Valerio, Luca De centro gravitatis solidorum 1604 Bologna la valer_centr_043_la_1604.xml 043.xml

DE CENTRO GRAVITATIS SOLIDORVM LIBRITRES.

LVCÆ VALERII Mathematicæ, & Ciuilis Philoſophiæ in Gymnaſio Romano profeſſoris.

ROMÆ, Typis Bartholom ri Bonfadini. MDC IIII. SVPERIORVM PERMISSV.

Imprimatur

Si placet R. P. Magiſtro S. Palati B.

Gypſius Viceſger.

Imprimatur

Fr. Io. Maria Braſichellen. Sacri Pal. Apostol. Magiſt.

SANCTISSIMO DOMINO NOSTRO CLEMENTI VIII PONT. OPT. MAX.Lucas Valerius perpetuam felicitatem.

Grata Principi munera, P. B. ex Philoſophiæ late­bris deprompta, quaſi aurum ſoli expoſitum illico ſplen­dent, & publicæ vtilitatis ſpem oſtendunt, magno or­nata præſidio in primos liuo­ris impetus illius approbatione, cuius officium eſt alia à rep. auertere, alia imperare. Hinc por­rò factum eſt, vt omnis ferè ſcriptor exiſti matio­nis periculum aditurus, aliquem ex principibus viris ſibi deligat, cuius autoritate ipſi dicatum opus ab inuidorum morſibus ſeruetur incolume. Hanc ergo conſuetudinem amanti mihi ſanè feli­citer cecidit, vt tu ſola tua propria benignitate permotus in tuos me familiares vltro aſcriberes. Siue enim ingenij mei debilis partus magnam pa­troni deſiderat autoritatem: tu principum orbis terrarum princeps ſemper digniſſimam principa­tu ſapientiam præſtitiſti. Seu tam elatæ dedica­tiones ſolent alienas à ſapientiæ ſtudio ſpes olere: lux tanti patrocinij, tuorumque veterum in me be­neficiorum, atram ſuſpicionem amouebit. Quòd verò ad vitam ipſius operis attinet, quam nulla per te velim temporum permutatione terminari: vereor vt id ſua luce multis alijs vitali aſpiciat illa, quæ tua ſtudia, & res geſtas omnium lin­guis, & litteris celebrabit æternitas. quantum enim tuam excelſam ſuſpicio dignitatem, tantum deſpicor iſtius doni incredibilem cum illa com­parati humilitatem: neque id niſi diuinitus cre­diderim perpetuam in tuis laudibus famam ha­biturum. Quare illud non ſolum tibi diuini gre­gis antiſtiti cupio gratum accidere, cuius auto­ritate protectum in tanta nouarum rerum poſt tam graues autores contemptione, minimo meo cum rubore in medium prodeat: ſed ipſi diuinita­ti ex voluntate donum expendenti, penes quam eſt æternitas, & cui primum dicata omnia eſſe oportet: vt hi, quostuis luminibus dignaris, de centro grauitatis ſolidorum ſterilis ingenij mei teſtes libelli à mortis æmula me obliuione defen­dant. Stomacharis hic, arbitror, quòd tantum ſpectem de nihilo; ſed magis confeſſionis impu­dentia. At verò non impetus animi ad gloriam, cuius nullum mihi natura ſemen impartiuit (ſit gloriæ loco ignauiæ fugiſſe dedecus) ſed tua er­ga me voluntas, meisapta ſtudijs liberalitate te­ſtata hunc ardorem expreſſit. Tanta enim eſt venuſtas tuæ virtutis ex mei meriti penuria, vt putem ſine me indice illam diminutum ſui ſpecta­culum poſteris præbituram. Nihil ergo minus cogitans quàm quî tua beneficia cumulando per­turbatis iudicijs ſatisfacerem, ſcientia ſcilicet, & virtute illa, qua maximè ſuperbit eneruata, & areſcens Mundiætas; nullum opulentiæ meæ, ar­tis alienæ ſpecimen pro munere gratiæ à te acce­pto partem tibi reddidi: ſed ingenij mei partum, qualis is cumque eſt; quod & grati animi quæſi­tum monumentum crimine me audaciæ liberet, ſi quodimpendeat, palam dedicaui. Alij tibi co­lumnas honeſtiſſimis titulis ornatas erigant: ſta tuas in foris collocent: magnificas ædes extruant, quarum in frontibus grandes marmoreæ tabulæ flammantibus auro ſyderibus, & peregrinis lapi­dibus intextæ ea de te viuo referant ſaxum impu­dens, quæ verecunda hæc pagina prætermittit. Ego incredibilis tuæ benignitatis non tam gra­uia teſtimonia, quæ loco moueri nequeant: ſed expeditum hunc nuntium in longiſſima itinera deſtinaui. Quem quidem eo minus vereor ne non tu, quamobrem Telchines fortaſſe aliqui in­ſectaturi, diſpari ſis voluntate protecturus, quòd in his tàm reconditis naturæ arcanis geometrica demonſtratione patefactis, tanquam in ſemine multiplicem præſcriptionem, ac normam eſſe in­telliges ipſe pacis inter tuos greges autor, lupi otomani terror, ciuili, & bellicæ architecturæ maximè neceſſariam. Quòd que, cum ad theologi­cam quandam veritatem chriſtiano generi maxi­me ſalutarem illuſtrandam, per Philoſophi<17> etiam campos ſapientium hominum corona decoratus, nulla tantæ molis, quantam ſuſtines negotiorum iactura latiſſimè vageris; nempe illam creſcere, atque illuſtrari indies magis ex optas, cuius con­ſuetudine tantopere delectaris. Quod denique ſcientiæ ciuilis ipſe peritiſſimus omnium optimè intelligis, quanti referat ad humanæ ſocietatis for mam & candorem, regum, atque optimatum a­mor in ſtudioſos bonarum litterarum. contrà au­tem ex deſpectione in hos cadente abijs, quorum mores pro legibus haberi ſolent, noſti commu­nem ingeniorum veternum, mox tyrannidem gi­gni, magna cuſtode adempta modeſtiæ imperi­tantium crebra ciuium ſapientia, quæ prauis ti­morem efficit, melioribus pudorem, Quod ſi meæ expectationi exitus reſpondebit, vt te hoc munu­ſculo vel leuiter lætari ſentiam; alia non iniucun-da ftatim proferam, qua PETRVS ALDOBRAN­DINVS tuus nepos, domi foriſque clariſſimus Cardinalis, cuius inter familiares itidem, bene­ficijsque deuinctos locum habeo, ſuæ erga me hu­manitatis teſtimonia ab inuidiæ ſatellite & mi­niſtra calumnia tueatur: quando duobus talibus viris animi mei captum beneficentia ſua pericli­tantibus, duplex periculum ſubire ſum coactus. Sed iam verboſæ epiſtolæ, & tuo faſtidio finem im poſiturus peto à te vnum; vt tibi perſuadeas, me inter tuos famulos, quos ære proprio, & victu quo­tidiano liberaliter ſuſtentas, eorum, qui pro te emori poſſunt, amore, conſtantia, fidelitate nemini planè concedere. Sic tua omnia præſtantiſſima facinora Princeps magnanime, & pietatis colu­men, Deus Opt. Max. tibi fortunet, quem ad ma­iores in dies res gerendas in longum æuum inco­lumen, felicemque conſeruet. Valet.

*l*o*u*k*a *o*u*a*l*e*r*i*o*u *e*i*s *t*a *a*u*t*o*u *k*e*n*t*r*a

scew=n bze/wn, e)pi/mma.

*pai/gnia filofois *loukas_ t de ou/mloka da/f, *stumo/nos e)gkela/ds ei/ona plu/n.

*dw=ron e(/pemya/ pe/as d)(ze_in ti_s u_ t) a)/d*bqoou/nhs bape/wn ph_ce e/meqla fu/s.

*toi+s pe/zan au)ale/wn ndw_n i+/aya mi/mnas, *me/my mh\ p/wn tei/rea, mh\ u/x.

*toi_s pnos o)fruo/en plupza/gmonos o)/mma gila/as, *be/ltion gore/hs ke/rdos e(/deiza d.

*ei) de/ p tw_n o(/ws ezxon eu)/, *pi\n qa/naps ma/zyh m): eu)/xom) le/tw.

*lne/zos ou) kle/yw xa/n eu)/fzonos e)omo/noi*dgm) a)glao\n, , nomes, kai\ patzi/d.

*os de/ me laqzaios dh/z, kako/epos a)kou/o, *luw_n h(=s fqonezh_s a)/zios purkaih_s.

LVC AE VALER II DE CENTRO GRAVITATIS SOLIDORVM

LIBER PRIMVS.

Propoſitum eſt mihi in hiſce tribus li­bris, ò Geometra, cuiuſcumque figuræ ſolidæ in geometria ratio haberi ſolet, centrum grauitatis inuenire. Huius autem prouinciæ mihi ſuſcipiendæ oc­caſio fuit liber ille iam pridem editus Federici Commandini Vrbinatis, in quo cum ille corporum planis termi­nis definitorum; necnon cylindri, & coni, & fruſti conici, & ſphæræ, & ſphæroidis centrum grauitatis oſtendiſſet; aliorum autem, quæ ſuperficie mixta continentur vno co­noide parabolico tentato ſyllogiſmi iactura operam per­didiſſet, ego ſpe magis, ad quam vir ille exarſerat incita­tus, quàm deterritus lapſu, vehementerque dolens geo­metriæ partem tamdiu deſiderari cognitione digniſſimam; cum ante exercitationis cauſa omnium, quæ propoſui ſoli­dorum, excepto conoide parabolico, centra grauitatis aliis viis indagaſſem; poſtea non ſolum parabolici, ſed ante me tentata nemini, hyperbolici conoidis, & fruſti vtriuſque, & portionis vtriuſque conoidis, & portionis fruſti, & hemi­ſphærij, & hemiſphæroidis, & cuiuſlibet portionis ſphæ­ræ, & ſphæroidis vno, & duobus planis parallelis abſciſſæ centra grauitatis adinueni, multa autem ex his duplici, quæ­dam triplici via. Taceo nunc alia eiuſdem generis, quæ cum vtilia, tum geometriæ ſtudioſis non iniucunda, vt arbi­tror, futura in poſteriores libros diſtribuimus. Quòd autem aliquot propoſitiones, alias Archimedis lemmaticas, alias Commandini meis rationibus attuli demonſtratas; non tàm idcirco id fcci, ne meæ lucubrationes deperirent, quàm quòd vel ſtylo Euclidis magis conſonæ, vel ad percipiendum eo minus laborioſæ, quo ad inueniendum ſunt difficiliores, vel meo propoſito aptiores viderentur. Earum propoſitio­num, Archimedis duo ſunt in primo libro, decimaquarta, & ſeptima, & ſecunda pars vigeſimæ; in ſecundo autem vna. Omne conoides parabolicum ſeſquialterum eſſe coni ean­dem baſim, & eandem altitudinem habentis. Comman­dini autem omnes in primo libro nouem; vigeſima tertia, & quinta: trigeſima ſecunda, tertia, quarta, ſeptima, & nona: quadrageſima prima, & ſecunda. Sed multa hic noua inue­nies ita ad præſens inſtitutum neceſſaria, vt per ſe tamen ipſa in geometria locum habere debeant, maxime verò tres pri­mæ ſecundi libri propoſitiones, quippe quibus magnam, ac perdifficilem geometriæ partem demonſtratione recta, & generali ad viam regiam redactam eſse intelliges. Ita Deus Opt. Max. cuius auxilio hæc feci, quibus prodeſse alicui vehementer cupio, reliquis meis conatibus opem ferat. Sed ad definitiones accedamus.

DEFINITIONES.

I.

Figuræ aliquæ planæ multilateræ centrum ha­bere dicuntur punctum illud, in quo omnes rectæ lineæ vel angulos oppoſitos iungentes bifariam ſecantur, vel ab angulis ductæ ad laterum op­poſitorum bipartitas ſectiones in eaſdem ra­tiones.

II.

Circa diametrum eſt figura plana, in qua re­cta quædam, quæ diameter figuræ dicitur, omnes rectas alicui parallelas, à figura terminatas bi­fariam diuidit.

III.

Octaedrum communiter dictum, eſt figura ſoli­da octo triangulis binis parallelis, æqualibus, & ſimilibus comprehenſa.

IIII.

Polyedri regularis centrum dicitur punctum, in quo omnes rectæ lineæ, quæ ad angulos oppo­ſitos pertinent bifariam diuiduntur.

V.

Cuiuſlibet figuræ grauis centrum grauitatis eſt punctum illud, à quo ſuſpenſum graue perſe manet partibus quomodocumque circa conſti­tutis.

VI.

Axis priſmatis, & pyramidis & eius fruſti di­citur recta linea, quæ in pyramide à vertice ad baſis centrum figuræ vel grauitatis pertinet: in reliquis autem, quæ baſium oppoſitarum figuræ vel grauitatis centra iungit.

VII.

Si qua figura ſolida planis parallelis ita ſeca­ri poſſit, vt quæcumque ſectiones centrum ha­beant, & ſint inter ſe ſimiles; aliqua autem recta linea, ſiue ad centra baſium oppoſitarum prædi­ctis ſectionibus parallelarum, & ſimilium, vt in cylindro; ſiue ad verticem, & centrum baſis ter­minata, vt in cono, hemiſphærio, & conoide, tran­ſeat per centra omnium prædictarum ſectionum; ea talis figuræ axis nominetur: ipſa autem figura, ſolidum circa axim. Quæ ſi vel vnam tantum ha­beat baſim, vel duas inæquales, & parallelas: dua­rum autem quarumlibet prædictarum ſectionum vertici, vel minori baſi propinquior ſit minor re-motiori; ſolidum circa axem in alteram partem de ficiens nominetur: quo nomine ſignificari etiam volumus ea ſolida, quorum quælibet ſectiones baſi parallelæ quamuis baſi non ſint omnino ſimi­les, tamen ijs figuris deficiunt, quæ ſunt ſimiles haſi, ac totis ijs, à quibus ipſæ ablatæ intelli­guntur, ita vt tota figura & ablata habeant com­mune centrum in vna recta linea ad centrum ba­ſis terminata, quæ & ipſa talis ſolidi axis nomi­netur.

Vt in figura, ſolidi ABDC deficientis ſolido CED baſis eſt circulus AB, terminus baſi oppoſitus circum­ferentia circuli CMD. axis communis omnibus EF, per cuius quodlibet punctum I plano baſi AB paralle­lo ſecante ſolidum ABDC, & ablatum CED, & re­ſiduum, eſt totius ſectio circulus G H, ablati vero cir­culus KL, & reſi­dui ſectio reliquum circuli GH dem­pto circulo KL. quarum ſectionum omnium centrum commune eſt I. Quod ſi ſuper duos

circulos GH, KL circa axem communem EI cylin­dri deſcribantur, (erunt autem eiuſdem altitudinis) erit reliquum cylindri GB, dempto cylindro cuius baſis KL, axis EI, conſtitutum ſuper baſim G, K, & circa axim EI, quæ ſuo loco expectatur cogitatio.

POSTVLATA.

I.

Omnis figuræ grauis vnum eſſe centrum gra­uitatis.

II.

Omnium figurarum ſibi mutuo congruentium centra grauitatis mutuo ſibi congruere.

III.

Omnis figuræ, cuius termini omnis cauitas eſt interior, intra terminum eſſe centrum graui­tatis.

IIII.

Similium triangulorum ſimiliter poſita eſse centra grauitatis. In triangulis autem ſimilibus ſimiliter poſita puncta eſſe dicuntur, à quibus re­ctæ ad angulos æquales ductæ cum lateribus ho­mologis angulos æquales faciunt.

V.

Æqualia grauia ab æqualibus longitudinibus ſecundum centrum grauitatis ſuſpenſa æquipon­derare.

VI.

A quibus longitudinibus duo grauia æquiponderant, ab ijſdem alia duo quælibet illis æqualia æquiponderare.

PROPOSITIO PRIMA.

Si ſint quotcumque magnitu­dines inæquales deinceps proportionales; exceſſus, qui bus differunt deinceps pro­portionales erunt, in propor­tione totarum magnitudi­num.

Sint quotcumque inæquales magnitudines deinceps proportionales AB, CD, EF, & G, differentes exceſſibus BH, DK, FL, mi­nima autem ſit G. Dico BH, DK, FL, deinceps proportionales eſse in proportio­ne, quæ eſt AB, ad CD, ſeu CD, ad EF. Quoniam enim eſt vt AB, ad CD, ita CD ad EF; hoc eſt vt AB, ad AH, ita CD, ad CK, permutando erit, vt AB, ad CD, ita AH, ad CK: vt igitur tota AB, ad totam CD, ita reliqua BH, ad reliquam DK. Simili­ter oſtenderemus eſse vt CD ad EF, ita DK ad FL; vt igitur BH ad DK, ita erit DK ad FL, in proportione, quæ eſt AB ad CD, & CD ad EF. Quod demonſtran­dum erat.

PROPOSITIO II.

In omni triangulo vnum dumtaxat punctum eſt, in quo rectæ ab angulis ad latera incidentes ſecant ſeſe in eaſdem rationes. & ſegmenta, quæ ad angulos, ſunt reliquorum dupla. & prædictæ incidentes ſecant trianguli latera bifariam.

Sit triangulum ABC, cuius duo quælibet latera AB, AC, ſint bifariam ſecta in punctis D, E, & ductæ rectæ lineæ BE, CFD, AFG. Dico CF duplam eſſe ipſius FD, & AF, ipſius FG, & BF, ipſius FE. Et in nullo alio puncto à puncto F tres rectas ab angulis ad latera inciden­tes ſecare ſe ſe in eaſdem rationes. Et reliquum latus BC ſectum eſſe bifariam in puncto G. Quoniam enim eſt vt BA ad AD, ita CA ad AE: hoc eſt, vt triangulum ABC ad triangulum ADC, ita triangulum idem ABC ad trian­gulum AEB; æqualia erunt triangula ADC, AEB, & ablato trape­zio DE communi re­liquum triangulum BD F reliquo triangulo C EF æquale erit: ſed triangulum ADF eſt æquale triangulo BDF; & triangulum AFE triangulo EFC, pro­pter æquales baſes, &

communes altitudines; totum igitur triangulum AFB toti AFC, triangulo æquale erit: ſed vt triangulum AFB ad triangulum FBG, hoc eſt vt AF ad FG, ita eſt triangulum AFC ad triangulum FCG; triangulum er­go FBG triangulo FCG æquale erit, & baſis BG ba­ſi GC æqualis. Quoniam igitur & AE eſt æqualis EC, ſimiliter vt ante, oſtenderemus, triangulum BCF, triangulo ACF, eademque ratione triangulum ABF, triangulo BCF æquale eſſe: igitur vnumquodque trian­gulorum ABF, ACF, BCF, tertia pars eſt trianguli ABC: ſed vt triangulum ABC, ad triangulum BCF, ita eſt AG, ad GF; tripla igitur eſt AG ipſius GF, ac proinde AF, ipſius FG dupla. Eadem ratione BE, ipſius FE, & CF, ipſius FD, dupla concludetur.

Sed ſint ſi fieri poteſt, trianguli ABC duo centra qua­lia diximus D, E: & ab ipſis ad ſingulos angulos du­cantur binæ rectæ lineæ: & eadat D in aliquo trian gulo BEC. Quoniam igitur D eſt centrum trian guli ABC erit triangu­lum BDC tertia pars trianguli ABC. Eadem ratione triangulum BEC tertia pars erit trianguli ABC; triangulum ergo DBC æquale erit trian­gulo BEC pars toti, quod fieri non poteſt, atqui idem

abſurdum ſequitur, ſi punctum D cadat in aliquo latere triangulorum, quorum vertex E; Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO III.

In ſimilibus triangulis rectæ lineæ, quæ inter centra, & alia in ijs ſimiliter poſita puncta in­terijciuntur, proportionales ſunt in proportione laterum homologorum.

Sint triangula ſimilia, & ſimiliter poſita ABC, DEF, quorum ſint centra O, P, in ijs autem triangulis ſint pun­cta ſimiliter poſita K, L, quæ cadant primum in rectis BG, EH, quæ ab angulis æqualibus B, E, baſes bifa­riam diuidunt. Dico eſſe OK ad PL, vt eſt latus AB, ad latus DE. iunctis enim AK, KC, DL, LF, quo­

niam angulus KAC, æqualis eſt angulo LDF, & angu­lus KCA, angulo LFD, ob ſimiliter poſita puncta K, L, triangulum AKC, triangulo LDF ſimile erit, & vt KA ad AC, ita LD ad DF: ſed vt CA ad AG, ita eſt FD ad DH, expræcedenti; vt igitur KA, ad AG ita erit LD, ad DH, circa æquales angulos: ſimilia igi­tur ſunt triangula AGK, DHL, & angulus AGK, æqualis angulo DHL, & vt KG, ad GA, ita LH, ad HD: ſed vt GA, ad AC, ita eſt HD ad DF: & vt AC ad AB, ita DF ad DE, ex æquali igitur erit vt KG ad AB, ita LH ad DE: ſed vt AB ad BG, ita eſt DE ad EH, propter ſimilitudinem triangulorum ABG, DEH: & vt BG ad GO ita eſt EH ad HP, propter triangulorum centra O, P; ex æquali igitur erit vt KG ad GO, ita LH ad HP: & permutando vt OG ad PH, ideſt vt BG ad EH, ideſt vt AB ad ED, ita KG ad LH, & reliqua OK ad reliquam PL.

Sed ſint puncta ſimiliter poſita M, N, quæ cadant ex­tra lineas BG, EH, iunctæque OM, PN. Dico iti­dem eſse vt AB ad ED, ita OM ad PN. Iungantur enim rectæ MB, NE, quæ cum quibus lateribus homo­logis angulos æquales faciunt, ea ſint AB, DE, quod propter iſoſcelia triangula ſit dictum in ſimiliter poſitis triangulis. igitur etiam angulus BAM, æqualis erit an­gulo EDN; ſimilia igitur triangula ABM, DEN: & vt MB ad BA, ita erit NE ad ED: ſed vt AB ad BG, ita eſt DE ad EH, propter ſimilitudinem trian­gulorum, & vt BG ad BO, ita eſt EH ad EP, ob triangulorum ſimilium centra O, P: ex æquali igitur erit vt MB, ad BO, ita NE ad EP. Rurſus quo­niam angulus ABM, æqualis eſt angulo DEN, quorum angulus ABG, æqualis eſt angulo DEH: erit reliquus angulus OBM, æqualis reliquo angulo PEN: ſed vt MB ad BO, ita erat NE ad EP; triangulum igitur OBM triangulo PEN, ſimile erit, & vt BO ad EP, hoc eſt BG ad EH, hoc eſt AB ad DE, ita OM ad PN. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO IV.

Datis duobus triangulis ſcalenis ſimilibus, & dato puncto in altero eorum, vnum duntaxat pun­ctum in reliquo triangulo prædicto puncto ſimi­liter poſitum poteſt inueniri.

Sint data duo triangula ſcalena ſimilia ABC, DEF, & in triangulio ABC datum punctum G: ſint autem hæc triangula ſimiliter poſita. Dico in triangulo DEF, vnum duntaxat punctum puncto G ſimiliter poſitum in­ueniri poſse. Iunctis enim AG, BG, GC, ponatur angulus EDH, æqualis angulo BAG, & angulus DEH,

æqualis angulo ABG, & HF iungatur. Manifeſtum eſt igitur ex præcedentis Theorematis demonſtratione, triangula EDH, HDF, FEH, ſimilia eſse triangulis BAG, GAC, CBG, prout inter ſe reſpondent poſi­tione, quorum ſex triangulorum binis quibuſque binæ ba­ſes homologæ reſpondent: AB ED, AC DF, BC EF. quæ ſuntin latera homologa duorum triangulorum ABC, DEF. Ex definitione igitur, duo puncta G, H, in triangulis ABC, DEF, ſimiliter poſita erunt. At enim ſi fieri poteſt ſit aliud punctum K, in triangulo DEF, ſimiliter poſitum puncto G. Vel igitur punctum K in aliquo triangulorum, quorum eſt communis vertex H, vel in aliquo eorundem latere cadet. cadat in latere FH, & iungatur DK: triangulum ergo DFK, ſimile erit triangulo ACG. Sed & triangulum EDF, ſimile eſt triangulo BAC; vtraque igitur horum ad illorum ſi­bi reſpondens triangulorum duplicatam eorundem late­rum homologorum AC, DF, habebunt proportionem: vt igitur eſt triangulum EDF, ad triangulum BAC, ita erit triangulum DFK, ad triangulum ACG: & per­mutando, vt triangulum ACG, ad triangulum ABC, ita triangulum DFK, ad triangulum EDF: eadem ra­tione, vt triangulum ACG, ad triangulum ABC, ita erit triangulum DFH, ad triangulum DEF: vt igitur triangulum DFK, ad triangulum EDF; ita erit trian­gulum DFH, ad triangulum EDF; triangulum ergo DFK, triangulo DFH, æquale erit, pars toti, quod eſt abſurdum: idem autem abſurdum ſequeretur, ſi punctum K, poneretur in aliquo prædictorum triangulorum, vt in triangulo DFH; Non igitur aliud punctum à puncto H, in triangulo EDF, ſimiliter poſitum erit puncto G. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO V.

Cuilibet figuræ planæ rectangulum æquale poteſt eſſe.

Sit quælibet figura plana A. Dico figuræ A, rectan­gulum æquale poſse exiſtere. Exponatur enim rectan­gulum BC, cuius latus BD, in infinitum producatur verſus E. Quoniam igitur eſt vt rectangulum BD, ad planam figuram A, ita recta BD, ad aliquam lineam rectam ſit vt BC, ad A, ita BD, ad DE, & comple­atur rectan­gulum EC. Quoniam igi tur eſt vt BD ad DE, ita rectangulum BC, ad figu­ram A: ſed vt BD, ad DE, ita eſt

rectangulum BC, ad rectangulum CE; vt igitur re­ctangulum BC, ad figuram A, ita eſt rectangulum BC, ad rectangulum CE; rectangulum ergo CE, fi­guræ A, æquale erit. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO VI.

Omni figuræ circa diametrum in alte ram par­tem deficienti figura quædam ex parallelogram­mis æqualium altitudinum inſcribi poteſt, & al­tera circumſcribi, ita vt circumſcripta ſuperet in­ſcriptam minori ſpacio quantacumque magnitu­dine propoſita. Semper autem in ſimilibus intelli­ge, eiuſdem generis.

Sit figura plana ABC circa diametrum AD, ad par-tes A deficiens, cuius baſis BC. Dico fieri poſse quod proponitur: ducta enim per verticem figuræ A, baſi BC, parallela, atque ideo figuram ipſam contingente, abſol­uatur parallelogrammum BL, ſectaque diametro AD, bifariam, & ſingulis eius partibus ſemper bifariam, du­cantur per puncta ſectionum rectæ lineæ baſi BC, & in­ter ſe parallelæ, atque ita multiplicatæ ſint ſectiones, vt ſecti parallelogrammi in parallelogramma æqua­lia, & eiuſdem altitudinis quælibet pars, vt paralle­logrammum BF, ſit minus ſuperficie propoſita, cu­ius parallelogram­mi latus EF, ſe­cet figuræ termi­num BAC, in punctis GH, & diametrum AD, in puncto K. erit igi­tur GK, æqualis KH: per omnia igitur puncta ſe­ctionum termini

BAC, quæ à prædictis fiunt lineis parallelis, ſi ducan­tur diametro AD parallelæ, figura quædam ipſi ABC, inſcribetur, & altera circumſcribetur ex parallelogram­mis æqualium altitudinum. Dico harum figurarum inſcriptam ſuperari à circumſcripta minori ſpacio ſuper­ficie propoſita. Quoniam enim omnia parallelogramma, quibus figura circumſcripta ſuperat inſcriptam ſimul ſum­pta ſunt æqualia BF parallelogrammo: ſed parallelo­grammum BF, eſt minus ſuperficie propoſita: exceſſus igitur quo figura circumſcripta inſcriptam ſuperat, minor erit ſuperficie propoſita. Fieri igitur poteſt, quod propo­nebatur.

PROPOSITIO VII.

Pyramides ſimilibus, & æqualibus triangulis comprehenſæ inter ſe ſunt æquales.

Sint pyramides ABCD, EFGH, ſimilibus, & æqua­libus triangulis comprehenſæ, & ſi ſint ſimiliter poſitæ, qua­rum vertices A, E, baſes autem triangula BCD, FGH. Dico pyramidem ABCD, pyramidi EFGH, æqualem eſse. A punctis enim A, E, manantia latera inferius pro­ducantur, & prædictis lateribus maiores, inter ſe autem æquales abſcindantur AK, AL, AM, EN, EO, EP,

& conſtruantur pyramides AKLM, ENOP: pyramides igitur hæ æqualibus, & ſimilibus triangulis comprehenden tur, vt colligitur ex ipſa conſtructione; triangulis igitur inter ſe æquilateris, & æquiangulis KLM, NOP, inter ſe con­gruentibus non congruat, ſi fieri poteſt, pyramis ENOP, pyramidi AKLM, ſed cadat vertex E, pyramidis ENOP, extra verticem A, pyramidis AKLM, & ex puncto A, ad centrum circuli tranſeuntis per tria puncta K, L, M, quod ſit R, ducatur recta AR, & ER iungatur. Quoniam igi­tur æquales rectæ ſunt AK, AL, AM, quæ ex puncto A, in ſublimi pertinent ad ſubiectum planum: & punctum R, eſt centrum circuli tranſeuntis per puncta N, O, P; cadet recta AR ad ſubiectum planum perpendicularis. Eadem ratione recta ER ducta à vertice E, pyramidis ENOP, ad centrum R, circuli tranſeuntis per puncta N, O, P, hoc eſt, per puncta K, L, M, illis congruentia, cadet ad idem planum, ad quod linea AR, perpendicularis; itaque ab eodem puncto R, ad idem planum, & ad eaſdem partes duæ perpendiculares erunt excitatæ, quod fieri non poteſt: punctum igitur E non cadet extra punctum A: quare la­tus EN, congruet lateri AK, quorum EF, eſt æqualis AK; igitur & EF, ipſi AB, congruet. eadem ratione la­tus AG, congruet lateri AC, & latus EH, lateri AD, & triangula triangulis, & pyramis EFGH, pyramidi ABC D, & ipſi æqualis erit. Quod demonſtrandum erat.

COROLLARIVM.

Hinc facile colligitur omnia ſolida, quæ in py ramides æqualibus, & ſimilibus triangulis com­prehenſas multitudine æquales diuidi poſſunt, eſ ſe inter ſe æqualia. Quocirca omnia priſmata, & pyramides, & octahedra, omnia denique corpora regularia æqualibus, & ſimilibus planis compre­henſa inter ſe æqualia erunt.

PROPOSITIO VIII.

Omnis pyramidis triangulam baſim habentis quatuor axes ſecant ſe in vno puncto in eaſdem ra­tiones, ita vt ſegmenta, quæ ad angulos, eo­rum, quæ ad oppoſita triangula, ſint tripla; ex quo puncto tota pyramis diuiditur in quatuor pyrami des æquales. Et in nullo alio puncto quatuor re­ctæ lineæ ductæ ab angulis ad triangula oppoſita pyramidis ſecant ſeſe in eaſdem rationes. Vocetur autem punctum hoc centrum dictæ pyramidis.

Sit pyramis ABCD, cuius vertex A, baſis autem triangulum BCD, axes AE, BM, CL, DN, vnde qua­tuor triangulorum, quæ ſunt circa pyramidem ABCD, centra erunt grauitatis E, L, M, N. Dico quatuor li­neas AE, BM, CL, DN, ſecare ſe ſe in vno puncto in eaſdem rationes, quas prædixi, & quæ ſequuntur. Nam ex puncto A, ducatur recta ALH, quæ ob trianguli ABD, centrum L, ſecabit latus BD, bifariam in puncto H; iun­cta igitur CE, & producta conueniet cum ALH, vt in puncto H. eadem ratione iunctæ AM, BE, & productæ conuenient in medio lateris CD, conueniant in puncto K, necnon AN, DE, in medio ipſius BC, vt in puncto G. Quoniam igitur ob triangulorum centra, eſt vt CE ad EH, ita AL ad LH, dupla enim eſt vtraque vtriuſque, ſeca­bunt ſeſe rectæ AE, CL, inter eaſdem parallelas; quare vt AF ad FE, ita erit CF ad FL, circum æquales angu los ad verticem: triangula igitur AFL, CFE; & reci­proca, & æqualia inter ſe erunt. Cum igitur ſit vt AL ad LH, ita CE ad EH, hoc eſt vt triangulum AFL ad triangulum FLH, (ſi ducatur FH) ita triangulum CFE, ad triangulum FEH, erunt inter ſe æqualia triangula FEH, FLH. Quare vt triangulum AFH, ad triangu­lum FLH, hoc eſt vt AH ad HL, ita erit triangulum AFH ad triangulum FEH, hoc eſt AF ad FE: ſed re­cta AH, eſt tripla ipſius LH; igitur & AF, erit ipſius FE, tripla: ſed vt AF, ad FE, ita eſt CF, ad FL; tripla igi­tur erit CF, ipſius FL. Similiter oſtenderemus rectas AE, BM, ſecare ſe ſe in eaſdem rationes, ita vt ſegmen­ta, quæ ad angulos, ſint tripla eorum, quæ ſunt ad centra E, M, quorum AF, eſt tripla ipſius FE: in puncto igitur F, ſecant ſe rectæ lineæ AE, BM. Eadem ratione & re ctæ AE, DN, ſecent ſe in puncto F, neceſse erit: quare vt AF ad FE, ita erit DF ad FN. Quatuor igitur axes pyramidis ABCD, ſecantſe ſe in puncto F, in eaſ­dem rationes, ita vt ſegmenta ad angulos, ſint reliquorum tripla. Rurſus, quia compo­nendo, & conuerten­do, eſt vt FE ad EA, ita FL ad LC: hoc eſt, vt pyramis BCD F, ad pyramidem A BCD, ita pyramis ABDF, ad pyrami­dem CBDA, (pro­pter baſium commu­nitatem, & vertices in eadem recta linea) erit

pyramis ABDF, æqualis pyramidi BCDF. Eadem ra­tione tam pyramis ACDF, quàm pyramis ABCF, æqua lis eſt pyramidi BCDF. Quatuor igitur pyramides, qua­rum communis vertex punctum F, baſes autem triangula, quæ ſunt circa pyramidem ABCD, inter ſe æquales erunt, & vnaquæque pyramidis ABCD, pars quarta. Dico in nullo alio puncto à puncto F, quatuor rectas, quæ ab an­gulis ad triangula oppoſita pyramidis ABCD, ducantur, ſecare ſe in eaſdem rationes. Si enim fieri poteſt ſecent ſe tales rectæ in eaſdem rationes in alio puncto S. Simi­liter igitur vt ante oſtenderemus, vnamquamque qua­tuor pyramidum, quarum communis vertex S, baſes au­tem triangula, quæ ſunt circa pyramidem ABCD, eſse quartam partem pyramidis ABCD. Siue igitur pun­ctum S, cadat intra vnam priorum quatuor pyrami­dum, ſiue in earum aliquo latere, ſeu triangulo; neceſ­ſario erit pars æquali toti; tam enim tota vna pyramis quatuor priorum, quarum communis vertex F, quàm eius pars, vna quatuor pyramidum poſteriorum, quarum com­munis vertex S, erit eiuſdem ABCD, pyramidis pars quarta. Ex abſurdo igitur non in alio puncto à puncto F ſecabunt ſe in eaſdem rationes quatuor rectæ, quæ ab angu lis ad oppoſita triangula pyramidis ABCD, ducantur. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO IX.

Omnis pyramis baſim habens triangulam di­uiditur in quatuor pyra mides æquales, & ſimiles inter ſe, & toti, & vnum octaedrum totius pyrami­dis dimidium, ip ſi que concentricum.

Sit pyramis ABCD, cuius baſis triangulum ABC, ſectisque omnibus lateribus bifariam, iungantur rectæ FG, GH, HF, FK, KL, LM, MK, KH, HM, GL, LF. Dico quatuor pyramides DKLM, LFBG, KHFA, MHGC, æquales eſse, & ſimiles inter ſe, & toti pyrami­di ABCD: octaedrum autem eſse LFGMKH, & di­midium pyramidis ABCD, ipſique concentricum. Du­cantur enim rectæ DNH, BQH, LN: & poſita BE, du pla ipſius BH, iungatur DOC, in triangulo DBH, & ponatur DP, ipſius PE, tripla, & connectantur rectæ LP, PH. Quoniam igitur E, eſt centrum trianguli ABC, erit axis DE, pyramidis ABCD, cuius axis ſegmentum DP eſt triplum ipſius PE: igitur P centrum erit pyra­midis ABCD. Et quoniam tres rectæ FK, KH, HF, ſunt parallelæ tribus BD, DC, CB, pro vt inter ſe reſpondent, vt KH, ipſi LG, quoniam vtraque lateri DC, ob latera triangulorum ſecta proportionaliter in punctis K, H, L, G: & ſic de reliquis; erit pyramis AKFH, ſimilis toti pyramidi ABCD. Similiter vnaquæque trium aliarum pyramidum abſciſſarum, videlicet FLBG, GHMC, KDLM, ſimilis erit pyramidi ABCD, atque ideo in­ter ſe ſimiles. Rurſus, quoniam pyramidum ſimilium latus AD eſt duplum lateris AK, ho mologi; pyramis AB­CD, octupla erit py­ramidis AKFH, ob triplicatam laterum ho mologorum proportio nem. Similiter vna­qunæque trium reliqua­rum pyramidum abſciſ ſarum erit octaua pars pyramidis ABCD;

quatuor igitur pyramides abſciſſæ ſimul ſumptæ dimi­dium erit pyramidis ABCD: & reliquum igitur ſoli­dum demptis quatuor pyramidibus, dimidium pyramidis ABCD. Dico reliquum ſolidum LKMGFH, eſſe octaedrum. Nam octo triangulis ipſum contineri mani­feſtum eſt. bina autem oppoſita eſſe parallela, & æqualia, & ſimilia, ſic oſtendimus. Quoniam enim triangulum FGH, eſt in plano trianguli ABC, plano trianguli KLM parallelo; erit triangulum FGH, parallelum triangu-lo KLM: ſed triangulum FGH, eſt ſimile triangulo ABC, & triangulum KLM, ſimile eidem triangulo ABC; triangulum ergo FGH, ſimile erit triangulo KLM: ſed & æquale propter æqualitatem laterum homologo­rum. Similiter oſtenderemus reliquum ſolidum LKM GFH continentia triangula bina oppoſita æqualia inter ſe, & ſimilia, & parallela; octaedrum eſt igitur LKMGFH. Dico iam punctum P, quod eſt cen­trum pyramidis ABCD, eſse centrum octaedri LKMGFH. Quoniam enim DP, ponitur tripla ipſius PE, & DO, eſt æqualis OE (ſiquidem planum trianguli KLM, plano trianguli ABC, paralle lum ſecat proportione oens rectas lineas, quæ ex puncto D, in ſubli­mi pertinent ad ſubie­ctum planum trianguli ABC) erit OP, ipſi PE, æqualis. Et quo­niam BH eſt dupla ipſius QH, quarum BE eſt dupla ipſius
EH, ſiquidem E eſt centrum trianguli ABC; erit reli­qua EH reliquæ EQ dupla: & quia eſt vt LD ad DB, ita LN ad BH, propter ſimilitudinem triangulorum, & eſt LD, dimidia ipſius BD, erit & LN, dimidia ipſius BH: ſed QH eſt dimidia ipſius BH; æqualis igitur LN ipſi QH. Iam igitur quia eſt vt BE ad EH, ita LO ad ON: ſed BE, eſt dupla ipſius EH; dupla igi­tur LO, erit ipſius ON: ſed & QH erat dupla ipſius QE; vt igitur LN ad NO, ita erit HQ ad QE: & per conuerſionem rationis, vt NL ad LO, ita QH, ad HE: & permutando, vt LN ad QH, ita LO ad EH: ſed LN, oſtenſa eſt æqualis QH; æqualis igitur LO, erit ipſi EH; ſed & OP, eſt æqualis ipſi PE, vt oſten­dimus: duæ igitur LO, OP, duabus HE, EP æqua­les erunt altera alteri, & angulos æquales continent LOP, PEH, parallelis exiſtentibus LN, BH ſectionibus tri­anguli DBH, quæ fiunt à duobus planis parallelis; ba­ſis igitur LP, trianguli LOP, æqualis eſt baſi PH, trianguli PEH, & angulus OPL, angulo EPH in pla­no trianguli DBH, in quo DPE, eſt vna recta linea; igitur LPH, erit vna recta linea, quæ cum ſit axis octa­edri LKMGFH, & ſectus ſit in puncto P, bifariam, erit punctum P, centrum octaedri LKMGEH. ſed & centrum pyramidis ABCD. Manifeſtum eſt igitur pro­poſitum.

PROPOSITIO X.

Omne fruſtum pyramidis triangulam baſim habentis, ſiue coni, ad pyramidem, vel conum, cu­ius baſis eſt eadem, quæ maior baſis fruſti, & ea­dem altitudo, eam habet proportionem, quam duo latera homologa, vel duæ diametri baſium ipſius fruſti, vnà cum tertia minori proportionali ad prædicta duo latera, vel diametros; ad maioris ba­ſis latus, vel diametrum. Ad priſma autem, vel cylindrum, cuius eadem eſt baſis, quæ maior baſis fruſti, & eadem altitudo; vt tres prædictæ deìn­ceps proportionales ſimul, ad triplam lateris, vel diametri maioris baſis.

Sit fruſtum ABCFGH, pyramidis, vel coni ABCD, cuius baſis triangulum, vel circulus ABC, axis autem DE: & vt eſt AC ad FH, ita ſit FH ad N, & fru­ſti axis EK, nec non idem pyramidis, vel coni AB CK, vt ſit eadem altitudo. Dico fruſtum ABCF GH, ad pyramidem, vel conum, ABCK, eſse vt tres lineas AC, FH, NO, ſimul ad ipſius AC, tri­plam: ad priſma autem, vel cylindrum, cuius baſis ABC, altitudo autem eadem cum fruſto, vttres AC, FH, NO, ſimul, ad ipſius AC, triplam. Nam vt eſt AC ad FH, & FH ad NO, ita ſit NO ad P: & exceſſus, quo hæ

quatuor lineæ differunt, ſint AL, FM, Oque Ergo vt AC ad FH, ita erit AL ad FM, & FM ad Oque Quoniam igitur eſt vt AC ad P, ita pyramis, vel conus ABCD, ad ſimilem ipſi pyramidem, vel conum DFGH, ob triplicatam laterum homologorum proportionem; erit diuidendo, vt tres AL, FM, OQ, ſimul ad P, ita fru­ſtum ABCFGH, ad pyramidem, vel conum DFGH: ſed conuertendo eſt vt P, ad AC, ita pyramis, vel conus DFGH, ad pyramidem, vel conum ABCD: ex æquali igitur, vt tres AL, FM, OQ, ſimul ad AC, ita fruſtum ABCDFGH, ad pyramidem, vel conum ABCD. Rurſus quoniam axis DE, & latera pyramidis, vel coni ABCD, ſecantur plano trianguli, vel circuli FGH, baſi ABC, parallelo; erit componendo, vt AD, ad DF, hoc eſt, vt AC ad FH, propter ſimilitudinem triangulorum, hoc eſt vt AC, ad CL, ita ED, ad DK; & per conuer­ſionem rationis, vt AC, ad AL, ita DE, ad EK: ſed vt DE ad EK, ita eſt pyramis, vel conus ABCD, ad py­ramidem, vel conum ABCK; vt igitur AC, ad AL, ita eſt pyramis, vel conus ABCD, ad pyramidem, vel conum ABCK; ſed vt tres lineæ AL, FM, OQ ſimul ad AC, ita erat fruſtum ABCFGH, ad pyramidem, vel conum ABCD; ex æquali igitur, erit vt tres lineæ AL, FM, OQ, ſimul ad AL, ita fruſtum ABCFGH, ad pyramidem, vel conum ABCK. Rurſus, quoniam tres exceſſus AL, FM, OQ, ſunt deinceps proportio­nales in proportione totidem terminorum AC, FH, NO, erunt vt AL, FM, OQ, ſimul ad AL, ita AC, FH, NO, ſimul ad AC: ſed vt AL, FM, OQ, ſim ul ad AL, ita erat fruſtum ABCFGH, ad pyamidem, vel conum ABCK; vt igitur tres lineæ AC, FH, NO, ſi­mul, ad AC, ita erit fruſtum ABCFGH, ad pyrami­dem, vel conum ABCK. Sed vt AC, ad ſui triplam, ita eſt pyramis, vel conus ABCK ad priſma, vel cylindrum, cuius eſt eadem baſis ABC, & eadem altitudo cum py­ramide, vel cono ABCK; ex æquali igitur, erit vt tres lineæ AC, FH, NO, ſimul ad ipſius AC, triplam, ita fruſtum ABCFGH, ad priſma, vel cylindrum, cu­ius baſis ABC, & eadem altitudo pyramidi, vel cono ABCK: ideſt eadem, fruſto ABCFGH. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO XI.

Omni ſolido circa axim in alteram partem defi cienti, cuius baſis ſit circulus, vel ellypſis, figura quædam ex cylindris, vel cylindri portionibus æqualium altitudinum inſcribi poteft, & altera circumſcribi, ita vt circumſcripta ſuperet inſcri­ptam minori exceſſu quacumque magnitudine propoſita.

Sit ſolidum ABC, circa axim AD, in alteram par­tem deficiens, cuius vertex A, baſis autem circulus, vel ellypſis, cuius diameter BC. Igitur ſuper hanc baſim circa axim AD, intelligatur deſeri ptus cylindrus, vel cylindri portio BL, quæ ſolidum ABC, compre­hendet: ſectoque cylindro, vel cylin dri portione BL, planis baſi paralle

lis in tot cylindros, vel cylindri portiones æqualium al­ritudinum, vt quilibet eorum ſit minor magnitudine propoſita; eſto ſolidum ABC, ſectum prædictis planis: erunt autem ſectiones circuli, vel ellypſes fimiles inter ſe & baſi BC, ſolidi ABC ſuper quas ſectiones tam­quam baſes cylindris, vel cylindri portionibus æqua­lium altitudinum intra, atque extra figuram conſtitutis, quorum bini inter eadem plana parallela inter ſe refe-runtur, veluti BF, & GDH, quorum axis communis eſt DK, baſes autem circuli, vel ellypſes EF, GH, qua­rum commune centrum K: ſupremus autem, qui ad A, ad nullum refertur. Quoniam igitur ex conſtructione, cylindrus, vel cylindri portio BF, eſt minor magnitudi­ne propoſita; exceſsus autem omnes, quibus cylindri, ex quibus conſtat figura circumſcripta, excedunt eos, ex qui­bus conſtat figura inſcripta, pro vt bini inter ſe referun­tur, vna cum ſupremo, qui ad nullum refertur, ſunt æqua­les cylindro, vel cylindri portioni BF, figura circum­ſcripta ſolido ABC, excedet inſcriptam minori exceſ­ſu magnitudine propoſita. Fieri igitur poteſt quod pro­ponebamus.

PROPOSITIO XII.

Dato parallelepipedo erecto circa datam re­ctam lineam tamquam axim, erectum parallele­pipedum æquale conſtituere.

Sit datum parallelepipedum AB, erectum, cuius ba­ſis AC, altitudo autem latus BC: & data recta linea finita ED. Oportet circa rectam ED, tamquam axim parallelepipedo AB, æquale parallelepipedum erectum conſtituere. Per punctum igitur E, extendatur pla­num erectum ad lineam ED, & vt eſt DE, ad BC, ita fiat baſis AC, ad quadratum F: & ad punctum E, in plano erecto ad lineam ED, quartæ parti quadrati F, æquale GE, quadratum deſcribatur, & compleatur quadratum GH, quadruplum quadrati EG, ſeu qua­drato F, æquale: & ex puncto K, erecta KL, ipſi EF, æquali, & ad ſubiectum planum perpendiculari ſuper ba­ſim GH, conſtituatur parallelepipedum GK. Dico parallelepipedum GK, eſse æquale parallelepipedo AB; & rectam DE, axim parallelepipedi GK. Iungantur enim baſium oppoſitarum diametri GH, LK. Quo­niam igitur qua­drata ſunt EG, GH, communem­que habent angu­lum, qui ad G, conſiſtent circa di­ametrum GH; in recta igitur GH, erit punctum E. Et quoniam qua­dratum GH, eſt quadrati EG, qua­druplum; erit dia­

meter GH, diametri EG, dupla; punctum igitur E, erit in medio diametri GH. Rurſus, quoniam ob pa­rallelepipedum GK, recta GL, æqualis eſt, & paral­lela ipſi KH, erit LH, parallelogrammum: & quia vtraque DE, KH, eſt ad ſubiectum planum perpendi­cularis, parallelæ erunt, & in eodem plano parallelogram­mi LH; in quo cum LG, ſit parallela ipſi KH; erit & ED, ipſi LG, parallela: eſt autem, & æqualis vtrilibet ipſarum GL, GH, oppoſitarum; punctum igitur D, eſt in recta LK, & tam KD, ipſi EH, quàm LD, ipſi EG, æqualis erit, & inter ſe æquales LD, DK. pun­ctum igitur D, erit in medio diametri LK; ſed & pun­ctum E, erat in medio diametri GH; recta igitur ED, axis eſt parallelepipedi GK, cuius parallelepipedi cum altitudo DE, ſit ad BC, altitudinem parallelepipedi AB, vt eſt baſis AC, ad quadratum F, hoc eſt ad baſim GH, parallelepipedi GK; parallelepipedum GK, parallelepipe do AB, æquale erit, Factum igitur eſt quod oportebat.

PROPOSITIO XIII.

Cuilibet figuræ ſolidæ parallelepipedum æqua­le poteſt eſſe.

