Monte, Guidobaldo del In Duos Archimedis Aequeponderatium libros paraphrasis 1588 Pesaro la monte_aeque_077_la_1588.xml 077.xml

GVIDIVBALDI E MARCHIONIBVS MONTIS IN DVOS ARCHIMEDIS ÆQVEPONDERANTIVM LIBROS

PARAPHRASIS Scholijs illuſtrata.

PISAVRI Apud Hieronymum Concordiam; M D LXXXVIII. Superiorum Conceſſu.

SERENISSIMO FRANC.^{CO} MARIAE II. VRBINI DVCI.

GVIDVSVBALDVS E' MARCHIONIBVS MONTIS S.

Iam decemnium elapſum eſt, DVX Sere­niſſime, ex quo de rebus machanicis volu­men, veras (ni fallor) mirabilium mechani­corum effectuum cauſas manifeſtans, in lu­cem dedi; vbi non nulla antiquiora, præci­pua〈que〉 illuſtrium græcorum authorum pla­cita ad ſuſceptum negotium pertinentia, tanquam rectę rationi magis conſentanea amplexatus ſum. quibus ſanè, tanquam ſolidiſſimis innixa fundamentis, theo­remata multa, ac varia conſtruxi. quippe quæ, licet non inua­lidis quo〈que〉 demonſtrationum præſidijs à me ipſo munita fuerint; pleriſquè tamen, qui non admodum fortaſſe in huiuſ­modi rerum cauſis inueſtigandis verſati exiſtunt, noua pror­ſus (vt accepi) ac ferme inaudita, nec ſatis (vt opinor) apud eos firma, at〈que〉 ideo illis non omnino ſatisfeciſſe, viſa ſunt. Quo­circa cogitanti mihi, qua ratione fieri poſſet, vt opus illud à me editum, quàm plurimorum ſibi gratiam in dies magis conciliaret, in mentem venit, non aliunde id mihi oportuniùs contingere potuiſſe, quàm ſi priſcos ipſos, & grauiſſimos alioqui authores de hac re elegantiſſimè diſſerentes illis offerrem. ra­tus, vt ſolidiſſimâ eorum doctrinâ, quæ à me propoſita, & ex­plicata fuere theoremata, firmiora redderentur. ſimulquè aliorum ambiguitati, ne dicam imbecillitam ſuccurreretur. vel ſaltem ipſi grauiſſima eorum authoritate non nullorum captiua­rent intellectum, in obſequium meliùs, rectiùſquè ſentientium, at〈que〉 intelligentium. Nihil enim tam, aut a conſuetudine, aut ab opinione remotum eſſe ſolet, quod ſola authoritate proba­ri non poſſit. Verùm ne huiuſmodi negotium in recenſendis multorum ad propoſitam veritatem confirmandam teſtimo­nijs latiùs, quàm par eſſet, protraheretur; mihi conſtitui, ex multis vnicum tantùm, eumquè reliquorum omnium hac in par te facilè principem deligere: qui, & meam cauſam tueretur: & illis, ſi fieri poſſet, ſatisfaceret: vt〈que〉 grave; coràm illis ipſe ſe offerens, tanquam meo quo〈que〉 nomine miſſus intelligeretur; quibuſ­dam meis notis non inſignitum certè, ſed aſſociatum eundem prodire volui. Eſt autem grauiſſimus hic author Syracuſius ille Archimedes de mechanicis elementis conſultiſſimè diſſerens. cuius nimirum dignitati, at〈que〉 authoritati, vt omnes probè à me conſultum intelligerent; decreui, vt 〈que〉madmodum inter alios illius ordinis viros primatum obtinet, ita nulli alij, quàm amplitudini tuę DVX Sereniſſime, hac noſtra ętate, doctrina, rerumquè omnium cognitione ſingulari, citra controuerſiam Principi ſupremo, ſuum in primis hoc tempore præſtaret obſequium. quod incredibili ſanè animi mei iucunditate conti­giſſe fateor; non ſolùm, vt rurſum aliquam ſingularis meæ er­ga amplitudinem tuam obſeruantiæ, ac venerationis, tot, tan­tiſquè nominibus iam pridem debitę teſtificationem ederem; verùm etiam, vt munuſculo illi meo tanto Principi audentiùs fortaſſe antea oblato, ne prorſus prę ſua tenuitate deſpiceretur, opem ferret. quanquam ne〈que〉 id quidem, pro eximia animi tam excelſi magnitudine, ſuſpicandum fuit. Per hunc ergo tam celebrem authorem ad te Princeps optime, ac pręſtantiſſime lætabundus accedo. Is enim mihi, 〈que〉madmodum & ego ipſi, ad te aditum patefeciſſe videtur; & ſicut eundem tibi longe gra­tiſſimum futurum confido; ita me tui amantiſſimum, & obſeruantiſſimum, vt eâdem, qua conſueuiſti, benignitate proſe­quaris, oro ſuplex, & obſecro. Aueto dulce præſidium, ac ętatis noſtræ ſplendidum decus; & eſto perpetuò fęlix.

GVIDIVBALDI E MARCHIONIBVS MONTIS.

PRAEFATIO:

Mechanica facultas non ſolùm ab imperitis, verùm etiam ab eruditis admirabilis ſem­per habita fuit; eorum enim, quę in admi­rationem homines trahunt, duo eſſe gene­ra Ariſtoteles in principio ſuarum quęſtionum Meehanicarum aſſeruit; quorum ſanè alte rum ad ea pertinet, quæ natura quidem, proximis tamen ipſorum cauſis latentibus in lucem prodeunt; alterum verò ſpectat ad ea, quę pręter naturam, & arte fiunt; quibus natura ſuperari videtur (quamquam & ipſa plurimùm momenti ad ſe ipſam euincendam tune quo〈que〉 afferat) & quod naturę uiribus in lucem prodire nequit, id arte fieri contingat, ob idquè maiorem adhuc admirationem excitat, quòd ars naturę ęmula, quaſi aduerſus naturam ipugnans, cam ſupe­ret, & tanquan vim ipſi in ferre videatur; cuius ſanè operationis cauſa quo〈que〉 cognita admirationem parit; cùm exigua admo dum ad tanti operis productionem appareat. admirabile eſt ſa­nè ipſius artis magiſterium, cùm adeò potens ſit, vt effectus na­turę repugnantes producere tentet. quippè quibus, niſi ita ſenſibus ſubijciàntur; vt tangi propemodum, & conſpici poſſint, vix fides adhibeatur; idquè non ſine admiratione adhuc cognitum, ac perſuaſum nobis eſſe poſſit. huiuſmodi autem mira­bilium operum opifex eſt ipſa mechanica diſciplina, tam na­turę ęmula, quàm oppugnatrix valida. Hęc enim grauia proprio fermè nutu ſurſum attolli, magnaquè pondera ab exigua admodum virtute moueri, aliaquè id genus huiuſmodi ſpe­ctanda proponit. vt tum imperitis ex ipſorummet effectuum intuitu, tum eruditis in cauſarum varia contemplatione ad­mirationem pariat. veluti ſi ea ſpectemus, quę neruis, vel ali­quo mouétur inſtrumento; vel quę ſpiritibus concinnuntur, & fiunt; de quibus Heron, & alij pertractarunt; vel deni〈que〉 alijs modis. quamquam nos in ijs, quæ dicenda ſunt, de ea mecha­nicæ facultatis parte, quæ ad pondera, diſtantiaſ〈que〉 inter ipſa exi­ſtentes pertinet, quorum ſtatus ad ęquilibrium reduci poteſt, verba faciemus. quæ quidem pars totius mechanicę facultatis prin­ceps exiſtit. ea enim eſt, in qua artem ſuperare naturam aper­tiùs conſpicitur: quod quidem, qua ratione contingat, hinc planum euadet.

Ars quippe ex Ariſtotele phiſicorum ſecundo, & ex proæ­mio quæſtionum mechanicarum triplici modo in ſuis opifi­cijs ſeſe habere videtur. Nam vel immitatur naturam; vel ea perficit, quæ natura perficere non poteſt; vel deni〈que〉 ea, quæ pręter naturam fiunt, operatur; in quibus tamen omnibus o­perandi rationibus, ſi diligenter eas conſideremus, artem ſem­per immitari naturam perſpiciemus. Primùm quidem multas artes naturam immitari aperte videmus, vt ſculpturam, & hu­iuſmodi alias. Quando autem ars ea perficit, quæ ſola natu­ra perficere non poteſt, vt in arte medica euenire ſolet; naturam ipſam pariter emulatur, & naturæ aſſociata, velut inſtrumen­tum eius, naturalem effectum perficere dicitur: tuncquè eodem modo operatur, ac ſi natura rem ipſam abſ〈que〉 artis ope perfice repoſſet, quod planè artis præſtantiam manifeſtat: quippè cùm niſi ars ipſi naturæ manum porrigat, natura ipſa proprios effectus perficere ex ſeſe minimè poſſit. At verò ſi ars naturam immitando ipſam ſuperauerit; vt ea, quæ ab arte fiunt, præter naturam eueniant, longè adhuc præſtantiùs artis ingenium apparebit. ſiquidem immitando naturam (paradoxum id for tè videbitur, cùm tamen veriſſimum ſit) præter naturæ ordi­nem operari dicatur. Ars. enim mirabili artificio naturam ipsa natura ſuperat; ita nimirum res diſponendo, vt ipſa efficeret natura, ſi eiuſmodi ſibi producendos ſtatueret effectus. quod qui dem ſubiecto exemplo magis perſpicuum fiet.

Sint enim duo pondera AB in aliquo vecte, A maius, B minus; quorum ſi­mul ita in vecte diſpoſito­rum ſit centrum grauitatis C. ſit autem ſub vecte in­ter CA fulcimentum in D. & quoniam pondera AB penes C grauitatis centrum inclinantur? tunc C deorſum naturaliter mouebitur; ac per conſe〈qué〉s pondus quo〈que〉 B deorſum tendet. Sed ſi B deorſum mouetur, A certè ſurſum eleuabitur. quippe quod, quamuis, vt graue eſt, at〈que〉 ſolutum abſ〈que〉 connexione ponderis B deorſum tende ret; attamen vt adnexum ponderi B, intercedente vecte AB, ſurſum mouebitur: & (vt ita dicam) pondus A contra pro­priam naturam naturaliter aſcendet. Vndè perſpicuum eſt, hos motus effectus eſſe naturales. Quid igitur efficit ars ipſa? nil fanè aliud, quàm quòd resita diſponit, & accomodat; vt ſimi­les effectus inde prodeant at〈que〉 ſi naturales omnino exiſtant, quare opus erit, ut Ars naturam immitetur, ſiquidem effectus naturales prouenire debent. propterea vectem, fulcimentum­què eodem modo diſponit; & loco ponderis B aliquam con­ſtituit potentiam, quæ pręmendo parem vim habeat grauita­ti ipſius B; at〈que〉 tunc ipſa potentia mouens, quę minoreſt grauitate ponderis A, ipſum A grauius nihilominus attollet. quod quamuis propriæ ipſius naturæ repugnet, naturaliter ta­men ab ipſa potentia in B exiſtente ſursum feretur: res enim ita diſpoſitæ talem habent naturam, vt A quidem ſurſum, B vero deorſum moueri debeant. quę ſanè ex noſtro Mechanicorum libro, & ex ijs, quæ in hoc pertractantur; compertiſſimè red­dentur, & quod diximus devecte, de alijs quo〈que〉 in ſtrumen­tis mechanicis intelligendum eſt. quorum quidem apparatus ſunt artis opera, effectus autem ipſius penè naturæ: cùm eius momenta, inclinationesquè ſequantur, veluti præcipuas eiuſ­modi operum effectrices cauſas: quippè quæ ſunt omnino ad­mirabiles, ac pręſtantiſſime; 〈que〉madmodum ex ipſarum contemplatione patere poteſt. cuius rei argumentum illud indicaſſe ſat eſto, nimirum eas à ſummis uiris, Ariſtotele, & Archimede fuiſſe pertractatas. Ariſtoteles. enim in principio Quęſtionum mechanica­rum multa, ea〈qué〉 pręcipua ad cauſas rei mechanicæ dignoſcendas aperuit; 〈qué〉 ſecutus Archimedes in his libris mechanica prin­cipia explicatiùs patefecit, eaquè planiora reddidit. Nec propterea Ariſtoteles diminutus extitit: etenim eorum, quę ab ipſo propoſita, & explicata fuere, problematum cauſas egregiè patefe­cit. ſed quoniam Archimedi ſcopus fuit mechanicę diſciplinę rudimenta explanare; propterea ad magis particularia enucleam da deſcendere voluit. Ariſtoteles. enim (gratia exempli) quęrens cur vecte magna mouemus pondera? cauſam eſſe ait longitudinem vectis maiorem ad partem potentiæ: & rectè quidem; cùm ex principio ab ipſo conſtituto manifeſtum ſit, ea, quę ſunt in longiori à centro diſtantia, maiorem quo〈que〉 habere virtuté. Ar­chimedes verò vlteriùs adhuc progredi voluit, hoc admiſſo, nem pè quod eſt in longiori diſtantia maiorem uim habere, quàm id, quod eſt in breuiori, inquirere etiam voluit, quanta ſit vis eius, quod eſt in longiori diſtantia ad id, quod eſt in breuiori; ita vt inter hęc nota reddatur qualis, & quę ſit eorum propor­tio determinata. at〈que〉 ideo fundamentum illud mechanicum pręſtantiſſimum manifeſtauit; videlicet ita ſeſe habere pon­dus ad pondus, vt diſtantia ad inſtantiam, vnde pondera ſu­ſpenduntur, ſeſe permutatim habet. quo ignoto, res mechani­cę nullo modo pertractari poſſe videntur. quandoquidem huic tota mechanica facultas tanquam vnico, pręcipuo〈que〉 fundamento innititur. Quare Archimedes Ariſtotelem ſequi videtur; quod non ſolùm patet exijs, quæ dicta ſunt; verùm etiam ſi Archimedis poſtulata conſiderauerimus, quibus conſtituendis, ea, quæ de principijs mechanicis Ariſtoteles patefecit, Archi­medé ſupponere comperiemus. vt deinceps ſuo loco perſpicuum fiet. In ratione pręterea, ac modo conſiderandi mechanica, maxi­ma ambo affinitate coniuncti in cedere vidétur. Ariſtoteles. enim res mechanicas tum Mathematica, tú naturalia ſapere, ac reſpicere aſſeruit: quod quidem & Archimedes optimè nouit: nam quę Mathematicè ſunt conſideranda, geometricè demonſtrauit, vt ſunt diſtantiæ, proportiones, & alia huiuſmodi: quæ verò ſunt naturalia, naturaliter quo〈que〉 conſiderauit; vt ea, quæ ad grauitatis centrum ſpectant, & quæ ſurſum, & quę deorſum moue ri debent; & cętera huiuſmodi. Ex quibus patet maximum eſſe inter tantos viros in his pertractandis conſenſum. Ambiget fortaſſe quiſpiam, nunquid hęc principia rectè ab illis fuerint pertractata? ſed ſtatim omnis ceſſat dubitandi occaſio, ſi tantorum virorum pręſtantia ad memoriam reuocetur; quibus, citra controuerſiam in diſciplinis ab ipſis traditis, omnes eru­diti palmam deferunt. vt 〈que〉madmodum abſ〈que〉 Ariſtotele duce, at〈que〉 doctore, nemo ad rectè philoſophandum, ita ne〈que〉 etiam ad Mathematicam, pręcipue〈que〉 Mechanicam diſciplinam abſ〈que〉 Archimede ſeſe quiſpiam diſponere poſſit: quorum ſanè apud peritiores authoritas meritò ob id ſuprema extat; quòd ab ipſis res eo meliori, pręſtantiori〈que〉; modo pertractatę fuerunt, quo ipſarum rerum natura, at〈que〉 doctrinę ratio poſtulabat. & qui ſcientiarum cupidi ſunt, illos ſequi, eorum què ſcripta ſępè ſępius attentè perlegere debent. Pręterea philoſophię, ac Ma­thematicę profeſſores in hoc conueniunt; quòd cùm aliqua ad philoſophiam ſpectantia tractant; mirum in modum Ariſto­telem laudibus extollunt. qui verò Mathematicas pertractare ſtudét, ſtatim ad Archimedis laudes pariter ſe conferunt. tametſi circa ea, quę nó ſunt Archimedis verſentur; vt quam plurimi fecere, quod quidem optimo factum eſt conſilio. etenim ſi ea, quæ mathematica ope indigent, laudare volunt, ad Archimedem confugiendum eſt; vt ſi inuentionem, ſubtiliſſimum Archi­medis inuentum afferant, quo modum adinuenit cognoſcen­dę quantitatis argenti, quod erat in corona Regis aurea, vt Vi­truuius teſtatur; & alia huiuſmodi; ſi admirabilia, ſtatim affe­rant Archimedis ſphęram in globo vitreo elaboratam, in qua omnes cęleſtis ſphæræ motus relucebant; ita ut natura potiùs Archimedem immitata, quàm Archimedes naturam illuſiſſe videatur; nauim præterea graui pondere oneratam è mari in littus ab Archimede eductam; aliaquè id genus plurima. De­ni〈que〉 ſi res Mathematicas ciuitatibus eſſe vtiles oſtendere vo­lunt, ea, quæ ab Archimede contra Marcellum in defenſio­ne patriæ facta fuere, in medium afferant, quo tempore bellica opera adeo mirabilia effecit, vt ſolus Archimedes contra bellicoſiſſimos Romanos pugnare ſufficiens videretur. quæ qui­dem omnia Mechanica diſciplina confecta ſunt. Quid igitur Mechanica admirabilius, & vtilius? è qua tot, tantaquè ad humani generis vtilitatem conferentia prodeunt? eximia cer­tè, & præclara admodum hæc Archimedis geſta fuere; quæ ta­men, ſi ad alia quamplurima, quæ de ipſo dici, ac afferri poſſunt, conferantur; exigua ſanè mihi videntur. Nam quæ ha­ctenus commemorata ſunt, (quamquam fortaſſe non omnia) multa tamen, huiuſmodiquè ſimilia alij quo〈que〉 effecerunt, & adhuc extant fortaſſe viri eo ingenij acumine pręditi, qui talia aggredi non vererentur: ſed nonnulla egregia extant ipſius Archimedis opera, quorum ſimilia, nec antea, nec poſt ipsum facta fuere, ne〈que〉 in futurum facienda fore à nemine ſint ex­pectanda. omnium enim admirabiliſſima, præſtantiſſima­què ſunt eius ſcripta, in quibus, & ingenij acumen, inuentio­nes ſubtiliſſimæ, perfectaquè doctrina planè conſpicitur. adeo enim his omnibus Archimedis ſcripta aliorum ſcripta mathematicorum excellunt, ſuperantquè; vt quæ aliorum, facilè quidem inter ſeſe comparari, cum ijs verò, quę ab Archimede nobis relicta fuerunt; nullo modo poſſint. ut apertiſsimè (alijs interim omiſsis) conſpicuum redditur ex ijs, quæ de ſphęra & cylindro, & ex ijs, quę de æ〈que〉ponderantibus ſcri­pta reliquit: quippè quę ob eorum pręſtantiam, ac dignitatem meritò literis aureis eſſent imprimenda. liber enim de ſphęra, & cylindro inter Archimedis ſcripta excellens adeò habitus fuit; vt ad eius sepulcrum appoſita fuerit ſphęra, & cylindrus: quibus a Cicerone conſpectis; ſtatim illud Archimedis sepulcrum eſſe intellexit: de cuius inuentione ob uiri excellentiam maximè glo­riatur: Deindè qua ratione ipſum à temerario vanę orationis proferendæ auſu, (dum ſic loquitur, da mihi vbi ſiſtam, ter­ramquè mouebo) vindicare poſſemus; niſi hęc, quæ de æ〈que〉­ponderantibus extant, ſcripta reliquiſſet? ex his enim habita notitia proportionis ponderum, & diſtantiarum, ſit manife­ſtum non eſſe à ratione, nequè à natura prorſus alienum, poſſe terram moueri, ſi daretur conſiſtendi locus. quod etiam ex noſtro volumine Mechanico annis ab hinc aliquot elapſis e­dito varijs quoquè inſtrumentis parere poteſt. quandoquidem multis modis, datum pondus à data potentia moueri, ibi oſtem ſumeſt. vbi demonſtrationes à nobis conſtitutę ijs, quæ apud Archimedem preſenti opere habentur, totam eorum vim fer­ri volunt acceptam. Etne quidpiam, quod ſtudioſis mecha­nicæ facultatis prodeſſe poſſit, prętermitteretur, ad horum Archimedis librorum interprætationem aliquid operis con­tuliſſe placuit; ſatisquè nobis feciſſe videbimur; ſi ſaltem ſtu­dioſi nos Archimedis veſtigia ſecutos fuiſſe cognouerint. Et quamuis opus hoc fuerit ab Eutocio Aſcalonita nonnullis commentarijs illuſtratum, quia tamen propter Archimedis ſcriptorum obſcuritaté multa adhuc remanét abſtruſa, nec prorſus omnibus peruia; pręſertim gręcarum literarum experti­bus; cùm liber hic in latinum verſus multis in locis obſcurus, alijsquè pleris〈que〉 quodammodo mancus meritò ſuſpicetur; ita vt adhuc in tenebris iacere videatur; gręcusquè præterea codex impreſſus, 〈que〉m ſecuti ſumus, multis in locis aliqua correctione egere videatur; idcirco ab huiuſmodi munere pręſtando deſiſtere noluimus: quin ſimul hos libros in latinum ſermonem verteremus; commentarijsquè illuſtratos redde­remus. Cùm præſertim hinc tutus ad mechanicam diſciplinam pateat aditus. Quare vt mens huius pręclariſſimi Mathematici magis, at〈que〉 magis, quàm fieri poſsit, pro virili noſtra perſpicua reddatur; & huius ſcientiæ cupidi in adipiſcendis pulcherrimis hiſce theorematibus minùs laborent; à communi genere interprętandi aliquantulum in præſentia diſcedere nobis viſum eſt oportunum. Nam qui res mathematicas in­terprætati ſunt, ſuos commentarios ſeorſum à demonſtratio­nibus collocauere: nos verò, quę noſtra ſunt, verbis ipſius Archimedis inſeruimus, & hoc tantùm in ipſis demonſtra­tionibus, non in propoſitionibus, & huiuſmodi alijs, hac planè habita diſtinctione, vt quæ ſunt Archimedis (his, vel his literarum notis) cognoſcantur, ipſiusquè tantùm Ar­chimedis eſſe intelligantur. Quę verò alterius ſunt cha­racteris, utquę huius exiſtent formæ, noſtra eſſe ſemper ſint exiſtimanda. & quoad fieri potuit, verba omnia, quę nobis declaratione aliqua, nec non correctione indigere viſa ſunt (ijs tamen omiſſis, quę parui, imò nullius ſunt momenti, vt eſt literarum immutatio, & huiuſmodi alia) dilucidè expli­care, at〈que〉 emendare ſtuduimus. quibus etiam hanc adhibui mus diligentiam, quod quamuis ea, quæ noſtra, ſunt, verbis ſint Archimedis inſerta; ſiquis tamen verba tantùm Archi­medis legere maluerit, rectè id aſſequi poterit; ſiquidem ne verbum quidem Archimedis omiſimus: quinnimo ea ita di­ſpoſuimus, vt ſuum prorſus retineant ſenſum, poſſintquè continuatè legi; ac ſi nihil inter ipſa inſertum fuerit. quod qui­dem ſtudioſis non inutile fore iudicauimus; qui abſ〈que〉 no­ſtris additionibus Archimedem tantùm habebunt; cum noſtris verò additionibus Archimedis demonſtrationes continua­tas, & explicatas habebunt. Huberionis autem doctrinæ gratia permulta adiunximus ſcholia, in quibus paſſim ordinem, Authoriſquè artificium patefecimus; nec non multa lemmata ad Archimedis demonſtrationes neceſſaria demonſtraui­mus; aliaquè nonnulla ad explicationem, ſubiectamquè materiam valde vtilia adiecimus. Vt etiam Archimedis dicta magis eluceſcant, antequam ad explicationem verborum ipſius accedamus, nonnulla prius declarare oportunum no­bis viſum eſt ad ea, quæ in his libris Archimedis ſupponit tanquam cognita. Deinde conſiderandus proponitur ſcopus, at〈que〉 intentio Archimedis; diuiſio item librorum; huiuſ­modiquè alia, quæ ſummam afferent facilitatem ad intelligendam: mentem Archimedis.

in princip. 〈que〉ſt. Me­chan.

Claudianus

declaratio huius para phraſis.

Cùm itaquè ſupponat, nos exquiſitam habere notitiam centri grauitatis; illius definitionem afferre libuit: pro cuius tamen faciliori notitia illud quo〈que〉 in primis admonen­ dum duximus; nimirum quatuor reperiri centra. Centrum ui­delicet vniuerſi, centrum magnitudinis, centrum figuræ, & centrum grauitatis, quod quidem grauitatis centrum rectè definitur à Pappo Alexandrino in octauo libro mathemati­carum collectio num hoc pacto.

DEFINITIO CENTRI GRAVITATIS

Centrum grauitatis vniuſcuiuſ〈que〉 corporis eſt punctum quoddam intra poſitum, à quo ſi graue appenſum mente conçipiatur, dum fertur, quieſcit & ſerua eam, quam in principio habebat poſitionem, neque in ipſa latione circum- uertitur.

EIVSDEM ALIA DEFINITIO.

Centrum grauitatis vniuſcuiuſ〈que〉 ſolidæ figuræ eſt punctum illud intra poſitum, circa quod vndi〈que〉 partes ęqualium mo mentorum conſiſtunt. ſi. enim per tale centrum ducatur planum figuram quomodo cun〈que〉 ſecans, ſemper in partes æ〈que〉ponderantes ipſam diuidet.

Hanc poſtremam definitionem, ſeu potiùs deſcriptionem tradidit Federicus Commandinus in libro de centro grauita­tis ſolidorum. ex quipus ſanè definitionibus eluceſcit natura, at〈que〉 facultas centri grauitatis. vt ſi punctum A fuerit centrum grauitatis corporis BC, tunc ex Pappi ſententia, ſi BC ſuſpem datur ex A, magnitudo BC eadem, qua reperitur, diſpo­ſitione locata manebit; ne〈que〉 partes ullas ipſius corporis, vt quę ſunt ad BC, circumuerti, ne〈que〉 omnino ſuum mutare ſitum depræhendetur. ſi verò vt Commandino placuit, A fuerit centrum grauitatis magnitudinis BCD, eadem­què per punctum A vtcun〈que〉 ſecundùm rectitudinem diuidatur, veluti per EAF. tunc pars EBF ipſi ECDF æ〈que〉ponde­rabit, quamuis EBF, & ED ſint magnitudines inæquales. ſæpenumero enim e­uenire ſolet, vt in diuiſione figuræ per eius centrum graui­tatis ipſa aliquando in partes diuidatur æquales, ali­quando in partes inæquales: vt ſuo loco oſtendemus: ſemper tamen in partes diuiditur hinc inde æ〈que〉pon­derantes; non tamen ſeorſum conſtitutas, ab inuicenquè ſeiunctas, & veluti ad æquilibrium examinatas; vt pu­ta ſi EBF decem pondo ponderet; ED quo〈que〉 totidem pependiſſe oporteat. res quippe non ſic ſe habet, ſed cas eſſe in eo ſitu æ〈que〉ponderantes, in quo reperiuntur; vt neutra alteri pręponderet. ex quibus colligi poteſt, ſi graue quidpiam in centro mundi collo catum fuerit, oportere centrum grauitatis illius in centro mundi conſtitutum eſſe: ſiquidem vt graue illud tunc quieſcat, partes vndi〈que〉 ipſum ambientes ę­qualium momentorum exiſtere, at〈que〉 manere oporteat. Quare dum aſſeritur, graue quod cum〈que〉 naturali propen­ſione ſedem in mundi centro appetere, nil aliud ſignifica­tur, quàm quòd eiuſmodi graue proprium centrum grauitatis cum centro vniuerſi coaptare expetit, vt optimè quieſcere va­leat. Ex quo ſequitur motum deorſum alicuius grauis fieri per rectam lineam, quæ centrum grauitatis ipſius grauis, centrumquè mundi connectit. quandoquidem grauia deorſum rectà feruntur. Vnde manifeſtum eſt, Grauia ſecundum grauitatis centrum deorſum tendere. quod nos in noſtro Mechanicorum libro ſuppoſuimus.

in fine pri­mi huius.

Ex ijs omnibus, quæ hactenus de centro grauitatis dicta ſunt, perſpicuum eſt, vnumquod〈que〉 graue in eius centro grauitatis propriè grauitare, veluti nomen ipſum centri gra­uitatis idipſum manifeſtè præſeferre videtur. ita vt tota vis, grauitaſquè ponderis in ipſo grauitatis centro coaceruata, collectaquè eſſe, ac tanquam in ipſum vndiquè fluere videatur. Nam ob grauitatem pondus in centrum vniuerſi naturaliter per uenire cupit; centrum verò graui tatis (exdictis) eſt id, quod propriè in centrum mundi tendit. in centro igitur grauitatis pondus propriè grauitat. Præterea quando aliquod pondus ab aliqua potentia in centro grauitatis ſuſtinetur; tunc pon­dus ſtatim manet, totaquè ipſius ponderis grauitas ſenſu per­cipitur. quod etiam contingit, ſi ſuſteneatur pondus in ali­quo puncto, à quo per centrum grauitatis ducta recta linea in centrum mundi tendat. hoc nam〈que〉 modo idem eſt, ac ſi pondus in eius centro grauitatis propriè ſuſtineretur. Quod quidem non contingit, ſi ſuſtineatur pondus in alio pun­cto. ne〈que〉 enim pondus manet, quin potiùs antequam ipſius grauitas percipi poſſit, vertitur vti〈que〉 pondus, donec ſimi liter à ſuſpenſionis puncto ad centrum grauitatis ducta re­cta linea in vniuerſi centrum recto tramite feratur. quæ quidem ex prima noſtrorum Mechanicorum pro- poſitione ſunt manifeſta, quando autem hæc linea eſt hori­zonti erecta, tunc idem prorſus eſt (vt mox diximus) perinde ac ſi pondus in centro grauitatis ad vnguem ſuſtineretur. Quocirca ſi pònderis grauitas minimè percipi poteſt, niſi in centro grauitatis ipſius, pondus certè in ipſo propriè grauitat.

Centrum figuræ apud Mathematicos eſt punctum, à quo ſemidiametri exeunt; vel per quod tranſeunt diametri, vt circuli centrum, & ellipſis, necnon oppoſitarum ſectionum.

Centrum verò magnitudinis eſt id, quod medium figuræ obtinet; vel quod ęqualiter ab exteriori ſuperficie diſtat. vt ſphærę centrum.

Centrum deni〈que〉 mundi eſt punctum in medio vniuerſi ſitum, omniumquè rerum infimum.

Cæterùm ad meliorem horum notitiam obſeruandum eſt, hęc centra aliquando ſimul omnia inter ſe conuenire, aliquam do nonnulla; aliquando autem minimè. ſimul verò omnia conueniunt. vt centrum vniuerſi, centrum magnitudinis terræ (ſphęræ ſcilicet ex aqua, terraquè compoſitę, quam nos breuitatis ſtudio terram tantùm nuncupabimus) centrum figu­rę terrę; ac centrum grauitatis terrę. Cùm enim terra ſit ſphæ­rica (vt omnes fatentur.) eius medium erit centrum figurę, à quo ſemidiametri exeunt. idipſum què erit centrum magnitudinis, ſiquidem ipſius figurę medium obtinet. Pręterea idem punctum eſt centrum grauitatis terrę. & quoniam terra in me dio mundi quieſcit, erit hoc centrum grauitatis in centro vniuerſi collocatum. & hoc duntaxat modo centra omnia in vnum conuenire poſſunt. quamquam verò ſphęra, quę continet terram & aquą, compoſita eſt ex corporibus diuerſę ſpeciei, differentiſquè grauitatis, nimirum ex terra, & aqua; non tamen efficitur, quin medium ipſius cum centro grauitatis conſpiret in vnum. Nam ex Ariſto telis ſententia terra circa mundi centrum vndi〈que〉 conſi ſtit; & Archimedes affirmat, etiam humidum manens eſſe ſphęri­cum, cuius centrum eſt centrum vniuerſi. ſi ita 〈que〉 terra, & aqua manent, quieſcuntquè circa centrum vniuerſi, ergo centrum mundi ipſo­rum ſimul centrum grauitatis exiſtit. at〈que〉 adeo quatuor prędicta centra in vnum ſimul conueniunt punctum. Quod autem tria ſimul centra in vnum coeant, ſatis conſpicuum eſſe poterit cuiquè ſphæram aliquam, putà ligneam, vel alterius (ſimilaris tamen) naturæ intuenti; ſiquidem eius medium erit centrum magni­tudinis, & centrum figuræ; idemquè punctum erit ipſius cen­trum grauitatis; circa quod vndi〈que〉 partes æ〈que〉ponderant. & quoniam hæc ſphæra non eſt in centro mundi; propterea tria tantùm centra ſimul conuenient. ſi verò ſphęra non ſimi­laris, ſed diſſimilaris fuerit, veluti altera ipſius meditate plum­bea, altera verò medietate lignea exiſtente, tunc eius medium erit quippe centrum magnitudinis, & figurę, grauitatis verò centrum nequaquam. Nam partes vndi〈que〉 circa medium æ­〈que〉ponderare non poſſent; ſed grauitatis centrum ad grauio­rem partem, nimirum plumbeam declinabit. & hoc modo duo tantùm centra inter ſe conuenient. vt etiam (modo ta­men diuerſo) accidit ellipſi; cuius centrum eſt centrum figu­rę, ſiquidem per ipſum tranſeunt diametri; idemquè punctum eſt ipſius centrum grauitatis. quod cùm non ſit propriè me­dium figuræ, non erit quo〈que〉 centrum magnitudinis. medium enim figuræ propriè circulo, ac ſphæræ tantùm competit. Quare duo centra hoc quo〈que〉 modo ſimul tantùm conue­nient. In figura paraboles recta linea terminatę centrum gra uitatis intra figuram reperitur, quippè quod ne〈que〉 centrum figuræ, ne〈que〉 centrum magnitudinis eſſe poteſt. etenim in hac figura non poteſt dari medium, vnde ne〈que〉 centrum magnitudinis dabitur, & quoniam in parabole diametri ſunt interſe ęquidiſtantes, vt ex primo libro conicorum Apollonij Pergei conſtat; ne〈que〉 etiam centrum figuræ dabitur. ſic igi­tur centra nullo modo conuenient.

lib. de cælo

lib. de iis quę uehuntur in aqua

16 Federi­ci comm. de centro grauitatis ſoli dorum.

4. Fed. comman. de centro graui­tatis ſolido rum.

in ſecundo libro huius

Nouiſſe quo〈que〉 oportet centrum grauitatis communius eſſe, in pluribuſquè reperiri, quàm centra magnitudinis, & fi­guræ: centrum verò figuræ communius eſſe centro magnitu­dinis. Nam quodlibet corpus, & quęlibet figura neceſſe eſt, vt habeat centrum grauitatis intrinſecùs, vel extrinſecùs. intrinſecùs vt centrum grauitatis alicuius corporis regularis, quod eſt in medio figuræ, vel alicuius figuræ vt A; cuius centrum grauitatis ſit in ambitu figuræ, vt in puncto B; extrinſecùs verò vt figura C, cuius centrum grauitatis extrinſecus ſit, vt in D; quod eſt intelligendum, ſi graue C in centrum mundi tenderet, tunc centrum D cum centro mundi con­ ueniret; figuraquè C quieſceret circa centrum vniuerſi, veluti ſe habet circa centrum D. partes enim figuræ talem poſſunt ha­bere ſitum, vt inter ſe ę〈que〉ponderare poſ­ſint. vt ex ſubiectis figuris perſpicuum eſt. & ad huc clariùs, ſi intelligatur figura, vt E circulo tum exteriori, tum interiori ter minata, cuius centrum grauitatis extra fi­guram erit in F. quod quidem cum cir­culorum centro conueniet. circa quod (exiſtente centro F in centro mundi) partes vndi〈que〉 ę〈que〉ponderabunt: cùm omnes ęqualiter à centro grauitatis diſtent. præterea in hac figura E centrum graui­tatis (quamuis ſit extra figuram) cum cen­tro figuræ, centroquè magnitudinis ipſius figuræ conuenire, fortaſſe non erit incon­ueniens aſſerere. At verò figuræ AC nullo pacto figuræ, magnitudinisquè centrum habebunt. & quamuis dictum ſit centrum grauitatis corporum regularium eſſe me­dium ipſorum, non tamen propterea dicendum eſt, idem eſſe centrum magnitudinis, at〈que〉 figuræ, niſi impropriè; medium enim his impropriè attribuitur, ſicuti etiam centrum figuræ; cùm lineæ ex ipſo prodeuntes non ſint ipſorum corporum (quatenus regularia ſunt) ſemidiametri. quare centrum gra­uitatis reperiri poteſt abſ〈que〉 alijs centris; at non è conuerſo. Rurſus commune magis eſt centrum figuræ centro magnitu­dinis; quia præter circulum, & ſphæram, quæ tam figuræ, quam magnitudinis centrum habent, nonnullæ figuræ ſuum ha­bent figuræ centrum in ipſis, & extra ipſas; in ipſis, vt ellipſis, cuius centrum intùs habetur; ſemicirculus etiam, dimidia què ſphæra centrum habent in limbo. extra figuram verò veluti hyperbolæ centrum, quod extra figuram exiſtit; vbi nempè diametri concurrunt. Quæ quidem omnia ſunt figuræ cen­tra; magnitudinis verò minimè. verùm obijciet hoc loco fortaſſe quiſpiam, vel ambas, inquiens, centri grauitatis defini­tiones allatas, diminutas eſſe; vel ijs, quæ modò à nobis de cem tro grauitatis dicta ſunt, repugnare; cùm oſtenderimus cen­trum grauitatis aliquando eſſe, vel in ambitu figuræ, vel extra figuram; definitiones verò allatę ſemper ſupponunt illud eſſe in ipſis intra poſitum. Confirmaturquè difficultas, quandoqui­dem, ne〈que〉 huiuſmodi centrum extra figuram conſtitutum, fuiſſe Archimedi prorſus ignotum, exiſtimare debemus; vt colligere licet ex nono poſtulato huius libri; cùm inquit. Omnis figuræ, cuius perimeter ſit ad eandem partem concauus, centrum grauitatis intra ipſam eſſe oportet. quaſi non repugnet figurę perimetrum non ad eandem partem concauum habenti, extra ipſam grauitatis centrum obtinere. Cui obiectioni in hunc modum occurri poterit, ſi dixerimus, quòd quamuis exempli gratia in figura C dictum ſit centrum grauitatis D extra figuram exiſtere, id ipſum etiam intra figuram eſſe affirmati poterit. ſiquidem ambitus figurę C centrum D intra ſe com tinct; ita vt reſpectu tötius ſit intra. idemquè dicendum eſt de altera figura A. hoc autem euidentiſſimum eſt in figura E. & hic eſt ſenſus definitionum centri grauitatis. His ita〈que〉 primùm cognitis conſideranda eſt intentio Archimedis in his libris, quę quidem vt plurimum à librorum inſcriptionibus e­luceſcere ſolet.

DE SCOPO HORVM LIBRORVM

Si Archimedis propoſitum in his libris ex ipſa operis in­ſcriptione, vt in alijs quo〈que〉 aliorum authorum volumini­bus fieri vt plurimùm ſolet, inueſtigandum erit, partim ſanè conſpicuum illud eſſe videbitur, partim verò ignotum adeò, vt potiùs nullius fermè rei ſe habiturum eſſe ſermonem profi­teatur Archimedes. quid enim (obſecro) verbis illis ſignificari potuit, 〈que〉 primi libri initio ita ſe habent. Arximh/dous e)pipe/dwn i)sor­ropixw_n, h\ ke/ntra ba/rwn e)pipe/dwn. hoc eſt. Archimedis planorum æ〈que〉ponderantium, vel centra grauitatum planorum. quando quidem vide­tur Archimedes rem prorſus inutilem, quinnimò naturę repu­gnantem ſibi contemplandam proponere. dùm enim polli- cetur ſe eſſe pertractaturum de planis æquæponderantibus, ſiue de centris grauitatum planorum; cùm ea, quæ æ〈que〉ponde rare debent, ponderare quo〈que〉 oporteat; ſi plana æ〈que〉ponderare debent, grauitate quadam illa prædita eſſe neceſſe eſt. quod valdè à planorum natura abhorret, cùm grauitas, nonniſi corporibus, ne〈que〉 tamen omnibus competat. ipſe tamen, dum plana æ〈que〉ponderantia, vel centra grauitatum planorum ſe explicaturum pollicetur, apertè ſupponit plana, ac ſuperficies graues exiſtere, rem ſanè immaginariam prorſus, ipſiusquè rei naturæ nullatenus reſpondentem. ita vt Archimedes circa ea, quæ omnino rei naturæ aduerſantur, negotium ſumpſiſſe vi­deatur. Verùm enimuero ſi Authoris mentem acuratiùs intueamur, rem planè egregiam, naturæquè rei apprimè conſenta­neam ipſum pertractandam ſumpſiſſe depræhendemus. Nam quamuis plana, quatenus plana ſunt, nullam habeant graui­tatem, non eſt tamen à rei natura, ne〈que〉 à ratione alienum, quin poſſimus planorum, ſuperficierum què centra grauitatis depræhendere, ex quibus ſi ſuſpendantur, planorum partes vndiquè ęqualium momentorum conſiſtentes maneant. quandoquidem centrum grauitatis talis eſt naturæ, vt ſi mente con­cipiamus, rem aliquam in eius centro grauitatis appenſam eſ­ſe, eo prorſus modo, quo reperitur, quieſcat, & maneat. vt antea declarauimus. & quamuis re ipſa, actù〈que〉 plana ſeorsum à corporibus reperiri ne〈que〉ant; in ipſis tamen hæc ipſorum circa centra grauitatis æ〈que〉ponderatio ad actum facilè redigi poterit. Vt ſit ſolidum AB priſ­ ma, cuius latera AE CF DB ſint horizonti erecta, ſuperiorquè ba­ſis ACD, 〈que〉m ad modum & in­ferior EFB ſit horizonti æquidi­ſtans; ſit autem plani ACD cen­trum grauitatis G, ex quo G ſi ſuſpendatur totum AB patet planum ACD horizonti æqui­diſtans permanere, ac propterea circa centrum grauitatis G æ〈que〉­ponderare. quod quidem, quamuis egeat demonſtratione, in præſentia omittatur; infraquè ſuo loco oſtendendum. ſat autem nobis nunc ſit oſtendiſſe, hæc ad praxim reduci, ma­nibuſquè (vt dicitur.) contrectari poſſe. Quòd ſi hæc ita ſe habent, huiuſmodi conſideratio non erit vana, ne〈que〉 vt inuti­lis reijcienda. Sed vlteriùs adhuc progrediamur, dicamuſ­què, quoniam planum ACD, quatenus eſt corpori coniun­ctum, horizonti æquidiſtans permanere debet; ſi ſeorſum à corpore illud intelligamus, vt ſi ADC ex eius centro graui­tatis G ſuſpendatur, tunc quocun〈que〉 modo reperiatur, hoc eſt ſiue horizonti ęquidiſtans, ſiuè minùs, idipſum permanſurum nihilominus intelligere poſſumus, parteſquè vndi〈que〉 æqualium momentorum conſiſtentes. Ne〈que〉 enim Ariſto teles grauibus dunta­xat, ſed etiam leuibus momenta tribuit, idipſum què (vt Eutocius in horum librorum comentarijs refert) Ptolæmeo quo〈que〉 placuit, vt habetur in líbro (à nobis ramen deſiderato) 〈que〉m de momentis ſcripſit. Pręterea alij­quo〈que〉 Philoſophi id ipſum ſenſiſſe videntur. quod eſt qui­dem rationi conſentaneum, ſuperuolant enim, quæ leuia ſunt, & ſi mente concipiatur eadem figura leuis cuiuſpiam eſſe, tunc ſi detineatur in G, partes vndi〈que〉 ęqualium momentorum conſiſtent, eſſetquè G (vt ita dicam) centrum leuitatis. Quo­niam autem circa centrum grauitatis ę〈que〉ponderationem conſideramus, id circo plana, tanquam no bis apparentia gra­uitatem habere, mente concipimus. Non eſt igitur à ratio­ne alienum, æ〈que〉ponderantiam in planis, vt grauibus conſi­deratis intelligere, conciperequè. Nec quicquam nobis offi­cit, quòd definitiones centri grauitatis priùs allatæ non pla­norum, ſed corporum centra explicarunt, ita vt grauitatis cen­trum ad corpora, non ad plana ſit referendum. Hoc enim ideo factum eſt, quia propriè centrum grauitatis reſpicit corpora; non tamen propterea impropriè reſpicit plana, ſed quia primò reſpicit corpora; in quibus actu ineſſe depræhenditur. propterea eędem­met definitiones planis quo〈que〉 in hunc modum aptari poterunt.

in fine pri­mi libri.

DEFINITIO CENTRI GRAVITATIS PLANORVM.

Centrum grauitatis vniuſcuiuſ〈que〉 plani eſt punctum quod­dam intra poſitum, à quo ſi planum appenſum mente con­cipiatur, dum fertur, quieſcit; & ſeruat eam, quam in princi­pio habebat poſitionem, ne〈que〉 in ipſa latione circumuertitur.

EIVSDEM ALIA DEFINITIO.

Centrum grauitatis vniuſcuiuſ〈que〉 plani eſt punctum il­lud intra poſitum, circa quod vndi〈que〉 partes æqualium mo mentorum conſiſtunt. ſi enim per tale centrum recta du­catur linea figuram quomodocun〈que〉 ſecans, ſemper in partes æ〈que〉ponderantes ipſam diuidet.

Vt Ita〈que〉 in planis quo〈que〉 centrum grauitatis conſide­ratur, ita etiam plana grauitate prædita conſiderare, non e­rit abſurdum. ſi enim impoſſibile eſſet conſiderare plana grauitate prædita, centrum quo〈que〉 grauitatis in ipſis nullo mo­do concipi poſſet; at〈que〉 perſpicuum eſt, centrum grauitatis in ipſis admitti, ac deſignari poſſe, igitur & plana grauitate inſignita. Et ſi mathematicus conſiderat corpora ſecluſa interim ipſorum grauitate, & leuitate: & Aſtronomus corpora conſi­derans cæleſtia, quæ ne〈que〉 grauia, ne〈que〉 leuia ſunt, non pro­pterea conſiderat ea ex propria ipſorum natura, ne〈que〉 grauia, ne 〈que〉 leuia eſſe; etenim quamuis grauia, vel leuia eſſent, nihilo minus ne〈que〉 grauia, ne〈que〉 leuia eſſe ea conſideraret. quòd ſi Mathematicus hoc pacto huiuſmodi corpora intelligere po­teſt; quid prohibet rurſum eadem, quamuis vt talia, ne〈que〉 grauia, ne〈que〉 leuia ſint; vel grauia, vel leuia eſſe concipere? 〈que〉mad­modum hoc quo〈que〉 exem plo res magis eluceſcet: veluti ſi intelligamus ex AC appenſa eſſe plana DE, quæ ſint æqualia; ſuſpendaturquè AC in me dio prorſus in B; cur mente intelligere non poſſumus, quantitatem, ſpaciumquè D æ〈que〉ponderare ſpacio E; cùm ſint æqualia? ſi planorum alterum, putà D, maius eſſet ipſo E; tunc ſtatim non ſolùm ę〈que〉ponderare non poſſe, verùm etiam planum D deorſum tendere concipiemus. & hoc nulla alia de cauſa, quàm quòd cùm D maius ſit, quàm E, ſtatim ipsum D, quàm E grauius quo〈que〉 eſſe concipimus. Conſiderare igitur plana cum grauitate non eſt omnino à ratione alienum. Quare vtrum 〈que〉 titulum, nempe planorum æ〈que〉ponderantium, vel centra grauitatis planorum, admittendum duximus. Verùm quoniam Archimedes ſecundum librum ſimplici vocabulo, nimirum (quaſi ſimul omnia complectens) æ〈que〉pon­derantium in ſcripſit; idcirco tam primum, quàm ſecundum librum (æ〈que〉ponderantium) inſcribendum exiſtimamus. eo­què libentiùs; quoniam ipſemet Eutocius horum quo〈que〉 li­brorum explanator hoſce libros hoc tantùm nomine æ〈que〉­ponderantium nuncupauit: alijquè omnes, qui hos Archimedis libros nominant; hoc titulo de æ〈que〉ponderantibus nuncupant. Præterea titulus hic magis operi congruere mihi videtur; quoniam nonnulla Archimedes in principio pertractat, quæ tam ſolidis, quàm planis communia exiſtunt; quamuis cætera ad plana ſint tantum referenda. in quibus omnibus de re admodum vtili, & ad quamplurima conduencti pertractat. quandoqui dem ex ijs, quæ ab Archimede his libris docemur, in multarum re­rum cognitionem peruenire poſſumus. quod facilè conſtat inprimis ipſiuſmet Archimedis exemplo. ſiquidem hac methodo ipſe in libro de quadratura paraboles comparando plana in libra com ſtituta, ipſius paraboles quadraturam miro artificio adinuenit. Deinceps ex cognitione centrorum grauitatis planorum, nos in cognitionem centrorum grauitatum ſolidorum deducimur. Deni〈que〉 adeo proficua eſt hæc doctrina, quam nobis in his libris Archimedes præſtat; vt affirmare non verear, nullum eſſe Theorema, nullum què problema ad rem mechanicam pertinens, quod in ſui ſpeculatione peculiare non aſſumat fundamentum ex ijs, quæ Archimedes in his libris ediſſerit. 〈que〉m­admodum (cæteris interim omiſſis) patet ex vulgata illa pro­poſitione enunciante, ita ſe habere pondus ad pondus, vt diſtantia ad diſtantiam permutatim ſe habet, ex quibus ſuſpenduntur. quæ præclariſſimè ab ipſo in primo libro demonſtratur. Et quamuis Iordanus Nemorarius (〈que〉m ſecutus eſt Nicolaus Tartalea, & alij) in libello de ponderibus hanc ean­dem propoſitionem quo〈que〉 demonſtrare conatus ſit; & ad cam oſtendendam pluribus medijs fuerit vſus; nulli tamen probationi demonſtrationis nomen conuenire poteſt. cùm vix ex probabilibus, & ijs, quæ nullo modo neceſſitatem afferunt, & fortaſſe ne〈que〉 ex probabilibus ſuas componat rationes. Cùm in mathematicis demonſtrationes requirantur exquiſi­tiſſimæ. ac propterea ne〈que〉 inter Mechanicos videtur mihi Iordanus ille eſſe recenſendus. Quapropter ad Archimedem confugiendum eſt, ſi fundamenta mechanica, veraquè huius ſcientiæ principia perdiſcere cupimus: qui (meo iudicio) ad hoc potiſſimùm reſpexit; vt elementa mechanica traderet. vt etiam Pappus in octauo Mathematicarum collectionum li­bro ſentit; quod quidem ex diuiſione, ac progreſſu horum li­brorum facilè dignoſcetur.

