’antécédent, ou au
conſéquent: par exemple, ſi l’on a a.
b :
: c.
d, on aura auſſi
a - b. b :
: c - d.
d, ou a.
a - b :
: c.
c - d:
car dans l’un
& dans l’autre, le produit des moyens eſt égal au produit des
extrêmes. Dans le premier cas, le produit des moyens eſt
b c - b d, & celui des extrêmes eſt a d - b d égal au premier:
dans le ſecond, le produit des moyens eſt a c - b c, &
celui
des extrêmes a c - a d évidemment égal à l’autre, puiſque les
termes de l’un ſont égaux aux termes de l’autre; car a c = a c,
& a d = b c par la proportion a.
b :
: c.
d.
218.
Il y a encore beaucoup d’autres changemens différens
truire, mais qui réſultent de la combinaiſon de ces premiers, &
dont l’uſage eſt moins fréquent dans les Mathématiques: il ſuffit
d’avoir la regle générale pour reconnoître ſi les changemens
que l’on fait ne détruiſent point la proportion; &
pour cela
il n’y a qu’à examiner dans tous les cas ſi le produit des extrê-
mes eſt égal à celui des moyens.
Nous allons donner un eſpece de tableau de ces change-
mens, en nombres & en lettres, pour que l’on puiſſe plus aiſé-
ment ſe les graver dans la mémoire.
Si l’on a a.
b :
: c.
d, on aura
Si 3.
4 :
: 6.
8, on aura
Dans les deux premiers changemens, le produit des extrê-
mes & des moyens ſont les mêmes que ceux que donnent la
proportion; &
dans les autres, les produits des extrêmes &
des moyens ſont ſimplement égaux, ſans être les mêmes que
ceux de la proportion primitive.
219.
Lorſque deux raiſons ont un même rapport à une troiſieme,
ces deux raiſons ſont égales entr’elles, c’eſt-à-dire que ſi l’on a
a. b :
: e.
f, &
c.
d :
: e.
f, on aura a.
b :
: c.
d.
Si l’on diviſe l’antécédent a par ſon conſéquent, &
que le
quotient ſoit g; en diviſant de même c par d, &
e par f, les
quotients ſeront auſſi g & g;
ce qui donnera a = bg, c = dg,
& e = fg:
pour faire voir que a.
b :
: c :
d, il n’y a qu’à mettre
à la place de c ſa valeur d g, on
aura bg. b :
: dg.
d.
Le produit des extrêmes ſera bdg = bdg,
produit des moyens. Plus ſimplement, puiſque a.
b :
: e.
f, &
que c. d :
: e.
f, on aura {a/b} = {e/f}, &
{c/d} = {e/f}:
donc {a/b} = {c/d}:
donc
a. b :
: c.
d.
C.
Q.
F.
D.
220.
Lorſque pluſieurs grandeurs ſont en proportion géomé-
trique, ou qu’elles forment des rapports égaux, la ſomme des an-
técédens eſt à la ſomme des conſéquens, comme un ſeul antécédent
eſt à ſon conſéquent; c’eſt-à-dire que ſi des grandeurs, comme
a, b, c, d forment les rapports égaux {a/b}={c/d}={e/f}, l’on aura
a + c + e. b + d + f :
: a.
b, ou comme c.
d.
Pour le prouver, nous ferons voir que le produit des moyens
eſt égal au produit des extrêmes, ou, ce qui eſt la même choſe,
que a b + b c + b e = a b + a d + a f; ce qui eſt bien évident:
car 1°.
a b=a b, 2°.
Puiſque {a/b}={c/d}, ou que a.
b :
: c.
d, on
@ ad = bc. 3° Puiſque {a/b}={e/f}, ou que a.
b :
: e.
f, on aura
a f = b e. Donc toutes les parties qui compoſent le produit
des extrêmes ſont égales à celles qui forment le produit des
moyens, & partant il y a proportion.
C.
Q.
F.
D.
221.
Deux grandeurs demeurent en même raiſon, quoi que l’on
leur ajoute, pourvu que ce que l’on ajoute à la premiere, ſoit à ce
que l’on ajoute à la ſeconde, comme la premiere eſt à la ſeconde.
Si aux deux grandeurs a &
b l’on ajoute les deux grandeurs
c & d, &
que a ſoit à b, comme c &
à d, je dis que a + c.
b+d :
: a.
b:
car puiſque a.
b :
: c.
d:
donc alternando (n°.
215.)
a. c :
: b.
d:
donc componendo (n°.
216.)
a + c.
a :
: b + d.
b,
& alternando.
a + c.
b + d :
: a.
d.
C.
Q.
F.
D.
222.
Deux grandeurs demeurent toujours en même rapport,
quoique l’on retranche de l’une ou de l’autre, pourvu que ce que
l’on retranche de la premiere, ſoit à ce que l’on retranche de la ſe-
conde, comme la premiere eſt à la ſeconde.
Si l’on a deux grandeurs a &
b, &
deux autres c &
d,
telles que a ſoit à b, comme c à d, je dis que a - c. b - d :
:
a. b :
car puiſque a.
b :
: c.
d:
donc alternando (art.
215.)
a.
c :
: b.
d, &
dividendo (art.
217.)
a - c.
a :
: b - d.
d, &
@ncore alternando, a - c. b - d :
: a.
b.
C.
Q.
F.
D.
223.
Si l’on multiplie les deux termes d’une raiſon par une même
quantité, les produits ſeront dans la même raiſon que ces termes
avant d’être multipliés.
Pour prouver que ſi l’on multiplie deux grandeurs, comme
a & b par une autre grandeur c, l’on a ac.
bc :
: a.
b, conſidérés
que le produit des extrêmes & celui des moyens donnent
abc = abc. C.
Q.
F.
D.
224.
Si l’on diviſe les deux termes d’une raiſon par une même
quantité, les quotients ſeront dans la même raiſon que les grandeurs
que l’on a diviſées.
Pour démontrer que ſi l’on diviſe deux grandeurs a &
b
par une même grandeur c, les quotients ſeront dans la même
raiſon que les grandeurs, nous ſuppoſerons que {a/c} = d, & que
{b/c} = f. Cela poſé, on aura a = c d, &
b = c f, ainſi pour
b:
:d.
f, on n’a qu’à mettre à la place de a &
de b dans la proportion leurs valeurs cd & cf pour avoir cd.
cf:
:d.
f, qui donnera cdf = cdf pour le produit des ex -
trêmes & des moyens.
225.
Si l’on multiplie deux proportions, termes par termes,
les produits qui en réſulteront ſeront encore en proportion.
Soient les deux proportions a.
b:
:c.
d, &
l’autre f.
g:
: m.
n,
il faut prouver que af.bg:
:cm.
dn, ou que bgcm = afdn, c’eſt -
à - dire que le produit des extrêmes eſt égal à celui des moyens. Pour cela, conſidérez que bgcm = bcgm = bc x gm, &
que
afdn = adfn = ad x fn: mais ad = bc, puiſque a.
b:
:c.
d, &
gm = fn, puiſque f.g:
:m.
n.
Donc bgcm = afdn, c’eſt-à-
dire qu’il y a proportion, puiſque le produit des extrêmes eſt
égal à celui des moyens.
226.
Il ſuit de cette propoſition, que ſi quatre grandeurs ſont
en proportion géométrique, leurs quarrés, leurs cubes, ou en
général les mêmes puiſſances de ces grandeurs y ſeront auſſi,
c’eſt - à - dire que ſi l’on a a.b:
:c.
d, on aura a
b
:c
d
ou ab
:c
d
car en multipliant la proportion a.
b:
:c.
d
par elle - même une ou pluſieurs fois, on retombe dans le cas
de la propoſition préſente. D’ailleurs il eſt aiſé de voir que
dans tous ces cas le produit des extrêmes eſt égal à celui des
moyens.
227.
Dans une proportion continue, le quarré du premier terme
eſt au quarré du ſecond, comme le premier au troiſieme; c’eſt-à-
dire que ſi l’on a la proportion continue {../.
.} a.
b.
c, ou a.
b:
:b.
c,
on aura auſſi ab
:a.
c.
Puiſque a.
b:
:b.
c, on aura bb = ac, &
multipliant chaque
membre de cette égalité par a, on aura abb = ad’où l’on
b
:a.
c;
car nous avons déja vu que
lorſque l’on a une équation on en peut tirer une proportion,
& réciproquement d’une proportion, on en peut toujours tirer
une équation (art. 212).
C.
Q.
F.
D.
228.
Nous avons déja dit qu’une proportion arithmétique
eſt l’égalité de deux rapports arithmétiques, & qu’elle réſulte
de quatre nombres, tels que le premier ſurpaſſe le ſecond,
d’autant que le troiſieme ſurpaſſe le quatrieme, comme dans
les nombres ſuivans, 2.5:
6.
9′, qui ſont en proportion arith -
métique.
229.
Lorſque quatre grandeurs ſont en proportion arithmétique,
la ſomme des extrêmes eſt égale à celle des moyens; c’eſt-à-dire que
ſi l’on a a.b:
c.
d, on aura a + d = b + c.
Puiſqu’il y a proportion entre les quatre grandeurs a,b,c,d,
& qu’une proportion n’eſt que l’égalité de rapports, l’excès
de b ſur a ſera égal à celui de d ſur c: ſuppoſant que cet excès
ſoit une quantité f, on aura b = a + f; &
de même d = c
+ f. Donc au lieu de la proportion a.
b:
c.
d, on aura celle -
ci, a.a + f:
c.
c + f:
prenant la ſomme des extrêmes &
des moyens de cette nouvelle proportion, égale à la premiere,
on aura a + c + f = a + f + c; ce qui eſt bien évident,
puiſque tout eſt égal de part & d’autre.
C.
Q.
F.
D.
230.
Il ſuit delà, que ſi l’on connoît trois termes quelcon -
ques d’une proportion arithmétique, on connoîtra auſſi le qua -
trieme: par exemple, ſi l’on donne ces trois nombres 2, 5, 7
pour les trois premiers termes d’une proportion arithmétique,
dont on demande le quatrieme, ſoit x ce quatrieme terme,
on aura 2.5:
7.
x:
donc 2 + x = 5 + 7;
&
ôtant de chaque
membre le même nombre 2, on aura 2 + x - 2, ou x = 5
+ 7 - 2 = 10; ce qui eſt bien évident, puiſque l’excés de
D’où l’on dé -
duit généralement que le quatrieme terme d’une proportion
arithmétique ſe trouve en prenant la ſomme des moyens, &
ôtant le premier extrême de cette ſomme.
231.
Si la proportion eſt continue, c’eſt - à - dire ſi un terme
eſt à la fois antécédent du ſecond rapport, & conſéquent du
premier, on aura la ſomme des extrêmes égale au double du
terme moyen. Ainſi ſi l’on a cette proportion continue arith -
métique a. b:
b.
c, on aura a + c = b + b = 2b:
car puiſ -
que ces trois grandeurs ſont en proportion arithmétique, la
premiere ſurpaſſe la ſeconde, autant que la même ſeconde ſur -
paſſe la troiſieme, & appellant d l’excès de la premiere ſur la
ſeconde, on aura a = b + d, & b = a - d:
donc puiſque
l’excès de b ſur c eſt encore le même, on aura b = c + d, ou
b - d = c; mais nous avons b = a - d:
donc b - d = a - d
- d = a - 2d = c. Ainſi au lieu de la proportion continue
a. b:
b.
c, on aura celle - ci a.
a - d:
a - d.
a - 2d, dans
laquelle il eſt évident que la ſomme des extrêmes a + a - 2d
eſt égale à celle des moyens a + a - d - d, ou au double du
moyen a - d; ce qui eſt encore une autre démonſtration de
la même propriété.
232.
Connoiſſant les deux extrêmes d’une proportion con -
tinue arithmétique, il ſera facile de trouver le moyen terme,
en prenant la moitié de la ſomme des deux termes donnés: ainſi ſi l’on demande un terme moyen arithmétique entre 3
& 5, on prendra la moitié de la ſomme de ces deux nombres
8, qui eſt 4, & ce nombre ſera le moyen que l’on cherche:
car il eſt évident que l’on a 3. 4:
4.
5.
En Algebre c’eſt la
même choſe, pour trouver un moyen arithmétique entre les
deux grandeurs a & b, j’ajoute ces deux nombres enſemble
pour avoir a + b, dont la moitié {a + b/2} eſt le moyen demandé;
en effet a. {a + b/2}:
{a + b/2}.
b, puiſque la différence du premier
terme au ſecond eſt égale à celle du méme ſecond au troiſieme.
233.
Si quatre grandeurs ſont telles que la ſomme des extrêmes,
ſoit égale à celle des moyens, ces quatre grandeurs ſont en pro -
portion arithmétique; c’eſt - à - dire que ſi les quatre grandeurs
a, b, c, d ſont telles que a + d, ſomme des extrêmes, ſoit égale à
c + d, ſomme des moyens, on aura a. b:
c.
d.
Tout ſe réduit à prouver que l’excès de a ſur b eſt égal à
celui de c par d, ou réciproquement que l’excès de b ſur a eſt
égal à celui de d ſur c; puiſque a + d = b + c, en ajoutant
de part & d’autre de cette égalité la même quantité, on ne
changera pas l’égalité. Ajoutons dans chaque membre la
quantité négative - b - d, on aura a + d - b - d = c + d
- b - d, ou a - b = c - d, puiſque + d - d ſe détruiſent
dans le premier membre; &
que - b + b ſe détruiſent dans
le ſecond: donc l’excès de a ſur b eſt égal à celui de c ſur d,
on prouveroit avec la même facilité que l’excès de b ſur a eſt
égal à celui de d ſur c: donc ſi quatre grandeurs ſont telles,
que la ſomme des extrêmes ſoit égale à celle des moyens, ces
quatre grandeurs ſont en proportion arithmétique. C.
Q.
F.
D.
234.
Il ſuit delà, que l’on aura toujours prouvé que quatre
grandeurs ſont en proportion arithmétique, dès qu’on aura
démontré que la ſomme des extrêmcs eſt égale à celle des
moyens. Il ſuit encore de cette propoſition, que l’on peut faire
ſur cette proportion les changemens appellés alternando & in -
vertendo ſans la détruire: car il eſt évident que ſi l’on a 3.
5:
7.
9,
on aura auſſi 3. 7:
5.
9, &
5.
3:
9.
7.
235.
Si pluſieurs grandeurs ſont telles, que toutes ſe ſur -
paſſent également les unes les autres, on appelle progreſſion
arithmétique, la ſuite de rapports égaux qui en réſulte. La
progreſſion arithmétique ſe marque de la même maniere que
la proportion continue: ainſi {.
/.
} a.
b.
c.
d.
f marque que les
grandeurs a, b, c, d ſont en progreſſion arithmétique.
236.
On diſtingue deux principales ſortes de progreſſions
arithmétiques; progreſſion arithmétique croiſſante, &
progreſ -
ſion arithmétique décroiſſante. La premiere eſt celle où les ter -
mes vont en augmentant, & dans laquelle chaque terme eſt
moindre que celui qui le ſuit; la ſeconde eſt celle où les ter -
mes vont en diminuant, ou, ce qui revient au même, dans
laquelle chacun eſt plus grand que celui qui le ſuit, comme
dans les deux progreſſions ſuivantes, dont la premiere eſt
croiſſante, & la ſeconde décroiſſante.
{.
/.
} 2.
5.
7.
9.
11.
13, &
{./.
} 15.
12.
9.
6.
3.
1.
Chacune de ces deux ſortes de pro -
greſſions, en contiennent une infinité de différentes, ſelon
les différens rapports qui régnent dans chaque progreſſion en
particulier.
237.
Dans une progreſſion arithmétique quelconque, la ſomme
de deux termes également éloignés des extrêmes, eſt égale à celle
des mêmes extrêmes.
Soit {.
/.
} a.
b.
e.
d.
f.
g.
h une progreſſion arithmétique croiſſante,
je dis que e + f, ſomme de deux termes également éloignée
des extrêmes, eſt égale à la ſomme des mêmes extrêmes a + h. Puiſqu’une progreſſion n’eſt qu’une ſuite de rapports égaux,
ſuppoſons que le rapport arithmétique de a à b ſoit c, c’eſt - à -
dire que b ſurpaſſe a de la quantité c, on aura b = a + c, par
la même raiſon b ſera ſurpaſſé par e de la même grandeur c:
donc e = b + c, ou a + c + c = a + 2c. En continuant le
même raiſonnement, on verra que d = a + 3c, que f =
a + 4c, que g = a + 5c, & h = a + 6c:
donc au lieu de la
premiere, on aura celle - ci {./.
} a.
a + c.
a + 2c.
a + 3c.
a + 4c.
a + 5c. a + 6c, dans laquelle il eſt évident que la ſomme de
deux termes quelconques, également éloignés des extrêmes,
eſt égale à celle des extrêmes. Ainſi la ſomme du troiſieme &
du cinquieme terme eſt 2a + 6c, & la ſomme des extrêmes
eſt auſſi 2a + 6c, c’eſt - à - dire que e + f = a + h. C.
Q.
F.
D.
238.
Si le nombre des termes de la progreſſion arithmétique
terme moyen; &
la ſomme de tous les termes d’une progreſſion
arithmétique ſera égale au produit de la ſomme des extrê-
mes, multipliée par la moitié du nombre des termes: car ſi
l’on multiplioit la ſomme des extrêmes par le nombre des ter-
mes, le produit ſeroit double de la ſomme de tous les termes,
puiſque la ſomme des extrêmes ne vaut pas un terme tout ſeul,
mais deux termes enſemble également éloignés des extrêmes.
239.
Si l’on prend deux termes quelconques, &
deux autres
termes également éloignés du terme moyen, ſi le nombre des
termes eſt impair, ou des moyens ſi le nombre des termes eſt
pair, ces quatre termes ſeront en proportion arithmétique: par exemple, dans la progreſſion {.
/.
} a.
a + c.
a + 2c.
a + 3c.
a + 4c. a + 5c.
a + 6c;
les deux premiers termes a &
a + c,
& les deux derniers a + 5c &
a + 6c forment une proportion
arithmétique a. a + c:
a + 5c.
a + 6c:
car il eſt évident que
le ſecond ſurpaſſe le premier, d’autant que le quatrieme ſur-
paſſe le troiſieme.
240.
Il ſuit encore de cette propoſition, &
de l’expreſſion
générale, qu’un terme quelconque d’une progreſſion arithmé-
tique croiſſante eſt égal au premier terme, plus au produit de
la différence du ſecond au premier, multipliée par le nombre
des termes qui le précéde: ainſi le cinquieme terme a + 4c
de la progreſſion, citée dans ces corollaires, eſt égal au pre-
mier terme a, plus quatre fois l’excès c du ſecond ſur le pre-
mier, parce qu’il a quatre termes avant lui. Ainſi l’on voit ce
qu’il faut faire pour trouver un terme quelconque, lorſque
l’on connoît le premier & la différence du ſecond au premier.
Par exemple, ſi l’on me demande le ſixieme terme d’une pro-
greſſion arithmétique croiſſante, dont le premier terme eſt 2,
& la différence du ſecond au premier eſt 3;
je multiplie cette
différence 3 par 5, parce qu’il y a cinq termes devant le 6
& j’ajoute au produit 15 le premier terme 2, ce qui me donne
17 pour le ſixieme terme.
241.
Réciproquement étant donnés le premier &
le ſixieme
cette progreſſion, & tous les termes intermédiaires.
Ainſi ſi le
premier terme eſt 2, & le ſixieme eſt 17, j’ôte le premier du
dernier, & je diviſe le reſte 15 par 5, qui marque le nombre
des termes qui précédent le ſixieme; le quotient 3 eſt la dif-
férence; de même en Algebre ſi un terme eſt a, &
le ſixieme
a + 5c, j’ôte a de a + 5c, & je diviſe 5c par 5 pour avoir l’ex-
cès c du ſecond terme ſur le premier.
242.
On voit encore comment il faudroit s’y prendre pour
trouver tous les termes d’une progreſſion arithmétique, dont
on connoîtroit le premier & le ſecond:
car puiſque trois ter-
mes de ſuite forment une proportion continue arithmétique,
il n’y a qu’à ôter le premier du double du ſecond pour avoir
le troiſieme terme.
243.
On tire encore de cette propoſition la méthode d’in-
ſérer tant de moyens proportionnels arithmétiques que l’on
veut entre deux nombres donnés. Pour cela, il faut ôter le
plus petit nombre du plus grand, & diviſer le reſte par le
nombre qui exprime combien on veut avoir de moyens arith-
métiques, augmenté de l’unité. Par exemple, ſi l’on me de-
mande quatre moyens arithmétiques entre 2 & 17, j’ôte 2 de
17, le reſte eſt 15, que je diviſe par 5, plus grand d’une unité
que le nombre des moyens arithmétiques que je demande. Le
quotient 3 eſt la différence du ſecond terme au premier: ainſi
en ajoutant cette différence au premier terme, le ſecond eſt
5, & la progreſſion eſt {.
/.
} 2.
5.
8.
11.
14.
17, qui eſt telle qu’en-
tre 2 & 17 il y a quatre moyens arithmétiques.
244.
Tout ce que nous venons de dire ſur les progreſſions
arithmétiques croiſſantes ſe démontrera avec la même facilité,
& à peu près de la même maniere ſur les progreſſions décroiſ-
ſantes. Il faut encore remarquer qu’une progreſſion arithmé-
tique peut commencer par zero, & qu’en ce cas la différence
eſt égale au ſecond terme; c’eſt ce qui arrive dans la progreſ-
ſion des nombres naturels {./.
} 0.
1.
2.
3.
4, &
c.
Il faut encore
pas égale au ſecond terme, ne pourra commencer par zero.
245.
Si l’on a pluſieurs termes de ſuite, tels que chacun, ex-
cepté le premier, ſoit antécédent & conſéquent d’une ſuite de
rapports géométriques égaux, toutes ces quantités formeront
une progreſſion géométrique. Par exemple, les nombres ſuivans
64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 forment une progreſſion géométrique: car
64. 32@:
32.
16, &
32.
16 :
: 16.
8;
ce qui montre évidemment
que chaque terme peut être conſéquent & antécédent des
rapports égaux. On marque ordinairement que des quantités
ſont en progreſſion géométrique, en mettant au devant vers
la gauche une petite barre entre quatre points de cette maniere: {:
/:
} 64.
32.
16.
8.
4.
2, &
c.
On peut encore définir une progreſſion géométrique, en
diſant, que c’eſt une ſuite de nombres, tels que chacun, diviſé
par celui qui le ſuit, donne toujours le même quotient. On
diſtingue deux principales ſortes de progreſſions géométriques: l’une que l’on appelle croiſſante, c’eſt celle dans laquelle cha-
que terme eſt moindre que celui qui le ſuit, & l’autre décroiſ-
ſante, c’eſt celle dans laquelle chaque terme eſt toujours plus
grand que celui qui le ſuit.
246.
Toute progreſſion géométrique croiſſante peut être repréſenté
par celle-ci {:/:
} a.
aq.
aq
aq
aq
aq
c.
Et toute progreſſion
géométrique décroiſſante par celle-ci, qui eſt l’inverſe de la précé-
dente {:/:
} aq
aq
aq
aq
aq
aq
Pour faire voir que ces quantités ſont en progreſſion géo-
métrique, il n’y a qu’à diviſer un terme quelconque par le ſui-
vant, & ce même terme par celui qui le ſuit immédiatement,
& voir ſi le quotient eſt le même.
Dans la premiere progreſ-
ſion, je diviſe aqJe diviſe enſuite
aqle quotient eſt encore q:
donc il y a progreſ-
ſion, puiſque aq. aq@:
aq
aq
De même pour la ſeconde,
je diviſe aqJe diviſe le même aq
donc ces termes
ſont en progreſſion géométrique, puiſqu’ils donnent un même
quotient. C.
Q.
F.
D.
247.
Il ſuit delà, que dans une progreſſion géométrique
croiſſante, le quarré du premier terme eſt au quarré du ſecond,
comme le premier terme au troiſieme; car dans la ſuite {:
/:
} a.
aq.
aq
aq
c.
on a a
a
: a.
aq
puiſque le produit
des extrêmes eſt égal à celui des moyens, aIl ſuit
encore de la même formation des progreſſions, que le cube du
premier terme eſt au cube du ſecond, comme le premier au
quatrieme: car a
a
: a.
aq
trêmes eſt égal à aEn général ſi l’on
appelle a le premier terme d’une progreſſion, & b le ſecond;
m la puiſſance quelconque à laquelle on éleve les deux pre-
miers termes, on aura ab
: a eſt au terme, dont le rang
ſeroit déſigné par le nombre m + 1.
248.
Suppoſant toujours que la progreſſion va en croiſſant,
un terme quelconque eſt égal au produit du premier terme,
multiplié par le quotient du ſecond, diviſé par le premier, le-
quel quotient eſt élevé à la puiſſance, marquée par le nombre
des termes qui précédent. Ainſi le quatrieme terme eſt égal
au premier a, multiplié par q, quotient du ſecond aq, diviſé
par le premier, élevé à la troiſieme puiſſance, parce qu’il y a
trois termes qui précédent le quatrieme; ce terme eſt aq
ainſi connoiſſant les deux premiers termes d’une progreſſion
géométrique, on connoîtra aiſément un terme quelconque.
Pour cela, il n’y aura qu’à diviſer le ſecond par le premier,
multiplier le premier terme par ce quotient, élevé à une puiſ-
ſance, marqué par le nombre des termes qui précédent celui
qu’on cherche. Par exemple, ſi l’on me demande le ſixieme
terme d’une progreſſion géométrique croiſſante, dont le pre-
mier eſt a, & le ſecond aq, je diviſe le ſecond par le premier a,
le quotient eſt q: je multiplie a par ce quotient q, élevé à la
cinquieme puiſſance, & le ſixieme terme eſt aq
Il en ſeroit
de même en nombres. Si le premier terme eſt a, &
le ſecond b;
je diviſe b par a, le quotient eſt {b/a}, & qu’on me demande le cin-
b ſeroient
les deux premiers termes: je multiplie a par la quatrieme puiſ-
ſance de {b/a}, qui eſt {bappellant x ce cinquieme terme, j’ai
x = {abD’où il ſuit encore qu’un terme quelconque
d’une progreſſion géométrique croiſſante eſt égal au ſecond
terme, élevé à une puiſſance moindre d’un degré que le nu-
méro de ce terme, diviſé par le premier terme, élevé à une
puiſſance moindre de deux degrés que le même numéro.
249.
Si l’on ſuppoſe a égal à l’unité la ſuite ou progreſſion
{:/:
} a.
aq.
aq
c.
deviendra {:
/:
} q
q
q
q
q
q
c.
D’où
il ſuit que toutes les puiſſances d’un nombre forment une pro-
greſſion géométrique; ce qui eſt d’ailleurs évident par l’idée
que l’on doit avoir des puiſſances ſucceſſives d’un nombre.
250.
Dans une progreſſion quelconque, la ſomme des antécé-
dens eſt à la ſomme des conſéquens, comme un ſeul antécédent eſt
à ſon conſéquent; c’eſt-à-dire que ſi les grandeurs a, b, c, d, f,
font une progreſſion géométrique, on aura cette proportion, a + b
+ c + d + f. b + c + d + f:
: a.
b.
Il faut démontrer que le produit des extrêmes ab + bb + bc
+ bd eſt égal au produit des moyens. ab + ac + ad + af.
1°.
ab = ab.
2°.
Puiſque par la nature de la progreſſion a.
b:
:
b. c, bb = ac.
3°.
Par la même raiſon, puiſque a.
b:
: b.
c, &
que b. c :
: c.
d, on aura a.
b:
: c.
d;
donc ad = bc.
4°.
Puiſque
a. b :
: c.
d:
: d.
f, on aura a.
b :
: d.
f;
donc af = bd.
Ainſi
toutes les parties du produit des extrêmes ſont égales à toutes
les parties du produit des moyens; d’où il ſuit que la pro-
portion a lieu.
251.
Si la progreſſion eſt décroiſſante, &
décroît juſqu’à
l’infini, le dernier terme pourra être regardé comme zero: ainſi la ſomme des antécédens, qui eſt tous les termes, excepté
&
la ſomme des conſéquens ſera la ſomme de tous les termes,
excepté le premier, ce qui ne détruira pas la proportion. Cette
propoſition & ſon corollaire donnent la ſolution des problêmes
que l’on peut propoſer pour la ſommation des ſuites des pro-
greſſions géométriques, comme on verra dans le Traité des
Equations. On ne peut trop ſçavoir cette propoſition, &
ce
qui précéde, ſi l’on veut trouver la ſolution de ces ſortes de
problêmes.
252.
Dans une progreſſion géométrique, telle que {:
/:
} a.
b.
c.
d.
f.
g.
le produit de deux termes, également éloignés des extrêmes, eſt égal
au produit des mêmes extrémes.
Prenons les termes c, d, qui ſont également éloignés des
extrêmes; il faut prouver que c d eſt égal au produit des ex-
trêmes ag. Pour cela, faites attention que la nature de la
progreſſion donne les proportions ſuivantes.
a.
b :
: b.
c, b.
c :
: c.
d, c.
d :
: d.
f
b.
c :
: c.
d, c.
d :
: d.
f, d.
f :
: f.
g.
Multipliant deux à deux termes par termes, on aura
ab.
bc :
: bc.
cd, bc.
cd :
: cd.
df, cd.
df :
: df.
fg.
D’où l’on déduit celle-ci, en diviſant chaque terme des rap-
ports par les lettres communes à l’antécédent & au conſéquent.
a.
c :
: b.
d, b .
d :
: c.
f, c.
f :
: d.
g.
Et puiſque toutes ces raiſons ſont égales entr’elles, on aura
cette proportion a. c :
: d.
g:
donc ag = dc, c’eſt-à-dire que
le produit des extrêmes de la progreſſion eſt égal à celui de
deux termes quel conques, également éloignés des mêmes ex-
trêmes. C.
Q.
F.
D.
253.
Il ſuit de cette propoſition, que les deux extrêmes &
deux termes quelconques qui en ſeront également éloignés,
formeront une proportion, dont les deux premiers ſeront les
les deux autres les moyens.
Si le nombre des ter-
mes de la progreſſion eſt impair, le produit des extrêmes ou de
deux termes, qui en ſeront chacun également éloignés, ſera
égal à celui des moyens.
254.
Tout ce que nous avons dit ſur les progreſſions arith-
métiques croiſſantes ſe doit auſſi entendre des progreſſions
décroiſſantes, en faiſant les changemens néceſſaires. Au reſte
toute progreſſion décroiſſante ſe peut rappeller à une progreſ-
ſion croiſſante, en allant de droite à gauche. On remarquera
de plus, que les deux derniers théorêmes auroient pu ſe dé-
montrer bien facilement par la progreſſion générale {:/:
} a.
aq.
aq
c:
mais c’eſt préciſément à cauſe de cette facilité que
j’ai cru qu’il falloit les démontrer un peu autrement; car cette
expreſſion ne vous laiſſe aucun raiſonnement à faire, en vous
donnant tout d’un coup ce que vous demandez, & l’on court
ſouvent riſque de déraiſonner, ou au moins d’ignorer l’art de
raiſonner, lorſque l’on ne raiſonne que par formule, ſans ſe
mettre en peine de le faire par ſoi-même.
255.
Inſérer pluſieurs moyens proportionnels entre deux nom-
bres donnés.
Il faudra diviſer le plus grand par le plus petit;
&
pour
avoir la raiſon de la progreſſion, il faudra extraire la racine
du quotient, marquée par le nombre des moyens proportion-
nels, augmenté de l’unité. Par exemple, ſi l’on me demande
trois moyens proportionnels géométriques entre 4 & 64, je
diviſe 64 par 4, le quotient eſt 16, dont j’extrais la racine
quatrieme, qui eſt 2, parce que l’on demande trois moyens
proportionnels, & cette racine eſt la raiſon de la progreſſion,
c’eſt-à-dire que chaque terme eſt double de celui qui le ſuit: ainſi le ſecond terme ſera 8, &
le troiſieme 16, le quatrieme
32, & la progreſſion eſt {:
/:
} 4.
8.
16.
32.
64, où l’on voit qu’il ſe
trouve trois moyens entre 4 & 64.
Si l’on en avoit demandé
quatre, il auroit fallu extraire la racine cinquieme du quotient
du plus grand nombre, diviſé par le plus petit.
La raiſon de cette opération ſe déduit immédiatement de
la formule ou expreſſion générale des progreſſions {:/:
} a.
aq.
aq
aq
aq
c.
Je ſuppoſe que l’on me demande trois moyens
géométriques entre a & aq
q
ainſi aq ſera le ſecond terme, aq x q ſera le troiſieme, aq
ou aq
Il faut encore remarquer qu’une progreſſion géométrique
quelconque ne peut jamais avoir zero pour un de ſes termes,
à moins qu’il ne ſerve d’expoſant: car une progreſſion quel-
conque peut commencer par l’unité, ou par une grandeur éle-
vée à la puiſſance zero, comme a°, q°, qui ne différe pas de
l’unité (art. 136).
Des Logarithmes, de leur nature, &
de leurs uſages.
256.
Les logarithmes ſont des nombres en progreſſion arith-
métique, correſpondans à d’autres nombres en progreſſion
géométrique. Par exemple, ſi l’on diſpoſe l’une au deſſous de
l’autre, ces deux ſuites 2, 4, 8, 16, 32; &
35, 7, 9, 11, dont
la premiere eſt une progreſſion géométrique, & la ſeconde
une progreſſion arithmétique, comme on le voit ici:
3, 5, 7, 9, 11
2, 4, 8, 16, 32.
Chaque terme inférieur de la progreſſion arithmétique eſt
appellé logarithme du terme inférieur correſpondant: ainſi 3
eſt le logarithme de 2, 5 celui de 4, & ainſi des autres.
257.
De même ſi l’on prend ces deux autres ſuites,
dont l’une eſt une progreſſion arithmétique, dont la différence
eſt l’unité, & l’autre eſt la progreſſion géométrique réſultante
des différentes puiſſances de 10: chaque terme de la progreſ-
ſion arithmétique ſera le logarithme du terme de la progreſſion
géométrique auquel il répond: ainſi 1 eſt le logarithme de 10,
3 eſt celui de 1000, & ainſi des autres.
258.
Comme on peut prendre une infinité de progreſſions
arithmétiques, dont les termes ſoient poſés au deſſus de ceux
d’une progreſſion géométrique, il ſuit delà que chaque terme
de cette progreſſion pourroit avoir une infinité de logarithmes: mais on eſt convenu de donner à la progreſſion décuple les
logarithmes de la progreſſion arithmétique des nombres na-
turels, en donnant zero pour logarithme à l’unité.
Comme les propriétés des logarithmes dépendent des pro-
portions, progreſſions géométriques & arithmétiques, &
de plus
de celles des expoſans, comme on le verra ci-après, il eſt de la
derniere importance d’avoir préſent à l’eſprit tout ce que
nous avons vu ſur ces différentes parties: c’eſt pourquoi nous
allons reprendre la formule des progreſſions géométriques, &
l’examiner par rapport aux logarithmes.
259.
Dans la ſuite des puiſſances d’une quantité quelconque,
dont les termes forment une progreſſion géométrique, les expoſans
ſont en progreſſion arithmétique.
Que cette ſuite ſoit repréſentée par celle des puiſſances ſuc-
ceſſives de q, qui eſt {:/:
} q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
c,
il eſt évident que ces quantités forment une progreſſion géo-
métrique, comme nous l’avons déja dit, puiſque chaque ter-
me, diviſé par le précédent, donne toujours le même quotient
q. De plus il eſt encore évident que les expoſans ſont en pro-
greſſion arithmétique, qui eſt celle des nombres naturels. C.
Q.
F.
D.
60.
Donc ces expoſans peuvent être regardés comme les
logarithmes des termes auxquels ils répondent, ſuivant la dé-
finition des logarithmes: ainſi le logarithme d’un nombre n’eſt
autre choſe que l’expoſant d’une puiſſance; &
ce que nous diſons
progreſſion géométrique double, qui réſulte de toutes les puiſ
ſances ſucceſſives de 2, qui eſt # {:/:
} 1.
2.
4.
8.
16.
32.
64, &
c.
auroit pu s’écrire ainſi # {:
/:
} 2
2
2
2
2
2
2
c.
Et de même la progreſſion décuple, ou celle des puiſſances ſuc-
ceſſives de 10, qui eſt # {:/:
} 1.
10.
100.
1000.
10000.
100000,
auroit pu s’écrire ainſi # {:/:
} 10
10
10
10
10
10
Dans l’une & dans l’autre, les nombres 0, 1, 2, 3, 4, 5 ſont
les logarithmes des termes auxquels ils répondent, & en même
tems les expoſans des puiſſances de 10. Nous avons déja averti
que l’on s’en tenoit à la derniere ſuite pour calculer les loga-
rithmes des nombres naturels, comme nous le verrons dans la
ſuite.
261.
Donc ſi l’on prend quatre termes quelconques en pro-
portion géométrique, leurs expoſans ou leurs logarithmes for-
meront une proportion arithmétique. Par exemple, ſi l’on
prend ces quatre termes qq
géométrique, puiſque l’on a qq
q
q
que d’ailleurs le
produit des extrêmes eſt égal à celui des moyens, il eſt viſible
que leurs expoſans ou leurs logarithmes ſont en proportion
arithmétique, puiſque 0. 1 :
4.
5.
262.
Pour trouver le produit d’un terme de cette ſuite par
un autre, il faut chercher un terme, dont l’expoſant ſoit égal
à la ſomme des expoſans des deux termes: car on a vu dans le
calcul des expoſans (art: 134), que le produit des quantités
exponentielles ſe trouve par l’addition des expoſans. Ainſi
pour multiplier q
ſoit 5, égal à la ſomme des expoſans 2 + 3, & le terme q
le produit demandé. Donc pour avoir le produit de deux
nombres par le moyen des logarithmes, il faut ajouter les lo-
garithmes de ces deux nombres, & la ſomme ſera le logarithme
du produit, pourvu que la progreſſion arithmétique que l’on a
choiſie, ſoit telle que zero ſoit le logarithme de l’unité.
263.
Pour diviſer un terme quelconque de cette ſuite par
dividende, & la diſſérence ſera l’expoſant du quotient:
par
exemple, pour diviſer q
eſt l’expoſant du quotient, qui eſt qcar on a vu dans le calcul
des expoſans (art. 135), que la diviſion ſe fait par la ſouſtraction
des expoſans de ces quantités. Donc en général pour diviſer un
nombre par un autre, par le moyen des logarithmes, il ſaut
ſouſtraire le logarithme du diviſeur de celui du dividende, &
chercher un nombre, dont le logarithme ſoit égal à la diffé-
rence des deux logarithmes des nombres donnés; le nombre
correſpondant ſera le quotient que l’on demande, en ſuppo-
ſant toujours que zero ſoit le logarithme de l’unité.
264.
Pour faire une Regle de Trois par le moyen des loga-
rithmes, il faudra ajouter enſemble les logarithmes des deux
moyens, & de la ſomme retrancher le logarithme du premier
extrême, le reſte ſera le logarithme du dernier extrême: car
une regle de Trois ſe fait en multipliant ces deux moyens l’un
par l’autre, & diviſant par le premier extrême.
Mais par le
corollaire 3
greſſion ſe fait par l’addition des logarithmes ou expoſans des
deux moyens, & le terme qui a pour expoſant la ſomme de ces
expoſans, eſt le produit de ces deux termes. Et par le corol-
laire 4
par la ſouſtraction des expoſans: donc en ôtant l’expoſant du
premier terme de la ſomme des expoſans des deux moyens, on
a l’expoſant ou le logarithme du quatrieme terme. Ainſi pour
trouver un terme quatrieme proportionnel géométrique aux
trois termes q3
des termes moyens qde cette ſomme j’ôte 2, expoſant
du premier, & le reſte 6 eſt le logarithme du quatrieme terme
que je cherche, qui eſt q&
en effet, q
q
q
q
que le produit des extrêmes eſt égal à celui des moyens. D’ail-
leurs, comme ces quatre termes ſont en proportion géomé-
trique, leurs expoſans ou logarithmes, par le corollaire 2, ſont
en proportion arithmétique: ainſi le logarithme que l’on cher-
che eſt le quatrieme terme d’une proportion arithmétique, qui
ſe détermine en ôtant le premier terme de la ſomme des deux
moyens (art. 230).
Ainſi en général pour faire une Regle de
rithmes des moyens, & de la ſomme ôter celui du premier ex-
trême, le reſte eſt celui du quatrieme terme.
265.
Comme toute Multiplication renferme cette propor-
tion, l’unité eſt au multiplicateur, comme le multiplicande eſt au
produit; il ſuit que faire une Multiplication ou une Regle de
Trois c’eſt la même choſe: donc il faut ajouter le logarithme
du multiplicateur à celui du multiplicande, & de la ſomme
ôter le logarithme de l’unité. C’eſt pour cela que dans les pro-
greſſions arithmétiques que l’on a choiſies, pour déterminer les
logarithmes des nombres naturels, on a donné zero pour loga-
rithme à l’unité, afin que toute multiplication ſe réduisît à
l’addition de deux nombres.
266.
Comme toute Diviſion renferme cette proportion,
l’unité eſt au diviſeur, comme le quotient eſt au dividende: il ſuit
qu’on ne peut faire une diviſion qu’on ne faſſe réellement une
regle de Trois; &
comme dans cette regle de proportion, le
terme que l’on cherche eſt le troiſieme, il faut ajouter enſem-
ble les logarithmes ou expoſans des extrêmes, qui ſont l’unité
& le dividende, &
de la ſomme ôter l’expoſant du diviſeur,
pour avoir le logarithme ou l’expoſant du quotient: donc ſi le
logarithme de l’unité eſt zero, toute diviſion ſur les loga-
rithmes ſe réduira à la ſouſtraction de deux nombres; c’eſt
encore pour cette raiſon que l’on a donné zero pour logarithme
à l’unité.
267.
Pour élever un terme quelconque à une puiſſance pro-
poſée, il ſuffit de multiplier ſon expoſant par celui de la puiſ-
ſance à la quelle on veut l’élever, & faire du produit l’expoſant
de la même lettre, qui ſera la puiſſance demandée, comme on
l’a démontré dans la formation des puiſſances des quantités
exponentielles. Par exemple, pour élever q
tiplie ſon expoſant 2 par 3, expoſant de la puiſſance deman-
dée; le produit 6 mis en expoſant au devant de la même quan-
tité, me donne qdonc en général pour
trouver la puiſſance d’un nombre, par le moyen des logarith-
mes, il faut multiplier le logarithme de ce nombre par l’ex-
poſant de la puiſſance, & le produit ſera le logarithme de la
puiſſance que l’on demande, que l’on trouvera à côté de ce
même logarithme.
268.
Pour extraire la racine d’un terme quelconque de
cette ſuite, il faut diviſer l’expoſant ou le logarithme de ce
terme par l’expoſant de la racine, par 2 ſi c’eſt la racine quar-
rée que l’on demande, par 3 ſi c’eſt la racine cubique, & ainſi
des autres: car on a vu dans le Traité du calcul des expo-
ſans, que la racine des quantités exponentielles ſe fait en di-
viſant leur expoſant par l’expoſant de la racine. Ainſi pour
extraire la racine cubique de q
poſant 9 par 3, le quotient eſt 3: ainſi q
de cette quantité. Donc en général, par le moyen des loga-
rithmes, l’extraction d’une racine quarrée ou cubique ſe ré-
duit à diviſer un nombre par 2 ou par 3; &
c’eſt principale-
ment dans cette opération que l’on voit tout d’un coup l’im-
portance de cette découverte, dont on eſt redevable au Baron
de Neper, Ecoſſois, dont le nom ſera toujours reſpecté des
plus grands Calculateurs.
269.
Comme tout ceci eſt de la derniere importance, nous
allons en faire l’application ſur un ſyſtême de logarithme quel-
conque, différent de celui des Tables ordinaires, après quoi
nous expoſerons en peu de mots la maniere dont on a trouvé
les logarithmes des nombres naturels. Nous ne pouvons trop
recommander aux Commençans de s’appliquer à généraliſer
les idées, en examinant particuliérement la poſſibilité d’une
infinité de ſyſtêmes de logarithmes, & en tâchant de décou-
vrir les raiſons qui ont déterminé les premiers qui en ont cal-
culé des Tables, à ſe ſervir de la progreſſion décuple. On verra
que cette raiſon eſt priſe de la nature des logarithmes conſi-
dérés comme expoſans des puiſſances de 10.
1°.
Pour multiplier un terme quelconque de cette ſuite, 8,
par exemple par 16, j’ajoute enſemble leurs logarithmes 3 & 4,
la ſomme eſt 7; &
le nombre 128 qui ſe trouve au deſſous eſt
le produit de 16 par 8. De même pour multiplier le nombre 8
de la progreſſion géométrique par 32, j’ajoute enſemble leurs
5;
la ſomme 8 eſt le logarithme du produit
244, comme on peut s’en convaincre aiſément, en faiſant la
multiplication.
2°.
Pour diviſer un nombre quelconque de la progreſſion
géométrique par un autre terme de la même progreſſion, 128
par 4, j’ôte le logarithme de 4 du logarithme de 128; ces deux
logarithmes ſont 2 & 7, dont la différence 5 eſt le logarithme
du quotient 32. De même pour diviſer 512 par 64, j’ôte 6,
logarithme ou expoſant du diviſeur, de 9 expoſant du divi-
dende, la différence 3 eſt le logarithme du quotient 8. En
effet 512, diviſé par 64, donne 8.
3°.
Pour trouver un quatrieme terme proportionnel aux trois
nombres 4, 32, 64, je prends la ſomme des logarithmes des
deux moyens, qui eſt 11, j’en ôte le logarithme 2 du premier
extrême 4, le reſte eſt 9, logarithme de 512 qui eſt le terme
que l’on demande.
4°.
Pour élever 8 au cube, je multiplie ſon expoſant ou ſon
logarithme, qui eſt 3 par 3, expoſant de la puiſſance, & j’ai 9
au produit, qui eſt le logarithme du cube de 8, qui eſt 512,
comme on l’a déja vu par la Table des Cubes.
5°.
Pour extraire la racine quarrée de 256, je diviſe ſon lo-
garithme 8 par 2, expoſant de la racine quarré le quotient
4 eſt le logarithme de la racine 16: élevant 16 au quarré, on
aura effectivement 256, comme il eſt aiſé de le voir.
270.
On voit par-là que toute Multiplication ſe réduit à
l’Addition de deux nombres; que toute Diviſion ſe fait par la
Souſtraction de deux nombres; &
que toute Regle de Trois ſe
fait par l’Addition de deux nombres, & par la Souſtraction
d’un troiſieme de la ſomme des deux premiers; enfin que la
formation des puiſſances ſe fait en doublant ou triplant le lo-
garithme du nombre, dont on veut avoir le quarré ou le cube,
& que l’extrction des racines ſe réduit à prendre la moitié,
le tiers, ou le quart du logarithme d’un nombre propoſé, pour
avoir la racine ſeconde, troiſieme, ou quatrieme. Mais pour
cela, il faut que les nombres propoſés ſoient préciſément quel-
ques-uns des termes de la progreſſion, pour avoir leurs loga-
rithmes. Ainſi afin de rendre un ſi grand avantage pratica-
ble ſur tous les nombres poſſibles, il a fallu trouver leurs lo-
que chacun occupe dans la progreſſion des nombres à laquelle
on s’eſt arrêté pour calculer les logarithmes. C’eſt ce que nous
allons détailler dans les articles ſuivans.
271.
On a imaginé que tous les nombres naturels étoient
renfermés dans une ſeule progreſſion géométrique, dont cha-
queterme étoit des puiſſances différentes du nombre 10; toutes
puiſſances fractionnaires, excepté les termes de la progreſſion
décuple, {../.
.}10.
100.
1000.
10000, &
c, qui ſont des puiſſances
complettes de 10. Pour cela, on a inſéré entre 1 &
10 9999999
moyens géométriques, & entre chaque expoſant 0 &
1 de ces
nombres, autant de moyens arithmétiques correſpondans aux
premiers; &
pour avoir plus commodément ces moyens arith-
métiques, on a ajouté ſept décimales à la ſuite de chaque ex-
poſant; ce qui ne change pas la progreſſion arithmétique.
Ainſi
au lieu de la premiere ſuite {../.
.} 10
10
10
10
10
10
a celle-ci, {../.
.}10
10
10
c.
tou-
jours telle que les expoſans ſont en progreſſion arithmétique,
& que chaque terme eſt une puiſſance complette du nombre
10. En ſuppoſant donc qu’entre les expoſans 0.
0000000, il y
ait 999,9999 moyens arithmétiques, on trouvera que le pre-
mier eſt 0.0000001, &
que le terme de la progreſſion géomé-
trique qui lui répond, ou, ce qui eſt la même choſe que la
puiſſance de 10 correſpondante à ce logarithme, eſt 10car, ſelon l’article 243, pour inſérer un nombre de moyens
arithmétiques entre deux nombres quelconques, il faut ôter
le plus petit du plus grand, & diviſer le reſte par le nombre
des moyens que l’on demande, augmenté de l’unité. Suivant
cette regle, j’ôte le plus petit terme 0.0000000 de 1.
0000000,
ou, ce qui eſt la même choſe, 0 de 1, le reſte eſt 1, que je
diviſe par le nombre 9999999 des moyens arithmétiques pro-
portionnels, augmenté de l’unité, qui eſt 10000000. Ce pre-
mier moyen arithmétique eſt donc {1/10000000}, ou en réduiſant
cette fraction en décimales 0.00000001;
le ſecond moyen
arithmétique ſera 0.00000002, &
le terme de la progreſſion
géométrique correſpondant à ce logarithme ſera 10
en continuant le même raiſonnement, on a conſtruit des Ta-
bles des Logarithmes de tous les nombres naturels, & l’on a
trouvé que le nombre 2 eſt à peu près égal à 10, élevé à la
puiſſance 0.3010300, ou 10
On a trouvé de même que
4771213, ou égal
10l’on a appellé ces nombres, logarithmes de 2 &
de 3.
272.
On a inſéré le même nombre de moyens arithméti-
ques entre les expoſans 1.0000000, &
2.
0000000, ou entre
les nombres 1 & 2, &
l’on a trouvé que 12, par exemple, étoit
égal à 10, élevé à la puiſſance 1.0791812, ou que 12 =
10Quand on a eu une fois trouvé les logarithmes des
nombres, appellés premiers, c’eſt-à-dire qui n’ont point de
diviſeur autre que l’unité, la plus grande partie du travail
s’eſt trouvée achevée, puiſque pour avoir les logarithmes des
nombres multiples ou ſous-multiples de ceux-ci, il n’a fallu
qu’ajouter à leurs logarithmes celui du multiplicateur, ou bien
en ſouſtraire celui du diviſeur. Par exemple, lorſqu’on a trouvé
que le logarithme de 2 eſt 0.3010300, on a découvert aiſé-
ment & ſans calcul celui de 5, en ôtant 0.
3010300 de 1.
0000000,
logarithme de 10, & ce logarithme eſt 6989700.
273.
Il faut bien prendre garde que lorſque nous diſons que
l’on a renfermé dans une ſeule progreſſion géométrique tous
les nombres naturels, on ne veut pas dire pour cela que les
nombres naturels ſont en progreſſion géométrique, mais ſeu-
lement que chacun d’eux en particulier eſt un terme de cette
progreſſion, dont le numéro ou le rang qu’il occupe eſt mar-
qué par ſon logarithme. Auſſi les logarithmes de quatre nom-
bres, pris de ſuite dans les Tables des Logarithmes, ne ſont-
ils pas en progreſſion arithmétique, ce qui devroit arriver, ſi
les nombres auxquels ils répondent formoient une progreſſion
géométrique.
274.
On appelle caracteriſtique d’un logarithme le nombre
de ce logarithme qui eſt au rang des entiers: ainſi pour peu
que l’on y faſſe attention, on verra que le caracteriſtique
des nombres moindres que 10, eſt 0; que celui des nombres
moindres que 100, eſt 1; que celui des nombres moindres que
1000, eſt 2, & qu’en général le caractériſtique du logarithme
d’un nombre renferme autant d’unités que la plus proche puiſ-
ſance de 10, à laquelle un nombre eſt ſupérieur, contient de
zero. Ainſi le logarithme de 99 ne peut avoir pour caracté-
riſtique que l’unité, parce que la plus proche puiſſance de 10,
à laquelle il eſt ſupérieur, qui eſt 10, n’a qu’un zero.
275.
Les nombres fractionnaires, moindres que l’unité,
car dans une
progreſſion arithmétique, les termes qui ſont avant le zero ſont
négatifs; &
d’ailleurs l’unité a zero pour expoſant.
Donc, &
c.
De plus, les fractions {1/2}, {1/3}, {1/4}, {1/5}, &
c.
dont le numérateur eſt
l’unité, & le dénominateur, quelques-uns des nombres natu-
rels, auront pour logarithmes ceux des nombres entiers qui
leur ſervent de dénominateurs, pris en moins ou négatifs.
D’où il ſuit que l’on peut aiſément opérer ſur les fractions,
par le moyen des logarithmes.
Si l’on veut avoir un plus grand détail des logarithmes, &
particuliérement ſur la conſtruction de leurs Tables, on peut
conſulter le Livre de Trigonométrie de M. Rivard.
Cette
étude ne peut qu’être utile, & d’ailleurs comme on eſt obligé
de ſe ſervir de ces nombres artificiels dans la pratique du
calcul des triangles, on agit toujours avec plus de ſûreté dans
ſes opérations, lorſque l’on connoît bien les propriétés des
nombres dont on ſe ſert.
276.
Une raiſon compoſée eſt le produit de deux rapports
multipliés les uns par les autres: par exemple, la raiſon de a b
à c d eſt compoſée de la raiſon de a à b, & de c à d.
Ainſi une
raiſon compoſée peut être regardée comme le produit de deux
fractions, puiſque chaque raiſon peut être regardée comme
une fraction. Il en eſt de même dans les nombres:
la raiſon de
10 à 21 eſt compoſée de celle de 2 à 3, & de celle de 5 à 7.
Les raiſons de la Multiplication, deſquelles réſulte la raiſon
compoſée, ſont appellées raiſons compoſantes.
277.
Si les raiſons compoſantes ſont égales, la raiſon com-
poſée qui en réſulte eſt appellée raiſon doublée, s’il y a deux rai-
ſons égales, raiſon triplée, ſi l’on a multipliée trois raiſons
égales l’une par l’autre. Par exemple, ſi l’on a la proportion
a. b:
: c.
d, ou, ce qui eſt la même choſe, {a/b} = {c/d}, la raiſon
de a c à b d eſt doublée de celle de a à b, ou de celle de c à d,
puiſque la proportion ſuppoſe qu’il y a égalité entre ces deux
raiſons. Si l’on a a.
b:
: c.
d:
: f.
g, ou {a/b} = {c/d} = {f/g}, la raiſon
de c à d, puiſque ces trois raiſons ſont égales.
278.
Quand on dit que deux produits ſont entr’eux en rai-
ſon doublée de deux autres grandeurs, c’eſt comme ſi l’on di-
ſoit que le premier produit eſt au ſecond, comme le quarré
d’une grandeur eſt au quarré de l’autre: ainſi ſuppoſant tou-
jours que a. b:
: c.
d, lorſque je dis que la raiſon de a c à b d
eſt doublée de celle de a à b, c’eſt comme ſi je faiſois cette
proportion, ac. bd:
: aa.
bb.
Pour démontrer cette propor-
tion, il n’y a qu’à faire voir que le produit des extrêmes eſt
égal à celui des moyens, ou que a a b d = a c b b; ce qui eſt évi-
dent, ſi l’on diviſe chaque membre par a b, puiſque a d = b c.
279.
De même lorſqu’on dit que la raiſon d’un produit de
trois dimenſions à un autre produit de trois dimenſions, eſt
triplée de celle d’une grandeur linéaire à une autre, c’eſt comme
ſi l’on diſoit que le premier produit eſt au ſecond, comme le
cube de la premiere grandeur eſt au cube de la ſeconde. Par
exemple, ſi l’on a a. b:
: c.
d:
: f.
g, quand on dit que la
raiſon de a c f à b d g eſt triplée de celle de a à b, c’eſt comme
ſi l’on faiſoit cette proportion, a c f. b d g:
: a
b
Pour prou-
ver cette proportion, il n’y a qu’à faire voir que le produit des
extrêmes eſt égal à celui des moyens, ou que a c f bce qui eſt aiſé à faire, car a b = a b:
donc en diviſant chaque
membre par cette même quantité, on aura c f bmais
puiſque a. b:
: c.
d, b c = a d:
donc diviſant encore le premier
membre par b c, & le ſecond par a d, on aura b f = a g;
ce
qui eſt encore vrai, puiſque a. b:
: f.
g.
280.
L’expoſant des deux termes d’une raiſon doublée eſt égal
au quarré de celui qui eſt entre les deux termes de la raiſon ſimple,
& l’expoſant des deux termes d’une raiſon triplée eſt égal au cube
de celui des deux termes de la raiſon ſimple.
On entend ici par l’expoſant d’une raiſon, le quotient qui
réſulte de la diviſion des deux termes l’un par l’autre. Cela
poſé, ſi l’on imagine que le quotient de a, diviſé par b, ſoit f,
& que celui de c, diviſé par d, ſoit auſſi f, ce qui donnera
b:
: c.
d, il faut démontrer que {a c/b d} = f f;
ce qui eſt évident,
car {a/b} = f, & {c/d} = f:
donc {a/b} X {c/d} = f f.
De même ſi a.
b:
: c.
d:
: f.
g, &
que le quotient de a, diviſé par b, ſoit q, ainſi
que celui de c, diviſé par d, & de f par g, on aura {a c f/b d d} = q
car (hypoth.) {a/b} = q, {c/d} = q, {f/g} = q:
donc {a c f/b d g} = q
Il en
eſt de même en nombres, la raiſon de 12 à 3 eſt 4, celle de
20 à 5 eſt 4, & celle de 12 X 20, ou de 240 à 5 X 4 &
20, &
16, quarré de 4.
281.
La raiſon qui eſt entre les quarrés de deux nombres
eſt doublée de celle qui eſt entre les racines; la raiſon qui eſt
entre les cubes de deux nombres eſt triplée de celle qui eſt en-
tre les racines, & ainſi des autres.
Il faut bien prendre garde de confondre la raiſon double
avec la raiſon doublée, & de même la raiſon triple avec la rai-
ſon triplée. Une raiſon double ou triple n’eſt qu’une raiſon
ſimple, dans laquelle l’antécédent eſt double ou triple du con-
ſéquent; mais une raiſon doublée eſt une raiſon compoſée de
deux raiſons égales, & une raiſon triplée eſt une raiſon com-
poſée du produit de trois raiſons égales.
Regles générales pour la réſolution des Problêmes ou application
du calcul analytique à la méthode de dégager les inconnues.
282.
Lorſqu’une quantité eſt poſitive, &
qu’elle ne ſe trouve
qu’une ſeule fois dans un ſeul membre d’une équation, on
l’appelle quantité dégagée: par exemple, dans l’équation a + b
= x, la quantité x eſt une quantité dégagée.
283.
Si à des grandeurs égales on ajoute des grandeurs éga-
les, les tous ſeront égaux.
284.
Si de grandeurs égales on ôte des grandeurs égales, les
reſtes ſeront égaux.
285.
Si on multiplie des grandeurs égales par une même
grandeur, les produits ſeront égaux.
286.
Si l’on diviſe des grandeurs égales par une même
grandeur, les quotiens ſeront égaux.
287.
Si l’on extrait la racine de quantités égales, les racines
ſeront égales.
Où l’on fait voir l’uſage de l’ Addition &
de la Souſtr action pour
le dégagement des inconnues.
288.
Pour dégager une quantité, il faut faire paſſer les
grandeurs qui l’accompagnent dans l’autre membre avec des
ſignes contraires, & les effacer dans le membre où elles ſont.
Par exemple, ſi l’on a cette équation a + c = x - d, pour
dégager x, il faut faire paſſer - d du ſecond membre dans
le premier avec le ſigne +, & l’on aura a + c + d = x, où
la quantité x eſt dégagée, puiſque ſa valeur eſt a + c + d:
car comme on n’a fait qu’ajouter d à chaque membre de l’équa-
tion, il s’enſuit par l’axiome premier, que l’on n’a point changé
l’égalité.
De même pour dégager y dans l’équation y + a = b + c,
l’on fera paſſer a du premier membre dans le ſecond avec le
ſigne -, pour avoir y = b + c - a, qui donne la valeur de
y, puiſque par le ſecond axiome on n’a fait que retrancher la
même grandeur de deux grandeurs égales.
289.
Il ſuit de la regle précédente, premiérement, que l’on
peut rendre tous les termes d’une équation poſitifs, en tranſ-
poſant ceux qui ont le ſigne - d’un membre de l’équation dans
l’autre, & leur donnant le ſigne +.
Par exemple, pour ren-
dre poſitifs tous les termes de l’équation a b - c c + c d - d d
= a a + b b, il n’y a qu’à faire paſſer les termes c c & d d, qui
ont le ſigne - du premier membre dans le ſecond, en leur
donnant le ſigne +; &
après les avoir effacés du premier
a plus de quantités négatives. De même ſi l’on a aa - dd + cd
- ab = ac + cc - ad, l’on n’a qu’à faire paſſer dd & ab du
premier membre dans le ſecond, & aa du ſecond dans le pre-
mier, avec des ſignes contraires, & l’on aura aa + cd + ad
= ac + cc + dd + ab, où il n’y a plus de termes négatiſs.
290.
L’on peut encore par la même regle faire paſſer tous
les termes d’un des membres d’une équation dans l’autre, en
réduiſant l’égalité à zero: car pour faire paſſer, par exemple,
les termes du ſecond membre de cette équation aa + bb = cd
+ bc - dd; dans le premier, l’on n’a qu’à tranſpoſer les ter-
mes, en leur donnant des ſignes contraires, & l’on aura aa + bb
- cd + bb + dd = o.
Où l’on fait voir l’uſage de la Multiplication pour dégager les
inconnues, & pour délivrer les équations des fractions qu’elles
contiennent.
291.
Pour dégager une quantité qui ſe trouve diviſée par
quelque nombre, ou par quelque lettre, il faut multiplier les
autres termes de l’équation par le diviſeur de cette quantité,
ſans toucher à cette quantité, que pour en effacer le diviſeur: ainſi pour dégager {xx/c} dans l’équation a + b = {xx/c}, il faut mul-
tiplier le membre a + b par le diviſeur c, & l’on aura ac + bc
= xx, ou xx eſt dégagée. De même ſi l’on avoit c + b = z,
il faut pour dégager z, multiplier les termes c + b par le divi-
ſeur 2, & l’on aura 2c + 2b = z;
ce qui eſt évident par le
3
équation par une même quantité, on n’a rien changé à l’é-
galité.
292.
Comme la diviſion indiquée, ou autrement {a/b} n’eſt
qu’une fraction; il ſuit de la regle précédente, que l’on peut
non ſeulement dégager les quantités inconnues qui ſont divi-
ſées, mais que l’on peut encore délivrer de fractions les ter-
mes d’une équation, en multipliant tous les autres termes de
l’équation par les dénominateurs des fractions: par exemple,
+ b = d + c, je multiplie tous ces termes par le dénomina-
teur c de la fraction {dd/c}, & il vient ac + dd + bc = dc + cc,
où il n’y a plus de fractions. Pour ôter les fractions de l’équa-
tion xd + {bbc/a} - cc = dd - {aad/c} + bc, je commence par mul-
tiplier tous les termes de l’équation par le dénominateur a de
la premiere fraction, pour avoir adx + bbc - acc = add -
{aaad/c} + abc, où il n’y a plus de fractions dans le premier mem-
bre; enſuite je multiplie tous les termes de cette nouvelle
équation par le dénominateur de la ſeconde fraction, pour
avoir adcx + bbcc - cccc = acdd - a
plus de fractions. Enſin ſi l’on avoit une équation, comme
{a/b} = {c/d} + {x/a} = {b/c} + {y/c}, l’on en feroit évanouir toutes les frac-
tions, en multipliant chaque numérateur par les dénomina-
teurs de toutes les autres fractions, & l’on aura aacdc + abccc
+ bcdcx = abbdc + abcdy.
293.
Mais au lieu de multiplier l’un après l’autre chaque
numérateur par tous les dénominateurs des autres fractions,
on peut tout d’un coup ôter les fractions d’une équation, en
multipliant chaque terme par le produit de tous les dénomina-
nateurs, & en effaçant dans les numérateurs &
dénomina-
teurs de chaque nouvelle fraction les lettres ſemblables.
294.
Lorſqu’une quantité inconnue, que l’on veut dégager,
eſt multipliée par une grandeur connue, on dégagera l’incon-
nue, en diviſant chaque membre de l’équation par cette gran-
deur connue. Ainſi pour dégager l’inconnue dans l’équation
ax = bb - cc, l’on diviſera chaque membre par a, & l’on
aura x = {bb - cc/a}. De même ſi l’on a cz = dd + az, on dé-
gagera l’inconnue z, en faiſant paſſer az du ſecond membre
dans le premier, avec un ſigne contraire, pour avoir cz - az
= dd, & diviſant chaque membre par c-a, l’on aura z = {dd/c-a};
chaque membre de l’équation par la même grandeur, les quo-
tients doivent être égaux.
295.
Il ſuit de cette regle, que lorſque tous les termes d’une
équation ſont multipliés par une même lettre, ou par une
même grandeur, on peut rendre l’équation plus ſimple, en
diviſant tous les termes par cette grandeur. Par exemple, ſi
l’on a aa + ab = ac - ad, où tous les termes ſont multipliés
par a, l’on n’a qu’à diviſer les deux membres de cette équa-
tion par la même lettre a, il viendra l’équation a + b = c - d,
qui eſt plus ſimple que la précédente: mais s’il ſe trouvoit quel-
que terme qui ne pût pas être diviſé comme les autres, ne con-
tenant pas de lettres ſemblables au diviſeur; cela n’empêche
pas que la diviſion ne ſe faſſe toujours, parce que quand on ne
peut pas la faire effectivement ſur quelque terme, on la fait
par indiction. Par exemple, pour diviſer cette équation abb
- cbb = cdx + bbc par bb, dans laquelle le terme cdx n’a
point de lettres ſemblables au diviſeur, l’on efface bb des au-
tres termes, & l’on marque pour celui-ci {cdx/bb}:
ainſi l’on a a - c
= {cdx/bb} + c.
Enſin lorſque les deux membres d’une équation ont
un diviſeur commun, on pourra les réduire à une équation
plus ſimple, en diviſant chaque membre par le diviſeur qui
eſt commun. Par exemple, ſi l’on a une équation comme
bbx - bxx = abb - abx, dont les membres ont pour divi-
ſeur commun bb - bx, on fera la diviſion qui donnera cette
autre équation, qui donnera x = a.
296.
Quand on a une équation, où l’un des membres ne
contient que des grandeurs connues, & que l’autre où eſt l’in-
connue eſt un quarré ou un cube parfait, il faut extraire la
racine de ces deux membres pour avoir une nouvelle équation,
dans laquelle on pourra dégager l’inconnue. Par exemple, ſi
l’on a xx + 2ax + aa = bc + dd, où le premier membre de
chaque membre. Celle du premier membre, ſuivant la mé-
thode de l’article 147, eſt x + a, & celle du ſecond, par l’ar-
ticle 149, eſt √bc + dd\x{0020}: donc l’équation devient x + a =
√bc + dd\x{0020}; &
faiſant paſſer a du premier membre dans le
ſecond (art. 288), on aura x = √bc + dd\x{0020}-a, qui fait voir que
ſi l’on extrait la racine de bc + dd, & que l’on ôte de cette
racine la grandeur a, la différence ſera la valeur de x.
De même pour dégager x dans l’équation xx - 2ax + aa
= bb, j’extrais la racine de chaque membre, & j’ai x - a = b;
d’où l’on déduit en tranſpoſant x = b + a.
297.
Comme le premier membre de cette équation eſt un
cube parfait, x
cine cube de chaque membre, on aura l’équation plus ſimple
x + a = &
en tranſpoſant, l’on aura x =
qui fait voir que ſi l’on extrait la racine cubique de aab, & que
l’on ôte de cette racine la grandeur a, le reſte ſera la valeur
de x. De même le premier membre de cette équation x
+ 3a
trait la racine cube de chaque membre, l’on aura x - a =
plus la racine cube de bdd eſt égale à x.
298.
Quand on connoît la valeur de quelques lettres que l’on
veut faire évanouir dans une équation, on ſubſtitue à leur
place les quantités qui leur ſont égales avec le même ſigne. Par exemple, ſi l’on a l’équation a + z = y + b - c, où l’on
veut faire évanouir z, & que l’on ſuppoſe z = d + e, on effa-
cera z dans l’équation, & l’on mettra à ſa place ſa valeur d + e;
ce qui donnera a + d + e = y + b - c, où z ne ſe trouve plus.
Si l’on a cette équation b + d - x = c + z, dans laquelle on
veut faire évanouir x, ſuppoſant que x = a - e, l’on effacera
x, & l’on mettra à ſa place - a + e, à cauſe que x a le ſigne
-, & l’on aura b + d - a + e = c + z, où x ne ſe trouve
plus.
299.
Si la lettre qu’on veut faire évanouir eſt multipliée ou
diviſée dans l’équation par quelqu’autre grandeur, il faut mul-
tiplier ou diviſer ſa valeur par cette même grandeur, & l’écrire
dans l’équation avec le même ſigne. Par exemple, ſi de l’é-
quation bb + ax - cc = ad + aa - yy, on veut faire éva-
nouir x, ſuppoſant que x = e + f, comme x eſt multipliée
par a dans l’équation, il faut multiplier ſa valeur e + f, par la
même lettre a, pour avoir ax = ac + af, & mettant ac + af à
la place de ax, l’on aura bb + ac + af - cc = ad + aa - yy,
où x ne ſe trouve plus.
300.
Pour faire évanouir de l’équation cc + yy - 2bd = aa
- bz la lettre z, ſuppoſant que z = d - e + g, il faut mul-
tiplier la valeur de z par b, pour avoir bz = bd - be + bg; &
comme bz a le ſigne - dans l’équation, il faut changer les
ſignes de bd - be + bg, & mettre dans l’équation - bd + be
- bg; ce qui donnera cc + yy = aa - bd + be - bg, où
z ne ſe trouve plus.
301.
Pour faire évanouir y de l’équation 2ab + ez = be +
{ddy/a - f}, ſuppoſant que l’on a y = e - g, il faut multiplier e - g
par dd, pour avoir ddy = dde - ddg; mais comme ddy eſt
diviſé par a - f dans l’équation, il faut pour y ſubſtituer dde
- ddg le diviſer auſſi par a - f, & alors on aura 2ab + ez =
{dde - ddg/a - f}, où y ne ſe trouve plus.
302.
Pour faire évanouir u de l’équation aa + dd = au + bd,
ſuppoſant que l’on a u = {aa - cc + fg/b + d}, il faut, à cauſe que u eſt
égal à une fraction, multiplier le numérateur de cette fraction
par a, pour avoir a u = {apuis mettre à la place
de au dans la premiere équation, la fraction qui lui eſt égale,
& l’on aura aa + dd = {a
ſe trouve plus. Si l’on veut ôter la fraction de cette équation,
l’on n’aura qu’à multiplier les autres termes par le dénomina-
teur b + d (art. 283), &
l’équation ſera transformée en celle-
ci, aab + aad + d
effacé les termes b d d, qui ſe trouvent dans chaque membre
avec le même ſigne.
303.
Si la lettre qu’on veut faire évanouir eſt le côté d’un
quarré ou d’un cube, il faut quarrer ou cuber ſa valeur, &
quarré ou du cube de la lettre qu’on veut faire évanouir. Par
exemple, ſi l’on veut faire évanouir y de l’équation yy - 2bd
= 2ax + dd, ſuppoſant que y = b + d, il faut quarrer la va-
leur de y pour avoir yy = bb + 2bd + dd, & mettre la va-
leur du quarré de y à la place de yy, & l’on aura cette équa-
tion, bb + 2bd + dd - 2bd = 2ax + dd, & effaçant + 2bd
& - 2bd, qui ſe détruiſent, &
dd qui eſt commun au premier
& au ſecond membre avec le même ſigne, l’équation deviendra
bb = 2ax, d’où dégageant x, il vient x = {bb/2a}, qui eſt la va-
leur de x. L’on pourra de même ſubſtituer dans une équation
la valeur d’un cube, quand on connoîtra celle de ſa racine.
Comme l’on ne fait par la ſubſtitution que mettre une gran-
deur égale à la place d’une autre dans une équation, il s’enſuit
que les deux membres de cette équation demeurent toujours
égaux.
304.
Pour réſoudre un problême par Algebre, il faut com-
mencer par conſidérer attentivement l’état de la queſtion, &
toutes les conditions qu’elle renferme; enſuite marquer ce que
l’on connoît avec les premieres lettres de l’alphabet, & ce que
l’on ne connoît pas avec les dernieres: conſidérant après cela
le problême comme réſolu, on tâchera de trouver autant d’é-
quations que l’on a employé de lettres inconnues, que nous
appellerons premieres équations.
On choiſira la plus ſimple de toutes ces équations, pour dé-
gager une des inconnues qu’elle renferme; &
ayant trouvé la
valeur de cette inconnue, on la ſubſtituera dans les autres
équations aux endroits où cette inconnue ſe trouvera.
On recommencera de nouveau à choiſir la plus ſimple des
autres équations pour y dégager une ſeconde inconnue, dont
on ſubſtituera, comme auparavant, la valeur dans les autres
équations, & l’on réïtérera la même choſe pour faire évanouir
l’une après l’autre toutes les lettres inconnues; &
de cette
maniere on trouvera la valeur connue de toutes les inconnues; ce qui donnera la ſolution du problême.
Pour rendre ceci plus ſenſible, nous allons faire évanouir
toutes les inconnues des trois équations x + y = z + a, y + z
= b + x, & x + z = c + y.
Pour cela, je commence par
chercher la valeur de z dans la premiere équation, en la dé-
gageant de a, que je fais paſſer dans l’autre membre avec le
ſigne contraire, afin d’avoir x + y - a = z, qui me donne
la valeur de z; enſuite je mets cette valeur à la place de z dans
les autres équations (art. 298.)
qui ſe trouvent changées en
celles-ci, 2y + x - a = b + x, & 2x + y - a = c + y, &
comme x ſe trouve dans le premier & le ſecond membre de
la premiere équation avec le ſigne +, de même y dans la
ſeconde; je les efface, &
en dégageant les inconnues qui
reſtent, il vient 2y = b + a, & 2x = c + a, ou bien y =
{b + a/2}, & x = {c + a/2}, où les valeurs de x &
de y ſe trouvent
tout d’un coup, ſans avoir été obligé de faire une ſeconde
ſubſtitution. Si préſentement on met dans la premiere équa-
tion, où l’inconnue a été dégagée, la valeur de x & de y, on
aura {b + a + c + a/2} - a = z, ou {b + c/2} = z. Par conſéquent
on a trouvé la valeur des inconnues x, y & z en lettres connues.
On s’eſt contenté de donner ſeulement un petit exemple
de cette regle, parce qu’on en va voir l’application, auſſi-bien
que des précédentes, dans tout ce qui ſuit, où l’on va réſoudre
pluſieurs problêmes curieux, que l’on a rapportés exprès pour
familiariſer les Commençans avec le calcul algébrique, &
pour rendre intéreſſant ce que l’on a vu juſqu’ici, qu’il eſt à
propos d’entendre parfaitement, pour avoir le plaiſir de com-
prendre ſans peine tout ce qui compoſe la ſuite de cet ouvrage.
Trois perſonnes ont gagné enſemble au jeu 875 livres, la
ſeconde perſonne a gagné deux fois autant que la premiere, &
10 liv. de plus, la troiſieme a gagné autant que la premiere &
la ſeconde, & 15 liv.
de plus.
On demande combien chaque
perſonne a gagné.
Pour réſoudre cette queſtion, j’appelle x le gain de la pre-
miere perſonne; par conſéquent celui de la ſeconde ſera 2x,
parce qu’elle a gagné le double de la premiere; &
comme elle
a encore gagné 10 livres de plus, ſon gain ſera 2x + 20. Or
comme la troiſieme perſonne a gagné autant que la premiere
& la ſeconde, &
même 15 liv.
de plus, j’ajoute enſemble le
gain des deux premieres perſonnes, c’eſt-à-dire x & 2x + 10,
à quoi ajoutant 15, le gain de la troiſieme perſonne ſera
3x + 25; &
comme le gain des trois perſonnes eſt égal à
875, je forme cette équation x + 2x + 10 + 3x + 25 =
875; d’où je dégage la quantité inconnue, en faiſant paſſer la
ſomme des nombres que je connois du premier membre dans
le ſecond (art. 288.)
avec le ſigne -, &
réduiſant le tout en
un ſeul terme; ce qui donne cette nouvelle équation 6x = 875
- 25, ou 6x = 840, que je diviſe par 6 (art. 294.)
pour avoir
x = 140, qui me fait voir que la premiere perſonne a gagné
140 livres. Pour avoir le gain de la ſeconde perſonne, je dou-
ble 140, & j’ajoute 10 au produit, qui donne 2x + 10 = 290:
enfin ſi j’ajoute cette équation à la précédente, &
15 à la ſom-
me, j’aurai le gain de la troiſieme perſonne, c’eſt - à - dire
3x + 25 = 445; par conſéquent la premiere perſonne a ga-
gné 140 livres, la ſeconde 290 livres, & la troiſieme 445;
ce
qui eſt bien évident, puiſque ces trois ſommes font enſemble
875 livres, & qu’elles rempliſſent toutes les conditions du
problême.
Quatre Sappeurs ont fait chacun une quantité de toiſes de
ſappe, & ils ont gagné enſemble 140 livres;
le ſecond Sappeur
a gagné trois fois plus que le premier, moins 8 livres; le troi-
ſieme a gagné la moitié de ce qu’ont gagné enſemble le pre-
mier & le ſecond, moins 12 livres;
&
le quatrieme a gagné
autant que le premier & le troiſieme:
l’on demande combien
ils ont gagné chacun.
Pour réſoudre cette queſtion, j’appelle x le gain du pre-
mier Sappeur; ainſi 3x - 8 ſera le gain du ſecond Sappeur;
2x - 16 le gain du troiſieme;
&
3x - 16 le gain du qua-
trieme: &
comme toutes ces quantités, priſes enſemble, ſont
égales à 240 livres, je forme cette équation x + 3x - 8 + 2x
- 16 + 3x - 16 = 140, que je réduis à ſa plus ſimple expreſ-
& il vient 9x - 40 = 140, ou bien 9x = 180, en faiſant
paſſer 140 du premier membre dans le ſecond. Or ſi l’on diviſe
les membres de cette équation par 9 (art. 294.)
pour dégager
l’inconnue, l’on trouvera x = 20, qui montre que le gain du
premier Sappeur eſt 20 livres: ainſi le gain du ſecond, qui eſt
3x - 8, ſera 52 livres; celui du troiſieme, qui eſt 2x - 16,
ſera 24 livres; &
celui du quatrieme, qui eſt 3x - 16, ſera
44 livres; ce qui eſt évident, puiſque ces quatre nombres,
pris enſemble, font 140 livres, & rempliſſent les autres con-
ditions du problême.
Cinq Canonniers ont tiré dans une après midi 96 coups de
canon; le ſecond a tiré le double du premier, &
deux coups
de plus; le troiſieme a tiré autant que le premier &
le ſecond,
moins ſix coups; le quatrieme autant que le ſecond &
le troi-
ſieme, plus dix coups; le cinquieme a tiré autant que le pre-
mier & le quatrieme, moins vingt coups:
on demande com-
bien de coups de canon ils ont tiré chacun.
Ayant nommé x le nombre de coups que le premier a tiré,
je trouverai pour le ſecond 2x+2; pour le troiſieme 3x + 2 - 6,
ou, ce qui eſt la même choſe, 3x - 4; pour le quatrieme
5x + 2 - 4 + 10, ou bien 5x + 8; enfin pour le cinquieme
6x + 8 - 20, ou bien 6x - 12. Or comme toutes ces quan-
tités priſes enſemble doivent être égales à 96, je forme cette
équation x + 2x + 2 + 3x - 4 + 5x + 8 + 6x - 12 = 96,
que je réduis à ſa plus ſimple expreſſion, en ajoutant dans une
ſomme les quantités connues, qui ont le ſigne + ou -, & il
vient 17x - 6 = 96, ou bien 17x = 102, en faiſant paſſer
- 6 du premier membre dans le ſecond: pour avoir préſente-
ment la valeur de x, je diviſe cette équation par 17, & je
trouve x = 6; ce qui fait voir que le premier Canonnier a tiré
ſix coups; ainſi le ſecond, qui eſt 2x + 2, en a tiré 14;
le troi-
ſieme, qui eſt 3x - 4, en a auſſi tiré 14; le quatrieme, qui
eſt 5x + 8, en aura tiré 38; &
le cinquieme, qui eſt 6x - 12,
en aura tiré 24; ce qui eſt évident, puiſque tous ces nombres,
pris enſemble, font 96.
Un Officier de Mineurs a fait faire en trois mois mille toiſes
courantes de galeries de mines; il a fait dans le ſecond mois
le double de l’ouvrage du premier, & 50 toiſes de plus, parce
qu’il a reçu un renfort de Mineurs; le troiſieme mois il a fait
200 toiſes d’ouvrage de moins que le ſecond, parce qu’une
partie de ſon monde eſt tombée malade: on demande combien
il a fait de toiſes de galeries dans le premier mois, dans le
ſecond, & dans le troiſieme?
Pour réſoudre cette queſtion, je nomme x la quantité de
toiſes de galeries de mines qui s’eſt faite le premier mois,
2x+50 pour ce qui s’eſt fait le ſecond mois, & 2x+50-200,
ou bien 2x - 150 pour la quantité qui s’eſt faite le troiſieme
mois; &
comme la ſomme de ces quantités doit être égale à
1000 toiſes, je forme cette équation x + 2x + 50 + 2x - 150
= 1000, qui étant réduite à ſa plus ſimple expreſſion (art. 50.)
donne 5x - 100 = 1000, ou bien x = 1100, &
diviſant
chaque membre de cette équation par 5, l’on aura x = 220;
ce qui fait voir que dans le premier mois on a fait 220 toiſes
courantes de galeries de mines: par conſéquent on en a fait
400 le ſecond mois, & 290 le troiſieme;
ce qui eſt évident,
puiſque ces quantités font enſemble 1000 toiſes.
On a fait un détachement de Grenadiers pour attaquer un
poſte, parmi leſquels il s’en trouve deux qui raiſonnant en-
ſemble ſur les grenades qu’ils ont dans leurs gibernes, le pre-
mier dit au ſecond: Si tu m’avois donné une de tes grenades,
j’en aurois autant que toi, & le ſecond lui répond:
ſi tu m’en
avois donné une des tiennes, j’en aurois le double de celles
que tu as: on demande combien ils avoient de grenades
chacun?
Comme cette queſtion renferme deux inconnues, je nomme
y le nombre des grenades qu’a le premier Grenadier, & z le
nombre de celles qu’a le ſecond; &
je fais autant d’équations
qu’il y a d’inconnues, ſelon l’article 304. Pour former la pre-
miere équation, je dis, ſi y avoit une grenade de plus, & z une
grenade de moins, ces deux quantités ſeroient égales, ce qui
Pour avoir la ſeconde équation,
je fais encore ce raiſonnement, ſi z avoit une grenade de
plus, & y une de moins, la premiere quantité ſeroit dou-
ble de la ſeconde; ce qui donne cette égalité z + 1 = 2y
- 2. Préſentement que j’ai autant d’équations que d’incon-
nues, je dégage l’inconnue z de la premiere équation, en
faiſant paſſer - 1 du ſecond membre dans le premier pour
avoir y + 2 = z: enſuite je ſubſtitue dans la ſeconde équa-
tion à la place de z ſa valeur (art. 298), &
il vient y + 3
= 2y - 2, où z ne ſe trouve plus; &
faiſant paſſer - 2 du
ſecond membre dans le premier, il vient y + 5 = 2y, & effa-
çant y de part & d’autre, j’aurai cette équation 5 = y, qui me
donne la valeur de y, ſubſtituant cette valeur de y dans l’é-
quation, où z eſt dégagée, l’on aura 7 = z: par conſéquent
le premier Grenadier avoit cinq grenades, & le ſecond ſept;
ce qui eſt bien évident, puiſque ces deux nombres rempliſſent
les conditions du problême.
Trois Bombardiers ont jetté une certaine quantité de bom-
bes dans une Ville aſſiégée: le premier &
le ſecond en ont
jetté enſemble 20 plus que le troiſieme; le ſecond &
le troi-
ſieme 32 plus que le premier; &
le premier &
le troiſieme 28
plus que le ſecond: on demande combien chaque Bombardier
a jetté de bombes?
Comme les quantités connues dans cette queſtion ſont ex-
primées par des nombres, nous ſubſtituerons à leurs places les
premieres lettres de l’alphabet: ainſi au lieu des nombres 20,
32, 28, nous prendrons a, b, c, ſuppoſant que 20 = a, 32
= b, 28 = c, pour rendre la réſolution de ce problême plus
générale, & nous nommerons x la quantité de bombes que le
premier Bombardier a jetté, y la quantité du ſecond, & z la
quantité du troiſieme. Cela poſé, je dis ſi de x + y, qui ex-
prime la quantité de bombes qu’ont jetté le premier & le ſe-
cond Bombardier, je ſouſtrais a, qui eſt le nombre de bom-
bes que le premier & le ſecond ont tiré plus que le troiſieme,
j’aurai x + y - a = z pour la premiere équation; y + z - b
= x pour la ſeconde, & x + z - c = y pour la troiſieme.
Conſidérant que j’ai trois équations, qui renferment chacune
pour la ſubſtituer dans les autres équations aux endroits où
cette inconnue ſe trouvera (art. 298).
Et comme la premiere
équation x + y - a = z, me donne la valeur de z, qui eſt la
quantité x + y - a elle-même, je la mets dans la ſeconde &
troiſieme équation à la place de z; ce qui les changera en
celles-ci, y + x + y - a - b = x, & x + y - a + x - c = y,
dont les termes étant rendus poſitifs, & réduits à leur plus
ſimple expreſſion, donnent 2y = a + b, & 2x = a + c, qui
étant diviſés par 2, donnent enfin y = {a+b/2}, & x = {a+c/2}.
Or
comme il n’y a plus d’inconnues dans ces deux équations, il
faut revenir à la premiere, qui eſt x + y - a = z, afin de
ſubſtituer à la place de x & de y leurs valeurs {a+b/2} &
{a+c/2} pour
avoir {1/2}a + {1/2}b + {1/2}a + {1/2}c - a = z, ou bien {b+c/2}, parce queles
deux termes + {1/2}a + {1/2}a qui valent a, détruiſent - a: on a
donc la valeur de z, qui eſt la derniere quantité qui reſtoit à
connoître.
Préſentement que je ſçais que x = {a+c/2}, que y = {a+b/2}, &
que z = {b + c/2}, je prends à la place de {a + c/2} la moitié
des nombres repréſentés par a & b, c’eſt-à-dire la moitié de
20 + 28, qui eſt 24, qui ſera la valeur de x; à la place de
{a+b/2}, je prends la moitié de 20 + 32 pour avoir 26, qui eſt la
valeur de y; &
enfin à la place de {b + c/2}, je prends la moitié des
nombres 28 & 32 pour avoir 30, qui ſera la valeur de z;
d’où
je conclus que le premier Bombardier a jetté 24 bombes, le
ſecond 26, & le troiſieme 30, puiſque ces trois nombres ſa-
tisfont pleinement aux conditions du problême.
L’on aſſiege une Place, dont la garniſon étoit compoſée
de Troupes Allemandes, Angloiſes, Hollandoiſes & Eſpa-
gnoles. La Place priſe, on a trouvé qu’il y avoit eu enſemble
autant d’Allemands, d’ Anglois & de Hollandois de tués que
d’Eſpagnols, moins 620 hommes; autant d’Allemands, d’An-
glois & d’Eſpagnols enſemble que de Hollandois, moins 460
hommes; autant d’Allemands, de Hollandois &
d’Eſpagnols
enfin autant d’Anglois,
de Hollandois & d’Eſpagnols, moins 500 hommes que d’Alle-
mands: on demande combien il y a eu d’Allemands de tués,
combien d’Anglois, de Hollandois & d’Eſpagnols?
Ayant nommé u le nombre d’Allemands, x celui des An-
glois, y celui des Hollandois, & z celui des Eſpagnols, nous
ſuppoſerons que 620 = a, que 460 = b, que 380 = c, & que
500 = d, afin de rendre la ſolution du problême plus géné-
rale. Cela poſé, comme les conditions du problême me donnent
quatre équations, j’ai pour la premiere u + x + y = z + a,
pour la ſeconde u + x + z = y + b, pour la troiſieme u + y
+ z = x + c; &
enfin pour la quatrieme x + y + z = u + d.
Après cela, je dégage une inconnue dans la premiere équa-
tion qui ſera, par exemple z, pour avoir u + x + y - a = z,
qui me donne la valeur de z, que je ſubſtitue dans les trois
autres équations; ce qui les change en celles-ci, u + x + u
+ x + y - a = y + b, u + y + u + x + y - a = x + c,
& x + y + u + x + y - a = u + d, qui deviennent, en
les réduiſant à leur plus ſimple expreſſion, 2u = a + b - 2x,
2y = a + c - 2u, & 2x = a + d - 2y, en dégageant 2u,
2x, & 2y.
Après cela je ſubſtitue la valeur de 2u dans l’équa-
tion 2y = a + c - 2u, il vient 2y = a + c - a - b + 2x,
dans laquelle u ne ſe trouve plus; &
ſi à la place de 2y je
mets ſa valeur priſe dans l’égalité 2x = a + d - 2y, il
viendra cette derniere équation, 2x = a + d - a - c + a
+ b - 2x, ou bien x = {a + b + d - c/4}, où il n’y a plus d’in-
connue. Si à la place de 2x dans l’équation 2u = a + b - 2x,
l’on met la moitié de la valeur de 4x, qui eſt {1/2}a + {1/2}b + {1/2}d
-{1/2}c, l’on aura 2u = a + b - {1/2}a - {1/2}b - {1/2}d + {1/2}c, ou
2u = {a + b + c - d/2}, ou bien u = {a + b + c - d/4}, qui donne la
valeur de u; &
ſi l’on met dans l’équation 2y = a + c - 2u
la moitié de la valeur de 4u, qui eſt {1/1}a + {1/2}b + {1/2}c - {1/2}d,
l’on aura 2y = a + c - {1/2}a - {1/2}b - {1/2}c + {1/2}d, ou y =
{a + c + d - b/4}, qui donne la valeur de y; enfin ſi l’on met
dans l’équation u + x + y - a = z les valeurs de u, de x &
de y, l’on aura, après les réductions néceſſaires, z = {b + c + d - a/4}
Comme l’on vient de trouver u = {a+b+c-d/4}, x= {a+b+d-c/4},
y = {a + e + d -b/4}, & z = {b + c + d - a/4}, il s’enſuit que le
problême eſt réſolu, puiſque ſi l’on diviſe 1460 - 500 par 4,
qui eſt égal à {a + c + b - d/4}, l’on trouvera 240 pour la valeur
de u, faiſant de même pour les autres, l’on trouvera 300 pour
la valeur de x, 260 pour celle de y, & 180 pour celle de z.
Ainſi il y a eu 240 Allemands de tués, 300 Anglois, 260
Hollandois, & 180 Eſpagnols;
ce qui eſt bien évident, puiſ-
que ces nombres répondent aux conditions du problême.
Un Sergent de Sapeurs s’eſt trouvé à 32 ſieges, &
à plu-
ſieurs batailles, où il a reçu pluſieurs bleſſures: le Roi lui pro-
met de lui accorder la gratification qu’il lui demandera pour
ſes ſervices. Le Sergent demande au Roi de lui donner en ar-
gent la ſomme des gratifications qu’il auroit eu, en ſuppoſant
qu’on lui eût donné une livre pour la premiere bleſſure, 2 liv. pour la ſeconde, 4 livres pour la troiſieme, &
ainſi de ſuite en
doublant toujours. Le Roi lui accorde ſa demande, &
il re-
çoit 65535 livres: on demande combien il a reçu de bleſſures.
Pour réſoudre cette queſtion, je la dépouille de tout ce qui
lui eſt étranger, & je la réduis à ce qu’elle a de plus ſimple;
je vois que le nombre 65535 eſt la ſomme des termes d’une
progreſſion géométrique, dont le premier terme eſt 1, le ſe-
cond 2, & dont la raiſon eſt auſſi 2, ou, ce qui eſt la même
choſe, que ce même nombre eſt la ſomme de pluſieurs puiſ-
ſances ſucceſſives de 2, dont la derniere, augmentée de l’u-
nité, marque le nombre des termes de la progreſſion. Je fais
attention enſuite, que ſi j’avois le dernier terme de cette pro-
greſſion, il me ſeroit aiſé d’en connoître le nombre, puiſque ce
dernier terme eſt égal au premier, multiplié par la puiſſance de
2, exprimée par le nombre des termes qui précédent (art. 248).
J’appelle x ce dernier terme, & je fais encore attention que la
ſomme des antécédens eſt celle de tous les termes, excepté ce
dernier, & que la ſomme des conſéquens eſt la même ſomme
de tous les termes, excepté le premier, qui eſt 1. Or (art.
250)
la ſomme des antécédens eſt à la ſomme des conſéquens,
Ainſi en
exprimant cela analitiquement, & appellant s le nombre
65535, qui eſt la ſomme des termes de la progreſſion, j’aurai
s - x. s - 1 :
:
1.
2, d’où l’on tire, en faiſant le produit des
extrêmes & des moyens, 2s - 2x = s - 1, &
dégageant
x, il vient x = {s + 1/2} = {65536/2} = 32768, qui montre que le
dernier terme de la progreſſion eſt 32768, qui eſt certaine-
ment une puiſſance de 2. Pour ſçavoir à quelle puiſſance de 2
ce nombre eſt égal, j’éleve 2 à ſes puiſſances ſucceſſives, & je
trouve qu’il eſt égal à la 15donc ce terme eſt
le 16
laquelle ce terme eſt égal, marque auſſi le nombre des termes
qui le précédent: ainſi ce Sergent avoit reçu 16 bleſſures.
La même proportion, qui nous a ſervi à réſoudre cette
queſtion, peut auſſi ſervir à la ſolution de toutes les queſtions
que l’on propoſe ſur les progreſſions géométriques, & parti-
culiérement dans la ſommation des mêmes ſuites: pour en
faire ſentir encore mieux l’utilité, nous allons l’appliquer à
la ſolution du problême ſuivant.
305.
Trouver la ſomme des termes d’une progreſſion géomé-
trique décroiſſante à l’infini, dont le premier terme eſt a, & le
ſecond b.
Puiſque le nombre des termes eſt infini, &
que d’ailleurs
la progreſſion eſt ſuppoſée décroiſſante, le dernier terme pourra
enfin être regardé comme zero: ainſi la ſomme des antécé-
dens ſera la ſomme de tous les termes, moins zero; la ſomme
des conſéquens ſera la ſomme de tous les termes, moins le
premier: donc appellant s cette ſomme, on aura (art.
250.)
la ſomme des antécédens eſt à la ſomme des conſéquens,
comme le premier terme au ſecond, ou analitiquement s - 0.
s - a : :
a.
b, d’où l’on tire as - a
& dégageant s, il vient s = {a
ce qui ſignifie qu’en
général la ſomme des termes d’une progreſſion géométrique
diviſé par la différence du premier au ſecond. Par exemple,
ſi l’on veut ſommer tous les termes de cette progreſſion
{../.
.} 2.
1.
{1/2}.
{1/4}.
{1/8}.
{1/16}.
{1/32}, &
c;
j’éleve 2 à ſon quarré, qui eſt 4, que
je diviſe par 2 --- 1, qui eſt 1: ainſi la ſomme des termes de
cette progreſſion eſt 4. D’où il ſuit, que toutes les fractions
{1/2}, {1/4}, {1/8}, {1/16} ne valent qu’un, en les pouſſant juſqu’à l’infini. De
même ſi l’on a {../.
.} 3.
1.
{1/3}.
{1/9}.
{1/27}, &
c, je cherche le quarré de 3, qui eſt
9, que je diviſe par 3 --- 1 ou 2, & j’ai la ſomme des termes de
la progreſſion s = {9/2} = 4 {1/2}: d’où il ſuit que tous les termes
{1/3}, {1/9}, {1/27}, {1/81}, &c.
ne valent que {1/2}, puiſque les deux premiers
termes font 4. Il en eſt ainſi des autres progreſſions, ſur leſ-
quelles il eſt aiſé de faire l’application de la formule générale.
306.
Les équations que nous venons de réſoudre, ſont ap-
pellées équations du premier degré, ainſi que les problêmes, dont
elles expriment les conditions, parce que les inconnues n’y
ſont point multipliées par elles-mêmes, ni les unes par les
autres: mais ſi cela arrivoit, l’équation qui ſeroit dans ce cas,
ſeroit plus compliquée que les précédentes, & ſeroit appellée
du ſecond, troiſieme, quatrieme degré, ſelon que l’inconnue
y ſeroit élevée à la ſeconde, à la troiſieme ou quatrieme puiſ-
ſance. Par exemple, xx - 2ax = 30, eſt une équation du
ſecond degré, x
du troiſieme degré. Nous ne parlerons ici que des équations
du ſecond degré, & après les avoir réſolues ſur quel ques exem-
ples dans des cas particuliers, nous les réſolverons en général
dans les formules qui comprennent tous les cas poſſibles de
ces ſortes d’équations.
307.
Les regles que l’on doit ſuivre pour mettre un pro-
blême du ſecond degré en équation, ſont préciſément les
mêmes que celles que nous avons donné pour les autres pro-
blêmes: le tout conſiſte à bien exprimer analitiquement les
conditions énoncées ou renfermées dans la queſtion; ce qui
dépend plutôt de la ſagacité de celui qui réſout le problême,
que d’aucune regle générale que l’on puiſſe établir.
308.
On remarquera encore avant toutes choſes, que le
quarré d’une grandeur quelconque peut avoir le ſigne + ou -
à ſa racine, c’eſt-à-dire que ce quarré aa, peut réſulter de + a
multiplié par + a, ou de - a x - a, puiſque l’un & l’autre
donne également ad’où il ſuit qu’en général
une équation du ſecond degré doit avoir deux racines, l’une
que l’on appelle négative, parce qu’elle eſt précédée du ſigne
-, & l’autre qu’on appelle poſitive, parce qu’elle eſt précédée
du ſigne +. L’état de la queſtion détermine ordinairement
celle que l’on doit prendre; mais on ne doit point, ſurtout
dans les commencemens, rejetter les valeurs négatives, ſans
avoir auparavant examiné ce qu’elles peuvent ſignifier, parce
qu’elles ne réſolvent pas moins le problême, que celles que
l’on appelle poſitives, quoiqu’elles ne le réſolvent pas dans le
ſens qu’on s’étoit propoſé d’abord; &
parce que d’ailleurs ces
ſolutions nous découvrent toujours des vérités auxquelles on
n’auroit peut-être jamais penſé, ſi l’on n’y eût été conduit par
l’analyſe. On verra dans la ſuite des exemples ſenſibles de ce
que nous diſons, dans les problêmes que nous allons réſoudre.
309.
Un Soldat va rejoindre ſon Régiment, dont il eſt
éloigné de 64 lieues, il fait une lieue le premier jour, trois le
ſecond, cinq le troiſieme, & ainſi de ſuite en augmentant
toujours de deux lieues: on demande combien il ſera de jours
à rejoindre ſon Régiment?
Pour réſoudre cette queſtion, je la dépouille encore de tout
ce qui lui eſt étranger (car c’eſt ainſi que l’on accoutume ſon
eſprit aux idées générales; &
d’ailleurs cette regle eſt de la
derniere importance pour trouver les équations des problêmes
avec facilité). Je remarque que la queſtion ſe réduit à trouver
le nombre des termes d’une progreſſion arithmétique, dont le
premier eſt 1, le ſecond 3, & la ſomme eſt 64.
Et pour géné-
raliſer encore davantage le problême, je ſuppoſe que le pre-
mier terme de la progreſſion eſt a, le ſecond b, & la ſomme s.
J’appelle x le nombre des termes, &
d l’excès de b ſur a.
Je
ſçais que la ſomme des termes d’une progreſſion arithmétique
eſt égale au produit de la ſomme des extrêmes, multipliée par
la moitié du nombre des termes (art. 238).
Je connois le pre-
cependant je ſçais qu’en général ce dernier terme eſt égal au
premier terme, plus au produit de la différence du ſecond au
premier, multipliée par le nombre des termes qui le précédent
(art. 240);
&
comme x eſt le nombre des termes, x- 1 ſera celui
termes qui précédent le dernier: donc ce dernier ſera a + d X
√x-1\x{0020}, ou a + dx - d, auquel ajoutant le premier, il vient
pour la ſomme des extrêmes a + a + dx- d, ou 2a + dx-d,
que je multiplie par la moitié du nombre des termes {x/2} pour
former l’équation {2ax + dxx - dx/2} = s; faiſant évanouir le di-
viſeur 2, il vient 2ax + dxx - dx = 2s, qui eſt l’équation
qu’il faut réſoudre pour avoir la ſolution du problême.
Pour réſoudre cette équation, je commence par dégager de
tout coefficient le terme qui contient la plus haute puiſſance
de l’inconnue, qui eſt xx, en diviſant chaque terme de l’équa-
tion par d; ce qui me donne xx + {2ax/d} - {dx/d} = {2s/d}, ou xx +
{2ax/d} - x = {2s/d}, ou xx+x X √{2a/d} - 1\x{0020} = {2s/d}. Pour faciliter encore
le calcul, je ſuppoſe que le coefficient du ſecond terme, qui eſt
{2a/d} - 1, eſt égal à une ſeule lettre c, & au lieu de xx + x x
√{2a/d}-1\x{0020}, j’ai xx + cx = {2s/d}, & c’eſt là la forme la plus ſimple
que puiſſe avoir une équation du ſecond degré à deux termes. Préſentement pour rappeller cette équation à celles du premier
degré, il n’y a qu’à faire enſorte que le premier membre ſoit
un quarré parfait, dont on puiſſe extraire la racine; &
voici
comment cela ſe pratique. On ajoute à chaque membre de l’é-
quation le quarré de la moitié du coefficient de x au ſecond
terme: ainſi je prends la moitié du coefficient de x, qui eſt
{c/2}, dont le quarré eſt {c c/4} que j’ajoute à chaque membre; ce qui
me donne la nouvelle équation xx + cx + {c c/4} = {c c/4} + {2s/d},
dans laquelle le premier membre eſt un quarré parfait, ſçavoir
celui de x + {1/2}c, puiſqu’il contient le quarré xx du premier
terme, le double produit cx, du premier par le ſecond, & le
quarré du ſecond. Ainſi extrayant les racines de part &
d’au-
tres, il vient x + {1/2} c = ±√{1/4} cc + {2s/d}\x{0020}, & tranſpoſant {1/2} c,
Pour appliquer cette expreſſion ou
formule générale à notre problême, je fais a = 1, puiſque 1
eſt le premier terme de la progreſſion arithmétique; b = 3,
puiſque le ſecond jour il fait trois lieues; b - a, ou d = 3 - 1
= 2, qui eſt la différence du ſecond au premier terme, &
s = 64, qui eſt la ſomme de tous les termes. Je cherche par le
moyen de ces valeurs celle de c, que j’ai fait égal à {2a/d} - 1, que
je trouve être {2 x 1/2} - 1, ou {2/2} - 1, ou 1 - 1 = 0; ainſi c eſt
zero, ou rien dans notre queſtion: par conſéquent en l’effa-
çant partout où il ſe trouve dans l’expreſſion ou formule gé-
nérale x = - {1/2} c ± √{c c/4} + {2s/d}\x{0020}, elle ſe réduit à ceci, x = ±
√{2s/d}\x{0020} = ± √{2 x 64/2}\x{0020} = ± √64\x{0020} = ± 8; c’eſt - à - dire que le
Soldat, dont il eſt queſtion, a été huit jours en chemin: ce
qui m’apprend en même-tems que le nombre 64, qui eſt la
ſomme des termes de la progreſſion, eſt auſſi le quarré du nom-
bre des termes de la même progreſſion: enſorte que les huit
premiers termes de la progreſſion des nombres impairs · 1. 3.
5.
7.
9.
11.
13.
15 font enſemble 64, &
c’eſt une propriété
commune à tant de termes que l’on voudra de cette progreſ-
ſion, pourvu que l’on prenne toujours depuis l’unité. Cette
propriété mérite beaucoup d’attention, comme on le verra
par la ſuite dans le Traité du jet des bombes.
310.
La ſomme de deux nombres eſt 6, la ſomme de leurs
quarrés eſt 20: on demande chacun de ces deux nombres?
Soit x l’un de ces nombres, l’autre ſera 6 - x, puiſque leur
ſomme eſt 6. Les quarrés de ces nombres ſont xx &
36 - 12x
+ xx, dont la ſomme doit être égale à 20, par la ſeconde
condition du problême, ce qui donne 2xx - 12x + 36 = 20. Je fais paſſer d’abord 36 de l’autre côté, ce qui me donne 2xx
- 12x = 20 - 36, ou en diviſant chaque membre de l’équa-
tion par 2; xx - 6x = 10 - 18 = - 8.
Selon la regle
générale, pour rendre le premier membre de cette équa-
d’autre le quarré 9
de la moitié 3 de 6, coefficient de x au ſecond terme: pour
avoir xx - 6x + 9 = 9 - 8 = 1, j’extrais les racines de part
& d’autre, &
je trouve x - 3 = ± √1\x{0020} = ± 1, &
laiſſant
x tout ſeul dans un membre, il vient x = 3 ± 1 = 4 ou 2. Si
je prends 4 pour x, le ſecond membre ſera 2; ſi au contraire
je prends 2, le ſecond nombre ſera 4, puiſque ces deux nom-
bres donnent également 6 pour ſomme, & 20 pour la ſomme
de leurs quarrés, où l’on remarquera encore que la racine né-
gative réſout le problême dans le ſens qu’on s’étoit propoſé
auſſi-bien que la poſitive.
