Varro, Michel De motu tractatus 1584 Geneva la varro_demot_044_la_1584.xml 044.xml /permanent/library/TPQ025WW/

TERRA MACHINIS MOTA DISSERTATIONES GEOMETRICAE, MECHANICAE PHYSICAE, HYDROSTATICAE In quibus Machinarum Coniugatarum uires inter ſe comparantur: Multiplici Noua Methodo Terrae magnitudo et Grauitas inueſtigatur: ARCHIMEDES terrae motionem ſpondens ab arrogantia ſuſpicione uindicatur. AVTHORE PAVLO CASATO E SOCIETATE IESV. ROMAE. Ex Typographia Ignatij de Lazaris. M.DC.LVIII. SVPERIORVM PERMISSV.

ILLVSTRI ET IN PRIMIS GENEROSO DOMINO, DOMINO CAROLO BARONI Azerotin, Nameſtij Roſicij Brandeiſij Domino, MICH. VARRO. S. P. D.

CVM ab Ineunte ætate in Ma­ thematicis me exercuiſſem, ſem­ per animo meo in hæſit hoc deſide­ rium, vt quæ de Archimede Syra­ cuſano referuntur, ea & ratione demonſtrare & experimento comprobare poſſem. Cumque multa in eo genere meditatus eſſem, poſt­ quam ad iuris ciuilis ſtudium tranſii, ac tandem ad Rempub. nunquam mihi tantum otii contigit, vt ea in ordinem redigere potuerim. At cum pau­ cis retrò annis ſatis longam peregrinationem per Sarmatiam ſuſcepiſſem, eſſetque vacuus curis a- nimus, atque ad earum rerum meditationem me impelleret genius meus, cœpi aliquid de his ſcribe­ re, quantum ipſe iter faciendo meo marte aſſequi potui cum libris deſtituerer. Scriptum illud cum in maximè ardua & difficìli contemplatione ver ſetur, nec ab eo tempore ex quo adſolitas occupa­ tiones redii ei extremam manum apponere mihi licuerit, decreueram inter priuatas meas muſas aſſeruare Verebar enim vulgi iudicium, (cuius ta­ men rationem viro politico habendam eſſe cenſeo) ne­ que ſolum vulgi, verum etiam eorum qui doctorum nomine gaudent, cum inaudita quædam interdum quæque ab eorum opinione recedere videantur at­ tingam. Cupiebam etiam in eo argumento vlteriùs progredi, antè quam quidquam ederem, atque ea quæ in meis aduerſariis ea de re ſparſa habeo, iis quæ congeſſeram ſubiicere, vt iuſtum volumen fieret.

Poſtquam verò te diſceſſum ex hac nostra ci­ uitate parare intellexi, in qua dum verſatus es. non ſolùm ei ornamento fuiſti, ſed etiam optimos quoſque virtutum tuarum admiratione tibi con­ ciliasti: mihi verò peculiariter innumera beneuo- lentiæ ſigna exhibuiſti, non potui tantum virum, meíque amantem ſine aliquo munere aut mnhmosu/nw| dimittere. Itaque libellum hunc tibi dicare, & ſub tuo nomine in publicum edere ſtatui. Squalli­ dus quidem prodit, & rudis, mole etiam perexi­ guus: ſplendidius aliquid & magis elaboratum postularet tua dignitas. Atqui ea eſt argumenti illius magnitudo, vt in eo aliquid voluiſſe ſatis ſit. Militare ſanè munus eſt, eóque nomine tibi conueniens: ſi quis enim hac cognitione inſtructus fuerit, non minùs ea in re bellica vti poterit, quam Archimedes in Syracuſis defendendis aduerſus Marcum Marcellum vſus est. Eá­ que mirari deſinet quæ de eo Plutarchus nar­ rat. Id lucidius demonſtrare potuiſſem, ſi mihi hæc vlterius perſequendi otium fuiſſet: Jeiuna enim per ſe videntur, niſi quis ſuccum qui ſub corti­ ce latet, eliciat. Malui tamen hoc veluti pro­ gymnaſmate alios quibus plus est otii & in­ genii ad eiuſmodi inquiſitionem hortari & ac­ cendere, quàm præclaram illam cognitio­ nem diutius ſepultam relinquere cum ne- minem hodie animaduertam qui ei inſudet, neque mihi ſpes vlla affulgeat diuturni otii, cuius ope in hoc ſtadio pergere poßim: Quòd ſi fortè mihi aliquando contingat, riuos plurimos ex his fontibus me educturum; confido; quibus multum commoditàtis rebus humanis accedat. Quæ enim hic traduntur, ad motus omnes atque ad omnis ge neris virium comparationes accommodari poſ­ ſunt ad fines propoſitos aſſequendos. Quod quàm latè pateat, dici non poteſt. Eſt enim eorum vſus non ſolùm in mechanicis, in quibus tamen eſt ma ximus, ſed etiam in politicis & œconomicis: ſunt enim in illis motus, ſunt vires & reſistentiæ. In arte medica & reliquis phyſices partibus pra­ cticis, quantus ſit, nemo fando exprimere poßit. Quia vero ea quæ praxim docent gratiora ſunt ipſa contemplatione, & cauſæ propter effecta in­ quirantur, *a)lfh/stas omnes hortor vt quod ego in­ numeris aliis cur is implicitus addere non poſ­ ſum, ipſi addant. Abundat nunc Europa præ­ ſtantibus ingeniis, ſi Mœcenates adeſſent. Ea autem quæ præter hæc meditatus ſum, ac fer- mè parata habeo, hæc ſunt. Tractatus de iactu. De continuitate eiuſque ſolutione. De condenſa­ tione & rarefactione earumque cauſis & effecti­ bus: Item in Mechanicis, tractatus de variis ma­ chinis ad motus ciendos, ac de perfectißimæ cuiuſ­ que ad id quod propoſitum fuerit moliendum in­ ueſtigatione. Nonnulla etiam de Rerumpublicarum motu tum interno tum externo notaui, quæ eodem or­ dine tradere optarem: quorum omnium principia hic ſi quis diligenter animaduertat tradita ſunt. Si quis mihi in his palmam præripuerit, meque an­ teuerterit ei maximas gratias agam. Sunt tamen inter hæc quædam quæ vulgò pandere nephas est. Itaque theoriæ magis inſiſtendum puto, in qua ſi quis exercitatus fuerit, nullo negotio illam in opus educere poterit, idque ſine periculo fiet, cum vul­ go non pateat. Alioqui periculum eſt, ne ſi particu­ laria tradantur iis contenti homines, vt fieri ſolet vniuerſalem cognitionem & cauſarum inquiſi­ tionem negligant, pereatque ſcientia. Eaque de cauſa nihil quicquam de his quæ fecerat Archi- medes ſcriptum relinquere voluit. Exiſtimans eos qui in iis quæ qewrhtikw=s tradiderat, diligentem ope­ ram ponere vellent, multò maiora quoties opus fo­ ret præſtituros. Equidem mihi perſuadeo non de­ futuros qui varia iudicia de hoc noſtro ſcripto fe­ rant & quaſi nouum athletam in arenàm pro­ deuntem mirentur. Quibus vno verbo reſpon­ ſum volo, me nullius vnquam in verba ma­ gistri iuraſſe, ſed liberrimè ſemper philoſo­ phatum eſſe: ita vt etiam in principia ab aliis ſtatuta animaduertere mihi licere putauerim. Quod eò liberiùs feci, poſtquam magnam partem vulgo receptarum opinionum falſam eſſe re ipſa deprehendi. Omnibus placuero, ſi tibi placuero. Si quid in his obſcurius fuerit, habes clarißimum vi­ rum Wenceſlaum lauinium tuum, abſtruſioris philoſophiæ indagatorem ſummum, qui tibi omnia explicabit. Hoc igitur munuſculum vt ſerena fron­ te ſuſcipias rogo. Vale. V I. K al. Jun. Anno Christi Domini M. D. LXXXIV.

M. VARRONIS DE MOTV TRACTATVS.

PROBLEMA.

Data vi datum pondus mouere.

Hoc problema prima quidem fronte mirabile videtur, vt ſcilicet pondus vel maximum viribus ta­ men minimis, vt puta ſi dicas vnius hominis, vel etiam imbecillioris a­ licuius animalis viribus totum ter­ ræ globum loco moueri poſſe. Quod Archimedem Syracuſanum iactaſſe referunt hoc dicto, do\s pou= stw=| ta\n ga\n kinw=|. Si quis tamen in Geometrico puluere verſatus fuerit, preſertim verò in iis quæ ab ipſo in ſuo i)soropikw=n libello traduntur. Illud cæteráque eiuſ­ modi, ludicra Geometriæ, vt & ipſe facere ſolitus di citur, appellabit. Ex huius autem problematis expli catione, omnium machinarum quę ad motus cien­ dos excogitari poſſunt, ratio pendet. Etſi verò totum Geometrica demonſtratione expediri poſſit, quo­ niam tamen hęc conſideratio, quæ Græcis staqmikh\ di citur Geometriæ tantùm eſt u(pa/llhlos mixta ſcili­ cet ex phyſica & Geometrica eo quòd illius ſubie­ ctum ſit motus. Ideò paulò craſſiori Minerua & præter Geometricam ſimplicitatem fusikw=s etiam tractanda eſt: alioqui Archimedicis demonſtratio­ nibus ſtandum eſſet, quæ in eo mancæ ſunt, quòd il­ læ propoſitiones quæ ex phyſicis peti debent, inde­ monſtratæ manent, nec explicantur, ſed pro confeſ­ ſis principiorum loco poſtulantur. Eas igitur, qua­ tenus ad huius problematis explicationem faciunt, hic diſcutiemus. Neque enim Euclidis librum de gra­ ui & leui, in quo hoc argumentum perſequi voluiſ­ ſe videtur, integrum habemus. Ariſtoteles verò in eo quod ab ipſo ſcriptum extat de Mechanicis fra­ gmento pręter ſuum morem, cùm alio qui in omni­ bus exactiſſimus ſit, hanc quæſtionem potiùs nota­ uit quàm explicuit in ſexto & ſeptimo phyſicorum libro multa prætermiſit. Vt igitur ad rem aggredia­ mur, primùm voces, quibus vtendum eſt, definie­ mus, vt intelligatur quo ſenſu eas accipiamus.