DE DIVISIONE HORVM LIBRORVM.

Diuiditur enim in primis hic tractatus in duos libros diui­ſus, in poſtulata, & theoremata: theoremata verò ſubdiui­duntur in duas ſectiones, quarum prima continet priora o­cto theoremata; ad alteram verò reliqua theoremata ſpectant. quæ quidem adhuc in alias duas partes diuidi poteſt; nempè in theoremata primo libro examinata, & in ea, quæ ſecun­dus liber contemplatur. Hanc autem horum librorum conſtituimus diuiſionem, quoniam imprimis Archimedes, (o­miſſis poſtulatis, quæ primum locum obtinere debent) quæ­dam tractauit communia in prioribus octo theorematibus; quorum ſcopus eſt inuenire fundamentum illud præcipuum mechanicum, quòd ſcilicet ita ſe habet grauitas ad grauita­tem, vt diſtantia ad diſtantiam permutatim. ad quod demonſtrandum quin〈que〉 præmittit theoremata, quæ paulatim deducunt nos in cognitionem demonſtrationis præfati fundamenti. quo loco illud ſummoperè notandum eſt, nimi­rum fundamentum illud, nec non octo priora theorema­ta communia eſſe tam planis, quàm ſolidis; at〈que〉 promiſ­cuè de vtriſ〈que〉 Archimedem demonſtrare. quòd ſi quis aliter ſenſerit, demonſtrationeſquè tantùm de planis concludere exiſtimauerit, vel de ſolidis, non autem quibuſcun〈que〉, ſed vel de rectilineis, vel de homogeneis tantùm, & de ijs, quæ inter ſe ſunt eiuſdem ſpeciei, longè aberrat à ſcopo, & mente Archi­medis. etenim in his ſemper loquitur. vel de grauibus ſimpliciter, veluti in primis tribus theorematibus; vel de magnitudinibus, vt in reliquis quin〈que〉 quod quidem nomen tam planis, quàm ſolidis quibuſcun〈que〉 eſt commune, vt etiam ij, qui parùm in Mathematicis verſati ſunt, ſatis norunt. ſicu­ti etiam Euclides, dum quinti libri propoſitiones pertracta­uit, quantitatem continuam ſub nomine magnitudinis com prehendit. quòd autem nomen grauis ſit commune, iam ſatis per ſe conſtat. Perſpicuum eſt igitur priora hæc octo Theoremata communia eſſe, tam planis, quàm ſolidis. ac non ſo­lùm ſolidis eiuſdem ſpeciei, & homogeneis, verùm etiam ſoli dis diuerſæ ſpeciei, & hęterogeneis, vt ſuo loco manifeſtum fiet. Iactoquè hoc fundamento, quod Archimedes in duobus propoſitionibus, ſexta nempè, & ſeptima demonſtrauit; in o­ctaua tanquam corrollarium colligit. Deinceps peculiariter pertractat de centro grauitatis planorum, nec amplius plana nominat magnitudinis nomine, ſed proprijs cuiuſcun〈que〉 nominibus; vt parallelogrammi, trianguli, & aliorum huiuſ­modi. & in hac parte deſcendit ad particularia. quippè cùm & ſi non actu fortaſſe, virtute tamen cuiuſlibet particularis plani centrum grauitatis nos doceat. in primo enim libro ſat ſi bi viſum eſt oſtendiſſe centra grauitatum triangulorum, ac parallelogrammorum, ex quibus cæterarum figurarum, veluti pentagoni, hexagoni, & aliorum ſimilium centra gra­uitatis inueſtigare non admodum erit difficile. ſiquidem huiuſmodi plana in triangula diuiduntur. vt in ſine primi li­bri attingemus. In ſecundo autem libro altiùs ſe extollit, & moro ſuo circa ſubtiliſſima theoremata verſatur; nempè circa centrum grauitatis conice ſectionis, quæ parabole nun­cupatur. nonnullaquè præmittit theoremata, quæ ſunt tan­quam præuie diſpoſitiones ad inueſtigandam demonſtra­tionem centri grauitatis in parabole. Ita〈que〉 perſpicuum eſt, Archimedem propriè elementa mechanica tradere. quando- quidem duo pertractat, quæ ſunt tanquam elementa huius ſcientiæ. fundamentum nempè illud præſtantiſſimum iam toties præfatum, deinde centra grauitatis planorum oſtendit. & quamuis hi duo Archimedis libelli pauca continere videantur, non tamen pauca docuiſſe Archimedem exiſtimandum eſt. multa enim ſunt mole exigua, quæ tamen virtute maxima habentur. quod planè Archimedis ſcriptis accidit; hiſquè pręſertim, ex quibus patet aditus ad multa, ac penè infinita theo­remata, problemataquè mechanica. nihil enim in hoc gene­re demonſtrari poteſt, quod his non indigeat ſcriptis. & quod admirabilius eſt, nos non ſolùm pro fundamento ſu­ſcipere poſſe ad aliquod demonſtrandum theoremata in his libris demonſtrata, verùm etiam ab his demonſtrationibus perdiſcerere ipſum modum argumentandi, & demonſtrandi; vt ſuis locis oſtendemus. ita vt verè concludendum ſit, nemi­nem prorſus inter mechanicos connumerandum fore, qui hæc Archimedis ſcripta ignorat. ignoratis enim principijs nulla eſt ſcientia, vt apud omnes ſapientes perſpicuum eſt. Ipſum igitur Archimedem audiamus, eiuſquè ſcripta diligentiſſimè perpendamus.

GVIDIVBALDI EMARCHIONIBVS MONTIS. IN PRIMVM ARCHIMEDIS AEQVEPONDERANTIVM LIBRVM PARAPHRASIS SCHOLIIS ILLVSTRATA.

Archimedis tamen huius primi libri titulus ſic ſe habet.

ARCHIMEDIS PLANORVM AEQVEPONDERANTIVM, VEL CENTRA GRAVITATVM PLANORVM.

ARCHIMEDIS POSTVLATA.

I.

Grauia æqualia ex æqualibus diſtantijs æ〈que〉­ponderare.

SCHOLIVM.

Dvobvs modis grauia in diſtantijs collocata intelligi poſſunt. quod & in cæteris poſtulatis, & in propoſi­tionibus intelligendum eſt. etenim vel grauia sunt appenſa, vt in prima fi­gura æqualia grauia AB ſunt in CD appenſa; ita vt diſtantia EC ſit di­ſtantiæ ED æqualis. intelligaturquè CD tanquam libra, quæ ſuſpendatur in E. vel vt in ſecunda figura grauia AB habent ipſorum centra grauitatis, quæ ſint CD, in ipſa DC linea, in pun- ctis nempè CD conſtituta. li­braquè ſimili­ter ex puncto E ſuſpendatur; ſitquè diſtantia EC diſtantiæ ED æqualis. erunt vti〈que〉 in vtra〈que〉 figura pondera AB in diſtantijs ę­qualibus con­ſtituta. ac pro­pterea æ〈que〉ponderabunt, at〈que〉 manebunt. nulla enim ratio afferri poteſt, cur ex parte A, vel ex parte B deorſum, vel ſurſum fieri debeat motus; cùm omnia ſint paria. ea verò æ〈que〉­ponderare debere, aliqua ratione manifeſtari poteſt ex eo, quod oſtenſum eſt à nobis in noſtro mechanicorum libro, tractatu de libra: quod quidem ab Ariſto tele quo〈que〉 in principio quæſtionum mechanicarum elici poteſt: idem ſcilicet pondus longius a centro grauius eſſe eodem pondere ipſi centro propinquiori. Vnde ſi duo eſſent pondera æqualia alte­rum altero propinquius centro, quod remotius eſt, grauius altero appareret. ſi igitur grauia æqualia à centro æqualiter di­ſtabunt, æ〈que〉 grauia erunt. ac propterea æ〈que〉ponderabunt. quod quidem ſupponit Archimedes. Punctum autem illud, quod Archimedes accipit, vnde ſumuntur diſtantiæ, ex qui­bus grauia ſuſpenduntur, veluti punctum E, Ariſtoteles centrum appellat. & hæc quidem æ〈que〉ponderatio tam ponderi­bus in libra appenſis, quàm in ipſa (vt dictum eſt) conſtitutis competit: dummodo ea, quibus appenduntur pondera, libe­re ſemper in centrum mundi tendere poſſint. vtro〈que〉 enim modo in punctis CD grauitant, vt diximus etiam in eodem tractatu de libra. Nouiſſe tamen oportet Archimedem in his libris potiùs intellexiſſe pondera eſſe in diſtantijs collocata, vt in ſecunda figura, quàm appenſa; vt ex quarta, & quinta primi libri propoſitione pater. demonſtrationes enim cla­riores redduntur.

Porrò non ignorandum hoc Archimedis poſtulatum verificari de ponderibus quocun〈que〉 ſitu diſpoſitis, ſiue CED fuerit horizonti æquidiſtans, ſiuè minùs; vt in hac prima figura, codem modo ſemper verum eſſe pondera æ­qualia CD ex ęquali­bus diſtantijs EC ED æ〈que〉ponderare, vt in­fra (poſt ſcilicet quartam huius propoſitionem) perſpicuum erit. Qua­re cùm Archimedes tam in hoc poſtulato, quam in ſe〈que〉ntibus, ſuppo­nit pondera in diſtan­tijs eſſe collocata, intel­ligendum eſt diſtantias ex vtra〈que〉 parte in ea­dem recta linea exiſte­re. Nam ſi (vt in ſecunda figura) diſtantia AB fuerit ęqualis diſtantię BC, quæ non indirectum iaceant, ſed angulum conſtituant; tunc pondera AB, quamuis ſint ęqualia, non ę〈que〉ponderabunt. niſi quando (vt in tertia fi­gura) iuncta AC, bifariamquè diuiſa in D, ductaquè BD, fuerit hęc horizonti perpendicularis, vt in eodem tractatu noſtro expoſuimus. Diſtantias igitur in eadem recta linea ſemper exiſtere intelligendum eſt. vt ex demonſtrationibus Archimedis perſpicuum eſt.

II.

Aequalia verò grauia ex inæqualibus diſtantijs non æqueponderare, ſed præponderare ad gra­ue ex maiori diſtantia.

SCHOLIVM.

Si enim diſtam tia EC maior fuerit diſtantia ED, grauibus AB ſimiliter æ­qualibus exiſtem tibus, & in CD poſitis, tunc concedendum videtur graue A præponderare ipſi B, quandoquidem EC longior eſt, quàm ED. ſupponit autem Archimedes hoc poſtulatum reſpiciens fortaſſe ad ea, quæ Ariſtoteles in principio quæſtionum me­chanicarum oſtendit, vbi colligit Ariſtoteles idem pondus ce­leriùs ferri, quò magis à centro diſtat, vel quod idem eſt, duo pondera æqualia inæqualiter à centro diſtantia, quod magis diſtat, celeriùs ferri. quod autem æqualium ponderum cele­riùs fertur, grauius exiſtit; erit igitur A grauius, quàm B. quia EC longior eſt, quàm ED. Nos quo〈que〉 (vt diximus) in libro noſtrorum Mechanicorum tractatu de libra, alijs quo〈que〉 rationibus oſtendimus, quo pondus eſt in longiori diſtantia grauius eſſe. ex quibus ſequitur propter longiorem diſtantiam EC pondus A præponderare ponderi B. ac pro­pterea deorſum ferri.

III.

Grauibus ex aliquibus diſtantijs æ〈que〉ponderantibus, ſi alteri grauium aliquid adijciatur, non æ­〈que〉ponderare; ſed ad graue, cui adiectum fuit, deorſum ferri.

SCHOLIVM

Grauia enim AB ſiuè æqua­lia, ſiue in ęqualia æ〈que〉ponderent ex diſtan­tijs AC CB, al­teri verò gra­uium, putà B, adijciatur pondus D. perſpicuum eſt pondera BD ſimul magis ponderare, quàm A. ſi enim B ę〈que〉ponderat ipſi A; erit pondus B in hoc ſitu æ〈que〉graue, vt A: pondera igitur BD in hoc ſitu non erunt æ〈que〉grauia, vt pondus A. ſed grauiora exiſtent, quàm A. quare BD deorſum tendent.

IIII.

Similiter autem, ſi ab altero grauium auferatur aliquid, non æ〈que〉ponderare; verùm ad graue, à quo nil ablatum eſt, deorſum tendere.

SCHOLIVM.

Ae〈que〉ponderent grauia BD ſimul, & A ſecundùm di­ſtantias CB CA; vt in eadem figura, & ab altero eorum, putà BD, auferatur D, remanebunt grauia BA; eritquè A gra­uius ipſo B. Nam ſi BD ſimul æ〈que〉ponderant ipſi A, B tantùm eidem A non æ〈que〉ponderabit, ſed leuius erit. vnde ſequitur ex parte A motum fieri deorſum.

eadem figura.

V

Aequalibus, ſimilibuſquè figuris planis inter ſe coaptatis, centra quo〈que〉 grauitatum inter ſe coa­ptati oportet.

SCHOLIVM.

Aequales, ſimiles〈que〉; ſint figuræ ABC DEF, qua­rum centra grauitatis ſint GH; ſi ABC ſuperpona­tur ipſi DEF, & hoc ſecum dùm laterum æqualitatem, hoc eſt ſi latus AB fuerit æquale lateri DE, tunc ponatur AB ſuper DE; ſimiliter AC ſuper DF, & BC ſuper EF; tunc manifeſtum eſt centrum grauitatis G ſuper centro grauitatis H ad unguem conuenire; ita vt ſint vnum tan tum punctum. Plana enim quæ ſe inuicem contingunt, non ef­ficiunt, niſi vnum tantùm planum. Solius autem figuræ ex planis ABC DEF inuicen coaptatis, vnum tantùm erit centrum grauitatis, vt nos in noſtro mechanicorum libro ſup­poſuimus; centra igitur grauitatis inter ſeſe conuenire neceſ­ſe eſt. ſi enim centra grauitatis inter ſe non conuenirent, v­na tantùm figura duo poſſet centra grauitatis habere. quod eſſet omnino inconueniens. Dixit autem Archimedes oportere has figuras eſſe ſimiles, & æquales, nam figuræ æquales, ſed non ſimiles, item ſimiles, & non æquales eſſe poſſunt. qua­re, vt inter ſeſe coaptari poſſint, & ſimiles, & æquales eſſe ne­ceſſe eſt.

VI

Inæ qualium autem, ſed ſimilium centra graui­tatum eſſe ſimiliter poſita.

SCHOLIVM.

Inæquales ſint figuræ, ſi­ miles verò ABCD EFGH, quarum cétra grauitatis ſint KL. ſupponit Archimedes hęc grauitatis centra KL eſ­ſe in figuris ABCD EFGH ſimiliter poſita. cùm enim ſimilium figurarum, & late­ra, & ſpacia ſint ſimilia, neceſſe eſt in ipſis ſimili quo 〈que〉 mo­do centra grauitatis eſſe poſita. vt in ſe〈que〉nti clariùs apparebit. quomodo autem Archimedes intelligat hanc poſitionis ſimi­litudinem, hoc modo definit.

VII.

Dicimus quidem puncta in ſimilibus figuris eſ­ſe ſimiliter poſita, à quibus ad æquales angulos ductæ rectæ lineæ cum homologis lateribus angulos æquales efficiunt.

SCHOLIVM.

In ſimilibus figuris ABCD EFGH ſint homologa latera AB EF, BCFG, CD GH, AD EH. anguli verò æquales, qui ad AE, BF, CG, DH, primum quidem oſtendendum eſt fieri poſſe, ut à duobus punctis intra figuras conſtitutis, duci poſſint rectę lineę ad angulos æquales, quę cum lateribus an­gulos ęquales efficiant. Quaſi dicat Archimedes, quoniam ſupponere poſſumus puncta in ſimilibus figuris eſſe ſimiliter poſita, ideo ſupponere quo〈que〉 poſſumus centra grauitatis in ipſis eſſe ſimiliter poſita. Ita〈que〉 ſint figuræ ABCD EFGH ſi­miles, vt dictum eſt, ſumaturquè in ABCD vtcum〈que〉 pun­ctum K à quo ducatur KA KB KC KD. deinde fiat angulus FEL angulo BAK æqualis; & EFL ipſi ABK. Iunganturquè GL LH. Dico L eſſe ſimiliter poſitum, vt K. Quoniam enim anguli BAK ABK ſunt angulis FEL EFL æquales, erit reliquus BKA ipſi FLE æqualis, eritquè ob ſi­ militudinem triangulorum KA ad AB, vt LE ad EF. eſt verò AB ad AD, vt EF ad EH propter ſimilitudinem fi­gurarum, erit igitur ex æquali AK ad AD, vt LE ad EH, & quoniam angulus BAD angulo FEH eſt æqualis, & BAK ipſi FEL æqualis; erit & reliquus angulus KAD angulo LEH æqualis. Quare triangulum KAD triangulo LEH ſimile exiſtit, eodemquè modo oſtendetur BKG ſimile eſſe FLG, & KCD ipſi LGH. ex quibus conſtat angulos KBC LFG, KCB LGF, & huiuſmodi reliquos reliquis æquales eſſe. & ob id puncta KL in figuris ABCD EFGH eſſe ſimili­ter poſita.

4 ſexti.

22 quinti.

6 ſexti.

Ita〈que〉 demonſtrato dari poſſe puncta in figuris ſimiliter poſita, potuit ſanè Archimedes antecedens poſtulatum ſup­ponere, nempè inæqualium, ſed ſimilium figurarum centra grauitatis eſſe ſimiliter poſita. quod quidem poſtulatum eſt rationi valde conſentaneum. ex dictis enim (ſuppoſitis KL centris grauitatum) triangulum ABK triangulo EFL ſimi­ le exiſtit; veluti BKC ipſi FLG. & reliqua reliquis. Quare vt AK ad KB, ſic EL ad LF, ac permutando vt AK ad EL, ita BK ad FL. ſimiliter oſtendetur ita eſſe BK ad FL, vt KC ad LG, & KD ad LH. quare centra grauitatis KL proportionaliter ab angulis diſtant.

4 ſexti16 quinti

Ducantur pręterea à punctis KL ad latera perpendiculares KM KN KO KP, LQ LR LS LT. & quoniam anguli KMA LQE ſunt recti, ac propterea æquales, & KAM LEQ ſunt æquales, ut oſtenſum eſt; erit reliquus MKA reliquo QLE ęqualis, triangulumquè AKM triangulo ELQ ſimile. vt igitur AK ad KM; ſic EL ad L〈que〉 & permutando AK ad EL, vt KM ad L〈que〉 pariquè ratione oſtendetur triangulum BKM triangulo FLQ ſimile exiſtere; eſſequè BK ad FL, vt KM ad L〈que〉 ſimiliterquè in alijs triangulis oſten­detur, ita eſſe Bk ad FL, vt KN ad LR; & Ck ad GL eſſe, vt kO ad LS; at〈que〉 kD ad LH, vt kP ad LT. quia verò AK EL, Bk FL, Ck GL, Dk HL in eadem ſunt proportione, vt proximè demonſtratum fuit; in eadem quo〈que〉 proportione erit kM ad LQ, & KN ad LR; & KO ad LS, at〈que〉 kP ad LT. ex quibus ſequitur centra grauitatis KL, non ſolùm ab angulis in eadem proportione diſtare; verùm etiam à late­ribus in eadem quo〈que〉 proportione diſtare. Ita〈que〉 cognito, quomodo intelligar Archimedes centra grauitatis in ſimili­bus figuris eſſe ſimiliter poſita; nunc conſiderandum eſt præ cedens poſtulatum, quatenus nimirum oporteat grauitatis cem tra in ſimilibus figuris ſimiliter eſſe conſtituta. Nam inti­miùs conſiderando hanc ſimilem horum grauitatis centrorum poſitionem, congruum, & neceſſarium videtur, ſimiles figu­ras ſecundùm eandem proportionem eſſe æ〈que〉ponderantes; eademquè ratione (ob earum ſimilitudinem) circa grauita­tis centra æ〈que〉ponderare, veluti ſi figuræ: AC EG (quarum centra grauitatis ſint KL) à rectis lineis PN TR vtcumquè diuidantur, quæ per centra KL tranſeant; dummodo in figuris ſint ſimiliter ductæ; hoc eſt, vel latera, vel angulos in eadem proportione diſpeſcant: vt ſit AP ad PD, vt ET ad TH. æ­〈que〉ponderabunt vti〈que〉 partes PABN PNCD, veluti partes TEFR TRGH. & hæc non eſt ſimplex æ〈que〉ponderatio; ve­rùm etiam (vt ita dicam) ſimilis, & æqualis æ〈que〉ponderatio. cùm ſit ſecundùm eandem proportionem, quandoquidem eſt PB ipſi TF ſimilis, cùm triangula AKB ELF, AKP ELT, BKN FLR, ſint inter ſe ſimilia, quæ quidem efficiunt, figuras PB TF inter ſe ſimiles eſſe. ob eademquè cauſam eſt PC ſi­milis TG. quod quidem ex demonſtratis etiam facilè con­ſtat. cùm anguli ſint ęquales, & latera proportionalia. Vt au­tem clariùs intelligatur hæc ſimilis, & æqualis æ〈que〉ponderario, adducere libuit nonnulla ex ijs, quæ poſteriùs tractanda ſumentur. Ita〈que〉 intelligatur punctum V centrum eſſe gra­ uitatis figuræ PB, X verò centrum grauitatis figure TF. ſimiliter punctum Y centrum eſſe grauitatis figuræ PC, Z verò figurę TG. Iunganturquè VY XZ. quæ quidem per centra grauitatis KL tranſibunt. quòd ex ijs, quę dicenda ſunt, manifeſtum erit, percipuè〈que〉 ex octaua proportione primi huius. quod tamen interim ſupponatur. At verò quo­niam PB PC ę〈que〉ponderant ſecundùm proportionem, quam habet YK ad KV; TF verò & TG ę〈que〉ponderant ſecundùm proportionem, quam habet ZL ad LX. eſt. enim ac ſi AN eſſet appenſa in V, & PC in Y; ER in X, & TG in Z. vt in ſe〈que〉ntibus manifeſta erunt. Atverò quo­ niam AN ſimilis eſt ipſi ER, habebit AN ad ER duplam proportionem eius, quam habet latus PN ad TR. pariquè ratione quoniam PC ſimilis eſt TG, habebit PC ad TG duplam proportionem eius, quam habet idem latus PN ad TR. quare ita ſe habet AN ad ER, ut PC ad TG. & per­ mutando AN ad PC, vt ER ad TG. Sed vt AN ad PC, ita eſt Y K ad KV, & vt ER ad TG. ſic ZL ad LX. eandem igitur proportionem habebit YK ad KV, quam ZL ad LX. Quare AN PC, & ER TG ſecundùm eandem proportionem æ­〈que〉ponderabunt. quod quidem contingit ex ſimilitudine fi­gurarum, & ex centris grauitatum KL ſimiliter poſitis, quę quidem magnitudines, ſi non eſſent ſimiles, diuiſę quidem per centrum grauitatis, partes vti〈que〉 ę〈que〉ponderarent; non ta­men ſemper ſecundùm eandem proportionem. quod tamen ſemper figuris ſimilibus (cùm in ipſis grauitatis centra ſint ſi militer poſita) contingit; dummodo (vt dictum eſt) diui­dantur. Vnde conſtat, quam ſit conueniens grauitatis centra in figuris hac ratione eſſe conſtituta. ex quibus omnibus perſpicuum eſt, centra grauitatis debere in figuris ſimilibus eſſe ſi militer poſita. vt Archimedes in pręcedenti poſtulato pręmiſit.

4 ſexti16 quinti

20 ſexti

11 quinti

16 quinti

VIII.

Si magnitudines ex æqualibus diſtantijs æ〈que〉­ponderant, & ipſis æquales ex ijſdem diſtantijs æ­〈que〉ponderabunt.

SCHOLIVM.

Hoc eſt perſpicuum, nam ſi magnitudines AB ex di­ſtantijs CA CB ę〈que〉pon­derant: ſit autem D ipſi A ęqualis, & E ipſi B. auferam turquè magnitudines AB à linea AB, ipſarumquè loco ponatur D in A, & E in B, magnitudines DE ſimiliter ę〈que〉pondęrabunt. qua ratione enim magnitudines AB inter ſeſe ę〈que〉ponderare dicuntur; eadem prorſus, & magnitudines DE ex ijſdem diſtantijs ę〈que〉ponderabunt. quandoquidem omnia data ſunt paria. illud ta­men non eſt pretereundum, nimirum non oportere DE ipſis AB ęquales eſſe in magnitudine, ſed in grauitate. poteſt enim magnitudinum inęqualium minor maiore grauior exiſtere, ob naturæ diuerſitatem, ac propterea cùm inquit Archimedes & ipſis aquales, ſiue ſint magnitudine æquales, vel inæquales, intelligendum eſt eſſe omnino æquales in grauitate. grauitas. enim cauſa eſt, vt magnitudines æ〈que〉ponderare debeant.

VIIII,

Omnis figuræ, cuius perimeter ſit ad eandem partem concauus, centrum grauitatis intra figuram eſſe oportet.

SCHOLIVM.

Quid intelligat Ar­chimedes per has figu­ras ad eandem partem concauas, apertiùs ſi­gnificauit initio libro­rum de ſphęra, & cylin­dro. vbi primùm vult has figuras eſſe terminatas; quod non ſolùm intelligendum eſt decur­uilineis, verùm etiam de rectilineis, & de mi­xtis. rectilineę quidem erunt trium, quattuor, quin〈que〉 & plurium la­terum; quamuis latera non ſint æqualia, ne­〈que〉 anguli ęquales, vt ABCDE, cuius omnes anguli ſunt flexi ad interiorem figuræ partem. & hoc modo perimeter huius figuræ erit ad eandem partem concauus. vnde excluduntur figuræ, exempli gratia FGHKL; cùm angulus K non ſit ſinuoſus, & concauus ad eandem partem, vt reliqui anguli; qui ſunt ſinuoſi verſus interiorem partem figurę K vero ad exteriorem. ſimili modo intelligendum eſt de curuilineis, vt circuli, ellipſes, vel alterius generis figuræ, vt ſunt MN, quæ ſuam habent concauitatem ad eandem partem: ſed curuline˛ OP non ſunt ad eandem partem concauę. Mixtæ quo〈que〉 figuræ, ut ſunt portiones circuli, hyperbolę ac parabolę rectis linenis terminatę, vel alterius generis figurę, vt ſunt QR. hę quidem omnes ſunt ad ean­dem partem concauę. Mixtæ verò ST minimè Regulam au­tem quandam vniuerſalem ex verbis Archimedis loco citato elicere poſſumus, vt cognoſcere valeamus, an figuræ ſint ad eandem partem concauæ, vel minùs vt ſcilicet in oblata figura vbicum〈que〉 duo ſumi poſſint puncta, quæ ſi recta linea connectantur, tota recta linea, vel ipſius pars ali­qua extra figuram non cadat. vt in figuris A, quæ ſunt ad eandem partem concauæ, vtcum­〈que〉 duo ſumantur pun­cta BC, quæ conne­ctantur, tota uti〈que〉 re­cta linea inter puncta BC exiſtens, extra figuram non cadet. Quòd ſi hæc linea cum termino, hoc eſt eum latere figurę conueni­ret, vt ſi figuræ latus fuerit rectum, in quo duo ſumantur puncta, nihilominus recta linea inter hæc puncta extra figuram non cadet: quandoquidem figuræ terminus extra figuram minimè reperitur at〈que〉 hac ratione quomodocun〈que〉, & vbicum〈que〉 in his figuris duo ſumantur puncta, idem ſemper continget. Quod tamen figuris D ſemper euenite non poteſt in quibus (cùm non ſint ad eandem partem concauę) duo ſumere poſſumus puncta EG, inter quę tota recta linea EG extra figuram cadet. vel fumere poſſumus puncta FG, ita vt rectę lineę FG pars EG extra figuram cadat. figurę igitur, quæ ad eandem partem ſunt concauæ, illę ſunt, quę ſinuoſitatem, concauitatemquè ſuam habent ſemper interiorem ipſius fi­gurę partem reſpicientem. Harum què rectè ſupponit Archi­medes centrum grauitatis ſemper eſſe intra ipſam figuram. ita vt ne〈que〉 centrum eſſe poſſit in ambitu ipſius figurę ete­nim ſi extra figuram, ſiue in ambitu ipſius eſſe poſſet, num­quam circa centrum grauitatis partes figurę vndiquè ę〈que〉pon derarent: ne〈que〉 facta ex grauitatis centro ſuſpenſione figura vbicum〈que〉, & in omni ſitu maneret. quod ramen ex ratione centri grauitatis efficere deberet. tota nimirum figura ex vna eſſet parte, & ex altera nihil eſſet, quod ipſi figurę ę〈que〉ponderare poſſet. Neceſſe eſt igitur centrum grauitatis cuiuſlibet fi­gurę ad eandem partem concauę eſſe in ſpacio à figurę ambitu contento. vt figurę AB centrum grauitatis erit in­tra ipſam, putà in C. quod quidem non euenit ſemper in alijs figuris, quę ſuum com cauitatis ambitum interio­rem figurę partem non reſpi­cientem habent. cùm varijs modis poſſit centrum grauitatis in figuris eſſe collocatum. vt ſuperius quo〈que〉 diximus. Nam figurę D centrum gra­uitatis erit extra ambitum figurę, vt in E. figura verò F ita ſe habere poterit, vt cen­trum grauitatis ſit in perimetro, vt in G. euenit autem aliquando vt in figura HK centrum grauitatis L intra ipſam figuram reperiatur; quamuis conca­uitates la torum interiorem partem minimè reſpiciant. Sed hęc poſſunt eſſe, & non eſſe, vt in figura M, cuius centrum extra eſſe poteſt in N. quamuis (vt antea diximus) centrum graui- tatis intra figuram ſemper exiſtere aliquo modo intelligi po­teſt.

per def. cent. grau.

Refert Eutocius hoc loco, Geminum rectè dicere, dum aſſe­rit Archimedem dignitates petitiones apellare. æqualia enim grauia ex diſtantijs æqualibus æ〈que〉ponderare, dignitas eft; & quæ deinceps. Verum ſi hæc principia ab Archimede tradita rectè perpendamus, omnia dignitates eſſe minimè reperiemus. nam ſeptimum poſtulatum eſt definitio, non dignitas. veluti alia fortaſſe nonnulla non ſunt dignitates, vt ſecundum; quod aliquo modo probari poteſt, vt diximus. ſextum quo〈que〉 po­tiùs eſt ſuppoſito, quàm dignitas. Quoniam autem vt clarè conſpicitur Archimedes ſub vno tantùm titulo pauca hæc principia complecti voluit; quippe quod inſtitutum quàm plurimis mathematicis ſolemne fuit, qui principia vnico tantum nomine nuncuparunt, modò vno, modò altero; nimirum, vel petitionis, vel dignitatis, vt refert Proclus ſecundo libro, & tertio ſuorum commentariorum in primum elementorum. Euclidis; qui de Archimede peculiariter mentionem faciens, in­quit illum in his libris principia vnico tantùm nomine (peti­tionis ſcilicet) nuncupaſſe. Hæc tamen potiùs petitionum, quàm definitionum, vel dignitatum nomine nuncupare vo­luit; nam ſi dignitates appellaſſet; ea principia, quæ non ſunt dignitates, inter dignitates malè collocaſſet. nulla quippè defi­nitio dignitas dici debet; quandoquidem definitio terminos declarat, at〈que〉 conſtituit. dignitas verò notos terminos copu­lat. Pariquè ratione ſi definitionis nomine hæc principia nuncupaſſet. dignitates malè ſub hoc nomine complexus fuiſſet, quæ nullo modo rem definiunt, ſed cùm ſint communes notiones, ſtatim cùm eas intellectus apprehendit, quieſcit. Qua­re omnia ſub petitionum nomine recte collocauit, non eſt. enim abſurdum dignitates, definitioneſquè poſſe apellari petitio­nes. etenim petimus, quæ ſunt concedenda, at〈que〉 dignitates ſunt concedendę, ergo eas petere quo〈que〉 poſſumus. Definitionibus verò rectè quo〈que〉 hoc nomen conuenire poteſt. Nam dùm definitio terminos conſtituat, at〈que〉 declaret, cur non petere poſſumus, terminos ſic ſe habere, vel ſiceſſe rectè definitos? vt exempli gratia, petit Archimedes puncta in figuris fimiliter poſita, ita ſehabere, vt ſunt ab ipſo definita, vel rectè eſſe defi­nita puncta, quæ ſunt in figuris ſimilibus poſita. Quapropter hæc principia, quoniam pauca ſunt, ſub petitionum nomine Archimedes rectè collocauit. quòd ſi multa extitiſſent, ea fortaſſe diſtinxiſſet.

His ſuppoſitis. poſtquam Archimedes principia poſuit, ad theoremata ſe conuertit, & inquit, his ſuppoſitis, quaſi dicat, ea, quæ poſuimus, ſufficiunt ad oſtendenda theoremata, veluti.

PROPOSITIO. I.

Grauia, quæ ex æqualibus diſtantijs æ〈que〉pon­derant, æqualia ſunt.

Sint AD, & B grauia, quæ ex æqualibus diſtantijs CA CB æ〈que〉ponderent. dico grauia AD, & B inter­ſeſe æqualia eſſe. ſi enim (ſi fieri poteſt) eſſent inæqualia; vt ſi AD eſſet grauius, quàm B, ſit D exceſſus, quo AD grauius eſt, quàm B. ablato ita〈que〉 exceſſu D à maiori AD, reliqua grauia, quæ relinquuntur AB, erunt inter ſe ęqualia; quę ex ęqualibus diſtantijs CA CB æ­〈que〉ponderare deberent; tamen non æ〈que〉ponderabunt. cùm enim poſitum ſit AD B ę〈que〉ponderare, & ab altero a〈que〉ponderan- tium AD aliquod ſit ablatum D; reliqua grauia AB ex ęqualibus diſtantijs CA CB non ę〈que〉ponderabunt quod fieri non poteſt; ſiquidem AB inter ſe ſunt ęqualia. Grauia igitur, quæ ex æqualibus distantijs æ〈que〉ponderant, æqualia ſunt. quod de­monſtrare oportebat.

4. poſtula­tum huius

contra pri­mum post huius.

SCHOLIVM.

Cùm ſit ſcopus Archimedis (vt diximus) in primis octo theorematibus, fundamentum tradere in hac ſcientia præci- puum, nempè magnitudinum grauitates inter ſe ita ſe habe­re, vt diſtantiæ permutatim ex quibus ſuſpenduntur ſe habent. primùm incipit oſtendere, quomodo ſe habeant grauia in diſtantijs ęqualibus poſita; primùmquè in hac prima propoſitio ne oſtendit, ſi grauia ę〈que〉ponderant ex diſtantijs ęqualibus, ęqualia eſſe. in ſe〈que〉nti verò, ſi grauia ſunt inęqualia, ex di­ſtantijs ęqualibus nullo modo æ〈que〉ponderare oſtendet; ſed præponderare ad maius.

PROPOSITIO. II.

Inæqualia grauia ex æqualibus diſtantijs non æ〈que〉ponderabunt, ſed præponderabit ad maius.

Sint gra­uia inęqua­lia AB C in diſtantijs ę­qualibus DA DC. ſitquè grauius AB, quàm C. dico grauia AB C non ę〈que〉ponderare, ſed maius AB deorsum ferri. ſit B exceſſus, quo AB ſuperat C. ablato ita〈que〉 à maiori AB exceſſu B, reliqua grauia AC ęqualia ex diſtantijs DA DC æ〈que〉ponderabunt. cùm æqualia grauia ex distantiis æquali- bus æ〈que〉ponderent. ſi ita〈que〉 grauia AC ę〈que〉ponderant, adiecto igitur ipſi A ablato B, præponderabit ad maius, hoc eſt ab deor ſum tendet. quoniam æ〈que〉ponderantium altero nempè A adiectum fuit B. Grauius igitur præponderat leuiori, ambobus in diſtantijs ęqualibus poſitis. quod demonſtrare oportebat.

1 poſt hu­ius.

3 post hu­ius.

SCHOLIVM.

Hæc duo theoremata in gręco exemplari impreſſo ſequuntur quidem poſtulata, & reliquis theorematibus ſunt prępoſita. quia verò inter principia collocari non poſſunt; cùm ſuas ha­beant propoſitiones, ſuaſquè ſeorſum habeant demonſtratio­nes, ideo inter propoſitiones ipſa collocare nobis viſum eſt. cùm pręſertim nonnulla ex ſe〈que〉ntibus theorematibus, po­tiſſimùm verò proximum eiuſdem cum his duobus ordinis, & naturæ ſint. Ne〈que〉 enim propterea peruertitur ordo; non enim hę propoſitiones in alium transferuntur locum. ſed tan­tùm inter alias numeris adnotantur. exiſtimandum enim eſt, Archimedem propoſitiones in ſerie propoſitionum collocaſ­ſe. hanc verò exiguam mutationem accidiſſe oblongitudinem temporis; cuius proprium eſt, res potiùs deſtruere, quàm ac­comodare. Hoc autem nobis hanc præbebit commoditatem, vt, quando libuerit, has propoſitiones numeris nominare poſſimus. id ipſumquè numeri poſtulata diſtinguentes præ­ſtant, quamuis in Gręco codice poſtulata (Gręcorum more) numeris adnotata non ſint.

PROPOSITIO. III.

Inæqualia grauia ex diſtantijs inæqualibus æ­ 〈que〉ponderabunt, maius quidem ex minori.

A

Sint in æqualia grauia AD, B; ſit què maius AD, exceſſus ve rò, quo AD ſuperat B, ſit D. æ〈que〉ponderentquè AD B ex diſtantiis AC C B. oſtendendum eſt, minorem eſſe diftantiam AC ipſa CB. Non ſit quidem, ſi fie­ri potest, AC minor, quàm CB; erit nimirum, vel ęqualis, vel maior. Quòd ſi AC fuerit ęqualis ipſi CB, ablato enim exceſſu D, quo AD ſuperat B. cùm ab a〈que〉ponderantium altero ab latum ſit aliquid, grauia AB non æ〈que〉ponderabunt; ſed præ- ponderabit ad B. non præponderabit autem; exiſtente enim AC aqua li CB, cùm ab inęqualibus grauibus AD B ablatus ſit ex­ceſſus D, grauia, quæ relinquuntur AB, erunt inter ſe æqualia; quæ ex diſtantiis æqualibus AC CB æ〈que〉ponderarent. at non ę〈que〉 ponderant, quod eſt abſurdum. diſtantia igitur AC ipſi CB æqualis eſſe non poteſt. ſi uerò AC maior fuerit CB; ablato ſi­militer exceſſu D, nihilominus ęqualia grauia AB non ę〈que〉 ponderabunt, ſed inclinabitur ad A. æqualia enim grauia AB ex distantiis inæqualibus non æ〈que〉ponderant, ſed inclinatur ad maiorem distantiam AC. ergo totum AD multò magis præponderabit, quàm B. quod fieri non poteſt. poſita enim ſunt æ〈que〉ponderare. Quare AC maior eſſe non poteſt, quàm CB. ſed oſtenſa eſt, ne〈que〉 ipſi CB æqualis eſſe: ac propterea minor eſt AC, quàm CB. Manifestum eſt ita〈que〉 grauia ex distantiis inæqualibus æ〈que〉pon­derantia, inæqualia eſſe; maiuſquè in minori diſtantia existere. quod oportebat demonſtrare.

B

4 post hu­ius.

1 poſt hu­ius.

2 post hu­ius.

SCHOLIVM.

In propoſitione verba illa, maius quidem ex minori, non habentur integra in codice græco, qui ſic habet, kai\ to/ a)po\ to_n e)la/ssonosvbi deſiderari videtur me/izon, vt integrè ita legatur, kai\ to\ mei/zon a)po\ tou_ e)la/ssonos.

A

Sitquè maius A. Græcus codex, kai\ e)/sw to\ a, vbi ſimiliter ſup­plendum eſt, kai\ e)/sw mei/zon to\ a Hæc verò ita ſunt omnino reſtituenda, quia in vltima demonſtrationis concluſione inquit Archimedes, Manifeſtum est ita〈que〉 grauia ex diſtantiis inæqualibus æ〈que〉ponderantia inæqualia eſſe; maiuſquè in minori existere.

B

Poſtquam Archimedes duabus primis poſitionibus oſtendit, quno ſe henant grauia ex diſtantijs ęqualibus in hac tertia conuertitſe ad oſtendendum, quno ſe hennt ex diſtantijs inęqualibus. & quem in ſecundo poſtulato aſsumpſit, quno ſe hennt grauia ęqualia in diſtantijs in ę­qualibus conſtituta; nimirum quod eſt in longiori diſtantia, pręponde­rat ei, quod eſt in breuiori. nunc oſtendit, quno inęqualia grauia ſe hennt, ita vt ę〈que〉ponderent, in diſtantijs in ęqualibus poſita. demom ſtratquè graue maius in breuiori diſtantia eem oportere, minus ve­rò graue in longiori. & ecce quomodo Archimedes paulatim de ducit nos in cognitionem principalis fundamenti, quod ſcilicet graue ad graue eſt, vt diſtantia ad diſtantiam permutatim. Ex hoc. enim primùm cognoſcimus grauius in minori, leuius autem in maiori diſtantia eſſe debere, ſi ę〈que〉ponderare debent.

PROPOSITIO. IIII.

Si due magnitudines æquales non idem centrum grauitatis habuerint, magnitudinis ex vtriſ〈que〉 magnitudinibus compoſitæ centrum grauitatis erit medium rectæ lineæ grauitatis centra magnitudinum coniungentis.

Sit quidem A centrum grauitatis magnitudi­nis A. B uerò ſit centrum gra­uitatis magni­tudinis B iun­staquè AB bifariam diuidatur in C. dico magnitudinis ex utriſquè ma­gnitudinibus compoſitæ centrum grauitatis eſſe punctum C. ſi. enim non; ſit utrarumquè magnitudinum AB centrum grauitatis D, ſi fieri potest. Quòd autem ſit in linea AB, præoſtenſum est. Quoniam igitur punstum D cem trum eſt grauitatis magnitudinis ex AB compoſitæ, ſuſpenſo puncto D, magnitudines AB æ〈que〉ponderabunt. magnitudines igitur AB ęquales æ〈que〉 ponderant ex diſtantiis AD DB in ęqualibus exiſtentibus; quod fie ri non poteſt. æqualia. enim grauia ex diſtantiis in a qualibus non æ〈que〉ponde­rant. non eſt igitur D ipſarum magnitudinum centrum grauitatis.. Qua re manifestum est punstum C centrum eſſe grauitatis magnitudinis ex AB compoſitæ. quod demonſtrare oportebat.

def. centri grauit. contra 2. post huius

2 post hu­ius.

SCHOLIVM.

Poſſunt magnitudines ęquales idem centrum grauitatis habere, vt duo parallelogramma æ­qualia ad rectos ſibi inuicem angulos exiſtentia: triangulum quo〈que〉 & parallelogrammum in­terſe æqualia. propterea cubos, piramides, cylindros, & huiuſmodi alias magnitudines ęquales idem grauitatis centrum herre intelligere poſſumus. propterea in propoſitione cùm inquit Archimedes ſi duæ magnitudines æquales non idem centrum grauitatis habuerint. intelligendum eſt his verbis Archimedem ſuppo­nere magnitudines ita eſſe conſtitutas, vt à centro ad centrum duci poſſit recta linea. quod idem obſeruandum eſt in prima propoſitione ſecundi libri huius.

Súmoperè aút animaduertenda ſunt nonnulla, quibus vtitur Archimedes in hac propoſitione, cùm ſint communiſſima, & maximè vtilia in hac ſcientia. ac primùm quidem conſiderandum occurrit, quid ſibi vult Archimedes per magnitudinem ex vtriſ〈que〉 magnitudinibus AB compoſitam. Nam ma­gnitudines AB ſunt inuicem ſeparatę, & ſunt duę, ipſe autem vtram〈que〉 vnam tantùm conſiderat. quod quidem ita intelli­gendum eſt. quoniam ſcilicet recta linea AB eas coniungit; ideo Archimedes conſiderat vnam tantùm eſſe magnitudinem; quę conſtat ex ipſis AB, & efficitur vna magnitudo à linea AB. cuius munus eſt non ſolùm connectere magnitudines AB, ita vtne〈que〉 ad ſe ampliùs accedere, ne〈que〉 recedere inuicem poſſint; ſintquè ab hac linea quaſi compulſę eundem ſemper interſe ſeruare ſi tum: verum etiam ſi ſuſpendantur ex C, in­telligendum eſt linea AB in rectitudinem iacere, inſuperquè ſuſtinere magnitudines AB. Ne〈que〉 magis vna eſt magnitudo quadrilaterum, pentagonum, cubus, & huiuſmodi aliæ, quàm ſit magnitudo, quæ componitur ex magnitudinibus AB v­nà cum linea AB. quòd ſi eſt vna tantùm magnitudo, ergo vnum habet centrum grauitatis. Archimedes igitur quęrit centrum grauitatis huiuſce magnitudinis; demonſtratquè centrum eſſe in puncto C. quod eſt medium lineæ AB. notandum eſt autem Archimedem non conſiderare grauitatem li­neę AB. vt potè, quę longitudo tantùm exiſtat. Quòd ſi quis etiam mente concipere vellet lineam AB grauitate pręditam eſſe; nihilominus centrum grauitatis lineę AB ſimiliter eſſet in eius medio C. nam longitudo AC longitudini CB eſt æqualis; ac propterea hę quidem longitudines eſſent inter ſeſe ę〈que〉ponderantes. Quare, ſiue conſiderata grauitate lineę AB, ſiue minùs, centrum grauitatis magnitudinis ex AB compoſitę eſt medium rectę lineę, quæ centra grauitatis magnitudinum coniungit. Et hoc modo ſi plures etiam eſſent magnitudines à recta linea coniunctę, eodem modo eas pro vna tantùm magnitudine ex pluribus magnitudinibus compoſita accipere poterimus, veluti Archimedes in ſe〈que〉ntibus accipiet.

Argumentandi modus in eſt in hac demonſtratione maxi­ma conſideratione dignus, & huius ſcientiæ maximè pro­prius. cùm enim dixiſſet Archimedes poſito centro grauitatis magnitudinis ex AB compoſitæ in puncto D, ſtatim infert. Quoniam igitur punctum D centrum eſt grauitatis magnitudinis ex AB compoſita, ſuſpenſo puncto D, magnitudines AB æ〈que〉pondera­bunt. hoc eſt ſi magnitudo ex AB compoſita ſuſpendatur ex D, manebit, vt reperitur; nec amplius in alteram partem in cli nabit. quod euenit ob naturam centri grauitatis, quod talis eſt naturæ (ſicuti initio explicauimus) ut ſi graue in eius cen­tro grauitatis ſuſtineatur, eo modo manet, quo reperitur, dum ſuſpenditur; parteſquè undiquè æ〈que〉ponderant. & ob id ſi magnitudo ex AB compoſita ſuſpendatur in eius centro grauitatis, manet; parteſquè AB æ〈que〉ponderant. ac propterea quando in ſe〈que〉ntibus quærit Archimedes, quoniam grauia æ〈que〉ponderare debent, tunc tantùm quærit ipſorum centrum grauitatis, ut in ſexta, ſeptimaquè propoſitione in quit Archi­medes magnitudines ę〈que〉ponderare ex diſtantijs, quę permutatim proportionem habent, ut ipſarum grauitates, in demom ſtratione tamen quærit, vbi nam eſt centrum grauitatis magnitudinis ex vtrisquè compoſitę. quo inuento, ſtatim neceſſariò ſequitur, magnitudines, ſi ex ipſo centro ſuſpendantur, æ〈que〉 ponderare.