311.
On propoſe de trouver un nombre qui ſoit tel qu’en
lui ajoutant la racine quarrée de ſon produit par 10, la ſomme
ſoit 20.
Soit x le nombre cherché, &
ſuppoſons 10 = a, &
20 = 2a,
on aura par les conditions du problême x + √ax\x{0020} = 2a. Je
laiſſe le radical ſeul dans un membre, & j’ai √ax\x{0020} = 2a - x;
pour faire diſparoître le radical, j’éleve chaque membre au
quarré, ce qui me donne ax = 4arédui-
ſant xx - 5ax = - 4aPour completter le quarré, j’ajoute
de part & d’autre le quarré de la moitié du coefficient, qui eſt
{25/4}aj’ai xx - 5ax + {25/4}a
la racine de part & d’autre, il vient x - {5/2}a = ± √{9/4}\x{0020}a
± {3/2}a, & laiſſant x tout ſeul, il vient x = {5/2}a ± {3/2}a, ou x = 4a,
& x = a, c’eſt-à-dire que l’un des nombres eſt 10 &
l’autre 40.
Il eſt évident que le nombre 10 eſt tel que la racine quarréc
de ſon produit par 10, qui eſt 100, & dont la racine eſt 10,
fait effectivement 20: mais on ne voit pas de même comment
la racine quarrée de 40 multiplié par 10, ſatisfait auſſi aux con-
ditions du problême. Pour cela, je remarque que 400 peut
avoir à ſa racine - 20 ou + 20, puiſque - 20 X - 20 = 400,
& que + 20 X + 20 = 400:
donc en ajoutant cette racine
de 400, qui eſt - 20 au nombre 40, j’ai 40 - 20 = 20.
312.
On demande les trois termes d’une progreſſion géomé-
dont la différence du
ſecond au troiſieme ſoit 3.
Soit x le ſecond terme, le troiſieme ſera x + 3 par une des
conditions du problême, & par l’autre on aura 4.
x :
:
x.
x+3,
d’où l’on tire xx = 4x + 12, ou xx - 4x = 12; j’ajoute à
chaque membre le quarré de la moitié du coefficient, qui eſt
4, & j’ai xx - 4x + 4 = 16, d’où l’on déduit en prenant les
racines de chaque membre, x - 2 = ± 4, c’eſt-à-dire que
l’une des valeurs de x eſt 6, & l’autre eſt 2 - 4 ou - 2, &
ces
valeurs ſont telles, qu’il n’y en a réellement qu’une qui ré-
ſolve le problême dans le ſens qu’on s’étoit propoſé, en don-
nant cette progreſſion 4. 6 :
:
6.
9;
mais on peut dire auſſi que
l’autre ne réſout pas moins le problême que la premiere, en
donnant cette autre progreſſion géométrique, 4. - 2 :
: - 2.
1;
car il eſt évident que ces trois grandeurs ſont en progreſſion
géométrique, puiſque le produit des extrêmes eſt égal au
quarré du moyen, & que ſelon la ſeconde condition, la diffé-
rence du ſecond terme au 3car il eſt évident que la diffé-
rence de - 2 à 1 eſt 3, comme on peut voir en ôtant - 2 de 1.
313.
Deux Commerçans ont placé dans le commerce unc
ſomme de 1300 liv. ſur laquelle ils gagnent 900;
le premier,
tant pour ſa miſe que pour l’intérêt de ſon argent, qui a été
trois mois dans le commerce, a retiré 870&
le ſecond pa-
reillement, tant pour ſa miſe que pour l’intérêt de ſon argent,
qui a été ſix mois dans le commerce, reçoit 1330 livres: on
demande la miſe de chacun en particulier.
Soit x la miſe du premier, celle du ſecond ſera 1300 - x,
puiſqu’ils ont mis à eux deux 1300 dans le commerce. Le gain
du premier ſera 870 - x, & celui du ſecond ſera 1330 -
1300 + x, ou en réduiſant 30 + x: car il eſt clair que pour
avoir le gain que fait l’un & l’autre, il faut ôter ſa miſe du
nombre qui contient par hypotheſe la miſe & le gain de cha-
cun. Or par les conditions du problême, la miſe &
le gain du
premier ſont renfermés dans ſa part 870, & de même la miſe &
le gain du ſecond ſont contenus dans ſa part, qui eſt 1330.
On ſçait de plus que les gains ſont dans la raiſon compoſée
des miſes & des tems, c’eſt - à - dire comme les produits des
miſes par les tems: car il eſt évident que ſi un homme a placé
dans le commerce trois fois plus qu’un autre dans le même
tems, il doit gagner trois fois davantage, & s’il a mis ſon ar-
gent pendant un tems quadruple, il doit encore par-là gagner
quatre fois plus que l’autre, c’eſt-à-dire que ſon gain ſera 4 fois
3 fois plus grand que celui du ſecond, ou qu’il ſera à celui du
ſecond, comme 12 à 1, qui ſont les produits des miſes par
les tems; multipliant donc la miſe du premier, qui eſt x, par
ſon tems 3, & celle du ſecond par ſon tems 6;
puis faiſant une
proportion avec les produits & les gains particuliers, on aura
3x. √1300 - x\x{0020} x 6 :
:
870 - x.
30 + x, &
diviſant chaque
terme de la premiere raiſon par 3, x. √1300 - x\x{0020} x 2 :
: 870 - x.
30 + x:
prenant enſuite le produit des extrêmes &
des
moyens, on aura cette égalité 30x + xx = 2262000 -
4340x + 2xx, qui renferme toutes les conditions du problême.
Otant xx de chaque membre, & faiſant paſſer 30x de l’autre
côté, & 2262000 dans le premier membre, il vient - 2262000
= xx - 4370x, ou xx - 4370x = - 2262000. Ajoutant
à chaque membre le quarré de 2185, moitié du coefficient,
pour compléter le quarré, on aura xx - 4370x + 4774225
= 4774225 - 2262000 = 2512225; &
tirant enſuite la ra-
cine de chaque membre, il vient x - 2185 = ± √2512225\x{0020}
= ± 1585, ou enfin x = 2185 ± 1585, qui donne pour une
des valeurs de x, 3770, & pour l’autre 600 livres, que l’on
regarde comme celle qui réſout le problême dans le ſens que
I’on s’étoit propoſé, comme il eſt aiſé de le voir, en détermi-
nant la part de gain total pour 600, par une Regle de Trois,
dont le premier terme ſera la ſomme des miſes, multipliées
par leurs tems, le ſecond terme le gain total, le troiſieme la
miſe 600 livres du premier, multipliée par ſon tems, & le qua-
trieme le gain du même premier.
314.
On remarquera 1
que la valeur de l’inconnue qui
ſatisfait aux conditions du problême, eſt celle qui eſt déter-
minée par la racine négative du quarré, qui étoit ſous le ſigne
d’où il ſuit que l’on ne doit pas établir pour regle gé-
nérale que les quantités déterminées par les racines négatives
ſont étrangeres à la queſtion, puiſque dans ce cas la négative
donne la ſolution du problême dans le ſens qu’on s’étoit pro-
poſé. Pour voir préſentement ce que ſigniſie l’autre racine
3770, je fais attention que puiſque la ſomme des miſes eſt
égale à 1300, en ôtant l’une de ce nombre, je dois avoir l’au-
tre. J’ôte donc 3770 de 1300, &
quoique cela ne ſoit pas poſ-
ſible dans un ſens, cependant de l’autre il eſt vrai de dire qu’en
ôtant 3770 de 1300, le reſte eſt - 2470, puiſqu’en ajoutant
ce reſte à la quantité retranchée, il vient 1300, ce qui m’ap-
prend d’abord que l’un des Commerçans, au lieu d’avoir mis
dans le commerce, en a réellement ôté 2470 livres; je multi-
plie enſuite les miſes quelles qu’elles ſoient par leurs temps,
multipliant 3770 par 3, il vient 11310, & multipliant de
même la miſe du ſecond - 2470 par ſon tems 6, il vient au
produit - 14820; la ſomme de ces deux produits, qui eſt cenſée
la cauſe du gain total eſt - 3510. Je fais après cela une Regle
de Trois, dont le premier terme ſoit - 3510, le ſecond, la
miſe du premier multipliée par ſon tems 3, le troiſieme, le gain
total, que l’on ſuppoſe de 900, & appellant x le quatrieme
terme, qui ſera le gain du premier, j’ai cette proportion
- 3510. 11310 :
: 900.
x = {11310 x 900/- 3510} = - 2900, dont le
quatrieme terme fait voir que le premier, au lieu d’avoir ga-
gné a réellement perdu 2900, & cette perte eſt telle que la
ſomme de la perte - 2900, & de la miſe 3770 fait préciſé-
ment 870. Puiſque le premier perd, il faut néceſſairement
que le ſecond qui a ôté ſon argent du commerce gagne, puiſ-
qu’il manque de perdre, & cela d’autant plus qu’il a ôté plus
d’argent, & qu’il y a plus de tems qu’il a ôté ſon argent, c’eſt-
à-dire que le gain qu’il fait eſt dans la raiſon compoſée de l’ar-
gent qu’il a ôté du commerce, multiplié par le tems, ou comme
le produit de cet argent par le tems qui s’eſt paſſé depuis qu’ll
l’a retiré. Je fais encore une proportion pour déterminer ſon
gain, dont le premier terme ſoit la ſomme des produits des
miſes par leurs tems, le ſecond le produit de la miſe de ce
Commerçant par ſon tems; le troiſieme le gain total, &
le
quatrieme le gain de ce Commercant, ce qui me donne -
3510. - 14820 :
: 900.
x = {- 14820 x 900/- 3510}, ou = {- 13338000/- 3510} =
&
ce gain eſt encore tel qu’en l’ajoutant avec la miſe négative
- 2470, il vient pour la ſomme 1330, qui eſt le nombre ex-
primé par les conditions du problême.
On voit par-là que quoique les valeurs algébriques paroiſ-
ſent quelquefois ne rien ſignifier, parce qu’elles ſont extrê-
mement éloignées de ce que nous aurions imaginé, elles n’en
ſont pas pour cela moins vraies ni moins bien raiſonnées; &
quoique l’on ne doive pas s’appliquer dans tous les cas à les re-
connoître, parce que cela deviendroit inutile, il eſt auſſi ridi-
cule de ne les pas rechercher dans quelques-uns, pour s’accoutu-
mer aux expreſſions algébriques, & pour être en état d’inter-
prêter au beſoin les oracles que nous donne l’analyſe.
315.
Ces exemples ſuffiſent pour connoître l’uſage que l’on
doit faire des racines négatives. Nous allons préſentement ré-
ſoudre en peu de mots les équations du ſecond degré dans leurs
formules générales, parce que la méthode eſt toujours la même. Si l’on a une équation du ſecond degré, comme celle-ci, xx
- 4x = 12, on fait paſſer ordinairement le terme 12 de l’au-
tre côté du ſigne d’égalité, & alors on dit que l’équation eſt
égale à zero, & elle ſe marque ainſi :
x x - 4x + 12 = 0.
Cela poſé, toute équation du ſecond degré peut ſe rappeller
à l’une des ſix formules ſuivantes.
316.
Ces équations ſe réſolvent comme les précédentes.
Le
terme q repréſente toutes les quantités connues: la lettre p dé-
ſigne tous les coefficients qui multiplient l’inconnue au ſecond
terme. On tranſporte après cela le terme q dans l’autre
membre, & l’on ajoute à chacun, le quarré de la moitié du
coefficient p, & l’on prend la racine du premier membre, qui
devient un quarré parfait, & l’on met les quantités qui ſont
dans l’autre membre ſous le ſigne radical, pour marquer que
l’on en prend la racine; ce qui donne les ſix formules ſuivantes
correſpondantes aux équations précédentes.
Premiere x = - {1/2}p ± √{1/4}pp - q}\x{0020}
Seconde x = {1/2}p ± √{1/4}pp + q}\x{0020}
Troiſieme x = {1/2}p ± √{1/4}pp - q\x{0020}
Quatrieme x = - {1/2}p ± √{1/4}pp + q\x{0020}
Cinquieme x = ± √q\x{0020}
Sixieme x = ± √-q\x{0020}.
Voici ce que l’on peut remarquer ſur ces formules.
Dans la
premiere & la troiſieme, le problême ſera toujours poſſible,
tant que {1/4}pp ſera plus grand que q, ou au moins égal; mais
s’il étoit moindre, le problême ſeroit impoſſible, puiſque dans
ce cas √{1/4}pp - q\x{0020} ſeroit une quantité imaginaire. On appelle
imaginaire une quantité négative, ſoumiſe à un radical, parce
qu’il n’y a point de quantité qui donne - au quarré. Tous
les problêmes qui ſe rapportent à la ſeconde & à la troiſieme
formule, ſeront toujours poſſibles, puiſque jamais la quantité
√{1/4}pp + q\x{0020} ne pourra être imaginaire.
Enfin la cinquieme formule aura toujours deux valeurs
égales, l’une poſitive, qui eſt + √q\x{0020}, & l’autre négative, qui
eſt - √q\x{0020}; &
la ſixieme renfermera toujours quelque abſur-
dité, puiſque ± √-q\x{0020} ſera toujours une quantité imagi-
naire.
317.
Il y a certaines équations du quatrieme degré qui ſe
réſolvent de même que celles du ſecond, comme on va voit
dans l’exemple ſuivant.
On demande deux nombres, dont le produit ſoit 12, &
la
différence des quarrés 7.
Soient x &
y ces deux nombres, la premiere condition du
problême donne xy = 12, d’où l’on tire y = {12/x}, & la ſe-
conde donne xx - yy = 7; &
ſubſtituant à la place de yy ſa
valeur {144/xx}, on aura xx - {144/xx} = 7, multipliant par xx pour
faire évanouir la fraction {144/xx}, il vient xJ’ajoute à chaque membre le quarré de la
moitié du coefficient de x, qui eſt celui de 3 {1/2}, il vient x
- 7xx + 12 {1/4} = 12 + {1/4} + 144, dont le premier membre
eſt un quarré parfait, & tirant les racines de part &
d’autre,
après avoir réduit le ſecond membre, on aura xx - 3 {1/2} = ±
√156 {1/4}\x{0020}; la racine de 156 {1/4} eſt 12 {1/2}:
ainſi xx - 3 {1/2} = ± 12 {1/2}.
Dégageant xx, on a xx = ± 12 {1/2} + 3 {1/2} = 16 ou - 9, &
tirant encore les racines pour avoir x au premier degré, on
aura x = ±√16\x{0020}, & x = ± √- 9\x{0020}, dont les deux premieres
ſont ±4, & les deux autres ſont imaginaires, c’eſt-à-dire que
l’une des valeurs de x eſt 4. Je diviſe 12 par 4 pour avoir y =
{12/x}, & le quotient eſt 3:
donc les nombres demandés ſont 3
& 4, puiſque leur produit eſt 12, &
que la différence de leurs
quarrés 16 & 9 eſt 7.
On auroit pu réſoudre ce problême,
en ſe ſervant de la ſeconde formule, & faiſant - 7 = - p,
& - 144 = - q;
ce qui auroit donné la même ſolution.
Du calcul des radicaux, des opérations qui leur ſont particu-
# lieres, & de la maniere de les réduire, de les ajouter, ſouſtraire,
# multiplier ou diviſer.
318.
On appelle radicale une quantité, dont on ne peut pas
extraire la racine exactement. Pour peu que l’on veuille ré-
ſoudre quelques problêmes du ſecond degré, on trouve né-
ceſſairement de ces ſortes d’expreſſions, que l’on appelle radicales
ou incommenſurables; mais quoiqu’elles ne puiſſent pas avoir
de racines exactes, il y a cependant bien des cas où on peut
ſimplifier leurs expreſſions, d’autres dans leſquels on eſt obligé
d’opérer ſur ces grandeurs par Addition, Multiplication ou
Diviſion, ce qui arrive principalement dans les équations du
quatrieme degré réductibles au ſecond; c’eſt pourquoi il eſt à
propos d’enſeigner de quelle maniere on doit pratiquer toutes
ces opérations, & c’eſt en cela que conſiſte le calcul des radi-
caux ou incommenſurables que nous allons expliquer en peu
de mots. Il y a autant de radicaux qu’il y a de puiſſances diffé-
rentes; mais pour ne point entrer dans un trop grand détail,
nous ne parlerons que des radicaux du ſecond degré, auxquels
on ajoutera quelques exemples de radicaux du troiſieme. Les
des radicaux plus compliqués.
319.
On examinera ſi la quantité ſoumiſe au radical n’a pas
parmi ſes facteurs quelque puiſſance de même nom que le ra-
dical, ſoit que cette puiſſance ſoit une quantité complexe, ſoit
qu’elle ne ſoit qu’un monome: pour reconnoître ſes facteurs,
il faut ſçavoir décompoſer une quantité, c’eſt-à-dire trouver
les autres quantités, de la multiplication deſquelles réſulte
la grandeur donnée. Cela poſé, lorſqu’on aura trouvé un ou
pluſieurs facteurs de même puiſſance que la racine, on en ex-
traira la racine, & l’on mettra le reſte ſous le radical.
Par exemple, √a
car il eſt évident que a
x ab: donc en prenant la racine du quarré complet a
laiſ-
ſant le reſte ſous le radical, on aura a√ab\x{0020}; tout de même
√16a\x{0020}\x{0020} Or il eſt viſible que
16adonc on extraira cette
racine, & l’on aura pour la plus ſimple expreſſion de ce radical
4a√b - 2a\x{0020}. Si l’on avoit
eſt commun aux deux termes, eſt un cube parfait, dont on
peut prendre la racine cubique; ainſi l’on écrira a
De même ſi l’on avoit √50ffgg - 25ffmm + 75bdff\x{0020}, il
eſt aiſé d’appercevoir qu’il y a dans cette quantité un quarré
parfait, commun à tous les termes, que l’on peut mettre hors
du radical, c’eſt 25ff; car on auroit pu écrire cette quantité
comme il ſuit, √25ff x √2gg - mm + 3bd\x{0020}\x{0020}, & prenant la ra-
cine, on auroit eu 5f√2gg - mm + 3bd\x{0020}. Il en ſeroit de même
des autres quantités. Par exemple, √3a
auroit pu s’écrire ainſi: √a
pre-
nant la racine des deux facteurs, qui ſont des quarrés parfaits,
on aura a x √b + c\x{0020} x √3fg\x{0020}. Si l’on avoit à réduire cette autre ex-
preſſion √27a
quantité eſt le produit de 9aainſi j’écrirai
ſi l’on avoit
√64m
radical, 2g√16mm - 9ff + 12ab\x{0020}, & ainſi de tous les autres.
320.
Il eſt quelquefois à propos de compliquer un radical,
pour faciliter certaines opérations, & de faire préciſément l’in-
verſe de ce que nous venons d’enſeigner, c’eſt-à-dire de faire
paſſer ſous le radical une quantité qui eſt hors du même ſigne: voici comme cela ſe pratique.
On éleve la quantité qui eſt hors
du ſigne, à la puiſſance marquée par l’expoſant du radical, &
on multiplie cette puiſſance par les quantités ſoumiſes au mê-
me ſigne. Il eſt aiſé de voir que cette nouvelle expreſſion n’eſt
différente de la premiere qu’en apparence, & non en valeur;
car la quantité élevée à la puiſſance du radical & ſoumiſe au
même radical, ne vaut que la racine de cette même quantité:
ainſi a√ab\x{0020} = √a
= √a
321.
On peut multiplier ou diviſer l’expoſant d’un radical
ſans en changer la valeur: pour cela, il faut élever la quantité
qui eſt ſous ce ſigne à la puiſſance marquée par le nombre qui
multiplie l’expoſant du radical, ou tirer de la quantité qui eſt
ſoumiſe au même radical, la racine marquée par le diviſeur; ce qui ſe peut faire en deux manieres, ou bien en indiquant
cette racine par de nouveaux ſignes radicaux, ou bien en di-
viſant les expoſans des quantités qui ſont ſous le ſigne, par le
nombre qui doit diviſer l’expoſant du radical: car on a vu
qu’en diviſant ainſi les expoſans par des nombres, c’eſt prendre
la racine marquée par ce même nombre (art. 142).
D’ailleurs
ſi l’on multiplie ou ſi l’on diviſe, il eſt évident que la quan-
tité propoſée reçoit autant par l’élévation de la quantité ſou-
miſe au radical, à la puiſſance marquée par le multiplicateur
de l’expoſant du radical; que la racine que l’on prend enſuite
diminue par la multiplication du même expoſant, & récipro-
quement lorſque l’on diviſe les expoſans des quantités qui ſont
ſous le ſigne radical, on diminue ces grandeurs de la quan-
tité dont elles ont été augmentées par la diviſion de l’expoſant
du radical. Des exemples éclairciront tout ceci.
Si l’on a √ab\x{0020},
je dis que l’on peut faire ces égalités, √ab\x{0020} = car
lettre: donc
ainſi des autres.
De même
car
donc
ainſi des autres: car il eſt évident que lorſque l’expoſant du
radical eſt égal à l’expoſant des grandeurs ſoumiſes au même
ſigne, on peut ſupprimer le radical, & écrire les quantités
toutes ſimples, comme ſi l’on a pour
on met abc’eſt ce qui arrive ici, car l’expoſant {m/r} peut s’é-
crire ainſi, m x {1/r}, & de même les expoſans {n/r}, {p/r} peuvent ſe
marquer ainſi, n x {1/r}, p x {1/r}: donc notre quantité deviendroit
les expoſans du radical & des quantités qui lui ſont ſoumiſes
par la même grandeur {1/r}; ce qui rentre dans le premier cas.
322.
On tire delà la méthode de réduire pluſieurs radicaux
à la même dénomination ſans changer leurs valeurs, c’eſt-à-dire
de donner à deux radicaux différens un même ſigne. Par exem-
ple, ſi l’on me donne ces deux incommenſurables √a
j’éleve le premier aje multiplie l’expoſant 2
du radical par 3, ce qui me donne de même j’é-
leve aje multiplie l’expo-
ſant du ſigne radical qui lui eſt joint par l’expoſant 2 du pre-
mier, ce qui me donne De cette maniere il
eſt viſible que les deux quantités irrationnelles propoſées ont
changé de forme ou d’expreſſion, ſans avoir changé de va-
leur, & de plus qu’elles ont le même ſigne radical
ainſi
des autres. En général pour réduire deux radicaux quelcon-
ques a Les opérations
tionnelles: nous allons préſentement expliquer celles qui leur
ſont communes avec les autres quantités.
323.
On ajoutera les radicaux, en les joignant avec leurs
ſignes tels qu’ils ſont, & obſervant de les réduire avant de
faire l’addition. De plus, ſi les radicaux ſont les mêmes de part
& d’autre, il ſuffira d’ajouter les quantités qui précédent le
ſigne radical, & d’en multiplier la ſomme par le même radical:
ſuivant cette regle, la ſomme de a√b\x{0020} &
de c√d\x{0020} eſt a√b\x{0020} + c
√d\x{0020}; celle de ff
de mn√dc\x{0020} eſt ff
celle de af√mn\x{0020} & de bg√mn\x{0020} eſt √af + bg\x{0020}√mn\x{0020}.
De même
en nombres, 3√5\x{0020} & 4√7\x{0020} donnent pour ſomme 3√5\x{0020} + 4√7\x{0020},
4√8\x{0020} & 6√8\x{0020} donnent 10√8\x{0020}, &
c.
324.
La Souſtraction des radicaux ſe fait de même que celle
des autres quantités algébriques, en changeant le ſigne + en
-, & le ſigne - en + de la quantité que l’on veut ſouſtraire,
obſervant de ſimplifier auparavant les radicaux propoſés, &
de multiplier la différence par le même radical, en cas qu’il
ſoit commun aux deux radicaux. Par exemple, la différence
de a√c\x{0020}à b√c\x{0020} eſt √a - b\x{0020}√c\x{0020}; celle de 10
ou 6c.
325.
On peut multiplier un radical par un entier, par une
fraction, ou par un autre radical; ce qui fait trois cas parti-
culiers, qui n’ont aucune difficulté.
326.
Pour multiplier un radical par un entier, s’il a déja
quelque grandeur qui le précéde, on multipliera cette quan-
tité qui eſt hors du radical par l’entier propoſé. Par exemple,
le produit de a√b\x{0020} par 3c eſt 3ac√b\x{0020}; le produit de
a + 2b eſt √a + 2b\x{0020}ainſi de ſuite.
Si l’on ne vouloit pas que le multiplicateur fût devant le radi-
du radical. Ainſi pour multiplier
cube, & je multiplie ce qui eſt ſous le radical par a
j’ai
Il en ſeroit ainſi des autres en nombres ou en lettres,
quelque ſoit le multiplicateur incomplexe ou polynome.
327.
Pour multiplier un radical par une ſraction, on mul-
tipliera la quantité qui eſt hors du ſigne par la fraction pro-
poſée, & la multiplication ſera faite.
Si le radical n’avoit
d’autre coefficient que l’unité, & qu’on jugeât à propos de ne
point lui en donner, il faudroit élever la fraction à la puiſ-
ſance marquée par l’expoſant du radical, & multiplier le nu-
mérateur de la nouvelle fraction par la quantité ſoumiſe au
radical. Ainſi pour multiplier le radical f √ab\x{0020} par {c/d}, j’écris
{cf/d}√ab\x{0020}; de même 3 √c\x{0020} par {6/5}={18/5}√c\x{0020};
de même
plié par {2a/b}=
328.
Si le multiplicateur eſt auſſi un radical de même ex-
poſant que celui du multiplicande, on multipliera les quan-
tités ſoumiſes au même radical les unes par les autres, ſuivant
les regles ordinaires, & on donnera au produit le ſigne du
multiplicande ou du multiplicateur, obſervant de multiplier
les quantités qui précédent les radicaux les unes par les autres,
& de tirer hors du nouveau radical les puiſſances de même
nom, que la multiplication auroit pu produire. Par exemple,
a√cb\x{0020}, multiplié par f√cd\x{0020}=af√cde même
fainſi des
autres.
329.
Si le radical n’a pas le même expoſant, on commen-
cera par les y réduire (art. 321), &
l’on fera la multiplication
comme dans le cas précédent. Par exemple, pour multiplier
a√bc\x{0020} par d
dmultipliant enſuite j’ai ad
Il en ſeroit de même des radicaux plus compliqués.
Il faut
bien remarquer que ſi le radical du multiplicateur eſt le même
que celui du multiplicande, la multiplication ſe fait en ſup-
primant le radical, & multipliant par cette quantité le pro-
duit des quantités qui précédent. Ainſi a√bc\x{0020} x d√bc\x{0020}=adbc
ce qui eſt évident, puiſque toute raci-
ne multipliée par elle-même doit néceſſairement ſe reproduire.
Si l’on avoit des radicaux complexes à multiplier par des
radicaux monomes ou complexes, la multiplication s’en fe-
roit, en ſuivant les mêmes regles, & celles de la multiplication
des polynomes.
330.
On peut diviſer un radical par un entier ou par une
fraction, ou par un autre radical: toutes ces opérations ſont
les inverſes des précédentes; c’eſt pourquoi nous ne nous y
arrêterons pas long-tems.
331.
Pour diviſer un radical par un entier, on diviſera le
coefficient par l’entier propoſé: ainſi pour diviſer a√b\x{0020} par c,
j’écris {a/c}√b\x{0020}; de même 3 √5\x{0020} diviſé par 4 = {3/4} √5\x{0020}, &
de même
des autres.
332.
Pour diviſer un radical par une fraction, on multipliera
le coefficient du radical par la fraction inverſe, à moins que
l’on ne voulût faire paſſer le diviſeur ſous le ſigne radical; auquel cas il faudroit multiplier ce qui eſt ſous le radical par
le quarré de la fraction inverſe. Suivant ces regles, le quo-
tient de a √bc\x{0020} diviſé par {d/f} = {af/d} √bc\x{0020}, le quotient de 3 √bd\x{0020},
diviſé par {4/5} = {15/4}√bd\x{0020}; &
celui de
mettant la fraction ſous le radical
Pour diviſer un radical par un autre, on diviſera les coeffi-
cients & les radicaux l’un par l’autre, en obſervant d’effacer
le radical, lorſqu’il eſt commun au diviſeur & au dividende.
Ainſi a√b\x{0020} diviſé par c√d\x{0020} = {a/c} √{b/d}\x{0020}, a√cd\x{0020} diviſé par b√cd\x{0020}
= {a/b}, & ainſi des autres.
333.
Pour élever un radical à une puiſſance propoſée, il
faut élever à cette puiſſance les quantités qui précédent le ra-
dical, & celles qui lui ſont ſoumiſes, ou bien diviſer l’expo-
ſant du radical par l’expoſant de la puiſſance à laquelle on veut
élever ce radical: ainſi le cube de a√bc\x{0020} eſt a
on peut dire
auſſi que le cube de cette même quantité eſt acar ſi l’on
ſe ſouvient de ce que nous avons déja dit ſur les radicaux & les
expoſans (art. 142.)
a
le même article. Toutes les fois que l’expoſant du radical ſera
diviſible par celui de la puiſſance à laquelle on veut l’élever,
il faudra faire la diviſion préférablement à toute autre méthode.
334.
Pour tirer la racine d’un radical, il n’y aura qu’à tirer
la racine de ce qui précéde ce radical, & multiplier l’expoſant
du ſigne radical par l’expoſant de la racine propoſée; car puiſ-
que nous venons de voir que la formation des puiſſances de
ces quantités ſe fait par la diviſion des expoſans, par celui de
la puiſſance; dans l’extraction des racines, il faut faire le con-
traire: ainſi la racine cubique de a
aSi l’on vouloit on pourroit encore
faire la même choſe, après avoir fait paſſer tout ce qui pré-
céde le ſigne ſous le même ſigne: ainſi la racine cubique de
a
335.
Il faut bien remarquer que toutes les opérations que
l’on fait ſur les radicaux peuvent ſe faire d’une autre maniere,
en cherchant la quantité exponentielle égale au radical pro-
poſé: car nous avons démontré (art.
141 &
ſuivans) qu’il n’y
a point de radical qu’on ne puiſſe convertir en quantité expo-
nentielle & réciproquement.
Les Commençans confondent quelquefois les racines ima-
ginaires avecles grandeurs incommenſurables; il y a une diffé-
rence totale entre les unes & les autres.
On peut déterminer
par la Géométrie la grandeur abſolue des quantités incom-
menſurables, quoiqu’on ne puiſſe pas déterminer en nombres
leurs rapports avec l’unité, au lieu que l’on ne peut connoître
ce que ſignifient les imaginaires; car on ne connoît point de
racine qui puiſſe donner un quarré négatif: c’eſt ce qui a fait
regarder ces quantités comme abſolument impoſſibles, & com-
me abſurdes les équations ou problêmes qui ne donnent que
de pareilles ſolutions. Mais on a reconnu que l’on ne doit
&
d’ailleurs ſi l’on conſidere les racines d’une équation dans
leur nature & leur eſſence, qui eſt d’être des diviſeurs exacts
de cette même équation, on verra que les imaginaires ne ſont
pas moins racines d’une équation, que celles que l’on appelle
vraies ou réelles, puiſque comme celles-ci, elles concourent
par leur multiplication à former l’équation qui les a données,
& qu’elles en ſont par conſéquent des diviſeurs exacts, comme
il eſt aiſé de s’en convaincre par l’exemple ſuivant.
Soit propoſé de réſoudre cette équation du ſecond degré,
xx - 4x + 12 = 0. On trouvera, en ſuivant les regles ordinaires,
x = 2 ± √-8\x{0020}, ou, ce qui eſt la même choſe, en égalant les
deux valeurs de x à zero, les deux équations x - 2 + √-8\x{0020} = 0,
& x - 2 - √-8\x{0020} = 0, que l’on peut regarder comme des
racines de la propoſée, parce qu’en les multipliant l’une par
l’autre, on retrouve au produit, après la réduction & l’évanouiſ-
ſement des radicaux l’équation propoſée xx - 4x + 12 = 0.
Il faut encore remarquer que dans une équation quelconque,
délivrée de tout ſigne radical, les racines imaginaires ne peu-
vent être qu’en nombre pair. Ainſi dans une équation du ſe-
cond degré, les racines ſont toujours toutes les deux vraies,
ou toutes deux imaginaires.
Je me borne à ces exemples ſur la maniere de réſoudre les
équations du ſecond degré, afin d’en faciliter l’uſage qui eſt
fort fréquent dans les queſtions Mathématiques. L’on trouvera
vers la fin de ce volume ce qui appartient à celles du troiſieme
& du quatrieme degré, quoiqu’elle ne ſoient pas auſſi abſolu-
ment néceſſaires que celles-ci.
336.
dont les extrêmités ne peuvent jamais ſe ren-
contrer, comme les lignes A B & C D.
337.
L’angle eſt l’inclinaiſon d’une ligne ſur une autre:
on
l’appelle angle rectiligne, lorſque les deux lignes qui le forment
ſont droites, comme l’angle A B C; il eſt appellé curviligne;
me l’angle D E F, & mixtiligne, lorſqu’une des lignes eſt droite
l’autre courbe, comme G H I.
338.
Les lignes droites ou courbes, dont l’inclinaiſon reſ-
pective fait un angle quelconque, ſont appellées côtés de l’an-
gle. Le point où ces deux lignes ſe rencontrent mutuellement,
Il ſuit delà que la grandeur
d’un angle ne dépend pas de la longueur de ſes côtés, mais
ſeulement de l’inclinaiſon de ces lignes l’une ſur l’autre, qui
ſeule conſtitue la nature de l’angle. Il ſuit encore delà qu’un
angle ne renferme aucun eſpace fini ou déterminé. Pour mar-
quer un angle, on ſe ſert ordinairement de trois lettres, &
celle qui ſe trouve au milieu, déſigne le ſommet de l’angle.
339.
L’angle droit eſt celui qui eſt formé par la rencontre de
deux lignes perpendiculaires l’une à l’autre, comme les an-
gles A B C ou A B D.
340.
L’angle oblique eſt celui qui ſe fait par la rencontre de
deux lignes qui ne ſont pas perpendiculaires l’une à l’autre, &
que l’on appelle pour cette raiſon des lignes obliques, comme
ſont les lignes I H & L K.
Il y a deux ſortes d’angles obliques,
l’angle obtus.
341.
L’angle aigu eſt celui qui eſt plus petit, ou moins ou-
vert qu’un droit, comme l’angle H I K; &
l’angle obtus eſt
Il eſt viſible qu’une ligne H I tombant ſur une autre, forme
avec elle deux angles inégaux, qui pris enſemble, valent deux
droits: car ſi l’on imagine la droite I F perpendiculaire à la
ligne L K au point I, l’angle aigu H I L = F I L - F I H, &
l’angle obtus H I K = F I K + F I H. Ainſi en ajoutant les
membres de ces deux équations, on aura H I L + H I K =
F I L + F I L = 2F I L, puiſque tous les angles droits ſont
égaux.
342.
Le cercle eſt une ſurface plane, terminée par une ſeule
les points ſont également éloignés d’un point A, que l’on ap-
pelle centre du cercle; les lignes A B, A C, A D menées du
centre A à la circonférence, ſont appellées rayons du cercle,
& ſont toutes égales entr’elles, puiſqu’elles meſurent la diſ-
tance du centre à chaque point de la circonférence, & que
cercle.
343.
Le diametre d’un cercle eſt une ligne droite qui paſſe
dont les extrêmités vont aboutir à la circon-
férence, comme E D: cette ligne diviſe le cercle &
ſa circon-
férence en deux parties égales, que l’on appelle indifféremment
demi-cercle, & dont la moitié par conſéquent ſe nomme quart
de cercle.
344.
On appelle arc de cercle une partie de la circonférence
plus petite ou plus grande que la demi-circonférence.
345.
Les Mathématiciens ont diviſé la circonférence du
cercle en 360 parties égales, qu’ils ont appellées degrés, & cha-
que degré en 60 autres parties égales, qu’ils ont appellées mi-
nutes, dont chacune a été encore diviſée en 60 autres parties
égales, nommées ſecondes. Ces diviſions ont été imaginées par-
ticuliérement pour meſurer les angles, & déterminer plus exac-
tement les rapports qu’ils ont entr’eux. Il ne faut pas s’ima-
giner que degré ſoit une grandeur fixe & abſolue, mais au
contraire c’eſt une quantité variable, ſelon les différens cer-
cles, quoique conſtamment la même, par rapport à chacun en
particulier, dont chaque degré eſt la 360d’où il eſt
aiſé de conclure qu’un grand cercle a des degrés plus grands
que ceux d’un petit: il en eſt de même des minutes, des ſe-
condes & des tierces, &
c.
346.
La meſure d’un angle eſt un arc de cercle décrit à vo-
lonté de ſa pointe, & terminé par ſes côtés:
ainſi l’on con-
noît que la meſure de l’angle A B C eſt l’arc A C; de ſorte
c, au-
tant l’angle A B C vaudra de degrés de minutes, &c.
Pour
concevoir comment les arcs de cercles ſont la meſure des an-
gles, & peuvent ſervir à déterminer leur grandeur, on peut
imaginer que l’angle C B A a été formé par le mouvement de la
ligne B C, autour du point B comme d’une charniere, laquelle
étoit d’abord appliquée ſur la ligne B A: car il eſt évident
ſur la ligne B C
un point C, également diſtant du point B, que le point A,
l’arc A C exprimera la quantité de chemin qu’a parcouru le
point A pour s’éloigner de la ligne A B. Si cette ligne ſe fût
éloignée deux fois davantage, l’angle eût été deux fois plus
grand, ainſi que l’arc qui marque l’eſpace parcouru par le point
C pour s’éloigner du point A. On peut remarquer que la me-
ſure d’un angle droit eſt toujours le quart de la circonférence
d’un cercle, c’eſt-à-dire de 90 degrés: car ſi l’on conſidere les
deux diametres A B, C D qui ſe coupent à angles droits, on
ties égales, & que chacune eſt la meſure de l’angle droit qui
lui correſpond: par conſéquent on peut dire encore qu’un
demi-cercle eſt la meſure de deux angles droits.
347.
D’un point A donné hors d’une ligne B C ſur le même
Pour tirer du point donné A une perpendiculaire ſur la
ligne B C, décrivez du point A, comme centre, un arc de
cercle qui vienne couper la ligne donnée dans les points B &
C; enſuite de ces points &
d’une même ouverture de compas,
moindre que A B, décrivez deux arcs de cercle qui ſe coupe-
ront en un point E, par lequel & par le point A, faiſant paſſer
une droite A E D, cette ligne ſera la perpendiculaire demandée. Pour le prouver, conſidérez que par la conſtruction, les li-
gnes A B & A C ſont égales, étant rayons d’un même cercle,
& que les lignes E B &
E C le ſont auſſi, par la même raiſon;
ce qui fait voir que la ligne A D eſt perpendiculaire ſur la
ligne B C, puiſqu’elle n’eſt pas plus inclinée d’un côté que de
l’autre.
348.
D’un point A donné ſur une ligne B C, élever une droite
Pour élever une perpendiculaire ſur la ligne B C au point
donné A, prenez deux points B & C également éloignés de A;
de ces points comme centre, décrivez avec la même ou-
verture de compas deux arcs de cercle qui ſe coupent en un
point comme D; puis tirez du point D au point A la ligne
D A, elle ſera perpendiculaire ſur B C. Il eſt aiſé d’apperce-
voir que la ligne A D eſt perpendiculaire ſur B C; car elle a
par conſtruction deux points A & D, également éloignés de
deux points B, C, de la ligne B C: donc elle ne penche pas plus
d’un côté que de l’autre; &
par conſéquent elle eſt perpendi-
culaire ſur B C.
349.
Diviſer une ligne donnée en deux parties égales.
Pour diviſer une ligne, telle que A B, en deux parties égales,
décrivez des extrêmités A & B comme centres, avec une
même ouverture de compas, deux arcs de cercle qui ſe cou-
pent aux points C & D;
tirez par ces deux points la ligne
C D, qui la coupera en deux également au point E.
Puiſque la ligne C D a deux points C, D, également éloi-
gnés des extrêmités de la ligne A B, tous ſes points ſeront éga-
lement éloignés des mêmes extrêmités A & B:
donc le point
E, qui eſt un des points de la ligne C D & de la ligne A B, eſt
auſſi à égale diſtance de A & de B:
donc il eſt le milieu de
cette ligne. C.
Q.
F.
T.
350.
D’un même point ſur une ligne donnée, on ne peut élever
Si du point C de la ligne A B, on a élevé la ligne C E per-
pendiculaire à cette ligne, il eſt viſible que ſi on vouloit en
élever une autre, telle que C D, qui paſſât par le même point
C, on ne le pourroit faire, ſans que cette ligne ne ſoit plus in-
clinée d’un côté que d’un autre, comme ici plus vers A que
vers B; &
comme ce ſeroit agir contre la définition des lignes
perpendiculaires, il s’enſuit qu’on n’en peut élever qu’une d’un
même point ſur une même ligne. D’ailleurs ſi cette ligne, outre
diculaire C E, elle ſe confond avec elle, puiſque deux points
déterminent la poſition d’une ligne droite (art. 13):
donc
par un point donné ſur une ligne, on ne peut élever qu’une
perpendiculaire. C.
Q.
F.
D.
351.
D’un point A donné hors d’une ligne D E, on ne peut
Si du point A l’on a mené à la ligne D E la perpendicu-
laire A B, & que les points D, E ſoient également éloignés du
point A, il eſt certain que le point B, où la perpendiculaire A B
rencontre la ligne D E, ſera auſſi également éloigné des ex-
trêmités D, E de la même droite. Mais comme on ne peut tirer
du point A à la ligne D E aucune ligne, telle que A C, diffé-
rente de A B, ſans que le point C ne ſoit à droite ou à gauche
du milieu B, il s’enſuit que les points D, E ne ſeront pas éga-
lement éloignés du point C; &
par conſéquent que la ligne
A C ne ſera point perpendiculaire ſur D E. C.
Q.
F.
D.
352.
Une ligne perpendiculaire eſt la plus courte de toutes les
Si l’on a mené du point D la ligne D C perpendiculaire à la
ligne A B, je dis que cette ligne eſt la plus courte de toutes
celles que l’on peut mener du point D à la même ligne A B,
comme la ligne D F.
Pour le prouver, ſoit prolongée la perpendiculaire D C juſ-
qu’en E, au delà de la ligne A B, par rapport au point D, en-
ſorte que C E = C D, & ſoit tirée la ligne E F, la ligne D E
ſera certainement plus courte que la ligne D F E: car, ſelon la
définition de la ligne droite, elle eſt la plus courte de toutes
celles que l’on peut mener du point D au point E. D’ailleurs,
ment la ligne A B eſt perpendiculaire ſur D E, & par conſtruction
la coupe en deux également: donc le point F de cette ligne
eſt également éloigné des extrêmités de la ligne D, E; &
par
conſéquent F D = F E: ainſi prenant les moitié des lignes
D E, C F E, la droite D C ſera plus courte que la droite D F. On démontrera la même choſe de toute autre ligne différente
de D F, priſe à droite ou à gauche de la ligne D C: donc cette
ligne eſt la plus courte de toutes celles que l’on peut mener du
point D à la ligne A B.
On pourroit préſentement regarder ce théorême comme
une définition de la ligne perpendiculaire à une autre, puiſ-
que cette propriété eſt une des plus importantes, & de laquelle
on peut déduire les autres.
353.
Lorſque deux lignes droites ſe coupent, elles forment les
Soient deux lignes droites quelconques A B, C D, qui ſe
coupent dans un point E, & forment par leur rencontre ou
interſection mutuelle, les angles B E D, A E C, que l’on ap-
pelle oppoſés au ſommet, parce qu’ils ont effectivement leur
ſommet au même point E, l’un d’un côté, l’autre de l’autre,
je dis que ces angles ſont égaux. Pour le prouver, du point E
comme centre, avec un rayon quelconque E B, je décris une
portion de circonférence qui coupe les lignes A B, C D aux
points A, C, D, B. Cela poſé, puiſque le centre du cercle
eſt au point d’interſection des deux lignes, il eſt dans l’une &
dans l’autre: donc chaque ligne A B, C D eſt à un diametre
du cercle, & les arcs A D B, D A C ſeront chacuns égaux à
la demi-circonférence; ce qui donne A D B = D A C, &
ôtant de part & d’autre l’arc A D commun, on aura l’arc
D B = A C; mais ces arcs ſont la meſure des angles A F C,
D E B: donc auſſi les angles oppoſés au ſommet, formés par
les droites A B, C D, ſont égaux. C.
Q.
F.
D.
354.
Lorſque deux lignes droites A B, C D, paralleles en-
des angles égaux d’un même côté.
Pour démontrer que les deux paralleles A B, C D qui vien-
nent tomber ſur la ligne E F, forment ſur cette ligne d’un
même côté les angles égaux A B F, C D F, conſidérez que
l’angle n’étant autre choſe que l’inclinaiſon d’une ligne ſur
une autre (art. 337), l’égalité de ces inclinaiſons fera l’égalité
des angles, & que les lignes AB, CD ne peuvent être paralleles
comme on le ſuppoſe, qu’elles ne ſoient également inclinées
ſur la ligne E F; autrement elles concourroient en quelque
point: donc l’angle A B F eſt égal à l’angle C D E, puiſque
la ligne A B eſt autant inclinée ſur E F que la ligne C D. C.
Q.
F.
D.
355.
Lorſqu’une droite E F coupe deux paralleles A B, C D,
noms, ſelon leurs poſitions par rapport à ces mêmes lignes.
356.
Les angles, tels que B G H, D H G, A G H, C H G,
ſont appellés angles internes ou intérieurs du même côté.
357.
Les angles B G E, D H F, ou A G E, C H F ſont ap-
pellés angles externes ou extérieurs du même côté.
358.
Les angles, tels que A G E, D H F, pris, l’un à droite,
& l’autre à gauche, au dehors des paralleles A B, C D, ſont
nommés alternes externes, de même que les angles E G B, C H F.
359.
Les angles intérieurs, comme A G H, D H G, pris,
l’un à droite & l’autre à gauche, de la ſécante E F, ſont appellés
angles alternes internes, ainſi que les angles B G H, C H G.
360.
Si deux lignes droites A B, C D paralleles entr’elles, ſont
que les angles alternes
internes ou alternes externes ſont égaux; 2
que les angles internes
ou externes pris d’un même côté de la ſécante, ſont égaux à deux
droits.
1
Il faut démontrer que l’angle externe E G B eſt égal à
ſon alterne C H F. Puiſque les droites A B, C D ſont paral-
leles, elles ſont également inclinées d’un même côté ſur la ſé-
cante E F (art. 354);
ainſi l’on aura l’angle E G B égal à l’an-
gle G H D, mais G H D eſt égal à l’angle C H F, qui lui eſt
oppoſé au ſommet (art. 353):
donc E G B = C H F.
On dé-
montrera de même que l’angle A G E eſt égal à ſon alterne
D H F; que l’angle interne A G H eſt égal à ſon alterne G H D,
& que l’angle interne B G H eſt égal à ſon alterne C H E.
C.
Q.
F.
1
D.
2
Les angles internes B G H, D H G pris d’un même côté
de la ſécante E F, ou les externes B G E, D H F pris d’un mê-
me côté, ſont enſemble égaux à deux droits. Puiſque les droites
A B, C D ſont paralleles, les angles B G E, D H G qu’elles for-
ment d’un même côté avec la ſécante E F ſont égaux entr’eux,
ainſi que les angles B G H, D H F; mais (art.
341.)
B G E
+ B G H eſt égal à deux droits: donc auſſi D H G + B G H
eſt égal à deux droits.
On démontrera de même que les angles externes B G E +
D H F pris enſemble valent deux droits, ou que les angles in-
ternes A G H + C H G, & les externes du même côté A G E,
C H F ſont enſemble égaux à deux droits. C.
Q.
F.
2
D.
361.
Suppoſant toujours une droite E F qui coupe deux autres
lignes droites A B, C D, je dis que ces lignes ſeront paralleles, ſi
les angles alternes internes, ou alternes externes ſont égaux, ou
bien, ſi les angles internes ou externes d’un même côté valent en-
ſemble deux droits.
1
Par hypotheſe, l’angle interne D H G eſt égal à ſon al-
terne A G H, & (art.
353.)
A G H = B G E qui lui eſt op-
poſé au ſommet: donc on aura l’angle D H G égal à l’angle
B G E; ainſi les droites A B, C D ſont parelleles, puiſqu’elles
forment des angles égaux d’un même côté avec la ſécante E F.
On démontrera de même que ces droites ſont paralleles,
en ſe ſervant des angles alternes internes égaux B G H, C H G,
ou des angles alternes externes égaux E G B, C H F; A G E,
D H F. C.
Q.
F.
1
D.
2
Par hypotheſe, les angles internes D H G, B G H pris
du même côté de la ſécante E F valent enſemble deux droits,
& (art.
341.)
les angles B G H &
B G E de ſuite, pris enſem-
ble, valent auſſi deux droits: donc on aura D H G + B G H
= B G H + B G E, & ôtant de chaque membre B G H, on
aura D H G = B G E; ce qui montre que les lignes A B, C D
font des angles égaux d’un même côté ſur la ſécante E F: donc
ces mêmes lignes ſont paralleles. C.
Q.
F.
2
D.
362.
Une ligne A B &
un point H ſur le même plan étant donnés,
on propoſe de mener par ce point H une ligne parallele à la ligne A B.
Par le point Hon menera une droite quelconque H G, qui
coupeon prendra la
meſure de l’angle K G H, en décrivant une portion de cercle
du rayon G H; enſuite du point H comme centre avec le mê-
me rayon, on décrira un arc de cercle indéfini, ſur lequel on
prendra l’arc G M égal à l’arc H K, & la ligne H M ſera la
parallele demandée; car puiſque les arcs de cercles ſont égaux,
les angles, dont ils ſont la meſure, ſont auſſi égaux, l’angle
A G H ſera donc égal à ſon alterne G H M: donc par la pro-
poſition précédente les lignes A B, M H ſont paralleles. C.
Q.
F.
T.
&
D.
Il faut remarquer que l’on pourra toujours de la même ma-
niere faire avec une ligne donnée, un angle égal à un autre angle
donné.
363.
Trois points A, D, B étant donnés ſur le même plan,
On menera par ces points les droites A B, D B, ſur le mi-
lieu de la droite A B, on élevera la perpendiculaire indéfinie
E C; ſur le milieu de B D, on élevera pareillement la droite
F C perpendiculaire à B D, qui coupera la premiere au point
C; je dis que ce point ſera le centre du cercle qui paſſe par les
points A, B, D.
Le point C, en tant qu’il appartient à la ligne E C perpendi-
culaire à A B, eſt également éloigné des extrêmités A & B, puiſ-
que cette ligne diviſe A B en deux également, par conſtruction; de même en tant qu’il appartient à la droite E F perpendiculaire
à B D, il eſt auſſi également éloigné des extrêmités B, D de la
droite B D, par la même raiſon: donc il eſt également éloi-
gné des trois points A, B, D: donc il eſt le centre du cercle
qui paſſe par les mêmes points. C.
Q.
F.
T.
&
D.
364.
Si les points A, B, D étoient diſpoſés de maniere que
les perpendiculaires F C, E C ſe trouvaſſent paralleles, le rayon
du cercle ſeroit inſini; ainſi l’on peut conclure delà qu’un cer-
cle ne peut pas avoir trois points ſur une ligne droite, à moins
que la ligne droite ſur laquelle ſe trouvent les trois points ne
ſoit infiniment petite par rapport au rayon, comme il arrive
ici, auquel cas cette ligne devient un des côtés du cercle, que
l’on peut regarder comme un polygone d’une infinité de côtés. Je dis, que dans notre ſuppoſition les trois points ſont ſur une
même ligne’droite; car il eſt viſible que les perpendiculaires
E C, F C ne peuvent être paralleles qu’autant que les droites
A B, B D formeront une même ligne droite.
365.
des lignes droites, appellées côtés; il y a pluſieurs ſortes de
figures, parmi leſquelles il y en a quelques-unes auxquelles on
a donné des noms particuliers, ſelon le nombre de leurs côtés,
& leurs difpoſitions reſpectives les uns à l’égard des autres.
La plus ſimple de toutes les figures eſt celle qui eſt renfermée
ſous trois côtés, & on l’appelle triangle:
on nomme quadri-
lateres toutes les figures compriſes ſous quatre côtés, & polygones
en général toutes les figures qui ont plus de quatre côtés.
366.
On conſidere le triangle par rapport à ſes côtés, ou par
rapport à ſes angles. Si le triangle a ſes trois côtés égaux, on
l’appelle équilatéral, s’il n’a que deux côtés égaux, il eſt appellé
iſoſcele, & ſcalene, s’il a les trois côtés inégaux;
ce qui fait
trois ſortes de triangles.
Le triangle conſidéré par rapport à ſes angles, eſt encore de
trois ſortes: on l’appelle rectangle s’il a un angle droit, obtus-
angle, ou amblygone s’il a un angle obtus, acutangle ou oxygone
s’il a ſes trois angles aigus ou moindres qu’un droit; d’où il
ſuit qu’il y a ſix ſortes de triangles en tout.
367.
La baſe d’un triangle eſt le côté de ce triangle, ſur
lequel on a abaiſſé une perpendiculaire de l’angle oppoſé. On
appelle cette perpendiculaire la hauteur du triangle: ainſi l’on
voit aiſément, ſuivant ces définitions, que la baſe du trian-
gle A C B eſt la ligne A B, & que ſa hauteur eſt E D.
Si les
ſur le côté A B; ſi l’un des angles ſur la même baſe étoit obtus,
la perpendiculaire ou hauteur du triangle tomberoit ſur le pro-
longement de la baſe. Comme on peut prendre à volonté dans
un triangle donné telle ligne que l’on voudra pour baſe de ce
triangle, il eſt toujours poſſible de faire tomber la perpendi-
culaire ſur ce côté, que l’on regarde comme baſe; au dedans
du triangle, les parties dans leſquelles la perpendiculaire C D
diviſe la baſe A B, ſont appellées ſegmens de cette même baſe. Dans un triangle rectangle, le côté oppoſé à l’angle droit eſt
ordinairement regardé comme la baſe de ce triangle, & on
lui a donnéle nom d’hypothenuſe.
368.
On appelle trapeze un quadrilatere qui n’a aucun de ſes
côtés paralleles, comme G.
369.
Trapezoïde eſt un quadrilatere qui a deux de ſes côtés
oppoſés paralleles, comme H.
370.
Parallelogramme eſt une figure quadrilatere, dont les
côtés oppoſés ſont égaux & paralleles, comme E F.
371.
Diagonale eſt une ligne droite, comme C D, tirée
dans un parallelogramme ou un rectangle d’un angle quel-
conque C à celui D qui lui eſt oppoſé.
372.
Si par un point quelconque A de la diagonale C D,
on mene une ligne B A G parallele à E D, & une autre H I
parallele à D F, l’on aura deux parallelogrammes A E, A F,
que l’on appellera complémens du parallelogramme E F.
373.
L’angle extérieur B D C d’un triangle A B D eſt égal aux
les trois angles du même triangle pris
enſemble, valent deux droits.
Pour prouver que l’angle extérieur B D C eſt égal aux deux
en B:
par le point D, ſoit menée
la droite D E parallele au côté A B du triangle A B D. Cela
poſé (art. 360.)
l’angle B D E eſt égal à ſon alterne A B D,
l’angle E D C eſt égal à l’angle B A D, puiſque les lignes A B,
D E ſont paralleles entr’elles: donc la ſomme des angles B D E
& E D C, ou l’angle extérieur B D C eſt égal à la ſomme des
angles interieurs oppoſés A B D, B D A. C.
Q.
F.
1
D.
2
Je dis que les trois angles du triangle A B D, pris enſem-
ble, valent deux droits: car la ligne B D tombant obliquement
ſur la droite A C, forme deux angles de ſuite B D A, B D C,
qui pris enſemble, valent deux droits. Mais nous venons de
voir que l’angle extérieur B D C eſt égal à la ſomme des inté-
rieurs B A D + A B D; on aura donc en leur ajoutant l’angle
B D A, B A D + A B D + B D A = B D C + B D A = deux
droits. C.
Q.
F.
2
D.
374.
Il ſuit delà que la ſomme des angles d’un polygone
quelconque vaut toujours autant de fois deux angles droits
moins quatre, que le polygone a de côtés. Soit le quadrilatere
me on voudra, ſoient menées les lignes G A, G B, G C, G D
aux angles A, B, C, D, qui partageront cette figure en quatre
triangles, il eſt évident que les angles autour du point G, &
les angles du quadrilatere forment tous les angles des triangles
dont il eſt compoſé. On aura donc huit angles droits, puiſ-
que chaque triangle vaut deux droits, mais la ſomme des an-
gles autour du point G vaut quatre droits: donc les angles du
polygone valent auſſi quatre droits ou 8 - 4, c’eſt-à-dire au-
tant de fois deux droits moins quatre que ce polygone a de
côtés.
375.
Donc la ſomme des angles extérieurs d’un polygone
quelconque ne vaut que quatre droits: car tous les angles ex-
térieurs ſont ſupplémens des angles intérieurs; ainſi la ſomme
des uns & des autres vaut deux fois autant deux angles droits
que le polygone a de côtés, & les mêmes angles intérieurs avec
les angles autour du point G font la même ſomme: donc les
angles extérieurs ſont égaux à la ſomme des angles autour du
ce ſeroit la même dé-
monſtration pour tout autre polygone.
376.
Il ſuit de cette propoſition, que connoiſſant deux an-
gles dans un triangle, on pourra connoître le troiſieme, en
ſouſtrayant la ſomme des deux angles connus de la valeur de
deux angles droits, & la différence ſera la valeur de l’angle
inconnu. Ainſi connoiſſant dans le triangle E D F l’angle E
l’angle D de 70;
pour avoir la valeur de l’an-
gle F, on ajoutera enſemble 50 & 70, qui font 120, qu’il
faut ſouſtraire de 180 degrés: la différence 60 ſera la valeur
de l’angle E que l’on cherchoit.
377.
Il ſuit encore delà, que ſi deux triangles ont deux an-
gles égaux chacun à chacun, le troiſieme du premier triangle
ſera égal au troiſieme du ſecond: car ſi l’angle A eſt égal à
l’angle D, l’angle C à l’angle F, il eſt certain qu’il manquera
autant de degrés à la ſomme des deux angles A & C pour va-
loir deux droits, qu’à la ſomme des deux angles D & F pour
valoir auſſi deux droits, & ces différences égales ne ſont autre
choſe chacune, que la valeur du troiſieme angle; d’où il ſuit
que l’angle B ſera égal à l’angle E.
378.
Deux triangles ſont dits être parfaitement égaux, Iorſ-
qu’ils ont les trois angles & les trois côtés égaux chacun à
chacun; &
ſimplement égaux, lorſqu’ils ont une égale ſuper-
ficie compriſe ſous des côtés in égaux.
379.
Deux triangles ſont parfaitement égaux, lorſque les trois
côtés du premier ſont égaux aux trois côtés du ſecond.
Pour démontrer que le triangle G, dont on ſuppoſe les côtés
eſt entiérement égal à ce dernier triangle, il n’y a qu’à faire voir
angles oppoſés aux côtés égaux. Si l’angle D n’eſt pas égal à
ſon correſpondant A, il ne peut être que plus petit ou plus
grand: or cela ne peut arriver ſans impliquer contradiction.
Que l’angle D, s’il eſt poſſible, ſoit plus petit que ſon correſ-
pondant A; ſoit fait l’angle L A C égal à l’angle D, &
ſur le
côté indéfini A L du nouvel angle, ſoit priſe la partie A L = A B
ou D E, il eſt clair que le côté C L du triangle L A C ſera dans
ce cas plus petit que le côté C B: car puiſque l’angle eſt plus
petit, les points C, L, pris à égale diſtance du ſommet A, que
les points C, B, doivent être plus près l’un de l’autre, que dans
une plus grande ouverture d’angle, telle que C A B: donc au
triangle C A L le côté C L ſera plus petit que le côté C B.
On ne peut donc pas ſuppoſer dans le triangle D E F l’an-
gle D plus petit que l’angle en A, ſans ſuppoſer en même-
tems le côté E F plus petit que le côté A B; ce qui eſt contre
l’hypotheſe: de même on ne pourroit pas ſuppoſer l’angle D
plus grand que l’angle A ſans une pareille contradiction. L’an-
gle D eſt donc égal à l’angle A. On fera voir de même que
l’angle F eſt égal à l’angle C, & l’angle E égal à l’angle B:
donc ces triangles ſont parfaitement égaux, puiſqu’ils ont,
outre les côtés égaux, les angles compris entre ces côtés auſſi
égaux chacun à chacun. C.
Q.
F.
D.
380.
On verra par la ſuite que les trois angles d’un triangle
peuvent être égaux chacun à chacun aux trois angles d’un au-
tre triangle, ſans qu’il y ait aucune égalité entre ces deux
triangles: ainſi de ce que l’égalité des côtés emporte avec
elle l’égalité des angles, il ne faut pas conclure que l’égalité
des angles emporte celle des côtés. De plus, il eſt bon d’avertir
que le triangle eſt le ſeul de toutes les figures qui ait cette pro-
priété. Par exemple, deux quadrilateres peuvent avoir les côtés
égaux chacun à chacun, ſans avoir leurs angles égaux ou leurs
ſuperficies; &
par conſéquent ſans être parfaitement égaux.
381.
Deux triangles G, H ſont égaux en tout, lorſqu’ils ont
chacun.
Pour démontrer que le triangle G eſt égal au triangle H,
ſi le côté B A eſt égal au côté D E, le côté B C égal au côté
E F, & l’angle B égal à l’angle E, imaginons que le côté D E
eſt appliqué ſur le côté A B: comme ces deux côtés ſont égaux,
par hypotheſe, en mettant le point E ſur le point B, le point
D tombera ſur le point A; &
parce que l’angle E eſt égal à
l’angle B, le côté E F tombera ſur le côté B C, & le point F
ſur le point C, puiſque B C = E F: doncle côté D F tombera
ſur le côté A C; ce qui montre que les deux triangles con-
viennent parfaitement: donc ils ſont parfaitement égaux.
C.
Q.
F.
D.
382.
Deux triangles A B C, D E F ſont parfaitement égaux,
lorſqu’ils ont un côté A C égal au côté D F, avec les angles en
A & en C égaux aux angles en D &
en F chacun à chacun.
Si le côté A C du triangle G eſt égal au côté D F du trian-
que l’angle A ſoit égal à l’angle D, l’angle C à l’an-
gle F, il eſt aiſé de voir que ces deux triangles ſont parfaite-
ment égaux: car ſi l’on imagine le côté A C, poſé ſur le côté
D F, comme ces côtés ſont égaux, par hypotheſe, en mettant
le point A ſur le point D, le point C tombera ſur le point F; d’ailleurs à cauſe de l’égalité des angles en A &
en C, à ceux
en D & en F, le côté A B tombera ſur le côté D E, &
le côté
C B ſur le côté F E: donc ces lignes ſe couperont au même
point E: ainſi les triangles G, H conviendront en tout, &
ſe-
ront parfaitement égaux. C.
Q.
F.
D.
383.
Deux parallelogrammes A B D C, E B D F ſont égaux,
ſont compris entre les mêmes
paralleles.
Il eſt aiſé de voir que les triangles A B E, C D F ſont égaux
car puiſque A B D C eſt un parallelogramme, le côté
A B du premier eſt égal au côté C D du ſecond; par la même
raiſon, puiſque E B D F eſt auſſi un parallelogramme, le côté
B E du premier triangle eſt égal au côté D F du ſecond: enfin
le troiſieme côté A E eſt égal au troiſieme côté C F; car A C =
B D, & B D = E F, puiſque ceſont des côtés oppoſés des paralle-
logrammes A D, B F: donc A C = E F, &
ajoutant à chacun
la ligne C E, on a A E = C F; d’où il ſuit que ces triangles
ſont parfaitement égaux (art. 378):
donc en leur ôtant la
partie commune C G E, on aura le trapeze A B G C égal au
trapeze E G D F; &
en leur ajoutant à chacun le triangle
B D G, on aura le parallelogramme A B D C égal au paralle-
logramme E B D F, compris entre les mêmes paralleles. C.
Q.
F.
D.
384.
Il ſuit de la propoſition précédente, que les parallelo-
grammes qui ont des baſes égales, & qui ſont renfermés entre
les mêmes paralleles, ſont égaux: car pour prouver que le pa-
rallelogramme A D eſt égal au parallelogramme G F; ſi les
E F ſont égales, il n’y a qu’à tirer les lignes C G
& D H, qui formeront le parallelogramme C H, &
conſi-
dérer que ce parallelogramme eſt égal au parallelogramme
A D, parce qu’ils ont la même baſe C D, & qu’il eſt auſſi égal
au parallelogramme G F, parce qu’ils ont la même baſe G H; d’ou il ſuit évidemment que les parallelogrammes A D, G F
ſont égaux, puiſque chacun d’eux eſt égal à un même troi-
ſieme.
385.
Deux triangles B C D, B F D ſont égaux, lorſqu’ayant
B D, C F.
Par le point D, ſoit menée la ligne D A parallele au côté
C B, & la ligne D E parallele au côté B F, on aura deux pa-
rallelogrammes A B, B E, qui ſeront égaux entr’eux, puiſ-
qu’ils ont même baſe, & qu’ils ſont compris entre paralleles;
d’ailleurs ces parallelogrammes ſont doubles des triangles
égaux chacun à chacun à ceux des triangles C B D, D B F: donc les triangles B C D, B F D ou les moitiés des parallelo-
grammes A B, B E ſont égaux entr’eux. C.
Q.
F.
D.
386.
Il ſuit de cette propoſition, que ſi un parallelogramme
un triangle A E C, renfermés entre les mêmes pa-
ralleles, ont la même baſe A C, le triangle eſt la moitié du pa-
rallelogramme, parce que le triangle B A C qui lui eſt égal,
eſt auſſi la moitié du même parallelogramme.
387.
Comme le triangle B A C eſt égal au triangle A E C,
il eſt conſtant qu’ayant la même baſe, ils doivent avoir la
même hauteur; &
comme la hauteur du premier eſt la per-
pendiculaire B A, la hauteur du ſecond ſera auſſi la même per-
pendiculaire B A, ou ſa parallele E F, abaiſſée de l’angle E ſur
la baſe A C prolongée; ce qui fait voir que la hauteur d’un
triangle incliné eſt la perpendiculaire abaiſſée de ſon ſommet
ſur le prolongement de ſa baſe. Ce ſera la même choſe pour
les parallelogrammes inclinés.
388.
Un triangle A B C étant la moitié d’un parallelo-
la hauteur H F eſt ſuppoſée la moitié de la perpendiculaire
B F, qui ſert de hauteur commune au triangle & au parallelo-
gramme. Or, comme pour trouver la ſuperficie du paralle-
logramme A D E C, il faut multiplier la baſe A C par ſa hau-
teur H F, moitié de la perpendiculaire B F; il s’enſuit qu’en
multipliant la baſe d’un triangle par la moitié de la perpendicu-
laire, qui en meſure la hauteur, ou, ce qui revient au même, la
hauteur entiere par la moitié de la baſe, le produit donnera la ſu-
perficie du triangle.
389.
Si l’on conſidere qu’un triangle A B C eſt compoſé
d’une infinité de lignes paralleles, qui en ſont les élémens,
& que toutes ces lignes étant également éloignées ſe ſurpaſ-
ſent de la même quantité, on verra qu’elles compoſent une
dont le premier eſt 0, & dont la ſomme eſt exprimée par la
perpendiculaire B D. Or comme on trouvera la valeur du
triangle, ou autrement la ſomme de toutes ces paralleles, en
multipliant la plus grande, qui eſt la baſe, par la moitié de la
grandeur qui exprime le nombre des termes, il s’enſuit que l’on
peut tirer de ce raiſonnement le principe ſuivant: Qui eſt que
la ſomme des termes des quantités infinies en progreſſion arithmé-
tique, à commencer par 0, eſt égale au produit du plus grand
terme, par la moitié de la grandeur qui exprime la quantité de
ces termes. C’eſt ce que nous avons déja démontré directe-
ment (art. 238).
Il faut s’attacher à bien comprendre ce corollaire, parce que
nous en ſervirons utilement dans la ſuite.
390.
Les complémens A E, A F d’un parallelogramme E F ſont
Pour prouver que les complémens A E &
A F du parallelo-
gramme E F ſont égaux, conſidérez que le parallelogramme
E F eſt diviſé en deux triangles égaux D E C, D F C, de
même que les parallelogrammes B I, G H, formés ſur les par-
ties A D, A C de la diagonale C D: donc ſi l’on retranche du
triangle D E C les triangles A D H, A B C, & de ſon égal D C F
les triangles égaux correſpondans A D G, A I C, il reſtera
d’une part le complément A E égal au complément A F. C.
Q.
F.
D.
391.
Les parallelogrammes, qui ont même hauteur, ſont en-
tr’eux comme leurs baſes.
Je dis que ſi les parallelogrammes E F ont même hauteur,
ils ſeront entr’eux dans la raiſon de leurs baſes. Pour le
c la
hauteur commune, la ſurface du premier ſera repréſentée par
a c, & celle du ſecond par b c:
or il eſt évident que l’on a a c:
b c :
: a :
b, puiſque a b c = a b c.
C.
Q.
F.
D.
392.
Il ſuit de cette propoſition, que ſi deux triangles A B C,
point, ils ſeront entr’eux dans la raiſon de leurs baſes A C
C D: car ces triangles étant moitié des parallelogrammes cor-
reſpondans de même baſe & de même hauteur, il en ſera des
moitiés comme des tous.
393.
Si l’on coupe les deux côtés A B, A C d’un triangle B A C
que les côtés A B, A C ſeront coupés proportionnellement, ou, ce
ce qui eſt la même choſe, que l’on aura cette proportion A D : D B :
:
A E : E C.
Pour démontrer cette propoſition, ſoient tirées les lignes
B E, D C. Cela poſé, il eſt évident que les triangles D B E,
D C E ſont égaux, puiſqu’ils ont même baſe D E, & qu’ils
ſont compris entre paralleles. Mais les triangles A D E &
D E B
ayant même ſommet, ſont entr’eux comme leurs baſes (art. 392);
ainſi que le même triangle A D E, &
le triangle C D E qui ont
auſſi même ſommet en D.
On aura donc A D :
D B :
: A D E :
D E B;
&
parce que
D E B = D C E . .
.
A D E :
D E B :
: A D E :
D C E :
: A E :
E C;
&
comme la ſuite des rapports égaux n’eſt pas interrompue, on
en concluera que A D : D B :
: A E :
E C, c’eſt-à-dire que les côtés
A B, A C ſont coupés proportionnellement. C.
Q.
F.
D.
394.
Puiſque A D :
D B :
: A E :
E C, on aura componendo
A D : A D + D B :
: A E :
A E + E C, ou en réduiſant A D:
A B :
: A E :
A C, c’eſt-à-dire que les côtés A B, A C ſont pro-
portionnels à leurs parties A D, A E.
395.
Il ſuit delà que deux triangles ſont égaux, lorſqu’ils
ont un angle égal compris entre côtés réciproques, c’eſt-à-
dire que les côtés de l’un ſont les extrêmes d’une proportion,
dont les côtés de l’autre ſont les moyens : car ſi aux triangles
égaux D B E, D C E, on ajoute le même triangle A D E, on
aura deux nouveaux triangles égaux en ſuperficie A D C,
A E B, qui ont un angle en A commun, & par conſéquent
égal; d’ailleurs, par le corollaire précédent, on a A D :
A B :
:
A E : A C, où l’on voit que les côtés A D, A C du triangle A D C
ſont les extrêmes, tandis que les côtés A B, A E du triangle B A E
ſont les moyens. Comme les parallelogrammes ſont doubles des
triangles, il ſuit encore des deux articles précédens, que deux
parallelogrammes ſont égaux, lorſqu’ils ont un angle égal
compris entre côtés réciproques.
396.
Si par le point E on mene la ligne E F parallele au côté
A B, les côtés A C, C B ſeront auſſi coupés en parties propor-
tionnelles, & l’on aura A C :
C E :
: B C :
C F, &
A E :
A C :
:
B F : B C;
mais à cauſe des paralleles B D, E F;
B F eſt égale
à D E : on aura donc A E :
A C :
: D E :
B C, c’eſt-à-dire que
les parties A C, A E ſont proportionnelles au côté B C, & à la
ſécante D E.
397.
Deux triangles, ou en général deux figures quelcon-
ques, ſont dites être ſemblables, lorſque tous les angles de l’une
ſont égaux aux angles de l’autre, & que les côtés oppoſés aux
angles égaux ſont proportionnels. Par exemple, les deux trian-
M N ſeront ſemblables, ſi l’on a l’angle A égal à l’angle D,
&
les côtés
A B, B C, A C proportionnels aux côtés D E, E F, D F.
398.
Il faut bien remarquer que le triangle eſt le ſeul de
toutes les figures qui puiſſe être ſemblable à un autre, ayant
ſes trois angles égaux chacun à chacun, ou ſes côtés propor-
tionnels; enſorte que l’une de ces conditions emporte l’autre,
au lieu que dans une figure, tous les côtés peuvent être pro-
ces côtés ſoient égaux, comme on le verra par la ſuite.
399.
Deux triangles A B C, D E F ſont ſemblables, lorſque
les trois côtés A B, B C, A C du premier ſont proportionnels aux
trois côtés D E, E F, D F du ſecond.
Pour démontrer cette propoſition, il n’y a qu’à faire voir
que les angles A, B, C du premier triangles ſont égaux aux an-
gles D, E, F du ſecond, oppoſés aux côtés proportionnels à
ceux du triangle A B C : pour cela, ſur le côté A B propor-
tionnel au côté D E du triangle D E F, ſoit priſe la ligne B G
égale à D E, & ſoit menée par ce point la parallele G K au côté
A C, on aura (art. 393.)
A B:
B G :
: B C :
B K = {BG x BC/AB}=
{D E x B C/A B}, puiſque par conſtruction D E = B G: mais par hy-
potheſe, puiſque les trois côtés du premier triangle ſont pro-
portionnels aux trois côtés du ſecond, A B : D E :
: B C :
E F
= {D E x B C/A B}; d’où il ſuit que le triangle B G K a le côté B K
égal au côté E F du triangle D E F: on démontrera de même,
que ce même triangle B G K a auſſi le côté G K égal au côté
D F du triangle D E F: donc ces triangles ſont parfaitement
égaux, puiſqu’ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun
(art. 378) :
donc les angles en D &
en F ſont égaux aux an-
gles en G & en K, ou aux angles en A &
en C, à cauſe des
paralleles : donc le triangle D E F eſt ſemblable au triangle
A B C. C.
Q.
F.
D.
400.
Réciproquement ſi deux triangles ſont ſemblables, ils
auront les côtés proportionnels; car s’ils étoient ſemblables
ſans avoir les côtés proportionnels, la propoſition que nous
venons de démontrer ſeroit fauſſe; ce qui ne peut arriver.
401.
Deux triangles A B C, D E F ſont ſemblables, lorſqu’ils
ont un angle égal compris entre côtés proportionnels.
Suppoſons que l’angle E du triangle D E F eſt égal à l’angle
B du triangle A B C, & que l’on a A B :
B C :
: D E :
E F, il
faut démontrer que les angles en A & en C ſeront égaux aux
angles en D & en F, &
que l’on aura A B :
A C :
: D E :
D F.
Soit pris ſur le côté A B la ligne B G égale à D E, &
la ligne
B K égale à E F, à cauſe de l’angle en B, ſuppoſé égal à l’angle
en E, le triangle B G K ſera parfaitement égal au triangle
E D F (art. 381):
donc G K eſt égal à D F, &
l’angle D
eſt égal à l’angle G, de même que l’angle K à l’angle F. De
plus les côtés B A, B C ſont coupés proportionnellement par
la ligne G K : donc la ligne G K eſt parallele à la baſe A C,
& le triangle B G K eſt ſemblable au triangle B A C :
donc on
aura A B : B G :
: A C :
G K, ou A B :
D E :
: A C :
D F, ou
alternando A B : A C :
: D E :
D F.
D’où il ſuit que les angles
du triangle D E F ſont égaux aux angles du triangle A B C;
d’ailleurs les côtés oppoſés à ces angles ſont proportionnels à
ceux qui ſont oppoſés aux mêmes angles dans le triangle A B C:
doncle triangle D E F eſt ſemblable au triangle A B C. C.
Q.
F.
D.
402.
Deux triangles A B C, D E F ſont ſemblables, lorſque
deux angles de l’un ſont égaux aux deux angles de l’autre.
Suppoſons que l’angle A eſt égal à l’angle D, &
que l’angle
Sur le côté A C prolongé, on prendra
une partie C D = D F, & par le point C, on menera la droite
C E parallele au côté A B, & par le point D, la droite D E
parallele au côté C B. Le triangle C E D ſera entiérement égal
au triangle D E F (art. 352), puiſque ces triangles ont deux
angles égaux chacun à chacun ſur un même côté: reſte à faire
Pour cela ſoient prolongées les lignes A B, D E, juſqu’à ce
qu’elles ſe rencontrent en F; les côtés A D, A F ſeront coupés
proportionnellement par la ligne B C, & l’on aura A B :
A C :
:
B F : C D, ou en mettant à la place de B F, C E = B F, à cauſe
du parallelogramme C F, A B : A C :
: C E :
C D :
donc le trian-
gle C D E ou ſon égal D E F a les côtés proportionnels à ceux
du triangle ABC, & lui eſt par conſéquent ſemblable.
C. Q.
F.
D.
403.
Il ſuit de tout ce que nous venons de voir, que lorſ-
qu’on aura des triangles ſemblables, on pourra toujours faire
une proportion par la comparaiſon des côtés du premier aux
côtés du ſecond. Par exemple, ſi les triangles, M, N ſont
que l’on repréſente les côtés AB, AC du pre-
mier par a & par b, &
les côtés correſpondans du triangle N,
DE, DF par c & d, on aura a :
b :
: c :
d;
donc ad = bc :
ce
qui montre qu’avec deux côtés, pris dans deux triangles ſem-
blables, & deux autres pris dans les mêmes triangles, on peut
toujours faire des rectangles égaux, pourvu que les côtés ſoient
oppoſés à des angles égaux.
404.
Il ſuit encore que ſi l’on a deux triangles ſemblables,
dont on connoît deux côtés dans l’un, & un côté dans l’autre,
qu’on pourra trouver ce ſecond côté : car ſuppoſant, par exem-
ple, que dans les triangles M, N les côtés a, b ſoient de 12
pieds, & 8 pieds, &
le côté c de 9 pieds, &
que l’on veuille
connoître le côté d, il n’y aura qu’à faire une Regle de Trois,
& dire 12 :
8 :
: 9 :
x = {9 x 8/12} = 6, qui ſera la valeur du côté
d, & ainſi des autres.
405.
On appelle dans des triangles ſemblables, &
dans toutes
les autres figures, côtés homologues ou correſpondans, ceux qui
ſont oppoſés à des angles égaux dans l’un & dans l’autre trian-
gles; &
l’on ne peut former de proportion qu’avec des côtés
homologues, ſoit dans les triangles, ſoit dans les autres figures.
Les propoſitions précédentes ſont les plus importantes de la
Géométrie, dont elles font la baſe & le fondement;
c’eſt pour-
quoi il faut s’appliquer à les bien comprendre, ſi l’on veut en-
tendre les ſuivantes, & faire quelque progrès dans toutes les
parties des Mathématiques qui ne peuvent ſe paſſer de ces pro-
poſitions.
406.
Si de l’angle droit B d’un triangle rectangle A B C, on
ſera le même triangle en deux autres triangles A B D, B D C, qui
lui ſeront ſemblables, & par conſéquent ſemblables entr’eux.
Pour démontrer que la perpendiculaire B D diviſe le triangle
A B C en deux autres ſemblables A B D, B D C; conſidérez que
chacun de ces triangles a un angle communavec le grand trian-
gle & un angle droit.
L’angle A pour le triangle A B D &
le
triangle A B C, l’angle C au triangle B D C & au triangle
A B C : donc ils ſont chacun ſemblables au grand triang le, &
ſemblables entr’eux. C.
Q.
F.
D.
407.
Dans un triangle rectangle A B C, le quarré de l’hypo-
Soit abaiſſée de l’angle droit la perpendiculaire B D ſur la
baſe A C, ſoit nommé A C, a, B A, b, B B, c, A D, x; D C ſera
a - x. Cela poſé, nous ferons voir aiſément que A C
= A B
Comme la perpendiculaire B D diviſe le triangle rectangle
en deux autres qui lui ſont ſemblables, A D B, B D C, les
côtés homologues de ces triangles ſeront proportionnels à
ceux du grand triangle A B C, & donneront A C (a) :
A B (b) :
:
A B (b) : A D (x), &
A C (a) :
C B (c) :
: C B (c) :
D C (a-x);
c c = a a - a x, en
prenant les produits des extrêmes & des moyens.
En ajoutant
enſemble ces deux équations, on aura a x + a a - a x = b b
+ c c, ou en réduiſant a a = b b + c c, ou enfin A C
+ B CC.
Q.
F.
D.
Si aſſuré que l’on ſoit d’une propoſition, l’eſprit, ou
plutôt la raiſon qui veut toujours être éclairée, a encore
quelque choſe à déſirer, lorſqu’elle ne joint pas la derniere
évidence à la certitude entiere, & cette évidence eſt d’autant
plus à déſirer, que les propoſitions ſont plus importantes.
Comme celle-ci eſt une des plus belles propoſitions qu’il y
ait, tous les grands Géometres ſe ſont appliqués à en donner
des démonſtrations palpables, parmi leſquelles je regarde la
ſuivante comme une des plus belles & des plus claires que l’on
puiſſe donner, attendu qu’elle ne ſuppoſe pas d’autre principe
que celui-ci, que deux triangles ſont égaux en tout, lorſqu’ils
ont les trois côtés égaux chacun à chacun.
Soit prolongé le côté A B en K, enſorte que l’on ait B K
= B C; ſoit de même prolongé le côté B C, enſorte que B L
= A B. Soient achevés les quarrés ſur les côtés B C, A B, dont
les côtés I K, H L, prolongés autant qu’il le faut, ſe rencon-
trent en G: enfin ſoit menée la droite G B, &
la perpendicu-
laire à la baſe B D, & conſtruit le quarré A C E F ſur l’hypo-
ténuſe A C.
Il eſt aiſé de voir que la droite B G eſt parallele à la droite
C E: car le triangle G B K eſt égal au triangle A B C, puiſque
G K = B L = A B, que B K = B C, & quel’angle en K eſt droit:
donc on aura G B = A C = C E:
donc l’angle G B K eſt égal
à l’angle B C A, ou à l’angle A B D du triangle A B D ſem-
blable au grand triangle, c’eſt-à-dire que l’angle G B K eſt
égal à ſon oppoſé ou ſommet: donc les lignes G B, B D ne
font qu’une ſeule ligne droite, & cette ligne G B D eſt pa-
rallele à C E, puiſque chacune eſt perpendiculaire ſur le côté
A C. G B C E ſera donc un parallélogramme, ainſi que A B G F,
puiſque les lignes B C, G I ſont paralleles auſſi-bien que les li-
gnes B K, G F, & les droites A F, G D, C E.
De plus ces pa-
rallélogrammes ont même baſe que les quarrés B I, B H, &
ſont compris entre les mêmes paralleles: donc ils leur ſont
383):
reſte à faire voir que la ſomme de ces pa-
rallélogrammes ou la figure A B C E G F eſt égale au quarré
C F fait ſur A E; ce qu’il eſt aiſé de reconnoître:
car le côté
F E = A C, le côté G E = B C, & le côté G F = A B:
donc en
ôtant le triangle FGE de la figure A B C E G F, & mettant à ſa
place le triangle A B C, ſon égal, on aura la ſomme des paral-
lélogrammes C G, B F, ou des quarrés B I, B H égale au quarré
de l’hypoténuſe A C. C.
Q.
F.
D.
Soit prolongée la perpendiculaire BD, juſqu’à ce qu’elle ren-
contre en O le côté N M du quarré fait ſur l’hypoténuſe,
qu’elle diviſera en deux rectangles D M, D N; du point B,
ſommet de l’angle droit, ſoient menées aux points M, N les
droites B M, B N, & par les points A, C aux points I, H les
lignes A I, C H, on aura quatre triangles A C I, BCM; C A H,
B A N, qui ſeront parfaitement égaux deux à deux: car l’an-
gle A C I du premier eſt égal à l’angle B C M du ſecond, puiſ-
que chacun eſt la ſomme d’un angle droit & de l’angle com-
mun B C D. De plus, le côté C I du premier eſt égal au côté
B C du ſecond, puiſque ce ſont les côtés d’un même quarré,
& le côté A C du triangle A C I eſt, par la même raiſon, égal
au côté C M: donc ces triangles ſont parfaitement égaux, puiſ-
qu’ils ont un angle égal, compris entre côtés égaux chacun à
chacun (art. 381):
donc les rectangles A D N O, D C M O,
dont ces triangles ſont les moitiés, ſeront auſſi égaux. Or il
eſt viſible que le triangle A C I eſt moitié du quarré fait ſur
B C, puiſqu’ils ont même baſe C I, & qu’ils ſont compris en-
tre paralleles A K, C I. Il eſt encore évident que le triangle
B C M eſt moitié du rectangle D M, puiſqu’ils ont même baſe
B M, & ſont compris entre les mêmes paralleles B M, B D O:
donc le quarré fait ſur B C eſt égal au rectangle D M.
On dé-
montrera préciſément de la même maniere que le quarré fait
ſur A B eſt égal au rectangle D N; mais la ſomme des rectan-
gles D M, D N eſt égal au quarré conſtruit ſur l’hypoténuſe:
donc la ſomme des quarrés faits ſur les deux côtés A B, B C eſt
égale au quarré de l’hypoténuſe A C. C.
Q.
F.
D.
408.
Cette propoſition eſt la fameuſe 47
Muſes un ſacrifice de cent bœufs, en reconnoiſſance de la fa-
veur qu’il croyoit avoir reçu d’elles. Pour être prévenu de
l’uſage que nous en ferons dans la ſuite, il faut remarquer que
connoiſſant les quarrés de deux côtés d’un triangle rectangle,
on pourra toujours connoître celui du troiſieme: car ſi l’on
connoît A CA B
A C
du côté B C: on voit de plus, que connoiſſant les deux côtés
qui comprennent l’angle droit d’un triangle rectangle, on
pourra connoître l’hypoténuſe, en quarrant ces deux côtés,
& extrayant la racine des deux membres de l’équation aa=bb
+ cc, on aura a = √bb + cc\x{0020}; &
ſi connoiſſant l’hypoté-
nuſe avec un autre côté, on vouloit trouver le troiſieme, on
n’auroit qu’à ſouſtraire du quarré de l’hypoténuſe le quarré
du ſecond côté que l’on connoît; &
la racine quarrée de la
différence, donnera la valeur du côté qu’on cherche. Ainſi
connoiſſant les deux côtés B C & A C, on voit que A B =
√aa - cc\x{0020}.
409.
Il ſuit de cette propoſition, que la perpendiculaire tirée
de l’angle droit d’un triangle rectangle ſur l’hypoténuſe, eſt
moyenne proportionnelle entre les parties de l’hypothenuſe: car comme cette perpendiculaire diviſe le triangle A B C en
deux autres triangles ſemblables A D B, B D C, en les compa-
rant enſemble, on aura A D : D B :
: D B :
D C.
Ainſi connoiſ-
ſant la baſe d’un triangle rectangle A B C, & les deux ſegmens
A D, D C de cette baſe, on pourra connoître les autres côtés
de ce triangle; il n’y aura qu’à chercher une moyenne propor-
tionnelle entre les ſegmens donnés, ajouter le quarré de cette
ligne au quarré de chaque ſegment, & extraire les racines des
deux ſommes qui ſeront les deux côtés demandés.
410.
Dans un triangle obtus-angle A B C, le quarré du côté
côtés, plus à deux rectangles compris ſous le côté B C prolongé juſ-
la
partie B D ou le prolongement du même côté B D; c’eſt-à-dire que
l’on aura A C
Soit fait A C = a, A B = c, B C = b, B D = x, A D = d;
il faut démontrer que aa = cc+bb + 2bx, ou que A C
+ B CLe triangle rectangle A D C donne
A Ccar
D C = D B + B C = b + x; &
le triangle rectangle A D B
donne A Bſi l’on retran-
che les deux membres de cette équation des deux membres de
la premiere, on aura aa - cc = dd + bb + 2bx + xx - dd
- xx, & réduiſant le dernier membre aa - cc = bb + 2bx,
& faiſant paſſer cc de l’autre côté du ſigne d’égalité, aa = bb
+ cc + 2bx, ou A C
C. Q.
F.
D.
411.
Si l’on avoit un triangle A B C, dont on connût les
trois côtés, on pourroit par cette propoſition trouver la per-
pendiculaire A D, qui détermine la hauteur du triangle: car
comme on a aa = cc + bb + 2bx, ſi l’on fait paſſer cc + bb
du ſecond membre dans le premier, il viendra aa - cc - bb
= 2bx, qui étant diviſé par 2b, donne la valeur de x, ou
{aa - cc - bb/2b} = x, qui fait voir qu’on trouvera la valeur de la
ligne D B, en ſouſtrayant du quarré du côté A C oppoſé à l’an-
gle obtus; les quarrés des côtés A B &
B C, &
en diviſant le
reſte par le double du côté B C. Mais dans le triangle rectan-
gle A D B, on connoît le côté A B par l’hypotheſe, on connoît
le côté B D par le préſent corollaire: donc on pourra con-
noître l’autre côté A D, ou la perpendiculaire qui meſure la
hauteur du triangle, & l’on aura A D = √A B
d = √cc - xx\x{0020}. Si le triangle donné étoit rectangle, la per-
pendiculaire A D ſe confondroit avec le côté A B, & l’on auroit
{aa - cc - bb/2b} = o
412.
Dans tout triangle A B C, le quarré d’un côté A B oppoſé
côtés, moins deux rectangles égaux, compris ſous le côté A C, op-
poſé au plus grand angle, ſur lequel on a abaiſſé une perpendicu-
laire B D; &
la partie C D du même côté A C, compriſe entre l’an-
gle C, auquel ce côté A B eſt oppoſé, & la perpendiculaire B D;
c’eſt-à-dire que l’on aura A B
Soit fait A B = a, B C = b, A C = c, B D = d, D C = x,
A D ſera c - x. Cela poſé, le triangle rectangle B A D donne
A B
+ xx; &
par la même raiſon, le triangle rectangle B D C
donne B C
bb = dd + xx. Si l’on retranche les termes de cette derniere
égalité des termes de la précédente, on aura aa - bb = dd
+ cc - 2cx + xx - dd - xx = cc - 2cx; en effaçant ce
qui ſe détruit, & faiſant paſſer dans l’autre membre le terme
- bb, on aura aa = bb + cc - 2cx, ou A B
- C.
Q.
F.
D.
On démontreroit de la même maniere que l’on auroit
B C
413.
Puiſque l’on a aa = bb + cc - 2cx, on aura, en
faiſant paſſer - 2cx dans le premier membre, & aa dans le
ſecond, 2cx = bb + cc - aa, d’où l’on tire x = {bb + cc - aa/2c}. Ce qui fait voir que pour avoir la valeur du ſegment D C, il
faut de la ſomme des quarrés des côtés A C, B C, ôter le quarré
du côté A B oppoſé à l’angle C, & diviſer le reſte par 2c, ou
deux fois le côté ſur lequel on a abaiſſé la perpendiculaire B D.
D’où il ſuit que par la connoiſſance des trois côtés d’un trian-
gle quelconque, on peut toujours trouver la ſurface; car la
pendiculaire, & nous voyons par le préſent corollaire, que
l’on peut toujours avoir la perpendiculaire B D. Pour cela,
il n’y a qu’à ôter le quarré du ſegment D C du quarré de B C,
& prendre la racine quarrée de la différence, que l’on multi-
pliera par le côté A C, pour avoir la ſurface du triangle A B C.
414.
L’
point A.
415.
Les cercles excentriques, ſont ceux qui ayant été décrits
ralleles, comme B & C.
416.
L’on nomme couronne, l’eſpace renfermé entre les
pace B B, terminé par les circonférences E & F.
417.
Le ſegment de cercle eſt la partie de la ſurface d’un cer-
par une partie de ſa
circonférence, comme A B C. Si la ligne droite A C ne
inégaux.
418.
Le ſecteur de cercle eſt une partie de ſa ſurface, termi-
par une partie de ſa circon-
férence, comme C D E.
419.
L’arc de cercle eſt une partie de la circonférence, plus
grande ou plus petite que la demi-circonférence.
420.
On nomme cordes toutes les lignes droites, comme
421.
Quand une ligne touche la circonférence d’un cercle
ainſi la ligne
A B, qui ne touche la circonférence du cercle D qu’au point
d, eſt dite tangente à ce cercle au point d.
422.
Si une ligne rencontre la circonférence d’un cercle,
de maniere qu’elle paſſe au dedans, cette ligne eſt appellée ſé-
cante, comme eſt, par exemple, la ligne B E.
423.
Si du centre d’un cercle on abaiſſe une perpendiculaire
auſſi-bien que l’arc A E C ſoutenu par cette corde.
Soient menés aux extrêmités A, C de la corde A C les rayons
A B, B C; il eſt aiſé de voir que les triangles rectangles A B D,
C B D ſont égaux en tout; car ils ont, outre l’angle droit, deux
côtés A B, B C égaux, puiſque ce ſont les rayons d’un même
cercle; &
de plus, le côté B D eſt commun à l’un &
à l’autre :
donc la ligne A D eſt égale à la ligne D C.
On peut encore
démontrer cette propoſition par la propriété des triangles rec-
car puiſque par hypotheſe B D eſt perpendiculaire ſur
A C, on aura A DD C
= A Bdonc A D
2
Puiſque les triangles A B D, C B D ſont égaux en tout,
l’angle A B D ſera égal à l’angle C B D; &
prolongeant le côté
B D juſqu à la circonférence du cercle en E, les arcs A E, E C
qui meſurent les angles A B E, C B E ſont égaux; &
par con-
ſéquent l’arc A C eſt auſſi diviſé en deux parties égales au
point E.
424.
Si une droite B D paſſe par le centre, &
diviſe la corde ou
ſon arc A C en deux parties égales; elle ſera perpendiculaire à cette
corde.
Soient tirés les rayons A B, B C aux extrêmités de la corde
A C. Cela poſé, puiſque la droite B D diviſe la corde A C en
deux parties égales, le point D de cette droite ſera également
éloigné des extrêmités A, C de la droite A C; &
parce que,
par hypotheſe, la même droite B D paſſe par le centre B, ſon
point B ſera encore également éloigné des mêmes extrêmités
A, C : donc elle ſera perpendiculaire à cette corde.
Si l’on ſuppoſe que l’arc A C eſt coupé en deux également
par la droite B D, prolongée en E, il eſt viſible que les an-
gles A B E, C B E, meſurés par ces arcs, ſeront égaux; &
parce
que le point B eſt le centre du cercle, les rayons B C, A B
ſeront auſſi égaux: donc les triangles A B D, C B D auront un
angle égal compris entre côtés égaux; ainſi ils ſeront parfai-
tement égaux (art. 381).
Donc l’angle B D C eſt égal à l’an-
gle B D A: donc la ligne B D ne penche pas plus d’un côté
que de l’autre ſur la ligne A C, & par conſéquent lui eſt per-
pendiculaire. C.
Q.
F.
D.
425.
Si une ligne droite E D B perpendiculaire à une corde
A C, diviſe cette corde ou ſon arc en deux parties égales, je dis
que cette ligne paſſe néceſſairement par le centre.
Puiſque la ligne E B eſt perpendiculaire ſur le milieu de la
corde A C, elle paſſe néceſſairement par tous les points égale-
ment éloignés de A & de C;
mais le centre B eſt également
éloigné des points A & C, qui ſont à la circonférence, par la
définition du cercle & de ſon centre :
donc la ligne E D B
paſſe néceſſairement par le centre B. C.
Q.
F.
D.
426.
Il ſuit des trois propoſitions précédentes, que de ces
trois conditions, paſſer par le centre, être perpendiculaire à la
corde, & la couper en deux parties égales, deux, comme l’on
voudra, étant poſées, la troiſieme s’enſuit néceſſairement.
427.
Si du centre D d’un cercle on mene une ligne DC au point
perpendiculaire à la tangente.
Puiſque la ligne A B eſt ſuppoſée tangente en C, tout autre
point de cette ligne, comme F, ſera au dehors du cercle, &
partant la ligne DF, menée du centre D à ce point, ſera plus
grande que le rayon D C: donc le rayon D C eſt la plus courte
de toutes les lignes qu’on puiſſe mener du point D à la tan-
gente A B: donc ce rayon D C eſt perpendiculaire à la même
tangente. C.
Q.
F.
D.
428.
Réciproquement ſi une ligne C B eſt perpendiculaire
à l’extrêmité d’un rayon D C, elle ſera tangente en C; car
toute autre ligne, comme D F, étant plus longue que le rayon
D C, aura ſon extrêmité F ſur la ligne A B hors du cercle; &
par conſéquent la ligne A B perpendiculaire à l’extrêmité du
rayon, ſera tangente au cercle en ce point. C.
Q.
F.
D.
429.
L’angle A B C, qui a ſon ſommet à la circonférence d’un
Par le ſommet B de l’angle A B C, &
le centre D, ſoit me-
née la ligne B D E, & les rayons D A, D C;
il eſt évident
que l’angle total A B C eſt égal à la ſomme des angles A B E,
C B E, & que l’angle au centre A D C eſt égal à la ſomme des
angles A D E, C D E. Cela poſé, l’angle C D E extérieur au
triangle iſoſcele C D B eſt égal aux deux angles intérieurs en B
& en C, ou double de l’angle en B;
&
de même l’angle A D E
étant extérieur au triangle iſoſcele A D B, eſt égal à la ſomme
des intérieurs oppoſés en B & en A, ou double de l’angle
A B D: donc l’angle total A D C eſt double de l’angle total
A B C: donc l’angle à la circonférence n’eſt que la moitié de
l’angle au centre. C.
Q.
F.
D.
430.
On déduit de cette propoſition pluſieurs conſéquences,
qui ſont d’un très-grand uſage. 1
Qu’un angle, tel que A B C,
circonférence, puiſqu’il a pour meſure la moitié de l’arc A O C,
qui eſt de 90 degrés, ou un quart de cercle.
431.
2
pour meſure un arc plus grand qu’un quart de cercle, étant
appuyé ſur l’arc D O F, plus grand que la demi-circonférence.
432.
3
Qu’un angle, comme G H I, qui eſt renfermé dans
a pour meſure la moitié de l’arc G O I, qui eſt plus petite qu’un
quart de cercle.
433.
4
Que les angles, comme A B C &
A D C, qui ſont
chacun pour meſure la moitié de l’arc A O C.
434.
Que deux angles qui ſont appuyés ſur une même corde
de l’autre, puiſqu’ils ont enſemble pour meſure la moitié de
la circonférence, tels ſont les angles D E F, D O F.
435.
Si l’on a un angle B A D, formé par une tangente &
par
A F D, compris entre la corde & la tangente.
Tirez du centre E le rayon E A au point d’attouchement A,
qui ſera perpendiculaire ſur la tangente A B (art. 427), &
tirez du centre E la droite E G F perpendiculaire ſur A D,
qui la diviſera en deux également, auſſi-bien que l’arc A F D
(art. 423).
Cela poſé, à cauſe du triangle rectangle A G E,
l’angle G A E, joint à l’angle A E G vaut un droit, & le même
angle G A E, joint à G A B vaut auſſi un droit: donc l’angle
G A B eſt égal à l’angle A E G; mais l’angle A E G étant au
centre du cercle, a pour meſure l’arc A F compris entre ſes
côtés, & moitié de l’arc A F D ſoutenu par la corde A D:
donc
l’angle B A D formé par une tangente & par une corde, a pour
meſure la moitié de l’arc compris entre la corde & cette tan-
gente. C.
Q.
F.
D.
436.
Un angle A E C qui a ſon ſommet placé au dedans du
des points
de la circonférence, a pour meſure la moitié de l’arc A C, ſur
lequel il eſt appuyé; plus la moitié de l’arc B D compris entre le
prolongement de ſes côtés A E, EC.
Soit tirée la droite B C du point B au point C.
L’angle A E C
étant extérieur au triangle B E C, eſt égal à la ſomme des an-
gles intérieurs B C E, C B E: mais ces mêmes angles ayant leur
ſommet à la circonférence, ont pour meſure la moitié de l’arc
compris entre leurs côtés; ſçavoir, l’angle C B E ou C B A, la
moitié de l’arc A C, & l’angle B C E ou B C D ſon égal, la
moitié de l’arc B D: donc l’angle A E C, qui eſt égal à leur
c’eſt-à-dire la moitié de l’arc A C compris entre ſes côtés, plus
la moitié de l’arc B D, compris entre le prolongement des
mêmes côtés. C.
Q.
F.
D.
437.
L’angle B A C, dont le ſommet eſt au dehors de la cir-
dont les côtés ſe terminent à la partie
concave de la même circonférence en B & en C, a pour meſure la
moitié de l’arc concave B C, moins la moitié de l’arc conyexe
D E compris entre ſes côtés.
Soient menées les lignes B E, C D, qui donneront les trian-
gles B A E, D A C. L’angle B D C étant extérieur au triangle
D A C eſt égal à l’angle D A C, plus à l’angle A C D: donc
l’angle D A C, ou ſon égal B A C, eſt égal à l’angle B D C,
moins l’angle D C E: mais chacun de ces angles étant à la
circonférence, a pour meſure la moitié de l’arc compris entre
ſes côtés; ſçavoir l’angle B D C, la moitié de l’arc B C, &
l’angle A C D, la moitié de l’arc D E: donc l’angle B A C a
pour meſure la moitié de la différence des mêmes arcs, c’eſt-
à-dire la moitié de l’arc concave B C ſur lequel il eſt appuyé,
moins la moitié de l’arc convexe D E. C.
Q.
F.
D.
438.
Il ſuit de tout ce que nous venons de dire, que, ſi l’on
a un angle à la circonférence, tel que A D C, formé par une
une droite A D, dont le prolongement coupe
le cercle, cet angle aura pour meſure la moitié de l’arc
compris entre la corde D C, plus la moitié de l’arc ſoutenu
par le côté A D, prolongé juſqu’à la circonférence du cercle
en B: car puiſque la ligne A D B eſt une ligne droite, ainſi que
la ligne D C, les angles B D C, A D C ſont enſemble égaux à
deux droits, & par conſéquent doivent avoir pour meſure la
moitié de la circonférence; mais l’angle B D C ayant ſon ſom-
met à la circonférence, a pour meſure la moitié de l’arc B C: donc l’angle A D C doit avoir pour meſure la moitié de l’arc
D C, plus la moitié de l’arc B D, qui font enſemble la moitié
du reſte de la circonférence.
439.
Si l’on a deux droites quelconques A B, C D, qui ſe cou-
compris ſous les parties A E & E B de l’une, eſt égal au rectangle
compris ſous les parties D E & E C de l’autre.
Soient menées les cordes A C &
D B;
conſidérez que les
triangles A C E & D B E ſont ſemblables, ayant les angles
égaux en E, puiſqu’ils ſont oppoſés au ſommet, & que de plus
l’angle en C eſt égal à l’angle en B, puiſque chacun d’eux eſt
appuyé ſur le même arc: donc les côtés oppoſés aux angles
égaux ſeront proportionnels, & donneront A E:
E D:
: E C:
EB
(art. 402):
donc en prenant le produit des extrêmes &
des
moyens, on aura A E x E B = E D x E C. C.
Q.
F.
D.
440.
Si du point A, pris au dehors d’un cercle ſur le même
à la partie concave de la circonférence; je dis que le rectangle com-
pris ſous une ſécante entiere A B, & ſa partie A D extérieure au
cercle, eſt égal au rectangle compris ſous l’autre ſecante entiere A C,
& ſa partie extérieure A E.
Si l’on tire les lignes B E &
C D, on aura deux triangles
ſemblables A B E & A C D:
car l’angle A leur eſt commun,
& les angles B &
C ont chacun pour meſure la moitié de l’arc
D E (art. 429):
donc les côtés oppoſés aux angles égaux ſeront
proportionnels (art. 403), &
donneront A B:
A C:
: A E:
A D:
par conſéquent en prenant le produit des extrêmes &
des
moyens, on aura A B x A D = A C x A E. C.
Q.
F.
D.
441.
Si d’un point B quelconque de la circonférence A B C, on
je dis que le
quarré de cette perpendiculaire ſera égal au rectangle des parties
A D, D C du diametre.
Soient tirées les droites A B, B C du point B aux extrê-
mités du diametre A C, le triangle A B C ſera rectangle en B,
puiſque l’angle A B C eſt appuyé ſur la demi-circonférence
(art. 430), &
ſera partagé en deux autres triangles A B D,
B D C auſſi rectangles, & qui lui ſeront ſemblables (art.
406).
Comparant ces deux triangles ſemblables, &
prenant les côtés
homologues, on aura A D: B D:
: B D:
D C:
donc en pre-
nant le produit des extrêmes & celui des moyens, A D x D C
= B DC.
Q.
F.
D.
442.
Il ſuit de cette propoſition, qu’à quelque point du dia-
metre qu’on éleve une perpendiculaire, elle eſt toujours
moyenne proportionnelle entre les deux parties du même dia-
metre; &
c’eſt ce que nous appellerons dans laſuite, la pro-
priété principale du cercle, de laquelle on déduit ſon équation.
443.
Il ſuit auſſi de la démonſtration précédente, qu’une
corde quelconque A B eſt moyenne proportionnelle entre le
diametre entier A C, & la partie compriſe entre l’origine de
cette corde & la perpendiculaire B D, abaiſſée de ſon extrê-
mité: car le triangle rectangle B D A eſt ſemblable au grand
triangle C B A, puiſqu’ils ont un angle commun en A, outre
l’angle droit: donc en comparant les côtés homologues, on
aura A C: A B:
: A B:
A D:
donc A D x A C = A B
On
démontreroit de même que B C eſt moyenne proportionnelle
entre A C & C D.
444.
