Monte, Guidobaldo del Mechanicorum Liber 1577 Pisauri la monte_mecha_036_la_1577.xml 2635.10 036.xml /permanent/library/A41S4WF7

GVIDIVBALDI E MARCHIONIBVS MONTIS MECHANICORVM LIBER.

PISAVRI Apud Hieronymum Concordiam. M. D. LXXVII. Cum Licentia Superiorum.

PRAESENTI OPERE CONTENTA.

De Libra.

De Vecte.

De Trochlea.

De Axe in peritrochio.

De Cuneo.

De Cochlea.

AD FRANCISCVM MARIAM II VRBINATVM AMPLISSIMVM DVCEM GVIDIVBALDI E MARCHIONIBVS MONTIS

PRAEFATIO.

DVAE res (AMPLISSIME PRIN­CEPS) quæ ad conciliandas hominibus facultates, vtilitas nempè, & nobilitas, plurimùm valere conſueuerunt. illæ ad exornandam mechanicam facultatem, & eam præ om­nibus alijs appetibilem reddendam conſpiraſſe mihi videntur: nam ſi nobilitatem (quod pleriq; modò faciunt) ortu ipſo metimur, occurret hinc Geometria, illinc verò Phiſica; quorum geminato complexu nobiliſſima artium prodit mechani­ca. ſi enim nobilitatem magis, tùm ſtratæ materiæ, tùm argumentorum neceſſitati (quod Ariſtote­les fatetur aliquandò) relatam volumus, omnium procul dubiò nobiliſſimam perſpiciemus. quæ quidem non ſolum geometriam (vt Pappus teſtatur) abſoluit, & perficit; verùm etiam & phiſica­rum rerum imperium habet: quandoquidem quodcunq; Fabris, Architectis, Baiulis, Agricolis, Nautis, & quàm plurimis alijs (repugnantibus na­turæ legibus) opitulatur; id omne mechanicum eſt imperium. quippè quod aduerſus naturam vel eiuſdem emulata leges exercet; ſumma id certè admiratione dignum; veriſſimum tamen, & à quocunque liberaliter admiſſum, qui pri­us ab Ariſtotele didicerit, omnia mechanica, tùm problemata, tùm theoremata ad rotundam machinam reduci, atq; ideo illo niti principio, non minus ſenſui, quàm rationi noto. Rotunda machina eſt mouentiſſima, & quò maior, eò mouen­tior. Verùm huic nobilitati adnexa eſt ſumma re rum ad vitam pertinentium vtilitas, quæ propte­rea omnes alias à diuerſis artibus propagatas an­tecellit; quòd aliæ facultates poſt mundi geneſim longa temporis intercapedine ſuos explicarunt vſus; iſta verò & in ipſis mundi primordijs ita fuit hominibus neceſſaria, vt ea ſublata Sol de mun­do ſublatus videretur. nam quacunq; neceſſita­te Adæ vita degeretur; & quamuis etiam caſis contectis ſtramine, & anguſtis tugurijs, ac gurgu­ſtijs cœli defenderet iniurias; ſic & in corporis veſtitu, licet ipſe nihil aliud ſpectaret, niſi vt imbres, vt niues, vt ventos; vt Solem, vt frigus arceret; quodcunque tamen id fuit, omne mechanicum fuit. neq; tamen huic facultati contingit, quod ventis ſolet, qui cùm vndè oriuntur, ibi vehe­mentiſſimi ſint, ad longinqua tamen fracti, de­bilitatiquè perueniunt: ſed quod magnis flumini­bus crebriuſ accidit, quæ cùm in ipſo ortu parua ſint, perpetuò tamen aucta, eò ampliori feruntur alueo, quò à fontibus ſuis longius receſſe­runt. Nam & temporis progreſſu mechanica fa cultas ſub iugo æquum arationis laborem di­ſpenſare, atque aratrum agris circumagere cæ­pit. deinceps bigis, & quadrigis docuit comeatus, merces, onera quælibet vehere, è finibus noſtriſ ad finitimos populos exportare, & ex illis contra importare ad nos. præterea cùm iam res non tantùm neceſſitate, verùm etiam orna­tu, & commoditate metirentur, mechanicæ fuit ſubtilitatis, quòd nauigia remo impellere­mus; quòd gubernaculo exiguo in extrema puppi collocato ingentes triremium moles inflecte­remus; quòd vnius ſæpè manu pro multis fabro­rum manibus modò pondera lapidum, & tra­bium Fabris, & Architectis ſubleuaremus; mo­dò tollenonis ſpecie aquas è puteis olitoribus e­xhauriremus. hinc etiam è liquidorum prælis vina, olea, vnguenta expreſſa, & quicquid liquo­ris habent, perſoluere domino compulſa. hinc magnas arborum, & marmorum moles duobus in contrarias partes diſtrahentibus vectibus diremp­ſimus; hinc militiæ in aggeribus extruendis, in conſerenda manu, in opugnando, propugnan­doq; loca infinitæ ferè redundarunt vtilitates; hinc demum Lignatores, Lapicidæ, Marmorarij Vinitores, Olearij, Vnguentarij, Ferrarij, Aurifices, Metallici, Chirurgi, Tonſores, Piſtores, Sartores, omnes deniq; opifices beneficiarij, tot, tantaq; vitæ humanæ ſuppeditarunt commoda. Eant nunc noui logodedali quidam mechanicorum contemptores, perfricent frontem, ſi quam ha­bent, & ignobilitatem, atquè inutilitatem falſò criminari deſinant: quòd ſi & adhuc id minimè velint, eos quæſo in inſcitia ſua relinquamus: Ariſtotelemquè potius philoſophorum cory­phæum imitemur, cuius mechanici amoris ardorem acutiſſimæ illæ mechanicæ quæſtiones poſte ris traditæ ſatis declarant: qua quidem laude Platonem magnificè ſuperauit; qui (vt teſtatur Plutarcus) Architam, & Eudoxum mechanicæ vtilitatem impenſius colentes ab inſtituto deterruit; quòd nobiliſſimam philoſophorum poſſeſ­ſionem in vulgus indicarent, ac publicarent; & velut arcana philoſophiæ myſteria proderent. res ſanè meo quidem iudicio proſus vituperan­da, niſi fortè velimus tam nobilis diſciplinæ contemplationem quidem ocioſam laudare; fructum verò, & vſum, artiſq; finem improbare. ſed præ omnibus mathematicis vnus Archimedes ore laudandus eſt pleniore, quem voluit Deus in me­chanicis velut ideam ſingularem eſſe, quam om­nes earum ſtudioſi ad imitandum ſibi propone­rent. is enim Cœleſtem globum exiguo admo­dum, fragili què vitreo orbe concluſum ita efin­xit, ſimulatis aſtris viuum naturæ opus, ac iura poli motibus certis adeò præ ſe ferentibus; vt æmula naturæ manus tale de ſe encomium ſit promerita: ſic manus naturam, vt natura ma­num ipſa immitata putetur. is poliſpaſtu manu leua, & ſola, quinquies millenum modiorum pondus attraxit. nauem in ſiccum litus eductam, ac grauius oneratam ſolus machinis ſuis ad ſe perindè pertraxit, ac ſi in mari remis, veliſuè impulſa moueretur, quam & poſtea in litore (quod omnes Siciliæ vires non potuerunt) in mare de­duxit. ab iſto etiam ea extiterunt bellica tor­menta, quibus Syracuſæ aduerſus Marcellum ita defenſæ ſunt, vt paſſim eorum machinator Briareus, & centimanus à Romanis appellare­tur. demum hac arte confiſus eò proceſſit au­daciæ, vt eam vocem naturæ legibus adeò re­pugnantem protulerit. Da mihi, vbi ſiſtam, terramq; mouebo. quod tamen non modò nos vecte tantùm fieri potuiſſe in præſenti libro docemus; verùm etiam, & omnis antiquitas (quod multis fortaſſè mirabile videbitur) id penitus credidiſſe mihi videtur; quæ Neptuno tri­dentem tanquam vectem attribuit; cuius ope terræ concuſſor vbiq; nuncupatur à poetis. ad quod etiam aſpiciens celeberrimus noſter poeta Neptunum inducit iſta machina ſyrtes, quò ma­gis apparerent Troianis, ſubleuantem.

“Leuat ipſe tridenti & vaſtas aperit ſyrtes.”

Mechanici præterea fuerunt Heron, Cteſibius, & Pappus, qui licet ad mechanicæ apicem, perin­de atq; Archimedes, euecti fortaſſè minimè ſint; mechanicam tamen facultatem egregiè percal­luerunt; taleſq; fuerunt, & præſertim Pappus, vt eum me ducem ſequentem nemo (vt opinor) culpauerit. quod & propterea libentius feci, quòd nè latum quidem vnguem ab Archimedeis prin­cipijs Pappus recedat. ego enim in hac præſertim facultate Archimedis veſtigijs hærere ſemper vo lui: & licet eius lucubrationes ad mechanicam per­tinentes multis ab hinc annis paſſim ſoleant do­ctis deſiderari: eruditiſſimus tamen libellus de æ­queponderantibus præ manibus hominum adhuc verſatur, in quò tanquam in copioſiſſima pœnu omnia ferè mechanica dogmata repoſita mihi vi­dentur; quem ſanè libellum, ſi ætatis noſtræ mathematici ſibi magis familiarem adhibuiſſent; reperiſſent ſanè ſententias multas, quas modó ipſi firmas, & ratas eſſe docent; ſubtiliſſimè, atquè veriſ­ſimè conuulſas, & labefactatas. ſed hoc vi­derint ipſi. ego enim ad Pappum redeo, qui ad vſum mathematicarum vberiorem, emulu­mentorumquè acceſſiones amplificandas peni­tus conuerſus, de quinque principibus machi­nis, Vecte nempè, Trochlea, Axe in peri­trochio, Cuneo, & Cochlea, multa egre­giè philoſophatus eſt; demonſtrauit què quicquid in machinis, aut cogitari peritè, aut acutè definiri, aut certò ſtatui poteſt, id omne quin­què illis infinita vi præditis machinis referen­dum eſſe. atquè vtinam iniuria temporis ni­hil è tanti viri ſcriptis abraſiſſet: nec enim tam denſa inſcitiæ caligo vniuerſum propè terra­rum orbem obtexiſſet, neque tanta mechanicæ facultatis eſſet ignoratio conſecuta, vt ma­thematicarum proceres exiſtimarentur illi, qui modò ineptiſſima quadam diſtinctione, diffi­cultates nonnullas, nec illas tamen ſatis ar­duas, & obſcuras è medio tollunt. reperiun­tur enim aliqui, noſtraq; ætate emunctæ naris mathematici, qui mechanicam, tùm mathe­maticè ſeorſum, tùm phiſicè conſiderari poſ­ſe affirmant; ac ſi aliquando, vel ſine demonſtrationibus geometricis, vel ſine vero motu res mechanicæ conſiderari poſſint: qua ſanè di­ſtinctione (vt leuius cum illis agam) nihil aliud mi­hi comminiſci videntur, quàm vt dum ſe, tùm phiſicos, tùm mathematicos proferant, vtra­que (quod aiunt) ſella excludantur. nequè enim amplius mechanica, ſi à machinis abſtrahatur, & ſeiungatur, mechanica poteſt appellari. Emicuit tamen inter iſtas tenebras (quam­uis alij quoquè nonnulli fuerint præclariſſimi) Solis inſtar Federicus Commandinus, qui multis doctiſſimis elucubrationibus amiſſum mathematicarum patrimonium non modò reſtaurauit, verùm etiam auctiùs, & locupletiùs effecit. erat enim ſummus iſte vir omnibus adeò facul­tatibus mathematicis ornatus, vt in eo Archi­tas, Eudoxus, Heron, Euclides, Theon, Ari­ſtarcus, Diophantus, Theodoſius, Ptolemæus Apollonius, Serenus, Pappus, quin & ip­ſemet Archimedes (ſiquidem ipſius in Archi­medem ſcripta Archimedis olent lucernam) re uixiſſe viderentur. & ecce repentè è tenebris (vt confidimus) ac vinculis corporis in lucem, li­bertatem què productus mathematicas alieniſ­ſimo tempore optimo, & præſtantiſſimo patre orbatas, nos verò ita conſternatos reliquit, vt e­ius deſiderium vix longo ſermone mitigare poſſe videamur. Ille tamen perpetuò in alia­rum mathematicarum explicationem verſans, mechanicam facultatem, aut penitus præter­miſit, aut modicè attigit. Quapropter in hoc ſtudium ardentiùs ego incumbere cæpi, nec me vnquam per omne mathematum genus vagantem ea ſolicitudo deſeruit; ecquid ex vno quoquè decerpi, ac delibari poſſit; quo ad mechanicam expoliendam, & exornandam acco­modatior eſſe poſſem. Nunc verò cùm mihi videar, noni ea quidem omnia, quæ ad mechanicam pertinent, perfeciſſe; ſed eò vſq; tamen progreſſus, vt ijs, qui ex Pappo, ex Vitruuio, & ex alijs didicerint, quid ſit Vectis, quid Tro­chlea, quid Axis in peritrochio, quid Cuneus, quid Cochlea; quomodoq; vt pondera moueri poſſint, aptari debeant; adhuc tamen acciden­tia permulta, quæ inter potentiam, & pondus vectis virtute illis inſunt inſtrumentis, perdiſce­re cupiunt, opis aliquid adferre poſſim; putaui tempus iam poſtulare, vt prodirem; & nauatæ in hoc genere operæ ſpecimen aliquod darem. Verùm quò facilius totius operis ſubſtructio ad faſtigium ſuum per duceretur, nonnulla quo­què de libra fuerunt pertractanda, & præſer­tim dum vnico pondere alterum ſolum ipſius brachium penitus deprimitur: que in re mi­rum eſt quantas fecerint ruinas Iordanus (qui inter recentiores maximæ fuit auctoritatis) & alij; qui hanc rem ſibi diſcutiendam propoſuerunt. opus ſanè arduum, & forſan viribus no­ſtris impar aggreſsi ſumus; in eo tamen digni, vt noſtros conatus, & induſtriam ad præclara tendentem bonorum omnium perpetuus applau­ſus, approbatioq; comitetur; quòd ad ſtudium tàm illuſtre, tam magnificum, tam laudabile contulimus quicquid habuimus virium. quod ſanè qualecunq; ſit, tibi celeberrime PRINCEPS nuncupandum cenſuimus; cuius ſanè conſilij, atq; inſtituti noſtri rationes multas reddere in promptu eſt: & primùm hæreditaria tibi in fa­miliam noſtram promerita, quibus nos ita de­uictos habes; vt facilè intelligamus ad fortunas non modò noſtras, verùm & ad ſanguinem, & vitam quoq; pro tua dignitate propendendam paratiſſimos eſſe debere. Præterea illud non parui quoq; ponderis accedit, quòd à pueri­tia literarum omnium, ſed præcipuè mathe­maticarum deſiderio ita fueris incenſus, vt ni­ſi illis adeptis vitam tibi acerbam, atq; inſua­uem ſtatueres. proinde in earum ſtudio infi­xus primam ætatis partem in illis percipiendis exegiſti, eamquè ſæpius verè principe dignam vocem protuliſti, te propterea mathematicis præſertim delectari, quòd iſtæ maximè ex do­meſtico illo, & vmbratili vitæ genere in Solem (quod dicitur) & puluerem prodire poſsint: cuius ſanè rei tuum flagrantiſsimum ab ineunte æta te peritiæ militaris deſiderium, exploratum in­dicium poterat eſſe, niſi nimis emendicatæ men­tis eſſet ea proponere, quæ à te ſperari poſſent; quando tu penitus adoleſcens, egregia multa facinora proficere maturaſti. Tu enim cùm iam à ſanctiſſimo Pontifice Pio V ſaluberrimæ Prin­cipum Chriſtianorum coniunctionis fundamen­ta iacta eſſent, alacer admodum ad debellan­dos Chriſti hoſtes profectus, ſolidiſſimam, ac ve­riſſimam gloriam tibi comparaſti. Tu quoties de ſumma rerum deliberatum eſt, eas ſententias dixiſti, quæ ſummam prudentiam cùm ſumma animi excelſitate coniunctam indicarent. ommit­tam interim pleraq; alia illis temporibus egre­giè, viriliter què à te geſta, ne tibi ipſi ea, quæ omnibus ſunt manifeſta, palàm facere videar: quæ cùm omnia magna, & præclara ſint; mul­tò tamen à te maiora, & præclara expectant adhuc homines. Vale interim præſtantiſſimum orbis decus, & ſi quando aliquid otij nactus fueris has meas vigiliolas aſpicere ne dedi­gneris.

GVIDIVBALDI E MARCHIONIBVS MONTIS.

MECHANICORVM LIBER.

DEFINITIONES.

Centrvm grauitatis vniuſcu­iuſq; corporis eſt punctum quod­dam intra poſitum, à quo ſi gra­ue appenſum mente concipiatur, dum fertur, quieſcit; & ſeruat eam, quam in principio habebat poſi­tionem: neq; in ipſa latione circumuertitur.

Hanc centri grauitatis definitionem Pappus Alexandrinus in octauo Mathematicarum collectionum libro tradidit. Federicus verò Commandinus in libro de centro grauitatis ſolidorum idem centrum deſcribendo ita explicauit.

Centrum grauitatis vniuſcuiuſq; ſolidæ figu­ræ eſt punctum illud intra poſitum, circa quod vndiq; partes æqualium momentorum conſi­ſtunt. ſi enim per tale centrum ducatur planum figuram quomodocunq; ſecans ſemper in par­tes æqueponderantes ipſam diuidet.

COMMVNES NOTIONES.

I

Si ab æqueponderantibus æqueponderantia au­ferantur, reliqua æqueponderabunt.

II

Si æqueponderantibus æqueponderantia adii­ciantur, tota ſimul æqueponderabunt.

III

Quæ eidem æqueponderant, inter ſe æquè ſunt grauia.

SVPPOSITIONES.

I

Vnius corporis vnum tantùm eſt centrum gra­uitatis.

II

Vnius corporis centrum grauitatis ſemper in eodem eſt ſitu reſpectu ſui corporis.

III

Secundùm grauitatis centrum pondera deor­ſum feruntur.

DE LIBRA.

Anteqvam de libra ſermo habeatur, vtres clarior eluceſcat, ſit libra AB recta linea; CD verò trutina, quæ ſecundum commu­nem conſuetudinem horizonti ſemper eſt perpendicularis. pun­ctum autem C immobile, circa quod vertitur li­bra, centrum libræ vocetur. itidemque (quamuis tamen im­proprie) ſiue ſupra, ſiue infra libram fuerit conſtitutum. CA verò, & CB, tum diſtantiæ, tum libræ brachia nuncupen­tur. & ſi à centro li­bræ ſupra, vel infra

libram conſtituto ipſi AB perpendicularis duca­tur, hæc perpendiculum vocetur, quæ libram AB ſubſtinebit; & quocunque modo moueatur libra, ipſi ſemper perpendicularis exiſtet.

LEMMA.

Sit linea AB horizonti perpendicularis, & dia metro AB circulus deſcribatur AEBD, cuius centrum C. Dico punctum B infimum eſſe lo­cum circumferentiæ circuli AEBD; punctum verò A ſublimiorem; & quælibet puncta, vt DE æqualiter à puncto A diſtantia æqualiter eſſe deorſum; quæ verò propius ſunt ipſi A eis, quæ magis diſtant, ſublimiora eſſe.

Producatur AB vſq; ad mundi cen­trum, quod ſit F; deinde in circuli circum­ferentia quoduis accipiatur punctum G; connectanturq; FG FD FE. Quoniam n. BF minima eſt omnium, quæ à puncto F ad circumferentiam AEBD ducun­tur; erit BF ipſa FG minor. quare punctum B propius erit puncto F, quàm G. hacq; ratione oſtendetur punctum B quouis alio puncto circumferentiæ circuli AEDB mundi centro propius eſſe. erit igitur pun­ctum B circumferentiæ circuli AEBD infimus locus. Deinde quoniam AF per centrum ducta maior eſt ipſa GF; erit punctum A non ſolum ipſo G, verum etiam quouis alio puncto circumferentiæ circuli AEBD ſublimius. Præterea quoniam DF FE ſunt æquales; puncta DE æqualiter

mundi centro diſtabunt. & cum DF maior ſit FG; erit pun­ctum D ipſi A propius puncto G ſublimius. quæ omnia demon­ſtrare oportebat.

8. Tertil.

PROPOSITIO I.

Si Pondus in eius centro grauitatis a recta ſu­ſtineatur linea, nunquam manebit, niſi eadem li­nea horizonti fuerit perpendicularis.

Sit pondus A, cuius centrum grauitatis B, quod à linea CE ſuſti­neatur. Dico pondus nunquam permanſurum, niſi CB horizonti perpendicularis exiſtat. ſit pun­ctum C immobile, quod vt pondus ſuſtineatur, neceſſe eſt. & cum punctum C ſit immobile, ſi pon­dus A mouebitur, punctum B circuli circumferentiam deſcribet, cuius ſemidiameter erit CB. quare centro C, ſpatio verò BC, cir­culus deſcribatur BFDE. ſitq;

primum BC horizonti perpendicularís, quæ vſq; ad D produca­tur; atq; punctum C ſit infra punctum B. Quoniam enim pondus A ſecundum grauitatis centrum B deorſum mouetur; punctum B deorſum in centrum mundi, quò naturaliter tendit, per re­ctam lineam BD mouebitur: totum ergo pondus A eius cen­tro grauitatis B ſuper rectam lineam BC graueſcet. cum au­tem pondus à linea CB ſuſtineatur, linea CB totum ſuſti­nebit pondus A; ſuper quam deorſum moueri non poteſt, cum ab ipſa prohibeatur: per definitionem igitur centri grauitatis punctum B, ponduſq; A in hoc ſitu manebunt. & quamquam B quo­cunq; alio puncto circuli ſit ſublimius, ab hoc tamen ſitu deorſum per circuli circumferentiam nequaquam mouebitur non enim ver­ſus F magis, quàm verſus E inclinabitur, cum ex vtraq; parte æqua­lis ſit deſcenſus; neq; pondus A in vnam magis, quàm in alteram partem propenſionem habeat: quod non accidit in quouis alio puncto circumferentiæ circuli (præter D) ſit ponderis eiuſdem centrum grauitatis, vt in F; cum ex puncto F verſus D ſit deſcenſus, at verò verſus B aſcenſus. quare pun­ctum F deorſum mouebitur. & quoniam per rectam lineam in centrum mundi moueri non poteſt, cum à puncto C immobili propter lineam CF prohibeatur; deorſum tamen ſicuti eius natura poſtulat, ſemper mouebitur. & cum infimus locus ſit D, per circumferentiam FD mouebitur, donec in D perueniat, in quo ſitu manebit, ponduſq; immobile exi
ſtet. tum quia deorſum amplius moueri non poteſt, cum ex pun­cto C ſit appenſum; tum etiam, quia in eius centro grauitatis ſuſtinetur. Quando autem F erit in D, erit quoq; linea FC in DC, ſimulq; horizonti perpendicularis. pondus ergo nunquam manebit, donec linea CF horizonti perpendicularis non exiſtat. quod oſtendere oportebat. quod oſtendere oportebat.

Supp. 3. huius.

Ex hoc elici poteſt, pondus quocunq; modo in dato puncto ſuſtineatur, nunquam manere; ni ſi quando a centro grauitatis ponderis ad id punctum ducta linea horizonti ſit perpendicularis.

Vt iiſdem poſitis, ſuſtineatur pondus à lineis CG CH. Dico ſi ducta BC horizonti ſit perpen­dicularis, pondus A manere. ſi verò ducta CF non ſit horizonti per­pendicularis, punctum F deorſum vſq; ad D moueri; in quo ſitu pon­dus manebit, ductaq; CD horizonti perpendicularis exiſtet. quæ om­nia eadem ratione oſtendentur.

PROPOSITIO II.

Libra horizonti æquidiſtans, cuius centrum ſit ſupra libram, æqualia in extremitatibus, æqua literq; à perpendiculo diſtantia habens pondera, ſi ab eiuſmodi moueatur ſitu, in eundem rurſus relicta, redibit; ibíq; manebit.

Sit libra AB recta li­nea horizonti æquidi­ſtans, cuius centrum C ſit ſupra libram; ſitq; CD perpendiculum, quod ho­rizonti perpendiculare erit: atq; diſtantia DA ſit diſtantiæ DB æqualis; ſintq; in AB pondera æ­qualia, quorum grauitatis centra ſint in AB punctis. Moueatur AB libra ab

hoc ſitu, putá in EF, deinde relinquatur. dico libram EF in AB horizonti æquidiſtantem redire, ibíq; manere. Quoniam autem punctum C eſt immobile, dum libra mouetur, punctum D circuli cir­cumferentiam deſcribet, cuius ſemidiameter erit CD. quare cen­tro C, ſpatio verò CD, circulus deſcribatur DGH. Quoniam enim CD ipſi libræ ſemper eſt perpendicularis, dum libra erit in EF, linea CD erit in CG, ita vt CG ſit ipſi EF perpendicula­ris. Cùm autem AB bifariam à puncto D diuidatur, & pondera in AB ſint æqualia; erit magnitudinis ex ipſis AB compoſitæ centrum grauitatis in medio, hoc eſt in D. & quando libra vná cum ponderibus erit in EF; erit magnitudinis ex vtriſq; EF compoſitæ centrum grauitatis G. & quoniam CG horizonti non eſt perpendi­cularis; magnitudo ex ponderibus EF compoſita in hoc ſitu mi­nimè perſiſtet, ſed deorſum ſecundùm eius centrum grauitatis G per circumferentiam GD mouebitur; donec CG horizonti fiat per­pendicularis, ſcilicet do­nec CG in CD redeat. Quando autem CG erit in CD, linea EF, cùm ipſi CG ſemper ad rectos ſit angulos, erit in AB; in quo ſitu quoq; manebit. libra ergo EF in AB hori­zonti æquidiſtantem redibit, ibíq; manebit. quod demonſtrare oportebat.

4. primi Archimedis de æqueponde­rantibus. 1. Huius 1. Huius.

PROPOSITIO III.

Libra horizonti æquidiſtans æqualia in extre­mitatibus, æqualiterq; à perpendiculo diſtan­tia habens pondera, centro infernè collocato, in hoc ſitu manebit. ſi verò inde moueatur, deor­ſum relicta, ſecundùm partem decliuiorem mo­uebitur.

Sit libra AB rectá li­nea horizonti æquidi­ſtans, cuius centrum C ſit infra libram; perpen­diculumq; ſit CD, quod horizonti perpendiculare erit; & diſtantia AD ſit diſtantiæ DB æqualis; ſintq; in AB pondera æqualia, quorum grauita­tis centra ſint in punctis AB. Dico primùm libram AB in hoc ſitu manere. Quoniam enim AB bifariam diuiditur à puncto D, & pondera in AB ſunt æqualia; erit punctum D centrum grauitatis magnitudinis ex vtriſq; AB ponderibus compoſitæ. & CD libram ſuſtinens ho­rizonti eſt perpendicularis, libra ergo AB in hoc ſitu manebit. moueatur autem libra AB ab hoc ſitu, putà in EF, deinde relinquatur. dico libram EF ex parte F moueri. Quoniam igitur CD ipſi libræ ſemper eſt perpendicularis, dum libra erit in EF, erit CD in CG ipſi EF perpendicularis. & punctum G magnitudi­nis ex EF compoſitæ centrum grauitatis erit; quod dum moue­tur, circuli circumferentiam deſcribet DGH, cuius ſemidiameter CD, & centrum C. Quoniam autem CG horizonti non eſt per­pendicularis, magnitudo ex EF ponderibus compoſita in hoc ſi­tu minimè manebit; ſed ſecundùm eius grauitatis centrum G deorſum per circumferentiam GH mouebitur. libra ergo EF ex par te F deorſum mouebitur, quod demonſtrare oportebat.

4. Primi Archim. de æquep. 1. Huius.

PROPOSITIO IIII.

Libra horizonti æquidiſtans æqualia in ex­tremitatibus, æqualiterq; à centro in ipſa libra collocato, diſtantia habens pondera; ſiue inde moueatur, ſiue minus; vbicunq; relicta, manebit.

Sit libra recta linea A B horizonti æquidiſtans, cuius centrum C in ea­dem ſit linea AB; diſtantia verò CA ſit diſtantiæ CB æqualis: ſintq; pon­dera in AB æqualia, quo­rum centra grauitatis ſint in punctis AB. Moueatur libra, vt in DE, ibiquè relinquatur. Dico primùm libram DE non moueri, in eoquè ſitu manere. Quoniam enim pondera AB ſunt æqualia; erit magni­tudinis ex vtroq; pondere, videlicet A, & B compoſitæ centrum grauitatis C. quare idem punctum C, & centrum libræ, & centrum grauitatis totius ponderis erit. Quoniam autem centrum libræ C, dum libra AB vnà cum ponderibus in DE mouetur, immobile re­manet, centrum quoq; grauitatis, quod eſt idem C, non mouebitur. nec igitur libra DE mouebitur, per definitionem centri grauitatis, cum in ipſo ſuſpendatur. Idip­

ſum quoq; contingit libra in AB horizonti æquidiſtante, vel in quocunq; alio ſitu exiſtente. Manebit ergo libra, vbi relinque­tur. quod demonſtrare oportebat.

Cum verò in iis, quæ dicta ſunt, grauitatis tantùm magnitudinum, quæ in extremitatibus libræ poſitæ ſunt æquales, abſq; lí­bræ grauitate conſiderauerimus; quoniam tamen adhuc libræ bra­chia ſunt æqualia, idcirco idem libræ, eius grauitate conſiderata, vnà cum ponderibus, vel ſine ponderibus eueniet. idem enim centrum grauitatis fine ponderibus libræ tantùm grauitatis centrum erit. Similiter ſi pondera in libræ extremitatibus appendantur, vt fieri ſolet, idem eueniet; dummodo ex ſuſpenſionum punctis ad centra grauitatum ponderum ductæ lineæ (quocunq; modo mo­ueatur libra) ſi protrahantur, in centrum mundi concurrant. vbi enim pondera hoc modo ſunt appenſa, ibi graueſcunt, ac ſi in iiſ­dem punctis centra grauitatum haberent. præterea, quæ ſequun­tur, eodem prorſus modo conſiderare poterimus.

Quoniam autem huic determinationi vltimæ multa à nonnullis aliter ſentientibus dicta officere videntur; idcirco in hac parte ali­quantulum immorari oportebit; & pro viribus, non ſolum pro­priam ſententiam, ſed Archimedem ipſum, qui in hac eadem eſſe ſententia videtur, defendere conabor.

Iiſdem poſitis, duca­tur FCG ipſi AB, & horizonti perpendicula­ris; & centro C, ſpatio­què CA, circulus deſcribatur ADFBEG. erunt puncta ADBE in circuli circumferentia; cum li­bræ brachia ſint æqualia. & quoniam in vnam conueniunt ſententiam, aſſe­rentes ſcilicet libram DE neq; in FG moueri, ne­que in DE manere, ſed in AB horizonti æquidiſtantem rediré. hanc eorum ſententiam nullo modo conſiſtere poſſe oſtendam. Non enim, ſed ſi quod aiunt, euenerit, vel ideo erit, quia pondus D pondere E grauius fuerit, vel ſi pondera ſunt æqualia, diſtantiæ, quibus ſunt poſita, non erunt æquales, hoc eſt CD ipſi CE non erit æqualis, ſed maior. Quòd autem pondera in DE ſint æqualia, & diſtantia CD ſit æqualis diſtantiæ CE: hæc ex ſuppoſitione pa­tent. Sed quoniam dicunt pondus in D in eo ſitu pondere in E grauius eſſe in altero ſitu deorſum: dum pondera ſunt in DE, pun­ctum C non erit amplius centrum grauitatis, nam non manent, ſi ex C ſuſpendantur; ſed erit in linea CD, ex tertia primi Archi­medis de æqueponderantibus. non autem erit in linea CE, cum pondus D grauius ſit pondere E. ſit igitur in H, in quo ſi ſuſpendan­tur, manebunt. Quoniam autem centrum grauitatis ponderum in AB connexorum eſt punctum C; ponderum verò in DE eſt punctum H: dum igitur pondera AB mouentur in DE, centrum grauitatis C verſus D mouebitur, & ad D propius accedet; quod eſt impoſsibile: cum pondera eandem inter ſe ſe ſeruent diſtantiam. Vniuſcuiuſq; enim corporis centrum grauitatis in eodem ſemper eſt ſitu reſpectu ſui corporis. & quamquam punctum C ſit duo­rum corporum AB centrum grauitatis, quia tamen inter ſe ſe ita à libra connexa ſunt, vt ſemper eodem modo ſe ſe habeant; Ideo punctum C ita eorum erit centrum grauitatis, ac ſi vna tantum eſſet magnitudo. libra enim vna cum ponderi­bus vnum tantum continuum efficit, cuius cen­trum grauitatis erit ſem­per in medio. non igitur pondus in D pondere in E eſt grauius. Si autem dicerent centrum graui­tatis non in linea CD, ſed in CE eſſe debere; idem eueniet abſurdum.

Amplius ſi pondus D deorſum mouebitur, pondus E ſurſum mouebit. pondus igitur gra­uius, quàm ſit E, in eodemmet ſitu ponderi D æqueponderabit, & grauia inæqualia æquali diſtantia poſita æqueponderabunt. Adii­ciatur ergo ponderi E aliquod graue, ita vt ipſi D contraponde­ret, ſi ex C ſuſpendantur. ſed cum ſupra oſtenſum ſit punctum C centrum eſſe grauitatis æqualium ponderum in DE; ſi igitur pon­dus E grauius fuerit pondere D, erit centrum grauitatis in linea CE. ſitq; hoc centrum K. at per definitionem centri grauitatis, ſi pondera ſuſpendantur ex K, manebunt. ergo ſi ſuſpendantur ex C, non manebunt, quod eſt contra hypoteſim: ſed pondus E deorſum mouebitur. quòd ſi ex C quoque ſuſpenſa æqueponderarent; vnius magnitudinis duo eſſent centra grauitatis; quod eſt impoſsibile. Non igitur pondus in E grauius eo, quod eſt in D, ipſi D æque­ponderabit, cum ex puncto C fiat ſuſpenſio. Pondera ergo in DE æqualia ex eorum grauitatis centro C ſuſpenſa, æqueponderabunt, manebuntquè. quod demonſtrare fuerat propoſitum.

Iordanus de Ponderibus. Hyerommus Cardanus de ſubtilitate. Nicolaus Tartalea de quæſitis, ac inuentionibus. 2. Sup. huius. Ex 4. primi Archim de Aequep. Ex 3. primi Archim de Aequep. 1. Suppoſ. huius.

Huic autem poſtremo inconuenienti occurrunt dicentes, im­poſsibile eſſe addere ipſi E pondus adeo minimum, quin adhuc ſi ex C ſuſpendantur, pondus E ſemper deorſum verſus G moueatur. quod nos fieri poſſe ſuppoſuimus, atque fieri poſſe credebamus. ex­ceſſum enim ponderis D ſupra pondus E, cum quantitatis ratio­nem habeat, non ſolum minimum eſſe, verum in infinitum diuidi poſſe immaginabamur, quod quidem ipſi, non ſolum minimum, ſed ne minimum quidem eſſe, cum reperiri non poſsit, hoc mo­do demonſtrare nituntur.

Exponantur eadem. à punctiſquè DE hori­zonti perpendiculares ducantur DHEK, atq; alius ſit circulus LDM, cu­ius centrum N, qui FDG in puncto D contingat, ipſiq; FDG ſit æqualis: erit NC recta linea. & quoniam angulus KEC angulo HDN eſt æqua lis, angulusq; CEG an­gulo NDM eſt etiam æqualis; cum à ſemidiametris, æqualibusq; circumferentiis conti­neatur; erit reliquus mixtuſquè angulus KEG reliquo mixtoquè HDM æqualis. & quia ſupponunt, quò minor eſt angulus linea horizonti perpendiculari, & circumferentia contentus, eò pondus in eo ſitu grauius eſſe. vt quò minor eſt angulus HD, & circumferentia DG contentus angulo KEG, hoc eſt angulo HDM; ita ſecundum hanc proportionem pondus in D grauius eſſe pondere in E. Proportio autem anguli MDH ad angulum HDG minor eſt qualibet proportione, quæ ſit inter maiorem, & minorem quantitatem: ergo proportio ponderum DE omnium proportionum minima erit. immo neq; erit ferè proportio, cum ſit omnium pro portionum minima. quòd autem proportio MDH ad HDG ſit omnium minima, ex hac neceſsitate oſtendunt; quia MDH excedit HDG angulo curuilineo MDG, qui quidem angulus omnium angulorum rectilineorum minimus exiſtit: ergo cum non poſsit da ri angulus minor MDG, erit proportio MDH ad HDG omniumproportionum minima. quæ ratio inutilis valde videtur eſſe; quia quamquam angulus MDG ſit omnibus rectilineis angulis minor, non idcirco ſequitur, abſolutè, ſimpliciterq; omnium eſſe angulorumminimum: nam ducatur à puncto D linea DO ipſi NC perpendicularis, hæc vtraſq; tanget circumferentias LDM FDG in puncto D. quia verò circumferentiæ ſunt æquales, erit angulus MDO mixtus angulo ODG mixto æqualis; alter ergo angulus, vt ODG minor erit MDG, hoc eſt mi nor minimo. angulus deinde OGH minor erit angulo MDH; qua re ODH ad angulum HDG minorem habebit proportionem, quàm

MDH ad eundem HDG. dabitur ergo quoquè proportio mi­nor minima, quam in infinitum adhuc minorem ita oſtende­mus. Deſcribatur circulus DR, cuius centrum E, & ſemidiame­ter ED. continget circumferentia DR circumferentiam DG in puncto D, lineamquè DO in puncto D; quare minor erit angu­lus RDG angulo ODG. ſimiliter & angulus RDH angulo ODH. minorem igitur proportionem habebit RDH ad HDG, quàm ODH ad HDG. Accipiatur deinde inter EC vtcun­que punctum P, ex quo in diſtantia PD alia deſcribatur circum­ferentia DQ, quæ circumferentiam DR, circumferentiamquè DG in puncto D continget; & angulus QDH minor erit angulo RDH: ergo QDH ad HDG minorem habebit proportionem, quàm RDH ad HDG. eodemquè prorſus modo, ſi inter PC aliud accipiatur punctum, & inter hoc &C aliud, & ſic deinceps, infinitæ deſcribentur circumferentiæ inter DO, & circumferentiam DG; ex quibus proportionem in infinitum ſemper minorem inueniemus. atque ideo proportionem ponderis in D ad pondus in E non adeo minorem eſſe ſequitur, quin ad infini tum ipſa ſemper minorem reperiri poſsit. & quia angulus MDG in infinitum diuidi poteſt; exceſſus quoque grauitatis D ſupra E diuidi ad infinitum poterit.

Tartalea ſexta propoſitione octaui libri. Ex 12. tertii. 29. Primi. Ex 18. Tertii. 8. Quinti. Ex 11. tertit. Ex 18. tertii.

Sed neque prætereundum eſt, ipſos in demonſtratio­ne angulum KEG maiorem eſſe angulo HDG, tanquam notum accepiſſe. quod eſt quidem verum, ſi DHEK inter ſe ſe ſint æquidiſtan­tes. Quoniam autem (vt ipſi quoque ſupponunt) li­neæ DHEK in centrum mundi conueniunt; lineæ DHEK æquidiſtantes nunquam erunt, & angulus KEG angulo HDG non ſolum maior erit, ſed minor. vt exempli gratia, producatur FG vſque ad centrum mundi, quod ſit S; connectan­tur〈qué〉 DSES. oſtenden­dum eſt angulum SEG minorem eſſe angulo SDG. du

catur à puncto E linea ET circulum DGEF contingens, ab eo dem〈qué〉 puncto ipſi DS æquidiſtans ducatur EV. Quoniam igitur EVDS inter ſe ſe ſunt æquidiſtantes: ſimiliter ETDO æqui diſtantes: erit angulus VET angulo SDO æqualis. & angulus TEG angulo ODM eſt æqualis; cum à lineis contingentibus, circumferentiiſ〈qué〉 æqualibus contineatur: totus ergo angulus VEG angulo SDM æqualis erit. Auferatur ab angulo SDM angulus curuilineus MDG; ab angulo autem VEG angulus au­feratur VES; & angulus VES rectilineus maior eſt curuilineo MDG; erit reliquus angulus SEG minor angulo SDG. Quare ex ipſorum ſuppoſitionibus non ſolum pondus in D gra­uius erit pondere in E; verùm è conuerſo, pondus in E ipſo D grauius exiſtet.

Rationes tamen afferunt, quibus demonſtrare nituntur, libram DE in AB horizon­ti æquidiſtantem ex neceſsitate redire. Pri­mum quidem oſten­dunt, idem pondus grauius eſſe in A, quàm in alio ſitu, quem æqualitatis ſitum no­minant, cum linea AB ſit horizonti æ­

quidiſtans. deinde quò propius eſt ipſi A, quouis alio remotiori grauius eſſe. Vt pondus in A grauius eſſe, quàm in D; & in D, quàm in L. ſimiliter in A grauius, quam in N; & in N grauius, quàm in M. Vnum tantùm conſiderando pondus in altero libræ brachio ſurſum deorſumq; moto. Quia (inquiunt) poſita trutina in CF, pondus in A longius eſt à trutina, quàm in D: & in D longius, quàm in L. ductis enim DO LP ipſi CF perpendicula­ribus, linea AC maior eſt, quàm DO, & DO ipſa LP. quod idem euenit in punctis NM. deinde ex quo loco (aiunt) pondus velocius mouetur, ibi grauius eſt; velocius autem ex A, quàm ab alio ſitu mouetur; ergo in A grauius eſt. ſimili modo, quò propius eſt ipſi A, velocius quoque mouetur; ergo in D gra­uius erit, quàm in L. Altera deinde cauſa, quam ex rectiori, & obliquiori motu deducunt, eſt; quò pondus in arcubus æqualibus re­ctius deſcendit, grauius eſſe videtur; cum pondus liberum, atq; ſolutum ſuaptè natura rectè moueatur; ſed in A rectius deſcendit; ergo in A grauius erit. hocq; oſtendunt accipiendo arcum AN arcui LD æqualem; à punctiſq; NL lineæ FG (quam etiam directionis vocant) æquidiſtantes ducantur NRLQ, quæ lineas AB DO ſecent in QR; & à puncto N ipſi FG perpendicularis ducatur NT. rectèq; demonſtrant LQ ipſi PO æqualem eſſe, & NR ipſi CT; lineamq; NR ipſa LQ maiorem eſſe. Quoniam autem deſcenſu; ponderis ex A vſq; ad N per circum­ferentiam AN maiorem portionem lineæ FG pertranſit (quod ipſi vocant capere de directo) quàm deſcenſus ex L in D per circumferentiam LD; cùm deſcenſus AN lineam CT pertranſeat, deſcenſus verò LD lineam PO; & CT maior eſt PO; rectior erit deſcenſus AN, quám deſcenſus LD. grauius ergo erit pondus in A, quàm in L, & in quouis alio ſitu. eodemq; prorſus modo oſtendunt, quò propius eſt ipſi A, grauius eſſe. Vt ſint circumferentiæ LD DA inter ſe ſe æquales, & à puncto D ipſi AB perpendicularis ducatur DR; erit DR ipſi CO æqua lis. lineam deinde DR ipſa LQ maiorem eſſe demonſtrant. di­cuntq; deſcenſum DA magis capere de directo deſcenſu LD, maior enim eſt linea CO, quàm OP; quare pondus grauius erit in D, quàm in L. quod ipſum euenit in punctis NM. Suppo­ſitionem itaq;, qua libram DE in AB redire demonſtrant, vt notam, manifeſtamq; proferunt. Nempè Secundùm ſitum pondus grauius eſſe, quanto in eodem ſitu minus obliquus eſt deſcenſus. huiuſq; reditus cauſam eam eſſe dicunt; Quoniam ſcilicet deſcenſus ponderis in D rectior eſt deſcenſu ponderis in E, cùm minus capiat de directo pondus in E deſcendendo, quàm pondus in D ſim liter deſcendendo. Vt ſi arcus EV ſit ipſi DA æqualis, ducanturq; VH ET ipſi FG perpendiculares; maior erit DR, quàm TH. quare per ſuppoſitionem pondus in D ratione ſitus grauius erit pondere in E. pondus ergo in D, cùm ſit grauius, deorſum mouebitur; pondus verò in E ſurſum, donec libra DE in AB redeat.

Cardanus primo de ſubtilitate. Ex 15. tertii. Cardanus. Cardanus. Iordanus propoſitio ne 4. Tartalea propoſitione 5. 34 Primi. Iordanus ſuppoſitione 4. Iordanus propoſitio ne 3. Tartalea propoſitio ne 5.

Altera huius quoq; reditus ratio eſt, cùm trutina ſupra libram eſt in CF; linea CG eſt meta. & quoniam angulus GCD maior eſt angulo GCE, & maior à meta angulus grauius reddit pondus; trutina igitur ſuperius exiſtente, grauius erit pondus in D, quàm in E. idcirco D in A, & E in B redibit.

Cardanus.

His itaq; rationibus conantur oſtendere libram DE in AB redire; quæ meo quidem iuditio facile ſolui poſſunt.

Primùm itaq; quantum attinet ad ratio­nes pondus in A grauius eſſe, quàm in a­lio ſitu oſtendentes, quas ex longiori, & propinquiori diſtantia à linea FG, & ex velo­ciori, & rectiori mo tu à puncto A dedu­cunt; primùm quidem non demonſtrant, cur pondus ex A velocius

moueatur, quàm ex alio ſitu. nec quia CA eſt DO maior, & DO ipſa LP, propterea ſequitur tanquam ex vera cauſa, pondus in A grauius eſſe, quàm in D; & in D, quàm in L. neq; enim intellectus quieſcit, niſi alia huius oſtendatur cauſa; cùm potius ſignum, quàm vera cauſa eſſe videatur. id ipſum quoq; al­teri rationi contintingit, quam ex rectiori & obliquiori motu de­ducunt. Præterea quæcunq; ex velociori, & rectiori motu per­ſuadent pondus in A grauius eſſe, quàm in D; non ideo de­monſtrant pondus in A, quatenus eſt in A, grauius eſſe pondere in D, quatenus eſt in D; ſed quatenus à punctis DA recedit. Idcirco antequàm vlterius progrediar, oſtendam primùm pondus, quò propius eſt ipſis FG, minus grauitare; tum qua­tenus in eo ſitu, in quo reperitur, manet: tum quatenus ab eo recedit. ſimulq; falſum eſſe, pondus in A grauius eſſe, quàm in alio ſitu.