Hinc colligere poſſumus alterum argumentandi modum, conuerſo nempè modo, veluti in eadem figura, ſi dicamus grauia AB ſuſpenſa ex C æ〈que〉ponderant, ſtatim inferre poſſumus, punctum C ipſorum ſimul grauium, hoc eſt magnitudinis ex ipſis AB compoſitę centrum eſſe grauitatis. Quare ad ſe inuicem conuertuntur, hoc punctum eſt horum grauium centrum grauitatis; ergo hęc grauia ex hoc puncto æqùeponderant; & è conuerſo, nempè hæc grauia ex hoc puncto æ〈que〉ponderant, ergo idem punctum eſt ipſorum centrum grauitatis. ſed ad uertendum hanc ſequi conuertibilitatem, quan­do præfatum punctum eſt in recta linea, quæ centra grauita­tum ponderum coniungit; deinde quando hęc linea non eſt horizonti perpendicularis. ſecus aurem minimè. Nam ſi pondera AB ſint in libra ADB, quę ſit arcuata, vel angulum con­ſtituat, ſiue intelligatur libra recta linea AB, cui affixa ſit perpendicularis CD. vt in tractatu de libra noſtrorum Me­chanicorum diximus. ſuſpendantur autem pondera AB ex D, & æ〈que〉ponderent; non ſequitur tamen, ergo D centrum eſt grauitatis ma­gnitudinis ex AB com­poſitę. centrum enim grauitatis in linea exiſtit AB quæ centra grauitatis magnitudinum AB coniungit, nempe in C. Verùm coniungat recta linea AB centra grauitatis æqualium ponderum AB, lineaquè AB, cuius medium ſit C, in centrum mundi ten­dat, magnitudoquè ex ipſis AB compoſita vbi­cun〈que〉 ſuſpendatur in linea AB, vt in E; manebunt vti〈que〉 pondera AB ex E ſuſpenſa, vt in prima propoſitione de libra noſtrorum Mecha­nicorum oſtendimus. cùm C ſit ipſorum centrum grauitatis, & EC ſit horizonti erecta. Et quam­uis magnitudo ex ipſis AB compoſita ex E ſuſpenſa maneat; non propterea ſequitur ergo E centrum eſt grauitatis magnitudinis ex ipſis AB compoſitę. niſi fortè accidat ſuſpenſio ex puncto C. Præterea verò aduertendum eſt in hoc caſu pondera AB, dici quidem poſſe, manere, non autem æ〈que〉ponderare. omnia nimirum, quę æ〈que〉ponderant, ma­nent; ſed non è conuerſo, quæ manent, æ〈que〉ponderant. Nam ſi pondus A maius fuerit pondere B; ſiue B maius, quàm A, vbicun〈que〉 fiat ſuſpenſio in linea AB, ſemper ob eandem cauſam, quomodocun〈que〉 ſint pondera, manebunt; non ta­men æ〈que〉ponderabunt. Vt enim pondera æ〈que〉ponderent, requiritur, vt pars parti, virtuſquè vnius virtuti alterius hinc inde reſiſtere, & æquipollere poſſit; vt propriè dici poſſint pom dera æ〈que〉ponderare. & vt hoc euenire poſſit, oportet, vt par­ tes ex determinatis diſtantijs determinatas quo〈que〉 habeant grauitates; ſi ex dato puncto æ〈que〉ponderare debent. Quòd ſi in hoc caſu datum fuerit punctum C, ex quo pondera AB ex æqualibus diſtantijs CA CB ę〈que〉ponderare debeant: o­porteret, vt pondera AB (ex demonſtratis) ſemper eſſent æ­qualia. Quoniam autem quomodocun〈que〉 ſint pondera, hoc eſt; ſi ue pondus A maius, ſiue minus fuerit, quàm B, manent, ſi igitur dixerimus, ergo pondus A ponderi B ę〈que〉ponderat; eſſet omnino inconueniens. cùm ex ijsdem diſtantijs eidem pom deri pondus quandoquè maius, quandoquè minus ę〈que〉pon­derare non poſſit; vt in hoc caſu accidere poteſt. Quocirca nec propriè dici poſſunt pondera, ſiue in libra AB, ſiue ex diſtantijs CA CB conſtituta eſſe. Vndè ne〈que〉 Archimedis propoſitiones in hoc caſu ſunt intelligendę quandoquidem in his propriè quærit ponderum, magnitudinumquè æ〈que〉­ponderationes. ne〈que〉 enim in hac quarta demonſtratione in hoc caſu potuiſſet Archimedes abſurdum oſtendere, ſi C non eſt grauitatis centrum magnitudinis ex AB compoſitæ, ſit E. facta igitur ex E ſuſpenſione, magnitudines æquales AB ex in æqualibus diſtantijs EA EB ę〈que〉ponderabunt. quod fieri non poteſt. non enim hoc eſt abſurdum; cùm pondera ex E ſuſpenſa maneant idcirco quando linea AB eſt horizom ti erecta; propriè ad rem noſtram minimè pertinet. Ex dictis igitur ſemper valet conſe〈que〉ntia, hoc punctum horum ponderum centrum eſt grauitatis, ergo ſi ex hoc ſuſpendantur, pom dera ę〈que〉ponderant. non autem è conuerſo. niſi quando ar­gumentatio ſumitur ſemper ex recta linea, quæ centra grauitatis magnitudinum coniungit, & quando hęc linea non eſt horizonti erecta. hac enim ratione quocun〈que〉 modo recta linea ſe habeat, ſem­per ſequitur idem. Vt ſi li­nea AB fuerit, ſiue non fue­rit horizonti æquidiſtans, ipſius medium C centrum erit grauitatis magnitudi­nis ex magnitudinibus AB æqualibus compoſitę. vnde ſequitur, ſi appendantur pondera AB ex C, æ〈que〉ponderare. & è conuerſo, ſi AB pondera ex C æ〈que〉ponderant, ergo C centrum grauitatis exiſtit. ex quibus ſequitur lineam AB, pom deraquè manere eo modo, quo reperiuntur. vt in noſtro me­chanicorum libro in codem tractatu de libra demonſtraui­mus, & aduerſus illos, qui aliter ſentiunt, abundè ſatis diſpu­tauimus.

poſt quar­tam propoſitionem.*

In demonſtratione autem huius quartæ propoſitionis in­quit Archimedes. Quòd autem ſit in linea AB, præostenſum eſt. qua ſi dicat Archimedes, ſe priùs oſtendiſſe centrum grauitatis ma gnitudinis ex AB compoſitæ eſſe in linea AB; quod tamen in ijs, quæ dicta ſunt, non videtur expreſſum. virtute tamen ſi conſideremus ea, quę in prima, tertiaquè propoſitione dicta ſunt, facilè ex his concludi poteſt, centrum grauitatis magni­tudinis ex duabus magnitudinibus compoſitæ eſſe in recta linea, quæ ipſarum centra grauitatis coniungit. Quare memi­niſſe oportet eorum, quę a nobis in expoſitione primi poſtulati huius dicta fuere, nempè Archimedem ſupponere, diſtan­tias eſſe in vna, eademquè recta linea conſtitutas. ideoquè in prima propoſitio nec inquit, Grauia, quę ex diſtantijs ęqualibus æ〈que〉ponderant, æqualia eſſe inter ſe; Archimedes què demom ſtrat, quòd quando æ〈que〉ponderant, ſunt æqualia: ex dictis ſequitur, ſi æ〈que〉ponderant, ergo centrum grauitatis magni­tudinis ex ipſis compoſitę erit in eo puncto, vbi æ〈que〉ponde­rant; hoc eſt in medio diſtantiarum, lineę ſcilicet, quę grauium centra grauitatis coniungit. quod idem eſt, ac ſi Archimedes dixiſſet. Grauia, quę habent centrum grauitatis in medio li­neę, quę magnitudinum centra grauitatis coniungit, ęqua­lia ſunt inter ſe. cuius quidem hęc quarta propoſitio videtur eſſe conuerſa. quamuis Archimedes loco grauium nominet magnitudines. Pręterea in tertia propoſitione, quoniam oſten­dit Archimedes, inęqualia grauia ę〈que〉ponderare ex diſtantijs inęqualibus, ita vt grauius ſit in minori diſtantia, ſequitur ergo centrum grauitatis eſt in eo puncto, vbi æ〈que〉ponderant; & idem eſt, ac ſi dixiſſet, in æqualium grauium centrum gra­uitatis eſt in recta linea, quæ ipſorum centra grauitatis con­iungit; ita vt ſit propinquius grauiori, remotius uerò leuiori. vnde ſequitur centrum grauitatis ipſorum grauium ubicum〈que〉 eſſe poſſe in recta linea, quę ipſorum centra grauitatis coniungit. Ex quibus concludi poteſt, centrum grauitatis magni­tudinis ex duabus magnitudinibus compoſitę eſſe in recta linea, quæ ipſorum centra grauitatis connectit.

Poſtremò notandum eſt, Archimedem ea, quæ in ſuperioribus propoſitionibus nuncupauit grauia, in hac quarta propoſitione, veluti etiam in ſe〈que〉ntibus, non ampliùs grauia, ſed (vti diximus) magnitudines nominare. quod quidem his de cauſis id ab ipſo factum exiſtimo. primùm enim, quia in his expreſse quærit centrum grauitatis; quod quidem centrum, quamuis ſit centrum grauitatis, potiùs reſpicit magnitudinem, quàm graue aliquod. Nam cùm dicimus centrum grauitatis, ſtatim innuimus ſitum, ſitum inquàm determinatum figu­ræ, in qua eſt; ſiquidem centrum grauitatis eſt punctum, & (vt ita dicam) punctum grauitatis eius, in quo eſt. & ideo, quoniam magnitudo formam habet dete mina tam, centrum grauitatis rectè poteſt reſpicere ſitum reſpectu magnitudinis, in qua eſt; quod tamen efficere non poteſt reſpectu grauis. etenim graue, ut graue eſt, non habet formam determina tam; cùm eadem grauitas eſſe poſſit in cubo, in piramide, aliiſquè corporibus quibuſcun〈que〉, modò minoribus, modò maiori­bus, pro ut ſunt diuerſarum ſpecierum. quare centrum grauitatis non poteſt reſpicere ſitum in grauibus, quatenus grauia conſiderantur; ſed quatenus magnitudines exiſtunt. Præterea Ar­chimedes loco grauium magnitudines nominat, quia eas di­uiſibiles conſiderat, quod eſt proprium magnitudinis; vt in ſexta, ſeptima, & octaua propoſitione. & quamuis, dum diuidum tur magnitudines, grauia quo〈que〉 diuiſa proueniant; non ta­men propterea grauia diuiduntur, ut grauia. non.n. hoc ipſis competit, vt grauibus; ſed vt magnitudinibus, quæ ſunt per ſe diuiſibiles. Archimedes igitur his de cauſis nomen grauium in magnitudines mutauit. in ſuperioribus enim theoremati­bus pertractauit, quomodo res æ〈que〉ponderant ex diſtantijs modò æqualibus, modò in æqualibus. & quoniam res ę〈que〉ponderant, pro ut ſunt magis grauia, & minùs grauia; non ut sunt maiores, vel minores magnitudines, ſiquidem talis naturæ eſſe poteſt minor magnitudo, quę maiore magnitudine alterius nature grauior exiſtat; proindé Archimedes in ſuperiori­bus rectè grauia nuncupauit; optimèquè in his magnitudines vocat. At verò aduertendum eſt, quòd quamuis Archimedes in his magnitudines nominet, non propterea exiſtimandum eſt, eum intelligere magnitudines tantùm; ſed magnitudines grauitate pręditas, ita ut in ipſis omnino grauitatem reſpiciat. Etenim pluribus modis intelligere poſſumus magnitudines, vel enim ut ſint inter ſe eiuſdem ſpeciei, vel diuerſæ; nec non inſuper homogeneæ, vel heterogeneæ. vt in hac propoſitione quando Archimedes proponit duas magnitudines ęquales, tuc intelligere poſſumus eas eſſe eiuſdem ſpeciei, & homogeneas; quæ, cùm ſint æquales, erit & grauitas vnius grauitati alterius æqualis. ſi verò conſideremus eas eſſe diuerſæ ſpeciei, & e­tiam heterogeneas; tunc quando Archimedes proponit has magnitudines æquales; intelligendum eſt, eas eſſe æquales in grauitate; quæ quidem efficit, vt demonſtratio, quod propo­ſitum eſt, concludat. vt ex eius demonſtratione patet. Et his quo〈que〉 modis intelligere poſſumus magnitudines in ſe〈que〉ntibus vſ〈que〉 ad nonam propoſitionem in quibus ſcilicet intelligere poſſumus magnitudines eſſe non ſolùm eiuſdem ſpe­ciei, vel diuerſæ, verùm etiam & homogeneas. & heteroge­neas. ut poſt ſeptimam clariùs oſtendemus. Verùm de­monſtrationes clariores redduntur, ſi intelligamus magnitu­dines eſſe eiuſdem ſpeciei, & homogeneas, in quibus graui­tas magnitudini reſpondet, vt ſi ipſarum altera fuerit alte­rius dupla, & grauitas vnius grauitatis alterius dupla exiſtat. Quòd ſi magnitudo fuerit alterius tripla, vel quadrupla, &c. erit & grauitas grauitatis tripla, vel quadrupla, & ſic dein­ceps. deinde ſi magnitudo bifariam diuiſa fuerit, & ipſius grauitas in duas ęquas partes ſit quo〈que〉 diuiſa. quòd ſi magnitu­do in plures diuidatur partes, & grauitas quo〈que〉 in totidem eiuſdem proportionis diuiſa proueniat.

PROPOSITIO. V.

Si trium magnitudinum centra grauitatis in recta linea fuerint poſita, & magnitudines æqualem habuerint grauitatem, acrectæ lineæ inter centra fuerint æquales, magnitudinis ex omnibus magnitudinibus compoſitæ centrum grauitatis erit pum ctum, quod & ipſarum mediæ centrum grauitatis exiſtit.

Sint tres magnitudines ACB. ipſarum autem centra grauitatis ſint puncta ACB in resta linea ACB poſita. ſint verò magnitudines ACB æquales; rectæquè lineæ AC CB inter centra ipſarum aquales. Dico magnitudinis ex omnibus ACB magnitudinibus compoſitæ centrungra uitatis eſſe punctum C. quod eſt centrum grauitatis mediæ ma­gnitudinis. Quoniam enim magnitudines AB æqualem habent graui tatem; magnitudinis ex vtriſ〈que〉 AB compoſitæ centrum grauitatis erit punctum C: cùm ſint AC CB æquales. ſitquè propterea punctum C medium rectæ lineę AB. Sed & magnitudinis C cem trum grauitatis est idem punctum C. punctum ergo C trium ma­gnitudinum ABC centrum quo〈que〉 grauitatis erit. Quare patet magnitudinis ex omnibus magnitudinibus ACB compoſitæ centrum grauitatis eſſe punctum, quod & magnitudinis mediæ centrum graui­tatis existit. quod demonſtrare oportebat.

4 huius.

COROLLARIVM. I.

Ex hoc autem manifeſtum eſt, ſi quotcunquè magnitudinum, & numero imparium, centra gra­uitatis in recta linea conſtituta fuerint; & magni­tudines æqualem habuerint grauitatem; rectæquè lineæ inter ipſarum centra fuerint æquales, ma­gnitudinis ex omnibus magnitudinibus compoſitæ centrum grauitatis eſſe punctum, quod & ipſa­rum mediæ centrum grauitatis exiſtit.

*

SCHOLIVM.

Ex demonſtratione colligit Archimedes ſi plures fuerint magnitudines, quam tres; dummodo ſint numero impares, vt ABCDE; quarum centra grauitatis ABCDE reperiantur in linea recta AE. fuerint autem hę magnitudines æquales in grauitate. inſuper rectę lineę AB BC CD DE, quę ſunt inter cen­tra grauitatis, fuerint æquales: magnitudinis ex omnibus magnitudinibus ABCDE compoſitæ centrum grauitatis eſſe punctum C. quod eſt centrum grauitatis magnitudinis mediæ.

Eodem enim modo, ac primùm quidem ex demonſtratio ne patet punctum C centrum eſſe grauitatis trium magnitudinum BCD, & quoniam AB BC ſunt æquales ipſis CD DE, erit AC ipſi CE ęqualis. cùm què ſit grauitas magnitudinis A ęqualis grauitati ipſius E, erit itidem punctum C magnitudinum AE centrum grauitatis. ergo punctum C magnitudinis ex omnibus magnitudinibus ABCDE compoſitæ centrum grauitatis exiſtit.

4 huius.

Quòd ſi fuerint ad huc plures magnitudines, impares verò extiterint; quæ ita ſe habeant, vt expoſitum eſt; ſimiliter oſtem detur, centrum grauitatis mediæ magnitudinis centrum eſſe grauitatis magnitudinis ex omnibus magnitudinibus com­poſitæ.

In hoc corollario, verba illa, & magnitudines æqualem habue­rint grauitatem in greco codice ita habentur. ei(/ka tate i)/son a)pe/xon­ta a)po\ tou= me/sou mege/qeos i)/son ba/ros e)/xwnti quorum multa ſuperuaca­nea nobis viſa ſunt; loco quorum (vt arbitror) rectè congruent kai\ ta\ mege/qea i)/son ba/ros e)/xwnti, vt vertimus. Nam ſi ordinis at〈que〉 conditionum propoſitę propoſitionis ratio habenda eſt, oportet vt magnitudines ęqualem habeant grauitatem; Nam & Archimedes in ſe〈que〉ntibus demonſtrationibus ijs vtitur, ut ſunt æ〈que〉graues. Adhuc tamen veritatem habebit ſi cæteris conditionibus illud quo〈que〉 addere voluerimus, nempe ſi magnitudines à media magnitudine æqualiter diſtantes æqualem habuerint grauitatem eodem modo punctum C centrum erit grauitatis magnitudinis ex omnibus ABCDE compoſitę, Nam ſi ma­gnitudines à media magnitudine ſunt ę〈que〉graues; ęqualem quo〈que〉 habebunt grauitatem magnitudines AE; veluti ma­gnitudines BD, quæ æqualiter à media magnitudine C di­ſtant. & quam uis non ſint omnes æ〈que〉graues, ſufficit, vt AE quæ ęqualiter à media magnitudine diſtant, ſint ę〈que〉graues. ſimiliter BD ę〈que〉graues. Eadem enim ratione, quoniam BD ſunt æ〈que〉graues, & diſtantiæ BC CD ęquales; erit C ipſa- rum BD centrum grauitatis. pari què ratione C erit centrum grauitatis magnitudinum AE ę〈que〉grauium. cum ſint AC CE ęquales, & idem C eſt grauitatis centrum magnitudinis C. ergo punctum C magnitudinis ex omnibus magnitudini­bus ABCDE compoſitę centrum grauitatis exiſtit.

*

COROLLARIVM. II.

Si verò magnitudines fuerint numero pares; & ipſarum centra grauitatis in recta linea extite­rint, magnitudineſquè æqualem habuerint graui tatem, rectæ què lineæ inter centra fuerint æquales: magnitudinis ex omnibus magnitudinibus com poſitæ centrum grauitatis erit medium rectæ li­neæ, quæ magnitudinum centra grauitatis coniun­git. vt in ſubiecta figura.

*

SCHOLIVM.

Colligit præterea Archimedes ſi magnitudines ABCDEF fuerint numero pares, quarum centra grauitatis ABCDEF in recta linea AF ſint conſtituta; magnitudineſquè ſint æquales in grauitate; ſintquè inter centra lineę AB BC CD DE EF æ quales. diuidatur autem AF bifariam in G. erit punctum G centrum grauitatis magnitudinis ex omnibus compoſi­tæ quod quidem, figura tantùm inſpecta, perſpicuum eſt. Cùm enim magnitudines AF ſint æ〈que〉graues, & AG GF ſint æquales, erit G centrum grauitatis magnitudinis ex AF compoſitæ. quia verò AB eſt ipſi EF æqualis, reliqua BG ipſi GE æqualis exiſtet. & ſunt magnitudines BE ę〈que〉gra­ues, erit idem G centrum grauitatis magnitudinum BE. ſimili­ter cùm ſit BC æqualis DE, relin〈que〉tur CG ipſi GD ęqua­lis; magnitudinesquè CD ſunt ę〈que〉graues. ergo punctum G cem trum eſt quo〈que〉 magnitudinum CD. Vnde ſequitur, punctum G magnitudinis ex omnibus magnitudinibus ABCDEF con­poſitæ centrum grauitatis exiſtere.

4 huius.

Hoc quo〈que〉 loco verba illa magnitudineſquè æqualem habuerint grauitatem. Græcus codex ita mendosè legit. kai\ ta\ me/sa au)/ths i)/son ba/ros e)/xwnti, quæ quidem verba hoc modo reſtitui poſſunt. kai\ ta\ mege/qea i)/son ba/ros e)/xwnti.

*

In præcedenti propoſitione oſtendit Archimedes, quomodo ſe habet centrum grauitatis magnitudinis ex duabus ma­gnitudinibus ęqualibus compoſitæ. In hac autem demonſtrat, vbi ſimiliter grauitatis centrum reperitur inter plures magni­tudines æ〈que〉graues, & inter ſe ęqualiter diſtantes. ex quibus tandem colliget fundamentum ſæpiùs dictum. nempè ſi ma­gnitudines ę〈que〉ponderare debent; ita ſe habebit magnitudi­num grauitas ad grauitatem, ut ſe habent diſtantiæ permutatim, ex quibus ſuſpenduntur. & hoc demonſtrat Archimedes in duabus ſe〈que〉ntibus propoſitionibus. nam magnitudines, vel ſunt commenſurabiles interſeſe, vel incommenſurabiles. de commenſurabilibus aget in ſe〈que〉nti: de incommenſurabilibus verò in ſeptima propoſitione. & Archimedes duas ſe〈que〉n­tes propoſitiones ueluti coniunctas proponit. Nam in ſexta inquit Magnitudines commenſurabiles, &c. in ſeptima uerò in­quit, Si autem magnitudines ſuerint incommenſurabiles, quaſi vna tam tùm ſit propoſitio in duas partes diuiſa. ita ut ne〈que〉 numeris eſſent diſtinguende, ſed pro vna tantùm propoſitione ſummendæ, obſe〈que〉ntis autem demonſtrationis faciliorem intelligentiam hęc priùs præmittimus.

LEMMA.

Si duę fuerint magnitudines in æquales, quarum maior ſit alterius dupla, tertia verò quędam magnitudo minorem me- tiatur. maiorem quo〈que〉 in partes numero pares metietur.

Sint duę in ęquales magnitudines AB, ſitquè A ipſius B duplex. magnitudo autem C magnitudinem B metia­tur. Dico C magnitudinem A metiri, menſurationesquè numero pares eſſe. Quoniam enim C metitur B, eodem numero C metietur medietates ipſius A, quæ ſuntipſi B æquales. ergo duplo plures erunt numero menſurationes ipſius A, quàm ipſius B. quare menſu­rationes ipſius A ſunt numero pares. duplum enim ſemper paritatem ſecum affert. quod demonſtrare oportebat.

Porrò maxima in his duabus ſe〈que〉ntibus propoſitionibus adhibenda eſt diligentia; quibus tota rerum Mechanicarum ratio in nititur. Quocirca vt harum propoſitionum demon­ſtrationes perfectè intelligere poſſimus; præter eos argumen­tandi modos, quorum ante quintam huius propoſitionem meminimus; alterum quo〈que〉 modum, quo Archimedes in hac ſexta propoſitione vtitur, nouiſſe oportet. vt ſcilicet, ſi magnitudo A æ〈que〉ponderatipſis BC facta ſuſpenſione ex pun­cto D; ita ſcilicet, vt D ſit centrum grauitatis magnitudinis ex omnibus ABC magnitudinibus compoſitæ; ipſarum verò magnitudinum BC, hoc eſt magnitudinis ex BC compoſi­tæ centrum grauitatis ſit punctum E; auferantur verò BC à linea EA, & ipſarum loco ponatur in E magnitudo; quæ ſit vtriſ〈que〉 ſimul BC ęqualis, vt in ſecunda figura. Dico eodem modo pondera ABC ę〈que〉ponderare in prima figu­ra, veluti grauia AE in ſecunda.

Primum autem, vthoc recte per pendamus, intelligantur pondera BC (vt in tertia figura) ſeorſum à linea CA, & penes diſtantias EC EB conſtituta. quorum quidem pon­derum ſit centrum grauitatis E. ſi igitur intelligatur poten tia in E ſuſtinere pondera BC, hoc eſt pondus exipſis BC compoſitum: pondera uti〈que〉 manebunt. quòd ſi ambo pe­penderint, vt quinquaginta, potentia in E tantùm quinqua ginta ſuſtinebit. quoniam totum ſuſtinebit pondus ex ipſis compoſitum, auferantur verò pondera BC à ſitu BC, intelli ganturquè pondera eſſe in E conſtituta; hoc eſt vnum ſit pondus ex ipſis ſimul iunctis compoſitum, cuius centrum gra­uitatis ſit in E conſtitutum; tunc eadem potentia in E eo­dem modo hoc pondus ſuſtinebit; propterea quod eodem mo­do quinquaginta tantùm ſuſtinebit. Quare pondera BC tam ex diſtantijs EC EB grauitant, quàm ſi vtra〈que〉 in E con ſtituta fuerint; vel quod idem eſt, quàm pondus ipſis BC ſi­mul æquale in E poſitum. Ex quo patetid, quod initio prę­fati ſum us, nempe, vnumquodquè graue in eius centro gra­uitatis propriè grauitare. Quocum 〈que〉 enim modo eadem grauia ſeſe habent, eodem ſemper modo in eius grauitatis centro grauitant.

per def. cent. grau.

Quibus cognitis, intelligantur nunc grauia BC in linea CA poſita eſſe; ut in ſuperiori figura: & ut quod propoſitum fuit, oſtendatur; hoc modo argumentari licebit. Quoniam enim magnitudines BC ſuam habent grauitatem in E, ſiqui dem pro vna tantùm intelliguntur magnitudine ex BC compoſita, cuius punctum E centrum grauitatis exiſtit. in ſecum da verò figura magnitudo E ſimiliter ſuam habet grauitatem in puncto E; quod eſt eius centrum grauitatis. at〈que〉 magnitu do E eſtipſis BC ſimul ſumptis ęqualis. diſtantię verò AD DE ſunt æquales, cum ſint ęedem; erit vti〈que〉 punctum D in ſecunda figura centrum grauitatis magnitudinis ex AE com­poſitæ, veluti D in prima figura ipſarum ABC centrum grauitatis exiſtit. ac propterea in vtra〈que〉 figura pondera æ〈que〉­ponderabunt:

Cæterum hoc quo〈que〉 oſtendemus hoc pacto.

Iiſdem nam〈que〉 poſitis; æ〈que〉ponderarent ſcilicet grauia ABC facta ex D ſuſpenſione. ſitquè punctum E centrum grauitatis ponderum CB. quæ quidem pondera CB grauitatis centrum habeant in linea CB. Dico pondus A ponderi ipſis CB ſimul ſumptis æquali in E conſti­tuto æ〈que〉ponderare. Mente concipiamus diſtantias EC EB, manente centro E, circa ipſum circumuerti poſſe; vt modò ſint in FEG, modò in HEK. ſimiliter in­telligantur pondera CB, modò in FG, modò in HK exiſtere. Quoniam igitur punctum E. centrum eſt grauitatis ponderum CB; erit idem E (cùm ſitum nonmutet) centrum grauitatis ponderum in ſitu FG, ac ponderum in HK exiſtentium. Quiaverò vnumquod­〈que〉 pondus (ex dictis) propiè in eius centro grauitatis grauitat; pondera ſimul CB ſiue ſint in FG, ſiue in HK, proprie in puncto E grauitabunt. At verò quoniam idem pondus vnam & eandem ſemper habet grauitatem; erit pondus ex CB compoſitum æ〈que〉graue, tam in ſitu CB, quàm in FG, & in ſitu HK. conſiderando nempe pondera CB (ut revera ſunt) nilaliud eſſe niſi vnum tantùm pondus ex CB compoſitum. Ex quibus perſpicuum eſt, punctum E eodem ſemper modo grauitare. Quare quoniam pondera CB in ſi­tu CB ipſi A ę〈que〉ponderant, ſuamquè habent grauitatem in puncto E; eadem pondera CB ſiue ſint in FG, ſiue in HK, eidem ponderi A æ〈que〉ponderabunt. ſiquidem propriè ſemper grauitant in E, & eandem ſemper habent grauita­tem Intelligatur deni〈que〉 HEK in centrum mundi tendere; e­runtvti〈que〉 vtra〈que〉 pondera HK, tanquam in puncto E com ſtituta, vt ex prima propoſitione noſtrorum Mechanicorum elici poteſt, quamuis perſe notum ſit. ſiquidem ſeorſum pondus H ſecundùm eius centrum grauitatis propriè grauitat ſuper puncto E; pondus verò K eſt, tanquam ex E appenſum; vndè & in eodem puncto E quo〈que〉 grauitat. Ita〈que〉 quoniam ambo propriè grauitant in E, erunt pondera HK perinde, acſi vnum eſſet pondusipſis HK, hoc eſtipſis CB æquale, cuius centrum grauitatis ſit in E conſtitutum. atverò pondus A ipſis CB in ſitu HK exiſtentibus æ〈que〉ponderat. ergo idem pondus A ipſis CB in E conſtitutis, hoc eſt ponderi ipſis CB ſimul ſumptis ęquali in E poſito æ〈que〉ponderabit. quod de­monſtrare oportebat.

Quod idem quo〈que〉, ſi plura eſſent pondera, ſimiliter o­ſtendetur.

Valetita〈que〉 conſe〈que〉ntia, punctum D centrum eſtgra­uitatis magnitudinis ex ponderibus ABC compoſitę; ergoi­dem punctum D centrum eſt grauitatis ponderis in A, & pom derisipſis BC ſimul ęqualis in E conſtituti. ex quo conſequi­tur, quòd ſi magnitudines ABC ex D æ〈que〉ponderant, ergo ex eodem D magnitudo ipſis BC ſimul æqualis in E poſita, & magnitudo A æ〈que〉ponderabunt. quòd ſi rectè perpenda­mus, nil aliud ſunt pondera in BC, niſi magnitudo in E con­ſtituta. ſiquidem punctum E ipſius centrum grauitatis exiſtit

In noſtro autem Mechanicorum libro in quinta propoſi- tione tractatus de libra duas attulimus demon ſtrationes oſten­tes duo pondera vt CB tam in punctis CB ponderare, quàm ſi vtra〈que〉 ex puncto E ſuſpendantur. At verò quo niam demon ſtrationes ibi allatæ ijs indigent, quę Archimedes in ſe〈que〉n­ti ſexta propoſitione demonſtrauit, idcirco demonſtrationes illæ huic loco non ſunt oportunæ; vt ex ipſisſumi poſſit tan­quam demonſtratum pondera CB, tam in punctis CB pon­derare, quàm ſi vtra〈que〉 ex E ſuſpendantur. Quare hoc loco hę tantùm ſufficiant rationes, quæ dictæ ſunt. Ex quibus poteſt Archime des diſtam conſe〈que〉ntiam colligere; nempè magni­tudines ABC ex D æ〈que〉ponderant, auferantur autem BC, & loco ipſarum vtriſ〈que〉 ſimul ę〈que〉grauis ponatur magnitu­do in E; ſimiliter hęc magnitudo ipſi A æ〈que〉ponderabit. Po­ſtea verò ex ijs, quæ Archimedes demonſtrauit, fieri poteſt re greſſus; vapertiùs, manifeſtiùſ què cognoſcere valeamus, pondera BC ita ponderare, ac ſi vtra〈que〉 ex puncto E ſuſpen­dantur.

Cęterum hoc loco Archimedes non ſolùm de duobus, verum etiam de pluribus ponderibus idipſum intelligendum admittit. vt ſi magnitudines STVXZM æ〈que〉ponderent facta ſuſpenſio ne ex puncto C. ſitquè magnitudinum MZ centrum grauitatis D; ipſarum verò STVX ſit centrum grauitatis E. ſi ita〈que〉 ma gnitudines STVX, & ZM ex C æ〈que〉ponderant; auferantur STVX, quarum loco ponatur in E magnitudo ipſis STVX ſi mul ſumptis ęqualis: auferanturquè ZM, at〈que〉 ipſarum loco po natur in D magnitudo ipſis ZM ſimul ęqualis; tunclicetinfer re, ergo hæ magnitudines in ED poſitæ ę〈que〉pondera­bunt. Quod quidem ijsdem prorſus modis oſtendentur. præſertim ſi mente concipiamus diſtantias ES EX, nec non magnitudines STVX in ſuis diſtantijs circa centrum grauitatis E circumuerti poſſe; veluti diſtantias DZ DM, ma gnitudineſquè ZM circacentrum D. moueantur autem SEX, & ZDM, donec in centrum mundi vergant. ſimiliter oſtendetur magnitudines STVX eſſe, ac ſi in E eſſent appen ſę, ſiue conſtitutę; magnitudines verò ZM ac ſi in D poſi­tæ fuerint. &c. Ex quibus ſequitur, ſi punctum C centrum eſt grauitatis magnitudinum STVXZM. ponatur magnitu­do ipſis STVX ſimul ſumptis ęqualis in E; magnitudo autem ipſis ZM ſimul æqualis in D; punctum C ſimiliter ipſarum quo〈que〉 centrum grauitatis exiſtet. vnde vtro〈que〉 mo do æ〈que〉ponderabunt. & ita in alijs, ſi plures fuerint magni­tudines.

PROPOSITIO. VI.

Magnitudines commenſurabiles ex diſtantijs eandem permutatim proportionem habentibus, vt grauitates, æ〈que〉ponderant.

Commenſurabiles ſint magnitudines AB quarum centra grauita­tis AB, & quædam ſit diſtantia E D, & vt ſe habet grauitas ma­gnitudinis A ad grauitatem magnitudinis B, ua ſit diſtantia DC ad distantiam CE. ostendendum eſi, ſi centra grauitatis AB fue rint in punctis ED conſtituta, hoc eſt A in E, & B in D; magnitudinis ex vtriſquè magnitudinibus AB compoſitæ centrum grauitatis eſſe punctum C. Quoniam enim ita est magnitudo A admagnitudinem B, vt DC ad CE. eſt autem magnitudo A ipſi B commenſurabilis; erit & CD ipſi CE commenſurabilis; hoc eſt recta linea rectæ lineæ commenſurabilis exiſtet. Quare ipſarum EC CD communis reperitur menſura. quæ quidem ſit N. deinde ponatur ipſi EC æqualis vtra〈que〉 DG DK; ipſi verò DC æqualis EL. & quoniam æqualis est DG ipſi CE, communi addita CG, erit DC ipſi EG æqualis; ſed DC eſt ipſi EL ęqualis: erit igitur LE æqua­lis ipſi EG. quare vtra〈que〉 LE EG ęqualis eſt ipſi DC. ac propte rea dupla est LG ipſius DC. quia verò vtra〈que〉 DG DK æqualis facta eſt ipſi CE, erit & ipſa quo〈que〉 GK ipſius CE dupla. Quare N vtran〈que〉 LG Gk metitur, cùm & ipſarum medietates DC CE metiatur. Et quoniam magnitudo A ita eſt ad magnitudinem B, vt DC ad CE, ut autem DC ad CE, ita eſt LG ad GK, utra〈que〉 enim vtriuſ〈que〉 duplex exiſtit (ſiquidem LG dupla eſt ipſius DC, & GK itidem ipſius CE duplex) erit magnitudo A ad magni­tudinem B, ut LG ad Gk; & conuertendo magnitudo B ad magnitudinem A, vt KG ad GL. Quotuplex autem est LG ipſius N, totuplex ſit magnitudo A ipſius F, erit vti〈que〉 LG ad N, vtmagnitudo A ad F, atqui est KG ad LG, vt magnitudo B admagnitudinem A: LG verò ad N eſt, vt magnitudo A ad i­psam F, ex æquali igitur erit KG ad N, vt magnitudo B ad F quare æ­〈que〉multiplex eſt kG ipſius N, veluti magnitudo B ipſius F. demon ſtratum aunt eſt magnitudinem A ipſius F multiplicem eſſe, ſiquidem eſt magnitudo A ad ipſam F, vt LG ad N, quæ quidem LG mul tiplex eſt ipſius N. qua propter F ipſarum AB communis existit men ſura. Jta〈que〉 diuiſa LG in partes LH, HE, EC, CG, ipſi N aquales, cadent vti〈que〉 diuiſiones in punctis EC, quoniam Nipsam EC metitur, nec non ipſam quo〈que〉 LE metitur; cùm ſit LE ipſi CD æqualis. eruntquè diuiſiones LH, HE, EC, CG, numero pares; cùm N dimidiam ipſius LG, hoc eſt CD metiatur. Averò ſimiliter diuiſa in partes OP QR ipſi F æquales; ſectio­nes LH, HE, EC, CG in LG existentes magnitudini N æqua­les, erunt numero æquales ſectionibus OPQR in magnitudine A existentibus ipſi F æqualibus. Diuidantur ſectiones LH, HE, EC, CG bifariam in punctis STVX. ſi it a〈que〉 in vnaqua〈que〉 ſestio ne ipſius LG apponatur magnitudo æqualis ipſi F, quæ centrum gra­uitatis babeat in medio ſectionis; vt ſi in LH ponatur magnitudo S, in HE magnitudo T, in EC magnitudo V, & in CG magnitudo X; ipſarum què vna quæ〈que〉 STVX ſit ipſi F æqualis: habeat verò magnitudo S ſuum grauitatis centrum, quod ſit punctum S, in medio ſectionis LH, nempè in pun­cto S; ſimiliter cæteræ magnitudines TVX habeant cerrra grauitatis; quæ ſint puncta TVX, in medio ſectionum HE, EC, CG, in punctis nempè TVX, erunt centra grauitatisma gnitudinum STVX in recta linea conſtituta, & quomao SH dimidia eſt ipſius LH, veluti HT ipſius HE, erit ST, ipſius LE dimidia, vnaquæ〈que〉 verò LH HE dimidia quo〈que〉 eſt ipſius LE, ſiquidem LH, HE inter ſe ſunt ęqua les; erit igitur ST vnicui〈que〉 LH, & HE æqualis. eodem què prorſus modo oſtendeturi TV ęqualem eſſe vnicui〈que〉 HE EC. & VX æqualem EC. & CG. & quoniam omnes LH, HE, EC, CG, inter ſe ſunt æquales; erunt ST TV VX interſe æquales. quare lineæ inter centra grauitatis magnitudi­num STVX exiſtentes ſunt inter ſe ęquales. omnes verò magnitudines STVX ſimul ſunt æquales ipſi A, quandoquidem ipſis OPQR, & numero, & magnitudine ſunt ęquales; ergo magni­tudinis ex omnibus magnitudinibus STVX compoſitæ centrumgra uitatis erit punstum E. cùm omnes magnitudines STVX ſint nu­mero pares. quippe cùm ſint in ſectionibus LH HE EC CG numero paribus. & LE ipſi EG æqualis exiſtat. quòd ſi LE eſtipſi EG æqualis, demptis æqualibus LS GX æqualibus, ſiquidem ſunt dimidiæ ſectionum LH CG æqualium: erunt SE EX in­terſe æquales, vnde ex præcedenti colligitur, punctum E cen­trum eſſe grauitatis magnitudinum STVX. ſimiliter autem oſtem detur, quòd ſi diuidatur GK in partes GD DK ipſi N æquales; cadetvti〈que〉 diuiſionum aliqua in puncto D; ſiquidem Nipſas GD DK metitur; cùm vtra〈que〉 ſit æqualisipſi EC. diuiſioneſ­què GD DK numero pares erunt; cùm N dimidiam ipſius GK, ipſam ſcilicet EC metiatur. ſi ita〈que〉 diuidatur GD DK bifariam in punctis ZM. deinde diuidatur magnitudo B in partes ipſi F æquales; ſectiones GD DH in GK exiſtentes ipſi N æquales, erunt numero æquales ſectionibus in ma gnitudine B exiſtentibus ipſi F æqualibus. quare vnicui〈que〉 partium ipſius GK apponatur magnitudo æqualis ipſi F; centrum gra­uitatis habens in medio ſectionis; vt ponantur magnitudines ZM in ſectionibus GD DK, ita vt magnitudinum centra grauita­tis, quæ ſint ZM, in medio ſectionum GD DK, in punctis nempè ZM ſint conſtituta, omnes autem magnitudines ZM ſi mul ſunt æquales ipſi B. magnitudinis ex omnibus magnitudinibus ZM compoſitæ centrum grauitatis erit punctum D. cùm ſit ZD ęqualis DM. ſed magnitudines STVX ſunt magnitudini A æquales, & ZM ipſi B ergo magnitudo A eſt tanquam impoſita ad E, ipſa verò B ad D. eodem ſcilicet modo ſe habebit ma­gnitudo A impoſita ad E, vt ſe habent magnitudines STVX; ipſa verò B ſe habebit ad D, vt magnitudines ZM. ſunt autem magnitudines STVXZM inter ſe æquales, cùm vnaquæ 〈que〉 ſit ipſi F ęqualis: ſuntquè omnes, (hoc eſt ipſarum centra grauitatis) inrecta linea poſitæ; quarum centragrauitatis poſita ſunt inter ſe æqualiter diſtantia; ſiquidem oſtenſum eſt ST TV VX inter­ſe æquales eſſe. Eodemquè modo oſtendetur XZ ZM cæteris æquales eſſe. & ſunt magnitudines STVXZM numero pares,cùm ſectiones totius LK, ( in quibus inſunt) ipſi N æquales ſint inter ſe ęquales, & numero pares. cùm oſtenſum ſit ſectio nes in LG, & in Gk exiſtentes numero pares eſſe. conſtat magni­tudinis ex omnibus STVXZM magnitudinibus compoſitæ centrum grauitatis eſſe medietatem restæ lineæ, in qua centra grauitatis magnitudinum habentur. Ita〈que〉 cùm LE ſit æqualis C D, EC verò ipſi Dk, tota LC æqualis erit CK. cùm autem ſint LHDK æquales; ſi­quidem ſunt eidem N æquales, & harum medietates, hoc eſt LS ipſi MK ęqualis erit. & ob id SC ipſi CM eſt æqualis. at verò linea SM magnitudinum centra grauitatis coniungit, ergo magnitudinis ex omnibus STVXZM magnitudinibus compoſi tæcentrum grauitatis est punctum C. Quare loco magnitudinum STVX, poſito centro grauitatis A ad E, B verò loco ipſarum ZM poſito ad D, erit punctum C grauitatis centrum ma­gnitudinis ex vtriſ〈que〉 magnitudinibus AB compoſitæ. ac prop terea ex puncto C æ〈que〉ponderabunt. ergo magnitudines AB ex diſtantijs DC CE, quę permutatim eandem habent pro. portionem, vt grauitates, ę〈que〉ponderant. quod demonſtrare oportebat.

ex 3 de­cimi.

11 quinti. cor. 4. quinti.

22. quinti.

iemme.

ex 2. cor.

lemma.

2.cor. quintæ huius.

*

SCHOLIVM.

Circa finem Gręcus codex habet, ta ke/nt<10>a tw=n me/swn megeqw=n, quaſi dicat, centrum grauitatis magnitudinis ex omnibus magnitudinibus STVXZM compoſitę medietatem eſſe rectę lineę VX, quę centra mediarum magnitudinum VX coniungit; quòd cùm ſint omnes magnitudines numero pares; itidem eſſet punctum C, & quamuis hoc ſit verum, non tamen ad hoc reſpexit Archimedes duabus de cauſis. Nanin ſecudo corollario pręcedentis oſtendit centrum grauitatis omnium magnitu­dinum eſſe medietatem rectę lineę, quę grauitatis centra om­nia coniungit. Deinde concludere volens punctum C centrum eſſe grauitatis omnium magnitudinum, ſtatim inquit hoc ſe qui, quia LC eſt ipſi CK ęqualis, quę ſunt medietates totius rectælineę LK. Et non dixit, quia VC ſitipſi CX ęqualis. Quare codicem græcum ita reſtituendum cenſeo. ta\ke/nt<10>k tw=n tou= ba\<10>eos megeqw=n, vt vertimus.

*

Ob ſe〈que〉ntis verò demonſtrationis cognitionem, hoc pro blema priùs oſtendemus.

PROBLEMA.

Duarum expoſitarum magnitudinum incommenſurabi­lium altera vtcum〈que〉 ſecetur; magnitudinem tota ſecta ma­gnitudine minorem, & altero ſegmentomaiorem, alteri ve­rò expoſitæ magnitudini commenſurabilem inuenire.

Sint duæ magnitudi­nes incommenſurabiles AE BC. ſeceturquè ipſa­rum altera, putà BC, vt­cum〈que〉 in D. oportet magnitudinem inuenire minorem quidem BC, maiorem verò BD, quæ ſitipſi AE commenſurabilis. Au­feratur ab AE pars dimidia, rurſus dimidiæ partis ipſius AE dimidia auferatur; & eius, quæ remanet, adhuc dimidia; idquè ſemper fiat, donec relinquatur magnitudo minor, quàm DE. quod quidem perſpicuum eſt poſſe fieri ex prima decimi Eu­clidis propoſitione. ſitita〈que〉 AF, quæ minor exiſtat, quàm DC. quippe quę AF, cùm ſit abla ta ex AE ſemper per dimi diam partem, metietur vti〈que〉 AF ipſam AE. Deinde mul­tiplicetur AF ſuper BD, tum demum multiplicatio vltima, vel in puncto D cadet, vel minus. ſi cadet; ſeceturex DE magnitudo DG ęqualis AF. quod quidem fiet, quoniam AF minor eſt DC. Quoniam igitur AF metitur BD, & DG; metietur AF totam BG. Sed & ipſam AE metitur; etgo AF ipſarum BG AE communis exiſtit menſura, ac propte­rea BG ipſi AE commenſurabilis exiſtir; quæ quidem BG minor eſt BC, maior verò BD. Si verò vltima multi­plicatio ipſius AF ſuper BD non cadet in D. ſed in H, erit vti〈que〉 HD minor AF. nam ſi HD ipſi AF eſſet ęqualis, vltima multiplicatio caderet in D. ſi verò maior eſſet HD, quàm AF tunc non eſſet vltima multiplicatio. quare cùm ſit DC maior AF; erit & HC ipſa FA maior. ſi ita〈que〉 fiat HK æqualis AF; erit punctum K inter puncta DC. BK igitur minor erit, quàm BC, & maior BD; eodemquè modo o­ſtendetur AF ipſarum Bk AE communem eſſe menſu­ram. & obid BK ipſi AF commenſurabilem exiſtere. quod facere oportebat.

1.def.deci­mi.

Cùm autem verba ſe〈que〉ntis demonſtrationis aliquantu­lum ſint obſcura, vt vim demonſtrationis rectè petcipiamus, hoc quo〈que〉 theorema ex ijs, quæ ab Archimede hactenus de­monſtrata ſunt, oſtendemus. ad quod demonſtrandum com muni notione indigemus, quam nos in noſtro Mechanico­rum libro poſuimus. Nempè.

Quæ eidem æ〈que〉pondeiant, inter ſe æquè ſunt grauia.

PROPOSITIO.

Si commenſurabiles magnitudines minorem habuerint proportionem, quàm diſtantię permutatim habent; vt ę〈que〉­ponderent, maiori opus erit magnitudine, quàm ſit ea, quę ad alteram magnitudinem minorem proportionem habet.

Sint magnitudines AC commenſurabiles, diſtantię ve­rò ſint ED EF. minorem autem habeat pro- portionem A ad C, quàm ED ad EF. Dico, vt magnitu­dines ex diſtantijs ED EF æ〈que〉ponderent, maiori o­pus eſſe magnitudine in F, quàm ſit magnitudo A; ita vt ipſi C in D æ〈que〉ponderare poſſit. fiat ED ad EG, vt magnitudo A ad magnitudinem C. Deindefiat EK æqualis EG. exponaturquè altera ma­gnitudo L ipſi A ęqualis. Quoniam igitur minorem habet proportionem A ad C, quàm ED ad EF, & vt A ad C, ita ED ad EG; habebit ED ad EG minorem proportionem, quàm ad EF. ac propterea EF minor eſt, quàm EG. quoniam ausem A ad C eſt, vt ED ad EG, commenſurabiles magnitudines AC ex diſtantijs ED EG æ〈que〉ponderabunt. Cùm verò EK ſit æqualis EG, magnitudines AL æ­quales ex diſtantis æqualibus EK EG ſimiliter æ〈que〉­ponderabunt. At verò quoniam C in D æ〈que〉­ponderat ipſi A in G, ſimiliter L in K eidem A in G ę〈que〉ponderat; ęqualem habebit grauitatem C in D, vt L in K. Ita〈que〉 quoniam diſtantia EG æqualis eſt diſtantiæ Ek, longitudo EK maior erit longitudine EF. ergo magnitudines AL ęquales ex inæqualibus diſtantijs EK EF non ę〈que〉ponderabunt. ſed magnitudo L deorſum ver­get. ſi igitur in F collocanda ſit magnitudo, quæ æ〈que〉ponderet ipſi L in K, proculdubiò hęc magnitudine A ma­ior exiſtet. Inæqualia enim grauia, nempè L, & magnitu do maior, quàm A, exinæqualibus diſtantijs EK EF æ­〈que〉ponderant, dummodo maius, hoc eſt magnitudo maior, quàm A, ſit in diſtantia minori EF. minusverò, hoc eſt ma­gnitudo L, ſit in minori EK. Quoniam ita〈que〉 magnitudo C in D eſt ę〈que〉grauis, vt L in K, magnitudo, quæ in F ipſi L in K æ〈que〉ponderat, eadem quo〈que〉 in F ipſi C in D æ〈que〉ponderabit maior verò magnitudo, quàm ſit A, in F ipſi L in K æ〈que〉ponderat, ergo maior magnitudo, quàm A in F, ipſi C in D æ〈que〉ponderabit. quod demonſtrare opor­tebat.

10. quinti.

6. huius.

comm. not.

2. poſt bu­ius.

3. huius.

His cognitis poſſumus ad Archimedis demonſtrationem accedere.

PROPOSITIO. VII.

Si autem magnitudines fuerint incommenſura biles, ſimiliter æ〈que〉ponderabunt ex diſtantijs per mutatim eandem, at〈que〉 magnitudines, propor­tionem habentibus.

Sint incommenſurabiles magnitudines AB C. Distantiæ verò DE EF. Habeat autem AB ad C proportionem eandem, quam di stantia ED ad ipſam EF. Dico, ſi ponatur AB ad F, C ve­rò ad D, magnitudinis ex vtriſ〈que〉 AB C compoſitæ centrum grauitatis eſſe punctum E. ſi enim non æ〈que〉ponderabit (ſi fieri poteſt) AB poſita ad F ipſi C poſitæ ad D; velmaior est AB, quàm C, ita vt AB ad F æ〈que〉ponderet ipſi C ad D; vel non. Sit maior; ſitquè exceſſus HL; ita vt KH ad F, & C ad D ę〈que〉ponderent. auferaturquè ab ipſa AB magnitudo NL, quæ ſit minor exceſſuHL, quo maior est tota AB, quàm C, ita vt æ〈que〉ponderent; vt dictum eſt. & ſit quidem reſiduum A, hoc eſt KN, commenſurabile ipſi C.Et quoniam minor eſt kN quàm KM, minorem quo〈que〉 habebit proportionem kN ad C, quàm kM ad eandem C. tota verò KM ad C eſt, vt DE ad EF; ergo KN ad C minorem habet proportionem; quàm DE ad EF. Quo niam igitur magnitudines AC, hoc eſt KN C, ſunt commenſurabi­les, & minorem habet proportionem A, hoc eſt kN ad C, quàm DE ad EF; non æ〈que〉ponderabunt A C, hoc eſt KN C, ex distantiis DE EF, poſito quidem A, hoc eſt KN ad F, C verò ad D. & vt æ〈que〉ponderent, oporter, vt in F maior ſit magnitudo, quàm KN; ita vt ipſi C in D æ〈que〉ponderate poſſit. Ac propterea cùm ſit kH adhuc minor, quàm KN, ſi igitur KH ponatur ad F, & C ad D, nullo modo æ〈que〉ponde­rabunt. quod tamen fieri non poteſt. ſupponebatur enim eas æ〈que〉ponderare. Non igitur magnitudo minor, quàm tota KM in F magnitudini C in D æ〈que〉ponderat. Eadem au­tem ratione, ne〈que〉 ſi C maior fuerit, quàm vt æ〈que〉ponderet ipſi AB, hoc eſt ipſi KM. etenim grauiore exiſtente C ad D, quàm KM ad F. primùm auferatur ex C exceſſus, quo C grauior eſt, quàm KM, ita vt æ〈que〉ponderet ipſi KM. Deinde rurſus auferatur quædam magnitudo minor exceſſu, quo grauior eſt C, quàm kM, ita vt æ〈que〉ponderent; reſiduum verò ſit ipſi KM commenſurabile, & c. ſimiliter oſtendetur nullam magnitudinem ipſa C minorem poſitam ad D vllo modo æ〈que〉ponderare ipſi KM ad F poſitæ. Quare magnitudo C ad D, kM verò ad F ę〈que〉ponderant. Vnde ſequitur ma gnitudinis ex vtriſ〈que〉 magnitudinibus compoſitæ centrum grauitatis eſſe punctum E. ac propterea incommenſurabiles magnitudines AB C ex diſtantiijs ED EF, quæ permutatim eandem habent proportionem, vt magnitudines, æ〈que〉pon­derare. quod demonſtrare oportebat.

ex proxi­mo proble­mate.8. quinti.

ex præce­denti. ex prima propoſitio­ne.

SCHOLIVM.

In demonſtratione occurrit obſeruandum, quòd ſi exceſ­ſus HL ita diuideret magnitudinem KM, vt reſiduum KH fuerit commenſurabile ipſi C; tunc abſ〈que〉 alia conſtructio­ne, magnitudines commenſurabiles KH C ex diſtantijs DE EF æ〈que〉ponderarent; quod fieri non poteſt. cùm minorem habeat proportionem KH ad C, quàm ED ad EF. ſiquidem ſupponitur KM ad C ita eſſe, vt ED ad EF. Archimed es ve iò, vt demonſtratio abſ〈que〉 diſtinctione ſit vniuerſalis, prę­cipit (exiſtente KH ipſi C commenſurabili, ſiue incommen ſurabili) vt auferatur pars aliqua minor exceſſu HL, ut AL, ita tamen, vt reliqua KN ſit commenſurabilis ipſi C. quod qui dem fieri poſſe oſtenſum eſt in proximo problemate. ex tota enim magnitudine KM partem abſcindere poſſumus, vt KN minorem quidem tota KM, maiorem verò KH, quæ ipſi C commenſurabilis exiſtat.