DEFINITIO I.

Vis dicitur agendi aut agenti reſiſtendi potentia, præſertim verò mouendi & mouenti reſiſtendi.

II.

Vis ſubiectum dicitur id quod vis mouet, vel quod à vi mouetur.

Hîc non agimus de vi primaria quæ virium o­ mnium principium eſt, mouétque omnia, nec tamen mouetur, ſed de ea, quę dum mouet, etiam cum ſub­ iecto, cui ineſt, mouetur.

Subiecta verò quæ nullam vim habent, nec mo­ uentur, nec mouenti reſiſtunt: ſi qua verò vis illis ac­ cedat, tum ab ea ſe moueri patiuntur.

Etſi autem plura ſint virium genera, tot ſcilicet, quot ſunt in rerum natura contrariorum, actionem & paſſionem recipientium, vt leue graue, rarum den­ ſum, plenum vacuum, durum molle, & cætera eiuſ­ modi, quoniam tamen ea omnia hîc perſequi noſtri non eſt inſtituti, cùm de ea tantùm qua motus fit a­ gere ſtatuerimus.

III.

Cùm de motu hîc agemus motum ad locum, quem Græci fora\n vocant, intelligi volumus.

IIII.

Linea autem recta quæ eſt ab eo loco à quo mo­ tus fieri incipit ad illum ad quem tendit. Illius vis quæ motum efficit, nutus dicetur.

Eadem verò linea conſiderata à loco ad quem tendit vis ad illum à quo motus fieri incipit, contra nutum dicitur.

Itidem & omnes illi parallelæ.

Quæ verò lineæ vel rectæ, vel curuæ, nutus lineam ad angulos inæquales ſecant, illæ obliquè nutum verſus, vel contra nutum ferri dicuntur, habita ratio­ ne partium, quas ſpectant.

Plurimùm autem à ſitu corporis humani deno­ minationem accipiunt illæ partes, vt ſurſum, deor­ ſum, dextrorſum, ſiniſtrorſum, antè vel ponè di­ cantur. Quæ verò lineæ, nutus lineam ad angulos rectos ſecant, neque verſus nutum, neque contra nutum ferri dicuntur, ſed æquè diſtant à loco natu­ rali.

Virium diuiſio.

Vis autem omnis aut naturalis eſt, aut non natu­ ralis, aut mixta. Naturalis vis eſt, qua res quælibet natura ſua mouetur, aut mouenti reſiſtit habita ra­ tione tum loci ſui naturalis, tum etiam ſitus ſuarum partium. Non naturalis eſt quæ nec ratione loci ſui naturalis, nec ſitus partium mouet. Eſt autem hæc duplex, fortuita ſcilicet & voluntaria: illa vt vis ven­ torum & ſpirituum intellectu carentium, hæc vt a­ nimalium & ſpirituum intelligentium & ſimilium. Mixta dicitur, quæ partim naturalis eſt, partim non naturalis.

Locus autem naturalis cuiuſque rei eſt, in quo exiſtens ipſa quieſcit, & ſi inde remota ſit, vis ei à na tura inſita eam illuc impellit. Huius verò motus aut quietis cauſſa nulla alia aſſignari poteſt præter pri- mam illam rerum omnium conditricem, quę, ne o­ mnia in omnibus eſſent ſingulis partibus vniuerſi ſingula loca attribuit circa quæ conglobantur, & i­ bi hærent. Quicquid enim terreum eſt, in terræ glo­ bum confluxit. Ita quicquid ſoli homogenes in Solis corpus, lunaria omnia in lunam, & ſic de cæteris cor poribus vniuerſi. Singulæ autem eorum partes ſuis totis adhærent, nec inde ſponte mouentur: ſi verò in­ de motæ fuerint, eò redire nituntur. Quod enim in terra fieri videmus, idem & in reliquis corporibus v­ niuerſi fieri dicere poſſumus, ſcilicet quod vnita cir ca locum ſuum naturalem maneant: ſi enim partes eorum ſponte ſepararentur, & vi ab ipſis ſeparatæ ad locum ſuum non redirent, ſtatim tota diſſolue­ rentur.

Vis igitur illa in loco ſuo quieſcendi grauitas di­ citur, cuius contrarium eſt leuitas. Res autem nulla per ſe leuis dicitur, ſed tantùm habita ratione alterius loci, quàm ſui naturalis: vt puta ſi pars aliqua Solis vi quapiam in terram inuecta eſſet, ſuóque arbitrio committeretur, illa ſtatim Solem peteret: ita ſi ter­ ræ pars in Solem inuecta eſſet, ſuóque arbitrio com mitteretur, ſtatim à ſole euolaret, & ſe per cælum terram verſus proriperet. Vt igitur terræ partes in terra graues ſunt: ſic Solis partes in ſole graues ſunt: in terra verò leues, terræ verò partes in Sole leues ſunt. Idem de cæteris corporibus vniuerſi dici po­ teſt. Neque enim faciliùs ex globo lunæ particulam abſtrahas, quàm ex terra glebam.

Aer autem nullum proprium habet locum natu ralem, ſed vbique eſſe poteſt, cùm rerum omnium locus vniuerſalis eſſe videatur: de quo dubitari po­ teſt an ſit infinitus, cùm omnia contineat, à nulla re verò totus comprehendatur, ſed hæc diſputatio non eſt huius loci.

Etſi autem nullum proprium habet locum natu ralem, neque leuis aut grauis ſit: leuis tamen eſſe vi­ detur, cùm grauis non ſit, nec ægrè ſe moueri patia­ tur. Itaque ſi quo modo ita conſtitutus ſit, vt rem a­ liquam, quò minùs ad locum ſuum naturalem per­ uenire poſſit, impediat, tum per expreſſionem ſeu e)/kqliyin, ab ea eiicietur, in eiúſque locum ſuccedet, vt fit in aqua, cùm ei introducitur. Quæ quidem e)/k­ qliyis iis etiam accidit quæ loco naturali gaudent, cùm ſeſe mutuò impediunt, ne ad illum ferantur. Præſertim verò in liquidis locum habet, quorum partes facilius mouentur, quàm rerum cohærentium & compactarum. Inde accidit vt quicquid liquidis immergitur, tantò fiat in illis leuius quàm grauius, eſt moles eiuſdem liquoris ipſorum moli æqualis. Sed hæc de loco naturali fuſiùs à nobis alibi medita­ ta, obiter hîc attigiſſe ſufficiat, vt intelligatur quid ſit vis naturalis.

Vis autem voluntaria nullum certum nutum habet, ſed illum tantùm in quo mouentis voluntas conquieſcit. Cúmque vis naturalis vnum tantùm nutum habeat, ſcilicet à loco à naturali requie re­ moto, ad ipſam naturalem requiem, illa infinitos nu tus habet & indeterminatos per ſe ac voluntatis tan tùm decreto determinabiles.

Fortuita verò ipſo tantùm caſu determinabilem nutum habet: quò enim ipſa tendit, eo munere dici­ tur ſiue ſurſum, ſiue deorſum, ſiue ad latera. Itaque & hic & ille nutus a)dio/ristos dicitur. Quemadmodum & is quem habent vires illæ, quibus res à ſitu partium naturali remotæ ad illum redeunt: prout enim ab eo motæ ſunt, ita ad illum redeunt, prout etiam huc aut illuc obuerſæ ſunt, vt vis arcus aut baliſtæ.

DEFIN. V.

Vires autem contrariæ dicuntur, quæ contrarios motus ciere poſſunt, vt ea quæ ſurſum mouet & quæ deorſum, & ſic de cæteris.

Conſideratur autem in vi quantitas, tum eo quòd vis partibus ſuis conſtet, in quas in infinitum diuidi poteſt, & rurſus additione aut multiplicatione au­ geri, tum quòd æqualitatis exceſſus & defectus con­ parationem recipiat.

Ac quoniam vis eſt mouendi potentia, vis par­ tes erunt quæ motus partes efficient, & quæ erit mo tus partium, menſura eadem erit & vis partium. Et motus quidem propria menſura eſt linea ſeu ſpatium. Quantum enim res quæpiam mota, ſpatij percur­ rit, tantùm mota eſſe dicitur. Quoniam verò in mo mento vel inſtanti quod inſtar puncti eſt, & magni­ tudine caret, nullus motus fieri poteſt, ſed motus o­ mnis in tempore fit. Ideò ad motus menſuram tem­ pus etiam adhibere oportet. Illud enim cum ſpatio vel linea, motus dici facit æquales aut inæquales.

DEFIN. VI.

Æquales igitur motus dicuntur, qui æqualibus temporibus æqualia ſpatia percurrunt.

Qui autem æqualibus temporibus æqualia ſpa­ tia permeant, illi iidem proportionales ſunt: hoc eſt, quæ eſt ratio temporis, quo alter eorum fit ad tempus quo fit alter, eadem eſt ſpatij quod percurrit alter ad ſpatium quod reliquus percurrit. Si enim duorum quorum ſinguli vna hora miliaris vnius i­ ter conficiunt, alter eodem motu per tria miliaria ferri pergat, alter verò per duo tantùm. Ille tribus ho­ ris ea abſoluet, hic verò duabus, & æquè celeriter ferri dicentur, licet ſpatia inæqualia percurrant, quo­ niam illa ſunt temporibus proportionalia.

