Newton, Isaac Philosophia naturalis principia mathematica 1713 Cambridge la newto_philo_039_la_1713.xml 039.xml

PHILOSOPHIÆ NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA.

AUCTORE ISAACO NEWTONO, EQUITE A RATO.

EDITIO SECUNDA AUCTIOR ET EMENDATIOR.

CANTABRIGIÆ, MDCCXIII.

ILLUSTRISSIMÆ SOCIETATI REGALI, A SERENISSIMO REGE CAROLO II AD PHILOSOPHIAM PROMOVENDAM FUNDATÆ, ET AUSPICIIS AUGUSTISSIMÆ REGINÆ ANNÆ FLORENTI,

TRACTATUM HUNC D.D.D.

JS. NEWTONUS.

IN VIRI PRÆSTANTISSIMI ISAACI NEWTONI OPUS HOCCE MATHEMATICO PHYSICUM

Sæculi Gentiſque noſtræ Decus egregium.

EN tibi norma Poli, & divæ libramina Molis, Computus en Jovis; & quas, dum primordia rerum. Conderet, omnipotens ſibi Leges ipſe Creator Dixerit, atque operum quæ fundamenta locarit. Intima panduntur victi penetralia Cæli, Nec latet, extremos quæ Vis circumrotet Orbes. Sol ſolio reſidens ad ſe jubet omnia prono Tendere deſcenſu, nec recto tramite currus Sidereos patitur vaſtum per inane moveri; Sed rapit immotis, ſe centro, ſingula gyris. Hinc patet, horrificis qua ſit via flexa Cometis: Diſcimus hinc tandem, qua cauſa argentea Phœbe Paſſibus haud æquis eat, & cur ſubdita nulli Hactenus Aſtronomo numerorum fræna recuſet: Cur remeent Nodi, curque Auges progrediantur. Diſcimus, & quantis refluum vaga Cynthia Pontum Viribus impellat; feſſis dum fluctibus ulvam Deſerit, ac nautis ſuſpectas nudat arenas; Alterniſve ruens ſpumantia littora pulſat. Quæ toties animos veterum torſere Sophorum, Quæque Scholas hodie rauco certamine vexant, Obvia conſpicimus; nubem pellente Matheſi: Quæ ſuperas penetrare domos, atque ardua Cæli, NEWTONI auſpiciis, jam dat contingere Templa. Surgite Mortales, terrenas mittite curas; Atque hinc cæligenæ vites cognoſcite Mentis, A pecudum vita longe longeque remotæ. Qui ſcriptis primus Tabulis compeſcere Cædes, Furta & Adulteria, & perjuræ crimina Fraudis; Quive vagis populis circumdare mœnibus Urbes Auctor erat; Cereriſve beavit munere gentes; Vel qui curarum lenimen preſſit ab Uva; Vel qui Niliaca monſtravit arundine pictos Conſociare ſonos, oculiſque exponere Voces; Humanam ſortem minus extulit; utpote pauca In commune ferens miſeræ ſolatia vitæ. Jam vero Superis convivæ admittimur, alti Jura poli tractare licet, jamque abdita diæ Clauſtra patent Naturæ, & rerum immobilis ordo; Et quæ præteritis latuere incognita ſæclis. Talia monſtrantem juſtis celebrate Camænis, Vos qui cæleſti gaudetis nectare veſci, NEWTONUM clauſi reſerantem ſcrinia Veri, NEWTONUM Muſis carum, cui pectore puro Phœbus adeſt, totoQ.E.I.ceſſit Numine mentem: Nec fas eſt propius Mortali attingere Divos. EDM. HALLET.

AUCTORIS PRÆFATIO AD LECTOREM.

CUM VeteresMechanicam (uti Auctor eſtPappus) in rerum Naturalium inveſtigatione maximi fecerint; & Recentiores, miſſis formis ſubſtantialibus & qualitatibus occultis, Phænomena Naturæ ad leges Mathematicas revocare aggreſſi fint: Viſum eſt in hoc TractatuMatheſin excolere, quatenus ea adPhiloſophiam ſpectat.Mechanicam vero duplicem Veteres conſtituerunt: Ra­tionalem quæ per Demonſtrationes accurate procedit, &Practi­cam. Ad Practicam ſpectant Artes omnes Manuales, a quibus utiqueMechanica nomen mutuata eſt. Cum autem Artifices pa­rum accurate operari ſoleant, fit utMechanica omnis aGeome­tria ita diſtinguatur, ut quicquid accuratum ſit adGeometriam referatur, quicquid minus accuratum adMechanicam. Attamen errores non ſunt Artis ſed Artificum. Qui minus accurate ope­ratur, imperfectior eſt Mechanicus, & ſi quis accuratiſſime ope­rari poſſet, hic foret Mechanicus omnium perfectiſſimus. Nam & Linearum rectarum & Circulorum deſcriptiones in quibusGeo­metria fundatur, adMechanicam pertinent. Has lineas deſcri­bereGeometria non docet ſed poſtulat. Poſtulat enim ut Tyro eaſdem accurate deſcribere prius didicerit quam linen attingatGeometriæ; dein, quomodo per has operationes Problemata ſol­uantur, docet. Rectas & Circulos deſcribere Problemata ſunt,ſed non Geometrica. ExMechanica poſtulatur horum ſolutio, inGeometria docetur ſolutorum uſus. Ac gloriaturGeometria quod tam paucis principiis aliunde petitis tam multa præſtet. Fun­datur igiturGeometria in praxi Mechanica, & nihil aliud eſt quamMechanicæ univerſalis pars illa quæ artem menſurandi ac­curate proponit ac demonſtrat. Cum autem artes Manuales in corporibus movendis præcipue verſentur, fit utGeometria ad mag­nitudinem,Mechanica ad motum vulgo referatur. Quo ſenſuMe­chanica rationalis erit Scientia Motuum qui ex viribus quibuſ­cunque reſultant, & Virium quæ ad motus quoſcunque requirun­tur, accurate propoſita ac demonſtrata. Pars hæcMechanicæ a Veteribus inPotentiis quinque ad artes manuales ſpectantibus exculta fuit, qui Gravitatem (cum potentia manualis non ſit) vix aliter quam in ponderibus per potentias illas movendis conſiderarunt. Nos autem non Artibus ſed Philoſophiæ conſulentes, deque poten­tiis non manualibus ſed naturalibus ſcribentes, ea maxime tracta­mus quæ ad Gravitatem, Levitatem, vim Elaſticam, reſiſtentiam Fluidorum & ejuſmodi vires ſeu attractivas ſeu impulſivas ſpe­ctant: Et ea propter, hæc noſtra tanquam Philoſophiæ principia Mathematica proponimus. Omnis enim Philoſophiæ difficultas in eo verſari videtur, ut a Phænomenis motuum inveſtigemus vires Naturæ, deinde ab his viribus demonſtremus phænomena reliqua. Et huc ſpectant Propoſitiones generales quas Libro primo & ſecundo pertractavimus. In Libro autem tertio Exemplum hujus rei propo­ſuimus per explicationem Syſtematis mundani. Ibi enim, ex phæ­nomenis cæleſtibus, per Propoſitiones in Libris prioribus Mathe­matice demonſtratas, derivantur vires Gravitatis quibus corpora ad Solem & Planetas ſingulos tendunt. Deinde ex his viribus per Propoſitiones etiam Mathematicas, deducuntur motus Planeta­rum, Cometarum, Lunæ & Maris. Utinam cætera Naturæ phæ­nomena ex principiis Mechanicis eodem argumentandi genere deri­vare liceret. Nam multa me movent ut nonnihil ſuſpicer ea om­nia ex viribus quibuſdam pendere poſſe, quibus corporum particulæ per cauſas nondum cognitas vel in ſe mutuo impelluntur & ſe­cundum figuras regulares cohærent, vel ab invicem fugantur & recedunt: quibus viribus ignotis, Philoſophi hactenus Naturam fru­ſtra tentarunt. Spero autem quod vel huic Philoſophandi modo, vel veriori alicui, Principia hic poſita lucem aliquam præbebunt.

In his edendis, Vir acutiſſimus & in omni literarum genere eruditiſſimusEdmundus Halleius operam navavit, nec ſolum Typothetarum Sphalmata correxit & Schemata incidi curavit, ſed etiam Auctor fuit ut horum editionem aggrederer. Quippe cum demonſtratam a me Figuram Orbium cæleſtium impetraverat, ro­gare non deſtitit ut eandem cumSocietate Regali communicarem, Quæ deinde hortatibus & benignis ſuis auſpiciis effecit ut de ea­dem in lucem emittenda cogitare inciperem. At poſtquam Mo­tuum Lunarium inæqualitates aggreſſus eſſem, deinde etiam ælia tentare cæpiſſem quæ ad leges & menſuras Gravitatis & aliarum virium, & Figuras a corporibus ſecundum datas quaſcunque leges attractis deſcribendas, ad motus corporum plurium inter ſe, ad motus corporum in Mediis reſiſtentibus, ad vires, denſitates & motus Mediorum, ad Orbes Cometarum & ſimilia ſpectant, edi­tionem in aliud tempus differendam eſſe putavi, ut cætera rima­rer & una in publicum darem. Quæ ad motus Lunares ſpectant, (imperfecta cum ſint,) in Corollariis PropoſitionisLXVI. ſimul complexus ſum, ne ſingula methodo prolixiore quam pro rei digNI­tate proponere, & ſigillatim demonſtrare tenerer, & ſeriem reli­quarum Propoſitionum interrumpere. Nonnulla ſero inventa lo­cis minus idoneis inſerere malui, quam numerum Propoſitionum & citationes mutare. Ut omnia candide legantur, & defectus, in materia tam difficili non tam reprehendantur, quam novis Le­ctorum conatibus inveſtigentur, & benigne ſuppleantur, enixe rogo.

Dabam Cantabrigiæ,e Collegio S. Trinitatis,Maii 8. 1686.

IS. NEWTON.

IN hac Secunda Principiorum Editione, multa ſparſim emen­dantur & nonnulla adjiciuntur. In Libri primi SectioneII, Inventio virium quibus corpora in Orbibus datis revolvi poſſint, facilior redditur & amplior. In Libri ſecundi SectioneVII, Theoria reſiſtentiæ Fluidorum accuratius inveſtigatur & novis Experimentis confirmatur. In Libro tertio Theoria Lunæ & Præ­ceſſio Æquinoctiorum ex Principiis ſuis plenius deducuntur, & Theoria Cometarum pluribus & accuratius computatis Orbium exemplis confirmatur.

Dabam Londini,Mar. 28. 1713.

IS. NEWTON.

EDITORIS PRÆFATIO.

NEWTONIANÆ Philoſophiæ novam tibi, Lector benevole, diuQ.E.D.ſideratam Editionem, plurimum nunc emenda­tam atque auctiorem exhibemus. Quæ potiſſimum conti­neantur in hoc Opere celeberrimo, intelligere potes ex Indicibus adjectis: quæ vel addantur vel immutentur, ipſa te fere docebit Auctoris Præfatio. Reliquum eſt, ut adjiciantur nonnulla de Me­thodo hujus Philoſophiæ.

Qui Phyſicam tractandam ſuſceperunt, ad tres fere claſſes re­vocari poſſunt. Extiterunt enim, qui ſingulis rerum ſpeciebus Quali­tates ſpecificas & occultas tribuerint; ex quibus deinde corporum ſingulorum operationes, ignota quadam ratione, pendere volue­runt. In hoc poſita eſt ſumma doctrinæ Scholaſticæ, ab Ariſtotele& Peripateticis derivatæ: Affirmant utique ſingulos Effectus ex corporum ſingularibus Naturis oriri; at unde ſint illæ Naturæ non docent; nihil itaQ.E.D.cent. Cumque toti ſint in rerum no­minibus, non in ipſis rebus; Sermonem Q.E.D.m Philoſophicum cenſendi ſunt adinveniſſe, Philoſophiam tradidiſſe non ſunt cen­ſendi.

Alii ergo melioris diligentiæ laudem conſequi ſperarunt, rejecta Vocabulorum inutili farragine. Statuerunt itaque Materiam uNI­verſam homogeneam eſſe, omnem vero Formarum varietatem, quæ in corporibus cernitur, ex particularum componentium ſimpliciſſi­mis quibuſdam & intellectu facillimis affectionibus oriri. Et recte quidem progreſſio inſtituitur a ſimplicioribus ad magis compoſita, ſi particularum primariis illis affectionibus non alios tribuunt mo­dos, quam quos ipſa tribuit Natura. Verum ubi licentiam ſibi aſſumunt, ponendi quaſcunque libet ignotas partium figuras & magnitudines, incertoſque ſitus & motus; quin & fingendi Fluida quædam occulta, quæ corporum poros liberrime permeent, omNI­potente prædita ſubtilitate, motibuſque occultis agitata; jam ad ſomnia delabuntur, neglecta rerum conſtitutione vera: quæ fane fruſtra petenda eſt ex fallacibus conjecturis, cum vix etiam per certiſſimas Obſervationes inveſtigari poſſit. Qui ſpeculationum ſuarum fundamentum deſumunt ab Hypotheſibus, etiamſi deinde ſecundum leges Mechanicas accuratiſſime procedant; Fabulam qui­dem elegantem forte & venuſtam, Fabulam tamen concinnare di­cendi ſunt.

Relinquitur adeo tertium genus, qui Philoſophiam ſcilicet Ex­perimentalem profitentur. Hi quidem ex ſimpliciſſimis quibus poſſunt principiis rerum omnium cauſas derivandas eſſe volunt: nihil autem Principii loco aſſumunt, quod nondum ex Phænome­nis comprobatum fuerit. Hypotheſes non comminiſcuntur, neque in Phyſicam recipiunt, niſi ut Quæſtiones de quarum veritate diſ­putetur. Duplici itaque Methodo incedunt, Analytica & Syn­thetica. Naturæ vires legeſque virium ſimpliciores ex ſelectis quibuſdam Phænomenis per Analyſin deducunt, ex quibus deinde per Syntheſin reliquorum conſtitutionem tradunt. Hæc illa eſt Philoſophandi ratio longe optima, quam præ ceteris merito am­plectendam cenſuit Celeberrimus Auctor noſter. Hanc ſolam uti­Q.E.D.gnam judicavit, in qua excolenda atque adornanda operam ſuam collocaret. Hujus igitur illuſtriſſimum dedit Exemplum, Mundani nempe Syſtematis explicationem e Theoria Gravitatis feliciſſime deductam. Gravitatis virtutem univerſis corporibus in­eſſe, ſuſpicati ſunt vel finxerunt alii: primus Ille & ſolus ex Ap­parentiis demonſtrare potuit, & ſpeculationibus egregiis firmiſſi­mum ponere fundamentum.

Scio equidem nonnullos magni etiam nominis Viros, præjudiciis quibuſdam plus æquo occupatos, huic novo Principio ægre aſſen­tiri potuiſſe, & certis incerta identidem prætuliſſe. Horum famam vel­licare non eſt animus: Tibi potius, Benevole Lector, illa paucis ex­ponere lubet, ex quibus Tute ipſe judicium non iniquum feras.

Igitur ut Argumenti ſumatur exordium a ſimpliciſſimis & pro­ximis; deſpiciamus pauliſper qualis ſit in Terreſtribus natura Gra­vitatis, ut deinde tutius progrediamur ubi ad corpora Cæleſtia, lon­giſſime a ſedibus noſtris remota, perventum fuerit. Convenit jam inter omnes Philoſophos, corpora univerſa circumterreſtria gra­vitare in Terram. Nulla dari corpora vere levia, jamdudum confirmavit Experientia multiplex. Quæ dicitur Levitas relativa, non eſt vera Levitas, ſed apparens ſolummodo; & oritur a præ­pollente Gravitate corporum contiguorum.

Porro, ut corpora univerſa gravitant in Terram, ita Terra viciſ­ſim in corpora æqualiter gravitat; Gravitatis enim actionem eſſe mutuam & utrinque æqualem, ſic oſtenditur. Diſtinguatur Terræ totius moles in binas quaſcunque partes, vel æquales vel utcunque inæquales: jam ſi pondera partium non eſſent in ſe mutuo æqua­lia; cederet pondus minus majori, & partes conjunctæ pergerent recta moveri ad infinitum, verſus plagam in quam tendit pondus majus: omnino contra Experientiam. ItaQ.E.D.cendum erit, pon­dera partium in æquilibrio eſſe conſtituta: hoc eſt, Gravitatis actionem eſſe mutuam & utrinque æqualem.

Pondera corporum, æqualiter a centro Terræ diſtantium, ſunt ut quantitates materiæ in corporibus. Hoc utique colligitur ex æquali acceleratione corporum omnium, e quiete per ponderum vires cadentium: nam vires quibus inæqualia corpora æqualiter accelerantur, debent eſſe proportionales quantitatibus materiæ movendæ. Jam vero corpora univerſa cadentia æqualiter acce­lerari, ex eo patet, quod in Vacuo Boylianotemporibus æqualibus æqualia ſpatia cadendo deſcribunt, ſublata ſcilicet Aeris reſiſtentia: accuratius autem comprobatur per Experimenta Pendulorum.

Vires attractivæ corporum, in æqualibus diſtantiis, ſunt ut quantitates materiæ in corporibus. Nam cum corpora in Ter­ram & Terra viciſſim in corpora momentis æqualibus gravitent; Terræ pondus in unumquodque corpus, ſeu vis qua corpus Ter­ram attrahit, æquabitur ponderi corporis ejuſdem in Terram. Hoc autem pondus erat ut quantitas materiæ in corpore: itaque vis qua corpus unumquodque Terram attrahit, ſive corporis vis abſoluta, erit ut eadem quantitas materiæ.

Oritur ergo & componitur vis attractiva corporum integrorum ex viribus attractivis partium: ſiquidem aucta vel diminuta mole materiæ, oſtenſum eſt, proportionaliter augeri vel diminui ejus vir­tutem. Actio itaque Telluris ex conjunctis partium Actionibus conflari cenſenda erit; atque adeo corpora omnia Terreſtria ſe mutuo trahere oportet viribus abſolutis, quæ ſint in ratione ma­teriæ trahentis. Hæc eſt natura Gravitatis apud Terram: videa­mus jam qualis ſit in Cælis.

Corpus omne perſeverare in ſtatu ſuo vel quieſcendi vel movendi uniformiter in directum, niſi quatenus a viribus impreſſis cogitur ſtatum illum mutare; Naturæ lex eſt ab omnibus recepta Philoſo­phis. Inde vero ſequitur, corpora quæ in Curvis moventur, atque adeo de lineis rectis Orbitas ſuas tangentibus jugiter abeunt, Vi aliqua perpetuo agente retineri in itinere curvilineo. Planetis igitur in Orbibus curvis revolventibus neceſſario aderit Vis aliqua, per cujus actiones repetitas indeſinenter a Tangentibus deflectantur.

Jam illud concedi æquum eſt, quod Mathematicis rationibus colligitur & certiſſime demonſtratur; Corpora nempe omnia, quæ moventur in linea aliqua curva in plano deſcripta, quæque radio ducto ad punctum vel quieſcens vel utcunque motum deſcribunt areas circa punctum illud temporibus proportionales, urgeri a Viribus quæ ad idem punctum tendunt. Cum igitur in confeſſo ſit apud Aſtronomos, Planetas primarios circum Solem, ſecunda­rios vero circum ſuos primarios, areas deſcribere temporibus pro­portionales; conſequens eſt ut Vis illa, qua perpetuo detorquen­tur a Tangentibus rectilineis, & in Orbitis curvilineis revolvi co­guntur, verſus corpora dirigatur quæ ſita ſunt in Orbitarum cen­tris. Hæc itaque Vis non inepte vocari poteſt, reſpectu quidem corporis revolventis, Centripeta; reſpectu autem corporis cen­tralis, Attractiva; a quacunQ.E.D.mum cauſa oriri fingatur.

Quin & hæc quoque concedenda ſunt, & Mathematice demon­ſtrantur: Si corpora plura motu æquabili revolvantur in Circulis concentricis, & quadrata temporum periodieorum ſint ut cubi di­ſtantiarum a centro communi; Vires centripetas revolventium fore reciproce ut quadrata diſtantiarum. Vel, ſi corpora revol­vantur in Orbitis quæ ſunt Circulis finitimæ, & quieſcant Orbita­rum Apſides; Vires centripetas revolventium fore reciproce ut quadrata diſtantiarum. Obtinere caſum alterutrum in Planetis univerſis conſentiunt Aſtronomi. Itaque Vires centripetæ Plane­tarum omnium ſunt reciproce ut quadrata diſtantiarum ab Or­bium centris. Si quis objiciat Planetarum, & Lunæ præſertim, Apſides non penitus quieſcere; ſed motu quodam lento ferri in conſequentia: reſponderi poteſt, etiamſi concedamus hunc mo­tum tardiſſimum exinde profectum eſſe quod Vis centripetæ pro­portio aberret aliquantum a duplicata, aberrationem illam per computum Mathematicum inveniri poſſe & plane inſenſibilem eſſe. Ipſa enim ratio Vis centripetæ Lunaris, quæ omnium ma­xime turbari debet, paululum quidem duplicatam ſuperabit; ad hanc vero ſexaginta fere vicibus propius accedet quam ad tripli­catam. Sed verior erit reſponſio, ſi dicamus hanc Apſidum progreſ­ſionem, non ex aberratione a duplicata proportione, ſed ex alia prorſus diverſa cauſa oriri, quemadmodum egregie commonſtratur in hac Philoſophia. Reſtat ergo ut Vires centripetæ, quibus Pla­netæ primarii tendunt verſus Solem & ſecundarii verſus primarios ſuos, ſint accurate ut quadrata diſtantiarum reciproce.

Ex iis quæ hactenus dicta ſunt, conſtat Planetas in Orbitis ſuis retineri per Vim aliquam in ipſos perpetuo agentem: conſtat Vim illam dirigi ſemper verſus Orbitarum centra: conſtat hujus efficaciam augeri in acceſſu ad centrum, diminui in receſſu ab eo­dem: & augeri quidem in eadem proportione qua diminuitur qua­dratum diſtantiæ, diminui in eadem proportione qua diſtantiæ quadratum augetur. Videamus jam, comparatione inſtituta inter Planetarum Vires centripetas & Vim Gravitatis, annon ejuſdem forte ſint generis. Ejuſdem vero generis erunt, ſi deprehendan­tur hinc & inde leges eædem eædemque affectiones. Primo ita­que Lunæ, quæ nobis proxima eſt, Vim centripetam expendamus.

Spatia rectilinea, quæ a corporibus e quiete demiſſis dato tem­pore ſub ipſo motus initio deſeribuntur, ubi a viribus quibuſcun­que urgentur, proportionalia ſunt ipſis viribus: Hoc utique con­ſequitur ex ratiociniis Mathematicis. Erit igitur Vis centripeta Lunæ in Orbita ſua revolventis, ad Vim Gravitatis in ſuperficie Terræ, ut ſpatium quod tempore quam minimo deſcriberet Luna deſcendendo per Vim centripetam verſus Terram, ſi circulari om­ni motu privari fingeretur, ad ſpatium quod eodem tempore quam minimo deſcribit grave corpus in vicinia Terræ, per Vim gravita­tis ſuæ cadendo. Horum ſpatiorum prius æquale eſt arcus a Luna per idem tempus deſcripti ſinui verſo, quippe qui Lunæ tranſla­tionem de Tangente, factam a Vi centripeta, metitur; atque adeo computari poteſt ex datis tum Lunæ tempore periodico tum di­ſtantia ejus a centro Terræ. Spatium poſterius invenitur per Ex­perimenta Pendulorum, quemadmodum docuit Hugenius.Inito itaque calculo, ſpatium prius ad ſpatium pofterius, ſeu vis cen­tripeta Lunæ in Orbita ſua revolventis ad vim Gravitatis in ſu­perficie Terræ, erit ut quadratum ſemidiametri Terræ ad Orbitæ ſemidiametri quadratum. Eandem habet rationem, per ea quæ ſuperius oſtenduntur, vis centripeta Lunæ in Orbita ſua revol­ventis ad vim Lunæ centripetam prope Terræ ſuperficiem. Vis itaque centripeta prope Terræ ſuperficiem æqualis eſt vi Gravita­tis. Non ergo diverſæ ſunt vires, ſed una atque eadem: ſi enim diverſæ eſſent, corpora viribus conjunctis duplo celerius in Ter­ram caderent quam ex vi ſola Gravitatis. Conſtat igitur Vim illam centripetam, qua Luna perpetuo de Tangente vel trahitur vel impellitur & in Orbita retinetur, ipſam eſſe vim Gravitatis terreſtris ad Lunam uſque pertingentem. Et rationi quidem con­ſentaneum eſt ut ad ingentes diſtantias illa ſeſe Virtus extendat, cum nullam ejus ſenſibilem imminutionem, vel in altiſſimis montium cacuminibus, obſervare licet. Gravitat itaque Luna in Terram: quin & actione mutua, Terra viciſſim in Lunam æqualiter gravitat: id quod abunde quidem confirmatur in hac Philoſophia, ubi agi­tur de Maris æſtu & Æquinoctiorum præceſſione, ab actione tum Lunæ tum Solis in Terram oriundis. Hinc & illud tandem edo­cemur, qua nimirum lege vis Gravitatis decreſcat in majoribus a Tellure diſtantiis. Nam cum Gravitas non diverſa ſit a Vi cen­tripeta Lunari, hæc vero ſit reciproce proportionalis quadrato diſtantiæ; diminuetur & Gravitas in eadem ratione.

Progrediamur jam ad Planetas reliquos. Quoniam revolu­tiones primariorum circa Solem & ſecundariorum circa Jovem & Saturnum ſunt Phænomena generis ejuſdem ac revolutio Lunæ circa Terram, quoniam porro demonſtratum eſt vires centripetas primariorum dirigi verſus centrum Solis, ſecundariorum verſus centra Jovis & Saturni, quemadmodum Lunæ vis centripeta verſus Terræ centrum dirigitur; adhæc, quoniam omnes illæ vires ſunt reciproce ut quadrata diſtantiarum a centris, quemadmodum vis Lunæ eſt ut quadratum diſtantiæ a Terra: concludendum erit eandem eſſe naturam univerſis. Itaque ut Luna gravitat in Ter­ram, & Terra viciſſim in Lunam; ſic etiam gravitabunt omnes ſecundarii in primarios ſuos, & primarii viciſſim in ſecundarios; ſic & omnes primarii in Solem, & Sol viciſſim in primarios.

Igitur Sol in Planetas univerſos gravitat & univerſi in Solem. Nam ſecundarii dum primarios ſuos comitantur, revolvuntur in­terea circum Solem una cum primariis. Eodem itaque argumento, utriuſque generis Planetæ gravitant in Solem, & Sol in ipſos. Secundarios vero Planetas in Solem gravitare abunde inſuper conſtat ex inæqualitatibus Lunaribus; quarum accuratiſſimam Theoriam, admiranda ſagacitate patefactam, in tertio hujus Operis libro expoſitam habemus.

Solis virtutem attractivam quoquoverſum propagari ad ingen­tes uſQ.E.D.ſtantias, & ſeſe diffundere ad ſingulas circumjecti ſpa­tii partes, apertiſſime colligi poteſt ex motu Cometarum; qui ab immenſis intervallis profecti feruntur in viciniam Solis, & non­nunquam adeo ad ipſum proxime accedunt ut Globum ejus, in Periheliis ſuis verſantes, tantum non contingere videantur. Ho­rum Theoriam ab Aſtronomis antehac fruſtra quæſitam, noſtro tandem ſæculo feliciter inventam & per Obſervationes certiſ­ſime demonſtratam, Præſtantiſſimo noſtro Auctori debemus. Patet igitur Cometas in Sectionibus Conicis umbilicos in centro Solis habentibus moveri, & radiis ad Solem ductis areas temporibus proportionales deſcribere. Ex hiſce vero Phænomenis manife­ſtum eſt & Mathematice comprobatur, vires illas, quibus Cometæ retinentur in orbitis ſuis, reſpicere Solem & eſſe reciproce ut qua­drata diſtantiarum ab ipſius centro. Gravitant itaque Cometæ in Solem: atque adeo Solis vis attractiva non tantum ad corpora Planetarum in datis diſtantiis & in eodem fere plano collocata, ſed etiam ad Cometas in diverſiſſimis Cælorum regionibus & in diverſiſſimis diſtantiis poſitos pertingit. Hæc igitur eſt natura corporum gravitantium, ut vires ſuas edant ad omnes diſtantias in omnia corpora gravitantia. Inde vero ſequitur, Planetas & Co­metas univerſos ſe mutuo trahere, & in ſe mutuo graves eſſe: quod etiam confirmatur ex perturbatione Jovis & Saturni, Aſtro­nomis non incognita, & ab actionibus horum Planetarum in ſe in­vicem oriunda; quin & ex motu illo lentiſſimo Apſidum, qui ſu­pra memoratus eſt, quique a cauſa conſimili proficiſcitur.

Eo demum pervenimus ut dicendum ſit, & Terram & Solem & corpora omnia cæleſtia, quæ Solem comitantur, ſe mutuo attrahere. Singulorum ergo particulæ quæque minimæ vires ſuas attractivas habebunt, pro quantitate materiæ pollentes; quemadmodum ſu­pra de Terreſtribus oſtenſum eſt. In diverſis autem diſtantiis, erunt & harum vires in duplicata ratione diſtantiarum reciproce: nam ex particulis hac lege trahentibus componi debere Globos eadem lege trahentes, Mathematice demonſtratur.

Concluſiones præcedentes huic innituntur Axiomati, quod a nullis non recipitur Philoſophis; Effectuum ſcilicet ejuſdem ge­neris, quorum nempe quæ cognoſcuntur proprietates eædem ſunt, eaſdem eſſe cauſas & eaſdem eſſe proprietates quæ nondum cog­noſcuntur. Quis enim dubitat, ſi Gravitas ſit cauſa deſcenſus Lapidis in Europa,quin eadem ſit cauſa deſcenſus in America?Si Gravitas mutua fuerit inter Lapidem & Terram in Europa; quis negabit mutuam eſſe in America?Si vis attractiva Lapidis & Terræ componatur, in Europa,ex viribus attractivis partium; quis negabit ſimilem eſſe compoſitionem in America?Si attractio Terræ ad omnia corporum genera & ad omnes diſtantias propa­getur in Europa; quidni pariter propagari dicamus in America?In hac Regula fundatur omnis Philoſophia: quippe qua ſublata nihil affirmare poſſimus de Univerſis. Conſtitutio rerum ſingula­rum innoteſcit per Obſervationes & Experimenta: inde vero non niſi per hanc Regulam de rerum univerſarum natura judica­mus.

Jam cum Gravia ſint omnia corpora, quæ apud Terram vel in Cælis reperiuntur, de quibus Experimenta vel Obſervationes in­ſtituere licet; omnino dicendum erit, Gravitatem corporibus uNI­verſis competere. Et quemadmodum nulla concipi debent cor­pora, quæ non ſint Extenſa, Mobilia, & Impenetrabilia; ita nulla concipi debere, quæ non ſint Gravia. Corporum Extenſio, Mobi­litas, & Impenetrabilitas non niſi per Experimenta innoteſcunt: eodem plane modo Gravitas innoteſcit. Corpora omnia de qui­bus Obſervationes habemus, Extenſa ſunt & Mobilia & Impene­trabilia: & inde concludimus corpora univerſa, etiam illa de qui­bus Obſervationes non habemus, Extenſa eſſe & Mobilia & Im­penetrabilia. Ita corpora omnia ſunt Gravia, de quibus Obſer­vationes habemus: & inde concludimus corpora univerſa, etiam illa de quibus Obſervationes non habemus, Gravia eſſe. Si quis dicat corpora Stellarum inerrantium non eſſe Gravia, quandoqui­dem eorum Gravitas nondum eſt obſervata; eodem argumento dicere licebit neque Extenſa eſſe, nec Mobilia, nec Impenetrabilia, cum hæ Fixarum affectiones nondum ſint obſervatæ. Quid opus eſt verbis? Inter primarias qualitates corporum univerſorum vel Gravitas habebit locum; vel Extenſio, Mobilitas, & Impenetra­bilitas non habebunt. Et natura rerum vel recte explicabitur per corporum Gravitatem, vel non recte explicabitur per corpo­rum Extenſionem, Mobilitatem, & Impenetrabilitatem.

Audio nonnullos hanc improbare concluſionem, & de occultis qualitatibus neſcio quid muſſitare. Gravitatem ſcilicet Occultum eſſe quid, perpetuo argutari ſolent; occultas vero cauſas pro­cul eſſe ablegandas a Philoſophia. His autem facile reſpon­detur; occultas eſſe cauſas, non illas quidem quarum exiſtentia per Obſervationes clariſſime demonſtratur, ſed has ſolum quarum occulta eſt & ficta exiſtentia nondum vero comprobata. Gravitas ergo non erit occulta cauſa motuum cæleſtium; ſiquidem ex Phæ­nomenis oſtenſum eſt, hanc virtutem revera exiſtere. Hi potius ad occultas confugiunt cauſas; qui neſcio quos Vortices, materiæ cujuſdam prorſus fictitiæ & ſenſibus omnino ignotæ, motibus iiſdem regendis præficiunt.

Ideone autem Gravitas occulta cauſa dicetur, eoque nomine rejicietur e Philoſophia, quod cauſa ipſius Gravitatis occulta eſt & nondum inventa? Qui ſic ſtatuunt, videant nequid ſtatu­ant abſurdi, unde totius tandem Philoſophiæ fundamenta convel­lantur. Etenim cauſæ continuo nexu procedere ſolent a compo­ſitis ad ſimpliciora: ubi ad cauſam ſimpliciſſimam perveneris, jam non licebit ulterius progredi. Cauſæ igitur ſimpliciſſimæ nulla dari poteſt mechanica explicatio: ſi daretur enim, cauſa non­dum eſſet ſimpliciſſima. Has tu proinde cauſas ſimpliciſſimas appellabis occultas, & exulare jubebis? ſimul vero exulabunt & ab his proxime pendentes & quæ ab illis porro pendent, uſQ.E.D.m a cauſis omnibus vacua fuerit & probe purgata Phi­loſophia.

Sunt qui Gravitatem præter naturam eſſe dicunt, & Miraculum perpetuum vocant. Itaque rejiciendam eſſe volunt, cum in Phy­ſica præternaturales cauſæ locum non habeant. Huic ineptæ prorſus objectioni diluendæ, quæ & ipſa Philoſophiam ſubruit univerſam, vix operæ pretium eſt immorari. Vel enim Gravita­tem corporibus omnibus inditam eſſe negabunt, quod tamen dici non poteſt: vel eo nomine præter naturam eſſe affirmabunt, quod ex aliis corporum affectionibus atque adeo ex cauſis Mechanicis originem non habeat. Dantur certe primariæ corporum affecti­ones; quæ, quoniam ſunt primariæ, non pendent ab aliis. Vide­rint igitur annon & hæ omnes ſint pariter præter naturam, eo­que pariter rejiciendæ: viderint vero qualis ſit deinde futura Philoſophia.

Nonnulli ſunt quibus hæc tota Phyſica cæleſtis vel ideo minus placet, quod cum Carteſiidogmatibus pugnare & vix conciliari poſſe videatur. His ſua licebit opinione frui; ex æquo autem agant oportet: non ergo denegabunt aliis eandem libertatem quam ſibi concedi poſtulant. NEWTONIANAM itaque Philoſophi­am, quæ nobis verior habetur, retinere & amplecti licebit, & cauſas ſequi per Phænomena comprobatas, potius quam fictas & nondum comprobatas. Ad veram Philoſophiam pertinet, rerum naturas ex cauſis vere exiſtentibus derivare: eas vero leges quærere, qui­bus voluit Summus opifex hunc Mundi pulcherrimum ordinem ſtabilire; non eas quibus potuit, ſi ita viſum fuiſſet. Rationi enim conſonum eſt, ut a pluribus cauſis, ab invicem nonnihil diverſis, idem poſſit Effectus proficiſci: hæc autem vera erit cauſa, ex qua vere atque actu proficiſcitur; reliquæ locum non habent in Philo­ſophia vera. In Horologiis automatis idem Indicis horarii mo­tus vel ab appenſo Pondere vel ab intus concluſo Elatere oriri po­teſt. Quod ſi oblatum Horologium revera ſit inſtructum Pondere; ridebitur qui finget Elaterem, & ex Hypotheſi ſic præpropere con­ficta motum Indicis explicare ſuſcipiet: oportuit enim internam Machinæ fabricam penitius perſcrutari, ut ita motus propoſiti prin­cipium verum exploratum habere poſſet. Idem vel non abſimile feretur judicium de Philoſophis illis, qui materia quadam ſubti­liſſima Cælos eſſe repletos, hanc autem in Vortices indeſinenter agi voluerunt. Nam ſi Phænomenis vel accuratiſſime ſatisfacere poſſent ex Hypotheſibus ſuis; veram tamen Philoſophiam tradi­diſſe, & veras cauſas motuum cæleſtium inveniſſe nondum di­cendi ſunt; niſi vel has revera exiſtere, vel ſaltem alias non ex­iſtere demonſtraverint. Igitur ſi oſtenſum fuerit, univerſorum corporum Attractionem habere verum locum in rerum natura; quinetiam oſtenſum fuerit, qua ratione motus omnes cæleſtes ab­inde ſolutionem recipiant; vana fuerit & merito deridenda objectio, ſi quis dixerit eoſdem motus per Vortices explicari debere, etiamſi id fieri poſſe vel maxime conceſſerimus. Non autem concedimus: Nequeunt enim ullo pacto Phænomena per Vortices explicari; quod ab Auctore noſtro abunde quidem & clariſſimis rationibus evincitur; ut ſomniis plus æquo indulgeant oporteat, qui inep­tiſſimo figmento reſarciendo, noviſque porro commentis ornando infelicem operam addicunt.

Si corpora Planetarum & Cometarum circa Solem deferantur a Vorticibus; oportet corpora delata & Vorticum partes proxime ambientes eadem velocitate eademque curſus determinatione mo­veri, & eandem habere denſitatem vel eandem Vim inertiæ pro mole materiæ. Conſtat vero Planetas & Cometas, dum verſan­tur in iiſdem regionibus Cælorum, velocitatibus variis variaque curſus determinatione moveri. Neceſſario itaque ſequitur, ut Fluidi cæleſtis partes illæ, quæ ſunt ad eaſdem diſtantias a Sole, revolvantur eodem tempore in plagas diverſas cum diverſis ve­locitatibus: etenim alia opus erit directione & velocitate, ut tran­ſire poſſint Planetæ; alia, ut tranſire poſſint Cometæ. Quod cum explicari nequeat; vel fatendum erit, univerſa corpora cæleſtia non deferri a materia Vorticis; vel dicendum erit, eorundem mo­tus repetendos eſle non ab uno eodemque Vortice, ſed a pluribus qui ab invicem diverſi ſint, idemque ſpatium Soli circumjectum pervadant.

Si plures Vortices in eodem ſpatio contineri, & ſeſe mutuo pe­netrare, motibuſQ.E.D.verſis revolvi ponantur; quoniam hi mo­tus debent eſſe conformes delatorum corporum motibus, qui ſunt ſumme regulares, & peraguntur in Sectionibus Conicis, nunc valde eccentricis, nunc ad Circulorum proxime formam acceden­tibus; jure quærendum erit, qui fieri poſſit, ut iidem integri con­ſerventur, nec ab actionibus materiæ occurſantis per tot ſæcula quicquam perturbentur. Sane ſi motus hi fictitii ſunt magis com­poſiti & difficilius explicantur, quam veri illi motus Planetarum & Cometarum; fruſtra mihi videntur in Philoſophiam recipi: omnis enim Cauſa debet eſſe Effectu ſuo ſimplicior. Conceſſa Fabularum licentia, affirmaverit aliquis Planetas omnes & Cometas circumcingi Atmoſphæris, adinſtar Telluris noſtræ; quæ quidem Hypotheſis rationi magis conſentanea videbitur quam Hypothe­ſis Vorticum. Affirmaverit deinde has Atmoſphæras, ex natura ſua, circa Solem moveri & Sectiones Conicas deſcribere; qui ſane motus multo facilius concipi poteſt, quam conſimilis motus Vorticum ſe invicem permeantium. Denique Planetas ipſos & Cometas circa Solem deferri ab Atmoſphæris ſuis credendum eſſe ſtatuat, & ob repertas motuum cæleſtium cauſas triumphum agat. Quiſquis autem hanc Fabulam rejiciendam eſſe putet, idem & alte­ram Fabulam rejiciet: nam ovum non eſt ovo ſimilius, quam Hy­potheſis Atmoſphærarum Hypotheſi Vorticum.

Docuit Galilæus,lapidis projecti & in Parabola moti deflexio­nem a curſu rectilineo oriri a Gravitate lapidis in Terram, ab oc­culta ſcilicet qualitate. Fieri tamen poteſt ut alius aliquis, naſi acutioris, Philoſophus cauſam aliam comminiſcatur. Finget igi­tur ille materiam quandam ſubtilem, quæ nec viſu, nec tactu, neque ullo ſenſu percipitur, verſari in regionibus quæ proxime contingunt Telluris ſuperficiem. Hanc autem materiam, in di­verſas plagas, variis & plerumque contrariis motibus ferri, & li­neas Parabolicas deſcribere contendet. Deinde vero lapidis de­flexionem pulchre ſic expediet, & vulgi plauſum merebitur. La­pis, inquiet, in Fluido illo ſubtili natat; & curſui ejus obſequen­do, non poteſt non eandem una ſemitam deſcribere. Fluidum vero movetur in lineis Parabolicis; ergo lapidem in Parabola moveri neceſſe eſt. Quis nunc non mirabitur acutiſſimum hujuſce Philoſophi ingenium, ex cauſis Mechanicis, materia ſcilicet & motu, phænomena Naturæ ad vulgi etiam captum præclare de­ducentis? Quis vero non ſubſannabit bonum illum Galilæum,qui magno molimine Mathematico qualitates occultas, e Philoſophia feliciter excluſas, denuo revocare ſuſtinuerit? Sed pudet nugis diutius immorari.

Summa rei huc tandem redìt: Cometarum ingens eſt numerus; motus eorum ſunt ſumme regulares, & eaſdem leges cum Plane­tarum motibus obſervant. Moventur in Orbibus Conicis, hi or­bes ſunt valde admodum eccentrici. Feruntur undiQ.E.I. omnes Cælorum partes, & Planetarum regiones liberrime pertranſeunt, & ſæpe contra Signorum ordinem incedunt. Hæc Phænomena certiſſime confirmantur ex Obſervationibus Aſtronomicis: & per Vortices nequeunt explicari: Imo, ne quidem cum Vorticibus Planetarum conſiſtere poſſunt. Cometarum motibus omnino lo­cus non erit; niſi materia illa fictitia penitus e Cælis amo­veatur.

Si enim Planetæ circum Solem a Vorticibus devehuntur; Vor­ticum partes, quæ proxime ambiunt unumquemque Planetam, ejuſ­dem denſitatis erunt ac Planeta; uti ſupra dictum eſt. Itaque materia illa omnis quæ contigua eſt Orbis magni perimetro, pa­rem habebit ac Tellus denſitatem: quæ vero jacet intra Orbem magnum atque Orbem Saturni, vel parem vel majorem habebit. Nam ut conſtitutio Vorticis permanere poſſit, debent partes mi­nus denſæ centrum occupare, magis denſæ longius a centro abire. Cum enim Planetarum tempora periodica ſint in ratione ſeſqui­plicata diſtantiarum a Sole, oportet partium Vorticis periodos eandem rationem ſervare. Inde vero ſequitur, vires centrifugas harum partium fore reciproce ut quadrata diſtantiarum. Quæ igitur majore intervallo diſtant a centro, nituntur ab eodem re­cedere minore vi: unde ſi minus denſæ fuerint, neceſſe eſt ut ce­dant vi majori, qua partes centro propiores aſcendere conantur. Aſcendent ergo denſiores, deſcendent minus denſæ, & loeorum fiet invicem permutatio; donec ita fuerit diſpoſita atque ordinata materia fluida totius Vorticis, ut conquieſcere jam poſſit in æqui­librio conſtituta. Si bina Fluida, quorum diverſa eſt denſitas, in eodem vaſe continentur; utique futurum eſt ut Fluidum, cu­jus major eſt denſitas, majore vi Gravitatis infimum petat locum: & ratione non abſimili omnino dicendum eſt, denſiores Vorticis partes majore vi centrifuga petere ſupremum locum. Tota igi­tur illa & multo maxima pars Vorticis, quæ jacet extra Telluris orbem, denſitatem habebit atque adeo vim inertiæ pro mole ma­teriæ, quæ non minor erit quam denſitas & vis inertiæ Telluris: inde vero Cometis trajectis orietur ingens reſiſtentia, & valde ad­modum ſenſibilis; ne dicam, quæ motum eorundem penitus ſiſtere atque abſorbere poſſe merito videatur. Conſtat autem ex motu Co-metarum prorſus regulari, nullam ipſos reſiſtentiam pati quæ vel minimum ſentiri poteſt; atque adeo neutiquam in materiam ul­lam incurſare, cujus aliqua ſit vis reſiſtendi, vel proinde cujus ali­qua ſit denſitas ſeu vis Inertiæ. Nam reſiſtentia Mediorum ori­tur vel ab inertia materiæ fluidæ, vel a defectu lubricitatis. Quæ oritur a defectu lubricitatis, admodum exigua eſt; & ſane vix obſervari poteſt in Fluidis vulgo notis, niſi valde tenacia fuerint adinſtar Olei & Mellis. Reſiſtentia quæ ſentitur in Aere, Aqua, Hydrargyro, & hujuſmodi Fluidis non tenacibus fere tota eſt prioris generis; & minui non poteſt per ulteriorem quemcunque gradum ſubtilitatis, manente Fluidi denſitate vel vi inertiæ, cui ſemper proportionalis eſt hæc reſiſtentia; quemadmodum clariſ­ſime demonſtratum eſt ab Auctore noſtro in peregregia Reſiſten­tiarum Theoria, quæ paulo nunc accuratius exponitur, hac ſe­cunda vice, & per Experimenta corporum cadentium plenius confirmatur.

Corpora progrediendo motum ſuum Fluido ambienti paulatim communicant, & communicando amittunt, amittendo autem re­tardantur. Eſt itaque retardatio motui communicato proportio­nalis; motus vero communicatus, ubi datur corporis progredientis velocitas, eſt ut Fluidi denſitas; ergo retardatio ſeu reſiſtentia erit ut eadem Fluidi denſitas; neque ullo pacto tolli poteſt, niſi a Fluido ad partes corporis poſticas recurrente reſtituatur motus amiſſus. Hoc autem dici non poterit, niſi impreſſio Fluidi in cor­pus ad partes poſticas æqualis fuerit impreſſioni corporis in Flui­dum ad partes anticas, hoc eſt, niſi velocitas relativa qua Flui­dum irruit in corpus a tergo, æqualis fuerit velocitati qua cor­pus irruit in Fluidum, id eſt, niſi velocitas abſoluta Fluidi re­currentis duplo major fuerit quam velocitas abſoluta Fluidi pro­pulſi; quod fieri nequit. Nullo igitur modo tolli poteſt Flui­dorum reſiſtentia, quæ oritur ab corundem denſitate & vi in­ertiæ. Itaque concludendum erit; Fluidi cæleſtis nullam eſſe vim inertiæ, cum nulla ſit vis reſiſtendi: nullam eſſe vim qua motus communicetur, cum nulla ſit vis inertiæ: nullam eſſe vim qua mutatio quælibet vel corporibus ſingulis vel pluribus indu­catur, cum nulla ſit vis qua motus communicetur: nullam eſſe omnino efficaciam, cum nulla ſit facultas mutationem quamlibet inducendi. Quidni ergo hanc Hypotheſin, quæ fundamento plane deſtituitur, quæque naturæ rerum explicandæ ne minimum quidem inſervit, ineptiſſimam vocare liceat & Philoſopho pror-ſus indignam. Qui Cælos materia fluida repletos eſſe volunt, hanc vero non inertem eſſe ſtatuunt; Hi verbis tollunt Vacuum, re ponunt. Nam cum hujuſmodi materia fluida ratione nulla ſecerni poſſit ab inani Spatio; diſputatio tota fit de rerum no­minibus, non de naturis. Quod ſi aliqui ſint adeo uſQ.E.D.­diti Materiæ, ut Spatium a corporibus vacuum nullo pacto ad­mittendum credere velint; videamus quo tandem oporteat illos pervenire.

Vel enim dicent hanc, quam confingunt, Mundi per omnia pleni conſtitutionem ex voluntate Dei profectam eſſe, propter eum finem, ut operationibus Naturæ ſubſidium præſens haberi poſſet ab Æthere ſubtiliſſimo cuncta permeante & implente; quod tamen dici non poteſt, ſiquidem jam oſtenſum eſt ex Co­metarum phænomenis, nullam eſſe hujus Ætheris efficaciam: vel dicent ex voluntate Dei profectam eſſe, propter finem aliquem ignotum; quod neQ.E.D.ci debet, ſiquidem diverſa Mundi con­ſtitutio eodem argumento pariter ſtabiliri poſſet: vel denique non dicent ex voluntate Dei profectam eſſe, ſed ex neceſſitate quadam Naturæ. Tandem igitur delabi oportet in fæces ſordi­das Gregis impuriſſimi. Hi ſunt qui ſomniant Fato univerſa regi, non Providentia; Materiam ex neceſſitate ſua ſemper & ubi­que extitiſſe, infinitam eſſe & æternam. Quibus poſitis, erit etiam undiquaque uniformis: nam varietas formarum cum neceſ­ſitate omnino pugnat. Erit etiam immota: nam ſi neceſſario moveatur in plagam aliquam determinatam, cum determinata ali­qua velocitate; pari neceſſitate movebitur in plagam diverſam cum diverſa velocitate; in plagas autem diverſas, cum diverſis velocitatibus, moveri non poteſt; oportet igitur immotam eſſe. Neutiquam profecto potuit oriri Mundus, pulcherrima forma­rum & motuum varietate diſtinctus, niſi ex liberrima voluntate cuncta providentis & gubernantis Dei.

Ex hoc igitur fonte promanarunt illæ omnes quæ dicuntur Naturæ leges: in quibus multa ſane ſapientiſſimi conſilii, nulla neceſſitatis apparent veſtigia. Has proinde non ab incertis con­jecturis petere, ſed Obſervando atque Experiendo addiſcere de­bemus. Qui veræ Phyſicæ principia Legeſque rerum, ſola men­tis vi & interno rationis lumine fretum, invenire ſe poſſe confi­dit; hunc oportet vel ſtatuere Mundum ex neceſſitate fuiſle, Le­geſque propoſitas ex eadem neceſſitate ſequi; vel ſi per volun­tatem Dei conſtitutus ſit ordo Naturæ, ſe tamen, homuncionem miſellum, quid optimum factu ſit perſpectum habere. Sana om­nis & vera Philoſophia fundatur in Phænomenis rerum: quæ ſi nos vel invitos & reluctantes ad hujuſmodi principia deducunt, in quibus clariſſime cernuntur Conſilium optimum & Dominium ſummum ſapientiſſimi & potentiſſimi Entis; non erunt hæc ideo non admittenda principia, quod quibuſdam forſan hominibus minus grata ſint futura. His vel Miracula vel Qualitates occultæ dicantur, quæ diſplicent: verum nomina malitioſe indita non ſunt ipſis rebus vitio vertenda; niſi illud fateri tandem velint, utique debere Philoſophiam in Atheiſmo fundari. Horum hominum gratia non erit labefactanda Philoſophia, ſiquidem rerum ordo non vult immutari.

Obtinebit igitur apud probos & æquos Judices præſtantiſſima Philoſophandi ratio, quæ fundatur in Experimentis & Obſerva­tionibus. Huic vero, dici vix poterit, quanta lux accedat, quanta dignitas, ab hoc Opere præclaro Illuſtriſſimi noſtri Auctoris; cujus eximiam ingenii felicitatem, difficillima quæque Problemata eno­dantis, & ad ea porro pertingentis ad quæ nec ſpes erat humanam mentem aſſurgere potuiſſe, merito admirantur & ſuſpiciunt qui­cunque paulo profundius in hiſce rebus verſati ſunt. Clauſtris ergo referatis, aditum Nobis aperuit ad pulcherrima rerum my­ſteria. Syſtematis Mundani compagem elegantiſſimam ita tan­dem patefecit & penitius perſpectandam dedit; ut nec ipſe, ſi nunc reviviſceret, Rex Alphonſusvel ſimplicitatem vel harmoniæ gratiam in ea deſideraret. Itaque Naturæ majeſtatem propius jam licet intueri, & dulciſſima contemplatione frui, Conditorem vero ac Dominum Univerſorum impenſius colere & venerari, qui fructus eſt Philoſophiæ multo uberrimus. Cæcum eſſe oportet, qui ex optimis & ſapientiſſimis rerum ſtructuris non ſtatim videat Fabri­catoris Omnipotentis infinitam ſapientiam & bonitatem: inſanum, qui profiteri nolit.

Extabit igitur Eximium NEWTONI Opus adverſus Atheorum impetus munitiſſimum præſidium: neque enim alicunde felicius, quam ex hac pharetra, contra impiam Catervam tela deprompſeris. Hoc ſenſit pridem, & in pereruditis Concionibus Anglice Latineque editis, primus egregie demonſtravit Vir in omni Literarum genere præclarus idemque bonarum Artium fautor eximius RICHARDUS BENTLEIUS, Sæculi ſui & Academiæ noſtræ magnum Orna­mentum, Collegii noſtri S. TrinitatisMagiſter digniſſimus & in­tegerrimus. Huic ego me pluribus nominibus obſtrictum fateri debeo: Huic & Tuas quæ debentur gratias, Lector benevole, non denegabis. Is enim, cum a longo tempore Celeberrimi Auctoris amicitia intima frueretur, (qua etiam apud Poſteros cenſeri non minoris æſtimat, quam propriis Scriptis quæ literato orbi in de­liciis ſunt inclareſcere) Amici ſimul famæ & ſcientiarum incre­mento conſuluit. Itaque cum Exemplaria prioris Editionis rariſ­ſima admodum & immani pretio coemenda ſupereſſent; ſuaſit Ille crebris efflagitationibus & tantum non objurgando perpulit deNI­que Virum Præſtantiſſimum, nec modeſtia minus quam eruditi­one ſumma Inſignem, ut novam hanc Operis Editionem, per om­nia elimatam denuo & egregiis inſuper acceſſionibus ditatam, ſuis ſumptibus & auſpiciis prodire pateretur: Mihi vero, pro jure ſuo, penſum non ingratum demandavit, ut quam poſſet emendate id fieri curarem.

Cantabrigiæ,Maii 12. 1713.

ROGERUS COTES Collegii S. TrinitatisSocius, Aſtronomiæ & Philoſophiæ Experimentalis Profeſſor Plumianus.

INDEX CAPITUM TOTIUS OPERIS.

PAG.

DEFINITIONES. 1

AXIOMATA, SIVE LEGES MOTUS. 12

DE MOTU CORPORUM LIBER PRIMUS.

SECT. I. DE Methodo rationum primarum & ultima­rum.24

SECT. II. De inventione Virium centripetarum.34

SECT. III. De motu corporum in Conicis ſectionibus eccentri­cis.48

SECT. IV. De inventione Orbium Elliptieorum, Parabolieorum & Hyperbolieorum ex Umbilico dato.59

SECT. V. De inventione Orbium ubi Umbilicus neuter datur.66

SECT. VI. De inventione Motuum in Orbibus datis.97

SECT. VII. De corporum Aſcenſu & Deſcenſu rectilineo.105

SECT. VII. De inventione Orbium in quibus corpora Viribus quibuſcunque centripetis agitata revolvuntur.114

SECT. IX. De Motu corporum in Orbibus mobilibus, deque Motu Apſidum.121

SECT. X. De Motu corporum in Superficiebus datis, deque Funependulorum Motu reciproco.132

SECT. XI. De Motu corporum Viribus centripetis ſe mutuo pe­tentium.147

SECT. XII. De corporum Sphærieorum Viribus attractivis.173

SECT. XIII. De corporum non Sphærieorum Viribus attracti­vis.192

SECT. XIV. De Motu corporum Minimorum, quæ Veribus cen­tripetis ad ſingulas Magni alicujus corporis partes ten­dentibus agitantur.203

DE MOTU CORPORUM LIBER SECUNDUS.

SECT. I. DE Motu corporum quibus reſiſtitur in ratione Velocitatis.211

SECT. II. De Motu corporum quibus reſiſtitur in duplicata ra­tione Velocitatis.220

SECT. III. De Motu corporum quibus reſiſtitur partim in ratione Velocitatis, partim in ejuſdem ratione duplicata.245

SECT. IV. De corporum Circulari motu in Mediis reſiſtentibus.253

SECT. V. De denſitate & compreſſione Fluidorum, deque Hy­droſtatica.260

SECT. VI. De Motu & Reſiſtentia corporum Funependulorum.272

SECT. VII. De motu Fluidorum & reſiſtentia Projectilium.294

SECT. VIII. De motu per Fluida propagato.329

SECT. IX. De motu Circulari Fluidorum.345

DE MUNDI SYSTEMATE LIBER TERTIUS.

REGULÆ PHILOSOPHANDI 357

PHÆNOMENA 359

PROPOSITIONES 362

SCHOLIUM GENERALE. 481

PHILOSOPHIÆ NATURALIS Principia MATHEMATICA.

DEFINITIONES.

DEFINITIO I.

Quantitas Materiæ eſt menſura ejuſdem orta ex illius Denſitate & Magnitudine conjunctim.

AER, denſitate duplicata, in ſpatio etiam duplicato fit qua­druplus; in triplicato ſextuplus. Idem intellige de Nive & Pulveribus per compreſſionem vel liquefactionem conden­ſatis. Et par eſt ratio corporum omnium, quæ per cauſas quaſcun­Q.E.D.verſimode condenſantur. Medii interea, ſi quod fuerit, in­terſtitia partium libere pervadentis, hic nullam rationem habeo. Hanc autem Quantitatem ſub nomine Corporis vel Maſſæ in ſe­quentibus paſſim intelligo. Innoteſcit ea per corporis cujuſque Pondus. Nam Ponderi proportionalem eſſe reperi per experi­menta Pendulorum accuratiſſime inſtituta, uti poſthac docebitur.

DEFINITIO II.

Quantitas Motus eſt menſura ejuſdem orta ex Velocitate & Quan­titate Materiæ conjunctim.

Motus totius eſt ſumma motuum in partibus ſingulis; adeoque in corpore duplo majore æquali cum velocitate duplus eſt, & du­pla cum velocitate quadruplus.

DEFINITIO III.

Materiæ Vis Inſita eſt potentia reſiſtendi, qua corpus unumquodque, quantum in ſe eſt, perſeverat in ſtatu ſuo vel quieſcendi vel movendi uniformiter in directum.

Hæc ſemper proportionalis eſt ſuo corpori, neQ.E.D.ffert quic­quam ab Inertia maſſæ, niſi in modo concipiendi. Per inertiam materiæ, fit ut corpus omne de ſtatu ſuo vel quieſcendi vel moven­di difficulter deturbetur. Unde etiam vis inſita nomine ſignifican­tiſſimo Vis Inertiæ dici poſſit. Exercet vero corpus hanc vim ſolum­modo in mutatione ſtatus ſui per vim aliam in ſe impreſſam facta; eſtque exercitium ejus ſub diverſo reſpectu & Reſiſtentia & Impetus: reſiſtentia, quatenus corpus ad conſervandum ſtatum ſuum relucta­tur vi impreſſæ; impetus, quatenus corpus idem, vi reſiſtentis ob­ſtaculi difficulter cedendo, conatur ſtatum ejus mutare. Vulgus reſiſtentiam quieſcentibus & impetum moventibus tribuit: ſed mo­tus & quies, uti vulgo concipiuntur, reſpectu ſolo diſtinguuntur ab invicem; neque ſemper vere quieſcunt quæ vulgo tanquam quie­ſcentia ſpectantur.

DEFINITIO IV.

Vis Impreſſa eſt actio in corpus exercita, ad mutandum ejus ſtatum vel quieſcendi vel movendi uniformiter in directum.

Conſiſtit hæc vis in actione ſola, neque poſt actionem permanet in corpore. Perſeverat enim corpus in ſtatu omni novo per ſolam vim inertiæ. Eſt autem vis impreſſa diverſarum originum, ut ex Ictu, ex Preſſione, ex vi Centripeta.

DEFINITIO V.

Vis Centripeta eſt, qua corpora verſus punctum aliquod tanquam ad Centrum undique trahuntur, impelluntur, vel utcunque tendunt.

Hujus generis eſt Gravitas, qua corpora tendunt ad centrum ter­ræ; Vis Magnetica, qua ferrum petit magnetem; & Vis illa, quæcunque ſit, qua Planetæ perpetuo retrahuntur a motibus rectili­neis, & in lineis curvis revolvi coguntur. Lapis, in funda circum-actus, a circumagente manu abire conatur; & conatu ſuo fundam diſtendit, eoque fortius quo celerius revolvitur; &, quamprimum di­mittitur, avolat. Vim conatui illi contrariam, qua funda lapidem in manum perpetuò retrahit & in orbe retinet, quoniam in manum ceu orbis centrum dirigitur, Centripetam appello. Et par eſt ratio corporum omnium, quæ in gyrum aguntur. Conantur ea omnia a centris orbium recedere; & niſi adſit vis aliqua conatui iſti contra­ria, qua cohibeantur & in orbibus retineantur, quamQ.E.I.eò Centri­petam appello, abibunt in rectis lineis uniformi cum motu. Pro­jectile, ſi vi Gravitatis deſtitueretur, non deflecteretur in terram, ſed in linea recta abiret in cælos; idque uniformi cum motu, ſi modo aeris reſiſtentia tolleretur. Per gravitatem ſuam retrahitur a curſu rectilineo & in terram perpetuo flectitur, idque magis vel minus pro gravitate ſua & velocitate motus. Quo minor erit ejus gravitas pro quantitate materiæ vel major &c. vel major velocitas quacum projicitur, eo minus deviabit a curſu rectilineo & longius perget. Si Globus plumbeus, data cum velo­citate ſecundum lineam horizontalem a montis alicujus vertice vi pulveris tormentarii projectus, pergeret in linea curva ad diſtantiam duorum milliarium, priuſquam in terram decideret: hic dupla cum velocitate quaſi duplo longius pergeret, & decupla cum velocitate quaſi decuplo longius: ſi modo aeris reſiſtentia tolleretur. Et augendo velocitatem augeri poſſet pro lubitu diſtantia in quam projiceretur, & minui curvatura lineæ quam deſcriberet, ita ut tandem caderet ad diſtantiam graduum decem vel triginta vel nonaginta; vel etiam ut terram totam circuiret priuſquam caderet; vel denique ut in terram nunquam caderet, ſed in cælos abiret & motu abeundi per­geret in infinitum. Et eadem ratione, qua Projectile vi gravitatis in orbem flecti poſſet & terram totam circuire, poteſt & Luna vel vi gravitatis, ſi modo gravis ſit, vel alia quacunque vi, qua in ter­ram urgeatur, retrahi ſemper a curſu rectilineo terram verſus, & in orbem ſuum flecti: & abſque tali vi Luna in orbe ſuo retineri non poteſt. Hæc vis, ſi juſto minor eſſet, non ſatis flecteret Lunam de curſu rectilineo: ſi juſto major, plus ſatis flecteret, ac de orbe terram verſus deduceret. Requiritur quippe, ut ſit juſtæ magnitudinis: & Mathematieorum eſt invenire Vim, qua corpus in dato quovis orbe data cum velocitate accurate retineri poſſit; & viciſſim inve­nire Viam curvilineam, in quam corpus e dato quovis loco data cum velocitate egreſſum a data vi flectatur. Eſt autem vis hujus cen­tripetæ Quantitas trium generum, Abſoluta, Acceleratrix, & Motrix.

NI­ES.

DEFINITIO VI.

Vis centripetæ Quantitas Abſoluta eſt menſura ejuſdem major vel minor pro Efficacia cauſæ eam propagantis a centro per regiones in circuitu.

Ut vis Magnetica pro mole magnetis vel intenſione virtutis major in uno magnete, minor in alio.

DEFINITIO VII.

Vis centripetæ Quantitas Acceleratrix eſt ipſius menſura Velocitati proportionalis, quam dato tempore generat.

Uti Virtus magnetis ejuſdem major in minori diſtantia, minor in majori: vel vis Gravitans major in vallibus, minor in cacumiNI­bus præaltorum montium, atque adhuc minor (ut poſthac patebit) in majoribus diſtantiis a globo terræ; in æqualibus autem diſtan­tiis eadem undique, propterea quod corpora omnia cadentia (gra­via an levia, magna an parva) ſublata Aeris reſiſtentia, æqualiter accelerat.

DEFINITIO VIII.

Vis centripetæ Quantitas Motrix eſt ipſius menſura proportionalis. Motui, quem dato tempore generat.

Uti Pondus majus in majore corpore, minus in minore; inque corpore eodem majus prope terram, minus in cælis. Hæc Quantitas eſt corporis totius centripetentia ſeu propenſio in centrum, & (ut ita dicam) Pondus; & innoteſcit ſemper per vim ipſi contrariam & æ­qualem, qua deſcenſus corporis impediri poteſt.

Haſce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires motrices, acceleratrices, & abſolutas; & diſtinctionis gratia referre ad Corpora, centrum petentia, ad corporum Loca, & ad Centrum virium: nimirum vim motricem ad Corpus, tanquam conatum & propenſio­nem totius in centrum ex propenſionibus omnium partium compoſi­tam; & vim acceleratricem ad Locum corporis, tanquam efficaciam quandam, de centro per loca ſingula in circuitu diffuſam, ad movenda corpora quæ in ipſis ſunt; vim autem abſolutam ad Centrum, tan­quam cauſa aliqua præditum, ſine qua vires motrices non propa­gantur per regiones in circuitu; ſive cauſa illa ſit corpus aliquod centrale (quale eſt Magnes in centro vis magneticæ, vel Terra in centro vis gravitantis) ſive alia aliqua quæ non apparet. Mathe­maticus duntaxat eſt hic conceptus. Nam virium cauſas & ſedes phy­ſicas jam non expendo.

Eſt igitur vis acceleratrix ad vim motricem ut celeritas ad mo­tum. Oritur enim quantitas motus ex celeritate ducta in quanti­tatem materiæ, & vis motrix ex vi acceleratrice ducta in quantita­tem ejuſdem materiæ. Nam ſumma actionum vis acceleratricis in ſingulas corporis particulas eſt vis motrix totius. Unde juxta ſuperficiem Terræ, ubi gravitas acceleratrix ſeu vis gravitans in corporibus univerſis eadem eſt, gravitas motrix ſeu pondus eſt ut corpus: at ſi in regiones aſcendatur ubi gravitas acceleratrix fit mi­nor, pondus pariter minuetur, eritque ſemper ut corpus in gravitatem acceleratricem ductum. Sic in regionibus ubi gravitas acceleratrix duplo minor eſt, pondus corporis duplo vel triplo minoris erit quadruplo vel ſextuplo minus.

Porro attractiones & impulſus eodem ſenſu acceleratrices & mo­trices nomino. Voces autem Attractionis, Impulſus, vel Propen­ſionis cujuſcunQ.E.I. centrum, indifferenter & pro ſe mutuo pro­miſcue uſurpo; has vires non Phyſice ſed Mathematice tantum con­ſiderando. Unde caveat lector, ne per hujuſmodi voces cogitet me ſpeciem vel modum actionis cauſamve aut rationem Phyſicam ali­cubi definire, vel centris (quæ ſunt puncta Mathematica) vires vere & Phyſice tribuere; ſi forte aut centra trahere, aut vires cen­trorum eſſe dixero.

Scholium.

Hactenus voces minus notas, quo ſenſu in ſequentibus acci­piendæ ſint, explicare viſum eſt. Nam Tempus, Spatium, Locum & Motum, ut omnibus notiſſima, non definio. Notandum tamen, quod vulgus quantitates haſce non aliter quam ex relatione ad ſenſibilia concipiat. Et inde oriuntur præjudicia quædam, quibus tollendis convenit eaſdem in abſolutas & relativas, veras & apparentes, ma­thematicas & vulgares diſtingui.

I. Tempus Abſolutum, verum, & mathematicum, in ſe & natura ſua abſque relatione ad externum quodvis, æquabiliter fluit, alioque nomine dicitur Duratio: Relativum, apparens, & vulgare eſt ſenſibilis & externa quævis Durationis per motum menſura (ſeu accurata ſeu inæquabilis) qua vulgus vice veri temporis utitur; ut Hora, Dies, Menſis, Annus.

II. Spatium Abſolutum, natura ſua abſque relatione ad externum quodvis, ſemper manet ſimilare & immobile: Relativum eſt ſpatii hujus menſura ſeu dimenſio quælibet mobilis, quæ a ſenſibus noſtris per ſitum ſuum ad corpora definitur, & a vulgo pro ſpatio immo­bili uſurpatur: uti dimenſio ſpatii ſubterranei, aerei vel cæleſtis definita per ſitum ſuum ad Terram. Idem ſunt ſpatium abſolutum & relativum, ſpecie & magnitudine; ſed non permanent idem ſem­per numero. Nam ſi Terra, verbi gratia, movetur; ſpatium Aeris noſtri, quod relative & reſpectu Terræ ſemper manet idem, nunc erit una pars ſpatii abſoluti in quam Aer tranſit, nunc alia pars ejus; & ſic abſolute mutabitur perpetuo.

III. Locus eſt pars ſpatii quam corpus occupat, eſtque pro ratione ſpatii vel Abſolutus vel Relativus. Pars, inquam, ſpatii; non Situs corporis, vel Superficies ambiens. Nam ſolidorum æqualium æquales ſemper ſunt loci; Superficies autem ob diſſimilitudinem figurarum ut plurimum inæquales ſunt; Situs vero proprie loquen­do quantitatem non habent, neque tam ſunt loca quam affectiones loeorum. Motus totius idem eſt cum ſumma motuum partium, hoc eſt, tranſlatio totius de ſuo loco eadem eſt cum ſumma tranſla­tionum partium de locis ſuis; adeoque locus totius idem cum ſumma loeorum partium, & propterea internus & in corpore toto.

IV. Motus Abſolutus eſt tranſlatio corporis de loco abſoluto in locum abſolutum, Relativus de relativo in relativum. Sic in navi quæ velis paſſis fertur, relativus corporis Locus eſt navigii regio illa in qua corpus verſatur, ſeu cavitatis totius pars illa quam corpus implet, quæque adeo movetur una cum navi: & Quies relativa eſt permanſio corporis in eadem illa navis regione vel parte cavita­tis. At quies Vera eſt permanſio corporis in eadem parte ſpatii illius immoti in qua navis ipſa una cum cavitate ſua & contentis univerſis movetur. Unde ſi Terra vere quieſcit, corpus quod rela­tive quieſcit in navi, movebitur vere & abſolute ea cum velocitate qua navis movetur in Terra. Sin Terra etiam movetur; orietur verus & abſolutus corporis motus, partim ex Terræ motu vero in ſpatio immoto, partim ex navis motu relativo in Terra: & ſi cor­pus etiam movetur relative in navi; orietur verus ejus motus, par­tim ex vero motu Terræ in ſpatio immoto, partim ex relativis mo­tibus tum navis in Terra, tum corporis in navi; & ex his motibus relativis orietur corporis motus relativus in Terra. Ut ſi Terræ pars illa, ubi navis verſatur, moveatur vere in orientem cum velocitate partium 10010; & velis ventoque feratur navis in occidentem cum velocitate partium decem; Nauta autem ambulet in navi ori-entem verſus cum velocitatis parte una: movebitur Nauta vere & abſolute in ſpatio immoto cum velocitatis partibus 10001 in o­rientem, & relative in terra occidentem verſus cum velocitatis partibus novem.

Tempus Abſolutum a relativo diſtinguitur in Aſtronomia per Æ­quationem temporis vulgi. Inæquales enim ſunt dies Naturales, qui vulgo tanquam æquales promenſura temporis habentur. Hanc inæqualitatem corrigunt Aſtronomi, ut ex veriore tempore motus cæleſtes. Poſſibile eſt, ut nullus ſit motus æquabilis quo Tempus accurate menſuretur. Accelerari & retardari poſſunt motus omnes, ſed fluxus temporis Abſoluti mutari nequit. Eadem eſt du­ratio ſeu perſeverantia exiſtentiæ rerum; ſive motus ſint celeres, ſive tardi, ſive nulli: proinde hæc a menſuris ſuis ſenſibilibus merito diſtinguitur, & ex iiſdem colligitur per Æquationem Aſtronomi­cam. Hujus autem æquationis in determinandis Phænomenis ne­ceſſitas, tum per experimentum Horologii Oſcillatorii, tum etiam per eclipſes Satellitum Jovis evincitur.

Ut partium Temporis ordo eſt immutabilis, ſic etiam ordo par­tium Spatii. Moveantur hæ de locis ſuis, & movebuntur (ut ita dicam) de ſeipſis. Nam tempora & ſpatia ſunt ſui ipſorum & rerum omnium quaſi Loca. In Tempore quoad ordinem ſucceſſi­onis; in Spatio quoad ordinem ſitus locantur univerſa. De illo­rum eſſentia eſt ut ſint Loca: & loca primaria moveri abſurdum eſt. Hæc ſunt igitur abſoluta Loca; & ſolæ tranſlationes de his lo­cis ſunt abſoluti Motus.

Verum quoniam hæ Spatii partes videri nequeunt, & ab invi­cem per ſenſus noſtros diſtingui; earum vice adhibemus menſuras ſenſibiles. Ex poſitionibus enim & diſtantiis rerum a corpore ali­quo, quod ſpectamus ut immobile, deſinimus loca univerſa: deinde etiam & omnes motus æſtimamus cum reſpectu ad prædicta loca, quatenus corpora ab iiſdem transferri concipimus. Sic vice loco­rum & motuum abſolutorum relativis utimur; nec incommode in rebus humanis: in Philoſophicis autem abſtrahendum eſt a ſenſibus. Fieri etenim poteſt, ut nullum revera quieſcat corpus, ad quod loca motuſque referantur.

Diſtinguuntur autem Quies & Motus abſoluti & relativi ab invi­cem per Proprietates ſuas & Cauſas & Effectus. Quietis proprietas eſt, quod corpora vere quieſcentia quieſcunt inter ſe. Ideoque cum poſſibile ſit, ut corpus aliquod in regionibus Fixarum, aut longe ultra, quieſcat abſolute; ſciri autem non poſſit ex ſitu corporum ad invicem in regionibus noſtris, horumne aliquod ad longin-

quum illud datam poſitionem ſervet necne; quies vera ex horum ſitu inter ſe definiri nequit.

Motus proprietas eſt, quod partes, quæ datas ſervant poſitiones ad tota, participant motus eorundem totorum. Nam Gyrantium partes omnes conantur recedere ab axe motus, & Progredientium impetus oritur ex conjuncto impetu partium ſingularum. Motis igitur corporibus ambientibus, moventur quæ in ambientibus rela­tive quieſcunt. Et propterea motus verus & abſolutus definiri ne­quit per tranſlationem e vicinia corporum, quæ tanquam quieſcen­tia ſpectantur. Debent enim corpora externa non ſolum tanquam qui­eſcentia ſpectari, ſed etiam vere quieſcere. Alioquin incluſa om­nia, præter tranſlationem e vicinia ambientium, participabunt etiam ambientium motus veros; & ſublata illa tranſlatione non vere quieſcent, ſed tanquam quieſcentia ſolummodo ſpectabun­tur. Sunt enim ambientia ad incluſa, ut totius pars exterior ad partem interiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto autem cor­tice, nucleus etiam, abſque tranſlatione de vicinia corticis, ceu pars totius movetur.

Præcedenti proprietati affinis eſt, quod moto Loco movetur una Locatum: adeoque corpus, quod de loco moto movetur, participat etiam loci ſui motum. Motus igitur omnes, qui de locis motis fiunt, ſunt partes ſolummodo motuum integrorum & abſolutorum: & motus omnis integer componitur ex motu corporis de loco ſuo primo, & motu loci hujus de loco ſuo, & ſic deinceps; uſQ.E.D.m perveniatur ad locum immotum, ut in exemplo Nautæ ſupra me­morato. Unde motus integri & abſoluti non niſi per loca immota definiri poſſunt: & propterea hos ad loca immota, relativos ad mo­bilia ſupra retuli. Loca autem immota non ſunt, niſi quæ omnia ab infinito in infinitum datas ſervant poſitiones ad invicem; atque adeo ſemper manent immota, ſpatiumque conſtituunt quod Immo­bile appello.

Cauſæ, quibus motus veri & relativi diſtinguuntur ab invicem, ſunt Vires in corpora impreſſæ ad motum generandum. Motus verus nec generatur nec mutatur, niſi per vires in ipſum corpus mo­tum impreſſas: at motus relativus generari & mutari poteſt abſque viribus impreſſis in hoc corpus. Sufficit enim ut imprimantur in alia ſolum corpora ad quæ fit relatio, ut iis cedentibus mutetur relatio illa in qua hujus quies vel motus relativus conſiſtit. Rur­ſum motus verus a viribus in corpus motum impreſſis ſemper muta­tur; at motus relativus ab his viribus non mutatur neceſſario. Nam ſi eædem vires in alia etiam corpora, ad quæ ſit relatio, ſic impri-mantur ut ſitus relativus conſervetur, conſervabitur relatio in qua motus relativus conſiſtit. Mutari igitur poteſt motus omnis relati­vus ubi verus conſervatur, & conſervari ubi verus mutatur; & prop­terea motus verus in ejuſmodi relationibus minime conſiſtit.

Effectus quibus motus abſoluti & relativi diſtinguuntur ab invi­cem, ſunt vires recedendi ab axe motus circularis. Nam in motu circulari nude relativo hæ vires nullæ ſunt, in vero autem & abſo­luto majores vel minores pro quantitate motus. Si pendeat ſitula a filo prælongo, agaturque perpetuo in orbem, donec filum a con­torſione admodum rigeſcat, dein impleatur aqua, & una cum aqua quieſcat; tum vi aliqua ſubitanea agatur motu contrario in orbem, & filo ſe relaxante, diutius perſeveret in hoc motu; ſuperficies a­quæ ſub initio plana erit, quemadmodum ante motum vaſis: at poſtquam, vi in aquam paulatim impreſſa, effecit vas, ut hæc quoque ſenſibiliter revolvi incipiat; recedet ipſa paulatim a medio, aſcen­detque ad latera vaſis, figuram concavam induens, (ut ipſe exper­tus ſum) & incitatiore ſemper motu aſcendet magis & magis, do­nec revolutiones in æqualibus cum vaſe temporibus peragendo, quieſcat in eodem relative. Indicat hic aſcenſus conatum rece­dendi ab axe motus, & per talem conatum innoteſcit & menſura­tur motus aquæ circularis verus & abſolutus, motuique relativo hic omnino contrarius. Initio, ubi maximus erat aquæ motus rela­tivus in vaſe, motus ille nullum excitabat conatum recedendi ab axe: aqua non petebat circumferentiam aſcendendo ad latera va­ſis, ſed plana manebat, & propterea motus illius circularis verus nondum inceperat. Poſtea vero, ubi aquæ motus relativus decre­vit, aſcenſus ejus ad latera vaſis indicabat conatum recedendi ab axe; atque hic conatus monſtrabat motum illius circularem verum perpetuo creſcentem, ac tandem maximum factum ubi aqua quie­ſcebat in vaſe relative. Igitur conatus iſte non pendet a tranſla­tione aquæ reſpectu corporum ambientium, & propterea motus cir­cularis verus per tales tranſlationes definiri nequit. Unicus eſt cor­poris cujuſque revolventis motus vere circularis, conatui unico tan­quam proprio & adæquato effectui reſpondens: motus autem rela­tivi pro variis relationibus ad externa innumeri ſunt; & relationum inſtar, effectibus veris omnino deſtituuntur, niſi quatenus verum illum & unicum motum participant. Unde & in Syſtemate eorum qui Cælos noſtros infra Cælos Fixarum in orbem revolvi volunt, & Planetas ſecum deferre; ſingulæ Cælorum partes, & Planetæ qui relative quidem in Cælis ſuis proximis quieſcunt, moven-tur vere. Mutant enim poſitiones ſuas ad invicem (ſecus quam fit in vere quieſcentibus) unaque cum cælis delati participant eorum motus, & ut partes revolventium totorum, ab eorum axibus rece­dere conantur.

NI­ES.

Igitur quantitates relativæ non ſunt eæ ipſæ quantitates, quarum nomina præ ſe ferunt, ſed earum menſuræ illæ ſenſibiles (veræ an errantes) quibus vulgus loco quantitatum menſuratarum utitur. At ſi ex uſu definiendæ ſunt verborum ſignificationes; per nomina il­la Temporis, Spatii, Loci & Motus proprie intelligendæ erunt hæ menſuræ; & ſermo erit inſolens & pure Mathematicus, ſi quantita­tes menſuratæ hic intelligantur. Proinde vim inferunt Sacris Literis, qui voces haſce de quantitatibus menſuratis ibi interpre­tantur. Neque minus contaminant Matheſin & Philoſophiam, qui quantitates veras cum ipſarum relationibus & vulgaribus men­furis confundunt.

Motus quidem veros corporum ſingulorum cognoſcere, & ab apparentibus actu diſcriminare, difficillimum. eſt propterea quod partes ſpatii illius immobilis, in quo corpora vere moventur, non incurrunt in ſenſus. Cauſa tamen non eſt prorſus deſperata. Nam ſuppetunt argumenta, partim ex motibus apparentibus qui ſunt motuum verorum differentiæ, partim ex viribus quæ ſunt mo­tuum verorum cauſæ & effectus. Ut ſi globi duo, ad datam ab in­vicem diſtantiam filo intercedente connexi, revolverentur circa commune gravitatis centrum; innoteſceret ex tenſione fili cona­tus globorum recedendi ab axe motus, & inde quantitas motus circularis computari poſſet. Deinde ſi vires quælibet æquales in alternas globorum facies ad motum circularem augendum vel mi­nuendum ſimul imprimerentur, innoteſceret ex aucta vel diminuta fili tenſione augmentum vel decrementum motus; & inde tandem inveniri poſſent facies globorum in quas vires imprimi deberent, ut motus maxime augeretur; id eſt, facies poſticæ, ſive quæ in mo­tu circulari ſequuntur. Cognitis autem faciebus quæ ſequuntur, & faciebus oppoſitis quæ præcedunt, cognoſceretur determinatio motus. In hunc modum inveniri poſſet & quantitas & determi­natio motus hujus circularis in vacuo quovis immenſo, ubi nihil extaret externum & ſenſibile quocum globi conferri poſſent. Si jam conſtituerentur in ſpatio illo corpora aliqua longinqua datam inter ſe poſitionem ſervantia, qualia ſunt Stellæ Fixæ in regionibus noſtris: ſciri quidem non poſſet ex relativa globorum tranſlatione inter corpora, utrum his an illis tribuendus eſſet motus. At ſi attenderetur ad filum, & deprenderetur tenſionem ejus illam ipſam eſſe quam motus globorum requireret; concludere liceret mo­tum eſſe globorum, & corpora quieſcere; & tum demum ex tranſlatione globorum inter corpora, determinationem hujus motus colligere. Motus autem veros ex eorum cauſis, effecti­bus, & apparentibus differentiis colligere; & contra ex motibus ſeu veris ſeu apparentibus eorum cauſas & effectus, docebitur fuſius in ſequentibus. Hunc enim in finem Tractatum ſequentem compoſui.

TA,

AXIOMATA, SIVE LEGES MOTUS.

LEX I.

Corpus omne perſeverare in ſtatu ſuo quieſcendi vel movendi uNI­formiter in directum, niſi quatenus a viribus impreſſis cogitur ſtatum illum mutare.

PRojectilia perſeverant in motibus ſuis, niſi quatenus a reſi­ſtentia aeris retardantur, & vi gravitatis impelluntur deorſum. Trochus, cujus partes cohærendo perpetuo retrahunt ſeſe a mo­tibus rectilineis, non ceſſat rotari, niſi quatenus ab aere retardatur. Majora autem Planetarum & Cometarum corpora motus ſuos & progreſſivos & circulares in ſpatiis minus reſiſtentibus factos con­ſervant diutius.

LEX II.

Mutationem motus proportionalem eſſe vi motrici impreſſæ, & fieri ſecundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Si vis aliqua motum quemvis generet; dupla duplum, tripla tri­plum generabit, ſive ſimul & ſemel, ſive gradatim & ſucceſſive im­preſſa fuerit. Et hic motus (quoniam in eandem ſemper plagam cum vi generatrice determinatur) ſi corpus antea movebatur, mo­tui ejus vel conſpiranti additur, vel contrario ſubducitur, vel obli­quo oblique adjicitur, & cum eo ſecundum utriuſQ.E.D.termina­tionem componitur.

LEX III.

Actioni contrariam ſemper & æqualem eſſe reactionem: ſive cor­porum duorum actiones in ſe mutuo ſemper eſſe æquales & in par­tes contrarias dirigi.

Quicquid premit vel trahit alterum, tantundem ab eo premitur vel trahitur. Si quis lapidem digito premit, premitur & hujus digitus a lapide. Si equus lapidem funi alligatum trahit, retrahe­tur etiam & equus (ut ita dicam) æqualiter in lapidem: nam funis utrinQ.E.D.ſtentus eodem relaxandi ſe conatu urgebit equum ver­ſus lapidem, ac lapidem verſus equum; tantumQ.E.I.pediet pro­greſſum unius quantum promovet progreſſum alterius. Si corpus aliquod in corpus aliud impingens, motum ejus vi ſua quomodo­cunque mutaverit, idem quoque viciſſim in motu proprio eandem mutationem in partem contrariam vi alterius ob æqualitatem preſ­ſionis mutuæ) ſubibit. His actionibus æquales fiunt mutationes, non velocitatum, ſed motuum; ſcilicet in corporibus non aliunde impeditis. Mutationes enim velocitatum, in contrarias itidem partes factæ, quia motus æqualiter mutantur, ſunt corporibus re­ciproce proportionales. Obtinet etiam hæc Lex in Attractionibus, ut in Scholio proximo probabitur.

COROLLARIUM I.

Corpus viribus conjunctis diagonalem parallelogrammi eodem tem­pore deſcribere, quo latera ſeparatis.

Si corpus dato tempore, vi ſola

Min loco Aimpreſſa, ferretur uNI­formi cum motu ab Aad B; & vi ſola Nin eodem loco impreſſa, fer­retur ab Aad C:compleatur pa­rallelogrammum ABDC,& vi utra­que feretur id eodem tempore in diagonali ab Aad D.Nam quo­niam vis Nagit ſecundum lineam ACipſi BDparallelam, hæc vis per Legem 11 nihil mutabit velocitatem accedendi ad lineam illam BDa vi altera genitam. Accedet igitur corpus eodem tempore ad lineam BD,ſive vis Nimprimatur, ſive non; atque adeo in fine illius tempo­ris reperietur alicubi in linea illa BD.Eodem argumento in fine tem­poris ejuſdem reperietur alicubi in linea CD,& idcirco in utriuſque lineæ concurſu Dreperiri neceſſe eſt. Perget autem motu rectili­neo ab Aad Dper Legem 1.

TA, E

COROLLARIUM II.

Et hinc patet compoſitio vis directæAD ex viribus quibuſvis obliquisAB &BD, & viciſſim reſolutio vis cujuſvis directæAD in obliquas quaſcunqueAB &BD. Quæ quidem compoſitio & reſolutio abunde confirmatur ex Mechanica.

Ut ſi de rotæ alicujus centro Oexeuntes radii inæquales OM, ONfilis MA, NPſuſtineant pondera A& P,& quærantur vi­res ponderum ad movendam rotam: Per centrum Oagatur recta KOLfilis perpendiculariter occurrens in K& L,centroque O& intervallorum OK, OLmajore OL

deſcribatur circulus occurrens filo MAin D:& actæ rectæ ODpa­rallela ſit AC,& perpendicularis DC.Quoniam nihil refert, utrum filorum puncta K, L, Daffixa ſint an non affixa ad planum rotæ; pon­dera idem valebunt, ac ſi ſuſpende­rentur a punctis K& Lvel D& L.Ponderis autem Aexponatur vis to­ta per lineam AD,& hæc reſolvetur in vires AC, CD,quarum ACtrahendo radium ODdirecte a cen­tro nihil valet ad movendam rotam; vis autem altera DC,trahen­do radium DOperpendiculariter, idem valet ac ſi perpendiculari­ter traheret radium OLipſi ODæqualem; hoc eſt, idem atque pondus P,ſi modo pondus illud ſit ad pondus Aut vis DCad vim DA,id eſt (ob ſimilia triangula ADC, DOK,) ut OKad ODſeu OL.Pondera igitur A& P,quæ ſunt reciproce ut radii in directum poſiti OK& OL,idem pollebunt, & ſic conſi­ſtent in æquilibrio: quæ eſt proprietas notiſſima Libræ, Vectis, & Axis in Peritrochio. Sin pondus alterutrum ſit majus quam in hac ratione, erit vis ejus ad movendam rotam tanto major.

Quod ſi pondus pponderi Pæquale partim ſuſpendatur filo Np,partim incumbat plano obliquo pG:agantur pH, NH,prior ho­rizonti, poſterior plano pGperpendicularis; & ſi vis ponderis pdeorſum tendens, exponatur per lineam pH,reſolvi poteſt hæc in vires pN, HN.Si filo pNperpendiculare eſſet planum aliquod pQ,ſecans planum alterum pGin linea ad horizontem paral­lela; & pondas phis planis pQ, pGſolummodo incumberet; ur-geret illud hæc plana viribus pN, HNperpendiculariter, nimirun planum pQvi pN,& planum pGvi HN.Ideoque ſi tollatur pla­num pQ,ut pondus tendat filum; quoniam filum ſuſtinendo pondus jam vicem præſtat plani ſublati, tendetur illud eadem vi pN,qua planum antea urgebatur. Unde tenſio fili hujus obliqui erit ad tenſionem ſili alterius perpendicularis PN,ut pNad pH.Id. eoque ſi pondus pſit ad pondus Ain ratione quæ componitur exratione reciproca minimarum diſtantiarum ſuorum ſuorum pN, AMa centro rotæ, & ratione directa pHad pN; pondera idem valebunt ad rotam movendam, atque adeo ſe mutuo ſuſtinebunt, ut quilibet experiri poteſt.

Pondus autem p,planis illis duobus obliquis incumbens, rationem habet cunei inter corporis fiſſi facies internas: & inde vires cunei & mallei innoteſcunt: utpote cum vis qua pondus purget planum pQſit ad vim, qua idem vel gravitate ſua vel ictu mallei impellitur ſecundum lineam pHin plano, &c. ut pNand pH; atque ad vim, qua urget planum alterum pG,ut pNad NH.Sed & vis Cochleæ per ſimilem virium diviſionem colligitur; quippe quæ cuneus eſt a ve­cte impulſus. Uſus igitur Corollarii hujus latiſſime patet, & late patendo veritatem ſuam evincit; cum pendeat ex jam dictis Mecha­nica tota ab Auctoribus diverſimode demonſtrata. Ex hiſce enim facile derivantur vires Machinarum, quæ ex Rotis, Tympanis, Trochleis, Vectibus, nervis tenſis & ponderibus directe vel obli­que aſcendentibus, cæteriſque potentiis Mechanicis componi ſo­lent, ut & vires Tendinum ad animalium oſſa movenda.

COROLLARIUM III.

Quantitas motus quæ colligitur capiendo ſummam motuum factorum ad eandem partem, & differentiam factorum ad contrarias, non mutatur ab actione corporum inter ſe.

Etenim actio eique contraria reactio æquales ſunt per Legem 111, adeoque per Legem 11 æquales in motibus efficiunt mutationes ver­ſus contrarias partes. Ergo ſi motus fiunt ad eandem partem; quic­quid additur motui corporis fugientis, ſubducetur motui corporis inſequentis ſic, ut ſumma maneat eadem quæ prius. Sin corpora ob­viam eant; æqualis erit ſubductio de motu utriuſque, adeoQ.E.D.ffe­rentia motuum factorum in contrarias partes manebit eadem.

Ut ſi corpus ſphæricum Aſit triplo majus corpore ſphærico B,ha­beatQ.E.D.as velocitatis partes; & Bſequatur in eadem recta cum ve-locitatis partibus decem, adeoque motus ipſius Aſit ad motum ipſius B,ut ſex ad decem: ponantur motus illis eſſe partium ſex & par­tium decem, & ſumma erit partium ſexdecim. In corporum igitur concurſu, ſi corpus Alucretur motus partes tres vel quatuor vel quinque, corpus Bamittet partes totidem, adeoque perget corpus Apoſt reflexionem cum partibus novem vel decem vel undecim, & Bcum partibus ſeptem vel ſex vel quinque, exiſtente ſemper ſum­ma partium ſexdecim ut prius. Si corpus Alucretur partes novem vel decem vel undecim vel duodecim, adeoque progrediatur poſt concurſum cum partibus quindecim vel ſexdecim vel ſeptendecim vel octodecim; corpus B,amittendo tot partes quot Alucratur, vel cum una parte progredietur amiſſis partibus novem, vel qui­eſcet amiſſo motu ſuo progreſſivo partium decem, vel cum una par­te regredietur amiſſo motu ſuo & (ut ita dicam) una parte amplius, vel regredietur cum partibus duabus ob detractum motum progreſ­ſivum partium duodecim. AtQ.E.I.a ſummæ motuum conſpirantium 15+1 vel 16+c, & differentiæ contrariorum 17-1 & 18-2 ſemper erunt partium ſexdecim, ut ante concurſum & reflexionem. CogNI­tis autem motibus quibuſcum corpora poſt reflexionem pergent, in­venietur cujuſque velocitas, ponendo eam eſſe ad velocitatem ante reflexionem, ut motus poſt eſt ad motum ante. Ut in caſu ultimo, ubi corporis Amotus erat partium ſex ante reflexionem & partium octo­decim poſtea, & velocitas partium duarum ante reflexionem; in­venietur ejus velocitas partium ſex poſt reflexionem, dicendo, ut motus partes ſex ante reflexionem ad motus partes octodecim poſt­ea, ita velocitatis partes duæ ante reflexionem ad velocitatis partes ſex poſtea.

TA,

Quod ſi corpora vel non Sphærica vel diverſis in rectis moventia incidant in ſe mutuo oblique, & requirantur eorum motus poſt refle­xionem; cognoſcendus eſt ſitus plani a quo corpora concurrentia tan­guntur in puncto concurſus: dein corporis utriuſque motus (per Corol.11.) diſtinguendus eſt in duos, unum huic plano perpendicu­larem, alterum eidem parallelum: motus autem paralleli, propter­ea quod corpora agant in ſe invicem ſecundum lineam huic plano perpendicularem, retinendi ſunt iidem poſt reflexionem atque an­tea; & motibus perpendicularibus mutationes æquales in partes con­trarias tribuendæ ſunt ſic, ut ſumma conſpirantium & differentia contrariorum maneat eadem quæ prius. Ex hujuſmodi reflexio­nibus oriri etiam ſolent motus circulares corporum circa centra pro­pria. Sed hos caſus in ſequentibus non conſidero, & nimis longum eſſet omnia huc ſpectantia demonſtrare. COROLLARIUM IV.

Commune gravitas Centrum, corporum duorum vel plurimum, ab actio­nibus corporum inter ſe non mutat ſtatum ſuum vel motus vel quie­tis; & propterea corporum omnium in ſ mutuo agentium (excluſisactionibus & impedimentis externis) commune Centrum gravitatisvel quieſcit vel movetur uniformiter in directum.

Nam ſi puncta duo progrediantur uniformi cum motu in lineisrectis, & diſtantia eorum dividatur in ratione data, punctum divi­dens vel quieſcit vel progreditur uniformiter in linea recta. Hocpoſtea in Lemmate XXIII demonſtratur, ſi corpora quotcunque moventur uNI­formiter in lineis rectis, commune centrum gravitatis duorum quo­rumvis vel quieſcit vel progreditur uniformiter in linea recta; propterea quod linea, horum corporum centra in recta uniformiterprogredientia jungens, dividitur ab hoc centro communis corporum duo­rum & centri communis tertii in data ratione. Eodem modo &commune centrum horum trium & quarti cujuſvis vel quieſcit velprogreditur uniformiter in linea recta; propterea quod ab eo divi­ditur diſtantia inter centrum commune trium & centrum quarti indata ratione, & ſic in infinitum. Igitur in ſyſtemate corporum quæactionibus in ſe invicem aliiſque omnibus in ſe extrinſecus impreſ­ſis omnino vacant, adeoque moventur ſingula uniformiter in rectisſingulis, commune omnium centrum gravitatis vel quieſcit vel mo­vetur uniformiter in directum.

Porro in ſyſtemate duorum corporum in ſe invicem agentium,cum distantiæ centrorum utriusque a communi gravitatis centro ſintreciproce ut corpora; erunt motus relativi corporum eorundem, velaccedendi ad centrum illud vel ab eodem recedendi, æqualibus mutationibus inpartes contrarias factis, atque adeo ab actionibus horum corpo­rum inter ſe, nec promovetur nec retardatur nec mutationem pa­titur in ſtatu ſuo quoad motum vel quietem. In ſyſtemate autemcorporum plurimum, quoniam duorum quorumvis in ſe mutuo agen­tium commune gravitatis centrum ob actionem illam nullatenusmutat ſtatum ſuum; & reliquorum, quibuſcum actio illa non in­tercedit, commune gravitatis centrum nihil inde patitur; diſtantia autem horum duorum centrorum dividitur a communi corporum omnium centro in partes ſummis totalibus corporum quorum ſunt centra reciproce proportionales; adeoque centris illis duobus ſtatum ſuum movendi vel quieſcendi ſervantibus, commune omNI­um centrum ſervat etiam ſtatum ſuum: manifeſtum eſt quod com­mune illud omnium centrum ob actiones binorum corporum inter ſe nunquam mutat ſtatum ſuum quoad motum & quietem. In tali autem ſyſtemate actiones omnes corporum inter ſe, vel inter bina ſunt corpora, vel ab actionibus inter bina compoſitæ; & propterea communi omnium centro mutationem in ſtatu motus ejus vel quie­tis nunquam inducunt. Quare cum centrum illud ubi corpora non agunt in ſe invicem, vel quieſcit, vel in recta aliqua progreditur uNI­formiter; perget idem, non obſtantibus corporum actionibus inter ſe, vel ſemper quieſcere, vel ſemper progredi uniformiter in dire­ctum; niſi a viribus in ſyſtema extrinſecus impreſſis deturbetur de hoc ſtatu. Eſt igitur ſyſtematis corporum plurium Lex eadem quæ cor­poris ſolitarii, quoad perſeverantiam in ſtatu motus vel quietis. Mo­tus enim progreſſivus ſeu corporis ſolitarii ſeu ſyſtematis corporum ex motu centri gravitatis æſtimari ſemper debet.

IATA, VF.

COROLLARIUM V.

Corporum dato ſpatio incluſorum iidem ſunt motus inter ſe, ſive ſpa­tium illud quieſcat, ſive moveatur idem uniformiter in directum abſque motu circulari.

Nam differentiæ motuum tendentium ad eandem partem, & ſum­mæ tendentium ad contrarias, eædem ſunt ſub initio in utroque caſu (ex hypotheſi) & ex his ſummis vel differentiis oriuntur congreſſus & im­petus quibus corpora ſe mutuo feriunt. Ergo per Legem 11 æquales e­runt congreſſuum effectus in utroque caſu; & propterea manebunt mo­tus inter ſe in uno caſu æquales motibus inter ſe in altero. Idem com­probatur experimento luculento. Motus omnes eodem modo ſe ha­bent in Navi, ſive ea quieſcat, ſive moveatur uniformiter in directum.

COROLLARIUM VI.

Si corpora moveantur quomodocunque inter ſe, & a viribus acceler atrici­bus æqualibus ſecundum lineas parallelas urgeantur; pergent omnia eodem modo moveri inter ſe, ac ſi viribus illis non eſſent incitata.

Nam vires illæ æqualiter (pro quantitatibus movendorum corpo-rum) & ſecundum lineas parallelas agendo, corpora omnia æquali­ter (quoad velocitatem) movebunt per Legem 11. adeoque nunquam mutabunt poſitiones & motus eorum inter ſe.

Scholium.

Hactenus principia tradidi a Mathematicis recepta & experien­tia multiplici confirmata. Per Leges duas primas & Corollaria duo prima Galilæusinvenit deſcenſum Gravium eſſe in duplicata ratione temporis, & motum Projectilium fieri in Parabola; conſpirante ex­perientia, niſi quatenus motus illi per aeris reſiſtentiam aliquantu­lum retardantur. Ab iiſdem Legibus & Corollariis pendent de­monſtrata de temporibus oſcillantium Pendulorum, ſuffragante Ho­rologiorum experientia quotidiana. Ex his iiſdem & Lege tertia Chriſtophorus WrennusEques Auratus, Jobannes Walliſius S.T.D.& Chriſtianus Hugenius,hujus ætatis Geometrarum facile prin­cipes, regulas congreſſuum & reflexionum duorum corporum ſe­orſim invenerunt, & eodem fere tempore cum Societate Regiacommunicarunt, inter ſe (quoad has leges) omnino conſpirantes: & primus quidem Walliſius,deinde Wrennus& Hugeniusinven­tum prodiderunt. Sed & veritas comprobata eſt a Wrennoco­ram Regia Societateper experimentum Pendulorum: quod etiam Clariſſimus Mariottuslibro integro exponere mox dignatus eſt. Ve­rum, ut hoc experimentum cum Theoriis ad amuſſim congruat, ha­benda eſt ratio cum reſiſtentiæ aeris, tum etiam vis Elaſticæ con­currentium corporum. Pendeant corpora A, Bfilis parallelis & æqualibus AC, BD,a centris C, D.His centris & intervallis de­ſcribantur ſemicirculi EAF, GBHradiis CA, DBbiſecti. Tra­hatur corpus Aad arcus EAFpunctum quodvis R,& (ſubducto corpore B) demittatur inde, redeatque poſt unam oſcillationem ad punctum V.Eſt RVre­

tardatio ex reſiſtentia aeris. Hujus RVfiat STpars quar­ta ſita in medio, ita ſcilicet ut RS& TVæquentur, ſit­que RSad STut 3 ad 2. Et iſta STexhibebit retarda­tionem in deſcenſu ab Sad Aquam proxime. Reſtituatur corpus Bin locum ſuum. Cadat corpus Ade puncto S,& velo­citas ejus in loco reflexionis A,abſque errore ſenſibili, tanta erit ae ſi in vacuo cecidiſſet de loco T.Exponatur igitur hæc velocitas per chordam arcus TA.Nam velocitatem Penduli in puncto in­fimo eſſe ut chordam arcus quem cadendo deſcripſit, Propoſitio eſt eſt Geometris notiſſima. Poſt reflexionem perveniat corpus Aad locum s,& corpus Bad locum k.Tollatur corpus B& invenia­tur locus v; a quo ſi corpus Ademittatur & poſt unam oſcillatio­nem redeat ad locum r,ſit stpars quarta ipſius rvſita in medio, ita videlicet ut rs& tuæquentur; & per chordam arcus tAex­ponatur velocitas quam corpus Aproxime poſt reflexionem habuit in loco A.Nam terit locus ille verus & correctus, ad quem cor­pus A,ſublata aeris reſiſtentia, aſcendere debuiſſet: Simili me­thodo corrigendus erit locus k,ad quem corpus Baſcendit, & in­veniendus locus l,ad quem corpus illud aſcendere debuiſſet in va­cuo. Hoc pacto experiri licet omnia perinde ac ſi in vacuo con­ſtituti eſſemus. Tandem ducendum erit corpus Ain chordam ar­cus TA(quæ velocitatem ejus exhibet) ut habeatur motus ejus in loco Aproxime ante reflexionem; deinde in chordam arcus tA,ut habeatur motus ejus in loco Aproxime poſt reflexionem. Et ſic corpus Bducendum erit in chordam arcus Bb,ut habeatur motus ejus proxime poſt reflexionem. Et ſimili methodo, ubi corpora duo ſimul demittuntur de locis diverſis, inveniendi ſunt motus utriuſque tam ante, quam poſt reflexionem; & tum demum conferendi ſunt motus inter ſe & colligendi effectus reflexionis. Hoc modo in Pendulis pedum decem rem tentando, idQ.E.I. corporibus tam inæqualibus quam æqualibus, & faciendo ut corpora de intervallis ampliſſimis, puta pedum octo vel duodecim vel ſexdecim, concurre­rent; reperi ſemper ſine errore trium digitorum in menſuris, ubi corpora ſibi mutuo directe occurrebant, quod æquales erant muta­tiones motuum corporibus in partes contrarias illatæ, atque adeo quod actio & reactio ſemper
erant æquales. Ut ſi corpus Aincidebat in corpus Bcum novem partibus motus, & a­miſſis ſeptem partibus perge­bat poſt reflexionem cum du­abus; corpus Breſiliebat cum partibus iſtis ſeptem. Si cor­pora obviam ibant Acum duodecim partibus & Bcum ſex, & redibat Acum duabus; redi­bat Bcum octo, facta detractione partium quatuordecim utrin­que. De motu ipſius Aſubducantur partes duodecim, & reſtabit nihil: ſubducantur aliæ partes duæ, & fiet motus duarum partium in plagam contrariam: & ſic de motu corporis Bpartium ſex ſub­ducendo partes quatuordecim, fient partes octo in plagam contra­riam. Quod ſi corpora ibant ad eandam plagam, Avelocius cum partibus quatuordecim, & Btardius cum partibus quinque, & poſt reflexionem pergebat Acum quinque partibus; pergebat Bcum qua­tuordecim, facta tranſlatione partium novem de Ain B.Et ſic in reliquis. A congreſſu & colliſione corporum nunquam muta­batur quantitas motus, quæ ex ſumma motuum conſpirantium & differentia contrariorum colligebatur. Nam errorem digiti unius & alterius in menſuris tribuerim difficultati peragendi ſingula ſatis accurate. Difficile erat, tum pendula ſimul demittere fic, ut corpora in ſe mutuo impingerent in loco infimo AB; tum loca s, knotare, ad quæ corpora aſcendebant poſt concurſum. Sed & in ipſis pilis inæqualis partium denſitas, & textura aliis de cauſis irre­gularis, errores inducebant.

LEGESMOTUS

Porro nequis objiciat Regulam, ad quam probandam inventum eſt hoc experimentum, præſupponere corpora vel abſolute dura eſſe, vel ſaltem perfecte elaſtica, cujuſmodi nulla reperiuntur in compoſitionibus naturalibus; addo quod Experimenta jam deſcrip­ta ſuccedunt in corporibus mollibus æque ac in duris, nimirum a conditione duritiei neutiquam pendentia. Nam ſi Regula illa in corporibus non perfecte duris tentanda eſt, debebit ſolummodo reflexio minui in certa proportione pro quantitate vis Elaſticæ. In Theoria Wrenni& Hugeniicorpora abſolute dura redeunt ab invi­cem cum velocitate congreſſus. Certius id affirmabitur de perfecte Elaſticis. In imperfecte Elaſticis velocitas reditus minuenda eſt ſi­mul cum vi Elaſtica; propterea quod vis illa; (niſi ubi partes cor­porum ex congreſſu læduntur, vel extenſionem aliqualem quaſi ſub malleo patiuntur,) certa ac determinata ſit (quantum ſentio) faci­atque corpora redire ab invicem cum velocitate relativa, quæ ſit ad relativam velocitatem concurſus in data ratione. Id in pilis ex lana arcte conglomerata & fortiter conſtricta ſic tentavi. Primum demit­tendo Pendula & menſurando reflexionem, inveni quantitatem vis Elaſticæ; deinde per hanc vim determinavi reflexiones in aliis ca­ſibus concurſuum, & reſpondebant Experimenta. Redibant ſemper pilæ ab invicem cum velocitate relativa, quæ eſſet ad velocitatem relativam concurſus ut 5 ad 9 circiter. Eadem fere cum velocitate redibant pilæ ex chalybe: aliæ ex ſubere cum paulo minore: in vi­treis autem proportio erat 15 ad 16 circiter. Atque hoc pacto Lex tertia quoad ictus & reflexiones per Theoriam comprobata eſt, quæ cum experientia plane congruit.

AXIOMATA SIVE

In Attractionibus rem ſic breviter oſtendo. Corporibus duobus quibuſvis A, Bſe mutuo trahentibus, concipe obſtaculum quodvis interponi quo congreſſus eorum impediatur. Si corpus alterutrum Amagis trahitur verſus corpus alterum B,quam illud alterum Bin prius A,obſtaculum magis urgebitur preſſione corporis Aquam preſſione corporis B; proindeque non manebit in æquilibrio. Præ­valebit preſſio fortior, facietque ut ſyſtema corporum duorum & obſtaculi moveatur in directum in partes verſus B,motuQ.E.I. ſpatiis liberis ſemper accelerato abeat in infinitum. Quod eſt abſurdum & Legi primæ contrarium. Nam per Legem primam debebit ſyſtema perſeverare in ſtatu ſuo quieſcendi vel movendi uniformiter in di­rectum, proindeque corpora æqualiter urgebunt obſtaculum, & id­circo æqualiter trahentur in invicem. Tentavi hoc in Magnete & Ferro. Si hæc in vaſculis propriis ſeſe contingentibus ſeorſim po­ſita, in aqua ſtagnante juxta fluitent; neutrum propellet alterum, ſed æqualitate attractionis utrinque ſuſtinebunt conatus in ſe mu­tuos, ac tandem in æquilibrio conſtituta quieſcent.

Sic etiam gravitas inter Terram & ejus partes, mutua eſt. Se­cetur Terra FIplano quovis EGin partes duas EGF& EGI:& æqualia erunt harum pondera in ſe mu­

tuo. Nam ſi plano alio HKquod priori EGparallelum ſit, pars major EGIſe­cetur in partes duas EGKH& HKI,quarum HKIæqualis ſit parti prius ab­ſciſſæ EFG:manifeſtum eſt quod pars media EGKHpondere proprio in neu­tram partium extremarum propendebit, ſed inter utramQ.E.I. æquilibrio, ut ita dicam, ſuſpendetur, & quieſcet. Pars autem extrema HKItoto ſuo pondere incumbet in partem mediam, & urgebit illam in partem alteram extremam EGF; ideoque vis qua partium HKI& EGKHſumma EGItendit verſus partem tertiam EGF,æqualis eſt ponderi partis HKI,id eſt ponderi partis ter­tiæ EGF.Et propterea pondera partium duarum EGI, EGFin ſe mutuo ſunt æqualia, uti volui oſtendere. Et niſi pondera illa æqualia eſſent, Terra tota in libero æthere fluitans ponderi majori cederet, & ab eo fugiendo abiret in infinitum.

Ut corpora in concurſu & reflexione idem pollent, quorum ve­locitates ſunt reciproce ut vires inſitæ: ſic in movendis Inſtru­mentis Mechanicis agentia idem pollent & conatibus contrariis ſe mutuo ſuſtinent, quorum velocitates ſecundum determinationem virium æſtimatæ, ſunt reciproce ut vires. Sie pondera æquipollent ad movenda brachia Libræ, quæ oſcillante Libra ſunt reciproce ut eorum velocitates ſurſum & deorſum: hoc eſt, pondera, ſi recta aſcendunt & deſcendunt, æquipollent, quæ ſunt reciproce ut pun­ctorum a quibus ſuſpenduntur diſtantiæ ab axe Libræ; ſin planis obliquis aliiſve admotis obſtaculis impedita aſcendunt vel deſcen­dunt oblique, æquipollent quæ ſunt reciproce ut aſcenſus & deſcen­ſus, quatenus facti ſecundum perpendiculum: id adeo ob determi­nationem gravitatis deorſum. Similiter in Trochlea ſeu Polyſpaſto vis manus funem directe trahentis, quæ ſit ad pondus vel directe vel oblique aſcendens ut velocitas aſcenſus perpendicularis ad ve­locitatem manus funem trahentis, ſuſtinebit pondus. In Horolo­giis & ſimilibus inſtrumentis, quæ ex rotulis commiſſis conſtructa ſunt, vires contrariæ ad motum rotularum promovendum & impe­diendum, ſi ſunt reciproce ut velocitates partium rotularum in quas imprimuntur, ſuſtinebunt ſe mutuo. Vis Cochleæ ad premendum corpus eſt ad vim manus manubrium circumagentis, ut circularis velocitas manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem progreſſivam cochleæ verſus corpus preſſum. Vires quibus Cu­neus urget partes duas ligni fiſſi ſunt ad vim mallei in cuneum, ut progreſſus cunei ſecundum determinationem vis a malleo in ipſum impreſſæ, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, ſecundum lineas faciebus cunei perpendiculares. Et par eſt ratio Machina­rum omnium.

Harum efficacia & uſus in eo ſolo conſiſtit, ut diminuendo velo­citatem augeamus vim, & contra: Unde ſolvitur in omni aptorum inſtrumentorum genere Problema, Datum pondus data vi moven­di,aliamve datam reſiſtentiam vi data ſuperandi. Nam ſi Ma­chinæ ita formentur, ut velocitates Agentis & Reſiſtentis ſine reci­proce ut vires; Agens reſiſtentiam ſuſtinebit: & majori cum veloci­tatum diſparitate eandem vincet. Certe ſi tanta ſic velocitatum diſparitas, ut vincatur etiam reſiſtentia omnis, quæ tam ex conti­guorum & inter ſe labentium corporum attritione, quam ex con­tinuorum & ab invicem ſeparandorum cohæſione & elevandorum ponderibus orirj ſolet; ſuperata omni ea reſiſtentia, vis redun­dans accelerationem motus ſibi proportionalem, partim in parti­bus machinæ, partim in corpore reſiſtente producet. Ceterum Mechanicam tractare non eſt hujus inſtituti. Hiſce volui tan­tum oſtendere, quam late pateat quamque certa ſit Lex tertia Motus. Nam ſi æſtimetur Agentis actio ex ejus vi & veloci-

tate conjunctim; & ſimiliter Reſiſtentis reactio æſtimetur conjun­ctim ex ejus partium ſingularum velocitatibus & viribus reſiſtendi ab earum attritione, cohæſione, pondere, & acceleratione ori­undis; erunt actio & reactio, in omni inſtrumentorum uſu, ſibi invicem ſemper æquales. Et quatenus actio propagatur per inſtrumentum & ultimo imprimitur in corpus omne reſiſtens, ejus ultima determinatio determinationi reactionis ſemper erit contraria.

DE MOTU CORPORUM

DE MOTU CORPORUM LIBER PRIMUS.

SECTIO I.

De Methodo Rationum primarum & ultimarum, cujus ope ſequentia demonſtrantur.

LEMMA I.

QUantitates, ut & quantitatum rationes, quæ ad æqualitatem tempore quovis finito conſtanter tendunt, & ante finem tempo­ris illius propius ad invicem accedunt quam pro data quavis diffe­tia, fiunt ultimo æquales.

Si negas; fiant ultimò inequales, & ſit earum ultima differentia D.Ergo nequeunt propius ad æqualitatem accedere quam pro data differentia D:contra hypotheſin.

LEMMA II.

Si in Figura quavisAacE, rectisAa, AE & curvaacE com prehenſa, inſcribantur parallelogramma quotcunqueAb, Bc, Cd &c. ſub baſibusAB, BC, CD, &c. æqualibus, & lateribuſBb, Cc, Dd, &c. Figuræ lateriAa pa­rallelis contenta; & compleantur paral-

lelogrammaaKbl, bLcm, cMdn, &c. Dein horum parallelogrammorum lati­tudo minuatur, & numerus augeatur in infinitum: dico quod ultimæ rationes, quas habent ad ſe invicem Figura in­ſcriptaAKbLcMdD, circumſcriptaAalbmcndoE, & curvilineaAbcdE, ſunt rationes æqualitatis.

Nam Figuræ inſcriptæ & circumſcriptæ differentia eſt ſumma pa­rallelogrammorum Kl, Lm, Mn, Do,hoc eſt (ob æquales om­nium baſes) rectangulum ſub unius baſi Kb& altitudinum ſumma Aa,id eſt, rectangulum ABla.Sed hoc rectangulum, eo quod latitudo ejus ABin infinitum minuitur, fit minus quovis dato. Er­go (per Lemma 1) Figura inſcripta & circumſcripta & multo magis Figura curvilinea intermedia fiunt ultimo æquales. Q.E.D.

LEMMA III.

Eædem rationes ultimæ ſunt etiam rationes æqualitatis, ubi paral­lelogrammorum latitudinesAB, BC, CD, &c. ſunt inæquales, & omnes minuuntur in infinitum.

Sit enim AFæqualis latitudini maximæ, & compleatur paralle­logrammum FAaf.Hoc erit majus quam differentia Figuræ in­ſcriptæ & Figuræ circumſcriptæ; at latitudine ſua AFin infinitum diminuta, minus fiet quam datum quodvis rectangulum. que E. D.

Corol.1. Hinc ſumma ultima parallelogrammorum evaneſcentium coincidit omni ex parte cum Figura curvilinea.

Corol.2. Et multo magis Figura rectilinea, quæ chordis evaneſ-centium arcuum ab, bc, cd, &c.comprehenditur, coincidit ultimo cum Figura curvilinea.

DE MOTU CORPORUM

Corol.3. Ut & Figura rectilinea circumſcripta quæ tangentibus eorundem arcuum comprehenditur.

Corol.4. Et propterea hæ Figuræ ultimæ (quoad perimetros acE,) non ſunt rectilineæ, ſed rectilinearum limites curvilinei.

LEMMA IV.

Si in duabus FigurisAacE, PprT, inſcribantur (ut ſupra) duæ parallelogrammorum ſeries, ſitQ.E.I.em amborum numerus, & ubi latitudines in infinitum diminuuntur, rationes ultimæ parallelo­grammorum in una Figura ad parallelogramma in altera, ſingulorum ad fingula, ſint eædem; dico quod Figuræ duæAacE, PprT, ſunt ad invicem in eadem illa ratione.

Etenim ut ſunt parallelogramma ſingula ad ſingula, ita (compo­nendo) fit ſumma omnium ad ſummam omnium, & ita Figura ad Figuram; exiſtente nimirum Figura priore (per Lemma 111) ad ſum­mam priorem, & Figura poſteriore ad ſummam poſteriorem in ra­tione æqualitatis. que E. D.

Corol.Hinc ſi duæ cujuſcunque generis quantitates in eundem partium numerum utcunQ.E.D.vidantur; & partes illæ, ubi numerus earum augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, datam obti­neant rationem ad invicem, prima ad primam, ſecunda ad ſecundam, cæteræque ſuo ordine ad cæteras: erunt tota ad invicem in eadem illa data ratione. Nam ſi in Lemmatis hujus Figuris ſumantur pa-rallelogramma inter ſe ut partes, ſummæ partium ſemper erunt ut ſummæ parallelogrammorum; atque adeo, ubi partium & paralle­logrammorum numerus augetur & magnitudo diminuitur in infiNI­tum, in ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum, id eſt (per hypotheſin) in ultima ratione partis ad partem.

LEMMA V.

Similium Figurarum latera omnia, quæ ſibi mutuo reſpondent, ſunt proportionalia, tam curvilinea quam rectilinea; & areæ ſunt in duplicata ratione laterum.

LEMMA VI.

Si arcus quilibet poſitione datusAB ſub-

tendatur chordaAB, & in puncto aliquoA, in medio curvaturæ continuæ, tangatur a recta utrinque productaAD; dein punctaA, B ad invicem accedant & coëant; dico quod angulusBAD, ſub chorda & tangente conten­tus, minuetur in infinitum & ultimo e­vaneſcet.

Nam ſi angulus ille non evaneſcit, continebit arcus ABcum tan­gente ADangulum rectilineo æqualem, & propterea curvatura ad ad punctum Anon erit continua, contra hypotheſin.

LEMMA VII.

Iiſdem poſitis; dico quod ultima ratio arcus, chordæ, & tangentis ad invicem est ratio æqualitatis.

Nam dum punctum Bad punctum Aaccedit, intelligantur ſemper AB& ADad puncta longinqua bac dproduci, & ſecanti BDparallela agatur bd.Sitque arcus Abſemper ſimilis arcui AB.Et punctis A, Bcoeuntibus, angulus dAb,per Lemma ſuperius, evaneſcet; adeoque rectæ ſemper ſinitæ Ab, Ad& arcus interme­dius Abcoincident, & propterea æquales erunt. Unde & hiſce ſemper proportionales rectæ AB, AD,& arcus intermedius ABevaneſcent, & rationem ultimam habebunt æqualitatis. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Unde ſi per Bducatur tangenti parallela BF,rectam quamvis AFper Atranſe­

untem perpetuo ſecans in F,hæc BFultimo ad arcum e­vaneſcentem ABrationem habebit æqualitatis, eo quod completo parallelogrammo AFBDrationem ſemper habet æqua­litatis ad AD.

Corol.2. Et ſi per B& Aducantur plures rectæ BE, BD, AF, AG,ſecantes tangentem AD& ipſius parallelam BF; ratio ulti­ma abſciſſarum omnium AD, AE, BF, BG,chordæque & ar­cus ABad invicem erit ratio æqualitatis.

Corol.3. Et propterea hæ omnes lineæ, in omni de rationibus ul­timis argumentatione, pro ſe invicem uſurpari poſſunt.

LEMMA VIII.

Si rectæ datæAR, BR cum arcuAB, chordaAB & tangenteAD, triangula triaARB, ARB, ARD conſtituunt, dein punctaA, B accedunt ad invicem: dico quod ultima forma triangulorum evaneſcentium est ſimilitudinis, & ultima ratio æqualitatis.

Nam dum punctum Bad punctum A

accedit, intelligantur ſemper AB, AD, ARad puncta longinqua b, d& rproduci, ipſique RDparallela agi rbd,& arcui ABſimilis ſemper ſit arcus Ab.Et coe­untibus punctis A, B,angulus bAdeva­neſcet, & propterea triangula tria ſemper finita rAb, rAb, rAdcoincident, ſunt­que eo nomine ſimilia & æqualia. Unde & hiſce ſemper ſimilia & proportionalia RAB, RAB, RADſient ultimo ſibi invicem ſimilia & æqualia. que E. D.

Corol.Et hinc triangula illa, in omni de rationibus ultimis argu­mentatione, pro ſe invicem uſurpari poſſunt.

LEMMA IX.

Si rectaAE & curvaABC poſitione datæ ſe mutuo ſecent in angulo datoA, & ad rectam illam in alio dato angulo ordina­tim applicenturBD, CE, curvæ occurrentes inB, C; dein punctaB, C ſimul accedant ad punctumA: dico quod areæ tri­angulorumABD, ACE erunt ultimo ad invicem in duplicata ratione laterum.

Etenim dum puncta B, Cacce­

dunt ad punctum A,intelligatur ſemper ADproduci ad puncta lon­ginqua d& e,ut ſint Ad, Aeip­ſis AD, AEproportionales, & e­rigantur ordinatæ db, ecordina­tis DB, ECparallelæ quæ occur­rant ipſis AB, ACproductis in b& c.Duci intelligatur, tum curva Abcipſi ABCſimilis, tum recta Ag,quæ tangat curvam utramque in A,& ſecet ordinatim applica­tas DB, EC, db, ecin F, G, f, g.Tum manente longitudine Aecoeant puncta B, Ccum puncto A; & angulo cAgevaneſcente, coincident areæ curvilineæ Abd, Acecum rectilineis Afd, Age:adeoque (per Lemma v) erunt in dupli­cata ratione laterum Ad, Ae:Sed his areis proportionales ſemper ſunt areæ ABD, ACE,& his lateribus latera AD, AE.Ergo & areæ ABD, ACEſunt ultimo in duplicata ratione laterum AD, AE. que E. D.

LEMMA X.

Spatia quæ corpus urgente quacunque Vi finita deſcribit, five Vis illa determinata & immutabilis ſit, five eadem continuo auge­atur vel continuo diminuatur, ſunt ipſo motus initio in duplica­ta ratione Temporum.

Exponantur tempora per lineas AD, AE,& velocitates genitæ per ordinatas DB, EC; & ſpatia his velocitatibus deſcripta, erunt ut areæ ABD, ACEhis ordinatis deſcriptæ, hoc eſt, ipſo motus initio (per Lemma IX) in duplicata ratione temporum AD, AE. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Et hinc facile colligitur, quod corporum ſimiles ſimi­lium Figurarum partes temporibus proportionalibus deſcribentium Errores, qui viribus quibuſvis æqualibus ad corpora ſimiliter ap­plicatis generantur, & menſurantur per diſtantias corporum a Fi­gurarum ſimilium locis illis ad quæ corpora eadem temporibus iiſ­dem proportionalibus abſque viribus iſtis pervenirent, ſunt ut qua­drata temporum in quibus generantur quam proxime.

Corol.2. Errores autem qui viribus proportionalibus ad ſimiles Figurarum ſimilium partes ſimiliter applicatis generantur, ſunt ut vires & quadrata temporum conjunctim.

Corol.3. Idem intelligendum eſt de ſpatiis quibuſvis quæ corpo­ra urgentibus diverſis viribus deſcribunt. Hæc ſunt, ipſo motus iNI­tio, ut vires & quadrata temporum conjunctim.

Corol.4. Ideoque vires ſunt ut ſpatia, ipſo motus initio, deſcripta directe & quadrata temporum inverſe.

Corol.5. Et quadrata temporum ſunt ut deſcripta ſpatia directe & vires inverſe.

Scholium.

Si quantitates indeterminatæ diverſorum generum conferantur inter ſe, & earum aliqua dicatur eſſe ut eſt alia quævis directe vel inverſe: ſenſus eſt, quod prior augetur vel diminuitur in eadem ratione cum poſteriore, vel cum ejus reciproca. Et ſi earum aliqua dicatur eſſe ut ſunt aliæ duæ vel plures directe vel inverſe: ſenſus eſt, quod prima augetur vel diminuitur in ratione quæ componitur ex rationibus in quibus aliæ vel aliarum reciprocæ augentur vel di­minuuntur. Ut ſi A dicatur eſſe ut B directe & C directe & D in­verſe: ſenſus eſt, quod A augetur vel diminuitur in eadem ratione cum BXCX1/D, hoc eſt, quod A & (BC/D) ſunt ad invicem in ratio­ne data.

LEMMA XI.

Subtenſa evaneſcens anguli contactus, in curvis omnibus curvatu­ram finitam ad punctum contactus habentibus, est ultimo in ra­tione duplicata ſubtenſæ arcus contermini.

Caſ.1. Sit arcus ille AB,tangens ejus AD,ſubtenſa anguli con­tactus ad tangentem perpendicularis BD,ſubtenſa arcus AB.Huic ſubtenſæ AB& tangenti ADperpendiculares erigantur AG, BG,concurrentes in G; dein accedant puncta D, B, G,ad puncta d, b, g,ſitque Jinterſectio linearum BG, AGultimo facta ubi puncta D, Baccedunt uſque ad A.Manifeſtum eſt quod diſtantia GJminor eſſe poteſt quam aſſignata quævis. Eſt autem (ex natura circulorum per puncta ABG, Abgtranſeuntium) ABquad.

æquale AGXBD,& Ab quad.æquale AgXbd,adeoque ratio AB quad.ad Ab quad.compo­nitur ex rationibus AGad Ag& BDad bd.Sed quoniam GJaſſumi poteſt minor longitu­dine quavis aſſignata, fieri poteſt ut ratio AGad Agminus differat a ratione æqualitatis quam pro differentia quavis aſſignata, adeoque ut ra­tio AB quad.ad Ab quad.minus differat a ra­tione BDad bdquam pro differentia quavis aſſignata. Eſt ergo, per Lemma 1, ratio ultima AB quad.ad Ab quad.æqualis rationi ultimæ BDad bd. que E. D.

Cas.2. Inclinetur jam BDad ADin angulo quovis dato, & eadem ſemper erit ratio ultima BDad bdquæ prius, adeoque eadem ae AB quad.ad Ab quad. que E. D.

Cas.3. Et quamvis angulus Dnon detur, ſed recta BDad da­tum punctum convergente, vel alia quacunque lege conſtituatur; tamen anguli D, dcommuni lege conſtituti ad æqualitatem ſemper vergent & propius accedent ad invicem quam pro differentia qua­vis aſſignata, adeoque ultimo æquales erunt, per Lem. I & prop­terea lineæ BD, bdſunt in eadem ratione ad invicem ac prius. que E. D.

Corol.1. Unde eum tangentes AD, Ad,arcus AB, Ab,& eo­rum ſinus BC, bcfiant ultimo chordis AB, Abæquales; erunt etiam illorum quadrata ultimo ut ſubtenſæ BD, bd.

Corol.2. Eorundem quadrata ſunt etiam ultimo ut ſunt arcuum ſagittæ quæ chordas biſecant & ad datum punctum convergunt. Nam ſagittæ illæ ſunt ut ſubtenſæ BD, bd.

Corol.3. Ideoque ſagitta eſt in duplicata ratione temporis quo corpus data velocitate deſcribit arcum.

Corol.4. Triangula rectilinea ADB, Adbſunt ultimo in tripli­cata ratione laterum AD, Ad,inque ſeſquiplicata laterum DB, db; utpote in compoſita ratione laterum AD,& DB, Ad& dbexiſtentia. Sic & triangula ABC, Abcſunt ultimo in triplicata ratione laterum BC, bc.Rationem vero Seſquiplicatam voco tri­plicatæ ſubduplicatam, quæ nempe ex ſimplici & ſubduplicata com­ponitur, quamque alias Seſquialteram dicunt.

DE MOTU CORPORUM

Corol.5. Et quoniam DB, dbſunt ultimo parallelæ & in dupli­cata ratione ipſarum AD, Ad:erunt areæ ultimæ curvilineæ ADB, Adb(ex natura Parabolæ) duæ tertiæ partes triangulorum rectili­neorum ADB, Adb; & ſegmenta AB, Abpartes tertiæ eo­rundem triangulorum. Et inde hæ areæ & hæc ſegmenta erunt in triplicata ratione tum tangentium AD, Ad; tum chordarum & arcuum AB, Ab.

Scholium.

Cæterum in his omnibus ſupponimus angulum contactus nec in­finite majorem eſſe angulis contactuum, quos Circuli continent cum tangentibus ſuis, nec iiſdem infinite minorem; hoc eſt, curvaturam ad punctum A,nec infinite parvam eſſe nec infinite magnam, ſeu intervallum AJfinitæ eſſe magnitudinis. Capi enim poteſt DBut AD3:quo in caſu Circulus nullus per punctum Ainter tangen­tem AD& curvam ABduci poteſt, proindeque angulus contactus erit infinite minor Circularibus. Et ſimili argumento ſi fiat DBſucceſſive ut AD4, AD5, AD6, AD7, &c. habebitur ſeries an­gulorum contactus pergens in infinitum, quorum quilibet poſte­rior eſt infinite minor priore. Et ſi fiat DBſucceſſive ut AD2, AD3/2, AD4/3, AD5/4, AD6/5, AD7/6, &c. habebitur alia ſeries infinita angulorum contactus, quorum primus eſt ejuſdem generis cum Cir­cularibus, ſecundus infinite major, & quilibet poſterior infinite ma­jor priore. Sed & inter duos quoſvis ex his angulis poteſt ſeries utrinQ.E.I. infinitum pergens angulorum intermediorum inſeri, quorum quilibet poſterior erit infinite major minorve priore. Ut ſi inter terminos AD2 & AD3 inſeratur ſeries AD(13/6), AD(1/5), AD9/4, AD7/3, AD5/2, AD8/3, AD(11/4), AD(14/5), AD(17/6), &c. Et rur­ſus inter binos quoſvis angulos hujus ſeriei inſeri poteſt ſeries no­va angulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis diffe­rentium. Neque novit natura limitem.

Quæ de curvis lineis deque ſuperficiebus comprehenſis demon­ſtrata ſunt, facile applicantur ad ſolidorum ſuperficies curvas & contenta. Præmiſi vero hæc Lemmata, ut effugerem tædium dedu­cendi perplexas demonſtrationes, more veterum Geometrarum, ad abſurdum. Contractiores enim redduntur demonſtrationes per me­thodum Indiviſibilium. Sed quoniam durior eſt Indiviſibilium hy­potheſis, & propterea methodus illa minus Geometrica cenſetur; malui demonſtrationes rerum ſequentium ad ultimas quantitatum evaneſcentium ſummas & rationes, primaſque naſcentium, id eſt, ad limites ſummarum & rationum deducere; & propterea limitum illorum demonſtrationes qua potui brevitate præmittere. His enim idem præſtatur quod per methodum Indiviſibilium; & principiis de­monſtratis jam tutius utemur. Proinde in ſequentibus, ſiquando quantitates tanquam ex particulis conſtantes conſideravero, vel ſi pro rectis uſurpavero lineolas curvas; nolim indiviſibilia, ſed eva­neſcentia diviſibilia, non ſummas & rationes partium determinata­rum, ſed ſummarum & rationum limites ſemper intelligi; vimque talium demonſtrationum ad methodum præcedentium Lemmatum ſemper revocari.

Objectio eſt, quod quantitatum evaneſcentium nulla ſit ultima proportio; quippe quæ, antequam evanuerunt, non eſt ultima, ubi evanuerunt, nulla eſt. Sed & eodem argumento æque contendi poſſet nullam eſſe corporis ad certum locum pervenientis velocitatem ul­timam: hanc enim, antequam corpus attingit locum, non eſſe ulti­mam, ubi attingit, nullam eſſe. Et reſponſio facilis eſt: Per velocita­tem ultimam intelligi eam, qua corpus movetur neque antequam attingit locum ultimum & motus ceſſat, neque poſtea, ſed tunc cum attingit; id eſt, illam ipſam velocitatem quacum corpus attin­git locum ultimum & quacum motus ceſſat. Et ſimiliter per ulti­mam rationem quantitatum evaneſcentium, intelligendam eſſe ratio­nem quantitatum non antequam evaneſcunt, non poſtea, ſed qua­cum evaneſcunt. Pariter & ratio prima naſcentium eſt ratio qua­cum naſcuntur. Et ſumma prima & ultima eſt quacum eſſe (vel augeri & minui) incipiunt & ceſſant. Extat limes quem velocitas in fine motus attingere poteſt, non autem tranſgredi. Hæc eſt velocitas ultima. Et par eſt ratio limitis quantitatum & propor­tionum omnium incipientium & ceſſantium. Cumque hic limes ſit certus & definitus, Problema eſt vere Geometricum eundem de­terminare. Geometrica vero omnia in aliis Geometricis determi­nandis ac demonſtrandis legitime uſurpantur.

Contendi etiam poteſt, quod ſi dentur ultimæ quantitatum eva­neſcentium rationes, dabuntur & ultimæ magnitudines: & ſic quan­titas omnis conſtabit ex Indiviſibilibus, contra quam Euclidesde Incommenſurabilibus, in libro decimo Elementorum, demonſtravit. Verum hæc Objectio falſæ innititur hypotheſi. Ultimæ rationes illæ quibuſcum quantitates evaneſcunt, revera non ſunt rationes quantitatum ultimarum, ſed limites ad quos quantitatum ſine limi­te decreſcentium rationes ſemper appropinquant; & quas propius aſſequi poſſunt quam pro data quavis differentia, nunquam vero

tranſgredi, neque prius attingere quam quantitates diminuuntur in infinitum. Res clarius intelligetur in infinite magnis. Si quantitates duæ quarum data eſt differentia auges ntur in infinitum, dabitur harum ultima ratio, nimirum ratio æqualitatis, nec tamen ideo da­buntur quantitates ultimæ ſeu maximæ quarum iſta eſt ratio. Igitur in ſequentibus, ſiquando facili rerum conceptui conſulens dixero quantitates quam minimas, vel evaneſcentes, vel ultimas; cave in­telligas quantitates magnitudine determinatas, ſed cogita ſemper diminuendas ſine limite.

DE MOTU CORPORUM

SECTIO II.

De Inventione Virium Centripetarum.

PROPOSITIO I. THEOREMA I.

Areas, quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium ductis deſcribunt, & in planis immobilibus conſiſtere, & eſſe tem­poribus proportionales.

Dividatur tempus in partes æquales, & prima temporis parte de­ſcribat corpus vi inſita rectam AB.Idem ſecunda temporis parte, ſi nil impediret, recta

pergeret ad c,(per Leg. 1.) deſcribens lineam Bcæqualem ipſi AB; adeo ut ra­diis AS, BS, cSad centrum actis, con­fectæ forent æqua­les areæ ASB, BSc.Verum ubi corpus venit ad B,agat vis centripeta impul­ſu unico ſed mag­no, efficiatque ut corpus de recta Bcdeclinet & pergat in recta BC.Ipſi BSparallela agatur cC,occurens BCin C; & completa ſecunda temporis parte, corpus (per Legum Corol. 1.) reperietur in C,in eodem plano cum triangulo ASB.Junge SC; & triangulum SBC,ob parallelas SB, Cc,æquale erit triangulo SBc,atque adeo etiam triangulo SAB.Simili argumento ſi vis centripeta ſucceſſive agat in C, D, E,&c. faciens ut corpus ſingulis temporis particulis ſin­gulas deſeribat rectas CD, DE, EF,&c. jacebunt hæ omnes in eodem plano; & triangulum SCDtriangulo SBC,& SDEipſi SCD,& SEFipſi SDEæquale erit. Æqualibus igitur tempori­bus æquales areæ in plano immoto deſcribuntur: & componendo, ſunt arearum ſummæ quævis SADS, SAFSinter ſe, ut ſunt tem­pora deſcriptionum. Augeatur jam numerus & minuatur latitudo triangulorum in infinitum; & eorum ultima perimeter ADF,(per Corollarium quartum Lemmatis tertii) erit linea curva: adeoque vis centripeta, qua corpus a tangente hujus curvæ perpetuo retrahitur, aget indeſinenter; areæ vero quævis deſcriptæ SADS, SAFStemporibus deſcriptionum ſemper proportionales, erunt iiſdem tem­poribus in hoc caſu proportionales. que E. D.

Corol.1. Velocitas corporis in centrum immobile attracti eſt in ſpatiis non reſiſtentibus reciproce ut perpendiculum a centro illo in Orbis tangentem rectilineam demiſſum. Eſt enim velocitas in locis illis A, B, C, D, E,ut ſunt baſes æqualium triangulorum AB, BC, CD, DE, EF; & hæ baſes ſunt reciproce ut perpendicula in ipſas demiſſa.

Corol.2. Si arcuum duorum æqualibus temporibus in ſpatiis non reſiſtentibus ab eodem corpore ſucceſſive deſcriptorum chordæ AB, BCcompleantur in parallelogrammum ABCU,& hujus diagona­lis BUin ea poſitione quam ultimo habet ubi arcus illi in infiNI­tum diminuuntur, producatur utrinque; tranſibit eadem per cen­trum virium.

Corol.3. Si arcuum æqualibus temporibus in ſpatiis non reſiſten­tibus deſcriptorum chordæ AB, BCac DE, EFcompleantur in parallelogramma ABCU, DEFZ; vires in B& Eſunt ad invi­cem in ultima ratione diagonalium BU, EZ,ubi arcus iſti in infi­nitum diminuuntur. Nam corporis motus BC& EFcomponun­tur (per Legum Corol. 1.) ex motibus Bc, BU& Ef, EZ:at­qui BU& EZ,ipſis Cc& Ffæquales, in Demonſtratione Pro­poſitionis hujus generabantur ab impulſibus vis centripetæ in B & E,ideoque ſunt his impulſibus proportionales.

Corol.4. Vires quibus corpora quælibet in ſpatiis non reſiſtenti­bus a motibus rectilineis retrahuntur ac detorquentur in orbes cur­vos ſunt inter ſe ut arcuum æqualibus temporibus deſcriptorum ſa­gittæ illæ quæ convergunt ad centrum virium, & chordas biſecant ubi arcus illi in infinitum diminuuntur. Nam hæ ſagittæ ſunt ſe­miſſes diagonalium de quibus egimus in Corollario tertio.

DE MOTU CORPORUM

Corol.5. Ideoque vires eædem ſunt ad vim gravitatis, ut hæ ſa­gittæ ad ſagittas horizonti perpendiculares arcuum Parabolieorum quos projectilia eodem tempore deſcribunt.

Corol.6. Eadem omnia obtinent per Legum Corol. IV, ubi plana in quibus corpora moventur, una cum centris virium quæ in ipſis fita ſunt, non quieſcunt, ſed moventur uniformiter in directum.

PROPOSITIO II. THEOREMA II.

Corpus omne, quod movetur in linea aliqua curva in plano de­ſcripta, & radio ducto ad punctum vel immobile, vel motu rectili­neo uniformiter progrediens, deſcribit areas circa punctum illud temporibus proportionales, urgetur a vi centripeta tendente ad idem punctum.

Cas.1. Nam corpus omne quod movetur in linea curva, detor­quetur de curſu rectilineo per vim aliquam in ipſum agentem (per Leg. 1.) Et vis illa qua corpus de curſu rectilineo detorquetur, & cogitur triangula quam minima SAB, SBC, SCD,&c. circa punctum immobile Stemporibus æqualibus æqualia deſcribere, a­git in loco Bſecundum lineam parallelam ipſi cC(per Prop. XL, Lib. 1 Elem. & Leg. 11.) hoc eſt, ſecundum lineam BS; & in loco Cſecundum lineam ipſi dDparallelam, hoc eſt, ſecundum lineam SC,&c. Agit ergo ſemper ſecundum lineas tendentes ad punctum illud immobile S. que E. D.

Cas.2. Et, per Legum Corollarium quintum, perinde eſt ſive quieſcat ſuperficies in qua corpus deſcribit figuram curvilineam, ſive moveatur eadem una cum corpore, figura deſcripta, & puncto ſuo Suniformiter in directum.

Corol.1. In Spatiis vel Mediis non reſiſtentibus, ſi areæ non ſunt temporibus proportionales, vires non tendunt ad concurſum radio­rum; ſed inde declinant in conſequentia ſeu verſus plagam in quam fit motus, ſi modo arearum deſcriptio acceleratur: ſin retardatur, de­clinant in antecedentia.

Corol.2. In Mediis etiam reſiſtentibus, ſi arearum deſcriptio accele­ratur, virium directiones declinant a concurſu radiorum verſus plagam in quam ſit motus.

Scholium.

Urgeri poteſt corpus a vi centripeta compoſita ex pluribus viri­bus. In hoc caſu ſenſus Propoſitionis eſt, quod vis illa quæ ex om­nibus componitur, tendit ad punctum S.Porro ſi vis aliqua agat perpetuo ſecundum lineam ſuperficiei deſcriptæ perpendicularem; hæc faciet ut corpus deflectatur a plano ſui motus: ſed quantita­tem ſuperficiei deſcriptæ nec augebit nec minuet, & propterea in compoſitione virium negligenda eſt.

PROPOSITIO III. THEOREMA III.

Corpus omne, quod radio ad centrum corporis alterius utcunque moti ducto deſcribit areas circa centrum illud temporibus proportiona­les, urgetur vi compoſita ex vi centripeta tendente ad corpus il­lud alterum, & ex vi omni acceleratrice qua corpus illud alterum urgetur.

Sit corpus primum L& corpus alterum T:& (per Legum Corol. VI.) ſi vi nova, quæ æqualis & contraria ſit illi qua corpus alterum Turgetur, urgeatur corpus utrumque ſecundum lineas parallelas; perget corpus primum Ldeſcribere circa corpus alterum Tareas eaſdem ac prius: vis autem, qua corpus alterum Turgebatur, jam deſtruetur per vim ſibi æqualem & contrariam; & propterea (per Leg. 1.) corpus illud alterum Tſibimet ipſi jam relictum vel qui­eſcet vel movebitur uniformiter in directum: & corpus primum Lurgente differentia virium, id eſt, urgente vi reliqua perget areas temporibus proportionales circa corpus alterum Tdeſcribere. Ten­dit igitur (per Theor. 11.) differentia virium ad corpus illud alte­rum Tut centrum. que E. D.

Corol.1. Hinc ſi corpus unum Lradio ad alterum Tducto de­ſcribit areas temporibus proportionales; atQ.E.D. vi tota (ſive ſim­plici, ſive ex viribus pluribus, juxta Legum Corollarium ſecundum, compoſita,) qua corpus prius Lurgetur, ſubducatur (per idem Le­gum Corollarium) vis tota acceleratrix qua corpus alterum urgetur: vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad corpus alte­rum Tut centrum.