On auroit pu déduire cette derniere propoſition de la
car puiſque deux droites quelconques,
qui ſe coupent dans le cercle, s’y coupent de maniere que les
produits de leurs parties ſont égaux; lorſque l’une des ſécantes
ſera coupée en deux également par une droite AC, comme la
ligne B F, le produit B D x D F deviendra le quarré B D; &
tre, ou qu’elle eſt perpendiculaire au milieu de la ſécante B F; cette ſuppoſition nous donnera préciſément l’énoncé du der-
nier théorême.
445.
La perpendiculaire BD, menée d’un point B de la circon-
férence du cercle ſur le diametre AC, eſt appellée ordonnée à ce
diametre, & les parties du diametre déterminées ou coupées du
en D, comme A D, D C ſont appellées abſciſſes ou coupées du
même diametre. On exprime généralement le théorême pré-
cédent, en diſant que dans un cercle, les quarrés des ordonnées
ſont égaux aux produits de leurs abſciſſes.
446.
Un cercle B E étant donné avec un point D ſur le même
Par le centre C &
le point donné D, menez une ligne C D;
ſur cette ligne, comme diametre, décrivez un demi-cercle
C B D qui coupe le cercle donné dans un point B; menez la
ligne B D, qui ſera la tangenre demandée, & qui ne rencontre
le cercle qu’au ſeul point B.
Pour concevoir la raiſon de cette opération, tirez encore au
centre C du point B la ligne BC. Il eſt viſible que l’angle C B D
eſt droit (art. 430), étant appuyé ſur le diametre;
d’ailleurs,
la ligne B D eſt perpendiculaire à l’extrêmité du rayon C B,
& paſſe par le point D:
donc elle eſt la tangente demandée.
C.
Q.
F.
T.
&
D.
447.
Si d’un point B hors d’un cercle, on mene une tangente BA,
une ſécante B C, je dis que le quarré de la tangente A B eſt égal
au rectangle, compris ſous la ſécante entiere BC, & ſa partie ex-
térieure B D.
Soient menées les cordes A C &
A D du point de contin-
gence A, aux points C, D, où la ſécante BC rencontre le cer-
cle. Les triangles C A B, A D B ſeront ſemblables, car ils ont
un angle commun en B; &
de plus, l’angle A C B, formé par
la corde A C & la ſécante C B, eſt égal à l’angle B A D, formé
par la tangente A B & la corde A D, puiſqu’ils ont chacun
pour meſure la moitié de l’arc A D, compris entre leurs côtés
(art. 429 &
435):
donc ces triangles ſont ſemblables (art.
402);
&
par conſéquent les côtés homologues ſont proportionnels,
& donnent B C :
A B :
: A B :
B D :
donc A B
C. Q.
F.
D.
448.
Il ſuit delà, que ſi deux tangentes A B, B F ſe rencon-
trent dans un point A, les parties A B, B F de ces tangentes,
priſes depuis le point de rencontre juſqu’aux points de con-
tact, ſont égales entr’elles: car on démontrera de même que
pour la tangente A B, que l’on auroit B Fdonc puiſque A B
par conſéquent A B = B F.
Il eſt à remarquer, que l’on auroit pu déduire cette propo-
ſition, immédiatement de la dixieme: car ſi l’on imagine
que la ſécante A B tourne au tour du point A comme d’une char-
ment l’un de l’autre, ſe confondront enfin, lorſque la ligne
A B ſera devenue tangente dans un ſeul point, & alors le rec-
tangle A B x A D deviendra le quarré de la même tangente,
qui ſera égal au produit de la ſécante entiere A C par ſa partie
extérieure A E.
449.
Si l’on a une tangente C D perpendiculaire à l’extrêmité
voudra du point A à la tangente, telles que A C, A D, le quarré
du diamettre A B ſera égal au produit de cette ligne A C par la
partie intérieure A E.
Soit menée la droite B E de l’extrêmité inférieure du dia-
metre au point E, où la droite A C coupe le cercle: on aura
deux triangles rectangles ſemblables A B C, A E B: car le pre-
mier A B C eſt rectangle en B, à cauſe de la tangente A D, qui
eſt perpendiculaire au diametre A B, le ſecond A E B eſt rec-
tangle en E, puiſque cet angle eſt appuyé ſur le diametre; de
plus, ces triangles ont un angle commun en A: donc ils ſont
ſemblables (art. 402), &
les côtés homologues nous donnent
A C : A B :
: A B :
A E;
donc A B
C.
Q.
F.
D.
450.
L’on dit qu’une ligne eſt diviſée en moyenne &
ex-
trême raiſon, lorſque la ligne entiere eſt à la plus grande par-
tie; comme la même plus grande partie eſt à la plus petite:
&
la plus grande partie eſt appellée médiane.
451.
Diviſer une ligne donnée A B en moyenne &
extrême rai-
A F :
: A F :
F B.
A l’extrêmité B de la ligne donnée A B, ſoit élevée la per-
pendiculaire B D, égale à la moitié de la même ligne A B: du
point D, & de l’intervale ou rayon B D, ſoit décrit un cercle
E B C, enſuite par le point A & le centre D, ſoit menée la ſé-
cante A C: enfin ſoit priſe A F égale à la partie extérieure A E
de la ſécante A C; je dis que le point F diviſe la ligne A B en
moyenne & extrême raiſon, ou, ce qui revient au même, que
l’on a A B : A F :
: A F :
F B.
Soit nommé A F ou A E x, A B a, C E ſera auſſi a, A C
ſera a + x, & F B ſera a - x.
Cela poſé, par la propoſi-
tion 13, on a A C : A B :
: A B :
A E, ou A F;
&
en termes
analytiques, a + x : a :
: a:
x, &
faiſant le produit des extrê-
mes & des moyens, il vient aa = ax + xx, faiſant paſſer en-
ſuite ax du ſecond membre dans le premier, il vient aa - ax
= xx, ou √a - x\x{0020} x a = xx, d’où l’on déduit cette proportion
a : x :
: x :
a - x, ou A B :
A F :
: A F :
F B.
C.
Q.
F.
T.
&
D.
452.
ON dit qu’un polygone régulier ou irrégulier eſt inſcrit
au cercle, lorſque tous les ſommets de ſes angles ſont à la cir-
conférence du cercle.
453.
On dit qu’une figure rectiligne, réguliere ou irréguliere
eſt circonſcrite au cercle, quand chacun de ſes côtés touche la
circonférence du cercle, ou autrement, quand chaque côté eſt
une tangente au cercle.
454.
On appelle polygone régulier, une figure dont tous les
angles & les côtés ſont égaux entr’eux, &
polygones ſymétriques,
ceux dont les côtés oppoſés ſont égaux, & paralleles deux à
deux.
455.
Un polygone régulier ſe nomme pentagone, lorſqu’il a
cinq côtés; exagone, quand il a ſix côtés, eptagone, quand il
octogone, quand il en a huit;
ennéagone, quand il
en a neuf; décagone, quand il en a dix;
&
enfin ondécagone
ou dodécagone, quand il en a onze ou douze.
456.
Comme tout polygone régulier peut être inſcrit dans
un cercle, on diſtingue dans tout polygone régulier deux ſortes
d’angles, les angles du centre, & les angles du polygone ou de
la circonférence.
457.
L’angle au centre eſt un angle, comme B A C, formé
A C, tirés du centre aux extrêmités d’un
458.
L’angle du polygone, eſt un angle comme B C D, formé
par la rencontre des deux côtés B C & C D du même polygone.
459.
Comme l’angle du centre du polygone a pour meſure
l’arc, dont un des côtés du polygone eſt la corde, l’on trou-
vera toujours la valeur de cet angle, en diviſant 360, ou les
degrés de la circonférence entiere, par le nombre des côtés
du polygone. Ainſi pour trouver l’angle au centre d’un exa-
gone, je diviſe 360 par 6, & le quotient 60, eſt la meſure de
l’angle que je cherche. Or comme l’angle B C D du polygone
eſt double de l’angle A B C, & que par conſéquent il eſt égal
aux deux angles de la baſe du triangle iſoſcele A B C, il s’enſuit
qu’il eſt égal à la différence de l’angle du centre à deux droits: ainſi on trouvera la valeur de l’angle du polygone, en retran-
chant l’angle du centre de 180 degrés.
460.
Inſcrire un exagone dans un cercle.
Pour inſcrire un exagone dans un cercle, il faut prendre le
le porter ſix fois ſur la cir-
conférence; cette opération détermine les points qui ſervent à
tracer l’exagone.
Conſidérez que le côté B C de l’exagone eſt égal au rayon
A B; car comme l’angle du centre B A C de l’exagone eſt de
60 degrés, la ſomme des deux angles de la baſe du triangle
iſoſcele B A C ſera de 120 degrés, double de l’angle au centre; chacun d’eux ſera donc de 60 degrés:
donc le triangle
B A C eſt équilatéral, & le côté B C eſt égal au rayon A C.
C. Q.
F.
D.
461.
Décrire un dodécagone dans un cercle, ou, ce qui eſt la
Pour déctire un dodécagone dans un cercle, il faut porter
le rayon A C ſur la circonférence, afin d’avoir l’arc C D de 60
degrés, ou autrement égal à la ſixieme partie de la même cir-
conférence, & diviſer enſuite cet arc en deux également en E,
la corde D E ſera le côté du dodécagone, puiſqu’elle eſt la
corde d’un angle de 30 degrés, qui font la douzieme partie de
la circonférence. C.
Q.
F.
D.
462.
Si l’on a un triangle iſoſcele A B C, dont chaque angle de
je dis que ſi l’on diviſe l’un
des angles de la baſe, comme B A C en deux également par une
ligne A D, qui va rencontrer le côté oppoſé en D, cette ligne divi-
ſera ce même côté A C en moyenne & extrême raiſon au point D,
enſorte que l’on aura B C : B D :
:
B D :
D C.
Conſidérez que les triangles A B C &
D A C ſont ſembla-
bles, puiſqu’ils ont un angle commun en C, & que l’angle
D A C eſt égal à l’angle B, puiſque l’angle B eſt par ſuppoſi-
tion moitié de l’angle B A C, dont celui-ci eſt auſſi la moitié. On aura de plus le triangle B D A, qui ſera iſoſcele, puiſque
l’angle D B A eſt égal à l’angle B A D: donc les côtés A D, B D
ſeront égaux. Cela poſé, les triangles ſemblables A B C, D A C
B C : A C :
:
A C :
D C, &
mettant B D à la place de A C, au-
quel il eſt égal, on aura B C : B D :
:
B D :
D C.
C.
Q.
F.
D.
463.
Cette propoſition donne un moyen de faire un trian-
gle iſoſcele, dont les angles de la baſe ſoient chacun doubles
de celui du ſommet; car pour faire, par exemple, un triangle
comme A B C, l’on n’aura qu’à diviſer le côté B C en moyen ne
& extrême raiſon (art.
451), &
ſur la plus petite partie D C
comme baſe, faire un triangle iſoſcele par le moyen de deux
ſections, avec une ouverture de compas de la grandeur de la
médiane B D, & l’on aura le point A, qui ſervira à former le
triangle A B C. Comme il n’y a qu’une maniere de diviſer une
ligne en moyenne & extrême raiſon, il n’y a auſſi qu’un trian-
gle qui ait la propriété que nous venons de voir.
464.
Il ſuit encore delà que ſi du point B, comme centre,
l’on décrit un cercle, dont le rayon ſoit B A ou B C, la baſe A C
du triangle iſoſcele A B C ſera le côté du décagone inſcrit dans
ce cercle: car puiſque, par conſtruction, les deux angles de
la baſe ſont chacun doubles de l’angle au ſommet, les trois an-
gles du même triangle, pris enſemble, vaudront cinq fois
l’angle du ſommet; &
comme la valeur des trois angles d’un
triangle quelconque eſt de deux angles droits, on aura la va-
leur de l’angle au ſommet, en diviſant deux droits ou 180
degrés par 5, & ce qui donnera 36 pour le nombre des degrés de
l’angle au centre B, lequel nombre eſt préciſément la dixieme
partie de la circonférence, ou de 360 degrés.
465.
Inſcrire un décagone dans un cercle.
Pour inſcrire un décagone dans un cercle, il faut diviſer le
rayon de ce cercle en moyenne & extrême raiſon, la médiane
ſera le côté du décagone; ainſi l’on n’aura qu’à porter dix fois
cette ligne ſur la circonférence, & l’on aura les points qui ſer-
viront à tracer le décagone; ce qui eſt évident, puiſque par le
viſée en moyenne & extrême raiſon, eſt le côté du décagone
inſcrit au cercle qui auroit cette ligne pour rayon.
466.
Si l’on a une ligne droite B D égale à la ſomme des côtés
du décagone inſcrit au même cercle, elle ſera diviſée
en moyenne & extrême raiſon au point de jonction de ces deux côtés.
Soit la ligne B C égale au côté du décagone inſcrit au cer-
cle, qui a pour rayon B A ou A C. Soit prolongée cette ligne
en D, de maniere que l’on ait D C = A C, puiſque le rayon
eſt le côté de l’exagone; il faut faire voir que l’on aura B D:
D C :
:
D C :
B C.
Pour cela, ſoit tirée la ligne A D qui nous
donnera le triangle iſoſcele D C A, & le nouveau triangle
B D A ſemblable au triangle B A C, puiſque ces triangles ont
l’angle B commun, & que l’angle B D A eſt égal à l’angle
C A B; car à cauſe du triangle iſoſcele D C A, l’angle A C B
qui lui eſt extérieur, eſt double de l’angle C A D, ou C D A;
mais par la nature du côté du décagone, le même angle eſt
double de l’angle B A C au centre A: donc l’angle B D A eſt
égal à l’angle C A B: donc les triangles B D A, B A C ſont
ſemblables, & les côtés homologues ſeront proportionnels;
ainſi l’on aura B D : B A :
:
B A :
B C, ou en mettant D C au lieu
de B A qui lui eſt égal, B D : D C :
:
D C :
B C.
C.
Q.
F.
D.
467.
Le quarré du côté du pentagone inſcrit dans un cercle eſt
du décagone inſcrits au
même cercle.
Si l’on a dans un cercle le côté A B du pentagone, &
qu’on
diviſe en deux également au point C l’are A C B, la corde A C
ou C B ſera le côté du décagone, & le rayon A D ou B D le
côté de l’exagone. Il faut démontrer que l’on aura A B
Pour cela, ſoit encore diviſé l’arc A C en deux éga-
lement en F, ſoit mené le rayon F D & du point E, où il coupe
le côté A B du pentagone, ſoit tirée la droite E C. Le triangle
A E C ſera iſoſcele & ſemblable au triangle A C D;
car puiſ-
que la droite F D coupe l’arc A C en deux parties égales, &
paſſe par le centre; elle coupe auſſi la corde en deux parties
égales, & lui eſt perpendiculaire:
donc tous les points de cette
droite F D ſont également éloignés des extrêmités A C, ainſi
l’on aura A E = E C. De plus, ce triangle a un angle com-
mun avec le triangle iſoſcele A C B: donc ils ſont ſemblables;
&
comparant les côtés homologues on aura A B :
A C :
:
A C :
A E;
donc A CDe même le triangle A D B eſt ſem-
blable au triangle D E B, car ces triangles ont un angle com-
mun en B, qui vaut 54 degrés; mais l’angle B D F eſt auſſi de
54 degrés, ayant pour meſure l’arc F B, qui vaut C B de 36
degrés, plus F C de 18 degrés, puiſque F C eſt moitié de l’arc
A C; ce triangle D E B ſera donc iſoſcele, ainſi que le trian-
gle A D B, & comparant les côtés homologues, on aura
A B : B D :
:
B D :
B E;
donc B D
Et ajoutant
aux membres de cette équation ceux de l’équation précédente,
on aura B DMais A B
x A E + A B x B E = A B x (A E + B E) = A B x A B =
A Bdonc B D
C.
Q.
F.
D.
468.
Inſcrire un Pentagone dans un cercle.
Pour inſcrire un pentagone dans un cercle, tirez le rayon
diviſez le demi-
diametre C B en deux également au point E; de ce point
comme centre, & de l’intervalle E F, décrivez l’arc F D, &
la ligne F D ſera le côté du pentagone inſcrit au cercle A F D.
Pour le prouver, conſidérez que le triangle D F C eſt rec-
tangle, par conſtruction, & que le côté C F étant celui de
l’exagone, il ſuffira de faire voir que le côté D C eſt celui du
décagone: car pour que la ligne F D ſoit le côté du pentagone,
de ce côté ſoit égal aux quarrés des côtés de l’exagone & du
décagone. Pour cela, nous nommerons C F ou C B, a;
par
conſéquent C E ſera {1/2} a, l’inconnue D C ſera nommée x, ainſi
B D ſera a+x. Cela poſé, comme E F eſt égal à E D, on
aura, à cauſe du triangle rectangle E C F, C E
ou en termes analytiques aa + {1/4} aa = xx + ax + {1/4} aa, ou
aa = xx + ax, en effaçant {1/4} aa de part & d’autre;
d’où l’on
tire a + x: a:
: a:
x, ou D B:
C B:
: C B:
D C, qui montre
que la ligne D B eſt diviſée en moyenne & extrême raiſon au
point C; &
par conſéquent (art.
466) la ligne D C eſt le côté
du décagone, puiſque B C eſt celui de l’exagone. C.
Q.
F.
D.
469.
Inſcrire un quarré dans un cercle.
Pour inſcrire un quarré dans un cercle, tirez le diametre
C E D perpendiculaire au premier: ces deux diametres coupe-
ront la circonférence en quatre parties égales dans les points
A, C, B, D, par leſquels vous menerez les droites A C, C B,
B D & D A, qui formeront un quarré;
car toutes ces lignes
ſont égales, puiſqu’elles ſont des cordes d’arcs égaux; &
de
plus, chacun des angles de cette figure eſt droit, puiſqu’il eft
appuyé ſur le diametre. C.
Q.
F.
T.
&
D.
470.
Inſcrire un octogone dans un cercle.
Pour inſcrire un octogone dans un cercle, il faut d’abord
diviſer ſa circonférence en quatre parties égales, comme ſi l’on
vouloit y inſcrire un quarré, & diviſer en deux également
chaque quart de cercle, tel que C B; la corde C F ou F B ſera
le côté de l’octogone.
Nous n’avons point parlé de la maniere d’inſcrire dans un
cercle l’eptagone, l’ennéagone, ni l’ondécagone, parce que l’on
ces trois polygones, ſimplement avec la regle & le compas,
étant obligé d’avoir recours à la Géométrie compoſée, c’eſt-
à-dire à la Géométrie des courbes. Il s’en faut beaucoup que
que les ſolutions des problêmes, par le moyen des courbes,
ſoient auſſi ſimples que celles que l’on trouve par la regle & le
compas, c’eſt ce qui a fait regarder juſqu’ici ces ſortes de pro-
blêmes comme très-difficiles, ainſi que celui de la triſection
de l’angle, où il s’agit de diviſer un angle donné en trois par-
ties égales, & dont l’équation monte au troiſieme degré.
Comme nous ne parlons pas de ces ſortes d’équations dans
ce Traité, nous allons donner le moyen de tracer une courbe,
que l’on a nommé quadratrice de Dinoſtrate, du nom de ſon
inventeur, par le moyen de laquelle on pourra diviſer les an-
gles & les arcs de cercles, en autant des parties égales que l’on
voudra; mais auparavant il faut être prévenu des deux pro-
blêmes ſuivans.
471.
Diviſer une ligne droite en autant de parties égales que
Pour diviſer une ligne A B, par exemple, en neuſ parties
égales, tirez la ligne A C, qui faſſe avec A B un angle à
volonté; du point A comme centre, &
du rayon A B,
décrivez l’arc B C, qui ſera la meſure de l’angle C A B; en-
ſuite avec la même ouverture de compas, & du point B com-
me centre, décrivez l’arc A D égal à B C, & tirez la ligne
B D, qui donnera l’angle A B D égal à l’angle C A B. Cela
poſé, marquez ſur le côté A C avec une ouverture de compas
à volonté, un nombre de parties égales, tel que celui dans le-
quel on veut diviſer la ligne A B, c’eſt-à-dire qu’en commen-
cant du point A, il faut marquer neuf parties égales ſur la
ligne A C; aprés quoi il en faudra faire autant ſur la ligne
B D, en commençant du point B: après cela, ſi l’on tire les
lignes 9 A, 81, 72, &c.
elles diviſeront la ligne A B en neuf
parties égales; ce qui eſt bien évident:
car comme les lignes
que l’on a tirées ſont paralleles entr’elles, elles donneront les
triangles ſemblables A1E, A9B, qui font voir que puiſque
A1 eſt la neuvieme partie de A9, A E ſera la neuvieme partie
de A B, ainſi des autres.
472.
Diviſer un arc de cercle en un nombre de parties égales,
pairement paires, c’eſt-à-dire qui ſoit diviſible par les nombres
deux, & ſes puiſſances 4, 8, 16, 32.
Si l’on veut diviſer, par exemple, le quart de cercle A B C
C décrire avec la
même ouverture de compas la ſection D, & tirer la ligne B D,
qui diviſera l’arc A C en deux également au point E; diviſer
de la même maniere l’arc E C en deux également au point F,
l’arc F C encore en deux également au point G, & l’arc G C
en deux également au point H, pour avoir l’arc C H, quiſera
la ſeizieme partie de A C, & ainſi des autres.
C’eſt ainſi qu’on pourra diviſer géométriquement un arc de
cercle en un nombre infini de parties égales, pourvu que l’on
diviſe le tout, & ſes parties toujours de deux en deux.
473.
Pour décrire cette courbe, il faut diviſer le rayon A B
en un grand nombres de parties égales; de maniere que le
quart de cercle puiſſe être diviſé dans le même nombre de
parties égales. Nous ſuppoſerons donc que l’on a diviſé le quart
de cercle en ſeize parties égales, ainſi que le rayon A B. Cela
poſé, après avoir tiré du centre B à l’extrêmité de chaque par-
rie égale du quart de cercle, les droites BC, BD, BE, BF, &c.
l’on tirera par les points G,H,I,K des parties égales du rayon,
parallélement au diametre B F, les droites G L, H M, I N, K G;
& les rencontres de ces droites, avec les rayons qui diviſent le
quart de cercle, donneront les points L, M, N, O, &c.
avec
leſquels on tracera la courbe A S, que l’on pourra faire beau-
coup plus juſte, en diviſant le quart de cercle & le rayon B A
en un plus grand nombre de parties égales que l’on n’a fait
ici, afin d’avoir les points L, M, N, O beaucoup plus près les
uns des autres, & que le point R, formé par la rencontre du
dernier rayon B P, & la parallele Q R approche le plus près
qu’il eſt poſſible du demi-diametre B T, pour rendre inſen-
ſible l’erreur que l’on pourroit faire, en continuant méchani-
Il faut bien remarquer que par la génération de cette courbe,
ſi l’on mene des paralleles H M & K O, qui aillent rencontrer
la courbe aux points M & O, &
que l’on tire par ces points
des rayons B D & B F, qu’il y aura même raiſon de l’arc A D
à l’arc D F, que de la ligne A H à la ligne H K; &
c’eſt dans
cette proportion que conſiſte la nature de cette courbe.
474.
Diviſer un angle en trois parties égales.
Suppoſant que l’on ait tracé ſur un morceau de corne ou de
ſeigner, on propoſe de diviſer l’angle O P Q en trois parties
égales.
Pour réſoudre ce problême, ſuppoſant que la courbe ſoit
accompagnée de ſon quart de cercle A C, je fais l’angle A B E
égal à l’angle donné, & au point F, où le rayon B E coupe la
courbe A D, j’abaiſſe la perpendiculaire F G ſur le demi-dia-
metre A B, qui me donne la partie A G, que je diviſe en au-
tant de parties égales qu’on veut que l’angle donné ſoit diviſé: ainſi je la partage en trois parties égales, aux points H &
K,
deſquels je mene les paralleles K L & H I, qui me coupent la
courbe aux points L & I, par leſquels je mene les rayons B M
& B N, qui diviſent l’arc A E en trois parties égales, aux points
M & N;
puiſque par la propriété de la courbe, il y a même
raiſon de A K à A G, que de A M à A E; &
comme A K eſt la
troiſieme partie de A G, l’arc A M ſera auſſi la troiſieme partie
de l’arc A E.
Mais ſi l’on propoſoit de diviſer un angle obtus, comme
quelque difficulté, parce que l’arc R T ne peut pas être con-
tenu dans l’arc A C, puiſqu’il eſt ſuppoſé plus grand que lui: en ce cas, il faut diviſer en deux également l’angle obtus
donné, pour avoir l’angle aigu R S V, que nous ſuppoſerons
être le même que l’angle A B E: ainſi diviſant l’angle aigu en
trois parties égales, aux points M & N, l’on n’aura qu’à pren-
dre l’arc A N, qui étant double de la ſixieme partie de l’arc
R T, ſera par conſéquent le tiers du même arc R T.
C. Q.
F.
T.
&
D.
475.
Décrire un ennéagone dans un cercle.
Pour décrire un ennéagone dans un cercle, il faut porter
le rayon du cercle ſix fois ſur la circonférence, pour avoir les
points B, C, D, E, F, G, qui la diviſeront en ſix parties égales; &
tirant des lignes du premier point au troiſieme, du troi-
ſieme au cinquieme, & du cinquieme au premier, on aura un
triangle équilatéral B D E, qui diviſera la circonférence en
trois parties égales; ſi on diviſe après cela un de ces arcs,
comme B C D, en trois parties égales, par le problême précé-
dent, l’on aura la neuvieme partie de la circonférence du cer-
cle, dont la corde ſera le côté de l’ennéagone. C.
Q.
F.
T.
&
D.
476.
Décrire un eptagone dans un cercle.
Pour décrire un eptagone dans un cercle, il faut diviſer le
quart de la circonférence du cercle en ſept parties égales: ainſi
chacune de ces parties ſera la 28
rence. Or prenant un arc égal au quatre ſeptiemes du quart de
cercle, il ſera égal à la ſeptieme partie de la circonférence du
même cercle, & par conſéquent la corde qui le ſoutient ſera
le côté de l’eptagone demandé. C.
Q.
F.
T.
&
D.
477.
Décrire un ondécagone dans un cercle.
Pour décrire un polygone de onze côtés qui ſoit inſcrit au
cercle, il faut diviſer le quart de cercle en onze parties égales,
& ſi l’on prend la corde d’un angle, qui ſeroit les quatre on-
ziemes du quart de cercle, elle ſera le côté de l’ondécagone
demandé. C.
Q.
F.
T.
&
D.
L’on a nommé quadratrice, la courbe que nous venons d’exa-
du cercle: car ſuppoſons qu’on ait trouvé le point D, où cette
courbe rencontre le rayon B C, il eſt démontré dans Pappus,
dans Clavius, & dans pluſieurs autres Auteurs, que le demi-
diametre B C eſt moyen proportionnel entre la baſe B D de la
quadratrice & la circonférence A E C du quart de cercle;
en-
ſorte que l’on a cette proportion B D : B C :
: B C :
A E C.
D’où il ſuit qu’en connoiſſant cette baſe, on pourroit déter-
miner une ligne droite égale à la circonférence du quart de
cercle.
478.
Circonſcrire un polygone quelconque autour d’un cercle
donné.
Quand on veut circonſcrire un polygone autour d’un cer-
cle, il faut commencer par en inſcrire un ſemblable dans le
même cercle: ainſi voulant, par exemple, circonſcrire un
exagone autour du cercle BEC, il faut commencer par en
diviſer un de ſes côtés, tels que
B C, en deux également, par un rayon A E, & à l’extrêmité
E, mener la tangente F G, qu’il faut terminer par les rayons
A B, A C prolongés, juſqu’à la rencontre de la tangente, &
l’on aura le côté F G de l’exagone circonſcrit: ainſi on trou-
vera tous les autres, en faiſant la même opération. Mais pour
avoir plutôt fait, après avoir trouvé les points F, G, il vaut
mieux décrire un cercle du centre A avec le rayon A G, ſur la
circonférence duquel on pourra marquer les points, qui ſer-
viront à tracer le polygone, en y portant avec le compas la
longueur du côté F G.
479.
ON dit que deux quadrilateres ont leurs baſes &
leurs
hauteurs réciproques, lorſque la baſe du premier eſt à la baſe
du ſecond, comme la hauteur du même ſecond eſt à celle du
premier. En général on dit que deux grandeurs quelconques
ſont réciproques à deux autres, lorſque les deux premieres
ſont les extrêmes ou les moyens d’une proportion, dont les
deux autres ſont les moyens ou les extrêmes. Par exemple,
a & b ſont réciproques aux grandeurs c &
d, ſi l’on a a :
c :
: d :
b,
ou c : a :
: b :
d.
480.
Si l’on a deux polygones réguliers ſemblables, A &
B,
Nous nommerons C D, a, F G, b, A C, c, &
B F, d.
Cela
gone A ſera 6a, & le circuit du polygone b ſera 6b:
ainſi il
faut prouver que l’on aura 6a : 6b :
: c:
d.
Les triangles D A C,
G B F ſont ſemblables; car puiſque les polygones ſont ſem-
blables, les angles de chacun des triangles qui les compoſent
ſont égaux chacun à chacun, & les côtés oppoſés aux angles
égaux ſont proportionnels (art. 405):
on aura donc a :
b :
: c :
d,
& multipliant les deux termes a &
b par 6, on aura 6a :
6b :
: c :
d.
C.
Q.
F.
D.
Cette propoſition ſe doit entendre de toutes les figures ſem-
blables, régulieres ou irrégulieres, à commencer par les trian-
gles: car quoique des figures irrégulieres ne ſoient pas inſcrip-
tibles au cercle, on peut dire cependant que les contours de
ces polygones, ſuppoſés ſemblables, ſont entr’eux comme les
rayons de deux cercles qui paſſeront par les ſommets de trois
angles égaux, pris comme l’on voudra dans l’une & dans
l’autre figure, pourvu que ces cercles paſſent par les angles de
deux triangles ſemblables, & ſemblablement placés dans l’une
& dans l’autre figure.
481.
Il ſuit de cette propoſition, que les circonférences des
cercles ſont entr’elles comme les rayons de ces cercles: car ſi
l’on conſidere les cercles X & Y, comme étant des polygones
rence du premier, c le rayon, b la circonférence du ſecond, &
d ſon rayon, on aura encore a : b :
: c :
d.
482.
Si du centre A d’un polygone régulier, on abaiſſe une
ce polygone ſera égale à un triangle rectangle I K L, qui auroit pour
hauteur la ligne I K égale à la perpendiculaire A E, & pour baſe
une ligne K L égale au circuit du polygone.
Si le polygone régulier eſt un exagone, &
que l’on tire du
gles égaux, que le polygone a de côtés: ainſi le polygone A
ſera compoſé de ſix triangles, tels que C A D; mais comme
les triangles C A D & K I L ont la même hauteur, ils ſeront
dans la même raiſon que leurs baſes (art. 392);
&
comme la
baſe K L eſt ſextuple de la baſe C D, par conſtruction, le trian-
gle K I L ſera auſſi ſextuple du triangle C A D, & par conſé-
quent égal au polygone. C.
Q.
F.
D.
483.
Il ſuit de cette propoſition, que pour trouver la ſu-
perficie d’un polygone régulier, il faut multiplier la moitié de
ſon circuit par la perpendiculaire abaiſſée du centre de ce po-
lygone ſur ſon côté, puiſque pour trouver la ſurface du trian-
gle I K L, qui eſt égal à ce polygone, il faut multiplier la
moitié de ſa baſe K L par la perpendiculaire I K.
484.
La ſuperficie d’un cercle eſt égale à un triangle, qui au-
roit pour hauteur le rayon du cercle, & pour baſe la circonférence
du même cercle.
Comme un cercle eſt un polygone d’une infinité de côtés,
on peut prendre la circonférence du cercle pour la ſomme de
ces côtés, & ce rayon pour la perpendiculaire du polygone;
d’ou il ſuit qu’il ſera égal à un triangle qui auroit pour hau-
teur le rayon M N, & pour baſe une ligne N O égale à la cir-
conférence. C.
Q.
F.
D.
485.
Puiſque le triangle M N O eſt égal au cercle, &
qu’il
eſt auſſi égal à un rectangle qui auroit pour baſe la moitié de
la baſe N O, & pour hauteur la ligne M N, il s’enſuit qu’un
cercle eſt égal à un rectangle qui auroit pour baſe la moitié
de la circonférence, & pour hauteur le rayon;
&
que pour
en trouver la ſuperficie, il faut multiplier la moitié du dia-
metre, par la moitié de la circonférence.
486.
Si l’on conſidere la ſurface du cercle, comme étant
compoſée d’une infinité de circonférences concentriques, dont
les rayons ſe ſurpaſſent également, toutes ces circonférences
compoſeront une progreſſion infinie arithmétique, dont le cen-
tre ſera le plus petit terme, & la circonférence le plus grand.
Or comme le demi-diametre A B exprime le nombre des ter-
mes de la progreſſion, il s’enſuit qu’on en trouvera la ſomme
en multipliant le plus grand terme, qui eſt la circonférence,
par la moitié du rayon A B.
487.
Il ſemble d’abord que la propoſition précédente donne
la quadrature du cercle, parce qu’elle prouve qu’un cercle eſt
égal à un triangle, qui auroit pour baſe la circonférence du
cercle, & pour hauteur le rayon;
mais comme on n’a pas en-
core trouvé géométriquement une ligne droite, parfaitement
égale à la circonférence d’un cercle, l’on n’a pu par conſéquent
trouver un triangle parfaitement égal au cercle. Quand je dis
un triangle, on peut auſſi entendre un quarré égal au cercle,
parce que l’on peut faire géométriquement un quarré égal à un
triangle, comme on le verra ailleurs. Mais pour qu’il n’y ait
point d’équivoque ſur le mot de quadrature du cercle, il eſt
bon que les Commençans ſçachent que la quadrature du cer-
cle conſiſte à trouver une propoſition qui donne le moyen de
faire un quarré égal en ſurface à un cercle donné, & qui dé-
qu’on le fait réellement.
Quoique les Géometres n’aient pas encore trouvé une ligne
droite parfaitement égale à la circonférence d’un cercle, cela
n’empêche pas que dans la pratique on ne ſuppoſe que cela ſe
puiſſe faire, en ſe ſervant de quelques regles qui ſont des
approximations de la quadrature du cercle, comme on le va
voir.
488.
Archimede a trouvé que le rapport du diametre à la
circonférence, eſt à peu près celui de 7 à 22, c’eſt-à-dire que
ſi le diametre contient ſept parties égales, la circonférence
en contiendra à peu près 22, ou, ce qui revient au même, que
la circonférence vaut trois fois le diametre & un ſeptieme.
Or comme les diametres des cercles ſont dans la raiſon de
481), ſi l’on avoit un cercle, dont
le diametre fût, par exemple, de 28 pieds, pour en trouver la
circonférence, on diroit: Si 7, diametre d’un cercle, donne
22 pour la circonférence du même cercle, combien donneront
28, diametre d’un autre cercle pour ſa circonférence, que l’on
trouvera de 88 pieds?
Mais ſi l’on avoit un cercle, dont on connût ſeulement la
circonférence, que nous ſuppoſerons de 66 pieds, pour en
trouver le diametre, il faudroit encore faire une Regle de
Trois, en diſant: Si la circonférence d’un cercle qui auroit
22 pieds, donne 7 pour ſon diametre, combien donnera la cir-
conférence d’un autre cercle, qui ſeroit de 66 pieds, pour le
diametre du même cercle? L’on trouvera 21 pieds pour le dia-
metre qu’on cherche. Outre le rapport de 7 à 22, dont on peut
toujours ſe ſervir, lorſqu’on ne veut pas arriver à la derniere
préciſion, on peut encore faire uſage de celui de 113 à 355,
trouvé par Métius, & plus exact que le précédent;
c’eſt pour-
quoi il ſera à propos de ſe ſervir de ce dernier dans les opéra-
tions où il faudra déterminer la circonférence du cercle avec
plus de juſteſſe que dans les opérations ordinaires.
489.
Il ſuit encore delà, qu’un cercle eſt égal à un rectan-
gle N S R Q, qui auroit pour baſe le quart de la circonférence,
& pour hauteur le diametre, puiſque ce rectangle eſt égal au
rectangle N T, qui a pour hauteur le rayon, & pour baſe la moi-
tié de la circonférence: par conſéquent ſi l’on avoit un quarré
V X Y Z fait ſur le diametre du cercle, le quarré & le rectangle
N R égal à la ſurface du cercle, ayant même hauteur, ſeront
entr’eux comme leurs baſes V Z & N Q.
On peut donc dire
que le diametre d’un cercle eſt au quart de la circonférence,
comme le quarré de ce même diamette eſt à la ſuperficie du
même cercle.
490.
Si l’on ſuppoſe que le diametre d’un cercle ſoit diviſé
en ſept parties égales, & que ſa circonférence en contienne
exactement vingt-deux (ce qui ne peut faire une erreur ſenſi-
ble dans la pratique), en doublant les mêmes nombres, on
aura 14 & 44 pour le diametre &
la circonférence, ſur quoi
l’on remarquera que le dernier étant diviſible par 4, & don-
pour le quart de la circonférence; d’où il ſuit, par le corollaire
précédent, que le rapport de 14 à 11 eſt le même que celui
du quarré du diametre à la ſurface du cercle: ainſi pour avoir
la ſuperficie d’un cercle, dont on connoît le diametre, que
je ſuppoſe = a, on n’aura qu’à faire cette Regle de Trois,
14 : 11 :
: aa :
{11aa/14}, ou, ce qui revient au même, pour avoir
l’aire d’un cercle quelconque, il ſuffira de prendre les onze
quatorziemes du quarré du diametre de ce cercle.
491.
Les Commençans ne ſeront peut-être pas fâchés de
connoître la route qu’ Archimede a ſuivie pour découvrir le
rapport dont nous venons de parler. La connoiſſance des pre-
miers axiomes de géométrie ſuffit pour nous faire concevoir
clairement que la circonférence d’un cercle eſt plus grande
que le contour d’un polygone quelconque inſcrit à ce cercle,
& plus petite que le contour d’un polygone quelconque cir-
conſcrit au même cercle. Il faut entendre la même choſe pour
la ſuperficie du cercle & celle des polygones inſcrits &
cir-
conſcrits. Cela poſé, voici ce que fit Archimede pour décou-
vrir le rapport approché du diametre à la circonférence. Il
inſcrivit à un cercle un polygone de 96 côtés, & circonſcrivit
au même cercle un polygone ſemblable d’un pareil nombre de
côtés; il calcula enſuite par les propriétés des lignes ou des
cordes de cercle, la longueur d’un des côtés de chaque poly-
gone, dont il trouva par conſéquent le contour, en multipliant
le nombre trouvé par 96. Ayant donc ſuppoſé que le diametre
du cercle étoit l’unité, il trouva que le périmetre de polygone
inſcrit étoit plus grand que 3 {10/71} du diametre, & que celui du
polygone circonſcrit étoit moindre que 3 {10/70}, ou 3 & {1/7};
d’où
il faut conclure que la circonférence, qui eſt néceſſairement
entre ces deux contours, eſt auſſi à plus forte raiſon plus grande
que 3 {10/71}, & moindre que 3 &
{10/70}:
ainſi le diametre du cercle
étant 7, il faut néceſſairement que la circonférence ſoit plus
grande que 21, & moindre que 22, qui vaut trois fois le dia-
metre & {1/7}, de maniere que cette même circonférence eſt beau-
coup plus proche de 22, qu’elle ne l’eſt de 21. Il eſt aiſé de
voir qu’ Archimede partagea d’abord ſon cercle en quatre parties
d’une corde de 90 degrés; enſuite il chercha la corde d’un arc
de 45 degrés pour avoir le côté de l’octogone; il chercha en-
ſuite le côté d’un polygone de 16 côtés, & enfin celui d’un
polygone de 32 côtés; après quoi il chercha la corde d’un arc,
qui n’eſt plus que le tiers du dernier polygone de 32 côtés, &
cette corde eſt le côté de ſon polygone de 96 côtés; car il eſt
évident que 32 x 3 = 96.
492.
Si l’on a deux polygones ſemblables A &
B, la ſurface
culaire A E au quarré de la perpendiculaire B H, ou comme le
quarré du rayon A C au quarré du rayon B F.
Soit nommé le côté C D du 1
laire A E, b, le côté F G de l’autre polygone, c, la perpendiculaire
B H, d: le circuit du premier polygone ſera 6a, &
celui du ſe-
cond ſera 6c: multipliant les moitiés de ces circuits par leurs
perpendiculaires, les produits donneront les ſurfaces des po-
lygones, & l’on aura 3ab pour le premier A, &
3cd pour le
ſecond B: ainſi il faut démontrer que 3ab :
3cd :
: bb :
dd.
Pour prouver que 3ab :
3cd :
: bb :
dd, nous ferons voir que
dans cette proportion le produit des extrêmes eſt égal au pro-
duit des moyens, & que l’on a 3abdd = 3cbbd.
Pour cela,
conſidérez qu’à cauſe des triangles ſemblables, A C D & B F G,
a : c :
: b :
d, d’où l’on tire ad = bc:
ainſi mettant ad dans le
ſecond membre de la premiere équation à la place de bc,
auquel il eſt égal, il viendra 3abdd = 3abdd, C. Q.
F.
D.
493.
Puiſque les figures A &
B ſont ſemblables, les trian-
gles dont elles ſont compoſées le ſeront auſſi; ainſi le triangle
A C E ſera ſemblable au triangle B F H, puiſqu’ils ont deux
angles égaux chacun à chacun: donc on aura AE :
BH :
: AC :
BF,
& A E
B H
: A C
B F
Mais les polygones ſont entr’eux
comme les quarrés des perpendiculaires A E, B H, par la pré-
donc ils ſont auſſi entr’eux comme les
quarrés des rayons A C, B F, ou des côtés C D, F G, puiſque
ces quarrés ſont en même raiſon que les quarrés des perpendi-
culaires.
494.
Cette propoſition ſe doit entendre, non ſeulement de
tous les polygones réguliers ſemblables inſcriptibles à un cer-
cle, mais encore de tous les autres autres polygones irréguliers
ſemblables, qui ſont entr’eux comme les quarrés des perpen-
diculaires abaiſſées d’un point ſemblablement placé dans l’une
& dans l’autre figure, ſur des côtés homologues.
En un mot, les
ſuperficies de deux polygones ſemblables quelconques, ſont en-
tr’elles comme les quarrés des côtés homologues, des lignes
tirées dans les figures par des angles égaux, des perpendicu-
laires abaiſſées ſur deux côtés correſpondans, ou en général
des lignes ſemblablement placées.
495.
Les ſurfaces de deux cercles ſont entr’elles comme les quar-
rés des rayons.
Si l’on a deux cercles X &
Y, &
que l’on nomme a la cir-
cle Y, & d ſon rayon, la ſurface du premier ſera {ac/2}, &
la ſur-
face du ſecond ſera {bd/2}. Cela poſé, il faut prouver que {ac/2} :
{bd/2} :
:
cc : dd.
Pour prouver que {ac/2} :
{bd/2} :
: cc :
dd, nous ferons voir que le
produit des extrêmes de ces quatre quantités, eſt égal au pro-
duit des moyens, ou que {acdd/2} = {bdcc/2}. Pour cela, faites atten-
tion que les circonférences des cercles étant entr’elles comme
les rayons (art. 481), on aura a :
b :
: c :
d, d’où l’on tire ad = bc.
Si donc on met dans le ſecond membre de l’équation précé-
dente, a d à la place de b c, on aura {acdd/2} = {acdd/2}. C.
Q.
F.
D.
496.
Puiſque les rayons des cercles ſont entr’eux comme les
cordes des arcs d’un même nombre de degrés, comme les dia-
metres ou les côtésdes polygones ſemblables inſcrits dans ces mê-
mes cercles: donc les ſurfaces des cercles, qui ſont comme les
quarrés des rayons, ſont auſſi entr’elles comme les quarrés des
diametres, des cordes d’un même nombre de degrés, comme
les quarrés des côtés de polygones ſemblables inſcrits ou cir-
conſcrits à ces cercles.
Cette propoſition, ainſi que la précédente, ſont d’un grand
uſage dans la Géométrie, & l’on ne peut trop s’appliquer à les
concevoir dans toute leur étendue. Quoique l’on puiſſe dé-
duire la propoſition ſuivante de la précédente, nous allons la
démontrer en particulier d’une maniere différente, en avertiſ-
ſant que l’on pourroit auſſi déduire de cette même propoſition
ſuivante, toutes les propriétés des figures ſemblables, puiſque
par la définition des figures ſemblables, tous les polygones
ſemblables ſont compoſés de triangles ſemblables.
497.
Deux triangles ſemblables A B C, D E G ſont entr’eux
aura A B C : D E G :
: A B
D E
: A C
D G
Soient abaiſſées des angles égaux C, G les perpendiculaires
C H, G F: le triangle A C B eſt égal au produit de ſa baſe
A B par la moitié de la perpendiculaire C H; &
de même le
triangle D G E eſt égal au produit de ſa baſe D E par la moi-
tié de la perpendiculaire G F; on aura donc A C B = A B
x {C H/2}, & D G E = D E x {G F/2}, &
faiſant une proportion avec
les termes de ces équations, on aura A C B : D G E :
: A B x {CH/2}:
D E x {G F/2}.
Mais puiſque les triangles ſont ſuppoſés ſembla-
bles, les triangles rectangles A C H, D G F le ſeront auſſi,
égal à l’angle D de l’autre: donc on aura C H:
G F:
: C A:
G D,
& l’on a pour les premiers triangles C A :
G D :
: A B:
D E;
donc A B :
D E :
: C H:
G E;
on aura auſſi A B:
D F:
: {A B/2}:
{D E/2};
donc en multipliant par ordre les deux dernieres proportions,
il viendra A BD E
: C H x {A B/2}:
G F x {D E/2};
donc puiſque la
derniere raiſon de cette proportion eſt la même que la derniere
de notre premiere proportion, on aura A C B : C G E :
: A B
D E
C. Q.
F.
D.
498.
On peut encore ſe ſervir de cette propoſition, pour
deux autres côtés dans un triangle rectangle quelconque,
comme A B C: car abaiſſant de l’angle droit la perpendicu-
laire B D, on aura trois triangles ſemblables A B C, A D B,
B D C; &
prenant pour côtés homologues de ces triangles rec-
tangles les hypoténuſes A C, A B, B C, on aura A B C: A D B:
B D C :
: A C
A B
B C
mais le triangles A B C eſt égal à
la ſomme des triangles A D B, B D C: donc auſſi le quarré
A C
poténuſes A B, B C, qui ſont les côtés du même triangle A B C.
499.
Les parallélogrammes ſont dans la raiſon compoſée des
des hauteurs, c’eſt-à-dire comme les produits de leurs baſes
par leurs hauteurs.
Ayant les parallélogrammes G &
H, ſi l’on nomme a la baſe
du premier, & b ſa hauteur, c la baſe du ſecond, &
d ſa hau-
teur, le premier G ſera égal au produit ab, & le ſecond H
ſera égal au produit c d de ſa baſe par ſa hauteur: ainſi on
aura G: H :
: a b :
c d.
C.
Q.
F.
D.
500.
Commelestriangles ſont moitiés des parallélogrammes
de même hauteur, ils ſeront auſſi entr’eux
comme les produits de leurs baſes par leurs hauteurs.
501.
Si les produits a b, c d des baſes par les hauteurs ſont
égaux, les parallélogrammes G, H, qui ſont comme ces pro-
duits, ſeront auſſi égaux; auſſi-bien que les triangles, qui ſont
la moitié des mêmes parallélogrammes; d’où l’on déduit cette
propoſition générale: deux parallélogrammes ou deux trian-
gles ſont égaux, lorſqu’ils ont des baſes réciproques à leurs
hauteurs; &
réciproquement, ſi deux triangles ou deux paral-
lélogrammes ſont égaux, ils ont des baſes réciproques à leurs
hauteurs; car puiſque a b = c d, on aura a:
c :
: d:
b.
502.
Il ſuit encore de cette propoſition, que ſi deux trian-
gles ou deux parallélogrammes ſont ſemblables, ils ſeront en-
tr’eux comme les quarrés de leurs baſes ou de leurs hauteurs: car puiſque ces triangles ſont ſuppoſés ſemblables, les baſes &
les hauteurs ſeront proportionnelles: ainſi on aura a:
c :
: b:
d,
& a:
c :
: a:
c, multipliant ces deux proportions par ordre, il
viendra a a: cc :
: a b:
c d;
donc puiſque la raiſon de a
égale à celle de a b à c d, on aura G: H :
: a
c
que les parallélogrammes ſemblables, ou les triangles qui en
ſont les moitiés, ſont entr’eux comme les quarrés de leurs
baſes, ou comme s’expriment les Géometres en raiſon dou-
blée de leurs baſes.
503.
Si l’on a trois lignes en proportion continue, je dis que le
quarré fait ſur la premiere, eſt au quarré fait ſur la ſeconde, comme
la premiere ligne eſt à la troiſieme, c’eſt-à-dire, en repréſentant ces
lignes par les lettres a, b, c, que ſi l’on a, a: b :
: b :
c, on aura
ab
: a :
c.
Pour prouver que aa:
bb :
: a:
c, nous ferons voir que le pro-
duit des extrêmes eſt égal à celui des moyens, ou que abb = aac. Pour cela, faites attention que puiſque par hypotheſe les trois
b :
: b:
c, d’où
l’on tire a c = bSi donc on multiplie chaque membre de
cette équation par a, on aura a
le produit des extrêmes & celui des moyens de la proportion
qu’il s’agiſſoit de prouver. C.
Q.
F.
D.
504.
Il ſuit de cette propoſition, que ſi l’on a trois lignes
proportionnelles, non ſeulement le quarré fait ſur la premiere
eſt au quarré fait ſur la ſeconde, comme la premiere eſt à la
troiſieme; mais que tous polygones ſemblables, réguliers ou
irréguliers, faits ſur ces deux lignes, ſeront entr’eux comme
la premiere eſt à la troiſieme: car comme les polygones ſem-
blables ſont entr’eux comme les quarrés de leurs rayons ou des
côtés homologues, & que par hypotheſe, nos deux premieres
lignes ſont des côtés homologues de ces polygones ſemblables,
le premier polygone ſera au ſecond, comme le quarré de la
premiere ligne au quarré de la ſeconde, ou comme la premiere
ligne à la troiſieme. D’où il ſuit, qu’ayant les ſurfaces de deux
polygones ſemblables, on peut toujours aſſigner deux lignes
qui ſoient entr’elles, comme ces ſurfaces.
505.
Si l’on a deux lignes droites, que nous nommerons a &
b,
je dis que le rectangle compris ſous ces deux lignes, eſt moyen pro-
portionnel entre les quarrés des mêmes lignes, c’eſt-à-dire que l’on
aura aa: ab :
: ab:
bb.
Il eſt certain que la proportion aa:
ab :
: ab:
bb, doit avoir
lieu, puiſque le produit des extrêmes & celui des moyens don-
nent a a b b = a a b b. C.
Q.
F.
D.
506.
Trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes
Pour trouver une moyenne proportionnelle entre les deux
lignes A & B, il faut joindre ces deux lignes, enſorte qu’elles
n’en faſſent qu’une ſeule C D, obſervant de marquer le point
E où elles ſe joignent; il faut enſuite diviſer la ligne entiere
en deux également au point F, & de cepoint, comme centre,
décrire un demi-cercle. Préſentement ſi au point E, où les deux
lignes ſe joignent, on éleve une perpendiculaire E H, qui aille
ſe terminer à la circonférence, elle ſera la moyenne que l’on
cherche; ce qui eſt bien évident, puiſque par la propriété du
cercle (art. 444), toute perpendiculaire, comme H E, eſt
moyenne proportionnelle entre les parties C E & E D du dia-
metre. Ainſi ſuppoſant que la ligne K ſoit égale à H E, l’on
aura les trois lignes proportionnelles A, K, B.
507.
Si l’on vouloit avoir une moyenne proportionnelle
entre deux nombres donnés, comme 4 & 9, il faudroit mul-
tiplier ces deux nombres l’un par l’autre, & extraire la racine
du produit 36, que l’on regardera comme le quarré de la
moyenne, qui eſt 6, puiſque le quarré de cette moyenne eſt
égal au produit des extrêmes 4 & 9;
ce qui donne 4:
6 :
: 6:
9.
Si le produit des deux nombres donnés n’eſt pas un quarré,
ce qui arrivera toutes les fois que l’un des nombres, ou tous les
deux, ne ſeront point des quarrés, on ne pourra avoir la
moyenne que l’on demande que par approximation, en ſe ſer-
vant des décimales pour extraire la racine du produit. Il eſt
encore à remarquer que la Géométrie nous donne exacte-
ment ces lignes, quoiqu’elles ſoient ce qu’on appelle incom-
menſurables, c’eſt-à-dire qu’elles n’aient aucune meſure com-
mune, ſi petite qu’elle ſoit, avec les lignes propoſées. Par
exemple, quoiqu’il puiſſe arriver que le nombre des parties de
la ligne A ne ſoit pas un nombre quarré, ainſi que ceux des
parties de la ligne B, on trouve cependant la longueur exacte
de la moyenne K, que l’on ne pourroit pas déterminer en
nombres dans cette ſuppoſition.
508.
Trouver une troiſieme proportionnelle à deux lignes don-
nées.
Si l’on veut trouver une troiſieme proportionnelle à deux
N, enſorte que la premiere ligne M ſoit
à la ſeconde N, comme la même ſeconde N à celle que l’on
cherche; il faut faire à volonté un angle A B C, prendre ſur
la partie
D F égale à la ſeconde N, & ſur le côté B A la partie B E égale
à la même ſeconde N, & tirer la ligne E D;
ſi du point F
on mene la ligne F G parallele à la ligne E D, je dis que la ligne
E G ſera la troiſieme proportionnelle demandée.
Conſidérez que le triangle B G F a ſes deux côtés B G, B F
coupés proportionnellement par la ligne D E parallele à ſa baſe
F G, par conſtruction, & que par conſéquent (art.
397) on a
B D : D F :
: B E:
E G, mais B E étant égal à D F, par con-
ſtruction, on aura B D: D F :
: D F:
E G.
Ainſi faiſant la ligne
O égale à E G, on aura les trois lignes continuement propor-
tionnelles M, N, O.
509.
Si l’on vouloit trouver une troiſieme proportionnelle
à deux nombres, il faut quarrer le ſecond, & diviſer ce quarré
par le premier; le quotient ſera la troiſieme proportionnelle
demandée. Si le ſecond nombre n’eſt pas diviſible par le pre-
mier, ſon quarré ne ſera pas non plus diviſible par ce même
premier nombre: ainſi l’on ne pourra trouver la troiſieme pro-
portionnelle que par approximation, en ſe ſervant des fractions
décimales. Surquoi l’on remarquera encore la différence de la
Géométrie à l’Arithmétique dans la détermination des quan-
tités, en ce que la premiere donne exactement la longueur
des lignes que l’on cherche, ſans déterminer le nombre de
leurs parties, & la ſeconde donne leur valeur exacte dans cer-
tains cas, en fixant le nombre de lcurs parties; &
dans d’au-
tres, ne peut la donner que par une approximation, que l’on
pouſſeroit juſqu’à l’infini, ſans jamais arriver à la juſte valeur.
On pourroit encore réſoudre le dernier problême d’une au-
tre maniere, en ſe ſervant du cercle. Qu’il faille, par exemple,
trouver une troiſieme proportionnelle aux lignes B, K, on pren-
dra la ligne C E égale à la ligne B; ſur cette ligne on élevera
la perpendiculaire E H égale à la ligne K; on menera la ligne
C H, ſur laquelle on élevera la droite H D perpendiculaire,
qui ira rencontrer le prolongement de la ligne C E en D, &
déterminera la ligne E D, qui ſera la troiſieme proportionnelle
car il eſt viſible que l’angle C H D étant droit, la
droite E H ſera moyenne entre les ſegmens de la baſe, ou, ce
qui revient au même, la droite E D ſera troiſieme proportion-
nelle aux lignes C E, E H, ou à leurs égales B, K. C.
Q.
F.
T.
&
D.
510.
Trouver une quatrieme proportionnelle à trois lignes don-
Pour trouver une quatrieme proportionnelle aux trois lignes
P, Q, R, il faut, comme dans la propoſition précédente, faire
un angle à volonté C S X; prendre ſur le côté C S la partie
S V égale à la ligne P, & la partie V Z ſur le même côté égale
à la ligne Q, & ſur l’autre côté S X, la partie S T égale à la
ligne R; après quoi tirer la ligne T V, à laquelle on menera
du point Z la parallele Z X, qui donnera la ligne T X égale à
la quatrieme proportionnelle que l’on cherche.
Les côtés du triangle Z S X étant coupés par la ligne T V,
parallele à la baſe Z X, l’on aura (art. 393) S V :
V Z :
: ST :
TX.
Ainſi faiſant la ligne Y égale à T X, l’on aura les quatre lignes
proportionnelles, P, Q, R, Y. C.
Q.
F.
T.
&
D.
511.
Pour trouver une quatrieme proportionnelle à trois
nombres donnés, il n’y a qu’à faire la Regle de Trois ordi-
naire, puiſque cette Regle n’eſt autre choſe que l’art de trouver
une grandeur quatrieme proportionnelle à trois autres don-
nées. On va voir dans les problêmes ſuivans, l’uſage qu’on
peut faire des précédens, & les propriétés des lignes propor-
tionnelles.
512.
Faire un quarré égal à un rectangle.
Pour faire un quarré égal à un rectangle A C, il faut cher-
cher une moyenne proportionnelle entre les côtés inégaux A B
& B C du rectangle donné, &
le quarré de cette moyenne ſera
égal au rectangle donné. Puiſque la ligne D E eſt moyenne
B C du rectangle A C,
il eſt certain que ſon quarré D F ſera égal au rectangle A C,
puiſque ce rectangle eſt égal au produit des extrêmes A B, B C.
513.
Comme nous avons prouvé qu’un cercle eſt égal à
un rectangle compris ſous la moitié de la circonférence, & la
moitié du diametre (art. 485), il s’enſuit que le quarré d’une
ligne qui ſeroit moyenne proportionnelle entre le demi-dia-
metre & la demi-circonférence, ſeroit égal au cercle.
514.
Trouver un quarré qui ſoit à un autre dans une raiſon
Pour trouver un quarré qui ſoit au quarré C B dans une rai-
ſon donnée, par exemple, de 3 à 5, je fais une ligne G H,
égale aux trois cinquiemes du côté A B; enſuite entre les li-
gnes A B & G H, je cherche une moyenne proportionnelle
E F, ſur laquelle je fais le quarré I F, qui ſera les trois cin-
quiemes du quarré C B: car comme les trois lignes A B, E F,
G H ſont en proportion continue, on aura A BE F
: A B :
G H;
mais G H eſt, par conſtruction, les trois cinquiemes de A B:
donc auſſi E F
515.
Cette propoſition doit s’entendre, non ſeulement des
quarrés, mais encore de toutes les figures. Par exemple, ſi l’on
vouloit faire un pentagone irrégulier quelconque ſemblable à
un autre pentagone irrégulier, & qui eût avec lui une raiſon
donnée, on chercheroit une moyenne proportionnelle entre un
côté quelconque du pentagone propoſé, & une ligne qui au-
roit avec ce côté, la raiſon donnée: ſur cette moyenne ainſi
déterminée, comme côté homologue, on décriroit le penta-
gone demandé, & l’on trouveroit les autres côtés par une ſim-
ple Regle de Trois, en ſe ſervant des triangles ſemblables,
comme on a vu (art. 510).
Cette propoſition fournit un moyen
pour réduire des figures quelconques de grand en petit, ou de
petit en grand, dans un rapport quelconque.
516.
Trouver le rapport de deux figures ſemblables.
Pour trouver le rapport de deux figures ſemblables A &
B,
à leurs côtés homologues, C D & E F;
le rapport de la ligne
C D à la ligne G H, ſera le même que celui du polygone A au
polygone B.
Pour le prouver, conſidérez que puiſque les polygones A
& B ſont ſemblables, on a A :
B :
: C D
E F
que puiſ-
que les trois lignes C D, E F, G H ſont en proportion conti-
nue, on a C DE F
: C D :
GH, d’où l’on tire A :
B :
: CD :
GH.
C.
Q.
F.
T.
&
D.
517.
Faire un rectangle égal à un autre qui ait un côté dé-
L’on demande de faire un rectangle égal au rectangle B C,
enſorte qu’il ait un de ſes côtés égal à la ligne donnée D E.
Pour cela, il faut chercher une ligne qui ſoit quatrieme pro-
portionnelle à la ligne donnée D E (art. 510), &
aux deux
côtés A C & A B du rectangle;
enſuite ſi l’on fait un rectan-
gle ſous la ligne donnée D E, & ſous la quatrieme que l’on
aura trouvée, ce rectangle ſera égal au rectangle B C.
Pour le prouver, conſidérez que ſi l’on a fait le rectangle
G H, dont le côté F G ſoit égal à la proportionnelle trouvée,
& le côté F H égal à D E, on aura F G:
A B :
: A C:
F H;
donc F G x F H = A B x A C.
C.
Q.
F.
D.
518.
Il ſuit de cette propoſition, que ſi l’on a pluſieurs rectan-
gles, dont les baſes & les hauteurs ſoient inégales, on pourra
les réduire tous à la même hauteur; &
après cela, ſi l’on
veut, n’en faire qu’un ſeul, égal à tous les autres pris enſem-
ble, en lui donnant pour baſe une ligne égale à la ſomme de
toutes les baſes, & pour hauteur, la hauteur commune.
519.
Comme on peut réduire toutes les figures rectiligne des
triangles, & que de chaque triangle on peut faire un rectan-
gle, il ſuit encore, que ſi l’on donne la même hauteur aux rec-
tangles provenus des triangles, on pourra, en les réduiſant
tous dans un ſeul, faire un quarré égal à une figure rectiligne,
compoſée d’un grand nombre de côtés, & même à la ſomme
de pluſieurs figures rectilignes, puiſqu’on n’aura qu’à chercher
une moyenne proportionnelle entre les côtés du rectangle égal
à la figure rectiligne propoſée, ou à la ſomme des figures
données.
520.
Toutes la théorie des rapports des figures ſemblables
ou non ſemblables, eſt fondée ſur les propoſitions que nous
venons de démontrer. Mais comme toutes les figures géomé-
triques droites ou courbes ſont compoſées de triangles, pour
rendre cette partie encore plus complette, nous allons ajouter
deux Théorêmes ſur les propriétés des triangles conſidérés
par rapport à leurs ſuperficies, & dont la connoiſſance ne peut
être que très-utile dans la Géométrie pratique.
Le premier que j’ai tiré d’un Livre de M.
Scooten, Com-
mentateur de la Géométrie de M. Deſcartes, &
qu’on ne trouve
dans aucun Livre d’Elément, peut-être mis au rang des pro-
poſitions les plus géérales que l’on puiſſe donner ſur les rap-
ports des triangles. J’aurois même pu commencer par cette
propoſition le Traité des raiſons des figures géométriques, &
en déduire toutes les propoſitions que nous venons de voir, ſi
cela ne m’eût engagé dans des changemens trop conſidérables,
aimant mieux le faire ici en peu de mots; ce qui ne peut qu’af-
fermir les Commençans dans cette partie, qui eſt abſolument
néceſſaire pour entendre la ſuite. On peut encore faire un
grand uſage de cette propoſition dans la Géodéſie ou diviſion
des champs. Rien de plus curieux que la ſimplicité avec la-
quelle M. Scooten réſout pluſieurs problêmes, qui ſans le ſe-
cours de cette propoſition, paroîtroient très - compliqués. Le
ſecond théorême donne la maniere de trouver la ſurface d’un
triangle quelconque, dont on connoît les trois côtés. Nous
avons déja vu que cette connoiſſance ſuffit pour en avoir la
qu’il faut multiplier par la moitié de la baſe pour avoir l’aire
du triangle (art. 411).
521.
Deux triangles quelconques B A C, E D F qui ont un
l’autre en D, compris entre deux côtés
quelconques, ſont entr’eux comme les produits des côtés qui con-
tiennent l’angle égal.
Sur le côté A C du triangle B A C, ſoit priſe la partie A H
= D F, & ſur A B la ligne A L = D E, &
ſoient menées les
lignes L H, B H. Les triangles L A H, E D F ayant, par hypo-
theſe, un angle égal compris entre côtés égaux, par conſtruc-
tion, ſeront égaux en tout. Cela poſé, à cauſe des triangles
A H L, A H B, qui ont même ſommet en H, & des triangles
A B H, A B C, qui ont même ſommet en B, & qui ſont en-
tr’eux dans la raiſon de leurs baſes, on aura les proportions
ſuivantes. A L H :
A B H :
: A L :
A B, &
A B H :
A B C :
: A H :
A C;
donc en multipliant par ordre A L H x A B H :
A B C x A B H :
:
A L x A H, ou E D x D F: A B x A C, ou en diviſant les deux
premiers termes par la même grandeur A B H, & mettant à
la place du triangle A L H ſon égal D E F, on aura E D F :
A B C :: E D x D F :
A B x A C.
C.
Q.
F.
D.
Des ſommets B, E de chaque triangle, ſoient abaiſſées ſur
les baſes A C, D F les perpendiculaires B K, E M: les ſurfaces
des triangles étant égales aux produits des hauteurs par les
moitiés des baſes, ſeront proportionnelles aux produits des
baſes par les hauteurs, & donneront A B C:
D E F :
: A C x
B K : D F x E M;
mais les triangles A B K, D E M ſont ſem-
blables, ayant, outre l’angle droit, un angle égal de part &
d’autre, l’angle A du premier égal à l’angle D du ſecond: donc A B :
D E :
: B K :
E M, ou en multipliant les deux anté-
cédens par A C, & les deux conſéquens par D F, A B x A C :
D E x D F :: B K x A C :
E M x D F;
mais nous venons de voir que
A B C : D E F :
: B K x A C :
E M x D F;
donc A B C :
D E F :
: A B x
A C : D E x D F.
C.
Q.
F.
D.
522.
Il ſuit des deux démonſtrations précédentes, que la
propoſition eſt encore vraie dans le cas où les angles des deux
triangles ſeroient ſeulement ſupplément l’un de l’autre. Pour
le prouver, ſoit prolongée la ligne F D en G, de maniere que
G D = F D, & ſoit tirée E D:
les triangles G E D, D E F,
ayant des baſes égales, & leur ſommet au même point ſeront
égaux en ſuperficie: donc puiſque A B C:
D E F :
:
A B x A C:
D E x D F, on aura auſſi, en mettant à la place du triangle
D E F ſon égal G D E, & à la place du rectangle D E x D F ſon
égal D E x D G, A B C: G D E :
: A B x A C :
G D x D E.
523.
Comme les parallélogrammes ſont doubles des trian-
gles de même baſe & de même hauteur, il s’enſuit que deux
parallélogrammes quelconques, qui ont un angle égal ou ſup-
plément l’un de l’autre, ſont entr’eux comme les produits des
côtés qui comprennent cet angle.
524.
Si les côtés qui comprennent l’angle égal ſont réci-
proques, c’eſt-à-dire ſi l’on a cette analogie AB : DE :
: DF :
AC,
les rectangles A B x A C, D E x D F ſeront égaux: donc les
triangles ou les parallélogrammes qui ſont dans la raiſon de
ces rectangles ſeront auſſi égaux. On voit par-là que les ar-
ticles 390 & 395 deviennent des corollaires trés-ſimples de
cette propoſition. On peut donc établir généralement, que
deux triangles ou deux parallélogrammes ſont égaux, lorſqu’ils
ont un angle égal ou des angles ſupplémens l’un de l’autre, compris
entre des côtés réciproques.
525.
On pourroit auſſi déduire de cette propoſition la pro-
priété commune à toutes les figures ſemblables, d’être en-
tr’elles comme les quarrés des côtés homologues: car les figures
ſemblables étant toutes compoſées de triangles ſemblables,
& les triangles ſemblables ayant les côtés homologues propor-
tionnels, ceux qui contiendront des angles égaux, ſeront des
côtés homologues: donc puiſque ces triangles ſont entr’eux
des quarrés des mêmes côtés: car il eſt évident que ſi l’on a
A B : A C :
: D E :
D F, on a auſſi A B :
A B :
: D E :
D E :
donc
en multipliant par ordre A BA B x A C :
: D E
D E x D F,
& alternando A B
DE
: A B x A C :
D E x D F;
mais par la
préſente propoſition, ABC : DEF :
: AB x AC :
DE x DF :
donc
dans le cas des triangles ſemblables, ABC : DEF :
: AB
DE
526.
On peut encore faire uſage de cette propoſition pour
le côté A B du triangle A B C, & qui ait avec ce triangle une
raiſon donnée. Par exemple, ſi je veux que le triangle A L H
ſoit le tiers du triangle B A C, après avoir fait A B = a,
A C = b, A L = c, & A H = x;
j’ai par la propoſition pré-
ſente, ab : cx :
: 3 :
1;
donc 3cx = ab, &
dégageant l’incon-
nue, x = {ab/3c}; d’où il ſuit que pour avoir x, il faut chercher une
quatrieme proportionnelle aux lignes 3A L, A B & A C :
car
de l’équation 3cx = ab, on tire cette proportion, 3c : a :
: b :
x.
Pour faciliter l’intelligence de la propoſition ſuivante, qui
ſeroit un peu compliquée pour des Commençans, nous allons
expliquer dans les deux Lemmes ſuivans tout ce qu’il eſt né-
ceſſaire de ſçavoir pour la comprendre aiſément.
527.
Un triangle B A C étant donné, lui inſcrire un cercle
Il eſt aiſé de voir que tout ſe réduit à trouver un point G
au dedans du triangle, qui ſoit tel qu’en abaiſſant ſur chaque
côté les perpendiculaires G D, G E, G F, ces trois lignes ſoient
égales entr’elles: car puiſque le cercle doit être inſcrit au trian-
gle, chaque côté ſera une tangente de ce cercle, & par conſé-
quent perpendiculaire à l’extrêmité des rayons G D, G E, G F. Suppoſons pour un moment que le point G eſt celui qu’on de-
mande, & qu’on ait menées les perpendiculaires GD, GE, GF
nous avons déja vu (art.
448) que
les parties A E, A D des tangentes, compriſes entre le point A
de rencontre, & les points E, D de contact ſont égales en-
tr’elles, mais les droites E G, D G le ſontauſſi; donc les trian-
gles rectangles A G D, A G E ſont égaux en tout, puiſque les
trois côtés de l’un ſont égaux aux trois côtés de l’autre: donc
les angles E A G, D A G ſont égaux; &
par conſéquent le
centre du cercle ſe trouvera quelque part ſur la ligne A G qui
diviſe l’angle B A C en deux également. On fera voir de la
même maniere, que les triangles rectangles B E G, B F G ſont
égaux, & que le centre du cercle ſe trouvera dans la ligne B G
qui diviſe l’angle A B C en deux également: donc il ſera au
point d’interſection des lignes A G, B G. Ainſi pour avoir le
centre G, on n’aura qu’à diviſer deux angles quelconques A
& C, ou bien A &
B, chacun en deux angles égaux, &
le point
G, où les lignes de diviſion ſe couperont, ſera le point de-
mandé. Abaiſſant enſuite de ce point la perpendiculaire G D
ſur le côté A C, on aura le rayon avec lequel on pourra dé-
crire le cercle demandé.
528.
Suppoſant toutes choſes, comme dans le problême précé-
dent, ſi l’on prolonge le côté A B d’une quantité B K = F C, je
dis 1que la ligne A K ſera égale à la demi-ſomme des trois côtés:
2
Quelle ſera la ſomme des trois différences de la demi-ſomme des
trois côtés à chacun des mêmes côtés?
1
Puiſque l’on a AE = AD, BE = BF, DC = CF, la ſom
me des trois côtés ſera 2A E + 2B E + 2C F, ou 2A E + 2B E
+ 2B K, puiſque B K = C F (conſtruction) : donc la demi-
ſomme des trois côtés ſera A E + E B + B K = A K. C.
Q.
F.
1
D.
2
Puiſque A K eſt égal à la demi-ſomme des trois côtés,
il eſt évident que B K eſt l’excès de la même demi-ſomme ſur
le côté A B; de même A E eſt l’excès de la demi-ſomme ſur
B E + B K, ou ſur ſon égal B F + F C, c’eſt-à-dire ſur le côté
B C; &
enfin B E eſt l’excès de la demi-ſomme ſur B K + A E,
ou ſur leurs égales D C + A D, c’eſt-à-dire ſur le troiſieme
côté A C: donc A K eſt la ſomme des trois différences de
C.
Q.
F.
2
D.
529.
On remarquera encore que le triangle B A C eſt par-
tagé par les lignes G B, G C, G A en trois triangles A G C,
A G B, B G C, qui ont tous pour hauteur le rayon du même
cercle: donc la ſurface de ce triangle ſera égale à la ſomme
de celles des trois triangles, c’eſt-à-dire que l’on aura cette
égalité B A C = {AB/2} x G E + {AC/2} x G E + {BC/2} x G E =
{A B + A C + B C/2} x G E = A K x G E. Cette remarque eſt en-
core abſolument néceſſaire pour l’intelligence du théorême
ſuivant.
530.
La ſurface d’un triangle quelconque B A C eſt égale à la
racine quarrée d’un produit de quatre dimenſions, fait de la demi-
ſomme des trois côtés, multipliée par les différences de chacun des
côtés à la même demi-ſomme.
Sur le côté B C ſoit priſe la ligne B M = F C, qui donnera
C M = F B, en ôtant des lignes égales la partie commune
F M; ſoit prolongé le côté A C d’une quantité C H = B F ou
C M: on aura A H = A K, puiſque les parties qui compoſent
ces deux lignes ſont égales. Aux points K, M, H, ſoient éle-
vées ſur chacune des lignes correſpondantes B K, B C, C H
les perpendiculaires K I, M I, H I qui ſe rencontreront toutes
en un ſeul & même point I, &
ſeront toutes égales entr’elles;
car puiſque B M = B K, en tirant B I, les triangles rectangles
B M I, B K I auront, outre l’angle droit, deux côtés égaux cha-
cun à chacun B M = B K, & le côté B I qui leur eſt com-
mun: donc K I = M I;
on feroit voir de même que M I = H I,
puiſque les lignes C M & C H ſont égales:
on prolongera en-
ſuite la ligne A G, qui paſſera auſſi par le point I, comme il eſt
aiſé de le voir, à cauſe des quadrilateres A E G D, A K I H,
qui ſont évidemment ſemblables, puiſque les lignes G D, G E
ſont égales entr’elles, & paralleles aux lignes I H, I K auſſi
égales entr’elles; &
que les lignes A D, A E ſont auſſi égales
entr’elles, ainſi que les lignes A H, A K.
Cette conſtruction ſuppoſée, il eſt aiſé de voir que les qua-
drilateres E G B F, M B K I ſont ſemblables, ayant chacun deux
angles droits, les côtés E G, G F égaux entr’eux, de même
que les côtés B K, B M, l’angle E B F du premier égal à l’angle
en I du ſecond, puiſqu’ils ſont chacun ſupplément du même
angle M B K, & que dans tout quadrilatere, les quatre angles
valent quatre droits: donc les triangles G E B, B K I, qui ſont
les moitiés de ces quadrilateres, ſeront ſemblables, & donne-
ront I K: B K :
:
BE :
GE, d’où l’on tire IK x GE = BK x BE;
mais G E
IK x GE:
:GE:
I K, &
à cauſe des triangles ſemblables
A E G, A K I; GE :
I K :
: AE :
AK;
donc GE
IK x GE
ou B K x B E :: A E :
A K;
&
prenant le produit des extrêmes
& des moyens G E
&
multipliant
encore chaque membre par A K, G E
x A E x A K, d’où l’on déduit, en prenant les racines de part
& d’autre, G E x A K, ou (art.
529) la ſurface du triangle
B A C = √B K x B E x A E x A K\x{0020}. Or il eſt viſible que les
facteurs ſoumis au radical ſont les trois différences de la demi-
ſomme des trois côtés, à chacun de ces côtés, multipliées par
la même demi-ſomme A K : donc la ſurface du triangle B A C
eſt égale à la racine quarrée d’un produit de quatre dimen-
ſions, fait de la demi-ſomme des trois côtés, multipliée par
la différence de la même demi-ſomme à chacundes trois côtés.
C. Q.
F.
D.
531.
ON appelle priſme, un ſolide terminé par deux poly-
gones ſemblables & égaux, paralleles entr’eux, &
par autant
de parallélogrammes que le polygone qui lui ſert de baſe a de
côtés: tel eſt le ſolide cotté A.
On appelle axe du priſme une
Si cette ligne eſt
perpendiculaire à la baſe du priſme, le priſme eſt appellé droit,
& on l’appelle priſme oblique ou incliné, lorſque cette ligne eſt
inclinée ſur le plan de la baſe.
532.
On appelle cylindre, un ſolide engendré par le mou-
vement d’un cercle qui ſe meut parallélement à lui même le
long d’une ligne A B. Le cercle inférieur de ce ſolide eſt ap-
une ligne menée du
centre du cercle inférieur au centre du cercle ſupérieur eſt ap-
pellée l’axe du cylindre: Si cette ligne eſt perpendiculaire ſur
le cercle inférieur, le cylindre eſt appellé droit; &
ſi cette
ligne eſt inclinée à la même baſe, on l’appelle cylindre oblique.
cylindre par un plan parallele à la baſe de ce cylindre, la coupe
repréſentera un cercle, puiſque le cercle générateur a néceſ-
ſairement paſſé par ce plan pour engendrer le ſolide.
533.
Si d’un point quelconque A, pris au dehors d’un poly-
tous les angles d’un polygone, il en réſultera un ſolide, que
l’on appelle pyramide, dont la baſe ſera le polygone donné,
& qui ſera terminée par autant de triangles que le polygone a
de côtés. Les ſolides, repréſentés par les figures 114 &
115,
ſont des pyramides. Le point A, d’où l’on mene les lignes aux
angles de la baſe, eſt appellé le ſommet de la pyramide. Si la
baſe de la pyramide eſt un polygone régulier, la ligne A H,
menée du centre H de cette baſe au ſommet de la pyramide,
eſt appellée l’axe de la pyramide. Lorſque cet axe eſt perpen-
diculaire à la baſe, la pyramide eſt droite; autrement elle eſt
inclinée.
534.
Si le polygone qui ſert de baſe à la pyramide eſt un
cercle, alors on lui-donne le nom de cône. On peut donc ima-
giner qu’un cône eſt formé par la révolution d’une droite C A,
dont l’extrêmité inférieure
tourne autour d’un cercle A D B A, au dehors duquel eſt placé
le point C. Le cercle A D B A eſt appellé la baſe du cône;
le
point C eſt appellé le ſommet du cône. Une ligne menée du
centre de la baſe du cône au ſommet, eſt appellée axe du cône. Si l’axe eſt perpendiculaire à la baſe du cône, le cône eſt droit.
Si l’axe eſt incliné à la même baſe, le cône eſt oblique. Les
figures 116 & 117 repréſentent des cônes.
On peut encore imaginer que le cône droit eſt formé par
la révolution d’un triangle rectangle A D C, autour d’un des
côtés de l’angle droit C D; mais on ne peut pas ſuppoſer que le
cône oblique ſoit formé par la révolution d’un triangle obli-
qu’angle, autour de quelqu’un de ſes côtés; ainſi la premiere
définition étant plus générale, eſt auſſi la meilleure.
535.
On appelle cône tronqué droit, un ſolide formé par la
On
peut encore dire qu’un cône tronqué eſt ce qui reſte d’un cône
A B C, après en avoir ôté le petit cône D B E, qui a été coupé
536.
La ſphere eſt un ſolide terminée par une ſeule ſurface
dedans de laquelle il y a un point qu’on appelle centre de la
ſphere, duquel toutes les lignes droites menées à la ſurface ſont
égales entr’elles. On peut imaginer que la ſphere a été en-
gendrée par la révolution d’un demi-cercle autour d’un dia-
metre. Le demi-cercle engendre la ſolidité de la ſphere, &
la
demi-circonférence engendre la ſurface de la même ſphere.
537.
Segment ſphérique ou portion de ſphere, eſt un ſolide
compris ſous une partie de la ſurface de la ſphere & la ſurface
d’un cercle; où l’une des deux parties inégales A B C &
A D C
Si le plan de ſection paſſe par le centre de la ſphere, il la diviſe
en deux ſegmens égaux, que l’on appelle hemiſpheres. On peut
imaginer que le ſegment ſphérique eſt formé par la révolution
d’un ſegment de cercle autour d’une ligne, qui diviſe la corde
de ce ſegment en deux parties égales, & qui lui eſt perpendi-
culaire.
538.
On appelle zone une partie A B C D de la ſurface d’une
A D, de la même
ſphere paralleles entr’eux.
539.
Le ſecteur de ſphere eſt un ſolide terminé en pointe au
centre de la ſphere, qui a pour baſe une partie de la ſurface de
la ſphere, comme C O H. On peut imaginer que le ſecteur
autour d’une ligne qui paſſe par le centre, & qui diviſe ſa corde
en deux parties égales.
540.
Orbe eſt un corps ſphérique, qui eſt terminé par deux
concentriques, l’une concave, &
l’au-
tre convexe, comme le corps qui eſt borné par les deux ſuper-
l’autre
F G H I, qui eſt concave: ainſi vous voyez que l’orbe eſt ce
qui reſte, lorſque d’une grande ſphere, comme B C D E on
en a ôté une plus petite concentrique à la plus grande, comme
F G H I. On peut concevoir un orbe comme formé, par la ré-
volution d’une couronne autour d’un diametre.
541.
Comme on peut concevoir un orbe d’une épaiſſeur in-
finiment petite, il s’enſuit qu’une ſphere peut être conſidérée
comme compoſée d’une infinité d’orbes, dont le plus grand
eſt la ſurface de la ſphere, & le plus petit eſt celui qui va ſe
terminer à zero, au centre de la ſphere.
542.
On appelle angle ſolide celui qui eſt formé par la ren-
contre de pluſieurs plans qui ſe terminent à un même point,
tel eſt, par exemple, l’angle E qui eſt compoſé des plans
B E C:
pour mieux comprendre cette
définition, il faut conſidérer le ſommet des pyramides, les
coins des cubes & des parallelepipedes, qui ſont des angles
ſolides. Il faut au moins trois plans pour former un angle ſo-
lide, de même qu’il faut deux lignes pour former un angle
plan.
543.
La ſurface de tout priſme droit, ſans y comprendre les
gne F G égale à la ſomme des côtés de la baſe du priſme, & pour
hauteur une ligne G H égale à la hauteur A E du priſme.
Si le priſme droit a pour baſe un exagone régulier, il ſera
renfermé par ſix rectangles, tels que D E: donc ſi la ligne F G
eſt égale à la ſomme des côtés du polygone, pris enſemble,
elle ſera ſextuple du côté A D; &
comme les rectangles E D,
F H ont la même hauteur, le rectangle F H ſera ſextuple du
rectangle E D, & par conſéquent égal à la ſurface du priſme.
C.
Q.
F.
D.
544.
Le cylindre ayant pour baſe un cercle, que l’on peut
regarder comme un polygone d’une infinité de côtés, il s’en-
ſuit que le rectangle qui aura pour baſe une ligne droite égale
à la circonférence du cercle qui ſert de baſe au cylindre, &
pour hauteur celle du cylindre, que l’on ſuppoſe droit, ſera
égal à la ſurface du même cylindre.
On démontreroit de même que la ſurface d’un priſme droit
quelconque, dont la baſe ſeroit un polygone irrégulier, comme
on voudra, eſt égale à celle d’un rectangle qui auroit même
hauteur que le priſme, & une baſe égale à la ſomme des côtés
du polygone.
545.
La ſurface d’une pyramide droite quelconque, comme ABC,
égale à la ſomme des côtés du polygone régulier qui lui ſert de
baſe, & pour hauteur une ligne G H égale à une perpendiculaire
B F abaiſſée du ſommet de la pyramide ſur un des côtés D E.
Imaginons que la pyramide A B C D E a pour baſe un exa-
gone régulier; comme elle eſt ſuppoſée droite, elle ſera renfer-
mée par ſix triangles égaux au triangle D B E: donc ſi l’on a
un triangle G H I, dont la baſe H I ſoit ſextuple de la baſe
D E du triangle D B E, & dont la hauteur ſoit égale à celle du
même triangle, la ſurface de ce dernier triangle G H I ſera
ſextuple de celle du triangle D B E: donc elle ſera égale à la
ſurface dela pyramide, ſans y comprendre la baſe. C.
Q.
F.
D.
546.
Si la pyramide n’avoit pas pour baſe un polygone régu-
lier, la perpendiculaire menée du ſommet de la pyramide ſur
chaque côté ne ſeroit pas la même pour tous les triangles, quoi-
que la pyramide fût droite, & cela arriveroit encore dans le
cas où la pyramide ayant pour baſe un polygone régulier, ne
ſeroit pas droite. Dans ces deux cas, il faut chercher la ſurface
de chacun des triangles en particulier, & la ſomme de ces ſur-
faces ſera la ſurface de la pyramide.
547.
Un cône droit pouvant être regardé comme une py-
ramide droite d’une infinité de côtés, il s’enſuit que ſa ſurface
ſera égale à celle d’un triangle, qui auroit pour baſe une ligne
égale à la circonférence du cercle qui lui ſert de baſe, & pour
hauteur une ligne égale au côté du cône.
548.
Les parallelepipedes &
les priſmes droits ſont dans la rai-
ſon compoſée des raiſons de leurs trois dimenſions, ou comme les
produits de leurs trois dimenſions.
Nous avons vu (art.
26), que pour trouver la ſolidité des
parallelepipedes, il falloit multiplier le produit des deux di-
menſions de leurs baſes par leurs hauteurs. Si donc on a deux
priſmes, dont l’un ſoit A & l’autre B, dont les dimenſions du
premier ſoient a, b, c; &
les dimenſions du ſecond d, e, f;
le ſolide du premier priſme, ou ce priſme lui-même, ſera égal
à abc, & le ſolide du ſecond priſme, ou ce prime lui-même,
ſera d e f: donc on aura A:
B:
: a b c:
d e f;
mais la raiſon de
a b c à d e f eſt compoſée des trois raiſons de a à d, de b à e,
de c à f: donc les priſmes ſont en raiſon compoſée de leurs
trois dimenſions, ou comme les produits de leurs dimenſions.
C. Q.
F.
D.
549.
Les priſmes &
les cylindres étant compoſés d’un nom-
bre infini de plans égaux, & ſemblables à ceux de leurs baſes,
on peut dire que puiſque le nombre de ces plans eſt exprimé
par la hauteur de ces ſolides, il faudra, pour en trouver la va-
leur, multiplier la baſe par la hauteur: donc puiſque la ſolidité
des priſmes & des cylindres dépend du produit de leur trois
dimenſions, il s’enſuit qu’ils ſeront entr’eux dans la raiſon
compoſée de celles des mêmes dimenſions.
550.
Il ſuit encore delà que l’on trouvera toujours le rap-
par leurs hauteurs: quand je dis de même eſpece, j’entends,
par exemple, les pyramides, les cônes, &c.
Car quoique nous
n’ayons pas encore donné la maniere de trouver la ſolidité des
pyramides & des cônes, cela n’empêche pas qu’on ne ſoit con-
vaincu qu’elles dépendent des produits de leur trois dimen-
ſions: car ſi pour trouver le ſolide d’une pyramide, il faut mul-
tiplier la baſe par le tiers ou lamoitié de ſa hauteur, il eſt certain
que pour trouver la ſolidité d’une autre pyramide, il faudra auſſi
multiplier ſa baſe par le tiers ou la moitié de ſa hauteur: ainſi
en multipliant de la même maniere les trois dimenſions d’une
pyramide, & les trois dimenſions d’une autre;
ſi ces produits
ne donnent pas les ſolidités, ils donneront au moins le rap-
port que ces pyramides ont entr’elles.
551.
Toute pyramide, comme A B C D E, eſt le tiers d’un priſme
de même hauteur.
Suppoſant que la baſe A C ſoit un quarré, nous nommerons
A D ou D C a, A H ou E F b, & la perpendiculaire E G {1/2} a,
puiſqu’elle eſt moitié de I K ou de A D.
Conſidérez que ſi du priſme A K on retranche la pyramide
A B C D E, il reſtera quatre autres pyramides telles que A H I E B,
qui ſont toutes égales entr’elles, ayant chacune pour baſe un
des rectangles A H I B de la ſurface du priſme, & pour hauteur
une perpendiculaire égale à E G. Or ſi l’on multiplie a a, qui
eſt la baſe A C, de la pyramide A E C par ſa hauteur E F, qui
eſt b, on aura a a b pour le produit de ſes trois dimenſions; &
multipliant auſſi a b, qui eſt la baſe de la pyramide A H I E B,
par ſa hauteur E G, qui eſt {1/2} a, on aura {aab/2} pour le produit de
ſes trois dimenſions. Ainſi la pyramide A B C D E eſt à la
pyramide A H I E B, comme a a b eſt à {aab/2}; donc la premiere
eſt double de la ſeconde (art. 550), puiſque ces pyramides ſont
entr’elles comme les produits de leurs trois dimenſions. Mais
{ſi l’on joint encore à cette pyramide la py-
ramide A B C D E = a a b, on aura le ſolide entier, égal à
3aab: donc la pyramide A E C ſera le tiers du ſolide ou priſme
droit A K. C.
Q.
F.
D.
552.
Puiſque la pyramide A B C D E eſt le tiers du priſme
A K, ſi l’on coupe cette pyramide par un plan B E D, qui paſſe
par le ſommet E & les angles oppoſés de la baſe, ce plan di-
viſera la pyramide totale en deux autres pyramides égales,
& le priſme quarré en deux autres priſmes, pareillement égaux
entr’eux, puiſque chacun a même baſe & même hauteur:
donc puiſque la pyramide totale eſt le tiers du priſme total, la
pyramide triangulaire ſera auſſi le tiers du priſme triangulaire.
D’où il ſuit qu’une pyramide quelconque eſt toujours le tiers
d’un priſme de même baſe & de même hauteur, parce que l’on
peut concevoir un priſme pentagonal, par exemple, comme
compoſé de cinq priſmes triangulaires, & une pyramide pen-
tagonale, comme auſſi compoſée de cinq pyramides triangu-
laires, & comme chacune ſera le tiers du priſme correſpon-
dant, la pyramide totale ſera auſſi le tiers du priſme total.
553.
Il ſuit de cette propoſition, que pour trouver la ſolidité
d’une pyramide telle que A B C D E, qui a pour baſe un quarré,
il faut multiplier la baſe, c’eſt-à-dire le quarré A D, par le tiers
de la hauteur de la pyramide, qui eſt la perpendiculaire C H,
ou bien multiplier la baſe par toute la hauteur, & prendre le
tiers du produit.
554.
Si l’on coupe la pyramide droite A C D par un plan F C G,
la ſection donnera un triangle iſoſcele F C G, dont tous les
élémens, tels que I K, ſont en progreſſion arithmétique; mais
comme tous ces élémens ſont autant de lignes égales aux côtés
des quarrés qui compoſent la pyramide, il s’enſuit que la py-
ramide eſt compoſée d’un nombre infini de quarrés, dont
&
comme
pour trouver la ſomme de tous ces quarrés, il faut multiplier
le quarré A D par le tiers de la perpendiculaire C H, l’on pourra
tirer de ce raiſonnement un principe général, qui eſt que ſi l’on
a une progreſſion arithmétique infinie, compoſée de lignes, dont
la plus petite va ſe terminer à o, l’on trouvera la ſomme des quarrés
de toutes ces lignes, en multipliant le quarré de la plus grande li-
gne par le tiers de la grandeur qui exprime la quantité des lignes
ou des quarrés. Comme la ſuite des nombres naturels eſt une
ſuite de grandeurs qui croiſſent en progreſſion arithmétique,
on peut par cette propoſition, prouver que la ſomme des quarrés
de tous les nombres poſſibles, depuis zero juſqu’à l’infini, eſt
égale au tiers du cube du dernier nombre que l’on puiſſe ima-
giner, ou bien au tiers du cube de l’infini.
Il eſt bien important de comprendre ce corollaire, parce
que nous nous en ſervirons dans les démonſtrations ſuivantes.
555.
Il ſuit encore delà, que pour trouver la ſolidité d’une
pyramide droite A B C, qui a pour baſe un polygone quelcon-
car comme cette pyramide eſt compoſée d’une infinité de po-
lygones ſemblables à la baſe, & tous ces polygones ſemblables
étant dans la raiſon des quarrés de leurs côtés homologues
(art. 493), ou de leurs rayons, tels que E F &
A D, leſquels
ſont les mêmes que les élémens du triangle A B D, on peut
dire que ces polygones ſont dans la raiſon des quarrés des li-
gnes d’une progreſſion infinie arithmétique, & que par conſé-
quent pour en trouver la valeur, il faudra multiplier le plus
grand polygone A C par le tiers de la perpendiculaire B D.
556.
Comme le cône A B C eſt compoſé d’une infinité de
A D
du triangle A B D, il s’enſuit que les cercles étant dans la
même raiſon que les quarrés de leurs rayons, il faudra, pour
trouver la valeur de tous les cercles dont le cône eſt compoſé,
multiplier le plus grand cercle A C par le tiers de la perpendi-
culaire B D qui en exprime la quantité.
557.
Si l’on a deux pyramides, A B C &
H L K, dont la hau-
je dis qu’elles ſeront entr’elles dans la raiſon de la baſe A C à la
baſe H K.
Suppoſant que la baſe A C ſoit un exagone régulier, &
la
baſe H K un quarré, nous nommerons le côté M N, a; la
perpendiculaire D G, b; le côté H I ou I K, c;
&
la hauteur
B D ou L O, d. Cela poſé, la baſe A C ſera {6ab/2} ou 3ab, &
la
baſe H K ſera c c, & multipliant les deux baſes par le tiers de
la hauteur commune (art. 553), c’eſt-à-dire par {d/3}, l’on aura
{3abd/3} pour la valeur de la premiere pyramide A B C, & {ccd/3} pour
la valeur de la pyramide H K L: ainſi il faut démontrer que
abd: {ccd/3}:
: 3ab:
c c.
Cette proportion eſt évidente, puiſque le produit des ex-
trêmes eſt égal à celui des moyens: car a b d c c = {3a b d c c/3} =
a b d c c. C.
Q.
F.
D.
558.
Les cônes étant des pyramides d’une infinité de côtés,
il s’enſuit que lorſqu’ils auront la même hauteur, ils ſeront
dans la raiſon de leurs baſes. Il en ſera de même pour les
priſmes & les cylindres qui ſont triples des pyramides ou des
cônes de même baſe & de même hauteur:
car ſi les parties
ſont entr’elles comme les tous, réciproquement les tous ſont
entr’eux comme leurs parties de même nom.
559.
Si l’on a deux priſmes X &
Y, dont les baſes &
les hau-
Pour le prouver, nous ſuppoſerons que a b eſt la baſe du
priſme X, & c d celle du priſme Y, e la hauteur du priſme Y,
& f celle du prime X;
cela étant, par hypotheſe, on a a b:
c d:
:e:
f;
donc a b f=c d e:
or comme le premier membre
de cette équation eſt le produit des trois dimenſions du priſme
X, & le ſecond le produit des trois dimenſions du priſme Y, il
s’enſuit évidemment que ces priſmes ſont égaux. C.
Q.
F.
D.
560.
Il ſuit de cette propoſition, que les cylindres, les pyra-
mides & les cônes qui ont leurs baſes &
leurs hauteurs réci-
proques, ſont égaux chacun à chacun. La démonſtration eſt
la même que la précédente.
561.
Une pyramide tronquée, comme A B E D, eſt égale à une
& A H, pris enſemble;
plus un plan qui ſeroit moyen géométrique
entre ces deux quarrés, & pour hauteur l’axe F G.
Conſidérant la figure H K L I, comme étant la coupe de la
pyramide tronquée, coupée par un plan perpendiculaire à ſa
baſe, & qui paſſeroit par ſon ſommet, &
le triangle H M I,
comme la coupe de la pyramide entiere, nous nommerons le
côté A D, a; K L ou B C, b;
l’axe M G, c;
le petit axe M F de
la pyramide K M L, d: ainſi l’axe F G de la pyramide tronquée
ſera c-d, & l’on aura aa+bb+ab pour la baſe de la pyramide
égale à la pyramide tronquée; car a b eſt moyen proportionnel
entre a a & b b (art.
505).
Ainſi il faut prouver que le produit
de aa + bb + ab par {c-d/3}, qui eſt {aac+bbc+abc-aad-bbd-abd/3},
eſt égal au ſolide de la pyramide tronquée.
Faites attention que la pyramide tronquée eſt égale à la diſ-
férence de la pyramide entiere & de la pyramide emportée;
que la pyramide entiere H M I eſt {aac/3}, &
que la petite pyra-
que ſi l’on ôte la petite de la grande,
la différence ſera la valeur de la pyramide tronquée, qui eſt
{aac-bbd/3}, & qui doit être égale au produit
{aac+bbc+abc-aad-bbd-abd/3}; ce qui fournit cette équation,
{aac-bbd/3}={aac+bbc+abc-aad-bbd-abd/3}.
Pour prouver cette équation, on fera attention qu’à cauſe
des triangles ſemblables H M I, K M L, on a HI:KL:
:MG:
MF,
ou a:b:
:c:
d;
ce qui donne ad=bc:
en mettant donc b c
à la place de a d dans le quatrieme & ſixieme terme du ſecond
membre de cette équation, on aura celle-ci {aac-bbd/3}=
{aac+bbc+abc-abc-bbd-bbc/3}, dans laquelle, effaçant ce qui
ſe détruit, on aura {aac-bbd/3}={aac-bbd/3}. C.
Q.
F.
D.
562.
Il ſuit de cette propoſition, que pour trouver la valeur
d’une pyramide quarrée tronquée, il faut multiplier le côté de
la baſe inférieure de cette pyramide par le côté de la baſe ſupé-
rieure, pour avoir le plan a b, moyen entre les deux, & ajouter
ce plan à la ſomme des deux baſes inférieure & ſupérieure, puis
multiplier le tout par le tiers de la perpendiculaire F G.
563.
Si la baſe de la pyramide n’étoit pas un quarré, pour
avoir le plan moyen, il faudroit multiplier les deux plans l’un
par l’autre, & en extraire la racine:
mais on peut trouver ce
plan d’une maniere plus ſimple, comme on le va voir.
Suppoſons que la baſe de la pyramide eſt un pentagone ré-
gulier, la baſe ſupérieure de la pyramide ſera auſſi un penta-
gone régulier, & ſemblable à celui de la baſe inférieure, parce
que l’on ſuppoſe la pyramide coupée par un plan parallele à
cette baſe. Soit 2a le contour du premier polygone, &
b la per-
pendiculaire qui meſure la hauteur d’un triangle: ſoit pareil-
lement 2c le contour du polygone, qui eſt la baſe de la pyra-
mide emportée, & d la perpendiculaire qui meſure la hauteur
d’un triangle: on aura la ſurface du premier polygone, en
multipliant la hauteur d’un triangle par la moitié du contour:
ſupérieure, en multipliant ſa perpendiculaire par la moitié du
contour (art. 483).
La baſe inférieure ſera donc a b, &
la
baſe ſupérieure c d: multipliant ces deux ſurfaces l’une par
l’autre, le produit ſera a b c d, dont la racine donneroit le
moyen cherché entre les deux baſes: mais je fais attention que
puiſque ces polygones ſont ſemblables, leurs contours, ou les
moitiés de ces contours ſeront entr’elles comme les perpen-
diculaires: on aura donc a:
b:
:c:
d, d’où l’on tire ad=bc.
Si donc dans le produit a b c d, on met à la place de bc le pro-
duit a d, qui lui eſt égal, on aura a a d d pour le quarré du plan
moyen géométrique entre les deux baſes, dont la racine a d,
que l’on peut prendre ſur le champ, donne ce même plan
moyen. D’où il ſuit, que pour trouver un polygone quel-
conque ſemblable à deux autres polygones ſemblables en-
tr’eux, & qui ſoit moyen géométrique entre ces deux poly-
gones, il faut multiplier la moitié du contour du plus grand
par la perpendiculaire de l’autre, ou le demi-contour du plus
petit par la perpendiculaire du plus grand. J’ai inſiſté ſur cette
remarque, parce qu’elle donne une méthode fort commode
de trouver une ſurface moyenne géométrique entre deux au-
tres ſurfaces ſemblables, & que d’ailleurs on ne le trouve pas
dans les autres élémens. Par exemple, pour trouver un cercle
moyen géométrique entre deux cercles donnés, dont les rayons
ſont a & b, les circonférences 2c &
2d, le cercle moyen ſera
également a d ou b c, que l’on trouve ſur le champ, ſans être
obligé d’extraire de racines.
564.
Comme un cône tronqué eſt compoſé d’une infinité
de cercles, qui ſont tous dans la raiſon des quarrés qui com-
poſent une pyramide tronquée, il s’enſuit que pour en trouver
la ſolidité, il faut chercher un cercle moyen entre les deux
cercles oppoſés, ajouter cette ſomme avec les deux qui ſervent
de baſe, & multiplier le tout par le tiers de l’axe compris entre
les deux cercles; il faut auſſi entendre la même choſe de toute
autre pyramide tronquée, ſoit que ſa baſe ſoit réguliere, ſoit
qu’elle ſoit irréguliere.
565.
Une ligne moyenne proportionnelle entre les parties E G
G F du diametre E F d’un cercle, ſera le rayon d’un cercle égal
à la couronne X.
Conſidérez que par la nature du cercle, la ligne G H eſt
moyenne proportionnelle entre les parties E G & G F du dia-
metre; &
à cauſe du triangle rectangle D G H, on a GH
DH&
commeles cercles ſont en mêmeraiſon que les
quarrés de leurs rayons, on aura le cercle de G H égal au cer-
cle de D H moins le cercle de D G; mais la couronne eſt auſſi
égale à la différence des cercles décrits du rayon DH & du
rayon D G: donc la couronne eſt égale au cercle du rayon
G H, ou d’une ligne moyenne entre les parties du diametre. C.
Q.
F.
D.
566.
Si l’on a une demi-ſphere A E D inſcrite dans un cylindre
cylindre.
Prolongez le diametre B C juſqu’en F, enſorte que B F ſoit
égale à B A, & tirez la ligne F A, qui donnera letriangle iſoſ-
cele A B F.
Si l’on ſuppoſe que la demi-ſphere &
le cylindre ſont coupés
par un plan GL parallele à la baſe A D, cette ſection formera
la couronne G H, & ſi l’on abaiſſe du point H la perpendi-
culaire H I ſur le diametre A D, elle ſera, par le lemme précé-
dent, le rayon du cercle égal à la couronne G H, puiſqu’elle
eſt moyenne proportionnelle entre les parties A I & I D, ou
G H & H L qui leur ſont égales.
Or comme les lignes H I,
G A, G K ſont égales, par conſtruction, il s’enſuit que la cou-
ronne G H ſera égale au cercle, qui auroit pour rayon la ligne
correſpondante G K, qui eſt un des élémens du triangle A B E; &
comme le triangle eſt compoſé d’autant d’élémens qu’il y a
de couronnes dans l’eſpace qui eſt entre la demi-ſphere & le
La ſomme des élémens &
des couronnes étant ex-
primée par la ligne B A, il s’enſuit que tous les cercles qui au-
ront pour rayons les élémens du triangle, vaudront, pris en-
ſemble, toutes les couronnes; &
comme pour trouver la va-
leur de tous ces cercles, il faut multiplier le cercle du plus
grand élément F B par le tiers de la ligne B A (art. 554), il
faudra donc pour trouver la ſomme de toutes les couronnes,
multiplier la plus grande couronne B C, qui eſt le cercle qui
ſert de baſe au cylindre, par le tiers de la ligne A B, hauteur
du cylindre; ce qui fait voir que toutes les couronnes, priſes
enſemble, ſont égales au tiers du cylindre, & que par conſé-
quent la demi-ſphere en eſt les deux tiers. C.
Q.
F.
D.
567.
Puiſqu’une demi-ſphere eſt les deux tiers du cylindre
où elle ſeroit inſcrite, c’eſt-à-dire de même baſe & de même
hauteur, il s’enſuit que pour en trouver la ſolidité, il faut mul-
tiplier ſon plus grand cercle A D par les deux tiers du rayon
M E.
568.
Une demi-ſphere étant les deux tiers d’un cylindre de
même baſe & de même hauteur, une ſphere ſera par conſé-
quent les deux tiers du cylindre, qui auroit pour baſe le grand
cercle de la ſphere, & pour hauteur le diametre:
ainſi il faut,
pour trouver la ſolidité d’une ſphere, multiplier ſon grand cercle
par les deux tiers du diametre, ou bien multiplier le grand cer-
cle par le diametre, & prendre les deux tiers du produit.
569.
Si l’on conſidere qu’un quart de cercle eſt compoſé
d’un nombre infini d’élémens, tels que D E, on verra que ſi
décrira une demi-ſphere telle que X, qui ſera compoſée d’une
ſeront les rayons. Or comme les cercles ſont dans la même
raiſon que les quarrés de leurs rayons, & que pour trouver la
valeur de tous les cercles, qui ont pour rayon les élémens du
quart de cercle, il faut multiplier le cercle du plus grand rayon
B C par les deux tiers du demi-diametre A B, il ſuit delà, que
A C, il faut multiplier le quarré du plus grand élément par
les deux tiers de la ligne A B, & l’on peut tirer de ce raiſon-
nement le principe général ſuivant, qui eſt que, dans une ſuite
qui ſeroit compoſee des élémens infinis du quart de cercle, la ſomme
de tous les élémens ſeroit égale au produit du quarré du plus grand
élément, c’eſt-à-dire du rayon par les deux tiers du même rayon.
570.