VII.

Inæquales autem motus dicuntur, quorum tem­ pora non ſunt ſpatiis proportionalia. Eorum autem maior ille dicitur, cuius maior erit ratio ſpatij ad ſpa tium, quàm temporis ad tempus, quibus fiunt illi motus. Ex quo intelligitur etiam quis minor dica­ tur. Maior igitur dicetur qui celeriùs feretur, minor, qui tardiùs.

VIII.

Æquales igitur vires dicentur, quæ æqualibus motibus ſubiecta ſua mouebunt. Maior verò quæ ſubiectum ſuum magis vel celeriùs mouebit. Mi­ nor, quæ minùs vel tardiùs.

Motuum diuiſio.

Comparantur autem motus ſecundum omnes comparationis gradus, hoc eſt, æqualitatem, exceſ­ ſum & defectum: tum ſibi ipſis, cùm totus ſuis par­ tibus confertur, tum alij aliis.

Quatenus autem ſibi ipſi motus comparatur, aut eſt o(moiomerh\s ſeu æquabilis aut a)nomoiomerh\s, id eſt inæ­ quabilis. Aequabilis, cuius omnes partes tum mini­ mæ tum maiores tempora habent ſpatiis per quæ cientur proportionalia. Inæquabilis verò, in quo illa non ſunt proportionalia.

Inæquabilium autem motuum duo ſunt genera, creſcens ſcilicet & decreſcens, ídque vel continuè, vel per interualla, ordinatim vel a)taktw=s.

Creſcens dicitur, quando partium poſteriorum ipſius maior eſt celeritas, quàm priorum: decreſcens, quando minor.

Continuè, quando nulla pars illius vel minima alteri parti eſt æqualis ſeu ſibi ipſi æquabilis.

Per interualla verò, quando partes quidem illius ſibi ipſis æquabiles ſunt, aliæ verò aliis comparatæ inæquabiles.

Ordinatim, quando incrementum aut decremen­ tum illud certa aliqua proportionis progreſſione fit, vt ſi in motu continuè creſcente, diuiſo toto mo tus ſpatio in aliquot partes æquales eadem ſit ratio celeritatis, finis primi ſpatij ad celeritatem finis ſe­ cundi, quæ finis ſecundi ad finem tertij, & ſic dein­ ceps: vel ſi finis ſecundi ſpatij duplo citiùs feratur, quàm finis primi & finis tertij, triplo quàm primi: finis verò quarti quadruplo, & ſic deinceps. Idem ſi in quauis alia proportionis progreſſione illarum partium celeritas, aliarum ad alias ſe habeat. In mo­ tu verò per interualla creſcente augmentum illud or­ dinatim fieri dicetur, ſi interuallorum proportio a­ liquem progreſſionis ordinem ſeruet: puta ſi primum interuallum duplo tardiùs ſecundo moueatur, triplo verò tardiùs tertio, &c.

Inordinatè autem creſcere vel decreſcere dicetur motus, ſi incrementum illud aut decrementum nul la certa & ordinata proportione fiat.

Comparantur autem motus alij aliis, æquabiles ſcilicet & inæquabiles ordinatim progredientes: de inordinatorum enim tum inter ſe, tum cum aliis com paratione nihil certò ſtatui poteſt.

Comparantur igitur æquabiles cum æquabili­ bus aut cum inæquabilibus, ac etiam inæquabiles cum inæquabilibus.

Æquabiles autem cum æquabilibus compara­ tionibus ſuis partibus correſpondentibus ſunt pro­ portionales. Si enim proponantur duo motus æqua­ biles, quorum alter altero maior ſit, quæ erit ratio dimidiæ partis vnius ad dimidiam partem alterius, eadem erit tertiæ ad tertiam, & ſic deinceps.

Æquabilium verò motuum cum inæquabilibus, cum iis ſcilicet qui per interualla creſcunt, compa­ ratio fit tanquam cum pluribus diuerſis motibus æ­ quabilibus, ſunt enim interuallorum illorum motus æquabiles. At cum continuè creſcentibus aut decre­ ſcentibus difficile eſt comparationis modum defi­ nire, cùm ne momento quidem ſtabilis maneat par tium illarum quantitas. Eſt tamen motus æquabilis illorum menſura: tanti enim eſſe dicuntur, quanti forent, ſi in ea celeritatis menſura ad quam perue­ nerunt, æquabiliter pergerent.

Creſcentes verò cum creſcentibus continuè, con­ parati ſiquidem eadem progreſſionis proportione creſcant, æqualia ſpatia ab eorum principiis nume­ rata, æqualibus temporibus emenſa habebunt, idem in decreſcentibus. Sed hęc hactenus inquiſiuiſſe ſuf­ ficiat: ſi quis enim particulatim omnia expendere vel­ let, in infinitum ſeſe extenderet hęc partium & pro­ portionum motuum ſupputatio.

Iam videamus quæ vires quos horum motuum cieant. Et vis quidem ea qua res quælibet ad ſitum naturalem ſuarum partium redit, motu continuè de­ creſcente mouet: quo enim propiùs ad ſitum natu­ ralem partium accedit, eo tardior & languidior eſt. Arcus enim cùm primùm laxari incipit, celeriùs mouetur, quàm cùm motus ſui finis propior eſt.

Vis verò naturalis, qua res quęlibet ad locum ſuum naturalem tendit, ſubiectum ſuum, motu continuè & ordinatim creſcente, mouet. Illius autem motus cauſa eſt quòd faciliùs id moueatur, quod in motu eſt, quàm quod quieſcit. Vis igitur eadem, ſubiectum quod iam in motu eſt premens, illud magis moue­ bit, quàm ſi quieſcat, & magis motum, magis etiam mouebit: ita vt eadem vis motione maior fiat, quàm per ſe ſit. Et hæc eſt cauſa cur ictus, quo magis ab al­ tero venit, eo vehementior ſit. Motus autem huius ſpatia hanc celeritatis proportionem ſeruant, vt quæ eſt ratio totius ſpatij, per quod fit ille motus ad par­ tem ipſius (vtriuſque initio inde ſumpto, vbi eſt mo tus initium) eadem ſit celeritatis ad celeritatem.

Exempli gratia, ſi vis aliqua per lineam ABC mouerit, ſitque AB illius lineæ pars, quæ erit ratio AC ad AB, eadem erit celeritatis motus in puncto C ad celeritatem motus in puncto B. Cuiuſmodi proportio obſeruatur in paralle­ lis triangulum ſecantibus. Vt enim ſe habet
AC ad AB, ſic CG ad BF, & vt AD ad AC, ſic DH ad CG. Itaque ſi in ſpatia ali­ quot æqualia diuidatur totius motus ſpa tium, finis ſecundi duplo citiùs feretur, quàm finis primi: finis verò tertijtriplo citiùs quàm finis primi, & ſic deinceps. Hac autem ratione fit, vt ſpatiorum illo­ rum initio maxima ſit celeritatis differen­ tia: progreſſu verò ſemper minuatur, ac tandem fer­ mè eadem ſit, vt fit in trianguli lateribus, quæ lon­ giſſimè producta æquè diſtare videntur. Eáque eſt ratio cur Solis & Lunæ radij, etiamſi concurrant (in ipſorum ſcilicet corporibus, aut vltra res quas illu­ ſtrant) paralleli tamen appareant. Eadem etiam cauſa eſt cur lineę omnes ad perpendiculum in terram cadentes, paral­ lelæ videantur, cùm tamen in centro terræ concurrant.

Hunc igitur motum vis naturalis efficit, modò nulla quies intercedat.

Vis autem voluntaria motum omnem ciere apta eſt. Fortuita verò inordinatum tantùm motum effi­ cit. Et hæc de variis virium motibus, eorúmque pro­ portione & partibus.

Eſt verò etiam virium partitio quædam, quæ ex eorum quibus inhærent ſubiectorum diuiſione, aut alterius ad alterum proportione reſultat. In ſubie­ ctis enim, quæ o(moiomerh= ſunt, vis naturalis æqualiter per omnes partes diffuſa eſt: ita vt quæ eſt ratio mo­ lis ad molem ſub eadem figura, eadem ſit vis ad vim: vt ſi globus alicuius metalli, ad alium globum eiuſ­ dem metalli mole quadruplus ſit, illius quoque pon­ dus ad huius pondus quadruplum erit.

Hactenus vim conſiderauimus quatenus mouet, ſupereſt vt eam conſideremus, quatenus mouenti reſiſtit. Habet autem locum reſiſtentia, vbi duæ vi­ res contrariæ committuntur: ſi enim vtraque eodem motu moueat, nulla erit reſiſtentia, ſed altera alteri addita maiorem vim conſtituet.

Committi autem dicuntur vires, quando ita ap­ plicantur & connectuntur, vt altera nutu ſuo moueri non poſſit, quin altera contra nutum ſuum mouea­ tur. Viribus autem ita connexis, accidit vt altera in alterius ſubiectum agat, & altera in ſubiecto ſuo exi- ſtens, alteri in altero ſubiecto exiſtenti reſiſtat, ita vt eorum ſubiecta quodammodo reciproca fiant.

CONCLVSIO I.

Illam autem reſiſtentiam vi momenti in eodem ſubiecto æqualem, aut eandem cum ea eſſe, ex ipſius definitione conſtat. Eſt enim reſiſtere non pati ſe mo­ ueri. Quantum autem vis quælibet ſubiectum ſuum nutu ſuo mouet, tantum illud contra nutum ſuum moueri non patitur. Mouendi igitur & mouenti re­ ſiſtendi potentia in eodem ſubiecto æquales ſunt.