Cognita Archimedis demonſtratione de incommenſura­bilibus magnitudinibus, idem alio quo〈que〉 modo oſtendere poſſumus, applicando nempè diuiſibilitatem, & commenſura bilitatem non magnitudinibus, verùm diſtantijs. hac autem priùs demonſtrata propoſitione.

PROPOSITIO.

Si commenſurabiles diſtantię maiorem habuerint pro­portionem, quàm magnitudines permutatim habent; vt ę〈que〉ponderent, maiori opus erit longitudine, quàm ſit ea, ad quam altera longitudo maiorem habet proportio­nem.

Sint diſtantiæ DE EH commenſurabiles, magnitudines verò ſint A C. habeatquè ED ad EH maiorem proportio­nem, quàm A ad C. Dico vt AC ę〈que〉ponderent, maiori opus eſſe longitudine, quàm ſit EH. exponatur altera magnitu­do G, quæ ad C eandem habeat proportionem, quàm habet DE ad EH. erunt vti〈que〉 magnitudines GC inter ſe commen ſurabiles. Deinde fiat EK æqualis EH, exponaturquè ma­gnitudo L ipſi G æqualis. Quoniam igitur G ad C eſt, vt DE ad EH, ob commenſurabilitatem æ〈que〉pondera bunt G in H, & C in D. ſimiliter æ〈que〉pondera bunt magnitudi­nes æquales GL ex æqualibus diſtantijs EK EH. Cùm igitur C in D ipſi G in H æ〈que〉ponderet; L verò in K ipſi quo­〈que〉 G in H æ〈que〉ponderet; eandem habebit grauitatem C in D, ut L in K. Quoniam autem maiorem habet propor­tionem DE ad EH, quàm A ad C, & vt DE ad EH, ita eſt G ad C; maiorem habebit proportionem G ad C, quàm A ad C. ergo maior eſt G, quàm A. ac propterea magnitudo A minor eſt magnitudine L. poſita igitur magnitudine L in K, & A in H, non æ〈que〉pondera bunt; & vt ę〈que〉ponderent, o­portet, vt A in longiori ſit diſtantia, quàm ſit EH: Inęqualia enim grauia LA ex inęqualibus diſtantijs ę〈que〉ponderant, maius quidem L in minori diſtantia EK, minus verò graue A in maiori, quàm ſit EK, hoc eſt in maiori, quàm ſit EH. Ita〈que〉 cùm ſit C in D æ〈que〉grauis, vt L in k; longitudo, quæ efficit, vt A æ〈que〉ponderetipſi L in K; eadem prorſus efficiet, vt A ipſi C in D ę〈que〉ponderare poſſit. A verò in maiori diſtantia, quàm EH, ipſi L in K ę〈que〉ponderat; ergo in maiori diſtantia, quàm EH, magnitudo A ipſi C in D ę〈que〉ponderabit. quod demonſtrare oportebat.

6. buius.

communis no tio ſupradi cta.

10. quinti.

3. huius.

Hoc demonſtrato Archimedis propoſitionem de incom­menſurabilibus magnitudinibus aliter oſtendemus hoc pacto.

ALITER.

Incommenſurabiles magnitudines ex diſtantijs permuta­tim eandem, at〈que〉 magnitudines, proportionem habenti­bus; ę〈que〉ponderant.

Sint incom­ menſurabiles ma gnitudines AC, diſtantiæ verò DE EF. ſitquè vt A ad C, ita DE ad EF. Dico A in F, C verò in D æ〈que〉ponde­rare. Si autem (ſi fieri poteſt) non æ〈que〉pondera bunt; diſtam tiæ DE EF aliter ſeſe habere debebunt, vt magnitudines AC ę〈que〉ponderent. Quocirca vel longior eſt EF, quàm opus ſit, vel longior eſt ED. ſit EF longior. ſitquè exceſſus GF, ita vt poſita magnitudine A in G ipſi C in D æ〈que〉ponde­ ret. Fiat EH maior EG, minor verò EF. ſit autem EH ipſi ED commenſurabilis. Quoniam igitur DE ad EH maiorem habet proportionem, quàm ad EF; & vt DE ad EF, ita eſt A ad C; maiorem habebit proportionem DE ad EH, quàm A ad C. ſuntquè longitudines ED EH in­terſe commenſurabiles; ergo magnitudo A in H ipſi C in D non æ〈que〉ponderabit, ſed vt ę〈que〉ponderet, maiori opus eſt longitudine, quàm ſit EH; ita vt A ipſi C in D æ〈que〉 ponderare poſſit. at〈que〉 adeò cùm adhuc minor ſit EG, quàm EH; magnitudo A in G magnitudini C in D nullo modo æ〈que〉ponderabit. quod fieri non poteſt. ſupponebatur enim A in G, & C in D ę〈que〉ponderare. eademquè prorſus ra­tione, ſi ED longior fuerit, quàm opus ſit, ita vt magnitu­dines æ〈que〉ponderent, oſtendetur magnitudinem C nullo pa­cto æ〈que〉ponderare poſſe ipſi A in F in minori diſtantia, quàm DE. Quare magnitudines in commenſurabiles AC ex diſtantijs ED EF, quæ eandem permutatim habent propor­tionem, vt magnitudines, æ〈que〉ponderant. quod demonſtra­re oportebat.

problema ante 7. bu­ius 8. quinti

ex pxima ppoſitione

In prioribus ſermonibus ante quintam propoſitionem ha­bitis, diximus propoſitionum præcedentium demonſtratio­nes planiores euadere, ſi intelligamus magnitudines eiuſdem eſſe ſpeciei, & homogeneas. Quòd quidem ſi Archimedem his, vel de rectilineis tantùm demonſtrationes attuliſſe (vt non­nulli fortaſſe falsò exiſtimarunt) intelligeremus; ita vt ex Ar­chimedis demonſtrationibus non ſit adhuc vniuerſaliter de­monſtratum hoc pręcipuum fundamentum; nempè magni­tudines ex diſtantijs permutatim proportionem habentibus, vt ipſarum grauitates, ę〈que〉ponderare; in hoc certè rationes ab Archimede allatas, ipſarum què demonſtrationum vim mini­mè percipiemus. Quapropter ea, quæ demonſtrauit, omni­bus magnitudinibus vniuerſaliter competere ipſum voluiſſe nullatenus eſt dubitandum. Ne〈que〉 enim, vt perfectè, & vni­uerſaliterſciamus, magnitudines ç〈que〉ponderare ex diſtantijs permutatim proportionem habentibus, vt ipſarum grauita­tes, alijs, quàm pręcedentibus propoſitionibus indigemus. In hoc enim fundamento demonſtrando minimè diminu­tus extitit Archimede. Nam ſi ad propoſitiones ab ipſo alla­tas, pręcipuèquè ad vim demonſtrationum reſpiciamus, ſiuè magnitudines intelligantur eiuldem ſpeciei, ſiue diuerſę, ſi­ue homogeneę, ſiue heterogeneę, ſiue planę, ſiue ſolidę, & hę quidem, ſiue rectilineę, ſiue quom odocun〈que〉 mixtę; ni­hilominus demonſtrationes idem prorſus concludent, ita vt Archimedes non de aliquibus magnitudimbus tantùm de­monſtrationes attulerit; ſed de omnibus prorſus demonſtra­uerit. In his enim Archimedes non ad magnitudines tantùm, verùm ad magnitudinum grauitates potiſſimùm reſpexit. quandoquidem loco grauium magnitudines nominat; vt poſt quartam huius propoſitionem adnotauimus. quod qui­dem facilè ex verbis ipſius rectè intellectis apparere poteſt. Nam in quærta propoſitione cùm inquit, ſi duæ fuerint magnitudines æquales, vt antea diximus, intelligendum eſt eas ęquales eſſe grauitate. quod non ſolùm ex eius demonſtrationeli­〈que〉t, verùm etiam ex modo lo〈que〉ndi, quo vſus eſt Archime­des in alijs propoſitionibus. In quinta enim propoſitione, quę eiuſdem eſt cum quarta ordinis, & naturę, in quit; Sitrium magnitudinum centra grauitatis in recta linea fuerint poſi­ta, & magnitudines æqualem habuerint grauitatem. ſimlli­ter poſt quintam demonſtrationem bis quoquè eodem v­titur lo〈que〉ndi modo, nempè cùm adhuc proponit plures magnitudines, inquit, & magnitudines æqualem habuerint grauitatem. ex quibus conſtat Archimedem ad magnitudinum grauitates omnino reſpexiſſe. ita vt quando Archimedes in­quit, & magnitudines æquales, idem eſt, ac ſi dixiſſet, & magnitu­dines æqualem habuerint grauitatem. Præterea in ſexta propoſitio ne inquit magnitudines ę〈que〉ponderare ex diſtantijs permu­tàtim proportionem habentibus, vt grauitates. ita ut cauſa huius æ〈que〉ponderationis ſit (vt reuera eſt) magnitudinum grauitas. & quanquam in hac ſeptima propoſitione dicat, ma gnitudines æ〈que〉ponderare ex diſtantijs permutatim propor­tionem habentibus, vt magnitudines, & non dixit, vt grauita tes; intelligendum tamen eſt, ac ſi dixiſſet, eas ę〈que〉pondera­re, vt magnitudinum grauitates. hęc enim ſeptima propoſi­tio eſt pars ſextæ propoſitionis, vt iam pręfati fum^{9}; vnde ſi in ſexta magnitudines ę〈que〉ponderant ob earum grauitatem, ob eandem quo〈que〉 cauſam & in hac ſeptima æ〈que〉ponderare de bent. Pręterea in ſe〈que〉nti etiam propoſitione dum proponit oſtendere quam proportionem habere debent ſectiones lineę intercentra grauitatum diuiſę magnitudinis exiſtentes, inquit, quam habet grauitas magnitudinis ablatæ ad grauitatem reſiduæ hoc autem deinceps exponens, non inquit oportere ſectiones lineæ eam habere proportionem, quàm grauitas ad grauitatem ha­bet; ſed horum loco inquit, quàm magnitudo ad magnitudi nem. ex quibus omnibus clarè perſpicitur, quòd quando Ar­chimedes magnitudines nominat, omnino magnitudinum grauitates vult intelligere.

Ad eorum autem intelligentiam, quę dicta ſunt in ſexta, ſepti maquè propoſitione, earunquè demonſtrationibus, obſeruandum eſt, quòd in ſexta propoſitione pro magnitudinibus commen ſurabilibus intelligere oportet magnitudines grauitate com­menſurabiles; ita nempe, vt numeris exprimi poſſint; quam­quam non ſint mole, & magnitudine commenſurabiles, vt in figura ſextę propoſitionis magnitudo A ponderet exempli gratia vt XVI. B verò vt VIII. intelligatur〈que〉; F magnitudinum AB communis menſura in grauitate, ita vt ſit æ〈que〉grauis vni­cui〈que〉 parti OPQR, quæ quidem, & ſi non ſint magnitu­dine inter ſe ęquales, ſufficit, vt ſint æ〈que〉graues: veluti magni tudines quo〈que〉 STVX inter ſe, ipſis〈que〉; OPQR tantùm ę〈que〉 graues; ita ut vnaquæ〈que〉 ponderet, vt IIII. veluti etiam par tes ipſius B, & vnaquæ〈que〉 ZM. hiſquè ita poſitis demonſtra tio rectè concludet.

In hacverò ſeptima Archimedis propoſitione ſimiliter in­telligantur magnitudines kMC incommenſurabiles graui­tate, vt in eius figura grauitas ipſius C ponderet, vt XII. grauitas verò ipſius KM maior ſit, quàm XX. ita vthę graui­tates ſint in commenſurabiles. auferaturquè grauitas exceſſus HL, quæ ſit vt IIII. ita vt quæ relinquiturgrauitas, ipſius nen­pè KH, quę quidem maior eſt, quàm XVI, in F poſita, grauitati ipſius C, quæ eſt XII, in D poſitæ æ〈que〉ponderet, Auferatur deinde NL minor exceſſu HL; cuius quidem grauitas ſit maior, quàm II. ita vt grauitas reſidui KN, quæ nimirum ſit XVIII, ſit commenſurabilis grauitati XII. ipſius C. & quamuis magnitudines KM C, & KN C ſint, vel non ſint inter ſe magnitudine commenſurabiles, vel incom­ menſurabiles; eadem prorſus demonſtratio idem concludet. quæ quidem omnia in ſe〈que〉nti quo〈que〉 propoſitione conſi­deranda occurrunt. Vnde perſpicuum eſt has Archime dis pro poſitiones, ac demonſtrationes vniuerſaliſſimas eſſe, ar〈que〉 o­mnibus, & quibuſcun〈que〉 magnitudinibus conuenientes.

reſpice fi­guram ſepti­mæ propoſi tionis Ar­chimedis.

Iacto hoc pręcipuo, ac pręſtantiſſimo mechanico funda­mento; in ſe〈que〉nti propoſitione colligit ex hoc Archimedes, quomodo ſe habent centra grauitatis magnitudinis diuiſæ.

PROPOSITIO. VIII.

Si ab aliqua magnitudine magnitudo aufera­tur; quæ non habeat idem centrum cum tota; re­liquæ magnitudinis centrum grauitatis eſt in re­cta linea, quæ coniungit centra grauitatum to tius magnitudinis, & ablatæ, ad eam partem produ­cta, vbi eſt centrum to tius magnitudinis, ita vt aſ­ſumpta aliqua ex producta, quæ coniungit centra prædicta eandem habeat proportionem ad eam, quæ eſt inter centra, quam habet grauitas magni­tudinis ablatæ ad grauitatem reſiduæ, centrum e­rit terminus aſſumptæ.

Sit alicuius magnitudinis AB centrum grauitatis C. auferatur­què ex AB magnitudo AD; cuius centrum grauitatis ſit E. coniuncta verò EC, & ex parte C producta, aſſumatur CF, quæ ad CE eam dem habeat proportionem, quam habet magnitudo AD ad DG. osten­dendum est, magnitudinis DG centrumgrauitatis eſſe punctum F. non ſit autem; ſed, ſi fieri potest, ſit punctum H. Quoniam igitur magnitudi­nis AD centrum grauitatis est punctum E; magnitudinis verò DG eſt punctum H; magnitudinis ex vtriſ〈que〉 magnitudinibus AD DG, compoſitæ centrum grauitatis erit in linea EH, ita diuiſa, ut pirtes ipſius permutatim eandem habeant proportionem, vt magnitudines. Quare non erit punctum C ſecundùm diuiſionem proportione reſpondentem prædi­etæ. vt ſcilicet ſit HC ad CE, vt AD ad DG. etenim ut AD ad DG; ita factum fuit FC ad CE. ſi igitur ſecetur linea EH ſe cundùm proportionem ipſius AD ad DG; non terminabit diuiſio ad punctum C. cùm ſit impoſſibile eandem habere proportionem FC ad CE, quam. HC ad eandem CE. di­uiſio igitur ad aliud terminabitur punctum, vt K; ita vt HK ad KE ſit, vt AD ad DG. vnde ſequitur punctum K cen­trum eſſe grauitatis magnitudinis ex AD DG compoſitæ. Non eſt igitur punctum C centrum magnitudinis ex AD DG compo ſitæ; hoc est ipſius AB. eſt autem; ſuppoſitum eſt enim ipſum eſſe. er­go ne〈que〉 punctum H centrum est grauitatis magnitudinis DG. eſt igitur punctum F; quod quidem eſt terminus productę lineę CF; quæ eandam habet proportionem ad lineam CE inter centra exiſtentem; quam habet grauitas magnitudinis AD ad grauitatem ipſius DG. quod demonſtrare oportebat.

ex præce­dentibus.

ex præce­dentibus.

SCHOLIVM.

In hac demonſtratione intelligendum eſt etiam punctum H eſſe poſſe extra lineam EF, ita vt EFH non ſitirecta linea. quòd ſi H non eſſet in linea EF, idem ſequi abſurdum adeò perſpicuum eſt; vt nec demonſtratione egeat. Quoniam ſi intelligatur H extra lineam EF; iuncta EH, & ita diuiſa intel­ligatur, vt ipſius partes permutatim grauitatibus magnitudi­num AD DG reſpondeant; eſſet vti〈que〉 hoc punctum inuen­tum, quod extra lineam EF reperiretur, centrum grauitatis to tius AB quod fieri non poteſt. ſiquidem eſt punctum C, vt ſuppoſitum fuit. Vnde ne〈que〉 illud punctum H ipſius DG cem trum grauitatis exiſteret.

Hic eſt terminus primę partis principalis, in qua Archime des (vt initio dixim^{9}) de magnitudinib^{9}, & degrauibus in communi pertractauit; quandoquidem propoſitiones, ac de­monſtrationes tam planis, quàm ſolidis quibuſcun〈que〉 ſunt accomodatæ; vt manifeſtum fecimus.

Nunc ita 〈que〉 ſe conuertit Archimedes ad inueſtigandum centra grauitatis planorum. primùm què perquirit centrum gra­uitatis parallelogrammorum; oſtendetquè centrum grauitatis cuiuſlibet parallelogrammi eſſe in recta linea, quæ coniungit oppoſita latera bifariam diuiſa. ob cuius intelligentiam hæc priùs lemmata in vnum collecta nouiſſe erit valdè vtile.

LEMMA.

Sit parallelogrammum ABCD, cuius oppoſita latera AB CD ſint bifariam diuiſa in EF. connectaturquè EF, quæ ni mirum æquidiſtans erit ipſis AC BD. Deinde diuidatur v­ naquæ〈que〉 AE EB in partes numero pares, & inuicem ęqua les; vt in AG GE; & EH HB. ducanturquè GK HL ipſi EF ęquidiſtantes. ſit verò centrum grauitatis ipſius AK punctum M. ipfius verò GF punctum N, & ipſius EL pun­ctum O deniquè ipſius HD punctum P. Dico primùm pum cta MNOP eſſe in linea recta. deinde lineas MN NO OP inter centra exiſtentes inter ſe æquales eſſe. Deni〈que〉 centrum grauitatis parallelogrammi AD eſſe in linea NO, quę con iungit centra grauitatis ſpatiorum mediorum; parallelogram morum ſcilicet GF EL. Ducantur à punctis MN ipſi AGE ęquidiſtantes QMR SNT. erunt vti〈que〉 AQRG, & GSTE parallelogramma. Quoniam igitur parallelogramma AK GF in æqualibus ſuntbaſibus AG GE, & in ijſdem parallelis; erunt AK GF inter ſe ęqualia. & quoniam AC GK EF ſunt ęquidiſtantes; erit angulus CAG ipſi KGE ęqualis, & KGA ipſi FEG æqualis; & horum oppoſiti inter ſe ſunt ęquales; ergo paralle­logrammum GF ipſi AK ęquale, & ſimile exiſtit. Ita〈que〉 ſi GF colloceturſuper AK, rectè congruet: eruntquè paral­lelogramma inuicen coaptata. lineęquè GE AG, GK AC, & reliquæ coaptatæ erunt. quare eorum centra grauitatis inui­cem coaptata erunt. hoc eſt N erit in puncto M. Quoniam autem à punctis MN (quod nunc intelligitur vnum tantum eſſe punctum) ductæ fuerunt ST QR ipſi AGE æquidi­ſtantes, linea ST coaptabitur cum QR, quippe cùm ambæ hæ lineæ ab vno puncto prodeuntes ipſi AG ęquidiſtantes eſſe debeant. punctum igitur S in Q, & T in R coaptabi­tur. eritquè QM ipſi SN ęqualis, & MR ipſi NT. ac pro pterea linea GS parallelogrammi GT erit coaptata in A〈que〉 & ET coaptata erit in GR parallelogrammi AR. Vnde e­rit AQ ęqualis GS, cùm ſint coaptatæ; & GR ipſi ET ę­qualis; cùm ſint quo〈que〉 coaptatę. Quocirca quoniam pa­rallelogramma AR GT ſunt inuicem coaptata, paral­lelogrammorumquè oppoſita latera ſunt inter ſe ęqualia, erunt AQ GS GR ET inter ſe ęqualia. Nunc autem intelligantur parallelogramma AK GF non ampliùs coaptata. & quoniam lineę QMR, & SNT ſuntipſi AGE parallelę; & AQ GR, GS ET, inter ſe ſuntæquales, & ęquidiſtantes; puncta RS in vnum coincident punctum. eritquè QST linea recta. ex qui bus patet, rectam lineam, quæ coniungit centra grauitatis MN ipſi AGE æquidiſtantem exiſtere. eodemquè modo oſtende­tur rectas lineas, quæ coniungunt grauitatis centra NO, cen­traquè OP, ipſi AB æquidiſtantes eſſe. Vnde ſequitur lineam MNOP rectam eſſe. Quare primùm conſtat grauitatis centra in recta linea exiſtere.

36. primi.

29. primi.

34. primi.

5. post, hu­ius.

34. primi.

Quoniam autem oſtenſum eſt QM æqualem eſſe ipſi SN, & MR ipſi NT, eodem quo〈que〉 modo oſtendetur OT ęqua- lem eſſe ipſi SN. Quoniam igitur OT NS ſunt ęquales, iti­demquè TN SM æquales, erit ON ipſi NM æqualis. ea­demquè ratione oſtendetur OP ęqualem eſſe ipſi ON. vn­de colligitur lineas MN NO OP inter centra exiſtentes in­rerſe ęquales eſſe.

Poſtremò quoniam parallelogramma AK GF EL HD ſunt inuicem æqualia, & numero paria, centraquè grauitatis ſunt in recta linea poſita. lineęquè MN NO OP inter cen­tra ſunt ęquales, magnitudinis ex omnibus AK GF EL HD magnitudinibus compoſitæ centrum grauitatis eſt in linea MP bifariam diuiſa. Et quoniam MN eſt æqualis ipſi OP, punctum, quod bifariam diuidit MP cadet in linea NO. centrum ergo grauitatis omnium magnitudinum AK GF EL HD, hoc eſt parallelogrammi AD eſt in linea NO, quę coniungit centra ſpatiorum mediorum GF EL. quę quidem omnia oſtendere oportebat.

2.cor. quintæ huius.

Quoniam autem centrum grauitatis parallelogrammi AD eſt in linea NO, & in linea MP bifariam diuiſa; non repu­gnare videtur, quin inferri poſſit, hoc centrum eſſe in puncto T, in linea EF exiſtente. Quòd tamen falſum eſt. nam poſ ſet quidem concludi centru eſſe in medio lineę NO (ſiquidem eſt in medio lineę MP, vt dictum eſt) ſed non in puncto T; ex demom ſtratione enim oſtenditur NS æqualem eſſe ipſi TO. at verò NT ęqualem eſſe ipſi TO, nullo modo demonſtrari poteſt; niſi ſupponeremus centra grauitatis MNOP in parallelogra mis ita ſe habere, vt MQ MR, & MR RN, & RN NT & NT TO, &c. inter ſe ęquales eſſent. quod nullo modo ſup­poni poteſt nam hoc modo centra grauitatis parallelogram­morum AK GF &c. eſſent in lineis, quę bifariam ſecant op poſita latera. eſſent quippè in lineis à punctis MN OP du­ctisipſis AC GK EF &c. æquidiftantibus, quæ oppoſita la tera AG CK, GE KF, EH FL, &c. bifariam ſecarent. quod eſt id, quod Archimedes demonſtrare in ſe〈que〉nti nititur. quod quidem in cauſa eſt, vt demonſtratione ad impoſſibile id de­ducat. ſuppoſuimus autem (vt pareſt) parallelogramma cen- tra grauitatis habere; ac centra grauitatis MNOP intra pa­rallelogramma exiſtere, quoniam parallelogramma ſunt fi­guræ ad eaſdem partes concauæ. quod quidem eodem modo ab Archimede in ſe〈que〉nti ſupponitur.

9. poſt hu­ius.

PROPOSITIO. IX.

Omnis parallelogrammi centrum grauitatis eſt in recta linea, quæ oppoſita latera parallelo­grammi bifariam diuiſa coniungit.

Sit parallelogrammum ABCD, linea verò EF bifariam diuidat la tera AB CD. Dico parallelogrammi ABCD centrum grauitatis eſſe in linea EF. Non ſit quidem, ſed, ſi fieri poteſt, ſit H. & ab ipſo vſ〈que〉 ad lineam EF ducatur H æquidistansipſi AB. Diuiſa verò EB ſemper bifariam in G. rurſuſquè EG brfariam in K; idèquè ſemper fiat, tandem quædam relin〈que〉tur linea, putà EK, minor ipſa HI. Diuidaturquè vtra〈que〉 AE EB in partes AN NM ML LE GO OB ipſi EK æquales. quod quidem fieri poteſt, quia diuiſa eſt EB in partes ſemper ęquales. & ex his diuiſionum punctis ducantur NP MQ LR kS GT OV ipſi EF æquidistantes. diuiſum enim erit totum parallelogrammum in parallelogramma æqualia & ſimiliaipſi kF. cùm enim ſint parallelogrammorum baſes EL LM MN NA KG GO OB ipſi KE æquales, parallelo­grammaquè in ijſdem ſint parallelis AB CD conſtituta; erunt parallelogramma æqualia. ſimilia verò, quoniam ſunt ęquiangula. Parallelogrammis igitur æqualibus, at〈que〉 ſimilibus ipſi KF inuicem coaptatis, & centra grauitatis inter ſe conue­nient. quia verò in EB facta eſt diuiſio ſemper in duas partes ęquales erunt parallelogramma in ED numero paria. ac per conſe〈que〉ns & quę ſunt in EC numero paria. vnde & quę sunt in toto AD numero paria erunt. Jta〈que〉 quædam erunt magnitudi­nes æquidiſtantium laterum æquales ipſi KF numero pares, hoc eſt o­ mnes, quæ ſunt in AD, centraquè grauitatis ipſarum in recta linea ſunt conſtituta, & lineæ inter centra ſunt a quales magnitudinis ex ipſis omnibus compoſitæ centrum grauitatis erit in recta linea, quæ coniungit centra grauitatis mediorum ſpatiorum, parallelogrammorum ſcili­cet LF KF. Non est autem; punctum enim H, quod ſupponitur eſſe centrum grauitatis omnium magnitudinum, hoc eſt pa rallelogrammi AD, extra media parallelogramma LF KF exiſtit.etenim cùm ſit EK minor HI, linea KS ipſi EF ęquidiſtans lineam HI ipſi EK æquidiſtantem ſecabit, quippè quæ re­lin〈que〉t punctum H extra figuram KF, ac per conſe〈que〉ns ex­tra media parallelogramma LF KF. quare punctum H non eſt centrum grauitatis parallelogrammi AD, vt ſupponeba­tur. ergo conſtat, centrum grauitatis parallelogrammi ABCD eſſe in re cta linea EF. quod demonſtrare oportebat.

*

ex prima pręcedenti

36. primi.

*

lemma.

SCHOLIVM.

Græcus codex poſt verba, centraquè grauitatis ipſarum in recta linea ſunt constituta, habet, kai\ ta\ me\sa i)/sa, kai\ w_a\nta ta\ ef) eka/teza tw=n me)swn auta/ te i)/sa e)nti/, quæ quidem omnino ſuperflua nobis uia ſunt, & tanquam ab aliquo addita. Nam ſi Archimedes di­xit omnia parallelogramma eſſe inter ſe, & ęqualia, & ſimilia; non opus eſt addere, media LF ES eſſe inter ſe ęqualia, & quę ab his ſunrad vtram〈que〉 partem, vt MR KT, NQ GV, AP OD, eſſe inter ſe æqualia; cum omnia (vt dictum eſt) ſint ęqualia. quare verba hęc (meo quidem iudicio) delenda ſunt. demonſtrationes enim mathematicę nullum admittunt ſu­perfluum. & Archim edes non tantùm ſuperfluus, quin potiùs ob cius breuitatem diminutus ferè videatur.

*

Ex hac nona propoſitione duo corolloria elicere poſſum^{9}; quæ quidem tanquam valde nota fortafſe videtur omiſiſſe Ar chimedes. quamuis primum in ſe〈que〉nti demonſtratione inſeruit.

COROLLARIVM. I.

Ex hoc perſpicuum eſt cuiuſlibet parallelogrammi centrum grauitatis eſſe punctum, in quo coincidunt rectæ lineæ, quæ oppoſita latera bifariam ſecant.

Nam (vt Archimedes etiam ſe 〈que〉nti demonſtratione inquit) ſi parallelogrammi ABCD lineę EF GH bifariam diuident late­ra oppoſita AB DC, & AD BC. patet in EF centrum eſſe graui­tatis parallelogrammi AC. ſimi liter conſtat idem centrum eſſe in linea GH, quæ oppoſita latera AD BC bifariam ſecat. e­ritigitur in K, vbi EF GH ſeinuicem ſecant.

COROLLARIVM. II.

Ex hoc patet etiam, cuiuſlibet parallelogrammi centrum grauitatis eſſe in medio rectæ lineę, quæ bifariam oppoſita latera diſpeſcit.

Cùm enim oſtenſum ſit centrum grauitatis parallelogram mi AC eſſe punctum K. & ob parallelogrammum EH eſt EK æqualis BH. propter parallelogrammum verò KC linea KF eſt æqualis HC. ſuntquè BH HC æqua­les. erit EK ipſi KF æqualis. punctum ergo K eſt in medio rectæ lineę EF, quæ oppoſita latera AB DC bifariam diui­dit. Eoden〈que〉; prorſus modo oſtendetur, K medium eſſe rectę lineę GH, quæ bifariam ſecat oppoſita latera AD BC.

34. primi.

In ſe〈que〉nti Archimedes adhuc perſiſtit in inuentione cen­tri grauitatis parallelogrammorum, alia tamen methodo. nam hoc peripſorum parallelogrammorum diametros duo­bus modis aſſequitur.

PROPOSITIO. X.

Omnis parallelogrammi centrum grauitatis eſt punctum, in quo diametri coincidunt.

Sit parallelogrammum ABCD. & in ipſo ſit li­nea EF bifariam ſecans latera AB CD. itidem­què ſit KL ſecans AC BDbifariam. conueniant­què EF kL in H. est vti〈que〉 parallelogrammi ABCD centrum grauita tis in linea EF. hoc enim oſtenſum eſt. eadem verò de cauſa centrum grauitatis ipſius AD est etiam in linea KL. quare punctum H parallelogrammi AD cen­trum grauitatis existit. Verùm in puncio H diametri parallelogram­mi concurrunt. ductis enim lineis AH HB CH HD; quoniam lineæ AE EB EF FD inter ſe ſunt ęquales. ſimiliter quo〈que〉 AK KC BL LD inter ſe ęquales; erit EH ipſi HF ęqua lis, cùm ſint ipſis BL LD ęquales. duæ igitur AE EH dua bus DF FH ſunt æquales, & angulus AEH angulo DFH ęqualis; erit triangulum AEH triangulo DFH ęquale. ac propterea angulus EHA angulo FHD æqualis. cùm igitur ſit EHF recta linea, eruntangnli EHA FHD adverticem, & obid AHD recta exiſtit linea. ac per conſe〈que〉ns diame­ter parallelogrammi AD. pariquè ratione oſtendetur BHC rectam eſſe lineam. ex quibus patet in puncto H vtran〈que〉 dia metrum conuenire. centrum igitur grauitatis parallelogram­mi AD eſt punctum, in quo diametri concurrunt. Quare demon stratumeſt, quod propoſitum fuit.

9 huius.

29, primi.

4. primi.

ALITER.

Hoc autem aliter quo­〈que〉 oſtendetur. ſit paralle logrammum ABCD. ipſius verò diameter ſit B D. triangula vti〈que〉 ABD BDC erunt in­terſe æqualia, & ſimilia. quare triangulis inuicem coaptatis; centra quo〈que〉 grauitatis ipſorum inuicem coaptabuntur. Sit autem trianguli ABD cen trum grauitatis punctum E; lineaquè BD bifariam ſecetur in H. con nectaturquè EH, & producatur. ſumaturquè FH æqualisipſi HE. Ita〈que〉 coaptato triangulo ABD cumtriangulo B DC, poſitoquè latere AB in DC, hoc eſt A in C, & B in D. AD autem poſito in BC; A ſcilicet in C, & D in B. vnde & BD cum ipſamet DB coaptatur, B ſcilicet in D, & D in B. quia verò pun­ctum H ſibi ipſi coaptatur, cùm fitmedium lineę BD. & an guli EHD FHB ad verticem ſunt æquales; lineaquè EH eſt ipſi HF ęqualis; congruet etiam recta HE cum recta FH, & pun­ctum E cum F conueniet, ſed quoniam punctum E centrum eſt grauitatis trianguli ABD idem punctum E cum centro e­tiam grauitatis trianguli B DC conueniet. ergo punctum F cen­trum eſt grauitatis trianguli BDC. Nunc verò intelligantur triangula non ampliùs coaptata. Quoniam igitur centrum graui­tatis trianguli ABD eſt punctum E, ipſius verò DBC est punctum F,triangulaquè ABD DBC ſunt ęqualia, patet magnitudinis ex v­triſ〈que〉 triangulis compoſit centrum grauitatis eſſe medium rectæ lineæ EF; quod eſt punctum H, vt factum furt. Quoniam autem dia­metri cuiuſlibet parallelogrammi ſeſe bifariam diſpeſcunt, e­rit punctum H, vbi diametri parallelogrammi ABCD con­currunt. ergo punctum H, in quo diametri coincidunt; ipſius ABCD centrum grauitatis exiſtit. quod demonſtrare opor­rebat.

ex 34.pri mi.

5. post hu­ius.

4. huius.

SCHOLIVM.

Cognito centro grauitatis cuiuſlibet parallelogrammi, vult Archimedes oſtendere centrum grauitatis triangulorum. & quoniam in hac poſtrema demonſtratione aſſumpſit cen­trum grauitatis trianguli ABD eſſe punctum E, videtur or dinem peruertiſſe, & per ignotiora doctrinam tradidiſſe; cùm non ſit adhuc oſtenſum, in quo ſitu dictum centrum in trian­gulis reperiatur. quod tamen ſi rectè perpendamus, non ita ſe habet. Nam vis demonſtrationis eſt in hoc conſtituta, vt ſupponatur triangulum habere centrum grauitatis, idquè tan ùm eſſe intra ipsum triangulum, quod quidem ſupponi po­teſt. cùm triangulum ſit figura ad eaſdem partes concaua. ne­〈que〉 enim refert, ſiuè centrum ſit in E, ſiuè in alio ſitu, dum­modo intra triangulum exiſtat. demonſtratio enim eodem mo­do ſemper concludet punctum H centrum eſſe grauitatis pa rallelogrammi AC, quod idem obſeruandum eſt in nonnullis alijs demonſtrationibus. vt in ſecunda demonſtratione deci­mæ tertiæ, hui^{9} & in prima ſecundilibri. Antequam autem Ar­chimedes centrum grauitatis triangulorum oſtendat, nonnullas pręmittit propoſitiones.

9. post hu­ius.

PROPOSITIO. XI.

Si duo triangula inter ſe ſimilia fuerint, & in i­pſis ſint puncta ad triangula ſimiliter poſita & alre rum punctum trianguli, in quo eſt, centrum fue­rit grauitatis, & alterum punctum trianguli, in quo eſt, centrum grauitatis exiſtet.

Dicimus quidem puncta in ſimilibus figuris eſſe ſimiliter poſita, è quibus ad æquales angulos du­ctæ rectæ lineæ, æquales efficiunt angulos ad ho­mologalatera. Vt dictum fuit in ſeptimo poſtulato.

Sint duo triangula ABC DEF ſimilia. ſit què AC ad DE, vt AB ad DE, & BC ad EF. & in præfatis triangulis ABC DEF ſint puncta HN ſimiliter poſita ſitquè punctum H centrum grauitatis trianguli ABC. Dico & punctum N centrum eſſe grauitatis trianguli DEF. non ſit quidem, ſed, ſi fieripoteſt, ſit punctum G centrum grauita tis trianguli DEF. connectanturquè HA HB HC, DN EN FN, DG EG FG. Quoniamigitur ſimile eſt triangulum ABC triangulo DEF, & ipſorum centra grauitatum ſunt puncta HG. ſimi­lium autem figurarum centra grauitatum ſunt ſimiliter poſita; ita vt ab ipſis ad ęquales angulos ductæ rectæ lineę æquales faciant angulos ad homologa latera, vnum〈que〉mquè vnicuiquè; erit angulus GDE ipſi HAB aqualis. at verò anguius HAB aqualis est angulo EDN, cùm ſint puncta HN ſimiliter poſita: angulus igitur EDG angulo EDN æqualis existit. maior minori quòd fierinon potest. Non igitur punctum G centrum eſt grauitatis trianguli DEF. Quare eſt punctum N. quod demonstrare oportebat.

6.& 7 poſt huius.

SCHOLIVM.

In hac propoſitione ſupponit Archimedes dari poſſe pun­cta in triangulis ſimilib^{9} ſimiliter poſita, qd quidem ſieri poſſe oſtendimus in ſcholijs ſeptimi poſtulati. Præterea idem vide­tur Archimedes in triangulis demonſtrare, quod in ſexto po­ſtulato vniuerſaliter in figuris ſuppoſuit. Nam ſi centra gra­uitatis ſupponuntur in ſimilibus figuris eſſe ſimiliter poſita; & in ſimilibus triangulis quo〈que〉 erunt ſimiliter poſita. In­ter hęc tamen maxima eſt differentia, nam in poſtulato inquit, centra grauitatum in ſimilibus figuris eſſe ſimiliter poſita; cuius quidem conuerſum, nempè puncta in ſimilibus figuris ſi­militer poſita eſſe ipſarum centra grauitatis, eſt falium. quod eſt quidem manifeſtum abſ〈que〉 alio exemplo. ac propterea Archimedes hoc in loco inquit, ſi duo erunt punſta in ſimi­libus triangulis ſimiliter poſita, & alterum ipſorum fuerit cen­trum grauitatis. & alterum quo〈que〉 centrum grauitatis exiſtet. Vnde propoſitio hęc potiùs eſt conuerſa poſtulati, quàm eadem.

Ob demonſtrationem autem nouiſſe oportet, quòd ſi punctum G fuerit in linea DN, tuncanguli EDG EDN eſſent interſe ęquales, ac propterea demonſtratio nihil abſurdi concluderet. In hoc autem caſu oſtendendum eſſet, angulum EFG ipſi EFN ęqualem eſſe, vel FEG ipſi FEN. quæ quidem eo­dem prorſus modo oſtendentur. comparando nempè angu­los EFG EFN angulo BCH; angulos verò FEG FEN ipſi CBH. Quòd ſi G fuerit in alio ſitu, vt in triangulo EDN, tuncanguli FDG FDN oſtendentur ęquales. & ita in alijs caſibus, vbicun〈que〉 ſcilicet fuerit punctum G, ſemper ali­quod inuenietur huiuſmodi abſurdum. quæ quidem omni­nò fieri non poſſunt.

PROPOSITIO. XII.

Si duo triangula ſimilia fuerint, alterius verò trianguli centrum grauitatis in rectalinea fuerit, quæ ſit ab aliquo angulo ad dimidiam baſim du­cta; & alrerius trianguli centrum grauitatis erit in linea ſimiliter ducta.

Sint duo triangula ABC DEF ſimilia ſitquè AC ad DF, vt AB ad DE, & BC ad FE. Diuiſaquè AC bifariam in G, iunga tur BG. centrum verò grauitatis trianguli ABC ſit punctum H in li nea BG. Dico centrum grauitatis trianguli EDF eſſe in recta linea ſi militer ducta. ſecetur DF bifariam in puncto M. & iungatur EM. & vt BG ad BH, ita fiat ME ad EN. connectanturquè AH HC, DN NF. Quoniam enim eſt BA ad ED, vt AC ad DF, & AG dimidia eſt ipſius AC; ipſius verò DF dimidiaest DM; erit BA ad ED, vt AG ad DM. Quoniam autem ob triangulorum ABC DEF ſimilitudinem angulus BAC angulo EDF eſt ę­qualis. & vt AB ad DE, ita AG ad DM; permutando〈que〉; AB ad AG, vt DE ad DM; erit triangulum ABG triangulo DEM ſimile. ſimilium ant triangulorum anguli sunt ęquales, et circa æquales angulos late ra sut proportionalia. erit igitur angul^{9} AGB angulo DME aqualis, et ABG ip ſi DEM æqualis quare vt AG ad DM, ita eſt BG ad EM, & vt AB ad DE, ita BG ad EM; & pmu­tado AB ad BG, vt DE ad EM. eſt autem BG ad BH, vt ME ad EN, erit igitur ex æquali AB ad BH, vt DE ad EN. rurſuſquè permutando AB ad DE, vt BH ad EN. quoniam autem anguli ABH DEN, quos ipſæ lineę continent, ſunt æquales, erit triangulun. ABH triangulo DEN ſimile. qua re anguli ſunt inter ſe æquales, & circa a quales angulos latera ſunt proportionalia ſi autem hoc, angulus BAH angulo EDN est æqualis. Vnde & reliquus angulus HAC angulo NDF æquolis exiſtit. qui­dem totius BAC ipſi EDF eſt æqualis. Eademquè ratione an- gulus BCH ipſi EFN est æqualis. & angulas HCG angulo NFM æqualis, oſtenſum est autem angulum ABH ipſi DEM aqualem eſſe.ob ſimilitudinem autem riangulorum ABC DEF totus an gulus ABC eſtipſi DEF ę ualis: ergo & reliquus angulus HBC ipſi NEF æqualis exiſtit. Porrò ex his omnibus patet puncta HN ad homologa latera eſſe ſimiliter poſita, & cum ipſis angulas æquales effi­cere. Cùm igitur puncta HN ſint ſimiliter poſita; & punctum H cen­trum eſt grauitatis trianguli ABC, & puncium N trianguli DEF cen­trum grauitatis existet. exiſtente igitur centro grauitatis H in li nea BG ab angulo ad dimidiam baſim ducta. & alterum grauitatis centrum N in linea EM ſimiliter ducta reperitur. quod demonſtrare oportebat.

16. quinti.

6.ſeati.

16. quinti.

22. quinti.

16. quinti.

6. ſexti.

7. post huius.

11.huius.

SCHOLIVM.

In ſe〈que〉nti Archimedes oſtendet, in qua linea reperitur cem trum grauitatis cuiuſlibet trianguli. quod quidem duobus aſ­ſequitur medijs. Diligenter autem omnia ſunt conſideranda; quoniam in hoc conſiſtit tota perſcrutatio centri grauitatis triangulorum. Quapropter vt prior demonſtratio appareat perſpicua, hęc antea demonſtrabimus.

LEMMA. I.

Æquidiſtantes lineæ lineas in eadem proportione diſpe­ſcunt.

Sintlineę AB CD, quas ſecent æqui­ diſtantes lineæ AC EF BD. Dico ita eſ­ſe BE ad EA, vt DF ad FC. primùm quidem AB CD vel ſunt ęquidiſtantes, vel minùs. ſi ſunt æquidiſtantes, iam habe tur intentum. Nam BE erit æqualis DF, & EA ipſi FC. vnde ſequitur ita eſſe BE ad EA, vt DF ad FC.

34. primi.

Si verò AB CD non fuerint æquidi­ſtantes, concurrant in G, vt in ſecunda fi­ gura, & quoniam BD EF ſunt æquidi­ſtantes, erit GB ad BE, vt GD ad DF. & componendo GE ad EB, vt GF ad FD. conuertendoquè BE ad EG, vt DF ad FG, rurſus quoniam EF AC ſunt æquidi ſtantes; erit GE ad EA, vt GF ad FC, e­ritigitur ex æquali BE ad EA, vt DF ad FC.

2.ſexti.

18.quinti.

cor.4.quinti

Secent verò ſeſe lineæ AB CD, vt in tertia figura, ob ſimi­litudinem triangulorum BGD EGF, it a erit BG ad GE, vt DG ad GF. & componendo BE ad EG, vt DF ad FG. eſt verò GE ad EA, vt GF ad FC. ergo ex æquali BE ad EA erit, vt DF ad FC. quod demonſtrare oportebat.

ex 4. ſexti.

18. quinti.

2. ſexti.

LEMMA. II.

Sit A ad B, vt C ad D; rurſus A ad E ſit, vt C ad F. Dico primùm A ad BE ſimul ita eſſe, vt C ad DF.

Quoniam enim A eſt ad B, vt C ad D, erit conuertendo B ad A, vt D ad C. eſt autem A ad E, vt C ad F; ergo ex ę­ quali B erit ad E, vt D ad F. quare componendo BE ad E, vt DF ad F. quoniam autem A eſt ad E, vt C ad F; e rit conuertendo E ad A, vt F ad C. rurſus igitur ex ęquali erit BE ad A, vt DF ad C. ac deni〈que〉 conuertendo A e­rit ad BE, vt C ad DF.

cor.4.quinti

22. quinti.

18. qninti.

cor.4.quinti

22. quinti.

Si verò fuerint quattuor magnitudines; vt adhue A (in ea­dem figura) ad G ſit, vt C ad H. ſimili­ ter oſtendetur A ad omnes BEG ſimul ſumptas ita eſſe, vt C ad omnes ſimul DFH. ſumendo vt in ſecunda figura BE pro vna tan ùm magnitudine, & DF pro alia; erunt〈que〉 ex vtra〈que〉 parte tres tantùm magnitudines; eritquè A ad BE ſimul, vt C ad DF ſimul, vt oſtenſum eſt, deinde A ad G eſt, vt C ad H, erit igitur A ad BEG ſimul, vt C ad DFH.

Pariquè ratione ſi quin〈que〉 fuerint magnitudines, eodem modo tres mediæ iungatur ſimul, ita vttres ſint duntaxat magnitudines. & ſic in infinitum. quod demonſtrare oportebat.

COROLLARIVM.

Ex hoc elici poteſt. quòd ſi fuerint quotcun〈que〉 magnitudi nes proportionales; & alię ipſis numero æquales, & in eadem proportione, vt ſcilicet ſit (vt in prima figura) A ad B, vt C ad D, B verò ad E, vt D ad F. deinde vt E ad G, ſic F ad H, & ita deinceps, ſi plures fuerint magnitudines, ſi­militer erit A ad omnes BEG ſimul ſumptas, vt C ad om­nes ſimul DFH.

Primùm quidem A eſt ad B, vt C ad D. & quoniam ma gnitudines ſunt proportionales, ex ęquali erit A ad E, vt C ad F. ſimiliter A ad G, vt C ad H. Ex quibus ſequitur A ad BE ſimul ita eſſe, vt C ad DF. A verò ad omnes BEG ſimul, vt C ad omnes ſimul DFH. & ita ſi plures fuerint magnitudines.

22. quinti.

LEMMA. III.

Sit triangulum ABC, cuiuslatus BC in quotcun〈que〉 di­uidatur partes æquales BE ED DF FC. & a punctis EDF ipſi AB equidiſtanres ducantur EG DH FK. rurſus à punctis GHK ipſi BC ęquidiſtantes ducantur GL HM KN. Dico triangulum ABC ad omnia triangula ALG GMH HNK KFC ſimulſumpta eandem habere proportionem, quam habet CA ad AG.

Quoniam enim FK ęquidiſtans eſtipſi DH; erit CF ad FD, vt CK ad KH. ſunt〈que〉 CF FD æquales; ergo & CK KH in­terſe ſunt æquales. ſimiliter propter lineas æquidiſtantes FK DH EG, ita eſt KH ad HG, vt FD ad DE; eſt autem FD æqualis DE; erit igitur KH ipſi HG æqualis. Pariquè ra­ tione oſtendetur ob ęquidiſtantes lineas DH EG BA, lineam HG ipſi GA æqualem eſſe. Ex quibus patet CK KH HG GA inter ſe æquales eſſe. Quoniam autem trianguloru ABC kFC angulus ad C eſt vtri〈que〉 communis; & ABC ipſi kFC, & BAC ipſi FKC æqualis, cum ſit Fk ipſi AB æquidiſtans; erit triangulum ABC ipſi KFC ſimile. & quonian NK FC, & HN KF ſunt ęquidiſtantes, erunt anguli KCFCkF angulis HkN KHN ęquales; ac propterea reliquus CFK reliquo KNH ęqualis: latus verò CK lateri KH eſt ęquale; erit igi­ tur triangulum KFC triangulo HNK ſimile, & ęquale. ſimi literquè oſtendetur omnia triangula ALG GMH HNK KFC interſeſe ſimilia, & æqualia eſſe. & obid ipſi ABC ſimilia eſſe. Fiat igit vt AC ad AG, ita AG ad alia O. ſimiliterv AC ad GH, ita GH ad P. rurſusvt AC ad Hk, ita HK ad 〈que〉 deniquè vt AC ad Ck, ita CK ad R. & quoniam AG GH HK KC ſunt æquales, eadem AC ad vnamquam〈que〉 ipſarum ean­dem habebit proportionem, ergo eandem quo〈que〉 habebit propoſitionem AG ad O, vt GH ad P, & HK ad Q, & KC ad R. ac propterea lineæ OPQR inter ſe ſunt æquales. Atverò quoniam ita eſt AC ad AG, vt AG ad O, & vt AC ad GH, ita GH, hoc eſt AG ipſi ęqualis, ad P. rurſus vt AC ad HK, ita HK, hoc eſt AG ad 〈que〉 ac tandem vt AC ad KC, ita KC, hoc eſt AG ipſi ęqualis, ad R. erit AC ad omnes conſe〈que〉ntes ſimul ſumptas AG GH HK KC, hoc eſt erit AC ad eandem AC, vt AG ad omnes ſimul OPQR. vnde ſequitur omnes ſimul OPQR ipſi AG ęqua les eſſe. Ita〈que〉 quoniam ſimilia triangula in dupla ſunt pro­portione laterum homologorum, erit triangulum ABC ad ALG, vt AC ad O. eodemquè modo erit triangulum ABC ad GMH, vt AC ad P. rurſus ABC ad HNK, vt AC ad Q, & vt idem ABC ad KFC, ita AC ad R. triangulum igitur ABC ad omnes conſe〈que〉ntes, videlicet ad omnia triam gula ſimul ſumpta ALG GMH HNK KFC, eritvt AC ad omnes ſimul OPQR. hoc eſt ad AG. oſtenſum eſt igitur, quod propoſitum fuit.

2. ſexti.

1. lemma.

29. primi.

76. primi.

ex 17 quini.

ex præcedem ti lemmate

19.ſexti.

ex præcedem ti lemmate

PROPOSITIO. XIII.

Omnis trianguli centrum grauitatis eſt in recta linea ab angulo ad dimidiam baſim ducta.