Sit quælibet figura ſolida A. Dico ſolido A, parallele­pipedum æquale poſse exiſtere. Exponatur enim paral­lelepipedum BC, cuius baſis BG. Quoniam igitur eſt vt ſolidum BC, ad ſolidum A, ita recta linea, ſiue latus BD, ad aliam rectam lineam; producto latere BD, ſit vt BC, ad A, ita recta BD, ad rectam DE, & compleatur pa­rallelepipedum CE. Quoniam itaque eſt vt BD, ad DE, ita parallelogrammum ſiue baſis BG, ad parallelogram­

mum, ſiue baſim EG; hoc eſt parallelepipedum BC, ad parallelepipedum CE: ſed vt BD, ad DE, ita eſt paral­lelepipedum BC, ad ſolidum A; vt igitur parallelepipe­dum BC, ad ſolidum A, ita erit parallelepipedum BC, ad parallelepipedum CE; parallelepipedum igitur CE æquale erit ſolido A. Quod fieri poſse propoſuimus.

PROPOSITIO XIV.

Omnis parallelogtammi centrum grauitatis diametrum bifariam diuidit.

Sit parallelogrammum ABCD, cuius duo latera AB, BC, ſint primum in æqualia: & quoniam omne parallelogram­mum habet ſaltem duos angulos oppoſitos non minores recto, eſto vterque angulorum B, D, non minor recto, ſit­que ducta diameter AC, ſectaque in puncto G, bifariam. Dico G, eſse centrum grauitatis parallelogrammi ABCD. Trianguli enim ABC, ſit centrum grauitatis H; iuncta­que HG, & producta, ponatur GK, æqualis GH, & re­ctæ à punctis K, H, ad angulos ducantur. Quoniam igi­tur AG, eſt æqualis GC, & GH, ipſi GK, & angulus AGK, æqualis angulo CGH, erit baſis AK, æqualis baſi CH, & angulus GAK, æqua­lis angulo GCK: ſed totus angulus DAK, æqualis eſt to ti angulo BCA; reliquus igi­tur DAK, reliquo BCH, æqualis erit, circa quos angu­los latus BC eſt æquale lateri AD, & CH, ipſi AK; angu­lus igitur CBH, æqualis erit

angulo ADK. Similiter oſtenderemus angulum CAH, angulo ACK, & angulum BAH, angulo DCK, & an­gulum ABH, angulo CDK, æquales eſse: ſed latera triangulorum, cum quibus rectæ ductæ à punctis K, H, ad angulos triangulorum ſimilium ABC, CDA, ſunt ho-mologa; puncta igitur K, H, in prædictis triangulis ſunt ſimiliter poſita. Rurſus quoniam angulus ABC, non eſt minor recto, acuti erunt reliqui ACB, BAC; igitur latus AC, maximum erit: ponitur autem AB maius, quàm BC; triangulum igitur ABC, ſcalenum erit. Eadem ratione ſcalenum eſt triangulum ACD. Quare in triangulo ACD, vnum duntaxat punctum K, ſimili­ter poſitum erit, ac punctum H, in triangulo ABC. Cum igitur H ſit centrum grauitatis trianguli ABC, erit & K, centrum grauitatis trianguli ACD. Sed longitudo GK, æqualis eſt longitudini GH; punctum igitur G erit centrum grauitatis parallelogrammi ABCD, in quo ni­mirum ſecta eſt bifariam diameter AC: quare ſi ducatur altera diameter BD, in medio etiam diametri BD, erit idem centrum grauitatis G.

Sed ſint omnia latera æqualia parallelogrammi ABCD, Sectisque duobus lateribus AD, BC, bifariam in E, F iungantur EF, AE, ED, AGC, & per punctum G, ducatur ipſi AD, vel BC, parallela HGK. Quoniam igitur EC, eſt æqualis AF, erit CG æqualis AG, & EG, æqualis GF, pro­pter ſimilitudinem triangu lorum: nec non EH, ipſi AH, & EK, ipſi KD: tres igitur diametri AC, AE, ED, erunt ſectæ bifariam

in punctis K, G, H: & quoniam ex æquali propter triangu­la ſimilia eſt vt AF, ad FD, ita HG, ad GK, erit HG, æqualis ipſi GK: ſed puncta K, H, ſunt centra grauitatis parallelogrammorum BF, FC; igitur totius parallelo­grammi ABCD, centrum grauitatis erit G, in medio diametri AG. Quod eſt propoſitum.

COROLLARIVM.

Hinc manifeſtum eſt, omnis parallelogrammi centrum grauitatis eſſe in medio rectæ, quæ op­poſitorum bipartitorum laterum ſectiones iungit.

PROPOSITIO XV.

Si quodlibet parallelogrammum in duo paral­lelogramma diuidatur, & eorum centra grauitatis iungantur recta linea; totius diuiſi parallelogram­mi centrum grauitatis prædictam lineam ita di­uidit, vt eius ſegmenta è contrario reſpondeant prædictis partibus parallelogrammis.

Sit parallelogrammum ABCD, ſectum in duo paral­lelogramma AE, ED, & parallelogrammi AE, ſit centrum grauitatis H, pa­rallelogrammi autem ED, centrum grauitatis K: & parallelogrammi ABCD, ſit centrum grauitatis G: & iungatur KH. Dico re­ctam KH, diuidi à puncto G, ita vt ſit KG, ad G H, vt eſt parallelogrammum AE, ad parallelogrammum

ED, Iungantur enim diametri AC, AE, ED. Igitur per præcedentem ſectæ erunt hæ diametri bifariam in pun­ctis H, G, K. Quoniam igitur eſt vt EH, ad HA, ita EK ad KD, parallela erit KH, ipſi AD; igitur & EC; ſed recta KH, ſecat latus AE, trianguli AEC, bifariam in puncto H, ergo & latus AC, bifariam ſecabit; igitur in puncto G. punctum igitur G, eſt in linea KH. Rurſus, quoniam eſt vt GA, ad AC, ita GH, ad EC, propter ſi­militudinem triangulorum; ſed dimidia eſt GA, ipſius AC, igitur & GH, erit dimidia ipſius EC, hoc eſt ipſius FD. Similiter oſtenderemus dimidiam eſse KH ipſius AD. vt igitur KH, ad AD, ita erit GH, ad FD: & per­mutando, vt AD, ad DF, ita KH, ad HG, & diui­dendo, vt AF, ad FD, hoc eſt vt parallelogrammum AE, ad parallelogrammum ED, ita KG, ad GH. Quod de­monſtrandum erat.

PROPOSITIO XVI.

Plana grauia æquiponderant à longitudini­bus ex contraria parte reſpondentibus.

Sint plana grauia N, R, quorum centra grauitatis ſint N, R, & longitudo aliqua AB: & vt eſt N, ad R, ita ſit BC, ad CA. Dico ſuſpenſis magnitudinibus ſecundum centra grauitatis N, in puncto A, & R, in puncto B, vtri­uſque magnitudinis N, R, ſimul centrum grauitatis eſse C. Nam ſi N, R, magnitudines ſint æquales, manifeſtum eſt propoſitum. Si autem inæquales, abſcindatur BD, æqualis AC, vt ſit AD, ad DB, vt BC, ad CA. Et quo­niam ſpacio R, rectangulum æquale poteſt eſse; applice­tur ad lineam BD, rectangulum BDKE, æquale quar­tæ parti rectanguli æqualis ipſi R, hoc eſt quartæ parti ipſius R; & poſita DG, æquali, & in directum ipſi DK, ducantur rectæ GBH, GAF, quæ cum KE, produ­cta conueniant in punctis F, H: & fiant parallelogramma FL, AK. Quoniam igitur eſt vt N, ad R, ita BC, ad CA, hoc eſt AD, ad DB, hoc eſt rectangulum AK, ad rectangulum BK; erit permutando vt rectangulum AK, ad N, ita rectangulum BK, ad R; ſed rectangulum BK, eſt pars quarta ipſius R, ergo & rectangulum AK, erit pars quarta ipſius N. Rurſus quia eſt vt GD, ad DK, ita GA, ad AF, & GB, ad BH: ſed GD eſt æqualis DK; ergo & GA, ipſi AF, & GB, ipſi BH, æquales erunt & centra grauita­tis A, quidem rectangu­li MK, B, vero rectan­guli KL, & rectangulum AK, pars quarta ipſius MK, quemadmodum & BK ipſius KL; ſed N, rectanguli AK, qua­druplum erat, quemad­modum & R ipſius BK; igitur rectangulum MK, ſpacio N, & rectangulum KL, ſpacio R, æquale erit. Sed vt BC, ad CA, ita eſt N, ad R; vt igi­tur BC, ad CA, ita

rectangulum MK, ad rectangulum KL; ſed A eſt cen­trum grauitatis rectanguli MK, & B, rectanguli KL; to­tius ergo rectanguli FL, hoc eſt duorum rectangulorum MK, KL, ſimul centrum grauitatis erit C. Sed rectan­gulo MK, æquale eſt ſpacium N; & rectangulo KL, ſpa­cium R. Igitur ſi pro rectangulo MK, ſit ſuſpenſum N ſpacium ſecundum centrum grauitatis in puncto A, & pro rectangulo KL, ſpacium R, ſecundum centrum graui-tatis in puncto B, ſpacia N, R, æquiponderabunt à lon­gitudinibus AC, CB; eritque vtriuſque plani N, R, ſi­mul centrum grauitatis C. Quod demonſtrandum erat.

COROLLARIVM.

Hinc manifeſtum eſt ſi cuiuslibet figuræ pla­næ vtcumque ſectæ centra grauitatis partium iungantur recta linea, talem lineam à centro gra­uitatis totius prædicti plani ita ſecari, vt ſegmen­ta ex contrario reſpondeant prædictis partibus.

PROPOSITIO XVII.

Si totum quoduis planum, & pars aliqua non habeant idem centrum grauitatis, & eorum cen­tra iungantur recta linea; in ea producta ad par­tes centri grauitatis totius, erit reliquæ partis cen trum grauitatis.

Sit totum quoduis planum ABC, cuius centrum graui­tatis E, & pars illius AB, cuius aliud centrum D, & iuncta DE, producatur ad partes E, in infinitum vſque in H. Dico reliquæ partis BC, centrum grauitatis, quod ſit G, eſse in linea EH. Quoniam enim D, G, ſunt centra grauitatis par­

tium AB, BC, cadet totius ABC, centrum grauitatis E, in recta linea, quæ iungit centra D, G; tria igitur pun­cta D, E, G, ſunt in eadem recta linea. in qua igitur ſunt puncta D, E, in eadem eſt punctum G; ſed puncta D, E, ſunt in recta DH; igitur & punctum G, erit in recta DH: ſed extra ipſam DE, vt modo oſtendimus, in reliqua igitur EH. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XVIII.

Sit totum quoduis planum ſit vni parti concen tricum ſecundum centrum grauitatis, & reliquæ erit concentricum. Et ſi partes inter ſe ſint con­centricæ, & toti erunt concentricæ.

Sit totum quoduis planum AB, quod cum vna parte AC habeat commune centrum grauitatis E. Dico & re­liquæ partis CD, eſse idem centrum grauitatis E. Si enim illud non eſt, erit aliud; eſto F, & EF iungatur. Quoniam igitur partium AC, CD, centra grauitatis ſunt E, F; erit totius AB, in re­cta EF, centrum graui­tatis: ſed & in puncto E, vnius ergo magnitudinis duo centra grauitatis e­runt. Quod eſt abſurdum;

idem igitur E erit centrum grauitatis vtriuslibet partium AC, CD. Sed vtriuslibet partium AC, CD, ſit cen­trum grauitatis E. Dico idem E totius AB, eſse cen-trum grauitatis. Si enim non eſt, erit aliud, eſto G: & iunctatur EG, producatur ad partes G, in infinitum vſ­que ìn F. Quoniam igitur E, eſt centrum grauitatis vnius partis AC, & G, totius AB; erit reliquæ partis CD, in linea GF centrum grauitatis: ſed & in puncto E; eiuſ­dem igitur magnitudinis AB, duo centra grauitatis erunt. Quod fieri non poteſt; totius igitur AB, erit centrum grauitatis idem E. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO XIX.

Omnis trianguli rectilinei idem eſt centrum grauitatis, & figuræ.

Sit triangulum rectilineum ABC, cuius centrum G. Dico G, eſse centrum grauitatis trianguli ABC. Si enim fieri poteſt, ſit aliud punctum N, centrum grauitatis trian guli ABC, & per punctum G, ducantur rectæ AF, BD, CE, & DHE, ERF, FKD, KLH, & NG. Quo­niam igitur quæ ab angulis A, B, C, ductæ ſunt rectæ lineæ per G, ſecant bifariam latera AB, BC, CA; erit triangulum EDF, ſimile triangulo ABC, ob latera pa­rallela vt ſunt EF, AC. Et quoniam triangulum EDF, dimidium eſt cuius vis trium parallelogrammorum AF, BD, CE, æqualia inter ſe erunt ea parallelogramma omnifariam ſumpta, quorum centra grauitatis H, K, R; intelligantur autem tria parallelogramma AF, BD, CE, diſtincta penitus, ita vt inter ſe congruant ſecundum tria triangula DEF, inter ſe congruentia: trium igitur trian gulorum DEF, inter ſe congruentium & centra grauita­tis inter ſe congruent in puncto M. Quoniam igitur in­ter duas parallelas EF, KH, ſecant ſe rectæ lineæ FH, LR, in puncto G; erit vt FG, ad GH, ita RG, ad GL; dupla igitur RG, eſt ipſius GL. Et quoniam in triangu­lo AGC, recta GD, ſecat AC, bifariam in puncto D; ipſi AC, parallelam KH, bifariam ſecabit in puncto L, duorum igitur æqualium parallelogrammorum AF, EG; ſimul, quorum centra grauitatis ſunt K, H, centrum gra­uitatis erit L. Sed duo parallelogramma AF, EC, ſi­mul ſunt paralle­logrammi BD, du plum; trium igitur parallelogrammo­rum AF, EC, BD, ſimul: hoc eſt trianguli ABC, vnà cum duobus trium triangulorum inter ſe congruen­tium EDF, cen­trum grauitatis e­rit G. Sed triangu li ABC, ponitur

centrum grauitatis N; producta igitur NG, occurret centro M, reliquæ partis, ideſt duorum triangulorum DEF; quare vt triangulum ABC, ad duo triangula DEF, ſi­mul, ita erit MG, ad GN. Sed triangulum ABC, eſt duplum duorum triangulorum EDF: igitur & MG, erit ipſius GN, dupla. Rurſus quoniam vtriuslibet duorum triangulorum EDF, centrum grauitatis erat M; erit ſi­militer poſitum M, in triangulo EDF, ac centrum N, in triangulo ABC, propter ſimilitudinem triangulorum: Sed propter hæc ſimiliter poſita centra, quia homologo­rum laterum eſt vt AB, ad DF, ita NG, ad GM: & AB, eſt dupla ipſius EB, erit & NG, dupla ipſius GM. Sed GM, erat dupla ipſius GN: igitur GN, erit ſui ipſius quadrupla. Quod eſt abſurdum. Non igitur centrum grauitatis trianguli ABC, erit aliud à puncto G: pun­ctum igitur G, erit centrum grauitatis trianguli ABC. Quod demonſtrandum erat.

Quod autem ex huius theorematis demonſtratione li­quet centrum grauitatis trianguli eſse in ea recta linea, quæ ab angulo ad bipartiti lateris ſectionem pertinet, Archimedes per inſcriptionem figuræ ex parallelogram­mis demonſtrauit, aliter autem per diuiſionem trianguli in triangula nequaquam: qua enim ratione hoc ille tentat, ea ex nono theoremate eiuſdem prioris libri de æquipon­derantibus neceſsario pendet. Cum igitur in illo ante ceden ti ſit fallacia accipientis latenter ſpeciem trianguli; ſcale­num ſcilicet pro genere triangulo, neque conſequens erit demonſtratum. Quod autem dico manifeſtum eſt: Datis enim duobus triangulis ſimilibus, & in altero eorum dato puncto, quod ſit trianguli centrum grauitatis, punctum in altero triangulo modo ſimiliter poſitum ſit prædicto pun­cto, nititur demonſtrare eſse alterius trianguli centrum grauitatis: cum autem nondum conſtet centrum graui­tatis trianguli eſse in recta, quæ ab angulo latus oppoſi­tum bifariam ſecat, ſed ex nono theoremate ſit demonſtran dum medio decimo, non poteſt illud accipi in nono theo­remate, quod ad demonſtrationem eſset neceſsarium. per­mittitur igitur aduerſario ponere centrum grauitatis trian­guli, vbicumque vult intra illius limites. atqui cum datis duobus triangulis iſoſceliis ſimilibus, & in altero eorum dato puncto, quod non ſit in prædicta recta linea, poſsint in altero duo puncta prædicto ſimiliter poſita inueniri, quo­rum vnum duntaxat concedet aduerſarius eſse alterius trianguli centrum grauitatis, non autem non ſimiliter po­ſitum, ex quo abſurdum infertur partem anguli æqualem eſse toti: quid quod datis duobus triangulis æquilateris, & in altero eorum dato puncto, quod non ſit centrum trian-guli, ſed aliqua earum, quæ ab angulis ad bipartitorum laterum ſectiones cadunt, neceſse eſt in altero triangulo tria puncta prædicto puncto eſse ſimiliter poſita? quod ſi etiam extra iſtas lineas cadat vnius trianguli punctum, ne­ceſse eſt illi ſex puncta in altero triangulo eſse ſimiliter po­ſita: ſed ſi quod diximus de iſoſceliis ſimilibus, & æquila­teris triangulis demonſtrauerimus, rem velut ante oculos expoſuerimus.

PROPOSITIO.

Datis duobustriangulis iſoſcelijs ſimilibus, & in altero eorum dato puncto extra rectam, quæ à vertice ad medium baſis cadit, duo puncta in re­liquo triangulo prædicto puncto ſimiliter poſita inuenire.

Sint duo triangula iſoſcelia, & ſimilia ABC, DEF: quorum in altero ABC, à vertice A, ad baſim BC, bi­partitam in puncto G, cadat recta AG: atque extra hanc

in triangulo ABC, ſit quoduis punctum H: & iuncta AH, fiat angulus EDK æqualis angulo BAH; & vt BA, ad AH, ita fiat ED, ad DK: & quoniam angulus BAG, æqualis eſt angulo EDF: quorum angulus EDK, æqualis eſt angulo BAH, erit reliquus angulus KDF, æqualis reliquo angulo HAC; ſed angulus HAC, eſt maior angulo BAH; ergo & angulus KDF, maior erit angulo BAH; poſito igitur angulo FDL, æquali an­gulo BAH, ac proinde minori, quàm ſit angulus FDK, fiat vt BA, ad AH, ita FD, ad DL. Dico, in triangu­lo EDF, duo puncta K, L, ſimiliter poſita eſse ac pun­ctum H, in triangulo BAC. Iungantur enim rectæ AH, BH, CH, EK, KF, FL, LE. Quoniam igitur an­gulus EDK, eſt æqualis angulo BAH, qui lateribus homologis continentur; erit angulus DEK, æqualis an­gulo ABH: ſed totus angulus DEF, æqualis eſt toti an­gulo ABC; reliquus igitur angulus KEF, æqualis erit reliquo HBC: ſed ex æquali eſt vt CB, ad BH, ita FE, ad EK; igitur vt antea erit angulus KFE, æqualis angulo HCB, & angulus DFK, æqualis angulo ACH, & angulus FDK, æqualis angulo CAH; punctum igi­tur K, ſimiliter poſitum erit in triangulo EDF, ac pun­ctum H, in triangulo ABC. Rurſus quoniam angulus FDL, æqualis eſt angulo BAH, & latus AB, homo­logum lateri DF, (eſt enim vt BA, ad AC, ita FD, ad DE) ſed vt BA, ad AH, ita eſt FD, ad DL, per con­ſtructionem; ſimiliter vt ante, oſtenderemus, punctum L, in triangulo EDF, ſimiliter poſitum eſse puncto H; in­uenta igitur ſunt duo puncta in triangulo DEF, ſimili­ter poſita ac punctum H, in triangulo BAC. Quod pro­poſitum erat.

PROPOSITIO XX.

Omnis trapezij habentis duo latera parallela centrum grauitatis eſt in illa recta, quæ prædi­ctorum bipartitorum laterum ſectiones iungit. atque in eo puncto, in quo tertia pars eius media ſic diuiditur, vt ſegmentum propinquius mino­ri parallelarum ad reliquum eam proportionem habeat, quam maior parallelarum ad minorem. Talis autem rectæ lineæ ſic diuiſæ, ſegmentum minorem parallelarum attingens eſt ad reliquum, vt dupla maioris parallelarum vna cum minori, ad duplam minoris vna cum maiori.

Sit trapezium ABCD, cuius duæ AD, BC, ſint pa­rallelæ: ſitque AD, maior. Sectiſque AD, BC, bifa­riam in punctis F, E, iunctaque EF, & ſe­cta in tres partes æ­quales in punctis K, H, fiat vt AD, ad BC, ita HG, ad GK. Dico G, eſse centrum grauitatis trapezij A BCD: & vt eſt du­pla ipſius AD, vna cum BC, ad duplam ipſius BC, vna cum AD, ita eſse EG, ad

GF. Ducta enim per punctum H, ipſis AD, BC, pa-rallela NO, abſcindantur EL, FM, ipſi GK æquales, & iungantur ANE, EOD. Quoniam igitur NO ipſi AD, parallela ſecat omnes ipſis AD, EC, interceptas in eaſ­dem rationes, & eſt EH, pars tertia ipſius EF, erit & EN ipſius EA, & EO, ipſius ED, pars tertia. Eſt autem NO, parallela baſibus BE, EC, duorum triangulorum ABE, ECD; in ipſa igitur NO, erunt centra grauitatis duo­rum triangulorum ABE, ECD: ergo & compoſiti ex vtroque in linea NO, erit centrum grauitatis. Quoniam igitur K, centrum grauitatis trianguli AED, eſt in EF, & totius trapezij ABCD, centrum grauitatis in eadem linea EF; erit & reliquæ partis, duorum ſcilicet triangulorum ABE, ECD, ſimul in linea EF, centrum grauitatis: ſed & in linea NO; in puncto igitur H. Rurſus quoniam triangula AED, ABE, ECD, ſunt inter eaſdem parallelas, erit vt AD, ad BC, ita triangulum AED, ad duo triangu­la ABE, ECD, ſimul: ſed vt AD, ad BC, ita eſt HG, ad GK; vt igitur triangulum AED, ad duo triangula ABE, ECD, ſimul, ita erit HG, ad GK. ſed K, eſt centrum grauitatis trianguli AED: & H, duorum trian gulorum ABE, ECD, ſimul; totius igitur trapezij AB CD, centrum grauitatis erit G. Rurius quoniam EL, eſt æqualis GK, æqualium EH, HK; erit reliqua LH, æqualis reliquæ GH; tota igitur EG; erit bis GH, vna cum GK: eadem ratione quoniam FM, eſt æqualis GK, & MK, æqualis GH, erit FG, bis GK, vna cum GH: vt igitur HG, bis vna cum GK, ad GK, bis vna cum GH, ita erit EG, ad GF. Sed vt HG, bis vna cum GK, ad GK bis vna cum GH, ita eſt AD, bis vna cum BC, ad BC, bis vna cum AB, propterea quod eſt vt AD, ad BC, ita HG, ad GK; vt igitur eſt AD, bis vna cum BC, ad BC, bis vna cum AD, ita erit EG, ad GF. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO XXI.

Omnis polygoni æquilateri, & æquianguli idem eſt centrum grauitatis, & figuræ.

Sit polygonum æquilaterum, & æquiangulum ABC DEFG, cuius ſit primo laterum numerus impar, centrum autem ſit L. Dico punctum L, eſse centrum grauitatis polygoni ABCDEFG; ſectis enim duobus lateribus DE, FG, bifariam in punctis K, H, ducantur ab angulis oppoſitis rectæ AH, CK. & rectæ BMG, CNF, CM, MF, iungantur. Quoniam igitur ex decima tertia quar ti Elem. quemadmodum in pentagono, ita in omni præ­dicto polygono imparium multitudine laterum plane col­ligitur centrum po­lygoni eſse in qua­libet recta, quæ ab angulo ad medium lateris oppoſiti du­citur, quoniam ab omnibus angulis ſic ductæ ſecant ſe ſe in eadem proportio­ne æqualitatis, ita vt eadem ſit proportio ſegmentorum, quæ ad angulos, ad ea, quæ ad latera

illis angulis oppoſita; rectæ AH, CK, ſecabunt ſe ſe in puncto L. Rurfus quoniam ex eadem Euclidis angulus BAL, æqualis eſt angulo GAL, ſed AB, eſt æqualis AG, & AM, communis, erit baſis BM, æqualis baſi MG, & angulus ABM, angulo AGM, ſed totus ABC, toti AGF, eſt æqualis; reliquus igitur angulus CBG, reliquo BGF, æqualis erit: ſed circa hos æquales an­gulos recta BM, oſtenſa eſt æqualis rectæ MG, & CB, eſt æqualis GF; baſis igitur CM, baſi GF, & angulus CMB, angulo FMG, æqualis erit; ſed totus BMN, æqualis eſt toti GMN; quia vterque rectus; reliquus igitur CMN, reliquo NMF, æqualis erit, quos circa recta CM, eſt æqualis MF, & MN, communis; baſis igitur CN, baſi NF, & anguli, qui ad N, æquales erunt, atque ideo recti: ſed & qui ad M, ſunt recti, & BM, eſt æqualis GM; parallelæ igitur ſunt BG, CF, & trape­zij CBGF, centrum grauitatis eſt in linea MN: ſed & trianguli ABG, centrum grauitatis eſt in linea AM; to­tius igitur figuræ ABCFG, centrum grauitatis eſt in li­nea AN; hoc eſt in linea AH. Rurſus quoniam omnis quadrilateri quatuor anguli ſunt æquales quatuor rectis: & tres anguli ABM, BMN, MNC, ſunt æquales tri­bus angulis FGM, GMN, MNF, reliquus angulus BCF, reliquo CFG, æqualis erit: ſed totus angulus BCD, eſt æqualis toti angulo GFE; reliquus ergo DCF, reliquo CFE, æqualis erit: ſed linea CN, eſt æqualis NF, & anguli, qui ad N, ſunt recti; ſimiliter ergo vt antea, centrum grauitatis trapezij CDEF, erit in linea AH: ſed & totius figuræ ABCFG, eſt in li­nea AH; totius igitur polygoni ABCDEFG, in li­nea AH, eſt centrum grauitatis, quod idem ſimiliter in linea CK, eſse oftenderemus; in communi igitur ſectione puncto L, eſt centrum grauitatis polygoni ABCDEFG. Similiter quotcumque plurium laterum numero impa­rium eſset polygonum æquilaterum, & æquiangulum, ſemper deueniendo ab vno triangulo ad quotcumque eius trapezia; propoſitum concluderemus.

Sed eſto polygonum æquilaterum, & æquiangulum, ABCDEF, cuius laterum numerus ſit par, & centrum eſto G. Dico idem G, eſse centrum grauitatis polygoni ABCDEF. Iungantur enim angulorum oppoſitorum puncta rectis lineis AD, BE, CF. Ex quarto igitur Elem. ſecabunt ſeſe hæ rectæ omnes bifariam in vno pun­cto, quod talis figuræ centrum definiuimus: ſed G poni­tur centrum; in puncto igitur G. Quoniam igitur duo­rum triangulorum CBG, GFE, anguli ad verticem BGC, FGE, ſunt æquales; & vterlibet angulorum CBG, GCB, æqualis eſt vtrilibet ipſorum EFG, GEF; ex quarto Elem. & circa æquales angulos latera proportio­nalia horum triangu lorum ſunt æqualia; ſimilia, & æqualia erunt triangula BC G, GFE: poſitis igitur centris graui­tatis K, H, duorum triangulorum EFG, GBC, iunctifque KG, GH, erit v­terlibet angulorum BGH, HGC, æ­qualis vtrilibet an­

gulorum CGK, KGE, propter ſimilitudinem poſitio­nis centrorum K, H, in iſoſcelijs triangulis CBG, GFE: (nam GH, ſi produceretur latus BC, bifariam ſecaret: ſimiliter GK, latus EF) ſed CG, eſt in directum poſita ipſi GF; igitur & GH ipſi GK: & ſunt æquales, vtpote lateribus triangulorum BCG, GFE, æqualibus homologæ; cum igitur eorundem triangulorum centra grauitatis ſint K, H; centrum grauitatis duorum triangu­lorum CBG, GFE, ſimul, erit punctum G. Eadem ratione, tam duorum triangulorum ABG, DGE, quàm duorum AFG, CDG, ſimul, centrum grauitatis erit G; totius igitur polygoni ABCDEF; centrum grauitatis erit idem G. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO XXII.

Omnis figuræ circa diametrum in alteram par tem deficientis, in diametro eſt centrum graui­tatis.

Sit figura ABC, circa diametrum BD, in alteram par tem deficiens verſus B. Dico centrum grauitatis figuræ ABC, eſse in linea BD. ſit enim punctum E, generali­ter extra lineam BD. Et per puncta E, C, ducantur ipſi BD, parallelæ EF, CG, & vt eſt CD, ad DF, ita ponatur figura ABC, ad ali­quod ſpacium M: & figuræ ABC, inſcri­batur figura ex paral­lelogrammis æqua­lium altitudinum de­ficiens à figura ABC, minori defectu, quam ſit ſpacium M, quan­tumcumque illud ſit: minor igitur propor­

tio erit figuræ ABC, ad ſpacium M, hoc eſt minor pro­portio CD, ad DF, quàm figuræ ABC, ad ſui reliquum, dempta figura inſcripta. Quoniam autem diameter BD, bifariam ſecat omnia latera parallelogrammorum inſcri­ptorum baſi AC, parallela; erit in diametro BD, eorum omnium parallelogrammorum centra grauitatis, atque ideo totius figuræ inſcriptæ centrum grauitatis, quod ſit H: & HEK, ducatur. Quoniam igitur EF, parallela eſt vtrique DH, CK; erit vt CD, ad DF, ita KH, ad HE, ſed minor eſt proportio CD, ad DF, quàm figu­ræ ABC, ad reſi­duum, dempta figu­ra inſcripta; ergo & KH, ad HE, minor erit proportio, quàm figuræ ABC, ad præ­dictum reſiduum: ha­beat LKH, eandem proportionem ad EH, quàm figura ABC, ad prædictum reſi­duum. Quoniam igitur punctum K, cadit extra figuram
ABC; multo magis punctum L; non igitur punctum L, erit prædicti reſidui centrum grauitatis. Sed punctum H, eſt inſcriptæ figuræ centrum grauitatis: & vt figura inſcripta ad prædictum reſiduum, diuidendo, ita eſt LE, ad EH; non igitur E, eſt centrum grauitatis figuræ ABC: ſed ponitur E, generaliter punctum extra lineam BD; Nullum igitur punctum extra lineam BD, eſt centrum grauitatis figuræ ABC; in linea igitur BD, erit figu­ræ ABC, centrum grauitatis. Quod demonſtrandum erat.

COROLLARIVM.

Ex huius theorematis demonſtratione conſtat, omnis figuræ planæ, ſiue ſolidæ, cuius termini omnis cauitas ſit interior, atque ideo intra ter­minum centrum grauitatis; & cuius pars aliqua eſse poſsit, quæ à tota figura deficiens minori defectu quacumque magnitudine propoſita habe­at centrum grauitatis in aliqua certa linea recta intra terminum figuræ conſtituta, eſſe in ea recta linea totius figuræ centrum grauitatis. Ac proin­de, cum per vndecimam huius, omni ſolido circa axim in alteram partem deficienti, & baſim ha­benti circulum, vel ellypſim figura inſcribi poſſit ex cylindris, vel cylindri portionibus, à prædicto ſolido deficiens minori ſpacio quacumque ma­gnitudine propoſita: talis autem figuræ inſcriptæ, quemadmodum & circumſcriptæ centrum gra­uitatis ſit in axe, vt ex ſequentibus patebit, & nunc cogitanti facilè patere poteſt; manifeſtum eſt omnis ſolidi circa axim in alteram partem de­ficientis centrum grauitatis eſſe in axe.

PROPOSITIO XXIII.

Circuli, & Ellypſis idem eſt centrum grauita­tis, & figuræ.

Sit circulus, vel ellypſis ABCD, cuius centrum E. Dico centrum grauitatis figuræ ABCD, eſse punctum E. Ducantur enim duæ diametri ad rectos inter ſe angulos AC, BD; in ellypſi autem ſint diametri coniugatæ. Quoniam igitur omnes rectæ lineæ, quæ in ſemicirculo, vel dimidia ellypſi diametro ducantur parallelæ bifariam ſecantur à ſemidiametro, & quo à baſi remotiores, eo ſunt

minores; erit centrum grauitatis ſemicirculi, ſiue dimidiæ ellypſis ABC, in linea BE; ſicut & ſemicirculi, ſiue di­midiæ ellypſis ADC, centrum grauitatis in linea DE. eſt autem BED, vna recta linea: in diametro igitur BD, erit centrum grauitatis circuli, ſiue ellypſis ABCD. Eadem ratione oſtenderemus idem centrum grauitatis eſse in altera diametro AC: in communi igitur vtriuſque ſe­ctione puncto E. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXIV.

Si duarum pyramidum triangul as baſes haben­tium æqualium, & ſimilium inter ſe, tria latera tribus lateribus homologis fuerint in directum conſtituta, in vertice communi erit vtriuſque ſi­mul centrum grauitatis.

Sint duæ pyramides ſimiles, & æquales, quarum ver­tex communis G, baſes autem triangula ABC, DEF. Et ſint latera homologa pyramidum in directum inter ſe conſtituta: vt AG, GF: & BG, GD, & CG, GE. Dico compoſiti ex duabus pyramidibus ABCG, GDEF, ita conſtitut is centrum grauitatis eſse in puncto G. Eſto enim H, centrum gra uitatis pyramidis ABCG, & ducta HGK, ponatur GK, æqualis GH, & iun­gantur EK, KD, BH, CH. Quoniam igitur eſt vt HG, ad GK, ita CG, ad GE, & proportio eſt æqualitatis: & angulus HGC, æqualis angulo EG K, erit triangulum CGH,

ſimile, & æquale triangulo EGK. Similiter triangulum BGH, trian gulo DGK; & triangulum BGC, triangu­lo DGE: quare & triangulum BCH, triangulo DEK. pyramis igitur BCGH, ſimilis, & æqualis eſt pyramidi EDGK. Congruentibus igitur inter ſe duobus triangu­lis æqualibus, & ſimilibus BGC, DGE, & pyramis BCGH, pyramidi GDEK congruet, & puncto K, pun­ctum H: & eadem ratione pyramis ABCG, pyra­midi DEFG. congruente igitur pyramide ABCG, pyramidi DEFG, & pun­ctum K, congruet puncto H. ſed H, eſt centrum grauitatis pyramidis ABCG: igitur K, erit centrum gra uitatis pyramidis DEFG: ſed eſt GK, æqualis ip­ſi GH; vtriufque igitur pyramidis ABCG, DE­FG, ſimul centrum grauitatis erit K; Quod demonſtran­dum erat.

PROPOSITIO XXV.

Omnis parallelepipedi centrum grauitatis eſt in medio axis.

Sit parallelepipedum ABCDEFGH, cuius axis LM, isque ſectus bifariam in puncto K. Dico K eſse centrum grauitatis parallelepipedi ABCDEFGH. iungantur enim diametri AG, BH, CE, DF, quæ omnes neceſsario tranſibunt per punctum K, & in eo puncto bifariam diuidentur. Iunctis igitur BD, FH: quoniam triangulum EFK, ſimile eſt, & æquale trian­gulo CDK, propter latera circa æquales angulos ad verticem æqualia alterum alteri: eademque ratione, & triangulum EKH, triangulo BCK: & triangulum FKH, triangulo BDK; erit pyramis KEFH, ſimilis, & æqua­lis pyramidi KBCD: habent autem tria latera tribus lateribus homologis, ideſt æ­qualibus, in directum, prout inter ſe reſpondent, conſtituta; duarum igitur pyramidum KE FH, KBCD, ſimul centrum grauitatis erit K: non aliter duarum pyramidum KGFH, KBDA, ſimul centrum gra­uitatis erit K; totius igitur com poſiti ex quatuor pyramidibus; ideſt duabus oppoſitis ABC­DK, EFGHK, centrum grauitatis erit idem K. Eadem ratione tam duarum pyrami­

dum AEHDK, BCGFK, ſimul, quàm duarum AB­FEK, CDHGK, ſimul centrum grauitatis erit K. To­tius igitur parallelepipedi ABCDEFGK, centrum grauitatis erit K. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXVI.

Si parallelepipedum in duo parallelepipeda ſecetur, ſegmenta axis à centris grauitatis totius parallelepipedi, & partium terminata ex contra­rio parallelepipedi partibus reſpondent.

Si parallelepipedum AB, cuius axis CD, ſectum in duo parallelepipeda AE, EN, quare & axis CD, in axes CL, LD, parallelepipedorum AE, EN. Et ſint centra grauitatis; F, parallelepipedi EN, & G, paral­lelepipedi AE, & H, parallelepipedi AB, in medio cu­iuſque axis ex antecedenti. Dico eſse FH, ad HG, vt parallelepipedum AE, ad EN, parallelepipedum. Iungantur enim diametri baſium oppoſitarum, quæ per puncta axium D, L, G, tranſibunt, ADM, KLE, NCB; iamque parallelogramma erunt AB, AE, EN, DB, DE, EC, propter eas, quæ parallelas iungunt, & æquales: quorum bi­na latera oppoſita ſecta erunt bi­fariam in punctis C, L, D, per definitionem axis: punctum igitur F, in medio rectæ CL, oppoſi­torum laterum bipartitorum ſectio­nes coniungentis, erit parallelo­grammi EN, centrum grauitatis. Eadem ratione & parallelogram­

mi AE, centrum grauitatis erit G, & H, parallelogram mi AB. Vt igitur parallelogrammum AE, ad paralle­logrammum EN, hoc eſt, vt baſis ME, ad baſim EB; hoc eſt, vt parallelogrammum MO, ad parallelogram­mum OB: hoc eſt, vt parallelepipedum AE, ad paral­lelepipedum EN: ita erit FH, ad HG. Quod de­monſtrandum erat.

PROPOSIT'IO XXVII.

Solida grauia æquiponderant à longitudini­bus ex contraria parte reſpondentibus.

Sint ſolida grauia A, & B, quorum centra grauitatis ſint A, B, ſecundum quæ ſuſpenſa intelligantur A, in puncto C, & B, in puncto D, cuiuslibet rectæ GH, quæ ſit ita diuiſa in puncto E, vt ſit DE, ad EC, vt eſt A, ad B. Dico ſolida A, E, æquiponderare à longitudini­bus DE, EC; hoc eſt vtriuſque ſimul centrum grauita­tis eſse E. Nam ſi A, B, ſint æqualia, manifeſtum eſt propoſitum: ſi au­tem inæqualia, eſto maius A: maior igi tur erit DE, quam EC. abſcindatur DF, æqualis EC: erit igitur DE, æ­qualis GF: & CD, vtrin que producta, ponatur DH, æ­qualis DF: & CG, ipſi CF. & circa axim, & altitudinem GH, eſto paralle­lepipedum KL, æ­quale duobus ſo­

lidis A, B, ſimul & parallelepipedum KL, ſecetur plano per punctum F, oppoſitis planis parallelo, in duo paral­lelepipeda KN, ML. Quoniam igitur eſt vt GF, ad FH, ita parallelepipedum KN, ad parallelepipedum ML, ſed vt GF, ad FH, ita eſt CF, ad FD, hoc eſt DE, ad EC, hoc eſt ſolidum A, ad ſolidum B; erit vt parallelepipe­dum KN, ad parallelepipedum ML, ita ſolidum A, ad ſoli­dum B. componendo igitur, & permutando, vt parallelepi­pedum KL, ad duo ſolida A, B, ſimul, ita parallelepi­pedum ML, ad ſolidum B: & reliquum ad reliquum: ſed parallelepipedum KL, æquale eſt duobus ſolidis A, B, ſi­mul: parallelepipedum igitur KN, ſolido A, & paralle­lepipedum ML, ſolido B, æquale erit. Rurſus, quo­niam eſt vt GF, ad ad FH, ita CF, ad FD; hoc eſt DE, ad EC: ſed vt GF, ad FH, ita eſt pa­rallelepipedum KN, ad parallelepipedum ML; erit vt DE, ad EC, ita paralle lepipedum KN, ad parallelepipedum ML; ſed C eſt pa­rallelepipedi KN, & D, parallelepipe di ML, centrum grauitatis; totius igi
tur parallelepipedi KL, centrum grauitatis erit E. Igi­tur ſolido A, poſito ad punctum G, ſecundum centrum grauitatis A, & ſolidum B, ad punctum D, ſecundum centrum grauitatis B, quorum A, eſt æquale parallele­pipedo KN, & B, parallelepipedo ML; ab ijſdem lon­gitudinibus DE, EC, æquiponderabunt; eritque com­poſiti ex vtroque ſolido A, B, centrum grauitatis E. Quod demonſtrandum erat.

Quod ſi quis à me quærat, cur non hic vtar quinta illa generali primi Archimedis de planis æquiponderantibus, ſed illud idem propoſitum vna demonſtratione in planis, altera præſenti in ſolidis demonſtrauerim. Reſpondeo: quia Propoſitio quarta primi Archimedis, ex qua quinta neceſſario pendet, habet, ſi quis attendat, aliquas difficul­tates phyſicas, quæ mathematicis rationibus non facile diſſoluantur: quæ cauſa igitur illum adduxit ad ſimile quid demonſtrandum demonſtratione ad illas duas parabolas ap. plicata in ſecundo ſuo libro planorum æquiponderantium, quaſi qui quartæ, ac quintæ illi generali non ſatis acquie­ſceret; eadem me compulit ad hoc propoſitum duabus de­monſtrationibus generalibus, altera de planis, altera de ſo­lidis grauibus ſecurius demonſtrandum.

PROPOSITIO XXVIII.

Quarumlibet trium magnitudinum eiuſdem generis centra grauitatis cum centro magnitudi­nis ex ijs compoſitæ ſunt in eodem plano.

Sint quælibet tres ma­gnitudines eiuſdem gene ris A, B, C: quarum cen­tra grauitatis A, B, C. Ex ijs autem compoſitæ ſit centrum grauitatis E. Di co quatuor puncta A, B, C, E, eſſe in eodem pla­no. Iungantur enim re­ctæ AB, BC, CA: & vt eſt A, ad C, ita ſit CD, ad DA, & BD, iungatur: punctum igitur D, erit cen­

trum grauitatis duarum magnitudinum A, C, ſimul. Rurſus quoniam recta BD, coniungit duo centra gra­uitatis duarum magnitu­dinum B ſcilicet, & AC, erit compoſitæ ACB, in recta BD, centrum graui tatis: eſt autem illud E. Quoniam igitur in quo plano eſt recta BD, in eodem ſunt duo puncta B, E, in quo autem pla­no eſt recta BD, in eo­dem eſt recta AC, & puncta A, C; in quo igi­tur plano ſunt puncta A, C, in eodem erunt pun­cta B, E; quatuor igitur puncta A, B, C, E, erunt in eodem plano; Quod demonſtr andum erat.

PROPOSITIO XXIX.

Si à cuiuslibet trianguli centro, & tribus an­gulis quatuor rectæ inter ſe parallelæ plano trian guli inſiſtant: tres autem magnitudines æquales habeant centra grauitatis in ijs tribus, quæ ad angulos; trium magnitudinum ſimul centrum grauitatis erit in ea, quæ ad trianguli centrum terminatur.

Sit triangulum ABC, cuius centrum N, à tribus au­tem angulis A, B, C, & centro N, inſiſtant plano trian-guli ABC, quatuor rectæ inter ſe parallelæ AD, BE, CF, NM, tres autem magnitudines æquales habeant cen tra grauitatis G, H, K, in tribus AD, BE, CF. Di­co trium magnitudinum ſimul, quarum centra grauitatis G, H, K, eſſe in linea NM. Iungantur enim rectæ GH, HK, GK, BNP; & per punctum P, recta PL, ipſi MN, parallela, & iungatur LH. Quoniam igitur rectæ BP, LH, iungunt duas parallelas LP, BH; erunt quatuor rectæ BH, LP, BP, LH, in eodem plano. Et quoniam planum quadran guli PH, ſecat planum trianguli ABC, à communi autem ſectione BP, ſurgunt duæ parallelæ PL, MN; quarum PL, eſt in pla­no quadranguli PH, erit etiam MN, in eo­dem plano quadranguli PH: & ſecabit LH. ſe­cet in puncto O: qùare vt LO, ad OH, ita erit PN, ad NB, propter parallelas: ſed PN, eſt dimidia ipſius NB; er­go & LO, eſt dimidia ip ſius OH. Eadem ratio­ne, quoniam AP, æqua­

lis eſt PC, erit & GL, æqualis LK. Duarum igitur magnitudinum G, K, ſimul centrum grauitatis erit L: ſed reliquæ magnitudinis, quæ ad H, eſt centrum grauitatis H; & vt compoſitum ex duabus magnitudinibus G, K, ad magnitudinem H, ita ex contraria parte eſt HO, ad OL; Trium igitur magnitudinum G, H, K, ſimul cen­trum grauitatis erit O, & in linea MN. Quod demon­ſtrandum erat.

PROPOSITIO XXX.

Omnis octaedri idem eſt centrum grauitatis, & figuræ.

Eſto octaedrum ABCDEF, cuius centrum G. Di­co G, eſse centrum grauitatis octaedri ABCDEF. Ductis enim axibus AC, BD, EF, communis eorum ſectio erit centrum G, in quo axes bifariam ſecabuntur: omnium autem angulorum, qui ad G, bini qui que ad verticem ſunt æquales, qui æqualibus altera alteri rectis continentur; ſimilia igi­tur, & æqualia erunt trian gula, nimirum EBG, GDF, & ECG, ipſi GFA, & BCG, ipſi GDA: igitur & BCE, ipſi ADF; pyramis igi­tur EBCG, ſimilis, & æqualis eſt pyramidi A DFG, quarum latera ho mologa ſunt indirectum inter ſe conſtituta; dua­rum igitur pyramidum

EBCG, ADFG, ſimul centrum grauitatis erit G. Eadem ratione ſex reliquarum pyramidum binis quibuſ­que oppoſitis ſimul ſumptis centrum grauitatis erit G. Totius igitur octaedri ABCDEF, centrum grauitatis erit G. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXXI.

Omnis pyramidis triangulam baſim habentis idem eſt centrum grauitatis, & figuræ.

Sit pyramis ABCD, cuius baſis triangulum ABC, centrum autem E. Dico E, eſſe centrum grauitatis pyra­midis ABCD. Secta enim ABCD, pyramide in quatuor pyramides, ſimiles, & æquales inter ſe, & toti pyramidi ABCD, & vnum octaedrum, ſint eæ pyramides DKLM, MGCH, LBGF, AKFH. Octaedrum autem FGHKLM, quod dimidium erit pyramidis ABCD, & ſint axes pyramidum DSN, DS, KO, LP, MQ: & ARG, iunga tur. Quoniam igitur FH, eſt parallela ipſi BC, & ſecta eſt BC, bifariam in puncto G, tranſibit recta AG, per centra triangulorum O, & N, ad quæ axes KO,

DN, terminantur; manifeſtum hoc eſt ex ſuperioribus: eritque dupla AO, ipſius OR, nec non AN, dupla ipſius NG, componendo igitur erit vt AG, ad GN, ita AR, ad RO, & permutando, vt AG, ad AR, ita GN, ad RO: ſed AG, eſt dupla ipſius AR, quoniam & AB, ip­ſius AF; igitur & GN, erit dupla ipſius RO: ſed & GN, eſt dupla ipſius NR, nam N, eſt centrum trianguli GFH; æqualis eſt igitur NR, ipſi RO, atque hinc dupla NO, ipſius OR; ſed & AO erat dupla ipſius OR; æqualis igitur AO erit ipſi ON. quare vt AK, ad KD, ita erit AO, ad ON: igitur in triangulo ADN, erit KO, ipſi DN, parallela. Eadem ratione ſi iungerentur rectæ BH, CF oſtenderemus & duos reliquos axes LP, MQ, eſ­ſe axi DN parallelos: quatuor autem prædicti axes in­ſiſtunt plano trianguli KLM, ita vt DN tranſeat per centrum S: reliqui autem KO, LP, MQ, terminentur ad angulorum vertices K, L, M, trianguli KLM; igi­tur ſi tres æquales magnitudines habeant centra grauita­tis in axibus KO, LP, Mque compoſiti ex ijs tribus magnitudinibus in axe DN erit centrum grauitatis. Rurſus quoniam E ponitur cem trum pyramidis ABCD, erit idem E centrum octaedri FGHKLM, idque in axe DN: eſt autem idem centrum grauitatis octaedri, & figu ræ: centrum igitur E octaedri FCHKLM erit in axe DN. Quod
ſi quatuor reliquæ pyramides dempto prædicto octaedro ſimiliter diuidantur, ac pyramis ABCD diuiſa fuit, erunt rurſus in ſingulis quatuor prædictarum pyramidum ſin­gula octaedra centrum grauitatis habentia vnumquodque in axe ſuæ pyramidis: quæ pyramides cum ſint inter ſe æquales, earum dimidia octaedr a ipſis inſcripta inter ſe erunt æqualia: ſunt autem eorum centra grauitatis in axi­bus abſciſsarum pyramidum, DS, KO, LP, MQ axis autem DS: eſt in axe DN; per ea igitur, quæ de-monſtrauimus trium octaedrorum, quæ ſunt in pyrami­dibus AFHK, FBGL, GHOM ſimul, centrum gra­uitatis erit in axe DK: ſed & octaedri in pyramide DK­LM, & octaedri FGHKLM centra grauitatis ſunt in axe DN; omnium igitur quinque octaedrorum, quæ ſunt in tota pyramide ABCD ſimul centrum grauitatis eſt in axe DN. Quod ſi rurſus in ſingulis quatuor præ­dictarum pyramidum modo dicta ratione quina octaedra deſcripta intelligantur, ſimiliter oſtenſum erit quina octa­edra in ſingulis quatuor abſciſſarum pyramidum, velut quatuor magnitudines, centra grauitatis habere in axibus quatuor prædictarum pyramidum: ſunt autem hæc qua­tuor compoſita ex quinis octaedris inter ſe æqualia, pro­pter æqualitatem octaedrorum multitudine æqualium, quæ æqualibus ſunt pyramidibus ipſorum duplis ord ine diuiſionis inter ſe reſpondentibus inſcripta; igitur vt ante, quater quinorum octaedrorum ſimul in axe DN erit centrum grauitatis: ſed & octaedri FGHKLM centrum grauitatis eſt in axe DN; vnius igitur & viginti octae­drorum in pyramide ABCD exiſtentium ex hac ſecun­da diuiſione, tanquàm vnius magnitudinis in axe DN erit centrum grauitatis. Ab hoc igitur numero vnius & vi­ginti octaedrorum in pyramide ABCD exiſtentium, ſi­mili diuiſione illius reliquarum quatuor pyramidum primo abſciſſarum procedentes, & eundem ſemper gyrum, quem fecimus à quinario repetentes, poterunt eſse in tota AB­CD pyramide tot, quemadmodum diximus, deſcripta, octaedra, vt eorum numerus ſuperet quemcumque propo­ſitum numerum, & omnium tanquàm vnius magnitudinis in axe DN, ſit centrum grauitatis. Sic autem facienti, & reliquarum pyramidum demptis præcedentibus octaedris, dimidia octaedra ſemper auferenti, tandem relinquen­tur pyramides minores ſimul ſumptæ quantacumque magnitudine propoſita. Totius igitur pyramidis ABCD in axe DN, erit centrum grauitatis. Eadem ratione in quolibet reliquorum trium axium, pyramidis ABCD, ip­ſius centrum grauitatis eſse oſtenderemus; communis igi­tur ſectio quatuor axium pyramidis ABCD, quod eſt ipſius centrum E, erit centrum grauitatis pyramidis AB CD. Quod demonſtrandum erat.