Corol.2. Et, ſi areæ illæ ſunt temporibus quamproxime propor­tionales, vis reliqua tendet ad corpus alterum Tquamproxime.

Corol.3. Et vice verſa, ſi vis reliqua tendit quamproxime ad corpus alterum T,erunt areæ illæ temporibus quamproxime pro­portionales.

DE MOTU CORPORUM

Corol.4. Si corpus Lradio ad alterum corpus Tducto deſcri­bit areas quæ, cum temporibus collatæ, ſunt valde inæquales; & corpus illud alterum Tvel quieſcit vel movetur uniformiter in di­rectum: actio vis centripetæ ad corpus illud alterum Ttendentis, vel nulla eſt, vel miſcetur & componitur cum actionibus admodum potentibus aliarum virium: Viſque tota ex omnibus, ſi plures ſunt vires, compoſita, ad aliud (ſive immobile ſive mobile) centrum dirigitur. Idem obtinet, ubi corpus alterum motu quocunque mo­vetur; ſi modo vis centripeta ſumatur, quæ reſtat poſt ſubductio­nem vis totius in corpus illud alterum Tagentis.

Scholium.

Quoniam æquabilis arearum deſcriptio Index eſt Centri, quod vis illa reſpicit qua corpus maxime afficitur, quaque retrahitur a mo­tu rectilineo & in orbita ſua retinetur: quidni uſurpemus in ſequen­tibus æquabilem arearum deſcriptionem, ut Indicem Centri circum quod motus omnis circularis in ſpatiis liberis peragitur?

PROPOSITIO IV. THEOREMA IV.

Corporum, quæ diverſos circulos æquabili motu deſcribunt, vires cen­tripetas ad centra eorundem circulorum tendere; & eſſe inter ſe, ut ſunt arcuum ſimul deſcriptorum quadrata applicata ad circulo­rum radios.

Tendunt hæ vires ad centra circulorum per Prop.II. & Corol. II. Prop. 1; & ſunt inter ſe ut arcuum æqualibus temporibus quam miNI­mis deſcriptorum ſinus verſi per Corol. IV. Prop. I; hoc eſt, ut qua­drata arcuum eorundem ad diametros circulorum applicata per Lem. VII: & propterea, cum hi arcus ſint ut arcus temporibus quibuſvis æqualibus deſcripti, & diametri ſint ut eorum radii; vi­res erunt ut arcuum quorumvis ſimul deſcriptorum quadrata ap­plicata ad radios circulorum. Q.E.D.

Corol.1. Igitur, cum arcus illi ſint ut velocitates corporum, vi­res centripetæ ſunt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum: hoc eſt, ut cum Geometris loquar, vires ſunt in ra­tione compoſita ex duplicata ratione velocitatum directe & ratione ſimplici radiorum inverſe.

Corol.2. Et, cum tempora periodica ſint in ratione compoſita ex ratione radiorum directe & ratione velocitatum inverſe, vires cen­tripetæ ſunt reciproce ut quadrata temporum periodieorum appli­cata ad circulorum radios; hoc eſt, in ratione compoſita ex ratione radiorum directe & ratione duplicata temporum periodieorum in­verſe.

Corol.3. Unde, ſi tempora periodica æquentur & propterea ve­locitates ſint ut radii; erunt etiam vires centripetæ ut radii: & contra.

Cor.4. Si & tempora periodica & velocitates ſint in ratione ſub­duplicata radiorum; æquales erunt vires centripetæ inter ſe: & contra.

Corol.5. Si tempora periodica ſint ut radii & propterea veloci­tates æquales; vires centriperæ erunt reciproce ut radii: & contra.

Corol.6. Si tempora periodica ſint in ratione ſeſquiplicata radio­rum & propterea velocitates reciproce in radiorum ratione ſubdu­plicata; vires centripetæ erunt reciproce ut quadrata radiorum: & contra.

Corol.7. Et univerſaliter, ſi tempus periodicum ſit ut Radii Rpoteſtas quælibet Rn,& propterea velocitas reciproce ut Radii poteſtas Rn-1; erit vis centripeta reciproce ut Radii poteſtas R2n-1:& contra.

Corol.8. Eadem omnia de temporibus, velocitatibus, & viribus, qui­bus corpora ſimiles figurarum quarumcunque ſimilium, centraque in figuris illis ſimiliter poſita habentium, partes deſcribunt, conſe­quuntur ex Demonſtratione præcedentium ad hoſce caſus applicata. Applicatur autem ſubſtituendo æquabilem arearum deſcriptionem pro æquabili motu, & diſtantias corporum a centris pro radiis uſur­pando.

Corol.9. Ex eadem demonſtratione conſequitur etiam; quod ar­cus, quem corpus in circulo data vi centripeta uniformiter revolven­do tempore quovis deſcribit, medius eſt proportionalis inter dia­metrum circuli, & deſcenſum corporis eadem data vi eodem que tem­pore cadendo confectum.

Scholium.

Caſus Corollarii ſexti obtinet in corporibus cæleſtibus, (ut ſeor­ſum collegerunt etiam noſtrates Wrennus, Hookius& Hallæus) & propterea quæ ſpectant ad vim centripetam decreſcentem in dupli­cata ratione diſtantiarum a centris, decrevi fuſius in ſequentibus exponere.

DE MOTU CORPORUM

Porro præcedentis propoſitionis & corollariorum ejus beneficio, colligitur etiam proportio vis centripetæ ad vim quamlibet notam, qualis eſt ea Gravitatis. Nam ſi corpus in circulo Terræ concen­trico vi gravitatis ſuæ revolvatur, hæc gravitas eſt ipſius vis centri­peta. Datur autem, ex deſcenſu gravium, & tempus revolutionis unius, & arcus dato quovis tempore deſcriptus, per hujus Corol. IX. Et hujuſmodi propoſitionibus Hugenius,in eximio ſuo Tracta­tu de Horologio Oſcillatorio,vim gravitatis cum revolventium vi­ribus centrifugis contulit.

Demonſtrari etiam poſſunt præcedentia in hunc modum. In cir­culo quovis deſcribi intelligatur Polygonum laterum quotcunque. Et ſi corpus, in polygoni lateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos ſingulos a circulo reflectatur; vis qua ſingulis re­flexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas: adeoque ſumma virium in dato tempore erit ut velocitas illa & numerus re­flexionum conjunctim: hoc eſt (ſi polygonum detur ſpecie) ut longi­tudo dato illo tempore deſcripta & longitudo eadem applicata ad Radium circuli; id eſt, ut quadratum longitudinis illius applicatum ad Radium: adeoque, ſi polygonum lateribus infinite diminutis co­incidat cum circulo, ut quadratum arcus dato tempore deſcripti ap­plicatum ad radium. Hæc eſt vis centrifuga, qua corpus urget cir­culum: & huic æqualis eſt vis contraria, qua circulus continuo re­pellit corpus centrum verſus.

PROPOSITIO. V. PROBLEMA I.

Data quibuſcunQ.E.I. locis velocitate, qua corpus figuram datam vi­ribus ad commune aliquod centrum tendentibus deſcribit, centrum illud invenire.

Figuram deſcriptam tangant rectæ tres PT, TQV, VRin punctis totidem P, Q, R,concurrentes in T& V.Ad tangentes erigantur perpendicula PA, QB, RC,velocitatibus corporis in punctis illis P, Q, Ra quibus eriguntur reciproce proportionalia; id eſt, ita ut ſit PAad QBut velocitas in Qad velocitatem in P,& QBad RCut velocitas in Rad velocitatem in quePer perpendiculorum terminos A, B, Cad angulos rectos ducantur AD, DBE, ECconcurrentes in D& E:Et actæ TD, VEconcur­rent in centro qæſito S.

Nam perpendicula a centro Sin tangentes PT, QTdemiſſa (per Corol. 1. Prop.I.) ſunt reciproce ut velocitates corporis in punctis P& V; &c. adeoque per conſtructio­nem ut perpendicula AP, BQdi­recte, id eſt ut perpendicula a pun­cto Din tangentes demiſſa. Un­de facile colligitur quod puncta S, D, T,ſunt in una recta. Et ſimili argumento puncta S, E, Vſunt eti­am in una recta; & propterea centrum Sin concurſu rectarum TD, VEverſatur. Q.E.D.

PROPOSITIO VI. THEOREMA V.

Si corpus in ſpatio non reſiſtente circa centrum immobile in Orbe quocun­que revolvatur, & arcum quemvis jamjam naſcentem tempore quàm minimo deſcribat, & ſagitta arcus duci intelligatur quæ chordam bi­ſecet, & producta tranſeat per centrum virium: erit vis centripeta in medio arcus, ut ſagitta directe & tempus bis inverſe.

Nam ſagitta dato tempore eſt ut vis (per Corol.4 Prop.I,) & augen­do tempus in ratione quavis, ob auctum arcum in eadem ratione ſa­gitta augetur in ratione illa duplicata (per Corol. 2 & 3, Lem. XI,) ad­eoque eſt ut vis ſemel & tempus bis. Subducatur duplicata ratio tempo­ris utrinque, & fiet vis ut ſagitta directe & tempus bis inverſe. Q.E.D.

Idem facile demonſtratur etiam per Corol. 4 Lem. X.

Corol.1. Si corpus Prevolvendo

circa centrum Sdeſcribat lineam curvam APQ,tangat verò recta ZPRcurvam illam in puncto quovis P,& ad tangentem ab alio quovis Curvæ puncto Qagatur QRdiſtantiæ SPparallela, ac demittatur QTperpendicularis ad diſtantiam illam SP:vis cen­tripeta erit reciproce ut ſolidum (SP quad.XQT quad./QR) ſi modo ſolidi illius ea ſemper ſumatur quan­titas, quæ ultimò fit ubi coeunt puncta P& queNam QRæqualis

eſt ſagittæ dupli arcus QP,in cujus medio eſt P,& duplum trian­guli SQPſive SPXQT,tempori quo arcus iſte duplus deſcribitur proportionale eſt, ideoque pro temporis exponente ſcribi poteſt.

DE MOTU CORPORUM

Corol.2. Eodem argumento vis centripeta eſt reciprocè ut ſolidum (SYqXQPq/QR), ſi modo SYperpendiculum ſit a centro virium in Or­bis tangentem PRdemiſſum. Nam rectangula SYXQP& SPXQTæquantur.

Corol.3. Si Orbis vel circulus eſt, vel angulum contactus cum cir­culo quam minimum continet, eandem habens curvaturam eundem­que radium curvaturæ ad punctum contactus P; & ſi PVchorda ſit circuli hujus a corpore per centrum virium acta: erit vis centri­peta reciproce ut ſolidum SYqXPV.Nam PVeſt (QPq/QR).

Corol.4. Iiſdem poſitis, eſt vis centripeta ut velocitas bis directe, & chorda illa inverſe. Nam velocitas eſt reciproce ut perpendicu­lum SYper Corol. I Prop. I.

Corol.5. Hinc ſi detur figura quævis curvilinea APQ,& in ea detur etiam punctum Sad quod vis centripeta perpetuo dirigitur, inveniri poteſt lex vis centripetæ, qua corpus quodvis Pa curſu rectilineo perpetuò retractum in figuræ illius perimetro detinebitur eamque revolvendo deſcribet. Nimirum computandum eſt vel ſo­lidum (SPqXQTq/QR) vel ſolidum SYqXPVhuic vi reciproce pro­portionale. Ejus rei dabimus exempla in Problematis ſequentibus.

PROPOSITIO VII. PROBLEMA II.

Gyretur corpus in circumferentia Circuli, requiritur Lex vis centri­petæ tendentis ad punctum quodcunQ.E.D.tum.

Eſto Circuli circumferentia

VQPA,punctum datum ad quod vis ceu ad centrum ſuum ten­dit S,corpus in circumferentia latum P,locus proximus in quem movebitur Q,& circuli tangens ad locum priorem PRZ.Per punctum Sducatur chorda PV,& acta circuli diametro VAjun­gatur AP,& ad SPdemittatur perpendiculum QT,quod productum occurrat tangenti PRin Z,ac denique per punctum Qagatur LRquæ ipſi SPparallela ſit & occurrat tum circulo in Ltum tangenti PZin R.Et ob ſimilia triangula ZQR, ZTP, VPA; erit RP quad.hoc eſt QRLad QT quad.ut AV quad.ad PV quad.Ideoque (QRLXPV quad./AV quad.) æquatur QT quad.Ducantur hæc æqualia in (SP quad./QR) &, punctis P& Qcoeuntibus, ſcribatur PVpro RL.Sic fiet (SP quad.XPV cub./AV quad.) æquale (SP quad.XQT quad./QR) Ergo (per Corol.1 & 5 Prop.VI.) vis centripeta eſt reciproce ut (SPqXPV cub./AV quad) id eſt, (ob datum AV quad.) reciproce ut quadratum diſtantiæ ſeu altitudinis SP& cubus chordæ PVconjunctim. Q.E.I.

Idem aliter.

Ad tangentem PRproductam demittatur perpendiculum SY,& ob ſimilia triangula SYP, VPA; erit AVad PVut SPad SY,ideoque (SPXPV/AV) æquale SY,& (SP quad.XPV cub./AV quad.) æquale SY quad.XPV.Et propterea (per Corol.3 & 5 Prop.VI.) vis centri­peta eſt reciproce ut (SPqXPV cub./AVq) hoc eſt, ob datam AV,reci­proce ut SPqXPV cub. que E. I.

Corol.1. Hinc ſi punctum datum Sad quod vis centripeta ſem­per tendit, locetur in circumferentia hujus circuli, puta ad V; erit vis centripeta reciproce ut quadrato cubus altitudinis SP.

Corol.2. Vis qua corpus Pin cir­

culo APTVcircum virium centrum Srevolvitur, eſt ad vim qua corpus idem Pin eodem circulo & eodem tempore periodico circum aliud quod­vis virium centrum Rrevolvi poteſt, ut RP quad.XSPad cubum rectæ SGquæ a primo virium centro Sad or­bis tangentem PGducitur, & diſtan­tiæ corporis a ſecundo virium centro parallela eſt. Nam, per conſtructionem hujus Propoſitionis, vis prior eſt ad vim poſteriorem, ut RPqXPT cub.ad SPqXPV cub.id eſt, ut SPXRPqad (SP cub.XPV cub/PT cub.) ſive (ob ſimilia triangula PSG, TPV) ad SG cub.

DE MOTU CORPORUM

Corol.3. Vis, qua corpus Pin Orbe quocunque circum virium centrum Srevolvitur, eſt ad vim qua corpus idem Pin eodem orbe eodemque tempore periodico circum aliud quodvis virium centrum Rrevolvi poteſt, ut SPXRPqcontentum utique ſub di­ſtantia corporis a primo virium centro S& quadrato diſtantiæ ejus a ſecundo virium centro Rad cubum rectæ SGquæ a primo vi­rium centro Sad orbis tangentem PGducitur, & corporis a ſe­cundo virium centro diſtantiæ RPparallela eſt. Nam vires in hoc Orbe, ad ejus punctum quodvis P,eædem ſunt ac in Circulo ejuſdem curvaturæ.

PROPOSITIO. VIII. PROBLEMA. III.

Moveatur corpus in CirculoPQA: ad hunc effectum requiritur Lex vis centripetæ tendentis ad punctum adeo longinquumS, ut lineæ omnesPS, RS ad id ductæ, pro parallelis haberi poſſint.

A Circuli centro Cagatur ſemidiameter CAparallelas iſtas perpendiculariter ſecans in M&

N,& jungatur CP.Ob ſimilia triangula CPM, PZT& RZQeſt CPqad PMqut PRqad QTq& ex natura Circuli PRqæquale eſt rectangulo QRX√RN+QN&c. ſive coeuntibus punctis P, Qrect­angulo QRX2PM.Ergo eſt CPqad PM quad.ut QRX2PMad QT quad.adeoque (QT quad./QR) æquale (2PM cub./CP quad.), & (QT quad.XSP quad./QR) æquale (2PM cub.XSP qu./CP quad.) Eſt ergo (per Corol. 1 & 5 Prop. VI.) vis centripeta reciproce ut (2PMcub.XSP quad./CP quad.) hoc eſt (neglecta ratione determinata (2SP quad./CP quad.)) reciproce ut PM cub. que E. I.

Idem facile colligitur etiam ex Propoſitione præcedente.

Scholium.

Et ſimili argumento corpus movebitur in Ellipſi vel etiam in Hyperbola vel Parabola, vi centripeta quæ ſit reciproce ut cu­bus ordinatim applicatæ ad centrum virium maxime longinquum tendentis.

PROPOSITIO IX. PROBLEMA IV.

Gyretur corpus in SpiraliPQS ſecante radios omnesSP, SQ, &c.

in angulo dato: requiritur Lex vis centripetæ tendentis ad centrum Spiralis.

Detur angulus indefinite par­vus PSQ,& ob datos omnes angulos dabitur ſpecie figura SPQRT.Ergo datur ratio (QT/QR), eſtque (QT quad./QR) ut QT,hoc eſt ut SP.Mutetur jam uteunque angulus PSQ,& recta QRangulum contactus QPRſubtendens mutabitur (per Lemma XI.) in duplicata ratione ipſius PRvel QT.Ergo manebit (QT quad./QR) eadem quæ prius, hoc eſt ut SP.Quare (QTq.XSPq/QR) eſt ut SP cub.adeoque (per Corol. 1 & 5 Prop. VI.) vis centripeta eſt reciproce ut cubus diſtantiæ SP. que E. I.

Idem aliter.

Perpendiculum SYin tangentem demiſſum, & circuli Spiralem tangentis chorda PVſunt ad altitudinem SPin datis rationibus; ideoque SP cub.eſt ut SYqXPV,hoc eſt (per Corol. 3 & 5 Prop.VI.) reciproce ut vis centripeta.

LEMMA XII.

Parallelogramma omnia, circa datæ Ellipſeos vel Hyperbolæ diametros quaſvis conjugatas deſcripta, eſſe inter ſe æqualia.

Conſtat ex Conicis.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO X. PROBLEMA. V.

Gyretur corpus in Ellipſi: requiritur lex vis centripetæ tendentis ad centrum Ellipſeos.

Sunto CA, CBſemiaxes Ellipſeos; GP, DKdiametri conju­gatæ; PF, Qtperpendicula ad diametros; Qvordinatim appli­cata ad diametrum

GP; & ſi compleatur parallelogrammum QvPR,erit (ex CoNI­cis) PvGad Qv quad.ut PC quad.ad CD quad.& (ob ſimilia triangula Qvt, PCF) Qv quad.eſt ad Qt quad.ut PC quad.ad PF quad.& conjun­ctis rationibus, PvGad Qt quad.ut PC quad.ad CD quad.& PC quad.ad PF quad.id eſt, vGad (Qt quad./Pv) ut PC quad.ad (CDqXPFq/PCq). Scribe QRpro Pv,& (per Lemma XII.) BCXCApro CDXPF,nec non, punctis P& Qcoeuntibus, 2PCpro vG,& ductis extremis & mediis in ſe mutuo, fiet (Qt quad.XPCq/QR) æquale (2BCqXCAq/PC). Eſt ergo (per Corol. 5 Prop. VI.) vis centri­peta reciproce ut (2BCqXGAq;/PC) id eſt (ob datum 2BCqXCAq) reciproce ut (1/PC); hoc eſt, directe ut diſtantia PC. que E. I.

Idem aliter.

In PGab altera parte puncti tpoſita intelligatur tuæqualis ipſi tv; deinde cape uVquæ ſit ad vGut eſt DC quad.ad PC quad.Et quoniam ex Conicis est Qv quad.ad PvG,ut DC quad.ad PC quad:erit Qv quad.æquale PvXuV.Unde quadratum chor-dæ arcus PQerit æquale rectangulo VPv; adeoque Circulus qui tangit Sectionem Conicam in P& tranſit per punctum Q,tranſibit etiam per punctum V.Coeant puncta P& Q,& hic circulus ejuſdem erit curvaturæ cum ſectione conica in P,& PVæqualis erit (2DCq/PC). Proinde vis qua corpus Pin Ellipſi revolvitur, erit reci­proce ut (2DCq/PC) in PFq(per Corol. 3 Prop. VI.) hoc eſt (ob datum 2DCqin PFq) directe ut PC. que E. I.

LIBER PRIMUS.

Corol.1. Eſt igitur vis ut diſtantia corporis a centro Ellipſeos: & viciſſim, ſi vis ſit ut diſtantia, movebitur corpus in Ellipſi centrum habente in centro virium, aut forte in Circulo, in quem utique Ellipſis migrare poteſt.

Corol.2. Et æqualia erunt revolutionum in Ellipſibus univerſis cir­cum centrum idem factarum periodica tempora. Nam tempora illa in Ellipſibus ſimilibus æqualia ſunt per Corol. 3 & 8, Prop. IV: in Ellipſibus autem communem habentibus axem majorem, ſunt ad invicem ut Ellipſeon areæ totæ directe & arearum particulæ ſimul deſcriptæ inverſe; id eſt, ut axes minores directe & corporum ve­locitates in verticibus principalibus inverſe; hoc eſt, ut axes illi mi­nores directe & ordinatim applicatæ ad axes alteros inverſe; & prop­terea (ob æqualitatem rationum directarum & inverſarum) in ra­tione æqualitatis.

Scholium.

Si Ellipſis, centro in infinitum abeunte vertatur in Parabolam, corpus movebitur in hac Parabola; & vis ad centrum infinite di­ſtans jam tendens evadet æquabilis. Hoc eſt Theorema Galilæi.Et ſi coni ſectio Parabolica, inclinatione plani ad conum ſectum mutata, vertatur in Hyperbolam, movebitur corpus in hujus pe­rimetro, vi centripeta in centrifugam verſa. Et quemadmo­dum in Circulo vel Ellipſi, ſi vires tendunt ad centrum figuræ in Abſciſſa poſitum, hæ vires augendo vel diminuendo Ordinatas in ratione quacunQ.E.D.ta, vel etiam mutando angulum inclinationis Ordinatarum ad Abſciſſam, ſemper augentur vel diminuuntur in ratione diſtantiarum a centro, ſi modo tempora periodica maneant æqualia: ſic etiam in figuris univerſis, ſi Ordinatæ augeantur vel di­minuantur in ratione quacunQ.E.D.ta, vel angulus ordinationis ut­cunque mutetur, manente tempore periodico; vires ad centrum quodcunQ.E.I. Abſciſſa poſitum tendentes a binis quibuſvis figurarum locis, ad quæ termi­nantur Ordinatæ correſpondentibus Abſciſſarum punctis inſiſtentes, augentur vel &c. augentur vel diminuun­tur in ratione diſtantiarum a centro.

DE MOTU CORPORUM

SECTIO III.

De motu Corporum in Conicis Sectionibus excentricis.

PROPOSITIO XI. PROBLEMA VI.

Revolvatur corpus in Ellipſi: requiritur Lex vis centripetæ tenden­tis ad umbilicum Ellipſeos.

Eſto Ellipſeos umbilicus S.Agatur SPſecans Ellipſeos tum diametrum DKin E,tum ordinatim applicatam Qvin x,& compleatur parallelogrammum QxPR.Patet EPæqua­lem eſſe ſemiaxi ma­

jori AC,eo quod acta ab altero Ellip­ſeos umbilico Hli­nea HIipſi ECpa­rallela, (ob æquales CS, CH) æquentur ES, EI,adeo ut EPſemiſumma ſit ipſa­rum PS, PI,id eſt (ob parallelas HI, PR& angulos æqua­les IPR, HPZ) ipſarum PS, PH,quæ conjunctim axem totum 2ACadæ­quant. Ad SPde­mittatur perpendicularis QT,& Ellipſeos latere recto principali (ſeu (2BC quad./AC)) dicto L,erit LXQRad LXPvut QRad Pv,id eſt ut PEſeu ACad PC; & LXPvad GvPut Lad Gv; & GvPad Qv quad.ut PC quad.ad CD quad; & (per Corol. 2 Lem. VII.) Qv quad.ad Qx quad,punctis Q& Pcoeuntibus, eſt ratio æqualitatis; & Qx quad.ſeu Qv quad.eſt ad QT quad.ut EP quad.ad PF quad,id eſt ut CA quad.ad PF quad.ſive (per Lem XII.) ut CD quad.ad CB quad.Et conjunctis his omnibus ratio­nibus, LXQRfit ad QT quad.ut ACXLXPCq.XCDqueſeu 2CBque XPCq.XCDquead PCXGvXCDq.XCBqueſive ut 2PCad Gv.Sed, punctis Q& Pcoeuntibus, æquantur 2PC& Gv.Ergo & his pro­portionalia LXQR& QT quad.æquantur. Ducantur hæc æqualia in (SPq/QR) & fiet LXSPqueæquale (SPq.XQTq/QR). Ergo (per Corol. 1 & 5 Prop. VI.) vis centripeta reciproce eſt ut LXSPqueid eſt, reci­proce in ratione duplicata diſtantiæ SP. Q.E.I.

LIBER PRIMUS.

Idem aliter.

Cum vis ad centrum Ellipſeos tendens, qua corpus Pin Ellipſi illa revolvi poteſt, ſit (per Corol. I Prop. X) ut CPdiſtantia cor­poris ab Ellipſeos centro C; ducatur CEparallela Ellipſeos tan­genti PR:& vis qua corpus idem P,circum aliud quodvis Ellip­ſeos punctum Srevolvi poteſt, ſi CE& PSconcurrant in E,erit ut (PE cub./SPq) (per Corol. 3 Prop. VII,) hoc eſt, ſi punctum Sſit umbili­cus Ellipſeos, adeoque PEdetur, ut SPqreciproce. Q.E.I.

Eadem brevitate qua traduximus Problema quintum ad Parabo­lam, & Hyperbolam, liceret idem hic facere: verum ob dignita­tem Problematis & uſum ejus in ſequentibus, non pigebit caſus ce­teros demonſtratione confirmare.

PROPOSITIO XII. PROBLEMA. VII.

Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur Lex vis centripetæ ten­dentis ad umbilicum figuræ.

Sunto CA, CBſemi-axes Hyperbolæ; PG, KDdiametri con­jugatæ; PF, Qtperpendicula ad diametros; & Qvordinatim applicata ad diametrum GP.Agatur SPſecans cum diametrum DKin E,tum ordinatim applicatam Qvin x,& compleatur pa­rallelogrammum QRPx.Patet EPæqualem eſſe ſemiaxi tranſ­verſo AC,eo quod, acta ab altero Hyperbolæ umbilico Hlinea HIipſi ECparallela, ob æquales CS, CH,æquentur ES, EI; adeo ut EPſemidifferentia ſit ipſarum PS, PI,id eſt (ob pa­rallelas IH, PR& angulos æquales IPR, HPZ) ipſarum PS, PH,quarum differentia axem totum 2ACadæquat. Ad SPde­mittatur perpendicularis QT.Et Hyperbolæ latere recto princi­pali (ſeu (2BCq/AC)) dicto L,erit LXQRad LXPvut QRad Pv,id eſt, ut PEſeu ACad PC; Et LXPvad GvPut Lad Gv; & GvPad Qv quad.ut PCquead CDq; & (per Corol. 2. Lem. VII.) Qv quad.ad Qx quad.punctis Q& Pcoeuntibus fit ratio æqualitatis; & Qx quad.ſeu Qv quad.eſt ad QTq,ut EPq,ad PFq,id eſt ut CAq,ad PFq,ſive (per Lem. XII.) ut CDq,ad CBq:& conjunctis his omnibus rationibus LXQRfit ad QTqueut ACXLXPCqXCDqſeu 2CBqXPCqXCDqad PCXGvXCDqXCB quad.ſive ut 2PCad Gv.Sed punctis P& Qcoeuntibus æquantur 2PC& Gv.Ergo & his propor­tionalia LXQR& QTqueæquantur. Ducantur hæc æqualia in (SPq/QR). & fiet LXSPqueæquale (SPqXQTq/QR). Ergo (per Corol. I

& 5 Prop. VI.) vis centripeta reciproce eſt ut LXSPq,id eſt reciproce in ratione duplicata diſtantiæ SP. que E. I.

DE MOTU CORPORUM

LIBER PRIMUS.

Idem aliter.

Inveniatur vis quæ tendit ab Hyperbolæ centro C.Prodibit hæc diſtantiæ CPproportionalis. Inde vero (per Corol. 3 Prop. VII.) vis ad umbilicum Stendens erit ut (PEcub/SPq), hoc eſt, ob datam PE,reciproce ut SPque Q.E.I.

Eodem modo demonſtratur quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam verſa, movebitur in Hyperbola conjugata.

LEMMA XIII.

Latus rectum Parabolæ ad verticem quemvis pertinens, eſt quadru­plum diſtantiæ verticis illius ab umbilico figuræ.Patet ex Conicis.

LEMMA XIV.

Perpendiculum quod ab umbilico Parabolæ ad tangentem ejus demitti­tur, medium eſt proportionale inter diſtantias umbilici a puncto con­tactus & a vertice principali figuræ.

Sit enim AQPParabola, Sumbilicus ejus, Avertex principa­lis Ppunctum

contactus, POordinatim ap­plicata ad dia­metrum prin­cipalem, PMtangens dia­metro princi­pali occurrens in M,& SN,linea perpen­dicularis ab umbilico in tangentem. Jungatur AN,& ob æquales MS& SP, MN& NP, MA& AO,parallelæ erunt rectæ AN& OP,& inde triangulum SANrectangulum erit ad A& ſimile triangulis æqualibus SNM, SNP:Ergo PSeſt ad SN,ut SNad SA. Q.E.D.

Corol.1. PSqueeſt ad SNqueut PSad SA.

Corol.2. Et ob datam SA,eſt SNqueut PS.

DE MOTU CORPORUM

Corol.3. Et concurſus tangentis cujuſvis PMcum recta SN,quæ ab umbilico in ipſam perpendicularis eſt, incidit in rectam AN,quæ Parabolam tangit in vertice principali.

PROPOSITIO. XIII. PROBLEMA VIII.

Moveatur corpus in perimetro Parabolæ: requiritur Lex vis centri­petæ tendentis ad umbilicum hujus figuræ.

Maneat conſtructio Lemmatis, ſitque Pcorpus in perimetro Pa­rabolæ, & a loco Qin quem corpus proxime movetur, age ipſi SPparallelam QR& perpendicularem QT,necnon Qvtangenti pa­rallelam & occurrentem tum diametro YPGin v,tum diſtantiæ SPin x.Jam ob ſimilia triangula Pxv, SPM& æqualia unius latera SM, SP,æqualia ſunt alterius latera Pxſeu QR& Pv.Sed, ex Conicis, quadratum ordinatæ Qvæquale eſt rectangulo ſub latere recto & ſegmento diametri Pv,id eſt (per Lem. XIII.) rectangu­lo 4 PSXPv,ſeu 4 PSXQR; & punctis P& Qcoeuntibus, ra­tio Qvad Qxper (per Corol. 2 Lem. VII.) fit ratio æqualitatis. Er­go Qxquad.eo

in caſu, æquale eſt rectangu­lo 4 PSXQR.Eſt autem (ob ſimilia trian­gula QxT, SPN) Qxquead QTqueut PSquead SNquehoc eſt (per Corol. 1. Lem. XIV.) ut PSad SA,id eſt ut 4 PSXQRad 4SAXQR,& inde (per Prop. IX. Lib. v. Elem.) QTque& 4SAXQRæquantur. Ducantur hæc æqualia in (SPq./QR), & fiet (SPq.XQTq./QR) æquale SPq.X4SA:& propterea (per Corol. 1 & 5 Prop. VI.) vis centripeta eſt reciproce ut SPq.X4SA,id eſt, ob da­tam 4SA,reciproce in duplicata ratione diſtantiæ SP. Q.E.I.

Corol.1. Ex tribus noviſſimis Propoſitionibus conſequens eſt, quod

ſi corpus quodvis P,ſecundum lineam quamvis rectam PR,qua­cunque cum velocitate exeat de loco P,& vi centripeta quæ ſit re­ciproce proportionalis quadrato diſtantiæ loeorum a centro, ſimul agitetur; movebitur hoc corpus in aliqua ſectionum Conicarum umbilicum habente in centro virium; & contra. Nam datis umbi­lico & puncto contactus & poſitione tangentis, deſcribi poteſt ſectio Conica quæ curvaturam datam ad punctum illud habebit. Datur autem curvatura ex data vi centripeta: & Orbes duo ſe mutuo tan­gentes, eadem vi centripeta deſcribi non poſſunt.

LIBER PRIMUS.

Corol.2. Si velocitas, quacum corpus exit de loco ſuo P,ea ſit, qua lineola PRin minima aliqua temporis particula deſcribi poſſit, & vis centripeta potis ſit eodem tempore corpus idem mo­vere per ſpatium QR:movebitur hoc corpus in Conica aliqua ſe­ctione, cujus latus rectum principale eſt quantitas illa (QTq./QR) quæ ultimo fit ubi lineolæ PR, QRin infinitum diminuuntur. Circu­lum in his Corollariis refero ad Ellipſin, & caſum excipio ubi cor­pus recta deſcendit ad centrum.

PROPOSITIO XIV. THEOREMA VI.

Si corpora plura revolvantur circa centrum commune, & vis centri­peta ſit reciproce in duplicata ratione diſtantiæ loeorum a centro; dico quod Orbium Latera recta principalia ſunt in duplicata ratio­one arearum quas corpora, radiis ad centrum ductis, eodem tempore deſcribunt.

Nam, per Corol. 2. Prop. XIII, Latus rectum Læquale eſt quan­titati (QTq./QR) quæ ultimo fit ubi coeunt puncta P& queSed linea minima QR,dato tempore, eſt ut vis centripeta generans, hoc eſt (per Hypotheſin) reciproce ut SPqueErgo (QTq./QR) eſt ut QTq.XSPquehoc eſt, latus rectum Lin duplicata ratione areæ QTXSP. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.Hinc Ellipſeos area tota, eique proportionale rectangu­lum ſub axibus, eſt in ratione compoſita ex ſubduplicata ratione lateris recti & ratione temporis periodici. Namque area tota eſt ut area QTXSP,quæ dato tempore deſcribitur, ducta in &c. ducta in tempus periodicum.

PROPOSITIO XV. THEOREMA VII.

Iiſdem poſitis, dico quod Tempora periodica in Ellipſibus ſunt in ratione ſeſquiplicata majorum axium.

Namque axis minor eſt medius proportionalis inter axem majo­rem & latus rectum, atque adeo rectangulum ſub axibus eſt in ra­tione compoſita ex ſubduplicata ratione lateris recti & ſeſquiplicata ratione axis majoris. Sed hoc rectangulum, per Corollarium Prop. XIV. eſt in ratione compoſita ex ſubduplicata ratione lateris recti & ratione periodici temporis. Dematur utrobique ſubduplicata ratio lateris recti, & manebit ſeſquiplicata ratio majoris axis æqua­lis rationi periodici temporis. Q.E.D.

Corol.Sunt igitur tempora periodica in Ellipſibus eadem ac in Circulis, quorum diametri æquantur majoribus axibus Ellipſeon.

PROPOSITIO XVI. THEOREMA VIII.

Iiſdem poſitis, & actis ad corpora lineis rectis, quæ ibidem tangant Or­bitas, demiſſiſque ab umbilico communi ad has tangentes perpendi­cularibus: dico quod Velocitates corporum ſunt in ratione compoſi­ta ex ratione perpendiculorum inverſe & ſubduplicata ratione la­terum rectorum principalium directe.

Ab umbilico Sad tangentem PRdemitte perpendiculum SY& velocitas corporis Perit reciproce in ſubduplicata ratione quan­titatis (SYq/L). Nam velocitas illa eſt ut arcus quam minimus PQin data temporis particula deſcriptus, hoc eſt (per Lem. VII.) ut tangens PR,id eſt (ob proportionales PRad QT& SPad SY) ut (SPXQT/SY), ſive ut SYreciproce & SPXQTdirecte; eſtque SPXQTut area dato tempore deſcripta, id eſt, per Prop. XIV.

in ſubduplicata ratione lateris recti. Q.E.D.

LIBER PRIMUS.

Corol.1. Latera recta principalia ſunt in ratione compoſita ex duplicata ratione perpendiculorum & duplicata ratione veloci­tatum.

Corol.2. Velocitates corporum in maximis & minimis ab umbi­lico communi diſtantiis, ſunt in ratione compoſita ex ratione di­ſtantiarum inverſe & ſubduplicata ratione laterum rectorum princi­palium directe. Nam perpendicula jam ſunt ipſæ diſtantiæ.

Corol.3. Ideoque velocitas in Conica ſectione, in maxima vel minima ab umbilico diſtantia, eſt ad velocitatem in Circulo in ea­dem à centro diſtantia, in ſubduplicata ratione lateris recti princi­palis ad duplam illam diſtantiam.

Corol.4. Corporum in Ellipſibus gyrantium velocitates in medi­ocribus diſtantiis ab umbilico communi ſunt eædem quæ corporum gyrantium in Circulis ad eaſdem diſtantias; hoc eſt (per Corol 6. Prop. IV.) reciproce in ſubduplicata ratione diſtantiarum. Nam perpendicula jam ſunt ſemi-axes minores; & hi ſunt ut mediæ proportionales inter diſtantias & latera recta. Componatur hæc ratio inverſe cum ſubduplicata ratione laterum rectorum directe, & fiet ratio ſubduplicata diſtantiarum inverſe.

Corol.5. In eadem figura, vel etiam in figuris diverſis, quarum latera recta principalia ſunt æqualia, velocitas corporis eſt reciproce ut perpendiculum demiſſum ab umbilico ad tangentem.

DE MOTU CORPORUM

Corol.6. In Parabola, velocitas eſt reciproce in ſubduplicata ra­tione diſtantiæ corporis ab umbilico figuræ; in Ellipſi magis varia­tur, in Hyperbola minus, quam in hac ratione. Nam (per Corol. 2. Lem. XIV.) perpendiculum demiſſum ab umbilico ad tangentem Parabolæ eſt in ſubduplicata ratione diſtantiæ. In Hyperbola per­pendiculum minus variatur, in Ellipſi magis.

Corol.7. In Parabola, velocitas corporis ad quamvis ab umbili­co diſtantiam, eſt ad velocitatem corporis revolventis in Circulo ad eandem a centro diſtantiam, in ſubduplicata ratione numeri bi­narii ad unitatem; in Ellipſi minor eſt, in Hyperbola major quam in hac ratione. Nam per hujus Corollarium ſecundum, velocitas in vertice Parabolæ eſt in hac ratione, & per Corollaria ſexta hu­jus & Propoſitionis quartæ, ſervatur eadem proportio in omnibus diſtantiis. Hinc etiam in Parabola velocitas ubique æqualis eſt ve­locitati corporis revolventis in Circulo ad dimidiam diſtantiam, in Ellipſi minor eſt, in Hyperbola major.

Corol.8. Velocitas gyrantis in Sectione quavis Conica eſt ad ve­locitatem gyrantis in Circulo in diſtantia dimidii lateris recti princi­palis Sectionis, ut diſtantia illa ad perpendiculum ab umbilico in tangentem Sectionis demiſſum. Patet per Corollarium quintum.

Corol.9. Unde cum (per Corol. 6. Prop. IV.) velocitas gyrantis in hoc Circulo ſit ad velocitatem gyrantis in Circulo quovis alio, reciproce in ſubduplicata ratione diſtantiarum; fiet ex æquo velo­citas gyrantis in Conica ſectione ad velocitatem gyrantis in Circulo in eadem diſtantia, ut media proportionalis inter diſtantiam illam communem & ſemiſſem principalis lateris recti ſectionis, ad per­pendiculum ab umbilico communi in tangentem ſectionis de­miſſum.

PROPOSITIO XVII. PROBLEMA. IX.

Poſito quod vis centripeta ſit reciproce proportionalis quadrato diſtan­ſtantiæ loeorum a centro, & quod vis illius quantitas abſoluta ſit cognita; requiritur Linea quam corpus deſcribit, de loco dato, cum data velocitate, ſecundum datam rectam egrediens.

Vis centripeta tendens ad punctum Sea ſit qua corpus pin or­bita quavis data pqgyretur, & cognoſcatur hujus velocitas in loco p.De loco P,ſecundum lineam PR,exeat corpus P,cum data velo­citate, & mox inde, cogente vi centripeta, deflectat illud in CoNI­ſectionem PqueHanc igitur recta PRtanget in P.Tangat itidem recta aliqua prOrbitam pqin p,& ſi ab Sad eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit (per Corol. 1. Prop. XVI.) latus re­ctum principale Coniſectionis ad latus rectum principale Orbitæ, in ratione compoſita ex duplicata ratione perpendiculorum & dupli­cata ratione velocitatum, atque adeo datur. Sit iſtud L.Da­tur præterea Coniſe­

ctionis umbilicus S.Anguli RPScom­plementum ad du­os rectos fiat angu­lus RPH,& dabi­tur poſitione linea PH,in qua umbilicus alter Hlocatur. De­miſſo ad PHperpen­diculo SK,erigi intelligatur ſemiaxis conjugatus BC,& erit SPq.-2KPH+PHq.=SHq.=4CHq.=4BHq-4BCq.= —SP+PH: quad. -LX—SP+PH=SPq.+2SPH+PHq. -LX—SP+PH.Addantur utrobique 2KPH-SPq-PHq +LX—SP+PH,& fiet LX—SP+PH=2SPH+2KPH,ſeu SP+PH,ad PH,ut 2SP+2KPad L.Unde datur PHtam longitudine quam poſitione. Nimirum ſi ea fit corporis &c. in Pvelocitas, ut latus rectum Lminus fuerit quam 2 SP+2KP,jacebit PHad eandem partem tangentis PRcum linea PS,adeoque figura erit Ellipſis, & ex datis umbilicis S, H,& axe principali SP+PH,dabitur: Sin tanta ſit corporis velocitas ut latus rectum Læquale fuerit 2 SP+2KP,longitudo PHinfi­nita erit, & propterea figura erit Parabola axem habens SHparal­lelum lineæ PK,& inde dabitur. Quod ſi corpus majori adhuc cum velocitate de loco ſuo Pexeat, capienda erit longitudo PHad alteram partem tangentis, adeoque tangente inter umbilicos per­gente, figura erit Hyperbola axem habens principalem æqualem dif­ferentiæ linearum SP& PH,& inde dabitur. Q.E.I.

LIBER PRIMUS.

Corol.1. Hinc in omni Coniſectione ex dato vertice principali D,latere recto L,& umbilico S,datur umbilicus alter Hcapiendo DH,ad DSut eſt latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4 DS.Nam proportio SP+PHad PHut 2 SP+2KPad L,in caſu hujus Corollarii, ſit DS+DHad DHut 4 DSad L,& diviſim DSad DHut 4 DS-Lad L.

DE MOTU CORPORUM

Corol.2. Unde ſi datur corporis velocitas in vertice principali D,invenietur Orbita expedite, capiendo ſcilicet latus rectum ejus, ad duplam diſtantiam DS,in duplicata ratione velocitatis hujus datæ ad velocitatem corporis in Circulo, ad diſtantiam DS,gyrantis (per Corol. 3. Prop. XVI.) dein DHad DSut latus rectum ad differen­tiam inter latus rectum & 4 DS.

Corol.3. Hinc etiam ſi corpus moveatur in Sectione quacunque Conica, & ex Orbe ſuo impulſu quocunque exturbetur; cognoſci poteſt Orbis in quo poſtea curſum ſuum peraget. Nam componen­do proprium corporis motum cum motu illo quem impulſus ſolus generaret, habebitur motus quocum corpus de dato impulſus loco, ſecundum rectam poſitione datam, exibit.

Corol.4. Et ſi corpus illud vi aliqua extrinſecus impreſſa conti­nuo perturbetur, innoteſcet curſus quam proxime, colligendo mu­tationes quas vis illa in punctis quibuſdam inducit, & ex ſeriei ana­logia mutationes continuas in locis intermediis æſtimando.

Scholium.

Si corpus Pvi centripeta ad

punctum quodcunQ.E.D.tum Rtendente moveatur in perimetro datæ cujuſcunque Sectionis co­nicæ cujus centrum ſit C,& re­quiratur Lex vis centripetæ: du­catur CGradio RPparalle­la, & Orbis tangenti PGoc­currens in G; & vis illa (per Corol. 1 & Schol. Prop. X, & Corol. 3 Prop. VII.) erit ut (CG cub./RP quad.)

LIBER PRIMUS.

SECTIO IV.

De Inventione Orbium Elliptieorum, Parabolieorum & Hyperbolico­rum ex umbilico dato.

LEMMA XV.

Si ab Ellipſeos vel Hyperbolæ cujuſvis umbilicis duobusS, H, ad punctum quodvis tertiumV inflectantur rectæ duæSV, HV, quarum unaHV æqualis ſit axi principali figuræ, alteraSV a perpendiculoTR in ſe demiſſo bi-

ſecetur inT; perpendiculum illudTR ſectionem Conicam alicubi tan­get: & contra, ſi tangit, eritHV æqualis axi principali figuræ.

Secet enim perpendiculum TRre­ctam HVproductam, ſi opus fuerit, in R; & jungatur SR.Ob æquales TS, TV,æquales erunt & rectæ SR, VR& anguli TRS, TRV.Unde punctum Rerit ad Sectionem Conicam, & perpendiculum TRtanget eandem: & contra. Q.E.D.

PROPOSITIO XVIII. PROBLEMA X.

Datis umbilico & axibus principalibus deſcribere Trajectorias Ellipti­cas & Hyperbolicas, quæ tranſibunt per puncta data, & rectas po­ſitione datas contingent.

Sit Scommunis umbilicus figurarum; ABlongitudo axis prin­cipalis Trajectoriæ cujuſvis; Ppunctum per quod Trajectoria de­bet tranſire; & TRrecta quam debet tangere. Centro Pinter­vallo AB-SP,ſi orbita ſit Ellipſis, vel AB+SP,ſi ea ſit Hy­perbola, deſcribatur circulus HG.Ad tangentem TRdemittatur perpendiculum ST,& producatur idem ad V,ut ſit TVæqualis ST; centroque V& intervallo ABdeſcribatur circulus FH.Hac methodo ſive dentur duo puncta P, p,ſive duæ tangentes TR, tr,ſive punctum P& tangens

TR,deſcribendi ſunt circuli duo. Sit Heorum interſectio com­munis, & umbilicis S, H,axe illo dato deſcribatur Trajectoria. Dico factum. Nam Trajecto­ctoria deſcripta (eo quod PH +SPin Ellipſi, & PH-SPin Hyperbola æquatur axi) tranſibit per punctum P,& (per Lemma ſuperius) tanget rectam TR.Et eodem argu­mento vel tranſibit eadem per puncta duo P, p,vel tanget re­ctas duas TR, tr. q.E.F.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XIX. PROBLEMA XI.

Circa datum umbilicum Trajectoriam Parabolicam deſcribere, quæ tranſibit per puncta data, & rectas poſitione datas continget.

Sit Sumbilicus, Ppunctum & TRtangens Trajectoriæ deſcri­bendæ. Centro P,intervallo PSdeſcribe cir­

culum FG.Ab umbilico ad tangentem demit­te perpendicularem ST,& produc eam ad V,ut ſit TVæqualis ST.Eodem modo deſcri­bendus eſt alter circulus fg,ſi datur alterum punctum p; vel inveniendum alterum punctum v,ſi datur altera tangens tr; dein ducenda re­cta IFquæ tangat duos circulos FG, fgſi dantur duo puncta P, p,vel tranſeat per duo puncta V, v,ſi dantur duæ tangentes TR, tr,vel tangat circulum FG& tranſeat per punctum V,ſi datur punctum P& tangens TR.Ad FIdemitte perpendicula­rem SI,eamque biſeca in K; & axe SK,vertice principali Kde­ſcribatur Parabola. Dico factum. Nam Parabola, ob æquales SK& IK, SP& FP,tranſibit per punctum P; & (per Lem­matis XIV. Corol. 3.) ob æquales ST& TV& angulum rectum STR,tanget rectam TR. q.E.F.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO XX. PROBLEMA XII.

Circa datum umbilicum Trajectoriam quamvis ſpecie datam deſcribe­re, quæ per data puncta tranſibit & rectas tanget pofitione datas.

Cas.1. Dato umbilico S,deſcribenda ſit Trajectoria ABCper puncta duo B, C.Quoniam Trajectoria datur ſpecie, dabitur ra­tio axis principalis ad diſtantiam

umbilieorum. In ea ratione cape KBad BS,& LCad CS.Cen­tris B, C,intervallis BK, CL,de­ſcribe circulos duos, & ad rectam KL,quæ tangat eoſdem in K& L,demitte perpendiculum SG,idemque ſeca in A& a,ita ut ſit GAad AS& Gaad aS,ut eſt KBad BS,& axe &c. Aa,verticibus A, a,deſcribatur Trajectoria. Dico factum. Sit enim Humbilicus alter Figuræ deſcriptæ, & cum ſit GAad ASut Gaad aS,erit di­viſim Ga-GAſeu Aaad aS-ASſeu SHin eadem &c. ratione, adeoQ.E.I. ratione quam habet axis principalis Figuræ deſcribendæ ad diſtantiam umbilieorum ejus; & propterea Figura deſcripta eſt ejuſdem ſpeciei cum deſcribenda. Cumque ſint KBad BS& LCad CSin eadem ratione, tranſibit hæc Figura per puncta B, C,ut ex Conicis manifeſtum eſt.

Cas.2. Dato umbilico S,deſcribenda ſit Trajectoria quæ rectas duas TR, tralicubi contingat. Ab umbilico in tangentes demitte perpendicula ST, St& produc ea­

dem ad V, v,ut ſint TV, tvæ­quales TS, tS.Biſeca Vvin O,& erige perpendiculum infinitum OH,rectamque VSinfinite pro­ductam ſeca in K& kita, ut ſit VKad KS& Vkad kSut eſt Trajectoriæ deſcribendæ axis prin­cipalis ad umbilieorum diſtantiam. Super diametro Kkdeſcribatur circulus ſecans OHin H; & umbilicis S, H,axe principali ipſam VHæquante, deſcribatur Trajectoria. Dico factum. Nam biſeca Kkin X,& junge HX, HS, HV, Hv.Quoniam eſt VKad KSut Vkad kS; & compofite ut VK+Vkad KS+kS; diviſimque ut Vk-VKad kS-KS,id eſt ut 2 VXad 2 KX& 2 KXad 2 SX,adeoque ut VXad HX& HXad SX,ſimilia erunt tri­angula VXH, HXS,& propterea VHerit ad SHut VXad XH,adeoque ut VKad KS.Habet igitur Trajectoriæ deſcriptæ axis principalis VHeam rationem ad ipſius umbilieorum diſtantiam SH,quam habet Trajectoriæ deſcribendæ axis principalis ad ipſius um­bilieorum diſtantiam, & propterea ejuſdem eſt ſpeciei. Inſuper cum VH, vHæquentur axi principali, & VS, vSa rectis TR, trperpendiculariter biſecentur, liquet, ex Lemmate XV, rectas illas Trajectoriam deſcriptam tangere. q.E.F.

DE MOTU CORPORUM

Cas.3. Dato umbilico Sdeſcribenda ſit Trajectoria quæ rect­am TRtanget in puncto dato R.In rectam TRdemitte perpen­dicularem ST,& produc eandem ad V,ut ſit TVæqualis ST.Junge VR,& rectam VSinfinite productam ſeca in K& k,ita ut ſit VKad SK& Vkad Skut Ellipſeos deſcribendæ axis principalis ad diſtantiam umbilieorum; circuloque ſuper diametro Kkde­ſcripto, ſecetur producta recta VRin H,& umbilicis S, H,axe principali rectam VHæquante, deſcribatur Trajectoria. Dico fa­ctum. Namque VHeſſe ad

SHut VKad SK,atque adeo ut axis principalis Trajectoriæ deſcribendæ ad diſtantiam um­bilieorum ejus, patet ex demon­ſtratis in Caſu ſecundo, & prop­terea Trajectoriam deſcriptam ejuſdem eſſe ſpeciei cum deſcri­benda; rectam vero TRqua an­gulus VRSbiſecatur, tangere Trajectoriam in puncto R,patet ex Conicis. q.E.F.

Cas.4. Circa umbilicum Sdeſcribenda jam ſit Trajectoria APB,quæ tangat rectam TR,tranſeatque per punctum quodvis Pextra tangentem datum, quæque ſimilis ſit Figuræ apb,axe principali ab& umbilicis s, hdeſcriptæ. In tangentem TRdemitte per­pendiculum ST,& produc idem ad V,ut ſit TVæqualis ST.An­gulis autem VSP, SVPfac angulos hsq, shqæquales; cen­troque q& intervallo quod ſit ad abut SPad VSdeſcribe circu­lum ſecantem Figuram apbin p.Junge sp& age SHquæ ſit ad shut eſt SPad sp,quæque angulum PSHangulo psh& angulum VSHangulo psqæquales conſtituat. Denique umbilicis S, H,& axe principali ABdiſtantiam VHæquante, deſcribatur ſectio Conica. Dico factum. Nam ſi agatur svquæ ſit ad sput eſt shad sq,quæque conſtituat angulum vspangulo hsq& angulum vshangulo psqæquales, triangula svh, spqerunt ſimilia, & prop­terea vherit ad pqut eſt shad sq,id eſt (ob ſimilia triangula

VSP, hsq) ut eſt VSad SPſeu abad pqueÆquantur ergo vh& ab.Porro ob ſimilia triangula VSH. vsh,eſt VHad SHut vhad sh,id eſt, axis Conicæ ſectionis jam deſcriptæ ad illius umbilieorum intervallum, ut axis abad umbilieorum inter­vallum sh; & propterea Figura jam deſeripta ſimilis eſt Figuræ apb.Tranſit autem hæc Figura per punctum P,eo quod trian­gulum PSHſimile ſit triangulo psh; & quia VHæquatur ipſius axi & VSbiſecatur perpendiculariter a recta TR,tangit eadem rectam TR. q.E.F.

LIBER PRIMUS.

LEMMA XVI.

A datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas quarum differentiæ vel dantur vel nullæ ſunt.

Cas.1. Sunto puncta illa data A, B, C& punctum quartum Z,quod invenire oportet; Ob datam differentiam linearum AZ, BZ,locabitur punctum Zin Hyperbola cujus umbilici ſunt A& B,& principalis axis differentia illa data. Sit axis ille MN.Cape PM.ad MAut eſt MNad AB,& erecta PRperpendiculari ad AB,demiſſaque ZRperpendiculari ad PR; erit, ex natura hujus Hy­perbolæ, ZRad AZut eſt MNad AB.Simili diſcurſu punctum Zlocabitur in alia Hyperbola, cujus umbilici ſunt A, C& princi­palis axis differentia inter AZ& CZ,ducique poteſt QSipſi ACperpendicularis, ad quam ſi ab Hyperbolæ hujus puncto quovis Zdemittatur normalis ZS,hæc fuerit ad AZut eſt differentia inter AZ& CZad AC.Dantur ergo rationes ipſarum ZR& ZSad AZ,& idcirco datur earun­

dem ZR& ZSratio ad invicem; ideoque ſi rectæ RP, SQconcur­rant in T,& agatur TZ,figura TRZS,dabitur ſpecie, & recta TZin qua punctum Zalicubi lo­catur, dabitur poſitione. Eadem methodo per Hyperbolam ter­tiam, cujus umbilici ſunt B& C& axis principalis differentia re­ctarum BZ, CZ,inveniri poteſt alia recta in qua punctum Zlocatur. Habitis autem duobus Locis recti­lineis, habetur punctum quæſitum Zin eorum interſectione. Q.E.I.

DE MOTU CORPORUM

Cas.2. Si duæ ex tribus lineis, puta AZ& BZæquantur, pun­ctum Zlocabitur in perpendiculo biſecante diſtantiam AB,& lo­cus alius rectilineus invenietur ut ſupra. Q.E.I.

Cas.3. Si omnes tres æquantur, locabitur punctum Zin centro Circuli per puncta A, B, Ctranſeuntis. Q.E.I.

Solvitur etiam hoc Lemma problematicum per Librum Tactio­num Apolloniia Vietareſtitutum.

PROPOSITIO XXI. PROBLEMA XIII.

Trajectoriam circa datum umbilicum deſcribere, quæ tranſibit per puncta data & rectas poſitione datas continget.

Detur umbilicus S,punctum P,& tangens TR,& invenien­dus ſit umbilicus alter H.Ad tangentem demitte perpendiculum ST,& produc idem ad Y,ut ſit TYæqualis ST,& erit YHæ­qualis axi principali. Junge SP, HP,& erit SPdifferentia inter HP& axem principalem. Hoc modo ſi dentur plures tangen-tes TR,vel plura puncta P,devenietur ſemper ad lineas totidem YH,vel PH,a dictis punctis Yvel

Pad umbilicum Hductas, quæ vel æquantur axibus, vel datis longitu­dinibus SPdifferunt ab iiſdem, at­que adeo quæ vel æquantur ſibi invi­cem, vel datas habent differentias; & inde, per Lemma ſuperius, datur umbi­licus ille alter H.Habitis autem um­bilicis una cum axis longitudine (quæ vel eſt YH; vel, ſi Trajectoria Ellipſis eſt, PH+SP; ſin Hy­perbola, PH-SP) habetur Trajectoria. Q.E.I.

LIBER PRIMUS.

Scholium.

Caſus ubi dantur tria puncta ſic ſolvitur expeditius. Dentur puncta B, C, D.Junctas BC, CDproduc ad E, F,ut ſit EBad ECut SBad SC,& FCad FDut SCad SD.Ad EFductam & productam demitte normales SG, BH,inque GSinfinite producta cape GAad AS& Gaad aSut eſt HBad BS; & erit Avertex, & Aaaxis principalis Trajectoriæ: quæ, perinde ut GAmajor, æqualis, vel minor fuerit quam AS,erit Ellipſis, Parabola vel Hyperbola; pun­

cto ain primo caſu cadente ad eandem partem lineæ GFcum puncto A; in ſecundo caſu abeunte in infinitum; in tertio cadente ad contrari­am partem lineæ GF.Nam ſi demittantur ad GFperpendicula CI, DK; erit ICad HBut ECad EB,hoc eſt, ut SCad SB; & vi­ciſſim ICad SCut HBad SBſive ut GAad SA.Et ſimili argumento probabitur eſſe KDad SDin eadem ratione. Jacent ergo puncta B, C, Din Coniſectione circa umbilicum Sita deſcripta, ut rectæ omnes ab umbilico Sad ſingula Sectionis puncta ductæ, ſint ad perpendicula a punctis iiſdem ad rectam GFdemiſſa in data illa ratione.

Methodo haud multum diſſimili hujus problematis ſolutionem tradit Clariſſimus Geometra de la Hire,Conieorum ſuorum Lib. VIII. Prop. XXV.

DE MOTU CORPORUM

SECTIO V.

Inventio Orbium ubi umbilicus neuter datur.

LEMMA XVII.

Si a datæ Conicæ Sectionis puncto quovisP, ad Trapezii alicujusABDC, in Conica illa ſectione inſcripti, latera quatuor infinite productaAB, CD, AC, DB, totidem rectæPQ, PR, PS, PT in datis angulis ducantur, ſingulæ ad ſingula: rectangulum duc­tarum ad oppoſita duo lateraPQXPR, erit ad rectangulum duc­tarum ad alia duo latera oppoſitaPSXPT in data ratione.

Cas.1. Ponamus primo lineas ad

oppoſita latera ductas parallelas eſ­ſe alterutri reliquorum laterum, puta PQ& PRlateri AC,& PSac PTlateri AB.SintQ.E.I.ſuper latera duo ex oppoſitis, puta AC& BD,ſibi invicem paralle­la. Et recta quæ biſecat paralle­la illa latera erit una ex diametris Conicæ ſectionis, & biſecabit eti­am RqueSit Opunctum in quo RQbiſecatur, & erit POordinatim applicata ad diametrum illam. Produc POad Kut ſit OKæqualis PO,& erit OKordinatim applicata ad contrarias partes diametri. Cum igitur puncta A, B, P& Kſint ad Conicam ſectionem, & PKſecet ABin dato an­gulo, erit (per Prop.17 & 18 Lib. III Conieorum Apollonii) rectangu­lum PQKad rectangulum AQBin data ratione. Sed QK& PRæquales ſunt, utpote æqualium OK, OP,& OQ, ORdifferentiæ, & inde etiam rectangula PQK& PQXPRæqualia ſunt; at­que adeo rectangulum PQXPReſt ad rectangulum AQB,hoc eſt ad rectangulum PSXPTin data ratione. Q.E.D.

Cas.2. Ponamus jam Trapezii latera oppoſita AC& BDnon eſſe parallela. Age Bdparallelam AC& occurrentem tum rectæ STin t,tum Conicæ ſectioni in d.Junge Cdſecantem PQin r,& ipſi PQparallelam age DM

ſecantem Cdin M& ABin N.Jam ob ſimilia triangula BTt, DBN; eſt Btſeu PQad Ttut DNad NB.Sic & Rreſt ad AQſeu PSut DMad AN.Ergo, ducendo antecedentes in antecedentes & conſequentes in conſequentes, ut rectangulum PQin Rreſt ad rectangulum PSin Tt,ita rectangulum NDMeſt ad rectangulum ANB,& (per Caſ.1) ita rectangulum PQin Preſt ad rectangulum PSin Pt,ac diviſim ita rectangulum PQXPReſt ad rectangulum PSXPT. Q.E.D.

LIBER PRIMUS.

Cas.3. Ponamus denique lineas

quatuor PQ, PR, PS, PTnon eſſe parallelas lateribus AC, AB,ſed ad ea utcunQ.E.I.clinatas. Ea­rum vice age Pq, Prparallelas ipſi AC; & Ps, Ptparallelas ipſi AB; & propter datos angu­los triangulorum PQq, PRr, PSs, PTt,dabuntur rationes PQad Pq, PRad Pr, PSad Ps,& PTad Pt; atque adeo rationes compoſitæ PQXPRad PqXPr,& PSXPTad PsXPt.Sed, per ſuperius de­monſtrata, ratio PqXPrad PsXPtdata eſt: Ergo & ratio PQXPRad PSXPT. Q.E.D.

LEMMA XVIII.

Iiſdem poſitis, ſi rectangulum ductarum ad oppoſita duo latera Tra­peziiPQXPR ſit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo late­raPSXPT in data ratione; punctumP, a quo lineæ ducuntur, tanget Conicam ſectionem circa Trapezium deſcriptam.

Per puncta A, B, C, D& aliquod infinitorum punctorum P,pu­ta p,concipe Conicam ſectionem deſcribi: dico punctum Phanc ſemper tangere. Si negas,

junge APſecantem hanc Conicam ſectionem alibi quam in P,ſi fieri poteſt, puta in b.Ergo ſi ab his punctis p& bducantur in datis angulis ad latera Tra­pezii rectæ pq, pr, ps, pt& bk, br, bſ, bd; erit ut bkXbr ad bſXbdita (per Lem. XVII) pqXprad psXpt,& ita (per Hypoth.) PQXPRad PSXPT.Eſt & prop­ter ſimilitudinem Trapeziorum bkAſ, PQAS,ut bkad bſita PQad PS.Quare, applicando terminos prioris proportionis ad terminos correſpondentes hujus, erit br ad bdut PRad PT.Er­go Trapezia æquiangula Dr bd, DRPTſimilia ſunt, & eorum diagonales Db, DPpropterea coincidunt. Incidit itaque bin interſectionem rectarum AP, DPadeoque coincidit cum puncto P.Quare punctum P,ubicunque ſumatur, incidit in aſſignatam Conicam ſectionem. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.Hinc ſi rectæ tres PQ, PR, PSa puncto communi Pad alias totidem poſitione datas rectas AB, CD, AC,ſingulæ ad ſingulas, in datis angulis ducantur, ſitque rectangulum ſub duabus ductis PQXPRad quadratum tertiæ PS quad.in data ratione: punctum P,a quibus rectæ ducuntur, locabitur in ſectione Conica quæ tangit lineas AB, CDin A& C; & contra. Nam coeat linea BDcum linea ACmanente poſitione trium AB, CD, AC; de­in coeat etiam linea PTcum linea PS:& rectangulum PSXPTevadet PS quad.rectæque AB, CDquæ curvam in punctis A& B, C& Dſecabant, jam Curvam in punctis illis coeuntibus non am­plius ſecare poſſunt ſed tantum tangent.

Scholium.

Nomen Conicæ ſectionis in hoc Lemmate late ſumitur, ita ut ſectio tam Rectilinea per verticem Coni tranſiens, quam Circularis baſi parallela includatur. Nam ſi punctum pincidit in rectam, qua quævis ex punctis quatuor A, B, C, Djunguntur, Conica ſectio vertetur in geminas Rectas, quarum una eſt recta illa in quam pun­ctum pincidit, & altera eſt recta qua alia duo ex punctis quatuor jun­guntur. Si Trapezii anguli duo oppoſiti ſimul ſumpti æquentur duobus rectis, & lineæ quatuor PQ, PR, PS, PTducantur ad latera ejus vel perpendiculariter vel in angulis quibuſvis æqualibus, ſitque rectangulum ſub duabus ductis PQXPRæquale rectangu­lo ſub duabus aliis PSXPT,Sectio conica evadet Circulus. Idem fiet ſi lineæ quatuor ducantur in angulis quibuſvis & rectangulum ſub duabus ductis PQXPRſit ad rectangulum ſub aliis duabus PSXPTut rectangulum ſub ſinubus angulorum S, T,in quibus duæ ultimæ PS, PTducuntur, ad rectangulum ſub ſinubus angu­lorum Q, R,in quibus duæ primæ PQ, PRducuntur. Cæteris in caſibus Locus puncti Perit aliqua trium figurarum quæ vulgo nominantur Sectiones Conicæ. Vice autem Trapezii ABCDſub­ſtitui poteſt Quadrilaterum cujus latera duo oppoſita ſe mutuo in­ſtar diagonalium decuſſant. Sed & e punctis quatuor A, B, C, Dpoſſunt unum vel duo abire ad infinitum, eoque pacto latera fi­guræ quæ ad puncta illa convergunt, evadere parallela: quo in caſu Sectio Conica tranſibit per cætera puncta, & in plagas paralle­larum abibit in infinitum.

LIBER PRIMUS.

LEMMA XIX.

Invenire punctumP, a quo ſi rectæ

quatuorPQ, PR, PS, PT, ad alias totidem poſitione datas rectasAB, CD, AC, BD, ſingulæ ad ſingulas in datis angulis ducantur, rectangulum ſub duabus ductis,PQXPR, ſit ad rectangulum ſub aliis duabus,PSXPT, in data ra­tione.

Lineæ AB, CD,ad quas rectæ duæ PQ, PR,unum rectan­gulorum continentes ducuntur, conveniant cum aliis duabus poſi­tione datis lineis in punctis A, B, C, D.Ab eorum aliquo Aage rectam quamlibet AH,in qua velis punctum Preperiri. Secet ea lineas oppoſitas BD, CD,nimirum BDin H& CDin I,& ob datos omnes angulos figuræ, dabuntur rationes PQad PA& PAad PS,adeoque ratio PQad

PS.Auferendo hanca data ra­tione PQXPRad PSXPT,dabitur ratio PRad PT,& addendo datas rationes PIad PR,& PTad PHdabitur ratio PIad PHatque adeo punctum P. Q.E.I.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Hinc etiam ad Loci punctorum infinitorum Ppun­ctum quodvis Dtangens duci poteſt. Nam chorda PDubi puncta Pac Dconveniunt, hoc eſt, ubi AHducitur per punctum D,tangens evadit. Quo in caſu, ultima ratio evaneſcentium IP& PHinvenietur ut ſupra. Ipſi igitur ADdue parallelam CF,occurrentem BDin F,& in ea ul­tima ratione ſectam in E,& DEtangens erit, propterea quod CF& evaneſcens IHparallelæ ſunt, & in E& Pfimiliter ſectæ.

Corol.2. Hinc etiam Locus punctorum omnium Pdefiniri poteſt. Per quodvis punctorum A, B, C, D,puta A,duc Loci tangentem AE& per aliud quodvis punctum Bduc tangenti parallelam BFoccurrentem Loco in F.Invenie­

tur autem punctum Fper Lem. XIX. Biſeca BFin G,& acta indefinita AGerit poſitio diametri ad quam BG& FGordinatim applicantur. Hæc AGoccurrat Loco in H,& erit AHdiameter ſive latus tranſ­verſum, ad quod latus rectum erit ut BGquead AGH.Si AGnullibi occurrit Loco, linea AHexiſtente infinita, Locus erit Parabola & la­rum rectum ejus ad diametrum AGpertinens erit (BGq./AG) Sin ea alicubi occurrit, Locus Hyperbola erit ubi puncta A& Hſita ſunt ad eaſdem partes ipſius G:& Ellipſis, ubi Gintermedium eſt, niſi forte angulus AGBrectus ſit & inſuper BG quad.æquale rectangulo AGH,quo in caſu Circulus habebitur.

AtQ.E.I.a Problematis Veterum de quatuor lineis ab Euclideincæp­ti & ab Apolloniocontinuati non calculus, ſed compoſitio Geometri­ca, qualem Veteres quærebant, in hoc Corollario exhibetur.

LIBER PRIMUS.

LEMMA XX.

Si Parallelogrammum quodvisASPQ angulis duobus oppoſitisA &P tangit ſectionem quamvis Conicam in punctisA &P; &, lateri­bus unius angulorum illorum infinite productisAQ, AS, occurrit eidem ſectioni Conicæ inB &C; a punctis autem occurſuumB &C ad quintum quodvis ſectionis Conicæ punctumD agantur rec­tæ duæBD, CD occurrentes alteris duobus infinite productis pa­rallelogrammi lateribusPS, PQ inT &R: erunt ſemper abſciſſæ laterum partesPR &PT adinvicem in data ratione. Et contra, ſi partes illæ abſciſſæ ſunt ad invicem in data ratione, punctumD tan­get Sectionem Conicam per puncta quatuorA, B, C, P tranſeuntem.

Cas.1. Jungantur BP, CP& a puncto Dagantur rectæ duæ DG, DE,quarum prior

DGipſi ABparallela ſit & occurrat PB, PQ, CAin H, I, G; altera DEparal­lela ſit ipfi AC& occurrat PC, PS, ABin F, K, E:& erit (per Lemma XVII.) re­ctangulum DEXDFad re­ctangulum DGXDHin ra­tione data. Sed eſt PQad DE(ſeu IQ) ut PBad HB,adeoque ut PTad DH; & viciſſim PQad PTut DEad DH.Eſt & PRad DFut RCad DC,adeoque ut (IGvel) PSad DG,& viciſſim PRad PSut DFad DG; & conjunctis rationibus fit rectangulum PQXPRad rectangulum PSXPTut rectangulum DEXDFad rectan­gulum DGXDH,atque adeo in data ratione. Sed dantur PQ& PS& propterea ratio PRad PTdatur. Q.E.D.

Cas.2. Quod ſi PR& PTponantur in data ratione ad invi­cem, tum ſimili ratiocinio regrediendo, ſequetur eſſe rectangulum DEXDFad rectangulum DGXDHin ratione data, adeoque punctum D(per Lemma XVIII.) contingere Conicam ſectionem tranſeuntem per puncta A, B, C, P. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Hinc ſi agatur BCſecans PQin r,& in PTcapiatur Ptin ratione ad Prquam habet PTad PR:erit Bttangens Conicæ ſectionis ad punctum B.Nam concipe punctum Dcoire cum puncto Bita ut, chorda BDevaneſcente, BTtangens eva­dat; & CDac BTcoincident cum CB& Bt.

Corol.2. Et vice verſa ſi

Btfit tangens, & ad quod­vis Conicæ ſectionis punc­tum Dconveniant BD, CD; erit PRad PTut ut Prad Pt.Et contra, ſi ſit PRad PTut Prad Pt:convenient BD, CDad Conicæ Sectionis punc­um aliquod D.

Corol.3. Conica ſectio non ſecat Conicam ſectio­nem in punctis pluribus quam quatuor. Nam, ſi fieri poteſt, tranſ­eant duæ Conicæ ſectiones per quinque puncta A, B, C, P, O; eaſ­que ſecet recta BDin punctis D, d,& ipſam PQſecet recta Cdin r. Ergo PReſt ad PTut Pr ad PT; unde PR& Pr ſibi invicem æquantur, contra Hypotheſin.

LEMMA XXI.

Si rectæ duæ mobiles & infinitæBM, CM per data punctaB, C, ceu polos ductæ, concurſu ſuoM deſcribant tertiam poſitione da­tam rectamMN; & aliæ duæ infinitæ rectæBD, CD cum prioribus duabus ad puncta illa dataB, C datos angulosMBD, MCD efficientes ducantur; dico quod hæ duæBD, CD concurſu ſuoD deſcribent ſectionem Conicam per punctaB, C tranſeuntem. Et vice verſa, ſi rectæBD, CD concurſu ſuoD deſcribant Sectionem Conicam per data punctaB, C, A tranſeuntem, & ſit angulusDBM ſemper æqualis angulo datoABC, anguluſqueDCM ſemper æqualis angulo datoACB: punctumM continget rectam poſitione datam.

LIBER PRIMUS.

Nam in recta MNdetur punctum N,& ubi punctum mobile Mincidit in immotum N,incidat punctum mobile Din immo­tum P,Junge CN, BN,

CP, BP,& a puncto Page rectas PT, PRoccurrentes ipſis BD, CDin T& R,& fa­cientes angulum BPTæqualem angulo dato BNM,& angulum CPRæqualem angu­gulo dato CNM.Cum ergo (ex Hypotheſi) æquales ſint anguli MBD, NBP,ut & anguli MCD, NCP; aufer communes NBD& NCD,& reſtabunt æquales NBM& PBT, NCM& PCR:adeoque triangula NBM, PBTſimilia ſunt, ut & triangula NCM, PCR.Quare PTeſt ad NMut PBad NB,& PRad NMut PCad NC.Sunt autem puncta B, C, N, Pimmobilia. Ergo PT& PRdatam habent rationem ad NM,pro­indeQ.E.D.tam rationem inter ſe; atque adeo, per Lemma xx, punctum D(perpetuus rectarum mobilium BT& CRconcurſus) contingit ſectionem Conicam, per puncta B, C, Ptranſeuntem. Q.E.D.

Et contra, ſi punctum mobile Dcontingat ſectionem Conicam tranſeuntem per data puncta B, C, A,& ſit angulus DBMſemper æqualis angulo dato ABC,& angulus DCMſemper æqualis angu­lo dato ACB,& ubi punctum Dincidit ſucceſſive in duo quævis ſe­ctionis puncta immobilia p, P,punctum mobile Mincidat ſucceſſive in puncta duo immobilia n, N:per eadem n, Nagatur Recta n N,& hæc erit Locus perpetuus puncti illius mobilis M.Nam, ſi fieri poteſt, verſetur punctum Min linea aliqua Curva. Tanget ergo punctum Dſectionem Conicam per puncta quinque B, CA, p, P,tranſeuntem, ubi punctum Mperpetuo tangit lineam Curvam. Sed & ex jam demonſtratis tanget etiam punctum Dſectionem CoNI­cam per eadem quinque puncta B, C, A, p, Ptranſeuntem, ubi pun-

ctum Mperpetuo tangit lineam Rectam. Ergo duæ ſectiones Co­nicæ tranſibunt per eadem quinque puncta, contra Corol. 3. Lem. xx. Igitur punctum Mverſari in linea Curva abſurdum eſt. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XXII. PROBLEMA. XIV.

Trajectoriam per data quinque puncta deſcribere.

Dentur puncta quinque A, B, C, P, D.Ab eorum aliquo Aad alia duo quævis B, C,quæ poli nominentur, age rectas AB, AC,

hiſque parallelas TPS, PRQper punctum quartum P.De­inde a polis duobus B, Cage per punctum quintum DinfiNI­tas duas BDT, CRD,noviſſime ductis TPS, PRQ(prio­rem priori & poſteriorem poſteriori) occurrentes in T& R.De­niQ.E.D. rectis PT, PR,acta recta tripſi TRparallela, ab­ſcinde quaſvis Pt, Pripſis PT, PRproportionales; & ſi per earum terminos t, r& polos B, Cactæ Bt, Crconcurrant in d,locabitur punctum illud din Trajectoria quæſita. Nam punc­tum illud d(per Lemma xx) verſatur in Conica Sectione per puncta quatuor A, B, C, Ptranſeunte; &, lineis Rr, Ttevane­ſcentibus, coit punctum dcum puncto D.Tranſit ergo ſectio Co­nica per puncta quinque A, B, C, P, D. Q.E.D.

Idem aliter.

LIBER PRIMUS.

E punctis datis junge tria quævis A, B, C; &, circum duo eorum B, Cceu polos, rotando angulos magnitudine datos ABC, ACB,applicentur cru­

ra BA, CAprimo ad punctum D,deinde ad punctum P,& no­tentur puncta M, Nin quibus altera crura BL, CLcaſu utroque ſe decuſſant. Agatur recta infinita MN,& rotentur anguli illi mo­biles circum polos ſuos B, C,ea lege ut cru­rum BL, CLvel BM, CMinterſectio quæ jam ſit mincidat ſemper in rectam illam infinitam MN& cru­rum BA, CA,vel BD, CDinterſectio, quæ jam ſit d,Trajecto­riam quæſitam PAD dBdelineabit. Nam punctum d,per Lem. XXI, continget ſectionem Conicam per puncta B, Ctranſeuntem; & ubi punctum maccedit ad puncta L, M, N,punctum d(per con­ſtructionem) accedet ad puncta A, D, P.Deſcribetur itaque ſec­tio Conica tranſiens per puncta quinque A, B, C, P, D. q.E.F.

Corol.1. Hinc recta expedite duci poteſt quæ Trajectoriam quæ­ſitam, in puncto quovis dato B,continget. Accedat punctum dad punctum B,& recta Bdevadet tangens quæſita.

Corol.2. Unde etiam Trajectoriarum Centra, Diametri & Latera recta inveniri poſſunt, ut in Corollario ſecundo Lemmatis XIX.

Scholium.

Conſtructio prior evadet paulo ſimplicior jungendo BP,& in ea, ſi opus eſt, producta capiendo Bpad BPut eſt PRad PT; & per pagendo rectam infinitam pd ipſi SPTparallelam, inque ea capiendo ſemper pd æqualem Pr; & agendo rectas Bd, Crcon­currentes in d.Nam cum ſint Prad Pt, PRad PT, pBad PB, pd ad Ptin eadem ratione; erunt pd & Prſemper æqua-les. Hac methodo puncta Trajectoriæ inveniuntur expeditiſſime,

niſi mavis Curvam, ut in conſtructione ſecunda, deſeribere Me­chanice.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XXIII. PROBLEMA XV.

Trajectoriam deſcribere quæ per data quatuor puncta tranſibit, & rec­tam continget poſitione datam.

Cas.1. Dentur tangens HB,punctum contactus B,& alia tria puncta C, D, P.Junge BC,& agendo PSparallelam BH,& PQparallelam BC,comple parallelogrammum BSPque

Age BDſecantem SPin T,& CDſecantem PQin R.De­nique, agendo quamvis tripſi TRparallelam, de PQ, PSabſcinde Pr, Ptipſis PR, PTproportionales reſpective; & actarum Cr, Btconcurſus d(per Lem. xx) incidet ſemper in Trajectoriam deſcribendam.

LIBER PRIMUS.

Idem aliter.

Revolvatur tum angulus magnitudine datus CBHcirca polum B,tum radius quilibet rectilineus & utrinque productus DCcir­ca polum C.Notentur puncta M, Nin quibus anguli crus BCſecat radium illum ubi crus alterum BHconcurrit cum eodem ra­dio in punctis P& D.Deinde ad actam infinitam MNcon­

currant perpetuo radius ille CPvel CD& anguli crus BC,& cruris alterius BHconcurſus cum radio delineabit Trajectoriam quæſitam.

Nam ſi in conſtructionibus Problematis ſuperioris accedat punc­tum Aad punctum B,lineæ CA& CBcoincident, & linea ABin ultimo ſuo ſitu fiet tangens BH,atque adeo conſtructiones ibi po­ſitæ evadent eædem cum conſtructionibus hic deſcriptis. Delinea­bit igitur cruris BHconcurſus cum radio ſectionem Conicam per puncta C, D, Ptranſeuntem, & rectam BHtangentem in puncto B. q.E.F.

Cas.2. Dentur puncta quatuor B, C, D, Pextra tangentem HIſita. Junge bina lineis BD, CPconcurrentibus in G,tangen-tique occurrentibus in H& I.Secetur tangens in A,ita ut ſit HAad AI,ut eſt rectan­

gulum ſub media proportio­nali inter CG& GP& me­dia proportionali inter BH& HD,ad rectangulum ſub me­dia proportionali inter DG& GB& media proportionali in­ter PI& IC; & erit Apunc­tum contactus. Nam ſi rectæ PIparallela HXTrajecto­riam ſecet in punctis quibuſ­vis X& Y:erit (ex Conicis) punctum Aita locandum, ut fuerit HA quad.ad AI quad.in ra­tione compoſita ex ratione rectanguli XHYad rectangulum BHDſeu rectanguli CGPad rectangulum DGB& ex ratione rectan­guli BHDad rectangulum PIC.Invento autem contactus puncto A,deſcribetur Trajectoria ut in caſu primo. q.E.F.Capi autem poteſt punctum Avel inter puncta H& I,vel extra; & perinde Trajectoria dupliciter deſcribi.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XXIV. PROBLEMA XVI.

Trajectoriam deſcribere quæ tranſibit per data tria puncta & rectas duas poſitione datas continget.

Dentur tangentes HI, KL&

puncta B, C, D.Per punctorum duo quævis B, Dage rectam in­finitam BDtangentibus occur­rentem in punctis H, K.Deinde etiam per alia duo quævis C, Dage infinitam CDtangentibus oc­currentem in punctis I, L.Actas ita ſeca in R& S,ut ſit HRad KRut eſt media proportionalis inter BH& HDad mediam proportionalem inter BK& KD; & ISad LSut eſt media pro­portionalis inter CI& IDad me­diam proportionalem inter CL& LD.Seca autem pro lubitu vel inter puncta K& H,I& L,vel extra eadem: dein age RSſecantem tangentes in A& P,& erunt A& Ppuncta contactuum. Nam ſi A& Pſupponantur eſſe puncta contactuum alicubi in tangentibus ſi­ta; & per punctorum H, I, K, Lquodvis I,in tangente al­terutra HIſitum, agatur recta IYtangenti alteri KLparal­lela, quæ occurrat curvæ in X& Y,& in ea ſumatur IZme­dia proportionalis inter IX& IY:erit, ex Conicis, rectangulum XIYſeu IZ quad.ad LP quad.ut rectangulum CIDad rectan­gulum CLD,id eſt (per conſtructionem) ut SI quad.ad SL quad:atque adeo IZad LPut SIad SL.Jacent ergo punc­ta S, P, Zin una recta. Porro tangentibus concurrentibus in G,e­rit (ex Conicis) rectangulum XIYſeu IZ quad.ad IA quad.ut GP quadad GA quad:adeoque IZ& IAut GPad GA.Jacent ergo puncta P, Z& Ain una recta, adeoque puncta S, P& Aſunt in una recta. Et eodem argumento probabitur quod puncta R, P& Aſunt in una recta. Jacent igitur puncta contactuum A& Pin recta RS.Hiſce autem inventis, Trajectoria deſeribetur ut in caſu primo Problematis ſuperioris. q.E.F.

LIBER PRIMUS.

LEMMA XXII.

Figuras in alias ejuſdem generis figur as mutare.

Tranſmutanda ſit figura quævis HGI.Ducantur pro lubitu rectæ duæ parallelæ AO, BLtertiam quamvis poſitione datam ABſecantes in A& B,

& a figuræ puncto quo­vis G,ad rectam ABducatur quævis GD,ipſi OAparallela. De­inde a puncto aliquo O,in linea OAdato, ad punctum Dducatur recta OD,ipſi BLoc­currens in d,& a puncto occurſus erigatur recta dgdatum quemvis angulum cum recta BLcontinens, atque eam habens rationem ad Odquam habet DGad OD; & erit gpunc­tum in figura nova hgipuncto Greſpondens. Eadem ratione puncta ſingula figuræ primæ dabunt puncta totidem figura novæ. Concipe igitur punctum Gmotu continuo percurrere puncta om­nia figuræ primæ, & punctum gmotu itidem continuo percurret puncta omnia figuræ novæ & eandem deſcribet. Diſtinctionis gra­tia nominemus DGordinatam primam, dgordinatam novam; ADabſciſſam primam, adabſciſſam novam; Opolum, ODra­dium abſcidentem, OAradium ordinatum primum, & Oa(qno parallelogrammum OABacompletur) radium ordinatum novum.

DE MOTU CORPORUM

Dico jam quod, ſi punctum Gtangit rectam Lineam poſitione da­tam, punctum gtanget etiam Lineam rectam poſitione datam. Si punctum Gtangit Conicam ſectionem, punctum gtanget etiam Conicam ſectionem. Conicis ſectionibus hic Circulum annumero. Porro ſi punctum Gtan­

git Lineam tertii ordinis Analytici, punctum gtanget Lineam tertii iti­dem ordinis; & ſic de curvis lineis ſuperiorum ordinum. Lineæ duæ e­runt ejuſdem ſemper or­dinis Analytici quas pun­cta G, gtangunt. Et­enim ut eſt adad OAita ſunt Odad OD, dgad DG,& ABad AD; adeoque ADæqualis eſt (OAXAB/ad), & DGæqualis eſt (OAXdg/ad). Jam ſi punc­tum Gtangit rectam Lineam, atque adeo in æquatione quavis, qua relatio inter abſciſſam AD& ordinatam DGhabetur, in­determinatæ illæ AD& DGad unicam tantum dimenſionem aſcendunt, ſcribendo in hac æquatione (OAXAB/ad) pro AD,& (OAXdg/ad) pro DG,producetur æquatio nova, in qua abſciſſa no­va ad& ordinata nova dgad unicam tantum dimenſionem aſcen­dent, atque adeo quæ deſignat Lineam rectam. Sin AD& DG(vel earum alterutra) aſcendebant ad duas dimenſiones in æquati­one prima, aſcendent itidem ad& dgad duas in æquatione ſecun­da. Et ſic de tribus vel pluribus dimenſionibus. Indeterminatæ ad, dgin æquatione ſecunda & AD, DGin prima aſcendent ſem­per ad eundem dimenſionum numerum, & propterea Lineæ, quas puncta G, gtangunt, ſunt ejuſdem ordinis Analytici.

Dico præterea quod ſi recta aliqua tangat lineam curvam in fi­gura prima; hæc recta eodem modo cum curva in figuram novam tranſlata tanget lineam illam curvam in figura nova: & contra. Nam ſi Curvæ puncta quævis duo accedunt ad invicem & coeunt in fi­gura prima, puncta eadem tranſlata accedent ad invicem & coibunt in figura nova, atque adeo rectæ, quibus hæc puncta junguntur, ſi­mul evadent curvarum tangentes in figura utraque. Componi poſ­ſent harum aſſertionum Demonſtrationes more magis Geometrico. Sed brevitati conſulo.

LIBER PRIMUS.

Igitur ſi figura rectilinea in aliam tranſmutanda eſt, ſufficit rec­tarum a quibus conflatur interſectiones transferre, & per eaſdem in figura nova lineas rectas ducere. Sin curvilineam tranſmutare oportet, transferenda ſunt puncta, tangentes & aliæ rectæ quarum ope curva linea definitur. Inſervit autem hoc Lemma ſolutioni difficiliorum Problematum, tranſmutando figuras propoſitas in ſim­pliciores. Nam rectæ quævis convergentes tranſmutantur in pa­rallelas, adhibendo pro radio ordinato primo, lineam quam­vis rectam quæ per concurſum convergentium tranſit: id adeo quia concurſus ille hoc pacto abit in infinitum, lineæ autem parallelæ ſunt quæ ad punctum infinite diſtans tendunt. Poſtquam autem Problema ſolvitur in figura nova, ſi per inverſas operationes tranſ­mutetur hæc figura in figuram primam, habebitur ſolutio quæſita.

Utile eſt etiam hoc Lemma in ſolutione Solidorum Problema­tum. Nam quoties duæ ſectiones Conicæ obvenerint, quarum in­terſectione Problema ſolvi poteſt, tranſmutare licet earum alter­utram, ſi Hyperbola ſit vel Parabola, in Ellipſin: deinde Ellipſis facile mutatur in Circulum. Recta item & ſectio Conica, in con­ſtructione Planorum Problematum, vertuntur in Rectam & Cir­culum.

PROPOSITIO XXV. PROBLEMA XVII.

Trajectoriam deſcribere qua per data duo puncta tranſibit & rectas tres continget poſitione datas.

Per concurſum tangentium quarumvis duarum cum ſe invicem, & concurſum tangentis tertiæ cum recta illa, quæ per puncta duo data tranſit, age rectam infinitam; eaque adhibita pro radio ordinato pri­mo, tranſmutetur figura, per Lemma ſuperius, in figuram novam. In hac figura tangentes illæ duæ evadent ſibi invicem parallelæ, & tan­gens tertia fiet parallela rectæ per

puncta duo data tranſeunti. Sunto hi, kltangentes illæ duæ parallelæ, iktangens tertia, & hlrecta huic parallela tranſiens per puncta illa a, b,per quæ Conica ſectio in hac figura nova tranſire debet, & pa­rallelogrammum hiklcomplens. Secentur rectæ hi, ik, klin c, d, e,ita ut ſit hcad latus quadratum rectanguli ahb, icad id,& kead kdut eſt ſumma rectarum hi& klad ſummam trium linea­rum quarum prima eſt recta ik,& alteræ duæ ſunt latera quadrata rectangulorum ahb& alb& erunt c, d, epuncta contactuum. Et­enim, ex Conicis, ſunt hcquadratum ad rectangulum ahb,& icquadratum ad idquadratum, & kequadratum ad kdquadratum, & elquadratum ad rectangulum albin eadem ratione; & propter­ea hcad latus quadratum ipſius ahb, icad id, kead kd,& elad latus quadratum ipſius albſunt in ſubduplicata illa ratione, & compoſite, in data ratione omnium antecedentium hi& klad omnes conſequentes, quæ ſunt latus quadratum rectanguli ahb& recta ik& latus quadratum rectanguli alb.Habentur igitur ex data illa ratione puncta contactuum c, d, e,in figura nova. Per inverſas operationes Lemmatis noviſſimi transferantur hæc pun­cta in figuram primam & ibi, per Probl. XIV, deſcribetur Trajectoria. q.E.F.Ceterum perinde ut puncta a, bja­cent vel inter puncta h, l,vel extra, debent puncta c, d, evel inter puncta h, i, k, lcapi, vel extra. Si punctorum a, bal­terutrum cadit inter puncta h, l,& alterum extra, Problema im­poſſibile eſt.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XXVI. PROBLEMA XVIII.

Trajectoriam deſcribere quæ tranſibit per punctum datum & rectas quatuor poſitione datas continget.

Ab interſectione communi duarum quarumlibet tangentium ad interſectionem communem reliquarum duarum agatur recta infini-ta, & eadem pro radio ordinato primo adhibita, tranſmutetur fi­gura (per Lem. XXII) in figuram novam, & tangentes binæ, quæ ad radium ordinatum primum concurrebant, jam evadent parallelæ. Sun­to illæ hi& kl, ik& hlcontinentes parallelogrammum hikl.Sit­que ppunctum in hac nova figura, puncto in figura prima dato reſpondens. Per figuræ centrum Oagatur pq,& exiſtente Oqæ­quali Op,erit qpunctum alterum per quod ſectio Conica in hac figura nova tranſire debet. Per Lemmatis XXII operationem in­verſam transferatur hoc punctum in figuram primam, & ibi habe­buntur puncta duo per quæ Trajectoria deſcribenda eſt. Per ea­dem vero deſcribi poteſt Trajectoria illa per Prob. XVII. q.E.F.

LIBER PRIMUS.

LEMMA XXIII.

Si rectæ duæ poſitione datæAC, BD ad data punctaA, B, ter­minentur, datamque habeant rationem ad invicem, & rectaCD, qua puncta indeterminataC, D junguntur, ſecetur in ra­tione data inK: dico quod punctumK locabitur in recta poſi­tione data.

Concurrant enim rectæ AC,

BDin E,& in BEcapiatur BGad AEut eſt BDad AC,ſit­que FDſemper æqualis datæ EG; & erit ex conſtructione ECad GD,hoc eſt, ad EFut ACad BD,adeoQ.E.I. ratione data, & propterea dabitur ſpecie triangulum EFC.Secetur CFin Lut ſit CLad CFin ratio­ne CKad CD; &, ob datam il­lam rationem, dabitur etiam ſpecie triangulum EFL; proindeque punctum Llocabitur in recta ELpoſitione data. Junge LK,& ſimilia erunt triangula CLK, CFD; &, ob datam FD& datam rationem LKad FD,dabitur LK.Huic æqualis capiatur EH,& erit ſemper ELKHparallelogrammum. Locatur igitur punc­tum Kin parallelogrammi illius latere poſitione dato HK. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

LEMMA XXIV.

Si rectæ tres tangant quamcunque Coniſectionem, quarum duæ pa­rallelæ ſint ac dentur poſitione; dico quod Sectionis ſemidia­meter hiſce duabus parallela, ſit media proportionalis inter ha­rum ſegmenta, punctis contactuum & tangenti tertiæ inter­jecta.

Sunto AF, GBpa­

rallelæ duæ Coniſec­tionem ADBtan­gentes in A& B; EFrecta tertia Coniſec­tionem tangens in I,& occurrens prioribus tangentibus in F& G; ſitque CDſemidiame­ter Figuræ tangenti­bus parallela: Dico quod AF, CD, BGſunt continue proportionales.

Nam ſi diametri conjugatæ AB, DMtangenti FGoccurrant in E& H,ſeque mutuo ſecent in C,& compleatur parallelogram­mum IKCL; erit, ex natura Sectionum Conicarum, ut ECad CAita CAad CL,& ita diviſim EC-CAad CA-CL,ſeu EAad AL,& compoſite EAad EA+ALſeu ELut ECad EC+CAſeu EB; adeoque (ob ſimilitudinem triangulorum EAF, ELI, ECH, EBG) AFad LIut CHad BG.Eſt itidem, ex natura Sectionum Conicarum, LI(ſeu CK) ad CDut CDad CH; atque, adeo ex æquo perturbate, AFad CDut CDad BG. Q.E.D.

Corol.1. Hinc ſi tangentes duæ FG, PQtangentibus parallelis AF, BGoccurrant in F& G, P& Q,ſeque mutuo ſecent in O; erit (ex æquo perturbate) AFad BQut APad BG,& diviſim ut FPad GQ,atque adeo ut FOad OG.

Corol.2. Unde etiam rectæ duæ PG, FQper puncta P& G, F& Qductæ, concurrent ad rectam ACBper centrum Figuræ & puncta contactuum A, Btranſeuntem.

LIBER PRIMUS.

LEMMA XXV.

Si parallelogrammi latera quatuor infinite producta tangant Sectio­nem quamcunque Conicam, & abſcindantur ad tangentem quamvis quintam; ſumantur autem laterum quorumvis duorum contermi­norum abſciſſæ terminatæ ad angulos oppoſitos parallelogrammi: dico quod abſciſſa alterutra ſit ad latus illud a quo est abſciſſa, ut pars lateris alterius contermini inter punctum contactus & latus tertium, est ad abſciſſarum alteram.

Tangant parallelogrammi MLIKlatera quatuor ML, IK, KL, MIſectionem Conicam in A, B, C, D,& ſecet tangens quinta FQhæc latera in F, Q, H

& E; ſumantur autem laterum MI, KIab­ſciſſæ ME, KQ,vel laterum KL, MLab­ſciſſæ KH, MF:di­co quod ſit MEad MIut BKad KQ; & KHad KLut AMad MF.Nam per Corollarium ſe­cundum Lemmatis ſuperioris, eſt MEad EIut (AMſeu) BKad BQ,& componendo MEad MIut BKad Kque Q.E.D.Item KHad HLut (BKſeu) AMad AF,& dividendo KHad KLut AMad MF. Q.E.D.

Corol.1. Hinc ſi datur parallelogramum IKLM,circa datam Sec­tionem Conicam deſeriptum, dabitur rectangulum KQXME,ut & huic æquale rectangulum KHXMF.

Corol.2. Et ſi ſexta ducatur tangens eqtangentibus KI, MIoccurrens in q& e; rectangulum KQXMEæquabitur rectan­gulo KqXMe; eritque KQad Meut Kqad ME,& diviſim ut Qqad Ee.

Corol.3. Unde etiam ſi Eq, eQjungantur & biſecentur, & recta per puncta biſectionum agatur, tranſibit hæc per centrum Sectio­nis Conicæ. Nam cum ſit Qqad Eeut KQad Me,tranſibit ea-dem recta per medium omnium Eq, eQ, MK; (per Lem. XXIII) & medium rectæ MKeſt centrum Sectionis.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XXVII. PROBLEMA XIX.

Trajectoriam deſcribere quæ rectas quinque poſitione datas continget.

Dentur pofitione tangentes ABG, BCF, GCD, FDE, EA.Figuræ quadrilateræ ſub quatuor quibuſvis contentæ ABFEdia­gonales AF, BEbiſeca, & (per Corol. 3. Lem. XXV) recta MNper puncta biſectionum acta tranſibit per centrum Trajectoriæ. Rurſus Figuræ quadrilateræ BGDF,ſub aliis quibuſvis quatuor

tangentibus contentæ, diagonales (ut ita dicam) BD, GFbi­ſeca in P& Q:& recta PQper puncta biſectionum acta tranſ­ibit per centrum Trajectoriæ. Dabitur ergo centrum in concurſu bi­ſecantium. Sit illud O.Tangenti cuivis BCparallelam age KL,ad eam diſtantiam ut centrum Oin medio inter parallelas locetur, & acta KLtanget Trajectoriam deſcribendam. Secet hæc tan-gentes alias quaſvis duas GCD, FDEin L& K.Per harum tangentium non parallelarum CL, FKcum parallelis CF, KLconcurſus C& K, F& Lage CK, FLconcurrentes in R,& rec­ta ORducta & producta ſecabit tangentes parallelas CF, KLin punctis contactuum. Patet hoc per Corol. 2. Lem. XXIV. Ea­dem methodo invenire licet alia contactuum puncta, & tum de­mum per Probl. XIV. &c. Trajectoriam deſcribere. q.E.F.

LIBER PRIMUS.

Scholium.

Problemata, ubi dantur Trajectoriarum vel centra vel Aſymp­toti, includuntnr in præcedentibus. Nam datis punctis & tangen­tibus una cum centro, dantur alia totidem puncta aliæque tangen­tes a centro ex altera ejus parte æqualiter diſtantes. Aſymptotos autem pro tangente habenda eſt, & ejus terminus infinite diſtans (ſi ita loqui fas ſit) pro puncto contactus. Concipe tangentis cu­juſvis punctum contactus abire in infinitum, & tangens vertetur in Aſymptoton, atque conſtructiones Problematis XIV & Caſus pri­mi Problematis XV vertentur in conſtructiones Problematum ubi Aſymptoti dantur.

Poſtquam Trajectoria deſcripta eſt, invenire licet axes & umbi­licos ejus hac methodo. In conſtructione & figura Lemmatis XXI, fac ut angulorum mobi­

lium PBN, PCNcru­ra BP, CP,quorum concurſu Trajectoria de­ſcribebatur, ſint ſibi invi­cem parallela, eumque ſervantia ſitum revolvan­tur circa polos ſuos B, Cin figura illa. Interea ve­ro deſcribant altera an­gulorum illorum crura CN, BN,concurſu ſuo Kvel k,Circulum IBKGC.Sit Circuli hujus centrum O.Ab hoc centro ad Regulam MN,ad quam altera illa crura CN, BNinterea concurrebant dum Trajectoria deſcribebatur, demitte normalem OHCirculo oc­currentem in K& L.Et ubi crura illa altera CK, BKconcur­runt ad punctum illud Kquod Regulæ propius eſt, crura prima CP, BPparallela erunt axi majori, & perpendicularia minori; & contrarium eveniet ſi crura eadem concurrunt ad punctum remo­tius L.Unde ſi detur Trajectoriæ centrum, dabuntur axes. Hiſce autem datis, umbilici ſunt in promptu.

DE MOTU CORPORUM

Axium vero quadrata ſunt ad invicem ut KHad LH,& inde facile eſt Trajectoriam

ſpecie datam per data quatuor puncta deſcri­bere. Nam ſi duo ex punctis datis conſtitu­antur poli C, B,tertium dabit angulos mobiles PCK, PBK; his au­tem datis deſcribi poteſt Circulus IBKGC.Tum ob datam ſpecie Trajectoriam, dabitur ratio OHad OK,ad­eoQ.E.I.ſa OH.Cen­tro O& intervallo OHdeſcribe alium circulum, & recta quæ tangit hunc circulum, & tranſit per concurſum crurum CK, BK,ubi crura prima CP, BPconcurrunt ad quartum da­tum punctum erit Regula illa MNcujus ope Trajectoria deſcri­betur. Unde etiam viciſſim Trapezium ſpecie datum (ſi caſus qui­dam impoſſibiles excipiantur) in data quavis Sectione Conica in­ſcribi poteſt.

Sunt & alia Lemmata quorum ope Trajectoriæ ſpecie datæ, datis punctis & tangentibus, deſcribi poſſunt. Ejus generis eſt quod, ſi recta linea per punctum quodvis poſitione datum ducatur, quæ datam Coniſectionem in punctis duobus interſe­cet, & interſectionum intervallum biſecetur, punctum biſectionis tanget aliam Coniſectionem ejuſdem ſpeciei cum priore, atque axes habentem prioris axibus parallelos. Sed propero ad magis utilia.

LIBER PRIMUS.

LEMMA XXVI.

Trianguli ſpecie & magnitudine dati tres angulos ad rectas tot­idem poſitione datas, quæ non ſunt omnes parallelæ, ſingulos ad ſingulas ponere.

Dantur poſitione tres rectæ infinitæ AB, AC, BC,& opor­tet triangulum DEFita locare, ut angulus ejus Dlineam AB,angulus Elineam AC,

& angulus Flineam BCtangat. Super DE, DF& EFdeſcribe tria circulorum ſeg­menta DRE, DGF, EMF,quæ capiant angulos angulis BAC, ABC, ACBæquales reſpective. Deſcriban­tur autem hæc ſegmen­ta ad eas partes linea­rum DE, DF, EFut literæ DREDeodem ordine cum literis BACB,literæ DGFDeodem cum literis ABCA,& literæ EMFEeodem cum literis ACBAin orbem redeant; deinde com­pleantur hæc ſegmenta in circulos integros. Se­cent circuli duo prio­res ſe mutuo in G,ſint­que centra eorum P& queJunctis GP, PQ,cape Gaad ABut eſt GPad PQ,& cen­tro G,intervallo Gadeſcribe circulum, qui ſecet circulum primum DGEin a.Jungatur tum aDſecans circulum ſecundum DFGin b,tum aEſecans cir-culum tertium EMFin c.Et compleatur Figura ABC defſimi­lis & æqualis Figuræ abcDEF.Dico factum.

DE MOTU CORPORUM

Agatur enim Fcipſi aDoccurrens in n,& jungantur aG, bG, QG, QD, PD.Ex conſtructione eſt angulus EaDæqualis an­gulo CAB,& angulus

acFæqualis angulo ACB,adeoque trian­gulum anctriangulo ABCæquiangulum. Ergo angulus ancſeu FnDangulo ABC,adeoque angulo FbDæqualis eſt; & propter­ea punctum nincidit in punctum b.Porro an­gulus GPQ,qui di­midius eſt anguli ad centrum GPD,æqua­lis eſt angulo ad cir­cumferentiam GaD; & angulus GQP,qui dimidius eſt anguli ad centrum GQD,æ­qualis eſt complemen­to ad duos rectos an­guli ad circumferenti­am GbD,adeoque æ­qualis angulo Gba; funtQ.E.I.eo triangu­la GPQ, Gabſimi­lia; & Gaeſt ad abut GPad PQ; id eſt (ex conſtructione) ut Gaad AB.Æquan­tur itaque ab& AB; & propterea triangula abc, ABC,quæ mo­do ſimilia eſſe probavimus, ſunt etiam æqualia. Unde, cum tan­gant inſuper trianguli DEFanguli D, E, Ftrianguli abclatera ab, ac, bcreſpective, compleri poteſt Figura ABCdefFiguræ abc DEFſimilis & æqualis, atque eam complendo ſolvetur Pro­blema. q.E.F.

Corol.Hinc recta duci poteſt cujus partes longitudine datæ rectis tribus poſitione datis interjacebunt. Concipe Triangulum DEF,puncto Dad latus EFaccedente, & lateribus DE, DFin di­rectum poſitis, mutari in lineam rectam, cujus pars data DErec­tis poſitione datis AB, AC,& pars data DFrectis poſitione da­tis AB, BCinterponi debet; & applicando conſtructionem præ­cedentem ad hunc caſum ſolvetur Problema.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO XXVIII. PROBLEMA XX.

Trajectoriam ſpecie & magnitudine datam deſcribere, cujus partes da­tæ rectis tribus poſitione datis interjacebunt.

Deſcribenda ſit Trajectoria quæ ſit ſimilis & æqualis Lineæ cur­væ DEF,quæque a rectis tribus AB, AC, BCpoſitione datis, in

partes datis hujus partibus DE& EFſimiles & æquales ſeca­bitur.

Age rectas DE, EF, DF,& trianguli hujus DEFpone an­los D, E, Fad rectas illas poſitione datas (per Lem. XXVI) Dein circa triangulum deſcribe Trajectoriam Curvæ DEFſimilem & æqualem. q.E.F.

DE MOTU CORPORUM

LEMMA XXVII.

Trapezium ſpecie datum deſcribere cujus anguli ad rectas quatuor po­ſitione datas, quæ neque omnes parallelæ ſunt, neque ad commune punctum convergunt, ſinguli ad ſingulas conſiſtent.

Dentur poſitione rectæ quatuor ABC, AD, BD, CE,qua­rum prima ſecet ſecundam in A,tertiam in B,& quartam in C:& deſcribendum ſit Trapezium fghiquod ſit Trapezio FGHI

ſimile, & cujus angulus f,angulo dato Fæqualis, tangat rectam ABC,cæterique anguli g, h, i,cæteris angulis datis G, H, Iæqua­les, tangant cæteras lineas AD, BD, CEreſpective. Jungatur FH& ſuper FG, FH, FIdeſcribantur totidem circulorum ſeg­menta FSG, FTH, FVI; quorum primum FSGcapiat angu-lum æqualem angulo BAD,ſecundum FTHcapiat angulum æ­qualem angulo CBD,ac tertium FVIcapiat angulum æqualem angulo ACE.Deſcribi autem debent ſegmenta ad eas partes li­nearum FG, FH, FI,ut literarum FSGFidem ſit ordo circula­ris qui literarum BADB,utque literæ FTHFeodem ordine cum literis CBDC,& literæ FVIFeodem cum literis ACEAin or­bem redeant. Compleantur ſegmenta in circulos integros, ſitque Pcentrum circuli primi FSG,& Qcentrum ſecundi FTH.Jungatur & utrinque producatur PQ,& in ea capiatur QRin ea ratione ad PQquam habet BCad AB.Capiatur autem QRad eas partes puncti Qut literarum P, Q, Ridem ſit ordo atque literarum A, B, C:centroque R& intervallo RFdeſcribatur circulus quartus FNcſecans circulum tertium FVIin c.Jungatur Fcſecans circulum primum in a& ſecundum in b.Agantur a G, b H, c I,& Figuræ abc FGHIſimilis conſtituatur Figura ABCfghi:Eritque Trapezium fghiillud ipſum quod conſtituere oportebat.

LIBER PRIMUS.

Secent enim circuli duo primi FSG, FTHſe mutuo in K.Jungantur PK, QK, RK, a K, b K, c K,& producatur QPad L.Anguli ad circumferentias FaK, FbK, FcKſunt ſemiſſes an­gulorum FPK, FQK, FRKad centra, adeoque angulorum illorum dimidiis LPK, LQK, LRKæquales. Eſt ergo Figura PQRKFiguræ abcKæquiangula & ſimilis, & propterea abeſt ad bcut PQad QR,id eſt, ut ABad BC.Angulis inſuper FaG, FbH, FcIæquantur fAg, fBh, fCiper conſtructionem. Er­go Figuræ abcFGHIFigura ſimilis ABCfghicompleri poteſt Quo facto Trapezium fghiconſtituetur ſimile Trapezio FGHI& angulis ſuis f, g, h, itanget rectas ABC, AD, BD, CE q.E.F.

Corol.Hinc recta duci poteſt cujus partes, rectis quatuor poſi­tione datis dato ordine interjectæ, datam habebunt proportionem ad invicem. Augeantur anguli FGH, GHIuſque eo, ut rectæ FG, GH, HIin directum jaceant, & in hoc caſu conſtruendo Proble­ma, ducetur recta fghicujus partes fg, gh, hi,rectis quatuor po­ſitione datis AB& AD, AD& BD, BD& CEinterjectæ, e­runt ad invicem ut lineæ FG, GH, HI,eundemque ſervabunt or­dinem inter ſe. Idem vero ſic fit expeditius.

DE MOTU CORPORUM

Producantur ABad K,& BDad L,ut ſit BKad ABut HIad GH; & DLad BDut GIad FG; & jungatur KLoccurrens rectæ CEin i.Producatur iLad M,ut ſit LMad iLut GHad HI,& agatur tum MQipſi LBparallela rectæque ADoccurrens in g,tum giſecans AB, BDin f, h.Dico factum.

Secet enim Mgrectam ABin Q,& ADrectam KLin S,& agatur APquæ ſit ipſi BDparallela & occurrat iLin P,& erunt gMad Lh (giad hi, Miad Li, GIad HI, AKad BK) & APad BLin eadem ratione. Secetur DLin Rut ſit

DLad RLin eadem illa ratione, & ob proportionales gSad gM, ASad AP,& DSad DL; erit, ex æquo, ut gSad Lhita ASad BL& DSad RL; & mixtim, BL-RLad Lh-BLut AS-DSad gS-AS.Id eſt BRad Bhut ADad Agad­eoque ut BDad gqueEt viciſſim BRad BDut Bhad gQ,ſeu fhad fg.Sed ex conſtructione linea RLeadem ratione ſecta fuit in D& Ratque linea FIin G& H:ideoque eſt BRad BDut FHad FG.Ergo fheſt ad fgut FHad FG.Cum igitur ſit etiam giad hiut Miad Li,id eſt, ut GIad HI,patet li­neas FI, fiin g& h, G& Hſimiliter ſectas eſſe. q.E.F.

In conſtructione Corollarii hujus poſtquam ducitur LKſecans

CEin i,producere licet iEad V,ut ſit EVad Eiut FHad HI,& agere Vfparallelam ipſi BD.Eodem recidit ſi centro i,in­tervallo IH,deſcribatur circulus ſecans BDin X,& producatur iXad Y,ut ſit iYæqualis IF,& agatur Yfipſi BDparallela.

LIBER PRIMUS.

Problematis hujus ſolutiones alias Wrennus& Walliſiusolim ex­cogitarunt.

PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA XXI.

Trajectoriam ſpecie datam deſcribere, quæ a rectis quatuor poſitione datis in partes ſecabitur, ordine, ſpecie & proportione datas.

Deſcribenda ſit Trajectoria

fghi,quæ ſimilis ſit Lincæ curvæ FGHI,& cujus partes fg, gh, hiillius partibus FG, GH, HIſi­miles & proportionales, rectis AB& AD, AD& BD, BD& CEpoſitione datis, prima pri­mis, ſecunda ſecundis, tertia ter­tiis interjaceant. Actis rectis FG, GH, HI, FI,deſcribatur (per Lem. XXVII.) Trapezium fghiquod ſit Trapezio FGHIſimile & cujus anguli f, g, h, itangant rectas illas poſitione datas AB, AD, BD, CE,ſinguli ſingulas dicto ordine. Dein circa hoc Trapezium deſcribatur Trajectoria curvæ Lineæ FGHIconſimilis.

DE MOTU CORPORUM

Scholium.

Conſtrui etiam poteſt hoc Problema ut ſequitur. Junctis FG, GH, HI, FIproduc GFad V,jungeque FH, IG,& angulis FGH, VFHfac angulos CAK, DALæquales. Concurrant AK, ALcum recta BDin K& L,& inde agantur KM, LN,quarum KMconſtituat angulum AKMæqualem angulo GHI,ſitque ad AKut eſt HIad GH; & LNconſtituat angulum ALNæqualem angulo FHI,ſitque ad ALut HIad FH.Du­cantur autem AK, KM, AL, LNad eas partes linearum AD, AK, AL,ut literæ CAKMC, ALKA, DALNDeodem ordine cum literis FGHIFin orbem redeant; & act MNoc­currat rectæ CEin i.Fac angulum iEPæqualem angulo IGF,

ſitque PEad Eiut FGad GI;& per Pagatur PQf,quæ cum recta ADEcontineat angulum PQEæqualem angulo FIG,rectæque ABoccurrat in f,& jungatur fi.Agantur au­rem PE& PQad eas partes linearum CE, PE,ut literarum PEiP& PEQPidem ſit ordo circularis qui literarum FGHIF,& ſi ſuper linea fieodem quoque literarum ordine conſtituatur Trapezium fghiTrapezio FGHIſimile, & circumſcribatur Tra­jectoria ſpecie data, ſolvetur Problema.

Hactenus de Orbibus inveniendis. Supereſt ut Motus corpo­rum in Orbibus inventis determinemus.

LIBER PRIMUS.

SECTIO VI.

De Inventione Motuum in Orbibus datis.

PROPOSITIO XXX. PROBLEMA XXII.

Corporis in data Trajectoria Parabolica moti invenire locum ad tempus aſſignatum.

Sit Sumbilicus & Avertex principa­

lis Parabolæ, ſitque 4 ASXMæquale areæ Parabolicæ abſcindendæ APS,quæ radio SP,vel poſt exceſſum cor­poris de vertice deſcripta fuit, vel an­te appulſum ejus ad verticem deſcri­benda eſt. Innoteſcit quantitas areæ il­lius abſcindendæ ex tempore ipſi pro­portionali. Biſeca ASin G,erigeque perpendiculum GHæquale 3 M, & Circulus centro H,intervallo HSdeſcriptus ſecabit Parabolam in loco quæſito P.Nam, demiſſa ad axem perpendiculari PO& ducta PH,eſt AGq+GHq (=HP q=—AO-AG: quad.+—PO-GH: quad.)= AOq+POq-2 GAO-2GHXPO+AGq+GHqueUnde 2 GHXPO (=AOq+POq-2GAO)=AOq+1/4 POquePro AOqſcribe (AOXPOq/4AS); &, applicatis terminis omnibus ad 3POductiſQ.E.I. 2AS,fiet 4/3 GHXAS(=1/6AOXPO+1/2 ASXPO =(AO+3AS/6)XPO=(4AO-3SO/6)XPO=areæ —APO-SPO)=areæ APS.Sed GHerat 3 M, & inde 4/3 GHXASeſt 4 ASXM. Ergo area abſciſſa APSæqualis eſt abſcindendæ 4ASXM. Q.E.D.

Corol.1. Hinc GHeſt ad AS,ut tempus quo corpùs deſcrip­ſit arcum APad tempus quo corpus deſcripſit arcum inter verti­cem A& perpendiculum ad axem ab umbilico Serectum.

Corol.2. Et Circulo ASPper corpus motum Pperpetuo tranſ­eunte, velocitas puncti Heſt ad velocitatem quam corpus habuit in vertice A,ut 3 ad 8; adeoQ.E.I. ea etiam ratione eſt linea GHad lineam rectam quam corpus tempore motus ſui ab Aad P,ea cum velocitate quam habuit in vertice A,deſcribere poſſet.

DE MOTU CORPORUM

Corol.3. Hinc etiam vice verſa inveniri poteſt tempus quo cor­pus deſcripſit arcum quemvis aſſignatum AP.Junge AP& ad medium ejus punctum erige perpendiculum rectæ GHoccur­rens in H.

LEMMA XXVIII.

Nulla extat Figura Ovalis cujus area, rectis pro lubitu abſciſſa, poſſit per æquationes numero terminorum ac dimenſionum finitas genera­liter inveniri.

Intra Ovalem detur punctum quodvis, circa quod ceu polum re­volvatur perpetuo linea recta, uniformi cum motu, & interea in rec­ta illa exeat punctum mobile de polo, pergatque ſemper ea cum velocitate, quæ ſit ut rectæ illius intra Ovalem quadratum. Hoc motu punctum illud deſcribet Spiralem gyris infinitis. Jam ſi areæ Ovalis a recta illa abſciſſæ incrementum per finitam æquationem inveniri poteſt, invenietur etiam per eandem æquationem diſtantia puncti a polo, quæ huic areæ proportionalis eſt, adeoque om­nia Spiralis puncta per æquationem finitam inveniri poſſunt: & propterea rectæ cujuſvis poſitione datæ interſectio cum Spirali in­veniri etiam poteſt per æquationem finitam. Atqui recta omnis infinite producta Spiralem ſecat in punctis numero infinitis, & æqua­tio, qua interſectio aliqua duarum linearum invenitur, exhibet ea­rum interſectiones omnes radicibus totidem, adeoque aſcendit ad rot dimenſiones quot ſunt interſectiones. Quoniam Circuli duo ſe mutuo ſecant in punctis duobus, interſectio una non invenietur niſi per æquationem duarum dimenſionum, qua interſectio altera etiam inveniatur. Quoniam duarum ſectionum Conicarum quatuor eſſe poſſunt interſectiones, non poteſt aliqua earum generaliter in­veniri niſi per æquationem quatuor dimenſionum, qua omnes ſi­mul inveniantur. Nam ſi interſectiones illæ ſeorſim quærantur, quo­niam eadem eſt omnium lex & conditio, idem erit calculus in caſu unoquoque & propterea eadem ſemper concluſio, quæ igitur de­bet omnes interſectiones ſimul complecti & indifferenter exhibere. Unde etiam interſectiones Sectionum Conicarum & Curvarum ter­tiæ poteſtatis, eo quod ſex eſſe poſſunt, ſimul prodeunt per æqua­tiones ſex dimenſionum, & interſectiones duarum Curvarum tertiæ poteſtatis, quia novem eſſe poſſunt, ſimul prodeunt per æqua­tiones dimenſionum novem. Id niſi neceſſario fieret, reducere licc­ret Problemata omnia Solida ad Plana, & pluſquam Solida ad Soli­da. Loquor hic de Curvis poteſtate irreducibilibus. Nam ſi æqua­tio per quam Curva definitur, ad inferiorem poteſtatem reduci poſſit: Curva non erit unica, ſed ex duabus vel pluribus compoſi­ta, quarum interſectiones per calculos diverſos ſeorſim inveniri poſſunt. Ad eundem modum interſectiones binæ rectarum & ſecti­onum Conicarum prodeunt ſemper per æquationes duarum dimen­ſionum; ternæ rectarum & Curvarum irreducibilium tertiæ poteſtatis per æquationes trium, quaternæ rectarum & Curvarvm irreducibi­lium quartæ poteſtatis per æquationes dimenſionum quatuor, & ſic in infinitum. Ergo rectæ & Spiralis interſectiones numero infinitæ, cum Curva hæc ſit ſimplex & in Curvas plures irreducibilis, requirunt æ­quationes numero dimenſionum & radicum infinitas, quibus omnes poſſunt ſimul exhiberi. Eſt enim eadem omnium lex & idem calculus. Nam ſi a polo in rectam illam ſecantem demittatur perpendiculum, & perpendiculum illud una cum ſecante revolvatur circa polum, in­terſectiones Spiralis tranſibunt in ſe mutuo, quæque prima erat ſeu proxima, poſt unam revolutionem ſecunda erit, poſt duas tertia, & ſic deinceps: nec interea mutabitur æquatio niſi pro mutata mag­nitudine quantitatum per quas poſitio ſecantis determinatur. Unde cum quantitates illæ poſt ſingulas revolutiones redeunt ad magNI­tudines primas, æquatio redibit ad formam primam, adeoque una eademque exhibebit interſectiones omnes, & propterea radices ha­bebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi poſſunt. Nequit ergo interſectio rectæ & Spiralis per æquationem finitam generali­ter inveniri, & idcirco nulla extat Ovalis cujus area, rectis impe­ratis abſciſſa, poſſit per talem æquationem generaliter exhiberi.

LIBER PRIMUS.

Eodem argumento, ſi intervallum poli & puncti, quo Spiralis de­ſcribitur, capiatur Ovalis perimetro abſciſſæ proportionale, pro­bari poteſt quod longitudo perimetri nequit per finitam æquatio­nem generaliter exhiberi. De Ovalibus autem hic loquor quæ non tanguntur a figuris conjugatis in infinitum pergentibus.

DE MOTU CORPORUM

Corollarium.

Hinc area Ellipſeos, quæ radio ab umbilico ad corpus mobile ducto deſcribitur, non prodit ex dato tempore, per æquationem finitam; & propterea per deſcriptionem Curvarum Geometrice ra­tionalium determinari nequit. Curvas Geometrice rationales ap­pello quarum puncta omnia per longitudines æquationibus defiNI­tas, id eſt, per longitudinum rationes complicatas, determinari poſſunt; cæteraſque (ut Spirales, Quadratrices, Trochoides) Geo­metrice irrationales. Nam longitudines quæ ſunt vel non ſunt ut numerus ad numerum (quemadmodum in decimo Elementorum) ſunt Arithmetice rationales vel irrationales. Aream igitur Ellipſeos tempori proportionalem abſcindo per Curvam Geometrice irratio­nalem ut ſequitur.

PROPOSITIO XXXI. PROBLEMA XXIII.

Corporis in data Trajectoria Elliptica moti invenire locum ad tempus aſſignatum.

Ellipſeos APBſit Avertex principalis, Sumbilicus, & Ocentrum, ſitque Pcorporis locus inveniendus. Produc OAad G,ut ſit OGad OAut OAad OS.Erige perpendiculum GH,centroque

O& intervallo OGdeſcribe circulum EFG,& ſuper regula GH,ceu fundo, progrediatur Rota GEFrevolvendo circa axem ſuum, & interea puncto ſuo Adeſcribendo Trochoidem ALI.Quo facto, cape GKin ratione ad Rotæ perimetrum GEFG,ut eſt tempus quo corpus progrediendo ab Adeſcripſit arcum AP,ad tempus revolutionis unius in Ellipſi. Erigatur perpendiculum KLoccurrens Trochoidi in L,& acta LPipſi KGparallela occurret Ellipſi in corporis loco quæſito P.

LIBER PRIMUS.

Nam centro O,intervallo OAdeſcribatur ſemicirculus AQB,& arcui AQoccurrat LPproducta in Q,junganturque SQ, OqueArcui EFGoccurrat OQin F,& in eandem OQdemittatur per­pendiculum SR.Area APSeſt ut area AQS,id eſt, ut diffe­rentia inter ſectorem OQA& triangulum OQS,ſive ut differen­tia rectangulorum 1/2 OQXAQ& 1/2 OQXSR,hoc eſt, ob datam 1/2 OQ,ut differentia inter arcum AQ& rectam SR,adeoque (ob æqualitatem datarum rationum SRad ſinum arcus AQ, OSad OA, OAad OG, AQad GF,& diviſim AQ-SRad GF-ſin. arc. AQ) ut GKdifferentia inter arcum GF& ſinum arcus Aque que E. D.

Scholium.

Cæterum, cum difficilis ſit hujus Curvæ deſcriptio, præſtat ſolu­tionem vero proximam adhibere. Inveniatur tum angulus quidam B, qui ſit ad angulum graduum 57,29578, quem arcus radio æqualis ſubtendit, ut eſt umbilieorum diſtantia SHad Ellipſeos diame­trum AB; tum etiam longitudo quædam L, quæ ſit ad radium in eadem ratione inverſe. Quibus ſemel inventis, Problema deinceps confit per ſequentem Analyſin. Per conſtructionem quamvis (vel. utcunque conjec­

turam faciendo) cognoſcatur cor­poris locus Ppro­ximus vero ejus lo­co p.Demiſſaque ad axem Ellipſeos or­dinatim applicata PR,ex propor­tione diametrorum Ellipſeos, dabitur Circuli circumſcri­pti AQBordinatim applicata RQ,quæ ſinus eſt anguli AOQexi­ſtente AOradio. Sufficit angulum illum rudi calculo in numeris proximis invenire. Cognoſcatur etiam angulus tempori propor-tionalis, id eſt, qui ſit ad quatuor rectos, ut eſt tempus quo corpus deſcripſit arcum Ap,ad tempus revolutionis unius in Ellipſi. Sit angulus iſte N. Tum capiatur & angulus D ad angulum B, ut eſt ſinus iſte anguli AOQad radium, & angulus E ad angulum N-AOQ+D, ut eſt longitudo L ad longitudinem eandem L coſinu anguli AOQdiminutam, ubi angulus iſte recto minor eſt, auctam ubi major. Poſtea capiatur tum angulus F ad angulum B, ut eſt ſinus anguli AOQ+E ad radium, tum angulus G ad angu­lum N-AOQ-E+F ut eſt longitudo L ad longitudinem ean­dem coſinu anguli AOQ+E diminutam ubi angulus iſte recto mi­nor eſt, auctam ubi major. Tertia vice capiatur angulus H ad an­gulum B, ut eſt ſinus anguli AOQ+E+G ad radium; & angu­lus I ad angulum N-AOQ-E-G+H, ut eſt longitudo L ad eandem longitudinem coſinu anguli AOQ+E+G diminutam, ubi angulus iſte re­
cto minor eſt, auc­tam ubi major. Et ſic pergere licet in infinitum. DeNI­que capiatur angu­lus AOqæqualis angulo AOQ+E +G+I+&c. e t ex coſinu ejus Or& ordinata pr,quæ eſt ad ſinum ejus qrut Ellipſeos axis minor ad axem majorem, habebitur corporis locus correctus p.Si quando angulus N-AOQ+D negativus eſt, debet ſignum+ipſius E ubique mutari in-, & ſignum-in+. Idem intelligendum eſt de ſignis ipſorum G & I, ubi anguli N-AOQ-E+F, & N-AOQ-E-G+H negativi prodeunt. Convergit autem ſeries infinita AOQ+E+G+I+&c. quam celerrime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi quam ad terminum ſecundum E. Et fundatur calculus in hoc Theore­mate, quod area APSſit ut differentia inter arcum AQ& rectam ab umbilico Sin Radium OQperpendiculariter de­miſſam.

DE MOTU CORPORUM

Non diſſimili calculo conficitur Problema in Hyperbola. Sit ejus Centrum O,Vertex A,Umbilicus S& Aſymptotos OK.Cog-noſcatur quantitas areæ abſcindendæ tempori proportionalis. Sit ea A, & fiat conjectura de poſitione rectæ SP,quæ aream APSabſcindat veræ proximam. Jun­

gatur OP,& ab A& Pad Aſymptoton agantur AI, PKAſymptoto alteri parallelæ, & per Tabulam Logarithmorum dabi­tur Area AIKP,eique æqualis area OPA,quæ ſubducta de tri­angulo OPSrelinquet aream ab­ſciſſam APS.Applicando areæ abſcindendæ A & abſciſſæ APSdifferentiam duplam 2 APS-2 A vel 2 A-2 APSad lineam SN,quæ ab umbilico Sin tangentem PTperpendicularis eſt, orietur longitudo chordæ PqueInſcri­batur autem chorda illa PQinter A& P,ſi area abſciſſa APSmajor ſit area abſcindenda A, ſecus ad puncti Pcontrarias partes: & punctum Qerit locus corporis accuratior. Et computatione repetita invenietur idem accuratior in perpetuum.

LIBER PRIMUS.

Atque his calculis Problema generaliter confit Analytice. Ve­rum uſibus Aſtronomicis accommodatior eſt calculus particularis qui ſequitur. Exiſtentibus AO, OB, ODſemiaxibus Ellipſeos, & L ipſius latere recto, ac D differentia inter ſemiaxem minorem OD& lateris recti ſemiſſem 1/2 L; quære tum angulum Y, cujus ſinus ſit ad Radium ut eſt rectangu­

lum ſub differentia illa D, & ſemiſumma axium AO+ODad quadratum axis majoris AB; tum angulum Z, cujus ſinus ſit ad Radium ut eſt duplum rectangulum ſub umbilieorum diſtantia SH& differentia illa D ad triplum quadratum ſemiaxis majoris AO.His angulis ſemel inventis; locus corporis ſic deinceps determinabitur. Sume angulum T proportionalem tempori quo arcus BPdeſcrip­tus eſt, ſcu motui medio (ut loquuntur) æqualem; & angulum V (primam medii motus æquationem) ad angulum Y (æquatio­nem maximam primam) ut eſt ſinus dupli anguli T ad Radium; atque angulum X (æquationem ſecundam) ad angulum Z (æqua­tionem maximam ſecundam) ut eſt cubus ſinus anguli T ad cubum Radii. Angulorum T, V, X vel ſummæ T+X+V, ſi angulus T recto minor eſt, vel differentiæ T+X-V, ſi is recto major eſt rectiſQ.E.D.obus minor, æqualem cape angulum BHP(motum medium æquatum;) &, ſi HPoccurrat Ellipſi in P,acta SPab­ſcindet aream BSPtempori proportionalem quamproxime. Hæc Praxis ſatis expedita videtur,
propterea quod angulorum per­exiguorum V & X (in minutis ſecundis, ſi placet, poſitorum) figuras duas terſve primas in­venire ſufficit. Sed & ſatis ac­curata eſt ad Theoriam Planeta­rum. Nam in Orbe vel Martis ipſius, cujus Æquatio centri ma­xima eſt graduum decem, error vix ſuperabit minutum unum ſecundum. Invento autem angulo motus medii æquati BHP,an­gulus veri motus BSP& diſtantia SPin promptu ſunt per Wardimethodum notiſſimam.

DE MOTU CORPORUM

Hactenus de Motu corporum in lineis Curvis. Fieri autem po­teſt ut mobile recta deſcendat vel recta aſcendat, & quæ ad iſtiuſ­modi Motus ſpectant, pergo jam exponere.

LIBER PRIMUS.

SECTIO VII.

De Corporum Aſcenſu & Deſcenſu Rectilineo.

PROPOSITIO XXXII. PROBLEMA XXIV.

Poſito quod Vis centripeta ſit reciproce proportionalis quadrato di­ſtantiæ loeorum a centro, Spatia definire quæ corpus recta cadendo datis temporibus deſcribit.

Cas.1. Si Corpus non cadit perpendicu­

lariter deſcribet id, per Corol. 1. Prop. XIII, Sectionem aliquam Conicam cujus umbili­cus congruit cum centro virium. Sit Sec­tio illa Conica ARPB& umbilicus ejus S.Et primo ſi Figura Ellipſis eſt, ſuper hu­jus axe majore ABdeſcribatur Semicirculus ADB,& per corpus decidens tranſeat rec­ta DPCperpendicularis ad axem; actiſque DS, PSerit area ASDareæ ASPat­que adeo etiam tempori proportionalis. Ma­nente axe ABminuatur perpetuo latitudo Ellipſeos, & ſemper manebit area ASDtempori proportionalis. Minuatur latitudo illa in infinitum: &, Orbe APBjam coin­cidente cum axe AB& umbilico Scum axis termino B,deſcendet corpus in recta AC,& area ABDevadet tempori pro­portionalis. Dabitur itaque Spatium AC,quod corpus de loco Aperpendiculariter cadendo tempore dato deſcribit, ſi modo tempori proportiona­lis capiatur area ABD,& a puncto Dad rectam ABdemit­tatur perpendicularis DC. que E. I.

DE MOTU CORPORUM

Cas.2. Si Figura illa RPBHyperbola eſt, deſcribatur ad ean­dem diametrum principalem ABHyperbola rectangula BED:& quoniam areæ CSP, CBfP, SPfBſunt ad areas CSD, CBED, SDEB,ſingulæ ad ſingulas, in data ratione altitudi­num CP, CD; & area SPfB

proportionalis eſt tempori quo corpus Pmovebitur per arcum PfB; erit etiam area SDEBei­dem tempori proportionalis. Minuatur latus rectum Hyper­bolæ RPBin infinitum ma­nente latere tranſverſo, & coibit arcus PBcum recta CB& um­bilicus Scum vertice B& recta SDcum recta BD.Proinde a­rea BDEBproportionalis erit tempori quo corpus Crecto deſcenſu deſcribit lineam CB. que E. I.

Cas.3. Et ſimili argumento ſi Figura RPBParabola eſt, & eodem vertice principali Bde­ſcribatur alia Parabola BED,quæ ſemper maneat data interea dum Parabola prior in cujus perimetro corpus Pmovetur, dimi­nuto & in nihilum redacto ejus latere recto, conveniat cum linea CB; fiet ſegmentum Parabolicum BDEBproportionale tempori quo corpus illud Pvel Cdeſcendet ad centrum Svel B. que E. I.

PROPOSITIO XXXIII. THEOREMA IX.

Poſitis jam inventis, dico quod corporis cadentis Velocitas in loco quo­visC est ad velocitatem corporis centroB intervalloBC Circu­lum deſcribentis, in ſubduplicata ratione quamAC, diſtantia cor­poris a Circuli vel Hyperbolæ rect angulæ vertice ulterioreA, habet ad Figuræ ſemidiametrum principalem1/2 AB.

Biſecetur AB,communis utriuſque Figuræ RPB, DEBdia­meter, in O; & agatur recta PTquæ tangat Figuram RPBin P,atque etiam ſecet communem illam diametrum AB(ſi opus eſt productam)

in T; ſitque SYad hanc rectam, & BQad

hanc diametrum perpendicularis, atque Figu­ræ RPBlatus rectum ponatur L. Conſtat per Cor. 9. Prop. XVI, quod corporis in linea RPBcirca centrum Smoventis velo­citas in loco quovis Pſit ad velocitatem cor­poris intervallo SPcirca idem centrum Cir­culum deſcribentis in ſubduplicata ratione rec­tanguli 1/2 LXSPad SYquadratum. Eſt au­tem ex Conicis ACBad CPqut 2 AOad L, adeoque (2CPqXAO/ACB) æquale L. Ergo ve­locitates illæ ſunt ad invicem in ſubduplicata ratione (CPqXAOXSP/ACB) ad SY quad.Por­ro ex Conicis eſt COad BOut BOad TO,& compoſite vel diviſim ut CBad BT.Unde vel dividendo vel componendo fit BO-vel+COad BOut CTad BT,id eſt ACad AOut CPad BQ; indeque (CPqXAOXSP/ACB) æquale eſt (BQqXACXSP/AOXBC.) Minuatur jam in infinitum Figuræ RPBlatitu­do CP,ſic ut punctum Pcoeat cum puncto C,punctumque Scum puncto B,& linea SPcum linea BC,lineaque SYcum linea BQ; & corporis jam recta deſcendentis in linea CBvelocitas fiet ad velocitatem corporis centro Bintervallo BCCirculum deſcribentis, in ſubduplicata ratione ipſius (BQqXACXSP/AOXBC) ad SYq,hoc eſt (neg­lectis æqualitatis rationibus SPad BC& BQqad SYq) in ſub­duplicata ratione ACad AOſive 1/2 AB. que E. D.

LIBER PRIMUS.

Corol.1. Punctis B& Scoeuntibus, fit TCad TSut ACad AO.

Corol.2. Corpus ad datam a centro diſtantiam in Circulo quo­vis revolvens, motu ſuo ſurſum verſo aſcendet ad duplam ſuam a centro diſtantiam.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XXXIV. THEOREMA X.

Si FiguraBED Parabola eſt, dico

quod corporis cadentis Veloci­tas in loco quovisC æqualis eſt velocitati qua corpus centroB dimidio intervalli ſuiBC Cir­culum uniformiter deſcribere potest.

Nam corporis Parabolam RPBcirca centrum Sdeſcri­bentis velocitas in loco quovis P(per Corol. 7. Prop. XVI) æ­qualis eſt velocitati corporis di­midio intervalli SPCirculum cir­ca idem centrum Suniformiter deſcribentis. Minuatur Parabolæ latitudo CPin infinitum eo, ut arcus Parabolicus PfBcum rec­ta CB,centrum Scum vertice B,& intervallum SPcum intervallo BCcoincidat, & conſtabit Pro­poſitio. que E. D.

PROPOSITIO XXXV. THEOREMA XI.

Iiſdem poſitis, dico quod area FiguræDES, radio indefinitoSD de­ſcripta, æqualis ſit areæ quam corpus, radio dimidium lateris recti FiguræDES æquante, circa centrumS uniformiter gyrando, eo­dem tempore deſcribere potest.

Nam concipe corpus Cquam minima temporis particula lineo­lam Cccadendo deſcribere, & interea corpus aliud K,uniformi­ter in Circulo OKkcirca centrum Sgyrando, arcum Kkdeſcri­bere. Erigantur perpendicula CD, cdoccurrentia Figuræ DESin D, d.Jungantur SD, Sd, SK, Sk& ducatur Ddaxi ASoc­rens in T,& ad eam demittatur perpendiculum SY.

Caſ.1. Jam ſi Figura DESCirculus eſt vel Hyperbola, biſece­tur ejus tranſverſa diameter ASin O,& erit

SOdimidium lateris recti. Et quoniam eſt TCad TDut Ccad Dd,& TDad TSut CDad SY,erit ex æquo TCad TSut CDXCcad SYXDd.Sed per Corol. 1. Prop. XXXIII, eſt TCad TSut ACad AO,puta ſi in coitu punctorum D, dcapiantur linearum rationes ultimæ. Ergo ACeſt ad (AOſeu) SKut CDXCcad SYXDd.Porro corporis deſcendentis velocitas in Ceſt ad velocitatem corporis Circulum intervallo SCcirca cen­trum Sdeſcribentis in ſubduplicata ratione ACad (AOvel) SK(per Prop. XXXIII.) Et hæc velocitas ad velocitatem corporis deſcri­bentis Circulum OKkin ſubduplicata ratione SKad SCper Cor. 6. Prop. IV, & ex æquo velo­citas prima ad ultimam, hoc eſt lineola Ccad arcum Kkin ſubduplicata ratione ACad SC,id eſt in ratione ACad CD.Quare eſt CDXCcæquale ACXKk,& propterea ACad SKut ACXKkad SYXDd,indeque SKXKkæqua­le SYXDd,& 1/2 SKXKkæquale 1/2 SYXDd,id eſt area KSkæqualis areæ SDd.Singulis igitur temporis particulis generantur arearum duarum particulæ KSk,& SDd,quæ, ſi mag­nitudo earum minuatur & numerus augeatur in infinitum, ratio­nem obtinent æqualitatis, & propterea (per Corollarium Lem­matis IV) areæ totæ ſimul genitæ ſunt ſemper æquales, que E. D.

LIBER PRIMUS.

Caſ.2. Quod ſi Figura DESParabola ſit, invenietur eſſe ut ſu­pra CDXCcad SYXDdut TCad TS,hoc eſt ut 2 ad 1, ad­eoque 1/4 CDXCcæquale eſſe 1/2 SYXDd.Sed corporis caden­tis velocitas in Cæqualis eſt velocitati qua Circulus intervallo 1/2 SCuniformiter deſcribi poſſit (per Prop. XXXIV) Et hæc velocitas ad ve­locitatem qua Circulus radio SKdeſcribi poſſit, hoc eſt, lineola Ccad arcum Kk(per Corol. 6. Prop. IV) eſt in ſubduplicata ratione SKad 1/2 SC,id eſt, in ratione SKad 1/2 CD.Quare eſt 1/2 SKXKkæquale 1/4 CDXCc,adeoque æquale 1/2 SYXDd,hoc eſt, area KSkæqualis areæ SDd,ut ſupra. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XXXVI. PROBLEMA XXV.

Corporis de loco datoA cadentis determinare Tem­pora deſcenſus.

Super diametro AS(diſtantia corporis a cen­tro ſub initio) deſcribe Semicirculum ADS,ut & huic æqualem Semicirculum OKHcirca centrum S.De corporis loco quovis Cerige ordinatim ap­plicatam CD.Junge SD,& areæ ASDæqua­lem conſtitue ſectorem OSK.Patet per Prop.XXXV, quod corpus cadendo deſcribet ſpatium ACeodem Tempore quo corpus aliud uniformiter cir­ca centrum Sgyrando, deſcribere poteſt arcum OK. que E. F.

PROPOSITIO XXXVII. PROBLEMA XXVI.

Corporis de loco dato ſurſum vel deorſum projecti definire Tempora aſcenſus vel deſcenſus.

Exeat corpus de loco dato Gſecundum

lineam ASGcum velocitate quacunque. In duplicata ratione hujus velocitatis ad uniformem in Circulo velocitatem, qua cor­pus ad intervallum datum SGcirca centrum Srevolvi poſſet, cape GAad 1/2 AS.Si ratio illa eſt numeri binarii ad unita­tem, punctum Ainfinite diſtat, quo ca­ſu Parabola vertice S,axe SC,latere quo­vis recto deſcribenda eſt. Patet hoc per Prop. XXXIV. Sin ratio illa minor vel ma­jor eſt quam 2 ad 1, priore caſu Circulus, poſteriore Hyperbola rectangula ſuper di­ametro SAdeſcribi debet. Patet per Prop. XXXIII. Tum centro S,intervallo æquante dimidium lateris recti, deſcribatur Circulus HKk,& ad corporis aſcenden­tis vel deſcendentis loca duo quævis G, C,erigantur perpendicula GI, CDoccurren­tia Conicæ Sectioni vel Circulo in Iac D.Dein junctis SI, SD,fiant ſegmentis SEIS, SEDS,ſec­tores HSK, HSkæquales, & per Prop. XXXV, corpus Gdeſcri­bet ſpatium GCeodem Tempore quo corpus Kdeſcribere po­teſt arcum Kk. que E. F.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO XXXVIII. THEOREMA XII.

Poſito quod Vis centripeta proportionalis ſit altitudini ſeu diſtantiæ lo­eorum a centro, dico quod cadentium Tempora, Velocitates & Spa­tia deſcripta ſunt arcubus, arcuumque finibus rectis & ſinibus verſis reſpective proportionalia.

Cadat corpus de loco quovis Aſecun­

dum rectam AS; & centro virium S,in­tervallo AS,deſcribatur Circuli quadrans AE,ſitque CDſinus rectus arcus cujuſ­vis AD; & corpus A,Tempore AD,ca­dendo deſcribet Spatium AC,inque loco Cacquiret Velocitatem CD.

Demonſtratur eodem modo ex Propoſi­tione X, quo Propoſitio XXXII, ex Propo­ſitione XI demonſtrata fuit.

Corol.1. Hinc æqualia ſunt Tempora quibus corpus unum de loco Acadendo pervenit ad centrum S,& corpus aliud revolvendo de­ſcribit arcum quadrantalem ADE.

Corol.2. Proinde æqualia ſunt Tempora omnia quibus corpora de locis quibuſvis ad uſque centrum cadunt. Nam revolventium tem­pora omnia periodica (per Corol. 3. Prop. IV.) æquantur.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XXXIX. PROBLEMA XXVII.

Poſita cujuſcunque generis Vi centripeta, & conceſſis figurarum curvilinearum quadraturis, requiritu, corporis recta aſcenden­tis vel deſcendentis tum Velocitas in locis ſingulis, tum Tempus quo corpus ad locum quemvis perveniet: Et contra.

De loco quovis Ain recta ADECcadat corpus E,deque loco ejus Eerigatur ſemper perpendicularis EG,vi centripetæ in loco illo ad centrum Ctendenti proportio­

nalis: Sitque BFGlinea curva quam punctum Gperpetuo tangit. Coinci­dat autem EGipſo motus initio cum perpendiculari AB,& erit corporis Ve­locitas in loco quovis Eut areæ cur­vilineæ ABGElatus quadratum. que E. I.

In EGcapiatur EMlateri quadra­to areæ ABGEreciproce proportio­nalis, & ſit ALMlinea curva quam punctum Mperpetuotangit, & erit Tem­pus quo corpus cadendo deſcribit li­neam AEut area curvilinea ALME. que E. I.