Producatur FG vſq; ad mundi centrum, quod ſit S. & à puncto S circulum AFBG contingens ducatur. neq; enim linea à puncto S circulum con­tingere poteſt in A; nam ducta AS triangulum ACS duos haberet angulos rectos, nempè SAC ACS, quod eſt impoſsibile. neq; ſupra punctum A in circumferentia AF continget; circulum enim ſecaret. tanget igitur in­fra, ſitq; SO. connectantur deinde SD SL, quæ circumferentiam AOG in punctis KH ſecent. & Ck CH coniungantur. Et quoniam pondus, quanto propius eſt ipſi F, magis quoque inni­titur centro; vt pondus in D magis ver­ſionis puncto C innititur tanquam centro; hoc eſt in D magis ſupra li­neam CD grauitat, quàm ſi eſſet in A ſupra lineam CA; & adhuc magis in L ſupra lineam CL; Nam cùm tres anguli cuiuſcunq; trianguli duobus re­

ctis ſint æquales, & trianguli DCk æquicruris angulus DCk minor ſit angulo LCH æquicruris trianguli LCH: erunt reli­qui ad baſim ſcilicet CDk CkD ſimul ſumpti reliquis CLH CHL maiores. & horum dimidii; hoc eſt angulus CDS angulo CLS maior erit. cùm itaq; CLS ſit minor, linea CL magis adhærebit motui naturali ponderis in L prorſus ſoluti. hoc eſt lineæ LS, quàm CD motui DS. pondus enim in L li­berum, atq; ſolutum in centrum mundi per LS moueretur, pon­dusq; in D per DS. quoniam verò pondus in L totum ſuper LS grauitat, in D verò ſuper DS: pondus in L magis ſupra lineam CL grauitabit, quàm exiſtens in D ſupra lineam DC. ergo linea CL pondus magis ſuſtentabit, quàm linea CD. Eodem­〈qué〉 modo, quò pondus propius fuerit ipſi F, magis ob hanc cau­ſam à linea CL ſuſtineri oſtendetur; ſemper enim angulus CLS minor eſſet. quod etiam patet; quia ſi lineæ CL, & LS in vnam coinciderent lineam, quod euenit in FCS; tunc linea CF totum ſuſtineret pondus in F, im­mobilemq; redderet: neq; vllam pror­ſus grauitatem in circumferentia circu­li haberet. Idem ergo pondus propter ſituum diuerſitatem grauius, leuiuſq; erit. non autem quia ratione ſitus interdum maiorem re vera acquirat grauitatem, interdum verò amittat, cùm eiuſdem ſit ſemper grauitatis, vbicunque reperiatur; ſed quia magis, minuſuè in circumferen­tia grauitat, vt in D magis ſupra circumferentiam DA grauitat, quàm in L ſupra circumferentiam LD. hoc eſt, ſi pondus à circumferentiis, rectiſq; lineis ſuſtineatur; circumferentia AD magis ſuſtinebit pondus in D, quàm circumferentia DL pondere exiſtente in L. minus enim coadiuuat CD, quàm CL. Præterea quando pondus eſt in L, ſi eſ­
ſet omnino liberum, penituſq; ſolutum, deorſum per LS moueretur; niſi à linea CL prohiberetur, quæ pondus in L vltra lineam LS per circumferentiam LD moueri cogit; ipſumq; quodammodo impellit, impellendoq; pondus partim ſuſtentabit. niſi enim ſuſtineret, ipſiq; reniteretur, deorſum per lineam LS moueretur, non autem per circumferentiam LD. ſimiliter CD ponderi in D renititur, cùm illud per circumferentiam DA moueri cogat. eodemq; modo exiſtente pondere in A, linea CA pondus vltra lineam AS per circumferentiam AO moueri compellet. eſt enim angulus CAS acutus; cùm angulus ACS ſit rectus. lineæ igitur CA CD aliqua ex parte, non tamen ex æquo ponderi renituntur. & quotieſ cunque angulus in circumferentia circuli à lineis à centro mundi S, & centro C prodeuntibus, fuerit acutus; idem eue­nire ſimiliter oſtendemus. Quoniam autem mixtus angulus CLD æqualis eſt angulo CDA, cùm à ſemidiametris, eademq; circumferentia contineantur; & angulus CLS angulo CDS eſt minor; erit reliquus SLD reliquo SDA maior. quare circumferentia DA, hoc eſt deſcenſus ponderis in D propior erit motui natu­rali ponderis in D ſoluti, lineæ ſcilicet DS, quàm circumferentia LD lineæ LS. minus igitur linea CD ponderi in D reniti­tur, quàm linea CL ponderi in L. linea ideo CD minus ſuſtinet, quàm CL; ponduſq; magis liberum erit in D, quàm in L: cùm pondus naturaliter magis per DA moueatur, quàm per LD. quare grauius erit in D, quàm in L. ſimiliter oſtendemus CA minus ſuſtinere, quàm CD: ponduſq; magis in A, quàm in D li­berum, grauiuſq, eſſe. Ex parte deinde inferiori ob eaſdem cauſas, quò pondus propius fuerit ipſi G, magis detinebitur, vt in H magis à linea CH, quàm in K à linea CK. nam cùm angulus CHS maior ſit angulo CkS, ad rectitudinem magis appropinquabunt ſe ſe lineæ CH HS, quàm Ck kS; atq; ob id pondus magis deti­nebitur à CH, quàm à Ck ſi enim CH HS in vnam conuenirent lineam vt euenit pondere exiſtente in G; tunc linea CG totum ſuſtineret' pondus in G, ita vt immobilis perſiſteret. quò igitur minor erit angulus linea CH, & deſcenſu ponderis ſoluti, ſcilicet HS contentus, eò minus quoq; eiuſmodi linea pondus detinebit. & vbi minus detinebitur, ibi magis liberum, grauiuſq; exiſtet. Præterea ſi pondus in k liberum eſſet, atq; ſolutum, per lineam k S moueretur; à linea verò Ck prohibetur, quæ cogit pondus citrà lineam k S per circumferentiam k H moueri. ipſum enim quodammodo retrahit, retrahendoq; ſuſtinet. niſi enim ſuſtineret. pondus deorſum per rectam k S moueretur, non autem per circumferentiam k H. ſimiliter CH pondus retinet, cùm per circumferentiam HG moueri compellat. Quoniam autem angulus CHS ma­ior eſt angulo CKS, demptis æqualibus angulis CHG CkH; erit reliquus SHG reliquo SKH maior. circumferentia igitur k H, hoc eſt deſcenſus ponderis in k, propior erit motui naturali ponderis in k ſoluti, hoc eſt lineæ k S, quàm circumferentia HG lineæ HS. minus idcirco detinet linea Ck, quàm CH: cùm pondus naturali­ter magis moueatur per k H, quàm per HG. ſimili ratione oſten­detur, quò minor erit angulus SkH, lineam Ck minus ſuſtinere. exiſtente igitur pondere in O, quia angulus SOC non ſolum minor eſt angulo CKS, verùm etiam omnium angulorum à punctis CS prodeuntium, verticemq; in circumferuntia OkG habentium mi­nimus; erit angulus SOK, & angulo SkH, & eiuſmodi omnium minimus. ergo de­ſcenſus ponderis in O propior erit motui naturali ipſius in O ſoluti, quàm in alio ſitu circumferentiæ OkG. lineaq; CO minus pondus ſuſtinebit, quàm ſi pon­dus in quouis alio fuerit ſitu eiuſdem circumferentiæ OG. ſimiliter quoniam contingentiæ angulus SOk, & angulo SDA, & SAO, ac quibuſcunq; ſimilibus eſt mi nor; erit deſcenſus ponderis in O motui naturali ipſius ponderis in O ſoluti pro­pior, quàm in alio ſitu circumferentiæ ODF. Præterea quoniam linea GO pondus in O dum deorſum mouetur, impelle­re non poteſt, ita vt vltra lineam OS moueatur; cùm linea OS circulum non ſecet,
ſed contingat; anguluſq; SOC ſit rectus, & non acutus; pondus in O nihil ſupra lineam CO grauitabit. neq; centro innitetur. quem admodum in quouis alio puncto ſupra O accideret. erit igitur pondus in O magis ob has cauſas liberum, atq; ſolutum in hoc ſitu, quàm in quouis alio circumferentiæ FOG. ac idcirco in hoc grauius erit, hoc eſt magis grauitabit, quàm in alio ſitu. & quò propius fuerit ipſi O remotiori grauius erit. lineaq; CO horizonti æquidiſtans erit. non tamen puncti C horizonti (vt ipſi exiſti­mant) ſed ponderis in O conſtituti, cùm ex centro grauitatis ponderis ſummendus ſit horizon. quæ omnia demonſtrare opor­tebat.

18 Tertii. 21 primi.

Si autem libræ brachium ipſo CO fuerit maius, putá quantitate CD; erit quoq; pondus in O grauius. circulus de­ſcribatur OH, cuius centrum ſit D, ſemidiameterq; DO. tanget circulus OH circulum FOG in puncto O, lineamq; OS, quæ ponderis in O rectus, natura­liſq; eſt deſcenſus, in eodem puncto continget. & quoniam angulus SOH mi­nor eſt angulo SOG, erit deſcenſus ponderis in O per circumferentiam OH motui naturali OS propior, quàm per circumferentiam OG. magis ergo li­berum, atq; ſolutum, ac per conſequens grauius erit in O, centro libræ exiſtente in D, quàm in C. ſimiliter oſten­detur, quò maius fuerit brachium DO, pondus in O adhuc grauius eſſe.

Si verò idem circulus AFBG, cuius centrum ſit R, propius fuerit mundi centro S; circulum〈qué〉 à pun­cto S ducatur contingens ST; punctum T (vbi grauius eſt pondus) magis à puncto A diſtabit, quàm punctum O. ducantur enim à punctis OT ipſi CS perpendiculares OMTN; connectanturq; RT; ſitq; centrum R in li­nea CS; lineaq; ARB ipſi ACB æqui diſtans. Quoniam igitur triangula COS RTS ſunt rectangula; erit SC ad CO, vt CO ad CM. ſimiliter SR ad RT, vt RT ad RN. cùm itaq; ſit RT ip­ſi CO æqualis, & SC ipſa SR maior: maiorem habebit proportionem SC ad CO, quàm SR ad RT. quare maiorem quoq; proportionem habebit CO ad CM, quàm RT ad RN. minor ergo erit CM, quàm RN. ſecetur igitur RN in P, ita vt RP ſit ipſi

CM æqualis; & à puncto P ipſis MONT æquidiſtans ducatur PQ, quæ circumferentiam AT ſecet in Q: deniq; connectatur RQ. quoniam enim duæ CO CM duabus RQRP ſunt æquales, & angulus CMO angulo RPQ eſt æqualis; erit & angu­lus MCO angulo PRQ æqualis. angulus autem MCA rectus recto PRA eſt æqualis; ergo reliquus OCA reliquo QRA æqualis, & circumferentia OA circumferentiæ QA æqualis quo­que erit. punctum idcirco T, quia magis à puncto A diſtat, quàm Q; magis quoq; à puncto A diſtabit, quàm punctum O. ſimiliter oſtendetur, quò propius fuerit circulus mundi centro, eun­dem magis diſtare. atq; ita vt prius demonſtrabitur pondus in circumferentia TAF centro R inniti, in circumferentia verò TG à linea detineri; atq; in puncto T grauius eſſe.

Ex 11 Tertii. Ex 18 Tertii. Cor. 8 ſexti Ex 8 quinti Ex 10 quinti. 7 Sexti. 26 Tertii.

Si autem punctum G eſſet in centro mundi; tunc quò pondus propius fuerit ipſi G, grauius erit: & vbicunq; ponatur pondus præterquàm in ipſo G, ſemper centro C innitetur, vt in K. nam ducta G k, efficiet hæc (ſecun­dùm quam fit ponderis naturalis motus) vná cum libræ brachio k C angulum acu­tum. æquicruris enim trian­guli CkG ad baſim anguli ad k, & G ſunt ſemper acuti.

Conferantur autem inuicem hæc duo, pondus videlicet in k, & pondus in D: erit pondus in k grauius, quàm in D. nam iuncta DG, cùm tres anguli cuiuſcunque trianguli duobus ſint rectis æquales, & trianguli CDG æquicruris angulus DCG maior ſit angulo kCG æquicruris trianguli CkG: erunt reliqui ad baſim anguli DGC GDC ſimul ſumpti reliquis KGCGkC ſimul ſumptis minores. horumq; dimidii; angulus ſcilicet CDG angulo CKG minor erit. quare cùm pondus in k ſolutum naturaliter per KG moueatur, pondusq; in D per DG, tanquam per ſpatia, quibus in centrum mundi feruntur; linea CD, hoc eſt libræ brachium magis adhærebit motui naturali ponderis in D pror­ſus ſoluti, lineæ ſcilicet DG; quàm Ck motui ſecundùm kG effecto. magis igitur ſuſtinebit linea CD, quàm Ck. ac pro­pterea pondus in k ex ſuperius dictis grauius erit, quàm in D. Præterea quoniam pondus in K ſi eſſet omnino liberum, prorſuſq; ſolutum, deorſum per k G moueretur; niſi à linea C k prohiberetur, quæ pondus vltra lineam KG per circumferentiam KH mo­ueri cogit; linea C k pondus partim ſuſtinebit, ipſiq; renitetur; cùm illud per circumferentiam k H moueri compellat. & quoniam angulus CDG minor eſt angulo CkG, & angulus CDk angulo CkH eſt æqualis; erit reliquus GDk reliquo G k H maior. circumferentia igitur k H motui naturali ponderis in k ſoluti, li­neæ ſcilicet KG propior erit, quàm circumferentia Dk li­neæ DG. quare linea CD ponderi in D magis renititur, quàm linea C k ipſi ponde­ri in K. ergo pondus in k grauius erit, quàm in D. Similiter oſtendetur pondus, quò fuerit ipſi F propius, vt in L, minus grauitare: pro­pius verò ipſi G, vt in H, grauius eſſe.

Si verò centrum mundi S eſſet inter puncta CG; primùm quidem ſimili­ter oſtendetur pondus vbicunq; poſitum centro C initi, vt in H. ductis enim HG HS, angulus ad baſim GHC æquicruris trianguli CHG eſt ſemper acutus: quare & SHC ipſo minor erit quoq; ſemper acutus. ducatur au­tem à puncto S ipſi CS perpendicularis Sk. di­

co pondus grauius eſſe in k, quàm in alio ſitu circumferentiæ FKG. & quò propius fuerit ipſi F, vel G, minus grauitare. Accipiantur verſus F puncta DL, connectanturq; LC LS DC DS, produ­canturq; LS DS k SHS vſq; ad circuli circumferentiam in EM NO; connectanturq; CE, CM, CN, CO. Quoniam enim LE DM ſe inuicem ſecant in S; erit rectangulum LSE rectan­gulo DSM æquale. quare vt LS ad DS ita erit SM ad SE. maior autem eſt LS, quàm DS; & SM ipſa SE. ergo LS SE ſimul ſumptæ ipſis DS SM maiores erunt. eademq; ratione kN minorem eſſe DM oſtendetur. rurſus quoniam rectangulum OSH æquale eſt rectangulo kSN; ob eandem cauſam HO maior erit kN. eodemq; prorſus modo kN omnibus a­liis per punctum S tranſeuntibus minorem eſſe demonſtrabitur. & quoniam æquicrurium triangulorum CLE DCM latera LC CE lateribus DC CM ſunt æqualia; baſis verò LE maior eſt DM: erit angulus LCE angulo DCM maior. quare ad baſim anguli CLE CEL ſimul ſumpti angulis CDM CMD mi­nores erunt. & horum dimidii, angulus ſcilicet CLS angulo CDS minor erit. ergo pondus in L magis ſupra lineam LC, quàm in D ſupra DC grauitabit. magis〈qué〉 centro innitetur in L, quàm in D. ſimiliter oſtendetur in D magis centro C inniti, quàm in k. ergo pondus in k grauius erit, quàm in D; & in D, quàm in L. eademq; prorſus ratione quoniam kN minor eſt HO, erit angulus CKS an­gulo CHS maior. quare pondus in H magis centro C innite­tur, quàm in k. & hoc modo oſtendetur, vbicunq; in circum­ferentia FDG fuerit pondus, minus in K centro C inniti, quàm in alio ſitu: & quò propius fuerit ipſi F, vel G, magis inniti. dein­de quoniam angulus CkS maior eſt CDS, & CDk æqualis eſt CkH: erit reliquus SkH reliquo SDk minor. quare cir­cumferentia k H propior erit motui naturali recto ponderis in K ſoluti, lineæ ſcilicet k S, quàm circumferentia D k motui DS. & ideo linea CD magis ipſi ponderi in D renititur, quàm CK ponderi in k conſtituto. hacq; ratione oſtendetur angulum SHG maiorem eſſe SkH: & per conſequens lineam CH magis ponderi in H reniti, quàm CK ponderi in K. ſimiliter demon­ſtrabitur lineam CL magis pondus ſuſtinere, quàm CD: ob eaſdemq; cauſas oſtendetur pondus in K minus ſupra lineam Ck grauitare, quàm in quouis alio ſitu fuerit circumferentiæ FDG. & quò propius fuerit ipſi F, vel G, minus grauitare. grauius ergo erit in k, quàm in alio ſitu: minuſq; graue erit, quò propius fue­rit ipſi F, vel G.

35 Tertii. 16 Sexti. 7 Tertii. 25 Quinti. 25 Primi.

Si deniq; centrum C eſſet in centro mundi, pondus vbicunque con­ſtitutum manere mani­feſtum eſt. vt poſito pondere in D, linea CD to­tum ſuſtinebit pondus; cùm ipſius ponderis in D horizonti ſit perpendicularis. pondus ergo ma nebit.

Quoniam autem in his hactenus demonſtratis, nullam de grauitate brachii libræ mentionem fecimus, idcirco ſi brachii quoq; grauitatem conſiderare voluerimus, centrum grauitatis magnitudinis ex pondere, brachioq; compoſitæ inueniri poterit, circulorumq; circumferentiæ ſecundum diſtantiam à centro libræ ad hoc ipſum grauitatis centrum deſcribentur, ac ſi in ipſo (vt re uera eſt) pondus conſtitutum fuerit; omnia, ſicuti abſq; libræ brachii grauitate conſiderata inuenimus; hoc quoq; modo eius conſiderata grauitate reperiemus.

1 Huius.

Ex dictis igitur, conſiderando li­bram, vt longè à mundi centro a­beſt, quemadmodum ipſi fecere, ſi­cuti etiam actu eſt, apparet falſitas dicentium pondus in A grauius eſſe, quàm in alio ſitu. ſimulq; falſum eſſe, quò pondus à linea FG magis diſtat grauius eſſe. nam punctum O pro­pius eſt ipſi FG, quàm punctum A. eſt enim linea à puncto O ipſi FG perpendicularis ipſa CA minor. de­inde ex puncto A pondus velocius moueri, quàm ab alio ſitu, eſt quoque falſum. ex puncto enim O pondus ve­locius mouebitur, quàm ex puncto A; cùm in O ſit magis liberum, atq; ſolutum, quàm in alio ſitu: deſcenſus 〈qué〉 ex puncto O propior ſit motui na­turali recto, quàm quilibet alius de­ſcenſus.

Præterea cùm ex re­ctiori, & obliquiori deſcenſu oſtendunt, pondus in A grauior eſſe, quàm in D; & in D, quàm in L; primùm quidem falſum exiſtimant, ſi pondus aliquod collocatum fuerit in quocunq; ſitu circunferentiæ, vt in D, rectum eius deſcenſum per rectam lineam DR ipſi FG parallelam, tam quàm ſecundùm mo­

tum naturalem fieri de­bere; ſicuti prius dictum eſt. In quocunq; enim ſitu pondus aliquod conſtituatur, ſi naturalem eius ad propium locum motionem ſpectemus, cùm rectá ad eum ſua­ptè natura moueatur, ſuppoſita totius vniuerſi figura, eiuſmodi erit; vt ſemper ſpatium, per quod naturaliter mouetur, ra­tionem habere videatur
lineæ à circumferentia ad centrum productæ. non igitur naturales deſcenſus recti cuiuslibet ſoluti ponderis per lineas fieri poſſunt inter ſe ſe parallelas; cùm omnes in centrum mundi conue­niant. ſupponunt deinde ponderis ex D in A per rectam lineam verſus centrum mundi motum eiuſdem eſſe quantitatis, ac ſi fuiſſet ex O in C: ita vt punctum A æqualiter à centro mundi ſit diſtans, vt C. quod eſt etiam falſum; nam punctum A magis à centro mundi diſtat, quàm C: maior enim eſt linea à cen­tro mundi vſq; ad A, quàm à centro mundi vſq; ad C: cùm li­nea à centro mundi vſq; ad A rectum ſubtendat angulum à li­neis AC, & à puncto C ad centrum mundi contentum. ex qui­bus non ſolum ſuppoſitio illa, qua libram DE in AB redire demonſtrant, verùm etiam omnes ferè ipſorum demonſtrationes ruunt. niſi fortaſſe dixerint, hæc omnia propter maximam à centro mundi vſq; ad nos diſtantiam adeo inſenſibilia eſſe, vt propter inſenſibilitatem tanquam vera ſupponi poſsint: cùm omnes quidem alii, qui hæc tractauerunt, tanquam nota ſuppoſuerint. præſertim quia ſenſibilitas illa non efficit, quin deſcenſus ponderis ex L in D (vt eorum verbis vtar) minus capiat de directo, quàm deſcen­ſus DA. ſimiliter arcus DA magis de directo capiet, quàm circumferentia EV. quocirca vera erit ſuppoſitio; aliæq; demon­ſtrationes in ſuo robore permanebunt. Concedamus etiam pondus in A grauius eſſe, quàm in alio ſitu; rectumq; ponderis de­ſcenſum per rectam lineam ipſi FG parallelam fieri debere; & quælibet puncta in lineis horizonti æquidiſtantibus accepta æ­qualiter à centro mundi diſtare: non tamen propterea ſequetur, veram eſſe demonſtrationem, qua inferunt pondus in A grauius eſſe, quàm in alio ſitu, vt in L. ſi enim verum eſſet, quò pondus hoc modo rectius deſcendit, ibi grauius eſſe; ſequeretur etiam, quò idem pondus in æqualibus arcubus æqualiter rectè deſcenderet, vt in iiſdem locis æqualem haberet grauitatem, quod falſum eſſe ita demonſtratur.

Ex 15 Tertii. 18 Primi.

Sint circumferentiæ AL AM inter ſe ſe æquales; & connectatur LM, quæ AB ſecet in X: erit LM ipſi FG æquidiſtans, ipſiq; AB perpendicularis. & XM ipſi XL æqualis erit. ſi igitur pondus ex L moueatur in A per circumferentiam LA, rectus eius motus erit ſecundùm lineam LX. ſi verò moueatur ex A in M per circumferentiam AM, ſecundùm rectam eius motus erit XM. quare deſcenſus ex L in A æqualis erit deſcenſui ex A in M; tum ob circumferentias æquales, tum propter rectas lineas ipſi AB perpendiculares æquales. ergo idem pondus in L æquè graue erit, vt in A, quod eſt falſum. cum longé grauius ſit in A, quàm in L.

Ex 3 Tertii.

Quamuis autem AMLA æqualiter ſecundùm ipſos de directo capiant; dicent fortaſſe, quia tamen principium deſcenſus ex L ſcilicet LD minus de directo capit, quàm principium deſcenſus ex A, ſcilicet AN; pondus in A grauius erit, quàm in L. nam cùm circumferentia AN ſit ipſi LD (vt ſupra poſitum eſt) æqualis, quæ ſecundùm ipſos de directo capit CT; LD verò de directo capit PO. ideo pondus grauius erit in A, quàm in L. quod ſi verum eſſet, ſequeretur idem pondus in eodem ſitu diuerſo duntaxat modo conſideratum in habitudine ad eundem ſitum, tum grauius, tum leuius eſſe. quod eſt impoſsibile. hoc eſt, ſi deſcenſum conſideremus ponderis in L, quatenus ex L in A de­ſcendit, grauius erit, quàm ſi eiuſdem ponderis deſcenſum con­ſideremus ex L in D tantùm. neq; enim negare poſſunt ex eiſ­demmet dictis, quin deſcenſus ponderis ex L in A de directo capiat LX, ſiue PC. deſcenſus verò AM, quin ſimiliter de directo capiat XM: cùm ipſi quoq; hoc modo acci­piant, atq; ita accipe­re ſit neceſſe. ſi enim li­bram DE in AB redire demonſtrare volunt, comparando deſcenſus pon­deris in D cum deſcen­ſu ponderis in E, neceſſe eſt, vt oſtendant rectum deſcenſum OC corre­ſpondentem circumferentiæ DA maiorem eſſe recto deſcenſu TH circum

ferentiæ EV correſpondente. ſi enim partem tantùm totius de­ſcenſus ex D in A acciperent, vt D k; oſtenderentq; magis cape­re de directo deſcenſum Dk, quàm æqualis portio deſcenſus ex puncto E. ſequetur pondus in D ſecundùm ipſos grauius eſſe pondere in E; & vſq; ad k tantùm deorſum moueri: ita vt libra mota ſit in kI. ſimiliter ſi libram KI in AB redire demonſtrare volunt accipiendo portionem deſcenſus ex k in A; hoc eſt k S; oſtenderentq; k S magis de directo capere, quàm ex aduerſo æ­qualis deſcenſus ex puncto I: ſimili modo ſequetur pondus in k grauius eſſe, quàm in I; & vſq; ad S tantùm moueri. & ſi rurſus oſtenderent portionem deſcenſus ex S in A, atq; ita deinceps, rectiorem eſſe æquali deſcenſu ponderis oppoſiti; ſemper ſequetur libram SI ad AB propius accedere, nunquam tamen in AB per­uenire demonſtrabunt. ſi igitur libram DE in AB redire demonſtrare volunt, neceſſe eſt, vt deſcenſum ponderis ex D in A de direcro capere quantitatem lineæ ex puncto D ipſi AB ad rectos angulos ductæ accipiant. atq; ita, ſi æquales deſcenſus DA AN inuicem comparemus, qui æqualiter de directo capient OC CT, eueniet idem pondus in D æquè graue eſſe, vt in A. ſi verò portiones tantum ex D A accipiamus; grauius erit in A, quàm in D. ergo ex diuerſitate tantùm modi conſiderandi, idem pondus, & grauius, & leuius eſſe continget. non autem ex ipſa na­tura rei. Inſuper ipſorum ſuppoſitio non aſſerit, pondus ſecundùm ſitum grauius eſſe, quantò in eodem ſitu minus obliquum eſt principium ipſius deſcenſus. Suppoſitio igitur ſuperius allata, hoc eſt, ſecundùm ſitum pondus grauius eſſe, quantò in eo dem ſitu minus obliquus eſt deſcenſus; non ſolum ex his, quæ diximus, vllo modo concedi poteſt; ſed quoniam huius oppoſitum oſtendere quoq; non eſt difficile: ſcilicet idem pondus in æqualibus circumferentiis, quò minus obliquus eſt deſcenſus, ibi minus grauitare.

Sint enim vt prius circumferentiae AL AM inter ſe ſe æquales; ſitq; punctum L propè F. & connectatur LM, quæ ipſi AB perpendicularis erit. & LX ipſi XM æqualis. deinde propè M inter MG quoduis accipiatur punctum P. fiatq; circumferentia PO circumferentiæ AM æ­qualis. erit punctum O

propè A. connectanturq; CL, CO, CM, CP, OP. & à puncto P ipſi OC perpendicularis ducatur PN. & quoniam circumferentia AM circumferentiæ OP eſt æqualis: erit angu­lus ACM æqualis angulo OCP; & angulus CXM rectus re­cto CNP eſt æqualis: erit quoq; reliquus XMC trianguli MCX reliquo NPC trianguli PCN æqualis. ſed & latus CM lateri CP eſt æquale: ergo triangulum MCX triangulo PCN æquale erit. latuſq; MX lateri NP æquale. quare linea PN ipſi LX æqualis erit. ducatur præterea à puncto O linea OT ipſi AC æquidiſtans, quæ NP ſecet in V. atq; ipſi OT à puncto P perpendicularis ducatur, quæ quidem inter OV cadere non poteſt; nam cùm angulus ONV ſit rectus; erit OVN acutus. quare OVP obtuſus erit. non igitur linea à puncto P ipſi OT intra OV perpendicularis cadet. duo enim anguli vnius trianguli, vnus quidem rectus, alter verò ob­tuſus eſſet. quod eſt impoſsibile. cadet ergo in linea OT in parte VT. ſitq; PT. erit PT ſecundùm ipſos rectus circumferentiæ OP deſcenſus. Quoniam igitur angulus ONV eſt rectus; erit linea OV ipſa ON maior. quare OT ipſa
quoq; ON maior exiſtet. Cùm itaq; linèa OP angulos ſubten­dat rectos ONP OTP; erit quadratum ex OP quadratis ex ON NP ſimul ſumptis æquale. ſimiliter quadratis ex OT TP ſimul æquale. quare quadrata ſimul ex ON NP quadratis ex OT TP ſimul æqualia erunt. quadratum autem ex OT maius eſt quadrato ex ON; cum linea OT ſit ipſa ON maior. ergo quadratum ex NP maius erit quadrato ex TP. ac propterea linea TP minor erit linea PN, & linea LX. minus obliquus igitur eſt deſcenſus arcus LA, quàm arcus OP. ergo pondus in L, ex ipſorum dictis, grauius erit, quàm in O. quod ex iis, quæ ſupra diximus eſt manifeſtè falſum, cùm pondus in O grauius ſit, quàm in L. non igitur ex rectiori, & obliquiori motu ita accepto col­ligi poteſt, ſecundùm ſitum pondus grauius eſſe, quantò in eodem ſitu minus obliquus eſt deſcenſus. Atq; hinc oritur omnis fermé ipſorum error in hac re, atq; deceptio: nam quamuis per accidens interdum ex falſis ſequatur verum, per ſe tamen ex falſis falſum ſequitur, quemadmodum ex veris ſemper verum, nil idcirco mirum, ſi dum falſa accipiunt; illiſq; tanquam veriſsi­mis innituntur; falſiſsima omninò colligunt, atq; concludunt. decipiuntur quinetiam, dùm libræ contemplationem mathematicè ſimpliciter aſſummunt; cùm eius conſideratio ſit prorſus me­chanica: nec vllo modo abſq; vero motu, ac ponderibus (en­tibus omninò naturalibus) de ipſa ſermo haberi poſsit: ſine qui­bus eorum, quæ libræ accidunt, veræ caulæ reperiri nullo mo do poſsint.

Ex 27 Tertii. Ex 32 primi. 26 Primi. Ex 13 Primi. 19 Primi. 47 Primi.

Præterea ſi adhuc ſuppoſitionem conceda­mus; à conſideratione libræ longè recedunt; dum eo pacto, vt libra DE in AB redire de­beat, diſcurrunt. ſemper enim alterum pondus ſeorſum accipiunt, putá D, vel E; ac ſi modò vnummodò alterum in libra conſtitutum eſſet, nec vllo modo ambo con­

nexa; cuius tamen oppoſitum omninò fieri oportet; neq; alterum ſine altero rectè conſiderari poteſt; cùm de ipſis in libra conſti­tutis ſermo habeatur. cùm enim dicunt, deſcenſum ponderis in D minus obliquum eſſe deſcenſu ponderis in E; erit pondus in D per ſuppoſitionem grauius pondere in E: quare cùm ſit graui­us, neceſſe eſt deorſum moueri, libramq; DE in AB redire: diſcurſus iſte nullius prorſus momenti eſt. Primùm quidem ſem­per argumentantur, ac ſi pondera in DE deſcendere debeant, vnius tantùm ſine alterius connexione conſiderando deſcenſum. poſtremò tamen ob ponderum deſcenſuum comparationem colli­gentes inferunt, pondus in D deorſum moueri, & pondus in E ſurſum, vtraq; ſimul in libra inuicem connexa accipientes. ve­rùm ex iiſdemmet, quibus vtuntur, principiis, ac demonſtrationibus, oppoſitum eius, quod defendere conantur, facillimè col­ligi poteſt. Nam ſi comparetur deſcenſus ponderis in D cum a­ſcenſu ponderis in E, vt ductis EK DH ipſi AB perpendicula­ribus; cùm angulus DCH ſit æqualis angulo ECk; & angulus DHC rectus æqualis eſt recto E k C; & latus DC lateri CE æquale: erit triangulum CDH triangulo CEk æquale, & latus DH la­ teri Ek æquale. cùm autem angulus DCA ſit angulo ECB æqua­lis: erit quoq; circum­ferentia DA circumferen­tiæ BE æqualis. dum itaq; pondus in D de­ſcendit per circumfe­rentiam DA, pondus in E per circumferen­tiam EB ipſi DA æ­qualem aſcendit. & de­ſcenſus ponderis in D de directo (more ipſorum)
capiet DH; aſcenſus verò ponderis in E de directo capiet Ek ipſi DH æqualem: erit itaq; deſcenſus ponderis in D aſcenſui ponderis in E æqualis, & qualis erit propenſio vnius ad motum deorsum, talis etiam erit reſiſtentia alterius ad motum ſurſum. re­ſiſtentia ſcilicet violentiæ ponderis in E in aſcenſu naturali po­tentiæ ponderis in D in deſcenſu contrà nitendo apponitur; cùm ſit ipſi æqualis. quò enim pondus in D naturali potentia deorſum velocius deſcendit, eò tardius pondus in E violenter aſcendit. quare neutrum ipſorum alteri præponderabit, cùm ab æquali non proueniat actio. Non igitur pondus in D pondus in E ſurſum mouebit. ſi enim moueret; neceſſe eſſet, pondus in D maiorem habere virtutem deſcendendo, quàm pondus in E aſcendendo; ſed hæc ſunt æqualia: ergo pondera manebunt. & grauitas pon­deris in D grauitati ponderis in E æqualis erit. Præterea quoniam ſupponunt, quò pondus à linea directionis FG magis diſtat, eò grauius eſſe: Idcirco ductis quoq; à punctis DE ipſi FG perpendicularibus DO EI; ſimili modo demonſtrabitur, triangulum CDO triangulo CEI æqualem eſſe: & lineam DO ipſi EI æqualem. tam igitur diſtat à linea FG pondus in D, quàm pondus in E. ex ipſorum igitur rationibus, atq; ſuppoſitionibus, pondera in DE æquè grauia erunt. Amplius quid prohibet, quin libram DE ex neceſsitate in FG moueri ſimili ratione oſtendatur? Pri­mùm quidem ex eorummet demonſtrationibus colligi poteſt, a­ſcenſum ponderis in E verſus B rectiorem eſſe aſcenſu ponderis in D verſus F; hoc eſt minus capere de directo aſcenſum pon­deris in D in arcubus æqualibus aſcenſu ponderis in E. ſupponatur ergo ſecundùm ſitum pondus leuius eſſe, quantò in eodem ſi­tu minus rectus eſt aſcenſus: quæ quidem ſuppoſitio, adeò ma­nifeſta eſſe videtur, veluti ipſorum altera. Quoniam igitur aſcen­ſus ponderis in E rectior eſt aſcenſu ponderis in D; per ſuppoſi­tionem pondus in D leuius erit pondere in E. ergo pondus in D ſurſum à pondere in E mouebitur, ita vt libra in FG perueniat. atq; ita demonſtrari poterit, libram DE in FG moueri. quæ quidem demonſtratio inutilis eſt prorſus, eaſdemq; patitur difficultates. licet enim tanquàm verum admittatur pondus in E aſcendendo grauius eſſe pondere in D ſimiliter aſcendendo, non tamen ex hoc ſequitur, pondus in E deſcendendo grauius eſſe pondere in D aſcendendo. Neutra igitur harum demon­ſtrationum libram DE, vel in AB redire, vel in FG moue­ri, oſtendentium, vera eſt.

15 Primi. 26 Primi.

Præterea ſi ipſorum ſuppoſitionem, eorumq; verborum vim rectè perpendamus; alium certè habere ſenſum conſpiciemus. nam cùm ſemper ſpatium, per quod naturaliter pondus mouetur, à centro grauitatis ipſius ponderis ad centrum mundi, inſtar rectæ li­neæ à centro grauitatis ad centrum mundi productæ, ſit ſumendum; tantò huiusmodi ponderis deſcenſus, magis, minusuè obliquus dicetur; quantò ſecundùm ſpatium inſtar prædictæ lineæ deſigna tum, magis, aut minus (naturalem tamen locum petens, ſemperq; magis ipſi appropinquans) mouebitur; ita vt tantò obliquior de­ſcenſus dicatur, quantò recedit ab eiuſmodi ſpatio: rectior verò, quantò ad idem accedit. & in hoc ſenſu ſuppoſitio illa nemini difficultatem parere debet, adeò enim veritas eius conſpicua eſt; rationiq; conſentanea: vt nulla proſus manifeſtatione egere vi­deatur.

Si itaq; pondus ſolutum in ſitu D collocatum ad propium locum mo­ueri debeat; proculdubio poſito cen­tro mundi S, per lineam DS moue­bitur. ſimiliter pondus in E ſolutum per lineam ES mouebitur. quare ſi (vt rei veritas eſt) ponderis deſcen­ſus magis, minuſuè obliquus dicetur ſecundùm receſſum, & acceſſum ad ſpatia per lineas DSES deſignata, iuxta naturales ipſorum ad propria lo ca lationes; conſpicuum eſt, minus obliquum eſſe deſcenſum ipſius E per EG, quàm ipſius D per DA: cùm angulum SEG angulo SDA minorem eſſe ſupra oſtenſum ſit. qua re in E pondus magis grauitabit, quàm in D. quod eſt penitus oppo­ſitum eius, quod ipſi oſtendere conati ſunt. Inſurgent autem fortaſſe contrarios, ſi igitur (dicent) pondus in E grauius eſt pondere in D, libra

DE in hoc ſitu minimè perſiſtet, quod equidem tueri propoſuimus: ſed in FG mouebitur. quibus reſpondemus, plurimum referre, ſiue conſideremus pondera, quatenus ſunt inuicem diſiuncta, ſiue quate nus ſunt ſibi inuicem connexa. alia eſt enim ratio ponderis in E ſine connexione ponderis in D, alia verò eiuſdem alteri ponderi connexi; ita vt alterum ſine altero moueri non poſsit. nam ponderis in E, quatenus eſt ſine alterius ponderis connexione, rectus naturalis deſcenſus eſt per lineam ES; quatenus verò connexum eſt ponderi in D, eius naturalis deſcenſus non erit amplius per lineam ES, ſed per lineam ipſi CS parallelam. magnitudo enim ex ponderibus ED, & libra DE compoſita, cuius grauitatis cen­trum eſt C, ſi nullibi ſuſtineatur, deorſum eo modo, quo reperitur, ſecundùm grauitatis centrum per rectam à centro grauitatis C ad centrum mundi S ductam naturaliter mouebitur, donec centrum C in centrum S perueniat. libra igitur DE vná cum ponderibus eo modo, quo reperitur, deorſum mouebitur, ita vt pun­ctum C per lineam CS moueatur, donec C in S, libraq; DE in Hk perueniat; habeatq; libra in Hk eandem, quam prius habe­bat poſitionem; hoc eſt Hk ſit ipſi DE æquidiſtans. connectantur igitur DH Ek. manifeſtum eſt, dum libra DE in Hk mouetur puncta DE per lineas DH Ek moueri, quippe exiſtentibus inter ſe ſe, ipſiq; CS æqualibus, & æquidiſtantibus. Quare pondera in DE, quatenus ſunt ſibi inuicem connexa, ſi ipſorum naturalem mo tum ſpectemus, non ſecundùm lineas DS ES, ſed ſecundùm LDH MEk ipſi CS æquidiſtantes mouebuntur. ponderis ve­rò in E liberi, ac ſoluti, naturalis propenſio erit per ES: ponderis autem in D ſimiliter ſoluti erit per DS. ac propterea non eſt incon­ueniens idem pondus modò in E, modò in D, grauius eſſe in E, quàm in D. ſi verò pondera in ED ſibi inuicem connexa, quate­nusq; ſunt connexa conſiderauerimus; erit ponderis in E natura­lis propenſio per lineam MEK: grauitas enim alterius ponde­ris in D efficit, nè pondus in E per lineam ES grauitet, ſed per Ek. quod ipſum quoq; grauitas ponderis in E efficit, nè ſcilicet pondus in D per rectam DS degrauet; ſed ſecundùm DH: vtra­que enim ſe impediunt, nè ad propria loca permeant. Cùm igitur naturalis deſcenſus rectus ponderum in DE ſit ſecundùm LDH MEK: erit similiter rectus eorum aſcenſus ſecundùm eaſdem lineas HDL KEM. atq; aſcenſus ponderis in E magis, minuſuè obliquus dicetur; quantò ſecundùm ſpatium magis, mi­nuſuè iuxta lineam Mk mouebitur. hocq; prorſus modo iuxta lineam LH ſummendus eſt, tùm deſcenſus, tùm aſcenſus ponde­ris in D. ſi itaq; pondus in E deorſum per EG moueretur; pondus in D ſurſum per DF moueret. & quoniam angulus CEK æqualis eſt angulo CDL, & angulus CEG angulo CDF æqua­lis; erit reliquus GEK reliquo LDF æqualis. cùm autem ſup­poſitio illa, quæ ait, ſecundúm ſitum pondus grauius eſſe, quan­tò in eodem ſitu minus obliquus eſt deſcenſus; tanquam clara, atq; conſpicua admittatur; proculdubio hæc quoq; accipienda erit; nempè, ſecundúm ſitum pondus grauius eſſe, quantò in eo­dem ſitu minus obliquus eſt aſcenſus. cùm non minus manifeſta, rationiq; ſit conſentanea. æqualis igitur erit deſcenſus ponderis in E aſcenſui ponderis in D. eandem enim obliquitatem habet deſcenſus ponderis in E, quam habet aſcen­ſus ponderis in D; & qualis erit propenſio vnius ad motum deorſum, talis quoq; erit reſiſtentia alterius ad motum ſurſum. non ergo pondus in E pondus in D ſurſum mouebit. neq; pondus in D deorſum mouebitur, ita vt ſurſum moueat pondus in E. nam cum angulus CEB ſit ipſi CDA æqua­lis, & Angulus CEM ſit angulo CDH æqualis; erit reliquus MEB reliquo HDA æqualis. deſcenſus igitur ponderis in D aſcenſui ponderis in E æqualis erit. non ergo pondus in D pondus in E ſurſum mouebit. ex quibus ſequitur pondera in DE, quatenus ſunt ſibi inuicem connexa, æquè grauia eſſe.

Alia deinde ratio, li­bram ſimiliter DE in AB redire oſtendens, cùm in­quiunt, exiſtente trutina in CF meta eſt CG. & quo­niam angulus DCG maior eſt angulo ECG; pondus in D grauius erit pondere in E; ergo libra DE in AB redibit: nihil meo iudicio concludit. figmentumq; hoc de trutina, & meta po­tius omittendum, ac ſilen­

tio prætereundum eſſet, quàm verbum vllum in eius confutatione ſumendum; cùm ſit prorſus voluntarium. neceſsitas enim cur pondus in D ex maiore angulo ſit grauius; curq; maior angulus maioris ſit cauſa grauitatis; nuſquam apparet. ſi autem comparentur in­uicem anguli, cùm angulus GCD ſit æqualis angulo FCE; ſi angulus GCD eſt cauſa grauitatis; quare angulus FCE ſimiliter gra­uitatis non eſt cauſa? Huius autem rei eam in medium rationem afferre videntur, quoniam CG eſt meta, & CF trutina. ſi (inquiunt) CG eſſet trutina, & CF meta, tunc angulus FCE grauitatis eſſet cauſa; non autem DCG ipſi æqualis. quæ quidem ratio imma­ginaria prorſus, ac voluntaria eſſe videtur. quid enim refert, ſiue trutina ſit in CF, ſiue in CG, cùm libra DE in eodem ſemper pun­cto C ſuſtineatur? Vt autem eorum deceptio clarius appa­reat.

33 Prmi. 29 Primi. 29 Primi.

Sit eadem libra AB, cu­ius medium C. ſit deinde tota FG trutina. eaq; immobilis exiſtat; quæ libram AB in puncto C ſuſtineat. moueaturq; libra in DE. & quoniam trutina eſt, & ſu­pra, & infra libram, quis nam angulus erit cauſa gra­uitatis, cùm libra DE in

eodem ſemper puncto ſuſtineatur? dicent forſan, ſi trutina à potentia in F ſuſtiteneatur, tunc CG erit tanquam meta, & angulus DCG grauitatis erit cauſa. ſi verò ſuſtineatur in G, tunc FCE erit cauſa grauitatis, CF verò tanquam meta erit. cuius quidem rei nulla videtur eſſe cauſa, niſi immaginaria. meta enim (quod aiunt) nullam prorſus vim attractiuam, quandoq; ex maioris an­guli parte, quandoq; ex parte minoris habere videtur. Verùm à duabus potentiis ſuſtineatur trutina, in F ſcilicet, & in G, quod præ neceſsitate fieri poteſt, veluti ſi potentia in F ſit adeò debilis, vt ex ſe ipſa medietatem tantùm ponderis ſuſtinere quæat: ſitq; potentia in G ipſi potentiæ in F æqualis, vtræq; autem ſimul libram vná cum ponderibus ſuſtineant. tunc quis nam angulus erit cauſa grauitatis? non FCE, quia trutina eſt in CF, & in F ſuſtinetur. neq; DCG, cùm trutina ſit in
CG, & in G quoq; ſuſtineatur; non igitur anguli grauitatis cauſa erunt. ergo neq; libra DE ab hoc ſitu ob hanc cauſam mouebi­tur. Hanc autem eorum ſententiam dupliciter con­firmare videntur. primùm quidem aſſerunt Ariſtotelem in quæſtionibus mechanicis has duas tantùm quæſtiones propoſuiſſe; eiuſq; demonſtrationes, tum maiori, & minori angulo, tùm trutinæ poſitioni inniti. Affirmant deinde experientiam hoc idem docere; hoc eſt libram DE trutina exiſtente in CF, in AB horizonti æquidiſtantem redire. quando autem trutina eſt in CG, in FG moueri. Verùm neq; Ariſtoteles, neq; experientia huic eorum opinioni fauent, quin potius aduerſantur. quantùm enim atti­net ad experientiam decipiuntur, ipſa quidem experientia ma­nifeſtum eſt hoc accidere, quando libræ quoq; centrum, vel ſu­pra, vel infra libram fuerit collocatum: non autem trutina duntaxat ſupra, vel infra exiſtente, id contingere.

Cardanus.

Nam ſi libra AB habeat centrum C ſupra libram; ſitq; trutina CD infra li­bram; moueaturq; libra in EF; tunc EF rurſus in AB horizonti æquidiſtantem redibit. ſimiliter ſi libra centrum C habeat infra libram, ſitq; trutina CD ſupra libram, & moueatur libra in EF; patet libram ex parte F deorſum moue ri, trutina ſupra libram e­xiſtente. & in quocunq; a­lio ſitu fuerit trutina, idem ſemper eueniet. non igitur trutina, ſed centrum libræ harum diuerſitatum cau­ſa erit.

Animaduertendum eſt itaq; in hac parte difficulter materialem libram conſtitui poſſe, quæ in vno tantùm puncto ſuſtineatur; quemadmodum mente concipimus. brachiaq; ab eiuſmodi centro adeò æqualia habeat, non ſolum in longitudine, verùm etiam in latitudine, & profunditate, vt omnes partes hinc indé ad vnguem æqueponderent. hoc enim materia difficilimè patitur. quocirca ſi centrum in ipſa libra eſſe conſiderauerimus, ad ſenſum confugiendum non eſt: cùm artificilia ad ſummum illud perfectionis gradum ab artifice deduci minimè poſsint. In aliis verò experientia quidem appa­rentia docere poterit; propterea quod, quamquam centrum libræ ſit ſemper punctum, quando tamen ſupra libram fuerit, parùm re­fert, ſi libra in eo puncto adamuſſim minimè ſuſtineatur; quia cùm ſit ſemper ſupra libram, idem ſemper eueniet. ſimili quoq; modo quando eſt infra libram: quod tamen non accidit centro in ipſa li­bra exiſtente. ſi enim ad vnguem ſemper in illo medio non ſu­ſtineatur, diuerſitatem efficiet; cùm facillimum ſit, centrum il­lud, dùm libra mouetur, proprium mutare ſitum.

2 Huius. 3 Huius.

Quòd autem Ariſtoteles duas tantùm quæſtiones propo­ſuerit, cur ſcilicet trutina ſuperius exiſtente, ſi libra non ſit horizonti æquidiſtans in æquilibrium, hoc eſt horizonti æqui diſtans redit: ſi autem trutina deorſum fuerit conſtituta, non redit; ſed adhuc ſecundùm partem depreſſam mouetur: verum quidem eſt. non tamen eius demonſtrationes maiori, & mino ri angulo, poſitioni〈qué〉 trutinæ (vt ipſi dicunt) innituntur. In hoc enim mentem philoſophi aſignantis rationem diuerſitatis motuum libræ minimè attingunt. tantùm enim abeſt philoſo­phum has diuerſitates in angulos referre, vt potius in cauſa eſſe dicat magnitudinis alterius brachii libræ exceſſum à perpendiculo, modò ex vna, modò ex altera parte contingentem.

Vt trutina ſuperius in CF exiſtente, perpendiculum erit FCG, quod ſe­cundùm ipſum in centrum mundi ſemper vergit; quod quidem libram mo­tam in DE in partes di­uidit inæquales; & maior pars eſt verſus D: id au­tem, quod plus eſt, deorſum fertur; ergo ex par­te D deorſum libra mouebitur, donec in AB re­deat. ſi verò trutina ſit

in CG deorſum, erit GCF perpendiculum, quod libram DE in partes inæquales ſimiliter diuidit: maior autem pars erit verſus E; quare ex parte E deorſum libra mouebitur. quod vt rectè in­telligatur, cùm trutina eſt ſupra libram, libræ quoq; centrum ſu­pra libram eſſe intelligendum eſt; & ſi deorſum, centrum quoque deorſum: vt infra patebit. Aliter ipſa Ariſtotelis demonſtratio nihil concluderet. exiſtente enim centro in ipſa libra, vt in C; quo­cunq; modo moueatur libra, nunquam perpendiculum FG libram, niſi in puncto C, & in partes diuidet æquales. quare Ariſtotelis ſententia ipſis non ſolum non fauet, verùm etiam maximè aduer­ſatur. quòd non ſolum ex ſecunda, & tertia huius liquet; verùm quia exiſtente centro ſupra libram pondus eleuatum maiorem propter ſitum acquirit grauitatem. ex quò contingit redditus li­bræ ad æqualem horizonti diſtantiam. è contra verò, quando centrum eſt infra libram. Quæ omnia hoc modo oſtendentur; ſupponendo ea, quæ ſupra declarata ſunt. ſcilicet pondus ex quò loco rectius deſcendit, grauius fieri. & ex quo rectius aſcendit, grauius quoq; reddi.