COROLLARIVM.

Hinc manifeſtum eſt centrum grauitatis pyra­midis triangulam baſim habentis eſſe in eopun­cto, in quo axis ſic diuiditur, vt pars quæ ad ver­icem ſit reliquæ tripla.

PROPOSITIO XXXII.

Ominis pyramidis baſim pluſquam trilate­ram habentis centrum grauitatis axim ita diui­dit, vt pars, quæ eſt ad verticem ſit tripla re­liquæ.

Sit pyramis ABCDE, cui vertex E, baſis autem quadrilatera ABCD, & eſto axis EF, ſegmentum EM, reliqui MF, triplum. Dico punctum M, eſſe centrum grauitatis pyramidis ABCDE. Ducta enim AC, ſit trianguli ABC, centrum grauitatis H, ſicut & K, trian­guli ACD: & iungantur KH, HE, EK: Factaque vt EM, ad MF, ita EL ad LH, & EN ad NK, iun­gatur LN. Quoniam igitur EF eſt axis pyramidis ABCDE, erit baſis ABCD centrum grauitatis F. Rurſus quia puncta K, H, ſunt centra grauitatis triangu­lorum ABC, CDA, erunt EH, EK, axes pyramidum ABCE, ACDA: quorum EL, eſt tripla ipſius LH, nec non EN, tripla ipſius EK; pyramidis igitur ABCE, centrum grauitatis erit L, ſicut & K, pyramidis ACDE. Rurſus, quoniam totius quadrilateri ABCD, eſt cen­trum grauitatis F, cuius magnitudinis partium triangu­lorum ABC, CDA, centra grauitatis ſunt K, H; recta KH, à puncto F, ſic diuiditur, vt ſit HF, ad FK, vt triangulum ACD, ad triangulum ABC, hoc eſt, vt py­ramis ACDE, ad py ramidem ABCE. ſed vt HF, ad FK, ita eſt LM, ad MN; vt igitur eſt pyramis AC DE, ad pyramidem ABCE, ita erit LM, ad MN. Sed N, eſt centrum grauitatis py­

ramidis ACDE, & L pyramidis ABCE; punctum igitur M, erit centrum grauitatis pyramidis ABCDE. Quod ſi pyramis habeat baſim quinquelateram; poſito rurſus axe totius pyramidis, & baſi ſecta in triangulum, & quadrilaterum, poſitis vtriuſque proprijs centris graui­tatis, eadem demonſtratione propoſitum concludetur. Quemadmodum ſi baſis ſit ſex laterum, ſecta ea in quinque laterum, & triangulum, & reliquis vt antea poſitis: & ſic ſem per deinceps. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO XXXIII.

Omnis priſmatis triangulam baſim habentis centrum grauitatis eſt in medio axis.

Sit priſma ABCDEF, cuius baſes oppoſitæ trian­gula ABC, DEF, axis autem GH, ſectus ſit bifariam in puncto K. Dico punctum K, eſse priſinatis ABCD EF, centrum grauitatis. Ducantur enim rectæ FGO, CHP, PO. Quoniam igitur GH, eſt axis priſmatis ABCDEF, erit punctum G, centrum grauitatis trian­guli DEF: ſicut & H, trian­guli ABC; vtraque igitur dupla eſt AG, ipſius GO, & CH, ipſius PH, ſectæ­que erunt AB, DE, bifa­riam in punctis P, O: pa­rallela igitur, & æqualis eſt OP, ipſi DA, iamque ipſi FC. quæ igitur illas con­iungunt CP, FO, æqua­les ſunt, & parallelæ, & pa­rallelogrammum FP. Nunc ſecta OP, bifariam in puncto N, iungantur GN, NF, AF, FH, FB, & fa­cta FL, tripla ipſius LH,

à puncto L, per punctum K, ducatur recta LKMR. Quoniam igitur eſt vt FG, ad GO, ita CH, ad HP, & parallelogrammum eſt FCPO; parallelogramma etiam erunt CG, GP, angulus igitur FGH, æqualis erit angulo NGO, quos circa æquales angulos latera FG, GH, homologa ſunt lateribus GO, ON. nam dupla eſt FG, ipſius GO, & GH, ipſius ON; angulus igitur OGN, æqualis erit angulo GFH; parallela igi­tur GN, ipſi FH, & propterſimilitudinem triangulorum dupla erit FH, ipſius GN. Rurſus, quoniam recta OP, ſecat latera oppoſita parallelogrammi BD, bifa­riam in punctis O, P, ſecta, & ipſa bifariam in puncto N, erit punctum N, parallelogrammi BD, centrum graui­tatis, atque ideo axis FN, pyramidis ABDEF. qua ratione erit quoque axis FH, pyramidis ABCF: ſed FL, eſt tripla ipſius LH; pyramidis igitur ABCF, cen­trum grauitatis erit L. Rurſus quia eſt vt GK, ad KH, ita GR, ad LH, propter ſimilitudinem triangulorum, erit æqualis GR, ipſi LH: ſed eſt FH, quadrupla ip-, ſius LH, quadrupla igitur FH, ipſius GR: ſed FH erat dupla ipſius GN; quadrupla igitur FH, reliquæ NR, ac proinde GR, RN, æquales erunt: recta igitur FL, tripla erit vtriuſque ipſarum GR, RN, ſed vt FL, ad NR, ita eſt FM, ad MN, propter ſimilitudinem trian gulorum; recta igitur FM, erit ipſius MN, tripla, ſicut & LM, ipſius MR: ſed quia KH, eſt æqualis GK, erit & LK, æqualis RK; propter ſimilitudinem trian­gulorum; cum igitur LK, ſit tripla ipſius MR, erit LK, ipſius KM, dupla; vt igitur eſt pyramis ABEDF, ad pyramidem ABCF, ita erit LK, ad KM; eſt autem M, centrum grauitatis pyramidis ABED, ſicut & L, pyrami­dis ABCF; totius igitur priſmatis ABCDEF, centrum grauitatis erit K. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXXIV.

Omnis priſmatis baſim pluſquam trilateram habentis centrum grauitatis eſt in medio axis.

Sit priſma ABCDEFGH, baſim habens quadrila­teram ABCD: axis autem KL, bifariam ſectus in pun­cto M. Dico punctum M, eſse centrum grauitatis priſ­matis ABCDEFGH. Iungantur enim rectæ BD, FH, vt parallelogrammum ſit BH, ſectumque totum priſma in duo priſmata, quorum ba­ſes ſunt triangula, in quæ ſecta ſunt quadrilatera AC, EG, ſint autem axes duorum priſ­matum triangulas baſes ha­bentium NO, Pque Erunt igitur centra grauitatis O, tri­anguli ABD, & L, quadri­lateri AC, & Q, trianguli BCD, itemque N, trianguli EFH, & K, quadrilateri EG, & P, trianguli FGH: iun­ctæ igitur OQ, NP, per pun

cta L, K, tranſibunt: cumque tres prædicti axes ſint lateribus priſmatis, atque ideo inter ſe quoque paralleli; parallelogramma erunt OP, NL, LP. ducta igitur per punctum M, ipſi OQ, vel NP, parallela RS, erit vt NK, ad KP, ita RM, ad MS: & vt KM, ad ML, ita NR, ad RO, & PS, ad SQ: ſed KM, eſt æqualis ML; igitur & KR, ipſi RO, & PS, ipſi SQ, æqualis erit: ſunt autem hæ ſegmenta axium NO, Pque punctum igitur R, eſt centrum grauitatis priſmatis ABDEFH: & per punctum S, priſmatis BCDFGH. Quoniam igitur quadrilateri EG, eſt centrum grauitatis K, cuius duorum triangulorum centra grauitatis ſunt P, N; erit vt triangu­lum FGH, ad triangulum EFH, hoc eſt vt priſma BC­DFGH, ad priſma ABDEFH, ita NK, ad KP, hoc eſt RM, ad MS; cum igitur ſit R, centrum grauitatis priſmatis ABDEFH: ſicut & S, priſmatis BCDFGH; totius priſmatis ABCDEFGH, centrum grauitatis erit M. Quod ſi priſma baſim habeat quinquelateram; ab­ſciſso rurſus priſmate vno triangulam baſim habente, ſumptiſque axibus priſinatum, quorum alterum habebit baſim quadrilateram, eadem demonſtratione propoſitum concluderemus, & ſic deinceps in aliis. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO XXXV.

Omnis fruſti pyramidis triangulam baſim ha bentis centrum grauitatis eſt in axe, primum ita diuiſo, vt ſegmentum attingens minorem baſim ſit ad reliquum, vt duplum vnius laterum maioris baſis vna cum latere homologo mino­ris, ad duplum prædicti lateris minoris baſis, vna cum latere homologo maioris. Deinde à puncto ſectionis abſciſsa quarta parte ſeg­menti, quod maiorem baſim attingit, & à pun­cto, in quo ad minorem baſim axis termina­tur ſumpta item quarta parte totius axis; in eo puncto, in quo ſegmentum axis duabus po­ſterioribus ſectionibus finitum ſic diuiditur, vt ſegmentum eius maiori baſi propinquius ſit ad to­tum prædictum interiectum ſegmentum, vt tertia proportionalis minor ad duo latera homologa ba­ſium oppoſitarum, ad compoſitam ex his tribus deinceps proportionalibus.

Sit pyramidis fruſtum, cuius baſes oppoſitæ, & parallelæ, maior triangulum ABC, minor autem triangulum DEF, axis autem GH. triangulorum autem ABC, DEF, quæ inter ſe ſimilia eſse neceſse eſt, ſint duo latera homologa BC, EF: & vt eſt BC, ad EF, ita ſit EF, ad X: vt autem eſt duplum lateris BC, vna cum latere EF, ad duplum lateris EF, vna cum la tere BC, ita ſit HN, ad NG, & NO, pars quar ta ipſius NG, & HS, pars quar­ta ipſius GH; ip ſius autem SO, ſit VO, ad OS, vt eſt X, ad com­poſitam ex tri­bus BC, EF, X. Dico punctum V (quod cadet ne­ceſsario infra

punctum N, quanquam hoc ad demonſtrationem nihil re­fert) eſse centrum grauitatis fruſti ABCDEF. Ducta enim recta AGL; quoniam GH, eſt axis fruſti ABCD EF, & punctum G, centrum grauitatis trianguli ABC, erit punctum L, in medio baſis BC: ſecto igitur etiam la­tere EF, bifariam in puncto K, iungantur LK, KH: & vt vt eſt HN, ad NG, ita fiat KM, ad ML, & GM, iun­gatur: & vt eſt GO, ad ON, ita fiat GP, ad PM, & iun gantur MN, OP, FG, GD, GE. Quoniam igitur re cta KL, ſecat trapezij BCFE, latera parallela bifariam in punctis K,L, & eſt vt HN, ad NG, hoc eſt vt duplum lateris BC, vna cum latere EF, ad duplum lateris EF, vna cum latere BC, ita KM, ad ML; erit punctum M, cen­trum grauitatis trapezij BCFE, & pyramidis GBCFE, axis GM. Et quoniam vt GO, ad ON, ita eſt GP, ad PM, atque ideo GP, tripla ipſius PM, erit punctum P, centrum grauitatis pyramidis GBCFE, atque ideo in linea OP. Rurſus quoniam angulus ACB; æqualis eſt angulo DFK: & vt AC, ad CK, ita eſt DF, ad FK: eſt autem DF, parallela ipſi AC, & FK, ipſi CL; erit reliqua DK, reliquæ AL, parallela; vnum igitur planum eſt, ADKL, in quo iacet triangulum GMN; cum igitur ſit parallela KH, ipſi GL, vtque HN, ad NG, ita KM, ad ML; erit MN, ipſi LG, parallela: ſed OP, eſt parallela ipſi MN; ſecant enim latera trianguli GMN, in eaſdem rationes; igitur OP, erit LG, parallela. Simi­liter ex puncto O, ad axes duarum pyramidum GABED, GACFD, duæ aliæ rectæ lineæ ducerentur, quas & cen­tra grauitatis pyramidum habere, & parallelas rectis GQ, GR, alteram alteri eſse oſtenderemus, ſicut oſtendimus OP, habentem centrum grauitatis pyramidis GBCFE, ipſi GL, parallelam; ſed tres rectæ GL, GQ, GR, ſunt in eodem plano trianguli nimirum ABC; tres igitur præ­dictæ parallelæ, quæ ex puncto O, atque ideo trium præ­dictarum pyramidum centra grauitatis erunt in eodem pla­no, per punctum O, & trianguli ABC, parallelo. Quo­niam igitur fruſti ABCDE, centrum grauitatis eſt in axe GH; (manifeſtum hoc autem ex duobus centris grauitatis pyramidis, cuius eſt prædictum fruſtum, & ablatæ, quæ centra grauitatis ſunt in axe, cuius ſegmentum eſt axis GH) erit eiuſdem fruſti ABCDEF, centrum grauitatis O. Rurſus quoniam vt tres deinceps proportionales BC, EF, X, ſimul ad BC, ita eſt fruſtum ABCDEF, ad py­ramidem; ſi deſcribatur ABCH: ſed vt triangulum ABC, ad ſimile triangulum EDF, hoc eſt vt BC, ad X, ita eſt pyramis ABCH, ad pyramidem GDEF; erit ex æqua­li, vt tres lineæ BC, EF, X, ſi­mul ad X, ita fru ſtum ABCDEF, ad pyramidem GDEF: & con­uertendo, vt X, ad compoſitam ex BC, EF, X, hoc eſt vt VO, ad OS, ita pyra mis GDEF, ad fruſtum ABC­DEF; & diui­dendo, vt pyra­
mis GDEF, ad reliquas tres pyramides fruſti, ita OV, ad VS; ſed S, eſt centrum grauitatis pyramidis GDEF, & O, trium reliquarum; fruſti igitur ABCDEF, cen­trum grauitatis erit V. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXXVI.

Omnis fruſti pyramidis baſim pluſquam trila­teram habentis centrum grauitatis eſt punctum illud, in quo axis ſic diuiditur, vt axis fruſti pyra­midis triangulam baſim habentis diuiditur ab ipſius centro grauitatis.

Sit pyramidis quadrilateram baſim habentis fruſtum ABCDEFGH, cuius axis KL, atque in ipſo centrum grauitatis O. Dico axim KL, ſectum eſse in puncto O, vt propoſuimus. Ductis enim AC, EG, quæ ſimilium ſectionum angulos æquales ſubtendant B, F, qui late­ribus homologis continentur, fruſta erunt pyramidum triangulas baſes habentium AFG, AGH: ſit autem fru­ſti AFG, axis TP, & in eo eiuſ dem fruſti cen­trum grauitatis M, & fruſti AG H, axis VQ, & in eo centrum grauitatis N, & iungantur TV, MN, Pque Quo niam igitur eſt pyramidis fru­ſtum, quod pro­ponitur; omnia

cius producta latera concurrent in vno puncto, qui eſt pyra­midis vertex: fruſta igitur, in quæ diuiſum eſt fruſtum pro­poſitum earum ſunt pyramidum, quæ verticem habent communem cum pyramide, cuius eſt fruſtum propoſitum: tres igitur talium fruſtorum axes, vt pote ſegmenta axium trium prædictarum pyramidum in communi illo vertice concurrent: quilibet igitur duo trium prædictorum axium KL, TP, VQ, erunt in eodem plano: TP, igitur, & VQ, ſunt in eodem plano. Eadem autem ratione, qua vtebamur de priſmate K, centrum grauitatis K, baſis EH, eſt in linea TV, & L, baſis BD, centrum grauita­tis eſt in linea Pque reliquæ igitur KL, MN, erunt in eo­dem plano trapezij PTVQ, ſeque mutuo ſecabunt: cum igitur M, N, ſint centra grauitatis propoſiti priſmatis par tium priſmatum AFG, AGH, atque obid O, totius priſ­matis AFGH, in linea MN, centrum grauitatis; per pun ctum O, recta MN, tranſibit. Et quoniam planum tra­pezij PV, ſecatur duobus planis parallelis, erunt TV, PQ, fectiones parallelæ. His demonſtratis, fiat rurſus vt AB, bis vna cum EF, ad EF, bis vna cum AB, ita TY, ad YP: & ſumatur Tw, pars quarta ipſius TP, & YZ, pars quarta ipſius PY, & ad axim KL, ducantur ipſis TV, PQ, parallelæ wS, YR, ZX, quæ rectas TP, KL, ſecabunt in eaſdem rationes: vt igitur TY, ad *uP, hoc eſt vt AB, bis vna cum EF, ad EF bis vna cum AB, ita erit KR, ad RL, eritque KS, pars quarta ipſius K L, qualis & R
X, ipſius RL. Et quoniam M, eſt centrum grauitatis fru­ſti AFG; manifeſtum eſt ex tribus prædictis axis TP, ſe­ctionibus *u, w, Z, eſse MZ, ad Zw, hoc eſt OX, ad XS, vt eſt 6 ad compoſitam ex tribus deinceps proportionalibus AB, EF, 6; Fruſti igitur ABCDEFGH, centrum grauitatis O, axim KL, ita diuidit, vt propoſuimus. Quod ſi fruſtum propoſitum ſit pyramidis baſim habentis quin­quelateram, & quotcumque plurium deinceps fuerit la­terum, eadem demonſtratione ſemper deinceps, vt in priſ­mate monuimus, propoſitum concluderemus.

PROPOSITIO XXXVII.

Dodecaedri, & icoſaedri idem eſt centrum grauitatis, & figuræ.

Nam huiuſmodi figuras habere axes, qui omnes ſe ſe bifariam ſecant; (tale autem ſectionis punctum centrum eſt) conſtat ex talium corporum in ſphæra inſcriptione in de­cimotertio Euclidis Elemento: nec non omnem pyrami­dem, cuius vertex eſt dodecaedri, vel octaedri centrum idem cum centro ſphæræ, vt conſtat ex ijſdem Euclidis in­ſcriptionibus; baſis autem triangulum æquilaterum, vel pentagonum, vna ex baſibus corporum prædictorum, ha­bere pyramidem oppoſitam ſimilem ipſi, & æqualem, cuius latera eius lateribus homologis ſunt in directum poſita, baſis autem triangulum, vel pentagonum, quale diximus; Eadem igitur ratione, qua vſi ſumus ad demonſtrandum centrum grauitatis, & parallelepipedi, & octaedri, propo­ſitum concluderemus.

PROPOSITIO XXXVIII.

Data qualibet figura, cuius termini omnis cauitas ſit interior, ſi certum in ea punctum talis cius partis centrum grauitatis eſse poſsit, quæ ab ca deficiat minori ſpacio quantacumque magnitu dine propoſita; illud erit totius figuræ centrum grauitatis.

Eſto figura AB, cuius termini omnis cauitas ſit interior & certum in ea punctum E, talis partis AB, figuræ qua­lem diximus centrum grauitatis eſse poſsit. Dico pun­ctum E, eſse figuræ AB, centrum grauitatis. Si enim E, non eſt, erit aliud, eſto F: & iuncta EF producatur, & ſumatur in illa extra figuræ AB, terminum, quodlibet punctum G; & vt eſt FE, ad EG, ita ſit alia magnitudo K, ad figuram AB, & ex vi hypotheſis ſit pars quædam CD, figuræ AB, cuius centrum grauitatis E, talis vt abla­ta relinquat AC, minus magnitudine K. Mi­nor igitur proportio erit AC, ad AB, quàm K, ad AB, hoc eſt quàm FE, ad EG; fiat vt AC, ad AB, ita EF, ad FGH: ſed F, eſt cen trum grauitatis totius AB, & E, vnius par­tis CD; reliquæ igitur

partis AC, centrum grauitatis erit H, vltra punctum G: ſed G, cadit extra terminum figuræ AC; multo igitur magis H: Quod eſt abſurdum. Non igitur aliud punctum à puncto E; punctum igitur E, figuræ AB, erit centrum grauitatis Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXXIX.

Omnis coni centrum grauitatis axim ita diui­dit, vt ſegmentum ad verticem ſit reliqui triplum.

Sit conus ABC, cuius vertex B, axis autem BD, cu­ius BE, ſit tripla ipſius ED. Dico punctum E, eſse co­ni ABC, centrum grauitatis. Si enim cono ABC, pyramis inſcribatur, cuius baſis inſcripta circulo AC, æquilatera ſit, & æquiangula, eius centrum grauitatis erit idem quod & figuræ centrum, ſed centrum talis figuræ circulo inſcriptæ idem eſt, quod centrum cir­culi, vt colligitur ex demon­ſtrationibus quarti Elemen­torum; inſcriptæ igitur pyra midis erit axis BD, & cen­trum grauitatis E. talis au­tem ea pyramis inſcribi po­teſt, vt à cono deficiat mino­ri ſpacio quantacumque ma gnitudine propoſita; igitur ABC, coni centrum graui­tatis erit E. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXXX.

Omnis fruſti conici centrum grauitatis idem eſt in axe centro grauitatis fruſti pyramidis baſim habentis æquilateram, & æquiangul am in ſcriptæ cono, ab ſciſſi eodem plano, quo coni fruſtum.

Sit coni fruſtum ABCD, cuius axis EF, fruſto autem ABCD, intelligatur inſcriptum fruſtum pyramidis inſcri­ptæ cono AHD, à quo abſciſsum eſt fruſtum ABCD, baſim habentis æquilateram, & æquiangulam inſcriptam circulo AD: quare eius centrum grauitatis, & figuræ erit punctum F, vt diximus in præcedenti, axis autem FH, ſi­cut etiam pyramidis abſciſsæ vna cum cono BHC, axis EH, quare & reliqui fruſti pyramidis axis erit EF, igi­tur in EF, ſit fruſti inſcripti fruſto ABCD, centrum gra­uitatis G. Dico punctum G, eſse centrum grauitatis fru­ſti ABCD. Ponatur enim FL, pars quarta ipſius FH, necnon EK, pars quarta ip­ſius EH: punctum igitur K, eſt centrum grauitatis pyra­midis, & coni BHC, ſicut & punctum L, pyramidis, & coni AHD. cum igitur fru ſti pyramidis fruſto ABCD, inſcripti ſit centrum grauita­tis G; erit vt GL, ad LK, ita pyramis BHC, ad pyra­midis fruſtum fruſto ABCD, inſcriptum: ſed vt pyramis BHC, ad pyramidis fruſtum fruſto ABCD, inſcriptum,

ita eſt diuidendo, conus BHC, ad fruſtum ABCD, pro­pter eandem triplicatam communium conis, & pyramidi­bus ſimilibus laterum homologorum proportionem; vt igi­tur GL, ad LK, ita erit conus BHC: ad fruſtum ABCD: ſed coni BHC, centrum grauitatis erat K, & coni AHD, centrum grauitatis L; fruſti igitur ABCD, centrum gra­nitatis erit G. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XLI.

Omnis cylindri centrum grauitatis axim bifa­riam diuidit.

Sit cylindrus ABCD, cuius axis EF, & ſit ſectus bi­fariam in puncto G. Dico punctum G, eſse centrum grauitatis cylindri ABCD. Nam ſi cylindro AD, in­ſcriptum intelligatur priſma, cuius baſes oppoſitæ æquilate­ræ ſint, & æquiangulæ; erunt, qua ratione ſupra diximus, ea­rum centra figuræ, & grauitatis E, F; axis igitur inſcripti priſ­matis erit EF: & centrum grauitatis G. poteſt autem tale priſma ſic inſcribi cylindro ABCD, vt ab illo deficiat minori ſpacio quantacumque magnitudine propoſita; cylin­dri igitur ABCD, centrum grauitatis erit G. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XLII.

Sphæræ, & ſphæroidis idem eſt centrum gra­uitatis, & figuræ.

Sit ſphæra, vel ſphæroides ABCD, cuius centrum E, Dico ſphæræ, vel ſphæroidis ABCD, centrum grauitatis eſse E. Sint enim bini axes ſphæræ, vel ſphæroidis inter ſe ad rectos angulos; & in ſphæroide ſit maior diameter BD, minor AC, per binos autem hos axes plana tran­ſeuntia ad eos axes erecta, ſecent ſphæram, vel ſphæroidem. Qua ratione axes dimidij erunt axes hemiſphærij, vel he­miſphæroidis: hemiſphærium autem, & ſphæroidis eſt fi­

gura circa axim in alteram partem deficiens, qualium om­nium figurarum centrum grauitatis eſt in axe; igitur hemi­ſphærij, vel hemiſphæroidis ABCD, centrum grauitatis eſt in axi BE, ſicut & reliqui ADA, in axi ED; totius igitur ſphæræ, vel ſphæroidis ABCD centrum grauitatis eſt in axi BD. Eadem ratione & in axi AC; in communi igitur ſectione centro E. Quod demonſtrandum erat.

PRIMI LIBRI FINIS.

LVCAE VALERII DE CENTRO GRAVITATIS SOLIDORVM

LIBER SECVNDVS.

PROPOSITIO I.

Si duæ magnitudines vnà maiores, vel minores prima, & ter tia minori exceſſu, vel defe­ctu quantacumque magnitudi ne propoſita eiuſdem generis cum illa, ad quam refertur, eandem proportionem habue­rint, maior vel minor prima ad ſecundam, & vnà maior, vel minor tertia ad quartam; erit vt prima ad ſecundam, ita tertia ad quartam.

Sint quatuor magnitudines A prima, B ſecunda, C ter tia, & D quarta: quantacumque autem magnitudine propo ſita, ex infinitìs quæ proponi poſſunt eiuſdem generis cum A, C, vel vna tantum, ſi AC ſint eiuſdem generis: vel vna, & altera; ſi vna vnius, altera ſit alterius generis; ſemper aliæ duæ magnitudines vnà maiores, quàm AC, minori exceſsu magnitudine propoſita; eandem habeant proportio nem, maior quàm A ad B, & maior quàm C ad D. Dico eſse vt A ad B, ita C ad D. Poſita enim E ad D, vt A ad B, & F maiori quàm C vtcumque, ſint aliæ duæ ma­gnitudines, G maior quàm A minori exceſsu magnitudine eiuſdem generis cum A, quam quis voluerit, & H maior quàm C minori exceſsu quàm quo F ſuperat C, ideſt, quæ ma­ior ſit quàm C, & minor quàm F: ſit autem vt G ad B, ita H ad D. Quoniam igitur F maior eſt, <34>H, maior erit proportio ipſius F quàm H ad D, hoc eſt quàm G ad B. Sed cum G maior ſit quàm A, maior eſt proportio

G ad B, quàm A ad B, multo igitur erit maior proportio F ad D, quàm A ad B. Sed F ponitur maior quàm C, vtcum que; nulla igitur magnitudo maior quàm C eſt ad D, vt A ad B: ſed E ad D, eſt vt A ad B; non igitur eſt E ma­ior quàm C; nec maior proportio E ad D, hoc eſt A ad B, quàm C ad D. Eadem autem ratione nec maior erit proportio C ad D quàm A ad B, hoc eſt non minor A ad B, quàm C ad D; eadem igitur proportio A ad B, quæ C ad D.

Sed aliæ duæ magnitudines vnà minores quàm A, C minori defectu quantacumque magnitudine propoſita, eandem habeant proportionem, minor quàm A ad B, & minor quàm C, ad D. Dico eſse vt A ad B, ita C ad D. Poſita enim rurſus E ad D, vt A ad B, & F minori quàm C vtcumque, ſit G minor quam A, minori defectu magni tudine eiuſdem generis cum A, quam quis voluerit, & H minor quàm C, & maior quàm F: ſit autem vt G ad B, ita H ad D. Quoniam igitur F minor eſt quàm H, minor erit proportio ipſius F quam H ad D, hoc eſt <34>G ad B: ſed cum G ſit minor <34>A, minor eſt propor­tio G ad B, quàm A ad B; mul to ergo minor proportio F ad D, quàm A ad B: ſed F poni tur minor quàm C vtcumque; nulla igitur magnitudo minor

quàm C eſt ad D, vt A ad B: ſed E eſt ad D, vt A ad B: non igitur eſt E minor quàm C, nec minor proportio E ad D, hoc eſt A ad B, quàm C ad D. eadem autem ratione non minor erit proportio C ad D, quàm A ad B; hoc eſt non maior A ad B, quàm C ad D; vt igitur A ad B, ita eſt C ad D. Quod demonſtrandum erat.

ALITE R.

Dico eſse vt A ad B, ita C ad D. Si enim fieri poteſt, ſit minor proportio A ad B quàm C ad D. alia igitur aliqua magnitudo G maior quàm A, eandem habebit proportionem ad B, quam C ad D. Sit autem F maior quam C minori exceſsu magnitudine, quam quis voluerit, & E maior quàm A, & minor quàm G: vt autem

E ad B, ita F ad D. Quoniamigitur F maior eſt quàm C, maior erit proportio F ad D, quàm C ad D. Sed vt F ad D, ità eſt E ad B: & vt C ad D, ita G ad B; maior igitur proportio E ad B, quàm G ad B; quamobrem E maior erit quàm G minor maiori, quod fieri non poteſt. Non igitur minor eſt proportio A ad B quàm C ad D. Eadem autem ratione non minor erit proportio C ad D, quàm A ad B, hoc eſt non maior A ad B, quàm C ad D; eadem igitur proportio A ad B, quæ C ad D.

In ſecunda autem hypotheſis parte, quæ pertinet ad mi­norem defectum, eſto ſi fieri poteſt maior proportio A ad B, quàm C ad D. erit igitur, & ſit aliqua alia magnitudo G minor quàm A ad B, vt C ad D. Sit autê F minor quàm C minori defectu magnitudine, quam quis voluerit, & E minor quàm A, & maior quàm G, vt au­tem E ad B ita F ad D. Quoniam igitur maior eſt proportio C ad D, quàm F ad D: ſed vt C ad D, ita eſt G ad B: & vt F ad D, ita E ad B: maior erit proportio G ad B quàm E ad B; quamobrem erit G maior quàm E, minor maiori, quod fieri non poteſt; non igitur ma

ior eſt proportio A ad B, quàm C ad D. Eadem autem ratione non maior erit proportio C ad D, quàm A ad B, hoc eſt non minor A ad B, quàm C ad D. Eadem igitur erit proportio A ad B, quæ C ad D. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO II.

Si maior, vel minor prima ad vnà maiorem, vel minorem ſecunda, minori vtriuſque exceſſu, vel de­fectu quantacumque magnitudine propoſita fue­rit vt tertia ad quartam; erit vt prima ad ſecun­dam, ita tertia ad quartam.

Sint quatuor magnitudines, A prima, B ſecunda, C ter­tia, & D quarta: & aliæ duæ magnitudines E F vnà maiores quàm A, B minori exceſsu quantacumque magnitudine propoſita eiuſ­dem generis cum ipſis A, B. Sit autem E maior quàm A, ad F maiorem quàm B, vt C ad D. Dico eſse A ad B, vt C ad D. Eſto enim, quod fieri poteſt, alia ma­gnitudo G eiuſdem generis cum EF ad aliam H, vt C ad D, vel E ad F. Quoniam igitur eſt permutando vt E ad G, ita F ad H, & ſunt EF vnà maiores quàm AB minori ex­ceſsu quantacumque magnitudine propoſi­ta; erit per antecedentem, vt A ad G, ita B ad H: & permutando A ad B, vt G ad H, hoc eſt vt C ad D. Idem autem ſimiliter oſten deremus poſitis EF minoribus quàm AB, & proportionalibus vt dictum eſt. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

ALITER.

Ijſdem poſitis, ſi non eſt A ad B, vt C ad D; vel igitur ma­ior vel minor erit proportio A ad B quàm C ad D: ſit autem maior: vt igitur A ad B, ita erit eadem A ad aliam maiorem <34>B. Eſto illa E. ſintque aliæ duæ ma gnitudines, G maior quàm A

minori exceſsu magnitudine eiuſdem generis cum A, quam quis voluerit, & F maior quàm B, & minor quàm E. ſit autem G ad F vt C ad D. Quoniam igitur & vt C ad D, ita eſt A ad E; erit vt G ad F, ita A ad E; & permutando vt G ad A, ita F ad E: ſed G eſt maior quàm A: ergo & F maior quàm E, minor maiori, quod eſt ab­ſurdum. Non igitur maior eſt proportio A ad B quàm C ad D: eadem autem ratione non maior erit proportio B ad A quam D ad C, hoc eſt non minor A ad B, quàm C ad D; eſt igitur A ad B, vt C ad D.

Rurſus in ſecunda parte hypotheſis, quæ attinet ad mi­norem defectum: ſi non eſt A ad B vt C ad D; eſto, ſi fie­ri poteſt, minor proportio A ad B quàm C ad D. igitur A ad aliam quam B minorem eandem habebit proportionem, quam C ad D, eſto illa E: ſintque aliæ duæ magnitudines, G minor quàm A minori defectu magnitudi­ne eiuſdem generis cum A, quam quis voluerit, & F minor quàm B, & maior quàm E: ſit autem G ad F, vt C ad D, hoc eſt vt A ad E. Quoniam igitur permutando eſt vt G ad A, ita F ad E, & G eſt mi­

nor quàm A; erit & F minor quàm E, maior mino­ri, quod eſt abſurdum; non igitur minor eſt proportio A ad B quàm C ad D: eadem autem ratione non minor erit proportio B ad A, quàm D ad C, hoc eſt non maior A ad B, quàm C ad D; eſt igitur A ad B vt C ad D. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO III.

Si maior, vel minor prima ad vnà maiorem, vel minorem ſecunda, minori exceſſu, vel defectu quantacumque magnitudine propoſita, nomina­tam habuerit proportionem; prima ad ſecundam eandem nominatam habebit proportionem.

Sint duæ magnitudines A, B duarum autem aliarum EF vnà maiorum, vel minorum quàm AB minori ex­ceſsu vel defectu quantacumque magnitudine propo­ſita, habeat E maior vel minor quàm A ad F vnà maiorem, vel minorem quàm B certam ali quam nomina­tam proportionem, verbi gratia, ſeſquialteram. Dico A ad B, eandem nominatam habere proportionem: vt A ipſius B eſse ſeſquialteram. Quoniam enim omnis proportio in aliquibus ma­gnitudinibus conſiſtit; ſit magnitudo C ipſius D ſeſquialtera: ſed & E eſt ipſius F ſeſquialtera; vtigitur C, tertia ad D quartam, ita erit E maior, vel minor quàm A prima, ad F vnà maiorem, vel minorem ſecunda, minori, vt ponitur, vtriuſque ex­ceſsu, vel defectu magnitudine propoſita eiuſdem generis cum A, B, quæcumque illa, & quantacumque ſit; erit per præ­cedentem eadem proportio A ad B, quæ C ad D: ſed proportio quam ha­bet C ad D, eſt ſeſquialtera; ergo & A ipſius B erit ſeſquialtera. Similiter quo­cumque alio nomine notatam proportio­nem habeat E ad F, eandem habere A

ad B, oſtenderemus, vt duplam, ſeſquitertiam, alicuius du plicatam, vel triplicatam, & ſic de ſingulis. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

Hæc autem propoſitio in paucis exemplaribus, quæ do­no quibuſdam dederam, non extat; poſterius enim eam exco-gitaui, quo ſecunda antecedens hìc in illis tertia facilius ſer­uiret ijs, in quibus certæ proportionis nomen, tertium & quar tum terminum ſubobſcurè indicat, vt in ſequenti XII iilud, proportio dupla. Illo autem Lemmate, quod prima propofi­tio inſcribebatur, nunc ita non egeo, vt primam, & ſecundam, quæ ſecunda, & tertia erant, & facilius demonſtrem, & ea­rum ſenſum paucioribus comprehendam. priora ergo ita non improbo vt hæc ijs anteponam.

PROPOSITIO IIII.

Si ſint tres magnitudines ſe ſe æqualiter exce­dentes, minor erit proportio minimæ ad mediam quàm mediæ ad maximam.

Sint tres magnitudines inæquales A, BC, DE, qua­rum BC æquè excedat ipſam A, ac DE ipſam BC Dico minorem eſse proportionem A, ad BC, quàm BC, ad DE. Nam vt eſt A ad BC, ita ſit BC ad LH, & au­feratur BF æqualis A, & DG, & LK æquales BC. Quoniam igitur eſt vt A, hoc eſt FB ad BC, ita BC hoc eſt KL ad LH; erit diuidendo vt BF ad FC, ita LK ad KH: & componendo, ac per­mutando vt BC ad LH, ita FC ad KH. ſed BC eſt minor quàm LH; ergo & FC hoc eſt EG erit minor quàm KH. Sed DE, LH, ſuperant BC exceſsibus EG, KH; minor igitur erit DE quàm LH, & minor proportio BC ad LH, quàm BC ad DE. Sed vt BC ad LH,

ita eſt A ad BC; minor igitur proportio erit A ad BC, quàm BC ad DE. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO V.

Si ſit minor proportio primæ ad ſecundam, quàm ſecundæ ad tertiam, ab ipſis autem æquales auferantur; erit minor proportio reliquæ primæ ad reliquam ſecundæ, quam reliquæ ſecundæ ad reliquam tertiæ.

Sit minor proportio AB, ad CD, quam CD, ad EF. Sitque AB, minima. ablatæ autem æquales fint AG, CH, EK. Dico reliquarum minorem eſse proportionem BG, ad DH, quam BH, ad FH. Ponatur enim CL, æqua­lis AB, & EM, æqualis CD. Quoniam igitur maior eſt proportio DL ad LH, quam DL, ad LC; erit componendo maior proportio DH ad HL, quam DC ad CL. hoc eſt, maior proportio DH, ad BG, quam DC, ad AB: & conuertendo, minor proportio BG ad DH, quam AB, ad CD: hoc eſt maior proportio AB, ad CD, quam BG, ad DH. Rurſus, quoniam maior eſt pro­portio CD, ad EF, quam AB, ad CD: hoc eſt quam CL, ad EM; erit permutan do, maior proportio CD, ad CL, quam FE, ad EM: & diuidendo, maior DL, ad LC, quam FM, ad ME: & permutando,

maior DL, ad FM, quam CL, ad EM: hoc eſt quam AB, ad CD. Sed maior erat proportio AB, ad CD, quam BG ad DH; multo igitur maior proportio erit DL, ad FM, quam BG, ad DH: hoc eſt quam LH, ad MK: & permutando, maior proportio DL, ad LH, quam FM, ad MK: & componendo, maior DH, ad HL, quam FK, ad KM: & permutando, maior DH ad FK, quam LH, ad MK: hoc eſt, quam BG, ad DH: hoc eſt minor propor­tio BG ad DH, quam DH, ad FK. Quod demon­ſtrandum erat.

PROPOSITIO VI.

Si ſint tres magnitudines inæquales, & aliæ il­lis multitudine æquales binæque in duplicata pri marum proportione. Sit autem minor proportio primæ ad ſecundam, quam ſecundæ ad tertiam in primis; erit minor proportio primæ ad ſecundam, quam ſecundæ ad tertiam in ſecundis.

Sint tres magnitudines A, B, C, & aliæ illis multitudine æquales D, E, F. quarum ipſius D ad E proportio ſit du­plicata eius, quæ eſt A ad B: & E ad F, duplicata eius, quæ eſt B ad C. ſit autem mi­nor proportio A ad B, quam B ad C. Dico minorem eſse proportionem D ad E, quam E ad F. Sit enim vt C ad B, ita B ad G: & vt B ad A, ita A ad H. Igitur G ad C dupli­cata erit proportio ipſius G ad B, hoc eſt B ad C: ſimiliter erit H ad B, duplicata propor­tio ipſius A ad B. Vt igitur eſt H ad B, ita erit D ad E: & vt G ad C, ita E ad F. Rur­ſus, quia minor eſt proportio

A ad B, quam B ad C, ſed vt A ad B, ita eſt H ad A & vt B ad C, ita G ad B; erit ex æquali minor proportio H ad B, quam G ad C, ſed vt H ad B, ita erat D, ad E: & vt G ad C, ita E ad F; minor igitur proportio erit D ad E, quam E ad F. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO VII.

Si ſint octo magnitudines quaternæ propor­tionales: tertiæ autem vtriuſque ordinis inter ſo ſint vt primæ; erit vt compoſita ex primis ad com poſitam ex ſecundis, ita compoſita ex tertiis ad compoſitam ex quartis.

Sint octo magnitudines quaternæ ſum­ptæ proportionales, vt A ad B, ita C ad D. & vt E ad F, ita G ad H. ſit autem vt A ad E, ita C ad G. Dico eſse vt AE, ad ABF, ita CG, ad DH. Quoniam enim componendo eſt vt AE, ad E, ita, CG, ad G; ſed vt E ad F, ita eſt G, ad H; erit ex æquali, vt AE, ad F, ita CG, ad H. Eadem ratione erit vt AE, ad B, ita CG, ad D: & conuertendo, vt B ad AE, ita D ad CG. ſed vt AE, ad F, ita erat CG ad H; ex æquali igitur erit vt B ad F, ita D, ad H: & componendo, vt BF ad F, ita DH ad H: & conuerten­do, vt F ad BF, ita H, ad DH. Sed vt AE, ad F, ita erat CG ad H; ex æqua li igitur erit vt AE ad BF, ita CG, ad DH. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO VIII.

Si ſint tres magnitudines ſe ſe æqualiter exce­dentes; & aliæ eiuſdem generis illis multitudine æquales, binæque ſumptæ in duplicata primarum proportione; erit vtriuſque ordinis minor pro­portio compoſitæ ex primis ad compoſitam ex ſe­cundis, quam compoſitæ ex ſecundis ad compoſi­tam ex tertijs.

Sint tres magnitudines A, B, C, quarum C maxima æque ſuperet B, atque B, ipſam A. & totidem eiuſdem generis D, E, F, ſitque F ad E du­plicata proportio ipſius C ad B: & E ad D, duplicata ipſius B ad A. Dico AD, ſimul ad BE, ſimul mino­tem eſſe proportionem quam BE, ſimul ad CF, ſimul. Eſto enim recta quæpiam GH, ad aliam rectam ſibi in directum poſitam HK, vt magnitudo A ad ip ſius F duplam (hoc enim fieri poteſt) &

ſuper baſim GK; conſtituatur triangulum GLK, atque in eo deſcribatur parallelogrammum GHMN: & vt eſt C ad B, ita fiat HM, ad Mque & vt B ad A, ita QM, ad MP, & ipſi GK, parallelæ TPR, VQS, ducantur. Quoniam igitur eſt vt C, ad duplam ipſius F, ita GH, ad HK; erit vt C ad F, ita eſt par llelogrammum GM, ad triangulum MHK: ſed vt C, ad B, ita eſt HM, ad Mque hoc eſt parallelogrammum GM, ad parallelogrammum MV: & vt F, ad E, ita triangulum MHK, ad triangu­lum MQS, ob duplicatam proportionem eius, quæ eſt HM ad Mque hoc eſt ipſius C ad B; vt igitur trapezium NK, ad NS trapezium, ita erit, per præcedentem, CF, ſimul ad BE ſimul. Rurſus quoniam eſt conuertendo, vt parallelogrammum MV, ad parallelogrammum GM, ita B ad C. ſed vt parallelogrammum GM, ad triangulum KHM, ita erat C, ad F: & vt triangulum KHM, ad triangulum QSM, ita F ad E; erit ex æquali, vt paral­lelogrammum MV, ad triangulum SQM, ita B, ad E. Similiter ergo vt ante erit vt trapezium NS, ad NR tra­pezium, ita EB, ſimul ad AD, ſimul. Rurſus, quoniam æque excedit LV, ipſam LT, atque LG, ipſam LV; minor erit proportio LT ad LV, quam LV, ad LG: eſt autem trianguli LTR ad triangulum LVS, duplicata proportio ipſius LT, ad LV, & trianguli LVS, ad trian­gulum LGK, duplicata ipſius LV, ad LG, propter ſi­militudinem triangulorum; minor igitur proportio erit trianguli LTR, ad triangulum LVS, quam trianguli LVS, ad triangulum LGK; dempto igitur triangulo LNM, communi, minor erit proportio trapezij NR, ad trapezium NS, quam trapezij NS, ad trapezium NK. Sed vt trapezium NR, ad trapezium NS, ita eſt conuer­tendo AD ſimul ad BE, ſimul: & vt trapezium NS, ad trapezium NK, ita BE, ſimul ad CF, ſimul; minor igi­tur proportio erit AD, ſimul ad BE ſimul, quam BE ſi­mul ad CF, ſimul. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO IX.

Si recta linea vtcumque ſecta fuerit, cubus qui fit à tota æqualis eſt duobus ſolidis rectangulis, quæ ex partibus, & totius quadrato fiunt.

Sit recta linea AB ſecta in puncto C vtcumque. Di­co cubum ex AB æqualem eſse duobus ſolidis rectangu­lis, quæ fiunt ex AC CB, & quadrato AB. Quoniam

enim communi altitudine AB, eſt vt rectangulum BAC ad quadratum AB, ita ſolidum ex AB, & rectangulo BAC ad cubum ex AB, eademque ratione vt rectangu­lum ABC, ad quadratum AB, ita ſolidum eſt AB, & rectangulo ABC ad cubum ex AB; erunt vt duo rectan­gula BAC, ABC ad quadratum AB, ita duo ſolida ex AB, & rectangulis BAC, ABC ad cubum ex AB. Sed duo rectangula BAC, ABC ſunt æqualia quadrato AC; duo igitur ſolida ex AB, & rectangulis BAC, CBA, æqualia ſunt cubo ex AB. Sed ſolidum ex AB & rectan­gulo BAC eſt id quod fit ex AC, & AC & quadrato AB; duo igitur ſolida ex AC, CB, & quadrato AB ſi­mul ſumpta æqualia ſua cubo ex AB. Si igitur recta linea vtcumque ſecta fuerit, &c. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO X.

Si recta linea vtcumque ſecta fuerit, cubus qui fit à tota æqualis eſt cubis partium, & duobus ſo­lidis rectangulis, quæ partium triplis, & earun­dem quadratis reciproce continentur.

Sit recta linea AB ſecta vtcumque in puncto C. Dico cubum ex AB æqualem eſse duobus cubis ex AC, CB, & duobus ſolidis rectangulis, quorum alterum fit ex tripla

ipſius AC, & quadrato BC; alterum autem ex tripla ip­ſius BC, & quadrato AC. Quoniam enim quadratum ex AB æquale eſt duobus quadratis ex AC, CB, & ei quod bis fit ex AC CB: & parallelepipeda eluſdem al­titudinis inter ſe ſunt vt baſes; erit rectangulorum folido­rum id quod fit ex AC, & quadrato AB æquale cubo ex AC, & ei, quod fit ex AC, & rectangulo ACB bis, & ei, quod ex AC, & quadrato BC. Eadem ratione erit quod fit ex BC, & quadrato AB æquale cubo ex BC, & ei, quod fit ex BC, & rectangulo ACB, bis & ei, quod ex BC, & quadrato AC. Sed cubus ex AB æqualis eſt duobus ſolidis ex AC CB. & quadrato AB; cubus igi­tur ex AB æqualis eſt duobus cubis ex AC CB, & ſex ſolidis, quorum tres fiunt ex AC, & duobus rectangulis ex AC CB, & quadrato BC: tria vero ex BC, & duo­bus rectangulis ex AC CB, & quadrato AC. Sed quod fit ex AC, & rectangulo ACB, eſt quod fit ex BC, & quadrato AC: & quod fit ex BC, & rectangulo ACB, eſt quod fit ex AC, & quadrato BC; cubus igitur ex AB æqualis eſt duobus cubis ex AC CB, vna cum ſex ſolidis, quorum tria fiunt ex AC, & BC quadrato, tria autem ex BC, & quadrato AC, hoc eſt duobus ſolidis, quorum alterum fit ex tripla ipſius AC, & quadrato BC, alterum ex tripla ipſius BC & quadrato AC. Quod de­monſtrandum erat.

PROPOSITIO XI.

Si recta linea vtcumque ſecta fuerit, cubus qui fit à tota æqualis eſt cubis partium vna cum ſoli­do rectangulo, quod totius tripla, & partibus continetur.