II.

Quemadmodum autem in eodem ſubiecto ma­ ior vis ineſſe dicitur, in quo eſt maioris motus po­ tentia, ſic maior reſiſtentia erit maioris motus con­ trarij impatientia. Eadem igitur vis magis mouere nitenti contra ipſius nutum magis reſiſtet, minus ve­ rò nitenti minùs reſiſtet.

III.

Et quo maior erit motus contrarius, eo magis re­ ſiſtet: id eſt, quo celerius vis quælibet à nutu ſuo re­ uelletur, eo magis reſiſtet. Duplo igitur citiùs re­ uellenti duplo reſiſtet, triplo citius triplo reſiſtet, & ſic a)nalo/gws in omni proportione. Quæ igitur erit ratio motus ad motum, contra nutum eadem erit in vna & eadem vi ratio reſiſtentiæ ad reſiſtentiam.

Si verò plures vires comparentur.

IIII.

Æqualium quidem virium æqualibus motibus æquales erunt reſiſtentiæ. Si enim æquales vires æ­ qualiter à ſuis nutibus reuellantur, æqualiter reſi­ ſtent.

V.

Inæqualibus verò motibus, earum reſiſtentię in­ æquales erunt, & motuum proportionem ſequen­ tur. Exempli gratia, ſint duæ vires A & B, quarum v­ traque vna hora miliare vnum percurrat, illæ æqua­ les erunt. Si igitur vtraque quarta parte vnius milia­ ris, vel dimidio miliari à ſuo nutu eodem tempore reuellatur, eadem erit vtriuſque illi motui reſiſten­ tia. Sin verò altera quidem quarta parte vnius milia­ ris à nutu ſuo reuellatur, altera verò eodem tempo­ re integro miliari reuellatur: hæc reſiſtentia ad il­ lam quadrupla erit, & ſic de cæteris motuum pro­ portionibus.

VI.

Inæqualium verò virium reſiſtentiæ æqualibus motibus ipſarum virium proportionem ſequentur. Quo maior enim eſt vis, eo magis eodem tempore eodémque ſpatio contra nutum mouenti reſiſtit. Exempli gratia, ſit vis A quadrupla ad vim B, vis A mo­ uenti ſe vno miliari quadruplo reſiſtet, quàm B mo­ uenti ſe vno miliari eodem tempore.

Inæqualium verò virium inæqualibus motibus reſiſtentiæ, quando motus eam inter ſe proportio­ nem ſeruabunt, quæ eſt inter eas a)ntipeponqw=s, ſeu reciprocè, æquales erunt. Sit enim vis A quæ ad vim B eandem habeat rationem quam C ad D, puta quam 3 ad 1, aut 4 ad 1, aut quæcunque alia ſit, moueatúrque vtraque ſpatio E contra nutum ſuum eodem tem­ pore, reſiſtentia A ad reſiſtentiam B ſe habebit, vt C ad D per proximam concluſionem. Si verò B moue­ atur eodem tempore ſpatio aliquo quod ſe habeat ad ſpatium E vt C ad D, reſiſtentia B huic motui ſe habebit ad reſiſtentiam priori motui, vt C ad D per quartam concluſionem. Duæ ergo reſiſtentiæ ad ean­ dem, eandem habebunt rationem, ergo æquales e­ runt per 9 prop. 5. Elem. Eucl.

VIII.

Si verò motuum virium inæqualium proportio non ſit eadem quæ eſt ipſarum virium reciprocè, vis illius quæ ad alteram maiorem habebit rationem, quàm motus alterius ad motum ipſius, reſiſtentia maior erit, altera verò minor. Exempli gratia, ſi vis A ſit tripla ad vim B, & motus quo B à nutu ſuo reuel letur, ſit minor quàm triplus ad motum A, reſiſten­ tia A erit maior quàm reſiſtentia B. Idem erit, ſi ma­ ior ſit ratio A ad B, quàm 3 ado, motus verò B ad mo­ tum A ſit triplus. Contrà verò ſi A ad B ſit tripla: mo­ tus verò B ad motum A ſit maior quàm triplus, ma­ ior erit reſiſtentia B quàm A. Idem accidet, ſi A ad B ratio minor ſit quàm 3 ad 1, motus verò B ad motum A ſit triplus. Hunc autem exceſſum & defectum non vlteriùs ſcrutabimur, vt ipſius quantitatis menſuram aſſequamur: alioqui in infinitum fieret progreſſus.

Ex his colligimus reſiſtentias tribus modis æqua­ les aut inæquales dici, per ſe ſcilicet aut motione, aut vtroque modo. Per ſe quidem cùm ſubiectorum vires ſunt æquales (id eſt æqualiter ſua ſubiecta mo­ uent) aut inæquales. Motione verò quando per ſe quidem in æquales ſunt, motione verò æquales fiunt: aut quando per ſe æquales ſunt, motione verò inæ­ quales fiunt eo, quo dictum eſt, modo. Vtroque mo do æquales aut inæquales dicuntur, quando tum per ſe, tum motione tales fiunt. His explicatis videamus quis eorum ſit effectus, vbi vires committentur.

IX.

Primùm ex prima concluſione ſequitur quę erit ratio reſiſtentiæ ad reſiſtentiam, eandem fore reſi­ ſtentiæ ad vim cuius eſt altera reſiſtentia: ſunt enim vis & reſiſtentia in eodem ſubiecto æquales. Ergo mul­ to magis ſequitur, ſi reſiſtentia altera maior, altera mi nor fuerit, illam huius vi maiorem fore, vel illius vim hac reſiſtentia maiorem, ſi æqualis æqualem.

X

Reſiſtentia autem vi contrariæ commiſſa tantum de ea tollit quanta eſt ipſa reſiſtentia. Sublata autem vi tollitur motus: ſublata verò reſiſtentia, ſi vis adſit, ſequitur motus. Vbi igitur vis & reſiſtentia inęqua­ les committentur, ſi vis maior ſit quàm reſiſtentia, fiet motus ſecundum vis illius nutum, & contra nu­ tum vis illius quæ reſiſtit. Si verò reſiſtentia maior fuerit, tum ipſa fiet vis mouens, & vim contrariam contra nutum ipſius mouebit, dum ipſa nutu ſuo mouebitur. Hinc ſequuntur duo theoremata, circa quæ totius huius conſiderationis cardo vertitur.

THEOREMA I.

Duarum virium connexarum, quarum (ſi mo­ ueantur) motus erunt ipſis a)ntipeponqw=s proportiona­ les neutra alteram mouebit, ſed æquilibrium facient.

Sit vis A commiſſa cum vi B, ſitque vis A ad vim B ratio per ſe, vt C ad D quæcunque illa ſit, ſiue dupla, ſiue tripla, ſiue alia. Sit etiam eadem ratio motus quo B mouebitur, ſi ita, vt connexa ſunt, moueantur) ad motum quo A mouebitur, quæ eſt C ad D, dico mo­ tum non ſequuturum, ſed factum iri æquilibrium. Aut enim A & B vires per ſe erunt æquales aut inæ­ quales: ſi æquales, ergo & ipſarum motus æquales e­ runt: ſunt enim ex hypotheſi ipſis proportionales: ergo per quartam concluſionem earum reſiſtentiæ æquales erunt, ergo per decimam concluſionem non fiet motus. Si verò ſunt inæquales, cùm earum mo­ tus ex hypotheſi ſint a)ntipeponqw=s proportionales per ſeptimam concluſionem æquales erunt etiam reſi­ ſtentiæ. Ergo nec motus fiet: nullo igitur modo fiet earum motus. Quod demonſtrandum erat.

THEOREMA II.

Quarum verò ita connexarum (ſi moueantur) mo tus, ipſis proportionales non erunt: illa alteram mo­ uebit, cuius ad alteram ratio maior erit, quàm huius motus ad illius motum.

Sit vis A cum vi B commiſſa, ſitque A ad B ratio per ſe, vt C ad D: ita verò connexæ ſint, vt ſi mouean­ tur, minor ſit ratio motus quo B mouebitur ad mo­ tum, quo A mouebitur, quum C ad D dico A motu­ ram B: erit enim per octauam concluſionem reſi­ ſtentia B minor reſiſtentia A: ergo per nonam con­ cluſionem reſiſtentia B minor vi A: vis igitur A vim B mouebit per vndecimam concluſionem. Quod demonſtrandum erat.

Hinc poſſemus ad problematis noſtri demon­ ſtrationem rectà pergere: ante tamen craſſiùs ali­ quanto hæc explicanda ſunt, vt à quouis faciliùs in­ telligantur. Duæ ſunt motus menſuræ, locus ſcilicet & tempus: vtroque igitur, tempore videlicet & loco maior, minor aut æqualis dicitur: & quo minori tem­ pore idem ſpatium abſoluitur, eo maior eſt, vel quo maius ſpatium eodem tempore.

Vt igitur motus magnus dicatur, perinde eſt ſi paruo tempore fiat, aut magno ſpatio.

Quod autem maiorem motum ciere poteſt illud, vis maior dicitur, quòd minorem minor.

Vis autem ſeu mouendi potentia in eodem ſub­ iecto certa & finita eſt. Quęlibet enim res vi natura­ li prędita, ſi à loco naturali abſit, ſuóque arbitrio con­ mittatur, certo tempore eò redit. Eſt enim certum in rerum natura quanto tempore libræ vnius pondus deorſum ſponte ſua delatum, miliare vnum aut duo conficiat pro ratione materię, vel quantum ſpatij v­ na vel duabus horis percurrat. Id verò quantum ſit, hominum induſtria nondum quod ſciam explora­ tum eſt: aliâs autem id demonſtrare conabimur.