Les ſolidités des ſpheres ſont dans la même raiſon que les
Si l’on nomme le diametre A B, a, ſa circonférence, b,
le diametre C D, c, & ſa circonférence, d, la ſuperficie du
grand cercle de la premiere ſphere ſera {ab/4}, puiſqu’il faut mul-
tiplier la demi-circonférence par le rayon pour avoir la ſur-
face d’un cercle; de même la ſuperficie du grand cercle de la
ſeconde ſphere ſera {cd/4} multipliant enſuite l’un & l’autre, cha-
cun par les deux tiers de ſon diametre, l’on aura {2a
pour la ſolidité de la premiere ſphere (art. 568), &
par la
même raiſon {cd/6} pour la ſolidité de la ſeconde ſphere: il faut
donc démontrer que {aab/6}: {ccd/6}:
: a
c
Pour prouver que {aab/6}:
{ccd/6}:
: a
c
dans ces quatre termes le produit des extrêmes eſt égal à celui
des moyens, c’eſt-à-dire que {aabcPour cela, con-
ſidérez que les diametres des cercles étant en même raiſon
que leurs circonférences (art. 481), on aura a:
b:
: c:
d, d’où
l’on tire a d = b c, & que ſi l’on met a d à la place de b c dans
le premier membre de l’équation précédente, elle deviendra, en
multipliant chaque membre par 6, aaadcc = aaadcc. C.
Q.
F.
D.
571.
On appelle corps ou ſolides ſemblables ceux dont
deux pyramides ſont ſemblables, lorſqu’elles ont chacune
pour baſes des polygones ſemblables, & que leurs axes ſont
diſpoſés de la même maniere par rapport au plan de leur baſe,
& ſont proportionnels aux côtés homologues, ou aux rayons
de ces polygones: car il faut bien faire attention que les axes
de deux pyramides, ou même leurs hauteurs, peuvent être pro-
portionnelles à leurs rayons, ou aux côtés homologues des baſes
ſemblables, ſans que ces pyramides ſoient des corps ſembla-
bles; ce qui arriveroit ſi l’une des pyramides étoit droite &
l’au-
tre oblique.
572.
Il ſuit de la définition précédente &
de la derniere
propoſition, que toutes les pyramides, priſmes, cylindres, ou
cônes ſemblables, ſeront entr’eux comme les cubes des dimen-
ſions homologues; de leurs axes, par exemple, de leurs hauteurs,
ou, comme s’expriment les Géometres, dans la raiſon triplée
de leurs dimenſions homologues.
Il pourroit arriver, comme nous l’avons déja inſinué, que
deux corps qui ont des baſes ſemblables, fuſſent entr’eux com-
me les cubes de leurs hauteurs, ſans qu’on en puiſſe conclure
qu’ils ſont ſemblables. Imaginons deux priſmes, qui ont cha-
cun pour baſe des pentagones ſemblables, & des hauteurs
proportionnelles aux côtés homologues de ces pentagones, mais
le premier droit, & le ſecond oblique.
Soit 2a le contour de la
baſe du premier; b, la perpendiculaire qui meſure la hauteur
d’un des triangles de la baſe, & c ſa hauteur:
ſoit de même
2d le contour du polygone qui ſert de baſe au ſecond priſme, f
la hauteur d’un triangle, & g la hauteur de ce priſme.
La ſoli-
dité du premier ſera a b c, & celle du ſecond ſera d f g, puiſ-
qu’il faut multiplier la baſe de chacun par ſa hauteur, & l’on
auroit dans ce cas a b c: d f g:
: a
d;
ce qu’il eſt aiſé de prou-
ver, en faiſant voir que le produit des extrêmes eſt égal à ce-
lui des moyens, ou que a b c d = d f g acar puiſque les po-
lygones qui ſervent de baſes ſont ſemblables, leurs contours
ou les moitiés de ces contours ſont proportionnels aux per-
pendiculaires qui meſurent les hauteurs des triangles: donc
b :
: d:
f;
donc a f = b d, &
puiſque, par hypotheſe, les
hauteurs de ces priſmes ſont proportionnelles aux circuits des
baſes, on aura a: c :
: d:
g;
donc a g=c d.
Si dans le premier
membre de l’équation, qu’il faut prouver, on met a f à la place
de bd, & ag à la place de cd, il viendra celle-ci, a
qui fait voir que ces priſmes ſont entr’eux comme les cubes
des côtés de leurs baſes ou de leurs rayons, quoiqu’ils ne
ſoient pas ſemblables. Il eſt donc vrai de dire que lorſque deux
ſolides ſont ſemblables, ils ſont entr’eux comme les cubes des
côtés homologues de leurs baſes, ou comme les cubes de leurs
hauteurs; mais de ce que deux ſolides ſeroient entr’eux com-
me les cubes de leurs côtés homologues ou de leurs hauteurs,
il ne s’enſuit pas qu’ils ſoient ſemblables.
On a ſuppoſé dans cette remarque &
dans ce qui pré-
cede, qu’un priſme oblique eſt égal au produit de ſa baſe par
ſa hauteur; ou, ce qui revient au même, que deux priſmes
ſont égaux, lorſqu’ils ſont compris entre deux plans paral-
leles: ſi l’on veut ſe convaincre de cette vérité, il n’y a qu’à
faire attention qu’un priſme peut être engendré par le mouve-
ment d’un parallélogramme qui ſe meut parallélement à lui-
même, & comme les parallélogrammes inclinés ſont égaux
au rectangle de même baſe, & compris entre les mêmes pa-
ralleles, il s’enſuit que les priſmes droits & obliques, engen-
drés par les mouvemens de ces ſurfaces, ſeront auſſi égaux,
puiſque les ſurfaces génératrices ſont égales, & parcourent le
même eſpace parallélement à elles-mêmes.
573.
La ſurface d’une demi-ſphere A E D eſt égale à celle du
Suppoſant que le cylindre A C &
le cône G H I ont la même
baſe & la même hauteur, nous nommerons a les lignes égales
F E, F D, K H, K I, & b les circonférences A D &
G I.
Cela
poſé, on aura {a b/2} pour la valeur du cercle A D ou G I, qui
étant multiplié par les deux tiers de F E ({2a/3}) donnera {2aab/6}
= {aab/3} pour la valeur de la demi-ſphere (art. 567 &
568), &
ſolidité du cône G H I
Si l’on imagine la demi-ſphere, comme étant compoſée
d’une infinité de petits cônes, qui ont leurs baſes égales, ré-
pandues ſur la ſurface de la ſphere, & dont tous les fommets
venant aboutir au centre F, ont pour hauteur commune le
rayon, on pourra dire que tous ces petits cônes ſont égaux,
pris enſemble, à un ſeul qui auroit pour baſe la ſurface de la
ſphere, & pour hauteur le rayon.
Or comme la valeur de
ce cône, égal à la demi-ſphere, eſt {aab/3}, & que celle du cône
G H I eſt {aab/6}, ces deux cônes ayant la même hauteur, il s’en-
ſuit qu’ils ſeront dans la raiſon des baſes, c’eſt-à-dire comme
le cercle G I eſt à la ſurface de la ſphere, que l’on trouvera,
en diſant: Comme {aab/6}, valeur du cône G H I, eſt à {aab/3}, valeur
du cône égal à la ſphere, ainſi {ab/2}, baſe du cône G H I, eſt à
la baſe du ſecond cône, ou autrement à la ſurface de la demi-
ſphere, que l’on trouvera {6a
à la ſurface du cylindre, puiſqu’il eſt compris ſous la hauteur a
& la circonférence b.
C.
Q.
F.
D.
Conſidérez que ſi du cylindre A C l’on retranche le cône
B F C, qui en eſt le tiers, le ſolide A B F C D qui reſtera, que
&
comme
la demi-ſphere inſcrite eſt auſſi les deux tiers du cylindre, elle
ſera par conſéquent égale à l’entonnoir. Mais ſi l’on imagine
l’entonnoir compoſé d’une infinité de petites pyramides, dont
toutes les baſes ſont à la ſurface du cylindre, & dont la hau-
teur commune eſt le rayon F D, il s’enſuit que toutes les pyra-
mides de la demi-ſphere étant égales à toutes celles de l’en-
tonnoir, toutes les baſes des unes, priſes enſemble, ſeront
égales à toutes les baſes des autres, auſſi priſes enſemble, puiſ-
que ces pyramides ont la même hauteur; mais toutes les baſes
des unes valent la ſurface de la ſphere, & toutes les baſes des
donc la ſurface de la
ſphere eſt égale à la ſurface du cylindre qui lui eſt circonſcrit. C.
Q.
F.
D.
574.
La ſurface du cylindre A C ayant pour baſe la circon-
férence du grand cercle de la ſphere, & pour hauteur le rayon,
il s’enſuit que la ſurface d’une demi-ſphere eſt égale au rectan-
gle compris ſous une ligne droite égale à la circonférence de
ſon grand cercle, & ſous le rayon;
&
que par conſéquent la
ſurface d’une ſphere eſt égale au rectangle compris ſous une
ligne égale à la circonférence de ſon grand cercle & ſous ſon
axe: ainſi pour trouver la ſurface d’une ſphere, il faut mul-
tiplier le diametre de ſon grand cercle par ſa circonférence.
575.
Le grand cercle d’une demi-ſphere étant la moitié du
rectangle compris ſous la circonférence & ſous le rayon, il
s’enſuit que la ſurface d’une demi-ſphere eſt double de ſon
grand cercle; &
par conſéquent la ſurface de la ſphere entiere
eſt quadruple de celle du même grand cercle.
576.
Comme les cercles ſont dans la même raiſon que les
quarrés de leurs rayons (art. 495), il s’enſuit qu’un cercle qui
aura un rayon double d’un autre, aura une ſurface quadruple: par conſéquent la ſurface d’une ſphere eſt égale à celle d’un
cercle, qui auroit pour rayon l’axe de la même ſphere.
577.
Comme les ſurfaces de ſpheres ſont égales à des cer-
cles qui auroient pour rayons les diametres des ſpheres, &
ces cercles étant comme les quarrés de leurs rayons, qui ſont
ici les diametres des ſpheres, il s’enſuit que les ſurfaces des
ſpheres ſont entr’elles comme les quarrés de leurs diametres.
578.
La ſolidité d’une zone A B C D eſt égale aux deux tiers
dre G B C H du plus petit cercle B C.
Comme l’on trouve la valeur de toutes les couronnes qui
ſont entre la zone & le cylindre A E F D, en multipliant la
plus grande couronne E B par le tiers de la ligne E A ou O I
(art. 566), il s’enſuit que ce produit eſt égal au tiers de l’eſ-
pace E G ou F H qui regne entre les deux cylindres A E F D
G B C H; &
que par conſéquent la partie A B G de la zone
qui regne autour du cylindre en eſt les deux tiers. Or ſi l’on
retranche de ce cylindre le cône B I C, qui en eſt le tiers, il
reſtera l’entonnoir G B I C H, qui en ſera les deux tiers, ainſi
la partie A B I C D de la zone vaudra les deux tiers du cylin-
dre A E F D; mais comme le cône B I C, qui fait auſſi partie
de la zone, eſt le tiers du cylindre G B C H, il faut ajouter
ce cône aux deux tiers du cylindre A E F D pour avoir la ſo-
lidité de la zone: ainſi cette ſolidité eſt égale aux deux tiers
du cylindre A E F D, plus au tiers du cylindre G B C H. C.
Q.
F.
D.
579.
Il ſuit de cette propoſition, que ſi l’on coupe une demi-
à la baſe A E, la partie A B C D E (qui eſt la différence de
la demi-ſphere au ſecteur ſphérique C B H D) eſt égale à
l’entonnoir A F C G E du cylindre correſpondant A G, puiſ-
que l’une & l’autre ſont les deux tiers du même cylindre A G.
580.
Il ſuit encore delà que la ſolidité d’un ſecteur ſphé-
rique tel que C I B P, eſt égale aux deux tiers du cylindre
pour
hauteur la fleche P O du ſegment ſphérique B P C, plus au
tiers du cylindre G B C H: car puiſque la demi-ſphere eſt les
deux tiers du cylindre qui lui eſt circonſcrit, & que la zone
A B C D eſt les deux tiers du cylindre A E F D, plus le tiers
du cylindre G B C H, il faut que le ſecteur C I A P ſoit les deux
tiers du cylindre E K L F, plus le tiers du cylindre G B C H.
581.
Il ſuit encore de cette propoſition, que le ſegment ſphé-
tiers du cylindre G B C H: car la demi-ſphere entiere étant les
deux tiers du cylindre A K L D, ſera auſſi les deux tiers des cy-
lindres A E F D & E K L F, dont la ſomme eſt égale au cylin-
dre circonſcrit; mais la zone eſt égale aux deux tiers du cy-
lindre A E F D, plus au tiers du cylindre G B C H: donc en
ôtant la zone de la demi-ſphere, on aura pour le ſolide de la
calotte deux tiers du cylindre E K L F, moins le tiers du cy-
lindre G B C H; d’où il ſuit que le ſolide d’une calotte ſphé-
rique eſt les deux tiers d’un cylindre qui auroit pour baſe le
grand cercle de la ſphere, & pour hauteur, la fleche P O de
la calotte, moins un cône, qui auroit pour baſe le cercle ou la
baſe de la calotte, & pour hauteur le rayon I P, moins la
fleche P O.
582.
Si l’on coupe une demi-ſphere inſcrite dans un cylindre
la zone A B D E eſt égale à celle du cylindre correſpondant A G.
L’entonnoir A F C G E étant égal à la partie A B C D E
579), ſi l’on imagine l’entonnoir compoſé
d’une infinité de petites pyramides qui ont toutes leurs baſes
dans la ſurface du cylindre A G, & pour hauteur le rayon
C E; &
la partie A B C D E de la demi-ſphere, comme étant
auſſi compoſée de petites pyramides, dont les baſes ſont dans
la ſurface de la zone, & qui ont pour hauteur commune le
rayon C E, il s’enſuivra (toutes les pyramides d’une part étant
égales à toutes celles de l’autre, & ayant toutes la même hau-
teur) que néceſſairement toutes les baſes d’une part ſeront
égales à toutes les baſes de l’autre, & qu’ainſi la ſurface de la
zone A B D E ſera égale à celle du cylindre A F G E. C.
Q.
F.
D.
583.
Comme la ſurface de la demi-ſphere A H E eſt égale
à celle du cylindre A I, & que la ſurface de la zone A B D E
eſt égale à celle du cylindre A G, il s’enſuit que la ſurface du
ſegment B H D de la ſphere, eſt égale à celle du cylindre cor-
égale à la circonférence du grand cercle de la ſphere, & ſous
la partie H K.
584.
Il ſuit encore de cette propoſition, que ſi l’on coupe
une demi-ſphere inſcrite dans un cylindre par un plan parallele
à la baſe, les parties de la ſurface de la demi-ſphere ſeront
égales aux zones correſpondantes du cylindre.
585.
Les ſurfaces des cylindres F I &
A G ayant des baſes
égales, ſeront dans la même raiſon que leurs hauteurs H K
& K C;
&
comme le premier cylindre eſt égal à la partie de
la ſurface B H D de la demi-ſphere, & le ſecond à la partie
A B D E, il s’enſuit que les parties de la ſurface de la demi-
ſphere ſont dans la même raiſon que les parties H K & K C
du demi-diametre, la demi-ſphere étant coupée par un plan
B D parallele à ſon grand cercle.
586.
L’on peut dire encore que ſi l’on coupe une ſphere par
un plan perpendiculaire à l’axe, les parties de la ſurface ſphé-
rique ſeront dans la même raiſon que les parties de l’axe.
587.
Lorſque trois lignes a, b, c ſont en proportion continue,
le parallelepipede fait ſur ces trois lignes, eſt égal au cube fait
ſur la moyenne: ainſi il faut prouver que ſi l’on a, a :
b :
: b :
c,
on aura a b c = b b b.
Puiſque par hypotheſe a :
b :
: b :
c, on aura a c = b b:
ainſi
en mettant dans l’équation a b c = b b b, a c à la place de b b,
on aura a b c = a b c. C.
Q.
F.
D.
588.
Lorſque quatre lignes ſont en progreſſion géométrique, le
cube fait ſur la premiere, eſt au cube fait ſur la ſeconde, comme
{../.
.} a.
b.
c.
d, on aura auſſi a a a :
b b b :
: a :
d.
Conſidérez que dans la progreſſion {.
./.
.} a.
b.
c.
d, les trois pre-
miers termes donnent a c = b b, puiſque l’on a a : b :
: b :
c, &
que l’on aura auſſi a d = b c, puiſque a : b :
: c :
d.
Ainſi pour
prouver que a : b :
: a :
d, il ſuffit de faire voir que le produit
des extrêmes & celui des moyens donnent a d = ab.
Pour
cela, il n’y a qu’à mettre a c à la place de b b dans le ſecond
membre de l’équation, & b c à la place de a d dans le premier,
& l’on aura a a b c = a a b c.
C.
Q.
F.
D.
589.
Trouver deux moyennes proportionnelles entre deux lignes
Pour trouver deux moyennes proportionnelles entre deux
lignes données A B & C D, il faut faire un rectangle
ſous les deux lignes, tel que E F ſoit égale à C D, & E G
égal à A B; enſuite prolonger indéfiniment les côtés E F,
E G, & du centre I du rectangle, décrire un cercle de ma-
niere que la circonférence venant couper les lignes prolongées
G K & F L, on puiſſe mener du point K au point L une ligne
K L, qui ne faſſe que toucher l’angle H, & l’on aura les lignes
G K & F L, qui ſeront moyennes proportionnelles entre G E
& E F, c’eſt-à-dire entre les données A B &
C D.
Conſidérez que ſi l’on abaiſſe les perpendiculaires I M &
I N, la corde O L ſera diviſée en deux également au point M
(art. 423) auſſi-bien que la ligne E F, &
que par conſéquent
O E eſt égale à F L, & que K P étant diviſée en deux égale-
ment au point N, auſſi-bien que G E, G K ſera égale à E P. Cela poſé, comme les triangles O E P, H F L, K G H ſont
ſemblables, on aura H F : F L :
: E O :
E P;
mais puiſque O E
eſt égal à F L, on aura H F : F L :
:
F L :
E P;
&
comme les
deux triangles ſemblables E O P, G K H donnent encore
E P :
: G K :
G H, ſi à la place de E P on met G K, qui
lui eſt égal, on aura O E : G K :
: G K :
G H;
ce qui prouve
qu’il y a même raiſon de H F à F L, que de F L à G K, & que
de G K à G H, & que par conſéquent les lignes F L &
G K
ſontmoyennes proportionnelles entre G E & E F.
C.
Q.
F.
D.
590.
Le problême précédent eſt celui qu’on appelle com-
munément la duplication du cube, parce qu’il ſert à faire un
cube double d’un autre, ou qui ait avec lui une raiſon don-
née; il ſeroit à ſouhaiter qu’on pût le réſoudre géométrique-
ment ſans tâtonner: car on peut aiſément reconnoître dans
la conſtruction précédente, qu’il faut décrire pluſieurs cer-
cles avant d’en trouver un, dont la circonférence venant à
couper aux points K, L les lignes prolongées, l’on puiſſe tirer
la ligne K L, qui ne faſſe que toucher l’angle H; il eſt vrai
qu’on peut encore le réſoudre d’une autre façon, comme on
le verra à la ſuite des ſections coniques. Mais quoique la mé-
thode que nous donnerons ſoit plus géométrique que celle-ci,
elle ne laiſſe pas d’avoir ſes difficultés; cependant comme on
ſe ſert plus volontiers des nombres que des lignes dans la pra-
tique, l’on va voir dans le problême ſuivant la maniere dont
on peut trouver en nombres deux grandeurs moyennes géo-
métriques entre deux nombres donnés.
591.
Trouver entre deux nombres donnés deux moyennes pro-
portionnelles.
Pour trouver entre deux nombres deux moyennes propor-
tionnelles, il faut cuber le premier nombre, & faire une Regle
de Trois, dont les deux premiers termes ſoient le premier &
le ſecond nombre donnés, le troiſieme le cube du premier
nombre donné, & le quatrieme terme étant trouvé, ſera le
cube de la premiere moyenne proportionnelle: ainſi pour trou-
ver cette premiere moyenne, il faudra extraire la racine cube
du quatrieme terme. Pour trouver enſuite la ſeconde moyenne,
il faudra chercher une moyenne entre cette premiere trouvée
& le dernier nombre donné.
Ainſi pour trouver deux moyennes proportionnelles entre
2 & 16, je cube le premier nombre 2, qui donne 8, &
je fais
la proportion 2 : 16 :
:
8 :
{8 x 16/2} = 4 x 16 = 64, dont la racine
cube eſt 4, que je regarde comme la premiere de mes deux
moyennes proportionnelles; pour avoir la ſeconde, je cherche
un moyen géométrique entre cette premiere 4, & le ſecond
nombre donné 16, en faiſant 4 : x :
:
x :
16, d’où je tire
xx = 64, & x = 8 en prenant la racine, mes deux moyennes
ſeront donc 4 & 8:
en effet, l’on a la progreſſion {.
./.
.} 2 :
4 :
:
8 :
16.
Si les nombres donnés étoient tels qu’on ne pût pas dans les
opérations extraire les racines cubes & quarrées avec exacti-
tude, il faudroit en ce cas ſe ſervir des décimales, ſuivant les
méthodes expliquées (art. 158 &
159), afin d’approcher le
plus près qu’il eſt poſſible des racines, & d’avoir le plus exacte-
ment qu’on pourra les moyennes demandées. Comme les
Commençans pourroient ne pas entendre d’eux-mêmes la rai-
ſon des opérations que nous venons d’enſeigner pour trouver
deux moyennes proportionnelles entre deux nombres donnés,
en voici la démonſtration.
L’on a vu (art.
588), que lorſque quatre lignes ſont en
progreſſion géométrique, le cube fait ſur la premiere eſt au
cube fait ſur la ſeconde, comme la premiere ligne à la qua-
trieme. On peut donc dire invertendo, la premiere eſt à la ſe-
conde, comme le cube de la premiere eſt au cube de la ſeconde: ainſi connoiſſant la premiere ligne &
la quatrieme, avec le cube
de la premiere, on a les trois premiers termes de cette Regle
de Trois: donc on pourra trouver le cube de la ſeconde, dont
la racine cube ſera la même ſeconde. Mais quand on a une
fois la ſeconde, on voit qu’il n’y a plus qu’à chercher une
moyenne proportionnelle entre cette ſeconde & la quatrieme
(qui n’eſt autre choſe que le ſecond nombre donné), & l’on
aura la troiſieme des quatre proportionnelles, qui ſera en
même-tems la ſeconde des deux inconnues que l’on cherche.
C. Q.
F.
D.
592.
Faire un cube qui ſoit à un autre dans une raiſon donnée.
Pour faire un cube qui ſoit au cube C, dans une raiſon
deux tiers du cube C, il faut diviſer le côté A B du cube C en
trois parties égales, & faire une ligne D E égale à deux de ces
parties, enſuite chercher entre A B & D E deux moyennes
proportionnelles telles que F G & H I, &
le cube qui aura pour
côté la premiere F G de ces deux moyennes proportionnelles,
ſera le cube demandé; car nous allons prouver qu’il eſt les
deux tiers du cube C.
Les quatre lignes A B, F G, H I, D E étant en proportion
continue, on aura le cube de la premiere au cube de la ſeconde,
comme la premiere à la quatrieme; mais par conſtruction, la
quatrieme eſt les deux tiers de la premiere: donc le cube de la
ſeconde F G eſt les deux tiers du cube C fait ſur la premiere. C.
Q.
F.
D.
Si le côté du cube étoit exprimé en nombres, il faudroit de
même en prendre les deux tiers, & chercher entre le tout &
les deux tiers, deux moyennes proportionnelles; le cube fait
ſur la premiere ſera celui que l’on demande.
593.
Comme les ſpheres ſont dans la raiſon des cubes de
leurs diametres ou de leurs rayons (art. 570), de même que
les cylindres, les priſmes, les pyramides & les cônes ſembla-
bles; il s’enſuit que pour trouver quelqu’un de ces ſolides qui
ſoit à ſon ſemblable dans une raiſon donnée, il faut agir à
l’égard de leurs dimenſions homologues, des axes, par exem-
ple, comme on vient de faire à l’égard des côtés des cubes; &
après avoir trouvé la dimenſion homologue, qui eſt ici l’axe,
l’on n’aura qu’à en faire l’axe d’un ſolide ſemblable au ſolide
propoſé, en cherchant les autres dimenſions qui ſoient toutes
proportionnelles aux dimenſions correſpondantes, & dans la
raiſon de l’axe du premier à l’axe du ſecond.
594.
Faire un cube égal à un parallelepipede.
Pour faire un cube qui ſoit égal au parallelepipede A E, il
comme on le ſuppoſe ici, chercher une moyenne proportion-
nelle entre les deux plus petites, A B, B C (art. 506), qui ſera,
par exemple F G, & faire ſur cette ligne un quarré F H, qui
doit ſervir de baſe à un parallelepipede F I, qui doit avoir la
même hauteur que le parallelepipede A E, puiſque le rectangle
A C, qui lui ſert de baſe, eſt égal au quarré F H, qui ſert de
baſe au ſecond. Cela poſé, il faut chercher deux moyennes
proportionnelles entre F G & G K (art.
589), qui ſeront, par
exemple, N O & P Q, &
je dis que le cube fait ſur la premiere
N O ſera égal au parallelepipede F I ou A E.
Pour le prouver, nous prendrons G D égal à F G, pour
avoir le cube G O, nous nommerons F G ou G H, ou G D, a; G K, b;
&
N O, c:
ainſi le parallelepipede F I ſera a a b, le cube
F M ſera a a a, le cube de N O ſera c c c: il faut donc prouver
que a a b = c c c.
Le cube F M &
le parallelepipede F I ayant la même baſe
F H, ſeront dans la raiſon de leurs hauteurs G D & G K, d’où
l’on tire a a a: a a b :
:
a:
b;
&
à cauſe des quatre proportion-
nelles, on verra que le cube fait ſur la premiere, eſt au cube
fait ſur la ſeconde, comme la premiere à la quatrieme, ce qui
donne a a a : c c c :
:
a :
b;
donc puiſque ces deux proportions
ont la même derniere raiſon, on aura a a a : a a b :
:
a a a :
c c c;
mais a
donc a a b = c c c.
C.
Q.
F.
D.
Si les dimenſions du parallelepipede donné étoient expri-
mées en nombres, on n’auroit (pour trouver un cube égal au
parallelepipede) qu’à multiplier les trois dimenſions l’une par
l’autre pour avoir le ſolide du parallelepipede, & extraire la
racine cube du produit, qui ſera le côté du cube demandé.
595.
L’on voit par cette propoſition, qu’il n’y a point de
ſolide qu’on ne puiſſe réduire en cube; car les cônes &
les
ſpheres pouvant ſe réduire en cylindres, & les pyramides en
priſmes, ſi on change la baſe des cylindres & des priſmes en
quarrés qui leur ſoient égaux, on aura des parallelepipedes,
que l’on réduira aiſément en cube par le problême que nous
venons de réſoudre.
COmme tous les Livres qui traitent des Elémens de Géométrie
ne parlent point des Sections Coniques, la plûpart de ceux qui
étudient ces Elémens s’en tiennent là, ſans s’embarraſſer de les
chercher ailleurs, dans la penſée que cette étude eſt plus curieuſe
que néceſſaire, & ne convient qu’aux perſonnes qui veulent ſe
donner toutes entieres aux Mathématiques: cependant il eſt ſi
utile de les ſçavoir, que ſi on les ignore, il n’eſt pas poſſible de
réſoudre les Problêmes les plus communs de la Géométrie pratique,
particuliérement de cette Géométrie pratique qui convient à l’In-
génieur & à l’Officier d’Artillerie:
car ſi le premier veut toiſer
des voûtes ſurbaiſſées, il faut qu’il ſçache comme on trouve la
ſuperficie d’une ellipſe, que l’on appelle communément ovale, &
qui eſt une des Sections coniques. Si le ſecond veut ſçavoir l’art
de jetter les bombes, il ne le peut encore ſans connoître les pro-
priétés de la Parabole, qui eſt auſſi une des Sections coniques. Et pour être bien convaincu de la néceſſité de ſçavoir au moins les
principales propriétés des Sections coniques, il ne faut que lire
l’Application de la Géométrie à la pratique, l’on verra que les
plus belles opérations en dépendent abſolument. Cependant malgré
cela, les Sections coniques ſeroient bien peu de choſe, ſi elles n’a-
voient d’autres uſages que ceux que l’on trouvera ici; elles ſont
ſi néceſſaires à un homme, qui ſans vouloir devenir grand Géo-
ne peut pas les perdre de vue d’un moment: car s’il veut réſoudre
un problême un peu compoſé, il trouvera des équations qui lui
indiqueront les courbes, dont il faudra qu’il ſe ſerve pour conſtruire
les égalités, c’eſt-à-dire pour conſtruire une figure qui donne la
ſolution du Problême.
Je ne parle point de ceci dans cet Ouvrage, parce que je ne
donne que les principales propriétés des Sections coniques, ayant
eu ſeulement pour objet de les faire connoître à ceux qui ont du
goût pour la Géométrie, afin de leur inſpirer l’envie d’aller plus
loin, & d’ailleurs pour m’en ſervir dans les endroits où je ne
pourrois m’en paſſer. Mais s’il ſe trouvoit de ces perſonnes dont
je viens de parler, qui ne ſe bornent point à voir un Livre de
Géométrie, je leur conſeille d’étudier l’excellent Traité des Sec-
tions Coniques de M. le Marquis de l’Hôpital, qui eſt ce que
nous avons de meilleur dans ce genre. Et comme je me ſuis ſervi
dans ce que je donne ici d’une façon de démontrer fort approchante
de la ſienne, je ne doute pas qu’on n’ait une grande facilité à
comprendre cet Auteur, ſi l’on entend bien ce qui ſuit, qui en eſt
en quelque ſorte l’introduction.
596.
SI l’on a une ligne droite A B perpendiculaire ſur la
C D
égales entr’elles; &
que de C, en venant vers B, l’on mene
ſur la ligne A B une quantité de paralleles, comme E F, G H
à la ligne O P, & qu’on faſſe D E ou D F égale à A K, &
de
même D G ou D H égal à A I, & que l’on continue à trouver
une quantité de points, tels que E, G, M, en faiſant tou-
jours D M égal à A L; la ligne que l’on ſera paſſer par tous
ces points ſera une courbe nommée parabole.
597.
La ligne A C B eſt nommée l’axe de la parabole.
598.
Le point A eſt appellé le point générateur, la ligne
O P directrice, & le point D le foyer.
599.
Le point C eſt appellé origine de l’axe ou ſommet de la
parabole, parce que c’eſt de ce point que l’on ſuppoſe avoir
commencé les lignes paralleles qui forment la parabole.
600.
Chaque perpendiculaire, comme K E ou I G, ou M L,
eſt appellée ordonnée à l’axe A B.
601.
Les parties C K, C I, C L de l’axe, compriſes entre le
ſommet & la rencontre d’une ordonnée, ſont appellées abſciſſes
ou coupées de l’axe C B.
602.
Si au ſommet de la courbe on éleve une perpendicu-
laire C N à l’axe C B, quadruple de A C, elle ſera appellée
parametre de la parabole.
603.
Une ligne droite qui ne rencontre la parabole qu’en
un ſeul point, & qui étant prolongée à droite ou à gauche,
ne peut pas la couper, mais tombe toujours au dehors, eſt ap-
pellée tangente.
604.
Dans la parabole, le rectangle compris ſous l’abſciſſe C I
le parametre C N, eſt égal au quarré de l’ordonnée G I.
Ayant nommé les données A C ou C D, a;
les indétermi-
nées ou lignes variables C I, x, & G I, y;
A I ou D G qui lui
eſt égal, par la définition de la courbe, ſera x + a; &
D I ou
C I - C D, ſera x - a, le parametre C N, par ſa définition,
ſera 4a: il faut donc prouver que C I x C N = G I
4ax = yy.
Conſidérez qu’à cauſe du triangle rectangle G I D, on a
G Dmais G D = A I = x + a, ainſi G D
& D I = x - a:
donc D I
GI
on aura donc cette équation, yy = xx + 2ax + aa - xx
+ 2ax - aa = 4ax, en effaçant ce qui ſe détruit. C.
Q.
F.
D.
605.
Dans la parabole, je dis que les quarrés des ordonnées
E K, G I ſont entr’ eux comme leurs abſciſſes C K, C I; ou, ce qui
eſt la même choſe, que les quarrés de deux ordonnées quelconques &
de leurs abſciſſes, donneront cette proportion EKGI
: CK :
CI.
Les quarrés des ordonnées étant égaux aux rectangles com-
pris ſous leurs abſciſſes & le parametre, ces quarrés ſont en-
tr’eux comme les rectangles auxquels ils ſont égaux; mais
comme tous ces rectangles ont une hauteur commune, qui eſt
le parametre, ils ſeront dans la raiſon de leurs baſes (art. 391):
donc on aura E K
G I
: CK :
CI.
C.
Q.
F.
D.
606.
Si à l’origine de l’axe C B on mene une perpendiculaire
C S, & que des points E, G, M de la courbe, on mene les per-
pendiculaires ſur la ligne C S, il s’enſuit qu’il y aura même rai-
ſon du quarré C Q
ligne R G, puiſque les lignes C Q & C R ſont égales aux or-
données K E & I G, &
que les lignes Q E &
R G ſont égales
aux abſciſſes C K & C I.
Nous nous ſervirons de ce corollaire dans la ſuite, pour faire
voir que les boulets & les bombes décrivent des paraboles dans
l’eſpace qu’ils parcourent, depuis le lieu d’où ils ſont pouſſés,
juſqu’à l’endroit où ils vont tomber.
607.
Comme les quarrés des ordonnées qui ſont à droite &
à gauche de l’axe ſur une même ligne ſont égaux au rectangle
ſont égaux entr’eux; ainſi les ordonnées ſont égales entr’elles:
donc l’axe diviſe l’eſpace indéfini, terminé par la courbe, en
deux parties égales, puiſqu’il diviſe en deux également toutes
les ordonnées qui lui ſont perpendiculaires, & que l’on peut
regarder comme les élémens de cette ſurface.
608.
Comme l’on peut prendre des lignes C L ſi grandes
que l’on voudra, & terminer le point M toujours de la même
maniere, en faiſant D M = C L, il s’enſuit que la courbe peut
s’étendre à l’infini, & que ſes deux branches s’éloignent con-
tinuellement de l’axe.
609.
Mener une tangente à une parabole par un point donné.
Pour mener une tangente à une parabole par un point donné
E, tirez de ce point au foyer C la ligne E C, & du mêmepoint
la parallele E D à l’axe, qui ſera perpendiculaire à la directrice
A H, qu’elle rencontrera dans un point D; joignez la ligne
D C, & ſi vous menez la ligne E G qui paſſe par le milieu I
de la ligne D C, & par le point E donné;
je dis qu’elle ſera
tangente à la parabole, ou, ce qui revient au même, qu’elle ne
la touchera qu’au ſeul point E; tirez les lignes F D &
F C par
deux points quelconques de la ligne E I, & les paralleles F H,
F H à l’axe A K, & la ligne E K perpendiculaire au même axe.
Puiſque le point E eſt à la parabole, la ligne E C menée de
ce point au foyer C eſt égale à la ligne A K, par la définition
de la parabole, ou à la ligne E D qui lui eſt égale, à cauſe du
rectangle E D A K. De plus, par conſtruction, la ligne E G
diviſe la ligne D C en deux également au point I: donc cette
ligne eſt perpendiculaire ſur D C, puiſqu’elle a deux points
E, I, également éloignés de ſes extrêmités; donc cette ligne
paſſera par tous les points également éloignés des mêmes ex-
trêmités, tels que ſont les points F, F; mais dans les triangles
rectangles D H F, l’hypoténuſe D F = F C, eſt plus grande
donc F C eſt plus grande que F H ou que
A C, ainſi le point F n’eſt pas à la parabole. On démon-
trera la même choſe de tout autre point: donc la ligne E G
touche la parabole au ſeul point E, & par conſéquent elle eſt
tangente à la courbe. C.
Q.
F.
D.
610.
Il ſuit de cette conſtruction que l’angle D E C eſt
ligne diviſe la ligne D C en deux parties égales. D’où il ſuit
encore que l’angle R E L formé par la tangente E G, & le dia-
metre D E R mené par le point de contact, eſt égal à l’angle
C E I formé par la même tangente, & la ligne menée du point
de contingence au foyer C; car comme on vient de voir l’an-
gle C E I = D E I, mais D E I = L E R qui lui eſt oppoſé au
ſommet: donc C E I = L E R.
611.
Il ſuit du dernier corollaire, que ſi l’on place un point
lumineux au foyer C, tous les rayons qui partiront de ce point,
ſe réflechiront à la rencontre de la parabole, ſuivant des lignes
paralleles à l’axe; car c’eſt un principe dans la catoptrique,
que tout rayon réflechi fait avec le plan de réflexion, l’angle
de réflexion égal à celui d’incidence. Or il eſt viſible que la
tangente au point E peut repréſenter le plan de réflexion; &
par conſéquent le rayon parti du foyer C, ſuivant la ligne C E,
ſe réflechira ſuivant la ligne E R. Réciproquement tous les
rayons paralleles à l’axe d’une parabole, interceptés par le péri-
metre de cette courbe, ſe réfléchiront au foyer F. Il faut en-
tendre la même choſe de tout corps à reſſort différent de la lu-
miere. Ainſi une petite bille d’yvoire que l’on pouſſeroit, ſui-
vant R E, ſe détourneroit à la rencontre de la courbe pour
ſuivre la ligne E C.
612.
Si du point d’attouchement E l’on mene l’ordonnée
E K à l’axe de la parabole, la ligne G K ſera nommée ſoutan-
gente.
613.
Si on éleve une perpendiculaire E M au point de contin-
que de ce même point l’on tire une ordonnée E K à l’axe
B M, je dis que la partie K M de l’axe ſera toujours égale à la
moitié du parametre de cette parabole, c’eſt-à-dire à 2a.
Comme les lignes D C &
E M ſont paralleles, étant toutes
deux, par conſtruction, perpendiculaires ſur L G, ainſi que les
lignes E K & A D, qui ſont toutes deux perpendiculaires à
l’axe, il s’enſuit que les triangles rectangles D A C, E K M ſont
égaux en tout: donc A C = K M, ou la moitié du parametre
qui eſt 2a. C.
Q.
F.
D.
614.
Nous ſervant de la même figure, je dis que la ſoutan-
Le parametre de cette parabole étant 4a (art.
604), K M
ſera 2a, par la derniere propoſition; &
à cauſe des triangles
rectangles ſemblables G K E, E K M (art. 406), l’on aura cette
proportion K M (2a) : K E (y) :
: K E (y):
{K E
& ſi dans l’équation K G = {yy/2a}, on met 4ax à la place de yy,
auquel il eſt égal (art, 605), on aura K G = {4ax/2a} = 2x. C.
Q.
F.
D.
615.
L’on tire de cette propoſition un moyen fort aiſé de
mener une tangente à une parabole: car, par exemple, pour
mener la ligne L G qui ſoit tangente à la parabole au point E,
il n’y a qu’à abaiſſer du point E la perpendiculaire E K ſur l’axe
B M, & faire la ligne B G égale à l’abſciſſe B K;
&
par les
points G, E, mener la ligne G E L.
616.
Si du point A, où une droite A B touche la parabole,
nommée un diametre de la parabole.
617.
Si l’on tire une ligne C D parallele à la tangente N B,
metre A O.
Du point A menez l’ordonnée A G, &
des points C, E, D
les lignes H C I, E F, D L paralleles à l’ordonnée A G; pro-
longez le diametre O A juſqu’à la rencontre de la ligne H C. Cela poſé, nous nommerons M F, m;
I F ou H E, t;
F L ou
E K, u: ainſi F I ſera m - t;
&
M L m + u:
nous nommerons
de même M G, x; A G, y;
G F ſera m - x.
Ainſi il faut
prouver que E C eſt égal à E D, ou que H E (t) = E K (u);
ce qui eſt la même choſe: car ſi H K eſt diviſé en deux égale-
ment au point E, la droite C D le ſera auſſi au même point.
Les triangles B G A &
E H C, E K D ſont ſemblables, parce
qu’ils ont les côtés paralleles chacun à chacun, & donnent les
deux proportions ſuivantes B G (2x) : A G (y) :
: E K (u):
D K ({uy/2x}), &
B G (2x) :
A G (y) :
: E H (t):
C H ({ty/2x}).
Ayant ainſi déterminé les valeurs des lignes D K, C H, on a
celles des ordonnées C I, D L: car C I = I H - C H, ou
A G - C H = y - {ty/2x}; &
de même D L = K L + D K =
A G + D K = y + {uy/2x}. Mais par la propriété de la parabole,
les quarrés des ordonnées C I, A G, D L ſont entr’eux comme
leurs abſciſſes; ce qui donne les deux proportions ſuivantes:
A GC I
: MG (x) :
MI (m-t).
Et
A GD L
: MG (x) :
ML (m+u),
d’où l’on tire les deux équations ſuivantes, myy - tyy = xyy
- tymyy + uyy = xyy + uy
Préſen-
c’eſt-à-dire le premier membre de la premiere du premier
membre de la ſeconde, & le ſecond membre de la premiere
du ſecond membre de la ſeconde, on aura myy + uyy - myy
+ tyy = xyy + uyy + {uuyy/4x} - xyy + tyy - {ttyy/4x}, ou en ré-
duiſant le premier & le ſecond membre, &
ôtant de chaque
membre les quantités égales uyy + tyy; 0 = {uuyy/4x} - {ttyy/4x}, &
tranſpoſant {uuyy/4x} = {ttyy/4x}, d’où l’on tire uu = tt, ou u = t, en
tirant les racines, & diviſant chaque membre par la fraction
{yy/4x}. C.
Q.
F.
D.
618.
Toute ligne, comme E C ou E D, menée paralléle-
ment à la tangente A B, eſt nommée ordonnée au diametre
A O.
619.
Si l’on cherche une troiſieme proportionnelle à la ligne
B M & à la tangente A B, cette ligne ſera appellée le para-
metre du diametre A O.
620.
Il ſuit de la définition précédente, que ſi l’on tire une
ligne du foyer P au point d’attouchement A, une ligne qua-
druple A P ſera égale au parametre du diametre A O.
Pour le prouver, nous ſuppoſerons que le point S eſt le point
générateur; ce qui donnera G S = P A (art.
596).
Et ſi l’on
nomme S M ou M P, a; M G, x;
A G, y;
nous aurons G S ou
A P = x + a, & par la premiere propoſition 4ax = yy.
Cela
poſé, ſi on nomme p le parametre du diametre A O, on aura
par la définition précédente (art. 619) M B (x) :
AB :
: AB :
p;
donc p x = A B
mais à cauſe du triangle rectangle A B G,
A Bdonc px = 4ax + 4xx,
ou en diviſant tout par x, p = 4a + 4x = 4A P. C.
Q.
F.
D.
621.
Le quarré d’une ordonnée quelconque E C à un diametre
A O eſt égal au rectangle compris ſous l’abſciſſe A E, & ſous le
parametre du diametre A O (ou, ce qui eſt la même choſe, ſous
une ligne quadruple de A P). Les choſes demeurant les mêmes que
dans la propoſition précédente; les lignes ſeront nommées avec les
mêmes lettres, excepté la ligne A E, que nous nommerons z, qui
étant égale à F G, ſera m - x.
Il faut d’abord ajouter les deux équations que nous avons
trouvées dans le théorême précédent, après avoir mis t à la
place de u qui lui eſt égal; ce qui donnera myy + tyy + myy
- tyy = xyy + tyy + {ttyy/4x} + xyy - tyy + {ttyy/4x}; d’où l’on
tire, en faiſant la réduction, 2myy = 2xyy + {ttyy/2x}, ou en fai-
ſant évanouir la fraction, 4mxyy = 4xxyy + ttyy, qui étant
diviſée par yy, donne 4mx = 4xx + tt; &
faiſant paſſer 4xx
du ſecond membre dans le 1
& comme m - x = z, on aura 4zx = tt;
mais à cauſe
du triangle rectangle E H C, l’on aura E C
= tt + {ttyy/4xx}, & mettant 4xz à la place de tt, &
4ax à la place
de yy, il viendra E C
x √4x+4a\x{0020}, ou E CC.
Q.
F.
D.
622.
On voit par ce théorême que la propoſition premiere
devient générale, puiſque non ſeulement le quarré d’une or-
donnée à l’axe eſt égal au rectangle compris ſous le parametre
de l’axe & ſous l’abſciſſe, mais que le quarré de toute ordon-
née à un diametre quelconque, eſt auſſi égal au rectangle com-
pris ſous l’abſciſſe correſpondante & le parametre de ce dia-
metre. Mais pour mieux faire entendre ceci, conſidérez que
ſi la ligne R T eſt tangente au point M, extrêmité de l’axe,
toutes les ordonnées à l’axe ſeront paralleles à cette tangente,
par la propoſition premiere, le quarré de chacune de ces
ordonnées ſera égal au rectangle compris ſous l’abſciſſe cor-
reſpondante, & ſous une ligne quadruple de P M, qui eſt la
diſtance du foyer au point d’attouchement. Si donc l’on ima-
gine que l’axe M L ſe ſoit mu parallélement à lui-même juſ-
qu’au point A, où il devient le diametre A O, & que la tan-
gente R T ait gliſſée ſur la parabole, ne la touchant toujours
qu’en un ſeul point, juſqu’à ce que le point M devienne le
point A; pour lors la tangente R T deviendra la tangente N B,
& la ligne P M deviendra la ligne P A;
&
par conſéquent elle
ſera encore la quatrieme partie du parametre de l’axe, devenue
le diametre A O, & les ordonnées que l’on auroit menées pa-
rallélement à la tangente R T, telles que V X, ſeront toujours
paralleles à la tangente, ſi elles ont accompagné l’axe, & ſi
l’abſciſſe M V eſt égale à l’abſciſſe A E, l’ordonnée V X de-
viendra l’ordonnée E C, & l’on aura toujours le quarré de
E C égal au rectangle compris ſous l’abſciſſe A E, & ſous une
ligne quadruple de la diſtance du point d’attouchement A au
foyer P, comme on l’a démontré dans la propoſition précé-
dente.
On pourra remarquer que ſi le point A approchoit plus du
point M, il pourroit arriver que le point C tomberoit au-delà
de l’axe M L, & qu’il y tombât encore dans le cas où l’on
prendroit une abſciſſe A E plus grande ſur le diametre, ſuppoſé
toujours au même point A; mais cela n’empêcheroit pas que
tout ce que nous avons démontré ne ſubſiſtât de même, de
quelque façon que la ligne D C puiſſe ſe trouver dans la para-
bole, puiſqu’elle ſera toujours diviſée en deux également par
le diametre, lorſqu’elle ſera parallele à la tangente.
623.
Il ſuit auſſi de ce que nous avons vu, &
de la remarque
précédente, 1que le parametre de l’axe eſt le plus petit de
tous les parametres: 2
Que ſi l’on prend ſur l’axe &
ſur un
diametre quelconque des abſciſſes égales, les ordonnées au
diametre ſeront plus grandes que celles de l’axe, puiſque leurs
quarrés ſont égaux aux rectangles d’une même abſciſſe par
des parametres différens, & que d’ailleurs le parametre d’un
diametre quelconque eſt plus grand que celui de l’axe.
624.
Puiſque le quarré d’une ordonnée à un diametre quel-
conque eſt égal au produit de l’abſciſſe par le parametre, qui
eſt une grandeur conſtante pour chaque diametre, & variable
ſuivant les différens diametres, il ſuit qu’en déſignant par p le
parametre d’un diametre quelconque, par x, l’abſciſſe priſe
ſur le même diametre, à commencer de l’origine du diametre,
& par y, l’ordonnée correſpondante à cette abſciſſe, on aura
toujours y y = p x pour l’équation qui renferme les propriétés
de la parabole, ſoit par rapport aux diametres, ſoit par rap-
port à l’axe. Si l’on ſuppoſe que l’abſciſſe ſoit priſe ſur l’axe,
& qu’elle ſoit égale au quart du parametre, cette équation
deviendra y y = {1/4}pp, d’où l’on tire y = {1/2}p, & en doublant
2y = p; ce qui montre que la double ordonnée qui paſſe par
le foyer eſt égale au parametre; ce qui eſt encore vrai par rap-
port à un diametre quelconque, comme on peut aiſément le
reconnoître, ſi l’on conçoit bien ce que nous avons expliqué
(art. 622).
625.
Si l’on coupe un cône par un plan parallele à un de ſes
Si l’on a coupé le cône A B C par un plan parallele à un de
ſes côtés B C, je dis que la ſection qui ſera, par exemple
D E I, aura formé ſur la ſurface du cône une courbe DHEKI
qui ſera une parabole. Suppoſons encore que le cône a été
coupé par un plan L M parallele à ſa baſe, la ſection ſera un
cercle, dont les lignes F K & F H ſeront des perpendiculaires
au diametre LM, & en même-tems des ordonnées de la courbe,
parce que l’on ſuppoſe que le plan coupant E D I eſt perpen-
diculaire au plan du triangle A B C, que l’on appelle le triangle
par l’axe. Cela poſé, prenez ſur le côté B C la partie B O
égale à F M, & du point O, menez à F M la parallele O N,
qui ſera le parametre de la parabole; car nous démontrerons
que le rectangle compris ſous N O, & l’abſciſſe E F, eſt égal
au quarré de l’ordonnée F K; après avoir nommé les lignes
B O ou F M, a; N O, p;
E F, x, &
F K, y.
Les triangles BNO, EFL ayant les côtés paralleles chacun
à chacun, ſeront ſemblables, & donneront BO (a) :
ON (p) :
:
EF (x) : F L ({px/a}), d’où l’on tire B O x F L, ou F M x F L
= O N x EF, & analytiquement p x = {apx/a};
mais par la pro-
priété du cercle F M x F L = F K: donc on aura p x = y y.
C.
Q.
F.
D.
626.
Si le triangle par l’axe eſt équilatéral, la ligne F M
compriſe entre l’axe de la parabole & le côté B C du cône,
ſera égale au parametre de la parabole; car il eſt évident que
l’abſciſſe LF ſera dans ce cas égale à l’abſciſſe E F.
627.
Décrire une parabole, le parametre étant donné.
Pour décrire une parabole, dont la ligne A B ſoit le pa-
rametre, prenez dans une ligne telle que E K, les parties
C E & C F, chacune égale au quart du parametre A B;
en-
ſuite tirez ſur la ligne E K un nombre in déterminé de perpen-
diculaires telles que G H, & faites les lignes F G, F H chacune
égale à la ligne E I, ou, ce qui eſt la même choſe, du point F
comme centre avec le rayon E I, décrivez un arc de cercle qui
coupe la ligne G H aux points déterminés H & G.
La courbe
qui paſſera par ces points ſera une parabole. La démonſtration
eſt la même que celle de la premiere propoſition.
628.
Trouver l’axe d’une parabole donnée.
Pour trouver l’axe d’une parabole donnée CLI, on n’a
qu’à tirer par tels points que l’on voudra de la parabole deux
lignes A B & C D paralleles entr’elles, diviſer chacune de ces
lignes en deux également aux points E, F, & tirer par ces
points la ligne G F H qui ſera un diametre, puiſqu’elle diviſe
enſuite du point C
tirer la ligne C I perpendiculaire ſur G H, diviſer cette ligne
en deux également au point K; &
ſi à ce point vous élevez
la perpendiculaire K L, elle ſera l’axe de la parabole.
Les lignes A B &
C D étant des ordonnées au diametre G H,
la ligne C I perpendiculaire à ce diametre, ſera auſſi perpen-
diculaire à l’axe, puiſque l’axe eſt parallele au diametre, & cette
même ligne ſera une double ordonnée à l’axe: donc la ligne
K L qui paſſe par ſon milieu eſt l’axe demandé, puiſque l’axe
diviſe ſes doubles ordonnées en deux également.
629.
Trouver le parametre d’une parabole donnée.
Pour trouver le parametre d’une parabole donnée, il ne faut
que chercher à une abſciſſe quelconque L M, & à l’ordonnée
correſpondante M N, une troiſieme proportionnelle (art. 602)
qui ſera, par exemple O P, & cette ligne O P ſera le para-
metre que l’on demande, puiſque le rectangle compris ſous
L M & O P ſera égal au quarré de l’ordonnée M N.
(art.
604).
630.
Trouver le foyer d’une parabole dont on connoît le para-
Pour trouver le foyer d’une parabole, il faut prendre dans
l’axe L K une partie L Q, égale au quart du parametre O P,
& le point Q ſera le foyer qu’on demande;
ce qui eſt bien
évident, puiſque par la génération de la parabole, le parametre
eſt quadruple de la diſtance du foyer Q au ſommet L de la para-
bole (art. 620).
631.
A Yant tiré ſur un plan deux lignes droites &
inégales
C D, qui ſe coupent par le milieu à angles droits au
ſi l’on décrit un demi-cercle, dont le diametre ſoit
la plus grande A B, & que l’on éleve ſur ce diametre quantité
de perpendiculaires, comme F G & I K, &
c.
&
qu’enſuite
on faſſe F H quatrieme proportionnelle aux lignes A B, C D,
F G, & de même I L, quatrieme proportionnelle à A B, C D
& I K, &
que l’on continue à trouver de la même maniere
une quantité de points, tels que H & L, la courbe qu’on fera
paſſer par tous ces points ſera nommée ellipſe.
632.
La ligne A B eſt nommée grand axe de l’ellipſe, &
la
ligne C D, qu’on ſuppoſe perpendiculaire ſur le milieu de A B,
eſt appellée petit axe. On dit auſſi que la ligne C D eſt l’axe
conjugué à l’axe A B, & réciproquement que l’axe A B eſt con-
jugué à l’axe C D.
633.
Les lignes telles que F H, I L perpendiculaires à l’axe
A B ſont appellées ordonnées au même axe; les lignes I K, F G
ſont appellées ordonnées du cercle, & en les comparant aux or-
données de l’ellipſe, qui en font partie, on les appelle toutes
ordonnées correſpondantes. D’où il ſuit que l’ellipſe eſt une courbe
dont les ordonnées ſont toujours aux ordonnées d’un cercle décrit
ſur ſon grand axe dans un rapport conſtant, qui eſt celui du grand
axe A B à ſon conjugué C D; ce qui donne cette analogie pour
une ordonnée quelconque F H; A B :
C D :
: F G :
F H.
634.
Si l’on cherche une troiſieme proportionnelle aux axes
A B & C D, telle que M N;
cette ligne eſt nommée parametre
de l’axe qui occupe le premier terme de la proportion con-
tinue.
635.
Le point E, où les axes ſe coupent à angles droits, eſt
appellé centre de l’ellipſe.
636.
Si dans le grand axe A B d’une ellipſe on prend les
la quantité K D = A E, c’eſt-à-dire de la diſtance du grand
637.
Les parties A F, F B d’un axe faites par la rencontre
d’une ordonnée F G à cet axe, ſont appellées abſciſſes ou cou-
pées de cet axe, par rapport à l’ordonnée F G: on appelle auſſi
quelquefois abſciſſes les parties compriſes entre le centre &
la rencontre d’une ordonnée, comme E F; alors on dit que
les abſciſſes ont leur origine au centre.
638.
Dans l’ellipſe ſi l’on mene une ordonnée F H au premier
quarré de l’ordonnée F H, comme le quarré du premier axe A B eſt
au quarré du ſecond axe C D; ou, ce qui eſt la même choſe, comme
le quarré de A E eſt au quarré de D E.
Ayant nommé les données A E ou E B, a;
C E ou E D, b;
&
les indéterminées E F, x;
F H, y;
F G, s;
A F ſera a - x;
& F B a + x.
Cela poſé, il faut démontrer que l’on aura
A F x F B : FH
: A B
CD
: AE
DE
aa - x x : y y :
: a
b
Par la définition de l’ellipſe, chaque ordonnée étant qua-
trieme proportionnelle au grand axe A B, au petit axe C D,
& à l’ordonnée F G, on a A B :
C D :
: F G :
F H, ou
2a : 2b :
: s :
y :
donc AB
CD
: FG
FH
4b
: ss :
yy.
Mais par la propriété du cercle, le quarré de l’ordonnée F G
eſt égal au produit de ſes abſciſſes, ou A F x F B = F G
analytiquements ss = a a - x x : donc en mettant cette expreſ-
ſion au lieu de ss dans la proportion précédente, on aura
4a4b
: aa - xx :
yy, ou bien invertendo aa - x x :
y y :
:
4a4b
: a
b
par 4.
639.
Si l’on a deux ordonnées F H &
I L, l’on aura par la
F H
:
A B
C D
AI x IB : IL
: AB
CD
donc AF x FB :
FH
: AI x IB :
IL
ou alternando, A F x F B : A I x I B :
: F H
I L
les produits de leurs abſciſſes.
640.
Il ſuit encore delà, que ſi du point H l’on mene l’or-
donnée H I au ſecond axe C D, le rectangle compris ſous les
I H, comme le quarré du même axe C D eſt au quarré de ſon
conjugué A B.
Pour le prouver, conſidérez que F H étant égale à E I, on
aura E I = y, & que F E étant égale à H I, on aura encore
H I = x; ainſi I D ſera b - y, &
C I ſera b + y.
Cela poſé,
puiſque par la propoſition préſente, on a aa - xx : yy :
: aa :
bb,
en prenant le produit des extrêmes & des moyens, on aura
a a y y = a a b b - b b x x. Si l’on fait paſſer - bbxx du ſecond
membre dans le premier, & aayy du premier dans le ſecond,
il viendra b b x x = a a b b - a a y y, d’où l’on tire cette pro-
portion b b - y y : x x :
: b b :
aa, c’eſt-à-dire que I D x D C:
I H
: D E
A E
Ainſi l’on voit que les propriétés des or-
données au petit axe ſont préciſément les mêmes que celles du
grand axe; d’où l’on peut conclure que les ordonnées H I au
petit axe de l’ellipſe, ſont troiſiemes proportionnelles au demi
petit axe, au demi-grand axe, & à l’ordonnée I N d’un cercle
décrit ſur le petit axe; c’eſt ce qu’il eſt aiſé de voir, ſi l’on fait
attention que dans la proportion I D x D C : I H
: A E
D E
on peut mettre au lieu du rectangle I D x D C le quarré de l’or-
donnée IN, qui lui eſt égal; d’où l’on déduit, en prenant les
racines, & faiſant un invertendo D E :
A E :
: I N :
I H.
On
peut donc définir l’ellipſe d’une maniere plus générale, en di-
ſant que c’eſt une courbe, dont toutes les ordonnées ont été
alongées ou raccourcies proportionnellement; alongées, lorſ-
que le cercle eſt décrit ſur le petit axe, & raccourcies, lorſ-
qu’il eſt décrit ſur le grand axe.
641.
Si l’on nomme a le premier axe d’une ellipſe, &
b le
ſecond, p le parametre du premier axe, on aura (art. 634)
a : b :
: b :
p, &
(art.
503) a a :
b b :
: a :
p.
Mais par la propriété
de l’ellipſe, on a a a - x x : y y :
: a a :
b b;
donc on aura auſſi
aa - xx : y y :
: a :
p;
d’où l’on tire y y = aa - xx x {p/a}, c’eſt-
produit de ſes abſciſſes, multiplié par le rapport du parame-
tre à l’axe: ainſi, ſi l’on ſçait que le parametre eſt les deux tiers
de l’axe, le quarré de chaque ordonnée ſera égal aux deux
tiers du rectangle des abſciſſes correſpondantes.
642.
Il eſt à remarquer que puiſque l’on a A F x F B :
F H
:
I L
A I x I B, les quarrés des ordonnées F G, I K, qui leur ſont
égaux par la propriété du cercle, on aura F GF H
: I K
IL
&
en tirant les racines de chaque terme, F G :
F H :
: I K :
I L,
& alternando, F G :
I K :
: F H :
I L, qui fait voir que ſi l’on
prend les lignes F H, I L pour les élémens de la ſuperficie du
quart d’ellipſe E A D, & les lignes F G, I K pour les élémens
du quart de cercle E A M; les élémens du quart d’ellipſe ſont
dans la même raiſon que les élémens correſpondans du quart
de cercle.
643.
On a vu (art.
569) que dans une progreſſion qui ſe-
roit compoſée des élémens infinis tels que F G & I K d’un quart
de cercle, la ſomme des quarrés de tous ces élémens ſeroit
égale au produit du quarré du plus grand élément E M, par
les deux tiers de la ligne A E, qui en exprime le nombre: or comme les élémens de l’ellipſe ont tous un rapport conſtant
avec les élémens correſpondans du quart de cercle, il s’enſuit
qu’ils auront la même propriété que ceux du cercle; &
que
par conſéquent ſi l’on a une progreſſion compoſée de termes
infinis des élémens d’un quart d’ellipſe E A D, la ſomme des
quarrés de tous les élémens, tels que F H & I L, eſt égale au
produit du quarré du plus grand élément E D, par les deux
tiers de la grandeur qui en exprime le nombre, c’eſt-à-dire
par les deux tiers de la ligne A E.
Comme ces deux remarques nous ſervent beaucoup dans
la Géométrie pratique, il faut s’attacher à les bien com-
prendre.
644.
L’on nomme diametres d’une ellipſe, deux lignes,
qui
ſont terminées à cette courbe.
645.
Ayant mené d’un point quelconque C de l’ellipſe un
une ordonnée C K à l’axe A B, ſi l’on fait
G O troiſieme proportionnelle à G K & G A, le diametre E F,
que l’on aura mené parallele à la ligne C O, eſt appellé dia-
metre conjugué au diametre C D; &
réciproquement le dia-
metre C D eſt dit conjugué au diametre E F.
646.
Toute ligne, comme H I, menée d’un point quelcon-
que H, pris dans le diametre C D, parallélement à ſon con-
jugué E F, eſt appellée ordonnée au diametre C D.
647.
Si l’on cherche une troiſieme proportionnelle aux dia-
metres conjugués C D, E F, elle ſera nommée parametre du
diametre, qui occupe le premier terme de la proportion.
648.
Puiſque l’on a fait (art.
645) G K :
G A :
: G A :
G O,
il s’enſuit que ſi l’on nomme G K, x; G A, a;
K O, z, l’on
aura G K (x) : G A (a) :
: G A (a) :
G O (x + z), d’où l’on
tire x x + zx = aa; &
en faiſant paſſer xx du premier mem-
bre dans le ſecond, z x = aa - xx, ou bien O K x K G =
A K x K B. Comme ce corollaire nous ſervira beaucoup dans
les propoſitions ſuivantes, il eſt à propos de le bien retenir.
649.
Si des extrêmités C &
E de deux diametres conjugués
que le quarré de la partie G P ſera égal au rectangle de A K par K B.
Ayant fait A G = a, G P = f, G K = x, K O = z, G O
ſera x + z. Cela poſé, nous ferons voir que A K x K B (aa-xx)
ou bien x z (art. 648) = f f.
Conſidérez que l’on a par la propriété de l’ellipſe (art.
639)
A P x P B (aa - f f) :
: K C
P E
&
que
ſi au lieu de aa dans le ſecond terme de cette proportion on
met x x + x z, qui lui eſt égal (art. 648), &
au lieu de K C
& P E
P G
même raiſon, à cauſe des triangles ſemblables C O K, E G P,
qui donnent C K : P E :
: K O :
P G, on aura A K x K B :
A P
x P B :: K C
P E
xx + xz - f f :
: z z :
f f, dont le
produit des extrêmes & des moyens donnent cette équation
x x z z + x zd’où tranſpoſant f f z z du pre-
mier membre dans le ſecond, vient xxzz+xz
& diviſant chaque membre de l’équation par z, il vient x x z
+ zdiviſant encore chaque membre par
z + x, il vient x z = f f, ou A K x K B = G PC.
Q.
F.
D.
650.
Comme on a xx + xz = aa (art.
648), il ſuit de cette
propoſition, que ſi l’on met ff à la place de xz qui lui eſt égal,
on aura x x + f f = a a; &
faiſant paſſer f f du premier mem-
bre dans le ſecond, on aura G K
651.
Le rectangle fait des parties C H, H D du diametre C D,
eſt au quarré d’une ordonnée H I, comme le quarré de ce même dia-
metre eſt à celui de ſon conjugué E F.
Après avoir tiré les lignes I N, H L paralleles à C K, &
la
ligne H M parallele à A B, nous nommerons G K, x; C K, y;
A G, a;
K O, z;
M H, ou L N, c;
G L, g;
G C, s.
Les triangles G K C, G L H ſont évidemment ſemblables,
& donnent G K (x) :
K C (y) :
: G L (g) :
L H {g y/x};
&
les trian-
gles C O K, I H M, qui ſont auſſi ſemblables, puiſqu’ils ont les
côtés paralleles chacun à chacun, nous donnent O K (z) : K C (y)
:: H M (c) :
I M ({cy/z};)
d’où l’on tire IM+HL = IM+MN
ou I N = {g y/x} + {c y/z}, dont le quarré eſt {yygg/xx} + {2cgyDe
plus, conſidérez que L N - L G = G N = c - g, dont le
Cela poſé, il faut encore chercher
une ſeconde valeur de I N
de l’ellipſe (art. 639) :
car A K x K B :
A N x N B, ou G B
- G N62) :
: C K
I N
aa - cc + 2cg - gg :
: yy :
yy x √{aa - cc + 2cg - gg/aa - xx}\x{0020} = IN
en faiſant la multiplication {aayy - ccyy + 2cgyy - ggyy/aa - xx}. Préſen-
tement ſi l’on forme une égalité avec ces deux valeurs, on
aura {ggyy/xx} + {2cgyMais com-
me on ſçait que aa - xx = xz, on aura {ccyy/zz} + {2cgyy/zx} + {ggyy/xx}
= {aayy - ccyy + 2cgyy - ggyy/zx}, ou en effaçant dans chaque mem-
bre le terme égal {2cgyy/zx}, & diviſant enſuite tout par yy, {c c/zz} +
{g g/xx} = {aa - cc - gg/aa - xx}. Préſentement il faut multiplier tout par xx,
afin de n’avoir plus gg en fraction; ce qui donnera {ccxx/zz} + gg
= {aaxx - ccxx - ggxx/aa - xx}: on fera paſſer gg du premier membre
dans le ſecond, & on le réduira en fraction, dont le dénomina-
teur ſoit aa - xx; ce qui donnera cette nouvelle équation
{ccxx/zz} ou {ccx
que le premier membre {ccxx/zz} eſt la même choſe que {ccx
que l’on n’a fait que multiplier les deux termes de chaque frac-
tion par la même grandeur x x. Mais le premier membre de
cette équation eſt diviſé par le quarré de x z ou de a a - x x,
qui diviſe le ſecond membre. D’où il ſuit que l’on fera éva-
nouir toute fraction, en multipliant le numérateur du ſecond
membre par aa - xx: on aura donc ccx
x √aa - xx\x{0020} = a
d’où l’on tire en effaçant de part & d’autre c
tranſpo-
ſant a
- ace qui
donne cc = aCela poſé,
conſidérez que les triangles ſemblables G K C, G L H donnent
G C (s) :
:
G L (g) :
G H ({gs/x});
par conſéquent
GC62)=ss - {g
Pour voir préſentement ſi la proportion énoncée au théorême
eſt vraie, je fais attention que les quatre grandeurs ſuivantes
C H x H D, H M
l’on trouve, en diſpoſant leurs expreſſions analytiques, ſelon le
même ordre, que le produit des extrêmes eſt égal au produit des
moyens, ou, ce qui eſt la même choſe, que CH x HD ({ssxx-ggss/xx})
: H M
: C G
G P
donc en ſubſtituant à la place des conſéquens des quantités
qui leur ſoient proportionnelles, ſçavoir HIGE
il eſt évident, à cauſe des triangles ſemblables, MIH, PEG,
on aura C H x H D : H I
: C G
G E
C.
Q.
F.
D.
652.
L’on voit que ce qui a été démontré dans la propoſi-
tion premiere par rapport aux deux axes, s’étend par le moyen
de celle-ci à deux diametres quelconques : car ſi l’on fait le
même raiſonnement pour l’ellipſe que pour la parabole (art. 622),
ayant gliſſé le long de la courbe pour prendre la ſituation
Q R, & l’axe A B ayant tourné pour prendre la ſituation F G,
l’ordonnée K L qui l’aura accompagnée toujours parallélement
à la tangente H I, deviendra l’ordonnée O P; &
comme l’axe
conjugué C D aura auſſi tourné parallélement à la tangente
H I, il deviendra le diametre conjugué M N; &
par conſé-
quent toutes ces lignes demeurant dans des rapports conſtans
les unes avec les autres, il s’enſuit que le rectangle compris
ſous les abſciſſes O F, O G eſt quarré de l’ordonnée O P, comme
le quarré du diametre F G eſt au quarré de ſon conjugué M N.
653.
Il ſuit encore delà, que pour mener par un point F
une tangente Q R à l’ellipſe, il faut de ce point abaiſſer une
perpendiculaire F S à l’axe A B, & faire E Q troiſieme pro-
portionnelle aux droites ES, EA (art. 645) pour avoir le point
Q, duquel on n’aura qu’à mener la tangente par le point
donné.
654.
Il ſuit encore de cette propoſition, que toute ligne
comme T P parallele à la tangente R Q eſt diviſée en deux
également par le diametre F G; car le rectangle de F O par
O G eſt au quarré de O P, comme le quarré de F G au quarré
de N M, & le même rectangle de F O par O G eſt encore au
quarré de O T, comme le quarré de F G eſt au quarré de N M,
il s’enſuit donc que le quarré de O P eſt égal au quarré de O T,
& que par conſéquent O T = O P.
655.
Il ſuit encore delà que les quarrés des ordonnées à un
même diametre ſont entr’eux comme les rectangles faits ſur
les abſciſſes correſpondantes; d’où l’on voit que ſi l’on ap-
pelle un diametre quelconque 2a, ſon conjugué 2b, le para-
metre du premier p, x & y l’abſciſſe &
l’ordonnée correſ-
pondante, on aura comme pour les axes yy : aa-xx :
: 4aa
: 4bb :
: 2a :
p, d’où l’on tire yy = {aa - xx x p/2a}, c’eſt-à-dire que
le quarré d’une ordonnée à un diametre quelconque eſt égal
au rectangle des abſciſſes, multiplié par le rapport du parame-
tre au diametre. Si le diametre eſt plus grand que ſon para-
metre, le quarré d’une ordonnée quelconque ſera plus grand
que le rectangle des abſciſſes. Si les deux diametres ſont égaux,
le parametre ſera égal au diametre, & par conſéquent le rec-
tangle des abſciſſes ſera égal au quarré de chaque ordonnée,
& alors les ordonnées ſeroient égales à celle d’un cercle décrit
ſur un des diametres, mais obliques à ce diametre, parce que
dans cette courbe il n’y a que les ordonnées aux axes qui puiſ-
ſent être à angles droits, comme il eſt aiſé de le remarquer, ſi
l’on fait attention que les ordonnées étant toujours paralleles
aux tangentes, il faut néceſſairement qu’elles faſſent avec leurs
diametres les mêmes angles que ces tangentes.
656.
La ſomme des quarrés de deux diametres conjugués C D,
Les choſes étant toujours les mêmes que ci-devant, nous
aurons (art. 649) G P
(art.
650) G A
= ou A P x P B = G KOr par la propriété de l’ellipſe,
l’on aura G AG R
: A P x P B :
P E
ab
: xx :
{bbxx/aa}=P E
d’une autre part G A
G R
:
A K X K B : C K
en lettres a
b
: aa-xx :
{aabb-bbxx/aa}.
Or lestriangles rectangles G P E, G K C donnent E G
+ PG
encore CG
donc E G
& diviſant par a
en quadruplant
les termes de chaque membre A B
C. Q.
F.
D.
657.
Il ſuit de cette propoſition, qu’il ne peut y avoir dans
une ellipſe que deux diametres conjugués qui ſoient égaux: car puiſque la ſomme des quarrés de deux demi-diametres
conjugués eſt égale à celle des quarrés des deux demi-axes, ſi
l’on prend l’expreſſion générale de l’un de ces diametres pour
le quarré d’un des deux diametres conjugués égaux, par exem-
ple, celle de C G
= aa + bb, & multipliant tout par aa, 2aabb - 2bbxx+
2aaxx=a
chaque membre aabb-2bbxx+2aaxx=a
poſant aabb-adiviſant tout par
bb-aa, il vient a
cette propoſition {1/2} a : x :
: x :
a, qui fait voir que l’abſciſſe qui
détermine les deux diametres conjugués égaux, eſt moyenne
proportionnelle entre le quart & la moitié du grand axe.
Et
comme il n’y a qu’une moyenne proportionnelle entre ces
deux grandeurs, il s’enſuit qu’il n’y a auſſi dans une ellipſe que
deux diametres conjugués égaux entr’eux. C.
Q.
F.
D.
658.
Si par l’extrêmité A de l’axe A B l’on mene une tan-
F, les deux diametres
conjugués M G, I H prolongés autant qu’il eſt néceſſaire, je dis
que le rectangle des parties A N, A F eſt égal au quarré de la
moitié de l’axe C D. Ainſi il faut prouver A N x A F = C E
Conſidérez que l’on a A L x L B égal au quarré de E K,
qui eſt xx (art. 650), &
que par conſéquent AE
EC
:: A L x L B (xx) :
L M
&
comme ce dernier terme
eſt un quarré parfait en extrayant laracine, on aura L M = {bx/a}. Mais comme on a auſſi (art.
649) A K x K B = L E
encore C EA E
: I K
A K x K B ou E L
analytique-
ment bb : aa :
: yy :
{aayy/bb} = L E
&
comme cette quantité
eſt auſſi un quarré, ſi on en extrait la racine, on aura EL={ay/b}.
Cela poſé, à cauſe des triangles ſemblables E A F, E L M, on
pourra former cette proportion E L : L M :
: E A :
A F;
&
mettant les valeurs analytiques trouvées précédemment,
{ay/b} : {bx/a} :
: a :
{abxb/aay} = {bbx/ay} = A F.
Et de même à cauſe des trian-
gles ſemblables E A N, E K I, on aura E K : E A :
: I K :
A N,
ou x : a :
: y :
{ay/x} = AN:
donc AN x A F={bbx/ay}x{ay/x}=bb=CE
C. Q.
F.
D.
659.
On peut aiſément, par le moyen de cette propoſition,
déterminer dans l’ellipſe les diametres conjugués égaux: car
pour cela, il n’y a qu’à prendre ſur la perpendiculaire A N à l’ori-
gine de l’axe, une partie AR égale à CE, moitié du petit axe, &
par le centre E & lepoint R mener la ligne E R, dont la partie
compriſe entre le centre & la courbe, ſera l’un des demi-dia-
metres conjugués égaux: car puiſque l’on a toujours A N
x A F=C E
les parties A N, A F ſont égales; &
par conſéquent A R doit
être égale à C E.
660.
Si l’on coupe un cône par un plan oblique à la baſe, de
& la baſe, la ſection ſera une ellipſe.
Si l’on coupe le cône X par un plan A B, oblique à ſa baſe,
& perpendiculaire au plan du triangle N O X qui paſſe par
l’axe de ce cône, la ſection B E A F ſera une ellipſe. Nous ſup-
poſerons que le cône eſt auſſi coupé parallélement à ſa baſe
par un plan C M, qui paſſe par le milieu de la ligne A B, qui
eſt l’interſection des plans NOX, AEBF, & l’axe de la courbe;
&
encore par un plan L D, auſſi parallele à la baſe, &
qui
paſſera par un point quelconque I de l’axe A B. Comme ces
deux ſections formeront des cercles, nous tirerons les lignes
E F & H K, qui couperont les diametres L D, C M à angles
droits aux points I, G, & la ligne E F deviendra le petit axe
de l’ellipſe, & les lignes I K &
I H en ſeront des ordonnées.
Cela poſé, nous ferons A G ou G B=a, E G ou G F=b,
G M=c, C G=d, G I = x, I K = y, ainſi I B ſera a+x,
& AI ſera a-x.
Nous ferons voir que A I x I B (aa-xx):
I K:
A G
G F
Les triangles ſemblables B G M, B I D nous donnent B G :
B I :
: G M :
I D, ou en lettres a :
a+x :
: c :
{ac+cx/a};
&
de
même les triangles ſemblables A L I, A C G nous donnent
A G : A I :
: C G :
L I, &
en lettres a :
a-x :
: d :
{ad-dx/a}:
donc
en multipliant ces deux proportions termes par termes, on
aura aa : aa-xx :
: cd :
{ac+cx/a}x{ad-ax/a}, ou A G
A I x I B
: :
C G x G M :
L I x I D.
Mais à cauſe des cercles G E M,
K D H L, on a C G x G M = G EID
x IL = IHon aura donc AG :
AI x IB :
: IH
EF
ou invertendo & alternando A I x I B :
I H
: A G
E F
aa-xx : yy :
: aa :
bb.
661.
Si l’on coupe un cylindre par un plan oblique à la baſe,
Pour être convaincu que la ſection B E A F du cylindre Y
eſt une ellipſe, il ne faut que lire la démonſtration du théo-
rême précédent, & partout où il y aura le nom de cône ſub-
ſtituer celui de cylindre, la démonſtration étant la même.
662.
Si du point quelconque G de l’ellipſe on mene des droites
priſes où l’on voudra, ſera toujours égale au grand axe A B.
Il faut ſe reſſouvenir que l’on détermine les foyers E, F en
décrivant du point D, extrêmité du petit axe comme centre,
un arc de cercle avec le rayon D F égal à la moitié du grand
axe, qui coupe cet axe dans les points E, F; d’où il ſuit évidem-
ment que le point D eſt tel que E D + D F = A B. Pour
démontrer cette propoſition par rapport à un point quelconque
G différent du point D, nous ferons A I = a, I D = b,
E I = c, I K = x, G K ordonnée à l’axe y. Cela poſé, à cauſe
du triangle rectangle E K G, on a E Gmais
E K eſt c+x, dont le quarré eſt cc + 2cx + xx, & G K étant
ordonnée à l’axe, on aura G Kdonc E G
cc + 2cx + xx + bb - {bbxx/aa}, & tirant les racines de chaque
membre E G = √cc + 2cx + xx + bb - {bbxx/aa}\x{0020}. De même à
cauſe du triangle rectangle F K G, on a F Gmais F K = c - x:
donc F K
&
partant
F G&
tirant les racines de part
& d’autre, on aura F G = √cc - 2cx + xx + bb - {bbxx/aa}\x{0020}.
Pré-
ſentement ſi la propoſition eſt vraie, il faut qu’en égalant la
ſomme de ces deux lignes au grand axe 2a, on arrive à quel-
ou qui nous faſſe voir que nous avons mal ſuppoſé, en nous
conduiſant à quelque abſurdité. Je fais donc cette équation
2a = √cc + 2cx + xx + bb - {bbxx/aa}\x{0020} + √cc - 2cx + xx + bb - {bbxx/aa}\x{0020},
d’où je tire, en tranſpoſant, 2a - √cc - 2cx + xx + bb - {bbxx/aa}\x{0020}
= √cc + 2cx + xx + bb - {bbxx/aa}\x{0020}, & en quarrant chaque mem-
bre 4a
+ bb - {bbxx/aa} = cc + 2cx + xx + bb - {bbxx/aa}; &
en effaçant
de part & d’autre les quantités égales, &
tranſpoſant la quan-
tité - 2cx du premier membre dans le ſecond, on aura
4ad’où l’on tire
en ſaiſant paſſer 4cx dans le premier membre, & le terme ra-
dical dans le ſecond, après avoir diviſé par 4, a
a √cc - 2cx + xx + bb - {bbxx/aa}\x{0020}. Si l’on quarre chaque membre
de l’équation, on aura celle - ci, a
- 2a
chaque terme les quantités égales - 2a
= aEnfin ſi dans cette derniere
équation on met à la place de c
comme il eſt viſible dans la figure, à cauſe du triangle rectan-
gle E I B, il viendra a
+ ad’où l’on déduit, en effaçant toutes les quan-
tités égales de part & d’autre, &
réduiſant le ſecond membre,
0 = 0; d’où il ſuit que la propoſition eſt vraie.
663.
Un réſultat ſemblable au dernier 0 = 0 doit paroître
d’abord bien ſingulier, & les Commençans pourroient être
embarraſſés à concevoir comment ſur cette équation on peut
établir la vérité d’un théorême, ou de toute autre propoſition. Pour comprendre ce qu’il ſignifie, il faut faire attention que
toutes les démonſtrations étant fondées ſur des axiomes, il
ſuffit de faire voir la liaiſon d’une propoſition avec quel qu’un
de ces axiomes, pour en établir la certitude. Préſentement ſi
verra que notre ſuppoſition nous a conduit à cet axiome, que
le rien eſt égal au rien, que l’on pourroit mettre au rang des
premiers axiomes, puiſque cette vérité ne peut pas être con-
çue autrement que par ſon énoncé: donc notre propoſition
eſt vraie, puiſqu’elle a une liaiſon néceſſaire avec ce dernier
axiome Ceux qui liront les Auteurs qui ont beaucoup écrit
ſur les Mathématiques, verront combien ce principe eſt d’u-
ſage pour la démonſtration d’un grand nombre de théorêmes,
& l’on peut dire que c’eſt, à proprement parler, la méthode la
plus convenable de démontrer les propoſitions, & de décou-
vrir les vérités par Algebre: car il n’y a qu’à ſuppoſer que la
choſe ſoit; ſi cette ſuppoſition vous conduit à quelqu’abſur-
dité, vous en concluez qu’elle eſt fauſſe, & qu’elle eſt vraie,
ſi vous pouvez arriver, en partant delà, à quelqu’axiome ou à
quelqu’autre vérité connue par elle-même ou déja démontrée.
664.
Les deux axes conjugués A B &
C E d’une ellipſe étant
Il faut du point D comme centre, &
d’un intervalle égal à
la moitié A I du grand axc décrire un arc de cercle qui coupe
ce grand axe dans les points E, F qui ſeront les foyers de l’el-
lipſe. Il faut enſuite avoir un fil de la longueur du même axe
A B, dont on attachera les extrêmités aux points E, F, en ſe
ſervant d’un ſtyle G pour tenir le fil tendu; l’on ira du point
A au point D, du point D au point B, & l’on décrira avec le
bout du ſtyle la demi-ellipſe A D B. Si l’on fait paſſer le ſtyle
de l’autre côté de l’axe A B, on décrira de la même maniere
avec le ſtyle G l’autre moitié de l’ellipſe A C B.
La démonſtration de cette pratique ſe tire de ce que l’on
a démontré dans la propoſition précédente, que la ſomme
des lignes menées d’un des points de l’ellipſe à chaque foyer,
eſt égal au grand axe, & l’on auroit pu définir l’ellipſe en
partant de cette propriété de laquelle on auroit déduit toutes
les autres.
665.
Trouver le centre &
les deux axes conjugués d’une ellipſe
Par deux points quelconques A, C, tirez les lignes A B &
C D paralleles, que vous diviſerez chacune en deux également
aux points E, F; pour avoir les ordonnées au diametre G H
(art. 654), qui paſſant par les points E &
F, paſſera auſſi par
le centre de l’ellipſe. Ainſi en diviſant en deux également
cette ligne G H au point I, ce point ſera le centre de l’ellipſe,
duquel décrivant l’arc G L, on aura deux points ſur la courbe
également éloignés du centre, qui ſerviront à tracer la ſec-
tion M, par laquelle & par le point I faiſant paſſer une ligne
M I, la partie N O de cette ligne renfermée dans la courbe
ſera le grand axe. Si l’on veut trouver le petit axe, il n’y a
qu’à élever au point I une perpendiculaire à la ligne N O. Cette propoſition eſt ſuffiſamment démontrée par tout ce que
nous avons vu précédemment.
666.
AYant tiré ſur un plan deux lignes droites A B, D E qui
ſe coupent à angles droits au point C, on élevera la perpendi-
culaire B S à l’extrêmité B; &
après avoir prolongé A B in-
définiment vers O & vers P, on prendra ſur la ligne B O un
nombre de parties égales telles que B G, G L, pour décrire
enſuite du point C comme centre les demi-cercles G Q I,
L R K, &c.
qui couperont la perpendiculaire B S aux points
F, N; enſuite on cherchera aux lignes A B, D E, B F une qua-
trieme proportionnelle G H qu’on élevera perpendiculaire au
point G; on cherchera de même une quatrieme proportion-
nelle L M aux droites A B, D E, B N, qu’on élevera perpendi-
culaire au point L, & continuant à trouver de même un nom-
par tous ces points, ſera nommée hyperbole.
667.
Si dans le même tems on décrit deux hyperboles, l’une
à l’extrêmité A, l’autre à l’extrêmité B, elles ſeront nommées
enſemble hyperboles oppoſées.
668.
La ligne A B eſt nommée premier axe, &
la ligne D E
ſecond axe de chacune des hyperboles oppoſées.
669.
Les deux axes A B &
D E ſont appellés enſemble
conjugués, de ſorte que le premier A B eſt dit conjugué au ſe-
cond D E, & réciproquement le ſecond D E conjugué au pre-
mier A B.
670.
Le point C où ſe coupent les deux axes à angles droits,
eſt nommé centre de l’hyperbole ou des hyperboles oppoſées.
671.
Toutes lignes comme G H ou L M perpendiculaires
au prolongement de l’axe A B, ſont appellées ordonnées au
premier axe A B; &
toute ligne comme TV, menée perpen-
diculairement au ſecond axe D E, eſt appellée ordonnée au même
ſecond axe.
672.
Les parties A G, B G de l’axe &
de ſon prolongement
ſont appellées abſciſſes de l’ordonnée correſpondante G H, de
même A L, B L ſont les abſciſſes de l’ordonnée M L.
673.
Une ligne troiſieme proportionnelle aux deux axes, eſt
appellée le parametre de celui qui occupe le premier terme de la
proportion.
674.
Dans l’hyperbole, le rectangle des abſciſſes A G, B G de
l’axe A B, eſt au quarré de l’ordonnée G H correſpondante, comme
le quarré du grand axe A B au quarré de ſon conjugué D E.
Ayant nommé C A ou C B, a;
C D ou C E, b;
B F, c;
les
indéterminées C G ou C I, x; G H, y;
A G ſera x + a, &
BG
x - a.
Par la définition de l’hyperbole, on a A B :
D E :
: B F :
G H,
ou 2a : 2b :
: c :
y :
donc en quarrant les termes de cette pro-
portion, 4aa : 4bb :
: cc :
yy;
mais par la nature du cercle,
B F ou cc = I G x B G, ou A G x B G = (a + x) x (x - a)
= xx - aa, & mettant cette expreſſion à la place de cc, on
4bb:
: xx--aa :
yy, ou bien xx--aa :
yy :
: 4aa :
4bb,
c’eſt-à-dire que A G x B G : G H
: A B
D E
C.
Q.
F.
D.
675.
Il ſuit de cette propoſition, que les quarrés des ordon-
nées ſont entr’eux comme les rectangles de leurs abſciſſes: car puiſque l’on a A G x B G:
G H
: A B
D E
par la même raiſon, A L x B L : L M
: A B
D E
donc
puiſque les deux dernieres raiſons ſont égales, on aura A G
x B G : G H
: A L x B L :
L M
A L x B L :: G H
L M
Donc, &
c.
676.
Il ſuit de cette propoſition, que ſi l’on mene une or-
donnée T V au ſecond axe D E, le quarré de cette ordonnée
eſt au quarré de T C, plus celui de D C, moitié du ſecond
axe, comme le quarré de ſon conjugué A B eſt au quarré du
même axe D E. Pour le prouver, conſidérez que T V = G C
= x, & que T C = V G = y.
Or comme la propoſition pré-
cédente donne x x - aa : yy :
: 4aa :
4bb, on peut en tirer
cette équation, 4afaiſant paſſer
- 4aabb du ſecond membre dans le premier, on aura 4a
+ 4a byy + bb :
: 4aa:
4bb,
ou T VC T
: A B
D E
677.
Comme on a trouvé dans le corollaire précédent
cette équation, 4aayy = 4bbxx - 4aabb, il eſt viſible qu’en
diviſant par 4aa chaque membre de l’équation, on aura yy
= {bbxx/aa} - bb, qui eſt une équation dont nous aurons beſoin
par la ſuite.
678.
Si par l’extrêmité B de l’axe A B on mene une ligne
B G ſoient chacune égale à la moitié du même axe, & que
du centre C on tire par les extrêmités F, G les lignes CF, CG,
prolongées indéfiniment; ces lignes ſeront nommées les
aſymptotes de l’hyperbole L B M; &
ſi on les prolonge auſſi
indéfiniment de l’autre côté du centre, elles deviendront
aſymptotes de l’autre hyperbole oppoſée.
679.
Si l’on mene une droite H I parallele au ſecond axe D E,
enſorte qu’elle coupe une des hyperboles, & qu’elle ſoit terminée aux
aſymptotes, je dis que le rectangle de H K par K I ſera égal au
quarré de D C ou F B, moitié du ſecond axe D E.
Ayant nommé C B, a;
C D ou B F, b;
les indéterminées
C P, x; P K, y, il faut prouver que D C
Conſidérez que les triangles ſemblables C B F &
C P H don-
nent C B : B F :
: C P :
P H, ou en lettres a :
b :
: x :
{bx/a} = PH;
ainſi l’on aura H P - P K = {bx/a} - y, &
P I + P K = {bx/a} + y:
donc (H P-P K) x (H P+P K) ou K H x K I = √{bx/a} - y\x{0020} x
√{bx/a} + y\x{0020}, ou en faiſant la multiplication {bbxx/aa} - yy=KHxKI,
mais (art. 677) yy = {bbxx/aa} -bb:
on aura donc, en ſubſtituant
cette valeur {bbxx/aa} - {bbxx/aa} + bb = H K x K I, ou bb = F B
= H K x K I. C.
Q.
F.
D.
680.
Il ſuit delà que ſi l’on mene des lignes T S &
Q R
paralleles au ſecond axe D E, & terminées aux aſymptotes,
les rectangles T O x O S, H K x K I, & Q L x Q R ſont
égaux entr’eux, puiſque chacun eſt égal au quarré de F B; d’où l’on peut tirer ces proportions, O S :
H K :
: K I :
O T, &
H K : Q L :
: L R :
K I.
681.
Il ſuit encore delà que les parties M R, Q L compriſes
entre la courbe & les aſymptotes ſont égales entr’elles:
car
on démontreroit de même que M R x M Q = F B&
comme
les ordonnées ſont égales, il faut que les lignes M R, Q L le
ſoient auſſi.
682.
Il ſuit encore delà que ſi loin que l’on prolonge la
courbe & ſes aſymptotes, jamais ces deux lignes ne ſe rencon-
treront, puiſque l’on aura toujours QL x LR = FBce qui ne
pourroit arriver ſi ces lignes ſe rencontroient, puiſque dans
ce cas Q L ſeroit égal à zero; &
c’eſt par cette raiſon que les
lignes C Q, C R ont été nommées aſymptotes, c’eſt-à-dire
qui ne peuvent rencontrer (l’hyperbole).
683.
Si l’on mene par deux points quelconques K, O de deux
Y Z paralleles en-
tr’elles, & terminées par les aſymptotes, je dis que le rectangle de
V O par O X eſt égal à celui de Y K par K Z.
Pour démontrer cette propoſition, tirez par les points O, K les
lignes T O S, H K I paralleles entr’elles & au ſecond axe D E,
pour avoir les triangles ſemblables OSX, YHK, OTV, KIZ,
qui donnent les proportions ſuivantes, OS : KH :
: OX :
KY,
& O T :
K I :
: O V :
KZ :
donc en multipliant ces deux pro-
portions, termes par termes, on aura O S x O T : K H x K I
:: O X x O V :
K Y x K Z, &
(art.
680) O S x O T = KH x KI:
donc O X x O V = K Y x K Z.
C.
Q.
F.
D.
684.
Si l’on mene par deux points quelconques A &
C d’une
C D paralleles entr’elles, & deux autres A E, C F auſſi paralleles
entr’elles, & terminées aux aſymptotes, je dis que le rectangle
A E x A B ſera égal à celui de F C par C D.
Soient tirées par les points A, C les lignes G A H, I C K pa-
ralleles entr’elles; &
conſidérez que les triangles ſemblables
EAG, FCI, BAH, DCK, nous donneront AG : AE :
: CI :
CE,
A H :
A B :
: C K :
C D :
donc en multipliant par ordre les
termes de ces proportions, on aura A G x A H : A E x A B :
:
C K x C I : C F x C D.
Mais (art.
680) A G x A H = IC x CK :
donc auſſi A E x A B = C F x C D.
C.
Q.
F.
D.
685.
Il ſuit de cette propoſition, que ſi l’on mene par des
points quelconques A & C, pris ſur une hyperbole ou les hy-
perboles oppoſées, des lignes A P, C O, A E, C F paralleles
aux aſymptotes, les rectangles A E x A P, C F x C O ſeront
égaux entr’eux: car les lignes étant paralleles aux aſymptotes,
ſont paralleles entr’elles, & ſont par conſéquent dans le cas des
lignes A B, C D.
686.
Comme le point L, extrêmité de l’axe eſt un des points
de l’hyperbole, il s’enſuit qu’en menant les lignes L M & L N
paralleles aux aſymptotes, on aura encore L M x L N = A E
x AP, ou L M x L N = C F x C O. Mais comme L M x L N
n’eſt autre choſe que le quarré de M L, l’on voit qu’en nom-
mant L M, a; A P, x;
A E, y, on aura toujours A P x A E,
ou C F x C O (xy) = L M
exprime parfaitement la propriété de l’hyperbole, & par le
moyen de laquelle on peut déterminer tous ſes points.
687.
Par un point donné, mener une tangente à une hyperbole,
Pour mener une tangente à une hyperbole, par un point
donné A, il faut de ce point mener la ligne A B parallele à
l’aſymptote oppoſée E F, faire la partie B D égale à B E, &
tirer la ligne D A C, qui ſera tangente au ſeul point A: car à
cauſe des triangles ſemblables, D C E, D A B, on voit que
A C eſt égal à A D. Et ſi on vouloit que l’hyperbole rencon-
trât encore cette ligne dans un point H, il faudroit qu’on eût
A C = H D, ce qui eſt impoſſible, à moins que le point H
ne tombe ſur le point A: donc cette ligne eſt tangente au ſeul
point A. C.
Q.
F.
D.
688.
Comme il n’y a que la ſeule ligne C D, qui étant ter-
minée aux aſymptotes, ſoit coupée en deux également au point
A, il s’enſuit que ſi une ligne droite C D, terminée par les
aſymptotes d’une hyperbole, eſt tangente au point A, où elle
ſeroit coupée par une ligne I K, elle y ſera diviſée par cette
ligne en deux parties égales A C & A D.
689.
Si l’on a deux lignes A B, C D qui s’entrecoupent au
A B ſoit menée par le point touchant B, milieu d’une tan-
gente F G, & l’autre C D parallele, &
égale à la même tan-
gente; ces deux lignes ſeront nommées diametres des hyper-
boles, & enſemble diametres conjugués l’un à l’autre.
690.
Si par un point H quelconque de l’hyperbole, on mene
une ligne H K I, terminée de part & d’autre à la courbe, &
parallele à la tangente F G; cette ligne ſera nommée une
double ordonnée au diametre E B, dont la ligne H K ſera l’or-
donnée. Les parties E K, B K du diametre ſeront nommées les
abſciſſes de l’ordonnée H K.
691.
Le quarré d’une ordonnée quelconque H K parallele à une
le quarré du diametre C D eſt au quarré du diametre A B.
Par l’une des extrêmités B du diametre A B, ſoient me-
nées les lignes B C, B D, & la tangente F G parallele au dia-
metre C D; &
par conſéquent par le corollaire précédent,
diviſée en deux également en B; ſoit prolongé la ligne H I
juſqu’aux aſymptotes; ce qui donnera les parties égales K M,
K L, & ſoit fait A E ou E B = a, C E ou D E = b, E K = x,
K H ou K I = y; d’où l’on tire B K = x - a, &
A K =x + a.
Il eſt viſible que les triangles E B F, E B D ſont égaux, ainſi
que les triangles E B G, C B E; car ces triangles ont les côtés
un côté commun E B:
donc
F B = C E, ou E D = a. Cela poſé, les triangles ſemblables
EBF, E K L nous donnent E B : B F :
: E K :
K L, ou a :
b :
: x :
{bx/a} = K L :
donc L H = K L - K H = {bx/a}-y, &
HM=KM,
ou KL + KH = {bx/a} + y; mais par la propriété des aſymptotes,
H M x H L = F Bdonc √{bx/a}+y\x{0020} x √{bx/a}-y\x{0020}=bb, ou {bbxx/aa}
-yy=bb, d’où l’on tire yy = {bbxx/aa}-bb={bbxx/aa} - {aabb/aa},
ou aayy=bbxx-aabb; ce qui donne cette proportion
xx - aa : yy :
: aa :
bb, ou A K x K B :
K H
: A B
C D
C. Q.
F.
D.
692.
Il ſuit delà que ce que l’on a démontré dans la pre-
miere propoſition à l’égard des deux axes d’une hyperbole,
s’étend par celle-ci à deux diametres conjugués quelconques
A B & C D, auſſi bien que toutes les autres propriétés que l’on
a démontrées d’une hyperbole avec ſes aſymptotes: car pour
s’en convaincre, il ne faut que relire les articles précédens,
& mettre diametre partout où il y aura le mot d’axe;
car tout
ſubſiſtera également, ſoit que l’angle E B F ſoit droit ou non.
693.
Si l’on coupe un cône droit A B C par un plan parallele à
Ayant prolongé le côté C B du cône juſqu’en P, enſorte
que B P ſoit égal à B D, la ligne P D ſera le premier axe de
l’hyperbole, & la ligne B N tirée du point B perpendiculaire
au milieu de la ligne P D, ſera la moitié du ſecond axe; en-
ſorte que ſi l’on fait N O = B N, O B ſera le ſecond axe. Ayant nommé les données N P ou N D, a;
N O ou N B, b;
les indéterminées N I, x; I K ou I H, y, D I ſera x - a, &
P I
ſera x + a; &
nous allons ſaire voir que l’on a xx - aa :
yy
:: 4aa :
4bb, ou P I x I D :
IK
: P D
B O
Les triangles ſemblables PNB, PIM donnent PN:
NB:
:PI:
IM,
b :
: a + x :
√{a+x x b/a}\x{0020};
de même les triangles ſemblables
D N B, D I L donnent D N : N B :
: D I :
I L, ou bien a :
b :
:
x - a : √{x-a x b/a}\x{0020} = I L:
on aura donc, en multipliant les termes
de ces deux proportions les uns par les autres, aa : bb :
: xx - aa:
I M x I L;
mais par la propriété du cercle, I M x I L = I K
ou I Hdonc on aura aa :
bb :
: xx - aa :
yy, ou
4aa : 4bb :
: xx - aa :
yy, c’eſt-à-dire qu’en faiſant invertendo
P I x I D : I K
: P D
B O
C.
Q.
F.
D.
Nous ne parlerons point des différentes manieres de tracer
l’hyperbole, parce que cette courbe n’a guere lieu dans la
Géométrie pratique; c’eſt pourquoi l’on pourra paſſer légére-
ment ce chapitre, pour s’attacher à ce qui va ſuivre, qui eſt
de la derniere importance dans tout ce qui s’appelle Géométrie
pratique, & ſurtout dans la Géométrie qui regarde particulié-
rement l’Ingénieur.
Quand on eſt né avec le goût des Mathématiques, l’on
ne s’en tient guere à la lecture des ſimples Elémens; il ſuffit
qu’ils nous aient montré qu’on peut aller beaucoup plus loin
pour deſirer des Livres qui nous apprennent des choſes nou-
velles; car ceux qui ont l’eſprit Géometre, cherchent à ſe le
nourrir des vérités d’une ſcience qu’il eſt difficile de connoître
ſans l’aimer. L’on cherche, l’on s’informe quels ſont les bons
Livres de Mathématiques qu’on n’a pas vus; mais ſouvent à
qui s’en informer? Je ferai donc plaiſir de rapporter ici une
liſte des meilleurs Ouvrages de Mathématique qu’ils pour-
ront étudier. Je ne prétends parler que des principaux Livres
qui ont été imprimés à Paris; s’il falloit citer tous les bons
qu’on a faits chez les Etrangers, & particuliérement en An-
gleterre, il faudroit un volume entier pour en faire le dé-
nombrement.
Indépendamment de ce que j’ai donné d’Algebre dans mes
Elémens de Géométrie pour en ſçavoir parfaitement toutes
les opérations, l’on pourra avoir recours au Livre de la Science
du Calcul du R. P.
Reyneau.
Cet Ouvrage ſert d’intro-
duction à un autre du même Auteur, intitulé l’Analyſe dé-
montrée, qui eſt ce que nous avons de meilleur ſur l’Algebre;
in-4.
Dans le premier on enſeigne
la réſolution des problêmes qui ſe réduiſent à des équations
ſimples & compoſées;
ce qui eſt uniquement l’objet de l’ana-
lyſe; &
dans le ſecond, l’on trouve les nouveaux calculs, c’eſt-
à-dire le calcul différentiel, & le calcul intégral, qui eſt une
autre ſorte d’Algebre; &
ces calculs font enſuite appliqués à
la réſolution d’un grand nombre de problêmes Phyſico-Mathé-
matiques, qui font voir la beauté de ces calculs, & une partie
des belles découvertes qu’on a faites dans ces derniers tems.
L’on peut voir après cela l’excellent Livre des Infiniment
petits de M. le Marquis de l’Hôpital, qui traite uniquement
du calcul différentiel appliqué à la Géométrie des Courbes. Cet
Ouvrage eſt le plus beau morceau que nous ayons en France
ſur les Mathématiques; &
comme il eſt un peu abſtrait, on
pourra recourir au Commentaire qu’en a donné M. de Crouſas,
qui ſervira beaucoup à ſoulager les Commençans.
Quoique j’aie déja parlé du Traité des Sections coniques de
M. de l’Hôpital, je crois devoir recommander encore une
fois aux Commençans d’étudier ſérieuſcment cet Ouvrage,
s’ils ont envie de faire du progrès, & de le lire même immédia-
tement après qu’ils auront étudié le premier tome de l’Analyſe
démontrée, parce qu’ils s’y fortifieront, & auront l’eſprit
plus diſpoſé à voir enſuite le ſecond tome de l’Analyſe.
Il y a auſſi un Livre de M.
Carré ſur le calcul intégral, qui
eſt une application de ce calcul à la meſure des ſurfaces, des
ſolides, & à la maniere de trouver leur centre de gravité, &
c.
qu’il eſt bon auſſi de ſçavoir, pour connoître l’uſage de ce
calcul.
DE toutes les parties des Mathématiques, il n’y en a point que
les Commençans étudient plus volontiers que la Trigonométrie,
parce qu’elle préſente à l’eſprit des problêmes fort curieux, dont la
ſolution eſt aiſée, n’ayant beſoin que du ſimple calcul de l’Arith-
métique. Cependant il faut ſe rendre bien familieres les analogies
de ce calcul, afin d’en placer les termes à propos; car la Trigono-
métrie eſt d’un ſi grand uſage dans le métier de la guerre, qu’un
homme qui eſt chargé des moindres choſes dans le Génie, ou dans
l’Artillerie, ne peut abſolument l’ignorer; puiſque ſi l’on veut
conduire quelque galerie de mines, jetter des bombes avec regles,
calculer les parties d’une fortification réguliere pour la tracer ſur le
terrein, lever un Camp, une Carte, le plan d’une tranchée, orien-
ter des batteries, il faut néceſſairement avoir recours à la Trigono-
métrie.
Et pour dire un mot du Traité que j’en donne ici, l’on ſçaura
que je ne parle que des triangles rectilignes, parce que ceux qu’on
nomme Sphériques, à cauſe qu’ils ſont formés par des cercles de
la Sphere, ne ſont d’aucune utilité à un homme de guerre, au-
quel il ne faut apprendre que les choſes néceſſaires, crainte de le
rebuter, en voulant lui fatiguer la mémoire par celles qui ſont pu-
choſes de ſon miniſtere. J’ai fait enſorte d’éviter ce défaut, parti-
culiérement dans ce petit Traité, que j’ai tâché de rendre le plus
clair & le plus intéreſſant qu’il m’a été poſſible, en appliquant la
Trigonométrie à quantité d’opérations, qui feront plaiſir à ceux
qui n’aiment point à s’appliquer, ſans voir dans le moment l’uſage
des propoſitions qu’ils apprennent. Outre les problêmes généraux
de la Trigonométrie, on a joint ici pluſieurs problêmes particu-
liers très-intéreſſans pour un Ingénieur militaire. Comme il y a
toujours du danger de meſurer des baſes dans un terrein expoſe au
feu de l’ennemi: je donne la maniere de connoître la diſtance du
lieu où l’on eſt à celui que l’on veut attaquer par une ſeule opéra-
tion ſans ſortir de l’endroit où je ſuppoſe l’Ingénieur. Cette opéra-
tion ſera toujours praticable, pourvu que d’un même lieu on puiſſe
appercevoir trois objets au dedans, ou au dehors de la ville,
& dont la poſition a été déterminée géométriquement avec toute
la préciſion poſſible dans des endroits où l’on pouvoit faire toutes
les opérations néceſſaires ſans aucun danger. Je donne des ſolu-
tions numériques & géométriques du même problême, afin que l’on
puiſſe ſe ſervir de l’une dans le cas où l’on a beſoin de toute la pré-
ciſion poſſible, & de l’autre, lorſqu’on peut ſe contenter d’un à
peu près qui peut être ſuffiſant dans un grand nombre d’occaſions; c’eſt à l’Ingénieur à ſçavoir de laquelle des deux méthodes il doit
faire uſage, & je lui laiſſe faire l’application de ce problême dans
toutes les circonſtances où il peut s’en ſervir avec avantage.