Sit recta linea AB ſecta in puncto C vtcumque. Di­co cubum ex AB æqualem eſse duobus cubis ex AC, CB, vna cum ſolido rectangulo ex AC CB, & tripla ipſius AB. Quoniam enim quod fit ex AC, & rectan­gulo ACB, eſt id quod fit ex BC, & quadrato AC: & quod fit ex BC, & rectangulo ACB, eſt id, quod fit ex

AC & quadrato BC. ſed duo ſolida ex AC CB, & re­ctangulo ACB ſunt id, quod fit ex compoſita vtriuſque altitudine AB, et rectangulo ACB; duo igitur prædi­cta ſolida, quæ ex AC CB, & earum quadratis recipro­ce fiunt æqualia ſunt ſolido ex AB BC CA, & triplum triplo, videlicet duo ſolida, quæ fiunt reciproce ex triplis ipſarum AC, CB, & quadratis ex AC CB, æqualia ſi­mul ei, quod ter fit ex AB, BC, CA, hoc eſt ei, quod partibus AC CB, & totius AB tripla continetur: additis igitur communibus duobus cubis ex AC, CB, erit id, quod ſit ex AC CB, & tripla ipſius AB, & duo cubi ex AC CB, æqualia duobus ſolidis, quæ fiunt reciproce ex triplis ipſarum AC, CB, & earundem AC, CB, quadratis, & duobus cubis ex AC, CB, hoc eſt cubo ex AC. Si igi­tur recta linea vtcumque ſecta fuerit, &c. Quod demon­ſtrandum erat.

PROPOSITIO XII.

Hemiſphærium duplum eſt coni, cylindri au­tem ſubſeſquialterum eandem ipſi baſim, & ean­dem altitudinem habentium.

Eſto hemiſphærium; cuius axis BD, baſis circulus, cu­ius diameter AC, ſuper quem cylindrus AE, & conus

ABC, quorum communis axis ſit BD, ac propterea etiam eadem altitudo. Dico hemiſphærium ABC, co­ni ABC eſse duplum: cylindri autem AE ſubſeſquialterum. ſuper baſim enim circulum RE, vertice D deſcribatur conus EDR. Sectoque axe BD primo bifariam, deinde ſingulis eius partibus rurſus bifariam, tranſeant per pun­cta ſectionum plana baſi hemiſphærij AC æquidiſtantia, quæ ſecent hemiſphærium, conum, & cylindrum. Se­ctus igitur erit AE cylindrus in cylindros æqualium alti­tudinum: ſuper ſectiones autem coni, atque hemiſphærij nempe circulos, quorum centra in axe BD exiſtunt cy­lindri conſtituti intelligantur binis quibuſque proximis æquidiſtantibus planis interiecti, quorum axes omnes æquales in BD. Erit igitur cono EDR inſcripta, & ABC
hemiſphærio circumſcripta figura quædam ex cylindris æqualium altitudinum. Sint autem hæ figuræ ea ratione hæc circumſcripta illa inſcripta, vt circumſcripta excedat hemiſphærium, minori exceſsu, inſcripta vero deficiat à cono minori defectu quam ſit magnitudo propoſita, quan­tacumque illa ſit. His conſtitutis, manifeſtum eſt, reliquo cylindri AE dempto hemiſphærio inſcriptam eſse figu­ram ex reſiduis cylindrorum, in quos cylindrus AE ſe­ctus fuerit, demptis cylindris hemiſphærio circumſcriptis, deficientem à reliquo cylindri AE dempto hemiſphærio minori defectu magnitudine propoſita, eodem ſcilicet, quo figura hemiſphærio circumſcripta excedit hemiſphæ­rium, excepto reſiduo cylindri infimi AS, dempta he­miſphærij portione, quam comprehendit. Sit autem om-nium prædictorum cylindri AE cylindrorum ſupremus FE, cuius axis BH, & communis ſectio plani per pun­ctum H tranſeuntis baſi hemiſphærij cum plano per axim BD, ſit recta FGKHMNL. Quoniam igitur rectan­gulum DHB bis vna cum duobus quadratis DH, BH, æquale eſt BD quadrato: & rectangulum DHB bis vna cum quadrato BH, eſt rectangulum ex BD DH tan­quam vna, & BH; rectangulum ex BD, DH tanquam vna & BH, vna cum quadrato DH æquale erit quadra­to BD, hoc eſt quadrato FH: quorum quadratum KH æquale eſt rectangulo ex BD, DH, tanquam vna, & BH; reliquum igitur quadrati FH dempto quadrato KH æ­quale erit reliquo quadrato DH, hoc eſt quadrato GH: & quadruplum quadruplo reliquum quadrati FL dempto quadrato MK toti GN quadrato, hoc eſt reliquum circu li, FL dempto circulo MK, æquale circulo GN. Qua­re & GP, cylindrus reliquo cylindri FE dempto QK, cylindro æqualis erit, propter æqualitatem altitudinum. Similiter oſtenderemus ſingula reliqua cylindrorum eiuſ­dem altitudinis, in quos totus cylindrus AE ſectus fuit, demptis cylindris hemiſphærio circumſcriptis æqualia eſ­ſe ſingulis cylindris cono EDR inſcriptis, quæ inter ea­dem plana interijciuntur. Tota igitur figura ex prædictis cylindrorum reſiduis reliquo cylindri AE, dempto he­miſphærio inſcripta æqualis erit figuræ cono EDR in­ſcriptæ: deficit autem vtraque harum figurarum hæc à co­no ADR, illa à reſiduo cylindri AE dempto hemiſphæ­rio minori exceſsu magnitudine vtcumque propoſita; re­liquum igitur cylindri AE dempto hemiſphærio æquale eſt cono EDR, ſed conus EDR; hoc eſt conus ABC cylin dri AE eſt pars tertia; reliquum igitur cylindri AE dem­pto hemiſphærio, cylindri AE eſt pars tertia, hoc eſt cylin­drus AE triplus dicti reſidui: quamobrem AE cylindrus ſeſ­quialter hemiſphærij ABC: & conuertendo, hemiſphærium cylindri AE ſubſeſquialterum: coni igitur ABC duplum. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO XIII.

Omnis minor ſphæræ portio, ad cylindrum, cuius baſis æqualis eſt circulo maximo, altitudo autem eadem portioni, eam habet proportionem, quam exceſſus, quo tripla ſemidiametri ſphæræ excedit tres deinceps proportionales, quarum ma xima eſt ſphæræ ſemidiameter, media vero quæ inter centra ſphæræ & baſis portionis interijci­tur; ad ſemidiametri ſphæræ triplam.

Sit ſphæræ, cuius centrum D, ſemidiameter BD, mi­nor portio ABC, cuius axis BG ſegmentum ſemidiame­tri BD, baſis autem circulus, cuius diameter AC. Sitque EF, cylindrus, cu­ius axis, ſiue alti­tudo eadem BG: baſis autem æqua­lis circulo maxi­mo, cuius ſemidia­meter BD. Dico portionem ABC, ad cylindrum EF eam habere pro­

portionem, quam exceſſus, quo tripla ipſius BD, ſupe­rat tres BD, DG; & minorem extremam ad ipſas, quæ ſit M; ad ipſius BD triplam. vertice enim D, baſi cylin­dri EF, cuius diameter FH deſcribatur conus FDH, cu­ius intelligatur fruſtum FHKL abſciſsum plano, quod ab-ſcidit portionem ABC, plano circuli FH parallelum. Quoniam igitur fruſtum FHKL æquale eſt cylindri EF reſiduo, dempta ABC portione, quod ex præcedenti theo remate perſpicuum eſse debet: erit portio ABC æqualis ei, quod relinquitur cylindri EF, ſi fruſtum auferatur FHKL: ſed hoc reliquum eſt ad cylindrum EF, vt exceſ­ſus, quo tripla lineæ FH, ſuperat tres deinceps proportio­nales FH, KL, & minorem extrema, ad triplam lineæ FH: vt FH, ad KL, ita eſt BD ad DG, & DG, ad M; vt igi­tur exceſſus, quo tripla ipſius BD, ſuperat tres BD, DG, & M, ſimul, ad lineæ BD triplam, ita erit portio ABC ad cylindrum EF. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XIV.

Omnis portio ſphæræ abſciſsa duobus planis parallelis alteroper centrum acto ad cylindrum, cuius baſis eſt eadem baſi portionis, ſiue circu­lo maximo, & eadem altitudo, eam habet pro­portionem, quam exceſſus, quo maior extrema ad ſphæræ ſemidiametrum, & axim portionis exce­dit tertiam partem axis portionis; ad maiorem ex­tremam antedictam.

Sit portio AB CD, ſphæræ, cu ius centrum F, abſciſſa duobus planis parallelis altero per centrum F tranſeunte; axis autem por­tionis fit FG: &

maior baſis, circulus maximus, cuius diameter AD, minor autem, cuius diameter BC: & cylindrus AE, cuius baſis circulus AD, axis FG; & vt FG ad FA, ita ſit FA, ad MN, à qua abſcindatur NO, pars tertia ipſius FG. Dico ABCD portionem ad cylindrum AE eſſe vt OM ad MN. Poſita enim G H, æquali ipſi FG, deſcriba­tur circa axim FG, cylindrus LK, & conus HFK. Quoniam igitur duo cylin dri AE, LK, ſunt eiuſdem al­
titudinis, erunt inter ſe vt baſes, AD, KH. hoc eſt cy­lindrus AE ad cylindrum LK, duplicatam habebit pro­portionem diametri AD, ad diametrum KH, hoc eſt eius, quæ eſt ſemidiametri AF ad ſemidiametrum GH. hoc eſt eam, quæ eſt MN ad GH, ſiue FG. Sed vt FG ad tertiam ſui partem NO, ita eſt cylindrus KL, ad conum KFH; ex æquali igitur, erit vt MN ad NO, ita cylindrus AE ad conum KFH, hoc eſt ad reliquum cylindri AE dem pta ABCD portione: & per conuerſionem rationis, vt NM, ad MO, ita cylindrus AE ad portionem ABCD: & conuertendo, vt MO ad MN, ita portio ABCD ad cylindrum AE. Quod eſt propoſitum.

PROPOSITIO XV.

Omnis portio ſphæræ abſciſſa duobus planis parallelis neutro per centrum, nec centrum inter­cipientibus ad cylindrum, cuius baſis æqualis eſt circulo maximo, altitudo autem eadem portioni, eam proportionem habet, quam exceſſus, quo maior extrema ad triplas ſemidiametri ſphæræ, & eius quæ inter centrum ſphæræ, & minoris baſis portio­nis interijcitur, ſuperat tres deinceps proportionales, quarum maxima eſt quæ inter centra ſphæræ, & minoris baſis, media autem, quæ inter cen­træ ſphæræ, & maioris baſis portio­nis interijcitur; ad maiorem extre­mam antedictam.

Sit portio ABCD ſphæræ, cuius centrum E, abſciſsa duobus planis parallelis, neutro per E tranſeunte, nec E intercipientibus, cuius maior baſis ſit circulus, cui diameter AD. minor autem cuius diameter BC, axis GH. circa quem cylindrus OS, conſiſtat, cuius baſis ſit circulus circa SR æqualis circulo maximo: ſphæræ autem ſemidiater ſit EHG. & vt GE ad EH, ita ſit HE ad V: & po­

ſita T tripla ipſius EF, & X itidem tripla ipſius EG, vt X ad T, ita fiat T ad ZY, cuius Zw, tribus GE, EH, V ſimul ſit æqualis. Dico ABCD portio­nem ad cylindrum SO eſse vt w*u ad *uZ. Abſciſsa enim GK ipſi EG æquali, cylin­drus PN circa axim GH, & conus KEN conſtituantur vt in præcedenti. planum igi­tur abſcindens portionem facit fruſtum coni KEN, quod ſit KLMN, cuius minor ba­ſis circulus, cui diameter LM; maior autem cui diameter KN. Et vt eſt GE ad EF, hoc eſt GK ad SH, ita ſit EF, vel SH, ad I. vt igitur in præcedenti, oſtenderemus cylin­drum SO ad cylindrum PN eſse vt I ad GK ſiue ad EG. Quoniam igitur ſunt ter næ deinceps proportionales GE, EF, I, & X, T, ZY, eſtque vt FE ad EG ita T ad X; erit vt I ad EG, hoc eſt vt cylindrus SO ad PN cylindrum ita ZY ad X. Et quoniam eſt vt GE ad EH, ita EH ad V: hoc eſt, vt GK ad LH. ita LH ad V: & ponitur X tripla ipſius
EG, hoc eſt ipſius GK, vt autem eſt triplaipſius GK ad tres deinceps proportionales GK, LH, V, ita eſt cylin­drus PN ad fruſtum LKNM; erit vt X ad tres GE, EH, V ſimul hoc eſt ad lineam wZ, ita cylindrus PN ad fru-ſlum KLMN. Sed vt ZY ad X, ita erat cylindrus SO ad PN cylindrum; ex æquali igitur erit vt ZY ad Zw, ita cylindrus SO ad fruſtum KLMN: hoc eſt, ad reli­quum cylindri SO dempta ABCD portione, & per con­uerſionem rationis, vt ZY, ad Yw, ita cylindrus SO ad portionem ABCD: & conuertendo vt wY ad YZ, ita por­tio ABCD ad SO cylindrum. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XVI.

Omnis maior ſphæræ portio ad cylindrum, cu­ius baſis æqualis eſt circulo maximo, altitudo au­tem eadem portioni eam habet proportionem, quam ad axim portionis habet exceſſus, quo ſeg­mentum axis portionis inter ſphæræ centrum, & baſim portionis interiectum ſuperat tertiam par­tem minoris extremæ maiori poſita prædicto axis ſegmento in proportione ſemidiametri ſphæræ ad prædictum ſegmentum, vna cum ſubſeſqui altera reliqui axis ſegmenti.

Sit ſphæræ, cu ius centrum G, dia meter DGE ma ior portio ABC, axis autem por­tionis BGF, com munis cylindro KH, cuius baſis æqualis ſit circulo maximo; baſis autem portionis circulus, cuius diameter AC, & vt EG ad GF, ita ſit GF ad S, & S ad FM, cuius ſit pars tertia FN, & ponatur ipſius BG, ſubſeſquialtera GL. Dico portio­nem ABC ad cylindrum KH eſse vt LN ad BF. Nam vt FG ad GE, ſiue ad BG, ita ſit EG ad PQ, à qua abſcindatur QR, pars tertia ipſius FG. Et plano per G tranſeunte baſibus cylindri KH, & ABC portionis pa­rallelo ſecentur vna cylindrus KH in duos cylindros DH, EK: & portio ABC, in portionem ECAD, & DBE hemiſphærium. Quoniam igitur eſt conuertendo, vt PQ ad EG, ita EG ad GF, & eſt ip­ſius GF pars ter tia QR, erit por­tio DACE ad cylindrum EK, vt PR ad Pque Rurſus, quia eſt vt EG ad GF: hoc eſt vt PQ ad EG, ita GF ad S, & vt EG ad GF, ita eſt S ad FM; erit ex æqua

li, vt PQ ad GF, ita GF ad FM. Sed vt GF ad RQ, ita eſt MF ad FN, tertiam ipſius MF partem, ex æquali igitur erit vt PQ ad QR, ita GF ad FN, & per conuer­ſionem rationis, & conuertendo, vt PR ad PQ, ita NG ad GF. Sed vt PR ad PQ, ita erat portio ECAD ad cy­lindrum EK; vtigitur NG ad GF, ita erit portio EC AD ad cylindrum EK. Sed vt GF ad FB, ita eſt cy­lindrus EK ad cylindrum KH: ex æquali igitur vt NG ad BF, ita portio ECAD, ad cylindrum KH. Similiter oſtenderemus eſse, vt GL ad BF, ita DBE hemiſphæ-rium ad cylindrum KH, cum vt LG ad GB, ita ſit he­miſphærium DBE ad cylindrum DH. vt igitur prima cum quinta ad ſecundam, ita tertia cum ſexta ad quartam; videlicet, vt tota LN ad BF, ita portio ABC ad cylin­drum KH. Quod erat demonſtrandum.

PROPOSITIO XVII.

Omnis portio ſphæræ abſciſſa duobus planis parallelis centrum intercipientibus ad cylin­drum, eiuſdem altitudinis, cuius baſis æqualis eſt circulo maximo, eam habet proportionem, quam ad axim portionis habet exceſſus, quo axis portio­nis ſuperat tertiam partem compoſitæ ex duabus minoribus extremis, maioribus poſitis duobus axis ſegmentis, quæ fiunt à centro ſphæræ in ra­tionibus, ſemidiametri ſphæræ ad prædicta ſeg­menta.

Sit portio AB CD, ſphæræ, cu­ius centrum G, abſciſsa duobus planis parallelis centrum G inter­cipientibus, quod erit in axe portio­nis, qui ſit HK. Sectiones autem

factæ à prædictis planis ſint circuli, quorum diametri AD, BC, qui circuli erunt baſes oppoſitæ portionis. Sectaque per punctum G, portione ABCD plano ad axim erecto, atque ideo & portionis baſibus parallelo; ſuper ſectionem, quæ erit circulus maximus, cuius diameter LM, duo cylin­dri deſcripti intelligantur, ad oppoſita portionis baſium pla na terminati ex illis autem totus cylindrus compoſitus EF, cuius baſis æqua­lis circulo maxi­mo LM. Deinde in ſegmento GH ſumpta OH, ter­tia parte minoris extremæ maiori GH in proportio ne, quæ eſt LG ad GH; & in ſegmen to GK, ſumatur
NK, tertia pars minoris extremæ maiori GK, in propor­tione, quæ eſt LG ad GK. Dico portionem ABCD ad cylindrum EF, eſse vt NO ad KH. Sumptis enim ijſdem, quæ in præcedentis ſumpſimus, demonſtrationem ſimiliter oſtenderemus tam portionem LBCM ad cy­lindrum EF, eſse vt OG ad KH, quam portionem LA DM ad eundem EF cylindrum, vt NG ad eundem axim KH, vt igitur prima cum quinta ad ſecundam, ita tertia cum ſexta ad quartam: videlicet, vt NO ad KH, ita por tio ABCD ad EF cylindrum. Quod demonſtrandum crat.

PROPOSITIO XVIII.

Omne conoides parabolicum dimidium eſt cylindri, coni autem ſeſquialterum eandem ipſi baſim, & eandem altitudinem habentium.

Sit conoides parabolicum ABC, & cylindrus AE, & conus ABC, quorum omnium ſit eadem baſis circulus, cuins diameter AC, axis autem BD, ac proinde vna om­nium altitudo. Dico conoidis ABC eſse cylindri AE dimidium, coni autem ABC ſeſquialterum. Secto enim axe BD in tot partes æquales, quarum infima ad baſim ſit MD, vt figura ex cylindris æqualium altitudinum conoi­di ABC circumſcripta, inſcriptam ſuperet minori ſpacio quantacumque magnitudine propoſita, & ſit hoc factum. Et quoniam quibus planis parallelis tranſeuntibus per præ­

dictas ſectiones axis BD ſecatur conoides ABC, ijſdem ſecatur triangulum per axim ABC, eruntque ſectiones parallelæ: ſit triangulo ABC circumſcripta figura ex pa­rallelogrammis æqualium altitudinum, quæ triangulum & ipſa excedat minori ſpacio quantacumque magnitudine propoſita. Cylindrorum autem qui ſunt circa conoides, & parallelogrammorum multitudine æqualium, quæ ſunt cir­ca triangulum ABC, duo proximi baſi AC cylindri ſint AF, HL, & totidem parallelogramma illis reſpondentia inter eadem plana parallela ſint AF, GK. Quoniam igi-tur in parabola ABC rectis ad diametrum ordinatim ap­plicatis eſt vt BM ad BD longitudine, ita MH ad AD potentia: hoc eſt, ita circulus, cuius diameter HMN, ad circulum, cuius diameter ADC, hoc eſt ita cylindrus HL, ad cylindrum AF propter æqualitatem altitudinum: ſed vt BM ad BD, ita eſt GM ad AD, propter ſimilitudinem triangulorum, hoc eſt ita parallelogrammum GK ad AF, pa­rallelogrammum; ergo vt parallelogrammum GK ad paral lelogrammum AF, ita eſt cylindrus HL ad cylindrum AF. Similiter oſtenderemus reliqua parallelogramma, quæ ſunt
circa triangulum ABC eſse cum reliquis cylindris, qui ſunt circa conoides ABC bina ſumpta prout inter ſe reſpon­dent in eadem proportione; ſemper igitur componendo, & ex æquali erit vt tota figura triangulo ABC circumſcripta ad parallelogrammum AF, ita figura conoidi circumſcri­pta ad AF cylindrum: ſed vt parallelogrammum AF, ad parallelogrammum AE, ita eſt cylindrus AF ad cylindrum AE, propter æqualitatem omnifariam ſumptarum altitu­dinum; ex æquali igitur erit vt figura triangulo ABC cir­cumſcripta ad parallelogrammum AE, ita figura conoidi ABC circumſcripta ad AE cylindrum: vtraque autem circumſcriptarum figurarum excedit ſibi inſcriptam mino­ri ſpacio quantacumque magnitudine propoſita, vt igitur triangulum ABC, ad parallelogrammum AE, ita erit co­noides ABC, ad cylindrum AE. Sed triangulum ABC eſt parallelogrammi AE dimidium; igitur conoides ABC eſt cylindro AE dimidium: ſed cylindrus AE eſt coni ABC, triplum: igitur conoides ABC, erit coni ABC ſeſquialterum. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XIX.

Omnis priſmatis triangulam baſim habentis centrum grauitatis rectam lineam, quæ cuiuſlibet trium laterum bipartiti ſectionem, & oppoſiti pa­rallelogrammi centrum iungit, ita diuidit, vt pars, quæ attingit latus ſit dupla reliquæ.

Sit priſma, quale diximus AB CDEF, ſectoque vno ipſius la­tere BF in puncto G, bifariam parallelogrammi oppoſiti ſit cen trum H, & iuncta GH, cuius pars GK ſit dupla reliquæ KH. Dico priſmatis ABCDEF, cen trum grauitatis eſſe K. Per pun ctum enim H ducatur NO ip­ſi AE, vel CD parallela, quæ ipſas AC, ED, ſecabit bifariam: iunctisque BN, FO, ducatur per punctum K, ipſi FB, vel NO

parallela LM. Quoniam igitur eſt vt HK ad KG, ita NL ad LB, & OM ad MF, erit NL, ipſius LB, & OM ipſius MF dimidia: ſed & rectæ BN, FO, triangulorum baſes AC, ED, bifariam ſe­cant; erunt igitur puncta L, M, centra grauitatis triangulorum ABC, DEF, oppoſitorum. Priſmatis igitur ABCDEF axis erit LM: quare in eius bi­partiti ſectione priſmatis ABC DEF centrum grauitatis: ſectus autem eſt axis LM bifariam in puncto K; nam ob parallelogram ma eſt vt NH ad HO, ita LK ad KM; priſmatis igitur ABC DEF, centrum grauitatis erit K.Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XX.

Omnis priſmatis baſim habentis trapezium, cu­ius duo latera inter ſe ſint parallela centrum gra­uitatis rectam lineam, quæ æque inter ſe diſtan­tium parallelogrammorum centra iungit, ita di­uidit, vt pars, quæ dictorum parallelogrammorum minus attingit ſit ad reliquam, vt duorum baſis la terum parallelorum dupla maioris vna cum minori ad duplam minoris vna cum maiori.

Sit priſma ABCDEFGH, cuius baſis trapezium ABCD, habens duo latera AD, BC, inter ſe paralle­la, ſitque eorum AD maius: parallela igitur erunt inter ſe duo parallelogramma BG, AH. Sit parallelogrammi AH centrum K, & BG parallelogrammi centrum L, iuncta-que LK, fiat vt dupla ipſius AD vna cum BC ad du­plam ipſius BC vna cum AD, ita LR ad RK. Dico priſmatis AG centrum grauitatis eſse R. Ducantur enim per puncta L, K lateribus priſmatis, atque ideo inter ſe parallelæ MN, OP, quæ ob centra K, L, ſecabunt oppoſita parallelogrammo­rum latera bifariam, eas ſectiones connectant MO, NP, ipſique MN, vel OP, parallela ducatur Q RS. Quoniam igitur eſt vt LR ad RK, hoc eſt vt dupla ipſius AD vna cum BC ad duplam ipſius BC vna cum AD, ita OQ ad QM, & recta MO bifa­

riam ſecat AC trapezij latera parallela, punctum Q, AC trapezij centrum grauitatis; ſimiliter & punctum S erit EG, trapezij centrum grauitatis: priſmatis igitur AG axis erit QS, & centrum grauitatis R, quod eſt in medio axis. Omnis igitur priſmatis baſim habentis trapezium, &c. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXI.

Si à quolibet prædicto priſmate duo priſmata beſes habentia triangulas ſint ita abſciſſa, vt pa­rallelepipedum relinquant baſim habens minus parallelogrammorum inter ſe parallelorum præ­dicti priſmatis, maioris autem partes æqualia pa­rallelogramma ipſum parallelepipedum relin­quat, centrum grauitatis vtriuſque abſciſsi priſ­matis tamquam vnius magnitudinis rectam line­lam, quæ prædicti priſmatis parallelorum paral lelogrammorum centra iungit, ita diuidit, vt pars, quæ minus parallelogrammum attingit ſit dupla reliquæ.

Sit priſma ABCDEFGH, cuius baſes oppoſitæ tra­pezia ADHE, BCGF. Sint autem AD, EH, paral­lelæ, quarum maior EH. Oppoſita igitur parallelogram­ma AC, EG, inter ſe erunt parallela, quorum maius EG. At per rectas AB, CD, ſectum ſit priſma. ABCDEF GH, ita vt abſciſſa priſmata ABSFER, CDVHGT, relinquant parallelepipedum AT, ipſum autem AT, re­linquat duo parallelogramma æqualia ES, TH. Poſito autem centro K parallelogrammi AC, & L, paral lelogrammi EG, iunctaque KL, ponatur KM, du pla ipſius ML. Dico duorum priſ­matum BER, CVH, ſimul cen trum grauitatis

eſse M. Sectis enim AB, CD, bifariam in punctis P, Q, ſumptiſque parallelogrammorum ES, VG, centris N, O, iungantur PN, QO, & poſita PX dupla ipſius XN, & QZ dupla ipſius ZO, iungantur rectæ PKQ, XZ, NO. Quoniam igitur in quadrilatero PQON, recta XZ, pa­rallela eſt vtrilibet ipſarum PQ, NO, ſecat ijs parallelis interceptas in eaſdem rationes; recta igitur XT per pun-ctum M tranſibit. Sed quia PK eſt æqualis KQ, & NL ipſi LO, etiam XM æqualis erit ipſi MZ ob parallelas; cum igitur priſmatum BER, CVH centra grauitatis ſint X, Z; erit vtriuſque priſmatis prædicti ſimul centrum gra­uitatis M. Quod eſt propoſitum.

PROPOSITIO XXII.

Si ſint duæ pyramides æquales, & æque altæ, baſes habentes in eodem plano, quarum vertices recta linea connectens cum ea, quæ baſium centra grauitatis iungit ſit in eodem plano; earum cen­trum grauitatis tamquam vnius magnitudinis re­ctam lineam, quæ inter vertices, & centra baſium interiectas bifariam ſecat, itadiuidit, vt pars ſu­perior ſit inferioris tripla.

Sint duæ pyramides æ­quales, & æ­que altæ, qua­rum baſes in eodem plano AC, DB, ver tices autem G, H, & ba­ſium centra E, F, iunctæque EF, GH, quas bifariam ſecet recta KL, huius autem pars quarta ſit LM. Dico vtriuſque pyramidis GAC, HDB, ſimul centrum grauitatis eſſe M. Iunctis enim GE, HF, ſumantur ea­rum quartæ partes EN, FO, & iungatur NO. Quoniam igitur propter æqualitatem altitudinum, & quia EF, GH, ſunt in eodem plano, ſunt EF, GH, inter ſe parallelæ, & vt GN ad NE, ita eſt HO ad OF; erit NO ipſi E Fivel GH, paralle­la, quas KL bifariam ſecat: igitur & ipſam NO ſecabit bi fariam, iungit autem recta NO centra grauitatis py­ramidum æqua­lium GAC, HDB, vtriuſ­

que ergo pyramidis ſimul centrum grauitatis erit in com­muni ſectione duarum linearum KL, NO, ſed recta NO, ſecans ſimiliter ipſas GE, KL, HF, ipſam KL, ſecabit in puncto M; punctum igitur M, erit prædictarum pyrami­dum centrum grauitatis. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXIII.

Omnis fruſti pyramidis baſim habentis paral­lelogrammum centrum grauitatis maiori baſi eſt propinquius, quam punctum illud, in quo axis ſic diuiditur, vt pars minorem baſim attingens ſit ad reliquam vt dupla cuiuſuis laterum maioris baſis vna cum latere minoris ſibi reſpondente, ad duplam dicti lateris minoris baſis vna cum maioris ſibi reſpondente.

Sit pyramidis, cuius baſis parallelogrammum EFGH, fruſtum ABCDEFGH, eiuſque axis KL, quo ſecto in pun cto a ita vt K a ad a L, ſit vt laterum homologorum AD EH, dupla ipſius EH vna cum AD ad duplam ipſius AD vna cum EH, & fruſti ABCDEFGH ſit centrum grauitatis nempe in axe KL. Dico punctum , cadere infra punctum a. A punctis enim A,B,C,D, ducantur

ad maiorem baſim axi KL, parallelæ AN, BO, CR, DS, & parallelepipedum ABCDNORS compleatur, & productis baſis NO lateribus, deſcriptæ ſint quatuor py­ramides AEMNZ, BOPFY, CGXRQ, DHVST, quarum baſes erunt parallelogramma circa diametrum æqualia, atque ſimilia: & quatuor priſmata triangulas ba­ſes habentia, quorum binorum ex aduerſo inter ſe reſpon-dentium parallelogramma in plano EG exiſtentia erunt inter ſe æqualia, atque ſimilia, ſcilicet MS ipſi OQ, & ZO, ipſis RV: ſitque axis KL pars tertia L b, quarta autem L d. Quoniam ìgitur ex ſupra demonſtratis priſ­matis ABCDTMPQ eſt centrum grauitatis a; duo­rum autem priſmatum oppoſitorum ABYONZ, CDS RXV, centrum grauitatis b, erit reliqui ex fruſto AB
CDEFGH demptis quatuor prædictis pyramidibus in a b centrum grauitatis, quod ſit g. Nam ex primo li­bro conſtat punctum a cadere ſupra punctum b, ſi com­pleatur trapezium ACGE, cuius diameter erit KL. Sed earum quatuor pyramidum eſt centrum grauitatis d. Si enim baſium, quibus binæ oppoſitæ pyramides inſiſtunt centra grauitatis, & bini oppoſiti vertices ſingulis rectis li-neis connectantur, erunt binæ connectentes parallelæ, & ab axe K L bifariam ſecabuntur, vt figuræ deſcriptio ina­nifeſtat. Totius igitur fruſti ABCDEFGH, centrum grauitatis in linea g d cadet: ſed punctum g cadit infra punctum a, multo ergo inferius, & baſi EG propinquius punctum quam punctum a. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXIV.

Omnis fruſti conici centrum grauitatis pro­pinquius eſt maiori baſi quam punctum illud, in quo axis ſic diuiditur, vt pars minorem baſim attingens ſit ad reliquam, vt dupla diametri ma­ior is baſis vna cum minoris diametro ad duplam diametri minoris baſis vna cum diametro ma­ioris.

Hoc eadem ratione deducetur ex antecedenti, qua cen­trum grauitatis fruſti conici in extremo primo libro demon ſtrauimus, quandoquidem ſimiliter vt ibi fecimus, omnis pyramidis centro grauitatis idem probaremus accedere quod prædictæ pyramidis in antecedente.

PROPOSITIO XXV.

Si ſint quotcumque magnitudines, & aliæ illis multitudine æquales, binæque ſumptæ in eadem proportione, quæ commune habeant centrum grauitatis, centra autem grauitatis omnium ſint in eadem recta linea; primæ & ſecundæ tanquam duæ magnitudines commune habebunt centrum grauitatis.

Sit recta linea AB, & quotcumque magnitudines FGH, & totidem KLM, binæ in eadem proportione: nimirum vt F ad G ita K ad L: & vt G ad H ita L ad M. in recta autem AB, ſint communia centra grauitatis, C duarum FK, & D duarum GL: & E duarum HM. Om­nium autem primarum tamquam vnius magnitudinis ſit centrum grauitatis O. Dico & omnium ſecundarum ſi­mul centrum grauitatis eſse O. Duarum enim FG ſi­

mul ſit centrum grauitatis N. Vtigitur eſt F ad G, hoc eſt, vt K ad L, ita erit DN, ad NC. punctum igitur N eſt centrum grauitatis duarum magnitudinum KL ſimul. Rurſus, quia componendo, & ex æquali, eſt vt FG ſimul ad H, ita KL ſimul ad M: eſt autem tam duarum FG, quam duarum KL ſimul centrum grauitatis N, ſimiliter vt ante oſtenderemus duarum magnitudinum FGH, KLM centrum grauitatis eſse O. Quod eſt propoſitum.

PROPOSITIO XXVI.

Si ſint quotcumque magnitudines, & aliæ ip­ſis multitudine æquales primarum, ex quibus cen tra grauitatis in eadem recta linea diſpoſita ſint alternatim ad centra grauitatis ſecundarum, qua-rum magnitudinum binæ eodem ordine, qui ſu­mitur ab eodem prædictæ lineæ termino vnain primis, & alterain ſecundis inter ſe ſint æquales; omnium primarum ſimul, ex quibus primæ cen­trum grauitatis propinquius eſt prædicto lineæ termino quàm primæ ſecundarum, propinquius erit prædicto lineæ termino quàm omnium ſecundarum ſimul centrum grauitatis.

Sint quotcumque magnitudines ABC primæ, & toti­dem ſecundæ DEF, quarum centra grauitatis in recta linea TV, primarum quidem G ipſius A proximum om­

nium termino T, à quo ſumitur ordo. Deinde H ipſius B, & K, ipſius C, diſpoſita ſint alternatim ad centra ſecun­darum; videlicet vt centrum grauitatis L, ipſius D cadat inter centra G, H, & M ipſius E inter centra H, K: & N inter puncta K, V: ſint autem æquales binæ AD, BE, CF: & omnium ABC ſimul centrum grauitatis P, & om­nium DEF ſimul centrum grauitatis O. Dico punctum P propinquius eſſe termino T, quàm punctum O. Duarum enim A, B ſit centrum grauitatis R: & S, dua­rum DB, & Q, duarum DE. Quoniam igitur Q eſt centrum grauitatis duarum magnitudinum DE ſimal; erit vt D ad E, hoc eſt ad B, ita MQ, ad QL: hoc eſt HS, ad SL. & componendo, vt ML, ad LQ, ita HL, ad LS; & permutando, vt ML ad LH, ita LQ ad LS: ſed ML eſt maior quàm LH; ergo & LQ erit maior quàm LS. Eadem ratione quoniam S eſt centrum gra­uitatis duarum DB: & R duarum AB: & AD ſunt æ­quales; erit RH maior quàm SH: ſed quia LQ erat ma­ior quàm LS, eſt & SH maior quàm QH; multo igitur maior RH erit quàm QH: atque ideo punctum R pro­pinquius termino T, quàm punctum que Rurſus quo­niam tota magnitudo AB eſt æqualis toti DE, & C æ­qualis F; erunt duæ primæ AB, & C, & totidem ſecun­dæ DE, & F, quarum vnius poſteriorum DE cen­trum grauitatis Q cadit inter R, K centra grauitatis duarum priorum AB, & C, & reliquæ priorum C cen­trum grauitatis K cadit inter Q, N, duarum poſterio­rum DE, & F centra grauitatis; erunt vt antea quatuor magnitudines binæ proximæ æquales, ſcilicet AB, ipſi
DE: & C ipſi F, centra grauitatis habentes diſpofita alternatim in eadem recta TV. Cum igitur primæ prio­rum AB, centrum grauitatis R ſit termino T propin­quius quàm Q centrum grauitatis primæ poſteriorum, quæ eſt tota DE; ſimiliter vt ante totius magnitudinis ABC centrum grauitatis P erit termino T propinquius quàm totius DEF centrum grauitatis O. Non aliter oſtenderemus, quotcumque plures magnitudines, quales & quemadmodum diximus ad rectam TV, diſpoſitæ proponerentur, ſemper centrum grauitatis omnium prio­rum ſimul termino T propinquius cadere, quàm omnium poſteriorum ſimul centrum grauitatis. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO XXVII.

Si ſint quotcumque magnitudines, & aliæ illis multitudine æquales, quæ binæ commune habe­ant in eadem recta centrum grauitatis; ſumpto au tem ordine ab vno eius lineæ termino, maior ſit proportio primæ ad ſecundam in primis, quàm primæ ad ſecundam in ſecundis: & ſecundæ ad tertiam in primis maior quàm ſecundæ ad ter­tiam in ſecundis, & ſic deinceps vſque ad vltimas; erit omnium primarum ſimul centrum grauitatis propinquius prædicto lineæ termino, à quo ſumi­tur ordo, quàm omnium ſecundarum.

Sint quotcumque magnitudines GHI, & totidem LMN. Sitque maior proportio G ad H, quàm L ad M: & H ad I, maior quàm M ad N: in recta autem AB ſint communia centra grauitatis, C duarum magnitudinum GL, & D duarum HM, & E duarum IN. omnium

autem primarum GHI ſimul ſit centrum grauitatis K: at ſecundarum omnium LMN centrum grauitatis R. Di­co centrum K cadere termino A propinquius quàm cen trum R. Fiat enim vt G ad H, ita DP ad PC: & vt L ad M, ita DQ ad QC. Maior igitur proportio erit DP ad PC, quàm DQ ad QC: & componendo, maior DC ad CP, quàm DC ad CQ: minor igitur CP erit quàm CQ: quare DP maior quàm Dque & communi addita ED, erit EP maior quàm Eque Et quoniam K eſt cen­trum grauitatis omnium GHI ſimul, & ipſius GH eſt cen trum grauitatis P, & reliquæ magnitudinis I, centrum grauitatis E; erit vt GH ad I, ita EK ad KP. eadem ratione vt vtraque LM ad N, ita erit ER ad Rque Rur­
ſus, quia maior eſt proportio G ad H, quàm L ad M, erit componendo, maior proportio GH ad H, quàm LM ad M: ſed maior eſt proportio H ad K, quàm M ad N; ex æquali igitur, maior erit proportio GH ad I, quàm LM ad N, hoc eſt EK ad KP, quàm ER ad Rque Multo ergo maior proportio EK ad KP, quàm ER ad RP: & componendo maior proportio EP ad PK quàm EP ad PR; minor igitur PK erit quàm PR, at que ideo centrum K propinquius termino A quàm centrum R. Quod de­monſtrandum erat.

PROPOSITIO XXVIII.

Si ſint quotcumque magnitudines, & aliæ ipſis multitudine æquales, quarum omnium centra grauitatis ſint in eadem recta linea, & centra pri­marum ad centra ſecundarum diſpoſita ſint alter­natim: ſit autem maior proportio primæ ad ſecun-dam in primis quàm primæ ad ſecundam in ſecundis: & ſecundæ ad tertiam in primis, maior quàm ſecundæ ad tertiam in ſe cundis, & ſic deinceps vſ­que ad vltimas; erit omnium primarum ſimul cen trum grauitatis propinquius prædictæ lineæ ter­mino à quo ſumitur ordo omnium ſecundarum centrum grauitatis.

Sit quotcumque magnitudines GHI, & totidem LMN primarum autem ſint centra grauitatis CDE cum ſecundarum centris OPQ in eadem recta AB diſpoſita alter­natim, vt O cadat inter puncta CD, & P inter puncta DE, & E inter puncta Pque ſitque maior proportio G ad H, quàm L ad M, & H ad I maior quàm M ad N. omnium autem primarum GHI ſimul ſit centrum gra­uitatis T; at omnium ſecundarum LMN, ſimul, cen­

trum grauitatis V. Dico punctum T eſſe termino A propinquius quàm punctum V. Eſto enim F æqualis L, & K æqualis M, & X æqualis N, ſit autem cen­trum grauitatis ipſius F in puncto C, & ipſius K in pun­cto D, & ipſius X in puncto E. In recta igitur AB om­nium FKX, ſimul centrum grauitatis erit termino A, pro­pinquius quàm omnium LMN ſimul centrum grauitatis. Sed & omnium GHI, ſimul centrum grauitatis in eadem recta AB propinquius eſt termino A quàm omnium FKX, ſimul centrum grauitatis; multo igitur termino A propinquius erit omnium GHI ſimul quàm omnium LMN, ſimul centrum grauitatis. Quod demonſtran­dum erat.

ALITER.

Poſito enim R centro grauitatis duarum magnitudinum G, H, & S duarum L,M, vel punctum V cadit in puncto E, vel in linea EB, vel in linea AE, ſi in puncto E vel in linea EB, cum igitur T ſit centrum grauitatis trium magnitudinum G,H,I ſimul, & E ipſius I, erit punctum T propinquius termino A quàm punctum V. Sed punctum V in linea AE cadat. Veligitur S centrum grauitatis duarum magnitudinum L, M, ſimul cadit in puncto D, ſiue in linea DB, vel in li­nea AD. ſi in puncto D, vel in linea DB; centrum gra­uitatis R duarum magnitudinum GH erit termino A propinquius quàm ipſum S, & recta ER maior quàm ES,

Sed cadat punctum S in linea AD. Quoniam igitur ma­ior eſt proportio G ad H, quàm L ad M: & vt G ad H, ita eſt DR ad RG, & vt L ad M, ita PS ad SO, ma­ior erit proportio DR ad RC, quàm PS ad SO; mul­to ergo maior DR ad RC, quàm DS ad SO, & multo maior quàm DS ad SC, & componendo maior propor­tio DC ad CR, quàm DC ad CS; erit igitur CR mi­nor quàm CS, atque adeo RD maior DS, addita igitur ED communi, erit ER maior quàm ES. Rurſus quia componendo, & ex æquali maior eſt proportio totius GH ad I quàm totius LM ad N, hoc eſt maior longitudinis ET ad TR, quàm QV ad VS, & multo maior quàm EV ad VS, erit componendo, maior proportio ER ad RT quàm ES ad SV: & per conuerſionem rationis mi­nor proportio FR ad ET; quàm ES ad EV, & permu­tando minor proportio ER ad ES quàm ET ad EV: ſed ER maior erat quàm ES, ergo ET maior erit quàm EV: & punctum T propinquius termino A, quàm punctum V. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXIX.

Datæ figuræ circa diametrum, vel axim in alte ram partem deficienti, ſuper baſim rectam lineam vel circulum, vel ellipſim; cuius figuræ baſis, & ſectiones omnes parallelæ ſegmenta æqualia dia­metri vel axis intercipientes ita ſe habeant, vt quarumlibet trium proximarum minor proportio ſit minimæ ad mediam, quàm mediæ ad maxi­mam; figura quædam ex cylindris, vel cylindri portionibus, vel parallelogrammis æqualium al­titudinum circumſcribi poteſt, cuius centrum gra­uitatis ſit propinquius baſi quàm cuiuſlibet datæ figuræ, qualem diximus quæ prædictæ figuræ cir cadiametrum, vel axim circumſcripta ſit.

Sit figura circa diametrum, vel axim in alteram partem de­ficiens qualem diximus, cuius bafis circulus, vel ellipſis vel recta linea AC, axis autem vel diameter BD. Et data figu­ra ipſi ABC figuræ circumſcripta compoſita ex cylindris, vel cylindri portionibus, vel parallelogrammis æqualium altitudinum EF, GH, AK. Dico figuræ ABC alteram figuram, qualem diximus poſſe circumſcribi, cuius centrum grauitatis, nempe in linea BD, ſit propinquius baſi AC, ſiue termino D, quàm prædictæ datæ figuræ circumſcriptæ centrum grauitatis, Omnium enim cylindrorum, vel cy­lindri portionum, vel parallelogrammorum, ex quibus con­ſtat prædicta data figura circumſcripta ſint axes, vel quæ oppoſita latera coniungunt rectæ BL, LM, MD, qui­bus ſectis bifariam in punctis N, O, P, ac planis per ea ſiue rectis tranſeuntibus baſi AC parallelis, ſecantibus­que dictos cylindros, vel cylindri portiones, vel pa­rallelogramma, compleatur & figuræ ABC circumſcri­batur altera figura vt prior, quæ ob ſe­ctiones factas com­ponetur ex duplis multitudine cylin­dris, vel cylindri por­tionibus, vel paralle­logrammis ęqualium altitudinum, eorum ex quibus conſtat da­ ta figura circumſcri­pta ſinautem hi cy­lindri, aut reliqua, quæ diximus QR,

ES, TV, GX, ZI, AY. Quoniam igitur cylindro­rum, vel cylindri portionum, vel parallelogrammorum quæ ſunt circa figuram ABC, minor eſt proportio QR ad ES, quàm ES, ad TV, propter ſectiones circulos, vel ſimiles ellipſes, vel rectas lineas, & æqualitatem altitudinum, & figuræ propoſitæ naturam. Sed eadem ratione minor eſt proportio ES ad TV, quàm TV, ad GX; multo ergo minor proportio erit QR ad ES, quam TV ad GX: & componendo, minor proportio QR, ES, ſimul ad ES, quàm TV, GX, ſimul ad GX. ſed vt GX ad GH, ita eſt ES ad EF; ex æqua-li igitur minor erit proportio QR, ES ſimul ad EF, quàm TV, GX ſimul ad GH. & permutando, minor proportio QR, ES ſimul ad TV, GX ſimul quàm EF ad GH. & conuertendo, maior proportio GX, TV ſi­mul ad ES, QR ſimul, quàm GH ad EF. Similiter oſtenderemus duo ZI, AY, ſimul ad TV, GX, ſimul, maiorem habere proportionem, quàm AK ad rectarum GH. Rurſus quoniam puncta N, O, in medio BL, LM, ſunt, ipſorum EF, GH, centra grauitatis: duorum autem QR, ES ſimul centrum grauitatis eſt in linea NL, pro­pterea quòd ES maius eſt quàm QR, & æquales BN, NL, quas centra grauitatis ipſorum QR, ES bifariam diuidunt, cadet ipſorum QR, ES, ſimul centrum grauita­tis propius termino D, quàm ipſius EF centrum grauitatis, & duobus centris N, O, interijcietur. Eademque ratio­ne duorum TV, GX, ſimul centrum grauitatis termino D erit propinquius quàm ipſius GH centrum grauitatis, & duobus centris O, P, duorum GH, AK interijcietur. Et duorum ZI, AY ſimul centrum grauitatis propin­quius erit D termino, quàm P ipſius AK. Quoniam igitur omnia primarum magnitudinum, ex quibus conſtat figura ſecundo circumſcripta centra grauitatis in eadem re cta linea BD, diſpoſita ſunt alternatim ad centra grauita­tis ſecundarum primis multitudine æqualium, ex quibus data figura conſtat ipſi ABC figuræ circumſcripta, ſunt termino D propinquiora, quàm centra grauitatis ſecunda­rum, ſi bina, prout inter ſe reſpondent comparentur: maior autem proportio oſtenſa eſt primæ ad ſecundam in primis, quàm primæ ad ſecundam in ſecundis: & ſecundæ ad ter­tiam in primis, quàm ſecundæ ad tertiam in ſecundis, ſumpto ordine à termino D, erit centrum grauitatis om­nium primarum ſimul, ideſt figuræ ipſi ABC figuræ ſecundo circumſcriptæ termino D propinquius, quàm datæ figuræ eidem ABC figuræ primo circumſcriptæ cen­trum grauitatis. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXX.

Omnis prædictæ figuræ centrum grauitatis eſt propinquius baſi, quàm cuiuſlibet figuræ ex cylindris, vel cylindri portionibus, vel parallelo­grammis æqualium altitudinum ipſi circumſcri­ptæ.

Sit prædicta figura ABC, cuius axis vel diameter BD, & data intelligatur figura ex quotcumque cylindris, vel cy­lindri portionibus, vel parallelogrammis æqualium altitu­dinum figuræ ABC circumſcripta, cuius ſit centrum gra­uitatis E, nempe in axe vel diametro BD. Dico cen­trum grauitatis figuræ ABC propinquius eſſe puncto D, quàm punctum E. Si enim fieri poteſt, centrum grauita­tis figuræ ABC, quod ſit F, non cadat infra punctum E, ſed vel ſupra, vel con­gruat puncto E: figuræ ita­que ABC circumſcribatur figura quædam ex cylindris, vel cylindri portionibus, vel parallelogrammis <17>qualium altitudinum, cuius centrum

grauitatis, quod ſit G, ſit propinquius D puncto, quàm punctum E, ac propterea propinquius, quàm punctum F, centrum grauitatis figuræ primo circumſcriptæ. Rurſus multiplicatis cylindris, vel cylindri portionibus, vel paral-lelogrammis circumſcribatur figuræ ABC, altera tertia fi­gura, quemadmodum diximus in præcedenti, cuius cen­trum grauitatis H, in linea GD cadat & ſit minor pro­portio reſidui huius tertiæ figuræ circumſcriptæ ipſi ABC, ad figuram ABC, quàm FG ad GD. Multo ergo mi­nor proportio erit dicti reſidui ad figuram ABC quam F H ad HD, fiat igitur vt prædictum reſiduum ad figuram ABC, ita ex contraria parte FH ad HDK; prædicti igi­tur reſidui centrum grauitatis erit K, extra ipſius terminos, quod fieri non poteſt: Non igitur F centrum grauitatis fi­guræ ABC cadit in puncto E, nec ſupra; ergo infra pun ctum E: & ponitur E centrum grauitatis cuiuslibet figuræ ex cylindris, vel cylindri portionibus, vel parallelogrammis æqualium altitudinum quo modo diximus ipſi ABC cir­cumſcriptæ. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO XXXI.

Omni prædictæ figuræ figura quædam ex cylin dris, vel cylindri portionibus, vel parallelogram­mis æqualium altitudi num circumſcribi po­teſt, cuius centri graui tatis diſtantia à prædi­ctæ figuræ centro gra­uitatis ſit minor quan­tacunque longitudine propoſita.