Sit libra AB horizonti æquidiſtans, cuius centrum C ſit ſupra libram, perpen­diculumq; ſit CD. ſintq; in AB ponderum æqualium centra grauitatis poſita: motaq; ſit libra in EF. Dico pondus in E maiorem ha­bere grauitatem, quàm pondus in F. & ob id libram EF in AB redire. Producatur primùm CD vſq; ad mundi centrum, quod ſit S. deinde AC CB EC CF HS connectantur, à punctiſq; EF ipſi HS æquidiſtantes ducantur Ek GFL. Quoniam igitur naturalis deſcenſus rectus totius magnitudinis, libræ ſcilicet EF ſic conſti­tutæ vná cum ponderibus, eſt secundum grauitatis centrum H per rectam HS; erit

quoq; ponderum in EF ita poſsitorum deſcenſus ſecundùm re­ctas Ek FL ipſi HS parallelas; ſicuti ſupra demonſtrauimus. Deſcenſus igitur, & aſcen­ſus ponderum in EF ma­gis, minuſuè obliquus di­cetur ſecundùm acceſſum, & receſſum iuxta lineas Ek FL deſignatum. Quoniam au­tem duo latera AD DC duobus lateribus BD DE ſunt æqualia; anguliq; ad D ſunt recti; erit latus AC lateri CB æquale. & cùm pun­ctum C ſit immobile; dum puncta AB mouentur, circuli circumferentiam deſcribent, cuius ſemidiameter erit AC. quare centro C, circulus deſcribatur AEBF. puncta AB EF in circuli circumferentia erunt. ſed cùm EF ſit ipſi AB æqua lis; erit circumferentia EAF circumferentiæ AFB æqualis. quare dempta
communi AF, erit circumferentia EA circumferentiæ FB æqualis. Quoniam autem mixtus angulus CEA eſt æqualis mixto CFB; & HFB ipſo CFB eſt maior; angulus verò HEA ipſo CEA minor; erit angulus HFB angulo HEA maior. à quibus ſi auferantur anguli HFG HEk æquales; erit angulus GFB an gulo kEA maior. ergo deſcenſus ponderis in E minus obliquus erit aſcenſu ponderis in F. & quamquam pondus in E deſcendendo, & pondus in F aſcendendo per circumferentias moueantur æquales; quia tamen pondus in E ex hoc loco rectius deſcendit, quàm pondus in F aſcendit: idcirco naturalis potentia ponderis in E reſiſtentiam violentiæ ponderis F ſuperabit. quare maiorem grauitatem habebit pondus in E, quàm pondus in F. ergo pondus in E deorſum, pondus verò in F ſurſum mouebitur: donec libra EF in AB redeat. quod demonſtrare oportebat.

4 Primi. Ex 28 Tertii. 29 Primi.

Huius autem effectus ratio ab Ariſtotele poſita, hic manifeſta in tueri poteſt. ſit enim punctum N vbi CS EF ſe inuicem ſecant. & quoniam HE eſt ipſi HF æqualis; erit NE maior NF. li­nea ergo CS, quam perpendiculum vocat, libram EF in partes diuidet inæquales. cùm itaq; pars libræ NE ſit maior NF; atq; id, quod plus eſt, neceſſe eſt, deorſum ferri: libra ergo EF ex parte E deorſum mouebitur, donec in AB redeat.

Ariſtotelis ratio.

Ex iis præterea, quæ hactenus dicta ſunt inferre licet, libram EF velocius ab eo ſitu in AB moueri; vndè linea EF in directum pro­tracta in centrum mundi perueniat. vt ſit EFS recta linea. & quoniam CD CH, ſunt inter ſe ſe æquales. ſi igitur centro C, ſpatioq; CD, circulus deſcri­batur DHM; erunt pun­cta DH in circuli circum­ferentia. Quoniam au­tem CH ipſi EF eſt per­pendicularis; continget li­nea EHS circulum DHM in puncto H. pondus igi­tur in H (ſicuti ſupra de­monſtrauimus) grauius

erit, quàm in alio ſitu circuli DHM. ergo magnitudo ex EF ponderibus, & libra EF compoſita, cuius centrum grauitatis eſt in H, in hoc ſitu magis grauitabit, quàm in quocunq; alio ſitu circuli fuerit punctum H. ab hoc igitur ſitu velo­cius, quàm à quocunq; alio mouebitur. & ſi H propius fuerit ipſi D mi nus grauitabit, minuſq; ab eo ſitu mouebitur. ſemper enim deſcenſus obliquior eſt, & minus rectus. libra ergo EF velocius ab hoc ſitu mouebi­tur, quàm ab alio ſitu. & ſi propius ad AB acce­det, inde minus mouebitur. Deinde quò longius punctum H à puncto C diſtabit, velocius moue­bitur; quod non ſolum ex Ariſtotele in principio quæſt­io num mechanicarum, &
ex ſuperius dictis patet; verùm etiam ex iis, quæ infra in ſexta propoſitione dicemus, manifeſtum erit. libra igitur EF, quò magis ab eius centro diſtabit, adhuc velocius mouebitur.

Sit deinde libra AB, cuius centrum C ſit infra libram; ſintq; in AB pondera æqualia; libraq; ſit mota in EF. Dico maio­rem habere grauitatem pondus in F, quàm pondus in E. atq; ideo libram EF deorſum ex parte F moue­ri. Producatur DC ex vtraq; parte vſq; ad mun­di centrum S, & vſq; ad O, lineaq; HS ducatur, cui à punctis EF æquidi­ſtantes ducantur GEk FL; connectanturq; CE CF: atq; centro C, ſpatioq; CE circulus deſcribatur AEO BF. ſimiliter demonſtra­bitur puncta ABEF in circuli circumferentia eſſe; deſcenſumq; libræ EF vná cum ponderibus rectum ſecundùm lineam HS fieri; ponderumq; in EF ſecun

dùm lineas GK FL ipſi HS æquidiſtantes. Quoniam autem angulus CFP æqualis eſt angulo CEO: erit angulus HFP angulo HEO maior. angulus verò HFL æqualis eſt angulo HEG. à quibus igitur ſi demantur anguli HFP HEO, erit angulus LFP angulo GEO minor. quare deſcenſus ponderis in F rectior erit aſcenſu ponderis in E. ergo naturalis potentia ponderis in F reſiſtentiam violentiæ ponderis in E ſuperabit. & ideo ma­iorem habebit grauitatem pondus in F, quàm pondus in E. Pondus igitur in F deorſum, pondus verò in E ſurſum mo­uebitur.

29 Primi.

Ariſtotelis quoq; ratio hic perſpicua erit. ſit enim punctum N vbi CO EF ſe inuicem ſecant; erit NF maior NE. & quoniam CO perpendiculum (ſecundùm ipſum) libram EF in partes inæquales diuidit, & maior pars eſt verſus F, hoc eſt NF; libra EF ex parte F deorſum mouebitur: cùm id, quod plus eſt, deorſum feratur.

Ariſtotelis ratio.

Similiter, éx dictis quoq; eliciemus libram EF centrum habens infra li­bram, quò magis à ſitu AB diſtabit, velocius mo ueri. centrum enim grauitatis H, quò magis á pun­cto D diſtat, eò volecius pondus ex EF ponderibus, libraq; EF compoſitum mouebitur, donec angulus CHS rectus euadat. ad­huc inſuper velocius mouebitur, quò libram à centro C magis diſtabit.

Ex ipſorum quinetiam rationibus, ac falſis ſupoſitionibus iam declaratos libræ effectus, ac motus deducere, ac manifeſtare libet; vt quanta ſit veritatis efficacia appareat, quippè ex falſis etiam eluceſcere contendit.

Exponantur eadem, ſci licet ſit circulus AEBF; libra〈qué〉 AB, cuius cen­trum C ſit ſupra libram, moueatur in EF. dico pondus in E maiorem ibi habere grauitatem, quàm pondus in F; libramq; EF in AB redire. Ducantur à punctis EF ipſi AB perpendiculares EL FM, quæ inter ſe æquidiſtan­tes

erunt; ſitq; punctum N, vbi AB EF ſe inuicem ſecant. Quoniam igitur angulus FNM eſt æqualis angulo ENL, & an­gulus F MN rectus recto ELN æqualis, ac reliquus NFM reli­quo NEL eſt etiam æqualis; erit triangulum NLE triangulo NMF ſimile. vt igitur NE ad EL, ita NF ad FM; & per mutando vt EN ad NF, ita EL ad FM. ſed cùm ſit HE ipſi HF æqualis, erit EN maior NF; quare & EL maior erit FM. & quoniam dum pondus in E per circumferentiam EA deſcendit, pondus in F per circumferentiam FB ipſi circumferentiæ EA æqualem aſcendit; deſcenſuſq; ponderis in E de directo (vt ip­ſi dicunt) capit EL: aſcenſus verò ponderis in F de directo ca­pit FM; minus de directo capiet aſcenſus ponderis in F, quàm deſcenſus ponderis in E. maiorem igitur grauitatem habebit pondus in E, quàm pondus in F.

28 Primi. 15 Primi. 29 Primi. 4 Sexti. 16 Quinti.

Producatur CD ex vtraq; parte in OP, quæ lineam EF in puncto S ſecet. & quoniam (vt aiunt) quò magis pondus à li­nea directionis OP diſtat, eò fit grauius; idcirco hoc quoq; me dio pondus in E maiorem habere grauitatem pondere in F o­ſtendetur. Ducantur à punctis EF ipſi OP perpendiculares EQ FR. ſimili ratione oſtendetur, triangulum QES triangulo RFS ſimile eſſe; lineamq; EQ ipſa RF maiorem eſſe. pondus itaq; in E magis à linea OP diſtabit, quàm pondus in F; ac propterea pondus in E maiorem habebit grauitatem pondere in F. ex quibus reditus libræ EF in AB manifeſtus apparet.

Si autem centrum libræ ſit infra libram, tunc pon­dus depreſſum maiorem habere grauitatem eleuato iiſdem mediis oſtendetur. ducantur à punctis EF ip­ſi AB perpendiculares EL FM. ſimiliter demonſtrabitur EL maiorem eſſe FM; & ob id deſcenſus ponderis in F minus de di recto capiet, quàm aſcen­

ſus ponderis in E: quocirca reſiſtentia violentiæ ponderis in E ſuperabit naturalem propenſionem ponderis in F. ergo pondus in E pondere in F grauius erit.

Producatur etiam CD ex vtraq; parte in OP; ipſiq; à punctis EF perpendiculares ducantur EQ FR. eodem prorſus modo oſtendetur, lineam EQ maiorem eſſe FR. pondus ideò in E magis à linea directionis OP diſtabit, quàm pondus in F. maio­rem igitur grauitatem habebit pondus in E, quàm pondus in F. ex quibus ſequitur, libram EF ex parte E deorſum moueri.

Ariſtoteles itaq; has duas tantùm quæſtiones propoſuit, ter­tiamq; reliquit; ſcilicet cùm centrum libræ in ipſa eſt libra: hanc autem ommiſsit, vt notam, quemadmodum res valde notas præ­termittere ſolet. nam cui dubium, ſi pondus in eius centro grauitatis ſuſtineatur, quin maneat? Ea verò, quæ ex ipſius ſententia attulimus, aliquis reprehendere poſſet, nos integram eius ſententiam minimè protuliſſe affirmans. nam cùm in ſecunda parte ſecundæ quæſtionis proponit, cur libra, trutina deorſum conſtituta, quando deorſum lato pondere quiſpiam id amouet, non aſcendit, ſed manet? non aſſerit adhuc libram deorſum moueri; ſed manere. quod in vltima quoq; concluſione colligiſſe videtur. Ve rùm hoc non ſolum nobis non repugnat, ſed ſi rectè intelligitur, maximè ſuffragatur.

Sit enim libra AB horizonti æquidiſtans, cuius centrum E ſit infra libram. quia ve rò Ariſtoteles libram, ſicuti actu eſt, conſiderat; ideò neceſſe eſt trutinam, vel aliquid aliud infra centrum E collocare, vt EF (quod quidem truti­na erit) ita vt centrum E ſuſtineat. ſitq; per­

pendiculum ECD. & vt libra AB ab hoc moueatur ſitu; dicit Ariſtoteles, ponatur pondus in B, quod cùm ſit graue, libram ex parte B deorſum mouebit; putá in G. ita vt propter impedimentum deorſum amplius moueri non poterit. non enim dicit Ariſtoteles, moueatur libra ex parte B deorſum, quouſq; libuerit; dein de relinquatur, vt nos diximus: ſed præcipit, vt in ipſo B po­natur pondus, quod ex ipſius natura deorſum ſemper mouebi­tur; donec libra trutinæ, ſiue alicui alii adhæreat. & quando B erit in G, erit libra in GH; in quo ſitu, ablato pondere, manebit: cùm maior pars libræ à perpendiculo ſit verſus G, quæ eſt DG, quàm DH. nec deorſum amplius mouebitur; nam libra, vel trutinæ, vel alteri cuipiam, quod centrum libræ ſuſtineat, incumbet. ſi enim huic non adhæreret, libra ex parte G deorſum ex ipſius ſententia moueretur; cùm id, quod plus eſt, ſcilicet DG, deorſum ferri ſit neceſſe.

Cæterum quis adhuc dicere poterit, ſi paruum imponatur pondus in B, mouebitur quidem libra deorſum, non autem vſq; ad G. in quò ſitu ſecundùm Ariſtotelem, ablato pondere, mane­re deberet. quod experimento patet; cùm in vna tantùm libræ extremitate, impoſito onere, hocq; vel maiore, vel minore, libra plus, minuſuè inclinetur. Quod eſt quidem veriſſimum, centro ſupra libram, non autem infra, neq; in ipſa libra collocato. Vt exempli gratia.

Sit libra horizonti æ­quidiſtans AB, cuius centrum C ſit ſupra libram, perpendiculumq; CD horizonti perpendiculare, quod ex parte D producatur in H. Quoniam enim conſiderata libræ grauita­te, erit punctum D libræ centrum grauitatis. ſi ergo in B paruum imponatur pondus, cuius centrum

grauitatis ſit in puncto B; magnitudinis ex libra AB, & pondere in B compoſitæ non erit amplius centrum grauitatis D; ſed erit in linea DB, vt in E: ita vt DE ad EB ſit, vt pondus in B ad gra­uitatem libræ AB. Connectatur CE. Quoniam autem pun­ctum C eſt immobile, dum libra mouetur, punctum E circuli circumferentiam EFG deſcribet, cuius ſemidiameter CE, & cen­trum C. quia verò CD horizonti eſt perpendicularis, linea CE horizonti perpendicularis nequaquam erit. quare magnitudo ex AB, & pondere in B compoſita minimè in hoc ſitu manebit; ſed deorſum ſecundùm eius grauitatis centrum E per circumferen­tiam EFG mouebitur; donec CE horizonti perpendicularis euadat; hoc eſt, donec CE in CDF perueniat. atq; tunc libra AB mota erit in kL, in quo ſitu libra vná cum pondere manebit. nec deorſum amplius mouebitur. Si verò in B ponatur pondus graui­us; centrum grauitatis totius magnitudinis erit ipſi B propius, vt in M. & tunc libra deorſum, donec iuncta CM in linea CDH per ueniat, mouebitur. Ex maiore igitur, & minore pondere in B poſito, libra plus, minuſuè inclinabitur. ex quo ſequitur pondus B quarta circuli parte minorem ſemper circumferentiam deſcribe­re, cùm angulus FCE ſit ſemper acutus. nunquam enim punctum B vſq; ad lineam CH perueniet, cùm centrum grauitatis ponde­ris, & libræ ſimul ſemper inter DB exiſtat. quò tamen pondus in B grauius fuerit, maiorem quoq; circumferentiam deſcribet. eò enim magis punctum B ad lineam CH accedet.

6 Primi Archim. de æquep. 1. Huius.

Habeat autem libra AB centrum C in ipſa libra, atq; in eius medio: erit C libræ centrum quoq; grauitatis; à quo ipſi AB, horizontiq; perpendicularis ducatur FC G. ponatur deinde in B quoduis pondus; erit totius magnitudinis centrum gra­uitatis putá in E; ita vt CE

ad EB ſit, vt pondus in B ad libræ grauitatem. & quoniam CE non eſt horizonti perpendicularis, libra AB, atq; pondus in B in hoc ſitu nunquam manebunt; ſed deorſum ex parte B mouebuntur, donec CE horizonti fiat perpendicularis. hoc eſt donec li­bra AB in FG perueniat. ex quo patet, quolibet pondus in B circuli quartam ſemper deſcribere.

Sit autem centrum C in­fra libram AB. ſitq; DCE perpendiculum. ſimiliter poſito in B pondere, cen­trum grauitatis magnitudinis ex AB libra, & pondere in B compoſitæ in linea DB erit; vt in F; ita vt DF ad FB ſit, vt pondus in B

ad libræ pondus. Iungatur CF. & quoniam CD horizonti eſt perpendicularis; linea CF horizonti nequaquam perpendicula­ris exiſtet. quare magnitudo ex AB libra, ac pondere in B compoſita in hoc ſitu nunquam perſiſtet; ſed deorſum, niſi aliquid impediat, mouebitur; donec CF in DCE perueniat: in quo ſitu libra vná cum pondere manebit. & punctum B erit vt in G, atq; punctum A in H, libraq; GH non amplius centrum infra, ſed ſupra ipſam habebit. quod idem ſemper eueniet; quamuis mini­mum imponatur pondus in B. ergo priuſquam B perueniat ad G; neceſſe eſt libram, ſiue trutinæ deorſum poſitæ, vel alicui alteri, quod centrum C ſu­ſtineat, occurrere; ibiq; ad­hærere. ex hoc ſequitur, pondus in B vltra lineam Dk ſemper moueri; ac circuli quarta maiorem ſemper circumferentiam deſcribere: eſt enim angulus FCE ſemper obtuſus, cùm angulus DCF ſemper ſit acutus. quò au­
tem pondus in B fuerit leuius, maiorem tamen adhuc circumfe­rentiam deſcribet. nam quò pondus in G leuius fuerit, eò ma­gis pondus in G eleuabitur; libraq; GH ad ſitum horizonti æquidiſtantem propius accedet. quæ omnia ex iis, quæ ſupra dixi­mus, manifeſta ſunt.

His demonſtratis. Manifeſtum eſt, centrum libræ cauſam eſſe diuerſitatis effectuum in libra. atq; patet omnes Archimedis de æqueponderantibus propoſitiones ad hoc pertinentes in omni ſitu veras eſſe. hoc eſt ſiue libra ſit horizonti æquidiſtans, ſiue non: dummodo centrum libræ in ipſa ſit libra; quemadmodum ipſe conſiderat. & quamquam libra brachia habeat inæqualia, idem eueniet; eodemq; proſus modo oſtendetur, centrum libræ diuerſimodè collocatum varios producere effectus.

Sit enim libra AB hori­zonti æquidiſtans; & in AB ſint pondera inæqualia, quo rum grauitatis centrum ſit C: ſuſpendaturq; libra in eodem puncto C. & mo­ueatur libra in DE. manifeſtum eſt libram non ſo­lum in DE, ſed in quouis alio ſitu manere.

Sit autem centrum libræ AB ſupra C in F; ſitq; FC ipſi AB, & horizonti perpendicularis: & ſi mo­ueatur libra in DE, linea CF mota erit in FG; quæ cùm non ſit horizonti per­pendicularis, libra DE deorſum ex parte D mouebitur, donec FG in FC redeat: atq; tunc libra DE in AB erit, in quò ſitu quoq; manebit.

Et ſi centrum libræ F ſit infra libram; ſitq; mota libra in DE; primùm quidem manifeſtum eſt li­bram in AB manere; in DE verò deorſum ex par te E moueri: cùm linea FG non ſit horizonti per­pendicularis.

Ex his determinatis ſi libra ſit arcuata, vel libræ brachia angulum conſtituant; centrumq; diuerſimodè collocetur (quamquam hæc propriè non ſit libra) varios tamen huius quoq; effectus oſtendere poterimus. Vt ſit libra ACB, cuius centrum, circa quod vertitur, ſit C. ductaq; AB, ſit arcus ſiue angulus

ACB ſupra lineam AB; & in AB grauitatis centra ponderum ponantur, quæ in hoc ſitu maneant. moueatur deinde libra ab hoc ſitu, putá in ECF. Dico li­bram ECF in ACB redire. to­tius magnitudinis centrum grauitatis inueniatur D. & CD iunga­tur. Quoniam enim pondera AB manent, linea CD horizonti per­pendicularis erit. quando igitur libra erit in ECF, linea CD erit putá in CG; quæ cùm non ſit ho
rizonti perpendicularis; libra ECF in ACB redibit. quod idem eueniet, ſi centrum C ſupra libram conſtituatur, vt in H.

Per def. centri grauitatis. 1 Huius. 1. Huius. 1 Huius.

Si verò arcus, ſiue angulus ACB, ſit infra lineam AB; eo dem modo libram ECF, cuius centrum, ſiue ſit in C, ſiue in H, deorſum ex parte F moueri o­ſtendemus.

Sit autem angulus ACB ſupra lineam AB; ac libræ centrum ſit H; lineaq; CH libram ſuſtineat; & moueatur libra in EKF: libra EkF in ACB redibit.

Si verò centrum libræ ſit D, quocunq; modo moueatur libra; vbi relinquetur, manebit.

Si deinde punctum H ſit infra lineam AB; tunc libra EkF deorſum ex parte F mouebitur.

Similiq; prorſus ratione, ſi angulus ACB ſit infra lineam AB; ſitq; libræ centrum H; ſuſtineaturq; libra linea CH; ſi libra ab hoc moueatur ſitu, deorſum ex parte pon­deris inferioris mouebitur. & ſi centrum libræ ſit D; vbi relinquetur, manebit. ſi verò ſit in K; ſi ab eiuſ

modi moueatur ſitu, in eundem proſus redibit. quæ omnia ex iis, quæ in principio diximus, ſunt manifeſta. ſimiliter ſi centrum libræ, vel in altero brachiorum, vel intra, vel extra vtcunq; ponatur; eadem inueniemus.

PROPOSITIO. V.

Duo pondera in libra appenſa, ſi libra inter hæc ita diuidatur, vt partes ponderibus per­mutatim reſpondeant; tàm in punctis appenſis ponderabunt, quàm ſi vtraq; ex diuiſionis pun­cto ſuſpendantur.

Sit AB libra, cuius centrum C; ſintq; duo pondera EF ex punctis BG ſuſpenſa: diuidaturq; BG in H, ita vt BH ad HG eandem habeat proportionem, quam pondus E ad pondus F. Dico pondera EF tàm in BG ponderare, quàm ſi vtraq; ex puncto H ſuſpendantur. fiat AC ipſi CH æqualis. & vt AC ad CG, ita fiat pondus E ad pondus L. ſimiliter vt AC ad CB, ita fiat pondus F ad pondus M. ponderaq; LM ex puncto A ſuſpendantur. Quoniam enim AC eſt æqualis CH, erit BC ad CH vt pondus M ad pondus F. & quoniam maior eſt BC, quàm CH; erit & pondus M ipſo F maius. diuidatur igitur pondus M in duas partes QR, ſitq; pars Q ipſi F æqualis; erit BC ad CH, vt RQ ad Q: & diuidendo, vt BH ad HC, ita R ad q. deinde conuertendo, vt CH ad HB, ita Q ad R. Præterea quo­niam CH eſt æqualis ipſi CA, erit HC ad CG, vt pondus E ad pondus L: maior autem eſt HC, quàm CG; erit & pon­dus E pondere L maius. diuidatur itaq; pondus E in duas partes NO ita, vt pars O ſit ipſi L æqualis, erit HC ad CG, vt to­tum NO ad O; & diuidendo, vt HG ad GC, ita N ad O: conuertendoq; vt CG ad GH, ita O ad N. & iterum com­ponendo, vt CH ad HG, ita ON ad N. vt autem GH ad HB, ita eſt F ad ON. quare ex æquali, vt CH ad HB, ita F ad N. ſed vt CH ad HB ita eſt Q ad R: erit igitur Q ad R, vt F ad N; & permutando, vt Q ad F, ita R ad N. eſt autem pars Q ipſi F æqualis; quare & pars R ipſi N æqualis erit. Itaq; cùm pondus L ſit ipſi O æquale, & pondus F ipſi Q etiam æquale, atq; pars R ipſi N æqualis; erunt pondera LM ipſis EF ponderibus æqualia. & quoniam eſt, vt AC ad CG, ita pondus E ad pon­dus L; pondera EL æqueponderabunt. ſimiliter quoniam eſt, vt AC ad CB, ita pondus F ad pondus M; pondera quoq; FM æqueponderabunt. Pondera igitur LM ponderibus EF in BG appenſis æqueponderabunt. cùm autem diſtantia CA æqualis ſit diſtantiæ CH; ſi igitur vtraq; pondera EF in H appendantur, pondera LM ipſis EF ponderibus in H appenſis æquepondera­bunt. ſed LM ipſis EF in GB quoq; æqueponderant: æquè igitur grauia erunt pondera EF in GB, vt in H appenſa. tàm igitur ponderabunt in BG, quàm in H appenſa.

Sint autem pondera EF in CB appenſa; ſitq; C libræ centrum; & diuidatur CB in H, ita vt CH ad HB ſit, vt pondus in F ad E. Dico pondera EF tàm in CB ponderare, quàm in puncto H. fiat CA ipſi CH æqualis, & vt CA ad CB, ita fiat pondus F ad aliud D, quod appendatur in A. Quoniam enim CH eſt æqua­

lis CA, erit CH ad CB, vt F ad D; & maior quidem eſt CB, quàm CH; idcirco D pondere F maius erit. Diuidatur ergo D in duas partes Gk, ſitq; G ipſi F æqualis; erit vt BC ad CH, vt Gk ad G; & diuidendo, vt BH ad HC, ita K ad G; & conuertendo, vt CH ad HB, ita G ad k. Vt autem CH ad HB, ita eſt F ad E. vt igitur G ad k, ita eſt F ad E; & permutando vt G ad F, ita k ad E. ſunt autem GF æqualia; erunt & kE inter ſe ſe æqualia. cùm itaq; pars G ſit ipſi F æqualis, & K ipſi E; erit totum C k ipſis EF ponderibus æquale. & quoniam AC eſt ip­ſi CH æqualis; ſi igitur pondera EF ex puncto H ſuſpendantur, pondus D ipſis EF in H appenſis æqueponderabit. ſed & ipſis æqueponderat in CB, hoc eſt F in B, & E in C; cùm ſit vt AC ad CB, ita F ad. D. pondus enim E ex centro libræ C ſuſpen­ſum non efficit, vt libra in alterutram moueatur partem. tàm igi­tur grauia erunt pondera EF in CB, quàm in H appenſa.

Sit deniq; libra AB, & ex punctis AB ſuſpenſa ſint pondera EF; ſitq; centrum libræ C intra pondera; diuidaturq; AB in D, ita vt AD ad DB ſit, vt pondus F ad pondus E. Dico pondera EF tàm in AB ponderare, quám ſi vtraq; ex puncto D ſuſpendantur. fiat CG æqualis ipſi CD; & vt DC ad CA, ita fiat pondus E ad aliud H; quod appendatur in D. vt autem GC ad CB, ita fiat pondus F ad aliud K; appendaturq; k in G. Quoniam enim eſt, vt BC ad CG, hoc eſt ad CD, ita pondus k ad F; erit K ma ius pondere F. quare diuidatur pondus k in L, & MN; fiatq; pars L ipſi F æqualis; erit vt BC ad CD, vt totum LMN ad L; & diuidendo, vt BD ad DC, ita pars MN ad partem L. vt igitur BD ad DC, ita pars MN ad F. vt autem AD ad DB, ita F ad E: quare ex æquali, vt AD ad DC, ita MN ad E. cùm verò AD ſit ipſa CD maior; erit & pars MN pondere E maior: diuidatur ergo MN in duas partes MN, ſitq; M æqua lis ipſi E. erit vt AD ad DC, vt NM ad M; & diuidendo, vt AC ad CD, ita N ad M: conuertendoq; vt DC ad CA, ita M ad N. vt autem DC ad CA, ita eſt E ad H; erit igitur M ad N vt E ad H; & permutando, vt M ad E, ita N ad H. ſed ME ſunt inter ſe æqualia, erunt NH inter ſeſe quoq; æqualia. & quo­niam ita eſt AC ad CD, vt H ad E: pondera HE æqueponde­rabunt. ſimiliter quoniam eſt vt GC ad CB, ita F ad k, ponde­

ra etiam kF æqueponderabunt. pondera igitur Ek HF in li­bra AB, cuius centrum C, æqueponderabunt. cùm autem GC ipſi CD ſit æqualis, & pondus H ſit ipſi N æquale; pondera NH æqueponderabunt. & quoniam omnia æqueponderant, demptis HN ponderibus, quæ æqueponderant, reliqua æqueponderabunt; hoc eſt pondera EF & pondus LM ex centro libræ C ſuſpenſa. quia verò pars L ipſi F eſt æqualis, & pars M ipſi E æqualis; erit totum LM ipſis FE ponderibus ſimul ſumptis æquale. & cùm ſit CG ipſi CD æqualis, ſi igitur pondera EF ex puncto D ſuſpen­dantur, pondera EF in D appenſa ipſi LM æqueponderabunt. quare LM tàm ipſis EF in AB appenſis æqueponderat, quàm in puncto D appenſis. libra enim ſemper eodem modo manet. Ponde­ra ergo EF tàm in AB ponderabunt, quàm in puncto D. quod demonstrare oportebat.

17 Quinti. Cor. 4 quinti. 17 Quinti. Cor. 4 quinti. 18 Quinti. 23 Quinti. 11 Quinti. 16 Quinti. 6 Primi Archim. de æquep. 2 Com. not. huius. 3 Com. not. huius. 17 Quinti. Cor. 4 quinti. 11 Quinti. 16 Quinti. 17 Quinti. 23 Quinti. 17 Quinti. Cor. 4 quinti 11 Quinti. 16 Quinti. 6 Primi Archim. de æquep. 2 Com.not. huius. 1 Com.not. huius. 3 Com.not. huius.

Hæc autem omnia (mechanicè tamen ma­gis) aliter oſtendemus.

Sit libra AB, cuius centrum C; ſintq; vt in primo caſu duo pondera EF ex punctis BG ſuſpenſa: ſitq; GH ad HB, vt pondus F ad pondus E. Dico pondera EF tàm in GB ponderare, quàm ſi vtraq; ex diuiſionis puncto H ſuſpendantur. Conſtruantur ea dem, hoc eſt fiat AC ipſi CH æqualis, & ex puncto A duo ap­pendantur pondera LM, ita vt pondus E ad pondus L, ſit vt CA ad CG; vt autem CB ad CA, ita ſit pondus M ad pondus F. pondera LM ipſis EF in GB appenſis (vt ſupra dictum eſt) æqueponderabunt. Sint deinde puncta NO centra grauitatis ponderum EF; connectanturq; GN BO; iungaturq; NO, quæ tan­quam libra erit; quæ etiam efficiat lineas GN BO inter ſe ſe æqui­diſtantes eſſe; à punctoq; H horizonti perpendicularis ducatur HP, quæ NO ſecet in P, atq; ipſis GN BO ſit æquidiſtans. deniq; connectatur GO, quæ HP ſecet in R. Quoniam igitur HR eſt lateri BO trianguli GBO æquidiſtans; erit GH ad HB, vt GR ad RO. ſimiliter quoniam RP eſt lateri GN trianguli OGN æquidiſtans; erit GR ad RO, vt NP ad PO. quare vt GH ad HB, ita eſt NP ad PO. vt autem GH ad HB, ita eſt pondus F ad pondus E; vt igitur NP ad PO, ita eſt pondus F ad pondus E. punctum ergo P centrum erit grauitatis magni­tudinis ex vtriſq; EF ponderibus compoſitæ. Intelligantur itaq; pondera EF ita eſſe à libra NO connexa, ac ſi vna tantùm eſſet magnitudo ex vtriſq; EF compoſita, in punctiſq; BG appenſa. ſi igitur ponderum ſuſpenſiones BG ſoluantur, manebunt pondera EF ex HP ſuſpenſa; ſicuti in GB prius manebant. pondera verò EF in GB appenſa ipſis LM ponderibus æqueponderant, & pondera

EF ex puncto H ſuſpenſa, eandem habent conſtitutionem ad li­bram AB, quam in BG appenſa: eadem ergo pondera EF ex H ſuſpenſa eiſdem ponderibus LM æqueponderabunt. æquè igi­tur ſunt grauia pondera EF in GB, vt in H appenſa.

Similiter demonſtrabitur, pondera EF in quibuſcunq; aliis punctis appenſa tàm ponderare, quàm ſi vtraq; ex diuiſionis puncto H ſuſpendantur. ſi enim (vt ſupra docuimus) in libra pondera inue­niantur, quibus pondera EF æqueponderent; eadem pondera EF ex H ſuſpenſa eiſdem inuentis ponderibus æqueponderabunt; cùm punctum P ſit ſemper eorum centrum grauitatis; & HP horizon ri perpendicularis.

2 Sexti. 11 Quinti. 6 Primi Archim. de æquep. 1 Huius.

PROPOSITIO. VI.

Pondera æqualia in libra appenſa eam in grauitate proportionem habent; quam diſtantiæ, ex quibus appenduntur.

Sit libra BAC ſuſpenſa ex puncto A; & ſecetur AC vtcunq; in D: ex punctis autem DC appendantur æqualia pondera EF. Dico pondus F ad pondus E eam in grauitate proportionem ha­bere, quam habet diſtantia CA ad diſtantiam AD. fiat enim vt CA ad AD, ita pondus F ad aliud pondus, quod ſit G. Dico primúm pondera GF ex puncto C ſuſpenſa tantùm ponderare, quantùm pondera EF ex punctis DC. Secetur DC bifariam in H, & ex H appendantur vtraq; pondera EF. ponderabunt EF ſimul ſumpta in eo ſitu, quantùm ponderant in DC. ponatur BA æqualis AH, ſeceturq; BA in K, ita vt ſit KA æqualis AD: deinde ex puncto B appendatur pondus L duplum ponderis F, hoc eſt æquale duobus ponderibus EF, quod quidem æqueponderabit ponderibus EF in H appenſis, hoc eſt appenſis in DC. Quoniamigitur, vt CA ad AD, ita eſt pondus F ad pondus G; erit componendo vt CA AD ad AD, hoc eſt vt Ck ad AD, ita ponde­ra FG ad pondus G. ſed cùm ſit, vt CA ad AD, ita F pon­dus ad pondus G; erit conuertendo, vt DA ad AC, ita pondus G ad pondus F; & conſequentium dupla, vt DA ad duplam ipſius AC, ita pondus G ad duplum ponderis F, hoc eſt ad pondus L. Quare vt Ck ad DA, ita pondera EF ad pondus G; & vt

AD ad duplam ipſius AC, ita pondus G ad pondus L; ergo ex æquali, vt Ck ad duplam ipſius AC, ita pondera FG ad pondus L. ſed vt Ck ad duplam AC, ita dimidia CK, videlicet AH, hoc eſt BA, ad AC. Vt igitur BA ad AC, ita FG pondera ad pondus L. Quare ex ſexta eiuſdem primi Archimedis, duo pondera FG ex puncto C ſuſpenſa tantùm ponderabunt, quantùm pondus L ex B; hoc eſt quantùm pondera EF ex punctis DC ſuſpenſa. Itaq; quoniam pondera FG tantùm ponderant, quantum pondera EF; ſu­blato communi pondere F, tàm ponderabit pondus G in C ap­penſum, quàm pondus E in D. ac propterea pondus F ad pon­dus E eam in grauitate proportionem habet, quam habet ad pondus G. ſed pondus F ad G erat, vt CA ad AD: ergo & F pon­dus ad pondus E eam in grauitate proportionem habebit, quam habet CA ad AD. quod demonſtrare oportebat.

5 Huius. 18 Quinti. Cor. 4 quinti. 22 Quinti. 7 Quinti.

Si verò in libra BAC pondera EF æqualia ex punctis BC ſuſpendantur; ſi­militer dico pondus E ad pondus F eam

in grauitate proportionem habere, quàm habet diſtantia CA ad diſtantiam AB. fiat AD ipſi AB æqualis, & ex puncto D ſuſpen­datur pondus G æquale ponderi F; quod etiam ipſi E erit æquale. & quoniam AD eſt æqualis ipſi AB; pondera FG æqueponderabunt, eandemq; habebunt grauitatem. cùm autem grauitas ponderis E ad grauitatem ponderis G ſit, vt CA ad AD; erit grauitas ponderis E ad grauitatem ponderis F, vt CA ad AD, hoc eſt CA ad AB. quod erat quoq; oſtendendum.

ALITER.

Sit libra BAC, cu­ius centrum A; in pun­ctis verò BC pondera appendantur æqualia G F: ſitq; primùm cen­trum A vtcunque inter BC. Dico pondus F ad pondus G eam in graui

tate proportionem habere, quam habet diſtantia CA ad diſtan­tiam AB. fiat vt BA ad AC, ita pondus F ad aliud H, quod appendatur in B: pondera HF ex A æqueponderabunt. ſed cùm pondera FG ſint æqualia, habebit pondus H ad pondus G ean­dem proportionem, quam habet ad F. vt igitur CA ad AB, ita eſt H ad G. vt autem H ad G, ita eſt grauitas ipſius H ad grauitatem ipſius G; cùm in eodem puncto B ſint appenſa. quare vt CA ad AB, ita grauitas ponderis H ad grauitatem ponderis G. cùm autem grauitas ponderis F in C appenſi ſit æqualis grauitati ponderis H in B; erit grauitas ponderis F ad grauitatem ponderis G, vt CA ad AB, videlicet vt diſtantia ad diſtantiam. quod demonſtrare oportebat.

6 Primi Archim. de æquep. 7 Quinti.

Si verò libra B AC ſecetur vtcunq; in D, & in DC ap­pendantur pondera æqualia EF. Dico ſimiliter ita eſſe gra­

uitatem ponderis F ad grauitatem ponderis E, vt diſtantia CA ad diſtantiam AD. fiat AB æqualis ipſi AD, & in B appendatur pondus G æquale ponderi E, & ponderi F. Quoniam enim AB eſt æqualis AD; pondera GE æqueponderabunt. ſed cùm grauitas ponderis F ad grauitatem ponderis G ſit, vt CA ad AB, & grauitas ponderis E ſit æqualis grauitati ponderis G; erit grauitas pon­deris F ad grauitatem ponderis E, vt CA ad AB, hoc eſt vt CA ad AD. quod demonſtrare oportebat.

COROLLARIVM.

Ex hoc manifeſtum eſt, quò pondus à centro libræ magis diſtat, eò grauius eſſe; & per conſe­quens velocius moueri.

Hinc præterea ſtateræ quoq; ratio facilè oſtendetur.

Stateræ ratio.

Sit enim ſtateræ ſcapus AB, cuius trutina ſit in C; ſitq; ſtateræ appendiculum E. appendatur in A pondus D, quod æqueponderet appendiculo E in F

appenſo. aliud quoq; appendatur pondus G in A, quod etiam appendiculo E in B appenſo æqueponderet. Dico grauitatem ponderis D ad grauitatem ponderis G ita eſſe, vt CF ad CB. Quoniam enim grauitas ponderis D eſt æqualis grauitati ponde­ris E in F appenſi, & grauitas ponderis G eſt æqualis grauitati ponderis E in B; erit grauitas ponderis D ad grauitatem ponderis E in F, vt grauitas ponderis G ad grauitatem ponderis E in B: & permutando, vt grauitas ponderis D ad grauitatem ponderis G, ita grauitas ipſius E in F, ad grauitatem ipſius E in B; grauitas autem ponderis E in F ad grauitatem ponderis E in B eſt, vt CF ad CB; vt igitur grauitas ponderis D ad grauitatem ponderis G, ita eſt CF ad CB. ſi ergo pars ſcapi CB in partes diuidatur æquales, ſolo pondere E, & propius, & longius à puncto C poſito; ponderum grauitates, quæ ex puncto A ſuſpenduntur inter ſe ſe notæ erunt. Vt ſi diſtantia CB tripla ſit diſtantiæ CF, erit quoq; grauitas ip­ſius G grauitatis ipſius D tripla, quod demonſtrare oportebat.

16 Quinti. 6 Huius.

Alio quoq; modo ſtatera vti poſſumus, vt ponderum grauitates notæ reddantur.

Sit ſcapus AB, cuius tru­tina ſit in C; ſitq; ſtateræ appendiculum E, quod appen­datur in A; ſint〈qué〉 pon­dera DG inæqualia, quorum inter ſe ſe grauitatum propor­tiones quærimus: appenda­tur pondus D in B, ita vt ipſi

E æqueponderet. ſimiliter pondus G appendatur in F, quod ei­dem ponderi E æqueponderet. dico D ad G ita eſſe, vt CF ad CB. Quoniam enim pondera DE æqueponderant, erit D ad E, vt CA ad CB. cùm autem pondera quoque GE æquepon­derent, erit pondus E ad pondus G, vt FC ad CA; quare ex æqua li pondus D ad pondus G ita erit, vt CF ad CB. quod oſtendere quoq; oportebat.

6 Primi Archim. de æquep. 23 Quinti.

PROPOSITIO VII.

PROBLEMA.

Quotcunque datis in libra ponderibus vbicunque appenſis, centrum libræ inuenire, ex quo ſi ſuſpendatur libra, data pondera ma­neant.

Sit libra AB, ſintq; data quotcunque pondera CDEFG. accipiantur in libra vtcunque puncta AHkLB, ex quibus data pondera suspendantur. Centrum libræ inuenire oportet, ex quo ſi fiat ſuſpenſio, data pondera maneant. Diuidatur

AH in M, ita vt HM ad MA, ſit vt grauitas ponderis C ad grauitatem ponderis D. deinde diuidatur BL in N, ita vt LN ad NB, ſit vt grauitas ponderis G ad grauitatem ponderis F. diuidaturq; MN in O, ita vt MO ad ON ſit, vt grauitas ponderum FG ad grauitatem ponderum CD. tandem­què diuidatur kO in P, ita vt kP ad PO, ſit vt grauitas ponderum CDFG ad grauitatem ponderis E. Quoniam igitur pondera CDFG tàm ponderant in O, quàm CD in M, & FG in N; æqueponderabunt pondera CD in M, & FG in N, & pondus E in K, ſi ex puncto P ſuſpendantur. cùm verò pondera CD tantùm ponderent in M, quantùm in AH, & FG in N, quantùm in LB; pondera CDFG ex AHLB punctis ſuſpenſa, & pon­dus E ex k, ſi ex P ſuſpendantur, æqueponderabunt, atq; mane­bunt. Inuentum eſt ergo centrum libræ P, ex quo data pondera manent. quod facere oportebat.

5 Huius.

COROLLARIVM.

Ex hoc manifeſtum eſt, ſi ponderum CDEFG centra grauitatis eſſent in AHKLB punctis; eſ­ſet punctum P magnitudinis ex omnibus CD EFG ponderibus compoſitæ centrum graui­tatis.

Hoc enim ex definitione centri grauitatis patet, cùm ponde­ra, ſi ex puncto P ſuſpendantur, maneant.

DE VECTE.

LEMMA.

Sint quatuor magnitudines A BCD; ſitq; A maior B, & C maior D. Dico A ad D maiorem habere proportionem; quàm habet B ad C.

Quoniam enim A ad C maiorem habet pro­portionem, quàm B ad C; & A ad D maio­rem quoq; habet proportionem, quam habet ad C: A igitur ad D maiorem habebit, quam B ad C. quod demonſtrare oportebat.

8 Quinti.

PROPOSITIO I.

Potentia ſuſtinens pondus vecti appenſum; eandem ad ipſum pondus proportionem habe­bit, quam vectis diſtantia inter fulcimentum, ac ponderis ſuſpenſionem ad diſtantiam à fulcimento ad potentiam interiectam.

Sit vectis AB, cuius fulcimentum C; ſitq; pondus D ex A ſu­ſpenſum AH, ita vt AH ſit ſemper horizonti perpendicularis: ſitq; potentia ſuſtinens pondus in B. Dico potentiam in B ad pondus D ita eſſe, vt CA ad CB. fiat vt BC ad CA, ita pondus D ad aliud pondus E, quippè quod ſi in B appendatur; ipſi D æque ponderabit, exiſtente C amborum grauitatis centro. quare potentia æqualis ipſi E ibidem conſtituta ipſi D æqueponderabit, vecte AB, eius fulcimento in C collocato, hoc eſt prohibebit, ne pondus D deorſum vergat, quemadmodum prohibet pondus E. Potentia verò in B ad pondus D eandem habet proportionem, quam pondus E ad idem pondus D: ergo potentia in B ad pondus D erit, vt CA ad CB; hoc eſt vectis diſtantia à fulcimento ad ponderis ſuſpendium ad diſtantiam à fulcimento ad potentiam. quod demonſtrare oportebat.

6 Primi Archim. de æquep. Ex 7 quinti.

Hinc facilè oſtendi poteſt, fulcimentum quò ponderi fuerit propius, minorem ad idem pon­dus ſuſtinendum requiri potentiam.

Iiſdem poſi­tis, ſit fulcimen tum in F ipſi A propius, quàm C; fiatq; vt BF ad FA, ita pondus D ad aliud

G, quod ſi appendatur in B, pondera DG ex fulcimento E æqueponderabunt. quoniam autem BF maior eſt BC, & CA maior AC; maior erit proportio BF ad FA, quàm BC ad CA: & ideo maior quoq; erit proportio ponderis D ad pondus G, quàm idem D ad E: pondus igitur G minus erit pondere E. cùm autem potentia in B ipſi G æqualis ponderi D æqueponderet, mi­nor potentia, quàm ea, quæ ponderi E eſt æqualis, pondus D ſuſtinebit; exiſtente vecte AB, eius verò fulcimento vbi F, quàm ſi fuerit vbi C. ſimiliter quoq; oſtendetur, quò propius erit fulci­mentum ponderi D, adhuc ſemper minorem requiri potentiam ad ſuſtinendum pondus D.

Ex eadem Sexta. Lemma. 10 Quinti.

COROLLARIVM.

Vnde palàm colligere licet, exiſtente AF ipſa FB minore, minorem quoq; requiri potentiam in ipſo B pondere D ſuſtinendo. æquali verò æqualem. maiore verò maiorem.

PROPOSITIO II.

Alio modo vecte vti poſsumus.

Sit vectis AB, cuius fulcimentum ſit B, & pondus C vtcunq; in D inter AB appen­ſum; ſitq; potentia in A ſuſtinens pondus C. Dico vt BD ad BA,

ita eſſe potentiam in A ad pondus C. appendatur in A pondus E æquale ipſi C; & vt AB ad BD, ita fiat pondus E ad aliud F. & quoniam pondera CE ſunt inter ſe ſe æqualia, erit pondus C ad pondus F, vt AB ad BD. appendatur quoq; pondus F in A. & quoniam pondus E ad pondus F eſt, vt grauitas ipſius E ad gra­uitatem ipſius F; & pondus E ad F eſt, vt AB ad BD; vt igitur grauitas ponderis E ad grauitatem ponderis F, ita eſt AB ab BD. vt autem AB ad BD, ita eſt grauitas ponderis E ad grauitatem ponderis C: quare grauitas ponderis E ad grauitatem ponderis F ita erit, vt grauitas ponderis E ad gra­uitatem ponderis C. Pondera igitur CF
eandem habent grauitatem. Ponatur itaq; potentia in A ſuſtinens pondus F; erit potentia in A æqualis ipſi ponderi F. & quoniam pondus F in A appenſum æquè graue eſt, vt pondus C in D ap­penſum; eandem proportionem habebit potentia in A ad grauita­tem ponderis F in A appenſi, quam habet ad grauitatem ponde­ris C in D appenſi. Potentia verò in A ipſi F æqualis ſuſtinet pondus F, ergo potentia in A pondus quoq; C ſuſtinebit. Itaq; cùm potentia in A ſit æqualis ponderi F, & pondus C ad pon­dus F ſit, vt AB ad BD; erit pondus C ad potentiam in A, vt AB ad BD. & è conuerſo, vt BD ad BA, ita potentia in A ad pondus C. potentia ergo ad pondus ita erit, vt diſtantia fulci­mento, ac ponderis ſuſpenſioni intercepta ad diſtantiam à fulci mento ad potentiam. quod oportebat demonſtrare.