Mouendi verò potentia in alieno ſubiecto infi­ nita eſt, hoc eſt, in infinitum augeri vel minui poteſt, quoniam in finita auctione & diminutione eſt reſi­ ſtentia: tanta enim eſt, quanta eſt in eodem ſubiecto vis: quantúſque motus illius eſt vis alterius reſpectu. Quo igitur vis quæ alienum ſubiectum mouere ni­ titur, illud magis mouere nitetur, eo minùs illud mouere poterit, maior enim erit illius reſiſtentia. Quemadmodum enim quod magis nutu ſuo mo­ uetur, maiorem vim mouendi habet. Ita illud idem quod magis contra nutum ſuum mouetur, maiorem vim reſiſtendi habet. E contrario verò quo vis quæ­ libet minorem motum in alieno ſubiecto ciere ni­ tetur, eo faciliùs illud mouebit.

Tarditate igitur motus, reſiſtentia in infinitum minui poteſt: minuta verò reſiſtentia vis contrariæ effectus augetur, ita vt vis quæ per ſe minima eſt, in contrariam cui plurimum diminuta ſit, reſiſtentia maximè agat. Perinde igitur eſt, ſi vis mouens ma­ gna ſit, mouenda verò parua, ac ſi illa celeriter fera­ tur, hæc verò tardè: quantum enim vis mouens ſi ma­ gna fuerit in mouendam minorem poterit, tantum vis parua celeriter mota in magnam tardè motam poterit. Si igitur velimus vt vis parua magnam mo­ ueat, eas ita collocare oportet, vt quantum magna paruam ſuperat, tantum illi de motus celeritate de­ trahatur, & aliquid ampliùs. Si enim tanta ſit tardi­ tas motus vis vnius, reſpectu motus vis alterius, quan­ ta eſt proportio vis illius, ad hanc non fiet motus: vt ſi pondus A quatuor librarum cum pondere B libræ vnius committatur: ſintque ita connexa, vt dum A vno ſpatio mouebitur, B quatuor ſpatiis mouea­ tur, ita vt motus A quadruplo tardior ſit motu B non fiet motus, quia quantum A excedit B pondere tan­ tùm deficit motus tarditate.

Tantum enim eſt libram vnam quatuor ſpatiis moueri, quantum libras quatuor vno ſpatio eodem tempore: ſi igitur alterutri eorum ita conſtitutorum, vel momentum vis addatur, id cui additum fuerit, alterum mouebit. Idem fiet ſi A ita connectatur vt vel momento citiùs quàm moueri poſitum eſt, mo ueatur vel B tardiùs.

Id etiam alia ratione oſtendi poteſt, ſi vis A qua­ drupla ſit ad vim B, erunt in A quatuor partes, ipſi B æquales. Si igitur B cum ſingulis illis committatur, ita vt æqualiter moueantur, non fiet motus: ſi verò alterutri aut ipſi B, aut ſingulis illis partibus vis vel motus momentum adiiciatur vel detrahatur, illa cui adiectum fuerit, aut cui non detractum fuerit, nutu ſuo mouebitur, & aliam contra nutum eius moue­ bit. Addito igitur ipſi B momento, dum vno ſpatio mouebitur, ſingulas illas partes vno ſpatio moue­ bit. Vbi igitur ſingulas ſemel mouerit, ipſa quater mota erit. Dum verò ſingulæ ſemel motæ erunt, to­ tum ex illis conſtans ſemel motum intelligetur: po­ terit igitur B addito ipſi momento, dum quater mo uebitur, ſemel totum A mouere.

Tertio modo id ipſum concludere poſſumus. Si duæ vires æquales connectantur, ita vt motæ, æqua­ liter moueantur, altera in alteram non aget. Si verò ita connectantur vt motæ inæqualiter moueantur, quantum altera alteram celeritate ſuperabit, tantum & vi ſuperabit. Vt ſi vis A vi B æqualis ſit, ac ita con­ nectantur, vt B quatuor ſpatiis moueatur, dum A vno ſpatio mouebitur, B quadruplam vim habebit ad A, quia eam in motibus ſuis proportionem ſeruant, quam ſi ſeruarent arbitrio ſuo commiſſæ, B ad A qua­ drupla eſſet. Si igitur illis ita connexis, ipſi A adda­ tur vis triplo maior quàm ipſa ſit, B illis quatuor re­ ſiſtet, nec fiet motus.

Duarum igitur virium comparatarum, quanto altera ſubiectum ſuum celeriùs mouebit, quàm al­ tera: tanto illa hanc celeriùs mouere poterit, quàm ipſa moueatur, ſi illi vis momentum additum fuerit. Ita vt quæ erit proportio vis ad vim, eadem ſit mo­ tus, quem illa in hac ciere poteſt ad motum quo ipſa mouebitur. Et è conuerſo quæ erit ratio motus ad motum, eadem erit vis cui additum fuerit momen­ tum ad eam quam ipſa mouere poterit ratio reci­ procè. Iam ad problematis noſtri demonſtratio­ nem veniamus.

Propoſiti problematis demonſtratio.

Sit data vis A quantacunque illa ſit magna vel parua: datum verò pondus B quantumquantum il­ lud ſit, dico me vi A pondus B tollere poſſe. Id ſic de­ monſtro.

Primùm enim ex doctrina ſecundi lemmatis, quod inferiùs demonſtrabitur, ſciam proportionem pro­ ximè maiorem, quàm ſit A ad B proportio. Deinde ex doctrina primi lemmatis ita connectam A & B, vt quando ambo mouebuntur, nunc ſit ratio motus quo B mouebitur ad motum quo A mouebitur, quàm ſit A ad B. His peractis ſequitur vim A pondus B mo­ turam ex ſecundo ſuperiùs demonſtrato theorema­ te. Quod erat propoſitum.

LEMMA I.

Duas vires ita connectere, vt ſi moueantur, earum motus, in data ratione alter ad alterum ſe habeant vires contrariæ, aut medio aliquo, aut per ſe abſque vllo medio committuntur. Si abſque medio com­ mittant, eodem motu mouebuntur, maior enim mi norem eodem motu, quo ipſa moueri poterit, mo­ uebit: aut æquilibrium facient, ſi æquales ſint: vt ſi le­ ue graui committatur, ſiquidem leuitas grauitate maior ſit, attolletur graue: ſin verò grauitas maior ſit, leue deprimetur: ſi æqualia ſint, non mouebun­ tur.

Si verò medio aliquo connectantur mediorum varia ſunt genera. Aut enim medium eſt flexibile & o(moiomere\s, vt funis, catena, &c. aut eſt inflexibile, il­ lúdque aut rectum, aut curuum, vt recta linea vel curua vel angulus. Atque hæc omnia aut continua ſunt aut diuiſa, ſimplicia aut compoſita.

Horum autem mediorum opera fit vt vires illis applicatæ, quarum iidem ſunt nutus, contrariis mo­ tibus moueantur. Id autem fit cùm in mediis illis inter eorum extrema interiacet quies vna vel plures. Exempli gratia, ſi duo pondera funis extremitatibus alligata ſint, & funis clauo fixo & immobili incumbat pro­ pter illam quietem inter vtrumque pondus poſitam non poterit alterum deorſum moueri, quin alterum ſurſum moueatur. Idem fiet in linea recta, ſi enim illius extre­ mitatibus pondera duo annexa ſint, & inter ea ſit in illa punctum aliquod quieſcens, dum alterum ex illis ponderibus deorſum feretur, alterum aſcendet. Pun­ ctum autem illud quieſcens in linea illa recta, Gręcis hypomochlium dicitur, eò quòd vecti, quem mo/xlon vocant, ſubiiciatur. Huius autem hypomochlij, in recta linea ſe vecte collocatio faciet, vt lineæ extre­ ma ſecundum datam rationem moueantur. Si enim recta linea in datam rationem diuiſa fuerit, hoc eſt, vt pars altera ad alteram eam habeat rationem, quam quis voluerit. (Quod quidem quo modo fiat docet Euc.) & in puncto diuiſionis collocetur hypomochlium, illius lineæ extrema ſecundum illam rationem mouebuntur: ſiue enim conſideretur circulorum, quos illa extrema deſcribent, proportio ſiue ſpatium quod illa in linea perpendiculari notabunt vtroque modo illi motus, partium illarum proportionem ſeruabunt. Sit exempli gratia linea AB, quæ in puncto C in datam rationem ſecta ſit, puta vt pars AC quadrupla ſit ad partem CB, mo­ ueatúrque circa centrum C, punctum A deſcribet cir culum quadruplum ad illum quem B deſcribet. Eſt enim eadem ratio in cir­ culo diametri ad diametrum, quæ eſt circunferentiæ ad circunferentiam (vt alibi demonſtrauimus.) Hac igitur ratione A puncti motus quadruplus

erit ad puncti B motum. Si verò ponamus AD perpen­ dicularem eſſe, & linea AB illi primùm coincidens circa punctum C, moueatur donec A ad D perueniat: tum eodem momento B perueniet ad E: motum igitur erit A in linea perpendiculari tota circuli maioris diame­ tro, quæ eſt AD:B verò in eadem linea, minoris tantùm circuli diametro motum erit, quę eſt BE. Atqui diame ter AD quadrupla eſt ad BE, quia ex hypotheſi ſemi­ diametrorum illorum circulorum proportio eſt, vt 4 ad 1. Motus igitur puncti in linea A perpendiculari ad motum puncti B quadruplus erit: Idem dicetur ſi in data aliqua alia ratione ſecta ſit linea AB. Demonſtratum igitur eſt quomodo fieri poſſit vt rectæ lineę extrema ſecundum datam rationem moueantur. Si igitur illis extremis duæ vires applicentur, mouebuntur eodem ipſo motu: ergo ſecundum datam vel propoſitam rationem. Quod aſſumptum erat.