Sit figura ABC in alteram partem deficiens ſupradicta, cuius centrum grauitatis F, propoſita autem quantacumque longitudine minor ſit FG ipſius BF. Dico figuræ ABC figu-ram ex cylindris vel cylindri portionibus, vel parallelogram­mis æqualium altitudinum circumſcribi poſſe, cuius centrum grauitatis ſit propinquius puncto F, quàm punctum G: figu­ræ enim ABC figura, qualem diximus circumſcribatur, cu­ius reſiduum dempta figura ABC, ad figuram ABC mi­norem habeat proportionem, quàm FG, ad GB, ſit autem figuræ circumſcriptæ centrum grauitatis K, nempe in axe, vel diametro BD. Dico lineam FK minorem eſſe quàm FG, atque adeo lon gitudine propoſita. Quo­niam enim F eſt centrum grauitatis figuræ ABC, erit centrum grauitatis K, figuræ circumſcriptæ ipſi ABC propinquius termi­no B, quàm punctum F, ſed centrum grauitatis fi­guræ ABC quòd eſt F, & figuræ circumſcriptæ, quod eſt K & eius reſidui dem­

pta figura ABC ſunt in communi axe, vel diametro BD; erit igitur dicti reſidui in linea BK, centrum grauitatis, quod ſit H. Minor autem proportio eſt prædicti reſidui ad figuram ABC, hoc eſt ipſius FK ad KH, quàm FG ad GB, & multo minor, quàm FG ad GH; & compo­nendo minor proportio FH ad HK, quàm FH ad HG; ergo KH maior erit, quàm GH; reliqua igitur F K mi­nor, quàm FG atque adeo longitudine propoſita. Fieri ergo poteſt, quod proponebatur.

PROPOSITIO XXXII.

Si duarum prædictarum figurarum circa com­munem axim, vel diametrum, vel alterius diame­trum alterius axim, baſes, & quotcumque ſectio­nes quales diximus, binæ in eodem plano fue­rint proportionales; idem punctum in diametro, vel axe erit vtriuſque centrum grauitatis.

Sint duæ prædictæ figuræ ABC, DBE, circa eandem diametrum, vel axim BF. figuræ autem ABC ſit cen­trum grauitatis G, nempe in linea BF. Dico G eſſe centrum grauitatis figuræ DBE. ſi enim non eſt, ſit a­liud punctum H, quod cadat primo ſupra punctum G. Figuræ igitur AB C, figura circum­ſcribatur qualem diximus ex cylin­dris, vel cylindri portionibus, vel pa­rallelogrammis æ­qualium altitudinum cuius centri graui­tatis K diſtantia à

centro G, figuræ ABC ſit minor quàm recta GH: & figu­ræ DBE, figura circumſcribatur ex cylindris, vel cylindri portionibus vel parallelogrammis æqualium altitudinum, multitudine æqualium ijs, ex quibus conſtat ipſi ABC, figura circumſcripta, quæ cum prædictis circa figuram AB C erunt bina ſumpto ordine à puncto B, in eadem propor­tione inter eadem plana parallela, vel rectas parallelas conſi­ſtentia, propter ſectiones, ideſt baſes, & æquales altitudines: binorum autem quorumque homologorum idem erit in li­nea BF, centrum grauitatis: punctum igitur K, centrum grauitatis figuræ ipſi ABC circumſcriptæ, idem erit fi­guræ ipſi DBE, circumſcriptæ centrum grauitatis: cadiautem infra centrum grauitatis H figu­ræ DBE, quod eſt abſurdum. Non igitur centrum gra­uitatis figuræ DB E, cadit ſupra pun ctum G. Sed ca­dat infra, vt in pun­cto L. Rurſus igi tur figuræ DBE fi­gura, qualem dixi­mus circumſcripta, cuius centrum gra­uitatis M, ſit pro­pinquius centro L,
quàm punctum G, figuræ ABC altera qualem diximus figura circumſcribatur, cuius centrum grauitatis ſit idem punctum M, quod fieri poſſe conſtat ex ſuperioribus. Sed G ponitur centrum grauitatis figuræ ABC; ergo centrum grauitatis figuræ ipſi ABC, circumſcriptæ erit propinquius baſi & puncto F, quàm figuræ ABC centrum grauitatis, quod fieri non poteſt. Non igitur figuræ DBE centrum grauitatis cadit infra punctum G. Sed neque ſupra; punctum igitur G erit commune duarum figurarum ABC, DBE, centrum grauitatis. Quod demonſtrandum erat.

COROLLARIVM.

Manifeſtum eſt autem omnia proximis qua­tuor propoſitionibus oſtenſa de figura circa axim, vel diametrum in alteram partem deficienti, ea­dem ijſdem rationibus oſten ſa remanere de com­poſito ex duabus figuris circa communem axim vel diametrum in alteram partem deficientibus, tam per ſe conſiderato, quàm ad alteram figuram circa eundem axim, vel diametrum cum prædi­cto compoſito, in alteram partem deficiens, ac ſi eſſent duæ tantummodo dictæ figuræ, quales in præcedenti proxima inter ſe comparauimus; ma­nente ſemper illa conditione, quàm de ſectioni­bus in vigeſima huius diximus. Tantum aduer­tendum eſt, vt pro ſectionibus, dicamus compoſita ex binis ſectionibus (quæ ſcilicet fiunt ab codem plano, vel eadem recta linea) cum de prædicto com poſito ſit ſermo: & in demonſtratione, procylin­dris, vel cylindri portionibus, vel parallelogram­mis, compoſita ex binis cylindris, vel cylindri por tionibus, vel parallelogrammis(quæ ſcilicet ſunt inter eadem plana parallela, vel lineas parallelas, & circa eundem axim, vel diametrum totius vel diametri, vel axis partem) ſicut & pro figura com­poſitum ex duabus dictis figuris: pro reſiduo, com poſitum ex reſiduis. Nam cum vtriuſque reſidui figurarum duobus prædictis figuris vnum quid componentibus, & circa eundem axim, vel diametrum exiſtentibus, qua ratione diximus, circum­ſcriptarum, centra grauitatis ſint in diametro, vel axe; etiam compoſiti ex ijs duobus reſiduis (vt in priori libro generaliter demonſtrauimus, cen­trum grauitatis erit in eadem diametro, vel axe: vnde vim habent proximæ quatuor anteceden­tes demonſtrationes, exemplum erit in demon­ſtratione trigeſimæ quartæ huius.

PROPOSITIO XXXIII.

Hemiſphærij centrum grauitatis eſt punctum illud in quo axis ſic diuiditur, vt pars, quæ ad ver­ticem ſit ad reliquam vt quin que ad tria.

Eſto hemifphærium ABC cuius vertex B, axis BD: ſit autem BD ſectus in G puncto, ita vt pars BG ad GD ſit vt quinque ad tria. Dico G eſse centrum grauitatis hemiſphærij ABC. Abſcindatur enim BK ipſius BD pars quarta: & ſuper baſim eandem hemiſphærij eundem­que axim BD cylindrus AF conſiſtat, & conus intelli­gatur EDF, cuius vertex D, baſis autem circulus circu­lo AC oppoſitus, cuius diameter EBF. Sectoque axe BD bifariam in puncto H, & ſingulis eius partibus rur­ſus bifariam, quoad BD ſecta ſit in partes æquales cu­iuſcumque libuerit numeri paris, tranſeant per puncta ſe­ctionum plana quædam baſi AC parallela, & ſecantia, hemiſphærium, conum, & cylindrum, quorum omnes ſe­ctiones erunt circuli, terni in codem plano ad aliam atque aliam trium harum figurarum pertinentes. Quod ſi præ­terea factæ ſectiones hemiſphærij ABC à cylindri AF ſectionibus, circuli à circulis concentricis auferri intelli­gantur; reliquæ totidem erunt ſectiones reliquæ figuræ ſo­lidæ, dempto ABC hemiſphærio ex toto AF cylin­dro, circuli deficientes circulis concentricis, hoc eſt prædi­ctis ABC hemiſphærij ſectionibus prout inter ſe reſpon­dent. Nunc ſuper ſectiones hemiſphærij ABC, & co­ni EDF cylindris conſtitutis circa axes, quæ ſunt ſeg­menta æqualia axis BD, intelligantur duæ figuræ ex cy­lindris æqualium altitudinum, altera inſcripta hemiſphæ­

rio ABC, altera cono EDF circumſcripta. Si igitur à toto AF cylindro auferatur figura, quæ inſcripta eſt hemiſphærio ABC, relinquetur figura quædam ex cylin­dris circa prædictos axes, vt ſunt BK, KH, HL, LD, deficientibus ijs cylindris, ex quibus conſtat figura inſcri­pta hemiſphærio ABC, & vno integro ſupiemo XF cylindro, circumſcripta reſiduo AF cylindri dempto A BC hemiſphærio, circumſcriptione interna: talis autem figuræ circumſcriptæ centrum grauitatis, per ea, quæ in primo libro, erit in axe BD, quemadmodum & aliarum duarum figurarum ex cylindris, quarum altera inſcripta eſt hemiſphærio ABC, altera cono EDF circumſcripta. Quoniam igitur quo exceſsu hemiſphærium ABC ſu­perat ex cylindris figuram ſibi inſcriptam, eodem figura circumſcripta reliquo cylindri AF, dempto ABC he­miſphærio, ſuperat ipſum reſiduum; figura autem inſcripta hemiſphærio ABC poteſt eſſe eiuſmodi, quæ ab hemi­ſphærio deficiat minori defectu quantacumque magnitu­dine propoſita; poterit figura, quæ prædicto reſiduo cir­cumſcripta eſt eſſe talis, quæ ipſum reſiduum ſuperet mi­no i exceſsu quantacumque magnitudine propoſita. Ru ſus, quia quemadmodum cylindrus AN infimus de­ficiens cylindro SR, æqualis eſt cylindro TP, ex ſupe­
rioribus, ita vnuſquiſque aliorum cylindrorum deficien­tium cylindris, qui ſunt in hemiſphærio, ex quibus cylin­dris deficientibus conſtat dicto reſiduo figura circumſcri­pta, æqualis eſt cylindrorum circa conum EDF, ei, qui cum ipſo eſt inter eadem plena parallela, & circa eundem axem; erunt omnes cylindri circa conum EDF, in ea­dem proportione cum prædictis cylindris deficientibus, circa prædictum reſiduum, ſi bini ſumantur inter eadem plana parallela, & circa eundem axem. Quemadmodum igitur omnium cylindrorum, qui circa conum EDF mi­nor eſt proportio primi ad verticem D, ad ſecundum, quàm ſecundi ad tertium, & ſecundi ad tertium, quàm ter-tij ad quartum, & ſic ſemper deinceps vſque ad vltimum XF (duplicatæ enim ſunt talium cylindrorum rationes earum, quas inter ſe habent diametri æqualibus exceſsibus differentes circulorum, qui ſunt ſectiones coni, & baſes cy­lindrorum, ex quibus conſtat figura cono EDF circum­ſcripta, ſumpta progreſſione proportionum eodem ordine gradatim à minima diametro vſque ad maximam EF) ita erit cylindrorum deficientium, ex quibus conſtat figura circumſcripta reliquo cylindri AF, dempto ABC hemi­ſphærio, minimi, cuius axis DL ad ſecundum minor pro­portio, quàm ſecundi ad tertium, & ſic deinceps, vſque ad maximum XF, communiter ad conum EDF, & prædictum reſiduum pertinentem, ſicut & eorum baſes circuli deficien tes, quæ ſunt dicti reſidui ſectiones. Cum igitur tam maxi­mi cylindri XF communis, quàm binorum quorumque reli quorum cylindrorum circa conum EDF, & prædictum reſi duum inter eadem plana parallela conſiſtentium, quorum axis communis in BD, commune centrum grauitatis in axe BD exiſtat, erit ex antecedenti punctum K, quod pono centrum grauitatis coni EDF, idem reſidui ex cylindro AF, dempto ABC, hemiſphærio centrum grauitatis. Quoniam igitur quarum partium eſt octo axis BD talium eſt BG quinque, & BK duarum (ponimus enim nunc K coni EDF centrum grauitatis) qualium eſt BD octo, ta­lium erit GK trium: ſed KH eſt æqualis BK; qualium igitur partium eſt GK trium, talium erit KH duarum, ta­liſque vna GH; dupla igitur KH ipſius GH: ſed ABC hemiſphærium duplum eſt prædicti reſidui, cum ſit cylin­dri AF, ſubſeſquialterum; vt igitur eſt hemiſphærium ABC, ad prædictum reſiduum, ita ex contraria parte erit longitudo KH, adlongitudinem GH: ſed H eſt centrum grauitatis totius cylindri AF & K, prædicti reſidui dempto ABC hemiſphærio; ergo ABC hemiſphærij centrum grauitatis erit G. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXXIV.

Omnis minoris portionis ſphæræ centrum grauitatis eſt in axe primum bifariam ſecto: deinde ſecundum centrum grauitatis fruſti circa eun­dem axim, abſciſſi à cono verticem habente cen­trum ſphæræ; in eo puncto, in quo dimidius axis portionis baſim attingens ſic diuiditur, vt pars duabus prædictis ſectionibus intercepta ſit ad eam, quæ inter ſecundam, & tertiam ſectionem interijcitur, vt exceſſus, quo tripla ſemidiametri ſphæræ, cuius eſt prædicta portio, ſuperattres de­inceps proportionales, quarum maxima eſt ſphæ­ræ ſemidiameter, media autem, quæ inter centra ſphæræ, & baſis portionis interijcitur; ad ſemi­diametri ſphæræ triplam.

Sit minor portio ABC, ſphæræ, cuius centrum D, ſemidiameter BD, in qua axis portionis ſit BG, baſis autem circulus, cuius diameter AC: & circa axim BD deſcriptus eſto conus HDF, cuius baſis circulus FH tangens portionem in B puncto ſit æqualis circulo ma­ximo, & fruſtum coni HDF abſciſſum vna cum portio­ne ABC ſit KHFL, & vt BD ad DG, ita fiat DG ad P: ſectoque axe BG bifariam in puncto N, fiat vt exceſſus, quo tripla ipſius BD ſuperat tres BD, DG, P, tanquam vnam, ita NM, ad MNO. Dico portio­nis ABC centrum grauitatis eſse O. Nam circa axim BG, ſuper baſim FH ſtet cylindrus EF, cuius cen-trum grauitatis erit N, reliqui autem eius dempta ABC portione centrum grauitatis M commune fruſto KLFH, vt colligitur ex demonſtratione antecedentis. Quoniam igitur eſt vt exceſsus, quo tripla ipſius BD ſu­perat tres BD, DG, P tanquam vnam, ad ipſius BD

triplam, hoc eſt vt NM ad MO, ita portio ABC ad EF cylindrum, & diuidendo vt MN ad NO, ita por­tio ABC ad reliquum cylindri EF; & N eſt cylindri EF, & M prædicti reſidui centrum grauitatis; erit reli­quæ portionis ABC centrum grauitatis O. Quod de­monſtrandum erat.

PROPOSITIO XXXV.

Omnis portionis ſphæræ abſciſſæ duobus pla­nis parallelis, altero per centrum acto, centrum grauitatis eſt in axe primum bifariam ſecto: dein­de ſumpta ad minorem baſim quarta parte axis portionis; in eo puncto, in quo dimidius axis mi­norem baſim attingens ſic diuiditur, vt pars dua­bus prædictis ſectionibus intercepta ſit ad eam, quæ interſecundam, & vltimam ſectionem inter­ijcitur, vt exceſſus, quo maior extrema ad ſphæræ ſemidiametrum, & axim portionis ſuperat ter­tiam partem axis portionis; ad maiorem extre­mam antedictam.

Sit portio ABCD ſphæræ, cuius centrum F: axis au­tem portionis ſit EF abſciſsæ duobus planis parallelis, quorum alterum tranſiens per punctum F faciat ſectio­num circulum maximum, cuius diameter AD, reliquam autem ſectionem minorem circulum, quæ minor baſis di­citur, cuius di­ameter BC: & vt eſt EF ad AD, ita fiat AD ad OP, cuius P R, ſit æqua­lis tertiæ parti axis EF. Et ſecta EF bi­

fariam in puncto M, & poſita EN ipſius EF quarta parte, fiat vt RO ad OP, ita MN ad NL. Dico L eſſe centrum grauitatis portionis ABCD. Nam circa axim EF ſuper circulum maximum AD deſcribatur cylindrus AG, cuius centrum grauitatis erit M: reliqui autem ex cylindro AG dempta ABCD portione centrum graui­tatis N. Quoniam igitur eſt vt RO ad OP, hoc eſt vt MN ad NL, ita portio ABCD ad reliquum cylindri AG, & diuidendo vt NM ad ML, ita portio ABCD ad reliquum cylindri AG: & cylindri AG eſt N, prædicti au­tem reſidui centrum grauitatis M; erit reliquæ portionis ABCD centrum grauitatis L. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXXVI.

Omnis portionis ſphæræ abſciſſæ duobus pla­nis parallelis neutro per centrum acto, nec cen­trum intercipientibus, centrum grauitatis eſt in axe primum bifariam ſecto: deinde ſecundum centrum grauitatis fruſti circa eundem axim, abſciſſi à cono verticem habente centrum ſphæ­ræ; in eo puncto in quo dimidius axis maiorem baſim attingens ſic diuiditur, vt pars duabus præ­dictis ſectionibus finita ſit ad eam, quæ inter ſe­cundam, & vltimam ſectionem interijcitur, vt exceſſus, quo maior extrema ad triplas & ſemidia metri ſphæræ, & eius quæ inter centra ſphæræ, & minorem baſim portionis interijcitur, ſuperat tres deinceps proportionales, quarum maxima eſt, quæ inter centra ſphæræ, & minoris baſis, media autem, quæ inter centra ſphæræ, & maio­ris baſis portionis interijcitur; ad maiorem extre­mam antedictam.

Sit portio ABCD, ſphæræ, cuius centrum E, ab­ſciſsa duobus planis parallelis, neutro per E tranſeun­te, nec E intercipientibus: axis autem portionis ſit GH, maior baſis circulus, cuius diameter AD, minor cuius diameter BC: producta autem GH vſque in E intel­ligatur coni KEN rectanguli, cuius axis EG, fruſtum KLMN abſciſſum ijſdem planis, quibus por­tio, & ſphæræ ſemidiameter ſit EHGS: & po­ſita T tripla ipſius ES, & V ipſius EG tri­pla, eſto vt V ad T ita T ad XZ: & vt GE ad EH ita EH ad w, & ſit ZY, ipſius XZ, æqualis tribus GE, EH, w, vt ſit exceſſus XY: & ſecto axe GH bifariam in puncto I, in linea GI, ſumatur O, centrum grauitatis fru­ſti KLMN: Et vt *uX ad XZ, ita fiat IO ad OIP. Dico portionis ABCD centrum grauitatis eſſe P. Nam circa axim GH pla­nis baſium portionis interceptus ſtet cylin­drus QR, cuius baſis ſit æqualis circulo ma­ximo. Quoniam igitur eſt vt YX ad XZ, hoc eſt vt IO ad OP, ita portio ABCD ad cylindrum QR, & diuidendo vt OI ad IP, ita portio ABCD ad reliquum cylindri QR: & I eſt cylindri QR, & O prædicti reſidui centrum grauitatis; erit reliquæ por­

tionis ABCD centrum grauitatis P. Quod demon­ſtrandum erat.

LEMMA.

Sit data recta PO, & in ea punctum D, & punctum quod­dam R in ipſa DO, ita vt VD ipſius PD, ad DT ipſius DO, ſit vt PD, ad DO: ſit autem maior proportio PS ad SO, quàm VR, ad RT. Dico OS, minorem eſſe quàm OR.

Fiat enim vt PS, ad SO, ita VZ ad ZT; ma­ìor igitur erit proportio VZ, ad ZT, quàm VR, ad RT: & componendo maior proportio VT, ad TZ,

quàm VT, ad TR; minor igitur TZ, quàm TR, ideſt maior DZ, quàm DR. Rurſus quia componendo eſt vt PO ad OS, ita VT ad TZ: ſed vt DO ad OP, ita eſt DT ad TV; erit ex æquali, vt DO ad OS, ita DT, ad TZ; & per conuerſionem rationis, vt OD ad DS, ita TD ad DZ: & permutando, vt DO ad DT, ita DS ad DZ: ſed DO, eſt maior quàm DT, ergo & DS, erit maior quàm DZ: ſed DZ maior erat quàm DR; multo ergo DS maior quàm DR, vnde minor erit OS quàm OR. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXXVII.

Si datæ maiori ſphæræ portioni cylindrus cir­cumſcribatur circa eundem axim portionis, cen­trum grauitatis reliquæ figuræ ex cylindro cir­cumſcripto ablata portione, propinquius erit ver­tici portionis, quàm centrum grauitatis portionis.

Sit ſphæræ cuius centrum D maior portio ABC, cu­ius axis BE, baſis circulus cuius diameter AC, & por­tioni ABC, cylindro XH circa axim BE circumſcripto vt ſupra fecimus: quoniam tam portionis ABC, quàm cylindri XH, centrum grauitatis eſt in axe BE; erit reli­qui ex cylindro XH, in axe BE centrum grauitatis, ſint in axe BE centra grauitatis Q portionis ABC & S præ­dicti reſidui. Dico eſſe punctum S vertici B propinquius

quàm punctum que Per centrum enim D tranſiens planum ad axim BE erectum ſecet cylindrum XH, & portionem ABC in duos cylindros KH, XL, & hemiſphærium KBL, & portionem AKLC, ſectio autem circulus ma­ximus eſto ille cuius diameter KL: & duo coni rectan­guli circa axes BD, DE, vertice D communi deſcri­bantur GDH, MDN, quorum alterius baſis GH com­munis erit cylindro XH: alterius autem MDN, minor quàm eiuſdem cylindri XH, baſis GH. Denique ſecta BE bifariam in puncto R, ſecentur BD, in puncto T, & DE, in puncto V, bifariam & ſumatur BO, ipſius BD, pars quarta, necnon EP pars quarta ipſius DE, primum itaque quoniam ER eſt maior, quàm ED, erit punctum R, in ſegmento BD. Quoniam igitur ex ſupra oſtenſis O eſt centrum grauitatis commune cono DGH, & reliquo cylindri KH dempto ABC hemiſphærio: & eadem ra­tione punctum P, cum ſit centrum grauitatis coni MDN, erit idem centrum grauitatis reliqui ex cylindro XL dem­pta AKLC portione: eſt autem reliquum cylindri KH dempto KBL hemiſphærio, æquale cono DGH, qua ratione & reliquum cylindri XL, dempta AKLC por­tione æquale eſt cono MDN; cum igitur S ſit centrum grauitatis totius reliqui ex toto cylindro XH, dempta ABC portione, erit idem S, centrum grauitatis compo­ſiti ex conis GDH, MDL: ſunt autem horum conorum centra grauitatis O, P; vt igitur conus GDH, ad co­num MDN, ita erit PS, ad SO: ſed coni GDH ad ſimilem ipſi conum MDN triplicata eſt proportio axis BD, ad axim BE, hoc eſt cylindri KH ad cylindrum XL; maior igitur proportio erit PS ad SO, quàm cy­lindri KH ad cylindrum XL, ſed vt cylindrus KH, ad cylindrum XL, ita eſt VR ad RT, ob centra grauiratis V, R, T, maior igitur proportio erit PS ad SO, quàm VR ad RT: ſed eiuſdem PO eſt vt PD ad DO, ita VD ad DT, ob ſectiones axium proportionales; pun­ctum igitur S propinquius eſt puncto O, quàm punctum R, per Lemma. Quare & Stermino B propinquius quàm punctum R: ſed R eſt centrum grauitatis totius cylindri XH: & S reliqui ex cylindro XH dempta ABC por­tione; igitur Q reliquæ portionis ABC, centrum graui­tatis erit in linea ER, atque ideo à puncto B remotius quàm punctnm S. Quod eſt propoſitum.

COROLLARIV M.

Manifeſtum eſt autem ex demonſtratione thelo­rematis, omnis reſidui ex cylindro datæ maiori ſphæræ portioni circumſcripto circa eundem axim portionis, cuius baſis ſit æqualis circulo ma ximo, centrum grauitatis eſſe in axe abſciſſa pri­mum quarta parte ad verticem portionis termina­ta ſegmenti axis portionis, quod centro ſphæræ, & vertice portionis, & quarta parte eius quod centro ſphæræ, & baſi portionis terminatur; ad baſim terminata in eo puncto, in quo ſegmentum axis portionis duabus prædictis ſectionibus fini­tum ſic diuiditur, vt ſegmentum propinquius baſi ſit ad reliquum, vt cubus ſegmenti axis portionis centro ſphæræ, & vertice portionis terminati ad cubum reliqui quod baſim portionis tangit, ſi­quidem cubi triplicatam inter ſe habent laterum proportionem, ſimul illud manifeſtum eſt, hoc idem eadem ratione poſſe demonſtrari de centro grauitatis reliqui ex cylindro dempta ſphæræ por­tione abſciſſa duobus planis paralìelis centrum ſphæræ intercipientibus, ita vt axis portionis à centro ſphæræ in partes inæquales diuidatur, cu­ius cylindri circumſcripti ſit idem axis, qui & por tionis, baſis autem æqualis circulo maximo. Si­militer enim deſcriptis duobus conis rectangulisverticem habentibus communem centrum ſphæ­ræ, baſes autem minores baſibus oppoſitis cylin­dri circumſcripti: æqualibus circulo maximo, ſu­mentes pro vertice minorem baſim, pro baſi, ma­iorem baſim portionis immotis reliquis propoſi­tum demonſtraremus.

PROPOSITIO XXXVIII.

Omnis maioris portionis ſphæræ centrum grauitatis eſt in axe primum bifariam ſecto: Deinde ſumpta ad verticem quarta parte ſegmenti axis, quod centro ſphæræ, & portionis vertice finitur: itemque ad baſim quarta parte reliqui ſegmenti inter centrum ſphæræ, & baſim portionis interie­cti. Deinde ſegmento axis, inter eas quartas par­tes interiecto, ita diuiſo, vt pats propinquior baſi ſit ad reliquam vt cubus ſegmenti axis, quod centro ſphæræ, & vertice portionis, ad cubum eius quod centris ſphæræ, & baſis portionis termina­tur; in eo puncto, in quo ſegmentum axis centro ſphæræ, & ſectione penultima finitum ſic diuidi­tur, vt pars prima & penultima ſectione termina­ta ſit ad totam vltima & penultima ſectione termi natam, vt exceſſus, quo ſegmentum axis portionis inter centrum, & baſim portionis interiectum ſu­perat tertiam partem minoris extremæ maiori po ſita dicto axis ſegmento in proportione ſemidia-metri ſphæræ ad prædictum ſegmentum, vnà cum ſubſeſquialtera reliqui ſegmenti, ad axim por­tionis.

Sit maior portio ABC ſphæræ, cuius centrum D, dia­meter KH, axis autem portionis ſit BE, baſis circulus, cuius diameter AC, & ſit axis BE primum bifariam ſe­ctus in puncto G: ſumptaque ipſius BD, quarta parte BP, itemque ipſius DE quarta parte EN, ſecetur inter­iecta PN, ita in puncto F, vt NF, ad FP, ſit vt cubus ex BD ad cubum ex DE; punctum igitur F, ex præcedenti

corollario erit centrum grauitatis reliqui ex cylindro LM portioni ABC, vt in antecedenti circumſcripto. Quo­niam igitur & prædicti reſidui, ex antecedenti, & cylindri LM, centra grauitatis ſunt in axe BE, erit & portionis ABC in axe BE centrum grauitatis, quod ſit S: manife­ſtum eſt igitur punctum S, cadere ſupra centrum D, in li­nea BD, minori ablata ſphæræ portione, cuius baſis cir-culus AC: centrum autem F propinquius eſſe puncto B, quàm centrum S, conſtat ex præcedenti: quare centrum G, totius cylindri LM inter puncta F, S cadet. Dico GF ad FS eſſe vt exceſſus, quo recta DE ſuperat tertiam partem minoris extremæ maiori poſita ipſa DE in proportione continua ipſius DH ad DE vnà cum ſubſeſquial­tera ipſius BD, ad axim BE, ita GF ad FS. Quoniam enim portio ABC ad cylindrum LM eſt vt prædictus ex­ceſſus vnà cum ſubſeſquialtera ipſius BD ad axim BE: & vt portio ABC ad LM cylindrum, ita eſt GF ad FS, ob centra grauitatis F, G; erit vt prædictus exceſſus vna cum ſubſeſquialtera ipſius BD ad axim BE, ita GF ad FS. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXXIX.

Omnis portionis ſphæræ abſciſſæ duobus pla­nis parallelis centrum intercipientibus, & à cen­tro æqualiter diſtantibus, centrum grauitatis eſt in medio axis, vel idem, quod centrum ſphæræ.

Sit portio ABCD, ſphæræ, cuius centrum G, abſciſsa duobus planis parallelis centrum G intercipien­tibus, & æquè ab eo di­ſtantibus: ſectiones erunt circuli minores, quorum diametri ſint AD, BC centra autem F,E, qui­bus axis portionis termi nabitur, eritque ad pla­na vtriuſque circuli per

pendicularis tranſiens per centrum G: & quia illa plana à centro G, æquè diſtant, erit EG, æqualis GF. Dico portionis ABCD centrum grauitatis eſſe G. Deſcripta enim figura, vt ſupra fecimus, intelligantur duo coni re­ctanguli GNO, GPQ, vertice G, communi, axibus autem eorum EG, GF: & cylindrus LM, portioni cir­cumſcriptus circa eun­dem axim EF, cuius ba ſis æqualis eſt circulo maximo: & ſumatur EH ipſius EG, pars quar­ta, itemque FK, pars quarta ipſius FG. Quo­niam igitur conorum G NO, PGO, axes FG, GH, ſunt æquales, re­liquæ KG, GH, æqua
les erunt; centra autem grauitatis conorum ſunt K, H; pun­ctum igitur G eſt centrum grauitatis compoſiti ex duobus conis æqualibus GNO, GPQ, hoc eſt reliqui ex cylin­dro LM, dempta ABCD, portione, ex ante demonſtra­tis: ſed idem G eſt centrum grauitatis totius cylindri LM; reliquæ igitur ABCD, portionis centrum grauitatis erit G. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XL.

Omnis portionis ſphæræ abſciſſæ duobus pla­nis parallelis centrum intercipientibus, & à cen­tro non æqualiter diſtantibus centrum grauitatis eſt in axe primum bifariam ſecto: Deinde ſumpta ad minorem baſim portionis quarta parte ſegmen ti axis, quod minorem baſim attingit: & ad maio-rem baſim quarta parte reliqui ſegmenti axis eo­rum, quæ à centro ſphæræ fiunt: Deinde recta inter has quartas partes interiecta ita diuiſa, vt pars maiori baſi propinquior ſit ad reliquam vt cubus ſegmenti axis inter ſphæræ centrum, & mi­norem baſim, ad cubum eius, quod inter ſphæræ centrum, & maiorem baſim portionis interijci­tur; in eo puncto, in quo ſegmentum axis centro ſphæræ, & penultima ſectione terminatum ſic di­uiditur, vt pars quæ penultima, & prima ſectione terminatur ſit ad totam vltima, & penultima ſe­ctione terminatam, vt ad axim portionis eſt exceſ ſus, quo idem axis portionis ſuperat tertiam partem compoſitæ ex duabus minoribus extremis, maio­ribus poſitis duobus axis ſegmentis, quæ fiunt à centro ſphæræ in rationibus ſemidiametri ſphæ­ræ ad prædicta ſegmenta.

Sit portio ABCD ſphæræ, cuius centrum G, abciſſa duobus planis parallelis centrum G intercipienibus, & ab eo non æqualiter diſtantibus: & axis portionis ſit EF, qui per centrum G tranſibit, vtpote parallelorum circu­lorum centra iungens: cumque eorum vtrumque ſit à cen­tro non æqualiter diſtantium perpendicularis, erunt eius ſegmenta EG, GF, inæqualia. Eſto EG, maius: ſectoque axe EF bifariam in puncto P, ſumptisque ipſarum EG, GF, quartis partibus EH, FK, ſecetur interiecta KH, in puncto Q, ita vt KQ, ad QH, ſit vt cubus ex EG, ad cubum ex GF, & portionis ABCD, ſit centrum grauitatis R: quod quidem cum punctis P, Q, eſſe in axe

EF: & cylindro LM, ſuper baſim æqualem circulo ma­ximo circa axim EF, portioni circumſcripto, reliqui eius dempta ABCD, portione centrum grauitatis eſse Q, & propinquius E puncto, quàm centrum grauitatis R por­tionis ABCD, manifeſtum eſt ex ſupra demonſtratis de maioris portionis ſphæræ centro grauitatis: portionis autem ABCD centrum grauitatis R eſse in ſegmento EG ſe­quitur ex antecedente. Dico PQ ad QR eſse vt ad axim EF exceſsus, quo axis EF ſuperat tertiam partem com­poſitæ duabus minoribus extremis altera reſpondente maiori extrema EG in proportione continua ipſius NG ad GE, altera maiori extremæ FG in proportione con­tinua ipſius NG ad GF. Quoniam enim ob centra grauitatis QPR eſt vt QP ad PR, ita portio ABCD ad reliquum cylindri LM, erit componendo, & per conuer­ſionem rationis, & conuertendo, vt PQ ad QR, ita por­tio ABCD ad LM cylindrum: ſed portio ABCD ad LM cylindrum eſt vt prædictus exceſſus ad axim EF; vtigitur prædictus exceſſus ad axim EF, ita eſt PQ ad QR. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XLI.

Omnis conoidis parabolici centrum grauita­tis eſt punctum illud, in quo axis ſic diuiditur vt pars, quæ eſt ad verticem ſit dupla reliquæ.

Sit conoides parabolicum ABC, cuius vertex B, axis autem BD ſectus in puncto E ita vt EB ſit ipſius ED dupla. Dico E eſse centrum grauitatis conoidis ABC. Nam in ſectione per axim parabola ABC, cuius diameter erit B D, deſcribatur rian­gulum ABC; ſum­ptisque ipſius BD æ­qualibus DH, HO, per puncta H, O, ſe­centur vnà parabola & triangulum ABC duabus rectis FGH

KL, MNOPQ: & per eas rectas ſecetur conoi­des ABC planis baſi parallelis, factæ autem ſe­ctiones erunt circuli circa FL, MQ, & in parabola ABC tres ad diametrum ordinatim applicatæ AD, FH, MO. Quoniam igitur tres rectæ OB, BH, BD ſeſe qualiter excedunt, quarum minima BO, maxi­ma eſt BD, minor erit proportio BO ad BH, quàm BH ad BD; hoc eſt NP ad GK, quàm GKad AC. ſed vt OB ad BH hoc eſt NO ad GH, vel NP ad GK ita eſt quadra­tum MO ad quadra­tum FH, hoc eſt eo­no dis ſectionum cir­culus MQ ad circu­lum FL: eademque ratione vt GK ad AC ita circulus FL ad circulum AC; minor igitur proportio erit circuli MQ ad circulum FL quàm
circuli FL ad circulum AC. Similiter autem oſtende­remus ternas quaslibet alias ita factas ſectiones trianguli, & parabolæ ABC inter ſe & baſi parallelas proportio­nales eſse, & minorem proportionem vtrobique minimæ ad mediam, quàm mediæ ad maximam. Sed E eſt cen­trum grauitatis trianguli ABC, igitur per vigeſimamter­tiam huius centrum grauitatis conoidis ABC erit idem E. Quod demonſtrandum erat,

PROPOSITIO XLII.

Omnis fruſti conoidis parabolici centrum grauitatis axim ita diuidit, vt pars, quæ minorem baſim attingit ſit ad reliquam; vt duplum maioris baſis vnà cum minori, ad duplum minoris, vnà cum maiori.

Sit conoidis parabolici ABC, cuius axis BD fruſtum AEFC, eius maior baſis circulus, cuius diameter AC, mi­nor, cuius diameter EF: in eadem parabola per axem, axis autem DG, in quo fruſti AEFC ſit centrum grauitatis H. Dico eſſe vt duplum circuli AC, vnà cum circulo EF, ad duplum circuli EF vna cum circulo AC, ita GH, ad HD. Iungantur enim re­ctæ AKB, BLC. Quoniam igitur qua ratione oſten dimus conoides, & triangulum A BC, commune habere in linea BD centrum grauitatis, eadem pror­ſus remanet de­monſtratum, fruſti

AEFC centrum grauitatis H, idem eſse quod trapezij AK FC; erit duarum parallelarum AG, KL vt dupla ipſius AC, vnà cum KL, ad duplam ipſius KL, vnà cum AC ita GH ad HD: ſecat enim DG ipſas AC, KL bifa­riam. Sed vt AC ad KL ita eſt circulus AC ad circu­lum EF, ex demonſtratione antecedentis, hoc eſt vt dupla ipſius AC vnà cum KL ad duplam ipſius KL vnà cum AC, ita duplum circuli AC vna cum circulo KL ad du­plum circuli KL vnà cum circulo AC; vt igitur eſt du­plum circuli AC, vnà cum circulo EF, ad duplum circu­li EF, vnà cum circulo AC; ita erit GH ad HD. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XLIII.

Omnis conoidis hyperbolici centrum grauita­tis eſt punctum illud, in quo duodecima pars axis ordine quarta ab ea, quæ baſim attingit, ſic diui­ditur, vt pars baſi propinquior ſit ad reliquam, vt ſeſquialtera tranſuerſi lateris hyperboles, quæ conoides deſcribit ad axim conoidis.

Sit conoides hyperbolicum ABC, cuius vertex B, axis autem BD, qui etiam erit diameter hyperboles, quæ co­noides deſcripſit, ad quam rectæ ordinatim applicantur: eiuſdem autem hyperboles tranſuerſum latus ſit EB, cu­ius ſit ſeſquialtera BEI, & ſumpta DQ quarta parte axis BD, & DG, eiuſdem tertia, qua ratione erit FG duodecima pars axis BD, & ordine quarta ab ea cuius terminus D, fiat vt IB, ad BD, ita QH, ad HG. Dico conoidis ABC, centrum grauitatis eſſe H. Sumpto enim in linea AD quolibet puncto M, vt eſt EB ad BD longitudine, ita fiat MD, ad DK ipſius AD po­tentia: & abſcindatur DN, æqualis DM, & DL æqua­lis DK; ſiue autem ſit DK minor, quàm DM, ſiue ma­ior, ſiue eadem illi; omnibus caſibus communis erit demon ſtratio. At per puncta M, N, vertice B, circa diametrum BD, deſcribatur parabola MBN, & triangulum KBL. Manente igitur BD, & circumductis figuris MBN, KBL, deſcribantur conoides parabolicum MBN, & conus KBL, quorum communis axis erit BD, baſes autem circuli, quorum diametri KL, MN, in eodem plano cum baſe conoidis ABC. Rurſus ſecto axe BD bifariam, & ſingulis eius partibus ſemper bifariam in qua-cumque multiplicatione; ſint duæ partes æquales proximæ baſi DF, FQ: & per puncta FQ duo plana baſium pla­no parallela tres prædictas figuras ſolidas ſecare intelli­gantur: ſecabunt autem & tres figuras per axim, eruntque ſectiones rectæ lineæ ad diametrum figurarum ordinatim applicatæ propter plana ſecantia pa rallela: trium au­tem ſolidorum ſe ctiones & baſes omnes circuli, ter ni in ſingulis pla­nis: ac primi qui­dem ordinis ſint ij, quorum diame­tri ſunt baſes trium figurarum per axim, trianguli ſcilicet, parabolæ, & hy­perboles, quæ præ dictas figuras ſoli das deſcribunt, re ctæ lineæ AC, MN, KL. Se­cundi verò reten­to eodem ordine figurarum tres az, be, gd. Tertij denique ordinis SZ, TY, VX.

Quoniam igitur eſt vt EB, ad BD, ità quadratum MD, ad quadratum DK, ideſt conus MBN, ſi deſcribatur eo­dem vertice B, ad conum KBL. Et vt IB, ad BE, ità eſt conoides MBN, ad conum MBN, in proportione ſcili-cet ſeſquialtera; ex æquali erit vt IB, ad BD, itì conoi­des MBN ad conum KBL: Sed vt IB, ad BD, ità ponitur QH ad HG; vt igitur conoides MBN, ad co­num KBL, ità eſt QH ad HG. Sed Q eſt centrum grauitatis coni KBL, & G conoidis MBN; compoſi­ti igitur ex conoi­de MBN, & co­no KBL centrum grauitatis erit H. Rurſus quoniam tres rectæ lineæ B D, BF, BQ, æ­qualibus exceſſi­bus inter ſe diffe­runt, minor erit proportio BQ, ad BF, quàm BF, ad BD, hoc eſt rectanguli EBQ, ad rectangulum EBF, quàm re­ctanguli EBF, ad rectangulum EB D. Sed quadrati BQ, ad quadra­tum BF, dupli­cata eſt proportio lateris BQ ad la­tus BF: hoc eſt rectanguli EBQ
ad rectangulum EBF: & quadrati BF, ad quadratum BD duplicata eius, quæ eſt rectanguli EBF, ad rectan­gulum EBD; compoſitis igitur primis cum ſecundis, mi­nor erit proportio rectanguli BQE, ad rectangulum BFE, quàm rectanguli BFE, ad rectangulum BDE. Sed vt rectangulum BQE ad rectangulum BFE, ita eſt quadra­tum SQ ad quadratum aF: & vt rectangulum BFE ad rectangulum BDE, ita quadratum aF, ad quadra­tum AD; minor igitur proportio erit quadrati SQ, ad quadratum aF, quàm quadrati aF ad quadratum AD. Sed vt quadratum SQ ad quadratum aF, ita eſt qua­dratum SZ ad quadratum a<37>: & vt quadratum aF ad quadratum AD ita quadratum az ad quadratum AC; minor igitur proportio erit quadrati SZ ad quadra­tum az, quàm quadrati az, ad quadratum AC, hoc eſt circuli SZ ad circulum a<37>, quàm circuli a<37>, ad cir­culum AC; qui circuli ſunt ſectiones conoidis ABC poſiti vt in propoſitionibus lemmaticis dicebamus. Rurſus quoniam ſunt quatuor primæ proportionales; vt rectangu­lum DBE ad rectangulum FBE, ita MD quadratum ad quadratum bF: & totidem ſecundæ, vt quadratum BD, ad quadratum BF, ita quadratum DK, ad quadra­tum Fg, ob ſimilium triangulorum latera proportionalia: ſed vt EB, ad BD, hoc eſt rectangulum DBE prima in primis ad quadratum BD primam in ſecundis, ita eſt quadratum MD tertia in primis ad quadratum DK ter­tiam in ſecundis; vt igitur compoſita ex primis ad com­poſitam ex ſecundis, ità erit compoſita ex tertijs ad com­poſitam ex quartis; videlicet vt rectangulum DBE vnà cum quadrato BD, hoc eſt rectangulum BDE ad rectangulum BFE, hoc eſt vt quadratum AD, ad quadratum aF, ità compoſitum ex quadratis MD, DK, ad compoſitum ex quadratis bF, Fg: & quadrupla vtro­rumque, vt quadratum AC, ad quadratum a<37>, ità com­poſitum ex quadratis MN, KL, ad compoſitum ex qua­dratis be, gd; hoc eſt eorum circulorum, qui ſunt ſectio­nes ſolidorum, vt circulus AC, ad circulum a<37>, ità com­poſitum ex circulis MN, KL, ad compoſitum ex circu­lis be, gd. Eadem ratione erit vt circulus AC, ad cir­culum SZ, ità compoſitum ex circulis MN, KL, ad compoſitum ex circulis TY, VX: & conuertendo, & ex æquali, vt circulus SZ, ad circulum a<37>, ità compoſitum ex circulis TY, VX, ad compoſitum ex circulis be, gd: & vt circulus a<37>, ad circulum AC, ità compoſitum ex circulis be, gd, ad compoſitum ex circulis MN, KL. Sunt igitur tria compoſita ex bi­nis ſectionibus cir culis, & totidem alij circuli, quos diximus in eadem proportione, ſi bi­na ſumantur in ſin gulis planis ſecan tibus: eorum au­tem minor erat proportio circuli SZ ad circulum a<37>, quàm circuli a<37>, ad circulum AC; minor igitur proportio erit con­poſiti ex circulis T*u, VX, ad con­poſitum ex circu­
lis be, gd, quàm compoſiti ex circulis be, gd, ad com poſitum ex circulis MN, KL. Hac eadem ratione ad verti­cem deinceps progredienti manifeſtum erit, omnium com-poſitorum ex binis ſectionibus nempe circulis, quorum al­ter ad conum KBL pertinet, alter ad conoides MBN, in eodem plano ſecante prædictorum inter ſe parallelorum exiſtentibus, minorem eſſe proportionem incipienti ab eo, quod eſt proximum vertici, primi ad ſecundum, quàm ſe­cundi ad tertium, & ſecundi ad tertium, quàm tertij ad quartum, & ſic ſemper deinceps vſque ad maximum & vl­timum compoſitum ex circulis MN, KL: & eandem di­ctas ſectiones compoſitas ex coni, & conoidis parabolici ſectionibus inter ſe habere proportionem, quàm habent in­ter ſe circuli ſectiones conoidis ABC, pro vt illis in ijſdem planis ſecantibus, & æqualia axis BD ſegmenta intercipientibus reſpondent: Igitur per trigeſimam ſecun­dam huius, & ſequens eam Corollarium, conoides ABC, & compoſitum ex conoide MBN, & cono BKL, com­mune habebunt in axe BD centrum grauitatis. Sed H erat huius compoſiti centrum grauitatis; Igitur conoidis ABC centrum grauitatis erit idem H. Quod demon­ſtrandum erat.

COROLLARIV M.

Eadem demonſtratione conſtat ſi prædicta tria ſolida ita vt diximus diſpoſita ſecentur plano ba­ſibus parallelo; ſruſtum conoidis hyperbolici, & compoſitum ex fruſtis coni, & conoidis paraboli­ci, commune habere in communi axe centrum grauitatis.

PROPOSITIO XLIV.

Si conus & conoides parabolicum circa eun­dem axim ſecentur plano baſi parallelo; fruſti co­nici abſciſſi maiori baſi propinquius erit quàm parabolici centrum grauitatis.

Sint conus ABC, & conoides parabolicum EBF, quorum communis axis BD, cuius per quoduis punctum M, planum ſecans ea cor pora plano baſium, quarum diametri A C, EF, parallelo ab­ſcindat fruſta AKL C, cuius centrum grauitatis N, & EGH F, cuius centrum gra

uitatis O, quorum vtrumque erit in communi axe DM. Dico punctum N, propinquius eſse ipſi D quàm punctum O. Quoniam enim eſt parabolicifruſti EGHF centrum grauitatis O; erit vt duplum maioris baſis, ideſt circuli EF vna cum minori circulo GH, ad duplum circuli GH vna cum circulo EF, hoc eſt vt duplum quadrati ED vna cum quadrato ED ita MO ad OD. Sed vt quadratum ED ad quadratum GM in parabola quæ conoides de­ſcribit, cuius diameter BD, ita eſt DB ad BM, hoc eſt AC ad KL; vt igitur eſt dupla ipſius AC vna cum KL ad duplam ipſius KL vna cum AC ita erit MO ad OD: ſed N eſt fruſti conoici AKLC, centrum grauitatis; pun­ctum igitur N, erit maiori baſi AC propinquius quàm punctum O; eſt autem O, fruſti EGHF centrum graui­tatis. Si igitur conus, & conoides parabolicum circa eun­dem axim, &c. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XLV.

Omnis fruſti conoidis hyperbolici centrum grauitatis eſt in axe primum ſecto ſecundum cen­trum grauitatis cuiuſuis fruſti conici circa axem conoidis communi vertice, abſciſſi vnà cum fru­ſto conoidis: deinde ita vt pars minorem baſim attingens ſit ad reliquam, vt dupla axis conoidis vna cum reliqua dempto axe fruſti, ad duplam eiuſdem reliquæ vna cum axe conoidis: dein­de poſitis quatuor rectis lineis binis propor­tionalibus, potentia primis, ſecundis longitu­dine, in proportione, quæ eſt inter axem conoi­dis, & reliquam dempto axe fruſti; ita vt ma­ior primarum ſit media proportionalis inter axem conoidis, & tranſuerſum latus hyperboles, quæ fi­guram deſcribit, minoris autem potentia ſeſqui­altera minor ſecundarum; in eo puncto, in quo ſegmentum axis fruſti dictis duabus ſectionibus terminatum ſic diuiditur, vt pars minori baſi pro­pinquior ſit ad reliquam vt cubus, qui fit ab axe fruſti vnà cum ſolido rectangulo, quod axe co­noidis, & reliqua dempto axe fruſti, & tripla axis conoidis continetur, ad ſolidum rectangu­lum ex eadem reliqua parte conoidis, & eo, quo plus poteſt quadrato maior quàm minor dicta­rum ſecundarum.