In ſexta huius de libra Ex 11 quinti. 6 Huius. de libra. Ex 9 quinti. Ex 7 quinti. Cor. 4 quinti.

ALITER.

Sit vectis AB, cuius fulcimentum ſit B, & pondus E ex puncto C ſuſpenſum; ſitq; vis in A ſuſtinens pondus E. Dico vt BC ad BA, ita eſſe potentiam in A ad pondus E. Producatur AB in C, & fiat BD æqualis BC; & ex puncto D appendatur pondus F æqua le ponderi E; itemq; ex puncto A ſuſpendatur pondus G ita, vt pondus F ad pondus G eandem habeat proportionem, quam AB ad BA. pondera FG æqueponderabunt. cùm autem ſit CB æqua lis BD, pondera quoq; FE æqualia æqueponderabunt. pondera verò FEG in libra, ſeu vecte DBA appenſa, cuius fulcimentum eſt B, non æqueponderabunt; ſed ex parte A deorſum tendent. ponatur itaq; in A tanta vis, vt pondera FEG æqueponderent; erit potentia in A æqualis ponderi G. pondera enim FE æqueponderant, & vis in A nihil aliud efficere debet, niſi ſuſtinere pondus G, ne deſcendat. & quoniam pondera FEG, & potentia in A æqueponderant, demptis igitur FG ponderibus, quæ æqueponderant, reliqua æque ponderabunt; ſcilicet potentia in A ponderi E, hoc eſt potentia in A pondus E ſuſtinebit, ita vt vectis AB maneat, vt prius erat. Cùm autem potentia in A ſit æqualis ponderi G, & pondus E ponderi F æquale; habebit potentia in A ad pondus E eandem pro­portionem, quam habet BD, hoc eſt BC ad BA. quod demon­ſtrare oportebat.

COROLLARIVM I.

Ex hoc etiam (vt prius) manifeſtum eſſe po­teſt, ſi ponatur pondus E propius fulcimento B, vt in H; minorem potentiam in A ſuſtinere poſ­ſe ipſum pondus.

Minorem enim proportionem habet HB ad BA, quam CB ad BA. & quò propius pondus erit fulcimento, adhuc ſemper mino rem poſſe potentiam ſuſtinere pondus E ſimiliter oſtendetur.

8 Quinti.

COROLLARIVM II.

Sequitur etiam potentiam in A ſemper mino rem eſſe pondere E.

Sumatur enim inter AB quoduis punctum C, ſemper BC minor erit BA.

COROLLARIVM III.

Ex hoc quoq; elici poteſt, ſi duæ fuerint potentiæ, vna in A, altera in B, & vtraq; ſuſtentet pondus E; potentiam in A ad potentiam in B eſ­ſe, vt BC ad CA.

Vectis enim BA fungi­tur officio duorum vectium; & AB ſunt tanquam duo fulcimenta, hoc eſt quan­do AB eſt vectis, & potentia ſuſtinens in A; erit eius

fulcimentum B. Quando verò BA eſt vectis, & potentia in B; erit A fulcimentum: & pondus ſemper ex puncto C remanet ſu­ſpenſum. & quoniam potentia in A ad pondus E eſt, vt BC ad BA; vt autem pondus E ad potentiam, quæ eſt in B, ita eſt BA ad AC; erit ex æquali, potentia in A ad potentiam in B, vt BC ad CA. & hoc modo facilè etiam proportionem, quæ in Quæſtionibus Mechanicis quæſtione vigeſima nona ab Ariſtotele ponitur, nouiſſe poterimus.

22 Quinti.

COROLLARIVM IIII.

Eſt etiam manifeſtum, vtraſq; potentias in A, & B ſimul ſumptas æquales eſſe ponderi E.

Pondus enim E ad potentiam in A eſt, vt BA ad BC; & idem pondus E ad potentiam in B eſt, vt BA ad AC; quare pondus E ad vtraſq; potentias in A, & B ſimul ſumptas eſt, vt AB ad BC CA ſimul, hoc eſt ad BA. pondus igitur E vtriſq; potentiis ſimul ſumptis æquale erit.

PROPOSITIO III.

Alio quoq; modo vecte vti poſsumus.

Sit Vectis AB, cuius fulcimentum B; ſitq; ex puncto A pondus C appen­ſum; ſitq; potentia in D vtcunq; inter AB ſuſtinens pon­dus C. Dico vt AB

ad BD, ita eſſe potentiam in D ad pondus C. Appendatur ex puncto D pondus E æquale ipſi C; & vt BD ad BA, ita fiat pondus E ad aliud F. & cùm pondera CE ſint inter ſe ſe æqualia; erit pondus C ad pondus F, vt BD ad BA. appendatur pondus F quoq; in D. & quoniam pondus E ad ipſum F eſt, vt grauitas ponderis E ad grauitatem ponderis F; & pondus E ad pondus F eſt, vt BD ad BA: vt igitur grauitas ponderis E ad grauitatem ponderis F, ita eſt BD ad BA. vt autem BD ad BA, ita eſt grauitas ponderis E ad grauitatem ponderis C; quare grauitas ponde­ris E ad grauitatem ponderis F eandem habet proportionem, quam habet ad grauitatem ponderis C. pondera ergo CF eandem habent grauitatem. ſit igitur potentia in D ſuſtinens pondus F, erit potentia in D ipſi ponderi F æqualis. & quoniam pondus F in D æquè graue eſt, vt pondus C in A; habebit potentia in D eandem proportionem ad grauitatem ponderis F, quam habet ad grauitatem ponderis C. ſed potentia in D pondus F ſuſtinet; po­tentia igitur in D pondus quoq; C ſuſtinebit: & pondus C ad po­tentiam in D ita erit, vt pondus C ad pondus F; & C ad F eſt, vt BD ad BA; erit igitur pondus C ad potentiam in D, vt BD ad BA: & conuertendo, vt AB ad BD, ita potentia in D ad pondus C. potentia ergo ad pondus eſt, vt diſtantia à fulcimento ad ponderis ſuſpendium ad diſtantiam à fulcimento ad potentiam. quod demonſtrare oportebat.

In ſexta huius de libra. 6 Huius de libra. 9 Quinti. 7 Quinti.

ALITER.

Sit vectis AB, cuius fulcimentum B; & ex puncto A ſit pon­dus C ſuſpenſum; ſitq; potentia in D ſuſtinens pondus C. Dico vt AB ad BD, ita eſſe potentiam in D ad pondus C. Producatur AB in E, fiatq; BE æqualis ipſi BA; & ex puncto E appendatur pondus F æquale ponderi C; & vt BD ad BE, ita fiat pondus F ad aliud G, quod ex puncto D ſuſpendatur. pondera FG æqueponderabunt. & quoniam AB eſt æqualis BE, & pondera FC æqualia; ſimiliter pondera FC æqueponderabunt. Pondera verò FGC ſuſpenſa in vecte EBA, cuius fulcimentum eſt B, non æqueponderabunt; ſed ex parte A deorſum tendent. Ponatur igitur in D tanta vis, vt pondera FGC æqueponderent; erit po­tentia in D æqualis ponderi G: pondera enim FC æqueponde­rant, & potentia in D nil aliud efficere debet, niſi ſuſtinere pon­dus G ne deſcendat. & quoniam pondera FGC, & potentia in D æqueponderant, demptis igitur FG ponderibus, quæ æqueponderant; reliqua æqueponderabunt, ſcilicet potentia in D ponderi C. hoc eſt potentia in D pondus C ſuſtinebit, ita vt vectis AB ma­neat, vt prius. & cùm potentia in D ſit æqualis ponderi G, & pon­dus C æquale ponderi F; habebit potentia in D ad pondus C eandem proportionem, quam EB, hoc eſt AB ad BD. quod de­monſtrare oportebat.

COROLLARIVM I.

Ex hoc etiam pàtet, vt prius, ſi coftituatur pondus fulcimento B propius, vt in H; à minori po­tentia pondus ipſum ſubſtineri debere.

Minorem enim proportionem habet HB ad BD, quàm AB ad BD. & quò propius erit fulcimento, adhuc ſemper minorem re­quiri potentiam.

8 Quinti.

COROLLARIVM II.

Manifeſtum quoq; eſt, potentiam in D ſemper maiorem eſſe pondere C.

Si enim inter AB ſumatur quoduis punctum D, ſemper AB maior erit BD.

Et aduertendum eſt haſce, quas attulimus demonſtrationes non ſolum vectibus horizonti æquidiſtantibus, verùm etiam ve­ctibus horizonti inclinatis ad hæc omnia oſtendenda commodè aptari poſſe. quod ex iis, quæ de libra diximus, patet.

PROPOSITIO IIII.

Si potentia pondus in vecte appenſum mo­ueat; erit ſpatium potentiæ motæ ad ſpatium moti ponderis, vt diſtantia à fulcimento ad po­tentiam ad diſtantiam ab eodem ad ponderis ſuſpenſionem.

Sit vectis AB, cuius ful­cimentum C; & ex puncto B ſit pondus D ſuſpenſum; ſitq; potentia in A mouens pon­dus D vecte AB. Dico ſpa­tium potentiæ in A ad ſpa­tium ponderis ita eſſe, vt CA ad CB. Moueatur vectis AB, & vt pondus D ſurſum mo­ueatur, oportet B ſurſum mo ueri, A verò deorſum. & quo­niam C eſt punctum immobile; idcirco dum A, & B mo­uentur, circulorum circumferentias deſcribent. Moueatur igi­tur AB in EF; erunt AE

BF circulorum circumferentiæ, quorum ſemidiametri ſunt CA CB. tota compleatur circumferentia AGE, & tota BHF; ſintq; KH puncta, vbi AB, & EF circulum BHF ſecant. Quoniam e­nim angulus BCF eſt æqualis angulo HCk; erit circumferentia kH circumferentiæ BF æqualis. cùm autem circumferentiæ AE kH ſint ſub eodem angulo ACE, & circumferentia AE ad to­tam circumferentiam AGE ſit, vt angulus ACE ad quatuor re­ctos; vt autem idem angulus HCk ad quatuor rectos, ita quoq; eſt circumferentia HK ad totam circumferentiam HBK; erit circumferentia AE ad totam circumferentiam AGE, vt circumfe­rentia kH ad totam kFH. & permutando, vt circumferentia AE ad circumferentiam kH, hoc eſt BF, ita tota circumferen­tia AGE ad totam circumferentiam BHF. tota verò circumferentia AGE ita ſe habet ad totam BHF, vt diameter circuli AEG ad diametrum circuli BHF. Vt igitur circumferentia AE ad circumferentiam BF, ita diameter circuli AGE ad diametrum circuli BHF: vt autem diameter ad diametrum, ita ſemidiameter ad ſemidiametrum, hoc eſt CA ad CB: quare vt circumferen­tia AE ad circumferentiam BF, ita CA ad CF. circumferentia verò AE ſpatium eſt potentiæ motæ, & circumferentia BF eſt æqualis ſpatio ponderis D moti. ſpatium enim motus ponderis D ſemper æquale eſt ſpatio motus puncti B, cùm in B ſit appenſum: ſpatium ergo potentiæ motæ ad ſpatium moti ponderis eſt, vt CA ad CB; hoc eſt vt diſtantia à fulcimento ad potentiam ad diſtantiam ab eodem ad ponderis ſuſpenſionem. quod demonſtrare oportebat.

15 Primi. Ex 26 tertii. 16 Quinti. 23 Octaui Pappi. 11 Quinti.

Sit autem vectis AB, cu­ius fulcimentum B; potentia­〈qué〉 mouens in A; & pondus in C. dico ſpatium potentiæ translatæ ad ſpatium translati ponderis ita eſſe, vt BA ad BC. Moueatur vectis, & vt pondus sursum attollatur, ne­ceſſe eſt puncta C A ſurſum moueri. Moueatur igitur A ſurſum vſq; ad D; ſitq; ve­ctis motus BD. eodemq; modo (vt prius dictum eſt) oſtendemus puncta CA cir­culorum circumferentias de­

ſcribere, quorum ſemidiametri ſunt BA BC. ſimiliterq; oſtendemus ita eſſe AD ad CE, vt ſemidiameter AB ad ſemidiametrum BC.

Eademq; ratione, ſi potentia eſſet in C, & pondus in A, oſtendetur ita eſſe CE ad AD, vt BC ad BA; hoc eſt diſtantia à fulcimento ad potentiam ad diſtantiam ab eodem ad ponderis ſuſpenſionem. quod oportebat demonſtrare.

COROLLARIVM.

Ex his manifeſtum eſt maiorem habere pro­portionem ſpatium potentiæ mouentis ad ſpa­tium ponderis moti, quàm pondus ad eandem potentiam.

Spatium enim potentiæ ad ſpatium ponderis eandem habet, quam pondus ad potentiam pondus ſuſtinentem; potentia ve­rò ſuſtinens minor eſt potentia mouente, quare minorem habebit proportionem pondus ad potentiam ipſum mouentem, quàm ad potentiam ipſum ſuſtinentem. ſpatium igitur potentiæ mouentis ad ſpatium ponderis maiorem habebit proportionem, quàm pon­dus ad eandem potentiam.

8 Quinti.

PROPOSITIO V.

Potentia quomodocunq; vecte pondus ſuſti­nens ad ipſum pondus eandem habebit propor­tionem, quam diſtantia à fulcimento ad punctum, vbi à centro grauitatis ponderis horizonti ducta perpendicularis vectem ſecat, intercepta, ad diſtantiam inter fulcimentum, & potentiam.

Sit vectis AB horizonti æqui­diſtans, cuius fulcimentum N; ſit deinde pondus AC, cuius cen­trum grauitatis ſit D, quod primùm ſit infra vectem; pondus verò ſit ex punctis AO ſuſpenſum;

& à puncto D horizonti, & ipſi AB perpendicularis ducatur DE. ſi verò alii ſint quoq; vectes AF AG, quorum fulcimenta ſint HK; ponduſq; AC in vecte AG ex punctis AQ ſit appenſum; in vecte autem AF in punctis AP: lineaq; DE producta ſecet AF in L, & AG in M. dico potentiam in F pondus AC ſuſtinentem ad ipſum pondus eam habere proportionem, quam habet kL ad kF; & potentiam in B ad pondus eam habere, quam NE ad NB; & potentiam in G ad pondus eam, quam HM ad HG. Quoniam enim DL horizonti eſt perpendicularis, pondus AC vbicunq; in linea DL fuerit appenſum, eodem modo, quo reperi­tur, manebit. quare in vecte AB ſi ſuſpenſiones, quæ ſunt ad AO ſoluantur, pondus AC in E appenſum eodem modo manebit, ſi­cuti nunc manet; hoc eſt ſublato puncto A, & linea QO, codem modo pondus in E appenſum manebit, vt ab ipſis AO pun­ctis ſuſtinebatur; ex commentario Federici Commandini in ſextam Archimedis propoſitionem de quadratura parabolæ, & ex prima huius de libra. Itaq; quoniam pondus AC eandem ad libram habet conſtitutionem, ſiue in AO ſuſtineatur, ſiue ex puncto E ſit appenſum; eadem potentia in B idem pondus AC, ſiue in E, ſiue in AO ſuſpenſum ſuſtinebit. potentia verò in B ſuſtinens pondus AC in E appenſum ad ipſum pondus ita ſe habet, vt NE ad NB; po­tentia igitur in B ſuſtinens pondus AC ex punctis AO ſuſpenſum ad ipſum pondus ita erit, vt NE ad NB. Non aliter oſten detur pondus AC ex puncto L ſuſpenſum manere, ſicuti à punctis AP ſuſtinetur; potentiamq; in F ad ipſum pondus ita eſſe, vt kL ad KF. In vecte verò AG pondus AC in M appenſum ita mane re, vt à punctis AQ ſuſtinetur; potentiamq; in G ad pondus AC ita eſſe, vt HM ad HG; hoc eſt vt diſtantia à fulcimento ad punctum, vbi à centro grauitatis ponderis horizonti ducta perpendicularis vectem ſecat, ad diſtantiam à fulcimento ad potentiam. quod demonſtrare oportebat.

1 Huius.

Si autem FBG eſſent vectium fulcimenta, potentiæq; eſſent in KNH pondus ſuſtinentes, ſimili modo oſtendetur ita eſſe potentiam in H ad pondus, vt GM ad GH; & potentiam in N ad pondus, vt BE ad BN; ac potentiam in k ad pondus, vt FL ad Fk.

Et ſi vectes AB AF AG habeant fulcimenta in A, & pondus ſit NO; deinde ab eius centro grauitatis D ducatur ipſi A B, & horizonti perpendicularis D MEL; ſintq; potentiæ in FBG: ſimiliter oſtende­tur ita eſſe poten­

tiam in G pondus NO ſuſtinentem ad ipſum pondus, vt AM ad AG; ac potentiam in B, vt AE ad AB; & potentiam in F, vt AL ad AF.

Sit deinde vectis AB horizonti æqui­diſtans, cuius fulcimentum D; & ſit BE pondus, cuius centrum grauitatis ſit F ſu­pra vectem: à punctoq; F horizonti, & ipſi AB ducatur

FH; ponduſq; à puncto B, & PQ ſuſtineatur. Sint deinde alii ve­ctes BL BM, quorum fulcimenta ſint NO; lineaq; FH producta ſe­cet BM in k, & BL in G; pondus autem in vecte BL in pun­ctis BP ſuſtineatur; in vecte autem BM à puncto B, & PR. Di­co potentiam in L pondus BE vecte BL ſuſtinentem ad ipſum pondus eam habere proportionem, quam NG ad NL; & po­tentiam in A ad pondus eam habere, quam DH ad DA; potentiamq; in M ad pondus eam, quam Ok ad OM. Quoniam e­nim à centro grauitatis F ducta eſt kF horizonti perpendicularis, ex quocunq; puncto lineæ kF ſuſtineatur pondus, manebit; vt nunc ſe habet. ſi igitur ſuſtineatur in H, manebit vt prius; ſcili­cet ſublato puncto B, & PQ, quæ pondus ſuſtinent, pondus BE manebit, ſicuti ab ipſis ſuſtinebatur. quare in vecte AB graueſcet in H, & ad vectem eandem habebit conſtitutionem, quam prius; idcirco erit, ac ſi in H eſſet appenſum. eadem igitur potentia ìdem pondus BE, ſiue in H, ſiue in B, & Q ſuffultum, ſuſtinebit. Potentia verò in A ſuſtinens pondus BE vecte AB in H appenſum ad ipſum pondus eandem habet proportionem, quam DH ad DA; eadem ergo potentia in A ſuſtinens pondus BE in punctis BQ ſuſtenta tum ad ipſum pondus erit, vt DH ad DA. Similiter oſtende­tur pondus BE ſi in G ſuſtineatur, manere; ſicuti à punctis BP ſuſtinebatur: & in puncto k, vt à punctis BR. quare potentia in L ſuſtinens pondus BE ad ipſum pondus ita erit, vt NG ad NL. potentia verò in M ad pondus, vt OK ad OM; hoc eſt vt diſtantia à fulcimento ad punctum, vbi à centro grauitatis ponderis horizonti ducta perpendicularis vectem ſecat, ad diſtantiam à fulci­mento ad potentiam. quod demonſtrare quoq; oportebat.

1 Huius de libra. 1 Huius.

Si verò LAM eſſent fulcimenta, & potentiæ in NDO; ſimi liter oſtendetur ita eſſe potentiam in N ad pondus, vt LG ad L N; & potentiam in D, vt AH ad AD; & potentiam in O, vt Mk ad MO.

Et ſi vectes BA BL BM habeant fulcimenta in B, & pondus ſupra vectemſit NO; & ab eius centro grauitatis F ducatur ipſi AB, & horizonti perpendicularis FDEG; ſint 〈qué〉 potentiæ in L AM; ſimiliter o­ſtendetur ita eſſe potentiam in L pon­

dus ſuſtinentem ad ipſum pondus, vt BD ad BL; & potentiam in A ad pondus, vt BE ad BA, atq; potentiam in M, vt BG ad BM.

Sit deniq; vectis AB horizonti æqui­diſtans, cuius fulcimentum C, & pondus DE habeat centrum grauita­tis F in ipſo vecte AB; ſintq; deniq; alii vectes G H kL, quo­

rum fulcimenta ſint MN; pondusq; in vecte GH ſuſtineatur à punctis GO; in vecte autem AB à punctis AP; & in uecte KL à punctis KQ; & centrum grauitatis F ſit quoq; in utroq; uecte GH kL; ſintq; potentiæ in HBL. Dico potentiam in H ad pondus ita eſſe, ut NF ad NH; & potentiam in B ad pondus, ut CF ad CB; ac potentiam in L ad pondus, ut MF ad ML. Quo­niam enim F centrum eſt grauitatis ponderis DE, ſi igitur in F ſuſtineatur, pondus DE manebit ſicut prius, per definitionem centri grauitatis; eritq; ac ſi in F eſſet appenſum; atq; in vecte eodem modo manebit, ſiue à punctis AP, ſiue à puncto F ſuſtineatur. quod idem in vectibus GH kL eueniet; ſcilicet pondus eodem mo do manere, ſiue in F, ſiue in GO, vel in kQ ſuſtineatur. eadem igitur potentia in B idem pondus DE, vel in F, vel in AP appenſum ſuſtinebit: & quando appenſum eſt in F ad ipſum pon­dus eſt, vt CF ad CB, ergo potentia ſuſtinens pondus DE in AP appenſum ad ipſum pondus erit, vt CF ad CB. eodemq; mo do potentia in H ad pondus in GO appenſum ita erit, vt NF ad NH. potentiaq; in L ad pondus in kQ appenſum erit, vt MF ad ML. quod oſtendere quoq; oportebat.

Si verò HBL eſſent fulcimenta, & potentiæ eſſent in NCM; ſi­militer oſtendetur potentiam in N ad pondus ita eſſe, vt HF ad HN; & potentiam in C, vt BF ad BC, & potentiam in M, vt LF ad LM.

Et ſi vectes BA BC BD habeant fulcimenta in B, ſintq; pondera in EF GH kL, ita vt eorum centra MNO gra­uitatis ſint in vectibus; ſintq; poten­tiæ in CAD: ſimi liter oſtendetur potentiam in C ad pondus EF ita eſſe,

vt BM ad BC, & potentiam in A ad pondus GH, vt BN ad BA, potentiamq; in D ad pondus KL, vt BO ad BD.

PROPOSITIO VI.

Sit AB recta linea, cui ad angulos ſit rectos AD, quæ ex parte A producatur vtcunq; vſq; ad C; connectaturq; CB, quæ ex parte B quoq; producatur vſq; ad E. ducantur deinde à pun­cto B vtcunq; inter AB BE lineæ BF BG ipſi AB æquales; à punctiſq; FG ipſis perpendicula­res ducantur FH GK, quæ & inter ſe ſe, & ipſi AD conſtituantur æ­quales, ac ſi BA AD motæ ſint in BF FH, & in BG GK; con­nectanturq; CH CK, quæ lineas BF BG in punctis MN ſe­cent. Dico BN mi­norem eſſe BM, & BM ipſa BA.

Connectantur BD BH BK. & quoniam duæ lineæ DA AB duabus HF FB ſunt æquales, & angulus DAB rectus recto HFB eſt etiam æqualis; erunt reliqui anguli reliquis angulis æqua­les, & HB ipſi DB æqualis. ſimiliter oſtendetur triangu­lum BkG triangulo BHF æqualem eſſe. quare centro B, inter­uallo quidem vna ipſarum circulus deſcribatur DH kE, qui li­neas CH CK ſecet in punctis OP; connectanturq; OB PB. Quoniam igitur punctum k propius eſt ipſi E, quàm H; erit linea Ck maior ipſa CH, & CP ipſa CO minor: ergo PK ipſa OH maior erit. Quoniam autem triangulum BkP æquicrure latera Bk BP lateribus BH BO trianguli BHO æquicruris æqualia habet, baſim verò KP baſi HO maiorem, erit angulus kBP an­gulo HBO maior. ergo reliqui ad baſim anguli, hoc eſt kPB PkB ſimul ſumpti, qui inter ſe ſunt æquales, reliquis ad baſim an­gulis, nempè OHB HOB, qui etiam inter ſe ſunt æquales, mino­res erunt: cùm omnes anguli cuiuſcunq; trianguli duobus ſint rectis æquales. quare & horum dimidii, ſcilicet NkB minor MHB. Cùm autem angulus BkG æqualis ſit angulo BHF, erit NkG ipſo MHF maior. ſi igitur à puncto k conſtituatur angulus GKQ ipſi FHM æqualis, fiet triangulum GkQ triangulo FHM æqua le; nam duo anguli ad FH vnius duobus ad Gk alterius ſunt æquales, & latus FH lateri Gk eſt æquale, erit GQ ipſi FM æ­quale. ergo GN maior erit ipſa FM. Cùm itaq; BG ipſi BF ſit æqua lis, erit BN minor ipſa BM. Quòd autem BM ſit ipſa BA minor, eſt manifeſtum; cùm BM ipſa BF, quæ ipſi BA eſt æqualis, ſit minor. quod demonſtrare oportebat.

4 Primi. 8 Tertii. 25 Primi. 5 Primi. 26 Primi.

Inſuper ſi intra BG BE alia vtcunq; ducatur linea ipſi BG æ­qualis; fiatq; operatio, quemadmodum ſupra dictum eſt; ſimili­ter oſtendetur lineam BR minorem eſſe BN. & quò propius fuerit ipſi BE, adhuc minorem ſemper eſſe.

Si verò æqualia triangula BFH BGK ſint deorſum inter BC BA conſtituta; connectan­turq; HC KC, quæ lineas BF BG ex parte FG productas in punctis MN ſecent erit BN maior BM, & BM ipſa BA.

Nam producatur CH Ck vſq; ad circumferentiam in OP, Connectanturq; BO BP; ſimili modo oſtende­tur lineam Pk maiorem eſ ſe OH, angulumq; PkB minorem eſſe angulo OHB. & quoniam angulus BHF eſt æqualis angulo BkG; erit totus PKG angulus angulo OHF minor: quare reliquus GKN reliquo FHM maior erit. ſi it aq; conſtituatur angulus GkQ ipſi FHM æqua lis, linea KQ ipſam GN ita ſecabit, vt GQ ipſi FM æqua lis euadat: quare maior. erit GN, quàm FM; quibus ſi æquales adiiciantur BF BG, erit BN ipſa BM maior. & cùm BM ſit ipſa FB maior, erit quoq; ipſa BA maior. ſi militer oſtendetur, quò pro pius fuerit BG ipſi BC, li­neam BN ſemper maiorem eſſe.

PROPOSITIO VII.

Sit recta linea AB, cuì perpendicularis exi­ſtat AD, quæ ex parte D producatur vtcunq; vſq; ad C; connectaturq; CB, quæ producatur e­tiam vſq; ad E; & inter AB BE lineæ ſimiliter vtcunq; ducantur BF BG ipſi AB æquales; à punctisq; FG lineæ FH GK ipſi AB æquales, ipſis verò BF BG per­pendiculares ducantur; ac ſi BA AD motæ ſint in BF FH BG GK: Connectanturq; CH CK, quæ lineas BF BG productas ſe­cent in punctis MN. Dico BN maiorem eſ ſe BM, & BM ipſa BA.

Connectantur BD BH Bk, & centro B, interuallo quidem BD, circulus deſcribatur. ſimi liter vt in præcedenti demon­ſtrabimus puncta kHDOP in circuli circumferentia eſſe, triangulaq; ABD FBH GBk in­ter ſe ſe æqualia eſſe, atq; lineam Pk maiorem OH, angulumq; PKB minorem eſſe angulo O HB. Quoniam igitur angulus BHF æqualis eſt angulo BkG, erit totus angulus PkG angu­lo OHF minor: quare reliquus GkN reliquo FHM maior erit. ſi igitur fiat angulus GK Q ipſi FHM æqualis, erit triangulum GKQ triangulo FHM æquale, & latus GQ lateri FM æquale; ergo maior erit GN ipſa FM; ac propterea BN ma­ior erit BM. BM autem ma­ior erit BA; nam BM maior eſt ipſa BF. quod demonſtrare oportebat.

Eodemq; prorſus modo, quo propius fuerit BG ipſi BE, li­neam BN ſemper maiorem eſſe oſtendetur.

Si autem triangula BFH BGK deorſum in­ter AB BC conſtituantur, ducanturq; CHO CKP, quæ lineas BF BG ſecent in punctis M N; erit linea BN minor ipſa BM, & BM ipſa BA.

Connectantur enim BO BP, ſimiliter oſtendetur angulum PKB minorem eſſe OHB. & quoniam angulus FHB æqua­lis eſt angulo GkB; erit angulus GkN angulo FHM ma­ior: quare & linea GN ma­ior erit ipſa FM. ideoq; linea BN minor erit linea BM. Cùm autem maior ſit BF ipſa BM; erit BM ipſa BA minor. Si­miliq; modo oſtendetur, quò propius fuerit BG ipſi BC, li­neam BN ſemper minorem eſſe.

PROPOSITIO VIII.

Potentia pondus ſuſtinens centrum grauitatis ſupra vectem horizonti æquidiſtantem habens, quò magis pondus ab hoc ſitu vecte eleuabitur; minori ſemper, vt ſuſtineatur, egebit potentia: ſi verò deprimetur, maiori.

Sit vectis AB horizonti æquidiſtans, cuius fulcimentum C; pondus autem BD, eiuſdem verò grauitatis centrum ſit ſupra vectem vbi H: ſitq; potentia ſuſtinens in A. moueatur deinde vectis AB in EF, ſitq; pondus motum in FG. Dico primùm mino rem potentiam in E ſuſtinere pondus FG vecte EF, quàm potentia in A pondus BD vecte AB. ſit k centrum grauitatis ponderis FG; deinde tùm ex H, tùm ex K ducantur HL kM ipſorum horizontibus perpendiculares, quæ in centrum mundi conuenient; ſitq; HL ipſi quoq; AB perpendicularis. ducatur deinde kN ipſi EF perpen­dicularis, quæ ipſi HL æqualis erit, & CN ipſi CL æqualis. Quo­niam enim HL horizonti eſt perpendicularis, potentia in A ſuſtinens pondus BD ad ipſum pondus eam habebit proportionem, quam CL ad CA. rurſus quoniam kM horizonti eſt perpendicularis, potentia in E pondus FG ſuſtinens ita erit ad pondus, vt CM ad CE. Cùm autem CN NK ipſis CL LH ſint æquales, angulosq; rectos contineant; erit CM minor ipſa CL; ergo CM ad CA minorem habebit proportionem, quam CL ad CA; & CA ipſi CE eſt æqualis, minorem igitur proportionem habebit CM ad CE. quàm CL ad CA: & cùm pondera BD FG ſint æqualia, eſt enim idem pondus; ergo minor erit proportio potentiæ in E pondus FG ſuſtinentis ad ipſum pondus, quàm potentiæ in A pondus BD ſuſtinentis ad ipſum pondus. Quare minor potentia in E ſuſtinebit pondus FG, quàm potentia in A pondus BD. & quò pondus magis eleuabitur; ſemper oſtendetur minorem adhuc potentiam pondus ſuſtinere; cùm linea PC mi nor ſit linea CM. ſit deinde vectis in QR, & pondus in QS, cuius centrum grauitatis ſit O. dico maiorem requiri potentiam in R ad ſuſtinendum pondus QS, quàm in A ad pondus BD. ducatur à centro grauitatis O linea OT horizonti perpendicularis. & quo­niam HL OT, ſi ex parte L, atq; T producantur, in centrum mundi conuenient; erit CT maior CL: eſt autem CA ipſi CR æqualis, habebit ergo TC ad CR maiorem proportionem, quàm LC ad CA. Maior igitur erit potentia in R ſuſtinens pondus QS, quàm in A ſuſtinens BD. ſimiliter oſtendetur; quò vectis RQ magis à vecte AB diſtabit deorſum vergens, ſemper maio­rem potentiam requiri ad ſuſtinendum pondus: diſtantia enim CV longior eſt CT. Quò igitur pondus à ſitu horizonti æquidiſtante magis eleuabitur à minori ſemper potentia pondus ſuſtinebitur; quò verò magis deprimetur, maiori, vt ſuſtineatur, egebit potentia. quod demonſtrare oportebat.

5 Huius. 6 Huius. 8 Quinti. 10 Quinti. 6 Huius. 6 Huius. 8 Quinti. Ex 10 quinti. 6 Huius.

Hinc facile elicitur potentiam in A ad poten­tiam in E ita eſſe, vt CL ad CM.

Nam ita eſt LC ad CA, vt potentia in A ad pondus; vt au­tem CA, hoc eſt CE ad CM, ita eſt pondus ad potentiam in E; quare ex æquali potentia in A ad potentiam in E ita erit, vt CL ad CM.

22 Quinti.

Similiq; ratione non ſolum oſtendetur, potentiam in A ad po­tentiam in R ita eſſe, vt CL ad CT; ſed & potentiam quoq; in E ad potentiam in R ita eſſe, vt CM ad CT. & ita in reliquis.

Sit deinde vectis AB horizonti æquidiſtans, cuius fulcimen­tum B; & centrum grauitatis H ponderis CD ſit ſupra vectem; moueaturq; vectis in BE, ponduſq; in FG. dico minorem po­tentiam in E ſuſtinere pondus FG vecte EB, quàm potentia in A pondus CD vecte AB. ſit k centrum grauitatis ponderis FG, & à centris grauitatum Hk ipſorum horizontibus perpendicu­lares ducantur HL kM. Quoniam enim (ex ſupra demonſtratis) BM minor eſt BL, & BE ipſi BA æqualis; minorem habebit proportionem BM ad BE, quàm BL ad BA. ſed vt BM ad BE, ita potentia in E ſuſtinens pondus FG ad ipſum pondus; & vt BL ad BA, ita potentia in A ad pondus CD; minorem habebit proportionem potentia in E ad pondus FG, quàm potentia in A ad pondus CD. Ergo potentia in E minor erit poten­tia in A. ſimiliter oſtendetur, quò magis pondus eleuabitur, ſem­per minorem potentiam pondus ſuſtinere. Sit autem vectis in BO, & pondus in PQ, cuius centrum grauitatis ſit R. dico maiorem potentiam in O requiri ad ſuſtinendum pondus PQ vecte BO, quàm pondus CD vecte BA. ducatur à puncto R horizonti per­pendicularis RS. & quoniam BS maior eſt BL, habebit BS ad BO maiorem proportionem, quàm BL ad BA; quare maior erit potentia in O ſuſtinens pondus PQ, quàm potentia in A ſuſtinens pondus CD. & hoc modo oſtendetur' quò vectis BO magis à vecte AB deorſum tendens diſtabit, ſemper maiorem ponderi ſuſtinendo requiri potentiam.

6 Huius. 8 Quinti. 5 Huius. 10 Quinti. 6 Huius.

Hinc quoq; vt ſupra patet pontentiam in A ad potentiam in E eſ ſe, vt BL ad BM; potentiamq; in A ad potentiam in O, vt BL ad BS. atque potentiam in E ad potentiam in O, vt BM ad BS.

Præterea ſi in B alia intelligatur potentia, ita vt duæ ſint potentiæ pondus ſuſtinentes; minor erit potentia in B ſuſtinens pon­dus PQ vecte BO, quàm pondus CD vecte BA aduerſo autem maior requiritur potentia in B ad ſuſtinendum pondus FG vecte BE, quàm pondus CD vecte AB. ducta enim kN ipſi EB perpendicularis, erit EN ipſi AL æqualis: quare EM ipſa LA maior erit. ergo maiorem habebit proportionem EM ad EB, quàm LA ad AB; & LA ad AB maiorem, quàm SO ad OB; quæ ſunt proportiones potentiæ ad pondus.

8 Quinti. 5 Huius.

Similiter oſtendetur potentiam in B pondus vecte AB ſuſti­nentem ad potentiam in eodem puncto B vecte EB ſuſtinentem eſſe, vt LA ad EM; ad potentiam autem in B pondus vecte OBſuſtinentem ita eſſe, vt AL ad OS. quæ verò vectibus EB OB ſuſtinent inter ſe ſe eſſe, vt EM ad OS.

Deinde vt in iis, quæ ſuperius dicta ſunt, demonſtrabimus po­tentiam in B ad potentiam in E eam habere proportionem, quam EM ad MB; & potentiam in B ad potentiam in A ita eſſe, vt AL ad LB, potentiamq; in B ad potentiam in O, vt OS ad SB.

3 Cor. 2 Huius.

Sit autem vectis ABhorizonti æquidiſtans, cuius fulcimentum B, grauitatiſq; centrum H ponderis AC ſit ſupra vectem: moueaturq; vectis in BE, ac pondus in EF, potentiaq; in G. ſimiliter vt ſupra oſten­detur potentiam in G pondus EF sustinen­

tem minorem eſſe potentia in D pondus AC ſuſtinente. cùm enim minor ſit BM ipſa BL, minorem habebit proportionem MB ad BG, quàm LB ad BD. atq; hoc modo oſten­detur, quò pondus ve­cte magis eleuabitur, minorem ſemper. ad pon­dus ſuſtinendum requi­ri potentiam. Simili­ter ſi moueatur vectis in BO, potentiaq; ſu­
ſtinens in N, oſtendetur potentiam in N maiorem eſſe potentia in D. maiorem enim habet proportionem SB ad BN, quàm LB ad BD. oſtendetur etiam, quò magis pondus deprimetur; ma­iorem ſemper (vt ſuſtineatur) requiri potentiam. quod demonſtrare oportebat.

Hinc quoq; liquet potentias in GDN inter ſe ſe ita eſſe, vt BM ad BL, atq; vt BL ad BS, deniq; vt BM ad BS.

COROLLARIVM.

Ex his manifeſtum eſt; ſi potentia vecte ſur­ſum moueat pondus, cuius centrum grauitatis ſit ſupra vectem, quò magis pondus eleuabitur; ſemper minorem potentiam requiri vt pondus moueatur.

Vbi enim potentia pondus ſuſtinens eſt ſemper minor, erit quoq; potentia ipſum mouens ſemper minor.

Ex iis etiam demonſtrabitur, ſi centrum grauitatis eiuſdem ponderis, ſiue propinquius, ſiue remotius fuerit à vecte AB horizon­ti æquidiſtante, eandem potentiam in A pondus nihilominus ſuſtinere: vt ſi centrum grauitatis H ponderis BD longius abſit à vecte BA, quàm centrum grauitatis N ponderis PV, dum­modo ducta à puncto H perpendicularis HL horizonti, vectiq; AB tranſeat per N; ſitq; pondus PV ponderi BD æquale; erit tùm pondus BD, tùm pondus PV, ac ſi ambo in L eſ­ſent appenſa; atque ſunt æqualia, cùm loco vnius ponderis ac­cipiantur, eadem igitur potentia in A ſuſtinens pondus BD, pondus quoq; PV ſuſtinebit. Vecte autem EF, quò centrum grauitatis longius fuerit à vecte, eò facilius potentia idem pon­dus ſuſtinebit: vt ſi centrum grauitatis k ponderis FG longius ſit à vecte EF, quàm centrum grauitatis X ponderis YZ; ita tamen vt ducta à puncto k vecti FE perpendicularis tranſeat per X; ſitq; pondus FG ponderi YZ æquale; & à punctis kX ip­ſorum horizontibus perpendiculares ducantur KM X9; erit C9 maior CM; ac propterea pondus FG in vecte erit, ac ſi in M eſ ſet appenſum, & pondus YZ, ac ſi in 9 eſſet appenſum. quo

niam autem maiorem habet proportionem C9 ad CE, quàm CM ad CE, maior potentia in E ſuſtinebit pondus YZ, quàm FG. In vecte autem QR è conuerſo demonſtrabitur, ſcilicet quò centrum grauitatis eiuſdem ponderis ſit longius à vecte, eò maiorem eſſe potentiam pondus ſuſtinentem. maior enim eſt CT, quàm CI; & ob id maiorem habebit proportionem CT ad CR, quàm CI ad CR. Similiter demonſtrabitur, ſi pondus intra potentiam, & fulcimentum fuerit collocatum; vel poten­tia intra fulcimentum, & pondus. Quod idem etiam potentiæ eueniet mouenti. vbi enim minor potentia ſuſtinet pondus, ibi minor potentia mouebit; & vbi maior in ſuſtinendo, ibi maior quoq; in mouendo requiretur.

8 Quinti.

PROPOSITIO VIIII.

Potentia pondus ſuſtinens infra vectem ho­rizonti æquidiſtantem ipſius centrum grauitatis habens, quò magis ab hoc ſitu vecte pondus eleuabitur maiori ſemper potentia, vt ſuſtineatur, egebit. ſi verò deprimetur, minori.

Sit vectis AB horizonti æquidiſtans, cuius fulcimentum C; ſitq; pondus AD, cuius centrum grauitatis L ſit infra vectem; ſitq; potentia in B ſuſtinens pondus AD: moueatur deinde ve­ctis in FG, & pondus in FH. Dico primum maiorem requiri potentiam in G ad ſuſtinendum pondus FH vecte FG, quàm ſit potentia in B pondere exiſtente AD vecte autem AB. ſit M grauitatis centrum ponderis FH, & à punctis LM ipſorum ho­rizontibus perpendiculares ducantur Lk MN: ipſi verò FG per­pendicularis ducatur MS, quæ æqualis erit LK, & CK ipſi CS erit etiam æqualis. Quoniam igitur CN maior eſt Ck, habe­bit NC ad CG maiorem proportionem, quàm Ck ad CB; potentia uerò in B ad pondus AD eandem habet, quam kC ad CB: & vt potentia in G ad pondus FH, ita eſt NC ad CG; ergo maiorem habebit proportionem potentia in G ad pondus FH, quàm potentia in B ad pondus AD. maior igitur eſt potentia in G ipſa potentia in B. ſi verò vectis ſit in OP, & pondus in OQ; erit potentia in B maior, quàm in P. eodem enim mo­do oſtendetur CR minorem eſſe Ck, & CR ad CP minorem

habere proportionem, quàm Ck ad CB; & ob id potentiam in B maiorem eſſe potentia in P. & hoc modo oſtendetur, quò ma­gis à ſitu AB pondus eleuabitur, ſemper maiorem potentiam ad pondus ſuſtinendum requiri. è contra verò ſi deprimetur. quod demonſtrare oportebat.

7 Huius. 8 Quinti. 5 Huius. 10 Quinti 7 Huius.

Hinc quoq; facilè elici poteſt potentias in PBG inter ſe ſe ita eſſe, vt CR ad Ck; & vt Ck ad CN; atq; vt CN ad CR.

Sit deinde vectis AB horizonti æquidiſtans, cuius fulcimentum B; ponduſq; CD habeat centrum grauitatis O infra vectem; ſitq; potentia in A ſuſtinens pondus CD. Moueatur deinde vectis in BE BF, ponduſq; transferatur in GH kL. Dico maiorem re­quiri potentiam in E, vt pondus ſuſtineatur, quàm in A; & maiorem in A, quàm in F. ducantur à centris grauitatum horizon­tibus perpendiculares NM OP QR, quæ ex parte NOQ protractæ in centrum mundi conuenient. ſimiliter vt ſupra oſtendetur BM maiorem eſſe BP, & BP maiorem BR; & BM ad BE ma­iorem habere proportionem, quàm BP ad BA; & BP ad BA ma­iorem, quàm BR ad BF: & propter hoc potentiam in E maio­rem eſſe potentia in A; & potentiam in A maiorem potentia in F. & quò vectis magis à ſitu AB eleuabitur, ſemper oſtendetur, maiorem requiri potentiam ponderi ſuſtinendo. ſi verò depri­metur, minorem.

7 Huius.

Hinc patet etiam potentias in EAF inter ſe ſe ita eſſe, vt BM ad BP; & vt BP ad BR; ac vt BM ad BR.

Inſuper ſi in B altera ſit potentia, ita vt duæ ſint potentiæ pondus ſuſtinentes, maiore opus eſt potentia in B pondus kL ſuſtinente vecte BF, quàm pondus CD vecte AB. & adhuc maiore vecte AB, quàm vecte BE. maiorem enim habet proportionem RF ad FB, quàm PA ad AB; & PA ad AB maiorem habet, quàm EM ad EB.

Similiterq; oſtendetur potentias in B pondus vectibus ſuſtinen­tes inter ſe ſe ita eſſe, vt EM ad AP; & ut AP ad FR; atque ut EM ad FR.

Præterea potentia in B ad potentiam in F ita erit, ut RF ad RB; & potentia in B ad potentiam in A, ut PA ad PB, & po­tentia in B ad potentiam in E, ut EM ad MB.

3 Cor. 2 Huius.

Sit autem vectis AB horizonti æqui­diſtans, cuius fulci­mentum B; & pon­dus AC, cuius cen­trum grauitatis ſit in­fra vectem: ſitq; po­tentia in D pondus ſuſtinens; moueaturq; vectis in BE BF, & potentia in GH: ſi­militer oſtendetur po

tentiam in G maiorem eſſe debere potentia in D; & potentiam in D maiorem potentia in H. maiorem enim proportionem habet KB ad BG, quàm BL ad BD; & BL ad BD maiorem, quàm MB ad BH. & hoc modo oſtendetur, quò vectis magis à ſitu AB eleuabitur, adhuc ſemper maiorem eſſe debere potentiam pondus ſuſtinentem. quò autem magis deprimetur; minorem. quod demonſtrare oportebat.

Similiter in his potentiæ in GDH inter ſe ſe ita. erunt, vt BK ad BL; & vt BL ad BM; deniq; vt Bk ad BM.

COROLLARIVM.

Ex his patet etiam, ſi potentia vecte ſurſum moueat pondus, cuius centrum grauitatis ſit in­fra vectem; quò magis pondus eleuabitur, ſemper maiorem requiri potentiam, vt pondus moueatur.

Nam ſi potentia pondus ſuſtinens ſemper eſt maior: erit quoq; potentia mouens ſemper maior.

Et his etiam facilè elicietur, ſi centrum grauitatis eiuſdem pon­deris, ſiue propius, ſiue remotius fuerit à vecte AB horizonti æ­quidiſtante; eandem potentiam in B pondus ſuſtinere. vt ſi cen­trum grauitatis L ponderis AD ſit remotius à vecte BA, quàm centrum grauitatis N ponderis PV; dummodo ducta à puncto L perpendicularis LK horizonti, vectiq; AB tranſeat per N: ſimili­ter vt in præcedenti oſtendetur, eandem potentiam in B, & pondus AD, & pondus PV ſuſtinere. In vecte auté EF, quò centrum grauitatis longius aberit à vecte, eò maiori opus erit potentia ponderi ſuſti­nendo. vt centrum grauitatis M ponderis FH remotius ſit à uecte EF, quàm S centrum grauitatis ponderis XZ; ducantur à punctis MS horizontibus perpendiculares MI SG; erit CI maior CG: ac propterea maior eſſe debet potentia in E pondus FH ſuſtinens, quàm pondus XZ. Contra uerò in uecte OR oſtendetur, quò ſcilicet centrum grauitatis eiuſdem ponderis longius ab ſit à uecte, à minori potentia pondus ſuſtineri. minor enim eſt CY, quàm CT. Simili quoq; modo demonſtrabitur, ſi pondus ſit intra potentiam, & fulcimentum; uel potentia intra fulci­mentum, & pondus. Quod idem potentiæ eueniet mouenti: vbi enim minor potentia ſuſtinet pondus, ibi minor potentia mo­uebit. & vbi maior potentia in ſuſtinendo; ibi quoq; maior in mouendo aderit.

PROPOSITIO X.

Potentia pondus ſuſtinens in ipſo vecte cen­trum grauitatis habens, quomodocunq; vecte transferatur pondus; eadem ſemper, vt ſuſtinea­tur, potentia opus erit.

Sit vectis AB horizonti æquidiſtàns, cuius fulcimentum C. E verò centrum grauitatis ponderis in ipſo ſit vecte. Moueatur deinde uectis in FG, Hk; & centrum grauitatis in LM. dico eandem potentiam in kBG idemmet ſemper ſuſtinere pondus. Quoniam enim pondus in uecte AB perinde ſe habet, ac ſi eſſet appenſum in E; & in uecte GF, ac ſi eſſet appenſum in L; & in uecte Hk. ac ſi in M eſſet appenſum; diſtantiæ uerò CL CE CM ſunt inter ſe ſe æquales; nec non CK CB CG inter ſe æ­quales; erit potentia in B ad pondus, ut CE ad CB; atque potentia in k ad pondus, ut CM ad Ck; & potentia in G ad pondus, vt CL ad CG. eadem igitur potentia in kBG idem translatum pondus ſuſtinebit. quod demonſtrare oportebat.