Comme en meſurant la diſtance d’un lieu à un autre, il arrive
quelquefois qu’on eſt obligé d’en connoître auſſi les différentes hau-
teurs par rapport au centre de la terre, il ſemble que le nivelle-
ment eſt une partie des Mathématiques qui doit ſuivre immédia-
tement la Trigonométrie: auſſi ai-je obſervé cet ordre, puiſqu’a-
près la Trigonométrie l’on trouvera un Traité du Nivellement, où
l’on fait voir l’uſage du niveau d’eau, & celui d’un autre niveau,
pour niveler des grandes diſtances. Ces inſtrumens ſont d’un ſi
grand uſage dans la pratique, qu’on ne ſçauroit trop engager ceux
qui peuvent ſe trouver dans le cas de s’en ſervir, de s’appliquer à
ce que l’on verra dans la ſuite ſur ce ſujet. Tout le monde ſçait que
quand on veut faire un canal de navigation, joindre une riviere
avec une autre, conduire des eaux aux endroits où il en man-
que, les projets de ces ſortes de choſes ne peuvent avoir lieu, ſans
avoir fait auparavant des nivellemens fort exacts; &
c’eſt-là par-
la pratique doivent travailler de con-
cert. Combien de grands ouvrages n’a-t’on pas exécutés, depuis
qu’on a ſçu réduire à des principes l’art du nivellement! Auroit-
on oſé tenter autrefois un travail auſſi admirable que celui de la
jonction des deux Mers? Toute la magnificence des Anciens a-
t’elle jamais été juſqu’ à faire naître des jets d’eau dans des lieux
fort éloignés de tous réſervoirs? Et ſi cela s’eſt fait, étoit-on sûr
de la réuſſite avant l’exécution? Combien eſt-il arrivé de fois
qu’après avoir commencé un grand projet, on s’eſt apperçu trop
tard, & après de grandes dépenſes, de l’impoſſibilité du deſſein!
au lieu qu’à préſent on trouve avec toute l’exactitude poſſible la
différence du niveau de pluſieurs endroits, lorſqu’on entend bien
le nivellement, & l’on ſçait ſi le projet qu’on a en vue, eſt poſſi-
ble, ou non; s’il faut des écluſes, à quelle diſtance il faut les
conſtruire; enfin on eſt en état de ne rien craindre du ſuccès d’une
grande entrepriſe, ſi après en avoir fait le nivellement, l’on a re-
connu le projet poſſible.
694.
La Trigonométrie eſt une partie de la Géométrie, par
le moyen de laquelle trois choſes étant données ou connues
dans un triangle, l’on vient à la connoiſſance du reſte.
695.
Comme l’on ne parvient à trouver ce que l’on cher-
che dans la Trigonométrie que par le calcul ordinaire de l’A-
rithmétique, l’on ſe ſert de certaines Tables dreſſées pour ce
ſujet, qu’on appelle Tables des Sinus, Tangentes, Sécantes,
dont je donnerai l’uſage ſeulement, ſans en enſeigner la con-
ſtruction, que l’on trouvera dans pluſieurs Livres, ne voulant
parler que des choſes qu’il faut abſolument ſçavoir.
696.
Nous avons ſix choſes à conſidérer dans un triangle;
ſçavoir, les trois côtés &
les trois angles, ſans s’embarraſſer
de la ſuperficie: &
comme il y a trois de ces ſix termes, qui
peuvent être donnés, pour arriver à la connoiſſance des au-
tres, il faut toujours que ce ſoit deux angles & un côté, ou
un angle & deux côtés, ou bien enfin les trois côtés;
car les
côtés, parce qu’on peut former deux triangles, tels que les
angles de l’un ſoient égaux aux angles de l’autre, chacun à ſon
correſpondant, ſans que pour cela les côtés du premier ſoient
égaux à ceux du ſecond. Il eſt bien vrai qu’on peut trouver
la proportion de ces côtés, mais non pas leur juſte valeur.
697.
Nous avons déja dit que la meſure d’un angle n’étoit
autre choſe que la quantité de degrés, ou de degrés & de mi-
nutes, que l’arc terminé par les lignes qui forment cet angle
peut contenir. Mais comme cette meſure eſt relative dans la
Trigonométrie à certaines lignes, qui en font le principal
objet, voici leurs noms.
698.
Sinus droit d’un arc, ou d’un angle dont cet arc eſt la
cet arc perpendiculairement au côté qui paſſe par l’autre ex-
trêmité B du même arc F B. Ainſi la ligne F H tirée de l’ex-
trêmité F de l’arc F B perpendiculaire ſur le côté B C, eſt le
ſinus de l’angle F C B.
699.
Si l’on prolonge la ligne F H juſqu’en G, le rayon
C B étant perpendiculaire ſur la ligne F G, la diviſera en deux
également au point H (art. 423), auſſi-bien que l’arc F B G;
&
comme la ligne F G eſt la corde de cet arc, &
que la ligne
F H eſt le ſinus de l’arc F B, il s’enſuit que le ſinus d’un arc eſt
la moitié de la corde d’un arc double.
700.
Comme le ſinus F H augmentera d’autant plus que
l’angle F C B ſera grand, il s’enſuit que lorſque le rayon C F
ſera perpendiculaire ſur A B, comme eſt le côté C I, le ſinus
F H, & le côté C F ſe joindront pour ne faire qu’une ſeule
ligne C I, & que dans ce cas le ſinus de l’angle droit I C H
ſera le rayon même du cercle; ce qui fait voir que l’angle
droit a le plus grand de tous les ſinus, que l’on nomme à
cauſe de cela, Sinus total.
701.
Le ſinus de l’angle droit n’étant autre choſe que le
rayon du cercle, dont l’angle tire ſa meſure, nous nomme-
rons dans la ſuite le rayon C B ſinus total. On voit par ce qui
précede, que les ſinus des angles moindres qu’un droit, croiſ-
ſent depuis zero juſqu’à la grandeur du rayon. Il ſuit auſſi de cette
définition, que le ſinus d’un angle plus grand qu’un droit, eſt
égal au ſinus de ſon ſupplément. Ainſi le ſinus de 120 degrés
eſt le même que celui de 60 degrés, & plus les angles ſeront
obtus, plus leurs ſinus ſeront petits, puiſqu’ils auront pour
ſinus ceux de leurs ſupplémens.
702.
Sinus verſe d’un arc ou de l’angle dont cet arc eſt la
l’extrêmité de cet arc: ainſi la ligne droite, ou la partie B H
du rayon C B, eſt le ſinus verſe de l’arc F B ou de l’angle F C B,
dont cet arc eſt la meſure.
703.
Tangente d’un arc ou d’un angle dont cet arc eſt la
meſure, eſt une ligne perpendiculaire ſur l’extrêmité d’un des
côtés de l’angle, & terminée par l’autre côté prolongé:
ainſi
la ligne B E perpendiculaire à l’extrêmité B du côté C B, &
terminée par la rencontre du côté C F prolongé juſqu’en E,
eſt la tangente de l’angle F C B. On voit auſſi par cette défini-
tion, que la tangente d’un angle obtus eſt la même que celle
d’un angle aigu, qui eſt ſon ſupplément: car la ligne A B eſt
le côté de l’angle obtus A C F, & cette ligne rencontre le pro-
longement de l’autre côté en F; ainſi plus l’angle ſera obtus,
plus ſa tangente ſera petite.
704.
On appelle coſinus d’un angle ou d’un arc le ſinus de
ſon complément. L F eſt le coſinus de l’angle BCF, ou de l’arc
B F. On voit par-là que le coſinus d’un arc ou d’un angle eſt
la partie du rayon compriſe entre le centre & la rencontre de
ſon ſinus: car il eſt clair que L F = C H.
Une ligne comme
I K, tangente de l’arc I F complément de l’arc B F, eſt appellée
cotangente ou tangente de complément de l’angle B C F.
705.
Sécante d’un arc ou d’un angle, dont cet arc eſt la
meſure, n’eſt autre choſe que le côté de l’angle prolongé, &
terminé à la tangente: ainſi la ligne C E eſt ſécante de l’angle
F C B. La ligne C K eſt appellée la co-ſécante de l’arc B F, parce
qu’elle eſt la ſécante de ſon complément. On peut auſſi remar-
quer que la ſécante d’un angle obtus eſt égale à la ſécante d’un
angle aigu, qui eſt ſon ſupplément. La ſécante d’un angle
droit eſt infinie: car étant alors parallele à la tangente, qui
paſſe par l’extrêmité de l’autre côté de l’angle droit, elle ne
peut la rencontrer qu’à l’infini; ainſi les ſécantes croiſſent
depuis zero juſqu’à l’infini.
706.
Quand on a conſtruit les Tables des Sinus, l’on a
ſuppoſé le rayon C B, ou autrement le ſinus total diviſé en
10000000 parties, & l’on a cherché combien le ſinus de cha-
que angle, depuis une minute juſqu’à 90 degrés, pouvoit
contenir de parties du ſinus total, afin de connoître les ſinus
en nombre; &
c’eſt ainſi que l’on a trouvé que le ſinus d’un
angle de 20 degrés, par exemple, contenoit 3420202 de ces
parties, que le ſinus de 55 degrés 10 minutes en contenoit
8208170, ainſi des autres qui en contiennent plus ou moins,
ſelon que l’angle approche plus ou moins de la valeur d’un
droit; &
ce ſont tous ces différens ſinus que l’on trouve dans
la ſeconde colonne des Tables ſur chacun des feuillets.
707.
Comme une tangente telle que B E augmente ou di-
minue, ſelon que l’angle E C B approche ou s’éloigne plus
ou moins de l’angle droit, l’on a cherché auſſi la valeur des
tangentes de tous les angles, depuis celle d’une minute juſ-
qu’à celle de 90 degrés, en conſidérant combien elle conte-
noit de parties de ſinus total, c’eſt-à-dire de 10000000, &
l’on en a compoſé la troiſieme colonne des Tables, qui ſuit
immédiatement celle des ſinus; de ſorte que l’on trouve à
côté des ſinus de chaque angle la valeur de la tangente du
même angle. Ainſi l’on verra que la tangente de 20 degrés eſt
de 3639702, & que la tangente de 55 degrés 10 minutes eſt
14370267 parties du ſinus total, diviſé en 10000000.
708.
Enfin l’on a cherché auſſi la valeur de la ſécante de
chaque angle, que l’on a trouvée par le moyen du ſinus total
& de la tangente;
car comme une ſécante telle que C E, n’eſt
dont l’angle droit eſt compris par le ſinus total C B, & la
tangente B E de l’angle F C B; l’on a quarré le ſinus total C B,
& la tangente B E pour avoir la racine quarrée de la ſomme de
ces deux produits, qui donne la valeur de la ſécante; &
c’eſt
ainſi que l’on a trouvé les ſécantes de tous les angles, depuis
une minute juſqu’à 90 degrés, dont on a compoſé la troiſieme
colonne qui ſe trouve dans les Tables.
709.
Si donc on veut ſçavoir quel eſt le ſinus, la tangente,
& la ſécante d’un angle, il faut conſidérer d’abord combien
la meſure de l’angle contient de degrés, ou de degrés & de
minutes, & chercher dans la Table le feuillet, où il y a mar-
qué en haut le nombre de degrés de cet angle: par exemple,
ſi l’angle eſt de 15 degrés, je cherche la page où eſt le nom-
bre 15 en haut, & je trouve dans la premiere ligne que le
ſinus de 15 degrés eſt 2588190, que ſa tangente eſt 2679492,
& que la ſécante eſt 10352762.
710.
Mais comme les degrés de chaque page ſont accom-
pagnés d’un nombre de minutes, qui ſont en progreſſion Arith-
métique, depuis 1 juſqu’à 60, qui ſe trouvent dans une petite
colonne, où il y a au commencement ce mot minute, ſi l’on
vouloit ſçavoir le ſinus de 15 degrés 24 minutes, je cherche
d’abord, comme ci-devant, la page où il y a 15 degrés en
haut, & je deſcends juſqu’à l’endroit de la colonne des mi-
nutes, où 24 ſe trouve marqué, & je prends le ſinus qui lui
correſpond, qui eſt de 2655561.
711.
Comme le ſinus total, ou autrement le côté C B, de-
vient le côté commun de tous les angles, puiſqu’il n’y a que
l’autre côté C F qui varie pour faire l’angle plus ou moins
ouvert: il eſt à remarquer que le ſinus total, la tangente &
la ſécante d’un angle peuvent toujours former les côtés d’un
triangle rectangle, dont la grandeur eſt indéterminée, parce
qu’il n’eſt queſtion que de la proportion de ces côtés avec
ceux d’un autre triangle qui lui ſeroit ſemblable; &
pour faire
voir ceci plus clairement, conſidérez le triangle rectangle
C E F, ſi du point C l’on décrit l’arc B D, qui ſera, par exem-
qu’on éleve au point B la perpendicu-
laire B A, l’on aura le triangle rectangle C B A, dont le côté
C B pourra être pris pour le ſinus total, le côté A B pour la
tangente de l’angle C, & le côté C A pour la ſécante du
mais tous les côtés de ce triangle ſont connus:
car le côté C B étant le ſinus total, ſera de 10000000, le côté
B A étant la tangente d’un angle de 35 degrés, ſera de 7002075,
& le côté C A étant la fécante du même angle, ſera par conſé-
quent de 12207746, & c’eſt par le moyen de ces triangles
qu’on va réſoudre les problêmes ſuivans.
712.
Pour conſtruire les tables, l’on a diviſé le ſinus total
en un grand nombre de parties, afin que dans les diviſions
que les opérations demandent, l’on puiſſe négliger les reſtes,
quand ils ſont compoſés de ces petites parties; mais comme
dans la pratique ordinaire de la Géométrie l’on peut ſe diſ-
penſer d’entrer dans une ſi grande cxactitude, l’on pourra,
au lieu de ſuppoſer que le ſinus total eſt diviſé en 10000000,
le ſuppoſer ſeulement en 100000; &
pour lors il faudra, au
lieu de prendre toutes les figures qui ſont dans les colonnes des
ſinus, des tangentes & ſécantes, prendre ſeulement les pre-
mieres, & négliger les deux dernieres, que l’on voit ſéparées
à droite par un petit point, c’eſt-à-dire, que pour la tangente
de 30 degrés, au lieu de prendre 57735:03, on ne prendra
que 57735; &
c’eſt de cette façon que ſeront faits tous les cal-
culs que l’on verra dans la ſuite.
713.
Dans un triangle rectangle A D E, dont on connoît un
angle aigu A, & le côté A D, trouver le côté D E oppoſé à l’angle
aigu.
Suppoſant que l’angle A ſoit de 30 degrés, &
le côté A D
de 20 toiſes, il faut chercher dans la table la tangente de 30
degrés, que l’on trouvera de 57735, & conſidérer que les
triangles A B C & A D E étant ſemblables, l’on a A B:
B C :
:
A D: D E, qui nous fournit cette regle, ſi A B, qui eſt le ſinus
total de 1000000, donne la tangente B C de 57735, que don-
nera le côté A D de 20 toiſes pour le côté D E, que l’on trou-
vera de 11 toiſes 3 pieds & quelques pouces.
714.
Connoiſſant dans un triangle rectangle A D E, un angle
le côté A D de 20 toiſes, trouver l’hy-
poténuſe A E.
Il faut chercher la ſécante de 30 degrés, qui eſt 115470,
& conſidérer que le triangle A B C étant ſemblable au triangle
A D E, A B: A C:
: A D:
A E.
d’où l’on tire cette regle, ſi
A B, qui eſt le ſinus total de 100000, m’a donnné 115470
pour la ſécante A C, que me donnera le côté A D de 20
toiſes pour le côté A E, que l’on trouvera de 23 toiſes &
quelques pouces.
715.
Dans un triangle rectangle A B C, dont on connoît un
le côté B C oppoſé à cet angle, trouver le côté
A B oppoſé à l’autre angle aigu C.
Si l’angle aigu A eſt de 40 degrés, &
le côté C B de 25 toi-
ſes, il faut chercher la tangente de 40 degrés, qui eſt 83909,
& conſidérer que les triangles A E D &
A B C étant ſembla-
bles, l’on a D E: E A:
: C B:
B A, d’où l’on tire cette regle,
comme la tangente D E de 83909 eſt au côté E A, ſinus total
de 100000; ainſi le côté C B de 25 toiſes eſt au côté B A, que
l’on trouvera de 29 toiſes & quelque choſe.
716.
Autrement, comme l’angle A eſt de 40 degrés, ſi l’on
C; &
comme les triangles C E D &
C B A ſont ſemblables,
l’on pourra, en cherchant la tangente de l’angle C, dire,
comme le côté C E, qui eſt le ſinus total, eſt au côté E D,
qui eſt la tangente de 40 degrés, ainſi le côté C B de 25 toiſes,
eſt au côté B A, que l’on trouvera encore de 29 toiſes & quel-
que choſe.
717.
Dans un triangle rectangle A B C, dont on connoît les
B C, qui comprennent l’angle droit, trouver
l’angle aigu A.
Suppoſant que le côté A B ſoit de 16 toiſes, &
le côté B C
de 14, remarquez que les triangles A D E & A B C étant ſem-
blables, A B: B C:
: A D:
D E, d’où l’on tire cette regle, ſi
le côté A B de 16 toiſes, donne le côté B C de 14, que don-
nera 100000, qui eſt le côté A D pour le côté D E, qui eſt
la tangente de l’angle A, que l’on trouvera de 875000; &
cherchant le nombre le plus approchant de celui-là dans la
colonne des tangentes, l’on trouvera qu’il correſpond à 41
degrés & 12 minutes, qui eſt la valeur de l’angle A.
718.
Dans un triangle rectangle A B C, où l’on connoît deux
A C, qui comprennent un angle aigu A, trouver la
valeur de cet angle.
Suppoſant le côté A B de 35 toiſes, &
le côté A C de 40,
l’on aura, à cauſe des triangles ſemblables A D E & A B C,
A B:A C:
: A D:
A E, d’où l’on tire cette regle, ſi le côté
A B de 35 toiſes, donne 40 toiſes pour le côté A C, que don-
nera le ſinus total A D de 100000 pour la ſécante A E de l’an-
gle A, que l’on trouvera de 114285, & ayant recours à la
table pour y chercher dans la colonne des ſécantes le nombre
qui approche le plus de celui-ci, on trouvera qu’il correſpond
à 28 degrés 57 minutes, qui eſt la valeur de l’angle A.
719.
Dans tous triangles les ſinus des angles ſont dans la même
Je dis que dans un triangle A B C, il y a même raiſon du
ſinus de l’angle A à ſon côté oppoſé B C, que du ſinus de l’an-
gle B à ſon côté oppoſé A C.
Ayant circonſcrit un cercle autour de ce triangle, on voit
que l’angle A ayant pour meſure la moitié de l’arc B D C, la
ligne B C ſera la corde d’un arc double de celui qui meſure
l’angle A: par conſéquent la moitié de la ligne B C ſera le
ſinus de l’angle A; &
par la même raiſon le ſinus de l’angle
B ſera la moitié de la ligne A C, comme le ſinus de l’angle C
eſt à la moitié du côté A B; ainſi l’on aura {B C/2}:
B C:
: {A C/2}:
A C,
ou bien {A C/2} : A C :
: {A B/2} :
A B.
C.
Q.
F.
D.
720.
Dans un triangle obtus-angle, le ſinus de l’angle obtus
Ayant abaiſſé la perpendiculaire C D ſur la baſe prolongée
B D, & décrit les arcs F E &
H G avec une même ouverture
de compas A F & B H, l’on abaiſſera les perpendiculaires F I
& H L.
Cela poſé, comme A F eſt égal à B H, l’un &
l’autre
ſera nommé a; A C, b;
C D, c;
F I, d;
H L, e;
C B, f;
&
nous ferons voir que F I (d) : C B (f):
: H L (e):
A C (b).
Les triangles C A D &
F A I étant ſemblables, l’on aura
C D (c): C A (b):
: F I (d):
A F (a).
Et comme les triangles
C B D & H B L ſont auſſi ſemblables, l’on aura encore C D (c):
H L (e):
: C B (f):
H B (a), d’où l’on tire ces deux équations
a c=b d, & a c=e f, dont les premiers membres étant égaux,
l’on aura par conſéquent b d=e f, d’où l’on tire F I (d):
C B (f):: H L (e):
A C (b), qui fait voir que le ſinus H L
du ſupplément de l’angle A B C a même raiſon au côté A C,
que le ſinus F I au côté B C; &
que par conſéquent le ſinus
d’un angle obtus eſt toujours celui de ſon ſupplément.
C. Q.
F.
D.
Ces deux théorêmes nous fourniſſent le moyen de connoître
les angles & les côtés de la plûpart des triangles qui ne ſont
pas rectangles, comme on le va voir dans les problêmes
ſuivans.
721.
Dans un triangle A B C, dont on connoît deux angles
un côté;
on demande de trouver les deux autres côtés.
Le côté B C étant ſuppoſé de 15 toiſes, l’angle A de 40 de-
grés, & l’angle B de 60, l’on connoîtra le troiſieme angle, en
ſouſtrayant de la valeur de deux droits, c’eſt-à-dire de 180
degrés, la ſomme des angles A & B, &
l’on trouvera 80 degrés
pour l’angle C. Cela poſé, pour connoître le côté A C, je
cherche dans les Tables le ſinus de l’angle A, c’eſt-à-dire le
ſinus de 40 degrés, qui ſera celui de l’angle oppoſé au côté
que je connois, & je trouve qu’il eſt 64278;
&
cherchant
auſſi celui de l’angle B oppoſé au côté que je cherche, je
trouve qu’il eſt de 86602: préſentement je dis:
Si 64278,
qui eſt le ſinus de l’angle A, donne 15 toiſes pour le côté B C,
que donnera 86602, qui eſt le ſinus de l’angle B, pour le côté
A C, que l’on trouvera de 20 toiſes & quelque choſe:
pour
trouver la valeur du côté A B, il faut chercher le ſinus de
l’angle C, qui eſt de 98480, & dire encore:
Si le ſinus de
l’angle A, qui eſt 64278, donne 15 toiſes pour le côté B C,
que donnera le ſinus de l’angle C, qui eſt 98480 pour le côté
A B, que l’on trouvera de 23 toiſes & quelque choſe.
722.
Si l’on a deux grandeurs x &
y, dont la ſomme eſt a,
& la différence d, la plus grande eſt égale à la moitié de la ſomme,
plus la moitié de la différence, & la plus petite eſt égale à la
moitié de la ſomme, moins la moitié de la différence.
Suppoſant que x ſoit la plus grande, &
y la plus petite, il
faut démontrer que x = {a+d/2}, & que y={a-d/2}.
Puiſque la ſomme des deux grandeurs eſt a, on aura x+y
=a, & puiſque leur différence eſt d, on aura x-y=d.
De
la premiere équation, on tire y=a-x: donc en mettant
cette valeur de y dans la ſeconde équation, on aura x-a
+x=d, ou 2x=a+d: donc x={a+d/2}.
Si l’on met cette
ou a + d + 2y = 2a: donc 2y = 2a - a - d = a - d, &
y = {a-d/2}. C.
Q.
F.
D.
723.
Dans un triangle A B C, dont on connoît deux côtés A C
B C avec un angle A, oppoſé à l’un des côtés connus, trouver
les deux autres angles.
Pour trouver d’abord l’angle B, ſuppoſant que le côté A C
ſoit de 26 toiſes, le côté B C de 20, & l’angle A de 50 de-
grés, il faut chercher le ſinus de cet angle, qui eſt de 76604,
& dire:
Si le côté B C de 20 toiſes donne 76604 pour ſinus de
l’angle A, que donnera le côté A C de 26 toiſes pour le ſinus
de l’angle B, que l’on trouvera de 99585; &
cherchant dans la
colonne des ſinus le nombre qui approche le plus de celui-ci,
l’on verra qu’il correſpond à 84 degrés 45 minutes, qui eſt la
valeur de l’angle B.
Comme l’on connoît les angles A &
B, l’on n’aura qu’à
ſouſtraire la ſomme de 180, le reſte ſera la différence 45 de-
grés 15 minutes pour l’angle C.
724.
Mais ſi l’angle donné étoit plus ouvert qu’un droit,
le côté A C de 18 toiſes, & le côté B C de 12, il faudra, pour
connoître l’angle A, chercher le ſinus du ſupplément de l’an-
gle obtus, c’eſt-à-dire le ſinus de 60 degrés, qui eſt 86602, &
dire: Si le côté A C de 18 toiſes donne 86602 pour le ſinus
du ſupplément de l’angle obtus, que donnera le côté B C de
12 toiſes pour le ſinus de l’angle A, que l’on trouvera de
57734, qui correſpond à 35 degrés 16 minutes?
725.
Dans tous triangles, comme A B C, dont on connoît deux
B C avec l’angle compris A B C, la ſomme des deux
côtés connus eſt à leur différence, comme la tangente de la moitié
de la ſomme des deux angles inconnus B A C, & B C A eſt la tan-
gente de la moitié de leur différence.
Si du point angulaire B l’on décrit un cercle, dont le rayon
ſoit le côté B C, & que l’on prolonge le côté A B juſqu’à la
circonférence en D & E, la ligne A D ſera la ſomme des deux
côtés connus, puiſque B D eſt égal à B C, & la ligne A E ſera
la différence de ces deux côtés, puiſque B A eſt plus petit que
B D de toute la ligne A E. Cela poſé, comme l’angle D B C
eſt extérieur au triangle A B C, il ſera égal aux deux inté-
rieurs B A C & B C A:
ainſi il vaudra la ſomme des deux an-
gles inconnus; &
ſi l’on tire la ligne E C, l’angle D E C, qui
eſt à la circonférence, ſera moitié de celui du centre D B C: ainſi il vaudra la moitié de la ſomme des deux angles incon-
nus; &
ſi l’on tire la ligne D C, qui ſe trouve perpendiculaire
ſur E C, à cauſe que l’angle E C D eſt renfermé dans un demi-
cercle, cette ligne ſera la tangente de l’angle D E C, c’eſt-à-
dire de la moitié de la ſomme des deux angles inconnus. Pré-
ſentement conſidérez que le triangle E B C eſt iſoſcele, &
que les angles B E C & B C E de la baſe ſont égaux;
par con-
ſéquent l’angle B E C ſera plus grand que l’angle B C A de
tout l’angle F C E; &
comme l’angle extérieur B A C du trian-
gle B A C eſt plus grand que l’angle B E C de tout l’angle A C E,
il s’enſuit donc que l’angle B A C eſt plus grand que B C A de
deux fois l’angle A C E; ce qui fait voir que l’angle A C E eſt
la moitié de la différence des deux angles inconnus B A C &
B C A. Or ſi la ligne E F eſt perpendiculaire ſur E C, elle ſera
la tangente de la moitié de la différence des deux angles in-
connus, étant tangente de l’angle F C E; mais les lignes D C
& F E ſont paralleles, puiſqu’elles ſont perpendiculaires ſur
E C; par conſéquent l’angle F E A ſera égal à ſon alterne
E D C. Et comme les angles F A E &
D A C ſont auſſi égaux,
il s’enſuit que les triangles A F E & A D C ſont ſemblables,
d’où l’on tire A D: A E :
:
D C:
F E, qui fait voir que la ſomme
des deux côtés A D eſt à leur différence A E, comme la ligne
D C, tangente de la moitié de la ſomme des deux angles in-
connus, eſt à la ligne F E tangente de la moitié de leur diffé-
rence. C.
Q.
F.
D.
726.
Dans un triangle A B C, dont on connoît deux côtés A C
B C avec l’angle compris C, trouver les angles A &
B.
Comme ce Problême eſt une application du théorême pré-
cédent, il faut, pour le réſoudre, ajouter les deux côtés C B &
C A enſemble, c’eſt-à-dire 25, & 20 pour avoir la ſomme des
deux côtés connus, & ſouſtraire le plus petit côté du grand
pour en avoir la différence, qui ſera 5; &
comme l’angle C
eſt ſuppoſé de 40 degrés, l’on cherchera ſa différence avec
deux droits, que l’on trouvera de 140, dont la moitié 70 ſera
la moitié de la ſomme des deux angles inconnus A & B.
Or
cherchant la tangente de cet angle, qui eſt 274747, l’on dira: Si 45, ſomme des deux côtés connus, donne 5 pour leur dif-
férence, que donnera 274747, tangente de la moitié de la
ſomme des deux angles inconnus pour la tangente de la moitié
de la différence des deux angles inconnus, que l’on trouvera
30527.
Préſentement ſi l’on cherche dans la colonne des tangentes
le nombre le plus approchant de celui-ci, l’on verra qu’il cor-
reſpond à 16 degrés & 59 minutes:
&
comme cette quantité
n’eſt que la moitié de la différence, il faut la doubler pour
avoir la différence entiere, qui ſera 33 degrés 58 minutes,
qu’il faut ſouſtraire de la ſomme des deux angles inconnus,
c’eſt-à-dire de 140 degrés, & l’on trouvera pour la différence
106 degrés 2 minutes, dont on n’a plus qu’à prendre la moitié
pour avoir la valeur de l’angle oppoſé au pluspetit côté, c’eſt-
à-dire de l’angle B, qui ſera de 53 degrés une minute: car par
le lemme de l’art. 722, le plus petit angle doit être égal à la
moitié de la ſomme, moins la moitié de la différence, & c’eſt
ce que l’on trouve en ôtant la différence de la ſomme, & pre-
nant la moitié du reſte.
Pour avoir l’angle A, on n’a qu’à ajouter la différence 33
degrés 58 minutes à la valeur de l’angle B, & l’on trouvera
qu’il eſt de 86 degrés 59 minutes.
Si l’on veut connoître le côté A B, il ſera facile de le trouver
par la ſeptieme propoſition.
727.
Dans tous triangles comme A B C, dont on connoît les
côtés A B & B C, comme la différence de ces deux mêmes côtés eſt
à la différence des ſegmens A G & G C de la baſe.
Si du point B l’on décrit un cercle, dont le rayon ſoit le
côté B C plus grand que B A, & que l’on prolonge le côté A B
juſqu’à la circonférence, B D étant égal à B C, A D ſera la
ſomme des deux côtés A B & B C, &
A F en ſera la différence:
&
comme la ligne E C eſt diviſée en deux également par la
perpendiculaire B G, E A ſera la différence des deux ſegmens
A G & G C.
Si l’on tire les lignes D C &
E F, l’on aura les
deux triangles ſemblables A E F & A D C:
car ils ont un an-
gle oppoſé au ſommet en A, & de plus l’angle en E eſt égal
à l’angle en D, puiſqu’ils ſont appuyés ſur le même arc F C.
On aura donc cette proportion, A C qui eſt la baſe, eſt à A D
qui eſt la ſomme des deux côtés, comme A F, qui eſt la
différence de ces deux côtés eſt à A E, qui eſt la différence des
ſegmens de la baſe. C.
Q.
F.
D.
Ce théorême nous donne un moyen de connoître les trois
angles d’un triangle dont on connoît les trois côtés, comme
on le va voir dans le problême ſuivant, qui en eſt une appli-
cation.
728.
Connoiſſant les trois côtés d’un triangle A B C, l’on de-
Suppoſant que la baſe A C ſoit de 15 toiſes, le côté A B de
8, & le côté B C de 12, il faut dire:
Comme la baſe A C
de 15 eſt à la ſomme des deux autres côtés, qui eſt 20: ainſi
la différence de ces deux côtés, qui eſt 4, eſt à la différence
des deux ſegmens, que l’on trouvera de 5 toiſes 2 pieds. Pré-
ſentement ſi l’on ajoute cette quantité à la valeur de la baſe
A C, l’on aura 20 toiſes 2 pieds, qui ſera la valeur d’une ligne
par conſéquent ſi on en prend la moitié, on
connoîtra le plus grand ſegment D C, qui eſt de 10 toiſes
un pied: mais comme l’on connoît dans le triangle rectangle
D B C les côtés B C & D C, l’on pourra donc connoître auſſi
l’angle C, & enſuite les angles A &
B.
Pour cela, on fera
cette proportion, comme le côté B C eſt au ſinus total, ainſi
le ſegment D C eſt au ſinus de l’angle D B C. Connoiſſant cet
angle, on n’aura qu’à ôter ſa valeur de 90 degrés, & l’on aura
la valeur de l’angle C. On trouveroit de même l’angle A B D
& l’angle A.
729.
On a pu voir dans les Tables qu’il y a trois colonnes
ſur la droite de celles dont nous nous ſommes ſervis, au haut
deſquelles on trouve ces mots, Logarithmes des ſinus, Loga-
rithmes des tangentes, Logarithmes des ſécantes. Pour concevoir
comment on peut faire uſage des logarithmes dans le calcul
des triangles, il faut ſe rappeller ce que nous avons démontré
ſur les propriétés des logarithmes, par le moyen deſquels toute
multiplication eſt réduite à l’addition des logarithmes du mul-
tiplicande & du multiplicateur, &
toute diviſion à une ſouſ-
traction du logarithme du diviſeur de celui du dividende. Il
faut encore ſe rappeller que toute Regle de Trois ſe réduit à
l’addition des logarithmes des deux moyens, & à la ſouſtrac-
tion du logarithme du premier extrême de la ſomme de ceux
des moyens. Cela poſé, il eſt évident que ſi l’on connoît les
logarithmes des ſinus, tangentes & ſécantes, comme on a ceux
des nombres naturels qui expriment les côtés des triangles que
l’on veut calculer, les proportions qu’il faut faire ſe réduiront
à l’addition de deux logarithmes, & à la ſouſtraction du lo-
garithme du premier terme de la ſomme des logarithmes des
moyens. Ainſi en cherchant les ſinus, il faudra prendre le
logarithme du ſinus; en cherchant une tangente, il faudra
prendre le logarithme de cette tangente, & en cherchant la
ſécante, il faudra prendre le logarithme de cette ſécante au
lieu des ſinus des tangentes & des ſécantes.
Enſuite au lieu de
mettre les nombres naturels qui expriment le nombre de toiſes
ou de pieds contenus dans les côtés connus, il faudra prendre
les logarithmes de ces nombres, que l’on cherchera dans les
que l’on trouve dans le même Livre que les Tables des ſinus
tangentes & ſécantes.
On en va voir des exemples dans les
articles ſuivans.
730.
Ayant un triangle rectangle A D E, dont on connoît
le côté A D de 20 toiſes;
l’on de-
mande de trouver le côté D E, en ſe ſervant des logarithmes.
Pour le trouver, je cherche dans la Table la page, au ſom-
met de laquelle il y a 30 degrés; &
au lieu de prendre la tan-
gente de la troiſieme colonne, je prends ſon logarithme, qui
eſt 97614394. Et comme j’ai auſſi beſoin du ſinus total, au
lieu de prendre celui qui eſt diviſé en 100000 parties, je
prends ſon logarithme, qui eſt diviſé en 100000000 parties; &
comme il faut faire une Regle pour trouver le côté D E,
dont le premier terme doit être le ſinus total dont je viens de
parler, le ſecond la tangente que nous venons de trouver, &
le troiſieme la valeur du côté A D. Il faut auſſi, au lieu de
mettre ſimplement 20 toiſes au troiſieme terme, mettre à ſa
place le logarithme de ce nombre, que l’on trouvera dans le
premier feuillet de la Table des Logarithmes des nombres na-
turels à côté du nombre 20, dont le logarithme eſt 13010300.
Préſentement il faut faire cette proportion arithmétique: Si
le ſinus total 100000000 donne 97614394 pour le logarithme
de la tangente de 30 degrés, combien donneront 13010300,
logarithme de 20 toiſes, pour le logarithme du nombre que je
cherche; &
pour le trouver, j’additionne le ſecond &
le troi-
ſieme terme, & de la ſomme j’en ſouſtrais le premier pour
avoir 10624694, qui eſt le logarithme du nombre que je
cherche: &
pour ſçavoir quel eſt ce nombre, j’ai recours à la
Table des Logarithmes des nombres naturels pour chercher
un logarithme qui approche le plus de celui-ci, & j’en trouve
un qui eſt un peu trop petit, qui correſpond au nombre 11,
& un autre qui eſt un peu trop grand, qui correſpond au nom-
bre 12; c’eſt pourquoi j’en cherche un qui ſoit à peu près
moyen entre ces deux-là, comme eſt, par exemple, 11 {1/2}; ce
qui fait voir que le côté D E eſt à peu près de 11 toiſes
3 pieds.
731.
Si l’on a un triangle rectangle A B C, dont on con-
le côté B C de 14, pour con-
noître l’angle A, il faut chercher dans la ſeconde Table le
logarithme de 16, qui eſt 12041200, & le logarithme de 14,
qui éſt 11461280; &
à cauſe des triangles ſemblables A B C
& A D E, l’on dira:
Si 12041200, logarithme du côté A B,
donne 11461280 pour le logarithme du côté B C, que donnera
le logarithme du côté A D, qui eſt 100000000 pour le loga-
rithme de la tangente D E, l’on trouvera (après avoir ajouté
le ſecond & le troiſieme terme, &
ſouſtrait de leur ſomme le
premier) que la différence eſt 99420080 pour le logarithme
de la tangente, lequel correſpond dans les Tables à 41 degrés
12 minutes, qui eſt la valeur de l’angle A.
732.
Ayant un triangle A B C, dont on connoît l’angle A
l’angle B de 60, &
le côté B C de 15 toiſes,
l’on demande la valeur du côté A C.
Je cherche le logarithme du ſinus de 40 degrés, qui eſt
98080675, & le logarithme de 60 degrés, qui eſt 99375306;
&
enfin dans la ſeconde Table le logarithme du nombre 15,
qui eſt 11760913; &
faiſant l’analogie ordinaire, je dis:
Si le
logarithme du ſinus de l’angle A, qui eſt 98080675, donne
11760913 pour le logarithme du côté B C, que donnera le lo-
garithme du ſinus de l’angle B, qui eſt 99375306 pour le lo-
garithme du côté A C, que je trouve de 13055544; &
cher-
chant dans la ſeconde Table le logarithme qui approche le plus
de celui-ci, je trouve qu’il correſpond au nombre 20; ce qui
fait voir que le côté A C eſt de 20 toiſes.
733.
Trouver une diſtance inacceſſible.
Un objet quelconque tel que C étant donnée, duquel
quantité de toiſes qu’il peut y avoir de cet objet à l’endroit D.
l’endroit A, éloigné d’une diſtance proportionnée à l’inter-
valle qu’il peut y avoir du point D au point C. Cette diſtance
ſera, par exemple, ici de 20 toiſes, qui eſt une quantité qui
doit ſervir de baſe pour faire l’opération. Après cela vous
prendrez l’ouverture de l’angle formé par la baſe D A, & le
rayon viſuel D C; &
pour bien prendre cet angle, il faut com-
mencer par mettre les deux pinulles du graphometre, qui ſont
immobiles d’alignement avec les points D & A:
après quoi
vous faites tourner l’alidale de maniere que vous puiſſiez ap-
percevoir par les fentes des pinulles (qui ſont à ſes extrêmités)
l’objet C. Après quoi vous comptez la quantité de degrés que
contient l’angle marqué ſur le graphometre, c’eſt-à-dire l’angle
compris par le côté du graphometre, qui eſt d’alignement avec
les points D & A, &
le rayon viſuel qui apperçoit l’objet C;
&
je ſuppoſe que c’eſt ici de 70 degrés.
Cela étant fait, il faut
poſer un autre jalon à l’endroit où étoit poſé le pied du gra-
phometre, c’eſt-à-dire au point D, & puis venir à l’endroit A
pour y prendre la valeur de l’angle D A C, j’entends l’angle
formé par la baſe, & par un ſecond rayon viſuel, qui doit
obſerver l’objet C, & je ſuppoſe que cet angle eſt de 80 de-
grés. Cela poſé, il ne s’agit plus que de connoître l’angle C,
que l’on trouvera aiſément en ſouſtrayant la ſomme des deux
angles A & D de la valeur de deux droits, &
vous trouverez
que cet angle eſt de 30 degrés. Or pour connoître le côté C D,
il n’y a qu’à dire: Si le ſinus de 30 degrés m’a donné 20 toiſes
pour le côté A D, que me donnera le ſinus de l’angle A de
80 degrés pour la valeur du côté C D? L’on trouvera 39 toiſes
deux pieds pour la diſtance que l’on cherche.
734.
Il arrive quelquefois que l’on eſt embarraſſé de trouver
une diſtance inacceſſible, lorſqu’elle eſt extrêmement éloignée,
comme ſi elle avoit deux ou trois lieues La difficulté pour lors
eſt d’avoir une baſe aſſez grande, qu’il faut dans ce cas-là au
moins de 1000 toiſes. Comme il ſeroit fort pénible de meſurer
une ſi longue diſtance, jointe à l’inégalité du terrein, & aux
obſtacles qu’on peut rencontrer, le parti qu’il faut prendre,
c’eſt de ſe donner d’abord une petite baſe, par le moyen de
laquelle vous pouvez en avoir une trois ou quatre fois plus
&
avec cette ſeconde, une troiſieme plus grande eſt
ſuffiſante pour faire votre opération.
Les opérations précédentes ſont très-utiles pour lever des
Cartes, afin de ſe donner des points capitaux pour y rapporter
tous les lieux qui y ont rapport; ou bien ſi l’on veut lever la
campagne qu’occupe une armée, pour y marquer les quartiers,
les lignes de circonvallation, les poſtes de conſéquence; enfin
tout ce qui peut devenir intéreſſant en pareil cas.
Si on aſſiége une Place, &
que l’on ſoit obligé de faire
quelques galeries pour établir des fourneaux ſous les angles du
chemin couvert, ou ſous quelque ouvrage avancé, il faut ab-
ſolument avoir recours à cette opération, afin qu’étant pré-
venu de la diſtance de l’entrée de la galerie à l’objet vers lequel
on chemine, on ſçache donner à cette galerie la longueur
néceſſaire pour être poſitivement ſous l’objet qu’on veut faire
ſauter.
735.
Trouver la diſtance inacceſſible d’un lieu à un autre,
Pour faire cette opération, il faut commencer par ſe don-
ner une baſe telle que A B, que je ſuppoſe ici de 100 toiſes,
& de l’extrêmité B prendre avec l’inſtrument l’ouverture de
l’angle A B C, formé par la baſe A B, & le rayon viſuel B C;
on ſuppoſe cet angle de 92 degrés:
du même endroit B il
faut prendre auſſi l’ouverture de l’angle A B D, qui ſera, par
exemple, de 45 degrés; &
cette opération étant faite, il faut
venir à l’autre extrêmité A de la baſe A B, pour y prendre
l’ouverture de l’angle D A B, que je ſuppoſe ici de 98 degrés;
& du même endroit prendre encore l’ouverture de l’angle
D A C, qui ſera, par exemple, de 50 degrés. Les angles étant
connus, auſſi-bien que la baſe A B, l’on n’aura aucune diffi-
culté de trouver la diſtance D C, non plus que celle de D en
A, & celle de B en C:
car conſidérez qu’il eſt facile de trouver
la valeur des côtés A C & B C du triangle C A B, parce que
l’on connoît le côté A B de 100 toiſes, l’angle B de 92 de-
grés, & l’angle C A B de 48, &
par conſéquent l’angle A C B
de 40 degrés. Cela poſé, pour trouver la valeur du côté C B,
Si le ſinus de l’angle A C B m’a donné le côté
A B de 100 toiſes, que me donnera le ſinus de l’angle C A B
pour la valeur du côté C B que je cherche? &
pour trouver le
côté A C, il faut dire encore: Si le ſinus de l’angle A C B
m’a donné la valeur du côté A B, que me donnera le ſinus
de l’angle du complément de 92 degrés, qui ſera celui de 88
degrés pour la valeur du côté A C, parce que l’angle A B C
eſt obtus?
Comme on ne peut pas connoître la valeur du côté D C
ſans celle du côté D A, pour le trouver il faut dire: Si le ſinus
de l’angle A D B de 37 degrés m’a donné la valeur du côté A B
de 100 toiſes, que me donnera le ſinus de 45 degrés pour la
valeur du côté D A, lequel étant connu, auſſi-bien que le
côté A C, & l’angle D A C, nous aurons deux côtés connus,
& l’angle compris dans un triangle, qui pourra nous donner
les deux angles inconnus; &
en ſuivant ce qui eſt dit dans la
propoſition 10725, il faudra d’abord chercher les angles
en D & en C:
par cette proportion, la ſomme des deux côtés
A C, A D (que l’on vient de trouver), eſt à leur différence,
comme la tangente de la moitié de la ſomme des angles en C
& en D eſt à la tangente de la moitié de la différence.
A yant
l’angle C, que je ſuppoſerai le plus grand, pour avoir le côté
C D, on fera cette autre proportion: Le ſinus de l’angle C eſt
au côté A D connu, comme le ſinus de l’angle A eſt au côté
D C que je cherche; &
l’on aura ainſi le côté D C, qui eſt la
diſtance que l’on demande.
Comme il arrive preſque toujours que la campagne n’eſt pas
marquée ſur le plan des Villes que l’on aſſiege, & que ſi elle y
eſt figurée, l’on ne peut pas, ſans faire de grandes erreurs, ſe fier
à la préciſion de ceux qui les ont levés ou copiés, l’opération pré-
cédente nous donne un excellent moyen pour orienter ſur le plan
par rapport à la place, la queue de la tranchée de chaque attaque,
afin de pouvoir enſuite projetter les travaux que l’on a envie de
faire d’une nuit à l’autre, ou ſeulement les y marquer à meſure
qu’on les avance, parce qu’ayant une fois un bout de parallele,
l’on peut de dedans la tranchée meſurer les boyaux, & prendre
l’ouverture des angles qui font les retours; marquer la poſition
des batteries; enfin lever le plan de la tranchée avec autant d’exac-
titude que s’il n’y avoit aucun obſtacle.
736.
Il faut bien remarquer que lorſque l’on cherche un
côté, on doit toujours commencer la proportion par un ſinus; &
ſi c’eſt un angle que l’on veut avoir, il faut commencer la
proportion par un côté: de cette maniere la grandeur que
l’on cherche ſera toujours le quatrieme terme d’une proportion
géométrique, dont les trois premiers termes ſont connus, en
cas que l’on ſe ſerve des ſinus & des nombres naturels, ou ce
quatrieme terme ſera le logarithme de ce que l’on cherche, en
cas que l’on prenne les logarithmes des ſinus & ceux des nom-
bres naturels.
737.
Tirer une ligne parallele à une autre inacceſſible.
On demande de tirer par le point C une parallele à une
ligne inacceſſible A B.
Pour réſoudre ce problême, il faut commencer par ſe donner
une baſe telle que C D, qui doit être, comme nous l’avons
dit ailleurs, proportionnée à la diſtance de l’objet, afin que
l’opération en ſoit plus juſte, & nous ſuppoſons que 150 toiſes
eſt la longueur qui lui convient.
Nous ſçavons que deux lignes paralleles étant coupées
par une troiſieme, forment les angles alternes égaux, & que
par conſéquent lorſque les angles alternes ſeront égaux, les
lignes ſeront paralleles; d’où il ſuit que ſi l’on connoît l’angle
A B C, formé par la parallele A B, & le rayon viſuel C B, on
n’aura qu’à faire l’angle B C E égal au précédent, pour que
la ligne C E ſoit parallele à la ligne A B: ainſi toute la queſ-
tion eſt réduite à trouver la valeur de l’angle A B C. Afin de
la connoître, je commence du point C par prendre l’ouver-
ture de l’angle A C B, que je trouve de 40 degrés: enſuite je
viens au point D pour y prendre l’ouverture de l’angle C D B,
qui eſt de 86 degrés; &
je prends auſſi l’ouverture de l’angle
A D B, qui ſera, par exemple, de 60 degrés. Ces choſes étant
connues, je fais enſorte de trouver par leur moyen la valeur
des lignes C A & C B.
Pour cela, je cherche dans le triangle
C D B la valeur du côté C B. Pour le trouver, je conſidere
que l’angle C D B eſt
de 86; d’où il ſuit que l’angle C B D eſt de 14 degrés.
Cela
poſé, il faut dire: Si le ſinus de l’angle de 14 degrés m’a
donné 150, que me donnera le ſinus de 86 pour la valeur du
côté oppoſé C B?
Pour trouver le côté C A, je fais attention que l’angle C D A
eſt de 26 degrés, & que l’angle A C D étant de 120 degrés,
l’angle C A D doit être de 34 degrés. Cela étant, je dis encore:
Si le ſinus de l’angle C A D de 34 degrés, m’a donné 150 toiſes
pour le côté C D, que me donnera le ſinus de l’angle C D A
de 26 degrés pour la valeur du côté C A? Or comme nous
avons dans le triangle A C B les deux côtés A C & C B de
connus avec l’angle compris A C B, il s’enſuit que l’on trou-
vera aiſément par la propoſition 10
dont la connoiſſance eſt la ſolution du problême.
L’on eſt ſouvent obligé de mener une parallele à une ligne inac-
ceſſible dans une infinité d’occaſions, ſoit qu’on veuille percer des
routes dans un bois avec certaines précautions, ou ſoit dans les
ſiéges, quand on veut dreſſer une batterie qui ſoit parallele à la face
de l’ouvrage que l’on veut battre, ou quand on en veut faire une
autre en écharpe, dont les feux aillent ſe diriger ſelon un angle
donné avec la face.
738.
Meſurer une hauteur acceſſible ou inacceſſible.
Pour meſurer la hauteur A B d’une Tour, il faut ſe donner
une baſe telle que E B, qu’il faut meſurer exactement depuis
le point du milieu B de la Tour juſqu’à l’endroit E, qui eſt le
lieu où l’on aura planté le graphometre; &
ſuppoſant que cette
baſe ſoit de 25 toiſes, l’on prendra l’ouverture de l’angle A C D
formé par deux rayons viſuels, dont le premier C D doit être
parallele à l’horizon, & le ſecond C A doit aboutir au ſommet
de la Tour; &
ſuppoſant que l’angle ſoit de 35 degrés, l’on
cherchera dans le triangle A C D le côté A D, en diſant: Comme le ſinus total eſt à la tangente de l’angle C, ainſi le
côté C D de 25 toiſes eſt au côté D A, que l’on trouvera de
17 toiſes 3 pieds; à quoi ajoutant la hauteur D B ou C E du
pied de l’inſtrument, qui eſt ordinairement de 4 pieds, on
Mais ſi l’on avoit à prendre la hauteur d’une Tour ou d’une
194, il faudroit de l’endroit F prendre l’ouverture de l’angle
A D G, formé par deux rayons; &
ſuppoſant qu’on a trouvé
cet angle de 50 degrés, il faudra ſe reculer ſur l’alignement
des points D & G juſqu’à l’endroit C, afin d’avoir une baſe
E F d’une longueur ſuffiſante pour que l’angle C A D ne ſoit
pas trop aigu; &
cette baſe ayant été trouvée de 40 toiſes,
l’on prendra encore l’ouverture de l’angle A C G, qui ſera,
par exemple, de 30 degrés. Or comme l’angle A D G eſt égal
aux deux autres intérieurs oppoſés du triangle C A D, la dif-
férence de cet angle, qui eſt de 50 degrés à l’angle A C D,
qui eſt de 30 degrés, ſera la valeur de l’angle C A D, que l’on
trouvera de 20 degrés. Or comme dans le triangle rectangle
A D G nous avons beſoin de connoître le côté D A pour con-
noître le côté A G, l’on dira: Si le ſinus de l’angle C A D de
20 degrés m’a donné 40 toiſes pour le côté C D, que donnera
le ſinus de l’angle A C D de 30 degrés pour le côté A D, que
l’on trouvera de 63 toiſes 2 pieds?
Pour donc trouver le côté A G, je dis:
Comme la ſécante
de l’angle A D G eſt à ſa tangente, ainſi le côté D A de 63
toiſes 2 pieds, eſt au côté A G, que l’on trouvera de 48 toiſes
3 pieds: à quoi il ne faut plus qu’ajouter la hauteur du pied
de l’inſtrument pour avoir la ligne A B.
Maniere de lever une Carte par le moyen de la trigonométrie.
739.
L’on doit diſtinguer deux ſortes de cartes:
les unes
les autres des cartes particulieres:
les dernieres ſont celles que l’on leve avec beaucoup d’atten-
tion, n’oubliant rien de tout ce qui peut avoir lieu dans la
carte, tel que la grandeur & la figure des Villages, des
Bourgs & des Villes, les Bois, les Ponts, les Rivieres, les
Chemins, les Fontaines, les Croix, Chapelles, Juſtices, &c.
Pour les cartes générales, l’on ne prend que la poſition
des lieux les plus conſidérables, & la figure des grands che-
mins, omettant quantité de choſes qui ne pourroient ſe placer
ſur ces ſortes de cartes, parce qu’elles ſont ordinairement
dreſſées ſur de petites échelles. Telles ſont les Cartes des
des grandes Provinces.
Cependant l’on peut dire
que l’on s’y prend de la même façon pour lever les cartes par-
ticulieres & générales, parce que pour les unes &
les autres
l’on commence par faire un canevas, qui n’eſt autre choſe
que la grandeur de la carte déterminée avec les principales
poſitions, après quoi l’on entre dans le détail de chaque choſe,
comme nous le ferons voir après avoir enſeignè la maniere de
prendre les poſitions qui doivent faire les principaux points de
la carte.
Si l’on vouloit, par exemple, lever la carte des lieux mar-
qués par les lettres de cette figure, l’on voit que l’objet qu’on
ſe propoſe n’eſt autre choſe que de placer ſur le papier les dif-
férens endroits qui ſont ici, enſorte que la diſtance qu’il y a
d’un lieu à un autre ait le même rapport ſur la carte que ſur le
terrein; ce qui eſt proprement faire une réduction de grand en
petit. Comme ces réductions ne peuvent ſe faire que par les
triangles ſemblables, il s’enſuit qu’en levant la carte d’un pays
par le moyen de la Trigonométrie, il ne s’agit que de trouver
la valeur des angles & des côtés qui ſont formés par la diſ-
tance des lieux. Cela poſé, je commence par établir une baſe
la plus grande qu’il eſt poſſible, aſin que les lieux qui doivent
s’y rapporter ſoient plus exactement levés. Pour cela il faut
éviter, autant qu’il eſt poſſible, d’avoir des angles trop obtus
& trop aigus.
Ayant donc choiſi les points de ſtation A &
B,
je commence par en chercher la diſtance de la maniere que
nous l’avons enſeigné dans la ſeconde propoſition: l’ayant
trouvée, je viens à l’endroit B, pour y prendre l’ouverture
des angles formés par la baſe A B, & les différens endroits
que je me propoſe de lever. Pour cela, je prends l’ouverture
de l’angle A B C, de l’angle A B D, de l’angle A B E, je paſſe
le point F, parce que l’angle qu’il formeroit avec la baſe ſe-
roit trop obtus, & qu’on auroit trop de peine à couper le
rayon qui ſeroit tiré de B en F: je continue à prendre l’ouver-
ture des angles A B G, A B H, A B I, & A B K:
je paſſe auſſi
le point L, parce que l’angle formé par la baſe A B, & le
rayon de B en L ſeroit trop aigu.
Préſentement il ne s’agit plus, pour avoir la poſition des
endroits qu’on voit marqués ci - deſſus, que de couper les
rayons qu’on vient de tirer. Pour cela, je viens au point A,
pour y prendre l’ouverture de l’angle B A E, qui me donnera
A B, & la valeur des angles E A B &
A B E, par le moyen deſ-
quels je trouverai les diſtances A E & B E.
Pour les autres
points, je continue à couper les rayons que j’ai tirés dans la
premiere opération, en prenant l’ouverture des angles B A D,
B A C, B A G, B A H, B A I, B A K. Comme tous les trian-
gles formés par ces rayons ont la baſe A B pour côté commun,
il s’enſuit qu’on pourra en trouver la longueur, puiſqu’il n’y
a point de triangle dans lequel on ne connoiſſe deux angles &
un côté. Comme nous avons paſſé deux endroits pour les
raiſons que nous avons dites, il faut faire voir comment on
en peut trouver la poſition, ſans ſe ſervir de la baſe A B: pour donc trouver le point F, je prends la diſtance B E ou B G
pour baſe, ou toute autre qui pourroit mieux convenir; mais
je choiſis ici le côté B E, & du point B je prends l’ouverture de
l’angle E B F, & du point E l’ouverture de l’angle B E F, qui
me donne le point F. Je fais la même choſe pour trouver le
point L, & même le point M, que je ſuppoſe n’avoir pu pren-
dre dans les opérations précédentes, c’eſt-à-dire, je choiſis la
baſe A C, & du point A je prends les ouvertures des angles
C A M & C A L, &
du point C je prends encore l’ouverture
des angles A C L & A C M.
Après avoir trouvé la valeur de tous les côtés des triangles
qui ſont ici, il faut les rapporter ſur le papier, en donnant à
chaque ligne la valeur qu’elle doit avoir; ce qui ſe fera ſans
difficulté par le moyen d’une échelle: &
après que toutes ces
poſitions ſeront rapportées bien exactement, l’on pourra, en
ſuivant la même méthode, continuer à lever les lieux qu’on
aura pu découvrir dans les premieres opérations; ce qui ſera
bien aiſé, puiſqu’on aura de toutes parts des baſes, dont la
valeur ſera connue. Par exemple, pour lever les objets au-
delà des points C & D, on pourra prendre la diſtance C D
pour baſe; d’un autre côté on pourra prendre la ligne I H;
enfin ſur la gauche la diſtance L K, ſur la droite toute autre
ligne que l’on choiſira de même.
Des attentions qu’il faut avoir pour lever une Carte particuliere.
740.
Quand on veut lever une carte d’une façon à ne rien
omettre de toutes les particularités qui entrent dans le détail
des perſonnes entendues dans les Villages pour lever leurs
ſituations, leurs figures, la forme des rues, la poſition des fon-
taines, s’il s’y en trouve, des carrieres, des montagnes, col-
lines & vallons, qui peuvent ſe rencontrer dans les environs.
On réduit chaque village ſur l’échelle de la carte;
&
pour les
rapporter, on a ſoin que l’Egliſe ſoit poſitivement au point qui
eſt marqué ſur le canevas, parce que ces points ſont ordinai-
rement des clochers & des tours.
Pour les Villes, on fait en-
ſorte d’en avoir les plans, qu’on réduit à l’échelle de la carte.
Quand il ſe rencontre des bois ou des forêts, l’on commence
par lever exactement les villages & les hameaux qui ſont les
plus proches, pour avoir des baſes, qui ne ſont autre choſe
que la diſtance d’un lieu à un autre, deſquels on forme un eſ-
pece de polygone qui entoure le bois: après quoi il eſt aiſé de
rapporter à ce polygone un nombre de points, qui marquent
les limites du bois, pour en tracer enſuite à la vue la figure
extérieure, quand il ne s’agira que de quelque ſinuoſité peu
conſidérable, Après cela, il faut entrer dans le bois pour y
conſiderer les principaux chemins, les ruiſſeaux, les fontaines,
les maiſons & les châteaux qui pourroient s’y rencontrer.
Toutes
ces choſes doivent être levées avec le plus de préciſion qu’il eſt
poſſible. Pour cela l’on ſe donne des points de poſition que
l’on prend dans les bois, par des opérations que l’on fait ſur
quelque éminence hors du bois. Ces points de poſition ſont
ordinairement des clochers, des châteaux, ou bien quelques
grands arbres qui ſe font diſtinguer au deſſus des autres: &
lorſqu’on eſt une fois parvenu à la connoiſſance de quelqu’un
de ces points, l’on peut, ſans aucune difficulté, orienter les
différens endroits qui ſe trouvent dans le bois, à l’aide des
poſitions connues.
741.
Quand on veut tracer une fortification ſur le terrein,
&
comme cette con-
noiſſance doit être la plus exacte qu’il eſt poſſible, il ne con-
viendroit pas que l’on ſe ſervît du compas pour trouver avec
l’échelle les lignes que l’on ne connoît pas, non plus que du
faire des erreurs inſenſibles ſur le papier, qui deviendroient
de conſéquence ſur le terrein; c’eſt pourquoi il eſt à propos
d’avoir recours à la Trigonométrie, pour déterminer par le
moyen des lignes que l’on connoît, celles que l’on ne connoît
pas: &
comme dans la fortification, ſelon la méthode de
M. de Vauban, l’on connoît la baſe de 180 toiſes, la perpen-
diculaire C F de 30, & la face A D de 50, voici de quelle
maniere on pourra connoître l’angle de l’épaule, l’angle flan-
quant, le flanc & la courtine;
ſuppoſant qu’on eſt prévenu
que la ligne D H eſt égale à la ligne D E.
Il faut avant toutes choſes chercher la valeur de l’angle
F A C, en diſant: Comme le côté A C de 90 toiſes eſt au côté
C F de 30, ainſi le ſinus total A I eſt à la tangente I D, qui
étant trouvée, l’on verra qu’elle correſpond à un angle de 18
degrés 26 minutes, qui eſt la valeur de l’angle F A C: par
conſéquent celle de l’angle H D E, à cauſe des paralleles A B
& D E qui aboutiſſent ſur A H.
Or comme nous avons beſoin dans le triangle D A I du
côté A I, on n’aura qu’à dire (pour le connoître): comme la
ſécante de l’angle D A I eſt au ſinus total, ainſi le côté A D
de 50 toiſes eſt au côté A I; que l’on trouvera de 47 toiſes
2 pieds, qu’on n’aura qu’à retrancher de la ligne A C de 90
toiſes pour avoir la ligne I C de 42 toiſes 4 pieds; &
comme
cette ligne eſt moitié du côté D E, on verra que ce même côté
eſt de 85 toiſes 2 pieds.
Comme le triangle H D E eſt iſoſcele, &
que l’on connoît
l’angle du ſommet avec les deux côtés qui le comprennent,
parce que la ligne D H eſt le prolongement de la ligne A D; &
que la ligne D E eſt parallele à la ligne A B, par conſtruction,
on aura l’angle en H ou l’angle en E, en retranchant l’an-
gle D de 180 degrés, & prenant la moitié pour cet angle.
Ainſi l’on dira (pour avoir le flanc H E): Si le ſinus de l’an-
gle D H E m’a donné le côté D E, que me donnera le ſinus
de l’angle H D E pour le flanc ou côté H E, que l’on trouvera
de 27 toiſes 2 pieds?
Comme les angles de la baſe dutriangle iſoſcele ſont chacun
de 80 degrés & 47 minutes, puiſque l’angle du ſommet eſt de
18 degrés 26 minutes; il s’enſuit, à cauſe des angles alternes
formés par les lignes paralleles G H & D E, que ſi de l’angle
il reſtera 62 degrés 21 minutes pour l’angle G E H, dont le
ſupplément à 180, qui eſt l’angle de l’épaule H E B, eſt de 117
degrés 39 minutes: &
ſi l’on ajoute au contraire à D H E l’angle
G H D, qui eſt auſſi de 18 degrés 26 minutes, l’on trouvera
que l’angle flanquant G H E eſt de 99 degrés 13 minutes.
Or comme du triangle G H E l’on connoît les angles &
le
côté H E, l’on n’aura (pour connoître la courtine) qu’à dire: Comme le ſinus de l’angle H G E eſt au côté H E, ainſi le
ſinus de l’angle G E H eſt au côté G H, que l’on trouvera de
76 toiſes 3 pieds.
Pour connoître I’angle flanqué, conſidérez qu’il eſt plus
petit que l’angle de la circonférence de deux fois l’angle D A I,
qui eſt de 18 degrés 26 minutes: &
comme l’on ſuppoſe qu’il
s’agit ici d’un exagone, dont l’angle de la circonférence eſt
de 120 degrés, l’on n’aura qu’à retrancher 36 degrés 52 mi-
nutes de 120 degrés pour avoir l’angle flanqué, qui ſera de
83 degrés 8 minutes.
L’on pourra calculer de même tous les autres fronts de for-
tification, dont le côté extérieur auroit plus ou moins de 180
toiſes, parce que les proportions ſe trouveront toujours. Ainſi
quand il s’agira de calculer les lignes & les angles dont un
ouvrage à corne, ou un ouvrage à couronne eſt compoſé,
il ſuffira de connoître le côté extérieur, la perpendiculaire, &
la face d’un baſtion pour connoître le reſte: c’eſt pourquoi
cette pratique peut avoir également lieu dans la fortification
irréguliere comme dans la réguliere; car ſoit que l’on faſſe les
flancs perpendiculaires ſur la ligne de défenſe, ou ſur la cour-
tine, ſelon les cas où l’on ſeroit obligé de ſuivre une méthode
plutôt qu’une autre, l’on trouvera le calcul également aiſé,
pourvu que l’on ait ſeulement quelques grandeurs connues,
par le moyen deſquelles on puiſſe opérer.
742.
De tout ce qui regarde le calcul d’une fortification, je
n’ai point trouvé de partie plus difficile à calculer que la valeur
de la face de la demi-lune; &
l’on peut même regarder ce
cas-là comme un petit problême de fortification: c’eſt pour-
quoi je crois qu’on ſera bien aiſe d’en voir la ſolution; car
quoiqu’elle paroiſſe peu de choſe, elle ne laiſſeroit pas que
d’embarraſſer un Commençant: ainſi pour bien ſçavoir de quoi
il eſt queſtion, voici comme on ſuppoſe que la demi-lune a été
tracée.
Après avoir pris le point E ſur la face d’un baſtion à 5 toiſes
tre, & de l’intervalle C E, décrit un arc, qui venant rencon-
trer la capitale, a donné le point F pour la pointe de la demi-
lune; enſuite l’on a pris le point D à trois toiſes au deſſus de
l’angle de l’épaule, & l’on a tiré la ligne F D:
après quoi l’on
a fait le foſſé de 20 toiſes ſur le prolongement de la face à
l’endroit A H, & l’on a tiré la ligne H K, qui détermine la
longueur I F de la face de la demi-lune, dont il s’agit de
trouver la valeur.
Comme il ſeroit facile de trouver la longueur I F, ſi l’on
connoiſſoit la valeur des lignes D I & D F, nous allons voir
comment on peut y parvenir, en tirant les lignes D H, D K,
C F, & en connoiſſant les parties du corps de la Place que
nous venons de trouver. Pour y arriver, je cherche dans le
triangle rectangle C L F la valeur de l’angle L C F, par le moyen
des deux côtés L C & C F, qui me ſont connus (puiſque l’un
vaut la moitié de la courtine, & que l’autre eſt égal à la ligne
C E), en diſant: Comme le côté L C eſt au côté C F;
ainſi le
ſinus total eſt à la ſécante, qui donnera 65 degrés pour l’an-
gle L C F, duquel ayant retranché l’angle M C D de 18 degrés
26 minutes, reſtera 46 degrés 34 minutes pour l’angle D C F.
Or comme le côté D C eſt de 88 toiſes 2 pieds, &
le côté
C F de 90 toiſes 2 pieds, & que l’on connoît l’angle qu’ils
comprennent, on trouvera par l’analogie ordinaire que le côté
D F eſt de 70 toiſes 2 pieds, & que l’angle C D F eſt de 68 de-
grés 15 minutes.
Comme nous avons beſoin de connoître l’angle C D K, auſſi-
bien que le côté D K, conſidérez que dans le triangle C D K,
l’on connoît les deux côtés D C & C K avec l’angle qu’ils com-
prennent, & que par conſéquent il ſera facile de trouver ce
que l’on cherche. Auſſi verra-t’on que C D K eſt de 17 degrés
49 minutes, & le côté D K de 88 toiſes.
Or comme il faut dans le triangle H D K connoître, outre
le côté D K, le côté H D avec l’angle qu’ils comprennent pour
parvenir à la ſolution du problême, conſidérez que dans le
triangle A H D l’on connoît le côté A D de 47 toiſes, & le
côté A H de 20, & qu’on connoîtra l’angle H A D, quand on
ſçaura la valeur de l’angle flanqué, puiſqu’il en eſt la différence
avec deux droits; &
comme l’on ſuppoſe que c’eſt ici un exa-
nutes: ainſi l’angle D A H ſera de 96 degrés 52 minutes;
&
en
faiſant la regle ordinaire, l’on trouvera (art. 725) que le côté
H D eſt de 53 toiſes un pied, & que l’angle A D H eſt de 21
degrés 59 minutes.
Préſentement ſi l’on retranche de 180 degrés la ſomme des
deux angles C D K & A D H, il reſtera 140 degrés 12 minutes
pour la valeur de l’angle H D K.
743.
Or comme l’on connoît dans le triangle H D K deux
côtés & l’angle compris, on trouvera par conſéquent (art.
725)
les deux autres angles, particuliérement l’angle D K I, dont
nous avons beſoin, qui eſt de 14 degrés 4 minutes; &
comme
il nous faut auſſi l’angle F D K, on trouvera qu’il eſt de 50 de-
grés 26 minutes, ſi l’on retranche de l’angle F D C l’angle
K D C: mais comme ceci nous donne la valeur de l’angle
D I K, qui eſt de 115 degrés 30 minutes, l’on pourra donc
dire pour trouver le côté D I: Si le ſinus du ſupplément de
l’angle D I K a donné le côté D K, que donnera le ſinus de
l’angle D K I pour la valeur du côté D I, que l’on trouvera de
23 toiſes 4 pieds, qu’on n’aura qu’à retrancher de la ligne D F,
qui vaut, comme nous l’avons vu, 70 toiſes 2 pieds, l’on trou-
vera que la face I F de la demi-lune eſt de 46 toiſes 4 pieds?
744.
Pour trouver la demi-gorge I N de la demi-lune, faites
attention que dans le triangle O D F, l’on connoît les deux
angles F O D & O D F, &
que par conſéquent on connoîtra
l’angle O F D, qui ſe trouve de 40 degrés 11 minutes; &
comme
cet angle ſe trouve auſſi dans le triangle I N F, dont on connoît
l’angle N I F, puiſqu’il eſt ſupplément de l’angle D I K, il s’en-
ſuit qu’ayant deux angles dans le triangle I F N, l’on connoîtra
le troiſieme I N F; par conſéquent l’on pourra dire:
Si le ſinus
de l’angle I N F de 75 degrés 19 minutes a donné le côté I F,
que donnera le ſinus de l’angle I F N pour le côté I N, que
l’on trouvera de ...
.?
Enfin ſi pour tracer la demi - lune l’on avoit beſoin de la
diſtance du milieu L de la courtine au point F, il ſeroit facile
de la trouver, en diſant: Comme le ſinus total eſt à la tangente
de l’angle L C F, ainſi le côté C L eſt au côté L F, que l’on
trouvera de 82. 0.
9 pouces.
Je ne parle point de la maniere de calculer les lignes, tant
droites que courbes, qui forment la contreſcarpe, parce que
que les Commen-
çans pourront faire d’eux-mêmes. Je ne dis rien non plus de
la maniere de calculer une fortification, dont les baſtions ſe-
roient à orillons, pour leur laiſſer le plaiſir de faire quelque
choſe par eux-mêmes, ayant mieux aimé leur donner, au lieu
de cela, une idée de la façon de tracer une fortification ſur le
terrein.
745.
Après que l’on a fait le calcul des lignes &
des angles
qui compoſent la fortification, on commence, pour la tracer
ſur le terrein, par planter des piquets à tous les angles qui doi-
vent former le polygone; enſuite l’on s’attache à tracer la for-
tification de chaque front, juſqu’à ce que tout ſoit achevé.
Si l’on ſuppoſe que les points A &
B repréſentent deux en-
droits auxquels l’on a planté des piquets, qui déterminent la
longueur A B d’un des côtés du polygone, qui ſera, par exem-
ple de 180 toiſes, voici comment il faut s’y prendre pour
tracer le front qui correſpond à ſes côtés.
Ayant marqué ſur un plan le projet de la fortification avec
des angles, comme on le voit dans la
figure 198, l’on commencera par poſer le pied du graphometre
à l’endroit du piquet A: l’on fera avec la baſe A B, &
les pin-
nules immobiles, un angle E A B de 18 degrés 26 minutes; &
ayant fait porter un piquet ſur l’alignement du rayon viſuel
A E, on déterminera, en toiſant fort juſte, une longueur
comme A C de 50 toiſes, qui donnera une des faces du pre-
mier baſtion. Après quoi l’on portera l’inſtrument à l’extrê-
mité C, & l’on fera avec la ligne C A un angle A C D de
117 degrés 39 minutes, qui ſera l’angle de l’épaule, & l’on
prendra dans la longueur C D une quantité de 27 toiſes 2 pieds,
en commençant du point C pour avoir le flanc C D.
L’on fera la même opération au piquet B, comme on vient
de faire à l’autre; &
aprés avoir tracé, ou ſeulement planté
des piquets aux points F & E, l’on ſe portera au point E pour
voir s’il ſe trouve de même alignement que les deux C & A,
afin de remarquer ſi la face A C ſe termine préciſément dans
l’angle flanquant; &
l’on fera la même choſe pour être aſſuré
de la juſteſſe de la face B F; enſuite l’on n’aura plus qu’à tracer
avec un cordeau la courtine D E, auſſi-bien que les faces &
&
pour voir ſi on ne s’eſt pas trompé
en traçant les faces & les flancs, on meſurera la courtine, afin
de la vérifier avec le calcul.
Pour faire ſentir encore davantage l’utilité de la Trigono-
métrie dans ce qui concerne les fortifications, nous allons
ajouter quelques problêmes, dont la ſolution dépend des prin-
cipes précédens, & qui peuvent être d’un grand uſage dans
l’attaque des places, & dans la conduite des ouvrages, pour
connoître par une ſeule obſervation la diſtance où l’on eſt de
certains endroits remarquables que l’on a intérêt d’attaquer.
746.
Connoiſſant une ligne A B, dont on ne peut approcher,
&
les angles B C D, B C A ob-
ſervés aux points de ſtation C & D, connoître tous les angles &
les lignes de cette figure.
Puiſque l’on connoît l’angle A C D &
l’angle A D C, on
connoît auſſi l’angle en A, en ôtant les deux premiers de 180
degrés; de même dans le triangle B C D on connoît l’angle
C B D, puiſque, par hypotheſe, les angles B C D, B D C ſont
connus. Quoique je ne connoiſſe point les côtés A C, A D,
D C, B C, B D de ces triangles, je ſçais cependant que ces
côtés ſont entr’eux comme les ſinus des angles qui leur ſont
oppoſés; &
comme ces angles ſont connus, les rapports des
côtés le ſeront auſſi. Cela poſé, dans le triangle C A D, on aura
cette proportion, S. CAD:
S.
ADC:
: DC:
AC, &
dans le trian-
gle C B D, on aura cette autre, S. BDC:
S.
CBD:
: BC:
DC:
donc en multipliant terme par terme ces deux proportions, on
aura S. C A D x S.
B D C:
S.
A D C x S.
C B D:
: B C x D C:
A C x D C:: B C:
A C.
D’où il ſuit que dans le triangle B C A,
on a le rapport exact des côtés A C, C B qui comprennent
l’angle connu A C B; ainſi on ſuppoſera pour un inſtant que
ces côtés ſont effectivement égaux aux produits des ſinus des
angles C A D, B D C, A D C, C B D; &
pour avoir les angles
en A & en B du triangle A B C, on fera cette proportion:
La
ſomme des deux côtés A C + B C eſt à leur différence, comme
côtés, eſt à la tangente de la moitié de la différence des mêmes
angles (art. 725).
Ayant ainſi déterminé les angles en A &
en B, on calculera de nouveau le triangle A B C, pour avoir
la véritable expreſſion des côtés A C, B C que l’on trouvera en
faiſant cette proportion: Le ſinus de l’angle A C B eſt au côté
comme A B, comme le ſinus de l’angle A B C, que l’on vient
de trouver, eſt au côté A C. On calculera par le ſecours de la
même analogie tous les autres côtés de la figure: ainſi le pro-
blême eſt réſolu.
747.
On a dû remarquer que dans le triangle A C B l’on
ne connoiſſoit d’abord que le côté A B & l’angle oppoſé C,
& rien de plus.
L’on pourroit donc être tenté de croire que
la connoiſſance d’un angle & du côté oppoſé ſuffit pour con-
noître toutes les parties d’un triangle, mais il eſt aiſé d’ap-
percevoir la fauſſeté d’une pareille induction; il eſt vrai que
l’on ne connoît qu’un angle & le côté oppoſé, mais les ob-
ſervations des angles en D ſuppléent à ce qui nous manque, en
donnant le rapport des côtés A C & C B, par le moyen deſ-
quels on a calculé les angles en A & en B.
748.
Si l’on appelle le ſinus de l’angle A D C, a;
celui de
l’angle C A D, b; celui de l’angle C B D, c;
&
enfin celui de
l’angle B D C, d; on aura au lieu de la proportion S.
C A D
x S. B D C:
S.
A D C x S.
C B D :
: B C:
A C, celle-ci bd:
ac
:: B C:
A C:
donc en diviſant les deux premiers termes par c,
on auroit {bd/c}: a :
: B C:
A C.
Si l’on vouloit ſe ſervir des logarithmes pour faire cette
opération, voici comment on pourroit s’y prendre. On cher-
chera d’abord les ſinus des angles a, b, c, d, que l’on regar-
dera comme des nombres naturels; on cherchera enſuite dans
la Table des Logarithmes des nombres naturels, les logarithmes
de ces ſinus conſidérés comme tels; on ajoutera enſemble les
logarithmes des ſinus s, b, d, & de la ſomme on retranchera le
logarithme de c: ce qui viendra ſera le logarithme de la frac-
tion {bd/c}; on cherchera ce logarithme dans la Table des Loga-
rithmes pour voir le nombre qui lui répond. Après cela on
prendra la ſomme de ce nombre & du ſinus a, &
la diffé-
on cherchera encore les logarithmes
de ces nouvelles quantités, & dans les Tables des Sinus le
logarithme de la tangente de la moitié de la ſomme des angles
oppoſés aux côtés A C & B C.
Ajoutant les logarithmes de
cette tangente, & de la différence des nombres a &
{bd/c}, on
aura, aprés en avoir retranché le logarithme de la ſomme des
mêmes nombres, celui de la tangente de la moitié de la diffé-
rence des angles que l’on cherche, & le problême ſera réſolu.
749.
La ligne A C &
ſes parties A B, B C étant connues avec
diſtances du point F aux points A, B, C.
Ce problême peut être réſolu géométriquement, &
par le
calcul trigonométrique: nous allons donner la ſolution qui dé-
pend du calcul, & nous donnerons enſuite la ſolution géomé-
trique.
Imaginons les lignes A F, B F, C F, tirées des extrêmités
imaginons encore, que par chacun des deux triangles A B F,
B C F, on ait fait paſſer un cercle F B C, A B F. Comme les
angles en F ſeront à la circonférence, ils ne ſeront que la
moitié des angles B E C, B D A, appuyés ſur les mêmes baſes
B C, A B, & dont le ſommet eſt au centre E ou D.
Cela poſé,
puiſque les angles B F C, A FB ſont connus, les angles au
centre doubles des angles obſervés le ſeront auſſi, & dans les
triangles iſoſceles B E C, B D A, on connoîtra les trois angles
& un côté;
ainſi on connoîtra les côtés ou les rayons B E,
B D, puiſque l’on connoît les angles C B E, A B D; on con-
noîtra auſſi l’angle D B E, qui joint avec ces angles, fait la va-
leur de deux droits; de plus on vient de trouver les côtés
B E, B D: donc on connoîtra toutes les parties de ce triangle
dans lequel on a les côtés B D, B E, & l’angle compris entre
ces côtés: ainſi on connoîtra l’angle en E &
l’angle en D.
Puiſque les cercles décrits ſur les triangles C B F, A B F ſe cou-
pent en deux points B, F, le centre F ſera également éloigné
des points B, F, & le point D de la même ligne D E ſera auſſi
également éloigné des mêmes points B, F; ainſi la ligne D E
partout dans le triangle
rectangle B G E, dans lequel on connoît déja l’angle en E,
comme on vient de voir, on connoîtra auſſi l’angle G B E; ajoutant cet angle à l’angle connu C B E du triangle iſoſcele
B E C, on aura l’angle total C B F; ainſi dans le triangle CBF
on connoît deux angles & un côté:
donc on peut connoître
toutes les autres parties.
750.
Puiſque les parties de la ligne A C ſont connues, ainſi
que les angles A F B, B F C, je prends une ligne A B qui con-
tienne autant de parties égales que la ligne A B, que l’on ſup-
poſe ſur le terrein, contient de toiſes: je prends de même ſur
la ligne A B prolongée une partie B C qui contienne autant
de parties égales, que la ligne B C obſervée ſur le terrein con-
tient de toiſes. Je double l’angle A F B, j’ôte cet angle de 180
degrés, & je diviſe le reſte en deux parties égales.
Au point
A & au point B, je fais les angles B A D, A B D égaux cha-
cun à la moitié de cette différence; ce qui me détermine le
point D. Je double de même l’angle obſervé B F C, &
ôtant
ce double de 180 degrés, je fais en B & en C les angles C B E,
B C E égaux chacun à la moitié de la différence du double de
l’angle obſervé; ce qui me donne le point E:
je mene la ligne
E D; du point B j’abaiſſe ſur cette ligne E D la perpendicu-
laire B G F, & je prends G F = B G;
le point F eſt le point
qui me donne tout ce dont j’ai beſoin: ainſi je n’ai qu’à voir
combien les lignes BF, CF, AF contiennent de parties égales,
& j’aurai les diſtances du point F aux points donnés A, B, C.
751.
On pourroit encore réſoudre le problême géométri-
quement d’une autre maniere: il n’y auroit qu’à décrire ſur
les lignes A B & B C des ſegmens capables des angles donnés
A F B, B F C, & le point où ces cercles s’entrecouperoient au
dehors de la ligne A C, ſeroit celui qui donneroit les diſtances
demandées.
752.
On pourroit encore réſoudre le problême par les mé-
thodes que nous venons de propoſer dans le cas où les parties
A B & B C ne ſeroient pas en lignes droites, comme dans les
figures 202, 203, pourvu que l’on connût l’angle A B C qu’elles
Pour s’en convaincre, il n’y a qu’à relire les deux ſolutions
précédentes, en les appliquant ſur les figures ſuivantes, & ob-
ſervant que dans la figure 201, l’angle D B E eſt égal à la dif-
férence de l’angle A B C aux angles A B D, C B E, & que dans
la figure 202 on trouve l’angle D B E, en prenant la différence
des trois angles A B C, A B D, C B E à quatre droits. Enfin
l’on remarquera que ſi le point F d’obſervation eſt placé au
dedans du triangle A B C, & que l’un des angles obſervés ſoit
obtus, on fera de l’autre côté de la ligne A B un triangle iſoſ-
cele A D B, dont l’angle D ſoit double du ſupplément de l’an-
gle A F B; &
dans ce cas l’angle D B E eſt égal à la ſomme
des angles B B A, A B C, moins l’angle E B C, que l’on con-
noîtra, puiſque l’on connoît, par conſtruction ou par hypotheſe,
les angles qui le déterminent.
753.
Il ſuit delà que ſi l’on connoît la poſition de trois
objets placés au dedans d’une Ville aſſiégée par le moyen d’un
plan, ou bien parce qu’on l’aura déterminée géométrique-
ment; on pourra toujours par une ſeule opération déterminer
la diſtance de l’endroit où l’on eſt aux mêmes objets que l’on
a intérêt d’attaquer; &
par conſéquent on ſera le maître d’y
conduire des galeries de mines, ou d’y jetter des bombes,
ou enfin de diriger ſes batteries de la maniere qui paroîtra la
plus avantageuſe. Il faut dans le cas où l’on auroit beſoin d’une
grande préciſion ſe ſervir des ſolutions numériques préféra-
blement aux ſolutions géométriques, parce que le calcul donne
toujours les diſtances avec la derniere exactitude.
754.
Il ſuit encore delà que l’on peut, par le moyen des
tions, ſans être obligé de meſurer des baſes dans un terrein
expoſé au feu de l’ennemi. Suppoſons, par exemple, qu’on
veuille avoir la poſition des baſtions F, G, H d’une place que
l’on aſſiége, par deux obſervations faites aux points D, E. On
prendra par Trigonométrie la poſition des trois objets qui
@voiſinent la place, tels que A, B, C, ce que l’on pourra faire
ſoit à l’abri du canon; enſuite par le moyen de ces trois ob-
jets, deux Ingénieurs placés l’un en E, l’autre en D, obſer-
veront les angles formés par les rayons viſuels, dirigés des
points de ſtations aux points A, B, C, & aux angles du flanc
des baſtions F, G, H; ſçavoir, celui qui eſt placé en E, les
angles C E H, C E G, C E F, & celui qui eſt placé en D les angles
B D H, B D G, B D F; de cette maniere on aura tout d’un
coup la poſition reſpective des baſtions les uns à l’égard des
autres, & leurs diſtances aux points d’obſervations:
car il eſt
évident que les ſtations D, E ſont déterminées par rapport
aux points A, B, C; ce qui ſuffit pour déterminer tout le reſte.
Nota.
Le problême propoſé (art.
746) pourroit auſſi ſervir
aux mêmes uſages, & l’on peut en faire l’application à bien
d’autres opérations qu’il ſeroit inutile de détailler ici. L’occa-
ſion fournit des reſſources & des expédiens lorſque l’on eſt
d’abord muni d’une bonne théorie; ainſi chacun pourra s’exer-
cer à mettre en œuvre les propoſitions que nous venons de
démontrer.
755.
L’on dit que deux points ſont de niveau, lorſqu’ils
756.
De ſorte qu’une ligne qui a tous ſes points également
éloignés du centre de la terre, eſt appellée ligne du vrai niveau,
qui ne peut être qu’une ligne courbe.
757.
L’on peut donc dire que la ſuperficie des lacs, des
étangs, & de toutes les eaux qui ne ſont guere agitées, ren-
ferment une infinité de points de niveau, puiſqu’ils ſont tous
également éloignés du centre de la terre.
758.
Ligne de niveau apparent, eſt une ligne telle que B D,
tangente au cercle de la terre, & par conſéquent perpendicu-
laire au demi-diametre A B; cette ligne eſt nommée ligne de
niveau apparent, parce que ſes extrêmités B & D ne ſont pas
ainſi toute ligne
parallele à l’horizon, & qui étant prolongée par une de ſes
extrêmités, s’écarte de la ſuperficie de la terre, comme une
tangente s’écarte de la circonférence d’un cercle, eſt une ligne
de niveau apparent.
Comme le point B eſt de niveau avec le point C, puiſqu’ils
ſont également éloignés du centre A de la terre, l’on voit
qu’il s’en faut toute la ligne C D, que le point B ne ſoit de
niveau avec le point D; l’on peut donc dire que la ligne C D
eſt la différence du niveau apparent au deſſus du vrai.
759 Quand une ligne de niveau apparent n’a pas plus de
100 ou 150 toiſes, il s’en faut ſi peu que ſes extrêmités ne
ſoient également éloignées du centre de la terre, qu’on peut
la regarder comme étant parfaitement de niveau; mais ſi elle
ſurpaſſe cette longueur, il faut avoir égard à la différence du
niveau apparent au deſſus du vrai, comme nous le ferons voir
en ſon lieu.
Quand on veut niveler deux endroits pour ſçavoir de com-
bien l’un eſt plus élevé que l’autre, ces deux endroits ſont
nommés termes, & pour lors l’endroit par où l’on commence
le nivellement, eſt nommé premier terme, & celui où ſe va ter-
miner la ligne de niveau apparent, eſt nommé le ſecond terme.
760.
LA principale piece du niveau d’eau eſt un tuyau A B de
D;
ce
tuyau peut avoir un pouce de diametre: aux extrêmités ſont
deux bouteilles F C & G D, qui font le principal du niveau:
ces bouteilles, pour être d’un bon uſage, doivent être d’un
verre fort blanc, bien clair & tranſparent, faites exprès pour
être plus commodes; car les deux cercles F &
G, qui ont
environ trois pouces de diametre, ſont proprement les culs
de ces bouteilles, dans le milieu deſquels il y a un trou cir-
culaire d’environ un pouce: ces bouteilles, qui ont 5 pouces
de hauteur, ont un petit goulot, dont la groſſeur eſt plus
quées dedans aux extrêmités C & D:
dans le milieu du tuyau
A B eſt une virole avec un genou, qui répond à un bâton
M N de 4 pieds, de ſorte que le niveau étant poſé à un en-
droit, on le peut faire tourner en tous ſens, comme ſur un
pivot ſans bouger le pied.
Pour ſe ſervir de cet inſtrument, l’on verſe de l’eau dans
une des bouteilles, qui va auſſi-tôt ſe communiquer dans l’au-
tre, à cauſe du tuyau qui eſt ouvert par les deux bouts; &
quand les bouteilles ont de l’eau environ juſqu’aux deux tiers,
l’eau donne deux ſurfaces H & I, qui ſont parfaitement de
niveau. Cela poſé, ſi l’on veut ſçavoir de combien le terme
Q eſt plus élevé que le terme P, celui qui fait l’opération en-
voie un aide au ſecond terme Q, où il poſe une toiſe, ou une
double toiſe, le plus perpendiculairement qu’il eſt poſſible,
qu’il doit tenir de la main gauche, parce que dans la droite
il doit avoir un carton blanc de la grandeur d’un cul de cha-
peau, & dans le milieu duquel on fait un petit rond noir d’un
pouce de diametre; &
ſuppoſant que cet aide ſoit bien inſtruit
des mouvemens qu’il doit faire, ſoit pour aller ſur la droite ou
ſur la gauche, ou pour faire monter ou deſcendre le carton le
long de la toiſe, aux différens ſignes qu’on lui fera, celui
qui fait l’opération viſe horizontalement aux ſurfaces de l’eau,
l’endroit de la toiſe qui ſe rencontre dans le rayon de mire
K L; &
ayant fait ſigne à l’aide de faire gliſſer le carton le
long de la toiſe, pour que le bord ſupérieur du rond noir ſe
rencontre au point L, on lui fera enſuite un autre ſigne, pour
lui faire entendre qu’il s’eſt rencontré juſte, & pour lors un
autre aide, qui eſt avec celui-ci, meſure exactement la hau-
teur Q L, que je ſuppoſe de 2 pieds 9 pouces, & pendant ce
tems-là un autre aide, qui ne quitte point celui qui fait l’o-
pération, meſure la hauteur K P, qui ſera, par exemple, de
4 pieds 6 pouces: après avoir mis en écrit de part &
d’autre
les hauteurs que l’on aura trouvées, & les deux aides que l’on
a détachés, étant venus joindre celui qui fait l’opération, l’on
cherche quelle eſt la différence de la ligne K P à la ligne L Q,
en les ſouſtrayant l’une de l’autre, & l’on trouve un pied
9 pouces, qui eſt la hauteur du ſecond terme au deſſus du pre-
mier: ainſi l’on voit que tout l’objet du nivellement eſt de
connoître de combien un lieu eſt plus élevé qu’un autre.
761.
Comme les coups de niveau, qui ſe donnent avec cet
inſtrument, ne vont guere au-delà de 100 à 120 toiſes, l’on
n’a point égard au niveau apparent dans les petites opérations
comme celle-ci, parce que le niveau apparent peut être pris
pour le vrai.
A cauſe de la petite portée des coups de niveau, on eſt
les objets que l’on veut niveler ſont beaucoup plus éloignés
l’un de l’autre que l’on ne l’a ſuppoſé ici: cependant quand
cette diſtance eſt environ double de la portée du coup de ni-
veau, on peut par une ſeule ſtation trouver la différence des
hauteurs du niveau de ces deux endroits, pourvu que l’on
puiſſe les appercevoir tous les deux, quand on ſe ſera placé à
peu près dans le milieu de leur diſtance.
Par exemple, ſuppoſant que la diſtance de A en B ſoit de
qu’on veuille ſçavoir de combien le terme A eſt
plus bas que le terme B, il faut poſer le niveau en C, qui
ſera à peu près le milieu de la diſtance A B, enſuite viſer de
D en E, le rond noir du carton que l’aide aura poſé au point
G, que je ſuppoſe élevé de 2 pieds 4 pouces. Cela poſé, celui
qui fait l’opération, quitte la bouteille D, & vient à la bou-
teille E, pour viſer de E en F, parce qu’il doit y avoir à l’en-
droit A un autre aide pour tenir la toiſe & le carton:
&
comme
il peut arriver que la ligne A F ſoit élevé au deſſus de l’endroit
A de plus de 6 pieds, en ce cas on a une autre toiſe, au bout
de laquelle eſt un carton, comme celui dont nous avons déja
parlé, & l’aide fait gliſſer cette toiſe le long de l’autre, la
faiſant monter & deſcendre tant que le rond noir du carton
ſe rencontre dans le rayon de mire E F; après quoi un autre
aide meſure exactement la hauteur F A. Or ſuppoſant qu’ayant
meſuré avec autant de préciſion qu’il eſt poſſible, l’on ait trouvé
9 pieds 6 pouces pour la hauteur A F, on ſouſtraira de cette
quantité 2 pieds 4 pouces, qui eſt l’élevation du point G, & la
différence ſera 7 pieds 2 pouces, qui fait voir que l’endroit A
eſt plus bas que B de 7 pieds 2 pouces.
Cette maniere de niveler eſt la meilleure de toutes, parce
qu’elle eſt moins ſujette à erreur, ſoit de la part du niveau ap-
parent, ou des réfractions; car tant que le point C ſera dans
le milieu de deux termes, les points F & G ſeront parfaite-
ment de niveau, puiſqu’ils ſont également éloignés du centre
d’ailleurs par cette pratique, on fait beaucoup
moins de ſtations que ſi l’on alloit par pluſieurs coups de ni-
veau d’un terme à l’autre.
762.
QUand les deux termes que l’on veut niveler ſont beau-
ration précédente, on eſt obligé de faire pluſieurs ſtations; &
en ce cas l’on dit que le nivellement eſt compoſé:
car en
effet il eſt compoſé de pluſieurs coups de niveau, que l’on fait
enſorte d’abréger, comme on le va voir dans l’opération ſui-
vante.
Pour niveler deux objets A &
B, éloignés l’un de l’autre de
680 toiſes, il faut diviſer ce nombre par 200 ou 220 toiſes,
pour voir combien l’on ſera obligé de faire de ſtations: car
dans l’opération précédente on a nivelé par une ſeule ſtation
une diſtance de 220 toiſes: ainſi comme 680, diviſé par 220,
donne 3 au quotient, je vois qu’en trois ſtations on peut ni-
veler les deux termes A & B.
Pour cela, je commence par
chercher dans la diſtance A B les trois endroits qui ſont les
plus commodes pour faire les ſtations: je choiſis d’abord le
point C à peu près dans le milieu de A B, où je fais planter un
piquet, & à une diſtance de 100 ou 110 toiſes du point A j’en
fais planter un autre en D, & à la même diſtance du point B
j’en fais placer un troiſieme E, & autant qu’il ſe peut, il faut
que ces trois piquets ſoient d’alignement avec les deux termes
A & B.
Ayant donc déterminé les trois ſtations D, C, E, il
faut envoyer deux aides au premier terme A, dont le premier
porte une ou deux toiſes, & le ſecond ſoit chargé d’écrire les
hauteurs; on en envoie un troiſieme à peu près dans le milieu
de la diſtance D C, lequel ne doit point bouger de ſa place,
qu’on n’ait achevé les opérations de la premiere & de la ſe-
conde ſtation, parce que la toiſe qu’il tiendra en main doit
ſervir de terme commun pour les deux premieres ſtations.
Ayant donc fait porter le niveau au point D, il faut viſer
de T en S, pour que le rayon de mire T M aille rencontrer
le
ſecond Aide meſure la hauteur M A, que je ſuppoſe de
8 pieds 2 pouces, qu’il a ſoin d’écrire ſur des tablettes: enſuite
on viſe de S en T, pour découvrir le rond noir au point K; &
comme il n’eſt pas néceſſaire de connoître la hauteur K F,
qui ſeroit plus embarraſſante qu’utile, l’Aide qui tient la toiſe
ſe contente de marquer un trait de crayon à l’endroit de la
toiſe où le rayon de mire S K s’eſt terminé: delà on vient à
la ſeconde ſtation C, & on envoie à peu prés dans le milieu
de la diſtance C E un Aide à l’endroit G, qui ne doit pas
bouger de ſa place, que les opérations de la ſeconde & de la
troiſieme ſtation ne ſoient finies. Préſentement il faut donner
un coup de niveau de Q en R, pour découvrir le point L du
rond noir; &
quand on l’aura rencontré, on meſurera la
hauteur K L, qui eſt la diſtance du trait de crayon que l’on a
marqué ſur la toiſe au point L, & celui qui tenoit les tablettes
à l’endroit A, a eu ſoin de ſe rendre à la ſeconde ſtation, pour
y écrire la hauteur K L, qui ſera, par exemple, de 3 pieds
6 pouces: après cela il faut viſer de R en Q, pour que celui
qui eſt en G puiſſe marquer ſur la toiſe le point H par un
trait de crayon, ſans s’embarraſſer de ſon élévation, qu’il eſt
inutile de connoître, comme nous l’avons déja dit. Enfin,
l’on fait porter le niveau à la troiſieme ſtation E, pour donner
un coup de niveau de P en O, qui déterminera enſuite le point I;
on meſurera la ligne H I, que je ſuppoſe de 4 pieds 3 pouces,
qu’on aura ſoin d’écrire ſur les tablettes; après quoi on donnera
le dernier coup de niveau O N, & l’Aide qui eſt en B, me-
ſurera la hauteur B N, que je ſuppoſe d’un pied 6 pouces,
qu’il faudra écrire à part, parce que cette hauteur n’a rien de
commun avec ce que l’on a marqué ſur les tablettes.
Le nivellement étant achevé, l’on ajoutera enſemble les
hauteurs que l’on a écrites ſur les tablettes, c’eſt-à-dire 8 pieds
2 pouces, 3 pieds 6 pouces, & 4 pieds 3 pouces, qui font
15 pieds 11 pouces, d’où il faudra ſouſtraire la hauteur B N
d’un pied 6 pouces, & la différence ſera 14 pieds 5 pouces,
qui eſt l’élévation de l’endroit B au deſſus de l’endroit A.
763.
QUand on veut niveler deux objets fort éloignés l’un
hauteurs & des fonds, qui obligent de niveler tantôt en mon-
tant, tantôt en deſcendant: en ce cas, il faut obſerver cer-
taines choſes dont nous n’avons pas encore parlé, qui ſont,
d’écrire ſur les tablettes dans une colonne toutes les hauteurs
que l’on trouvera en montant, & dans une autre colonne
toutes celles que l’on trouvera en deſcendant; &
pour les diſ-
tinguer à l’avenir, nous nommerons premiere colonne celle
dans laquelle il faudra écrire les hauteurs que l’on trouvera en
montant, & ſeconde colonne celle dans laquelle on écrira
toutes les hauteurs que l’on trouvera en deſcendant. L’on va
voir ceci dans l’opération ſuivante.
Pour niveler deux lieux A &
B, il faut commencer par poſer
le niveau au point D, éloigné d’environ 100 toiſes des endroits
A & 3, où l’on aura envoyé des Aides avec des toiſes;
enſuite
il faut donner les coups de niveau D C & D E, &
écrire la
hauteur A C de 9 pieds 4 pouces dans la premiere colonne, &
marquer un trait de crayon à l’endroit E: delà il faut faire
porter le niveau au point 4, qui n’eſt pas dans le milieu de la
ligne F H, à cauſe que la rampe de trois en 5 ne le permet
point, mais cela n’empêche pas que les coups de niveau G F
& G H ne ſoient juſtes, parce qu’ils ne ſont pas d’une grande
portée. Ayant donc déterminé les points F &
H, il faut me-
ſurer la hauteur F E, qui ſera, par exemple, de 9 pieds 6 pouces,
qu’il faut écrire dans la premiere colonne, & ne pas oublier de
marquer un trait de crayon au point H de la toiſe 5: delà il
faut venir à la ſtation 6, & donner les coups de niveau K I &
K L; l’on marquera, comme à l’ordinaire, un trait de crayon
au point L, & l’on écrira dans la premiere colonne la hauteur
I H, que je ſuppoſe de 7 pieds: delà on viendra à la ſtation 8,
de laquelle je ſuppoſe qu’on ne peut donner que le coup de
niveau N M, à cauſe que la rampe eſt trop grande pour pouvoir
teur L M depuis le point L, que l’on a marqué ſur la toiſe
juſqu’au point M du rayon de mire, qui ſe trouve de 8 pieds
2 pouces; l’on aura ſoin de l’écrire dans la ſeconde colonne,
parce que c’eſt une hauteur que l’on a trouvée en deſcendant:
mais comme la hauteur N O du niveau fait voir de combien le
point O eſt plus bas que le point M, il faudra meſurer cette
hauteur, que je ſuppoſe de 4 pieds & demi, pour l’écrire auſſi
dans la ſeconde colonne; enſuite il faudra faire planter un
piquet à l’endroit O, & deſcendre le niveau au point 9, qu’il
faudra trouver; de ſorte que le rayon de mire P O aille ren-
contrer le pied du piquet: après quoi l’on donnera le coup de
niveau P Q, & l’Aide qui tient la toiſe aura ſoin de marquer
un trait de crayon au point Q. Delà on ira à la ſtation 11,
pour y donner les coups de niveau S R & S T, afin d’avoir la
hauteur R Q, qui ſera, par exemple, de 3 pieds, qu’il faudra
écrire dans la premiere colonne, parce que c’eſt une hauteur
que l’on a trouvée en montant; il faut aller après cela au
point 13, pour y donner les coups de niveau X V, X Y, & l’on
écrira dans la premiere colonne la hauteur V T, qu’on ſuppoſe
de 5 pieds 5 pouces: &
comme il arrive que le rayon X Y va
ſe terminer à un point Y de la hauteur, il n’y aura pas de trait
de crayon à marquer ſur la toiſe à cet endroit-là, on y laiſſera
ſeulement un Aide pour ſervir à l’opération 15, laquelle ayant
déterminé les points Z & B, des coups de niveau A Z &
A B,
l’on meſurera la hauteur Z Y, que je ſuppoſe de 7 pieds 4 pouces,
qu’il faudra encore écrire dans la premiere colonne: delà il
faut venir à la ſtation 17, pour y donner les coups de niveau
D C & D E, marquer un trait de crayon au point E, &
conſi-
dérer que la hauteur B C, qu’on ſuppoſe de 6 pieds 6 pouces; a été trouvée en deſcendant, &
que par conſéquent il faut
l’écrire dans la ſeconde colonne. Enfin l’on portera le niveau
à la derniere ſtation B, pour déterminer par le rayon G F la
hauteur E F, qui ſera, par exemple, de 8 pieds 5 pouces, qu’il
faudra écrire dans la ſeconde colonne, auſſi-bien que la hau-
teur G B du niveau, qui eſt ordinairement de 4 pieds 6 pouces.
Préſentement ſi l’on additionne les nombres de la premiere
colonne, l’on trouvera 41 pieds 7 pouces; &
faiſant la même
choſe pour la ſeconde, l’on aura 32 pieds un pouce. Or ſi l’on
retranche la plus petite ſomme de la plus grande, c’eſt-à-dire
9 pieds 6 pouces, qui fait voir que le terme A eſt plus bas que
le terme B de 9 pieds 9 pouces.
Il eſt bon de remarquer que lorſque l’on a un nivellement
à faire en montant, & qu’on s’apperçoit que les coups de ni-
veau ſont trop courts, de ſorte qu’on eſt obligé d’en donner
trop ſouvent, il vaut mieux monter au ſommet de la hauteur,
& faire le nivellement en deſcendant, obſervant d’écrire dans
la premiere colonne les hauteurs que l’on trouvera en allant
vers un terme, & dans la ſeconde colonne, celles que l’on
trouvera en allant vers l’autre.
Par exemple, ſi l’on veut connoître la différence des hau-
teurs de deux termes A & B, &
qu’on s’apperçoive qu’il fau-
dra trop de tems & trop d’opérations pour niveler de A en B
par une ſuite de coups de niveau, on fera porter le niveau à
l’endroit 6, que je ſuppoſe être le ſommet de la hauteur, &
l’on nivellera de 6 en A, en obſervant d’écrire dans la pre-
miere colonne les hauteurs que l’on trouvera; après cela l’on
viendra à l’endroit 6 pour niveler de 6 en 10, & les hauteurs
que l’on trouvera, on les écrira dans la ſeconde colonne. Enfin
on viendra au ſommet 15 de la ſeconde éminence, pour ni-
veler de 15 en 10, mettant toutes les hauteurs que l’on trou-
vera dans la premiere colonne; après quoi l’on nivellera de
15 en B, & on écrira les hauteurs de cette derniere opération
dans la ſeconde colonne, & le reſte ſera comme dans l’opé-
ration précédente.
L’on peut faire beaucoup d’ouvrage en peu de tems par cette
maniere de niveler, parce que tandis qu’une perſonne enten-
due fait le nivellement de 6 en A, une autre peut faire celui
de 6 en 10; &
de la même façon celui de 15 en 10, &
de 15
en B.
764.
L’On n’a pas eu égard à la différence du niveau appa-
rent au deſſus du vrai dans les nivellemens que nous venons
d’enſeigner, parce que les coups de niveau étoient fortpetits; d’ailleurs les opérations ont été faites d’une maniere à ne pas
donner lieu à cette différence: mais comme le niveau d’eau
ne peut ſervir que pour des petits nivellemens, & qu’il de-
mande une grande exactitude, pour ne point faire d’erreur,
quand le nivellement eſt fort compoſé, on a inventé une autre
eſpece de niveau, avec lequel, par le moyen d’une lunette,
l’on peut donner des coups de niveau extrêmement grands;
c’eſt l’uſage de ce niveau que nous allons enſeigner, après
avoir donné dans ce chapitre la maniere de calculer la hauteur
du niveau apparent au deſſus du vrai, dont la connoiſſance
eſt abſolument néceſſaire, quand on fait de grands nivel-
lemens.
765.
Nous avons vu dans la Géométrie que le quarré de
ſous la partie C D:
ainſi diviſant le quarré de la
ligne B D par la valeur de la ligne G D, on trouvera la ligne
C D. Mais comme la ligne G C, qui eſt le diametre de la terre,
a été trouvée de 6538594 toiſes, elle ne differe de la ligne G D
que d’une quantité infiniment petite, il s’enſuit que l’on pourra
prendre la ligne G C pour la ligne G D, & que diviſant le
quarré de la ligne B D par le diametre G C de la terre, c’eſt-
à-dire par 6538594, l’on aura la valeur de la ligne C D, qui
eſt la différence du niveau apparent avec le vrai. Or ſuppoſant
que la ligne de niveau apparent B D ſoit de 800 toiſes, il fau-
dra les réduire en lignes, & l’on aura 691200 lignes, qu’il faut
enſuite quarrer pour avoir 477754440000, qui eſt le quarré
de la ligne B D. Préſentement ſi l’on réduit le diametre de
la terre, qui eſt de 6538594 toiſes en lignes, on aura 5649345216
lignes; &
diviſant le quarré de la ligne B D par le nombre pré-
cédent, l’on aura environ 85 lignes, qui font 7 pouces une
ligne, pour la différence C D du niveau apparent au deſſus du
vrai.
766.
L’on peut encore d’une maniere plus géométrique
que la précédente, trouver la valeur C D du niveau apparent
au deſſus du vrai: car à cauſe du triangle rectangle A B D, les
quarrés A B & B D, pris enſemble, valent le quarré de l’hy-
poténuſe A D. Ainſi il n’y a qu’à quarrer la valeur du demi-
diametre de la terre, & la valeur de B D de la ligne de niveau
apparent, & additionner ces deux quarrés, dont la racine ſera
la ligne A D, de laquelle il faudra retrancher la valeur du
demi-diametre A B ou A C de la terre, & la différence ſera
la valeur de la ligne C D.