Sit conoidis hyperbolici ABC, cuius axis BD; & tranſuerſum latus hyperboles, quæ figuram deſcribit EB, fruſtum ALMC abſciſſum vnà cum axe FD: cuius

baſes oppoſitæ, maior circulus circa AC, minor circa LM: ſecto autem axe FD primum ſecundum G centrum gra­uitatis fruſti abſciſſi vnà cum fruſto ALMC à quouis co no, cuius axis BD, & vertex B, deinde in puncto H ita vt FH ad HD ſit vt dupla ipſius BD vnà cum BF ad duplam ipſius BF vnà cum BD, quo facto cadet G punctum infra punctum H, ponantur vt DB ad BF, ita N ad O potentia, & Q ad P longitudine: ſit au­tem N media proportionalis inter EB, BD, at P ipſius O potentia ſeſquialtera: quo autem Q plus poteſt quàm P ſit quadratum ex R: & vt cubus ex FD vna cum ſoli­do rectangulo ex BF, FD, & tripla ipſius BD, ad ſoli­dum rectangulum ex BF, & quadrato R, ita ſit HK ad KG. Dico fruſti ALMC centrum grauitatis eſſe K. Producta enim quà opus eſt diametro AC ipſi BD æqua­les abſcindantur DS, DV: necnon ipſi N æquales DT, DX, vt ſit TD ad DS potentia, vt EB, ad BD longitudine, & deſcribantur conoides paraboli­cum TBX, & conus SBV, quorum vertex commu­nis B, axis BD: ſectis autem his tribus ſolidis plano per axim, ſint ſectiones hyperbole ABC, & parabo­la TBX, & triangulum SBV, quæ figuras deſcribunt; quas planum baſis fruſti propoſiti circa LM ſecans vnà cum tribus ſolidis faciat cum parabola TBX rectam Ig, & cum triangulo SBV rectam *uZ: conoidis autem TBX, & coni SBV ſectiones circulos circa Ig, YZ baſibus, circa SV, TX parallelos; vt ſint conoidis TBX fru­ſtum TIgX, & coni SBV fruſtum SYZV. Rur­ſus producta I. M, ponatur <37>F, æqualis Q, & ab­ſcindatur Fd, potentia ſeſquialtera ipſius IF, iunctis­que IB, Bd, B<37>, deſcribantur tres coni <37>Bq, dBe, IBg, quorum omnium baſes nempe circuli erunt in dicto plano ſecante tria ſolida per punctum F. Quoniam igitur circuli inter ſe ſunt vt quæ fiunt à diame­tris, vel à ſemidiametris quadrata, coni autem eiuſdem al­titudinis inter ſe vt baſes; erit vt dF ad FI potentia, ita conus dBe ad conum IBg; ſeſquialter igitur conus dBe coni IBg: ſed & conoides parabolicum IBg ſeſqui­alterum eſt coni IBg; æqualis igitur eſt conus dBe co­noidi IBg. Et quoniam in parabola TBX ordinatim ad diametrum applicatarum DT eſt ad FI hoc eſt N ad O potentia, vt DB ad BF longitudine: ſed TD eſt æqualis N; ergo & IF æqualis erit O: cum igitur & P ipſius O, & dF ipſius FI ſit potentia ſeſquialtera, erit Fd æqualis ipſi *r: ſed F<37> eſt æqualis ipſi que vt igitur eſt Q ad P, hoc eſt DB ad BF, ita erit <37>F ad Fd; dupli­cata igitur proportio erit quadrati ex F<37> ad quadratum ex Ed eius, quæ eſt DB ad BF: ſed vt quadratum ex F<37> ad
quadratum ex Fd, ita eſt circulus circa <37>q ad circulum circa de, hoc eſt conus <37>Bq ad conum dBe; coni igitur <37>Bq ad conum dBe, duplicata eſt proportio eius, quæ eſt DB ad BF: ſed & conoidis TBX ad conoides IBg du­plicata eſt proportio eius, quæ eſt DB ad BF, vt mon­ſtrant alij; eadem igitur proportio eſt coni <37>Bq ad co­num dBe quæ conoidis TBX ad conoides IBg: ſed conus dBe æqualis eſt conoidi IBg, vtpote inſcripti co­ni IBg ſeſquialtero, cuius itidem ſeſquialter erat conus dBe; reliquum igitur coni <37>Bq dempto cono dBe æqua­le erit conoidis TBX fruſto TIgX. Rurſus quia eſt vt cubus ex BD ad cubum ex BI ita conus SBV ad ſui ſi­milem conum YBZ, in triplicata ſcilicet proportione la­terum, ſiue axium DB, BF: ſed quia YF eſt æqualis BF, propter ſimilitudinem triangulorum, eſt vt cubus ex BF ad ſolidum ex BF & quadrato ex Fd, ita quadratum ex FY ad quadratum ex Fd, hoc eſt circulus circa YZ ad circulum circa de, hoc eſt conus YBZ ad conum dBe ex æquali igitur erit vt cubus ex BD ad ſolidum ex BF, & quadra­to Fd, ita conus SBV ad conum dBe: ſed vt ſolidum ex BF, & quadrato Fd, ad ſolidum ex BF & quadrato F<37>, ita eſt ſimiliter vt ante conus dBe ad conum <37>Bq; ex æquali igitur erit vt cubus ex BD ad ſolidum ex BF, & quadrato F<37>, ita conus SBV, ad conum <37>Bq: ſed con­uertendo, & per conuerſionem rationis, eſt vt ſolidum ex BF, & quadrato F<37>, ad ſolidum ex BF, & quadrato, quo plus poteſt F<37> quàm Fd, ita conus <37>Bq ad ſui reli­quum dempto cono <35>Be; ex æquali igitur, vt cubus ex BD ad ſolidum ex BF & quadrato, quo plus poteſt F<37>, quàm Fd, hoc eſt, quo plus poteſt Q quàm P quadrato ex R, ita erit conus SBV, ad reliquum coni <37>Bq dem­pto cono dBe, hoc eſt ad fruſtum TIgX. Rurſus, quo­niam duo cubi ex BF, FD, & ſolidum ex BF, FD, & tripla ipſius BD, ſunt æqualia cubo ex BD; erit id quo plus poteſt cubice recta BD quàm BF, cubus ex FD, & ſolidum ex BF, FD, & tripla ipſius BD: cum igitur ſit vt cubus ex BD ad cubum ex BF, ita conus SBV ad conum YBZ; erit per conuerſionem rationis, & conuertendo, vt cubus ex FD vna cum ſolido ex BF, FD, & tripla ipſius BD ad cubum ex BD, ita fruſtum SYZV, ad conum SBV: ſed cubus ex BD, ad ſoli-dum ex BF & quadrato R, ita erat conus SBV ad fru­ſtum TIgX: ex æquali igitur, erit vt cubus ex FD vna cum ſolido ex BF, FD, & tripla ipſius BD, ad ſolidum ex BF, & quadrato R, hoc eſt vt HK ad KG, ita ex contraria parte fruſtum SYZV, ad fruſtum TIgX: nam fruſti SYZV eſt centrum grauitatis G: fruſti autem TI
gX centrum grauitatis H; totius igitur compoſiti ex his duobus fruſtis centrum grauitatis erit K: commune autem eſt centrum grauitatis compoſiti ex duobus fruſtis SYZV & TIgX, fruſto ALMC per antepenultimæ huius co­rollarium; fruſti igitur ALMC, centrum grauitatis erit K. Quod demonſtrandum erat.

COROLLARIVM.

Ex omnibus demonſtrationibus eorum, quæ in hoc ſecundo libro propoſuimus, manifeſtum eſt omnium ſupra dictorum corporum centra grauita tis inuenire: quæ cum que enim in modum theore­matis propoſuimus, eadem tanquam problema­ta proponi, & ijſdem demonſtrationibus abſolui poſſunt.

Idem dico de ijs, quæ in primo, & tertio ſequenti libro demonſtrauimus. Porro autem multa lemmata inſtituto præcipuo neceſſaria, & alia addita inuentio ſatis iucun­da centri grauitatis conoidis, & portionis conoidis parabo­lici, & hyperbolici, & fruſti vtriuſque ne ſecundus hic liber nimis longus, & confuſus exiſteret, tertium requirebant. Quem quidem meorum ſtudiorum autumnalium fructum Anni à partu Virginis MDCIII. cum SS. Clementis Pont. Max. auctoritate, & Petri eius Nepotis Cardinalis ampliſſimi Aldobrandini iuſſu bene de me merentium Ma­thematicam ſcientiam, & Philoſophiam ciuilem in almo Vrbis Gymnaſio profiterer, in eorum gratiam compoſui, qui me centra grauitatis portionum ſphæroidis imperfe­cti operis crimine condemnandum omittere nolebant; cu­ius prouinciæ iuuante Deo, & mira Mathematicæ ſtudio­ſis ſatisfaciendi voluntate, multas difficultates ita ſupe­raui, vt vno menſe Octobri plus præſtiterim, quam à me requiſiſſent. ſiquidem quæ de ſphæræ portionibus in hoc libro proprijs eius figuræ rationibus, eadem in ſequen­ti aliis communibus cuilibet portioni ſphæræ, & ſphæroi­dis tum lati, tum oblongi abſciſſæ vno, vel duobus planis æque inter ſe diſtantibus, & vtcumque in figuram in cideu-tibus demonſtraui, & temporis breuitatem magna animi in­tentione compenſaui, quòd facere non potuiſsem niſi illi, quos ſupra nominaui meos patronos tranquillum otium mihi ſua benignitate peperiſſent; ego autem quoſdam ad­uerſos flatus vehementes in meam vtilitatem verte­re didiciſsem, cuius rei monumentum flammæ vento agitatæ ſimulacrum cum illo Ver­gilij HOC ACRIOR in fronte operis poſui, vt meus qualiſ­cumque hic labor vel ab inuitis in me collati bencficij memo­riam præſe­ferret.

SECVNDI LIBRI FINIS.

L V C AE VALER II DE CENTRO GRAVITATIS SOLIDORVM LIBER TERTIVS.

PROPOSITIO I.

Si recta linea ſecta fuerit bifa­riam, & non bifariam; rectan gulum partibus in æqualibus contentum æquale eſt rectan gulo, quod bis fit ex dimidiæ ſectæ ſegmentis, vna cum quadrato non intermedij eo­rundem ſegmentorum.

Sit recta linea AB ſecta in puncto C biſariam, & non bifariam in puncto D. Dico rectangulum ADB æqua­le eſſe rectangulo BDC bis vnà cum quadrato BD. Quoniam enim rectangulum ADB, æquale eſt duobus rectangulis, & ex BD, DC, & ex AC, BD, hoc eſt ex CB, BD: ſed rectangulum ex CB, BD, eſt rectangu­lum ex BD, DC, vnà cum quadrato BD; rectangulum igitur ex AD, DB, æquale eſt duobus rectangulis ex BD, DC, vnà cum quadiato BD. Si igitur recta linea ſecta fuerit bifariam, & non bifariam, &c. Quod demon­ſtrandum erat.

PROPOSITIO II.

Si circulum, vel ellipſim duæ rectæ lineæ tan­gentes in terminis coniugatarum diametrorum, conueniant: & punctum in quo conueniunt, & centrum figuræ iungantur recta linea; quæcun­que hanc vnà cum prædictæ figuræ termino al­terutri diametrorum parallela ſecuerit recta li­nea, ita ipſa ſecabitur in duobus punctis, vt re­ctangulum bis contentum ſegmentis, quorum al­terum inter diametrum, & terminum figuræ, al­terum inter figuræ terminum & contingentem interijcitur, vnà cum huius quadrato, ſit æquale quadrato reliqui ſegmenti inter diametrum, & cum quæ tangentium concurſum, & centrum fi­guræ iungit interiecta.

Sit circulus, vel ellipſis ABCD, cuius diametri con­iugatæ AC, BED, & figuram tangentes BF, GF, con ueniant in puncto F; (parallelæ enim erunt vtraque alteri coniugatorum diametrorum:) & recta FE iungatur, & ex quolibet puncto G, in recta BE ducatur ipſi AC paral­lela GLKH. Dico rectangulum GKH bis vnà cum quadrato KH æquale eſſe quadrato GL. Quoniam enim rectangulum BGD æquale eſt rectangulo BGE

bis vnà cum quadrato BG: & rectangulum BED, eſt quadratum BE, erit vt rectangulum BED, ad re­ctangulum BGD, ita quadratum BE, ad rectangu­lum BGE bis, vnà cum quadrato BG: ſed vt rectangu­lum BED, ad rectangulum BGD, ita eſt quadratum EC, hoc eſt quadratum GH ad quadratum GK, ex primo conicorum, vt igitur eſt quadratum BE ad rectangulum BGE bis, vnà cum quadrato BG, ita erit quadratum GH ad quadratum GK. Rurſus quia eſt vt BE ad EG, ita BF ad GL, propter ſimilitudinem triangulorum; erit vt quadratum BE ad quadratum EG, ita quadratum BF hoc eſt quadratum GH ad quadratum GL: & per conuerſionem rationis, vt quadratum BE ad rectangu­lum BGE bis, vnà cum quadrato BG, ita quadratum GH ad rectangulum GLH bis, vnà cum quadrato LH: ſed vt quadratum BE ad rectangulum EGB bis, vnà cum quadrato BG, ita erat quadratum GH ad quadra­tum GK; vt igitur quadratum GH ad quadratum GK, ita erit idem quadratum GH ad rectangulum GLH bis, vnà cum quadrato LH: quadratum igitur GK æquale erit rectangulo GLH bis, vnà cum quadrato LH; demptis igitur ab eodem quadrato GH æqualibus quadrato GK, & rectangulo GLH bis, vnà cum quadrato LH, erit rectangulum GKH, bis vnà cum quadrato KH æquale quadrato GL. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO III.

Per data duo puncta in duabus rectis lineis da­tum angulum continentibus, in earum plano pa­rabola tranſibit, cuius vertex ſit aſſignatum præ­dictorum punctorum, in quo altera linea parabo-lam contingat, altera in altero ſecet diametro æ­quidiſtans.

Sint data duo puncta. A, C, in duabus rectis lincis da­tum angulum ABC continentibus, ſit autem aſſignatum punctum C. Dico per puncta A, C, parabolam tranſi­re, ita vt ipſam linea AC contingat in C puncto, altera autem AB ſecet in puncto A, diametro parabolæ æqui­diſtans. Completo enim parallelogrammo BD, ad re­ctam CD applicetur rectangulum æquale quadrato AD, faciens latitudinem E. Quoniam igitur in plano BD parabola inueniri poteſt, cu­ius ſit vertex C, diameter CD, ita vt quædam ex ſe­ctione ad diametrum CD applicata in dato angulo A BC, ideſt ADC, qualis eſt recta AD, poſſit rectan­gulum ex CD, & E, ex primo conicorum elemen. to; ſit ea ſectio parabola

AC; aſſignatum eſt autem punctum C; per puncta igi­tur A, C parabola AC tranſibit, cuius vertex eſt aſſi­gnatum punctum C. Et quoniam quæ ex vertice recta CB eſt applicatæ DA parallela, ſectionem AC in pun­cto C continget: eſt autem AB diametro CD æquidi­diſtans, ac proinde parabolam ſecabit in puncto A. Ma­nifeſtum eſt igitur propoſitum,

PROPOSITIO IV.

Si recta linea parabolam contingat, omnes re­ctælineæ ex ſectione ad contingentem applicatæ diametro ſectionis parallelæ inter ſe ſunt longi­tudine, vt inter applicatas & contactum, vel ver­ticem interiectæ inter ſe potentia. Productis au­tem dictis applicatis, erunt inter ſectionem & ba­ſim interiectæ inter ſe longitudine, vt in circulo, vel ellipſe ad diametrum ordinatim applicatæ, ſe­cantesque illam in eaſdem rationes, in quas aliæ prædictæ applicatæ ſecant baſim parabolæ, inter ſe potentia.

Sit ſectio parabola ABC, cuius vertex B, diameter BD: & recta quadam BE ſectionem contingente in pun­cto B, ſint quotcumque rectæ lineæ ex ſectione ordinatim ad BE contingentem applicatæ diametro BD ſectionis parallelæ FG, KH, quibus productis ſint ad baſim ſe­

ctionis applicatæ GN, KO. Et expoſito primum circu­lo, PQRS, cuius diametri ad rectos inter ſe angulos ſint QS, PR; ſecta autem QT in punctis V, X, in eaſ­dem rationes, in quas ſecta eſt AD in punctis N, O, ſumpto ordine à punctis D, T, vt ſit DO ad ON, vt eſt TV ad VX: & vt ON ad NA, ita VX ad Xque applicentur ad ſemidiametrum QT rectæ ZV, XY dia­metro PR æquidiſtantes. Dico eſſe HK ad FG lon­gitudine, vt FB ad BH potentia: & KO ad GN longi­tudine, vt ZY ad YX potentia. Iungantur enim KL, GM, baſi AC parallelæ. Quoniam igitur eſt vt MB ad BI. longitudine, ita GM ad KL potentia: ſed MB eſt æqualis ipſi FG, & BL ipſi KH, & BF ipſi GM, & BH ipſi KL in parallelogrammis BG, BK; vt igitur FG ad KH longitudine, ita erit BH ad BF potentia: ſimiliter quotcumque plures eſſent applicatæ idem oſten­deremus. Rurſus, quoniam eſt vt EA, hoc eſt FN ad FG, ita quadratum EB ad BF quadratum, hoc eſt quadra­tum AD ad quadratum DN, hoc eſt ita quadratum QT, hoc eſt quadratum TY, hoc eſt duo quadrata TX, XY, ad quadratum TX; erit per conuerſionem rationis, vt FN, hoc eſt BD ad GN, ita duo quadrata TX, X*u ſimul, hoc eſt quadratum TY, hoc eſt quadratum TP, ad qua­dratum XY. Similiter oſtenderemus eſſe vt BD ad OK, ita quadratum PT ad quadratum VZ. Conuer­tendo igitur erit vt OK ad BD, ita quadratum XY ad PT quadratum: & ex æquali vt OK ad GN, ita qua­dratum VZ ad quadratum XY. Suntigitur tres rectæ lineæ BD, OK, GN, inter ſe longitudine, vt in circu­lo PQSR totidem PT, ZV, XY inter ſe potentia, prout inter ſe reſpondent. Idem autem ſimiliter oſten­deremus de quotcumque aliis in circulo, & ſectione para­bola vt prædictæ applicatis multitudine æqualibus. In ellipſe autem, ductis diametris quibuſuis coniugatis, & totidem quot in circulo ad vnam ſemidiametrum rectis li­neis ordinatim applicatis ſecundum puncta ſectionum eiuſ­dem diametri in eaſdem prædictas rationes, eodemque or­dine; quoniam ex XXI primi conicorum ſtatim apparet re­ctarum linearum ita vt diximus in circulo, & ellipſe appli-catarum quadrata eſſe inter ſe in eadem proportione; eruntprædictæ inter ſectionem parabolam, & baſim interiectæ inter ſe longitudine, vt in ellipſe ad diametrum ſimiliter vt diximus applicatæ inter ſe potentia. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO V.

Omnis figuræ circa axim in alteram partem deficientis, cuius ſuperficies, excepta baſe ſit to­ta interius concaua baſim habentis circulum, vel ellipſim; quælibet tres ſectiones baſi parallelæ æqualia axis ſegmenta intercipientes, ita ſe ha­bent, vt minor ſit proportio minimæ ad mediam, quam mediæ ad maximam.

Sit figura ABC circa axem BD in alteram partem de­ficiens, qualem diximus: & poſitis in axe BD tribus qui­buslibet punctis F, E, L, æqualia axis ſegmenta in­tercipientibus, in telligatur ſolidum ABC ſectum per ea puncta planis buibuſdam baſi cir culo, vel ellipſi, circa AC pa­rallelis: quare ſe­ctiones erunt cir­

culi, vel ellipſes ſimiles baſi, per definitionem, quarum dia­metri eiuſdem rationis in eodem plano per axim ſint IK. GH, MN. Dico ſolidi ABC ſectionum, minorem eſſe proportionem, ipſius IK ad GH, quàm GH ad MN. Iunctis enim MRS, KSN; quoniam tres rectæ IK, RS, MN, ſeſe æqualiter excedunt in trapezio KM; mi­nor erit proportio IK ad RS, quàm RS ad MN: ſed cir culi, & ſimiles ellipſes duplicatam habent inter ſe propor­tionem diametrorum eiuſdem rationis; trium igitur præ­dictarum ſolidi ABC ſectionum minor erit proportio IK ad RS quàm RS ad MN: ſed maior eſt proportio circu­li, vel ellipſis GH ad circulum, vel ellipſim MN, quàm circuli, vel ellipſis RS, ad circulum, vel ellipſim MN; multo ergo minor proportio erit circuli, vel ellipſis IK ad circulum, vel ellipſim RS, quàm circuli, vel ellipſis GH ad circulum, vel ellipſim MN: ſed minor eſt proportio cir­culi vel ellipſis IK ad circulum, vel ellipſim GH, quàm eiuſdem circuli, vel ellipſis IK ad circulum, vel ellipſim RS; multo ergo minor proportio erit circuli, vel ellipſis IK ad circulum, vel ellipſim GH quàm circuli, vel ellip­ſis GH ad circulum, vel ellipſim MN. Quod demon­ſtrandum erat.

PROPOSITIO VI.

Si ſphæroides ſecetur plano vtcumque præter quàm ad axem, circa quem ſphæroides deſcribi­tur erecto nam tunc circulus fit. ſectio ellipſis erit: ſimilis autem ipſi alia quæcumque ſectio ſphæ­roidis eidem parallela: earumque omnes diame­tri quæ eiuſdem ſunt rationis erunt in eodem pla­no per axem.

Extant hæc demonſtrata ab Archimede in ſuo de ſphæ­roidibus, & conoidibus.

PROPOSITIO VII.

Si conoides parabolicum, vel hyperbolicum ſecetur plano vtcumque ad axim inclinato, ſectio ellipſis erit: ſimilis autem ipſi alia quæcumque ſectio conoidis eidem parallela: eruntque earum omnes diametri, quæ eiuſdem ſunt rationis in eo­dem plano per axem.

Manifeſta ſunt hæc ex ijs, quæ Federicus Commandinus demonſtrauit de ſectionibus horum ſolidorum, in ſuis com­mentariis in eundem Archimedis librum de ſphæroidibus, & conoidibus: quemadmodum & ſphæroidis, & conoi­dis vtriuſque ſectionem factam à plano ad axim erecto eſ­ſe circulum.

PROPOSITIO VIII.

Super datam ellipſim, circa datam rectam line­am ab eius centro eleuatam tanquam axem, coni, & cylindri portionem inuenire. Datoque ſphæ­roidi, & conoidi, vel conoidis, ſphæroidiſve por­tioni circa datum axem ſphæroidis, vel cuiuslibet dictarum portionum, cylindrus vel cylindri por­tio circumſcripta eſſe poteſt: vel comprehendere inter eadem plana parallela, ita vt eius baſis ſit ſi­milis baſi, vel baſibus comprehenſæ portionis, vel fruſti, ſi de conoidibus ſit ſermo: & diametri, quæ eiuſdem ſunt rationis ſectæ à centro bifariam ſint in eadem recta linea.

Manifeſta item ſunt hæc omnia, ex ijs, quæ in eodem li­bro de ſphæroidibus, & conoidibus demonſtrat Archi­medes.

PROPOSITIO IX.

Omnis fruſti pyramidis triangulam baſim ha­bentis ad priſtina, cuius baſis eſt maior baſis fru­ſti, & eadem altitudo, cam habet proportionem, quàm rectangulum contentum duobus lateribus homologis baſium oppoſitarum, vnà cum tertia parte quadrati differentiæ dictorum laterum, ad maioris lateris quadratum. Ad pyramidem autem, cuius baſis eſt maior baſis fruſti, & eadem altitu­do, vt prædictum rectangulum, vna cum prædicti quadrati tertia parte, ad tertiam partem quadrati maioris lateris.

Sit pyramidis triangulam baſim habentis fruſtum AB CD EF: laterum autem homo­logorum AB, DE, triangulorum ſimilium oppoſitorum ABC, D EF, ſit differentia DG: & eiuſ­dem altitudinis fruſto ſit priſma DEFCHK: & pyramis intelli­gatur ADEF. Dico fruſtum BDF ad priſma HKF, eſſe vt rectangulum DEG vna cum ter­tia parte quadrati DG. Ad qua­dratum DE: ad pyramidem au­tem ADEF, vt prædictum rectan­

gulum DEG, vnà cum tertia parte quadrati DG, ad ter­tiam partem quadrati DE. Abſciſsis enim æqualibus EL ipſi BC, & FM ipſi AC, & EG, ipſi AB, conſtituantur priſmata ABCLEG, AGMFCL, ANHDGM, & pyramis ADGM, & iungatur ML. Quoniam igitur ob pa­rallelas EF, GM, & DF, GL, ſimilia inter ſe ſunt trian­gula DEF, DGM, EGL, duplicatam inter ſe habebunt laterum ho mologorum DE, DG, GE, proportionem, hoc eſt eandem, quæ totidem eſt quadratorum ex ipſis DE, DG, GE, prout inter ſe reſpondent: vt igitur DG qua­dratum ad quadratum DE, ita eſt triangulum DGM ad triangulum DEF: eademque ratione vt quadratum GE ad DE quadratum, ita trian gulum EGL ad triangulum D EF: & vt prima cum quinta ad ſecundam, ita tertia cum ſexta ad quartam: videlicet, vt duo qua­drata DG, GE, ad quadratum DE, ita duo triangula DGM, EGL, ad triangulum DEF. & conuertendo, & per conuerſionem rationis, vt quadratum DE ad rectangulum DGE bis, ita trian­gulum DEF, ad parallelogram­
mum GF: & conuertendo, vt rectangulum DGE bis, ad quadratum DE, ita GF parallelogrammum ad triangu­lum DEF: & antecedentium dimidia, vt rectangulum DGE ad quadratum DE, ita triangulum GML ad triangulum DEF; hoc eſt priſma, cuius baſis triangulum GLM, altitudo eadem priſmati HKF ad priſma HKF.

Rurſus, quoniam eſt vt quadratum EG ad quadratum ED, ita triangulum EGL ad triangulum DEF; erit ſi­militer vt quadratum EG ad quadratum ED, ita priſma BGL ad priſma HKF: ſed vt rectangulum DGE ad quadratum DE, ita priſma erat, cuius baſis triangulum G LM altitudo autem eadem priſmati HKF, hoc eſt priſma ACGLFM illi æquale per vltimam XI. elem. ad priſma HKF: vt igitur prima cum quinta, rectangulum DGE vna cum quadrato EG, hoc eſt rectangulum DEG, ad ſecundam quadratum DE, ita erit tertia cum ſexta, duo priſmata BGL, ACGLFM, ad quartam priſma HKF. Præterea quoniam vt quadratum DG ad quadratum DE, ita erat triangulum DGM ad triangulum DEF: ſed vt triangulum DGM ad triangulum DEF, ita eſt priſma, HGM, ad priſma HKF: & tertiæ antecedentium par­tes, videlicet, vt tertia pars quadrati DG, ad quadra­tum DE, ita pyramis ADGM ad priſma HKF: ſed vt rectangulum DEG ad DE quadratum, ita erant duo priſmata BGL, ACGLFM, ad priſma HKF; vt igi­tur prima cum quinta, rectangulum DEG vna cum ter­tia parte DG quadrati, ad quadratum GD ſecundam, ita erit tertia cum ſexta, duo priſmata BGL, ACGLFM vna cum pyramide ADGM, hoc eſt integrum fruſtum ABCDEF ad priſma HKF quartam. Ex hoc patet ſe­cunda pars propoſiti. Quoniam enim eſt vt rectangulum DEG, vna cum tertia parte quadrati DG, ad quadra­tum DE, ita fruſtum ABGDEF ad priſma HKF: vt autem quadratum DE, ad tertiam ſui partem, ita eſt priſ­ma HKF ad pyramidem, cuius baſis triangulum DEF, altitudo eadem priſmati HKF; erit ex æquali vt re­ctangulum DEG vna cum tertia parte quadrati DG ad tertiam partem quadrati DE, ita fruſtum ABCDEF, ad pyramidem ſi compleatur ADEF. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

COROLLARIVM.

Hinc manifeſtum eſt eadem demonſtratione, qua vtimur ad propoſitionem XXXVI. primili­bri; fruſtum cuiuslibet pyramidis baſim habentis pluribus quàm tribus lateribus contentam, ad priſ ma, ſeu pyramidem, cuius baſis eſt eadem quæ ma­ior baſis fruſti, & eadem altitudo: & reliquum ip­ſius priſmatis dempto fruſto, ad ipſum priſma, eas habere rationes, quæ à baſium fruſti oppoſitarum homologis lateribus eorumque differentia deri­uantur eo modo, quo in præcedenti theoremate dicebamus.

PROPOSITIO X.

Omne fruſtum coni, vel portionis conicæ, ad cy lindrum, vel cylindri portionem, cuius baſis eſt ea dem, quæ maior baſis fruſti, & eadem altitudo, eam habet proportionem, quàm rectangulum con tentum baſium diametris eiuſdem rationis, vnà eum tertia parte quadrati differentiæ earumdem diametrorum, ad maioris baſis quadratum. Ad conum autem, vel coni portionem, cuius baſis eſt eadem, quæ maior baſis fruſti, & eadem altitudo; vt prædictum rectangulum, vnà cum prædicti qua drati tertia parte, ad tertiam partem quadrati ex diametro maioris baſis. Prædicti autem cylindri, vel portionis cylindricæ reſiduum dempto fruſto, ad totum cylindrum, vel cylindri portionem; vt rectangulum contentum diametro minoris baſis fruſti, & differentia diametri maioris, vnà cum duabus tertiis quadrati differentiæ, ad quadra­tum diametri maioris baſis.

Sit coni, vel eius portionis fruſtum ABCD, cuius baſes oppoſitæ, circuli vel ſimiles ellipſes, quarum diametri mi­noris baſis AB cuius centrum E: maioris autem CD, & ſuper baſim circulum, vel ellipſim CD ſtet cylindrus, vel portio cylindrica CG comprehendens fruſtum AB CD, eiuſdemque altitudinis cum ipſo, & conus, vel co­ni portio ECD. quo autem AC diameter ſuperat dia­metrum AB, quæ differentia di­citur, ſit DF. Dico fruſtum AD ad cylindrum, vel portionem cy­lindricam CG, eſſe vt rectangu­lum DCF vnà cum tertia parte quadrati DF, ad quadratum CD. Ad conum autem vel coni portio­nem ECD, vt rectangulum DCF, vna cum tertia parte quadrati DF, ad tertiam partem quadrati CD. Cylindri autem, vel cylindri por­tionis CG reſiduum dempto fru­

ſto AD, ad cylindrum, vel portionem cylindricam CG, vt rectangulum CFD vna cum duabus tertiis quadrati FD, ad quadratum CD. Cono enim, vel portioni coni­cæ, cuius fruſtum AD, & cylindro, vel portioni cylindri­cæ, cuius baſis eſt circulus, vel ellipſis CD, altitudo au­tem eadem completo cono, vel portioni conicæ iam dictæ, illi pyramis, huic priſma inſcripta intelligantur, quorum communis baſis ſit poly gorum inſcriptum circulo quidem æquilaterum, & æquiangulum; in ellipſe autem, quod pro Archimede deſcribit Commandinus, ita vt & à cylindro, vel cylindri portione priſina, & à cono, vel coni portione pyramis deficiat minori ſpacio quantacumque magnitudi­ne propoſita: quo modo autem in portione cylindrica, vel conica hoc fieri poſſit, eadem quæ de cono atque cylindro Euclides in duodecimo docuit manifeſtant. Abſciſſione igitur facta fruſti AD, & cylindri, vel portionis cylindricæ CG, abſciſſa ſimul erunt fruſtum pyramidis inſcriptum fruſto AD, & priſma inſcriptum cylindro, vel portioni cy­lindricæ CG, eiuſdem altitudinis inter ſe, & duobus præ­dictis ſolidis AD, CG, deficien tia vnum à fruſto, alterum à cy­lindro, vel portione cylindrica multo minori ſpacio magnitudine propoſita: ſectiones autem priſma tis, & pyramidis erunt polygona circulis, vel ellipſibus ipſi CD op poſitis & ſimilibus inſcripta in­ter ſe ſimilia, vt multi oſtendunt. erunt etiam ſimilium polygono­rum circulis, vel ellipſibus ſimili­bus, quæ ſunt baſes oppoſitæ fru­
ſti AD, inſcriptorum diametri eædem AB, CD. Quo­niam igitur ſimilium polygonorum circulis, & ſimilibus ellipſibus inſcriptorum latera homologa inter ſe ſunt vt diametri dictorum circulorum, vel ellipſium, eadem erit proportio inter duas diametros AB, CD, hoc eſt FC, CD, quæ inter duo quælibet latera homologa polyga­norum circulis, vel ellipſibus ſimilibus AB, CD in­ſcriptorum. Sed pyramidis fruſtum fruſto CB inſcri­ptum ad priſma, cuius baſis eſt maior baſis fruſti pyrami­dis, & eadem altitudo, ſolido CG inſcriptum, eſt vt re-ctangulum contentum lateribus homologis baſium oppo­ſitarum, vna cum tertia parte quadrati differentiæ, ad ma­ioris lateris quadratum; idem igitur fruſtum pyramidis ad idem priſma, erit vt rectangulum DCF, vna cum tertia parte quadrati DF ad quadratum CD: deficit autem vtrumque & pyramidis fruſtum fruſto CB inſcri­ptum ab ipſo CB fruſto, & priſma ipſi CG inſcriptum ab ìpſo CG, minori ſpacio quantacumque propoſita ma­gnitudine; per tertiam igitur huius, erit vt rectangulum DCF vna cum tertia parte quadrati DF, ad CD qua­dratum, ita fruſtum CB ad cylindrum, vel portionem cylindricam CG. Cum igitur conus, vel coni portio E CD ſit pars tertia cylindri, vel portionis cylindricæ CG, erit ex æquali, vt idem rectangulum DCF, vna cum ter­tia parte quadrati DF, ad tertiam partem quadrati CD, ita fruſtum BC, ad conum vel coni portionem ECD. Præ­terea, quia quadratum CD æquale eſt duobus quadratis ex CF, FD, vna cum rectangulo bis ex CF, FD: quorum rectangulo CFD, vna cum quadrato CF æquale eſt rectan­gulum DCF; erit quadratum CD æquale rectangulo DCF vna cum quadrato DF; demptis igitur rectangu­lo DCF, & tertia parte quadrati DF; quod remanet CD quadrati erit rectangulum CFD vna cum duabus tertiis quadrati DF. quoniam igitur eſt conuertendo vt quadratum CD ad rectangulum DCF, vna cum tertia parte quadrati DF, ita cylindris, vel portio cylindrica CG ad fruſtum CB, erit per conuerſionem rationis, & conuertendo; vt rectangulum CFD vna cum duabus ter­tiis DF quadrati, ad quadratum CD, ita reliquum cy­lindri, vel portionis cylindricæ CG dempto fruſto CB, ad cylindrum, vel portionem cylindricam. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO XI.

Si ſphæra, vel ſphæroides ſecetur duobus pla­nis parallelis vtcumque, neutro per centrum ducto: quædam autem ex centro recta linea tranſeat per centrum alterutrius ſectionum; per centrum re­liquæ tranſibit.

Sit ſphæra, vel ſphæroides ſectum duobus planis pa­callelis vtcumque neutro per centrum ducto, quod ſit E: per ſectionum autem, quæ ſunt circuli, vel ſimiles el­lipſes, alterutrius centrum F tranſiens recta EFB oc­currat reliquæ ſectionis plano in puncto G. Dico reli­quæ ſectionis centrum eſſe G. Planum enim per OB ſe­

cans ſphæram, vel ſphæroides, faciensque ſectionem circu­lum, vel ellipſim ABCD, ſecabit, & ſecet prædictas ſe­ctiones, circulos inquam, vel ſimiles ellipſes parallelas, qua­rum alterius centrum ponitur F. Faciatque ſectiones re­ctas parallelas AFC, KGH: ſimiliter aliud quodlibet planum per BE ſecans ſphæram, vel ſphæroides faciat ſe­ctionem circulum, vel ellipſim, & in ea parallelas LFM, NGO, communes ſectiones iam factæ ſectionis ſphæræ vel ſphæroidis cum circulis, vel ellipſibus inter ſe paral­lelis quarum diametri ſunt AC, KH. Quoniam igitur E eſt centrum ſphæræ, vel ſphæroidis; omnes in eo per punctum E, tranſeuntes rectæ lineæ bifariam ſecabuntur: ſed idem E eſt in ſectione ſphæræ, vel ſphæroidis, circu­lo, vel ellipſe ABCD; omnes igitur in ipſa rectas lineas bifariam ſecabit punctum E, & centrum erit circuli, vel ellipſis ABCD: quædam igitur ex centro recta EB ſecans parallelarum neutrius per centrum ductæ alteram AC bifariam in circuli, vel ellipſis ALCM centro F, & reliquam in puncto G bifariam ſecabit. Similiter oſtenderemus rectam NO ſectam eſse bifariam in pun­cto G: atque adeo circuli, vel ellipſis KNHO centrum eſſe G. Recta igitur E, tranſiens per centrum ſectionis ALCM, tranſibit per centrum reliquæ KNHO ipſi ALCM parallelæ. Quod demonſtrandum erat.

COROLLARIVM.

Hinc manifeſtum eſt, ſi ſphæra, vel ſphæroides ſecetur plano non per centrum: & recta linea ſphæ­ræ, vel ſphæroidis, & factæ ſectionis centra iun­gens ad ſuperficiem vtrinque producatur; talis axis ſegmenta eſſe portionum, earumque vertices extrema dicti axis, vt in figura theorema­tis ſunt puncta B, D.

PROPOSITIO XII.

Si hemiſphærium, vel hemiſphæroides vtcum­que ab ſciſſum: & cylindrus, vel cylindri portio illi circumſcripta: & conus, vel coni portio, cu­ius baſis eſt eadem ſolido circumſcripto, hemi­ſphærium, vel hemiſphæroides ad verticem con­tingens, & communis axis; ſecentur vnoplano, baſi hemiſphærij, vel hemiſphæroidis parallelo: ſuper ſectiones autem prædicti coni, vel portionis coni­cæ, & hemiſphærij, vel hemiſphæroidis, circa hu­ius abſciſsæ portionis axem duo cylindri, vel por­tiones cylindricæ conſtiterint; reliquum cylindri vel portionis cylindricæ prædicto plano abſciſsæ, dempto eo cylindro duorum prædictorum, vel portio­ne cylindrica, cuius baſis eſt ſectio hemiſphærij, vel hemiſphæroidis, æquale erit reliquo cylindro, vel portioni cylindricæ, cuius baſis eſt ſectio præ­dicti coni, vel portionis conicæ.

Eſto hemiſphærium, vel hemiſphæroides ABC, cuius axis BD, baſis circulus, vel ellipſis, cuius diameter AC. Et ſolido ABC circumſcriptus cylindrus, vel portio cy­lindrica, cuius baſes oppoſitæ erunt circuli, vel ſimiles elli­pſes, quarum diametri eiuſdem rationis ADC, EF, la­tera oppoſita parallelogrammi per axem AFGC: & ſu­per baſim, cuius diameter EF, circa axim BD, deſcriptus eſto conus, vel coni portio EDF. Iam tria ſolida ABC, EDF, AC, ſecentur plano ſolidi ABC baſi parallelo, quod ſecabit, & ſecet vnà figuras planas per axim BD tribus ſolidis communem, poſitas in eodem plano, quæ ſunt AF parallelogrammum, triangulum EDF, & ſemicir­culus, vel ſemi ellipſis ABC: & ſint ſectiones rectæ GO, HN, KM: hæ igitnr erunt diametri eiuſdem rationis trium ſectionum, ſcilicet circulorum, vel ellipſium ſirnilium, qui­bus erit commune centrum L, in quo nimirum axis BD tres dictas lineas GO, HN, KM, bifariam ſecat. Vt igitur de ſolido AF diximus, ſint circa axem BL, & ſuper baſes circulos, vel ellipſes circa HN, KM cylindri, vel portiones cylindricæ HP, KQ, qui vnà cum portione cylindrica, vel cylindro GF ipſa ſectione facto, erunt inter eadem plana paral­lela per EF, GO. Dico trium cylin­drorum, vel cylin­dri portionum GF, HP, KQ, reliquum ipſius GF dempto HP, ipſi KQ eſse

æquale. Quoniam enim cylindri, & cy­lindri portiones eiuſdem altitudinis inter ſe ſunt vt ba­ſes, circuli autem, & ſimiles ellipſes; inter ſe, vt quæ à diametris eiuſdem rationis fiunt quadrata; ex Archime­de, hoc eſt vt earum quartæ partes, quæ à ſemidiame­tris quadrata deſcribuntur; erit vt quadratum LO ad quadratum LN, ita cylindrus, vel portio cylindrica GF ad cylindrum, vel portionem cylindricam PH: & diuidendo, vt rectangulum LNO bis vnà cum quadra­to NO, ad quadratum LN, ita reliquum cylindri, vel portionis cylindricæ GF, dempto ipſo PH, ad ipſum PH: ſed vt quadratum LN ad quadratum LM, ita eſt vt ſupra, cylindrus, vel portio cylindrica HP ad cylin­drum, vel portionem cylindricam KQ, ex æquali igitur, erit vt rectangulum LNO bis, vnà cum quadrato NO, ad quadratum LM, ita reliquum cylindri, vel portionis cylindricæ GF den­pto HP, ad cylin­drum, vel portionem cylindricam KQ: ſed rectangulum L NO bis vnà cum qua drato NO æquale eſt quadrato LM; reliquum igitur cy­
lindri, vel portionis cylindricæ GF, den­pto HP, æquale erit cylindro, vel portioni cylindricæ Kque Quod erat demonſtrandum.

PROPOSITIO XIII.

Cylindri, vel portionis cylindricæ hemiſphæ­rio, vel hemiſphæroidi circumſcriptæ reliquum dempto hemiſphærio, vel hemiſphæroide, æqua­le eſt cono, vel portioni conicæ eandem baſim he­miſphærio, vel hemiſphæroidi, & eandem altitu­dinem habenti.

Eſto hemiſphærio, vel hemiſphæroidi ABC, cu­ius axis BD, baſis circulus, vel ellipſis circa diametrum ADC, circumſcriptus cylindrus, vel cylindrica portio AE, circa communem ſcilicet axim BD. conus autem, vel coni portio circa axim BD, baſim habens commu­nem ſolido ABC, intelligatur. Dico reliquum ſolidi AE, dempto hemiſphærio, vel hemiſphæroide ABC æ-quale eſse cono, vel portioni conicæ. Nam circa axim BD, & ſuper baſim circulum, vel ellipſim, cuius diame­ter RE, ſimilem & oppoſitam ei, quæ circa AC, deſcri­batur conus, vel coni portio RDE. Deinde axe BD bi­fariam ſecto, & ſingulis eius partibus rurſus bifariam, vt partes axis BD omnes ſint æquales, per puncta ſectio­num, quotquot erunt, totidem plana parallela ſecent vnà cum ſolido AE duas ipſius partes, ſolida ABC, RDE. Omnes igitur factæ ſectiones, vel erunt circuli, vel ſimiles ellipſes ei, quæ eſt circa AC, atque adeo inter ſe ſimiles: talium autem ſectiones communes cum AE parallelo,

grammo per axim, erunt rectæ lineæ, ternæ in ſingu­lis planis ſecantibus, & in eadem recta linea; vt in proxi­ma ipſi RE, ſunt FL, GN, KM, quæ quidem erunt trium circulorum, vel ſimilium ellipſium diametri eiuſdem rationis baſium trium ſolidorum, cylindri ſcilicet, vel por­tionis cylindricæ FL, fruſti GL, & portionis KBM, he miſphærij, vel hemiſphæroidis ABC. Itaque circa axem BH cylindri, vel portionis cylindricæ FE, & ſuper ba­ſes circulos, vel ellipſes circa GN, KM, deſcribantur cylindri, vel cylindri portiones GP, KQ, qui pat­tes erunt totius cylindri, vel portionis cylindricæ FE. Idem fiat circa reliquas axis partes BD tamquam axes, ſuper reliquas ſectiones ternas in ſingulis prædictis planis ſecantibus. Hac ratione habebimus iam duas figuras compoſitas ex cylindris, vel cylindri portionibus altitudi­ne, & multitudine æqualibus, alteram cono, vel portioni conicæ RDE inſcriptam, alteram hemilphærio, vel he­miſphæroidi ABC circumſcriptam: quod ita factum eſ­ſe intelligatur, quemadmodum in primo libro fieri poſse demonſtrauimus, vt figura cono RDE inſcripta ab eo deficiat, hemiſphærio autem, vel hemiſphæroidi ABC circumſcripta ipſum excedat minori ſpacio magnitudine propoſita quantacumque illa ſit. Reliquo itaque cylin­
dri, vel portionis cylindricæ AE dempto hemiſphærio, vel hemiſphæroide ABC figura quædam inſcripta relinque­tur ex cylindris, vel portionis cylindricæ reſiduis æqualium altitudinum, demptis ijs, ex quibus conſtat figura hemi­ſphærio, vel hemiſphæroidi ABC circumſcripta, excepto infimo cylindro, vel portione cylindrica AS. Et quo­niam (excepto exceſsu, quo ſolidum AS excedit ſui par­tem portionem quandam hemiſphærij, vel hemiſphæroidis ABC) quo ſpacio figura hemiſphærio, vel hemiſphæroidi ABC circumſcripta ſuperat ipſum hemiſphærium, vel he hemiſphæroides, eodem figura prædicto reſiduo inſcripta de­duo; deficiet ab eodem minori differentia quàm ſit magnitudo propoſita,. His ita ex poſitis, quoniam ex præcedenti, reliquum cylindri, vel portionis cylindricæ FE dempto cylindro, vel portione cylindrica KQ, æ­quale eſt cylindro, vel portioni cylindricæ GP: eadem­que ratione ſingula cylindrorum, vel cylindri portionum reſidua, quæ ſunt in reliqua figura cylindri, vel portionis cylindricæ AE, dempto hemiſphærio, vel hemiſphæroi­de ABC, æqualia erunt ſingulis cylindris, vel cylindri portionibus, quæ ſunt in cono, vel portione conica RDE, ſi bina ſumantur inter eadem plana parallela, vel circa eundem axem; tota igitur figura inſcripta prædicto reſiduo, toti figuræ inſcriptæ cono, vel portioni conicæ RDE æ­qualis erit: deficit autem vtraque figura inſcripta à ſibi circumſcripta minori ſpacio quantacumque magnitudine propoſita; per tertiam igitur huius, reliquum cylindri, vel portionis cylindricæ AE, dempto hemiſphærin, vel he­miſphæroide ABC, æquale eſt cono, vel portioni coni­cæ RDE, hoc eſt ipſi ABC. Quod erat demonſtrandum.

PROPOSITIO XIV.

Si hemiſphærium, vel hemiſphæroides, & cylin drus, vel portio cylindrica ipſi circumſcripta, & conus, vel coni portio, cuius eſt idem axis portioni, baſis autem qu<17> opponitur communi baſi duorum prædictorum ſolidorum, vnà ſecentur duobus planis baſi parallelis; portiones reliquæ figuræ ex cylindro, vel cylindri portione hemiſphærio, vel hemiſphæroidi circumſcripta dempto hemi­ſphærio, vel hemiſphæroide, quæ à duobus præ­dictis planis ſecantibus fiunt, æquales ſunt ſin­gulæ ſingulis prædicti coni, vel conicæ portionis partibus ſiue fruſtis inter eadem plana parallela reſpondentibus.

Eſto hemiſphærium, vel hemiſphæroides ABC, cu­ius axis BD, baſis circulus, vel ellipſis, cuius diame­ter ADC. ſolido autem ABC circumſcriptus cylindrus, vel portio cylindrica AXEC: & conus, vel coni portio ſit XDE, cuius vertex D, baſis circulus, vel ellipſis cir­ca XBE baſi ſolidi AE, vel ABC, prædictæ oppoſita, ſecto autem ſolido AE, atque vnà cum ipſo eius partibus, ſolidis ABC, XD E, duobus planis ba ſi ſolidi AE, vel ABC, atque ideo inter ſe quoque pa­rallelis, intelligan­tur trium ſolidorum portiones ternæ in­

ter eadem plana pa­rallela: videlicet in­ter duo per XE, FN, hemiſphærij, vel hemiſphæroidis minor portio HBL: & reliquum cylindri, vel portionis cylindricæ FE dem­pta portione HBL: & coni, vel conicæ portionis fruſtum XGME. ſimiliter inter duo plana per FN, OV ſolidi ABC portio PHLT, eaque ablata reliquum ſolidi ON, & fruſtum GQSM. Denique ſolidi ABC portio AP TC, eaque ablata, reliquum ſolidi AV, & conus, vel coni portio QDS. Dico reliquum ſolidi FE, dempto HBL eſſe æquale fruſto XGME: & reliquum ſolidi ON dempto PHLT, æquale fruſto GQSM: & reliquum ſolidi AV dempto ſolido APTC æquale ſolido QDS. Quoniam enim vt ſupra oſtendimus, reliquum ſolidi AE, dempto ſolido ABC æquale eſse ſolido XDE, ſimili­ter oſtenſum remanet, tam reliquum ſolidi AN, dempto ſolido AHLC, æquale eſse ſolido GDM, quam reli­quum ſolidi AV dempto ſolido APTC æquale ſolido QDS; erit demptis æqualibus, tam reliquum ſolidi FE, dempto ſolido HBL, æquale ſolido XGME; quam reliquum ſolidi ON, dempto ſolido PHLT æquale ſo­lido GQSM. At reliquum ſolidi AV dempto ſoli­do APTC ſolido QDS æquale erit. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO XV.

Hemiſphærium, vel hemiſphæroides ſubſeſqui alterum eſt cylindri; vel portionis cylindricæ ipſi circumſcriptæ.

Eſto hemiſphærium, vel hemiſphæroides ABC, ipſique circumſcriptus cylindrus, vel portio cylindri­ca AE, circa eundem ſcilicet axem BD, & ſuper can­dem baſim circulum, vel ellipſim, circa AC: nam hac ratione baſis oppoſita ſolidum ABC tanget ad verticem B. Dico hemiſphærium, vel hemiſphæroides ABC eſse cylindri, vel portio nis cylindricæ AE ſub

ſeſquialterum. Nam circa axem BD, ſuper prædictam baſem circa AC, eſto deſcriptus conus, vel coni portio ABC. Quoniam igitur cylindri, vel portionis cylindricæ AE reliquum dempto hemiſphærio, vel hemiſphæroide ABC æquale eſt cono, vel portioni conicæ ABC: & cylindrus, vel portio cylin­drica AE tripla eſt co­ni, vel portionis conicæ ABC; triplus itidem erit cylindrus, vel cylin drica portio AE dicti reſidui dempto hemi­ſphærio, vel hemiſphæ­roide ABC; ac propte­rea hemiſphærij, vel he­
miſphæroidis ABC ſeſquialter, hoc eſt hemiſphærium, vel hemiſphæroides ABC cylindri, vel portionis cylindricæ AE ſubſeſquial­terum. Quod erat demonſtrandum.

PROPOSITIO XVI.