5 Huius.

Similiter oſtendetur, ſi pondus eſſet intra potentiam, & fulci­mentum; vel potentia inter fulcimentum, & pondus. quod idem potentiæ mouenti eueniet.

PROPOSITIO XI.

Si vectis diſtantia inter fulcimentum, & potentiam ad diſtantiam fulcimento, punctoq;, vbi à centro grauitatis ponderis horizonti ducta perpendicularis vectem ſecat, interiectam ma­iorem habuerit proportionem, quàm pondus ad potentiam; pondus vtiq; à potentia moue­bitur.

Sit véctis AB, ex punctoq; A ſuſpendatur pondus C; hoc eſt punctum A ſemper ſit punctum, vbi perpendicularis à grauitatis centro ponderis du­cta vectem ſecat; ſitq;

potentia in B, ac fulcimentum ſit D; & DB ad DA maiorem habeat proportionem, quàm pondus C ad potentiam in B. Di­co pondus Cà potentia in B moueri. fiat vt BD ad DA, ita pondus E ad potentiam in B; atq; pondus E quoq; appendatur in A: patet potentiam in B æqueponderare ipſi E; hoc eſt pon­dus E ſuſtinere. & quoniam BD ad DA maiorem habet pro­portionem, quàm C ad potentiam in B; & vt BD ad DA, ita eſt pondus E ad po­tentiam: igitur E ad potentiam maiorem habebit proportio­nem, quàm pondus C ad eandem poten­tiam. quare pondus E maius erit ponde­
re C. & cùm potentia ipſa E æqueponderet, potentia igitur ipſi C non æqueponderabit, ſed ſua ui deorſum verget. pondus igitur C à potentia in B mouebitur vecte AB, cuius fulcimentum eſt D.

1 Huius. 10 Quinti.

Si verò ſit vectis AB, & fulcimentum A, ponduſq; C in D appenſum, & potentia in B; & BA ad AD maio­rem habeat proportionem, quàm pondus C ad poten­tiam in B. dico pondus C à

potentia in B moueri. fiat vt BA ad AD; ita pondus E ad potentiam in B: & ſi E appendatur in D, potentia in B pondus E ſuſtinebit. ſed cùm BA ad AD maiorem habeat proportionem, quàm pondus C ad potentiam in B; & vt BA ad AD, ita eſt pondus E ad potentiam in B: pondus igitur E ad potentiam, quæ eſt in B, maiorem habebit proportionem, quàm pondus C ad eandem potentiam. & ideo pondus E maius erit pondere C. potentia verò in B ſuſtinet pondus E; ergo potentia in B pondus C minus pondere E in D appenſum mouebit vecte AB, cuius fulci mentum eſt A.

2 Huius. 10 Quinti.

Sit rurſus vectis AB, cuius fulcimen tum A; & pondus C in B ſit appenſum; ſitq; potentia in D: & DA ad AB maio­rem habeat propor­tionem, quàm pon­

dus C ad potentiam, quæ eſt in D. dico pondus C à potentia in D moueri. fiat vt DA ad AB, ita pondus E ad potentiam in D; & ſit pondus E ex puncto B ſuſpenſum: potentia in D pondus E ſuſtinebit. ſed DA ad AB maiorem habet proportionem, quàm C ad potentiam in D; & vt DA ad AB, ita eſt pondus E ad potentiam in D; pondus igitur E ad potentiam, quæ eſt in D, maiorem habebit proportionem, quàm pondus C ad eandem potentiam. quare pondus E maius eſt pondere C. & cùm poten­tia in D pondus E ſuſtineat, potentia igitur in D pondus C in B appenſum vecte AB, cuius fulcimentum eſt A, mouebit. quod demonſtrare oportebat.

ALITER.

Sit vectis AB, & pondus C in A ap­penſum & poten­tia in B; ſit〈qué〉 fulci­mentum D: & DB

ad DA maiorem habeat proportionem, quàm pondus C ad potentiam in B. dico pondus C à potentia in B moueri. fiat BE ad EA, vt pondus C ad potentiam, erit punctum E inter BD. oportet enim BE ad EA minorem habere proportionem, quàm DB ad DA, & ideo BE minor erit BD. & quoniam potentia in B ſuſtinet pondus C in A appenſum uecte AB, cuius fulcimentum E; minor igitur potentia in B, quàm data, idem pondus ſuſtinebit fulcimento D. data ergo potentia in B pondus C mouebit uecte AB, cuius fulcimentum eſt D.

1 Huius.

Sit deinde vectis AB, & fulci mentum A, & pondus C in D appenſum, ſitq; potentia in B; & AB ad AD maiorem habeat pro­portionem, quàm pondus C ad potentiam in B. dico pondus C

à potentia in B moueri. Fiat AB ad AE, vt pondus C ad potentiam; erit ſimiliter punctum E inter BD. neceſſe eſt enim AE maiorem eſſe AD. & ſi pondus C eſſet in E appenſum, potentia in B illud ſuſtineret. minor autem potentia in B, quàm data, ſuſti­net pondus C in D appenſum; data ergo potentia in B pondus C in D appenſum vecte AB, cuius fulcimentum eſt A, mouebit.

8 quinti. 2 Huius. 1 Cor. 2 Huius.

Sit rurſus vectis AB, cuius fulcimentum A, & pondus C in B ſit appenſum; ſitq; potentia in D; & DA ad AB maiorem habeat

proportionem, quàm pondus C ad potentiam in D. dico pon­dus C à potentia in D moueri. fiat vt pondus C ad potentiam, ita DA ad AE; erit AE maior AB; cùm maior ſit proportio DA ad AB, quàm DA ad AE. & ſi pondus C appendatur in E, patet potentiam in D ſuſtinere pondus C in E appenſum. mi­nor autem potentia, quàm data, ſuſtinet idem pondus C in B; data igitur potentia in D pondus C in B appenſum mouebit ve­cte AB, cuius fulcimentum eſt A. quod oportebat demon­ſtrare.

8 Quinti. 3 Huius. 1 Cor. 3 Huius.

PROPOSITIO XII.

PROBLEMA.

Datum pondus à data potentia dato vecte moueri.

Sit pondus A vt centum, potentia verò mouens ſit vt decem; ſitq; datus vectis BC. oportet potentiam, quæ eſt decem pondus A centum vecte BC mouere. Diuidatur BC in D, ita vt CD ad DB eandem habeat proportionem, quàm habet centum ad decem, hoc eſt decem ad vnum; etenim ſi D fieret fulcimentum, conſtat potentiam vt decem in C æqueponderare ponderi A in B appenſo: hoc eſt pondus A ſuſtinere. accipiatur inter BD quod uis punctum E, & fiat E fulcimentum. Quoniam enim maior eſt proportio CE ad EB, quàm CD ad DB; maiorem habebit proportionem CE ad EB, quàm pondus A ad potentiam decem in C: potentia igitur decem in C pondus A centum in B appen­ſum vecte BC, cuius fulcimentum ſit E, mouebit.

Si verò ſit vectis BC, & fulcimen­tum B. diuidatur CB in D, ita vt CB ad BD eandem habeat proportionem, quam

habet centum ad decem: & ſi pondus A in D ſuſpendatur, & po­tentia in C, potentia vt decem in C pondus A in D appenſum ſuſtinebit. accipiatur inter DB quoduis punctum E, ponaturq; pondus A in E; & cùm ſit maior proportio CB ad BE, quàm BC ad BD; maiorem habebit proportionem CB ad BE, quàm pondus A centum ad potentiam decem. potentia igitur decem in C pondus A centum in E appenſum mouebit vecte BC, cuius fulcimentum eſt B. quod facere oportebat.

1 Huius. Lemma huius. 11 Huius. 2 Huius. 8 Quinti. 11 Huius.

Hoc autem fieri non po­teſt exiſtente vecte BC, cuius fulcimentum ſit B, & pondus A centum in C appenſum: ponatur enim potentia ſuſtinens pondus A vtcunq; inter BC, vt in D, ſemper potentia maior erit pondere A. quare opor

tet datam potentiam maiorem eſſe pondere A. ſit igitur poten­tia data vt centum quinquaginta. diuidatur BC in D, ita vt CB ad BD ſit, vt centum quinquaginta ad centum; hoc eſt tria ad duo: & ſi ponatur potentia in D, patet potentiam in D ſuſtinere pon­dus A in C appensum. accipiatur itaq; inter DC quoduis pun­ctum E, ponaturq; potentia mouens in E; & cùm maior ſit pro­portio EB ad BC, quàm DB ad BC; habebit EB ad BC maiorem proportionem, quàm pondus A ad potentiam in E. potentia igitur vt centum quinquaginta in E pondus A centum in C appenſum vecte BC, cuius fulcimentum eſt B, mouebit. quod facere oportebat.

2 Cor. 3 Huius. 3 Huius. 8 Quinti. 11 Huius.

COROLLARIVM.

Hinc manifeſtum eſt ſi data potentia ſit dato pondere maior; hoc fieri poſſe, ſiue ita exiſtente vecte, vt eius fulcimentum ſit inter pondus, & potentiam; ſiue pondus inter fulcimentum, & potentiam habente; ſiue demum potentia in­ter pondus, & fulcimentum conſtituta.

Sin autem data potentia minor, vel æqualis dato pondere fuerit; palam quoq; eſt id ipſum dumtaxat aſſe qui poſſe vecte ita exiſtente, vt eius fulcimentum ſit inter pondus, & pontentiam; vel pondus intra fulcimentum, & potentiam habente.

PROPOSITIO XIII.

PROBLEMA.

Quotcunq; datis in vecte ponderibus vbicun­què appenſis, cuius fulcimentum ſit quoq; da­tum, potentiam inuenire, quæ in dato puncto data pondera ſuſtineat.

Sint data pondera ABC in vecte DE, cuius fulcimentum F, vbicunq; in punctis DGH appenſa: collocandaq; ſit potentia in puncto E. potentiam inuenire oportet, quæ in E data pondera ABC vecte DE ſuſtineat. diuidatur DG in k, ita vt Dk ad KG ſit, vt pondus B ad pondus A; deinde diuidatur kH in L, ita vt kL ad LH, ſit vt pondus C ad pondera BA; atq; vt FE ad FL, ita fiant pondera ABC ſimul ad potentiam, quæ ponatur in E. di­co potentiam in E data pondera ABC in DGH appenſa vecte DE, cuius fulcimentum eſt F, ſuſtinere. Quoniam enim ſi pondera ABC ſimul eſſent in L appenſa, potentia in E data pondera in L appenſa ſuſtineret; pondera verò ABC tàm in L ponderant, quam ſi C in H, & BA ſimul in K eſſent appenſa; & AB in k tàm

ponderant, quàm ſi A in D, & B in G appenſa eſſent; ergo po­tentia in E data pondera ABC in DGH appenſa vecte DE, cu­ius fulcimentum eſt F, ſuſtinebit. Si autem potentia in quouis alio puncto vectis DE (præterquàm in F) conſtituenda eſſet, vt in k; fiat vt Fk ad FL, ita pondera ABC ad potentiam: ſi­militer demonſtrabimus potentiam in k pondera ABC in pun­ctis DGH appenſa ſuſtinere. quod facere oportebat.

Ex hac, & ex quinta huius, ſi pondera ABC ſint in vecte DE quomodocunq; poſita; oporteatq; potentiam inuenire, quæ in E data pondera ſuſtinere debeat: ducantur à centris grauita­tum ponderum ABC horizontibus perpendiculares, quæ ve­ctem DE in DGH punctis ſecent; cæteraq; eodem modo fiant: Manifeſtum eſt, potentiam in E, vel in K data pondera ſuſtinere. idem enim eſt, ac ſi pondera in DGH eſſent appenſa.

1 Huius. 5 Huius. de libra. 2 Huius.

PROPOSITIO XIIII.

PROBLEMA.

Data quotcunq; pondera in dato vecte vbi­cunq; & quomodocunq; poſita à data potentia moueri.

Sit datus vectis DE, & ſint data pondera vt in præcedenti corollario; ſitq; A vt centum, B vt quinquaginta, C vt triginta; dataq; potentia ſit vt triginta. exponantur eadem, inueniaturq; punctum L; deinde diuidatur LE in F, ita vt FE ad FL ſit, vt centum octoginta ad triginta, hoc eſt ſex ad vnum: & ſi F fieret fulcimentum, potentia vt triginta in E ſuſtineret pondera ABC. accipiatur igitur inter LF quoduis punctum M, fiatq; M fulci­mentum: manifeſtum eſt potentiam in E vt triginta pondera ABC vt centum octoginta vecte DE mouere. quod facere oportebat.

13 Huius. 11 Huius.

Hoc autem vniuersè aſſequi minimè poterimus, ſi in extremita­te vectis fulcimentum eſſet, vt in D; quia proportio DE, ad DL hoc eſt proportio ponderum ABC ad potentiam, quæ pondera ſuſtinere debeat, ſemper eſt data. quod multo quoq; minus fieri poſſet, ſi ponenda eſſet potentia inter DL.

PROPOSITIO XV.

PROBLEMA.

Quia verò dum pondera vecte mouentur, vectis quoq; grauitatem habet, cuius nulla ha­ctenus mentio facta eſt: idcirco primùm quo­modo inueniatur potentia, quæ in dato puncto datum vectem, cuius fulcimentum ſit quoq; da­tum, ſuſtineat, oſtendamus.

Sit datus vectis AB, cuius fulcimentum ſit datum C; ſitq; punctum D, in quo collocanda ſit potentia, quæ vectem AB ſuſtinere debeat, ita vt immobilis perſiſtat. ducatur à puncto C linea CE horizonti perpendicularis, quæ vectem AB in duas di­uidat partes AE EF, ſitq; partis AE centrum grauitatis G, & partis EF centrum grauitatis H; à punctis〈qué〉 GH horizon­tibus perpendiculares ducantur Gk HL, quæ lineam AF in punctis KL ſecent. quoniam enim vectis AB à linea CE in duas diuiditur partes AE EF; ideo vectis AB nihil aliud erit, niſi duo pondera AE EF in vecte, ſiue libra AF poſita; cuius ſu­ſpenſio, ſiue fulcimentum eſt C. quare pondera AE EF ita erunt poſita, ac ſi in kL eſſent appenſa. diuidatur ergo kL in M, ita vt kM ad ML, ſit vt grauitas partis EF ad grauitatem par­tis AE; & vt CA ad CM, ita fiat grauitas totius vectis AB ad potentiam, quæ ſi collocetur in D (dummodo DA horizonti perpendicularis exiſtat) vecti æqueponderabit; hoc eſt vectem AB deorſum premendo ſuſtinebit. quod inuenire oportebat.

13 Huius.

Si verò potentia in puncto B ponenda eſſet. fiat vt CF ad CM ita pondus AB ad potentiam. ſimili modo oſtendetur poten­tiam in B vectem AB ſuſtinere. ſimiliterq; demonſtrabitur in quo­cunq; alio ſitu (præterquàm in e) ponenda fuerit potentia, vt in N. fiat enim vt CO ad CM, ita AB ad potentiam; quæ ſi pona­tur in N, vectem AB ſuſtinebit.

Adiiciatur autem pondus in vecte appenſum, ſiue poſitum; vt iisdem poſitis ſit pondus P in A appenſum; potentiaq; ſit ponenda in B, ita vt vectem AB vnà cum pondere P ſuſtineat.

Diuidatur AM in Q, ita vt AQ ad QM ſit, ut grauitas ue­ctis AB ad grauitatem ponderis P; deinde ut CF ad CQ, ita fat grauitas AB, & P ſimul ad potentiam, quæ ponatur in B: patet potentiam in B uectem AB unà cum pondere P ſuſtinere. Si ue­rò eſſet CA ad CM, vt AB ad P; eſſet punctum C eorum centrum grauitatis, & ideo vectis AB vná cum pondere P abſq; potentia in B manebit. ſed ſi ponderum grauitatis centrum eſſet inter CF, vt in O; fiat vt CF ad CO, ita AB&P ſimul ad potentiam, quæ in B, & vectem AB, & pondus P ſuſtinebit.

Similiter oſtendetur, ſi plura eſſent pondera in vecte AB ubi­cunq;, & quomodocunq; poſita.

13 Huius. Ex ſexta 1 Arch. de æquep.

Inſuper ex his non ſolum, ut in decimaquarta huius docuimus, quomodo ſcilicet data pondera ubicunq; in uecte poſita data potentia dato uecte mouere poſſumus, eodem modo grauitate uectis conſiderata idem facere poterimus; uerùm etiam accidentia reli­qua, quæ ſupra abſq; uectis grauitatis conſideratione demonſtra­ta ſunt; ſimili modo uectis grauitate conſiderata vná cum ponderibus, uel ſine ponderibus oſtendentur.

DE TROCHLEA.

Trochleae inſtrumento pondus multipliciter moueri poteſt; quia verò in omnibus eſt eadem ratio: ideo (vt res euidentior ap­pareat) in iis, quæ dicenda ſunt, intelligatur pondus ſurſum ad rectos horizontis plano angulos hoc modo ſem­per moueri.

Sit pondus A, quod ipſi horizontis plano ſurſum ad rectos angulos ſit attollendum; & vt fieri ſolet, trochlea duos habens orbiculos, quorum axiculi ſint in BC, ſupernè appendatur; trochlea verò duos ſimiliter habens orbiculos, quorum axicu­li ſint in DE, ponderi alligetur: ac per omnes vtriuſq; trochleæ orbiculos circunducatur ducta­rius funis, quem in altero eius ex tremo, putá in F, oportet eſſe religatum. potentia autem mouens ponatur in G, quæ dum deſcendit, pondus A ſurſum ex aduerſo attolletur; quemadmodum Pappus in octauo libro Mathematicarum collectionum aſ­ſerit; nec non Vitruuius in deci mo de Architectura, & alii.

Quomodo autem hoc trochleæ inſtrumen­tum reducatur ad vectem; cur magnum pondus ab exigua virtute, & quomodo, quantoq; in tempore moueatur; cur funis in vno capite debeat eſſe religatus; quodq; ſuperioris, inferiorisq́ue trochleæ fuerit officium; & quomodo omnis in numeris data proportio inter potentiam, & pondus inueniri poſsit; dicamus.

LEMMA.

Sint rectæ lineæ AB CD parallelæ, quæ in punctis AC circulum ACE contingant, cuius centrum F: & FA FC connectantur. Dico AFC rectam lineam eſſe.

Ducatur FE ipſis AB CD æquidiſtans. & quoniam AB, & FE ſunt parallelæ, & angulus BAF eſt rectus; erit & AFE re­ctus. eodemq; modo CFE rectus erit. li­nea igitur AFC recta eſt. quod erat de­monſtrandum.

18 Tertii. 29 Primi. 14 Primi.

PROPOSITIO I.

Si funis trochleæ ſupernè appenſæ orbiculo circunducatur, alterumq; eius extremum pon­deri alligetur, altero interim à potentia pondus ſuſtinente apprehenſo: erit potentia ponderi æqualis.

Sit pondus A, cui alligatus ſit fu­nis in B; trochleaq; habens orbiculum C EF, cuius centrum D, ſurſum appenda­tur; ſitq; D quoq; centrum axiculi; & circa orbiculum uo­luatur funis BC EF G; ſitq; potentia in G ſuſtinens pon­dus A. dico poten­tiam in G ponderi A æqualem eſſe. Sit FG æquidiſtans CB. Quoniam igitur pondus A manet; erit

CB horizonti plano perpendicularis: quare FG eidem plano per­pendicularis erit. Sint CF puncta in orbiculo, à quibus funes CB FG in horizontis planum ad rectos angulos deſcendunt; tangent BC FG orbiculum CEF in punctis CF. orbiculum enim ſecare non poſſunt. connectantur DC DF; erit CF recta linea, & anguli DCB DFG recti. Quoniam autem BC tùm horizonti, tùm ipſi CF eſt perpendicularis; erit linea CF horizonti æquidiſtans. cùm verò pondus appenſum ſit in BC, & potentia ſit in G; quod idem eſt, ac ſi eſſet in F; erit CF tanquam libra, ſiue vectis, cuius centrum, ſiue fulcimentum eſt D; nam in axiculo orbiculus ſuſtinetur; atq; punctum D, cùm ſit centrum axiculi, & orbiculi, etiam vtriſque circumuolutis immobile remanet. Itaq; cùm diſtantia DC ſit æqualis diſtantiæ DF, potentiaq; in F ponderi A in C appenſo æqueponderet, cùm pondus ſuſtineat, ne deorſum vergat; erit potentia in F, ſiue in G (nam idem eſt) conſtituta ponderi A æqualis. Idem enim effi­cit potentia in G, ac ſi in G aliud eſſet appenſum pondus æquale ponderi A; quæ pondera in CF appenſa æquæponderabunt. Præ­terea, cùm in neutram fiat motus partem, idem erit vnico exi­ſtente fune BC EFG hoc modo orbiculo circumuoluto, ac ſi duo eſſent funes BC FG alligati in vecte, ſiue libra CF.

1 Huius. de libra. 8 Vndecimi. 18 Tertii. Ex 28 Primi. 1 Primi. Archim. de æquepond.

COROLLARIVM.

Ex hoc manifeſtum eſſe poteſt, idem pon­dus ab eadem potentia abſq; ullo huius tro­chleæ auxilio nihilominus ſuſtineri poſſe.

Sit enim pondus H æquale ponderi A, cui alligatus ſit funis kL; ſitq; potentia in L ſuſtinens pondus H. cùm autem pondus abſq; vllo adminiculo ſuſtinere volentes tanta vi opus ſit, quanta ponderi eſt æqualis; erit potentia in L ponderi H æqualis; pondus verò H ipſi ponderi A eſt æquale, cui potentia in G eſt æqualis; erit igitur potentia in G potentiæ in L æqualis. quod idem eſt, ac ſi eadempotentia idem pondus ſuſtineret.

Præterea ſi potentiæ in G, & in L inuicem fuerint æquales, ſeorſum autem ponderibus minores; patet potentias ponderibus ſuſti­nendis non ſufficere. ſi verò maiores, manifeſtum eſt pondera à pontentiis moueri. & ſic in eadem eſſe proportione potentiam in L. ad pondus H, veluti potentia in G ad pondus A.

Sed quoniam in demonſtratione aſſumptum fuit axiculum cir­cumuerti, qui vt plurimum immobilis manet; idcirco immobili quoq; manente axiculo idem oſtendatur.

Sit orbiculus trochleæ CEF, cuius centrum D; ſitq; axiculus GHk, cuius idem ſit centrum D. Ducatur CG DkF diameter horizonti æ­quidiſtans. & quoniam dum orbi­culus circumuertitur, circumferen­tia circuli CEF ſemper eſt æquidi­ſtans circumferentiæ axiculi GHk; circa enim axiculum circumuerti­tur; & circulorum æquidiſtantes circumferentiæ idem habent centrum; erit punctum D ſemper & orbiculi,

& axiculi centrum. Itaq; cùm DC ſit æqualis DF, & DG ipſi Dk; erit GC ipſi kF æqualis. ſi igitur in vecte, ſiue libra CF pondera appendantur æqualia, æqueponderabunt. diſtantia enim CG æqualis eſt diſtantiæ kF; axiculuſq; GHK immobilis gerit vicem centri, ſiue fulcimenti. immobili igitur manente axicu­lo, ſi ponatur in F potentia ſuſtinens pondus in C appenſum; erit potentia in F ipſi ponderi æqualis. quod erat oſtendendum.

Et cùm idem prorſus ſit, ſiue axiculus circumuertatur, ſiue mi­nus; liceat propterea in iis, quæ dicenda ſunt, loco axiculi cen­trum tantùm accipere.

PROPOSITIO II.

Si funis orbiculo trochleæ ponderi alligatæ circumducatur, altero eius extremo alicubi reli­gato, altero uerò à potentia pondus ſuſtinente apprehenſo; erit potentia ponderis ſubdupla.

Si pondus A; ſit BCD orbiculus trochleæ pon­deri A alligate, cuius centrum E; funis deinde FB CDG circa orbiculum voluatur, qui religetur in F; ſitq; potentia in G ſuſtinens pondus A. dico potentiam in G ſubdu­plam eſſe ponderis A. ſint funes FB GD puncti E horizonti perpendicula­res, qui inter ſe ſe æqui­diſtantes erunt; tangantq; funes FB GD circulum BCD in BD punctis. connectatur BD; erit BD per centrum E ducta,

ipſiuſ〈qué〉 centri horizonti æquidiſtans. Cùm autem potén­tia in G trochlea pondus A ſuſtinere debeat, funem ex altero ex­tremo religatum eſſe oportet, puta in F; ita vt F æqualiter ſaltem potentiæ in G reſiſtat, alioquin potentia in G nullatenus pondus ſuſtinere poſſet. Et quoniam potentia fune ſuſtinet orbiculum, qui reliquam trochleæ partem, cui appenſum eſt pondus, ſuſtinet axiculo; grauitabit hæc trochleæ pars in axiculo, hoc eſt in centro E. quare pondus A in eodem quoq; centro E ponderabit, ac ſi in E eſſet appenſum. poſita igitur potentia, quæ in G, vbi D (idem enim prorſus eſt) erit BD tanquam vectis, cuius fulcimentum erit B, pondus in E appenſum, & potentia in D. conuenienter enim fulcimenti rationem ipſum B ſubire poteſt, exiſtente fune FB immobili. cæterum hoc poſterius magis eluceſcet. Quoniam autem potentia ad pondus eandem habet proportio­nem, quàm BE ad BD; & BE in ſubdupla eſt proportione ad BD: potentia igitur in G ponderis A ſubdupla erit. quod de­monſtrare oportebat.

6 Vndecimi Ex præcedenti. 2 Huius de vecte.

Hoc igitur ita ſe ha­bet vnico exiſtente fune FBC DG ipſi orbiculo circumducto, ac ſi duo eſſent funes BF GD ve­cti BD alligati, cuius fulcimentum erit B, pon­dus in E appenſum, & potentia ſuſtinens in D, vel quod idem eſt in G.

COROLLARIVM I.

Ex hoc itaq; manifeſtum eſt, pondus hoc modo à minori in ſubdupla proportione potentia ſuſtineri, quam ſine vllo huiuſmodi trochleæ auxilio.

Veluti ſit pondus H ponderi A æquale, cui religatus ſit funis kL; potentiaq; in L ſuſtineat pondus H; erit potentia in L ſeorſum ponderi H, & ponderi A æqualis; ſed potentia in G ſubdupla eſt ponderis A, quare potentia in G ſubdupla erit potentiæ, quæ eſt in L. & hoc modo in huiuſcemodi reliquis omnibus pro portio inueniri poterit.

COROLLARIVM. II.

Manifeſtum eſt etiam; ſi duæ fuerint poten­tiæ vna in G, altera in F, pondus A ſuſtinentes; vtraſq; ſimul ponderi A æquales eſſe: & vnam quamque ſuſtinere dimidium ponderis A.

Hoc autem ex tertio, & quarto corollario ſecundæ huius in tractatu de vecte patet.

COROLLARIVM III.

Illud quoq; præterea innoteſcit, cur ſcilicet funis ex altero religatus eſſe debeat extremo.

PROPOSITIO III.

Si vtriſq; duarum trochlearum ſingulis or­biculis, quarum altera ſupernè, altera verò in­fernè conſtituta, ponderiq; alligata fuerit, circunducatur funis; altero eius extremo alicubi religato, altero verò à potentia pondus ſuſti­nente detento; erit potentia ponderis ſub du­pla.

Sit pondus A; ſit BCD orbiculus trochleæ ponderi A alligatæ, cuius centrum K; EFG verò ſit trochleæ ſurſum appenſæ, cuius centrum H. deinde LBC DME FGN funis circa orbicu­los ducatur, qui religetur in L; ſitq; potentia in N ſuſtinens pondus A. dico potentiam in N ſubduplam eſſe ponderis A. ſi enim potentia ſuſtinens pondus A vbi M collocata foret, eſſet vtiq; potentia in M ſubdupla ponderis A. po­tentiæ verò in M æqualis eſt vis in N. eſt e­nim ac ſi potentia in M dimidium ponderis A ſine trochlea ſuſtineret, cui æqueponderat pondus in N ponderis A dimidio æquale. quare vis in N æqualis dimidio ponderis A ipſum A ſuſtinebit. Potentia igitur in N ſuſtinens pondus A ſubdupla eſt ipſius A. quod demonſtrare oportebat.

Si verò vt in ſecunda figura ſit funis BC DEF GHkL orbiculis circum uolutus, & religatus in B; potentiaq; in L pondus A ſuſtineat: erit potentia in L ſimiliter ponderis ſubdupla. orbiculus enim trochleæ ſupe­rioris, ipſa〈qué〉 trochlea penitus ſunt inutiles: & idem eſt, ac ſi funis religatus eſſet in F, & potentia in L ſuſtineret pondus ſola trochlea ponderi alligata, quæ potentia ponderis A oſtenſa eſt ſubdupla.

2 Huius. 1 Huius.

COROLLARIVM.

Ex his ſequitur, ſi duæ ſint potentiæ in BL; vtraſq; inter ſe ſe æquales eſſe.

Vtraq; enim ſeorſum eſt ipſius A ſubdupla.

PROPOSITIO IIII.

Sit vectis AB, cuius fulcimentum ſit A; qui bifariam diuidatur in D: ſitq; pondus C in D appenſum; duæq; ſint potentiæ æquales in BD pondus C ſuſtinentes. Dico unamquamq; potentiam in BD ponderis C ſubtriplam eſſe.

Quoniam enim altera potentia eſt in D collocata, & pondus C in eodem puncto D eſt appenſum; potentia in D partem ponderis C ſuſtinebit ip­ſi potentiæ D æqualem.

quare potentia in B partem ſuſtinebit reliquam, quæ pars dupla erit ipſius potentiæ in B; cùm pondus ad potentiam eandem habeat proportionem, quam AB ad AD: & potentiæ in BD ſunt æqua­les; ergo potentia in B duplam ſuſtinebit partem eius, quam ſuſtinet potentia in D. diuidatur ergo pondus C in duas partes, qua rum vna ſit reliquæ dupla; quod fiet, ſi in tres partes æquales EFG diuiſerimus: tunc enim FG dupla erit ipſius E. Itaq; potentia in D partem E ſuſtinebit, & potentiam in B reliquas FG. vtreq; igitur inter ſe ſe æquales potentiæ in BD ſimul totum ſuſtinebunt pondus C. & quoniam potentia in D partem E ſuſtinet, quæ tertia eſt pars ponderis C, ipſiq; eſt æqualis; erit potentia in D ſub tripla ponderis C. & cùm potentia in B ſuſtineat partes FG, qua rum potentia in B eſt ſubdupla; erit in B potentia vni partium FG, putà G æqualis. G verò tertia eſt pars ponderis C; potentia igitur in B ſubtripla erit ponderis C. Vnaquæq; ergo potentia in BD ſubtripla eſt ponderis C. quod demonſtrare oportebat.

Et ſi duo eſſent vectes AB EF bifariam in GD diuiſi, quorum fulcimenta eſſent AF, & pondus C in DG vtriq; vecti appen­ſum, ita tamen vt in vtroq; æqualiter ponderet; duæq; eſſent æquales potentiæ in BG: eadem prorſus ratione oſtendetur, vnamquamq; potentiam in B, & G ponderis C ſubtriplam eſſe.

PROPOSITIO V.

Si vtriſq; duarum trochlearum ſingulis orbiculis, quarum altera ſupernè, altera verò infernè conſtituta, ponderiq; alligata fuerit, circumducatur funis; altero eius extremo inferiori trochleæ reli­gato, altero verò à potentia pondus ſuſtinente detento: erit potentia ponderis ſubtripla.

Sit pondus A; ſit BCD orbiculus tro­chleæ ponderi A alligate, cuius centrum E; & FGH trochleæ ſurſum appenſæ, cu­ius centrum k; & LFGHBCDM funis orbiculis circumducatur, qui religetur in L trochleæ inferiori; ſitq; potentia in M ſu­ſtinens pondus A. dico potentiam in M ſubtriplam eſſe ponderis A. ducantur FH BD per centra kE horizonti æquidiſtan­tes, ſicut in præcedentibus dictum eſt. Quo­niam enim funis FL trochleam ſuſtinet in­feriorem, quæ ſuſtinet orbiculum in eius centro E; erit funis in L vt potentia ſuſti­nens orbiculum, ac ſi in ipſo E centro eſſet; potentia verò in M eſt, ac ſi eſſet in D; efficietur igitur DB tanquam vectis, cuius fulcimentum erit B; pondus verò A (vt ſupra oſtenſum eſt) ex E ſuſpenſum à dua­bus potentiis altera in D, altera in E ſuſtentatum. Cùm autem in pondere ſuſtinendo vectes FH BD immobiles maneant, ſi in funibus FL HB appendantur pondera, e­runt hæc ipſa æqualia; cùm vectis FH ha­beat fulcimentum in medio; alioquin ex altera parte deorſum fieret motus, quod tamennon contingit. tam igitur ſuſtinet funis FL, quàm HB. deinde quoniam ex medio ve­

cte BD pondus ſuſpenditur, idcirco ſi duæ fuerint potentiæ in BD pondus ſuſtinentes, erunt inuicem æquales. & quamquam funis FL ipſe quoq; pondus ſuſtineat, cùm potentiæ in E vicem gerat; quia tamen ex eodemmet puncto ſuſtinet, vbi appenſum eſt pondus, non efficiet propterea, quin potentiæ in BD ſint inter ſe ſe æquales; opitulatur enim tàm vni, quàm alteri. potentiæ verò in BD eæ­dem ſunt, ac ſi eſſent in HM; quare tàm ſuſtinebit funis MD, quàm HB. ita verò ſuſtinet HB, atq; FL; funis igitur MD ita ſuſtinebit, ſicut FL, hoc eſt, ac ſi in D, & L appenſa eſſent pon­dera æqualia. Cùm itaq; æqualia pondera à potentiis ſuſtinean­tur æqualibus, potentiæ in ML æquales erunt; quarum eadem prorſus eſt ratio, ac ſi eſſent ambæ in DE. Itaq; cùm pondus A in medio vectis BD ſit appenſum, duæq; potentiæ ſint æquales in DE pondus ſuſtinentes; erit B fulcimentum, ac vnaquæq; potentia, ſiue in DE, ſiue in ML ſubtripla ponderis A. ergo potentia in M ſuſtinens pondus ſubtripla erit ponderis A. quod oſtendere o­portebat.

In 2 Huius 1 Huius. Ex 3 Cor. 2 Huius vecte. 4 Huius.

COROLLARIVM.

Ex hoc manifeſtum eſt, vnumquemq; funem MD FL HB tertiam ſuſtinere partem pon­deris A.

Præterea, ſi funis ex M per a­lium adhuc deferatur orbiculum ſuperiorem in trochlea ſurſum ſimi­liter appenſa conſtitutum, cuius centrum N; ita vt perueniat in O; ibiq; à potentia detineatur; erit potentia in O ſuſtinens pondus A iti dem ſubtripla ipſius ponderis. funis enim MD tantùm ponderis ſuſtinet, ac ſi in D appenſum eſſet pondus æquale tertiæ parti ponderis A, cui æquiualet potentia in O ipſi æqualis, hoc eſt ſubtripla ponderis A. Potentia igitur in O ſubtripla eſt ponderis A.

Et ne idem ſæpius repetatur, nouiſſe oportet potentiam in O ſemper æqualem eſſe ei, quæ eſt in M; hoc eſt ſi potentia in M eſſet ſub quadrupla, ſubquintupla, vel huiuſ modi aliter ipſius ponderis; potentia quoq; in O erit itidem ſubquadrupla, ſubquintupla, atq; ita deinceps eiuſdemmet ponderis, quemmadmodum ſe habet potentia in M.

1 Huius.

PROPOSITIO VI.

Sint duo vectes AB CD bifariam diuiſi in EF, quorum fulcimenta ſint. in BD; ſitq; pondus G in EF vtriq; vecti appenſum, ita ut ex vtroq; æqualiter ponderet; duæq; ſint potentiæ in AC æquales pondus ſuſtinentes. Dico unam quamq; potentiam in AC ſubquadruplam eſ­ſe ponderis G.

Cùm enim potentiæ in AC totum ſuſtineant pon­dus G, potentiaq; in A ad partem ponderis, quod ſuſtinet, ſit vt BE ad BA; po­tentia verò in C ad partem ipſius G, quod ſuſtinet, ita ſit vt DF ad DC; & vt BE ad BA, ita eſt DF ad DC;

erit potentia in A ad partem ponderis, quod ſuſtinet, vt poten­tia in C ad ipſius ponderis, quod ſuſtinet, partem; & potentiæ in AC ſunt æquales; æquales igitur erunt partes ponderis G, quæ à potentiis ſuſtinentur. quare vnaquæq; potentia in A C di­midium ſuſtinebit ponderis G. Potentia verò in A ſubdupla eſt ponderis, quod ſuſtinet: ergo potentia in A dimidio dimidii, hoc eſt quartæ portioni ponderis G æqualis erit; ideoq; ſubquadrupla erit ponderis G. neq; aliter demonſtrabitur potentiam in C ſub­quadruplam eſſe eiuſdem ponderis G. quod demonſtrare opor­tebat.

2 Huius. de vecte.

Si verò tres ſint vectes AB CD EF bifariam di­uiſi in GHk, quorum fulci menta ſint BDF; & pondus L eodem modo in GHK appenſum; ſintq; tres potentiæ in ACE æquales pondus ſuſtinentes; ſimiliter oſtendetur vnamquamque po­tentiam ſubſexcuplam eſſe ponderis L. atq; hoc ordine ſi quatuor eſſent vectes, & quatuor potentiæ; erit vnaquæq; potentia ſuboctupla ponderis. atq; ita deinceps in infinitum.

PROPOSITIO VII.

Si tribus duarum trochlearum orbiculis, quarumaltera ſupernè vnico duntaxat, altera verò infer­nè duobus autem inſignita orbiculis, ponderiq; alligata conſtituta fuerit, funis circumponatur; altero eius extremo alicubi religato, altero verò à potentia pondus ſuſtinente retento; erit potentia ponderis ſubquadrupla.

Sit pondus A; ſint tres orbiculi, quorum centra BCD; orbiculuſq;, cuius centrum D, ſit trochleæ ſurſum appenſæ; quorum verò ſunt centra BC, ſint trochleæ ponderi A alligatæ; funiſq; EFGHkLNOP per omnes circumducatur orbiculos, qui religetur in E; ſitq; vis in P ſuſtinens pondus A. dico potentiam in P ſubquadruplam eſſe ponderis A. ducantur kL GF ON per rotularum centra, & horizonti æquidiſtantes, quæ (ex iis, quæ dicta ſunt) tanquam vectes erunt. & quoniam propter vectem, ſiue libram kL, cuius fulcimentum, ſiue centrum eſt in me dio, tàm ſuſtinet funis kG, quàm LN, cùm in neutram partem fiat motus. nec non propter vectem GF, è cuius medio veluti ſuſpenſum dependet onus; ſi duæ eſſent in GF potentiæ, ſeu in HE (eſt enim par vtriuſq; ſitus ratio, vt iam ſepius dictum eſt) eſſent vtiq; huiuſmodi potentiæ inuicem æquales. quare ita ſuſtinet funis HG, vt EF. ſimiliter oſten detur funem PO tàm ſuſtinere, quàm LN: quare funes PO kG EF LN æqualiter ſuſtinent. æqualiter igitur funis PO ſuſtinet, vt kG. ſi ergo duæ intelligantur eſ

ſe potentiæ in OG, ſeu in PH, quod idem eſt, pondus nihilominus ſuſtinentes, quemadmodum funes ſuſtinent, æquales vtiq; eſſent; & GF ON duorum vectium vires gerent; quorum fulci menta erunt FN, & pondus A in BC medio vectium appenſum. & quoniam omnes funes æqualiter ſuſtinent, tàm ſuſtinebunt duo PO LN, quàm duo KGEF; tàm igitur ſuſtinebit vectis ON, quàm vectis GF. quare in vtroq; vecte ON GF æquali ter pondus ponderabit. erit ergo vnaquæq; potentia in PH ſubquadrupla ponderis A. & cùm funis KG potentiæ loco ſumatur, quippè qui haud ſecus ſuſtinet, quàm PO; erit potentia in P ſuſtinens pon­dus A ipſius ponderis ſubquadrupla. quod demonſtrare oportebat.

1 Huius. Ex2 Cor. 2 Huius. 6 Huius.

COROLLARIVM I.

Hinc manifeſtum eſt vnumquemq; funem EF GK LN OP quartam ſuſtinere partem pon­deris A.

COROLLARIVM II.

Patet etiam orbiculum, cuius centrum C, non minus eo, cuius centrum eſt B, ſuſtinere.

ALITER.

Adhuc iiſdem poſitis, ſi duæ eſſent potentiæ æquales pondus A ſuſtinentes, vna in O altera in C; eſſet vnaquæq; dictarum potentiarum ponderis A ſubtripla. ſed quoniam vectis GF, cuius fulcimentum eſt F bifariam diuiſus eſt in C; ſi igitur ponatur in G potentia idem pondus ſuſtinens, vt potentia in C; erit potentia in G ſubdupla potentiæ, quæ eſ ſet in C; nam ſi potentia in C ſe ipſa pon­dus in C appenſum ſuſtineret, eſſet vtiq; ipſi ponderi æqualis; & idem pondus, ſi à potentia in G ſuſtineretur, eſſet ipſius potentiæ in G duplum; potentia veró in C ſubtripla eſſet ponderis A; ergo potentia in G ſubſexcupla eſſet ponderis A. Cùm itaq; potentia in O ſubtripla ſit ponderis A, & potentia in G ſubſexcupla; erunt vtræq; ſi­mul potentiæ in OG ipſius ponderis A ſub duplæ. tertia enim pars cum ſexta dimi­dium efficit. quoniam autem potentiæ in OG, ſiue in PH (vt prius dictum eſt) ſunt inter ſe æquales, ac vtræq; ſimul ſubduplæ ſunt ponderis A. erit vnaquæq; poten

tia in P H ipſius A ſubquadrupla. Potentia igitur in P ſuſtinens pondus A ipſius ponderis A ſubquadrupla erit. quod erat oſten­dendum.

Ex 4 Huius 2 Huius. de vecte.

Si verò funis religetur in E, & ſecundùm quatuor adhuc circumuoluatur orbiculos, per ueniatq; ad P. ſimiliter oſtendetur potentiam in P ſubqua­druplam eſſe ponderis A. idem enim eſt, ac ſi funis re­ligatus eſſet in L, potentiaq; ſuſtineret pondus fune tribus tantùm orbiculis circumdu­cto, quorum centra eſſent B CQ. orbiculus enim cuius centrum D eſt pœnitus inu­tilis.

PROPOSITIO VIII.

Sint duo vetes AB CD bifariam diuiſi in EF, quorum fulcimenta ſint AC, & pondus G in punctis EF vtriq; vecti ſit appenſum, ita vt ex vtroq; æqualiter ponderet; treſq; ſint potentiæ æquales in BDE pondus G ſuſtinentes. Dico vnamquamq; ſeorſum ex dictis potentiis ſub­quintuplam eſſe ponderis G.

Quoniam enim pondus G appenſum eſt in EF, & tres ſunt potentiæ in EBD æquales; ideo potentia in E partem tantùm ponderis G ſuſtinebit ipſi potentiæ in E æqualem; potentiæ verò in BD partem ſuſtinebunt reliquam; & pars, quam ſuſtinet B, erit ipſius dupla; pars autem, quam ſu

ſtinet D, erit ſimiliter ipſius D dupla; propter proportionem BA ad AE, & DC ad CF. Cùm itaq; potentiæ in BD ſint æquales, erunt (ex iis, quæ ſupra dictum eſt) partes ponderis G, quæ à potentiis BD ſuſtinentur, inter ſe ſe æquales; & vnaquæq; dupla eius partis, quæ à potentia in E ſuſtinetur. diuidatur er­go pondus G in tres partes, quarum duæ ſint inter ſe ſe æquales, nec non vnaquæq; ſeorſum alterius tertiæ partis dupla. quod fiet, ſi in quinq; partes æquales HKLMN diuidatur; pars enim compoſita ex duabus partibus kL dupla eſt partis H; pars quoq; MN eiuſdem partis H eſt ſimiliter dupla. quare & pars kL parti MN erit æqualis. Suſtineat autem potentia in E partem H; & potentia in B partes KL; potentia verò in D partes MN: tres igitur potentiæ æquales in BDE totum ſuſtinebunt pondus G; & vnaquæq; potentia in BD duplum ſuſtinebit eius, quod ſuſtinet potentia in E. Cùm itaq; potentia in E partem H ſuſti­neat, quæ quinta eſt pars ponderis G, ipſiq; ſit æqualis; erit potentia in E ſubquintupla ponderis G. & quoniam potentia in B partes kL ſuſtinet, quæ quidem duplæ ſunt potentiæ B, & partis H; erit quoq; potentia in B ipſi H æqualis: quare ſubquintupla erit ponderis G. Non aliter oſtendetur potentiam in D ſubquintu­plam eſſe ponderis G. vnaquæq; igitur potentia in BDE ſubquin­tupla eſt ponderis G. quod demonſtrare oportebat.

2 Huius. de vecte. In 6 Huius

Si verò ſint tres vectes AB CD EF bifariam diuiſi in GHk, quorum fulcimenta ſint ACE; & pondus L eodem modo in GHk ſit ap­penſum; quatuorq; ſint po­tentiæ æquales in BDFG pondus L ſuſtinentes; ſimili modo oſtendetur vnam­quamq; potentiam in BD FG ſubſeptuplam eſſe ponderis L. & ſi quatuor eſſent vectes, & quinq; potentiæ æquales pon­dus ſuſtinentes; eodem quoq; modo oſtendetur vnamquamq; potentiam ſubnonuplam eſſe ponderis. atq; ita deinceps.

PROPOSITIO VIIII.

Si quatuor duarum trochlearum binis orbi­culis, quarum altera ſupernè, altera vero in­fernè, ponderiq; alligata, diſpoſita fuerit, circumducatur funis; altero eius extremo inferiori trochleæ religato, altero verò à potentia pon­dus ſuſtinente retento: erit potentia ponderis ſubquintupla.

Sit pondus A, cui alligata ſit trochlea duos habens orbiculos, quorum centra ſint BC; ſitq; trochlea ſurſum appenſa duos alios ha­bens orbiculos, quorum centra ſint DE; funiſq; per omnes circumducatur orbiculos, qui tro­chleæ inferiori religetur in F; ſit〈qué〉 potentia in G ſuſtinens pondus A. dico poten­tiam in G ſubquintuplam eſſe ponderis A. ducantur Hk LM per centra BC horizon­ti æquidiſtantes, quas eodem modo, quo ſu­pra dictum eſt, eſſe tanquam vectes oſtende­mus, quorum fulcimenta kM, & pondus A ex medio vtriuſq; vectis BC ſuſpenſum, & tres potentiæ in LHC pondus ſuſtinentes, quas ſimili modo æquales eſſe demonſtrabimus; funes enim idem efficiunt, ac ſi eſſent potentiæ. & quoniam pondus æqualiter ex vtroq; ve­cte HK LM ponderat, quod quidem oſten­detur quoque, vt in præcedentibus demon­ſtratum eſt: erit vnaquæq; potentia, tùm in L, ſeu in G, quod idem eſt; tùm in H, atq; in C, hoc eſt in F, ſubquintupla ponderis A. Potentia ergo in G ſuſtinens pondus A ipſius A ſubquintupla erit. quod oſtendere opor­tebat.

Si verò funis in F adhuc de­feratur circa alium orbiculum, cuius centrum N, qui religetur in O; ſimiliter duplici medio (vt in ſeptima huius) demonſtrabitur potentiam in G pon­dus A ſuſtinentem ſubſexcuplam eſſe ponderis A. Primùm quidem ex tribus vectibus LM Hk FP, quorum fulcimenta ſunt MkP, & pondus in me dio vectium appenſum; & tres potentiæ in LHF æquales pondus ſuſtinéres. deinde ex potentiis in LHN, quarum vnaquæq; ſubquintupla eſſet ponderis A. eſſent enim ambæ ſimul potentiæ in LH ſubduplæ ſexquialteræ ipſius ponderis, potentia verò in F ſubdecupla eſſet, cùm ſit ipſius N ſubdupla: ſed duæ quin tæ cùm decima dimidium efficiunt, quòd ſi per terna diui datur, ſexta pars ponderis reſpondebit vnicuiq; potentiæ in LHF. ex quibus patet potentiam in G ſubſexcuplam eſſe ponderis A. ſimiliterq; demonſtrabitur vnumquemque orbiculum æqualem ſuſtinere por­tionem.