Sit triangulum ABC. & in ipſo ſit AD ab angulo A ad dimi­diambaſim BC ducta. oſtendendum est, centrum grauitatis trianguli ABC eſſe in linea AD. Non ſit quidem, ſed ſi fieri potest ſit punctum H. & ab ipſo ducatur HI æquidiſtansipſi BC, quæ ipſam AD ſecet in I. Deinde diuiſa DC bifariam, idquè ſemper fiat, dones relinqua­tur linea Dw minor ipſa HI. Diuidaturquè ipſarum vtra〈que〉 BD DC in partes æquales Dw; parteſquè in DC exrſtentes ſint Dw wb bZ ZC; quibus reſpondeant æquales partes DaazzO OB. & a ſectionum punctis ducantur OE zG aL wM bK ZF æquidictantes ipſi AD. & connectantur EF Gk LM quæ nimirum ipſi BC æquidistantes erunt. cùm enim ſint BD DC interſe equales, iti­dem OB ZC æquales; erit DO ipſi DZ ęqualis. quare DO ad OB eſt, vt DZ ad ZC. Quoniam autem EO FZ ſunt ipsi AD æquidiſtantes, erit AE ad EB, vt DO ad OB; & vt DZ ad ZC, ſic AF ad FC. at〈que〉 DO ad OB eſt, vt DZ ad ZC. erit igitur AE ad EB, vt AF ad FC. quare EF ipſi BC eſt æquidiſtans, eodemquè modo oſtendetur, ita eſſe AG ad GB, vt AK ad KC, & AL ad LB, vt AM ad MC. ex quib^{9} ſequitur LM GK EF non ſolùm ipſi BC, verùm etiam inter­ſeſe parallelas eſſe. ſecct EF lineas Gz Kb in Xe. ipſam verò AD in T. lineaquè GK ſecet La Mw in Nd, & AD in Y. linea deniquè LM ipſam AD in S diſpeſcat. Quoniam autem Dw eſt ipſi HI æquidiſtans, eſtquè Dw minor quam HI, li nea wM ipſi AL ęquidiſtans ipſam HI ſecabir. ac propterea punctum H centrum grauitatis trianguli ABC extra paral­ lelogrammum DM reperitur. At verò quoniam LD DM ſunt para lelogramma, erunt LS aD inter ſe æquales, ſimili­ter SM Dw ęquales. ſuntverò aD Dw ęquales: ergo & LS SM inter ſe ſunt ęquales. eademquè rarione NY Yd inter ſe­ſe, & ipſis LS SM ęquales exiſtent. quarelinea SY bifariam diuiditlatera oppoſita parallelogrammi MN. pariquè ratio­ne oſtendetur lineam YT bifariam diuidere oppoſita latera parallelogrammi KX; lineamquè TD latera oppoſita paral- lelogrammi FO bifariam quo〈que〉 diuidere. Ita〈que〉 parallelogrà mi MN centrum grauitatis est in linea *uS. parallilogrammi verKX grouitatis centrum est in linea T*u. parallelogrammi autem FO in linea TD; magnitudinis igitur ex his omnibus parallelogrammi MN KX FO compoſitæ centrum grauitatis eſt in recta linea S D. ſiv ita〈que〉 punctum R. quod quidem erit centrum grauitatis figura LNGXEOZF eKdM. lungatur〈que〉; RH, & producatur, quæ ipsa wM ſecet in P. ipſiquè AD a puncto C æqui diſtans ducatur CV, quipſi RH occurrat in V. triangulum ita〈que〉 ADC ad omnia triangula ex AM MK kF FC deſcripta ſimiliaipſi ADC, hoc eſt ad tria gula ASM M dK KeF FZC ſimul ſumpta eandem habet propor tionem, quam habet CA ad AM. ſiquidem ſunt AM MK kF FC æquales quia verò & triangulum ADB ad omnia ex AL LG GE EB deſcripta triangula ſimilia ALS LGN GEX EFO eandem ha bet proportionem, quam ‘BA ad AL: & antecedentes ſimul ad omnes conſe〈que〉ntes, hoc eſt totum triangulum ABC ad on nia triangula ſimul ſumpta, quæ ſunt in AB, & in AC conſti­tuta, eandem habebit proportionem, quam habet AC AB ſimul ad AM AL ſimul, quia verò ob ſimilitudinem triangulorum ABC ALM CA ad AM eſt, vt BA ad AL; erit CA ad AM, vt CA BA ſimul ad AM AL ſimul. triangulum igitur ABC ad omnia prædicta triangula eandem habet proportionem quam habet CA ad AM. At〈que〉 CA ad AM maiorem habet proportionem quàm VR ad RH; e­tenim proportio ipſius CA ad AM eſt eadem, quæ est totius VR adipsam R. p. quandoquidem triangula ACD MCw ſunt ſimilia. ſint〈que〉; AD & Mw ęquidiſtantes, ſitquè propterea CA ad AM, vt CD ad Dw. & quoniam VR DC àlineis DR wp CV æquidiſtantib^{9} diuiduntur; erit Cw ad wD, vt VP ad PR. & componendo CD ad Dw, vt VR ad RP. quare vt CA ad AM, ita VR ad RP. quia verò VR ad RP maiorem habet proportionem, quàm ad RH. maiorem quo〈que〉 habebit proportionem CA ad AM, quàm VR ad RH. eſt autem CA ad AM, vt triangulum ABC ad omnia triangula in lineis AC AB. (vt dictum eſt) conſtituta; ergo & triangulum ABC adprædicta triangula maio rem habet proportionem, quàm VR ad RH. Quare & diuidendo pa- rallelogramma MN kX FO hoc eſt figura LNGXEOZF eK dM) ad circumrelicta triangula in lineis AC AB conſtituta maiorem ha- bent proportionem, quam NH ad HR. linea igitur, quæ eandem habeat proportionem ad HR, quam parallelogramma MN kX FO ad circumrelicta triangula, maior erit, quàm VH Fiat itaquè in eademproportione QH ad HR, ut parallelogramma ad triangula; erit vti〈que〉 QH maior, quam VH. Quoniam igitur eſt magnitudo ABC, cuius centrum grauitatis est H, & ab ea magnitudo auferatur compoſita ex MN kX FO parallelogrammis; & magnitudi nis ablatæ centrum grauitatis eſt punctum R; magnitudinis reliquæ ex circumrelictis triangulis compoſitæ centrum grauitatis erit in recta li- nea RH ex parte H producta, aſſumptaquè aliqua vt, QH, quæ ad HR eam habeat proportionem, quam habet magnnudo ex parallelo­grammis MN KX FO conſtans ad reliquum, hoc eſt ad reli­qua triangula, ergo punctum Q centrum est grauitatis magnitudinis ex ipſis circumrelictis triangulis compoſitæ. quoa fieri non poteſi aucta enim recta linea qk per Q ipſi AD æquidistante in eodem plano triam guli ABC, in ipſa eſſent omnia centra grauitatis trian­gulorum, hoc est in vtram〈que〉 partem Qq Qk, centraquè grauitatis trianguli ALM, ac centrum magnitudinis ex vtriſ­què triangulis LGN MK d compoſitę in parte Qq eſſe deberent. centra verò grauitatis magnitudinis ex GEX KeF compo­ſitę, ac magnitudinis ex. EBO FZC compoſſtæ, eſſent in par te Qk, ita vt punctum Q magnitudinis ex omnibus trian­gulis compoſitæ centrum eſſet grauitatis. quæ quidenſunt om­nino abſurda. Quòd ſi ducta linea per Q, non fuerit etiam ipſi AD ęquidiſtans, eadem ſe〈que〉ntur in conuenientia. Ma niſestum eſt igitur; quod propoſitum fuerat.

ex t. deci­mi.

2. ſexti.

2. ſexti.

34. primi.

3. lemma.

ex12.quinti

ex12.quinti

ex 4.ſexti

1. lemma.

8. quinti.

11. quinti.

8. quinti.

20. quinti add.

8.huius.

SCHOLIVM.

Id ipſum vult ad huc Archimedes aliter oſtendere. ob ſe〈que〉m tem verò demonſtrationem hoc priùs cognoſcere oportet.

LEMMA.

Si intra triangulum vni lateri ęquidiſtans ducatur, ab op­poſito autem angulo intra triangulum quoquè recta ducatur linea, æquidiſtantes lineas in eadem proportione diſpeſcet.

Hoc in ſecundo noſtrorum planiſphęriorum libro in ea parte oſtendimus, vbi quomodo conficienda ſit ellipſis, inſtrumento à nobis inuento demonſtrauimus. hoc nempè modo, Sit triangulum ABC, ipſiquè BC in­tra triangulum ducatur vtcumquè æ­quidiſtans DE. à punctoquè A intra triangulum ſimiliter quocum〈que〉 du­catur AF; quæ lineam BC ſecet in F; lineam verò DE in G. Dico ita oſſe CF ad FB, vt EG ad GD. Quoniam enim GE FC ſunt æquidiſtantes, erit triangulum AFC triangulo AGE æquiangulum, vt igitur AF ad AG, ita CF ad EG. ob eandemquè cauíam ita eſt FA ad AG, vt FB ad GD. quare vt CF ad EG, ita eſt FB ad GD. ac permutando, vt CF ad FB, ita EG ad GD. quod demon ſtrare oportebat.

ex 4.ſexti

11.quinti.

16.quinti.

IDEM ALITER.

Sit triangulum ABC, ducaturquè AD ab angulo A ad dimidiambaſim BC. Dico in linea AD centrum eſſe grauitatis trianguli ABC. N on ſit autem, ſed ſi fieri poteſt; ſit H. iunganturquè AH HB HC, & ED DF FE ad dimidias BA BC AC ducantur, ſecetquè EF ip­ſam AD in M. & ipſi AH æquidistantes ducantur EK FL. & iungantur KL LD Dk DH; ſecetquè DH ipſam KL in N. iungaturquè MN. Quoniam igitur triangulum ABC ſimile est triam gulo DFC, cùm ſit BA ipſi FD æquidistans; ſiquidem ſunt late­ ra CA CB bifariam diuiſa, ideoquè ſit CF ad FA, vt CD ad DB. trianguliquè ABC centrum grauitatis est punctum H; & trianguli FDC centrum grauitatis erit punctum L. puncta enim HB intra vtrumquè triangulum ſunt ſimiliter poſita. etenim ad homologa latera angulos efficiunt æquales. hoc enim perſpicuum. est cùm enim ſint triangulorum ABC DFC homologa latera AC FC, AB FD, BC DC, ſintquè AH FL æquidiſtantes; erit an­gulus LFC angulo HAC ęqualis. ſed angulus CFD eſt ipſi CAB æqualis; reliquus igitur angulus LFD reliquo HAB æqualis exiſtit. & quoniam ita eſt CF ad FA, vt CL ad LH, cùm ſint FL AH ęquidiſtantes. CF verò dimidia eſt ipſius CA, erit & CL ipſius quo〈que〉 CH dimidia. at CD ipſius CB dimidia exiſtit; erit igitur DL ipſi BH ęquidiſtans. ac propterea angulus LDC eſt ipſi HBC ęqualis, & LDF ipſi HBA ęqualis. cùm ſittotus CDF toti CBA ęqualis; anguli verò ACH & HCB tam ſunt trianguli ABC, quàm FDC. Obeandem autem rationem trianguli EBD centrum grauitatis est pun- ctum K. ſimiliter enim oſtendetur punctum K in triangu­lo EBD eſſe ſimiliter poſitum, vt H in triangulo ABC. Quare magnitudinis ex vtriſquè triangulis EBD FDC compoſitæ centrum grauitatis eſt in medietate lineæ kL. cum triangula EBD FDC ſint æqualia. ſunt enim in ęqualibus baſibus BD DC, & in ijſdem parallelis EF BC, ſiquidem eſt AE ad EB, vt AF ad FC. quippè cùm latera AB AC ſint bifariam diui­ſa. medium veròipſius kL eſt punctum N; cùm ſit KE ipſi AH ęquidiſtans, & ob id ſit BE ad EA, vt Bk ad kH. & vt BE ad EA, ita CF ad FA; vt autem CF ad FA, ſic CL ad LH.quare vt BK ad KH, ita CL ad LH. Si autem hoc. æquidi- ſtans est BC ipſi kL, & iuncta est DH, erit igitur BD ad DC, vt KN ad NL. D verò medium eſt ipſius BC. ergo & N me­dium eſt ipſius KL. Quare magnitudinis ex vtriſquè dictorum trian gulorum EBD & FDC compoſitæ centrum grauitatis est punctum N. parallelogrammi verò AEDF centrum grauitatis eſt punctum M,vbi ſimiliter diametri concurrunt, ac propterea magnitudinis ex omnibus triangulis EBD FDC vna cum parallelogramo AEDF compoſitæ centrum grauitatis eſt in linea MN. Verùm triangulorum EBD FDC, ſimulquè parallelogrammi AEDF, hoc eſt totius trianguli ABC grauitatis centrum est punctum H; linea igitur MN pro ducta tranſibit per punctum H. quod eſſe non poteſt. etenim cùm ſit KN ipſi BD æquidiſtans; erit BK ad KH, vt DN ad NH: vt autem BK ad KH, ita eſt BE ad EA, & vt BE ad EA, ita eſt DM ad MA, cùm ſit EM ipſi BD æquidiſtans. erit igitur DM ad MA, vt DN ad NH. quare MN ipſi AH eſt ęquidiſtans; ideoquè MN numquam cùm AH conueni­re poteſt. Non est igitur punctum H centrum grauitatis trianguli ABC. quare non eſt extra lineam AD. in ipſi igitur exiſtit. Quod demonitrare oportebat.

2.ſexti.

11.huius.

29. primi.

2. ſexti.

2.ſexti.

29. primi.

11. huius.

4.huius.

38. primi.

2.ſexti.

2.ſexti.

11.quinti.

2.ſexti. lemma.

*

11.huius.

*

A

SCHOLIVM.

Inquit Archimedes linea igitur MN producta tranſibit per pun­ctum H. quod eſſe non poteſt, nempè, vt non ipſamet linea MN, ſed eius pars, ſiuead M, ſiue ad N producta cum H conue nireoporteat. cùm tamen ipſamet linea MN per punctum H tranſire debeat. ita vt punctum H ſit inter puncta MN; hoc eſt in linea MN, & non in eius parte producta. Nam ſi punctum H centrum eſt grauitatis totius trianguli ABC. punctum verò N centrum grauitatis magnitudinis ex triangu lis EBD FDC compoſitę; at〈que〉 punctum M centrum gra­uitatis parallelogrammi AEDF; oportet vt punctum H ita li­neam diuidat MN; vt eius partes magnitudinibus permuta­tim reſpondeant. vt nimirum pars ad M ad partem ad N ſit, vt magnitudo ex triangulis EBD FDC conſtans ad parallelo grammum AEDF. vt ex ſexta, & octaua huius propoſitione perſpicuum eſt. Quare punctum H in linea MN eſſe debe­ret; vt ipſemet Atchimedes paulò ſuperiùs affirmauit; cùm in­ quit. ac propterea magnitudinis ex omnibus compoſitæ contrum grauita­tis eſt in linea MN. & non dixit in eius parte producta. Quodiv ca vel deldum eſt verbum illud producta, tanquam ab aliquo additum, vel ideo tamen hoc dixiſſe voluit Archimedes, vt o­ſtenderet lineam MN nullo modo (etiam ſi produceretur) cum H conuenire poſſe.

A

*

PROPOSITIO. XIIII.

Omnis trianguli centrum grauitatis eſt punctum in quo rectæ lineæ ab angulis trianguli ad dimidia later a ductæ concurrunt.

Sit triangulum ABC, & ab angulo A ducatur AD ad dimi­diam BC. BE verò ab angulo B ad dimidiam AC. quę quidem lineę AD BE ſeinuicem ſecent in pum cto H. Quoniam igitur centrum grauita­tis trianguli ABC est in vtra〈que〉 linea AD BE; hoc enim demonstratum eſt in pręcedenti. erit vti〈que〉 centrum graui­tatis, vbilineç AD BE ſe inuicem ſecant. ſecant verò ſeſe in H. ergo punctum H centrum eſt grauitatis trianguli ABC. quod demonſtrare oportebat.

SCHOLIVM.

Similiter ſi ducta fuerit CH, & producta, bifariam ſecaret AB. In hac enim linea eſſet centrum grauitatis trianguli; cem trum verò eſt in linea ab angulo ad dimidiam baſim ducta: ergo hæc linea ab angulo C ad dimidiam AB ducta eſſet. Præterea ſi linea à puncto C ad dimidiam AB ducta non tran ſiret per H; eſſet vti〈que〉 in hac linea centrum grauitatis; ſed cen­trum quo〈que〉 grauitatis eſt in linea AD, & in linea BE, ut in H; vnius igitur figurę plura darentur centra grauitatis. quod fieri non poteſt. quod quidem, cùm ſit in con ueniens, nos in noſtro Mechanicorum libro dari non poſſe ſuppoſuimus. Quare linea CH indirectum ducta, bifariam ſecaret AB. quod quidem paulò infra aliter quo〈que〉 oſtendemus, nonnul lis prius demonſtratis; quæ Archimedes ob ſe〈que〉ntem demon­ſtrationem, tanquam demonſtrata ſupponit. Vult enim Ar­chimedes, poſtquam inuenit centrum grauitatis cuiuſlibet trianguli, centrum quo〈que〉 grauitatis quærere trapetij duo la­tera ęquidiſtantia habentis. quod eſt quidem pars trianguli, & tanquam fruſtum a triangulo abſciſſum. ſupponitquè dentrum grauitatis cuiuſlibet trianguli eſſe in recta linea baſi ducta ęquidiſtante, quæ latera ita diuidat, vt partes ad uerticem ſint reliquarum partium duplæ. quod quidem ortum ducit ex cognitione alterius theorematis oſtendentis centrum gra- uitatis cuiuſlibet trianguli eſſe in recta linea ab angulo ad di­midiam baſim ducta (vt Archimedes demonſtrauit) & inſu­per in eo puncto, quod dictam lineam diuidatita, vt pars ad angulum reliquę ad baſim ſit dupla. Quare hoc prius ita oſtem demus.

13.huius.

PROPOSITIO.

Omnis trianguli centrum grauitatis eſt punctum in recta linea ab angulo ad dimidiam baſim ducta exiſtens, quod li­neam diuidat, ita vt poitio ad angulum reliquæ ad baſim, ſit dupla.

Sit triangulum ABC, in quo ab an gulo A ad dimidiam baſim BC re­cta ducatur linea AD. Ducaturquè ab angulo B ad dimidiom baſim AC linea BE, quæſecet AD in F. Et quoniam centrum grauitatis triangu­ li ABC eſt punctum F; oſtendendum eſt lineam FA ipſius FD duplam eſ­ſe. iungatur FC. quoniam enim AE eſt equalis ipſi EC, erit triangulum ABE triangulo EBC æquale, cùm ſint ſub eadem altitudine. Ob eandemquè cauſam triangulum AFE triangulo EFC exiſtit æquale. ſi igitur à triangulo ABE auferatur triangulum AFE, & à triangulo EBC triangulum auferatur EFC; relin〈que〉tur triangulum ABF triangulo BFC æquale. Rurſus quoniam BD eſt æqualis ipſi DC; erit trian­ gulum BFD triangulo DFC æquale, ſiquidem candem ha­bentaltitudinem. duplum igitur eſt triangulum BFC triangu­li BFD. Quare & triangulum ABF trianguli BFD duplum exiſtit. quia verò triangula ABF FBD in eadem ſunt altitudi ne, idcirco ſeſe habebunt, vt baſes AF FD. at〈que〉 triangulum ABF. duplum eſt ipſius FBD; ergo portio AF ipſius FD dupla exiſtit. quod demonſtrare oportebat.

14.huius.

1.ſexti.

1.ſexti.

1.ſexti.

ALITER.

Sit rurſus triangulum ABC, & AD BE ab angulis ad di midias baſes ductæ ſint erit vti〈que〉 punctum, F (vbi ſe in ui cen fecant) centrum grauitatis triangulb ABC. Drco AF a­pſius FD duplam eſſe. Iungatur DE. Quoniam enim BC AC in punctis DE bifariam ſecantur; erit CD ad DB, vt CE ad EA. linea igitur DE ipſi AB eſt æquidiſtans. quare trian­gulum ABC ſimile eſt triangulo EDC. ac propterea ita eſt BC ad CD, vt AB ad DE. eſt autem. BC dupla ipſius CD (ſiquidem punctum D bifariam diuidit BC) erit igitur AB dupla ipſius DE. At vero quoniam AB DE ſunt parallelæ, erit triangulum AFB triangulo EFD ſimile. & vt AB ad ED, ita AF ad FD, eſt autem AB ipſius ED dupla, ergo AF ipſius FD dupla exiſtit. quod demonſtrare oportebat.

14. huius.

2. ſexti.

4. ſexti.

4.ſexti.

Exijs, quæ demonſtrata ſunt, oſtendemus, quod paulò ante propoiuimus, nempè cùm lineæ AD BE bifariam ſecent BC CA. Dico lineam CF productam bifariam quo〈que〉 ſe­care ipſam AB.

Producatur enim (ijsdem poſitis) CFGH; quæ lineam AB ſecet in G. & à puncto B ipſi AD æquidiſtans ducatur BH. quæ ipſi CG occuriat in H. Quoniam igitur FD, eſt i­pſi BH ęquidiſtans, erit CD ad DB, vt CF ad FH. CD ve­rò eſt æqualis BD; ergo CF ipſi FH æqualis exiſtit. ac propterea CH dupla eſt ipſius (F. At ve­rò quoniam ob ſimilitudinem triangulorum CBH CDF, ita eſt HC ad CF, vt BH ad DF; erit & BH ipſius FD duplex. verùm & AF (ex proximè demonſtratis) ipſius FD duplex exiſtit. erunt igitur BH FA inter ſe ęquales. Quoniam autem BH eſt ęquidiſtans ipſi AF, æquiangula erunt triagula GBH GAF. quare vt BH ad AF, ita BG ad GA, quia verò BH eſt ipſi AF æqualis; erit & BG ipſi GA æqualis. ergo recta li­nea EFG bifariam diuidit AB. quod demonſtrare oporte­bat.

2. ſexti.

ex 4.ſexti

Reliquum eſt, vt ob ſe〈que〉ntem demonſtrationem alteram propoſitionem oſtendamus.

PROPOSITIO.

Centrum grauitatis cuiuſlibet trianguli eſt in recta linea baſi ducta æquidiſtante, quæ latus ita diuidat, vt pars ad an­gulum reliquæ ad baſim ſit dupla.

In trianagulo enim ABC ducta ſit DE baſi BC æquidiſtans, quæ latus AB diuidat in D, ita vt DA ipſius DB ſit duplex. Dico in linea DE centrum eſſe grauitatis trianguli ABC. Ducatur ab angulo A ad dimidiam BC linea AF, quæ di­ uidat DE in G. erit AD ad DB, vt AG ad GF, ac propterea erit AG ipſius GF dupla. punctum ergo G centrum eſt grauitatis trian­guli ABC. Quare conſtat centrum eſſe in linea DE. quod demonſtra­re oportebat

2. ſexti.

COROLLARIVM.

Ex hoc elici poteſt centrum grauitatis cuiuſlibet trianguli eſſe in medio ductæ lineæ baſi æquidiſtantis, quę latus diui­datita, vt portio ad verticem ſit reliquę ad baſim dupla.

Eſt enim DG ad GE, vt BF ad FC. ſunt verò BF FC æ­quales; ergo & DG GE inter ſe ſunt æquales. quare grauita­tis centrum G eſt medium lineę DE.

lemm.2. der ſtratic13.hi

PROPOSITIO. XV.

Omnis trapezij duo latera inuicem habentis æ­quidiſtantia centrum grauitatis eſt in recta linea, quæ latera æquidiſtantia bifariam ſecta coniungit; ita diuiſa, vt ipſius portio terminum habens mino rem parallelam bifariam diuiſam ad reliquam por­tionem eandem habeat proportionem, quam ha bet vtra〈que〉 ſimul, quæ ſit æqualis duplæ maioris parallelarum cum minore ad duplam minoris cum maiore.

Sit trapezium ABCD habens latera AD BC parallela. linea verò EF bifariam diuidat AD BC. Quòd igitur in linea EF ſit centrum grauitatis trapezii, perſpicuum est. productis enim CDG FEG BAG, li〈que〉t in idem punctum, putà G concurrere. propterea quòd cùm ſit AD æquidiſtans ipſi BC, neceſſe eſt proportionem ipſius BA ad AG, ipſiusquè FE ad EG, & CD ad DG, quæ ni­mirum in omnibus eadem eſt, in vnum & idem punctum terminare. erit〈que〉; trianguli GBC centrum grauitatis in linea GF. ſimiliter〈que〉 trianguli AG D centrum grauitatis in linea EG. ergo reliqui trapezii ABC centrum grauitatis erit in linea EF. iungatur ita〈que〉 BD, quæ int æqua in punctis KH diuidatur. ac per ea ducantur LHM NkTBC æquidiſtantes; quæ lineam EF in punctis RS diſpeſcant lungantur〈que〉 DF BE, ſecetquè DF lineam LM in X. ip verò EB ſecet NT in O. Iungaturquè OX, quæ lineam EF P ſecet. erit ita〈que〉 trianguli DBC centrum grauitatis in linea H cùm ſit HB tertia pars ipſius B D; ſitquè propterea DH ipſi HB dupla. & per punctum H ducta ſit baſi BC æquidiſtans M eſt autem centrum quo〈que〉 grauitatis trianguli DBC in linea DF; q eſt ab angulo D ad dimidiam BC ducta. Quare dicti triang centrum grauitatis est punctum X. Eademquè ratione cùm ſit D tertia pars ipſius DB, ac proptcrea ſit BK ipſius KD dup ſitquè KN æquidiſtans ipſi AD; erit centrum grauitatis tri guli ABD in linea KN; idem verò centrum reperitur quo in linea BE, cùm ſit ab angulo B ad dimidiam AD duc ergo punctum O, vbi ſe inuicem ſecant, centrum eſt grauitatist guli ABD. magnitudinis igitur ex vtriſ〈que〉 triangulis ABD BI compoſitæ, quæ eſt trapezium ABCD, centrum grauitatis est in rect nea OX. dicti autem trapezii centrum gauitatis est etiam in li­nea EF, quare trapezii ABCD centrum grauitatis est punctum P. At verò triangulum BCD ad ABD proportionem habet eam, quam OP ad PX. cùm ſint puncta OX triangulorum centla grauitatis, ac punctum P vtrorum〈que〉 commune centrum. Sed vt triangulum BDC adtriangulum ABD, ita eſt quo〈que〉 baſis BC ad baſim AD. cùm triangula eandem habeant altitudinem, ſiquidem ſunt in ijsdem parallelis AD BC. quare vt BC ad AD, ita OP ad PX. Sed quoniam anguli RPO SPX ad ver­ticem ſunt ęquales, & angulus PRO ipſi PSX, veluti angulus ROP angulo PXS eſt ęqualis, erit triangulum OPR triangulo XPS ſimile; quare vt OP ad PX, ſic PR ad PS. eſt autem BC ad AD, vt OP ad PX; vt igitur BC ad AD, ita RP ad PS. & antecedentium dupla, duæ ſcilicet BC ad AD, vt duæ PR ad PS. & componendo duæ BC cum AD ad AD; vt duæ PR cum PS ad PS. & ad conſe〈que〉ntium dupla, vt ſcilicet duæ BC cum AD ad duas AD, ita duæ PR cum PS ad duas PS. dictum eſt autem BC ad AD ita eſſe, vt PR ad PS. quare conuerrendo AD ad BC erit, vt PS ad PR. & antecedentium dupla. hoc eſt duæ AD ad BC, vt duæ PS ad PR. Ita〈que〉 in eadem ſunt proportione duç BC cum AD ad duas AD, vt duę PR cum PS ad duas PS. ſicut verò duę AD ad BC, ita duę PS ad PR. antecedentes igitur ad ſuas ſimul conſe〈que〉ntes in eadem erunt proportione. Quare ſicut duæ BC cum AD ad duas AD cum BC, ita duæ RP cum PS ad duas P S cum PR, verùm duæ quidem RP cum PS eſt vtra〈que〉 ſimul SR RP. bis enim aſſumitur PR, ſemel verò PS. Cum autem lineæ DH ES à lineis diuidantur ęquidiſtantibus ED OT HM, erit DK ad KH, vt ER ad CS; kD verò eſt æqualis KH, erit ER ipſi RS ęqualis. erit igitur ER cum RP, hoc est PE ipſis SR RP ęqualis. duæ verò PS cum PR eſt vtra〈que〉 PS SR. bis enim aſ­ſumitur PS, ſemel què PR. & quoniam FS eſt ęqualis ipſi SR. quod quidem eodem modo oſtendetur, cùm ſit FS ad SR, vt BH ad Hk. erit FS cum SP, hoc est PF ipſis PS SR æqualis. Quare ita ſehabet PE ad PF, vt duæ BC cum AD ad duas AD cum BC. Centrum igitur grauitatis P trapezij ABCD in linea eſt EF, quæ coniungit parallelas AD BC bifariam di uiſas; ita vt pars PE, quæ eſt ad minorem parallelam AD reliquampartem PF eam habet proportionem, quam du ipſius BC, quæ eſt maior æquidiſtantium, vna cum min AD, ad duplam minoris AD cum maiore BC, ergo demonsta ſunt, quæ propoſita fuerant.

ex 2.ſ

13.hu

8. huius.

ex proxi­me demon ſtratis.

* 13. huius.

6. hu

1. ſe.

15. p

29. p

ex 4.

11. 〈que〉

18.

corol quint

cor.2 ma ahuius

1. l. in 13

SCHOLIVM.

Græcus codex poſt ea verba, cùm ſit HB tertia pars ipſius Z habet kai dia tou_ q samiou w_aza)lllos ta) ba\sei o)ux ta_s a( mq, ququidem verba illa ou)k ta\s perperam leguntur; quorum lponerem aomi\na e)si\, ita vt ſint hoc modo reſtituenda, ka dia same_iou w_aza/lllws ta_ ba\sei aome\na isi\ a( mq.

*

Hæc ſunt, quæ de centro grauitatis figurarum rectiline Archimedes ſcripta reliquit. Ex quibus maxima certè vtil habetur; ne〈que〉 ampliùs de rectilineis figuris Archimedes p tractare voluit. ex dictis enim alia omnia dependent. Nan tra grauitatis rectilinearum figurarum, quæ æquales angulatera〈que〉 æqualia habent, ex his in uenire poterimus. quæ dem figurę in circulo inſcribi poſſunt. Quod ſanè Federi Comandinus in eius libro de centro grauitatis ſolidorum prioribus propoſitionibus præſtitit. aliaquè nonnulla, vttragrauitatis rectilinearum figurarum in ellipſi, deindè ipcirculi, & ellipſis centra grauitatis in uenit. omneſquè demſtrationes in ijs, quæ in hoc libro iam demonſtrata ſunt, dauit. præterea ex his etiam idem Commandinus in com tarijs libri Archimedis de quadratura paraboles, (quo ad p xim) grauitatis centrum cuiuſlibet figurę rectilineæ ad innit. Quod quidem nos quo〈que〉, vt initio polliciti fuimus, nullis mutatis idem oſtendemus. hoc prius ſuppoſito.

Triangula in eadem baſi conſtituta eam inter ſe proponem habent, quam eorum altitudines.

Hoc autem demonſtratum eſt ab excellentiſsimis viris, riſquè Euclidis interpretibus, Federico Commandino, & Cl ſtophoro Clauio; qui hanc propoſitionem poſt primam ti libri Euclidis demonſtrarunt.

PROBLEMA.

Cuiuſlibet rectilineę figurę centrum grauitatis inuenire.

Triangulorum centrum grauitatis iam ab Archimede de­monſtratum eſt.

Sit ita〈que〉 primùm quadri laterum ABCD, cuius opor­teat centrum grauitatis inue nire. Ducatur AC, quæ qua drilaterum in duo triangula ABC ACD diuidet. à punctiſ­què BD ad AC perpendiculares ducantur BE DF. In­ueniantur deinde ex dictis cem tra grauitatis triangulorum ABC ACD. ſintquè puncta GH. iungaturquè GH, quæ diuidatur in K, ita vt GK ad KH ſit, vt DF ad BE. Dico punctum K centrum eſſe grauitatis quadrilateri ABCD. Quoniam enim triangu­la ABC ACD in eadem ſunt baſi AC, erunt inter ſeſe, vt al­titudines. quare triangulum ACD ita ſe habet ad triangulum ABC, vt DF ad BE. hoc eſt GK ad KH. punctum ergo K cem trum eſt grauitatis magnitudinisex vtril què triangulis ABC ACD compoſitæ; hoc eſt quadrilateri ABCD.

ex 6.h

Sit autem pentagonum ABCDE. iunganturquè AC AD. inueniaturquè triangu li ABC centrum grauitatis H. quadrilateri verò ACDE ex proximè demom ſtratis cen­trum grauitatis inueniatur Iam vti〈que〉 conſtat (du­cta HK) centrum grauita tis totius ABCDE in linea HK exiſtere. Rurilus trianguli ADE centrum inueniatur F quadrilateri verò ADCB punctum G. iungaturquè GF. eeodem modo centrum grauitatis totius ABCDE in linea Fſed eſt quo〈que〉 in linea HK, ergo vbrſe inuicem ſecant, vt L, centrum erit grauitatis pentagoni ABCDE.

In hexagonis ſimiliter. vt ABCDEF iungantur AC AE, deinceps inuenia tur trianguli ABC centrum grauitatis G, pentagoni verò ACDEF ex dictis centrum ſit H. ductaquè GH centrum grauitatis totius ABCDEF erit in linea GH ſimiliter centrum grauita­tis trianguli AFE ſit K, pem tagoni verò AEDCB ſit L, iunctaquè KL, erit centrum gr uitatis totius hexagoni in linea KL. verùm eſt etiam in lin GH. ergo errt in M. in quo GH KL ſe inuicem ſecant.

Nequè aliter in heptago no ABCDEFG, in quo ducantur BG CE. trianguli verò ABG centrum graui­tatis ſit H. hexagoni autem GBCDEF, ſit K. deinde trianguli CDE centrum grauitatis ſit L, hexagoni ve­rò CEFGAB ſit M. iun­ctiſquè HK ML, eadem ra tione centrum grauitatis totius heptagoni erit in vtraquè linea Hk LM. ergo erit in

*

Eodemquè prorſus modo in octagono, & in alijs demcfiguris centrum graui tatis inuenietur. quæ quidem facere portebat.

Curautem hoc modo centra grauitatum in præfatis figu­ris poſitione tantùm, & non determinatè ea indeterminata, linea, & in tali ſitu exiſtere inuenerimus, vt in parallelogram mis & in triangulis factum fuitab Archimede; explicabitur in ſecundo libro poſt tertiam proportionem; vbi oſtendemus, in quibus figuris determinatè inueniri poteſt centrum graui­tatis.

Antequam autem finem primolibro imponamus, reliquum eſt; vt ea quæ in præfatione ſuppoſuimus, oſtendamus. pri­mùm què quando ſecundùm rectam lineam aliqua diuiditur figura per centrum grauitatis, aliquando diuidi in partes ſemper ęquales, & aliquando in partes inæquales.

PROPOSITIO.

Figura dari poteſt, quę per centrum grauitatis recta li­nea diuiſa, ſemper in partes diuidatur æquales.

Sit parallelogrammum ABCD, cuius centrum gra­uitatis E. Ducaturquè per E vtcun〈que〉; linea GEF, quę vel diameter eſt, vel min^{9}. ſi eſt diameter, iam conſtat parallelogrammum in duo ęqua eſſe diuiſum. Si verò non eſt diameter, ducantur diametri AC BD, quæ per E tranſibunt. Quoniam igitur AF eſt æqui­diftans ipſi CG, eritangulus EAF ipſi ECG, & EFA ipſi EGC æqualis, eſt autem AEF ipſi GEC ad verticem æqualis, latus〈que〉; AE ipſi EC æquale; erit triangulum AEF triangulo CEG ęqua le. eodemquè modo oſtendetur triangulum FEB triangulo EGD. & triangulum AED ipſi BEC æquale. Ex quibus patet. figuram ex tribus triangulis compoſitam, hoc eſt figuram FGDA ipſi FGCB æqualem eſſe. diuiditurergo parallelogran­mum à linea per centrum grauitatis ducta in partes ſem perç­quales. quod demonſtrare oportebat.

34.primi

29. primi

15. primi

Hoc idem multis alijs figuris accidet, vt pentagonis, he gonisæquiangulis, & æquilateris, & alijs.

PROPOSITIO.

Figura dari poteſt, quæ per centrum grauitatis recta li diuiſa, non ſemper in partes diuidatur ęquales.

Habeat triangulum ABC latera AB AC æqualia. trian guliverò centrum grauitatis ſit D. à quo ipſi BC ęquidiſtans Ducatur FDG. Dico partem AFG minorem eſſe parte BFGC. ducatur ADE, quæ bifariam BC diuidet. & à puncto G ipſi AE ęquidiſtans ducatur HGK. compleantur〈que〉 figurę EH KF. Quoniam enim FG ęquidiſtans eſt ipſi BC, erit FD ad DG, vt BE ad E& eſt BE ipſi EC æqualis. erit igitur FD ipſi DG ęqua vt etiam paulò ante 15. huius oſtendimus. quare FG ip DG dupla. eſt. ac propterea parallelogrammum FK dupi eſt parallelogrammi DK. quia verò AD ipſius DE du exiſtit, erit quoquè parallelogrammum DH ipſius DK plum. Quare DH ipſi FK eſt æquale. At verò quoni FG dupla eſt ipſius DG. erit triangulum AFG parallelog mo DH æquale. triangulum igitur AFG parallelogFK eſt æquale. Quare pars AFG parte BFGC minor ſtit. quod demonſtrare oportebat.

ex 13. hui'

lemma an­te ſecundam demonſtra­tionem 13 bu ius.

ex 41.pri. mi.

Hinc perſpicuum eſt, eandem figuram per centrum gratatis diuiſam, aliquando in partes in æquales, aliquando in tes æquales diuidi poſſe. in partes inęquales iam oſtenſum hocaccidere perlineam FG. in partes verò æquales patet pe neam ADE, quæ triangulum ABC in duo ęqua diuidi. t gulum enim ABE triangulo: AEC eſt ęquale, cùm ſinteadem altitudine, baſeſquè BE EC inter ſe ſint æquales.

1. ſexti.

Adhuc (veluti initio quo〈que〉 diximus) ſi fuerit prisma, vt AB, cuius altera baſis ſit AC. tale verò ſit prisma, vt pl mum AC planis CH CK &c. ſit erectum. ſit autem ipſius baſis AC centrum grauitatis E. Dico ſi prima ſuſpendatur ex pu­ cto E, baſim AC horizonti æquidiſtantem permanere. vt co gnoſcamusea, quæ his libris pertractantur, ad praxim poſſe reduci. & ne aliquid abſ〈que〉 demonſtratione confirmatum re linquamus. hoc quo〈que〉 oſtendemus. hoc pacto.

Primùm quidem exijs, quæ demonſtrata ſunt, rectilineæ figuræ AC centrum granitatis inueniatur E. eodemquè mo do figuræ BD centrum grauitatis ſit F. Iungaturquè EF, quæ bifariam diuidatur in G. Iam patet punctum G cen­trum eſſe grauitatis priſmatis AB, ex octaua propoſitione Fe­derici Commandini de centro grauitatis ſolidorum, & ex corollario quintæ propoſitionis eiuſdem libri, lineam EF late­ribus AD CB ęquidiſtantem eſſe. quoniam autem plana CH CK ad rectos ſuntangulos plano AC, erit CB eorum commu nisſectio eidem plano AC perpendicularis. acpropterea EF ipſi CB æquidiſtans plano AC perpendicularis exiſtit. Ita〈que〉 intelligatur ſolidum AB ex E ſuſpenſum; tunc ex ma propoſitione de libra noſtrorum mechanicorum pon AB ex E ſuſpenſum numquam manebit, niſi recta EG fu horizonti perpendicularis. Quando autem EF erit horizc ti perpendicularis, erit planum AC horizonti æquidiſtan tunc. enim EF tum horizonti, tum plano AC perpendiculexiſtet. Inuento igitur centro grauitatis E ipſius baſis A ſi AB ſuſpendatur ex E, linea EGF in centrum mundi to det; planumquè AC horizonti erit æquidiſtans. quod deſtrare oportebat.

19. v mi.

14.vndeci mi.

PRIMI LIBRI FINIS.

GVIDIVBALDI E MARCHIONIBVS MONTIS.

In Secundum Archimedis æ〈que〉ponderan­tium Librum.

PRÆFATIO.

Secundus Archimedisliber, vtinitio primi libri præfati ſumus, ſubtiliſſima theo­remata ſpeculatur. Vultenim Archimedes inueſtigare centrum grauitatis plani coni­cæſectionis, quæ parabole paſſim vocatur. quamuis Archimedes alio nomine, ac po­tiùs deſcriptione quadam ſectionem hanc nun­cuparit: veluti portio recta linea rectanguli〈que〉; coniſectione com tem ta. Refert enim Eutocius Aſcalonita in principio ſui commen­tarij in libros conicorum Apollonij Pergęi, ex ſententia Ge­mini (cui Pappus etiam ex Ariſtęi ſententia aſſentire videtur) quòd qui ante Apollonium fuerunt, perfectam, & abſolutam conorum cognitionem non habuerunt; inter quos reſpoſuit Archime de. Nam inquit conum deſi nientes, ipſum per rectam guli trianguli circumuo­lutionem manente vno eorum, quæ circa rectum angulum ſunt, latere conſi­derarunt. vt habetur in definitionibus Euclidis vndecimi libri elem en­torum. vt Conus ABC fit ex circumuoluto triangulo rectangulo ADC. conus verò EBC ex triangulo EDC, & conus FBC ex rectangulo triangulo FDC. & ſi AD fuerit i­ pſi DC æqualis, conus ABC vocabit rectan­gulus. nam vtcumquè ducto plano per axem, quod triangulum faciat ABC; erit angulus BAC ad coniverticem rectus: ſiquidem DAC recti di midius exiſtit, veluti DAB. pari ratione ſi ED fuerit ipſa DC minor; erit conus EBC obtuſi angulus:nam ducto per axem plano, habebit triangulum EBC angulum ad verticem coni BEC obtuſum; cùm ſit BEC maior BAC. exiſtenteautem FD ipſa DC maiori, co nus FBC acutiangulus nuncupabitur; quoniam triangulum per axem FBC angulum ad verticem coni F acutum poſſide bit; ſiquidem minor eſt BFC, quam BAC. Refert deinde, quòd vnum〈que〉mquè horum conorum eo­dem modo piſci ſecue­ runt; vt ſit rectangu­lus conus ABC; trian gulum verò per axem ſit ABC. in latere au­tem AC quoduis ſu­matur punctum D; ducaturquè DE ad AC perpendicularis; & per DE ducatur pla num plano ABC ere ctum, quod quidem conum ſecet, ſectio autem ſit FDG. quę ſanè eſt ſe ctio, quæ abipſis vocatur rectanguli coni ſectio, quippè quæ ſi intelligatur terminata recta linea FG, nuncupa tur portio recta linea, rectanguli〈que〉 coni ſectione contenta.

3. primi co mcorum A pol.

21. primi.

Si verò conus ABC fuerit obtu ſiangulus, ſitquè triangulum per axem ABC, eo­dem modoà quo­uis puncto D, ducta DE ad re­ctos angulos ipſi AC, acper DE ducto plano ad planum ABC erecto, quod conum ſecet, vt FDG; erit FDG obtuſianguli coni ſectio, quæ vnà cum recta FG vocatur por­tio recta linea, obtuſianguliquè coni ſectione contenta.

Similiter exiſtente co­ no acutiangulo ABC, cuius triangulum per a­xem ſit ABC. & à puncto D ducta ſit DE perpen­dicularis ipſi AC, du­ctoquè plano per DE ad planum ABC erecto, e­rit DFEG acutianguli coni ſectio.

Apollonius au-­tem Pergęus, qui ab­ſolutiſſima commenta­ria de conicis ſcripſit, huiuſmodi conos omnesvocauit rectos; ad differentiam coni ſcaleni. coni enim rectiaxes habent baſibus erectos. ſcaleni ve rò nequaquam. & in ſcalenis latera triangulorum per axem non ſunt ſemper æqualia. quod ſemper conis rectis contingit.

Preterea ſectionem rectanguli coni parabolen nominauit; obtuſianguli verò coni ſectionem hyperbolen; ſectionem autem acutianguli coni ellipſim nuncupauit. & in vnoquo〈que〉 cono tàm recto, quàm ſcaleno has tres ineſſe ſectiones demom ſtrauit. Ex quibus colligit Geminus (〈que〉m Eutocius, alijquè complures ſecuti ſunt) eos, qui ante Apollonium extitere, conostantùm rectos cognouiſſe. & in vnoquo〈que〉 cono vnam tantùm ſectionem animaduertiſſe. quod quidem ſi de ijs, qui ante Archimedem fuere intelligatur; ad mitti fortaſſe poterit; ac præſertim de Euclide. vt patet ex definitione coni abeo tradita. At verò de Archimede, qui poſt Euclidem, ante verò Apollonium fuit, non ita facilè concedendum videtur. Nam ex ijs, quæ ſcripta reliquit. eum non ſolùm notitiam ha-­buiſſe de conis rectis; verùm etiam de ſcalenis facilè ex i-­pſius ſcriptis conijci poteſt. In primo enim librode ſphæ­ra, & cylindro multis in locis, vt in ſeptima, octaua, no na, decimaquarta, decimaquinta propoſitione; alijsquè in locis conos nominat ęquicrures, quod quidem ſecundum i­pſum ſunt, qui in eius ſuperficie æquales habent rectas lineas à vertice coni ad baſim ductas. item in epiſtola quo〈que〉 libri de conoidibus & ſphęroidibus, quam Archimedes Deſitheo ſcribit. cùm de obtuſiangulo conoideverba facit, conum vo­catæquicrurem. Quòd ſi Archimedes hos conos vocauit æ­quicrures, cui dubium, ipſum eosad differentiam eorum, qui non ſunt æquicrures ita nuncupaſſe? qui verò non ſunt æ­quicrures ex ipſomet Apollonio ſunt ſcaleni; nam æquicrures hoc modo coni axes habent baſibus erectos. qui igitur non erunt æquicrures, eorum axes ſuis baſibus nunquàm erunt e­recti. Præterea idem quo〈que〉 confirmari poteſt ex demon­ſtratione vigeſimæquintæ propoſitionis eiudem libri, in qua cùm nominet Archimehes conum rectum proculdubiò ad differentiam eorum, qui non ſuntrecti ita eum nuncupauit. nam ſi Aichimedes (ex illorum ſententia) conos tan ùm re­ctos cognouiſſet; quorſum his in locis conum rectum, vel æ­quicrurem nominaſſet? ſat ſibi fuiſſet conum tantum dixiſſe. Ne〈que〉 verò dicendum eſt Archimedem per cono recto intellexiſſe conum rectangulum eo modo, 〈que〉m ſupra expoſui­mus. nam in ea propoſitione, dum conſtituit hunc conum, non conſurgit conus rectangulus, ſed obtuſiangulus quapro pter conum rectum nominatad differentiam coni ſcaleni. Cę terùm ut manifeſtè oſtendamus Archimedem conos cogno- uiſſe ſcalenos, conſideranda eſt octaua propoſitio libri de co­noidibus, & ſph æroidibus, in qua proponit Archimedes co­num conſtituere, & inuenire, in quo ſitſectio ellipſis data, ver tex autem coni in linea exiſtat a centro ellipſis adectos angulos ellipſis plano erecta. Exqua conſtructione planè apparet, Archimedem (vt ex eius demonſtratione conſtat) hoc in lo­co 〈que〉rere, & inuenire conum proculdubio ſcalenum. vt etiam ex nona eiuſdem libri propoſitione perſpicuum eſſe poteſt; in qua vt plurimùm conus inuenitur ſcalenus. Ex quibus mani­feſtiſſimè patet Archimedem non ſolùm de conis rectis, verum etiam de conis ſcalenis notitiam habuiſſe. Porrò ea verba, quę refert Eutocius ex ſententia Heraclij, qui Archimedis vitam literis mandauit; idipſum ſatis manifeſtant. Heraclius enim inquit Archimedem quidem primum conica theoremata fuiſſe aggreſſum; Apollonium verò, cùm ea inueniſſetab Archime de nondum edita; tanquam eius propria edidiſſe. quod qui­dem etiam exipſiusmet Archimedis ſcriptis confirmari poteſt. in libro nam〈que〉 de conoidibus, & ſphæroidibus ante quartam propoſitionem vbi Archimedes theorema proponit alibi de­monſtratum, inquit, Hoc autem oſten ſum eſt in conicis elementis. in principio etiam libri de quadratura paraboles, cùm nonnulla propoſuiſſet; poſt tertiam propoſitionem ſcilicet, inquit De­monſtrata autem ſunt hæc in elementis conicis. nonneigitur conſtat Archimedem elementa conica ſcripſiſſe? Obijciet verò aliquis, non propterea conſtare, hęc elementa eonica, quorum me­minit Archimedes, ipſiusmet eſſe Archimedis; cùm non affir met, hæcfuiſſe ab ipſo demonſtrata. verùm illud in primis ma nifeſtum eſt, tempore Archimedis conica elementa extitiſſe. vt nonnulli Euclidem quatuor conicorum libros edidiſſe af­firmant; ſicut Pappus in ſeptimo Mathematicarum collectionuum libro aſſerit. Sed ex modo lo〈que〉ndi Archimedis planè conſtat hæc fuiſſe ab ipſo conſcripta. Nam quando Archimedes ali­qua ſupponitab alijs demonſtrata, tunc addere conſueuit, illa ab alijs demonſtrata eſſe; vt in vndecima propoſitionedeco­noidibus, & ſphæroidibus; cùm inquit. omnis coni ad conum pro­portionem compoſitam eſſe ex proportione baſium, & proportione altitu­dinum, quod quidem, quia ab alijs demonſtratum fuerat, ſta­ tim inquit, demonſtratum eſt ab iis, qui ante nos fuerunt. ſimiliter in libro de ſphęra, & cylindro ante propoſitionem decimam ſeptimam, cùm nonnulla ſuppoſuerit ab alijs demon ſtrata in quit. Hæc autem omnia à ſuperioribus ſunt demonſtrata. In ſecunda verò parte quintę propoſitionis hui^{9} ſecudi libri cu inquit, De monſtratum eſt enim aliis in locis portiones ſeſquitertias eſſe triangulorum.quod quia ipſemet aſſecutus eſt in libro de quadratura para­boles, idcircò non addit ab ipſomethoc oſtenſum fuiſſe. A­liaquè huiuſmodi loca breuitatis ſtudio omitto oſtendentia ea, quæ Archimedes ſupponit tanquam demonſtrata, quando non additab alijs oſtenſa eſſe, à ſe ipſo demonſtrata fuiſſe, vt in demonſtratione decimæ quartę propoſitionis primi libri, nec non ex octaua huius ſecundi libri demonſtratione; alijſ­què locis perſpicuum eſſe poteſt. Quare tùm ex præfntis Archi medis locis, tùm Heraclij teſtim onio manifeſtè elicipoteſt, Archimedem elementa conica ſcrip ſiſſe. Ne〈que〉 verò quicqua nos turbare debet, quòd Apollo nius coni ſectionibus nomina impoſuerit; ſi tamen ipſe prim us fuit; cùm eas proprijs nomi­nibus, vt potè parabolen, hyperbolen, & ellipſim nuncupet; & in quolibet cono omnes agnouerit ſectiones. Nam quam­uis vſ〈que〉 ad Archimedis tempus hi termini nondum extite­rint; & in ſingulis conis priſci illi vnicam tantùm cognouerint ſectionem; Archimedes tamen vlteriùs progreſſus eſt. etenim hæc quo〈que〉 ſectionum nomina ipſi fortaſse minùs ignota fue­runt: quandoquidem in demonſtratione nonæ propoſitio­nis de conoidibus, & ſphęroidibus ellipſim nominat. Pręte­rea non ſolùm cognouit Archimedes conos ſecari poſſe pla­nis lateribus coni erectis, verùm etiam alijs modis: quod qui­dem exemplo ellipſis manifeſtari optimè poteſt. Nam in o­ctaua propoſitione eiuſdem libri ellipſes latus coni ad angu­los rectos minimè ſecant. veluti quo〈que〉 in nona propoſitione idem ſępè contingit. At verò in eodem adhuc libro ante primam pro poſitionem inquit Archimedes. Si conus plano ſecetur cum omnibus eius lateribus coeunti, ſectio vel erit circulus, vel acutianguli coni ſe­ctio. Vnde perſpicuum eſt non in vno duntaxat cono acutian gulo, verùm in omnibus conisſectionem ellipſis cognouiſſe. Præterea ex hoclo〈que〉ndi modo li〈que〉t ipſum ſectionem quo 〈que〉 nouiſſe ſubcontrariam; quæ cùm ſit baſi ſubcontraiſè po ſita, oina latera coni ſecat; & tnm non eſt ellipſis, ſed circulus. qua­propter ſi in omnibus conis ellipſis nouit ſectionem; cur in i­pſis, & parabolas, & hyperbolas minùs animaduertit? cùm ſit manifeſtum ex dictis in cono obtuſiangulo & hyperbolem & ellipſim; in rectangulo autem parabolem, ellipſimquè co­gnouiſſe? hòc certè non eſt aſſerendum. Ex hoc enim perſpi­cuum eſt Archimedem cognouiſſe conos ſecari poſſe planis, quæ non ſint ſemper ad coni latus erecta. dormitaſſequè Eu­tocium Geminum, & alios ſecus hac in parte de Archimede ſentientes. Ampliùs non ne cognouit etiam Archimedes ſeca­ri poſſe rectangulos conoides, itidemquè & obtuſiangulos pla nis, quæ ne〈que〉 ſint per axem ducta, ne〈que〉 axi æquidiſtantia; ne〈que〉 ſuper axem erecta. vt in duodecima, decimatertia, & decima quarta propoſitione eiuſdem libri patet. quomodo i­ta〈que〉 his quo〈que〉 modis 〈que〉mlibet conum ſecari poſſe igno­rauit? Non eſt igitur ambigendum Archimedem cognouiſ­ſe conos ſecari poſſe planis ad latus coni differentem inclina­tionem habentibus. Ex quibus perſpicuum eſt, ipſum in om­nibus conis omnes ineſſe ſectiones omnino animaduertiſſe. At ſi concedamus etiam ſua tempeſtate nondum ſectioni­bus ipſis propria fuiſſe impoſita nomina; tam eam parabo­lem, quæ erat rectanguli coni ſectio; quàm quæ erat ſectio alterius coni, cùm ſit eadem ſectio, eodem nomine nuncu­pabat; nempè rectanguli coni ſectionem. Et hoc, quia priùs hæc ſectio cognita ſuit in cono rectangulo (vnde ſi­bi nomen vindicauit) quam in alio. quod idem dicen­dum eſt de alijs ſectionibus. Vt manifeſtum eſſe poteſt exemplo ſectionis acutianguli coni. Archimedes enim eo­dem loco, anteprimam ſcilicet propoſitionem de conoidi bus, & ſphęroidibus inquit, Si cylindrus duobus planis æquidi­stantibus ſecetur; quæ cum omnibus ipſius lateribus coeant, ſectio­nes, uelerunt circuli; uel conorum acutiangulorum ſectiones. vo­catigitur Archimedes acutianguli coni ſectionem, tam coni ſectionem, quàm ſectionem cylindri. veluti etiam in decimatertia, & decimaquarta propoſitione eiuſdem libri acutianguli coni ſe­ctio ab ipſo ea nuncupatur ſectio, quæ oina latera tam conoidis rectanguli, quàm obtuſianguli abſcindit. dum modo non ſit ad axem erecta. nullaquè alia de cauſa hæ ſectiones omnes i­dem acutianguli coni ſectionis nomen obtiuerunt; niſi quia priùs hæc ſectio à cono acutiangulo nomen accepit, quando­quidem in ipſo fortaſse primùm cognita fuit, quaàm in alijs. Ex dictis ita〈que〉 manifeſtum eſt, ſententiam Heraclij veram eſſe poſſe, & rationi valdè conſentaneam; Archimedem ſcili cet elementa conica ſcripſiſſe; Apollonium què, cùm ea ab Ar chimede nondum edita inueniſſet, ſicut propria ſua edidiſſe. Omitto interim multa ab Archimede in eius libris ſupponi, quæ non niſi in conicis eſſe dcbebant, quæ quidem habentur ſolùm in conicis Apolloni. Negandum tamen non eſt, vt Eutocius quo〈que〉 affirmat, ipſum Apollonium multa auxiſſe, multaquè ad conica ſpectantia adinueniſſe. vt ipſemet Apol­lonius in epiſtola ad Eudemum fatetur. cùm tamen non ſit ſemperfacilè inuentis addere. Sed de his hactenus. ſat ſit au­tem nouiſſe, Archimedem, quando in hoclibro nominat por tionem recta linea, rectanguliquè coni ſectione contentam, eam ſignificare fectionem, quæ parabole nuncupatur.