Quod autem in vecte demonſtratum eſt, illud e­ tiam in reliquis mediis demonſtrandum erit, etſi lemmati ſatisfactum eſt, dum in vno exemplo id probatum eſt. Ante igitur ſecundum lemma de­ monſtrabimus.

LEMMA II.

Proportionem proximè maiorem vel minorem, quàm ſit datæ vis ad datum pondus proportio, de­ terminare vis cuiuslibet quantitas ex motu ciere po|| teſt, metienda eſt. Motum autem ciere poteſt vel in ſubiecto ſuo, vel in alieno. Vis autem menſura non ſumitur ex eo motu quem in ſubiecto ſuo ciere po­ teſt, eo quòd licet vis quælibet certum motum ha­ beat & determinatum quo ſubiectum ſuum mouet, illius tamen quantitas, vt ſuprà diximus, nondum demonſtrata eſt. Supereſt igitur vt vires motu illo metiamur, quem in alieno ſubiecto ciere poſſunt, vt id fiat, quærenda nobis ſunt ſubiecta quæ in homi­ num poteſtate ſint, & cum vi qualibet committi poſſint. Omnium autem mobilium ſubiectorum, maximè in hominum poteſtate ſunt grauia: leuia e­ nim coercere vix poſſumus. Ideo vires illis metiri ſolemus, ſed grauibus quæ vel vel figuris ſuis & com page vel vaſe aliquo coercentur. Itaque vſus homi­ num certas quaſdam ponderum menſuras ſibi ſta tui, ponderibus ſcilicet quibuſdam certa quantitate conſtantibus inditis nominibus, vt eſſent ponderum omnium communes menſuræ, vt ſunt libræ, vncia, drachmæ, &c. quas famoſas menſuras vocant. Quem­ admodum igitur numeros numeris, ſic pondera pon­ deribus metimur. Tantum enim pondus eſſe dicitur, quot libras vncias drachmas æqualiter mouere po­ teſt dempto momento. Nec tantum pondera hoc modo metimur, ſed etiam alias omnes vires motum ad locum cientes. Quot enim libras vir aut aliud a­ nimal vel ventus aut ignis, aut aliqua alia vis dempto momento mouere poterit, tot libris illam æqualem eſſe dicemus. Si igitur data vel propoſita vis metien­ da ſit, ſiquidem naturalis ſit, quoniam docuimus vim naturalem per totum ſubiectum diffuſam eſſe in rebus homogeneis: id eſt, vt quæ eſt proportio molis ad molem, eadem ſit ponderis ad pondus: ſu­ memus partem aliquam illi homogeneam, aut ex i­ pſo ſubiecto, aut ex alio ipſi homogeneo, eámque famoſa aliqua menſura metiemur, vtramque ſcili­ cet committendo & obſeruando, quem motum al­ tera in altera ciere poſſit, vbi enim æquilibrium fa­ cient motibus extremorum, quibus affixæ fuerint, proportionales erunt per 1 theorema: motus autem illi linearum dimenſione quam Geometria docet, noti erunt, & eorum proportio, nota igitur erit & virium proportio. Atqui menſuræ famoſæ nota, per ſe eſt quantitas: duorum autem proportione cogni­ ta & alterius quantitate, ſtatim & reliqui quantitas innoteſcit per ſecundam da. Eu. nota igitur vis quan­ titate quæ parti illi ineſt, noſcetur & vis quantitas quæ toti inerit: quæ enim erit ratio molis ſubiecti vis da­ tæ ad molem particulę ſumptę, eadem erit vis totius ad vim partis. Hîc igitur erunt quatuor proportio­ nalia, ſcilicet vt moles ad molem: ſic vis ad vim ex quibus tria nota erunt: moles enim metiri Geome­ tria nos docuit, præterea vis partis, vt demonſtraui­ mus, nota eſt, ergo & vis totius quantitas per deci­ mam ſeptimam ſeptimi Elem. Eucl.

Si verò ſubiectum non ſit homogeneum, vi ta­ men naturali ſit præditum, ſi quidem data vis quam metiri volumus, ea ſitque motum ciere volumus, tum conſiderabimus quæ pars in illa, vis minimum habeat: & ex ea totam ipſius molem æſtimabimus: ſi verò ſit vis mouenda, ſtatuemus quaſi tota ſit ho­ mogenea ipſius parti, quæ vis plurimum in ſe habe­ bit, & ex ea totam ipſius molem æſtimabimus. Ita­ que tum illius quanta minima, tum huius quanta maxima eſſe poteſt, vis quantitas nobis nota erit per proximè demonſtratam rationem. Notis autem vi­ rium quantitatibus, nota erit & earum proportio: ergo & proportio ipſa proximè maior vel mi­ nor: addita enim vel detracta ipſius denomi- nationi, vnitate erit proximè maior vel mi­ nor.

Si verò vis data non ſit naturalis, voluntariam qui­ dem ita æſtimare poſſumus, qualis vt plurimum eſt, & ſi quidem ea ſit, qua mouere volumus, eam ſtatuemus, quanta minima in eiuſdem generis ſub­ iecto eſſe poteſt, vt ſi vim hominis quinquaginta li­ bris æqualem ponamus, vim equi centum: ſi verò ea ſit quam mouere volumus, ſtatuemus eam quan­ ta maxima eſſe poteſt, vt vim hominis 300 libra­ rum, vim equi 500 librarum, & ſic dé cæteris: ita vt nullum ſit dubium quin illa minor ſit, quam ſtatue­ rimus, hæc verò maior.

Vis verò fortuitæ quantitatem nulla certa con­ iectura aſſequi poſſumus: ita vt quaſcunque ma­ chinas ei aptemus, modò moueat, modò non mo­ ueat, neque ad noſtrum inſtitutum magnoperè per­ tinet illa inquiſitio: cum fortuitorum nulla ſit diſci­ plina.

His igitur modis virium duarum datarum pro­ portio proximè maior nota fiet, quod in ſecundo lemmate demonſtrandum ſumpſeramus.

Iam redeamus ad mediorum, quibus vi­ res annectuntur, conſide­ rationem.

Docuimus quis ſit ſimplicis ve­ ctis effectus, ſimplex autem ve­ ctis ſemicirculi conuerſione ſuam operationem abſouit, ita vt ſi vlteriùs F moueatur in in alio ſe­ micirculo motus prioribus contra­ rios cieat: vt exempli gratia, ſit vectis AB, cuius hypomochium ſit C, dum A punctum deſcribet ſemicirculum AFD, motus ille deorſum erit: interea verò B punctum deſcribet ſemicirculum BGE aſcendendo: ſi verò A tranſcendat, D incipiet aſcendere: B verò tranſcen­ dens, E deſcendet: ideo excogitata eſt vectis ratio per­ petua ex plurium vectium ſucceſſione circa idem hypomochlium: eſt autem illa tum in ergatis aut ſu­ culis, tum in duorum tympanorum homocentrico­ rum, ſeu eadem axe transfixorum in planis parallelis aptatione, quorum ſemidiametri ſint in eadem pro­ portione quæ in vecte ad propoſitum motum cien­ dum neceſſaria eſt: centrum verò eorum ſeu axis fi­ xa ſit, ac ita vires aptentur, vt maior minorem, mi­ nor verò maiorem tympanum impellat. Quemad­ modum autem horum tympanorum homocentri­ corum opera vectis perpetui ratio inuenta eſt, ita eo­ rum multiplicatione motus, & mouentis & mouen­ di, proportio in infinitum augeri poteſt. Cuius rei maximus eſt vſus: nec enim materia ad vectem, cu­ ius longitudo ſtadij vnius requireretur, idonea in­ ueniri poſſet: plurium autem tympanorum propor­ tionalium aptatione fiet machina tractabilis, cuius vis maior erit quàm vectis, cuius longitudo ſtadij v­ nius eſſet. Si enim duo tympani homocentrici a­ ptentur, quorum proportio ſit alterius ad alterum, decupla, vis quæ libram vnam æquabit, vim decem libris æqualem dempto momento mouebit, ſi con­ gruè illis tympanis aptentur: ſi verò adhuc duo alij tympani fiant, quorum alterius ad alterum decupla ſit proportio, ac minor illorum ita aptetur, vt maiorem ex prioribus moueat, appendatur deinde minori ex prioribus tympanis vis centum libris æqualis, maio­ ri verò ex poſterioribus vis vni libræ æqualis, tum hæc illam mouebit, & ſic in infinitum motus extre­ morum proportio multiplicari poteſt. Flexibili ve­ rò medio quies ita aptari poteſt, vt duo eius extre­ ma diuerſis motibus moueantur, & quidem ſecun­ dum datam rationem. Exemplum habemus in orga nis polyſpactis, ſeu trochleis, in quibus altero funis extremo immobili manente, reliquum funis circa plures trochleas conuoluitur, quarum aliæ centris immobilibus fixæ ſunt, aliæ verò ipſis contrariæ cen tris mobilibus. Atque ita circa illas conuoluitur fu­ nis, vt inter eas ſit ſpatium tantum, quanta eſt linea, per quam motum ciere volumus. Quoties igitur fu­ nis extremum quod moueri poteſt, trahitur, ſingulæ reuolutiones æqualiter minuuntur, eáque ratione, diſtantia quæ eſt inter trochleas contrarias minuitur, ita ſcilicet vt quot ſunt reuolutiones, in tot partes diſtributum ſit motus ſpatium. Quot igitur reuolu tiones erunt, totuplex erit motus extremitatis funis ad motum trochlearum mobilium verſus fixas. Si i­ gitur motus iſtius extrema conſtituantur, alterum quidem funis illa extremitas quæ mouetur, alterum ve­ rò terminus ſpatij illius, quod eſt à trochleis fixis ad mobiles contrarias: quæ erit proportio numeri con­ uolutionum funis ad vnitatem, eadem erit motus, quo funis extremum mouebitur ad motum quo al­ terum extremum mouebitur: poteſt autem in infi­ nitum augeri conuolutionum numerus, ergo & mo tus illius proportio.