Quòd ſi, vt in tertia figura funis in O protrahatur; per aliumq; circumducatur orbi­culum, cuius centrum Q; qui deinde in R trochleæ relige­tur inferiori; erit potentia in G ponderis ſubſeptupla. atq; ita in infinitum procedendo proportio potentiæ ad pon­dus quotcunq; ſubmulti­plex inueniri poterit. dein­de ſemper oſtendetur vt in præcedentibus; ſi potentia pondus ſuſtinens fuerit, vel ſubquadrupla, vel ſubquitu­pla, vel quouis alio modo ſe habebit ad pondus; ſimiliter vnumquemque funem, vel quartam, vel quintam, vel quamuis aliam partem ſuſti­nere ponderis, quemadmo­dum potentia ipſa; funes e­nim idem efficiunt, ac ſi tot eſſent potentiæ: orbiculi verò, ac ſi tot eſſent vectes.

8 Huius. Ex 6 huius Ex 8 huius Ex 8 Huius

COROLLARIVM

Ex his manifeſtum eſt orbiculos trochleæ, cui eſt alligatum pondus, efficere, vt pondus mino­re ſuſtineatur potentia, quàm ſit ipſum pondus; quod quidem trochleæ ſuperioris orbiculi non efficiunt.

Nouiſſe tamen oportet, quòd (vt fieri ſolet) inferioris trochleæ orbiculus, cuius centrum N, minor eſſe debet eo, cuius centrum C; hic autem minor adhuc eo, cuius centrum B; ac deniq; ſi plures fuerint orbiculi in trochlea inferiori ponderi alligata, ſemper cæteris maior eſſe debet, qui annexo ponderi eſt propinquior. oppoſito autem modo diſponendi ſunt in trochlea ſuperiori. quod fieri conſueuit, ne funes inuicem complicentur; nam quantùm ad orbiculos attinet, ſiue magni fuerint, ſiue parui, nihil refert; cùm ſemper idem ſequatur.

Præterea notandum eſt, quod etiam ex dictis facilè patet, ſi funis, ſiue religetur in R trochleæ inferiori, ſiue in S, maximam indè oriri differentiam inter potentiam, & pondus: nam ſi religetur in S, erit potentia in G ponderis ſubſexcupla. ſi verò in R, ſubſeptupla. quod trochleæ ſuperiori non contingit, quia ſiue religetur funis (vt in præcedenti figura) in T, ſiue in O; ſemper potentia in G ſubſexcupla erit ipſius ponderis.

Poſt hæc conſiderandum eſt, quonam modo vis moueat pondus; necnon potentiæ mouentis, ponderiſq; moti ſpatium, atque tempus.

PROPOSITIO X.

Si funis orbiculo trochleæ ſurſum appenſæ fuerit circumuolutus, cuius altero extremo ſit alligatum pondus; alteri autem mouens collocata ſit potentia: mouebit hæc vecte horizonti ſem­per æquidiſtante.

Sit pondus A, ſit orbiculus trochleæ ſurſum appenſæ' cuius centrum K; ſit deinde funis HBCDEF aligatus ponderi A in H, orbiculoq; circumductus; ſitq; trochlea ita in L appenſa, & nullum alium habeat motum præter liberam orbiculi circa axem verſionem; ſitq; potentia in F mouens pondus A. Dico potentiam in F ſemper mouere pondus A vecte horizonti æquidiſtante. ducatur BKE horizonti æquidiſtans; ſintq; BE puncta, vbi funes BH, & EF circulum tangunt; erit BkE vectis, cuius fulcimentum eſt in eius medio k. ſicut ſupra oſtenſum eſt. dum itaq; vis in F deorſum tendit verſus M, vectis EB mouebitur, cùm totus orbiculus moueatur,

hoc eſt circumuertatur. dum igitur F eſt in M, ſit punctum E vectis vſq; ad I motum; B autem vſq; ad C, ita vt vectis ſit in CI. fiat deinde NM æqualis ipſi FE: & quando punctum E erit in I, tunc funis punctum, quod erat in E, erit in N: quod autem erat in B erit in C; ita vt ducta CI per centrum K tranſeat. dum autem B eſt in C, ſit punctum H in G; eritq; BH ipſi CBG æqualis; cùm ſit idem funis. & quoniam dum EF tendit in NM, adhuc ſemper remanet EFM horizonti perpendicularis, circulumq; tangens in puncto E; ita vt ducta à puncto E per centrum k, ſit ſemper horizonti æquidiſtans. quod idem euenit funi BG, & puncto B. dum igitur circulus, ſiue orbiculus circumuertitur, ſemper mouetur vectis EB, ſemperq; adhuc remanet alius vectis in EB. ſiquidem ex ipſius rotulæ natura, in qua ſemper dum mouetur, remanet diameter ex B in E (quæ vectis vicem gerit) euenit, vt recedente vna, ſemper altera ſuccedat; eiuſmodi durante circumductione: atq; ita fit, vt potentia ſemper moueat pondus vecte EB horizonti æquidiſtante. quod demonſtrare opor­tebat.

1 Huius.

Iiſdem poſitis, ſpatium potentiæ pondus mouentis eſt æquale ſpatio eiuſdem ponderis moti.

Quoniam enim oſtenſum eſt, dum F eſt in M, pondus A, hoc eſt punctum H eſſe in G; & cùm funis HBCDEF ſit æqualis GBCDENFM, eſt enim idem funis; dempto igitur communi GBCDENF, erit HG ipſi FM æqualis. ſimiliterq; oſtende­tur, deſcenſum F ſemper æqualem eſſe aſcenſui H. ergo ſpatium potentiæ æquale eſt ſpatio ponderis. quod erat demonſtran­dum.

Præterea potentia idem pondus per æquale ſpatium in æquali tempore mouet, tàm fune hoc modo orbiculo trochleæ ſurſum appenſæ circumuoluto, quàm ſine trochlea: dummo­do ipſius potentiæ lationes in velocitate ſint æ­quales.

Iiſdem poſitis ſit aliud pondus P æquale ponderi A, cui alligatus ſit funis TQ horizonti perpendicularis; et ſit TQ ipſi HB æqualis; moueat〈qué〉 potentia in Q pondus P ſurſum ad rectos angulos horizonti, quem admodum mouetur pondus A. dico per æquale ſpatium in eodem tempore potentiam in Q pondus P, & potentiam in F pondus A mouere. quod idem eſt, ac ſi eſſet idem pondus in æquali tempore motum; ſicut propoſuimus. Pro­ducatur EF in S, & TQ in R; fiantq; QR FS non ſolum inter ſe ſe, verùm etiam ipſi BH æquales. Cùm autem TQ QR ſint ipſis HB FS æquales, & vis in Q moueat pondus P per rectam T QR; vis autem in F moueat A per rectam HB, & velocitates

motuum vtriuſq; potentiæ ſint æquales; tunc in eodem tempore potentia in Q erit in R, & potentia in F erit in S; cùm ſpatia ſint æqualia. ſed dum potentia in Q eſt in R, pondus P, hoc eſt punctum T erit in Q; cùm TQ ſit ipſi QR æqualis. & dum potentia in F eſt in S, pondus A, hoc eſt punctum H erit in B; ſed ſpatium TQ æquale eſt ſpatio HB, potentiæ ergo in FQ æquali ter motæ pondera PA æqualia per æqualia ſpatia in eodem tempore mouebunt. quod erat demonſtrandum

PROPOSITIO XI.

Si funis orbiculo trochleæ ponderi alligatæ fuerit circumuolutus, qui in altero eius extre­mo alicubi religetur, altero autem à potentia mouente pondus appræhenſo; vecte ſemper horizonti æquiſtante potentia mouebit.

Sit pondus A; Sit orbiculus. CED trochleæ ponderi A alli­gatæ ex kH; ſitq; KH ad rectos angulos horizonti, ita vt pon­dus ſemper trochleæ motum, ſi­ue ſurſum, ſiue deorſum factum ſequatur; ſitq; orbiculi centrum K; & funis orbiculo circumuo­lutus ſit BCDEF, qui relige­tur in B, ita vt in B immobilis maneat; & ſit potentia in F mo­uens pondus A. dico potentiam in F ſemper mouere pondus A vecte horizonti æquidiſtante. ſint BC EF inter ſe ſe, ipſiq; kH æ­quidiſtantes, & eiuſdem kH horizonti perpendiculares, tangenteſq; circulum CED in EC punctis; et connectatur EC, quæ per centrum k tranſibit, horizontiq; æquidiſtans erit; ſicuti prius dictum eſt. Quoniam enim orbiculus CED circa eius centrum K vertitur; ideo dum vis in F trahit ſurſum punctum E, deberet punctum C deſcendere, ac trahere deorſum B; ſed fu

nis in B eſt immobilis, & BC descendere non poteſt; quare dum potentia in F trahit ſurſum E, totus orbiculus ſurſum mouebitur; ac per conſequens tota trochlea, & pondus; & EkC erit tanquam vectis, cuius fulcimentum erit C; eſt enim punctum C propter BC ferè immobile, potentia verò mouens vectem eſt in F fune EF, & pondus in k appenſum. quòd ſi punctum C omnino fuerit immobile, moueaturq; vectis EC in NC; & diuidatur NC bifariam in L: erunt CL LN ipſis Ck KE æquales. quare ſi vectis EC eſſet in CN, punctum k eſſet in L; & ſi ducatur LM horizonti perpendicularis, quæ ſit etiam æqualis kH; eſſet pondus A, hoc eſt punctum H in M. ſed quoniam potentia in F dum tendit ſur­ſum mouendo orbiculum, ſemper mouetur ſuper rectam EFG, quæ ſemper eſt quoq; æquidiſtans BC; neceſſe erit orbiculum trochleæ ſemper inter li­neas EG BC eſſe: & centrum k, cum ſit in medio, ſuper rectam lineam HkT ſemper moueri. Itaq; ducatur per L linea PTLQ horizonti, & EC æquidiſtans, quæ ſecet Hk pro­ductam in T; & centro T, ſpatio verò TQ, circulus deſcriba
tur QRPS, qui æqualis erit circulo CED; & puncta PQ tangent funes FE BC in PQ punctis. rectangulum enim eſt PECQ, & PT TQ ipſis EK kC ſunt æquales. deinde per T ducatur R TS diameter circuli PQS æquidiſtans ipſi NC; fiat〈qué〉 TO æqua lis kH. dum autem centrum k motum erit vſq; ad lineam PQ, tunc centrum k erit in T. oſtenſum eſt enim centrum orbiculi ſuper rectam HT ſemper moueri. idcirco vt centrum k ſit in linea PQ ipſi EC æquidiſtante, neceſſe eſt vt ſit in T. & vt vectis EC eleuetur in angulo ECN, neceſſe eſt, vt ſit in RS, non au­tem in CN: angulus enim RSE angulo NCE eſt æqualis, & ſic fulcimentum C non eſt penitus immobile. cùm totus orbiculus ſurſum moueatur, toruſq; mutet totum locum; habet tamen C ratio nem fulcimenti, quia minus mouetur C, quàm k, & E: punctum enim E mouetur vſq; ad R, & K vſq; ad T, punctum verò C vſq; ad S tantùm. quare dum centrum K eſt in T, poſitio orbiculi erit QR PS: & pondus A. hoc eſt punctum H erit in O; cùm TO ſit æqualis kH; poſitio verò EC, ſcilicet vectis moti, erit RS, potentiaq; in F mota erit ſurſum per rectam EFG. eodem autem tempore, quo k erit in T, ſit potentia in G: dum autem vectis EC hoc modo mouetur, adhuc ſemper remanent GP BQ inter ſe ſe æ­quidiſtantes, atq; horizonti perpendiculares, ita vt vbi orbiculum tangunt, vt in punctis PQ; ſemper linea PQ erit diameter orbiculi, & tanquam vectis horizonti æquidiſtans. dum igitur orbi­culus mouetur, & circumuertitur, ſemper etiam mouetur vectis EC, & ſemper remanet alius vectis in orbiculo horizonti æquiſtans, vt PQ; ita vt potentia in F ſemper moueat pondus vecte horizonti æquidiſtante, cuius fulcimentum erit ſemper in linea CB; & pondus in medio vectis appenſum; potentiaq; in linea EG. quod erat oſtendendum.

Ex 1 huius Ex 2 huius Ex 34 primi. 29 Primi.

Iiſdem poſitis, ſpatium potentiæ pondus mouentis duplum eſt ſpatii eiuſdem ponderis moti.

Cùm enim oſtenſum ſit, dum k eſt in T, pondus A, hoc eſt punctum H eſſe in O, & in eodem etiam tempore potentiam in F eſſe in G: & quoniam funis BCDEF eſt æqualis funi BQS PG; funis enim eſt idem; & funis circa ſemicirculum CDE eſt æqualis funi circa ſemicirculum QSP; demptis igitur communibus BQ, & FP; erit reliquus FG ipſis CQ, & EP ſimul ſumptis æqualis. ſed EP ipſi TK eſt æqualis, & CQ ipſi quoq; Tk æqualis, ſunt enim Pk TC parallelogramma rectangula; quare lineæ EP CQ ſimul ipſius Tk duplæ erunt. funis igitur FC ipſius TK duplus erit. & quoniam kH eſt æqualis TO, dempto communi kO, erit kT ipſi HO æqualis; quare funis FG ipſius HO duplus erit; hoc eſt ſpatium potentiæ ſpatii ponderis duplum. quod erat demonſtrandum.

Potentia deinde idem pondus in æquali tem­pore per dimidium ſpatium mouebit fune circa orbiculum trochleæ ponderi alligatæ reuoluto, quàm ſine trochlea; dummodo ipſius potentiæ velocitates motuum ſint æquales.

Sit enim (iiſdem poſitis) aliud pondus V æqua le ponderi A, cui alligatus ſit funis 9X; ſitq; potentia in X mouens pondus V. dico ſi vtriuſq; potentiæ motuum velocitates ſint æquales, in eodem tempore potentiam in F mouere pondus A per dimidium ſpatium eius, per quod à potentia in X mouetur pondus V; quod idem eſt, ac ſi eſſet idem pondus in æquali tempore motum. Moueat potentia in X pondus V, potentiaq; perueniat in Y; ſitq; XY æqualis ipſi FG; & fiat YZ æqualis X9, ita vt quando potentia in X erit in Y, ſit pondus V, hoc eſt punctum 9 in Z. ſed 9 Z eſt æqualis FG,

cùm ſit æqualis XY; ergo 9 Z ipſius HO dupla erit. Itaq; dum potentiæ erunt in GY, pondera AV erunt in OZ. in eodem autem tempore erunt potentiæ in GY, ipſarum enim velocitates motuum ſunt æquales; quare vis in F pondus A in eodem tempore mouebit per dimidium ſpatium eius, per quod mouetur à potentia in X pondus V: & pondera ſunt æqualia; Potentia ergo idem pondus in æquali tempore per dimidium ſpatium mouebit fune, trochleaq; hoc modo ponderi alligata, quàm ſine trochlea; dum modo potentiæ motuum velocitates ſint æquales. quod erat de­monſtrandum.

PROPOSITIO XII.

Si funis circa plures reuoluatur orbiculos, al­tero eius extremo alicubi religato, altero au­tem à potentia pondus mouente detento; potentia vectibus horizonti ſemper æquidiſtantibus mouebit.

Sit pondus A, ſit orbiculus CED tro­chleæ ponderi alligatæ ex kS ad rectos angulos horizonti; ita vt pondus ſemper eius motum ſurſum, ac deorſum factum ſequa­tur. ſit deinde orbiculus circa centrum L trochleæ ſurſum appenſæ ſitq; funis circa orbiculos reuolutus BCDEHMNO, qui religatus ſit in B; ſitq; vis in O mouens pondus A mouendo ſe deorſum per OP. dico potentiam in O ſemper mouere pon­dus A vectibus horizonti ſemper æquidi­ſtantibus. ducatur NH per centrum L horizonti æquidiſtans, quæ erit vectis orbi­culi, cuius centrum eſt L. ducatur deinde EC per centrum k ſimiliter horizonti æqui diſtans, quæ etiam erit vectis orbiculi, cu­ius centrum eſt k. Moueatur potentia in O deorſum, quæ dum deorſum mouetur, vectem NH mouebit; & dum vectis moue­tur, N deorſum mouebitur, H verò ſur­ſum, vti ſupra dictum eſt. dum autem H mouetur ſurſum, mouet etiam ſurſum E; & vectem EC, cuius fulcimentum eſt C, ſed fulcimentum C non poteſt mouere deor­ſum B; ideo orbiculus, cuius centrum K, ſur

ſum mouebitur, & per conſequens trochlea, & pondus A; vt in præcedenti dictum eſt. & quoniam ob eandem cauſam in præce­dentibus aſsignatam in HN, & EC ſemper remanent vectes horizonti æquidiſtantes; potentia ergo mouens pondus A ſemper eum mouebit vectibus horizonti æquidiſtantibus. quod erat o­ſtendendum.

1, Et 10 Huius. 11 huius. 10 Huius.

Et ſi funis circa plures ſit reuolutus orbiculos; ſimiliter oſtende­tur, potentiam mouere pondus vectibus horizonti ſemper æqui­diſtantibus: & vectes orbiculorum trochleæ ſuperioris ſemper eſſe, vt HN, quorum fulcimenta erunt ſemper in medio: vectes au­tem orbiculorum trochleæ inferioris ſemper exiſtere, vt EC; quo­rum fulcimenta erunt in extremitatibus vectium.

Iiſdem poſitis, ſpatium potentiæ duplum eſt ſpatii ponderis.

Sit motum centrum K vſq; ad centrum R; & orbiculus ſit FTG. deinde per centrum R ducatur GF ipſi EC æquidiſtans: tangent funes EH CB orbiculum in GF punctis. fiat deniq; RQ æqua lis KS. dum igitur k erit in R; pondus A, ſcilicet punctum S erit in q. & dum centrum orbiculi eſt in R, ſit potentia in O mota in P. & quoniam funis BCDEHMNO eſt æqualis funi BFT GHMNP; eſt enim idem funis; & FTG æqualis eſt CDE; demptis igitur communibus BF, & GHMNO, erit reliquus OP ipſis FCEG ſimul ſumptis æqualis: & per conſequens duplus kR, & QS & cùm OP ſit ſpatium potentiæ motæ, & SQ ſpatium ponderis moti; erit ſpatium potentiæ duplum ſpatii ponderis. quod erat oſtendendum.

Præterea potentia idem pondus in æquali tempore per dimidium ſpatium mouebit fune circa duos orbiculos reuoluto, quorum vnus ſit trochleæ ſuperioris, alter verò ſit trochleæ ponderi alligatæ; quàm ſine trochleis: dummo­do ipſius potentiæ lationes ſint æqualiter ve­loces.

Iiſdem namq; poſitis, ſit pondus V æquale ipſi A, cui alliga­tus ſit funis X9; ſitq; potentia in X mouens pondus V; quæ dum pondus mouet, perueniat in Y: fiant 〈qué〉 XY Z9 ipſi OP æquales; erit Z9 dupla QS. & ſi vtriuſ­que potentiæ velocitates mo­tuum ſint æquales; patet pon­dus V duplum pertranſire ſpa­tium in eodem tempore eìus, quod pertranſit pondus A. in eodem enim tempore potentia in X peruenit ad Y, & potentia in O ad P; ponderaq; ſimiliter in Z Q. quod erat demonſtran­dum.

PROPOSITIO XIII.

Fune circa ſingulos duarum trochlearum orbiculos, quarum altera ſupernè, altera verò infernè, ponderiq; alligata fuerit, reuoluto; altero etiam eius extremo inferiori trochleæ re­ligata, altero autem à mouente potentia deten­to: erit decurſum trahentis potentiæ ſpatium, moti ponderis ſpatii triplum.

Sit pondus A; ſit BCD orbiculus trochleæ ponderi A ex EQ ſuſpenſo alligatæ; ſitq; orbiculi centrum E; ſit deinde FGH orbiculus trochleæ ſurſum appenſæ, cuius centrum k; ſitq; funis LFGHDCBM circa omnes reuolutus orbiculos, tro­chleæq; inferiori in L religatus: ſitq; in M potentia mouens. dico ſpatium de­curſum à potentia in M, dum mouet pondus, triplum eſſe ſpatii moti ponderis A. Moueatur potentia in M vſq; ad N; & centrum E ſit motum vſq; ad O; & L vſque ad P; atq; pondus A, hoc eſt pun­ctum Q vſq; ad R; orbiculuſq; motus, ſit TSV. ducantur per EO lineæ ST BD horizonti æquidiſtantes, quæ inter ſe ſe quoq; æquidiſtantes erunt. quoniam autem dum E eſt in O, punctum Q eſt in R; erit EQ æqualis OR, & EO ipſi QR æqualis; ſimiliter LQ æqualis erit PR, & L P ipſi QR æqualis. tres igitur QR EO LP inter ſe ſe æquales erunt; quibus etiam ſunt æquales BS DT. & quoniam funis LFGHDCBM æqualis eſt funi PF GHTVSN, cùm ſit idem funis, & qui circa ſemicirculum TVS eſt æqualis funi circa ſemicirculum BCD; demptis igitur communibus PFGHT' & SM; erit reliquus MN tribus BS LP DT ſimul ſumptis æqualis. BS verò LP DT ſimul tripli ſunt EO, & ex conſequenti QR.

ſpatium igitur MN translatæ potentiæ ſpatii QR ponderis moti triplum erit. quod erat demonſtrandum.

Tempus quoq; huius motus manifeſtum eſt, eadem enim potentia in æquali tempore ſpatio ſecundùm triplum ampliori ſine huiuſmodi trochleis idem pondus mouebit, quàm cum eiſdem hoc modo accomodatis. ſpatium ponderis ſine trochleis moti æquale eſt ſpatio potentiæ. & hoc modo in omnibus inueniemus tempus.

PROPOSITIO XIIII.

Fune circa tres duarum trochlearum orbiculos, quarum altera ſupernè vnico dumtaxat, al tera verò inſernè, duobus autem inſignita or­biculis, ponderiq́ue alligata fuerit, reuoluto; altero eius eſtremo alicubi religato, altero autem à potentia pondus mouente detento: erit decur­ſum trahentis potentiæ ſpatium moti ponderis ſpatii quadruplum.

Sit pondus A, ſint duo orbiculi, quorum cen­tra k I trochleæ ponderi alligatæ k a; ita vt pondus motum trochleæ ſurſum, & deorſum ſemper ſequatur: ſit deinde orbiculus, cuius centrum L, trochleæ ſurſum appenſæ in d; ſitq; funis circa omnes orbiculos circumuolutus BCDEFGHZMNO, religatuſq; in B; ſitq; potentia in O mouens pondus A. dico ſpatium, quod mouendo pertranſit potentia in O, qua­druplum eſſe ſpatii moti ponderis A. moueantur orbiculi trochleæ ponderi alligatæ; & dum centrum k eſt in R, centrum I ſit in S, & pondus A, hoc eſt punctum ain b: erunt IS kR abinter ſe ſe æquales, itemq; k I ipſi RS e­rit æqualis. orbiculi enim inter ſe ſe eandem ſemper ſeruant diſtantiam; & k aipſi R bæ­qualis erit. ducantur per orbiculorum centra lineæ FH QT EC VX NZ horizonti æquidiſtantes, quæ tangent funes in FHQTEC VX NZ punctis, & inter ſe ſe quoq; æquidiſtantes erunt: & EQ CT VN XZ non ſolum inter ſe ſe, ſed etiam ipſis IS KR abæquales erunt. & dum centra kI ſunt in RS, potentia in O ſit mota in P. & quoniam funis BCDEFGHZMNO eſt æqualis funi BT9 QFGHXYVP, eſt enim idem funis, & funes cir

ca T9Q XYV ſemicirculos ſunt æquales funibus, qui ſunt circa CDE ZMN; Demptis igitur communibus BT, QF GHX, & VO; erit OP æqualis ipſis VN XZ CT QE ſimul ſumptis. quatuor verò VN ZX CT QE ſunt inter ſe ſe æquales, & ſimul quadruplæ kR, & ab; quare OP quadrupla erit ipſius ab. ſpatium igitur potentiæ quadruplum eſt ſpatii ponderis. quod erat oſtendendum.

Et ſi funis in P circa alium adhuc reuoluatur orbiculum verſus d, potentia〈qué〉 mouendo ſe deorſum moueat ſurſum pondus; ſimi liter oſtendetur ſpatium potentiæ quadruplum eſſe ſpatii ponderis.

Si verò funis in B circumuoluatur alteri orbiculo, qui deinde trochleæ in­feriori religetur; erit potentia in O ſuſtinens pondus A ſubquintupla ponderis. & ſi in O ſit potentia mouens pondus A; ſimiliter demonſtrabitur ſpatium potentiæ in O quintuplum eſſe ſpatii ponderis A.

Et ſi funis ita circa orbiculos apte­tur, vt potentia in O ſuſtinens pon­dus ſit ponderis ſubſextupla; & loco potentiæ ſuſtinentis ponatur in O po­tentia mouens pondus: eodem modo oſtendetur ſpatium potentiæ ſextu­plum eſſe ſpatii ponderis moti. & ſic procedendo in infinitum proportiones ſpatii potentiæ ad ſpatium ponderis moti quotcunq; multiplices inuenien­tur.

9 Huius.

COROLLARIVM I.

Ex his manifeſtum eſt ita ſe habere pondus ad potentiam ipſum ſuſtinentem, ſicuti ſpatium potentiæ mouentis ad ſpatium ponderis moti.

Vt ſi pondus A quintuplum ſit potentiæ in O pondus A ſuſti­nentis; erit & ſpatium OP potentiæ pondus mouentis quintuplum ſpatii abponderis moti.

COROLLARIVM II.

Patet etiam per ea, quæ dicta ſunt, orbiculos trochleæ, quæ ponderi eſt alligata, efficere; vt à moto pondere minus, quàm à trahente poten­tia deſcribatur ſpatium; maioriq; tempore datum æquale ſpatium deſcribi, quàm ſine illis. quod quidem orbiculi trochleæ ſuperioris non effi­ciunt.

Multiplici oſtenſa ponderis ad potentiam proportione, iam ex aduerſo potentiæ ad pondus proportio multiplex oſtendatur.

PROPOSITIO XV.

Si funis orbiculo trochleæ à potentia ſurſum detentæ fuerit circumuolutus; altero eius extre­mo alicubi religato, alteri verò pondere appenſo; dupla erit ponderis potentia.

Sit trochlea habens orbiculum, cuius centrum A; & ſit pondus B alligatum funi CDEFG, qui circa orbiculum ſit re­uolutus, ac tandem religatus in G: ſitq; potentia in H ſuſtinens pondus. dico potentiam in H duplam eſſe ponderis B. ducatur DF per centrum A horizonti æquidiſtans. quoniam igitur potentia in H ſuſtinet trochleam, quæ ſuſtinet orbiculum in eius centroA, qui pondus ſuſtinet; erit potentia ſuſtinens orbiculum, ac ſi in A conſtituta eſſet; ipſa ergo in A exiſtente, pondere verò in D appenſo, funiq; CD religato; erit DF tanquam vectis, cuius fulcimentum erit F, pondus in D, & potentia in A. po­tentia verò ad pondus eſt, vt DF ad ad FA, & DF dupla eſt ipſius FA; Po­

tentia igitur in A, ſiue in H, quod idem eſt, ponderis B dupla erit. quod demonſtrare oportebat.

3 Huius. de vecte.

Præterea conſiderandum occurrit, cùm hæc omnia maneant, idem eſſe vnico exiſtente fune CD EFG hoc modo orbiculo circumuoluto, ac ſi duo eſſent funes CD FG in vecte ſiue libra DF al­ligati.

ALITER.

Iiſdem poſitis, ſi in G appenſum eſſet pondus k æquale pon­deri B, pondera B k æqueponderabunt in libra DF, cuius centrum A. potentia verò in H ſuſtinens pondera Bk eſt ipſis ſimul ſumptis æqualis, & pondera BK ipſius B ſunt dupla; potentia ergo in H ponderis B dupla erit. & quoniam funis religatus in G nihil a­liud efficit, niſi quòd pondus B ſuſtinet, ne deſcendat; quod idem efficit pondus k in G appenſum: potentia igitur in H ſuſtinens pondus B, fune religato in G, dupla eſt ponderis B. quod de­monſtrare oportebat.

PROPOSITIO XVI.

Iiſdem poſitis ſi in H ſit potentia mouens pondus, mouebit hæc eadem vecte horizonti ſem­per æquidiſtante.

Hoc etiam (ſicut in ſuperioribus dictum eſt) oſtendetur. moueatur enim orbiculus ſurſum, poſitionemq; habeat MNO, cuius centrum L: & per L ducatur MLO ipſi DF, & horizonti æquidiſtans. & quoniam funes tangunt circulum MON in punctis MO; ideo cùm potentia in A, ſeu in H, quod idem eſt, moueat pondus B in D appenſum vecte DF, cuius fulcimentum eſt F; ſemper adhuc remanebit alius vectis, vt MO horizonti æquidiſtans, ita vt ſemper potentia moueat pondus vecte horizonti æquidiſtante, cuius fulcimentum eſt ſemper in linea OG, & pondus in MC, potentiaq; in centro orbiculi.

Iiſdem poſitis, ſpatium ponderis moti duplum eſt ſpatii potentiæ mouentis.

Sit motus orbiculus à centro A vſq; ad centrum L; & pondus B, hoc eſt punctum C, in eodem tem­pore ſit motum in P; & potentia in H vſq; ad K; erit AH ipſi LK æqua lis, & AL ipſi Hk. & quoniam funis CDEFG eſt æqualis funi PM NOG, idem enim eſt funis, & fu nis circa ſemicirculum MNO æ­qualis eſt funi circa ſemicirculum DEF; demptis igitur communi­bus DP FG, erit PC æqualis DM FO ſimul ſumptis, qui funes ſunt dupli ipſius AL, & conſequen­ter ipſius Hk. ſpatium ergo ponderis moti CP duplum eſt ſpatii Hk potentiæ. quod oportebat de­monſtrare.

COROLLARIVM

Ex hoc manifeſtum eſt, idem pondus trahi ab eadem potentia in æquali tempore per du­plum ſpatium trochlea hoc modo accommodata, quàm ſine trochlea; dummodo ipſius potentiæ lationes in velocitate ſint æquales.

Spatium enim ponderis moti ſine trochlea æquale eſt ſpatio potentiæ.

Si autem funis in G circa alium reuoluatur orbiculum, cuius centrum k; ſitq; huiuſmodi orbiculi trochlea deorſum affixa, quæ nullum alium habeat motum, niſi liberam orbi culi circa axem reuolutionem; funiſq; religetur in M; erit potentia in H ſuſtinens pondus B ſimiliter ipſius ponderis dupla. quod qui dem manifeſtum eſt, cùm idem prorſus ſit, ſiue funis ſit religatus in M, ſiue in G. orbiculus enim, cuius centrum k, nihil efficit; penituſ〈qué〉 inutilis eſt.

Si verò ſit potentia in M ſuſtinens pondus B, & trochlea ſuperior ſit ſurſum appenſa; erit potentia in M æqualis ponderi B.

Quoniam enim potentia in G ſuſtinens pondus B æqualis eſt ponderi B, & ipſi potentiæ in G æqualis eſt potentia in L; eſt enim GL vectis, cuius fulcimentum eſt k; & diſtantia Gk diſtantiæ kL eſt æqualis; erit igitur potentia in L, ſiue (quod idem eſt) in M, ponderi B æqualis.

1 Huius.

Huiuſmodi autem motus fit vectibus DF LG, quorum fulcimenta ſunt kA, & pondus in D, & potentia in F. ſed in vecte LG potentia eſt in L, pondus verò, ac ſi eſſet in G.

Si deinde in M ſit potentia mouens pondus, transferaturq; potentia in N, pondus autem motum fuerit vſq; ad O; erit MN ſpatium potentiæ æquale ſpatio CO ponderis. Cùm enim funis MLGFDC æqualis ſit funi NLGFDO. eſt enim idem funis; dempto communi MLGFDO; erit ſpatium MN potentiæ æ­quale ſpatio CO ponderis.

Et ſi funis in M circa plures reuoluatur orbiculos, ſemper erit potentia altero eius extremo pondus ſuſtinens æqualis ipſi ponderi. ſpatiaq; ponderis, atq; potentiæ mouentis ſemper oſtendentur æqualia.

PROPOSITIO XVII.

Si vtriſq; duarum trochlearum ſingulis orbiculis, quarum vna ſupernè à potentia ſuſtineatur, altera verò infernè, ibiq; affixa, conſtituta fue­rit, funis circumducatur; altero eius extremo ſuperiori trochleæ religato, alteri verò pondere appenſo; tripla erit ponderis potentia.

Sit orbiculus, cuius centrum A, tro­chleæ infernè affixæ; & ſit funis BCD EFG non ſolum huic orbiculo circumuolutus, verùm etiam orbiculo trochleæ ſu­perioris, cuius centrum k; ſitq; funis in B ſuperiori trochleæ religatus; & in G ſit appenſum pondus H; potentiaq; in L ſuſtineat pondus H. dico potentiam in L tri­plam eſſe ponderis H. ſi enim duæ eſſent potentiæ pondus H sustinentes, vna in K, altera in B, erunt vtræq; ſimul triplæ ponderis H potentia enim in k dupla eſt ponderis H, & potentia in B ipſi ponderi æqualis. & quoniam ſola potentia in L vtriſq; ſcilicet potentiæ in KB eſt æqua­lis. ſuſtinet enim potentia in L; tùm po­tentiam in K, tùm potentiam in B; idem〈qué〉 efficit potentia in L, ac ſi duæ eſſent potentiæ, vna in k, altera in B: Tri­pla igitur erit potentia in L ponderis H. quod demonſtrare oportebat.

Si autem in L ſit potentia mouens pondus. dico ſpatium ponderis moti triplum eſſe ſpatii po­tentiæ motæ.

15 Huius. In præcedenti.

Moueatur centrum or­biculi K vſq; ad M; cuius quidem motus ſpatium motæ potentiæ ſpatio eſt æquale, ſicuti ſupra dictum eſt: & quando k erit in M, B erit in N; & NB æqualis erit M k; & dum k eſt in M, ſit pondus H, hoc eſt punctum G motum in O; & per MK ducantur EF PQ horizonti æquidiſtantes; erit vnaquæq; EP BN FQ ipſi KM æqualis. & quoniam funis BCDEFG æqualis eſt funi NCDPQO; idem enim eſt funis; & fu­nis circa ſemicirculum ER F æqualis eſt funi circa ſe­micirculum PSQ: dem­ptis igitur communibus BCDE, & FO, erit OG tribus QF NB PE ſimul ſumptis æqualis. ſed QF NB PE ſimul triplæ ſunt Mk, hoc eſt ſpatii poten­tiæ motæ; ſpatium ergo GO ponderis H moti tri­

plum eſt ſpatii potentiæ motæ. quod oſtendere oportebat.

In præcedenti.

PROPOSITIO XVIII.

Si vtriuſq; duarum trochlearum binis orbiculis, quarum altera ſupernè à potentia ſuſtineatur, altera verò infernè, ibiq; annexa, collocata fue­rit, funis circumnectatur; altero eius extremo alicubi, non autem ſuperiori trochleæ religato, alteri verò pondere appenſo; quadrupla erit ponderis potentia.

Sit trochlea inferior, duos habens orbiculos, quorum centra AB; ſit 〈qué〉 trochlea ſuperior duos ſimiliter habens orbiculos, quorum cen­tra CD; funiſq; EFGHKLMNOP ſit cir­ca omnes orbiculos reuolutus, qui ſit religatus in E; & in P appendatur pondus Q; ſitq; po­tentia in R. dico potentiam in R quadruplam eſſe ponderis q. Cùm enim ſi duæ intelligantur potentiæ, vna in k, altera in D, potentia in k ſuſtinens pondus Q fune k LMNOP æ­qualis erit ponderi; erunt duæ ſimul potentiæ, vna in D, altera in k, pondus Q ſuſtinentes, triplæ eiuſdem ponderis. Potentia verò in C dupla eſt potentiæ in k, & per conſequens ponderis Q; idem enim eſt, ac ſi in k appenſum eſſet pondus æquale ponderi Q, cuius dupla eſt potentia in C; duæ igitur potentiæ in DC qua­druplæ ſunt ponderis q. & cùm potentia in R orbiculis ſuſtineat pondus Q, erit potentia in R, ac ſi duæ eſſent potentiæ, vna in D, altera in C, & vtræq; ſimul pondus Q ſuſtinerent. ergo po­tentia in R quadrupla eſt ponderis q. quod oportebat demonſtrare.

COROLLARIVM

16 Huius. 15 Huius.

Ex quo patet, ſi funis fuerit religatus in G, & circa orbiculos, quorum centra ſunt BCD reuo­lutus; potentiam in R pondus ſuſtinentem ſimili­ter ponderis Q quadruplam eſſe. orbiculus enim, cuius centrum A, nihil efficit.

Si autem in R ſit potentia mouens pondus. dico ſpatium ponderis moti quadruplum eſſe ſpatii potentiæ.

Moueantur centra CD orbiculorum vſq; ad ST; erunt ex ſuperius dictis CS DT ſpatio potentiæ æqualia; & per CSDT ducantur Hk VX NO YZ horizonti æquidiſtantes; & dumcentra CD ſunt in ST, ſit pondus Q, hoc eſt punctum P motum in 9. & quoniam funis EF GHKLMNOP æqualis eſt funi EFGVX LMYZ 9; cùm ſit idem funis: & funes circa ſemicirculos NIO H ak ſunt æquales funi­bus, qui ſunt circa ſemicirculos YdZ VbX; demptis igitur communibus EFGH kLMN & O9; erit P9 ipſis NY ZO VH Xk ſi­mul ſumptis æqualis. quatuor autem NY ZO VH Xk ſimul quadrupli ſunt DT, hoc eſt ſpatii potentiæ; ſpatium igitur P9 ponderis quadruplum eſt ſpatii potentiæ quod demonſtrandum fuerat.

Si autem funis ſit re­ligatus in E trochleæ ſuperiori, & potentia in R ſuſtineat pondus Q; e­rit potentia in R ponderis Q quintupla. & ſi in R ſit potentia mouens pondus; erit ſpatium ponderis moti quintuplum ſpatii potentiæ. quæ om­nia ſimili modo oſten­dentur, ſicut in præce­dentibus demonſtra­tum eſt.

Si verò potentia in R ſubſtineat pon­dus Q trochlea tres orbiculos habente, quorum centra ſint ABC; & ſit alia trochlea infernè affixa duos, vel tres orbicu­los habens, quorum centra DEF; ſitq; funis circa omnes orbiculos reuolutus, ſi­ue in G, ſiue in H religatus; ſimiliter oſtendetur potentiam in R ſexcuplam eſſe ponderis q. Et ſi in R ſit potentia mouens pondus, oſtendetur ſpatium ponderis moti ſexcuplum eſſe ſpatii poten­tiæ.

Et ſi funis ſit religatus in K trochleæ ſuperiori, & in R ſit potentia pondus ſuſtinens; ſimili modo oſtendetur potentiam in R ſeptuplam eſſe ponderis q.

Et ſi in R ſit potentia mouens, oſten detur ſpatium ponderis Q ſeptuplum eſſe ſpatii potentiæ. atq; ita in infinitum omnis potentiæ ad pondus multiplex proportio inueniri poterit. ſemperq; o­ſtendetur, ita eſſe pondus ad potentiam ipſum ſuſtinentem, ſicuti ſpatium potentiæ pondus mouentis ad ſpatium ponde­ris moti.

Vectium autem ipſorum orbiculorum motus in his fit hoc modo, videlicet vectes orbiculorum trochleæ ſuperioris mouentur, vti dictum eſt in decima ſexta huius; hoc eſt habent fulcimentum in extremitate, potentiam in medio, pondus in altera extremitate appenſum. vectes verò trochleæ inferioris habent fulcimentum in medio, pondus, & potentiam in extremitatibus.

COROLLARIVM

Manifeſtum eſt in his, orbiculos trochleæ ſuperioris efficere, vt pondus moueatur maiori potentia, quàm ſit ipſum pondus, & per maius ſpatium potentiæ ſpatio, & per æquale tempo­re minori; quod quidem orbiculi trochleæ in­ferioris non efficiunt.

Alio quoq; modo hanc potentiæ ad pondus multiplicem proportionem inuenire poſſumus.

PROPOSITIO XVIIII.

Si vtriuſq; duarum trochlearum ſingulis orbi culis, quarum altera ſupernè appenſa, altera ve­rò infernè à ſuſtinente potentia retenta fuerit, funis circumuoluatur; altero eius extremo alicubi religato, alteri autem pondere appenſo; du­pla erit ponderis potentia.

Sit orbiculus trochleæ ſupernè appenſæ, cuius centrum ſit A; & BCD ſit trochleæ inferioris; ſit deinde funis EBC DFGHL reli­gatus in E; & in L ſit appenſum pondus M; ſitq; potentia in N ſuſtinens pondus M. dico potentiam in N duplam eſſe ponderis M. Cùm enim ſupra oſtenſum ſit potentiam in L, quæ pondus, exempli gratia, O ſuſti­neat in N appenſum, ſubduplam eſſe eiuſdem ponderis; potentia igitur in N ponderi O æ­qualis pondus M potentiæ in L æquale ſuſtinebit; ponderiſq; M dupla erit. quod demonſtrare oportebat.

3 Huius.

ALITER.

Iiſdem poſitis. Quoniam potentia in F, ſeu in D, quod idem eſt, æqualis eſt ponderi M; & BD eſt vectis, cuius fulcimentum eſt B, & potentia in N eſt, ac ſi eſſet in me­dio vectis, & pondus æquale ipſi M, ac ſi eſ­ſet in D propter funem FD; quod idem eſt, ac ſi BCD eſſet orbiculus trochleæ ſuperioris, pondusq; appenſum eſſet in fune DF, ſicut in decimaquinta, & decimaſexta dictum eſt; ergo potentia in N dupla eſt ponderis M. quod erat oſtendendum.

1 Huius.

Si autem in N ſit potentia mouens pondus M, erit ſpatium ponderis M duplum ſpatii potentiæ in N. quod ex duodecima huius manifeſtum eſt; ſpatium enim puncti L deorſum ten­dentis duplum eſt ſpatii N ſurſum; erit igitur è conuerſo ſpatium potentiæ in N deorſum tendentis dimidium spatii ponderis M ſurſum moti.

Sicut autem ex tertia, quinta, ſeptima huius, &c. colligi poſſunt ponderis O rationes quotcunq; multiplices ipſius potentiæ in L, eodem quoq; modo oſtendi poterunt potentiæ in N pondus ſuſtinentis ponderis M quotcunq; multiplices. Atq; ita ex decimatertia decimaquarta rationes oſtendentur quotcunq; multiplices ſpatii ponderis M ad ſpatium potentiæ mouentis in N conſtitutæ.

Poterit quoq; ex decimaſeptima decimaoctaua huius multiplex inueniri proportio, quam habet potentia pondus ſuſtinens ad ipſum pondus; ſicut proportio potentiæ in N ad pondus M ex decimaquinta, & decimaſexta oſtendebatur: inuenieturq; ita eſſe pondus ad potentiam pondus ſuſtinentem, vt ſpatium potentiæ mouentis ad ſpatium ponderis.

Vectium motus in his fit hoc modo, videlicet vectes orbiculorum trochleæ inferioris mouentur, vt vectis BD, quæ mouetur, ac ſi B eſſet fulcimen tum, & pondus in D, & potentia in medio. Vectes verò orbiculorum trochleæ ſuperioris mouentur, vt FH, cuius fulcimen tum eſt in medio, pondus in H, & potentia in F.

COROLLARIVM.

Ex hoc manifeſtum eſt, orbiculos trochleæ inferioris in his efficere, vt pondus maiori po­tentia moueatur, quàm ſit ipſum pondus, & per maius ſpatium ſpatio potentiæ, & minori tempore per æquale. quod quidem orbiculi ſuperioris trochleæ non efficiunt.

Cognitis proportionibus multiplicibus, iam ad ſuperparticulares accedendum eſt.

PROPOSITIO XX.

Si vtriuſq; duarum trochlearum ſingulis or­biculis, quarum altera ſupernè à potentia ſuſti­neatur, altera verò infernè, ponderiq; alligata, conſtituta fuerit, funis reuoluatur; altero eius extremo alicuibi, altero verò inferiori trochleæ religato; pondus potentiæ ſeſquialterum erit.

Sit ABC orbiculus trochleæ ſuperioris, & DEF trochleæ inferio­ris ponderi G alligatæ; ſitq; funis HABCDE Fk circa orbiculos re­uolutus, qui ſit religatus in K, & in H trochleæ inferiori; ſitq; potentia in L ſuſtinens pondus G. dico pondus potentiæ ſeſquialterum eſſe. Quoniam enim vterque funis CD AH tertiam ſuſtinet partem ponde­ris G, erit vnaquæq; potentia in DH ſubtripla ponderis G; quibus ſi­mul aſſumptis eſt æqua­

lis potentia in L: potentia enim in L dupla eſt potentiæ in D, & eius, quæ eſt in H. quare potentia in L ſubſeſquialtera eſt ponde­ris G. pondus ergo G ad pontentiam in L eſt, vt tria ad duo; hoc eſt ſeſquialterum. quod demonſtrare oportebat.

Cor. 5 huius. Ex. 15 huius.

Si autem in L ſit potentia mouens pondus. Dico ſpatium potentiæ ſpatii ponderis ſeſquial­terum eſſe.

Iiſdem poſitis, perueniat orbi­culus ABC vſq; ad MNO, & DEF ad PQR; & H in S; & pondus G vſq; ad T. Et quoniam funis HABCDEFK eſt æqualis funi SMNOPQRk, cùm ſit idem funis; & funes circa ſemicirculos ABC MNO ſunt inter ſe ſe æquales; qui verò ſunt circa DEF PQR ſimiliter inter ſe æ­quales; Demptis igitur AS CP RK communibus, erunt duo CO MA tribus DP HS FR æqua­les. ſed vterq; CO AM ſeorſum eſt æqualis ſpatio potentiæ motæ. quare duo CO MA, ſimul ſpatii potentiæ dupli erunt: treſq; DP HS FR ſimul ſimili modo ſpatii ponderis moti tripli erunt. dimidia verò pars, hoc eſt ſpatium potentiæ motæ ad tertiam, ad ſpatium ſcilicet ponderis moti ita ſe habet, vt duplum dimidii ad duplum ter­tii; hoc eſt, vt totum ad duas ter

tias, quod eſt vt tria ad duo. ſpatium ergo potentiæ in L ſpa­tii ponderis G moti ſeſquialterum eſt. quod oſtendere opor­tebat.

PROPOSITIO XXI.

Si tribus duarum trochlearum orbiculis, quarum altera vnius tantùm orbiculi ſupernè à po­tentia ſuſtineatur, altera verò duorum infernè, ponderiq; alligata, collocata fuerit, funis cir­cumuoluatur; altero eius extremo alicubi, altero autem ſuperiori trochleæ religato: pondus potentiæ ſeſquitertium erit.

Sit pondus A trochleæ inferiori alliga­tum, quæ duos habeat orbiculos, quorum centra ſint BC; ſuperiorq; trochlea orbicu­lum habeat, cuius centrum D; & ſit funis EFGHkLMN circa omnes orbiculos reuolutus, qui religatus ſit in N, & in E trochleæ ſuperiori; ſit〈qué〉 potentia in O ſuſtinens pondus A. dico pondus po­tentiæ ſeſquitertium eſſe. Quoniam enim vnuſquiſq; funis NM HG EF KL quar­tam ſuſtinent partem ponderis A, & omnes ſimul totum ſuſtinent pondus; tres HG EF kL ſimul tres ſuſtinebunt partes pon­deris A. quare pondus A ad hos omnes ſimul erit, vt quatuor ad tria: & cùm po­tentia in O idem efficiat, quod HG EF kL ſimul efficiunt; omnes enim ſuſtinet; erit potentia in O tribus ſimul HG EF kL æ­qualis; & ob id pondus A ad potentiam in O erit, vt quatuor ad tria; hoc eſt ſeſquitertium. quod demonſtrare oportebat.

Si vero in O ſit potentia mouens pondus A. Dico ſpatium potentiæ in O decurſum ſpatii ponderis A moti ſeſquitertium eſſe.

Cor. 1 ſeptimebuius.