767.
L’on peut remarquer que les hauteurs de deux points
de niveau apparent au deſſus du vrai, ſont dans la même raiſon
que les quarrés des lignes des niveaux apparens; car prenant
le diametre G C pour la ligne G D, & le diametre H K pour
la ligne H I, le quarré de la ligne B I étant auſſi égal au rec-
tangle compris ſous H K & K I, les quarrés des lignes B D &
B I ſeront dans la même raiſon que les rectangles qui leur ſont
égaux: mais ces rectangles ayant chacun pour baſe le dia-
metre G C ou H K de la terre, ſeront comme leurs hauteurs
C D & K I:
ainſi les quarrés B D &
B I ſeront donc dans la
raiſon des lignes C D & K I.
768.
L’on peut tirer de cette conſéquence une regle gé-
nérale pour trouver la hauteur du niveau apparent au deſſus
du vrai, d’une façon bien plus courte, que par les deux mé-
thodes précédentes: car ſi on connoît une fois la hauteur du
niveau apparent au deſſus du vrai pour une ligne d’une certaine
longueur, l’on pourra trouver la même choſe pour toutes les
autres.
Par exemple, étant prévenu que pour une diſtance de 600
toiſes, le niveau apparent eſt élevé au deſſus du vrai de 4 pouces,
pour ſçavoir combien il eſt élevé pour une diſtance de 1000
toiſes, je fais une Regle de Trois, en diſant: Si le quarré de
600, qui eſt 360000, donne 4 pouces, combien donnera le
quarré de 1000, qui eſt 1000000? La Regle étant faite, on
trouvera 11 pouces une ligne 4 points pour la hauteur du ni-
veau apparent au deſſus du vrai, d’un coup de niveau de
1000 toiſes.
769.
NOus n’avons parlé juſqu’à préſent que du niveau d’eau,
parce que c’eſt celui qui eſt le plus en uſage dans les nivelle-
mens qui ne ſont pas d’une grande étendue. Cependant comme
les niveaux qui ont des lunettes ſont bien plus commodes,
parce que l’on peut en deux ou trois coups de niveau, ou quel-
quefois même en un ſeul, niveler deux objets, dont on ne
pourroit connoître la différence des hauteurs avec le niveau
d’eau, ſans faire beaucoup plus d’opérations, voici celui qui
a été inventé par M. Huyghens, qui peut paſſer pour le plus
commode & le plus juſte de tous ceux qui ont été faits dans ce
goût-là.
Une des principales parties de cet inſtrument eſt la virole
D, qui a deux branches plates, C & E qui ſont ſemblables,
chacune d’environ un demi-pied de long; de ſorte que le tout
fait une eſpece de croix. Cette virole D porte la lunette A B
longue de deux pieds: ſi elle n’a que deux verres convexes,
elle repréſentera les objets renverſés, mais avec beaucoup plus
de clarté que ſi elle en a quatre, qui les remettroient dans leur
Le tuyau de cette lunette doit être de
cuivre, ou de quelqu’autre matiere forte, & à l’épreuve des
injures de l’air.
Au bout des branches de la virole D ſont attachés deux
filets doubles paſſés dans des petits anneaux, & ſerrés entre
des pinces à deux dents, dont l’une eſt fixée au bout de ſa
branche, & l’autre y eſt attachée de telle maniere qu’elle ſe
puiſſe ouvrir.
Comme la lunette eſt ſuſpendue par la virole D au cro-
chet F, elle eſt tendue horizontalement par le poids qui eſt
enfermé dans la boîte G, dont il ne ſort que ſon crochet. La
peſanteur de ce poids ne doit être qu’environ la peſanteur de
la croix, & le vuide qui reſte dans cette boîte eſt rempli
d’huile de noix ou de lin, ou de quelqu’autre liqueur qui ne
ſe glace ni ne ſe fige point; &
c’eſt par cette liqueur que ſont
arrêtés les balancemens du poids & de la lunette.
Il doit y
avoir au dedans de la lunette un fil de ſoie tendu horizontale-
ment au foyer du verre objectif; &
c’eſt par une vis que l’on
tourne au travers du trou H, percé dans le tuyau de la lunette,
que l’on abaiſſe ou éleve ce fil ſelon le beſoin. Il faut mettre
au tuyau de la lunette une petite virole, qui doit être fort
legere, & ne pas peſer plus d’une 80
elle
n’eſt point attachée au tuyau de la lunette, parce qu’il faut la
pouſſer vers le bout, ou l’en reculer autant qu’il eſt néceſſaire
pour trouver l’équilibre de la lunette, & la mettre parallele à
l’horizon.
Cette machine eſt ſuſpendue au haut d’une eſpece de croix
de bois plate, où il y a pour cela le crochet F, qui peut ſe
hauſſer ou baiſſer par le moyen de la vis qui tient à l’anneau
qui ſuſpend la machine: cette même croix tient la boîte qui
contient le plomb & l’huile;
&
cette boîte eſt enfermée par
les côtés & par le fond.
On couvre le niveau par une autre eſpece de croix, qui eſt
creuſe, que l’on applique contre la croix de bois plate, avec
pluſieurs crochets, afin de couvrir le niveau contre les injures
du tems; de ſorte que le tout fait une boîte.
Pour rectifier ce niveau, on le ſuſpendra par l’anneau d’une
de ſes branches, ſans attacher de poids par en bas, & l’on
viſera par la lunette à quelque objet éloigné, remarquant l’en-
droit où le point de l’objet eſt coupé par le fil de la lunette,
enſuite on mettra le poids, en l’accrochant dans l’anneau
d’en bas: &
ſi alors le fil de la lunette répond à la même
marque de l’objet, c’eſt une preuve certaine que le centre de
gravité, ou les deux points de la ſuſpenſion de la croix répon-
dent au centre du tuyau de la lunette, ou au centre de la
terre; mais ſi cela ne ſe trouve pas préciſément au même point,
on la vérifiera par le moyen de la virole I, en la faiſant couler
de part ou d’autre, pour réparer le défaut, & mettre la lu-
nette en équilibre; &
la lunette étant miſe horizontalement
par la virole ſans poids & avec poids, on la tournera ſans
deſſus deſſous, mettant en haut la branche d’en bas, & atta-
chant le poids à la branche que l’on a abaiſſée.
Si après cette rectification, le fil qui eſt dans la lunette ſe
trouve à la même hauteur de l’objet que devant; c’eſt une
marque que le fil du foyer de la lunette eſt directement au
milieu de ce foyer: mais ſi le fil ne viſe pas au même point, &
qu’il coupe l’objet au deſſus ou au deſſous, on hauſſera ou baiſ-
ſera moyennant la vis qui eſt pour cela, juſqu’à ce que le fil
coupe le point moyen, qui eſt entre les deux points remar-
qués, & après cela le niveau ſera bien rectifié.
Le pied qui doit porter la machine eſt une eſpece de table
de fer ou de cuivre, qui eſt ronde & un peu concave, afin
que la machine ſoit plus ſolidement établie dans la concavité: elle eſt élevée ſur trois pieds, qui y ſont attachés en char-
niere, & dont la hauteur eſt de trois ou quatre pieds.
La figure N repréſente en grand le tuyau qui porte en de-
dans de la lunette le fil horizontal, qui eſt attaché à la four-
chette K avec de la cire.
Il faut ſi peu de choſe pour faire de grandes erreurs en ni-
velant, que l’on ne ſçauroit prendre trop de précautions à ſe
bien ſervir des inſtrumens: pour cela, il faut les connoître
parfaitement; quand je dis les connoître, j’entends que l’on
doit ſi bien les examiner, que l’on puiſſe en ſçavoir juſqu’au
moindre défaut, entre leſquels il n’y en a point de plus con-
ſidérable que de baiſſer ou hauſſer la mire. Il eſt vrai que pour
le niveau de M. Huyghens, quand même il n’auroit pas été fait
avec aſſez de précaution pour avoir cet inconvénient, il ne
faut pas beaucoup s’en embarraſſer; car s’il baiſſe la mire dans
un ſens, il la hauſſera d’autant dans un autre; &
prenant
le point milieu des deux objets, l’on aura toujours le vrai
de pouvoir être renverſé de bas en haut, & de haut en bas;
mais comme on peut ſe ſervir de tout autre inſtrument qui
n’aura pas cet avantage, voici le moyen de corriger un rayon
de mire faux.
Ayant poſé un inſtrument à l’endroit A, pour pointer vers
donner le point C du niveau apparent B C, donne le point D,
qui eſt plus élevé que le point C, parce que l’inſtrument hauſſe
la mire; &
ayant remarqué que ſur une diſtance B C de 200
toiſes, le point D eſt élevé de deux pouces au deſſus du point
C. Après en être bien aſſuré, ſi je vois que cette faute ne ſe
puiſſe pas réparer, parce que l’on ſuppoſe que l’inſtrument a
été mal fait, j’ai égard, dans toutes les opérations que je fais,
à la correction de l’inſtrument; de ſorte qu’ayant donné un
autre coup de niveau B E de 600 toiſes, je cherche à quel point
de la hauteur E H doit être le niveau apparent, parce que je
ſuis prévenu que ce n’eſt pas le point E, mais que ce doit être
un autre point au deſſus de celui-ci. Pour le trouver, je dis:
Si 200 toiſes donnent 2 poucespour le hauſſement du rayon de
mire, combien donneront 600 toiſes? La Regle étant faite,
je trouve 6 pouces; ainſi je prends le point F, ſix pouces au
deſſous du point E, & pour lors la ligne B F eſt celle du ni-
veau apparent: mais ſi l’inſtrument baiſſe la mire, au lieu de
la hauſſer, on trouvera toujours le point du vrai niveau appa-
rent en ſuivant la même regle, qui eſt fondée ſur ce que les
triangles B C D & B F E ſont ſemblables.
770.
LE niveau ayant été poſé au lieu deſtiné pour l’opéra-
tion, on envoyera, comme à l’ordinaire, un Aide à une diſ-
tance convenable, & on regardera exactement par la lunette
l’endroit de la perche où le fil répondra; &
l’Aide qui tient la
carte l’ayant hauſſée & baiſſée tant que le petit rond noir ré-
ponde au rayon de mire, il a ſoin de marquer un trait de crayon
il
ne bouge point de ſa place juſqu’à ce qu’il ſoit averti; &
alors
celui qui eſt à l’inſtrument, le change de diſpoſition, mettant
le deſſus au deſſous, c’eſt-à-dire qu’il faut accrocher la croix
par l’anneau d’en bas; après quoi on viſe de rechef avec la
lunette, & celui qui eſt à la perche hauſſe &
baiſſe encore le
carton, pour marquer à quelle hauteur porte le rayon de mire,
qui doit répondre au même endroit que l’on a marqué. Or
ſuppoſant qu’il donne au deſſous de la marque, il faut mar-
quer exactement à quel endroit; enſuite diviſer en deux égale-
ment l’intervalle des deux coups de niveau différens, & l’on
aura au juſte la hauteur du niveau apparent, de laquelle il fau-
dra retrancher la hauteur du niveau apparent au deſſus du vrai,
que l’on trouvera, ſelon qu’il a été enſeigné au quatrieme
chapitre, & la différence ſera la hauteur du vrai niveau, la-
quelle on pourroit encore trouver ſans faire de calcul, comme
on le va voir.
Ayant deux perches C A &
B E, éloignées l’une de l’autre,
ſeroit la hauteur du niveau apparent au deſſus du vrai.
Pour la trouver, poſez le niveau à l’endroit A, &
pointez
avec la lunette l’endroit de la perche B E, où le rayon de mire
ira la rencontrer, ſuppoſant que ce ſoit au point B, il faut y
faire une marque, & vérifier ce coup de niveau, en renverſant
l’inſtrument, pour voir ſi dans cette ſituation le rayon de
mire ſe termine au point B. Cela poſé, faites porter l’inſtru-
ment à l’endroit E, & diſpoſez-le de maniere que le foyer du
verre de la lunette ſoit préciſément à la hauteur B. Après cela
donnez un autre coup de niveau B C, qui aille rencontrer la
perche A C au point C, qu’il faudra marquer ſur la perche,
après l’avoir vérifié comme ci-devant; &
ſi l’on meſure exac-
tement la diſtance C A, je dis qu’elle ſera double de la hauteur
du niveau apparent au deſſus du vrai; de ſorte que C A doit ſe
trouver ici de 8 pouces: car en diviſant C A en deux également
au point D, l’on aura la ligne C D de 4 pouces, qui ſera la
différence du niveau apparent au deſſus du vrai, pour une diſ-
tance de 600 toiſes, comme on le peut voir par le calcul: ainſi les points B &
D ſont de niveau, étant également éloi-
gnés du centre de la terre, comme vous l’allez voir.
Si l’on prend le point A pour l’extrêmité d’un des rayons
de la terre, le point B ſera plus éloigné du centre de la terre
que le point A de 4 pouces: mais le point C étant plus éloigné
du centre de la terre que le point B auſſi de 4 pouces, le point
C ſera donc plus éloigné que le point A du centre de la terre
de 8 pouces: donc les points D &
B étant chacun plus éloignés
du centre de la terre que le point A de 4 pouces, il s’enſuit
qu’ils ſeront de niveau, & que la moitié de la ligne C A ſera
la hauteur du niveau apparent au deſſus du vrai.
L’on voit que par le nivellement réciproque l’on peut d’une
maniere fort ſimple déterminer deux points parfaitement de
niveau, ſans s’embarraſſer de leur diſtance. Il eſt vrai que l’on
peut encore trouver deux points de niveau, ſans même faire
de nivellement réciproque, en poſant l’inſtrument dans le
milieu de la diſtance de deux objets que l’on a à niveler; ce
qui ſe fait à peu près de la maniere qu’on a expliqué dans
l’uſage du niveau d’eau.
771.
NOus avons dit que pour faire un nivellement com-
en montant, & que l’on auroit miſes dans la premiere co-
lonne, & ajouter auſſi enſemble toutes celles que l’on aura
trouvées en deſcendant, qui ſont dans la ſeconde colonne,
afin de ſouſtraire la ſomme des unes de la ſomme des autres,
pour avoir la différence, qui fait voir de combien l’un des en-
droits eſt plus élevé que l’autre: mais comme dans cette pra-
tique nous nous ſommes ſervis du niveau d’eau, dont les coups
de niveau ne ſont pas conſidérables, & que d’ailleurs l’inſtru-
ment pour chaque ſtation a été placé dans le milieu des deux
termes, on n’a pas eu égard à la différence du niveau appa-
rent au deſſus du vrai, ni en deſcendant, ni en montant,
parce que, ſelon cette pratique, la différence du niveau ap-
parent n’a pas lieu: mais il n’en eſt pas de même, lorſqu’on
niveau, ou il faut avoir égard à la différence du niveau appa-
rent au deſſus du vrai, en montant comme en deſcendant,
ſurtout quand l’inſtrument eſt placé au premier terme, pour
niveler d’un terme à l’autre: car dans cette occaſion, il faut
non ſeulement mettre dans la premiere colonne les hauteurs
que l’on a trouvées en montant, & dans la ſeconde celles que
l’on a trouvées en deſcendant; mais encore écrire à côté de
chaque colonne la différence du niveau apparent au deſſus du
vrai, pour chaque diſtance qui ſont dans les colonnes, tant
en montant qu’en deſcendant: &
ce qu’il y a de particulier
en ceci, c’eſt qu’après avoir mis dans une ſomme les hauteurs
du niveau apparent au deſſus du vrai, que l’on aura trouvées
en montant, il faut l’ajouter à la ſomme des hauteurs de la
premiere colonne, pour ne faire qu’une ſomme des hauteurs
de la premiere colonne, & des différences de leur niveau ap-
parent au deſſus du vrai.
L’on écrira de même à côté de la ſeconde colonne, la dif-
férence du niveau apparent au deſſus du vrai, pour chaque
hauteur que l’on aura trouvée en deſcendant; &
l’on fera une
ſomme de toutes ces différences, qu’il faudra enſuite ſouſtraire
de celles des hauteurs, tellement qu’il faut regarder comme
une regle générale, qu’en montant il faut ajouter la différence
du niveau apparent au deſſus du vrai, aux hauteurs que l’on
trouvera en deſcendant, & qu’en deſcendant il les faut ſouſ-
traire; &
en voici la raiſon.
Suppoſons qu’en montant l’on ait donné des coups de ni-
F G, &
en deſcendant les coups de niveau K N
& Q R.
Cela poſé, conſidérez qu’ayant mené à la ligne B C
la parallele A D, cette parallele ſera une tangente à la terre,
& la ligne D E marquera la hauteur du niveau apparent au
deſſus du vrai. Or comme les lignes B A &
C D ſont égales,
le point C ſera plus éloigné du centre de la terre que le point
B de toute la ligne D E: ainſi pour que le point B ſoit de ni-
veau avec le point C, il faudra ajouter à la hauteur B A la
ligne D E, c’eſt-à-dire la ligne de la différence du niveau ap-
parent au deſſus du vrai. De même ſi à la ligne de niveau ap-
parent F G l’on mene la parallele E H, la ligne H I ſera en-
core la différence du niveau apparent au deſſus du vrai. Or
G H étant égales, le point G ſera plus éloigné
du centre de la terre que le point F de toute la ligne H I: il
faut donc, pour que le point F ſoit de niveau avec le point G,
ajouter à la hauteur F C la ligne H I.
A l’égard des coups de niveau K N &
Q R, que l’on a donnés
en deſcendant, l’on voit que leur ayant mené les paralleles
L O & P S, qui ſont des tangentes à la terre, le point N eſt
plus éloigné du centre de la terre que le point K de toute la
ligne O P; &
que pour trouver un point de niveau avec le
point K, il faut ôter de la hauteur N Q la ligne O P, qui eſt
la différence du niveau apparent au deſſus du vrai pour la lon-
gueur K N. Enfin comme le point R n’eſt pas de niveau avec
le point Q, parce que le premier eſt plus éloigné du centre de
la terre que le ſecond de toute la ligne S T, il faudra donc
encore ôter la ligne S T de la hauteur R T, pour mettre le
point R de niveau avec le point Q. Il en ſera de même des
autres.
L’on a ſuppoſé que les lignes B A &
C D, F E &
G H, &
c.
la terre prolongés; mais à cauſe de la grande diſtance au cen-
tre, on les peut regarder comme telles, ſans que cela puiſſe
faire une erreur ſenſible.
Pour appliquer à un exemple ce que nous venons d’enſei-
gner, ſoient les lieux A & F, dont on veut connoître la dif-
férence de niveau.
Pour cela je me ſers d’un niveau à lunettes, que je poſe
au premier terme A, pour donner le coup de niveau G B, qui
ſe termine à un point B de la hauteur, auquel j’envoie un Aide
pour y planter un piquet, & je conſidere que la différence du
niveau apparent eſt de 4 pieds & demi, qui eſt la hauteur G Q
du niveau, que j’écris dans la premiere colonne; enſuite je
fais meſurer la longueur G B, que je ſuppoſe de 600 toiſes,
& je cherche quelle eſt la hauteur du niveau apparent au deſſus
du vrai, que je trouve de 4 pouces: j’écris cette hauteur à côté
de la premiere colonne, vis-à-vis de 4 pieds & demi.
Après
cela je fais porter le niveau au point B, & j’envoie un Aide
à l’endroit C, qui eſt une diſtance que l’on aura jugé conve-
nable; &
après avoir donné le coup de niveau H I, je ſuppoſe
que l’on a trouvé I C de 2 pieds, que je ſouſtrais de 4 pieds &
il reſte 2 pieds &
demi pour la hauteur du point C
au deſſus du point B. Ayant donc écrit cette quantité dans
la premiere colonne, je fais meſurer la longueur H I, que je
trouve de 380 toiſes, qui donnent un pouce 7 lignes pour la
différence du niveau apparent au deſſus du vrai, que j’écris à
côté de la premiere colonne, vis-à-vis 2 pieds 6 pouces.
Delà je viens au point C, &
j’envoie un Aide au point D
avec une perche; enſuite je donne le coup de niveau K L, &
l’Aide qui eſt en L, marque un trait de crayon à l’endroit de
la perche où a répondu le rayon de mire, & on meſure la hau-
teur L D, qui ſera, par exemple, de 9 pieds; d’où ayant ſouſ-
trait la hauteur du niveau, il vient 4 pieds & demi, qui fait
voir la différence de niveau apparent des points C & D.
Mais
comme 4 pieds & demi eſt une hauteur que l’on a trouvée
en deſcendant, je l’écris dans la ſeconde colonne, à côté de
laquelle j’écris auſſi 2 pouces 4 lignes, qui eſt la différence du
niveau apparent au deſſus du vrai pour la longueur K L. Après
cela je fais porter le niveau au point D, & j’envoie un Aide
en E, pour marquer le point M ſur la perche, après que j’aurai
donné le coup de niveau M N: ayant trouvé 10 pieds &
demi
pour la hauteur E N, j’en ſouſtrais celle du niveau, qui eſt de
4 pieds & demi, &
la différence eſt 6 pieds, que j’écris dans
la ſeconde colonne: &
ſuppoſant que la diſtance M N ſoit de
650 toiſes, je cherche la hauteur du niveau apparent au deſſus
du vrai pour une pareille diſtance, & je trouve qu’elle eſt de
4 pouces 8 lignes, que j’écris à côté de la ſeconde colonne,
vis-à-vis le dernier nombre que j’y ai marqué, c’eſt-à-dire
vis-à-vis 6 pieds. Enfin je fais porter le niveau en E, pour
faire la derniere opération O P, qui donne 8 pieds pour la
hauteur P F; d’où ayant retranché celle du niveau, la diffé-
rence eſt 3 pieds & demi, que j’écris dans la ſeconde colonne,
à côté de laquelle je mets 5 pouces 4 lignes, qui eſt la diffé-
rence du niveau apparent au deſſus du vrai pour la diſtance
O P, que nous ſuppoſons de 700 toiſes.
Après que l’on a fait l’opération, il faut faire l’addition
des hauteurs de la premiere colonne, & l’on aura 6 pieds,
& ajouter auſſi enſemble les hauteurs des niveaux apparens
au deſſus du vrai, pour avoir 5 pouces 7 lignes, qu’il faut
ajouter avec la premiere colonne, & le tout ſera 6 pieds
5 pouces 7 lignes.
Enſuite il faut ajouter les hauteurs de la ſeconde co-
lonne, qui font 14 pieds; mettre auſſi dans une ſomme les
hauteurs du niveau apparent au deſſus du vrai, qui ſont à
côté, pour avoir un pied 4 lignes, qu’il faut ſouſtraire de
la ſomme des hauteurs de la ſeconde colonne, c’eſt-à-dire,
de 14 pieds, & la différence ſera 12 pieds 11 pouces 8 lignes.
Enfin il faut ſouſtraire 6 pieds 5 pouces 7 lignes de cette quan-
tité, & le reſte ſera 6 pieds 6 pouces une ligne, qui fait voir
que le lieu A eſt plus élevé que le lieu F de 6 pieds 6 pouces
une ligne.
772.
Quand le terrein le permet, il vaut beaucoup mieux
faire le nivellement entre deux termes, que de ſuivre ce qui
vient d’être dit, parce que l’on n’a point d’égard à la diffé-
rence du niveau apparent au deſſus du vrai, non plus que
dans les pratiques que nous avons données au ſujet du ni-
veau d’eau: mais pour cela il ſeroit à propos que le niveau
eût deux lunettes, l’une pour pointer de la droite à la gau-
che, & l’autre pour pointer de la gauche à la droite.
Les
corrections des coups de niveau ſe feront toujours de la même
façon qu’il a été enſeigné.
Par exemple, voulant connoître la différence des hau-
E, je partage la diſtance de ces
deux termes, pour faire des ſtations aux endroits les plus
convenables; &
ayant fait planter des piquets aux endroits
F, G, H, je fais ma premiere ſtation au point A, à peu
près dans le milieu de E F, la ſeconde au point B, auſſi dans
le milieu de F G, la troiſieme au point C, & la quatrieme
au point D; obſervant toujours d’écrire dans la premiere co-
lonne les hauteurs que l’on trouvera en montant, & dans
la ſeconde celles que l’on trouvera en deſcendant, ſans ſe
mettre en peine des hauteurs du niveau apparent au deſſus
du vrai. Je crois avoir aſſez dit pour ne rien laiſſer à déſirer
ſur tout ce qui regarde le nivellement; &
pour peu qu’on
s’attache à le bien entendre, il ne faudra qu’un peu de pra-
tique pour être en état de faire toutes les opérations qui ſe
pourront préſenter.
M’étant apperçu qu’une grande partie de ceux qui ſe ſer-
vent tous les jours du toiſé, n’en ont que la routine, & que
les perſonnes qui en ont écrit ne ſe ſont attachées qu’à don-
ner la pratique de ce calcul, ſans rien dire des raiſons ſur
leſquelles il eſt établi; j’ai cru devoir en donner un petit
Traité avant de parler de la meſure des corps, afin que ceux
qui commencent puiſſent les calculer, & trouvent dans cet
Ouvrage tout ce qu’il faut qu’ils ſçachent, pour être en état
de ſe ſervir utilement de ce qui a été enſeigné dans la pre-
miere Partie.
773.
L’
calculer les dimenſions de tous les ouvrages qui font partie de
la fortification d’une place, & même de tous les édifices civils.
Quoique chaque pays ait ſa meſure particuliere, &
que le pied
ne ſoit pas le même partout, cela n’empêche pas que pour les
ouvrages du Roi, l’on ne ſe ſerve toujours de la toiſe, qui eſt
(comme nous l’avons dit ailleurs) compoſée de ſix pieds. Mais
comme le pied eſt dans un endroit de dix pouces, dans un
autre de onze pouces, on a nommé celui dont on ſe ſert en
France pour les fortifications, pied de Roi, lequel eſt compoſé
de 12 pouces; ainſi la toiſe vaut 72 pouces.
L’on a auſſi diviſé
le pouce en douze parties, que l’on nomme lignes, & la ligne
en douze autres parties, que l’on nomme points.
Cependant on diſtingue trois ſortes de toiſes;
la toiſe cou-
rante, la toiſe quarrée, & la toiſe cube.
La toiſe courante eſt
celle qui a 6 pieds de longueur, ſans largeur ni profondeur; la toiſe quarrée eſt celle qui a 6 pieds de longueur ſur 6 pieds
de largeur, ſans hauteur ou profondeur; &
la toiſe cube eſt
celle qui a 6 pieds de longueur, 6 pieds de largeur, ſur 6 pieds
de hauteur, & qui a par conſéquent les trois dimenſions égales:
toiſe quarrée ne ſert qu’à meſurer les ſuperficies, & la toiſe
courante les longueurs, & à déterminer les dimenſions des
plans & des ſolides.
Ainſi ce que nous venons d’expliquer à l’égard de la toiſe,
eſt la même choſe que ce que l’on a dit à l’égard du pied au
commencement du premier Livre.
La toiſe quarrée ayant 6 pieds de longueur ſur 6 pieds de
largeur, l’on peut dire que ſa ſuperficie eſt compoſée de 36
pieds quarrés, puiſque multipliant les deux dimenſions de
cette toiſe l’une par l’autre, c’eſt-à-dire 6 pieds par 6 pieds,
l’on aura 36 pieds quarrés: à l’égard de la toiſe cube, comme
ſes trois dimenſions ſont chacune compoſées de 6 pieds, on
voit qu’elle doit être compoſée de 216 pieds cubes; car multi-
pliant la toiſe quarrée, qui vaut 36 pieds quarrés par 6 pieds,
qui eſt la hauteur de la toiſe cube, l’on aura 216 pieds cubes.
774.
Il eſt bon de remarquer ici que dans le toiſé des plans
& des ſolides, tel que nous l’allons expliquer, on ne conſidere
point combien il faut de pieds quarrés pour compoſer une toiſe
quarrée, ni combien il faut de pieds cubes pour compoſer une
toiſe cube; parce que pour rendre le calcul plus court, l’on a
pris pour le pied de la toiſe quarrée, la ſixieme partie de la
même toiſe, & pour le pied de la toiſe cube, la ſixieme partie
de cette toiſe; tellement que ſi l’on conſidere le quarré A B
parties égales, le rectangle D E étant la ſixieme partie du quarré
A B, il ſera par conſéquent un pied de toiſe quarrée, de même
que le rectangle D F renferme 3 pieds de toiſe quarrée, puiſ-
qu’il eſt la moitié du quarré A B. Mais comme la toiſe quarrée
vaut 36 pieds quarrés, & que le rectangle D E eſt la ſixieme
partie de la toiſe, il s’enſuit qu’un pied de toiſe quarrée vaut
6 pieds quarrés, & que le rectangle D F, qui eſt la moitié de
la toiſe, en vaut 18.
L’on pourroit dire la même choſe des pouces, des lignes,
des points de toiſe quarrée; car un pouce tel que celui-ci eſt
un rectangle, qui a un pouce de baſe ſur une toiſe de hau-
teur; de même une ligne eſt un rectangle, qui a une ligne de
baſe ſur une toiſe de hauteur. Enfin un point eſt encore un
rectangle, qui a pour baſe la douzieme partie d’une ligne, &
pour hauteur une toiſe: ainſi l’on voit que 12 points de toiſe
un pouce, que 12 pouces font un pied, & que 6 pieds font
une toiſe quarrée, puiſque toutes ces quantités ont la même
hauteur. Nous ferons voir la même choſe à l’égard des pieds,
des pouces, des lignes & des points de la toiſe cube, après
que nous aurons ſuffiſamment expliqué la maniere de multi-
plier deux dimenſions exprimées par des toiſes & des parties
de toiſes courantes.
775.
A Yant une longueur A B de 6 toiſes, à laquelle on a
ajouté une petite longueur C B de 2 pieds, & une autre C D
de 6 pouces, toute la ligne A D vaudra 6 toiſes 2 pieds 6 pouces; laquelle étant multipliée par la ligne A E d’une toiſe, le pro-
duit donnera le rectangle E A D H, dont on aura la valeur,
en multipliant 6 toiſes 2 pieds 6 pouces par une toiſe, pour en
faire le calcul.
Je poſe les deux dimenſions comme on les
enſuite je multiplie les plus petites
parties, en commençant par la droite, & finiſ-
ſant par la gauche, en diſant: une fois 6 eſt 6,
que je poſe à la colonne des pouces, parce que
ce ſont 6 pouces de toiſe quarrée, & puis une fois 2 eſt 2, que
je poſe au rang des pieds, parce que ce ſont des pieds de toiſe
quarrée: enfin une fois 6 eſt 6, que je poſe au rang des toiſes,
parce que ce ſont autant de toiſes quarrées: ainſi le produit
6 toiſes 2 pieds 6 pouces, eſt la valeur du rectangle A H, le-
quel eſt compoſé du rectangle A F, qui vaut 6 toiſes du rec-
tangle B G, qui vaut 2 pieds, & du rectangle C H, qui vaut
6 pouces.
Pour multiplier 10 toiſes 4 pieds 8 pouces
le voit ici, & je dis, 5 fois 8 font 40, faiſant
attention que ce font 40 unités, qui valent
toiſe de hauteur; &
comme ce ſont autant de pouces de toiſe
quarrée, je conſidere en 40 combien il y a de fois 12, parce
que 12 pouces de toiſe quarrée valent un pied de la même
toiſe: &
comme je trouve qu’en 40 il y a trois fois 12, &
4 de
reſte, je poſe 4 au rang des pouces, & je retiens 3 pieds:
en-
ſuite je dis, 5 fois 4 font 20, & 3 de retenu, font 23, dont
chaque unité vaut un pied de toiſe quarrée; &
comme il faut
6 de ces pieds pour faire une toiſe, je conſidere combien 6 ſe
trouve de fois dans 23; &
comme il y eſt 3, &
qu’il reſte 5,
je poſe 5 au rang des pieds, & je retiens 3, qui ſont autant de
toiſes quarrées, que j’ajoute avec le produit de 10 par 5, pour
avoir 53: ainſi l’opération étant faite, on trouvera 53 toiſes
5 pieds 4 pouces.
Pour multiplier 60 toiſ.
3 pieds 9 pouces
84 étant conſidérable, la mémoire ſeroit
fatiguée en multipliant les pieds & les
pouces, comme on le voit dans cette opé-
ration: car d’aller dire 84 fois 9, on n’ap-
perçoit pas d’abord combien ce produit
doit donner de pouces; &
ſuppoſé qu’on
le ſçache à l’inſtant, l’on trouveroit en-
core un autre embarras, en cherchant combien ce produit
contient de pieds, à moins qu’on ne faſſe une diviſion par
12; &
ceci ſe rencontrera, non ſeulement à l’égard des pouces,
mais encore pour les pieds, les lignes, & les points.
Or pour
éviter les difficultés que pourroit donner un pareil calcul, on
agit d’une façon fort ſimple pour multiplier les pieds, les
pouces, les lignes & les points de la premiere dimenſion, quand
le nombre de toiſes de la ſeconde eſt compoſé de plus d’une
figure. Pour cela, il faut commencer par multiplier les entiers
par les entiers: ainſi je multiplie 60 par 84, &
j’écris le pro-
duit comme à l’ordinaire; enſuite je remarque que ſi au lieu de
3 pieds j’avois une toiſe à multiplier par 84, le produit ſeroit
84 toiſes; mais comme 3 pieds ne valent que la moitié d’une
toiſe, la moitié de 84 ſera donc le produit de 3 pieds; ainſi je
dis: La moitié de 8 eſt 4, &
la moitié de 4.
eſt 2, ce qui donne
42 pour le produit; mais il faut remarquer que dans le tems
que je prends la moitié de 84 pour le produit de 3 pieds, j’agis
car pour que 42
toiſes ſoient le produit de deux dimenſions, ou autrement
ſoient des toiſes quarrées, il faut que 84 ſoient regardées comme
des toiſes quarrées.
Mais comme il y a encore 9 pouces qui n’ont pas été mul-
tipliés, je conſidere quel eſt le rapport de 9 pouces avec 3 pieds,
de même que j’ai conſidéré celui de 3 pieds avec la toiſe. Or
comme 3 pieds valent 36 pouces, je vois que le rapport de 9
à 36 eſt un quart, & que ſi le produit de 84 par 3 pieds a
donné 42 toiſes, le produit de 9 pouces par 84 ne doit donner
que le quart de 42: je dis donc, le quart de 4 eſt 1, que je
poſe ſous le 4, & le quart de 2 eſt 0;
mais comme 2 toiſes
valent 12 pieds, n’ayant pu prendre le quart de 2 toiſes en
nombres entiers, je les réduis en pieds pour en prendre le
quart, qui eſt 3; après quoi je fais l’addition de tous ces pro-
duits, afin d’avoir le produit total, qui eſt 5092 toiſes & 3 pieds.
Pour rendre ce calcul plus familier aux Commençans, voici
encore pluſieurs exemples des mêmes Regles.
Pour multiplier 18 toiſes 2 pieds 8 pouces
les toiſes par les toiſes, comme à l’ordinaire: après cela il faut conſidérer le rapport de
2 pieds avec la toiſe; &
comme 2 pieds en
eſt le tiers, je prends le tiers de 24, qui eſt
8; &
comme ce ſont autant de toiſes, je les
place au rang des toiſes.
Pour être convaincu que 24 multipliés par 2 pieds, donne
8 toiſes, faiſons-en la multiplication comme à l’ordinaire,
l’on verra que le produit eſt 48 pieds, c’eſt-à-dire 48 petits rec-
tangles, dont chacun a un pied pour baſe, & une toiſe pour
hauteur: &
comme il en faut 6 pour faire une toiſe quarrée,
l’on voit que diviſant 48 par 6, le quotient ſera 8, qui eſt le
même nombre que nous avons trouvé de l’autre façon.
Mais il nous reſte encore à multiplier 24 toiſes par 8 pouces;
&
comme cela ſe peut faire par le moyen du produit de 2 pieds,
je conſidere le rapport que 2 pieds ont avec 8 pouces, parce que
le rapport du produit de 8 pouces avec celui de 2 pieds ſera le
même que 8 pouces avec 2 pieds. Or comme 2 pieds valent
24 pouces, & que 8 en eſt le tiers, je prends le tiers du produit
de 2 pieds, c’eſt-à-dire le tiers de 8 toiſes, en diſant: Le tiers
eſt 4 pieds, que je poſe au rang des pieds; aprés quoi je fais
l’addition de tous les produits pour avoir le total, qui eſt 442
toiſes 4 pieds.
Pour multiplier 36 toiſes 5 pieds
commence, comme à l’ordinaire, à
multiplier les toiſes par lestoiſes; en-
ſuite je compare le rapport de 5 pieds
avec la toiſe, & je vois que c’eſt les
{5/6}, & par conſéquent il faut pour mul-
tiplier 28 toiſes par 5 pieds, prendre
les {5/6} de 28 toiſes; &
comme il n’eſt
pas aiſé de prendre cela tout d’un
coup, je cherche des parties aliquotes pour rendre le calcul
plus aiſé; &
comme 5 eſt compoſé de 3 &
de 2, dont 3 eſt la
moitié de la toiſe, & 2 le tiers, je prends d’abord pour 3 la
moitié de 28, qui eſt 14, enſuite pour 2 pieds le tiers, en di-
ſant: Le tiers de 28 eſt 9;
&
comme il reſte une toiſe, j’en
prends encore le tiers, qui eſt 2 pieds.
Pour multiplier les 6 pouces, j’ai recours au produit de 2
pieds, qui paroît le plus commode, parce que 6 pouces eſt le
quart de 2 pieds, puiſque 2 pieds valent 24 pouces; ainſi le
produit de 6 pouces ſera le quart de celui de 2 pieds; &
comme
ce produit eſt 9 toiſes 2 pieds, je dis: Le quart de 9 eſt 2, il
reſte une toiſe, qui vaut 6 pieds, leſquels étant ajoutés avec
les 2 pieds qui reſtent, font 8 pieds, dont le quart eſt 2: ainſi
le produit de 6 pouces eſt 2 toiſes 2 pieds.
Comme il reſte encore 9 lignes, qui n’ont pas été multi-
pliées, je cherche le rapport de 9 lignes avec 6 pouces. Or
comme 6 pouces valent 72 lignes, & que 9 lignes en font la
huitieme partie, le produit de 9 lignes ſera donc la huitieme
partie de celui de 6 pouces, je dis donc: La huitieme partie
de 2 eſt o; mais ce ſont 2 toiſes qui valent 12 pieds, auxquels
ajoutant 2 pieds qui reſtent, on aura 14, dont la huitieme
partie eſt un pied, il reſte 6 pieds, que je réduis en pouces
pour avoir 72 pouces, dont la huitieme partie eſt 9, que je
poſe au rang des pouces; après quoi je fais l’addition, qui
donne 1033 toiſes 5 pieds 9 pouces pour produit total.
Pour multiplier 12 toiſes 9 pouces par 18 toiſes, je fais la
enſuite pour multiplier 18 toiſes
par 9 pouces, je cherche le rapport de 9
pouces avec la toiſe, & je trouve qu’ils
en ſont la huitieme partie, puiſqu’une toiſe
vaut 72 pouces; mais comme il ſe peut
rencontrer une quantité de nombres,
7, 11, 10, où ce rapport ne ſe fera pas ap-
percevoir aiſément, il vaut mieux faire
une fauſſe poſition, c’eſt-à-dire ſuppoſer
le produit d’un pied. Faiſant donc comme s’il y avoit un pied
à la place du zero, je multiplie ce pied ſuppoſé par 18 toiſes; &
comme un pied eſt la ſixieme partie de la toiſe, je prends
la ſixieme partie de 18, qui eſt 3 toiſes, que je poſe au rang des
toiſes, ayant ſoin de couper le 3 par un trait de plume, pour
faire voir qu’il ne doit point être compris dans l’addition.
Cela poſé, je cherche le rapport de 9 pouces avec un pied,
qui eſt les {3/4}: je prends donc d’abord pour 6 pouces, qui eſt la
moitié; ainſi je dis:
la moitié de 3 eſt 1, il reſte une toiſe,
qui vaut 6 pieds, dont la moitié eſt 3; enſuite je prends la moitié
de ce produit pour 3 pouces, en diſant: la moitié d’un n’eſt
rien, mais c’eſt une toiſe qui vaut 6 pieds, leſquels étant
joints avec les 3 pieds qui reſtent, font 9 pieds, dont la moitié
eſt 4 pieds 6 pouces, que j’additionne avec les autres produits,
& il vient 218 toiſes un pied 6 pouces pour le produit total.
Pour multiplier 24 toiſes 2 pieds
avoir multiplié les toiſes par les toi-
ſes, chercher le rapport de 2 pieds
avec la toiſe; &
comme c’eſt le tiers,
on prendra donc le tiers de 52, qui
eſt 17 toiſes 2 pieds. Comme il reſte
6 lignes à multiplier par 52 toiſes, il
n’eſt pas aiſé de voir le rapport de 6
lignes avec 2 pieds; l’on auroit bien
plus de facilité, ſi l’on avoit le pro-
duit de quelque pouce: cependant comme il n’y a pas de pouces
dans la premiere dimenſion, il faut ſe donner un produit ſup-
poſé d’un pouce; &
comme un pouce eſt la 24
je m’apperçois qu’il n’eſt pas encore aiſé de prendre la 24c’eſt pourquoi j’en prends la moitié pour
avoir le produit d’un pied ſeulement, qui ſera 8 toiſes 4 pieds. Ayant poſé ces nombres à leurs places ordinaires, je les coupe
par un trait de plume, pour qu’ils ne ſoient pas compris dans
l’addition: après cela je conſidere qu’un pouce étant la dou-
zieme partie d’un pied, ſi je prends la douzieme de 8 toiſes
4 pieds, j’aurai 4 pieds 4 pouces pour le produit d’un pied:
après quoi je barre ces deux nombres, parce qu’ils compoſent
un produit ſuppoſé. Or comme 6 lignes ſont la moitié d’un
pouce, il n’y a donc qu’à prendre la moitié de 4 pieds 4 pouces,
qui eſt 2 pieds 2 pouces, pour avoir le produit de 6 lignes: ſi
l’on fait l’addition de tous les produits, l’on aura 1265 toiſes
4 pieds 2 pouces pour le produit total.
Si l’on avoit eu à multiplier 24 toiſes 6 lignespar 52 toiſes,
& que dans la premiere dimenſion il n’y eût eu ni pieds ni
pouces, comme on le ſuppoſe ici, il auroit fallu pour trouver
le produit de 6 lignes, ſuppoſer celui d’un pied, enſuite celui
d’un pouce pour avoir celui de 6 lignes, qui ſera la moitié de
celui d’un pouce.
776.
NOus avons affecté de ne pas mettre des pieds, pouces,
& des lignes dans la ſeconde dimenſion des multiplications
que l’on a faites dans le chapitre précédent, afin de rendre les
opérations plus ſimples: mais comme il arrive preſque toujours
que s’il y a des pieds, des pouces dans la premiere dimenſion,
il y en a auſſi dans la ſeconde, voici la maniere de multiplier
les parties de toiſes qui peuvent ſe rencontrer dans l’une &
dans l’autre.
Pour multiplier 15 toiſes 4 pieds 8 pouces 7 lignes par 6 toiſes
3 pieds 6 pouces, je conſidere que le nombre des toiſes de la
ſeconde dimenſion étant exprimé par un chiffre ſeulement,
je puis faire la multiplication de toute la premiere dimenſion
par 6 toiſes, par un calcul de mémoire, comme on l’a fait au
commencement du chapitre précédent: ainſi faiſant abſtrac-
je commence par multiplier les plus
petites parties de la premiere dimen-
ſion par 6 toiſes, en diſant: ſix fois
7 font 42 lignes, qui valent 3 pouces
6 lignes. Ayant poſé 6 lignes en leur
place, je retiens 3 pouces; je dis en-
ſuite: ſix fois 8 font 48, &
3 de retenus font 51 pouces, qui
valent 4 pieds 3 pouces: je poſe 3 pouces, &
retiens 4 pieds,
& je viens à la multiplication des pieds, en diſant:
ſix fois
4 font 24, & 4 de retenus font 28 pieds, qui valent 4 toiſes
4 pieds, je poſe 4 pieds, & retiens 4 toiſes, que j’ajoute au
produit de 15 toiſes par 6 pour avoir 94: ainſi le produit de
6 toiſes par la premiere dimenſion eſt 94 toiſes 4 pieds 3 pouces
6 lignes, qui eſt une quantité qui contient autant de fois la
premiere dimenſion, qu’il y a d’unités dans le nombre 6.
Préſentement je conſidere que puiſque chaque toiſe du nom-
bre 6 a donné pour ſon produit une quantité ſemblable à celle
de la premiere dimenſion, ſi j’ai à multiplier cette premiere
dimenſion par des parties de la toiſe, il faut que le produit ait
le même rapport avec celui de la toiſe par la premiere dimen-
ſion, que ſes parties avec la toiſe même. Cela poſé, comme
la premiere dimenſion doit être multipliée encore par 3 pieds,
je conſidere que 3 pieds étant la moitié de la toiſe, le pro-
duit de 3 pieds ſera la moitié de la premiere dimenſion, qui eſt
ſuppoſée dans ce cas avoir été multipliée par la toiſe; ainſi je
dis: la moitié de 15 eſt 7, il reſte une toiſe qui vaut 6 pieds,
qui étant ajoutés avec 4 pieds, font 10 pieds, dont la moitié eſt
5; je dis enſuite:
la moitié de 8 eſt 4, &
la moitié de 7 lignes
eſt 3 lignes 6 points.
Comme il nous reſte encore 6 pouces à multiplier, je con-
ſidere que 6 pouces étant la ſixieme partie de 3 pieds, le pro-
duit de 6 pouces ſera la ſixieme partie de celui de 3 pieds; ainſi
je prends la ſixieme partie de ce produit, qui donne une toiſe
un pied 10 pouces 8 lignes 7 points, qui étant ajoutés avec le
reſte, il vient 103 toiſes 5 pieds 6 pouces 6 lignes un point
pour le produit total.
Pour multiplier 68 toiſes 3 pieds 4 pouces 9 lignes par 9 toiſes
4 pieds 9 pouces, je commence par multiplier la premiere di-
le produit donne
enſuite
je conſidere que 4 pieds ſont les
deux tiers de la toiſe: ainſi je prends
deux fois le tiers pour avoir moins
d’embarras, c’eſt-à-dire, je prends
chaque fois pour deux pieds, en
diſant: le tiers de 6 eſt 2, le tiers
de 8 eſt encore 2, & il reſte 2 toiſes,
qui valent 12 pieds, qui étant ajou-
tés avec les 3 pieds qui ſont ſur la droite, font 15, dont le
tiers eſt 5. Après cela le tiers de 4 eſt 1, &
il reſte un pouce,
qui vaut 12 lignes, qui étant ajoutées avec 9, font 21 lignes,
dont le tiers eſt 7: ainſi le produit de 2 pieds étant 22 toiſes
5 pieds un pouce 7 lignes, j’écris encore une ſeconde fois ce
produit, afin que les deux faſſent celui de 4 pieds; &
comme
il y a encore 9 pouces à multiplier, je prends ſeulement pour
6 pouces le quart du produit de 2 pieds, en diſant: le quart
de 22 eſt 5, il reſte 2, qui valent 12 pieds, & 5 font 17, dont
le quart eſt 4, il reſte un pied, qui vaut 12 pouces, dont le
quart eſt 3, il reſte encore un pouce, qui vaut 12 lignes, & 7
font 19, dont le quart eſt 4: enfin il reſte 3 lignes, qui valent
36 points, dont le quart eſt 9 points; de ſorte que le produit
de 6 pouces eſt 5 toiſes 4 pieds 3 pouces 4 lignes 9 points. Mais
comme je dois avoir le produit de 9 pouces, & que je n’ai
encore que celui de 6, je prends pour le produit de 3 pouces la
moitié de celui de 6 pouces, qui eſt 2 toiſes 5 pieds un pouce
8 lignes 4 points & demi:
après quoi je fais l’addition de tous
ces produits, qui font enſemble 671 toiſes 2 pieds 3 pouces un
point & demi.
Pour multiplier 12 toiſes 5 pieds
8 lignes, je commence, comme à
l’ordinaire, par multiplier la premiere
dimenſion par 6 toiſes; aprés quoi je
remarque que comme il n’y a point
de pieds dans la ſeconde dimenſion,
il n’eſt pas aiſé de trouver le produit
de 4 pouces, ſans faire une fauſſe poſition: c’eſt pourquoi je
ſuppoſe le produit d’un pied, en prenant la ſixieme partie de
dont j’ai ſoin de barrer les chiffres; &
comme 4 pouces eſt le
riers d’un pied, je prends le tiers du produit d’un pied, qui eſt
4 pieds 3 pouces 8 lignes 2 points & deux tiers;
&
comme il y
a encore 8 lignes à multiplier, je vois que 8 lignes étant la
ſixieme partie de 4 pouces (puiſque 4 pouces valent 48 lignes)
le produit de 8 lignes ſera la ſixieme partie de celui de 4 pouces: après avoir pris cette ſixieme partie, qui eſt 8 pouces 7 lignes
4 points & 4 neuviemes, j’additionne le tout pour avoir le
produit total, qui eſt 78 toiſes 2 pieds 2 pouces 3 lignes 7
points {1/9}.
Pour multiplier 40 toiſ.
3 pieds
pieds 8 pouces, je commence par
multiplier les toiſes par les toiſes,
au lieu de multiplier d’abord les
lignes, les pouces, & les pieds de
la premiere dimenſion, à cauſe
qu’il y a plus d’une figure dans le
nombre des toiſes de la ſeconde
dimenſion; enſuite j’agis comme
j’ai fait dans le chapitre précédent,
en prenant pour 3 pieds la moitié
de 24, qui eſt 12, n’ayant égard qu’aux nombres entiers de la
ſeconde dimenſion: ainſi je fais abſtraction de 5 pieds &
de 8
pouces qui s’y trouvent, parce qu’il n’eſt pas encore tems de
les multiplier. Ayant donc trouvé le produit de 3 pieds, qui
eſt 12 toiſes, je conſidere que les 6 pouces qui ſont dans la pre-
miere dimenſion, font la ſixieme partie de 3 pieds, c’eſt-à-
dire la ſixieme partie de 12, qui eſt 2; &
ayant encore 8 lignes
de la premiere dimenſion à multiplier, je vois que 6 pouces
valant 72 lignes, les 8 lignes en font la neuvieme partie, & par
conſéquent le produit de ces 8 lignes ſera la neuvieme partie
du produit de 6 pouces. Or comme le produit de 6 pouces eſt
2 toiſes, je dis: la neuvieme partie de 2 n’eſt rien, mais ce ſont
2 toiſes, qui valent 12 pieds, dont la neuvieme partie eſt un
pied, & il en reſte 3, qui valent 36 pouces, dont la neuvieme
partie eſt 4, que je place au rang des pouces.
Juſqu’ici nous n’avons fait que multiplier la premiere di-
menſion par les 24 toiſes qui ſont dans la ſeconde: mais comme
comme dans les opérations précédentes, chercher le produit
de ces deux quantités: ainſi je conſidere que 5 pieds valent 3
& 2, c’eſt-à-dire la moitié &
le tiers de la toiſe:
je prends
donc pour 3 pieds la moitié de toutes les quantités qui ſe trou-
vent dans la premiere dimenſion, & pour 2 pieds le tiers de
ces mêmes quantités. Or comme ce dernier produit eſt celui
de 2 pieds, je remarque que 8 pouces étant le tiers de 2 pieds,
le produit de 8 pouces ſera le tiers de celui de 2 pieds. Ayant
donc pris le tiers de ce produit, je l’additionne avec les autres,
pour avoir le produit total, qui eſt 1012 toiſes 3 pieds 4 pouces
3 lignes 6 points {2/3}.
Pour multiplier 36 toiſes 3 pou-
je multiplie les toiſes par les toiſes,
comme à l’ordinaire; enſuite pour
trouver le produit de 3 pouces, je
vois que j’ai beſoin de ſuppoſer
celui d’un pied: ainſi je prends la
ſixieme partie de 50 toiſes, qui eſt
8 toiſes 2 pieds; &
comme 3 pou-
ces font le quart d’un pied, je
prends le quart de 8 toiſes 2 pieds,
qui eſt 2 toiſes 6 pouces: après cela
je cherche le produit de 9 lignes, en conſidérant que 9 lignes
étant le quart de 3 pouces, qui valent 36 lignes, le quart du
produit de 3 pouces ſera par conſéquent celui de 9 lignes; je
prends donc le quart de 2 toiſes 6 pouces, qui eſt 3 pieds un
pouce 6 lignes.
Après cela je vois que j’ai 8 lignes dans la ſeconde dimen-
ſion, & que n’ayant ni pieds ni pouces dans cette dimenſion,
il faut néceſſairement ſuppoſer des faux produits pour trouver
celui de 8 lignes. Je cherche donc d’abord celui d’un pied, en
prenant la ſixieme partie des quantités qui compoſent la pre-
miere dimenſion, & je trouve 6 toiſes 7 lignes &
6 points:
mais comme le rapport de 8 lignes à un pied eſt encore trop
grand, pour ne point fatiguer la mémoire, je prends la dou-
zieme partie de ce produit, qui eſt 3 pieds 7 points & demi pour
le produit d’un pouce; &
comme 8 lignes ſont les deux tiers
d’un pouce, je prends pour leur produit les deux tiers de celui
duit total 1802 toiſes 5 pieds 7 pouces 6 lignes & 5 points.
777.
LE calcul que l’on a enſeigné dans les deux chapitres
précédens, ne convient qu’aux ſuperficies, parce que nous n’y
avons ſuppoſé que deux dimenſions; il eſt vrai que le calcul
de trois dimenſions ne differe pas beaucoup de celui-ci, puiſ-
que pour en avoir le produit, il ne faut que multiplier celui
des deux premieres dimenſions par la troiſieme: mais comme
le produit de trois dimenſions donne non ſeulement des toiſes
cubes, mais auſſi des pieds, des pouces, & des lignes de toiſe
cube, voici l’idée qu’il faut avoir de ces différentes parties.
Nous avons dit que la toiſe cube étoit compoſée de 216
pieds cubes; mais dans le calcul on ne s’embarraſſe point de
ces ſortes de pieds: car on entend par un pied de toiſe cube
la ſixieme partie de la même toiſe, qui eſt (ſi l’on veut) de
36 pieds cubes, qui font un parallelepipede E A F G H I D,
qui a pour baſe une toiſe quarrée E A H D, & pour hauteur
la ligne H G d’un pied: de ſorte que ce ſolide eſt la ſixieme
partie du corps E A B C, qui eſt une toiſe cube. On conſidé-
rera de même que le pouce de toiſe cube eſt un parallelepi-
pede, qui a une toiſe quarrée pour baſe ſur un pouce de hau-
teur, & qu’une ligne de toiſe cube eſt un parallelepipede, qui
a pour baſe une toiſe quarrée, & une ligne pour hauteur;
ainſi
des autres parties.
778.
Il ſuit de cette définition, que 12 lignes de toiſe cube
font un pouce de la même toiſe; que 12 pouces font un pied,
& que 6 pieds font une toiſe cube;
puiſque tous ces ſolides
ont pour baſe une toiſe quarrée, & des hauteurs, qui étant
jointes enſemble, peuvent donner des toiſes cubes, ou des
parties de toiſes cubes, comme on le va voir dans les opéra-
tions ſuivantes.
Pour multiplier trois dimenſions, dont la premiere eſt de
8 toiſes 2 pieds 4 pouces, la ſeconde 6 toiſes 4 pieds 8 pouces,
la troiſieme 5 toiſes 3 pieds 6
tiplier la ſeconde dimenſion par la
premiere, & le produit ſera 56 toiſ.
5 pieds un pouce 9 lignes 4 points,
qu’il faut enſuite multiplier par la
troiſieme dimenſion, agiſſant com-
me dans les regles des chapitres
précédens, c’eſt-à-dire qu’il faut
faire comme ſi le produit des deux
premieres dimenſions ne faiſoit
qu’une dimenſion. Je dis donc:
cinq fois 4 font 20, qui ſont autant de points de toiſe cube,
c’eſt-à-dire que ce ſont autant de petits parallelepipedes, qui
ont pour baſe une toiſe quarrée, & pour hauteur un point:
car ſi l’on fait attention que chaque unité du nombre 4 eſt un
petit parallélogramme, qui a pour baſe un point, & pour hau-
teur une toiſe, puiſque ce ſont des points de toiſe quarrée
(art. 774), l’on verra que multipliant ce parallélogramme
par une ou pluſieurs toiſes, ils ſeront changés en parallele-
pipedes, qui auront deux dimenſions d’une toiſe, qui font
enſemble une toiſe quarrée; ce qui répond à la définition.
De même ſi l’on multiplie 9 lignes de toiſe quarrée par des
toiſes, l’on aura encore des petits parallelepipedes, qui auront
pour baſe une toiſe quarrée, & pour hauteur une ligne, puiſ-
que l’on aura multiplié par des toiſes les rectangles qui ont
une de leurs dimenſions, qui vaut une toiſe; il en ſera ainſi
des pouces & des pieds.
A l’égard des toiſes, il n’y a point
de doute que multipliant des toiſes quarrées par des toiſes cou-
rantes, le produit ne donne des toiſes cubes.
Ainſi multipliant 56 toiſes 5 pieds 1 pouce 9 lignes 4 points
de toiſe quarrée par 5 toiſes courantes, le produit ſera 284
toiſes 1 pied 8 pouces 10 lignes 8 points de toiſe cube.
Or comme 56 toiſes 5 pieds 1 pouce 9 lignes 4 points étant
multipliés par une toiſe, donneront des toiſes & des parties de
toiſe cube, qui ſeront toujours exprimées par les mêmes
nombres qui ſont ici, c’eſt-à-dire par 56 toiſes 5 pieds, &c.
ſi
l’on ſuppoſe que cette multiplication a été faite, la moitié de
cette quantité ſera donc le produit de 3 pieds: ainſi comme il
y a 3 pieds dans la ſeconde dimenſion, je prends la moitié de
8 points, que je regarde comme des toiſes & des parties de
toiſe cube, qui compoſent le produit de 3 pieds.
Enfin comme il y a encore 6 pouces dans la troiſieme di-
menſion, je conſidere que 6 pouces étant la ſixieme partie de
3 pieds, le produit de 6 pouces ſera la ſixieme partie de celui
de 3 pieds: ainſi prenant la ſixieme partie de ce produit, l’on
aura 4 toiſes 4 pieds 5 pouces une ligne 9 points & un tiers pour
le produit de 6 pouces, qui étant ajoutés avec les autres, don-
neront le produit total de 317 toiſes 2 pieds 8 pouces 11 lignes
1 point & un tiers.
Pour multiplier trois dimenſions,
3 pouces, la ſeconde 8 toiſes 3 pieds
9 pouces, & la troiſieme 6 toiſes 2
pieds 6 pouces, je multiplie, comme
ci-devant, les deux premieres di-
menſions l’une par l’autre pour avoir
leur produit, qui eſt 136 toiſes 5
pieds 6 pouces 4 lignes 6 points; &
comme ce produit donne des toiſes
& des parties de toiſes quarrées, je
multiplie encore le tout par la troi-
ſieme dimenſion, c’eſt-à-dire par 6
toiſes 2 pieds 6 pouces, & le pro-
duit donne 878 toiſes 3 pieds 5 pou-
ces 10 lignes 10 points & demi.
Pour multiplier trois dimenſions, dont la premiere eſt
4 toiſes 2 pieds 5 pouces, la ſeconde 3 toiſes 1 pied 6 pouces,
& la troiſieme 5 pieds 4 pouces, je commence par multiplier
les deux premieres dimenſions, dont le produit eſt 14 toiſes
1 pied 10 pouces 3 lignes; enſuite je multiplie ce produit par
5 pieds 4 pouces; &
comme il n’y a point de toiſes dans la
troiſieme dimenſion, je poſe un zero en leur place, & je mul-
tiplie par 5 pieds 4 pouces, commençant par prendre pour
5 pieds la moitié de 14 toiſes 1 pied, &c;
enſuite je prends
pour 2 pieds le tiers de la même quantité, & le produit donne
4 toiſes 4 pieds 7 pouces 5 lignes, dont je prends la ſixieme
partie pour le produit de 4 pouces, parce que 4 pouces eſt la
ſixieme partie de 2 pieds: enfin j’additionne ce produit avec
ce qui eſt le produit total.
Pour multiplier trois dimenſions, dont la premiere eſt 5 pieds
9 pouces 6 lignes, la ſeconde 3 pieds 6 pouces, & la troiſieme
4 pieds 8 pouces 6 lignes, je range
ſur l’autre, en mettant des zero à la
place des toiſes; enſuite comme il ſe
trouve 3 pieds dans la ſeconde di-
menſion, je prends la moitié des
termes de la premiere dimenſion,
pour avoir le produit de 3 pieds; &
comme il y a encore 6 pouces, qui
valent la ſixieme partie de 3 pieds,
je prends pour le produit de 6 pouces
la ſixieme partie du produit de 3
pieds; &
l’addition étant faite, il
vient 3 pieds 4 pouces, 6 lignes 6
points pour le produit des deux pre-
mieres dimenſions, que je multiplie
enſuite par la 3ainſi je commence par prendre deux fois le tiers de ce pro-
duit pour avoir celui de 4 pieds; &
comme celui de 2 pieds
eſt 1 pied 1 pouce 6 lignes 2 points, je conſidere que 8 pouces
étant le tiers de 2 pieds, le produit de 8 pouces ſera le tiers de
celui de 2 pieds, qui donne 4 pouces 6 lignes & {2/3} de points:
mais nous avons encore 6 lignes dans la troiſieme dimenſion,
dont le rapport étant un peu éloigné de 8 pouces, je trouve
qu’il eſt moins embarraſſant de faire un faux produit; &
comme celui de 2 pouces conviendroit fort, parce qu’on n’au-
roit qu’à prendre le quart pour avoir celui de 6 lignes, je prends
donc le quart du produit de 8 pouces pour avoir celui de 2
pouces, qui eſt 1 pouce 1 ligne 6 points & {1/6}, dont je coupe les
figures; &
prenant le quart de ce produit, il vient 3 lignes
4 points & {7/12} pour le produit de 6 lignes:
&
comme il ne reſte
plus rien à multiplier, je fais l’addition de tous les produits
pour avoir le total, qui eſt 2 pieds 7 pouces 9 lignes 9 points
& {1/4} de points cubes.
779.
Comme les preuves de toutes les Regles d’Arithmé-
tique ſe font par des Regles contraires, il ſemble que la meil-
leure preuve que l’on puiſſe donner du calcul du toiſé, ſeroit
qu’aprés avoir multiplié deux dimenſions, l’on divisât le pro-
duit par la premiere dimenſion pour avoir la ſeconde au quo-
tient, ou bien diviſer par la ſeconde pour avoir la premiere: il y en a qui pratiquent cette preuve, mais ils ſont obligés de
réduire tous les termes du produit en leur moindre eſpece,
auſſi-bien qu’une des dimenſions, c’eſt-à-dire que ſi l’on a ré-
duit le produit en lignes, il faut auſſi réduire une des di-
menſions en lignes: après cela on fait une diviſion, dont on
réduit le quotient en toiſes, en pieds, &c.
pour avoir l’autre
dimenſion; mais comme cette preuve demande beaucoup d’o-
pération, en voici une beaucoup plus ſimple.
Après que l’on a trouvé le produit des deux dimenſions,
pour voir ſi l’opération eſt juſte, l’on prend la moitié de la
premiere dimenſion, & l’on double la ſeconde;
enſuite l’on
multiplie les deux dimenſions ainſi changées l’une par l’autre,
& il vient un ſecond produit, qui doit être égal au premier.
Par exemple, pour ſçavoir ſi le produit de 6 toiſes 5 pieds
6 pouces 8 lignes eſt bon, il faut prendre la moitié de la pre-
miere dimenſion pour avoir 3 toiſes 2 pieds 8 pouces, & dou-
bler la ſeconde, qui vaudra 8 toiſes 5 pieds: après cela ſi l’on
multiplie ces deux quantités l’une par l’autre, l’on trouvera
que le produit eſt encore 30 toiſes 2 pieds 6 pouces 8 lignes; ce qui ne peut arriver autrement, ſi l’opération eſt bien faite.
780.
LE toiſé de la charpente eſt fort différent de celui des
autres ouvrages, parce que ce toiſé a une meſure particuliere,
que l’on nomme ſolive, qui eſt une quantité qui contient
3 pieds cubes de bois; de ſorte que ſi l’on a une piece de bois
D C, dont la longueur A D ſoit de 6 pieds, la largeur A B de
12 pouces, & l’épaiſſeur B C de 6 pouces, cette piece compo-
ſera une ſolive, puiſqu’elle vaut 3 pieds cubes. Or comme la
toiſe cube vaut 216 pieds cubes, & que 216 diviſé par 3 donne
72, il s’enſuit qu’une ſolive eſt la ſoixante & douzieme partie
d’une toiſe cube.
La ſolive, ainſi que la toiſe, eſt diviſée en 6 pieds, que
l’on nomme pieds de ſolive, qui eſt une quantité d’une toiſe
de longueur ſur un pied de largeur, & un pouce d’épaiſſeur:
de ſorte que ſi la ligne B G eſt la ſixieme partie de la ligne B C,
la ſolive D A F G B E H ſera un pied de ſolive, puiſqu’il eſt la
ſixieme partie de D C.
Comme un pied de toiſe cube vaut 36 pieds cubes, la ſolive
en ſera donc la douzieme partie: &
comme un pied de ſolive
eſt la ſixieme partie de la ſolive, il s’enſuit qu’un pied de ſo-
live eſt la ſoixante & douzieme partie d’un pied de toiſe cube,
puiſqu’il faut 6 pieds de ſolive pour faire une ſolive, & 12 ſo-
lives pour faire un pied de toiſe cube. Comme le pouce de
ſolive eſt la douzieme partie du pied de folive, l’on verra de
même qu’il eſt la ſoixante & douzieme partie d’un pouce de
toiſe cube: il en ſera ainſi des lignes &
des points.
Il ſuit de ce qu’on vient de dire, que ſi l’on a une piece de
bois qui contienne un certain nombre de toiſes, de pieds &
multiplier ſa valeur par 72, & le produit ſera la quantité de
ſolives contenues dans la piece.
Par exemple, ſi l’on ſuppoſe que
la valeur d’une piece de bois, je con-
ſidere que chaque toiſe de cette quan-
tité vaut 72 ſolives, chaque pied 72
pieds de ſolive, & chaque pouce
72 pouces de ſolive: ainſi ſi l’on mul-
tiplie 2 toiſes 3 pieds 6 pouces cubes
par 72, on aura 186 ſolives.
Pour meſurer une piece de bois, dont la premiere dimen-
ſion a 4 toiſes 5 pieds 9 pouces, la ſeconde 1 pied 6 pouces,
& la troiſieme 1 pied 3 pouces, je
premiere dimenſion par la ſeconde,
& le produit donne une toiſe 1 pied
5 pouces 3 lignes, que je multiplie
par la troiſieme dimenſion pour
avoir 1 pied 6 pouces 7 lig. 1 point
& demi.
Préſentement pour ré-
duire cette quantité en ſolives, je la
multiplie par 72. Pour cela je prends
pour 1 pied la ſixieme partie de 72,
qui eſt 12, & pour 6 pouces la moi-
tié du produit d’un pied, qui eſt 6: &
comme il y a 7 lignes, je prends
d’abord pour 6 la douzieme partie
du produit de 6 pouces, qui eſt 3
pieds; enſuite pour une ligne la
ſixieme partie du produit précé-
dent, qui donne 6 pouces, il reſte
encore un point & demi;
je prends premiérement pour un
point la douzieme partie de 6 pouces, qui eſt 6 lignes; enfin
pour la moitié d’un point la moitié du dernier produit pour
avoir 3 lignes; après quoi j’additionne le tout, qui donne
18 ſolives 3 pieds 6 pouces 9 lignes de ſolive, pour la valeur de
la piece de bois.
Il y a une maniere de calcuer les bois, qui eſt bien plus
c’eſt de réduire d’abord une des
deux dimenſions de l’équarriſſage en pouces, enſuite les mettre
au rang des toiſes, & l’autre à la place qu’elle doit occuper na-
turellement. L’on multiplie ces deux dimenſions l’une par
l’autre, comme dans les regles précédentes, regardant celle
qu’on a miſe au rang des toiſes, comme des toiſes mêmes; après quoi on multiplie le produit qui en vient par la longueur
de la piece pour avoir un ſecond produit, qui donne le nombre
des ſolives, des pieds & des pouces de ſolive, qui ſont conte-
nues dans la piece.
Par exemple, pour calculer la même
6 pouces ſur 1 pied 3 pouces d’équarriſ-
ſage, & 4 toiſes 5 pieds 9 pouces de lon-
gueur, je réduis une des dimenſions de
l’équarriſſage en pouces, qui ſera, par
exemple, 1 pied 6 pouces pour avoir 18
pouces, que je mets au rang des toiſes, &
1 pied 3 pouces de l’autre dimenſion à leur
place ordinaire; enſuite je prends pour
1 pied la ſixieme partie de 18, qui eſt 3; &
comme il y a encore 3 pouces qui ſont
le quart d’un pied, je prends le quart du
produit d’un pied, pour avoir celui de 3 pouces, qui eſt
4 pieds 6 pouces, & j’additionne le tout pour avoir le produit
de 3 toiſes 4 pieds 6 pouces, qu’il faut multiplier par la lon-
gueur de la piece, c’eſt-à-dire par 4 toiſes 5 pieds 9 pouces, &
l’on aura 18 ſolives 3 pieds 6 pouces 9 lignes de ſolive.
Pour entendre ceci, conſidérez que ſi l’on a trois quantités
a, b, c à multiplier l’une par l’autre, le produit ſera a b c; &
que ſi ce produit doit être multiplié par d, l’on aura a b c d;
mais ſi au lieu de multiplier le produit a b c par d, l’on multi-
plioit ſeulement une des dimenſions, comme a par d, l’on
aura a d, b c, dont le produit donne encore a b c d; ainſi c’eſt
la même choſe de multiplier le produit de trois dimenſions
par une quantité, ou de multiplier une des dimenſions par la
même quantité, & enſuite ce produit par les autres dimenſions,
puiſqu’à la fin l’on trouvera toujours la même choſe pour le
produit total.
781.
Or ſi l’on fait attention qu’une toiſe vaut 72 pouces,
comme ſi on l’avoit multiplié par 72: ainſi quand nous avons
mis 18 pouces au rang des toiſes, on les a donc multipliés par
72; &
par conſéquent le produit de cette quantité par les deux
autres dimenſions eſt devenu 72 fois plus grand qu’il n’eût été,
ſi l’on avoit mis les 18 pouces à leur place ordinaire; ce qui
fait voir que le produit doit donner des ſolives: car le produit
total devient 72 fois plus grand qu’il n’eût été, ſi l’on n’avoit
pas mis les 18 pouces au rang des toiſes, & que l’on eût fait
l’opération à l’ordinaire. Mais pour donner aux Commençans
plus de facilité de ſe ſervir de cette méthode, voici encore
quelques exemples ſur le même ſujet.
Pour ſçavoir combien il y a de ſo-
toiſes 4 pieds 8 pouces de longueur
ſur 8 à 14 pouces d’équarriſſage, je
poſe 8 pouces au rang des toiſes, &
l’autre dimenſion, qui vaut 1 pied 2
pouces, au rang qu’elle doit occuper,
& je dis:
la ſixieme partie de 8 eſt 1, il
reſte 2, qui valent 12, dont la ſixieme
partie eſt 2; &
comme il y a encore
2 pouces, qui font la ſixieme partie
d’un pied, je prends pour 2 pouces la
fixieme partie du produit d’un pied
pour avoir 1 pied 4 pouces, & le produit total eſt une toiſe
3 pieds 4 pouces, que je multiplie par la longueur, c’eſt-à-dire
par 3 toiſes 4 pieds 8 pouces, & le produit donne 5 ſolives 5
pieds 3 pouces une ligne 4 points de ſolive pour la valeur de la
piece.
L’on peut remarquer que ce n’eſt
cer par multiplier les deux dimenſions
de l’équarriſſage l’une par l’autre: car
ſi l’on veut, il n’y a qu’à multiplier
la longueur par la dimenſion de l’é-
quarriſſage, qui doit être miſe au rang
des toiſes: ainſi pour avoir la valeur
de la piece de bois précédente, je
prends pour premiere dimenſion la longueur, qui eſt 3 toiſes
&
ſuppoſant que 8 pouces de l’équarriſſage
valent 8 toiſes, je les poſe pour ſeconde dimenſion, & la mul-
tiplication étant faite, il vient 30 toiſes 1 pied 4 pouces, qui
étant multipliés par 1 pied 2 pouces, donnent encore 5 ſolives
5 pieds 3 pouces une ligne 4 points de ſolive.
Pour calculer la valeur d’une piece
gueur ſur 10 à 9 pouces 6 lignes d’é-
quarriſſage, je prends la plus ſimple
de deux dimenſions de l’équarriſſage,
c’eſt-à-dire celle qui eſt compoſée des
pouces ſeulement, pour la mettre au
rang des toiſes: ainſi ayant pris 10
pour la premiere dimenſion, je la
multiplie par la longueur de la piece,
ou par l’autre dimenſion de l’équar-
riſſage: car il eſt indifférent de mul-
tiplier d’abord par l’une ou l’autre de
ces quantités, comme on l’a déja dit: ainſi je multiplie 10 par 3 toiſes 4 pieds pour avoir le produit,
qui eſt 36 toiſes 4 pieds, que je multiplie enſuite par 9 pouces
6 lignes, & il vient 4 ſolives 5 pieds 4 lignes de ſolives pour la
valeur de la piece de bois.
782.
S’il arrive que dans les deux dimenſions de l’équar-
riſſage il ſe trouve des pouces & des lignes, il faut pour la
dimenſion qu’on doit changer de valeur, mettre les pouces
au rang des toiſes, comme à l’ordinaire, & regarder les lignes
de cette dimenſion comme des pieds: ainſi on les mettra au
rang des pieds, avec cette attention, qu’au lieu de mettre au-
tant de pieds qu’il y a de lignes, il n’en faut mettre que la
moitié, c’eſt-à-dire que ſi cette dimenſion eſt compoſée de
6 pouces 8 lignes, l’on mettra 6 pouces au rang des toiſes, &
la moitié des lignes au rang des pieds, pour avoir 6 toiſes
4 pieds; &
ſi au lieu de 8 on en avoit 7 ou 9, ou tout autre
nombre impair, on en prendra toujours la moitié, & l’on mar-
quera 3 pieds 6 pouces, ou bien 4 pieds 6 pouces. L’on va voir
ceci dans les deux exemples ſuivans.
Pour toiſer une piece de bois qui a 6 toiſes 3 pieds de lon-
gueur ſur 9 pouces 6 lignes à 10 pouces 8 lignes d’équarriſſage,
ilfaut, pour changer une des deux dimenſions de l’équarriſſage,
rang des toiſes, & la moitié de 6 lignes au rang des pieds,
pour avoir 9 toiſes trois pieds, qu’il faut multiplier par l’autre
dimenſion, c’eſt-à-dire par 10 pouces 8 lignes, pour avoir une
toiſe 2 pieds 5 pouces 4 lignes au produit, qui étant multiplié
par la longueur de la piece, l’on verra qu’elle contient 9 ſolives
10 pouces 8 lignes.
Pour trouver la valeur d’une piece de bois, qui a 5 pieds 8
pouces de longueur ſur 8 pouces 7 lignes à 9 pouces 4 lignes
d’équarriſſage, je porte 8 pouces à l’endroit des toiſes; &
con-
ſidérant les 7 lignes de cette dimenſion comme valant des
pieds, je marque 3 pieds 6 pouces; enſuite je multiplie cette
dimenſion ainſi changée par 9 pouces 6 lignes, & le produit
donne une toiſe 9 pouces 6 lignes 6 points, quiétant multipliés
par 5 pieds 8 pouces, il vient une ſolive 5 pouces 1 point {2/3} pour
la valeur de la piece.
783.
Pour rendre raiſon de ce que nous avons dit qu’il fal-
loit regarder les lignes comme des pieds, après en avoir pris
la moitié, conſidérez que nous avons dit qu’il falloit multi-
plier une des dimenſions par 72, pour que la ſuite de la Regle
donnât des ſolives: pour cela, ſi la dimenſion eſt 8 pouces
7 lignes, nous ſçavons que mettant 8 pouces à l’endroit des
toiſes, la multiplication par 72 ſe fait tout d’un coup; mais à
l’égard de ces lignes qui reſtent, remarquez que ſi on les met-
toit au rang des pouces, c’eſt comme ſi on les multiplioit par
12; &
que ſi du rang des pouces on les porte au rang des pieds,
ainſi quand
on poſe des lignes au rang des pieds, c’eſt proprement les mul-
tiplier par 144; mais comme, ſelon notre regle, elles ne doi-
vent être multipliées que par 72, qui eſt la moitié de 144, il
faut donc, ſi l’on porte les lignes au rang des pieds, n’en pren-
dre que la moitié, pour n’voir que la moitié de 144.
Pour trouver la quantité de ſolives &
de ſes parties conte-
nues dans un pilot non équarri, dont le diametre ſeroit, par
exemple, de 14 pouces, pris à la tête ou dans le milieu, ſelon
qu’on le jugera plus à propos, & dont la longueur ſeroit de
27 pieds 6 pouces, il faut quarrer le diametre pour avoir 196; &
comme le rapport au quarré du diametre d’un cercle eſt à la
ſuperficie du même cercle, à peu de choſe près, comme 14 eſt
à 11, l’on dira comme 14 eſt à 11; ainſi 196, quarré du dia-
metre du pilot eſt à la ſuperficie de ſon cercle, qu’on trouvera
de 154 pouces quarrés, qu’il faut diviſer par 72, pour avoir des
baſes de ſolives; l’on trouvera 2 au quotient qu’il faut poſer au
rang des ſolives: comme il reſte 10 pouces, qui ne ſuffiſent
pas pour faire un pied, on mettra zero au rang des pieds, &
& les 10 pouces immédiatement après, pour avoir 2 ſolives
0 pieds 10 pouces, qu’il faut enſuite multiplier par la longueur
du pilot, c’eſt-à-dire par 4 toiſes 3 pieds 6 pouces, comme au
calcul ordinaire du toiſé, & l’on trouvera 9 ſolives 4 pieds
9 pouces 10 lignes pour la valeur du pilot.
Si l’on avoit pluſieurs pilots de même groſſeur, il faudroit
trouver, comme l’on vient de faire, la ſuperficie de leurs cer-
cles communs, la diviſer de même par 72, afin d’avoir des
baſes de ſolives, & multiplier ce qui viendra par la ſomme de
to utes les longueurs différentes.
784.
Si l’on a un triangle rectangle ABC, dont la baſe B C ſoit
la hauteur A B de 5, il faut, pour en trouver la
ſuperficie, multiplier la moitié de la baſe par toute la perpen-
diculaire, ou la moitié de la perpendiculaire par toute la baſe,
& l’on aura 20 pieds quarrés pour la valeur du triangle (art.
388).
785.
Si le triangle n’étoit pas rectangle, comme D E F, il
faudroit, en connoiſſant les trois côtés, chercher la valeur de
la perpendiculaire E G (art. 413), &
multiplier encore la
moitié de la baſe par toute la perpendiculaire, ou toute la per-
pendiculaire par la moitié de la baſe.
786.
Mais comme il peut arriver que la perpendiculaire au
en ce cas il en faut chercher la valeur (art. 411), &
la multi-
plier par la moitié de la baſe I K.
787.
Enfin ſi l’on avoit ſeulement les trois côtés d’un trian-
gle, l’on pourra également avoir ſa ſuperficie, en ſuivant ce
qui eſt enſeigné dans l’art. 530, c’eſt-à-dire que ſuppoſant le
côté D E de 10 pieds, le côté E F de 11, & le côté D F de 13,
il faut les ajouter enſemble pour avoir 34 pieds, dont on pren-
dra la moitié, qui eſt 17; enſuite la différence des mêmes
côtés avec cette moitié, qui font 7, 6 & 4:
après quoi l’on
multipliera de ſuite les quatre termes, 17, 7, 6 & 4 l’un par
l’autre, j’entends 17 par 7, qui donneront 119; enſuite ce
produit par ſix pour avoir 714, & ce dernier par 4, qui donne
2856, dont il faut extraire la racine qu’on trouvera de 52 pieds
5 pouces & 3 lignes de pied quarré pour la ſuperficie du trian-
gle D E F.
788.
Trouver la ſuperficie des figures quadrilateres.
Pour trouver la ſuperficie du quarré A C, dont le côté ſe-
roit, par exemple, de 7 pieds, il faut multiplier 7 par lui-
même, c’eſt-à-dire A B par B C, & le produit ſera 49 pieds,
qui eſt la valeur du quarré A C.
789.
Si au lieu d’un quarré l’on a un rectangle D F, dont
la hauteur E F de 12,
l’on multipliera 5 par 12 pour avoir au produit 60 pieds, qui
ſeront la valeur du rectangle.
790.
Mais ſi au lieu d’un rectangle D F l’on avoit un pa-
rallélogramme G K, dont on voulut avoir la ſuperficie, il
faudroit prolonger la baſe G L, & abaiſſer la perpendiculaire
K I, qui ſera la hauteur du parallélogramme (art. 383);
&
ſuppoſant que cette perpendiculaire ſoit de 10 pieds, & la
baſe G L de 4, l’on multipliera 10 par 4, & le produit ſera
40 pieds pour la valeur du parallélogramme.
791.
Si la figure eſt trapezoïde, comme A B C D, &
que
B C & A D, il faut joindre ces deux côtés enſemble pour
Ainſi ſuppoſant que le côté B C ſoit de 4 pieds, le côté A D
de 10, la hauteur B A de 12, la baſe A E, ou autrement la
ſomme des deux côtés ſera de 14, qu’il faut multiplier par 6,
moitié de la perpendiculaire, l’on aura 48 au produit pour la
ſuperficie du triangle A B E, qui eſt la même que celle du tra-
pezoïde, parce que les triangles B C F & F D E ſont égaux.
792.
Si l’on veut encore d’une autre façon trouver la ſuper-
ficie du trapezoïde, il n’y a qu’à chercher une moyenne arith-
métique (art. 232) G F entre B C &
A D, c’eſt-à-dire entre
4 & 10, l’on trouvera qu’elle eſt 7;
&
ſi l’on multiplie cette
moyenne par toute la hauteur B A, qui eſt 12, l’on aura 84
pour la ſuperficie; ce qui eſt évident, puiſque le rectangle
A B H I eſt égal au trapezoïde A B C D, à cauſe que le trian-
gle C H F eſt le même que F I D.
793.
Meſurer la ſuperficie des polygones réguliers &
irréguliers.
Si l’on veut ſçavoir la ſuperficie d’un polygone régulier, il
faut du centre E abaiſſer une perpendiculaire E B ſur un des
côtés C D, & tirer les rayons E C &
E D, qui donneront le
triangle iſoſcele E C D. Or comme on connoîtra les angles
de la baſe de ce triangle, puiſque le polygone eſt régulier, &
que d’ailleurs on connoît le côté C D, on aura le triangle rec-
tangle E B D, duquel il ſera facile de connoître le côté E B
(art. 713):
&
ſuppoſant qu’on l’a trouvé de 6 pieds, on ajou-
tera enſemble tous les côtés du polygone, dont la ſomme
ſera, par exemple, 48, qu’il faudra multiplier par 3, moitié
de la perpendiculaire, pour avoir 144 pieds, qui ſera la va-
leur du polygone.
794.
Si le polygone eſt irrégulier, comme A B C D E F,
ront le polygone en quatre triangles, dont le premier aura
pour hauteur la perpendiculaire F G, le ſecond, la perpendi-
culaire A H; le troiſieme, la perpendiculaire C I;
&
le qua-
trieme, la perpendiculaire D K. Cela poſé, ſi l’on meſure ſur
le terrein avec la toiſe, ou ſur le papier avec une échelle, la
valeur des perpendiculaires, auſſi-bien que celles des lignes ſur
autant de multiplications qu’il y a de triangles; &
ajoutant
tous les produits enſemble, l’on aura la valeur du polygone.
795.
Meſurer la ſuperficie des cercles &
de leurs parties.
Pour meſurer la ſuperficie d’un cercle A B, il faut connoître
la valeur de ſon diametre & de ſa circonférence, comme on
l’a dit (art. 484), &
multiplier la moitié de la circonférence
par la moitié du diametre, & le produit donnera la valeur du
cercle. Par exemple, pour trouver la ſuperficie d’un cercle,
dont le diametre eſt 14, je cherche ſa circonférence, qui ſera
44; &
prenant la moitié de 44, qui eſt 22, &
la moitié de
14, qui eſt 7, je multiplie ces deux nombres l’un par l’autre
pour avoir 154, qui ſera la ſuperficie du cercle.
L’on peut auſſi ſe ſervir du rapport de 14 à 11, qui exprime
celui du quarré du diametre d’un cercle à la ſuperficie du même
cercle, ſelon l’art. 490.
Ainſi ſuppoſant que le diametre ſoit
de 15 pieds, je quarre ce diametre pour avoir 225; enſuite je
dis: comme 14 eſt à 11, ainſi 225, quarré du diametre, eſt à
la ſuperficie du cercle que l’on trouvera de 176 {11/14}.
796.
Si l’on veut ſçavoir la ſuperficie d’un ſecteur de cer-
la valeur du rayon. Ainſi ſuppoſant que l’angle du ſecteur
A B C eſt de 60 degrés, & le rayon de 7 pieds, je commence
par trouver la valeur du cercle d’où eſt provenu le ſecteur, la-
quelle ſe trouve de 154, & puis je fais une Regle de Trois,
en diſant: Si 360, valeur de toute la circonférence, m’a donné
154 pour la ſuperficie qu’elle renferme, combien me donne-
ront 60, valeur de la circonférence du ſecteur, pour la ſuper-
ficie qu’elle renferme, l’on trouvera 25 pieds 8 pouces.
797.
Enfin pour trouver la valeur d’un ſegment de cercle,
dont on cherchera la ſuperficie, que je ſuppoſe encore être
25 pieds 8 pouces. Cela poſé, on cherchera la ſuperficie du
triangle D E F, que l’on trouvera à peu près de 21 pieds; &
ſouſtrayant cette quantité de 25 pieds 8 pouces, le reſte ſera
la valeur du ſegment qui ſera environ de 4 pieds 8 pouces.
798.
Meſurer la ſuperficie d’une Ellipſe.
Nous avons vu (art.
240) que les élémens F H &
E I d’un
& E D d’un quart d’ellipſe;
par conſéquent il y aura donc
même raiſon de la ſomme de tous les antécédens à la ſomme
de tous les conſéquens, que d’un antécédent à ſon conſé-
quent (art. 633), c’eſt-à-dire que le quart de cercle E A I eſt
au quart d’ellipſe E A D, comme la ligne E I eſt à la ligne E D,
ou bien comme la ligne A B eſt à la ligne C D: &
ſi au lieu
du quart de cercle, & du quart d’ellipſe, l’on prend tout le
cercle & toute l’ellipſe;
il y aura encore même raiſon du
cercle à l’ellipſe, que de la ligne A B à la ligne C D; ce qui
fait voir que la ſuperficie d’un cercle qui auroit pour diametre
le grand axe d’une ellipſe, eſt à la ſuperficie de l’ellipſe, comme
le grand axe eſt au petit. Or ſuppoſant que le grand axe A B
ſoit de 14 pieds, & le petit C D de 8, il faut pour trouver la
ſuperficie de l’ellipſe, chercher d’abord celle du cercle de ſon
grand axe, que l’on trouvera de 154, & puis dire:
Si le grand
axe de 14 m’a donné 8 pouces pour le petit, que me donne-
ront 154, ſuperficie du cercle pour celle de l’ellipſe, que l’on
trouvera de 88 pieds.
Les ſuperficies des cercles étant dans la raiſon des quarrés
de leurs diametres, l’on peut dire que celles des ellipſes ſont
dans la raiſon compoſée de leurs axes, que par conſéquent
l’on peut prendre à la place de leurs diametres les rectangles
compris ſous les mêmes axes; &
comme il n’y a point de
quarré qui ne puiſſe être produit par les dimenſions d’un rec-
tangle qui lui ſeroit égal, l’on peut trouver la ſuperficie de
l’ellipſe précédente, en multipliant ces deux axes 14 & 8 l’un
par l’autre pour avoir 112, qui tiendra lieu du quarré de ſon
diametre, enſuite dire, comme 14 eſt à 11, ainſi 112 eſt à la
ſuperficie de l’ellipſe, que l’on trouvera encore de 88 pieds.
799.
Meſurer l’eſpace renfermé par une parabole.
Si l’on a une parabole A B C, dont l’axe B D ſoit de 9
pieds, & la plus grande ordonnée D A de 12, toute la ligne
A C ſera de 24. Cela étant, je dis que pour trouver l’eſpace
renfermé par la parabole A B C, il faut multiplier la ligne
A C par les deux tiers de l’axe B D, c’eſt-à-dire 24 par 6,
pour avoir 144 au produit, qui ſera l’eſpace que l’on demande.
La raiſon de cette opération eſt que l’eſpace A B C eſt les
deux tiers du rectangle A E F C; pour le prouver nous fe-
rons voir que l’eſpace A E B K eſt le tiers du rectangle A E B D.
Ayant diviſé la ligne E B en un nombre de parties égales,
& tiré par tous les points de diviſion des lignes telles que G H
& I K, paralleles à A E, l’on verra (art.
605) que par la pro-
priété de la parabole, le quarré B G eſt au quarré B I, comme
G H eſt à I K; mais les parties de ſuite de la ligne E B étant
en progreſſion arithmétique, les quarrés des lignes B G & B I
ſeront ceux des termes d’une progreſſion arithmétique; par
conſéquent les élémens G H & I K ſont en même raiſon que
les quarrés des termes d’une progreſſion arithmétique: ainſi
l’eſpace A E B K contient une quantité infinie d’élémens, qui
ſont tous dans la même raiſon que les quarrés des termes in-
finis d’une progreſſion arithmétique: mais comme pour trouver
la valeur de tous ces quarrés, il faut (art. 551) multiplier le
plus grand quarré par le tiers de la grandeur qui exprime la
quantité des termes; il faut donc pour trouver la valeur de
tous les élémens qui compoſent l’eſpace A E B K, multiplier
le plus grand élément E A par le tiers de la ligne E B, qui en
exprime la quantité: ce qui fait voir que cet eſpace eſt le tiers
du rectangle A E B D, & que par conſéquent l’eſpace A K B D
de la parabole en eſt les deux tiers.
Il eſt abſolument néceſſaire pour ceux qui veulent s’atta-
cher au Génie, de ſçavoir bien meſurer les figures planes,
parce qu’elles ſe rencontrent continuellement dans le toiſé des
fortifications & des bâtimens civils:
car les couvertures de
d’ardoiſes, les planchers, les pavés, le blanchiſſage
des murs recrepis, les vitres, le gazon avec lequel on revêtit
les ouvrages de terraſſe, ſe meſurent à la toiſe quarrée, &
toutes les figures que toutes ces choſes peuvent former, ſe ré-
duiſent toujours à des rectangles ou à des triangles.
800.
Meſurer les ſurfaces des Priſmes &
des Cylindres.
Pour meſurer la ſurface d’un priſme A E, il faut multiplier
la ſomme des côtés du polygone, qui lui ſert de baſe par la
hauteur du priſme: ainſi ſi le priſme a pour baſe un exa-
gone, dont chaque côté B C ſoit de 4 pieds, & la hauteur
B E de 6, la ſomme des côtés ſera 24, qui étant multiplié par
6, le produit ſera 144 pieds pour la valeur de la ſurface.
801.
Pour meſurer la ſurface d’un cylindre, tel que B C,
la hauteur A B de 8, il
faut commencer par chercher la circonférence du cercle qui
lui ſert de baſe, qu’on trouvera de 44 pieds. Après cela, il
faut multiplier cette circonférence par 8, hauteur du cylindre,
& l’on trouvera 352 pieds pour la ſurface du cylindre.
802.
Meſurer les ſurfaces des Pyramides &
des Cônes.
Pour meſurer la ſurface d’une pyramide droite, qui a pour
baſe un exagone, dont chaque côté, tel que A B, eſt ſuppoſé
de 6 pieds, & la perpendiculaire tirée du ſommet ſur un de
ſes côtés de 10 pieds, il faut multiplier la ſomme de la moitié
de tous ces côtés par toute la perpendiculaire (art. 545), c’eſt-
à-dire 18 par 10: l’on trouvera 180 pour la ſurface de la py-
ramide.
803.
Pour trouver la ſurface d’un cône droit, dont le dia-
le côté A D
de 12, il faut multiplier la circonférence du cercle, que l’on
trouvera de 44, par la moitié du côté A D (art. 547), c’eſt-
à-dire par 6, & l’on verra que la ſurface du cône eſt de 264;
côté A D, & l’on aura encore la même choſe.
804.
Meſurer les ſurfaces des Spheres, celles de leurs Seg-
celles de leurs Zones.
Pour meſurer la ſurface d’une ſphere, dont le diametre
H G eſt ſuppoſé de 14 pieds, il faut commencer par chercher
la circonférence de ce diametre, que l’on trouvera de 44; &
il faut la multiplier par le diametre, c’eſt-à-dire par 14, & le
produit donnera la valeur de la ſurface de la ſphere (art. 575)
que l’on trouvera de 616.
805.
si au lieu de la ſurface de toute une ſphere, on vou-
loit meſurer ſeulement celle d’un ſegment, tel que A B C, il
faudroit chercher d’abord la circonférence du grand cercle de
la ſphere d’où le ſegment a été tiré; &
de plus connoître
exactement la perpendiculaire C D élevée ſur le centre du cer-
cle A B, & puis multiplier la circonférence du grand cercle
par la valeur de cette perpendiculaire (582): ainſi ſuppoſant
que la circonférence du cercle ſoit 44, & la perpendiculaire
C D de 4, multipliant l’un par l’autre, on aura 176 pieds pour
la valeur de la ſurface du ſegment.
806.
Enfin pour meſurer la ſurface d’une zone, telle que
E H F G, il faut connoître auſſi la circonférence du grand
cercle de la ſphere d’où elle a été tirée, & la valeur de la per-
pendiculaire I K, tirée d’un centre à l’autre des deux cercles
oppoſés, & multiplier cette perpendiculaire par la circonfé-
rence du grand cercle (art. 582), dont nous venons de parler.
Ainſi ſuppoſant qu’elle ſoit encore de 44 pieds, &
la perpen-
diculaire I K de 5, multipliant l’un par l’autre, l’on trouvera
220 pieds pour la valeur de la ſurface de la zone.
La plûpart de ceux qui étudient la Géométrie ſçavent bien
que cette ſcience eſt fort utile, & qu’en général toutes les
propoſitions qu’elle renferme ont leur uſage; cependant comme
ils n’en connoiſſent point l’application, faute de s’être trouvés
dans le cas de s’en ſervir, ils en viennent toujours à demander
tels problêmes peuvent ſervir:
c’eſt pourquoi
ayant deſſein de leur ôter cette inquiétude, je tâcherai, autant
qu’il me ſera poſſible, de leur faire voir l’application des moin-
dres choſes: &
pour dire un mot des propoſitions précédentes,
ils feront attention que les cloches étant toujours des pyra-
mides ou des cônes, que les dômes étant ordinairement des
figures ſphériques, & les tours des châteaux étant couvertes
par des toits faits en cône ou en pyramide, il faut, pour en
toiſer la couverture, ſçavoir meſurer ces différentes ſurfaces.
807 Meſurer la ſolidité des Cubes, des Parallelepipedes, des
des cylindres.
Pour meſurer la ſolidité d’un cube A D, dont le côté A B
ſeroit, par exemple, de 6 pieds, il faut quarrer 6 pour avoir
la ſuperficie de la baſe, qui ſera 36; &
multipliant cette baſe
par la hauteur du cube, c’eſt-à-dire par 6 pieds, l’on aura 216
pieds pour la valeur du cube.
808.
L’on trouvera de même la valeur d’un parallelepipede,
Ainſi
voulant meſurer le parallelepipede E H, ſuppoſant que ſa baſe
ait 10 pieds de long ſur 4 pieds de large, & que ſa hauteur
H F ſoit de 5 pieds, il faut multiplier 4 par 10 pour avoir 40,
qui ſera la ſuperficie de la baſe, qui étant multipliée par la
hauteur 5, donnera 200 pieds cubes pour le parallelepipede.
809.
Pour meſurer la ſolidité d’un priſme C E, dont la baſe
gone, que l’on trouvera en multipliant la ſomme de ſes côtés
par la moitié de la perpendiculaire A D: ainſi ce côté B C étant
de 4 pieds, la perpendiculaire de 3 {1/2}, la ſomme des côtés ſera
24, qui étant multipliée par 1 {3/4}, on aura 42 pieds quarrés
pour la valeur de la baſe, qu’il faut enſuite multiplier par la
hauteur B E, que je ſuppoſe de 6 pieds: la multiplication étant
faite, l’on trouvera 252 pieds cubes pour la valeur du priſme.
810.
Pour meſurer la ſolidité d’un cylindre C B, dont le
la hauteur
A B de 8 pieds, il faut commencer par avoir la valeur du cercle
qui ſert de baſe au cylindre: pour cela, il faut chercher la cir-
multipliée par le rayon du même cercle, donnera 154 pieds
quarrés pour la valeur de la baſe du cylindre: il faut enſuite la
multiplier par 8 pour avoir 1232 pieds cubes pour la ſolidité
du cylindre.
Comme la ſolidité des cubes, des parallelepipedes, des priſ-
mes & des cylindres, eſt compoſée d’une infinité de plans ſem-
blables à celui qui ſert de baſe à chacun de ces corps, & que
leur hauteur exprime la quantité de plans dont ils ſont com-
poſés; il s’enſuit que pour trouver la ſolidité d’un corps tel
que les précédens, il faut multiplier ſa baſe par toute ſa hau-
teur.
811.
Meſurer la ſolidité des Pyramides &
des Cônes.
Pour meſurer la ſolidité d’une pyramide qui a pour baſe
un exagone, il faut commencer par connoître la ſuperficie de
la baſe. Ainſi ſuppoſant que le côté A B ſoit de 6 pieds, &
la
perpendiculaire C E de 6 {3/4}, l’on trouvera 121 pieds {1/2} quarrés
pour la ſuperficie de la baſe, qu’il faut multiplier par le tiers de
l’axe D C de la pyramide. Comme cet axe eſt ſuppoſé de 10
pieds, il faudra multiplier 121 {1/2} par 3 {1/3}, & le produit ſera 405
pieds cubes pour la ſolidité de la pyramide.
812.
Pour trouver la ſolidité d’un cône, l’on agira comme
on
commencera par connoître la ſuperficie du cercle, qui ſert de
baſe au cône, il faudra la multiplier par le tiers de l’axe du
cône. Ainſi voulant meſurer la ſolidité d’un cône A D B, dont
le diametre de ſon cercle eſt de 14 pieds, & la valeur de ſon
axe de 9 {1/2}, l’on trouvera que la ſuperficie de la baſe eſt de 154
pieds quarrés, qui étant multipliés par 3 {1/6}, qui eſt le tiers de
l’axe, l’on trouvera 456 pieds cubes pour la ſolidité du cône.
Si nous avons multiplié la baſe de la pyramide, auſſi-bien
que celle du cône, par le tiers de la hauteur de l’un & de l’autre,
c’eſt que nous avons vu (art. 551) que la pyramide étoit le
tiers du priſme de même baſe & de même hauteur, comme
le cône étoit auſſi le tiers du cylindre de même baſe & de
même hauteur.
813.
Si les parallelepipedes, les priſmes, les cylindres, les
pyramides, les cônes que l’on veut meſurer étoient inclinés,
il faudroit tirer une perpendiculaire de leur ſommet ſur leurs
baſes prolongées; enſuite connoître la valeur de cette per-
pendiculaire, & la regarder comme celle de la hauteur du
ſolide, qui ſera incliné; &
ſi cela arrive à l’égard d’un paralle-
lepipede, d’un priſme, ou d’un cylindre, on multipliera toute
la perpendiculaire par la baſe du ſolide auquel elle correſpond: &
ſi cela arrive à l’égard des pyramides, des cônes, on mul-
tipliera la baſe de l’un ou l’autre de ces ſolides par le tiers de
la perpendiculaire.
814.
Meſurer la ſolidité des Pyramides &
des cônes tronqués.
Si l’on a une pyramide D B, dont les plans oppoſés D F &
A B ſoient des quarrés, pour en ſçavoir la ſolidité, nous ſup-
poſerons que le côté D E eſt de 9 pieds, le côté A C de 4, &
l’axe G H de 12. Cela poſé, il faut chercher la valeur des
plans A B & D F, qui ſeront de 16 &
de 81 pieds, entre leſ-
quels il faut chercher une moyenne proportionnelle, qui ſera
36 pour le plan moyen, qu’il faut ajouter avec les deux autres,
pour avoir 133, qui ſera la ſomme des trois plans, qu’il faut
multiplier par le tiers de l’axe, c’eſt-à-dire par 4 pour avoir
532 pieds pour la ſolidité de la pyramide tronquée (art. 561).
Si l’on avoit un cône tronqué, l’on en trouveroit de même
la valeur, en cherchant un cercle moyen entre les deux op-
poſés, & en multipliant la ſomme de la valeur des trois cer-
cles par le tiers de l’axe, pour avoir un produit, qui ſera ce
que l’on demande.
815.
Voici encore une autre maniere de trouver la valeur
que la précédente: par exemple, pour connoître la ſolidité
du cône tronqué A D E B, dont l’axe G C eſt de 15 pieds, le
diametre D E de 7, & le diametre A B de 21:
j’abaiſſe la per-
pendiculaire D H, & j’acheve le cône pour avoir l’axe entier
C F, dont je cherche la valeur comme il ſuit.
Le rayon D G étant de 3 pieds {1/2}, &
le rayon A C de 10 {1/2},
la ligne A H ſera la différence de D G à A C: par conſéquent
Or ayant les deux triangles ſemblables A H D &
A C F, je dis: Si le côté A H de 7 pieds donne 15 pieds pour
le côté H D, que donnera le côté A C de 10 {1/2} pour le côté
C F, que l’on trouvera de 22 pieds {1/2}.
Préſentement que l’on a trouvé le grand axe, il faut cher-
cher la valeur du cône A B F, & celle du petit cône D F E, &
retran cher celle-ci de l’autre pour avoir la différence, qui ſera
la valeur du cône tronqué.
816.
Ou bien à cauſe que les cônes D F E &
A F B ſont
ſemblables, l’on pourra cuber les diametres A B & D E, &
dire. Comme le cube du diametre A B eſt au cube du diametre
D E, ainſi la valeur du cône A F B eſt à celle du cône D F E,
qui étant trouvée, ſera retranchée de celle du cône A F B
pour avoir la différence, qui ſera la partie tronquée.
L’on verra dans la ſuite la néceſſité de ſçavoir meſurer les
priſmes, les cylindres, les pyramides & les cônes, auſſi-bien
que leurs parties tronquées: car on ne peut faire le toiſé de la
maçonnerie du revêtement d’une fortification, ſans qu’il ne
ſe rencontre des parties ſemblables à celles-ci; ce qui arrive
toujours aux angles rentrans & ſaillans:
il ſe rencontre même
bien des cas où la figure bizarre de ce que l’on veut meſurer,
demande beaucoup d’uſage de la Géométrie pour en venir à
bout: &
comme bien des Ingénieurs ſe contentent de les
toiſer par approximation, voici quelques propoſitions qui
donneront beaucoup d’éclairciſſemens pour réſoudre les dif-
ficultés que je ferai appercevoir à ce ſujet.
817.
Meſurer la ſolidité des Secteurs de cylindre &
de Cônes
Pour trouver la ſolidité d’un ſecteur A B C D E F d’un
cylindre formé par deux plans C A & C E, il faut commencer
par ſçavoir la valeur du cylindre entier, & connoître l’angle
B C D du ſecteur. Ainſi ſuppoſant que cet angle ſoit de 50
degrés, & que la ſolidité du cylindre ſoit de 425 pieds, il faut
dire: Si 360 degrés, valeur du cercle qui renferme le cylindre,
neront 50 degrés pour la valeur du ſecteur, l’on trouvera qu’il
eſt de 59 pieds & quelque choſe.
818.
Pour meſurer un ſecteur G H K L M N d’un cône
du ſecteur, & la valeur du cône tronqué:
ainſi ſuppoſant que
l’angle eſt de 60 degrés, & que le cône tronqué eſt de 600 pieds,
l’on dira encore: Si 360 m’ont donné 600 pour la valeur du
cône tronqué, que me donneront 60 pour la valeur du ſecteur,
que l’on trouvera de 100 pieds.
819.
Mais ſi l’on avoit un cône tronqué A B C D, dans le
qu’on voulût ſçavoir la valeur du fragment L N P Q O M S R
formé par des parties de couronnes, il faudroit commencer
par trouver la ſolidité de tout le cône tronqué A B C D,
comme s’il n’y avoit point de vuide pour avoir la valeur du
ſecteur L N K O M I, tant plein que vuide, de la façon qu’on
vient de le pratiquer; enſuite en retrancher le ſecteur du cy-
lindre R P K Q S I, & la différence ſera la ſolidité du fragment
L N P Q O M S R que l’on demande.
820.
Si au contraire on avoit un cylindre A B C D, dans le
E F G H, & qu’on voulût ſçavoir la valeur de la ſolidité du
fragment Q O N P R L M S terminé par des plans qui ſoient
dans les rayons I N & I L, il faudra chercher la valeur du
ſecteur cylindrique K O N I L M, & celle du ſecteur K Q P I R S
du cône tronqué pour le retrancher de celle du ſecteur du cylin-
dre, & la différence ſera la valeur du fragment QONPRLMS
que l’on demande.
Il faut, pour ſe rendre familier ce que l’on vient de voir,
donner des dimenſions aux lignes qui compoſent ces figures,
en faire le calcul, & bien entendre les raiſons de chaque opé-
ration: car, comme je l’ai déja dit, nous ſerons obligés d’avoit
recours à lui pour donner la ſolution de quelques-uns des pro-
blêmes les plus difficiles du toiſé de fortification.