Angulus autem ad motum ciendum ita ad­ hibetur. Diximus motus menſuram in nutus li­ nea ſumi, quantum igitur vis aliqua per eam verſus locum naturalem mouetur, tanta eſt, quantum verò per eam à loco naturali reuellitur, tanta eſt eius reſi­ ſtentia. Quod verò per lineam à loco naturali æquè diſtantem (id eſt, per eam quæ nutus lineas ſecat ad angulos rectos) mouetur, illud mouenti non reſi­ ſtit, omnium autem linearum inter illas intercepta- rum, ac cum illis in earum interſectionis puncto con­ currentium, quæ obliquè nutum verſus, aut contra nutum ferri dicuntur, quo propiùs quælibet ad nu­ tus lineam accedit, per illam rei motæ vis aut reſiſten­ tia maior eſt: quò verò propiùs ad lineam à loco na­ turali æqui diſtantem accedit, eò minor eſt. Omnium autem maxima eſt in nutus linea, æquidiſtans verò à loco naturali motui per lineam nutus omnino op poſita eſt, obliquæ verò non ita quia ſecundum illas eodem ſpatio delata vis propiùs ad locum naturalem acce­ dit, aut ab eo recedit, quàm eſſet, cùm moueri cœpit.

Sit exempli gratia AB linea nutus, vis alicuius, puta ponde­ ris, ſitque A ſurſum & contra nu tum: B verò deorſum & nutum verſus, deſcribatúrque circulus, cuius AB ſit diameter, quàm CD, alia diameter ſecet ad angulos rectos in centro E: omnes igitur lineæ à centro E ad circunferentiam circuli ductæ, quæ cadent intra ſemicirculum CAD, contra nutum aſcen­ dere dicentur, quatenus circunferentiam ſpectant: quatenus verò centrum ſpectant, deſcendere dicen­ tur: contra verò omnes in ſemicirculo CBD à centro ad circunferentiam ductæ deſcendere circunferen­ tiam verſus, & centrum verſus aſcendere dicentur: illæ igitur erunt, quæ obliquè nutum verſus aut con tra nutum ferri dicuntur: linea verò CED, neque aſcen­ det, neque deſcendet: lineæ verò in ipſam ad angu­ los rectos incidentes nutus lineæ erunt, quoniam li­ neæ AB parallelæ erunt: ſi igitur à centro E ducantur lineæ ad circunferentiam inter A & D, puta EF, EG, EH, quarum EF ſit proxima lineæ AB:EH verò pro­ xima lineæ CD, ac per illas moueantur contra nutum tres vires æquales eodem tempore, ita vt prima per lineam EF perueniat ad punctum F: ſecunda verò per EG perueniat ad G, tertia per EH perueniat ad H, dico vis motæ per EF maiorem fore reſiſtentiam, quàm illius quæ per EG aut EH, mouebitur & illius quæ per EG mouebitur, maiorem quàm eius quæ per EH mouebitur. Ducantur enim à punctis FGH in lineam ED perpendiculares FK, GL, HM, illæ erunt nutus lineæ: quanta igitur erit FK, tantum vis prima mota cenſebitur, quanta verò GH, tantum vis ſecun da: quanta verò HM, tantum vis tertia mota cenſebi­ tur: at qui quæ eſt ratio motus ad motum in viribus æqualibus, per quartam concluſionem huius tracta­ tus, eadem eſt reſiſtentiæ ad reſiſtentiam: quæ igitur erit ratio linearum illarum perpendicularium, inter ſe eadem erit & reſiſtentiarum virium per lineas ob­ liquas motarum, à quibus illæ perpendiculares du­ ctæ ſunt, atqui quo lineæ illæ perpendiculares pro- piùs ad AB circuli diametrum accedunt, eò ſunt ma iores per decimam quartam tertij Elem. Eu. ergo & vires per eas lineas delatę à quarum extremitatibus du centur, maiores reſiſtentias habebunt: at qui quò magis ad AB, accedunt eo magis ab ED recedunt: quò igi­ tur magis ad ED accedent, eò minores erunt reſiſten­ tiæ, hinc ſequitur tanquam corollarium. Si duæ vi­ res perſe æquales triangulo rectangulo aptentur, cu ius latus alterum, angulum rectum conſtituentium: ſit earum nutus linea, ac per illud vis altera mouea­ tur, altera verò per latus angulo recto oppoſitum, quæ erit ratio huius lateris ad illud, eadem erit reſi­ ſtentia vis illius ad vis huius reſiſtentiam. Atqui duo­ rum illorum laterum proportio in infinitum auge­ ri vel minui poteſt, ergo & reſiſtentia virium illis ap plicatarum. Hoc igitur modo poſſumus vti angulo ſeu triangulo ad motus ciendos, nempe eo immoto vires per eius latera mouendo.

Sed & alia ratione eo vti poſſumus, ipſum ſcilicet triangulum mouendo, qui tunc cuneus dicitur. Vt autem eo hac ratione vtamur, vires ita diſponere o­ portet, vt altera illarum vni ex lateribus angulum rectum conſtituentibus incumbat, altera verò lateri ipſum ſubtendenti. Illa enim tantùm mouebitur, quantum latus cui altera incumbit. Sit exempli gra­

tia triangulus ABC, cuius angulus B rectus ſit, latus verò illum ſubtendens ſit AC, incumbátque vis D lateri AB, vis verò E lateri AC, ſitque vis D nutus linea BC, vis verò E nutus ſit linea AB, erigatúrque à puncto C linea CF perpendicularis ad BC æqualis AB, à qua vis E non diſcedat. Si triangulum illud in plano fixo moueatur, donec AB perueniat ad CF, mota e­ rit vis D nutu ſuo tantùm, quanta eſt linea BC, vis ve­ rò E tantum, quanta eſt linea AB. Cùm autem poſſit in infinitum augeri & minui, laterum illorum pro­ portio, poſſunt etiam duorum illorum extremorum motus in data ratione conſtitui. Quanta enim erit BC ad AB, tantus erit motus vis D ad motum vis E: ergo & in hoc medio primum lemma noſtrum de­ monſtratum eſt.

In hoc autem medij genere hoc diuerſum ab aliis mediis accidit, quòd non tam facilè vtrin­ que motus eo cietur, ac in illis, in quibus ſi virium proportio momento vel ſuperet, vel minor ſit pro­ portione motus extremorum medij, tum motus hinc vel inde cietur. Atqui in hoc propter ſuperficie­ rum contactum, quarum pori vel aſperitates ſe­ ſe mutuò ſubingrediuntur, & ita inuicem adhæ­ rent, fit vt ægriùs cieatur motus, faciliùs ve- rò mouebuntur, ſi illæ ſuperficies leues fue­ rint, vt ſi pinguibus inungantur, vel ex materia leui conſtent. Ideò enim reliqua faciliùs mo­ uentur, quòd circa puncta veluti quædam mo­ ueantur.

Simplicis autem trianguli rectilinei aut cu­ nei in diuturnis motibus ciendis rarus eſt vſus, tum ob illud quod notauimus incommodum ex vitio materiæ, quo fit vt in eo quaſſatione opus ſit, tum etiam quòd breui eius operatio termine­ tur. Ideo illo vtimur aut cùm ſolutionem con­ tinui molimur, quæ breui tempore fit, vel cùm aliquid diſtendere aut aliquid figere volu­ mus.

Anguli verò curui linei magnus eſt vſus, præ­ ſertim helicis cylindricæ. Nihil enim aliud eſt he­ lix quàm triangulus curuus: ſi enim alteram ex lineis rectis angulum conſtituentibus, cylindri baſi ipſi lineæ æquali obuolueris, reliquam ve­ rò ſeruato eodem quem conſtituunt angulo, ſu­ per cylindri ſuperficiem curuaueris, habebis he­ licem cylindricam, quam ſi iterum ſeruato eo­ dem angulo in rectum extendas, habebis trian­ gulum rectilineum. Hæc autem helix commo­ diſſima eſt, tum quòd in parua mole triangulum longiſſimum obuolutum contineat tum quod par­ tes eius omnes ſibi inuicem congruant: omnes enim partes helicis cylindricæ, aut circa eundem, aut circa æquales cylindros deſcriptæ, ſeruato eodem angulo ſibi inuicem ſuppoſitæ congruunt. Quo fit, vt ſi ca­ ui cylindri interiori ſuperficiei impreſſa ſit helix, a­ lia verò cylindri ſuperficiei connexę ipſi cauę æqua­ li, ſeruato eodem qui in illo eſt, angulo, ſibi inui­ cem & omnes vnius omnibus alterius partibus con gruant.

Huius autem medij cùm plures ſint partes, con ſtat enim duabus ſuperficiebus, pluribus etiam mo dis variari poteſt. In ſumma autem eius affectus hic eſt, vt cylindri baſi in ſuperficie immobili circum a­ xem conuerſa, vis mouenda helicem premat: dum enim cylindrus circum axem conuertetur, vis mo­ uenda qualibet reuolutione tantùm ſecundum cy­ lindri longitudinem mouebitur, quanta eſt diſtan­ tia duarum helicis ſpirarum. Quæ igitur erit propor tio circunferentiæ circuli baſim cylindri conſtituen­ tis ad illam diſtantiam, eadem erit motus orbicularis cuiuſlibet puncti in cylindri ſuperficie ſignati ad mo tum rectum vis helicem prementis.