Etenim in recta AEcapiatur linea quam minima DEdatæ longitudinis, ſitque DLFlocus lineæ EMGubi corpus verſabatur in D; & ſi ea ſit vis centripeta, ut areæ ABGElatus quadratum ſit ut deſcendentis velocitas, erit area ipſa in du­plicata ratione velocitatis, id eſt, ſi pro velocitatibus in D& Eſcribantur V & V+I, erit area ABFDut VV, & area ABGEut VV+2 VI+II, & diviſim area DFGEut 2 VI+II, adeoque (DFGE/DE) ut (2VI+II/DE), id eſt, ſi primæ quantitatum naſcentium rationes ſumantur, longitudo DFut quantitas (2VI/DE), adeoque e­tiam ut quantitatis hujus dimidium (IXV/DE). Eſt autem tempus quo corpus cadendo deſcribit lineolam DE,ut lineola illa directe & velocitas V inverſe, eſtque vis ut velocitatis incrementum I directe & tempus inverſe, adeoque ſi primæ naſcentium rationes ſuman­tur, ut (IXV/DE), hoc eſt, ut longitudo DF.Ergo Vis ipſi DFvel EGproportionalis facit ut corpus ea cum Velocitate deſcendat quæ ſit ut areæ ABGElatus quadratum. que E. D.

LIBER PRIMUS.

Porro cum tempus, quo quælibet longitudinis datæ lineola DEdeſcribatur, ſit ut velocitas inverſe adeoque ut areæ ABFDlatus quadratum inverſe; ſitque DL,atque adeo area naſcens DLME,ut idem latus quadratum inverſe: erit tempus ut area DLME,& ſumma omnium temporum ut ſumma omnium arearum, hoc eſt (per Corol. Lem. IV) Tempus totum quo linea AEdeſcribitur ut area tota AME. que E. D.

Corol.1. Si Pſit locus de quo corpus cadere debet, ut, urgen­te aliqua uniformi vi centripeta nota (qualis vulgo ſupponitur Gravitas) velocitatem acquirat in loco Dæqualem velocitati quam corpus aliud vi quacunque cadens acquiſivit eodem loco D,& in perpendiculari DFcapiatur DR,quæ ſit ad DFut vis illa uniformis ad vim alteram in loco D,& compleatur rectangulum PDRQ,eique æqualis abſcindatur area ABFD;erit Alocus de quo corpus alterum cecidit. Namque completo rectangulo DRSE,cum ſit area ABFDad aream DFGEut VV ad 2VI, adeoque ut 1/2 V ad I, id eſt, ut ſemiſſis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis vi inæquabili cadentis; & ſi­militer area PQRDad aream DRSEut ſemiſſis velocitatis to­tius ad incrementum velocitatis corporis uniformi vi cadentis; ſintQ.E.I.crementa illa (ob æqualitatem temporum naſcentium) ut vires generatrices, id eſt, ut ordinatim applicatæ DF, DR,adeoque ut areæ naſcentes DFGE, DRSE; erunt (ex æquo) areæ totæ ABFD, PQRDad invicem ut ſemiſſes totarum ve­locitatum, & propterea (ob æqualitatem velocitatum) æquantur.

Corol.2. Unde ſi corpus quodlibet de loco quocunque Ddata cum velocitate vel ſurſum vel deorſum projiciatur, & detur lex vis centripetæ, invenietur velocitas ejus in alio quovis loco e,erigen­do ordinatam eg,& capiendo velocitatem illam ad velocitatem in loco Dut eſt latus quadratum rectanguli PQRDarea curvili­nea DFgevel aucti, ſi locus eeſt loco Dinferior, vel diminuti, ſi is ſuperior eſt, ad latus quadratum rectanguli ſolius PQRD,id eſt, ut √PQRD+vel-DFgead √PQRD.

DE MOTU CORPORUM

Corol.3. Tempus quoQ.E.I.noteſcet erigendo ordinatam emre­ciproce proportionalem lateri quadrato ex PQRD+vel-DFge,& capiendo tempus quo corpus deſcripſit lineam Dead tempus quo corpus alterum vi uniformi cecidit a P& cadendo pervenit ad D,ut area curvilinea DLmead rectangulum 2PDXDL.Nam­que tempus quo corpus vi uniformi deſcendens deſcripſit lineam PDeſt ad tempus quo corpus idem deſcripſit lineam PEin ſub­duplicata ratione PDad PE,id eſt (lineola DEjamjam naſcen­te) in ratione PDad PD+1/2 DEſeu 2PDad 2PD+DE,& diviſim, ad tempus quo corpus idem deſcripſit lineolam DEut 2PDad DE,adeoque ut rectangulum 2PDXDLad aream DLME; eſtque tempus quo corpus utrumQ.E.D.ſcripſit lineo­lam DEad tempus quo corpus alterum inæquabili motu deſcrip­ſit lineam Deut area DLMEad aream DLme,& ex æquo tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulum 2PDXDLad aream DLme.

SECTIO VIII.

De Inventione Orbium in quibus corpora Viribus quibuſcunque cen­tripetis agitata revolvuntur.

PROPOSITIO XL. THEOREMA XIII.

Si corpus, cogente Vi quacunque centripeta, moveatur utcunque, & corpus aliud recta aſcendat vel deſcendat, ſintque eorum Velocita­tes in aliquo æqualium altitudinum caſu æquales, Velocitates eorum in omnibus æqualibus altitudinibus erunt æquales.

Deſcendat corpus aliquod ab Aper D, E,ad centrum C,& moveatur corpus aliud a Vin linea curva VIKk,Centro Cin­tervallis quibuſvis deſcribantur circuli concentrici DI, EKrectæ ACin D& E,curvæque VIKin I& Koccurrentes. Junga­tur ICoccurrens ipſi KEin N;& in IKdemittatur perpendi­culum NT; ſitque circumferentiarum circulorum intervallum DEvel INquam minimum, & habeant corpora in D& Ivelocita-tes æquales. Quoniam diſtantiæ CD, CIæquantur, erunt vi­

res centripetæ in D& Iæquales. Exponantur hæ vires per æ­quales lineolas DE, IN; & ſi vis una IN(per Legum Corol. 2.) reſolvatur in duas NT& IT,vis NT,agendo ſecundum lineam NTcorporis curſui ITKperpendicularem, nil mutabit velocita­tem corporis in curſu illo, ſed retrahet ſolummodo corpus a cur­ſu rectilineo, facietQ.E.I.ſum de Orbis tangente perpetuo deflecte­re, inque via curvilinea ITKkprogredi. In hoc effectu produ­cendo vis illa tota conſumetur: vis autem altera IT,ſecundum corporis curſum agendo, tota accelerabit illud, ac dato tem­pore quam minimo accelerationem generabit ſibi ipſi proportiona­lem. Proinde corporum in D& Iaccelerationes æqualibus tem­poribus factæ (ſi ſumantur linearum naſcentium DE, IN, IK, IT, NTrationes primæ) ſunt ut lineæ DE, IT:temporibus au­tem inæqualibus ut lineæ illæ & tempora conjunctim. Tempora autem quibus DE& IKdeſcribuntur, ob æqualitatem velocita­

tum ſunt ut viæ deſcriptæ DE& IK,adeoque accelerationes, in curſu corporum per lineas DE& IK,funt ut DE& IT, DE& IKconjunctim, id eſt ut DE quad& ITXIK rectangulum.Sed rectangulum ITXIKæquale eſt IN quadrato,hoc eſt, æquale DE quadrato;& propterea accelerationes in tranſitu corporum a D& Iad E& Kæquales generantur. Æquales igitur ſunt cor-porum velocitates in E& K& eodem argumento ſemper reperi­entur æquales in ſubſequentibus æqualibus diſtantiis. que E. D.

LIBER PRIMUS.

DE MOTU CORPORUM

Sed & eodem argumento corpora æquivelocia & æqualiter a cen­tro diſtantia, in aſcenſu ad æquales diſtantias æqualiter retarda­buntur. Q.E.D.

Corol.1. Hinc ſi corpus vel funipendulum oſcilletur, vel im­pedimento quovis politiſſimo & perfecte lubrico cogatur in li­nea curva moveri, & corpus aliud recta aſcendat vel deſcendat, ſintque velocitates eorum in eadem quacunque altitudine æquales: erunt velocitates eorum in aliis quibuſcunque æqualibus altitudi­nibus æquales. NamQ.E.I.pedimento vaſis abſolute lubrici idem præſtatur quod vi tranſverſa NT.Corpus eo non retardatur, non acceleratur, ſed tantum cogitur de curſu rectilineo diſcedere.

Corol.2. Hinc etiam ſi quantitas P ſit maxima a centro diſtan­tia, ad quam corpus vel oſcillans vel in Trajectoria quacunque re­volvens, deque quovis Trajectoriæ puncto, ea quam ibi habet velocitate ſurſum projectum aſcendere poſſit; ſitque quantitas A diſtantia corporis a centro in alio quovis Orbitæ puncto, & vis centripeta ſemper ſit ut ipſius A dignitas quælibet An-1, cujus Index n-1 eſt numerus quilibet nunitate diminutus; velocitas corporis in omni altitudine A erit ut √Pn-An, atque adeo da­tur. Namque velocitas recta aſcendentis ac deſcendentis (per Prop. XXXIX) eſt in hac ipſa ratione.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO XLI. PROBLEMA XXVIII.

Poſita cujuſcunque generis Vi centripeta & conceſſis Figurarum curvilinearum quadraturis, requiruntur tum Trajectoriæ in qui­bus corpora movebuntur, tum Tempora motuum in Trajectoriis inventis.

Tendat vis quælibet ad centrum C& invenienda ſit Trajectoria VITKk.Detur Circulus VXYcentro Cintervallo quovis CVdeſcriptus, centroque eodem deſcribantur alii quivis circuli ID, KETrajectoriam ſecantes in I& Krectamque CVin D& E.Age tum rectam CNIXſecantem circulos KE, VYin N& X,tum rectam CKYoccurrentem circulo VXYin Y.Sint autem puncta I& Kſibi invicem viciniſſima, & pergat corpus ab Vper I, T& Kad k;ſitque punctum Alocus ille de quo corpus aliud cadere debet ut in loco Dvelocitatem acquirat æqualem veloci­tati corporis prioris in I; & ſtantibus quæ in Propoſitione XXXIX, lineola IK,dato tempore quam minimo deſcripta, erit ut ve­locitas atque adeo ut latus quadratum areæ ABFD,& triangu­lum ICKtempori proportionale dabitur, adeoque KNerit reci­proce ut altitudo IC,id eſt, ſi detur quantitas aliqua Q, & alti­tudo ICnominetur A, ut Q/A. Hanc quantitatem Q/A nominemus Z, & ponamus eam eſſe magnitudinem ipſius Q ut ſit in aliquo caſu √ ABFDad Z ut eſt IKad KN,& erit in omni caſu √ABFDad Z ut IKad KN,& ABFDad ZZ ut IKquead KNque& diviſim ABFD-ZZ ad ZZ ut IN quadad KN quad,ad­eoque √ABFD-ZZ ad (Z ſeu)Q/A ut INad KN,& propterea AXKNæquale (QXIN/√ABFD-ZZ). Unde cum YXXXCſit ad AXKNut CXqad AA, erit rectangulum YXXXCæquale (QXINXCX quad./AA√ABFD-ZZ). Igitur ſi in perpendiculo DFcapiantur ſemper Db, Dcipſis (Q/2√ABFD-ZZ) & (QXCX quad./2AA√ABFD-ZZ) æquales reſpective, & deſcribantur curvæ lineæ ab, cdquas puncta b, cperpetuo tangunt; deque puncto Vad lineam ACeri­gatur perpendiculum Vadabſcindens areas curvilineas VDba, VDcd,& erigantur etiam ordinatæ Ez, Ex:quoniam rectan­gulum DbXINſeu DbzEæquale eſt dimidio rectanguli AXKN,ſeu triangulo ICK; & rectangulum DcXINſeu DcxEæquale eſt dimidio rectanguli YXXXC,ſeu triangulo XCY;hoc eſt, quoniam arearum VDba, VICæquales ſemper ſunt naſcentes particulæ DbzE, ICK,& arearum VDcd, VCXæquales ſemper ſunt naſcentes particulæ DcxE, XCY,erit area genita VDbaæqualis areæ genitæ VIC,adeoque tem­pori proportionalis, & area genita VDcdæqualis Sectori ge­nito VCX.Dato igitur tempore quovis ex quo corpus diſceſ­ſit de loco V,dabitur area ipſi proportionalis VDba,& inde dabitur corporis altitudo CDvel CI; & area VDcd,eique æqualis Sector VCXuna cum ejus angulo VCI.Datis autem angulo VCI& altitudine CIdatur locus I,in quo corpus com­pleto illo tempore reperietur. Q.E.I.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Hinc maximæ minimæque corporum altitudines, id eſt Apſides Trajectoriarum expedite inveniri poſſunt. Sunt enim Apſides puncta illa in quibus recta ICper centrum ducta incidit perpendiculariter in Trajectoriam VIK:id quod ſit ubi rectæ IK& NKæquantur, adeoque ubi area ABFDæqualis eſt ZZ.

Corol.2. Sed & angulus KIN,in quo Trajectoria alibi ſecat lineam illam IC,ex data corporis altitudine ICexpedite inveNI­tur; nimirum capiendo ſinum ejus ad radium ut KNad IK,id eſt, ut Z ad latus quadratum areæ ABFD.

Corol.3. Si centro C& vertice principali Vdeſcribatur Sectio quæ­libet Conica VRS,& a quovis ejus puncto Ragatur Tangens RToccurrens axi infinite producto CVin puncto T;dein juncta CRducatur recta CP,quæ æqualis ſit abſciſſæ CT,angulumque VCPSectori VCRproportionalem conſtituat; tendat autem ad centrum CVis centripeta Cubo diſtantiæ loeorum a centro reciproce propor­tionalis, & exeat corpus de loco Vjuſta cum Velocitate ſecundum lineam rectæ CVperpendicularem: progredietur corpus illud in Trajectoria quam punctum Pperpetuo tangit; adeoque ſi Conica ſectio CVRSHyperbola ſit, deſcendet idem ad centrum: Sin ea Ellipſis ſit, aſcendet illud perpetuo & abibit in infinitum. Et con­tra, ſi corpus quacunque cum Velocitate exeat de loco V,& perin­de ut incæperit vel obliQ.E.D.ſcendere ad centrum, vel ab eo ob-lique aſcendere, Figura CVRSvel Hyperbola ſit vel Ellipſis, in­veniri poteſt Trajectoria augendo vel minuendo angulum VCPin data aliqua ratione. Sed &, Vi centripeta in centrifugam verſa,

aſcendet corpus obliQ.E.I. Trajectoria VPQquæ invenitur capi­endo angulum VCPSectori Elliptico CVRCproportionalem, & longitudinem CPlongitudini CTæqualem ut ſupra. Conſequun­tur hæc omnia ex Propoſitione præcedente, per Curvæ cujuſdam quadraturam, cujus inventionem, ut ſatis facilem, brevitatis gratia miſſam facio.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO XLII. PROBLEMA XXIX.

Data lege Vis centripetæ, requiritur motus corporis de loco dato data cum Velocitate ſecundum datam rectam egreſſi.

Stantibus quæ in tribus Propoſitionibus præcedentibus: exeat corpus de loco Iſecundum lineolam IT,ea cum Velocitate quam corpus aliud, vi aliqua uniformi centripeta, de loco Pcadendo ac­quirere poſſet in D:ſitque hæc vis uniformis ad vim qua corpus primum urgetur in I,ut DRad DF.Pergat autem corpus verſus k;centroque C& intervallo Ckdeſcribatur circulus keoccurrens rectæ PDin e,& erigantur curvarum ALMm, BFGg, abzv, dcxw

ordinatim applicatæ em, eg, ev, ew.Ex dato rectangulo PDRQ,dataque lege vis centripetæ qua corpus primum agitatur, dantur cur­væ lineæ BFGg, ALMm,per conſtructionem Problematis XXVII, & ejus Corol. 1. Deinde ex dato angulo CITdatur proportio naſcen­tium IK, KN,& inde, per conſtructionem Prob. XXVIII, datur quantitas Q, una cum curvis lineis abzv, dcxw:adeoque com­pleto tempore quovis Dbve,datur tum corporis altitudo Cevel Ck,tum area Dcwe,eique æqualis Sector XCy,anguluſque ICk& locus kin quo corpus tunc verſabitur. Q.E.I.

DE MOTU CORPORUM

Supponimus autem in his Propoſitionibus Vim centripetam in receſſu quidem a centro variari ſecundum legem quamcunque quam quis imaginari poteſt, in æqualibus autem a centro diſtantiis eſſe undeque eandem. Atque hactenus Motum corporum in Orbibus immobilibus conſideravimus. Supereſt ut de Motu eorum in Orbi­bus qui circa centrum virium revolvuntur adjiciamus pauca.

LIBER PRIMUS.

SECTIO IX.

De Motu Corporum in Orbibus mobilibus, deque motu Apſidum.

PROPOSITIO XLIII. PROBLEMA XXX.

Efficiendum est ut corpus in Trajectoria quacunque circa centrum Virium revolvente perinde moveri poſſit, atque corpus aliud in eadem Trajectoria quieſcente.

In Orbe VPKpo­

ſitione dato revolvatur corpus Ppergendo a Vverſus K.A centro Cagatur ſemper Cp,quæ ſit ipſi CPæqualis, angulumque VCpan­gulo VCPproportio­nalem conſtituat; & a­rea quam linea Cpde­ſcribit erit ad aream VCPquam linea CPſimul deſcribit, ut velo­citas lineæ deſcribentis Cpad velocitatem li­neæ deſcribentis CP; hoc eſt, ut angulus VCpad angulum VCP,adeoQ.E.I. data ra­tione, & propterea tempori proportionalis. Cum area tempori proportionalis ſit quam linea Cpin plano immobili deſcribit, ma­nifeſtum eſt quod corpus, cogente juſtæ quantitatis Vi centripeta, revolvi poſſit una cum puncto pin Curva illa linea quam punctum idem pratione jam expoſita deſcribit in plano immobili. Fiat angu­lus VCuangulo PCp,& linea Culineæ CV,atque Figura uCpFi­guræ VCPæqualis, & corpus in pſemper exiſtens movebitur in perimetro Figuræ revolventis uCp,eodemque tempore deſcribet arcum ejus upquo corpus aliud Parcum ipſi ſimilem & æqualem VPin Figura quieſcente VPKdeſcribere poteſt. Quæratur igi­tur, per Corollarium quintum propoſitionis VI, Vis centripeta qua corpus revolvi poſſit in Curva illa linea quam punctum pdeſcribit in plano immobili, & ſolvetur Problema. q.E.F.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XLIV. THEOREMA XIV.

Differentia Virium, quibus corpus in Orbe quieſcente, & corpus a­liud in eodem Orbe revolvente æqualiter moveri poſſunt, est in triplicata ratione communis altitudinis inverſe.

Partibus Orbis quie­

ſcentis VP, PKſunto ſimiles & æquales Or­bis revolventis partes up, pk; & punctorum P, Kdiſtantia intelli­gatur eſſe quam miNI­ma. A puncto kin re­ctam pCdemitte per­pendiculum kr,idem­que produc ad m,ut ſit mrad krut angulus VCpad angulum VCP.Quoniam corporum al­titudines PC& pC, KC& kCſemper æquan­tur, manifeſtum eſt quod linearum PC& pCincrementa vel decrementa ſemper ſint æqualia, ideoque ſi corporum in locis P& pexiſtentium diſtinguantur motus ſinguli (per Legum Corol. 2.) in binos, quorum hi verſus centrum, ſive ſecundum lineas PC, pCdeterminentur, & alteri prioribus tranſverſi ſint, & ſecundum lineas ipſis PC, pCperpendiculares directionem habeant; motus verſus centrum erunt æquales, & motus tranſ­verſus corporis perit ad motum tranſverſum corporis P,ut mo­tus angularis lineæ pC,ad motum angularem lineæ PC,id eſt, ut angulus VCpad angulum VCP.Igitur eodem tempore quo corpus Pmotu ſuo utroque pervenit ad punctum K,corpus pæ­quali in centrum motu æqualiter movebitur a pverſus C,adeoque completo illo tempore reperietur alicubi in linea mkr,quæ per punctum kin lineam pCperpendicularis eſt; & motu tranſverſo acquiret diſtantiam a linea pC,quæ ſit ad diſtantiam quam cor­pus alterum Pacquirit a linea PC,ut eſt motus tranſverſus cor­poris pad motum tranſverſum corporis alterius P.Quare cum kræqualis ſit diſtantiæ quam corpus Pacquirit a linea PC,ſitque mrad krut angulus VCpad angulum VCP,hoc eſt, ut motus tranſverſus corporis pad motum tranſverſum corporis P,manife­ſtum eſt quod corpus pcompleto illo tempore reperietur in loco m.Hæc ita ſe habebunt ubi corpora p& Pæqualiter ſecundum lineas pC& PCmoventur, adeoque æqualibus Viribus ſecundum lineas illas urgentur. Capiatur autem angulum pCnad angulum pCkut eſt angulus VCpad angulus VCP,ſitque nCæqualis kC,& corpus pcompleto illo tempore revera reperietur in n; ad­eoque Vi majore urgetur quam corpus P,ſi modo angulus mCpangulo kCpmajor eſt, id eſt ſi Orbis upkvel movetur in con­ſequentia, vel movetur in antecedentia majore celeritate quam ſit dupla ejus qua linea CPin conſequentia fertur; & Vi mino­re ſi Orbis tardius movetur in antecedentia. Eſtque Virium dif­ferentia ut loeorum intervallum mn,per quod corpus illud pipſius actione, dato illo temporis ſpatio, transferri debet. Centro Cintervallo Cnvel Ckdeſcribi intelligatur Circulus ſecans lineas mr, mnproductas in s& t,& erit rectangulum mnXmtæ­quale rectangulo mkXms,adeoque mnæquale (mkXms/mt). Cum autem triangula pCk, pCndentur magnitudine, ſunt kr& mr,earumQ.E.D.fferentia mk& ſumma msreciproce ut altitudo pC,adeoque rectangulum mkXmseſt reciproce ut quadratum altitudi­nis pC.Eſt & mtdirecte ut 1/2 mt,id eſt, ut altitudo pC.Hæ ſunt primæ rationes linearum naſcentium; & hinc fit (mkXms/mt), id eſt lineola naſcens mn,eique proportionalis Virium differentia reci­proce ut cubus altitudinis pC. que E. D.

LIBER PRIMUS.

Corol.1. Hinc differentia virium in locis P& pvel K& k,eſt ad vim qua corpus motu Circulari revolvi poſſit ab Rad Keodem tempore quo corpus Pin Orbe immobili deſcribit arcum PK,ut lineola naſcens mnad ſinum verſum arcus naſcentis RK,id eſt ut (mkXms/mt) ad (rkq/2kC), vel ut mkXmsad rkquadratum; hoc eſt, ſi capiantur datæ quantitates F, G in ea ratione ad invicem quam habet angulus VCPad angulum VCp,ut GG-FF ad FF. Et propterea, ſi centro Cintervallo quovis CPvel Cpdeſcribatur Sector circularis æqualis areæ toti VPC,quam corpus Ptempore quovis in Orbe immobili revolvens radio ad centrum ducto de­ſcrip ſit: differentia virium, quibus corpus Pin Orbe immobili & corpus pin Orbe mobili revolvuntur, erit ad vim centripetam qua corpus aliquod radio ad centrum ducto Sectorem illum, eodem tem­pore quo deſcripta ſit area VPCuniformiter deſeribere potuiſſet, ut GG-FF ad FF. Namque Sector ille & area pCkſunt ad in­vicem ut tempora quibus deſcribuntur.

DE MOTU CORPORUM

Corol.2. Si Orbis VPKEllipſis ſit umbilicum habens C& Ap­ſidem ſummam V;eique ſimilis & æqualis ponatur Ellipſis upk,ita ut ſit ſemper pCæqualis PC,& angulus VCpſit ad angulum VCPin data ratione G ad F; pro altitudine autem PCvel pCſcribatur A, & pro Ellipſeos latere recto ponatur 2 R: erit vis qua corpus in Ellipſi mobili revolvi poteſt, ut (FF/AA)+(RGG-RFF/A cub.) & contra. Exponatur enim vis qua corpus revolvatur in immota Ellipſi per quantitatem (FF/AA), & vis in Verit (FF/CV quad.). Vis au­tem qua corpus in Circulo ad diſtantiam CVea cum velocitate revolvi poſſet quam corpus in Ellipſi revolvens habet in V,eſt ad vim qua corpus in Ellipſi revolvens urgetur in Apſide V,ut dimidium lateris recti Ellipſeos. ad Circuli ſemidiametrum CV,adeoque valet (RFF/CV cub.): & vis quæ ſit ad hanc ut GG-FF ad FF, valet (RGG-RFF/CV cub.): eſtque hæc vis (per hujus Corol. 1.) differentia virium in Vquibus corpus Pin Ellipſi immota VPK,& corpus pin Ellipſi mobili upkrevolvuntur. Unde cum (per hanc Prop.) differentia illa in alia quavis altitudine A ſit ad ſe­ipſam in altitudine CVut (1/A cub.) ad (1/CV cub.), eadem differentia in omni altitudine. A valebit (RGG-RFF/A cub.). Igitur ad vim (FF/AA) qua corpus revolvi poteſt in Ellipſi immobili VPK,addatur ex­ceſſus (RGG-RFF/A cub.) & componetur vis tota (FF/AA)+(RGG-RFF/A cub.) qua corpus in Ellipſi mobili upkiiſdem temporibus revolvi poſſit.

LIBER PRIMUS.

Corol.3. Ad eundem modum colligetur quod, ſi Orbis immo­bilis VPKEllipſis ſit centrum habens in virium centro C; ei­que ſimilis, æqualis & concentrica ponatur Ellipſis mobilis upk;ſitque 2 R Ellipſeos hujus latus rectum principale, & 2T latus tranſverſum ſive axis major, atque angulus VCpſemper ſit ad angulum VCPut G ad F; vires quibus corpora in Ellipſi im­mobili & mobili temporibus æqualibus revolvi poſſunt, erunt ut (FFA/T cub.) & (FFA/T cub.)+(RGG-RFF/A cub.) reſpective.

Corol.4. Et univerſaliter, ſi corporis altitudo maxima CVno­minetur T, & radius curvaturæ quam Orbis VPKhabet in V,id eſt radius Circuli æqualiter curvi, nominetur R, & vis centripeta qua corpus in Trajectoria quacunQ.E.I.mobili VPKrevolvi po­teſt, in loco Vdicatur (VFF/TT), atque aliis in locis Pindefinite dica­tur X, altitudine CPnominata A, & capiatur G ad F in data ratione anguli VCpad angulum VCP:erit vis centripeta qua corpus idem eoſdem motus in eadem Trajectoria upkcircula­riter mota temporibus iiſdem peragere poteſt, ut ſumma virium X+(VRGG-VRFF/A cub.).

Corol.5. Dato igitur motu corporis in Orbe quocunQ.E.I.mo­bili, augeri vel minui poteſt ejus motus angularis circa centrum virium in ratione data, & inde inveniri novi Orbes immobiles in quibus corpora novis viribus centripetis gyrentur.

Corol.6. Igitur ſi ad rectam CVpo­

ſitione datam erigatur perpendiculum VPlongitudinis indeterminatæ, jun­gaturque CP,& ipſi æqualis agatur Cp,conſtituens angulum VCp,qui ſit ad angulum VCPin data ratione; vis qua corpus gyrari poteſt in Curva illa Vpkquam punctum pperpetuo tangit, erit reciproce ut cubus altitu­dinis Cp.Nam corpus P,per vim inertiæ, nulla alia vi urgente, uniformiter progredi poteſt in recta VP.Addatur vis in centrum C,cubo altitudinis CPvel Cpreciproce proportionalis, & (per jam demonſtrata) detorQ.E.I.ur motus ille rectilineus in lineam curvam Vpk.Eſt autem hæc Curva Vpkeadem cum Curva illa VPQin Corol. 3. Prop. XLI inventa, in qua ibi diximus corpora hujuſmodi viribus attracta oblique aſcendere.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XLV. PROBLEMA XXXI.

Orbium qui ſunt Circulis maxime finitimi requiruntur motus Ap­ſidum.

Problema ſolvitur Arithmetice faciendo ut Orbis, quem corpus in Ellipſi mobili (ut in Propoſitionis ſuperioris Corol. 2, vel 3) revolvens deſcribit in plano immobili, accedat ad formam Orbis cujus Apſides requiruatur, & quærendo Apſides Orbis quem cor­pus illud in plano immobili deſcribit. Orbes autem eandem ac­quirent formam, ſi vires centripetæ quibus deſcribuntur, inter ſe collatæ, in æqualibus altitudinibus reddantur proportionales. Sit punctum VApſis ſumma, & ſcribantur T pro altitudine maxima CV,A pro altitudine quavis alia CPvel Cp,& X pro alti­titudinum differentia CV-CP; & vis qua corpus in Ellipſi circa umbilicum ſuum C(ut in Corollario 2.) revolvente move­tur, quæQ.E.I. Corollario 2. erat ut (FF/AA)+(RGG-RFF/A cub.), id eſt ut (FFA+RGG-RFF/A cub.), ſubſtituendo T-X pro A, erit ut (RGG-RFF+TFF-FFX/A cub.). Reducenda ſimiliter eſt vis alia quævis centripeta ad fractionem cujus denominator ſit A cub.,& numeratores, facta homologorum terminorum collatione, ſtatuendi ſunt analogi. Res Exemplis patebit.

Exempl.1. Ponamus vim centripetam uniformem eſſe, adeoque ut (A cub./A cub.), ſive (ſcribendo T-X pro A in Numeratore) ut (T cub.-3TTX+3TXX-X cub./A cub.); & collatis Numeratorum ter­minis correſpondentibus, nimirum datis cum datis & non datis cum non datis, fiet RGG-RFF+TFF ad T cub.ut-FFX ad -3TTX+3TXX-Xcub.ſive ut-FF ad-3TT+3TX -XX. Jam cum Orbis ponatur Circulo quam maxime finitimus, coeat Orbis cum Circulo; & ob factas R, T æquales, atque X in infi-nitum diminutam, rationes ultimæ erunt RGG ad T cub.ut-FF ad-3TT ſeu GG ad TT ut FF ad 3TT & viciſſim GG ad FF ut TT ad 3 TT id eſt, ut 1 ad 3; adeoque G ad F, hoc eſt angulus VCpad angulum VCP,ut 1 ad √3. Er­go cum corpus in Ellipſi immobili, ab Apſide ſumma ad Ap­ſidem imam deſcendendo conficiat angulum VCP(ut ita di­cam) gradum 180; corpus aliud in Ellipſi mobili, atque adeo in Orbe immobili de quo agimus, ab Apſide ſumma ad Apſidem imam deſcendendo conficiet angulum VCpgradum (180/√3): id adeo ob ſimilitudinem Orbis hujus, quem corpus agente uniformi vi centripeta deſcribit, & Orbis illius quem corpus in Ellipſi re­volvente gyros peragens deſcribit in plano quieſcente. Per ſu­periorem terminorum collationem ſimiles redduntur hi Orbes, non univerſaliter, ſed tunc cum ad formam circularem quam maxime appropinquant. Corpus igitur uniformi cum vi centripeta in Orbe propemodum circulari revolvens, inter Apſidem ſummam & Apſidem imam conficiet ſemper angulum (180/√3) graduum, ſeu 103 gr.55 m.23 ſec.ad centrum; perveniens ab Apſide ſumma ad Apſidem imam ubi ſemel confecit hunc angulum, & inde ad Apſi­dem ſummam rediens ubi iterum confecit eundem angulum; & ſic deinceps in infinitum.

LIBER PRIMUS.

Exempl.2. Ponamus vim centripetam eſſe ut altitudinis A dig­nitas quælibet An-3 ſeu (An/A3): ubi n-3 & nſignificant digNI­tatum indices quoſcunQ.E.I.tegros vel fractos, rationales vel irratio­nales, affirmativos vel negativos. Numerator ille An ſeu —T-Xnin ſeriem indeterminatam per Methodum noſtram Serierum conver­gentium reducta, evadit Tn-nXTn-1+(nn-n/2)XXTn-2 &c. Et collatis hujus terminis cum terminis Numeratoris alterius RGG-RFF+TFF-FFX, fit RGG-RFF+TFF ad Tnut-FF ad-nTn-1+(nn-n/2)XTn-2 &c. Et ſumendo ratio­nes ultimas ubi Orbes ad formam circularem accedunt, fit RGG ad Tn ut-FF ad-nTn-1, ſeu GG ad Tn-1 ut FF ad nTn-1, & viciſſim GG ad FF ut Tn-1 ad nTn-1 id eſt ut 1 ad n; adeoque G ad F, id eſt angulus VCpad angulum VCP,ut 1 ad √n.Quare cum angulus VCP,in deſcenſu corporis ab Apſide ſumma ad Apſidem imam in Ellipſi confectus, ſit graduum 180; conficietur angulus VCp,in deſcenſu corporis ab Apſide ſumma ad Apſidem imam, in Orbe propemodum Cir­culari quem corpus quodvis vi centripeta dignitati An-3 pro­portionali deſcribit, æqualis angulo graduum (180/√n); & hoc angulo repetito corpus redibit ab Apſide ima ad Apſidem ſummam, & ſic deinceps in infinitum. Ut ſi vis centripeta ſit ut diſtantia cor­poris a centro, id eſt, ut A ſeu (A4/A3), erit næqualis 4 & √næqualis 2; adeoque angulus inter Apſidem ſummam & Apſidem imam æ­qualis (180/2) gr.ſeu 90 gr.Completa igitur quarta parte revolutio­nis unius corpus perveniet ad Apſidem imam, & completa alia quarta parte ad Apſidem ſummam, & ſic deinceps per vices in infinitum. Id quod etiam ex Propoſitione x. manifeſtum eſt. Nam corpus urgente hac vi centripeta revolvetur in Ellipſi immobili, cujus centrum eſt in centro virium. Quod ſi vis centripeta ſit reci­proce ut diſtantia, id eſt directe ut 1/A ſeu (A2/A3), erit næqualis 2, ad­eoQ.E.I.ter Apſidem ſummam & imam angulus erit graduum (180/√2) ſeu 127 gr.16 m.45 ſec.& propterea corpus tali vi revolvens, perpe­tua anguli hujus repetitione, vicibus alternis ab Apſide ſumma ad imam & ab ima ad ſummam perveniet in æternum. Porro ſi vis centripeta ſit reciproce ut latus quadrato-quadratum undecimæ dignitatis altitudinis, id eſt reciproce ut A (11/4), adeoQ.E.D.recte ut (1/A11/4) ſeu ut (A1/4/A3) erit næqualis 1/4, & (180/√n) gr.æqualis 360 gr.& prop­terea corpus de Apſide ſumma diſcedens & ſubinde perpetuo de­ſcendens, perveniet ad Apſidem imam ubi complevit revolutionem integram, dein perpetuo aſcenſu complendo aliam revolutionem in­regram, redibit ad Apſidem ſummam: & ſic per vices in æternum.

DE MOTU CORPORUM

Exempl.3. Aſſumentes m& npro quibuſvis indicibus dignitatum Altitudinis, & b, cpro numeris quibuſvis datis, ponamus vim cen­tripetam eſſe ut (bAm+cAn/A cub.), id eſt, ut (bin —T-Xm+cin —T-Xn/A cub.) ſeu (per eandem Methodum noſtram Serierum convergentium) ut (bTm+cTn-mbXTm-1-ncXTn-1+(mm-mb/2)XXTm-2+(nn-nc/2)XXTn-2 &c./A cub.) & collatis numeratorum terminis, fiet RGG-RFF+TFF ad bTm+cTn, ut -FF ad -mbTm-1-ncTn-1+(mm-m/2)bXTm-2+(nn-n/2)cXTn-2 &c. Et ſumendo rationes ulti­mas quæ prodeunt ubi Orbes ad formam circularem accedunt, fit GG ad bTm-1+cTn-1, ut FF ad mbTm-1+ncTn-1, & viciſſim GG ad FF ut bTm-1+cTn-1 ad mbTm-1+ncTn-1. Quæ proportio, exponendo altitudinem maximam CVſeu T Arith­metice per Unitatem, fit GG ad FF ut b+cad mb+nc,adeoque ut 1 ad (mb+nc/b+c). Unde eſt G ad F, id eſt angulus VCpad angulum VCP,ut 1 ad √(mb+nc/b+c). Et propterea cum angulus VCPinter Apſidem ſummam & Apſidem imam in Ellipſi immobili ſit 180 gr.erit angulus VCpinter eaſdem Apſides, in Orbe quem corpus vi centripeta quantitati (bAm+cAn/A cub.) proportionali deſcribit, æqua­lis angulo graduum 180 √(b+c/mb+nc). Et eodem argumento ſi vis cen­tripeta ſit ut (bAm-cAn/A cub.), angulus inter Apſides invenietur graduum 180 √(b-c/mb-nc). Nec ſecus reſolvetur Problema in caſibus diffi­cilioribus. Quantitas cui vis centripeta proportionalis eſt, re­ſolvi ſemper debet in Series convergentes denominatorem ha­bentes A cub.Dein pars data numeratoris qui ex illa operatione provenit ad ipſius partem alteram non datam, & pars data nu­meratoris hujus RGG-RFF+TFF-FFX ad ipſius partem alteram non datam in eadem ratione ponendæ ſunt: Et quantitates ſuperfluas delendo, ſcribendoque Unitatem pro T, obtinebitur proportio G ad F.

LIBER PRIMUS.

Corol.1. Hinc ſi vis centripeta ſit ut aliqua altitudinis digNI­tas, inveniri poteſt dignitas illa ex motu Apſidum; & contra. Nimirum ſi motus totus angularis, quo corpus redit ad Apſidem eandem, ſit ad motum angularem revolutionis unius, ſeu graduum 360, ut numerus aliquis mad numerum alium n,& altitudo no­minetur A: erit vis ut altitudinis dignitas illa A(nn/mm)-3, cujus In-dex eſt (nn/mm)-3. Id quod per Exempla ſecunda manifeſtum eſt. Unde liquet vim illam in majore quam triplicata altitudinis ratione, in receſſu a centro, decreſcere non poſſe: Corpus tali vi revolvens deque Apſide diſcedens, ſi cæperit deſcendere nunquam perveniet ad Apſidem imam ſeu altitudinem minimam, ſed deſcendet uſque ad centrum, deſcribens Curvam illam lineam de qua egimus in Cor. 3. Prop. XLI. Sin cæperit illud, de Apſide diſcedens, vel minimum aſcendere; aſcendet in infinitum, neque unquam perveniet ad Ap­ſidem ſummam. Deſcribet enim Curvam illam lineam de qua ac­tum eſt in eodem Corol. & in Corol. 6, Prop. XLIV. Sic & ubi vis, in receſſu a centro, decreſcit in majore quam triplicata ratione altitudinis, corpus de Apſide diſcedens, perinde ut cæperit deſcen­dere vel aſcendere, vel deſcendet ad centrum uſque vel aſcendet in infinitum. At ſi vis, in receſſu a centro, vel decreſcat in minore quam triplicata ratione altitudinis, vel creſcat in altitudinis ratione quacunque; corpus nunquam deſcendet ad centrum uſque, ſed ad Apſidem imam aliquando perveniet: & contra, ſi corpus de Apſi­de ad Apſidem alternis vicibus deſcendens & aſcendens nunquam appellat ad centrum; vis in receſſu a centro aut augebitur, aut in minore quam triplicata altitudinis ratione decreſcet: & quo ci­tius corpus de Apſide ad Apſidem redierit, eo longius ratio virium recedet a ratione illa triplicata. Ut ſi corpus revolutionibus 8 vel 4 vel 2 vel 1 1/2 de Apſide ſumma ad Apſidem ſummam alterno de­ſcenſu & aſcenſu redierit; hoc eſt, ſi fuerit mad nut 8 vel 4 vel 2 vel 1 1/2 ad 1, adeoque (nn/mm)-3 valeat (1/64)-3 vel (1/16) -3 vel 1/4-3 vel 4/9-3: erit vis ut A(1/64)-3 vel A(1/16)-3 vel A1/4-3 vel A4/9-3, id eſt, reciproce ut A3-(1/64) vel A3-(1/16) vel A3-1/4 vel A3-4/9. Si corpus ſingulis revolutionibus redierit ad Apſidem eandem immo­tam; erit mad nut 1 ad 1, adeoque A (nn/mm)-3 æqualis A-2 ſeu (1/AA) & propterea decrementum virium in ratione duplicata altitudinis, ut in præcedentibus demonſtratum eſt. Si corpus partibus revo­lutionis unius vel tribus quartis, vel duabus tertiis, vel una ter­tia, vel una quarta, ad Apſidem eandem redierit; erit mad nut 1/4 vel 2/3 vel 1/3 vel 1/4 ad 1, adeoque A(nn/mm)-3 æqualis A(16/9)-3 vel A9/4-3 vel A9-3 vel A16-3; & propterea vis aut reciproce ut A(11/9) vel A1/4, aut directe ut A6 vel A 13. Denique ſi corpus pergendo ab Apſide ſumma ad Apſidem ſummam confecerit revolutionem in­tegram, & præterea gradus tres, adeoque Apſis illa ſingulis corporis revolutionibus confecerit in conſequentia gradus tres; erit mad nut 363 gr.ad 360gr.ſive ut 121 ad 120, adeoque A(nn/mm)-3 erit æquale A-(29523/14641); & propterea vis centripeta reciproce ut A (29523/14641) ſeu re­ciproce ut A2 (4/2+3) proxime. Decreſcit igitur vis centripeta in ratio­ne paulo majore quam duplicata, ſed quæ vicibus 59 3/4 propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit.

DE MOTU CORPORUM

LIBER PRIMUS.

Corol.2. Hinc etiam ſi corpus, vi centripeta quæ ſit reciproce ut quadratum altitudinis, revolvatur in Ellipſi umbilicum haben­te in centro virium, & huic vi centripetæ addatur vel auferatur vis alia quævis extranea; cognoſci poteſt (per Exempla tertia) motus Apſidum qui ex vi illa extranea orietur: & contra. Ut ſi vis qua corpus revolvitur in Ellipſi ſit ut (1/AA), & vis extranea ab­lata ut cA, adeoque vis reliqua ut (A-cA4/A cub.); erit (in Exemplis ter­tiis) bæqualis 1, mæqualis 1, næqualis 4, adeoque angulus revo­lutionis inter Apſides æqualis angulo graduum 180 √(1-c/1-4c). Po­natur vim illam extraneam eſſe 357,45 partibus minorem quam vis altera qua corpus revolvitur in Ellipſi, id eſt ceſſe (100/35745), exiſtente A vel T æquali 1; & 180 √(1-c/1-4c) evadet 180 √(35645/35345), ſeu 180, 7623, id eſt, 180 gr.45 m.44 ſ.Igitur corpus de Apſide ſumma diſce­dens, motu angulari 180 gr.45 m.44. ſ.perveniet ad Apſidem imam, & hoc motu duplicato ad Apſidem ſummam redibit: adeo­que Apſis ſumma ſingulis revolutionibus progrediendo conficiet 1 gr.31 m.28 ſec.

Hactenus de Motu corporum in Orbibus quorum plana per centrum Virium tranſeunt. Supereſt ut Motus etiam determine­mus in planis excentricis. Nam Scriptores qui Motum gravium tractant, conſiderare ſolent aſcenſus & deſcenſus ponderum, tam obliquos in planis quibuſcunQ.E.D.tis, quam perpendicu­lares: & pari jure Motus corporum Viribus quibuſcunque cen-tra petentium, & planis excentricis innitentium hic conſiderandus venit. Plana autem ſupponimus eſſe politiſſima & abſolute lubrica ne corpora retardent. Quinimo, in his demonſtrationibus, vi­ce planorum quibus corpora incumbunt quæque tangunt incum­bendo, uſurpamus plana his parallela, in quibus centra corpo­rum moventur & Orbitas movendo deſcribunt. Et eadem lege Motus corporum in ſuperficiebus Curvis peractos ſubinde de­terminamus.

DE MOTU CORPORUM

SECTIO X.

De Motu Corporum in Superficiebus datis, deque Funipendulorum Motu reciproco.

PROPOSITIO XLVI. PROBLEMA XXXII.

Poſita cujuſcunque generis Vi centripeta, datoque tum Virium cen­tro tum Plano quocunQ.E.I. quo corpus revolvitur, & conceſ­ſis Figurarum curvilinearum quadraturis: requiritur Motus cor­poris de loco dato, data cum Velocitate, ſecundum rectam in Plano illo datam egreſſi.

Sit Scentrum Virium, SCdiſtantia minima centri hujus a Plano dato, Pcorpus de loco Pſecundum rectam PZegrediens, Qcorpus idem in Trajectoria ſua revolvens, & PQRTrajectoria illa, in Plano dato deſcripta, quam invenire oportet. Jungantur CQ QS,& ſi in QScapiatur SVproportionalis vi centripetæ qua corpus trahitur verſus centrum S,& agatur VTquæ fit parallela CQ& occurrat SCin T:Vis SVreſolvetur (per Legum Corol. 2.) in vires ST, TV;quarum STtrahendo corpus ſecundum lineam plano perpendicularem, nil mutat motum ejus in hoc plano. Vis autem altera TV,agendo ſecundum poſitionem plani, trahit cor­pus directe verſus punctum Cin plano datum, adeoque facit illud in hoc plano perinde moveri ac ſi vis STtolleretur, & corpus vi ſola TVrevolveretur circa centrum Cin ſpatio libero. Data autem vi centripeta TVqua corpus Qin ſpatio libero circa centrum datum Crevolvitur, datur per Prop. XLII, tum Trajectoria PQRquam corpus deſcribit, tum locus Qin quo corpus ad datum quod­vis tempus verſabitur, tum denique velocitas corporis in loco illo Q; & contra. que E. I.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO XLVII. THEOREMA XV.

Poſito quod Vis centripeta proportionalis ſit diſtantiæ corporis a centro; corpora omnia in planis quibuſcunque revolventia de­ſcribent Ellipſes, & revolutiones Temporibus æqualibus peragent; quæque moventur in lineis rectis, ultro citroQ.E.D.ſcurrendo, ſingulas eundi & redeundi periodos iiſdem Temporibus abſol­vent.

Nam, ſtantibus quæ

in ſuperiore Propoſitio­ne, vis SVqua corpus Qin plano quovis PQRrevolvens trahitur ver­ſus centrum Seſt ut di­ſtantia Squeatque adeo ob proportionales SV& SQ, TV& CQ,vis TVqua corpus trahi­tur verſus punctum Cin Orbis plano datum, eſt ut diſtantia C Q.Vi­res igitur, quibus cor­pora in plano PQRverſantia trahuntur ver­ſus punctum C,ſunt pro ratione diſtantiarum æquales viribus quibus corpora undiquaque trahuntur verſus centrum S; & propterea corpora movebuntur iiſ­dem Temporibus, in iiſdem Figuris, in plano quovis PQRcirca punctum C,atQ.E.I. ſpatiis liberis circa centrum S; adeoque (per Corol. 2. Prop. X, & Corol. 2. Prop. XXXVIII) Temporibus ſemper æqualibus, vel deſcribent Ellipſes in plano illo circa centrum C,vel periodos movendi ultro citroQ.E.I. lineis rectis per centrum Cin plano illo ductis, complebunt. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

Scholium.

His affines ſunt aſcenſus ac deſcenſus corporum in ſuperficiebus curvis. Concipe lineas curvas in plano deſcribi, dein circa axes quoſvis datos per centrum Virium tranſeuntes revolvi, & ea revo­lutione ſuperficies curvas deſcribere; tum corpora ita moveri ut eorum centra in his ſuperficiebus perpetuo reperiantur. Si cor­pora illa oblique aſcendendo & deſcendendo currant ultro citroque peragentur eorum motus in planis per axem tranſeuntibus, atque adeo in lineis curvis quarum revolutione curvæ illæ ſuperficies ge­nitæ ſunt. Iſtis igitur in caſibus ſufficit motum in his lineis cur­vis conſiderare.

PROPOSITIO XLVIII. THEOREMA XVI.

Si Rota Globo extrinſecus ad angulos rectos inſiſtat, & more ro­tarum revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo Itineris curvilinei, quod punctum quodvis in Rotæ perimetro da­tum, ex quo Globum tetigit, confecit, (quodque Cycloidem vel Epicycloidem nominare licet) erit ad duplicatum ſinum verſum arcus dimidii qui Globum ex eo tempore inter eundum tetigit, ut ſumma diametrorum Globi & Rotæ ad ſemidiametrum Globi.

PROPOSITIO XLIX. THEOREMA XVII.

Si Rota Globo concavo ad rectos angulos intrinſecus inſiſtat & re­volvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo Itineris curvilinei quod punctum quodvis in Rotæ perimetro datum, ex quo Globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum ſinum verſum arcus dimidii qui Globum toto hoc tempore inter eundum teti­git, ut differentia diametrorum Globi & Rotæ ad ſemidiame­trum Globi.

Sit ABLGlobus, Ccentrum ejus, BPVRota ei inſiſtens, Ecentrum Rotæ, Bpunctum contactus, & Ppunctum datum in pe­rimetro Rotæ. Concipe hanc Rotam pergere in circulo maximo ABLab Aper Bverſus L,& inter eundum ita revolvi ut ar­cus AB, PBſibi invicem ſemper æquentur, atque punctum illud Pin perimetro Rotæ datum interea deſcribere Viam curvilineam AP.Sit autem APVia tota curvilinea deſcripta ex quo Rota Globum tetigit in A,& erit Viæ hujus longitudo APad duplum

ſinum verſum arcus 1/2 PB,ut 2 CEad CB.Nam recta CE(ſi opus eſt producta) occurrat Rotæ in V,junganturque CP, BP, EP, VP,& in CPproductam demittatur normalis VF.Tan­gant PH, VHCirculum in P& Vconcurrentes in H,ſecetque PHipſam VFin G,& ad VPdemittantur normales GI, HK.Centro item C& intervallo quovis deſcribatur circulus nomſe­cans rectam CPin n,Rotæ perimetrum BP&c. in o,& Viam curvi­lineam APin m;centroque V& intervallo Vodeſcribatur circu­lus ſecans VPproductam in que

LIBER PRIMUS.

DE MOTU CORPORUM

Quoniam Rota eundo ſemper revolvitur circa punctum con­tactus B,manifeſtum eſt quod recta BPperpendicularis eſt ad

lineam illam curvam APquam Rotæ punctum Pdeſcribit, atque adeo quod recta VPtanget hanc curvam in puncto P.Circuli nomradius ſenſim auctus vel diminutus æquetur tandem diſtantiæ CP; &, ob ſimilitudinem Figuræ evaneſcentis Pnomq& Figuræ PFGVI,ratio ultima lineolarum evaneſcentium Pm, Pn, Po, Pq,id eſt, ratio mutationum momentanearum curvæ AP,rectæ CP,arcus circularis BP,ac rectæ VP,eadem erit quæ linea­rum PV, PF, PG, PIreſpective. Cum autem VFad CF& VHad CVperpendiculares ſunt, angulique HVG, VCFprop­terea æquales; & angulus VHG(ob angulos quadrilateri HVEPad V& Prectos) angulo CEPæqualis eſt, ſimilia erunt tri­angula VHG, CEP; & inde fiet ut EPad CEita HGad HVſeu HP& ita KIad KP,& compoſite vel diviſim ut CBad CEita PIad PK,& duplicatis conſequentibus ut CBad 2 CEita PIad PV,atQ.E.I.a adeo Pqad Pm.Eſt igitur decremen­tum lineæ VP,id eſt, incrementum lineæ BV-VPad incremen­tum lineæ curvæ APin data ratione CBad 2 CE,& prop­terea (per Corol. Lem. IV.) longitudines BV-VP& AP,in­crementis illis genitæ, ſunt in eadem ratione. Sed, exiſtente BVra­dio, eſt VPco-ſinus anguli BVPſeu 1/2 BEP,adeoque BV-VPſinus verſus ejuſdem anguli; & propterea in hac Rota, cujus radius eſt 1/2 BV,erit BV-VPduplus ſinus verſus arcus 1/2 BP.Ergo APeſt ad duplum ſinum verſum arcus 1/2 BPut 2 CEad CB. que E. D.

LIBER PRIMUS.

Lineam autem APin Propoſitione priore Cycloidem extra Globum, alteram in poſteriore Cycloidem intra Globum diſtincti­onis gratia nominabimus.

Corol.1. Hinc ſi deſcribatur Cyclois integra ASL& biſecetur ea in S,erit longitudo partis PSad longitudinem VP(quæ du­plus eſt ſinus anguli VBP,exiſtente EBradio) ut 2 CEad CB,atque adeo in ratione data.

Corol.2. Et longitudo ſemiperimetri Cycloidis ASæquabitur lineæ rectæ quæ eſt ad Rotæ diametrum BV,ut 2 CEad CB.

PROPOSITIO L. PROBLEMA XXXIII.

Facere ut Corpus pendulum oſcilletur in Cycloide data.

Intra Globum QVS,centro Cdeſcriptum, detur Cyclois QRSbiſecta in R& punctis ſuis extremis Q& Sſuperficiei Globi hinc inde occurrens. Agatur CRbiſecans arcum QSin O,& produca­tur ea ad A,ut ſit CAad COut COad CR.Centro Cin-tervallo CAdeſeribatur Globus exterior ABD,& intra hunc Glo­bum a Rota, cujus diameter ſit AO,deſcribantur duæ Semicycloides AQ, AS,quæ Globum interiorem tangant in Q& S& Globo ex­teriori occurrant in A.A puncto illo A,Filo APTlongitudinem ARæquante, pendeat corpus T,& ita intra Semicycloides AQ, ASoſcilletur, ut quoties pendulum digreditur a perpendiculo AR,

Filum parte ſui ſuperiore APapplicetur ad Semicycloidem illam APSverſus quam peragitur motus, & circum eam ceu obſtacu­lum flectatur, parteque reliqua PTcui Semicyclois nondum obji­citur, protendatur in lineam rectam; & pondus Toſcillabitur in Cycloide data QRS. que E. F.

DE MOTU CORPORUM

Occurrat enim Filum PTtum Cycloidi QRSin T,tum circulo QOSin V,agaturque CV;& ad Fili partem rectam PT,e punctis extremis Pac T,erigantur perpendicula PB, TW,occurrentia re­ctæ CVin B& W.Patet, ex conſtructione & geneſi ſimilium Fi­gurarum AS, SR,perpendicula illa PB, TWabſcindere de CVlon­gitudines VB, VWRotarum diametris OA, ORæquales. Eſt igi­tur TPad VP(duplum ſinum anguli VBPexiſtente 1/2 BVra-dio) ut BWad BV,ſeu AO+ORad AO,id eſt (cum ſint CAad CO, COad CR& diviſim AOad ORproportionales,) ut CA+COad CAvel, ſi biſecetur BVin E,ut 2 CEad CB.Proinde, per Corol. 1. Prop. XLIX, longitudo partis rectæ Fili PTæquatur ſemper Cycloidis arcui PS,& Filum totum APTæquatur ſemper Cycloidis arcui dimidio APS,hoc eſt (per Corol. 2. Prop. XLIX) longitudini AR.Et propterea viciſſim ſi Filum manet ſem­per æquale longitudini ARmovebitur punctum Tin Cycloide data QRS. que E. D.

LIBER PRIMUS.

Corol.Filum ARæquatur Semicycloidi AS,adeoque ad ſemi­diametrum ACeandem habet rationem quam ſimilis illi Semicy­clois SRhabet ad ſemidiametrum CO.

PROPOSITIO LI. THEOREMA XVIII.

Si Vis centripeta tendens undique ad Globi centrumC ſit in locis ſingulis ut diſtantia loci cujuſque a centro, & hac ſola Vi a­gente corpusT oſcilletur (modo jam deſcripto) in perimetro Cy­cloidisQRS: dico quod oſcillationum utcunQ.E.I.æqualium æqualia erunt Tempora.

Nam in Cycloidis tangentem TWinfinite productam cadat per­pendiculum CX& jungatur CT.Quoniam vis centripeta qua cor­pus Timpellitur verſus Ceſt ut diſtantia CT,atque hæc (per Legum Corol. 2.) reſolvitur in partes CX, TX,quarum CXimpellen­do corpus directe a Pdiſtendit filum PT& per ejus reſiſtentiam tota ceſſat, nullum alium edens effectum; pars autem altera TX,urgendo corpus tranſverſim ſeu verſus X,directe accelerat motum ejus in Cycloide; manifeſtum eſt quod corporis acceleratio, huic vi acceleratrici proportionalis, ſit ſingulis momentis ut longitudo TX,id eſt, (ob datas CV, WViiſque proportionales TX, TW,) ut longitudo TW,hoc eſt (per Corol. 1. Prop. XLIX,) ut longitudo arcus Cycloidis TR.Pendulis igitur duobus APT, Aptde per­pendiculo ARinæqualiter deductis & ſimul dimiſſis, acceleratio­nes eorum ſemper erunt ut arcus deſcribendi TR, tR.Sunt au­tem partes ſub initio deſcriptæ ut accelerationes, hoc eſt, ut totæ ſub initio deſcribendæ, & propterea partes quæ manent deſcriben-dæ & accelerationes ſubſequentes, his partibus proportionales, ſunt etiam ut totæ; & ſic deinceps. Sunt igitur accelerationes atque adeo velocitates genitæ & partes his velocitatibus deſcriptæ par­teſQ.E.D.ſcribendæ, ſemper ut totæ; & propterea partes deſcriben­dæ datam ſervantes rationem ad invicem ſimul evaneſcent, id eſt, corpora duo oſcillantia ſimul pervenient ad perpendiculum AR.Cumque viciſſim aſcenſus perpendiculorum de loco inſimo R,per eoſdem arcus Cycloidales motu retrogrado facti, retardentur in locis ſingulis a viribus iiſdem a quibus deſcenſus accelerabantur, patet velocitates aſcenſuum ac deſcenſuum per eoſdem arcus fa­ctorum æquales eſſe, atque adeo temporibus æqualibus fieri; & propterea, cum Cycloidis partes duæ RS& RQad utrumque per­pendiculi latus jacentes ſint ſimiles & æquales, pendula duo oſcil­lationes ſuas tam totas quam dimidias iiſdem temporibus ſemper peragent. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.Vis qua corpus Tin loco quovis Tacceleratur vel retar­tur in Cycloide, eſt ad totum corporis ejuſdem Pondus in loco altiſſimo Svel Q,ut Cycloidis arcus TRad ejuſdem arcum SRvel QR.

PROPOSITIO LII. PROBLEMA XXXIV.

Definire & Velocitates Pendulorum in locis ſingulis, & Tempora quibus tum oſcillationes totæ, tum ſingulæ oſcillationum partes peraguntur.

Centro quovis G,intervallo GHCycloidis arcum RSæquante, deſcribe ſemicirculum HKMGſemidiametro GKbiſectum. Et ſi vis centripeta, diſtantiis loeorum a centro proportionalis, tendat ad centrum G,ſitque ea in perimetro HIKæqualis vi centripetæ in perimetro Globi QOS (Vide Fig. Prop.L.) ad ipſius cen­trum tendenti; & eodem tempore quo pendulum Tdimittitur e loco ſupremo S,cadat corpus aliquod Lab Had G:quoniam vires quibus corpora urgentur ſunt æquales ſub initio & ſpatiis deſcribendis TR, LGſemper proportionales, atque adeo, ſi æ­quantur TR& LG,æquales in locis T& L; patet corpora illa deſcribere ſpatia ST, HLæqualia ſub initio, adeoque ſubinde per­gere æqualiter urgeri, & æqualia ſpatia deſcribere. Quare, per Prop. XXXVIII, tempus quo corpus deſcribit arcum STeſt ad tempus oſcillationis unius, ut arcus HI(tempus quo corpus Hperveniet ad L) ad ſemiperipheriam HKM(tempus quo corpus Hper­veniet ad M.) Et velocitas corporis penduli in loco Teſt ad ve­locitatem ipſius in loco infimo R,(hoc eſt, velocitas corporis Hin loco Lad velocitatem ejus in loco G,ſeu incrementum momenta­neum lineæ HLad incrementum momentaneum lineæ HG,arcu­bus HI, HKæquabili fluxu creſcentibus) ut ordinatim applicata LIad radium GK,ſive ut √SRq.-TRquead SR.Unde cum, in oſcillationibus inæqualibus, deſcribantur æqualibus temporibus arcus totis oſcillationum arcubus proportionales; habentur, ex da­tis temporibus, & velocitates & arcus deſcripti in oſcillationibus univerſis. Quæ erant primo invenienda.

LIBER PRIMUS.

Oſcillentur jam Funipendula

corpora in Cycloidibus diverſis intra Globos diverſos, quorum diverſæ ſunt etiam Vires abſolu­tæ, deſcriptis: &, ſi Vis abſolu­ta Globi cujuſvis QOSdicatur V, Vis acceleratrix qua Pendulum urge­tur in circumferentia hujus Globi, ubi incipit directe verſus centrum ejus moveri, erit ut diſtantia Cor­poris penduli a centro illo & Vis abſoluta Globi conjunctim, hoc eſt, ut COXV. Itaque lineola HY,quæ ſit ut hæc Vis accelera­trix COXV, deſcribetur dato tempore; &, ſi erigatur normalis YZcircumferentiæ occurrens in Z,arcus naſcens HZdenotabit datum illud tempus. Eſt autem arcus hic naſcens HZin ſubduplicata ra­tione rectanguli GHY,adeoque ut √GHXCOXV. Unde Tem­pus oſcillationis integræ in Cycloide QRS(cum ſit ut ſemiperi­pheria HKM,quæ oſcillationem illam integram denotat, directe, utque arcus HZ,qui datum tempus ſimiliter denotat, inverſe) fiet ut GHdirecte & √GHXCOXV inverſe, hoc eſt, ob æquales GH& SR,ut √(SR/COXV), ſive (per Corol. Prop. L) ut √(AR/ACXV). Itaque Oſcillationes in Globis & Cycloidibus omnibus, quibuſ­cunque cum Viribus abſolutis factæ, ſunt in ratione quæ compo­nitur ex ſubduplicata ratione longitudinis Fili directe, & ſubdu­plicata ratione diſtantiæ inter punctum ſuſpenſionis & centrum Globi inverſe, & ſubduplicata ratione Vis abſolutæ Globi etiam inverſe. que E. I.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Hinc etiam Oſcillantium, Cadentium & Revolventium corporum tempora poſſunt inter ſe conferri. Nam ſi Rotæ, qua Cy­clois intra globum deſcribitur, diameter conſtituatur æqualis ſemi­diametro globi, Cyclois evadet Linea recta per centrum globi tran­ſiens, & Oſcillatio jam erit deſcenſus & ſubſequens aſcenſus in hac recta. Unde datur tum tempus deſcenſus de loco quovis ad centrum, tum tempus huic æquale quo corpus uniformiter cir­ca centrum globi ad diſtantiam quamvis revolvendo arcum qua­drantalem deſcribit. Eſt enim hoc tempus (per Caſum ſecun­dum) ad tempus ſemioſcillationis in Cycloide quavis QRSut 1 ad √(AR/AC).

Corol.2. Hinc etiam conſectantur quæ Wrennus& Hugeniusde Cycloide vulgari adinvenerunt. Nam ſi Globi diameter augeatur in infinitum: mutabitur ejus ſuperficies ſphærica in planum, Viſque centripeta aget uniformiter ſecundum lineas huic plano perpendi­culares, & Cyclois noſtra abibit in Cycloidem vulgi. Iſto autem in caſu longitudo arcus Cycloidis, inter planum illud & punctum deſcribens, æqualis evadet quadruplicato ſinui verſo dimidii arcus Rotæ inter idem planum & punctum deſcribens; ut invenit Wren­nus:Et Pendulum inter duas ejuſmodi Cycloides in ſimili & æ­quali Cycloide temporibus æqualibus Oſcillabitur, ut demonſtravit Hugenius.Sed & Deſcenſus gravium, tempore Oſcillationis unius, is erit quem Hugeniusindicavit.

Aptantur autem Propoſitiones a nobis demonſtratæ ad veram conſtitutionem Terræ, quatenus Rotæ eundo in ejus circulis maxi­mis deſcribunt motu Clavorum, perimetris ſuis infixorum, Cycloi­des extra globum; & Pendula inferius in fodinis & cavernis Terra ſuſpenſa, in Cycloidibus intra globos Oſcillari debent, ut Oſcilla­tiones omnes evadant Iſochronæ. Nam Gravitas (ut in Libro tertio docebitur) decreſcit in progreſſu a ſuperficie Terræ, ſur­ſum quidem in duplicata ratione diſtantiarum a centro ejus, de orſum vero in ratione ſimplici.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO LIII. PROBLEMA XXXV.

Conceſſis Figurarum curvilinearum quadraturis, invenire Vires qui­bus corpora in datis curvis lineis Oſcillationes ſemper Iſochro­nas peragent.

Oſcilletur corpus Tin curva quavis linea STRQ,cujus axis ſit ORtranſiens per virium centrum C.Agatur TXquæ curvam il­lam in corporis loco quovis Tcontingat, inque hac tangente TX

capiatur TYæqualis arcui TR.Nam longitudo arcus illius ex Fi­gurarum quadraturis (per Methodos vulgares) innoteſcit. De pun­cto Yeducatur recta YZtangenti perpendicularis. Agatur CTper­pendiculari illi occurrens in Z,& erit Vis centripeta proportiona­lis rectæ TZ. que E. I.

DE MOTU CORPORUM

Nam ſi vis, qua corpus trahitur de Tverſus C,exponatur per rectam TZcaptam ipſi proportionalem, reſolvetur hæc in vires TY, YZ; quarum YZtrahendo corpus ſecundum longitudinem Fili PT,motum ejus nil mutat, vis autem altera TYmotum ejus in curva STRQdirecte accelerat vel directe retardat. Proinde cum hæc ſit ut via deſcribenda TR,accelerationes corporis vel re­tardationes in Oſcillationum duarum (majoris & minoris) parti­bus proportionalibus deſcribendis, erunt ſemper ut partes illæ, & propterea facient ut partes illæ ſimul deſcribantur. Corpora autem quæ partes totis ſemper proportionales ſimul deſcribunt, ſimul de­ſcribent totas. que E. D.

Corol.1. Hinc ſi corpus TFilo rectilineo ATa centro Apen­dens, deſcribat arcum circularem STRQ,& interea urgeatur ſe­cundum lineas parallelas deorſum a vi aliqua, quæ ſit ad vim uNI­formem Gravitatis, ut arcus TRad ejus ſinum TN:æqualia e­runt Oſcillationum ſingularum tempora. Etenim ob parallelas TZ, AR,ſimilia erunt triangula ATN, ZTY; & propterea TZerit ad ATut TYad TN; hoc eſt, (ſi Gravitatis vis unifor­mis exponatur per longitudinem datam AT) vis TZ,qua Oſcil­lationes evadent Iſochronæ, erit ad vim Gravitatis AT,ut arcus TRipſi TYæqualis ad arcus illius ſinum TN.

Corol.2. Igitur in Horologiis, ſi vires a Machina in Pendulum ad motum conſervandum impreſſæ ita cum vi Gravitatis componi poſſint, ut vis tota deorſum ſemper ſit ut linea quæ oritur appli­cando rectangulum ſub arcu TR& radio ARad ſinum TN,Oſcillationes omnes erunt Iſochronæ.

PROPOSITIO LIV. PROBLEMA XXXVI.

Conceſſis Figurarum curvilinearum quadraturis, invenire Tempora quibus corpora Vi qualibet centripeta in lineis quibuſcunque cur­vis, in plano per centrum Virium tranſeunte deſcriptis, deſcen­dent & aſcendent.

Deſcendat corpus de loco quovis Sper lineam quamvis curvam STtR,in plano per virium centrum Ctranſeunte datam. Junga­tur CS& dividatur eadem in partes innumeras æquales, ſitque Ddpartium illarum aliqua. Centro C,intervallis CD, Cddeſcriban­

tur circuli DT, dt,lineæ curvæ STtRoccurrentes in T& t.Et ex data tum lege vis centripetæ, tum

altitudine CSde qua corpus cecidit; dabitur velocitas corporis in alia qua­vis altitudine CT,per Prop. XXXIX. Tempus autem, quo corpus deſcribit lineolam Tt,eſt ut lineolæ hujus lon­gitudo (id eſt ut ſecans anguli tTC) directe, & velocitas inverſe. Tempori huic proportionalis ſit ordinatim appli­cata DNad rectam CSper punctum Dperpendicularis, & ob datam Dderit rectangulum DdXDN,hoc eſt area DNnd,eidem tempori propor­tionale. Ergo ſi SNnſit curva illa li­nea quam punctum Nperpetuo tangit, erit area SNDSproportionalis tem­pori quo corpus deſcendendo deſcrip­ſit lineam ST; proindeque ex inventa illa area dabitur Tempus. Q.E.I.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO LV. THEOREMA XIX.

Si corpus movetur in ſuperficie quacunque curva, cujus axis per centrum Virium tranſit, & a corpore in axem demittatur per­pendicularis, eique parallela & æqualis ab axis puncto quovis dato ducatur: dico quod parallela illa aream tempori proportio­nalem deſcribet.

Sit BSKLſuperficies curva, Tcorpus in ea revolvens, STtRTrajectoria quam corpus in eadem deſcribit, Sinitium Trajecto­riæ, OMNKaxis ſuperficiei curvæ, TNrecta a corpore in axem perpendicularis, OPhuic parallela & æqualis a puncto Oquod in axe datur educta, APveſtigium Trajectoriæ a puncto Pin lineæ volubilis OPplano AOPdeſcriptum, Aveſtigii initium puncto Sreſpondens, TCrecta a corpore ad centrum ducta; TGpars ejus vi centripetæ qua corpus urgetur in centrum Cproportionalis; TMrecta ad ſuperficiem curvam perpendicularis, TIpars ejus vi preſſionis, qua corpus urget ſuperficiem viciſſimque urgetur verſus Ma ſuperficie, proportiona­

lis; PHTFrecta axi parallela per corpus tran­ſiens, & GF, IHrectæ a punctis G& Iin pa­rallelam illam PHTFperpendiculariter demiſ­ſæ. Dico jam quod area AOP,radio OPab iNI­tio motus deſcripta, ſit tempori proportionalis. Nam vis TG(per Le­gum Corol. 2.) reſolvitur in vires TF, FG; & vis TIin vires TH, HI:Vires autem TF, THagendo ſecundum lineam PFplano AOPper­pendicularem mutant ſo­lummodo motum cor­poris quatenus huic plano perpendicularem. Ideoque motus ejus quatenus ſecundum poſitionem plani factus, hoc eſt, motus pun­cti Pquo Trajectoriæ veſtigium APin hoc plano deſcri­bitur, idem eſt ac ſi vires TF, THtollerentur, & corpus ſolis vi­ribus FG, HIagitaretur; hoc eſt, idem ac ſi corpus in plano AOP,vi centripeta ad centrum Otendente & ſummam virium FG& HIæquante, deſcriberet curvam AP.Sed vi tali deſcribi­tur area AOP(per Prop. 1.) tempori proportionalis. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.Eodem argumento ſi corpus a viribus agitatum ad centra duo vel plura in eadem quavis recta COdata tendentibus, deſcri­beret in ſpatio libero lineam quamcunque curvam ST; foret area AOPtempori ſemper proportionalis.

PROPOSITIO LVI. PROBLEMA XXXVII.

Conceſſis Figurarum curvilinearum quadraturis, datiſque tum lege Vis centripetæ ad centrum datum tendentis, tum ſuperficie cur­va cujus axis per centrum illud trænſit; invenieuda est Traje­ctoria quam corpus in eadem ſuperficie deſcribet, de loco dato, data cum Velocitate, verſus plagam in ſuperficie illa datam egreſſum.

Stantibus quæ in ſuperiore Propoſitione conſtructa ſunt, exeat corpus de loco Sin Trajectoriam inveniendam STtR; &, ex da­ta ejus velocitate in altitudine SC,dabitur ejus velocitas in alia quavis altitudine TC.Ea cum velocitate, dato tempore quam minimo, deſcribat corpus Trajectoriæ ſuæ particulam Tt,ſitque Ppveſtigium ejus in plano AOPdeſcriptum. Jungatur Op,& Circelli centro Tintervallo Ttin ſuperficie curva deſcripti ſit PpQveſtigium Ellipticum in eodem plano OAPpdeſcriptum. Et ob datum magnitudine & poſitione Circellum, dabitur Ellipſis illa PpqueCumque area POpſit tempori proportionalis, atque ad­eo ex dato tempore detur, dabitur Oppoſitione, & inde dabitur communis ejus & Ellipſeos interſectio p,una cum angulo OPp,in quo Trajectoriæ veſtigium APpſecat lineam OP.Inde au­tem invenietur Trajectoriæ veſtigium illud APp,eadem methodo qua curva linea VIKk,in Propoſitione XLI, ex ſimilibus datis inventa fuit. Tum ex ſingulis veſtigii punctis Perigendo ad pla­num AOPperpendicula PTſuperficiei curvæ occurrentia in T,dabuntur ſingula Trajectoriæ puncta T. Q.E.I.

LIBER PRIMUS.

SECTIO XI.

De Motu Corporum Viribus centripetis ſe mutuo petentium.

Hactenus expoſui Motus corporum attractorum ad centrum Im­mobile, quale tamen vix extat in rerum natura. Attractiones enim fieri ſolent ad corpora; & corporum trahentium & attractorum actiones ſemper mutuæ ſunt & æquales, per Legem tertiam: ad­eo ut neque attrahens poſſit quieſcere neque attractum, ſi duo ſint corpora, ſed ambo (per Legum Corollarium quartum) quaſi at­tractione mutua, circum gravitatis centrum commune revolvantur: & ſi plura ſint corpora (quæ vel ab unico attrahantur vel omnia ſe mutuo attrahant) hæc ita inter ſe moveri debeant, ut gravitatis centrum commune vel quieſcat vel uniformiter moveatur in direc­tum. Qua de cauſa jam pergo Motum exponere corporum ſe mu­tuo trahentium, conſiderando Vires centripetas tanquam Attractio­nes, quamvis fortaſſe, ſi phyſice loquamur, verius dicantur Im­pulſus. In Mathematicis enim jam verſamur, & propterea miſſis diſputationibus Phyſicis, familiari utimur ſermone, quo poſſimus a Lectoribus Mathematicis facilius intelligi.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO LVII. THEOREMA XX.

Corpora duo ſe invicem trahentia deſcribunt, & circum commune centrum gravitatis, & circum ſe mutuo, Figuras ſimiles.

Sunt enim diſtantiæ a communi gravitatis centro reciproce pro­portionales corporibus, atque adeo in data ratione ad invicem, & componendo, in data ratione ad diſtantiam totam inter corpora. Feruntur autem hæ diſtantiæ circum terminos ſuos communi motu angulari, propterea quod in directum ſemper jacentes non mutant inclinationem ad ſe mutuo. Lineæ autem rectæ, quæ ſunt in data ratione ad invicem, & æquali motu angulari circum terminos ſuos feruntur, Figuras circum eoſdem terminos (in planis quæ una cum his terminis vel quieſcunt vel motu quovis non angulari moven­tur) deſcribunt omnino ſimiles. Proinde ſimiles ſunt Figuræ quæ his diſtantiis circumactis deſcribuntur. Q.E.D.

PROPOSITIO LVIII. THEOREMA XXI.

Si corpora duo Viribus quibuſvis ſe mutuo trahunt, & interea re­volvuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod Fi­guris, quas corpora ſic mota deſcribunt circum ſe mutuo, potest Figura ſimilis & æqualis, circum corpus alterutrum immotum, Viribus iiſdem deſcribi.

Revolvantur corpora S, Pcirca commune gravitatis centrum C,pergendo de Sad Tdeque Pad queA dato puncto sipſis

SP, TQæquales & parallelæ ducantur ſemper sp, sq; & Curva pqvquam punctum p,revolvendo circum punctum immotum s,deſcribit, erit ſimilis & æqualis Curvis quas corpora S, Pdeſcri­bunt circum ſe mutuo: proindeque (per Theor. XX) ſimilis Curvis ST& PQV,quas eadem corpora deſcribunt circum commune gravitatis centrum C:id adeo quia proportiones linearum SC, CP& SPvel. spad invicem dantur.

LIBER PRIMUS.

Cas.1. Commune illud gravitatis centrum C,per Legum Co­rollarium quartum, vel quieſcit vel movetur uniformiter in direc­tum. Ponamus primo quod id quieſcit, inque s& plocentur cor­pora duo, immobile in s,mobile in p,corporibus S& Pſimilia & æqualia. Dein tangant rectæ PR& prCurvas PQ& pqin P& p,& producantur CQ& sqad R& r.Et, ob ſimilitudi­nem Figurarum CPRQ, sprq,erit RQad rqut CPad sp,ad­eoQ.E.I. data ratione. Proinde ſi vis qua corpus Pverſus cor­pus S,atque adeo verſus centrum intermedium Cattrahitur, eſſet ad vim qua corpus pverſus centrum sattrahitur in eadem illa ra­tione data; hæ vires æqualibus temporibus attraherent ſemper cor­pora de tangentibus PR, prad arcus PQ, pq,per intervalla ipſis proportionalia RQ, rq;adeoque vis poſterior efficeret ut corpus pgyraretur in Curva pqv,quæ ſimilis eſſet Curvæ PQV,in qua vis prior efficit ut corpus Pgyretur, & revolutiones iiſdem tem­poribus complerentur. At quoniam vires illæ non ſunt ad invi­cem in ratione CPad sp,ſed (ob ſimilitudinem & æqualitatem corporum S& s, P& p,æqualitatem diſtantiarum SP, sp) ſibi mutuo æquales; corpora æqualibus temporibus æqualiter tra­hentur de tangentibus: & propterea, ut corpus poſterius ptrahatur per intervallum majus rq,requiritur tempus majus, idQ.E.I. ſub­duplicata ratione intervallorum; propterea quod (per Lemma de­cimum) ſpatia, ipſo motus initio deſcripta, ſunt in duplicata ratione temporum. Ponatur igitur velocitas corporis peſſe ad velocita­tem corporis Pin ſubduplicata ratione diſtantiæ spad diſtantiam CP,eo ut temporibus quæ ſint in eadem ſubduplicata ratione de­ſcribantur arcus pq, PQ,qui ſunt in ratione integra: Et corpora P, pviribus æqualibus ſemper attracta deſcribent circum centra quieſcentia C& sFiguras ſimiles PQV, pqv,quarum poſterior pqvſimilis eſt & æqualis Figuræ quam corpus Pcircum corpus mobile Sdeſcribit. Q.E.D.

Cas.2. Ponamus jam quod commune gravitatis centrum, una cum ſpatio in quo corpora moventur inter ſe, progreditur unifor­miter in directum; &, per Legum Corollarium ſextum, motus omnes in hoc ſpatio peragentur ut prius, adeoque corpora deſcri-bent circum ſe mutuo Figuras eaſdem ac prius, & propterea Figuræ pqvſimiles & æquales. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Hinc corpora duo Viribus diſtantiæ ſuæ proportionali­bus ſe mutuo trahentia, deſcribunt (per Prop. X,) & circum com­mune gravitatis centrum, & circum ſe mutuo, Ellipſes concentri­cas: & vice verſa, ſi tales Figuræ deſcribuntur, ſunt Vires diſtan­tiæ proportionales.

Corol.2. Et corpora duo Viribus quadrato diſtantiæ ſuæ recipro­ce proportionalibus deſcribunt (per Prop. XI, XII, XIII) & circum commune gravitatis centrum, & circum ſe mutuo, Sectiones conicas umbilicum habentes in centro circum quod Figuræ deſcribuntur. Et vice verſa, ſi tales Figuræ deſcribuntur, Vires centripetæ ſunt qua­drato diſtantiæ reciproce proportionales.

Corol.3. Corpora duo quævis cirum gravitatis centrum com­mune gyrantia, radiis & ad centrum illud & ad ſe mutuo ductis, deſcribunt areas temporibus proportionales.

PROPOSITIO LIX. THEOREMA XXII.

Corporum duorumS &P circa commune gravitatis centrumC revolventium Tempus periodicum eſſe ad Tempus periodicum cor­poris alterutriusP, circa alterum immotumS gyrantis & Figu­ris quæ corpora circum ſe mutuo deſcribunt Figuram ſimilem & æqualem deſcribentis, in ſubduplicata ratione corporis alterinsS, ad ſummam corporumS+P.

Namque, ex demonſtratione ſuperioris Propoſitionis, tempora quibus arcus quivis ſimiles PQ& pqdeſcribuntur, ſunt in ſub­duplicata ratione diſtantiarum CP& SPvel sp,hoc eſt, in ſub­duplicata ratione corporis Sad ſummam corporum S+P.Et com­ponendo, ſummæ temporum quibus arcus omnes ſimiles PQ& pqdeſcribuntur, hoc eſt, tempora tota quibus Figuræ totæ ſimiles de­ſcribuntur, ſunt in eadem ſubduplicata ratione. Q.E.D.

PROPOSITIO LX. THEOREMA XXIII.

LIBER PRIMUS.

St corpora duoS &P, Viribus quadrato diſtantiæ ſuæ reciproee proportionalibus ſe mutuo trahentia, revalvuntur circa gravi­tatis centrum commune: dico quod Ellipſeos, quam corpus al­terutrumP hoc motu circa alterumS deſcribit, Axis principa­lis erit ad Axem principalem Ellipſeos, quam corpus idemP circa alterum quieſcensS eodem tempore periodico deſcribere poſſet, ut ſumma corporum duorumS+P ad primam duarum medie proportionalium inter hanc ſummam & corpus illud al­terumS.

Nam ſi deſcriptæ Ellipſes eſſent ſibi invicem æquales, tempora periodica (per Theorema ſuperius) forent in ſubduplicata ratione corporis Sad ſummam corporum S+P.Minuatur in hac ratione tempus periodicum in Ellipſi poſteriore, & tempora periodica eva­dent æqualia; Ellipſeos autem axis principalis (per Prop. XV.) minu­etur in ratione cujus hæc eſt ſeſquiplicata, id eſt in ratione, cujus ratio Sad S+Peſt triplicata; adeoque erit ad axem principalem Ellipſeos alterius, ut prima duarum medie proportionalium inter S+P& Sad S+P.Et inverſe, axis principalis Ellipſeos circa corpus mobile deſcriptæ erit ad axem principalem deſcriptæ circa immobile, ut S+Pad primam duarum medie proportionalium in­ter S+P& S. Q.E.D.

PROPOSITIO LXI. THEOREMA XXIV.

Si corpora duo Viribus quibuſvis ſe mutuo trahentia, neque alias agitata vel impedita, quomodocunque moveantur; motus eo­rum perinde ſe habebunt ac ſi non traherent ſe mutuo, ſed u­trumque a corpore tertio in communi gravitatis centro conſtituto Viribus iiſdem traberetur: Et Virium trahentium eadem erit Lex reſpectu diſtantiæ corporum a centro illo communi atque reſpe­ctu diſtantiæ totius inter corpora.

Nam vires illæ, quibus corpora ſe mutuo trahunt, tendendo ad corpora, tendunt ad commune gravitatis centrum interme-

dium, adeoque eædem ſunt ac ſi a corpore intermedio mana­rent. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

Et quoniam data eſt ratio diſtantiæ corporis utriuſvis a centro illo communi ad diſtantiam corporis ejuſdem a corpore altero, da­bitur ratio cujuſvis poteſtatis diſtantiæ unius ad eandem poteſta­tem diſtantiæ alterius; ut & ratio quantitatis cujuſvis, quæ ex una diſtantia & quantitatibus datis utcunQ.E.D.rivatur, ad quantitatem aliam, quæ ex altera diſtantia & quantitatibus totidem datis da­tamQ.E.I.lam diſtantiarum rationem ad priores habentibus ſimiliter derivatur. Proinde ſi vis, qua corpus unum ab altero trahitur, ſit directe vel inverſe ut diſtantia corporum ab invicem; vel ut quæ­libet hujus diſtantiæ poteſtas; vel denique ut quantitas quævis ex hac diſtantia & quantitatibus datis quomodocunQ.E.D.rivata: erit eadem vis, qua corpus idem ad commune gravitatis centrum tra­hitur, directe itidem vel inverſe ut corporis attracti diſtantia a cen­tro illo communi, vel ut eadem diſtantiæ hujus poteſtas, vel de­nique ut quantitas ex hac diſtantia & analogis quantitatibus da­tis ſimiliter derivata. Hoc eſt, Vis trahentis eadem erit Lex reſpe­ctu diſtantiæ utriuſque. Q.E.D.

PROPOSITIO LXII. PROBLEMA XXXVIII.

Corporum duorum quæ Viribus quadrato diſtantiæ ſuæ reciproce proportionalibus ſe mutuo trahunt, ac de locis datis demittun­tur, determinare Motus.

Corpora (per Theorema noviſſimum) perinde movebuntur ac ſi a corpore tertio, in communi gravitatis centro conſtituto, trahe­rentur; & centrum illud ipſo motus initio quieſcet per Hypothe­ſin; & propterea (per Legum Corol. 4.) ſemper quieſcet. Deter­minandi ſunt igitur motus corporum (per Prob. XXV,) perinde ac ſi a viribus ad centrum illud tendentibus urgerentur, & habe­buntur motus corporum ſe mutuo trahentium. Q.E.I.

PROPOSITIO LXIII. PROBLEMA XXXIX.

Corporum duorum quæ Viribus quadrato diſtantiæ ſuæ reciproce pro­portionalibus ſe mutuo trahunt, deque locis datis, ſecundum datas rectas, datis cum Velocitatibus exeunt, determinare Motus.

Ex datis corporum motibus ſub initio, datur uniformis motus centri communis gravitatis, ut & motus ſpatii quod una cum hoc centro movetur uniformiter in directum, nec non corporum mo­tus initiales reſpectu hujus ſpatii. Motus autem ſubſequentes (per Legum Corollarium quintum, & Theorema noviſſimum) perinde fiunt in hoc ſpatio, ac ſi ſpatium ipſum una cum commu­ni illo gravitatis centro quieſceret, & corpora non traherent ſe mutuo, ſed a corpore tertio ſito in centro illo traherentur. Cor­poris igitur alterutrius in hoc ſpatio mobili, de loco dato, ſecun­dum datam rectam, data cum velocitate exeuntis, & vi centripeta ad centrum illud tendente correpti, determinandus eſt motus per Problema nonum & viceſimum ſextum: & habebitur ſimul mo­tus corporis alterius e regione. Cum hoc motu componendus eſt uniformis ille Syſtematis ſpatii & corporum in eo gyrantium motus progreſſivus ſupra inventus, & habebitur motus abſolutus corporum in ſpatio immobili. Q.E.I.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO LXIV. PROBLEMA XL.

Viribus quibus Corpora ſe mutuo trahunt creſcentibus in ſimplici ra­tione diſtantiarum a centris: requiruntur Motus plurium Cor­porum inter ſe.

Ponantur primo corpora duo T& Lcommune habentia gravi­tatis centrum D.Deſcribent hæc (per Corollarium primum Theo­rematis XXI) Ellipſes centra habentes in D,quarum magnitudo ex Problemate V, innoteſcit.

Trahat jam corpus tertium

Spriora duo T& Lviri­bus acceleratricibus ST, SL,& ab ipſis viciſſim trahatur. Vis ST(per Legum Cor. 2.) reſolvitur in vires SD, DT; & vis SLin vires SD, DL.Vires autem DT, DL,quæ ſunt ut ipſarum ſumma TL,atque adeo ut vires accelera­trices quibus corpora T& Lſe mutuo trahunt, additæ his viri­bus corporum T& L,prior priori & poſterior poſteriori, com­ponunt vires diſtantiis DTac DLproportionales, ut prius, ſed viribus prioribus majores; adeoque (per Corol. 1. Prop. X. & Corol. 1 & 8. Prop, IV) efficiunt ut corpora illa deſcribant Ellipſes ut prius, ſed motu celeriore. Vires reliquæ acceleratrices SD& SD,actio­nibus motricibus SDXT& SDXL,quæ ſunt ut corpora, tra­hendo corpora illa æqualiter & ſecundum lineas TI, LK,ipſi DSparallelas, nil mutant ſitus eorum ad invicem, ſed faciunt ut ipſa æqualiter accedant ad lineam IK; quam ductam concipe per me­dium corporis S,& lineæ DSperpendicularem. Impedietur au­tem iſte ad lineam IKacceſſus faciendo ut Syſtema corporum T& Lex una parte, & corpus Sex altera, juſtis cum velocitatibus, gyren­tur circa commune gravitatis centrum C.Tali motu corpus S(eo quod ſumma virium motricium SDXT& SDXL,diſtan­tiæ CSproportionalium, tendit verſus centrum C) deſcribit El­lipſin circa idem C;& punctum D,ob proportionales CS, CD,deſcribet Ellipſin conſimilem e regione. Corpora autem T& Lviribus motricibus SDXT
& SDXL,(prius priore, poſterius poſteriore) æqua­liter & ſecundum lineas pa­rallelas TI& LK(ut dic­tum eſt) attracta, pergent (per Legum Corollarium quintum & ſextum) circa cen­trum mobile DEllipſes ſuas deſcribere, ut prius. Q.E.I.

DE MOTU CORPORUM

Addatur jam corpus quartum V,& ſimili argumento conclude­tur hoc & punctum CEllipſes circa omnium commune centrum gravitatis Bdeſcribere; manentibus motibus priorum corporum T, L& Scirca centra D& C,ſed paulo acceleratis. Et eadem methodo corpora plura adjungere licebit. Q.E.I.

Hæc ita ſe habent ubi corpora T& Ltrahunt ſe mutuo viribus acceleratricibus majoribus vel minoribus quam quibus trahunt cor­pora reliqua pro ratione diſtantiarum. Sunto mutuæ omnium at­tractiones acceleratrices ad invicem ut diſtantiæ ductæ in corpo­ra trahentia, & ex præcedentibus facile deducetur quod corpora omnia æqualibus temporibus periodicis Ellipſes varias, circa om­nium commune gravitatis centrum B,in plano immobili deſcri­bunt. Q.E.I.

PROPOSITIO LXV. THEOREMA XXV.

LIBER PRIMUS.

Corpora plura, quorum Vires decreſcunt in duplicata ratione di­ſtantiarum ab eorundem centris, moveri poſſe inter ſe in El­lipſibus; & radiis ad umbilicos ductis areas deſcribere tempo­ribus proportionales quam proxime.

In Propoſitione ſuperiore demonſtratus eſt caſus ubi motus plu­res peraguntur in Ellipſibus accurate. Quo magis recedit Lex vi­rium a Lege ibi poſita, eo magis corpora perturbabunt mutuos motus; neque fieri poteſt ut corpora, ſecundum Legem hic poſitam ſe mutuo trahentia, moveantur in Ellipſibus accurate, niſi ſervando certam proportionem diſtantiarum ab invicem. In ſequentibus au­tem caſibus non multum ab Ellipſibus errabitur.

Cas.1. Pone corpora plura minora circa maximum aliquod ad varias ab eo diſtantias revolvi, tendantque ad ſingula vires abſolu­tæ proportionales iiſdem corporibus. Et quoniam omnium com­mune gravitatis centrum (per Legum Corol. quartum) vel quie­ſcit vel movetur uniformiter in directum, fingamus corpora mi­nora tam parva eſſe, ut corpus maximum nunquam diſtet ſenſibi­liter ab hoc centro: & maximum illud vel quieſcet vel movebitur uniformiter in directum, abſque errore ſenſibili; minora autem re­volventur circa hoc maximum in Ellipſibus, atque radiis ad idem ductis deſcribent areas temporibus proportionales; niſi quatenus errores inducuntur, vel per errorem maximi a communi illo gravi­tatis centro, vel per actiones minorum corporum in ſe mutuo. Di­minui autem poſſunt corpora minora uſQ.E.D.nec error iſte & ac­tiones mutuæ ſint datis quibuſvis minores, atque adeo donec Orbes cum Ellipſibus quadrent, & areæ reſpondeant temporibus, abſque errore qui non ſit minor quovis dato. q.E.O.

Cas.2. Fingamus jam Syſtema corporum minorum modo jam deſcripto circa maximum revolventium, aliudve quodvis duorum circum ſe mutuo revolventium corporum Syſtema progredi unifor­miter in directum, & interea vi corporis alterius longe maximi & ad magnam diſtantiam ſiti urgeri ad latus. Et quoniam æquales vires acceleratrices, quibus corpora ſecundum lineas parallelas ur­gentur, non mutant ſitus corporum ad invicem, ſed ut Syſtema totum, ſervatis partium motibus inter ſe, ſimul transferatur effici­unt: manifeſtum eſt quod, ex attractionibus in corpus maximum,

nulla prorſus orietur mutatio motus attractorum inter ſe, niſi vel ex attractionum acceleratricum inæqualitate, vel ex inclinatione li­nearum ad invicem, ſecundum quas attractiones fiunt. Pone ergo attractiones omnes acceleratrices in corpus maximum eſſe inter ſe reciproce ut quadrata diſtantiarum; &, augendo corporis maximi diſtantiam, donec rectarum ab hoc ad reliqua ductarum differen­tiæ reſpectu earum longitudinis & inclinationes ad invicem mino­res ſint quam datæ quævis, perſeverabunt motus partium Syſtema­tis inter ſe abſque erroribus qui non ſint quibuſvis datis minores. Et quoniam, ob exiguam partium illarum ab invicem diſtantiam, Syſtema totum ad modum corporis unius attrahitur; movebitur idem hac attractione ad modum corporis unius; hoc eſt, centro ſuo gravitatis deſcribet circa corpus maximum Sectionem aliquam Conicam (viz.Hyperbolam vel Parabolam attractione languida, Ellipſin fortiore,) & Radio ad maximum ducto deſcribet areas temporibus proportionales, abſque ullis erroribus, niſi quas par­tium diſtantiæ (perexiguæ ſane & pro lubitu minuendæ) valeant efficere. q.E.O.

DE MOTU CORPORUM

Simili argumento pergere licet ad caſus magis compoſitos in in­finitum.

Corol.1. In caſu ſecundo; quo propius accedit corpus omnium maximum ad Syſtema duorum vel plurium, eo magis turbabuntur motus partium Syſtematis inter ſe; propterea quod linearum a cor­pore maximo ad has ductarum jam major eſt inclinatio ad invicem, majorque proportionis inæqualitas.

Corol.2. Maxime autem turbabuntur, ponendo quod attractio­nes acceleratrices partium Syſtematis verſus corpus omnium maxi­mum, non ſint ad invicem reciproce ut quadrata diſtantiarum a corpore illo maximo; præſertim ſi proportionis hujus inæqualitas major ſit quam inæqualitas proportionis diſtantiarum a corpore maximo: Nam ſi vis acceleratrix, æqualiter & ſecundum lineas pa­rallelas agendo, nil perturbat motus inter ſe, neceſſe eſt ut ex acti­onis inæqualitate perturbatio oriatur, majorque ſit vel minor pro majore vel minore inæqualitate. Exceſſus impulſuum majorum, agendo in aliqua corpora & non agendo in alia, neceſſario muta­bunt ſitum eorum inter ſe. Et hæc perturbatio, addita perturbatio­ni quæ ex linearum inclinatione & inæqualitate oritur, majorem reddet perturbationem totam.

Corol.3. Unde ſi Syſtematis hujus partes in Ellipſibus vel Cir­culis ſine perturbatione inſigni moveantur; manifeſtum eſt, quod eædem a viribus acceleratricibus ad alia corpora tendentibus, aut non urgentur niſi leviſſime, aut urgentur æqualiter & ſecundum li­neas parallelas quamproxime.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO LXVI. THEOREMA XXVI.

Si Corpora tria, quorum Vires decreſcunt in duplicata ratione di­ſtantiarum, ſe mutuo trahant, & attractiones acceleratrices bi­norum quorumcunQ.E.I. tertium ſint inter ſe reciproce ut qua­drata diſtantiarum; minora autem circa maximum revolvan­tur: Dico quod interius circa intimum & maximum, radiis ad ipſum ductis, deſcribet areas temporibus magis proportio­nales, & Figuram ad formam Ellipſeos umbilicum in concur­ſu radiorum habentis magis accedentem, ſi corpus maximum his attractionibus agitetur, quam ſi maximum illud vel a mi­noribus non attractum quieſcat, vel multo minus vel multo ma­gis attractum aut multo minus aut multo magis agitetur.

Liquet fere ex demonſtratione Corollarii ſecundi Propoſitionis præcedentis; ſed argumento magis diſtincto & latius cogente ſic evincitur.

Cas.1. Revolvantur

corpora minora P& Sin eodem plano circa maximum T,quorum Pdeſcribat Orbem in­teriorem PAB,& Sexteriorem SE.Sit SKmediocris diſtan­tia corporum P& S; & corporis Pverſus Sattractio acceleratrix in mediocri illa diſtantia exponatur per e­andem. In duplicata ratione SKad SPcapiatur SLad SK,& e­rit SLattractio acceleratrix corporis Pverſus Sin diſtantia quavis SP.Junge PT,eique parallelam age LMoccurrentem STin M,& attractio SLreſolvetur (per Legum Corol 2.) in attractiones SM, LM.Et ſic urgebitur corpus Pvi acceleratrice triplici: una tendente ad T& oriunda a mutua attractione corporum T& P.Hac vi ſola corpus Pcircum corpus T,ſive immotum ſive hac attractione agitatum, deſcribere deberet & areas, radio PT,tem­poribus proportionales, & Ellipſin cui umbilicus eſt in centro cor­poris T.Patet hoc per Prop. XI. & Corollaria 2 & 3 Theor. XXI. Vis altera eſt attractionis LM,quæ quoniam tendit a Pad T,ſuperad­dita vi priori coincidet cum ipſa, & ſic faciet ut areæ etiamnum tem­poribus proportionales deſcribantur per Corol. 3. Theor. XXI. At quoniam non eſt quadrato diſtantiæ PTreciproce proportionalis, componet ea cum vi priore vim ab hac proportione aberrantem, id­que eo magis quo major eſt proportio hujus vis ad vim priorem, cæteris paribus. Proinde cum (per Prop. XI, & per Corol. 2. Theor. XXI) vis qua Ellipſis circa umbilicum Tdeſcribitur tendere debeat ad umbilicum illum, & eſſe quadrato diſtantiæ PTreciproce proportionalis; vis illa
compoſita, aberrando ab hac proportione, fa­ciet ut Orbis PABaberret a forma Ellip­ſeos umbilicum haben­tis in S;idque eo ma­gis quo major eſt ab­erratio ab hac propor­tione; atque adeo eti­am quo major eſt proportio vis ſecundæ LMad vim primam, cæ­teris paribus. Jam vero vis tertia SM,trahendo corpus Pſecun­dum lineam ipſi STparallelam, componet cum viribus prioribus vim quæ non amplius dirigitur a Pin T,quæque ab hac determi­natione tanto magis aberrat, quanto major eſt proportio hujus ter­tiæ vis ad vires priores, cæteris paribus; atque adeo quæ faciet ut corpus P,radio TP,areas non amplius temporibus proportiona­les deſcribat, atque aberratio ab hac proportionalitate ut tanto ma­jor ſit, quanto major eſt proportio vis hujus tertiæ ad vires cæte­ras. Orbis vero PABaberrationem a forma Elliptica præfata hæc­vis tertia duplici de cauſa adaugebit, tum quod non dirigatur a Pad T,tum etiam quod non ſit proportionalis quadrato diſtantiæ PT.Quibus intellectis, manifeſtum eſt quod areæ temporibus tum max­ime fiunt proportionales, ubi vis tertia, manentibus viribus cæte­ris, fit minima; & quod Orbis PABtum maxime accedit ad præ­fatam formam Ellipticam, ubi vis tam ſecunda quam tertia, ſed præ­cipue vis tertia, fit minima, vi prima manente.

DE MOTU CORPORUM

Exponatur corporis Tattractio acceleratrix verſus Sper lineam SN;& ſi attractiones acceleratrices SM, SNæquales eſſent; hæ, trahendo corpora T& Pæqualiter & ſecundum lineas parallelas, nil mutarent ſitum eorum ad invicem. Iidem jam forent corporum illorum motus inter ſe (per Legum Corol. 6.) ac ſi hæ attractio­nes tollerentur. Et pari ratione ſi attractio SNminor eſſet at­tractione SM,tolleret ipſa attractionis SMpartem SN,& ma­neret pars ſola MN,qua temporum & arearum proportionalitas & Orbitæ forma illa Elliptica perturbaretur. Et ſimiliter ſi attra­ctio SNmajor eſſet attractione SM,oriretur ex differentia ſola MNperturbatio proportionalitatis & Orbitæ. Sic per attractio­nem SNreducitur ſemper attractio tertia ſuperior SMad attra­ctionem MN,attractione prima & ſecunda manentibus prorſus im­mutatis: & propterea areæ ac tempora ad proportionalitatem, & Orbita PABad formam præfatam Ellipticam tum maxime acce­dunt, ubi attractio MNvel nulla eſt, vel quam fieri poſſit miNI­ma; hoc eſt, ubi corporum P & Tattractiones acceleratrices, fa­ctæ verſus corpus S,accedunt quantum fieri poteſt ad æqualita­tem; id eſt, ubi attractio SNnon eſt nulla, neque minor minima attractionum omnium SM,ſed inter attractionum omnium SMmaximam & minimam quaſi mediocris, hoc eſt, non multo major neque multo minor attractione SK. Q.E.D.

LIBER PRIMUS.

Cas.2. Revolvantur jam corpora minora P, Scirca maximum Tin planis diverſis; & vis LM,agendo ſecundum lineam PTin pla­no Orbitæ PABſitam, eundem habebit effectum ac prius, neque corpus Pde plano Orbitæ ſuæ deturbabit. At vis altera NM,agendo ſecundum lineam quæ ipſi STparallela eſt, (atque adco, quando corpus Sverſatur extra lineam Nodorum, inclinatur ad planum Orbitæ PAB;) præter perturbationem motus in Longitu­dinem jam ante expoſitam, inducet perturbationem motus in Lati­tudinem, trahendo corpus Pde plano ſuæ Orbitæ. Et hæc per­turbatio, in dato quovis corporum P& Tad invicem ſitu, erit ut vis illa generans MN,adeoque minima evadet ubi MNeſt miNI­ma, hoc eſt (uti jam expoſui) ubi attractio SNnon eſt multo ma­jor, neque multo minor attractione SK. Q.E.D.

Corol.1. Ex his facile colligitur quod, ſi corpora plura minora P, S, R,&c. revolvantur circa maximum T,motus corporis inti­mi Pminime perturbabitur attractionibus exteriorum, ubi corpus maximum Tpariter a cæteris, pro ratione virium acceleratricum, attrahitur & agitatur atque cætera a ſe mutuo.

DE MOTU CORPORUM

Corol.2. In Syſtemate vero trium corporum T, P, S,ſi attracti­ones acceleratrices binorum quorumcunQ.E.I. tertium ſint ad invi­cem reciproce ut quadrata diſtantiarum; corpus P,radio PT,are­am circa corpus Tvelocius deſcribet prope Conjunctionem A& Op­poſitionem B,quam prope Quadraturas C, D.Namque vis omnis qua corpus Purgetur & corpus Tnon urgetur, quæque non agit ſecundum lineam PTaccelerat vel retardat deſcriptionem areæ, perinde ut ipſa in conſequentia vel in antecedentia dirigitur. Talis eſt vis NM.Hæc in tranſitu corporis Pa Cad Atendit in con­ſequentia, motumque accelerat; dein uſque ad Din antecedentia, & motum retardat; tum in conſequentia uſque ad B,& ultimo in antecedentia tranſeundo a Bad C.

Corol.3. Et eodem argumento patet quod corpus P,cæteris pa­ribus, velocius movetur in Conjunctione & Oppoſitione quam in Quadraturis.

Corol.4. Orbita corporis P,cæteris paribus, curvior eſt in Qua­draturis quam in Conjunctione & Oppoſitione. Nam corpora ve­lociora minus deflec­

tunt a recto tramite. Et præterea vis KLvel NM,in Conjunctione & Oppoſitione, con­traria eſt vi qua cor­pus Ttrahit corpus P,adeoque vim illam mi­nuit; corpus autem Pminus deflectet a recto tramite, ubi minus urgetur in corpus T.

Corol.5. Unde corpus P,cæteris paribus, longius recedet a cor­pore Tin Quadraturis, quam in Conjunctione & Oppoſitione. Hæc ita ſe habent excluſo motu Excentricitatis. Nam ſi Orbita corpo­ris Pexcentrica ſit: Excentricitas ejus (ut mox in hujus Corol. 9. oſtendetur) evadet maxima ubi Apſides ſunt in Syzygiis; indeque fieri poteſt ut corpus P,ad Apſidem ſummam appellans, abſit lon­gius a corpore Tin Syzygiis quam in Quadraturis.

Corol.6. Quoniam vis centripeta corporis centralis T,qua cor­pus Pretinetur in Orbe ſuo, augetur in Quadraturis per additio­nem vis LM,ac diminuitur in Syzygiis per ablationem vis KL,& ob magnitudinem vis KL,magis diminuitur quam augetur; eſt au­tem vis illa centripeta (per Corol. 2, Prop. IV.) in ratione compo­ſita ex ratione ſimplici radii TPdirecte & ratione duplicata tempo-ris periodici inverſe: patet hanc rationem compoſitam diminui per

actionem vis KL,adeoque tempus periodicum, ſi maneat Orbis radius TP,augeri, idQ.E.I. ſubduplicata ratione qua vis illa cen­tripeta diminuitur: auctoque adeo vel diminuto hoc Radio, tem­pus periodicum augeri magis, vel diminui minus quam in Radii hu­jus ratione ſeſquiplicata, per Corol. 6. Prop. IV. Si vis illa corporis centralis paulatim langueſceret, corpus Pminus ſemper & minus attractum perpetuo recederet longius a centro T; & contra, ſi vis illa augeretur, accederet propius. Ergo ſi actio corporis longin­qui S,qua vis illa diminuitur, augeatur ac diminuatur per vices; augebitur ſimul ac diminuetur Radius TPper vices, & tempus pe­riodicum augebitur ac diminuetur in ratione compoſita ex ratione ſeſquiplicata Radii & ratione ſubduplicata qua vis illa centripeta corporis centralis T,per incrementum vel decrementum actionis corporis longinqui S,diminuitur vel augetur.

LIBER PRIMUS.

Corol.7. Ex præmiſſis conſequitur etiam quod Ellipſeos a cor­pore Pdeſcriptæ Axis, ſeu Apſidum linea, quoad motum angula­rem progreditur & regreditur per vices, ſed magis tamen progre­ditur, & in ſingulis corporis revolutionibus per exceſſum progreſ­ſionis fertur in conſequentia. Nam vis qua corpus Purgetur in corpus Tin Quadraturis, ubi vis MNevanuit, componitur ex vi LM& vi centripeta qua corpus Ttrahit corpus P.Vis prior LM,ſi augeatur diſtantia PT,augetur in eadem fere ratione cum hac diſtantia, & vis poſterior decreſcit in duplicata illa ratione, adeo­que ſumma harum virium decreſcit in minore quam duplicata ra­tione diſtantiæ PT,& propterea (per Corol. 1. Prop. XLV) efficit ut Aux, ſeu Apſis ſumma, regrediatur. In Conjunctione vero & Oppoſitione, vis qua corpus Purgetur in corpus Tdifferentia eſt inter vim qua corpus Ttrahit corpus P& vim KL; & differen­tia illa, propterea quod vis KLaugetur quamproxime in ratione diſtantiæ PT,decreſcit in majore quam duplicata ratione diſtan­tiæ PT,adeoque (per Corol. 1. Prop.XLV) efficit ut Aux progre­diatur. In locis inter Syzygias & Quadraturas pendet motus Au­gis ex cauſa utraque conjunctim, adeo ut pro hujus vel alterius exceſſu progrediatur ipſa vel regrediatur. Unde cum vis KLin Syzygiis ſit quaſi duplo major quam vis LMin Quadraturis, ex­ceſſus in tota revolutione erit penes vim KL,transferetque Au­gem ſingulis revolutionibus in conſequentia. Veritas autem hujus & præcedentis Corollarii facilius intelligetur concipiendo Syſtema corporum duorum T, Pcorporibus pluribus S, S, S,&c, in Or­be ESEconſiſtentibus, undique cingi. Namque horum actioni-bus actio ipſius Tminuetur undique, decreſcetQ.E.I. ratione pluſ­quam duplicata diſtantiæ.

DE MOTU CORPORUM

Corol.8. Cum autem pendeat Apſidum progreſſus vel regreſſus a decremento vis centripetæ facto in majori vel minori quam du­plicata ratione diſtantiæ TP,in tranſitu corporis ab Apſide ima ad Apſidem ſummam; ut & a ſimili incremento in reditu ad Ap­ſidem imam; atque adeo maximus ſit ubi proportio vis in Apſide ſumma ad vim in Apſide ima maxime recedit a duplicata ratione diſtantiarum inverſa: manifeſtum eſt quod Apſides in Syzygiis ſuis, per vim ablatitiam KLſeu NM-LM,progredientur ve­locius, inque Quadraturis ſuis tardius recedent per vim addititiam LM.Ob diuturnitatem vero temporis quo velocitas progreſſus vel tarditas regreſſus continuatur, fit hæc inæqualitas longe maxima.

Corol.9. Si corpus aliquod vi reciproce proportionali quadrato diſtantiæ ſuæ a centro, revolveretur circa hoc centrum in El­lipſi, & mox, in deſcenſu ab Apſide ſumma ſeu Auge ad Apſidem imam, vis illa per acceſſum perpetuum vis novæ augeretur in ra­tione pluſquam dupli­

cata diſtantiæ diminu­tæ: manifeſtum eſt quod corpus, perpe­tuo acceſſu vis illius novæ impulſum ſem­per in centrum, magis vergeret in hoc cen­trum, quam ſi urge­retur vi ſola creſcente in duplicata ratione diſtantiæ diminutæ, adeoque Orbem deſcri­beret Orbe Elliptico interiorem, & in Apſide ima propius acce­deret ad centrum quam prius. Orbis igitur, acceſſu hujus vis no­væ, fiet magis excentricus. Si jam vis, in receſſu corporis ab Apſide ima ad Apſidem ſummam, decreſceret iiſdem gradibus qui­bus ante creverat, rediret corpus ad diſtantiam priorem, adeoque ſi vis decreſcat in majori ratione, corpus jam minus attractum aſ­cendet ad diſtantiam majorem & ſic Orbis Excentricitas adhuc ma­gis augebitur. Igitur ſi ratio incrementi & decrementi vis centri­petæ ſingulis revolutionibus augeatur, augebitur ſemper Excentri­citas; & e contra, diminuetur eadem ſi ratio illa decreſcat. Jam vero in Syſtemate corporum T, P, S,ubi Apſides Orbis PABſunt in Quadraturis, ratio illa incrementi ac decrementi minima eſt, & maxima fit ubi Apſides ſunt in Syzygiis. Si Apſides conſtituan­tur in Quadraturis, ratio prope Apſides minor eſt & prope Syzy­gias major quam duplicata diſtantiarum, & ex ratione illa majori oritur Augis motus velociſſimus, uti jam dictum eſt. At ſi con­ſideretur ratio incrementi vel decrementi totius in progreſſu inter Apſides, hæc minor eſt quam duplicata diſtantiarum. Vis in Ap­ſide ima eſt ad vim in Apſide ſumma in minore quam duplicata ratione diſtantiæ Apſidis ſummæ ab umbilico Ellipſeos ad di­ſtantiam Apſidis imæ ab eodem umbilico: & e contra, ubi Apſides conſtituuntur in Syzygiis, vis in Apſide ima eſt ad vim in Apſide ſumma in majore quam duplicata ratione diſtantiarum. Nam vires LMin Quadraturis additæ viribus corporis Tcompo­nunt vires in ratione minore, & vires KLin Syzygiis ſubductæ viribus corporis Trelinquunt vires in ratione majore. Eſt igi­tur ratio decrementi & incrementi totius, in tranſitu inter Apſides, minima in Quadraturis, maxima in Syzygiis: & propterea in tran­ſitu Apſidum a Quadraturis ad Syzygias perpetuo augetur, auget­que Excentricitatem Ellipſeos; inque tranſitu a Syzygiis ad Quadraturas perpetuo diminuitur, & Excentricitatem diminuit.

LIBER PRIMUS.

Corol.10. Ut rationem ineamus errorum in Latitudinem, finga­mus planum Orbis ESTimmobile manere; & ex errorum expo­ſita cauſa manifeſtum eſt quod, ex viribus NM, ML,quæ ſunt cauſa illa tota, vis MLagendo ſemper ſecundum planum Orbis PAB,nunquam perturbat motus in Latitudinem; quodque vis NM,ubi Nodi ſunt in Syzygiis, agendo etiam ſecundum idem Orbis planum, non perturbat hos motus; ubi vero ſunt in Quadraturis eos maxime perturbat, corpuſque Pde plano Orbis ſui perpetuo trahendo, minuit inclinationem plani in tranſitu corporis a Qua­draturis ad Syzygias, augetque viciſſim eandem in tranſitu a Syzy­giis ad Quadraturas. Unde fit ut corpore in Syzygiis exiſtente in­clinatio evadat omnium minima, redeatque ad priorem magnitudi­nem circiter, ubi corpus ad Nodum proximum accedit. At ſi Nodi conſtituantur in Octantibus poſt Quadraturas, id eſt, inter C& A, D& B,intelligetur ex modo expoſitis quod, in tranſitu corporis Pa Nodo alterutro ad gradum inde nonageſimum, inclinatio pla­ni perpetuo minuitur; deinde in tranſitu per proximos 45 gradus, uſque ad Quadraturam proximam, inclinatio augetur, & poſtea de­nuo in tranſitu per alios 45 gradus, uſque ad Nodum proximum, diminuitur. Magis itaQ.E.D.minuitur inclinatio quam augetur, & propterea minor eſt ſemper in Nodo ſubſequente quam in præce-dente. Et ſimili ratiocinio, inclinatio magis augetur quam diminui­tur ubi Nodi ſunt in Octantibus alteris inter A& D, B& C.In­clinatio igitur ubi Nodi ſunt in Syzygiis eſt omnium maxima. In tranſitu eorum a Syzygiis ad Quadraturas, in ſingulis corporis ad Nodos appulſibus, diminuitur, fitque omnium minima ubi Nodi ſunt in Quadraturis & corpus in Syzygiis: dein creſcit iiſdem gra­dibus quibus antea decreverat, Nodiſque ad Syzygias proximas ap­pulſis ad magnitudinem primam revertitur.

DE MOTU CORPORUM

Corol.11. Quoniam corpus Pubi Nodi ſunt in Quadraturis per­petuo trahitur de plano Orbis ſui, idQ.E.I. partem verſus S,in tranſitu ſuo a Nodo Cper Conjunctionem Aad Nodum D; & in contrariam partem in tranſitu a Nodo Dper Oppoſitionem Bad Nodum C; manifeſtum eſt quod in motu ſuo a Nodo C,corpus perpetuo recedit ab Orbis ſui plano primo CD,uſQ.E.D.m per­ventum eſt ad Nodum proximum; adeoQ.E.I. hoc Nodo, longiſſi­me diſtans a plano illo primo CD,tranſit per planum Orbis ESTnon in plani illius Nodo altero D,ſed in puncto quod inde vergit ad partes corporis S,quodque proinde novus eſt Nodi locus in an­teriora vergens. Et ſimili argumento pergent Nodi recedere in tranſitu corporis de hoc Nodo in Nodum proximum. Nodi igi­tur in Quadraturis conſtituti perpetuo recedunt; in Syzygiis (ubi motus in Latitudinem nil perturbatur) quieſcunt; in locis inter­mediis, conditionis utriuſque participes, recedunt tardius; adeoque, ſemper vel retrogradi vel ſtationarii, ſingulis revolutionibus ferun­tur in antecedentia.

Corol.12. Omnes illi in his Corollariis deſcripti Errores ſunt pau­lo majores in Conjunctione corporum P, Squam in eorum Op­poſitione, idque ob majores vires generantes NM& ML.

Corol.13. Cumque rationes horum Corollariorum non pendeant a magnitudine corporis S,obtinent præcedentia omnia, ubi corporis Stanta ſtatuitur magnitudo ut circa ipſum revolvatur corporum duo­rum T& PSyſtema. Et ex aucto corpore Sauctaque adeo ipſius vi centripeta, a qua errores corporis Poriuntur, evadent errores illi omnes (paribus diſtantiis) majores in hoc caſu quam in altero, ubi corpus Scircum Syſtema corporum P& Trevolvitur.

Corol.14. Cum autem vires NM, ML,ubi corpus Slongin­quum eſt, ſint quamproxime ut vis SK& ratio PTad STcon­junctim, hoc eſt, ſi detur tum diſtantia PT,tum corporis Svis abſoluta, ut ST cub.reciproce; ſint autem vires illæ NM, MLcauſæ errorum & effectuum omnium de quibus actum eſt in præce-dentibus Corollariis: manifeſtum eſt quod effectus illi omnes, ſtan­te corporum T& PSyſtemate, & mutatis tantum diſtantia ST& vi abſoluta corporis S,ſint quamproxime in ratione compoſita ex ratione directa vis abſolutæ corporis S& ratione triplicata inverſa diſtantiæ ST.Unde ſi Syſtema corporum T& Prevolvatur cir­ca corpus longinquum S,vires illæ NM, ML& earum effectus erunt (per Corol. 2. & 6. Prop. IV.) reciproce in duplicata ratione temporis periodici. Et inde etiam, ſi magnitudo corporis Spropor­tionalis ſit ipſius vi abſolutæ, erunt vires illæ NM, ML& earum effectus directe ut cubus diametri apparentis longinqui corporis Se corpore Tſpectati, & vice verſa. Namque hæ rationes eædem ſunt atque ratio ſuperior compoſita.

LIBER PRIMUS.

Corol.15. Et quoniam ſi, manentibus Orbium ESE& PABforma, proportionibus & inclinatione ad invicem, mutetur eorum magnitudo, & ſi corporum S& Tvel maneant vel mutentur vires in data quavis ratio­

ne, hæ vires (hoc eſt, vis corporis Tqua cor­pus Pde recto trami­te in Orbitam PABdeflectere, & vis cor­poris Squa corpus idem Pde Orbita illa deviare cogitur) agunt ſemper eodem mo­do & eadem proportione: neceſſe eſt ut ſimiles & proportiona­les ſint effectus omnes & proportionalia effectuum tempora; hoc eſt, ut errores omnes lineares ſint ut Orbium diametri, angulares vero iidem qui prius, & errorum linearium ſimilium vel angularium æqualium tempora ut Orbium tempora periodica.

Corol.16. Unde, ſi dentur Orbium formæ & inclinatio ad invi­cem, & mutentur utcunque corporum magnitudines, vires & di­ſtantiæ; ex datis erroribus & errorum temporibus in uno Caſu, col­ligi poſſunt errores & errorum tempora in alio quovis, quam pro­xime: Sed brevius hac Methodo. Vires NM, ML,cæteris ſtan­tibus, ſunt ut Radius TP,& harum effectus periodici (per Corol.2, Lem. X) ut vires & quadratum temporis periodici corporis Pcon­junctim. Hi ſunt errores lineares corporis P; & hinc errores an­gulares e centro Tſpectati (id eſt, tam motus Augis & Nodorum, quam omnes in Longitudinem & Latitudinem errores apparentes) ſunt, in qualibet revolutione corporis P,ut quadratum temporis revolutionis quam proxime. Conjungantur hæ rationes cum ratio­nibus Corollarii 14, & in quolibet corporum T, P, SSyſtemate, ubi Pcircum Tſibi propinquum, & Tcircum Slonginquum re­volvitur, errores angulares corporis P,de centro Tapparentes, erunt, in ſingulis revolutionibus corporis illius P,ut quadratum temporis periodici corporis Pdirecte & quadratum temporis pe­riodici corporis Tinverſe. Et inde motus medius Augis erit in da­ta ratione ad motum medium Nodorum; & motus uterque erit ut tempus periodicum corporis &c. quadratum temporis periodici corporis Pdirecte & quadratum temporis periodici corporis Tinverſe. Augendo vel minuendo Excentricitatem & Inclinationem Orbis PABnon mutantur mo­tus Augis & Nodorum ſenſibiliter, niſi ubi eædem ſunt nimis magnæ.

DE MOTU CORPORUM

Corol.17. Cum autem linea LMnunc major ſit nunc minor quam radius PT,exponatur vis mediocris LMper radium il­lum PT; & erit hæc ad

vim mediocrem SKvel SN(quam expo­nere licet per ST) ut longitudo PTad lon­gitudinem ST.Eſt au­tem vis mediocris SNvel ST,qua corpus Tretinetur in Orbe ſuo circum S,ad vim qua corpus Pretinetur in Orbe ſuo circum T,in ratione compoſita ex ratione radii STad radium PT,& ratione duplicata temporis pe­riodici corporis Pcircum Tad tempus periodicum corporis Tcircum S.Et ex æquo, vis mediocris LM,ad vim qua corpus Pretinetur in Orbe ſuo circum T(quave corpus idem P,eo­dem tempore periodico, circum punctum quodvis immobile Tad diſtantiam PTrevolvi poſſet) eſt in ratione illa duplicata periodi­eorum temporum. Datis igitur temporibus periodicis una cum di­ſtantia PT,datur vis mediocris LM; & ea data, datur etiam vis MNquamproxime per analogiam linearum PT, MN.

Corol.18. Iiſdem legibus quibus corpus Pcircum corpus Tre­volvitur, fingamus corpora plura fluida circum idem Tad æqua­les ab ipſo diſtantias moveri; deinde ex his contiguis factis confla­ri Annulum fluidum, rotundum ac corpori Tconcentricum; & ſingulæ Annuli partes, motus ſuos omnes ad legem corporis Pper-agendo, propius accedent ad corpus T,& celerius movebuntur in Conjunctione & Oppoſitione ipſarum & corporis S,quam in Quadraturis. Et Nodi Annuli hujus ſeu interſectiones ejus cum plano Orbitæ corporis Svel T,quieſcent in Syzygiis; extra Syzy­gias vero movebuntur in antecedentia, & velociſſime quidem in Quadraturis, tardius aliis in locis. Annuli quoQ.E.I.clinatio varia­bitur, & axis ejus ſingulis revolutionibus oſcillabitur, completaque revolutione ad priſtinum ſitum redibit, niſi quatenus per præceſſi­onem Nodorum circumfertur.

LIBER PRIMUS.

Corol.19. Fingas jam Globum corporis T,ex materia non fluida conſtantem, ampliari & extendi uſque ad hunc Annulum, & alveo per circuitum excavato continere Aquam, motuque eodem perio­dico circa axem ſuum uniformiter revolvi. Hic liquor per vices acceleratus & retardatus (ut in ſuperiore Corollario) in Syzygiis velocior erit, in Quadraturis tardior quam ſuperficies Globi, & ſic fluet in alveo refluet que ad modum Maris. Aqua revolvendo cir­ca Globi centrum quieſcens, ſi tollatur attractio corporis Snullum acquiret motum fluxus & refluxus. Par eſt ratio Globi uniformiter progredientis in directum & interea revolventis circa centrum ſuum (per Legum Corol. 5.) ut & Globi de curſu rectilineo uNI­formiter tracti, per Legum Corol. 6. Accedat autem corpus S,& ab ipſius inæquabili attractione mox turbabitur Aqua. Etenim major erit attractio aquæ propioris, minor ea remotioris. Vis autem LMtrahet aquam deorſum in Quadraturis, facietQ.E.I.­ſam deſcendere uſque ad Syzygias; & vis KLtrahet eandem ſur­ſum in Syzygiis, ſiſtetQ.E.D.ſcenſum ejus & faciet ipſam aſcendere uſque ad Quadraturas.

Corol.20. Si Annulus jam rigeat & minuatur Globus, ceſſa­bit motus fluendi & refluendi; ſed Oſcillatorius ille inclinationis motus & præceſſio Nodorum manebunt. Habeat Globus eundem axem cum Annulo, gyroſque compleat iiſdem temporibus, & ſuper­ficie ſua contingat ipſum interius, eiQ.E.I.hæreat; & participando motum ejus, compages utriuſque Oſcillabitur & Nodi regredien­tur. Nam Globus, ut mox dicetur, ad ſuſcipiendas impreſſiones omnes indifferens eſt. Annuli Globo orbati maximus inclinationis angulus eſt ubi Nodi ſunt in Syzygiis. Inde in progreſſu Nodo­rum ad Quadraturas conatur is inclinationem ſuam minuere, & iſto conatu motum imprimit Globo toti. Retinet Globus motum im­preſſum uſQ.E.D.m Annulus conatu contrario motum hunc tollat, imprimatque motum novum in contrariam partem: Atque hac ra-tione maximus decreſcentis inclinationis motus fit in Quadraturis Nodorum, & minimus inclinationis angulus in Octantibus poſt Quadraturas; dein maximus reclinationis motus in Syzygiis, & maximus angulus in Octantibus proximis. Et eadem eſt ratio Glo­bi Annulo nudati, qui in regionibus æquatoris vel altior eſt paulo quam juxta polos, vel conſtat ex nateria paulo denſiore. Sup­plet enim vicem Annuli iſte materiæ in æquatoris regionibus exceſ­ſus. Et quanquam, aucta utcunque Globi hujus vi centripeta, tendere ſupponantur omnes ejus partes deorſum, ad modum gra­vitantium partium telluris, tamen Phænomena hujus & præceden­tis Corollarii vix inde mutabuntur.

DE MOTU CORPORUM

Corol.21. Eadem ratione qua materia Globi juxta æquatorem redundans efficit ut Nodi regrediantur, atque adeo per hujus in­crementum augetur iſte regreſſus, per diminutionem vero diminui­tur & per ablationem tollitur; ſi materia pluſquam redundans tol­latur, hoc eſt, ſi Globus juxta æquatorem vel depreſſior reddatur vel rarior quam juxta polos, orietur motus Nodorum in con­ſequentia.

Corol.22. Et inde viciſſim, ex motu Nodorum innoteſcit conſti­tutio Globi. Nimirum ſi Globus polos eoſdem conſtanter ſervat, & motus fit in antecedentia, materia juxta æquatorem redundat; ſi in conſequentia, deficit. Pone Globum uniformem & perfecte circinatum in ſpatiis liberis primo quieſcere; dein impetu quocun­que obliQ.E.I. ſuperficiem ſuam facto propelli, & motum inde concipere partim circularem, partim in directum. Quoniam Glo­bus iſte ad axes omnes per centrum ſuum tranſeuntes indifferenter ſe habet, neque propenſior eſt in unum axem, unumve axis ſitum, quam in alium quemvis; perſpicuum eſt quod is axem ſuum axiſ­Q.E.I.clinationem vi propria nunquam mutabit. Impellatur jam Globus oblique, in eadem illa ſuperficiei parte qua prius, impulſu quocunque novo; & cum citior vel ferior impulſus effectum nil mutet, manifeſtum eſt quod hi duo impulſus ſucceſſive impreſſi eundem producent motum ac ſi ſimul impreſſi fuiſſent, hoc eſt, eundem ac ſi Globus vi ſimplici ex utroque (per Legum Corol. 2.) compoſita impulſus fuiſſet, atque adeo ſimplicem, circa axem in­clinatione datum. Et par eſt ratio impulſus ſecundi facti in lo­cum alium quemvis in æquatore motus primi; ut & impulſus pri­mi facti in locum quemvis in æquatore motus, quem impulſus ſe­cundus abſque primo generaret; atque adeo impulſuum amborum factorum in loca quæcunque: Generabunt hi eundem motum cir-cularem ac ſi ſimul & ſemel in locum interſectionis æquatorum motuum illorum, quos feorſim generarent, fuiſſent impreſſi. Globus igitur homogeneus & perfectus non retinet motus plures diſtinctos, ſed impreſſos omnes componit & ad unum reducit, & quatenus in ſe eſt, gyratur ſemper motu ſimplici & uniformi circa axem unicum, inclinatione ſemper invariabili datum. Sed nec vis centripeta inclinationem axis, aut rotationis velocitatem mutare poteſt. Si Globus plano quocunque, per centrum ſuum & cen­trum in quod vis dirigitur tranſeunte, dividi intelligatur in duo he­miſphæria; urgebit ſemper vis illa utrumque hemiſphærium æqua­liter, & propterea Globum, quoad motum rotationis, nullam in partem inclinabit. Addatur vero alicubi inter polum & æquato­rem materia nova in formam montis cumulata, & hæc, perpetuo conatu recedendi a centro ſui motus, turbabit motum Globi, fa­cietque polos ejus errare per ipſius ſuperficiem, & circulos circum ſe punctumque ſibi oppoſitum perpetuo deſcribere. Neque corrige­tur iſta vagationis enormitas, niſi locando montem illum vel in polo alterutro, quo in Caſu (per Corol. 21) Nodi æquatoris progredien­tur; vel in æquatore, qua ratione (per Corol. 20) Nodi regredi­entur; vel denique ex altera axis parte addendo materiam novam, qua mons inter movendum libretur, & hoc pacto Nodi vel pro­gredientur, vel recedent, perinde ut mons & hæcce nova materia ſunt vel polo vel æquatori propiores.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO LXVII. THEOREMA XXVII.

Poſitis iiſdem attractionum legibus, dico quod corpus exteriusS, circa interiorumP, T commune gravitatis centrumC, radiis ad centrum illud ductis, deſcribit areas temporibus magis pro­portionales & Orbem ad formam Ellipſeos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem, quam circa corpus intimum & maximumT, radiis ad ipſum ductis, deſcribere potest.

Nam corporis Sattractiones verſus T& Pcomponunt ipſius at­tractionem abſolutam, quæ magis dirigitur in corporum T& Pcom­mune gravitatis centrum C,quam in corpus maximum T,quæque quadrato diſtantiæ SCmagis eſt proportionalis reciproce, quam quadrato diſtantiæ ST:ut rem perpendenti facile conſtabit.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO LXVIII. THEOREMA XXVIII.

Poſitis iiſdem attractionum legibus, dico quod corpus exteriusS, circa interiorumP & T commune gravitatis centrumC, ra­diis ad centrum illud ductis, deſcribit areas temporibus magis proportionales, & Orbem ad formam Ellipſeos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem, ſi corpus intimum & maximum his attractionibus perinde atque cætera agitetur, quam ſi id vel non attractum quieſcat, vel multo magis aut multo minus attractum aut multo magis aut multo minus agitetur.

Demonſtratur eo­

dem fere modo cum Prop. LXVI, ſed ar­gumento prolixiore, quod ideo prætereo. Suffecerit rem ſic æſti­mare. Ex demonſtra­tione Propoſitionis noviſſimæ liquet cen­trum in quod corpus Sconjunctis viribus urgetur, proximum eſſe communi centro gra­vitatis duorum illorum. Si coincideret hoc centrum cum centro illo communi, & quieſceret commune centrum gravitatis corporum trium; deſcriberent corpus Sex una parte, & commune centrum aliorum duorum ex altera parte, circa commune omnium centrum quieſcens, Ellipſes accuratas. Liquet hoc per Corollarium ſecun­dum Propoſitionis LVIII collatum cum demonſtratis in Propoſ. LXIV & LXV. Perturbatur iſte motus Ellipticus aliquantulum per diſtantiam centri duorum a centro in quod tertium Sattrahitur. Detur præterea motus communi trium centro, & augebitur per­turbatio. Proinde minima eſt perturbatio ubi commune trium centrum quieſcit, hoc eſt, ubi corpus intimum & maximum Tlege cæterorum attrahitur: fitque major ſemper ubi trium commune il­lud centrum, minuendo motum corporis T,moveri incipit & ma­gis deinceps magiſque agitatur.

Corol.Et hinc, ſi corpora plura minora revolvantur circa maxi­mum, colligere licet quod Orbitæ deſcriptæ propius accedent ad Ellipticas, & arearum deſcriptiones fient magis æquabiles, ſi cor­pora omnia viribus acceleratricibus, quæ ſunt ut eorum vires ab­ſolutæ directe & quadrata diſtantiarum inverſe, ſe mutuo trahant agitentque, & Orbitæ cujuſque umbilicus collocetur in communi centro gravitatis corporum omnium interiorum (nimirum umbi­licus Orbitæ primæ & intimæ in centro gravitatis corporis maxi­mi & intimi; ille Orbitæ ſecundæ, in communi centro gravi­tatis corporum duorum intimorum; iſte tertiæ, in communi cen­tro gravitatis trium interiorum; & ſic deinceps) quam ſi corpus intimum quieſcat & ſtatuatur communis umbilicus Orbitarum omnium.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO LXIX. THEOREMA XXIX.

In Syſtemate corporum pluriumA, B, C, D, &c. ſi corpus aliquodA trahit cætera omniaB, C, D, &c. viribus acceler atricibus quæ ſunt reciproce ut quadrata diſtantiarum a trahente; & corpus aliudB trahit etiam cæteraA, C, D, &c. viribus quæ ſunt reciproce ut quadrata diſtantiarum a trahente: erunt Ab­ſolutæ corporum trahentiumA, B vires ad invicem, ut ſunt ipſa corporaA, B, quorum ſunt vires.

Nam attractiones acceleratrices corporum omnium B, C, Dver­ſus A,paribus diſtantiis, ſibi invicem æquantur ex Hypotheſi; & ſimiliter attractiones acceleratrices corporum omnium verſus B,paribus diſtantiis, ſibi invicem æquantur. Eſt autem abſoluta vis attractiva corporis Aad vim abſolutam attractivam corporis B,ut attractio acceleratrix corporum omnium verſus Aad attractionem acceleratricem corporum omnium verſus B,paribus diſtantiis; & ita eſt attractio acceleratrix corporis Bverſus A,ad attractionem acceleratricem corporis Averſus B.Sed attractio acceleratrix cor­poris Bverſus Aeſt ad attractionem acceleratricem corporis Averſus B,ut maſſa corporis Aad maſſam corporis B; propterea quod vires motrices, quæ (per Definitionem ſecundam, ſepti­mam & octavam) ex viribus acceleratricibus in corpora attracta ductis oriuntur, ſunt (per motus Legem tertiam) ſibi invicem æqua-les. Ergo abſoluta vis attractiva corporis Aeſt ad abſolutam vim attractivam corporis B,ut maſſa corporis Aad maſſam corpo­ris B. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Hinc ſi ſingula Syſtematis corpora A, B, C, D,&c. ſeorſim ſpectata trahant cætera omnia viribus acceleratricibus quæ ſunt reciproce ut quadrata diſtantiarum a trahente; erunt corpo­rum illorum omnium vires abſolutæ ad invicem ut ſunt ipſa cor­pora.

Corol.2. Eodem argumento, ſi ſingula Syſtematis corpora A, B, C, D,&c. ſeorſim ſpectata trahant cætera omnia viribus acceleratricibus quæ ſunt vel reciproce vel directe in ratione dig­nitatis cujuſcunQ.E.D.ſtantiarum a trahente, quæve ſecundum Le­gem quamcunque communem ex diſtantiis ab unoquoque trahente definiuntur; conſtat quod corporum illorum vires abſolutæ ſunt ut corpora.

Corol.3. In Syſtemate corporum, quorum vires decreſcunt in ratione duplicata diſtantiarum, ſi minora circa maximum in Ellipſi­bus umbilicum communem in maximi illius centro habentibus quam fieri poteſt accuratiſſimis revolvantur, & radiis ad maximum illud ductis deſcribant areas temporibus quam maxime proportionales: erunt corporum illorum vires abſolutæ ad invicem, aut accurate aut quamproxime in ratione corporum; & contra. Patet per Corol. Prop. LXVIII collatum cum hujus Corol. 1.

Scholium.

His Propoſitionibus manuducimur ad analogiam inter vires cen­tripetas & corpora centralia, ad quæ vires illæ dirigi ſolent. Ra­tioni enim conſentaneum eſt, ut vires quæ ad corpora diriguntur pendeant ab eorundem natura & quantitate, ut fit in Magneticis. Et quoties hujuſmodi caſus incidunt, æſtimandæ erunt corporum attractiones, aſſignando ſingulis eorum particulis vires proprias, & colligendo ſummas virium. Vocem Attractionis hic generaliter uſurpo pro corporum conatu quocunque accedendi ad invicem; ſive conatus iſte fiat ab actione corporum, vel ſe mutuo petentium, vel per Spiritus emiſſos ſe invicem agitantium, ſive is ab actione Ætheris, aut Aeris, Mediive cujuſcunque ſeu corporei ſeu incorpo­rei oriatur corpora innatantia in ſe invicem utcunQ.E.I.pellentis. Eodem ſenſu generali uſurpo vocem Impulſus, non ſpecies virium & qualitates Phyſicas, ſed quantitates & proportiones Mathema­ticas in hoc Tractatu expendens, ut in Definitionibus explicui. In Matheſi inveſtigandæ ſunt virium quantitates & rationes illæ, quæ ex conditionibus quibuſcunque poſitis conſequentur: deinde, ubi in Phyſicam deſcenditur, conferendæ ſunt hæ rationes cum Phæ­nomenis, ut innoteſcat quænam virium conditiones ſingulis cor­porum attractivorum generibus competant. Et tum demum de vi­rium ſpeciebus, cauſis & rationibus Phyſicis tutius diſputare lice­bit. Videamus igitur quibus viribus corpora Sphærica, ex particu­lis modo jam expoſito attractivis conſtantia, debeant in ſe mutuoagere, & quales motus inde conſequantur.

LIBER PRIMUS.

SECTIO XII.

De Corporum Sphæriccrum Viribus attractivis.

PROPOSITIO LXX. THEOREMA XXX.

Si ad Sphæricæ ſuperficiei puncta ſingula tendant vires æquales cen­tripetæ decreſcentes in duplicata ratione diſtantiarum a punctis: dico quod corpuſculum intra ſuperficiem conſtitutum his viri­bus nullam in partem attrahitur.

Sit HIKLſuperficies illa Sphæri­

ca, & Pcorpuſculum intus conſtitu­tum. Per Pagantur ad hanc ſuper­ficiem lineæ duæ HK, IL,arcus quam minimos HI, KLintercipi­entes; &, ob triangula HPI, LPK(per Corol. 3. Lem. VII) ſimilia, arcus illi erunt diſtantiis HP, LPpro­portionales; & ſuperficiei Sphæricæ particulæ quævis ad HI& KL,rec­tis per punctum Ptranſeuntibus un­dique terminatæ, erunt in duplicata illa ratione. Ergo vires harum particularum in corpus Pexercitæ ſunt inter ſe æquales. Sunt enim ut particulæ directe & quadrata diſtantiarum inverſe. Et hæ duæ rationes componunt rationem æqualitatis. Attractiones igitur, in contrarias partes æqualiter fac­tæ, ſe mutuo deſtruunt. Et ſimili argumento, attractiones omnes per totam Sphæricam ſuperficiem a contrariis attractionibus de­ſtruuntur. Proinde corpus Pnullam in partem his attractionibus impellitur. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO LXXI. THEOREMA XXXI.

Iiſdem poſitis, dico quod corpuſculum extra Sphæricam ſuperficiem conſtitutum attrahitur ad centrum Sphæræ, vi reciproce propor­tionali quadrato diſtantiæ ſuæ ab eodem centro.

Sint AHKB, ahkbæquales duæ ſuperficies Sphæricæ, centris S, s,diametris AB, abdeſcriptæ, & P, pcorpuſcula ſita extrin­ſecus in diametris illis productis. Agantur a corpuſculis lineæ

PHK, PIL, phk, pil,auferentes a circulis maximis AHB, ahb,æquales arcus HK, hk& IL, il:Et ad eas de­mittantur perpendicula SD, sd; SE, se; IR, ir;quorum SD, sdſecent PL, plin F& f:Demittantur etiam ad diame­tros perpendicula IQ, iqueEvaneſcant anguli DPE, dpe:& (ob æquales DS& ds, ES& es,) lineæ PE, PF& pe, pf& lineolæ DF, dfpro æqualibus habeantur; quippe quarum ra­tio ultima, angulis illis DPE, dpeſimul evaneſcentibus, eſt æ­qualitatis. His itaque conſtitutis, erit PIad PFut RIad DF,& pfad piut dfvel DFad ri; & ex æquo PIXpfad PFXpiut RIad ri,hoc eſt (per Corol. 3. Lem. VII,) ut arcus IHad arcum ih.Rurſus PIad PSut IQad SE,& psand piut sevel SEad ique& ex æquo PIXpsad PSXpiut IQad iqueET conjunctis rationibus PI quad.XpfXpsad pi quad.XPFXPS,ut IHXIQad ihXiquehoc eſt, ut ſuperficies circularis, quam arcus IHconvolutione ſemicirculi AKBcirca diametrum ABdeſcribet, ad ſuperficiem circularem, quam arcus ihconvolutione ſemicirculi akbcirca diametrum abdeſcribet. Et vires, quibus hæ ſuperficies ſecundum lineas ad ſe tendentes attrahunt corpuſcu­la P& p,ſunt (per Hypotheſin) ut ipſæ ſuperficies applicatæ ad quadrata diſtantiarum ſuarum a corporibus, hoc eſt, ut pfXpsad PFXPS.Suntque hæ vires ad ipſarum partes obliquas quæ (facta per Legum Corol. 2. reſolutione virium) ſecundum lineas PS, psad centra tendunt, ut PIad PQ,& piad pqueid eſt (ob ſimilia triangula PIQ& PSF, piq& psf) ut PSad PF& psad pf.Unde, ex æquo, fit attractio corpuſculi hujus Pverſus Sad attractionem corpuſculi pverſus s,ut (PFXpfXps/PS) ad (pfXPFXPS/ps), hoc eſt, ut ps quad.ad PS quad.Et ſimili argu­mento vires, quibus ſuperficies convolutione arcuum KL, klde­ſcriptæ trahunt corpuſcula, erunt ut ps quad.ad PS quad.; inque eadem ratione erunt vires ſuperficierum omnium circularium in quas utraque ſuperficies Sphærica, capiendo ſemper sdæqualem SD& seæqualem SE,diſtingui poteſt. Et, per compoſitionem, vires totarum ſuperficierum Sphæricarum in corpuſcula exercitæ erunt in eadem ratione. que E. D.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO LXXII. THEOREMA XXXII.

Si ad Sphæræ cujuſvis puncta ſingula tendant vires æquales cen­tripetæ decreſcentes in duplicata ratione diſtantiarum a punctis, ac detur tum Sphæræ denſitas, tum ratio diametri Sphæræ ad diſtantiam corpuſculi a centro ejus; dico quod vis qua corpuſ­culum attrahitur proportionalis erit ſemidiametro Sphæræ.

Nam concipe corpuſcula duo ſeorſim a Sphæris duabus attrahi, unum ab una & alterum ab altera, & diſtantias eorum a Sphæra­rum centris proportionales eſſe diametris Sphærarum reſpective, Sphæras autem reſolvi in particulas ſimiles & ſimiliter poſitas ad corpuſcula. Et attractiones corpuſculi unius, factæ verſus ſingulas particulas Sphæræ unius, erunt ad attractiones alterius verſus ana­logas totidem particulas Sphæræ alterius, in ratione compoſita ex ratione particularum directe & ratione duplicata diſtantiarum in-verſe. Sed particulæ ſunt ut Sphæræ, hoc eſt, in ratione triplicata diametrorum, & diſtantiæ ſunt ut diametri, & ratio prior directe una cum ratione poſteriore bis inverſe eſt ratio diametri ad diame­trum. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Hinc ſi corpuſcula in Circulis, circa Sphæras ex materia æqualiter attractiva conſtantes, revolvantur; ſintQ.E.D.ſtantiæ a cen­tris Sphærarum proportionales earundem diametris: Tempora peri­odica erunt æqualia.

Corol.2. Et vice verſa, ſi Tempora periodica ſunt æqualia; diſtantiæ erunt proportionales diametris. Conſtant hæc duo per Corol. 3. Prop. IV.

Corol.3. Si ad Solidorum durorum quorumvis ſimilium & æquali­ter denſorum puncta ſingula tendant vires æquales centripetæ de­creſcentes in duplicata ratione diſtantiarum a punctis: vires qui­bus corpuſcula, ad Solida illa duo ſimiliter ſita, attrahentur ab iiſ­dem, erunt ad invicem ut diametri Solidorum.

PROPOSITIO LXXIII. THEOREMA XXXIII.