821.
Meſurer la ſolidité d’une Sphere.
Pour avoir la ſolidité d’une ſphere, dont le diametre A B
qui ſera 44, & la multiplier par le diametre même pour avoir
la ſurface de la ſphere (art. 576), qui ſera de 616 pieds, qu’il
faut multiplier par le tiers du rayon (art. 575), c’eſt-à-dire
par le tiers de 7, pour avoir 1437 {1/2} pieds cubes pour la ſolidité
de la ſphere.
L’on trouvera encore la ſolidité de la ſphere d’une autre
maniere, en multipliant la ſuperficie de ſon grand cercle par
les deux tiers du diametre (art. 568).
L’on peut encore trouver la ſolidité des ſpheres par une ſeule
Regle de Trois, ayant ſeulement les cubes de leurs axes, avec
la même facilité que l’on trouve la ſuperficie des cercles à
l’aide du quarré de leur diametre; car il y a même raiſon du
cube de l’axe d’une ſphere à la ſolidité de la même ſphere, que
de ſon diametre à la ſixieme partie de la circonférence du
même diametre. Pour en être convaincus, nous nommerons a
le diametre où l’axe de cette ſphere, & b ſa circonférence;
la
ſuperficie de ſon grand cercle ſera par conſéquent {ab/4}, qui
étant multiplié par les deux tiers du diametre, c’eſt-à-dire
par {2a/3} donne {2aab/12} = {aab/6} pour la ſolidité de la ſphere: ainſi
l’on aura a a a: {aab/6}:
: a:
{b/6}:
&
ſuppoſant une ſphere de
21 pieds de diametre, dont la circonférence eſt de 66 pieds,
en prenant la ſixieme partie, qui eſt 11, on n’aura plus qu’à
dire, comme 21 eſt à 11: ainſi le cube de 14, qui eſt 2744
eſt à la ſolidité de la ſphere que l’on trouvera encore de 1437
pieds & {1/7}.
822.
Pour meſurer un ſecteur de ſphere, tel que A B C D,
la perpendiculaire D E, élevée
ſur le milieu de la corde A C. Or ſi nous ſuppoſons le rayon
de 7 pieds, & la perpendiculaire de 3, il faut chercher, par le
moyen du rayon, la circonférence du grand cercle de la ſphere,
d’où le ſecteur a été tiré, & on la trouvera de 44 pieds:
il
laire D E, c’eſt-à-dire 44 par 3; &
le produit 132 ſera la ſur-
face A D C du ſecteur (art. 805), qu’il faudra multiplier par
le tiers du rayon B C, c’eſt-à-dire par 2 {1/3}, pour avoir 308 pieds
cubes, qui eſt la ſolidité du ſecteur.
823.
Si au lieu d’un ſecteur l’on avoit un ſegment de ſphere
ſecteur, & chercher la ſolidité de ce ſecteur, de laquelle il
faudroit retrancher le cône D E F, & le reſtant ſeroit la va-
leur du ſegment.
824.
Mais ſi la partie de la ſphere que l’on veut meſurer
par un autre quelconque, qui lui ſeroit parallelement oppoſé,
comme eſt la zone A F H E, on en trouveroit la ſolidité en
prenant les deux tiers du cylindre qui auroit pour baſe le
grand cercle A E, & pour hauteur la partie de l’axe G C;
&
de plus le tiers du cylindre qui auroit pour baſe le petit cer-
cle F H, & pour hauteur la même ligne G C (art.
578).
Or
pour en faire l’opération, nous ſuppoſerons le rayon C E de
14 pieds, & la perpendiculaire C G de 8;
&
comme nous
avons le triangle rectangle C H K, dont l’hypoténuſe C H eſt
de 14 pieds, & le côté H K de 8, l’on trouvera par la racine
quarrée le côté C K de 11 pieds: ainſi l’on aura le rayon du
cercle F H; &
par conſéquent l’on trouvera la ſolidité du cy-
lindre I H, qui eſt de 3036 pieds cubes, & la ſolidité du
grand cylindre A D ſe trouvera de 4928 pieds cubes. Or ſi
l’on prend les deux tiers du plus grand cylindre, l’on aura
3285 {1/3}, qui étant ajouté avec 1012, qui eſt le tiers du petit
cylindre, nous donnera 4297 {1/3} pieds cubes pour la ſolidité de
la zone.
825.
La génération de la plûpart des ſolides ayant été for-
avoir autant de ſolides différens, que l’on peut avoir de plans
générateurs différens: mais pour ne parler que de ceux qui
ſont formés par le plan des courbes des ſections coniques,
l’on ſçaura que ſi une demi-parabole A C B fait une circonvo-
lution autour de ſon axe A B, elle décrira un corps H I K,
que l’on nomme parabolique, qui eſt compoſé d’une infinité
que D E & F G, que l’on regarde ici comme les élémens du
plan A B C de la parabole.
826.
Si l’on a une demi-ellipſe H L I qui faſſe une circon-
O P & R S, que l’on peut regarder comme les élémens du plan
de l’ellipſe, décriront une infinité de cercles, qui tous enſem-
ble formeront le corps A B C D, que l’on nomme ſphéroïde,
parce qu’ayant pour plan générateur une ellipſe, qui eſt pro-
prement un cercle alongé, le ſphéroïde eſt regardé comme
une ſphere alongée.
827.
Enfin ſi l’on fait faire à une demi - hyperbole A B C
que l’on nomme hyperboloïde; &
ſi la demi-hyperbole eſt ac-
compagnée d’une aſymptote E F, & des lignes D B &
D G pa-
ralleles à A C & B C, le triangle E F C décrira un cône, &
le
rectangle G D B C un cylindre.
Comme la plûpart de ces ſolides ont lieu dans bien des oc-
caſions, nous en ferons voir l’application, après que nous
aurons donné dans les propoſitions ſuivantes la maniere de les
meſurer.
828.
Meſurer la ſolidité d’un Paraboloïde.
Pour avoir la ſolidité d’un paraboloïde, dont le rayon L K
chercher la valeur du cercle de la baſe, qui ſera de 154 pieds,
qu’il faut multiplier par la moitié de l’axe I L, c’eſt-à-dire par
5 pour avoir 770 au produit, qui ſera ce que l’on demande.
Pour ſçavoir la raiſon de cette opération, conſidérez que
l’axe AB de la parabole eſt compoſé d’une infinité de parties,
comme A E & A G, qui ſont en progreſſion arithmétique, &
que les quarrés des ordonnées E D & G F étant dans la
même raiſon que les parties A E & E G (art.
605);
ces quarrés
ſeront auſſi en progreſſion arithmétique. Or comme les cercles
ſont dans la même raiſon que les quarrés de leurs rayons
(art. 455), il s’enſuit que les cercles qui compoſent le para-
boloïde H I K ſont en progreſſion arithmétique, puiſqu’ils ſont
mais comme
pour trouver la valeur des termes infinis d’une progreſſion arith-
métique (art. 389), il faut multiplier le plus grand terme de
la progreſſion par la moitié de la grandeur qui exprime la
quantité de ces termes, il faut donc, pour trouver la valeur
de tous les cercles qui compoſent le paraboloïde, multiplier le
plus grand cercle H K par la moitié de l’axe I L.
829.
Meſurer la ſolidité d’un Sphéroïde.
251.
que l’on demande.
née N L de l’ellipſe par les deux tiers de l’axe H I.
831.
L’on peut dire auſſi que ſi l’on n’avoit que la moitié
d’un ſphéroïde A C B, il faudroit de même, pour en trouver
la ſolidité, multiplier le cercle A B par les deux tiers de la
ligne C N.
Quoique l’hyperboloïde n’ait guere lieu dans la Géométrie
pratique, cela n’empêche pas que je ne diſe un mot ſur la
maniere de meſurer ce ſolide, pour ſatisfaire la curioſité de
ceux qui n’aiment pas qu’on leur ſupprime rien.
832.
Meſurer la ſolidité d’un Hyperboloïde.
Pour avoir la ſolidité d’un hyperboloïde D E F, il faut ac-
compagner la courbe D E F de ſes aſymptotes B A & B C, &
de la ligne G H, qui ſera égale à un de ſes axes. Cela poſé.
il
faut chercher la ſolidité d’un cône tronqué A G H C (art. 815),
& en retrancher le cylindre I G H K pour avoir la différence,
qui ſera la ſolidité de l’hyperboloïde.
Pour entendre la raiſon de l’opération que nous indiquons
ici, il faut ſe rappeller que nous avons fait voir dans l’hyper-
bole (art. 679), que ſi l’on menoit une ligne telle que A C,
parallele à G H, le rectangle compris ſous les parties A D &
Or comme le
rectangle compris ſous A D & D C, eſt égal au quarré de la
perpendiculaire D M (art. 441), à cauſe du demi-cercle A D C,
il s’enſuit que la ligne D M eſt égale à la ligne G E. Cela
poſé, l’on ſçait que le cercle, qui auroit pour rayon la ligne
D M, eſt égal à la couronne formée par les deux circonfé-
rences (art. 565) A N C O &
D P F Q.
Cela étant, cette cou-
ronne ſera égale au cercle, qui aura pour rayon la ligne G E,
& qui ſera un des cercles du cylindre G H I K;
&
comme il
arrivera la même choſe pour toutes les lignes telles que A C,
qu’on tirera parallele à G H par tel point que l’on voudra de la
ligne G A; il s’enſuit que toutes les couronnes ſeront égales
entr’elles, puiſque chacune ſera égale à des cercles du cylin-
dre. Or comme il y a autant de couronnes que de cercles, les
uns & les autres étant exprimés par la ligne E L, il s’enſuit
que l’eſpace qui eſt renfermé entre l’hyperboloïde D P F Q E
& le cône tronqué A N C O G F (qui n’eſt autre choſe que la
ſomme de toutes les couronnes), eſt égal au cylindre I G H K; &
par conſéquent le cône tronqué eſt plus grand que l’hyper-
boloïde de tout le même cylindre I G H K.
Application de la Géométrie au Toiſé des Voûtes.
833.
Meſurer la ſolidité de la Maçonnerie de toutes ſortes de
Il n’y a guere que trois ſortes de voûtes parmi les ouvrages
Les premieres ſont celles des ſouterreins, les
ſecondes, celles des magaſins à poudre, & les troiſiemes,
celles des tours auxquelles il y a des plates-formes: les unes
& les autres ſont ou à plein ceintre, comme dans la figure 256,
ou ſurbaiſſées, comme dans la figure 257, ou gothique, que l’on
nomme auſſi voûte en tiers point, ou voûte en arc de cloître,
comme dans la figure 258, & ſoit qu’elles ſervent aux ma-
gaſins ou aux ſouterreins, elles ſont toujours diſpoſées en de-
hors en dos d’âne, comme un toit, parce qu’on y applique
deſſus une chape de ciment pour les garantir des eaux de pluies.
834.
Si l’on a donc à toiſer la maçonnerie d’un ſouterrein
M K O L, ſans aucune
difficulté, parce que ce ſont des parallelepipedes; enſuite on
toiſe auſſi les pieds-droits A D F G, depuis la retraite des fon-
demens juſqu’à la naiſſance A C de la voûte; &
pour la voûte,
l’on toiſe la ſuperficie du triangle A B C, que l’on multiplie
par la longueur dans œ uvre de la voûte; ce qui s’appelle toiſer
tant plein que vuide: &
comme il faut du produit en déduire
le vuide D K E, ſi la voûte eſt en plein ceintre, l’on meſure
la ſuperficie du demi-cercle (art. 484) D K E, que l’on mul-
tiplie par la même longueur qui a ſervi à meſurer le triangle
A B C; &
ſouſtrayant ce produit-ci du précédent, la diffé-
rence eſt la valeur de la voûte.
835.
Si la voûte eſt ſurbaiſſée, comme F E G, dont la figure
ci-devant, & le multiplier par la longueur dans œuvre de la
voûte: après quoi l’on cherchera la ſuperficie de la demi-ellipſe
F E G (art. 798), pour la multiplier auſſi par la même lon-
gueur; &
ſouſtrayant ce produit-ci du précédent, on aura la
valeur de la voûte.
836.
Enfin ſi la voûte que l’on veut meſurer eſt en tiers
I L M, à laquelle on joindra celle des ſegmens (art. 797) des
cercles, dont les lignes L I & L M ſont les cordes;
&
ayant
multiplié cette quantité par la longueur de la voûte dans œu-
vre, on ſouſtraira le produit de celui du triangle H K N,
multiplié par la même longueur, & l’on aura la ſolidité que
l’on demande.
837.
Pour les voûtes au deſſus deſquelles il y a des plates-
formes, comme, par exemple, celles qui couvrent les ſalles
de l’Obſervatoire Royal de Paris, le toiſé en eſt un peu plus
difficile; &
je ne ſçache pas même que perſonne ait recherché
la maniere de le faire géométriquement: comme ces ſortes
d’endroits ont pour baſe un quarré ou un polygone régulier,
le vuide & le plein de la voûte font ordinairement un priſme,
qui eſt facile à meſurer: &
comme il n’y a que le vuide qu’il
faut déduire, qui peut faire quelque difficulté, nous conſidé-
rerons ici les différentes figures qu’il peut avoir, afin de les
réduire à des corps réguliers.
Suppoſant donc que les lieux dont il s’agit, ayent pour baſe
on peut conſidérer la nature de leurs voûtes.
Si la baſe eſt un quarré, les diagonales A B &
C D ſervi-
C F D, qui par-
tagent la voûte en quatre, & qui forment des arrêtes dans les
angles. Or ſi l’on conſidere une infinité de quarrés qui rem-
pliſſent le vuide de la voûte, tous ces quarrés auront leurs an-
gles dans les quarts de cercles F C, F A, F B, F D, & leurs
côtés ſeront des lignes comme G H & I K, tirées d’un quart
de cercle à l’autre parallélement aux côtés A D ou D B, & la
moitié de toutes les diagonales, comme E A & L M ſeront
les ordonnées d’un quart de cercle A F E. Or comme la ligne
E F ou E A qui marque la hauteur de la voûte, exprime la
ſomme de tous ces quarrés, il s’enſuit que les ordonnées E A
& L M ſervant de demi-diagonales à ces quarrés, l’on trou-
vera la valeur de tous ces quarrés, comme on trouve celles
des ordonnées d’un quart de cercle; mais nous avons vu
(art. 821), que la valeur des quarrés des ordonnées d’un quart
de cercle ſe connoiſſoit en multipliant la plus grande ordon-
née E A par les deux tiers de la ligne E F: il faudra donc, pour
trouver la ſolidité du corps A F B, multiplier le quarré A B,
qui lui ſert de baſe, par les deux tiers de la ligne E F, qui en
exprime la hauteur.
838.
Si la voûte étoit ſur des pieds-droits, qui compoſaſſent
que ce priſme fût de ſix côtés, le
corps qui formeroit le vuide de la voûte auroit une figure
comme G H I K, formée auſſi par demi-cercles: &
comme ce
corps ſeroit compoſé d’une quantité infinie de polygones ſem-
blables, de même que celui que nous venons de voir eſt com-
poſé de quarrés, ſi l’on conſidere le quart de cercle I K G,
l’on verra que toutes les ordonnées, comme O P & Q R de ce
quart de cercle, ſervent de rayons aux polygones, dont le ſolide
eſt compoſé: mais ces polygones étant tous ſemblables, &
dans la raiſon des quarrés de leurs rayons (art. 492), l’on en
trouvera la valeur, comme on trouve celle des quarrés de leurs
rayons, c’eſt-à-dire, en multipliant la ſuperficie du plus grand
polygone par les deux tiers de la ligne qui en exprime la quan-
tité. Ainſi pour trouver la valeur du ſolide G I H, il faut mul-
tiplier la baſe G H par les deux tiers de la perpendiculaire I K.
839.
Mais ſi au lieu de demi-cercles, c’étoit des demi-ellipſes
D B E, qui partageaſſent la voûte, on trouveroit de
même la valeur du vuide, en multipliant la baſe A C par les
deux tiers de l’axe B F: car ſi le plan A C eſt un quarré, tous
ceux qui compoſeront le ſolide ſeront auſſi des quarrés: donc
les demi-diagonales ſeront les ordonnées K L & M N du quart
d’ellipſe H G I ou F B C: &
comme l’on trouve la valeur de
tous les quarrés des ordonnées d’un quart d’ellipſe, comme
on trouve celles des ordonnées d’un quart de cercle (art. 798),
c’eſt-à-dire en multipliant le quarré de la plus grande ordon-
née H I par les deux tiers de la ligne G H, il s’enſuit que l’on
trouvera toujours la ſolidité d’une voûte quelconque, ſoit que
ſes arrêtes ſe trouvent être des ellipſes, ſoit qu’elles ſoient
ſeulement des quart de cercles. Cela vient de ce que l’on doit
toujours déterminer la ſolidité d’un corps, dont les élément
croiſſent dans la raiſon des quarrés des ordonnées d’une el-
lipſe ou d’un quart de cercle, en multipliant le plus grand élé-
ment qui ſert de baſe par les deux tiers de la hauteur, quelle
que ſoit d’ailleurs la figure du polygone qui ſert de baſe régu-
liere ou irréguliere.
840.
Il eſt encore une autre eſpece de voûte, que l’on nomme
voûte en bourlet, parce qu’en effet le vuide de cette voûte reſ-
ſemble aſſez à un bourlet; &
pour en donner une idée, con-
ſidérez les figures 264 & 265, dont la premiere eſt le plan
d’une Tour, où l’on voit dans le milieu un pilier A B, ſur le-
quel repoſe une voûte, qui répond auſſi aux murs de la Tour; de ſorte que de quelque ſens qu’on puiſſe prendre le profil de
cette Tour, il ſera toujours ſemblable à la figure 265. Or
comme la voûte regne autour du pilier A B E, il faut pour la
toiſer, commencer par meſurer la maſſe H I C D, tant pleine
que vuide, qui eſt un cylindre qui a pour baſe un cercle,
dont C D eſt le diametre, & H C la hauteur.
Préſentement pour trouver le vuide qu’il faut déduire de ce
cylindre, il faut chercher la ſuperficie du demi-cercle C M A,
& la multiplier par la circonférence du cercle, qui ſera moyenne
arithmétique entre les circonférences de la Tour & du pilier,
c’eſt-à-dire entre les circonférences qui auront pour rayons
A F & F C;
&
retranchant ce produit-ci du précédent, on
aura la valeur de la voûte.
Comme le bourlet eſt compoſé d’autant de demi-cercles
que l’eſpace qui eſt entre les deux circonférences C O D Q &
N O, qui ſervent
de diametre aux demi-cercles, il s’enſuit que la ligne qui ex-
primera la ſomme de tous les élémens qui compoſent la cou-
ronne, c’eſt-à-dire la ſomme de toutes les lignes A C & N O,
marquera auſſi la ſomme de tous les demi-cercles qui compo-
ſent le bourlet. Or comme cette ligne n’eſt autre choſe qu’une
circonférence G H moyenne arithmétique entre les deux
C O D Q & A N B P, qui renferment la couronne, il s’enſuit
qu’il faut multiplier le demi-cercle, qui auroit pour diametre
C A par la circonférence G H, pour avoir la valeur du bourlet.
A l’égard du revêtement de la Tour, l’on voit que pour en
trouver la ſolidité, il faut ôter de la valeur du cône tronqué,
dont R S T X ſeroit la coupe, le cylindre qui auroit pour dia-
metre du cercle de ſa baſe la ligne H I, & pour hauteur la ligne
H Z, afin d’avoir la différence, qui ſera ce qu’on demande.
841.
On peut être ſouvent dans le cas de toiſer la ſuper-
ficie des voûtes dont nous venons d’examiner la ſolidité: c’eſt
pourquoi il eſt à propos de ſçavoir la maniere dont il faudroit
s’y prendre ſi l’on avoit de pareilles ſurfaces courbes à me-
ſurer. La méthode que je vais expliquer ici ne peut s’appli-
quer qu’aux voûtes telles que A B C, dont la baſe eſt un po-
dont la hauteur B F eſt égale au rayon G F,
mené du centre F du polygone régulier qui ſert de baſe, per-
pendiculairement au côté A E. Si l’on pouvoit trouver le
moyen de toiſer par une méthode générale & facile la ſurface
d’un ellipſoïde, la méthode que nous allons propoſer s’appli-
queroit avec la même facilité aux voûtes ſurbaiſſées & ſur-
montées. En général on dit qu’une voûte quelconque eſt en
plein cintre, lorſque la hauteur B F ou la perpendiculaire
abaiſſée du ſommet ſur le plan de la baſe eſt égale à la ligne
menée du centre F de la baſe où tombe la perpendiculaire B F,
au milieu de chaque côté du polygone régulier, comme eſt ici
la ligne F G. Si cette ligne B F eſt plus grande ou plus petite
que G F, la voûte eſt appellée ſurmontée ou ſurbaiſſée. Le principe
que nous allons expliquer a ceci d’avantageux, que quoiqu’on
ne puiſſe l’appliquer qu’aux voûtes en plein cintres, on trouve
encore par ſon moyen la ſurface d’une voûte fort commune,
à laquelle on a donné le nom de voûte d’arrête. Lafigure 254,
planche 17, repréſente une voûte d’arrête. Nous ferons voir
auſſi la maniere de toiſer la ſolidité de cette voûte, en ne fai-
ſant uſage que des principes précédens.
842.
Suppoſant toujours la voûte en plein ceintre, en arc
de cloître, comme celle qui eſt repréſentée par la figure 262,
nous appellerons chaque portion de la ſurface courbe de la
voûte, telle que A B E, un pan de voûte: ainſi dans la même
figure, la voûte propoſée eſt une voûte à quatre pans. En gé-
néral, une voûte en arc de cloître & en plein ceintre, aura
toujours autant de pans que le polygone régulier qui lui ſert
de baſe a de côtés.
843.
La ſuperficie courbe A B E d’un pan de voûte quelconque
Soit repréſenté par 2a le côté du polygone régulier qui ſert
de baſe à notre voûte, & par b la perpendiculaire G F abaiſſée
du centre F du polygone ſur ſon côté A E, laquelle (art. 841)
doit être égale à la hauteur B F de la voûte, puiſqu’on la ſup-
poſe en plein ceintre; la ſurface du triangle A F E qui ſert de
baſe à la portion A B F E de la voûte ſera a b: &
pour avoir le
ſolide de cette portion de voûte, il faudra, ſuivant l’art. 837,
multiplier le plus grand élément ou le triangle A F E par les
deux tiers de B F; ce qui donnera pour la ſolidité du corps
A B F E {2ab
Préſentement je fais attention que l’on pourroit conſidérer
la ſolidité de ce corps d’une autre maniere, en le concevant
comme étant compoſé d’une infinité de petits cônes, tels que
F G, F g, F h, qui ont tous leur ſommet au point F, & dont
les baſes ſont répandues uniformément ſur la ſurface ou le pan
de voûte A B E. Il eſt aiſé de voir que de tous ces cônes il n’y
a que ceux qui ſont diſpoſés ſur le quart de cercle qui puiſſent
être droits, & que tous les autres ſont néceſſairement obliques
& différemment inclinés, quoiqu’ils aient tous la même hau-
teur F G. Ainſi pour avoir la ſolidité de la portion de voûte
A B F E conſidérée de cette maniere, il faudra multiplier la
ſomme des baſes de tous ces petits cônes, qui n’eſt autre choſe
que la ſurface du pan de voûte A B E, par le tiers du rayon F G:
corps A B F E = S x {a/3}. D’ailleurs, nous venons de voir que
le même ſolide eſt exprimé par {2/3}a
poſé d’élémens triangulaires, tels que I L K qui croiſſent com-
me les quarrés des ordonnées L H au quart de cercle B H G: on aura donc S x {a/3} = {2/3}a
en diviſant par {1/3}a, S = 2ab;
d’où il ſuit évidemment que le pan de voûte A B E eſt double
du triangle correſpondant A F E qui lui ſert de baſe.
Nota.
Il faut remarquer que ſelon la figure où la baſe A DC E
eſt un quarré, la ſurface du triangle eſt aa, parce que la per-
pendiculaire F G ſe trouve, par la propriété du quarré, égale à
la moitié A G du côté A E. Comme cela n’eſt qu’accidentel,
& que notre démonſtration doit s’entendre d’un polygone quel-
conque, il étoit à propos de ne point ſuppoſer la perpendicu-
laire G F = A G, pour que la propoſition fût démontrée dans
toute ſa généralité.
844.
Il ſuit delà que la ſurface d’une voûte en arc de cloître
en plein cintre eſt toujours double de la ſurface du polygone
ainſi ſuppoſant que la ligne D K
perpendiculaire au côté G N de l’exagone, ſoit égale à la ligne
I K, menée du ſommet I de la voûte perpendiculairement à
la baſe, au centre K de cette même baſe, la ſurface de cette
voûte ſera double de celle de l’exagone M N G L O H qui lui
ſert de baſe, puiſque chaque pan N I M, N I G ſera double du
triangle correſpondant N K M, N K G.
845.
Il ſuit de cette propoſition, que la ſurface d’une demi-
ſphere eſt double du cercle qui lui ſert de baſe; enſorte que
la propoſition que nous avons démontré ſur la ſuperficie de
la ſphere devient un corollaire trés-ſimple de celle-ci; car
puiſque notre démonſtration eſt applicable à tous ies poiy-
gones réguliers, elle eſt auſſi applicable au cercle. En effet,
on peut concevoir la ſurface de la ſphere comme compoſée
d’une infinité de petits triangles curvilignes qui ont leur ſom-
met au pôle de cette demi-ſphere, & qui vont ſe terminer à
la circonférence, leſquels ſont tous, par la propoſition pré-
cle qui lui ſert de baſe.
846.
On peut faire uſage de la propoſition précédente pour
trouver la ſuperficie des voûtes d’arrêtes, telle que celle qui
eſt repréſentée par la figure 254 (planche 17). Mais avant que
de chercher la ſuperficie de ces ſortes de voûtes, il eſt à propos
de rechercher de quelle maniere elles peuvent être formées; c’eſt ce que nous allons examiner dans les articles ſuivans,
après quoi il nous ſera facile de déterminer leur ſurface, &
leur ſolidité par la même occaſion.
847.
A E D C F B eſt un demi-cylindre droit, dont la baſe
Le côté A D eſt
de ce point on a tiré aux
angles B, C les lignes droites K B, K C. Par ces lignes &
la
ligne E K perpendiculaire au plan de la baſe renſermée dans
le plan du demi-cercle A E D, il faut concevoir deux plans
coupans K E I B, K E H C qui ſeront néceſſairement perpendi-
culaires au plan de la baſe. Il eſt viſible que ces plans retran-
chent du demi-cylindre ou berceau deux corps égaux A K E B,
D K E C qui ſont dans le cas de ceux que nous venons d’exa-
miner dans tout ce qui précéde, dont on pourra trouver la
ſolidité, en multipliant chaque triangle qui lui ſert de baſe
par les deux tiers du rayon A K, & dont on aura la ſurface en
doublant les mêmes triangles égaux A K B, D K C. La corps
E K B F C terminé en coin du côté de la ligne E K, eſt évi-
demment égal à ce qui reſte du cylindre, après en avoir ôté les
deux corps A K E B, E K D C: donc puiſque l’on peut toiſer
ces deux corps, ainſi que le demi-cylindre, on aura auſſi la
ſolidité du corps E K B F C. De même la ſurface courbe de
ce même corps eſt égale à celle du demi-cylindre, après en
avoir ôté celles des corps A K E B, D K E C: donc puiſque la
ſuperficie courbe de ces deux corps peut être déterminée, on
peut auſſi trouver celle du corps E K B F C.
848.
Cela poſé, une voûte d’arrête telle que celle qui eſt
repréſentée par la figure 254, n’eſt autre choſe que différens
corps R G E L D, R G F I E, tous égaux entr’eux, & formés de
la même maniere que le corps E K B F C de la figure 255,
leſquels ſe touchent tous dans les ſurfaces planes qui forment
ſont
tous terminés à une même ligne perpendiculaire au plan de la
voûte. Il eſt viſible que tous ces corps doivent être parfaite-
ment égaux, que leurs cercles F I E, E L D doivent auſſi être
égaux, ainſi que les triangles qui leur ſervent de baſe. On voit
par-là que la ſuperficie & la ſolidité ſe réduit à trouver la ſur-
face & la ſolidité du corps E K B F C de la figure 255.
849.
Soit le rayon A K ou E K = a;
la ligne A B qui me-
ſure la longueur du cylindre ſoit égale à b: pour trouver la
ſurface de ce corps, je chercherai d’abord celle du cylindre. Je commence par déterminer la demi-circonférence B F C par
la proportion ſuivante, 7 : 22 :
: a :
{22/7}a;
puiſque le rapport du
rayon à la demi-circonférence eſt le même que celui du dia-
metre à la circonférence. Multipliant cette demi-circonfé-
rence par b, j’aurai {22/7}ab pour la ſurface du demi-cylindre:
ôtant de cette ſuperficie celles des corps A K E B, D K E C,
leſquelles ſont égales enſemble au rectangle A B, on aura pour
la ſuperficie du corps E K B F C, {22/7}ab - 2ab = {22/7}ab - {14/7}ab
= {18/7}ab; d’où il ſuit que cette ſurface eſt égale à ab + {1/7}ab,
c’eſt-à-dire égale à la baſe, plus {1/7} de la même baſe A B C D :
donc pour avoir la ſurface d’une voûte d’arrête en plein cintre,
comme celle de la figure 254, & dont la baſe eſt un polygone
régulier, il faut à cette même baſe ajouter un ſeptieme.
850.
Pour la ſolidité du même corps, je cherche la ſurface
du demi-cercle B F C, en multipliant la demi-circonférence
{22/7} a par la moitié du rayon; ce qui me donne {11/7}a
ſi je mul-
tiplie ce produit par b, j’aurai la ſolidité du demi-cylindre
qui ſera {11/7}aPréſentement je cherche la ſolidité des deux
corps égaux A K E B, E K D C, qui eſt {2/3}adonc la ſolidité
du corps E K B F C ſera {11/7}a
même dénominateur √{33/21} - {14/21}\x{0020} x ad’où il ſuit que
ce ſolide eſt au demi-cylindre A E D C F B :: 19 :
33 :
donc
ce même corps ſera les {19/33} du même demi-cylindre. Pour ap-
pliquer ce que nous venons de dire au toiſé du ſolide d’une
voûte d’arrête, dont la baſe eſt un polygone régulier, il fau-
dra chercher la ſolidité du demi-cylindre, qui auroit pour baſe
un rectangle formé ſur le côté E D du polygone, & la perpen-
diculaire G S abaiſſée du centre du polygone ſur le côté D E,
& enſuite prendre les {19/33} de ce ſolide autant de fois que le poly-
gone de la baſe aura de côtés.
851.
Il faut bien remarquer que quoiqu’on ne puiſſe pas
trouver par notre méthode la ſuperficie d’une voûte d’arrête
ſurbaiſſée ou ſurmontée, cependant on détermineroit avec
la derniere facilité le ſolide de ces ſortes de voûtes dans ces
deux cas. Je laiſſe aux Commençans le plaiſir d’en trouver eux-
mêmes la démonſtration.
Comme ces ſortes de voûtes ſont ordinairement remplies
de maçonnerie du côté des toits des Egliſes ou autres endroits
où elles ſe trouvent; on toiſera la ſolidité du priſme droit qui
auroit même baſe & même hauteur, &
du tout on déduira la
ſolidité des voûtes, ſelon la méthode que nous venons d’ex-
pliquer.
Il eſt aiſé de voir qu’il ne nous a pas été poſſible de parler
de la ſuperficie de ces ſortes de voûtes dans l’article de la
meſure des ſurfaces, parce que la connoiſſance de ces mêmes
ſurfaces ne peut ſe déduire que de la ſolidité de ces voûtes,
au moins dans la méthode que j’ai ſuivie ici.
852.
Quand on trace une fortification, il y a une ligne qui
regne tout autour des ouvrages, que l’on nomme magiſtrale,
qui ſert à donner les longueurs que doivent avoir les parties
de la fortification; &
cette ligne eſt celle qui eſt repréſentée
par le cordon du revêtement d’un ouvrage: par exemple, ſi l’on
dit qu’une face de baſtion a 50 toiſes, cela doit s’entendre de-
puis une extrêmité du cordon de cette face juſqu’à l’autre; ou,
ce qui eſt la même choſe, depuis une extrêmité juſqu’à l’autre
de l’entablement de la muraille de la face.
Préſentement pour meſurer le revêtement du baſtion re-
préſenté dans la figure 266, conſidérez-en le profil, dont les
de
Vauban, pour le revêtement ordinaire d’un rempart, qui
auroit 30 pieds, depuis la retraite A G des fondemens juſqu’à
la hauteur C H du cordon: &
comme la partie D E F G n’a
point de talud, nous n’en parlerons point ici, parce qu’elle eſt
facile à meſurer; nous conſidérerons ſeulement la muraille,
depuis la retraite juſqu’au cordon; &
faiſant auſſi abſtraction
des contre-forts, il faut, à cauſe des pyramides tronquées qui
D, abaiſſer les per-
pendiculaires A B & D E, &
meſurer la ſuperficie du trapeze
A B C G du profil par la longueur A D de la face, priſe le long
des contre-forts, & le produit ſera regardé comme le revête-
ment de la face: venant enſuite dans l’angle flanquant I, l’on
tirera une perpendiculaire G H, de ſorte qu’elle correſponde
dans l’angle K du pied de la muraille; &
ayant auſſi abaiſſé
la perpendiculaire C A, l’on multipliera le profil précédent
par la longueur H A ou G C du flanc, & l’on fera de même
pour toiſer la courtine & les autres parties où l’on aura re-
tranché les pyramides des angles.
Pour connoître la valeur de ces pyramides tronquées, je
à l’angle ſail-
lant, reſſemblent aſſez à la figure 270. Ainſi connoiſſant les
deux plans V T & Q R, je meſure cette pyramide tronquée
comme à l’ordinaire, & ſuppoſant qu’elle ſoit celle de l’angle
flanqué, je me garde bien de la prendre auſſi pour celle de
l’angle de l’épaule, parce qu’elles ſont différentes en ſolidité
c’eſt pourquoi je meſure cette derniere, comme je viens de
faire la précédente.
Quant à ce qui nous reſte à meſurer dans l’angle flanquant I,
chée, qui reſſembleroit à un priſme, ſi le vuide B C E H G
étoit rempli: ſuppoſant donc qu’il le ſoit, je cherche la valeur
du priſme A F G, de laquelle je ſouſtrais celle de la pyramide
K M I, que je ſuppoſe être égale au vuide B E G, & la diffé-
rence donne la partie que je cherche.
853.
Ce ſeroit peu de choſe que de toiſer le revêtement
comme dans cette figure; mais il y a bien d’autres difficultés,
quand il faut toiſer le revêtement des parties des baſtions à
orillons, comme celle du baſtion repréſenté dans la figure 271. Cependant comme les articles 854, 855 ont été rapportés ex-
près pour en faciliter l’intelligence, nous allons faire enſorte
d’en rendre les opérations aiſées.
La figure 275 repréſente le flanc d’un baſtion à orillon,
la largeur B C marque le
talud I du revêtement, qui eſt ici de 6 pieds; de ſorte que toute
la largeur A C marque l’épaiſſeur du revêtement ſur la retraite,
la ligne F K I G D E la magiſtrale.
Pour ſçavoir comment il faut s’y prendre pour toiſer l’orillon
G S D, nous allons voir premiérement de quelle façon il a été
tracé, afin de connoître l’angle G H D, & le rayon H D,
dont nous aurons beſoin.
L’on fçait que pour tracer l’orillon, ſelon la méthode de
M. de Vauban, l’on diviſe le flanc F D en trois parties égales,
& que la troiſieme partie G D devient la corde d’une portion
de cercle qui forme l’orillon, & que pour décrire cette por-
tion de cercle, l’on éleve ſur le milieu de la partie G D une
perpendiculaire I H, & une autre D H ſur l’extrêmité D E de
la face du baſtion, & que ces deux perpendiculaires venant ſe
rencontrer au point H, donnent le centre de l’orillon, ou
autrement de l’arc G V D, dont le rayon eſt la perpendicu-
laire D H.
Cela poſé, ſi avec les rayons H B, H G, H Q l’on décrit
que l’on conſidere la figure 273, l’on verra
que ces trois cercles compoſent un cône tronqué, dans le mi-
lieu duquel eſt un cylindre, & le plan B Y étant le profil de
l’autre figure marquera le
talud du revêtement; la ligne G B, ſon épaiſſeur à l’endroit
du cordon, & la ligne H G, le demi-diametre de l’orillon, qui
eſt la même choſe que H D. Or comme le revêtement de l’o-
rillon eſt un ſecteur de cône tronqué, après en avoir ôté le
cylindre, qui eſt dans le milieu, & que la grandeur de ce ſec-
teur eſt déterminée par l’angle G H D, voici comment on
pourra connoître la valeur des lignes dont nous avons beſoin
pour meſurer ce ſecteur.
On a vu (art.
741) que l’angle de l’épaule F D E étoit de
117 degrés 39 minutes: par conſéquent ſi l’on en ſouſtrait
l’angle droit H D B, il reſtera 27 degrés 39 minutes pour l’an-
gle I H D du triangle rectangle H L D. Ainſi l’angle L D H
ſera de 62 degrés 21 minutes: &
comme on a trouvé auſſi
(art. 541) que le flanc F D étoit de 27 toiſes 2 pieds, la ligne
L D en étant la ſixieme partie, ſera de 4 toiſes 3 pieds 4 pouces. Or comme du triangle L H D l’on connoît les trois angles &
le côte L D, il ſera facile de connoître le côté D H, que l’on
trouvera de 5 toiſes 9 pouces. Cela étant, on connoîtra toutes
les lignes de la figure; car le demi-diametre H G étant de
5 toiſes 9 pouces, & la ligne G B de 5 pieds, le rayon H B du
le talud G Q étant
de 6 pieds, le demi-diametre H Q de la baſe du cône tronqué
ſera de 6 toiſes 9 pouces, & l’axe H Z exprimant la hauteur du
revêtement, ſera de 5 toiſes: ainſi l’on connoît tout ce qu’il
faut pour meſurer le cône tronqué & le cylindre qui eſt dans
le milieu.
Ayant donc meſuré le cône tronqué &
le cylindre, on re-
tranchera la valeur du cylindre de celle du cône tronqué, pour
avoir le fragment qui en fait la différence: &
comme le re-
vêtement de l’orillon eſt un ſecteur de ce fragment, l’on en
cherchera la valeur, en fuivant ce qu’on a vu dans l’art. 820,
c’eſt-à-dire, que connoiſſant l’angle G H D, qui eſt de 124
degrés 42 minutes, l’on dira: Si 360 degrés m’ont donné tant
pour la valeur du cône tronqué, après en avoir ôté le cylindre,
que me donneront 124 degrés 42 minutes pour le ſecteur, ou
autrement pour la valeur du revêtement de l’orillon, qui ſe
trouvera, en faiſant le calcul des parties que l’on vient d’in-
diquer.
854.
Avant que de chercher à toiſer le flanc concave KI, il
défenſe S F de la longueur F K de 5 toiſes pour faire la briſure,
& que par l’angle flanqué S, &
le point G l’on a tiré la ligne
S I, pour avoir la partie G I auſſi de 5 toiſes; &
enſuite on a
tiré la ligne K I, ſur laquelle on fait un triangle équilatéral
K P I, pour avoir le point P, qui a ſervi de centre pour décrire
avec le rayon P K l’arc K I, avec le rayon P N l’arc N O, &
avec le rayon P L l’arc R M.
Préſentement la premiere difficulté eſt d’avoir la valeur du
rayon P K, que l’on trouvera pourtant en conſidérant qu’on
connoît l’angle S F G de So degrés 47 minutes par l’art. 741
qui nous a donné auſſi la ligne E F de 82 toiſes, à laquelle
ajoutant la ligne S E, c’eſt-à-dire la face du baſtion, qui eſt
de 50 toiſes, on aura toute la ligne S E F de 132 toiſes: &
comme la ligne F G eſt les deux tiers du flanc E D, que nous
avons trouvé de 27 toiſes 2 pieds, elle ſera donc de 18 toiſes
1 pied 4 pouces. Or comme du triangle S F G on connoît les
côtés F S & F G avec l’angle compris, on trouvera par leur
moyen que l’angle F S G eſt de 8 degrés, & que le côté eſt de
126 toiſes 5 pieds; &
ſi au côté S F on ajoute la ligne F K de
5 toiſes, & au côté S G la ligne G I auſſi de 5 toiſes, l’on aura
toiſes, le côté S I de 131 toiſes 5 pieds, & l’angle K S I de
8 degrés, avec leſquels on trouvera la ligne K I de 18 toiſes
4 pieds quelque choſe; &
comme cette ligne eſt égale au rayon
P K, il ſera donc auſſi de 18 toiſes 4 pieds.
Si l’on conſidere bien le revêtement du flanc concave K I,
le milieu duquel il y auroit un vuide en forme de cône tronqué,
comme dans l’art. 820;
&
pour le mieux comprendre, ima-
ginons que X V eſt la moitié d’un cylindre, dont le rayon P N
du cercle eſt le même que celui de l’arc N O du flanc, & que
le rayon P K étant de 18 toiſes 4 pieds, ſi on y ajoute la ligne
K N, qui marque l’épaiſſeur de la muraille au cordon, & qui
eſt par conſéquent de 5 pieds, on aura la ligne P N de 17 toiſes
3 pieds: ſi donc de la ligne P K on retranche la ligne K L,
qui marque le talud de la muraille, qui eſt de 6 pieds, l’on aura
la ligne P L de 17 toiſes 4 pieds; &
ſi la ligne N V eſt égale à
la hauteur du revêtement, c’eſt-à-dire de 5 toiſes, le trapeze
K L V N ſera le profil du revêtement: ainſi comme l’on con-
noît le rayon P N du cylindre, le demi-diametre P K du plus
grand cercle du cône tronqué, & le demi-diametre P L du
plus petit cercle du même cône, & de plus l’axe P p de 5 toiſes;
on a tout ce qu’il faut pour meſurer la ſolidité du cylindre
X V & celle du cône tronqué.
Ayant donc trouvé ces ſolidités,
on ſouſtraira celle du cône tronqué de celle du cylindre, pour
avoir la différence, qui étant une fois trouvée, l’on dira: Si
360 m’ont donné tant pour la différence du cylindre au cône
tronqué, que me donneront 60 degrés, valeur de l’angle
N O P pour la ſolidité du ſecteur de la partie du cylindre,
après en avoir ôté le cône tronqué, & ce qu’on trouvera ſera
au juſte la valeur du revêtement du flanc concave. Quant à
la briſure F K, & au revers G I de l’orillon, ce ſont des par-
ties trop aiſées à toiſer, pour avoir beſoin d’explication.
855.
La maniere de toiſer l’arrondiſſement d’une contreſ-
mais
comme cette partie eſt la même que celle du flanc concave,
ſi on a bien entrendu ce que j’ai dit ci-devant, je ne crois pas
qu’on ſe trouve embarraſſé. Cependant comme je ne veux rien
laiſſer à deviner, conſidérez que pour toiſer la maçonnerie de
la contreſcarpe de la figure 278, on s’y prendra comme on a
abſtraction des contre-forts, on multipliera la ſuperficie de la
maçonnerie par la longueur de la contreſcarpe rectiligne, &
qu’on meſurera auſſi les pyramides tronquées, qui ſe trouve-
ront dans les angles rentrans; &
pour l’arrondiſſement, on s’y
prendra comme il ſuit.
856.
Suppoſant que l’arc A C B marque le pied de la mu-
l’arc H I K avec
le précédent l’épaiſſeur au ſommet, & l’intervalle C F le talud,
on commencera par chercher la valeur de la corde A B, que
nous ſuppoſerons de 20 toiſes, & celle de la fleche L C, qui
ſera, par exemple, de 4, afin de connoître le diametre de
l’arc A C B, qu’on trouvera, auſſi-bien que celui de tout autre
arc, en cherchant une troiſieme proportionnelle à la fleche L C,
& à la moitié de la corde L A, c’eſt-à-dire à 4 &
à 10:
cette
troiſieme proportionnelle, qui eſt ici de 25 toiſes, ſera la va-
leur du diametre qu’on demande.
857.
La raiſon de ceci s’entendra aiſément, en conſidé-
dent; &
on remarquera qu’ayant achevé le cercle, la demi-
corde L B eſt moyenne proportionnelle entre la fleche C L &
la partie L M du diametre; &
qu’ayant trouvé la ligne L M
troiſieme proportionnelle à C L & L B, on n’a qu’à l’ajouter à
la fleche C L, pour avoir le diametre C M.
Comme nous avons beſoin de connoître auſſi la quantité de
degrés que contient l’arc A C B, ſi on tire les rayons N B &
N A du centre, l’on aura le triangle A B N, dont on connoît
le côté A B de 20 toiſes, & les côtés N B &
N A chacun de
14 toiſes 3 pieds: il ſera donc facile de connoître l’angle
A N B, que l’on trouvera de 90 degrés 44 minutes.
Préſentement ſi l’on conſidere le profil de la contreſcarpe
dans la figure 281, on verra que reſſemblant à celui du flanc
concave, l’arrondiſſement du foſſé eſt un ſecteur de cylindre,
duquel on a ôté un cône tronqué, dont l’axe commun ſeroit
la ligne O P. Or ſi la hauteur F R ou O P eſt de 18 pieds,
& l’épaiſſeur F I de 3, le talud C R de 4, le rayon P C étant
de 14 toiſes 3 pieds, le rayon O F ſera de 15 toiſes 1 pied, &
le rayon O I ſera de 15 toiſes 4 pieds: &
comme on connoît
toutes les lignes du cylindre, qui auroient pour plan généra-
teur le rectangle P I, & celles du cône tronqué, qui auroient
ſolidité de l’un & de l’autre, &
qu’on ôte celle du cône tron-
qué de celle du cylindre, on aura la différence qui nous don-
nera la ſolidité que nous cherchons, en diſant: Si 360 degrés
m’ont donné cette différence, que me donneront 90 degrés
44 minutes pour la valeur de l’arrondiſſement.
Je n’ai rien dit juſqu’ici ſur la maniere de toiſer les contre-
forts, parce qu’ils ne ſont autre choſe que des parallélepipedes,
dont la ſolidité ſe trouve en multipliant la baſe par la hauteur.
858.
Maniere de meſurer la ſolidité de l’onglet d’un batardeau.
Quand les foſſés d’une fortification ſont inondés, on y fait
ordinairement aux endroits les plus convenables des batardeaux
de maçonnerie, pour retenir les eaux ou pour les lâcher, ſelon
le beſoin qu’on en a. Pour connoître ce batardeau, conſidérez
la figure 277, qui fait voir que cet ouvrage n’eſt autre choſe
qu’un corps de maçonnerie, dont le profil A B C D E marque
que le deſſus B C D eſt en dos d’âne pour l’écoulement des eaux
de pluie, & pour empêcher qu’un homme ne puiſſe paſſer
deſſus: cependant comme les ſoldats pourroient, en deſcen-
dant du rempart avec une corde, paſſer le foſſé en s’acheva-
lant ſur cette chappe, on fait, pour y mettre empêchement,
une tourelle dans le milieu, qui s’oppoſe abſolument au paſ-
ſage. Pour toiſer ce batardeau, on commence par meſurer la
ſuperficie du profil A B C D E, qu’on multiplie par toute la
largeur du foſſé en cet endroit; enſuite on cherche la ſolidité
du cylindre F I K G, auſſi-bien que celle de ſa couverture, qui
eſt quelquefois un cône I L K, ou une demi-ſphere. Juſques-là
tout eſt facile; mais ce qui embarraſſe preſque tous les Ingé-
nieurs, c’eſt de toiſer les deux fragmens, comme F H G, de
la tourelle, qui ſont à droite & à gauche, comme on peut les
voir encore mieux en X & Z de la figure 282, qui eſt un profil
de la tourelle & du batardeau.
Ce problême me fut propoſé par pluſieurs Ingénieurs, qui
Je la cherchai, &
la trouvai
de pluſieurs manieres; je pris tant de plaiſir à y travailler, que
je cherchai même pluſieurs choſes fort curieuſes à ſon occa-
entr’autres de ſçavoir quelle eſt la quadrature de la ſur-
face de l’onglet, c’eſt-à-dire trouver un rectangle égal à ſa
ſurface: &
comme je crois qu’on ſera bien aiſe de ſçavoir ce
qu’on peut dire de plus intéreſſant là-deſſus, on n’a qu’à exa-
miner ce qui ſuit.
Comme l’axe du cylindre qui compoſe la tourelle répond
cape du cylindre en deux également; de ſorte que chaque
demi-cercle devient une des faces N Q M de l’onglet. Or ſi
l’on conſidere ce ſolide comme compoſé d’une quantité infinie
de triangles rectangles, tels que P O Q, qui ont tous pour
baſe les ordonnées Q O, R S, T V, des quarts de cercles O Q N
& O P M, on verra que tous ces triangles étant ſemblables,
ils ſont dans la même raiſon que les quarrés de leurs baſes; &
ne prenant que les triangles qui compoſent la moitié Q N O P
de l’onglet, il s’enſuit qu’on en trouvera la valeur, comme
on trouve celle des quarrés de leurs baſes, ou autrement comme
on trouve celle des quarrés des ordonnées d’un quart de cer-
cle (art. 569);
mais nous ſçavons que pour trouver la valeur
de tous ces quarrés, il faut multiplier celui de la plus grande
ordonnée O Q par les deux tiers de la ligne O N, qui en ex-
prime la quantité: ſil faudra donc, pour trouver la valeur de
tous les triangles, multiplier le plus grand triangle P O Q par
les deux tiers de la ligne O N: mais comme ceci ne donne
que la moitié de la ſolidité de l’onglet, il faudra donc, pour
l’avoir toute entiere, multiplier le triangle P O Q par les deux
tiers du diametre M N.
Suppoſant que cet onglet-ci ſoit le même que celui qui eſt
par conſé-
quent ſi la ligne C A eſt de 5 pieds, & le diametre A D de 9,
la ligne B C ſera de 4 & demi, &
la ſuperficie du triangle
A B C ſera de 11 pieds 3 pouces, qui étant multipliés par les
deux tiers du diametre A D, c’eſt-à-dire par 6, donnera 67 pieds
& demi cubes pour la ſolidité de l’onglet X.
Si on imagine l’onglet coupé par une quantité de plans,
qui paſſant par le centre B du demi-cercle, aillent tomber ſur
la circonférence A F D, c’eſt-à-dire perpendiculairement ſur
la ſurface de l’onglet, ces plans partageront l’onglet en une
infinité de petites pyramides, qui auront toutes pour hauteur
commune le rayon du demi-cercle, & leurs baſes dans la ſur-
Mais comme toutes ces pyramides, priſes
enſemble, ſont égales à une ſeule qui auroit pour baſe la
ſomme de toutes les baſes, c’eſt-à-dire la ſurface de l’onglet,
& pour hauteur ſon rayon, il s’enſuit qu’on trouvera encore
la ſolidité de l’onglet, en multipliant ſa ſurface par le tiers du
rayon.
859.
Préſentement je dis que la ſurface de l’onglet X eſt
égale à un rectangle, qui auroit pour baſe le diametre B D ou
M N de l’onglet, & pour hauteur, la hauteur même de l’on-
glet, c’eſt-à-dire la ligne B A.
Si l’on nomme la ligne B A, a;
le rayon C B ou C D, b;
le diametre B D ſera 2b.
Cela poſé, il faut faire voir que B D
x B A (2ba) eſt égal à la ſurface de l’onglet.
Conſidérez que la ſuperficie du triangle A B C eſt {ab/2}, &
que
ſi on multiplie cette quantité par les deux tiers du diametre
B D, c’eſt-à-dire par {4b/3}, l’on aura {4abb/6} pour la ſolidité de l’on-
glet: mais comme ce produit peut être regardé comme le pro-
duit de la ſurface de l’onglet par le tiers du rayon, il s’enſuit
que diviſant {4abb/6} par {b/3}, le quotient ſera néceſſairement la ſur-
face de l’onglet. Si l’on fait la diviſion, on trouvera que ce
quotient eſt 2ab = B D x B A; ce qui fait voir que la ſurface
de l’onglet eſt égale au rectangle que nous avons dit.
Ceci rentre dans la propoſition que nous avons donnée ſur
la ſuperficie des voûtes en plein cintre, & ſur leur ſolidité;
l’onglet que nous venons de meſurer pouvant être regardé
comme un double pan de voûte, dont chacun auroit la même
hauteur, & pour baſe le triangle B F I.
860.
Rien ne fait mieux connoître la beauté de la Géomé-
trie, que la fécondité de ſes principes qui ſemblent, à l’envi,
ouvrir de nouveaux chemins pour parvenir à la même choſe; témoin les belles découvertes qu’on a faites de notre tems,
parmi leſquelles en voici une qui eſt trop intéreſſante pour la
refuſer à ceux dont le principal objet, en étudiant la Géomé-
trie, eſt de ſçavoir meſurer les corps; mais comme ſa con-
noiſſance dépend de certaines choſes dont nous n’avons point
deviner.
861.
L’on nomme centre de gravité d’une ligne droite, un
point par lequel cette ligne étant ſuſpendue, toutes ſes parties
ſont en équilibre: car quoiqu’une ligne ſoit regardée comme
n’ayant aucune peſanteur, cela n’empêche pas que la diffé-
rence de ſes parties ne ſoit conſidérée comme un obſtacle à
l’équilibre. Ainſi la ligne A B étant diviſée en deux également
au point C, ce point eſt pris pour celui d’équilibre, c’eſt-à-dire
pour l’endroit par lequel cette ligne étant ſuſpendue, les parties
égales C A & C B ſeront en équilibre, parce que n’étant pas
plus longues l’une que l’autre, il n’y a point de raiſon pour que
l’extrêmité A ſoit plus ſollicitée à ſe mouvoir que l’extrêmité
D: &
quand cela eſt ainſi à l’égard d’un plan, ce point eſt ap-
pellé le centre de gravité du plan: car quoique le plan, auſſi-
bien que la ligne, ſoit conſidéré ſans peſanteur, cela n’em-
pêche pas qu’on ne regarde encore ſes parties comme pouvant
être un obſtacle à leur équilibre.
862.
Par exemple, ſi l’on a un rectangle A B, &
qu’on tire
C D, le point E où elles ſe coupent en
pivot fort aigu qui répondît à l’endroit E, il n’y auroit point
de raiſon pour que le plan inclinât plus du côté D B que du
côté A C, ni du côté A D, plutôt que du côté C B.
Comme les ſurfaces circulaires ſont formées par la circon-
que les ſolides cir-
culaires ſont formés par la circonvolution d’un plan, c’eſt la
valeur de ces ſurfaces & de ces ſolides qu’on ſe propoſe de
trouver ici, moyennant la connoiſſance du centre de gravité
de la ligne génératrice, & celui du plan générateur:
car ſi le
point C eſt le centre de gravité de la ligne A B, & qu’on éleve
à cet endroit la perpendiculaire C D, nous ferons voir que
(la ligne A B ayant fait une circonvolution autour de la ligne
E F, qui ſera appellée axe, & qui eſt auſſi perpendiculaire ſur
D C), la ſurface que décrira la ligne A B, ſera égale à un rec-
tangle, qui auroit pour baſe la ligne A B, & pour hauteur
une ligne égale à la circonférence, qui auroit pour rayon la
ligne D C, qui exprime la diſtance du centre de gravité C à
&
que ſi du centre de gravité E l’on abaiſſe une perpen-
diculaire E F ſur le côté C B, & qu’on faſſe faire une circon-
volution au rectangle A B ſur le côté C B (que nous nomme-
rons auſſi axe), le corps que décrira le plan, ſera égal à un pa-
rallélepipede qui auroit pour baſe ce plan même, & pour
hauteur une ligne égale à la circonférence du cercle, qui au-
roit pour rayon la ligne E F; ce que nous rendrons général
pour meſurer toutes les ſurfaces dont on pourra connoître les
centres de gravité de leurs lignes génératrices, & pour me-
ſurer tous les ſolides dont on pourra connoître le centre de
gravité de leur plan générateur.
863.
Connoiſſant le centre de gravité d’une ligne droite A B,
circonvolution autour de l’axe E F.
Je dis qu’il faut multiplier la ligne A B par la circonférence
du cercle, qui auroit pour rayon D C, & qu’on aura la ſurface
que l’on demande: car comme cette ligne décrira un cylindre
G B, & que pour trouver la ſurface de ce cylindre, il faut
multiplier le cercle du rayon F B de la baſe par la hauteur A B
du cylindre, il s’enſuit que la ligne D C étant égale à F B,
les circonférences de ces lignes ſeront auſſi égales, & que par
conſéquent le produit de la ligne A B par la circonférence du
rayon D C, ſera égal à la ſurface qu’on demande.
864.
Mais ſi la ligne A B, au lieu d’être parallele à l’axe
je dis qu’ayant fait une circonvolution à l’entour de l’axe E F,
la ſurface qu’elle décrira ſera encore égale au rectangle com-
pris ſous la même ligne G H, & ſous la circonférence du cer-
cle, qui auroit pour rayon la ligne D C, tirée du centre de
gravité C perpendiculaire ſur l’axe E F.
Comme cette ligne aura décrit la ſurface I H d’un cône
tronqué, & que la ligne D C eſt moyenne arithmétique entre
E G & F H, la circonférence qui auroit pour rayon D C
ſera moyenne arithmétique entre les circonférences des
rayons E G & F H:
mais comme ces circonférences ſervent
de côtés paralleles au trapézoïde qui auroit pour hauteur la
que ce trapeze eſt égal à la ſurface du cône
tronqué, il s’enſuit que le rectangle compris ſous G H, & la
circonférence du cercle, qui auroit pour rayon D C, eſt égal
à la ſurface décrite par la ligne G H.
865.
Enfin ſi la ligne génératrice venoit rencontrer, comme
à l’entour de l’axe E F, la ſurface qu’elle décrira ſera égale au
rectangle compris ſous la même ligne E K, & ſous la cir-
conférence du cercle qui auroit pour rayon D C.
Si l’on fait attention que la ligne génératrice aura décrit la
ſurface du cône L E K, on verra que cette ſurface étant égale
au rectangle compris ſous le côté E K, & ſous la moitié de
la circonférence du cercle L K (art. 547), la ligne D C étant
moitié du rayon F K, la circonférence dont elle ſera le rayon
ſera auſſi moitié de L K, & que par conſéquent le rectangle
compris ſous la ligne génératrice E K, & ſous la circonfé-
rence du cercle, qui auroit pour rayon D C, ſera égale à la
ſurface qu’elle aura décrite.
866.
Si l’on a une demi-circonférence E B F, &
que le point
fait une circonvolution ſur l’axe E F, la ſurface qu’elle décrira,
qui ſera celle d’une ſphere, ſera égale au rectangle compris ſous
une ligne égale à la demi-circonférence E B F, & ſous celle qui
ſeroit égale à la circonférence dont la ligne C D ſeroit le rayon.
Comme il faut connoître le centre de gravité C par rap-
port aux autres parties de la figure, on ſçaura que la ligne
C D, qui en détermine la poſition par rapport au centre du
demi-cercle, doit être quatrieme proportionnelle à la demi-
circonférence E B F, au diametre E F, & au demi-diametre
D F. Ainſi ayant nommé la demi-circonférence a;
le dia-
metre E F, b; le demi-diametre D F ſera {b/2};
&
par conſé-
quent on aura a : b :
: {b/2} :
{bb/2a}, qui fait voir que {bb/2a} eſt égal à la
ligne D C: mais comme nous avons beſoin de la circonfé-
rence de la ligne D C, on la trouvera, en diſant: Comme le
({bb/2a}) eſt à ſa circonférence: c’eſt pourquoi multipliant le ſe-
cond terme par le troiſieme, & diviſant le produit par le pre-
mier (art. 206), on trouvera le quatrieme, qui ſera 2b.
Comme 2b eſt la circonférence du rayon D C, ſi on la mul-
tiplie par la demi-circonférence E B F (a), l’on aura 2ab pour
la ſurface que la demi-circonférence aura décrite; ce qui eſt
évident: car comme cette ſurface eſt ici celle d’une ſphere,
& que la ſurface d’une ſphere eſt égale au produit du diametre
du grand cercle par la circonférence du même cercle (art. 574),
toute la circonférence étant ici 2a, & le diametre b, la ſurface
ſera toujours 2ab.
Je viens d’en dire aſſez pour faire voir que dès qu’on aura le
centre de gravité d’une ligne droite ou courbe, on trouvera
toujours la ſurface dont elle aura été la génératrice, & que
rien au monde ne ſeroit plus beau que ce principe, ſi on avoit
autant de facilité à trouver le centre de gravité de ces lignes,
qu’on en a à trouver la valeur des ſurfaces qu’elles décrivent. Ainſi ayant ſatisfait à mon premier deſſein, je vais remplir le
ſecond, en montrant comment on peut auſſi, par les centres
de gravité des plans générateurs, trouver la ſolidité des corps
qu’ils auront décrits.
867.
Si l’on a un rectangle A F, qui faſſe une circonvolution
ſera égale au produit du plan A F par la circonférence, qui auroit
pour rayon la ligne C D, tirée du centre de gravité C, perpendi-
culaire ſur l’axe E F.
Comme ce ſolide ſera un cylindre, nous ſuppoſerons que
c’eſt le cylindre A G: ainſi nommant l’axe E F, a;
la ligne
A E, b; la ligne C D ſera {b/2}, puiſqu’elle eſt la moitié de A E;
&
ſi l’on nomme la circonférence du rayon E A, c;
celle du
rayon C D ſera {c/2}.
Cela poſé, A E x E F (ab) ſera la valeur du plan généra-
teur, qui étant multiplié par la circonférence du rayon C D
({c/2}), doit être {abc/2} pour la valeur du ſolide, formé par la cir-
convolution du plan A F; ce qui eſt évident:
car comme ce
ſolide, ou autrement le cylindre A G, eſt égal au produit du
cercle de ſa baſe par l’axe E F (art. 812), on voit que la ſu-
perficie de ce cercle étant {bc/2}, ſi on la multiplie par l’axe E F,
on aura encore {abc/2}.
868.
Si l’on a un triangle iſoſcele E B F, dont le centre de
volution autour de l’axe E F, le ſolide qu’il décrira ſera égal au
produit du plan générateur par la circonférence du cercle, qui au-
roit pour rayon la ligne C D, tirée du centre de gravité perpendi-
culaire ſur l’axe.
Remarquez que le ſolide I K G H qu’aura décrit le triangle
E B F, eſt compoſé de deux cônes K G H & K I H, &
qu’il
s’agit de faire voir que le produit du plan E B F, par la cir-
conférence du rayon C D, eſt égal à ces deux cônes: mais pour
cela, il faut être prévenu que le centre de gravité du triangle
iſoſcele eſt un point tel que C, pris dans la perpendiculaire
B D à une diſtance C D de la baſe, qui eſt le tiers de la per-
pendiculaire. Ainſi nommant la ligne E F, a;
la ligne B D, b;
&
c la circonférence dont elle ſeroit le rayon, C D étant le
tiers de B D, la circonférence dont elle ſeroit le rayon ſera{c/3}.
Cela poſé, le triangle E B F ſera {ab/2}, qui étant multiplié
par {c/3}, l’on aura {abc/6} pour la valeur du ſolide K G H I; ce qui
eſt évident: car ſi l’on cherche par la voie ordinaire la ſolidité
du cône K G H, dont le plan générateur eſt le triangle E B D,
la ligne B D étant le rayon du cercle de la baſe, ſa valeur ſera
{bc/2}, qui étant multipliée par le tiers de la ligne E D (art. 556),
leur du cône; &
par conſéquent {2abc/12}, ou bien {abc/6} pour la va-
leur des deux cônes, c’eſt-à-dire du ſolide K G H I, qui ſe
trouve la même que la précédente.
869.
Mais ſi le triangle E B F faiſoit une circonvolution
autour de l’axe L M, il décrira un ſolide d’une autre figure,
dont le rapport avec le précédent ſera comme la ligne B C
eſt à la ligne C D: car pour trouver la valeur de ce ſolide, il
faudra multiplier le plan E B F par la circonférence du cercle,
qui auroit pour rayon B C: &
comme l’un &
l’autre ſolide
aura pour baſe le même plan E B F, ils ſeront dans la même
raiſon que leurs hauteurs, c’eſt-à-dire dans la raiſon des cir-
conférences des rayons B C & C D, qui ſont dans la même
raiſon que ces rayons.
L’on peut remarquer encore qu’ayant un triangle rectangle
E B D, qui faſſe une circonvolution autour du côté E D, il
décrira un cône dont on trouvera la valeur, en multipliant
le triangle B E D par la circonférence du cercle, qui auroit
pour rayon la ligne C D égale au tiers de la baſe B D: car mul-
tipliant B D (b) par la moitié de E D ({a/4}), l’on aura {ab/4} pour
la ſuperficie du triangle, qui étant multiplié par {c/d}, donnera {abc/12}.
Et ſi le triangle E B D faiſoit une circonvolution autour de
ble du cône: car comme le cône &
l’entonnoir ont le même
plan générateur, ils ſeront dans la raiſon des circonférences
décrites par le centre de gravité C: &
comme le rayon B C
eſt double de C D, l’entonnoir ſera double du cône; ce qui
fait voir qu’un cône eſt le tiers d’un cylindre de même baſe
& de même hauteur.
870.
Enfin ſi l’on avoit un triangle B A D, dont le point C
prolongeât la ligne A D indéfiniment juſqu’aux points E & F,
& que l’on fît faire une circonvolution au triangle B A D au-
tour de l’axe G F, le ſolide qu’il décriroit ſeroit égal au pro-
duit du plan B A D par la circonférence du cercle, qui auroit
pour rayon la ligne C F, qui eſt la diſtance du centre de gra-
&
ſi le triangle, au lieu de faire une cir-
convolution autour de l’axe G F, en faiſoit une autre autour
de l’axe H E, le ſolide qu’il décriroit ſeroit égal au produit du
plan A B D par la circonférence du cercle, qui auroit pour
rayon la ligne C E, tirée du centre de gravité à l’axe, & ces
deux ſolides ſeroient dans la raiſon des rayons C F & C E.
Je laiſſe au lecteur le plaiſir d’en chercher la démonſtra-
tion; &
je me contenterai de dire ſeulement que le ſolide,
formé par la circonvolution du triangle A B D autour de l’axe
G F, eſt ſemblable à celui dont nous avons parlé dans l’arti-
cle 820, c’eſt-à-dire qu’il fait la différence d’un cylindre,
duquel on auroit ôté un cône tronqué; &
que le ſolide, formé
par la circonvolution du triangle A B D autour de l’axe H E,
eſt auſſi ſemblable à celui de l’art. 819, c’eſt-à-dire qu’il fait la
différence d’un cône tronqué, duquel on auroit ôté un cylin-
dre: &
comme la maniere de trouver la valeur de ces ſolides
de la façon que je viens de dire, eſt plus aiſée que celle des
articles 819, 820, l’on pourra s’en ſervir pour toiſer la ma-
çonnerie, compriſe par le talud de l’orillon, du flanc concave,
& de l’arrondiſſement de la contreſcarpe.
871.
Si on a un demi-cercle E B F, dont le centre de gravité
que de ce point l’on abaiſſe la perpendiculaire
I D, je dis que le ſolide formé par la circonvolution du demi-
cercle E B F autour de l’axe E F, qui ſera une ſphere, ſera égal au
produit du plan E B F par la circonférence du cercle, qui auroit
pour rayon la ligne I D.
Il faut être prévenu que la ligne I D, qui marque la diſ-
tance du centre de gravité I au centre D du demi-cercle,
eſt une quatrieme proportionnelle à la moitié de la circonfé-
rence E B F au rayon D E, & aux deux tiers du même rayon.
Ainſi nommant la demi-circonférence E B F, a;
le rayon
D E, b; la moitié de la circonférence E B F ſera {a/2};
&
les deux
tiers du rayon D E ſeront {2b/3}: on trouvera la ligne D I, en di-
Comme {a/2} eſt à b, ainſi {2b/3} eſt à D I, qui ſera {4bb/3a}:
&
com-
me nous avons beſoin de la circonférence du rayon D I, on
dira: Si le rayon D E (b) donne 2a pour ſa circonférence,
que donnera le rayon D I ({4bb/3a}) pour ſa circonférence, qui
ſera {8abb/3a}, ou bien {8bb/3}? Or ſi l’on multiplie cette circonférence
par la valeur du demi-cercle E B F ({ab/2}), l’on aura {8abb/6}, ou
bien {4abb/3} pour la valeur du ſolide; ce qui eſt aiſé à prouver:
car comme une ſphere eſt égale au produit de quatre fois ſon
grand cercle par le tiers du rayon (art. 568 &
570), la ſu-
perficie du demi-cercle étant {ab/2}, celle de tout le cercle ſera ab,
qui étant multipliée par 4, donnera 4ab pour la valeur des
quatre cercles; &
ſi l’on multiplie cette quantité par le tiers
du rayon, c’eſt-à-dire par {b/3}, l’on aura {4abb/3} pour la valeur de
la ſphere, qui eſt la même que celle que nous venons de
trouver.
Mais ſi le demi-cercle E B F faiſoit une circonvolution au-
tour de la tangente G A, parallele au diametre E F, il décri-
roit un ſolide, dont on trouvera la valeur, en multipliant le
demi-cercle par la circonférence, qui auroit pour rayon la
ligne I B, qui eſt la diſtance du centre de gravité I à l’axe
G A, & ſi le demi-cercle fait encore une circonvolution au-
tour de l’axe A H perpendiculaire à E F, il décrira une eſpece
de bourlet, dont on trouvera la valeur, en multipliant le
demi-cercle par la circonférence du rayon I K, ou du rayon
D F, qui eſt la même choſe; &
pour lors le ſolide décrit par
le demi-cercle autour de l’axe E F, ſera au ſolide décrit au-
tour de l’axe G A, comme le rayon I D eſt au rayon I B, &
le ſolide formé par la circonvolution du demi-cercle autour
de l’axe E F, ſera à celui qui aura été formé par une circon-
volution du même demi-cercle autour de l’axe A H, comme
le rayon I D eſt au rayon I K ou D F.
Je n’ai point donné la maniere de trouver les centres de
eu en vue que d’exercer l’eſprit des Commençans, & leur
faire ſentir le prix de ce principe général, par le moyen duquel
on peut, indépendamment de ce que nous avons enſeigné
dans le huitieme Livre de la premiere Partie, réſoudre une
quantité de problêmes, dès qu’on a les centres de gravité des
figures génératrices, que l’on ne peut trouver d’une façon gé-
nérale, qu’avec le ſecours du calcul intégral: cependant on
peut voir ce qu’en a dit M. Ozanam dans ſon Traité de
Méchanique, où il trouve les centres de gravité de pluſieurs
figures par la Géométrie ordinaire.
872.
DIviſer un triangle en autant de parties égales qu’on vou-
Pour diviſer un triangle A B C en trois parties égales par
des lignes tirées de l’angle oppoſé à la baſe, il faut diviſer la
baſe A C en trois parties égales aux points D & E, tirer les
lignes B D & B E, &
le triangle ſera diviſé en trois triangles
égaux, puiſque ces triangles ont des baſes égales, & qu’ils ont
la même hauteur.
873.
Diviſer un triangle en deux parties égales par une ligne
L’on demande qu’on diviſe le triangle A B C en deux par-
ties égales par une ligne tirée du point D, parce que l’on ſup-
poſe que ce triangle eſt un champ, ſur le bord duquel eſt un
de ceux qui auront part au champ.
Pour réſoudre ce problême, il faut diviſer la baſe A C en
deux parties égales au point E, & tirer de ce point les lignes
E B & E D;
puis du point B tirer la ligne B F parallele à D E;
enfin tirer la ligne E D, qui diviſera le triangle en deux par-
ties égales B D F A & D F C.
Pour prouver cette opération, conſidérez que le triangle
A B E eſt la moitié de tout le triangle A B C; &
qu’à cauſe
des paralleles B F & D E, le triangle B F D eſt égal au trian-
gle B E F; d’où il s’enſuit que le triangle O F E, que l’on a
retranché du triangle B E A, eſt égal au triangle O D B, que
l’on a retranché du triangle E B C: ce qui fait voir que le tra-
peze B D F A eſt égal au triangle F D C.
874.
Diviſer un triangle en trois parties égales par des lignes
Pour diviſer le triangle A B C en trois parties égales par des
lignes tirées du point D, il faut partager le côté A C en trois
parties égales aux points E & F;
enſuite tirer la ligne D B, à
laquelle il faut mener des points E & F les paralleles E H &
F G: &
ſi l’on tire du point D les lignes D G &
D H, on aura
le triangle diviſé en trois parties égales A H D, D H B G,
& D G C.
Pour le prouver, il ne faut que tirer les lignes B E &
B F,
qui diviſeront le triangle en trois autres triangles égaux. Or
comme le triangle A B E eſt égal au triangle A H D, à cauſe
des paralleles H E & B D:
on verra par la même raiſon que le
triangle D G C eſt égal au triangle B F C, & que par conſé-
quent ils ſont chacun le tiers de toute la figure.
875.
Diviſer un triangle en trois parties égales par des lignes
tirées dans les trois angles.
On demande un point dans le triangle A B C, duquel ayant
Pour réſoudre le problême, il faut faire la ligne A F égale
au tiers de la baſe A C, du point F tirer la ligne F E parallele
au côté A B, & diviſer la parallele F E en deux également au
point D, ce point ſera celui qu’on cherche: car ayant tiré dans
les angles du triangle les lignes D B, D A & D C, elles diviſe-
ront le triangle en trois parties égales.
Pour le prouver, je tire la ligne B F, qui me donne le
triangle B A F, qui eſt le tiers de toute la figure: &
comme
ce triangle eſt égal au triangle A D B, à cauſe des paralleles,
il s’enſuit que ce dernier triangle eſt auſſi le tiers de la figure: &
comme les triangles A D C &
B D C ſont égaux entr’eux,
comme il eſt facile de le voir, il s’enſuit que le problême eſt
réſolu.
876.
Diviſer un triangle en deux parties égales par des lignes
Pour diviſer en deux également le triangle A B C par des
lignes tirées du point donné F, il faut diviſer la baſe A C en
deux également au point D, & tirer la ligne D F, à laquelle il
faut mener une parallele B E; après quoi l’on n’aura qu’à tirer
les lignes E F & F B pour avoir la figure A B F E égale à la
figure B F E C.
Pour le prouver, tirez la ligne B D, &
conſidérez qu’à cauſe
des paralleles le triangle B F E eſt égal au triangle B D E, &
que par conſéquent ce qu’on a retranché d’une part eſt égal à
ce que l’on a ajouté de l’autre dans les deux triangles A B D
& D B C.
877.
Diviſer un triangle en deux parties égales par une ligne
Pour diviſer le triangle A B C par une ligne D E parallele à
côtés, par exemple, le côté B C; puis chercher une moyenne
proportionnelle entre tout le côté B C, & ſa moitié B F:
&
ſuppoſant que la ligne B E ſoit égale à la moyenne, que l’on
aura trouvée, on n’aura qu’à mener du point E la parallele
E D à la baſe A C, pour avoir réſolu le problême.
Pour le prouver, faites attention que les lignes B C, B E,
B F étant proportionnelles, il y aura même raiſon du quarré
fait ſur la ligne B C au quarré fait ſur la ligne B E, que de
la premiere ligne B C à la derniere B F (art. 497).
Or comme
les triangles ſont dans la même raiſon que les quarrés de leurs
côtés homologues, le triangle B A C ſera double du triangle
B D E, puiſque le quarré du côté B C eſt double du quarré
du côté B E, à cauſe que la ligne B C eſt double de la ligne B F.
Si l’on vouloit diviſer un triangle en trois parties égales par
des lignes tirées paralleles à la baſe, il faudroit chercher d’a-
bord une moyenne proportionnelle entre l’un des côtés du
triangle, & les deux tiers du même côté;
&
ayant déterminé
la longueur de cette moyenne ſur le côté qu’on aura diviſé,
l’on tirera une parallele de l’extrêmité de cette ligne à la baſe: on aura un triangle intérieur, qui ſera les deux tiers de celui
qu’on veut partager en trois: &
ſi l’on diviſe le rectangle qui
contient les deux tiers du grand, en deux également, comme
on vient de le faire dans la propoſition précédente, tout le
triangle ſe trouvera diviſé en trois parties égales.
878.
Diviſer un Trapézoïde en deux parties égales par une
Pour diviſer le trapézoïde A B C D par une ligne parallele à
la baſe, il faut prolonger les deux côtés A B & D C pour
qu’ils ſe rencontrent au point G, puis élever ſur l’extrêmité
G la perpendiculaire G H égale à la ligne G B; tirer la ligne
H A, & décrire ſur cette ligne un demi-cercle, dont il faudra
diviſer la circonférence en deux également au point I; &
ayant tiré la ligne I H, on fera G E égal à I H: &
ſi par le
point E l’on mene la parallele E F à la baſe A D, je dis qu’elle
diviſera le trapézoïde en deux parties égales.
Pour le prouver, je conſidere que la ligne H A eſt le côté
du quarré, qui vaut la ſomme des quarrés B G & G A;
&
que
la ligne I H eſt le côté d’un quarré qui vaut la moitié du
quarré H A: par conſéquent le quarré I H ou G E eſt moyenne
arithmétique entre les quarrés G A & G B.
Et comme les
triangles ſemblables ſont dans la même raiſon que les quarrés
de leurs côtés homologues, il s’enſuit que les quarrés des côtés
G B, G E, G A étant en progreſſion arithmétique, les trian-
gles G B C, G E F, G A D ſont en proportion arithmétique,
par conſéquent ſe ſurpaſſent également; &
comme les gran-
deurs dont ils ſont ſurpaſſés, ne ſont autre choſe que le tra-
pézoïde E C, & A F, je conclus que ces trapézoïdes ſont
égaux, & que par conſéquent le problême eſt réſolu.
879.
Diviſer un trapeze en deux également par une ligne pa-
Pour diviſer le trapeze A B C D par une ligne parallele au
côté A B, il faut prolonger les côtés B C & A D, tant qu’ils
ſe rencontrent au point G; puis réduire le trapeze en triangle
pour avoir le point F: après quoi on diviſera la baſe A F du
triangle A B F en deux également au point H; on cherchera
une moyenne proportionnelle entre A G & H G, qui ſera,
par exemple, I G; &
ſi du point I l’on mene la ligne I K pa-
rallele à A B, elle diviſera le trapeze en deux parties égales
A B K I & I K C D.
Pour le prouver, remarquez que les triangles A B G &
I K G ſont ſemblables, & qu’étant dans la même raiſon que
les quarrés de leurs côtés homologues, ils ſeront comme les
lignes A G & H G (art.
497).
Or comme les triangles A B G
& H B G ont la même hauteur, ils ſeront dans la même rai-
ſon que leurs baſes, & auront par conſéquent même raiſon
que les lignes A G & H G;
d’où il s’enſuit que le triangle I K G
eſt égal au triangle H B G. Cela poſé, ſi l’on retranche de part
& d’autre la figure H O K G qui eſt commune à ces deux trian-
gles, il reſtera le triangle O I H égal au triangle O B K: mais
comme le triangle B A H eſt égal à la moitié du trapeze, il
s’enſuit que la figure A I K B eſt auſſi égale à la moitié du tra-
que par conſéquent la ligne I K le partage en deux
également.
880.
Diviſer un trapézoïde en trois parties égales.
Cette propoſition eſt peu conſidérable, mais elle eſt miſe
ici pour ſervir d’introduction aux ſuivantes. Ainſi conſidérant
le trapézoïde A C, qu’on propoſe à diviſer en trois parties
égales, on verra qu’il ne faut que diviſer les côtés B C & A D
en trois parties égales, & tirer les lignes G E &
H F, qui
donneront les figures égales A G, E H, F C, puiſqu’elles ſont
compoſées chacune de deux triangles égaux.
881.
Diviſer un trapeze en deux parties égales.
Pour diviſer le trapeze A B C D en deux parties égales, il
faut du point B tirer la ligne B H parallele à A D, & diviſer
les lignes B H & A D en deux parties égales aux points G &
F;
enſuite tirer les lignes G C &
G F, qui donneront la figure
C B A F G égale à la figure C G F D, qui ſont chacune moitié
du trapeze: car par l’opération le trapézoïde A G eſt égal au
trapezoïde G D, & le triangle B C G eſt égal au triangle G C H.
Mais pour que les deux parties du trapeze fuſſent plus régu-
lieres, il ſeroit à propos que les lignes de diviſion C G & G F
ne fiſſent qu’une ligne droite. Or ſi l’on tire à la ligne F C
la parallele G E, on n’aura qu’à tirer de E en F pour avoir le
trapeze diviſé en deux parties égales par la ſeule ligne E F,
comme on le peut voir par les triangles F G C & F E C, qui
ſont renfermés entre les mêmes paralleles.
882.
Diviſer un trapeze en deux parties égales par une ligne
L’on demande qu’on diviſe le trapeze A B C D en deux par-
ties égales par une ligne tirée de l’angle B.
Pour réſoudre ce problême, tirez les diagonales A C &
B D, & diviſez la premiere A C en deux parties égales au
point E, & de ce point menez la ligne E F parallele à B D;
&
ſi vous tirez une ligne de l’angle B au point F, elle diviſera
le trapeze en deux parties égales.
Pour le démontrer, conſidérez qu’ayant tiré les lignes E B
& E D, elles donnent les triangles A E D &
E C D égaux en-
tr’eux, auſſi-bien que les triangles A B E & E B C.
Cela étant,
le trapeze ſe trouve diviſé en deux parties égales par les lignes
E B & E D:
&
comme les triangles qui ſont renfermés entre
les mêmes paralleles nous donnent E B O égal à O F D, il
s’enſuit que la ſeule ligne B F diviſe le trapeze en deux égale-
ment.
883.
Diviſer un trapézoïde en deux parties égales par une
Pour diviſer en deux également le trapézoïde A B C D par
une ligne tirée du point H, il faut commencer par réduire le
trapézoïde en triangle, en tirant à la diagonale B D la parallele
C F, afin d’avoir le point F pour tirer la ligne F B, qui don-
nera le triangle A B F égal au trapézoïde. Cela poſé, il faut
diviſer la baſe A F du triangle en deux également au point E,
& tirer la ligne B E, pour avoir le triangle A B E, qui ſera la
moitié du trapézoïde. Préſentement il faut tirer la ligne B H,
& lui mener du point E la parallele E G;
&
ſi on tire la ligne
H G, elle diviſera le trapézoïde en deux également.
Pour le démontrer, faites attention qu’à cauſe des paralleles,
les triangles O H E & O B G ſont égaux, &
que par conſé-
quent la figure A B G H eſt égale à la moitié du trapézoïde,
puiſqu’elle eſt égale au triangle A B E.
884.
Diviſerun pentagone en trois parties égales par des lignes
Pour diviſer en trois parties égales le pentagone A B C D E
par les lignes tirées de l’angle C, il faut commencer par ré-
&
cela, en tirant aux lignes
C A & C E les paralleles B F &
D G, &
en menant des lignes
du point C au point F, & du même point C au point G, qui
donneront le triangle F C G égal au pentagone, comme on le
peut connoître facilement. Après cela, ſi l’on diviſe la baſe
F G en trois parties égales aux points H & I, on n’aura plus
qu’à tirer les lignes C H & C I pour avoir le triangle H C I,
qui ſera le tiers du triangle F C G, par conſéquent du penta-
gone, & il ſe trouvera que les parties H A B C &
I C D E ſe-
ront égales entr’elles, & ſeront par conſéquent chacune le tiers
du pentagone.
De tous les inſtrumens de Mathématique, il n’y en a point
dont l’uſage ſoit ſi univerſel que celui qu’on nomme compas de
proportion; car il facilite la pratique de toute la théorie de la
Géométrie: par exemple, la ligne des parties égales ſert à di-
viſer une ligne, ſelon une raiſon donnée, & à trouver des
troiſiemes & quatriemes proportionnelles:
la ligne des cordes
tient lieu de rapporteur, puiſque par ſon moyen l’on peut
connoître la valeur des angles, & en déterminer de quelque
quantité de degrés qu’on voudra: la ligne des polygones ſert
à diviſer un cercle en une quantité de parties égales, pour y
inſcrire des polygones: par le moyen de la ligne des plans,
l’on trouve les côtés des figures ſemblables qu’on veut aug-
menter ou diminuer ſelon les raiſons données: enfin la ligne
des ſolides, qui peut paſſer pour la plus conſidérable du compas
de proportion, ſert à trouver deux moyennes proportionnelles
entre deux lignes données, à diminuer & augmenter les ſolides
ſemblables, ſelon les raiſons que l’on voudra. Ce ſont toutes
ces propriétés que nous allons enſeigner ici, en commençant
par les lignes de parties égales.
885.
Diviſer une ligne droite en tant de parties égales qu’on
L’on trouvera marqué d’un côté ſur chaque jambe du compas
parce qu’elles ſervent effectivement à diviſer les lignes droites
en parties égales: &
pour faire voir comment on s’en ſert,
nous ſuppoſerons qu’on veut diviſer la ligne H I en neuf par-
ties, pour faire, par exemple, l’échelle d’un plan: pour cela,
il faut avec le compas ordinaire, prendre la longueur de la
ligne H I, & ouvrir le compas de proportion, de maniere que
les pointes du compas ordinaire puiſſent être poſées dans les
points de la ligne des parties égales, où l’on verra marqué 90,
qui ſera, par exemple, les points D & E.
Préſentement laiſ-
ſant le compas de proportion ouvert, il faut, avec le compas
ordinaire, prendre l’intervalle des points où l’on verra le nom-
bre 10, qui ſera, par exemple, l’intervalle F G. Or ſi vous
portez préſentement le compas ainſi ouvert ſur la ligne H I,
vous trouverez que ſon ouverture ſera la neuvieme partie de
cette même ligne,
Pour le démontrer, conſidérez que les triangles A F G &
A D E ſont ſemblables, & que par conſéquent il y aura même
raiſon de A F à A D, que de F G à D E. Or comme A F eſt la
neuvieme partie de A D, F G ſera la neuvieme partie de D E.
886.
Trouver une troiſieme proportionnelle à deux lignes données.
Pour trouver une troiſieme proportionnelle à deux lignes
données F & G, il faut prendre la premiere F avec le compas
ordinaire, & la porter ſur la ligne des parties égales, comme
ſi elle occupoit, par exemple, la diſtance depuis A juſqu’en D; enſuite prendre la ſeconde G, &
la porter depuis A juſqu’en B.
Il faut après cela ouvrir le compas de proportion d’une gran-
deur telle que la diſtance D E (des deux nombres égaux qui
correſpondent aux points D & E) ſoit égale à la ligne G.
Préſentement ſi l’on prend la diſtance B C, c’eſt-à-dire l’in-
tervalle du chiffre, qui eſt au point B à celui qui lui correſpond
au point C, l’on aura la troiſieme proportionnelle que l’on
cherche, qui ſera, par exemple, H.
Pour le prouver, conſidérez que les triangles A B C &
E A D
ſont ſemblables, & que la ligne A B étant égale à la ligne D E,
l’on aura A D : D E :
:
A B :
B C;
par conſéquent {.
./.
.} F.
G.
H.
887.
Trouver une quatrieme proportionnelle àtrois lignes données.
Pour trouver une quatrieme proportionnelle aux trois li-
gnes données A, B, C, il faut prendre la ligne A, & la porter
avec le compas ordinaire ſur la ligne des parties égales, enſorte
qu’elle occupe l’intervalle E F; puis porter la ſeconde B de-
puis le point F juſqu’au point correſpondant G: enfin il faut
prendre la troiſieme C, enſorte qu’elle occupe l’eſpace E H,
& l’intervalle du point H à celui qui lui correſpond en I, ſera la
quatrieme proportionnelle, comme eſt, par exemple, la ligne D.
Pour le prouver, remarquez que les triangles E F G &
E H I
ſont ſemblables, & par conſéquent l’on aura EF:
FG:
:EH:
HI,
ou bien A : B :
: C :
D.
888.
Inſcrire un polygone dans un cercle.
313.
ront à décrire l’octogone.
889.
Décrire un polygone régulier ſur une ligne donnée.
fois la ligne K L ſur la circonférence du cercle.
Si l’on vouloit prendre ſur la circonférence du cercle H un
arc de 70 degrés, il faudra avec le compas ordinaire, porter
ſur la ligne des cordes aux endroits marqués 60 la grandeur ou
le rayon H I: ainſi ſuppoſant que l’angle A B C eſt formé par les
lignes des cordes du compas de proportion, de maniere que
l’on ait ouvert la grandeur D E égale au rayon H I, l’on pren-
dra l’intervalle de F en G, que je ſuppoſe être de 70 en 70,
& la ligne F G ſera la corde de 70 degrés, qu’on n’aura qu’à
porter ſur la circonférence du cercle, pour avoir l’arc M I qu’on
demande.
891.
Un angle étant donné ſur le papier, en trouver la va-
leur par le moyen de la ligne des cordes.
Pour connoître la valeur d’un angle A B C, il faut, du point
B, comme centre, décrire l’arc A C d’une ouverture de compas
indéterminée; enſuite prendre le rayon B C, &
ouvrir le
compas de proportion, de maniere que l’intervalle de 60 en
60, marqué ſur la ligne des cordes, ſoit égal au rayon. Pré-
ſentement ſi on prend avec le compas la corde A C, & qu’on
la porte ſur la ligne des cordes, de façon qu’il convienne
dans deux points également éloignés du centre, les nombres
qui correſpondront à ces points, donneront la valeur de l’an-
gle: ainſi ſuppoſant que ce ſoit de 50 en 50, l’on connoîtra
que l’angle A B C eſt de 50 degrés.
892.
Connoiſſant la quantité de degrés d’un arc de cercle, trouver
Si l’on a un arc de cercle B A de 50 degrés, &
qu’on veuille
connoître le rayon du cercle de cet arc, il faudra prendre avec
le compas la corde B A, & la porter ſur la ligne des cordes
pour ouvrir le compas de proportion de 50 en 50: par exemple,
ſi les points D & E correſpondent au nombre 50, il faut faire
l’intervalle D E égal à la corde B A; &
ſi après cela l’on prend
l’intervalle F G de 60 en 60, elle ſera le rayon que l’on de-
mande, c’eſt-à-dire que la ligne F G ſera égale au demi-dia-
metre C B.
893.
Ouvrir le compas de proportion de maniere que les lignes
lignes A B & C B ſoient celles des cordes;
on demande de faire
avec elles un angle de 70 degrés.
Il faut prendre avec le compas ordinaire l’intervalle qu’il
y a du centre B au point F ou G, que je ſuppoſe être de 70
degrés; puis porter les pointes du compas ainſi ouvert dans les
points de 60 en 60: par exemple, ſi les points D &
E ſont
ceux de 60 en 60, il faut faire la diſtance D E égale à l’inter-
valle B F, & les lignes des cordes formeront l’angle A B C de
70 degrés.
894.
Le compas de proportion étant ouvert d’une grandeur quel-
cordes.
Si l’on veut ſçavoir la valeur de l’angle A B C, formé par
les lignes des cordes, l’on n’aura qu’à prendre avec le compas
ordinaire l’intervalle de 60 en 60, puis la porter ſur l’une des
cordes, en commençant du centre, l’on trouvera la quantité
de degrés que contient l’angle: ainſi les points D &
E étant
ſuppoſés ceux de 60, l’on prendra la ligne D E pour la porter
ſur B F; &
ſi l’on voit que le point F correſpond à un nom-
bre, par exemple, de 70, l’on verra par-là que l’angle A B C
eſt de 70 degrés.
Comme l’on applique quelquefois des pinnules aux extrê-
mités des cordes du compas de proportion, pour prendre des
angles ſur le terrein, on peut en former de telle ouverture
que l’on voudra, puiſque par ces deux propoſitions l’on peut
faire un angle quelconque avec les lignes des cordes, & qu’on
peut d’ailleurs connoître la valeur des angles qu’elles peuvent
former.
895.
Faire un quarré qui ſoit à un autre ſelon une raiſon donnée.
Pour faire un angle droit tel que B A C avec les deux lignes
des plans, il faut avec le compas ordinaire prendre l’intervalle
du centre à un nombre quelconque D, qui ſera, par exemple,
20, puis ouvrir le compas de proportion, de maniere que l’in-
tervalle des points (qui correſpondront à la moitié de ce nom-
bre) ſoit égal à la longueur A D: ainſi prenant les nombres
10 & 10, qui ſeront moitié de 20, l’on n’aura qu’à faire l’in-
tervalle F G égal à la diſtance A D, & les lignes des plans
A B & A C formeront un angle droit.
898.
Faire un quarré égal à deux autres donnés.
Pour faire un quarré qui ſoit égal aux deux autres A B &
C D, il faut ouvrir le compas de proportion, de maniere que
les lignes des plans forment un angle droit, comme eſt l’angle
E F G; puis prendre ſur la ligne F E la longueur F I égale au
côté A B, & bien retenir le nombre où l’extrêmité I viendra
aboutir: enſuite il faut prendre de même la longueur F H
égale au côté C D de l’autre quarré & la diſtance de H en I,
qui ſera, par exemple, celle de 18 en 5, ſera le côté du quarré
égal aux deux quarrés propoſés.
Comme toutes les figures ſemblables ſont dans la même
raiſon que les quarrés de leurs côtés homologues, l’on pourra
faire les mêmes opérations pour les triangles, les polygones
& les cercles que l’on a faits dans les propoſitions précédentes
pour les quarrés.
899.
Faire un cube qui ſoit à un autre ſelon une raiſon donnée.
Si l’on veut avoir un cube qui ſoit au cube A B, comme
3 eſt à 7, il faut commencer par prendre avec le compas or-
dinaire le côté A B, & le porter ſur la ligne des ſolides, de
maniere qu’il correſponde aux points 7 & 7:
ainſi ſuppoſant
que l’intervalle des points K & L ſoit celui du nombre 7, l’on
n’aura plus qu’à prendre l’intervalle I H de 3 en 3 pour avoir le
côté du cube que l’on demande. Ainſi faiſant C D égal à H I,
il y aura même raiſon du cube A B au cube C D, que de 7 à 3.
900.
Trouver le rapport qui eſt entre deux cubes.
Pour trouver le rapport qui eſt entre deux cubes quelconques
A B, il faut prendre le côté C D du plus petit cube,
& ouvrir le compas de proportion, enſorte que l’intervalle H I,
pris vers le centre, ſoit égal à ce côté. Après cela, l’on pren-
dra le côté A B pour le porter en un endroit, comme K L,
dont l’intervalle lui ſoit égal, & le rapport que l’on trouvera
entre les nombres qui ſeront marqués aux points I & K, ſera
le même que celui du cube C D au cube A B.
Comme tous les ſolides ſemblables ſont dans la même raiſon
que les cubes de leurs côtés homologues, il s’enſuit que l’on
pourra faire à l’égard des cylindres, des cônes, des pyramides,
& des ſpheres, les mêmes opérations que l’on vient de faire
pour les cubes, comme dans les propoſitions précédentes.
901.
Faire l’analyſe de l’alliage du métail dont on fait les pieces
de canon.
Pour connoître l’utilité de ce problême, il faut être prévenu
que le métail dont on fait les pieces d’Artillerie de fonte, eſt
compoſé de roſette, que l’on appelle communément cuivre
rouge, & d’étain fin d’Angleterre;
&
comme il doit y avoir
une proportion entre la roſette & l’étain qui compoſent le
métail, les Fondeurs les plus expérimentés ſuivent celle de
100 à 12, c’eſt-à-dire que ſur 100 livres de roſette ils mettent
12 livres d’étain.
Or comme il arrive tous les jours que dans les Fonderies on
fond des pieces qui ſont hors d’état de ſervir pour en faire de
nouvelles, & que les Fondeurs ſont embarraſſés pour ſçavoir
ſi le métail eſt conforme à l’alliage qu’ils ſuivent, pour qu’il
ne ſoit ni trop aigre ni trop doux; voici comment on pourra
connoître au juſte la quantité de roſette & d’étain qui compoſe
le métail des pieces.
C’eſt une choſe démontrée par l’expérience, &
dont la rai-
ſon phyſique eſt facile à appercevoir, que les métaux perdent
par exemple, ſi
l’on attache à une balance romaine un morceau de plomb pe-
ſant 48 livres, l’on verra que le corps étant mis dans l’eau,
de ſorte qu’il en ſoit environné de toutes parts, au lieu de peſer
48 livres, n’en peſera que 44, parce que le plomb perd dans
l’eau la douzieme partie de ſon poids, ainſi des autres métaux
qui perdent plus ou moins, ſelon qu’ils ſont plus ou moins pe-
ſans. Mais comme nous avons beſoin de connoître ici ce que
perdent l’étain & la roſette, l’on ſçaura que l’étain perd la
ſeptieme partie de ſon poids, & que la roſette n’en perd que
la neuvieme partie.
Cela poſé, pour connoître la quantité de roſette &
d’étain
qui ſe trouve dans une piece de 24 livres de balle, qui peſe en-
viron 5200 livres, il faut avoir un morceau de la piece, qui
ſera, par exemple, un de ſes tronçons, & le peſer bien exac-
tement; &
ſuppoſant qu’il peſe 163 livres, on le peſera en-
ſuite dans l’eau, pour voir combien il perd de ſa peſanteur,
& nous ſuppoſerons qu’il en perd 19 livres.
Préſentement il faut conſidérer le métail comme étant tout
de roſette, afin de voir, ſelon cette ſuppoſition, combien il
perd de ſa peſanteur, & l’on trouvera qu’il perd {164/9};
&
con-
ſidérant auſſi le métail comme étant tout étain, l’on cher-
chera combien il perd de ſa peſanteur, & l’on trouvera qu’il
perd {163/7}: ainſi ſi l’on nomme a la peſanteur du métail, b ſa
perte, c la perte du poids du métail, s’il étoit tout de roſette,
d la perte du même poids, s’il étoit tout étain, l’on aura
a = 163, b = 19, c = {163/9}, d = {163/7}; &
nommant x la quan-
tité de roſette qui eſt dans le métail, & y la quantité d’étain,
voici comment on trouvera la valeur de ces deux inconnues.
Il faut commencer par faire deux proportions, en diſant:
Comme a, poids du métail conſidéré comme roſette eſt à c,
perte de ce poids de roſette, ainſi x, qui eſt la quantité de
roſette inconnue, eſt à la perte du poids de la même roſette
inconnue; ce qui donne a:
c:
:x:
{cx/a};
&
faiſant la même choſe
pour l’étain, l’on dira: Comme a, poids du métail conſidéré
comme étain eſt à d, perte de ce poids d’étain, ainſi y, va
leur de la quantité inconnue, eſt à la perte de cette quantité
d’étain, qui donnera encore cette proportion a:d:
:y:
{dy/a}.
Mais comme l’on a trouvé {cx/a} pour la perte du poids de la
roſette qui eſt dans le métail, & {dy/a} pour la perte du poids d’é-
tain, qui eſt auſſi dans le métail, & que ces deux quantités
font enſemble la perte du poids du métail: l’on aura donc
cette équation {cx/a} + {dy/a} = b; &
comme x &
y repréſentent
la roſette & l’étain qui compoſent le métail, l’on pourra en-
core former cette équation x + y = a; &
dégageant une de
ces deux inconnues, qui ſera, par exemple x, l’on aura
x = a - y; &
ſubſtituant la valeur de x dans l’équation
{cx/a} + {dy/a} = b, il viendra {ac - yc + dy/a} = b, ou bien c + {dy-yc/a} = b. Or ſi l’on fait paſſer c du premier membre dans le ſecond, &
que l’on multiplie les deux membres par a, il viendra dy - yc
= ab - ac, qui étant diviſé par d - c, donne y = {ab - ac/d - c}, où
y eſt égal à des quantités connues: par conſéquent ſi l’on met
dans l’équation x = a - y la valeur de y, l’on aura x = a
- {ab + ac/d - e} = {ad + ab/d - c}, qui donne auſſi la valeur de x.
Or pour connoître y en nombres, je conſidere qu’il eſt égal
à ab - ac diviſé par d - c: &
comme b - c eſt multiplié par
a, je ſouſtrais de 19 de b {163/9} valeur de c, & le reſte eſt {8/9}, que
je multiplie par 163, qui eſt la valeur de a pour avoir {1304/9}, que
je diviſe par {363/7} - {163/9} valeur de d - c, qui eſt {416/63}; la diviſion
étant faite, l’on trouvera 28 pour la valeur de y: &
cher-
chant de même la valeur de x, l’on trouvera qu’elle eſt de
135; ce qui fait voir qu’il y a 135 livres de roſette, &
28 livres
d’étain dans le morceau de métail.
Pour ſçavoir préſentement la quantité d’étain qu’il y a dans
la piece de canon, il faut dire: Si dans 163 livres de métail il
y a 28 livres d’étain, combien y en aura-t-il dans 5200 livres,
poids de la piece? l’on trouvera qu’il y en a environ 894 livres,
& par conſéquent il y a 4306 livres de roſette.
Mais comme la raiſon de 4306 livres à 894 n’eſt pas égale à
celle de 100 à 12, parce que nous avons ſuppoſé qu’il y avoit
dans le métail beaucoup plus d’étain qu’il n’en falloit, il ſera
facile de ſçavoir combien il faut ajouter de roſette pour que
l’alliage ſoit bien fait, en diſant: Si pour 12 livres d’étain il
faut 100 livres de roſette, combien en faudra-t-il pour 894
On trouvera qu’il en faut 7450 livres;
&
comme il y
en a déja 4306 livres, il faudra en ajouter 3144 livres.
Si l’on a pluſieurs pieces à refondre en même-tems, l’on
cherchera par la regle précédente ce qui manque à chacune de
roſette ou d’étain, afin que l’alliage ſoit dans la raiſon de
100 à 12.
902.
Trouver le calibre des boulets &
des pieces de canon.
Pour trouver le calibre des boulets de telle peſanteur que
l’on voudra, il faut ſçavoir d’abord le diametre d’un boulet
de même métail d’un poids déterminé, comme, par exem-
ple, celui d’une livre de fer coulé, qui eſt d’un pouce 10 lignes
8 points, & conſidérer le diametre comme étant diviſé en un
grand nombre de petites parties égales, comme en 500 (pour
que dans le calcul on puiſſe négliger les reſtes), enſuite cuber
la valeur du diametre en petites parties, pour avoir 125000000
pour ſon cube, que nous regarderons ici comme le boulet
même, parce que les boulets étant des ſpheres, ils ſont dans
la même raiſon que les cubes de leurs diametres: c’eſt pour-
quoi ſi l’on veut avoir le diametre d’un boulet de 24, l’on
n’aura qu’à multiplier le cube d’un boulet d’une livre, c’eſt-à-
dire 125000000 par 24 pour avoir 3000000000, qui ſera le
cube du diametre du boulet de 24, puiſqu’il eſt 24 fois plus grand
que l’autre. Ainſi en extrayant la racine cube de 3000000000,
l’on aura 1442 petites parties, que l’on pourra changer en
pouces, lignes & points, en diſant:
Si 500 petites parties don-
nent un pouce 10 lignes 8 points pour le diametre du boulet
d’une livre, combien donneront 1442 petites parties pour le
diametre du boulet de 24. On trouvera, après la regle faite,
que le diametre eſt de 5 pouces 5 lignes, & un peu plus de
4 points.
Si l’on veut avoir le diametre de tout autre boulet, par
exemple, celui de 16, l’on fera comme on a fait pour celui
de 24, avec cette différence, qu’au lieu de multiplier 125000000
par 24, il faudra le multiplier par 16, afin d’avoir le cube du
diametre du boulet qu’on cherche: &
l’on pourra ſur ce prin-
cipe calculer une table pour tous les autres boulets.
Mais comme l’on a beſoin de connoître particuliérement
les diametres des boulets pour faire les coquilles dans leſquelles
on coule le fer qui doit les former, & que la plûpart pour-
roient ſe trouver embarraſſés, s’ils ne connoiſſoient pas le dia-
metre du boulet d’une livre, ou s’ils ſoupçonnoient qu’il ne fût
pas aſſez juſte pour ſervir de baſe à une regle générale, en ce
cas l’on pourra faire couler un boulet de tel diametre que l’on
voudra, comme de 3 pouces, ſans s’embarraſſer de ſa peſan-
teur qu’après qu’il ſera fondu, parce que pour lors on le peſera
bien exactement; &
ſuppoſant qu’on a trouvé qu’il peſe 5 livres
& demie, l’on réduira ſon diametre en petites parties pour le
cuber, & enſuite l’on dira:
Si 5 livres &
demie donnent tant
de petites parties pour le cube du diametre de ſon boulet, com-
bien une livre donnera-t’elle de petites parties pour le cube de
ſon diametre: &
lorſqu’on aura trouvé ce que l’on cherche,
on en extraira la racine cube, qui donnera en petites parties
la valeur du diametre du boulet d’une livre, qu’il ſera facile
de réduire en pouces, lignes, &c.
ſçachant que le diametre du
premier boulet eſt de 3 pouces.
Pour trouver le diametre des pieces, l’on ſçaura qu’il ne
differe que de peu de choſe de celui de leurs boulets; &
comme
cette différence, qui eſt ce qu’on appelle vent du boulet, n’eſt
pas la même pour toutes les pieces, il ſuffira de ſçavoir le dia-
metre de la piece d’une livre, pour trouver celui de tous les au-
tres: &
comme le diametre eſt d’un pouce 11 lignes 6 points,
parce que le boulet de cette piece a environ une ligne de
vent, on ſuppoſera, comme on a fait pour ſon boulet, que
le diametre de la piece eſt diviſé en 500 parties; &
voulant
trouver celui de la piece de 24, l’on cubera 500 pour multiplier
le produit par 24, dont on extraira la racine cube, qui eſt en-
core 1442, dont on pourra connoître la valeur en pouces,
lignes, &c.
en diſant:
Si 500 donnent un pouce 11 lignes
6 points pour le diametre de ſa piece d’une livre, combien
donneront 1442 pour le diametre de la piece de 24: on trou-
vera que ce diametre eſt de 5 pouces 7 lignes 9 points.
903.
Trouver le diametre des cylindres ſervant à meſurer la poudre.