Omnis minor portio ſphæræ, vel ſphæroidis ad cylindrum, vel cylindri portionem, cuius baſis æqualis eſt circulo maximo, vel æqualis, & ſimi­lis ellipſi per centrum baſi portionis parallelæ, & eadem altitudo portioni; eam habet proportio­nem, quam rectangulum contentum ſphæræ, vel ſphæroidis dimidij axis axi portionis congruen­tis ijs, quæ à centro baſis portionis fiunt ſegmentis, vnà cum duobus tertiis quadrati axis portionis; ad ſphæræ, vel ſphæroidis dimidij axis quadratum.

Sit minor portio ABC, ſphæræ, vel ſphæroidis, cuius centrum D, axis autem axi portionis congruens BEDR: & cylindrus, vel portio cylindrica FG abſciſsa vnà cum portione ABC ex cylindro, vel portione cylindrica NO circumſcripta hemiſphærio, vel hemiſphæroidi NBO, cuius baſis circa diametrum NO, ſit baſi portionis ABC parallela: qua ratione baſis prædicti ſolidi FG, erit vel cir culus, vel ellipſis æqualis circulo maximo, vel ſimilis, & æqualis ellipſi circa NO, portionis ABC baſi paralle­læ. Dico portionem ABC ad cylindrum, vel portio­nem cylindricam FG, eſse vt rectangulum BED, vnà cum duabus tertiis qua­drati EB ad quadratum BD. Eſto enim conus, vel coni portio HDG, cuius fruſtum HKLG prædicto plano abſciſſum: & omnino ſint circulorum, vel ellipſium ſimilium dia metri eiuſdem rationis cum NO, vt ad XII huius, in eadem recta linea tres FM, AC, KL, ſectæ omnes bi fariam in communi centro E,

& HBG, in eodem plano per axem. Quoniam igitur ex ſu­perioribus, reliquum ſolidi FG, dempto ABC, æquale eſt fruſto HKLG; erit eiuſdem ſolidi FG reliquum ABC æquale reliquo ſolidi FG, dempto HKLG: ſed hoc reli­quum dempto HKLG, ſupra oſtendimus eſse ad ſolidum FG, vt rectangulum ex KL, & differentia HG, vnà cum duabus tertiis quadrati differentiæ, ad quadratum GH: & vt HG ad KL, ita eſt BD ad DE, propter ſimi­litudinem triangulorum; vt igitur eſt rectangulum BED, vnà cum duabus tertiis quadrati BE, ad quadratum BD, ita erit portio ABC, ad cylindrum, vel portionem cylin­dricam FG. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XVII.

Omnis portio ſphæræ, vel ſphæroidis abſciſſa duobus planis parallelis, alteroper centrum du­cto, ad cy lindrum, vel cylindri portionem, cuius baſis eſt eadem, quæ maior baſis portionis, & eadem altitudo; eam habet proportionem, quam rectan­gulum contentum ijs, quæ à centro minoris baſis fiunt axis ſphæræ, vel ſphæroidis ſegmentis, vnà cum duabus tertiis quadrati axis portionis; ad ſphæræ, vel ſphæroidis dimidij axis quadratum.

Sit portio NACO ſphæræ, vel ſphærodij, cuius cen­trum D, axis autem axi portionis congruens BEDR, abſciſsa duobus planis parallelis altero per centrum D, ſe­ctionem faciente circulum maximum, vel ellipſim, cuius diameter NO, & ſu­per dictam ſectionem, cir­ca axem ED, ſtet cylin­drus, vel portio cylindrica NM, abſciſsa ijſdem pla­nis, quibus portio NAC O, à cylindro, vel portio­ne cylindrica NG, ſit cir­cumſcripta hemiſphærio, vel hemiſphæroidi NBO: qua ratione erit cylindri,

vel portionis cylindricæ NM baſis eadem, quæ maior baſis portionis NACO, circulus ſcilicet, vel ellipſis cir­ca NO, & eadem altitudo portioni. Dico portionem NACO, ad cylindrum, vel portionem cylindricam NM, eſse vt rectangulum BER, vnà cum duabus tertiis ED quadrati, ad quadratum BD. Ijſdem enim quæ in præce­denti conſtructis, & notatis, ſit præterea cylindrus, vel por­tio cylindrica PL, circa axim ED circumſcripta cono, vel portioni conicæ KDL, Quoniam igitur reliquum cylindri, vel portionis cylindricæ NM, dempta portione NACO æquale eſt cono, vel portioni conicæ KDL, erit reliqua portio NACO æqualis reliquo eiuſdem NM, dempto cono, vel portione conica KDL. Et quoniam cir culi, & ſimiles ellipſes inter ſe ſunt vt quadrata diametro­rum, vel ſemidiametrorum eiuſdem rationis: cylindri autem, & portiones cylindricæ eiuſdem altitudinis inter ſe vt baſes; erit vt quadratum EM, hoc eſt quadratum BG, ad qua­dratum EL, hoc eſt vt quadratum BD ad quadratum DE, propter ſimilitudinem triangulorum, ita ſolidum NM ad ſolidum PL: & per conuerſionem rationis, vt quadra­tum BD ad rectangulum BED bis, vnà cum quadrato BE, ita ſolidum MN, ad ſui reliquum dempto ſolido PL: & conuertendo, vt rectangulum BED bis, vnà cum quadrato BE, hoc eſt rectangulum BER, ad quadratum BD, ita reliquum ſolidi NM dempto ſolido PL ad ſo­lidum NM. Rurſus, quoniam eſt vt quadratum EL ad quadratum EM, ſiue BG, hoc eſt vt quadratum ED ad quadratum BD, ita ſolidum PL ad ſolidum NM, ob ſimilem rationem ſupradictæ: & duæ tertiæ partes ſolidi PL eſt ſolidum KDL; erit ex æquali, vt duæ tertiæ qua­drati ED ad quadratum BD, ita reliquum ſolidi PL dempto ſolido KDL, ad ſolidum NM: ſed vt rectangu­lum BER ad quadratum BD, ita erat ſolidi NM reli­quum dempto ſolido PL, ad ſolidum NM; vt igitur pri­ma cum quinta ad ſecundam, ita erit tertia cum ſexta ad quartam; videlicet, vt rectangulum BED, vnà cum dua­bus tertiis ED quadrati ad quadratum BD, ita reliquum cylindri, vel portionis cylindricæ NM, dempto cono, vel portione conica KDL, hoc eſt portio NACO ipſi æqua­lis, ad cylindrum, vel portionem cylindricam NM. Quod erat demonſtrandum.

PROPOSITIO XVIII.

Omnis portio ſphæræ, vel ſphæroidis abſciſſa duobus planis parallelis, neutro per centrum du­cto, nec centrum intercipientibus, ad cylindrum, vel cylindri portionem, cuius baſis æqualis eſt circulo maximo, vel ellipſi per centrum baſibus portionis parallelæ ſimilis, & æqualis, eam ha­bet proportionem, quam duo rectangula; & quod ſphæræ, vel ſphæroidis axis axi portionis congruem tis ijs, quæ à centro minoris baſis portionis fiunt ſegmentis, & quod ea, quæ maioris baſis portionis, & ſphæræ, vel ſphæroidis centra iungit, & axe por tionis continetur, vnà cum duabus tertijs quadra­ti axis portionis; ad ſphæræ, vel ſphæroidis dimi­dij axis quadratum.

Sit portio AQTC ſphæræ, vel ſphæroidis, cuius cen­trum D, axis autem axi portionis congruens BSEDR, abſciſſum duobus planis parallelis, neutro per centrum D acto, nec ipſum intercipientibus: & circa portionis axim SE ſtet cylindrus, vel portio cylindrica FX ab­ſciſsa vnà cum portione AQTC ex toto cylindro, vel portione cylindrica NG, hemiſphærio, vel hemiſphæroi­di NBO circumſcripta, cuius baſis circulus maximus vel ellipſis circa NO baſibus AQTC portionis parallelæ qua ratione cylindrus, vel portionis cylindricæ FX eiuſ­dem altitudinis portioni AQTC, baſis erit circulus æqualis circulo maximo, vel ellipſis ſimilis, & æqualis ei, cuius diameter NDO, baſibus AQTC portionis paral­lelæ. Dico portionem AQTC ad cylindrum, vel por­tionem cylindricam FX, eſſe vt duo rectangula BSR, DES, vnà cum duabus tertiis quadrati ES, ad quadra­tum BD. Ijſdem enim conſtructis, & notatis, quæ in an­tecedenti, excepto cylindro, vel portione cylindrica, quæ circa axim ED ſteterat: planum præterea minoris baſis QT portionis AQ TC extendatur: & ſe­cans tria ſolida, & figuras planas per axim poſitas in eodem plano, faciat ternas ſectiones, circulos, vel elli­pſes ſimiles ei, quæ eſt cir­ca NO: & earum diame­tros IX, PV, QT, in eadem recta linea commu­ni ſectione extenſi plani, &

eius, quod per axem: quæ quidem diametri ſectæ erunt om­nes bifariam in centro S communi trium prædictarum pla­narum ſectionum. Denique coni, vel portionis conicæ HDG fruſto PKIV abſciſſo vnà cum portione AQTC, ſit circa axim SE circumſcriptus cylindrus vel portio cylin­drica ZV. Quoniam igitur per XIIII huius, reliquum ſolidi FX, dempta portione AQTC, æquale eſt fruſto PKLV; erit reliqua portio AQTC, reliquo eiuſdem ſolidi FX, dempto fruſto PKLV æqualis. Et quoniam eſt vt PV ad KL, ita SD, DE, propter ſimilitudinem triangulorum: & vt rectangulum ex KL, & differentia ipſius PV, vnà cum duabus tertiis quadrati eiuſdem dif­ferentiæ, ad quadratum PV, ita eſt reliquum ſolidi ZV dempto fruſto PKLV ad ſolidum ZV; erit vt rectangu­lum DES, vnà cum duabus tertiis quadrati ES, ad DS quadratum, ita ſolidi ZV reliquum dempto fruſto PK LV ad ſolidum ZV: ſed vt quadratum DS ad quadra­tum DB, hoc eſt vt quadratum SV ad quadratum BG, ideſt ad quadratum SX, ita eſt ſolidum ZV, ad ſolidum FX; ex æquali igitur, vt rectangulum DES, vnà cum duabus tertiis ES quadrati, ad quadratum BD, ita eſt reliquum ſolidi ZV, dem pto ſolido PKLV ad ſo lidum FX: ſed vt rectan­gulum BSR ad quadra­tum BD, ita eſt, eadem ratione, qua in præcedenti theoremate vtebamur, re­liquum ſolidi FX dem­pto ſolido ZV, ad ſoli­dum FX; vt igitur prima cum quinta ad ſecundam, ita tertia cum ſexta ad quartam; videlicet, vt duo
rectangula BSR, DES, vnà cum duabus tertiis quadra­ti ES ad quadratum BD, ita erit totum reliquum cylin­dri, vel portionis cylindricæ FX dempto fruſto PKLV: hoc eſt ſphæræ, vel ſphæroidis portio AQTC ad cylin­drum, vel portionem cylindricam FX. Quod demon­ſtrandum erat.

PROPOSITIO XIX.

Omnis maior portio ſphæræ, vel ſphæroidis, ad cylindrum, vel portionem cylindricam, cuius baſis æqualis eſt circulo maximo, vel æqualis, & ſimilis ellipſi per centrum baſi portionis paralle­læ, altitudo autem eadem portioni, eam habet proportionem, quam ſolidum rectangulum con­tentum axe portionis, & reliquo axis ſphæræ, vel ſphæroidis ſegmento, & eo, quod baſis portionis, & ſphæræ, vel ſphæroidis centraiungit, vnà cum binis tertiis partibus duorum cuborum: & eius qui à ſphæræ, vel ſphæroidis axis dimidio; & cius qui ab eo, quod ſphæræ, vel ſphæroidis, & baſis portionis centra iungit ſit ſegmento; ad ſo­lidum rectangulum, quod axe portionis, & duo­bus ſphæræ, vel ſphæroidis axis fit dimidijs.

Sit maior portio AB C, ſphæræ, vel ſphæroi­dis ABCF, cuius cen­trum D: baſis autem por­tionis, circulus, vel elli­pſis, cuius diameter A C: Et ſecta portione ABC per centrum D plano baſi AC paral­lelo, qua ratione ſectio erit circulus maximus, vel ellipſis ſimilis baſi

portionis: eſto ea cuius diameter KL, iungensque recta DE ſphæræ, vel ſphæroidis, & baſis portionis centra DE, atque producta incidat in ſphæræ, vel ſphæroidis ſuperfi­ciem ad partes E in puncto F, & ad partes oppoſitas in puncto B: ſphæræ igitur, vel ſphæroidis axis axi portionis BE congruens crit BDEF, nam vertex portionis erit B: & hemiſphærio, vel hemiſphæroidi KBL ſit circumſcri­ptas cylindrus, vel cylindrica portio KH, cuius ſcilicet axis BD, & circa axim DE, alter cylindrus, vel portio cylindrica GL portioni KACL circumſcripta: quorum circumſcriptorum ſolido­rum vtriulque communis baſis erit circulus, vel ellipſis circa KL. Ita­que ex his compoſitus to­tus cylindrus, vel cylin­dri portio GH erit por­tioni ABC circumſcri­pta, habens axim BE, at­que ideo eandem altitu­dinem ABC portioni, baſim autem, cuius dia­meter ſit GM ſimilem
& æqualem ei, quæ eſt circa KL. Dico portionem ABC ad cylindrum, vel portionem cylindricam GH, eſse vt ſo­lidum rectangulum contentum ipſis BE, EF, ED, vnà cum binis tertiis duorum cuborum, duabus ſcilicet cubi BD, & totidem cubi ED, ad ſolidum rectangulum con­tentum ipſis EB, BD, DF. Quoniam enim parall ele­pipeda eiuſdem altitudinis inter ſe ſunt vt baſes, erit vt re­ctangulum BEF vnà cum duabus tertiis ED quadrati ad rectangulum BDF, ideſt ad quadratum BD, ſiue DF, ita ſolidum ex BE, EF, ED, communi altitudine DE, vnà cum duabus tertiis cubi ED, ad ſolidum ex DE, BD, DF: ſed vt rectangulum BEF, vnà cum duabus DE quadrati, ad quadratum DF, ita oſtendimus eſſe portionem AKLC ad ſolidum GL; vt igitur eſt ſolidum ex BE, EF, ED, vnà cum duabus tertiis cubi ED, com muni altitudine DE, ad ſolidum ex ED, BD, DF, ita erit portio AKLC ad ſolidum GL: ſed vt ſolidum ex ED, DB, DF, hoc eſt id, cuius altitudo ED, baſis BD quadratum, ad ſolidum ex EB, BD, DF, hoc eſt ad id, cuius altitudo BE, baſis quadratum BD, ita eſt altitudo, vel latus ED, ad altitudinem vel latum BE: hoc eſt ſoli­dum GL ad ſolidum GH; quippe quorum dictæ lineæ ED, BE ſunt axes; ex æquali igitur, vt ſolidum ex BE, EF, ED, vnà cum duabus tertiis cubi DE, ad ſolidum ex EB, BD, DE, cuius altitudo EB, baſis quadratum BD, ita erit portio AKLC ad ſolidum GH. Rurſus, quoniam ſolidum HK eſt hemiſphærij, vel hemiſphæroi­dis KBL ſeſquialterum; erit vt duæ tertiæ partes cubi BD ad cubum BD, ita hemiſphærium, vel hemiſphæroides KBL ad ſolidum KH: ſed vt cubus BD ad ſolidum ex BD, DF, & altitudine BE, hoc eſt vt altitudo BD ad altitudinem BE, ita eſt ſolidum KH ad ſolidum GH, quo­rum dictæ altitudines BD, BE ſunt axes, ex æquali igitur erit vt duæ tertiæ partes cubi BD ad ſolidum ex EB, BD, DF, ita hemiſphærium, vel hemiſphæroides KBL, ad ſoli­dum GH: ſed vt ſolidum ex BE, EF, ED, vna cum duabus tertiis cubi ED ad ſolidum ex EB, BD, DF, erat por­tio AKLC ad cylindrum GH; vt igitur prima cum quin ta ad ſecundam, ita tertia cum ſexta ad quartam, videlicet, vt duæ tertiæ cubi BD, vna cum duabus tertiis cubi BE, & ſolido ex BE, EF, ED ad ſolidum ex EB, BD, DF, ita erit ſphæræ, vel ſphæroidis maior portio ABC ad ſoli­dum, cylindrum ſcilicet, vel portionem cylindricam GH. Quod erat demonſtrandum.

PROPOSITIO XX.

Omnis portio ſphæræ, vel ſphæroidis abſciſsa duobus planis parallelis centrum intercipienti­bus, ad cylindrum, vel cylindri portionem, cuius baſis æqualis eſt circulo maximo, vel ſimilis, & æqualis ellipſi per centrum baſibus portionis pa­rallelæ, & eadem altitudo portioni, eam habet proportionem, quam duo ſolida rectangula ex ter­norum ſphæræ, vel ſphæroidis axis ſegmentorum eundem terminum habentium alterutrius ba­ſium portionis centrum, binis ſphæræ, vel ſphæ­roidis axem complentibus, & ſingulis axis por­tionis itidem à centro ſphæræ, vel ſphæroidis fa­ctis, vnà cum binis tertijs partibus duorum cubo­rum ex ſegmentis axis portionis à centro ſphæræ, vel ſphæroidis factis; ad ſolidum rectangulum, quod duobus ſphæræ, vel ſphæroidis axis dimi­diis, & axe portionis continetur.

Sit portio ABCD ſphæræ, vel ſphæroidis, cuius cen­trum E, axis portionis KEH: ipſi autem portioni cir­cumſcriptus cylindrus, vel cylindrica portio NO, vt in antecedenti, cuius communis ſectio cum ſphæra, vel ſphæ­roide AFDG, ſit circulus maximus, vel ellipſis circa dia­metrum LEM; quamobrem baſis ſolidi NO, eiuſdem altitudinis portioni ABCD circulus erit æqualis circu­lo maximo, vel ellipſis æqualis, & ſimilis ellipſi circa LM baſibus portionis parallelæ. Dico portionem ABCD ad cylindrum, vel cylindri portionem NO, eſse vt duo ſolida ad rectangula, alterum ex FH, HG, EH: alterum ex GK, KF, EK, vnà cum binis tertiis duorum cubo­rum ex EK, EH, ad ſolidum rectangulum ex GE, EF KH, axe enim KH producto vt incidat in ſuper­ficiem in punctis F, G, ſit ſphæræ, vel ſphæroidis, ex demonſtratis, axis FK, EHG. Intelliganturque vt in antecedenti duo cylindri, vel cylindri portiones NM, LO, totius prædicti ſolidi NO: itemque duæ portiones ſphæræ, vel ſphæroidis ALMD, LBCM, quorum qua­tuor ſolidorum commu nis baſis eſt circulus, vel ellipſis circa LEM. Quoniam igitur vt in antecedenti oſtendere­mus portionem ALM D ad ſolidum NM eſ ſe vt ſolidum ex FH, HG, EH, vnà cum duabus tertiis cubi EH ad ſolidum ex FE, EG, EH, communi altitu­dine EH: ſed vt ſoli­dum ex FE, EG, EH,

altitudine EH, ad ſolidum ex FE, EG, KH altitudi­ne KH, ita eſt altitudo EH ad altitudinem KH, hoc eſt ſolidum NM ad ſolidum NO, quippe quorum ſunt axes EH, KH; ex æquali igitur erit vt ſolidum ex FH, HG, EH, vnà cum duabus tertiis cubi EH, ad ſoli­dum ex FE, EG, KH, ita portio ALMD, ad ſoli­dum NO. Eadem ratione oſtenderemus eſſe, vt ſolidum ex GK, KF, EK, vnà cum duabus tertiis cubi EK, ad ſolidum ex FE, EG, KH, ita portionem LBCM, ad ſolidum NO; vt igitur prima cum quinta ad ſecundam, ita tertia cum ſexta ad quartam; videlicet, vt duo ſoli­da, & quod ſit ex FH, HG, EH, & quod ex GK, KF, EK, vnà cum duabus tertiis & cubi ex EH, & cu­bi ex EK, ad ſolidum ex FE, EG, KH, ita erit tota ſphæræ, vel ſphæroidis portio AB CD, ad cylindrum, vel portionem cylindricam NO. Quod demon­ſtrandum erat.

PROPOSITIO XXI.

Omnis trianguli comprehenſi ſectione para­bola, ex duabus rectis lineis, quarum altera ſe­ctionem tangat, altera in eam incidat diametro ſectionis ex contactu æquidiſtans, centrum graui­tatis eſt punctum illud, in quo recta linea ex con­tactu diuidens incidentem ita vt pars, quæ ſectio­nem attingit ſit ſeſquialtera reliquæ, ſic diui­ditur, vt pars quæ eſt ad contactum ſit tripla reliquæ.

Sit triangulum ABC comprehenſum ſectione parabo­la ADB, & duabus rectis lineis, quarum altera AC tan­gat ſectionem in puncto A, reliqua autem BC, in eam incidens in puncto B, ſectionis diametro ex puncto A, æquidiſtans intelligatur: & per centrum grauitatis trian-guli ABC quod ſit F, ſit ducta recta AFE. Dico AF eſſe ipſius FE triplam: at BE ipſius EC ſeſquialteram. Completo enim triangulo rectilineo ABC, ſectis que re­ctis lineis bifariam AB in puncto H, & AC in puncto K ducatur HDK, quæ parallela erit baſi BC: parabolæ igi­tur ſegmenti BDA dia meter erit DH; in qua parabolæ ADB, cuius vertex D ſit centrum grauitatis M: trian­guli autem rectilinei ABC centrum grauitatis N, & iun gatur MN: producta igitur MN occurret trianguli ABC mixti centro grauitatis F. ſint igitur centra M, N, F, in eadem recta linea: & ducta recta AN G ſecet baſim BC bifariam in G pun cto, neceſſe eſt e­nim: & ex puncto F ad rectam AG, ducatur recta FO ipſis BC, KH pa rallela, & BD, DA iungantur. Quoniam igitur AG ſecat BC, KH paral­lelas in rectolineo triangulo ABC,

in eaſdem rationes; ſecta erit HK bifariam à linea AG: cumque HD diameter parabolæ ADC, cuius vertex D, ſit parallela diametro parabolæ, cuius vertex A, atque ideo etiam BC incidenti parallela, erit DH pars ipſius KH: quoniam igitur in triangulo mixto ABC recta KD applicata parallela eſt ipſi BC, quæ itidem eſt parallela diametro parabolæ, cuius vertex A; erit vt AC ad AK potentia, ita BC ad DK longitudine, quod ſupra demon­ſtrauimus: ſed AC quadrupla eſt potentia ipſius AK; quadrupla igitur BC ipſius DK: cum igitur BC ſit dupla ipſius KH, erit DK dimidia eiuſdem KH, & ſecta bifariam KH in puncto D: ſed recta AG ſecabat eandem KH bi fariam; per punctum igitur D tranſibit AG. Quo­niam igitur parabola ADC, cuius vertex D, ſeſquiter­tia eſt per Archimedem trianguli ADB, cuius duplum eſt triangulum ABG, ſicut & huius triangulum ABC; triangulum ABC quadruplum erit trianguli ADB: qua­lium igitur partium æqualium eſt triangulum ABC duo­decim, talium erit triangulum ADB trium, & parabola ADB, cuius ver­tex D quatuor: du plum igitur erit tri­angulum ABC mixtum parabolæ ADB, cuius ver­tex D, & cen­trum grauitatis M: ſed trianguli ABC rectilinei eſt cen­trum grauitatis N, & F trianguli ABC mixti; dupla igitur erit MN ipſius N F, & MD ipſius
OF, & DN ipſius NO, propter ſimilitudinem triangulo­rum: ſed & tota AN dupla eſt totius NG, ob centrum grauitatis N rectilinei trianguli ABC; reliqua igitur AD dupla eſt reliquæ GO. cum igitur AG ſit dupla ipſius AD, quadrupla erit AG ipſiuſque GO. quare & quadru pla AE ipſius FE ob parallelas: tripla igitur AF ipſius FE. Rurſus quoniam ex Archimede ſeſquialtera eſt DM ipſius MH, erit tota DH ad DM vt quinque ad tria, hoc eſt vt decem ad ſex: ſed MD erat dupla ipſius OF; tota igi-tur DH ad OF erit vt decem ad tria: ſed GC dupla eſt ipſius DH; igitur GC ad FO vt viginti ad tria: ſed quia tripla exiſtente AO ipſius OG, eſt tota AG ipſius AO ſeſquitertia, erit quoque GE, ipſius OF ſeſquiter­tia, propter ſimilitudinem triangulorum AGE, AOF, hoc eſt qualium partium æqualium OF trium, talium GE quatuor; qualium eſt GC hoc eſt BG viginti, talium erit EG quatuor, & EC ſexdecim: dempta igitur EG ex GC, & addita ipſi BG, qualium eſt EC ſexdecim: talium erit BE vigintiquatuor: ſed vt vigintiquatuor ad ſexdecim, ita ſunt tria ad duo, quæ proportio eſt ſeſqui­altera, ſeſquialtera igitur erit BE ipſius EC, oſtenſa eſt autem AF ipſi FE tripla. Manifeſtum eſt igitur pro­poſitum.

PROPOSITIO XXII.

Si duo triangula mixta prædicti generis verti­cem communem habeant, qui eſt contactus, & baſes æquales in eadem recta linea, vel continuas, vel ſegmento interiecto, tota extra ſiguram verſa cauitate; centrum grauitatis compoſiti ex vtro­que eſt pun ctum illud, in quo recta linea à vertice ad bipartitæ rectæ prædictis ſectionibus interce­ptæ, in qua ſunt baſes dictorum triangulorum ſe­ctionis punctum pertinens ſic diuiditur; vt pars, quæ eſt ad verticem ſit tripla reliquæ.

Sint duo prædicti generis triangula ABC, ADE ha­bentia verticem A communem, qui eſt contactus recta. rum cum parabolis, tangente AB parabolam AC, & AD parabolam AE: baſes autem æquales BC, DE pa­rallelas parabolarum diametres per A, & in vna recta li­nea CE ſegmento BD interiecto: vtriuſque autem ſe­ctionis AC, AE concauitas ſpectet extra figuram ACE: ſecta autem CE bifariam in F, iunctaque AF, ponatur AG tripla ipſius GF. Dico compoſiti ex triangulis A BC, ADE centrum grauitatis eſſe G. Poſita enimvtra­que ſeſquialtera, CH ipſius HB, & EK ipſius KD, iunctisque AH, AK, ducatur per punctum G ipſi CE parallela ſecans AH, AK in punctis L, M. Quoniam igitur LM ipſi CE parallela ſecat eas quæ ex puncto A ad rectam CD du­cuntur rectas lineas in eaſdem rationes, & eſt AG tripla ipſius GF; tripla erit vtra­que AL ipſius LH, & AM ipſius MK: ſeſquialtera autem eſt CH ipſius HB, & EK ipſius KD; erit igitur L centrum grauitatis trianguli AB C, & M trianguli A DE per præceden­

tem. Rurſus quoniam abſoluantur triangula rectilineæ ACB, AEK, & æqualia erunt propter æquales baſes, poſita inter eaſdem parallelas, & vtrumque ſeſquialterum eius trianguli mixti, quod comprehendit, ex demonſtra­tione antecedentis; æqualia igitur erunt triangula mixta ABC, ADE, ſiquidem ſunt æqualium ſubſeſquialtera. Et quoniam componendo, & permutando eſt vt CB ad DE ita BH ad DK, æqualis erit BH ipſi DK: ſed ſi ab æqualibus poſitis CF, FE ipſas CB, DE æquales au-feras, reliquæ BF, FD æquales erunt; tota igitur FH to­ti FK æqualis eſt: in triangulo autem AHK recta AF ſecat LM, HK parallelas in eaſdem rationes; erit igitur LG æqualis ipſi GM; cum igitur æqualium triangulo­rum ABC, ADE centra grauitatis ſint L, M; erit com poſiti ex vtroque centrum grauitatis G. Idem oſtendere­mus, quod proponitur, & ſi baſes prædictorum triangulo­rum ſint continuæ. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO XXIII.

Si duæ parabolæ in eodem plano circa æqua­les diamet ros in directum inter ſe conſtitutas, ita vt vertices ſint extrema ex diametris compoſitæ, communem habuerint aliquam ordinatim ad dia metrum applicatarum, & vertices cum puncto con uenientiæ iungantur rectis lineis: centrum gra­uitatis v triuſque portionis ijs rectis lineis ab ſciſ ſæ, rectam lineam, quæ terminum communem diamctrorum, & concurſum parabolarum iungit bifariam diuidit.

Circa æquales diametros AD, DC indirectum inter ſe conſtitutas, verticibus A, C, duæ parabolæ in eodem plano com­munem habeant ali­quam BD ordi­

natim ad vtramque diametrorum applicatarum, iunctis­que AB, BC, ſit ſecta BD bifariam in puncto G. Dico G eſse centrum grauita tis duarum portionum AEB, BFE ſimul. Si enim hoc non eſt, ſit aliud punctum L. & compleantur parallelogramma ANBD, DBRC, hoc eſt totum AR parallelogrammum: & ſecta BG bifariam in puncto H, ponatur DK ipſius BD pars tertia, vt pun­ctum K ſit trianguli ABC centrum grauitatis. Poſita au­tem ſeſquialtera BP ipſius PN, & BQ ipſius QR, iun­ctisque AP, CQ, duoatur per punctum H ipſi AC, vel NR parallela, cum ipſis AP, CQ conueniens in punctis ST: & iuncta LG, ſi punctum L non ſit in linea BD, eſto LM quintu­pla ipſius MG. Quoniam igitur ob parallelas AC, P Q, ST in trape­zio APQC, eſt vt DH ad HB, ita AS ad SP, & CT
ad TQ, erit AS ipſius SP, & CT ipſius TQ tripla: ſed eſt BP ſeſquialtera ipſius PN, & BQ ipſius QR; mixti igitur trianguli ANB centrum grauitatis erit S, & trianguli mixti CRB centrum grauitatis T. cum igitur BP, BQ proportionales æqualibus NB, BR inter ſe ſint æquales, & ſecta AC bifariam in puncto D; etiam ijs parallela ST ſecta erit bifariam in puncto H: iungit autem ST centra grauitatis mixtorum triangulorum AN B, BRC; compoſiti igitur ex vtroque centrum grauita­tis erit H. Rurſus quoniam ex quadratura parabolæ, ſe­miparabola ABD ſeſquitertia eſt trianguli BDA, erit triangulum BDA ſeſquialterum mixti trianguli ANB: eadem ratione triangulum BDC, trianguli CRB mi xti erit ſeſquialterum: totum igitur triangulum ABC ſeſqui­alterum eſt compoſiti ex triangulis mixtis ANB, CRB. Et quoniam quarta pars eſt GH ipſius BD, & DK ter­tia, DG verò dimidia; qualium duodecim partium æqua­lium eſt BD, talium erit DK quatuor, & GH trium, & DG ſex, & reliqua KG duarum; ſeſquialtera igitur eſt GH ipſius GK: quare vt triangulum ABC ad compo­ſitum ex prædictis triangulis mixtis, ita ex contraria parte eſt HG ad GK: cum igitur dicti compoſiti ſit centrum grauitatis H, trianguli autem ABC centrum grauitatis K; erit dicti compoſiti, & trianguli ABC ſimul centrum grauitatis G. Rurſus, quoniam triangulum ABC ſeſ­quialterum eſt compoſiti ex triangulis mixtis ſupra dictis, & compoſitum ex duabus ſemiparabolis ABD, CBD ſeſquitertium trianguli ABC; crit compoſitum ex trian­gulis mixtis vnà cum triangulo ABC, quintuplum com­poſiti ex portionibus AEB, BFC; hoc eſt vt ex contra­ria parte LM ad MG: cum igitur G ſit centrum graui­tatis compoſiti ex triangulis mixtis, & triangulo ABC, & compoſiti ex portionibus AEB, BFC centrum grauita­tis L; erit vtriuſque dicti compoſiti, hoc eſt totius AR parallelogrammi centrum grauitatis L: ſed & punctum G ex primo libro eſt centrum grauitatis parallelogrammi AR; eiuſdem igitur parallelogrammi AR erunt duo cen­tra grauitatis G, L. Quod fieri non poteſt: duarum igitur portionum AEB, BFC ſimul centrum grauitatis erit G. Quod eſt propoſitum.

PROPOSITIO XXIIII.

Omnis figuræ circa axim in alteram partem de ficientis, cuius baſis eſt circulus, vel ellipſis, ſiue-baſes ſunt circuli, vel ellipſes, reliqua autem ſu­perficies tota interius concaua, centrum grauitatis eſt in dimidio axis ſegmento, quod baſim, vel ma­iorem baſim attingit.

Sit figura circa axim in alteram partem deficiens ABC, cuius axis BD, baſis, vel maior baſis circulus, vel ellipſis circa diametrum AC, reliqua autem ſuperficies tota inte­rius concaua: ſecto autem axe BD bifariam in puncto G, ſit ſolidi ABC centrum grauitatis F nempe in axe BD. Dico punctum F eſſe in ſegmento ED. Secto enim ſoli­do ABC, & figu ra per axem pla no per punctum E baſi, vel baſibus parallelo, fiat ſe­ctio circulus, vel ellipſis ſimilis baſi, per diffini­tionem, & ſectio­nis diameter K N: deinde figu­ra quædam ex

duobus cylindris, vel cylindri portionibus KL, AM cir­ca axes BE, ED, eiuſdem altitudinis circumſcribatur ſolido ABC: ſecanturque bifariam BE in puncto G, & ED in puncto H. totius autem figuræ circumſcriptæ ſit centrum grauitatis O, nempe in axe BD. Quoniam igi­tur propter bipartitorum axium ſectiones G, H, eſt ſolidi KL centrum grauitatis G: ſolidi autem AM centrum grauitatis H, erit in linea GH totius ſolidi AL centrum grauitatis O, & vt ſolidum AM ad ſolidum KL, ita GO ad OH: ſed maior eſt proportio ſolidi AM ad ſolidum KL quàm GE, ad EH; maior igitur proportio eſt GO ad OH, quàm GE ad EH: & componendo, maior pro­portio GH ad HO, quàm eiuſdem GH ad HE; mi­nor igitur OH erit quàm EH, & punctum O propin­quius puncto D quàm punctum E; verum quoniam ex ijs, quæ in præcedenti libro demonſtrauimus, propoſitæ figuræ ſolidæ ABC centrum grauitatis eſt puncto D propinquius, quàm cuiuslibet figuræ ex cylindris, vel cy lindri portionibus æqualium altitudinum ipſi circumſcri­ptæ, erit punctum F propinquius puncto D quàm pun­ctum O; multo igitur puncto D erit propinquius pun­ctum F quàm punctum E; ergo infra punctum E, & in linea ED cadet ſolidi ABC centrum grauitatis F. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXV.

Omnis fruſti coni, vel portionis conicæ cen­trum grauitatis eſt punctum illud, in quo eius axis ſic diuiditur, vt pars quæ minorem baſim at­tingit aſſumens quartam partem axis ablati coni, vel portionis conicæ, ſit ad eam, quæ inter poſtre­mam ſectionem, & quartæ partis abſciſſ<17> ad baſim axis totius coni terminum interijcitur, vt cubus, qui fit ab axe totius, ad cubum qui fit ab axe abla­ti coni.

Sit coni, vel portionis conicæ ABC fruſtum BDEC, cuius axis FG: conus autem, vel coni portio ablata AD E: ſint centra grauitatis H ſolidi ABC, & K ſolidi ADE, & L fruſti DC: quæ centra præterquam quod ſunt omnia in axe AG, centrum L cadet infra centrum H, ex ijs, quæ in primo libro demonſtraui­mus. Dico eſſe KL ad LH vt cubum ex AG ad cu­bum ex AF. Quoniam enim ob centra grauitatis K, H, L, eſt vt fruſtum DC ad ſolidum ADE, ita ex contraria parte KH ad HL; erit componen­do, vt ſolidum ABC ad ſoli­dum ADE, ita KL ad LH: ſed vt ſolidum ABC ad ſolidum ADE, ita eſt cubus ex AG ad cubum ex AF: triplieata enim eſt vtraque proportio eiuſ­dem, quæ eſt ipſius AG ad ip­ſam AF, propter ſimilitudi­nem ſolidorum; vt igitur eſt cu bus ex AG ad cubum ex AF, ita erit KL ad LH. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXVI.

Reſidui ſolidi ex cylindro, vel portione cylin­drica hemiſphærio, vel hemiſphæroidi circum­ſcripta, dempto hemiſphærio, vel hemiſphæroide, centrum grauitatis eſt punctum illud, in quo axis ſic diuiditur, vt pars baſim attingens hemiſphæ­rij, vel hemiſphæroidis ſit tripla reliquæ.

Eſto hemiſphærio, vel hemſphæroidi ABC, cuius axis BD, circumſcriptus cylindrus, vel portio cylindrica AF: & ponatur DK ipſius KB tripla. Dico reliqui ex ſoli-do AF dempto ABC, centrum grauitatis eſſe K. Nam ſuper baſim circulum, vel ellipſim, cuius diameter EF ſi­milem, & oppoſitam ſolidi ABC, vel AF baſi, cuius dia­meter AC, ſtet cylindrus, vel portio cylindrica EDF: vt ſitaxis BD communis quatuor ſolidis ABC, EDF, AF, & reliquæ figuræ dempto ſolido ABC compre­henſæ ſuperficie cylindrica, & circulo, vel ellipſe circa EF, & dimidia ſuperſicie ſphærica interiori, cuius figuræ ſoli­dæ ponimus centrum grauitatis K. Secto igitur axe BD bifariam, & ſingulis eius partibus rurſus bifariam, ductiſque per puncta ſectionum planis quibuſdam planis

prædictarum baſium oppoſitarum parallelis, ſecta ſint qua­tuor prædicta ſolida, quorum, excepto propoſito reſiduo, ſectiones omnes erunt circuli, vel ellipſes inter ſe ſimi­les, & in ſolido AF etiam æquales, quarum omnium diametri eiuſdem rationis erunt in eodem plano, in quo ſit parallelogrammum per axim AEFC: ſolidi autem dicti reſidui ſectiones, reſidua ſectionum ſolidi ABC. At circa communes axes inter ſe æquales ſegmenta axis BD, & inter eadem plana parallela, ſuper baſes ſectiones duorum ſolido­rum ABC, EDF, cylindri, vel portiones cylindricæ con­ſiſtant altitudine, & multitudine æquales; ita vt duarum fi­gurarum ex ijs compofitarum altera fit cirdumſcripta ſoli­do EDF, altera ſolido ABC inſcripta. hac igitur abla­ta ex ſolido AF, figura relinquetur ex reſiduis cylindro­rum, vel cylindri portionum altitudine, & multitudine æqualibus ijs cylindris, vel cylindri portionibus, ex quibus conſtat alterutra figurarum ſolidis ABC, DEF circum­ſcriptarum: eruntque ex ſuperius demonſtratis dicta reſi­dua, & cylindri vel cylindri portiones, quæ circa ſolidum EDF, inter ſe æqualia proutinter ſe reſpondent inter ea­dem plana parallela, vt eſt exempli gratia reliquum ſoli­di AN dempto ſolido SR, æquale ſolido TP: & ſic de­inceps: ſummus autem XF cylindrus, vel portio cylindrica
eſt communis: Atqui bina hæc iam dicta ſolida centrum grauitatis habent commune communis bipartiti axis ſectio nem in eadem recta linea BD, in qua eſt etiam ſolidi XF communis centrum grauitatis. duarum igitur dictarum figu rarum ſolido EDF, & prædicto reſiduo circumſcriptarum idem aliquod punctum in axe BD erit commune centrum grauitatis: ſieri autem poteſts quod in ſecundo libro demon ſtrauimus, vt duæ dictæ figuræ ſuperent vnaquæ que ſibi in­ſcriptam minori ſpacio quantacumque magnitudine pro­poſita. ex demonſtratis igitur in primo libro; duo ſolida cir­ca axem BD in alteram partem deficientia commune ha­bebunt in axe BD centrum grauitatis: ſed ſolidi, ideſt co-ni, vel portionis conicæ EDF eſt centrum grauitatis K: reliqui igitur ex cylindro, vel portione cylindrica AF dem pto hemiſphærio, vel hemiſphæroide ABC centrum graui tatis erit idem K. Quod erat demonſtrandum.

PROPOSITIO XXVII.

Si hemiſphærium, vel hemiſphæroides vna cum cylindro, vel cylindri portione ipſi circumſcripta ſecetur plano baſi parallelo; reliqui ex cylindro, vel portione cylindrica abſciſſa ad partes verti­cis, dempta illa quæ abſciſſa eſt ſimul minori, & ſphæræ, vel ſphæroidis portione, centrum gra­uitatis eſt punctum illud, in quo eius axis ſic diui­ditur, vt quæ inter hanc poſtremam ſectionem, & centrum baſis vnà abſciſſæ portionis interijci­tur, aſſumens quartam partem ſegmenti, quod di­ctæ baſis, & ſphæræ, vel ſphæroidis centra iungit, ſit ad ſui ſegmentum, quod inter poſtremam ſe­ctionem, & quartæ partis axis hemiſphærij, vel hemiſphæroidis ad verticem abſciſſæ terminum interijcitur, vt cubus axis hemiſphærij, vel hemi­ſphæroidis, ad cubum eius, quæ baſis portionis & hemiſphærij, vel hemiſphæroidis centra iungit. Reliqui autem ex cylindro, vel portione cylindri­ca vnà abſciſſa cum reliqua hemiſphærij, vel hemi­ſphæroidis portione, quæ eſt ad baſim, dempta hac portione centrum, grauitatis eſt punctum illud, quod quartam partem abſcindit axis portionis ad cius minorem baſim terminatam.

Eſto hemiſphærio, vel hemiſphæroidi ABC, cuius axis BD, baſis circulus vel ellipſis, cuius diameter AC cir­cumſcriptus cylindrus, vel cylindri portio AF, cuius in­telligatur reliquum dempto ABC. quæ ſolida ſecans pla num per AC, BD, faciat ſectiones ſemicirculum, vel ſe­miellipſim ABC, & parallelogrammum per axem AE FC; & per quodlibet punctum L axis BD, planum baſibus AC, EF ſolidi AF parallelum, ſecans prædicta ſolida ABC, AF, faciat ſectiones circulos, vel ellipſes ſimiles, & in ſolido AF etiam æquales ijs, quæ circa AC, EF: earum autem dia­metros, ſectiones cum parallelogrammo AEFC, ipſam GO: & cum ſemicirculo, vel ſemiellipſe ABC, ipſam HN. Ita­que habebimus figuram quandam ſolidam GHBNO reſi­duum cylindri, vel portionis cylindricæ GF dempta mino­ri ſphæræ, vel ſphæroidis portione HBN, cuius axis erit BL. Sumpta igitur BQ quarta parte axis BD, & LP quarta par te ipſius DL fiat vt cu bus ex BD ad cubum ex DL, ita PR ad Rque Dico reſidui GHBNO centrum grauitatis eſſe R. Reliqui autem ex cylindro, vel portione cylindrica AO dempta portione AHNC, cen­trum grauitatis eſſe P.

Nam ſuper baſim circulum, vel ellipſim EF, ſtet conus, vel portio conica EDF: ſitque prædicto plano per L abſciſ­ſus conus, vel coni portio KDM, cuius axis DL, quæ pro­pter planum ſecans baſi EF parallelum, ſimilis erit toti cono, vel portioni conicæ EDF. Quoniam igitur BQ eſt axis BD pars quarta, & LP pars quarta ipſius DL; erunt centra grauitatis ſolidorum, Q ipſius EDF, & Pip­ſius DKM. Et quoniam ſolidum DEF ad ſolidum D KM eſt vt cubus ex BD ad cubum ex DL, hoc eſt vt ſolidum EDF ad ſolidum KLM, & vt PR ad Rque erit diuidendo, vt fruſtum EKMF ad ablatum KDM, ita ex contraria parte PQ ad QR: cum igitur ſint centra grauitatis P ſolidi DKM, & Q ſolidi DET; erit reliqui fruſti EKMF centrum grauitatis R: ſed qua ratione in præcedenti conſtat, reliqui ex ſolido AF, dempto ſolido ABC centrum grauitatis eſſe Q, eadem concluditur idem eſſe centrum grauitatis reliqui ex ſolido GF, dempta portione HBN, quod & fruſti EKMF, nempe punctum R: Et quoniam P eſt centrum grauita­tis coni, vel portionis conicæ KDM, crit idem P centrum grauitatis ieliqui ex cylindro, vel portione cylindrica AO dempta portione AHNC. Manifeſtnm eſt igitur propoſituro.

PROPOSITIO XXVIII.

Ijſdem poſitis ſolidis, vt in antecedenti, ſectis­que per duo quælibet puncta axis duplici plano baſi parallelo, reliqui ex cylindro, vel portione cylindrica dictis duobus planis intercepta dem­pta ſphæræ, vel ſphæ roidis portione ipſi inter ea­dem plana reſpondente, centrum grauitatis eſt punctum illud, in quo eius axis ſic diuiditur, vt quæ inter hanc poſtremam ſectionem, & centrum maioris baſis vnà abſciſsæ portionis interijcitur, aſſumens quartam partem ſegmenti, quod prædi­ctæ baſis, & ſphæræ vel ſphæroidis centra iungit, ſit ad ſui ſegmentum, quod inter poſtremam ſectio nem, & quartæ partis eius, quæ ſphæræ, vel hemi­ſphærij, & minoris baſis portionis centra iungit ad minorem baſim abſciſsæ terminum interijci­tur, vt cubus eius, quæ minoris baſis, & ſphæræ, vel ſphæroidis, ad cubum eius, qu<17> ſphæræ, vel ſphæ roidis, & maioris baſis portionis centra iungit.

Ijſdem poſitis ſolidis, vtque in antecedenti ponebantur ABC, AF; per duo quælibet puncta RQ axis BD ſe­centur poſita ſolida duobus planis baſi, quæ circa AC, cir culo ſcilicet, vel ellipſi parallelis: quibus planis intercepta hemiſphærij, vel hemiſphæroidis portio ſit MOPN, vnà cum cylindro, vel portione cylindrica GL parte ipſius AF, quorum ſolidorum commu nis axis vnà abſciſſus ab axe BD ſolidi AB C, ſit RQ: & ſumptis quartis partibus RI ip­ſius DR, & QZ ipſius DQ, fiat vt cubus ex DQ ad cubum ex D R, ita IY ad YZ. Dico reliqui ex cylin­

dro, vel portione cylindrica GL dempta portione MOP N, centrum grauitatis eſſe Y. Facta enim conſtructione coni, vel portionis conicæ EDF, vt in ſuperioribus, erunt ſimilium conorum, vel coni portionum SDT, VDX, ea­dem ordine axes DQ, DR: propter igitur factas diuiſio­nes, erunt centra grauitatis Z ſolidi SDT & I ſolidi VDX, & demonſtratio ſimilis antecedenti. dicti igitur reſidui GMOPMH centrum grauitatis Y. Quod eſt propo­ſitum.

PROPOSITIO XXIX.

Si ſphæra, vel ſphæroides vnà cum cylindro, vel portione cylindrica ipſi circumſcripta ſecetur plano, haud per centrum, baſibus ſolidi circum­ſcripti parallelo; reliqui ex cylindro, vel portio­ne cylindrica ad maioris portionis ſphæræ, vel ſphæroidis partes abſciſſa, dempta ſphæræ, vel ſphæroidis maiori portione, centrum grauita­tis eſt punctum illud, in quo dicti reliqui ſolidi axis ſegmentum inter duas quartas partes extre­mas ſegmentorum eiuſdem axis, quæ à centro ſphæræ, vel ſphæroidis fiunt interiectum, ſic diui­ditur, vt pars propinquior baſi ſit ad reliquam, vt prædictorum, quæ à centro fiunt axis ſegmento­rum maioris cubus ad cubum minoris.

Sit ſphæræ, vel ſphæ­roidi ABCD cuius cen­trum E, circumſcriptus cylindrus, vel portio cy­lindrica FGHK, cum quibus planum per axim communem BED, fa­ciat ſectiones, parallelo­grammum per axim FG HK, & circulum, vel el­lipſim ABCD: quas fi­guras vnà cum dictis ſo­lidis ſecans planum baſibus ſolidi circumſcripti paralle-lum per quoduis punctum S dimidij axis ED, faciens­que ſectiones circulos, vel ellipſes ſimiles ſcilicet ba­ſibus oppoſitis ſolidi FH, & ſectionum diametros LM, TV, abſcindat ſolidi ABCD maiorem portionem LBM, & ſolidi FH cylindrum, vel portionem cy­lindricam TH, cuius axis BES: duorum autem ſegmen­corum BE, ES ſumptis duabus quartis partibus extre­mis BQ PS, fiat vt cubus ex BE ad cubum ex ES, ita PR ad RQ. Dico reliquæ figuræ ex cylindro, vel por­tione cylindrica TH, portioni LBM circumſcripta, dem­pta portione LBM, centrum grauitatis eſſe R. Se­ctis enim parallelogrammo TH, & ſolidis LBM, TH, plano per centrum E, baſibus ſolidi TH parallelo, ſit ſe­ctio, (vna enim communis erit vtrique ſolido) circulus, vel ellipſis, cuius diameter AEC in parallelogrammo T H diametris TV, GH oppoſitarum baſium pa­rallela. Tum ſuper ba­ſes oppoſitas circulos, vel ellipſes circa GH, FK ſtent coni, vel portiones conicæ GEH, FEK: & planum per TV baſi circa FK parallelum ab­ſcindat à ſolido FEK conum, vel coni portio­nem NEO ſimilem vti­que ipſi FEK, hoc eſt

ipſi GEH, propter ſimiles baſes, & ſimilia triangula per axim in eodem parallelogrammo FH. Solidi itaque NEO, ex ijs, quæ in primo libro demonſtrauimus, cen­trum grauitatis erit P; quemadmodum & Q ſolidi NEO. Quoniam igitur tàm ſolidi GEH ad ſoli­dum NEO propter ſimilitudinem, quàm cubi ex BE ad cubum ex ES, triplicata eſt proportio axis, vel la­eris BE, ad axem, vel latus ES; erit vt cubus ex BE ad cubum ex ES, ita ſolidum GEH ad ſolidum NEO, hoc eſt in eadem proportione, quæ eſt ex contraria parte ip­ſius PR ad RQ. Cum igitur P ſit centrum grauitatis ſolidi NEO, & Q ſolidi GEH; erit compoſiti ex vtro­que centrum grauitatis R. Rurſus, quoniam reliquum ſo­lidi AH dempto hemiſphærio, vel hemiſphæroide ABC, æquale eſt ſolido GEH: & reliquum ſolidi TC dempto ſolido ALMC æquale ſolido NEO; erit vt ſolidum GEH ad ſolidum NEO, ideſt ex contraria parte, vt PR ad RQ, ita reliquum ſolidi AH dempto ABC, ad re­liquum ſolidi TC, dempto ALMC: ſed reliqui ex ſoli­do AH dempto ABC eſt centrum grauitatis Q: & reli­qui ex ſolido TC dempto ALMC, centrum grauitatis P, ex ſuperius demonſtratis; totius igitur reliqui ex cy­lindro, vel portione cylindrica TH dempta ſphæræ, vel ſphæroidis maiori portione LBM centrum grauitatis eſt R. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXX.