Iiſdem poſitis, ſit centrum B motum in P; &C vſq; ad Q; & D in R; & E in S eodem tempore: & per centra ducantur ML 9Z FG TV Hk XY horizonti, & inter ſe ſe æquidiſtantes. Similiter, vt in præcedente oſtendetur tres XH SE Yk quatuor TG VF ZL 9M æquales eſſe. & quoniam tres XH SE Yk ſimul triplæ ſunt ſpatii potentiæ, quatuor verò TG VF ZL 9M ſimul quadruplæ ſunt ſpatii ponderis moti; erit ſpatium potentiæ ad ſpa­tium ponderis, vt tertia pars ad quartam. ſed tertia pars ad quartam eſt, vt tres tertiæ ad tres quartas, hoc eſt, vt totum ad tres quartas; quod eſt, vt quatuor ad tria. ſpatium ergo potentiæ ſpatii ponderis moti ſeſquitertium eſt. quod erat demon­ſtrandum.

Si verò funis in E per alium circumuoluatur orbiculum, qui deinde trochleæ in feriori religetur; ſimiliter oſtendetur pro portionem ponderis ad potentiam in O pondus ſuſtinentem ſeſquiquartam eſſe. quòd ſi in O ſit potentia mouens pondus, oſten detur ſpatium potentiæ ſpatii ponderis ſeſquiquartum eſſe. & ſic in infinitum procedendo quamcunq; ſuperparticularem pro portionem ponderis ad potentiam inueniemus; ſemperq; reperiemus, ita eſſe pondus ad potentiam pondus ſuſtinentem, vt ſpa­tium potentiæ mouentis ad ſpatium ponde­ris moti.

Motus verò vectium fit hoc mo do, videlicet vectis ML fulci­mentum eſt M, cùm funis ſit re ligatus in N, & pondus in me­dio, & potentia in L. ve­rò punctum L tendit ſurſum, quod à fune KL mouetur, idcirco K ſur­ſum mouebitur, & vectis HK fulcimentum erit H, pondus ac ſi eſſent in k, & potentia in medio; vectis autem FG fulcimentum erit G, pondus in medio; & potentia in F. punctum enim F ſurſum mouetur à fune EF. Præterea G in orbiculo deorſum tendit, quia H quoque in eius orbiculo deorſum mouetur.

PROPOSITIO XXII.

Si vtriſque duarum trochlearum ſingulis orbiculis, quarum altera ſupernè à potentia ſuſtineatur, altera verò infernè, ponderiq; alli­gata, collocata fuerit, circumducatur funis; al­tero eius extremo alicubi, altero autem ſuperiori trochleæ religato. erit potentia ponderis ſeſquialtera.

Sit orbiculus ABC trochleæ ponderi D al ligatæ; & EFG trochleæ ſuperioris, cuius centrum H; ſit deinde funis k ABCEFGL circa orbiculos reuolutus, & religatus in L, & in k trochleæ ſuperiori; ſitq; potentia in M ſuſtinens pondus D. dico potentiam ponderis ſeſquialteram eſſe. Quoniam enim potentia in E ſuſtinens pondus D ſubdupla eſt ponderis D, potentiæ verò in E dupla eſt potentia in H; erit potentia in H ponderi D æqua lis; & cùm potentia in K ſubdupla ſit ponderis D; erunt vtræq; ſimul potentiæ in H k ſeſquialteræ ponderis D. Itaq; cùm potentia in M duabus potentiis in Hk ſimul ſumptis ſit æqualis, quemadmodum in ſuperioribus o­ſtenſum eſt; erit potentia in M ſeſquialtera ponderis D. quod oportebat demonſtrare.

2 Huius. Ex 15 huius. 2 Cor. 2 Huius.

Si verò in M ſit potentia mouens pondus, ſimiliter vt in præcedentibus oſtendetur, ſpatium ponderis ſpatii potentiæ ſeſquialterum eſſe.

Et ſi funis in K per alium circumuoluatur orbiculum, cuius centrum ſit N; qui dein­de trochleæ inferiori religetur in O; & po­tentia in M ſuſtineat pondus D. dico pro­portionem potentiæ ad pondus ſeſquiter­tiam eſſe.

Quoniam enim potentia in E ſuſtinens pondus D fune ECB AKPO ſubtripla eſt ipſius D, ipſius autem E dupla eſt potentia in H; erit potentia in H ſubſeſquialtera ponderis D. ſimili quoq; modo quoniam potentia in O, quæ eſt, ac ſi eſſet in centro orbiculi ABC, ſubtripla eſt ponderis D; ip­ſius autem O dupla eſt potentia in N; erit quoq; potentia in N ſubſeſquialtera ponde­ris D. quare duæ ſimul potentiæ in HN pondus D ſuperant tertia parte, ſe ſe habentq; ad D in ratione ſeſquitertia: & cùm potentia in M duabus ſit potentiis in HN ſimul ſumptis æqualis, ſuperabit itidem potentia in M pondus D tertia parte. ergo proportio potentiæ in M ad pondus D ſeſquitertia eſt. quod demonſtrare oportebat.

5 Huius. Ex 15 huius. 3, 15,Huius.

Si autem in M ſit potentia mouens pon­dus, ſimili modo oſtendetur ſpatium ponderis D ſpatii potentiæ in M ſeſquitertium eſſe.

Et ſi funis in O per alium circumuoluatur orbiculum, qui tro­chleæ ſuperiori deinde religetur; eodem modo demonſtrabimus proportionem potentiæ in M pondus ſuſtinentis ad pondus ſeſ­quiquartam eſſe. & ſi in M ſit potentia mouens, ſimiliter oſten­detur ſpatium ponderis ſpatii potentiæ ſeſquiquartum eſſe. pro­cedendoq; hoc modo in infinitum quamcunq; proportionem potentiæ ad pondus ſuperparticularem inueniemus; ſemper〈qué〉 oſtendemus potentiam pondus ſuſtinentem ita eſſe ad pondus, vt ſpatium ponderis ad ſpatium potentiæ pondus mouentis.

Motus verò vectis EG eſt, ac ſi G eſſet fulcimentum, cùm funis ſit religatus in L; pondus ac ſi in E eſſet appenſum, & po­tentia in medio. Vectis verò CA fulcimentum eſt A pondus in medio, & potentia in C. & K fulcimentum eſt vectis Pk, pon­dus in P, & potentia in medio. quæ omnia ſicut in præceden­ti oſtendentur.

PROPOSITIO XXIII.

Si vtriſq; duarum trochlearum ſingulis or­biculis, quarum altera ſupernè à potentia ſuſti­neatur, altera verò infernè, ponderiq; alligata, conſtituta fuerit, circumferatur funis; vtroq; eius extremo alicuibi, non autem trochleis religato; æqualis erit ponderi potentia.

Sit orbiculus trochleæ ſuperioris ABC, cuius centrum D; & EFG trochleæ ponderi H alligatæ, cu­ius centrum k; & ſit funis LEF GABCM circa orbiculos reuo­lutus, religatuſq; in LM; ſitq; potentia in N ſuſtinens pondus H. dico potentiam in N æqualem eſſe ponderi H. Accipiatur quoduis punctum O in AG. & quoniam ſi in O eſſet potentia ſuſtinens pondus H, ſubdupla eſſet ponderis H, & potentiæ in O dupla eſt ea, quæ eſt in D, ſiue (quod idem eſt) in N; erit potentia in N ponderi H æqualis. quod demonſtrare oportebat.

Et ſi in N ſit potentia mouens pondus. Dico ſpatium potentiæ in N æqualem eſſe ſpatio ponderis H moti.

2 Huius. Ex 15 huius.

Quoniam enim ſpatium puncti O moti, duplum eſt, tùm ſpatii ponderis H moti, tùm ſpatii potentiæ in N motæ; erit ſpatium potentiæ in N ſpatio ponderis H æquale.

11 Huius. 16 Huius.

ALITER.

Iiſdem poſitis, transferatur centrum orbiculi ABC vſq; ad P; orbiculuſq; poſitionem habeat QRS; deinde eodem tempore orbiculus EFG ſit in TVX, cuius centrum ſit Y; & pondus peruenerit in Z. ducantur per orbiculorum centra lineæ GE TX AC QS horizonti æqui diſtantes. & ſicut in aliis demonſtratum fuit, duo fu­nes AQ CS duobus XG TE æquales erunt; ſed AQ CS ſimul dupli ſunt ſpatii potentiæ motæ; & duo XG TE ſimul ſunt ſimiliter dupli ſpatii ponderis; erit igitur ſpatiumpotentiæ ſpatio ponderis æ­quale. quod demonſtrare o­portebat.

Quod etiam ſi vtraq; trochlea duos habuerit orbiculos, quorum centra ſint ABCD, funiſq; per omnes circumuoluatur, qui in LM religetur; ſimiliter oſtendetur potentiam in N æqualem eſſe ponderi H. vnaquæq; enim potentia in EF ſuſtinens pon­dus ſubquadrupla eſt ponderis; & potentiæ in CD duplæ ſunt earum, quæ ſunt in EF; erit vnaquæq; po­tentia in CD ſubdupla ponderis H. quare potentiæ in CD ſimul ſumptæ ponderi H erunt æquales. & quo­niam potentia in N duabus in CD pontentiis eſt æqualis; erit potentia in N ponderi H, æqualis.

Et ſi in N ſit potentia mouens, ſi mili modo oſtendetur, ſpatium po­tentiæ æquale eſſe ſpatio ponderis.

Si autem vtraq; trochlea tres, vel quatuor, vel quotcunq; habeat orbi­culos; ſemper oſtendetur potentiam in N æqualem eſſe ponderi H; & ſpatium potentiæ pondus mouentis æ­quale eſſe ſpatio ponderis moti.

Vectium autem motus hoc pacto ſe habent; orbiculorum qui dem trochleæ ſuperioris, veluti AC in præcedenti figura fulcimen tum eſt C, pondus verò in A appenſum, & potentia in D medio. vectes autem orbiculorum trochleæ inferioris ita mouentur, vt ipſius GE fulcimentum ſit E, pondus in medio appenſum, & potentia in G.

PROPOSITIO XXIIII.

Si tribus duarum trochlearum orbiculis, qua rum altera vnius dumtaxat orbiculi ſupernè à potentia ſuſtineatur, altera verò duorum infer­nè, ponderiq; alligata fuerit conſtituta, cir­cundetur funis; vtroq; eius extremo alicubi, ſed non ſuperiori trochleæ religato: duplum erit pondus potentiæ.

Sint AB centra orbiculorum trochleæ ponderi C alligatæ; D verò ſit centrum orbiculi trochleæ ſuperioris; ſit deinde funis per omnes orbiculos circumuolutus, religatuſq; in EF; & ſit potentia in G ſuſtinens pondus C. dico pondus C duplum eſſe potentiæ in G. Quoniam enim ſi in H k duæ eſ­ſent potentiæ pondus ſuſtinentes duobus funibus orbiculis trochleæ inferioris tantùm circumuolutis, eſſet vtiq; vtraq; potentia in k H ſub quadrupla ponderis C; ſed poten­tia in G æqualis eſt potentiis in Hk ſimul ſumptis; vniuſcuiuſq; enim potentiæ in H, & k dupla eſt: erit potentia in G ſubdupla ponderis C. pondus ergo potentiæ duplum erit. quod demonſtrare opor­tebat.

Et ſi in G ſit potentia mouens pondus. Dico ſpatium potentiæ duplum eſſe ſpatii ponderis.

Ex 7 huius Ex 15 huius.

Iiſdem poſitis, ſint moti orbiculi, ſimiliter demonſtrabitur ambos illos LM NO æquales eſſe quatuor PQ RS TV XY. ſed LM NO ſimul dupli ſunt ſpatii potentiæ in G motæ; & quatuor PQ RS TV XY ſimul quadrupli ſunt ſpatii ponderis moti. ſpatium igitur potentiæ ad ſpatium ponderis eſt tanquam ſubduplum ad ſub quadruplum. erit ergo potentiæ ſpatium pon­deris ſpatii duplum.

Hinc autem conſiderandum eſt quomodo fiat motus; quia, cùm funis ſit religatur in F, vectis NO in prima figura habebit ful­cimentum O, pondus in medio, & potentia in N. ſimiliter quo­niam funis eſt religatus in E, vectis PQ habebit fulcimentum P, & pondus in medio, & potentia in q. idcirco partes orbiculorum in N, & Q ſurſum mouebuntur; orbiculi ergo non in eandem, ſed in contrarias mouebuntur partes, videlicet vnus dextrorsum, alter ſi­niſtrorſum. & quoniam potentiæ in NQ eædem ſunt, quæ ſunt in LM; potentiæ igitur in LM æ­quales ſurſum mouebuntur. vectis igitur LM in neutram mouebitur partem. quare neq; orbiculus circumuertetur. Itaq; LM erit tanquam libra, cuius centrum D, pondera〈qué〉 appenſa in LM æqualia quartæ parti ponderis C; vnuſquiſq; enim funis LN MQ quartam ſuſtinet partem ponderis C. mouebitur ergo totus orbi culus, cuius centrum D, ſurſum; ſed non circumuertetur.

Et ſi funis in F circa alios duos voluatur orbiculos, quorum cen­tra ſint HK, qui deinde religetur in L; erit proportio ponderis ad potentiam ſeſquialtera.

Si enim quatuor eſſent potentiæ in MNOI, eſſet vnaquæq; ſubſeſ­cupla ponderis C, quare quatuor ſimul potentiæ in MNOI qua­tuor ſextæ erunt ponderis C. & quoniam duæ ſimul potentiæ in HD quatuor potentiis in MNOI ſunt æquales; & potentia in G æ­qualis eſt potentiis in DH: erit potentia in G quatuor ſimul po­tentiis in MNOI æqualis; & ob id quatuor ſextæ erit ponderis C. proportio igitur ponderis C ad potentiam in G ſeſquialtera eſt.

Ex 9 huius

Et ſi in G ſit potentia mouens, ſimili modo oſtendetur ſpatium potentiæ ſpatii ponderis ſeſquialterum eſſe.

Et ſi funis in L adhuc circa duos alios orbiculos reuoluatur ſimi­liter oſtendetur proportionem ponderis ad potentiam ſeſqui­tertiam eſſe. quòd ſi in G ſit potentia mouens, oſtende­tur ſpatium potentiæ ſpatii ponderis ſeſquitertium eſſe, atq; ita dein­ceps in infinitum procedendo, quamcunq; proportionem ponderis ad potentiam ſuperparticularem inueniemus ſemperq; reperiemus ita eſſe pondus ad potentiam pondus ſuſtinentem, vt ſpatium potentiæ mouentis ad ſpatium ponderis à potentia moti.

Motus vectium fit hoc modo, vectis YZ, cùm funis ſit religatus in E, habet fulcimentum in Y, pondus in B medio appenſum, & potentia in Z. & vectis PQ habet fulcimentum in P potentia in medio, & pondus in q. oportet enim orbiculos, quorum cen­tra ſunt BD in eandem partem moueri, videlicet vt QZ ſur­ſum moueantur. & quoniam funis religatus eſt in L, erit T fulci mentum vectis ST, qui pondus habet in medio, & potentia in S. & quia S mouetur ſurſum, neceſſe eſt etiam R ſurſum moue ri; & ideo F erit fulcimentum vectis FR, & pondus erit in R, & potentia in medio. orbiculi igitur, quorum centra ſunt H k, in contrariam mouentur partem eorum, quorum centra ſunt BD: quare partes orbiculorum PF in orbiculis deorſum tendent; videlicet verſus XV. vectis igitur VX in neutram partem mouebitur, cùm P, & F deorſum moueantur; & VX erit tanquam vectis, in cuius medio erit pondus appenſum, & in VX duæ potentiæ æquales ſextæ parti ponderis C. potentiæ enim in MO hoc eſt funes PV FX ſextam ſuſtinent partem ponderis C. totus igitur orbiculus, cuius centrum A ſurſum vnà cum trochlea mouebitur; non au­tem circumuertetur.

PROPOSITIO XXV.

Si tribus duarum trochlearum orbiculis, quarum altera binis inſignita rotulis à potentia ſupernè detineatur; altera verò vnius tantùm rotulæ infernè conſtituta, ac ponderi alligata fuerit, circumuoluatur funis; vtroq; eius extremo alicuibi, non autem inferiori trochleæ religa­to: dupla erit ponderis potentia.

Sit pondus A trochleæ inferiori alligatum, quæ orbiculum habeat, cuius centrum ſit B; trochlea verò ſuperior duos orbiculos habeat, quorum centra ſint CD; ſitq; funis circa omnes orbiculos reuolutus, qui in EF ſit religatus; potentiaq; ſuſtinens pondus ſit in G. dico potentiam in G ponderis A duplam eſſe. ſi enim in H k duæ eſſent potentiæ pondus ſuſtinentes, eſſet vtraq; ſubdupla ponderis A; ſed potentia in D dupla eſt potentiæ in H, & potentia in C dupla potentiæ in K; quare duæ ſimul potentiæ in CD vtriuſq; ſimul potentiæ in H k duplæ erunt. ſed potentiæ in H k ponderi A ſunt æquales, & potentiæ in CD ipſi potentiæ in G ſunt etiam æquales; potentia igitur in G ponde­ris A dupla erit. quod oportebat demonſtrare.

2. Cor. 2 Huius. Ex 15 huius.

Si autem in G ſit potentia mouens pon­dus, ſimiliter vt in præcedenti oſtendetur ſpatium ponderis ſpatii potentiæ duplum eſſe.

Hinc quoq; conſiderandum eſt vectem PQ non moueri, quia vectis LM habet fulcimentum in L, potentia in medio, & pondus in M. vectis autem NO habet fulcimentum in O, potentia in medio, & pondus in N. quare M, & N ſurſum mouebuntur. in contrarias igitur partes orbiculi, quorum centra ſunt CD mouentur. idcirco vectis PQ in neutram partem mouebitur; eritq;, ac ſi in medio eſſet appenſum pondus, & in PQ duæ potentiæ æquales dimidio ponderis A. vtraq; enim potentia in HK ſubdupla eſt ponderis A. totus igitur orbiculus, cuius centrum B ſurſum mouebitur, ſed non circumuertetur.

Et ſi funis in F duobus aliis adhuc circumuol­uatur orbiculis, quorum centra ſint HK, qui de­inde religetur in L; erit proportio potentiæ in G ad pondus A ſeſquialtera.

Si enim in MNOP quatuor eſſent potentiæ pondus ſuſtinentes, vnaquæq; ſubquadrupla eſſet ponderis A: ſed cùm potentia in k ſit dupla potentiæ in N; erit potentia in k ponderis A ſubdupla. & quoniam potentia in D duabus in MO potentiis eſt æqualis; erit quoq; potentia in D ponderis A ſubdupla. cùm autem adhuc potentia in C potentiæ in P ſit dupla, erit ſimiliter potentia in C ponderis A ſubdupla. tres igitur potentiæ in CD k tribus medietatibus ponderis A ſunt æquales. quo­niam autem potentia in G potentiis in CDK eſt æqualis, erit potentia in G tribus medie­tatibus ponderis A æqualis. Proportio igi­tur potentiæ ad pondus ſeſquialtera eſt.

Ex 7 huius 15 Huius.

Si verò in G ſit potentia mouens, erit ſpatium ponderis ſpatii potentiæ ſeſquialterum.

Et ſi funis in L adhuc circa duos alios orbiculos reuoluatur, ſimiliter oſtendetur pro­portionem potentiæ ad pondus ſeſquitertiam eſſe. & ſic in infinitum omnes proportiones potentiæ ad pondus ſuperparticulares inue­niemus. oſtendemuſq; potentiam pondus ſuſtinentem ad pondus ita eſſe, vt ſpatium ponderis moti ad ſpatìum potentiæ pondus mouentis.

Motus vectium fiet hoc modo, videlicet Q erit fulcimentum vectis QR, po­tentia in medio, pondus in R; & vectis Z 9 fulci mentum erit Z, pondus in medio, potentiaq; in 9. ſimiliter X erit fulcimentum vectis VX, potentia in me dio, pondus in V. & quoniam V ſurſum mouetur, Y quoq; ſurſum mouebitur; & vectis YF fulcimentum erit F: quare F, & Z in orbi culis deorſum mouebun­tur. & ob id vectis ST in neutram mouebitur par­tem; & ST erit tamquam libra, cuius centrum D, & pondera in ST æqualia quartæ parti ponderis A. vnuſquiſq; enim funis SZ TF quartam ſuſtinet par­tem ponderis A. orbicu­lus ergo, cuius centrum D, ſurſum mouebitur; non autem circumuertetur.

Hactenus proportiones ponderis ad potentiam multiplices, & ſubmultiplices; deinde ſuperparticulares, ſubſuperparticu­lareſ〈qué〉 declaratæ fuerunt: nunc autem reliquum eſt, vt propor­tiones inter pondus, & potentiam ſuperpartientes, & multi­plices ſuperparticulares, multiplices〈qué〉 ſuperpartientes mani­feſtentur.

PROPOSITIO XXVI.

PROBLEMA.

Si proportionem ſuperpartientem inuenire volumus, quemadmodum ſi proportio, quam habet pondus ad potentiam pondus ſuſtinen­tem fuerit ſuperbipartiens, ſicut quinque ad tria.

Exponatur potentia in A pondus B ſuſtinens, proportionemq; habeat pondus B ad potentiam in A, vt quinq; ad vnum; hoc eſt, ſit potentia in A ſubquintupla ponderis B: de­inde eodem fune circa alios orbiculos reuo­luto inueniatur potentia in C, quæ tripla ſit potentiæ in A. & quoniam pondus B ad potentiam in A eſt, vt quinq; ad vnum; & potentia in A ad potentiam in C eſt, vt vnum ad tria; erit pondus B ad potentiam in C, vt quinq; ad tria; hoc eſt ſuperbipartiens.

Ex 9 huius. Ex 17 huius.

Et hoc modo omnes proportiones ponderis ad potentiam ſuperpartientes inuenientur; vt ſi ſupertripartientem quis inuenire volue­rit; eodem incedat ordine; fiat ſcilicet potentia in A ſuſtinens pondus B ſubſeptupla ip­ſius ponderis B; deinde fiat potentia in C ip­ſius A quadrupla; erit pondus B ad poten­tiam in C, vt ſeptem ad quatuor: vídelicet ſupertripartiens.

Si verò in C ſit potentia mo­uens pondus erit ſpatium potentiæſpatii ponderis ſuperbipartiens.

Spatium enim potentiæ in C tertia pars eſt ſpatii potentiæ in A, ita videlicet ſe habent, vt quinq; ad quindecim; & ſpatium potentiæ in A quintuplum eſt ſpatii ponderis B, hoc eſt, vt quindecim ad tria; erit igitur ſpatium potentiæ in C ad ſpatium ponderis B, vt quinq; ad tria; videlicet ſuperbipartiens. & ſemper oſtendemus, ita eſſe ſpatium potentiæ mouentis ad ſpatium ponderis; vt pondus ad potentiam pondus ſuſtinentem.

17 Huius. 14 Huius.

Similiq; prorſus ratione proportionem potentiæ ad pondus ſu­perpartientem inueniemus. ſi enim C eſſet inferius, & in ipſo appenſum eſſet pondus; B verò ſuperius, in quo eſſet potentia pondus in C ſuſtinens, eſſet potentia in B ſuperbipartiens ponderis in C appenſi: cùm B ad A ſit, vt quinq; ad vnum; A verò ad C, vt vnum ad tria.

Si autem multiplicem ſuperparticularem in­uenire voluerimus; vt proportio, quam habet pondus ad potentiam pondus ſuſtinentem, ſit duplex ſeſquialtera, vt quinq; ad duo.

18 Huius. 5 Huius.

Eodem modo, quo ſuperpartientes inuenimus, has quo­que omnes multiplices ſuperparticulares reperiemus. vt fiat pondus B ad potentiam in A, vt quinq; ad vnum; potentia vero in C ad potentiam in A, vt duo ad vnum; quod fiet, ſi fu­nis ſit religatus in D, non autem trochleæ ſuperiori, vel in F: erit pondus B ad potentiam in C, vt quinq; ad duo; hoc eſt duplum ſeſquialterum.

Ex 9 huius. Ex 15, 16, Huius.

Et è conuerſo proportionem potentiæ ad pondus multiplicem ſuperparticularem inueniemus; & vt in reliquis oſtendetur, ita eſſe ſpatium potentiæ mouentis ad ſpatium ponderis, vt pondus ad potentiam pondus ſuſtinentem.

Omnem quoq; multiplicem ſuperpartientem eodem modo inueniemus; vt ſi proportio, quam habet pondus ad potentiam, ſit duplex ſuperbi partiens, vt octo ad tria.

Fiat potentia in A pondus B ſuſtinens ſuboctupla ponderis B; & potentia in C potentiæ in A ſit tripla; erit pondus B ad potentiam in C, vt octo ad tria. & è conuerſo omnem potentiæ ad pondus proportionem multiplicem ſuperpartientem in ueniemus. & vt in cæteris reperiemus ita eſſe pondus ad potentiam pondus ſuſtinentem, vt ſpatium potentiæ mouentis ad ſpatium pon­deris.

Ex 9 huius Ex 17 huius.

Notandum autem eſt, quòd cùm in præcedentibus demonstrationibus ſæpius dictum fuerit, potentiam pondus ſuſtinentem ipſius ponderis duplam eſſe, vel triplam, & huiuſmodi; vt in decima­quinta huius oſtenſum eſt; quia tamen potentia non ſolum pondus, verùm etiam trochleam ſuſtinet; idcirco maioris longè vir­tutis, maioriſq; ipſi ponderi proportionis conſtituenda videtur ipſa potentia. quod quidem verum eſt, ſi etiam trochleæ grauitatem conſiderare voluerimus. ſed quoniam inter potentiam, & pondus proportionem quærimus: ideo hanc trochleæ grauitatem ommiſimus, quam ſiquis etiam conſiderare voluerit, vim ipſi po­tentiæ æqualem trochleæ addere poterit. Quod ipſum etiam in fune obſeruari poterit. & ſicut hoc in decimaquinta conſiderauimus, idem quoq; in reliquis aliis conſiderare poterimus.

Nouiſſe etiam oportet, quòd ſicuti proportio nes omnes inter potentiam, & pondus vnico fune inuentæ fuerunt; ita etiam pluribus funi­bus, trochleiſ〈qué〉 eædem inueniri poterunt. vt ſi multiplicem ſuperparticularem proportionem pluribus funibus inuenire voluerimus, veluti ſi proportio, quam habet pondus ad potentiam pondus ſuſtinentem, fuerit duplex ſeſquialtera, vt quinq; ad duo; oportet hanc proportionem ex pluribus componere. vt (exempli gratia) ex pro­portione ſeſquiquarta, vt quin〈qué〉 ad quatuor, & ex dupla, vt quatuor ad duo. exponatur igitur potentia in A pondus B ſuſtinens, ad quam pondus proportionem habeat ſeſquiquartam, vt quinq; ad quatuor: deinde alio fune inueniatur potentia in C,cuius dupla ſit potentia in A. & quoniam B ad A eſt, vt quinq; ad quatuor; & A ad C, vt quatuor ad duo; erit pondus B ad potentiam in C, vt quinque ad duo; hoc eſt proportionem habebit du­plicem ſeſquialteram.

Et notandum eſt hanc quoq; proportionem inueniri poſſe, ſi proportionem quinq; ad duo ex pluribus componamus, vt quinq; ad quindecim & quindecim ad viginti & viginti ad duo. Et hoc modo non ſolum omnem aliam proportionem inueniemus, ſed quamcunq, multis, infinitis〈qué〉 mo­dis comperiemus. omnis enim proportio ex infi­nitis proportionibus componi poteſt. vt patet in commentario Eutocii in quartam propoſitio­nem ſecundi libri Archimedis de ſphera, & cy­lindro.

Ex 21 huius. Ex 2 huius.

Poſſumus quoq; pluribus funibus, trochleis verò inferioribus tantùm, vel ſuperioribus vti.

Sit pondus A, cui alligata ſit trochlea orbiculum habens, cuius centrum B; religetur funis in C, qui circa orbiculum reuoluatur, funiſq; perueniat in D: erit potentia in D ſuſtinens pondus A ſub­dupla ponderis A. deinde funis in D alteri trochleæ religetur, & circa huius trochleæ orbiculum alius reuoluatur funis, qui religetur in E, & perueniat in F; erit potentia in F ſubdupla eius, quod ſuſtinet potentia in D: eſt enim ac ſi D dimidium ponderis A ſuſtineret ſi ne trochlea; quare potentia in F ſubqua­drupla erit ponderis A. & ſi adhuc fu nis in F alteri trochleæ religetur, & per eius orbiculum circumuoluatur a­lius funis, qui religetur in G, & per ueniat in H; erit potentia in H ſub dupla potentiæ in F. ergo potentia in H ſuboctupla erit ponderis A. & ſic in infinitum ſemper ſubduplam potentiam præcedentis potentiæ inueniemus.

Et ſi in H ſit potentia mouens, erit ſpatium potentiæ ſpatii ponderis octuplum. ſpatium enim D duplum eſt ſpatii ponderis A, & ſpatium F ſpatii D duplum; erit ſpatium F ſpatii ponderis A quadruplum. ſimiliter quoniam ſpatium potentiæ in H duplum eſt ſpatii F, erit ſpatium potentiæ in H ſpatii ponderis A octuplum.

2 Huius. 2 Huius. 11 Huius.

Sit deinde pondus A funi alliga­tum, qui orbiculo trochleæ ſuperioris ſit circumuolutus, & religatus in B; ſitq; potentia in C ſuſtinens pondus A: erit potentia in C ponderis A dupla, deinde C alteri funi religetur, qui per alterius trochleæ orbiculum circumuoluatur, & religetur in D; erit potentia in E dupla potentiæ in C. Quare potentia in E quadrupla erit ponderis A. & ſi ad huc E alteri funi religetur, qui etiam circa orbiculum alterius trochleæ reuoluatur, & religetur in F; erit potentia in G dupla potentiæ in E. ergo potentia in G octupla erit ponderis A. & ſic in infinitum ſemper præ cedentis potentiæ potentiam du­plam inueniemus.

Si autem in G ſit potentia mo­uens, erit ſpatium ponderis octu­plum ſpatii potentiæ in G. ſpatium enim ponderis A duplum eſt ſpatii potentiæ in C, & C duplum eſt ſpatii ipſius E; quare ſpatium ponderis A ſpatii potentiæ in E quadruplum erit. ſimiliter quoniam ſpatium E duplum eſt ſpatii potentiæ in G; erit ergo ſpatium ponderis A octuplum ſpatii potentiæ in G.

15 Huius. Ex e adem. 16 Huius.

COROLLARIVM.

Ex his manifeſtum eſt maiorem ſemper ha­bere proportionem ſpatium potentiæ mouen­tis ad ſpatium ponderis moti, quàm pondus ad eandem potentiam.

Hoc autem ex iis, quæ in corollario quartæ huius de vecte dicta ſunt, patet.

PROPOSITIO XXVII.

PROBLEMA.

Datum pondus à data potentia trochleis moueri.

Data potentia, vel eſt maior, vel æqualis, vel minor dato pondere.

Et ſi eſt maior, tunc poten­tia, vel abſq; alio inſtrumento, vel fune circa orbiculum trochleæ ſurſum appenſæ reuoluto datum pondus mouebit. Minor enim potentia; quàm data, ponderi æque­ponderat, data ergo mouebit. Quod idem fieri poteſt iuxta om­nes propoſitiones, quibus poten­tia pondus ſuſtinens, vel æqualis, vel minor pondere oſtenſa eſt.

Si autem æqualis, pondus mouebit fune per orbiculum trochleæ ponderi alligatæ circumuoluto. potentia enim ſuſtinens pondus ſubdupla eſt ponderis, potentia igitur ponderi æqualis datum pondus mo­uebit. Quod etiam ſe­cundum propoſitiones, quibus potentiam pondere minorem eſſe o­ſtenſum eſt, fieri po­teſt.

Si verò minor, ſit datum pondus vt ſexaginta, potentia verò mouens data ſit tredecim. inueniatur poten­tia in A ſuſtinens pondus B, quæ ponderis B ſit ſubquintupla. & quoniam potentia in A pondus ſuſtinens eſt vt duodecim; maior igitur poten­tia, quàm duodecim in A pondus B mouebit. Quare potentia vt tre­decim in A pondus B mouebit. quod facere oportebat.

Ex 1 huius 2 Huius. Ex 9 huius

Animaduertendum quoq; eſt in mo uendis ponderibus, potentiam ali­quando forſitan melius mouere mouendo ſe deorſum, quàm mouendo ſe ſurſum. vt circumuoluatur adhuc funis per alium trochleæ ſuperioris orbiculum, cuius centrum C, funiſq; perueniat in D; erit potentia in D ſuſti­nens pondus B ſimiliter duodecim, quemadmodum erat in A. Ideo poten­tia vt tredecim in D pondus B mo­uebit. & quia mouet ſe deorſum, fortaſſe trahet facilius, quàm in A; atq; tempus eſt idem, ſicut etiam erat in A.

PROPOSITIO XXVIII.

Ex 5 Huius

PROBLEMA.

Propoſitum ſit nobis efficere, potentiam pondus mouentem, & pondus per data ſpatia ſibi in uicem longitudine commenſurabilia moueri.

Sit datum ſpatium potentiæ, vt tria, ponderis verò, vt quatuor. inueniatur potentia in A pondus B ſuſtinens, quæ ponderis ſit ſeſquitertia, vt quatuor ad trìa. ſi igitur in A ſit potentia mouens pondus; erit ſpatium ponderis ſpatii potentiæ ſeſ­quitertium, vt quatuor ad tria. quod facere oportebat.

Hoc autem & ex iis, quæ dicta ſunt in vigeſima ſecunda, & in vigeſimaquinta huius efficere poſſumus ſolo fune. Quòd ſi pluribus funibus id efficere voluerimus, non ſolum multis, ſed infinitis modis hoc efficere poterimus, vt ſupra dictum eſt. Quare hoc affirmare poſſumus, quod qui­dem mirum eſſe videtur: videlicet.

Ex 22 huius. Ex eadem. In 26 huius.

COROLLARIVM. I.

Ex his manifeſtum eſſe, Quamlibet datam in numeris proportionem inter pondus, & potentiam; & inter ſpatium ponderis moti, & ſpatium potentiæ motæ; infinitis modis trochleis inueni­ri poſſe.

COROLLARIVM II.

Ex dictis etiam manifeſtum eſt, quò pondus facilius mouetur, eò quoq; tempus maius eſſe; quò verò difficilius, eò minus eſſe. & è con­uerſo.

DE AXE IN PERITROCHIO.

Fabricam, & conſtructionem hu­ius inſtrumenti Pappus in octauo mathematicarum collectionum libro docet; axemq; vocat AB, tympanum verò CD circa idem centrum; & ſcytalas in foramini­bus tympani EF GH & c. ita vt potentia,

quæ ſemper in ſcytalis eſt, vt in F, dum circum­uertit tympanum, & axem, ſurſum moueat pon­dus K axi appenſum fune LM circa axem reuoluto. Nobis igitur reſtat, vt oſtendamus, cur ma­gna pondera ab exigua virtute, quouè etiam mo do hoc inſtrumento moueantur; temporis quin etiam, ſpatiiq; mouentis inuicem potentiæ, ac moti ponderis rationem aperiamus; huiuſmodi­que inſtrumenti vſum ad vectem reducamus.

PROPOSITIO I.

Potentia pondus ſuſtinens axe in peritrochio ad pondus eandem habet proportionem, quam ſemidiameter axis ad ſemidiametrum tympani vná cum ſcytala.

Sit diameter axis AB, cuius centrum C; ſit diameter tympani DCE circa idem centrum; ſintq; AB DE in eadem recta linea; ſint deinde ſcytalæ in foraminibus tympani DF GH & c inter ſe ſe æquales, atq; æquè diſtantes; ſitq; FE horizonti æquidiſtans;

pondus autem K in fune BL circa axem volubili ſit appenſum. & potentia in F ſuſtineat pondus K. Dico potentiam in F ad pondus k ita ſe habere, vt CB ad CF. fiat vt CF ad CB, ita pondus k ad aliud M, quod appendatur in F. & quoniam pondera M k appenſa ſunt in FB; erit FB tanquam vectis, ſiue libra; quia verò C eſt punctum immobile, circa quod axis, tympanusq; reuol­uuntur; erit C fulcimentum vectis FB; vellibræ centrum. cùm autem it a ſit CF ad CB, vt k ad M, pondera k M æqueponde­rabunt. Potentia igitur in F ſuſtinens pondus k, ne deorſum ver­gat, ponderi K æqueponderabit; ipſiq; M æqualis erit. idem enim præſtat potentia, quod pondus M. pondus igitur K ad potentiam in F erit, vt CF ad CB; & conuertendo, potentia ad pondus erit, vt CB ad CF, hoc eſt, ſemidiameter axis ad ſemidiametrum tympani vnà cum ſcytala DF. Similiter etiam oſten­detur, ſi potentia pondus ſuſtinens fuerit in q. tunc enim ſuſti­neret vecte CQ; & ad pondus eam haberet proportionem, quam habet CB ad Cq. Videlicet ſemidiameter axis ad ſemidiame­trum tympani vná cum ſcytala Eq. quod demonſtrare opor­tebat.

6. Primi Archim. de æquepon. Cor. 4. quinti. 2 Huius. de vecte.

COROLLARIVM.

Manifeſtum eſt potentiam ſemper minorem eſſe pondere.

Semidiameter enim axis ſemper ſemidiametro tympani mi­nor eſt. & potentia eò minor eſt pondere, quò ſemidiameter axis minor eſt ſemidiametro tympani vná cum ſcytala. quare quò longior eſt CF, vel CQ; & quò breuior eſt CB, minor adhuc ſemper potentia in F, vel in Q pondus k ſuſtinebit. quò enim minor eſt CB, eò minorem habebit proportionem ſemidiameter axis ad ſemidiametrum tympani vná cum ſcytala.

Hoc autem loco conſiderandum occurrit, quòd ſi in alia ſcyta­la appendatur pondus, vt in T, ſuſtinens pondus k; it a nempè, vt pondus in T appenſum, pondusq; k circa axem conſtitutum maneant; erit pondus in T grauius pondere M in F appenſo. iungatur enim TB, & à puncto C horizonti perpendicularis du­catur CI, quæ lineam TB ſecet in I; tandemq; connectatur TC, quæ æqualis erit CF. Quoniam autem pondera appenſa ſunt in TB, perindè ſe ſe habebunt, ac ſi in punctis TB ipſorum centra grauitatum haberent; vt antea dictum eſt. & quia ma­nent, erit punctum I (ex prima huius de libra) amborum ſimul grauitatis centrum; cùm ſit CI horizonti perpendicularis. ſed quoniam angulus BCI eſt rectus, erit BIC acutus, lineaq; BI ipſa BC maior erit. quare angulus CIT erit obtuſus; atq; ideo linea CT ipſa TI maior erit. Cùm autem CT maior ſit TI, & IB maior BC; maiorem habebit proportionem TC ad CB, quàm TI ad IB; & conuertendo, minorem habebit pro­

portionem BC ad CT, hoc eſt ad CF, quàm BI ad IT; vt ex vigeſima ſexta quinti elementorum (iuxta Commandini editio­nem) patet. Quoniam verò punctum I eſt ponderum in TB exiſtentium centrum grauitatis; erit pondus in T ad pondus in B, vt BI ad IT. pondus verò in F ad idem pondus in B eſt, vt BC ad CF; maiorem igitur proportionem habebit pondus in T ad pondus in B, quàm pondus in F ad idem pondus in B. ergo grauius erit pondus in T, quàm pondus in F.

Ex 19 primi. Ex 13 primi. 6. Primi Archim. de æquepon. 10. Quinti.

Si verò loco ponderis in T animata potentia ſuſtinens pon­dus k conſtituatur; quæ ita degrauet ſe, ac ſi in centrum mundi tendere vellet; quemadmodum ſuapte natura efficit pondus in T appenſum; erit hæc eadem ponderi in T appenſo æqualis; alio­quin non ſuſtineret; quæ quidem ipſa potentia in F collocata maior erit. ſicuti enim ſe ſe habet pondus in T ad pondus in F, ita & potentia in T ad potentiam in F; cùm potentiæ ſint ponderi­bus æquales. verùm ſi vnaquæq; potentia ſeorſum ſumpta, tàm in T, quàm in F ſuſtinens pondus ſecundum circunferentiam THFN moueri ſe vellet, veluti apprehenſa manu ſcytala; tunc eademmet potentia, vel in F, vel in T conſtituta idem pondus k ſuſtinere poterit; cùm ſemper in cuiuſcunq; extremitate ſcytalæ ponatur, ab eodem centro C æquidiſtans fuerit, ac ſecundum eandem circumferentiam ab eodem centro æqualiter ſemper diſtantem perpenſionem habeat. neq; enim (ſicuti pondus) proprio nutu magis in centrum ferri exoptat, quam circulariter moueri; cùm vtrunq;, ſeu quemlibet alium motum nullo prorſus reſpiciat diſcrimine. pro­pterea non eodem modo res ſe ſe habet, ſiue pondera, ſiue anímatæ potentiæ iiſdem locis eodem munere abeundo fuerint conſtitutæ.

Potentia autem mouet pondus vecte FB, videlicet dum potentia in F circumuertit tympanum, circumuertit etiam axem; & FB fit tamquam vectis, cuius fulcimentum C, potentia mouens in F, & pondus in B appenſum. & dum punctum F peruenit in N; punctum H erit in F, & punctum B erit in O; ita vt ducta NO tranſeat per C; eodemq; tempore pondus k motum erit in P, ita vt OBP ſit æqualis ipſi BL, cùm ſit idem funis.

Deinde ex quarta huius de vecte facilè eliciemus ſpatium po­tentiæ mouentis ad ſpatium ponderis moti ita eſſe, vt ſemidiameter tympani cùm ſcytala ad ſemidiametrum axis, hoc eſt, vt CF ad CB, cùm circumferentia FN ad BO, ſit vt CF ad CB. & quoniam BL, eſt æqualis OBP, dempta communi BP, erit OB ipſi PL æqualis. quare FN ſpatium potentiæ ad PL ſpatium pon­deris erit, vt CF ad CB, videlicet ſemidiameter tympani cùm ſcytala ad ſemidiametrum axis. Quod idem oſtendetur, poten­tia vel in Q, vel in qualibet alia ſcytala exiſtente, vt in S. cùm enim ſcytalæ ſint ſibi inuicem æquales, atq; æqualiter diſtantes; vbicunq; ſit potentia æquali mota velocitate ſemper æquali tem­pore æquale ſpatium pertranſibit, hoc eſt ex Q in R, vel ex Sin T eodem tempore mouebitur, quò ex F in N. ſed quò tempore potentia ex F in N mouetur, eodemmet prorſus pondus k ex L in P quoq; mouetur; vbicunq; igitur ſit potentia, erit ſpatium poten­

tiæ ad ſpatium ponderis moti, vt CF ad CB, hoc eſt ſemidia­meter tympani cum ſcytala, ad ſemidiametrum axis.

Ex 4 huius de vecte.

COROLLARIVM. I.

Ex his manifeſtum eſt, ita eſſe pondus ad po­tentiam pondus ſuſtinentem, vt ſpatium poten­tiæ mouentis ad ſpatium ponderis moti.

COROLLARIVM II.

Manifeſtum eſt etiam, maiorem ſemper ha­bere proportionem ſpatium potentiæ mouentis ad ſpatium ponderis moti, quàm pondus ad eandem potentiam.

Præterea quò circulus FHN circa ſcytalas eſt maior, eò quoq; in pondere mouendo maius ſumetur tempus; dummodo potentia æquali moueatur velocitate. tempuſq; eò maius erit, quò diameter vnius diametro alterius eſt maior. circulorum enim circumfe­rentiæ ita ſe habent, vt diametri. Cùm vero ex trigeſima ſexta quarti libri Pappi Mathematicarum collectionum, duorum inæqualium circulorum æquales circumferentias inuenire poſsimus; ideo tempus quoq; portionum circulorum inæqualium hoc modo inueniemus. è conuerſo autem, quò maior erit axis circumferentia citius pondus ſurſum mouebitur. maior enim pars funis BL in vna circumuerſione completa circa circulum ABO reuoluitur, quàm ſi minor eſſet; cùm funis circumuolutus ſit circumferen­tiæ circuli æqualis, circa quem reuoluitur.

23 Octaui libri Pappi.

COROLLARIVM.

Ex his manifeſtum eſt, quò facilius pondus mouetur, tempus quoq; eò maius eſſe; & quò dif­ficilius, eò tempus minus eſſe. & è conuerſo.

PROPOSITIO II.

PROBLEMA.

Datum pondus à data potentia axe in peritro­chio moueri.

Sit datum pondus ſexaginta; potentia verò vt decem. exponatur quædam recta li­nea AB, quæ diuidatur in C, ita vt AC ad CB eandem

habeat proportionem, quam ſexaginta ad decem. & ſi CB axis ſemidiameter eſſet, & CA ſemidiameter tympani cùm ſcytalis; patet potentiam vt decem in A ponderi ſexaginta in B æqueponderare. Accipiatur autem inter BC quoduis punctum D; fiatq; BD ſemidiameter axis, & DA ſemidiameter tympani cùm ſcy­talis; ponaturq; pondus ſexaginta in B fune circa axem, & potentia in A. Quoniam enim AD ad DB maiorem habet proportio­nem, quam AC ad CB; maiorem habebit proportionem AD ad DB, quam pondus ſexaginta in B appenſum ad potentiam vt decemin A. Quare potentia in A pondus ſexaginta axe in peritro­chio mouebit, cuius axis ſemidiameter eſt BD, & DA ſemidiameter tympani cùm ſcytalis. quod erat faciendum.

Per præcedentem. Lemma in primi huius de vecte. Ex 11 huius de vecte.

ALITER.

Organicè verò melius erit hoc pacto.

Exponatur axis, cuius diameter ſit BD, & cen­trum C, quem quidem axem maiorem, vel minorem conſtituemus, veluti

magnitudo, ponderiſq; grauitas poſtulat. producatur deinde BD vſq; ad A: fiatq; BC ad CA, vt decem ad ſexaginta. & ſi CA tympani cùm ſcytalis ſemidiameter eſſet, potentia decem in A ponderi ſexaginta in B æqueponderaret. producatur verò BA ex parte A, & in hac producta linea quoduis accipiatur punctum E; fiatq; CE ſemidiameter tympani cùm ſcytalis; ponaturq; potentia vt decem in E; habebit EC ad CB maiorem proportionem, quàm pondus ſexaginta in B ad potentiam vt decem in E. potentia igi­tur vt decem in E mouebit pondus ſexaginta in B appenſum fune circa axem, cuius ſemidiameter eſt CB, & CE ſemidiameter tympani cùm ſcytalis. quod facere oportebat.

Sub hoc facultatis genere ſunt ergatæ, ſuccu­læ, terebræ, tympana cum ſuis axibus, ſiue dentata, ſiue non; & ſimilia.

Terebra verò habet etiam neſcioquid cochleæ; dum enim mo­uet pondus, ſcilicet dum perforat, ex ſua ferè natura ſemper vlte­rius progreditur: habet enim ferè helices tamquam circa conum deſcriptas. quoniam autem verticem habet acutum, ad cunei quoq; rationem commodè referri poterit.

DE CVNEO.

Aristoteles in quæſtioni­bus Mechanicis quæſtione deci­maſeptima aſſerit, cuneum ſcin­dendo ponderi duorum vicem prorſus gerere vectium ſibi inui­cem contrariorum hoc modo.

Sit cuneus ABC, cuius vertex B, & ſit AB æqualis BC; quod autem ſcindendum eſt, ſit DEFG; ſitq; pars cunei HB k intra DE FG, & HB æqualis ſit ipſi Bk. percutiatur (vt fieri ſolet) cuneus in AC, dum cuneus in AC percutitur, AB fit vectis, cuius fulcimen tum eſt H, & pondus in B. eodemq; modo CB fit vectis, cuius fulci­

mentum eſt K, & pondus ſimiliter in B. ſed dum percutitur cu­neus, maiori adhuc ipſius portione ipſum DEFG ingreditur, quàm prius eſſet: ſit autem portio hæc MBL; ſitq; M B ipſi BL æqualis. & cùm MB BI ſint ipſis HB BK maiores; erit ML maior Hk. dum igitur ML erit in ſitu Hk; opor­tet, vt fiat maior ſciſsio; & D moueatur verſus O, G autem verſus N: & quò maior pars cunei intra DEFG ingredietur, eò maior fiet ſciſsio; & DG ma­gis adhuc impellentur verſus ON. pars igitur KG eius, quod ſcinditur, mouebitur à ve­cte AB, cuius fulcimentum eſt H, & pondus
in B; ita vt punctum B ipſius vectis AB impellat partem KG. & pars HD mouebitur à vecte CB, cuius fulcimentum eſt k; ita vt B vecte CB partem HD impellat.