5. primi co nicorum A­poll.

GVIDIVBALDI E MARCHIONIBVS MONTIS.

IN SECVNDVM ARCHIMEDIS ÆQVEPONDERANTIVM LIBRVM.

PARAPHRASIS SCHOLIIS ILLVSTRATA.

PROPOSITIO. I.

Si duo ſpacia recta linea, & re ctanguli coni ſectione contenta, quæ ad datam rectam lineam applicare poſſumus, non ha beantidem grauitatis centrum; magnitudinis ex vtriſ〈que〉 i­pſorum compoſitæ centrum grauitatis erit in recta linea, quæ ipſorum centra grauitatis coniungit; ita diuidens dictam rectam li neam, vt ipſius portiones permutatim eandem ad inuicem proportionem habeant, vt ſpacia.

Sint duo ſpacia AB CD, qualia dicta ſunt. ipſorum autem centra grauitatis ſint puncta EF. iungaturquè EF, quæ diuidatur in H; & quam proportionem habet AB ad CD, eandem habeat FH ad HE. oſtendendum eſt magnitudmis ex utriſquè AB CD ſpa­ciis compoſitæ centrum grauitaias eſſe punctum H. ſit quidemipſi EH utra〈que〉 ipſarum FG FK æqualis; ipſi autem FH, hocest GE(ſuntenim EH GF æquales, à quibus dempta communi GH remanent EG HF ęquales) ſit æqualis EL. & quoniam FH eſt æqualis LE, & FK ipſi EH, erit & LH ipſi KH æqualis. Cùm autem ſit FH ad HE, vt AB ad CD; ipſi verò FH vtra〈que〉 ſit æqualis LE EG. ipſi autem HE vtra­〈que〉 æqualis GF FK, erit etiam ut LG ad Gk, ita AB ad CD.cùm ſit LG ad GK, vt FH ad HE; aupla enim est utra〈que〉EG GK utriuſ〈que〉 FH HE. At uerò circa punctum E ipſius AB, quod eſt eius centrum grauitatis, ex utra〈que〉 parte lineæ LG, ipſi LG æquidistantes ducantur MO QN, quæ æqualiter ab LG diſtent, ductis ſcilicet MQ ON æquidiſtantibus, ſint LM LQ GO GN inter ſe æquales; ita ut ſpacium MN ſit ſpacio AB æquale: quod quidem applicatum eſt ad lineam LG. erit uti〈que〉 ipſius MN centrum grauitatis punctum E. cùm ſit pun­ctum E in medio lineæ LG, quæ bifariam diuidit latera oppoſita MQ ON parallelogrammi MN. compleatur ita­〈que〉 ſpacium NX. habebit quidem MN. ad NX proportionem, quam habet QN ad NP, hoceſt LG ad GK. habet autem & AB ad CD proportionem ipſius LG ad GK. ut igitur AB ad CD, ſic est MN ad NX. & permutando vt AB ad MN, ita CD ad NX. æquale autem est AB ipſi MN, erit igitur & CD ipſi NX æquale. Centrum autem grauitatisipſius NX est punotum F. propterea quod eſt in medio lineæ GK, quæ parallelo­grammi NX oppoſita latera ON XP bifariam ſecat. & quoniam æqualis eſt LH ipſi HK, totaquè LK appaſita latera MQ XP bifariam diuidit, totius PM centrum grauitatis erit punctum Hr Verùm ipſum MP æquale est utriſ〈que〉 MN NX, quorum, cùm ſint centra grauitatis EF, æ〈que〉pondera bunt ſpacia MN NX ex diſtantijs FH HE. ſi igitur loco parallelo gram mo­rum MN NX ponatur AB in E, & CD in F, cùm ſit AB ipſi MN, & CD ipſi NX æquale; ſpacia AB CD ex diſtantijs FH HE æ〈que〉ponderabunt. ac propterea magnitudi nis ex utriſ〈que〉 AB CD compoſitæ centrum grauitatis eſtpunctum H. quod quidem propoſitum fuit.

2. cor. 9. primihui^{9}.

16.quinti.

2.cor. 9. primihui^{9}.

8.poſthui^{9}

SCHOLIVM.

Cùm ſit intentio Archimedis non nulla pertractare ad pa­rabolen ſpectantia; primùm iacit fundamentum, parabolas nempe ita ſe habere, vt permutatim diſtantiæ, ex quibus ſuntcollocatæ, ſe habent. & quamuis vniuerſim, atquè in om­nibus mutuam hanc conuenientiam ex dictis ex primo libro depræhendere liceat, hoc tamen loco peculiariter voluitad huberiorem do ctrinam id ipſum in parabolis demonſtrare. & quamuis in primo libro dixerit Archimedes magnitudi­nes æ〈que〉ponderare, quando ita ſe habent inter ſe, ut diſtan­tiæ permutatim ſe habent; hocautem loco quærit centrum grauitatis magnitudinis ex parabolis compoſitæ; non ſunt tamen propoſitiones diuerſæ. nam & in primo libro dum in demonſtratio ne quærit proportionem diſtantiarum, oſtendit, vbi nam ſit centrum grauitatis magnitudinum. quare quannis pro poſitiones videantur diuerſæ, non ſunt tamen diuerſæ, ete­nim vt poſt tertiam primi libri propoſitionem adnotauimus, hæc planèſe conſequuntur, vt exempli gratia in figura pun­ctum H centrum eſt grauitatis magnitudinis ex vtriſ〈que〉 AB CD compoſitæ. ergo AB, & CD ex diſtantijs HEHF æ〈que〉ponderant. & è contra. hoc eſt AB CD æ〈que〉ponde­rant ex diſtantijs EH HF. ergo punctum H centrum eſt grauitatis magnitudinis ex vtriſ〈que〉 AB CD compoſrtæ; cum ſit EHF recta linea. Solent autem mathematici aliquando eandem propoſitionem pluribusmedijs demonſtrare; idcirco conſiderandum eſt, Archimedem in hac propoſitione alio v­ti medio ad oſtendendum punctum H centrum eſie graui­tatis, quo uſus eſt in ſexta propoſitione primi libri. cùm in pri mo libro per diuiſionem magnitudinum, diuiſio nem què di ſtantiarum vniuerſaliter domonſtret centrum grauitatis ma­gnitudinum. hoc autem loco per parallelogramma MN NX parabolis æqualia, & circa centra grauitatis EF conſti­tuta, in uenit centrum grauitatis magnitudinis ex vtriſ〈que〉 pa rallelogrammis MN NX compoſitæ. quod eſt quidem pun­ctum H. medium nempè totius parallelogrammi MP. quod idem punctum H centrum eſt grauitatis vtriuſ〈que〉 pa raboles AB CD in EF collocatæ.

6.7.primi huius.

ex 9.& 10 primihui^{9}.

Ex his obſeruandum occurrit, hanc eſſe peculiarem metho dum, qua poſſumus quorumlibet planorum æ〈que〉pondera­tionem oſtendere; hoc eſt plana ex diſtantijs eandem permutatim proportionem habentibus, vt eadem met plana, æ〈que〉­ponderare; dum modo ipſis æqualia parallelogramma conſti tuere poſſimus. ac propterea ſupponit Archimedes, nos poſſe applicare ad rectam lineam ſpacium æquale ſpacio recta li­nea, rcctanguliquè coni ſectione contento. quod quidem ſpa­cium ſupponit parallelogram mum exiſtere, cùm pun­ctum E centrum ſit grauitatis ſpacij MN, eſt F ſpacij NX. punctum verò H totius PM. quòd ſi MN NX & MP non eſſent parallelogramma, ne〈que〉 puncta EFH eorum centra grauitatis exiſterent. vt ex demonſtranone pa­tet. ſuppoſuit tamen Archimedes nos poſſe applicare ad re­ctam lineam parallelogrammum æquale ſpacio recta linea, rectanguliquè coniſectione contento; quia duplici medio in libro de quadratura paraboles, propoſitione ſcilicet decimaſe ptima, & vigeſimaquarta, docuit quamlibet portionem recta linea, rectanguliquè coni ſectione contentam ſeſquitertiam eſſe trianguli eandem ipſi baſim habentis, & altitudinem ęqua lem. Ex qua propoſitione facilè conſtat nos parabolę ſpacium ad rectam lineam applicare poſſe, vt propoſitum fuit hoc modo.

PROBLEMA.

Ad datam rectam lineam datę parabolę ęquale parallelo­grammum applicare, ita vt data linea oppoſita parallelogran­mi latera biſariam diuidat.

Data ſit parabole ABC, ſitquè data recta linea GK. oportet ad GK parallelogrammum applicare æquale por­tioni ABC, ita vt GK bifariam diuidat oppo ſita parallelogram mi latera. Conſtituatur ſuper AC triangulum ABC, qd baſim habeat AC, eandem〈que〉 portionis altitudinem; quod quidem fiet, inuenta diametro DB, quæ parabolen in B ſecet, iunctiſ〈que〉; AB BC. eritvti〈que〉 parabole ABC trianguli ABC ſeſquitertia. Ita〈que〉 diuidatur AC in tria ęqualia, quarum vna pars ſit CH. producaturquè AC. fiatquè CL ipſi CH ęqualis erit ſanè AL ipſius AC ſeſq uitertia. Et obid (iuncta BL) erit triangulum ABL trianguli ABC ſeſquitertium. ſunt quippè triangula ABL ABC inter ſe, vt baſes AL AC. ac per conſe〈que〉ns triangulum ABL patabolę ABC exiſtit ęquale. Applicetur ita〈que〉 ad linea GK parallelogrammum GS ęquale triangulo ABL. erit GS parabo­ læ ABC ęquale. deinceps ducatur NP ipſi GK ęquidiſtans, quę bifariam diuidat oppoſita latera GR KS. producanturquè RG SK. fiantquè GO KX ę­quales ipſis GN KP. iungaturquè OX; erit nimi-­rum parallelogram mum OP ipſi GS ęquale. qua­re parallelogram mum OP parabolę ABC exiſtit ę­quale. Applicatum eſt igitur ad GK parallelogram­mum expoſitę parabolę ęquale. lineaquè GK paralle­logrammi OP bifariam diuidit oppoſita latera ON XP. quod fieri oportebat.

44. ſecundi conicorum Apoll.

17. 24. Ar ch. dquad. patab.

1.ſexti.

ex 44.pri­mi.

Si in portione recta linea rectanguliquè coni ſectione contenta triangulum inſcribatur, eandem baſim cum portione habens, & altitudinem æqua lem: & rurſus in reliquis portionibus triangula in­ſcribantur, quæ eaſdem baſes cum portionibus habeant, & altitudinem æqualem; ſemper què in reſiduis portionibus triangula eodem modo inſcribantur: figura, quæ in portione oritur, planè inſcribi dicatur. Patet quidem lineas huius figuræ inſcriptæ angulos, qui ſunt vertici portionis proximi, eoſquè deinceps coniungen­tes, baſi portionis æquidiſtantes eſſe; bifariamquè à diametro portionis diuidi; diametrum verò in proportione diuidere numeris deinceps impari­bus. vno deno minato ad verticem portionis. Hoc autem ordinate oſtenſum eſt.

SCHOLIVM.

Scopus Archimedis in hoc ſecundo libio, vt initio primi diximus, eſt inuenire centrum grauitatis paraboles. & vt de­ducatnos in hanc cognitionem, quadam vtitur figura rectili­nea in parabole inſcripta, quę plurimùm conducit, & eſt tam quam medium ad inueniendum hoc grauitatis centrum. his igitur verbis docet, quo modo in parabole in ſcribenda ſit hęc figura; in quibus multa quo 〈que〉 proponit tanquam ſit pro­poſitio quædam; in qua multa ſint oſtendenda. quorum ta­męn demonſtrationem omiſit, ac tanquam ab eo alibi de­monſtratam. Horum autem ex Apollonij Pergęi conicis demonſtrationem elicere quidem potuiſſemus. at quoniam Archimedes ipſe non nulla ad hæ cſpectantia alijs in locis de­monſtrauit ideo Archimedem per Archimedem declarare o­portunum magis nobis viſum eſt.

Sit portio contenta recta linea, rectanguliquè coni ſectio­ne ABC, cuius diameter BD. Iunganturquè AB BC, diuida­tur deinde AB bifariam in E, a quo ipſi BD æquidiſtans ducatur EF, eritvti 〈que〉 punctum F vertex portionis AFB. vt Archimedes demonſtrauit in libro de quadratura parabo­les propoſitione decimaoctaua. iungantur〈que〉 AF FB. rur fus bifariam diuidantur AF FB in punctis GH, à quibus ipſi BD ducantur æquidiſtantes GI HK b eandem cau­ſam erit punctum I vertex portionis AIF. K verò portio­nis FKB. connectanturquè AI IF FK KB. eademquè pror fus ratione ad alteram partem inſcribantur triangula CLB CML, & LNB. Primùm quidem triangulum ABC dicitur planè inſcriptum, vt Archimedes ipſe infra in demonſtratio­nibus quintæ, ſextæ, & octauæ propoſitionis nominat. Deinde figura AFBLC, figuraquè AIFKBNLMC dicuntur in portione planè inſcriptæ. figuraquè AFBLC vna cum AC pentagonum in portione planè inſcriptum dici pont. vt Archime des in ſecunda parte demonſtrationis quintæ propoſitionis huius libri nuncupat. ideòquè erit AIFKBNLMC nonago­num in portione planè inſcriptum. & ita in alijs. Connectam tur KN FL IM, quæ diametrum BD ſecent in punctis STV. oſtendendum eſt, lineas KN FL IM baſi AC ęqui diſtantes eſſe. deinde diametrum BD lineas KN FL IM bifariam in punctis STV diuidere poſtremo lineas KN FIM ita diametrum BD diſpeſcere, vt poſito vno BS, linea ST ſit tria, TV quin〈que〉; & VD ſeptem. Producantur FE KH ad RX. quoniam enim FR eſt æquidtans BD, erit AE ad EB, vt AR ad RD; eſt〈que〉 AE ipſi EB æqualis ergo AR i­pſi RD æqualis exiſtit. eodem què modo oſtendetur FX æ­qualem eſſe XT. quandoquidem eſt FX ad XT, vt FH ad HB. ſimiliterquè ad alteram partem, exiſtentibus LO NP i­pſi BD æquidiſtantibus, erit DO ipſi OC æqualis, & TP ipſi PL. quod quidem eodem prorſus modo demonſtrabi­tur. Quoniam autem AC bifariam à diametro diuiditur in puncto D, erit DR ipſi DO æqualis, cùm vnaquæ〈que〉 ſit dimidia ipſarum AD DC æqualium. eſt igitur RD dimidia ipſius AD, quæ dimidia eſt baſis AC. quod idem euenit ipſi DO. quare BD ſeſquitertia eſt ipſius FR, & ipſius LO, ex de­cimanona Archimedis de quadratura paraboles. ac propterea eandem habet proportionem BD ad FR, quam ad LO. vnde ſequitur FR æqualem eſſe ipſi LO. & obid FL ipſi AC æ­quidiſtantem eſſe. & FT ipſi RD, & TL ipſi DO ęqualem. vnde FT ipſi TL ęqualis exiſtit. eadem quèratione prorſus in portione FBL oſtendetur KN ipſi FL, ac per conſe〈que〉ns i­pſi AC ęquidiſtantem eſſe. & KS ipſi SN æqualem exiſte­re. Producatur IG ad Z, quæ ipſam AB ſecet in 9. linea ve­rò LO ſecet BC in 〈que〉 ductaquè MY ipſi BD æquidiſtans ipſam ſecet BC in a. & quoniam IZ eſt æquidiſtans FR, e­rit AG ad GF, ut A9 ad 9E, & AZ ad ZR. & eſt AG ipſi GF æqualis, erit igitur A9 ipſi 9E, & AZ ipſi ZR æquaiis. Eodemquè modo oſtendetur Ca ipſi aQ, & CY ipſi YO ę­qualem eſſe. quo niam autem in portione AFB a dimidia baſi ducta eſt LF, à puncto autem 9, hoc eſt à dimidia dimidię ba ſis AB (eſt enim E9 dimidia ipſius AE, quæ dimidia eſt baſis AB) ducta eſt 9I diametro æquidiſtans, erit EF ſeſquitertiai­pſius I9 pari〈que〉 ratione oſtendetur QL ſeſquitereiam eſſe i­pſius Ma quare vt FE ad I9, ita LQ ad Ma. obſimilitudinem autem triangulorum ABD AER ita eſt BD ad ER, vt DA ad AR. eadem〈que〉iatione ita ſehabet BD ad QO, vt DC ad CO. Sed vt DA ad AR, ita eſt DC ad CO, eſt quip pe DA ipſius AR dupla, veluti DC ipſius CO. quare i­ ta erit BD ad ER, vt BD ad QO. ac propterea ER ipſi QO ęqualis exiſtit. oſtenſa verò eſt RF ęqualis OL, reli­quaigitur EF reliquæ QL eſt æqualis, quia verò ita eſt FE ad I9, vt QL ad Ma, erit permutando FE ad QL, vt I9 ad Ma. ſuntquè FE QL ęquales, ergo I9 ipſi Ma ęqua­lis exiſtit. quoniam autem ob trianguſoium ſimilitudinem AER A9Z, ita eſt AR ad AZ, vt ER ad 9Z. ob ſimili­tudinem vero triangulorum QOC aYC ita eſt CO ad CY, vt QO ad aY: & eſt RA ad AZ, vt OC ad CY, cùm vtrę〈que〉 in dupla exiſtant proportione; et ER ad 9Z, vt QO ad aY. & permutando ER ad QO vt 9Z ad aY. eſt vero ER ipſi QO, æqualis, ergo 9Z ipſi aY ęqualis exiſtit. at vero oſtenſa eſt I9 ęqualis Ma; to ta igitur IZ ipſi MY eſt ę- æqualis, quæ cùm ſintipſi BD æquidiſtantes, erunt & inter ſe­ſe parallelæ. quare IM ipſi AC eſt æquidiſtans. Quoniam ita­〈que〉 AR eſt æqualis CO, & horum dimidia, hoc eſt RZ ipſi OY æqualis erit. atqui DR eſt ipſi DO æqualis; ergo DZ ipſi DY exiſtit æqualis. ipſi verò DZ eſt æqualis IV, & ipſi DY æ­qualis VM. eruntigitur IV VM inter ſe equales. Iam ita〈que〉 oſtenſum eſt, lineas KN FL IM, quę coniunguntangulos fi guræ in parabole planè inſcriptæ, ipſi AC æquidiſtantes eſſe. Diametrum què BD ipſas in punctis STV bifariam diſpeſcere.

2. lemma.

9. quinti. ex 33.34 primi.

2.ſexti.

ex 4.ſexti.

11. quinti.

9. quinti.

16. quinti.

ex 11.quinti 16.quu

33.primi.

34.primi.

Quoniam ita〈que〉 in portione FBL à dimidia baſi ducta eſt TB, a dimidia verò dimidiæ baſis ducta eſt XK, erit BT ſeſ­quitertia ipſius KX, hoc eſt ipſius ST. eſt enim KT parallelo­grammum, & ST ipſi KX æqualis. Si igitur ponatur BT quattuor, erit ST tria, & BS vnum. ſimiliter quoniam BD ſeſquitertia eſt ipſius FR, hoc eſt ipſius TD, cùm ſit TD ipſi FR ęqualis. ſi ita 〈que〉 ponatur BD ſexdecim, erit vnaquæ〈que〉 FR TD duodecim. & TB quattuor, vt poſitum fuit. Quoniam autem (vt diximus) eſt BD ad ER, vt DA ad AR, erit BD du­pla ipſius RE. quare ſi BD eſt ſexdecim, erit RE octo. & quo­niam eſt FR duodecim, erit EF quatuor. eſt autem FE ipſius I9 ſeſquitertia, erit igitur I9 tria. & quoniam eſt ER ad 9Z, vt RA ad AZ, erit ER dupla ipſius 9Z. ac propterea erit 9Z quat tuor, cum ſit ER octo, & eſt 9I tria, tota ergo IZ, hoc eſt DV, ſeptem exiſtet. ſed quoniam eſt DT duodecim, cuius pars DV eſt ſeptem, eritreliqua VT quin〈que〉. Poſito igitur BS v­no, erit ST tria, TV quin〈que〉, & VD ſeptem. quod erat quo­〈que〉 demonſtrandum. Et hæc ſunt quę ab Archimede pro­poſita fucrant.

19.Archi­medis de quad. pa­rab.

34. primi.

Ex his tamen nonnulla quo〈que〉 colligemus ad ea, quæ ſe­quuntur neceſſaria. ac primùm quidem conſtat BD quadru­plam eſſe ipſius BT, & ipſius FE.

Oſtenſum eſt enim BD ſexdecim eſſe, & BT quatuor, & FE itidem quatuor exiſtere. Ex demonſtratione autem Archime dis decimæ nonæ ptopoſitionis de quadratura paraboles cla­rè elicitur BD quadruplam eſſe ipſius BT.

Ex quibus etiam ſequitur FE QL inter ſe æquales eſſe. am­bo enim ſunt, vt quatuor.

Præterea oſtendendum eſt triangulum AFB triangulo BLC ęquale eſſe, portionem què paraboles AFB portiom BLC ęqua lem. Ampliùs triangulum AIF triangulo CML, & portio­nem AIF portioni CML æqualem eſſe, & reliqua triangula reliquis triangulis, acportiones portionibus ęquales eſſe.

Ex vigeſima prima propoſitione Archimedis de quadratu­ra paraboles triangulum ABC vniuſcuiuſ〈que〉 trianguli AFB BLC eſt octuplum. ergo ad ambo eandem hent proportionem. qua re triangula AFB BLC inter ſe ſunt ęqualia. At vero quoniam portio AFB trianguli AFB eſt ſeſquitertia, 〈que〉madmodum portio BLC trianguli BLC, eritportio AFB ad triangulum AFB, vt portio CLB ad triangulum CLB, & permutando portio AFB ad portionem CLB, vt triangulum AFB ad ipſum CLB triangula verò ſunt æqualia; ergo portiones AFB CLB inter ſe ſunt æquales. Eademquè ratione triangulum AFB octuplum eſt trianguli AIF, & triangulum CLB octuplum ipſius CML. vnde triangula AIF CML ſunt æqualia. et ea­rum quo〈que〉 portiones AIF CML ſunt æquales, ſiquidem ſunt triangulorum ſeſquitertiæ. Et hoc modo reliqua trian­gula FKB LNB, & portiones FKB LNB oſtendentur æqua­les. cùm ſit triangulum FBL dictorum triangulorum octu­plum. quod oportebat quo〈que〉 demonſtrate.

9. quinti.

17.24. Ar chimedis de quad. parab.

16. quimi21.Archi­medis de quad. pa­rab.

His demonſtratis ſequitur Archimedes quaſi connectens ſe 〈que〉ntem propoſitionem cumijs, quæ ſuppoſita ſunt, inqui­ens, ſi autem & in portione &c.

PROPOSITIO. II.

Si autem & in portione rectalinea, rectangu­li〈que〉 coni ſectione contenta, figura rectilinea pla ne inſcribatur, inſcriptæ figuræ centrum grauita­tis erit in diametro portionis.

Sit portio ABC, qualis dicta eſt, & in ipſa planè inſcribatur recti­linea figura AEFGBHIKC. portionis verò diameter ſit BD. oſten- dendum eſt, rectilineæ figuræ centrum grauitatiseſſe in linea BD. ium gantur GH FI EK. quę ipſi AC, & inter ſe ęquidiſtantes erunt. hę verò lineæ diametrum BD ſecent in punctis NML Quoniam enim lineæ GH FI EK bifariam ſunt à diame­tro BD diuiſæ in punctis NML, trapezium AEKC duas habebit line as æquidiſtantes AC EK, quas bifariam diuidit DL, quare trapezii AEKC centrum grauitatis est in LD. at ob eandem cauſam trapezii EFIK centrum est in ML; trapezii verò FGHI centrum est in MN. lineæ enim LM MN bifariam diuidunt parallela latera EK FI GH, ſed & trianguli etiam GBH centrum grauitatis eſt in BN. quippè cùm BN ipſam GH bifariam diuidat. perſpicuum eſt totius rectilineæ figuræAEFGBHIKC centrum grauitatis eſſe in linea BD. quod de­monſtrare oportebat.

exdemom stratis.

15. primi huius.

13. primi huius.

SCHOLIVM.

Ecce qúo Archimedes incipit inueſtigare centrum grauitatis paraboles. nam ex hoc, quod oſtendit centrum grauita­tis figuræ in portione planè inſcriptæ eſſe in diametro por­tionis, ſtatim colliget in quarta propoſitione centrum graui­tatis paraboles in diametro quo〈que〉 ipſius portionis exiſtere. interponit autem Archimedes ſe〈que〉ntem propoſitionem. nam antequam inueniat centrum grauitatis paraboles, opus habet prius oſtendere centra grauitatis duarum, & vt ita dicam om nium parabolrum diametros in eadem proportione ſecare. ad quod demonſtrandum, hanc paſſionem figuris planè inſcri­ptis priùs accidere oſtendit. potuiſſetquè Archimedes priùs quar tam propoſitionem oſtendere, quam tertiam; ſe〈que〉ntem ve­rò propoſitionem immediatè poſuit poſt ſecundam, ordo e­nim ſic poſtulat. etenim ambæ deijs pertractant, quæ rectili­neis figuris plane inſcriptis accidunt. Pręterea earum demon ſtrationes ferè circa eadem verſantur, cùm ijsdem rectis lineis in portionibus eodem modo ductis vtantur; ob ſe〈que〉ntis ve­rò propoſitionis intelligentiam hęc priùs oſtendemus.

LEMMA I.

Eandem habeat proportionem AB ad CD, quam habet GH ad KL. CD verò ad EF eam, quam habet kL ad MN. ſintquè AB CD EF inter ſe ęquidſtantes. ſimiliter GH KL MN æquidiſtantes, ſintantem ductæ BDF HLN rectæ lineæ; ſit­què BD ad DF, vt HL ad LN. ſitquè maior AB quàm CD, & CD, quàm EF. vnde erit quoquè GH maior KL, & KL, quam MN. iunctiſquè AC CE, & GK KM. Dico ſpacium ACDB ad ſpacium CEFD eandem habere proportionem, quam ſpacium GKLH ad ſpacium KMNL.

Producantur AC CE, quæ cum BF conueniant in OP. productæquè GK KM cum HN conueniant in QR. concurrentenim, quoniam CD KL ſunt minores ipſis AB GH, & EF MN minores ipſis CD KL. Fiatquè vt AB ad CD, ita CD ad V. & vt GH ad kL, ita KL ad X. deinceps CD ad EF, ita EF ad Y. & vt KL ad MN, ita MN ad Z. Quoniam igitur triangulum ABO ſimile eſt triangulo CDO, cùm ſit CD æquidiſtansipſi AB. ha bebit triangulum ABO ad CDO, proportionem, quam ha bet AB ad CD duplicatam. hoc eſt quam hab et AB ad V. Eodemquè modo oſtendetur triangulum GHQ ad KLQ ita eſſe, vt GH ad X quia verò AB CD V ita ſe habent, vt GH kL X, erit ex æquali AB ad V, & GH ad X. triangulum igitur ABO eandem habet proportionem ad CDO, quam triangulum GHQ ad KL〈que〉 quare diuiden­do ſpacium ACDB ad triangulum CDO eſt, vt ſpacium GKLH ad triangulum kL〈que〉 Rurſus quoniam ob triangulorum ſimilitudinem ABO CDO, ita eſt AB ad CD, vt BO ad OD. ſimiliter ob ſimilitudinem triangulorum GHQ KLQ ita eſt GH ad kL, vt HQ ad QL. & eſt AB ad CD, vt GH ad KL, erit BO ad OD, vt HQ ad QL. & diui­dendo BD ad DO, vt HL ad L〈que〉 deinde conuertendo DO ad DB, vt LQ ad LH. & eſt BD ad DF, vt HL ad LN, erit ex ęquali DO ad DF, vt LQ ad LN. Quoniam autem ſimi lium triangulorum CDP EFP latus CD ad latus EF ita ſe habet, vt DP ad PF. ſimiliter exiſtentibus ſimilibus triangulis KLR MNR ita eſt KL ad MN, vt LR ad RN, & vt CD ad EF, ita eſt KL ad MN, erit DP ad PF, vt LR ad RN. & per conuerſionem rationis PD ad DF, vt RL ad LN. & conuertendo DF ad DP, vt LN ad LR. diximus autem OD ad DF ita eſſe, vt QL ad LN, & eſt DF ad DP, vt LN ad LR. ergo ex ęquali erit OD ad DP, vt QL ad LR. At verò quoniam ita eſt OD ad DP, vt triangulum OCD ad PCD, & vt QL ad LR, ita eſt triangulum QKL ad triangulum RKL, erit OCD ad PCD, vt QKL ad RKL. Quoniam autem triam gula CDP EFP ſunt ſimilia, triangulum CDP ad triangulum EFP proportionem habebit, quam CD ad EF duplicatam, hoc eſt quam habet CD ad Y, cùm ſint CD EF Y propor­tionales. ſimiliter ob triangulorum KLR MNR ſimilitudi­nem triangulum KLR ad MNR, ita erit vt KL ad Z, eſt au­tem CD ad Y, vt KL ad Z, erit igitur triangulum CDP ad EFP, vt KLR ad MNR, & diuidendo ſpacium CEFD ad trian gulum EFP, vt ſpacium KMNL ad triangulum MNR. & com uertendo triangulum EFP ad ſpacium CEFD, vt triangulum MNR ad ſpacium KMNL. Ita〈que〉 quoniam oſtenſum eſt i­ta eſſe ſpacium ACDB ad triangulum CDO, vt ſpacium GKLH ad triangulum KL〈que〉 & vt triangulum CDO ad trian gulum CDP, ita triangulum KLQ ad triangulum KLR, deinde, vt triangulum CDP ad triangulum EFP, ita triangulum KLR ad triangulum MNR; deniquè vt triangulum EFP ad ſpacium CEFD, ita triangulum MNR ad ſpacium kMNL, erit ex æquali à primo ad vltimum ſpacium ACDB ad ſpacium CEFD, vt ſpacium GKLH ad ſpacium KMNL. quod demom ſtrare oportebat.

11. ſexti.

9. ſexti.

22 quinti.

17. quinti.

eſt 4.ſexti

17.quinti. cor.4. quim ti.

22. quinti

ex 11. quim ti. cor. 19. quinti.

22. quinti ex 1.ſexti.

19. ſexti.

ex quinti.

cor.4. quim ti.

22. quinti

LEMMA II.

Æquidiſtantes verò lineę AB CD ita ſe habeant, vt æquidi­ſtantes EF GH, ſitquè maior AB, quàm CD, & EF, quam GH. & ſuper CD GH ſint triangula CDP GHR, ſint〈que〉; BDP FHR rectæ lineæ, & vt BD ad DP, ita ſit FH ad HR. iunctis〈que〉; AC EG. Dico ſpacium ACDB ad triangulum CDP ita eſſe, vt ſpacium EG HF ad triangulum GHR.

Eadem enim prorſus ratione productis AC EG, quæ cum BP FR conueniant in OQ, oſtendetur ſpacium AD ad trian gulum CDO ita eſſe, vt ſpacium EH ad triangulum GH〈que〉 & eſſe OD ad DB, ut QH ad HF. & quoniam eſt BD ad DP, vt FH ad HR, erit ex ęquali OD ad DP, vt QH ad HR. & vt OD ad DP, ita eſt triangulum CDO ad triangulum CDP, & vt QH ad HR, ita triangulum GHQ ad GHR. cùm ita〈que〉 ſit AD ad CDO, vt EH ad GHQ, & vt CDO ad CDP, ita GHQ ad GHR. ex æquali erit ſpacium AD ad triangulum CDP, vt ſpacium EH ad triangulum GHR. quod demonſtra re oportebat.

22 quinti.. ſexti.

22. quinti.

LEMMA. III.

Sit A ad CD, vt E ad FG, diuidan tur〈que〉; CD FG in eadem proportione in HK, ita vt ſit CH ad HD, vt FK ad KG. Dico A ad DH ita eſſe, vt E ad KG. A verò ad CH, vt E ad Fk.

Quoniam enim ita eſt CH ad HD, vt FK ad kG; e­rit componendo CD ad DH, vt FG ad GK. eſt autem A ad CD, vt E ad FG; CD verò eſt ad DH, vt FG ad GK; er go ex æquali A erit ad DH, vt E ad GK. Deinde quo­niam eſt GH ad HD, vt FK ad kG; erit conuertendo DH ad HC, vt GK ad KF. rurſus igitur ex æquali A e­rit ad CH, vt E ad FK. quod oſtendere oportebat.

18.qumti.

22 quinti.

cor.4.quin­ti.

PROPOSITIO. III.

Si in vtra〈que〉 duarum ſimilium portionum recta linea re ctanguliquè coni ſectione contentarum rectili­neæ figuræ planè inſcribantur; figuræ verò inſcri­ptæ latera inter ſe multitudine æqualia habeant; rectilinearum centra grauitatum portionum dia­metros ſimiliter ſecabunt.

Sint duæ portiones ABC XOP, in ipſiſquè planè in ſcribantur recti­lineæ figuræ AEFGBHIKC XSYQOZVTP; quæ omnia latera inter ſe numero æqualia habeanta, Diametri verò portionum ſint BD OR. iungantur〈que〉; Ek FI GH. quæ inter ſe, & ipſi AC çquidiſtantes erunt; bifariam què à diametro BD in punctis LMN diuiſæ e­runt. Iungantur ſimiliter & ST YV QZ, quas bifariam dia­meter OR in punctis 9ab diuidet. eruntquè ductæ lineæ ipſi XP, & inter ſe æquidiſtantes. Quoniam igitur BD diuiditur à lineis æquidiſtantibus GH FI EK in proportionibus numeris deinceps impa­ribus; poſito enim vno BN, eſt quidem NM tria, ML quin〈que〉, & LD ſeptem. ſed & RO ſimiliter à lineis QZ YV ST in pro­portionibus diuiditur numeris deinceps imparibus, eadem. enim ratione ſi ponatur Ob vnum, erit ba tria, a9 quin〈que〉;, & 9R ſeptem. & portiones ipſorum diametrorum BD OR ſunt numero æquales. quot.n ſunt BN NM ML LD, tot ſunt Ob ba a 9 9R. pa tet diametrorum portiones in eadem eſſe proportione, vt 〈que〉m admodum eſt BN ad NM, & NM ad ML, & ML ad LD, ita eſſe Ob ad ba, & ba ad a9, & a9 ad 9R. Atverò quoniam ita eſt DB ad BL, vt RO ad O9; (ſunt.n.ut ſexdecim ad nouem) & ut DB ad BL, ita eſt quadratum ex AD ad quadratum ex EL; & vt RO ad O9, ita eſt quadratum ex XR ad quadratum ex S9; erit quadratum ex AD ad quadratum ex EL, vt quadratum ex XR ad ex S9 quadratum. ergo ut AD ad EL, ita XR ad S9. & horum dupla nempè AC ad EK, vt XP ad ST: eadem〈que〉; prorſus ronne, quoniam ita eſt LB ad BM, vt 9O ad Oa (ſunt.n.ut nouem ad quatuor) oſtendetur EL ad FM ita eſſeut S9 ad Ya, & horum dupla, ſcilicet EK ad FI ita eſſe, ut ST ad YV. Cùm〈que〉; ſit MB ad BN, vt aO ad Ob, ut ſci licet quatuor ad vnum; ſimiliter oſtendetur FM ad GN ita eſſe vt Ya ad Qb; FI uerò ad GH, vt YV ad QZ. vnde colligitur non ſolùm portiones diametrorum (ut dixim us) in eadem eſſe pro­portione, ſed & parallelas AC EK FI GH, & XP ST YV QZ in eadem eſſe proportione. & T rapeziorum ipſius quidem AEkC, & ipſius XSTP centra grauitatum eſſe in lineis LD 9R ſimiliter poſita, cùm eandem habeant proportionem AC EK, quam XP ST. lineæquè LD 9R bifariam diuidant ſuas æquidiſtantes AC EK. & XP ST. etenim ſi ponatur trapezij AK centrum grauitatis g, ipſius vcrò XT centrum grauitatis d, erit Lg ad gD, vt dupla ipſius AC cum EK ad duplam ipſius EK cum AC. & 9d ad dR erit, vt dupla ipſius XP cum ST ad duplam ST cum XP. quoniam autem ita eſt AC ad EK, vt XP ad ST, & antecedentium dupla, hoc eſt dupla i­pſius AC ad EK erit, vt dupla ipſius XP ad ST. & componendo dupla ipſius AC cum EK, vt dupla i­pſius XP cum ST ad ST. At verò EK ad duplam ipſius EK, ita eſt, vt ST ad duplam ipſius ST, ſed EK ad AC eſt, vt ST ad XP, erit EK ad vtraſ〈que〉 conſe­〈que〉ntes ſim ul ſumptas, hoc eſt ad duplam ipſius EK cum AC, vt ST ad ſuas conſe〈que〉ntes, nempe ad duplam ipſius ST cum XP. Ita〈que〉 quoniam ita eſt dupla ipſius AC cum EK ad Ek, vt dupla ipſius XP cum ST ad ST, & eſt EK ad duplam ipſius EK cum AC, vt ST ad duplam ipſius ST cum XP. erit ex ęquali dupla ipſius AC cum EK ad du plam ipſius EK cum AC, vt dupla ipſius XP cum ST ad duplam ipſius ST cum XP. ac propterea ita eſt Lg ad gD, vt 9d ad dR, & ob id centra gd erunt in lineis LD 9R ſi­militer poſita. Rurſus eodem modo (ne eadem ſæpiùs repetantur) Trapeziorum EFIk S*gVT centragrauitatum, quæ ſint ez, ſi militer hoc eſt in eadem proportione diuident lineas LM 9a, i­ta vt ſit Le ad eM, vt 9z ad za. & in trapezits FH *gZ centra grauitatum *hk ſimiliter diuident MN ab, ita ut M*h ad *hN ſit, vt ak ad kb ſed & triangulorum GBH QOZ centra grauitatum lmin lineis B N Ob erunt ſimiliter poſita, ſiquidem Bl ad lN eſt, vt Om ad mb; quippè cùm in dupla ſint proportione. eandem au­tem habent proportionem Trapezia, & triangula: Nam cùm ſit AD ad EL, vt XR ad S9, & ut EL ad FM, ita S9 ad Y; eſtquè DL ad LM, ut R9 ad 9a, cùm ſint, vt ſeptem ad quin 〈que〉; erit ſpacium AL ad ſpacium EM, vt ſpacium X9 ad ſpa­cium S. ſimiliterquè oſtendetur DK ad LI ita eſſe, vt RT ad 9V. quare totum trapezium AK ad EI eſt, vt XT ad SV. pariquè ratione oſtendeturita eſſe trapezium EI ad FH, vt SV ad YZ. quia verò ita eſt FM ad GN, vt Ya ad Qd, eſt autem MN ad NB, vt ab ad bO, ſunt quippè ut tria ad vnum, erit ſpacium FN ad triangulum GBN, vt ſpacium Yb ad triangulum QbO. codemquè modo oſtendetur ita eſſe ſpacium IN ad triangulum BNH, vt ſpacium Vb ad triangulum ObZ. Ex quibus ſequitur ita eſſe trapezium FH ad triangulum BGH, vt trapezium YZ ad triangulum OQZ. ſi ita〈que〉 diuidatur ge in n, ita ut ſit en ad ng, vt trapezium AK ad EI. erit punctum n centrum grauitatis figurę AEFIKC. ſimiliquè modo diuidatur dz in <10>, ita vt ſit z<10> ad <10>d, vt trape zium XT ad SV; erit punctum <10> grauitatis centrum figuræ XSYVTP. quia verò ita eſt AK ad EI, vt XT ad SV, erit enad ng, vt z<10> ad <10>d. Diuidatur aunt deinceps l*h in s, ſit〈que〉; ls ad s*h, vt FH ad triangulum BGH, erit punctum s centrum grauitatis figuræ FGBHI. eademquè ratione diuidatur mk in t, ſitquè mt ad tk, vt YZ ad triangulum OQZ; erit punctum t cen­trum grauitatis figuræ YQOZV. ſed eſt FH ad BGD, vt YZ ad OQZ, erit igitur ls ad sh, vt mt ad tk. Quoniam autem ita eſt Ak ad EI, vt XT ad SV, erit componendo AEFIKC ad EI, vt figura XSYVTP ad SV; & eſt EI ad FH, vt SV ad YZ. ergo ex æquali figura AEFIKC erit ad FH, vt figura XSYVTP ad YZ. eſt autem FH ad BGH, vt YZ ad OQZ. e­ritigitur figura AEFIKC ad ſuas conſe〈que〉ntes, ad figuram ſcilicet FGBHI, vt figura XSYVTP ad ſuas conſe〈que〉ntes, hoc eſt ad figuram YQOZV. Diuidatur ita〈que〉 sn in x, ita ut sxad x ſit, vt figura AEFIKC ad figuram FGBHI, erit punctum x centrum grauitatis totius figurę AEFGBHIKC. ſimiliter di­uidatur t<10> in c, ſit〈que〉 tc ad c<10>, ut figura XSYVTP ad figu­ram YQOZV, erit punctum c centrum grauitatis totius fi­guræ XSYQOZVTP. quia verò ita eſt figura AEFIKC ad fi guram FGBHI, vt figura XSYVTP ad figuram YQOZV. e­rit sx ad xn, vt tc ad c<10>. Ita〈que〉 quoniam BD ad DL eſt, vt snad R9, cùm ſin^{4} utſexdecim ad ſeptem. & eſt Lg ad gD, vt 9dad dR, erit BD ad Lg, vt sn ad 9d. & vt BD ad gD, ita OR ad dR. rurſus quoniam BD ad LM eſt, vt OR ad 9a, nempe vt ſex decim ad quin〈que〉; & eſt Le ad eM, ut 9z ad za, erit BD ad eL, vt OR ad 9z. eſt verò BD ad Lg, vt OR ad 9d; erit igitur BD ad vtram 〈que〉 ſimul eL Lg, hoc eſt ad eg, vt OR ad zd. ſed quoniam eſt gn ad ne, vt d<10> ad <10>z, erit BD ad gn, vt OR ad d<10>. eſt autem BD ad Dg, vt OR ad Rd, vt dictum eſt, ergo BD ad Dn eſt, vt OR ad R<10>. ſimiliterquè oſtendetur BD ad BA ita eſſe, vt OR ad Ot. Cùm ita〈que〉 ſit BD ad DR, & ad Bs, ut OR ad R<10>, & ad Ot; e­rit BD ad DR Bs ſimul, vt OR ad R<10> Ot ſimul, & permutan­do tota BD ad totam OR, vt ablata DnBs ad ablatam R<10>ot. ergo & reliqua sn ad reliquam t<10> eſt, ut tota BD ad totam OR. rurſuſquè permutando sn ad BD ut t<10> ad OR, conuertendo〈que〉; BD ad sn eſt, ut OR ad t<10>, Quia verò ita eſt sx ad xn, ut tc ad c<10>; erit BD ad sx, vt OR ad tc atverò BD ad bs eſt, vt OR ad Ot. erit igitur BD ad Bx, ut Og ad Oc. ac propterea diuidendo Dxita ſe habet ad xB, vt Rc ad cO. Quare manifestum est totius recti­lineæ figuræ in portione ABC inſcriptæ centrum grauitatis x in eadem proportione diuidere BD, veluti centrum grauitatis c figuræ rectilineæ in portione XOP inſcriptæ ipſam OR diametrum. quod demonstra­re oportebat.

ex iis quę poſt pri­mi huius demonſtra ta ſunt.

3. Archi. de quad. parab. &20, primi conicorum Apoll.

22. ſexti.

15. primi huius.

15. primi buius.

18. quinti.

2. lemma ante 13. pri mi huius.

22. quinti.

ante 13.pri mi huius.

1.lemma.

2.lemma.

ex 6. pri­mi huius.

18. quinti.

22.quinti.

cor. 2. lem ma m 13. primi hui^{9}

ex 6. pri mi huius.

3. lemma.

2. lemma ante 13. pri mi huius.3. lcmma.2. lemma ante 13. pri­mi huius16.quinti.

19.quinti. co.4.quinti.3.lemma.

2. lemma ante 13. primi hui^{9} 18. quinti.

SCHOLIVM.