Si ad Sphæræ alicujus datæ puncta ſingula tendant æquales vires centripetæ decreſcentes in duplicata ratione diſtantiarum a pun­ctis: dico quod corpuſculum intra Sphæram conſtitutum attra­bitur vi proportionali diſtantiæ ſuæ ab ipſius centro.

In Sphæra ABCD,centro Sdeſcripta,

locetur corpuſculum P; & centro eodem S,intervallo SP,concipe Sphæram interiorem PEQFdeſcribi. Manifeſtum eſt, per Prop. LXX, quod Sphæricæ ſuperficies concentri­cæ ex quibus Sphærarum differentia AEBFcomponitur, attractionibus per attractiones contrarias deſtructis, nil agunt in corpus P.Reſtat ſola attractio Sphæræ interioris PEQF.Et per Prop. LXXII, hæc eſt ut diſtantia PS. que E. D.

Scholium.

Superficies ex quibus ſolida componuntur, hic non ſunt pure Mathematicæ, ſed Orbes adeo tenues ut eorum craſſitudo inſtar nihili ſit; nimirum Orbes evaneſcentes ex quibus Sphæra ultimo conſtat, ubi Orbium illorum numerus augetur & craſſitudo minui­tur in infinitum. Similiter per Puncta, ex quibus lineæ, ſuperficies & ſolida componi dicuntur, intelligendæ ſunt particulæ æquales magnitudinis contemnendæ.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO LXXIV. THEOREMA XXXIV.

Iiſdem poſitis, dico quod corpuſculum extra Sphæram conſtitutum attrabitur vi reciproce proportionali quadrato diſtantiæ ſuæ ab ipſius centro.

Nam diſtinguatur Sphæra in ſuperficies Sphæricas innumeras concentricas, & attractiones corpuſculi a ſingulis ſuperficiebus oriundæ erunt reciproce proportionales quadrato diſtantiæ cor­puſculi a centro, per Prop. LXXI. Et componendo, fiet ſum­ma attractionum, hoc eſt attractio corpuſculi in Sphæram totam, in eadem ratione. que E. D.

Corol.1. Hinc in æqualibus diſtantiis a centris homogenearum Sphærarum, attractiones ſunt ut Sphæræ. Nam per Prop. LXXII, ſi diſtantiæ ſunt proportionales diametris Sphærarum, vires erunt ut diametri. Minuatur diſtantia major in illa ratione; &, diſtan­tiis jam factis æqualibus, augebitur attractio in duplicata illa ratio­ne, adeoque erit ad attractionem alteram in triplicata illa ratione, hoc eſt, in ratione Sphærarum.

Corol.2. In diſtantiis quibuſvis attractiones ſunt ut Sphæræ ap­plicatæ ad quadrata diſtantiarum.

Corol.3. Si corpuſculum, extra Sphæram homogeneam poſitum, trahitur vi reciproce proportionali quadrato diſtantiæ ſuæ ab ipſius centro, conſtet autem Sphæra ex particulis attractivis; decreſcet vis particulæ cujuſQ.E.I. duplicata ratione diſtantiæ a particula.

PROPOSITIO LXXV. THEOREMA XXXV.

Si ad Sphæræ datæ puncta ſingula tendant vires æquales centripe­tæ, decreſcentes in duplicata ratione diſtantiarum a punctis; dico quod Sphæra quævis alia ſimilaris ab eadem attrahitur vi reci­proce proportionali quadrato diſtantiæ centrorum.

Nam particulæ cujuſvis attractio eſt reciproce ut quadratum di­ſtantiæ ſuæ a centro Sphæræ trahentis, (per Prop. LXXIV) & prop-terea eadem eſt ac ſi vis tota attrahens manaret de corpuſculo uNI­co ſito in centro hujus Sphæræ. Hæc autem attractio tanta eſt quanta foret viciſſim attractio corpuſculi ejuſdem, ſi modo illud a ſingulis Sphæræ attractæ particulis eadem vi traheretur qua ipſas attrahit. Foret autem illa corpuſculi attractio (per Prop. LXXIV) reciproce proportionalis quadrato diſtantiæ ſuæ a centro Sphæ­ræ; adeoque huic æqualis attractio Sphæræ eſt in eadem ratio­ne. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Attractiones Sphærarum, verſus alias Sphæras homoge­neas, ſunt ut Sphæræ trahentes applicatæ ad quadrata diſtantiarum centrorum ſuorum a centris earum quas attrahunt.

Corol.2. Idem valet ubi Sphæra attracta etiam attrahit. Nam­que hujus puncta ſingula trahent ſingula alterius, eadem vi qua ab ipſis viciſſim trahuntur, adeoque cum in omni attractione urgea­tur (per Legem III) tam punctum attrahens, quam punctum at­tractum, geminabitur vis attractionis mutuæ, conſervatis propor­tionibus.

Corol.3. Eadem omnia, quæ ſuperius de motu corporum circa umbilicum Conicarum Sectionum demonſtrata ſunt, obtinent ubi Sphæra attrahens locatur in umbilico & corpora moventur extra Sphæram.

Corol.4. Ea vero quæ de motu corporum circa centrum Co­nicarum Sectionum demonſtrantur, obtinent ubi motus peraguntur intra Sphæram.

PROPOSITIO LXXVI. THEOREMA XXXVI.

Si Sphæræ in progreſſu a centro ad circumferentiam (quoad mate­riæ denſitatem & vim attractivam) utcunQ.E.D.ſſimilares, in progreſſu vero per circuitum ad datam omnem a centro diſtan­tiam ſunt undique ſimilares, & vis attractiva puncti cujuſque decreſcit in duplicata ratione diſtantiæ corporis attracti: dico quod vis tota qua hujuſmodi Sphæra una attrahit aliam ſit reci­proce proportionalis quadrato diſtantiæ centrorum.

Sunto Sphæræ quotcunque concentricæ ſimilares AB, CD, EF,&c. quarum interiores additæ exterioribus componant materiam denſiorem verſus centrum, vel ſubductæ relinquant tenuiorem; & hæ (per Prop. LXXV) trahent Sphæras alias quotcunque concentri­cas ſimilares GH, IK, LM,&c. ſingulæ ſingulas, viribus reci­proce proportionalibus quadrato diſtantiæ SP.Et componendo vel dividendo, ſumma virium illarum omnium, vel exceſſus ali­quarum ſupra alias, hoc eſt, vis quas Sphæra tota ex concen­tricis quibuſcunque vel concentricarum differentiis compoſita AB,trahit totam ex concentricis quibuſcunque vel concentricarum dif­ferentiis compoſitam GH,erit in eadem ratione. Augeatur nu­merus Sphærarum concentricarum in infinitum ſic, ut materiæ den­ſitas una cum vi attractiva, in progreſſu a circumferentia ad cen­trum, ſecundum Legem quamcunque creſcat vel decreſcat: &, ad­

dita materia non attractiva, compleatur ubivis denſitas deficiens, eo ut Sphæræ acquirant formam quamvis optatam; & vis qua harum una attrahet alteram erit etiamnum (per argumentum ſuperius) in eadem illa diſtantiæ quadratæ ratione inverſa. que E. D.

LIBER PRIMUS.

Corol.1. Hinc ſi ejuſmodi Sphæræ complures, ſibi invicem per omnia ſimiles, ſe mutuo trahant; attractiones acceleratrices ſingula­rum in ſingulas erunt, in æqualibus quibuſvis centrorum diſtantiis, ut Sphæræ attrahentes.

Corol.2. InQ.E.D.ſtantiis quibuſvis inæqualibus, ut Sphæræ attra­hentes applicatæ ad quadrata diſtantiarum inter centra.

Corol.3. Attractiones vero motrices, ſeu pondera Sphærarum in Sphæras erunt, in æqualibus centrorum diſtantiis, ut Sphæræ attra­hentes & attractæ conjunctim, id eſt, ut contenta ſub Sphæris per multiplicationem producta.

Corol.4. InQ.E.D.ſtantiis inæqualibus, ut contenta illa applicata ad quadrata diſtantiarum inter centra.

DE MOTU CORPORUM

Corol.5. Eadem valent ubi attractio oritur a Sphæræ utriuſque virtute attractiva, mutuo exercita in Sphæram alteram. Nam viri­bus ambabus geminatur attractio, proportione ſervata.

Corol.6. Si hujuſmodi Sphæræ aliquæ circa alias quieſcentes re­volvantur, ſingulæ circa ſingulas, ſintQ.E.D.ſtantiæ inter centra re­volventium & quieſcentium proportionales quieſcentium diame­tris; æqualia erunt Tempora periodica.

Corol.7. Et viciſſim, ſi Tempora periodica ſunt æqualia; diſtan­tiæ erunt proportionales diametris.

Corol.8. Eadem omnia, quæ ſuperius de motu corporum circa umbilicos Conicarum Sectionum demonſtrata ſunt, obtinent ubi Sphæra attrahens, formæ & conditionis cujuſvis jam deſcriptæ, lo­catur in umbilico.

Corol.9. Ut & ubi gyrantia ſunt etiam Sphæræ attrahentes, con­ditionis cujuſvis jam deſcriptæ.

PROPOSITIO LXXVII. THEOREMA XXXVII.

Si ad ſingula Sphærarum puncta tendant vires centripetæ, proper­tionales diſtantiis punctorum a corporibus attractis: dico quod vis compoſita, qua Sphæræ duæ ſe mutuo trahent, est ut di­ſtantia inter centra Sphærarum.

Cas.1. Sit AEBFSphæra, S

centrum ejus, Pcorpuſculum at­tractum, PASBaxis Sphæræ per centrum corpuſculi tranſiens, EF, efplana duo quibus Sphæra ſe­catur, huic axi perpendicularia & hinc inde æqualiter diſtantia a centro Sphæræ; G, ginterſectio­nes planorum & axis, & Hpun­ctum quodvis in plano EF.Pun­cti Hvis centripeta in corpuſculum P,ſecundum lineam PHexer­cita, eſt ut diſtantia PH; & (per Legum Corol. 2.) ſecundum li­neam PG,ſeu verſus centrum S,ut longitudo PG.Igitur pun­ctorum omnium in plano EF,hoc eſt plani totius vis, qua corpuſ­culum Ptrahitur verſus centrum S,eſt ut numerus punctorum ductus in diſtantiam PG:id eſt, ut contentum ſub plano ipſo EF& diſtantia illa PG.Et ſimiliter vis plani ef,qua corpuſculum Ptrahitur verſus centrum S,eſt ut planum illud ductum in diſtantiam

ſuam Pg,ſive ut huic æquale planum EFductum in diſtantiam illam Pg; & ſumma virium plani utriuſque ut planum EFduc­tum in ſummam diſtantiarum PG+Pg,id eſt, ut planum illud ductum in duplam centri & corpuſculi diſtantiam PS,hoc eſt, ut duplum planum EFductum in diſtantiam PS,vel ut ſumma æ­qualium planorum EF+efducta in diſtantiam eandem. Et ſi­mili argumento, vires omnium planorum in Sphæra tota, hinc in­de æqualiter a centro Sphæræ diſtantium, ſunt ut ſumma planorum ducta in diſtantiam PS,hoc eſt, ut Sphæra tota ducta in diſtan­tiam centri ſui Sa corpuſculo P. que E. D.

LIBER PRIMUS.

Cas.2. Trahat jam corpuſculum PSphæram AEBF.Et eo­dem argumento probabitur quod vis, qua Sphæra illa trahitur, erit: ut diſtantia PS. que E. D.

Cas.3. Componatur jam Sphæra altera ex corpuſculis innume­ris P; & quoniam vis; qua corpuſculum unumquodque trahitur, eſt ut diſtantia corpuſculi a centro Sphæræ primæ ducta in Sphæ­ram eandem, atque adeo eadem eſt ac ſi prodiret tota de corpuſ­culo unico in centro Sphæræ; vis tota qua corpuſcula omnia in Sphæra ſecunda trahuntur, hoc eſt, qua Sphæra illa tota trahitur, eadem erit ac ſi Sphæra illa traheretur vi prodeunte de corpuſculo unico in centro Sphæræ primæ, & propterea proportionalis eſt di­ſtantiæ inter centra Sphærarum. que E. D.

Cas.4. Trahant Sphæræ ſe mutuo, & vis geminata proportio­nem priorem ſervabit. que E. D.

Cas.5. Locetur jam corpuſculum pintra Sphæram AEBF; & quoniam vis plani efin corpuſculum eſt ut contentum ſub plano illo & diſtantia pg; & vis contraria plani EFut contentum ſub plano illo & diſtantia pG; erit vis ex utraque compoſita ut diffe­rentia contentorum, hoc eſt, ut ſumma æqualium planorum ducta in ſemiſſem differentiæ diſtantiarum, id eſt, ut ſumma illa ducta in pSdiſtantiam corpuſculi a centro Sphæræ. Et ſimili argumento, attractio planorum omnium EF, efin Sphæra tota, hoc eſt, at­tractio Sphæræ totius, eſt ut ſumma planorum omnium, ſeu Sphæra tota, ducta in pSdiſtantiam corpuſculi a centro Sphæræ. que E. D.

Cas.6. Et ſi ex corpuſculis innumeris pcomponatur Sphæra nova, intra Sphæram priorem AEBFſita; probabitur ut prius quod attractio, ſive ſimplex Sphæræ unius in alteram, ſive mutua utriuſQ.E.I. ſe invicem, erit ut diſtantia centrorum pS. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO LXXVIII. THEOREMA XXXVIII.

Si Sphæræ in progreſſu a centro ad circumferentiam ſint utcunque diſſimilares & inæquabiles, in progreſſu vero per circuitum ad datam omnem a centro diſtantiam ſint undique ſimilares; & vis attractiva puncti cujuſque ſit ut diſtantia corporis attracti: dico quod vis tota qua hujuſmodi Sphæræ duæ ſe mutuo trahunt ſit proportionalis diſtantiæ inter centra Sphærarum.

Demonſtratur ex Propoſitione præcedente, eodem modo quo Propoſitio LXXVI ex Propoſitione LXXV demonſtrata fuit.

Corol.Quæ ſuperius in Propoſitionibus X & LXIV de motu corporum circa centra Conicarum Sectionum demonſtrata ſunt, valent ubi attractiones omnes fiunt vi Corporum Sphærieorum conditionis jam deſcriptæ, ſuntque corpora attracta Sphæræ con­ditionis ejuſdem.

Scholium.

Attractionum Caſus duos inſigniores jam dedi expoſitos; nimi­rum ubi Vires centripetæ decreſcunt in duplicata diſtantiarum ra­tione, vel creſcunt in diſtantiarum ratione ſimplici; efficientes in utroque Caſu ut corpora gyrentur in Conicis Sectionibus, & componentes corporum Sphærieorum Vires centripetas eadem Lege, in receſſu a centro, decreſcentes vel creſcentes cum ſeipſis: Quod eſt notatu dignum. Caſus cæteros, qui concluſiones minus ele­gantes exhibent, ſigillatim percurrere longum eſſet. Malim cunctos methodo generali ſimul comprehendere ac determinare, ut ſequitur.

LEMMA XXIX.

Si deſcribantur centroS circulus quilibetAEB, & centroP cir­culi duoEF, ef, ſecantes priorem inE, e, lineamquePS inF, f; & adPS demittantur perpendiculaED, ed: dico quod, fi diſtantia arcuumEF, ef in infinitum minui intelligatur, ra­tio ultima lineæ evaneſcentisDd ad lineam evaneſcentemFf ea ſit, quæ lineæPE ad lineamPS.

Nam ſi linea Peſecet arcum EFin q; & recta Ee,quæ cum arcu evaneſcente Eecoincidit, producta occurrat rectæ PSin T; & ab Sdemittatur in PEnormalis SG:ob ſimilia triangula DTE, dTe, DES; erit Ddad Ee,ut DTad TE,ſeu DEad

ES; & ob triangula Eeq, ESG(per Lem. VIII, & Corol. 3. Lem. VII) ſimilia, erit Eead eqſeu Ff,ut ESad SG; & ex æquo, Ddad Ffut DEad SG; hoc eſt (ob ſimilia triangula PDE, PGS) ut PEad PS. que E. D.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO LXXIX. THEOREMA XXXIX.

Si ſuperficies ob latitudinem infinite diminutam jamjam evaneſcensEF fe, convolutione ſui circa axemPS, deſcribat ſolidum Sphæricum concavo convexum, ad cujus particulas ſingulas æqua­les tendant æquales vires centripetæ: dico quod Vis, qua ſoli­dum illud trahit corpuſculum ſitum inP, est in ratione compo­ta ex ratione ſolidiDEqXFf & ratione vis qua particula data in locoFf traheret idem corpuſculum.

Nam ſi primo conſideremus vim ſuperficiei Sphæricæ FE,quæ convolutione arcus FEgeneratur, & a linea deubivis ſecatur in r; erit ſuperficiei pars annularis, convolutione arcus rEgenita, ut lineola Dd,manente Sphæræ radio PE,(uti demonſtravit Ar­chimedesin Lib. de Sphæra& Cylindro.) Et hujus vis ſecundum li­neas PEvel PrundiQ.E.I. ſuperficie conica ſitas exercita, ut hæc ipſa ſuperficiei pars annularis; hoc eſt, ut lineola Ddvel, quod perinde eſt, ut rectangulum ſub dato Sphæræ radio PE& lineola illa Dd:at ſecundum lineam PSad centrum Stendentem minor, in ratione PDad PE,adeoque ut PDXDd.Dividi jam intelligatur linea DFin particulas innumeras æquales, quæ ſingulæ nominentur Dd; & ſuperficies FEdividetur in totidem æquales annulos, quorum vires erunt ut ſumma omnium PDXDd,hoc eſt, ut 1/2 PFq-1/2PDq,adeoque ut DE quad.Ducatur

jam ſuperficies FEin altitudinem Ef; & fiet ſolidi EFfevis ex­ercita in corpuſculum Put DEqXFf:puta ſi detur vis quam particula aliqua data Ffin diſtantia PFexercet in corpuſculum P.At ſi vis illa non detur, fiet vis ſolidi EFfeut ſolidum DEqXFf& vis illa non data conjunctim. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO LXXX. THEOREMA XL.

Si ad Sphæræ alicujusABE, centroS deſcriptæ, particulas ſingu­las æquales tendant æquales vires centripetæ, & ad Sphæræ axemAB, in quo corpuſculum aliquodP locatur, erigantur de punctis ſingulisD perpendiculaDE, Sphæræ occurrentia inE, & in ipſis capiantur longitudinesDN, quæ ſint ut quantitas(DEqXPS/PE) & vis quam Sphæræ particula ſita in axe ad di­ſtantiamPE exercet in corpuſculumP conjunctim: dico quod Vis tota, qua corpuſculumP trahitur verſus Sphæram, est ut area comprehenſa ſub axe SphæræAB & linea curvaANB, quam punctumN perpetuo tangit.

Etenim ſtantibus quæ in Lemmate & Theoremate noviſſimo conſtructa ſunt, concipe axem Sphæræ ABdividi in particulas innumeras æquales Dd,& Sphæram totam dividi in totidem laminas Sphæricas concavo-convexas EFfe; & erigatur perpen­diculum dn.Per Theorema ſuperius, vis qua lamina EFfetrahit corpuſculum Peſt ut DEqXFf& vis particulæ unius ad diſtantiam PEvel PFexercita conjunctim. Eſt autem per Lem­ma noviſſimum, Ddad Ffut PEad PS,& inde Ffæqualis (PSXDd/PE); & DEqXFfæquale Ddin (DEqXPS/PE), & propter­ea vis laminæ EFfeeſt ut Ddin (DEqXPS/PE) & vis particulæ ad diſtantiam PFexercita conjunctim, hoc eſt (ex Hypotheſi) ut DNXDd,ſeu area evaneſcens DNnd.Sunt igitur laminarum omnium vires in corpus Pexercitæ, ut areæ omnes DNnd,hoc eſt, Sphæræ vis tota ut area tota ABNA. Q.E.D.

LIBER PRIMUS.

Corol.1. Hinc ſi vis centripeta, ad particulas ſingulas tendens, eadem ſemper maneat in omnibus diſtantiis, & fiat DNut (DEqXPS/PE): erit vis tota qua corpuſculum a Sphæra attrahitur, ut area ABNA.

Corol.2. Si particularum vis centripeta ſit reciproce ut diſtantia corpuſculi a ſe attracti, & fiat DNut (DEqXPS/PEq): erit vis qua corpuſculum Pa Sphæra tota attrahitur ut area ABNA.

Corol.3. Si particularum vis centripeta ſit reciproce ut cubus di­ſtantiæ corpuſculi a ſe attracti, & fiat DNut (DEqXPS/PEqq): erit vis qua corpuſculum a tota Sphæra attrahitur ut area ABNA.

Corol.4. Et univerſaliter ſi vis centripeta ad ſingulas Sphæræ particulas tendens ponatur eſſe reciproce ut quantitas V, fiat au­tem DNut (DEqXPS/PEXV); erit vis qua corpuſculum a Sphæra tota attrahitur ut area ABNA.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO LXXXI. PROBLEMA XLI.

Stantibus jam poſitis, menſuranda est AreaABNA.

A puncto Pducatur recta PHSphæram tangens in H,& ad axem PABdemiſſa normali HI,biſecetur PIin L;& erit (per Prop. 12, Lib. 2. Elem.) PEqæquale PSq + SEq+ 2PSD.Eſt autem SEqſeu SHq(ob ſimilitudinem triangu­lorum SPH, SHI) æquale rectangulo PSI.Ergo PEqæquale eſt contento ſub PS& PS+SI+2SD,hoc eſt, ſub PS& 2LS+2SD,id eſt, ſub PS& 2LD.Porro DE quadæquale eſt SEq-SDq,ſeu SEq -LSq+2SLD-LDq,id eſt, 2SLD-LDq-ALB.Nam LSq-SEqſeu LSq-SAq

(per Prop. 6, Lib. 2. Elem.) æquatur rectangulo ALB.Scriba­tur itaque 2SLD -LDq -ALBpro DEq; & quantitas (DEqXPS/PEXV), quæ ſecundum Corollarium quartum Propoſitionis præcedentis eſt ut longitudo ordinatim applicatæ DN,reſolvet ſeſe in tres partes (2SLDXPS/PEXV)-(LDqXPS/PEXV)-(ALBXPS/PEXV): ubi ſi pro V ſcribatur ratio inverſa vis centripetæ, & pro PEme­dium proportionale inter PS& 2LD; tres illæ partes evadent ordinatim applicatæ linearum totidem curvarum, quarum areæ per Methodos vulgatas innoteſcunt. que E. F.

LIBER PRIMUS.

Exempl.1. Si vis centripeta ad ſingulas Sphæræ particulas ten­dens ſit reciproce ut diſtantia; pro V ſcribe diſtantiam PE; dein 2PSXLDpro PEq,& fiet DNut SL-1/2LD-(ALB/2LD).Pone DNæqualem duplo ejus 2SL-LD-(ALB/LD): & ordinatæ pars data 2SLducta in longitudinem ABdeſcribet aream rectan­gulam 2SLXAB; & pars indefinita LDducta normaliter in eandem longitudinem per motum continuum, ea lege ut inter mo­vendum creſcendo vel decreſcendo æquetur ſemper longitudini LD,deſcribet aream (LBq-LAq/2), id eſt, aream SLXAB; quæ ſubducta de area priore 2SLXABrelinquit aream SLXAB.Pars autem tertia (ALB/LD) ducta itidem per motum localem norma­liter in eandem longitudinem, deſcribet

aream Hyperbolicam; quæ ſubducta de area SLXABrelinquet aream quæſitam ABNA.Unde talis emergit Proble­matis conſtructio. Ad puncta L, A, Berige perpendicula Ll, Aa, Bb,quorum Aaipſi LB,& Bbipſi LAæquetur. Aſymptotis Ll, LB,per puncta a, bde­ſcribatur Hyperbola ab.Et acta chor­da baclaudet aream abaareæ quæſitæ ABNAæqualem.

Exempl.2. Si vis centripeta ad ſingulas Sphæræ particulas ten­dens ſit reciproce ut cubus diſtantiæ, vel (quod perinde eſt) ut cubus ille applicatus ad planum quodvis datum; ſcribe (PEcub/2ASq) pro V, dein 2PSXLDpro PEq; & fiet DNut (SLXASq/PSXLD)-(ASq/2PS) -(ALBXASq/2PSXLDq),id eſt (ob continue proportionales PS, AS, SI) ut (LSI/LD)-1/2SI-(ALBXSI/2LDq).Si ducantur hujus partes tres in longitudinem AB,prima (LSI/LD) generabit aream Hyper-

bolicam; ſecunda 1/2SIaream 1/2ABXSI; tertia (ALBXSI/2LDq) are­am (ALBXSI/2LA)-(ALBXSI/2LB),id eſt 1/2ABXSI.De prima ſub­ducatur ſumma ſecundæ & tertiæ, &

manebit area quæſita ABNA.Un­de talis emergit Problematis conſtru­ctio. Ad puncta L, A, S, Berige perpendicula Ll, Aa, Ss, Bb,quo­rum Ssipſi SIæquetur, perque pun­ctum sAſymptotis Ll, LBdeſcri­batur Hyperbola asboccurrens per­pendiculis Aa, Bbin a& b; & rect­angulum 2ASIſubductum de area Hyperbolica AasbBreliquet aream quæſitam ABNA.

DE MOTU CORPORUM

Exempl.3. Si Vis centripeta, ad ſingulas Sphæræ particulas tendens, decreſcit in quadruplicata ratione diſtantiæ a particulis; ſcribe (PEqq/2AScub) pro V, dein √2PSXLDpro PE,& fiet DNut (SIqXSL/√2SI)X(1/√LDc),-(SIq/2√2SI)X(1/√LD),-(SIqXALB/2√2SI)X(1/√LDqc).Cujus tres partes ductæ in longitudinem AB,producunt areas tot­idem, viz. (2SIqXSL/√2SI) in (1/√LA)-(1/√LB); (SIq/√2SI)in √LB-√LA; & (SIqXALB/3√2SI) in (1/√LAcub)-(1/√LBcub).Et hæ poſt debitam redu­ctionem fiunt (2SIqXSL/LI), SIq,& SIq+(2SIcub/3LI).Hæ vero, ſub­ctis poſterioribus de priore, evadunt (4SIcub/3LI). Igitur vis tota, qua corpuſculum Pin Sphæræ centrum trahitur, eſt ut (SIcub/PI),id eſt, reciproce ut PS cubXPI. que E. I.

Eadem Methodo determinari poteſt Attractio corpuſculi ſiti in­tra Sphæram, ſed expeditius per Theorema ſequens.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO LXXXII. THEOREMA XLI.

In Sphæra centroS intervalloSA deſcripta, ſi capianturSI, SA, SP continue proportionales: dico quod corpuſculi intra Sphæ­ram in loco quovisI attractio est ad attractionem ipſius extra Sphæram in locoP, in ratione compoſita ex ſubduplicata ratione diſtantiarum a centroIS, PS & ſubduplicata ratione virium centripetarum, in locis illisP &I, ad centrum tendentium.

Ut ſi vires centripetæ particularum Sphæræ ſint reciproce ut di­ſtantiæ corpuſculi a ſe attracti; vis, qua corpuſculum ſitum in Itrahitur a Sphæra tota, erit ad vim qua trahitur in P,in ratione

compoſita ex ſubduplicata ratione diſtantiæ SIad diſtantiam SP& ratione ſubduplicata vis centripetæ in loco I,a particula aliqua in centro oriundæ, ad vim centripetam in loco Pab eadem in cen­tro particula oriundam, id eſt, ratione ſubduplicata diſtantiarum SI, SPad invicem reciproce. Hæ duæ rationes ſubduplicatæ componunt rationem æqualitatis, & propterea attractiones in I& Pa Sphæra tota factæ æquantur. Simili computo, ſi vires particu­larum Sphæræ ſunt reciproce in duplicata ratione diſtantiarum, col­ligetur quod attractio in Iſit ad attractionem in P,ut diſtantia SPad Sphæræ ſemidiametrum SA:Si vires illæ ſunt reciproce in tr­plicata ratione diſtantiarum, attractiones in I& Perunt ad invi-cem ut SP quadad SA quad:Si in quadruplicata, ut SP cubad SA cub.Unde cum attractio in P,in hoc ultimo caſu, inventa fuit reciproce ut PS cubXPI,attractio in Ierit reciproce ut SA cubXPI,id eſt (ob datum SA cub) reciproce ut PI.Et ſimilis eſt progreſſus in infinitum. Theorema vero ſic demon­ſtratur.

DE MOTU CORPORUM

Stantibus jam ante conſtructis, & exiſtente corpore in loco quovis P,ordinatim applicata DNinventa fuit ut (DEqXPS/PEXV). Ergo ſi agatur IE,ordinata illa ad alium quemvis locum I,mu­tatis mutandis, evadet ut (DEqXIS/IEXV). Pone vires centripetas, e Sphæræ puncto quovis Emanantes, eſſe ad invicem in diſtantiis IE, PE,ut PEnad IEn,(ubi numerus ndeſignet indicem poteſtatum PE& IE) & ordinatæ illæ fient ut (DEqXPS/PEXPEn) & (DEqXIS/IEXIEn), quarum ratio ad invicem eſt ut PSXIEXIEnad ISXPEXPEn.Quoniam ob ſimilia triangula SPE, SEI,fit IEad PEut ISad SEvel SA; pro ratione IEad PEſcribe rationem ISad SA; & ordinatarum ratio evadet PSXIEnad SAXPEn.Sed PSad SAſubduplicata eſt ratio diſtantiarum PS, SI; & IEnad PEnſubduplicata eſt ratio virium in diſtan­tiis PS, IS.Ergo ordinatæ, & propterea areæ quas ordinatæ deſcribunt, hiſque proportionales attractiones, ſunt in ratione com­poſita ex ſubduplicatis illis rationibus. que E. D.

PROPOSITIO LXXXIII. PROBLEMA XLII.

Invenire vim qua corpuſculum in centro Sphæræ locatum ad ejus Segmentum quodcunque attrahitur.

Sit Pcorpus in centro Sphæræ, & RBSDSegmentum ejus plano RDS& ſuperficie Sphærica RBScontentum. Superfi­cie Sphærica EFGcentro Pdeſcripta ſecetur DBin F,ac di­ſtinguatur Segmentum in partes BREFGS, FEDG.Sit autem ſuperficies illa non pure Mathematica, ſed Phyſica, pro­funditatem habens quam minimam. Nominetur iſta profundi-tas O, & erit hæc ſuperficies (per de­

monſtrata Archimedis) ut PFXDFXO.Ponamus præterea vires attractivas par­ticularum Sphæræ eſſe reciproce ut diſtantiarum dignitas illa cujus Index eſt n; & vis qua ſuperficies FEtrahit corpus Perit ut (DFXO/PFn-1). Huic pro­portionale ſit perpendiculum FNduc­tum in O; & area curvilinea BDLIB,quam ordinatim applicata FNin lon­gitudinem DBper motum continuum ducta deſcribit, erit ut vis tota qua Segmentum totum RBSDtrahit corpus P. que E. I.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO LXXXIV. PROBLEMA XLIII.

Invenire vim qua corpuſculum, extra centrum Sphæræ in axe Seg­menti cujuſvis locatum, attrahitur ab eodem Segmento.

A Segmento EBKtrahatur corpus P(Vide Fig. Prop. LXXIX, LXXX, LXXXI) in ejus axe ADBlocatum. Centro Pinterval­lo PEdeſcribatur ſuperficies Sphærica EFK,qua diſtinguatur Segmentum in partes duas EBKF& EFKD.Quæratur vis par­tis prioris per Prop. LXXXI, & vis partis poſterioris per Prop. LXXXIII; & ſumma virium erit vis Segmenti totius EBKD. que E. I.

Scholium.

Explicatis attractionibus corporum Sphærieorum, jam pergere liceret ad Leges attractionum aliorum quorundam ex particulis at­tractivis ſimiliter conſtantium corporum; ſed iſta particulatim tractare minus ad inſtitutum ſpectat. Suffecerit Propoſitiones quaſdam generaliores de viribus hujuſmodi corporum, deque mo­tibus inde oriundis, ob earum in rebus Philoſophicis aliqualem uſum, ſubjungere.

DE MOTU CORPORUM

SECTIO XIII.

De Corporum non Sphærieorum viribus attactivis.

PROPOSITIO LXXXV. THEOREMA XLII.

Si corporis attracti, ubi attrahenti contiguum est, attractio longe fortior ſit, quam cum vel minimo intervallo ſeparantur ab in­vicem: vires particularum trahentis, in receſſu corporis attrac­ti, decreſcunt in ratione pluſquam duplicata diſtantiarum a particulis.

Nam ſi vires decreſcunt in ratione duplicata diſtantiarum a par­ticulis; attractio verſus corpus Sphæricum, propterea quod (per Prop. LXXIV) ſit reciproce ut quadratum diſtantiæ attracti corpo­ris a centro Sphæræ, haud ſenſibiliter augebitur ex contactu; atque adhuc minus augebitur ex contactu, ſi attractio in receſſu corporis attracti decreſcat in ratione minore. Patet igitur Propoſitio de Sphæris attractivis. Et par eſt ratio Orbium Sphærieorum conca­vorum corpora externa trahentium. Et multo magis res conſtat in Orbibus corpora interius conſtituta trahentibus, cum attractiones paſſim per Orbium cavitates ab attractionibus contrariis (per Prop. LXX) tollantur, ideoque vel in ipſo contactu nullæ ſunt. Quod ſi Sphæris hiſce Orbibuſque Sphæricis partes quælibet a loco con­tactus remotæ auferantur, & partes novæ ubivis addantur: mu­tari poſſunt figuræ horum corporum attractivorum pro lubitu, nec tamen partes additæ vel ſubductæ, cum ſint a loco contactus re­motæ, augebunt notabiliter attractionis exceſſum qui ex contactu oritur. Conſtat igitur Propoſitio de corporibus Figurarum om­nium. que E. D.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO LXXXVI. THEOREMA XLIII.

Si particularum, ex quibus corpus attractivum componitur, vires in receſſu corporis attracti decreſcunt in triplicata vel pluſquam triplicata ratione diſtantiarum a particulis: attractio longe for­tior erit in contactu, quam cum attrahens & attractum inter­vallo vel minimo ſeparantur ab invicem.

Nam attractionem in acceſſu attracti corpuſculi ad hujuſmodi Sphæram trahentem augeri in infinitum, conſtat per ſolutionem Pro­blematis XLI, in Exemplo ſecundo ac tertio exhibitam. Idem, per Exempla illa & Theorema XLI inter ſe collata, facile colligitur de attractionibus corporum verſus Orbes concavo-convexos, ſive corpora attracta collocentur extra Orbes, ſive intra in eorum cavi­tatibus. Sed & addendo vel auferendo his Sphæris & Orbibus ubi­vis extra locum contactus materiam quamlibet attractivam, eo ut corpora attractiva induant figuram quamvis aſſignatam, conſtabit Propoſitio de corporibus univerſis. que E. D.

PROPOSITIO LXXXVII. THEOREMA XLIV.

Si corpora duo ſibi invicem ſimilia, & ex materia æqualiter attra­ctiva conſtantia, ſeorſim attrahant corpuſcula ſibi ipſis proporti­onalia & ad ſe ſimiliter poſita: attractiones acceleratrices cor­puſculorum in corpora tota erunt ut attractiones acceleratrices corpuſculorum in eorum particulas totis proportionales & in to­tis ſimiliter poſitas.

Nam ſi corpora diſtinguantur in particulas, quæ ſint totis pro­portionales & in totis ſimiliter ſitæ; erit, ut attractio in particulam quamlibet unius corporis ad attractionem in particulam correſpon­dentem in corpore altero, ita attractiones in particulas ſingulas primi corporis ad attractiones in alterius particulas ſingulas correſ­pondentes; & componendo, ita attractio in totum primum corpus ad attractionem in totum ſecundum. que E. D.

Corol.1. Ergo ſi vires attractivæ particularum, augendo diſtan­tias corpuſculorum attractorum, decreſcant in ratione dignitatis cujuſvis diſtantiarum: attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut corpora directe & diſtantiarum dignitates illæ inverſe. Ut ſi vires particularum decreſcant in ratione duplicata diſtantiarum a corpuſculis attractis, corpora autem ſint ut A cub.& B cub.ad­eoque tum corporum latera cubica, tum corpuſculorum attracto­rum diſtantiæ a corporibus, ut A& B:attractiones acceleratri­ces in corpora erunt ut (Acub./Aquad.) & (Bcub./Bquad.) id eſt, ut corporum la­tera illa cubica A& B.Si vires particularum decreſcant in ra­tione triplicata diſtantiarum a corpuſculis attractis; attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut (Acub./Acub.) & (Bcub./Bcub.), id eſt, æqua­les. Si vires decreſcant in ratione quadruplicata; attractiones in corpora erunt ut (Acub./Aqq.) & (Bcub./Bqq.) id eſt, reciproce ut latera cubi­ca A& B.Et ſic in cæteris.

DE MOTU CORPORUM

Corol.2. Unde viciſſim, ex viribus quibus corpora ſimilia tra­hunt corpuſcula ad ſe ſimiliter poſita, colligi poteſt ratio decre­menti virium particularum attractivarum in receſſu corpuſculi at­tracti; ſi modo decrementum illud ſit directe vel inverſe in ratione aliqua diſtantiarum.

PROPOSITIO LXXXVIII. THEOREMA XLV.

Si particularum æqualium Corporis cujuſcunque vires attractivæ ſint ut diſtantiæ loeorum a particulis: vis corporis totius ten­det ad ipſius centrum gravitatis; & eadem erit cum vi Globi ex materia conſimili & æquali conſtantis & centrum habentis in ejus centro gravitatis.

Corporis RSTVparticulæ A, Btrahant corpuſculum aliquod

Zviribus quæ, ſi particulæ æ­quantur inter ſe, ſint ut diſtan­tiæ AZ, BZ; ſin particulæ ſta­tuantur inæquales, ſint ut hæ par­ticulæ in diſtantias ſuas AZ, BZreſpective ductæ. Et exponan­tur hæ vires per contenta illa AXAZ& BXBZ.Jungatur AB,& ſecetur ea in Gut ſit AGad BGut particula Bad particulam A; & erit Gcommune centrum gravitatis particularum A& B.Vis AXAZ(per Legum Corol.2.) reſolvitur in vires AXGZ& AXAG& vis BXBZin vires BXGZ& BXBG.Vires autem AXAG& BXBG,ob proportionales Aad B& BGad AG,æquantur; adeoque cum dirigantur in partes contrarias, ſe mutuo deſtruunt. Reſtant vires AXGZ& BXGZ.Tendunt hæ ab Z verſus cen­trum G,& vim —A+BXGZcomponunt; hoc eſt, vim eandem ac ſi particulæ attractivæ A& Bconſiſterent in eorum communi gra­vitatis centro G,Globum ibi componentes.

LIBER PRIMUS.

Eodem argumento, ſi adjungatur particula tertia C,& compo­natur hujus vis cum vi —A+BXGZtendente ad centrum G; vis inde oriunda tendet ad commune centrum gravitatis Globi illius G& particulæ C; hoc eſt, ad commune centrum gravitatis trium par­ticularum A, B, C; & eadem erit ac ſi Globus & particula Cconſi­ſterent in centro illo communi, Globum majorem ibi componentes. Et ſic pergitur in infinitum. Eadem eſt igitur vis tota particula­rum omnium corporis cujuſcunque RSTVac ſi corpus illud, ſer­vato gravitatis centro, figuram Globi indueret. que E. D.

Corol.Hinc motus corporis attracti Zidem erit ac ſi corpus attrahens RSTVeſſet Sphæricum: & propterea ſi corpus illud attrahens vel quieſcat, vel progrediatur uniformiter in directum; corpus attractum movebitur in Ellipſi centrum habente in attra­hentis centro gravitatis.

PROPOSITIO LXXXIX. THEOREMA XLVI.

Si Corpora ſint plura ex particulis æqualibus conſtantia, quarum vi­res ſunt ut diſtantiæ loeorum a ſingulis: vis ex omnium viri­bus compoſita, qua corpuſculum quodcunque trahitur, tendet ad trahentium commune centrum gravitatis, & eadem erit ac ſi trahentia illa, ſervato gravitatis centro communi, coirent & in Globum formarentur.

Demonſtratur eodem modo, atque Propoſitio ſuperior.

Corol.Ergo motus corporis attracti idem erit ac ſi corpora tra­hentia, ſervato communi gravitatis centro, coirent & in Globum formarentur. Ideoque ſi corporum trahentium commune gravita­tis centrum vel quieſcit, vel progreditur uniformiter in linea recta: corpus attractum movebitur in Ellipſi, centrum habente in com­muni illo trahentium centro gravitatis.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XC. PROBLEMA XLIV.

Si ad ſingula Circuli cujuſcunque puncta tendant vires æquales cen­tripetæ, decreſcentes in quacunQ.E.D.ſtantiarum ratione: inve­nire vim qua corpuſculum attrahitur ubivis poſitum in recta quæ plano Circuli ad centrum ejus perpendiculariter inſiſtit.

Centro Aintervallo quovis AD,in plano cui recta APper­pendicularis eſt, deſcribi intelligatur Circulus; & invenienda ſit vis qua corpuſculum quodvis Pin eundem attrahitur. A Circuli puncto quovis Ead corpuſculum attractum Pagatur recta PE:In re­cta PAcapiatur PFipſi PEæ­

qualis, & erigatur normalis FK,quæ ſit ut vis qua punctum Etra­hit corpuſculum P.Sitque IKLcurva linea quam punctum Kper­petuo tangit. Occurrat eadem Cir­culi plano in L.In PAcapiatur PHæqualis PD,& erigatur per­pendiculum HIcurvæ prædictæ occurrens in I; & erit corpuſ­culi Pattractio in Circulum ut area AHILducta in altitudinem AP. que E. I.

Etenim in AEcapiatur linea quam minima Ee.Jungatur Pe,& in PE, PAcapiantur PC, Pfipſi Peæquales. Et quoniam vis, qua annuli punctum quodvis Etrahit ad ſe corpus P,ponitur eſſe ut FK,& inde vis qua punctum illud trahit corpus Pverſus Aeſt ut (APXFK/PE), & vis qua annulus totus trahit corpus Pverſus A,ut annulus & (APXFK/PE) conjunctim; annulus autem iſte eſt ut rectan­gulum ſub radio AE& latitudine Ee,& hoc rectangulum (ob pro­portionales PE& AE, Ee& CE) æquatur rectangulo PEXCEſeu PEXFf; erit vis qua annulus iſte trahit corpus Pverſus A,ut PEXFf& (APXFK/PE) conjunctim, id eſt, ut contentum FfXFKXAP,ſive ut area FKkfducta in AP.Et propterea ſumma virium, quibus annuli omnes in Circulo, qui centro A& in-tervallo ADdeſcribitur, trahunt corpus Pverſus A,eſt ut area tota AHIKLducta in AP. que E. D.

LIBER PRIMUS.

Corol.1. Hinc ſi vires punctorum decreſcunt in duplicata di­ſtantiarum ratione, hoc eſt, ſi ſit FKut (1/PFquad.), atque adeo a­rea AHIKLut (1/PA-1/PH); erit attractio corpuſculi Pin Circu­lum ut (1-PA/PH), id eſt, ut (AH/PH).

Corol.2. Et univerſaliter, ſi vires punctorum ad diſtantias D ſint reciproce ut diſtantiarum dignitas quælibet Dn, hoc eſt, ſi ſit FKut (1/Dn), adeoque area AHIKLut (1/PAn-1-1/PHn-1); erit attra­ctio corpuſculi Pin Circulum ut (1/PAn-2-PA/PHn-1).

Corol3. Et ſi diameter Circuli augeatur in infinitum, & nume­rus nſit unitate major; attractio corpuſculi Pin planum totum infinitum erit reciproce ut PAn-2,propterea quod terminus al­ter (PA/PHn-1) evaneſcet.

PROPOSITIO XCI. PROBLEMA XLV.

Invenire attractionem corpuſculi ſiti in axe Solidi rotundi, ad cujus puncta ſingula tendunt vires æquales centripetæ in quacunque diſtantiarum ratione decreſcentes.

In Solidum ADEFGtra­

hatur corpuſculum P,ſitum in ejus axe AB.Circulo quoli­bet RFSad hunc axem per­pendiculari ſecetur hoc Solidum, & in ejus diametro FS,in pla­no aliquo PALKBper axem tranſeunte, capiatur (per Prop. XC) longitudo FKvi qua cor­puſculum Pin circulum illum attrahitur proportionalis. Tangat autem punctum Kcurvam line­am LKI,planis extimorum circulorum AL& BIoccurrentem in L& I; & erit attractio corpuſculi Pin Solidum ut area LABI. que E. I.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Unde ſi Solidum

Cylindrus ſit, parallelogrammo ADEBcirca axem ABrevo­luto deſcriptus, & vires centri­petæ in ſingula ejus puncta ten­dentes ſint reciproce ut quadra­ta diſtantiarum a punctis: erit attractio corpuſculi Pin hunc Cylindrum ut AB-PE+PD.Nam ordinatim applicata FK(per Corol. 1. Prop. XC) erit ut 1-(PF/PR). Hujus pars 1 ducta in lon­gitudinem AB,deſcribit aream 1XAB; & pars altera (PF/PR) ducta in longitudinem PB,deſcribit aream 1 in —(PE-AD) (id quod ex curvæ LIKquadratura facile oſtendi poteſt:) & ſimiliter pars eadem ducta in longitudinem PAdeſcribit aream 1 in —(PD-AD), ductaQ.E.I. ipſarum PB, PAdifferentiam ABdeſcribit arearum differentiam 1 in —(PE-PD). De contento primo 1XABaufe­ratur contentum poſtremum 1 in —(PE-PD), & reſtabit area LABIæqualis 1 in —(AB-PE+PD). Ergo vis, huic areæ proportiona­lis, eſt ut AB-PE+PD.

Corol.2. Hinc etiam

vis innoteſcit qua Sphæ­rois AGBCDattrahit corpus quodvis P,exte­rius in axe ſuo ABſi­tum. Sit NKRMSe­ctio Conica cujus ordi­natim applicata ER,ipſi PEperpendicularis, æ­quetur ſemper longitu­dini PD,quæ ducitur ad punctum illud D,in quo applicata iſta Sphæroidem ſecat. A Sphæroidis verticibus A, Bad ejus axem ABerigantur perpendicula AK, BMipſis AP, BPæqualia reſpective, & propterea Sectioni Conicæ occurrentia in K& M; & jungatur KMauferens ab eadem ſegmentum KMRK.Sit autem Sphæroidis centrum S& ſemidiameter maxima SC:& vis qua Sphærois trahit corpus Perit ad vim qua Sphæra, diametro AB

deſcripta, trahit idem corpus, ut (ASXCSq-PSXKMRK/PSq+CSq-ASq) ad (AS cub/3PS quad). Et eodem computandi fundamento invenire licet vires ſegmentorum Sphæroidis.

LIBER PRIMUS.

Corol.3. Quod ſi corpuſculum intra Sphæroidem, in data qua­vis ejuſdem diametro, collocetur; attractio erit ut ipſius diſtantia a centro. Id quod facilius colligetur hoc argumento. Sit AGOFSphærois attrahens, Scentrum ejus & Pcorpus attractum. Per corpus illud Pagantur tum ſemidiameter SPA,tum rectæ duæ quævis DE, FGSphæroidi hinc inde occurrentes in D& E, F& G:Sintque PCM, HLNſuperficies Sphæroidum duarum in­teriorum, exteriori ſimilium & concentricarum, quarum prior tranſ­eat per corpus P& ſecet rectas DE& FGin B& C,poſterior ſecet eaſdem rectas in H, I& K, L.Habeant autem Sphæroides omnes axem communem, & erunt rect­

arum partes hinc inde interceptæ DP& BE, FP& CG, DH& IE, FK& LGſibi mutuo æquales; propterea quod rectæ DE, PB& HIbiſecan­tur in eodem puncto, ut & rectæ FG, PC& KL.Concipe jam DPF, EPGdeſignare Conos oppoſitos, an­gulis verticalibus DPF, EPGinfi­nite parvis deſcriptos, & lineas etiam DH, EIinfinite parvas eſſe; & Conorum particulæ Sphæroidum ſuperficiebus abſciſſæ DHKF, GLIE,ob æqualitatem linearum DH, EI,erunt ad invicem ut quadrata diſtantiarum ſuarum a corpuſculo P,& propterea corpuſculum illud æqualiter trahent. Et pari ratione, ſi ſuperficiebus Sphæroidum innumerarum ſimilium concentricarum & axem communem habentium dividantur ſpatia DPF, EGCBin particulas, hæ omnes utrinque æqualiter tra­hent corpus Pin partes contrarias. Æquales igitur ſunt vires Coni DPF& ſegmenti Conici EGCB,& per contrarietatem ſe mutuo deſtruunt. Et par eſt ratio virium materiæ omnis extra Sphæ­roidem intimam PCBM.Trahitur igitur corpus Pa ſola Sphæ­roide intima PCBM,& propterea (per Corol. 3. Prop. LXXII) at­tractio ejus eſt ad vim, qua corpus Atrahitur a Sphæroide tota AGOD,ut diſtantia PSad diſtantiam AS. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XCII. PROBLEMA XLVI.

Dato Corpore attractivo, invenire rationem decrementi virium cen­tripetarum in ejus puncta ſingula tendentium.

E Corpore dato formanda eſt Sphæra vel Cylindrus aliave figu­ra regularis, cujus lex attractionis, cuivis decrementi rationi con­gruens (per Prop. LXXX, LXXXI, & XCI) inveniri poteſt. Dein fa­ctis experimentis invenienda eſt vis attractionis in diverſis diſtan­tiis, & lex attractionis in totum inde patefacta dabit rationem de­crementi virium partium ſingularum, quam invenire oportuit.

PROPOSITIO XCIII. THEOREMA XLVII.

Si Solidum ex una parte planum, ex reliquis autem partibus infiNI­tum, conſtet ex particulis æqualibus æqualiter attractivis, qua­rum vires in receſſu a Solido decreſcunt in ratione poteſtatis cu­juſvis diſtantiarum pluſquam quadraticæ, & vi Solidi totius cor­puſculum ad utramvis plani partem conſtitutum trahatur: dico quod Solidi vis illa attractiva, in receſſu ab ejus ſuperficie pla­na, decreſcet in ratione poteſtatis, cujus latus est diſtantia cor­puſculi a plano, & Index ternario minor quam Index poteſta­tis diſtantiarum.

Cas.1. Sit LGlplanum

quo Solidum terminatur. Jaceat Solidum autem ex parte plani hujus verſus I,inque plana innumera mHM, nIN,&c. ipſi GLparallela reſolvatur. Et primo collocetur corpus at­tractum Cextra Solidum. Agatur autem CGHIpla­nis illis innumeris perpendicularis, & decreſcant vires attractivæ punctorum Solidi in ratione poteſtatis diſtantiarum, cujus index ſit numerus nternario non minor. Ergo (per Corol. 3. Prop. XC) vis qua planum quodvis mHMtrahit punctum Ceſt reciproce ut CHn-2.In plano mHMcapiatur longitudo HMipſi CHn-2re­ciproce proportionalis, & erit vis illa ut HM.Similiter in planis ſin­gulis lGL, nIN, oKO,&c. capiantur longitudines GL, IN, KO,&c. ipſis CGn-2, CIn-2, CKn-2,&c. reciproce proportionales; & vi­res planorum eorundem erunt ut longitudines captæ, adeoque ſumma virium ut ſumma longitudinum, hoc eſt, vis Solidi totius ut area GLOKin infinitum verſus OKproducta. Sed area illa (per notas quadraturarum methodos) eſt reciproce ut CGn-3,& prop­terea vis Solidi totius eſt reciproce ut CGn-3. que E. D.

LIBER PRIMUS.

Cas.2. Collocetur jam corpuſculum Cex parte plani lGLin­tra Solidum, & capiatur diſtantia CKæqualis diſtantiæ CG.Et So­lidi pars LGloKO,planis parallelis lGL, oKOterminata, cor­puſculum Cin medio ſitum nullam in partem trahet, contrariis op­poſitorum punctorum actionibus ſe mutuo per æqualitatem tollenti­bus. Proinde corpuſculum Cſola vi Solidi ultra planum OKſiti tra­hitur. Hæc autem vis (per Caſum primum) eſt reciproce ut CKn-3,hoc eſt (ob æquales CG, CK) reciproce ut CGn-3. que E. D.

Corol.1. Hinc ſi Solidum LGINplanis duobus infinitis pa­rallelis LG, INutrinque terminetur; innoteſcit ejus vis attra­ctiva, ſubducendo de vi attractiva Solidi totius infiniti LGKOvim attractivam partis ulterioris NICO,in infinitum verſus KOproductæ.

Corol.2. Si Solidi hujus infiniti pars ulterior, quando attractio e­jus collata cum attractione partis citerioris nullius pene eſt momen­ti, rejiciatur: attractio partis illius citerioris augendo diſtantiam de­creſcet quam proxime in ratione poteſtatis CGn-3.

Corol.3. Et hinc ſi corpus quodvis finitum & ex una parte pla­num trahat corpuſculum e regione medii illius plani, & diſtantia inter corpuſculum & planum collata cum dimenſionibus corpo­ris attrahentis perexigua ſit, conſtet autem corpus attrahens ex particulis homogeneis, quarum vires attractivæ decreſcunt in ratione poteſtatis cujuſvis pluſquam quadruplicatæ diſtantiarum; vis attractiva corporis totius decreſcet quamproxime in ratione poteſtatis, cujus latus ſit diſtantia illa perexigua, & Index terna­rio minor quam Index poteſtatis prioris. De corpore ex particulis conſtante, quarum vires attractivæ decreſcunt in ratione poteſtatis triplicatæ diſtantiarum, aſſertio non valet; propterea quod, in hoc caſu, attractio partis illius ulterioris corporis infiniti in Corollario ſecundo, ſemper eſt infinite major quam attractio partis citerioris.

DE MOTU CORPORUM

Scholium.

Si corpus aliquod perpendiculariter verſus planum datum tra­hatur, & ex data lege attractionis quæratur motus corporis: Sol­vetur Problema quærendo (per Prop. XXXIX) motum corporis recta deſcendentis ad hoc planum, & (per Legum Corol. 2.) componen­do motum iſtum cum uniformi motu, ſecundum lineas eidem plano parallelas facto. Et contra, ſi quæratur Lex attractionis in planum ſecundum lineas perpendiculares factæ, ea conditione ut corpus at­tractum in data quacunque curva linea moveatur, ſolvetur Proble­ma operando ad exemplum Problematis tertii.

Operationes autem contrahi ſolent reſolvendo ordinatim appli­catas in Series convergentes. Ut ſi ad baſem A in angulo quovis dato ordinatim applicetur longitudo B, quæ ſit ut baſis dignitas quælibet Am/n; & quæratur vis qua corpus, ſecundum poſitionem ordinatim applicatæ, vel in baſem attractum vel a baſi fugatum, moveri poſſit in curva linea quam ordinatim applicata termi­no ſuo ſuperiore ſemper attingit: Suppono baſem augeri parte quam minima O, & ordinatim applicatam —(A+O)m/nreſolvo in Seriem infinitam Am/n+m/nOA(m-n/n)+(mm-mn/2nn) OOA(m-2n/n) &c. at­que hujus termino in quo O duarum eſt dimenſionum, id eſt, ter­mino (mm-mn/2nn) OOA(m-2n/n) vim proportionalem eſſe ſuppono. Eſt igitur vis quæſita ut (mm-mn/nn)A(m-2n/n), vel quod perinde eſt, ut (mm-mn/nn)B(m-2n/m). Ut ſi ordinatim applicata Parabolam attingat, exiſtente m=2, & n=1: fiet vis ut data 2B°, adeoQ.E.D.bi­tur. Data igitur vi corpus movebitur in Parabola, quemad­modum Galilæusdemonſtravit. Quod ſi ordinatim applicata Hyperbolam attingat, exiſtente m=o-1, & n=1; fiet vis ut 2A-3 ſeu 2B3: adeoque vi, quæ ſit ut cubus ordinatim applicatæ, corpus movebitur in Hyperbola. Sed miſſis hujuſmodi Propoſiti­onibus, pergo ad alias quaſdam de Motu, quas nondum attigi.

LIBER PRIMUS.

SECTIO XIV.

De Motu corporum minimorum, quæ Viribus centripetis ad ſingulas magni alicujus corporis partes tendentibus agitantur.

PROPOSITIO XCIV. THEOREMA XLVIII.

Si Media duo ſimilaria, ſpatio planis parallelis utrinque terminato, diſtinguantur ab invicem, & corpus in tranſitu per hoc ſpatium attrahatur vel impellatur perpendiculariter verſus Medium alter­utrum, neque ulla alia vi agitetur vel impediatur: Sit autem attractio, in æqualibus ab utroque plano diſtantiis ad eandem ipſius partem captis, ubique eadem: dico quod ſinus incidentiæ in planum alterutrum erit ad ſinum emergentiæ ex plano altero in ratione data.

Cas.1. Sunto Aa, Bb

plana duo parallela. Inci­dat corpus in planum pri­us Aaſecundum lineam GH,ac toto ſuo per ſpati­um intermedium tranſitu attrahatur vel impellatur verſus Medium inciden­tiæ, eaque actione deſcri­bat lineam curvam HI,& emergat ſecundum line­am IK.Ad planum emer­gentiæ Bberigatur per­pendiculum IM,occur­rens tum lineæ inciden­tiæ GHproductæ in M,tum plano incidentiæ Aain R; & linea emergentiæ KIproducta occurrat HMin L.Centro Lintervallo LIdeſcribatur Circulus, ſecans tam HMin P& Q,quam MIproductam in N,& primo ſi attractio vel impulſus ponatur uniformis, erit (ex demonſtratis Galilæi) curva HIParabola, cujus hæc eſt proprietas, ut rectan­gulum ſub dato latere recto & linea IMæquale ſit HMquadrato; ſed & linea HMbiſecabitur in L.Unde ſi ad MIdemittatur perpendiculum LO,æ­
quales erunt MO, OR; & additis æqualibus ON, OI,fient totæ æquales MN, IR.Proinde cum IRdetur, datur etiam MN; eſtque rectangu­lum NMIad rectangu­lum ſub latere recto & IM,hoc eſt, ad HMq,in data ratione. Sed rect­angulum NMIæquale eſt rectangulo PMQ,id eſt, differentiæ quadrato­rum MLq,& PLqſeu LIq; & HMqdatam rationem habet ad ſui ipſius quartam partem MLq:ergo datur ratio MLq-LIqad MLq,& diviſim, ratio LIqad MLq,& ratio dimidiata LIad ML.Sed in omni triangulo LMI,ſinus angulorum ſunt proportionales lateribus oppoſitis. Ergo datur ratio ſinus anguli incidentiæ LMRad ſinum anguli emergen­tiæ LIR. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

Cas.2. Tranſeat jam corpus ſucceſſive per ſpatia plura paralle­lis planis terminata, AabB, BbcC,&c. & agitetur vi quæ ſit in ſingulis ſeparatim uniformis, at in diverſis diverſa; & per jam de­monſtrata, ſinus incidentiæ in planum primum Aaerit ad ſinum emergentiæ ex plano ſecundo Bb,in data ratione; & hic ſinus, qui eſt ſinus incidentiæ in planum ſecundum Bb,erit ad ſinum emergentiæ ex plano tertio Cc,in data ratione; & hic ſinus ad ſinum emergentiæ ex plano quarto Dd,in data ratione; & ſic in infinitum: & ex æquo, ſinus incidentiæ in planum primum ad ſi­num emergentiæ ex plano ultimo in data ratione. Minuantur jam planorum intervalla & augeatur numerus in infinitum, eo ut attra­ctionis vel impulſus actio, ſecundum legem quamcunque aſſignatam, continua reddatur; & ratio ſinus incidentiæ in planum primum ad ſinum emergentiæ ex plano ultimo, ſemper data exiſtens, etiam­num dabitur. que E. D.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO XCV. THEOREMA XLIX.

Iiſdem poſitis; dico quod velocitas corporis ante incidentiam eſt ad ejus velocitatem poſt emergentiam, ut ſinus emergentiæ ad ſinum incidentiæ.

Capiantur AH, Idæquales, & erigantur perpendicula AG, dKoccurrentia lineis incidentiæ & emergentiæ GH, IK,in G& K.In GHcapiatur THæqualis IK,& ad planum Aademittatur normaliter Tv.Et (per Legum Corol. 2) diſtinguatur motus cor­poris in duos, unum planis Aa, Bb, Cc,&c. perpendicularem, al­terum iiſdem parallelum. Vis attractionis vel impulſus, agendo ſe­cundum lineas perpendiculares, nil mutat motum ſecundum paralle­las, & propterea corpus hoc motu conficiet æqualibus temporibus æqualia illa ſecundum parallelas intervalla, quæ ſunt inter lineam AG& punctum H,interque punctum I& lineam dK; hoc eſt, æqualibus temporibus deſcribet lineas GH, IK.Proinde velo­citas ante incidentiam eſt ad velocitatem poſt emergentiam, ut GHad IKvel TH,id eſt, ut AHvel Idad vH,hoc eſt (reſpectu radii THvel IK) ut ſinus emergentiæ ad ſinum inci­dentiæ. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XCVI. THEOREMA L.

Iiſdem poſitis & quod motus ante incidentiam velocior ſit quam poſtea: dico quod corpus, inclinando lineam incidentiæ, refle­ctetur tandem, & angulus reflexionis fiet æqualis angulo inci­dentiæ.

Nam concipe corpus inter parallela plana Aa, Bb, Cc,&c. de­ſcribere arcus Parabolicos, ut ſupra; ſintque arcus illi HP, PQ, QR,&c. Et ſit ea lineæ incidentiæ GHobliquitas ad planum pri­mum Aa,ut ſinus incidentiæ ſit ad radium circuli, cujus eſt ſinus, in ea ratione quam habet idem ſinus incidentiæ ad ſinum emer­gentiæ ex plano Dd,in ſpatium DdeE:& ob ſinum emergen­tiæ jam factum æqualem radio, angulus emergentiæ erit rectus, ad­eoque linea emergentiæ coincidet cum plano Dd.Perveniat cor­pus ad hoc planum in puncto R; & quoniam linea emergentiæ coincidit cum eodem

plano, perſpicuum eſt quod corpus non po­teſt ultra pergere ver­ſus planum Ee.Sed nec poteſt idem perge­re in linea emergentiæ Rd,propterea quod perpetuo attrahitur vel impellitur verſus Medium incidentiæ. Re­vertetur itaQ.E.I.ter plana Cc, Dd,deſcribendo arcum Parabolæ QRq,cujus vertex principalis (juxta demonſtrata Galilæi) eſt in R; ſecabit planum Ccin eodem angulo in q,ac prius in Q; dein pergendo in arcubus parabolicis qp, ph,&c. arcubus prioribus QP, PHſimilibus & æqualibus, ſecabit reliqua plana in iiſdem angulis in p, h,&c. ac prius in P, H,&c. emergetque tandem ea­dem obliquitate in h,qua incidit in H.Concipe jam planorum Aa, Bb, Cc, Dd, Ee,&c. intervalla in infinitum minui & nume­rum augeri, eo ut actio attractionis vel impulſus ſecundum legem quamcunque aſſignatam continua reddatur; & angulus emergen­tiæ ſemper angulo incidentiæ æqualis exiſtens, eidem etiamnum manebit æqualis. que E. D.

LIBER PRIMUS.

Scholium.

Harum attractionum haud multum diſſimiles ſunt Lucis reflexi­ones & refractiones, factæ ſecundum datam Secantium rationem, ut invenit Snellius,& per conſequens ſecundum datam Sinuum ratio­nem, ut expoſuit Carteſius.Namque Lucem ſucceſſive propagari & ſpatio quaſi ſeptem vel octo minutorum primorum a Sole ad Terram venire, jam conſtat per Phænomena Satellitum Jovis,Ob­ſervationibus diverſorum Aſtronomorum confirmata. Radii autem in aere exiſtentes (uti dudum Grimaldus,luce per foramen in te­nebroſum cubiculum admiſſa, invenit, & ipſe quoque expertus ſum) in tranſitu ſuo prope corporum vel opaeorum vel perſpicuo­rum angulos (quales ſunt nummorum ex auro, argento & ære cu­ſorum termini rectanguli circulares, & cultrorum, lapidum aut fra­ctorum vitrorum acies) incurvantur circum corpora, quaſi attracti in eadem; & ex his radiis, qui in tranſitu illo propius accedunt ad corpora incurvantur magis, qua­

ſi magis attracti, ut ipſe etiam dili­genter obſervavi. In figura deſig­nat saciem cultri vel cunei cujuſvis AsB; & gowog, fnunf, emtme, dlsld,ſunt radii, arcubus owo, nun, mtm, lslverſus cultrum incurvati; idque magis vel mi­nus pro diſtantia eorum a cultro. Cum autem talis incurvatio radio­rum fiat in aere extra cultrum, de­bebunt etiam radii, qui incidunt in cultrum, prius incurvari in aere quam cultrum attingunt. Et par eſt ratio incidentium in vitrum. Fit igitur refractio, non in puncto incidentiæ, ſed paulatim per continuam incurvationem radiorum, factam partim in aere ante­quam attingunt vitrum, partim (ni fallor) in vitro, poſtquam illud ingreſſi ſunt: uti in radiis ckzkc, biyib, ahxhaincidentibus ad r, q, p,& inter k& z, i& y, h& xincurvatis, delineatum eſt. Igitur ob analogiam quæ eſt inter propagationem radiorum lucis & progreſſum corporum, viſum eſt Propoſitiones ſequentes in uſus Opticos ſubjungere; interea de natura radiorum (utrum ſint cor­pora necne) nihil omnino diſputans, ſed Trajectorias corporum Trajectoriis radiorum perſimiles ſolummodo determinans.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XCVII. PROBLEMA XLVII.

Poſito quod ſinus incidentiæ in ſuperficiem aliquam ſit ad ſinum e­mergentiæ in data ratione, quodQ.E.I.curvatio viæ corporum juxta ſuperficiem illam fiat in ſpatio breviſſimo, quod ut pun­ctum conſiderari poſſit; determinare ſuperficiem quæ corpuſcula omnia de loco dato ſucceſſive manantia convergere faciat ad alium locum datum.

Sit Alocus a quo corpuſcula divergunt; Blocus in quem con­vergere debent; CDEcurva linea quæ circa axem ABrevoluta deſcribat ſuperficiem quæſitam; D, Ecurvæ illius puncta duo quæ­vis; & EF, EGperpendicula in corporis vias AD, DBdemiſſa. Accedat punctum Dad punctum E; & lineæ DFqua ADau­getur, ad lineam DGqua DBdiminuitur, ratio ultima erit ea­dem quæ ſinus incidentiæ ad ſinum emergentiæ. Datur ergo ratio

incrementi lineæ ADad decrementum lineæ DB; & propterea ſi in axe ABſumatur ubivis punctum C,per quod curva CDEtranſire debet, & capiatur ipſius ACincrementum CM,ad ipſius BCdecrementum CNin data illa ratione; centriſque A, B,& in­tervallis AM, BNdeſcribantur circuli duo ſe mutuo ſecantes in D:punctum illud Dtanget curvam quæſitam CDE,eandemque ubivis tangendo determinabit. que E. I.

Corol.1. Faciendo autem ut punctum Avel Bnunc abeat in in­finitum, nunc migret ad alteras partes puncti C,habebuntur Fi­guræ illæ omnes quas Carteſiusin Optica & Geometria ad Refra­ctiones expoſuit. Quarum inventionem cum Carteſiusmaximi fecerit & ſtudioſe celaverit, viſum fuit hac propoſitione expo­nere.

Corol.2. Si corpus in ſuperficiem quamvis CD,ſecundum lineam rectam ADlege quavis ductam incidens, emergat ſecundum aliam quamvis rectam DK,

& a puncto Cduci in­telligantur Lineæ curvæ CP, CQipſis AD, DKſemper perpendiculares: erunt incrementa linea­rum PD, QD,atque ad­eo lineæ ipſæ PD, QD,incrementis iſtis genitæ, ut ſinus incidentiæ & e­mergentiæ ad invicem: & contra.

LIBER PRIMUS.

PROPOSITIO XCVIII. PROBLEMA XLVIII.

Iiſdem poſitis, & circa axemAB deſcripta ſuperficie quacunque attractivaCD, regulari vel irregulari, per quam corpora de loco datoA exeuntia tranſire debent: invenire ſuperficiem ſe­cundam attractivamEF, quæ corpora illa ad locum datumB convergere faciat.

Juncta ABſecet ſuperficiem primam in C& ſecundam in E,puncto Dutcunque aſſumpto. Et poſito ſinu incidentiæ in ſuper­ficiem primam ad ſinum emergentiæ ex eadem, & ſinu emergentiæ e ſuperficie ſecunda ad ſinum incidentiæ in eandem, ut quantitas aliqua data M ad aliam datam N; produc tum ABad Gut ſit BGad CEut M-N ad N, tum ADad Hut ſit AHæqualis AG,tum etiam DFad Kut ſit DKad DHut N ad M. Junge KB,& centro Dintervallo DHdeſcribe circulum occurrentem KBpro­ductæ in L,ipſique DLparallelam age BF:& punctum Ftan­get Lineam EF,quæ circa axem ABrevoluta deſcribet ſuperfi­ciem quæſitam. que E. F.

Nam concipe Lineas CP, CQipſis AD, DFreſpective, & Li­neas ER, ESipſis FB, FDubique perpendiculares eſſe, adeoque QSipſi CEſemper æqualem; & erit (per Corol. 2. Prop. XCVII) PDad QDut M ad N, adeoque ut DLad DKvel FBad FK; & diviſim ut DL-FPſeu PH-PD-FBad FDſeu FQ-QD; & compoſite ut PH-FBad FQ,id eſt (ob æquales PH& CG, QS& CE)

CE+BG-FRad CE-FS.Verum (ob proportionales BGad CE& M-N ad N) eſt etiam CE+BGad CEut M ad N: adeoque diviſim FRad FSut M ad N, & propterea per Corol. 2. Prop. XCVII, ſuperficies EFcogit cor­pus, in ipſam ſecundum lineam DFincidens, pergere in linea FRad locum B. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

Scholium.

Eadem methodo pergere liceret ad ſuperficies tres vel plures. Ad uſus autem Opticos maxime accommodatæ ſunt figuræ Sphæ­ricæ. Si Perſpicillorum vitra Objectiva ex vitris duobus Sphæri­ce figuratis & Aquam inter ſe claudentibus conflentur; fieri poteſt ut a refractionibus Aquæ errores refractionum, quæ fiunt in vitro­rum ſuperficiebus extremis, ſatis accurate corrigantur. Talia au­tem vitra Objectiva vitris Ellipticis & Hyperbolicis præferenda ſunt, non ſolum quod facilius & accuratius formari poſſint, ſed etiam quod Penicillos radiorum extra axem vitri ſitos accurativs refringant. Verum tamen diverſa diverſorum radiorum Refrangi­bilitas impedimento eſt, quo minus Optica per Figuras vel Sphæ­ricas vel alias quaſcunque perfici poſſit. Niſi corrigi poſſint er­rores illinc oriundi, labor omnis in cæteris corrigendis imperite collocabitur.

LIBER SECUNDUS.

DE MOTU CORPORUM LIBER SECUNDUS.

SECTIO I.

De Motu Corporum quibus reſiſtitur in ratione Velocitatis.

PROPOSITIO I. THEOREMA I.

Corporis, cui reſiſtitur in ratione velocitatis, motus ex reſiſtentia amiſſus eſt ut ſpatium movendo confectum.

NAm cum motus ſingulis temporis particulis æqualibus amiſſus ſit ut velocitas, hoc eſt, ut itineris confecti particula: erit, componendo, motus toto tempore amiſſus ut iter totum. Q.E.D.

Corol.Igitur ſi corpus, gravitate omni deſtitutum, in ſpatiis libe­ris ſola vi inſita moveatur; ac detur tum motus totus ſub initio, tum etiam motus reliquus poſt ſpatium aliquod confectum: dabitur ſpa­tium totum quod corpus infinito tempore deſcribere poteſt. Erit enim ſpatium illud ad ſpatium jam deſcriptum, ut motus totus ſub initio ad motus illius partem amiſſam.

LEMMA I.

Quantitates differentiis ſuis proportionales, ſunt continue propor­tionales.

Sit A ad A-B ut B ad B-C & C ad C-D, &c. & dividendo fiet A ad B ut B ad C & C ad D, &c. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO II. THEOREMA II.

Si Corpori reſiſtitur in ratione velocitatis, & idem ſola vi inſita per Medium ſimilare moveatur, ſumantur autem tempora æqua­lia: velocitates in principiis ſingulorum temporum ſunt in pro­greſſione Geometrica, & ſpatia ſingulis temporibus deſcripta ſunt ut velocitates.

Cas.1. Dividatur tempus in particulas æquales; & ſi ipſis parti­cularum initiis agat vis reſiſtentiæ impulſo unico, quæ ſit ut velo­citas: erit decrementum velocitatis ſingulis temporis particulis ut eadem velocitas. Sunt ergo velocitates differentiis ſuis proportio­nales, & propterea (per Lem. I. Lib. II.) continue proportionales. Proinde ſi ex æquali particularum numero componantur tempora quælibet æqualia, erunt velocitates ipſis temporum initiis, ut ter­mini in progreſſione continua, qui per ſaltum capiuntur, omiſſo paſſim æquali terminorum intermediorum numero. Componuntur autem horum terminorum rationes ex æqualibus rationibus termi­norum intermediorum æqualiter repetitis, & propterea ſunt æqua­les. Igitur velocitates, his terminis proportionales, ſunt in pro­greſſione Geometrica. Minuantur jam æquales illæ temporum par­ticulæ, & augeatur earum numerus in infinitum, eo ut reſiſtentiæ impulſus reddatur continuus; & velocitates in principiis æqualium temporum, ſemper continue proportionales, erunt in hoc etiam caſu continue proportionales. Q.E.D.

Cas.2. Et diviſim velocitatum differentiæ, hoc eſt, earum partes ſingulis temporibus amiſſæ, ſunt ut totæ: Spatia autem ſingulis temporibus deſcripta ſunt ut velocitatum partes amiſſæ, (per Prop. I. Lib II.) & propterea etiam ut totæ. que E. D.

Corol.Hinc ſi Aſymptotis rectangulis ADC, CHdeſcribatur Hyperbola BG,ſintque AB, DGad Aſymptoton ACperpen­diculares, & exponatur tum corporis velocitas tum reſiſtentia Me­dii, ipſo motus initio, per lineam quam­

vis datam AC,elapſo autem tempore ali­quo per lineam indefinitam DC:exponi poteſt tempus per aream ABGD,& ſpa­tium eo tempore deſcriptum per lineam AD.Nam ſi area illa per motum puncti Daugeatur uniformiter ad modum tempo-ris, decreſcet recta DCin ratione Geometrica ad modum veloci­tatis, & partes rectæ ACæqualibus temporibus deſcriptæ decre­ſcent in eadem ratione.

LIBER SECUNDUS.

PROPOSITIO III. PROBLEMA I.

Corporis, cui dum in Medio ſimilari recta aſcendit vel deſcendit, reſiſtitur in ratione velocitatis, quodque ab uniformi gravitate urgetur, definire motum.

Corpore aſcendente, ex­

ponatur gravitas per datum quodvis rectangulum BC,& reſiſtentia Medii initio aſ­cenſus per rectangulum BDſumptum ad contrarias par­tes. Aſymptotis rectangulis AC, CH,per punctum Bde­ſcribatur Hyperbola ſecans per­pendicula DE, dein G, g;& corpus aſcendendo, tempore DGgd,deſcribet ſpatium EGge,tem­pore DGBAſpatium aſcenſus totius EGB; tempore AB2G2Dſpatium deſcenſus BF2G,atque tempore 2D2G2g2dſpatium deſcenſus 2GF2e2g: & velocitates corporis (reſiſtentiæ Medii proportionales) in horum temporum periodis erunt ABED, ABed,nulla, ABF2D, AB2e2dreſpective; atque maxima velocitas, quam corpus deſcendendo poteſt acquirere, erit BC.

Reſolvatur enim rectan­

gulum AHin rectangula innumera Ak, Kl, Lm, Mn,&c. quæ ſint ut incrementa velocitatum æqualibus tot­idem temporibus facta; & e­runt nihil, Ak, Al, Am, An,&c. ut velocitates totæ, at­que adeo (per Hypotheſin) ut reſiſtentiæ Medii princi­pio ſingulorum temporum æqualium. Fiat ACad AKvel ABHCad ABkK,ut vis gra­vitatis ad reſiſtentiam in principio temporis ſecundi, deque vi gravi-tatis ſubducantur reſiſtentiæ, & manebunt ABHC, KkHC, LlHC, NnHC,&c. ut vires abſolutæ quibus corpus in principio ſingu­lorum temporum urgetur, atque adeo (per motus Legem 11) ut incrementa velocitatum, id eſt, ut rectangula Ak, Kl, Lm, Mn,&c; & propterea (per Lem. I. Lib. II) in progreſſione Geometrica. Qua­re ſi rectæ Kk, Ll, Mm, Nn,&c. productæ occurrant Hyperbolæ in q, r, s, t,&c. erunt areæ ABqK, KqrL, LrsM, MstN,&c. æquales, adeoque tum temporibus tum viribus gravitatis ſemper æqualibus analogæ. Eſt autem area ABqK(per Corol. 3. Lem. VII, & Lem. VIII, Lib. I) ad aream Bkqut Kqad 1/2 kqſeu ACad 1/2 AK,hoc eſt, ut vis gravitatis ad reſiſtentiam in medio temporis primi. Et ſimili argumento areæ
qKLr, rLMs, sMNt,&c. ſunt ad areas qklr, rlms, smnt,&c. ut vires gravi­tatis ad reſiſtentias in me­dio temporis ſecundi, ter­tii, quarti, &c. Proinde cum areæ æquales BAKq, qKLr, rLMs, sMNt,&c. ſint vi­ribus gravitatis analogæ, e­runt areæ Bkq, qklr, rlms, smnt,&c. reſiſtentiis in mediis ſingulorum temporum, hoc eſt (per Hypotheſin) velocitatibus, atque adeo deſcriptis ſpatiis analogæ. Sumantur analogarum ſummæ, & erunt areæ Bkq, Blr, Bms, Bnt,&c. ſpatiis totis deſcriptis analogæ; necnon areæ ABqK, ABrL, ABsM, ABtN,&c. temporibus. Corpus igitur inter deſcenden­dum, tempore quovis ABrL,deſcribit ſpatium Blr,& tempore LrtNſpatium rlnt. Q.E.D.Et ſimilis eſt demonſtratio motus expoſiti in aſcenſu. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo poteſt acquirere, eſt ad velocitatem dato quovis tempore acquiſitam, utvis data gravitatis qua perpetuo urgetur, ad vim reſiſtentiæ qua infine temporis illius impeditur.

Corol.2. Tempore autem aucto in progreſſione Arithmetica, ſummavelocitatis illius maximæ ac velocitatis in aſcenſu (atque etiam earun dem differentia in deſcenſu) decreſcit in progreſſione Geometrica.

Corol.3. Sed & differentiæ ſpatiorum, quæ in æqualibus tempo rum differentiis deſcribuntur, decreſcunt in eadem progreſſion Geometrica.

Corol.4. Spatium vero a corpore deſcriptum differentia eſt duo­rum ſpatiorum, quorum alterum eſt ut tempus ſumptum ab initio deſcenſus, & alterum ut velocitas, quæ etiam ipſo deſcenſus initio æquantur inter ſe.

LIBER SECUNDUS.

PROPOSITIO IV. PROBLEMA II.

Poſito quod vis gravitatis in Medio aliquo ſimilari uniformis ſit, ac tendat perpendiculariter ad planum Horizontis; definire mo­tum Projectilis in eodem, reſiſtentiam velocitati proportionalem patientis.

Eloco quovis Degrediatur Pro­

jectile ſecundum lineam quam­vis rectam DP,& per longitu­dinem DPexponatur ejuſdem velocitas ſub initio motus. A puncto Pad lineam Horizonta­lem DCdemittatur perpendi­culum PC,& ſecetur DCin Aut ſit DAad ACut reſiſtentia Medii, ex motu in altitudinem ſub initio orta, ad vim gravi­tatis; vel (quod perinde eſt) ut ſit rectangulum ſub DA& DPad rectangulum ſub AC& CPut reſiſtentia tota ſub initio mo­tus ad vim gravitatis. Aſymptotis DC, CP,deſcribatur Hyperbo­la quævis GTBSſecans perpen­dicula DG, ABin G& B; & compleatur parallelogrammum DGKC,cujus latus GKſecet ABin queCapiatur linea N in ratione ad QBqua DCſit ad CP; & ad rectæ DCpun­ctum quodvis Rerecto perpen­diculo RT,quod Hyperbolæ in T,& rectis EH, GK, DPin I, t& Voccurrat; in eo cape Vræqualem (tGT/N), vel quod per-inde eſt, cape Rræqualem (GTIE/N); & Projectile tempore DRTGperveniet ad punctum r,deſcribens curvam lineam DraF,quam punctum rſemper tangit, perveniens autem ad maximam altitudi­nem ain perpendiculo AB,& poſtea ſemper appropinquans ad A­ſymptoton PLC.Eſtque velocitas ejus in puncto quovis rut Cur­væ Tangens rL. que E. I.

DE MOTU CORPORUN

Eſt enim N ad QBut DCad CPſeu DRad RV,adeoque RVæqualis (DRXQB/N), & Rr(id eſt RV-Vrſeu (DRXQB-tGT/N)) æqualis (DRXAB-RDGT/N). Exponatur jam tempus per are­am RDGT,& (per Legum

Corol. 2.) diſtinguatur motus corporis in duos, unum aſcen­ſus, alterum ad latus. Et cum reſiſtentia ſit ut motus, diſtin­guetur etiam hæc in partes duas partibus motus proportionales & contrarias: ideoque longitu­do, a motu ad latus deſcripta, e­rit (per Prop. 11. hujus) ut linea DR,altitudo vero (per Prop. 111. hujus) ut area DRXAB -RDGT,hoc eſt, ut linea Rr.Ipſo autem motus initio area RDGTæqualis eſt rectangulo DRXAQ,ideoque linea illa Rr(ſeu (DRXAB-DRXAQ/N)) tunc eſt ad DRut AB-AQſeu QBad N, id eſt, ut CPad DC; atque adeo ut motus in altitudinem ad motum in longitudinem ſub initio. Cum igitur Rrſemper ſit ut altitu­do, ac DRſemper ut longi­tudo, atque Rrad DRſub initio ut altitudo ad longitudinem: neceſſe eſt ut Rrſemper ſit ad DRut altitudo ad longitudinem, & propterea ut corpus movea­tur in linea DraF,quam punctum rperpetuo tangit. Q.E.D.

Corol.1. Eſt igitur Rræqualis (DRXAB/N)-(RDGT/N), ideoque ſi producatur RTad Xut ſit RXæqualis (DRXAB/N), (id eſt, ſi compleatur parallelogrammum ACPY,jungatur DYſecans CPin Z,& producatur RTdonec occurrat DYin X;) erit Xræqua­lis (RDGT/N), & propterea tempori proportionalis.

LIBER SECUNDUS.

Corol.2. Unde ſi capiantur innumeræ CRvel, quod perinde eſt, innumeræ ZX,in progreſſione Geometrica; erunt totidem Xrin progreſſione Arithmetica. Et hinc Curva DraFper tabulam Lo­garithmorum facile delineatur.

Corol.3. Si vertice D,diametro DEdeorſum producta, & La­tere recto quod ſit ad 2DPut reſiſtentia tota, ipſo motus initio, ad vim gravitatis, Parabola conſtruatur: velocitas quacum corpus exire debet de loco Dſecundum rectam DP,ut in Medio uNI­formi reſiſtente deſcribat Curvam DraF,ea ipſa erit quacum ex­ire debet de eodem loco D,ſecundum eandem rectam DP,ut in ſpatio non reſiſtente deſcribat Parabolam. Nam Latus re­ctum Parabolæ hujus, ipſo motus initio, eſt (DVquad./Vr) & Vreſt (tGT/N) ſeu (DRXTt/2N). Recta autem quæ, ſi duceretur, Hy­perbolam GTBtangeret in G,parallela eſt ipſi DK,ideoque Tteſt (CKXDR/DC) & N erat (QBXDC/CP). Et propterea Vreſt (DRqXCKXCP/2DCqXQB), id eſt, (ob proportionales DR& DC, DV& DP) (DVqXCKXCP/2DPqXQB), & Latus rectum (DVquad./Vr) prodit (2DPqXQB/CKXCP), id eſt (ob proportionales QB& CK, DA& AC) (2DPqXDA/ACXCP), adeoque ad 2 DP,ut DPXDAad CPXAC; hoc eſt, ut reſiſtentia ad gravitatem. Q.E.D.

Corol.4. Unde ſi corpus de loco quovis D,data cum velocitate, ſecundum rectam quamvis poſitione datam DPprojiciatur; & re­ſiſtentia Medii ipſo motus initio detur: inveniri poteſt Curva DraF,quam corpus idem deſcribet. Nam ex data velocitate datur latus rectum Parabolæ, ut notum eſt. Et ſumendo 2DPad latus illud rectum, ut eſt vis gravitatis ad vim reſiſtentiæ, datur DP.Dein ſecando DCin A,ut ſit CPXACad DPXDAin eadem illa rati­one gravitatis ad reſiſtentiam, dabitur punctum A.Et inde datur Curva DraF.

DE MOTU CORPORUM

Corol.5. Et contra, ſi datur

Curva DraF,dabitur & ve­locitas corporis & reſiſtentia Medii in locis ſingulis r.Nam ex data ratione CPXACad DPXDA,datur tum reſiſten­tia Medii ſub initio motus, tum latus rectum Parabolæ: & inde datur etiam velocitas ſub initio motus. Deinde ex longitudine tangentis rL,datur & huic proportionalis velocitas, & ve­locitati proportionalis reſiſten­tia in loco quovis r.

Corol.6. Cum autem longitu­do 2DPſit ad latus rectum Parabolæ ut gravitas ad reſiſtentiam in D; & ex aucta velocitate augeatur reſiſtentia in eadem ratione, at latus rectum Parabolæ au­geatur in ratione illa duplicata: patet longitudinem 2DPaugeri in ratione illa ſimplici, adeoque velocitati ſemper proportionalem eſſe, neque ex angulo CDPmutato augeri vel minui, niſi mu­tetur quoque velocitas.

Corol.7. Unde liquet methodus determinandi Curvam DraFex Phænomenis quamproxime, & inde colligendi reſiſtentiam & velocitatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo ſimilia & æqualia eadem cum velocitate, de loco D,ſecundum angulos diverſos GDP, cDp(minuſcularum literarum locis ſub­intellectis) & cognoſcantur loca F, f,abi incidunt in horizontale planum DC.Tum, aſſumpta quacunque longitudine pro DPvel Dp,fingatur quod reſiſtentia in Dſit ad gravitatem in ra-tione qualibet, & exponatur ratio illa per longitudinem quamvis SM.Deinde per computationem, ex longitudine illa aſſumpta DP,inveniantur longitudines DF, Df,ac de ratione (Ef/DF) per calculum inventa, auferatur ratio eadem

per experimentum inventa, & exponatur differentia per perpendiculum MN.Idem fac iterum ac tertio, aſſumendo ſemper novam reſiſtentiæ ad gravitatem rationem SM,& colligendo novam differentiam MN.Ducantur autem differentiæ affirmativæ ad unam partem rectæ SM,& negativæ ad alteram; & per puncta N, N, Nagatur ourva regularis NNNſecans rectam SMMMin X,& erit SXvera ratio reſiſtentiæ ad gravitatem, quam invenire oportuit. Ex hac ratione colligenda eſt longitudo DFper calculum; & longi­tudo quæ ſit ad aſſumptam longitudinem DP,at longitudo DFper experimentum cognita ad longitudinem DFmodo inventam, erit vera longitudo DP.Qua inventa, habetur tum Curva linea DraFquam corpus deſcribit, tum corporis velocitas & reſiſten­tia in locis ſingulis.

LIBER SECUNDUS.

Scholium.

Cæterum, reſiſtentiam corporum eſſe in ratione velocitatis, Hy­potheſis eſt magis Mathematica quam Naturalis. Obtinet hæc ra­tio quamproxime ubi corpora in Mediis rigore aliquo præditis tar­diſſime moventur. In Mediis antem quæ rigore omni vacant re­ſiſtentiæ corporum ſunt in duplicata ratione velocitatum. Etenim actione corporis velocioris communicatur eidem Medii quantitati, tempore minore, motus major in ratione majoris velocitatis; ad­eoque tempore æquali (ob majorem Medii quantitatem perturba­tam) communicatur motus in duplicata ratione major; eſt que re­ſiſtentia (per motus Legem II & III) ut motus communicatus. Videamus igitur quades oriantur motus ex hac lege Reſiſtentiæ.

DE MOTU CORPORUM

SECTIO II.

De motu Corporum quibus reſiſtitur in duplicata ra­tione Velocitatum.

PROPOSITIO V. THEOREMA III.

Si Corpori reſiſiitur in velocitatis ratione duplicata, & idem ſola vi inſita per Medium ſimilare movetur; tempora vero ſuman­tur in progreſſione Geometrica a minoribus terminis ad majores pergente: dico quod velocitates initio ſingulorum temporum ſunt in eadem progreſſione Geometrica inverſe, & quod ſpatia ſunt æqualia quæ ſingulis temporibus deſcribuntur.

Nam quoniam quadrato velocita­

tis proportionalis eſt reſiſtentia Me­dii, & reſiſtentiæ proportionale eſt decrementum velocitatis; ſi tempus in particulas innumeras æquales divi­datur, quadrata velocitatum ſingulis temporum initiis erunt velocitatum earundem differentiis proportionalia. Sunto temporis particulæ illæ AK, KL, LM,&c. in recta CDſumptæ, & erigantur perpendicula AB, Kk, Ll, Mm,&c. Hyperbolæ BklmG,centro CAſymptotis rectangulis CD, CHdeſcriptæ, occurrentia in B, k, t, m,&c. & erit ABad Kkut CKad CA,& diviſim AB-Kkad Kkut AKad CA,& viciſſim AB-Kkad AKut Kkad CA,adeoque ut ABXKkad ABXCA.Unde, cum AK& ABXCAdentur, erit AB-Kkut ABXKk; & ultimo, ubi coeunt AB& Kk,ut ABqueEt ſimili argumento erunt Kk-Ll, Ll-Mm,&c. ut Kkq, Llq,&c. Linearum igitur AB, Kk, Ll, Mmquadrata ſunt ut earundem differentiæ; & idcirco cum quadrata ve­locitatum fuerint etiam ut ipſarum differentiæ, ſimilis erit amba­rum progreſſio. Quo demonſtrato, conſequens eſt etiam ut areæ his lineis deſcriptæ ſint in progreſſione conſimili cum ſpatiis quæ velocitatibus deſcribuntur. Ergo ſi velocitas initio primi tempo­ris AKexponatur per lineam AB,& velocitas initio ſecundi KLper lineam Kk,& longitudo primo tempore deſcripta per aream AKkB; velocitates omnes ſubſequentes exponentur per lineas ſubſequentes Ll, Mm,&c. & longitudines deſcriptæ per areas Kl, Lm,&c. Et compoſite, ſi tempus totum exponatur per ſum­mam partium ſuarum AM,longitudo tota deſcripta exponetur per ſummam partium ſuarum AMmB.Concipe jam tempus AMita dividi in partes AK, KL, LM,&c. ut ſint CA, CK, CL, CM,&c. in progreſſione Geometrica; & erunt partes illæ in eadem pro­greſſione, & velocitates AB, Kk, Ll, Mm,&c. in progreſſione ea­dem inverſa, atque ſpatia deſcripta Ak, Kl, Lm,&c. æqualia. Q.E.D.

LIBER SECUNDUS.

Corol.1. Pater ergo quod, ſi tempus exponatur per Aſymptoti partem quamvis AD,& velocitas in principio temporis per ordi­natim applicatam AB; velocitas in fine temporis exponetur per ordinatam DG,& ſpatium totum deſcriptum per aream Hyper­bolicam adjacentem ABGD; necnon ſpatium quod corpus ali­quod eodem tempore AD,velocitate prima AB,in Medio non reſiſtente deſcribere poſſet, per rectangulum ABXAD.

Corol.2. Unde datur ſpatium in Medio reſiſtente deſcriptum, ca­piendo illud ad ſpatium quod velocitate uniformi ABin medio non reſiſtente ſimul deſcribi poſſet, ut eſt area Hyperbolica ABGDad rectangulum ABXAD.

Corol.3. Datur etiam reſiſtentia Medii, ſtatuendo eam ipſo mo­tus initio æqualem eſſe vi uniformi centripetæ, quæ in cadente cor­pore, tempore AC,in Medio non reſiſtente, generare poſſet velo­citatem AB.Nam ſi ducatur BTquæ tangat Hyperbolam in B,& occurrat Aſymptoto in T; recta ATæqualis erit ipſi AC,& tempus exponet quo reſiſtentia prima uniformiter continuata tolle­re poſſet velocitatem totam AB.

Corol4. Et inde datur etiam proportio hujus reſiſtentiæ ad vim gravitatis, aliamve quamvis datam vim centripetam.

Corol.5. Et viceverſa, ſi datur proportio reſiſtentiæ ad datam quamvis vim centripetam; datur tempus AC,quo vis centripeta reſiſtentiæ æqualis generare poſſit velocitatem quamvis AB; & in-de datur punctum Bper quod Hyperbola, Aſymptoris CH, CD,deſcribi debet; ut & ſpatium ABGD,quod corpus incipiendo motum ſuum cum velocitate illa AB,tempore quovis AD,in Me­dio ſimilari reſiſtente deſcribere poteſt.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO VI. THEOREMA IV.

Corpora Spherica homogemea & æqualia, reſiſtentiis in duplicata ratione velocitatum impedita, & ſolis viribus inſitis incitata, temporibus quæ ſunt reciproce ut velocitates ſub initio, deſcri­bunt ſemper æqualia ſpatia, & amittunt partes velocitatum pro­portionales totis.

Aſymptotis rectangulis CD,

CHdeſcripta Hyperbola qua­vis BbEeſecante perpendicula AB, ab, DE, de,in B, b, E, e,exponantur velocitates initi­ales per perpendicula AB, DE,& tempora per lineas Aa, Dd.Eſt ergo ut Aaad Ddita (per Hypotheſin) DEad AB,& ita (ex natura Hy­perbolæ) CAad CD; & com­ponendo, ita Caad Cd.Ergo areæ ABba, DEed,hoc eſt, ſpatia deſcripta æquamtur inter ſe, & velocitates primæ AB, DEſunt ultimis ab, de,& propterea (dividendo) partibus etiam ſuis amiſſis AB-ab, DE-depro­portionales. Q.E.D.

PROPOSITIO VII. THEOREMA V.

Corpora Sphærica quibus reſiſtitur in duplicata ratione velocitatum, temporibus quæ ſunt ut motus primi directe & reſiſtentiæ pri­mæ inverſe, amittent partes motuum proportionales totis, & ſpatia deſcribent temporibus iſtis in velocitates primas ductis proportionalia.

Namque motuum partes amiſſæ ſunt ut reſiſtentiæ & tempora conjunctim. Igitur ut partes illæ ſint totis proportionales, debe­bit reſiſtentia & tempus conjunctim eſſe ut motus. Proinde tem­pus erit ut motus directe & reſiſtentia inverſe. Quare temporam particulis in ea ratione ſumptis, corpora amittent ſemper parti­culas motuum proportionales totis, adeoque retinebunt velocita­tes in ratione prima. Et ob datam velocitatum rationem, deſcri­bent ſemper ſpatia quæ ſunt ut velocitates primæ & tempora con­junctim. Q.E.D.

LIBER SECUNDUS.

Corol.1. Igitur ſi æquivelocibus corporibus reſiſtitur in duplicata ratione diametrorum: Globi homogenei quibuſcunque cum velocita­tibus moti, deſcribendo ſpatia diametris ſuis proportionalia, amit­tent partes motuum proportionales totis. Motus enim Globi cu­juſque erit ut ejus velocitas & Maſſa conjunctim, id eſt, ut veloci­tas & cubus diametri; reſiſtentia (per Hypotheſin) erit ut quadra­tum diametri & quadratum velocitatis conjunctim; & tempus (per hanc Propoſitionem) eſt in ratione priore directe & ratione poſte­riore inverſe, id eſt, ut diameter directe & velocitas inverſe; ad­eoque ſpatium (tempori & velocitati proportionale) eſt ut dia­meter.

Corol.2. Si æquivelocibus corporibus reſiſtitur in ratione ſeſquial­tera diametrorum: Globi homogenei quibuſcunque cum velocitati­bus moti, deſcribendo ſpatia in ſeſquialtera ratione diametrorum, amittent partes motuum proportionales totis.

Corol.3. Et univerſaliter, ſi æquivelocibus corporibus reſiſtitur in ratione dignitatis cujuſcunQ.E.D.ametrorum: ſpatia quibus Globi homogenei, quibuſcunque cum velocitatibus moti, amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut cubi diametrorum ad digNI­tatem illam applicati. Sunto diametri D & E; & ſi reſiſtentiæ, ubi velocitates æquales ponuntur, ſint ut Dn & En: ſpatia quibus Globi quibuſcunque cum velocitatibus moti, amitteus partes mo­tuum proportionales totis, erunt ut D3-n & E3-n. Igitur deſcri­bendo ſpatia ipſis D3-n & E3-n proportionalia, retinebunt veloci­tates in eadem ratione ad invicem ac ſub initio.

Corol.4. Quod ſi Globi non ſint homogenei, ſpatium a Globo denſiore deſcriptum augeri debet in ratione denſitatis. Motus enim, ſub pari velocitare, major eſt in ratione denſitatis, & tempus (per hanc Propoſitionem) augetur in ratione motus directe, ac ſpatium deſcriptum in ratione temporis.

DE MOTU CORPORUM

Corol.5. Et ſi Globi moveantur in Mediis diverſis; ſpatium in Medio, quod cæteris paribus magis reſiſtit, diminuendum erit in ratione majoris reſiſtentiæ. Tempus enim (per hanc Propoſitio­nem) diminuetur in ratione reſiſtentiæ auctæ, & ſpatium in ra­tione temporis.

LEMMA II.

Momentum Genitæ æquatur Momentis laterum ſingulorum gene­rantium in eorundem laterum indices dignitatum & coefficien­tia continue ductis.

Genitam voco quantitatem omnem quæ ex lateribus vel termi­nis quibuſcunque, in Arithmetica per multiplicationem, diviſionem, & extractionem radicum; in Geometria per inventionem vel con­tentorum & laterum, vel extremarum & mediarum proportionalium, abſque additione & ſubductione generatur. Ejuſmodi quantita­tes ſunt Facti, Quoti, Radices, Rectangula, Quadrata, Cubi, Latera quadrata, Latera cubica, & ſimiles. Has quantitates ut indeterminatas & inſtabiles, & quaſi motu fluxuve perpetuo creſcentes vel decre­ſcentes, hic conſidero; & earum incrementa vel decrementa momen­tanea ſub nomine Momentorum intelligo: ita ut incrementa pro momentis addititiis ſeu affirmativis, ac decrementa pro ſubductitiis ſeu negativis habeantur. Cave tamen intellexeris particulas fiNI­tas. Particulæ finitæ non ſunt momenta, ſed quantitates ipſæ ex momentis genitæ. Intelligenda ſunt principia jamjam naſcentia fi­nitarum magnitudinum. Neque enim ſpectatur in hoc Lemmate magnitudo momentorum, ſed prima naſcentium proportio. Eo­dem recidit ſi loco momentorum uſurpentur vel velocitates incre­mentorum ac decrementorum, (quas etiam motus, mutationes & fluxiones quantitatum nominare licet) vel finitæ quævis quanti­tates velocitatibus hiſce proportionales. Lateris autem cujuſque generantis Coefficiens eſt quantitas, quæ oritur applicando GeNI­tam ad hoc latus.

Igitur ſenſus Lemmatis eſt, ut, ſi quantitatum quarumcunque perpetuo motu creſcentium vel decreſcentium A, B, C, &c. mo­menta, vel mutationum velocitates dicantur a, b, c,&c. momentum vel mutatio geniti rectanguli AB fuerit aB+bA, & geniti con­tenti ABC momentum fuerit aBC+bAC+cAB: & genitarum dignitatum A3, A3, A4, A1/2, A1/3, A1/3, A2/3, A-1, A-2, & A-1/2 momenta

2aA, 3aA2, 4aA3, 1/2aA-1/2, 3/2aA1/2, 1/3aA-2/3, 2/3aA-1/3, -aA-2, -2aA-3, & -1/2aA-1/2 reſpective. Et generaliter, ut dignitatis cujuſcunque An/m momentum fuerit n/m aA(n-m/m). Item ut Genitæ A2B momentum fuerit 2aAB+bA2; & Genitæ A3B4C2 momen­tum 3aA2B4C2+4bA3B3C2+2cA3B4C; & Genitæ (A3/B2) ſi­ve A3B-2 momentum 3aA2B-2-2bA3B-3: & ſic in cæteris. Demonſtratur vero Lemma in hunc modum.

LIBER SECUNDUS.

Cas.1. Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum AB, ubi de lateribus A & B deerant momentorum dimidia 1/2a& 1/2b,fuit A-1/2ain B-1/2b,ſeu AB-1/2aB-1/2bA+1/4ab; & quam pri­mum latera A & B alteris momentorum dimidiis aucta ſunt, eva­dit A+1/2ain B+1/2bſeu AB+1/2aB+1/2bA+1/4ab.De hoc rectan­gulo ſubducatur rectangulum prius, & manebit exceſſus aB+bA. Igitur laterum incrementis totis a& bgeneratur rectanguli incre­mentum aB+bA. Q.E.D.

Cas.2. Ponatur AB ſemper æquale G, & contenti ABC ſeu GC momentum (per Cas. 1.) erit gC+cG, id eſt (ſi pro G & gſcribantur AB & aB+bA) aBC+bAC+cAB. Et par eſt ra­tio contenti ſub lateribus quotcunque. Q.E.D.

Cas.3. Ponantur latera A, B, C ſibi mutuo ſemper æqualia; & ipſius A2, id eſt rectanguli AB, momentum aB+bA erit 2aA, ip­ſius autem A3, id eſt contenti ABC, momentum aBC+bAC +cAB erit 3aA2. Et eodem argumento momentum dignitatis cujuſcunque An eſt naAn-1. Q.E.D.

Cas.4. Unde cum 1/A in A ſit 1, momentum ipſius 1/A ductum in A, una cum 1/A ducto in aerit momentum ipſius 1, id eſt, NI­hil. Proinde momentum ipſius 1/A ſeu ipſius A-1 eſt (-a/A2). Et ge­neraliter cum (1/An) in An ſit 1, momentum ipſius (1/An) ductum in Anuna cum (1/An) in naAn-1 erit nihil. Et propterea momentum ip­ſius (1/An) ſeu A-n erit-(na/An+1). q.ED.

DE MOTU CORPORUM

Cas.5. Et cum A1/2 in A1/2 ſit A, momentum ipſius A1/2 ductum in 2A1/2 erit a,per Cas. 3: ideoque momentum ipſius A1/2 erit (a/2A 1/2) ſive 1/2aA-1/2. Et generaliter ſi ponatur Am/n æquale B, erit Am æ­quale Bn, ideoque maAm-1 æquale nbBn-1, & maA-1 æqua­le nbB-1 ſeu nbA-m/n, adeoque m/n aA(m-n/n) æquale b,id eſt, æquale momento ipſius Am/n, Q.E.D.

Cas.6. Igitur Genitæ cujuſeunque AmBn momentum eſt mo­mentum ipſius Am ductum in Bn, una cum momento ipſius Bn du­cto in Am, id eſt maAm-1Bn+nbBn-1Am; idque ſive dignita­tum indices m& nſint integri numeri vel fracti, ſive affirmati­vi vel negativi. Et par eſt ratio contenti ſub pluribus dignitati­bus. Q.E.D.

Corol.1. Hinc in continue proportionalibus, ſi terminus unus datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multiplicati per numerum intervallorum inter ipſos & terminum datum. Sunto A, B, C, D, E, F continue proportionales; & ſi detur terminus C, momenta reliquorum terminorum erunt inter ſe ut-2A, -B, D, 2E, 3F.

Corol.2. Et ſi in quatuor proportionalibus duæ mediæ dentur, momenta extremarum erunt ut eædem extremæ. Idem intelligen­dum eſt de lateribus rectanguli cujuſcunQ.E.D.ti.

Corol.3. Et ſi ſumma vel differentia duorum quadratorum detur, momenta laterum erunt reciproce ut latera.

Scholium.

In literis quæ mihi cum Geometra peritiſſimo G.G. Leibnitioan­nis abhinc decem intercedebant, cum ſignificarem me compotem eſſe methodi determinandi Maximas & Minimas, ducendi Tangen­tes, & ſimilia peragendi, quæ in terminis ſurdis æque ac in ratio­nalibus procederet, & literis tranſpoſitis hanc ſententiam involven-tibus [Data Æquatione quotcunque Fluentes quantitates invelven-te, Fluxiones invenire, & vice verſa] eandem celarem: reſcripſit Vir Clariſſimus ſe quoQ.E.I. ejuſmodi methodum incidiſſe, & me­thodum ſuam communicavit a mea vix abludentem præterquam in verborum & notarum formulis, & Idea generationis quantitatum. Utriuſque fundamentum continetur in hoc Lemmate.

LIBER SECUNDUS.

PROPOSITIO VIII. THEOREMA VI.

Si corpus in Medio uniformi, Gravitate uniformiter agente, recta aſcendat vel deſcendat, & ſpatium totum deſcriptum diſtingua­tur in partes æquales, inque principiis ſingularum partium (addendo reſiſtentiam Medii ad vim gravitatis, quando cor­pus aſcendit, vel ſubducendo ipſam quando corpus deſcendit) colligantur vires abſolutæ; dico quod vires illæ abſolutæ ſunt in progreſſione Geometrica.

Exponatur enim vis gravitatis per datam lineam AC; reſiſten­tia per lineam indefinitam AK; vis abſoluta in deſcenſu corporis per differentiam KC; velocitas corporis per lineam AP(quæ ſit media proportionalis inter AK& AC,ideoQ.E.I. ſubduplicata ratione reſiſtentiæ;) incrementum reſiſtentiæ data temporis particu­la factum per lineolam KL,& contemporaneum velocitatis incre­mentum per lineolam PQ; & centro CAſymptotis rectangulis CA, CHdeſcribatur Hyperbola quævis BNS,erectis perpendi­culis AB, KN, LO, PR, QSoccurrens in B, N, O, R, S.Quo­niam AKeſt ut APq,erit hujus momentum KLut illius mo­mentum 2APQ,id eſt, ut APin KC.Nam velocitatis incre­mentum PQ,(per motus Leg.11.) proportionale eſt vi generanti KC.Componatur ratio ipſius KLcum ratione ipſius KN,& fiet rect­angulum KLXKNut APXKCXKN; hoc eſt, ob datum rect­angulum KCXKN,ut AP.Atqui areæ Hyperbolicæ KNOLad rectangulum KLXKNratio ultima, ubi coeunt puncta K& L,eſt æqualitatis. Ergo area illa Hyperbolica evaneſcens eſt ut AP.Componitur igitur area tota Hyperbolica ABOLex particulis KNOLvelocitati APſemper proportionalibus, & propterea ſpatio velocitate iſta deſcripto proportionalis eſt. Dividatur jam area illa in partes æquales ABMI, IMNK, KNOL,&c. & vi-res abſolutæ AC, IC, KC, LC,&c. erunt in progreſſione Geo­metrica. Q.E.D.Et ſimili argumento, in aſcenſu corporis, ſu­mendo, ad contrariam partem puncti A,æquales areas ABmi, imnk, knol,&c. conſtabit quod vires abſolutæ AC, iC, kC, lC,&c. ſunt continue proportionales. Ideoque ſi ſpatia omnia in aſcenſu & deſcenſu capiantur æqualia; omnes vires abſolutæ lC, kC, iC, AC, IC, KC, LC,&c. erunt continue proportionales. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Hinc ſi ſpatium deſcriptum exponatur per aream Hy­perbolicam ABNK; exponi poſſunt vis gravitatis, velocitas cor­poris & reſiſtentia Medii per lineas AC, AP& AKreſpective; & vice verſa.

Corol.2. Et velocitatis maximæ, quam corpus in infinitum deſcen­dendo poteſt unquam acquirere, exponens eſt linea AC.

Corol.3. Igitur ſi in data aliqua velocitate cognoſcatur reſiſten­tia Medii, invenietur velocitas maxima, ſumendo ipſam ad veloci-tatem illam datam in ſubduplicata ratione, quam habet vis Gravi­tatis ad Medii reſiſtentiam illam cognitam.

LIBER SECUMDUS.

PROPOSITIO IX. THEOREMA VII.

Poſitis jam demonſtratis, dico quod ſi Tangentes angulorum ſecto ris Circularis & ſectoris Hyperbolici ſumantur velocitatibus proportionales, exiſtente radio juſtæ magnitudinis: erit tempus omne aſcenſus futuri ut ſector Circuli, & tempus omne deſcen­ſus præteriti ut ſector Hyperbolæ.

Rectæ AC,qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis & æ­qualis ducatur AD.Centro Dſemidiametro ADdeſcribatur tum Circuli quadrans AtE,tum Hyperbola rectangula AVZaxem habens AX,verticem principalem A& Aſymptoton DC.Jun­gantur Dp, DP,& erit ſector Circularis AtDut tempus aſcenſus omnis futuri; & ſector Hyperbolicus ATDut tempus deſcenſus omnis præteriti. Si modo ſectorum Tangentes Ap, APſint ut velocitates.

Cas.1. Agatur enim Dvqabſcindens ſectoris ADt& trian­guli ADpmomenta, ſeu particulas quam minimas ſimul deſcrip­tas tDv& pDqueCum particulæ illæ, ob angulum commu­nem D,ſunt in duplicata ratione laterum, erit particula tDvut (qDp/pDquad). Sed pDquad.eſt ADquad+Apquad.id eſt, ADquad+ADXAkſeu ADXCk; & qDpeſt 1/2 ADXpqueErgo ſectoris particula tDveſt ut (pq/Ck), id eſt, ut velocitatis de­crementum quam minimum pqdirecte & vis illa Ckquæ velo­citatem diminuit inverſe, atque adeo ut particula temporis decre­mento reſpondens. Et componendo fit ſumma particularum om­nium tDvin ſectore ADt,ut ſumma particularum temporis ſingulis velocitatis decreſcentis Apparticulis amiſſis pqreſpon­dentium, uſQ.E.D.m velocitas illa in nihilum diminuta eva­nuerit; hoc eſt, ſector totus ADteſt ut aſcenſus totius futuri tempus. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

Cas.2. Agatur DQVabſcindens tum ſectoris DAV,tum tri­anguli DAQparticulas quam minimas TDV& PDQ; & e­runt hæ particulæ ad invicem ut DTQad DPqueid eſt (ſi TX& APparallelæ ſint) ut DXquead DAquevel TXquead APque& diviſim ut DXq-TXqad DAq-APqueSed ex natura Hyperbolæ DXq-TXqeſt ADq,& per Hypotheſin APqeſt ADXAK.Ergo particulæ ſunt ad invicem ut ADqad

ADq-ADXAK; id eſt, ut ADad AD-AKſeu ACad CK:ideoque ſectoris particula TDVeſt (PDQXAC/CK), atque adeo ob datas AC& AD,ut (PQ/CK), id eſt, ut incrementum velocitatis directe utque vis generans incrementum inverſe, atque adeo ut par­ticula temporis incremento reſpondens. Et componendo ſit ſum ma particularum temporis, quibus omnes velocitatis APparticulæ PQgenerantur, ut ſumma particularum ſectoris ATD,id eſt,

tempus totum ut ſector totus. Q.E.D.

LIBER SECUNDUS.

Corol.1. Hinc ſi ABæquetur quartæ parti ipſius AC,ſpatium quod corpus tempore quovis cadendo deſcribit, erit ad ſpatium quod corpus velocitate maxima AC,eodem tempore uniformiter progrediendo deſcribere poteſt, ut area ABNK,qua ſpatium cadendo deſcriptum exponitur, ad aream ATDqua tempus ex­ponitur. Nam cum ſit ACad APut APad AK,erit (per Corol. 1, Lem. 11 hujus) LKad PQut 2AKad AP,hoc eſt, ut 2APad AC,& inde LKad 1/2PQut APad (1/4ACvel) AB; eſt & KNad (ACvel) ADut ABad CK; itaque ex æquo LKNad DPQut APad CK.Sed erat DPQad DTVut CKad AC.Ergo rurſus ex æquo LKNeſt ad DTVut APad AC; hoc eſt, ut velocitas corporis cadentis ad veloci­tatem maximam quam corpus cadendo poteſt acquirere. Cum igitur arearum ABNK& ATDmomenta LKN& DTVſunt ut velocitates, erunt arearum illarum partes omnes ſimul genitæ ut ſpatia ſimul deſcripta, ideoque areæ totæ ab initio genitæ ABNK& ATDut ſpatia tota ab initio deſcenſus de­ſcripta. Q.E.D.

Corol.2. Idem conſequitur etiam de ſpatio quod in aſcenſu de­ſcribitur. Nimirum quod ſpatium illud omne ſit ad ſpatium, uNI­formi cum velocitate ACeodem tempore deſcriptum, ut eſt area ABnkad ſectorem ADt.

Corol.3. Velocitas corporis tempore ATDcadentis eſt ad ve­locitatem, quam eodem tempore in ſpatio non reſiſtente acquire­ret, ut triangulum APDad ſectorem Hyperbolicum ATD.Nam velocitas in Medio non reſiſtente foret ut tempus ATD,& in Medio reſiſtente eſt ut AP,id eſt, ut triangulum APD.Et velocitates illæ initio deſcenſus æquantur inter ſe, perinde ut areæ illæ ATD, APD.

Corol.4. Eodem argumento velocitas in aſcenſu eſt ad velocita­tem, qua corpus eodem tempore in ſpatio non reſiſtente omnem ſuum aſcendendi motum amittere poſſet, ut triangulum ApDad ſectorem Circularem AtD; ſive ut recta Apad arcum At.

Corol.5. Eſt igitur tempus quo corpus in Medio reſiſtente caden­do velocitatem APacquirit, ad tempus quo velocitatem maximam ACin ſpatio non reſiſtente cadendo acquirere poſſet, ut ſector ADTad triangulum ADC: & tempus, quo velocitatem Apin Medio reſiſtente aſcendendo poſſit amittere, ad tempus quo velo­citatem eandem in ſpatio non reſiſtente aſcendendo poſſet amit­tere, ut arcus Atad ejus tangentem Ap.

DE MOTU CORPORUM

Corol.6. Hinc ex dato tempore datur ſpatium aſcenſu vel de­ſcenſu deſcriptum. Nam corporis in infinitum deſcendentis datur velocitas maxima, per Corol. 2, & 3, Theor. VI, Lib. 11; indeque datur tempus quo corpus velocitatem illam in ſpatio non reſiſtente cadendo poſſet acquirere. Et ſumendo Sectorem ADTvel ADtad triangulum ADCin ratione temporis dati ad tempus modo inventum; dabitur tum velocitas APvel Ap,tum area ABNKvel ABnk,quæ eſt ad ſectorem ADTvel ADtut ſpatium quæ­ſitum ad ſpatium quod tempore dato, cum velocitate illa maxima jam ante inventa, uniformiter deſcribi poteſt.

Corol.7. Et regrediendo, ex dato aſcenſus vel deſcenſus ſpatio ABnkvel ABNK,dabitur tempus ADtvel ADT.

PROPOSITIO X. PROBLEMA III.

Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum Horizontis, ſitque reſiſtentia ut Medii denſitas & quadratum velocitatis conjunctim: requiritur tum Medii denſitas in locis ſingulis, quæ faciat ut corpus in data quavis linea curva moveatur, tum corporis velocitas & Medii reſiſtentia in locis ſingulis.

Sit PQplanum illud pla­

no Schematis perpendicu­lare; PFHQlinea curva plano huic occurrens in punctis P& que G, H, I, Kloca quatuor corporis in hac curva ab Fad Qpergentis; & GB, HC, ID, KEor­dinatæ quatuor parallelæ ab his punctis ad horizontem demiſſæ & lineæ horizontali PQad puncta B, C, D, Einſiſten­tes; & ſint BC, CD, DEdiſtantiæ Ordinatarum inter ſe æqua­les. A punctis G& Hducantur rectæ GL, HNcurvam tan­gentes in G& H,& Ordinatis CH, DIſurſum productis occur­rentes in L& N,& compleatur parallelogrammum HCDM.Et tempora quibus corpus deſcribit arcus GH, HI,erunt in ſubduplicata ratione altitudinum LH, NIquas corpus tempo­ribus illis deſcribere poſſet, a tangentibus cadendo: & velocitates erunt ut longitudines deſcriptæ GH, HIdirecte & tempora in­verſe. Exponantur tempora per T & t,& velocitates per (GH/T) & (HI/t): & decrementum velocitatis tempore tfactum ex­ponetur per (GH/T)-(HI/t). Hoc decrementum oritur a reſiſtentia corpus retardante & gravitate corpus accelerante. Gravitas in corpore cadente & ſpatium NIcadendo deſcribente, generat ve­locitatem qua duplum illud ſpatium eodem tempore deſcribi po­tuiſſet (ut Galilæusdemonſtravit) id eſt, velocitatem (2NI/t): at in corpore arcum HIdeſcribente, auget arcum illum ſola longi­tudine HI-HNſeu (MIXNI/HI), ideoque generat tantum velo­citatem (2MIXNI/tXHI). Addatur hæc velocitas ad decrementum prædictum, & habebitur decrementum velocitatis ex reſiſtentia ſola oriundum, nempe (GH/T)-(HI/t)+(2MIXNI/tXHI).Proindeque cum gravitas eodem tempore in corpore cadente generet velocitatem (2NI/t); Reſiſtentia erit ad Gravitatem ut (GH/T)-(HI/t)+(2MIXNI/tXHI)ad (2NI/t), ſive ut (tXGH/T)-HI+(2MIXNI/HI)ad 2NI.

LIBER SECUNDUS

Jam pro abſciſſis CB, CD, CEſcribantur -o, o,20. Pro Ordinata CHſcribatur P, & pro MIſcribatur ſeries quælibet Qo+Roo+So3+&c. Et ſeriei termini omnes poſt primum, nempe Roo+So3+&c. erunt NI,& Ordinatæ DI, EK,& BGerunt P-Qo-Roo-So3-&c, P-2Qo-4Roo-8So3-&c, & P+Qo-Roo+So3-&c. reſpective. Et quadrando diffe­rentias Ordinatarum BG-CH& CH-DI,& ad quadrata pro­deuntia addendo quadrata ipſarum BC, CD,habebuntur arcuum GH, HIquadrata oo+QQoo+2QRo3+&c, & oo+QQoo+2QRo+&c. Quorum radices o√1+QQ-(QRoo/√1+QQ), & o√1+QQ+(QRoo/√1+QQ) ſunt arcus GH& HI.Præterea ſi ab Ordinata CHſubducatur ſemiſumma Ordinatarum BGac DI,& ab Ordinata DIſubducatur ſemiſumma Ordinatarum CH& EK,manebunt arcuum GI& HKſagittæ Roo& Roo+3So3. Et hæ ſunt lineolis LH& NIproportionales, adeoQ.E.I. du­plicata ratione temporum infinite parvorum T & t,& inde ratio t/T eſt √(R+3So/R) ſeu (R+3/2So/R): & (tXGH/T)-HI+(2MIXNI/HI),ſubſtituendo ipſorum t/T, GH, HI, MI& NIvalores jam in­ventos, evadit (3Soo/2R)√1+Qq. Et cum 2NIſit 2Roo,Re­ſiſtentia jam erit ad Gravitatem ut (3Soo/2R)√1+QQ ad 2Roo,id eſt, ut 3S√1+QQ ad 4RR.

DE MOTU CORPORUM

Velocitas autem ea eſt quacum corpus de loco quovis H,ſe­cundum tangentem HNegrediens, in Parabola diametrum HC& latus rectum (HNq/NI) ſeu (1+QQ/R) habente, deinceps in vacuo moveri poteſt.

Et reſiſtentia eſt ut Medii denſitas & quadratum velocitatis conjunctim, & propterea Medii denſitas eſt ut reſiſtentia directe & quadratum velocitatis inverſe, id eſt, ut (3S√1+QQ/4RR) directe & (1+QQ/R) inverſe, hoc eſt, ut (S/R√1+QQ). q.EI.

Corol.1. Si tangens HNproducatur utrinQ.E.D.nec occurrat Ordinatæ cuilibet AFin T: erit (HT/AC) æqualis √1+QQ, adeo­Q.E.I. ſuperioribus pro √1+QQ ſcribi poteſt. Qua ratione Reſiſtentia erit ad Gravitatem ut 3SXHTad 4RRXAC,Velo­citas erit ut (HT/AC√R), & Medii denſitas erit ut (SXAC/RXHT).

Corol.2. Et hinc, ſi Curva linea PFHQdefiniatur per rela­tionem inter baſem ſeu abſciſſam AC& ordinatim applicatam CH,(ut moris eſt) & valor ordinatim applicatæ reſolvatur in ſe­riem convergentem: Problema per primos ſeriei terminos expe­dite ſolvetur, ut in exemplis ſequentibus.

LIBER SECUNDUS.

Exempl.1. Sit Linea PFHQSemicirculus ſuper diametro PQdeſcriptus, & requiratur Medii denſitas quæ faciat ut Projectile in hac linea moveatur.

Biſecetur diameter PQin A,dic AQ n, AC a, CH e,& CD o: & erit DIqſeu AQq-ADq=nn-aa-2ao-oo,ſeu ee-2ao-oo,& radice per methodum noſtram extracta, fiet DI=e-(ao/e)-(oo/2e)-(aaoo/2e3)-(ao3/2e3)-(a3o3/2e3)-&c. Hic ſcribatur nnpro ee+aa,& evadet DI=e-(ao/e)-(nnoo/2e3)-(anno3/2e3)-&c.

Hujuſmodi ſeries diſtinguo in terminos ſucceſſivos in hunc mo­dum. Terminum primum appello in quo quantitas infinite par­va onon extat; ſecundum in quo quantitas illa eſt unius dimen­ſionis, tertium in quo extat

duarum, quartum in quo trium eſt, & ſic in infiNI­tum. Et primus terminus qui hic eſt e,denotabit ſem­per longitudinem Ordinatæ CHinſiſtentis ad initium indefinitæ quantitatis o; ſe­cundus terminus qui hic eſt (ao/e), denotabit differentiam inter CH& DN,id eſt, lineolam MNquæ abſcinditur com­plendo parallelogrammum HCDM,atque adeo poſitionem tan­gentis HNſemper determinat: ut in hoc caſu capiendo MNad HMut eſt (ao/e) ad o,ſeu aad e.Terminus tertius qui hic eſt (nnoo/2e3) deſignabit lineolam INquæ jacet inter tangentem & cur­vam, adeoQ.E.D.terminat angulum contactus IHNſeu curvatu­ram quam curva linea habet in H.Si lineola illa INfinitæ eſt magnitudinis, deſignabitur per terminum tertium una cum ſe­quentibus in infinitum. At ſi lineola illa minuatur in infinitum, termini ſubſequentes evadent infinite minores tertio, ideoque neg­ligi poſſunt. Terminus quartus determinat variationem curva­turæ, quintus variationem variationis, & ſic deinceps. Unde obi­ter patet uſus non contemnendus harum Serierum in ſolutione Problematum quæ pendent a tangentibus & curvatura curvarum.

DE MOTU CORPORUM

Conferatur jam ſeries e-(ao/e)-(nnoo/2e3)-(anno3/2e5)-&c, cum ſerie P-Qo-Roo-So3-&c. & perinde pro P, Q, R & S ſcribatur e, (a/e), (nn/2e3)& (ann/2e5), & pro √1+QQ ſcribatur √1+(aa/ee) ſeu n/e,& prodibit Medii denſitas ut (a/ne), hoc eſt, (ob datam n,) ut a/e,ſeu (AC/CH), id eſt, ut tangentis longitudo illa HTquæ ad ſemidiame­trum AFipſi PQnormaliter inſiſtentem terminatur: & reſiſten­tia erit ad gravitatem ut 3aad 2n,id eſt, ut 3 ACad Circuli diametrum PQ: velocitas autem erit ut √CH.Quare ſi corpus juſta cum velocitate ſecundum lineam ipſi PQparallelam exeat de loco F,& Medii denſitas in ſingulis locis Hſit ut longi­tudo tangentis HT,& reſiſtentia etiam in loco aliquo Hſit ad vim gravitatis ut 3 ACad PQ,corpus illud deſcribet Circuli quadrantem FHQ. Q.E.I.

At ſi corpus idem de loco P,ſecundum lineam ipſi PQper­pendicularem egrederetur, & in arcu ſemicirculi PFQmoveri inciperet, ſumenda eſſet ACſeu aad contrarias partes centri A,& propterea ſignum ejus mutandum eſſet & ſcribendum -apro +a.Quo pacto prodiret Medii denſitas ut -a/e. Negativam autem denſitatem, hoc eſt, quæ motus corporum accelerat, Na­tura non admittit: & propterea naturaliter fieri non poteſt, ut corpus aſcendendo a Pdeſcribat Circuli quadrantem PF.Ad hunc effectum deberet corpus a Medio impellente accelerari, non a reſiſtente impediri.

Exempl.2. Sit linea PFHQParabola, axem habens AFho­rizonti PQperpendicularem, & requiratur Medii denſitas quæ faciat ut Projectile in ipſa moveatur.

Ex natura Parabolæ, rectangulum PDQæquale eſt rectan­gulo ſub ordinata DI& recta aliqua data: hoc eſt, ſi dicantur recta illa b, PC a, PQ c, CH e& CD o; rectangulum a+oin c-a-oſeu ac-aa-2ao+co-ooæquale eſt rectangulo bin DI,adeoque DIæquale (ac-aa/b)+(c-2a/b)o-(oo/b).Jam ſcri­bendus eſſet hujus ſeriei ſecundus terminus (c-2a/b)opro Qo,ter­tius item terminus (oo/b) pro Roo.Cum vero plures non ſint ter­mini, debebit quarti coefficiens S evaneſcere, & propterea quan­titas (S/R√1+QQ) cui Medii denſitas proportionalis eſt, nihil erit. Nulla igitur Medii denſitate movebitur Projectile in Para­bola, uti olim demonſtravit Galilæus, Q.E.I.

LIBER SECUNDUS.

Exempl.3. Sit linea AGKHyperbola, Aſymptoton habens NXplano horizontali AKperpendicularem; & quæratur Medii denſitas quæ faciat ut Projectile moveatur in hac linea.

Sit MXAſymptotos altera, ordinatim applicatæ DGproductæ occurrens in V,& ex natura Hyperbolæ, rectangulum XVin VGdabitur. Datur autem ratio DNad VX,& propterea datur etiam rectangulum DNin VG.Sit illud bb; & completo parallelogrammo DNXZ,dicatur BN a, BD o, NX c,& ratio data VZad ZXvel DNponatur eſſe m/n. Et erit DNæqualis a-o, VGæqualis (bb/a-o), VZæqualis m/n—a-o,& GDſeu NX-VZ-VGæ­qualis c-m/n a+m/n o-(bb/a-o).Reſolvatur terminus (bb/a-o) in ſeriem convergentem (bb/a)+(bb/aa)o+(bb/a3)oo+(bb/a4)o3&c. & ſiet GDæqua­lis c-m/n a-(bb/a)+m/n o-(bb/aa)o-(bb/a3)o2-(bb/a4)o3&c. Hujus ſeriei termi­nus ſecundus m/no-(bb/aa)ouſurpandus eſt pro Qo,tertius cum ſigno mutato (bb/a3)o2pro Ro2, & quartus cum ſigno etiam mutato (bb/a4)o1pro So3, eorumque coefficientes m/n-(bb/aa), (bb/a3)& (bb/a4) ſcribendæ ſunt in Regula ſuperiore, pro Q, R & S. Quo facto prodit medii denſitas ut ((bb/a4)/(bb/a3)√1+(mm/nn)-(2mbb/naa)+(b4/a4)) ſeu (1/√aa+(mm/nn)aa-(2mbb/n)+(b4/aa)) id eſt, ſi in VZſumatur VYæqualis VG,ut (1/XY). Namque aa& (mm/nn)aa-(2mbb/n)+(b4/aa)ſunt ipſarum XZ& ZYquadrata. Reſiſten­tia autem invenitur in ratione ad gravitatem quam habet 3 XYad

2YG& velocitas ea eſt quacum corpus in Parabola pergeret verti­cem G,diametrum DG,& latus rectum (XYquad./VG) habente. Pona­tur itaque quod Medii denſitates in locis ſingulis Gſint reciproce ut diſtantiæ XY,quodque reſiſtentia in loco aliquo Gſit ad gra­vitatem ut 3XYad 2YG; & corpus de loco A,juſta cum veloci­tate emiſſum, deſcribet Hyperbolam illam AGK. Q.E.I.

DE MOTU CORPORUM

Exempl.4. Ponatur indefinite, quod linea AGKHyperbola ſit, centro XAſymptotis MX, NXea lege deſcripta, ut conſtructo rectangulo XZDNcujus latus ZDſecet Hyperbolam in G& Aſymptoton ejus in V,fuerit VGreciproce ut ipſius ZXvel DNdignitas aliqua DNn,cujus index eſt numerus n: & quæratur Medii denſitas, qua Projectile progrediatur in hac curva.

LIBER SECUNDUS.

Pro BN, BD, NXſcribantur A, O, C reſpective, ſitque VZad XZvel DNut dad e,& VGæqualis (bb/DNn), & erit DNæqua­lis A-O, VG=(bb/—nA-O), VZ=d/e—A-O, & GDſeu NX-VZ -VGæqualis C-d/eA+d/eO-(bb/—nA-O). Reſolvatur terminus ille (bb/—nA-O) in ſeriem infinitam (bb/An)+(nbb/An+1)O+(nn+n/2An+2)bbO2+ (n3+3nn+2n/6An+3)bbO3 &c. ac fiet GDæqualis C-d/eA-(bb/An)+ d/eO-(nbb/An+1)O-(+nn+n/2An+2)bbO2-(+n3+3nn+2n/6An+3)bbO3 &c. Hu­jus ſeriei terminus ſecundus d/eO-(nbb/An+1)O uſurpandus eſt pro Qo,tertius (nn+n/2An+2)bbO2 pro Ro2, quartus (n3+3nn+2n/6An+3)bbO3 pro So3. Et inde Medii denſitas (S/R√1+QQ), in loco quovis G,fit (n+2/3√A2+(dd/ee)A2-(2dnbb/eAn)A+(nnb4/A2n)), adeoque ſi in VZcapiatur VYæqualis nXVG,denſitas illa eſt reciproce ut XY.Sunt enim A2& (dd/ee)A3-(2dnbb/eAn)A+(nnb4/A2n) ipſarum XZ& ZYquadrata. Reſiſten­tia autem in eodem loco Gfit ad gravitatem ut 3S in (XY/A) ad 4RR, id eſt, XYad (2nn+2n/n+2)VG.Et velocitas ibidem ea ipſa eſt qua­cum corpus projectum in Parabola pergeret, verticem G,diametrum GD& latus rectum (1+QQ/R) ſeu (2XYquad./—nn+ninVG) habente. Q.E.I.

DE MOTU CORPORUM

Scholium.

Eadem ratione qua prodiit denſitas Medii ut (SXAC/RXHT) in Co­rollario primo, ſi reſiſtentia ponatur ut velocitatis V dignitas quæ­libet Vn prodibit denſitas Medii ut (S/R(4-n/2))X(—AC/HT|n-1.)

Et propterea ſi Curva inveniri poteſt ea lege ut data fuerit ratio (S/R(4-n/2)) ad (—HT/AC|n-1), vel (S2/R4-n) ad (—1+QQ|n-1): corpus move­bitur in hac Curva in uniformi Medio cum reſiſtentia quæ ſit ut velocitatis dignitas Vn. Sed redeamus ad Curvas ſimpliciores.

Quoniam motus non fit in Parabola niſi in Medio non reſiſten­te, in Hyperbolis vero hic deſcriptis fit per reſiſtentiam perpetuam; perſpicuum eſt quod Linea, quam projectile in Medio uniformiter reſiſtente deſcribit, propius accedit ad Hyperbolas haſce quam ad Parabolam. Eſt utique linea illa Hyperbolici generis, ſed quæ circa verticem magis diſtat ab Aſymptotis; in partibus a vertice remotioribus propius ad ipſas accedit quam pro ratione Hyper­bolarum quas hic deſcripſi. Tanta vero non eſt inter has & illam differentia, quin illius loco poſſint hæ in rebus practicis non in­commode adhiberi. Et utiliores forſan futuræ ſunt hæ, quam Hyperbola magis accurata & ſimul magis compoſita. Ipſæ vero in uſum ſic deducentur.

Compleatur parallelogrammum XYGT,& recta GTtanget Hyperbolam in G,ideoQ.E.D.nſitas Medii in Geſt reciproce ut tangens GT,& velocitas ibidem ut √(GTq/GV), reſiſtentia autem ad vim gravitatis ut GTad (2nn+2n/n+2)GV.

Proinde ſi corpus de loco Aſecundum rectam AHprojectum deſcribat Hyperbolam AGK,& AHproducta occurrat Aſymp­toto MXin H,actaque AIeidem parallela occurrat alteri Aſymp­toto MXin I: erit Medii denſitas in Areciproce ut AH,& cor­poris velocitas ut √(AHq/AI), ac reſiſtentia ibidem ad gravitatem ut AHad (2nn+2n/n+2) in AI.Unde prodeunt ſequentes Regulæ.

Reg.1. Si ſervetur tum Medii denſitas in A,tum velocitas qua­cum corpus projicitur, & mutetur angulus NAH; manebunt lon­gitudines AH, AI, HX.Ideoque ſi longitudines illæ in aliquo caſu inveniantur, Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo NAHexpedite determinari poteſt.

LIBER SECUNDUS.

Reg.2. Si ſervetur tum angulus NAH,tum Medii denſitas in A,& mutetur velocitas quacum corpus projicitur; ſervabitur longitudo AH,& mutabitur AIin duplicata ratione velocitatis reciproce.

Reg.3. Si tam angulus NAHquam corporis velocitas in A,gravitaſque acceleratrix ſervetur, & proportio reſiſtentiæ in Aad

gravitatem motricem augeatur in ratione quacunque: augebitur proportio AHad AIin eadem ratione, manente Parabolæ late­re recto, eique proportionali longitudine (AHq/AI); & propterea mi­nuetur AHin eadem ratione, & AIminuetur in ratione illa du­plicata. Augetur vero proportio reſiſtentiæ ad pondus, ubi vel gra­vitas ſpecifica ſub æquali magnitudine fit minor, vel Medii denſi­tas major, vel reſiſtentia, ex magnitudine diminuta, diminuitur in minore ratione quam pondus.

DE MOTU CORPORUM

Reg.4. Quoniam denſitas Medii prope verticem Hyperbolæ major eſt quam in loco A,ut habeatur denſitas mediocris, debet ratio minimæ tangentium GTad tangentem AHinveniri, & denſitas in Aangeri in ratione paudo majore quam ſemiſummæ harum tangentium ad minimam tangentium GT.

Reg.5. Si dantur longitudines AH, AI,& deſcribenda ſit Figu­ra AGK:produc HNad X,ut ſit HXæqualis facto ſub n+1 & AI; centroque X& Aſymptotis MX, NXper punctum Adeſcriba­tur Hyperbola, ea lege, ut ſit AIad quamvis VGut XVnad XIn.

Reg.6. Quo major eſt numerus n,eo magis accuratæ ſunt hæ Hyperbolæ in aſcenſu corporis ab A,& minus accuratæ in ejus de­ſcenſu ad K; & contra. Hyperbola Conica mediocrem rationem tenet, eſt que cæteris ſimplicior. Igitur ſi Hyperbola ſit hujus generis, & punctum K,ubi corpus projectum incidet in rectam quamvis ANper punctum Atranſeuntem, quæratur: occurrat producta ANAſymptotis MX, NXin M& N,& ſumatur NKipſi AMæqualis.

Reg.7. Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc Hyperbolam ex Phænomenis. Projiciantur corpora duo ſimilia & æqualia, eadem velocitate, in angulis diverſis HAK, hAk,inci­dantQ.E.I. planum Horizontis in K& k; & notetur proportio AKad Ak.Sit ea dad e.Tum erecto cujuſvis longitudinis perpen­diculo AI,aſſume utcunque longitudinem AHvel Ah,& inde collige graphice longitudines AK, Ak,per Reg. 6. Si ratio AKad Akſit eadem cum ratione dad e,longitudo AHrecte aſſump­ta fuit. Sin minus cape in recta infinita SMlongitudinem SMæqualem aſſumptæ AH,& erige perpendiculum MNæquale ra­tionum differentiæ (AK/Ak)-d/eductæ in rectam quamvis datam. Si­mili methodo ex aſſumptis pluribus longitudinibus AHinvenien­da ſunt plura puncta N,& per omnia a­

genda Curva linea regularis NNXN,ſe­cans rectam SMMMin X.Aſſumatur demum AHæqualie abſciſſæ SX& inde denuo inveniatur longitudo AK; & lon­gitudines, quæ ſint ad aſſumptam longitu­dinem AI& hanc ultimam AHut longitudo AKper experi­mentum cognita ad ultimo inventam longitudinem AK,erunt veræ illæ longitudines AI& AH,quas invenire oportuit. Hiſce vero datis dabitur & reſiſtentia Medii in loco A,quippe quæ ſit ad vim gravitatis ut AHad 2AI.Augenda eſt autem denſitas. Medii per Reg. 4; & reſiſtentia modo inventa, ſi in eadem ratione augeatur, fiet accuratior.

Reg.8. Inventis longitudinibus AH, HX; ſi jam deſideretur

poſitio rectæ AH,ſecundum quam Projectile, data illa cum veloci­tate emiſſum, incidit in punctum quodvis K:ad puncta A& Kerigantur rectæ AC, KFhorizonti perpendiculares, quarum ACdeorſum tendat, & æquetur ipſi AIſeu 1/2HX.Aſymptotis AK, KFdeſcribatur Hyperbola, cujus conjugata tranſeat per punctum C,centroque A& intervallo AHdeſcribatur Circulus ſecans Hy­perbolam illam in puncto H;& Projectile ſecundum rectam AHemiſſum incidet in punctum K. Q.E.I.Nam punctum H,ob datam longitudinem AH,locatur alicubi in Circulo deſcripto. A­gatur CHoccurrens ipſis AK& KF,illi in E,huic in F;& ob

parallelas CH, MX& æquales AC, AI,erit AEæqualis AM,& propterea etiam æqualis KN.Sed CEeſt ad AEut FHad KN,& propterea CE& FHæquantur. Incidit ergo punctum Hin Hyperbolam Aſymptotis AK, KFdeſcriptam, cujus conju­gata tranſit per punctum C,atque adeo reperitur in communi in­terſectione Hyperbolæ hujus & Circuli deſcripti. Q.E.D.No­tandum eſt autem quod hæc operatio perinde ſe habet, ſive recta AKNhorizonti parallela ſit, ſive ad horizontem in angulo quo­vis inclinata: quodque ex duabus interſectionibus H, Hduo pro­deunt anguli NAH, NAH; & quod in Praxi mechanica ſufficit Circulum ſemel deſcribere, deinde regulam interminatam CHita ap­plicare ad punctum C,ut ejus pars FH,Circulo & rectæ FKinterje­cta, æqualis ſit ejus parti CEinter punctum C& rectam AKſitæ.

LIBER SECUNDUS.

DE MOTU CORPORUM

Quæ de Hyperbolis dicta ſunt fa­

cile applicantur ad Parabolas. Nam ſi XAGKParabolam deſignet quam recta XVtangat in vertice X,ſintque ordinatim applicatæ IA, VGut quæ­libet abſciſſarum XI, XVdignitates XIn, XVn;agantur XT, GT, AH,quarum XTparallela ſit VG,& GT, AHParabolam tangant in G& A:& corpus de loco quovis A,ſecundum rectam AHproductam, juſta cum velocitate projectum, deſcribet hanc Parabolam, ſi modo denſitas Medii, in locis ſingulis G,ſit reciproce ut tangens GT.Velocitas autem in Gea erit quacum Projectile per­geret, in ſpatio non reſiſtente, in Parabola Conica verticem G,dia­metrum VGdeorſum productam, & latus rectum (2GTq./nn-nXVG) habente. Et reſiſtentia in Gerit ad vim gravitatis ut GTad (2nn-2n/n-2) VG.Unde ſi NAKlineam horizontalem deſignet, & manente tum denſitate Medii in A,tum velocitate quacum corpus projicitur, mutetur utcunque angulus NAH;manebunt longitu­dines AH, AI, HX,& inde datur Parabolæ vertex X,& poſitio rectæ XI,& ſumendo VGad IAut XVnad XIn,dantur om­nia Parabolæ puncta G,per quæ Projectile tranſibit.

LIBER SECUNDUS.

SECTIO III.

De Motu Corporum quibus reſiſtitur partim in ratione velocitatis, partim in ejuſdem ratione duplicata.

PROPOSITIO XI. THEOREMA VIII.

Si Corpori reſiſtitur partim in ratione velocitatis, partim in ve­locitatis ratione duplicata, & idem ſola vi inſita in Medio ſi­milari movetur, ſumantur autem tempora in progreſſione Arith­metica: quantitates velocitatibus reciproce proportionales, datâ quadam quantitate auctæ, erunt in progreſſione Geometrica.

Centro C,Aſymptotis rectan­

gulis CADd& CH,deſcribatur Hyperbola BEeS,& Aſympto­to CHparallelæ ſint AB, DE, de.In Aſymptoto CDdentur puncta A, G:Et ſi tempus ex­ponatur per aream Hyperbolicam ABEDuniformiter creſcentem; dico quod velocitas exponi poteſt per longitudinem DF,cujus reci­proca GDuna cum data CGcom­ponat longitudinem CDin progreſſione Geometrica creſcentem.

Sit enim areola DEeddatum temporis incrementum quam minimum, & erit Ddreciproce ut DE,adeoQ.E.D.recte ut CD.Ipſius autem (1/G-D) decrementum, quod (per hujus Lem. 11) eſt (Dd/GDq), erit ut (CD/GDq) ſeu (CG+GD/GDq), id eſt, ut (1/GD)+(CG/GDq). Igitur tempore ABEDperadditionem datarum particularum ED deuniformiter creſcente, decreſcit (1/GD) in eadem ratione cum veloci­tate. Nam decrementum velocitatis eſt ut reſiſtentia, hoc eſt (per Hypotheſin) ut ſumma duarum quantitatum, quarum una eſt ut velocitas, altera ut quadratum velocitatis: & ipſius (1/GD) decremen­tum eſt ut ſumma quantitatum (1/GD) & (CG/GDq), quarum prior eſt ipſa (1/GD), & poſterior (CG/GDq) eſt ut (1/GDq). Proinde (1/GD), ob an­alogum decrementum, eſt ut velocitas. Et ſi quantitas GD,ipſi (1/GD) reciproce proportionalis, quantitate data CGaugeatur; ſumma CD,tempore ABEDuniformiter creſcente, creſcet in progreſſione Geometrica. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Igitur. ſi, datis punctis A, G,exponatur tempus per aream Hyperbolicam ABED,exponi poteſt velocitas per ipſius GDreciprocam (1/GD).

Corol.2. Sumendo autem GAad GDut velocitatis reciproca ſub initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujuſvis ABED,invenietur punctum G.Eo autem invento, velocitas ex dato quo­vis alio tempore inveniri poteſt.

PROPOSITIO XII. THEOREMA IX.

Iiſdem poſitis, dico quod ſi ſpatia deſcripta ſumantur in progreſſio­ne Arithmetica, velocitates data quadam quantitate auctæ e­runt in progreſſione Geometrica.