Si ſphæra, vel ſphæroides vnà cum cylindro, vel portione cylindrica ipſi circumſcripta, ſece­tur duobus planis baſi ſolidi circumſcripti pa­rallelis, centrum intercipientibus, & ab eo non æqualiter diſtantibus; reliqui ex cylindro, vel portione cylindrica dictis planis intercepta, dem­pta portione ſphæræ, vel ſphæroidis ipſi reſpon­dente, centrum grauitatis eſt punctum illud, in quo prædicti reliqui ſolidi axis ſegmentum in­ter quartas partes extremas eiuſdem axis ſeg­mentorum, quæ à centro ſphæræ, vel ſphæroi­dis fiunt interiectum ſic diuiditur, vt pars ma­iori baſi propinquior ſit ad reliquam, vt prædi­ctorum axis ſegmentorum cubus maioris ad cu­bum minoris.

Ijſdem poſitis, & conſtructis, quæ in antecedenti, rur­ſus per quodlibet axis BE punctum X, ductum planum baſibus ſolidi FH parallelum, ſecansque vnà cylindrum, vel portionem cylindricam FH, & ſphæram, vel ſphæroi­des ABCD: eſto duobus planis per TV, ZY, inter ſe pa­rallelis, & centrum E intercipientibus abciſſa ſphæræ, vel ſphæroidis portio L d e M vnà cum cylindro, vel portione cylindrica TY: & ſumatur ipſius EX pars quarta XQ, qualis eſt & PS ipſius E S: & vt eſt cubus ex EX ad cubum ex ES, ita fiat PR ad Rque Dico reli­qui ex cylindro, vel por­tione cylindrica TY dem pta ſphæræ, vel ſphæroi­dis portione L d c M, cen­trum grauitatis eſſe R. Eſto enim conus, vel coni por­tio q E l abſciſſa prædi­cto plano per ZY, & com munibus axibus ES, EX, ſimili igitur demonſtratio­ne antecedentis manifeſtum eſt quod proponebatur.

PROPOSITIO XXXI.

Hemiſphærij, vel hemiſphæroidis centrum grauitatis eſt punctum illud, in quo axis ſit diui­ditur, vt pars ad verticem ſit ad reliquam vt quin que ad tria.

Eſto hemiſphærium, vel hemiſphæroides ABC, cuius axis BD, baſis circulus, vel ellipſis, cuius diameter AD C: ſitque ſolidi ABC centrum grauitatis G, nempe in axe BD. Dico BG ad GD eſſe vt quinque ad tria. Nam circa axim BD ſuper baſim circulum, vel ellipſim cir ca AC, ſtet circumſcri ptus ſolido ABC cy­lindrus, vel portio cy­lindrica AE, & ſecta BD bifariam in F, rur ſus FB bifariam ſece­tur in puncto H. Quo­niam igitur ſolidum A BC eſt ſolidi AE, ſub­ſeſquialterum, erit di­

uidendo ſolidum ABC reliqui ex ſolido AE duplum cum igitur ſint centra grauitatis, G ſolidi ABC, & H prædicti reliqui, & F totius AE; quo fit vt ex con­traria parte ſit vt ſolidum ABC ad prædictum reſiduum, ita HF ad FG, erit HF dupla ipſius FG; quadrupla igitur BF ipſius FG: ſed talium quatuor partium eſt BF, qualium BD eſt octo, cum ſit BF dimidia ipſius BD; qualium igitur octo eſt BD, talium erit BG quinque, & GD trium. Quod demonſtrandum erat.

ALITER.

Dico hemiſphærij, vel hemiſphæroidis ABC cen­trum grauitatis eſſe G. In plano enim ſemicirculi, vel ſe­miellipſis per axem BD deſcriptæ intelligantur duæ pa­rabolæ, quarum diametri AD, DC, & communiter ad vtranque ordinatim applicata ſit BD: & connectun­tur rectæ AB, BC: ſumptis autem in BD tribus qui­buslibet punctis, æqualia axis ſegmenta XF, FY interci­pientibus, ſecent per ea puncta tres figuras hemiſphærium, vel hemiſphæroides ABC, & ſemicirculum, vel ſemielli­

pſim per axem, & figuram planam ARBSC, quæ lineis pa rabolicis ARB, BSC, & recta AC continetur, pla­na quædam baſi hemiſphærij, vel hemiſphæroidis paralle­la. Erunt igitur ſectiones hemiſphærij, vel hemiſphæroidis circuli, vel ellipſes ſimiles baſi, quarum diametri ſint KXH, LFM, N*uO: figuræ autem ARBSC ſectiones rectæ lineæ PXQ, RFS, TYV. Quoniamigitur per IV hu­ius eſt vt KH ad LM potentia, ita KQ ad FS hoc eſt in earum duplis PQ ad RS longitudine; erit vt PQ ad RS, ita circulus, vel ellipſis KH ad circulum vel ſi­milem ellipſim LM. Eadem ratione erit vt RS ad TV, ita circulus, vel ellipſis LM ad circulum, vel ellipſim NO. minor autem proportio eſt PQ ad RS, quàm RS ad TV circuli igitur, vel ellipſis KH ad circulum, vel ellipſim LM, minor erit proportio <34> circuli, vel ellipſis LM ad circulum, vel ellipſim NO: & duæ figuræ hemi­ſphærium, vel hemiſphæroides ABC, & plana ARBSC, ſunt circa axim, vel diametrum BD in alteram parte m deficientes, quales definiuimus; vtriuſque igitur dictæ fi­guræ vnum erit commune centrum grauitatis. Rurſus poſito puncto F in medio axis BD, & FG ipſius GE tripla, quoniam ponitur BG ad GD vt quinque ad tria; qualium partium æqualium ipſi EG eſt FG trium, ta­lium erit BG quindecim, & GD nouem, & talis EG vna: dempta igitur GE ab ipſa DG, & addita ipſi BG, qualium partium eſt BE ſexdecim, talium erit ED octo; dupla igitur BE ipſius ED, & trianguli ABC centrum grauitatis E. Rurſus quoniam ex quadratura parabolæ, duarum portionum ARB, BSC triangulum ABC eſt triplum; hoe eſt vt FG ad GE, ita ex contraria parte triangulum ABC ad duas portiones ARB, BSC: Sed trianguli ABC eſt centrum grauitatis E, & duarum por tionum ARB, BSC ſimul per XXIII huius, centrum grauitatis F, totius igitur figuræ ARBSC centrum grauitatis erit G, commune autem hoc centrum grauitatis eſt hemiſphærio, vel hemiſphæroidi ABC. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO XXXII.

Omnis minoris portionis ſphæræ, vel ſphæroi­dis centrum grauitatis eſt in axe primum bifa­riam ſecto: deinde ſecundum centrum grauitatis reliqui ſolidi dempta portione ex cylindro, vel portione cylindrica abſciſſo, vel abſciſſa vnà cum portione, ex cylindro, vel portione cylindrica, ſphær<17>, vel ſphæroidis circa axim axi portionis com gruentem circunſcripta; in eo puncto, in quo dimi­dius axis portionis baſim attingens ſic diuiditur, vt pars prima, & ſecunda ſectione terminata, ſit ad totam ſecunda, & poſtrema ſectione terminatam, vt rectangulum contentum axe portionis, & reli­quo ſphæræ, vel ſphæroidis dimidij axis ſegmen­to, vnà cum duabus tertijs quadrati axis portio­nis, ad ſphæræ, vel ſphæroidis dimidij axis axi portionis congruentis quadratum.

Sit ſphæræ, vel ſphæroidis minor portio ABC, cuius axis BD: & in eo centrum grauitatis F: ſecto autem axe BD primum bifariam in puncto G, & rur ſus BG in puncto H centro grauitatis reliqui dempta por­tione ex cylindro, vel portione cylindrica KL circa axim BD, abſciſſo, vel abſciſ­ſa codem plano cum

portione ABC, & cylindro, vel portione cylindri­ca, quæ circumſcriberetur ſphæræ, vel ſphæroidi, cu­ius eſt portio ABC, circa axim, cuius dimidium BDE. Dico GH ad HF, (nam cadet centrum F infra biparti­ti axis BD ſectionem G, ex XXIII huius) eſſe vt rectan­gulum BDE vnà cum duabus tertijs BD quadrati ad quadratum BE. Quoniam enim totius ſolidi KL cen-trum grauitatis eſt G, & F portionis ABC, & H reliqui ex KL dempta ABC portione; erit vt portio ABC ad prædictum reſiduum, ita ex contraria parte HG ad GF: & componendo, vt ſolidum KL ad prædictum reſiduum, ita HF ad FG: & per conuerſionem rationis, vt ſolidum KL ad portionem ABC, ita FH ad HG: & conuerten do, vt portio ABC ad ſolidum KL, ita GH ad HE: ſed vt portio ABC ad ſolidum KL, ita eſt rectangulum BDE vnà cum duabus tertiis quadrati BD ad quadra­tum EB; vt igitur rectangulum BDE, vnà cum duabus tertiis quadrati BD, ad quadratum EB, ita erit GH ad HF. Quod demonftrandum erat.

PROPOSITIO XXXIII.

Omnis portionis ſphæræ, vel ſphæroidis abſciſ ſæ duobus planis parallelis, altero per centrum acto, centrum grauitatis eſt in axe primum bifa­riam ſecto: deinde ſumpta eius quarta parte ad minorem baſim; in eo puncto, in quo dimidius axis maiorem baſim attingens ſic diuiditur, vt pars axis prima, & ſecunda ſectione terminata, ſit ad eam, quæ prima, & poſtrema ſectione ter­minatur, vt rectangulum contentum ſphæræ, vel ſphæroidis axis axi portionis congruentis ijs ſeg­mentis, quæ fiunt à centro minoris baſis portio­nis, vnà cum duabus tertiis quadrati axis portio­nis; adſphæræ, vel ſphæroidis dimidij axis qua­dratum.

Sit ſphæræ, vel ſphæroidis cuius centrum E portio ABCD abſciſsa duobus planis parallelis altero ducto per E, & ſectionem faciente circulum maximum, vel ellipſim per centrum, cuius diameter AED: axis autem portionis ſit EF, cui congruens ſphæræ, vel ſphæroidis axis GFER: ſit autem FE bifariam ſectus in puncto H: & FH bifariam in puncto K, ſitque in EH, ſic enim erit, portionis ABCD centrum grauitatis L. Dico eſſe HK ad KL, vt rectangulum GFR, vnà cum duabus tertiis quadrati EF ad quadratum EG. Sit enim cylindrus, vel portio cylindrica AM circa axim FE abſciſſa ijſdem pla­nis cum portione AB CD, ex cylindro, vel portione cylindrica cir ca axim GR ſphæ­ræ, vel ſphæroidi AG DR circumſcripta. Quoniam igitur ſolidi AM eſt centrum gra­uitatis H: reliqui au­tem dempta ABCD portione centrum gra­uitatis K: & portionis ABCD ponitur cen­trum grauitatis L; erit

vt portio ABCD ad reliquum ſolidi AM, ita ex con­traria parte KH ad HL. componendo igitur vt in antece­denti, & per conuerſionem rationis, & conuertendo, erit vt portio ABCD ad ſolidum AM; hoc eſt vt rectangu­lum GFR, vnà cum duabus tertiis quadrati EF ad qua­dratum EG, ita HK ad KL. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXXIIII.

Omnis portionis ſphæræ, vel ſphæroidis ab­ſciſſæ duobusplanis parallelis, neutro per cen­trum acto, nec centrum intercipientibus, centrum grauitatis eſt in axe, primum bifariam ſecto: de­inde ſecundum centrum grauitatis reliqui dem­pta portione ex cylindro, vel portione cylindrica, abſciſſo, vel abſciſſa vnà cum portione à cylin­dro, vel portione cylindrica ſphæræ, vel ſphæroi­di circa eius axem axi portionis congruentem cir­cumſcripta; in eo puncto, in quo dimidius axis portionis maiorem baſim attingens ſic diuiditur, vt pars prima & ſecunda ſectione terminata ſit ad eam, quæ prima, & poſtrema ſectione terminatur, vt duo rectangula, alterum contentum duobus ſphæræ, vel ſphæroidis axis axi portionis congruen tis ijs ſegmentis, quæ fiunt à centro minoris baſis portionis: alterum axe portionis, & ſegmento, quod ſphæræ, vel ſphæroidis, & maioris baſis por­tionis centra iungit, vnà cum duabus tertiis qua­drati axis portionis, ad ſphæræ vel ſphæroidis di­midij axis quadratum.

Sit ſphæræ, vel ſphæroidis, cuius centrum E portio ABCD, abſciſſa duobus planis parallelis, neutro per E tranſeunte, nec E intercipientibus: portionis autem axis ſit FS: maior baſis circulus, vel ellipſis, cuius diame­ter AD: & circa axim EF, ſtet cylindrus, vel portio cylin­drica MN abſciſſa ijſdem planis cum portione ABCD ex cylindro, vel portione cylindrica, ſphæræ, vel ſphæroidi BCR circa eius axim CFSR circumſcripta, cuius ſit cen trum grauitatis H, ac propterea ſecta FS bifariam in pun cto H. reliqui autem dempta portione AB CD ex ſolido MN ſit centrum grauitatis K, quod cadet in FH, & portionis ABCD cen trum grauitatis in ipſa HS cadet, quod ſit L. Dico eſſe HK ad KL, vt duo rectangula GF R, FSE, vnà cum duabus tertiis quadra­ti FS, ad quadratum EG. Quoniam enim

ſimiliter vt ante oſtenderemus eſſe HK ad KL, vt eſt portio ABCD ad ſolidum MN: ſed portio ABCD ad ſolidum MN, eſt vt duo rectaugula GFR, ESF, vnà cum duabus tertiis quadrati FS, ad quadratum EG; vt igitur duo prædicta rectangula, vnà cum duabus tertiis quadrati FS ad quadratum EG, ita erit HK ad KL. Quod erat demonſtrandum.

PROPOSITIO XXXV.

Omnis maioris portionis ſphæræ, vel ſphæroi­dis centrum grauitatis eſt in axe, primum bifa­riam ſecto: deinde ſecundum centrum grauitatis reliqui dempta portione ex cylindro, vel portione cylindrica, abſciſſo, vel abſciſſa vnà cum portio­ne, à cylindro, vel portione cylindrica, ſphæræ, vel ſphæroidi circa eius axim axi portionis congruen­tem circumſcripta; in eo puncto, in quo axis portio nis ſic diuiditur, vt pars prima, & ſecunda ſectione terminata ſit ad eam, quæ prima & poſtrema ſe­ctione terminatur, vt ſolidum rectangulum ex axe portionis, & reliquo ſegmento axis ſphæræ, vel ſphæroidis axi portionis congruentis, & eo, quod ſphæræ, vel ſphæroidis, & baſis portionis centra iungit, vnà cum binis tertijs duorum cuborum; & eius, qui à ſphæræ, vel ſphæroidis axis fit dimi­dio: & eius, qui ab ea, quæ ſphæræ, vel ſphæroidis, & baſis portionis centra iungit; ad ſolidum rectan gulum, quod duobus ſphæræ, vel ſphæroidis præ­dicti axis dimidijs, & axe portionis continetur.

Sit ſphæræ, vel ſphæ roidis, cuius centrum E maior portio ABC, cuius axis BD, baſis circulus, vel ellipſis, cu ius diameter AC: & circa axem BD ſtet cylindrus, vel portio cylindrica KL, abſciſ ſa eodem plano cum portione ABC, ex cy­lindro, vel portione cy lindrica, ſphæræ, vel ſphæroidi ABCR circa eius axim BDR circumſcripta, & ſecta BD bifariam in puncto H: deinde ſecundum G in ipſa BH, centrum grauitatis reliqui dempta portione ex ſolido KL, ſit portionis ABC in ipſa DH centrum grauitatis F, per vim XXXVII ſecundi. Dico eſſe HG ad GF, vt ſolidum rectangulum ex BD, DR, DE vnà cum binis tertiis duorum cuborum ex BE, ED, ad ſoli­dum rectangulum ex BD, BE, ER. Simi liter enim vt ſupra de­monſtrato eſſe vt HG ad GF, ita portionem ABC ad ſolidum KL; quoniamportio ABC ad ſolidum KL eſt vt ſolidum ex BD, DR, DE, vnà cum binis ter tiis duorum cuborum ex BE, & ED, ad ſoli­

dum ex BD, BE, ER; erit vt modo dicta antecedens magnitudo ad dictam conſequentem, ita HG, ad GF. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXXVI.

Omnis portionis ſphæræ, vel ſphæroidis ab­ſciſſæ duobus planis parallelis centrum interci­pientibus, & ab eo non æqualiter diſtantibus, cen trum grauitatis eſt in axe, primum bifariam ſecto: deinde ſecundum centrum grauitatis reliqui dem­pta portione ex cylindro, vel portione cylindrica, abſciſſo, vel abſciſſa vnà cum portione, à cylin-dro, vel portione cylindrica, ſphæræ, vel ſphæroi­di circa eius axim axi portionis congruentem cir­cumſcripta; in eopuncto, in quo maius ſegmen­tum axis portionis corum, quæ à centro fiunt ſic diuiditur, vt pars prima & ſecunda ſectione termi nata ſit ad eam, quæ prima, & poſtrema ſectione terminatur, vt duo ſolida rectangula; & quod fit ex duobus ſphæræ, vel ſphæroidis axis axi portio­nis congruentis ijs ſegmentis, quæ fiunt à centro maioris baſis portionis, & ea, quæ maioris baſis & ſphæræ, vel ſphæroidis centra iungit: & quod ex ſphæræ, vel ſphæroidis eiuſdem axis ſegmentis à centro minoris baſis factis, & ea, quæ minoris ba ſis, & ſphæræ, vel ſphæroidis centra iungit, vnà cum binis tertiis partibus duorum cuborum exijs ſegmentis axis portionis, quæ à centro ſphæræ, vel ſphæroidis fiunt; ad ſolidum rectangulum quod duobus ſphæræ, vel ſphæroidis prædicti axis dimi dijs, & axe portio­nis continetur.

Sit ſphæræ, vel ſphæ roidis, cuius centrum E, portio ABCD, ab ſciſſa duobus planis pa rallelis centrum E in­tercipientibus, & ab eo non æqualiter diſtan­tibus: axis autem por­tionis ſit GH: maior baſis circulus, vel cllipſis, cuius diameter AD. minor autem, cuius diameter ABC: & circa axim GH, ſtet cylindrus, vel portio cylindrica NO, abſciſſa ijſdem planis cum por­tione ABCD, ex cylindro, vel portione cylindrica ſphæ­ræ, vel ſphæroidi BCR circa axim FGHR circumſcri­pta, cuius ſit centrum grauitatis K, ſectio ſcilicet bipartiti axis GH: reliqui autem ex ſolido NO dempta portione, ſit centrum grauitatis L, nempe in axis GH ſegmento GK, quod minorem portionis baſim attln­git: portionis autem ABCD ſit centrum grauitatis M: quod qui dem in reliquo ſeg­mento KH cadet. Dico eſſe KL ad LM, vt duo ſolida rectan­gula ex FH, HR, EH, & ex RG, GF, GK, vnà cum binis tertiis duorum cuborum ex EG, EH; ad ſolidum

rectangulum ex GH, EF, ER. Similiter enim vt ſupra demonſtrato eſſe vt KL ad LM, ita portionem ABCD ad ſolidum NO; quoniam portio ABCD ad ſolidum NO, eſt vt duo ſolida rectangula ex GH, HR, EH, & ex RG, GF, EG, vnà cum binis tertiis duorum cubo­rum ex EH, EG ad ſolidum ex GH, EF, ER, erit vt totum iam dictum antecedens ad dictum conſequens, ita KL ad LM. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO XXXVII.

Omnis portionis conoidis parabolici centrum grauitatis eſt punctum illud, in quo axis ſic diui­ditur, vt pars quæ ad verticem ſit eius, quæ ad ba­ſim dupla.

PROPOSITIO XXXVIII.

Omnis fruſti portionis conoidis parabolici cen trum grauitatis eſt punctum illud, in quo axis ſic diuiditur, vt pars minorem baſim attingens ſit ad reliquam, vt duplum maioris baſis vnà cum minori, ad duplum minoris, vnà cum maiori.

Harum proportionum vtriuſque non alia demonſtratio eſt ab ea, quam in ſecundo ſcripſimus de centro grauitatis conoidis parabolici, & eius fruſti: propterea quod omnis por tionis conoidis parabolici, ſicut & hyperbolici ſectio baſi parallela ellipſis eſt ſimilis baſi. Ex corollario xv. de conoi­dibus, & ſphæroidibus Archimedis.

PROPOSITIO XXXIX.

Omnis conoidis hyperbolici, vel portionis hy­perbolici conoidis centrum grauitatis, eſt pun­ctum illud, in quo duodecima pars axis ordine quarta ab ea, quæ baſim attingit, ſic diuiditur, vt pars propinquior baſi ſit ad reliquam vt ſeſquial­tera tranſuerſi lateris, hyperboles per axem, ad axem conoidis.

Sit conoides hyperbolicum, vel portio conoidis hyper­bolici ABC, cuius axis BD, qui in portione non erit ad ba­ſim perpendicularij: baſis autem dicti conoidis, vel portio­nis ſit circulus, vel ellipſis, cuius diameter ADC: & hyper­boles ABC, quæ vel conoides deſcribit, vel eſt ſectio tan­tummodo per axem, cuius tranſuerſum latus ſit BE, & huius ſeſquialtera BEF: & ſumpta axis BD quarta par­te DF, & tertia DG: qua ratione erit FG duodecima pars axis BD quarta ab ea, cuius terminus D; fiat vt IB ad BD, ita FH ad HG. Dico conoidis, vel portio­nis ABC centrum grauitatis eſſe H. Nam vt eſt EB ad BD ita fiat DK ad KA: & ponatur KDY ſeſqui­altera ipſius DK, & ex AK abſcindatur KM ſubſeſ­quialtera ipſius AK: & ipſis DK DM, DA, æquales eodem ordine abſcindantur DL, DN, DC: & deſcri­bantur triangula, KBL, MBN: & per puncta ABC vertice communi B, tranſeant duæ ſectiones parabolæ AOB, & BPC, ita vt contingat recta BK parabolam AOB, recta autem BL parabolam BPC; ſit autem AKLC, parabolarum diametris parallela,. Deinde ſecto axe BD bifariam, & ſingulis eius partibus rurſus bi­fariam in quotlibet partes æquales, ſint ex illis duæ partes DQ, QF: & per puncta QF planis quibuſdam baſi parallelis ſecentur vnà ſolidum & hyperbole ABC: ſintque hyperboles ſectiones, quæ continent ſectiones trian gulorum ABC mixti, & rectilinei KBL, rectæ RTX ZVS: agezdb. ſolidi autem ABC ſectiones erunt cir­culi, vel ellipſes ſimiles baſi circa diametros RS, ab. Quoniam igitur eſt vt *uK ad KD, ita AK ad KM; vtrobique enim eſt proportio ſeſquialtera: erit permutan­do vt YK ad AK, hoc eſt vt IB ad BD, vel FH, ad HG, ita DK ad KM, hoc eſt triangulum BDK ad triangulum BKM, hoc eſt ad æquale huic ex demon­ſtratis triangulum AKB mixtum: hoc eſt in duplis ita, triangulum BKL ad duo mixta rriangula AKB, BLC ſimul. ſed duorum triangulorum AKB, BLC ſimul eſt centrum grauitatis F, vt in hoc tertio libro demonſtra­uimus: trianguli autem BKL, vt in primo, centrum gra­uitatis G; totius igitur trianguli ABC centrum graui­tatis erit H. Rurſus quoniam eſt vt BD ad BQ hoc eſt vt rectangulum EBD ad rectangulum EBQ, ita DK ad QX: & vt quadratum BK ad quadratum BX, hoc eſt vt quadratum BD ad quadratum BQ, ita eſt AK ad TX; erunt octo magnitudines quaternæ propor­

tionales; ſed & earum primæ, & tertiæ ſunt proportiona­les; nam eſt vt EB ad BD, hoc eſt vt rectangulum EBD prima in primis ad quadratum BD primam in ſecundis, ita DK tertia in primis ad AK tertiam in ſecundis; vt igitur compoſita ex primis vtriuſque ordinis ad compo­ſitam ex ſecundis, ita erit compoſita ex tertiis ad com­poſitam ex quartis; videlicet vt rectangulum BDE, quod æquale eſt rectangulo EBD vna cum quadrato BD, ad rectangulum BQE, quod æquale eſt rectangulo EBQ vnà cum quadrato BQ, ita erit tota AD ad totam TQ. Sed vt rectangulum BDE ad rectangulum BQE ita eſt AD quadratum, ad quadratum RQ, hoc eſt ita circu­lus, vel ellipſis circa AC, ad circulum, vel ſimilem illi ellipſem circa RS; vt igitur AD ad TQ, hoc eſt in ea­rum duplis vt AC ad TV, ita erit circulus, vel ellipſis circa AC ad circulum, vel ellipſem circa RS. Similiter oſtenderemus eſſe vt AC ad gd, ita circulnm, vel elli­pſim circa AC, ad circulum, vel ellipſem, circa ab: con­uertendo igitur, & ex æquali erunt binæ in eadem propor­tione, vt gd ad TV, ita circulus, vel ellipſis circa abad circulum, vel ellipſim circa RS: & vt TV ad AC, ita circulus, vel ellipſis circa RS ad circulum, vel ellipſim circa AC. Rurſus, quoniam tres rectæ lineæ incipienti à minima ge, TX, AK ſunt binæ ſumptæ proportio­nales quadratis ex Be, BX, BK, hoc eſt quadratis ex Fe, QX, DK; duplicata erit proportio ge ad TX ip­ſius Fe ad QX, & TX ad AK duplicata ipſius QX ad DK: ſed rectæ Fe, QX, DK, ſeſe æqualiter excedunt, vtpote proportionales ipſis BF, BQ, BD, propter ſi­militudinem triangulorum; minor igitur proportio erit gF ad TQ, quàm TQ ad AD: quare his proportiona­lium minor erit proportio circuli, vel ellipſis circa ab ad circulum, vel cllipſim circa RS, quàm circuli, vel elli­pſis circa RS, ad circulum, vel ellipſim, circa AC. Similiter quæcumque ſectiones per prædicta axis, vel dia­metri BD puncta ſectionum fierent vt dictum eſt ad ver­ticem retrocedenti oſtenderentur quælibet ternæ inter ſe proximæ, binæque ſumptæ vtriuſque ordinis proportio-nales eſſe, & minor proportio vtrobique minimæ ad me­diam quàm mediæ ad maximam; per XXXII igitur ſe­cundi, triangulum mixtum, & ſolidum ABC, in huius axe illius autem diametro BD commune habebunt cen­
trum grauitatis. ſed demonſtrauimus H centrum grauita­tis trianguli ABC; conoidis igitur vel portionis ABC centrum grauitatis erit idem H. Quod demonſtrandum erat.

Et hic huius tertij Libri finis eſſet; niſi ſecundo iam im­preſſo, alia quædam via magis naturalis me ad conoidis hy perbolici centrum grauitatis reduxiſſet. Ea igitur in ſecundum librum aliàs inſerenda, nunc in ſequenti appendice ſeptem propoſitionibus expoſita, per ſectionem prædicti conoidis in conoides parabolicum eodem vertice, & circa eundem axim, & reliquam figuram ſolidam, abſque com­poſito ex duabus figuris circumſcriptis, quæ ex cylindris componuntur, propoſitum concludat.

APPENDIX.

PROPOSITIO I.

Si ſint octo magnitudines quaternæ totæ, & ablatæ proportionales, fue­rint autem, & primarum vtriuſque ordinis ablatæ ad reliquas propor­tionales; erunt vtriuſque ordinis re liquæ proportionales.

Sint octo magnitudines quaternæ proportionales, ac primi quidem ordi­nis totæ, vt AB ad CD, ita EF ad GH: ſecundi autem ordinis ablatæ, vt B ad D, ita F ad H: ſit autem vt B ad A ita F ad E. Dico & reliquas eſſe proportionales, videlicet vt A ad C, ita E ad G. Quoniam enim com ponendo, & conuertendo eſt vt A ad AB, ita E ad EF: ſed vt AB ad CD, ita eſt EF ad GH; erit ex æquali vt A ad CD, ad E ad GH: & conuertendo vt CD ad A, ita GH ad E: & per­mutando CD ad GH, ita A ad E. Rurſus quoniam eſt vt A ad B ita E ad F: & vt B ad D, ita F ad H; erit ex æquali, vt A ad D ita E ad H: ſed vt CD ad A, ita erat GH ad E; ex æquali igitur erit vt CD ad D ita GH ad H: & permutando vt CD ad GH, ita D ad H, & reli­qua C ad reliquam G: ſed vt CD ad GH ita erat A ad E; vt igitur A ad C ita erit E ad G. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO II.

Si circa datæ hyperboles communem diame­trum parabola deſcripta illius baſim ita diuidat, vt quadratum dimidiæ baſis parabole ad reli­quum quadrati dimidiæ baſis hyperboles eam habeat proportionem, quam tranſuerſum latus ad diametrum hyperboles; omnes in hyperbole ad diametrum ordinatim applicatas ita ſecabit, vt exceſſus, quibus quadrata in hyperbole appli­catàrum ſuperant quadrata in parabola ex ſectio­ne applicatarum, inter ſe ſint vt quadrata diame­tri partium inter applicatas, & verticem inter­iectarum.

Eſto hyperbole ABC, cuius diameter BD, tranſuer-uerſum latus EB. & poſitis in ipſa, BD duobus pun­ctis quibuslibet GH, ordinatim applicentur MG, NH: & circa diametrum BD ſit deſcripta parabola KBL tali­ter vt ipſius dimidiæ baſis DK quadratum ad reliquum quadrati AD, ſit vt EB ad BD, & rectas MH, NG in infinitum productas ſecet parabola KBL in punctis OP. Dico puncta OP intra hyperbolem cadere: & reli­quum quadrati MG dempto quadrato GO ad reliquum quadrati NH dempto quadrato PH, eſſe vt quadratum BG ad quadratum BH. Quoniam enim ponitur vt EB ad B D, hoc eſt vt rectan­gulum EBD ad qua­dratum BD, ita qua­dratum DK ad reli­quum quadrati AD, erit componendo, & conueniendo, vt rectam gulum BDE ad re­ctangulum EBD, ita quadratum AD ad quadratum DK: ſed vt rectangulum BGE ad rectangulum BDE,

ita eſt quadratum MG ad quadratum AD; ex æquali igitur, vt rectangulum BGE ad rectangulum EBD, ita eſt quadratum MG ad quadratum DK: ſed vt rectan­gulum EBD ad rectangulum EBG, ita eſt quadratum DK ad GO quadratum; ex æquali igitur vt rectangu­lu m BGE ad rectangulum EBG, ita erit quadratum MG ad quadratum GO: ſed rectangulum BGE maius eſt totum parte rectangulo EBG; quadratum igitur MG quadrato GO maius erit, & recta MG maior quàm GO: ſecat igitur parabola KBL rectam MG in puncto O. Similiter oſtenderemus eandem parabolam ſecare quamcumque aliam in hyperbole ABC ordinatim ad dia metrum applicatarum. Quoniam igitur ſunt octo magni tudines quaternæ totæ, & ablatæ proportionales; ac pri­mi quidem ordinis, vt rectangulum BDE ad rectangu­lum BGE, ita quadratum AD ad quadratum MG: ſe­cundi autem ordinis, vt rectangulum EBD ad rectangu­lum EBG ita quadra tum DK ad quadra­tum OGD: ſed vt EB ad BD, hoc eſt vt ablata primæ in pri mis rectangulum EB D ad reliquum BD quadratum, ita poni­tur ablata primæ in ſe cundis, quadratum D K ad reliquum exceſ ſum, quo quadratum AD ſuperat quadra­tum DK; vt igitur eſt reliqua primæ ad reli­quam ſecundæ in pri­
mis, ita erit in ſecundis; videlicet vt quadratum BD ad quadratum BG, ita reliquum quadrati AD dempto qua­drato DK, ad reliquum qua rati MG dempto quadra­to GO. Similiter oſtenderemus reliquum quadrati AD dempto quadrato DK ad reliquum quadrati NH dem­pto quadrato PH, eſſe vt quadratum BD ad quadra­tum BH; conuertendo igitur, & ex æquali erit vt qua­dratum BG ad quadratum BH, ita reliquum quadra ti MG dempto quadrato GO, ad reliquum quadratiNH dempto quadrato PH. Quod demonſtrandum erat.

PROPOSITIO III.

Omne conoides hyperbolicum diuiditur in conoides parabolicum circa eundem axim, & re­liquam figuram quandam, ad quam conoides pa­rabolicum eam habet proportionem, quamſeſqui altera tranſuerſi lateris hyperboles, quæ conoides deſcribit, ad axem conoidis.

Sit conoides hyperbolicum ABC, cuius axis BD: hy­perboles autem, quæ conoides deſcribit tranſuerſum latus EB, cuius ſit ſeſquialtera BEF: & abſciſſa DG, ita vt quadratum ex ipſa ad reliquum quadrati AD ſit vt EB ad BD, vertice B circa diametrum BD deſcripta ſit parabola GBH, eaque circumducta conoides GBH, Dico conoides GBH comprehendi à conoide ABC & eſſe ad illius reliquum, vt FB ad BD. Abſciſſa enim DK ita potentia ſit ad DG, vt DB ad BE longitudine, circa axim BD deſcribatur conus KBL: & ſecta BD in multas partes æquales, ductoſque per ea puncta planis quibuſdam baſi parallelis, ſecentur tria dicta ſolida, conus ſcilicet & vtrumque conoides: & ſuper ſectiones circulos deſcribantur cylindri æqualium altitudinum terni cuca

communes axes partes æquales, in quas axis BD diuiſus fuit, & inter eadem plana parallela: & omnino triplex figura ex cylindris, quos diximus ſit tribus dictis ſolidis circumſcri pta: ſintque circa duos axes infimos DM, MN terni cylin­dri AO, GP, KQ: & proxime ordine ipſis reſpondentes cylindri TX, SV, RZ, quorum baſes circa diametros TI, Sb, Ra, communes ſectiones plani per punctum M, cum tribus ſolidorum ſectionibus per axem, triangulo ſcili­cet, parabola, & hyperbole in eodem plano, atque ideo tres diametri TI, Sb, Ra, erunt in vna recta linea. Quoniam igitur eſt vt EB ad BD, ita quadratum DG ad reliquum quadrati AD, ſecabit parabola GBH omnes in hyperbo­le ABC ad diametrum ordinatim applicatas, quare conoi des ABC comprehendet conoides GBH: atque ita para­bola ſecabit, vt exceſſus quibus quadrata in hyperbole ap­plicatarum ſuperant partes quadrata in parabola applicata rum, inter ſe ſint vt quadrata partium diametri BD inter applicatas & verticem interiectarum, prout vt inter ſe reſpom dent: vt igitur eſt quadratum BD ad quadratum BM, hoc eſt vt quadratum DK ad quadratum RM, ita erit reliquum AD quadrati dempto quadrato DG ad reliquum quadrati TM dempto quadrato SM, & permutando. Sed quia qua­dratum DG ad reliquum quadrati AD, & ad quadratum DK eandem habet proportionem ex vi conſtructionis, reli quum quadrati AD, dempto quadrato DG æquale eſt quadrato DK; reliquum igitur quadrati TM dempto qua drato SM æquale erit quadrato RM: ſi igitur vtriſque ad­dantur ſingula communia, vnis quadratum DG, alteris quadratum SM, erit & quadratum AD æquale duobus quadratis GD, DK, & quadratum TM duobus quadra tis SM, MR æquale. ſed cum cylindri eiuidem altitudi­nis inter ſe ſint vt baſes, ſunt vt quadrata, quæ ab eorundem baſium ſemidiametris fiunt; cylindiusigitur AO æqualis eſt duobus cylindris GP, KQ: & cylindrus TX duobus cylindris S*u, RZ æqualis. Eadem ratio eſt de reliquis deinceps. Tota igitur figura conoidi ABC circumſcripta, vtrique ſimul, conoidi GBH, & cono KBL circumſcri­ptæ æqualis erit. poſſunt autem eæ figuræ ita eſſe dictis ſoli­dis circumſcriptæ per ea quæ alibi oſtendimus, vt ſuperent inſcriptas minori ſpacio quantacumque magnitudine pro­poſita; per tertiam igitur ſecundi, conoides ABC vtrique ſimul, conoidi GBH, & cono KBL æquale erit. dempto igitur communi conoide GBH, reliquum ſolidum AGBHC æquale erit cono KBL. Rurſus quia eſt vt EB ad BD, ita quadratum GD ad quadratum DK, hoc eſt circulus cir­ca GH ad circulum circa KL, hoc eſt conus GBH ſi deſcribatur ad conum KBL: ſed vt FB ad BE ita eſt co­noides GBH ad conum GBH; ex æquali igitur erit vt FB ad BD, ita conoides GBH ad conum KBL, hoc eſt ad ſolidum AGBHC. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

COROLLARIVM.

Ex huius Theorematis demonſtratione manife ſtum eſt, ijſdem poſitis cylindros deficientes, ex quibus conſtat exceſſus, quo figura conoidi hyper bolico circumſcripta ſuperat circumſcriptam co­noidi parabolico, ita ſe habere, vt quorumlibet trium inter ſe proximorum minor proportio ſit minimi ad medium, quam medij ad maximum: æquales enim ſunt ſinguli ſingulis cylindris, ex quibus conſtat figura cono BKL circumſcripta, qui ſunt inter eadem plana parallela. Quod ſi ita eſt, ſimul illud manifeſtum erit, & ex hoc, & ex ijs, quæ in ſecundo libro demonſtrauimus; præ­dictum exceſſum ex tot cylindris deficientibus eiuſdem altitudinis, quos diximus componi poſſe, vt ipſius centrum grauitatis in axe BD diſtet à centro grauitatis coni KBL, hoc eſt à puncto in quo axis BD ſic diuiditur, vt pars, quæ ad ver­ticem ſit reliquæ tripla, ea diſtantia, quæ minor ſit quantacum que longitudine propoſita.

PROPOSITIO IIII.

Si conoidi parabolico figura circumſcribatur, & altera inſcribatur ex cylindris æqualium alti­tudinum, binis circa communes axes ſegmenta axis conoidis, & inter eadem plana parallela, mi­nimo circumſcriptorum ad nullum relato; omnia reſidua cylindrorum figuræ circumſcriptæ dem­ptis figuræ inſcriptæ cylindris, & inter ſe, & mi­nimo cylindro æqualia erunt.

Sit conoidi parabolico ABC, cuius axis BD circum­ſcripta figura ex quotcumque cylindris æqualium altitu­dinum, quorum tres deinceps ſint EL minimus ſupremus, & GQ, IR, quorum baſes eodem ordine circuli, quorum ſemidiametri ad parabolæ, quæ figuram deſcribit diame­trum BD ordi­natim applicatæ ſint EF, GH, IK: & in duplos cre­ſcentibus cylin­dris circa priorum axium duplos a­xes BH, IK, HD, & c deinceps quotcumque plu­res eſsent; ſit co­noidi ABC in­

ſcripta figura ex cylindris æqualium altitudinum inter ſe, & circumſcriptis. Bini itaque circa communes axes inter ea­dem plana parallela interijcientur, minimo EL ad nullum relato: huic autem proximus, & æqualis cylindrorum in­ſcriptorum ſit NM baſim ipſi communem habens circu­lum circa EFM: & conſequenti circumſcriptorum GQ ſit. inſcriptorum æqualis PO baſim habens ipſi commu­nem circulum circa GHO: ſint autem circulorum qui ſunt baſes cylindrorum diametri in parabola per axim: quæ quoniam ſunt communes ſectiones cum parabola per axim planorum baſi conoidis, & inter ſe parallelorum, erunt etiam ipſæ inter ſe, & parabolæ baſi AC parallelæ, earumque dimidiæ vt EF, GH ad diametrum BD or­dinatim applicatæ. Quoniam igitur in parabola ABC eſt vt HB ad BF ita quadratum GH ad quadratum EF, duplum erit quadratum GH quadrati EF: qua re & circulus cir­ca GO circuli circa EM at que adeo cylindrus GQ cylindri E L duplus, pro­pter <17>qualitatem altitudinum: ſed & cylindrus NL
duplus eſt cylindri EL per conſtructionem; cylindrus igi­tur GQ æqualis eſt cylindro NL: & ablato communi NM cylindro, reliquus GQ deficiens cylindro NM cylindro EL æqualis. Rurſus quia eſt vt KB ad BH, ita quadratum IK ad quadratum GH, hoc eſt ita IR cylindrus ad cylindrum GQ: ſed vt HB ad BF ita erat cylindrus GQ ad cylindrum EL; tres igitur cy­lindri IR, GQ, EL, tribus lineis BK, BH, BF, eodem ordine proportionales erunt: ſed tres eædem lineæ ſeſe æqualiter excedunt; tres igitur dicti cylindri ſeſe æqua-liter excedent, hoc eſt reliquum cylindri IR dempto cylin­dro PO æquale erit reliquo cylindri GQ dempto cylin­dro NM, & reliquum cylindri GQ dempto cylindro NM æquale cylindro EL. Similiter ad reliquos cylindros quotcumque plures eſſent deſcendentes oſtenderemus, om nes exceſſus, quibus cylindri circumſcripti inſcriptos ſuperant ſibi quique reſpondentes inter ſe & cylindro EL æquales eſſe. Manifeſtum eſt igitur propoſitum.

PROPOSITIO V.

Dato conoide hyperbolico, & ipſius conoi­de parabolico circa eundem axim, quod ad reliquum hyperbolici conoidis eam proportio­nem habeat, quam ſeſquialtera tranſuerſi late­ris hyperboles, quæ conoides deſcribit, ad axim conoidis; fieri poteſt vt conoidi parabolico fi­guræ quædam inſcribatur, & altera circumſcri­bantur vt ſupra factum eſt, & hyperbolico alio cir­cumſcribatur omnes ex cylindris æqualium al­titudinum multitudine æqualibus exiſtentibus ijs, ex quibus conſtant figuræ conoidibus cir­cumſcriptæ, ita vt exceſſus, quo figura conoidi parabolico circumſcripta inſcriptam ſuperat, quem breuitatis cauſa voco exceſſum primum, ad exceſſum, quo figura conoidi hyperbolico cir­cumſcripta ſuperat circumſcriptam parabolico, quem voco exceſſum ſecundum, minorem habeat proportionem quacumque propoſita.

Sit conoides hyperbolicum ABC, & pars eius para­bolicum EBF circa eundem axim BD: & conoides EBF ad reliquum conoidis ABC eam habeat proportio­nem, quam ſeſquialtera tranſuerſi lateris hyperboles per axim ABC ad axim BD. Dico fieri poſſe quod proponitur. Habeat enim DL ad LB quamcumque proportionem: & conoides ABC reliquo ſolido AEBFC dempto conoi de EBF. ſit conus circa axim BD æqualis GBH: & deſcribatur conus GLH: & ſecta BD bifariam in pun­cto K, & rurſus BK, KD in multitudine, & longitudi­ne æquales inſcribatur conoidi EBF, & altera cirumſcri­

batur, vt in antecedenti factum eſt, figura ex cylindris æ qualium altitudinum, ita vt exceſſus, quo circumſcripta ſuperat inſcriptam fit minor cono GLH; & cylindris cre­ſcentibus in latitudinem abſoluatur figura conoidi ABC circumſcripta ex cylindris altitudine, & multitudine æqua libus ijs, qui ſunt circa conoides EBF. Quoniam igitur primus exceſſus eſt minor cono GLH, multo minor crit pars eius communis ſolido AEBFG, quàm conus GLH: ſed ſolidum AEBFC æquale eſt cono GBH; reliquum igitur ſolidi AEBFC dicto communi ablato, maius erit coni GBH reliquo BGLH; minor igitur proportio eſt primi exceſſus minoris cono GLH, ad dictum reliquum ſolidi AEBFC, quàm coni GLH ad reliquum coni GBH: ſed ſecundus exceſſus maior eſt prædicto reliquo ſolidi AEBFC, ctenim illud comprehendit; multo igitur minor proportio erit primi exceſſus ad ſecundum, quàm coni GLH ad reliquum BGLH, hoc eſt minor propor­tio quàm DL ad LB: ponitur autem proportio DL ad LB qualiſcumque. Fieri igitur poteſt, quod proponitur.

PROPOSITIO VI.

Omnis reſidui conoidis hyperbolici dempto conoide parabolico, vt ſupra diximus, centrum grauitatis eſt punctum illud, in quo axis ſic diui­ditur, vt pars propinquior vertici ſit tripla re­liquæ.

Sit conoides hyperbolicum ABC, cuius axis BD, & ablatum conoides parabolicum EBF circa eundem axim BD, ita ſit ad reliquum ſolidum AEBFC, vt ſeſquialte ra tranſuerſi lateris hyperboles, quæ conoides deſcribit ad axem BD: & ponatur BG ipſius GD tripla. Dico re­liqui ſolidi AEBFC centrum grauitatis eſse G. Secta enim BD bifariam in puncto H, & poſita GK ipſius GH minori quantacumque longitudine propoſita, ſumptoque in GK quolibet puncto L, intelligantur id enim (fieri poſ­ ſe manifeſtum eſt ex ſupra demonſtratis) tres figuræ vna in­ſcripta conoidi EBF, & duæ circumſcriptæ altera alteri conoidum, vt ſupra factum eſt, compoſitæ ex cylindris æqualium altitudinum ita multiplicatis, vt vtrumque illud accidat; & vt ſecundi exceſſus centrum grauitatis quod ſit M (omnium autem trium dictorum exceſſuum in axe BD erunt centra grauitatis) ſit puncto G propinquius

quàm punctum L: & vt primus exceſſus ad ſecundum mi­norem habeat proportionem ea, quæ eſt LK, ad KH. Dein de vt HK ad KL, ita ſit HN ad NM, & vt primus exceſſus ad ſecundum, ita MO ad OH. Quoniam igitur cylindri omnes deficientes, & ſummus integer, ex quibus primus exceſſus conſtat, inter ſe ſunt æquales, habentque in axe BD centra grauitatis æqualibus interuallis à bipar­titi axis BD ſectione H & inter ſe diſtantia; totius pri­mi exceſſus centrum grauitatis erit H: ſecundi autem ex­ceſſus centrum grauitatis ponitur M; cum igitur ſit vt pri­mus exceſſus ad ſecundum, ita ex contraria parte MO ad OH, erit tertij exceſſus ex duobus prioribus compoſi­ti centrum grauitatis O. Quoniam igitur minor propor­tio eſt primi exceſſus ad ſedundum, hoc eſt MO ad OH, quàm LK ad KH; erit conuertendo maior proportio HO ad OM, quàm HK ad KL: ſed vt HK ad KL, ita ponitur HN ad NM; maior igitur proportio eſt HO ad OM, quàm HN ad NM; eiuſdem igitur lineæ HM minor erit MO, quàm MN, & punctum O propinquius puncto G quam punctum N. Rurſus quia vt HK ad KL, ita eſt HN ad NM; erit componen do & per con­uerſionem rationis, vt LH ad HK ita MH ad HN: & permutando, vt HM ad HL, ita HN ad HK: ſed HM eſt maior quàm HL; ergo & HN erit maior quam HK, & punctum N propinquius puncto G quàm punctum K: ſed punctum O propinquius erat puncto G quàm punctum N; multo igitur erit punctum O propinquius puncto G quàm punctum K. ponitur autem diſtantia GK minor quantacumque longitudine propoſita: & eſt O centrum grauitatis tertij exceſſus reliquo ſolido AEBFC circum­ſcripti; ex ijs igitur, quæ in primo libro demonſtrauimus, ſolidi AEBFC centrum grauitatis erit G. Quod demon­ſtrandum erat.

PROPOSITIO VII.

Omnis conoidis hyperbolici centrum grauita­tis eſt punctum illud, in quo duodecima pars axis quarta ab ea, quæ baſim attingit ſic diuiditur, vt pars propinquior baſi ſit ad reliquam, vt ſeſquial­tera tranſuerſi lateris hyperboles, quæ conoides deſcribit; ad axem conoidis.

Sit conoides hyperbolicum ABC, cuius axis BD: tranſuerſum latus hyperboles, quæ conoides deſcribit ſit BE, huius autem ſeſquialtera BEF: & ſumpta axis BD tertia parte DG, & quarta DH, qua ratione erit GH axis BD pars duodecima, ordine quarta ab ea, cuius termi nus D; eſto vt FB ad BD, ita HK ad KG. Dico conoi­dis ABC centrum grauitatis eſſe K. Diuidatur enim co­

noides ABC in parabolicum conoides LBM, & reliquum ſolidum ALBMC, ita vt conoides LBM ad ſelidum ALBMC ſit vt FB ad BD, hoc eſt vt HK GK. Quo­niam igitur G eſt centrum grauitatis conoidis LBM, & H ſolidi ALBMC; tot us conoidis ABC centrum graui tatis crit K. Quod demonſtrandum crat.

TERTII LIBRI FINIS.