Hinc colligere licet parabolas omnes inter ſe ſimiles eſſe. Re fert enim Eutocius hoc in loco, Apollonium pergęum in ſex to Conicorum libro. (qui nondum in lucem prodijt) ſimiles coni ſectiones dixiſſe eas eſſe, quando in vnaqua〈que〉 ſectione lineę ducuntur baſi æquidiſtantes numero pares; hoc eſt tot in v­na, quot in alia; vt in ſuperioribus figuris ductæ fuerunt, in v­na quidem EK FI GH ipſi AC æquidiſtantes; & in altera ST YV QZ ipſi PX æquidiſtantes; quę quidem efficiant, vt dia­metri in eadem proportione diuiſæ proueniant; vt ſunt BN NM ML LD; & Ob ba a9 9R. Deinde æquidiſtantes AC EK FI GH in eadem ſint proportione ipſarum XP ST YV QZ. & quoniam hæ conditiones in omnibus poſſunt accidere pa rabolis; vt ex ijs, quæ demonſtrata ſunt, manifeſtum eſt; id­circo parabolæ omnes ſunt ſimiles. Ne〈que〉 verò exiſtimandum eſt, quoniam parabolæ ſunt ſimiles, figur as quo〈que〉 planè inſcriptas, vt AEFGBHIKC & XSYQOZVTP ſimiles eſſe inter ſe, ea præſertim ſimilitudine, qua ſunt figuræ rectilineæ; vt ſcilicet anguli ſint æquales, & circum ęquales angulos late­ra proportionalia. in parabolis non attenditur hęc ſimilitudo. ſatenim eſt, vt præfatæ adſint conditiones; ex quibus ſequi­tur (vt oſtendimus) trapezia AK EI FH, triangulum què BGH in eadem eſſe proportione trapeziorum XT SV YZ, ac trianguli OQZ. ac propterea quando Archimedes in propoſitione inquit ſi in vtra〈que〉 ſimilium portionum rectalmea, rectangu­liquè coni ſectione contentarum, non propterda exiſtimandum eſt reperiri poſſe aliquas parabolas recta linea terminatas no eſſe ſimiles inter ſe; ea nimirumiam explicata ſimilitudine. ſunte­nim Archimedis verba hoc modo intelligenda, nempè, ſi in vtra〈que〉 portionum recta linea rectanguliquè coni ſectione contentarum, quæ omnes ſunt ſimiles, & c. veluti ſi dicere­mus. In ſimilibus ſemicirculis anguli omnes ſuntrecti. non eſt intelligendum nonnullos ſemicirculos inter ſe diſſimiles exiſtere poſſe. ſed hoc modo; in ſemicirculis, qui omnes ſunt ſimiles, anguliſunt recti. Et hoc modo ſemperintelligere o­portet, quando in ſe〈que〉ntibus Archimedes parabolas ſimiles nominat. Nam & Archimedes cognouit omnes parabolas inter ſe ſimiles eſſe; vt ipſe in demonſtratione octauæ propoſi tionis huius ſupponere videtur. Oportebatenim aliquam in parabolis demonſtrare ſimilitudinem, vt demonſtrari poſſet centrum grauitatis in omnibus parabolis eſſe in certo, ac de­terminato ſitu ipſius figuræ. in figuris enim, quæ aliquam in­terſe non habent ſimilitudinem, in ipſis centrum grauitatis determinari minimè poſſe videtur. Dicet autem fortaſſe ali­quis, determinatur tamen centrum grauitatis in omnibus triam gulis, quæ quidem interſe non ſuntſimilia. Cui reſponden­dum; triangula omnia inter ſe ſimilia non eſſe ſimilitudine rectilinearum figurarum, nempè vt anguli ſintæquales, & cir­cum æqualesangulos latera proportionalia. quòd tamen nul­lam inter ſeſe habeant conuenientiam, omnino negatur. nam triangula omnia ſimul quodam modo illam habent conue­nientiam, & ſimilitudinem; quæ parabolis accidit.

In triangulis enim ABC DEF ductę ſint AG DH ab angu­lis ad dimidias baſes. ſintquè diuiſa triangulorum latera in ea dem proportione, in punctis kL, OP. & vt AK KL LB, ita ſit AM MN NC, & DQ QR RF. ductiſquè KM LN OQ PR, quæ lineas AG DH ſecent in punctis ST VX; primùm quidem erunt KM LN OQ PR baſibus BC EF æquidiſtantes; quas lineæ AG DH in punctis ST VX bifariam diuident, cùm ſit BG ad GC, vt LT ad TN, & KS ad SM. & ut EH ad HF ita PX ad XR, & OV ad V〈que〉 Deinde erunt AG DH à lineis KM LN OQ PR in eadem proportione diuiſæ; ſiquidem ita eſt AS ST TG, ut DV VX XH. cùm ſint, ut expoſitæ propor­tiones AK KL LB, & DO OP PE. Præterea erit ſpacium, BN ad LM, vt ER ad PQ, & LM ad triangulum AK M, vt PQ ad triangulum DO〈que〉 Nam quoniam triangulu AEC ſimile eſt triangulo ALN, oblatus LN ipſi BC æquidiſtans; erit ABC ad ALN, ut AB ad AL duplicata. eodemquè modo erit DEF ad DPR, vt DE ad DP duplicata; eandem autm, habet proportionem AB ad AL, quam DE ad DP: quadoqui dem latera AB DE in eadem ſunt proportione diuiſa; erit igi­tur triangulum ABC ad ALN, vt triangulum DEF ad DPR. ſimiliterquè oſtendetur ALN ad AkM ita eſſe, ut DPR ad DO〈que〉 Quoniam autem ABC eſt ad ALN, ut DEF ad DPR, diuidendo erit BN ad ALN, ut ER ad DPR. Atverò quoniam ALN ad AKM eſt, vt DPR ad DO〈que〉 erit per conuerſio­nem rationis ALN ad LM, vt DPR ad P〈que〉 qua­ re ex ęquali BN eſt ad LM, ut ER ad P〈que〉 Cùm auem ſit ALN ad AKM, ut DPR ad DO〈que〉 erit diuidendo LM ad AKM, vt PQ ad DO〈que〉 Quocirca erit ſpacium BN ad LM, vt ER ad PQ, & LM ad triangulum AKM, vt PQ ad triangulum DO〈que〉 Ex quibus perſpicuum eſt omnia triangula aliquam inter ſe habere ſimilitudinem, ex qua poſſibile fuit determinare in omnibus ſitum, vbepe- ritur centrum graurtatis. Quòd ſi figurę nullam conuenien­tiam, nullamquè ſimilitudinem inter ſe habuerint; ut in qua drilateris, pentagonis, & reliquis figuris, quæ inter ſe ne〈que〉 latera ne〈que〉 angulos ęquales habeant; & propterea nullam in­terſe conuenientiam, & ſimilitudinem habere poſſunt; im­poſſibile quidem eſſet in ipſis determinare ſitum centri grauita tis; ita vt omnibus quadrilateris, ac omnibus pentagonis quo modo cun〈que〉 factis, & ita cęteris figuris deſeruire poſſit. Cum exempli gratia in pentagonis modò in vno, modò in alio ſi­tu centrum reperiatur; prout ſunt diuerſę figuræ. Poſſumus quidem in vnaqua〈que〉 figura reperire punctum poſitione, quod ſit quidem centrum grauitatis illius determinatæ figu­ręt. vt in fine primilibri oſtendimus. eſſet tamen impoſſibile in omnibus proprium certum, ac determinatum ſitum repe­rire; vt ſcilicet ſit in tali linea, taliquè modo diuiſa, vtomnib^{9} pentagonis, & hexagonis, cæteriſquè huiuſmodi deſeruire poſſit. vt determinatur in triangulis, & vt determinari poteſt in quadrilateris; quæ vel ſint parallelogramma, vel duo ſaltem latera ſint æquidiſtantia. cùm in his conuenientia, quàm triangulis accidere oſtendimus, reperiatur; quandoquidem ſunt triangulorum portiones. ſimiliter in parallelogrammis fa cilè erit oſtendere aliquam inter ſe ſimilitudinem exiſtere. pen­tagona verò hexagona, & cæteræ figuræ, quæ angulos æqua­les, & æqualia latera habent; iam conſtat ſimilia eſſe inter ſe. præterea circuliomnes ſunt ſimiles. Ellipſes quo〈que〉 inter ſe aliquam habent ſimilitudinem, in quibus deſcribitur figura, planè inſcripta. vt perſpicuum eſt in libro Federici Commandini de centro grauitatis ſolidorum. ac propterea in his, & in alijs, quibus inter ſe aliqua ſimililudo reperiri poteſt, centrum quo〈que〉 grauitatis determinari poterit.

ex 2.ſexti ex lèmate im ſecundam d monſtratio­ne. pri­mi huius.

17. quinti. coro. 19. quinti.

22. quinti.

LEMMA.

Sint quatuor magnitudines ABCD. ſitquè A maior B; &C maior D. Dico A ad D maiorem habere proportio­nem, quàm habet B ad C.

Hoc à nobis oſtenſum fuitinitio tractatus devecte in no­ſtris mechanicishoc pacto.

Quoniam enim A ad C maiorem habet proportionem, quam B ad C; & A ad D maiorem quo〈que〉 habet proportionem, quàm habetad C; A igitur ad D maiorem habebit, quàm B ad C. quod demonſtrare oportebat.

8. quinti.

PROPOSITIO. IIII.

Omnis portionis recta linea, rectanguliquè co ni ſectione contentæ, centrum grauitatis eſt in diametro portionis.

Sit portio, vt dicta eſt, ABC; cuius diameter ſit BD. demon­ſtrandum est dictæ portionis centrum grauitatis eſſe in linea BD. ſi.n. non, ſit punctum E. & ab ipſo ducatur ipſi BD aquidistans EF; at­〈que〉 in portione inſcribatur triangulum ABC eandem baſim AC habens, & altitudinem portioni æqualem. & quam proportionem habet CF ad FD, eandem habeat triangulum ABC ad ſpacium k. in portione autem planè inſcribatur figura rectilinea AGBNC, ita vt relictæ portiones AOG GPB BQN NRC ſimul ſint minores ipſo K. inſcriptæ quidem rectilineæ figuræ centrum grauitatis est in linea B D. ſit punctum H. connectaturquè HE, & producatur; & à puncto C ipſi B D ducatur æquidistans CL. Quoniam autem por tiones AOG GPB BQN NRC ſimul ſunt ipſo K mino­res; maiorem habebit proportionem triangulum ABC ad di­ctas portiones, quàm ad K; inſcripta verò figura AGBNC ma ior eſt triangulo ABC, K verò maius eſt reliquis portionibus. Maniſeſtum est igitur figuram rectilineam ACBNC in portione in- ſcriptam maiorem habere proportionem adreliquas portiones AOG GPB BQN, NRC, quàm triangulum ABC ad K. ſed vt triangulum ABC ad K, ita est CF ad FD; figura igitur inſcripta ad reliquas por­tiones maiorem habebit proportionem, quam CF ad FD; hoc eſt LE ad EH. Cùm ſint LH CD à lineis æquidiſtantibus LC EF HD druiſæ. quare cùm figura inſcripta ad reliquas portio­nes maiotem habeat proportionem, quàm LE ad EH; linea, quæ ad EH eandem habeat proportionem, quàm figura inſcri­pta ad reliquas portiones, maior erit, quam LE. Habeat igitur ME ad EH proportionem eam, quam figura inſcripta ad portiones. Quoniam igi­tur punctum E centrum eſt grauitatis totius portionis, figuræ autem in ipſa inſcriptæ centrum grauitatis est punctum H: constat reliquæ magni­tudinis ex circumrelictis portionibus compoſitæ centrum grauitatis eſſe in linea HE producta; ita vt aſſumpta aliqua recta linea ME eam proportio nem habeat ad EH, quam figura inſcripta ad circumrelictas portiones. Quare magnitudinis ex circumrelictis portionibus compoſitæ centrum grauitatis eſt punctum M. quod est abſurdum. Ducta enim linea ST per punctum M ipſi BD æquidiſtante, in ea omnes circumrelictæ portiones centra grauitatis habebunt. hoc eſt magnitudinis ex portioni­bus BPG-BQN compoſitæ centrum grauitatis eſſet in parte MS. centrum verò grauitatis portionum AOG CRN eſſet in parte MX; ita ut M omnium dictarum portionum eſſet gra­uitatis centrum. quæ ſuntquidem inconuenientia. quippè quæ etiam eodem modo ſe〈que〉ntur, ſi ST ipſi BD æquidiſtans non eſſet. Patet igitur centrum grauitatis portionis ABC eſſe in linea BD. quod demonſtrare oportebat.

2. huius.

8. quinti.

lemma.

1: tem-im 13. primi hui

8. primi huius.

SCHOLIVM.

In hac demonſtratione obſeruandum eſt; quòd quando Ar­chimedes inquit, in portione autem planè inſcribatur figura &c. in­telligendum eſt, inſcribatur primò pentagonum AGBNC in portione planè inſcriptum; quod quidem relin〈que〉t por­tiones AOG GPB BQN NRC, quæ ſimul uel erunt minores ſpacio K, vel minùs. ſi non, rurſus planè adhuc inſcribatur in portione ABC nonagonum; deinde alia figura; idquè ſem­per fiat, donec circumrelictæ portiones ſimul ſint ſpacio K minores. quod quidem fieri poſſe ex prima decimi Euclidis patet. Aufertur enim ſemper maius, quam dimidium. Cùm quæ libet portio paraboles trianguli plane in ipſa inſeripti ſit ſeſ­quitertia. Vnde triangulum ABC maius eſt, quàm dimidium portionis ABC. triangulum què AGB maius, quàm dimidium portionis AGB. ſimiliter triangulum BNC portionis BNC & ita in alijs. Quæ quidem omnia ſuntquo〈que〉 manifeſta ex vi geſima propoſitione, eiuſquè demonſtratione de quadratura paraboles Archimedis.

17. Archi. de quad. parab.

Demonſtrato centro grauitatis cuiuſlibet paraboles in eius diametro exiſtere; oſtendet Archimedes, (vt diximus) in pa­rabolis grauitatum centra in eadem proportione diametros diſpeſcere. antequam autem hoc demonſtret, duas pręmittit ſe〈que〉ntes propoſitiones ad demonſtrationem neceſſarias.

PROPOSITIO. V.

Si in portione recta linea, rectanguliquè coni ſectione contenta rectilinea figura planè inſcriba tur, totius portionis centrum grauitatis propinquius eſt vertici portionis, quam centrum figuræ inſcriptæ.

Sit portio ABC, qualis dictaest, ipſius verò diameter ſit BD. primùmquè in ipſa planè inſeribatur triangulum ABC. & diuidatur BD in E, ita vt dupla ſit BE ipſius ED. erit vtiquè trtanguli ABC centrum grauitatis punctum E. Diuidatur ità〈que〉 biſariam vtra〈que〉 AB BC in punctis FG. & punctis FG ipſi BD ducantur æquidi­ſtantes FK GL. erit ſanè portionis AkB centrum grauitatis in linea Fk. portionis verò BLC centrum grauit atis erit in linea GL. ſint ita­〈que〉 puncta HI. connectanturquè HI FG. quæ BD ſecent in QN. erit vti〈que〉 punctum Q vertici B propinquius, quàm N. quia verò eſt BF ad FA, vt BG ad GC, erit FG æquidiſtansipſi AC, eritquè FN ad NG, vt AD ad DC. eſt verò AD ipſi DC æqua­lis, ergo FN NG inter ſe ſunt æquales. quoniam autem FN eſt ipſi AD æquidiſtans, erit AF ad FB, vt DN ad NB. eſt au tem AF dimidia ipſius AB; cùm ſint AF FB ęquales ergo & DN dimidia eſt ipſius DB. at verò quoniam DE terria eſt pars ipſius DB, ſiquidem eſt BE ipſius ED dupla, erit pun­ctum N propinquius vertici B portionis, quàm pun­ctum E. Et quoniam parallelogrammum est HFGI. & æqualis est FN ipſi NG, erit QH ipſi QI æqualis. ac propterea magnitudinis ex vtriſ〈que〉 AkB BLC portionibus compoſitæ centrum grauitatis eſt in medio lineæ HI, cùm portiones AKB BLC ſint æquales. erit ſcilicet punctum 〈que〉 Quoniam autem trianguli ABC centrum grauitatis eſt punctum E, magnitudinis verò ex vtriſquè AkB BLC compoſisæ eſt punctum 〈que〉 conſtat totius portionis ABC centrum grauitatis eſſe in linea QE. hoc est inter puncta QE. Quare totius portionis centrum grauitatis propinquius eſt vertici portionis, quam centrum grauitatis trianguli planè inſcripti.

ante pri­mi huius.

4. huius.

2. ſexti­lemma ta aliter 13. primi hui^{9}

2. ſexti.

4. primi buius. ex its quæ ante 2. huius demon ſtrata ſunt. ex 8. pri­mi huius.

*

Rurſus in portione pent agonum rectilineum AKBLC planè inſcri­batur. ſitquè totius portionis diameter BD, vtriuſ〈que〉 autem portionisAKB. BLC diameter ſit vtra〈que〉 KF LG. & quoniam in portione AKB planè inſcripta est figura rectilinea trilatera AKB, totius por tionis AKB centrum grauitatis est propinquius vertici K, quam centrum rectilineæ figuræ AKB. ſit ita〈que〉 portionis AkB centrum grauitatis punctum H; trianguli verò punctum 1. Rurſus autem ſit por tionis BLC centrum grauitatis punctum M. trianguli verò BLC punctum N. iunganturquè HM JN; quæ BD ſecent in punctis QT. erit vti〈que〉 punctum Q vertici B propinquius, quam T. & quoniam (ſi ducta eſſet FG) lineæ HM IN FG ab æ quidiſtantibus lineis KF BD LG in eadem diuiduntur pro­portione. FG verò, vt oſtenſum eſt, bifariam à linea BD di­uideretur; ergo & lineæ HM IN bifariam diuiſę proucnient. æqualis est igitur HQ ipſi QM; & IT ipſi TN. ſed triangulo AKB æquale est triangulum BLC; portio vero AkB portioni BLC eſt æqualis. Demonstratum eſt enim alis in loçis portiones ſeſquitertias eſſe triangulorum, erit igitur magnitudinis ex vtriſ〈que〉 por- tionibus AkB BLC compoſitæ centrum grauitatis punctum 〈que〉 magni­tudinis verò ex vtriſ〈que〉 triangulis AKB BLC compoſitæ punctum T. Rurſus ita〈que〉 quoniam trianguli ABC centrum grauitatis eſt punctum E, magnitudinis verò ex vtriſ〈que〉 AkB BLC portionibus punctum 〈que〉 manifestum eſt totius portionis ABC centrum grauitatis eſſe in linea QE ita diuiſa in O puncto, vt quam proportionem habet trian­gulum ABC ad vtraſ〈que〉 portiones AkB BLC, eandem habeat por tio ipſius terminum habens punctum Q, hoc eſt OQ ad portionem minorem OE. pentagoni autem AKBLC, hoc eſt magnitudinis ex triangulo ABC, trianguliſquè AKB BLC compoſitæ centrum grauitatis eſt in linea ET ſic diuiſa in S, vt quam habet proportionem triangulum ABC ad triangula AKB BLC, eande ha­beat portio ipſius ad T terminata, hoc eſt ST ad reliquam SE. Quoniam igitur maiorem habet proportionem triangulum ABC ad triam gula KAB LBC, quam ad portiones AKB BLC; minora enim ſunt triangula portionibus. habebit TS ad SE miorem pro­portio nem, quam QO ad OE ac propterea erit punctum S propinquiusipſi E, quàm O. Nam ſi punctum S primùm eſſet in eodem puncto O, tunc TO ad OE, non quidem maiorem, ſed minorem haberet proportionem, quàm QO ad OE, cùm ſit TO minor QO. ſimiliter ob eadem cauſam ſi punctum S eſſet inter OT, minorem haberet pro­portionem TS ad SE, quàm QS ad SE, quare & ad huc maiorem haberet proportionem QO ad OE, quàm TS ad SE. neceſſe eſt igitur punctum S eſſe inter puncta OE. Itaquè cùm punctum O ſit centrum grauitatis portionis ABC, punctum verò S centrum ſit grauitatis rectilineæ figuræ AK BLC; constat portionis ABC centrum grauitatis propinquius eſſe vertici B, quàm centrum rectilineæ figuræ inſcriptæ. Et in om­nibus rectilineis figuris in portionibus planè inſcriptis eadem eſt ratio.quod demonſtrare oportebat.

prima lem ma in 13. primi bui^{9}.

4. primi huius.

ex 8. pri­mi huius.

8. quinti.

8. quinti.

8.quinti.

SCHOLIVM.

In fine primæ demonſtrationis in vltima concluſione quan­do inquit Archimedes. Quare totius portionis centrum propinquius eſt vertici portionis, quam trianguli planè in ſcripti Gra cus codexita ſe habet w)\s t) e)\ihka e)ggute<10>on ta=s tou= tma/matos ko<10>ufa=s to\ ke/nt<10>on tou= o)\lou tma/matos, h)/ tou= e)gg<10>afome/nou t<10>igw/nou gnw<10>i/mws. verbaquè e)/ih ka malè interpoſita ſunt, nullumquè cum alijs rectum ſenſum habent, quare horum loco ponerem e)si/, vt ſenſus ſit, w)/s te)/ggu/te<10>on e)si ta=s tou= tma/matos, &c.

*

Obſeruandum autem occurrit in demonſtrationibus, ab Archimede allatis; quòd in prima demonſtratione ſupponit Archimedes, HFGI eſſe parallelogrammum. quòd vt ſit pa­rallelogrammum, neceſſe eſt ſupponere centra grauitatis HI ſecare lineas KF LG in partes inuicem proportionales. quod tamen ſupponi poſſe minimè videtur. Et ſi quis ex quinto poſtulato obijceret, centragrauitatis in æqualibus, ſimilibuſ­què figuris eſſe æqualiter poſita; admitti quidem poteſt; quo- niam figuræ, ipforum què centra inter ſe coaptari poſſunt. vt omnibus figuris rectilineis ęqualibus, & ſimilib^{9} accidere po­teſt. Hoc tamé contingere poſſe in parabolis, vt AKB BLC, vi detur in conueniés. Nam quamuis AKB BLC ſint æquales, & ſint etiam ſimiles; non ſunt tamen ſimiles ea ſi militudine, vt ſuntre ctilineæ figuræ; vtantea diximus. Quod etiam perſpicuum fit ex hoc, quia non ſemper coaptari poreiſt portio AKB cum portio­ne BLC. non. enimſemper recta linea BC erit æqualisipſi BA; ne〈que〉; ſectionis linea BLC ſectionis lineę BKA ęqualis exiſtet. Cum non ſemper AC, & quæ ſuntipſi AC æquidiſtates ad rectos ſint an gulos diametro BD. ſi.n. ęquidiſtantes lineę diametro fuerint perpendiculares, tunc AB BC inter ſe ęquales eſſent; portio〈que〉; AKB cum portione BLC coaptari poſſet: ſecùs autem minimè. Quare centra grauiratis HI lineas KFLG in eadem proportio ne ſecare minimèſupponi poſſe videtur; tùm exijs, quæ dicta ſunt; tú quia hoc oſtendet Archimedes in ſeptima propoſitio ne. quòd ſi adhuc non eſt demonſtratú, non poteſt quo〈que〉; ſuppo ni; præſertim cùm ſit demonſtrabile. ac propterea demonſtra­tio nullam videturvim haberead oſtendendum, quod propoſi­tú fuit. Huic tamen occurri poſſevidetur cum Eutocio in exphca tione huiusloci dicendo, hoc ſupponere Archimedé, quia por tiones AKBBLC ſuntęquales, quarú diametri KFLG ſunt ę­quales, & ęquidiſtantes, quæ ſimiliter diuiduntur à punctis HI; vnde erit kG ad HF, vt LI ad IG. ex quibus colligit HF ipſi IG æqualem eſſe; ac propterea HG parallelogrammum exiltere. Quæ tnm reſponſio non eſt Eutocio digna. cùm ex dictis non ſit omninò demonſtratiua, vtres mathematicę requirunt; quapropter omit tenda eſt.hac.n.rationeſupponitur centra HI lineas KFLG in eadem proportione ſecare.quod nullo modo ſupponi poteſt. Quare dici poterit, & fortaſle rectiùs, quòd vis demonſtratio­nis videtur in hoc eſſe conſtituta, vt ſupponatur puncta HI v­bicun〈que〉; eſſe poſſe in lineis KFLG; ita vt ſiue ducta HI fuerit, ſiue etiam non fuerit ipſi FG æquidiſtans, demonſtratio tamen ſuam ſemper habebit vim, iden〈que〉; concludet. Nam ex præcedem. ti patet centra grauitatis portionum AKB BLC eſſe in lineis KF LG; hoceſt inter puncta KF, & LG. ſupponanturita〈que〉; cen­tra grauitatis portionum AKB BLC eſſe puncta HI vbicun〈que〉; po­ ſita, dummodo ſint in lineis KF LG, veluti Archimedes ipſe in demonſtratione ſupponit. Ducatur〈que〉; HI; quæ vel ipſi FG æ­quidiſtans erit, vel minùs: ſi eſt æquidiſtans, parallelogrammum eſt HFGI, & vera eſt demonſtratio Archimedis. ſi verò non eſt æquidiſtans, nihilominus veriſſima eſt eadem demonſtratio. Nam ſi HI ipſi FG non eſt ęquidiſtans, patet in primis punctum Q propinquius eſſe vertici B portionis ABC, quam punctum N, ac per con­ſe〈que〉ns, quam punctum E centrum grauitatis trianguli ABC. Etquoniam lineæ HI FG à lineis diuiduntur KF BN LG ę quidiſtantibus, erit HQ ad QI, vt FN ad NG. eſt autem FN i­pGNG ęqualis, ergo HQ ipſi QI ęqualis quo〈que〉 erit. ita〈que〉 quoniam portiones AKBBLC ſunt æquales, erit magnitudi­nis ex vtriſ〈que〉 AKB BLC portionibus compoſitę centrum gra­uitatis in medio lineę HI. ergo eritpunctum 〈que〉 quo cognito eadem demonſtratio Archimedis oſtendet centrum grauita­tis portionis ABC eſſe inter puncta E〈que〉 Nam ex verbis ipſius, cùm ait, Quoniam autem trianguli ABC centrum grauitatis est punctum E magnitudinis verò ex vtriſ〈que〉 AkB BLC compoſicæ est punctum 〈que〉 constat totius portionis ABC centrum grauitatis eſſe in in linea QE. hoc est inter puncta QE. Quare totius portionis centrum grauitatis propinquius eſt vertici portionis, quàm trian­guli planè inſcripti. manifeſtum eſt igitur centrum grauitatis por tionis ABC, ſiuè ſit HI ipſi FG æquidiſtans, ſiue non æ. quidiſtans, propinquius eſſe vertici B portionis, quàm centrum grauitatis trianguli ABC Quare cuca erba demonſtratio­nis, cùm inquit Archimedes, & quoniam parallelogrammum est HFGJ, & æqualisest FN ipſi NG. &c. immitando ſecun­dam Archimedis demonſtrationem huius propoſitionis, vel delenda ſuntverba, parallelogrammum eſt HFGI, & tamquam ab aliquo ad dita; ita vt verba ſint hoc modo vniuerſalia, & quoniam æqualis eſt FN ipſi NG, & quæ ſequuntur. vel ſat for­taſſe Archimedi viſum eſt. ſe oſtendiſſe hoc contingere exi­ſtente HI ipſi FG æquidiſtante. quòd ſi etiam non fuerit HI æquidiſtans FG, idem ſequi tanquam notum omiſit. cùm per facilis ſit demonſtratio, vt dictum eſt. Archimedeſquè res val dè notas ſępè prætermittereſolet.

1.lenwaim 15 primu hu­ius.

Hocidem etiam conſiderari poteſt in ſecunda demonſtra tione quamuis verba hanc difficultatem non habeant. nam ea­dem ſequltur demonſtratio, ſiuèſit HM lineæ IN ęquidiſtás, vel non æquidiſtans, vt ex verbis Archimedis perſpicuum eſt. etenim manifeſtum eſt centra grauitatis portionum AKB BLC eſſeinlineis KF LG. ſimiliter centra grauitatis trian­gulorum AKB BLC in ijsdem eſſe lineis KF LG. vt in pun­ctis IN; quæ neceſſariò diuidunt KF LG in partes propor­tionales, vnde FI GN euadunt æquales. & quoniam por­tionum centra HM ſunt propinquiora verticibus KL, quam triangulorum centra IN; ideo neceſſe eſt puncta HM in lineis KI LN exiſtere. quare ſint puncta HM vbicú〈que〉 in lineis KI LN conſtituta; ducta〈que〉; HM, quæ ſiuè ſit ipſi IN ęquidiſtans, ſiuenon æquidiſtans, ſem per erit punctum Qpropinquius ver tici B, quam T. eodem què modo erit punctum Q medium li­neæ HM centrum grauitatis magnitudinis ex portionib^{9} AKB BLC compoſitæ. ſiquidem portiones ſunt ęquales. quę quidem omnia ex ipſamet demonſtratione ſunt manifeſta. ſuntquè hæc eadem obſeruanda in duabus ſe〈que〉ntibus demonſtrationib^{9}.

4. huius.

ante 15. primi hu­ius.

PROPOSITIO. VI.

Data portione rectalinea, rectanguliquè coni ſectione contenta, in portione figurarectilinea pla ne inſcribi poteſt; ita vt linea inter centrum graui­ tatis portionis, & figuræ rectilineæ inſcriptæ, mi­nor ſit propoſita recta linea.

Data ſit portio ABC, qualis dicta est. cuius centrum grauitatis ſit punctum H. & in ipſa planè inſcribatur triangulum ABC. ſitquè pro poſita recta linea F. & quam proportionem habet BH ad F, eandem habeat triangulum ABC ad ſpacium k. inportione autem ABC pla nè inſcribatur figura rectilinea AGB LC, ita vt circumrelictæ portio nes ANG GOB BPL LQC ſimul ſumptę ſint minoresipſo k: ipſiuſquè figuræ inſcriptæ centrum grauitatis ſit punctum E. Dico li­neam HE minorem eſſe ipſa F. N amſi non, vel æqualis est, vel maior. Quoniam autem maior eſt figura rectilinea AGBLC, quàm triangulum ABC, maius verò eſt ſpacium K portio­nibus ANG GOB BPL LQC ſimul ſumptis, ideo rectili- nea figura AGBLC ad circumrelictas portiones maiorem habet pro­portionem, quàm triangulum ABC ad K. hoc est HB ad F. at ue rò BH nonhabet minorem proportionem ad F, quàm habet ad HE. cùmnon ſit minor HE ipſa F. ſi enim ponatur HE ipſi F æqualis, eandem habebit proportionem BH ad HE, quam ad F. quæ eſt proportio trianguli ABC ad. K. vnde figu­ra rectilinea AGBLC ad circumrelictas portiones maiorem, habebit proportionem, quàm BH ad HE. ſi verò ponatur HE maior, quàm F, habebit BH ad F, hoc eſt triangulum ABC ad K maiorem proportionem, quàm BH ad HE. multo igitur maiorem habet proportionem figura rectilinea AGBLC ad circumrelictas portiones, quàm BH ad HE. Quare ſi fiat ut rectili­linea figura AGBLC ad circumrelictas portiones, ſic alia quædam li­nea ad HE. erit maior, quàm BH. ſitquè HM. Cùm enim portio­nis ABC centrum grauitatis ſit H. figuræ verò rectilineæ AGBLC punctum E. producta EH, aſſumptaquè aliqua recta linea proportione babente ad EH, quam rectilineum AGBLC ad circumtelictas por­tiones; maior erit quàm HB. habeat igitur (vt dictum eſt) MH ad HE proportionem eam, quam habet figura AGBLC ad reli quas portiones, ergopunctum M centrum est grauit atis magnitudi­nis ex circumrelictis portionibus compoſitæ. quod eſſe non poteſt. Ducta enimrecta linea RS per M ipſi AC æquidistante, inipſa ſunt centra grauitatis vnicuiquè portioni reſpondentia; ita ſcilicet vt centrum magnitudinis ex portionibus ANG GOB compoſitæ ſit in linea RS. ſed in parte MR. in parteverò MS ſit grauitatis centrum magnitudinis ex reliquis portionibus BPL LQC compoſitæ; ita vt punctum M magnitudinis ex omnibus portionibus compoſitæ centrum grauitatisexiſtat. quæ tamen eſſe non poſſunt. quod idem accideret, ſi etiam RS ipſi AC æquidiſtans non eſſet. Patetigitur HE minorem eſſe, quam F.cùm ne〈que〉 maior, ne〈que〉 ęqualis eſſe poſſit. quod quidem de­monſtrare oportebat.

A

lemma in 4. ſecundi hui^{9}

7. quinti.

8.quinti.

8.primi huius.

SCHOLIVM.

In hac quo〈que〉 demonſtratione obſeruandum eſt, quod poſt quartam huius adnotauimus; nimirum ſi pentagonum AGBLC in portione planèinſcriptum relin〈que〉ret portiones ANG GOB BPL LQC, quæ ſimul maiores, vel etiam æ- quales eſſent ſpacio K. Rurſus planè adhuc inſ cribatur in portione ABC nonagonum, deinde altera figura, idquè ſemper fiat, donec circumrelictę portiones ſimul ſint ſpacio K minores. quod quidem fieri poſſe ibidem oſtendimus:

A

PROPOSITIO. VII.

Duabus portionibus ſimilibus recta linea, re­ctanguliquè coni ſectione contentis, centra gra­uitatum diametros in eadem proportione diſpe­ſcunt.

Sint duæ portiones, quales dictæ ſunt ABC EFG. quarum diame­tri BD FH. ſitquè portionis ABC centrum grauitatis punctum K. ipſius verò EFG punctum L. Demonstrandum est, puncta kL in eadem proportione diametros diuidere, ita vt BK ad KD ſit, vt FL ad LH. ſi autemnon. ſi fieri poteſt, ſit BK ad kD, vt FM ad MH. & in portione EFG rectilineum planè inſcribatur, ita vt linea inter centrum grauitatis portionis, & centrum grauitatis figuræ inſcriptæ minor ſit, quàm LM. ſitquè figuræ inſcriptæ centrum graui­tatis punctum X. eritvtiquè punctum L propinquius vertici F, quàm punctum X. & quoniam LX minor eſt, quàm LM, erit quo〈que〉 punctum X vertici F propinquius, quàm M. Jn portione autem ABC inſcribatur figura rectilinea ſimilis figuræ in portione EFG inſcriptæ. hoc est ſimiliter planè, (ita nempè vt figurę latera multitudine ęqualia habeant) cuius centrum graui­tatis ſit punctum N. & quoniam figuræ in porrionibus pla­nèinſcriptę habentlatera multitudine æqualia, ipſarum cen­tra grauitatis diametros BD FH in eadem proportione diſpe­ſcent. quare erit BN ad ND, vt FX ad XH. poſitum autem fuitita eſſe FM ad MH, vt BK ad KD. ſi ita〈que〉 punctum X propinquius eſt ipſi F, quàm M; erit & punctum N i­pſi B propinquius, quàm K. eſtverò punctum K centrum grauitatis portionis ABC, punctum verò N centrum figuræ inſcripte; ergo centrum grauitatis figurę inſcriptæ propinquius erit vertici portionis, quam centrum ipſius portionis. quod fieri non potest. Manifeſtum est igitur eandem habere proportionem BK ad KD. quam FL ad LH. quod demonſtrare oportebat.

6. huius.

5. huius.

3. huius.

SCHOLIVM.

Pręſens demonſtratio ea tantùm ratione eſſicax eſſe vide­tur, quatenus ſupponitur punctum L vertici F propinqui^{9} eſſe, quàm M. ex hoc enim ſequitur punctum X eſſe ipſi F propinquius, quàm M. vnde euenitabſurdum, nempè, pum ctum N eſſevertici B propinquius, quàm K. Quòd ſi ſup poſitum fuerit Bk ad KD ita eſſe, vt FP ad PH; fuerit autem P inter LF; tunc centrum grauitatis figurę in EFG planè inſcriptæ eſſetinter puncta PH; vnde centrum ctiam figurę in ABC ſimiliter planè inſcriptę inter KD eueniret; eſſetquè centrum grauitatis portionis ABC vertici B propin­quius, quam centrum figuræ planè inſcriptæ. ideoquè nullum accideret abſurdum. Quare ſi ſuppoſitum fuerit FP ad PH eſſe, vt BK ad KD, tunc (vt eadem demonſtratio rei propo ſitæ inſeruire poſſet) diuidenda eſſet diameter BD in 〈que〉 i­ta vt BQ ad QD ſit, vt FL ad LH. & quoniam maio­ rem habet proportionem FL ad LH, quàm FP ad PH; ſiqui­dem maior eſt FL, quàm FP, & PH maior, quàm LH. Vtverò FL ad LH, ita eſt BQ ad QD; & vt FP ad PH. ita BK ad KD; maiorem quo〈que〉 habebit proportionem BQ ad QD, quàm BK ad KD. & componendo BD ad DQ maiorem, quàm ea dem BD ad Dk. Quare maior eſt DK, quàm D〈que〉 & ob id punctum K propinquius erit vertici B, quàm 〈que〉 Deinde planè inſcribenda eſſet figura in portione ABC, ita vt linea inter centrum figuræ inſcriptæ, & centrum portionis minor eſſet, quàm K〈que〉 & reliqua quæ ſequuntur, ita tamen, vt quę facta ſunt in EFG, fiant in ABC; & quæ in ABC, fiant in EFG. oſtendeturquè centrum figurę inſcriptę in portione EFG pro pinquius eſſe vertici F, quàm centrum grauitatis ipſius portio nis EFG. quod quidem fieri non poteſt. Ex quibus perlpi­cuum fit demonſtrationem eſſe vniuerſalem. & hanc demom ſtrationis partem Archimedem omiſiſſe, vt notam. Etvt an­tea admonuimus, quòd centra grauitatis diametros in eadem proportione diuidunt, omnibus parabolis competere intelli­gendum eſt. ſiquidem omnes ſuntſimiles. quo demonſtrato, in ſe〈que〉nti, quo in loco, & in qua diametri parte reperitur cem trum grauitatis paraboles demonſtrat, quòd vt res perſpicua reddatur; hæc priùs demonſtrabimus.

lemma in 4. huius.

28.quinti. addi.

10.quinti.

LEMMA. I.

Si magnitudo magnitudinis fuerit quadrupla, minorverò magnitudo alterius magnitudinis ſit tripla, maior magnitu­do vtrarum què ſimul magnitudinum tripla erit.

Quadrupla ſit magnitudo A magnitudinis BC. ſit verò BC alterius magnitudinis CD tripla. Di co magnitudinem A vtrarumquè ſimul BC CD, hoc eſt BD triplam eſse. Quoniam enim BC tri­pla eſt ipſius CD, erit componendo BC cum CD, hoc eſt BD ipſius CD quadrupla. ſed magnitudo quo〈que〉 A quadrupla eſt ipſius BC, eandem igitur habetproportionem A ad BC, vt BD ad CD. & permutando A ad BD, vt BC ad CD. & eſt qui­dem BC tripla ipſius CD, ergo A ipſius BD tri­pla exiſtit. quod demonſtrare oportebat.

16.quinti.

LEMMA. II.

Si magnitudo magnitudinis fuerit ſeſquitertia, erit magni­tudo minor ipſius exceſſus tripla.

Sit magnitudo AB magnitudinis C ſeſquiter tia; exceſſus verò, quo AB ſuperat C, ſit BD. Dico magnitudinem C ipſius BD triplam eſſe. quod qui dem ex ſe patet. Nam quoniam BD eſt exceſ­ſus, quo AB ſuperat C. magnitudo autem AB i­pſam C ſuperat tertia ipſius C parte, cum ſit AB ipſius C ſeſquitertia. erit igitur BD tertia pars i­ſius C. quare magnitudo C ipſius BD tripla exiſtit. quod oſtendere oportebat.

LEMMA III.

Sit magnitudo AB ipſius BC ſextupla. ſit verò AD tripla ipſius AC. Dico BD ipſius BA ſeſquialteram eſse.

Quoniam. enim AD multiplex eſt ipſius AG, erit AC pars ipſi^{9} AD. ac propterea ipſam AD metictur. rurſus quoniam AB, hoc eſt AC vnà cum CB ſextupla eſt ipſius BC, erit diuidendo AC ipſius CB quintupla. vndè CB ipſam AC, ac propterea etiam ipſam AB metietur. Vta utem AC ad AD, ita fiat CB ad aliam magnitudinem G; eritvti 〈que〉; CB ipſius G pars tertia, cùm ſit AC ipſius AD pars quo〈que〉 tertia. Ita〈que〉 quoniam CB ad G eſt, vt AC ad AD, erit perm utando CB ad CA, vt G ad AD. BC verò ipſam CA metitur, eiuſquè eſt pars quinta; ergo Gipſam quo〈que〉 AD metietur, eritquè ipſius pars quinta. Quoniam autem BC ipſam BA metitur, eademquè BC ipſam quo〈que〉 G metitur, erit BC ipſarum AB G communis menſura. quia verò AB ſextupla eſt ipſius CB, G verò eſt eiuſdem CB tri­pla, erit AB ad G, ut ſextupla ad triplam. hoc eſt ſe habebunt in dupla proportione. quapropter AB dupla eſt ipſius G; ac per conſe〈que〉ns Gipſam AB metitur. Quoniam igitur G totam AD metitur, & ablatam AB quo〈que〉 metitur; metietur G reliquam BD. G igitur ipſarum AB BD communis exiſtit menſura. & quoniam AB dupla eſt ipſius G, tota verò AD eiuſdem G quintupla exiſtit, erit reliqua BD tripla ipſius G. Ex quibusſequitur DB ad BA ita ſe habere, vt tripla ad duplam. Quare DB ipſius BA ſeſquialtera exiſtit. quod oſtendere oportebat.

16,quinti.

PROPOSITIO. VIII.

Omnis portionis recta linea, rectanguliquè co ni ſectione contentæ centrum grauitatis diame­trum portionis ita diuidit, vt pars ipſius ad verti­cem portionis reliquæ ad baſim ſit ſeſquialtera.

Sit portio ABC, qualis dicta est. ipſius verò diameter ſit BD. cen­trum autem grauitatis ſit punctum H. oſtendendum eſt BH ipſius HD ſeſquialteram eſſe. Planè inſcribatur in portione ABC triangulum ABC. cuius centrum grauitatis ſit punctum E. biſariamquè diuidatur vtra­què AB BC in punctis FG. & ipſi BD æquidiſtantes ducantur Fk GL. erunt vti〈que〉 FK GL diametri portionum AkB BLC. ſit ita­〈que〉 portionis AkB centrum grauitatis M; portionis verò BLC pun­ctum N. connectantur〈que〉 FG MN kL, quæ diametrum BD ſe­ cent in punctis OQS. Quoniam igitur puncta MN in eadem proportione diuidunt KF LG, erit KM ad MF, vt LN ad NG. & componendo KF ad FM, vt LG ad GN. & per­mutando KF ad LG, vt FM ad GN. ſuntquè KF LG æquales; erit FM ipſi GN ęqualis; & reliqua Mk reliquæ LN æqualis. & quoniam FM GN, & Mk NL ſunt ęqui­diſtantes, erunt FG MN KL inter ſe ęquales, & æquidiſtan­tes. & eſt BD æquidiſtans KF, erit igitur SQ ipſi KM æ­qualis. quia verò KF BD LG ſunt æquidiſtantes, erit MQ ad QN, vt FO ad OG. Cùm autem ſit BF ad FA, vt BG ad GC, crit FG ipſi AC ęquidiſtans. & vt AD ad DC, ita FO ad OG. ſunt autem AD DC æquales, ergo FO OG, ac per con­ſe〈que〉ns MQ QN inter ſe ſunt æquales. ita〈que〉 quoniam por tiones AKB BLC ſunt æquales, magnitudinis ex vtriſ〈que〉 portio­nibus AKB BLC compoſitæ centrum grauitatis erit in medio li­ neç MN; hoc eſt erit punctum 〈que〉 & quoniam BH ad HD est, vt KM ad MF (centra enim grauitatum portionum in ea­ dem proportione diametros ſecare neceſſe eſt) & componendo BD ad DH, vt KF ad FM. permutandoquè vt BD ad KF, ita HD ad MF. at verò BD quadrupla est ipſius KF. Hoc enim in fine demonſtratum est, vbi est ſignum hoc, H. quadrupla igitur est & DH ipſius MF. Quare & reliqua BH reliquæ kM, hoc est i­pſius SQ, quadrupla existit. exiſtente autem tota BH, quæ com. poſita eſt ex BS QH, & SQ, quadrupla ipſius S〈que〉 dempta SQ ab ipſis BS QH SQ, reliqua igitur ex vtriſ〈que〉 BS QHconſtans tripla est ipſius S〈que〉 ſit BS tripla ipſius SX. & quoniam tota HQ cum SB ad totam QS eſt, vt ablata BS ad ab­ latam SX; ſunt quidem triplę; erit reliqua HQ ad reliquam QX in eadem proportione. ergo & QH ipſius XQ eſt tripla. Et quoniam quadrupla est BD ipſius BS. hoc enim demonſtratum eſt. ipſa verò BS ipſius SX eſt tripla; erit BD ipſius BX tripla. ac propterea erit XB ipſius BD pars tertia. Verùm ED ipſius DB parstertia existit. Cùm centrum grauitatis trianguli ABC ſit pnctum E. quod ita diuidit BD, vt BE ipſius ED ſitdupla. At verò quoniam totius lineæ BD (quæ compoſita eſt ex DE EX XB) tertia pars eſt ipſa DE. & tertia quo〈que〉 ipſa BX; reliqua igitur XE tertia est pars ipſius BD. & quoniam totius por­tionis centrum grauitatis est punctum H; magnitudinis verò ex v­tr〈que〉 portionibus AkB BLC compoſitæ centrum grauitatis est punctum 〈que〉 trianguli verò ABC est punctum E; erit triangulum ABC ad circumrelictas portiones AKB BLC, vt QH ad HE, triplum autem eſt triangulum ABC portionum. Cùm totaportio ABC ſeſqui­tertia ſit trianguli ABC, exceſſus verò, quo portio ABC ſupe­rat triangulum ABC, ſint portiones AKB BLC ſimul ſumptæ. tripla igitur est QH ipſius HE. ostenſa verò eſt etiam QH tripla ipſius QX. quare erit QX ipſi HE æqualis. & quo­niam HQ eſt tripla ipſius QX, erit HQ cum QX, hoc eſt tota BX quadrupla ipſius QX, hoc eſt ipſius HE. ſi­militer quoniam XH quadrupla eſt ipſius HE; quintupla i­gitur eſt XH cum HE, tota ſcilicet XE ipſius EH; hoc est DE ipſius EH. inuicem enim ſunt æquales EX ED, vt oſten­ſum eſt. Cùm ita〈que〉 ſit DE ipſius EH quintupla; erit DE cum EH ſextupla ipſius EH. Quare ſextupla est tota DH ipſius HE. & eſt BD ipſius DE tripla; ſequialtera igitur eſt BH ipſius HD. Quare centrum grauitatis H ita diuidit diame­trum BD, vtpars BH ad HD ſeſquialtera exiſtit. quod de monſtrare oportebat.

7. huius.

18.16 quinti

poſt primam huius.

33. primi

34, primi

1. lemma in 13. pri mi huius

lemma in ali ter 13 pri mi huius

poſt primam huius

4. primi huius.

7. huius.

18.quinti.

16.quinti.

A

19 quinti.

19.quinti.

B

1.lemma hui^{9}

ante 1;.pri mi huius.

8.primi huius.

2.lemma huius.

9.quinti.

3.lemma huius.

SCHOLIVM.

Ea verba in demonſtratione poſita nempè Hoc enim in fine demonſtratum eſt, vbi est ſignum hoc, H. ita credo eſſe intell igen­da, quòd ſcilicet Archimedes alicubi, & in fine, ſiue huius, ſi­ue alicuius alterius demonſtrationis, demonſtrauerit linea in BD quadruplam eſſe ipſius KF. & vbi hoc demonſtratum erat, ibi quo〈que〉 pro ſigno poſita fuerit littera H. quod qui­dem oſtenſum eſt à nobis paulò ante ſecundam huius propoſi tionem; vbi etiam appoſuim us pro ſigno hanc literam H.

A

Rurſum in demonſtratione paulò infra Archimedes dixit, Hoc enim demonstratum eſt, ſcilicet BD ipſius BS quadruplam eſſe. ſupponit autem hoc tanquam demonſtratum poſt pri­mam propoſitionem huius, vbi tota BD eſt ſexdccim, & BS qua tuor, vt eodem in loco oſtenſum fuità nobis. Vel ad ea re­ſpexit Archimedes, quæ ab ipſo in decimanona propoſitione de quadratura paraboles demonſtra ta fuerunt. vbi circa finem demonſtrationis oſtendit BD quadruplam eſſe ipſius BS.

B

Inuento ita〈que〉 centro grauitatis paraboles, vult Archime­des in ueſtigare centrum grauitatis fruſti à parabole abſciſſi. 〈que〉madmodum in primo libro poſt inuentionem centri grauitatis trianguli, adinuenit etiam centrum grauitatis trapezij. quod eſt tan quam fruſtum à triangulo abſciſsum. quare duo adhuc theoremata proponit, in quorum poſtremo, vbi ſit cem trum grauitatis fruſti demonſtrat. in ſe〈que〉nri verò quædam demonſtrat neceſſaria, vt huiuſmodi centrum determinare poſſit. Quoniam autem ſe〈que〉ns theorema arduum, difficile­què ſeſe offert; non nulla priùs quibuſdam lemmatibus oſtendemus, ne ſi in demonſtratione ea inſererentur, longa nimis euaderet, ac tædioſa demonſtratio. quæ quidem ſumma indiget attentione. quamquàm in hoc theoremate explicando ad vitandam obſcuritatem copioſum ſermonem adhibendum curauimus; ne breuitati ſtudentes obſcuriores eſſemus.

LEMMA. I.

Si qua tuor magnitudines in continua fuerint proportione, & earum exceſſus in eadem erunt proportione magnitudinum.

Sint quatuor magnitudines AF BH CL D in continua proportione; vt ſcilicet ſit AF ad BH, vt BH ad CL; & CL ad D. exceſſus verò, quo AF ſuperat BH, ſit EF. & exceſſus, quo BH ſuperat CL, ſit GH. exceſſus deni〈que〉, quo CL ſuperat D, ſit KL. eruntuti〈que〉 AE BH inter ſe ęquales, itidemquè BG CL æquales. Dico EF GH KL in eadem eſſe proportio ne, vt ſunt magnitudines AF BH CL, & vt BH CL D. Quo­niam enim tota AF ad totam BH eſt, vt BH ad CL; hoc eſt vt ablata EA ad ablatam GB. erit reliqua EF ad reliquam GH; vt AF ad BH. Pariquè ratione oſtendetur GH ad kL ita eſ­ſe, vt BH ad CL. ergo exceſſus EF GH KL in eadem ſunt proportione, vt magnitudines AF BH CL. quæ cùm ſint, vt magnitudines BH CL D, ſiquidem omnes in continua ſunt proportione; exceſſus igitur EF GH KL in eadem quo〈que〉 ſunt proportione, vt magnitudines BH CL D. quæ quidem demonſtrare oportebat.

19.quinti.

LEMMA. II.

Si tres fuerint magnitudines, & aliæ ipſis numero æquales, & in eadem proportione, in primis magnitudinibus prima; & ſecunda ad tertiam erunt, vt in ſecundis magnitudinibus prima & ſecunda ad tertiam.

Sint tres magnitudines ABC, & aliæ tres DEF in eadem pro­portione. Dico AB ſimul ad C ita eſſe, vt DE ſimul ad F. Quoniam enim A ad B eſt, ut D ad E, erit componendo AB ad B, ut DE ad E. ſed vt B ad C, ita eſt E ad F. ergo ex ęquali AB ſimul ad C eſt, vt DE ſimul ad F. quod demonſtrare opor tebat.

18,quinti.

22.quinti.

LEMMA. III.