In Aſymptoto CDdetur pun­

ctum R,& erecto perpendiculo RS,quod occurrat Hyperbolæ in S,ex­ponatur deſcriptum ſpatium per a­ream Hyperbolicam RSED; & velocitas erit ut longitudo GD,quæ cum data CGcomponit longi­tudinem CD,in progreſſione Geo­metrica decreſcentem, interea dum ſpatium RSEDaugetur in Arith­metica.

Etenim ob datum ſpatii incrementum EDde,lineola Dd,quæ decrementum eſt ipſius GD,erit reciproce ut ED,adeoQ.E.D.­recte ut CD,hoc eſt, ut ſumma ejuſdom GD& longitudinis datæ CG.Sed velocitatis decrementum, tempore ſibi reciproce pro­portionali, quo data ſpatii particula D de Edeſcribitur, eſt ut re­ſiſtentia & tempus conjunctim, id eſt, directe ut ſumma duarum quantitatum, quarum una eſt ut velocitas, altera ut velocitatis qua­dratum, & inverſe ut velocitas; adeoQ.E.D.recte ut ſumma duarum quantitatum, quarum una datur, altera eſt ut velocitas. Igitur de­crementum tam velocitatis quam lineæ GD,eſt ut quantitas data & quantitas decreſcens conjunctim, & propter analoga decremen­ta, analogæ ſemper crunt quantitates decreſcentes: nimirum veloci­tas & linea G.D. Q.E.D.

LIBER SECUNDUS.

Corol.1. Igitur ſi velocitas exponatur per longitudinem GD,ſpa­tium deſcriptum erit ut area Hyperbolica DESR.

Corol.2. Et ſi utcunque aſſumatur punctum R,invenietur pun­ctum G,capiendo GRad GD,ut eſt velocitas ſub initio ad ve­locitatem poſt ſpatium quodvis RSEDdeſcriptum. Invento au­tem puncto G,datur ſpatium ex data velocitate, & contra.

Corol.3. Unde cum, per Prop. XI. detur velocitas ex dato tem­pore, & per hanc Propoſitionem detur ſpatium ex data velocitate; dabitur ſpatium ex dato tempore: & contra.

PROPOSITIO XIII. THEOREMA X.

Poſito quod Corpus ab uniformi gravitate deorſum attractum recta: aſcendit vel deſcendit, & quod eidem reſiſtitur partim in ra­tione velocitatis, partim in ejuſdem ratione duplicata: dico quod ſi Circuli & Hyperbolæ diametris parallelæ rectæ per conjuga­tarum diametrorum terminos ducantur, & velocitates ſint ut ſegmenta quædam parallelarum a dato puncto ducta, Tempora erunt ut arearum Sectores, rectis a centro ad ſegmentorum ter­minos ductis abſciſſi: & contra.

Caſ.1. Ponamus primo quod corpus aſcendit, centroque D& ſemidiametro quovis DBdeſcribatur Circuli quadrans BETF,& per ſemidiametri DBterminum Bagatur infinita BAP,ſemidia­metro DFparallela. In ea detur punctum A,& capiatur ſegmen­tum APvelocitati proportionale. Et cum reſiſtentiæ pars aliqua ſit ut velocitas & pars altera ut

velocitatis quadratum, fit re­ſiſtentia tota in Put AP quad+2 BAP.Jungantur DA, DPCirculum ſecantes in Eac T,& exponatur gravitas per DA quad,ita ut ſit gravitas ad reſiſtentiam in Put DAqad APq+2BAP:& tempus aſcenſus omnis ſuturi erit ut Circuli ſector EDTE.

DE MOTU CORPORUM

Agatur enim DVQ,ab­ſcindens & velocitatis APmomentum PQ,& Sectoris DETmomentum DTVda­to temporis momento reſpondens: & velocitatis decrementum il­lud PQerit ut ſumma virium gravitatis DAq& reſiſtentiæ APq+2BAP,id eſt (per Prop. 12, Lib. 2. Elem.) ut DPquad.Proinde area DPQ,ipſi PQproportionalis, eſt ut DP quad; & area DTV,(quæ eſt ad aream DPQut DTqad DPq) eſt ut datum DTQDecreſcit igitur area EDTuniformiter ad mo­dum temporis futuri, per ſubductionem datarum particularum DTV,& propterea tempori aſcenſus futuri proportionalis eſt. Q.E.D.

Caſ.2. Si veloci­

tas in aſcenſu cor­poris exponatur per longitudinem APut prius, & reſiſten­tia ponatur eſſe ut APq+2BAP,& ſi vis gravitatis mi­nor ſit quam quæ per DAqexponi poſ­ſit; capiatur BDe­jus longitudinis, ut ſit ABq-BDqgravitati proportio­nale, ſitque DFipſi DBperpendicularis & æqualis, & per verticem Fdeſcribatur Hy­perbola FTVEcujus ſemidiametri conjugatæ ſint DB& DF,quæque ſecet DAin E,& DP, DQin T& V; & crit tempus aſcenſus futuri ut Hyperbolæ ſector TDE.

Nam velocitatis decrementum PQ,in data temporis particula factum, eſt ut ſumma reſiſtentiæ APq+2BAP& gravitatis ABq-BDq,id eſt, ut BPq-BDq.Eſt autem area DTVad aream DPQut DTqad DPqadeoque, ſi ad DFdemitta­tur perpendiculum GT,ut GTqſeu GDq-DFqad BDqutque GDqad BPq& diviſim ut DFqad BPq-BDq.Quare cum area DPQſit ut PQ,id eſt, ut BPq-BDq; erit area DTVut datum DFq.Decreſcit igitur area EDTunifor­miter ſingulis temporis particulis æqualibus, per ſubductionem par­ticularum totidem datarum DTV,& propterea tempori propor­tionalis eſt. Q.E.D.

LIBER SECUNDUS.

Caſ.3. Sit APvelocitas in deſcenſu corporis, & APq+2BAPreſiſtentia, & BDq-ABqvis gravitatis, exiſtente angulo DBArecto. Et ſi centro D,vertice

principali B,deſcribatur Hy­perbola rectangula BETVſecans productas DA, DP& DQin E, T& V; erit Hy­perbolæ hujus ſector DETut tempus deſcenſus.

Nam velocitatis incrementum PQ,eique proportionalis area DPQ,eſt ut exceſſus gravita­tis ſupra reſiſtentiam, id eſt, ut BDq-ABq-2BAP-APqſeu BDq-BPq.Et area DTVeſt ad aream DPQut DTqad DPq,adeoque ut GTqſeu GDq-BDqad BPqutque GDqad BDq& diviſim ut BDqad BDq-BPq.Quare cum area DPQſit ut BDq-BPq,erit area DTVut datum BDq.Creſcit igitur area EDTuniformiter ſingulis temporis particulis æquali­bus, per additionem totidem datarum particularum DTV,& prop­terea tempori deſcenſus proportionalis eſt. Q.E.D.

Corol.Igitur velocitas APeſt ad velocitatem quam corpus tem­pore EDT,in ſpatio non reſiſtente, aſcendendo amittere vel de­ſcendendo acquirere poſſet, ut area trianguli DAPad aream ſe­ctoris centro D,radio DA,angulo ADTdeſcripti; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas, in Medio non reſiſtente, tem-pori atque adeo ſectori huic proportionalis eſt; in Medio reſiſten­te eſt ut triangulum; & in Medio utroque, ubi quam minima eſt, ac­cedit ad rationem æqualitatis, pro more ſectoris & trianguli.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XIV. THEOREMA XI.

Iiſdem poſitis, dico quod ſpatium aſcenſu vel deſcenſu deſcriptum, eſt ut differentia areæ per quam tempus exponitur, & areæ cu­juſdam alterius quæ augetur vel diminuitur in progreſſione A­rithmetica; ſi vires ex reſiſtentia & gravitate compoſitæ ſu­mantur in progreſſione Geometrica.

Capiatur AC(in Fig. tribus ultimis,) gravitati, & AKreſi­ſtentiæ proportionalis. Capiantur autem ad eaſdem partes pun­cti Aſi corpus deſcendit, aliter ad contrarias. Erigatur Abquæ ſit ad DBut DBqad 4 BAC:& area AbNKaugebitur vel diminuetur in progreſſione Arithmetica, dum vires CKin pro­greſſione Geometrica ſumuntur. Dico igitur quod diſtantia cor­poris ab ejus altitudine maxima ſit ut exceſſus areæ AbNKſupra aream DET.

Nam cum AKſit ut reſiſtentia, id eſt, ut APq+2BAP: aſſumatur data quævis quantitas Z, & ponatur AKæqualis (APq+2BAP/Z); & (per hujus Lemma 11.) erit ipſius AKmo­mentum KLæquale (2APQ+2BAXPQ/Z) ſeu (2BPQ/Z), & areæ AbNKmomentum KLONæquale (2BPQXLO/Z) ſeu (BPQXBD cub./2ZXCRXAB).

Caſ.1. Jam ſi corpus aſcendit, ſitque gravitas ut ABq+BDqexiſtente BETCirculo, (in Fig. Caſ. 1. Prop. XIII.) linea AC,quæ gravitati proportionalis eſt, erit (ABq+BDq/Z), & DPqſeu APq+2BAP+ABq+BDqerit AKXZ+ACXZ ſeu CKXZ; ideoque area DTVerit ad aream DPQut DTqvel DBqad CKXZ.

Caſ.2. Sin corpus aſcendit, & gravitas ſit ut ABq-BDqlinea AC(Fig. Caſ. 2. Prop. XIII) erit (ABq-BDq/Z), & DTqerit ad DPqut DFqſeu DBqad BPq-BDqſeu APq+ 2BAP+ABq-BDq,id eſt, ad AKXZ+ACXZ ſeu CKXZ. Ideoque area DTVerit ad aream DPQut DBqad CKXZ.

LIBER SECUNDUS.

Caſ.3. Et eodem argumento, ſi corpus deſcendit, & propterea gravitas ſit ut BDq-ABq,& linea AC(Fig. Caſ.3. Prop. præced.) æquetur (BDq-ABq/Z) erit area DTVad aream DPQut DBqad CKXZ: ut ſupra.

Cum igitur areæ illæ ſemper ſint in hac ratione; ſi pro area DTV,qua momentum temporis ſibimet ipſi ſemper æquale ex­ponitur, ſcribatur determinatum quodvis rectangulum, puta BDXm,erit area DPQ,id eſt, 1/2BDXPQ; ad BDXmut CKXZ ad BDqueAtQ.E.I.de fit PQXBD cub.æquale 2BDXmXCKXZ, & areæ AbNKmomentum KLONſu­perius inventum, fit (BPXBDXm/AB). Auferatur areæ DETmo­mentum DTVſeu BDXm,& reſtabit (APXBDXm/AB). Eſt igi­tur differentia momentorum, id eſt, momentum differentiæ area­rum, æqualis (APXBDXm/AB); & propterea (ob datum (BDXm/AB)) ut velocitas AP,id eſt, ut momentum ſpatii quod corpus aſcen­dendo vel deſcendendo deſcribit. IdeoQ.E.D.fferentia arearum & ſpatium illud, proportionalibus momentis creſcentia vel decre­ſcentia & ſimul incipientia vel ſimul evaneſcentia, ſunt proportio­nalia. que E. D.

Corol.Igitur ſi longitudo aliqua V ſumatur in ea ratione ad du­plum longitudinis M, quæ oritur applicando aream DETad BD,quam habet linea DAad lineam DE; ſpatium quod corpus aſcen­ſu vel deſcenſu toto in Medio reſiſtente deſcribit, erit ad ſpatium quod in Medio non reſiſtente eodem tempore deſcribere poſſet, ut arearum illarum differentia ad (BDXV2/4AB), ideoque ex dato tem­pore datur. Nam ſpatium in Medio non reſiſtente eſt in dupli­cata ratione temporis, ſive ut V2, & ob datas BD& AB,ut (BDXV2/4AB). Momentum hujus areæ ſive huic æqualis (DAqXBDXM2/DEqXAB) eſt ad momentum differentiæ arearum DET& AbNK,ut (DAqXBDX2MXm/DEqXAB) ad (APXBDXm/AB), hoc eſt, ut (DAqXBDXM/DEq) ad 1/2BDXAP,ſive ut (DAq/DEq) in DETad DAP; adeoque ubi areæ DET& DAPquam minimæ ſunt, in ratione æqualitatis. Æqualis igitur eſt area quam minima (BDXV2/4AB) differentiæ quam minimæ arearum DET& AbNK.Unde cum ſpatia in Me­dio utroque, in principio deſcenſus vel fine aſcenſus ſimul deſcrip­ta accedunt ad æqualitatem, adeoque tunc ſunt ad invicem ut area (BDXV2/4AB) & arearum DET& AbNKdifferentia; ob eorum ana­loga incrementa neceſſe eſt ut in æqualibus quibuſcunque tempo­ribus ſint ad invicem ut area illa (BDXV2/4AB) & arearum DET& AbNKdifferentia. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

SECTIO IV.

LIBER SECUNDUS.

De Corporum Circulari Motu in Mediis reſiſtentibus.

LEMMA III.

SitPQRr Spiralis quæ ſecet radios omnesSP, SQ, SR, &c. in æqualibus angulis. Agatur rectaPT quæ tangat eandem in puncto quovisP, ſecetque radiumSQ inT; & ad Spiralem erectis perpendiculisPO, QO concurrentibus inO, jungaturSO. Dico quod ſi punctaP &Q accedant ad invicem & co­eant, angulusPSO evadet rectus, & ultima ratio rectanguliTQX2PS adPQquad. erit ratio æqualitatis.

Etenim de angulis rectis OPQ, OQRſubducantur anguli æquales SPQ, SQR,& manebunt anguli æquales OPS, OQS.Ergo Circulus qui tranſit

per puncta O, S, Ptranſ­ibit etiam per punctum queCoeant puncta P& Q,& hic Circulus in loco co­itus PQtanget Spiralem, adeoque perpendiculariter ſecabit rectam OP.Fiet igitur OPdiameter Cir­culi hujus, & angulus OSPin ſemicirculo re­ctus. que E. D.

Ad OPdemittantur perpendicula QD, SE,& linearum ratio­nes ultimæ erunt hujuſmodi: TQad PDut TSvel PSad PE,ſeu 2POad 2PS.Item PDad PQut PQad 2PO.Et ex æquo perturbate TQad PQut PQad 2PS.Unde fit PQqæquale TQX2PS. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XV. THEOREMA XII.

Si Medii denſitas in locis ſingulis ſit reciproce ut diſtantia loeorum a centro immobili, ſitque vis centripeta in duplicata ratione den­ſitatis: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quæ radios omnes a centro illo ductos interſecat in angulo dato.

Ponantur quæ in ſuperiore Lemmate, & producatur SQad V,ut ſit SVæqualis SP.Tempore quovis, in Medio reſiſtente, de­ſcribat corpus arcum quam minimum PQ,& tempore duplo ar­cum quam minimum PR; & decrementa horum arcuum ex reſi­ſtentia oriunda, ſive defe­

ctus ab arcubus qui in Me­dio non reſiſtente iiſdem temporibus deſcriberen­tur, erunt ad invicem ut quadrata temporum in quibus generantur: Eſt itaQ.E.D.crementum arcus PQpars quarta decre­menti arcus PR.Unde etiam, ſi areæ PSQæ­qualis capiatur area QSr,erit decrementum arcus PQæquale dimidio lineolæ Rr; adeoque vis reſiſtentiæ & vis cen­tripeta ſunt ad invicem ut lineolæ 1/2Rr& TQquas ſimul generant. Quoniam vis centripeta, qua corpus urgetur in P,eſt reciproce ut SPq,& (per Lem. X. Lib. 1,) lineola TQ,quæ vi illa generatur, eſt in ratione compoſita ex ratione hujus vis & ratione duplicata tem­poris quo arcus PQdeſcribitur, (Nam reſiſtentiam in hoc caſu, ut infinite minorem quam vis centripeta, negligo) erit TQXSPqid eſt (per Lemma noviſſimum) 1/2PQqXSP,in ratione duplicata temporis, adeoque tempus eſt ut PQX√SP; & corporis veloci­tas, qua arcus PQillo tempore deſcribitur, ut (PQ/PQX√SP) ſeu (1/√SP), hoc eſt, in ſubduplicata ratione ipſius SPreciproce. Et ſi­mili argumento, velocitas qua arcus QRdeſcribitur, eſt in ſub-duplicata ratione ipſius SQreciproce. Sunt autem arcus illi PQ& QRut velocitates deſcriptrices ad invicem, id eſt, in ſubdupli­cata ratione SQad SP,ſive ut SQad √SPXSQ; & ob æqua­les angulos SPQ, SQr& æquales areas PSQ, QSr,eſt ar­cus PQad arcum Qrut SQad SP.Sumantur proportionalium conſequentium differentiæ, & fiet arcus PQad arcum Rrut SQad SP-√SPXSQ,ſeu 1/2VQ; nam punctis P& Qcoeunti­bus, ratio ultima SP-√SPXSQad 1/2VQſit æqualitatis. Quoniam decrementum arcus PQ,ex reſiſtentia oriundum, ſive hujus duplum Rr,eſt ut reſiſtentia & quadratum temporis con­junctim; erit reſiſtentia ut (Rr/PQqXSP). Erat autem PQad Rr,ut SQad 1/2VQ,& inde (Rr/PQqXSP) fit ut (1/2VQ/PQXSPXSQ) ſive ut (1/2OS/OPXSPq). Namque punctis P& Qcoeuntibus, SP& SQcoincidunt, & angulus PVQfit rectus; & ob ſimilia triangula PVQ, PSO,fit PQad 1/2VQut OPad 1/2OS.Eſt igitur (OS/OPXSPq) ut reſiſtentia, id eſt, in ratione denſitatis Medii in P& ratione duplicata velocitatis conjunctim. Auferatur duplicata ratio velocitatis, nempe ratio (1/SP), & manebit Medii denſitas in Put (OS/OPXSP). Detur Spiralis, & ob datam rationem OSad OP,denſitas Medii in Perit ut (1/SP). In Medio igitur cujus denſitas eſt reciproce ut diſtantia a centro SP,corpus gyrari po­teſt in hac Spirali. que E. D.

LIBER SECUNDUS.

Corol.1. Velocitas in loco quovis Pea ſemper eſt quacum cor­pus in Medio non reſiſtente gyrari poteſt in Circulo, ad eandem a centro diſtantiam SP.

Corol.2. Medii denſitas, ſi datur diſtantia SP,eſt ut (OS/OP), ſin diſtantia illa non datur, ut (OS/OPXSP). Et inde Spiralis ad quam­libet Medii denſitatem aptari poteſt.

Corol.3. Vis reſiſtentiæ in loco quovis P,eſt ad vim centripe-tam in eodem loco ut 1/2OSad OP.Nam vires illæ ſunt ad invi­vicem ut 1/4Rr& TQſive ut (1/4VQXPQ/SQ) & (1/2PQq/SP), hoc eſt, ut 1/2VQ& PQ,ſeu 1/2OS& OP.Data igitur Spirali datur proportio re­ſiſtentiæ ad vim centripetam, & viceverſa ex data illa proportione datur Spiralis.

DE MOTU CORPORUM

Corol.4. Corpus itaque gyrari nequit in hac Spirali, niſi ubi vis reſiſtentiæ minor eſt quam dimidium vis centripetæ. Fiat reſiſten­tia æqualis dimidio vis centripetæ & Spiralis conveniet cum linea recta PS,inque hac recta corpus deſcendet ad centrum, ea cum velocitate quæ ſit ad velocitatem qua probavimus in ſuperioribus in caſu Parabolæ (Theor. X, Lib. I,) deſcenſum in Medio non reſi­ſtente fieri, in ſubduplicata ratione unitatis ad numerum binarium. Et tempora deſcenſus hic erunt reciproce ut velocitates, atque adeo dantur.

Corol.5. Et quoniam in æqualibus a centro diſtantiis velocitas eadem eſt in Spirali PQRatQ.E.I. recta SP,& longitudo Spi­ralis ad longitudinem rectæ PSeſt in data ratione, nempe in ratione OPad OS; tempus deſcenſus in Spirali erit ad tem­pus deſcenſus in recta SPin eadem illa data ratione, proinde­Q.E.D.tur.

Corol.6. Si centro Sintervallis duobus quibuſcunQ.E.D.tis deſcri­bantur duo Circuli; & manentibus hiſce Circulis, mutetur utcun­que angulus quem Spiralis continet cum radio PS:numerus revo­lutionum quas corpus intra Circulorum circumferentias, pergendo in Spirali a circumferentia ad circumferentiam, complere poteſt, eſt ut (PS/OS), ſive ut Tangens anguli illius quem Spiralis continet cum radio PS; tempus vero revolutionum earundem ut (OP/OS), id eſt, ut Secans anguli ejuſdem, vel etiam reciproce ut Medii denſitas.

Corol.7. Si corpus, in Medio cujus denſitas eſt reciproce ut di­ſtantia loeorum a centro, revolutionem in Curva quacunque AEBcirca centrum illud fecerit, & Radium primum ASin eodem an­gulo ſecuerit in Bquo prius in A,idque cum velocitate quæ fue­rit ad velocitatem ſuam primam in Areciproce in ſubduplica­ta ratione diſtantiarum a centro (id eſt, ut ASad mediam pro­portionalem inter AS& BS) corpus illud perget innume­ras conſimiles revolutiones BFC, CGD&c. facere, & interſe-ctionibus diſtinguet Radium ASin partes AS, BS, CS, DS,&c. continue proportionales. Revolutionum vero tempora erunt ut

perimetri Orbitarum AEB, BFC, CGD,&c. directe, & veloci­tates in principiis A, B, C,inverſe; id eſt, ut AS1/2, BS1/2, CS1/2. At­que tempus totum, quo corpus perveniet ad centrum, erit ad tem­pus revolutionis primæ, ut ſumma omnium continue proportiona­lium AS1/2, BS1/2, CS1/2 pergentium in infinitum, ad terminum pri­mum AS1/2; id eſt, ut terminus ille primus AS1/2 ad differentiam du­orum primorum AS1/2-BS1/2, ſive ut 2/3ASad ABquam proxime. Unde tempus illud totum expedite invenitur.

LIBER SECUNDUS.

Corol.8. Ex his etiam præter propter colligere licet motus cor­porum in Mediis, quorum denſitas aut uniformis eſt, aut aliam quamcunque legem aſſignatam obſervat. Centro S,intervallis con­tinue proportionalibus SA, SB, SC,&c. deſcribe Circulos quot­cunque, & ſtatue tempus revolutionum inter perimetros duorum quorumvis ex his Circulis, in Medio de quo egimus, eſſe ad tempus revolutionum inter eoſdem in Medio propoſito, ut Medii propo­ſiti denſitas mediocris inter hos Circulos ad Medii, de quo egimus, denſitatem mediocrem inter eoſdem quam proxime: Sed & in ea­dem quoque ratione eſſe Secantem anguli quo Spiralis præfinita, in Medio de quo egimus, ſecat radium AS,ad Secantem anguli quo Spiralis nova ſecat radium eundem in Medio propoſito: At­que etiam ut ſunt eorundem angulorum Tangentes ita eſſe numeros revolutionum omnium inter Circulos eoſdem duos quam proxime. Si hæc fiant paſſim inter Circulos binos, continuabitur motus per Circulos omnes. Atque hoc pacto haud difficulter imaginari poſſi­mus quibus modis ac temporibus corpora in Medio quocunque re­gulari gyrari debebunt.

DE MOTU CORPORUM

Corol.9. Et quamvis motus excentrici in Spiralibus ad formam Ovalium accedentibus peragantur; tamen concipiendo Spiralium illarum ſingulas revolutiones iiſdem ab invicem intervallis diſtare, iiſdemque gradibus ad centrum accedere cum Spirali ſuperius de­ſcripta, intelligemus etiam quomodo motus corporum in hujuſmo­di Spiralibus peragantur.

PROPOSITIO XVI. THEOREMA XIII.

Si Medii denſitas in locis ſingulis ſit reciproce ut diſtantia loco­rum a centro immobili, ſitque vis centripeta reciproce ut dig­nitas quælibet ejuſdem diſtantiæ: dico quod corpus gyrari potest in Spirali quæ radios omnes a centro illo ductos interſecat in angulo dato.

Demonſtratur eadem methodo cum Propoſitione ſuperiore. Nam ſi vis centripeta in Pſit reciproce ut diſtantiæ SPdignitas quælibet SPn+1 cujus index eſt n+1; colligetur ut ſupra, quod tempus quo corpus deſcribit arcum quemvis PQerit ut PQXSP1/2n, & reſiſtentia in Put (Rr/PQqXSPn), ſive ut (—1-1/2nXVQ/PQXSPnXSQ), adeoque ut (—1-1/2nXOS/OPXSPn+1), hoc eſt, ob datum (—1-1/2nXOS/OP), recipro­ce ut SPn+1.Et propterea, cum velocitas ſit reciproce ut SP1/2n, denſitas in Perit reciproce ut SP.

Corol.1. Reſiſtentia eſt ad vim centripetam, ut —1-1/2nXOSad OP.

Corol.2. Si vis centripeta ſit reciproce ut SPcub,erit 1-1/2n=o; adeoque reſiſtentia & denſitas Medii nulla erit, ut in Propoſitione nona Libri primi.

Corol.3. Si vis centripeta ſit reciproce ut dignitas aliqua radii SPcujus index eſt major numero 3, reſiſtentia affirmativa in nega­tivam mutabitur.

Scholium.

LIBER SECUNDUS.

Cæterum hæc Propoſitio & ſuperiores, quæ ad Media inæquali­ter denſa ſpectant, intelligendæ ſunt de motu corporum adeo par­vorum, ut Medii ex uno corporis latere major denſitas quam ex al­tero non conſideranda veniat. Reſiſtentiam quoque cæteris paribus denſitati proportionalem eſſe ſuppono. Unde in Mediis quorum vis reſiſtendi non eſt ut denſitas, debet denſitas eo uſque augeri vel diminui, ut reſiſtentiæ vel tollatur exceſſus vel defectus ſuppleatur.

PROPOSITIO XVII. PROBLEMA IV.

Invenire & vim centripetam & Medii reſiſtentiam qua corpus in data Spirali, data velocitatis Lege, revolvi potest.

Sit Spiralis illa PQR.Ex velocitate qua corpus percurrit ar­cum quam minimum PQdabitur tempus, & ex altitudine TQ,quæ eſt ut vis centripeta & quadratum temporis, dabitur vis. De­inde ex arearum, æqualibus temporum particulis confectarum PSQ& QSR,differentia RSr,dabitur corporis retardatio, & ex re­tardatione invenietur reſiſtentia ac denſitas Medii.

PROPOSITIO XVIII. PROBLEMA V.

Data Lege vis centripetæ, invenire Medii denſitatem in locis ſin­gulis, qua corpus datam Spiralem deſcribet.

Ex vi centripeta invenienda eſt velocitas in locis ſingulis, de­inde ex velocitatis retardatione quærenda Medii denſitas: ut in Propoſitione ſuperiore.

Methodum vero tractandi hæc Problemata aperui in hujus Pro­poſitione decima, & Lemmate ſecundo; & Lectorem in hujuſmodi perplexis diſquiſitionibus diutius detinere nolo. Addenda jam ſunt aliqua de viribus corporum ad progrediendum, deQ.E.D.nſi­tate & reſiſtentia Mediorum, in quibus motus hactenus expoſiti & his affines peraguntur.

DE MOTU CORPORUM

SECTIO V.

De Denſitate & Compreſſione Fluidorum, deque Hydroſtatica.

Definitio Fluidi.

Fluidum eſt corpus omne cujus partes cedunt vi cuicunQ.E.I.latæ, & cedendo facile moventur inter ſe.

PROPOSITIO XIX. THEOREMA XIV.

Fluidi homogenei & immoti quod in vaſe quocunQ.E.I.moto clau­ditur & undique comprimitur, partes omnes (ſepoſita conden­ſationis, gravitatis & virium omnium centripetarum conſide­ratione) æqualiter premuntur undique, & abſque omni motu a preſſione illa orto permanent in locis ſuis.

Caſ.1. In vaſe ſphærico ABCclaudatur & uniformiter com­primatur fluidum undique: dico quod ejuſdem pars nulla ex illa preſſione movebitur. Nam ſi pars aliqua D

moveatur, neceſſe eſt ut omnes hujuſmodi partes, ad eandem a centro diſtantiam un­dique conſiſtentes, ſimili motu ſimul move­antur; atque hoc adeo quia ſimilis & æ­qualis eſt omnium preſſio, & motus omnis excluſus ſupponitur, niſi qui a preſſione il­la oriatur. Atqui non poſſunt omnes ad centrum propius accedere, niſi fluidum ad centrum condenſetur; contra Hypotheſin. Non poſſunt longius ab eo recedere, niſi fluidum ad circumferentiam condenſetur; etiam contra Hypotheſin. Non poſſunt ſervata ſua a centro di­ſtantia moveri in plagam quamcunque, quia pari ratione movebun­tur in plagam contrariam; in plagas autem contrarias non poteſt pars eadem, eodem tempore, moveri. Ergo fluidi pars nulla de lo­co ſuo movebitur. que E. D.

LIBER SECUNDUS

Caſ.2. Dico jam quod fluidi hujus partes omnes ſphæricæ æqua­liter premuntur undique: ſit enim EFpars ſphærica fluidi, & ſi hæc undique non premitur æqualiter, augeatur preſſio minor, uſ­Q.E.D.m ipſa undique prematur æqualiter; & partes ejus, per Caſum primum, permanebunt in locis ſuis. Sed ante auctam preſ­ſionem permanebunt in locis ſuis, per Caſum eundum primum, & additione preſſionis novæ movebuntur de locis ſuis, per definitio­nem Fluidi. Quæ duo repugnant. Ergo falſo dicebatur quod Sphæ­ra EFnon undique premebatur æqualiter. que E. D.

Caſ.3. Dico præterea quod diverſarum partium ſphæricarum æ­qualis ſit preſſio. Nam partes ſphæricæ contiguæ ſe mutuo pre­munt æqualiter in puncto contactus, per motus Legem III. Sed &, per Caſum ſecundum, undique premuntur eadem vi. Partes igitur duæ quævis ſphæricæ non contiguæ, quia pars ſphærica intermedia tangere poteſt utramque, prementur eadem vi. que E. D.

Caſ.4. Dico jam quod fluidi partes omnes ubique premuntur æqualiter. Nam partes duæ quævis tangi poſſunt a partibus Sphæ­ricis in punctis quibuſcunque, & ibi partes illas Sphæricas æquali­ter premunt, per Caſum 3. & viciſſim ab illis æqualiter premuntur, per Motus Legem tertiam. que E. D.

Caſ.5. Cum igitur fluidi pars quælibet GHIin fluido reliquo tanquam in vaſe claudatur, & undique prematur æqualiter, partes autem ejus ſe mutuo æqualiter premant & quieſcant inter ſe; ma­nifeſtum eſt quod Fluidi cujuſcunque GHI,quod undique premi­tur æqualiter, partes omnes ſe mutuo premunt æqualiter, & qui­eſcunt inter ſe. que E. D.

Caſ.6. Igitur ſi Fluidum illud in vaſe non rigido claudatur, & undique non prematur æqualiter, cedet idem preſſioni fortiori, per Definitionem Fluiditatis.

Caſ.7. IdeoQ.E.I. vaſe rigido Fluidum non ſuſtinebit preſſio­nem fortiorem ex uno latere quam ex alio, ſed eidem cedet, idque in momento temporis, quia latus vaſis rigidum non perſequitur li­quorem cedentem. Cedendo autem urgebit latus oppoſitum, & ſic preſſio undique ad æqualitatem verget. Et quoniam Fluidum, quam primum a parte magis preſſa recedere conatur, inhibetur per reſiſtentiam vaſis ad latus oppoſitum; reducetur preſſio undique ad æqualitatem, in momento temporis, abſque motu locali: & ſub­inde partes fluidi, per Caſum quintum, ſe mutuo prement æqua­liter, & quieſcent inter ſe. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.Unde nec motus partium fluidi inter ſe, per preſſionem fluido ubivis in externa ſuperficie illatam, mutari poſſunt, niſi qua­tenus aut figura ſuperficiei alicubi mutatur, aut omnes fluidi partes intenſius vel remiſſius ſeſe premendo difficilius vel facilius labun­tur inter ſe.

PROPOSITIO XX. THEOREMA XV.

Si Fluidi Sphærici, & in æqualibus a centro diſtantiis homogenei, fundo Sphærico concentrico incumbentis partes ſingulæ verſus centrum totius gravitent; ſuſtinet fundum pondus Cylindri, cu­jus bafis æqualis est ſuperficiei fundi, & altitudo eadem quæ Fluidi incumbentis.

Sit DHMſuperficies ſundi, & AEI

ſuperficies ſuperior fluidi. Superficiebus ſphæricis innumeris BFK, CGLdiſtin­guatur fluidum in Orbes concentricos æ­qualiter craſſos; & concipe vim gravita­tis agere ſolummodo in ſuperficiem ſupe­riorem Orbis cujuſque, & æquales eſſe a­ctiones in æquales partes ſuperficierum om­nium. Premitur ergo ſuperficies ſuprema AEvi ſimplici gravitatis propriæ, qua & omnes Orbis ſupremi partes & ſuperficies ſecunda BFK(per Prop. XIX.) pro menſura ſua æqualiter pre­muntur. Premitur præterea ſuperficies ſecunda BFKvi propriæ gravitatis, quæ addita vi priori facit preſſionem duplam. Hac preſſione, pro menſura ſua, & inſuper vi propriæ gravitatis, id eſt preſſione tripla, urgetur ſuperficies tertia CGL.Et ſimiliter preſ­ſione quadrupla urgetur ſuperficies quarta, quintupla quinta, & ſic deinceps. Preſſio igitur qua ſuperficies unaquæque urgetur, non eſt ut quantitas ſolida fluidi incumbentis, ſed ut numerus Or­bium ad uſque ſummitatem fluidi; & æquatur gravitati Orbis infi­mi multiplicatæ per numerum Orbium: hoc eſt, gravitati ſolidi cu­jus ultima ratio ad Cylindrum præfinitum, (ſi modo Orbium au­geatur numerus & minuatur craſſitudo in infinitum, ſic ut actio gravitatis a ſuperficie infima ad ſupremam continua reddatur) fiet ratio æqualitatis. Suſtinet ergo ſuperficies infima pondus Cylindri præfiniti. que E. D.Et ſimili argumentatione patet Propoſitio,

ubi gravitas decreſcit in ratione quavis aſſignata diſtantiæ a centro, ut & ubi Fluidum ſurſum rarius eſt, deorſum denſius. Q.E.D.

LIBER SECUNDUS.

Corol.1. Igitur fundum non urgetur a toto fluidi incumbentis pondere, ſed eam ſolummodo ponderis partem ſuſtinet quæ in propoſitione deſcribitur; pondere reliquo a fluidi figura fornicata ſuſtentato.

Corol.2. In æqualibus autem a centro diſtantiis eadem ſemper eſt preſſionis quantitas, ſive ſuperficies preſſa ſit Horizonti parallela vel perpendicularis vel obliqua; ſive fluidum, a ſuperficie preſſa ſur­ſum continuatum, ſurgat perpendiculariter ſecundum lineam rectam, vel ſerpit oblique per tortas cavitates & canales, eaſque regulares vel maxime irregulares, amplas vel anguſtiſſimas. Hiſce circum­ſtantiis preſſionem nil mutari colligitur, applicando demonſtratio­nem Theorematis hujus ad Caſus ſingulos Fluidorum.

Corol.3. Eadem Demonſtratione colligitur etiam (per Prop. XIX) quod fluidi gravis partes nullum, ex preſſione ponderis incumben­tis, acquirunt motum inter ſe, ſi modo excludatur motus qui ex condenſatione oriatur.

Corol.4. Et propterea ſi aliud ejuſdem gravitatis ſpecificæ cor­pus, quod ſit condenſationis expers, ſubmergatur in hoc fluido, id ex preſſione ponderis incumbentis nullum acquiret motum: non deſcendet, non aſcendet, non cogetur figuram ſuam mutare. Si ſphæricum eſt manebit ſphæricum, non obſtante preſſione; ſi qua­dratum eſt manebit quadratum: idque ſive molle ſit, ſive fluidiſſi­mum; ſive fluido libere innatet, ſive fundo incumbat. Habet e­nim fluidi pars quælibet interna rationem corporis ſubmerſi, & par eſt ratio omnium ejuſdem magnitudinis, figuræ & gravitatis ſpeci­ficæ ſubmerſorum corporum. Si corpus ſubmerſum ſervato pon­dere liqueſceret & indueret formam fluidi; hoc, ſi prius aſcende­ret vel deſcenderet vel ex preſſione figuram novam indueret, etiam nunc aſcenderet vel deſcenderet vel figuram novam induere coge­retur: id adeo quia gravitas ejus cæteræque motuum cauſæ per­manent. Atqui, per Caſ. 5. Prop. XIX, jam quieſceret & figuram retineret. Ergo & prius.

Corol.5. Proinde corpus quod ſpecifice gravius eſt quam Flui­dum ſibi contiguum ſubſidebit, & quod ſpecifice levius eſt aſcen­det, motumque & figuræ mutationem conſequetur, quantum ex­ceſſus ille vel defectus gravitatis efficere poſſit. Namque exceſſus ille vel deſectus rationem habet impulſus, quo corpus, alias in æquilibrio cum fluidi partibus conſtitutum, urgetur; & comparari poteſt cum exceſſu vel defectu ponderis in lance alterutra libræ.

DE MOTU CORPORUM

Corol.6. Corporum igitur in fluidis conſtitutorum duplex eſt Gra­vitas: altera vera & abſoluta, altera apparens, vulgaris & compa­rativa. Gravitas abſoluta eſt vis tota qua corpus deorſum tendit: relativa & vulgaris eſt exceſſus gravitatis quo corpus magis tendit deorſum quam fluidum ambiens. Prioris generis Gravitate partes fluidorum & corporum omnium gravitant in locis ſuis: ideoque conjunctis ponderibus componunt pondus totius. Nam totum omne grave eſt, ut in vaſis liquorum plenis experiri licet; & pon­dus totius æquale eſt ponderibus omnium partium, ideoque ex iiſ­dem componitur. Alterius generis Gravitate corpora non gravi­tant in locis ſuis, id eſt, inter ſe collata non prægravant, ſed mu­tuos ad deſcendendum conatus impedientia permanent in locis ſuis, perinde ac ſi gravia non eſſent. Quæ in Aere ſunt & non prægravant, vulgus gravia non judicat. Quæ prægravant vulgus gravia judicat, quatenus ab Aeris pondere non ſuſtinentur. Pon­dera vulgi nihil aliud ſunt quam exceſſus verorum ponderum ſu­pra pondus Aeris. Unde & vulgo dicuntur levia, quæ ſunt mi­nus gravia, Aerique prægravanti cedendo ſuperiora petunt. Com­parative levia ſunt, non vere, quia deſcendunt in vacuo. Sic & in Aqua, corpora, quæ ob majorem vel minorem gravitatem de­ſcendunt vel aſcendunt, ſunt comparative & apparenter gravia vel levia, & eorum gravitas vel levitas comparativa & apparens eſt ex­ceſſus vel defectus quo vera eorum gravitas vel ſuperat gravita­tem aque vel ab ea ſuperatur. Quæ vero nec prægravando de­ſcendunt, nec prægravanti cedendo aſcendunt, etiamſi veris ſuis ponderibus adaugeant pondus totius, comparative tamen & in ſen­ſu vulgi non gravitant in aqua. Nam ſimilis eſt horum Caſuum Demonſtratio.

Corol.7. Quæ de gravitate demonſtrantur, obtinent in aliis qui­buſcunque viribus centripetis.

Corol.8. Proinde ſi Medium, in quo corpus aliquod movetur, urgeatur vel a gravitate propria, vel ab alia quacunque vi centri­peta, & corpus ab eadem vi urgeatur fortius: differentia virium eſt vis illa motrix, quam in præcedentibus Propoſitionibus ut vim centripetam conſideravimus. Sin corpus a vi illa urgeatur levius, differentia virium pro vi centrifuga haberi debet.

Corol.9. Cum autem fluida premendo corpora incluſa non mutent eorum Figuras externas, patet inſuper, per Corollarium Prop. XIX, quod non mutabunt ſitum partium internarum inter ſe: proindeque, ſi Animalia immergantur, & ſenſatio omnis a mo­tu partium oriatur; nec lædent corpora immerſa, nec ſenſatio­nem ullam excitabunt, niſi quatenus hæc corpora a compreſſione condenſari poſſunt. Et par eſt ratio cujuſcunque corporum Sy­ſtematis fluido comprimente circundati. Syſtematis partes omnes iiſdem agitabuntur motibus, ac ſi in vacuo conſtituerentur, ac ſo­lam retinerent gravitatem ſuam comparativam, niſi quatenus flui­dum vel motibus earum nonnihil reſiſtat, vel ad eaſdem compreſſi­one conglutinandas requiratur.

LIBER SECUNDUS.

PROPOSITIO XXI. THEOREMA XVI.

Sit Fluidi cujuſdam denſitas compreſſioni proportionalis, & partes ejus a vi centripeta diſtantiis ſuis a centro reciproce proportio­nali deorſum trabantur: dico quod, fi diſtantiæ illæ ſumantur continue proportionales, denſitates Fluidi in iiſdem diſtantiis e­runt etiam continue proportionales.

Deſignet ATVfundum Sphæricum cui fluidum incumbit, Scentrum, SA, SB, SC, SD, SE,&c. diſtantias continue propor­tionales. Erigantur perpendicula AH, BI, CK, DL, EM, &c.quæ ſint ut denſitates Medii in locis A, B, C, D, E; & ſpecificæ gravitates in iiſdem locis erunt ut (AH/AS), (BI/BS), (CK/CS),&c. vel, quod perinde eſt, ut (AH/AB), (BI/BC), (CK/CD),&c. Finge pri­

mum has gravitates uniformiter continuari ab Aad B,a Bad C,a Cad D,&c. factis per gradus decrementis in punctis B, C, D,&c. Et hæ gravitates ductæ in altitudines AB, BC, CD,&c. conficient preſſiones AH, BI, CK,quibus fundum ATV(juxta Theorema XV.) urgetur. Suſtinet ergo particula Apreſſiones omnes AH, BI, CK, DL,pergendo in infinitum; & particula Bpreſſiones omnes præter primam AH; & particula Comnes præter duas primas AH, BI; & ſic deinceps: adeoque parti­culæ primæ Adenſitas AHeſt ad particulæ ſecundæ Bdenſi-tatem BIut ſumma omnium AH+BI+CK+DL,in infiNI­tum, ad ſummam omnium BI+CK+DL,&c. Et BIden­ſitas ſecundæ B,eſt ad CKdenſitatem tertiæ C,ut ſumma om­nium BI+CK+DL,&c. ad ſummam omnium CK+DL,&c. Sunt igitur ſummæ illæ differentiis ſuis AH, BI, CK,&c. pro­portionales, atque adeo continue proportionales, per hujus Lem. I. proindeQ.E.D.fferentiæ AH, BI, CK,&c. ſummis proportionales, ſunt etiam continue proportionales. Quare cum denſitates in locis A, B, C,&c. ſint ut AH, BI, CK,&c. erunt etiam hæ continue propor­tionales. Pergatur per ſaltum, & (ex æquo) in diſtantiis SA, SC, SEcontinue proportionalibus, erunt denſitates AH, CK, EMcontinue proportionales. Et eodem argumento, in diſtantiis qui­buſvis continue proportionalibus SA, SD, SG,denſitates AH, DL, GOerunt continue proportionales. Coeant jam puncta A, B, C, D, E,&c. eo ut progreſſio gravitatum ſpecificarum a fundo Aad ſummitatem Fluidi continua reddatur, & in diſtantiis quibuſvis con­tinue proportionalibus SA, SD, SG,denſitates AH, DL, GO,ſemper exiſtentes continue proportionales, manebunt etiamnum continue proportionales. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.Hinc ſi detur denſitas Fluidi in duobus locis, puta A& E,colligi poteſt ejus denſitas

in alio quovis loco queCentro S,Aſymptotis rectangulis SQ, SX,deſcribatur Hyperbola ſe­cans perpendicula AH, EM, QTin a, e, q,ut & perpendicu­la HX, MY, TZ,ad Aſymp­toton SXdemiſſa, in h, m& t.Fiat area ZYmtZad aream da­tam YmhXut area data EeqQad aream datam EeaA; & li­nea Ztproducta abſcindet li­neam QTdenſitati proportio­nalem. Namque ſi lineæ SA, SE, SQſunt continue proportiona­les, erunt areæ EeqQ, EeaAæquales, & inde areæ his propor­tionales YmtZ, XhmYetiam æquales, & lineæ SX, SY, SZ,id eſt AH, EM, QTcontinue proportionales, ut oportet. Et ſi lineæ SA, SE, SQobtinent alium quemvis ordinem in ſerie continue proportionalium, lineæ AH, EM, QT,ob proportionales areas Hyperbolicas, obtinebunt eundem ordinem in alia ſerie quantita­tum continue proportionalium.

LIBER SECUNDUS.

PROPOSITIO XXII. THEOREMA XVII.

Sit Fluidi cujuſdam denſitas compreſſioni proportionalis, & partes ejus a gravitate quadratis diſtantiarum ſuarum a centro reci­proce proportionali deorſum trabantur: dico quod, ſi diſtantiæ ſumantur in progreſſione Muſica, denſitates Fluidi in bis di­ſtantiis erunt in progreſſione Geometrica.

Deſignet Scentrum, & SA, SB, SC, SD, SEdiſtantias in pro­greſſione Geometrica. Erigantur perpendicula AH, BI, CK,&c. quæ ſint ut Fluidi denſitates in locis A, B, C, D, E,&c. & ipſius

gravitates ſpecificæ in iiſdem locis erunt (AH/SAq), (BI/SBq), (CK/SCq),&c. Fin­ge has gravitates uniformiter continuari, primam ab Aad B,ſe­cundam a Bad C,tertiam a Cad D,&c. Et hæ ductæ in altitu­dines AB, BC, CD, DE,&c. vel, quod perinde eſt, in diſtantias SA, SB, SC,&c. altitudinibus illis proportionales, conficient ex­ponentes preſſionum (AH/SA), (BI/SB), (CK/SC),&c. Quare cum denſitates ſint ut harum preſſionum ſummæ, differentiæ denſitatum AH-BI, BI-CK,&c. erunt ut ſummarum differentiæ (AH/SA), (BI/SB), (CK/SC),&c. Centro S,Aſymptotis SA, Sx,deſcribatur Hyperbola quæ­vis, quæ ſecet perpendicula AH, BI, CK,&c. in a, b, c,&c. ut & perpendicula ad Aſymptoton Sxdemiſſa Ht, Iu, Kwin h, i, k; & denſitatum differentiæ tu, uw,&c. erunt üt (AH/SA), (BI/SB),&c. Et rectangula tuXth, uwXui,&c. ſeu tp, uq,&c. ut (AHXtb/SA), (BIXui/SB),&c. id eſt, ut Aa, Bb,&c. Eſt enim, ex natura Hyperbolæ, SAad AHvel St,ut thad Aa,adeoque (AHXth/SA) æquale Aa
Et ſimili argumento eſt (BIXui/SB) æquale Bb,&c. Sunt autem Aa, Bb, Cc,&c. continue proportionales, & propterea differentiis ſu­is Aa-Bb, Bb-Cc,&c. proportionales; ideoQ.E.D.fferentiis hiſce proportionalia ſunt rectangula tp, uq,&c. ut & ſummis diffe­rentiarum Aa-Ccvel Aa-Ddſummæ rectangulorum tp+uqvel tp+uq+wr.Sunto ejuſmodi termini quam plurimi, & ſum­ma omnium differentiarum, puta Aa-Ff,erit ſummæ omnium rectangulorum, puta zthn,proportionalis. Augeatur numerus terminorum & minuantur diſtantiæ punctorum A, B, C,&c. in in­nitum, & rectangula illa evadent æqualia areæ Hyperbolicæ zthn,adeoque huic areæ proportionalis eſt differentia Aa-Ff.Suman-tur jam diſtantiæ quælibet, puta SA, SD, SFin progreſſione Mu­ſica, & differentiæ Aa-Dd, Dd-Fferunt æquales; & propter­ea differentiis hiſce proportionales areæ thlx, xlnzæquales erunt inter ſe, & denſitates St, Sx, Sz,id eſt, AH, DL, FN,conti­nue proportionales. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

LIBER SECUNDUS

Corol.Hinc ſi dentur Fluidi denſitates duæ quævis, puta AH& CK,dabitur area thkwharum differentiæ twreſpondens; & inde invenietur denſitas FNin altitudine quacunque SF,ſumen­do aream thnzad aream illam datam thkwut eſt differentia Aa-Ffad differentiam Aa-Cc.

Scholium.

Simili argumentatione probari poteſt, quod ſi gravitas particu­larum Fluidi diminuatur in triplicata ratione diſtantiarum a centro; & quadratorum diſtantiarum SA, SB, SC,&c. reciproca (nem­pe (SAcub./SAq), (SAcub./SBq), (SAcub./SCq)) ſumantur in progreſſione Arithme­tica; denſitates AH, BI, CK,&c. erunt in progreſſione Geome­trica. Et ſi gravitas diminuatur in quadruplicata ratione diſtan­tiarum, & cuborum diſtantiarum reciproca (puta (SAqq/SAcub), (SAqq/SBcub), (SAqq/SCcub.),&c.) ſumantur in progreſſione Arithmetica; denſitates AH, BI, CK,&c. erunt in progreſſione Geometrica. Et ſic in infinitum. Rurſus. ſi gravitas particularum Fluidi in omnibus di­ſtantiis eadem ſit, & diſtantiæ ſint in progreſſione Arithmetica, denſitates erunt in progreſſione Geometrica, uti Vir Cl. Edmundus Hælleiusinvenit. Si gravitas ſit ut diſtantia, & quadrata diſtantia­rum ſint in progreſſione Arithmetica, denſitates erunt in progreſ­ſione Geometrica. Et ſic in infinitum. Hæc ita ſe habent ubi Fluidi compreſſione condenſati denſitas eſt ut vis compreſſionis, vel, quod perinde eſt, ſpatium a Fluido occupatum reciproce ut hæc vis. Fingi poſſunt aliæ condenſationis Leges, ut quod cubus vis com­primentis ſit ut quadrato-quadratum denſitatis, feu triplicata ra­tio Vis æqualis quadruplicatæ rationi denſitatis. Quo in caſu, ſi gra­vitas eſt reciproce ut quadratum diſtantiæ a centro, denſitas erit reciproce ut cubus diſtantiæ. Fingatur quod cubus vis compri­mentis ſit ut quadrato-cubus denſitatis, & ſi gravitas eſt reciproce ut quadratum diſtantiæ, denſitas erit reciproce in ſuſquiplicata ra-tione diſtantiæ. Fingatur quod vis comprimens ſit in duplicata ratione denſitatis, & gravitas reciproce in ratione duplicata diſtan­tiæ, & denſitas erit reciproce ut diſtantia. Caſus omnes percurre­re longum eſſet.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XXIII. THEOREMA XVIII.

Si Fluidi ex particulis ſe mutuo fugientibus compoſiti denſitas ſit ut compreſſio, vires centrifugæ particularum ſunt reciproce pro­portionales diſtantiis centrorum ſuorum. Et vice verſa, par­ticulæ viribus quæ ſunt reciproce proportionales diſtantiis cen­trorum ſuorum ſe mutuo fugientes componunt Fluidum Elaſti­cum, cujus denſitas est compreſſioni proportionalis.

Includi intelligatur Fluidum in ſpatio cubico ACE,dein com­preſſione redigi in ſpatium cubicum minus ace; & particularum, ſimilem ſitum inter ſe in utro­

que ſpatio obtinentium, diſtan­tiæ erunt ut cuborum latera AB, ab; & Medii denſitates reciproce ut ſpatia continentia AB cub.& ab cub.In latere cubi majoris ABCDcapiatur quadratum DPæquale lateri cubi minoris db; & ex Hypo­theſi, preſſio qua quadratum DPurget Fluidum incluſum, erit ad preſſionem qua latus illud quadratum dburget Fluidum incluſum ut Medii denſitates ad invicem, hoc eſt, ut ab cub.ad ABcub.Sed preſſio qua quadratum DBurget Fluidum incluſum, eſt ad preſſi­onem qua quadratum DPurget idem Fluidum, ut quadratum DBad quadratum DP,hoc eſt, ut AB quad.ad ab quad.Ergo, ex æquo, preſſio qua latus DBurget Fluidum, eſt ad preſſionem qua latus dburget Fluidum, ut abad AB.Planis FGH, fgh,per media cuborum ductis, diſtinguatur Fluidum in duas partes, & hæ ſe mutuo prement iiſdem viribus, quibus premuntur a planis AC, ac,hoc eſt, in proportione abad AB:adeoque vires centrifugæ, qui­bus hæ preſſiones ſuſtinentur, ſunt in eadem ratione. Ob eundem particularum numerum ſimilemque ſitum in utroque cubo, vires quas particulæ omnes ſecundum plana FGH, fghexercent in om-nes, ſunt ut vires quas ſingulæ exercent in ſingulas. Ergo vires, quas ſingulæ exercent in ſingulas ſecundum planum FGHin cubo majore, ſunt ad vires quas ſingulæ exercent in ſingulas ſecundum planum fghin cubo minore ut abad AB,hoc eſt, reciproce ut diſtantiæ particularum ad invicem. que E. D.

LIBER SECUNDUS.

Et vice verſa, ſi vires particularum ſingularum ſunt reciproce ut diſtantiæ, id eſt, reciproce ut cuborum latera AB, ab; ſummæ virium erunt in eadem ratione, & preſſiones laterum DB, dbut ſummæ virium; & preſſio quadrati DPad preſſionem lateris DBut ab quad.ad AB quad.Et, ex æquo, preſſio quadrati DPad preſ­ſionem lateris dbut ab cub.ad AB cub.id eſt, vis compreſſionis ad vim compreſſionis ut denſitas ad denſitatem. que E. D.

Scholium.

Simili argumento, ſi particularum vires centrifugæ ſint reciproce in duplicata ratione diſtantiarum inter centra, cubi virium compri­mentium erunt ut quadrato-quadrata denſitarum. Si vires centri­fugæ ſint reciproce in triplicata vel quadruplicata ratione diſtantia­rum, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-cubi vel cubo­cubi denſitatum. Et univerſaliter, ſi D ponatur pro diſtantia, & E pro denſitate Fluidi compreſſi, & vires centrifugæ ſint reciproce ut diſtantiæ dignitas quælibet Dn, cujus index eſt numerus n; vi­res comprimentes erunt ut latera cubica dignitatis En+2, cujus index eſt numerus n+2: & contra. Intelligenda vero ſunt hæc omnia de particularum Viribus centrifugis quæ terminantur in par­ticulis proximis, aut non longe ultra diffunduntur. Exemplum habemus in corporibus Magneticis. Horum Virtus attractiva ter­minatur fere in ſui generis corporibus ſibi proximis. Magnetis virtus per interpoſitam laminam ferri contrahitur, & in lamina fere terminatur. Nam corpora ulteriora non tam a Magnete quam a lamina trahuntur. Ad eundem modum ſi particulæ fugant alias ſui generis particulas ſibi proximas, in particulas autem remotiores virtutem nullam exerceant, ex hujuſmodi particulis componentur Fluida de quibus actum eſt in hac Propoſitione. Quod ſi particulæ cujuſque virtus in infinitum propagetur, opus erit vi majori ad æqua­lem condenſationem majoris quantitatis Fluidi. An vero Fluida Elaſtica ex particulis ſe mutuo fugantibus conſtent, Quæſtio Phy­ſica eſt. Nos proprietatem Fluidorum ex ejuſmodi particulis con­ſtantium Mathematice demonſtravimus, ut Philoſophis anſam præ­beamus Quæſtionem illam tractandi.

DE MOTU CORPORUM

SECTIO VI.

De Motu & Reſiſtentia Corporum Funependulorum.

PROPOSITIO XXIV. THEOREMA XIX.

Quantitates materiæ in corporibus funependulis, quorum centra oſcillationum a centro ſuſpenſionis æqualiter diſtant, ſunt in ra­tione compoſita ex ratione ponderum & ratione duplicata tem­porum oſcillationum in vacuo.

Nam velocitas, quam data vis in data materia dato tempore ge­nerare poteſt, eſt ut vis & tempus directe, & materia inverſe. Quo major eſt vis vel majus tempus vel minor materia, eo major gene­rabitur velocitas. Id quod per motus Legem ſecundam manife­ſtum eſt. Jam vero ſi Pendula ejuſdem ſint longitudinis, vires mo­trices in locis a perpendiculo æqualiter diſtantibus ſunt ut ponde­ra: ideoque ſi corpora duo oſcillando deſcribant arcus æquales, & arcus illi dividantur in partes æquales; cum tempora quibus cor­pora deſcribant ſingulas arcuum partes correſpondentes ſint ut tempora oſcillationum totarum, erunt velocitates ad invicem in correſpondentibus oſcillationum partibus, ut vires motrices & tota oſcillationum tempora directe & quantitates materiæ reciproce: adeoque quantitates materiæ ut vires & oſcillationum tempora di­recte & velocitates reciproce. Sed velocitates reciproce ſunt ut tempora, atque adeo tempora directe & velocitates reciproce ſunt ut quadrata temporum, & propterea quantitates materiæ ſunt ut vires motrices & quadrata temporum, id eſt, ut pondera & quadra­ta temporum. que E. D.

Corol.1. Ideoque ſi tempora ſunt æqualia, quantitates materiæ in ſingulis corporibus erunt ut pondera.

Corol.2. Si pondera ſunt æqualia, quantitates materiæ erunt ut quadrata temporum.

Corol.3. Si quantitates materiæ æquantur, pondera erunt reci­proce ut quadrata temporum.

Corol.4. Unde cum quadrata temporum, cæteris paribus, ſint ut longitudines pendulorum; ſi & tempora & quantitates materiæ æ­qualia ſunt, pondera erunt ut longitudines pendulorum.

LIBER SECUNDUS.

Corol.5. Et univerſaliter, quantitas materiæ pendulæ eſt ut pon­dus & quadratum temporis directe, & longitudo penduli inverſe.

Corol.6. Sed & in Medio non reſiſtente quantitas materiæ pen­dulæ eſt ut pondus comparativum & quadratum temporis directe & longitudo penduli inverſe. Nam pondus comparativum eſt vis motrix corporis in Medio quovis gravi, ut ſupra explicui; adeoque idem præſtat in tali Medio non reſiſtente atque pondus abſolutum in vacuo.

Corol.7. Et hinc liquet ratio tum comparandi corpora inter ſe, quoad quantitatem materiæ in ſingulis; tum comparandi pondera ejuſdem corporis in diverſis locis, ad cognoſcendam variationem gravitatis. Factis autem experimentis quam accuratiſſimis inveni ſemper quantitatem materiæ in corporibus ſingulis eorum ponderi proportionalem eſſe.

PROPOSITIO XXV. THEOREMA XX:

Corpora Funependula quibus, in Medio quovis, reſiſtitur in ratione momentorum temporis, & corpora Funependula quæ in ejuſdem gravitatis ſpecificæ Medio non reſiſtente moventur, oſcillatio­nes in Cycloide eodem tempore peragunt, & arcuum partes pro­portionales ſimul deſcribunt.

Sit ABCycloidis

arcus, quem corpus Dtempore quovis in Medio non reſiſtente oſcillando deſcribit. Biſecetur idem in C,ita ut Cſit infimum ejus punctum; & erit vis acceleratrix qua corpus urgetur in lo­co quovis Dvel dvel Eut longitudo arcus CDvel Cdvel CE.Exponatur vis illa per eundem arcum; & cum reſiſtentia ſit ut momentum temporis, adeoQ.E.D.tur, expona-tur eadem per datam arcus Cycloidis partem CO,& ſumatur ar­cus Odin ratione ad arcum CDquam habet arcus OBad arcum CB:& vis qua corpus in durgetur in Medio reſiſtente, cum ſit ex­ceſſus vis Cdſupra reſiſtentiam CO,exponetur per arcum Od,ad­eoque erit ad vim qua corpus Durgetur in Medio non reſiſtente, in loco D,ut arcus Odad arcum CD; & propterea etiam in lo­co But arcus OBad arcum CB.Proinde ſi corpora duo, D, dexeant de loco B,& his viribus urgeantur: cum vires ſub initio ſint ut arcus CB& OB,erunt velocitates primæ & arcus primo deſcripti in eadem ratione. Sunto arcus illi BD& Bd,& arcus reliqui CD, Oderunt in eadem ratione. Proinde vires, ipſis CD, Odproportionales, manebunt in eadem ratione ac ſub initio, & propterea corpora pergent arcus in eadem ratione ſimul deſcri­bere. Igitur vires &
velocitates & arcus re­liqui CD, Odſemper erunt ut arcus toti CB, OB,& propterea ar­cus illi reliqui ſimul deſcribentur. Quare corpora duo D, dſi­mul pervenient ad loca C& O,alterum qui­dem in Medio non re­ſiſtente ad locum C,& alterum in Medio reſiſtente ad locum O.Cum autem velocitates in C& Oſint ut arcus CB, OB; erunt arcus quos corpora ulterius pergendo ſimul deſcribunt, in eadem ratione. Sunto illi CE& Oe.Vis qua corpus Din Medio non reſiſtente retardatur in Eeſt ut CE,& vis qua corpus din Medio reſiſtente retardatur in eeſt ut ſumma vis Ce& reſiſtentiæ CO,id eſt ut Oe; ideoque vi­res, quibus corpora retardantur, ſunt ut arcubus CE, Oepropor­tionales arcus CB, OB; proindeque velocitates, in data illa ratio­ne retardatæ, manent in eadem illa data ratione. Velocitates igitur & arcus iiſdem deſcripti ſemper ſunt ad invicem in data illa ratio­ne arcuum CB& OB; & propterea ſi ſumantur arcus toti AB, aBin eadem ratione, corpora D, dſimul deſcribent hos arcus, & in locis A& amotum omnem ſimul amittent. Iſochronæ ſunt igitur oſcillationes totæ, & arcubus totis BA, Baproportionales ſunt arcuum partes quælibet BD, Bdvel BE, Bequæ ſimul de­ſcribuntur. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.Igitur motus velociſſimus in Medio reſiſtente non incidit in punctum infimum C,ſed reperitur in puncto illo O,quo arcus totus deſcriptus aBbiſecatur. Et corpus ſubinde pergendo ad a,iiſdem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in deſcenſu ſuo a Bad O.

LIBER SECUNDUS.

PROPOSITIO XXVI. THEOREMA XXI.

Corporum Funependulorum, quibus reſiſtitur in ratione velocitatum, oſcillationes in Cycloide ſunt Iſochronæ.

Nam ſi corpora duo, a centris ſuſpenſionum æqualiter diſtantia, oſcillando deſcribant arcus inæquales, & velocitates in arcuum par­tibus correſpondentibus ſint ad invicem ut arcus toti: reſiſtentiæ velocitatibus proportionales, erunt etiam ad invicem ut iidem ar­cus. Proinde ſi viribus motricibus a gravitate oriundis, quæ ſint ut iidem arcus, auferantur vel addantur hæ reſiſtentiæ, erunt dif­ferentiæ vel ſummæ ad invicem in eadem arcuum ratione: cumque velocitatum incrementa vel decrementa ſint ut hæ differentiæ vel ſummæ, velocitates ſemper erunt ut arcus toti: Igitur velocitates, ſi ſint in aliquo caſu ut arcus toti, manebunt ſemper in eadem ra­tione. Sed in principio motus, ubi corpora incipiunt deſcendere & arcus illos deſcribere, vires, cum ſint arcubus proportionales, ge­nerabunt velocitates arcubus proportionales. Ergo velocitates ſem­per erunt ut arcus toti deſcribendi, & propterea arcus illi ſimul de­ſcribentur. que E. D.

PROPOSITIO XXVII. THEOREMA XXII.

Si Corporibus Funependulis reſiſtitur in duplicata ratione veloci­tatum, differentiæ inter tempora oſcillationum in Medio reſi­ſtente ac tempora oſcillationum in ejuſdem gravitatis ſpecificæ Medio non reſiſtente, erunt arcubus oſcillando deſcriptis pro­portionales, quam proxime.

Nam pendulis æqualibus in Medio reſiſtente deſcribantur arcus inæquales A, B; & reſiſtentia corporis in arcu A, erit ad reſiſten­tiam corporis in parte correſpondente arcus B, in duplicata ratio­ne velocitatum, id eſt, ut AA ad BB, quam proxime. Si reſi-ſtentia in arcu B eſſet ad reſiſtentiam in arcu A ut AB ad AA; tempora in arcubus A & B forent æqualia, per Propoſitionem ſu­periorem. Ideoque reſiſtentia AA in arcu A, vel AB in arcu B, efficit exceſſum temporis in arcu A ſupra tempus in Medio non reſiſtente; & reſiſtentia BB efficit exceſſum temporis in arcu B ſupra tempus in Medio non reſiſtente. Sunt autem exceſſus illi ut vires efficientes AB & BB quam proxime, id eſt, ut arcus A & B. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Hinc ex oſcillationum temporibus, in Medio reſiſtente, in arcubus inæqualibus factarum, cognoſci poſſunt tempora oſcilla­tionum in ejuſdem gravitatis ſpecificæ Medio non reſiſtente. Nam differentia temporum erit ad exceſſum temporis in arcu minore ſu­pra tempus in Medio non reſiſtente, ut differentia arcuum ad ar­cum minorem.

Corol.2. Oſcillationes breviores ſunt magis Iſochronæ, & bre­viſſimæ iiſdem temporibus peraguntur ac in Medio non reſiſtente, quam proxime. Earum vero quæ in majoribus arcubus fiunt, tem­ra ſunt paulo majora, propterea quod reſiſtentia in deſcenſu cor­poris qua tempus producitur, major ſit pro ratione longitudinis in deſcenſu deſcriptæ, quam reſiſtentia in aſcenſu, ſubſequente qua tempus contrahitur. Sed & tempus oſcillationum tam brevium quam longarum nonnihil produci videtur per motum Medii. Nam corporibus tardeſcentibus paulo minus reſiſtitur, pro ratione velo­citatis, & corporibus acceleratis paulo magis quam iis quæ unifor­miter progrediuntur: id adeo quia Medium, eo quem a corporibus accepit motu, in eandem plagam pergendo, in priore caſu magis agitatur, in poſteriore minus; ac proinde magis vel minus cum corporibus motis conſpirat. Pendulis igitur in deſcenſu magis re­ſiſtit, in aſcenſu minus quam pro ratione velocitatis, & ex utraque cauſa tempus producitur.

PROPOSITIO XXVIII. THEOREMA XXIII.

Si Corpori Funependulo in Cycloide oſcillanti reſiſtitur in ratione momentorum temporis, erit ejus reſiſtentia ad vim gravitatis ut exceſſus arcus deſcenſu toto deſcripti ſupra arcum aſcenſu ſubſequente deſcriptum, ad penduli longitudinem duplicatam.

Deſignet BCarcum deſcenſu deſcriptum, Caarcum aſcenſu de­ſcriptum, & Aadifferentiam arcuum: & ſtantibus quæ in Propo-ſitione XXV conſtructa & demonſtrata ſunt, erit vis qua corpus olcnlans urgetur in loco quovis D,ad vim reſiſtentiæ ut arcus CDad arcum CO,qui ſemiſſis eſt differentiæ illius Aa.Ideoque vis qua corpus oſcillans urgetur in Cycloidis principio ſeu puncto altiſſimo, id eſt, vis gravitatis, erit ad reſiſtentiam ut arcus Cy­cloidis inter punctum illud ſupremum & punctum infimum Cad arcum CO; id eſt (ſi arcus duplicentur) ut Cycloidis totius arcus, ſeu dupla penduli longitudo, ad arcum Aa. que E. D.

LIBER SECUNDUS.

PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA VI.

Poſito quod Corpori in Cycloide oſcillanti reſiſtitur in duplicata ra­tione velocitatis: invenire reſiſtentiam in locis ſingulis.

Sit Ba(Fig. Prop. XXV) arcus oſcillatione integra deſcriptus, ſitque Cinfimum Cycloidis punctum, & CZſemiſſis arcus Cycloi­dis totius, longitudini Penduli æqualis; & quæratur reſiſtentia cor­

poris in loco quovis D.Secetur recta infinita OQin punctis O, C, P, Q,ea lege, ut (ſi erigantur perpendicula OK, CT, PI, QE,centroque O& Aſymptotis OK, OQdeſcribatur Hyperbola TIGEſecans perpendicula CT, PI, QEin T, I& E,& per punctum Iagatur KFparallela Aſymptoto OQoccurrens Aſymptoto OKin K,& perpendiculis CT& QEin L& F) fuerit area Hyperboliea PIEQad aream Hyperbolicam PITCut arcus BCdeſcenſu cor­poris deſcriptus ad arcum Caaſcenſu deſcriptum, & area IEFad aream ILTut OQad OC.Dein perpendiculo MNabſcindatur area Hyperbolica PINMquæ ſit ad aream Hyperbolicam PIEQut arcus CZad arcum BCdeſcenſu deſcriptum. Et ſi perpendicu­lo RGabſcindatur area Hyperbolica PIGR,quæ ſit ad aream PIEQut arcus quilibet CDad arcum BCdeſcenſu toto de­ſcriptum: erit reſiſtentia in loco Dad vim gravitatis, ut area (OR/OQ)IEF-IGHad aream PIENM.

DE MOTU CORPORUM

Nam cum vires a gravitate oriundæ quibus corpus in locis Z, B, D, aurgetur, ſint ut arcus CZ, CB, CD, Ca,& arcus illi ſint ut areæ PINM, PIEQ, PIGR, PITC; exponantur tum arcus tum vi­res per has areas reſpective. Sit inſuper Ddſpatium quam minimum a corpore deſcendente deſcriptum, & exponatur idem per aream quam minimam RGgrparallelis RG, rgcomprehenſam; & pro­

ducatur rgad h,ut ſint GHhg,& RGgrcontemporanea arearum IGH, PIGRdecrementa. Et areæ (OR/OQ)IEF-IGHincremen­tum GHhg-(Rr/OQ)IEF,ſeu RrXHG-(Rr/OQ)IEF,erit ad areæ PIGRdecrementum RGgrſeu RrXRG,ut HG-(IEF/OQ)ad RG; adeoque ut ORXHG-(OR/OQ)IEFad ORXGRſeu OPXPI,hoc eſt (ob æqualia ORXHG, ORXHR-ORXGR, ORHK-OPIK, PIHR& FIGR+IGH) ut PIGR+ IGH-(OR/OQ)IEFad OPIK.Igitur ſi area (OR/OQ)IEF-IGHdicatur Y, atque areæ PIGRdecrementum RGgrdetur, erit incrementum areæ Y ut PIGR-Y.

LIBER SECUNDUS.

Quod ſi V deſignet vim a gravitate oriundam, arcui deſcribendo CDproportionalem, qua corpus urgetur in D:& R pro reſiſten­tia ponatur: erit V-R vis tota qua corpus urgetur in D.Eſt itaQ.E.I.crementum velocitatis ut V-R & particula illa temporis in qua factum eſt conjunctim: Sed & velocitas ipſa eſt ut incre­mentum contemporaneum ſpatii deſcripti directe & particula ea­dem temporis inverſe. Unde, cum reſiſtentia (per Hypotheſin) ſit ut quadratum velocitatis, incrementum reſiſtentiæ (per Lem. II) erit ut velocitas & incrementum velocitatis conjunctim, id eſt, ut momentum ſpatii & V-R conjunctim; atque adeo, ſi momen­tum ſpatii detur, ut V-R; id eſt, ſi pro vi V ſeribatur ejus ex­ponens PIGR,& reſiſtentia R exponatur per aliam aliquam are­am Z, ut PIGR-Z.

Igitur area PIGRper datorum momentorum ſubductionem uniformiter decreſcente, creſcunt area Y in ratione PIGR-Y, & area Z in ratione PIGR-Z. Et propterea ſi areæ Y & Z ſi­mul incipiant & ſub initio æquales ſint, hæ per additionem æqua­lium momentorum pergent eſſe æquales, & æqualibus itidem mo­mentis ſubinde decreſcentes ſimul evaneſcent. Et viciſſim, ſi ſimul incipiunt & ſimul evaneſcunt, æqualia habebunt momenta & ſem­per erunt æquales: id adeo quia ſi reſiſtentia Z augeatur, veloci­tas una cum arcu illo Ca,qui in aſcenſu corporis deſcribitur, dimi­nuetur; & puncto in quo motus omnis una cum reſiſtentia ceſſat propius accedente ad punctum C,reſiſtentia citius evaneſcet quam area Y. Et contrarium eveniet ubi reſiſtentia diminuitur.

Jam vero area Z incipit deſinitque ubi reſiſtentia nulla eſt, hoc eſt, in principio & fine motus, ubi arcus CD, CDarcubus CB& Caæquantur, adeoque ubi recta RGincidit in rectas QE& CT.Et area Y ſeu (OR/OQ)IEF-IGHincipit deſinitque ubi nulla eſt, ad­eoque ubi (OR/OQ)IEF& IGHæqualia ſunt: hoc eſt (per con­ſtructionem) ubi recta RGincidit in rectas QE& CT.Proin­deque areæ illæ ſimul incipiunt & ſimul evaneſcunt, & propterea ſemper ſunt æquales. Igitur area (OR/OQ)IEF-IGHæqualis eſt areæ Z, per quam reſiſtentia exponitur, & propterea eſt ad aream PINMper quam gravitas exponitur, ut reſiſtentia ad gravita­tem. que E. D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Eſt igitur reſiſtentia in loco infimo Cad vim gravitatis, ut area (OP/OQ) IEFad aream PINM.

Corol.2. Fit autem maxima, ubi area PIHReſt ad aream IEFut ORad OqueEo enim in caſu momentum ejus (nimirum PIGR-Y) evadit nullum.

Corol.3. Hinc etiam innoteſcit velocitas in locis ſingulis: quippe quæ eſt in ſubduplicata ratione reſiſtentiæ, & ipſo motus initio æ­quatur velocitati corporis in eadem Cycloide abſque omni reſiſten­tia oſcillantis.

Cæterum ob difficilem calculum quo reſiſtentia & velocitas per hanc Propoſitionem inveniendæ ſunt, viſum eſt Propoſitionem ſe­quentem ſubjungere, quæ & generalior ſit & ad uſus Philoſophi­cos abunde ſatis accurata.

PROPOSITIO XXX. THEOREMA XXIV.

Si rectaaB æqualis ſit Cycloidis arcui quem corpus oſcillando de­ſcribit, & ad ſingula ejus punctaD erigantur perpendiculaDK, quæ ſint ad longitudinem Penduli ut reſiſtentia corporis in ar­cus punctis correſpondentibus ad vim gravitatis: dico quod differentia inter arcum deſcenſu toto deſcriptum, & arcum aſcenſu toto ſubſequente deſcriptum, ducta in arcuum eorundem ſemiſummam, æqualis erit areæBKaB a perpendiculis omnibusDK occupatæ.

Exponatur enim tum Cycloidis arcus, oſcillatione integra de­ſcriptus, per rectam illam ſibi æqualem aB,tum arcus qui deſcribe­retur in vacuo per longitudinem AB.Biſecetur ABin C,& pun­ctum Crepræſentabit infimum Cycloidis punctum, & erit CDut vis a gravitate oriunda, qua corpus in Dſecundum tangentem Cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longitudinem Pen­duli quam habet vis in Dad vim gravitatis. Exponatur igitur vis illa per longitudinem CD,& vis gravitatis per longitudinem pen­duli, & ſi in DEcapiatur DKin ea ratione ad longitudinem penduli quam habet reſiſtentia ad gravitatem, erit DKexponens

reſiſtentiæ. Centro C& intervallo CAvel CBconſtruatur Semi­circulus BEeA.Deſcribat autem corpus tempore quam minimo ſpatium Dd,& erectis perpendiculis DE, decircumferentiæ oc­currentibus in E& e,erunt hæc ut velocitates quas corpus in va­cuo, deſcendendo a puncto B,acquireret in locis D& d.Patet hoc per Prop. LII. Lib. 1. Exponantur itaque hæ velocitates per perpendicula illa DE, de; ſitque DFvelocitas quam acquirit in Dcadendo de Bin Medio reſiſtente. Et ſi centro C& inter­vallo CFdeſcribatur Circulus FfMoccurrens rectis de& ABin f& M,erit Mlocus ad quem deinceps abſque ulteriore reſiſten­tia aſcenderet, & dfvelocitas quam acquireret in d.Unde etiam ſi Fgdeſignet velocitatis momentum quod corpus D,deſcribendo ſpatium quam minimum Dd,ex reſiſtentia Medii amittit; & ſu­matur CNæqualis Cg:erit Nlocus ad quem corpus deinceps abſque ulteriore reſiſtentia aſcenderet, & MNerit decrementum aſcenſus ex velocitatis illius amiſſione oriundum. Ad dfdemitta­tur perpendiculum Fm,& velocitatis DFdecrementum Fga reſiſtentia DKgenitum, erit ad velocitatis ejuſdem incrementum fma vi CDgenitum, ut vis generans DKad vim generantem CD.Sed & ob ſimilia

triangula Fmf, Fhg, FDC,eſt fmad Fmſeu Dd,ut CDad DF; & ex æquo Fgad Ddut DKad DF.Item Fhad Fgut DFad CF; & ex æquo perturbate, Fhſeu MNad Ddut DKad CFſeu CM; ideoque ſumma omnium MNXCMæqualis erit ſummæ omnium DdXDK.Ad punctum mobile Merigi ſemper intelli­gatur ordinata rectangula æqualis indeterminatæ CM,quæ motu continuo ducatur in totam longitudinem Aa; & trapezium ex illo motu deſcriptum ſive huic æquale rectangulum AaX1/2aBæquabitur ſummæ omnium MNXCM,adeoque ſummæ omnium DdXDK,id eſt, areæ BKkVTa. Q.E.D.

LIBER SECUNDUS

Corol.Hinc ex lege reſiſtentiæ & arcuum Ca, CBdifferentia Aa,colligi poteſt proportio reſiſtentiæ ad gravitatem quam proxime.

DE MOTU CORPORUM

Nam ſi uniformis ſit reſiſtentia DK,Figura aBKkTrectangu­lum erit ſub Ba& DK; & inde rectangulum ſub 1/2 Ba& Aaerit æquale rectangulo ſub Ba& DK,& DKæqualis erit 1/2 Aa.Quare cum DKſit exponens reſiſtentiæ, & longitudo penduli ex­ponens gravitatis, erit reſiſtentia ad gravitatem ut 1/2 Aaad longi­tudinem Penduli; omnino ut in Prop. XXVIII demonſtratum eſt.

Si reſiſtentia ſit ut velocitas, Figura aBKkTEllipſis erit quam proxime. Nam ſi corpus, in Medio non reſiſtente, oſcillatione integra deſcriberet longitudinem BA,velocitas in loco quovis Dforet ut Circuli diametro ABdeſcripti ordinatim applicata DE.Proinde cum Bain Medio reſiſtente, & BAin Medio non reſi­ſtente, æqualibus circiter temporibus deſcribantur; adeoque velo­citates in ſingulis ipſius

Bapunctis, ſint quam proxime ad velocitates in punctis correſpon­dentibus longitudinis BA,ut eſt Baad BA; erit velocitas DKin Medio reſiſtente ut Cir­culi vel Ellipſeos ſuper diametro Badeſcripti ordinatim applicata; adeoque Figura BKVTaEllipſis, quam pro­xime. Cum reſiſtentia velocitati proportionalis ſupponatur, ſit OVexponens reſiſtentiæ in puncto Medio O; & Ellipſis aBRVS,centro O,ſemiaxibus OB, OVdeſcripta, Figuram aBKVT,eique æquale rectangulum AaXBO,æquabit quamproxime. Eſt igitur AaXBOad OVXBOut area Ellipſeos hujus ad OVXBO: id eſt, Aaad OVut area ſemicirculi ad quadratum radii, ſive ut 11 ad 7 circiter: Et propterea (1/11) Aaad longitudinem penduli ut corporis oſcillantis reſiſtentia in Oad ejuſdem gravitatem.

Quod ſi reſiſtentia DKſit in duplicata ratione velocitatis, Fi­gura BKVTaParabola erit verticem habens V& axem OV,id­eoque æqualis erit rectangulo ſub 2/3 Ba& OVquam proxime. Eſt igitur rectangulum ſub 1/2 Ba& Aaæquale rectangulo ſub 2/3 Ba& OV,adeoque OVæqualis 1/4 Aa:& propterea corporis oſcillan­tis reſiſtentia in Oad ipſius gravitatem ut 1/4 Aaad longitudi­nem Penduli.

Atque has concluſiones in rebus practicis abunde ſatis accuratas eſſe cenſeo. Nam cum Ellipſis vel Parabola BRVSacongruat cum Figura BKVTain puncto medio V,hæc ſi ad partem al­

terutram BRVvel VSaexcedit Figuram illam, deficiet ab eadem ad partem alteram, & ſic eidem æquabitur quam proxime.

LIBER SECUNDUS.

PROPOSITIO XXXI. THEOREMA XXV.

Si Corporis oſcillantis reſiſtentia in ſingulis arcuum deſcriptorum partibus proportionalibus augeatur vel minuatur in data ratio­ne; differentia inter arcum deſcenſu deſcriptum & arcum ſub­ſequente aſcenſu deſcriptum, augebitur vel diminuetur in eadem ratione.

Oritur enim differentia illa ex retardatione Penduli per reſi­ſtentiam Medii, adeoque eſt ut retardatio tota eique proportio­nalis reſiſtentia retardans. In ſuperiore Propoſitione rectangu­lum ſub recta 1/2 aB& arcuum illorum CB, Cadifferentia Aa,æqualis erat areæ BKT.Et area illa, ſi maneat longitudo aB,augetur vel diminuitur in ratione ordinatim applicatarum DK; hoc eſt, in ratione reſiſtentiæ, adeoque eſt ut longitudo aB& reſiſtentia conjunctim. Proindeque rectangulum ſub Aa& 1/2 aBeſt ut aB& reſiſtentia conjunctim, & propterea Aaut reſiſten­tia. Q.E.D.

Corol.1. Unde ſi reſiſtentia ſit ut velocitas, differentia arcuum in eodem Medio erit ut arcus totus deſcriptus: & contra.

Corol.2. Si reſiſtentia ſit in duplicata ratione velocitatis, diffe­rentia illa erit in duplicata ratione arcus totius: & contra.

Corol.3. Et univerſaliter, ſi reſiſtentia ſit in triplicata vel alia quavis ratione velocitatis, differentia erit in eadem ratione arcus totius: & contra.

Corol.4. Et ſi reſiſtentia ſit partim in ratione ſimplici velocita­tis, partim in ejuſdem ratione duplicata, differentia erit partim in ratione arcus totius & partim in ejus ratione duplicata: & contra. Eadem erit lex & ratio reſiſtentiæ pro velocitate, quæ eſt differen­tiæ illius pro longitudine arcus.

Corol.5. Ideoque ſi, pendulo inæquales arcus ſucceſſive deſcri­bente, inveniri poteſt ratio incrementi ac decrementi differentiæ hu­jus pro longitudine arcus deſcripti; habebitur etiam ratio incrementi ac decrementi reſiſtentiæ pro velocitate majore vel minore.

DE MOTU CORPORUM

Scholium Generale.

Ex his Propoſitionibus, per oſcillationes Pendulorum in Mediis quibuſcunque, invenire licet reſiſtentiam Mediorum. Aeris vero reſiſtentiam inveſtigavi per Experimenta ſequentia. Globum lig­neum pondere unciarum Romanarum(57 7/22), diametro digitorum Londinenſium6 7/8 fabricatum, filo tenui ab unco ſatis firmo ſuſpen­di, ita ut inter uncum & centrum oſcillationis Globi diſtantia eſſet pedum 10 1/2. In filo punctum notavi pedibus decem & uncia una a centro ſuſpenſionis diſtans; & e regione puncti illius collocavi Regulam in digitos diſtinctam, quorum ope notarem longitudi­nes arcuum a Pendulo deſcriptas. Deinde numeravi oſcillationes quibus Globus octavam motus ſui partem amitteret. Si pendu­lum deducebatur a perpendiculo ad diſtantiam duorum digitorum, & inde demittebatur; ita ut toto ſuo deſcenſu deſcriberet arcum duorum digitorum, totaque oſcillatione prima, ex deſcenſu & aſcen­ſu ſubſequente compoſita, arcum digitorum fere quatuor: idem oſcillationibus 164 amiſit octavam motus ſui partem, ſic ut ultimo ſuo aſcenſu deſcriberet arcum digiti unius cum tribus partibus quartis digiti. Si primo deſcenſu deſcripſit arcum digitorum qua­tuor; amiſit octavam motus partem oſcillationibus 121, ita ut aſcen­ſu ultimo deſcriberet arcum digitorum 3 1/2. Si primo deſcenſu de­ſcripſit arcum digitorum octo, ſexdecim, triginta duorum vel ſexa­ginta quatuor; amiſit octavam motus partem oſcillationibus 69, 35 1/2, 18 1/2, 9 2/3, reſpective. Igitur differentia inter arcus deſcenſu primo & aſcenſu ultimo deſcriptos, erat in caſu primo, ſecundo, tertio, quarto, quinto, ſexto, digitorum 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8 reſpective. Divi­dantur eæ differentiæ per numerum oſcillationum in caſu unoquo­que, & in oſcillatione una mediocri, qua arcus digitorum 3 1/4, 7 1/2, 15, 30, 60, 120 deſcriptus fuit, differentia arcuum deſcenſu & ſub­ſequente aſcenſu deſcriptorum, erit (1/656), (1/242), (1/69), (4/71), (8/37), (24/29) partes di­giti reſpective. Hæ autem in majoribus oſcillationibus ſunt in du­plicata ratione arcuum deſcriptorum quam proxime, in minoribus vero paulo majores quam in ea ratione; & propterea (per Corol. 2. Prop. XXXI Libri hujus) reſiſtentia Globi, ubi celerius movetur, eſt in duplicata ratione velocitatis quam proxime; ubi tardius, pau­lo major quam in ea ratione.

Deſignet jam V velocitatem maximam in oſcillatione quavis, ſintque A, B, C quantitates datæ, & fingamus quod differentia arcuum ſit AV+BV 1/2+CV2. Cum velocitates maximæ ſint in Cycloide ut ſemiſſes arcuum oſcillando deſcriptorum, in Circu­lo vero ut ſemiſſium arcuum illorum chordæ; adeoque paribus arcubus majores ſint in Cycloide quam in Circulo, in ratione ſemiſſium arcuum ad eorundem chordas; tempora autem in Cir­culo ſint majora quam in Cycloide in velocitatis ratione reci­proca; patet arcuum differentias (quæ ſunt ut reſiſtentia & qua­dratum temporis conjunctim) eaſdem fore, quamproxime, in utra­que Curva: deberent enim differentiæ illæ in Cycloide augeri, una cum reſiſtentia, in duplicata circiter ratione arcus ad chordam, ob velocitatem in ratione illa ſimplici auctam; & diminui, una cum quadrato temporis, in eadem duplicata ratione. Itaque ut reductio fiat ad Cycloidem, eædem ſumendæ ſunt arcuum differentiæ quæ fuerunt in Circulo obſervatæ, velocitates vero maximæ ponen­dæ ſunt arcubus dimidiatis vel integris, hoc eſt, numeris 1/2, 1, 2, 4, 8, 16 analogæ. Scribamus ergo in caſu ſecundo, quarto & ſex­to numeros 1, 4 & 16 pro V; & prodibit arcuum differentia (1/2/121)=A+B+C in caſu ſecundo; (2/35 1/2)=4A+8B+16C in caſu quarto; & (8/9 2/3)=16A+64B+256C in caſu ſexto. Et ex his æ­quationibus, per debitam collationem & reductionem Analyticam, fit A=0,0000916, B=0,0010847, & C=0,0029558. Eſt igitur differentia arcuum ut 0,0000916V+0,0010847V1/2+0,0029558V2: & propterea cum (per Corollarium Propoſitionis XXX) reſiſtentia Globi in medio arcus oſcillando deſcripti, ubi velocitas eſt V, ſit ad ipſius pondus ut (7/11)AV+(16/23)BV1/2+1/4CV2 ad longitudinem Penduli; ſi pro A, B & C ſcribantur numeri inventi, fiet reſiſtentia Globi ad ejus pondus, ut 0,0000583V+0,0007546V1/2+0,0022169V2ad longitudinem Penduli inter centrum ſuſpenſionis & Regulam, id eſt, ad 121 digitos. Unde cum V in caſu ſecundo deſignet 1, in quarto 4, in ſexto 16: erit reſiſtentia ad pondus Globi in caſu ſecundo ut 0,0030298 ad 121, in quarto ut 0,0417402 ad 121, in ſexto ut 0,61675 ad 121.

LIBER SECUNDUS.

Arcus quem punctum in filo notatum in caſu ſexto deſcripſit, erat 120-(8/9 2/3) ſeu (119 5/29) digitorum. Et propterea cum radius eſſet 121 digitorum, & longitudo Penduli inter punctum ſuſpenſionis & centrum Globi eſſet 126 digitorum, arcus quem centrum Globi deſcripſit erat (124 1/31) digitorum. Quoniam corporis oſcillantis ve­locitas maxima, ob reſiſtentiam Aeris, non incidit in punctum infi­mum arcus deſcripti, ſed in medio fere loco arcus totius verſatur: hæc eadem erit circiter ac ſi Globus deſcenſu ſuo toto in Medio non reſiſtente deſcriberet arcus illius partem dimidiam digitorum (62 1/62), idQ.E.I. Cycloide, ad quam motum Penduli ſupra reduxi­mus: & propterea velocitas illa æqualis erit velocitati quam Glo­bus, perpendiculariter cadendo & caſu ſuo deſcribendo altitudinem arcus illius ſinui verſo æqualem, acquirere poſſet. Eſt autem ſinus ille verſus in Cycloide ad arcum iſtum (62 1/62) ut arcus idem ad pen­duli longitudinem duplam 252, & propterea æqualis digitis 15,278. Quare velocitas ea ipſa eſt quam corpus cadendo & caſu ſuo ſpa­tium 15,278 digitorum deſcribendo acquirere poſſet. Tali igitur cum velocitate Globus reſiſtentiam patitur, quæ ſit ad ejus pondus ut 0,61675 ad 121, vel (ſi reſiſtentiæ pars illa ſola ſpectetur quæ eſt in velocitatis ratione duplicata) ut 0,56752 ad 121.

DE MOTU CORPORUM

Experimento autem Hydroſtatico inveni quod pondus Globi hu­jus lignei eſſet ad pondus Globi aquei magnitudinis ejuſdem, ut 55 ad 97: & propterea cum 121 ſit ad 213,4 in eadem ratione, erit reſiſtentia Globi aquei præfata cum velocitate progredientis ad ip­ſius pondus, ut 0,56752 ad 213,4 id eſt, ut 1 ad (376 1/50). Unde cum pondus Globi aquei, quo tempore Globus cum velocitate unifor­miter continuata deſcribat longitudinem digitorum 30,556, veloci­tatem illam omnem in Globo cadente generare poſſet; manifeſtum eſt quod vis reſiſtentiæ eodem tempore uniformiter continuata tol­lere poſſet velocitatem minorem in ratione 1 ad (376 1/50), hoc eſt, ve­locitatis totius partem (1/(376 1/50)). Et propterea quo tempore Globus, ea cum velocitate uniformiter continuata, longitudinem ſemidiame­tri ſuæ, ſeu digitorum (3 7/16), deſcribere poſſet, eodem amitteret mo­tus ſui partem (1/3342).

Numerabam etiam oſcillationes quibus Pendulum quartam mo­tus ſui partem amiſit. In ſequente Tabula numeri ſupremi deno­tant longitudinem arcus deſcenſu primo deſcripti, in digitis & par­tibus digiti expreſſam: numeri medii ſignificant longitudinem ar­cus aſcenſu ultimo deſcripti; & loco infimo ſtant numeri oſcilla­tionum. Experimentum deſcripſi tanquam magis accuratum quam cum motus pars tantum octava amitteretur. Calculum tentet qui volet.

LIBER SECUNDUS.

Deſcenſus primus248163264Aſcenſus ultimus1 1/236123448Numerus Oſcillat.374272162 1/283 1/341 2/322 2/3

Poſtea Globum plumbeum, diametro digitorum 2, & pondere unciarum Romanarum26 1/4, ſuſpendi filo eodem, ſic ut inter cen­trum Globi & punctum ſuſpenſionis intervallum eſſet pedum 10 1/2, & numerabam oſcillationes quibus data motus pars amitteretur. Tabularum ſubſequentium prior exhibet numerum oſcillationum quibus pars octava motus totius ceſſavit; ſecunda numerum oſcil­lationum quibus ejuſdem pars quarta amiſſa fuit.

Deſcenſus primus1248163264Aſcenſus ultimus7/87/43 1/27142856Numerus Oſcillat.22622819314090 1/25330Deſcenſus primus1248163264Aſcenſus ultimus3/41 1/236122448Numerus Oſcillat.51051842031820412170

In Tabula priore ſeligendo ex obſervationibus tertiam, quintam & ſeptimam, & exponendo velocitates maximas in his obſerva­tionibus particulatim per numeros 1, 4, 16 reſpective, & genera­liter per quantitatem V ut ſupra: emerget in obſervatione tertia (1/2/193)=A+B+C, in quinta (2/90 1/2)=4A+8B+16C, in ſeptima (8/30)=16A+64B+256C. Hæ vero æquationes reductæ dant A=0,001414, B=0,000297, C=0,000879. Et inde prodit reſi­ſtentia Globi cum velocitate V moti, in ea ratione ad pondus ſuum unciarum 26 1/4, quam habet 0,0009V+0,000207V1/2+0,000659V2ad penduli longitudinem 121 digitorum. Et ſi ſpectemus eam ſo­lummodo reſiſtentiæ partem quæ eſt in duplicata ratione velocitatis, hæc erit ad pondus Globi ut 0,000659V2 ad 121 digitos. Erat au­tem hæc pars reſiſtentiæ in experimento primo ad pondus Globi lignei unciarum (57 7/22), ut 0,002217V2 ad 121: & inde fit reſiſtentia Globi lignei ad reſiſtentiam Globi plumbei (paribus eorum velocita­tibus) ut (57 7/22) in 0,002217 ad 26 1/4 in 0,000659, id eſt, ut 7 1/3 ad 1. Diametri Globorum duorum erant 6 7/8 & 2 digitorum, & harum quadrata ſunt ad invicem ut 47 1/4 & 4, ſeu (11 11/16) & 1 quamproxime. Ergo reſiſtentiæ Globorum æquivelocium erant in minore ratione quam duplicata diametrorum. At nondum conſideravimus reſi-ſtentiam fili, quæ certe permagna erat, ac de pendulorum inventa reſiſtentia ſubduci debet. Hanc accurate definire non potui, ſed majorem tamen inveni quam partem tertiam reſiſtentiæ totius mi­noris penduli; & inde didici quod reſiſtentiæ Globorum, dempta fili reſiſtentia, ſunt quam proxime in duplicata ratione diametro­rum. Nam ratio 7 1/3-1/3 ad 1-1/3, ſeu 10 1/2 ad 1, non longe abeſt a diametrorum ratione duplicata (11 11/16) ad 1.

DE MOTU CORPORUM

Cum reſiſtentia fili in Globis majoribus minoris ſit momenti, tentavi etiam experimentum in Globo cujus diameter erat 18 1/4 di­gitorum. Longitudo penduli inter punctum ſuſpenſionis & cen­trum oſcillationis erat digitorum 122 1/2, inter punctum ſuſpenſionis & nodum in filo 109 1/2 dig. Arcus primo penduli deſcenſu a no­do deſcriptus, 32 dig. Arcus aſcenſu ultimo poſt oſcillationes quinque ab eodem nodo deſcriptus, 28 dig. Summa arcuum ſeu arcus totus oſcillatione mediocri deſcriptus, 60 dig. Differentia arcuum 4 dig. Ejus pars decima ſeu differentia inter deſcenſum & aſcenſum in oſcillatione mediocri 2/5 dig. Ut radius 109 1/2 ad radi­um 122 1/2, ita arcus totus 60 dig. oſcillatione mediocri a nodo de­ſcriptus, ad arcum totum 67 1/8 dig. oſcillatione mediocri a centro Globi deſcriptum: & ita differentia 2/5 ad differentiam novam 0,4475. Si longitudo penduli, manente longitudine arcus deſcripti, augere­tur in ratione 126 ad 122 1/2; tempus oſcillationis augeretur & velo­citas penduli diminueretur in ratione illa ſubduplicata, maneret vero arcuum deſcenſu & ſubſequente aſcenſu deſcriptorum diffe­rentia 0,4475. Deinde ſi arcus deſcriptus augeretur in ratione (124 1/31) ad 67 1/8, differentia iſta 0,4475 augeretur in duplicata illa ra­tione, adeoque evaderet 1,5295. Hæc ita ſe haberent, ex hy­potheſi quod reſiſtentia Penduli eſſet in duplicata ratione velo­citatis. Ergo ſi pendulum deſcriberet arcum totum (124 1/31) di­gitorum, & longitudo ejus inter punctum ſuſpenſionis & cen­trum oſcillationis eſſet 126 digitorum, differentia arcuum de­ſcenſu & ſubſequente aſcenſu deſcriptorum foret 1,5295 digito­rum. Et hæc differentia ducta in pondus Globi penduli, quod erat unciarum 208, producit 318,136. Rurſus ubi pendulum ſuperius ex Globo ligneo conſtructum, centro oſcillationis, quod a puncto ſuſpenſionis digitos 126 diſtabat, deſcribebat arcum totum (124 1/31) digitorum, differentia arcuum deſcenſu & aſcenſu deſcriptum fuit (126/121) in (8/9 2/3), quæ ducta in pondus Globi, quod erat unciarum (57 1/22), producit 49,396. Duxi autem differentias haſce in pondera Glo­borum ut invenirem eorum reſiſtentias. Nam differentiæ ori-untur ex reſiſtentiis, ſuntque ut reſiſtentiæ directe & pondera in­verſe. Sunt igitur reſiſtentiæ ut numeri 318,136 & 49,396. Pars autem reſiſtentiæ Globi minoris, quæ eſt in duplicata ratione velo­citatis, erat ad reſiſtentiam totam, ut 0,56752 ad 0,61675, id eſt, ut 45,453 ad 49,396; & pars reſiſtentiæ Globi majoris propemodum æquatur ipſius reſiſtentiæ toti; adeoque partes illæ ſunt ut 318,136 & 45,453 quamproxime, id eſt, ut 7 & 1. Sunt autem Globorum diametri 18 1/4 & 6 7/8; & harum quadrata (351 9/16) & (47 17/64) ſunt ut 7,438 & 1, id eſt, ut Globorum reſiſtentiæ 7 & 1 quamproxime. Diffe­rentia rationum haud major eſt quam quæ ex fili reſiſtentia oriri po­tuit. Igitur reſiſtentiarum partes illæ quæ ſunt, paribus Globis, ut quadrata velocitatum; ſunt etiam, paribus velocitatibus, ut qua­drata diametrorum Globorum.

LIBER SECUNDUS.

Cæterum Globorum, quibus uſus ſum in his experimentis, max­imus non erat perfecte Sphæricus, & propterea in calculo hic allato minutias quaſdam brevitatis gratia neglexi; de calculo accurato in experimento non ſatis accurato minime ſollicitus. Optarim itaque (cum demonſtratio Vacui ex his dependeat) ut experimenta cum Globis & pluribus & majoribus & magis accuratis tentarentur. Si Globi ſumantur in proportione Geometrica, puta quorum diametri ſint digitorum 4, 8, 16, 32; ex progreſſione experimentorum col­ligetur quid in Globis adhuc majoribus evenire debeat.

Jam vero conferendo reſiſtentias diverſorum Fluidorum inter ſe tentavi ſequentia. Arcam ligneam paravi longitudine pedum qua­tuor, latitudine & altitudine pedis unius. Hanc operculo nuda­tam implevi aqua fontana, fecique ut immerſa pendula in medio aquæ oſcillando moverentur. Globus autem plumbeus pondere 166 1/6 unciarum, diametro 3 5/8 digitorum, movebatur ut in Tabula ſequente deſcripſimus, exiſtente videlicet longitudine penduli a puncto ſuſpenſionis ad punctum quoddam in filo notatum 126 di­gitorum, ad oſcillationis autem centrum 134 1/8 digitorum.

Arcus deſcenſu primo a puncto in filo notato deſcriptus, digitorum64321684211/21/4Arcus aſcenſu ultimo deſcriptus, digitorum482412631 1/41/41/8(1/16)Arcuum differentia motui amiſſo proportionalis, digitorum1684211/21/41/8(1/16)Numerus Oſcillationum in aqua(29/60)1 1/53711 1/412 2/313 1/3Numerus Oſcillationum in aere85 1/2287535

DE MOTU CORPORUM

In experimento columnæ quartæ, motus æquales oſcillationibus 535 in aere, & 1 1/5 in aqua amiſſi ſunt. Erant quidem oſcillationes in aere paulo celeriores quam in aqua. At ſi oſcillationes in aqua in ea ratione accelerarentur ut motus pendulorum in Medio utro­que fierent æquiveloces, maneret numerus idem oſcillationum 1 1/5 in aqua, quibus motus idem ac prius amitteretur; ob reſiſtentiam auctam & ſimul quadratum temporis diminutum in eadem ratione illa duplicata. Paribus igitur pendulorum velocitatibus motus æ­quales in aere oſcillationibus 535 & in aqua oſcillationibus 1 1/5 amiſſi ſunt; ideoque reſiſtentia penduli in aqua eſt ad ejus reſiſtentiam in aere ut 535 ad 1 1/5. Hæc eſt proportio reſiſtentiarum totarum in caſu columnæ quartæ.

Deſignet jam AV+CV differentiam arcuum in deſcenſu & ſub­ſequente aſcenſu deſcriptorum a Globo, in Aere cum velocitate maxi­ma V moto; & cum velocitas maxima, in caſu columnæ quartæ, ſit ad velocitatem maximam in caſu columnæ primæ, ut 1 ad 8; & diffe­rentia illa arcuum, in caſu columnæ quartæ, ad differentiam in caſu columnæ primæ ut (2/535) ad (16/85 1/2), ſeu ut 85 1/2 ad 4280: ſeribamus in his caſibus 1 & 8 pro velocitatibus, atque 85 1/2 & 4280 pro dif­ferentiis arcuum, & fiet A+C=85 1/2 & 8A+64C=4280 ſeu A+8C=535; indeque per reductionem æquationum proveniet 7C=449 1/2 & C=(64 1/14) & A=21 1/7: atque adeo reſiſtentia, cum ſit ut (7/11) AV+1/4 CV2, erit ut (13 6/11)V+(48 1/56)V2. Quare in caſu co­lumnæ quartæ, ubi velocitas erat 1, reſiſtentia tota eſt ad partem ſuam quadrato velocitatis proportionalem, ut (13 6/11)+(48 2/56) ſeu (61 12/17) ad (48 9/56); & idcirco reſiſtentia penduli in aqua eſt ad reſiſten­tiæ partem illam in aere quæ quadrato velocitatis proportionalis eſt, quæque ſola in motibus velocioribus conſideranda venit, ut (61 12/17) ad (48 9/56) & 535 ad 1 1/5 conjunctim, id eſt, ut 571 ad 1. Si penduli in aqua oſcillantis filum totum fuiſſet immerſum, reſiſtentia ejus fuiſſet adhuc major; adeo ut penduli in aere oſcillantis reſiſtentia illa quæ velocitatis quadrato proportionalis eſt, quæque ſola in corporibus velocioribus conſideranda venit, ſit ad reſiſtentiam e­juſdem penduli totius, eadem cum velocitate, in aqua oſcillantis, ut 800 vel 900 ad 1 circiter, hoc eſt, ut denſitas aquæ ad denſita­tatem aeris quamproxime.

In hoc calculo ſumi quoQ.E.D.beret pars illa reſiſtentiæ penduli in aqua, quæ eſſet ut quadratum velocitatis, ſed (quod mirum for­te videatur) reſiſtentia in aqua augebatur in ratione velocitatis pluſquam duplicata. Ejus rei cauſam inveſtigando, in hanc in­cidi, quod Arca nimis anguſta eſſet pro magnitudine Globi pen­duli, & motum aquæ cedentis præ anguſtia ſua nimis impedie­bat. Nam ſi Globus pendulus, cujus diameter erat digiti u­nius, immergeretur; reſiſtentia augebatur in duplicata ratione ve­locitatis quam proxime. Id tentabam conſtruendo pendulum ex Globis duobus, quorum inferior & minor oſcillaretur in aqua, ſu­perior & major proxime ſupra aquam filo affixus eſſet, & in Aere oſcillando, adjuvaret motum penduli eumQ.E.D.uturniorem redde­ret. Experimenta autem hoc modo inſtituta ſe habebant ut in Ta­bula ſequente deſcribitur.

Arcus deſcenſu primo deſcriptus1684211/21/4Arcus aſcenſu ultimo deſcriptus12631 1/21/41/8(1/16)Arcuum diff. motui amiſſo proport.4211/21/41/8(1/16)Numerus Oſcillationum3 1/86 1/2(12 1/12)21 1/5345362 1/5

LIBER SECUNDUS.

Conferendo reſiſtentias Mediorum inter ſe, effeci etiam ut pen­dula ferrea oſcillarentur in argento vivo. Longitudo fili ferrei erat pedum quaſi trium, & diameter Globi penduli quaſi tertia pars di­giti. Ad filum autem proxime ſupra Mercurium affixus erat Glo­bus alius plumbeus ſatis magnus ad motum penduli diutius conti­nuandum. Tum vaſculum, quod capiebat quaſi libras tres argenti vivi, implebam vicibus alternis argento vivo & aqua communi, ut pendulo in Fluido utroque ſucceſſive oſcillante, invenirem propor­tionem reſiſtentiarum: & prodiit reſiſtentia argenti vivi ad reſi­ſtentiam aquæ, ut 13 vel 14 ad 1 circiter: id eſt, ut denſitas argen­ti vivi ad denſitatem aquæ. Ubi Globum pendulum paulo majo­rem adhibebam, puta cujus diameter eſſet quaſi 1/3 vel 2/3 partes di­giti, prodibat reſiſtentia argenti vivi in ea ratione ad reſiſtentiam aquæ quam habet numerus 12 vel 10 ad 1 circiter. Sed experi­mento priori magis fidendum eſt, propterea quod in his ultimis Vas nimis anguſtum fuit pro magnitudine Globi immerſi. Am­pliato Globo, deberet etiam Vas ampliari. Conſtitueram quidem hujuſmodi experimenta in vaſis majoribus & in liquoribus tum Metallorum fuſorum, tum aliis quibuſdam tam calidis quam fri­gidis repetere: ſed omnia experiri non vacat, & ex jam deſcriptis ſatis liquet reſiſtentiam corporum celeriter motorum denſitati Flu­idorum in quibus moventur proportionalem eſſe quam proxime. Non dico accurate. Nam Fluida tenaciora, pari denſitate, procul-dubio magis reſiſtunt quam liquidiora, ut Oleum frigidum quam calidum, calidum quam aqua pluvialis, aqua quam Spiritus Vini. Verum in liquoribus qui ad ſenſum ſatis fluidi ſunt, ut in Aere, in Aqua ſeu dulci ſeu ſalſa, in Spiritibus Vini, Terebinthi & Salium, in Oleo a fæcibus per deſtillationem liberato & calefacto, Oleoque Vitrioli & Mercurio, ac Metallis liquefactis, & ſiqui ſint alii, qui tam fluidi ſunt ut in vaſis agitati motum impreſſum diutius con­ſervent, effuſique liberrime in guttas decurrendo reſolvantur, nul­lus dubito quin regula allata ſatis accurate obtineat: præſertim ſi experimenta in corporibus pendulis & majoribus & velocius motis inſtituantur.

DE MOTU CORPORUM

Denique cum receptiſſima Philoſophorum ætatis hujus opinio ſit, Medium quoddam æthereum & longe ſubtiliſſimum extare, quod omnes omnium corporum poros & meatus liberrime per­meet; a tali autem Medio per corporum poros fluente reſiſtentia oriri debeat: ut tentarem an reſiſtentia, quam in motis corporibus experimur, tota ſit in eorum externa ſuperficie, an vero partes eti­am internæ in ſuperficiebus propriis reſiſtentiam notabilem ſenti­ant, excogitavi experimentum tale. Filo pedum undecim longitu­dinis, ab unco chalyoeo ſatis firmo, mediante annulo chalybeo, ſu­ſpendebam pyxidem abiegnam rotundam, ad conſtituendum pen­dulum longitudinis prædictæ. Uncus ſurſum præacutus erat acie concava, ut annulus arcu ſuo ſuperiore aciei innixus liberrime mo­veretur. Arcui autem inferiori annectebatur filum. Pendulum ita conſtitutum deducebam a perpendiculo ad diſtantiam quaſi pedum ſex, idque ſecundum planum aciei unci perpendiculare, ne annu­lus, oſcillante pendulo, ſupra aciem unci ultro citroque laberetur. Nam punctum ſuſpenſionis, in quo annulus uncum tangit, immo­tum manere debet. Locum igitur accurate notabam, ad quem de­duxeram pendulum, dein pendulo demiſſo notabam alia tria loca ad quæ redibat in fine oſcillationis primæ, ſecundæ ac tertiæ. Hoc re­petebam ſæpius, ut loca illa quam potui accuratiſſime invenirem. Tum pyxidem plumbo & gravioribus, quæ ad manus erant, me­tallis implebam. Sed prius ponderabam pyxidem vacuam, una cum parte fili quæ circum pyxidem volvebatur ac dimidio par­tis reliquæ inter uncum & pyxidem pendulam tendebatur. (Nam filum tenſum dimidio ponderis ſui pendulum a perpendiculo digreſſum ſemper urget.) Huic ponderi addebam pondus Aeris quem pyxis capiebat. Et pondus totum erat quaſi pars ſeptuage­ſima octava pyxidis metallorum plenæ. Tum quoniam pyxis me-tallorum plena, pondere ſuo tendendo filum, augebat longitudi­nem penduli, contrahebam filum ut penduli jam oſcillantis eadem eſſet longitudo ac prius. Dein pendulo ad locum primo notatum retracto ac dimiſſo, numerabam oſcillationes quaſi ſeptuaginta & ſeptem, donec pyxis ad locum ſecundo notatum rediret, totidem­que ſubinde donec pyxis ad locum tertio notatum rediret, atque rurſus totidem donec pyxis reditu ſuo attingeret locum quartum. Unde concludo quod reſiſtentia tota pyxidis plenæ non majorem habebat proportionem ad reſiſtentiam pyxidis vacuæ quam 78 ad 77. Nam ſi æquales eſſent ambarum reſiſtentiæ, pyxis plena ob vim ſuam inſitam ſeptuagies & octies majorem vi inſita pyxidis vacuæ, motum ſuum oſcillatorium tanto diutius conſervare debe­ret, atque adeo completis ſemper oſcillationibus 78 ad loca illa notata redire. Rediit autem ad eadem completis oſcillationibus 77.

LIBER SECUNDUS.

Deſignet igitur A reſiſtentiam pyxidis in ipſius ſuperficie exter­na, & B reſiſtentiam pyxidis vacuæ in partibus internis; & ſi reſi­ſtentiæ corporum æquivelocium in partibus internis ſint ut mate­ria, ſeu numerus particularum quibus reſiſtitur: erit 78 B reſiſten­tia pyxidis plenæ in ipſius partibus internis: adeoque pyxidis va­cuæ reſiſtentia tota A+B erit ad pyxidis plenæ reſiſtentiam to­tam A+78 B ut 77 ad 78, & diviſim A+B ad 77 B, ut 77 ad 1, indeque A+B ad B ut 77X77 ad 1, & diviſim A ad B ut 5928 ad 1. Eſt igitur reſiſtentia pyxidis vacuæ in partibus internis quinquies millies minor quam ejuſdem reſiſtentia in externa ſuper­ficie, & amplius. Sic vero diſputamus ex Hypotheſi quod ma­jor illa reſiſtentia pyxidis plenæ, non ab alia aliqua cauſa latente oriatur, ſed ab actione ſola Fluidi alicujus ſubtilis in metallum incluſum.

Hoc experimentum recitavi memoriter. Nam charta, in qua il­lud aliquando deſcripſeram, intercidit. Unde fractas quaſdam nu­merorum partes, quæ memoria exciderunt, omittere compulſus ſum. Nam omnia denuo tentare non vacat. Prima vice, cum un­co infirmo uſus eſſem, pyxis plena citius retardabatur. Cauſam quærendo, reperi quod uncus infirmus cedebat ponderi pyxidis, & ejus oſcillationibus obſeQ.E.D. in partes omnes flectebatur. Para­bam igitur uncum firmum, ut punctum ſuſpenſionis immotum ma­neret, & tunc omnia ita evenerunt uti ſupra deſcripſimus.

SECTIO VII.De Motu Fluidorum & Reſiſtentia Projectilium.PROPOSITIO XXXII. THEOREMA XXVI.

DE MOTU CORPORUM

Si Corporum Syſtemata duo ſimilia ex æquali particularum numero conſtent, & particulæ correſpondentes ſimiles ſint & propor­tionales, ſingulæ in uno Syſtemate ſingulis in altero, & ſimiliter ſitæ inter ſe, ac datam habeant rationem denſitatis ad invicem, & inter ſe temporibus proportionalibus ſimiliter moveri inci­piant, (eæ inter ſe quæ in uno ſunt Syſtemate & eæ inter ſe quæ ſunt in altero) & ſi non tangant ſe mutuo quæ in eodem ſunt Syſtemate, niſi in momentis reflexionum, neque attrahant vel fu­gent ſe mutuo, niſi viribus acceleratricibus quæ ſint ut particu­larum correſpondentium diametri inverſe & quadrata velocita. tum directe: dico quod Syſtematum particulæ illæ pergent inter ſe temporibus proportionalibus ſimiliter moveri.

Corpora ſimilia & ſimiliter ſita temporibus proportionalibus in­ter ſe ſimiliter moveri dico, quorum ſitus ad invicem in fine tem­porum illorum ſemper ſunt ſimiles: puta ſi particulæ unius Syſte­matis cum alterius particulis correſpondentibus conferantur. Un­de tempora erunt proportionalia, in quibus ſimiles & proportiona­les Figurarum ſimilium partes a particulis correſpondentibus de­ſcribuntur. Igitur ſi duo ſint ejuſmodi Syſtemata, particulæ cor­reſpondentes, ob ſimilitudinem incæptorum motuum, pergent ſi­militer moveri uſQ.E.D.nec ſibi mutuo occurrant. Nam ſi nullis agitantur viribus, progredientur uniformiter in lineis rectis per mo­tus Leg. 1. Si viribus aliquibus ſe mutuo agitant, & vires illæ ſint ut particularum correſpondentium diametri inverſe & quadrata ve­locitatum directe; quoniam particularum ſitus ſunt ſimiles & vires proportionales, vires totæ quibus particulæ correſpondentes agi­tantur, ex viribus ſingulis agitantibus (per Legum Corollarium fecundum) compoſitæ, ſimiles habebunt determinationes, perin­de ac ſi centra inter particulas ſimiliter ſita reſpicerent; & erunt vires illæ totæ ad invicem ut vires ſingulæ componentes, hoc eſt, ut correſpondentium particularum diametri inverſe, & quadrata velocitatum directe: & propterea efficient ut correſpondentes par­ticulæ figuras ſimiles deſcribere pergant. Hæc ita ſe habebunt per Corol. 1, & 8 Prop. IV, Lib. 1. ſi modo centra illa quieſcant. Sin moveantur, quoniam ob tranſlationum ſimilitudinem, ſimiles manent eorum ſitus inter Syſtematum particulas; ſimiles indu­centur mutationes in figuris quas particulæ deſcribunt. Similes igi­tur erunt correſpondentium & ſimilium particularum motus uſ­que ad occurſus ſuos primos, & propterea ſimiles occurſus, & ſi­miles reflexiones, & ſubinde (per jam oſtenſa) ſimiles motus in­ter ſe donec iterum in ſe mutuo inciderint, & ſic deinceps in in­finitum. Q.E.D.

LIBER SECUNDUS.

Corol.1. Hinc ſi corpora duo quævis, quæ ſimilia ſint & ad Syſtematum particulas correſpondentes ſimiliter ſita, inter ipſas temporibus proportionalibus ſimiliter moveri incipiant, ſintque eorum magnitudines ac denſitates ad invicem ut magnitudines ac denſitates correſpondentium particularum: hæc pergent tempori­bus proportionalibus ſimiliter moveri. Eſt enim eadem ratio par­tium majorum Syſtematis utriuſque atque particularum.

Corol.2. Et ſi ſimiles & ſimiliter poſitæ Syſtematum partes om­nes quieſcant inter ſe: & earum duæ, quæ cæteris majores ſint, & ſibi mutuo in utroque Syſtemate correſpondeant, ſecundum lineas ſimiliter ſitas ſimili cum motu utcunque moveri incipiant: hæ ſi­miles in reliquis Syſtematum partibus excitabunt motus, & pergent inter ipſas temporibus proportionalibus ſimiliter moveri; atque adeo ſpatia diametris ſuis proportionalia deſcribere. PROPOSITIO XXXIII. THEOREMA XXVII.

Iiſdem poſitis, dico quod Syſtematum partes majores reſiſtituntur in ratione compoſita ex duplicata ratione velocitatum ſuarum & duplicata ratione diametrorum & ratione denſitatis partium Syſtematum.

Nam reſiſtentia oritur partim ex viribus centripetis vel centri­fugis quibus particulæ Syſtematum ſe mutuo agitant, partim ex occurſibus & reflexionibus particularum & partium majorum. Prioris autem generis reſiſtentiæ ſunt ad invicem ut vires totæ mo­trices a quibus oriuntur, id eſt, ut vires totæ acceleratrices & quan­titates materiæ in partibus correſpondentibus; hoc eſt (per Hy­potheſin) ut quadrata velocitatum directe & diſtantiæ particula­rum correſpondentium inverſe & quantitates materiæ in partibus correſpondentibus directe: ideoque (cum diſtantiæ particularum Sy­ſtematis unius ſint ad diſtantias correſpondentes particularum alte­rius, ut diameter particulæ vel partis in Syſtemate priore ad dia­metrum particulæ vel partis correſpondentis in altero, & quantita­tes materiæ ſint ut denſitates partium & cubi diametrorum) reſi­ſtentiæ ſunt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata dia­metrorum & denſitates partium Syſtematum. Q.E.D.Poſte­rioris generis reſiſtentiæ ſunt ut reflexionum correſpondentium nu­meri & vires conjunctim. Numeri autem reflexionum ſunt ad in­vicem ut velocitates partium correſpondentium directe, & ſpatia inter earum reflexiones inverſe. Et vires reflexionum ſunt ut ve­locitates & magnitudines & denſitates partium correſpondentium conjunctim; id eſt, ut velocitates & diametrorum cubi & denſita­tes partium. Et conjunctis his omnibus rationibus, reſiſtentiæ partium correſpondentium ſunt ad invicem ut quadrata veloci­tum & quadrata diametrorum & denſitates partium conjunctim. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Igitur ſi Syſtemata illa ſint Fluida duo Elaſtica ad modum Aeris, & partes eorum quieſcant inter ſe: corpora autem duo ſimilia & partibus fluidorum quoad magnitudinem & denſita­tem proportionalia, & inter partes illas ſimiliter poſita, ſecundum lineas ſimiliter poſitas utcunque projiciantur; vires autem acce­leratrices, quibus particulæ Fluidorum ſe mutuo agitant, ſint ut corporum projectorum diametri inverſe, & quadrata velocitatum directe: corpora illa temporibus proportionalibus ſimiles excita­bunt motus in Fluidis, & ſpatia ſimilia ac diametris ſuis propor­tionalia deſcribent.

Corol.2. Proinde in eodem Fluido projectile velox reſiſtentiam pa­titur quæ eſt in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Nam ſi vires, quibus particulæ diſtantes ſe mutuo agitant, augerentur in duplicata ratione velocitatis, reſiſtentia foret in eadem ratione du­plicata accurate; ideoQ.E.I. Medio, cujus partes ab invicem diſtan­tes ſeſe viribus nullis agitant, reſiſtentia eſt in duplicata ratione ve­locitatis accurate. Sunto igitur Media tria A, B, Cex partibus ſimilibus & æqualibus & ſecundum diſtantias æquales regulariter diſpoſitis conſtantia. Partes Mediorum A& Bfugiant ſe mutuo viribus quæ ſint ad invicem ut T& V,illæ Medii Cejuſmo­di viribus omnino deſtituantur. Et ſi corpora quatuor æqualia D, E, F, Gin his Mediis moveantur, priora duo D& Ein pri­oribus duobus A& B,& altera duo F& Gin tertio G; ſitque ve­locitas corporis Dad velocitatem corporis E,& velocitas corpo­ris Fad velocitatem corporis G,in ſubduplicata ratione virium Tad vires V: reſiſtentia corporis Derit ad reſiſtentiam corporis E,& reſiſtentia corporis Fad reſiſtentiam corporis G,in velocitatum ratione duplicata; & propterea reſiſtentia corporis Derit ad reſi­ſtentiam corporis Fut reſiſtentia corporis Ead reſiſtentiam corpo­ris G.Sunto corpora D& Fæquivelocia ut & corpora E& G; & augendo velocitates corporum D& Fin ratione quacunque, ac diminuendo vires particularum Medii Bin eadem ratione duplicata, accedet Medium Bad formam & conditionem Medii Cpro lubi­tu, & idcirco reſiſtentiæ corporum æqualium & æquivelocium E& Gin his Mediis, perpetuo accedent ad æqualitatem, ita ut ea­rum differentia evadat tandem minor quam data quævis. Proinde cum reſiſtentiæ corporum D& Fſint ad invicem ut reſiſtentiæ cor­porum E& G,accedent etiam hæ ſimiliter ad rationem æqualita­tis. Corporum igitur D& F,ubi velociſſime moventur, reſiſten­tiæ ſunt æquales quam proxime: & propterea cum reſiſtentia cor­poris Fſit in duplicata ratione velocitatis, erit reſiſtentia corporis Din eadem ratione quam proxime.

LIBER SECUNDUS.

Corol.3. Igitur corporis in Fluido quovis Elaſtico velociſſime moti eadem fere eſt reſiſtentia ac ſi partes Fluidi viribus ſuis centrifugis deſtituerentur, ſeque mutuo non fugerent: ſi modo Fluidi vis Elaſtica ex particularum viribus centrifugis oriatur, & velocitas adeo magna ſit ut vires non habeant ſatis temporis ad agendum.

Corol.4. Proinde cum reſiſtentiæ ſimilium & æquivelocium cor­porum, in Medio cujus partes diſtantes ſe mutuo non fugiunt, ſint ut quadrata diametrorum; ſunt etiam æquivelocium & celerrime motorum corporum reſiſtentiæ in Fluido Elaſtico ut quadrata diametrorum quam proxime.

Corol.5. Et cum corpora ſimilia, æqualia & æquivelocia, in Mediis ejuſdem denſitatis, quorum particulæ ſe mutuo non fu­giunt, ſive particulæ illæ ſint plures & minores, ſive pauciores & majores, in æqualem materiæ quantitatem temporibus æqualibus inpingant, eique æqualem motus quantitatem imprimant, & vi-ciſſim (per motus Legem tertiam) æqualem ab eadem reactionem patiantur, hoc eſt, æqualiter reſiſtantur: manifeſtum eſt etiam quod in ejuſdem denſitatis Fluidis Elaſticis, ubi velociſſime mo­ventur, æquales ſint eorum reſiſtentiæ quam proxime; ſive Fluida illa ex particulis craſſioribus conſtent, ſive ex omnium ſubtiliſſi­mis conſtituantur. Ex Medii ſubtilitate reſiſtentia projectilium ce­lerrime motorum non multum diminuitur.

DE MOTU CORPORUM.

Corol.6. Hæc omnia ita ſe habent in Fluidis, quorum vis Ela­ſtica ex particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod ſi vis illa aliunde oriatur, veluti ex particularum expanſione ad inſtar Lanæ vel ramorum Arborum, aut ex alia quavis cauſa, qua motus particularum inter ſe redduntur minus liberi: reſiſtentia, ob mi­norem Medii fluiditatem, erit major quam in ſuperioribus Co­rollariis. PROPOSITIO XXXIV. THEOREMA XXVIII.

Si Globus & Cylindrus æqualibus diametris deſcripti, in Medio raro ex particulis æqualibus & ad æquales ab invicem diſtan­tias libere diſpoſitis conſtante, ſecundum plagam axis Cylindri, æquali cum velocitate moveantur: erit reſiſtentia Globi duplo minor quam reſiſtentia Cylindri.

Nam quoniam actio Medii in corpus eadem eſt (per Legum Corol, 5.) ſive corpus in Medio quieſcente moveatur, ſive Medii particulæ eadem cum velocitate impingant in corpus quieſcens: conſideremus corpus tanquam quieſcens, & videamus quo impetu urgebitur a Medio movente.

Deſignet igitur ABKIcor­pus Sphæricum centro Cſe­midiametro CAdeſcriptum, & incidant particulæ Medii data cum velocitate in cor­pus illud Sphæricum, ſecun­dum rectas ipſi ACparalle­las: Sitque FBejuſmodi recta. In ea capiatur LBſemidiametro CBæqualis, & ducatur BDquæ Sphæram tangat in B.In KC& BDde-mittantur perpendiculares BE, DL,& vis qua particula Medii, ſecundum rectam FBobliQ.E.I.cidendo, Globum ferit in B,erit ad vim qua particula eadem Cylindrum ONGQaxe ACIcirca Globum deſcriptum perpendiculariter feriret in b,ut LDad LBvel BEad BC.Rurſus efficacia hujus vis ad movendum Globum ſecundum incidentiæ ſuæ plagam FBvel AC,eſt ad ejuſ­dem efficaciam ad movendum Globum ſecundum plagam determi­nationis ſuæ, id eſt, ſecundum plagam rectæ BCqua Globum di­recte urget, ut BEad BC.Et conjunctis rationibus, efficacia particulæ, in Globum ſecundum rectam FBobliQ.E.I.cidentis, ad movendum eundem ſecundum plagam incidentiæ ſuæ, eſt ad effi­caciam particulæ ejuſdem ſecundum eandem rectam in Cylindrum perpendiculariter incidentis, ad ipſum movendum in plagam ean­dem, ut BEquadratum ad BCquadratum. Quare ſi ad Cylin­dri baſem circularem NAOerigatur perpendiculum bHE,& ſit bEæqualis radio AC,& bHæqualis (BE quad/CB): erit bHad bEut effectus particulæ in Globum ad effectum particulæ in Cylin­drum. Et propterea ſolidum quod à rectis omnibus bHoccu­patur erit ad ſolidum quod à rectis omnibus bEoccupatur, ut effectus particularum omnium in Globum ad effectum particu­larum omnium in Cylindrum. Sed ſolidum prius eſt Parabolois vertice C,axe CA& latere recto CAdeſcriptum, & ſolidum poſterius eſt Cylindrus Paraboloidi circumſcriptus: & notum eſt quod Parabolois ſit ſemiſſis Cylindri circumſcripti. Ergo vis tota Medii in Globum eſt duplo minor quam ejuſdem vis tota in Cylindrum. Et propterea ſi particulæ Medii quieſcerent, & Cylindrus ac Globus æquali cum velocitate moverentur, foret re­ſiſtentia Globi duplo minor quam reſiſtentia Cylindri. Q.E.D.Scholium.

LIBER SECUNDUS.

Eadem methodo Figuræ aliæ inter ſe quo­

ad reſiſtentiam comparari poſſunt, eæQ.E.I.­veniri quæ ad motus ſuos in Mediis reſiſten­tibus continuandos aptiores ſunt. Ut ſi baſe circulari CEBH,quæ centro O,radio OCdeſcribitur, & altitudine OD,conſtruen­dum ſit fruſtum Coni CBGF,quod omni­um eadem baſi & altitudine conſtructorum & ſecundum plagam axis ſui verſus Dprogredientium fruſtorum minime reſiſtatur: bi­ſeca altitudinem ODin Q& produc OQad Sut ſit QSæqua­lis QC,& erit Svertex Coni cujus fruſtum quæritur.

DE MOTU CORPORUM

Unde obiter, cum angulus CSBſemper ſit acutus, conſequens eſt, quod ſi ſolidum ADBEconvolutione figuræ Ellipticæ vel Ovalis ADBEcirca axem ABfacta generetur, & tangatur figura generans à rectis tribus FG, GH, HIin punctis F, B& I,ea lege ut GHſit perpendicularis ad axem in puncto contactus B,& FG, HIcum eadem GHcontineant angulos FGB, BHIgraduum 135: ſolidum, quod convolutione figuræ ADFGHIEcirca axem eundem CBgeneratur, minus reſiſtitur quam ſolidum prius; ſi modo utrumque ſecundum plagam axis ſui ABprogre­diatur, & utriuſque terminus Bpræcedat. Quam quidem propoſi­tionem in conſtruendis Navibus non inutilem futuram eſſe cenſeo.

Quod ſi Figura DNFGejuſmodi ſit curva ut, ſi ab

ejus puncto quovis Nad axem ABdemittatur per­pendiculum NM,& à pun­cto dato Gducatur recta GRquæ parallela ſit rectæ figuram tangenti in N,& axem productum ſecet in R,fuerit MNad GRut GR cubad 4 BRXGBq: Solidum quod figuræ hujus revolutione circa axem ABfacta de­ſcribitur, in Medio raro prædicto ab Averſus Bmovendo, minus reſiſtetur quam aliud quodvis eadem longitudine & latitudine de­ſcriptum Solidum circulare. PROPOSITIO XXXV. PROBLEMA VII.

Si Medium rarum ex particulis quam minimis quieſcentibus æqua­libus & ad æquales ab invicem diſtantias libere diſpoſitis con­ſtet: invenire reſiſtentiam Globi in hoc Medio uniformitor pro­gredientis.

Cas.1. Cylindrus eadem diametro & altitudine deſcriptus pro­gredi intelligatur eadem velocitate ſecundum longitudinem axis ſui in eodem Medio. Et ponamus quod particulæ Medii in quas Globus vel Cylindrus incidit, vi reflexionis quam maxima reſiliant. Et cum reſiſtentia Globi (per Propoſitionem noviſſimam) ſit duplo minor quam reſiſtentia Cylindri, & Globus ſit ad Cylindrum ut duo ad tria, & Cylindrus incidendo perpendiculariter in particulas ipſaſque quam maxime reflectendo, duplam ſui ipſius velocitatem ipſis communicet: Cylindrus quo tempore dimidiam longitudinem axis ſui deſcribit communicabit motum particulis qui ſit ad totum Cylindri motum ut denſitas Medii ad denſitatem Cylindri; & Glo­bus quo tempore totam longitudinem diametri ſuæ deſcribit, com­municabit motum eundem particulis; & quo tempore duas tertias partes diametri ſuæ deſcribit communicabit motum particulis qui ſit ad totum Globi motum ut denſitas Medii ad denſitatem Globi. Et propterea Globus reſiſtentiam patitur quæ ſit ad vim qua totus ejus motus vel auferri poſſit vel generari quo tempore duas tertias partes diametri ſuæ deſcribit, ut denſitas Medii ad denſitatem Globi.

LIBER SECUNDUS.

Cas.2. Ponamus quod particulæ Medii in Globum vel Cylin­drum incidentes non reflectantur; & Cylindrus incidendo perpen­diculariter in particulas ſimplicem ſuam velocitatem ipſis commu­nicabit, ideoque reſiſtentiam patitur duplo minorem quam in pri­ore caſu, & reſiſtentia Globi erit etiam duplo minor quam prius.

Cas.3. Ponamus quod particulæ Medii vi reflexionis neque ma­xima neque nulla, ſed mediocri aliqua reſiliant a Globo; & reſi­ſtentia Globi erit in eadem ratione mediocri inter reſiſtentiam in primo caſu & reſiſtentiam in ſecundo. Q.E.I.

Corol.1. Hinc ſi Globus & particulæ ſint infinite dura, & vi om­ni elaſtica & propterea etiam vi omni reflexionis deſtituta: re­ſiſtentia Globi erit ad vim qua totus ejus motus vel auferri poſſit vel generari, quo tempore Globus quatuor tertias partes diametri ſuæ deſcribit, ut denſitas Medii ad denſitatem Globi.

Corol.2. Reſiſtentia Globi, cæteris paribus, eſt in duplicata ra­tione velocitatis.

Corol.3. Reſiſtentia Globi, cæteris paribus, eſt in duplicata ra­tione diametri.

Corol.4. Reſiſtentia Globi, cæteris paribus, eſt ut denſitas Medii.

Corol.5. Reſiſtentia Globi eſt in ratione quæ componitur ex du­plicata ratione velocitatis & duplicata ratione diametri & ratione denſitatis Medii.

DE MOTU CORPORUM

Corol.6. Et motus Globi cum ejus reſiſtentia ſic exponi poteſt. Sit ABtempus quo Globus per reſiſtentiam ſuam uniformiter con­tinuatam totum ſuum motum amit­

tere poteſt. Ad ABerigantur per­pendicula AD, BC.Sitque BCmotus ille totus, & per punctum CAſymptotis AD, ABdeſcribatur Hyperbola CF.Producatur ABad punctum quodvis E.Erigatur per­pendiculum EFHyperbolæ occur­rens in F.Compleatur parallelo­grammum CBEG,& agatur AFipſi BCoccurrens in H.Et ſi Globus tempore quovis BE,motu ſuo primo BCuniformiter continuato, in Medio non reſiſtente de­ſcribat ſpatium CBEGper aream parallelogrammi expoſitum, idem in Medio reſiſtente deſcribet ſpatium CBEFper aream Hyper­bolæ expoſitum, & motus ejus in fine temporis illius exponetur per Hyperbolæ ordinatam EF,amiſſa motus ejus parte FG.Et reſiſtentia ejus in fine temporis ejuſdem exponetur per longitudi­nem BH,amiſſa reſiſtentiæ parte CH.Patent hæc omnia per Corol. 1. Prop. v. Lib. II.

Corol.7. Hinc ſi Globus tempore T per reſiſtentiam R unifor­miter continuatam amittat motum ſuum totum M: idem Globus tem­pore tin Medio reſiſtente, per reſiſtentiam R in duplicata velocitatis ratione decreſcentem, amittet motus ſui M partem (tM/T+t), manente parte (TM/T+t), & deſcribet ſpatium quod ſit ad ſpatium motu uni­formi M eodem tempore tdeſcriptum, ut Logarithmus numeri (T+t/T) multiplicatus per numerum 2,302585092994 eſt ad nume­rum t/T. Nam area Hyperbolica BCFEeſt ad rectangulum BCGEin hac proportione. Scholium.

In hac Propoſitione expoſui reſiſtentiam & retardationem Pro­jectilium Sphærieorum in Mediis non continuis, & oſtendi quod hæc reſiſtentia ſit ad vim qua totus Globi motus vel tolli poſſit vel generari quo tempore Globus duas tertias diametri ſuæ partes, ve­locitate uniformiter continuata deſcribat, ut denſitas Medii ad denſitatem Globi, ſi modo Globus & particulæ Medii ſint ſumme elaſtica & vi maxima reflectendi polleant: quodque hæc vis ſit duplo minor ubi Globus & particulæ Medii ſunt infinite dura & vi reflectendi prorſus deſtituta. In Medus autem continuis qualia ſunt Aqua, Oleum calidum, & Argentum vivum, in quibus Globus non incidit immediate in omnes fluidi particulas reſiſtentiam gene­rantes, ſed premit tantum proximas particulas & hæ premunt alias & hæ alias, reſiſtentia eſt adhuc duplo minor. Globus utiQ.E.I. hujuſmodi Mediis fluidiſſimis reſiſtentiam patitur quæ eſt ad vim qua totus ejus motus vel tolli poſſit vel generari quo tempore, motu illo uniformiter continuato, partes octo tertias diametri ſuæ deſcribat, ut denſitas Medii ad denſitatem Globi. Id quod in ſe­quentibus conabimur oſtendere. PROPOSITIO XXXVI. PROBLEMA VIII.

LIBER SECUNDUS.

Aquæ de vaſe Cylindrico per foramen in fundo factum effluentis definire motum.

Sit ACDBvas cylindricum, ABejus orificium ſuperius, CDfundum horizonti parallelum, EFforamen circulare in medio fundi, Gcentrum foraminis, & GHaxis cylindri horizonti per­pendicularis. Et concipe cylindrum gla­

ciei APQBejuſdem eſſe latitudinis cum cavitate vaſis, & axem eundem ha­bere, & uniformi cum motu perpetuo deſcendere, & partes ejus quam primum attingunt ſuperficiem ABliqueſcere, & in aquam converſas gravitate ſua defluere in vas, & cataractam vel columnam aquæ ABNFEMcadendo formare, & per foramen EFtranſire, idemque adæquate implere. Ea vero ſit uniformis veloci­tas glaciei deſcendentis ut & aquæ con­tiguæ in circulo AB,quam aqua caden­do & caſu ſuo deſcribendo altitudinem IHacquirere poteſt; & jaceant IH& HGin directum, & per punctum Iducatur recta KLhorizonti parallela & lateribus gla-ciei occurrens in K& L.Et velocitas aquæ effluentis per fora­men EFea erit quam aqua cadendo ab I& caſu ſuo deſcribendo altitudinem IGacquirere poteſt. Ideoque per Theoremata Galilæierit IGad IHin duplicata ratione velocitatis aquæ per foramen effluentis ad velocitatem aquæ in circulo AB,hoc eſt, in dupli­cata ratione circuli ABad circulum EF; nam hi circuli ſunt re­ciproce ut velocitates aquarum quæ per ipſos, eodem tempore & æquali quantitate, adæquate tranſeunt. De velocitate aquæ hori­zontem verſus hic agitur. Et motus horizonti parallelus quo par­tes aquæ cadentis ad invicem accedunt, cum non oriatur a gravi­tate, nec motum horizonti perpendicularem à gravitate oriundum mutet, hic non conſideratur. Supponimus quidem quod partes aquæ aliquantulum cohærent, & per cohæſionem ſuam inter ca­dendum accedant ad invicem per motus horizonti parallelos, ut unicam tantum efforment cataractam & non in plures cataractas dividantur: ſed motum horizonti parallelum, a cohæſione illa ori­undum, hic non conſideramus.

DE MOTU CORPORUM

Cas.1. Concipe jam cavitatem totam in vaſe, in circuitu aquæ cadentis ABNFEM,glacie plenam eſſe, ut aqua per glaciem tanquam per infundibulum tranſeat. Et ſi aqua glaciem tantum non tangat vel, quod perinde eſt, ſi tangat & per glaciem propter ſummam ejus polituram quam liberrime & ſine omni reſiſtentia la­batur; hæc defluet per foramen EFeadem velocitate ac prius, & pondus totum columnæ aquæ ABNFEMimpendetur in deflu­xum ejus generandum uti prius, & fundum vaſis ſuſtinebit pon­dus glaciei columnam ambientis.

Liqueſcat jam glacies in vaſe; & effluxus aquæ quoad velocita­tem, idem manebit ac prius. Non minor erit, quia glacies in aquam reſoluta conabitur deſcendere: non major, quia glacies in aquam reſoluta non poteſt deſcendere niſi impediendo deſcenſum aquæ alterius deſcenſui ſuo æqualem. Eadem vis eandem aquæ effluen­tis velocitatem generare debet.

Sed foramen in fundo vaſis, propter obliquos motus particula­rum aquæ effluentis, paulo majus eſſe debet quam prius. Nam par­ticulæ aquæ jam non tranſeunt omnes per foramen perpendicula­riter; ſed a lateribus vaſis undique confluentes & in foramen con­vergentes, obliquis tranſeunt motibus; & curſum ſuum deorſum flectentes in venam aquæ exilientis conſpirant, quæ exilior eſt pau­lo infra foramen quam in ipſo foramine, exiſtente ejus diametro ad diametrum foraminis ut 5 ad 6, vel 5 1/2 ad 6 1/2 quam proxime, ſi modo diametros recte dimenſus ſum. Parabam utique laminam planam pertenuem in medio perforatam, exiſtente circularis fora­minis diametro partium quinque octavarum digiti. Et ne vena aquæ exilientis cadendo acceleraretur & acceleratione redderetur anguſtior, hanc laminam non fundo ſed lateri vaſis affixi ſic, ut vena illa egrederetur ſecundum lineam horizonti parallelam. Dein ubi vas aquæ plenum eſſet, aperui foramen ut aqua efflueret; & venæ diameter, ad diſtantiam quaſi dimidii digiti â ſoramine quam accuratiſſime menſurata, prodiit partium viginti & unius quadrageſi­marum digiti. Erat igitur diameter foraminis hujus circularis ad diametrum venæ ut 25 ad 21 quamproxime. Per experimenta vero conſtat quod quantitas aquæ quæ per foramen circulare in fundo vaſis factum effluit, ea eſt quæ, pro diametro venæ, cum velocitate prædicta effluere debet.

LIBER SECUNDUS.

In ſequentibus igitur, plano foraminis parallelum duci intelliga­tur planum aliud ſuperius ad diſtantiam diametro foraminis æqua­lem vel paulo majorem & foramine majore pertuſum, per quod utique vena cadat quæ adæquate impleat

foramen inferius EF,atque adeo cujus diameter ſit ad diametrum foraminis in­ferioris ut 25 ad 21 circiter. Sic enim vena per foramen inferius perpendicu­lariter tranſibit; & quantitas aquæ ef­fluentis, pro magnitudine foraminis hu­jus, ea erit quam ſolutio Problematis po­ſtulat quamproxime. Spatium vero quod planis duobus & vena cadente clauditur, pro fundo vaſis haberi poteſt. Sed ut ſolutio Problematis ſimplicior ſit & ma­gis Mathematica, præſtat adhibere pla­num ſolum inferius pro fundo vaſis, & fingere quod aqua quæ per glaciem ceu per infundibulum deflue­bat, & è vaſe per foramen EFegrediebatur, motum ſuum per­petuo ſervet & glacies quietem ſuam etiamſ in aquam fluidam reſolvatur.

Cas.2. Si foramen EFnon ſit in medio fundi vaſis, ſed fun­dum alibi perforetur: aqua effluet eadem cum velocitate ac prius, ſi modo eadem ſit foraminis magnitudo. Nam grave majori qui­dem tempore deſcendit ad eandem profunditatem per lineam ob­liquam quam per lineam perpendicularem, ſed deſcendendo ean-dem velocitatem acquirit in utroque caſu, ut Galilæusdemon­ſtravit.

DE MOTU CORPORUM.

Cas.3. Eadem eſt aquæ velocitas effluentis per foramen in la­tere vaſis. Nam ſi foramen parvum ſit, ut intervallum inter ſuper­ficies AB& KLquoad ſenſum evaneſcat, & vena aquæ hori­zontaliter exilientis figuram Parabolicam efformet: ex latere recto hujus Parabolæ colligetur, quod velocitas aquæ effluentis ea ſit quam corpus ab aquæ in vaſe ſtagnantis altitudine HGvel IGca­dendo acquirere potuiſſet. Facto utique experimento inveni quod, ſi altitudo aquæ ſtagnantis ſupra foramen eſſet viginti digitorum & altitudo foraminis ſupra planum horizonti parallelum eſſet quo­que viginti digitorum, vena aquæ proſilientis incideret in planum illud ad diſtantiam digitorum 37 circiter à perpendiculo quod in planum illud à foramine demittebatur captam. Nam ſine reſiſten­tia vena incidere debuiſſet in planum illud ad diſtantiam digitorum 40, exiſtente venæ Parabolicæ latere recto digitorum 80.

Cas.4. Quinetiam aqua effluens, ſi ſurſum feratur, eadem egre­ditur cum velocitate. Aſcendit enim aquæ exilientis vena parva motu perpendiculari ad aquæ in vaſe ſtagnantis altitudinem GHvel GI,niſi quatenus aſcenſus ejus ab aeris reſiſtentia aliquantu­lum impediatur; ac proinde ea effluit cum velocitate quam ab al­titudine illa cadendo acquirere potuiſſet.