Cùm autem tria ſint vectium genera, vt ſupra oſtenſum eſt; idcirco conuenientius erit fortaſſè cuneum hoc modo conſiderare.

Iiſdem poſitis, intelligatur vectis AB, cuius fulcimentum B, & pondus in H, vt in ſecunda huius de vecte diximus. ſimiliter ve­ctis CB, cuius fulcimentum B, & pondus in K; ita vt pars HD moueatur à vecte AB, cuius fulcimentum eſt B, & pondus in H; ita vt punctum H ipſius vectis AB impellat partem HD. ſimili quoq; modo pars KG moueatur à vecte CB, cuius fulcimentum eſt B, & pondus in k, it aut k ipſius uectis CB partem k G mo­ueat. quod quidem forſitan rationi magis conſentaneum erit.

Sit enim cuneus ABC; ſintq; duo pondera ſepa­rat a DEFG, & HIkL, intra quæ ſit pars cunei DBH, cuius uertex B medium inter utrumq; ſi tum obtineat. percutia­tur autem cuneus, ita ut magis adhuc intra pon­dera propellatur, ſicuti prius dictum eſt; ponde­

ra enim ſunt, ac ſi unum tantùm continuum eſſet GFkL, quod ſcindendum eſſet: eodem enim modo pars DG, dum cuneus ulterius impellitur, mouebitur uerſus M; & pars HL uerſus N. Moueatur itaq; pars DG uerſus M, & pars HL uerſus N, B uerò dum ulterius progreditur, ſemper medium inter utrunq; pondus remaneat. dum autem DG à cuneo mouetur uerſus M; patet B non mouere partem DG uerſus M uecte CB, cuius fulcimentum H; punctum enim B non tangit pondus; ſed DG mouebitur à pun­cto uectis D uecte AB, cuius fulcimentum B; punctum enim D tangit pondus, & inſtrumenta mouent per contactum. Similiter HL mouebitur ab H uecte CB, cuius fulcimentum B; & uterq; uectis utriq; reſiſtit in B, ita ut B potius fulcimenti uice fungatur, quàm mouendi ponderis. quod ipſum hoc quoq; modo manife­ſtum erit.

Sit, quod ſcindendum eſt A BCD parallelogrammum rectan­gulum; ſintq; duo vectes æqua­les EF GF, & partes vectium HF KF ſint intra ABCD; ſitq; HF æqualis Fk, & HA æqualis KB. Oporteat verò vecti­bus EF GF ſcindere ABCD abſq; percuſsione, videlicet ſint potentiæ mouentes in EG æquales. vt autem ſcindatur ABCD, oportet partem HA moueri uer

ſus M. & kB verſus N; ſed dum vectes mouentur, putá alter in M, alter verò in N; neceſſe eſt, vt punctum F immobile rema neat; in illo enim fit vectium occurſus. quare F erit fulcimen­tum vtriuſq; vectis, & FG mouebit partem kB, cuius fulcimen tum erit F, & potentia mouens in G; & pondus in k. ſimi­liter pars HA mouebitur à vecte EF, cuius fulcimentum F, potentia in E, & pondus in H.

Si autem k H eſſent fulcimenta immobilia, & pondera in F; dum vectis FG conatur mouere pondus in F, tunc ei reſiſtit ve­ctis EF, qui etiam conatur mouere pondus in F ad partem oppoſitam; ſed quoniam potentiæ ſunt æquales, & cætera æqualia; ergo in F non fiet motus: æquale enim non mouet æquale. patet igitur in F maximam fieri vectium ſibi inuicem occurrentium reſiſtentiam, ita ut F ſit quoddam immobile. Quare conſiderando cuneum, vt mouet vectibus ſibi inuicem aduerſis, forſitan eis potius utitur hoc ſecundo modo, quàm primo.

Quoniam autem totus cuneus ſcindendo mouetur, poſſumus idcirco eundem alio quoq; modo conſiderare; videlicet dum ingreditur id, quod ſcinditur, nihil aliud eſſe, niſi pondus ſupra planum horizonti inclinatum mouere.

Sit planum horizonti æquidiſtans tranſiens per AB; ſit cuneus CDB, & CD æqualis ipſi DB; & latus cunei DB ſit ſemper in ſubiecto plano. ſit deinde pondus AEFG immobile in A; ſitq; pars cunei EDH ſub AEFG. Quoniam enim dum percutitur cuneus in CB, maior pars cunei ingreditur ſub AEFG, quàm ſit EDH; ſit hæc pars IDH. & quoniam latus cunei DB ſemper eſt in ſubiecto plano per AB ducto horizonti parallelo, tunc quando pars cunei kDI erit ſub AEFG; erit punctum k in H, & I ſub E. ſed Ik maior eſt HE; punctum igitur E ſurſum motum erit. & dum cuneus ſub AEFG ingreditur, punctum E ſurſum ſuper latus cunei EI mouebitur, eodemq; modo ſi cuneus vlterius progredietur, ſemper punctum E ſuper latus cunei DC mouebitur: punctum igitur E ponderis ſuper planum DC mouebitur horizonti inclinatum, cuius inclinatio eſt angulus BDC. quod demon­ſtrare oportebat.

In hoc exemplo, conſiderando cuneum inſtar vectis mouen­tem, manifeſtum eſt, cuneum BCD pondus AEFG vecte CD mouere; ita vt D ſit fulcimentum, & pondus in E. non autem vecte BD, cuius fulcimentum H, & pondus in D.

Vt autem res clarior reddatur, alio vtamur exemplo.

Sit planum hori­zonti æquidiſtans tranſiens per AB; ſit cuneus CAB, cuius latus AB ſit ſemper in ſubiecto plano; ſit­〈qué〉 pondus AEFG, quod nullum alium habeat motum, niſi

ſurſum, & deorſum ad rectos angulos horizonti; ita vt ducta IGk ſubiecto plano, ipſi〈qué〉 AB perpendicularis, punctum G ſit ſemper in linea IGk. & quoniam dum cuneus percutitur in CB, totus ſuper AB vlterius progreditur; pondus AEFG eleuabitur ex iis, quæ ſupra diximus. Moueatur cuneus ita, vt E tandem per­ueniat in C, & poſitio cunei ABC ſit MNO, & poſitio pon­deris AEFG ſit PMQI, & G ſit in I. Quoniam itaq; dum cuneus ſuper lineam BO mouetur, pondus AEFG ſurſum moue­tur à linea AC. & dum cuneus ABC vlterius progreditur, ſemper pondus AEFG magis à latere cunei AC eleuatur: pondus igitur AEFG ſuper planum cunei AC mouebitur; quod quidem nihil aliud eſt, niſi planum horizonti inclinatum, cuius inclinatio eſt angulus BAC.

Hic motus facilè ad libram, vectemq; reducitur. quod enim ſuper planum horizonti inclinatum mouetur ex nona Pappi octa­ui libri Mathematicarum collectionum reducitur ad libram. ea­dem enim eſt ratio, ſiue manente cuneo, vt pondus ſuper cunei latus moueatur; ſiue eodem etiam moto, pondus adhuc ſuper ipſius latus moueatur; tamquam ſuper planum horizonti incli­natum.

Ea verò, quæ ſcinduntur, quomodo tam­quam ſuper plana horizonti inclinata mouean­tur, oſtendamus.

Sit cuneus ABC, & AB ipſi BC æqua­lis. Diuidatur AC bifariam in D, conne­ctaturq; BD. ſit dein­de linea EF, per quam tranſeat planum horizonti æquidiſtans; ſitq; BD in eadem linea EF; & dum cuneus percutitur, dumq; mouetur ver

ſus E, ſemper BD ſit in linea EF. quod verò ſcindendum eſt ſit GHLM, intra quod ſit pars cunei kBI. manifeſtum eſt, dum cuneus uerſus E mouetur, partem kG verſus N moueri; & partem HI uerſus O. percutiatur cuneus, ita vt AC ſit in linea NO; tunc k erit in A, & I in C: & k ex ſuperius dictis motum erit ſuper kA, & I ſuper IC. quare dum cuneus mo
uetur, pars KG ſuper BA latus cunei mouebitur, & pars IH ſuper latus BC. pars igitur kG ſuper planum mouetur horizonti incli­natum, cuius inclinatio eſt angulus FBA. ſimiliter IH moue­tur ſuper planum BC in angulo FBC. Partes ergo eius, quod ſcinditur ſuper plana horizonti inclinata mouebuntur. & quam­quam planum BC ſit ſub horizonte; pars tamen IH ſuper IC mouetur, tamquam ſi BC eſſet ſupra horizontem in angulo DBC. partes enim eius quod scinditur, eodem tempore, ab eadem potentia mo­uentur; eadem ergo erit ratio motus partis IH, ac partis KG. ſi­militer eadem eſt ratio, ſiue EF ſit horizonti æquidiſtans, ſiue horizonti perpendicularis, vel alio modo. neceſſe eſt enim potentiam cuneum mouentem eandem eſſe, cùm cætera eadem rema neant. eadem igitur erit ratio.

Poſt hæc conſiderandum eſt, quæ nam ſint ea, quæ efficiunt, vt aliquod facilius moueatur, ſiue ſcindatur. quæ quidem duo ſunt.

Primum, quod efficit, vt aliquod facilè ſcindatur, quod etiam ad eſſentiam cunei magis per­tinet, eſt angulus ad verticem cunei; quò enim minor eſt angulus, eò facilius mouet, ac ſcindit.

Sint duo cunei ABC DEF, & angulus ABC ad verticem minor ſit angulo DEF. dico aliquod facilius moueri, ſiue ſcindi à cuneo ABC, quàm à DEF. diuidantur AC DF bifariam in G H punctis; connectan­turq; BG, & EH. Quoniam enim partes eius, quod ſcinditur à cuneo ABC, ſu­per planum horizonti inclinatum mouen­tur, cuius inclinatio eſt GBA: quæ ve­rò à cuneo DEF, ſuper planum horizonti inclinatum mouentur, cuius inclinatio eſt

HED; & angulus GBA minor eſt angulo HED; cùm CBA minor ſit DEF: & ex nona Pappi octaui libri mathematicarum collectionum, quod mouetur ſuper planum AB faci­lius mouebitur, & à minore potentia, quàm ſuper ED; Quod ergo ſcinditur à cuneo ABC facilius, & à minore potentia ſcindetur, quàm à cuneo DEF. ſimiliter oſtendetur, quò magis an­gulus ad verticem cunei erit acutus, eò facilius aliquod moueri, ac ſcindi. quod demonſtrare oportebat.

Poſſumus etiam hoc alia ratione oſtendere conſiderando cuneum, vt vectibus ſibi inuicem aduerſis mouet, ſicuti ſecundo modo dictum eſt. hoc autem prius oſtendere oportet.

Sit vectis AB, cuius fulcimentum ſit B immobile; quod autem mouen­dum eſt, ſit CDEF rectangulum ita accommodatum, vt deorſum ex par te FE moueri non poſsit; & punctum E ſit immobile, & tamquam centrum; ita vt punctum D moueatur per cir­cumferentiam circuli DH, cuius cen­trum ſit E. & C per circumferentiam CL, ita vt iuncta CE ſit eius ſemidiameter. tangat inſuper CDEF ve

ctem AB in C, atq; vectis AB moueat pondus CDEF, & potentia mouens ſit in A, fulcimentum B, & pondus in C. ſit deinde alius vectis MCN, qui etiam moueat CDEF, cuius fulcimentum immobile ſit N; potentia mouens in M, & pondus ſimiliter in C; ſitq; CN æqualis ipſi CB, & CM ipſi CA; alternatimq; moueatur pondus CDEF vectibus AB MN. dico CDEF facilius ab eadem potentia moueri vecte AB, quàm vecte MN.

Fiat centrum B, & interuallo BC circumferentia deſcribatur CO. ſimiliter centro N, interuallo quidem NC, circumferentia deſcribatur CP. Quoniam enim dum vectis AB mouet CD EF, punctum vetis C mouetur ſuper circumferentiam CO; cùm ſit B fulcimentum, & centrum immobile. ſimiliter dum vectis MN mouet CDEF, punctum C mouetur per circumferentiam CP; dum igitur vectis AB mouet CDEF, conatur mouere punctum C ponderis ſuper circumferentiam CO; quod quidem efficere non poteſt: quia C mouetur ſuper circumferentiam CL. quare in motu vectis AB ſecundùm partem ipſi reſpondentem, ac motu ponderis ſecundum C facto, contingit repugnantia quædam; in diuerſas enim partes mouentur. ſimiliter dum vectis MN mouet CDEF, conatur mouere C ſuper circumferentiam CP; at­que ideo in hoc etiam vtroq; motu ſimilis oritur repugnantia. quoniam autem circumferentia CO propior eſt circumferentiæ CL, quam ſit CP; hoc eſt propior eſt motui, quem facit pun­ctum C ponderis; ideo minor erit repugnantia inter motum vectis AB, & motum C ponderis, quàm inter motum vectis MN, & motum eiuſdem C. quod etiam patet, ſi intelligatur CF hori­zonti perpendicularis, tunc enim circumferentia CP magis tendit deorſum, quàm CO; & CL tendit ſurſum. & ideo minor fit re pugnantia inter vectem AB, & motum C, quàm inter vectem MN, & motum C. ſed vbi minor repugnantia ibi maior facilitas. ergo facilius mouebitur CD EF vecte AB, quàm vecte MN. quod demonſtrare oportebat.

COROLLARIVM.

Ex hoc manifeſtum eſt, quò minor eſt an­gulus à linea CF, vel CE, vel CD contentus; hoc eſt, quò minor eſt angulus BCF, vel BCE, vel etiam BCD, eò facilius pondus moueri. quod quidem eodem modo oſtendetur.

Quod autem propoſitum eſt, ſic demon­ſtrabimus.

Sint cunei ABC DE F, & angulus ABC mi­nor ſit angulo DEF, & AB BC DE EF ſint in ter ſe ſe æquales. Sint de­inde quatuor pondera æ­qualia GH IL NO QR rectangula; ſintq; LM kH in eadem recta linea:

ſimiliter RS PO in recta linea; erunt GK IM parallelæ, & NP QS parallelæ. ſit IBG pars cunei intra pondera GH IL; & cunei pars QEN intra pondera NO QR; ſint〈qué〉 IB BG QE EN inter ſe ſe æquales. dico pondera GH IL facilius ab eadem potentia moueri cuneo ABC, quàm pondera NO QR cuneo DEF.

Ex 28 primi.

Diuidantur AC DF bifariam in TV, iunganturq; TBVE, erunt an­guli ad T, & V recti. connectatur IG, quæ ſecet BT in X. Quoniam e­

nim IB eſt æqualis BG, & BA æqualis BC; erit IA ipſi GC æqualis. quare vt BI ad IA, ita eſt BG ad GC. parallela igitur eſt IG ipſi AC. ac propterea anguli ad X ſunt recti: ſed & anguli XG k XIM ſunt recti, rectangulum enim eſt GM; quare TB æquidiſtans eſt ipſis Gk IM. angulus igitur TBC æqua­lis eſt angulo BGK, & TBA ipſi BIM æqualis. ſimiliter demonſtrabimus angulum VEF æqualem eſſe ENP, & VED æqualem EQS. cùm autem angulus ABC minor ſit angulo DEF; erit & angulus TBC minor VEN. quare & BGk minor ENP. ſimili modo BIM minor EQS. quoniam autem cuneus ABC duobus mouet vectibus AB BC, quorum fulcimenta ſunt in B; & pondera in GI: ſimiliter cuneus DEF duobus vectibus mouet DE EF, quorum fulcimenta ſunt in E; & pondera in N Q: per præcedentem pondera GH IL facilius vectibus AB BC mo­uebuntur, quàm pondera NO QR vectibus DE EF. ponde­ra ergo GH IL facilius cuneo ABC mouebuntur, quàm ponde­ra NO QR cuneo DEF. & quia eadem eſt ratio in mouendo, atq; in ſcindendo; facilius idcirco aliquod cuneo ABC ſcindetur quàm cuneo DEF. ſimiliterq; oſtendetur, quò minor eſt angulus ad verticem cunei, eò facilius aliquod moueri, vel ſcindi. quod demonſtrare oportebat.

2 Sexti. Ex 29 primi. 28 Primi.

Præterea quæ mouentur à cuneo DEF, per maiora mouentur ſpatia; quàm ea, quæ à cuneo ABC. nam vt DF ſit intra QN, & AC ſit intra IG; neceſſe eſt, vt QN per ſpatia moueantur maiora; ſcilicet vnum dextrorſum, alter ſiniſtrorſum, quàm IG; cùm DF maior ſit AC; dummodo totus cuneus intra pondera in­grediatur. à potentia verò facilius eodem tempore mouetur ali­quod per minus ſpatium, quàm per maius; dummodo cætera, qui­bus fit motus, ſint æqualia: ſi ergo eodem tempore AC DF in IG QN perueniant, cùm AI CG DQ FN ſint inter ſe ſe æquales; facilius à potentia mouebuntur GI cuneo ABC, quàm QN cuneo DEF. quare facilius pondera GH IL à potentia mouebuntur cuneo ABC, quàm pondera NO QR cuneo DEF. ſimiliter­〈qué〉 oſtendetur, quò angulus ad verticem cunei minor eſſet, eò facilius pondera moueri, vel ſcindi.

Secundum, quod efficit, vt aliquod facilius ſcindatur, eſt percuſsio; qua cuneus mouetur, & mouet; hoc eſt percutitur, ac ſcindit.

Sit cuneus A, quod ſcinditur B, quod percutit C; quod quidem, vel ex ſe ipſo, vel à regente, atq; ipſum mouente potentia percutit, atq; mouet. ſi quidem ex ſe ipſo, Primùm quò grauius erit, eò maior fiet percuſsio. quinetiam, quò longior fuerit diſtantia inter AC, maior itidem fiet percuſsio. graue enim vnum­quodq; dum mouetur; grauitatis ma­gis aſſumit motum, quàm quieſcens: & adhuc magis quo longius mouetur.

Si verò C ab aliqua moueatur potentia, vt ſi per manubrium DE moueatur; primùm quò grauius erit C, deinde quò longius erit DE, eò ma­ior fiet percuſsio. ſi enim ponatur potentia mouens in E, erit C magis di ſtans à centro & ideo citius mouebitur. vt in quæſtionibus Mechanicis latè monſtrat Ariſtoteles; nec non ex iis, quæ in tractatu de libra di­cta fuere, patere poteſt, quò magis

pondus C à centro diſtat, eò grauius reddi. quod ipſum etiam validiori pellet impulſu virtute in E potentiore exiſtente.

Hoc verò ſecundùm eſt, quod efficit, vt hoc inſtrumento ma­gna moueantur, ſcindanturq; pondera. percuſsio enim vis eſt ualidiſsima, vt ex decimanona quæſtionum Mechanicarum Ariſtotelis patet. ſi enim ſupra cuneum maximum imponatur onus; tunc cu­neus nihil ferè efficiet, præſertim ictus comparatione. quod ſi ad huc ipſi cuneo vectem, vel cochleam, vel quoduis aliud huiuſmodi aptetur inſtrumentum ad cuneum ponderi intimius propellen­dum, nullius ferè momenti præ ictu continget effectus. cuius qui­dem rei indicio eſſe poteſt, ſi fuerit corpus A lapideum, ex quo aliquam eius partem detrahere quiſpiam voluerit, putá partem anguli B; tunc malleo ferreo abſq; alio inſtrumento percutiendo in B, facilè aliquam anguli B partem franget. quod quidem nullo alio inſtrumento percuſsionis munere carente, niſi maxima cùm difficultate efficere poterit; ſiue

fuerit vectis, ſiue cochlea, ſiue quoduis aliud huiuſmodi. quare percuſsio in cauſa eſt, quo magna ſcindantur pondera. cùm autem ſola percuſsio tantam vim habeat, ſi ei aliquod adiiciamus inſtrumentum ad mouendum, ſcindendumq; accomodatum, admiranda profectò videbimus. Inſtrumentum huiuſ modi cuneus eſt, in quo duo (quantum ad ip­ſius formam attinet) conſideranda occurrunt. Alterum eſt, cuneum ad ſuſcipiendam, ſuſtinendamq; percuſsionem aptiſsimum eſſe; alterum eſt quòd propter eius in altera parte ſubtilita­tem facilè intra corpora ingreditur, vt manifeſtè patet. Cuneus ergo cum percuſsione ipſius efficit, vt in mouendis, ſcindendiſq; ponderi­bus ferè miracula cernamus.

Ad huiuſmodi facultatis inſtrumentum, ea quoquè omnia commodè referri poſſunt, quæ percuſsione, ſiue impulſu incidunt, diuidunt, perforant, huiuſmodiq; alia obeunt munera. vt enſes, gladii, mucrones, ſecures, & ſimilia. ſerra quoq; ad hoc reducetur; dentes enim percu­tiunt, cuneiq; inſtar exiſtunt.

DE COCHLEA.

Pappvs in eodem octauo libro multa pertractans de cochlea, docet quomodo conficienda ſit; & quomodo magna huiuſmodi in­ſtrumento moueantur pondera; nec non alia theoremata ad eius cognitionem valdè vtilia. Quoniam autem in­ter cætera pollicetur, ſe oſtendere velle, co­chleam nihil aliud eſſe præter aſſumptum cu­neum percuſsionis expertem vecte motionem facientem; hoc autem in ipſo deſideratur; pro­pterea idipſum oſtendere conabimur, nec non eiuſdem cochleæ ad vectem, libramq; reductio­nem; vt ipſius tandem completa habeatur co­gnitio.

Sit cuneus ABC, qui circa cylindrum DE circumuoluatur: ſitq; IGH cuneus circa cylindrum reuolutus, cuius vertex ſit I. ſit de­inde cylindrus cum circumpoſito cuneo ita accomodatus, vt abſq; vllo impedimento manubrio kF eius axi annexo circumuerti poſsit. ſitq; LMNO, quod ſcindendum eſt; quod etiam ex parte MN ſit immobile: vt in iis, quæ ſcinduntur, fieri ſolet: & ſit vertex I intra RS. circumuertatur kF, & perueniat ad kP; dum autem kF circumuertitur, circumuertitur etiam totus cylindrus DE, & cu­neus IGH: quare dum KF erit in kP, vertex I non erit amplius intra RS, ſed cunei pars alia, vt TV: ſed TV maior eſt, quàm RS; ſemper enim pars cunei, quæ magis à vertice diſtat, maior eſt ea, quæ ipſi eſt propinquior: vt igitur TV ſit intra RS, opor­tet, vt R cedat, moueaturq; verſus X, & S verſus Z, vt faciunt ea, quæ ſcinduntur. totum ergo LMNO ſcindetur. ſimiliter què demonſtrabimus, dum manubrium kP erit in kQ, tunc GH eſſe intra RS: & vt GH ſit intra RS, neceſſe eſt, vt R ſit in X, & S in Z; ita vt XZ ſit æqualis GH; ſemperq; LMNO amplius ſcindetur. ſic igitur patet, dum kF circumuertitur, ſemper R moueri verſus X, atq; S verſus Z: & R ſemper ſuper ITG moueri, S autem ſuper IVH, hoc eſt ſuper latera cunei circa cylindrum circum uoluti.

PROPOSITIO I.

Cuneus hoc modo circa cylindrum accommo­datus, nihil eſt aliud; niſi cochlea duas habens helices in vnico puncto inuicem coniunctas.

Sit cuneus ABC; & AB ipſi BC æqualis. diuidatur AC bifariam in D, iungaturq; BD; erit BD ipſi AC perpendicularis; & AD ipſi DC æqualis, triangu­lumq; ABD triangulo C BD æquale. fiant deinde triangula rectangula EFG HIk non ſolum inter ſe, verùm etiam vtriq; ADB & CDB æqualia. ſitq; cylindrus LMNO, cuius perimeter ſit æqualis vtriq; FG kI. & LMNO ſit parallelogrammum per axem. fiatq; MP æqualis FE; & PN æqualis HI. ponaturq; HI in NP, circumuolua­turq; triangulum HIk circa cylindrum; & ſecundùm kH helix deſcribatur NQP, vt Pappus quoq; docet in octauo libro propoſitione vigeſima quarta. ſimiliter ponatur EF in MP, circum­uoluaturq; triangulum EFG circa cylindrum; deſcribaturq; per EG helix PRM. cùm itaq; PMPN ſint æquales EFHI, erit MN æqualis ipſi AC, & cùm helices PRM PQN ſint æquales lineis EGHk; helices igitur ipſis ABBC æquales erunt. cu­neus ergo ABC totus circumuolutus erit circa cylindrum LMNO. incidantur deinde helices, vt docet Pappus ſecundùm latitudinem cunei; & hoc modo cuneus vná cum cylindro nihil aliud erit, quàm cochlea duas habens helices PRMPQN circa cylindrum LN in vnico puncto P inuicem coniunctas. quod demonſtrare o­portebat.

COROLLARIVM.

Hinc manifeſtum eſſe poteſt, quomodo heli­ces in ipſa cochlea deſcribi poſsint.

Quomodo autem pondera ſuper helices co­chleæ moueantur, oſtendamus.

Sit (veluti prius) cuneus IGH circa cylindrum DE reuolutus, cuius vertex ſit I. apteturq; cylindrus ita, vt liberè vna cum ſuo axe circumuertatur. ſintq; duo pondera MN cuiuſcunq; figuræ voluerimus, ita tamen aptata, vt moueri non poſsint, niſi ſuper rectam lineam LO, quæ axi cylindri ſit æquidiſtans. ſintq; MN iuxta cunei verticem I. Circumuertatur KF, & perueniat ad kP: dum autem kF erit in kP, tunc TV erit intra pondera MN; ſi­cut ſupra diximus. M igitur verſus L mouebitur, & N verſus O. ſimiliter oſtendetur, dum kP erit in KQ, tunc GH eſſe intra pon­dera MN; & M erit in X, & N in Z; ita vt XZ ſit æqualis GH. quare dum kF circumuertitur, ſemper pondus N mouetur verſus O, & ſuper helicem IRS; M verò ſuper aliam helicem.

Similiter ſi cochlea plures habeat hæ­lices, vt in ſecunda figura, pondus A, dum cochlea circumuertitur, ſemper ſu­per helices BCDEFG mouebitur; dummodo pondus A aptetur ita vt mo­ueri non poſsit, niſi ſuper rectam HI ipſi cylindro æquidiſtantem. eodem enim modo, quo ſuper primam mouetur helicem, mouetur etiam ſupra ſecundam, & tertiam, & cætera. quotcunq; enim fuerint helices, nihil aliud ſunt, quàm latus cunei circa idem cylindrum iterum atq; iterum circumuolutum. & ſiue co­chlea fuerit horizonti perpendicularis, ſiue horizonti æquidiſtans, vel alio mo­do collocata, nihil refert: ſemper enim eadem erit ratio.

Si verò (vt in tertia figura) ſupra cochleam imponatur aliquod, vt B, quod quidem tylum vocant, ita accommodatum, vt inferio ri parte helices habeat concauas ipſi cochleæ appoſitè admodum congruentes; perſpicuum ſatis eſſe poterit, ipſum B, dum cochleacircumuertitur, ſuper helices cochleæ eo prorſus modo moueri; quo pondus iuxta primam figuram mouebatur: dummodo tylum ap­tetur, vt docet Pappus in octauo libro; ita ſcilicet vt tantùm an­tè, retrouè axi cylindri æquidiſtans moueatur.

Et ſi loco tyli, quod helices habet concauas in parte inferiori, conſtituatur, vt in quarta figura, cylindrus concauus vt D, & in eius concaua ſuperficie deſcribantur helices, incidanturq; ita, vt aptè cùm cochlea congruant (eodem enim modo deſcribentur helices in ſuperficie concauia cylindri, ſicuti fit in conuexa) ſi deinde co­chlea in ſuis polis firmetur, ſcilicet in ſuo axe, circumuertaturq;; patet D ad motum circumuerſionis cochleæ quemmadmodum tylum moueri. nec non ſi D in EF firmetur, ita vt immobilis ma neat, dum circumuertitur cochlea; ſuper helices cylindri D, ad motum ſuæ circumuerſionis dextrorſum, vel ſiniſtrorſum factæ; tùm in anteriorem, tùm in poſteriorem partem mouebitur. cylin­drus autem D hoc modo accommodatus vulgò mater, ſiue cochleæ fæmina nuncupatur.

Si autem cochleæ (vt in quinta figura) tympanum C dentibus obliquis dentatum apponatur, vt docet Pappus in eodem octauo li­bro; vel etiam rectis; ita tamen conſtructis, vt facilè cum cochlea conueniant: ſimiliter manifeſtum eſt ad motum cochleæ circumuerti etiam tympanum C. eodemq; modo tympani dentes ſuper helices cochleæ moueri. & hæc dicitur cochlea infinita, quia & cochlea, & tympanum dum circumuertuntur, ſemper eodem modo ſe ſe habent.

Hæc diximus, vt manifeſtum ſit cochleam in mouendo pondere cunei munere abſq; percuſsione fungi. Illud enim remouet à loco, vbi erat; quemadmodum cuneus remouet ea, quæ mouet, ac ſcindit. omnia enim hæc à cochlea mouentur, ſicuti pondus A in ſecun­da figura, & M in prima.

Quoniam autem duplici ratione mouentem cuneum conſiderari poſſe oſtendimus, videlicet vt mouet vectibus, vel vt eſt planum horizonti inclinatum, dupliciter quoq; cochleam conſiderabimus;

& primùm vt vectibus mouet, vt in prima figura circumuertatur kF, & perueniat in KP; tunc, ſicut dictum eſt, TV erit intra pon­dera MN. & ſicut conſideramus vectes in cuneo, eodem quoq; modo eos conſiderare poſſumus in cochlea hoc pacto. erit ſcilicet IVH vectis, cuius fulcimentum I, & pondus in V. ſimiliter ITG vectis, cuius fulcimentum I, & pondus in T. potentiæ verò mo­uentes GH eſſe deberent; ſed ſicuti in cuneo potentia mouens eſt percuſsio, quæ mouet cuneum; idcirco erit, ubi potentia mo­uet cochleam; ſcilicet in P manubrio kP. cochlea enim ſine per­cuſsione mouetur. Hæc autem conſideratio propter vectes infle­xos impropria forſitan eſſe videbitur; Quocirca ſi id, quod mouetur à cochlea, ſupra planum horizonti inclinatum moueri intelligatur; erit quidem huiuſmodi conſideratio (cùm ipſi quoq; cuneo conueniat) figuræ ipſius cochleæ magis conformis.

PROPOSITIO II.

Si fuerit cochlea AB helices habens æquales CDEFG. Dico has nihil aliud eſſe præter planum horizonti inclinatum circa cylindrum re­uolutum.

Sit cochlea AB horizonti perpendicularis duas habens helices CDEFG. exponatur HI æqualis GC, quæ bifariam diui­datur in k; erunt Hk kI non ſolum inter ſe ſe, verùm etiam ipſis GE EC æquales, & ipſi HI ad rectos angulos ducatur LI; & per LI intelligatur planum horizonti æquidiſtans; ſitq; LI dupla perimetro cylindri AB, quæ bifariam diuidatur in M; erunt IM ML cylindri perimetro æquales. connectatur HL, & à puncto M ducatur MN ipſi HI æquidiſtans, coniungaturq; KN. quoniam enim ſimilia ſunt inter ſe ſe triangula HILNML, cùm

NM ſit æquidiſtans HI; erit LI ad IH, vt LM ad MN: & permutando vt IL ad LM; ita HI ad NM. ſed IL dupla eſt ipſius LM; ergo & HI dupla erit MN. ſed eſt etiam dupla ipſius kI, quare kI NM inter ſe æquales erunt. & quoniam anguli ad MI ſunt recti; erit kM parallelogrammum rectangulum, & kN æqua lis erit IM. quare KN perimetro cylindri AB æqualis erit. ponatur itaq; HI in GC, erit Hk in GE. circumuoluatur deinde triangulum HkN circa cylindrum AB, deſcribet HN helicen GFE; cùm NK perimetro cylindri ſit æqualis; & punctum N erit in E; & MN in CE. & quia ML æqualis eſt perimetro cylindri; cir­cumuoluatur rurſus triangulum NML circa cylindrum AB, NL deſcribet helicen EDC. quare tota LH duas deſcribet helices CDEFG. patet igitur has helices cochleæ nihil aliud eſſe, ni­ſi planum horizonti inclinatum; cuius inclinatio eſt angulus HLI circa cylindrum circumuolutum, ſupra quod pondus mouetur. quod demonſtrare oportebat.

Ex 4. ſexti.

Quomodo autem hoc ad libram reducatur manifestum eſt ex nona octaui libri eiuſdem Pappi.

Poſtquam vidimus quomodo pondera huiuſmodi moueantur inſtrumento; nunc conſiderandum eſt, quæ nam ſint ea, quæ efficiunt, vt pondera facilè moueantur: hæc autem duo ſunt.

Primùm quidem, quod efficit, vt facilè pon­dus moueatur, quod etiam ad eſſentiam cochleæ magis pertinere videtur; eſt helix circa co­chleam. vt ſi circa datam cochleam AB duæ ſint helices inæquales CDA EFG, ſitq; AC minor EG. Dico idem pondus facilius ſuper helicen CDA moueri, quàm ſuper EFG.

Compleatur cuneus ADCHI, hoc eſt de­ſcribatur helix CHI æqualis CDA, & ver­tex cunei ſit C. ſimiliter compleatur cuneus GFEKL, cuius ver­tex E. exponatur de­inde recta linea MN, quæ ſit ipſi AC æqua­lis, cui ad rectos angulos ducatur NP, quæ ſit æqualis perimetro cy­lindri AB: & conne­ctatur PM; erit PM, per ea, quæ dicta ſunt, ipſi CDA æqualis. producatur deinde M N in O, fiatq; ON æ­qualis MN, coniungaturq; OP; erit OPM cuneus cuneo ADCHI æqualis. ſimili­ terq; exponatur cu­neus STQ æqualis cuneo GFEkL; erit TR ipſi PN, & perime­tro cylindri æqualis; & QR æqualis GE. cùm autem GE ma­ior ſit AC; erit & RQ maior MN. ſecetur RQ in V; fiatq; RV ipſi MN æqualis, & coniungatur TV; erit triangulum TVR tri­angulo MPN æquale: duæ enim TR RV duabus PN NM ſunt æquales, & anguli, quos continent, ſunt æquales, nempe recti; angulus igitur RTV

angulo NPM æqualis erit. quare angulus MPN minor eſt angu­lo QTR; & horum dupli, angulus ſcilicet MPO minor angulo QTS. quoniam autem cuneus, qui angulum ad verticem mino rem habet, facilius mouet, ac ſcindit, quàm qui habet maiorem; cuneus ergo MPO facilius mouebit, quàm QTS. facilius igitur pondus à cuneo ADCHI mouebitur, quàm à cuneo GFEkL. pondus ergo ſuper helicen CDA facilius mouebitur, quàm ſuper EFG. eodemq; modo oſtendetur, quò minor erit AC, eò faci­lius pondus moueri. quod demonſtrare oportebat.

1 Huius. 1 Huius. 4 Primi.

ALITER.

Sit data cochlea AB duas habens helices æquales CDEFG; ſit deinde alius cylindrus abipſi AB æqualis, in quo ſummatur OP ipſi CG æqualis; diuidaturq; OP in tres partes æquales OR RT TP, & tres deſcribantur helices OQRSTVP; erit vnaquæq; OR RT TP minor CE, & EG: tertia enim pars minor eſt dimidia. dico idem pondus facilius ſuper helices OQRSTVP moueri, quàm ſuper CDEFG. exponatur HIL triangulum orthogonium, ita vt HI ſit ipſi CG æqualis, & IL duplo perimetri cylindri AB æqualis, & per LI intelligatur planum horizonti æquiſtans; erit HLæqualis CDEFG; & HLI inclinationis angulus erit. exponatur ſimiliter XYZ triangulum orthogonium, ita vt XZ ipſi OP ſit æ­qualis, quæ etiam æqualis erit CG, & HI; ſitq; ZY cylindri pe­rimetro tripla, erit XY æqualis OQRSTVP. diuidatur ZY in

tres partes æquales in gd; erit vnàquæq; Z g gd d Y perimetro cylindri abæqualis, quæ etiam perimetro cylindri AB æquales erunt; & per conſequens ipſis IM, & ML. connectatur Xd. & quoniam duæ HI IL duabus XZ Zd ſunt æquales, & angulus HIL re­ctus æqualis eſt angulo XZd recto; erit triangulum HIL trian­gulo XZd æquale; & angulus HLI angulo XdZ æqualis; & Xd ipſi HL æqualis. ſed quoniam angulus XdZ maior eſt angulo XYZ; erit angulus HLI angulo XYZ maior. ac propterea planumHL magis horizonti inclinat, quàm XY. quare idem pondus à minore potentia ſuper planum XY, quàm ſuper planum HL mouebitur; vt facilè elicitur ex eadem nona Pappi. cùm autem helices OQRSTVP nihil aliud ſint, quàm planum XY horizonti inclinatum in angulo XYZ circa cylindrum abcircumuolutum; & helices CDEFG nihil ſunt aliud, quàm planum HL horizonti inclinatum in angulo HLI circa cylindrum AB circumuolutum; facilius ergo pondus ſuper he­lices OQRSTVP mouebitur, quàm ſuper helices CDEFG.

Ex 2 huius. 21 Primi.

Si autem OP diuidatur in quatuor partes æquales, deſcribantur­què circa abquatuor helices; adhuc facilius pondus mouebitur ſu­per has quatuor, quàm ſuper tres OQRSTVP. & quò plures erunt helices, eò facilius pondus mouebitur. quod demonſtrare oportebat.

Tempus verò huius motus facilè patet, helices enim CDEFG ſunt æquales HL; helices verò OQRSTVP ſunt æquales XY: ſed XY maior eſt HL; ideo fiat Ye ipſi HL æqualis: ſi igitur duo pondera ſuper lineas LHYX moueantur, & veloci­tates motuum ſint æquales, citius pertranſibit quod mouetur ſuper LH, quàm quod ſuper YX mouetur. in eodem enim tempore erunt in He. quare tempus eius, quod mouetur ſuper helices OQRS TVP, maius erit eo, quod eſt menſura eius, quod mouetur ſuper C DEFG. & quò plures erunt helices, eò maius erit tempus. cùm autem datæ ſint lineæ HIXZ, & ILZY: datæ enim ſunt cochleæ AB ab; & anguli ad IZ recti dati; erit HL data. ſimiliter & XY data erit. quare & harum proportio data erit. temporum igitur proportio eorum, quæ ſuper helices mouentur data erit.

Ex 18 Primi. Ex 48 primi. 1 Datorum & Ex ſexta primi Ioannis de Monte rego de triangulis.

Alterum, quod efficit, vt pondera facilè mo­ueantur, ſunt ſcytalæ, aut manubria, quibus co­chlea circumuertitur.

Sit cochlea habens helices ABCD, quæ etiam ſcytalas ha­beat EFGH foraminibus cochleæ impoſitas. ſit infra helices cylindrus MN, in quo non ſint inciſæ helices; & circa cylindrum funis circumuoluatur trahens pondus O, quod ad motum ſcytala rum EFGH moueatur, ac ſi ergatæ inſtrumento traheretur. ducatur (per ea quæ prius dicta ſunt de axe in peritrochio) Lk ſcytalæ æqualis, axiq; cylindri perpendicularis, eumq; ſecans in I: patet quò longior ſit LI, & quò breuior ſit Ik, pondus O facilius moueri. eſt autem animaduertendum, quòd dum cochlea mouet pondus, ſi mente concipiatur, quòd loco trahendi pondus O fune, pondus ſuper helices ABCD moueat; pondus quoq; in k, quod ſit R, ſuper helices etiam facilius mouebit. eſt enim LK vectis, cuius fulcimentum eſt I: cùm circa axem cochlea circumuertatur; po­tentia mouens in L; & pondus in k. facilius enim mouetur pondus vecte Lk, quàm ſine vecte; quia LI ſemper maior eſt Ik. Intelligatur itaq; manente cochlea pondus R moueri à potentia in L vecte Lk ſuper helicen Ck: vel quod idem eſt, ſicut etiam ſupra diximus, ſi pondus R aptetur ita, vt moueri non poſsit, ni ſi ſuper rectam PQ axi cylindri æquidiſtantem; circumuertaturq; cochlea, potentia exiſtente in L; mouebitur pondus R ſuper he­licen CD eodem modo, ac ſi à vecte Lk moueretur. idem enim eſt, ſiue pondus manente cochlea ſuper helicen moueatur; ſiue helix circumuertatur, ita vt pondus ſuper ipſam moueatur. cùm ab eadem potentia in L moueatur. ſimiliter oſtendetur, quò longior ſit LI, adhuc pondus facilius ſemper moueri. à minori enim potentia moueretur. quod erat propoſitum.

2 Cor. 1 huius de vecte. Ex 1 huius de vecte.

Tempus quoq; huius motus manifeſtum eſt, quò enim longior eſt LI, eò tempus maius erit: dummodo potentiæ motuum ſint in velocitate æquales; ſicuti dictum eſt de axe in peritrochio.

COROLLARIVM.

Ex his manifeſtum eſt. quò plures ſunt heli­ces; & quò longiores ſunt ſcytalæ, ſiue manu­bria, pondus ipſum facilius quidem, tardius autem moueri.

Virtus deniq; mouentis, atq; in ſcytalis con­ſtitutæ potentiæ, hinc manifeſta fiet.

Sit datum A centum; ſit planum horizonti inclinatum CD in angulo DCE. inueniatur ex eadem nona Pappi quanta vi pondus A ſuper CD mouetur; quæ ſit decem. exponatur cochlea LM helices habens GHIK &c. in angulo ECD; per ea, quæ dicta ſunt, potentia decem pondus A ſuper helices GHIk mouebit. ſi autem hac cochlea volumus pondus A mouere, & potentia mo­uens ſit vt duo. ducatur NP axi cochleæ perpendicularis, axem ſecans in O; fiatq; PO ad ON, vt vnum ad quinq; hoc eſt duo ad decem. Quoniam enim potentia mouens pondus A in P, ideſt ſuper helices eſt vt decem, cui potentiæ reſiſtit, & æqualis eſt potentia in N vt duo; eſt enim NP vectis, cuius fulcimentum eſt O. potentia ergo vt duo in N pondus A ſuper helices cochleæ mouebit. efficiantur igitur ſcytalæ, ſiue manubria, quæ vſq; ad N perueniant; manifeſtum eſt, potentiam vt duo in his pondus cen­tum cochlea LM mouere.

Ex 1 huius de vecte.

Si igitur ſit cochlea QR helices habens in angulo DCE, & cir­ca ipſam ſit eius mater S, quæ ſi pependerit centum, adiiciatur ST manubrium quoddam, ſiue ſcytala; ita vt T in eadem proportio­ne diſtet ab axe cylindri, vt NOP; patet potentiam vt duo in T mouere S ſuper helices cochleæ. nihil enim aliud eſt S, niſi pon­dus ſuper helices cochleæ motum. ſimiliter ſi S ſit immobilis, cir­cumuertaturq; cochlea manubrio, ſiue ſcytala QX in eadem pro­portione conſecta; fueritq; cochlea centum pondo (quòd qui­dem, vel ex ſe ipſa, vel cum pondere V cochleæ appenſo, vel cum pondere Y cochleæ ſuper impoſito centum pependerit) manife­ſtum eſt potentiam vt duo in X mouere cochleam QR ſuper helices intra matricem cochleæ inciſas. atq; ita in aliis, quæ cochleæ inſtrumento mouentur; proportionem potentiæ ad pondus inue­niemus.

COROLLARIVM.

Ex hoc manifeſtum eſt, quomodo datum pondus à data potentia cochlea moueatur.

Illud quoq; præterea hoc loco obſeruandum occurrit; quò plu­res erunt matricis cochleæ helices, eò minus in pondere mouen­do cochleam pati. ſi enim matrix vnicam duntaxat helicen poſſederit, tunc pondus vt centrum à ſola cochleæ ſuſtinebitur helice; ſi verò plures, in plures quoque, ac totidem cochleæ heli­ces ponderis grauitas diſtribuetur; vt ſi quatuor contineat helices, tunc quatuor viciſsim cochleæ helices vniuerſo ponderi ſuſtinendo incumbent; ſiquidem vnaquæquè quartam totius ponderis portio­nem ſuſtentabit. quòd ſi adhuc plures contineat helices, ponderis quoq; totius in plures, atque ideo minores portiones fiet diſtri­butio.

Oſtenſum eſt igitur pondus à cochlea moueri tamquam à cuneo percuſsionis experte: loco e­nim percuſsionis mouet vecte, hoc eſt ſcytala, ſi­ue manubrio.

His demonſtratis liquet, quomodo datum pon­dus à data potentia moueri poſsit. quòd ſi vecte hoc aſſequi volumus; poſſumus & dato vecte da tum pondus data potentia mouere. quod quidem in nullis ex aliis fieri poſſe abſolutè contingit: ſiue ſit cochlea, ſiue axis in peritrochio, ſiue trochlea. non enim datis trochleis, neq; dato axe in peri­trochio, neq; data cochlea, datum pondus à data potentia moueri poteſt, cùm potentia in his ſem­per ſit determinata: ſi igitur potentia, quæ pondus mouere debeat, hac minor ſit data, nunquam pondus mouebit. poſſumus tamen dato axe, & tympa­no abſq; ſcytalis datum pondus data potentia mo­uere; cùm ſcytalas conſtruere poſsimus, ita vt ſemidiameter tympani dati vná cum longitudine ſcytalæ ad axis ſemidiametrum datam habeat pro­portionem. quod idem cochleæ contingere poteſt, ſcilicet datum pondus data cochlea ſine manubrio, vel ſcytala, data potentia mouere. co­gnita enim potentia, quæ pondus ſuper helices moueat, poſſumus manubrium, ſiue ſcytalam ita conſtruere, vt data potentia in ſcytala eandem vim habeat, quam potentia pondus ſuper helices mouens cùm autem hoc datis trochleis nullo mo do fieri poſsit. datum tamen pondus data poten­tia trochleis infinitis modis mouere poſſumus. datum verò pondus data potentia cunei inſtru­mento mouere, hoc minimè fieri poſſe clarum eſſe videtur; non enim data potentia datum pon­dus ſuper planum horizonti inclinatum mouere poteſt, neq; datum pondus à data potentia mouebitur vectibus ſibi inuicem aduerſis, quemmadmo­dum in cuneo inſunt; cùm in vectibus cunei pro­pria, veraq; vectis proportio ſeruari non poſsit. vectium enim fulcimenta non ſunt immobilia, cùm totus cuneus moueatur.

Poterit deinde quis ſtruere machinas, atq; eas ex pluribus componere; vt ex trochleis, & ſuc­culis, vel ergatis, pluribuſuè dentatis tympanis, uel quocunq; alio modo; & ex ijs, quæ diximus; facilè inter pondus, & potentiam proportionem inuenire.

FINIS.

Locorum aliquot, quæ inter imprimendum deprauata ſunt, emendatior lectio.

Pagina 2, b, verſu 19, AEBD ¶ 5, a, 6, ipſi ¶ 7, b, 9, ODH ¶ 9, b, 19, contingit¶ 15, a, 24, grauius ¶ 16, b, 30, recto ¶ 21, a, 26, ſuſtineatur ¶ 23, b, 8, BD DC ¶ 31, b, 9, totum GK ¶ 34, a, 24, pondera FG ¶ 38, b, 27, maior AF ¶ 39, b, 24 AB in D ¶ 40, a, 1, ad BD ¶ 44, b, 24, graui ¶ 48, a, 7, ipſi AD ¶ 50, b, 12 pondus ¶ 54, a, 7, quàm ¶ 61, a, 6, præterquam in E ¶ 65, a, 33, quam ¶ 81, a, 1, ligato ¶ 85, b, 22, vtriq; ¶ 97, a, 14, dextrorſum ¶ 98, b, 20, Hic ¶ 110, b, in poſtill. Lemma in primam ¶ 122, a, 8, & 17, helicen¶ 123, b, 15, ventes in GH ¶ 124, b, 17, manifeſtum ¶ 127, a, in poſtil. Monteregio¶ 127, b, in poſtil. ex Cor. REGISTRVM. <12><12><12> ABCDEFGHIKLMNOPQRSTVX YZ, Aa Bb Cc Dd Ee Ff Gg Hh Ii Kk. Omnes duerni. PISAVRI Apud Hieronymum Concordiam. M. D. LXXVII.