Illud igitur medium ex duobus compoſitum eſt, recto ſcilicet & curuo: ita igitur vires illi aptandæ ſunt, vt eius quam mouere volumus, nutus linea ſit cylindri longitudo: illa verò qua mouere volumus, in orbem moueatur, aut ſi eius nutus linea recta ſit, circa cylindrum fluens illum moueat contingendo.

Et hæc quidem de mediis in ſuo genere conſiſten­ tibus. Poſſunt autem fieri eorum Syzygiæ vectis ſci­ licet cum trochleis, helicis cum vecte, aut cum tro­ chleis, aut omnium ſimul. Vectis cum trochleis ſi fu­ nis illud extremum, quod mouetur in trochleis, er­ gatis aut ſuculis inuoluatur: helix cum vecte coniun­ getur, ſi tympanus circum axem moueatur, ſitque i­ ta denticulatus, vt dentes ipſius helicem in cylindro excauatam ingrediantur, quam machinam helicem perpetuam vulgò vocant, eò quòd eius conuerſio perpetua eſſe poſſit, cum helicis ſimplicis operatio non excedat ipſius longitudinem. Quorum omnium tum inter ſe, tum ad ſubiecta mouenda accommo­ datio adeò varia eſt, vt ſcripto comprehendi vix poſſit. Ex his autem quæ dicta ſunt, mediocris ingenij me­ chanicus poterit ea prout ipſi neceſſe erit aptare. In machinis autem omnibus hæc cautio adhibenda eſt, vt earum ſtructura firma ſit, præſertim verò vbi cir­ cum axes aliquas fit motus, deinde vt vincula, qui­ bus illis vires affinguntur, valida ſint, illarum enim o­ mnium vis in ſuo ſtatu manendi vtrique vi aptandæ æqualis eſſe debet: aget enim in illas vis vtraque, quòd ſi medium firmum non ſit, motus in ipſa machina ciebitur. Itaque diſſoluetur, ideò manca videtur pe­ titio illa Archimedis in hoc problemate do\s pou= stw= ta\n ga\n kinw=, quòd locum tantùm in quo conſiſtat, ſibi da­ ri poſtulet, cùm pręterea vincula quibus terra à loco ſuo naturali remota ſuſtineri poſſet, petere debue­ rit: id autem vt & ea quæ de motu in infinitum augen­ do vel minuendo diximus, ita intelligenda ſunt, vt ſciamus infinita hominum poteſtati, quacunque ar­ te iuuetur, non ſubeſſe: quamuis enim Geometri­ ca conſideratio in infinitum ſeſe extendat, ſunt ta­ men certi fines, vltra quos natura rerum nos pro­ gredi non patitur: ſunt præterea vitia materiæ, quæ Geometra non conſiderat, illa tamen non obſtant quò minùs id quod proponitur, verum ſit in intellectu. An verò id quod proponitur tale ſit, vt in opus educi poſſit, conſiderabit Geometer habita ra­ tione circunſtantiarum, præſertim verò temporis, quod ipſi præſcribetur, & ſumptuum quos facere poterit is qui aliquid faciendum proponet, quæ ſi abundè ſuppetant, nihil non fieri poterit.

Vt igitur hunc tractatulum concludamus, ac ve­ lut in ſummam contrahamus: In motibus ciendis tria ſunt conſideranda. Vis qua motum ciere volu­ mus, vis quam mouere volumus, & motum quo mouere volumus: duo enim quælibet ex illis ter­ tium determinant. Si enim vi parua vim magnam mouere volumus, id nonniſi paruo motu facere poſſumus: ſi verò vim aliquam magno motu mo­ uere velimus, vi magna mouente ad id opus eſt. Si vi parua magnum motum ciere volumus, mini­ mam vim mouendam eſſe oportet: vt puta, ſi libra vna centum libras mouere velimus, oportet motum illius, motu huius centuplo maiorem eſſe. Si verò ve­ limus libra vna aliam vim ita mouere, vt ea cen­ tuplo citiùs moueatur, quàm libræ illius pondus, il­ lam centeſimam tantùm libræ vnius partem eſſe ne­ ceſſe eſt: ſi verò libram vnam ita mouere velimus, vt centuplo citius moueatur, quàm vis quæ illam mo­ uebit, vi centum libris maiore ad id opus erit. Neque patitur natura ſibi in his vim fieri: ſi enim eiuſmodi proportio aliquo modo infringi poſſet, ſtatim da­ retur au)tw/ma e)nde/lexes, vel vt vocant, motus perpetuus in perpetua materia.

Ex his igitur fundamentis inuentæ ſunt machinæ omnes, quotquot antehac ſunt excogitatę, & quot­ quot poſthac excogitari poterunt, ad ea referentur.

Itaque ſi propoſitæ cuiuſcunque machinæ effe­ ctum ſcire velimus, conſideranda ſunt duo eius extrema, quibus vires applicantur: quæ enim erit ratio motus vnius ex illis extremis, ad motum alterius eadem erit & virium, quæ illis extre­ mis ad motum ciendum applicari poterunt, addito aut dempto momento, vt ſi dum alterum ma­ chinæ extremum palmo vno mouetur, alterum cen tum palmis moueatur vis quælibet huic annexa, al­ teram alteri annexam centuplam momento minùs, mouebit: ſed motu centuplo: mouebit autem & re­ liquas omnes vires, quæ infra centuplam proportio­ nem ad eam habebunt: ſi verò non vim centuplam mouere, ſed in data vi motum centuplum ciere veli­ mus, eam quidem in extremo quod centuplo citiùs mouetur, locare oportebit, alteram verò alteri extre mo centuplo maiorem adhibere neceſſe erit.

Hinc oriuntur tria problemata, videlicet data vi datum pondus mouere, quod iam demonſtrauimus: item data vi datum motum ciere, quod ex præceden­ tis demonſtratione abſoluitur: tertium, datam vim, dato motu mouere, quod quidem faciliùs demon­ ſtratur, quàm abſoluitur. Scimus enim, vt id fiat, vim aliam proportionalem (vt docuimus) requiri, quo modo autem illam habere poſſimus, explicare hoc opus, hic labor eſt. Non enim quemadmodum organa ad motus in data proportione ciendos ha­ bere poſſumus: ita & vires infinitæ magnitudinis po teſtati noſtræ ſubſunt.

Quod enim ad vires in grauitatis & leuitatis gene re conſiſtentes attinet, eas vt moueant antè moueri oportet à loco vel ſitu naturali, vi autem aliqua id fie- ri oportet, quæ iam in promptu ſit. Quæ ſi tanta eſt, vt poſſit motum propoſitum ciere, fruſtrà fiat, ſi alij à loco naturali remouendæ, qua poſtea ad motum vtendum ſit, adhibeatur.

Nullum igitur ex eiuſmodi viribus commodum percipi poteſt, niſi quis in futurum ſibi proſpiciens, multa à loco vel ſitu naturali ex otio remoueat, vt iis, cùm opus erit ad motus ciendos vtatur. Hac ra­ tione quantas vires in promptuario habebit, tantos motus ciere poterit. Præcipuum igitur quod ad hu­ ius problematis conſtructionem pertinet, eſt, vt vi­ res quàm maximas poteſtati noſtræ ſubiiciamus, vo luntariis aut fortuitis viribus naturales præparando, aut à natura præparatas, quæ poteſtati noſtræ ſub­ ſunt, accipiendo. Qualia multa ſi mortales aduerte­ rent, fieri poſſent, vt aliàs, Deo duce, docebimus.

Earum autem virium quæ in raritatis & denſita­ tis proportione conſiſtunt, ſubiecta plurimùm in noſtra poteſtate ſunt: multa enim ſunt naturalia ſub iecta actu, denſa potentia verò rara. Si quod igitur eorum potentia proxima ſit rariſſimum, ita vt nullo negotio actus ille raritatis induci poſſit, concluda­ túrque loco aliquo anguſto, poſtea inducatur ille a­ ctus, cùm rara maiorem locum occupent, quum den­ ſa, fiet vt locus in omnem partem diſtendatur, illius autem partes minùs cohærentes, tantum impellen­ tur, quanta eſt proportio molis rei rarefactæ ad mo­ lem illius cùm denſa eſſet: illa autem raritatis po­ tentia proxima eſt in compoſitione ſulphuris & nitri: ea igitur & ſimilibus ſubiectis, in data vi datus motus cieri poteſt.

FINIS.

Errata quæ inter imprimendum irrepſerunt, ſic corrigito.

Pagina 7. linea 10, munere, lege nuere. pag. 11. lin. 12, comparationibus, lege comparati, omni­ bus. pag. 12. lin. 16. finis, lege fini. pag. eadem. lin. penult. Altero, lege Alto. pag. 20. lin. 16. quum C ad L. lege quam. pag. 25. lin. 5. nunc ſit ratio, lege minor ſit. linea 13. Vi­ res maiori litera (eſt enim ſectionis initium. lin. 15. mittant, lege mittantur. pag. 27. li. 20. puncti in linea A, lege puncti A in linea. pag. 28. lin. 9. vis, lege Vis, maiori litera (eſt enim ſectionis initium. lin. e. motu ciere, leg. motu quem ciere. lin. 23. metiri ſolemus, lege non ſolemus. lin. vlt. ſtatui, lege ſtatuit. pag. 32. lin. 4. abſouit, lege abſoluit. lin. 5. dele F. lin. 12. & 13, pone virgulam poſt D & E. lin. 8. hypomochium, lege hypomochlium. pag. 37. li. 13. reſiſtentia, lege reſiſtentiæ. pag. 39. lin. 3. leui, lege læui. pag. 40. linea 5. ſuppoſitæ, lege ſuperpoſitæ li. 7. connexæ, lege conuexæ. lin. 13. affectus, lege effectus.