Aquæ ſtagnantis particula unaquæque undique premitur æqualiter, per Prop. XIX. Lib. II, & preſſioni cedendo æquali impetu in omnes partes fertur, ſive de­ſcendat per foramen in fundo vaſis, ſive horizontaliter effluat per foramen in ejus latere, ſive egrediatur in canalem & inde aſcendat per foramen parvum in ſuperiore canalis parte factum. Et velocitatem qua aqua effluit, eam eſſe quam in hac Pro­poſitione aſſignavimus, non ſolum rati­one colligitus, ſed etiam per experimenta notiſſima jam deſcripta manifeſtum eſt.

Cas.5. Eadem eſt aquæ effluentis velocitas ſive figura foraminis ſit circularis ſive quadrata vel triangularis aut alia quæcunque cir­culari æqualis. Nam velocitas aquæ effluentis non pendet à figura foraminis ſed ab ejus altitudine infra planum KL.

Cas.6. Si vaſis ABDCpars inferior in aquam ſtagnantem im-mergatur, & altitudo aquæ ſtagnantis ſupra fundum vaſis ſit GR: velocitas quacum aqua quæ in vaſe eſt, effluet per foramen EFin aquam ſtagnantem, ea erit quam aqua cadendo & caſu ſuo de­ſcribendo altitudinem IRacquirere poteſt. Nam pondus aquæ omnis in vaſe quæ inferior eſt ſuperficie aquæ ſtagnantis, ſuſtine­bitur in æquilibrio per pondus aquæ ſtagnantis, ideoque motum aquæ deſcendentis in vaſe minime accelerabit. Patebit etiam & hic Caſus per Experimenta, menſurando ſcilicet tempora qui­bus aqua effluit.

LIBER SECUNDUS.

Corol.1. Hinc ſi aquæ altitudo CAproducatur ad K,ut ſit AKad CKin duplicata ratione areæ foraminis in quavis fundi parte facti, ad aream circuli AB: velocitas aquæ effluentis æqualis erit velocitati quam aqua cadendo & caſu ſuo deſcribendo altitudinera KCacquirere poteſt.

Corol.2. Et vis qua totus aquæ exilientis motus generari poteſt, æqualis eſt ponderi Cylindricæ columnæ aquæ cujus baſis eſt fora­men EF,& altitudo 2GIvel 2CK.Nam aqua exiliens quo tempore hanc columnam æquat, pondere ſuo ab altitudine GIca­dendo, velocitatem ſuam qua exilit, acquirere poteſt.

Corol.3. Pondus aquæ totius in vaſe ABDC,eſt ad ponderis partem quæ in defluxum aquæ impenditur, ut ſumma circulorum AB& EF,ad duplum circulum EF.Sit enim IOmedia pro­portionalis inter IH& IG; & aqua per foramen EFegrediens, quo tempore gutta cadendo ab Ideſcribere poſſet altitudinem IG,æqualis erit Cylindro cujus baſis eſt circulus EF& altitudo eſt 2IG,id eſt, Cylindro cujus baſis eſt circulus AB& altitudo eſt 2IO,nam circulus EFeſt ad circulum ABin ſubduplicata ratione altitudinis IHad altitudinem IG,hoc eſt, in ſimplici ratione me­diæ proportionalis IOad altitudinem IG: & quo tempore gutta cadendo ab Ideſcribere poteſt altitudinem IH,aqua egrediens æqualis erit Cylindro cujus baſis eſt circulus AB& altitudo eſt 2IH: & quo tempore gutta cadendo ab Iper Had Gdeſcribit altitudinum differentiam HG,aqua egrediens, id eſt, aqua tota in ſolido ABNFEMæqualis erit differentiæ Cylindrorum, id eſt, Cylindro cujus baſis eſt AB& altitudo 2HO.Et propterea aqua tota in vaſe ABDCeſt ad aquam totam cadentem in ſolido ABNFEMut HGad 2HO,id eſt, ut HO+OGad 2HO,ſeu IH+IOad 2IH.Sed pondus aquæ totius in ſolido ABNFEMin aquæ defluxum impenditur: ac pro-inde pondus aquæ totius in vaſe eſt ad ponderis partem quæ in defluxum aquæ impenditur, ut IH+IOad 2IH,atque adeo ut ſumma circulorum EF& ABad duplum circulum EF.

DE MOTU CORPORUM

Corol.4. Et hinc pondus aquæ totius in vaſe ABDC,eſt ad ponderis partem alteram quam fundum vaſis ſuſtinet, ut ſumma circulorum AB& EF,ad differentiam eorundem circulorum.

Corol.5. Et ponderis pars quam fundum vaſis ſuſtinet, eſt ad ponderis partem alteram quæ in defluxum aquæ impenditur, ut differentia circulorum AB& EF,ad duplum circulum minorem EF,ſive ut area fundi ad duplum foramen.

Corol.6. Ponderis autem pars qua ſola fundum urgetur, eſt ad pondus aquæ totius quæ fundo perpendiculariter incumbit, ut cir­culus ABad ſummam circulorum AB& EF,ſive ut circulus ABad exceſſum dupli circuli ABſupra fundum. Nam ponderis pars qua ſola fundum urgetur, eſt ad pondus aquæ totius in vaſe, ut differentia circulorum AB& EF,ad ſummam eorundem cir­culorum, per Cor.4; & pondus aquæ totius in vaſe eſt ad pondus aquæ totius quæ fundo perpendiculariter incumbit, ut circulus ABad differentiam circulorum AB& EF.Itaque ex æquo perturbate, ponderis pars qua ſola fundum urgetur, eſt ad pondus aquæ totius quæ fundo perpendiculariter incumbit, ut circulus ABad ſummam circulorum AB& EFvel exceſſum dupli cir­culi ABſupra fundum.

Corol.7. Si in medio foraminis EF

locetur Circellus PQcentro Gdeſcri­ptus & horizonti parallelus: pondus aquæ quam circellus ille ſuſtinet, majus eſt pondere tertiæ partis Cylindri a­quæ cujus baſis eſt circellus ille & al­titudo eſt GH.Sit enim ABNFEMcataracta vel columna aquæ cadentis axem habens GHut ſupra, & conge­lari intelligatur aqua omnis in vaſe, tam in circuitu cataractæ quam ſupra cir­cellum, cujus fluiditas ad promptiſſimum & celerrimum aquæ deſcenſum non requiritur. Et ſit PHQco­lumna aquæ ſupra circellum congelata, verticem habens H& alti­tudinem GH.Et quemadmodum aqua in circuitu cataractæ con­gelata AMEC, BNFDconvexa eſt in ſuperficie interna AME, BNFverſus cataractam cadentem, ſic etiam hæc columna PHQconvexa erit verſus cataractam, & propterea major Cono cujus ba­ſis eſt circellus ille PQ& altitudo GH,id eſt, major tertia parte Cylindri eadem baſe & altitudine deſcripti. Suſtinet autem cir­cellus ille pondus hujus columnæ, id eſt, pondus quod pondere Coni ſeu tertiæ partis Cylindri illius majus eſt.

LIBER SECUNDUS.

Corol.8. Pondus aquæ quam circellus valde parvus PQſuſtinet, minor eſt pondere duarum tertiarum partium Cylindri aquæ cujus baſis eſt circellus ille & altitudo eſt HG.Nam ſtantibus jam po­ſitis, deſcribi intelligatur dimidium Sphæroidis cujus baſis eſt cir­cellus ille & ſemiaxis ſive altitudo eſt HG.Et hæc figura æqualis erit duabus tertiis partibus Cylindri illius & comprehendet colum­nam aquæ congelatæ PHQcujus pondus circellus ille ſuſtinet. Nam ut motus aquæ ſit maxime directus, columnæ illius ſuper­ficies externa concurret cum baſi PQin angulo nonnihil acuto, propterea quod aqua cadendo perpetuo acceleratur & propter ac­celerationem fit tenuior; & cum angulus ille ſit recto minor, hæc columna ad inferiores ejus partes jacebit intra dimidium Sphæroi­dis. Eadem vero ſurſum acuta erit ſeu cuſpidata, ne horizontalis motus aquæ ad verticem Sphæroidis ſit infinite velocior quam ejus motus horizontem verſus. Et quo minor eſt circellus PQeo acutior erit vertex columnæ; & circello in infinitum diminuto, an­gulus PHQin infinitum diminuetur, & propterea columna ja­cebit intra dimidium Sphæroidis. Eſt igitur columna illa minor dimidio Sphæroidis, ſeu duabus tertiis partibus Cylindri cujus baſis eſt circellus ille & altitudo GH.Suſtinet autem circellus vim aquæ ponderi hujus columnæ æqualem, cum pondus aquæ ambientis in defluxum ejus impendatur.

Corol.9. Pondus aquæ quam circellus valde parvus PQſuſti­net, æquale ſet ponderi Cylindri aquæ cujus baſis eſt circellus ille & altitudo eſt 1/2GHquamproxime. Nam pondus hocce eſt me­dium Arithmeticum inter pondera Coni & Hemiſphæroidis præ­dictæ. At ſi circellus ille non ſit valde parvus, ſed augeatur donec æquet foramen EF; hic ſuſtinebit pondus aquæ totius ſibi per­pendiculariter imminentis, id eſt, pondus Cylindri aquæ cujus ba­ſis eſt circellus ille & altitudo eſt GH.

Corol.10. Et (quantum ſentio) pondus quod circellus ſuſtinet, eſt ſemper ad pondus Cylindri aquæ cujus baſis eſt circellus ille & altitudo eſt 1/2GH,ut EFqad EFq-1/2PQq,ſive ut circulus EFad exceſſum circuli hujus ſupra ſemiſſem circelli PQquam­proxime. LEMMA IV.

DE MOTU CORPORUM

Cylindri, qui ſecundum longitudinem ſuam uniformiter progreditur, reſiſtentia ex aucta vel diminuta ejus longitudine non mutatur; ideoque eadem eſt cum reſiſtentia Circuli eadem diametro de­ſcripti & eadem velocitate ſecundum lineam rectam plano ip­ſius perpendicularem progredientis.

Nam latera Cylindri motui ejus minime opponuntur: & Cy­lindrus, longitudine ejus in infinitum diminuta, in Circulum vertitur. PROPOSITIO XXXVII. THEOREMA XXIX.

Cylindri, qui in fluide compreſſo infinito & non elaſtico ſecundum longitudinem ſuam uniformiter progreditur, reſiſtentia quæ ori­tur a magnitudine ſectionis tranſverſæ, eſt ad vim qua totus ejus motus interea dum quadruplum longitudinis ſuæ deſcribit, vel tolli poſſit vel generari, ut denſitas Medii ad denſitatem Cylindri quamproxime.

Nam ſi vas ABDCfundo ſuo CDſuperficiem aquæ ſtagnan­tis tangat, & aqua ex hoc vaſe per ca­

nalem Cylindricum EFTShorizonti perpendicularem in aquam ſtagnantem effluat, locetur autem Circellus PQho­rizonti parallelus ubivis in medio ca­nalis, & producatur CAad K,ut ſit AKad CKin duplicata ratione quam habet exceſſus orificii canalis EFſupra circellum PQad circulum AB: mani­feſtum eſt (per Caſ.5, Caſ.6, & Cor. 1. Prop.XXXVI.) quod velocitas aquæ tran­ſeuntis per ſpatium annulare inter cir­cellum & latera vaſis, ea erit quam aqua cadendo & caſu ſuo deſcribendo altitudinem KCvel IGacquirere poteſt.

Et (per Cor. 10, Prop.XXXVI) ſi vaſis latitudo ſit infinita, ut li­neola HIevaneſcat & altitudines IG, HGæquentur: vis aquæ defluentis in circellum erit ad pondus Cylindri cujus baſis eſt cir­cellus ille & altitudo eſt 1/2 IG,ut EFqad EFq-1/2 PQqquam proxime. Nam vis aquæ, uniformi motu defluentis per totum ca­nalem, eadem erit in circellum PQin quacunque canalis parte locatum.

LIBER SECUNDUS.

Claudantur jam canalis orificia EF, ST,& aſcendat circellus in fluido undique compreſſo & aſcenſu ſuo cogat aquam ſuperiorem deſcendere per ſpatium annulare inter circellum & latera cana­lis: & velocitas circelli aſcendentis erit ad velocitatem aquæ deſcendentis ut differentia circulorum EF& PQad circulum PQ,& velocitas circelli aſcendentis ad ſummam velocitatum, hoc eſt, ad velocitatem relativam aquæ deſcendentis qua præ­terfluit circellum aſcendentem, ut differentia circulorum EF& PQad circulum EF,ſive ut EFq-PQqad EFq.Sit illa velocitas relativa æqualis velocitati qua ſupra oſtenſum eſt aquam tranſire per idem ſpatium annulare dum circellus interea immotus manet, id eſt, velocitati quam aqua cadendo & caſu ſuo deſcribendo altitudinem IGacquirere poteſt: & vis aquæ in cir­cellum aſcendentem eadem erit ac prius, per Legum Cor. 5, id eſt, Reſiſtentia circelli aſcendentis erit ad pondus Cylindri aquæ cujus baſis eſt circellus ille & altitudo eſt 1/2 IG,ut EFqad EFq-1/2 PQqquamproxime. Velocitas autem circelli erit ad velocitatem quam aqua cadendo & caſu ſuo deſcribendo altitudinem IGacquirit, ut EFq-PQqad EFq.

Augeatur amplitudo canalis in infinitum: & rationes illæ inter EFq-PQq& EFq,interque EFq& EFq-1/2 PQqacce­dent ultimo ad rationes æqualitatis. Et propterea Velocitas cir­celli ea nunc erit quam aqua cadendo & caſu ſuo deſcribendo al­titudinem IGacquirere poteſt, Reſiſtentia vero ejus æqualis eva­det ponderi Cylindri cujus baſis eſt circellus ille & altitudo di­midium eſt altitudinis IG,a qua Cylindrus cadere debet ut velo­citatem circelli aſcendentis acquirat; & hac velocitate Cylindrus, tempore cadendi, quadruplum longitudinis ſuæ deſcribet. Reſi­ſtentia autem Cylindri, hac velocitate ſecundum longitudinem ſuam progredientis, eadem eſt cum Reſiſtentia circelli per Lemma IV; ideoque æqualis eſt Vi qua motus ejus, interea dum quadruplum longitudinis ſuæ deſcribit, generari poteſt quamproxime.

DE MOTU CORPORUM

Si longitudo Cylindri augeatur vel minuatur: motus ejus ut & tempus quo quadruplum longitudinis ſuæ deſcribit, augebitur vel minuetur in eadem ratione; adeoque Vis illa qua motus auctus vel diminutus, tempore pariter aucto vel diminuto, generari vel tolli poſſit, non mutabitur; ac proinde etiamnum æqualis eſt reſi­ſtentiæ Cylindri, nam & hæc quoQ.E.I.mutata manet per Lem­ma IV.

Si denſitas Cylindri augeatur vel minuatur: motus ejus ut & Vis qua motus eodem tempore generari vel tolli poteſt, in eadem ratione augebitur vel minuetur. Reſiſtentia itaque Cylindri cu­juſcunque erit ad Vim qua totus ejus motus, interea dum quadru­plum longitudinis ſuæ deſcribit, vel generari poſſit vel tolli, ut denſitas Medii ad denſitatem Cylindri quamproxime. Q.E.D.

Fluidum autem comprimi debet ut ſit continuum, continuum vero eſſe & non elaſticum ut preſſio omnis quæ ab ejus compreſſi­one oritur propagetur in inſtanti &, in omnes moti corporis partes æqualiter agendo, reſiſtentiam non mutet. Preſſio utique quæ a motu corporis oritur, impenditur in motum partium fluidi gene­randum & Reſiſtentiam creat. Preſſio autem quæ oritur a com­preſſione fluidi, utcunque fortis ſit, ſi propagetur in inſtanti, nul­lum generat motum in partibus fluidi continui, nullam omnino in­ducit motus mutationem; ideoque reſiſtentiam nec auget nec mi­nuit. Certe Actio fluidi, quæ ab ejus compreſſione oritur, fortior eſſe non poteſt in partes poſticas corporis moti quam in ejus par­tes anticas, ideoque reſiſtentiam in hac Propoſitione deſcriptam minuere non poteſt: & fortior non erit in partes anticas quam in poſticas, ſi modo propagatio ejus infinite velocior ſit quam motus corporis preſſi. Infinite autem velocior erit & propagabitur in in­ſtanti, ſi modo fluidum ſit continuum & non elaſticum.

Corol.1. Cylindrorum, qui ſecundum longitudines ſuas in Mediis continuis infinitis uniformiter progrediuntur, reſiſtentiæ ſunt in ra­tione quæ componitur ex duplicata ratione velocitatum & dupli­cata ratione diametrorum & ratione denſitatis Mediorum.

Corol.2. Si amplitudo canalis non augeatur in infinitum, ſed Cy­lindrus in Medio quieſcente incluſo ſecundum longitudinem ſuam progrediatur, & interea axis ejus cum axe canalis coincidat: Reſi­ſtentia ejus erit ad vim qua totus ejus motus, quo tempore qua­druplum longitudinis ſuæ deſcribit, vel generari poſſit vel tolli, in ratione quæ componitur ex ratione EFqad EFq-1/2 PQqſemel, & ratione EFqad EFq-PQqbis, & ratione denſitatis Medii ad denſitatem Cylindri.

LIBER SECUNDUS.

Corol.3. Iiſdem poſitis, & quod longitudo L ſit ad quadru­plum longitudinis Cylindri in ratione quæ componitur ex ratione EFq-1/2 PQqad EFqſemel, & ratione EFq-PQqad EFqbis: reſiſtentia Cylindri erit ad vim qua totus ejus motus, interea dum longitudinem L deſcribit, vel tolli poſſit vel generari, ut denſitas Medii ad denſitatem Cylindri. Scholium.

In hac Propoſitione reſiſtentiam inveſtigavimus quæ oritur a ſola magnitudine tranſverſæ ſectionis Cylindri, neglecta reſiſtentiæ parte quæ ab obliquitate motuum oriri poſſit. Nam quemadmo­dum in caſu primo Propoſitionis XXXVI, obliquitas motuum qui­bus partes aquæ in vaſe, undique convergebant in foramen EF,impedivit effluxum aquæ illius per foramen: ſic in hac Propoſiti­one, obliquitas motuum quibus partes aquæ ab anteriore Cylindri termino preſſæ, cedunt preſſioni & undiQ.E.D.vergunt, retardat eo­rum tranſitum per loca in circuitu termini illius antecedentis ver­ſus poſteriores partes Cylindri, efficitque ut fluidum ad majorem diſtantiam commoveatur & reſiſtentiam auget, idQ.E.I. ea fere ratione qua effluxum aquæ e vaſe diminuit, id eſt, in ratione du­plicata 25 ad 21 circiter. Et quemadmodum, in Propoſitionis illius caſu primo, effecimus ut partes aquæ perpendiculariter & maxima copia tranſirent per foramen EF,ponendo quod aqua omnis in vaſe quæ in circuitu cataractæ congelata fuerat, & cujus motus obliquus erat & inutilis, maneret ſine motu: ſic in hac Propoſi­tione, ut obliquitas motuum tollatur, & partes aquæ motu maxime directo & breviſſimo cedentes facillimum præbeant tranſitum Cy­lindro, & ſola maneat reſiſtentia quæ oritur a magnitudine ſecti­onis tranſverſæ, quæQ.E.D.minui non poteſt niſi diminuendo dia­metrum Cylindri, concipiendum eſt quod partes fluidi quarum motus ſunt obliqui & inutiles & reſiſtentiam creant, quieſcant in­ter ſe ad utrumque Cylindri ter­

minum, & cohæreant & Cylindro jungantur. Sit ABCDrectan­gulum, & ſint AE& BEarcus duo Parabolici axe ABdeſcripti, latere autem recto quod ſit ad ſpa-tium HG,deſcribendum a Cylindro
cadente dum velocitatem ſuam ac­quirit, ut HGad 1/2 AB.Sint etiam CF& DFarcus alii duo Para­bolici, axe CD& latere recto quod ſit prioris lateris recti qua­druplum deſcripti; & convolutione figuræ circum axem EFge­neretur ſolidum cujus media pars ABDCſit Cylindrus de quo agimus, & partes extremæ ABE& CDFcontineant partes fluidi inter ſe quieſcentes & in corpora duo rigida concretas, quæ Cy­lindro utrinque tanquam caput & cauda adhæreant. Et ſolidi EACFDB,ſecundum longitudinem axis ſui FEin partes ver­ſus Eprogredientis, reſiſtentia ea erit quamproxime quam in hac Propoſitione deſcripſimus, id eſt, quæ rationem illam habet ad vim qua totus Cylindri motus, interea dum longitudo 4 ACmotu illo uniformiter continuato deſcribatur, vel tolli poſſit vel generari, quam denſitas Fluidi habet ad denſitatem Cylindri quamproxime. Et hac vi Reſiſtentia minor eſſe non poteſt quam in ratione 2 ad 3, per Corol. 7. Prop. XXXVI. LEMMA V.

DE MOTU CORPORUM.

Si Cylindrus, Sphæra & Sphærois, quorum latitudines ſunt æqua­les, in medio canalis Cylindrici ita locentur ſucceſſive ut eo­rum axes cum axe canalis coincidant: hæc corpora fluxum aquæ per canalem æqualiter impedient.

Nam ſpatia inter Canalem & Cylindrum, Sphæram, & Sphæroi­dem per quæ aqua tranſit, ſunt æqualia: & aqua per æqualia ſpa­tia æqualiter tranſit. LEMMA VI.

Iiſdem poſitis, corpora prædicta æqualiter urgentur ab aqua per canalem fluente.

Patet per Lemma v & Motus Legem tertiam. Aqua utique & corpora in ſe mutuo æqualiter agunt. LEMMA VII.

LIBER SECUNDUS.

Si aqua quieſcat in canali, & hæc corpora in partes contrarias æquali velocitate per canalem ferantur: æquales erunt eorum reſiſtentiæ inter ſe.

Conſtat ex Lemmate ſuperiore, nam motus relativi iidem inter ſe manent. Scholium.

Eadem eſt ratio corporum omnium convexorum & rotundo­rum, quorum axes cum axe canalis coincidunt. Differentia aliqua ex majore vel minore frictione oriri poteſt; ſed in his Lemmatis corpora eſſe politiſſima ſupponimus, & Medii tenacitatem & frictio­nem eſſe nullam, & quod partes fluidi, quæ motibus ſuis obliquis & ſuperfluis fluxum aquæ per canalem perturbare, impedire, & re­tardare poſſunt, quieſcant inter ſe tanquam gelu conſtrictæ, & cor­poribus ad ipſorum partes anticas & poſticas adhæreant, perinde ut in Scholio Propoſitionis præcedentis expoſui. Agitur enim in ſequentibus de reſiſtentia omnium minima quam corpora rotunda, datis maximis ſectionibus tranſverſis deſcripta, habere poſſunt.

Corpora fluidis innatantia, ubi moventur in directum, efficiunt ut fluidum ad partem anticam aſcendat, ad poſticam ſubſidat, præ­ſertim ſi figura ſint obtuſa; & inde reſiſtentiam paulo majorem ſentiunt quam ſi capite & cauda ſint acutis. Et corpora in fluidis elaſticis mota, ſi ante & poſt obtuſa ſint, fluidum paulo magis condenſant ad anticam partem & paulo magis relaxant ad poſticam; & inde reſiſtentiam paulo majorem ſentiunt quam ſi capite & cau­da ſint acutis. Sed nos in his Lemmatis & Propoſitionibus non agimus de fluidis elaſticis, ſed de non elaſticis; non de inſidentibus fluido, ſed de alte immerſis. Et ubi reſiſtentia corporum in fluidis non elaſticis innoteſcit, augenda erit hæc reſiſtentia aliquantulum tam in fluidis elaſticis, qualis eſt Aer, quam in ſuperficiebus fluido­rum ſtagnantium, qualia ſunt maria & paludes. PROPOSITIO XXXVIII. THEOREMA XXX.

DE MOTU CORPORUM

Globi, in Fluido compreſſo infinito & non elaſtico uniformiter progre­dientis, reſiſtentia eſt ad vim qua totus ejus motus, quo tempore octo tertias partes diametri ſuæ deſcribit, vel tolli poſſit vel generari, ut denſitas Fluidi ad denſitatem Globi quamproxime.

Nam Globus eſt ad Cylindrum circumſcriptum ut duo ad tria; & propterea Vis illa, quæ tollere poſſit motum omnem Cylindri interea dum Cylindrus deſcribat longitudinem quatuor diametro­rum, Globi motum omnem tollet interea dum Globus deſcribat duas tertias partes hujus longitudinis, id eſt, octo tertias partes diametri propriæ. Reſiſtentia autem Cylindri eſt ad hanc Vim quamproxime ut denſitas Fluidi ad denſitatem Cylindri vel Globi, per Prop.XXXVII; & Reſiſtentia Globi æqualis eſt Reſiſtentiæ Cy­lindri, per Lem. V, VI, VII. Q.E.D.

Corol.1. Globorum, in Mediis compreſſis infinitis, reſiſtentiæ ſunt in ratione quæ componitur ex duplicata ratione velocitatis, & du­plicata ratione diametri, & duplicata ratione denſitatis Mediorum.

Corol.2 Velocitas maxima quacum Globus, vi ponderis ſui com­parativi, in fluido reſiſtente poteſt deſcendere, ea eſt quam acqui­rere poteſt Globus idem, eodem pondere, abſque reſiſtentia caden­do & caſu ſuo deſcribendo ſpatium quod ſit ad quatuor tertias partes diametri ſuæ ut denſitas Globi ad denſitatem Fluidi. Nam Globus tempore caſus ſui, cum velocitate cadendo acquiſita, de­ſcribet ſpatium quod erit ad octo tertias diametri ſuæ, ut denſitas Globi ad denſitatem Fluidi; & vis ponderis motum hunc generans, erit ad vim quæ motum eundem generare poſſit quo tempore Glo­bus octo tertias diametri ſuæ eadem velocitate deſcribit, ut denſitas Fluidi ad denſitatem Globi: ideoque per hanc Propoſitionem, vis ponderis æqualis erit vi Reſiſtentiæ, & propterea Globum accele­rare non poteſt.

Corol.3. Data & denſitate Globi & velocitate ejus ſub initio motus, ut & denſitate fluidi compreſſi quieſcentis in qua Globus movetur; datur ad omne tempus & velocitas Globi & ejus reſi­ftentia & ſpatium ab eo deſcriptum, per Corol. 7. Prop. XXXV.

Corol.4. Globus in fluido compreſſo quieſcente ejuſdem ſecum denſitatis movendo, dimidiam motus ſui partem prius amittet quam longitudinem duarum ipſius diametrorum deſcripſerit, per idem Corol. 7. PROPOSITIO XXXIX. THEOREMA XXXI.

LIBER SECUNDUS.

Globi, per Fluidum in canali Cylindrico clauſum & compreſſum uni­formiter progredientis, reſiſtentia eſt ad vim qua totus ejus motus, interea dum octo tertias partes diametri ſuæ deſcribit, vel ge­nerari poſſit vel tolli, in ratione quæ componitur ex ratione ori­ficii canalis ad exceſſum hujus orificii ſupra dimidium circuli maximi Globi, & ratione duplicata orificii canalis ad exceſſum hujus orificii ſupra circulum maximum Globi, & ratione den­ſitatis Fluidi ad denſitatem Globi quamproxime.

Patet per Corol. 2. Prop. XXXVII; procedit vero demonſtratio quemadmodum in Propoſitione præcedente. PROPOSITIO XL. PROBLEMA IX.

Globi, in Medio fluidiſſimo compreſſo progredientis, invenire reſi­ſtentiam per Phænomena.

Sit A pondus Globi in vacuo, B pondus ejus in Medio reſi­ſtente, D diameter Globi, F ſpatium quod ſit ad 4/3 D ut denſitas Globi ad denſitatem Medii, id eſt, ut A ad A-B, G tempus quo Globus pondere B abſque reſiſtentia cadendo deſcribit ſpatium F, & H velocitas quam Globus hocce caſu ſuo acquirit. Et erit H velocitas maxima quacum Globus, pondere ſuo B, in Medio reſi­ſtente poteſt deſcendere, per Corol. 2, Prop. XXXVIII; & reſi­ſtentia quam Globus ea cum velocitate deſcendens patitur, æqua­lis erit ejus ponderi B: reſiſtentia vero quam patitur in alia qua­cunque velocitate, erit ad pondus B in duplicata ratione velo­citatis hujus ad velocitatem illam maximam H,&c. G, per Corol. 1, Prop. XXXVIII.

DE MOTU CORPORUM

Hæc eſt reſiſtentia quæ oritur ab inertia materiæ Fluidi. Ea vero quæ oritur ab elaſticitate, tenacitate, & frictione partium ejus, ſic inveſtigabitur.

Demittatur Globus ut pondere ſuo B in Fluido deſcendat; & ſit P tempus cadendi, idQ.E.I. minutis ſecundis ſi tempus G in minutis ſecundis habeatur. Inveniatur numerus abſo­lutus N qui congruit Logarithmo 0,4342944819(2P/G), ſitque L Logarithmus numer; (N+1/N): & velocitas cadendo acquiſita erit (N-1/N+1)H, altitudo autem deſcripta erit (2PF/G)-1,3862943611 F+ 4,605170186LF. Si Fluidum ſatis profundum ſit, negligi poteſt terminus 4,605170186LF; & erit (2PF/G)-1,3862943611 F altitude deſcripta quamproxime. Patent hæc per Libri ſecundi Propo­ſitionem nonam & ejus Corollaria, ex Hypotheſi quod Glo­bus nullam aliam patiatur reſiſtentiam niſi quæ oritur ab inertia materiæ. Si vero aliam inſuper reſiſtentiam patiatur, deſcen­ſus erit tardior, & ex retardatione innoteſcet quantitas hujus re­ſiſtentiæ.

Ut corporis in Fluido cadentis velocitas & deſcenſus facilius in­noteſcant, compoſui Tabulam ſequentem, cujus columna prima denotat tempora deſcenſus, ſecunda exhibet velocitates cadendo acquiſitas exiſtente velocitate maxima 100000000, tertia exhibet ſpatia temporibus illis cadendo deſcripta, exiſtente 2 F ſpatio quod corpus tempore G cum velocitate maxima deſcribit, & quarta ex­hibet ſpatia iiſdem temporibus cum velocitate maxima deſcripta. Numeri in quarta columna ſunt (2P/G), & ſubducendo numerum 1,3862944-4,6051702 L, inveniuntur numeri in tertia columna, & multiplicandi ſunt hi numeri per ſpatium F ut habeantur ſpatia cadendo deſcripta. Quinta his inſuper adjecta eſt columna, quæ continet ſpatia deſcripta iiſdem temporibus a corpore, vi ponderis ſui comparativi B, in vacuo cadente.

TemporaPVelocitates cadentis in fluidoSpatia caden­do deſcripta in fluidoSpatia motu maximo de­ſcripta.Spatia caden­do deſcripta in vacuo.0,001G   (99999 29/30)0,000001F0,002F0,000001F0,01G  9999670,0001F0,02F0,0001F0,1G 99667990,0099834F0,2F0,01F0,2G197375320,0397361F0,4F0,04F0,3G291312610,0886815F0,6F0,09F0,4G379948960,1559070F0,8F0,16F0,5G462117160,2402290F1,0F0,25F0,6G537049570,3402706F1,2F0,36F0,7G604367780,4545405F1,4F0,49F0,8G664036770,5815071F1,6F0,64F0,9G716297870,7196609F1,8F0,81F1G761594160,8675617F2F1F2G964027582,6500055F4F4F3G995054754,6186570F6F9F4G999329306,6143765F8F16F5G999909208,6137964F10F25F6G9999877110,6137179F12F36F7G9999983412,6137073F14F49F8G9999998014,6137059F16F64F9G9999999716,6137057F18F81F10G99999999 1/518,6137056F20F100F

Scholium.

Ut reſiſtentias Fluidorum inveſtigarem per Experimenta, paravi vas ligneum quadratum, longitudine & latitudine interna digito­rum novem pedis Londinenſis,profunditate pedum novem cum ſemiſſe, idemQ.E.I.plevi aqua pluviali; & globis ex cera & plum­bo incluſo formatis, notavi tempora deſcenſus globorum, exiſtente deſcenſus altitudine 112 digitorum pedis. Pes ſolidus cubicus Londinenſiscontinet 76 libras Romanasaquæ pluvialis, & pedis hu­jus digitus ſolidus continet (19/36) uncias libræ hujus ſeu grana 253 1/3; & globus aqueus diametro digiti unius deſcriptus continet grana 132,645 in Medio aeris, vel grana 132,8 in vacuo; & globus qui­libet alius eſt ut exceſſus ponderis ejus in vacuo ſupra pondus ejus in aqua.

DE MOTU CORPORUM

Exper.1. Globus, cujus pondus erat 156 1/4 granorum in aere & 77 granorum in aqua, altitudinem totam digitorum 112 tempore minutorum quatuor ſecundorum deſcripſit. Et experimento repe­tito, globus iterum cecidit eodem tempore minutorum quatuor ſe­cundorum.

Pondus globi in vacuo eſt (156 11/38) gran,& exceſſus hujus ponde­ris ſupra pondus globi in aqua eſt (79 11/38) gran.Unde prodit globi diameter 0,84224 partium digiti. Eſt autem ut exceſſus ille ad pondus globi in vacuo, ita denſitas aquæ ad denſitatem globi, & ita partes octo tertiæ diametri globi (viz.2,24597 dig.) ad ſpa­tium 2 F, quod proinde erit 4,4256 dig.Globus tempore minuti unius ſecundi, toto ſuo pondere granorum (156 11/38), cadendo in va­cuo deſcribet digitos 193 1/3; & pondere granorum 77, eodem tem­pore, abſque reſiſtentia cadendo in aqua deſcribet digitos 95,219; & tempore G, quod ſit ad minutum unum ſecundum in ſubduplicata ratione ſpatii F ſeu 2,2128 dig.ad 95,219 dig,deſcribet 2,2128 dig.& velocitatem maximam H acquiret quacum poteſt in aqua de­ſcendere. Eſt igitur tempus G 0″,15244. Et hoc tempore G, cum velocitate illa maxima H, globus deſcribet ſpatium 2 F digi­torum 4,4256; ideoque tempore minutorum quatuor ſecundo­rum deſcribet ſpatium digitorum 116,1245. Subducatur ſpatium 1,3862944 F ſeu 3,0676 dig.& manebit ſpatium 113,0569 digito­rum quod globus cadendo in aqua, in vaſe ampliſſimo, tempore minutorum quatuor ſecundorum deſcribet. Hoc ſpatium, ob an­guſtiam vaſis lignei prædicti, minui debet in ratione quæ compo­nitur ex ſubduplicata ratione orificii vaſis ad exceſſum orificii hu­jus ſupra ſemicirculum maximum globi & ex ſimplici ratione ori­ficii ejuſdem ad exceſſum ejus ſupra circulum maximum globi, id eſt, in ratione 1 ad 0,9914. Quo facto, habebitur ſpatium 112,08 digitorum, quod Globus cadendo in aqua in hoc vaſe ligneo tem­pore minutorum quatuor ſecundorum per Theoriam deſcribere debuit quamproxime. Deſcripſit vero digitos 112 per Experi­mentum.

Exper.2. Tres Globi æquales, quorum pondera ſeorſim erant 76 1/3 granorum in aere & (5 1/16) granorum in aqua, ſucceſſive demitte­bantur; & unuſquiſque cecidit in aqua tempore minutorum ſecun­dorum quindecim, caſu ſuo deſcribens altitudinem digitorum 112.

Computum ineundo prodcunt pondus globi in vacuo (76 1/12) gran,exceſſus hujus ponderis ſupra pondus in aqua (71 17/48) gran,diameter globi 0,81296 dig,octo tertiæ partes hujus diametri 2,16789 dig,ſpatium 2 F 2,3217 dig,ſpatium quod globus pondere (5 1/16) gran,tempore 1″, abſque reſiſtentia cadendo deſcribat 12,808 dig,& tempus G 0′,301056. Globus igitur, velocitate maxima quacum poteſt in aqua vi ponderis (5 1/16) gran.deſcendere, tempore 0′,301056 deſcribet ſpatium 2,3217 dig.& tempore 15″ ſpatium 115,678 dig.Subducatur ſpatium 1,3862944 F ſeu 1,609 dig.& manebit ſpatium 114,069 dig.quod proinde globus eodem tempore in vaſe latiſli­mo cadendo deſcribere debet. Propter anguſtiam vaſis noſtri de­trahi debet ſpatium 0,895 dig.circiter. Et ſic manebit ſpatium 113,174 dig.quod globus cadendo in hoc vaſe, tempore 15″ de­ſcribere debuit per Theoriam quamproxime. Deſcripſit vero digi­tos 112 per Experimentum. Differentia eſt inſenſibilis.

LIBER SECUNDUS.

Exper.3. Globi tres æquales, quorum pondera ſeorſim erant 121 gran.in aere & 1 gran.in aqua, ſucceſſive demittebantur; & cadebant in aqua temporibus 46″, 47″, & 50″, deſcribentes alti­tudinem digitorum 112.

Per Theoriam hi globi cadere debuerunt tempore 40″ circiter. Quod tardius ceciderunt, vel bullulis nonnullis globo adhærenti­bus, vel rarefactioni ceræ ad calorem vel tempeſtatis vel manus globum demittentis, vel erroribus inſenſibilibus in ponderandis globis in aqua, vel denique minori proportioni reſiſtentiæ quæ a vi inertiæ in tardis motibus oritur ad reſiſtentiam quæ oritur ab aliis cauſis, tribuendum eſſe puto. Ideoque pondus globi in aqua debet eſſe plurium granorum ut experimentum certum & fide dig­num reddatur.

Exper.4. Experimenta hactenus deſcripta cæpi ut inveſtigarem reſiſtentias fluidorum antequam Theoria, in Propoſitionibus pro­xime præcedentibus expoſita, mihi innoteſceret. Poſtea, ut Theo­riam inventam examinarem, paravi vas ligneum latitudine interna digitorum 8 2/3, profunditate pedum quindecim cum triente. De­inde ex cera & plumbo incluſo globos quatuor formavi, ſingulos pondere 139 1/4 granorum in aere & 7 1/8 granorum in aqua. Et hos demiſi ut tempora cadendi in aqua per pendulum, ad ſemi-minuta ſecunda oſcillans, menſurarem. Globi, ubi ponderabantur & po­ſtea cadebant, frigidi erant & aliquamdiu frigidi manſerant; quia calor ceram rarefacit, & per rarefactionem diminuit pondus globi in aqua, & cera rarefacta non ſtatim ad denſitatem priſtinam per frigus reducitur. Antequam caderent, immergebantur penitus in aquam; ne pondere partis alicujus ex aqua extantis deſcenſus eo­rum ſub initio acceleraretur. Et ubi penitus immerſi quieſcebant, demittebantur quam cautiſſime, ne impulſum aliquem a manu de­mittente acciperent. Ceciderunt autem ſucceſſive temporibus oſcillationum 47 1/2, 48 1/2, 50 & 51, deſcribentes altitudinem pedum quindecim & digitorum duorum. Sed tempeſtas jam paulo frigi­dior erat quam cum globi ponderabantur, ideoQ.E.I.eravi experi­mentum alio die, & globi ceciderunt temporibus oſcillationum 49, 49 1/2, 50 & 53, ac tertio temporibus oſcillationum 49 1/2, 50, 51 & 53. Et experimento ſæpius capto, Globi ceciderunt maxima ex parte temporibus oſcillationum 49 1/2 & 50. Ubi tardius ce­cidere, ſuſpicor eoſdem retardatos fuiſſe impingendo in latera vaſis.

DE MOTU CORPORUM.

Jam computum per Theoriam ineundo, prodeunt pondus globi in vacuo 139 2/5 granorum. Exceſſus hujus ponderis ſupra pondus globi in aqua (132 11/40) gran.Diameter globi 0,99868 dig.Octo ter­tiæ partes diametri 2,66315 dig.Spatium 2 F 2,8066 dig.Spatium quod globus pondere 7 1/8 granorum, tempore minuti unius ſe­cundi abſque reſiſtentia cadendo deſcribit 9,88164 dig.Et tempus G 0″,376843. Globus igitur, velocitate maxima quacum poteſt in aqua vi ponderis 7 1/8 granorum deſcendere, tempore 0″,376843 de­ſcribit ſpatium 2,8066 digitorum, & tempore 1″ ſpatium 7,44766 di­gitorum, & tempore 25″ ſeu oſcillationum 50 ſpatium 186,1915 dig.Subducatur ſpatium 1,386294 F, ſeu 1,9454 dig.& manebit ſpa­tium 184,2461 dig.quod globus eodem tempore in vaſe latiſſimo deſcribet. Ob anguſtiam vaſis noſtri, minuatur hoc ſpatium in ra­tione quæ componitur ex ſubduplicata ratione orificii vaſis ad exceſſum hujus orificii ſupra ſemicirculum maximum globi, & ſim­plici ratione ejuſdem orificii ad exceſſum ejus ſupra circulum ma­ximum globi; & habebitur ſpatium 181,86 digitorum, quod glo­bus in hoc vaſe tempore oſcillationum 50 deſcribere debuit per Theoriam quamproxime. Deſcripſit vero ſpatium 182 digitorum tempore oſcillationum 49 1/2 vel 50 per Experimentum.

Exper.5. Globi quatuor pondere 154 1/8 gran.in aere & 21 1/2 gran.in aqua, ſæpe demiſſi, cadebant tempore oſcillationum 28 1/2, 29, 29 & 30, & nonnunquam 31, 32 & 33, deſcribentes altitudinem pedum quindecim & digitorum duorum.

Per Theoriam cadere debuerunt tempore oſcillationum 29 quamproxime.

Exper.6. Globi quinque pondere 212 1/8 gran.in aere & 79 1/2 in aqua, ſæpe demiſſi, cadebant tempore oſcillationum 15, 15 1/2, 16, 17 & 18, deſcribentes altitudinem pedum quindecim & digitorum duorum.

LIBER SECUNDUS.

Per Theoriam cadere debuerunt tempore oſcillationum 15 quamproxime.

Exper.7. Globi quatuor pondere 293 1/8 gran.in aere & 35 1/8 gran.in aqua, ſæpe demiſſi, cadebant tempore oſcillationum 29 1/2, 30, 30 1/2, 31, 32 & 33, deſcribentes altitudinem pedum quindecim & digiti unius cum ſemiſſe.

Per Theoriam cadere debuerunt tempore oſcillationum 28 quamproxime.

Cauſam inveſtigando cur globorum, ejuſdem ponderis & magNI­tudinis, aliqui citius alii tardius caderent, in hanc incidi; quod glo­bi, ubi primum demittebantur & cadere incipiebant, oſcillarent cir­cum centra, latere illo quod forte gravius eſſet, primum deſcen­dente, & motum oſcillatorium generante. Nam per oſcillationes ſuas, globus majorem motum communicat aquæ, quam ſi ſine oſcil­lationibus deſcenderet; & communicando, amittit partem motus proprii quo deſcendere deberet: & pro majore vel minore oſcil­latione, magis vel minus retardatur. Quinetiam globus recedit ſemper a latere ſuo quod per oſcillationem deſcendit, & receden­do appropinquat lateribus vaſis & in latera nonnunquam impin­gitur. Et hæc oſcillatio in globis gravioribus fortior eſt, & in majoribus aquam magis agitat. Quapropter, ut oſcillatio globo­rum minor redderetur, globos novos ex cera & plumbo conſtruxi, infigendo plumbum in latus aliquod globi prope ſuperficiem ejus; & globum ita demiſi, ut latus gravius, quoad fieri potuit, eſſet in­fimum ab initio deſcenſus. Sic oſcillationes factæ ſunt multo mi­nores quam prius, & globi temporibus minus inæqualibus cecide­runt, ut in experimentis ſequentibus.

Exper.8. Globi quatuor pondere granorum 139 in aere & 6 1/2 in aqua, ſæpe demiſſi, ceciderunt temporibus oſcillationum non plu­rium quam 52, non pauciorum quam 50, & maxima ex parte tempore oſcillationum 51 circiter, deſcribentes altitudinem digi­torum 182.

Per Theoriam cadere debuerunt tempore oſcillationum 52 circiter.

Exper.9. Globi quatuor pondere granorum 273 1/4 in aere & 140 1/4 in aqua, ſæpius demiſſi, ceciderunt temporibus oſcillationum non pauciorum quam 12, non plurium quam 13, deſcribentes al­titudinem digitorum 182.

DE MOTU CORPORUM

Per Theoriam vero hi globi cadere debuerunt tempore oſcilla­tionum 11 1/3 quamproxime.

Exper.10. Globi quatuor pondere granorum 384 in aere & 119 1/2 in aqua, ſæpe demiſſi, cadebant temporibus oſcillationum 17 1/4, 18, 18 1/2 & 19, deſcribentes altitudinem digitorum 181 1/2. Et ubi ceciderunt tempore oſcillationum 19, nonnunquam audivi im­pulſum eorum in latera vaſis antequam ad fundum pervenerunt.

Per Theoriam vero cadere debuerunt tempore oſcillationum 15 3/9 quamproxime.

Exper.11. Globi tres æquales, pondere granorum 48 in aere & (3 29/32) in aqua, ſæpe demiſſi, ceciderunt temporibus oſcillationum 43 1/2, 44, 44 1/2, 45 & 46, & maxima ex parte 44 & 45, deſcribentes altitudinem digitorum 182 1/2 quamproxime.

Per Theoriam cadere debuerunt tempore oſcillationum 46 5/9 circiter.

Exper.12. Globi tres æquales, pondere granorum 141 in aere & 4 3/8 in aqua, aliquoties demiſſi, ceciderunt temporibus oſcillatio­num 61, 62, 63, 64 & 65, deſcribentes altitudinem digitorum 182.

Et per Theoriam cadere debuerunt tempore oſcillationum 64 1/2 quamproxime.

Per hæc Experimenta manifeſtum eſt quod, ubi globi tarde ceci­derunt, ut in experimentis ſecundis, quartis, quintis, octavis, un­decimis ac duodecimis, tempora cadendi recte exhibentur per Theoriam: at ubi globi velocius ceciderunt, ut in experimentis ſextis, nonis ac decimis, reſiſtentia paulo major extitit quam in duplicata ratione velocitatis. Nam globi inter cadendum oſcillant aliquantulum; & hæc oſcillatio in globis levioribus & tardius ca­dentibus, ob motus languorem cito ceſſat; in gravioribus autem & majoribus, ob motus fortitudinem diutius durat, & non niſi poſt plures oſcillationes ab aqua ambiente cohiberi poteſt. Quinetiam globi, quo velociores ſunt, eo minus premuntur a fluido ad po­ſticas ſuas partes; & ſi velocitas perpetuo augeatur, ſpatium va­cuum tandem a tergo relinquent, niſi compreſſio fluidi ſimul au­geatur. Debet autem compreſſio fluidi (per Prop. XXXII & XXXIII) augeri in duplicata ratione velocitatis, ut reſiſtentia ſit in eadem duplicata ratione. Quoniam hoc non fit, globi velociores paulo minus premuntur a tergo, & defectu preſſionis hujus, reſiſtentia eorum fit paulo major quam in duplicata ratione velocitatis.

Congruit igitur Theoria cum phænomenis corporum caden­tium in Aqua, reliquum eſt ut examinemus phænomena caden­tium in Aere.

LIBER SECUNDUS.

Exper.13. A culmine Eccleſiæ Sti Pauli,in urbe Londini,globi duo vitrei ſimul demittebantur, unus argenti vivi plenus, alter aeris; & cadendo deſcribebant altitudinem pedum Londinenſium220. Tabula lignea ad unum ejus terminum polis ferreis ſuſpen­debatur, ad alterum peſſulo ligneo incumbebat; & globi duo huic Tabulæ impoſiti ſimul demittebantur, ſubtrahendo peſſulum, ut Ta­bula polis ferreis ſolummodo innixa ſuper iiſdem devolveretur, & codem temporis momento pendulum ad minuta ſecunda oſcillans, per filum ferreum a peſſulo ad imam Eccleſiæ partem tendens, dimitteretur & oſcillare inciperet. Diametri & pondera globorum ac tempora cadendi exhibentur in Tabula ſequente.

Globorum mercurio plenorum.Globorum aere plenorum.PonderaDiametriTempora cadendi.PonderaDiametriTempora cadendi.908 gran.0,8 digit.4″510 gran.5,1 digit.8″ 1/29830,84-6425,288660,845995,187470,754+5155,08 1/48080,7544835,08 1/27840,754+6415,28

Cæterum tempora obſervata corrigi debent. Nam globi mer­curiales (per Theoriam Galilæi) minutis quatuor ſecundis deſcribent pedes Londinenſes257, & pedes 220 minutis tantum 3″ 42′. Ta­bula lignea utique, detracto peſſulo, tardius devolvebatur quam par erat, & tarda ſua devolutione impediebat deſcenſum globorum ſub initio. Nam globi incumbebant Tabulæ prope medium ejus, & paulo quidem propiores erant axi ejus quam peſſulo. Et hinc tempora cadendi prorogata fuerunt minutis tertiis octodecim cir­citer, & jam corrigi debent detrahendo illa minuta, præſertim in globis majoribus qui Tabulæ devolventi paulo diutius incumbe­bant propter magnitudinem diametrorum. Quo facto, tempora quibus globi ſex majores cecidere, evadent, 8″, 12′, 7″ 42′, 7″ 42′, 7″ 57′, 8″ 12′, & 7″ 42′.

DE MOTU CORPORUM

Globorum igitur aere plenorum quintus, diametro digitorum quinque pondere granorum 483 conſtructus, cecidit tempore 8″ 12′, deſcribendo altitudinem pedum 220. Pondus aquæ huic globo æqualis, eſt 16600 granorum; & pondus aeris eidem æqualis eſt (16600/860) gran.ſeu (19 3/10) gran; ideoque pondus globi in vacuo eſt (502 3/10) gran; & hoc pondus eſt ad pondus aeris globo æqualis, ut (502 3/10) ad (19 3/10), & ita ſunt 2 F ad octo tertias partes diametri glo­bi, id eſt, ad (13 1/3) digitos. Unde 2 F prodeunt 28 ped.11 dig.Glo­bus cadendo in vacuo, toto ſuo pondere (502 3/10) granorum, tempore minuti unius ſecundi deſcribit digitos 193 1/3 ut ſupra, & pondere 483 gran.deſcribit digitos 185,905, & eodem pondere 483 gran.etiam in vacuo deſcribit ſpatium F ſeu 14 ped.5 1/2 dig.tempore 57′ 58′, & velocitatem maximam acquirit quacum poſſit in aere deſcendere. Hac velocitate globus, tempore 8″ 12′, deſcribet ſpa­tium pedum 245 & digitorum 5 1/3. Aufer 1,3863 F ſeu 20 ped.0 1/2 dig.& manebunt 225 ped.5 dig.Hoc ſpatium igitur globus, tempore 8″ 12′, cadendo deſcribere debuit per Theoriam. De­ſcripſit vero ſpatium 220 pedum per Experimentum. Differentia inſenſibilis eſt.

Similibus computis ad reliquos etiam globos aere plenos appli­catis, confeci Tabulam ſequentem.

Globorum ponderaDia­metriTempora ca­dendi ab al­titudine pe­dum220.Spatia deſcriben­da per Theoriam.Exceſſus510 gran.5,1 dig.8″12′226 ped.11 dig.6 ped.11 dig.6425,274223091095995,174222710710515575722454548358122255556415,27422307107

Globorum igitur tam in Aere quam in Aqua motorum reſi­ſtentia prope omnis per Theoriam noſtram recte exhibetur, ac denſitati fluidorum, paribus globorum velocitatibus ac magnitudi­nibus, proportionalis eſt.

In Scholio quod Sectioni ſextæ ſubjunctum eſt, oſtendimus per

experimenta pendulorum quod globorum æqualium & æquivelo­cium in Aere, Aqua, & Argento vivo motorum reſiſtentiæ ſunt ut fluidorum denſitates. Idem hic oſtendimus magis accurate per experimenta corporum cadentium in Aere & Aqua. Nam pendula ſingulis oſcillationibus motum cient in fluido motui penduli re­deuntis ſemper contrarium, & reſiſtentia ab hoc motu oriunda, ut & reſiſtentia fili quo pendulum ſuſpendebatur, totam Penduli re­ſiſtentiam majorem reddiderunt quam reſiſtentia quæ per experi­menta corporum cadentium prodiit. Etenim per experimenta pendulorum in Scholio illo expoſita, globus ejuſdem denſitatis cum Aqua, deſcribendo longitudinem ſemidiametri ſuæ in Aere, amittere deberet motus ſui partem (1/3342). At per Theoriam in hac ſeptima Sectione expoſitam & experimentis cadentium confirma­tam, globus idem deſcribendo longitudinem eandem, amittere de­beret motus ſui partem tantum (1/4586), poſito quod denſitas Aquæ ſit ad denſitatem Aeris ut 860 ad 1. Reſiſtentiæ igitur per experi­menta pendulorum majores prodiere (ob cauſas jam deſcriptas) quam per experimenta globorum cadentium, idQ.E.I. ratione 4 ad 3 circiter. Attamen cum pendulorum in Aere, Aqua, & Argento vivo oſcillantium reſiſtentiæ a cauſis ſimilibus ſimiliter augeantur, proportio reſiſtentiarum in his Mediis, tam per experimenta pen­dulorum, quam per experimenta corporum cadentium, ſatis recte exhibebitur. Et inde concludi poteſt quod corporum in fluidis quibuſcunque fluidiſſimis motorum reſiſtentiæ, cæteris paribus, ſunt ut denſitates fluidorum.

LIBER SECUNDUS.

His ita ſtabilitis, dicere jam licet quamnam motus ſui partem globus quilibet, in fluido quocunque projectus, dato tempore amit­tet quamproxime. Sit D diameter globi, & V velocitas ejus ſub initio motus, & T tempus quo globus velocitate V in vacuo de­ſcribet ſpatium quod ſit ad ſpatium 2/3D ut denſitas globi ad denſi­tatem fluidi: & globus in fluido illo projectus, tempore quovis alio t,amittet velocitatis ſuæ partem (tV/T+t), manente parte (TV/T+t), & deſcribet ſpatium quod ſit ad ſpatium uniformi velocitate V eo­dem tempore deſcriptum in vacuo, ut logarithmus numeri (T+t/T) multiplicatus per numerum 2,302585093 eſt ad numerum t/T, per Corol. 7, Prop.XXXV. In motibus tardis reſiſtentia poteſt eſſe pau­lo minor, propterea quod figura Globi paulo aptior ſit ad motum quam figura Cylindri eadem diametro deſcripti. In motibus ve­locibus reſiſtentia poteſt eſſe paulo major, propterea quod elaſti­citas & compreſſio fluidi non augeantur in duplicata ratione ve­locitatis. Sed hujuſmodi minutias hic non expendo.

DE MOTU CORPORUM

Et quamvis Aer, Aqua, Argentum vivum & ſimilia fluida, per diviſionem partium in infinitum, ſubtiliarentur & fierent Media in­finite fluida; tamen globis projectis haud minus reſiſterent. Nam reſiſtentia, de qua agitur in Propoſitionibus præcedentibus, oritur ab inertia materiæ; & inertia materiæ corporibus eſſentialis eſt & quantitati materiæ ſemper proportionalis. Per diviſionem partium fluidi, reſiſtentia quæ oritur a tenacitate & frictione partium, di­minui quidem poteſt: ſed quantitas materiæ per diviſionem par­tium ejus non diminuitur; & manente quantitate materiæ, manet ejus vis inertiæ cui reſiſtentia, de qua hic agitur, ſemper proportio­nalis eſt. Ut hæc reſiſtentia diminuatur, diminui debet quantitas materiæ in ſpatiis per quæ corpora moventur. Et propterea ſpa­tia Cœleſtia, per quæ globi Planetarum & Cometarum in omnes partes liberrime & abſque omni motus diminutione ſenſibili per­petuo moventur, fluido omni corporeo deſtituuntur, ſi forte vapo­res longe tenuiſſimos & trajectos lucis radios excipias.

Projectilia utique motum cient in fluidis progrediendo, & hic motus oritur ab exceſſu preſſionis fluidi ad projectilis partes anti­cas ſupra preſſionem ad ejus partes poſticas, & non minor eſſe po­teſt in Mediis infinite fluidis quam in Aere, Aqua, & Argento vivo pro denſitate materiæ in ſingulis. Hic autem preſſionis exceſſus, pro quantitate ſua, non tantum motum ciet in fluido, ſed etiam agit in projectile ad motum ejus retardandum: & propterea reſi­ſtentia in omni fluido, eſt ut motus in fluido a projectili excita­tus, nec minor eſſe poteſt in Æthere ſubtiliſſimo pro denſitate Ætheris, quam in Aere, Aqua, & Argento vivo pro denſitatibus horum fluidorum.

LIBER SECUNDUS.

SECTIO VIII.

De Motu per Fluida propagato.

PROPOSITIO XLI. THEOREMA XXXII.

Preſſio non propagatur per Fluidum ſecundum lineas rectas, niſi ubi particulæ Fluidi in directum jacent.

Si jaceant particulæ a, b, c, d, ein linea recta, poteſt quidem preſſio directe propagari ab aad e; at

particula eurgebit particulas oblique po­ſitas f& goblique, & particulæ illæ f& gnon ſuſtinebunt preſſionem illatam, niſi fulciantur a particulis ulterioribus h& k; quatenus autem fulciuntur, premunt par­ticulas fulcientes; & hæ non ſuſtinebunt preſſionem niſi fulciantur ab ulterioribus l& meaſque premant, & ſic deinceps in infinitum. Preſſio igi­tur, quam primum propagatur ad particulas quæ non in directum jacent, divaricare incipiet & oblique propagabitur in infinitum; & poſtquam incipit oblique propagari, ſi inciderit in particulas ulteriores, quæ non in directum jacent, iterum divaricabit; id­que toties, quoties in particulas non accurate in directum ja­centes inciderit. Q.E.D.

Corol.Si preſſionis, a dato puncto per Fluidum propagatæ, pars aliqua obſtaculo intercipiatur; pars reliqua, quæ non intercipitur, divaricabit in ſpatia pone obſtaculum. Id quod ſic etiam de­monſtrari poteſt. A puncto Apropagetur preſſio quaquaver­ſum, idque ſi fieri poteſt ſecundum lineas rectas, & obſtaculo NBCKperforato in BC,intercipiatur ea omnis, præter par­tem Coniformem APQ,quæ per foramen circulare BCtranſit. Planis tranſverſis de, fg, hidiſtinguatur conus APQin fruſta; & interea dum conus ABC,preſſionem propagando, urget fru-ſtum conicum ulterius degfin ſuperficie de,& hoc fruſtum urget fruſtum proximum fgihin ſuperficie fg,& fruſtum illud urget fruſtum tertium, & ſic deinceps in infinitum; manifeſtum eſt (per motus Legem tertiam) quod fruſtum primum defg,re­actione fruſti ſecundi fghi,tantum urgebitur & premetur in ſu­perficie fg,quantum urget & premit fruſtum illud ſecundum. Fruſtum igitur degfinter conum Ade& fruſtum fhigcom­primitur utrinque, & propterea (per Corol. 6. Prop. XIX.) figu­ram ſuam ſervare nequit, niſi vi eadem comprimatur undique.

Eodem igitur impetu quo premitur in ſuperficiebus de, fg,cona­bitur cedere ad latera df, eg; ibique (cum rigidum non ſit, ſed omnimodo Fluidum) excurret ac dilatabitur, niſi Fluidum am­biens adſit, quo conatus iſte cohibeatur. Proinde conatu excur­rendi, premet tam Fluidum ambiens ad latera df, egquam fruſtum fghieodem impetu; & propterea preſſio non minus propagabi­tur a lateribus df, egin ſpatia NO, KLhinc inde, quam pro­pagatur a ſuperficie fgverſus PQ. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM.

LIBER SECUNDUS.

PROPOSITIO XLII. THEOREMA XXXIII.

Motus omnis per Fluidum propagatus divergit a recto tramite in ſpatia immota.

Cas.1. Propagetur motus a puncto Aper foramen BC,per­gatque (ſi fieri poteſt) in ſpatio conico BCQP,ſecundum li­neas rectas divergentes a puncto C.Et ponamus primo quod motus iſte ſit undarum in ſuperficie ſtagnantis aquæ. Sintque de, fg, hi, kl,&c. undarum ſingularum partes altiſſimæ, valli­bus totidem intermediis ab invicem diſtinctæ. Igitur quoniam aqua in undarum jugis altior eſt quam in Fluidi partibus immo­tis LK, NO,defluet eadem de jugorum terminis e, g, i, l,&c. d, f, h, k,&c. hinc inde, verſus KL& NO: & quoniam in un­darum vallibus depreſſior eſt quam in Fluidi partibus immotis KL, NO; defluet eadem de partibus illis immotis in undarum valles. Defluxu priore undarum juga, poſteriore valles hinc inde dilatantur & propagantur verſus KL& NO.Et quo­niam motus undarum ab Averſus PQfit per continuum de­fluxum jugorum in valles proximos, adeoque celerior non eſt quam pro celeritate deſcenſus; & deſcenſus aquæ, hinc inde, ver­ſus KL& NOeadem velocitate peragi debet; propagabitur dilatatio undarum, hinc inde, verſus KL& NO,eadem velo­citate qua undæ ipſæ ab Averſus PQrecta progrediuntur. Proindeque ſpatium totum hinc inde, verſus KL& NO,ab undis dilatatis rfgr, shis, tklt, vmnv,&c. occupabitur. que E. D.Hæc ita ſe habere quilibet in aqua ſtagnante expe­riri poteſt.

Cas.2. Ponamus jam quod de, fg, hi, kl, mndeſignent pul­ſus a puncto A,per Medium Elaſticum, ſucceſſive propagatos. Pulſus propagari concipe per ſucceſſivas condenſationes & rare­factiones Medii, ſic ut pulſus cujuſque pars denſiſſima ſphæricam occupet ſuperficiem circa centrum Adeſcriptam, & inter pulſus ſucceſſivos æqualia intercedant intervalla. Deſignent autem lineæ de, fg, hi, kl,&c. denſiſſimas pulſuum partes, per foramen BCpropagatas. Et quoniam Medium ibi denſius eſt quam in ſpatiis hinc inde verſus KL& NO,dilatabit ſeſe tam verſus ſpatia illa KL, NOutrinque ſita, quam verſus pulſuum rariora intervalla; eoque pacto rarius ſemper evadens e regione intervallorum ac denſius e regione pulſuum, participabit eorundem motum. Et quoniam pulſuum progreſſivus motus oritur a perpetua relaxa­tione partium denſiorum verſus antecedentia intervalla rariora; & pulſus eadem fere celeritate ſeſe in Medii partes quieſcentes KL, NOhinc inde relaxare debent; pulſus illi eadem fere cele­ritate ſeſe dilatabunt undiQ.E.I. ſpatia immota KL, NO,qua propagantur directe a centro A; adeoque ſpatium totum KLONoccupabunt. Q.E.D.Hoc experimur in Sonis, qui vel monte interpoſito audiuntur, vel in cubiculum per feneſtram admiſſi ſeſe in omnes cubiculi partes dilatant, inque angulis omnibus audiun­tur, non tam reflexi a parietibus oppoſitis, quam a feneſtra directe propagati, quantum ex ſenſu judicare licet.

DE MOTU CORPORUM

Cas.3. Ponamus denique quod motus cujuſcunque generis propagetur ab Aper foramen BC: & quoniam propagatio iſta non fit, niſi quatenus partes Medii centro Apropiores urgent commoventque partes ulteriores; & partes quæ urgentur fluidæ ſunt, ideoque recedunt quaquaverſum in regiones ubi minus pre-muntur: recedent eædem verſus Medii partes omnes quieſcentes, tam laterales KL& NO,quam anteriores PQ,eoque pacto motus omnis, quam primum per foramen BCtranſiit, dilatari in­cipiet & abinde, tanquam a principio & centro, in partes omnes directe propagari. Q.E.D.

LIBER SECUNDUS.

PROPOSITIO XLIII. THEOREMA XXXIV.

Corpus omne tremulum in Medio Elaſtico propagabit motum pul­ſuum undiQ.E.I. directum; in Medio vero non Elaſtico motum circularem excitabit.

Cas.1. Nam partes corporis tremuli vicibus alternis eundo & redeundo, itu ſuo urgebunt & propellent partes Medii ſibi proxi­mas, & urgendo compriment eaſdem & condenſabunt; dein re­ditu ſuo ſinent partes compreſſas recedere & ſeſe expandere. Igi­tur partes Medii corpori tremulo proximæ ibunt & redibunt per vices, ad inſtar partium corporis illius tremuli: & qua ratione partes corporis hujus agitabant haſce Medii partes, hæ ſimilibus tremoribus agitatæ agitabunt partes ſibi proximas, eæque ſimiliter agitatæ agitabunt ulteriores, & ſic deinceps in infinitum. Et quemadmodum Medii partes primæ eundo condenſantur & re­deundo relaxantur, ſic partes reliquæ quoties eunt condenſabun­tur, & quoties redeunt ſeſe expandent. Et propterea non omnes ibunt & ſimul redibunt (ſic enim determinatas ab invicem diſtan­tias ſervando, non rarefierent & condenſarentur per vices) ſed ac­cedendo ad invicem ubi condenſantur, & recedendo ubi rarefiunt, aliquæ earum ibunt dum aliæ redeunt; idque vicibus alternis in infinitum. Partes autem euntes & eundo condenſatæ, ob motum ſuum progreſſivum quo feriunt obſtacula, ſunt pulſus; & propte­rea pulſus ſucceſſivi a corpore omni tremulo in directum propaga­buntur; idque æqualibus circiter ab invicem diſtantiis, ob æqua­lia temporis intervalla, quibus corpus tremoribus ſuis ſingulis ſingulos pulſus excitat. Et quanquam corporis tremuli par­tes eant & redeant ſecundum plagam aliquam certam & determi­natam, tamen pulſus inde per Medium propagati ſeſe dilatabunt ad latera, per Propoſitionem præcedentem; & a corpore illo tre­mulo tanquam centro communi, ſecundum ſuperficies propemo­dum ſphæricas & concentricas, undique propagabuntur. Cujus rei exemplum aliquod habemus in Undis, quæ ſi digito tremulo excitentur, non ſolum pergent hinc inde ſecundum plagam motus digiti, ſed, in modum circulorum concentrieorum, digitum ſtatim cingent & undique propagabuntur. Nam gravitas Undarum ſup­plet locum vis Elaſticæ.

DE MOTU CORPORUM

Cas.2. Quod ſi Medium non ſit Elaſticum: quoniam ejus partes a corporis tremuli partibus vibratis preſſæ condenſari nequeunt, pro­pagabitur motus in inſtanti ad partes ubi Medium facillime ce­dit, hoc eſt, ad partes quas corpus tremulum alioqui vacuas a tergo relinqueret. Idem eſt caſus cum caſu corporis in Medio quocunque projecti. Medium cedendo projectilibus, non rece­dit in infinitum; ſed in circulum eundo, pergit ad ſpatia quæ corpus relinquit a tergo. Igitur quoties corpus tremulum per­git in partem quamcunque, Medium cedendo perget per circu­lum ad partes quas corpus relinquit; & quoties corpus regredi­tur ad locum priorem, Medium inde repelletur & ad locum ſuum priorem redibit. Et quamvis corpus tremulum non ſit firmum, ſed modis omnibus flexile, ſi tamen magnitudine datum maneat, quoniam tremoribus ſuis nequit Medium ubivis urgere, quin alibi eidem ſimul cedat; efficiet ut Medium, recedendo a partibus ubi premitur, pergat ſemper in orbem ad partes quæ eidem ce­dunt Q.E.D.

Corol.Hallucinantur igitur qui credunt agitationem partium Flammæ ad preſſionem, per Medium ambiens, ſecundum lineas rectas propagandam conducere. Debebit ejuſmodi preſſio non ab agitatione ſola partium Flammæ, ſed a totius dilatatione deri­vari.

PROPOSITIO XLIV. THEOREMA XXXV.

Si aqua in Canalis cruribus erectisKL, MN vicibus alternis aſcendat & deſcendat; conſtruatur autem Pendulum cujus longitudo inter punctum ſuſpenſionis & centrum oſcillationis æquetur ſemiſſi longitudinis aquæ in Canali: dico quod aqua aſcendet & deſcendet iiſdem temporibus quibus Pendulum oſcillatur.

Longitudinem aquæ menſuro ſecundum axes canalis & crurum, eandem ſummæ horum axium æquando; & reſiſtentiam aquæ quæ oritur ab attritu canalis, hic non conſidero. Deſignent igitur AB, CDmediocrem altitudinem aquæ in crure utroque; & ubi aqua in crure KLaſcendit ad altitudinem EF,deſcenderit aqua in crure MNad altitudinem GH.Sit autem Pcorpus pendulum, VPfilum, Vpunctum ſuſpenſionis, SPQRCyclois quam Pen­dulum deſcribat, Pejus punctum infimum, PQarcus altitudini AEæqualis. Vis, qua motus aquæ alternis vicibus acceleratur

& retardatur, eſt exceſſus ponderis aquæ in alterutro crure ſupra pondus in altero, ideoque, ubi aqua in crure KLaſcendit ad EF,& in crure altero deſcendit ad GH,vis illa eſt pondus duplica­tum aquæ EABF,& propterea eſt ad pondus aquæ totius ut AEſeu PQad VPſeu PR.Vis etiam, qua pondus Pin loco quovis Qacceleratur & retardatur in Cycloide, (per Corol. Prop. LI.) eſt ad ejus pondus totum, ut ejus diſtantia YQa loco infimo P,ad Cycloidis longitudinem PR.Quare aquæ & pen­duli, æqualia ſpatia AE, PQdeſcribentium, vires motrices ſunt ut pondera movenda; ideoque, ſi aqua & pendulum in princi­pio quieſcunt, vires illæ movebunt eadem æqualiter tempori­bus æqualibus, efficientque ut motu reciproco ſimul eant & re­deant. Q.E.D.

LIBER SECUNDUS.

Corol.1. Igitur aquæ aſcendentis & deſcendentis, ſive motus in­tenſior ſit ſive remiſſior, vices omnes ſunt Iſochronæ.

Corol.2. Si longitudo aquæ totius in canali ſit pedum Pariſien­ſium6 1/9: aqua tempore minuti unius ſecundi deſcendet, & tem­pore minuti alterius ſecundi aſcendet; & ſic deinceps vicibus al­ternis in infinitum. Nam pendulum pedum (3 1/18) longitudinis, tempore minuti unius ſecundi oſcillatur.

DE MOTU CORPORUM

Corol.3. Aucta autem vel diminuta longitudine aquæ, auge­tur vel diminuitur tempus reciprocationis in longitudinis ratione ſubduplicata.

PROPOSITIO XLV. THEOREMA XXXVI.

Undarum velocitas eſt in ſubduplicata ratione latitudinum.

Conſequitur ex conſtructione Propoſitionis ſequentis.

PROPOSITIO XLVI. PROBLEMA X.

Invenire velocitatem Undarum.

Conſtituatur Pendulum cujus longitudo, inter punctum ſuſpen­ſionis & centrum oſcillationis, æquetur latitudini Undarum: & quo tempore pendulum illud oſcillationes ſingulas peragit, eodem Un­dæ progrediendo latitudinem ſuam propemodum conficient.

Undarum latitudinem voco menſuram tranſverſam, quæ vel val­libus imis, vel ſummis culminibus interjacet. Deſignet ABCDEFſuperficiem aquæ ſtagnantis, undis ſucceſſivis aſcendentem ac deſ­cendentem; ſintque A, C, E,&c. undarum culmina, & B, D, F,&c. valles intermedii. Et quoniam motus undarum fit per aquæ ſuc­ceſſivum aſcenſum & deſcenſum, ſic ut ejus partes A, C, E,&c. quæ nunc altiſſimæ ſunt, mox fiant infimæ; & vis motrix, qua partes altiſſimæ deſcendunt & infimæ aſcendunt, eſt pondus aquæ elevatæ; alternus ille aſcenſus & deſcenſus analogus erit motui re­ciproco aquæ in canali, eaſdemque temporis leges obſervabit: & propterea (per Prop. XLIV) ſi diſtantiæ inter undarum loca altiſ­ſima A, C, E& infima B, D, Fæquentur duplæ penduli longitu­dini; partes altiſſimæ A, C, E,tempore oſcillationis unius evadent infimæ, & tempore oſcillationis alterius denuo aſcendent. Igitur inter tranſitum Undarum ſingularum tempus erit oſcillationum duarum; hoc eſt, Unda deſcribet latitudinem ſuam, quo tempore pendulum illud bis oſcillatur; ſed eodem tempore pendulum, cu­jus longitudo quadrupla eſt, adeoque æquat undarum latitudinem, oſcillabitur ſemel. Q.E.I.

Corol.1. Igitur Undæ, quæ pedes Pariſienſes(3 1/18) latæ ſunt, tempore minuti unius ſecundi progrediendo latitudinem ſuam con­ficient; adeoque tempore minuti unius primi percurrent pedes 183 1/3, & horæ ſpatio pedes 11000 quamproxime.

Corol.2. Et undarum majorum vel minorum ve­

locitas augebitur vel diminuetur in ſubduplicata ratione latitudinis.

LIBER SECUNDUS.

Hæc ita ſe habent ex Hypotheſi quod partes aquæ recta aſcendunt vel recta deſcendunt; ſed aſcenſus & deſcenſus ille verius fit per circulum, ideoque tempus hac Propoſitione non niſi quam­proxime definitum eſſe affirmo.

PROP. XLVII. THEOR. XXXVII.

Pulſibus per Fluidum propagatis, ſingulæ Fluidi particulæ, motu reciproco breviſſimo euntes & redeuntes, accelerantur ſemper & retardantur pro lego oſcillantis Penduli.

Deſignent AB, BC, CD,&c. pulſuum ſucceſſivorum æquales diſtantias; ABCplagam motus pulſuum ab Averſus Bpropagati; E, F, Gpuncta tria Phyſica Me­dii quieſcentis, in recta ACad æquales ab invicem di­ſtantias ſita; Ee, Ff, Gg,ſpatia æqualia perbrevia per quæ puncta illa motu reciproco ſingulis vibratio­nibus eunt & redeunt; e, f, g loca quævis inter­media eorundem punctorum; & EF, FGlineolas Phyſicas ſeu Medii partes lineares punctis illis in­terjectas, & ſucceſſive tranſlatas in loca ef, fg & ef, fg.Rectæ Eeæqualis ducatur recta PS.Biſecetur eadem in O,centroque O& intervallo OPdeſcribatur circulus SIPi.Per hujus cir­cumferentiam totam cum partibus ſuis exponatur tempus totum vibrationis unius cum ipſius parti­bus proportionalibus; ſic ut completo tempore quovis PHvel PHSh,ſi demittatur ad PSperpendiculum HLvel hl,& capiatur Ee æqua­lis PLvel Pl,punctum Phyſicum Ereperiatur in e. Hac lege punctum quodvis E,eundo ab E

per e ad e,& inde redeundo per e ad E,iiſdem accelerationis ac retardationis gradibus vibratio­nes ſingulas peraget cum oſcillante Pendulo. Pro­bandum eſt quod ſingula Medii puncta Phyſica tali motu agitari debeant. Fingamus igitur Me­dium tali motu a cauſa quacunque cieri, & videa­mus quid inde ſequatur.

DE MOTU CORPORUM

In circumferentia PHShcapiantur æquales ar­cus HI, IKvel hi, ik,eam habentes rationem ad circumferentiam totam quam habent æquales rectæ EF, FGad pulſuum intervallum totum BC.Et demiſſis perpendiculis IM, KNvel im, kn; quoniam puncta E, F, Gmotibus ſimili­bus ſucceſſive agitantur, & vibrationes ſuas integras ex itu & reditu compoſitas interea peragunt dum

pulſus transfertur a Bad C; ſi PHvel PHShſit tem­pus ab initio motus puncti E,erit PIvel PHSitem­pus ab initio motus puncti F,& PKvel PHSktem­pus ab initio motus puncti G; & propterea Ee, Ff, Gg erunt ipſis PL, PM, PNin itu punctorum, vel ipſis Pl, Pm, Pnin punctorum reditu, æqua­les reſpective. Unde eg ſeu EG+Gg-Eein itu punctorum æqualis erit EG-LN,in re­ditu autem æqualis EG+ln.Sed eg latitudo eſt ſeu expanſio partis Medii EGin loco eg; & propterea expanſio partis illius in itu, eſt ad ejus expanſionem mediocrem, ut EG-LNad EG; in reditu autem ut EG+lnſeu EG+LNad EG.Quare cum ſit LNad KHut IMad radium OP,& KHad EGut circumferentia PHShPad BC,id eſt (ſi ponatur V pro ra­dio circuli circumferentiam habentis æqualem in­tervallo pulſuum BC) ut OPad V; & ex æ­quo LNad EG,ut IMad V: erit expanſio partis EGpunctive Phyſici Fin loco eg, ad ex-panſionem mediocrem quam pars illa habet in loco ſuo primo EG,ut V-IMad V in itu, utque V+imad V in reditu. Unde vis elaſtica puncti Fin loco eg, eſt ad vim ejus elaſticam medio­crem in loco EG,ut (I/V-IM) ad I/V in itu, in reditu vero ut (I/V+im) ad I/V. Et eodem argumento vires elaſticæ punctorum Phyſieorum E& Gin itu, ſunt ut (I/V-HL) & (I/V-KN) ad I/V; & virium differentia ad Medii vim elaſticam mediocrem, ut (HL-KN/VV-VXHL-VXKN+HLXKN) ad I/V. Hoc eſt, ut (HL-KN/VV) ad I/V, ſive ut HL-KNad V, ſi modo (ob angu­ſtos limites vibrationum) ſupponamus HL& KNindefinite minores eſſe quantitate V. Quare cum quantitas V detur, diffe­rentia virium eſt ut HL-KN,hoc eſt (ob proportionales HL-KNad HK,& OMad OIvel OP,dataſque HK& OP) ut OM; id eſt, ſi Ffbiſecetur in *w, ut *wf. Et eodem argumento differentia virium elaſticarum punctorum Phyſieorum e & g, in reditu lineolæ Phyſicæ eg eſt ut *wf. Sed differentia illa (id eſt, exceſſus vis elaſticæ puncti e ſupra vim elaſticam pun­cti g,) eſt vis qua interjecta Medii lineola Phyſica eg acceleratur; & propterea vis acceleratrix lineolæ Phyſicæ eg, eſt ut ipſius di­ſtantia a medio vibrationis loco *w. Proinde tempus (per Prop. XXXVIII. Lib. 1.) recte exponitur per arcum PI; & Medii pars linearis eg lege præſcripta movetur, id eſt, lege oſcillantis Pen­duli: eſtque par ratio partium omnium linearium ex quibus Me­dium totum componitur. Q.E.D.

LIBER SECUNDUS.

Corol.Hinc patet quod numerus pulſuum propagatorum idem ſit cum numero vibrationum corporis tremuli, neque multiplica­tur in eorum progreſſu. Nam lineola Phyſica eg, quamprimum ad locum ſuum primum redierit, quieſcet; neQ.E.D.inceps move­bitur, niſi vel ab impetu corporis tremuli, vel ab impetu pulſuum qui a corpore tremulo propagantur, motu novo cieatur. Quie­ſcet igitur quamprimum pulſus a corpore tremulo propagari deſinunt.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XLVIII. THEOREMA XXXVIII.

Pulſuum in Fluido Elaſtico propagatorum velocitates, ſunt in ra­tione compoſita ex ſubduplicata ratione vis Elaſticæ directe & ſubduplicata ratione denſitatis inverſe; ſi modo Fluidi vis Elaſtica ejuſdem condenſationi proportionalis eſſe ſupponatur.

Caſ.1. Si Media ſint homogenea, & pulſuum diſtantiæ in his Mediis æquentur inter ſe, ſed motus in uno Medio intenſior ſit: contractiones & dilatationes partium analogarum erunt ut iidem motus. Accurata quidem non eſt hæc proportio. Verum tamen niſi contractiones & dilatationes ſint valde intenſæ, non errabit ſenſibiliter, ideoque pro Phyſice accurata haberi poteſt. Sunt autem vires Elaſticæ motrices ut contractiones & dilatationes; & velocitates partium æqualium ſimul genitæ ſunt ut vires. Ideoque æquales & correſpondentes pulſuum correſpondentium partes, itus & reditus ſuos per ſpatia contractionibus & dilatationibus proportionalia, cum velocitatibus quæ ſunt ut ſpatia, ſimul pera­gent: & propterea pulſus, qui tempore itus & reditus unius lati­tudinem ſuam progrediendo conficiunt, & in loca pulſuum pro­xime præcedentium ſemper ſuccedunt, ob æqualitatem diſtantia­rum, æquali cum velocitate in Medio utroque progredientur.

Caſ.2. Sin pulſuum diſtantiæ ſeu longitudines ſint majores in uno Medio quam in altero; ponamus quod partes correſponden­tes ſpatia latitudinibus pulſuum proportionalia ſingulis vicibus eundo & redeundo deſcribant: & æquales erunt earum contra­ctiones & dilatationes. Ideoque ſi Media ſint homogenea, æqua­les erunt etiam vires illæ Elaſticæ motrices quibus reciproco motu agitantur. Materia autem his viribus movenda, eſt ut pulſuum latitudo; & in eadem ratione eſt ſpatium per quod ſingulis vici­bus eundo & redeundo moveri debent. Eſtque tempus itus & reditus unius in ratione compoſita ex ratione ſubduplicata mate­riæ & ratione ſubduplicata ſpatii, atque adeo ut ſpatium. Pulſus autem temporibus itus & reditus unius eundo latitudines ſuas conficiunt, hoc eſt, ſpatia temporibus proportionalia percurrunt; & propterea ſunt æquiveloces.

Caſ3 In Mediis igitur denſitate & vi Elaſtica paribus, pulſus omnes ſunt æquiveloces. Quod ſi Medii vel denſitas vel vis Ela­ſtica intendatur, quoniam vis motrix in ratione vis Elaſticæ, & materia movenda in ratione denſitatis augetur; tempus quo mo-tus iidem peragantur ac prius, augebitur in ſubduplicata ratione denſitatis, ac diminuetur in ſubduplicata ratione vis Elaſticæ. Et propterea velocitas pulſuum erit in ratione compoſita ex ratione ſubduplicata denſitatis Medii inverſe & ratione ſubduplicata vis Elaſticæ directe. que E. D.

LIBER SECUNDUS.

Hæc Propoſitio ulterius patebit ex conſtructione ſequentis.

PROPOSITIO XLIX. PROBLEMA XI.

Datis Medii denſitate & vi Elaſtica, invenire velocitatem pul­ſuum.

Fingamus Medium ab incumbente pondere, pro more Aeris noſtri comprimi; ſitque A altitudo Medii homogenei, cujus pon­dus adæquet pondus incumbens, & cujus denſitas eadem ſit cum denſitate Medii compreſſi, in quo pulſus propagantur. Conſti­tui autem intelligatur Pendulum, cujus longitudo inter punctum ſuſpenſionis & centrum oſcillationis ſit A: & quo tempore Pen­dulum illud oſcillationem integram ex itu & reditu compoſitam peragit, eodem pulſus eundo conficiet ſpatium circumferentiæ circuli radio A deſcripti æquale.

Nam ſtantibus quæ in Propoſitione XLVII conſtructa ſunt, ſi linea quævis Phyſica EF,ſingulis vibrationibus deſcribendo ſpatium PS,urgeatur in extremis itus & reditus cujuſque locis P& S,a vi Elaſtica quæ ipſius ponderi æquetur; peraget hæc vibrationes ſingulas quo tempore eadem in Cycloide, cujus peri­meter tota longitudini PSæqualis eſt, oſcillari poſſet: id adeo quia vires æquales æqualia corpuſcula per æqualia ſpatia ſimul im­pellent. Quare cum oſcillationum tempora ſint in ſubduplicata ratione longitudinis Pendulorum, & longitudo Penduli æquetur dimidio arcui Cycloidis totius; foret tempus vibrationis unius ad tempus oſcillationis Penduli cujus longitudo eſt A, in ſubdupli­cata ratione longitudinis 1/2 PSſeu POad longitudinem A. Sed vis Elaſtica qua lineola Phyſica EG,in locis ſuis extremis P, Sexiſtens, urgetur, erat (in demonſtratione Propoſitionis XLVII) ad ejus vim totam Elaſticam ut HL-KNad V, hoc eſt (cum punctum Kjam incidat in P) ut HKad V: & vis illa tota, hoc eſt pondus incumbens, quo lineola EGcomprimitur, eſt ad pondus lineolæ ut ponderis incumbentis altitudo A ad line­olæ longitudinem EG; adeoque ex æquo, vis qua lineola EGin locis ſuis P& Surgetur, eſt ad lineolæ illius pondus ut HKXA ad VXEG,ſive ut POXA ad VV, nam HKerat ad EGut POad V. Quare cum tempora, quibus æqualia corpora per æqualia ſpatia impelluntur, ſint reciproce in ſubduplicata ratione virium, erit tempus vibrationis unius urgente vi illa Elaſtica, ad tempus vibrationis urgente vi ponderis, in ſubduplicata ratione VV ad POXA, atque adeo ad tempus oſcillationis Penduli cu­jus longitudo eſt A, in ſubduplicata ratione VV ad POXA, & ſubduplicata ratione POad A conjunctim; id eſt, in ratione in­tegra V ad A. Sed tempore vibrationis unius ex itu & reditu com­poſitæ, pulſus progrediendo conficit latitudinem ſuam BC.Ergo tempus quo pulſus percurrit ſpatium BC,eſt ad tempus oſcillati­onis unius ex itu & reditu compoſitæ, ut V ad A, id eſt, ut BCad circumferentiam circuli cujus radius eſt A. Tempus autem, quo pulſus percurret ſpatium BC,eſt ad tempus quo percurret longitudinem huic circumferentiæ æqualem, in eadem ratione; ideoque tempore talis oſcillationis pulſus percurret longitudinem huic circumferentiæ æqualem. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Velocitas pulſuum ea eſt quam acquirunt Gravia, æqua­liter accelerato motu cadendo, & caſu ſuo deſcribendo dimidium altitudinis A. Nam tempore caſus hujus, cum velocitate cadendo acquiſita, pulſus percurret ſpatium quod erit æquale toti altitu­dini A, adeoque tempore oſcillationis unius ex itu & reditu com­poſitæ, percurret ſpatium æquale circumferentiæ circuli radio A deſcripti: eſt enim tempus caſus ad tempus oſcillationis ut radius circuli ad ejuſdem circumferentiam.

Corol.2. Unde cum altitudo illa A ſit ut Fluidi vis Elaſtica di­recte & denſitas ejuſdem inverſe; velocitas pulſuum erit in ratione compoſita ex ſubduplicata ratione denſitatis inverſe & ſubdupli­cata ratione vis Elaſticæ directe.

PROPOSITIO L. PROBLEMA XII.

Invenire pulſuum diſtantias.

Corporis, cujus tremore pulſus excitantur, inveniatur numerus Vibrationum dato tempore. Per numerum illum dividatur ſpa­tium quod pulſus eodem tempore percurrere poſſit, & pars in­venta erit pulſus unius latitudo. Q.E.I.

Scholium.

Spectant Propoſitiones noviſſimæ ad motum Lucis & Sonorum. Lux enim cum propagetur ſecundum lineas rectas, in actione ſola (per Prop. XLI. & XLII.) conſiſtere nequit. Soni vero propterea quod a corporibus tremulis oriantur, nihil aliud ſunt quam aeris pulſus propagati, per Prop. XLIII. Confirmatur id ex tremoribus quos excitant in corporibus objectis, ſi modo vehementes ſint & graves, quales ſunt ſoni Tympanorum. Nam tremores celeriores & breviores difficilius excitantur. Sed & ſonos quoſvis, in chor­das corporibus ſonoris uniſonas impactos, exeſtare tremores notiſ­ſimum eſt. Confirmatur etiam ex velocitate ſonorum. Nam cum pondera ſpecifica Aquæ pluvialis & Argenti vivi ſint ad invicem ut 1 ad 13 2/3 circiter, & ubi Mercurius in Barometroaltitudinem attingit digitorum Anglieorum30, pondus ſpecificum Aeris & aquæ pluvialis ſint ad invicem ut 1 ad 870 circiter: erunt pon­dera ſpecifica aeris & argenti vivi ut 1 ad 11890. Proinde cum altitudo argenti vivi ſit 30 digitorum, altitudo aeris uniformis, cujus pondus aerem noſtrum ſubjectum comprimere poſſet, erit 356700 digitorum, ſeu pedum Anglieorum29725. Eſtque hæc altitudo illa ipſa quam in conſtructione ſuperioris Problematis no­minavimus A. Circuli radio 29725 pedum deſcripti circumferen­tia eſt pedum 186768. Et cum Pendulum digitos 39 1/5 longum, oſcillationem ex itu & reditu compoſitam, tempore minutorum duorum ſecundorum, uti notum eſt, abſolvat; Pendulum pedes 29725, ſeu digitos 356700 longum, oſcillationem conſimilem tem­pore minutorum ſecundorum 190 3/4 abſolvere debebit. Eo igitur tempore ſonus progrediendo conſiciet pedes 186768, adeoque tempore minuti unius ſecundi pedes 979.

LIBER SECUNDUS.

Cæterum in hoc computo nulla habetur ratio craſſitudinis ſoli­darum particularum aeris, per quam ſonus utique propagatur in inſtanti. Cum pondus aeris ſit ad pondus aquæ ut 1 ad 870, & ſales ſint fere duplo denſiores quam aqua; ſi particulæ aeris po­nantur eſſe ejuſdem circiter denſitatis cum particulis vel aquæ vel ſalium, & raritas aeris oriatur ab intervallis particularum: diameter particulæ aeris erit ad intervallum inter centra parti­cularum, ut 1 ad 9 vel 10 circiter, & ad intervallum inter par­ticulas ut 1 ad 8 vel 9. Proinde ad pedes 979 quos ſonus tem­pore minuti unius ſecundi juxta calculum ſuperiorem conficiet, addere licet pedes (979/9) ſeu 109 circiter, ob craſſitudinem particu­larum aeris: & ſie ſonus tempore minuti unius ſecundi conficiet pedes 1088 circiter.

His adde quod vapores in aere latentes, cum ſint alterius ela­teris & alterius toni, vix aut ne vix quidem participant motum aeris veri quo ſoni propagantur. His autem quieſcentibus, mo-tus ille celerius propagabitur per ſolum aerem verum, idQ.E.I. ſubduplicata ratione minoris materiæ. Ut ſi Atmoſphæra con­ſtet ex decem partibus aeris veri & una parte vaporum, motus ſonorum celerior erit in ſubduplicata ratione 11 ad 10, vel in in­tegra circiter ratione 21 ad 20, quam ſi propagaretur per undecim partes aeris veri: ideoque motus ſonorum ſupra inventus, augen­dus erit in hac ratione. Quo pacto ſonus, tempore minuti unius ſecundi, conficiet pedes 1142.

DE MOTU CORPORUM

Hæc ita ſe habere debent tempore verno & autumnali, ubi aer per calorem temperatum rareſcit & ejus vis elaſtica nonnihil in­tenditur. At hyberno tempore, ubi aer per frigus condenſatur, & ejus vis elaſtica remittitur, motus ſonorum tardior eſſe debet in ſubduplicata ratione denſitatis; & viciſſim æſtivo tempore debet eſſe velocior.

Conſtat autem per experimenta quod ſoni tempore minuti uNI­us ſecundi eundo, conficiunt pedes Londinenſesplus minus 1142, Pariſienſesvero 1070.

Cognita ſonorum velocitate innoteſcunt etiam intervalla pul­ſuum. Invenit utique D. Sauveur(factis a ſe experimentis) quod fiſtula aperta, cujus longitudo eſt pedum Pariſienſiumplus minus quinque, ſonum edit ejuſdem toni cum ſono chordæ quæ tempore minuti unius ſecundi centies recurrit. Sunt igitur pulſus plus mi­nus centum in ſpatio pedum Pariſienſium1070, quos ſonus tem­pore minuti unius ſecundi percurrit; adeoque pulſus unus occu­pat ſpatium pedum Pariſienſiumquaſi 10 (7/10), id eſt, duplam circi­ter longitudinem fiſtulæ. Unde verſimile eſt quod latitudines pulſuum, in omnium apertarum fiſtularum ſonis, æquentur duplis longitudinibus fiſtularum.

Porro cur ſoni ceſſante motu corporis ſonori ſtatim ceſſant, ne­Q.E.D.utius audiuntur ubi longiſſime diſtamus a corporibus ſono­ris, quam cum proxime abſumus, patet ex Corollario Propoſitio­nis XLVII Libri hujus. Sed & cur ſoni in Tubis ſtenterophoNI­cis valde augentur, ex allatis principiis manifeſtum eſt. Motus enim omnis reciprocus ſingulis recurſibus a cauſa generante augeri ſolet. Motus autem in Tubis dilatationem ſonorum impedienti­bus, tardius amittitur & fortius recurrit, & propterea a motu novo ſingulis recurſibus impreſſo, magis augetur. Et hæc ſunt præcipua Phænomena Sonorum.

LIBER SECUNDUS.

SECTIO IX.

De motu Circulari Fluidorum.

HYPOTHESIS.

REſiſtentiam, quæ oritur ex defectu lubricitatis partium Fluidi, cæteris paribus, proportionalem eſſe velocitati, qua partes Fluidi ſeparantur ab invicem.

PROPOSITION LI. THEOREMA XXXIX.

Si Cylindrus ſolidus infinite longus in Fluido uniformi & infinito circa axem poſitione datum uniformi cum motu revolvatur, & ab hujus impulſu ſolo agatur Fluidum in orbem, perſeveret autera Fluidi pars unaquæque uniformiter in motu ſuo; dico quod tempora periodica partium Fluidi ſunt ut ipſarum diſtantiæ ab axe Cylindri.

Sit AFLCylindrus uNI­

formiter circa axem Sin or­bem actus, & circulis con­centricis BGM, CHN, DIO, EKP,&c. diſtin­guatur Fluidum in Orbes cy­lindricos innumeros concen­tricos ſolidos ejuſdem craſſi­tudinis. Et quoniam homo­geneum eſt Fluidum, im­preſſiones contiguorum Or­bium in ſe mutuo factæ, erunt (per Hypotheſin) ut eorum tranſlationes ab invicem & ſuperficies contiguæ in quibus impreſſiones fiunt. Si impreſſio in Orbem aliquem major eſt vel minor ex parte concava quam ex parte convexa; prævalebit im­preſſio fortior, & motum Orbis vel accelerabit vel retardabit, prout in eandem regionem cum ipſius motu vel in contrariam di­rigitur. Proinde ut Orbis unuſquiſQ.E.I. motu ſuo uniformiter perſeveret, debent impreſſiones ex parte utraque ſibi invicem æqua­ri, & fieri in regiones contrarias. Unde cum impreſſiones ſunt ut contiguæ ſuperficies & harum tranſlationes ab invicem, erunt tran­ſlationes inverſe ut ſuperficies, hoc eſt, inverſe ut ſuperficierum di­ſtantiæ ab axe. Sunt autem differentiæ motuum angularium circa axem ut hæ tranſlationes applicatæ ad diſtantias, ſive ut tranſlati­ones directe & diſtantiæ inverſe; hoc eſt (conjunctis rationibus) ut quadrata diſtantiarum inverſe. Quare ſi ad infinitæ rectæ SABCDEQpartes ſin­
gulas erigantur perpendicula Aa, Bb, Cc, Dd, Ee,&c. ipſarum SA, SB, SC, SD, SE,&c. quadratis reciproce proportionalia, & per ter­minos perpendicularium du­ci intelligatur linea curva Hyperbolica; erunt ſummæ differentiarum, hoc eſt, mo­tus toti angulares, ut re­ſpondentes ſummæ linearum Aa, Bb, Cc, Dd, Ee: id eſt, ſi ad conſtituendum Me­dium uniformiter fluidum, Orbium numerus augeatur & latitudo minuatur in infinitum, ut areæ Hyperbolicæ his ſummis analogæ AaQ, BbQ, CcQ, DdQ, EeQ,&c. Et tempora motibus an­gularibus reciproce proportionalia, erunt etiam his areis reciproce proportionalia. Eſt igitur tempus periodicum particulæ cujuſvis Dreciproce ut area DdQ,hoc eſt, (per notas Curvarum qua­draturas) directe ut diſtantia SD. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Hinc motus angulares particularum fluidi ſunt reci­proce ut ipſarum diſtantiæ ab axe cylindri, & velocitates abſo­lutæ ſunt æquales.

Corol.2. Si fluidum in vaſe cylindrico longitudinis infinitæ con­tineatur, & cylindrum alium interiorem contineat, revolvatur autem cylindrus uterque circa axem communem, ſintque revolu-tionum tempora ut ipſorum ſemidiametri, & perſeveret fluidi pars unaquæQ.E.I. motu ſuo: erunt partium ſingularum tempora peri­odica ut ipſarum diſtantiæ ab axe cylindrorum.

LIBER SECUNDUS.

Corol.3. Si cylindro & fluido ad hunc modum motis addatur vel auferatur communis quilibet motus angularis; quoniam hoc novo motu non mutatur attritus mutuus partium fluidi, non mu­tabuntur motus partium inter ſe. Nam tranſlationes partium ab invicem pendent ab attritu. Pars quælibet in eo perſeverabit motu, qui, attritu utrinQ.E.I. contrarias partes facto, non magis acceleratur quam retardatur.

Corol.4. Unde ſi toti cylindrorum & fluidi Syſtemati auferatur motus omnis angularis cylindri exterioris, habebitur motus fluidi in cylindro quieſcente.

Corol.5. Igitur ſi fluido & cylindro exteriore quieſcentibus, re­volvatur cylindrus interior uniformiter; communicabitur motus circularis fluido, & paulatim per totum fluidum propagabitur; nec prius deſinet augeri quam fluidi partes ſingulæ motum Corol­lario quarto definitum acquirant.

Corol.6. Et quoniam fluidum conatur motum ſuum adhuc latius propagare, hujus impetu circumagetur etiam cylindrus exterior niſi violenter detentus; & accelerabitur ejus motus quoad uſque tempora periodica cylindri utriuſque æquentur inter ſe. Quod ſi cylindrus exterior violenter detineatur, conabitur is motum fluidi retardare; & niſi cylindrus interior vi aliqua extrinſecus impreſſa motum illum conſervet, efficiet ut idem paulatim ceſſet.

Quæ omnia in Aqua profunda ſtagnante experiri licet.

PROPOSITIO LII. THEOREMA XL.

Si Sphæra ſolida, in Fluido uniformi & infinito, circa axem poſi­tione datum uniformi cum motu revolvatur, & ab hujus im­pulſu ſolo agatur Fluidum in orbem; perſeveret autem Fluidi pars unaquæque uniformiter in motu ſuo: dico quod tem­pora periodica partium Fluidi erunt ut quadrata diſtantiarum à centro Sphæræ.

Cas.1. Sit AFLSphæra uniformiter circa axem Sin orbem acta, & circulis concentricis BGM, CHN, DIO, EKP,&c. diſtinguatur Fluidum in Orbes innumeros concentricos ejuſdem craſſitudinis. Finge autem Orbes illos eſſe ſolidos; & quoniam homogeneum eſt Fluidum, impreſſiones contiguorum Orbium in ſe mutuo factæ, erunt (per Hypotheſin) ut eorum tranſlationes ab invicem & ſuperficies contiguæ in quibus impreſſiones fiunt. Si impreſſio in Orbem aliquem major eſt vel minor ex parte con­cava quam ex parte convexa; prævalebit impeſſio fortior, & velo­citatem Orbis vel accelerabit vel retardabit, prout in eandem regi­onem cum ipſius motu vel in contrariam dirigitur. Proinde ut Orbis unuſquiſQ.E.I. motu ſuo perſeveret uniformiter, debebunt impreſſiones ex parte utraque ſibi invicem æquari, & fieri in re­giones contrarias. Unde cum impreſſiones ſint ut contiguæ ſu­perficies & harum tranſlationes ab invicem; erunt tranſlationes inverſe ut ſuperficies, hoc eſt, inverſe ut quadrata diſtantiarum ſu­perficierum à centro. Sunt autem differentiæ motuum angularium circa axem ut hæ tranſlationes applicatæ ad diſtantias, ſive ut tranſlationes directe & diſtantiæ inverſe; hoc eſt (conjunctis ra­tionibus) ut cubi diſtantiarum inverſe. Quare ſi ad rectæ infi­nitæ SABCDEQpartes ſingulas erigantur perpendicula Aa, Bb, Cc, Dd, Ee,&c. ipſarum SA, SB, SC, SD, SE,&c. cubis reciproce proportionalia, erunt ſummæ differentiarum, hoc eſt, motus toti angulares, ut reſpondentes ſummæ linearum Aa, Bb, Cc, Dd, Ee: id eſt (ſi ad conſtituendum Medium uniformi­ter fluidum, numerus Orbium augeatur & latitudo minuatur in in­finitum) ut areæ Hyperbolicæ his ſummis analogæ AaQ, BbQ, CcQ, DdQ, EeQ,&c. Et tempora periodica motibus angu­laribus reciproce proportionalia, erunt etiam his areis reciproce proportionalia. Eſt igitur tempus periodicum Orbis cujuſvis DIOreciproce ut area DdQ,hoc eſt, (per notas Curvarum quadraturas) directe ut quadratum diſtantiæ SD.Id quod vo­lui primo demonſtrare.

DE MOTU CORPORUM

Cas.2. A centro Sphæræ ducantur infinitæ rectæ quam pluri­mæ, quæ cum axe datos contineant angulos, æqualibus differen­tiis ſe mutuo ſuperantes; & his rectis circa axem revolutis concipe Orbes in annulos innumeros ſecari; & annulus unuſquiſque habe­bit annulos quatuor ſibi contiguos, unum interiorem, alterum ex­teriorem & duos laterales. Attritu interioris & exterioris non poteſt annulus unuſquiſque, niſi in motu juxta legem caſus primi facto, æqualiter & in partes contrarias urgeri. Patet hoc ex de­monſtratione caſus primi. Et propterea annulorum ſeries quælibet a Globo in infinitum recta pergens, movebitur pro lege caſus pri­mi, niſi quatenus impeditur ab attritu annulorum ad latera. At in motu hac lege facto, attritus annulorum ad latera nullus eſt; neque adeo motum, quo minus hac lege fiat, impediet. Si an­nuli, qui a centro æqualiter diſtant, vel citius revolverentur vel tardius juxta polos quam juxta æquatorem; tardiores accelera­rentur, & velociores retardarentur ab attritu mutuo, & ſic verge­rent ſemper tempora periodica ad æqualitatem, pro lege caſus primi. Non impedit igitur hic attritus quo minus motus fiat ſe­cundum legem caſus primi, & propterea lex illa obtinebit: hoc eſt, annulorum ſingulorum tempora periodica erunt ut quadrata diſtantiarum ipſorum à centro Globi. Quod volui ſecundo de­monſtrare.

LIBER SECUNDUS.

Cas.3. Dividatur jam annulus unuſquiſque ſectionibus tranſ­verſis in particulas innumeras conſtituentes ſubſtantiam abſolute & uniformiter fluidam; & quoniam hæ ſectiones non ſpectant ad legem motus circularis, ſed ad conſtitutionem Fluidi ſolummodo conducunt, perſeverabit motus circularis ut prius. His ſectionibus annuli omnes quam minimi aſperitatem & vim attritus mutui aut non mutabunt aut mutabunt æqualiter. Et manente cauſarum proportione manebit effectuum proportio, hoc eſt, proportio mo­tuum & periodieorum temporum. Q.E.D.Cæterum cum motus circularis, & abinde orta vis centrifuga, major ſit ad Eclipticam quam ad Polos; debebit cauſa aliqua adeſſe qua particulæ ſingulæ in circulis ſuis retineantur; ne materia quæ ad Eclipticam eſt, rece­dat ſemper à centro & per exteriora Vorticis migret ad Polos, in­deque per axem ad Eclipticam circulatione perpetua revertatur.

Corol.1. Hinc motus angulares partium fluidi circa axem globi, ſunt reciproce ut quadrata diſtantiarum à centro globi, & veloci­tates abſolutæ reciproce ut eadem quadrata applicata ad diſtantias ab axe.

Corol.2. Si globus in fluido quieſcente ſimilari & infinito circa axem poſitione datum uniformi cum motu revolvatur, commuNI­cabitur motus fluido in morem Vorticis, & motus iſte paulatim propagabitur in infin tum; neque prius ceſſabit in ſingulis fluidi partibus accelerari, quam tempora periodica ſingularum partium ſint ut quadrata diſtantiarum à centro globi.

Corol.3. Quoniam Vorticis partes interiores ob majorem ſuam velocitatem atterunt & urgent exteriores, motumQ.E.I.ſis ea acti-one perpetuo communicant, & exteriores illi eandem motus quan­titatem in alios adhuc exteriores ſimul tranſferunt, eaque actione ſervant quantitatem motus ſui plane invariatam; patet quod mo­tus perpetuo transfertur à centro ad circumferentiam Vorticis, & per infinitatem circumferentiæ abſorbetur. Materia inter ſphæri­cas duas quaſvis ſuperficies Vortici concentricas nunquam accele­rabitur, eo quod motum omnem à materia interiore acceptum transfert ſemper in exteriorem.

DE MOTU CORPORUM

Corol.4. Proinde ad conſervationem Vorticis conſtanter in eo­dem movendi ſtatu, requiritur principium aliquod activum, à quo globus eandem ſemper quantitatem motus accipiat, quam imprimit in materiam Vorticis. Abſque tali principio neceſſe eſt ut globus & Vorticis partes interiores, propagantes ſemper motum ſuum in exteriores, neque novum aliquem motum recipientes, tardeſcant paulatim & in orbem agi definant.

Corol.5. Si globus alter huic Vortici ad certam ab ipſius centro diſtantiam innataret, & interea circa axem inclinatione datum vi aliqua conſtanter revolveretur; hujus motu raperetur fluidum in Vorticem: & primo revolveretur hic Vortex novus & exiguus una cum globo circa centrum alterius, & interea latius ſerperet ipſius motus, & paulatim propagaretur in infinitum, ad modum Vorticis primi. Et eadem ratione qua hujus globus raperetur motu Vorti­cis alterius, raperetur etiam globus alterius motu hujus, ſic ut globi duo circa intermedium aliquod punctum revolverentur, ſe­que mutuo ob motum illum circularem fugerent, niſi per vim aliquam cohibiti. Poſtea ſi vires conſtanter impreſſæ, quibus globi in motibus ſuis perſeverant, ceſſarent, & omnia legibus Me­chanicis permitterentur, langueſceret paulatim motus globorum (ob rationem in Corol. 3. & 4. aſſignatam) & Vortices tandem conquieſcerent.

Corol.6. Si globi plures datis in locis circum axes poſitione da­tos certis cum velocitatibus conſtanter revolverentur, fierent Vor­tices totidem in infinitum pergentes. Nam globi ſinguli, eadem ratione qua unus aliquis motum ſuum propagat in infinitum, pro­pagabunt etiam motus ſuos in infinitum, adeo ut fluidi infiniti pars unaquæque eo agitetur motu qui ex omnium globorum acti­onibus reſultat. Unde Vortices non definientur certis limitibus, ſed in ſe mutuo paulatim excurrent; globique per actiones Vorti­cum in ſe mutuo, perpetuo movebuntur de locis ſuis, uti in Corollario ſuperiore expoſitum eſt; neque certam quamvis inter ſepoſitionem ſervabunt, niſi per vim aliquam retenti. Ceſſantibus autem viribus illis quæ in globos conſtanter impreſſæ conſervant hoſce motus, materia ob rationem in Corollario tertio & quarto aſſignatam, paulatim requieſcet & in Vortices agi deſinet.

LIBER SECUNDUS.

Corol.7. Si fluidum ſimilare claudatur in vaſe ſphærico, ac globi in centro conſiſtentis uniformi rotatione agatur in Vorticem, globus autem & vas in eandem partem circa axem eundem revol­vantur, ſintque eorum tempora periodica ut quadrata ſemidiame­trorum: partes fluidi non prius perſeverabunt in motibus ſuis ſine acceleratione & retardatione, quam ſint eorum tempora periodica ut quadrata diſtantiarum à centro Vorticis. Alia nulla Vorticis conſtitutio poteſt eſſe permanens.

Corol.8. Si vas, fluidum incluſum & globus ſervent hunc mo­tum, & motu præterea communi angulari circa axem quemvis da­tum revolvantur; quoniam hoc motu novo non mutatur attritus partium fluidi in ſe invicem, non mutabuntur motus partium in­ter ſe. Nam tranſlationes partium inter ſe pendent ab attritu. Pars quælibet in eo perſeverabit motu, quo fit ut attritu ex uno latere non magis tardetur quam acceleretur attritu ex altero.

Corol.9. Unde ſi vas quieſcat ac detur motus globi, dabitur motus fluidi. Nam concipe planum tranſire per axem globi & motu contrario revolvi; & pone ſummam temporis revolutionis hujus & revolutionis globi eſſe ad tempus revolutionis globi, ut quadratum ſemidiametri vaſis ad quadratum ſemidiametri globi: & tempora periodica partium fluidi reſpectu plani hujus, erunt ut quadrata diſtantiarum ſuarum à centro globi.

Corol.10. Proinde ſi vas vel circa axem eundem cum globo, vel circa diverſum aliquem, data cum velocitate quacunque movea­tur, dabitur motus fluidi. Nam ſi Syſtemati toti auferatur v ſis motus angularis, manebunt motus omnes iidem inter ſe qui prius, per Corol. 8. Et motus iſti per Corol. 9. dabuntur.

Corol.11. Si vas & fluidum quieſcant & globus uniformi cum motu revolvatur, propagabitur motus paulatim per fluidum torum in vas, & circumagetur vas niſi violenter detentum, neque prius definent fluidum & vas accelerari, quam ſint eorum tempora peri­odica æqualia temporibus periodicis globi. Quod ſi vas vi aliqua detineatur vel revolvatur motu quovis conſtanti & uniformi, de­vemet Medium paulatim ad ſtatum motus in Corollariis 8. 9 & 10. definiti, nes in alio unquam ſtatu quocunque perſeverabit. De­inde vero ſi, viribus illis ceſſantibus quibus vas & globus certis motibus revolvebantur, permittatur Syſtema totum Legibus Me­chanicis; vas & globus in ſe invicem agent mediante fluido, ne­que motus ſuos in ſe mutuo per fluidum propagare prius ceſſa­bunt, quam eorum tempora periodica æquentur inter ſe, & Syſte­ma totum ad inſtar corporis unius ſolidi ſimul revolvatur.

DE MOTU CORPORUM

Scholium.

In his omnibus ſuppono fluidum ex materia quoad denſitatem & fluiditatem uniformi conſtare. Tale eſt in quo globus idem codem cum motu, in eodem temporis intervallo, motus ſimiles & æquales, ad æquales ſemper à ſe diſtantias, ubivis in fluido conſti­tutus, propagare poſſit. Conatur quidem materia per motum ſuum circularem recedere ab axe Vorticis, & propterea premit materiam omnem ulteriorem. Ex hac preſſione fit attritus par­tium fortior & ſeparatio ab invicem difficilior; & per conſequens diminuitur materiæ fluiditas. Rurſus ſi partes fluidi ſunt alicubi craſſiores ſeu majores, fluiditas ibi minor erit, ob pauciores ſuper­ficies in quibus partes ſeparentur ab invicem. In hujuſmodi caſi­bus deficientem fluiditatem vel lubricitate partium vel lentore alia­ve aliqua conditione reſtitui ſuppono. Hoc niſi fiat, materia ubi minus fluida eſt magis cohærebit & ſegnior erit, adeoque motum tardius recipiet & longius propagabit quam pro ratione ſuperius aſſignata. Si figura vaſis non ſit Sphærica, movebuntur particulæ in lineis non circularibus ſed conformibus eidem vaſis figuræ, & tempora periodica erunt ut quadrata mediocrium diſtantiarum à centro quamproxime. In partibus inter centrum & circumferen­tiam, ubi latiora ſunt ſpatia, tardiores erunt motus, ubi anguſtiora velociores, neque tamen particulæ velociores petent circumferen­tiam. Arcus enim deſcribent minus curvos, & conatus recedendi à centro non minus diminuetur per decrementum hujus curva­turæ, quam augebitur per incrementum velocitatis. Pergendo a ſpatiis anguſtioribus in latiora recedent paulo longius a centro, ſed iſto receſſu tardeſcent; & accedendo poſtea de latioribus ad anguſtiora accelerabuntur, & ſic per vices tardeſcent & accelera­buntur particulæ ſingulæ in perpetuum. Hæc ita ſe habebunt in vaſe rigido. Nam in fluido infinito conſtitutio Vorticum innote­ſcit per Propoſitionis hujus Corollarium ſextum.

Proprietates autem Vorticum hac Propoſitione inveſtigare co­natus ſum, ut pertentarem ſiqua ratione Phænomena cœleſtia per Vortices explicari poſſint. Nam Phænomenon eſt, quod Planeta­rum circa Jovem revolventium tempora periodica ſunt in ratione ſeſquiplicata diſtantiarum a centro Jovis; & eadem Regula obti­net in Planetis qui circa Solem revolvuntur. Obtinent autem hæ Regulæ in Planetis utriſque quam accuratiſſime, quatenus obſer­vationes Aſtronomicæ hactenus prodidere. Ideoque ſi Planetæ illi à Vorticibus circa Jovem & Solem revolventibus deferantur, debebunt etiam hi Vortices eadem lege revolvi. Verum tempora periodica partium Vorticis prodierunt in ratione duplicata diſtan­tiarum a centro motus: neque poteſt ratio illa diminui & ad ra­tionem ſeſquiplicatam reduci, niſi vel materia Vorticis eo fluidior ſit quo longius diſtat a centro, vel reſiſtentia, quæ oritur ex de­fectu lubricitatis partium fluidi, ex aucta velocitate qua partes fluidi ſeparantur ab invicem, augeatur in majori ratione quam ea eſt in qua velocitas augetur. Quorum tamen neutrum rationi conſentaneum videtur. Partes craſſiores & minus fluidæ (niſi gra­ves ſint in centrum) circumferentiam petent; & veriſimile eſt quod, etiamſi Demonſtrationum gratia Hypotheſin talem initio Sectionis hujus propoſuerim ut Reſiſtentia velocitati proportiona­lis eſſet, tamen Reſiſtentia in minori ſit ratione quam ea velocita­tis eſt. Quo conceſſo, tempora periodica partium Vorticis erunt in majori quam duplicata ratione diſtantiarum ab ipſius centro. Quod ſi Vortices (uti aliquorum eſt opinio) celerius moveantur prope centrum, dein tardius uſque ad certum limitem, tum denuo celerius juxta circumferentiam; certe nec ratio ſeſquiplicata neque alia quævis certa ac determinata obtinere poteſt. Viderint itaque Philoſophi quo pacto Phænomenon illud rationis ſeſquiplicatæ per Vortices explicari poſſit.

LIBER SECUNDUS.

PROPOSITIO LIII. THEOREMA XLI.

Corpora quæ in Vortice delata in orbem redeunt, ejuſdem ſunt den­ſitatis cum Vortice, & eadem lege cum ipſius partibus (quoad velocitatem & curſus determinationem) moventur.

Nam ſi Vorticis pars aliqua exigua, cujus particulæ ſeu puncta phyſica datum ſervant ſitum inter ſe, congelari ſupponatur: hæc, quoniam neque quoad denſitatem ſuam, neque quoad vim inſitam aut figuram ſuam mutatur, movebitur eadem lege ac prius: & contra, ſi Vorticis pars congelata & ſolida ejuſdem ſit denſitatis cum reliquo Vortice, & reſolvatur in fluidum; movebitur hæc ea­dem lege ac prius, niſi quatenus ipſius particulæ jam fluidæ factæ moveantur inter ſe. Negligatur igitur motus particularum inter ſe, tanquam ad totius motum progreſſivum nil ſpectans, & motus totius idem erit ac prius. Motus autem idem erit cum motu alia­rum Vorticis partium a centro æqualiter diſtantium, propterea quod ſolidum in Fluidum reſolutum fit pars Vorticis cæteris parti­bus conſimilis. Ergo ſolidum, ſi ſit ejuſdem denſitatis cum ma­teria Vorticis, eodem motu cum ipſius partibus movebitur, in ma­teria proxime ambiente relative quieſcens. Sin denſius ſit, jam magis conabitur recedere à centro Vorticis quam prius; adeoque Vorticis vim illam, qua prius in Orbita ſua tanquam in æquilibrio conſtitutum retinebatur, jam ſuperans, recedet a centro & revol­vendo deſcribet Spiralem, non amplius in eundem Orbem rediens Et eodem argumento ſi rarius ſit, accedet ad centrum. Igitur non redibit in eundem Orbem niſi ſit ejuſdem denſitatis cum fluido Eo autem in caſu oſtenſum eſt, quod revolveretur eadem lege cum partibus fluidi à centro Vorticis æqualiter diſtantibus. Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

Corol.1. Ergo ſolidum quod in Vortice revolvitur & in eundem Orbem ſemper redit, relative quieſcit in fluido cui innatat.

Corol.2. Et ſi Vortex ſit quoad denſitatem uniformis, corpus idem ad quamlibet a centro Vorticis diſtantiam revolvi poteſt.

Scholium.

Hinc liquet Planetas à Vorticibus corporeis non deferri. NamPlanetæ ſecundum Hypotheſin Copernicæamcirca Solem delati re­volvuntur in Ellipſibus umbilicum habentibus in Sole, & radiis adSolem ductis areas deſcribunt temporibus proportionales. At par­tes Vorticis tali motu revolvi nequeunt. Deſignent AD, BE, CF,Orbes tres circa Solem Sdeſcriptos, quorum extimus CFcirculusſit Soli concentricus, & interiorum duorum Aphelia ſint A, B&Perihelia D, E.Ergo corpus quod revolvitur in Orbe CF,radioad Solem ducto areas temporibus proportionales deſcribendo, mo­vebitur uniformi cum motu. Corpus autem quod revolvitur inOrbe BE,tardius movebitur in Aphelio B& velocius in Peri­helio E,ſecundum leges Aſtronomicas; cum tamen ſecundum le­ges Mechanicas materia Vorticis in ſpatio anguſtiore inter A& Cvelocius moveri debeat quam in ſpatio latiore inter D& F; id eſt, in Aphelio velocius quam in Perihelio. Quæ duo repugnant inter ſe. Sic in principio Signi

Virginis, ubi Aphelium Martis jam verſatur, diſtantia inter or­bes Martis & Veneris eſt ad di­ſtantiam eorundem orbium in principio Signi Piſcium ut tria ad duo circiter, & propterea materia Vorticis inter Orbes il­los in principio Piſcium debet eſſe velocior quam in principio Virginis in ratione trium ad duo. Nam quo anguſtius eſt ſpatium per quod eadem Materiæ quan­titas eodem revolutionis unius tempore tranſit, eo majori cum velocitate tranſire debet. Igitur ſi Terra in hac Materia cœſe­ſti relative quieſcens ab ea deferretur, & una circa Solem re­volveretur, foret hujus velocitas in principio Piſcium ad ejuſdem velocitatem in principio Virginis in ratione ſeſquialtera. Unde Solis motus diurnus apparens in principio Virginis major eſſet quam minutorum primorum ſeptuaginta, & in principio Piſcium minor quam minutorum quadraginta & octo: cum tamen (expe­rientia teſte) apparens iſte Solis motus major ſit in principio Pi­ſcium quam in principio Virginis, & propterea Terra velocior in principio Virginis quam in principio Piſcium. Itaque Hypotheſis Vorticum cum Phænomenis Aſtronomicis omnino pugnat, & non tam ad explicandos quam ad perturbandos motus cœleſtes, con­ducit. Quomodo vero motus iſti in ſpatiis liberis abſque Vorti­cibus peraguntur intelligi poteſt ex Libro primo, & in Mundi Syſtemate plenius docebitur.

LIBER SECUNDUS.

DE MUNDI SYSTEMATE LIBER TERTIUS.

IN Libris præcedentibus principia Philoſophiæ tradidi, non ta­men Philoſophica ſed Mathematica tantum, ex quibus vide­licet in rebus Philoſophicis diſputari poſſit. Hæc ſunt mo­tuum & virium leges & conditiones, quæ ad Philoſophiam ma­xime ſpectant. Eadem tamen, ne ſterilia videantur, illuſtravi Scholiis quibuſdam Philoſophicis, ea tractans quæ generalia ſunt, & in quibus Philoſophia maxime fundari videtur, uti corporum denſitatem & reſiſtentiam, ſpatia corporibus vacua, motumque Lucis & Sonorum. Supereſt ut ex iiſdem principiis doceamus con­ſtitutionem Syſtematis Mundani. De hoc argumento compoſue­ram Librum tertium methodo populari, ut a pluribus legeretur. Sed quibus Principia poſita ſatis intellecta non fuerint, ii vim con­ſequentiarum minime percipient, neque præjudicia deponent qui­bus a multis retro annis inſueverunt: & propterea ne res in diſpu­tationes trahatur, ſummam libri illius tranſtuli in Propoſitiones, more Mathematico, ut ab iis ſolis legantur qui Principia prius evolverint. Veruntamen quoniam Propoſitiones ibi quam pluri­mæ occurrant, quæ Lectoribus etiam Mathematice doctis moram nimiam injicere poſſint, author eſſe nolo ut quiſquam eas omnes evolvat; ſuffecerit ſiquis Definitiones, Leges motuum & ſectiones tres priores Libri primi ſedulo legat, dein tranſeat ad hunc Li­brum de Mundi Syſtemate, & reliquas Librorum priorum Propo­ſitiones hic citatas pro lubitu conſulat.

REGULÆ PHILOSOPHANDI.

REGULA I.

Cauſas rerum naturalium non plures admitti debere, quam quæ & veræ ſint & earum Phænomenis explicandis ſufficiant.

DIcunt utique Philoſophi: Natura nihil agit fruſtra, & fruſtra fit per plura quod fieri poteſt per pauciora. Natura enim ſimplex eſt & rerum cauſis ſuperfluis non luxuriat.

REGULA II.

Ideoque Effectuum naturalium ejuſdem generis eædem ſunt Cauſæ.

Uti reſpirationis in Homine & in Beſtia; deſcenſus lapidum in Europa& in America; Lucis in Igne culinari & in Sole; reflexi­onis Lucis in Terra & in Planetis.

REGULA III.

Qualitates corporum quæ intendi & remitti nequeunt, quæque corporibus omnibus competunt in quibus experimenta inſtituere licet, pro qualitatibus corporum univerſorum habendæ ſunt.

Nam qualitates corporum non niſi per experimenta innoteſcunt; ideoque generales ſtatuendæ ſunt quotquot cum experimentis ge­neraliter quadrant; & quæ minui non poſſunt, non poſſunt au­ferri. Certe contra experimentorum tenorem ſomnia temere con­fingenda non ſunt, nec a Naturæ ana logia recedendum eſt, cum ea ſimplex eſſe ſoleat & ſibi ſemper conſona. Extenſio corporum non niſi per ſenſus innoteſcit, nec in omnibus ſentitur: ſed quia ſenſibilibus omnibus competit, de univerſis affirmatur, Corpora plura dura eſſe experimur. Oritur autem durities totius a duritie partium, & inde non horum tantum corporum quæ ſentiuntur, ſed aliorum etiam omnium particulas indiviſas eſſe duras merito concludimus. Corpora omnia impenetrabilia eſſe non ratione ſed ſenſu colligimus. Quæ tractamus, impenetrabilia inveniuntur, & inde concludimus impenetrabilitatem eſſe proprietatem corporum univerſorum. Corpora omnia mobilia oſſe, & viribus quibuſdam (quas vires inertiæ vocamus) perſeverare in motu vel quiete, ex hiſce corporum viſorum proprietatibus colligimus. Extenſio, du­rities, impenetrabilitas, mobilitas & vis inertiæ totius, oritur ab extenſione, duritie, impenetrabilitate, mobilitate & viribus iner­tiæ partium: & inde concludimus omnes omnium corporum par­tes minimas extendi & duras eſſe & impenetrabiles & mobiles &viribus inertiæ præditas. Et hoc eſt fundamentum Philoſophiæ totius. Porro corporum partes diviſas & ſibi mutuo contiguas ab invicem ſeparari poſſe, ex Phænomenis novimus, & partes indi­viſas in partes minores ratione diſtingui poſſe ex Mathematica certum eſt. Utrum vero partes illæ diſtinctæ & nondum diviſæ per vires Naturæ dividi & ab invicem ſeparari poſſint, incertum eſt. At ſi vel unico conſtaret experimento quod particula aliqua indiviſa, frangendo corpus durum & ſolidum, diviſionem patere­tur: concluderemus vi hujus Regulæ, quod non ſolum partes di­viſæ ſeparabiles eſſent, ſed etiam quod indiviſæ in infinitum dividi poſſent.

DE MUNDI SYSTEMATE

Denique ſi corpora omnia in circuitu Terræ gravia eſſe in Ter­ram, idque pro quantitate materiæ in ſingulis, & Lunam gravem eſſe in Terram pro quantitate materiæ ſuæ, & viciſſim mare no­ſtrum grave eſſe in Lunam, & Planetas omnes graves eſſe in ſe mutuo, & Cometarum ſimilem eſſe gravitatem, per experimenta & obſervationes Aſtronomicas univerſaliter conſtet: dicendum erit per hanc Regulam quod corpora omnia in ſe mutuo gravitant. Nam & fortius erit argumentum ex Phænomenis de gravitate uNI­verſali, quam de corporum impenetrabilitate: de qua utiQ.E.I. corporibus Cœleſtibus nullum experimentum, nullam prorſus ob­ſervationem habemus.

PHÆNOMENA.

LIBER TERTIUS.

PHÆNOMENON I.

Planetas Circumjoviales, radiis ad centrum Jovis ductis, areas deſcribere temporibus proportionales, eorumque tempora periodica eſſe in ratione ſeſquiplicata diſtantiarum ab ipſius centro.

COnſtat ex obſervationibus Aſtronomicis. Orbes horum Pla­netarum non differunt ſenſibiliter a circulis Jovi concentri­cis, & motus eorum in his circulis uniformes deprehenduntur. Tempora vero periodica eſſe in ſeſquiplicata ratione ſemidiame­trorum Orbium conſentiunt Aſtronomi; & idem ex Tabula ſe­quente manifeſtum eſt. Satellitum Jovialium tempora periodica.

1d.18h.27′.34″.3d.13h.13′.42″.7d.3h.42′.36″.16d.16h.32′.9″.
Diſtantiæ Satellitum a centro Jovis.Ex obſervationibus1234Borelli5 2/38 2/31424 2/3Semidiam. JovisTownlei per Microm.5,528,7813,4724,72Caſſini per Teleſcop.581323Caſſini per Eclipſ. Satell.5 2/39(14 23/60)(25 1/10)Ex temporibus periodicis.5,6679,01714,38425,299
Satellitum Jovialium tempora periodica.

PHÆNOMENON II.

Planetas Circumſaturnios, radiis ad Saturnum ductis, areas deſcri­bere temporibus proportionales, & eorum tempora periodica eſſe in ratione ſeſquiplicata diſtantiarum ab ipſius centro.

Caſſinusutique ex obſervationibus ſuis diſtantias eorum a centro Saturni & periodica tempora hujuſmodi eſſe ſtatuit.

DE MUNDI SYSTEMATE

Satellitum Saturniorum tempora periodica.1d.21.19′.2d.17h.41′.4d.13h.47′.15d.22h.41′.79d.22h.4′.Diſtantiæ Satellitum a centro Saturni in ſemidiametris AnnuliEx obſervationibus(1 19/20).2 1/2.3 1/2.8.24.Ex temporibus periodicis1,95.2,5.3,52,8,09.23,71.

PHÆNOMENON III.

Planetas quinque primarios Mercurium, Venerem, Martem, Jo­vem & Saturnum Orbibus ſuis Solem cingere.

Mercurium & Venerem circa Solem revolvi ex eorum phaſibus lunaribus demonſtratur. Plena facie lucentes ultra Solem ſiti ſunt, dimidiata è regione Solis, falcata cis Solem; per diſcum ejus ad modum macularum nonnunquam tranſeuntes. Ex Martis quoque plena facie prope Solis conjunctionem, & gibboſa in quadraturis, certum eſt quod is Solem ambit. De Jove etiam & Saturno idem ex eorum phaſibus ſemper plenis demonſtratur. PHÆNOMENON IV.

Planetarum quinque primariorum, & (vel Solis circa Terram vel) Terræ circa Solem tempora periodica eſſe in ratione ſeſquipli­cata mediocrium diſtantiarum à Sole.

Hæc à Kepleroinventa ratio in confeſſo eſt apud omnes. Ea­dem utique ſunt tempora periodica, eædemque orbium dimen­ſiones, ſive Sol circa Terram, ſive Terra circa Solem revolvatur. Ac de menſura quidem temporum periodieorum convenit inter Aſtronomos univerſos. Magnitudines autem Orbium Keplerus& Bullialdusomnium diligentiſſime ex Obſervationibus determina­verunt: & diſtantiæ mediocres, quæ temporibus periodicis reſpon­dent, non differunt ſenſibiliter à diſtantiis quas illi invenerunt, ſuntQ.E.I.ter ipſas ut plurimum intermediæ; uti in Tabula ſe­quente videre licet.

Planetarum ac Telluris diſtantiæ mediocres à Sole.Secundum Keplerum951000.519650.152350.100000.72400.38806.Secundum Bullialdum954198.522520.152350.100000.72398.38585.Secundum tempora periodica953806.520116.152399.100000.72333.38710.

LIBER TERTIUS.

De diſtantiis Mercurii & Veneris a Sole diſputandi non eſt locus, cum hæ per eorum Elongationes à Sole determinentur. De di­ſtantiis etiam ſuperiorum Planetarum à Sole tollitur omnis diſpu­tatio per Eclipſes Satellitum Jovis. Etenim per Eclipſes illas de­terminatur poſitio umbræ quam Jupiter projicit, & eo nomine habetur Jovis longitudo Heliocentrica. Ex longitudinibus autem Heliocentrica & Geocentrica inter ſe collatis determinatur diſtan­tia Jovis. PHÆNOMENON V.

Planetas primarios, radiis ad Terram ductis, areas deſcribere tem­poribus minime proportionales; at radiis ad Solem ductis, areas temporibus proportionales percurrere.

Nam reſpectu Terræ nunc progrediuntur, nunc ſtationarii ſunt, nunc etiam regrediuntur: At Solis reſpectu ſemper progrediuntur, idque propemodum uniformi cum motu, ſed paulo celerius tamen in Periheliis ac tardius in Apheliis, ſic ut arearum æquabilis ſit de­ſcriptio. Propoſitio eſt Aſtronomis notiſſima, & in Jove apprime demonſtratur per Eclipſes Satellitum, quibus Eclipſibus Helio­centricas Planetæ hujus longitudines & diſtantias à Sole determi­nari diximus. PHÆNOMENON VI.

Lunam radio ad centrum Terræ ducto, aream tempori proporti­onalem deſcribere.

Patet ex Lunæ motu apparente cum ipſius diametro apparente collato. Perturbatur autem motus Lunaris aliquantulum à vi So­lis, ſed errorum inſenſibiles minutias in hiſce Phænomenis negligo.

PROPOSITIONES.PROPOSITIO I. THEOREMA I.

DE MUNDI SYSTEMATE

Vires, quibus Planetæ Circumjoviales perpetuo retrahuntur à me­tibus rectilineis & in Orbibus ſuis retinentur, reſpicere cen­trum Jovis, & eſſe reciproce ut quadrata diſtantiarum loco­rum ab eodem centro.

PAtet pars prior Propoſitionis per Phænomenon primum, & Propoſitionem ſecundam vel tertiam Libri primi: & pars poſterior per Phænomenon primum, & Corollarium ſextum Pro­poſitionis quartæ ejuſdem Libri.

Idem intellige de Planetis qui Saturnum comitantur, per Phæ­nomenon ſecundum. PROPOSITIO II. THEOREMA II.

Vires, quibus Planetæ primarii perpetuo retrahuntur à motibus rectilineis, & in Orbibus ſuis retinentur, reſpicere Solem, & eſſe reciproce ut quadrata diſtantiarum ab ipſius centro.

Patet pars prior Propoſitionis per Phænomenon quintum, & Propoſitionem ſecundam Libri primi: & pars poſterior per Phæ­nomenon quartum, & Propoſitionem quartam ejuſdem Libri. Accuratiſſime autem demonſtratur hæc pars Propoſitionis per quietem Apheliorum. Nam aberratio quam minima à ratione duplicata (per Corol. 1. Prop. XLV. Lib. I.) motum Apſidum in ſingulis revolutionibus notabilem, in plunibus enormem efficere deberet. PROPOSITIO III. THEOREMA III.

LIBER TERTIUS.

Vim qua Luna retinetur in Orbe ſuo reſpicere Terram, & eſſe re­citroce ut quadratum diſtantiæ loeorum ab ipſius centro.

Patet aſſertionis pars prior per Phænomenon ſextum, & Propo­poſitionem ſecundam vel tertiam Libri primi: & pars poſterior per motum tardiſſimum Lunaris Apogæi. Nam motus ille, qui ſingulis revolutionibus eſt graduum tantum trium & minutorum trium in conſequentia, contemni poteſt. Patet enim (per Corol. 1. Prop. XLV. Lib.I.) quod ſi diſtantia Lunæ a centro Terræ ſit ad ſemidiametrum Terræ ut D ad 1; vis a qua motus talis oriatur ſit reciproce ut D (2 4/243), id eſt, reciproce ut ea ipſius D dignitas cu­jus index eſt (2 4/243), hoc eſt, in ratione diſtantiæ paulo majore quam duplicata inverſe, ſed quæ partibus 59 1/4 propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit. Oritur vero ab actione Solis (uti poſthac dicetur) & propterea hic negligendus eſt. Actio Solis quatenus Lunam diſtrahit a Terra, eſt ut diſtantia Lunæ a Terra quamproxime; ideoque (per ea quæ dicuntur in Corol. 2. Prop. XLV. Lib. I.) eſt ad Lunæ vim centripetam ut 2 ad 357,45 circi­ter, ſeu 1 ad (178 29/40). Et neglecta Solis vi tantilla, vis reliqua qua Luna retinetur in Orbe erit reciproce ut D2. Id quod etiam plenius conſtabit conferendo hanc vim cum vi gravitatis, ut fit in Propoſitione ſequente.

Corol.Si vis centripeta mediocris qua Luna retinetur in Orbe, augeatur primo in ratione (177 29/40) ad (178 29/40), deinde etiam in rati­one duplicata ſemidiametri Terræ ad mediocrem diſtantiam centri Lunæ a centro Terræ: habebitur vis centripeta Lunaris ad ſuper­ficiem Terræ, poſito quod vis illa deſcendendo ad ſuperficiem Terræ, perpetuo augeatur in reciproca altitudinis ratione du­plicata. PROPOSITIO IV. THEOREMA IV.

Lunam gravitare in Terram, & vi gravitatis retrahi ſemper a motu rectilineo, & in Orbe ſuo retineri.

Lunæ diſtantia mediocris a Terra in Syzygiis eſt ſemidiametro­rum terreſtrium, ſecundum pleroſque Aſtronomorum 59, ſecun­dum Vendelinum60, ſecundum Copernicum60 1/3, & ſecundum Ty-chonem56 1/2. Aſt Tycho,& quotquot ejus Tabulas refractionum ſequuntur, conſtituendo refractiones Solis & Lunæ (omnino con­tra naturam Lucis) majores quam Fixarum, idque ſcrupulis quaſi quatuor vel quinque, auxerunt parallaxin Lunæ ſcrupulis totidem, hoc eſt, quaſi duodecima vel decima quinta parte totius paralla­xeos. Corrigatur iſte error, & diſtantia evadet quaſi 60 1/2 ſemi­diametrorum terreſtrium, fere ut ab aliis aſſignatum eſt. Aſſuma­mus diſtantiam mediocrem ſexaginta ſemidiametrorum; & Luna­rem periodum reſpectu Fixarum compleri diebus 27, horis 7, mi­nutis primis 43, ut ab Aſtronomis ſtatuitur; atque ambitum Terræ eſſe pedum Pariſienſium 123249600, uti a Gallismenſurantibus de­finitum eſt: Et ſi Luna motu omni privari fingatur ac dimitti ut, urgente vi illa omni qua in Orbe ſuo retinetur, deſcendat in Ter­ram; hæc ſpatio minuti unius primi cadendo deſcribet pedes Pari­ſienſes (15 1/12). Colligitur hoc ex calculo vel per Propoſitionem XXXVI. Libri primi, vel (quod eodem recidit) per Corollarium nonum Propoſitionis quartæ ejuſdem Libri, confecto. Nam ar­cus illius quem Luna tempore minuti unius primi, medio ſuo motu, ad diſtantiam ſexaginta ſemidiametrorum terreſtrium de­ſcribat, ſinus verſus eſt pedum Pariſienſium (15 1/12) circiter. Unde cum vis illa accedendo ad Terram augeatur in duplicata diſtantiæ ratione inverſa, adeoque ad ſuperficiem Terræ major ſit partibus 60X60 quam ad Lunam; corpus vi illa in regionibus noſtris ca­dendo, deſcribere deberet ſpatio minuti unius primi pedes Pari­ſienſes 60X60X(15 1/12), & ſpatio minuti unius ſecundi pedes (15 1/12). Atqui corpora in regionibus noſtris vi gravitatis cadendo, deſcri­bunt tempore minuti unius ſecundi pedes Pariſienſes (15 1/12), uti Hugeniusfactis pendulorum experimentis & computo inde inito, demonſtravit: & propterea (per Reg. 1. & 11.) vis qua Luna in Orbe ſuo retinetur, illa ipſa eſt quam nos Gravitatem dicere ſole­mus. Nam ſi Gravitas ab ea diverſa eſt, corpora viribus utriſque conjunctis Terram petendo, duplo velocius deſcendent, & ſpatio minuti unius ſecundi cadendo deſcribent pedes Pariſienſes 30 1/6: omnino contra Experientiam.

DE MUNDI SYSTEMATE

Calculus hic fundatur in hypotheſi quod Terra quieſcit. Nam ſi Terra & Luna circum Solem moveantur, & interea quoque cir­cum commune gravitatis centrum revolvantur: diſtantia centro­rum Lunæ ac Terræ ab invicem erit 60 1/2 ſemidiametrorum ter­reſtrium; uti computationem (per Prop. LX. Lib. I.) ineunti patebit. PROPOSITIO V. THEOREMA V.

LIBER TERTIUS.

Planetas Circumjoviales gravitare in Jovem, Circumſaturnios in Saturnum, & Circumſolares in Solem, & vi gravitatis ſuæ retrahi ſemper à motibus rectilineis, & in Orbibus curvili­neis retineri.

Nam revolutiones Planetarum Circumjovialium circa Jovem, Cir­cumſaturniorum circa Saturnum, & Mercurii ac Veneris reliquo­rumque Circumſolarium circa Solem ſunt Phænomena ejuſdem ge­neris cum revolutione Lunæ circa Terram; & propterea per Reg. 11. à cauſis ejuſdem generis dependent: præſertim cum de­monſtratum ſit quod vires, à quibus revolutiones illæ dependent, reſpiciant centra Jovis, Saturni ac Solis, & recedendo à Jove, Sa­turno & Sole decreſcant eadem ratione ac lege, qua vis gravitatis decreſcit in receſſu à Terra.

Corol.1. Gravitas igitur datur in Planetas univerſos. Nam Ve­nerem, Mercurium, cæteroſque eſſe corpora ejuſdem generis cum Jove & Saturno, nemo dubitat. Et cum attractio omnis (per mo­tus Legem tertiam) mutua ſit, Jupiter in Satellites ſuos omnes, Saturnus in ſuos, TerraQ.E.I. Lunam, & Sol in Planetas omnes primarios gravitabit.

Corol.2. Gravitatem, quæ Planetam unumquemque reſpicit, eſſe reciproce ut quadratum diſtantiæ loeorum ab ipſius centro.

Corol.3. Graves ſunt Planetæ omnes in ſe mutuo per Corol. 1. & 2. Et hinc Jupiter & Saturnus prope conjunctionem ſe invicem attrahendo, ſenſibiliter perturbant motus mutuos, Sol perturbat motus Lunares, Sol & Luna perturbant Mare noſtrum, ut in ſequentibus explicabitur. PROPOSITIO VI. THEOREMA VI.

Corpora omnia in Planetas ſingulos gravitare, & pondera eorum in eundem quemvis Planetam, paribus diſtantiis à centro Pla­netæ, proportionalia eſſe quantitati materiæ in ſingulis.

Deſcenſus gravium omnium in Terram (dempta ſaltem inæquali retardatione quæ ex Aeris perexigua reſiſtentia oritur) æqualibus temporibus fieri, jamdudum obſervarunt alii; & accuratiſſime qui­dem notare licet æqualitatem temporum in Pendulis. Rem tentavi in Auro, Argento, Plumbo, Vitro, Arena, Sale communi, Ligno, Aqua, Tritico. Comparabam pyxides duas ligneas rotundas & æquales. Unam implebam Ligno, & idem Auri pondus ſuſpende­bam (quam potui exacte) in alterius centro oſcillationis. Pyxides ab æqualibus pedum undecim filis pendentes, conſtituebant Pen­dula, quoad pondus, figuram, & acris reſiſtentiam omnino paria: Et paribus oſcillationibus, juxta poſitæ, ibant una & redibant di­utiſſime. Proinde copia materiæ in Auro (per Corol. 1. & 6. Prop. XXIV. Lib. II.) erat ad copiam materiæ in Ligno, ut vis motricis actio in totum Aurum ad ejuſdem actionem in totum Lignum; hoc eſt, ut pondus ad pondus. Et ſic in cæteris. In corporibus ejuſ­dem ponderis differentia materiæ, quæ vel minor eſſet quam pars milleſima materiæ totius, his experimentis manifeſto deprehendi potuit. Jam vero naturam gravitatis in Planetas eandem eſſe atque in Terram, non eſt dubium. Elevari enim fingantur corpora hæc Terreſtria ad uſque Orbem Lunæ, & una cum Luna motu omni privata demitti, ut in Terram ſimul cadant; & per jam ante oſtenſa certum eſt quod temporibus æqualibus deſcribent æqualia ſpatia cum Luna, adeoque quod ſunt ad quantitatem materiæ in Luna, ut pondera ſua ad ipſius pondus. Porro quoniam Satellites Jovis temporibus revolvuntur quæ ſunt in ratione ſeſquiplicata diſtanti­arum à centro Jovis, erunt eorum gravitates acceleratrices in Jo­vem reciproce ut quadrata diſtantiarum à centro Jovis; & prop­terea in æqualibus a Jove diſtantiis, eorum gravitates acceleratrices evaderent æquales. Proinde temporibus æqualibus ab æqualibus altitudinibus cadendo, deſcriberent æqualia ſpatia; perinde ut fit in gravibus, in hac Terra noſtra. Et eodem argumento Planetæ circumſolares ab æqualibus à Sole diſtantiis demiſſi, deſcenſu ſuo in Solem æqualibus temporibus æqualia ſpatia deſcriberent. Vires autem, quibus corpora inæqualia æqualiter accelerantur, ſunt ut corpora; hoc eſt, pondera ut quantitates materiæ in Planetis. Porro Jovis & ejus Satellitum pondera in Solem proportionalia eſſe quantitatibus materiæ eorum, patet ex motu Satellitum quam maxime regulari; per Corol. 3. Prop. LXV. Lib. I. Nam ſi ho­rum aliqui magis traherentur in Solem, pro quantitate materiæ ſuæ, quam cæteri: motus Satellitum (per Corol. 2. Prop. LXV. Lib. I.) ex inæqualitate attractionis perturbarentur. Si (paribus à Sole diſtantiis) Satelles aliquis gravior eſſet in Solem pro quan­titate materiæ ſuæ, quam Jupiter pro quantitate materiæ ſuæ, in ratione quacunQ.E.D.ta, puta dad e: diſtantia inter centrum So­lis & centrum Orbis Satellitis, major ſemper foret quam diſtantia inter centrum Solis & centrum Jovis in ratione ſubduplicata quam proxime; uti calculis quibuſdam initis inveni. Et ſi Satelles mi­nus gravis eſſet in Solem in ratione illa dad e,diſtantia centri Orbis Satellitis à Sole minor foret quam diſtantia centri Jovis à Sole in ratione illa ſubduplicata. Igitur ſi in æqualibus à Sole diſtantiis, gravitas acceleratrix Satellitis cujuſvis in Solem major eſſet vel minor quam gravitas acceleratrix Jovis in Solem, parte tantum milleſima gravitatis totius, foret diſtantia centri Orbis Satellitis à Sole major vel minor quam diſtantia Jovis à Sole parte (7/2000) diſtantiæ totius, id eſt, parte quinta diſtantiæ Satellitis extimi à centro Jovis: Quæ quidem Orbis eccentricitas foret &c. valde ſenſibilis. Sed Orbes Satellitum ſunt Jovi concentrici, & propte­rea gravitates acceleratrices Jovis & Satellitum in Solem æquantur inter ſe. Et eodem argumento pondera Saturni & Comitum ejus in Solem, in æqualibus à Sole diſtantiis, ſunt ut quantitates mate­riæ in ipſis: Et pondera Lunæ ac Terræ in Solem vel nulla ſunt, vel earum maſſis accurate proportionalia. Aliqua autem ſunt per Corol. 1. & 3. Prop. V.