L’on ne ſe ſert preſque jamais de balances dans les magaſins
& dans les Arcenaux pour meſurer la poudre que l’on diſtribue
aux troupes, ſoit pour des détachemens ou pour tout autre
ſujet, parce qu’il faudroit trop de tems pour en faire la diſtri-
bution: on ſe ſert, au lieu de balances, de certaines meſures de
fer blanc ou de cuivre, de figure cylindrique, qui contiennent
plus ou moins de livres de poudre, ou de parties de livres. Or
comme ſouvent l’on eſt obligé de faire faire de ces meſures,
& qu’on ne peut, ſans le ſecours de la Géométrie, ſçavoir les
dimenſions qu’il faut leur donner pour contenir une quantité
de poudre quelconque, voici une regle générale qui pourra
ſervir pour trouver le diametre de toutes les meſures que l’on
voudra: mais comme il faut que ces meſures ſoient ſembla-
bles pour que la regle puiſſe convenir à toutes également, nous
ſuppoſerons que ces meſures étant cylindriques, la hauteur du
cylindre eſt égale au diametre du cercle qui lui ſert de baſe.
Cela poſé, étant prévenu qu’une meſure cylindrique, dont
le diametre eſt de 3 pouces, contient 4 livres de poudre, l’on
trouvera le diametre d’une meſure pour autant de livres que
l’on voudra: par exemple, pour 10 livres, en diſant:
Si 4 livres
de poudre donne 125 pouces pour le cube du diametre de ſa
meſure, combien donneront 10 livres de poudre? l’on trou-
vera 312 pouces & demi cubes, dont il faudra extraire la ra-
cine qui ſera de 6 pouces 8 lignes 9 points, qui eſt la grandeur
qu’il faut donner au diametre de la meſure de 10 livres, qui
doit avoir auſſi la même hauteur: il en ſera de même pour
telle autre meſure que l’on voudra.
Mais ſi l’on ignore le diametre d’une meſure pour une
certaine quantité de poudre, & ſi l’on n’a aucun terme de la
proportion connue, dans ce cas il faut faire faire une me-
ſure à laquelle on donnera le diametre que l’on voudra, & on
la remplira de poudre, aſin de ſçavoir ce qu’elle contient; &
ſçachant ce qu’elle contient, & la valeur du diametre, l’on ſe
ſervira de la regle précédente pour trouver le diametre de
toutes les autres meſures, faiſant attention que ces meſures
ne peuvent avoir lieu que pour la poudre dont les grains ſont
approchans de même groſſeur que ſont ceux de la poudre à
canon: car ſi les grains étoient plus fins, les meſures contien-
droient moins de poudre en peſanteur.
L’on voit que cette regle eſt établie ſur ce que les cylindres
diametres. Or comme les meſures dont il s’agit ici ſont ſup-
poſées avoir une hauteur égale à leur diametre, elles ſeront
donc ſemblables, & par conſéquent leurs ſolidités, qui ne ſont
autre choſe que la quantité de poudre qu’elles contiennent,
ſeront dans la raiſon des cubes des diametres.
Mais ſi l’on vouloit avoir des meſures, dont la hauteur fût
plus grande ou plus petite que le diametre de la baſe (que nous
nommerons meſure irréguliere), il faudroit chercher le dia-
metre de la meſure pour la quantité de poudre que l’on veut
que cette meſure contienne, comme ſi cette meſure devoit
être réguliere, c’eſt-à-dire que le diametre fût égal à la hau-
teur; enſuite cuber le diametre, &
diviſer le produit par la
hauteur de la meſure irréguliere, & le quotient ſera la va-
leur du quarré du diametre de cette meſure. Après cela, ſi
l’on extrait la racine quarrée de cette quantité, l’on aura le
diametre du cercle qui doit ſervir de baſe à la meſure que l’on
cherche.
Comme les cercles ſont dans la raiſon des quarrés de leurs
diametres, l’on pourra prendre à la place des cercles les quarrés
de leurs diametres. Or comme les cylindres ſont égaux, lorſ-
que leurs hauteurs & leurs baſes, ou les quarrés des diametres
de leurs baſes ſont réciproques, nommant a le diametre de la
baſe du cylindre régulier, a ſera auſſi ſa hauteur; &
nommant
b la hauteur du cylindre irrégulier, & x le diametre de ſa baſe,
il faut, pour que le cylindre régulier ſoit égal à l’irrégulier,
que b : a :
: aa :
xx, d’où l’on tire bxx = aaa, ou bien xx = {aaa/b},
ou encore x = √{aaa/b}\x{0020} = a √{b/a}\x{0020}, qui fait voir la raiſon de la regle
précédente.
Ce que nous venons de dire à l’égard des meſures pour la
poudre, ſe peut appliquer à toutes autres meſures cylindriques
pour telles choſes que ce ſoit.
904.
Trouver quelle longueur doivent avoir les pieces de canon
par rapport à leurs calibres.
Les extrêmités dans leſquelles on eſt tombé pour régler la
bre, tantôt fort longues, tantôt fort courtes, m’ont fait penſer
qu’il devoit y avoir une longueur pour les pieces cylindriques
de chaque calibre, qui étoit telle, qu’avec la charge ordinaire
le boulet reçût la plus grande vîteſſe que l’impulſion de la pou-
dre eſt capable de lui donner; &
ſi pour la connoître l’on eſt
obligé de conſidérer les effets de la poudre dans le canon,
voici, à mon avis, ce que l’on peut dire de plus plauſible ſur
ce ſujet.
Comme l’on ne peut douter que plus il y a de poudre en-
plus le boulet reçoit de mouve-
piece D G la quantité de poudre D E. Cela poſé, auſſi-tôt que
le feu de l’amorce ſe ſera introduit au point A de la lumiere,
les premiers grains de poudre enflammés raréfieront l’air qu’ils
contiennent, & celui dont ils ſont environnés, &
écarte-
ront à la ronde tout ce qui leur fera obſtacle, & ſucceſſivement
la poudre continuant à s’enflammer, elle occupera un bien plus
grand volume qu’auparavant; &
agiſſant avec beaucoup de
violence à droite & à gauche du point A, &
particuliérement
du côté où elle trouvera moins de réfiſtance, qui eſt celui du
boulet qu’elle chaſſera du côté de la bouche, avec une grande
quantité de poudre, qui n’aura pas encore eu le tems de s’en-
flammer, & la vîteſſe du boulet augmentant dans la même
raiſon du volume de la poudre enflammée, il ſe trouvera dans
un inſtant chaſſé en G pour ſortir de la piece. Or ſi dans le
tems que le boulet a parcouru l’eſpace E G, la poudre qui l’ac-
compagnoit n’a pu être enflammée entiérement, il en ſortira
une quantité F avec le boulet, qui s’écartera comme du petit
plomb, au lieu que ſi la piece avoit été plus longue que je ne
la ſuppoſe ici, le boulet ayant à parcourir un plus grand eſ-
pace, la poudre qui a été chaſſée avec lui auroit eu le tems
de s’enflammer, & par conſéquent auroit été capable d’un plus
grand effort: ainſi l’on peut conclure que la proportion qu’il
doit y avoir entre D E & D G, c’eſt-à-dire entre la charge &
la longueur de la piece, doit être telle que la poudre acheve
de s’enflammer entiérement à l’inſtant que le boulet ſort de la
piece; d’où il ſuit qu’un canon qui eſt chargé plus qu’il ne
faut, ne chaſſe pas pour cela ſon boulet plus loin, & même
au contraire, puiſque plus il y aura de parties entre la poudre
le boulet, moins il recevra de mouvement:
&
cela eſt ſi vrai, que ſi au lieu d’un bouchon de fourrage ordi-
naire entre la poudre & le boulet, l’on en mettoit cinq ou
ſix, l’on s’appercevroit viſiblement que la portée ne ſeroit pas
ſi longue que s’il n’y en avoit qu’un, comme j’en ai fait l’ex-
périence: car le boulet ne recevant de mouvement que par
l’impulſion que la poudre a imprimée au premier bouchon,
celui-ci ne peut le communiquer aux autres, pour aller juſ-
qu’au boulet, ſans l’altérer; ce qui fait qu’il s’en faut de beau-
coup que le boulet n’ait autant de vîteſſe que s’il avoit reçu
ſon impulſion immédiatement de la poudre même. Ainſi le
trop de poudre fera le même effet que s’il y avoit trop de
bourre.
Mais ſi au lieu d’une piece trop courte nous en ſuppoſons
une trop longue, comme L O, il n’y a point de doute, quoi-
qu’elle ſoit de même calibre que la précédente, & chargée
avec la même quantité de poudre, qu’elle ne porte pas ſi loin
que ſi elle étoit d’une juſte longueur: car ſuppoſant que la
poudre L M faiſant ſon effet, ait pouſſé le boulet juſqu’au
point N, qui eſt l’endroit où elle auroit achevé de s’enflammer
entiérement, il eſt certain que ſi le boulet a encore à parcourir
l’eſpace N O, il ſortira avec moins de violence de l’endroit O,
que s’il étoit parti d’abord de l’endroit N: car dans le tems que
le reſte de la poudre acheve de s’enflammer vers N, la flamme
de celle qui a commencé vers la culaſſe ſe dilate, & l’air raréſié
s’amortiſſant de ce côté-là, il n’y a plus que celui qui eſt vers
N, qui fait impreſſion ſur le boulet; de ſorte que ſi la piece
étoit aſſez longue pour que l’impulſion de la poudre fût entiére-
ment amortie à l’inſtant que le boulet eſt prêt à ſortir de la piece,
il pourroit arriver que l’air que le boulet auroit chaſſé avec beau-
coup de violence, cherchant à rentrer dans la piece, le repouſ-
ſeroit vers la culaſſe; ce qui arriveroit ſans doute, ſi à l’inſtant
que le feu a pris à la poudre, l’on pouvoit boucher la lumiere
avec aſſez de promptitude, pour empêcher que l’air que le
boulet chaſſe ne ſoit remplacé par celui qui s’introduiroit
par-là.
Puiſque les pieces d’une trop grande longueur font moins
d’effet que les autres, il ne faut donc plus s’étonner ſi la cou-
levrine de Nancy (contre l’opinion commune) a moins de
portée que les pieces de même calibre, comme M. Dumez
Ce raiſonnement fait voir que la charge doit dépendre de
la longueur de la piece, & la longueur de la piece de la force
de la charge: mais comme pour de groſſes charges il faudroit
de longues pieces, dont le ſervice & le tranſport ſouffriroient
bien des difficultés, joint à la grande conſommation de pou-
dre que l’on ſeroit obligé de faire; comme il ſemble que la
méthode de charger (comme on le pratique ordinairement)
les pieces à la moitié du poids du boulet eſt la meilleure, il faut,
en comptant là-deſſus, chercher quelle doit être la longueur
d’une piece par rapport à un calibre quelconque, parce qu’après
cela l’on peut établir des regles pour connoître la longueur de
tous les calibres imaginables. Je crois que le plus ſûr moyen
pour parvenir à cette connoiſſance, eſt de faire un canon fort
long, dont le calibre ſeroit, par exemple, de 8 livres, & le
charger à la moitié du poids de ſon boulet, puis le tirer de but
en blanc, pour voir ſa portée: &
comme l’on ſuppoſe que la
piece eſt plus longue qu’elle ne doit être, on la ſciera pour la
diminuer d’un calibre, & on tirera un autre coup pour voir
de combien elle aura porté plus loin que le premier; &
conti-
nuant toujours à raccourcir la piece, en la diminuant de quel-
ques pouces, ſur la fin l’on arrivera à un point où la piece,
pour être un peu trop courte, portera moins loin qu’aupara-
vant; &
conſidérant la longueur moyenne entre celle du der-
nier coup & le pénultieme, l’on aura au juſte la longueur de
la piece par rapport à ſa charge, pour que la poudre ſoit ca-
pable du plus grand effet qu’il eſt poſſible avec la même quan-
tité de poudre.
Cependant comme ce que je propoſe ici pourroit peut-être
n’avoir pas ſes partiſans, quoique le ſujet ſoit aſſez de conſé-
quence pour prendre toutes ces meſures, voici encore ce que
l’on pourroit faire.
Comme l’expérience fait voir tous les jours que les petites
pieces portent plus loin à proportion que les groſſes, puiſque,
ſelon les épreuves qu’en a faites M. Dumez, il a trouvé que
nos pieces de France chargées aux deux tiers de la peſanteur
du boulet, & pointées à 45 degrés, portoient,
Ce qui me fait croire que la longueur des petites pieces eſt
mieux proportionnée par rapport à leurs calibres, que celle
des groſſes: ainſi ſuppoſant qu’une piece de canon de 4, qui a
ordinairement 6 pieds de longueur dans l’ame, ſoit bien pro-
portionnée, voici comment on pourra trouver la longueur
des pieces de tel calibre que l’on voudra.
Conſidérant A C comme étant la longueur de l’ame d’une
A B l’eſpace qu’occupe la poudre dans le canon;
&
H I l’eſ-
pace qu’occupe ſa charge; je fais attention que la poudre agiſ-
ſant dans la piece de 4 & dans la piece de 24, dans la raiſon
de la quantité qu’il s’en trouve dans l’une & dans l’autre (en
faiſant abſtraction des forces unies), il faut, afin que le boulet
de l’une & de l’autre piece parte dans le moment que la poudre
eſt entiérement allumée, qu’il y ait même raiſon du cylindre
A B au cylindre A C, que du cylindre H I au cylindre H K: &
comme je puis prendre à la place des cylindres A B &
H I
la quantité de poudre qu’ils contiennent, & à la place des cy-
lindres A C & H K le cube de leurs axes, puiſqu’ils doivent
être ſemblables, l’on pourra (pour trouver la longueur H K)
dire: Si deux livres de poudre, qui eſt la charge de la piece de
4, donne 216 pour le cube de ſon axe, combien donneront
12 livres de poudre, qui eſt la charge de la piece de 24, pour le
cube de l’axe de la même piece? l’on trouvera 1296 pieds
cubes, dont la racine cube eſt 11 pieds, moins très-peu de
choſe: ainſi l’on voit que l’ame de la piece de 24, pour être
proportionnée à ſa charge par rapport à celle de 4, doit avoir
11 pieds de longueur; &
comme l’ame de ces mêmes pieces
n’a ordinairement qu’environ 9 pieds: ſelon ce principe, elles
ſont trop courtes de 2 pieds.
L’on pourra trouver de même la longueur de toutes les au-
tres pieces, lorſqu’elles auront leurs chambres cylindriques: car ſi elles étoient autrement, il faudroit prendre d’autres
meſures.
Les pieces dont on ſe ſert ordinairement n’étant point d’une
longueur proportionnée à celle de la piece de 4, & comme il
n’y a point d’apparence qu’on les fonde toutes exprès pour les
y faire convenir, il faut, puiſque la charge d’une piece dépend
de ſa longueur, comme la longueur dépend de la charge, faire
voir comment on peut trouver la charge de toutes les pieces, en
connoiſſant le calibre & la longueur.
Comme les ames des
pieces qui ne ſont point ſemblables, ſont dans la raiſon com-
poſée des quarrés des diametres des pieces & des axes des
mêmes pieces, ſi l’on multiplie le quarré du diametre de cha-
que piece par l’axe, l’on pourra trouver la charge qui convient
aux pieces, puiſque ces charges doivent être dans la raiſon des
produits des quarrés des diametres des pieces, par les axes des
mêmes pieces. Ainſi voulant ſçavoir la charge d’une piece de
24 ordinaire, dont l’ame a 9 pieds de longueur; j’ai recours
à la piece de 4, pour en prendre le diametre, qui eſt 3 pouces,
que je quarre pour en multiplier le quarré par la longueur de
l’axe, qui eſt 6 pieds, dont le produit eſt 54; enſuite je quarre
le diametre de la piece de 24, qui donne 29 pouces 9 lignes
6 points, que je multiplie par l’axe, qui eſt 9, & le produit
eſt 268. Après cela, je fais une Regle de Trois, en diſant:
Si 54, produit du quarré du diametre de la piece de 4 par ſon
axe, donne deux livres pour ſa charge, combien donneront
268, produit du quarré du diametre de la piece de 24 par ſon
axe, pour la charge de la même piece? l’on trouvera 10 livres
moins quelque petite choſe, qui fait voir que les pieces de 24,
dont l’ame à 9 pieds de longueur, doivent être chargées à
10 livres de poudre, quand la piece de 4 ſera chargée à la moitié
de ſon boulet.
De la même façon, ſi l’on veut ſçavoir quelle doit être la
charge de la coulevrine de Nancy, par rapport à la piece de
4, chargée à la moitié de ſon boulet, il faut être prévenu que
cette piece eſt de 18 livres de balle, que ſon diametre eſt de
5 pouces 1 ligne 6 points, & que la longueur de ſon axe eſt
de 20 pieds: ainſi faiſant la regle, on trouvera qu’elle doit
être chargée à 20 livres de poudre.
Mais comme ſon métail ne réſiſteroit peut-être pas à une
charge auſſi forte que celle-ci, il n’y a qu’à voir la longueur
qui lui convient pour la charge de la moitié de ſon boulet,
c’eſt-à-dire pour 9 livres de poudre, en diſant: Si 2 livres de
le cube de ſon axe, que donneront 9 livres de poudre, qui eſt
la charge d’une piece de 18, pour le cube de ſon axe, que l’on
trouvera de 972, dont la racine cube eſt environ 9 pieds
11 pouces, qui eſt la longueur que devroit avoir l’ame de la
coulevrine, pour être bien proportionnée? Ainſi l’on con-
noîtra que cette piece eſt environ de 10 pieds plus longue qu’elle
ne devroit être.
905.
Depuis 1723 que j’ai écrit ce diſcours, j’ai fait des
épreuves pour ſçavoir quelle étoit la charge des pieces de dif-
férens calibre en uſage en France pour chaſſer le boulet à la
plus grande diſtance, ou pour battre en breche avec le plus de
violence qu’il eſt poſſible, afin que, partant de ce point, on pût
la diminuer ſelon les occaſions, & jamais l’augmenter.
J’ai
fait mes premieres épreuves à l’Ecole de la Fere, dans le mois
d’Octobre 1739, en préſence de Meſſieurs les Officiers d’Ar-
tillerie, en chargeant chaque piece de 8, de 12, de 16, & de
24, avec des charges qui alloient en augmentant par gradation
d’une demi-livre de poudre, en commençant par une charge
égale à la huitieme partie de la peſanteur du boulet, & finiſ-
ſoient par celle des deux tiers de la même peſanteur. L’on
tiroit de ſuite quatre coups avec la même charge, dont on pre-
noit enſuite la portée moyenne. J’entends que le premier coup
pour la piece de 16 a été chargée de deux livres de poudre, que
la ſeconde charge a été de deux livres & demie, la troiſieme
de trois livres, la quatrieme de trois livres & demie, ainſi de
ſuite juſqu’à dix livres & demie, qui eſt à peu près les deux
tiers de 16, peſanteur du boulet. On en a uſé de même pour
les pieces des autres calibres toutes pointées ſous l’angle de
4 degrés formé par la direction de l’ame avec l’horizon.
Ayant meſuré bien exactement toutes les portées de ces
pieces pour chaque charge différente, j’ai reconnu que celle
qui produiroit le plus grand effet, c’eſt-à-dire qui chaſſoit le
boulet à la plus grande diſtance, étoit à peu près égale au tiers
de la peſanteur du même boulet, & que tout ce que l’on em-
ployoit de poudre au-delà étoit en pure perte, parce qu’elle
ne s’enflammoit qu’après que le boulet étoit ſorti de la piece; il eſt vrai que plus l’on met de poudre dans un canon, plus la
détonnation eſt forte, ce qui arrive également quand l’on tire
ſans boulet: par conſéquent ces expériences ont fait voir que
livres de poudre, celle de 12 de quatre, celle de 16 de cinq &
demie, & celle de 24 de huit à neuf livres.
Ces épreuves ayant été conteſtées avec beaucoup de cha-
leur de la part de ceux qui ne les avoient point vues, la Cour
ordonna qu’elles fuſſent répétées à Metz, en préſence de M. le
Maréchal de Belle-Iſle, qui étoit chargé de la part du Roi de
veiller à leur exactitude, pour être en état d’en rendre compte
à Sa Majeſté: elles eurent le même ſuccès qu’à la Fere, ayant
auſſi reconnu qu’il falloit environ le tiers de la peſanteur du
boulet pour la charge la plus forte; mais on s’en eſt tenu à
neuf livres pour celle du plus grand effet des pieces de 24.
Dans le mois d’Août de la même année, l’on a encore ré-
pété ces épreuves à Strasbourg, mais avec des circonſtances
propres à les rendre plus exactes. L’on s’eſt ſervi d’une piece
de 24 bien conditionnée, que l’on a pointée ſous l’angle de
45 degrés & maintenue inébranlable, on ne s’eſt ſervi que
de boulets bien calibrés & bien ébarbés.
L’on verra dans le
Traité du Jet des Bombes, que le canon tiré ſous l’angle de
45 degrés ſe trouve dirigé de la maniere la plus convenable
pour faire des épreuves deſtinées à juger de l’effet des différentes
charges, parce que les portées des boulets qui partent ſous
une direction au deſſus ou au deſſous de 45 degrés, ſont plus
courtes avec une même charge que ne ſont celles des boulets
qui ſuivent la direction de l’ame pointée ſous cet angle; d’où il
ſuit que les plus grandes portées ne doivent être attribuées
qu’à la force de la poudre, & non pas aux accidens qui ne
peuvent que lesraccourcir.
L’on a employé un nombre de charges en progreſſion arith-
métique, tirées de ſuite en augmentant d’une livre pour
chacune, en commençant par huit livres, & finiſſant par
vingt-quatre. L’on a reconnu que la charge de neuf livres de
poudre avoit chaſſé le boulet à 2500 toiſes, & que toutes les
autres charges plus fortes, juſqu’à celle de vingt-quatre, n’a-
voit jamais chaſſé le boulet plus loin, au grand étonnement
de ceux qui en avoient douté. Le lendemain de cette pre-
miere ſéance, l’on a répété les mêmes épreuves avec les mê-
mes charges; mais au lieu de commencer par huit livres de
poudre, & finir par vingt-quatre, l’on a tiré le premier coup
à vingt-quatre livres, & le dernier à huit, en ſuivant la même
jamais les fortes charges ne l’ont emporté ſur celle de neuf
livres.
Comme je n’ai point eu de part à ces dernieres épreuves,
elles ne peuvent être ſuſpectées, ainſi elles conſtatent de la
maniere la plus évidente, que la plus forte charge du canon
doit être à peu près le tiers de la peſanteur du boulet.
L’on trouvera dans l’Hiſtoire de l’Académie Royale des
Sciences de l’année 1757, un Mémoire que j’y ai lu ſur la charge
du plus grand effet du canon, & qui répand un plus grand
jour ſur cette matiere que je n’ai fait juſqu’ici: on pourra y avoir
recours, ſi on le juge à propos.
906.
Il y a encore une difficulté touchant les armes à feu,
qui eſt de ſçavoir à quel endroit doit être poſée la lumiere,
pour que la poudre faſſe un plus grand effet, & je ne crois pas
que l’on ſe ſoit déterminé là-deſſus: les uns diſent qu’il faut
la placer dans le milieu de la longueur de la chambre, parce
que la poudre s’enflamme à la ronde, & en bien plus grande
quantité: les autres ſont d’une opinion contraire, &
veulent
qu’elle ſoit placée à l’extrêmité de la chambre contre la cu-
laſſe, diſant pour leur raiſon que la piece n’a pas tant de recul. Ces deux raiſonnemens ſont également vrais;
cependant
comme les reſſorts de la poudre, auſſi-bien que tous les autres
reſſorts, n’agiſſent avec plus ou moins de violence, qu’autant
que les corps qui leur réſiſtent cedent plus ou moins vîte, il s’en-
ſuit que quand une arme à feu n’a preſque point de recul,
c’eſt une marque que la poudre a trouvé ſi peu de réſiſtance
pour chaſſer la balle, qu’elle n’a eu beſoin que de ſon pre-
mier effort, au lieu que ſi elle trouve beaucoup de réſiſtance
vers la culaſſe & du côté de la balle, tous ſes efforts ſe déban-
deront en même tems, quoique le recul ſoit plus grand, la
balle ira bien plus loin que ſi le canon n’avoit point eu de
recul: ainſi la lumiere étant placée dans le milieu de la cham-
bre, les reſſorts agiront en bien plus grande quantité dans le
même tems, que ſi elle étoit contre la culaſſe, où ces mêmes
reſſorts ne peuvent agir que ſucceſſivement, puiſque la poudre
s’enflamme ainſi; &
ſi le boulet vient à partir dès que la poudre
commence à s’enflammer, il arrivera encore qu’une grande
partie ſera chaſſée hors de la piece ſans faire aucun effet: ainſi
il me ſemble que la lumiere placée dans le milieu de la
car
comme le canon ne recule qu’avec peine, à cauſe de la peſan-
teur de la machine & du frottement de l’affût contre la plate-
forme, il ſe fait une réaction d’une grande partie de poudre
qui agit contre la culaſſe, qui vient augmenter l’impulſion de
celle qui chaſſe le boulet.
Je crois qu’il ne ſera pas ici mal-à-propos de déſabuſer ceux qui
croient que le boulet, en ſortant de la piece, s’éleve au deſſus
de la même piece, & qui penſent qu’après avoir décrit une
courbe, il reprend une direction horizontale, pour en décrire
après cela une autre: la plûpart ſont ſi opiniâtres à ſoutenir
cette erreur, qu’on a beau leur dire que la peſanteur du boulet,
bien loin de permettre qu’il puiſſe s’élever au deſſus de l’axe de
la piece, l’emporte au deſſous, dès l’inſtant même qu’il ſort,
& lui fait décrire une courbe, qui à la vérité eſt d’abord fort
approchante de la ligne droite, mais qui devient ſenſible à
meſure qu’il s’éloigne de la piece; &
une preuve à laquelle ils
ont tous recours pour ſoutenir leur opinion, c’eſt, diſent-ils, que
quand on tire après une piece de gibier à la chaſſe, il faut tirer
un peu au deſſous de l’animal, pour gagner la diſtance dont
la balle s’eſt élevée au deſſus du canon: mais comme cette
raiſon ne vaut abſolument rien, en voici l’unique cauſe.
Si l’on attache un canon de fuſil ſur une petite planche, &
qu’aux deux côtés de cette planche on y mette deux tourillons,
enſorte que le canon ſoit en équilibre ſur ces tourillons, comme
le bras d’une balance, on verra que l’ayant chargé à balle, ſi
l’on tire au deſſus de l’horizon, la partie de la poudre qui agira
contre la culaſſe, & qui cauſe ordinairement le recul, fera
baiſſer la culaſſe, & par conſéquent lever le bout du canon:
&
comme cela ſe fera avant même que la balle ſoit ſortie du
canon, il arrivera qu’elle ira au deſſus de l’objet vers lequel
on avoit pointé, parce qu’en ſortant elle ira ſelon la direction
de l’ame, & non pas ſelon celle du rayon viſuel, qui ne ſera
plus la même à cauſe du dérangement de la culaſſe. Or ſi l’on
fait attention que le fuſil entre les mains du chaſſeur fait le
même effet que je viens de dire, l’on verra que quand on
veut pointer juſte, il faut pointer au deſſous de l’objet.
Cependant ce qui fait qu’il ſemble que le boulet à une cer-
taine diſtance s’éleve au deſſus de la piece, c’eſt que la ſurface
extérieure de la piece n’étant point parallele avec l’ame, le
pendant un tems de la direction de l’ame: &
comme cette
direction ſe coupe avec celle de la ſurface de la piece, de ces
deux lignes prolongées, celle de l’ame paſſe au deſſus de la
ſurface: &
ſi le boulet ſuit encore à peu près la direction de
l’ame au-delà de la ſection des deux lignes, il arrive en effet
que le boulet eſt au deſſus de la ſurface de la piece, mais non
pas au deſſus de la direction de l’ame prolongée; &
il y a
même apparence que des Fondeurs ont eu égard à l’obliquité
de la ſurface de la piece par rapport à l’ame, afin de rectifier
la ligne courbe pour tirer de but en blanc.
907.
Trouver la maniere de connoître le nombre de boulets
qui ſont en pile.
Les boulets de canon &
les bombes qui ſont dans les Arce-
naux, ſont ordinairement rangés en pile; ces piles ſont de
trois ſortes: il y en a qui ont pour baſe un quarré, que l’on
nomme piles quarrées, comme dans la figure 324, d’autres un
figure 325, & d’autres un parallélogramme, comme dans la
figure 326, que l’on nomme piles oblongues. Or comme la
maniere de compter ces boulets dépend d’un calcul qui eſt
différent, ſelon la figure de la pile, en voici la méthode.
Avant toutes choſes, il faut conſidérer que les faces de la
pile quarrée & de la pile triangulaire ſont toujours des trian-
gles, dont les trois côtés ſont égaux, & que ces triangles étant
formés par des boulets, ils compoſent une progreſſion arith-
métique, qui commence par l’unité, c’eſt-à-dire par le boulet
qui eſt au ſommet de la pile, & que le plus grand terme de
la progreſſion eſt la baſe du triangle. Et comme nous ſerons
obligés de connoître la quantité de boulets contenue dans une
face, que nous nommerons dans la ſuite triangle arithmétique,
voici comment on les pourra compter d’une maniere fort
aiſée.
Pour ſçavoir combien il y a de boulets dans le triangle
A B C, il faut compter combien il s’en trouve dans le côté
A C, ajouter à ce nombre l’unité, enſuite multiplier cette
choſe, & le produit donnera le nombre des boulets contenus
dans le triangle: ainſi le côté A C étant de ſix boulets, ſi j’a-
joute à ce nombre l’unité pour avoir 7, & que je les multiplie
par la moitié de A B ou de A C, qui eſt 3, le produit ſera 21,
qui eſt le nombre des boulets que l’on cherche. Il en ſera de
même pour tous les autres triangles arithmétiques.
La raiſon de ceci eſt que dans une progreſſion arithmétique,
a. a + e, a + 2e, a + 3e, a + 4e, a + 5e, dont les termes
ſe ſurpaſſent d’une quantité e, la ſomme des deux termes a + e
& a + 4e également éloignés des extrêmes, eſt égale à la
ſomme des extrêmes a & a + 5e, ou à celle des deux autres
termes quelconques auſſi également éloignés des extrêmes,
puiſque la ſomme des uns & des autres donne 2a + 5e;
mais
il y a la moitié autant de fois 2a + 5e (qui eſt la ſomme des
extrêmes) qu’il y a de termes dans la progreſſion: donc pour
avoir la valeur de tous les termes d’une progreſſion arithmé-
tique, qui commence par l’unité, ou par tout autre nombre,
il faut multiplier le premier & le dernier terme par la moitié
du nombre qui exprime la quantité des termes: c’eſt pourquoi
nous avons ajouté le premier terme A C avec le dernier B,
& nous avons multiplié la ſomme par la moitié du côté A B,
c’eſt-à-dire par la moitié du nombre des termes de la pro-
greſſion pour avoir les boulets du triangle.
Prévenu de ceci, il faut encore conſidérer que ſi l’on a une
quantité de boulets qui forment par leurs arrangemens un
priſme triangulaire D E H G F, ſoutenu par un plan incliné
coupé par un plan E F, parallele à la baſe, ſe trouvera diviſé
en deux parties, dont l’une, comme D E F, ſera le tiers de
tout le priſme, & l’autre, comme E F G H, en ſera les deux
tiers; car la partie E D F eſt une pyramide triangulaire, qui a
pour baſe le triangle oppoſé à E G H, & pour hauteur la hau-
teur D E du priſme: par conſéquent la partie E F G H, qui
eſt auſſi une pyramide, qui a pour baſe un quarré, en ſera les
deux tiers. Mais il faut remarquer que le plan E F partage un
triangle de boulet, tel que E F G, qui ſe rencontre dans la
coupe; ce qui rendra les deux pyramides imparfaites, quand
on les conſidérera compoſées de boulets: car comme le plan
E F paſſe par tiers de chaque boulet L, il faudra donner à la
boulets du triangle arithmétique qui ſe rencontre dans la
coupe E F. De même pour rendre réguliere la pyramide quarrée
E F G H, il faudra lui donner le tiers du même triangle arith-
métique. Or ſi l’on ſuppoſe que l’on a détaché du priſme la
pyramide quarrée E F G H pour tenir lieu de la pyramide
A B C Q, & que la pyramide triangulaire D E F qui reſte ſoit
que la pyramide A B C Q eſt plus grande que les deux tiers du
priſme qui auroit pour baſe le triangle A B C, qui eſt la même
choſe que E G H, & pour hauteur le côté A B, qui eſt la même
choſe que D E, du tiers du triangle A B C, qui eſt la même
que celui qui ſe trouve dans la coupe E F.
Enfin l’on pourroit dire auſſi que la pyramide M N O P ſera
plus grande que le tiers du priſme, qui auroit pour baſe le
triangle M N O, qui eſt le même que E G H, & pour hau-
teur le côté M N, qui eſt le même que E D, des deux tiers du
triangle M N O, qui eſt le même que le triangle arithmétique
qui ſe rencontre dans la coupe E F.
D’où il s’enſuit, 1°.
que pour trouver la quantité de boulets
contenue dans une pile quarrée A B C Q, il faut d’abord cher-
cher le nombre de ceux qui ſont contenus dans le triangle
arithmétique A B C, & le multiplier par les deux tiers du côté
A B ou A C, & ajouter au produit le tiers du triangle A B C.
908.
Ainſi le côté A C étant de 6, je commence par trou-
ver le triangle A B C, en ajoutant l’unité au nombre 6 pour
avoir 7, que je multiplie par la moitié du côté A B, qui eſt 3,
& le produit donne 21, que je multiplie par les deux tiers du
côté A B, qui eſt 4, pour avoir 84 au produit, auquel ajoutant
le tiers du triangle arithmétique A B C, qui eſt 7, il vient 91
pour le nombre des boulets de la pile.
909.
L’on pourra donc dire auſſi que pour trouver le nom-
bre de boulets contenus dans la pile triangulaire M N O P, il
faut multiplier le triangle M N O par le tiers du côté M N,
& ajouter au produit les deux tiers du nombre de boulets
contenus dans le triangle M N O: ainſi le côté N O étant en-
core de 6, le triangle arithmétique ſera de 21, qui étant mul-
tiplié par le tiers du côté M N, qui eſt 2, l’on aura 42, aux-
quels ajoutant les deux tiers du triangle, qui eſt 14, l’on aura
56 pour le nombre de boulets contenus dans cette pile.
A l’égard de la pile oblongue, il eſt fort facile d’en con-
car comme elle eſt compoſée
d’un priſme triangulaire R S T V, & d’une pyramide quarrée
V T X Y, l’on voit qu’il n’y a d’abord qu’à chercher la quantité
de boulets contenue dans une pyramide quarrée, qui auroit
pour côté X Y ou V X; enſuite ajouter à la valeur de cette
pyramide celle du priſme R S T V, que l’on trouvera en mul-
tipliant le triangle X T V ou celui de la coupe T V, qui eſt la
même choſe, par la quantité de boulets R T qui ſe trouve au
ſommet de la pile moins une unité; quand je dis moins une
unité, c’eſt qu’on doit faire attention que le premier boulet T,
avec le triangle arithmétique T V, qui lui correſpond, appar-
tient entiérement à la pyramide T V X Y, & par conſéquent il
doit être ſupprimé de la quantité R T.
Ainſi ſuppoſant que le côté X Y ou T X ſoit de 9, j’ajoute
1 à 9 pour avoir 10, que je multiplie par la moitié de 9; ou,
ce qui eſt la même choſe, 9 par la moitié de 10, qui eſt 5, le
produit ſera 45 pour la quantité de boulets du triangle X T Y,
que je multiplie par les deux tiers de 9, c’eſt-à-dire par 6, &
il vient 270 pour le produit, auquel j’ajoute le tiers du triangle,
qui eſt 15, & le tout fait 285 pour la pyramide.
Or ſuppoſant
auſſi que R T ſoit de 15 boulets, je multiplie 15 moins 1, qui
eſt 14, par le triangle arithmétique, qui eſt 45, & il vient 630
pour le nombre de boulets du priſme R S T V, qui étant ajouté
avec ceux de la pyramide, l’on trouvera 715 boulets dans la
pyramide oblongue.
910.
Comme il n’y a rien de plus commode pour l’imagi-
nation que les formules qui nous indiquent par leurs expreſſions
ce que nous avons à faire dans tous les cas imaginables, nous
allons donner une formule très-ſimple, par le moyen de la-
quelle on pourra trouver le nombre des boulets ou des bombes
rangés en piles, ſoit que ces piles ſoient diſpoſées en forme
priſmatique, comme dans la figure 326, ſoit qu’elles ſoient
en pyramide quarrée ou en pyramide triangulaire. Notre for-
mule peut s’appliquer à tous ces cas: car il eſt évident que
pour connoître le nombre de boulets compris dans la pile de la
figure 326, il faut, comme nous l’avons dit, décompoſer cette
pile en deux corps, dont l’un eſt le priſme triangulaire RQXYT,
lequel n’a aucune difficulté, & dont l’autre eſt une pyramide
qui a même nombre de rangs que le priſme triangulaire, ou
triangle S R Q.
Il n’eſt pas moins viſible que cette pile eſt la ſomme des
quarrés d’autant de nombres depuis l’unité qu’il y a de boulets
dans le côté R Q: ainſi ſi l’on a 9 boulets, la pyramide ſera
égale à la ſomme des quarrés des neuf premiers nombres,
1, 2, 3, 4, &c.
Tout ſe réduira donc à trouver la ſomme des
quarrés de tant de nombres naturels que l’on voudra. Sur quoi
je remarque que tous les quarrés des nombres naturels réſul-
tent de l’addition des termes de deux ſuites égales des nom-
bres triangulaires, diſpoſées de maniere que la premiere ait
un terme de plus que la ſeconde.
Par exemple, ſi l’on diſ-
poſe ces deux ſuites, com-
me on voit ici, & que
l’on les ajoute terme par
terme, il eſt évident qu’il en réſultera la ſuite des quarrés des
nombres naturels que l’on voit au deſſous. Ainſi tout ſe réduit à
trouver la ſomme des quarrés de tant de termes que l’on voudra
de la ſuite des nombres naturels: car de cette maniere on pourra
trouver le nombre des boulets contenus dans une pile trian-
gulaire & dans une pyramide quarrée quelconque.
La pyra-
mide triangulaire ſe trouvera, en ſommant autant de termes
qu’il y a de boulets dans le côté du triangle M N O, & la py-
ramide quarrée ſe trouvera, en ſommant d’abord un nombre
de termes de la ſuite des nombres triangulaires égal au nom-
bre de boulets contenus dans le côté B C du triangle B C Q,
en ſommant un nombre de termes de la même ſuite trian-
gulaire diminué de l’unité, la ſomme de ces deux premieres
ſera la ſomme des boulets de la pyramide quarrée. Voici la
formule que j’ai trouvée: Si m eſt égal au nombre de boulets
contenus dans le côté M O du triangle M N O, la ſomme des
boulets ſera {m
m = 6: donc on aura {216 + 108 + 12/6} = 56, c’eſt le nombre que
l’on a trouvé (art. 907).
Si la pyramide eſt une pyramide
quarrée, on pourra trouver le nombre des boulets par la même
formule. Si m = 6, on aura pour la premiere ſomme 56, &
pour la ſeconde, en faiſant m = 5, c’eſt-à dire en prenant la
terme, on aura {125 + 75 + 10/6} = 35, dont la ſomme, avec 56,
fait 91, comme on l’a déja trouvé à l’art. 906.
J’ai trouvé cette
formule, en recherchant les propriétés des nombres triangu-
laires; mais comme la théorie ſeroit peut-être un peu difficile
pour des Commençans, je me contente de donner la formule
qui eſt aſſez ſimple, pour qu’on puiſſe s’en reſſouvenir dans
tous les cas poſſibles. Il faut bien remarquer que par cette for-
mule, on pourra ſommer autant de termes que l’on voudra de
la ſuite des quarrés des nombres naturels.
911.
Suivant ces principes, on peut aiſément déduire une
formule pour ſommer tant de nombres quarrés que l’on vou-
dra: pour cela, il n’y a qu’à faire dans la formule m = m - 1,
& ajouter ce qui en viendra à la même formule, la ſomme
ſera une formule propre à ſommer tant de nombres quarrés
que l’on voudra: cette ſubſtitution donne
{m
jointe avec {m
+ {1/6} m. Il eſt à propos de ſe ſervir de cette formule pour trouver
les nombres des boulets rangés en pyramide quarrée, puiſ-
que l’on trouve la ſomme demandée par une ſeule opération,
au lieu que par l’autre formule il faut néceſſairement en faire
deux. Par exemple, ſi le nombre des rangs de boulets eſt 6,
en faiſant m = 6 dans cette derniere formule, on aura {216/3} + 18
+ 1 = 91, comme on l’avoit trouvé ci-devant. Cette formule
pour ſommer les nombres quarrés eſt démontrée, en admettant
celle que nous avons donnée pour ſommer les nombres trian-
gulaires.
LE principal objet que je me ſuis propoſé dans le Traité du
Mouvement que je donne ici, a été d’enſeigner l’art de jetter
les bombes. Il eſt vrai que je ne commence pas d’abord par-là, parce
qu’il m’a paru qu’il étoit bon de donner une connoiſſance du choc
des corps, afin d’en tirer quelques principes qui nous ſerviront
beaucoup dans la méchanique. Je pourrois dire la même choſe du
chapitre du mouvement, parce qu’il me donnera auſſi lieu dans la
méchanique d’expliquer pluſieurs choſes qui n’auroient pu être en-
tendues ſans une connoiſſance de la chûte des corps: d’ailleurs il
eſt abſolument néceſſaire à ceux qui veulent s’attacher aux Ma-
thématiques & à la Phyſique, pour expliquer quantité de choſes
curieuſes dans l’Artillerie, de ſcavoir les principales regles du
choc & du mouvement des corps:
ainſi ce Traité contient trois
chapitres; le premier traite du choc des corps, le ſecond des
regles du mouvement, & le troiſieme de la théorie &
de la pratique
du jet des bombes.
A l’égard du jet des bombes, je ne vois pas que les Bombar-
diers ſe ſoient mis beaucoup en peine de ſcavoir s’il y avoit des
regles certaines ſur ce ſujet, dans la penſée où ils ont toujours été
qu’il n’y avoit que la ſeule pratique qui puiſſe ſervir au Bombar-
dier, pour lui faire jetter des bombes avec ſuccès; &
cela vient
ſans doute de ce que la plûpart n’ayant aucune connoiſſance des
qu’il eſt poſſible de donner des loix des effets de la poudre, au
caprice de laquelle ils attribuent les fautes qu’ils font. J’avoue
qu’il y a tant de choſes qui concourent dans la charge d’un mortier
à déranger tout ce que les regles & l’attention du Bombardier le
plus adroit ſont en état de faire, qu’il y auroit de la témérité à
croire qu’on peut jetter des bombes dans un endroit comme ſi on
les y portoit avec la main. Mais ce qu’il y a de ſûr, c’eſt que
ſi un Bombardier avoit aſſez d’attention, en chargeant ſon mortier,
pour en examiner le défaut, & pour faire enſorte de charger tou-
jours également, les regles ſeroient d’un uſage excellent, puiſ-
que l’on n’auroit pour chaſſer des bombes à une diſtance quel-
conque, qu’à en tirer une avec la charge que l’on aura jugé à pro-
pos, & à un degré d’élevation à volonté, pour connoître l’éléva-
tion qu’il convient de donner au mortier, pour jetter les autres
bombes à la diſtance qu’on demande. Mais ceux qui n’ont que la
pratique, ſoutiennent qu’il eſt impoſſible de pouvoir obſerver cette
préciſion dans la maniere de charger également: car, diſent-ils,
l’inégalité des grains de poudre, ſoit dans leur groſſeur ou dans
les matieres qui la compoſent, fait que la même quantité pour
chaque charge produit des effets différens; ce qui peut venir auſſi
de la part de la terre avec laquelle on remplit la chambre, qui
peut être plus ou moins refoulée une fois que l’autre: d’ailleurs
les bombes qui ne ſont point toutes bien calibrées & d’égale pe-
ſanteur, & ſouvent mal coulées, la plate-forme qui ſe dérange preſ-
que à chaque coup que l’on tire, ſont autant de ſujets qui prouvent
que moralement il n’eſt pas poſſible de jamais tirer des bombes
comme il faut. Mais quoiqu’on puiſſe remédier à tout ceci quand
on voudra y bien prendre garde, il n’y a point de doute qu’un
Bombardier expérimenté d’ailleurs dans ſon métier, & qui ſcaura
l’art de jetter les bombes, ne ſoit plus ſûr de ſon fait que celui
qui n’a que la ſimple pratique: car s’il s’apperçoit que ſon premier
& ſon ſecond coup ne jettent point la bombe où il veut qu’elle
tombe, il pourra ſe corriger, au lieu que ce dernier tâtonnera en
augmentant ou diminuant la poudre ou les degrés pendant un tems
conſidérable; &
quoiqu’on diſe que c’eſt le pur hazard qui gou-
verne l’action du mortier, l’expérience m’a fait voir que quand on
vouloit apporter tous ſes ſoins à charger également, & à poſer l’affût
toujours dans le même endroit de la plate-forme, & les tourrillons
dans la même ſituation ſur l’affût, il étoit très-poſſible de tirer
Qu’on
revienne donc de l’opinion où l’on eſt, que les regles pour jetter
les bombes ne peuvent être d’aucun ſecours, puiſque ſi l’on a ſoin de
charger bien également, & que l’on ſe ſerve des bombes à peu près
de même poids, l’on n’aura plus lieu de douter de la certitude de
ces regles.
Après cela on peut dire qu’il y a ſi peu de Bombardiers qui
ſe ſoient attachés à ſçavoir ces regles, & encore moins à les prati-
quer, que certainement il y a plus de préjugé que de connoiſſance
dans leur fait; &
quand ils pourroient s’en paſſer pour jetter des
bombes dans un endroit de niveau avec la batterie, après en avoir
tiré un grand nombre d’inutiles, comme cela arrive toujours, com-
ment s’y prendroient-ils pour en jetter dans quelque fortereſſe fort
élevée, comme ſur un rocher eſcarpé, au pied duquel ſeroit la bat-
terie, ou bien ſi la batterie étoit un lieu fort élevé, pour en jetter
dans un fond? Il n’y a point de Bombardier, que je ſçache, à
qui l’expérience ait donné quelque pratique pour cela, d’autant
plus qu’ils ne regardent point ces deux cas comme problématiques. Enfin il réſulte de tout ce qui vient d’être dit, que jamais on ne
parviendra à jetter des bombes à une diſtance donnée, que l’on ne
ſçache les regles qui ſont établies pour cela, & qu’on n’ait aſſez
d’expérience pour prévoir tous les accidens auxquels le mortier & la
bombe ſont ſujets.
912.
LE mouvement d’un corps eſt le tranſport de ce corps
d’un lieu dans un autre. Le mouvement eſt réel, lorſque le
corps parcourt lui-même, en vertu d’une force qui lui a été ap-
pliquée, les parties de l’étendue compriſes entre les deux termes
du mouvement, qui ſont le point de départ & le point d’ar-
rivée. Tel eſt le mouvement d’une boule que l’on a jettée ſur
un plan horizontal. Le mouvement eſt relatif ou reſpectif, lorſ-
que le corps paſſe d’un lieu en un autre par le moyen d’un
Tel
eſt le mouvement d’un homme dans un bateau. Dans le mou-
vement d’un corps, il y a cinq choſes à conſidérer, le corps
mis en mouvement, la force motrice, l’eſpace parcouru, le
tems du mouvement, la direction de ce mouvement.
913.
On appelle force motrice tout ce qui peut mouvoir un
corps. Un corps en mouvement eſt lui-même une force mo-
trice: car l’expérience nous apprend qu’il peut lui-même en
mettre un autre en mouvement. Pour eſtimer une force mo-
trice, il faut connoître la maſſe du corps mis en mouvement,
l’eſpace que ce corps a parcouru, & le tems pendant lequel
il a parcouru cet eſpace.
914.
La vîteſſe d’un corps eſt le plus ou le moins de chemin
qu’il fait pendant un certain tems, lorſque quelque cauſe l’a
mis en mouvement; d’autres ont défini la vîteſſe, le rapport
de l’eſpace au tems. En effet, pour avoir une idée de la vîteſſe
d’un mobile, il ne ſuffit pas de connoître ſeulement l’eſpace
qu’il a parcouru, ou le tems qu’il a été en mouvement, mais il
faut connoître pendant quel tems il a parcouru un eſpace dé-
terminé. Par exemple, on ne peut pas dire qu’un homme ait
fait une grande diligence, parce qu’il a parcouru dix lieues: mais cette même vîteſſe eſt connue, lorſqu’on ſçait qu’il les a
faites pendant cinq heures.
915.
La vîteſſe d’un corps eſt uniforme ou variable, elle ſe
nomme uniforme, lorſque dans des tems égaux elle fait par-
courir des eſpaces égaux, & elle ſe nomme variable, lorſque
dans des tems égaux elle fait parcourir des eſpaces inégaux. Les vîteſſes uniformes ou variables ſont entr’elles comme les
eſpaces qu’elles font parcourir en des tems égaux. Si l’une dans
une minute fait parcourir dix toiſes, & l’autre 20 dans le
même-tems, ces deux vîteſſes ſont entr’elles comme 10 & 20,
c’eſt-à-dire que la derniere eſt double de la ſeconde.
916.
La direction d’un corps eſt la détermination de ſon
en vertu de la force qui lui a été communiquée, & qu’il dé-
crit effectivement, ſi rien ne le détourne de cette ligne.
917.
Comme il eſt évident qu’un corps ne peut aller par
deux chemins différens, lorſque pluſieurs forces concourent
par leurs actions réunies à le mettre en mouvement, le mou-
vement s’appelle mouvement compoſé, & la direction que ſuit
le corps eſt appellée direction moyenne.
918.
Les corps dont on conſidere le mouvement, ſont durs
ou fluides: il y en a auſſi qui ont du reſſort, &
d’autres qui
n’en ont pas.
919.
On appelle corps dur celui dont les parties ne ſe divi-
ſent pas aiſément, & qui étant diviſées ne ſe réuniſſent point
facilement, comme une pierre.
920.
On appelle corps fluide celui dont les parties ſe divi-
ſent aiſément, & leſquelles étant diviſées ſe réuniſſent facile-
ment, comme l’eau.
921.
On appelle corps ſans reſſort celui qui à la rencontre
d’un autre, ne change point de figure, ou s’il en change, ne
ſe rétablit point dans ſa premiere figure.
922.
On appelle corps à reſſort celui qui à la rencontre d’un
autre, change de figure dans le choc, & enſuite ſe rétablit
comme auparavant.
Nota.
Nous n’examinerons dansce Traité que les corps durs
ſans reſſort; à l’égard des autres, nous en parlerons aux en-
droits qu’il conviendra.
923.
L’on demande qu’il ſoit regardé comme inconteſtable
métralement oppoſées, ils ſe communiquent mutuellement
leur mouvement, & qu’un corps perd autant de ſon mouve-
ment qu’il en communique à un autre.
924.
Que lorſque deux corps ſans reſſort ſe rencontrent,
ils ne ſe repouſſent point l’un l’autre, & que le plus fort em-
porte le plus foible dans ſa même détermination.
925.
Il ſuit delà que lorſqu’un corps a plus de force qu’un
autre, il pouſſe devant lui celui qui eſt le plus foible, & que
ces deux corps peuvent être regardés comme s’ils n’en fai-
ſoient plus qu’un, qui les vaut tous deux.
926.
On ſuppoſe encore que les corps ſe meuvent dans un
milieu, qui ne réſiſte point à leurs mouvemens; de ſorte que
ſi un corps parcourt 4 toiſes dans la premiere minute de ſon
mouvement, il continuera de parcourir 4 toiſes dans chaque
minute.
927.
Les effets ſont proportionnels à leurs cauſes.
928.
Il ſuit delà que ſi l’on a deux corps égaux A &
C, qui
C D, ces deux corps ont reçu des degrés de
vîteſſe, qui ſont dans la raiſon des mêmes eſpaces A B & C D;
puiſque les degrés de viteſſe de ces corps peuvent être pris
pour les cauſes, & les eſpaces parcourus pour les effets.
Comme les corps que l’on fait rouler ſur un plan parcourent
des lignes droites (pourvu qu’une ſeule force les ait mis en
mouvement), nous prendrons dans la ſuite des lignes droites
pour exprimer non ſeulement le chemin que ces corps par-
courent, ou auront à parcourir, mais encore pour exprimer
nous ſuppo-
ſerons auſſi que les corps dont nous parlerons ſeront de figure
ſphérique.
929.
Si deux corps ſemblables de même matiere &
égaux ſont
mus avec des vîteſſes inégales, l’effort du corps qui aura le plus de
vîteſſe ſera plus grand ſur le corps qu’il rencontrera, que celui dont
la vîteſſe ſera plus petite.
Si l’on ſuppoſe que de deux corps égaux l’un ait une vîteſſe
double de l’autre, je dis que ces deux corps venant à frapper
un autre corps, celui qui aura la vîteſſe double, le frappera
avec deux fois plus de force que l’autre: car les effets étant
proportionnés à leurs cauſes (art. 927 &
928) ſi l’on prend les
vîteſſes pour les cauſes, & les chocs pour les effets, le corps
qui aura deux fois plus de vîteſſe que l’autre, agira avec deux
fois plus de force contre celui qu’il rencontrera.
930.
Si deux corps inégaux &
de même matiere ſont pouſſés
avec des vîteſſes égales, le plus grand corps fera plus d’impreſſion
ſur le corps qu’il rencontrera que le plus petit.
Si l’on ſuppoſe deux corps, l’un de quatre livres, &
l’autre
de deux livres, il eſt conſtant que ſi ces deux corps ont des de-
grés de vîteſſe égaux, le plus grand aura deux fois plus de
force que le plus petit: car ſi l’on ſuppoſe le corps de quatre
livres diviſé en deux également, l’on aura deux autres corps,
dont chacun ſera égal à celui de deux livres; &
comme ils
auront la même vîteſſe que celui de deux livres, la force de
chacun en particulier ſera égale à celle du plus petit: ainſi ces
deux corps n’en faiſant qu’un, la force du plus grand corps
ſera par conſéquent double de celle du plus petit.
931.
Il ſuit des deux théorêmes précédens que la force d’un
corps, qu’on peut appeller auſſi quantité de mouvement de ce
corps, ne dépend pas ſeulement de ſa vîteſſe, mais encore de
ſa maſſe: c’eſt pourquoi l’on connoîtra toujours la quantité
de mouvement de deux ou de pluſieurs corps, en multipliant
la maſſe de chacun par ſa vîteſſe. Pour ſe convaincre de cette
vîteſſe, imaginons deux corps, dont l’un ait trois parties de
maſſe & 4 degrés de vîteſſe, &
l’autre cinq parties de maſſe
& 6 degrés de vîteſſe, &
nommons f la force qui eſt en état
de donner un degré de vîteſſe à un corps qui n’aura qu’une
partie de maſſe, puiſque les effets ſont proportionnés aux
cauſes, celle qui ſera en état de donner quatre degrés de vîteſſe
ſera 4f. Si le corps devient trois fois plus grand, &
qu’il faille
lui donner encore 4 degrés de vîteſſe, il n’eſt pas moins évi-
dent que la force devient 3 x 4f ou 12f. Par la même raiſon,
puiſque les degrés de vîteſſe ſont égaux, en appellant toujours
f celle qui peut donner un degré de vîteſſe à une partie du ſe-
cond corps, 6f ſera celle qui eſt capable de lui en donner
6 degrés, & ſi le corps devient cinq fois plus gros, il faudra
une force cinq fois plus grande: donc la force qui lui donne
cette même vîteſſe ſera 5 x 6f ou 30f: donc les quantités de
mouvement de ces corps, ou les forces qui les ont miſes en
mouvement ſeront entr’elles comme 12f eſt à 30f, ou comme
12 à 30, c’eſt-à-dire comme les produits des maſſes par les
vîteſſes. Ainſi ayant deux corps, que nous nommerons a &
b,
nommant c la vîteſſe du premier, & d la vîteſſe du ſecond,
a c ſera la quantité de mouvement de l’un, & b d la quantité
de mouvement de l’autre.
932.
Il ſuit encore delà que connoiſſant la quantité de
mouvement d’un corps & ſa maſſe, en diviſant la quantité
de mouvement par la maſſe, l’on aura au quotient la vîteſſe; &
que diviſant de même la quantité de mouvement par la
vîteſſe, le quotient donnera la maſſe.
933.
Si deux corps ont des maſſes &
des vîteſſes qui ſoient en
raiſon réciproque, ces deux corps auront une même quantité de
mouvement.
Par ce qui précede, la force d’un corps ou ſa quantité de mou-
vement dépend de ces deux choſes, ſa maſſe & ſa vîteſſe,
c’eſt-à-dire, eſt en raiſon compoſée de la maſſe & de la vîteſſe,
ou comme le produit de ſa maſſe par ſa vîteſſe: par hypotheſe,
la maſſe du premier eſt à celle du ſecond, comme la vîteſſe
du même ſecond eſt à celle du premier: donc les quantités
de mouvemens ou les forces de ces deux corps ſont égales. Ainſi nommant a la maſſe du premier, &
c ſa vîteſſe;
b la
maſſe du ſecond, & d ſa vîteſſe, on aura a :
b :
: d :
c.
Donc
a c = b d. C.
Q.
F.
D.
934.
Il ſuit delà que ſi l’on a deux corps A &
B, dont les
à ſe rencontrer ſuivant des directions diamétralement oppo-
ſées, ſe choqueront également, & qu’ils demeureront tous
les deux en repos au moment qu’ils ſe ſeront choqués: car
ſuppoſant que le corps A ſoit de 4 livres, & ſa vîteſſe ſoit de
12 degrés, que le corps B ſoit de 6 livres, & ſa vîteſſe de 8 de-
grés; la maſſe du corps A, qui eſt 4, étant multipliée par ſa
vîteſſe, qui eſt 12, donnera 48 pour la quantité de mouve-
ment du corps A. De même, ſi l’on multiplie la maſſe du
corps B, qui eſt 6, par ſa vîteſſe, qui eſt 8, ſa quantité de
mouvement ſera encore 48: ils viendront donc ſe choquer
avec des forces égales & diamétralement oppoſées;
le corps
A choquera donc autant le corps B, que le corps B choquera
le corps A: ainſi ils demeureront en repos, puiſque l’un ne
fera pas plus d’effort que l’autre, & qu’il n’y a pas de raiſon
pour que l’un l’emporte ſur l’autre.
Cette égalité entre deux forces ou quantités de mouvemens
qui agiſſent ſuivant des directions diamétralement oppoſées, ſe
nomme équilibre. Ainſi pour qu’il y ait équilibre entre deux ou un
quelconques, il faut qu’on puiſſe les réduire à deux forces égales
& directement oppoſées.
935.
Il ſuit encore delà que ſi deux corps égaux avec des vîteſſes
égales, viennent à ſe rencontrer dans des lignes de direction
diamétralement oppoſées, ils ſeront en équilibre à l’inſtant
du choc, puiſqu’ils auront chacun une même quantité de mou-
vement.
936.
Lorſque deux corps ſans reſſort ſe meuvent dans la même
détermination, & vers un même côté, le corps qui a le plus de
vîteſſe ayant rencontré celui qui en a moins, & ces deux corps
allant enſemble, ils auront une quantité de mouvement égale à la
ſomme de celles qu’ils avoient avant le choc.
Si ces deux corps ſe meuvent d’un même côté, il n’y aura
rien d’oppoſé qui puiſſe détruire leur mouvement: c’eſt pour-
quoi ils conſerveront après le choc la même quantité de mou-
vement qu’ils avoient avant le choc: car ſi celui qui a le plus
de mouvement en communique à celui qui en a moins, cette
quantité de mouvement reſte dans ce dernier. Or ces deux
corps étant conſidérés comme n’en faiſant qu’un ſeul (art. 925)
après le choc; il s’enſuit que leur quantité de mouvement eſt
la ſomme de celles qu’ils avoient avant le choc.
937.
Il ſuit delà que connoiſſant la quantité de mouvement
de deux corps, qui n’en font plus qu’un, après s’être rencon-
trés, l’on trouvera la vîteſſe en diviſant la quantité de mouve-
ment par la ſomme des maſſes; &
que connoiſſant la vîteſſe,
l’on trouvera la ſomme des maſſes, en diviſant la quantité de
mouvement par la vîteſſe.
938.
Par conſéquent ſi l’on a deux corps égaux mus ſur une
que l’un ſoit en repos, &
l’autre
en mouvement, celui qui eſt en mouvement venant à ren-
contrer celui qui eſt en repos (ces deux corps n’en faiſant plus
qu’un), il lui comumniquera la moitié de la vîteſſe qu’il avoit
avant le choc; puiſque pour avoir cette vîteſſe, il faut diviſer
la quantité de mouvement par une maſſe double: enſin ſi le
corps mobile en rencontre un autre en repos, dont la maſſe
ſoit triple de la ſienne, ſa vîteſſe ne ſera plus que d’un quart,
ainſi des autres.
En général ſoit u la vîteſſe du premier corps, &
m ſa maſſe,
v la vîteſſe du ſecond corps, & M ſa maſſe.
Soit V la vîteſſe
après le choc, on aura, ſuivant ce que nous venons de voir,
V = {m u + Mv/m + M}. On pourra par cette formule déterminer la
vîteſſe V dans tous les cas poſſibles, quel que ſoit le rapport de
m à M, & de u à v.
Suppoſons, par exemple, u = o, &
m = M,
on aura V = {Mv/2M} = {v/2}; c’eſt ce que nous venons de voir.
939.
Si deux corps ſe meuvent dans un ſens directement oppoſé
ſur une même direction, ces deux corps venant à ſe rencontrer, &
n’en faiſant plus qu’un, la quantité de mouvement de ces corps
ſera la différence des quantités de mouvement que les deux corps
avoient avant le choc.
Si ces deux corps ſe meuvent dans des déterminations di-
rectement oppoſées, ils tendront mutuellement à s’arrêter; de
ſorte que s’ils avoient des forces égales, ils demeureroient en
repos après le choc; ainſi le plus fort perd autant de ſa force
que le plus foible en a. Il ne reſte donc pour mouvoir ces deux
corps après leur choc, que la différence de leurs forces, ou de
leur quantité de mouvement; mais ces deux corps étant con-
ſidérés comme n’en faiſant plus qu’un, ſa quantité de mou-
vement ſera la différence de celles des deux corps avant le
choc.
940.
Il ſuit delà que pour trouver la vîteſſe de ces corps
de mouvement qu’ils avoient avant le choc, par la ſomme de
leurs maſſes, & le quotient donnera cette vîteſſe, laquelle
ſera dans la détermination du corps qui avoit la plus grande
quantité de mouvement avant le choc: donc la formule gé-
nérale pour déterminer la vîteſſe des corps après le choc, ſoit
dans une même direction ou dans des directions diamétrale-
ment oppoſées, ſera V = {mu ± Mv/m + M}.
941.
SI un corps ſe meut pendant un certain tems, lequel
tems ſoit diviſé en pluſieurs parties égales, nous appellerons
chacune de ces petites parties moment ou inſtant.
942.
Si un corps reçoit dans chaque inſtant une augmenta-
tion égale de vîteſſe, cette vîteſſe ſera nommée accélerée; &
ſi au contraire un corps à chaque inſtant perd des degrés égaux
de vîteſſe, cette vîteſſe ſera nommée retardée. La vîteſſe d’un
corps qui tombe eſt une vîteſſe accélerée, parce que la peſan-
teur agit à chaque inſtant ſur lui, & lui communique des
degrés égaux de vîteſſe. Par une raiſon contraire, la vîteſſe
d’un corps jetté de bas en haut eſt une vîteſſe retardée, puiſ-
que la peſanteur ôte à chaque inſtant des degrés égaux de
vîteſſe. Si les degrés de vîteſſe reçus ou perdus à chaque inſ-
tant ne ſont pas égaux entr’eux, mais varient ſuivant des rap-
ports conſtans, ces vîteſſes ſont appellées variables accélerées
ou variables retardées.
943.
Un corps en mouvement ou en repos eſt toujours le
même corps; il eſt encore le même quelle que ſoit la détermi-
nation de ſon mouvement & ſa quantité.
944.
Le corps de lui-même ou de ſa nature eſt tout-à-fait
indifférent au mouvement ou au repos, & par conſéquent ce
corps étant une fois mis en mouvement, il y reſtera toujours
juſqu’à ce que quelque cauſe le lui ait ôté; &
réciproquement
un corps une fois en repos, ne ſe mettra jamais de lui-même
en mouvement.
945.
Le corps de ſoi ou de ſa nature eſt tout-à-fait indif-
férent à quelque détermination, ou à quelque vîteſſe que ce
puiſſe être, & par conſéquent ce corps ne changera jamais de
lui-même ni la vîteſſe, ni la détermination qu’il a eu en der-
nier lieu.
946.
Nous venons de voir qu’un corps ne peut être en mou-
vement ſans une cauſe qui l’y ait mis, & que ſi rien ne s’oppoſe
à ſon mouvement, il y ſera éternellement. Dans la même
ſuppoſition que rien ne s’oppoſe à ſon mouvement, ſi petite ou
ſi grande que ſoit la force motrice, il eſt évident que la durée
du mouvement ſeroit éternelle. On pourroit donc en appa-
rence inférer delà que la plus petite force comme la plus grande
produiroit un effet infini en durée, & croire que les forces
mêmes ſont infinies, ſuivant notre axiome, qui dit que les
effets ſont proportionnels aux cauſes. Pour n’être pas ſéduits
par ce ſophiſme, il faut, 1°. diſtinguer la durée du mouve-
ment du plus ou moins d’eſpace que la force motrice fait par-
courir au corps dans un tems fini. 2°.
Faire attention que,
dans l’hypotheſe, que rien ne s’oppoſe au mouvement du corps,
la durée infinie de ce mouvement ne vient pas directement de
la force motrice, mais bien de l’indifférence du même corps
au mouvement ou au repos; d’où il ſuit évidemment que les
effets des cauſes ſeront toujours finis & proportionnels à ces
cauſes, puiſque les effets ne ſeront que le plus ou le moins d’eſ-
pace parcouru dans un tems donné.
947.
L’on demande qu’il ſoit accordé que la peſanteur de
quelque cauſe qu’elle puiſſe provenir, preſſe toujours le corps
avec une même force pour le faire deſcendre.
948.
Si rien ne s’oppoſoit au mouvement des corps jettés;
chacun de ces corps conſerveroit toujours avec une vîteſſe égale le
mouvement qu’il auroit réçu, & ſuivant toujours une même ligne
droite.
Comme un corps ne peut jamais de lui-même ſe mettre en
repos, ni changer ſa détermination ou la vîteſſe qu’il a reçue
(art. 944 &
945), il s’enſuit que, ſi rien ne s’oppoſoit à cette
vîteſſe, le corps conſerveroit perpétuellement ſon mouve-
ment, & avec une vîteſſe toujours égale, &
ſuivroit toujours
une même ligne droite. C.
Q.
F.
D.
949.
Donc le mouvement tel qu’il eſt de la part de la puiſ-
ſance qui meut, ſoit horizontalement, ſoit obliquement, ſoit
verticalement, ſeroit perpétuel & égal, en allant toujours de
même côté, ſi l’air ne réſiſtoit pas au corps, & ſi ſa peſanteur
ne le faiſoit pas toujours deſcendre en bas; de ſorte que le
mouvement, préciſément comme il eſt de la part du mobile,
doit être conſidéré comme égal, perpétuel, & toujours diviſé
vers le même côté où le corps eſt pouſſé.
950.
De même, ſi immédiatement après qu’un corps a
acquis une certaine vîteſſe en tombant, l’action de la pe-
ſanteur venoit à ceſſer tout-à-fait, & que l’air ne réſiſtât
point, ce corps néanmoins continueroit de ſe mouvoir avec la
même vîteſſe qu’il auroit reçue en dernier lieu, conſervant
toujours également cette même vîteſſe, & ſuivant toujours la
même ligne droite.
951.
Donc puiſque l’action de la peſanteur ne nuit point à
la vîteſſe d’un corps qui tombe, ſi l’air, ni autre choſe ne s’y
oppoſoit, la vîteſſe que la peſanteur cauſeroit au corps dans
le premier inſtant, ſubſiſteroit dans le ſecond inſtant avec une
par la même
raiſon les vîteſſes des deux premiers inſtans ſubſiſteroient avec
celles du troiſieme inſtant; &
ainſi les vîteſſes de tous ces pre-
miers inſtans ſubſiſteroient avec les vîteſſes que ce même corps
recevroit dans chacun des inſtans ſuivans, ou bien (ce qui eſt
la même choſe) lorſqu’un corps tombe, ce corps reçoit des
parties égales de vîteſſe dans des tems égaux, en ſuppoſant
que l’action de la peſanteur eſt uniforme, & négligeant la
réſiſtance de l’air.
952.
Un corps qui tombe reçoit des degrés égaux de vîteſſe
dans des tems égaux; de ſorte que dans le ſecond inſtant il a une
vîteſſe double de celle qu’il avoit dans le premier inſtant de ſa chûte,
& dans le troiſieme il en a une triple, &
ainſi des autres.
Puiſqu’un corps qui tombe eſt continuellement pouſſé en
bas, par l’action de ſa peſanteur, qui eſt toujours la même
(art. 951), il s’enſuit que la peſanteur doit donner à ce corps,
à chaque inſtant de ſa chûte des degrés égaux de vîteſſe: donc
puiſque les degrés de vîteſſe que le corps a reçus en premier
lieu ſubſiſtent entiérement avec ceux qu’il auroit reçus en der-
nier lieu (art. 951), le corps en tombant ſe trouve avoir au-
tant de degrés de vîteſſe, cauſés par ſa peſanteur, qu’il s’eſt
écoulé de momens depuis le commencement de ſa chûte juſ-
qu’au moment que l’on compte: donc ce corps aura à la fin
du ſecond inſtant une vîteſſe double de celle du premier, au
troiſieme inſtant une vîteſſe triple, &c.
C.
Q.
F.
D.
953.
Il ſuit delà que les degrés de vîteſſe qu’un corps a ac-
quis à la fin de chaque inſtant de chûte, ſont comme les tems
qui ſe ſont écoulés depuis le commencement de ſa chûte: donc
puiſque les inſtans écoulés depuis le premier moment de la
chûte ſont en progreſſion arithmétique, les degrés de vîteſſe
acquis à la fin de ces tems ſont auſſi en progreſſion arithmé-
tique.
954.
On demande qu’il ſoit permis de repréſenter les tems
par des lignes; ce qui ne doit faire aucune difficulté:
car ayant
repréſenté une minute par une ligne d’un pouce, je repréſen-
terai deux ou trois minutes par des lignes de deux ou de trois
pouces. Par cette ſuppoſition, on ne prétend pas que les tems
& les lignes ſoient des quantités de même nature, mais bien
que les dernieres ſont des expreſſions propres à repréſenter les
différens rapports des premiers.
955.
Si deux corps égaux A &
B ſont en mouvement pendant
uniformément accéléré, tel que le dernier degré de la vîteſſe acquiſe
ſoit égal à la vîteſſe conſtante du corps qui ſe meut uniformément,
l’eſpace parcouru par le premier ſera double de l’eſpace parcouru par
le ſecond.
Soit repréſenté le tems du mouvement par A C, &
ſuppo-
ſons-le partagé en un nombre infini d’inſtans égaux. Si pen-
dant un de ces inſtans le corps qui ſe meut d’un mouvement
uniforme parcoure C D pendant le tems A C, il parcourra
autant de fois C D qu’il y a d’inſtans dans le tems du mouve-
ment, ou qu’il y a de points dans A C: donc le rectangle
A C x C D, repréſentera l’eſpace parcouru pendant le tems
A C par le corps, dont le mouvement eſt uniforme. Préſen-
tement voyons quel ſera l’eſpace que parcourra le mobile qui
ſe meut d’un mouvement uniformément accéléré, pendant le
même tems A C, en ſuppoſant que la vîteſſe qu’il a acquiſe à
la fin du dernier inſtant du tems A C eſt auſſi repréſentée par
C D. Cela poſé, par le dernier corollaire, puiſque les vîteſſes
ſont comme les tems, à la fin du tems A B, c’eſt-à-dire dans
l’inſtant B, il parcourra une ligne B E qui ſera à C D, comme
A C : A B :
donc la ſomme des eſpaces parcourus par le corps
qui eſt mu d’un mouvement uniformément accéléré, ſera re-
préſentée par la ſomme des élémens du triangle A C B : donc
l’eſpace total parcouru pendant le tems A B n’eſt pas différent
ſera repréſenté par A C x {C D/2} :
donc le pre-
mier mobile parcourt dans le même-tems un eſpace double du
ſecond. C.
Q.
F.
D.
956.
Puiſque les deux corps ſont égaux, on peut n’en ſup-
poſer qu’un ſeul; d’où il ſuit que ſi un même corps eſt mu
d’un mouvement uniforme pendant un certain tems, & que
dans un tems égal il ait acquis d’un mouvement uniformé-
ment accéléré une vîteſſe égale à celle du mouvement uni-
forme, l’eſpace qu’il aura parcouru dans le premier cas ſera
double de celui qui a été parcouru dans le ſecond.
957.
Donc les eſpaces parcourus dans un mouvement uni-
formément accéléré ſont entr’eux comme les quarrés des tems,
à commencer de l’inſtant que le corps a été mis en mouve-
ment: car il eſt évident que les triangles A B E, A C D qui
repréſentent les eſpaces parcourus pendant les tems A B, A C
étant ſemblables, ſont comme les quarrés des tems A B & A C.
958.
Puiſque les tems ſont comme les vîteſſes (art.
953),
& que les eſpaces parcourus depuis le premier inſtant du mou-
vement ſont comme les quarrés des tems, ils ſeront auſſi en-
tr’eux comme les quarrés des vîteſſes acquiſes. Ainſi nommant
L une longueur parcourue depuis le point du repos; T, le tems
employé à la parcourir; V, la vîteſſe acquiſe à la fin de ces
tems; &
l, une autre longueur parcourue depuis le point de
repos; t, le tems employé à la parcourir;
u, la vîteſſe acquiſe
à la fin de ce tems, l’on aura L : l :
: T T :
tt, ou bien L :
l
:: V V :
uu.
959.
Puiſque l’on a L :
l :
: V V :
uu, ſi on extrait la racine
quarrée de chaque terme, on aura √L\x{0020} : √l\x{0020} :
: V :
u;
ce qui
fait voir que dans le mouvement accéléré, on peut exprimer
les vîteſſes par les racines des longueurs parcourues depuis le
point de repos. Il faut s’appliquer à comprendre ceci pour n’être
point arrêté dans la ſuite.
960.
Comme dans la chûte des corps graves la peſanteur
agit à chaque inſtant pour les approcher du centre de la terre,
qu’elle leur communique à chaque inſtant des degrés égaux
de vîteſſe (au moins cette ſuppoſition ne peut cauſer aucune
erreur en les conſidérant à des diſtances peu conſidérables de
la ſurface de la terre, même de quelques lieues); il s’enſuit
que les eſpaces parcourus par un corps qui tombe librement,
à compter du point de repos, ſont comme les quarrés des
inſtans écoulés depuis le repos.
961.
Il ſuit delà que les eſpaces qu’un corps parcourt en tom-
bant pendant destems égaux, ſont entr’eux comme la ſuite des
nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9, &c.
Imaginons que dans le premier
inſtant de ſa chûte le corps ait parcouru une toiſe. Comme
cette vîteſſe a été acquiſe par degrés, & que d’ailleurs il la
conſerve dans tous les inſtans ſuivans; dans le ſecond inſtant,
en vertu de ce premier degré de vîteſſe, le corps parcourra un
eſpace double, c’eſt-à-dire 2 toiſes (art. 955), mais la peſan-
teur a toujours agi de la même maniere; donc elle aura fait
parcourir au corps une toiſe de plus dans ce ſecond inſtant: il aura donc parcouru 3 toiſes.
De même avec les deux degrés
de vîteſſe qu’il poſſede, dans le troiſieme inſtant il parcourra
4 toiſes, & en vertu du nouveau degré que la peſanteur lui
communique par ſon action, il parcourra encore une toiſe:
donc dans le troiſieme inſtant il aura parcouru 5 toiſes, & ainſi
des autres. Donc les eſpaces qu’un corps qui tombe parcourt
pendant des tems égaux ſont comme les nombres 1, 3, 5, 7, 9, &c;
d’où il ſuit encore de nouveau que les eſpaces parcourus depuis
le premier inſtant de la chûte, ſont comme les quarrés des
inſtans qui ſe ſont écoulés; puiſqu’en ajoutant continuelle-
ment les nombres impairs depuis l’unité, il en réſulte les nom-
bres quarrés: car il eſt évident que 1 = 1, 4 = 1 + 3,
9 = 1 + 3 + 5, 16 = 1 + 3 + 5 + 7, &c.
962.
Il ſuit encore delà que ſi un corps, après avoir parcouru
un certain eſpace pendant un certain nombre d’inſtans, ve-
teur, il continueroit néan moins à ſe mouvoir avec une vîteſſe
uniforme égale à celle que la peſanteur lui a communiquée dans
le premier tems, & par conſéquent pendant un tems égal à
celui de la deſcente, il parcourroit toujours un eſpace double
de celui qu’il a parcouru pendant tout le tems que la peſan-
teur a agi ſur lui.
963.
Il ſuit encore delà que ſi l’on jette un corps de bas en
haut, ſuivant une direction perpendiculaire ou oblique à l’ho-
rizon, le corps ſera mu d’un mouvement uniformément re-
tardé: car il eſt évident que dans cette ſuppoſition la peſan-
teur étant oppoſée en tout ou en partie au mouvement de pro-
jection de ce corps, doit lui ôter à chaque inſtant des degrés
égaux de vîteſſe, & par conſéquent au bout d’un certain tems,
lorſque la peſanteur aura détruit toute la force que le mobile
avoit pour s’élever perpendiculairement, il commencera à
tomber, & paſſera ſucceſſivement par tous les degrés poſſibles
d’accélération, juſqu’à ce qu’il ſoit arrivé à quelque corps qui
l’arrête entiérement.
964.
Donc la vîteſſe qu’un corps a acquiſe en tombant
d’une certaine hauteur, eſt égale à celle qui auroit pu le faire
monter à cette hauteur; ou, ce qui revient au même, ſi l’on
jette un corps de bas en haut avec une force égale à celle
qu’il a acquiſe en tombant d’une certaine hauteur, cette force
ſera capable de le faire remonter à la même hauteur; d’où il
ſuit encore que les eſpaces parcourus par un corps pouſſé de
bas en haut, ſeront comme les nombres impairs, pris dans un
ordre renverſé, ſi les tems ſont égaux.
965.
Donc ſi l’on modifie la force de la peſanteur d’une
maniere conſtante, les eſpaces que cette force modifiée fera
parcourir à un corps quelconque, ſeront toujours ſuivant les
loix générales de la peſanteur. Par exemple, un corps qui
tombe le long d’un plan incliné à l’horizon, ne gliſſe ſur le
plan qu’en conſéquence des loix de la peſanteur qui l’oblige
donc il doit parcourir des eſpaces qui
ſoient dans la raiſon des quarrés des tems, à compter depuis
le premier inſtant du mouvement. Si dans l’expérience on ne
trouvoit pas cette loi avec toute la préciſion poſſible, il n’y a
que le frottement & la réſiſtance du milieu dans lequel ſe fait
le mouvement qui pourroit en altérer la juſteſſe, ce qui ne
conclud rien contre les principes que nous venons d’établir,
puiſque nous n’avons pas eu égard à ces circonſtances.
966.
Comme la théorie de la peſanteur a une application
directe & immédiate à la projection des corps;
que l’on ne
peut entendre celle du jet des bombes ſans être convaincu des
vérités que nous venons d’établir, & que d’ailleurs il y auroit
une infinité de peſanteurs poſſibles, capables de faire parcourir
aux corps ſoumis à leur action des eſpaces qui ſeroient entr’eux
comme les quarrés des tems depuis le premier inſtant du mou-
vement, ou comme les nombres impairs depuis l’unité, en ſup-
poſant les tems égaux, c’eſt à l’expérience à décider quelle eſt
la force de la peſanteur auprès de la ſurface de la terre: car
dans la ſuppoſition même que cette force augmentât ou di-
minuât à raiſon de ſes différentes diſtances de la terre, ſui-
vant un rapport quelconque, les diſtances auxquelles on peut
jetter les corps, même les plus grandes, ne ſont pas aſſez con-
ſidérables pour que l’on puiſſe appercevoir des variations dans
l’action de la peſanteur.
967.
On a reconnu par l’expérience qu’un corps qui tombe
parcourt 15 pieds dans la premiere ſeconde de ſa chûte, qu’il
en parcourt 45 dans la ſeconde, 75 dans la troiſieme, & ainſi
de ſuite: donc la peſanteur eſt une force capable de faire par-
courir 30 pieds dans une ſeconde à tout corps qui auroit été
ſoumis à ſon action pendant le même-tems, puiſque les 15
pieds n’ont été parcourus que d’un mouvement accéléré, &
qu’il s’agit ici d’un mouvement uniforme. De même ſi la pe-
ſanteur a agi pendant 3 ſecondes, elle fera parcourir au corps
270 pieds pendant le même-tems, & par conſéquent 90 pieds
dans une ſeconde. Or il eſt viſible que les vîteſſes 30 &
90 pieds
par ſeconde, ſont comme les tems pendant leſquels le mobile
eſt tombé.
968.
Tout nous prouve cette prodigieuſe augmentation de
tombent: car ſi la vîteſſe d’un corps qui tombe de 3 pieds étoit
égale à celle d’un corps qui tombe de 60 pieds de haut, il n’y
auroit pas plus de danger à tomber d’un troiſieme étage qu’à
tomber de deux ou trois pieds de haut, puiſque l’on ne frappe
la terre qu’à raiſon de la vîteſſe avec laquelle on tombe. De
même il n’y a perſonne qui ne ſçache qu’une pierre nous bleſſe
d’autant plus qu’elle tombe de plus haut.
969.
Nous avons déja inſinué que la peſanteur pouvoit
bien n’être pas une force conſtante & égale, à toutes les diſ-
tances différentes de notre globe, quoiqu’on la regarde
comme telle dans les diſtances médiocres; c’eſt ce qui arrive
en effet. M.
Newton a démontré le premier que cette force
décroît en raiſon inverſe des quarrés des diſtances, enſorte
que la force qui, combinée avec une force de projection,
retient la lune dans ſon orbite, en l’écartant continuelle-
ment de la tangente qu’elle tend à décrire, n’eſt autre choſe
que la peſanteur diminuée en raiſon inverſe du quarré des
diſtances. Il prouve qu’en vertu de la peſanteur, la lune
dans une minute s’écarte de 15 pieds de la tangente au point
de ſon orbite où elle étoit au commencement de cette mi-
nute: donc pour comparer la force de la peſanteur près de
la lune à celle de la peſanteur près de la terre, il faut voir
ce qu’elle fera décrire dans une ſeconde, en ſuppoſant tou-
jours que les eſpaces parcourus ſont comme les quarrés des
tems, & faiſant l’eſpace de 15 pieds égal à l’unité.
Une mi-
nute vaut 60 ſecondes: donc les quarrés des tems ſeront 3600
& 1;
faiſant cette proportion 3600 :
1 :
: 1 :
{1/3600}, ce qua-
trieme terme ſera l’eſpace parcouru près de la lune dans une
ſeconde de tems: donc les eſpaces que les corps parcourent
dans une ſeconde près de la lune, & près de la terre, en vertu
de la peſanteur, ſont comme {1/3600} : 1.
Mais les diſtances des
corps qui ſont ſur notre globe & de la lune au centre de la
terre ſont 1 & 60, parce que la diſtance moyenne de la lune
à la terre eſt de 60 rayons de la terre: ces quarrés ſont 1 &
3600, qui ſont préciſément dans la raiſon inverſe des forces
ou eſpaces parcourus {1/3600} & 1, puiſque {1/3600} :
1 :
: 1 :
3600.
C.
Q.
F.
D.
On a auſſi découvert que la peſanteur varie ſelon les
diſtances à l’équateur, enſorte qu’elle va en augmentant de
l’équateur vers les poles, & réciproquement.
On s’eſt ap-
perçu de cette variation, en obſervant qu’un pendule qui bat
les ſecondes à Paris, c’eſt-à-dire qui fait ſoixante vibrations
dans une minute, en faiſoit un plus petit nombre vers l’é-
quateur; d’où on a conclu avec certitude que la peſanteur
eſt moindre vers l’équateur que vers les poles, puiſque les
vibrations des pendules, qui ne ſont que des effets de la pe-
ſanteur, ſont plus lentes vers l’équateur que vers les poles. Cette diminution de peſanteur eſt cauſée par le mouvement
de rotation de la terre autour de ſon axe, duquel il réſulte
une force centrifuge plus grande vers l’équateur que vers les
poles.Tout ce que nous venons de voir ſur les variations de la pe-
ſanteur n’empêche pas qu’on ne la doive regarder comme une
force conſtante, puiſque ces variations ne peuvent être ſen-
ſibles dans les plus grandes diſtances auxquelles on puiſſe jetter
les corps. Quoique ces vérités n’aient pas une application di-
recte au jet des bombes, qui doit faire le principal objet de
l’Ingénieur, je n’ai pas cru cependant devoir les ſupprimer,
parce qu’elles ſont trop belles pour qu’il ſoit permis à un
homme de ſcience de les ignorer, & que de plus il eſt à pro-
pos que l’on ſçache quels ſont les changemens qui peuvent
altérer les loix que nous venons d’établir, & quels ſont ceux
qui ne peuvent produire le même effet.
970.
Un corps eſt tombé perpendiculairement pendant quatre
ſecondes; on demande l’eſpace que la peſanteur lui a fait parcourir.
Soit appellé x cet eſpace inconnu;
puiſque les eſpaces par-
courus dans des tems différens, depuis le commencement du
mouvement, ſont comme les quarrés des tems (art. 958), &
que d’ailleurs on ſçait par expérience qu’un corps parcourt
15 pieds dans la premiere ſeconde; on aura cette proportion,
1 : 16 :
: 15 :
x = {15 x 16/1} = 240 pieds.
C.
Q.
F.
T.
&
D.
971.
Un corps a parcouru en tombant par la ſeule force de la
peſanteur un eſpace de 375 pieds, on demande le tems qu’il lui a
fallu pour les parcourir.
Soit x le tems cherché;
puiſque les eſpaces parcourus ſont
comme les quarrés des tems (art. 957), on aura cette propor-
tion, 15 : 375 :
: 1 :
xx:
donc xx ={375/15}=25, d’où l’on tire
x=5, c’eſt-à-dire que le corps a été 5 ſecondes de tems en
mouvement. C.
Q.
F.
T.
&
D.
972.
Comme dans le jet des bombes le mobile ſe trouve
entre deux forces, l’une de projection & ſimplement motrice,
c’eſt la force de la poudre, l’autre accélératrice ou retardatrice
conſtante; c’eſt la force de la peſanteur;
ſuivant que le corps
deſcend ou monte, quelle que ſoit ſa direction, & que d’ailleurs
abſtraction faite des réſiſtances de l’air à ces deux forces, on
ne peut trouver la courbe que le mobile décrit pendant ſon
mouvement, ſans ſuppoſer qu’il ſatisfait à chacune de ces deux
forces à la fois, comme s’il n’avoit été pouſſé que par l’une ou
l’autre ſéparément. Nous allons démontrer cette propoſition,
que l’on appelle le mouvement compoſé.
973.
On appelle ſimplement force motrice, toute force qui
n’eſt appliquée à un corps que pendant un ſeul inſtant. Tout
corps dur en mouvement eſt une force motrice par rapport à
celui qu’il rencontre, car il ne lui eſt appliqué que pendant
l’inſtant du choc.
974.
Si deux ou pluſieurs forces motrices ſont appliquées
dans un même inſtant à un même corps pour le mouvoir,
chacune ſuivant ſa direction, on les appelle forces compoſantes. La force qu’elles donnent eſt appellée réſultante.
975.
Si un corps K eſt pouſſé à la fois par deux forces M, N
capables de lui faire parcourir dans le même
l’autre A C;
je dis,
1°. que le corps par l’effort compoſé de ces deux puiſſances, dé-
crira d’un mouvement uniforme la diagonale A D du parallélo-
gramme formé ſur leurs directions; 2°.
qu’il parcourra cette même
diagonale pendant le même-tems qu’il auroit parcouru le côté A B
ou le côté A C, ſi l’une des deux forces ſeulement eût agi ſur lui.
Concevons deux regles infiniment minces M A B, N A C,
chacune égale en peſanteur au corps K, elles-mêmes en mou-
vement, & dirigées, l’une ſuivant A B, &
l’autre ſuivant A C,
avec des vîteſſes qui leur font parcourir le double des lignes
A C & A B, que les puiſſances M &
N font parcourir au corps
K. Ces regles venant à choquer le corps K, que l’on ſuppoſe
en repos, lui communiqueront chacune la moitié de leurs
vîteſſes, ſuivant les loix des corps à reſſort, & par conſéquent
elles font préciſément ſur ce corps un effet égal à celui qu’au-
roient fait les puiſſances M, N que nous avons ſuppoſées agir
ſur lui, & elles ne ſont pas différentes de ces mêmes forces.
Cela poſé, le corps K doit décrire la diagonale A D dans le
même-tems qu’il auroit décrit la ligne A B ou la ligne A C,
s’il n’eût été pouſſé que par une ſeule puiſſance M ou N. Pour
s’en convaincre, on remarquera que les regles ne choquent le
corps qu’autant qu’il eſt néceſſaire pour qu’il ne puiſſe s’op-
poſer au mouvement qui leur reſte, lequel eſt la moitié de
celui qu’ils avoient avant le choc. Il faut de plus remarquer
que les regles ne faiſant que gliſſer l’une ſur l’autre, ne peu-
vent détruire mutuellement le mouvement qui leur reſte:
donc elles ſont mues avec des vîteſſes qui leur font parcourir
les lignes A B, A C dans le tems que les puiſſances M, N au-
roient fait parcourir au corps K les mêmes lignes. Enfin on
fera attention que dans ce même-tems leur interſection mu-
tuelle décrit la diagonale A D: car il eſt évident que lorſque
la regle A B eſt venue en E F, la regle A C a parcouru une
partie proportionnelle de l’eſpace A B, & ſe trouve par con-
ſéquent en G H; d’où il ſuit évidemment que l’interſection I
eſt un point de la diagonale: donc pour que le corps K ne
s’oppoſe point au mouvement de ces regles, il ſuffit qu’il ſoit
venu d’une égale vîteſſe de K en I, c’eſt-à-dire qu’il ait par-
couru K I dans le tems que les regles ont parcouru les eſpaces
donc il arrivera en D dans le tems que les regles
ſeront venues en B D & en C D.
D’ailleurs il eſt viſible,
comme nous l’avons déja fait remarquer, que ces regles ſont
égales aux puiſſances M & N, puiſqu’elles communiquent la
même vîteſſe au corps K, ſuivant les loix des corps durs: donc le corps décrira la diagonale A D dans le même-tems
qu’il eût parcouru A B ou A C, s’il n’eût été pouſſé que par
l’une des forces M ou N. C.
Q.
F.
D.
On peut encore concevoir le mouvement compoſé d’une
autre maniere. Imaginons que le corps K eſt mu ſur une regle
A B, & que dans le même-tems qu’il parcourt la longueur de
la regle, une force emporte cette regle le long de A C en lui
faiſant parcourir A C. Il eſt évident que dans ce mouvement
le corps K décrit encore la diagonale A D, puiſque les eſ-
paces entiers A B, A C & leurs parties proportionnelles ſont
décrits dans des tems égaux. Donc, &
c.
On pourroit craindre dans cette derniere démonſtration,
que la ſuppoſition que nous avons faite que le corps eſt mu ſur
la ligne A B, & que cette ligne eſt emportée ſur A C parallé-
lement à elle-même, ne changeât quelque choſe dans la force
N qui meut le corps de A en C. Pour prévenir cette objec-
tion, nous remarquerons, avec M. Varignon, que lorſque
deux corps ſont mus d’une égale vîteſſe, comme dans notre
hypotheſe, cette même vîteſſe les mettant dans l’impoſſibilité
de s’aider ou de ſe nuire réciproquement, la force qui meut
chacun ſéparément, eſt toujours la même; d’où il ſuit que la
force qui fait parcourir A C au corps K eſt toujours la même,
ſoit qu’il ſoit emporté ſur la regle A B, ou que la regle ſoit
ſupprimée; moyennant quoi on peut regarder cette derniere
démonſtration comme une des plus ſatisfaiſantes.
Au reſte comme cette propoſition ne ſe trouve ici que re-
lativement au jet des bombes, & pour faire voir qu’un corps
qui eſt entre deux puiſſances, prend une direction par laquelle
il ſatisfait à l’impulſion de chacune des forces qui agiſſent ſur
lui, nous donnerons encore une démonſtration plus lumineuſe
& plus convaincante de cette même propoſition dans le Traité
de Méchanique qui doit ſuivre. Comme cette propoſition eſt
de la derniere importance dans tout ce qui a rapport à la com-
poſition & la décompoſition des forces, on doit, autant qu’il
eſt poſſible, s’appliquer à bien éclaircir les principes.
976.
Donc la force réſultante, ſuivant la diagonale A D,
eſt à l’une des compoſantes M ou N, comme A D: A B, ou
comme AD: AC:
car les forces qui meuvent des corps égaux
ſont comme les eſpaces parcourus en même-tems.
977.
Donc le corps ſatisfait aux deux puiſſances en même
tems, comme s’il n’avoit été pouſſé que par l’une des deux: car il eſt évident que lorſqu’il eſt au point D, il ſe trouve
éloigné de la ligne A B d’une quantité B D = A C, & réci-
proquement il ſe trouve éloigné de la direction A C d’une
quantité D C = A B.
978.
Donc la force que le corps a, ſuivant la diagonale, eſt
capable de faire équilibre avec les compoſantes, ſi elle eſt dirigée
dans un ſens contraire, c’eſt-à-dire que ſi l’on pouſſe un corps de
D vers A avec une vîteſſe capable de lui faire parcourir A D
dans un certain tems, ce corps arrêtera avec la force qu’il a,
dans cette hypotheſe, celle des puiſſances capables de lui faire
parcourir A B & A C dans le même-tems, puiſque l’effort ré-
ſultant de ces deux puiſſances appliquées dans le même inſtant
à ce corps, ne peuvent lui faire parcourir que la diagonale
avec la même vîteſſe.
979.
Donc ſi l’on a une force quelconque, on pourra tou-
jours la regarder comme la réſultante de deux autres forces, &
ſuppoſer qu’elle eſt la diagonale du parallélogramme formé ſur
les directions de ces deux nouvelles forces; d’où il ſuit encore
qu’il y a une infinité de forces dans leſquelles on peut décom-
poſer une force quelconque, puiſqu’une ligne peut être dia-
gonale d’une infinité de parallélogrammes différens. L’état de
la queſtion ou les conditions du problême, déterminent ordi-
nairement quelles ſont les forces dans leſquelles on doit dé-
compoſer une force donnée. On en verra des exemples dans
la méchanique.
980.
Donc ſi un corps ſe trouve à la fois ſoumis à l’action de
deux forces accélératrices ou retardatrices conſtantes, il dé-
crira encore la diagonale du parallélogramme formé ſur les di-
rections de ces forces: car ces forces ne ſont que des forces
motrices qui renouvellent leur action à chaque inſtant; &
comme les degrés d’augmentation ou de diminution ſont pro-
portionnels dans tous les inſtans du mouvement pour chaque
force, il s’enſuit que la ligne décrite par le mobile doit être
une ligne droite.
981.
Si les deux forces ne gardent pas un certain rapport
conſtant pendant chaque inſtant du mouvement, la ligne dé-
crite par le mobile ne peut être qu’une ligne courbe; cepen-
dant toujours telle qu’il ſatisfait durant chaque inſtant du
mouvement à chacune des deux forces à la fois, comme s’il
n’avoit été ſoumis qu’à l’une des deux.
982.
Donc ſi l’une des forces eſt variable, &
l’autre conſ-
tante, la ligne décrite par le corps ſoumis à l’action de ces
deux forces ſera néceſſairement une ligne courbe; d’où il ſuit
& du corollaire précédent, que l’on peut ramener la théorie
des courbes à celles du mouvement; &
réciproquement con-
noître quel rapport les forces motrices doivent avoir entr’elles
pour faire décrire à un corps une courbe déterminée.
Tout ce que nous venons de voir eſt ſuffiſant pour con-
noître la courbe décrite par un corps ſoumis à l’action d’une
force motrice, & à celle de la peſanteur, abſtraction faite des
réſiſtances de l’air & des différentes circonſtances qui peuvent
altérer la préciſion des regles que nous allons établir. Il ſuffira
de dire que les expériences du vuide démontrent que les corps
tomberoient avec la même vîteſſe, quels que ſoient leurs maſſes
& leurs volumes, ſi l’air ne réſiſtoit pas à leur mouvement.
Si l’on vouloit avoir égard à cette réſiſtance, il faut déter-
miner auparavant la réſiſtance des fluides aux corps en mou-
vement, à raiſon de leurs volumes, de leurs maſſes & de
leurs vîteſſes. Ainſi l’on voit que nous ne pouvons actuelle-
ou en deſcendant, ſuivant une ligne oblique à l’horizon, qu’en
faiſant abſtraction des réſiſtances de l’air, puiſque l’air eſt un
fluide, & que nous n’avons pas encore donné la théorie de la
réſiſtance des fluides.
983.
que la bombe décrit une courbe, en allant du mortier au lieu
où elle tombe; mais il faut encore ſçavoir quelle eſt cette
courbe, afin d’établir quelques regles qui ſervent de principes
dans la pratique, en conſéquence des propriétés de la courbe
décrite pendant le mouvement. Nous allons démontrer que
la courbe décrite non ſeulement par une bombe, mais par
tout corps, quelle que ſoit ſa direction parallele ou oblique à
l’horizon, eſt toujours une parabole. On ſuppoſe encore ici
comme dans ce qui précéde, que l’air ne fait aucune réſiſtance,
ſoit à la force d’impulſion, ſoit à celle de la peſanteur. Si la di-
rection du projectile eſt verticale ou perpendiculaire à l’ho-
rizon, tout le monde ſçait que le corps doit décrire une ligne
droite, ainſi il n’eſt pas queſtion de cette direction dans le cas
préſent.
984.
On demande qu’on puiſſe regarder la force de la pou-
dre comme une force capable de faire parcourir au corps jetté
des eſpaces égaux. Cette demande eſt une ſuite immédiate de
l’hypotheſe préſente qu’on n’a pas égard à la réſiſtance de l’air; d’ailleurs la force de la poudre eſt une force ſimplement mo-
trice, qui n’agit ſur le corps que dans un certain tems, que
l’on peut regarder comme un inſtant par rapport à la durée du
mouvement.
985.
Si un corps A eſt pouſſé par une force motrice ſuivant une
compoſé du mouvement d’impulſion & de la peſanteur, il décrira
une parabole.
Quelle que ſoit la direction de la force motrice, le corps A
ſe trouvera entre deux forces, l’une conſtante, c’eſt la force
de la poudre, l’autre accélératrice conſtante, c’eſt celle de la
peſanteur: donc (art.
975) il doit ſatisfaire dans le même
tems à chacune de ces deux forces, comme s’il n’avoit été
ſoumis qu’à l’une des deux. En vertu de la force d’impulſion,
il parcourt, dans des tems égaux, des eſpaces égaux A E, E G,
G I, I B, & en vertu de la peſanteur, il parcourt à la fin de
chacun de ces tems des eſpaces E F, G H, I K, B D, qui ſont
comme les quarrés des tems écoulés depuis le premier inſ-
tant du mouvement. Cela poſé, puiſque les eſpaces A E, A G,
A I croiſſent en progreſſion arithmétique, & que les tems
croiſſent dans la même proportion; &
que d’ailleurs les eſ-
paces parcourus à la fin de chacun de ces tems, à compter du
premier inſtant, ſont comme les quarrés des tems; ces mê-
mes eſpaces E F, G H, I K, B D ſeront auſſi entr’eux comme
les quarré des lignes A E, A G, A I, A B proportionnelles au
tems; &
prenant au lieu des lignes A E, A G, A I, leurs paral-
leles L F, M H, N K, & de même au lieu des lignes E F, G H,
I K, leurs paralleles A I, A M, A N, on aura, par ce qu’on vient
de voir L FM H
N K
: A L:
A M:
N N;
d’où il ſuit
que la courbe A F D eſt une parabole, puiſque les quarrés des
ordonnées ſont entr’eux comme leurs abſciſſes. C.
Q.
F.
D.
986.
Comme la peſanteur n’eſt pas un inſtant ſans agir ſur
le projectile, quelle que ſoit ſa direction, il eſt évident qu’elle
le détourne de cette ligne dès le premier inſtant du mouve-
ment: donc la ligne A B qui exprime la direction de la force
motrice, eſt tangente à la parabole.
987.
Si la direction de la force motrice eſt parallele à l’ho-
rizon, la verticale A O menée par le point A ſera l’axe de la
parabole, & le point A eſt le ſommet de la courbe.
Si la direc-
tion eſt oblique, la ligne A O menée par le même point A ſera
Si le corps eſt pouſſé de A vers B, le point H déter-
miné par la verticale, menée par le milieu de G B, ſera le plus
haut où le corps puiſſe s’élever; s’il eſt pouſſé de A vers Q, le
point A ſera le plus haut où il puiſſe ſe trouver dans le mouve-
ment.
988.
Les paraboles décrite par un même mobile ont d’au-
tant plus d’étendue que la force motrice eſt plus grande ſous
la même inclinaiſon: car l’étendue dépend de la force motrice
& de l’inclinaiſon de la direction de cette même force à l’ho-
rizon.
989.
La ligne A B, direction de la force motrice, eſt nom-
mée la ligne de projection; la ligne B D élevée du point D de
l’horizon où le corps tombe perpendiculairement juſqu’à la
ligne de projection eſt nommée ligne de chûte. La ligne A D
menée du point d’où le corps part juſqu’au point où il arrive
ſur l’horizon, eſt appellée ligne de but. Si cette ligne eſt ho-
rizontale, comme dans la figure 335, on l’appelle amplitude
de la parabole; cette ligne détermine l’étendue du jet, &
c’eſt
pour cela qu’on l’appelle amplitude.
990.
Comme les étendues des paraboles décrites par un
même mobile dépendent de la force qui a mis le mobile en
mouvement; pour ramener cette force à quelques meſures
fixes & déterminées, les Géometres, après Galilée, ſont con-
venus d’eſtimer les forces par les hauteurs, dont il auroit fallu
que le même corps tombât pour acquérir la vîteſſe qu’on lui
ſuppoſe: car comme un mobile en tombant acquiert à chaque
inſtant de nouveaux degrés de vîteſſe, il n’y a point de vîteſſe
ſi grande qu’on puiſſe imaginer, à laquelle le même mobile
ne puiſſe arriver, puiſque l’on peut ſuppoſer la hauteur dont
il eſt tombé auſſi grande que l’on voudra.
991.
Connoiſſant la ligne de projection A B, ſuppoſée parallele
la ligne de chûte B F de la parabole A E F décrite
par un mobile quelconque, on demande de quelle hauteur ce mobile
doit tomber pour avoir à la fin de ſa chûte une vîteſſe avec laquelle
il puiſſe parcourir la ligne A B d’un mouvement uniforme, dans le
même tems que la peſanteur lui fera parcourir B F ou A G.
Soit x la hauteur d’où le corps doit tomber pour avoir la
vîteſſe demandée; ſoit T le tems que le corps emploie à par-
courir B F en vertu de ſa peſanteur; ſoit fait de plus B F = a,
& A B = 2b.
La vîteſſe que la peſanteur a communiquée au
corps à la fin de ſa chûte par B F eſt telle qu’elle lui fait par-
courir 2a ou 2B F dans le tems T (art. 962):
la vîteſſe qui
doit être acquiſe par la hauteur inconnue x eſt telle qu’elle
fait parcourir au même corps l’eſpace 2b ou A B dans le même
tems T: d’ailleurs (art.
959) les vîteſſes acquiſes par diffé-
rentes hauteurs ſont comme les racines quarrées de ces hau-
teurs, qui ſont a & x:
on aura donc cette proportion,
√a\x{0020}: √x\x{0020}:
: 2a:
2b:
: a:
b;
d’où l’on tire a√x\x{0020}=b√a\x{0020}:
éle-
vant tout au quarré, on aura a
= {bdonc on aura cette proportion, a:
b:
: b:
x.
Pour conſ-
truire cette valeur de x, du point G au point D milieu de la
ligne A B, on menera une ligne G D; on élevera au point D,
la perpendiculaire C D à cette ligne, juſqu’à ce qu’elle ren-
contre la ligne A G, prolongée en C; je dis que la ligne A C
eſt égale à x, c’eſt-à-dire que cette ligne eſt la hauteur dont le
corps doit tomber pour avoir la vîteſſe demandée: car à cauſe
des triangles ſemblables G A D, D A C, on aura A G (b): A D (b):
: A D (b):
A C ({bb/a}).
C.
Q.
F.
T.
&
D.
992.
Si l’on veut ſçavoir de quelle hauteur le mobile doit
tomber pour acquérir une vîteſſe capable de lui faire parcourir
qu’il auroit employé à tomber par A G: on fera de même la
hauteur inconnue = y; la ligne G D connue = d;
la hauteur
A G = a; &
l’on dira:
La vîteſſe acquiſe par la hauteur A G
eſt à la vîteſſe acquiſe par la hauteur inconnue y, comme l’eſ-
pace A G qu’elle fait parcourir uniformément pendant la moitié
du tems de la chûte par A G, eſt à l’eſpace G D qui doit être
parcouru pendant le même-tems, ſelon l’hypotheſe: &
comme
d’ailleurs les vîteſſes ſont comme les racines quarrées des hau-
teurs, on aura cette proportion, √a\x{0020}: √y\x{0020}:
: a:
d:
donc en
élevant tout au quarré a: y:
: a