DE MUNDI SYSTEMATE

LIBER TERTIUS.

Quinetiam pondera partium ſingularum Planetæ cujuſQ.E.I. alium quemcunque, ſunt inter ſe ut materia in partibus ſingulis. Nam ſi partes aliquæ plus gravitarent, aliæ minus, quam pro quan­titate materiæ: Planeta totus, pro genere partium quibus maxime abundet, gravitaret magis vel minus quam pro quantitate materiæ totius. Sed nec refert utrum partes illæ externæ ſint vel internæ. Nam ſi verbi gratia corpora Terreſtria, quæ apud nos ſunt, in Orbem Lunæ elevari fingantur, & conferantur cum corporo Lunæ: Si horum pondera eſſent ad pondera partium externarum Lunæ ut quantitates materiæ in iiſdem, ad pondera vero partium in­ternarum in majori vel minori ratione, forent eadem ad pondus Lunæ totius in majori vel minori ratione: contra quam ſupra oſtenſum eſt.

Corol.1. Hinc pondera corporum non pendent ab eorum for­mis & texturis. Nam ſi cum formis variari poſſent; forent ma­jora vel minora, pro varietate formarum, in æquali materia: om­nino contra Experientiam.

DE MUNDI SYSTEMATE

Corol.2. Corpora univerſa quæ circa Terram ſunt, gravia ſunt in Terram; & pondera omnium, quæ æqualiter à centro Terræ diſtant, ſunt ut quantitates materiæ in iiſdem. Hæc eſt qualitas omnium in quibus experimenta inſtituere licet, & propterea per Reg.111. de univerſis affirmanda eſt. Si Æther aut corpus aliud quodcunque vel gravitate omnino deſtitueretur, vel pro quantitate materiæ ſuæ minus gravitaret: quoniam id (ex mente Ariſtotelis, Carteſii & aliorumnon differet ab aliis corporibus niſi in formamateriæ, poſſet idem per mutationem formæ gradatim tranſmutari in corpus ejuſdem conditionis cum iis quæ, pro quantitate materiæ, quam maxime gravitant, & viciſſim corpora maxime gravia, fer­mam illius gradatim induendo, poſſent gravitatem ſuam gradatim amittere. Ac proinde pondera penderent à formis corporum, poſſentque cum formis variari, contra quam probatum eſt in Corollario ſuperiore.

Corol.3. Spatia omnia non ſunt æqualiter plena. Nam ſi ſpatia omnia æqualiter plena eſſent, gravitas ſpecifica fluidi quo regio aeris impleretur, ob ſummam denſitatem materiæ, nil cederet gra­vitati ſpecificæ argenti vivi, vel auri, vel corporis alterius cujuſ­cunQ.E.D.nſiſſimi; & propterea nec aurum neque aliud quod­cunque corpus in aere deſcendere poſſet. Nam corpora in flui­dis, niſi ſpecifice graviora ſint, minime deſcendunt. Quod ſi quantitas materiæ in ſpatio dato per rarefactionem quamcunque diminui poſſit, quidni diminui poſſit in infinitum?

Corol.4. Si omnes omnium corporum particulæ ſolidæ ſint ejuſ­dem denſitatis, neque abſque poris rarefieri poſſint, Vacuum da­tur. Ejuſdem denſitatis eſſe dico, quarum vires inertiæ ſunt ut magnitudines.

Corol.5. Vis gravitatis diverſi eſt generis à vi magnetica. Nam attractio magnetica non eſt ut materia attracta. Corpora aliqua magis trahuntur, alia minus, plurima non trahuntur. Et vis mag­netica in uno & eodem corpore intendi poteſt & remitti, eſtque nonnunquam longe major pro quantitate materiæ quam vis gra­vitatis, & in receſſu à Magnete decreſcit in ratione diſtantiæ non duplicata, ſed fere triplicata, quantum ex craſſis quibuſdam obſer­vationibus animadvertere potui. PROPOSITIO VII. THEOREMA VII.

LIBER TERTIUS.

Gravitatem in corpora univerſa fieri, eamque proportionalem eſſe quantitati materiæ in ſingulis.

Planetas omnes in ſe mutuo graves eſſe jam ante probavimus, ut & gravitatem in unumquemque ſeorſim ſpectatum eſſe reci­proce ut quadratum diſtantiæ loeorum à centro Planetæ. Et inde conſequens eſt, (per Prop. LXIX. Lib. I. & ejus Corollaria) gra­vitatem in omnes proportionalem eſſe materiæ in iiſdem.

Porro cum Pianetæ cujuſvis Apartes omnes graves ſint in Pla­netam quemvis B,& gravitas partis cujuſque ſit ad gravitatem totius, ut materia partis ad materiam totius, & actioni omni re­actio (per motus Legem tertiam) æqualis ſit; Planeta Bin partes omnes Planetæ Aviciſſim gravitabit, & erit gravitas ſua in par­tem unamquamque ad gravitatem ſuam in totum, ut materia par­tis ad materiam totius. Q.E.D.

Corol.1. Oritur igitur & componitur gravitas in Planetam to­tum ex gravitate in partes ſingulas. Cujus rei exempla habemus in attractionibus Magneticis & Electricis. Oritur enim attractio omnis in totum ex attractionibus in partes ſingulas. Res intelli­getur in gravitate, concipiendo Planetas plures minores in unum Globum coire & Planetam majorem componere. Nam vis totius ex viribus partium componentium oriri debebit. Siquis objiciat quod corpora omnia, quæ apud nos ſunt, hac lege gravitare de­berent in ſe mutuo, cum tamen cjuſmodi gravitas neutiquam ſen­tiatur: Reſpondeo quod gravitas in hæc corpora, cum ſit ad gra­vitatem in Terram totam ut ſunt hæc corpora ad Terram totam, longe minor eſt quam quæ ſentiri poſſit.

Corol.2. Gravitatio in ſingulas corporis particulas æquales eſt reciproce ut quadratum diſtantiæ loeorum à particulis. Patet per Corol. 3. Prop. LXXIV. Lib. I. PROPOSITIO VIII. THEOREMA VIII.

DE MUNDI SYSTEMATE

Si Globorum duorum in ſe mutuo gravitantium materia undique, in regionibus quæ à centris æqualiter diſtant, homogenea ſit: erit pondus Globi alterutrius in alterum reciproce ut quadra­tum diſtantiæ inter centra.

Poſtquam inveniſſem gravitatem in Planetam totum oriri & componi ex gravitatibus in partes; & eſſe in partes ſingulas reci­proce proportionalem quadratis diſtantiarum a partibus: dubita­bam an reciproca illa proportio duplicata obtineret accurate in vi tota ex viribus pluribus compoſita, an vero quam proxime. Nam fieri poſſet ut proportio, quæ in majoribus diſtantiis ſatis accu­rate obtineret, prope ſuperficiem Planetæ ob inæquales particu­larum diſtantias & ſitus diſſimiles, notabiliter erraret. Tandem vero, per Prop. LXXV. & LXXVI. Libri primi & ipſarum Corol­laria, intellexi veritatem Propoſitionis de qua hic agitur.

Corol.1. Hinc inveniri & inter ſe comparari poſſunt pondera corporum in diverſos Planetas. Nam pondera corporum æqua­lium circum Planetas in circulis revolventium ſunt (per Corol. 2. Prop. IV. Lib.I.) ut diametri circulorum directe & quadrata tem­porum periodieorum inverſe; & pondera ad ſuperficies Planeta­rum, aliaſve quaſvis a centro diſtantias, majora ſunt vel minora (per hanc Propoſitionem) in duplicata ratione diſtantiarum in­verſa. Sic ex temporibus periodicis Veneris circum Solem die­rum 224 & horarum 16 1/4, Satellitis extimi circumjovialis circum Jovem dierum 16 & horarum (16 1/15), Satellitis Hugeniani circum Saturnum dierum 15 & horarum 22 2/3, & Lunæ circum Terram dierum 27, hor. 7. min. 43, collatis cum diſtantia mediocri Vene­ris a Sole & cum elongationibus maximis heliocentricis Satellitis extimi circumjovialis a centro Jovis 8′. 21 1/2″, Satellitis Hugeniani a centro Saturni 3′. 20″, & Lunæ a Terra 10′, computum ineundo inveni quod corporum æqualium & a Sole, Jove, Saturno ac Terra æqualiter diſtantium pondera in Solem, Jovem, Saturnum ac Ter­ram forent ad invicem ut 1, (1/1033), (1/2411), & (1/227512) reſpective. Eſt enim parallaxis Solis ex obſervationibus noviſſimis quaſi 10″, & Hal­leiusnoſter per emerſiones Jovis & Satellitum e parte obſcura Lunæ, determinavit quod elongatio maxima heliocentrica Satelli­tis extimi Jovialis a centro Jovis in mediocri Jovis a Sole diſtan­tia ſit 8′. 21 1/2″, & diameter Jovis 41″. Ex duratione Eclipſeon Satellitum in umbram Jovis incidentium prodit hæc diameter quaſi 40″, atque adeo ſemidiameter 20″. Menſuravit autem Hu­geniuselongationem maximam heliocentricam Satellitis a ſe de­tecti 3′. 20″ a centro Saturni, & hujus elongationis pars quarta, nempe 50″, eſt diameter annuli Saturni e Sole viſi, & diameter Sa­turni eſt ad diametrum annuli ut 4 ad 9, ideoque ſemidiameter Saturni e Sole viſi eſt 11″. Subducatur lux erratica quæ haud minor eſſe ſolet quam 2″ vel 3″: Et manebit ſemidiameter Saturni quaſi 9″. Ex hiſce autem & Solis ſemidiametro mediocri 16′. 6″ computum ineundo prodeunt veræ Solis, Jovis, Saturni ac Terræ ſemidiametri ad invicem ut 10000, 1077, 889 & 104. Unde, cum pondera æqualium corporum 2 centris Solis, Jovis, Saturni ac Terræ æqualiter diſtantium, ſint in Solem, Jovem, Saturnum ac Terram, ut 1, (1/1033), (1/2411), & (1/227512) reſpective, & auctis vel dimi­nutis diſtantiis pondera diminuantur vel augeantur in duplicata ratione: pondera æqualium corporum in Solem, Jovem, Satur­num ac Terram in diſtantiis 10000, 1077, 889, & 104 ab eorum centris, atque adeo in eorum ſuperficiebus, erunt ut 10000, 835, 525, & 410 reſpective. Quanta ſint pondera corporum in ſuper­ficie Lunæ dicemus in ſequentibus.

LIBER TERTIUS.

Corol.2. Innoteſcit etiam quantitas materiæ in Planetis ſingulis. Nam quantitates materiæ in Planetis ſunt ut eorum vires in æqua­libus diſtantiis ab eorum centris, id eſt, in Sole, Jove, Saturno ac Terra ſunt ut 1, (1/1033), (1/2411), & (1/227512) reſpective. Si parallaxis Solis ſtatuatur major vel minor quam 10″, debebit quantitas materiæ in Terra augeri vel diminui in triplicata ratione.

Corol.3. Innoteſcunt etiam denſitates Planetarum. Nam pon­dera corporum æqualium & homogeneorum in Sphæras homoge­neas ſunt in ſuperficiebus Sphærarum ut Sphærarum diametri, per Prop. LXXII. Lib. I. ideoque Sphærarum heterogenearum denſi­tates ſunt ut pondera illa applicata ad Sphærarum diametros. Erant autem veræ Solis, Jovis, Saturni ac Terræ diametri ad invi­cem ut 10000, 1077, 889, & 104, & pondera in eoſdem ut 10000, 835, 525, & 410, & propterea denſitates ſunt ut 100, 78, 59, & 396. Denſitas Terræ quæ prodit ex hoc computo non pendet a parallaxi Solis, ſed determinatur per parallaxin Lunæ, & prop­terea hic recte definitur. Eſt igitur Sol paulo denſior quam Jupi­ter, & Jupiter quam Saturnus, & Terra quadruplo denſior quam Sol. Nam per ingentem ſuum calorem Sol rareſcit. Luna vero denſior eſt quam Terra, ut in ſequentibus patebit.

DE MUNDI SYSTEMATE

Corol.4. Denſiores igitur ſunt Planetæ qui ſunt minores, cæ­teris paribus. Sic enim vis gravitatis in eorum ſuperficiebus ad æqualitatem magis accedit. Sed & denſiores ſunt Planetæ, cæte­ris paribus, qui ſunt Soli propiores; ut Jupiter Saturno, & Terra Jove. In diverſis utiQ.E.D.ſtantiis a Sole collocandi erant Planetæ ut quilibet pro gradu denſitatis calore Solis majore vel minore frueretur. Aqua noſtra, ſi Terra locaretur in orbe Saturni, rige­ſceret, ſi in orbe Mercurii in vapores ſtatim abiret. Nam lux Solis, cui calor proportionalis eſt, ſeptuplo denſior eſt in orbe Mercurii quam apud nos: & Thermometro expertus ſum quod ſeptuplo Solis æſtivi calore aqua ebullit. Dubium vero non eſt quin materia Mercurii ad calorem accommodetur, & propterea denſior ſit hac noſtra; cum materia omnis denſior ad operationes Naturales obeundas majorem calorem requirat. PROPOSITIO IX. THEOREMA IX.

Gravitatem pergendo a ſuperficiebus Planetarum deorſum de­creſcere in ratione diſtantiarum a centro quam proxime.

Si materia Planetæ quoad denſitatem uniformis eſſet, obtineret hæc Propoſitio accurate: per Prop. LXXIII. Lib. I. Error igitur tantus eſt, quantus ab inæquabili denſitate oriri poſſit. PROPOSITIO X. THEOREMA X.Motus Planetarum in Cœlis diutiſſime conſervari poſſe.

In Scholio Propoſitionis XL. Lib. II. oſtenſum eſt quod globus Aquæ congelatæ in Aere noſtro, libere movendo & longitudinem ſemidiametri ſuæ deſcribendo, ex reſiſtentia Aeris amitteret motus ſui partem (1/4586). Obtinet autem eadem proportio quam proxime in globis utcunque magnis & velocibus. Jam vero Globum Terræ noſtræ denſiorem eſſe quam ſi totus ex Aqua conſtaret, ſic colligo. Si Globue hicce totus eſſet aqueus, quæcunque rariora eſſent quam aqua, ob minorem ſpecificam gravitatem emergerent & ſupernata­rent. Ea Q.E.D. cauſa Globus terreus aquis undique coopertus, ſi rarior eſſet quam aqua, emergeret alicubi, & aqua omnis inde defluens congregaretur in regione oppoſita. Et par eſt ratio Terræ noſtræ maribus magna ex parte circumdatæ. Hæc ſi den­ſior non eſſet, emergeret ex maribus, & parte ſui pro gradu levi­tatis extaret ex Aqua, maribus omnibus in regionem oppoſitam confluentibus. Eodem argumento maculæ Solares leviores ſunt. quam materia lucida Solaris cui ſupernatant. Et in formatione qualicunque Planetarum, materia omnis gravior, quo tempore maſſa tota fluida erat, centrum petebat. Unde cum Terra com­munis ſuprema quaſi duplo gravior ſit quam aqua, & paulo infe­rius in fodinis quaſi triplo vel quadruplo aut etiam quintuplo gra­vior reperiatur: veriſimile eſt quod copia materiæ totius in Terra quaſi quintuplo vel ſextuplo major ſit quam ſi tota ex aqua con­ſtaret; præſertim cum Terram quaſi quintuplo denſiorem eſſe quam Jovem jam ante oſtenſum ſit. Igitur ſi Jupiter paulo den­ſior ſit quam aqua, hic ſpatio dierum triginta, quibus lon­ gitudinem 459 ſemidiametrorum ſuarum deſcribit, amitteret inMedio ejuſdem denſitatis cum Aere noſtro motus ſui partem feredecimam. Verum cum reſiſtentia Mediorum minuatur in rationeponderis ac denſitatis, ſic ut aqua, quæ partibus 13 2/3 levior eſt quam argentum vivum, minus reſiſtat in eadem ratione; & aer, qui partibus 850 levior eſt quam aqua, minus reſiſtat in eadem ratione: ſi aſcendatur in cœlos ubi pondus Medii, in quo Planetæ moventur, diminuitur in immenſum, reſiſtentia prope ceſſabit. HYPOTHESIS I.Centrum Syſtematis Mundani quieſcere.

LIBER TERTIUS.

Hoc ab omnibus conceſſum eſt, dum aliqui Terram alii Solem in centro Syſtematis quieſcere contendant. Videamus quid inde ſequatur. PROPOSITIO XI. THEOREMA XI.

Commune centrum gravitatis Terræ, Solis & Planetarum om­nium quieſcere.

Nam centrum illud (per Legum Corol. 4.) vel quieſcet vel progredietur uniformiter in directum. Sed centro illo ſemper progrediente, centrum Mundi quoque movebitur contra Hy­potheſin. PROPOSITIO XII. THEOREMA XII.

DE MUNDI SYSTEMATE

Solem motu perpetuo agitari, ſed nunquam longe recedere a com­muni gravitatis centro Planetarum omnium.

Nam cum (per Corol. 2. Prop. VIII.) materia in Sole ſit ad materiam in Jove ut 1033 ad 1, & diſtantia Jovis a Sole ſit ad ſemidiametrum Solis in ratione paulo majore; incidet commune centrum gravitatis Jovis & Solis in punctum paulo ſupra ſuper­ficiem Solis. Eodem argumento cum materia in Sole ſit ad ma­teriam in Saturno ut 2411 ad 1, & diſtantia Saturni a Sole ſit ad ſemidiametrum Solis in ratione paulo minore: incidet commune centrum gravitatis Saturni & Solis in punctum paulo infra ſuper­ficiem Solis. Et ejuſdem calculi veſtigiis inſiſtendo ſi Terra & Planetæ omnes ex una Solis parte conſiſterent, commune omnium centrum gravitatis vix integra Solis diametro a centro Solis di­ſtaret. Aliis in caſibus diſtantia centrorum ſemper minor eſt. Et propterea cum centrum illud gravitatis perpetuo quieſcit, Sol pro vario Planetarum ſitu in omnes partes movebitur, ſed à cen­tro illo nunquam longe recedet.

Corol.Hinc commune gravitatis centrum Terræ, Solis & Pla­netarum omnium pro centro Mundi habendum eſt. Nam cum Terra, Sol & Planetæ omnes gravitent in ſe mutuo, & propte­rea, pro vi gravitatis ſuæ, ſecundum leges motus perpetuo agi­tentur: perſpicuum eſt quod horum centra mobilia pro Mundi centro quieſcente haberi nequeunt. Si corpus illud in centro locandum eſſet in quod corpora omnia maxime gravitant (uti vulgi eſt opinio) privilegium iſtud concedendum eſſet Soli. Cum autem Sol moveatur, eligendum erit punctum quieſcens, a quo centrum Solis quam minime diſcedit, & a quo idem ad­huc minus diſcederet, ſi modo Sol denſior eſſet & major, ut minus moveretur. PROPOSITIO XIII. THEOREMA XIII.

LIBER TERTIUS.

Planetæ moventur in Ellipfibus umbilicum habentibus in centro Solis, & radiis ad centrum illud ductis areas deſcribunt temporibus proportionales.

Diſputavimus ſupra de his motibus ex Phænomenis. Jam cog­nitis motuum principiis, ex his colligimus motus cœleſtes a pri­ori. Quoniam pondera Planetarum in Solem ſunt reciproce ut quadrata diſtantiarum a centro Solis; ſi Sol quieſceret & Planetæ reliqui non agerent in ſe mutuo, forent orbes eorum Elliptici, Solem in umbilico communi habentes, & areæ deſcriberentur tem­poribus proportionales (per Prop. I. & XI, & Corol. I. Prop. XIII Lib. I.) Actiones autem Planetarum in ſe mutuo perexiguæ ſunt (ut poſſint contemni) & motus Planetarum in Ellipſibus circa Solem mobilem minus perturbant (per Prop. LXVI. Lib. I.) quam ſi motus iſti circa Solem quieſcentem peragerentur.

Actio quidem Jovis in Saturnum non eſt omnino contemnenda. Nam gravitas in Jovem eſt ad gravitatem in Solem (paribus di­ſtantiis) ut 1 ad 1033; adeoQ.E.I. conjunctione Jovis & Saturni, quoniam diſtantia Saturni a Jove eſt ad diſtantiam Saturni a Sole fere ut 4 ad 9, erit gravitas Saturni in Jovem ad gravitatem Sa­turni in Solem ut 81 ad 16X1033 ſeu 1 ad 204 circiter. Et hinc oritur perturbatio orbis Saturni in ſingulis Planetæ hujus cum Jove conjunctionibus adeo ſenſibilis ut ad eandem Aſtronomi hæreant. Pro vario ſitu Planetæ in his conjunctionibus, Eccen­tricitas ejus nunc augetur nunc diminuitur, Aphelium nunc pro­movetur nunc forte retrahitur, & medius motus per vices accele­ratur & retardatur. Error tamen omnis in motu ejus circum So­lem a tanta vi oriundus (præterquam in motu medio) evitari fere poteſt conſtituendo umbilicum inferiorem Orbis ejus in communi centro gravitatis Jovis & Solis (per Prop. LXVII. Lib. I.) & prop­terea ubi maximus eſt, vix ſuperat minuta duo prima. Et error maximus in motu medio vix ſuperat minuta duo prima annuatim. In conjunctione autem Jovis & Saturni gravitates acceleratrices Solis in Saturnum, Jovis in Saturnum & Jovis in Solem ſunt fere ut 16, 81 & (16X81X2411/25) ſeu 124986, adeoQ.E.D.fferentia gravi­tatum Solis in Saturnum & Jovis in Saturnum eſt ad gravitatem Jovis in Solem ut 65 ad 124986 ſeu 1 ad 1923. Huic autem dif­ferentiæ proportionalis eſt maxima Saturni efficacia ad perturban­dum motum Jovis, & propterea perturbatio orbis Jovialis longe minor eſt quam ea Saturnii. Reliquorum orbium perturbationes ſunt adhuc longe minores, præterquam quod Orbis Terræ ſenſi­biliter perturbatur a Luna. Commune centrum gravitatis Terræ & Lunæ, Ellipſin circum Solem in umbilico poſitum percurrit, & radio ad Solem ducto areas in eadem temporibus proportionales deſcribit, Terra vero circum hoc centrum commune motu men­ſtruo revolvitur. PROPOSITIO XIV. THEOREMA XIV.Orbium Aphelia & Nodi quieſcunt.

DE MUNDI SYSTEMATE

Aphelia quieſcunt, per Prop. XI. Lib. I. ut & Orbium plana, per ejuſdem Libri Prop. 1. & quieſcentibus planis quieſcunt Nodi. Attamen a Planetarum revolventium & Cometarum actionibus in ſe invicem orientur inæqualitates aliquæ, ſed quæ ob parvitatem hic contemni poſſunt.

Corol.1. Quieſcunt etiam Stellæ fixæ, propterea quod datas ad Aphelia Nodoſque poſitiones ſervant.

Corol.2. Ideoque cum nulla ſit earum parallaxis ſenſibilis ex Terræ motu annuo oriunda, vires earum ob immenſam corporum diſtantiam nullos edent ſenſibiles effectus in regione Syſtematis noſtri. Quinimo Fixæ in omnes cæli partes æqualiter diſperſæ contrariis attractionibus vires mutuas deſtruunt, per Prop. LXX. Lib. I. Scholium.

Cum Planetæ Soli propiores (nempe Mercurius, Venus, Terra, & Mars) ob corporum parvitatem parum agant in ſe invicem: horum Aphelia & Nodi quieſcent, niſi quatenus a viribus Jovis, Saturni, & corporum ſuperiorum turbentur. Et inde colligi po­teſt per theoriam gravitatis, quod horum Aphelia moventur ali­quantulum in conſequentia reſpectu fixarum, idQ.E.I. proporti­one ſeſquiplicata diſtantiarum horum Planetarum a Sole. Ut ſi Aphelium Martis in annis centum conficiat 35′ in conſequentia reſpectu fixarum; Aphelia Terræ, Veneris, & Mercurii in annis centum conficient 18′. 36″, 11′. 27″, & 4′. 29″ reſpective. Et hi motus, ob parvitatem, negliguntur in hac Propoſitione. PROPOSITIO XV. PROBLEMA I.Invenire Orbium principales diametros.

LIBER TERTIUS.

Capiendæ ſunt hæ in ratione ſubſeſquiplicata temporum perio­dieorum, per Prop. XV. Lib. I. deinde ſigillatim augendæ in rati­one ſummæ maſſarum Solis & Planetæ cujuſque revolventis ad primam duarum medie proportionalium inter ſummam illam & Solem, per Prop. LX. Lib. I. PROPOSITIO XVI. PROBLEMA II.Invenire Orbium Eccentricitates & Aphelia.

Problema confit per Prop. XVIII. Lib. I. PROPOSITIO XVII. THEOREMA XV.

Planetarum motus diurnos uniformes eſſe, & librationem Lunæ ex ipſius motu diurno oriri.

Patet per motus Legem I, & Corol. 22. Prop. LXVI. Lib. I. Quoniam vero Lunæ, circa axem ſuum uniformiter revolventis, dies menſtruus eſt; hujus facies eadem ulteriorem umbilicum or­bis ipſius ſemper reſpiciet, & propterea pro ſitu umbilici illius deviabit hinc inde a Terra. Hæc eſt libratio in longitudinem. Nam libratio in latitudinem orta eſt ex inclinatione axis Lunaris ad planum orbis. Porro hæc ita ſe habere, ex Phænomenis mani­feſtum eſt. PROPOSITIO XVIII. THEOREMA XVI.

Axes Planetarum diametris quæ ad eoſdem axes normaliter du­cuntur minores eſſe.

Planetæ ſublato omni motu circulari diurno figuram Sphæricam, ob æqualem undique partium gravitatem, affectare deberent. Per motum illum circularem fit ut partes ab axe recedentes juxta æquatorem aſcendere conentur. Ideoque materia ſi fluida ſit aſcenſu ſuo ad æquatorem diametros adaugebit, axem vero de­ſcenſu ſuo ad polos diminuet. Sic Jovis diameter (conſentienti­bus Aſtronomorum obſervationibus) brevior deprehenditur inter polos quam ab oriente in occidentem. Eodem argumento, niſi Terra noſtra paulo altior eſſet ſub æquatore quam ad polos, Ma­ria ad polos ſubſiderent, & juxta æquatorem aſcendendo, ibi om­nia inundarent. PROPOSITIO XIX. PROBLEMA III.Invenire proportionem axis Planetæ ad diametros eidem perpendiculares.

DE MUNDI SYSTEMATE

Picartusmenſurando arcum gradus unius & 22′. 55″ inter Ambianum& Malvoiſinam,invenit arcum gradus unius eſſe hexa­pedarum Pariſienſium 57060. Unde ambitus Terræ eſt pedum Pariſienſium 123249600, ut ſupra. Sed cum error quadringente­ſimæ partis digiti, tam in fabrica inſtrumentorum quam in ap­plicatione eorum ad obſervationes capiendas, ſit inſenſibilis, & in Sectore decempedali quo Galliobſervarunt Latitudines loco­rum reſpondeat minutis quatuor ſecundis, & in ſingulis obſerva­tionibus incidere poſſit tam ad centrum Sectoris quam ad ejus circumferentiam, & errores in minoribus ar­cubus ſint majoris momenti: ideo Caſſinusjuſſu Regio menſuram Terræ per majora loco­rum intervalla aggreſſus eſt, & ſubinde per diſtantiam inter Obſervatorium Regium Pariſienſe& villam Coli­ourein Rouſſillon& Latitudinum differentiam 6gr. 18′, ſuppo­nendo quod figura Terræ ſit Sphærica, invenit gradum unum eſſe hexapedarum 57292, prope ut Norwoodusnoſter antea invenerat. Hic enim circa annum 1635, menſurando diſtantiam pedum Lon­dinenſium 905751 inter Londinum& Eboracum,& obſervando differentiam Latitudinum 2gr. 28′, collegit menſuram gradus unius eſſe pedum Londinenſium 367196, id eſt, hexapedarum Pariſien­ſium 57300. Ob magnitudinem intervalli a Caſſinomonſurati, pro menſura gradus unius in medio intervalli illius, id eſt, inter La­titudines 45gr. & 46gr. uſurpabo hexapedas 57292. Unde, ſi Terra ſit Sphærica, ſemidiameter ejus erit pedum Pariſienſium 19695539.

Vide Hiſtoriam Aca­demiæ Regiæ ſcientiarum anno 1700.

Penduli in Latitudine Lutetiæ Pariſiorumad minuta ſecunda oſcillantis longitudo eſt pedum trium Pariſienſium & linearum 8 5/9. Et longitudo quod grave tempore minuti unius ſecundi cadendo deſcribit, eſt ad dimidiam longitudinem penduli hujus, in duplicata ratione circumferentiæ circuli ad diametrum ejus (ut indicavit Hugenius) ideoque eſt pedum Pariſienſium 15, dig. 1, lin. (2 1/189), ſeu linearum (2174 1/18).

LIBER TERTIUS.

Corpus in circulo, ad diſtantiam pedum 19695539 a centro, ſingulis diebus ſidereis horarum 23. 56′. 4″ uniformiter revolvens, tempore minuti unius ſecundi deſcribit arcum pedum 1436,223, cujus ſinus verſus eſt pedum 0,05236558, ſeu linearum 7,54064. Ideoque vis qua gravia deſcendunt in Latitudine Lutetiæ,eſt ad vim centrifugam corporum &c. in Æquatore, a Terræ motu diurno oriundam, ut (2174 1/18) ad 7,54064.

Vis centrifuga corporum in Æquatore, eſt ad vim centrifugam qua corpora directe tendunt a Terra in Latitudine Lutetiægra­duum 48. 50′, in duplicata ratione Radii ad ſinum complementi Latitudinis illius, id eſt, ut 7,54064 ad 3,267. Addatur hæc vis ad vim qua gravia deſcendunt in Latitudine Lutetiæ,& corpus in Latitudine Lutetiævi tota gravitatis cadendo, tempore minuti unius ſecundi deſcriberet lineas 2177,32, ſeu pedes Pariſienſes 15, dig. 1, & lin. 5,32. Et vis tota gravitatis in Latitudine illa, erit ad vim centriſugam corporum &c. in Æquatore Terræ, ut 2177,32 ad 7,54064, ſeu 289 ad 1.

Unde ſi APBQfiguram Terræ deſignet jam non amplius Sphæricam ſed revolutione Ellipſeos circum axem minorem PQgenitam, ſitque ACQqcacanalis aquæ ple­

na, a polo Qqad centrum Cc,& inde ad Æquatorem Aapergens: debebit pondus aquæ in canalis crure ACca,eſſe ad pondus aquæ in crure altero QCcqut 289 ad 288, eo quod vis centrifuga ex circulari motu orta partem unam e ponderis partibus 289 ſuſtinebit ac detrahet, & pondus 288 in al­tero crure ſuſtinebit reliquas. Porro (ex Propoſitionis XCI. Corollario ſecundo, Lib.I.) computationem ineundo, invenio quod ſi Terra conſtaret ex uni­formi materia, motuque omni privaretur, & eſſet ejus axis PQad diametrum ABut 100 ad 101: gravitas in loco Qin Terram, foret ad gravitatem in eodem loco Qin Sphæram centro Cradio PCvel QCdeſcriptam, ut 126 ad 125. Et eodem argumento gravitas in loco Ain Sphæroidem, convolutione Ellipſeos APBQcirca axem ABdeſcriptam, eſt ad gravitatem in eodem loco Ain Sphæram centro Cradio ACdeſcriptam, ut 125 ad 126. Eſt au­tem gravitas in loco Ain Terram, media proportionalis inter gravitates in dictam Sphæroidem & Sphæram: propterea quod Sphæra, diminuendo diametrum PQin ratione 101 ad 100, vertitur in figuram Terræ; & hæc figura diminuendo in eadem ratione diametrum tertiam, quæ diametris duabus AB, PQper­pendicularis eſt, vertitur in dictam Sphæroidem; & gravitas in A,in caſu utroque, diminuitur in eadem ratione quam proxime. Eſt igitur gravitas in Ain Sphæram centro
Cradio ACdeſcriptam, ad gravitatem in Ain Terram ut 126 ad 125 1/2, & gravitas in loco Qin Sphæram centro Cradio QCdeſcriptam, eſt ad gravitatem in loco Ain Sphæram centro Cradio ACdeſcriptam, in ratione diametrorum (per Prop. LXXII. Lib. I.) id eſt, ut 100 ad 101. Conjungan­tur jam hæ tres rationes, 126 ad 125, 126 ad 125 1/2, & 100 ad 101: & fiet gravitas in loco Qin Terram, ad gravitatem in loco Ain Terram, ut 126X126X100 ad 125X125 1/2X101, ſeu ut 501 ad 500.

DE MUNDI SYSTEMATE

Jam cum (per Corol. 3. Prop. XCI. Lib. I.) gravitas in canalis crure utrovis ACcavel QCcqſit ut diſtantia loeorum a centro Terræ; ſi crura illa ſuperficiebus tranſverſis & æquidiſtantibus di­ſtinguantur in partes totis proportionales, erunt pondera partium ſingularum in crure ACcaad pondera partium totidem in crure altero, ut magnitudines & gravitates acceleratrices conjunctim; id eſt, ut 101 ad 100 & 500 ad 501, hoc eſt, ut 505 ad 501. Ac proinde ſi vis centrifuga partis cujuſQ.E.I. crure ACcaex motu diurno oriunda, fuiſſet ad pondus partis ejuſdem ut 4 ad 505, eo ut de pondere partis cujuſque, in partes 505 diviſo, partes qua­tuor detraheret; manerent pondera in utroque crure æqualia, & propterea fluidum conſiſteret in æquilibrio. Verum vis centrifuga partis cujuſque eſt ad pondus ejuſdem ut 1 ad 289, hoc eſt, vis centrifuga quæ deberet eſſe ponderis pars (4/505) eſt tantum pars (1/289). Et propterea dico, ſecundum Regulam auream, quod ſi vis cen­trifuga (4/505) faciat ut altitudo aquæ in crure ACcaſuperet altitu­dinem aquæ in crure QCcqparte centeſima totius altitudinis: vis centrifuga (1/289) faciet ut exceſſus altitudinis in crure ACcaſit altitudinis in crure altero QCcqpars tantum (1/229). Eſt igitur dia­meter Terræ ſecundum æquatorem ad ipſius diametrum per polos ut 230 ad 229. Ideoque cum Terræ ſemidiameter mediocris, juxta menſuram Caſſini,ſit. pedum Pariſienſium 19695539, ſeu milliarium 3939 (poſito quod milliare ſit menſura pedum 5000) Terra altior erit ad Æquatorem quam ad Polos exceſſu pedum 85820, ſeu milliarum 17 1/6.

LIBER TERTIUS.

Si Planeta major ſit vel minor quam Terra manente ejus den­ſitate ac tempore periodico revolutionis diurnæ, manebit pro­portio vis centrifugæ ad gravitatem, & propterea manebit etiam proportio diametri inter polos ad diametrum ſecundum æquato­rem. At ſi motus diurnus in ratione quacunque acceleretur vel retardetur, augebitur vel minuetur vis centrifuga in duplicata illa ratione, & propterea differentia diametrorum augebitur vel mi­nuetur in eadem duplicata ratione quamproxime. Et ſi denſitas Planetæ augeatur vel minuatur in ratione quavis, gravitas etiam in ipſum tendens augebitur vel minuetur in eadem ratione, & differentia diametrorum viciſſim minuetur in ratione gravitatis auctæ vel augebitur in ratione gravitatis diminutæ. Unde cum Terra reſpectu fixarum revolvatur horis 23. 56′, Jupiter autem horis 9. 56′, ſintque temporum quadrata ut 29 ad 5, & denſitates ut 5 ad 1: differentia diametrorum Jovis erit ad ipſius diame­trum minorem ut (29/5)X(5/1)X(1/229) ad 1, ſeu 1 ad 8 quamproxime. Eſt igitur diameter Jovis ab oriente in occidentem ducta, ad ejus dia­metrum inter polos ut 9 ad 8 quamproxime, & propterea diame­ter inter polos eſt 35 1/2″. Hæc ita ſe habent ex hypotheſi quod uniformis ſit Planetarum materia. Nam ſi materia denſior ſit ad centrum quam ad circumferentiam; diameter quæ ab oriente in occidentem ducitur, erit adhuc major.

Jovis vero diametrum quæ polis ejus interjacet minorem eſſe diametro altera Caſſinusdudum obſervavit, & Terræ diametrum inter polos minorem eſſe diametro altera patebit per ea quæ dicentur in Propoſitione ſequente. PROPOSITIO XX. PROBLEMA IV.

DE MUNDI SYSTEMATE

Invenire & inter ſe comparare Pondera corporum in Terræ hujus regionibus diverſis.

Quoniam pondera inæqualium crurum canalis aqueæ ACQqcaæqualia ſunt; & pondera partium, cruribus totis proportionalium & ſimiliter in totis ſitarum, ſunt ad invicem ut pondera totorum, adeoque etiam æquantur inter ſe; erunt pondera æqualium & in cruribus ſimiliter ſitarum partium reciproce ut crura, id eſt, reci­proce ut 230 ad 229. Et par eſt ratio homogeneorum & æqua­lium quorumvis & in canalis cruribus ſimiliter ſitorum corporum. Horum pondera ſunt reciproce ut crura, id eſt, reciproce ut di­ſtantiæ corporum a centro Terræ. Proinde ſi corpora in ſupre­mis canalium partibus, ſive in ſuperficie Terræ conſiſtant; erunt pondera eorum ad invicem reciproce ut diſtantiæ eorum a centro. Et eodem argumento pondera, in aliis quibuſcunque per totam Terræ ſuperficiem regionibus, ſunt reciproce ut diſtantiæ loeorum a centro; & propterea, ex Hypotheſi quod Terra Sphærois ſit, dantur proportione.

Unde tale confit Theorema, quod incrementum ponderis per­gendo ab Æquatore ad Polos, ſit quam proxime ut ſinus verſus Latitudinis duplicatæ, vel, quod perinde eſt, ut quadratum ſinus recti Latitudinis. Et in eadem circiter ratione augentur arcus graduum Latitudinis in Meridiano. Ideoque cum Latitudo Lu­tetiæ Pariſiorumſit 48gr. 50′, ea loeorum ſub Æquatore 00gr. 00′, & ea loeorum ad Polos 90gr. & duplorum ſinus verſi ſint 11334, 00000 & 20000, exiſtente Radio 10000, & gravitas ad Polum ſit ad gravitatem ſub Æquatore ut 230 ad 229, & exceſſus gravi­tatis ad Polum ad gravitatem ſub Æquatore ut 1 ad 229: erit ex­ceſſus gravitatis in Latitudine Lutetiæad gravitatem ſub Æquatore, ut 1X(11334/20000) ad 229, ſeu 5667 ad 2290000. Et propterea gravitates totæ in his locis erunt ad invicem ut 2295667 ad 2290000. Quare cum longitudines pendulorum æqualibus temporibus oſcillantium ſint ut gravitates, & in Latitudine Lutetiæ Pariſiorumlongitudo penduli ſingulis minutis ſecundis oſcillantis ſit pedum trium Pa­riſienſium & linearum 8 1/9: longitudo penduli ſub Æquatore ſu­perabitur a longitudine ſynchroni penduli Pariſienſis,exceſſu li­neæ unius & 87 partium milleſimarum lineæ. Et ſimili computo confit Tabula ſequens.

Latitudo LociLongitudo PenduliMenſura Gradus unius in MeridianoGr.Ped.Lin.Hexaped.03.7,4685690953.7,48256914103.7,52656931153.7,59656959203.7,69256996253.7,81157042303.7,94857096353.8,09957155403.8,2615721813.8,2945723123.8,3275724433.8,3615725743.8,39457270453.8,4285728363.8,4615729673.8,4945730983.8,5285732293.8,56157335503.8,59457348553.8,75657411603.8,90757470653.9,04457524703.9,16257570753.9,25857607803.9,32957635853.9,37257652903.9,38757657

Conſtat autem per hanc Tabulam, quod graduum inæqualitas tam parva ſit, ut in rebus Geographicis figura Terræ pro Sphæ­rica haberi poſſit, quodQ.E.I.æqualitas diametrorum Terræ faci­lius & certius per experimenta pendulorum deprehendi poſſit vel etiam per Eclipſes Lunæ, quam per arcus Geographice menſuratos in Meridiano.

DE MUNDI SYSTEMATE

Hæc ita ſe habent ex hypotheſi quod Terra ex uniformi ma­teria conſtat. Nam ſi materia ad centrum paulo denſior ſit quam ad ſuperficiem, differentiæ pendulorum & graduum Meridiani paulo majores erunt quam pro Tabula præcedente, propterea quod ſi materia ad centrum redundans qua denſitas ibi major redditur, ſubducatur & ſeorſim ſpectetur, gravitas in Terram re­liquam uniformiter denſam, erit reciproce ut diſtantia ponderis a centro; in materiam vero redundantem reciproce ut quadratum diſtantiæ a materia illa quamproxime. Gravitas igitur ſub æqua­tore minor eſt in materiam illam redundantem quam pro com­puto ſuperiore: & propterea Terra ibi, propter defectum gravita­tis, paulo altius aſcendet, & exceſſus longitudinum Pendulorum & graduum ad polos paulo majores erunt quam in præcedentibus definitum eſt.

Jam vero Aſtronomi aliqui in longinquas regiones ad obſerva­tiones Aſtronomicas faciendas miſſi, invenerunt quod horologia oſcillatoria tardius moverentur prope Æquatorem quam in regi­onibus noſtris. Et primo quidem D. Richerhoc obſervavit anno 1672 in inſula Cayennæ.Nam dum obſervaret tranſitum Fixarum per meridianum menſe Auguſto,reperit horologium ſuum tardius moveri quam pro medio motu Solis, exiſtente differentia 2′. 28″ ſingulis diebus. Deinde faciendo ut Pendulum ſimplex ad minuta ſingula ſecunda per horologium optimum menſurata oſcillaret, notavit longitudinem Penduli ſimplicis, & hoc fecit ſæpius ſingu­lis ſeptimanis per menſes decem. Tum in Galliamredux contulit longitudinem hujus Penduli cum longitudine Penduli Pariſienſis(quæ erat trium pedum Pariſienſium, & octo linearum cum tribus quintis partibus lineæ) & reperit breviorem eſſe, exiſtente diffe­rentia lineæ unius cum quadrante. At ex tarditate horologii oſcillatorii in Cayenna,differentia Pendulorum colligitur eſſe lineæ unius cum ſemiſſe.

Poſtea Halleiusnoſter circa annum 1677 ad inſulam Ssa Hel­lenænavigans, reperit horologium ſuum oſcillatorium ibi tardius moveri quam Londini,ſed differentiam non notavit. Pendulum vero brevius reddidit pluſquam octava parte digiti, ſeu linea una cum ſemiſſe. Et ad hoc efficiendum, cum longitudo cochleæ in ima parte penduli non ſufficeret, annulum ligneum thecæ cochleæ & ponderi pendulo interpoſuit.

Deinde anno 1682 D. Varin& D. Des Hayesinvenerunt lon­gitudinem Penduli ſingulis minutis ſecundis oſcillantis in Obſer-vatorio Regio Pariſienſieſſe ped. 3. lin. 8 1/9. Et in inſula Gorea

eadem methodo longitudinem Penduli ſynchroni invenerunt eſſe ped. 3. lin. 6 5/9, exiſtente longitudinum differentia lin. 2. Et eodem anno ad inſulas Guadaloupam& Martinicamnavigantes, invenerunt longitudinem Penduli ſynchroni in his inſulis eſſe ped. 3. lin. 6 1/3.

LIBER TERTIUS.

Poſthac D. Coupletfilius anno 1697 menſe Julio,horologium ſuum oſcillatorium ad motum Solis medium in Obſervatorio Regio Pariſienſiſic aptavit, ut tempore ſatis longo horologium cum motu Solis congrueret. Deinde Ulyſſipponemnavigans invenit quod menſe Novembriproximo horologium tardius iret quam prius, exiſtente differentia 2′. 13″ in horis 24. Et menſe Martioſe­quente Paraibamnavigans invenit ibi horologium ſuum tardius ire quam Pariſiis,exiſtente differentia 4′. 12″ in horis 24. Et affirmat Pendulum ad minuta ſecunda oſcillans brevius fuiſſe Ulyſ­ſipponilineis 2 1/2 & Paraibælineis 3 2/3 quam Pariſiis.Rectius po­ſuiſſet differentias eſſe 1 1/3 & 2 5/9. Nam hæ differentiæ differen­tiis temporum 2′. 13″, & 4′. 12″ reſpondent. Craſſioribus hujus Obſervationibus minus fidendum eſt.

Annis proximis (1699 & 1700) D. Des Hayesad Americamdenuo navigans, determinavit quod in inſulis Cayennæ& Granadælongitudo Penduli ad minuta ſecunda oſcillantis, eſſet paulo minor quam ped. 3. lin. 6 1/2, quodQ.E.I. inſula S. Chriſtophorilongitudo illa eſſet ped. 3. lin. 6 1/4, & quod in inſula S. Dominicieadem eſſet ped. 3. lin. 7.

Annoque 1704. P. Feuelleusinvenit in Porto-beloin Americalongitudinem Penduli ad minuta ſecunda oſcillantis, eſſe pedum trium Pariſienſium & linearum tantum (5 7/12), id eſt, tribus fere li­neis breviorem quam Lutetiæ Pariſiorum,ſed errante Obſerva­tione. Nam deinde ad inſulam Martinicamnavigans, invenit lon­gitudinem Penduli iſochroni eſſe pedum tantum trium Pariſien­ſium & linearum (5 10/12).

Latitudo autem Paraibæeſt 6gr. 38′ ad auſtrum, & ea Porto­beli9gr. 33′ ad boream, & Latitudines inſularum Cayennæ, Goreæ, Guadaloupæ, Martinicæ, Granadæ, Sti. Chriſtophori,& Sti. Domi­niciſunt reſpective 4gr. 55′, 14gr. 40′, 14gr. 00′, 14gr. 44′, 12gr. 6′, 17gr. 19′, & 19gr. 48′ ad boream. Et exceſſus longitudinis Pen­duli Pariſienſisſupra longitudines Pendulorum iſochronorum in his latitudinibus obſervatas, ſunt paulo majores quam pro Ta­bula longitudinum Penduli ſuperius computata. Et propterea Terra aliquanto altior eſt ſub Æquatore quam pro ſuperiore cal-culo, & denſior ad centrum quam in fodinis prope ſuperficiem, niſi forte calores in Zona torrida longitudinem Pendulorum ali­quantulum auxerint.

DE MUNDI SYSTEMATE

Obſervavit utique D. Picartusquod virga ferrea, quæ tempore hyberno ubi gelabant frigora erat pedis unius longitudine, ad ignem calefacta evaſit pedis unius cum quarta parte lineæ. De­inde D. de la Hireobſervavit quod virga ferrea quæ tempore conſimili hyberno ſex erat pedum longitudinis, ubi Soli æſtivo exponebatur evaſit ſex pedum longitudinis cum duabus tertiis partibus lineæ. In priore caſu calor major fuit quam in poſte­riore, in hoc vero major fuit quam calor externarum partium corporis humani. Nam metalla ad Solem æſtivum valde incale­ſcunt. At virga penduli in horologio oſcillatorio nunquam ex­poni ſolet calori Solis æſtivi, nunquam calorem concipit calori externæ ſuperficiei corporis humani æqualem. Et propterea virga Penduli in horologio tres pedes longa, paulo quidem longior erit tempore æſtivo quam hyberno, ſed exceſſu quartam partem lineæ unius vix ſuperante. Proinde differentia tota longitudinis pendulorum quæ in diverſis regionibus iſochrona ſunt, diverſo calori attribui non poteſt. Sed neque erroribus Aſtronomorum è Galliamiſſorum tribuenda eſt hæc differentia. Nam quamvis eorum obſervationes non perfecte congruant inter ſe, tamen erro­res ſunt adeo parvi ut contemni poſſint. Et in hoc concordant omnes, quod iſochrona pendula ſunt breviora ſub Æquatore quam in Obſervatorio Regio Pariſienſi,exiſtente differentia duarum cir­citer linearum ſeu ſextæ partis digiti. Per obſervationes D. Ri­cherin Cayennafactas, differentia fuit lineæ unius cum ſemiſſe. Error ſemiſſis lineæ facile committitur. Et D. des Hayespoſtea per obſervationes ſuas in eadem inſula factas errorem correxit, inventa differentia linearum (2 1/18). Sed & per obſervationes in in­ſulis Gorea, Guadaloupa, Martinica, Granada, S. Chriſtophori,& S. Dominicifactas & ad Æquatorem reductas, differentia illa pro­diit haud minor quam (1 19/20) lineæ, haud major quam 2 1/2 linearum. Et inter hos limites quantitas mediocris eſt (2 9/40) linearum. Prop­ter calores loeorum in Zona torrida negligamus (9/40) partes lineæ, & manebit differentia duarum linearum.

Quare cum differentia illa per Tabulam præcedentem, ex hy­potheſi quod Terra ex materia uniformiter denſa conſtat, ſit tan­tum (1 87/1000) lineæ: exceſſus altitudinis Terræ ad æquatorem ſupra altitudinem ejus ad polos, qui erat milliarium 17 1/6, jam auctus in ratione differentiarum, fiet milliarium (31 7/18). Nam tarditas Pen­duli ſub Æquatore defectum gravitatis arguit; & quo levior eſt materia eo major eſſe debet altitudo ejus, ut pondere ſuo mate­riam ſub Polis in æquilibrio ſuſtineat.

LIBFR TERTIUS.

Hinc figura umbræ Terræ per Eclipſes Lunæ determinanda, non erit omnino circularis, ſed diameter ejus ab oriente in occidentem ducta major erit quam diameter ejus ab auſtro in boream ducta, exceſſu 55″ circiter. Et parallaxis maxima Lunæ in Longitudi­nem paulo major erit quam ejus parallaxis maxima in Latitudi­nem. Ac Terræ ſemidiameter maxima erit podum Pariſienſium 19767630, minima pedum 19609820 & mediocris pedum 196887251quamproxime.

Cum gradus unus menſurante Picartoſit hexapedarum 57060, menſurante vero Caſſinoſit hexapedarum 57292: ſuſpicantur ali­qui gradum unumquemque, pergenda per Galliesauſtrum verſus majorem eſſe gradu præcedente hexapedia plus minus: 72, ſeu parte octingenteſima gradus unius; exiſtente Perra Sphæroide ob­longa cujus partes ad polos ſunt altiſſimæ. Quo poſito, corpora omnia ad polos Terræ leviora forent quam ad Æquatorem, & altitudo Terræ ad polos ſuperaret altitudinem ejus ad æquatorem milliaribus fere 95, & pendula iſochrona longiora forent ad Æ­quatorem quem in Obſervatorio Regio Pariſieuſiexceſſu ſemiſſis digiti circiter; ut conſerenti proportiones hic poſitas cum pro­portionibus in Tabula præcedente poſitis, facile conſtabit. Sed & diameter umbræ Terræ quæ ab auſtro in boream ducitur, ma­jor foret quam diameter ejus quæ ab oriente in occidentem duci­tur, exceſſu 2′. 46″, ſeu parte duodecima diametri Lunæ. Qui­bus omnibus Experientia contrariatur. Certe Caſſinus,definiendo gradum unum eſſe hexapedarum 57292, medium inter menſuras ſuas omnes, ex hypotheſi de æqualitate graduum aſſumpſit. Et quamvis Picartusin Galliælimite boreali invenit gradum paulo minorem eſſe, tamen Norwoodusnoſter in regionibus magis bore­alibus, menſurando majus intervallum, invenit gradum paulo majo­rem eſſe quam Caſſinusinvenerat. Et Caſſinusipſe menſuram Picarti,ob parvitatem intervalli menſurati, non ſatis certam & exactam eſſe judicavit ubi menſuram gradus unius per intervallum longe majus definire aggreſſus eſt. Differentiæ vero inter menſuras Caſſini, Pi­carti,& Norwoodiſunt prope inſenſibiles, & ab inſenſibilibus ob­ſervationum erroribus facilo oriri potuere, ut Nutationem axis Terræ præteream.

DE MUNDI SYSTEMATE

PROPOSITIO XXI. THEOREMA XVII.

Puncta Æquinoctialia regredi, & axem Terræ ſingulis revoluti­onibus annuis nutando bis inclinari in Eclipticam & bis re­dire ad poſitionem priorem.

Patet per Corol. 20. Prop. LXVI. Lib. I. Motus tamen iſte nutandi perexiguus eſſet debet, & vix aut ne vix quidem ſen­ſibilis.

PROPOSITIO XXII. THEOREMA XVIII.

Motus omnes Lunares, omneſque motuum inæqualitates ex alla­tis Principiis conſequi.

Planetas majores, interea dum circa Solem feruntur, poſſe alios minores circum ſe revolventes Planetas deferre, & minores illos in Ellipſibus, umbilicos in centris majorum habentibus, revolvi de­bere patet per Prop. LXV. Lib. I. Actione autem Solis perturba­buntur eorum motus multimode, iiſque adficientur inæqualitati­bus quæ in Luna noſtra notantur. Hæc utique (per Corol. 2, 3, 4, & 5. Prop. LXVI.) velocius movetur, ac radio ad Terram ducto deſcribit aream pro tempore majorem, Orbemque habet minus curvum, atque adeo propius accedit ad Terram, in Syzygiis quam in Quadraturis, niſi quatenus impedit motus Eccentricitatis. Eccentricitas enim maxima eſt (per Corol. 9. Prop. LXVI.) ubi Apogæum Lunæ in Syzygiis verſatur, & minima ubi idem in Qua­draturis conſiſtit; & inde Luna in Perigæo velocior eſt & nobis propior, in Apogæo autem tardior & remotior in Syzygiis quam in Quadraturis. Progreditur inſuper Apogæum, & regrediuntur Nodi, ſed motu inæquabili. Et Apogæum quidem (per Corol. 7. & 8. Prop. LXVI.) velocius progreditur in Syzygiis ſuis, tardius regreditur in Quadraturis, & exceſſu progreſſus ſupra regreſſum annuatim fertur in conſequentia. Nodi autem (per Corol. 11. Prop. LXVI.) quieſcunt in Syzygiis ſuis, & velociſſime regrediun­tur in Quadraturis. Sed & major eſt Lunæ latitudo maxima in ipſius Quadraturis (per Corol. 10. Prop. LXVI.) quam in Syzy­giis: & motus medius tardior in Perihelio Terræ (per Corol. 6. Prop. LXVI,) quam in ipſius Aphelio. Atque hæ ſunt inæquali­tates inſigniores ab Aſtronomis notatæ.

LIBER TERTIUS.

Sunt etiam aliæ quædam nondum obſervatæ inæqualitates, qui­bus motus Lunares adeo perturbantur, ut nulla hactenus lege ad Regulam aliquam certam reduci potuerint. Velocitates enim ſeu motus horarii Apogæi & Nodorum Lunæ, & eorundem æquati­ones, ut & differentia inter Eccentricitatem maximam in Syzygiis & minimam in Quadraturis, & inæqualitas quæ Variatio dicitur, augentur ac diminuuntur annuatim (per Corol. 14. Prop. LXVI.) in triplicata ratione diametri apparentis Solaris. Et Variatio præ­terea augetur vel diminuitur in duplicata ratione temporis in­ter quadraturas quam proxime (per Corol. 1. & 2. Lem. X. & Corol. 16. Prop. LXVI. Lib. I.) Sed hæc inæqualitas in calculo Aſtronomico, ad Proſthaphæreſin Lunæ referri ſolet, & cum ea confundi.

PROPOSITIO XXIII. PROBLEMA V.

Motus inæquales Satellitum Jovis & Saturni à motibus Luna­ribus derivare.

Ex motibus Lunæ noſtræ motus analogi Lunarum ſeu Satelli­tum Jovis ſic derivantur. Motus medius Nodorum Satellitis ex­timi Jovialis, eſt ad motum medium Nodorum Lunæ noſtræ, in ra­tione compoſita ex ratione duplicata temporis periodici Terræ circa Solem ad tempus periodicum Jovis circa Solem, & ratione ſimplici temporis periodici Satellitis circa Jovem ad tempus perio­dicum Lunæ circa Terram: (per Corol. 16. Prop. LXVI.) adeoque annis centum conficit Nodus iſte 8gr. 24′. in antecedentia. Motus medii Nodorum Satellitum interiorum ſunt ad motum hujus, ut illorum tempora periodica ad tempus periodicum hujus, per idem Corollarium, & inde dantur. Motus autem Augis Satellitis cu­juſQ.E.I. conſequentia, eſt ad motum Nodorum ipſius in antece­dentia, ut motus Apogæi Lunæ noſtræ ad hujus motum Nodo­rum, (per idem Corol.) & inde datur. Diminui tamen debet motus Augis ſic inventus in ratione 5 ad 9 vel 1 ad 2 circiter, ob cauſam quam hic exponere non vacat. Æquationes maximæ No­dorum & Augis Satellitis cujuſque fere ſunt ad æquationes maxi­mas Nodorum & Augis Lunæ reſpective, ut motus Nodorum & Augis Satellitum tempore unius revolutionis æquationum prio-rum, ad motus Nodorum & Apogæi Lunæ tempore unius revo­lutionis æquationum poſteriorum. Variatio Satellitis è Jove ſpe­ctati, eſt ad Variationem Lunæ, ut ſunt ad invicem toti motus No­dorum temporibus quibus Satelles & Luna ad Solem revolvuntur, per idem Corollarium; adeoQ.E.I. Satellite extimo non ſuperat 5″. 12′.

DE MUNDI SYSTEMATE

PROPOSITIO XXIV. THEOREMA XIX.

Fluxum & refluxum Maris ab actionibus Solis ac Lunæ oriri.

Mare ſingulis diebus tam Lunaribus quam Solaribus bis intu­meſcere debere ac bis defluere, patet per Corol. 19. Prop. LXVI. Lib.I. ut & aquæ maximam altitudinem, in maribus profundis & liberis, appulſum Luminarium ad Meridianum loci, minori quam ſex horarum ſpatio ſequi, uti fit in Maris Atlantici& Æthiopicitractu toto orientali inter Galliam& Promontorium Bonæ Spei,ut & in Maris Pacificilittore Chilenſt& Peruviano: in quibus omnibus littoribus æſtus in horam circiter tertiam in­cidit, niſi ubi motus per loca vadoſa propagatus aliquantulum re­tardatur. Horas numero ab appulſu Luminaris utriuſque ad Me­ridianum loci, tam infra Horizontem quam ſupra, & per horas diei Lunaris intelligo vigeſimas quartas partes temporis quo Luna motu apparente diurno ad Meridianum loci revolvitur.

Motus autem bini, quos Luminaria duo excitant, non cernen­tur diſtincte, ſed motum Q.E.D.m mixtum efficient. In Lumina­rium Conjunctione vel Oppoſitione conjungentur eorum effectus, & componetur fluxus & refluxus maximus. In Quadraturis Sol attollet aquam ubi Luna deprimit, deprimetque ubi Sol attollit; & ex effectuum differentia æſtus omnium minimus orietur. Et quoniam, experientia teſte, major eſt effectus Lunæ quam Solis, incidet aquæ maxima altitudo in horam tertiam Lunarem. Ex­tra Syzygias & Quadraturas, æſtus maximus qui ſola vi Lunari incidere ſemper deberet in horam tertiam Lunarem, & ſola Solari in tertiam Solarem, compoſitis viribus incidet in tempus aliquod intermedium quod tertiæ Lunari propinquius eſt; adeoQ.E.I. tranſitu Lunæ a Syzygiis ad Quadraturas, ubi hora tertia Solaris præcedit tertiam Lunarem, maxima aquæ altitudo præcedet etiam tertiam Lunarem, ideque maximo intervallo paulo poſt Octantes Lunæ; & paribus intervallis æſtus maximus ſequetur horam ter­tiam Lunatem in tranſitu Lunæ a Quadraturis ad Syzygias. Hæc ita ſunt in Mari aperto. Nam in oſtiis Fluviorum fluxus majo­res cæteris paribus tardius ad a)kmlw\ venient.

LIBER TERTIUS.

Pendent autem effectus Luminarium ex eorum diſtantiis a Terra. In minoribus enim diſtantiis majores ſunt eorum effectus, in ma­joribus minores, idQ.E.I. triplicata ratione diametrorum appa­rentium. Igitur Sol tempore hyberno, in Perigæo exiſtens, ma­jores edit effectus, efficitque ut æſtus in Syzygiis paulo majores ſint, & in Quadraturis paulo minores (cæteris paribus) quam tempore æſtivo; & Luna in Perigæo ſingulis menſibus majores ciet æſtus quam ante vel poſt dies quindecim, ubi in Apogæo ver­ſatur. Vnde fit ut æſtus duo omnino maximi in Syzygiis con­tinuis ſe mutuo non ſequantur.

Pendet etiam effectus utriuſque Luminaris ex ipſius Declina­tione ſeu diſtautia ab Æquatore. Nam ſi Luminare in polo con­ſtitueretur, traheret illud ſingulas aquæ partes conſtanter, abſque actionis intenſione & remiſſione, adeoque nullam motus recipro­cationem cieret. Igitur Luminaria recedendo ab æquatore polum verſus, effectus ſuos gradatim amittent, & propterea minores cie­bunt æſtus in Syzygiis Solſtitialibus quam in Æquinoctialibus. In Quadraturis autem Solſtitialibus majores ciebunt æſtus quam in Quadraturis Æquinoctialibus; eo quod Lunæ jam in æquatore conſtitutæ effectus maxime ſuperat effectum Solis Incidunt igi­tur æſtus maximi in Syzygias & minimi in Quadraturas Lumina­rium, circa tempora Æquinoctii utriuſque. Et æſtum maximum in Syzygiis comitatur ſemper minimus in Quadraturis, ut experi­entia compertum eſt. Per minorem autem diſtantiam Solis a Terra, tempore hyberno quam tempore æſtivo, fit ut æſtus ma­ximi & minimi ſæpius præcedant Æquinoctium vernum quam ſequantur, & ſæpius ſequantur autumnale quam præcedant.

Pendent etiam effectus Luminarium ex loeorum latitudine. De­ſignet ApEPTellurem aquis profundis undique coopertam; Ccentrum ejus; P, ppolos, AEÆquatorem; Flocum quemvis extra Æquatorem; Ffparallelum loci; Ddparallelum ei re­ſpondentem ex altera parte æquatoris; Llocum quem Luna tri­bus ante horis occupabat; Hlocum Telluris ei perpendiculariter ſubjectum; hlocum huic oppoſitum; K, kloca inde gradibus 90 diſtantia, CH, ChMaris altitudines maximas menſuratas a cen­tro Telluris; & CK, Ckaltitudines minimas: & ſi axibus Hh, Kkdeſcribatur Ellipſis, deinde Ellipſeos hujus revolutione circa axem majorem Hhdeſcribatur Sphærois HPKhpk; deſignabit hæc figuram Maris quam

proxime, & erunt CF, Cf, CD, Cdaltitudines Maris in locis F, f, D, d.Quin­etiam ſi in præfata Ellipſeos revolutione punctum quod­vis Ndeſcribat circulum NM,ſecantem parallelos Ff, Ddin locis quibuſvis R, T,& æquatorem AEin S; erit CNaltitudo Maris in locis omnibus R, S, T,ſitis in hoc circulo. Hinc in revolu­tione diurna loci cujuſvis F,affluxus erit maximus in F,hora tertia poſt appulſum Lunæ ad Meridianum ſupra Horizontem; poſtea defluxus maximus in Qhora tertia poſt occaſum Lunæ; dein affluxus maximus in fhora tertia poſt appulſum Lunæ ad Meridianum infra Horizontem; ultimo defluxus maximus in Qhora tertia poſt ortum Lunæ; & affluxus poſterior in ferit mi­nor quam affluxus prior in F.Diſtinguitur enim Mare totum in duos omnino fluctus Hemiſphæricos, unum in Hemiſphærio KHkCad Boream vergentem, alterum in Hemiſphærio oppo­ſito KhkC; quos igitur fluctum Borealem & fluctum Auſtralem nominare licet. Hi fluctus ſemper ſibi mutuo oppoſiti, veniunt per vices ad Meridianos loeorum ſingulorum, interpoſito inter­vallo horarum Lunarium duodecim. Cumque regiones Boreales magis participant fluctum Borealem, & Auſtrales magis Auſtra­lem, inde oriuntur æſtus alternis vicibus majores & minores, in locis ſingulis extra æquatorem, in quibus luminaria oriuntur & occidunt. Æſtus autem major, Luna in verticem loci declinante, incidet in horam circiter tertiam poſt appulſum Lunæ ad Meri­dianum ſupra Horizontem, & Luna declinationem mutante verte­tur in minorem. Et fluxuum differentia maxima incidet in tem­pora Solſtitiorum; præſertim ſi Lunæ Nodus aſcendens verſatur in principio Arietis. Sic experientia compertum eſt, quod æſtus matutini tempore hyberno ſuperent veſpertinos & veſpertini tem-pore æſtivo matutinos, ad Plymuthumquidem altitudine quaſipedis unius, ad Briſtoliamvero altitudine quindecim digitorum:obſervantibus Colepreſſio& Sturmio. Motus autem hactenus deſcripti mutantur aliquantulum per vimillam reciprocationis aquarum, qua Maris aſtus, etiam ceſſantibus Luminarium actionibus, poſſet aliquam diu perſeverare. Conſer­vatio hæcce motus impreſſi minuit differentiam æſtuum alterno­rum; & aſtus proxime poſt Syzygias majores reddit, eoſque pro­xime poſt Quadraturas minuit. Unde ſit ut æſtus alterni adPly­muthum & Briſtoliamnon multo mafis differant ab invicem quamaltitudine pedis unius vel digitorum quindecim; utque æſtus om­nium maximi in iiſdem portubus, non ſint primi a Syzygiis, ſedtertii. Retardantur etiam motus omnes in tranſitu per vada, adeout æſtus omnium maximi, in fretis quibusdam & Fluviorum oſtiis,ſsint quarti vel etiam quinti a Syzygiis. Porro fieri poteſt ut æſtus propagetur ab Oceano per freta di­verſa ad eundem portum, & citius tranſeat per aliqua freta quamper alia: quo in caſu æſtus idem, in duos vel plures ſucceſſive ad­venientis diviſus, componere poſſit motus novos diverſorum ge­nerum. Fingamus æſtus duos æquales a diverſis locis in eundemportum venire, quorum prior præcedat alterum ſpatio horarumfex, incidatQ.E.I. horam tertiam ab appulſu Lunæ ad Meridia­num portus. Si Luna in hocce ſuo ad Meridianum appulſu ver­fabatur in æquatore, venient ſingulis horis fenis æquales affluxus,qui in motuos refluxus incidendo eoſdem affluxibus æquabunt, & ſic ſpatio diei illius efficient ut aqua tranquille ſtagnet. SiLuna tunc declinabat ab Æquatore, fient æſtus in Oceano vici­bus alternis majores & minores, uti dictum eſt; &inde propaga­buntur in hunc portum affluxus bini majores & bini minores, vi­cibus alternis. Affluxus autem bini majores component aquamaltiſſimam in medio inter utrumque, affluxus major & minor fa­ciet ut aqua aſcendat ad mediocrem altitudinem in Medio ipſo­rum, & inter affluxus binos minores aqua aſcendet ad altitudi­dinem minimam. Sic ſpatio viginti quatuor horarum, aqua nonbis ut fieri ſolet, sed ſemel tantum perveniet ad maximam altitu­dinem & ſemel ad minimam; & altitudo maxima, ſi Luna decli­nat in polum ſupra Horizontem loci, incidet in horam vel ſextamvel triceſimam ab appulſu Lunæ ad Meridianum, atque Luna de­clinationem mutante mutabitur in defluxum. Quorum omniumexemplum, in portu regni Tunquiniad Batſham, ſub latitudineBoreali 20gr. 50′. Halleiusex Nautarum Obſervationibus pate­fecit. Ibi aqua di transitum Lunæ per Æquatorem ſequenteſtagnat, dein Luna ad Boream declinante incipit fluere & refluere, non bis, ut in aliis portubus, ſed ſemel ſingulis diebus; & æſtusincidit in occasum Lunæ, defluxus maximus in ortum. Cum Lunæ declinatione augetur hic æſtus uſque ad diem ſeptimumvel octavum, dein per alios ſeptem dies iisdem gradibus decreſcit,quibus antea creverat; & Luna declinationem mutante ceſſat, acmox mutator in defluxum. Incidit enim ſubinde defluxus in oc­caſum Lunæ & affluxus in ortum, donec Luna iterum mutet de­clinationem. Aditus ad hunc portum fretaque vicina duplex pa­ter, alter ab Oceano Sinenſiinter Continentem & Inſulam Luco­niam, alter a Mari Indicointer Continentem & Inſulam Borneo. An æſtus ſpatio horarum duodecim a Mari Indico& ſpatio hora­rum fex a Mari Sinenſiper freta illa venientes, & ſic in horam ter­tiam & nonam Lunarem incidentes, componant huiuſmodi motus;ſitne alia Marium illorum conditio, obſervationibus vicinorumlittorum determinandum reliquo.

Hactenus cauſas motuum Lunæ & Marium reddidi. De quan­titate motuum jam convenit aliqua ſubjungere.

PROPOSITIO XXV. PROBLEMA VI.

Invenire vires Solis ad perturbandos motus Lunæ.

Deſignet SSolem, TTerram, PLunam, P A D BorbemLunæ. In S Pcapiatur S Kæqualis S T, ſitque S Lad S K

in duplicata ratione S Kad S P, & ipsi P Tagatur parallelaL M; & ſi gravitas acceleratrix Terræ in Solem exponatur perdiſtantiam S Tvel S K, erit S Lgravitas acceleratrix Lunæ inSolem. Ea componitur ex partibus SM, LM,quarum LM& ipſius SMpars TMperturbat motum Lunæ, ut in Libri primi Prop. LXVI. & ejus Corollariis expoſitum eſt. Quatenus Terra & Luna circum commune gravitatis centrum revolvuntur, pertur­babitur etiam motus Terræ circa centrum illud a viribus conſimi­libus; ſed ſummas tam virium quam motuum referre licet ad Lu­nam, & ſummas virium per lineas ipſis analogas TM& MLdeſignare. Vis ML(in mediocri ſua quantitate) eſt ad vim centripetam, qua Luna in Orbe ſuo circa Terram quieſcentem ad diſtantiam PTrevolvi poſſet, in duplicata ratione temporum periodieorum Lunæ circa Terram & Terræ circa Solem, (per Corol. 17. Prop. LXVI. Lib.I.) hoc eſt, in duplicata ratione die­rum 27. hor.7. min.43. ad dies 365. hor.6. min.9. id eſt, ut 1000 ad 178725, ſeu 1 ad (178 39/40). Invenimus autem in Propoſitione quarta quod, ſi Terra & Luna circa commune gravitatis centrum revolvantur, earum diſtantia mediocris ab invicem erit 60 1/2 ſemi­diametrorum mediocrium Terræ quamproxime. Et vis qua Luna in Orbe circa Terram quieſcentem, ad diſtantiam PTſemidiame­trorum terreſtrium 60 1/2 revolvi poſſet, eſt ad vim, qua eodem tempore ad diſtantiam ſemidiametrorum 60 revolvi poſſet, ut 60 1/2 ad 60; & hæc vis ad vim gravitatis apud nos ut 1 ad 60X60 quamproxime. Ideoque vis mediocris MLeſt ad vim gravitatis in ſuperficie Terræ, ut 1X60 1/2 ad 60X60X60X(178 29/40), ſeu 1 ad 638092, 6. Vnde ex proportione linearum TM, ML,datur etiam vis TM:& hæ ſunt vires Solis quibus Lunæ motus perturbantur. Q.E.I.

DE MUNDI SYSTEMATE

LIBER TERTIUS.

PROPOSITIO XXVI. PROBLEMA VII.

Invenire incrementum borarium areæ quam Luna, radio ad Ter­ram ducto, in Orbe circulari deſcribit.

Diximus aream, quam Luna radio ad Terram ducto deſcribit, eſſe tempori proportionalem, niſi quatenus motus Lunaris ab actione Solis turbatur. Inæqualitatem momenti (vel incrementi horarii) hic inveſtigandam proponimus. Ut computatio facilior reddatur, fingamus orbem Lunæ circularem eſſe, & inæqualitates omnes negligamus, ea ſola excepta, de qua hic agitur. Ob in­gentem vero Solis diſtantiam, ponamus etiam lineas SP, STſibi invicem parallelas eſſe. Hoc pacto vis LMreducetur ſemper ad mediocrem ſuam quantitatem TP,ut & vis TMad medio­crem ſuam quantitatem 3 PK.Hæ vires, per Legum Corol. 2. componunt vim TL; & hæc vis, ſi in radium TPdemittatur perpendiculum LE,reſolvitur in vires TE, EL,quarum TE,agendo ſemper ſecundum radium TP,nec accelerat nec retardat deſcriptionem areæ TPCradio illo TPfactam; & ELagendo ſecundum perpendiculum, accelerat vel retardat ipſam, quan­tum accelerat vel retardat Lunam. Acceleratio illa Lunæ, in tranſitu ipſius a Quadratura Cad Conjunctionem A,ſingulis temporis momentis facta, eſt ut ipſa vis accelerans EL,hoc eſt, ut (3PKXTK/TP). Exponatur tempus per motum medium Luna­rem, vel (quod eodem fere recidit) per angulum CTP,vel

etiam per arcum CP.Ad CTerigatur normalis CGipſi CTæqualis. Et diviſo arcu quadrantali ACin particulas innumeras æquales Pp,&c. per quas æquales totidem particulæ temporis exponi poſſint, ductaque pkperpendiculari ad CT,jungatur TGipſis KP, kpproductis occurrens in F& f; & erit Kkad PKut Ppad Tp,hoc eſt in data ratione, adeoque FKXKkſeu area FKkf,ut (3PKXTK/TP), id eſt, ut EL; & compoſite, area tota GCKFut ſumma omnium virium ELtempore toto CPimpreſſarum in Lunam, atque adeo etiam ut velocitas hac ſumma genita, id eſt, ut acceleratio deſcriptionis areæ CTP,ſeu incrementum momenti. Vis qua Luna circa Terram quieſcentem ad diſtantiam TP,tempore ſuo periodico CADBCdierum 27. hor.7. min.43. revolvi poſſet, efficeret ut corpus, tempore CTcadendo, deſcriberet longitudinem 1/2 CT,& velocitatem ſimul acquireret æqualem velocitati, qua Luna in Orbe ſuo movetur. Patet hoc per Corol. 9. Prop. IV. Lib. I. Cum autem perpen­diculum Kdin TPdemiſſum ſit ipſius ELpars tertia, & ip­ſius TPſeu MLin Octantibus pars dimidia, vis ELin Octan­tibus, ubi maxima eſt, ſuperabit vim MLin ratione 3 ad 2, adeoque erit ad vim illam, qua Luna tempore ſuo periodico circa Terram quieſcentem revolvi poſſet, ut 100 ad 2/3X17872 1/2 ſeu 11915, & tempore CTvelocitatem generare deberet quæ eſſet pars (100/11915) velocitatis Lunaris, tempore autem CPAvelocitatem majorem generaret in ratione CAad CTſeu TP.Exponatur vis maxima ELin Octantibus per aream FKXKkrectangulo 1/2 TPXPpæqualem. Et velocitas, quam vis maxima tempore quovis CPgenerare poſſet, erit ad velocitatem quam vis omnis minor ELeodem tempore generat, ut rectangulum 1/2 TPXCPad aream KCGF: tempore autem toto CPA,velocitates ge­nitæ erunt ad invicem ut rectangulum 1/2TPXCA& triangulum TCG,ſive ut arcus quadrantalis CA& radius TP.Ideoque (per Prop. IX. Lib. V. Elem.) velocitas poſterior, toto tempore genita, erit pars (100/11915) velocitatis Lunæ. Huic Lunæ velocitati, quæ areæ momento mediocri analoga eſt, addatur & auferatur dimidium velocitatis alterius; & ſi momentum mediocre expona­tur per numerum 11915, ſumma 11915+50 ſeu 11965 exhi­bebit momentum maximum areæ in Syzygia A,ac differentia 11915-50 ſeu 11865 ejuſdem momentum minimum in Quadra­turis. Igitur areæ temporibus æqualibus in Syzygiis & Quadra­turis deſcriptæ, ſunt ad invicem ut 11965 ad 11865. Ad mo­mentum minimum 11865 addatur momentum, quod ſit ad mo­mentorum differentiam 100 ut trapezium FKCGad triangu­lum TCG(vel quod perinde eſt, ut quadratum Sinus PKad quadratum Radii TP,id eſt, ut Pdad TP) & ſumma exhi­bebit momentum areæ, ubi Luna eſt in loco quovis interme­dio P.

DE MUNDI SYSTEMATE

LIBER TERTIUS.

Hæc omnia ita ſe habent, ex Hypotheſi quod Sol & Terra qui­eſcunt, & Luna tempore Synodico dierum 27. hor.7. min.43. re­volvitur. Cum autem periodus Synodica Lunaris vere ſit die-rum 29. hor.12. & min.44. augeri debent momentorum incre­menta in ratione temporis, id eſt, in ratione 1080853 ad 1000000. Hoc pacto incrementum totum, quod erat pars (100/11915) momenti mediocris, jam fiet ejuſdem pars (100/11023). Ideoque momentum areæ in Quadratura Lunæ erit ad ejus momentum in Syzygia ut 11023-50 ad 11023+50, ſeu 10973 ad 11073, & ad ejus momentum, ubi Luna in alio quovis loco intermedio Pverſatur, ut 10973 ad 10973+Pd,exiſtente videlicet TPæquali 100.

DE MUNDI SYSTEMATE

Area igitur, quam Luna radio ad Terram ducto ſingulis tem­poris particulis æqualibus deſcribit, eſt quam proxime ut ſumma numeri 219,46 & Sinus verſi duplicatæ diſtantiæ Lunæ a Quadra­tura proxima, in circulo cujus radius eſt unitas. Hæc ita ſe ha­bent ubi Variatio in Octantibus eſt magnitudinis mediocris. Sin Variatio ibi major ſit vel minor, augeri debet vel minui Sinus ille verſus in eadem ratione.

PROPOSITIO XXVII. PROBLEMA VIII.

Ex motu horario Lunæ invenire ipſius diſtantiam a Terra.

Area, quam Luna radio ad Terram ducto, ſingulis temporis momentis, deſcribit, eſt ut motus horarius Lunæ & quadratum diſtantiæ Lunæ a Terra conjunctim; & propterea diſtantia Lunæ a Terra eſt in ratione compoſita ex ſubduplicata ratione Areæ di­recte & ſubduplicata ratione motus horarii inverſe. Q.E.I.

Corol.1. Hinc datur Lunæ diameter apparens: quippe quæ ſit reciproce ut ipſius diſtantia a Terra. Tentent Aſtronomi quam probe hæc Regula cum Phænomenis congruat.

Corol.2. Hinc etiam Orbis Lunaris accuratius ex Phænomenis quam antehac definiri poteſt.

PROPOSITIO XXVIII. PROBLEMA IX.

Invenire diametros Orbis in quo Luna, abſque eccentricitate, moveri deberet.

Curvatura Trajectoriæ, quam mobile, ſi ſecundum Trajectoriæ illius perpendiculum trahatur, deſcribit, eſt ut attractio directe & quadratum velocitatis inverſe, Curvaturas linearum pono eſſe in-ter ſe in ultima proportione Sinuum vel Tangentium angulorum contactuum ad radios æquales pertinentium, ubi radii illi in infi­nitum diminuuntur. Attractio autem Lunæ in Terram in Syzy­giis eſt exceſſus gravitatis ipſius in Terram ſupra vim Solarem 2 PK(Vide Figur. pag.394) qua gravitas acceleratrix Lunæ in Solem ſuperat gravitatem acceleratricem Terræ in Solem. In Qua­draturis autem attractio illa eſt ſumma gravitatis Lunæ in Terram & vis Solaris KT,qua Luna in Terram trahitur. Et hæ attra­ctiones, ſi (AT+CT/2) dicatur N, ſunt ut (178725/ATq)-(2000/CTXN) & (178725/CIq)+(1000/ATXN) quam proxime; ſeu ut 178725NXCTq-2000 ATqXCT& 178725 NXATq+1000 CTqXAT.Nam ſi gravitas acceleratrix Lunæ in Terram exponatur per numerum 178725, vis mediocris ML,quæ in Quadraturis eſt PTvel TK& Lunam trahit in Ter­

ram, erit 1000, & vis me­diocris TMin Syzygiis erit 3000; de qua, ſi vis medio­cris MLſubducatur, mane­bit vis 2000 qua Luna in Syzygiis diſtrahitur a Terra, quamque jam ante nominavi 2 PK.Velocitas autem Lu­næ in Syzygiis A& Beſt ad ipſius velocitatem in Qua­draturis C& D,ut CTad AT& momentum areæ quam Luna radio ad Terram du­cto deſcribit in Syzygiis ad momentum ejuſdem areæ in Quadraturis conjunctim; i.e. ut 11073 CTad 10973 AT.Sumatur hæc ratio bis in­verſe & ratio prior ſemel directe, & fiet curvatura Orbis Lu­naris in Syzygiis ad ejuſdem curvaturam in Quadraturis ut 120406729X178725 ATqXCTqXN-120406729X2000 ATqq XCTad 122611329X178725 ATqXCTqXN+122611329X 1000 CTqqXAT, i.e.ut 2151969 ATXCTXN-24081 AT cub.ad 2191371 ATXCTXN+12261 CT cub.

LIBER TERTIUS.

DE MUNDI SYSTEMATE

Quoniam Figura orbis Lunaris ignoratur, hujus vice aſſuma­mus Ellipſin DBCA,in cujus centro TTerra collocetur, & cu­jus axis major DCQuadraturis, minor ABSyzygiis interja­ceat. Cum autem planum Ellipſeos hujus motu angulari circa Terram revolvatur, & Trajectoria cujus curvaturam conſideramus, deſcribi debet in plano quod omni motu angulari omnino deſti­tuitur: conſideranda erit Figura, quam Luna in Ellipſi illa revol­vendo deſcribit in hoc plano, hoc eſt Figura Cpa,cujus puncta ſingula pinveniuntur capiendo punctum quodvis Pin Ellipſi, quod locum Lunæ repreſentet, & ducendo Tpæqualem TP,ea lege ut angulus PTpæqualis ſit motui apparenti Solis a tem­pore Quadraturæ Cconfecto; vel (quod eodem fere recidit) ut angulus CTpſit ad angulum

CTPut tempus revolutio­nis Synodicæ Lunaris ad tem­pus revolutionis Periodicæ ſeu 29d. 12h. 44′, ad 27d. 7h. 43′. Capiatur igitur angulus CTain eadem ratione ad angu­lum rectum CTA,& ſit longitudo Taæqualis lon­gitudini TA; & erit aApſis ima & CApſis ſum­ma Orbis hujus Cpa.Ra­tiones autem ineundo inve­nio quod differentia inter curvaturam Orbis Cpain vertice a,& curvaturam Cir­culi centro Tintervallo TAdeſcripti, ſit ad differentiam inter curvaturam Ellipſeos in vertice A& curvaturam ejuſdem Circuli, in duplicata ratione an­guli CTPad angulum CTp; & quod curvatura Ellipſeos in Aſit ad curvaturam Circuli illius, in duplicata ratione TAad TC; & curvatura Circuli illius ad curvaturam Circuli centro Tin­tervallo TCdeſcripti, ut TCad TA; hujus autem curvatura ad curvaturam Ellipſeos in C,in duplicata ratione TAad TC; & differentia inter curvaturam Ellipſeos in vertice C& curvaturam Circuli noviſſimi, ad differentiam inter curvaturam Figuræ Tpain vertice C& curvaturam ejuſdem Circuli, in duplicata ratione anguli CTpad angulum CTP.Quæ quidem rationes ex ſinu­

bus angulorum contactus ac differentiarum angulorum facile colli­guntur. His autem inter ſe collatis, prodit curvatura Figuræ Cpain aad ipſius curvaturam in C,ut AT cub+(16824/100000)CTqXATad CT cub+(16824/100000) ATqXCT.Ubi numerus (16824/100000) deſignat differentiam quadratorum angulorum CTP& CTpappli­catam ad quadratum anguli minoris CTP,ſeu (quod per­inde eſt) differentiam quadratorum temporum 27d. 7h. 43′, & 29d. 12h. 44′, applicatam ad quadratum temporis 27d. 7h. 43′,

LIBER TERTIUS.

Igitur cum adeſignet Syzygiam Lunæ, & Cipſius Quadratu­ram, proportio jam inventa eadem eſſe debet cum proportione curvaturæ Orbis Lunæ in Syzygiis ad ejuſdem curvaturam in Quadraturis, quam ſupra invenimus. Proinde ut inveniatur pro­portio CTad AT,duco extrema & media in ſe invicem. Et termini prodeuntes ad ATXCTapplicati, fiunt 2062, 79 CTqq-2151969 NXCTcub+368676 NXATXCTq+36342 ATq XCTq-362047 NXATqXCT+2191371 NXAT cub+ 4051, 4 ATqq=0. Hic pro terminorum AT& CTſemiſum­ma N ſcribo 1, & pro eorundem ſemidifferentia ponendo x,fit CT=1+x,& AT=1-x: quibus in æquatione ſcriptis, & æquatione prodeunte reſoluta, obtinetur xæqualis 0,00719, & inde ſemidiameter CTfit 1,00719, & ſemidiameter AT0,99281, qui numeri ſunt ut (70 1/24) & (69 1/24) quam proxime. Eſt igitur di­ſtantia Lunæ a Terra in Syzygiis ad ipſius diſtantiam in Quadra­turis (ſepoſita ſcilicet Eccentricitatis conſideratione) ut (69 1/24) ad (70 1/24), vel numeris rotundis ut 69 ad 70.

PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA X.

Invenire Variationem Lunæ.

Oritur hæc inæqualitas partim ex forma Elliptica orbis Luna­ris, partim ex inæqualitate momentorum areæ, quam Luna radio ad Terram ducto deſcribit. Si Luna Pin Ellipſi DBCAcirca Terram in centro Ellipſeos quieſcentem moveretur, & radio TPad Terram ducto deſcriberet aream CTPtempori proportiona­lem; eſſet autem Ellipſeos ſemidiameter maxima CTad ſemi­diametrum minimam TAut 70 ad 69: foret tangens anguli CTPad tangentem anguli motus medii a Quadratura Ccompu­tati, ut Ellipſeos ſemidiameter TAad ejuſdem ſemidiametrum TCſeu 69 ad 70. Debet autem deſcriptio areæ CTP,in pro­greſſu Lunæ a Quadratura ad Syzygiam, ea ratione accelerari, ut ejus momentum in Syzygia Lunæ ſit ad ejus momentum in Qua­dratura ut 11073 ad 10973, utque exceſſus momenti in loco quovis intermedio Pſupra momentum in Quadratura ſit ut qua­dratum ſinus anguli CTP.Id quod ſatis accurate fiet, ſi tan­gens anguli CTPdiminuatur in ſubduplicata ratione numeri 10973 ad numerum 11073, id eſt, in ratione numeri 68,6877 ad numerum 69. Quo pacto

tangens anguli CTPjam e­rit ad tangentem motus me­dii ut 68,6877 ad 70, & an­gulus CTPin Octantibus, ubi motus medius eſt 45gr.invenietur 44gr. 27′. 28″. qui ſubductus de angulo motus medii 45gr. relinquit Varia­tionem maximam 32′. 32″. Hæc ita ſe haberent ſi Luna, pergendo a Quadratura ad Syzygiam, deſcriberet angu­lum CTAgraduum tantum nonaginta. Verum ob mo­tum Terræ, quo Sol in con­ſequentia motu apparente transfertur, Luna, priuſquam Solem aſſequitur, deſcribit angulum CTaangulo recto majorem in ratione temporis revo­lutionis Lunaris Synodicæ ad tempus revolutionis Periodicæ, id eſt, in ratione 29d. 12h. 44′. ad 27d. 7h. 43′. Et hoc pacto an­guli omnes circa centrum Tdilatantur in eadem ratione, & Va­riatio maxima quæ ſecus eſſet 32′. 32″, jam aucta in eadem ratione fit 35′. 10″.

DE MUNDI SYSTEMATE

Hæc eſt ejus magnitudo in mediocri diſtantia Solis a Terra, neglectis differentiis quæ a curvatura Orbis magni majorique So­lis actione in Lunam falcatam & novam quam in gibboſam & plenam, oriri poſſint. In aliis diſtantiis Solis a Terra, Variatio maxima eſt in ratione quæ componitur ex duplicata ratione tem­poris revolutionis Synodicæ Lunaris (dato anni tempore) directe, & triplicata ratione diſtantiæ Solis a Terra inverſe. IdeoQ.E.I. Apogæo Solis, Variatio maxima eſt 33′. 14″, & in ejus Perigæo 37′. 11″, ſi modo Eccentricitas Solis ſit ad Orbis magni ſemidia­metrum tranſverſam ut (16 15/16) ad 1000.

LIBER TERTIUS.

Hactenus Variationem inveſtigavimus in Orbe non eccentrico, in quo utique Luna in Octantibus ſuis ſemper eſt in mediocri ſua diſtantia a Terra. Si Luna propter eccentricitatem ſuam, magis vel minus diſtat a Terra quam ſi locaretur in hoc Orbe, Variatio paulo major eſſe poteſt vel paulo minor quam pro Regula hic allata: ſed exceſſum vel defectum ab Aſtronomis per Phænomena determinandum relinquo.

PROPOSITIO XXX. PROBLEMA XI.

Invenire motum borarium Nodorum Lunæ in Orbe circulari.

Deſignet SSolem, TTerram, PLunam, NPnOrbem Lunæ, Npnveſtigium Orbis in plano Eclipticæ; N, nNodos, nTNm

lineam Nodorum infinite productam; PI, PKperpendicula de­miſſa in lineas ST, Qque Ppperpendiculum demiſſum in planum Eclipticæ; Q, qQuadraturas Lunæ in plano Eclipticæ, & p Kperpendiculum in lineam QqQuadraturis interjacentem. Vis Solis ad perturbandum motum Lunæ (per Prop.xxv.) duplex eſt, altera lineæ LM,altera lineæ MTproportionalis. Et Luna vi priore in Terram, poſteriore in Solem ſecundum lineam rectæ STa Terra ad Solem ductæ parallelam trahitur. Vis prior LMagit ſecundum planum orbis Lunaris, & propterea ſitum plani nil mutat. Hæc igitur negligenda eſt. Vis poſterior MTqua planum Orbis Lunaris perturbatur eadem eſt cum vi 3PKvel 3IT.Et hæc vis (per Prop.xxv.) eſt ad vim qua Luna in circulo circa
Terram quicſcentem tempore ſuo periodico uniformiter revolvi poſſet, ut 3ITad Radium circuli multiplicatum per numerum 178,725, ſive ut ITad Radium multiplicatum per 59,575. Cæte­rum in hoc calculo & eo omni qui ſequitur, conſidero lineas om­nes a Luna ad Solem ductas tanquam parallelas lineæ quæ a Terra ad Solem ducitur, propterea quod inclinatio tantum fere minuit effectus omnes in aliquibus caſibus, quantum auget in aliis; & Nodorum motus mediocres quærimus, neglectis iſtiuſmodi minu­tiis, quæ calculum nimis impeditum redderent.

DE MUNDI SYSTEMATE

Deſignet jam PMarcum, quem Luna dato tempore quam minimo deſcribit, & MLlineolam quam Luna, impellente vi præfata 3IT,eodem tempore deſcribere poſſet. Jungantur PL, MP,& producantur eæ ad m& l,ubi ſecent planum E­clipticæ; inque Tmdemittatur perpendiculum PH.Et quo­niam recta MLparallela eſt plano Eclipticæ, ideoque cum recta mlquæ in plano illo jacet concurrere non poteſt, & tamen ja­cent hæ rectæ in plano communi LMP ml; parallelæ erunt hæ­rectæ, & propterea ſimilia erunt triangula LMP, Lmp.Jam cum MPmſit in plano Orbis, in quo Luna in loco Pmoveba­tur, incidet punctum min lineam Nnper Orbis illius Nodos. N, ndictam. Et quoniam vis qua lineola LMgeneratur, ſi tota ſimul & ſemel in loco Pimpreſſa eſſet, efficeret ut Luna moveretur in arcu, cujus chorda eſſet LP,atque adeo trans­ferret Lunam de plano MPmTin planum LPIT; motus an­gularis Nodorum a vi illa genitus, æqualis erit angulo mTl.Eſt autem mlad mPut MLad MP,adeoque cum MPob da­tum tempus data ſit, eſt mlut rectangulum MLXmP,id eſt, ut rectangulum ITXmP.Et angulus mTl,ſi modo angulus Tmlrectus ſit, eſt ut (ml/Tm), & propterea ut (ITXPm/Tm), id eſt, (ob proportionales Tm& mP, TP& PH) ut (ITXPH/TP), adeoque ob datam TP,ut ITXPH.Quod ſi angulus Tml,ſeu STNobliquus fit, erit angulus mTladhuc minor, in rati­one ſinus anguli STNad Radium. Eſt igitur velocitas No­dorum ut ITXPHXAZ,ſive ut contentum ſub ſinubus trium angulorum TPI, PTN& STN.

LIBER TERTIUS.

Si anguli illi, Nodis in Quadraturis & Luna in Syzygia exiſten­tibus, recti ſint, lineola mlabibit in infinitum, & angulus mTlevadet angulo mPlæqualis. Hoc autem in caſu, angulus mPleſt ad angulum PTM,quem Luna eodem tempore motu ſuo apparente circa Terram deſcribit ut 1 ad 59,575. Nam angulus mPlæqualis eſt angulo LPM,id eſt, angulo deflexionis Lunæ a recto tramite, quem ſola vis præfata Solaris 3ITſi tum ceſſa­ret Lunæ gravitas dato illo tempore generare poſſet; & angulus PTMæqualis eſt angulo deflexionis Lunæ a recto tramite, quem vis illa, qua Luna in Orbe ſuo retinetur, ſi tum ceſſaret vis Sola­ris 3ITeodem tempore generaret. Et hæ vires, ut ſupra dixi-mus, ſunt ad invicem ut 1 ad 59,575. Ergo cum motus medius horarius Lunæ (reſpectu fixarum) ſit 32′. 56″. 27′. 12iv1/2, motus horarius Nodi in hoc caſu erit 33″. 10′. 33iv. 12v. Aliis autem in caſibus motus iſte horarius erit ad 33″. 10′. 33iv. 12v. ut conten­tum ſub ſinubus angulorum trium TPI, PTN,& STN(ſeu diſtantiarum Lunæ a Quadratura, Lunæ a Nodo, & Nodi a Sole) ad cubum Radii. Et quoties ſignum anguli alicujus de affirmativo in negativum, deque negativo in affirmativum mutatur, debebit motus regreſſivus in progreſſivum & progreſſivus in regreſſivum mutari. Unde fit ut Nodi progrediantur quoties Luna inter Qua­draturam alterutram & Nodum Quadraturæ proximum verſatur. Aliis in caſibus regrediuntur, & per exceſſum regreſſus ſupra pro­greſſum, ſingulis menſibus ſeruntur in antecedentia.

DE MUNDI SYSTEMATE

Corol.1. Hinc ſi a dati arcus quam minimi PMterminis P& Mad lineam Quadraturas jungentem Qqdemittantur perpen­dicula PK, Mk,eademque producantur donec ſecent lineam Nodorum Nnin D& d; erit motus horarius Nodorum ut area MPDd& quadratum lineæ AZconjunctim. Sunto enim

PK, PH& AZprædicti tres ſinus. Nempe PKſinus di­ſtantiæ Lunæ a Quadratura, PHſinus diſtantiæ Lunæ a Nodo, & AZſinus diſtantiæ Nodi a Sole: & erit velocitas Nodi ut conten­tum PKXPHXAZ.Eſt autem PTad PKut PMad Kk,adeoque ob datas PT& PMeſt Kkipſi PKproportionalis. Eſt & ATad PDut AZad PH,& propterea PHrectangulo PDXAZproportionalis, & conjunctis rationibus, PKXPHeſt ut contentum KkXPDXAZ,& PKXPHXAZut KkXPDXAZ qu.id eſt, ut area PDdM& AZqu.con­junctim. que E. D.

LIBER TIRTIUS.

Corol2. In data quavis Nodorum poſitione, motus horarius mediocris eſt ſemiſſis motus horarii in Syzygiis Lunæ, ideoque eſt ad 16″. 35′. 16iv. 36v. ut quadratum ſinus diſtantiæ Nodorum a Syzygiis ad quadratum Radii, five ut AZqu.AD AT.qu.Nam ſi Luna uniformi cum motu perambulet ſemicirculum QAq,ſum­ma omnium arearum PDdM,quo tempore Luna pergit a Qad M,erit area QMdEquæ ad circuli tangentem QEtermina­tur; & quo tempore Luna attingit punctum n,ſumma illa erit area tota EQAnquam linea PDdeſcribit, dein Luna pergente ab nad q,linea PDcadet extra circulum, & aream nqead circuli tangentem qeterminatam deſcribet; quæ, quoniam Nodi prius regrediebantur, jam vero progrediuntur, ſubduci debet de area priore, & cum æqualis ſit areæ QEN,relinquet ſemicircu­lum NQAn.Igitur ſumma omnium arearum PDdM,quo tempore Luna ſemicirculum deſcribit, eſt area ſemicirculi; & ſumma omnium quo tempore Luna circulum deſcribit eſt area cir­culi totius. At area PDdM,ubi Luna verſatur in Syzygiis, eſt rectangulum ſub arcu PM& radic MT; & ſumma omnium huic æqualium arearum, quo tempore Luna circulum deſcribit, eſt rectangulum ſub circumferentia tota & radio circuli; & hoc rectangulum, cum ſit æquale duobus circulis, duplo majus eſt quam rectangulum prius. Proinde Nodi, ea cum velocitate uNI­formiter continuata quam habent in Syzygiis Lunaribus, ſpatium duplo majus deſcriberent quam revera deſcribunt; & propterea motus mediocris quocum, ſi uniformiter continuaretur, ſpatium a ſe inæquabili cum motu revera confectum deſcribere poſſent, eſt ſemiſſis motus quem habent in Syzygiis Lunæ. Unde cum mo­tus horarius maximus, ſi Nodi in Quadraturis verſantur, ſit 33″. 10′. 33iv. 12v, motus mediocris horarius in hoc caſu erit 16″. 35′. 16iv. 36v. Et cum motus horarius Nodorum ſemper ſit ut AZqu.& area PDdMconjunctim, & propterea motus ho­rarius Nodorum in Syzygiis Lunæ ut AZqu.& area PDdMconjunctim, id eſt (ob datam aream PDdMin Syzygiis de­ſcriptam) ut AZqu.erit etiam motus mediocris ut AZqu.atque adeo hic motus, ubi Nodi extra Quadraturas verſantur, erit ad 16″. 35′. 16iv. 36v. ut AZqu.ad ATqu. Q.E.D.

DE MUNDI SYSTEMATE

PROPOSITIO XXXI. PROBLEMA XII.

Invenire motum horarium Nodorum Lunæ in Orbe Elliptico.

Deſignet QpmaqEllipſin, axe majore Qq,minore abde­ſcriptam, QAqCirculum circumſcriptum, TTerram in utriuſque centro communi, SSolem, pLunam in Ellipſi motam, & pmar­cum quem data temporis particula quam minima deſcribit, N& nNodos linea Nnjunctos, pK& mkperpendicula in axem Qqdemiſſa & hinc inde producta, donec occurrant Circulo in P& M,

& lineæ Nodorum in D& d.Et ſi Luna, radio ad Terram du­cto, aream deſcribat tempori proportionalem, erit motus Nodi in Ellipſi ut area pDdm.

Nam ſi PFtangat Circulum in P,& producta occurrat TNin F,& pftangat Ellipſin in p& producta occurrat eidem TNin f,conveniant autem hæ tangentes in axe TQad Y; & ſi MLdeſignet ſpatium quod Luna in Circulo revolvens, interea dum deſcribit arcum PM,urgente & impellente vi prædicta 3IT,motu tranſverſo deſcribere poſſet, & mldeſignet ſpatium quod Luna in Ellipſi revolvens eodem tempore, urgente etiam vi 3IT,deſcribere poſſet; & producantur LP& lpdonec occurrant plano Eclipticæ in G& g; & jungantur FG& fg,quarum FGproducta ſecet pf, pg& TQin c, e& Rreſpective, & fgpro­ducta ſecet TQin r: Quoniam vis 3ITſeu 3PKin Circulo eſt ad vim 3ITſeu 3pKin Ellipſi, ut PKad pK,ſeu ATad aT; erit ſpatium MLvi priore genitum, ad ſpatium mlvi po­ſteriore genitum, ut PKad pK,id eſt, ob ſimiles figuras PYKp& FYRc,ut FRad cR.Eſt autem MLad FG(ob ſimilia triangula PLM, PGF) ut PLad PG,hoc eſt (ob parallelas Lk, PK, GR) ut plad pe,id eſt, (ob ſimilia trian­gula plm, cpe) ut lmad ce; & inverſe ut LMeſt ad lm,ſeu FRad cR,ita eſt FGad ce.Et propterea ſi fgeſſet ad ceut fYad cY,id eſt, ut frad cR(hoc eſt, ut frad FR& FRad cRconjunctim, id eſt, ut fTad FT& FGad ceconjunctim,) quo­niam ratio FGad ceutrinque ablata relinquit rationes fgad FG& fTad FT,foret fgad FGut fTad FT; atque adeo anguli, quos FG& fgſubtenderent ad Terram T,æquarentur inter ſe. Sed anguli illi (per ca quæ in præcedente Propoſitione expoſui­mus) ſunt motus Nodorum, quo tempore Luna in Circulo ar­cum PM,in Ellipſi arcum pmpercurrit: & propterea motus Nodorum in Circulo & Ellipſi æquarentur inter ſe. Hæc ita ſe haberent, ſi modo fgeſſet ad ceut fYad cY,id eſt, ſi fgæqua­lis eſſet (ceXfY/cY). Verum ob ſimilia triangula fgp, cep,eſt fgad ceut fpad cp; ideoque fgæqualis eſt (ceXfp/cp); & propterea angulus, quem fgrevera ſubtendit, eſt ad angulum priorem, quem FGſubtendit, hoc eſt, motus Nodorum in Ellipſi ad motum Nodorum in Circulo, ut hæc fgſeu (ceXfp/cp) ad priorem fgſeu (ceXfY/cY), id eſt, ut fpXcYad fYXcp,ſeu fpad fY& cYad cp,hoc eſt, ſi phipſi TNparallela occurrat FPin h,ut Fhad FY& FYad FP; hoc eſt, ut Fhad FPſeu Dpad DP,adeoque ut area Dpmdad aream DPMd.Et propterea, cum area po-ſterior proportionalis ſit motui Nodorum in Circulo, erit area prior proportionalis motui Nodorum in Ellipſi. Q.E.D.

LIBER TERTIUS.

DE MUNDI SYSTEMATE

Corol.Igitur cum, in data Nodorum poſitione, ſumma omnium arearum pDdm,quo tempore Luna pergit a Quadratura ad lo­cum quemvis m,ſit area mpQEd,quæ ad Ellipſeos tangentem QEterminatur; & ſumma omnium arearum illarum, in revolu­tione integra, ſit area Ellipſeos totius: motus mediocris Nodorum in Ellipſi erit ad motum mediocrem Nodorum in Circulo, ut El­lipſis ad Circulum; id eſt, ut Taad TA,ſeu 69 ad 70. Et propterea, cum motus mediocris horarius Nodorum in Circulo ſit ad 16″. 35′. 16iv. 36v. ut AZqu.ad ATqu.ſi capiatur angu­lus 16″. 21′. 3iv. 30v. ad angulum 16″. 35′. 16iv. 36v. ut 69 ad 70, erit motus mediocris horarius Nodorum in Ellipſi ad 16″. 21′. 3iv. 30v. ut AZqad ATq; hoc eſt, ut quadratum ſinus diſtantiæ Nodi a Sole ad quadratum Radii.

Cæterum Luna, radio ad Terram ducto, aream velocius deſcri­bit in Syzygiis quam in Quadraturis, & eo nomine tempus in Sy­zygiis contrahitur, in Quadraturis producitur; & una cum tem­pore motus Nodorum augetur ac diminuitur. Erat autem mo­mentum areæ in Quadraturis Lunæ ad ejus momentum in Syzygiis ut 10973 ad 11073, & propterea momentum mediocre in Octan­tibus eſt ad exceſſum in Syzygiis, defectumQ.E.I. Quadraturis, ut numerorum ſemiſumma 11023 ad eorundem ſemidifferentiam 50. Unde cum tempus Lunæ in ſingulis Orbis particulis æqualibus ſit reciproce ut ipſius velocitas, erit tempus mediocre in Octantibus ad exceſſum temporis in Quadraturis, ac defectum in Syzygiis, ab hac cauſa oriundum, ut 11023 ad 50 quam proxime. Pergendo autem a Quadraturis ad Syzygias, invenio quod exceſſus momen­torum areæ in locis ſingulis, ſupra momentum minimum in Qua­draturis, ſit ut quadratum ſinus diſtantiæ Lunæ a Quadraturis quam proxime; & propterea differentia inter momentum in loco quocunque & momentum mediocre in Octantibus, eſt ut diffe­rentia inter quadratum ſinus diſtantiæ Lunæ a Quadraturis & quadratum ſinus graduum 45, ſeu ſemiſſem quadrati Radii; & incrementum temporis in locis ſingulis inter Octantes & Quadra­turas, & decrementum ejus inter Octantes & Syzygias, eſt in ea­dem ratione. Motus autem Nodorum, quo tempore Luna per­currit ſingulas Orbis particulas æquales, acceleratur vel retardatur in duplicata ratione temporis. Eſt enim motus iſte, dum Luna percurrit PM,(cæteris paribus) ut ML,& MLeſt in dupli­cata ratione temporis. Quare motus Nodorum in Syzygiis, eo tempore confectus quo Luna datas Orbis particulas percurrit, di­minuitur in duplicata ratione numeri 11073 ad numerum 11023; eſtQ.E.D.crementum ad motum reliquum ut 100 ad 10973, ad motum vero totum ut 100 ad 11073 quam proxime. Decre­mentum autem in locis inter Octantes & Syzygias, & incremen­tum in locis inter Octantes & Quadraturas, eſt quam proxime ad hoc decrementum, ut motus totus in locis illis ad motum totum in Syzygiis & differentia inter quadratum ſinus diſtantiæ Lunæ a Quadratura & ſemiſſem quadrati Radii ad ſemiſſem quadrati Ra­dii, conjunctim. Unde ſi Nodi in Quadraturis verſentur, & ca­piantur loca duo æqualiter ab Octante hinc inde diſtantia, & alia duo a Syzygia & Quadratura iiſdem intervallis diſtantia, deque decrementis motuum in locis duobus inter Syzygiam & Octantem, ſubducantur incrementa motuum in locis reliquis duobus, quæ ſunt inter Octantem & Quadraturam; decrementum reliquum æquale erit decremento in Syzygia: uti rationem ineunti facile conſtabit. ProindeQ.E.D.crementum mediocre, quod de Nodo­rum motu mediocri ſubduci debet, eſt pars quarta decrementi in Syzygia. Motus totus horarius Nodorum in Syzygiis (ubi Luna radio ad Terram ducto aream tempori proportionalem deſcribere ſupponebatur) erat 32″. 42′. 7iv. Et decrementum motus Nodo­rum, quo tempore Luna jam velocior deſcribit idem ſpatium, diximus eſſe ad hunc motum ut 100 ad 11073; adeoQ.E.D.cre­mentum illud eſt 17′. 43iv. 11v, cujus pars quarta 4′. 25iv. 48v, motui horario mediocri ſuperius invento 16″. 21′. 3iv. 30v. ſub­ducta, relinquit 16″. 16′. 37iv. 42v. motum mediocrem horarium correctum.

LIBER TERTIUS.

Si Nodi verſantur extra Quadraturas, & ſpectentur loca bina a Syzygiis hinc inde æqualiter diſtantia; ſumma motuum Nodo­rum, ubi Luna verſatur in his locis, erit ad ſummam motuum, ubi Luna in iiſdem locis & Nodi in Quadraturis verſantur, ut AZqu.ad ATqu.Et decrementa motuum, a cauſis jam expo­ſitis oriunda, erunt ad invicem ut ipſi motus, adeoque motus reli­qui erunt ad invicem ut AZqu.ad ATqu.& motus mediocres ut motus reliqui. Eſt itaque motus mediocris horarius correctus, in dato quocunque Nodorum ſitu, ad 16″. 16′. 37iv. 42v. ut. AZqu.ad ATqu.; id eſt, ut quadratum ſinus diſtantiæ Nodorum a Sy­zygiis ad quadratum Radii.

DE MUNDI SYSTEMATE

PROPOSITIO XXXII. PROBLEMA XIII.

Invenire motum medium Nodorum Lunæ.

Motus medius annuus eſt ſumma motuum omnium horariorum mediocrium in anno. Concipe Nodum verſari in N,& ſingulis horis completis retrahi in locum ſuum priorem, ut non obſtante motu ſuo proprio, datum ſemper ſervet ſitum ad Stellas Fixas. Interea vero Solem S,per motum Terræ, progredi a Nodo, & curſum annuum apparentem uniformiter complere. Sit autem Aaarcus datus quam minimus, quem recta TSad Solem ſemper ducta, interſectione ſui & circuli NAn,dato tempore quam mi­nimo deſcribit: & motus horarius mediocris (per jam oſtenſa) erit ut AZq,id eſt (ob proportionales AZ, ZY) ut rectan­gulum ſub AZ& ZY,hoc eſt, ut area AZYa.Et ſumma om­nium horariorum motuum mediocrium ab initio, ut ſumma om­nium arearum aYZA,id eſt, ut area NAZ.Eſt autem maxima

AZYaæqualis rectangulo ſub arcu Aa& radio circuli; & prop­terea ſumma omnium rectangulorum in circulo toto ad ſummam totidem maximorum, ut area circuli totius ad rectangulum ſub circumferentia tota & radio; id eſt, ut 1 ad 2. Motus autem ho­rarius, rectangulo maximo reſpondens, erat 16″. 16′. 37iv. 42v. Et hic motus, anno toto ſidereo dierum 365. hor.6. min.9 fit 39gr. 38′. 7″. 50′. Ideoque hujus dimidium 19gr. 49′. 3″. 55′. eſt mo-tus medius Nodorum circulo toti reſpondens. Et motus Nodo­rum, quo tempore Sol pergit ab Nad A,eſt ad 19gr. 49′. 3″. 55′. ut area NAZad circulum totum.

LIBER. TERTIUS.

Hæc ita ſe habent, ex Hypotheſi quod Nodus horis ſingulis in locum priorem retrahitur, lic ut Sol anno toto completo ad No­dum eundem redeat a quo ſub initio digreſſus fuerat. Verum per motum Nodi fit ut Sol citius ad Nodum revertatur, & compu­tanda jam eſt abbreviatio temporis. Cum Sol anno toto conficiat 360 gradus, & Nodus motu maximo eodem tempore conficeret 39gr. 38′. 7″. 50′, ſeu 39,6355 gradus; & motus mediocris. Nodi in loco quovis Nſit ad ipſius motum mediocrem in Quadraturis ſuis, ut AZqad ATq: erit motus Solis ad motum Nodi in N,ut 360 ATqad 39,6355 AZq; id eſt, ut 9,0827646 ATqad AZqueUnde ſi circuli totius circumferentia NAndividatur in particu­las æquales Aa,tempus quo Sol percurrat particulam Aa,ſi cir­culus quieſceret, erit ad tempus quo percurrit eandem parti­culam, ſi circulus una cum Nodis circa centrum Trevolvatur, reciproce ut 9,0827646 ATquead 9,0827646 ATq+AZqueNam tempus eſt reciproce ut velocitas qua particula percurritur, & hæc velocitas eſt ſumma velocitatum Solis & Nodi. Igitur ſi tem­pus, quo Sol abſque motu Nodi percurreret arcum NA,expo­natur per Sectorem NTA,& particula temporis quo percurreret. arcum quam minimum Aa,exponatur per Sectoris particulam ATa; & (perpendiculo aYin Nndemiſſo) ſi in AZcapiatur dZ,ejus longitudinis ut ſit rectangulum dZin ZYad Sectoris particulam ATaut AZqad 9,0827646 ATq+AZq,id eſt, ut ſit dZad 1/2 AZut ATqad 9,0827646 ATq+AZq; rectangu­lum dZin ZYdeſignabit decrementum temporis ex motu Nodi oriundum, tempore toto quo arcus Aapercurritur. Et ſi pun­ctum dtangit Curvam NdGn,area curvilinea NdZerit decre­mentum totum, quo tempore arcus totus NApercurritur; & propterea exceſſus Sectoris NATſupra aream NdZerit tempus illud totum. Et quoniam motus Nodi tempore minore minor eſt in ratione temporis, debebit etiam area AaYZdiminui in eadem ratione. Id quod fiet ſi capiatur in AZlongitudo eZ,quæ ſit ad longitudinem AZut AZqad 9,0827646 ATq+AZqueSic enim rectangulum eZin ZYerit ad aream AZYaut decremen­tum temporis quo arcus Aapercurritur, ad tempus totum quo percurreretur ſi Nodus quieſceret: Et propterea rectangulum illud reſpondebit decremento motus Nodi. Et ſi punctum etangat Curvam NeFn,area tota NeZ,quæ ſumma eſt omnium decre­mentorum, reſpondebit decremento toti, quo tempore arcus ANpercurritur; & area reliqua NAereſpondebit motui reliquo, qui verus eſt Nodi motus quo tempore arcus totus NA,per Solis & Nodi conjunctos motus, percurritur. Jam vero area ſemicirculi eſt ad aream Figuræ NeFnT,per methodum Serierum infinita­rum quæſitam, ut 793 ad 60 quamproxime. Motus autem qui reſpondet Circulo toti erat 19gr. 49′. 3″. 55′; & propterea motus, qui Figuræ NeFnTduplicatæ reſpondet, eſt 1gr. 29′. 58″. 2′. Qui de motu priore ſubductus relinquit 18gr. 19′. 5″. 53′. motum totum Nodi inter ſui ipſius Conjunctiones cum Sole; & hic mo­tus de Solis motu annuo graduum 360 ſubductus, relinquit 341gr.40′. 54″. 7′. motum Solis inter eaſdem Conjunctiones. Iſte au­tem motus eſt ad motum annuum 360gr. ut Nodi motus jam in­ventus 18gr. 19′. 5″. 53′. ad ipſius motum annuum, qui propterea erit 19gr. 18′. 1″. 23′. Hic eſt motus medius Nodorum in anno Sidereo. Idem per Tabulas Aſtronomicas eſt 19gr. 21′. 21″. 50′. Differentia minor eſt parte trecenteſima motus totius, & ab Or­bis Lunaris Eccentricitate & Inclinatione ad planum Eclipticæ oriri videtur. Per Eccentricitatem Orbis motus Nodorum nimis acceleratur, & per ejus Inclinationem viciſſim retardatur aliquan­tulum, & ad juſtam velocitatem reducitur.

DE MUNDI SYSTEMATE

PROPOSITIO XXXIII. PROBLEMA XIV.

Invenire motum verum Nodorum Lunæ.

In tempore quod eſt ut area NTA-NdZ, (in Fig. præced.)motus iſte eſt ut area NAeN,& inde datur. Verum ob nimiam calculi difficultatem, præſtat ſequentem Problematis conſtructio­nem adhibere. Centro C,intervallo quovis CD,deſcribatur circulus BEFD.Producatur DCad A,ut ſit ABad ACut motus medius ad ſemiſſem motus veri mediocris, ubi Nodi ſunt in Quadraturis, (id eſt, ut 19gr. 18′. 1″. 23′. ad 19gr. 49′. 3″. 55′, atque adeo BCad ACut motuum differentia 0gr. 31′. 2″. 32′, ad motum poſteriorem 19′gr. 49. 3″. 55′) hoc eſt, ut 1 ad (38 1/10) dein per punctum Dducatur infinita Gg,quæ tangat circulum in D; & ſi capiatur angulus BCEvel BCFæqualis duplæ diſtantiæ Solis a loco Nodi, per motum medium invento; & agatur AEvel AFſecans perpendiculum DGin G; & ca­piatur angulus qui ſit ad motum totum Nodi inter ipſius Syzy­gias (id eſt, ad 9gr. 11′. 3″.) ut tangens DGad circuli BEDcircumferentiam totam; atque angulus iſte (pro quo angulus DAGuſurpari poteſt) ad motum medium Nodorum addatur ubi Nodi

tranſeunt a Quadraturis ad Syzygias, & ab eodem motu medio ſubducatur ubi tranſeunt a Syzygiis ad Quadraturas; habebitur eorum motus verus. Nam motus verus ſic inventus congruet quam proxime cum motu vero qui prodit exponendo tempus per aream NTA-NdZ,& motum Nodi per aream NAeN; ut rem perpendenti & computationes inſtituenti conſtabit. Hæc eſt æquatio ſemeſtris motus Nodorum. Eſt & æquatio menſtrua, ſed quæ ad inventionem Latitudinis Lunæ minime neceſſaria eſt. Nam cum Variatio Inclinationis Orbis Lunaris ad planum Eclipticæ du­plici inæqualitati obnoxia ſit, alteri ſemeſtri, alteri autem men­ſtruæ; &c. hujus menſtrua inæqualitas & æquatio menſtrua Nodorum ita ſe mutuo contemperant & corrigunt, ut ambæ in determinan­da Latitudine Lunæ negligi poſſint.

LIBER TERTIUS.

Corol.Ex hac & præcedente Propoſitione liquet quod Nodi in Syzygiis ſuis quieſcunt, in Quadraturis autem regrediuntur motu horario 16″. 19′. 26iv. Et quod æquatio motus Nodorum in Octantibus ſit 1gr. 30′. Quæ omnia cum Phænomenis cœleſtibus probe quadrant.

DE MUNDI SYSTEMATE

PROPOSITIO XXXIV. PROBLEMA XV.

Invenire Variationem horariam Inclinationis Orbis Lunaris ad planum Eclipticæ.

Deſignent A& aSyzygias; Q& qQuadraturas; N& nNo­dos; Plocum Lunæ in Orbe ſuo; pveſtigium loci illius in plano Eclipticæ, & mTlmotum momentaneum Nodorum ut ſupra. Et ſi ad lineam Tmdemittatur perpendiculum PG,jungatur pG,& producatur ea donec occurrat Tlin g,& jungatur etiam Pg: erit angulus PGpInclinatio orbis Lunaris ad planum Eclipticæ,

ubi Luna verſatur in P; & angulus PgpInclinatio ejuſdem poſt momentum temporis completum; adeoque angulus GPgVariatio momentanea Inclinationis. Eſt autem hic angulus GPgad an­gulum GTg,ut TGad PG& Ppad PGconjunctim. Et prop­terea ſi pro momento temporis ſubſtituatur hora; cum angulus GTg(per Propoſit. xxx.) ſit ad angulum 33″. 10′. 33iv. ut ITXPGXAZad ATcub,erit angulus GPg(ſeu Inclinationis horaria Variatio) ad angulum 33″. 10′. 33iv, ut ITXAZXTG X(Pp/PG)ad ATcub. q.EI.

LIBER TERTIUS.

Hæc ita ſe habent ex Hypotheſi quod Luna in Orbe Circulari uniformiter gyratur. Quod ſi Orbis ille Ellipticus ſit, motus me­diocris Nodorum minuetur in ratione axis minoris ad axem majo­rem; uti ſupra expoſitum eſt. Et in eadem ratione minuetur etiam Inclinationis Variatio.

Corol.1. Si ad Nnerigatur perpendiculum TF,ſitque pMmotus horarius Lunæ in plano Eclipticæ; & perpendicula pK, Mkin QTdemiſſa & utrinque producta occurrant TFin H& h: erit ITad ATut Kkad Mp,& TGad Hput TZad AT;ideoque ITXTGæquale (KkXHpXTZ/Mp), hoc eſt, æquale areæ HpMhductæ in rationem (TZ/Mp): & propterea Inclinationis Varia­tio horaria ad 33″. 10′. 33iv, ut HpMhducta in AZX(TZ/Mp)X(Pp/PG)ad AT cub.

Corol.2. Ideoque ſi Terra & Nodi ſingulis horis completis re­traherentur à locis ſuis novis, & in loca priora in inſtanti ſemper reducerentur, ut ſitus eorum, per menſem integrum periodicum, datus maneret; tota Inclinationis Variatio tempore menſis illius foret ad 33″. 10′. 33iv, ut aggregatum omnium arearum Hp Mh,in revolutione puncti pgenitarum, & ſub ſignis propriis + & ­conjunctarum, ductum in AZXTZX(Pp/PG)ad MpXAT cub.id eſt, ut circulus totus QAqaductus in AZXTZX(Pp/PG)ad MpX ATcub.hoc eſt, ut circumferentia QAqaducta in AZXTZX(Pp/PG)ad 2 MpXAT quad.

Corol.3. Proinde in dato Nodorum ſitu, Variatio mediocris horaria, ex qua per menſem uniformiter continuata Variatio illa menſtrua generari poſſet, eſt ad 33″. 10′. 33iv, ut AZXTZ X(Pp/PG)ad 2 ATq,ſive ut PpX(AZXTZ/1/2AT)ad PGX4AT,id eſt (cum Ppſit ad PGut ſinus Inclinationis prædictæ ad ra­dium, & (AZXTZ/1/2AT) ſit ad 4ATut ſinus duplicati anguli ATnad radium quadruplicatum) ut Inclinationis ejuſdem ſinus ductus in ſinum duplicatæ diſtantiæ Nodorum a Sole, ad quadruplum quadratum radii.

DE MUNDI SYSTEMATE

Corol.4. Quoniam Inclinationis horaria Variatio, ubi Nodi in Quadraturis verſantur, eſt (per hanc Propoſitionem) ad angu­lum 33″. 10′. 33iv ut ITXAZXTGX(Pp/PG)ad ATcub.id eſt, ut (ITXTG/1/2AT)X(Pp/PG)ad 2AT; hoc eſt, ut ſinus duplicatæ di­ſtantiæ Lunæ à Quadraturis ductus in (Pp/PG) ad radium duplica­tum: ſumma omnium Variationum horariarum, quo tempore Luna in hoc ſitu Nodorum tranſit à Quadratura ad Syzygiam, (id eſt, ſpatio horarum 177 1/6,) erit ad ſummam totidem angulo­rum 33″. 10′. 33iv, ſeu 5878″, ut ſumma omnium ſinuum dupli­catæ diſtantiæ Lunæ à Quadraturis ducta in (Pp/PG) ad ſummam to­tidem diametrorum; hoc eſt, ut diameter ducta in (Pp/PG) ad cir­cumferentiam; id eſt, ſi Inclinatio ſit 5gr. 1′, ut 7X(874/10000) ad 22, ſeu 278 ad 10000. Proindeque Variatio tota, ex ſumma om­nium horariarum Variationum tempore prædicto conflata, eſt 163″, ſeu 2′. 43″.

PROPOSITIO XXXV. PROBLEMA XVI.

Dato tempore invenire Inclinationem Orbis Lunaris ad planum Eclipticæ.

Sit ADſinus Inclinationis maximæ, & ABſinus Inclinatio­nis minimæ. Biſecetur BDin C,& centro C,intervallo BC,deſcribatur Circulus BGD.In ACcapiatur CEin ea ratione ad EBquam EBhabet ad 2BA:Et ſi dato tempore conſti­tuatur angulus AEGæqualis duplicatæ diſtantiæ Nodorum à Quadraturis, & ad ADdemittatur perpendiculum GH: erit AHſinus Inclinationis quæſitæ.

LIBER TERTIUS.

Nam GEqæquale eſt GHq+HEq=BHD+HEq= HBD+HEq-BHq=HBD+BEq-2BHXBE= BEq+2ECXBH=2ECXAB+2ECXBH=2ECXAH.Ideoque cum 2ECdetur, eſt GEqut AH.Deſignet jam AEgduplicatam diſtantiam Nodorum à Quadraturis poſt datum ali­quod momentum temporis completum, & arcus Gg.,ob datum

angulum GEg,erit ut diſtantia GE.Eſt autem Hhad Ggut GHad GC,& propterea Hheſt ut contentum GHXGg,ſeu GHXGE; id eſt, ut (GH/GE)XGEqſeu (GH/GE)XAH,id eſt, ut AH& ſinus anguli AEGconjunctim. Igitur ſi AHin caſu aliquo ſit ſinus Inclinationis, augebitur ea iiſdem incremen­tis cum ſinu Inclinationis, per Corol. 3. Propoſitionis ſuperioris, & propterea ſinui illi æqualis ſemper manebit. Sed AHubi punctum Gincidit in punctum alterutrum Bvel Dhuic ſinui æqualis eſt, & propterea eidem ſemper æqualis manet. Q.E.D.

In hac demonſtratione ſuppoſui angulum BEG,qui eſt du­plicata diſtantia Nodorum à Quadraturis, uniformiter augeri. Nam omnes inæqualitatum minutias expendeve non vacat. Con­cipe jam angulum BEGrectum eſſe, & in hoc eaſe Ggeſſe augmentum horarium duplæ diſtantiæ Nodorum & Solis ab invi­cem; & Inclinationis Variatio horaria in eodem caſu (per Corol. 3. Prop. noviſſimæ) erit ad 33′. 10′. 33iv. ut contentum ſub In­clinationis ſinu AH& ſinu anguli recti BEG,qui eſt dupli­cata diſtantia Nodorum a Sole, ad quadruplum quadratum radii; id. eſt, ut mediocris Inclinationis ſinus AHad radium quadru­plicatum; hoc eſt (cum Inclinatio illa mediocris ſit quafi 5gr. 8′1/2) ut ejus ſinus 896 ad radium quadruplicatum 40000, ſive ut 224 ad 10000. Eſt autem Variatio tota, ſinuum differentiæ BDreſpondens, ad Variationem illam horariam ut diameter BDad arcum Gg; id eſt, ut diameter BDad ſemicircum ferentiam BGD& tempus horarum (2079 1/10), quo Nodus pergit à Quadra­turis ad Syzygias, ad horam unam conjunctim; hoc eſt, ut 7 ad 11 & (2079 7/10) ad 1. Quare ſi rationes omnes conjungantur, fiet Variatio tota BDad 33″. 10′. 33ix ut 224X7X2079 (7/10) ad 110000, id eſt, ut 29645 ad 1000, & inde Variatio illa BDprodibit 16′. 23″ 1/2.

DE MUNDI SYSTEMATE

Hæc eſt Inclinationis Variatio maxima quatenus locus Lunæ in Orbe ſuo non conſideratur. Nam Inclinatio, ſi Nodi in Syzygiis verſantur, nil mutatur ex vario ſitu Lunæ. At ſi Nodi in Qua­draturis conſiſtunt, Inclinatio minor eſt ubi Luna verſatur in Sy­zygiis, quam ubi ea verſatur in Quadraturis, exceſſu 2′. 43″; uti in Propoſitionis ſuperioris Corollario quarto indicavimus. Et hujus exceſſus dimidio 1′. 21″ 1/2. Variatio tota mediocris BDin Quadraturis Lunaribus diminuta fit 15′, 2″, in ipſius autem Syzy­giis aucta fit 17′. 45″. Si Luna igitur in Syzygiis conſtituatur, Variatio tota, in tranſitu Nodorum à Quadraturis ad Syzygias, erit 17′. 45″: adeoque ſi Inclinatio, ubi Nodi in Syzygiis verſan­tur, ſit 5gr. 17′. 20″; eadem, ubi Nodi ſunt in Quadraturis, & Luna in Syzygiis, erit 4gr. 59′. 35″. Atque hæc ita ſe habere confirmatur ex Obſervationibus.

Si jam deſideretur Orbis Inclinatio illa, ubi Luna in Syzygiis & Nodi ubivis verſantur; fiat ABad ADut ſinus graduum 4. 59′. 35″ ad ſinum graduum 5. 17′, 20″, & capiatur angulus AEGæqualis duplicatæ diſtantiæ Nodorum à Quadraturis; & erit AHſinus Inclinationis quæſitæ. Huic Orbis Inclinationi æqualis eſt ejuſdem Inclinatio, ubi Luna diſtat 90gr. à Nodis. In aliis Lunæ locis inæqualitas menſtrua, quam Inclinationis variatio admittit, in calculo Latitudinis Lunæ compenſatur & quodammodo tolli­tur per inæqualitatem menſtruam motus Nodorum, (ut ſupra dixi­mus) adeoQ.E.I. calculo Latitudinis illius negligi poteſt.

LIBER TERTIUS.

Scholium.

Hiſce motuum Lunarium computationibus oſtendere volui, quod motus Lunares, per Theoriam Gravitatis, a cauſis ſuis com­putari poſſint. Per eandem Theoriam inveni præterea quod Æ­quatio Annua medii motus Lunæ oriatur a varia dilatatione Or­bis Lunæ per vim Solis, juxta Corol. 6. Prop. LXVI. Lib. I. Hæc vis in Perigæo Solis major eſt, & Orbem Lunæ dilatat; in Apo­gæo ejus minor eſt, & Orbem illum contrahi permittit. In Orbe dilatato Luna tardius revolvitur, in contracto citius; & Æquatio Annua per quam hæc inæqualitas compenſatur, in Apogæo & Perigæo Solis nulla eſt, in mediocri Solis a Terra diſtantia ad 11′. 50″ circiter aſcendit, in aliis locis Æquationi centri Solis proportionalis eſt; & additur medio motui Lunæ ubi Terra per­git ab Aphelio ſuo ad Perihelium, & in oppoſita Orbis parte, ſub­ducitur. Aſſumendo radium Orbis magni 1000 & Eccentricita­tem Terræ 16 7/8, hæc Æquatio ubi maxima eſt, per Theoriam Gra­vitatis prodiit 11′. 49″. Sed Eccentricitas Terræ paulo major eſſe videtur, & aucta Eccentricitate hæc Æquatio augeri debet in ea­dem ratione. Sit Eccentricitas (16 11/16), & Æquatio maxima erit 11′. 52″.

Inveni etiam quod in Perihelio Terræ, propter majorem vim Solis, Apogæum & Nodi Lunæ velocius moventur quam in Aphe­lio ejus, idQ.E.I. triplicata ratione diſtantiæ Terræ a Sole inverſe, Et inde oriuntur Æquationes Annuæ horum motuum Æquationi centri Solis proportionales. Motus autem Solis eſt in duplicata ratione diſtantiæ Terræ a Sole inverſe, & maxima centri Æquatio quam hæc inæqualitas generat, eſt 1gr. 56′. 26″ prædictæ Solis Eccentricitati (16 15/16) congruens. Quod ſi motus Solis eſſet in tri­plicata ratione diſtantiæ inverſe, hæc inæqualitas generaret Æqua­tionem maximam 2gr. 56′. 9″. Et propterea Æquationes maxi­mæ quas inæqualitates motuum Apogæi & Nodorum Lunæ gene­rant, ſunt ad 2gr. 56′. 9″, ut motus medius diurnus Apogæi & motus medius diurnus Nodorum Lunæ ſunt ad motum medium diurnum Solis. Unde prodit Æquatio maxima medii motus Apogæi 19′. 52″: & Æquatio maxima medii motus Nodorum 9′. 27″. Additur vero Æquatio prior & ſubducitur poſterior, ubi Terra pergit a Perihelio ſuo ad Aphelium: & contrarium fit in oppoſita Orbis parte.

DE MUNDI SYSTEMATE

Per Theoriam Gravitatis conſtitit etiam quod actio Solis in Lunam paulo major ſit ubi tranſverſa diameter Orbis Lunaris tranſit per Solem, quam ubi eadem ad rectos eſt angulos cum linea Terram & Solem jungente: & propterea Orbis Lunaris paulo major eſt in priore caſu quam in poſteriore. Et hinc ori­tur alia Æquatio motus medii Lunaris, pendens a ſitu Apogæi Lunæ ad Solem, quæ quidem maxima eſt cum Apogæum Lunæ verſatur in Octante cum Sole; & nulla cum illud ad Quadraturas vel Syzygias pervenit: & motui medio additur in tranſitu Apo­gæi Lunæ a Solis Quadratura ad Syzygiam, & ſubducitur in tran­ſitu Apogæi a Syzygia ad Quadraturam. Hæc Æquatio quam Semeſtrem vocabo, in Octantibus Apogæi quando maxima eſt, aſcendit ad 3′. 45″ circiter, quantum ex Phænomenis colligere potui. Hæc eſt ejus quantitas in mediocri Solis diſtantia a Terra. Augetur vero ac diminuitur in triplicata ratione diſtantiæ Solis inverſe, adeoQ.E.I. maxima Solis diſtantia eſt 3′. 34″, & in mi­nima 3′. 56″ quamproxime: ubi vero Apogæum Lunæ ſitum eſt extra Octantes, evadit minor; eſtque ad Æquationem maximam, ut ſinus duplæ diſtantiæ Apogæi Lunæ a proxima Syzygia vel Quadratura ad radium.

Per eandem Gravitatis Theoriam actio Solis in Lunam paulo major eſt ubi linea recta per Nodos Lunæ ducta tranſit per So­lem, quam ubi linea ad rectos eſt angulos cum recta Solem ac Terram jungente. Et inde oritur alia medii motus Lunaris Æqua­tio, quam Semeſtrem ſecundam vocabo, quæque maxima eſt ubi Nodi in Solis Octantibus verſantur, & evaneſcit ubi ſunt in Syzy­giis vel Quadraturis, & in aliis Nodorum poſitionibus proportio­nalis eſt ſinui duplæ diſtantiæ Nodi alterutrius a proxima Syzygia aut Quadratura: additur vero medio motui Lunæ dum Nodi tranſeunt a Solis Quadraturis ad proximas Syzygias, & ſubduci­tur in eorum tranſitu a Syzygiis ad Quadraturas; & in Octanti­bus ubi maxima eſt, aſcendit ad 47″ in mediocri Solis diſtantia a Terra, uti ex Theoria Gravitatis colligo. In aliis Solis diſtantiis hæe Æquatio, in Octantibus Nodorum, eſt reciproce ut cubus di­ſtantiæ Solis a Terra, ideoQ.E.I. Perigæo Solis ad 45″ in Apo­gæo ejus ad 49″ circiter aſcendit.

Per eandem Gravitatis Theoriam Apogæum Lunæ progreditur quam maxime ubi vel cum Sole conjungitur vel eidem opponitur, & regreditur ubi cum Sole Quadraturam facit. Et Eccentricitas fit maxima in priore caſu & minima in poſteriore, per Corol. 7, 8 & 9. Prop. LXVI. Lib. I. Et hæ inæqualitates per eadem

Corollaria permagnæ ſunt, & Æquationem principalem Apogæi generant, quam Semeſtrem vocabo. Et Æquatio maxima Seme­ſtris eſt 12gr. 18′ circiter, quantum ex Obſervationibus colligere potui. Horroxiusnoſter Lunam in Ellipſi circum Terram, in ejus umbilico inferiore conſtitutam, revolvi primus ſtatuit. Halleiuscentrum Ellipſeos in Epicyclo locavit, cujus centrum uniformiter revolvitur circum Terram. Et ex motu in Epicyclo oriuntur in­æqualitates jam dictæ in progreſſu & regreſſu Apogæi & quanti­tate Eccentricitatis. Dividi intelligatur diſtantia mediocris Lunæ a Terra in partes 100000, & referat TTerram & TCEccentri­citatem mediocrem Lunæ partium 5505. Producatur TCad B,ut ſit CBſinus Æquationis maximæ Semeſtris 12gr. 18′ ad ra­dium TC,& circulus BDAcentro Cintervallo CBdeſcriptus, erit Epicyclus ille in quo centrum Orbis Lunaris locatur & ſe­cundum ordinem literarum BDArevolvitur. Capiatur angulus BCDæqualis duplo argumento annuo, ſeu duplæ diſtantiæ veri loci Solis ab Apogæo Lunæ ſemel æquato, & erit CTDÆquatio

Semeſtris Apogæi Lunæ & TDEccentricitas Orbis ejus in Apo­gæum ſecundo æquatum tendens. Habitis autem Lunæ motu medio & Apogæo & Eccentricitate, ut & Orbis axe majore par­tium 200000; ex his eruetur verus Lunæ locus in Orbe & di­ſtantia ejus a Terra, idque per Methodos notiſſimas.

LIBER TERTIUS.

In Perihelio Terræ, propter majorem vim Solis, centrum Or­bis Lunæ velocius movetur circum centrum Cquam in Aphelio, idQ.E.I. triplicata ratione diſtantiæ Terræ a Sole inverſe. Ob Æquationem centri Solis in Argumento annuo comprehenſam, cen­trum Orbis Lunæ velocius movetur in Epicyclo BDAin du­plicata ratione diſtantiæ Terræ a Sole inverſe. Ut idem adhuc velocius moveatur in ratione ſimplici diſtantiæ inverſe; ab Orbis centro Dagatur recta DEverſus Apogæum Lunæ, ſeu rectæ TCparallela, & capiatur angulus EDFæqualis exceſſui Argu-menti annui prædicti ſupra diſtantiam Apogæi Lunæ a Perigæo Solis in conſequentia; vel quod perinde eſt, capiatur angulus CDFæqualis complemento Anomaliæ veræ Solis ad gradus 360. Et ſit DFad DCut dupla Eccentricitas Orbis magni ad diſtan­tiam mediocrem Solis a Terra, & motus medius diurnus Solis ab Apogæo Lunæ ad motum medium diurnum Solis ab Apogæo proprio conjunctim, id eſt, ut 33 7/8 ad 1000 & 52′. 27″. 16′ ad 59′. 8″. 10′ conjunctim, ſive ut 3 ad 100. Et concipe centrum Orbis Lunæ locari in puncto F,& in Epicyclo cujus centrum eſt D& radius DFinterea revolvi dum punctum Dprogreditur in circumferentia circuli DABD.Hac enim ratione velocitas qua centrum Orbis Lunæ in linea quadam curva circum centrum Cdeſcripta movebitur, erit reciproce ut cubus diſtantiæ Solis a Terra quamproxime, ut oportet.

DE MUNDI SYSTEMATE

Computatio motus hujus difficilis eſt, ſed facilior reddetur per approximationem ſequentem. Si diſtantia mediocris Lunæ a Terra ſit partium 100000, & Eccentricitas TCſit partium 5505 ut ſu­pra: recta CBvel CDinvenietur partium 1172 1/4, & recta DF

partium 35 1/3. Et hæc recta ad diſtantiam TCſubtendit angulum ad Terram quem tranſlatio centri Orbis a loco Dad locum Fge­nerat in motu centri hujus: & eadem recta duplicata in ſitu paral­lelo ad diſtantiam ſuperioris umbilici Orbis Lunæ a Terra, ſubten­dit eundem angulum, quem utique tranſlatio illa generat in motu umbilici, & ad diſtantiam Lunæ a Terra ſubtendit angulum quem eadem tranſlatio generat in motu Lunæ, quique propterea Æqua­tio centri Secunda dici poteſt. Et hæc Æquatio in mediocri Lunæ diſtantia a Terra, eſt ut ſinus anguli quem recta illa DFcum recta a puncto Fad Lunam ducta continet quamproxime, & ubi ma­xima eſt evadit 2′. 25″. Angulus autem quem recta DF& recta a puncto Fad Lunam ducta comprehendunt, invenitur vel ſub­ducendo angulum EDFab Anomalia media Lunæ, vel addendo diſtantiam Lunæ a Sole ad diſtantiam Apogæi Lunæ ab Apogæo Solis. Et ut radius eſt ad ſinum anguli ſic inventi, ita 2′. 25″ ſunt ad Æquationem centri Secundam, addendam ſi ſumma illa ſit minor ſemicirculo, ſubducendam ſi major. Sic habebitur ejus Longitudo in ipſis Luminarium Syzygiis.

LIBER TERTIUS.

Si computatio accuratior deſideretur, corrigendus eſt locus Lunæ in Orbe ut ſupra inventus per Variationem duplicem. De Variatione Prima & principali diximus ſupra, hæc maxima eſt in Octantibus Lunæ. Variatio altera maxima eſt in Quadrantibus, & oritur a varia Solis actione in Orbem Lunæ pro varia poſitione Apogæi Lunæ ad Solem, computatur vero in hunc modum. Ut radius ad ſinum verſum diſtantiæ Apogæi Lunæ a Perigæo Solis in conſequentia, ita angulus quidam P ad quartum propor­tionalem. Et ut radius ad ſinum diſtantiæ Lunæ a Sole, ita ſum­ma hujus quarti proportionalis & anguli cujuſdam alterius Q ad Variationem Secundam, ſubducendam ſi Lunæ lumen augetur, ad­dendam ſi diminuitur. Sic habebitur locus verus Lunæ in Orbe, & per Reductionem loci hujus ad Eclipticam habebitur Longi­tudo Lunæ. Anguli vero P & Q ex Obſervationibus determi­nandi ſunt. Et interea ſi pro angulo P uſurpentur 2′, & pro angulo Q 1′, non multum errabitur.

Cum Atmoſphæra Terræ ad uſque altitudinem milliarium 35 vel 40 refringat lucem Solis, & refringendo ſpargat eandem in Umbram Terræ, & ſpargendo lucem in confinio Umbræ dilatat Umbram: ad diametrum Umbræ quæ per Parallaxim prodit, addo minutum unum primum in Eclipſibus Lunæ, vel minutum unum cum triente.

Theoria vero Lunæ primo in Syzygiis, deinde in Quadraturis, & ultimo in Octantibus per Phænomena examinari & ſtabiliri de­bet. Et opus hocce aggreſſurus motus medios Solis & Lunæ ad tempus meridianum in Obſervatorio Regio Grenovicenſi,die ul­timo menſis Decembrisanni 1700. ſt. vet. non incommode ſe­quentes adhibebit: nempe motum medium Solis 20gr. 43′. 40″, & Apogæi ejus 7gr. 44′. 30″, & motum medium Lunæ 15gr.20′. 00″, & Apogæi ejus 8gr. 20′. 00″, & Nodi aſcendentis 27gr. 24′. 20″; & differentiam meridianorum Obſervatorii hu­jus & Obſervatorii Regii Pariſienſis0hor. 9min. 20ſec..

DE MUNDI SYSTEMATE

PROPOSITIO XXXVI. PROBLEMA XVII.

Invenire vim Solis ad Mare movendum.

Solis vis MLſeu PT,in Quadraturis Lunaribus, ad pertur­bandos motus Lunares, erat (per Prop. XXV. hujus) ad vim gravitatis apud nos, ut 1 ad 638092, 6. Et vis TM-LMſeu 2PKin Syzygiis Lunaribus, eſt duplo major. Hæ autem vires, ſi deſcendatur ad ſuperficiem Terræ, diminuuntur in ratione di­ſtantiarum a centro Terræ, id eſt, in ratione 60 1/2 ad 1; adeo­que vis prior in ſuperficie Terræ, eſt ad vim gravitatis, ut 1 ad 38604600. Hac vi Mare deprimitur in locis quæ 90 gradibus diſtant

a Sole. Vi altera quæ duplo major eſt, Mare elevatur & ſub Sole & in regione Soli oppoſita. Summa virium eſt ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200. Et quoniam vis eadem eundem ciet motum, ſive ea deprimat Aquam in regionibus quæ 90 gradibus diſtant à Sole, ſive elevet eandem in regionibus ſub Sole & Soli oppoſitis, hæc ſumma erit tota Solis vis ad Mare agitandum; & eundem habebit effectum ac ſi tota in regionibus ſub Sole & Soli oppo­ſitis Mare elevaret, in regionibus autem quæ 90 gradibus diſtant a Sole nil ageret.

Hæc eſt vis Solis ad Mare ciendum in loco quo vis dato, ubi Sol tam in vertice loci verſatur quam in mediocri ſua diſtantia a Terra. In aliis Solis poſitionibus vis ad Mare accollendum, eſt ut ſinus verſus duplæ altitudinis Solis ſupra horizontem loci di­recte & cubus diſtantiæ Solis a Terra inverſe.

Corol.Cum vis centrifuga partium Terræ à diurno Terræ motu oriunda, quæ eſt ad vim gravitatis ut 1 ad 289, efficiat ut alti-tudo Aquæ ſub Æquatore ſuperet ejus altitudinem ſub Polis men­ſura pedum Pariſienſium 85820; vis Solaris de qua egimus, cum ſit ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200, atque adeo ad vim illam centrifugam ut 289 ad 12868200 ſeu 1 ad 44527, efficiet ut al­titudo Aquæ in regionibus ſub Sole & Soli oppoſitis, ſuperet alti­tudinem ejus in locis quæ 90 gradibus diſtant a Sole, menſura tantum pedis unius Pariſienſis & digitorum undecim cum octava parte digiti. Eſt enim hæc menſura ad menſuram pedum 85820 ut 1 ad 44527.

LIBER TERTIUS.

PROPOSITIO XXXVII. PROBLEMA XVIII.

Invenire vim Lunæ ad Mare movendum.

Vis Lunæ ad Mare movendum colligendà eſt ex ejus propor­tione ad vim Solis, & hæc proportio colligenda eſt ex propor­tione motuum Maris, qui ab his viribus oriuntur. Ante oſtium fluvii Avonæad lapidem tertium infra Briſtoliam,tempore verno & autumnali totus Aquæ aſcenſus in Conjunctione & Oppoſitione Luminarium (obſervante Samuele Sturmio) eſt pedum plus mi­nus 45, in Quadraturis autem eſt pedum tantum 25. Altitudo prior ex ſumma virium, poſterior ex earundem differentia oritur. Solis igitur & Lunæ in Æquatore verſantium & mediocriter a Terra diſtantium ſunto vires S & L, & erit L+S ad L-S ut 45 ad 25, ſeu 9 ad 5.

In portu PlymuthiÆſtus maris (ex obſervatione Samuelis Cole­preſſi) ad pedes plus minus ſexdecim altitudine mediocri attolli­tur, ac tempore verno & autumnali altitudo Æſtus in Syzygiis ſu­perare poteſt altitudinem ejus in Quadraturis, pedibus plus ſeptem vel octo. Si maxima harum altitudinum differentia ſit pedum no­vem, erit L+S ad L-S ut 20 1/2 ad 11 1/2 ſeu 41 ad 23. Quæ proportio ſatis congruit cum priore. Ob magnitudinem Æſtus in portu Biſtoliæ,obſervationibus Sturmiimagis fidendum eſſe vi­detur, ideoQ.E.D.nec aliquid certius conſtiterit, proportionem 9 ad 5 uſurpabimus.

Cæterum ob aquarum reciprocos motus, Æſtus maximi non in­cidunt in ipſas Luminarium Syzygias, ſed ſunt tertii a Syzygiis ut dictum fuit, ſeu proxime ſequuntur tertium Lunæ poſt Syzy­gias appulſum ad meridianum loci, vel potius (ut a Sturmiono­tatur) ſunt tertii poſt diem novilunii vel plenilunii, ſeu poſt ho-ram a novilunio vel plenilunio plus minus duodecimam, adeoque incidunt in horam a novilunio vel plenilunio plus minus quadra­geſimam tertiam. Incidunt vero in hoc portu in horam ſepti­mam circiter ab appulſu Lunæ ad meridianum loci; ideoque pro­xime ſequuntur appulſum Lunæ ad meridianum, ubi Luna diſtat a Sole vel ab oppoſitione Solis gradibus plus minus octodecim vel novendecim in conſequentia. Æſtas & Hyems maxime vigent, non in ipſis Solſtitiis, ſed ubi Sol diſtat a Solſtitiis decima circi­ter parte totius circuitus, ſeu gradibus plus minus 36 vel 37. Et ſimiliter maximus Æſtus maris oritur ab appulſu Lunæ ad meri­dianum loci, ubi Luna diſtat a Sole decima circiter parte motus totius ab Æſtu ad Æſtum. Sit diſtantia illa graduum plus mi­nus 18 1/2. Et vis Solis in hac diſtantia Lunæ a Syzygiis & Qua­draturis, minor erit ad augendum & ad minuendum motum ma­ris a vi Lunæ oriundum, quam in ipſis Syzygiis & Quadraturis, in ratione radii ad ſinum complementi diſtantiæ hujus duplicatæ ſeu anguli graduum 37, hoc eſt, in ratione 10000000 ad 7986355. IdeoQ.E.I. analogia ſuperiore pro S ſcribi debet 0, 7986355 S.

DE MUNDI SYSTEMATE

Sed & vis Lunæ in Quadraturis, ob declinationem Lunæ ab Æquatore, diminui debet. Nam Luna in Quadraturis, vel potius in gradu 18 1/2 poſt Quadraturas, in declinatione graduum plus minus 22. 13′ verſatur. Et Luminaris ab Æquatore declinantis vis ad Mare movendum diminuitur in duplicata ratione ſinus complementi declinationis quamproxime. Et propterea vis Lunæ in his Quadraturis eſt tantum 0,8570327 L. Eſt igitur L+0,7986355 S ad 0,8570327 L-0,7986355 S ut 9 ad 5.

Præterea diametri Orbis in quo Luna abſque Eccentricitate mo­veri deberet, ſunt ad invicem ut 69 ad 70; ideoQ.E.D.ſtantia Lunæ a Terra in Syzygiis eſt ad diſtantiam ejus in Quadraturis, ut 69 ad 70, cæteris paribus. Et diſtantiæ ejus in gradu 18 1/2 a Syzygiis ubi Æſtus maximus generatur, & in gradu 18 1/2 a Qua­draturis ubi Æſtus minimus generatur, ſunt ad mediocrem ejus diſtantiam, ut 69,098747 & 69,897345 ad 69 1/2. Vires autem Lu­næ ad Mare movendum ſunt in triplicata ratione diſtantiarum in­verſe, ideoque vires in maxima & minima harum diſtantiarum ſunt ad vim in mediocri diſtantia, ut 0,9830427 & 1,017522 ad 1. Unde fit 1,017522 L+0,7986355 S ad 0,9830427X0,8570327 L-0,7986355 S ut 9 ad 5. Et S ad L ut 1 ad 4,4815. Itaque cum vis Solis fit ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200, vis Lunæ erit ad vim gravi­tatis ut 1 ad 2871400.

Corol.1. Cum Aqua vi Solis agitata aſcendat ad altitudinem pedis unius & undecim digitorum cum octava parte digiti, eadem vi Lunæ aſcendet ad altitudinem octo pedum & digitorum octo, & vi utraque ad altitudinem pedum decem cum ſemiſſe, & ubi Luna eſt in Perigæo ad altitudinem pedum duodecim cum ſemiſſe & ultra, præſertim ubi Æſtus ventis ſpirantibus adjuvatur. Tanta autem vis ad omnes Maris motus excitandos abunde ſufficit, & quantitati motuum probe reſpondet. Nam in maribus quæ ab Oriente in Occidentem late patent, uti in Mari Pacifico,& Maris Atlantici& Æthiopicipartibus extra Tropicos, aqua attolli ſo­let ad altitudinem pedum ſex, novem, duodecim vel quindecim. In Mari autem Pacifico,quod profundius eſt & latius patet, Æſtus dicuntur eſſe majores quam in Atlantico& Æthiopico.Etenim ut plenus ſit Æſtus, latitudo Maris ab Oriente in Occidentem non minor eſſe debet quàm graduum nonaginta. In Mari Æthiopico,aſcenſus aquæ intra Tropicos minor eſt quam in Zonis tempera­tis, propter anguſtiam Maris inter Africam& Auſtralem partem Americæ.In medio Mari aqua nequit aſcendere, niſi ad littus utrumque & orientale & occidentale ſimul deſcendat: cum tamen vicibus alternis ad littora illa in Maribus noſtris anguſtis deſcen­dere debeat. Ea de cauſa fluxus & refluxus in Inſulis, quæ à littoribus longiſſime abſunt, perexiguus eſſet ſolet. In Portubus quibuſdam, ubi aqua cum impetu magno per loca vadoſa, ad Sinus alternis vicibus implendos & evacuandos, influere & effluere cogitur, fluxus & refluxus debent eſſe ſolito majores, uti ad Plymuthum& pontem Chepſtowæin Anglia; ad montes S. Mi­chaelis& urbem Abrincatuorum(vulgo Auranches) in Normania; ad Cambaiam& Peguin Indiaorientali. His in locis mare, magna cum velocitate accedendo & recedendo, littora nunc in­undat nunc arida relinquit ad multa milliaria. NeQ.E.I.petus influendi & remeandi prius frangi poteſt, quam aqua attollitur vel deprimitur ad pedes 30, 40, vel 50 & amplius. Et par eſt ratio fretorum oblongorum & vadoſorum, uti Magellanici& ejus quo Angliacircundatur. Æſtus in hujuſmodi portubus & fretis, per impetum curſus & recurſus ſupra modum augetur. Ad littora vero quæ deſcenſu præcipiti ad mare profundum & apertum ſpectant, ubi aqua ſine impetu effluendi & remeandi attolli & ſubſidere poteſt, magnitudo Æſtus reſpondet viribus Solis & Lunæ.

LIBER TERTIUS.

DE MUNDI SYSTEMATE

Corol.2. Cum vis Lunæ ad Mare movendum, ſit ad vim gravi­tatis ut 1 ad 2871400, perſpicuum eſt quod vis illa ſit longe minor quam quæ vel in experimentis Pendulorum, vel in Staticis aut Hydroſtaticis quibuſcunque ſentiri poſſit. In Æſtu ſolo ma­rino hæc vis ſenſibilem edit effectum.

Corol.3. Quoniam vis Lunæ ad Mare movendum, eſt ad Solis vim conſimilem ut 4,4815 ad 1, & vires illæ (per Corol. 14. Prop. LXVI. Lib. I.) ſunt ut denſitates corporum Lunæ & Solis & cubi diametrorum apparentium conjunctim; denſitas Lunæ erit ad denſitatem Solis, ut 4,4815 ad 1 directe & cubus diametri Lunæ ad cubum diametri Solis inverſe: id eſt (cum diametri me­diocres apparentes Lunæ & Solis ſint 31′. 16 1/2″ & 32′. 12″) ut 4891 ad 1000. Denſitas autem Solis erat ad denſitatem Terræ, ut 100 ad 396; & propterea denſitas Lunæ eſt ad denſitatem Terræ, ut 4891 ad 3960 ſeu 21 ad 17. Eſt igitur corpus Lunæ denſius & magis terreſtre quam Terra noſtra.

Corol.4. Et cum vera diameter Lunæ (ex Obſervationibus Aſtronomicis) ſit ad veram diametrum Terræ, ut 100 ad 365; erit maſla Lunæ ad maſſam Terræ, ut 1 ad 39,371.

Corol.5. Et gravitas acceleratrix in ſuperficie Lunæ, erit quaſi triplo minor quam gravitas acceleratrix in ſuperficie Terræ.

Corol.6. Et diſtantia centri Lunæ a centro Terræ, erit ad di­ſtantiam centri Lunæ a communi gravitatis centro Terræ & Lunæ, ut 40,371 ad 39,371.

Corol.7. Et mediocris diſtantia centri Lunæ a centro Terræ, erit ſemidiametrorum maximarum Terræ 60 1/4 quamproxime. Nam ſemidiameter maxima Terræ fuit pedum Pariſienſium 19767630, & mediocris diſtantia centrorum Terræ & Lunæ ex hujuſmodi ſemidiametris 60 1/4 conſtans, æqualis eſt pedibus 1190999707. Et hæc diſtantia (per Corollarium ſuperius) eſt ad diſtantiam centri Lunæ a communi gravitatis centro Terræ & Lunæ, ut 40,371 ad 39,371, quæ proinde eſt pedum 1161498340. Et cum Luna re­volvatur reſpectu Fixarum, diebus 27, horis 7 & minutis primis 43 1/5; ſinus verſus anguli quem Luna, tempore minuti unius primi motu ſuo medio, circa commune gravitatis centrum Terræ & Lunæ de­ſcribit, eſt 1275235, exiſtente radio 100,000000,000000, Et ut radius eſt ad hunc ſinum verſum, ita ſunt pedes 1161498340 ad pedes 14,811833. Luna igitur vi illa qua retinetur in Orbe, ca­dendo in Terram, tempore minuti unius primi deſcribet pedes 14,811833. Et ſi hæc vis augeatur in ratione (177 29/40) ad (178 29/40), ha-bebitur vis tota gravitatis in Orbe Lunæ, per Corol. Prop. III.

Et hac vi Luna cadendo, tempore minuti unius primi deſcribere deberet pedes 14,89517. Et ad ſexageſimam partem hujus di­ſtantiæ, id eſt, ad diſtantiam pedum 19849995 a centro Terræ, corpus grave cadendo, tempore minuti unius ſecundi deſcribere deberet etiam pedes 14,89517. Diminuatur hæc diſtantia in ſub­duplicata ratione pedum 14,89517 ad pedes 15,12028, & habebitur diſtantia pedum 19701678 a qua grave cadendo, eodem tempore minuti unius ſecundi deſcribet pedes 15,12028, id eſt, pedes 15, dig 1, lin. 5,32. Et hac vi gravia cadunt in ſuperficie Terræ, in Latitudine urbis Lutetiæ Pariſiorum,ut ſupra oſtenſum eſt. Eſt autem diſtantia pedum 19701678 paulo minor quam ſemidiame­ter globi huic Terræ æqualis, & paulo major quam Terræ hujus ſemidiameter mediocris, ut oportet. Sed differentiæ ſunt inſenſi­biles. Et propterea vis qua Luna retinetur in Orbe ſuo, ad di­ſtantiam maximarum Terræ ſemidiametrorum 60 1/4, ea eſt quam vis Gravitatis in ſuperficie Terræ requirit.

LIBER TERTIUS.

Corol.8. Diſtantia mediocris centrorum Terræ & Lunæ, eſt me­diocrium Terræ ſemidiametrorum 60 1/2 quamproxime. Nam ſe­midiameter mediocris, quæ erat pedum 19688725, eſt ad ſemi­diametrum maximam pedum 19767630, ut 60 1/4 ad 60 1/2 quam­proxime.

In his computationibus Attractionem magneticam Terræ non conſideravimus, cujus utique quantitas perparva eſt & ignotatur. Siquando vero hæc Attractio inveſtigari poterit, & menſuræ gra­duum in Meridiano, ac longitudines Pendulorum iſochronorum in diverſis parallelis, legeſque motuum Maris, & parallaxis Lunæ cum diametris apparentibus Solis & Lunæ ex Phænomenis accu­ratius determinatæ fuerint: licebit calculum hunc omnem accura­tius repetere.

PROPOSITIO XXXVIII. PROBLEMA XIX.

Invenire Figuram corporis Lunæ.

Si corpus Lunare fluidum eſſet ad inſtar Maris noſtri, vis Terræ ad fluidum illud in partibus & citimis & ultimis elevandum, eſſet ad vim Lunæ, qua Mare noſtrum in partibus & ſub Luna & Lunæ oppoſitis attollitur, ut gravitas acceleratrix Lunæ in Terram ad gravitatem acceleratricem Terræ in Lunam & diameter Lunæ ad diametrum Terræ conjunctim; id eſt, ut 39,371 ad 1 & 100 ad 365 conjunctim, ſeu 1079 ad 100. Unde cum Mare noſtrum vi Lunæ attollatur ad pedes 8 2/3, fluidum Lunare vi Terræ attolli de­beret ad pedes 93 1/2. EaQ.E.D. cauſa Figura Lunæ Sphærois eſſet, cujus maxima diameter producta tranſiret per centrum Terræ, & ſuperaret diametros perpendiculares exceſſu pedum 187. Talem igitur Figuram Luna affectat, eamque ſub initio induere debuit. que E. I.

DE MUNDI SYSTEMATE

Corol.Inde vero fit ut eadem ſemper Lunæ facies in Terram obvertatur. In alio enim ſitu corpus Lunare quieſcere non po­teſt, ſed ad hunc ſitum oſcillando ſemper redibit. Attamen oſcil­lationes, ob parvitatem virium agitantium, eſſent longè tardiſſimæ: adeo ut facies illa, quæ Terram ſemper reſpicere deberet, poſſit alterum orbis Lunaris umbilicum, ob rationem in Prop. XVII. alla­tam reſpicere, neque ſtatim abinde retrahi & in Terram converti.

LEMMA I.

SiAPEp Terram deſignet uniformiter denſam, centroque C & PolisP, p & ÆquatoreAE delineatam; & ſi centroC radioCP deſcribi intelligatur SphæraPape; ſit autemQR pla­num, cui recta a centro Solis ad centrum Terræ ducta normaliter inſiſtit; & Terræ totius exteriorisPapAPepE, quæ Sphæra modo deſcripta altior eſt, particulæ ſingulæ conentur recedere hinc inde a planoQR, ſitque conatus particulæ cujuſque ut ejuſdem diſtantia a plano: Dico primo, quod tota particularum omnium, in Æquatoris circuloAE, extra globum uniformiter per totum cir­cuitum in morem annuli diſpoſitarum, vis & efficacia ad Terram circum centrum ejus rotandam, ſit ad totam particularum totidem in Æquatoris punctoA, quod a planoQR maxime diſtat, con­ſiſtentium vim & efficaciam, ad Terram conſimili motu circulari circum centrum ejus movendam, ut unum ad duo. Et motus iſte circularis circum axem, in communi ſectione Æquatoris & planiQR jacentem, peragetur.

Nam centro Cdiametro BDdeſcribatur ſemicirculus BAFDC.Dividi intelligatur ſemicircum ferentia BADin partes innumeras æquales, & a partibus ſingulis Fad diame­trum BDdemittantur ſinus FY.Et ſumma quadratorum ex ſinibus omnibus FYæqualis erit ſummæ quadratorum ex ſinibus omnibus CY,& ſumma utraque æqualis erit ſummæ quadrato­rum ex totidem ſemidiametris CF; adeoque ſumma quadrato­rum ex omnibus FY,erit duplo minor quam ſumma quadrato­rum ex totidem ſemidiametris CF.

LIBER TERTIUS.

Jam dividatur perimeter circuli AEin particulas totidem æ­quales, & ab earum unaquaque Fad planum QRdemittatur perpendiculum FG,ut & a puncto Aperpendiculum AH.Et vis qua particula Frecedit a plano QR,erit ut perpendiculum illud FGper hypotheſin, & hæc vis ducta in diſtantiam CG,erit efficacia particulæ Fad Terram circum centrum ejus con­vertendam. Adeoque efficacia particulæ in loco F,erit ad effi­caciam particulæ in loco A,ut FGXGCad AHXHC,hoc eſt, ut FCqad ACq; & propterea efficacia tota particularum omnium in locis ſuis F,erit ad efficaciam particularum totidem in loco A,ut ſumma omnium FCqad ſummam totidem ACq,hoc eſt, (per jam demonſtrata) ut unum ad duo. Q.E.D.

Et quoniam particulæ agunt recedendo perpendiculariter a plano QR,idque æqualiter ab utraque parte hujus plani: eædem convertent circumferentiam circuli Æquatoris, eiQ.E.I.hærentem Terram, circum axem tam in plano illo QRquam in plano Æqua­toris jacentem.

DE MUNDI SYSTEMATE

LEMMA II.

Iiſdem poſitis: Dico ſecundo quod vis & efficacia tota parti­cularum omnium extra globum undique ſitarum, ad Terram cir­cum axem eundem rotandam, ſit ad vim totam particularum toti­dem, in Æquatoris circuloAE, uniformiter per totum circuitum in morem annuli diſpoſitarum, ad Terram conſimili motu circulari movendam, ut duo ad quinque.

Sit enim IKcirculus quilibet minor Æquatori AEparallelus, ſintque L, lparticulæ duæ quævis æquales in hoc circulo extra globum Papeſitæ. Et ſi in planum QR,quod radio in Solem ducto perpendiculare eſt, demittantur perpendicula LM, lm:vires totæ quibus particulæ illæ fugiunt planum QR,proporti­onales erunt perpendiculis illis LM, lm.Sit autem recta Llplano Papeparallela & biſecetur eadem in X,& per pun­ctum Xagatur Nn,quæ parallela ſit plano QR& perpendi­

culis LM, lmoccurrat in Nac n,& in planum QRdemit­tatur perpendiculum XT.Et particularum L& lvires con­trariæ, ad Terram in contrarias partes rotandam, ſunt ut LMXMC& lmXmC,hoc eſt, ut LNXMC+NMXMC& lnXmC-nmXmC,ſeu LNXMC+NMXMC& LNXmC-NMXmC: & harum differentia LNXMm-NMX—MC+mC,eſt vis particularum ambarum ſimul ſumptarum ad Terram rotandam. Hujus differentiæ pars affirmativa LNXMmſeu 2LNXNX,eſt ad particularum duarum ejuſdem magnitudi­nis in Aconſiſtentium vim 2AHXHC,ut LXqad ACqueEt pars negativa NMX—MC+mCſeu 2XYXCY,ad parti­cularum earundem in Aconſiſtentium vim 2AHXHC,ut CXqad ACqueAc proinde partium differentia, id eſt, par­ticularum duarum L& lſimul ſumptarum vis ad Terram rotan­dam, eſt ad vim particularum duarum iiſdem æqualium & in loco Aconſiſtentium, ad Terram itidem rotandam, ut LXq-CXqad ACqueSed ſi circuli IKcircumferentia IKdividatur in par­ticulas innumeras æquales L,erunt omnes LXqad totidem IXqut 1 ad 2, (per Lem. I.) atque ad totidem ACq,ut IXqad 2ACq; & totidem CXqad totidem ACqut 2CXqad 2ACqueQuare vires conjunctæ particularum omnium in circuitu circuli IK,ſunt ad vires conjunctas particularum totidem in loco A,ut IXq-2CXqad 2ACq: & propterea (per Lem. I.) ad vires conjunctas particularum totidem in circuitu circuli AE,ut IXq-2CXqad ACque

LIBER TERTIUS.

Jam vero ſi Sphæræ diameter Ppdividatur in partes innume­ras æquales, quibus inſiſtant circuli totidem IK; materia in peri­metro circuli cujuſque IKerit ut IXq: ideoque vis materiæ illius ad Terram rotandam, erit ut IXqin IXq-2CXqueEt vis materiæ ejuſdem, ſi in circuli AEperimetro conſiſteret, eſſet ut IXqin ACqueEt propterea vis particularum omnium ma­teriæ totius, extra globum in perimetris circulorum omnium con­ſiſtentis, eſt ad vim particularum totidem in perimetro circuli maximi AEconſiſtentis, ut omnia IXqin IXq-2CXqad totidem IXqin ACq,hoc eſt, ut omnia ACq-CXqin ACq-3CXqad totidem ACq-CXqin ACq,id eſt, ut omnia ACqq-4ACqXCXq+3CXqqad totidem ACqq -ACqXCXq,hoc eſt, ut tota quantitas fluens cujus fluxio eſt ACqq-4ACqXCXq+3CXqq,ad totam quantitatem flu­entem cujus fluxio eſt ACqq-ACqXCXq; ac proinde per Me­thodum Fluxionum, ut ACqqXCX-4/3ACqxCXcub+3/5CXqcad ACqqXCX-1/3ACqXCXcub,id eſt, ſi pro CXſcribatur tota Cpvel AC,ut (4/15)ACqcad 2/3ACqc,hoc eſt, ut duo ad quinque. que E. D.

DE MUNDI SYSTEMATE

LEMMA III.

Iiſdem poſitis: Dico tertio quod motus Terræ totius circum axem jam ante deſcriptum, ex motibus particularum omnium compoſi­tus, erit ad motum annuli prædicti circum axem eundem, in ra­tione quæ componitur ex ratione materiæ in Terra ad materiam in annulo, & ratione trium quadratorum ex arcu quadrantali circuli cujuſcunque ad duo quadrata ex diametro; id eſt, in ra­tione materiæ ad materiam & numeri925275 ad numerum1000000.

Eſt enim motus Cylindri circum axem ſuum immotum revol­ventis, ad motum Sphæræ inſcriptæ & ſimul revolventis, ut quæ­libet quatuor æqualia quadrata ad tres ex circulis ſibi inſcriptis: & motus Cylindri ad motum annuli tenuiſſimi, Sphæram & Cy­lindrum ad communem eorum contactum ambientis, ut duplum materiæ in Cylindro ad triplum materiæ in annulo; & annuli motus iſte circum axem Cylindri uniformiter continuatus, ad ejuſdem motum uniformem circum diametrum propriam, eodem tempore periodico factum, ut circumferentia circuli ad duplum diametri.

HYPOTHESIS II.

Si annulus prædictus Terra omni reliqua ſublata, ſolus in Orbe Terræ, motu annuo circa Solem ferretur, & interea circa axem ſuum, ad planum Eclipticæ in angulo graduum23 1/2 inclinatum, motu diurno revolveretur: idem foret motus Punctorum Æqui­noctialium ſive annulus iſte fluidus eſſet, ſive is ex materia rigida & firma conſtaret.

PROPOSITIO XXXIX. PROBLEMA XX.

LIBER TERTIUS.

Invenire Præceſſionem Æquinoctiorum.

Motus mediocris horarius Nodorum Lunæ in Orbe circulari, ubi Nodi ſunt in Quadraturis, erat 16″. 35′. 16iv. 36v. & hujus dimidium 8′. 17′. 38iv. 18v. (ob rationes ſupra explicatas) eſt mo­tus medius horarius Nodorum in tali Orbe; fitque anno toto ſidereo 20gr. 11′. 46″. Quoniam igitur Nodi Lunæ in tali Orbe conficerent annuatim 20gr. 11′. 46″. in antecedentia; & ſi plures eſſent Lunæ motus Nodorum cujuſque, per Corol. 16. Prop. LXVI. Lib. I. forent ut tempora periodica; ſi Luna ſpatio diei ſiderei juxta ſuperficiem Terræ revolveretur, motus annuus Nodorum foret ad 20gr. 11′. 46″. ut dies ſidereus horarum 23. 56′. ad tempus periodicum Lunæ dierum 27. 7 hor. 43′; id eſt, ut 1436 ad 39343. Et par eſt ratio Nodorum annuli Lunarum Terram ambientis; ſive Lunæ illæ ſe mutuo non contingant, ſive liqueſcant & in annulum continuum formentur, ſive denique an­nulus ille rigeſcat & inflexibilis reddatur.

Fingamus igitur quod annulus iſte, quoad quantitatem materiæ, æqualis ſit Terræ omni PapAPepEquæ globo Papeſuperior eſt; (Vid. Fig. pag.434.) & quoniam globus iſte eſt ad Terram illam ſuperiorem ut aCqu.ad ACqu.-aCqu.id eſt (cum Terræ diameter minor PCvel aCſit ad diametrum majorem ACut 229 ad 230,) ut 52441 ad 459; ſi annulus iſte Terram ſecundum Æquatorem cingeret & uterque ſimul circa diametrum annuli revolveretur, motus annuli eſſet ad motum globi interioris (per hujus Lem. III.) ut 459 ad 52441 & 1000000 ad 925275 conjunctim, hoc eſt, ut 4590 ad 485223; ideoque motus annuli eſſet ad ſummam mo­tuum annuli ac globi, ut 4590 ad 489813. Unde ſi annulus glo­bo adhæreat, & motum ſuum quo ipſius Nodi ſeu puncta Æqui­noctialia regrediuntur, cum globo communicet: motus qui reſta­bit in annulo erit ad ipſius motum priorem, ut 4590 ad 489813; & propterea motus punctorum Æquinoctialium diminuetur in eadem ratione. Erit igitur motus annuus punctorum Æqui­noctialium corporis ex annulo & globo compoſiti, ad motum 20gr. 11′. 46″, ut 1436 ad 39343 & 4590 ad 489813 conjun­ctim, id eſt, ut 100 ad 292369. Vires autem quibus Nodi Lu­narum (ut ſupra explicui) atque adeo quibus puncta Æquinoctia­lia annuli regrediuntur (id eſt vires 3IT, in Fig. pag.403 & 404.) ſunt in ſingulis particulis ut diſtantiæ particularum à plano QR,& his viribus particulæ illæ planum fugiunt; & propterea (per Lem. II.) ſi materia annuli per totam globi ſuperficiem, in mo­rem figuræ PapAPepE,ad ſuperiorem illam Terræ partem conſtituendam ſpargeretur, vis & efficacia tota particularum om­nium ad Terram circa quamvis Æquatoris diametrum rotandam, atque adeo ad movenda puncta Æquinoctialia, evaderet minor quam prius in ratione 2 ad 5. Ideoque annuus Æquinoctiorum regreſſus jam eſſet ad 20gr. 11′. 46″, ut 10 ad 73092: ac proinde fieret 9″. 56′. 50iv.

DE MUNDI SYSTEMATE

Cæterum hic motus, ob inclinationem plani Æquatoris ad pla­num Eclipticæ, minuendus eſt, idQ.E.I. ratione ſinus 91706 (qui ſinus eſt complementi graduum 23 1/2) ad Radium 100000. Qua ratione motus iſte jam fiet 9″. 7′. 20iv. Hæc eſt annua Præceſſio Æquinoctiorum a vi Solis oriunda.

Vis autem Lunæ ad Mare movendum erat ad vim Solis, ut 4,4815 ad 1 circiter. Et vis Lunæ ad Æquinoctia movenda, eſt ad vim Soiis in eadem proportione. Indeque prodit annua Æ­quinoctiorum Præceſſio a vi Lunæ oriunda 40″. 52′. 52iv; ac tota Præceſſio annua a vi utraque oriunda 50″. 00′. 12iv. Et hic mo­tus cum Phænomenis congruit. Nam Præceſſio Æquinoctiorum ex Obſervationibus Aſtronomicis eſt minutorum ſecundorum plus minus quinquaginta.

Si altitudo Terræ ad Æquatorem ſuperet altitudinem ejus ad Polos, milliaribus pluribus quam 17 1/6, materia ejus rarior erit ad circumferentiam quam ad centrum: & Præceſſio Æquinoctiorum ob altitudinem illam augeri, ob raritatem diminui debet.

Deſcripſimus jam Syſtema Solis, Terræ, Lunæ, & Planetarum: ſupereſt ut de Cometis nonnulla adjiciantur.

LEMMA IV.

LIBER TERTIUS.

Cometas eſſe Luna ſuperiores & in regione Planetarum verſari.

Ut defectus Parallaxeos diurnæ extulit Cometas ſupra regiones ſublunares, ſic ex Parallaxi annua convincitur eorum deſcenſus in regiones Planetarum. Nam Cometæ qui progrediuntur ſecun­dum ordinem ſignorum ſunt omnes, ſub exitu apparitionis, aut ſolito tardiores aut retrogradi, ſi Terra eſt inter ipſos & Solem; at juſto celeriores ſi Terra vergit ad oppoſitionem. Et e contra, qui pergunt contra ordinem ſignorum ſunt juſto celeriores in fine apparitionis, ſi Terra verſatur inter ipſos & Solem; & juſto tar­diores vel retrogradi ſi Terra ſita eſt ad contrarias partes. Con­tingit hoc maxime ex motu Terræ in vario ipſius ſitu, perinde ut fit in Planetis, qui, pro motu Terræ vel conſpirante vel contra­rio, nunc retrogradi ſunt, nunc tardius progredi videntur, nunc vero celerius. Si Terra pergit ad eandem partem cum Cometa, & motu angulari circa Solem tanto celerius fertur, ut recta per Terram & Cometam perpetuo ducta convergat ad partes ultra Cometam, Cometa e Terra ſpectatus, ob motum ſuum tardiorem, apparet eſſe retrogradus; ſin Terra tardius fertur, motus Cometæ,

(detracto motu Terræ) fit ſaltem tardior. At ſi Terra pergit in contrarias partes, Cometa exinde velocior apparet. Ex accele­ratione autem vel retardatione vel motu retrogrado diſtantia Co­metæ in hunc modum colligitur. Sunto r QA, r QB, r QCobſervatæ tres longitudines Cometæ, ſub initio motus, ſitque r QFlongitudo ultimo obſervata, ubi Cometa videri deſinit. Agatur recta ABC,cujus partes AB, BCrectis QA& QB, QB& QCinterjectæ, ſint ad invicem ut tempora inter obſer­vationes tres primas. Producatur ACad G,ut ſit AGad ABut tempus inter obſervationem primam & ultimam, ad tempus inter obſervationem primam & ſecundam, & jungatur QG.Et ſi Cometa moveretur uniformiter in linea recta, atque Terra vel quieſceret, vel etiam in linea recta, uniformi cum motu, progre­deretur; foret angulus r QGlongitudo Cometæ tempore Ob­ſervationis ultimæ. Angulus igitur FQG,qui longitudinum dif­ferentia eſt, oritur ab inæqualitate motuum Cometæ ac Terræ. Hic autem angulus, ſi Terra & Cometa in contrarias partes mo­ventur, additur angulo rQG,& ſic motum apparentem Co­metæ velociorem reddit: Sin Cometa pergit in eaſdem partes cum Terra, eidem ſubducitur, motumque Cometæ vel tardiorem reddit, vel forte retrogradum; uti modo expoſui. Oritur igitur hic angulus præcipue ex motu Terræ, & idcirco pro parallaxi Co­metæ merito habendus eſt, neglecto videlicet ejus incremento vel decremento nonnullo, quod a Cometæ motu inæquabili in Orbe proprio oriri poſſit. Diſtantia vero Cometæ ex hac parallaxi ſic colligitur. Deſignet SSolem, acTOrbem magnum, alocum Terræ in obſervatione prima, clocum
Terræ in obſervatione tertia, Tlocum Terræ in obſervatione ultima, & Trli­neam rectam verſus principium Arietis ductam. Sumatur angulus rTVæqua­lis angulo rQF,hoc eſt, æqualis lon­gitudini Cometæ ubi Terra verſatur in T.Jungatur ac,& producatur ea ad g,ut ſit agad acut AGad AC,& erit glocus quem Terra tempore obſer­vationis ultimæ, motu in recta acuNI­formiter continuato, attingeret. Ideo­que ſi ducatur g ripſi Trparallela, & capiatur angulus rgVangulo rQGæqualis, erit hic angulus rgVæqualis longitudini Cometæ e loco gſpectati; & angulus TVgparallaxis erit, quæ oritur a tranſlatione Terræ de loco gin locum T: ac proinde Vlocus erit Cometæ in plano Eclipticæ. Hic autem locus VOrbe Jovis inferior eſſe ſolet.

DE MUNDI SYSTEMATE

Idem colligitur ex curvatura viæ Cometarum. Pergunt hæc corpora propemodum in circulis maximis quamdiu moventur cele­rius; at in fine curſus, ubi motus apparentis pars illa quæ à pa­rallaxi oritur, majorem habet proportionem ad motum totum ap­parentem, deflectere ſolent ab his circulis, & quoties Terra mo­vetur in unam partem, abire in partem contrariam. Oritur hæc deflexio maxime ex Parallaxi, propterea quod reſpondet motui Terræ; & inſignis ejus quantitas, meo computo, collocavit diſpa­rentes Cometas ſatis longe infra Jovem. Unde conſequens eſt quod in Perigæis & Periheliis, ubi propius adſunt, deſcendunt ſæpius infra orbes Martis & inferiorum Planetarum.

LIBER TERTIUS.

Confirmatur etiam propinquitas Cometarum ex luce capitum. Nam corporis cœleſtis a Sole illuſtrati & in regiones longinquas abeuntis, diminuitur ſplendor in quadruplicata ratione diſtantiæ: in duplicata ratione videlicet ob auctam corporis diſtantiam a Sole, & in alia duplicata ratione ob diminutam diametrum appa­rentem. Unde ſi detur & lucis quantitas & apparens diameter Cometæ, dabitur diſtantia, dicendo quod diſtantia ſit ad diſtan­tiam Planetæ, in ratione diametri ad diametrum directe & ratione ſubduplicata lucis ad lucem inverſe. Sic minima capillitii Co­metæ anni 1682 diameter, per Tubum opticum ſexdecim pedum a Flamſtedioobſervata & Micrometro menſurata, æquabat 2′. 0″. Nucleus autem ſeu ſtella in medio capitis vix decimam partem la­titudinis hujus occupabat, adeoque lata erat tantum 11″ vel 12″. Luce vero & claritate capitis ſuperabat caput Cometæ anni 1680, ſtellaſque primæ vel ſecundæ magnitudinis æmulabatur. Ponamus Saturnum cum annulo ſuo quaſi quadruplo lucidiorem fuiſſe: & quoniam lux annuli propemodum æquabat lucem globi inter­medii, & diameter apparens globi ſit quaſi 21″, adeoque lux globi & annuli conjunctim æquaret lucem globi, cujus diameter eſſet 30″: erit diſtantia Cometæ ad diſtantiam Saturni ut 1 ad √ 4 inverſe, & 12″ ad 30″ directe, id eſt, ut 24 ad 30 ſeu 4 ad 5. Rurſus Cometa anni 1665 menſe Aprili,ut author eſt Hevelius,claritate ſua pene Fixas omnes ſuperabat, quinetiam ipſum Satur­num, ratione coloris videlicet longe vividioris. Quippe lucidior erat hic Cometa altero illo, qui in fine anni præcedentis apparu­erat & cum ſtellis primæ magnitudinis conferebatur. Latitudo capillitii erat quaſi 6′, at nucleus cum Planetis ope Tubi optici collatus, plane minor erat Jove, & nunc minor corpore interme-dio Saturni, nunc ipſi æqualis judicabatur. Porro cum diameter capillitii Cometarum raro ſuperet 8′ vel 12′, diameter vero nu­clei ſeu ſtellæ centralis ſit quaſi decima vel forte decima quinta pars diametri capillitii, patet Stellas haſce ut plurimum ejuſdem eſſe apparentis magnitudinis cum Planetis. Unde cum lux earum cum luce Saturni non raro conferri poſſit, eamque aliquando ſu­peret; manifeſtum eſt quod Cometæ omnes in Periheliis vel in­fra Saturnum collocandi ſint, vel non longe ſupra. Errant igitur toto cœlo qui Cometas in regionem Fixarum prope ablegant: qua certe ratione non magis illuſtrari deberent a Sole noſtro, quam Planetæ, qui hic ſunt, illuſtrantur a Stellis fixis.

DE MUNDI SYSTEMATE

Hæc diſputavimus non conſiderando obſcurationem Cometa­rum per ſumum illum maxime copioſum & craſſum, quo caput circundatur, quaſi per nubem obtuſe ſemper lucens. Nam quan­to obſcurius redditur corpus per hunc fumum, tanto propius ad Solem accedat neceſſe eſt, ut copia lucis a ſe reflexa Planetas æmu­letur. Inde veriſimile fit Cometas longe infra ſphæram Saturni deſcendere, uti ex Parallaxi probavimus. Idem vero quam ma­xime confirmatur ex Caudis. Hæ vel ex reflexione fumi ſparſi per Æthera, vel ex luce capitis oriuntur. Priore caſu minuenda eſt diſtantia Cometarum, ne fumus a capite ſemper ortus per ſpatia nimis ampla incredibili cum velocitate & expanſione pro­pagetur. In poſteriore referenda eſt lux omnis tam caudæ quam capillitii ad nucleum capitis. Igitur ſi concipiamus lucem hanc omnem congregari & intra diſcum nuclei coarctari, nucleus ille jam certe, quoties caudam maximam & fulgentiſſimam emittit, Jovem ipſum ſplendore ſuo multum ſuperabit. Minore igitur cum diametro apparente plus lucis emittens, multo magis illuſtra­bitur a Sole, adeoque erit Soli multo propior. Quinetiam capita ſub Sole deliteſcentia, & caudas cum maximas tum fulgentiſſimas inſtar trabium ignitarum nonnunquam emittentia, eodem argu­mento infra orbem Veneris collocari debent. Nam lux illa omnis ſi in ſtellam congregari ſupponatur, ipſam Venerem ne dicam Ve­neres plures conjunctas quandoque ſuperaret.

Idem denique colligitur ex luce capitum creſcente in receſſu Cometarum a Terra Solem verſus, ac decreſcente in eorum receſſu a Sole verſus Terram. Sic enim Cometa poſterior Anni 1665 (obſervante Hevelio,) ex quo conſpici cœpit, remittebat ſemper de motu ſuo apparente, adeoque præterierat Perigæum; Splen­dor vero capitis nihilominus indies creſcebat, uſQ.E.D.m Cometa radiis Solaribus obtectus deſiit apparere. Cometa Anni 1683, obſervante eodem Hevelio,in fine Menſis Juliiubi primum con­ſpectus eſt, tardiſſime movebatur, minuta prima 40 vel 45 circi­ter ſingulis diebus in Orbe ſuo conficiens. Ex eo tempore motus ejus diurnus perpetuo augebatur uſque ad Sept.4. quando evaſit graduum quaſi quinque. Igitur toto hoc tempore Cometa ad Terram appropinquabat. Id quod etiam ex diametro capitis Micrometro menſurata colligitur: quippe quam Heveliusreperit Aug.6. eſſe tantum 6′. 5″ incluſa coma, at Sept.2. eſſe 9′. 7″. Caput igitur initio longe minus apparuit quam in ſine motus, at initio tamen in vicinia Solis longe lucidius extitit quam circa finem, ut refert idem Hevelius.Proinde toto hoc tempore, ob receſſum ipſius a Sole, quoad lumen decrevit, non obſtante ac­ceſſu ad Terram. Cometa Anni 1618 circa medium Menſis De­cembris,& iſte Anni 1680 circa finem ejuſdem Menſis, celerrime movebantur, adeoque tunc erant in Perigæis. Verum ſplendor maximus capitum contigit ante duas fere ſeptimanas, ubi modo exierant de radiis Solaribus; & ſplendor maximus caudarum paulo ante, in majore vicinitate Solis. Caput Cometæ prioris, juxta obſervationes Cyſati, Decemb.1. majus videbatur ſtellis pri­mæ magnitudinis, & Decemb.16. (jam in Perigæo exiſtens) mag­nitudine parum, ſplendore ſeu claritate luminis plurimum defe­cerat. Jan.7. Keplerusde capite incertus finem fecit obſervandi. Die 12 menſis Decemb.conſpectum & a Flamſtedioobſervatum eſt caput Cometæ poſterioris, in diſtantia novem graduum a Sole; id quod ſtellæ tertiæ magnitudinis vix conceſſum fuiſſet. Decemb.15. & 17 apparuit idem ut ſtella tertiæ magnitudinis, diminutum utique ſplendore Nubium juxta Solem occidentem. Decemb.26. velociſſime motus, inque Perigæo propemodum exiſtens, cedebat ori Pegaſi, Stellæ tertiæ magnitudinis. Jan.3. apparebat ut Stella quartæ, Jan.9. ut Stella quintæ, Jan.13. ob ſplendorem Lunæ creſcentis diſparuit. Jan.25. vix æquabat Stellas magnitudinis ſeptimæ. Si ſumantur æqualia a Perigæo hinc inde tempora, ca­pita quæ temporibus illis in longinquis regionibus poſita, ob æquales a Terra diſtantias, æqualiter lucere debuiſſent, in plaga Solis maxime ſplenduere, ex altera Perigæi parte evanuere. Igi­tur ex magna lucis in utroque ſitu differentia, concluditur magna Solis & Cometæ vicinitas in ſitu priore. Nam lux Cometarum regularis eſſe ſolet, & maxima apparere ubi capita velociſſime moventur, atque adeo ſunt in Perigæis; niſi quatenus ea major eſt in vicinia Solis.

LIBER TERTIUS.

DE MUNDI SYSTEMATE

Corol.1. Splendent igitur Cometæ luce Solis a ſe reflexa.

Corol.2. Ex dictis etiam intelligitur cur Cometæ tantopere fre­quentant regionem Solis. Si cernerentur in regionibus longe ultra Saturnum, deberent ſæpius apparere in partibus Soli oppo­ſitis. Forent enim Terræ viciniores qui in his partibus verſa­rentur, & Sol interpoſitus obſcuraret cæteros. Verum percur­rendo hiſtorias Cometarum, reperi quod quadruplo vel quintuplo plures detecti ſunt in Hemiſphærio Solem verſus, quam in He­miſphærio oppoſito, præter alios procul dubio non paucos quos lux Solaris obtexit. Nimirum in deſcenſu ad regiones noſtras neque caudas emittunt, neque adeo illuſtrantur a Sole, ut nudis oculis ſe prius detegendos exhibeant, quam ſint ipſo Jove pro­piores. Spatii autem tantillo intervallo circa Solem deſcripti pars longe major ſita eſt a latere Terræ quod Solem reſpicit; inque parte illa majore Cometæ, Soli ut plurimum viciniores, magis illuminari ſolent.

Corol.3. Hinc etiam manifeſtum eſt, quod Cœli reſiſtentia de­ſtituuntur. Nam Cometæ vias obliquas & nonnunquam curſui Planetarum contrarias ſecuti, moventur omnifariam liberrime, & motus ſuos etiam contra curſum Planetarum, diutiſſime conſer­vant. Fallor ni genus Planetarum ſint, & motu perpetuo in or­bem redeant. Nam quod Scriptores aliqui Meteora eſſe volunt, argumentum a capitum perpetuis mutationibus ducentes, funda­mento carere videtur. Capita Cometarum Atmoſphæris ingen­tibus cinguntur; & Atmoſphæræ inferne denſiores eſſe debent. Unde nubes ſunt, non ipſa Cometarum corpora, in quibus muta­tiones illæ viſuntur. Sic Terra ſi e Planetis ſpectaretur, luce nu­bium ſuarum proculdubio ſplenderet, & corpus firmum ſub nu­bibus prope deliteſceret. Sic cingula Jovis in nubibus Planetæ illius formata eſt, quæ ſitum mutant inter ſe, & firmum Jovis corpus per nubes illas difficilius cernitur. Et multo magis cor­pora Cometarum ſub Atmoſphæris & profundioribus & craſſiori­bus abſcondi debent.

PROPOSITIO XL. THEOREMA XX.

LIBER TERTIUS.

Cometas in Sectionibus Conicis umbilicos in centro Solis haben­tibus moveri, & radiis ad Solem ductis areas temporibus pro­portionales deſcribere.

Patet per Corol. 1. Propoſ. XIII. Libri primi, collatum cum Prop. VIII, XII & XIII. Libri tertii.

Corol.1. Hinc ſi Cometæ in orbem redeunt: Orbes erunt Ellip­ſes, & tempora periodica erunt ad tempora periodica Planetarum in axium principalium ratione ſeſquiplicata. Ideoque Cometæ maxima ex parte ſupra Planetas verſantes, & eo nomine Orbes axibus majoribus deſcribentes, tardius revolventur. Ut ſi axis Or­bis Cometæ ſit quadruplo major axe Orbis Saturni, tempus revo­lutionis Cometæ erit ad tempus revolutionis Saturni, id eſt, ad annos 30, ut 4 √ 4 (ſeu 8) ad 1, ideoque erit annorum 240.

Corol.2. Orbes autem erunt Parabolis adeo finitimi, ut eorum vice Parabolæ, abſque erroribus ſenſibilibus, adhiberi poſſint.

Corol.3. Et propterea, per Corol. 7. Prop. XVI. Lib. I. velo­citas Cometæ omnis, erit ſemper ad velocitatem Planetæ cujuſvis circa Solem in circulo revolventis, in ſubduplicata ratione duplæ diſtantiæ Planetæ a centro Solis, ad diſtantiam Cometæ a centro Solis quamproxime. Ponamus radium Orbis magni, ſeu Ellipſeos in qua Terra revolvitur ſemidiametrum maximam, eſſe partium 100000000: & Terra motu ſuo diurno mediocri deſcribet partes 1720212, & motu horario partes 71675 1/2. Ideoque Cometa in eadem Telluris a Sole diſtantia mediocri, ea cum velocitate quæ ſit ad velocitatem Telluris ut √ 2 ad 1, deſcribet motu ſuo diurno partes 2432747, & motu horario partes 10136. In majoribus autem vel minoribus diſtantiis, motus tum diurnus tum horarius erit ad hunc motum diurnum & horarium in ſubduplicata ratione diſtantiarum reciproce, ideoQ.E.D.tur.

Corol.4. Unde ſi Latus rectum Parabolæ quadruplo majus ſit radio Orbis magni, & quadratum radii illius ponatur eſſe partium 100000000: area quam Cometa radio ad Solem ducto ſingulis die­bus deſcribit, erit partium 1216373 1/4, & ſingulis horis area illa erit partium 50682 1/4. Sin latus rectum majus ſit vel minus in ra­tione quavis, erit area diurna & horaria major vel minor in ea­dem ratione ſubduplicata.

DE MUNDI SYSTEMATE

LEMMA V.

Invenire lineam curvam generis Parabolici, quæ per data quotcunque puncta tranſibit.

Sunto puncta illa A, B, C, D, E, F,&c. & ab iiſdem ad rectam quamvis poſitione datam HNdemitte perpendicula quotcunque AH, BI, CK, DL, EM, FN.

Caſ.1. Si punctorum H, I, K, L, M, Næqualia ſunt inter­valla HI, IK, KL,&c. collige perpendiculorum AH, BI, CK,&c. differentias primas b,2b,3b,4b,5b,&c. ſecundas c,2c,3c,4c,&c. tertias d,2d,3d,&c. id eſt, ita ut ſit AH-BI=b, BI-CK=2b, CK-DL=3b, DL+EM=4b,-EM+FN=5b,

&c. dein b-2b=c,&c. & ſic pergatur ad diffe­rentiam ultimam quæ hic eſt f.Deinde erecta qua­cunque perpendiculari RS,quæ fuerit ordina­tim applicata ad curvam quæſitam: ut inveniatur hujus longitudo, pone intervalla HI, IK, KL, LM,&c. unitates eſſe, & dic AH=a,-HS=p, 1/2pin -IS=q, 1/3qin +SK=r, 1/4rin +SL=s, 1/5sin +SM=t; pergendo videlicet ad uſque penultimum perpendiculum ME,& præponendo ſigna negativa terminis HS, IS,&c. qui jacent ad partes puncti Sver­ſus A,& ſigna affirmativa terminis SK, SL,&c. qui jacent ad alteras partes puncti S.Et ſignis probe obſervatis, erit RS=a+bp+cq+dr+es+ft,&c.

Caſ.2. Quod ſi punctorum H, I, K, L,&c. inæqualia ſint inter­valla HI, IK,&c. collige perpendiculorum AH, BI, CK,&c. differentias primas per intervalla perpendiculorum diviſas b,2b,3b,4b,5b; ſecundas per intervalla bina diviſas c,2c,3c,4c,&c. tertias per intervalla terna diviſas d,2d,3d,&c. quartas per intervalla quaterna diviſas e,2e,&c. & ſic deinceps; id eſt, ita ut ſit b=(AH-BI/HI), 2b=(BI-CK/IK), 3b=(CK-DL/KL),&c. dein c=(b-2b/HK), 2c=(2b-3b/IL), 3c=(3b-4b/KM),&c. Poſtea d=(c-2c/HL), 2d=(2c-3c/IM),&c. Inventis differentiis, dic AH=a, -HS=p, pin -IS=q, qin +SK=r, rin +SL=s, sin +SM=t; pergendo ſcilicet ad uſque perpendiculum penultimum ME,& erit ordinatim applicata RS=a+bp+cq+dr+es+ft,&c.

LIBER TERTIUS.

Corol.Hinc areæ curvarum omnium inveniri poſſunt quampro­xime. Nam ſi curvæ cujuſvis quadrandæ inveniantur puncta ali­quot, & Parabola per eadem duci intelligatur: erit area Parabolæ hujus eadem quam proxime cum area curvæ illius quadrandæ. Poteſt autem Parabola, per Methodos notiſſimas, ſemper quadrari Geometrice.

LEMMA VI.

Ex obſervatis aliquot locis Cometæ invenive locum ejus ad tempus quodvis intermedium datum.

Deſignent HI, IK, KL, LMtempora inter obſervationes, (in Fig. præced.) HA, IB, KC, LD, MEobſervatas quinque longitudines Cometæ, HStempus datum inter obſervationem pri­mam & longitudinem quæſitam. Et ſi per puncta A, B, C, D, Educi intelligatur curva regularis ABCDE; & per Lemma ſupe­rius inveniatur ejus ordinatim applicata RS,erit RSlongitudo quæſita.

Eadem methodo ex obſervatis quinque latitudinibus invenitur latitudo ad tempus datum.

Si longitudinum obſervatarum parvæ ſint differentiæ, puta gra­duum tantum 4 vel 5; ſuffecerint obſervationes tres vel quatuor ad inveniendam longitudinem & latitudinem novam. Sin majores ſint differentiæ, puta graduum 10 vel 20, debebunt obſervationes quinque adhiberi.

DE MUNDI SYSTEMATE

LEMMA VII.

Per datum punctumP ducere rectam lineamBC, cujus partesPB, PC, rectis duabus poſitione datisAB, AC abſciſſæ, da­tam habeant rationem ad invicem.

A puncto illo Pad rectarum al­terutram ABducatur recta quævis PD,& producatur eadem verſus rectam alteram ACuſque ad E,ut ſit PEad PDin data illa ratione. Ipſi ADparallela ſit EC; & ſi agatur CPB,erit PCad PBut PEad PD. q.E.F.

LEMMA VIII.

SitABC Parabola umbilicum habensS. ChordaAC biſecta inI abſcindatur ſegmentumABCI, cujus diameter ſitI m & vertexm. InI m producta capiaturm O æqualis dimidio ipſius

I m. JungaturOS, & producatur ea ad c, ut ſitS c æqualis2SO. Et ſi CometaB moveatur in arcuCBA, & agaturc B ſecansAC inE: dico quod punctumE abſcindet de chordoAC ſegmentumAE tempori proportionale quamproxime.

Jungatur enim EOſecans arcum Parabolicum ABCin Y,& aga­tur mXquæ tangat eundem arcum in vertice m & actæ EOoccur­rat in X; & erit area curvilinea AEXmAad aream curvilineam ACYmAut AEad AC.Ideoque cum triangulum ASEſit ad triangulum ASCin eadem ratione, erit area tota ASEXmAad aream totam ASCYmAut AEad AC.Cum autem cOſit ad SOut 3 ad 1, & EOad XOin eadem ratione, erit SXipſi EBparallela: & propterea ſi jungatur BX,erit triangulum SEBtriangulo XEBæquale. Unde ſi ad aream ASEXmAaddatur triangulum EXB,& de ſumma auferatur triangulum SEB,manebit area ASBXmAareæ ASEXmAæqualis, atque adeo ad aream ASCYmAut AEad AC.Sed areæ ASBXmAæqualis eſt area ASBYmAquamproxime, & hæc area ASBYmAeſt ad aream ASCYmA,ut tempus deſcripti arcus ABad tempus deſcripti arcus totius AC.Ideoque AEeſt ad ACin ratione temporum quamproxime. Q.E.D.

LIBER TERTIUS.

Corol.Ubi punctum Bincidit in Parabolæ verticem m, eſt AEad ACin ratione temporum accurate.

Scholium.

Si jungatur mc ſecans ACin d & in ea capiatur cnquæ ſit ad mBut 27 MIad 16 Mm: acta Bnſecabit chordam ACin ratione temporum magis accurate quam prius. Jaceat autem punctum nultra punctum c, ſi punctum Bmagis diſtat a vertice principali Parabolæ quam punctum m; & citra, ſi minus diſtat ab eodem vertice.

LEMMA IX.

RectæIm & mM & longitudo (AIC/4Sm) æquantur inter ſe.

Nam 4Sm eſt latus rectum Parabolæ pertinens ad verti­cem m.

DE MUNDI SYSTEMATE

LEMMA X.

Si producaturSm adN & P, utmN ſit pars tertia ipſiusmI, & SP ſit adSN utSN adSm. Cometa, quo tempore deſcri­bit arcumAmC, ſi progrederetur ea ſemper cum velocitate quam habet in altitudine ipſiSP æquali, deſcriberet longitudi­nem æqualem chordæAC.

Nam ſi Cometa velocitate quam habet in m, eodem tempore progrederetur uniformiter in recta quæ Parabolam tangit in m; area quam radio ad punctum Sducto deſcriberet, æqualis eſſet areæ Parabolicæ ASCm. Ideoque contentum ſub longitudine in tangente deſcripta & longitudine Sm, eſſet ad contentum ſub longitudinibus AC& SM,ut area ASCm ad triangulum ASCM,id eſt, ut SNad SM.Quare ACeſt ad longitudi­nem in tangente deſcriptam, ut Sm ad SN.Cum autem velocitas

Cometæ in altitudine SPſit (per Corol. 6. Prop. XVI. Lib. I.) ad velocitatem in altitudine Sm, in ſubduplicata ratione SPad Sm inverſe, id eſt, in ratione Sm ad SN; longitudo hac velo­citate eodem tempore deſcripta, erit ad longitudinem in tangente deſcriptam, ut Sm ad SN,Igitur AC& longitudo hac nova ve­locitate deſcripta, cum ſint ad longitudinem in tangente deſcrip­tam in eadem ratione, æquantur inter ſe. Q.E.D.

Corol.Cometa igitur ea cum velocitate, quam habet in altitudine Sm+2/3Im, eodem tempore deſcriberet chordam ACquamproxime.

LIBER TERTIUS.

LEMMA XI.

Si Cometa motu omni privatus de altitudineSN ſeuSm+1/3Imdemitteretur, ut caderet in Solem, & ea ſemper vi uniformiter continuata urgeretur in Solem, qua urgetur ſub initio; idem ſe­miſſe temporis quo in Orbe ſuo deſcribat arcumAC, deſcenſu ſuo deſcriberet ſpatium longitudiniIm æquale.

Nam Cometa quo tempore deſcribat arcum Parabolicum AC,eodem tempore ea cum velocitate quam habet in altitudine SP(per Lemma noviſſimum) deſcribet chordam AC,adeoque (per Corol. 7. Prop. XVI. Lib. I.) eodem tempore in Circulo cujus ſemi­diameter eſſet SP,vi gravitatis ſuæ revolvendo, deſcriberet arcum cujus longitudo eſſet ad arcus Parabolici chordam AC,in ſubdu­plicata ratione unius ad duo. Et propterea eo cum pondere quod habet in Solem in altitudine SP,cadendo de altitudine illa in Solem, deſcriberet ſemiſſe temporis illius (per Corol.9. Prop. IV. Lib. I.) ſpatium æquale quadrato ſemiſſis chordæ illius applicato ad quadruplum altitudinis SP,id eſt, ſpatium (AIq/4SP). Unde cum pondus Cometæ in Solem in altitudine SN,ſit ad ipſius pondus in Solem in altitudine SP,ut SPad Sm: Cometa pondere quod habet in altitudine SNeodem tempore, in Solem caden­do, deſcribet ſpatium (AIq/4Sm), id eſt, ſpatium longitudini Im vel Mm æquale. Q.E.D.

PROPOSITIO XLI. PROBLEMA XXI.

Cometæ in Parabola moti Trajectoriam ex datis tribus Obſervationibus determinare.

Problema hocce longe difficillimum multimode aggreſſus, com­poſui Problemata quædam in Libro primo quæ ad ejus ſolutio­nem ſpectant. Poſtea ſolutionem ſequentem paulo ſimpliciorem excogitavi.

Seligantur tres obſervationes æqualibus temporum intervallis ab invicem quamproxime diſtantes. Sit autem temporis intervallum illud ubi Cometa tardius movetur paulo majus altero, ita videlicet ut temporum differentia ſit ad ſummam temporum, ut ſumma tem­porum ad dies plus minus ſexcentos; vel ut punctum Eincidat in punctum Mquamproxime, & inde aberret verſus Ipotius quam verſus A.Si tales obſervationes non præſto ſint, inveniendus eſt novus Cometæ locus per Lemma ſextum.

DE MUNDI SYSTEMATE

Deſignent SSolem, T, t,t tria loca Terræ in Orbe magno, TA, tB, tCobſervatas tres longitudines Cometæ, V tempus in­ter obſervationem primam & ſecundam, W tempus inter ſecun­dam ac tertiam, X longitudinem quam Cometa toto illo tempore, ea cum velocitate quam habet in mediocri Telluris à Sole diſtan­tia, deſcribere poſſet, quæque per Corol. 3. Prop. XL, Lib. III. invenienda eſt, & tVperpendiculum in chordam Tt. In longi­

tudine media tBſumatur utcunque punctum Bpro loco Co­metæ in plano Eclipticæ, & inde verſus Solem Sducatur linea BE,quæ ſit ad ſagittam tV,ut contentum ſub SB& St quad.ad cubum hypotenuſæ trianguli rectanguli, cujus latera ſunt SB& tangens latitudinis Cometæ in obſervatione ſecunda ad radium tB.Et per punctum Eagatur (per hujus Lem. VII.) recta AEC,cujus partes AE, ECad rectas TA& tCterminatæ, ſint ad invicem ut tempora V & W: & erunt A& Cloca Cometæ in plano Eclipticæ in obſervatione prima ac tertia quamproxime, ſi modo Bſit locus ejus recte aſſumptus in obſervatione ſecunda.

LIBER TERTIUS.

Ad ACbiſectam in Ierige perpendiculum Ii.Per punctum Bage occultam Biipſi ACparallelam. Junge occultam Siſecan­tem ACin l, & comple parallelogrammum iIlm. Cape Is æqua­lem 3Il, & per Solem Sage occultam sc æqualem 3Ss+3il, Et deletis jam literis A, E, C, I,a puncto Bverſus punctum cduc occultam novam BE,quæ ſit ad priorem BEin duplicata ratione diſtantiæ BSad quantitatem Sm+1/3il. Et per punctum Eiterum duc rectam AECeadem lege ac prius, id eſt, ita ut ejus partes AE& ECſint ad invicem, ut tempora inter obſervationes V & W. Et erunt A& Cloca Cometæ magis accurate.

Ad ACbiſectam in 1erigantur perpendicula AM, CN, IO,quarum AM& CNſint tangentes latitudinum in obſervatione prima ac tertia ad radios TA& tC.Jungatur MNſecans IOin O.Conſtituatur rectangulum iIlm ut prius. In IApro­ducta capiatur IDæqualis Sm+2/3il, & agatur occulta OD.Deinde in MNverſus Ncapiatur MP,quæ ſit ad longitudinem ſupra inventam X, in ſubduplicata ratione mediocris diſtantiæ Tel­luris a Sole (ſeu ſemidiametri Orbis magni) ad diſtantiam OD.Si punctum Pincidat in punctum N; erunt A, B, Ctria loca Co­metæ, per quæ Orbis ejus in plano Eclipticæ deſcribi debet. Sin punctum Pnon incidat in punctum N; in recta ACcapiatur CGipſi NPæqualis, ita ut puncta G& Pad eaſdem partes rectæ NCjaceant.

Eadem methodo qua puncta E, A, C, G,ex aſſumpto puncto Binventa ſunt, inveniantur ex aſſumptis utcunque punctis aliis b& b puncta nova e, a, c, g,& e, a, x, g. Deinde ſi per G, g,gducatur circumferentia circuli Ggg, ſecans rectam tCin Z: erit Zlocus Cometæ in plano Eclipticæ. Et ſi in AC, ac,ax capi­antur AF, af,af ipſis CG, eg,xg reſpective æquales, & per puncta F, f,f ducatur circumferentia circuli Fff, ſecans rectam ATin X;erit punctum Xalius Cometæ locus in plano Eclipticæ. Ad puncta X& Zerigantur tangentes latitudinum Cometæ ad ra­dios TX& tZ; & habebuntur loca duo Cometæ in Orbe proprio. Denique (per Prop. XIX. Lib. I.) umbilico S,per loca illa duo de­ſcribatur Parabola, & hæc erit Trajectoria Cometæ. Q.E.I.

DE MUNDI SYSTEMATE

Conſtructionis hujus demonſtratio ex Lemmatibus conſequitur: quippe cum recta ACſecetur in Ein ratione temporum, per Lemma VII, ut oportet per Lem. VIII: & BEper Lem. XI. ſit pars rectæ BSvel Bc in plano Eclipticæ arcui ABC& chordæ AECinterjecta; & MP(per Corol. Lem. X.) longi­tudo ſit chordæ arcus, quem Cometa in Orbe proprio inter ob­ſervationem primam ac tertiam deſcribere debet, ideoQ.E.I.ſi MNæqualis fuerit, ſi modo Bſit verus Cometæ locus in plano Eclipticæ.

Cæterum puncta B, b,b non quælibet, ſed vero proxima eli­gere convenit. Si angulus AQt,in quo veſtigium Orbis in plano Eclipticæ deſcriptum ſecat rectam tB,præterpropter in­noteſcat; in angulo illo ducenda erit recta occulta AC,quæ ſit ad 4/3Tt in ſubduplicata ratione SQad St.Et agendo rectam SEBcujus pars EBæquetur longitudini Vt,determinabitur punctum Bquod prima vice uſurpare licet. Tum recta ACde­leta & ſecundum præcedentem conſtructionem iterum ducta, & inventa inſuper longitudine MP; in tBcapiatur punctum b,

ea lege, ut ſi TA, tCſe mutuo ſecuerint in Y,ſit diſtantia Ybad diſtantiam YB,in ratione compoſita ex ratione MPad MN& ratione ſubduplicata SBad Sb.Et eadem methodo inveNI­endum erit punctum tertium b, ſi modo operationem tertio repe­tere lubet. Sed hac methodo operationes duæ ut plurimum ſuf­fecerint. Nam ſi diſtantia Bbperexigua obvenerit; poſtquam inventa ſunt puncta F, f& G, g,actæ rectæ Ff& Ggſecabunt TA& tCin punctis quæſitis X& Z.

LIBER TERTIUS.

Exemplum.

Proponatur Cometa anni 1680. Hujus motum a Flamſtedioobſervatum Tabula ſequens exhibet.

Tem.appar.Temp. verumLong. SolisLong. CometæLat. Cometæh.′h.′″gr.′″gr.′″gr.′″1680 Dec.124.464.46.0 1.51.23 6.31.218.26.0216.32 1/26.36.5911.6.44 5.7.3821.45.30246.126.17.5214.9.2618.49.1025.23.24265.145.20.4416.9.2228.24.627.0.57297.558.3.219.19.43 13.11.4528.10.5308.28.10.2620.21.917.39.528.11.121681 Jan.55.516.1.3826.22.18 8.49.1026.15.2696.497.0.53 0.29.218.43.1824.12.42105.546.6.101.27.4320.40.5723.44.0136.567.8.554.33.2025.59.3422.17.36257.447.58.4216.45.36 9.35.4817.56.54308.78.21.5321.40.5813.19.3616.40.57Feb.26.206.34.5124.46.5915.13.4816.2.256.507.4.4127.49.5116.59.5215.27.23

His adde Obſervationes quaſdam e noſtris.

Temp. appar.Cometæ Longit.Com. Lat.Febr.258h.30′ 26gr..18′.17″12gr..46′ 7/8278.1527.4.2412.36 1/5Mart.111.027.53.612.24 6/728.028.12.2712.20511.3029.20.5112.3 1/298.30 0.43.411.45 7/8

Hæ Obſervationes Teleſcopio ſeptupedali, & Micrometro filiſ­Q.E.I. ſoco Teleſcopii locatis peractæ ſunt: quibus inſtrumentis & poſitiones fixarum inter ſe & poſitiones Cometæ ad fixas de­terminavimus. Deſignet Aſtellam in ſiniſtro calcaneo Perſei (Bayero o) Bſtellam ſequentem in ſiniſtro pede (Bayeroz) & C, D, E, F, G, H, I, K, L, M, N, Oſtellas alias minores in eo­dem pede. Sintque P, Q, R, S, Tloca Cometæ in obſervati­onibus ſupra deſcriptis: & exiſtente diſtantia ABpartium (80 7/12), erat ACpartium 52 1/4, BC58 5/6, AD(57 5/12), BD(82 6/11), CD23 2/3, AE29 4/7, CE57 1/2, DE(49 11/12), AI(27 7/12), BI52 1/6, CI(36 7/12),

DI(53 5/11), AK38 2/3, BK43, CK31 5/9, FK29, FB23, FC36 1/4, AH18 6/7, DH50 7/8, BN(46 5/12), CN31 1/3, BL(45 5/12), NL31 5/7. HOerat ad HIut 7 ad 6 & producta tranſibat inter ſtellas D & E,ſic ut diſtantia ſtellæ Dab hac recta eſſet 1/6CD. LMerat ad LBut 2 ad 9 & producta tranſibat per ſtellam H.His interminabantur poſitiones fixarum inter ſe.

E MUNDI SYSTEMATE

Die Veneris Feb.25. St. vet. Hor. 8 1/2 P. M. Cometæ in pex­iſtentis diſtantia a ſtella Eerat minor quam (3/13) AE,major quam 3/5 AE,adeoque æqualis (3/14)AEproxime; & angulus ApEnon­nihil obtuſus erat, ſed fere rectus. Nempe ſi demitteretur ad pEperpendiculum ab A,diſtantiæ Cometæ a perpendiculo illo erat 1/5pE.

Eadem nocte, hora 9 1/2, Cometæ in Pexiſtentis diſtantia a ſtella Eerat major quam (1/(4 1/2))AE,minor quam (1/(5 1/4))AE,adeoque æqua-lis (1/(4 7/8))AE,ſeu (1/39)AEquamproxime. A perpendiculo autem a ſtella Aad rectam PEdemiſſo, diſtantia Cometæ erat 4/5PE.

LIBER TERTIUS.

Die is, Feb.27. hor. 8 1/4 P.M. Cometæ in Qexiſtentis di­ſtantia a ſtella Oæquabat diſtantiam ſtellarum O& H,& recta QOproducta tranſibat inter ſtellas K& B.Poſitionem hujus rectæ ob nubes intervenientes, magis accurate definire non potui.

Die tis, Mart1, hor. 11. P.M. Cometa in Rexiſtens, ſtellis K& Caccurate interjacebat, & rectæ CRKpars CRpaulo major erat quam 1/3CK,& paulo minor quam 1/3CK+1/8CR,adeoque æqualis 1/3CK+(1/16)CRſeu (16/45)CK.

Die ii, Mart.2. hor. 8. P.M. Cometæ exiſtentis in S,di­ſtantia a ſtella Cerat 4/9FCquamproxime. Diſtantia ſtellæ Fa recta CSproducta erat (1/24)FC; & diſtantia ſtellæ Bab eadem recta, erat quintuplo major quam diſtantia ſtellæ F.Item recta NSproducta tranſibat inter ſtellas H& I,quintuplo vel ſextuplo pro­pior exiſtens ſtellæ Hquam ſtellæ I.

Die ni, Mart.5. hor. 11 1/2. P. M. Cometa exiſtente in T,recta MTæqualis erat 1/2ML,& recta LTproducta tranſibat inter B& F,quadruplo vel quintuplo propior Fquam B,au­ferens a BFquintam vel ſextam ejus partem verſus F.Et MTproducta tranſibat extra ſpatium BFad partes ſtellæ B,quadru­plo propior exiſtens ſtellæ Bquam ſtellæ F.Erat Mſtella pere­xigua quæ per Teleſcopium videri vix potuit, & Lſtella major quaſi magnitudinis octavæ.

Ex hujuſmodi obſervationibus per conſtructiones figurarum & computationes (poſito quod ſtellarum A& Bdiſtantia eſſet 2gr. 6′. 46″, & ſtellæ Alongitudo 26gr. 41′. 50″ & latitudo borealis 12gr. 8′ 1/2, ſtellæque Blongitudo 28gr. 40′. 24″ & lati­tudo borealis 11gr. (17′ 9/10);) derivabam longitudines & latitudines Cometæ. Micrometro parum affabre conſtructo uſus ſum, ſed longitudinum tamen & latitudinum errores (quatenus ab ob­ſervationibus noſtris oriantur) dimidium minuti unius primi vix ſuperant, præterquam in obſervatione ultima Mart.9. ubi poſi­tiones ſtellarum minus accurate determinare potui. Caſſinusqui aſcenſionem rectam Cometæ eodem tempore obſervavit, decli­nationem ejus tanquam invariatam manentem parum diligenter definivit. Nam Cometa (juxta obſervationes noſtras) in fine motus ſui notabiliter deflectere cœpit boream verſus, a paral­lelo quem in fine Menſis Februariitenuerat.

DE MUNDI SYSTEMATE

Jam ad Orbem Cometæ determinandum; ſelegi ex obſervatio­nibus hactenus deſcriptis tres, quas Flamſtediushabuit Dec.21, Jan.5, & Jan.25. Ex his inveni Stpartium 9842,1 & Vtpar­tium 455, quales 10000 ſunt ſemidiameter Orbis magni. Tum ad operationem primam aſſumendo tBpartium 5657, inveni SB9747, BEprima vice 412, Sm 9503, il 413: BEſecun­da vice 421, OD10186, X 8528,4, MP8450, MN8475, NP25. Unde ad operationem ſecundam collegi diſtantiam tb5640. Et per hanc operationem inveni tandem diſtantias TX4775 & tZ11322. Ex quibus Orbem definiendo, inveni Nodos ejus deſcendentem in & aſcendentem in 1gr. 53′; Inclinationem plani ejus ad planum Eclipticæ 61gr. 20′ 2/3; verti­cem ejus (ſeu Perihelium Cometæ) diſtare a Nodo 8gr. 38′, & eſſe in 27gr. 43′ cum latitudine auſtrali 7gr. 34′; & ejus latus rectum eſſe 236,8, areamque radio ad Solem ducto ſingulis diebus deſcriptam 93585, quadrato ſemidiametri Orbis magni poſito 100000000; Cometam vero in hoc Orbe ſecundum ſeriem ſigno­rum proceſſiſſe, & Decemb.8d. 0h. 4′. P. M. in vertice Orbis ſeu Perihelio fuiſſe. Hæc omnia per ſcalam partium æqualium & chordas angulorum ex Tabula ſinuum naturalium collectas, deter­minavi Graphice; conſtruendo Schema ſatis amplum, in quo vide­licet ſemidiameter Orbis magni (partium 10000) æqualis eſſet digitis 16 2/3 pedis Anglicani.

Tandem ut conſtaret an Cometa in Orbe ſic invento vere mo­veretur, collegi per operationes partim Arithmeticas partim Gra­phicas, loca Cometæ in hoc Orbe ad obſervationum quarundam tempora: uti in Tabula ſequente videre licet.

Diſtant.Co­metæ a SoleLong.Collect.Lat. Collect.Long. Obſ.Lat. Obſ.Differ Long.Differ. Lat.gr.′gr.′gr.′gr.′′′Dec.122792 6.328.18 1/2 6.31 1/38.26+ 1-7 1/2298403 13.13 2/328.0 13.11 3/428.(10 1/12)+ 2-(10 1/12)Febr.516669 17.015.29 2/3 16.59 7/815.27 2/5+ 0+ 2 1/4Mar.52173729.19 1/412.429.20 6/712.3 1/2-1+ 1/2

Poſtea vero Halleiusnoſter Orbitam, per calculum Arithmeti­cum, accuratius determinavit quam per deſeriptiones linearum fieri licuit; & retinuit quidem locum Nodorum in & 1gr. 53′, & Inclinationem plani Orbitæ ad Eclipticam 61gr. 20′ 1/3, ut & tem­pus Perihelii Cometæ Decemb.8d. Oh. 4′: diſtantiam vero Peri-helii a Nodo aſcendente, in Orbita Cometæ menſuratam, invenit eſſe 9gr 20′, & Latus rectum Parabolæ eſſe 243 partium, ex­iſtente mediocri Solis a Terra diſtantia partium 10000. Et ex his datis, calculo itidem Arithmetico accurate inſtituto, loca Cometæ ad obſervationum tempora computavit, ut ſequitur.

LIBER TERTIUS.

Tempus verumDiſtantiaLong. comp.Lat. comp.Errores inCometæ a Long.Lat.d.h.′″gr.′″gr.′″′″′″Dec.12.4.46.028028 6.29.258.26.0Bor.-1.56+0.021.6.36.5961076 5.6.3021.43.20-1.8-2.1024.6.17.527000818.48.2015.22.40-0.50-0.4426.5.20.447557628.22.4527.1.36-1.21+0.3929.8.3.284021 13.12.4028.10.10+0.55+0.530.8.10.268666117.40.528.11.20+1.0+0.8Jan.5.6.1.38101440 8.49.4926.15.15+0.39-0.119.7.0.5311095918.44.3624.12.54+1.18+0.1210.6.6.1011316220.41.023.44.10+0.3+0.1013.7.8.5512000026.0.2122.17.30+0.47-0.625.7.58.42145370 9.33.4017.57.55-2.8+1.130.8.21.5315530313.17.4116.42.7-1.55+1.10Feb.2.6.34.5116095115.11.1116.4.15-2.37+2.135.7.4.4116668616.58.2515.29.13-1.27+1.5025.8.19.020257026.15.4612.48.0-2.31+1.8Mar.5.11.21.021620529.18.3512.5.40-2.16+2.10

Apparuit etiam hic Cometa menſe Novembripræcedente, & die undecimo hujus menſis ſtylo veteri, ad horam quintam ma­tutinam, Cantuariæin Anglia,viſus fuit in 12 1/2 cum latitudine boreali 2gr. circiter. Craſſiſſima fuit hæc Obſervatio: meliores ſunt quæ ſequuntur.

Nov.17, ſt. vet. Pontbæus& ſocii hora ſexta matutina Romæ(id eſt, hora 5, 10′ Londini) filis ad fixas applicatis Cometam obſervarunt in 8. 30′, cum latitudine auſtrali 0gr. 40′. Extant eorum Obſervationes in tractatu quem Penthæus,de hoc Cometa, in lucem edidit. Celliusqui aderat & obſervationes ſuas in Epi­ſtola ad D. Caſſinummiſit, Cometam eadem hora vidit in 8 gr.30′ cum latitudine auſtrali 0gr. 30′. Eadem hora Galletiusetiam Cometam vidit in 8gr. ſine latitudine.

Nov.18. hora matutina 6. 30′ Romæ(id eſt, hora 5, 40′ Lon­dini) PonthæusCometam vidit in 13gr. 30′ cum latitudine au­ſtrali 1gr. 20′. Celliusin 13gr. 00′, cum latitudine auſtrali 1gr. 00′. Galletiusautem hora matutina 5. 30′ Romæ,Cometam vidit in 13gr. 00′, cum latitudine auſtrali 1gr. 00′. Et R. P. Angoin Academia Flexienſiapud Galles,hora quinta matutina (id eſt, hora 5, 9′ Londini) Cometam vidit in medio inter ſtellas duas parvas, quarum una media eſt trium in recta linea in Virgi­nis auſtrali manu, & altera eſt extrema alæ. Unde Cometa tunc fuit in 12. 46′, cum latitudine auſtrali 50′. Eodem die Bo­ſtoniæin Nova-Angliain Latitudine 42 1/2 graduum, hora quinta matutina, (id eſt Londinihora matutina 9. 44′) Cometa viſus eſt prope 14, cum latitudine auſtrali 1gr. 30′, uti a Cl. Hal­leioaccepi.

DE MUNDI SYSTEMATE

Nov.19. hora mat. 4 1/2 Cantabrigiæ,Cometa (obſervante ju­vene quodam) diſtabat a Spica quaſi 2gr. Boreazephyrum verſus. Eodem die hor. 5. mat. Boſtoniæin Nova-Anglia,Co­meta diſtabat a Spica gradu uno, differentia latitudinum ex­iſtente 40′. Eodem die in Inſula Jamaica,Cometa diſtabat a Spica intervallo quaſi gradus unius. Et ex his obſervationibus inter ſe collatis colligo, quod hora 9. 44′. Londini,Cometa erat in 18 gr.40′, cum latitudine auſtrali 1 gr. 18′ circiter. Eodem die D. Ar­thurus Storerad fluvium Patuxent,prope Hunting-Creekin Mary­Land,in confinio Virginiæin Lat. 38 1/2gr. hora quinta matutina (id eſt, hora 102 Londini) Cometam vidit ſupra Spicam , & cum Spica propemodum conjunctum, exiſtente diſtantia inter eoſ­dem quaſi 3/4gr.. Obſervator idem, eadem hora diei ſequentis, Cometam vidit quaſi 2gr. inferiorem Spica. Congruent hæ ob­ſervationes cum obſervationibus in Nova-Anglia& Jamaicafactis, ſi modo diſtantiæ (pro motu diurno Cometæ) nonnihil augean­tur, ita ut Cometa die priore ſuperior eſſet Spica , altitudine 1 gr. circiter, ac die poſteriore inferior eadem ſtella, altitudine per­pendiculari 3 gr. 40′.

Nov.20. D. MontenarusAſtronomiæ Profeſſor Paduenſis,hora ſexta matutina Venetiis(id eſt, hora 5. 10′ Londini) Cometam vidit in 23 gr., cum latitudine auſtrali 1 gr. 30′. Eodem die Boſtoniæ,diſtabat Cometa a Spica , 4gr. longitudinis in orien­tem, adeoque erat in 23 gr. 24′ circiter.

Nov.21. Ponthæus& ſocii hor. mat. 7 1/4 Cometam obſerva­runt in 27gr. 50′, cum latitudine auſtrali 1 gr. 16′; Angohora quinta matutina in 27gr. 45′, Montenarusin 27gr. 51′. Eo­dem die in Inſula Jamaica,Cometa viſus eſt prope principium Scorpii, eandemque circiter latitudinem habuit cum Spica Virgi­nis, id eſt, 2gr. 2′.

Nov.22. Cometa viſus eſt a Montenaroin 2. 33′. Boſtoniæautem in Nova-Angliaapparuit in 3gr. circiter, eadem fere cum latitudine ac prius, id eſt, 1 gr. 30′. Eodem die Londini,hora mat. 6 1/2 Hookiusnoſter Cometam vidit in 3gr. 30′ cir­citer, idQ.E.I. linea recta quæ tranſit per Spicam Virginis & Cor Leonis, non exacte quidem, ſed a linea illa paululum defle­ctentem ad boream. Montenarusitidem notavit quod linea a Cometa per Spicam ducta, hoc die & ſequentibus tranſibat per auſtrale latus Cordis Leonis, interpoſito perparvo intervallo inter Cor Leonis & hanc lineam. Linea recta per Cor Leonis & Spicam Virginis tranſiens, Eclipticam ſecuit in 3gr. 46′, in an­gulo 2gr. 51′. Et ſi Cometa locatus fuiſſet in hac linea in 3 gr., ejus latitudo fuiſſet 2 gr 26′. Sed cum Cometa conſentientibus Hookio& Montenaro,nonnihil diſtaret ab hac linea boream ver­ſus, latitudo ejus fuit paulo minor. Die 20. ex obſervatione Mon­tenari,latitudo ejus propemodum æquabat latitudinem Spicæ , eratque 1gr. 30′ circiter, & conſentientibus Hookio, Montenaro& Angoneperpetuo augebatur, ideoque jam ſenſibiliter major erat quam 1gr. 30′. Inter limites autem jam conſtitutos 2gr. 26′ & 1gr. 30′, magnitudine mediocri latitudo erit 1gr. 58′ circiter. Cauda Cometæ, conſentientibus Hookio& Montenaro,dirigebatur ad Spicam , declinans aliquantulum a Stella iſta, juxta Hookiumin auſtrum, juxta Montenarumin boream; ideoQ.E.D.clinatio illa vix fuit ſenſibilis, & Cauda Æquatori fere parallela exiſtens, ali­quantulum deflectebatur ab oppoſitione Solis boream verſus.

LIBER TERTIUS.

Nov.24. Ante ortum Solis Cometa viſus eſt a Montenaroin 12gr. 52′, ad boreale latus rectæ quæ per Cor Leonis & Spicam Virginis ducebatur, ideoque latitudinem habuit paulo minorem quam 2gr. 38′. Hæc latitudo uti diximus, ex obſervationibus Montenari, Angonis& Hookii,perpetuo augebatur; ideoque jam paulo major erat quam 1gr. 58′; & magnitudine mediocri, abſque notabili errore, ſtatui poteſt 2gr. 18′. Latitudinem Ponthæus& Galletiusjam decreviſſe volunt, & Cellius& Obſervator in Nova­Angliaeandem fere magnitudinem retinuiſſe, ſcilicet gradus unius vel unius cum ſemiſſe. Craſſiores ſunt obſervationes Ponthæi& Cellii,eæ præſertim quæ per Azimuthes & Altitudines capieban­tur, ut & eæ Galletii: meliores ſunt eæ quæ per poſitiones Co­metæ ad fixas a Montenaro, Hookio, Angone& Obſervatore in Nova-Anglia,& nonnunquam a Ponthæo& Cellioſunt factæ.

Jam collatis Obſervationibus inter ſe, colligere videor quod Cometa hoc menſe circulum fere maximum deſcripſit, ſecantem Eclipticam in 25. 12′, idQ.E.I. angulo 3gr. 12′ quamproxime. Nam & MontenarusOrbitam ab Ecliptica in auſtrum, tribus ſal-tem gradibus declinaſſe dicit. Et cognita curſus poſitione, lon­gitudines Cometæ ex obſervationibus collectæ, ad incudem jam revocari poſſunt & melius nonnunquam determinari, ut ſit in ſe­quentibus. CelliusNovemb. 17. obſervavit diſtantiam Cometæ a Spica , æqualem eſſe diſtantiæ ejus a ſtella lucida in dextra ala Corvi: & hinc locandus eſt Cometa in interſectione hujus circuli quem Cometa motu apparente deſcripſit, cum circulo maximo qui a fixis illis duabus æqualiter diſtat, atque adeo in 7gr. 54′, cum latitudine auſtrali 43′. Præterea Montenarus, Novemb.20. hora ſexta matutina Venetiis,Cometam vidit non totis quatuor gradibus diſtantiam a Spica; dicitque hanc diſtantiam, vix æquaſſe diſtantiam ſtellarum duarum lucidarum in alis Corvi, vel duarum in juba Leonis, hoc eſt 3gr. & 30′ vel 32′. Sit igitur diſtantia Cometæ a Spica 3gr. 30′, & Cometa locabitur in 22gr. 48′, cum latitudine auſtrali 1gr. 30′. Adhæc Montenarus, Novemb.21, 22, 24 & 25 ante ortum Solis, Sextante æneo quintupedali ad mi­nuta prima & ſemiminuta diviſo & vitris Teleſcopicis armato, diſtantias menſuravit Cometæ a Spica 8gr 28′, 13gr. 10′, 23gr.30′, & 28gr. 13′: & has diſtantias, per refractionem nondum cor­rectas, addendo longitudini Spicæ, collegit Cometam his tempo­ribus fuiſſe in 27gr. 51′, 2gr. 33′, 12gr. 52′ & 17gr. 45′. Si diſtantiæ illæ per refractiones corrigantur, & ex diſtantiis cor­rectis differentiæ longitudinum inter Spicam & Cometam probe deriventur, locabitur Cometa his temporibus in 27gr. 52′, 2gr. 36′, 12gr. 58′ & 17gr. 53′ circiter. Latitudines au­tem ad has longitudines in via Cometæ captas, prodeunt 1 gr. 45′, 1gr. 58′, 2gr. 22′ & 2gr. 31′. Harum quatuor obſervationum ho­ras matutinas Montenarusnon poſuit. Priores duæ ante ho­ram ſextam, poſteriores (ob viciniam Solis) poſt ſextam factæ videntur. Die 22, ubi Cometa ex obſervatione Montenariloca­tur in 2gr. 36′, Hookiusnoſter eundem locavit in 3gr. 30′ ut ſupra. Montenarusin defectu, Hookiusin exceſſu erraſſe viden­tur. Nam Cometa, ex ſerie obſervationum, jam fuit in 3gr. 56′ vel 3gr. circiter.

DE MUNDI SYSTEMATE

Obſervationum ſuarum ultimam inter vapores & diluculum captam, Montenarusſuſpectam habebat. Et Celliuseodem tem­pore (id eſt, Novem.25) Cometam per ejus Altitudinem & Azi­muthum locavit in 15gr. 47′, cum latitudine auſtrali quaſi gra­dus unius Sed Celliusobſervavit etiam eodem tempore, quod Cometa erat in linea recta cum ſtella lucida in dextro ſemoreVirginis & cum Lance auſtrali Libræ, & hæc linea ſecat viam Cometæ in 18gr. 36′. Ponthæusetiam eodem tempore obſer­vavit, quod Cometa erat in recta tranſeunte per Chelam auſtri nam Scorpii & per ſtellam quæ Lancem borealem ſequitur: & hæc recta ſecat viam Cometæ in 16gr. 34′. Obſervavit etiam, quod Cometa erat in recta tranſeunte per ſtellam ſupra Lancem auſtralem Libræ & ſtellam in principio pedis ſecundi Scorpii: & hæc recta ſecat viam Cometæ in 17gr. 55′. Et inter longitu­dines ex his tribus Obſervationibus ſic derivatas, longitudo me­diocris eſt 17gr. 42′, quæ cum obſervatione Montenariſatis congruit.

LIBER TERTIUS.

Erravit igitur Celliusjam locando Cometam in 15gr. 47′, per ejus Azimuthum & Altitudinem. Et ſimilibus Azimuthorum & Altitudinum obſervationibus, Cellius& Ponthæusnon minus erraverunt locando Cometam in 20 & 24 diebus duobus ſequentibus, ubi ſtellæ fixæ ob diluculum vix aut ne vix quidem apparuere. Et corrigendæ ſunt hæ obſervationes per additionem duorum graduum, vel duorum cum ſemiſſe.

Ex omnibus autem Obſervationibus inter ſe collatis & ad meri­dianum Londinireductis, colligo Cometam hujuſmodi curſum quamproxime deſcripſiſſe.

Temp. med. ſt. vet.Long. CometæLat. Cometæd.h.′gr.′gr.′Nov.15.17.10 8.00.44Auſt.17.17.1012.521.01821.4418.401.181917.1022.482.3020.17fere27.521.4822.17fere 2.561.3827.17 1/4ſere12.582.2024.17 1/2ſere17.532.2326.18.0026 vel 27gr.2.42

Loca autem Cometæ in Orbe Parabolice computata, ita ſe habent.

DE MUNDI SYSTEMATE

Congruunt igitur Obſervationes Aſtronomicæ, tam menſe No­vembriquam menſibus quatuor ſequentibus, cum motu Cometæ circum Solem in Trajectoria hacce Parabolica, atque adeo unum & cundem Cometam fuiſſe, qui menſe Novembriad Solem deſcen­dir, & menſibus ſequentibus ab vodem aſcendit, abunde confir­mant, ut & hunc Cometam in Trajectoria hacce Parabolica dela­tum fuiſſe quamproxime. Menſibas Decembri, Januario, Fe­bruario& Martio,ubi Obſervationes hujus Cometæ ſunt ſatis ac­curatæ, congruunt eædem cum motu ejus in hac Trajectoria, non minus accurate quam obſervationes Planetarum congruere ſolent cum eorum Theoriis. Menſe Novembri,ubi obſervationes ſunt craſſæ, errores non ſunt majores quam qui craſſitudini obſerva­tionum tribuantur. Trajectoria Cometæ bis ſecuit planum Eclip­ticæ, & propterea non fuit rectilinea. Eclipticam ſecuit non in oppoſitis cœli partibus, ſed in fine Virginis & principio Capri­corni, intervallo graduum 98 circiter; ideoque curſus Cometæ plurimum deflectebatur a Circulo maximo. Nam & menſe No­vembricurſus ejus tribus ſaltem gradibus ab Ecliptica in auſtrum declinabat, & poſtea menſe Decembrigradibus 29 vergebat ab Ecliptica in ſeptentrionem, partibus duabus Orbitæ in quibus Cometa tendebat in Solem & redibat a Sole, angulo apparente graduum plus triginta ab invicem declinantibus, ut obſervavit Montenarus.Pergebat hic Cometa per ſigna fere novem, a Vir­ginis ſcilicet duodecimo gradu ad principium Geminorum, præ­ter ſignum Leonis per quod pergebat antequam videri cœpit: & nulla alia extat Theoria, qua Cometa tantam Cœli partem motu regulari percurrat. Motus ejus fuit maxime inæquabilis. Nam circa diem vigeſimum Novembris,deſcripſit gradus circiter quin­que ſingulis diebus; dein motu retardato inter Novemb.26 & Decemb.12, ſpatio ſcilicet dierum quindecim cum ſemiſſe, de­ſcripſit gradus tantum 40; poſtea vero motu iterum accelerato, deſcripſit gradus fere quinque ſingulis diebus, antequam motus iterum retardari cœpir. Et Theoria quæ motui tam inæquabili per maximam cœli partem probe reſpondet, quæque eaſdem ob­ſervat leges cum Theoria Planetarum, & cum accuratis obſerva­tionibus Aſtronomicis accurate congruit, non poteſt non eſſe vera. Cometa tamen ſub finem motus deviabat aliquantulum ab hac Trajectoria Parabolica verſus axem Parabolæ, ut ex erroribus mi­nuti unius primi duorumve in latitudinem menſe Februario& Martioconſpirantibus, colligere videor; & propterea in Orbe El-

liptico circum Solem movebatur, ſpatio annorum pluſquam quin­

gentorum, quantum ex erroribus illis judicare licuit, revolutio­nem peragens.

LIBER TERTIUS.

Cæterum Trajectoriam quam Cometa deſcripſit, & Caudam veram quam ſingulis in locis projecit, viſum eſt annexo ſchemate in plano Trajectoriæ optice delineatas exhibere: Obſervationibus ſequentibus in Cauda definienda adhibitis.

Nov.17 Cauda gradus amplius quindecim longa Ponthæoap­paruit. Nov.18 Cauda 30gr. longa, SoliQ.E.D.recte oppoſita in Nova-Angliacernebatur, & protendebatur uſque ad ſtellam , quæ tunc erat in 9gr. 54′. Nov.19 in Mary-Landcauda viſa fuit gradus 15 vel 20 longa. Dec.10 Cauda (obſervante Flamſtedio) tranſibat per medium diſtantiæ inter caudam ſerpentis Ophiuchi & ſtellam d in Aquilæ auſtrali ala, & deſinebat prope ſtellas A, w, bin Tabulis Bayeri.Terminus igitur erat in gr. 19 1/2gr. cum latitudine boreali 34 1/4gr. circiter. Dec.11 ſurgebat ad uſque caput Sagittæ (Bayero,a, b,) deſinens in gr. 26gr. 43′, cum latitudine boreali 38gr. 34′. Dec.13 tranſibat per medium Sagittæ, nec longe ultra protendebatur, deſinens in=4gr., cum latitudine boreali 42 1/2gr. circi­ter. Intelligenda ſunt hæc de longitudine caudæ clarioris. Nam luce obſcuriore, in cœlo forſan magis ſereno, cauda Dec.12, hora 5, 40′ Romæ(obſervante Ponthæo) ſupra Cygni Uropygium ad gradus 10 ſeſe extulit; atque ab hac ſtella ejus latus ad occaſum & boream min. 45 deſtitit. Lata autem erat cauda his diebus gradus 3, juxta terminum ſuperiorem, ideoque medium ejus diſtabat a Stella illa 2gr 15′ auſtrum verſus, & terminus ſuperior erat in gr. 22gr. cum latitudine boreali 61gr.. Dec.21 ſurgebat fere ad cathedram Caſſio­peiæ,æqualiter diſtans a b & Schedir,& diſtantiam ab utraque diſtantiæ earum ab invicem æqualem habens, adeoQ.E.D.ſinens in gr. 24gr. cum latitudine 47 1/2gr.. Dec.29 tangebat Scheatſitam ad ſiniſtram, & intervallum ſtellarum duarum in pede boreali Andro­medæaccurate complebat, & longa erat 54gr. adeoQ.E.D.ſinebat in 8 19gr. cum latitudine 35gr.. Jan.5 tetigit ſtellam p in pectore Andromedæ,ad latus ſuum dextrum, & ſtellam m in ejus cingulo ad latus ſiniſtrum; & (juxta Obſervationes noſtras) longa erat 40gr.; curva autem erat & convexo latere ſpectabat ad auſtrum. Cum circulo per Solem & caput Cometæ tranſeunte angulum confecit graduum 4 juxta caput Cometæ; at juxta terminum al­terum inclinabatur ad circulum illum in angulo 10 vel 11 graduum, & chorda caudæ cum circulo illo continebat angulum graduum octo. Jan.13 Cauda luce ſatis ſenſibili terminabatur inter Ala­mech& Algol,& luce tenuiſſima deſinebat e regione ſtellæ x in latere Perſei.Diſtantia termini caudæ a circulo Solem & Come­tam ungente erat 3gr. 50′, & inclinatio chordæ caudæ ad circu­lum illum 8 1/2gr. Jan.25 & 26 luce tenui micabat ad longitu­dinem graduum 6 vel 7; & ubi cœlum valde ſerenum erat, luce tenuiſſima & ægerrime ſenſibili attingebat longitudinem graduum duodecim & paulo ultra. Dirigebatur autem ejus axis ad Luci­dam in humero orientali Aurigæ accurate, adeoQ.E.D.clinabat ab oppoſitione Solis boream verſus in angulo graduum decem. De­nique Feb.10 Caudam oculis armatis aſpexi gradus duos lon­gam. Nam lux prædicta tenuior per vitra non apparuit. Pon­thæusautem Feb.7 ſe caudam ad longitudinem graduum 12 vidiſſe ſcribit.

DE MUNDI SYSTEMATE

Orbem jam deſcriptum ſpectanti & reliqua Cometæ hujus Phæ­nomena in animo revolventi, haud difficulter conſtabit quod cor­pora Cometarum ſunt ſolida, compacta, fixa ac durabilia ad in­ſtar corporum Planetarum. Nam ſi nihil aliud eſſent quam vapo­res vel exhalationes Terræ, Solis & Planetarum, Cometa hicce in tranſitu ſuo per viciniam Solis ſtatim diſſipari debuiſſet. Eſt enim calor Solis ut radiorum denſitas, hoc eſt, reciproce ut quadratum diſtantiæ loeorum a Sole. Ideoque cum diſtantia Cometæ a cen­tro Solis Decemb.8 ubi in Perihelio verſabatur, eſſet ad diſtan­tiam Terræ a centro Solis ut 6 ad 1000 circiter, calor Solis apud Cometam eo tempore erat ad calorem Solis æſtivi apud nos ut 1000000 ad 36, ſeu 28000 ad 1. Sed calor aquæ ebullientis eſt quaſi triplo major quam calor quem terra arida concipit ad æſti­vum Solem, ut expertus ſum: & calor ferri candentis (ſi recte conjector) quaſi triplo vel quadruplo major quam calor aquæ ebul­lientis; adeoque calor quem terra arida apud Cometam in Peri­helio verſantem ex radiis Solaribus concipere poſſet, quaſi 2000 vicibus major quam calor ferri candentis. Tanto autem calore vapores & exhalationes, omniſque materia volatilis itatim conſumi ac diſſipari debuiſſent.

Cometa igitur in Perihelio ſuo calorem immenſum ad Solem concepit, & calorem illum diutiſſime conſervare poteſt. Nam globus ferri candentis digitum unum latus, calorem ſuum omnem ſpatio horæ unius in aere conſiſtens vix amitteret. Globus autem major calorem diutius conſervaret in ratione diametri, propterea quod ſuperficies (ad cujus menſuram per contactum aeris ambi-entis refrigeratur) in illa ration minor eſt pro quantitate mate­riæ ſuæ calidæ incluſæ. Ideoque globus ferri candentis huic Terræ æqualis, id eſt, pedes plus minus 40000000 latus, diebus totidem, & idcirco annis 50000, vix refrigeſceret. Suſpicor ta­men quod duratio Caloris, ob cauſas latentes, augeatur in minore ratione quam ea diametri: & optarim rationem veram per experi­menta inveſtigari.

LIBER TERTIUS.

Porro notandum eſt quod Cometa Menſe Decembri,ubi ad Solem modo incaluerat, caudam emittebat longe majorem & ſplendidiorem quam antea Menſe Novembri,ubi Periheliunt non­dum attigerat. Et univerſaliter caudæ omnes maximæ & fulgen­tiſſimæ e Cometis oriuntur, ſtatim poſt tranſitum eorum per regi­onem Solis. Conducit igitur calefactio Cometæ ad magnitudi­nem caudæ. Et inde colligere videor quod cauda nihil aliud fit quam vapor longe tenuiſſimus, quem caput ſeu nucleus Cometæ per calorem ſuum emittit.

Cæterum de Cometarum caudis triplex eſt opinio; eas vel jubar eſſe Solis per tranſlucida Cometarum capita propagatum, vel oriri ex refractione lucis in progreſſu ipſius a capite Comeræ in Ter­ram, vel denique nubem eſſe ſeu vaporem a capite Comeræ jugi­ter ſurgentem & abeuntem in partes a Sole averſas. Opinio pri­ma eorum eſt qui nondum imbuti ſunt ſcientia rerum Opticarum. Nam jubar Solis in cubiculo tenebroſo non cernitur, niſi quatenus lux reflectitur e pulverum & fumorum particulis per aerem ſem­per volitantibus: adeoQ.E.I. aere fumis craſſioribus infecto ſplen­didius eſt, & ſenſum fortius ferit; in aere clariore tenuius eſt & ægrius ſentitur: in cœlis autem abſque materia reflectente nullum eſſe poteſt. Lux non cernitur quatenus in jubare eſt, ſed quatenus inde reſtectitur ad oculos noſtros. Nam viſio non ſit niſi per radios qui in oculos impingunt. Requiritur igitur materia aliqua reflectens in regione caudæ, ne cœlum totum luce Solis illuſtratum unifor­miter ſplendeat. Opinio ſecunda multis premitur difficultatibus. Caudæ nunquam variegantur coloribus: qui tamen refractionum ſolent eſſe comites inſeparabiles. Lux Fixarum & Planetarum di­ſtincte ad nos tranſmiſſa, demonſtrat medium cœleſte nulla vi re­fractiva pollere. Nam quod dicitur Fixas ab Ægyptiiscomatas nonnunquam viſas fuiſſe, id quoniam rariſſime contingit, aſcri­bendum eſt nubium refractioni fortuitæ. Fixarum quoque radia­tio & ſcintillatio ad refractiones tum Oculorum tum Aeris tre­muli referendæ ſunt: quippe quæ admotis oculo Teleſcopiis evaneſcunt, Aeris & aſcendentium vaporum tremore fit ut radii facile de anguſto pupillæ ſpatio per vices detorqueantur, de lati­ore autem vitri objectivi apertura neutiquam. Inde eſt quod ſcintillatio in priori caſa generetur, in poſteriore autem ceſſet: & ceſſatio in poſteriore caſu demonſtrat regularem tranſmiſſionem lucis per cœlos abſque omni refractione ſenſibili. Nequis con­tendat quod caudæ non ſoleant videri in Cometis cum eorum lux non eſt ſatis fortis, quia tunc radii ſecundarii non habent ſitis vi­rium ad oculos movendos, & propterea caudas Fixarum non cerni: ſciendum eſt quod lux Fixarum plus centum vicibus augeri poteſt mediantibus Teleſcopiis, nec tamen caudæ cernuntur Planeta­rum quoque lux copioſior eſt, caudæ vero nunæ: Comeræ autem ſæpe caudatiſſimi ſunt, ubi capitum lux tenuis eſt & valde obtuſa: ſic enim Cometa Anni 1680, Menſe Decembri,quo tempore ca­put luce ſua vix æquabat ſtellas ſecundæ magnitudinis, caudam emittebat ſplendore notabili uſque ad gradus 40, 50, 60 longi­tudinis & ultra: poſtea Jan.27 & 28 caput apparebat ut ſtella ſeptimæ tantum magnitudinis, cauda vero luce quidem pertenui ſed ſatis ſenſibili longa erat 6 vel 7 gradus, & luce obſcuriſſima, quæ cerni vix poſſet, porrigebatur ad gradum uſQ.E.D.odecimum vel paulo ultra: ut ſupra dictum eſt. Sed & Feb.9 & 10 ubi caput nudis oculis videri deſierat, caudam gradus duos longam per Teleſcopium contemplatus ſum. Porro ſi cauda oriretur ex refractione materiæ cœleſtis, & pro figura cœlorum deflecteretur de Solis oppoſitione, deberet deflexio illa in iiſdem cœli regioNI­bus in eandem ſemper partem fieri. Atqui Cometa Anni 1680 Decemb.28. hora 8 1/2 P.M. Londini,verſabatur in 8gr. 41′ cum latitudine boreali 28gr. 6′, Sole exiſtente in 18gr. 26′. Et Co­meta Anni 1577, Dec.29 verſabatur in 8gr. 41′ cum latitu­dine boreali 28gr. 40′, Sole etiam exiſtente in 18gr. 26′ circi­ter. UtroQ.E.I. caſu Terra verſabatur in eodem loco, & Co­meta apparebat in eadem cœli parte: in priori tamen caſu cauda Cometæ (ex meis & aliorum Obſervationibus) declinabat angulo graduum 4 1/2 ab oppoſitione Solis aquilonem verſus; in poſte­riore vero (ex Obſervationibus Tychonis) declinatio erat gra­duum 21 in auſtrum. Igitur repudiata cœlorum refractione, ſupereſt ut Phænomena Caudarum ex materia aliqua reflectente deriventur.

DE MUNDI SYSTEMATE

Caudas autem a capitibus oriri & in regiones a Sole averſas aſcendere confirmatur ex legibus quas obſervant. Ut quod in planis Orbium Cometarum per Solem tranſeuntibus jacentes, de­viant ab oppoſitione Solis in eas ſemper partes, quas capita in Orbibus iilis progredientia relinquunt. Quod ſpectatori in his planis conſtituto apparent in partibus a Sole directe averſis; di­grediente autem ſpeſtatore de his planis, deviatio paulatim ſen­titur, & indies apparet major. Quod deviatio cæteris paribus minor eſt ubi cauda obliquior eſt ad Orbem Cometæ, ut & ubi caput Cometæ ad Solem propius accedit; præſertim ſi ſpectetur deviationis angulus juxta caput Cometæ. Præterea quod caudæ non deviantes apparent rectæ, deviantes autem incurvantur. Quod curvatura major eſt ubi major eſt deviatio, & magis ſenſibilis ubi cauda cæteris paribus longior eſt: nam in brevioribus curvatura ægre animadvertitur. Quod deviationis angulus minor eſt juxta caput Cometæ, major juxta caudæ extremitatem alteram, atque adeo quod cauda convexo ſui latere partes reſpicit a quibus ſit deviatio, quæQ.E.I. recta ſunt linea a Sole per caput Cometæ in infinitum ducta. Et quod caudæ quæ prolixiores ſunt & latiores, & luce vegetiore micant, ſint ad latera convexa paulo ſplendi­diores & limite minus indiſtincto terminatæ quam ad concava. Pendent igitur Phænomena caudæ a motu capitis, non autem a regione cœli in qua caput conſpicitur; & propterea non fiunt per refractionem cœlorum, ſed a capite ſuppeditante materiam ori­untur. Etenim ut in Aere noſtro fumus corporis cujuſvis igniti petit ſuperiora, idque vel perpendiculariter ſi corpus quieſcat, vel oblique ſi corpus moveatur in latus: ita in Cœlis ubi corpora gravitant in Solem, fumi & vapores aſcendere debent à Sole (uti jam dictum eſt) & ſuperiora vel recta petere, ſi corpus fumans quieſcit; vel oblique, ſi corpus progrediendo loca ſemper deſerit a quibus ſuperiores vaporis partes aſcenderant. Et obliquitas iſta minor erit ubi aſcenſus vaporis velocior eſt: nimirum in vicinia Solis & juxta corpus fumans. Ex obliquitatis autem diverſitate incurvabitur vaporis columna: & quia vapor in columnæ latere præcedente paulo recentior eſt, ideo etiam is ibidem aliquanto denſior erit, lucemque propterea copioſius reflectet, & limite mi­nus indiſtincto terminabitur. De Caudarum agitionibus ſubita­neis & incertis, deque earum figuris irregularibus, quas nonnulli quandoQ.E.D.ſcribunt hic nihil adjicio; propterea quod vel a mutationibus Aeris neſtri, & motibus nubium caudas aliqua ex parte obſcurantium oriantur; vel forte a partibus Viæ Lacteæ, quæ cum caudis prætereuntibus confundi poſſint, ac tanquam ea­rum partes ſpectari.

LIBER TERTIUS.

DE MUNDI SYSTEMATE

Vapores autem, qui ſpatiis tam immenſis implendis ſufficiant, ex Cometarum Atmoſphæris oriri poſſe, intelligetur ex ratitate Aeris noſtri. Nam Aer juxta ſuperficiem Terræ ſpatium occupat quaſi 850 partibus majus quam Aqua ejuſdem ponderis, ideoque Aeris columna cylindrica pedes 850 alta, ejuſdem eſt ponderis cum Aquæ columna pedali latitudinis ejuſdem. Columna autem Aeris ad ſummitatem Atmoſphæræ aſſurgens æquat pondere ſuo colurnnam Aquæ pedes 33 altam circiter; & propterea ſi colum­næ totius Aereæ pars inferior pedum 850 altitudinis dematur, pars reliqua ſuperior æquabit pondere ſuo columnam Aquæ altam pedes 32. Inde vero (ex Hypotheſi multis experimentis confir­mata, quod compreſſio Aeris ſit ut pondus Atmoſphæræ incum­bentis, quodque gravitas ſit reciproce ut quadratum diſtantiæ lo­eorum a centro Terræ) computationem per Corol. Prop. XXII. Lib. II. ineundo, inveni quod Aer, ſi aſcendatur a ſuperficie Terræ ad altitudinem ſemidiametri unius terreſtris, rarior ſit quam apud nos in ratione longe majori, quam ſpatii omnis infra Or­bem Saturni ad globum diametro digiti unius deſcriptum. Ideo­que globus Aeris noſtri digitum unum latus, ea cum raritate quam haberet in altitudine ſemidiametri unius terreſtris, impleret omnes Planetarum regiones ad uſque ſphæram Saturni & longe ultra. Proinde cum Aer adhuc altior in immenſum rareſcat; & coma ſeu Atmoſphæra Cometæ, aſcendendo ab illius centro, quaſi decuplo altior ſit quam ſuperficies nuclei, deinde cauda adhuc altius aſcendat, debebit cauda eſſe quam rariſſima. Et quamvis, ob longe craſſiorem Cometarum Atmoſphæram, magnamque cor­porum gravitationem Solem verſus, & gravitationem particula­rum Aeris & vaporum in ſe mutuo, fieri poſſit ut Aer in ſpatiis cœleſtibus inque Cometarum caudis non adeo rareſcat; perexi­guam tamen quantitatem Aeris & vaporum, ad omnia illa cauda­rum Phœnomena abunde ſufficere, ex hac computatione perſpi­cuum eſt. Nam & caudarum inſignis raritas colligitur ex aſtris pes eas tranſlucentibus. Atmoſphæra terreſtris luce Solis ſplen­dens, craſſitudine ſua paueorum milliarium, & aſtra omnia & ip­ſam Lunam obſcurat & extinguit penitus: per immenſam vero caudarum craſſitudinem, luce pariter Solari illuſtratam, aſtra mi­nima abſque claritatis detrimento tranſlucere noſcuntur. Neque major eſſe ſolet caudarum plurimarum ſplendor, quam Aeris no­ſtri in tenebroſo cubiculo latitudine digiti unius duorumve, lucem Solis in jubare reflectentis.

Quo temporis ſpatio vapor a capite ad terminum caudæ aſcen­

dit, cognoſci fere poteſt ducendo rectam a termino caudæ ad So­lem, & notando locum ubi recta illa Trajectoriam ſecat. Nam vapor in termino caudæ, ſi recta aſcendat a Sole, aſcendere cœpit a capite quo tempore caput erat in loco interſectionis. At vapor non recta aſcendit à Sole, ſed motum Cometæ, quem aute aſcen­ſum ſuum habebat, retinendo, & cum motu aſcenſus ſui eundem componendo, aſcendit oblique. Unde verior erit Problematis ſolutio, ut recta illa quæ Orbem ſecat, parallela ſit longitudini caudæ, vel potius (ob motum curvilineum Cometæ) ut eadem a linea caudæ divergat. Hoc pacto inveni quod vapor qui erat in termino caudæ Jan.25, aſcendere cœperat a capite ante Dec.11, adeoque aſcenſu ſuo toto dies plus 45 conſumpſerat. At cauda illa omnis quæ Dec.10 apparuit, aſcenderat ſpatio dierum illo­rum duorum, qui a tempore Perihelii Cometæ elapſi fuerant. Vapor igitur ſub initio in vicinia Solis celerrime aſcendebat, & poſtea cum motu per gravitatem ſuam ſemper retardato aſcen­dere pergebat; & aſcendendo augebat longitudinem caudæ: cauda autem quamdiu apparuit ex vapore fere omni conſtabat qui a tempore Perihelii aſcenderat; & vapor, qui primus aſcendit, & terminum caudæ compoſuit, non prius evanuit quam ob nimiam ſuam tam a Sole illuſtrante quam ab oculis noſtris diſtantiam vi­deri deſiit. Unde etiam caudæ Cometarum aliorum quæ breves ſunt, non aſcendunt motu celeri & perpetuo a capitibus & mox evaneſcunt, ſed ſunt permanentes vaporum & exhalationum co­lumnæ, a capitibus lentiſſimo multorum dierum motu propagatæ, quæ, participando motum illum capitum quem habuere ſub initio, per cœlos una cum capitibus moveri pergunt. Et hinc rurſus col­ligitur ſpatia cœleſtia vi reſiſtendi deſtitui; utpote in quibus non ſolum ſolida Planetarum & Cometarum corpora, ſed etiam rariſ­ſimi caudarum vapores motus ſuos velociſſimos liberrime peragunt ac diutiſſime conſervant.

LIBER TERTIUS.

Aſcenſum caudarum ex Atmoſphæris capitum & progreſſum in partes a Sole averſas Keplerusaſcribit actioni radiorum lucis ma­teriam caudæ ſecum rapientium. Et auram longe tenuiſſimam in ſpatiis liberrimis actioni radiorum cedere, non eſt a ratione pror­ſus alienum, non obſtante quod ſubſtantiæ craſſæ, impeditiſſimis in regionibus noſtris, a radiis Solis ſenſibiliter propelli nequeant. Alius particulas tam leves quam graves dari poſſe exiſtimat, & materiam caudarum levitare, perque levitatem ſuam a Sole aſcen-dere. Cum autem gravitas corporum terreſtrium ſit ut materia in corporibus, ideoque ſervata quantitate materiæ intendi & re­mitti nequeat, ſuſpicor aſcenſum illum ex rarefactione materiæ caudarum potius oriri. Aſcendit fumus in camino impulſu Aeris cui innatat. Aer ille per calorem rarefactus aſcendit, ob diminu­tam ſuam gravitatem ſpecificam, & fumum implicatum rapit ſe­cum. Quidni cauda Cometæ ad eundem modum aſcenderit a Sole? Nam radii Solares non agitant Media quæ permeant, niſi in reflexione & refractione. Particulæ reflectentes ea actione cale­factæ calefacient auram ætheream cui implicantur. Illa calore ſibi communicato rarefiet, & ob diminutam ea raritate gravitatem ſuam ſpecificam qua prius tendebat in Solem, aſcendet & ſecum rapiet particulas reflectentes ex quibus cauda componitur: Ad aſcenſum vaporum conducit etiam quod hi gyrantur circa Solem & ea actione conantur a Sole recedere, at Solis Atmoſphæra & materia cœlorum vel plane quieſcit, vel motu ſolo quem a Solis rotatione acceperint, tardius gyratur. Hæ ſunt cauſæ aſcenſus caudarum in vicinia Solis, ubi Orbes curviores ſunt, & Cometæ intra denſiorem & ea ratione graviorem Solis Atmoſphæram con­ſiſtunt, & caudas quam longiſſimas mox emittunt. Nam caudæ quæ tunc naſcuntur, conſervando motum ſuum & interea verſus Solem gravitando, movebuntur circa Solem in Ellipſibus pro more capitum, & per motum illum capita ſemper comitabuntur & iis liberrime adhærebunt. Gravitas enim vaporum in Solem non magis efficiet ut caudæ poſtea decidant a capitibus Solem ver­ſus, quam gravitas capitum efficere poſſit ut hæc decidant a cau­dis. Communi gravitate vel ſimul in Solem cadunt, vel ſimul in aſcenſu ſuo retardabuntur; adeoque gravitas illa non impedit, quo minus caudæ & capita poſitionem quamcunque ad invicem a cauſis jam deſcriptis, aut aliis quibuſcunque, facillime accipiant & poſtea liberrime ſervent.

DE MUNDI SYSTEMATE

Caudæ igitur quæ in Cometarum Periheliis naſcuntur, in regi­ones longinquas cum eorum capitibus abibunt, & vel inde poſt longam annorum ſeriem cum iiſdem ad nos redibunt, vel potius ibi rarefactæ paulatim evaneſcent. Nam poſtea in deſcenſu capi­tum ad Solem caudæ novæ breviuſculæ lento motu a capitibus propagari debebunt, & ſubinde, in Periheliis Cometarum illorum qui aduſque Atmoſphæram Solis deſcendunt, in immenſum au­geri. Vapor enim in ſpatiis illis liberrimis perpetuo rareſcit ac dilatatur. Qua ratione fit ut cauda omnis ad extremitatem ſupe-riorem latior ſit quam juxta caput Cometæ. Ea autem rarefacti­one vaporem perpetuo dilatatum diffundi tandem & ſpargi per cœlos univerſos, deinde paulatim in Planetas per gravitatem ſuam attrahi & cum eorum Atmoſphæris miſceri, rationi conſentaneum videtur. Nam quemadmodum Maria ad conſtitutionem Terræ hujus omnino requiruntur, idque ut ex iis per calorem Solis va­pores copioſe ſatis excitentur, qui vel in nubes coacti decidant in pluviis, & terram omnem ad procreationem vegetabilium irri­gent & nutriant; vel in frigidis montium verticibus condenſati (ut aliqui cum ratione philoſophantur) decurrant in fontes & flumina ſic ad conſervationem marium & humorum in Planetis, requiri videntur Cometæ, ex quorum exhalationibus & vapori­bus condenſatis, quicquid liquoris per vegetationem & putre­factionem conſumitur & in terram aridam convertitur, continuo ſuppleri & refici poſſit. Nam vegetabilia omnia ex liquoribus omnino creſcunt, dein magna ex parte in terram aridam per pu­trefactionem abeunt, & limus ex liquoribus putrefactis perpetuo decidit. Hinc moles Terræ aridæ indies augetur, & liquores, niſi aliunde augmentum ſumerent, perpetuo decreſcere deberent, ac tandem deficere. Porro ſuſpicor Spiritum illum, qui Aeris noſtri pars minima eſt ſed ſubtiliſſima & optima, & ad rerum omnium vitam requiritur, ex Cometis præcipue venire.

LIBER TERTIUS.

Atmoſphæræ Cometarum in deſcenſu eorum in Solem, excur­rendo in caudas, diminuuntur, & (ea certe in parte quæ Solem reſpicit) anguſtiores redduntur: & viciſſim in receſſu eorum a Sole, ubi jam minus excurrunt in caudas, ampliantur; ſi modo Phænomena eorum Heveliusrecte notavit. Minimæ autem ap­parent ubi capita jam modo ad Solem calefacta in caudas maximas & fulgentiſſimas abiere, & nuclei fumo forſan craſſiore & nigriore in Atmoſphærarum partibus infimis circundantur. Nam fumus omnis ingenti calore excitatus, craſſior & nigrior eſſe ſolet. Sic caput Cometæ de quo egimus, in æqualibus a Sole ac Terra di­ſtantiis, obſcurius apparuit poſt Perihelium ſuum quam antea. Menſe enim Decembricum ſtellis tertiæ magnitudinis conferri ſole­bat, at Menſe Novembricum ſtellis primæ & ſecundæ. Et qui utrumque viderant, majorem deſcribunt Cometam priorem. Nam Juveni cuidam Cantabrigienſi, Novemb.19, Cometa hicce luce ſua quantumvis plumbea & obtuſa, æquabat Spicam Virginis, & cla­rius micabat quam poſtea. Et D. Storerliteris quæ in manus no­ſtras incidere, ſcripſit caput ejus Menſe Decembri,ubi caudam maximam & fulgentiſſimam emittebat, parvum eſſe & magnitu­dine viſibili longe cedere Cometæ, qui Menſe Novembriante Solis ortum apparuerat. Cujus rei rationem eſſe conjectabatur, quod materia capitis ſub initio copioſior eſſet, & paulatim con­ſumeretur.

DE MUNDI SYSTEMATE

Eodem ſpectare videtur quod capita Cometarum aliorum, qui caudas maximas & fulgentiſſimas emiſerunt, apparuerint ſubob­ſcura & exigua. Nam Anno 1668 Mart.5. St. nov. hora ſeptima veſpertina R. P. Vaientinus Eſtancius, Braſiliæagens, Cometam vidit Horizonti proximum ad occaſum Solis brumalem, capite minimo & vix conſoicuo, cauda vero ſupra modum fulgente, ut ſtantes in littore ſpeciem ejus e mari reflexam facile cernerent. Speciem utique habebat trabis ſplendentis longitudine 23 gra­duum, ab occidente in auſtrum vergens, & Horizonti fere para­lela. Tantus autem ſplendor tres ſolum dies durabat, ſubinde notabiliter decreſcens; & interea decreſcente ſplendore aucta eſt magnitudine cauda. Unde etiam in Portugalliaquartam fere cœli partem (id eſt, gradus 45) occupaſſe dicitur, ab occidente in orientem ſplendore cum inſigni protenſa; nec tamen tota apparuit, capite ſemper in his regionibus infra Horizontem deliteſcente. Ex incremento caudæ & decremento ſplendoris manifeſtum eſt quod caput a Sole receſſit, eique proximum fuit ſub initio, pro more Cometæ anni 1680. Et ſimilis legitur Cometa anni 1101 vel 1106, cujus Steila erat parva & obſcura(ut ille anni 1680) ſed ſplendor qui ex ea exivit valde clarus & quaſi ingens trabs ad Orientem & Aquilonem tendebat,ut habet Heveliusex Simeone DunelmenſiMonacho. Apparuit initio Menſis Februarii,circa ve­ſperam, ad occaſum Solis brumalem. Inde vero & ex ſitu caudæ col­ligitur caput fuiſſe Soli vicinum. A Sole,inquit Matthæus Pari­ſienſis, diſtabat quaſi cubito uno, ab hora tertia[rectius ſexta] uſ­que ad horam nonam radium ex ſe longum emittens.Talis etiam erat ardentiſſimus ille Cometa ab Ariſtoteledeſcriptus Lib. l. Meteor. 6. cujus caput primo die non conſpectum eſt, eo quod ante Solem vel ſaltem ſub radiis ſolaribus oceidiſſet, ſequente vero die quantum potuit viſum eſt. Nam quam minima fieri poteſt diſtantia Solem reliquit, & mox occubuit. Ob nimium ardorem[caudæ ſcili­cet] nondum apparebat capitis ſparſus ignis, ſed procedente tem­pore(ait Ariſtoreles) cum[cauda] jam minus flagraret, reddita eſt[capiti] Cometæ ſua facies. Et ſplendorem ſuum ad tertiam uſque cæli partem[id eſt, ad 60gr.] extendit. Apparuit autemtempore hyberno, & aſcendens uſque ad cingulum Orionis ibi evanuit.Cometa ille anni 1618, qui c radiis Solaribus caudatiſſimus emerſit, ſtellas primæ magnitudinis æquare vel paulo ſuperare videbatur, ſed majores apparuere Cometæ non pauci qui caudas breviores habuere. Horum aliqui Jovem, alii Venerem vel etiam Lunam æquaſſe traduntur.

LIBER TERTIUS.

Diximus Cometas eſſe genus Planetarum in Orbibus valde ec­centricis circa Solem revolventium. Et quemadmodum e Plane­tis non caudatis, minores eſſe ſolent qui in Orbibus minoribus & Soli propioribus gyrantur, ſic etiam Cometas, qui in Perihcliis ſuis ad Solem propius accedunt, ut plurimum minores eſſe, neSolem attractione ſua nimis agitent, rationi conſentaneum videtur. Orbium vero tranſverſas diametros & revolutionum tempora periodica, ex collatione Cometarum in iiſdem Orbibus poſt longa temporum intervalla redeuntium, determinanda relinquo. Interea huic negotio Propoſitio ſequens lumen accendere poteſt.

PROPOSITIO XLII. PROBLEMA XXII.

Trajectoriam Cometæ Graphice inventam corrigere.

Oper.1. Aſſumatur poſitio plani Trajectoriæ, per Propoſitio­nem ſuperiorem Graphice inventa; & ſeligantur tria loca Cometæ obſervationibus accuratiſſimis deſinita, & ab invicem quam ma­xime diſtantia; ſitque A tempus inter primam & ſecundam, ac B tempus inter ſecundam ac tertiam. Cometam autem in eorum aliquo in Perigæo verſari convenit, vel ſaltem non longe a Peri­gæo abeſſe. Ex his locis apparentibus inveniantur, per opera­tiones Trigonometricas, loca tria vera Cometæ in aſſumpto illo plano Trajectoriæ. Deinde per loca illa inventa, circa centrum Solis ceu umbilicum, per operationes Arithmeticas, ope Prop. XXI. Lib. I. inſtitutas, deſcribatur Sectio Conica: & ejus areæ, radiis a Sole ad loca inventa ductis terminatæ, ſunto D & E; nempe D area inter obſervationem primam & ſecundam, & E area inter ſecundam ac tertiam. Sitque T tempus totum quo area tota D+E, velocitate Cometæ per Prop. XVI. Lib. I. in­venta, ceſcribi debet.

Oper.2. Augeatur longitudo Nodorum Plani Trajectoriæ, ad­ditis ad longitudinem illam 20′ vel 30′, quæ dicantur P; & ſer­vetur plani illius inclinatio ad planum Eclipticæ. Deinde ex prædictis tribus Cometæ locis obſervatis, inveniantur in hoc novo plano loca tria vera (at ſupra:) deinde etiam Orbis per loca illa tranſiens, & ejuſdem areæ duæ inter obſervationes deſcriptæ, quæ ſint d& e,nec non tempus totum tquo area tota d+ede­ſcribi debeat.

DE MUNDI SYSTEMATE

Oper.3. Servetur Longitudo Nodorum in operatione prima, & augeatur inclinatio Plani Trajectoriæ ad planum Eclipticæ, addi­tis ad inclinationem illam 20′ vel 30′, quæ dicantur que Deinde ex obſervatis prædictis tribus Cometæ locis apparentibus, inve­niantur in hoc novo Plano loca tria vera, Orbiſque per loca illa tranſiens, ut & ejuſdem areæ duæ inter obſervationes de­ſcriptæ, quæ ſint d & e, & tempus totum t quo area tota d+edeſcribi debeat.

Jam ſit C ad I ut A ad B, & G ad 1 ut D ad E, & gad 1 ut dad e,& g ad 1 ut d ad e; ſitque S tempus verum inter obſerva­tionem primam ac tertiam; & ſignis + & -probe obſervatis quærantur numeri m& n,ea lege, ut ſit 2G-2C=mG-mg+ nG-ng, & 2T-2S æquale mT-mt+nT-nt. Et ſi, in operatione prima, I deſignet inclinationem plani Trajectoriæ ad planum Eclipticæ, & K longitudinem Nodi alterutrius, erit I+nQ vera inclinatio Plani Trajectoriæ ad Planum Eclipticæ, & K+mP vera longitudo Nodi. Ac denique ſi in operatione prima, ſecunda ac tertia, quantitates R, r& r deſignent Latera recta Trajectoriæ, & quantitates 1/L, 1/l,1/l ejuſdem Latera tranſ­verſa reſpective: erit R+mr-mR+nr-nR verum Latus re­ctum, & (1/L+ml-mL+nl-nL) verum Latus tranſverſum Tra­jectoriæ quam Cometa deſcribit. Dato autem Latere tranſverſo datur etiam tempus periodicum Cometæ. Q.E.I.

Cæterum Cometarum revolventium tempora periodica, & Or­bium latera tranſverſa, haud ſatis accurate determinabuntur, niſi per collationem Cometarum inter ſe, qui diverſis temporibus ap­parent. Si plures Cometæ, poſt æqualia temporum intervalla, eundem Orbem deſcripſiſſe reperiantur, concludendum erit hos omnes eſſe unum & eundem Cometam, in eodem Orbe revolven­tem. Et tum demum ex revolutionum temporibus, dabuntur Or­bium latera tranſverſa, & ex his lateribus determinabuntur Or­bes Elliptici.

In hunc finem computandæ ſunt igitur Cometarum plurium Traiectoriæ, ex hypotheſi quod ſint Parabolicæ. Nam hujuſ­modi Trajectoriæ cum Phænomenis ſemper congruent quam­proxime. Id liquet, non tantum ex Trajectoria Parabolica Co­metæ anni 1680, quam cum obſervationibus ſupra contuli, ſed etiam ex ea Cometæ illius inſignis, qui annis 1664 & 1665 appa­ruit, & ab Hevelioobſervatus fuit. Is ex obſervationibus ſuis longitudines & latitudines hujus Cometæ computavit, ſed minus accurate. Ex iiſdem obſervationibus, Halleiusnoſter loca Co­metæ hujus denuo computavit, & tum demum ex locis ſic inven­tis Trajectoriam Cometæ determinavit. Invenit autem ejus No­dum aſcendentem in II 21gr. 13′. 55″, Inclinationem Orbitæ ad planum Eclipticæ 21gr. 18′. 40″, diſtantiam Perihelii a Nodo inOrbita 49gr. 27′. 30″. Perihelium in 8gr. 40′. 30′ cum Lati­tudine auſtrina heliocentrica 16gr. 1′. 45″. Cometam in Perihelio Novemb.24d. 11h. 52′. P. M. tempore æquato Londini,vel 13h. 8′ Gedani,ſtylo veteri, & Latus rectum Parabolæ 410286, exiſtente mediocri Terræ a Sole diſtantia 100000. Quam probe loca Cometæ in hoc Orbe computata, congruunt cum obſervationibus, patebit ex Tabula ſequente ab Halleioſupputata.

DE MUNDI SYSTEMATE

Temp. Appar. GedaniObſervata Cometæ diſtantiaLoca obſervataLoca compu­tata in Orbegr.′″gr.′″gr.′″Decemb.a Corde Leonis46.24.20Long. 7.1.07.1.293d.18h.29 1/2a Spica Virginis22.52.10Lauſt.21.39.021.38.504.18.1 1/2a Corde Leonis46.2.45Long. 6.15.06.16.5a Spica Virginis23.52.40Lat. a.22.24.022.24.07.17.48a Corde Leonis44.48.0Long. 3.6.03.7.33a Spica Virginis27.56.40Lat. a.25.22.025.21.4017.14.43a Corde Leonis53.15.15Long. 2.56.02.56.0ab Humero Orionis dext.45.43.30Lat. a.49.25.049.25.019.9.25a Procyone35.13.50Long. II28.40.30II28.43.0a Lucid. Mandio. Geti52.56.0Lat. a.45.48.045.46.020.9.53 1/2a Procyone40.49.0Long. II13.3.0II13.5.0a Lucid. Mandib. Ceti40.4.0Lat. a.39.54.039.53.021.9.9 1/2ab Hum. dext. Orionis26.21.25Long. II2.16.0II2.18.30a Lucid. Mandib. Ceti29.28.0Lat. a.33.41.033.39.4022.9.0ab Hum. dext. Orionis29.47.0Long. 24.24.024.27.0a Lucid. Mandib. Ceti20.29.30Lat. a.27.45.027.46.026.7.58a Lucida Arietis23.20.0Long. 9.0.09.2.28ab Aldebaran26.44.0Lat. a.12.36.012.34.13
Temp. Appar. GedaniObſervata Cometæ diſtantiaLoca obſervataLoca compu­tata in Orbe.d.h.′gr.′″gr.′″gr.′″27.6.45a Lucida Arictis20.45.0Long. 7.5.407.8.54ab Aldebaran28.10.0Lat. a.10.23.010.23.1328.7.39a Lucida Arictis18.29.0Long. 5.24.455.27.52a Palilicio29.37.0Lat. a.8.22.508.23.3731.6.45a Cing. Androm.30.48.10Long. 2.7.402.8.20a Palilicio32.53.30Lat. a.4.13.04.16.25Jan.a Cing. Androm.25.11.0Long. 28.24.4728.24.07.7.37 1/2a Palilicio37.12.25Lat. bor.0.54.00.53.024.7.29a Palilicio40.5.0Long. 26.29.1526.28.50a Cing. Androm.20.32.15Lat. bor.5.25.505.26.0Mar.Cometa ab Hookioprope ſecundam Arictis obſervabatur, Mar.1d. 7h. 0′ Loudini,cumLong. 29.17.2029.18.201.86Lat. bor.8.37.108.36.12

Apparuit hic Cometa per menſes tres, ſignaque fere ſex de­ſcripſit, & uno die gradus fere viginti confecit. Curſus ejus a circulo maximo plurimum deflexit, in boream incurvatus; & motus ejus ſub finem ex retrogrado factus eſt directus. Et non obſtante curſu tam inſolito, Theoria a principio ad finem cum obſervationibus non minus accurate congruit, quam Theoriæ Planetarum cum eorum obſervationibus congruere ſolent, ut in­ſpicienti Tabulam patebit. Subducenda tamen ſunt minuta duo prima circiter, ubi Cometa velociſſimus fuit; id quod fiet au­ferendo duodecim minuta ſecunda. prima ab angulo inter Nodum aſcen­dentem & Perihelium, ſeu conſtituendo angulum illum 49gr.27′. 18″. Cometæ utriuſque (& hujus & ſuperioris) parallaxis annua inſignis fuit, & inde demonſtratur motus annuus Terræ in Orbe magno.

Confirmatur etiam Theoria per motum Cometæ qui apparuit anno 1683. Hic fuit retrogradus in Orbe cujus planum cum plano Eclipticæ angulum fere rectum continebat. Hujus Nodus aſcendens (computante Halleio) erat in 23gr 23′; Inclinatio Orbitæ ad Eclipticam 83gr. 11′; Perihelium in II 25gr. 29′. 30″; Diſtantia perihelia a Sole 56020, exiſtente radio Orbis magni 100000, & tempore Perihelii Julii2d. 3h. 50′. Loca autem Co­metæ in hoc Orbe ab Halleiocomputata, & cum locis a Flam­ſtedioobſervatis collata, exhibentur in Tabula ſequente.

LIBER TERTIUS.

1683Locus SolisCometæLat. Bor.CometæLat. Bor.Differ.Differ.Temp. Æquat.Long. Comp.Comp.Long. Obſ.Obſer.Long.Lat.d.h.′gr.′″gr.′″gr.′″gr.′″gr.′″′″′″Jul.13.12.551.2.3013.5.4229.28.1313.6.4229.28.20+ 1.0+ 0.715.11.152.53.1211.374829.34.011.39.4329.34.50+ 1.55+ 0.5017.10.204.45.4510.7.629.33.3010.8.4029.34.0+ 1.34+ 0.3023.13.4010.38.215.10.2728.51.425.11.3028.50.28+ 1.3-1.1425.14.512.35.283.27.5324.24.473.27.028.23.40-0.53-1.731.9.4218.9.22II27.55.326.22.52II27.54.2426.22.25-0.39-0.2731.14.5518.21.5327.41.726.16.5727.41.826.14.50+ 0.1-2.7Aug.2.14.5620.17.1625.29.3225.16.1925.28.4625.17.28-0.46+ 1.94.10.4922.2.5023.18.2024.10.4923.16.5524.12.19-1.25+ 1.306.10.923.56.4520.42.2322.47.520.40.3222.49.5-1.51+ 2.09.10.2626.50.5216.7.5720.6.3716.5.5520.6.10-2.2-0.2715.14.12.47.133.30.4811.37.333.26.1811.32.1-4.30-5.3216.15.103.48.2043.79.34.160.41.559.34.13-1.12-0.318.15.445.45.3324.52.535.11.1524.49.55.9.11-3.48-2.4Auſtr.Auſtr.22.14.449.35.4911.7.145.16.5311.7.125.16.50-0.2-0.323.15.5210.36.487.2.188.17.97.1.178.16.41-1.1-0.2826.16.213.31.1024.45.3116.38.024.44.016.38.20-1.31+ 0.20

Confirmatur etiam Theoria per motum Cometæ retrogradi qui apparuit anno 1682. Hujus Nodus aſcendens (computante Hal­leio) erat in 8 21gr. 16′. 30″. Inclinatio Orbitæ ad planum Eclip­ticæ 17gr. 56′. 0″. Perihelium in = 2gr. 52′. 50″. Diſtantia peri­helia a Sole 58328. Et tempus æquatum Perihelii Sept.4d. 7h. 39′. Loca vero ex obſervationibus Flamſtediicomputata, & cum locis per Theoriam computatis collata, exhibentur in Tabula ſe­quente.

1682Locus SolisCometæLat. Bor.CometæLat. Bor.Differ.Differ.Temp. Appar.Long. Comp.Comp.Long. Obſ.Obſer.Long.Lat.d.h.′gr.′″gr.′″gr.′″gr.′″gr.′″′″′″Aug.19.16.387.0.718.14.2825.50718.14.4025.49.55-0.12+ 0.1220.15.387.55.5224.46.2326.144224.46.2226.12.52+ 0.1+ 1.5021.8.218.36.1429.37.1526.20.329.38.226.17.37-0.47+ 2.2622.8.89.33.556.29.5326.8.426.30.326.7.12-0.10+ 1.3029.8.2016.22.4012.375418.37.4712.37.4918.34.5+ 0.5+ 3.4230.7.4517.19.4115.36.117.26.4315.35.1817.27.17+ 0.43-0.34Sept.1.7.3319.16.920.30.5315.13.020.27.415.9.49+ 3.49+ 3.114.7.2222.11.2825.42.012.23.4825.40.5812.22.0+ 1.2+ 1.435.7.3223.10.2927.0.4611.33.826.59.2411.33.51+ 1.22-0.438.7.1626.5.5829.58.449.26.4629.58.459.26.43-0.1+ 0.39.7.2627.5.90.44.108.49.100.44.48.48.25+ 0.6+ 0.45

His exemplis abunde ſatis manifeſtum eſt, quod motus Come­tarum per Theoriam a nobis expoſitam non minus accurate ex-hibentur, quam ſolent motus Planetarum per eorum Theovias. Et propterea Orbes Cometarum per hanc Theoriam enumerari poſ­ſunt, & tempus periodicum Cometæ in quolibet Orbe revolventis tandem ſciri, & tum demum Orbium Elliptieorum latera tranſ­verſa & Apheliorum altitudines innoteſcent.

DE MUNDI SYSTEMATE

Cometa retrogradus qui apparuit anno 1607, deſcripſit Orbem cujus Nodus aſcendens (computante Halleio) erat in 8 20gr. 21′. Inclinatio plani Orbis ad planum Eclipticæ erat 17gr. 2′. Peri­helium erat in = 2gr. 16′, & diſtantia perihelia a Sole erat 58680, exiſtente radio Orbis magni 100000. Et Cometa erat in Peri­helio Octob.16d. 3h. 50′. Congruit hic Orbis quamproxime cum Orbe Cometæ qui apparuit anno 1682. Si Cometæ hi duo fue­rint unus & idem, revolvetur hic Cometa ſpatio annorum 75, & axis major Orbis ejus erit ad axem majorem Orbis magni, ut √c:75X75 ad 1, ſeu 1778 ad 100 circiter. Et diſtantia aphe­lia Cometæ hujus a Sole, erit ad diſtantiam mediocrem Terræ a Sole, ut 35 ad 1 circiter. Quibus cognitis, haud difficile fuerit Orbem Ellipticum Cometæ hujus determinare. Atque hæc ita ſe habebunt ſi Cometa, ſpatio annorum ſeptuaginta quinque, in hoc Orbe poſthac redierit. Cometæ reliqui majori tempore re­volvi videntur & altius aſcendere.

Cæterum Cometæ, ob magnum eorum numerum, & magnam Apheliorum a Sole diſtantiam, & longam moram in Apheliis, per gravitates in ſe mutuo nonnihil turbari debent, & eorum eccen­tricitates & revolutionum tempora nunc augeri aliquantulum, nunc diminui. Proinde non eſt expectandum ut Cometa idem, in eodem Orbe & iiſdem temporibus periodicis, accurate redeat. Sufficit ſi mutationes non majores obvenerint, quam quæ a cauſis prædictis oriantur.

Et hinc ratio redditur cur Cometæ non comprehendantur Zo­diaco (more Planetarum) ſed inde migrent & motibus variis in omnes cœlorum regiones ferantur. Scilicet eo fine, ut in Apheliis ſuis ubi tardiſſime moventur, quam longiſſime diſtent ab invicem & ſe mutuo quam minime trahant. Qua de cauſa Cometæ qui altius deſcendunt, adeoque tardiſſime moventur in Apheliis, de­bent altius aſcendere.

Cometa qui anno 1680 apparuit, minus diſtabat a Sole in Peri­helio. ſuo quam parte ſexta diametri Solis; & propter ſummam velocitatem in vicinia illa, & denſitatem aliquam Atmoſphæræ So­lis, reſiſtentiam nonnullam ſentire debuit, & aliquantulum retar-dari & propius ad Solem accedere: & ſingulis revolutionibus ac­cedendo ad Solem, incidet is tandem in corpus Solis. Sed & in Aphelio ubi tardiſſime movetur, aliquando per attractionem alio­rum Cometarum retardari poteſt & ſubinde in Solem incidere. Sic etiam Stellæ fixæ quæ paulatim expirant in lucern & vapores, Cometis in ipſas incidentibus refici poſſunt, & novo alimento accenſæ pro Stellis Novis haberi. Vapores autem qui ex Sole & Stellis fixis & caudis Cometarum oriuntur, incidere poſſunt per gravitatem ſuam in Atmoſphæras Planetarum, & ibi condenſari & converti in aquam & ſpiritus humidos, & ſubinde per lentum calorem in ſales, & ſulphura, & tincturas, & limum, & lutum, & argillam, & arenam, & lapides, & coralla, & ſubſtantias alias terreſtres paulatim migrare. Decreſcente autem corpore Solis motus medii Planetarum circum Solem paulatim tardeſcent, & creſcente Terra motus medius Lunæ circum Terram paulatim au­gebitur. Et collatis quidem obſervationibus Eclipſium BabyloNI­ciscum iis Albategnii& cum hodiernis, Halleiusnoſter motum medium Lunæ cum motu diurno Terræ collatum, paulatim acce­lerari, primus omnium quod ſciam deprehendit.

LIBER TERTIUS.

SCHOLIUM GENERALE.

Hypotheſis Vorticum multis premitur difficultatibus. Ut Pla­neta unuſquiſque radio ad Solem ducto areas deſcribat tempori proportionales, tempora periodica partium Vorticis deberent eſſe in duplicata ratione diſtantiarum a Sole. Ut periodica Plane­tarum tempora ſint in proportione ſeſquiplicata diſtantiarum a Sole, tempora periodica partium Vorticis deberent eſſe in eadem diſtantiarum proportione. Ut Vortices minores circum Satur­num, Jovem & alios Planetas gyrati conſerventur & tranquille natent in Vortice Solis, tempora periodica partium Vorticis So­laris deberent eſſe æqualia. Revolutiones Solis & Planetarum cir­cum axes ſuos ab omnibus hiſce proportionibus diſcrepant. Mo­tus Cometarum ſunt ſumme r