Si fuerit AB ad AC, vt DE ad DF. Dico exceſſum BC ad CA ita eſſe, vt exceſſus EF ad FD.

cor.4.quinti

Quoniam enim eſt AB ad AC, vt DE ad DF, erit con- uertendo CA ad AB, vt FD ad DE. & per conuer ſionem rationis AC ad CB, vt DF ad FE. & rurſus conuertendo CB ad CA, vt FE ad FD. quod demon­ſtrare oportebat.

co.4.quinti.

ALITER.

Quoniam enim AB eſt ad AC, vt DE ad DF, erit conuer­tendo AC ad AB, vt DF ad DE. diuidendoquè CB ad BA, vt FE ad ED. eſt autem AB ad AC, vt DE ad DF, erit igitur ex æquali BC ad CA, vt EF ad FD. quod demonſtrare opor tebat.

17.quinti.

22,quinti.

LEMMA IIII.

Si fuerint quotcun〈que〉 magnitudines ABC, & nlię ipſis numero æquales DEF, & in eadem proportione. Dico vtram〈que〉 ſimul AD ad vtram〈que〉 ſimul BE, & vtram〈que〉 ſimul BE ad v­tram〈que〉 ſimul CF eandem habere proportionem, quam ha­bet A ad B, & B ad C.

Quoniam enim eſt A ad B, ut D ad E; erit AD ſimul ad BE ſimul, vt A ad B. ſimiliter quoniam B ad C eſt, vt E ad F, erit BE ſimul ad CF ſimul, vt B ad C. in eadem igitur ſunt proportione AD ſimul, & BE ſimul, & CF ſimul, vt ABC. quod demonſtrare oportebat.

12.quinti.

LEMMA. V.

Si magnitudo magnitudinis fuerit ſeſquialtera ad tres quintas eiuſdem erit duplex ſeſquialtera.

Sit AB ipſius CD ſeſquialtera. ſit uerò CE tres quintæ ipſius CD. Dico AB ad CE ita eſſe, vt quin〈que〉 ad duo. Fiat EF ęqualis EC, erit CF ſex quintæ ipſius CD. & quoniam AB i­pſius CD eſt ſeſquialtera, ſuperabit AB ipſam CD dimidia ipſius CD. erit igitur AB ſeptem quintæ cum dimidia i­pſius CD. quare CF minor eſt AB. fiat igitur AG æqua­lis CF. erit vti〈que〉 AG ſex quintę ipſius CD. & ob id GB ipſius CD quinta eſt pars cum dimidia. & quoniam CE eſt eiuſdem CD tres quintæ, erit BG dimidia ipſius CE. qua­re GB ipſam CE bis metietur. Et quoniam EF eſt æqua­lis ipſi EC, ipſa BG bis quo〈que〉 metietur ipſam EF. quare totam CF, hoc eſt ipſam AG quater metietur. at verò GB ſei­pſam ſemel metitur ipſa igitur GB totam AB quinquies metie­tur. Ex quibus li〈que〉t GB ipſarum ABCE communem eſſe menſuram. Et eſt quidem AB quintupla ipſius BG; ipſa verò CE eiuſdem BG dupla. erit AB ad CE, vt quintupla ad duplam. hoc eſt duplex ſeſquialtera. quod demonſtrare oportebat.

PROPOSITIO. VIIII.

Si quatuor lineæ in continua fuerint proportio­ne, & quam proportionem habet minima ad exceſ ſum, quo maxima minimam ſuperat; eandem ha­beat quædam aſſumpta linea ad tres quintas exceſ­ſus, quo maxima proportionalium tertiam exce­dit: quam verò proportionem habet linea æqualis duplæ maximæ proportionalium, & quadruplæ ſe cundæ, & ſextuplæ tertiæ, & triplæ quartæ ad lineam æqualem quintuplæ maximæ, & decuplæ ſecundæ, & decuplæ tertiæ, & quintuplæ quartæ, ean-­dem habeat quædam aſſumpta linea ad ex ceſſum, quo maxima proportionalium tertiam ſuperat; vtræ〈que〉 ſimul aſſumptæ lineæ erunt duæ quin­tæ maximæ.

Sint quatuor lineæ proportionales AB BC BD BE, ita vt AB ad BC ſit, vt BC ad BD. & vt BC ad BD, ita ſit BD ad BE. & quam proportionem habet BE ad E A, eandem habeat FG adtres quintas ipſius AD. quam autem proportionem habet linea æqualis duplæ i­pſius AB, & quidruplæ ipſius BC, & ſextuplæ ipſi^{9} BD, & triplæ ipſi^{9} BE, ad lineam æqualem quintuplæ ipſi^{9} AB, ot decuplæ ipſi^{9} CB, & decuplæ ipſi^{9} B D, & quintuplæ ipſius BE, eandem habeat GH ad AD. Oſtedendum est FH duasquintas eſſe ipſius AB. Quoniam enim proportiona­les ſunt AB BC BD BE, & ipſarum exceſſus AC CD DE in eadem erunt proportione. & quoniam magnitudines AB BC BD in continua ſunt proportione, & earum exceſſus AC CD DE in eadem erunt proportione. quia verò tres ſunt magnitudi­nes proportionales AB BC BD; & alię ipſis numero çquales, & in eadem proportione AC CD DE, erit in primis magnitu­dinibus prima, & ſecunda ad tertiam, vt in ſecundis magni­tudinibus prima, & ſecunda ad tertiam; hoc eſt vtra〈que〉 ſimul AB BC ad BD eandem habebit proportionem, quam vtra〈que〉 ſimul AC CD, hoc eſt AD ad DE; & ob eandem rationem cum tres ſint proportionales magnitudines AC CD DE, aliçquè eodem modo proportionales BC BD BE; crit vtra〈que〉 ſimul AC CD, hoc eſt AD ad DE, vt vtra〈que〉 ſimul BC BD ad EB. & omnes adomnes, quoniam ſcilicet eſt vtra〈que〉 ſimul AB BC ad BD, vt horum dupla; erit vtra〈que〉 ſimul AB BC ad BD, vt dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BC ad duplam ipſius BD. eſt autem vtra〈que〉 ſimul AB BC ad BD, vt AD ad DE. erit igitur AD ad DE, vt dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BC ad duplam ipſius BD. quia veròita etiam eſt AD ad DE, vtvtra〈que〉 ſimul CB BD ad BE; erit dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BC ad duplam ipſius BD, vt vtra〈que〉 ſimul CB BD ad BE. & vtra〈que〉 antecedentia ad vtra­〈que〉 conſe〈que〉ntia in eadem erunt proportione: eruntquè in antecedenti duę AB, tres BC, & ſola BD. in conſe〈que〉nti verò erunt duæ BD cum ſola BE. erit igitur dupla ipſius AB, & tri pla ipſius CB cum ſola BD ad duplam ipſius BD cum ſola BE, vt vtra〈que〉 ſimul CB BD ad BE. vtra〈que〉 verò ſimul CB BD ad BE eſt, vt AD ad DE. eandem ergo proportionem habet AD ad DE, quam linea æqualis duplæ ipſius AB, & triplæipſius CB, & ſoli DB adlineam æqualem duplæ ipſius BD & ſoli BE. Quoniam au­tem linea compoſita ex dupla ipſius AB, & quadrupla ipſius CB, & quadrupla ipſius BD, & dupla ipſius BE, maior eſt ea, quæ compoſita eſt ex dupla ipſius AB, & tripla ipſius CB, & ſola BD; maiorem habebit proportionem compoſita ex du­pla ipſius AB, & quadrupla ipſius CB, & quadrupla ipſius BD, & dupla ipſius BE ad compoſitam ex dupla ipſius BD cum ſola BE, quam compoſita ex dupla ipſius AB, & tripla ipſius CB cum ſola BD ad eandem compoſitam ex dupla ipſius BD cum ſola EB. compoſita verò ex dupla ipſius AB, & tripla ipſius BC cum ſola BD ad duplam ipſius BD cum ſola BE ita oſtenſa eſt ſe habere AD ad DE. compoſita igitur ex dupla i­pſius AB, & quadrupla ipſius BC, & quadrupla ipſius BD, & dupla ipſius BE ad compoſitam ex dupla ipſius BD cum ſola BE maiorem habebit proportionem, quam AD ad DE. Quam ita〈que〉 proportionem habet linea æqualis duplæ ipſius AB, & quadruplæ ipſius BC, & quadruplæ ipſius BD, & duplæ ipſius BE ad lineam æqualem duplæ ipſius DB, & ad EB, eandem habebit AD adminorem ipſa DE. habeat igitur ad DO. & quonianita ſe habet AD ad DO, vt compo ſita ex dupla ipſius AB, & quadrupla ipſius BC, & quadrupla ipſius BD, & dupla ipſius BE, hoc eſt compoſita ex dupla vtriuſ- 〈que〉 ſimul AB BE, & quadrupla vtriuſ〈que〉 ſimul BC BD. (bis enim aſſumitur AB, & bis BE, quater verò BC, & quater BD) ad compoſitam ex dupla ipſius BD cum ſola BE; erit conuer­rendo, ut OD ad DA, ita compoſita ex dupla ipſius BD cum ſo­la BE ad compoſitam ex dupla utriuſ〈que〉 ſimul AB BE, & qua­ drupla vtriuſ〈que〉 ſimul BCBD. et vtræ〈que〉 ad primas eandem habe bunt proportionem. hoc eſt componendo erit OA ad AD, vt con­poſita ex dupla ipſius BD cum ſola BE, & dupla vtriuſ〈que〉 ſi­mul AB BE, & quadrupla vtriuſ〈que〉 ſimul BC BD ad compo­ ſitam ex dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE, & quadrupla vtrius〈que〉; ſimul BC BD. In hoc autem antecedente bisſumitur AB, qua ter BC, ſexies verò BD, & ter BE. habebit igitur OA ad AD ean­demproportionem, quam linea æqualis duplæipſius AB, et quadruplæi­pſius CB, et ſextuplæ ipſius BD, ettriplæ ipſius BE ad lineam compoſi­tam ex dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB EB, et quadrupla vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD. babet autem (vt ſuppoſitum eſt) GH ad AD eandem proportionem, quam linea æqualis duplæ ipſius AB, & qua­druplæ ipſius BC, & ſextuplæ ipſius BD, & triplæ ipſius BE ad lineam æqualem quintuplæ ipſius AB, & decuplæ ipſius CB, & decuplæ ipſius BD, & quintuplæ ipſius BE, hoc eſt ad quintuplam vtriuſ〈que〉ſimul AB BE cum decupla vtriuſquè ſimul CB BD. In conſe〈que〉nti.n.quinquies aſsumpta eſt AB, & quinquies BE, decies CB, & decies BD. & conuettendo habebit AD ad GH eandem proportionem, quam quintupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE cum decupla vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD ad lineam compoſitam ex dupla i­pſius AB, & quadrupla ipſius CB, & ſextuplaipſius BD, & triplai­pſius EB. Diſsimiliter autem quàm in proportionibus ordinatis, hoc est in perturbata proportione quoniam in primis magnitudinibus ita ſe habet antecedens OA ad conſe〈que〉ns AD, vt in ſecundis ma gnitudinibus antecedens compoſita nempè ex dupla ipſius AB, & quadrupla ipſius BC, & ſextupla ipſius BD, & tripla ipſius BE, ad conſe〈que〉ns lineam ſcilic et compoſitam ex du­pla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE, & quadrupla vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD: ut autem in primis magnitudinibus conſe〈que〉ns AD ad aliud quippiam GH, ita in ſecundis magnitudinibus aliud quippiam, nempèlinea compoſita ex quintupla vtriuſ〈que〉 ſi­mul AB BE cum decupla vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD ad antece­dens, hoc eſt ad compoſitam ex dupla ipſius AB, & quadru­pla ipſius CB, & ſextupla ipſius BD, & tripla ipſius BE. quare ex æquali eandemhabet proportionem OA ad GH, quam quintupla v- triuſ〈que〉 ſimul AB BE cum decupla vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD ad compoſitam ex dupla vtrius〈que〉; ſimul AB BE, et quadrupla vtrius〈que〉; ſimul CB BD. At verò quoniam quintupla ipſius AB ad duplam eiuſdem AB eſt, vt quin〈que〉 ad duo; ſimiliter quintupla ipſi^{9} BE ad duplam eiuſdem BE eſt, vt quin〈que〉 ad duo, erit quin­tupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE ad duplam vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE, vt quin〈que〉 ad duo. pariquè ratione decupla vtriuſ〈que〉 ſi­mul CB BD ad quadruplam vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD eſt, vt decem ad quatuor, hoc eſt vt quin〈que〉 ad duo. & antecedentia ad conſe〈que〉ntia in eadem erunt proportione, hoceſt compoſi­ta ex quintupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE cum decupla vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD ad compoſitam ex dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE, & quadrupla vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD proportionem habet, quam quin〈que〉 ad duo Quare OA ad GH proportionem habet, quam quin〈que〉 ad duo. Rurſusfactum fuit AD ad DO, vt compoſita ex dupla vtriuſ〈que〉 ſi­mul AB BE cum quadrupla vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD ad lineam BE vnà cum dupla ipſius BD. conuertendo etiam quoniam in primis magnitudinibus antecedens OD ad conſe〈que〉ns DA eandem habet proportionem, quam in ſecundis magnitudinibus antecedens EB cum dupla ipſius BD ad conſe〈que〉ns, lineam ſcilicet æ­qualem lineæ compoſitæ ex dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE cum quadru­pla vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD; est autem (vt antea oſtenſum eſt) & in primis magnitudinibus conſe〈que〉ns AD ad aliud quippiam DE, vt in ſecundis magnitudinibus aliud quippiam, linea ſcilicet compoſita ex dupla ipſius AB, & tripla ipſius CB, & ſola BD ad antecedens, nempè lineam æqualem ipſi EB, & duplæ ipſius BD. Non igitur perinde, vt in proportione ordinata; hoc est, perturbata exiſtem te proportione, ex æqualiest OD ad DE, vt duplaipſius AB cum tripla ipſius BC & ſola BD ad compoſitam ex dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE, & quadrupla vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD. ſuperat verò DE ipſam DO exceſſu OE; linea verò compoſita ex dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE, & quadrupla vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD lineam excedit compoſitam ex dupla ipſius AB cum tripla ipſius BC, ac ſola BD, exceſſu lineæ, quæ ſit æqualis ſoli CB cum tripla ipſius BD, & dupla ipſius BE. Quare est EO ad ED, vt CB cum tripla ipſius BD, & dupla ipſius EB ad duplam vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE, & quadruplam vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD. est autem in lineis pro- portionalibus initio expoſitis; cùm in continua ſint propor­tione, tertia in ordine BD ad quartam BE, vt prima AB ad ſecundam BC, quare diuidendo vt DE ad EB, ita AC ad CB. Rurſus quoniam in lineis proportionalibus ob eandem cauſam CB ad BD ita eſt, vt DB ad BE; erit diuidendo, vt CD ad DB, ita DE ad EB. ego vt DE ad EB, ita AC ad CB, & CD ad DB. ac propterea ſecundum multiplicem compoſitio nemtripla ipſius CD, adtriplam ipſius DB eſt, vt ſola CD ad ſo­lam DB. & dupla ipſius DE ad duplam ipſius EB eſt, vt DE ad EB. eſt verò CD ad DB, vt DE ad EB, & AC ad CB; erit igitur AC ad CB, vt tripla ipſius CD ad triplam ipſius DB; & vt dupla ipſius DE ad duplam ipſius EB. Quare & tria antecedentia ſimul ad tria ſimul conſe〈que〉ntia, hoc eſt, compoſita ex AC, & tripla ipſius CD, & dupla ipſius DE ad compoſitam ex CB, & tripla ipſius DB, & dupla ipſius EB ita erit, vt AC ad CB, hoc eſt, DE ad EB. Rurſus ita〈que〉 diſsimili modo, quàm in proportionibus ordinatis, hoc est in perturbata proportione,quoniam eſt in primis magnitudinibus antecedens OE ad conſe〈que〉ns ED, ita in ſecundis magnitudinibus an tecedens compoſita ſcilicet ex CB, cum tripla ipſius BD, & dupla ip­ſius EB, ad conſe〈que〉ns nem pè compoſitam ex dupla vtriuſ­〈que〉 ſimul AB BE, cum quadrupla vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD: in primis verò magnitudinibus conſe〈que〉ns DE ad aliud quip piam EB eſt, vt in ſecundis magnitudinibus aliud quippia, hoc eſt compoſita ex AC cum tripla ipſius CD, & dupla ip­ſius DE ad antecedens, lineam ſcilicet compoſitam ex CB cum tripla ipſius BD, & dupla ipſius EB. ex æquali eandem habebit proportionem EO ad EB, quam AC cum tri pla ipſius CD, & dupla ipſius DE ad duplam vtriuſ 〈que〉 ſimul AB BE cum qnadrupla vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD. & componendo erit OB ad BE, vtlinea AC cum tripla ipſius CD, & dupla ipſius DE, & dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE, & quadrupla vtriuſ〈que〉 ſi­mul CB BD, ad duplam vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE cum quadrupla vtriuſ〈que〉 ſrmul CB BD. In hoc autem antecedente aſſumitur ſola AC, ter CD, bis DE, bis AB, bis BE, quater CB, & quater BD. Duæ verò AB vnà cum ſola AC, & ſola. CB, ex quatuor vicibus, quibus ip­ſa CB ſumitur, ſunt æquales tribus AB. tres autem CB, quæ relictæ ſunt, vnà cum tribus CD, & tribus BD ex quatuor vicibus, quibus ipſa BD ſumitur, ſunt æ­quales ſex CB. ſola verò BD, quæ relicta fuit, vnà cum duabus DE, & duabus BE, eſt æqualis tribus BD. linea nimirum AC cum tripla ipſius CD, & dupla ipſius DE, & dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE, & quadrupla vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD, æqualis erit tri­plæ ipſius AB, cum ſextupla ipſius CB, & tripla ip­ſius BD. Tota igitur OB ad EB eandem habet proportio­nem, quam linea æqualis triplæ ipſius AB cum ſextupla ip­ſius CB & tripla ipſius BD ad duplam vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE cum quadrupla vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD. & quoniam initio oſtenſum fuit lineas AC CD DE in eadem eſſe proportione, vt ſunt quatuor lineæ continuè pro­portionales AB BC BD BE; erunt tres AC CD DE, & tres AB BC BD, & tres BC BD BE in eadem proportione. conuertendo igitur in eadem quo­〈que〉 erunt proportione. quare tres ED DC CA, & tres BE BD BC, & tres BD BC BA in eadem ſunt proportione. Quoniam autem BE BD BC ita ſe habent, vt BD BC BA; vtra〈que〉 ſimul BE BD advtram〈que〉 ſimul BD BC, & vtra〈que〉 ſimul BD BC ad vtram〈que〉 ſimul BC BA ita ſe habebunt, vt BE BD BC. hæ verò BE BD BC ſunt, vt ED DC CA. ergo & vtra〈que〉 ſimul vna〈que〉〈que〉 ipſarum EB BD, DB BC, CB BA, ita ſe habebunt, vt ED DC CA. quare erit & antecedens ED ad ſuas conſe〈que〉ntes DC CA ſimul ſumptas, hoc eſt ad DA, vt antecedens vtra〈que〉 ſimul EB BDad ſuas conſe〈que〉ntes, nempè ad vtran〈que〉 ſimul DB BC cum vtra〈que〉 ſimul CB BA. & componendo EA ad AD, vt vtra〈que〉 ſimul EB BD cum vtra〈que〉 ſimul AB BC, & vtra〈que〉 ſimul CB BD ad vtram〈que〉 ſimul BD BC cum vtraue ſimul CB BA. In hoc autem antecedenti ſemel ſumitur EB, & ſemel AB, bis BD, & bis BC. in conſe〈que〉ntive rò ſumitur ola BD, ſolaquè BA, & bis BC. Proportio igitur ipſarum EA AD eſt eadem, quæ est vtra〈que〉 ſimul EB BA cum dupla vtriuſ〈que〉 ſimul DB BC ad vtram〈que〉 ſimul BD BA cum dupla ipſius BC. Quare & dupla ad duplam eandem habebit proportionem hoc est, vt EA ad AD, ita dupla vtriuſ〈que〉 ſimul EB BA cum quadru­pla vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD ad duplam vtriuſ〈que〉 ſimul AB BD cum quadrupla ipſius CB. Quapropter EA adtres quintas ipſius AD eſt, vt compoſita ex dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE, & qua- drupla utrivs〈que〉 ſimul CB BD ad tres quintas lineæ compoſitæ ex dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BD, & quadruplaipſius CB. Ve­rùm quia initio aſſumptum fuitita eſſe BE ad EA, vt FG ad tres quintas ipſius AD, erit conuertendo EA ad EB, vt tres quintæ ipſius AD ad FG; permutandoquè vt EA ad tres quintasipſius AD, ſic eſt EB ad FG, vtigitur EB ad FG, ſic dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE cum quadrupla vtriuſ〈que〉 ſimul DB BC ad tres quintas lineæ compoſitæ ex dupla vtriuſ〈que〉 ſi­mul AB BD cum quadrupla ipſius CB. osten ſum eſt aut OB ad EB ita eſſe, vt tripla ipſius AB cum ſextupla ipſius CB, & tripla i­pſius BD ad duplam vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE cum quadrupla vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD. At in hoc antecedente ter aſſumpta eſt AB, terquè BD, & ſexies CB. erit ita〈que〉 in primis magni­tudinibus antecedens OB ad conſe〈que〉ns EB, vt in ſecundis magnitudinibus an recedens tripla ſcilicet vtriuſ〈que〉 ſimul AB BD cum ſextupla ipſius CB ad conſe〈que〉ns nempè duplam v­triuſ〈que〉 ſimul AB BE, & quadruplam vtriuſ〈que〉 ſimul CB BD. in primis verò magnitudinibus eſt conſe〈que〉ns EB ad aliud quippiam FG, ut in ſecundis magnitudinibus conſe〈que〉ns, hoc eſt dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BE cum quadrupla vtriuſ­〈que〉 ſimul DB BC ad aliud quippiam, nempè ad tres quintas lineæ compoſitę ex dupla vtri^{9} 〈que〉; ſimul AB BD cum quadrupla i­ pſi^{9} CB. Ex æquali igitur eſt, ut OB ad FG, ita linea compoſita ex tripla utrius〈que〉 ſimul AB BD, et ſextuplaipſi^{9} CB ad tres quintas lineæ compoſi tæ ex dupla utri^{9} 〈que〉; ſimul AB BD, & quadrupla ipſius CB. at uerò tri pla ipſius AB ad duplam eiuſdem AB eſt, vt tria ad duo. ſimiliter tripla ipſius BD ad duplam eiuſdem BD eſt, vt tria ad duo. pariquè ratione ſextupla ipſius CB ad quadruplam ciuſdem, CB ita ſe habet, vt ſex ad quatuor, hoceſt tria ad duo, & om­nesad omnes, hoc eſt compoſita ex tripla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BD, et ſextupla ipſius CB ad compoſitam ex dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BD, & quadrupla ipſius CB proportionem habet, quam tria ad duo. vt exem pli gratia quindecim ad decem, ſed eadem compoſita ex tri­pla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BD, & ſextupla ipſius CB ad tres quin­tas eiuſdem compofitæ ex dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BD, & qua drupla ipſius, CB, quæ poſita eſt decem, proportionem habet, quam quin〈que〉 ad duo. hoc eſt ut quindecim ad ſex, tres enim quintæ ipſius decem ſunt ſex. at verò proportio, quam habet linea com poſita ex tripla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BD, & ſextupla ipſius CB ad tres quintas lineæ compoſitę ex dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BD cum quadrupla ipſius CB, eſt æqualis ei, quam habet OB ad FG. ergo erit OB ad FG, vtquin〈que〉 ad duo. Demonstratum autem eſt, & AO ad GH proportionem habere, quam quin〈que〉 ad duo; totaigitur BA ad totam FH proportionem habet, quam quin〈que〉 ad duo. ſiautem hoc, eſt quidem FH duæ quintæ ipſius AB. Quod oportebat demonſtrare.

1.lemma hu­ius.

2. lemma buius.

1.lemma hu­ius.

2. lemma huius.

11. quinti.

12. quinti.

11, quinti.

8.quinti.

ex 8. quinti

co.4.quinti

18, quinti.

co.4.quinti.

23. quinti.

12, quinti.

co.4.quinti

23.quinti.

3.lemma huius.

17. quinti.

A

12.quinti.

23.quinti.

18.quinti.

cor.4.quĩ ti.

4.lema huius.

cor.2.lem. in 13. pri­mi huius.

18.quinti.

B

co.4.quinti.16,quinti.11. quinti.

22.quinti.

C

D

5.lemma huius.

12.quinti.

SCHOLIVM.

Græcus codex poſt ea verba, vt DE ad EB, ita AC ad CB, non habet, & CD ad DB, quæ ob ea, quæ ſequuntur, omninò neceſſaria videntur. ideo poſt gręca verba, e)/side\ka w(s de w_<10>o\s eb, ou)/tws a)/te ag w_<10>o\s, gb deſiderarividentur. ka a(= gd w_<10>o/s db.

A

Vbiautem ſuntverba, vt compoſita ex dupla vtriuſ〈que〉 ſimul, Græ cus codex tantùm habet, ou)\tws a) sugkeime/na e)\xte ta=s suuamfote<10>ou. In quibus deſideratur illa particula, dupla, ideo corrigendus eſt hoc modo, ou)/tws a\ sugkeime/na e)\kte ta=s b suuamfote/<10>ou, &c.

B

Præterea cùm inquit, ex æqualiigitur eſt vt OB ad FG, Græ­ cus non habet, ad FG, idcirco poſt ea verba kai\ di\sou a)/<10>a e)sin co(s a ob addenda ſunt w_<10>o\s zk.

C

Similiter quando in quit ad compoſitam ex dupla vtriuſ〈que〉 ſimul AB BD, & quadrupla ipſius CB, græca verba ſunt w_<10>o=s me\n ta\n sug­keimnan e)/kte ta=s b sunamfote\<10>ou ta=s ab bd ta=s *gb, in quib^{9} ſimiliter deli­deratur, & quadrupla. quare ita corrigendus videtur. w_<10>o\s me\n ta/n sugkeime\nan e)/ k te tas b sunamfote/<10>ou ta=s ab bd, kai\ d ta)/s *gb,

D

Poſtremum theorema, & ſi non habeat tantam obſcuritatem, veluti pręcedens, non eſt tamen ſine aliqua obſcuritate, ob cuius intelligentiam hanc priùs propo ſitionem oſtendemus.

PROPOSITIO.

Si duæ fuerint rectæ lineę in para bolc ad diametrum ordi natim applicatæ, erit maior parabole ad minorem, vt cubus ex dimidia lineę maioris ad cubum ex dimidia minoris.

In parabole ABC, cuius diameter BF, duæ ſint rectæ lineæ ad diametrum applicatæ AC DE. Dico parabolen ABC ad parabolen DBE eandem habere proportionem, quam cub^{9} ex AF ad cubum ex DG. lungantur AB BC DB BE; ſecet- què AB ipſam DG in H. Quoniam enim parabole ABC ſeſquitertia eſt trianguli ABC, itidemquè parabole DBE trianguli DBE ſeſquitertia exiſtit, erit parabole ABC ad trian gulum ABC, vt parabole DBE ad triangulum DBE. & per­mutando parabole ABC ad parabolen DBE, vt triangulum ABC ad triangulum DBE. Quoniam autem AC ordina­tim eſt applicata, vnde AF ipſi FC eſt æqualis, ac per conſe­〈que〉ns AF eſt ipſius AC dimidia. erit triangulum ABF dimi­dium trianguli ABC. cùm vtraquè ſub eadem ſint altitudine. eademquè ratione triangulum DBG trianguli DBE dimi­dium exiſtit. quare vt triangulum ABF ad triangulum DBG, ita eſt triangulum ABC ad DBE triangulum, ac pro­pterea triangulum ABF ad DBG triangulum eſt, vt parabo­le ABC ad parabolen DBE. Cùm autem ſit HG æquidiſtans ipſi AF, ſiquidem ſunt ordinatim applicatæ, ob triangulorum ſimilitudinem ABF HBG, ita erit FB ad BG, vt AF ad HG vt autem FB ad BG, ita quadratum ex AF ad quadratum ex DG, erit igitur quadratum ex AF ad quadratum ex DG, vt AF ad HG. quare lineę AF DG HG ſunt proportionales. Pro­ducatur FB, ducaturquè à puncto D ipſi AB æquidiſtans DK, erit vtiquè triangulorum ABF DKG anguli ABF DHG æquales, & angulus AFB angulo DGK eſt æqualis, erit igitur, & reliquus BAF reliquo KDG æqualis, ac propterea triangulum ABF eſt triangulo DKG ſimile. quare triangu­lum ABF ad triangulum DKG eam habet proportionem, quàm AF ad DG duplicatam, hoc eſt quàm AF ad HG, quę eſt ea, quàm habet FB ad BG. atqui triangulum ABF ad DKG eam quo〈que〉 habet proportionem, quam FB ad GK duplicatam. tres igitur lineę FB GK GB ſunt proportiona­les. ex quibus ſequiturita eſſe FB ad GK, vt AF ad DG; & GK ad GB, vt DG ad GH. ſed quoniam triangulum GDK ad GDB (cùm ſint ſub eadem altitudine) ita eſt, vt KG ad BG, ſi igitur fiat HG ad L, vt KG ad BG, erit triangulum GDK ad triangulum GDB, vt HG ad L. Cùm autem ſit triam gulum ABF ad DKG, vt AF ad HG, eſtquè triangulum DKG ad DBG, vt HG ad L, erit ex ęquali triangulum ABF ad triangulum DBG, vt AF ad L. ac propterea parabole ABC ad parabolen DBE eam habet proportionem, quam linea AF ad lineam L. Quoniam autem ita eſt KG ad GB, vt HG ad L, & vt eadem KG ad GB, ita eſt DG ad GH. vt verò DG ad GH, ita eſt AF ad DG; crunt quatuor lineæ AF DG HG L in continua proportione. & quoniam cubi in tri­pla ſunt proportione laterum, erit cubus ex AF ad cubum ex DG, vt AF ad L. cubus ergo ex AF ad cubum ex DG eam habet proportionem, quam parabole ABC ad parabolen DBE. quod demonſtrare oportebat.

17.34. Ar ch.de qua. par.

16. quinti.

ex prima ſextt.

ex 4.ſexti.

20. primi conicorum Apoll. & ex3. Arch. de quad. parab. ex cor. 20. ſexti.

1.ſexti.11.quintl.

Oportet autem banc quoquè propoſitionem nobis eſſe cogni tam, nem pè quòd ſolida parallelepipeda in eadem baſi conſti tuta eam inter ſe proportionem habent, quam ipſarum alti­tudines.

Hoc quidem à Federico Commandino in eius libro de centro grauitatis ſolidorum propoſitione decimanona demon­ſtratum fuit.

PROPOSITIO. X.

Omnis fruſti à rectanguli coni portione abſciſſi centrum grauitatis eſt in recta linea, quæ fruſti dia­meter exiſtit, ita poſitum, vt diuiſa linea in quin­〈que〉 partes æquales, ſit in quinta parte media; ita vt ipſius portio propinquior minoribaſi fruſti ad reliquam portionem eandem habeat proportio­nem, quam habet ſolidum baſim habens quadra­tumex dimidia maioris baſis fruſti, altitudinem autem lineam æqualem vtri〈que〉 ſimul duplæ mino­ris baſis, & maiori ad ſolidum baſim habens qua­dratum ex dimidia minoris baſis fruſti, altitudinem autem lineam æqualem vtri〈que〉 duplæ maioris, & minori.

Sit in rectanguli coni portione ABC duæ rectæ lineæ AC DEæquidiſtantes. diameter verò portionis ABC ſit BF. Intelli­gaturquè fruſtum ADEC à portione ABC abſciſſum. om­nes vti〈que〉 lineæ ipſis AC DE æquidiſtantes in fruſto AD EC ductæ, erunt à linea GF bifartam diuiſæ, ex quo pa­tet quidem & ipſius ADEC diametrum eſſe GF, lineasquè AC DE lineæ portionem in B contingenti æquidistantes eſſe. Recta verò linea FG in quin〈que〉 partes æquales diuiſa, quinta pars me­dia ſit HK. at〈que〉 diuidatur HK in I, ita vt HI ad IK eandem habeat proportionem, quam habet ſolidum baſim habens quadratum ex AF, altitudinem verò lineam æqualem vtriſ〈que〉 ſimul duplæ ipſius DG, & ipſi AF, ad ſolidum, quod baſim habeat quadratum ex DG, altitudinem autem lineam æqua- lem vtriſ〈que〉 duplæ ipſius AF, & ipſi DG. ostenden­dum est frusti ADEC centrum grauitatis eſſe punctum 1. ſit quidem ipſi FB æqualis MN, ipſi verò GB æqualis NO. ſumaturquè ipſarum MN NO media proportionalis NX. quarta verò proportionalis TN. lineæ nimirum MN NX NO NT in continua erunt proportione. & vt TM ad TN, ita fiat FH ad quandam lineam à puncto I, vt R, vbi­cun〈que〉 perueniat alterum punctum R. nihil enim refert, ſiue inter FG, ſiue inter GB cadat. & quoniam in portione rectanguli coniABC diameter portionis est FB; at verò BF, vel prin­cipalis est diameter portionis, vel ducta diametro æquidistans. lineæ verò AF DG ad ipſam ordinatim ſunt ap­plicatæ, cùm ſint æquidistantes contingenti portionem in puncto B. ſi autem hoc, est vt AF ad DG potentia, ſic FB ad BG longitudine, hoc est MN ad NO. vt autem MN ad NO longitudine, itaest MN ad Nx potentia.quandoquidem treslineæ MN NX NO ſunt proportio­nales. vt igitur AF ad DG potentia, ita est MN ad N X potentia. quare, & longitudine in eadem ſunt proportione; vt ſcili cet AF ad DG, ita MN ad NX. ſieist ita〈que〉 cubus ex AF ad cubum ex DG, ita cubus ex MN ad cubum ex NX. Verùm vt cubus ex AF adcubum ex DG, ſic portio ABC ad portio­nem DBE. vtigitur cubus ex MN ad cubum ex NX, ita portio ABC ad portionem DBE. ſicut autem cubus ex MN ad culum ex Nx, ita MN ad NT. cùm ſint quatuor lineæ MN NX NO NT in continua proportione. ac propterea eritportio ABC ad portionem DBE, vt MN ad NT. Quare & diuidendo frustum ADEC ad portionem DBE eſt, vt MT ad NT. Quia vero, vt factum fuit, ità eſt MT ad TN, vt FH ad IR, eſt verò FH ipſius FG tresquintæ, erit fru­ſtum ADEC ad portionem DBE, vt FH ad IR hoc est tres quintæ ipſius GF ad IR. & quoniam ſolidum baſim habens qua­dratum ex AF, altitudinem verò lineam compoſitam ex dupla ipſius DG, & ipſa AF, ad cubum ex AF proportionem habet, quam ſo lidi altitudo ad altitudinem cubi, ſiquidem ſunt in eadem ba ſi. tàm emm ſolidum, quàm cubus baſim habet quadratum ex AF. idcirco ſolidum baſim habens quadratum ex AF, altitudinem verò lineam compoſitam ex dupla ipſius DG, & ipſa AF ad cubum ex AF eam proportio nem habebit, quamſolidi altitudo, dupla, ſcilicet ipſius DG cumlinea AF ad alci­tudinem cubi, hoc eſt ad FA. Atverò quoniam oſtenſum eſt ita eſſe AF ad DG, vt MN ad NX, eritconuertendo DG ad AF, vt NX ad MN, & antecedentium dupla, hoc eſt dupla ipſius DG ad AF, vt dupla ipſius NX ad MN. & com­ponendo dupla ipſius DG cum AF ad AF, vt dupla ipſius NX cum MN ad MN. Quare & vt ſolidum baſim habens quadratum ex AF, altitudinem verò lineam compoſitam ex dupla ipſius DG cum AF ad cubum ex AF, ita dupla ipſius NX cum linea NM ad NM. est autem cubus ex AF adcubum ex DG, vt cubus ex MN ad cubum ex NX, vt oſtenſum eſt, cubusverò ex MN ad cubum ex NX eſt, vt MN ad NT; erit & vt cubus ex AF ad cubum ex DG, ita MN ad NT. ſicut autem cubus ex DG ad ſolidum baſim habens quadratum ex DG, altitudinem verò lineam compoſitam ex dupla ipſius AF, cum linea DG, ita altitudo cubi ad altitudinem ſolidi, cum ſint in ea­dem baſi, quadrato nempè ex DG. erit igitur vt cubus ex DG ad ſolidum baſim habens quadratum ex DG, altitudi­nem verò lineam compoſitam ex dupla ipſius AF cum linea DG, ita cubi altitudo DG ad altitudinem ſolidi, ad lineam ſcilicet compoſitam ex dupla ipſius AF, & linea DG. Quoniam autem ita eſt AF ad DG, vt MN ad NX, vt verò MN ad NX, ita NO ad NT. cùm ſint MN NX NO NT in continua proportio ne, crit AF ad DG, vt NO ad NT. & antecedentium dupla, hoc eſt, dupla ipſius AF ad DG, vt dupla ipſius NO ad NT, & componendo, dupla ipſius AF cum DG ad DG, vt dupla ipſius NO cum NT ad NT. & conuer­tendo DG ad duplam ipſius AF cum DG, vt NT ad du­plam ipſius NO cum NT. Quare & vt ſe habet cubus ex DG ad ſolidum baſim habens quadratum ex DG, altitu­dinem verò compoſitam ex dupla ipſius AF cum DG, ita eſt TN ad compoſitam ex dupla ipſius ON, & linea TN. Ita­〈que〉 ex ijs, quæ dicta ſunt, ita ſe habet ſolidum baſim ha­bens quadratum ex AF, altitudinem verò lineam com­poſitam ex dupla ipſius DG, & linea AF ad cubum ex AF, vt dupla ipſius NX cum NM ad MN, cubus verò ex AF ad cubum ex DG eſt, vt MN ad NT; ita deinde ſe habetcubus ex DG ad ſolidum ba­ſim habens quadratum ex DG, altitudinem verò lineam compoſitam ex dupla ipſius AF, & ipſa DG, vt NT ad compoſitam ex dupla ipſius NO, & ipſa NT. Sunt igitur quatuor magnitudines ſolidum baſim habens quadratum ex AF, altitudinem verò lineam compoſitam ex dupla ipſius DG, & linea AF, & cubus ex AF, & cubus ex DG, & ſolidum baſim habens quadratum ex DG, altitudinem verò lineam compoſitam: ex dupla ipſius AF, & ipſa DG, quatuor magnitudinibus proportionales, duabus ſimul ſumptis tineæ compoſitæ ex dupla ipſius NX & ipſa NM; & alte­ri magnitudini MN; aliiquè deinceps NT, ac tandem lineæ compoſitæ ex duplaipſius NO, & ipſa NT. ex æquali igitur erit, vt ſolidum baſim habens quadratum ex AF, altitudinem autem lineam compoſitam ex dupla ipſius DG, & ipſa AE, ad ſolidum baſim habens quadratum ex DG, altitudinem verò lt­neam compoſitam ex dupla ipſius AF, & ipſa DG, ita compoſita ex dupla ipſius NX, & ipſa MN ad compoſitam ex dupla ipſius NO, & ipſa NT ſed vt præfatum ſoii­dum baſim habens quadratum ex AF, altitudinem verò lineam compoſitam ex dupla ipſius DG, & ipſa AF ad dictum ſolidum baſim habens quadratum ex DG, altitudi­nem verò compoſitam ex dupla ipſius AF & ipſa DG, ita factum fuit HI ad IK. vt igitur HI ad IK, ſu compoſita ex dupla ipſius NX cum MN ad compoſitam ex dupla ipſius NO cum NT. quare & componendo HK ad KI, vt dupla ipſius NX cum MN, & dupla ipſius NO cum NT ad compoſitam ex dupla ipſius NO cum NT, quia verò in hoc antecedenti ſemel ſumitur MN, & ſemel NT, bis verò NX, & bis NO, erit HK ad KI, vt vtra〈que〉 ſimul MN NT, & du­pla vtriuſ〈que〉 ſimul NX NO ad duplam ipſius NO, & ipſam NT. & antecedentium quintupla. quintupla verò antecedentis HK eſt FG, quintupla verò alterius antecedentis MN NT, & duplæ vtriuſ〈que〉 ſimul NX NO eſt quintupla vtriuſ〈que〉 ſi­mul MN NT, & decupla vtriuſ〈que〉 ſimul NX NO. decu­pla enim eſt quintupla duplæ. eſt igitur FG ad IK, vt quintupla vtriuſ〈que〉 ſimul MN NT, & decupla vtriuſ〈que〉 ſimul NX NO ad duplam ipſius ON, & ipſam NT. & vt FG ad FK, quæeſt duæ quintæ ipſius FG, ita quintupla vtriuſ〈que〉 ſimul MN NT, & decupla vtriuſ〈que〉 ſimul NX NO ad duplam vtriuſ〈que〉 ſimul MN NT, & quadruplam vtriuſ〈que〉 ſimul NX NO. cùm hoc quidem con ſe〈que〉ns ſitduæ quintæ ipſius antecedentis. etenim dupla v­triuſ〈que〉 ſimul MN NT quintuplæ earumdem ſimul MN NT duæ quintæ exiſtit. & quadrupla vtriuſ〈que〉 ſimul NX NO eſt duæ quintæ decuplæ earumdem NX NO. quadru­pla enim decuplæ eſt duæ quintæ. Quoniam ita〈que〉 ita eſt FG ad FK, vt quintupla vtriuſ〈que〉 ſimul MN NT, & decupla vtriuſ〈que〉 ſimul NX NO ad duplam vtriuſ〈que〉 ſimul MN NT, & quadruplam vtriuſ〈que〉 ſimul NX NO, & vt FG ad KI, ita quintupla vtriuſ〈que〉 ſimul MN NT, & decupla vtriuſ 〈que〉 ſimul NX NO ad duplam ipſius ON, & ipſam NT: erit FG ad ſuas conſe〈que〉ntes ſimul ſumptas FK KI, hoc eſt FI, vt quintupla vtriuſ〈que〉 ſimul MN NT, & decupla vtriuſ〈que〉 ſimul NX NO ad duplam vtriuſ〈que〉 ſimul MN NT, & quadruplam vtriuſ〈que〉 ſimul NX NO, & duplam ipſius ON, & ipſam NT. ſed in hoc conſe〈que〉nti bis ſumi­tur MN, quater NX, ſexies NO, & ter NT. erit igitur vt FG æd FI, ita quintupla vtriuſ〈que〉 ſimul MN NT, & decupla v­triuſ〈que〉 ſimul NX NO ad compoſitam ex dupla ipſius MN, & qua­drupla ipſius NX, & ſextupla ipſius NO, & tripla ipſius NT. & conuertendo FI ad FG, vt compoſita ex dupla ipſius MN, & quadrupla ipſius NX, & ſextupla ipſrus NO, & tripla ip­ſiús NT ad quintuplam vtriuſ〈que〉 ſimul MN NT, & decu­plam vtriuſ〈que〉 ſimul NX NO. Quoniam ita〈que〉 quatuor rectæ li neæ MN NX NO NT ſunt continuè proportionales. factaquè fuit MN æqualis ipſi FB, & NO ipſi GB; crit reliqua OM ipſi FG æqualis. & vt TM ad TN ita factum fuit FH, hoc eſt tres quintæ ipſius FG, tres ſcilicet quintæ ipſius MO ad IR. quare & conuertendo vt NT ad TM, ita quædam aſſum­pta linea NI ad tres quintas ipſius FG, hoc eſt ipſius MO. vt autem compoſita ex dupla ipſius NM, & quadrupla ipſius NX, & ſextupla ip­ſius NO & tripla ipſius NT ad lineam compoſitam ex quintupla vtrius­〈que〉 ſimul MN NT, & decupla vtriuſ〈que〉 ſimul XN NO, ſic altera quæ dam aſſumpta linea IF ad FG, hoc est ad MO, erit ex ſuperioribus RF duæ quintæ ipſius MN, hoc est ipſius FB. ac propterea reliqua RB erit tres quintæ ipſius FB. & obid BR ad. RF eſt, vt tria ad duo. Quare punctum R centrum est grauitatis portionis ABC. ſit quidem portionis DBE centrum grauitatis punctum Q frusti AD EC centrum grauitatis erit in linea QR producta, quæ quiden QR adipſain productam eandem habeat proportionem quam habet fruſiumADEC ad reliquam portionem DBE. est autem punctum I. nam.cùm ſit tota FB ad totam BR, vt ablata BG ad ablatam BQ, ſunt enim vt quin〈que〉 ad tria, erit & reliqua FG ad reli­quam QR, vt FB ad BR. ita〈que〉 quoniam tres quintæ ipſius FB linea eſi BR; ipſius verò GB tres quintæ linea est B〈que〉 & reliquæ igitur GF est tres quintæ QR. quoniamigitur est, vt fruſtum AD EC adportionem DBE, ita MT ad NT, vt oſtenſum fuit; ſed vt MN ad NT, ſic factum fuit FH ad IR, hoc eſt tres quintæ ipſius GF; quæ est QR ad RI. erit igitur vt fruſtum ADEC adportionem DBE, ita QR ad RI. & est quidem totius portionis ABC centrum grauitatis punctum R; ipſius verò DBE centrum grauitatis punctum Q: manifeſtum est igitur fruſti ADEC centrum grauitatis eſſe pun­ctum l. quod quidem eſt in quinta parte media HK ipſius FG ab eo ita diuiſa, vt HI ad IK ſit, vt ſolidum baſim habens qua­dratum ex AF, altitudinem autem duplam ipſius DG cum AF ad ſolidum baſim habens quadratum ex DG, altitudinem verò duplam ipſius AF cum DG. quod demonſtrare oportebat.

1 Arch de quad. pa­rab. & ſecundi coni corum A­poll.

13.ſexti.

3.Arch.de quad. pa­rab. & 20. pilmi coni corum A­poil.

2.cor. 20. ſexti.

22.ſexti.

37. vndeci mi.

17.quinti.

18.quinti.

11.quinti.

18.quinti.

cor 4.quinti.

22.quinti.

11.quinti.

18.quinti.

cor.2.lem­in 13. pri­mi huius.

cor.4.quinti.

ex præce­denti.

8.buius.

8.prim huius.

19.quinti.

8 prim.huius.

SCHOLIVM.

In hoc Theoremate primùm obſeruanda occurrunt verba propoſitionis, quibus Archimedes pręcipit pottionem HK in I ita diuiſam eſſe oportere, vt HI ad IK eam habeat pro­portionem, quam habet ſolidum baſim habens quadratum ex dimidia maioris baſis fruſti, altitudinem autem lineam æ­qualem vtri〈que〉 ſimul duplæ minoris baſis, & maiori ad ſoli­dum baſim habens quadratum ex dimidia minoris baſis fru­ſti, altitudinem autem lineam æqualem vtriſ〈que〉, duplæ ſcili­cet baſis maioris, & minori. hoc eſt ſit HI ad IK, vt ſolidum baſim habens quadratum ex AF, altitudinem verò lineam æ­qualem duplæ ipſius DE cum AC ad ſolidum baſim habens quadratum ex DG, altitudinem verò lineam æqualem vtri〈que〉 ſimul duplæ ipſius AC, & ipſi DE. In conſtructione autem hunc propoſitionis locum explicans, & in pergreſſu totius de­monſtrationis, inquit HI ad IK eam debere proportionem habe­re, quam habet ſolidum baſim habens quadratum ex AF, alti tudinem verò lineam æqualem vtri〈que〉 ſimul duplæ ipſius DG, & ipſi AF ad ſolidum baſim habens quadratum ex DG, al­titudinem verò lineam æqualem vtri〈que〉 ſimul duplæ ipſius AF, & DG. Quoniam autem ſolida parallelepipeda (vt præ­fata ſolida ſunt) in eadem baſi exiſtentia ita ſe habent interſe, vt corum altitudine; ſolidum, quod baſim habet quadratum ex AF, altitudinem autem duplam ipſius DE cum AC, duplum erit ſolidi baſim habentis quadratum ex AF, altitudi­nem verò duplam ipſius DG cum AF. Nam hæc ſolida eandem habent baſim, quadratum nempè ex AF; ipſorumquè alterum habet altitudinem duplam. quia cùm ſit DE dupla ipſius DG, erit dupla ipſius DE dupla ipſius duplæ DG; & AC dupla eſt ipſius AF. altitudines igitur horum ſolidorum in dupla ſunt proportione. hoc eſt altitudo, linea ſcilicet du­pla ipſius DE cum AC altitudinis nempè lineæ duplæ ipſius DG cum AF dupla exiſtit. Quare ſolidum baſim habens qua­dratum ex AF, altitudinem verò duplam ipſius DE cum AC duplum eſt ſolidi, quod baſim habeatidem quadratum ex AF, altitudinem verò duplam ipſius DG cum AF. cademquè ratio neoſtendetur ſolidum baſim habens quadratum ex DG, altitudinem verò duplam ipſius AC cum DE duplum eſſe ſolidi ba ſim habentis quadratum ex eadem DG, altitudinem autem duplam ipſius AF cum DG. ſolidum igitur baſim habens qua­dratum ex AF, altitudinem autem duplam ipſius DE cum AC ad ſolidum quadtatum habens baſim ex AF, altitudinent verò duplam ipſius DG cum AF eam habet proportionem, quam habet ſolidum baſim habens quadratum ex DG, altitudinem verò duplam ipſius AC cum AE ad ſolidum baſim habens qua dratum ex DG, altitudinem verò duplam ipſius AF cum DG. quare permutando primum ſolidum baſim habens quadratum ex AF, altitudinem verò duplam ipſius DE cum AC ad ſecun­dum ſolidum baſim habens quadratum ex DG, altitudinem autem duplam ipſius AC cum DE eandem habet proportio­nem, quam habet tertium ſolidum baſim habens quadratum ex AF, altitudinem autem duplam ipſius DG cum AF ad quar tum ſolidum baſim habens quadratum ex DG, altitudinem ve rò duplam ipſius AF cum DG. Quapropter Archimedes loco primi, & ſecundi ſolidi in propoſitione propoſiti rectè potuit in demonſtratione accipere tertium, & quartum ſolidum. co dem enim modo, & in eadem proportione linea HK in pun­cto I diuiſa prouenit: quod quidem punctum fruſti ACED centrum grauitatis exiſtit.

16.quinti.

Secundi libri Finis.

Erratorum quorundam reſtitutio.

Pagina 8, verſu 18, Archimedes. <33> 10, 7, ſione. <33> 18, 20, conducenti. <33> 21, 14, per diſcere ipſum. <33> 39, 25, hoc eſt AB. <33> 43, 19, lineam. <33> 47, 20, cúm inquit, <33> 63, 20, GD DK in. <33> 65, 21, DC. Ibidem, 27, ex DC. <33> 67, 29, in maiori. <33> 69, in poſtil: ex proxima propoſitione. <33> 70, 5, vt NL <33> 73, 1, de his, vel. <33> 84, 8, AEEB CF FD. <33> 90, 17, totus. <33> 98, 1, quam VH. Ibidem, 7, aufertur. <33> 11, 21, repo­ſuit. <33> 124, 19, ſectionem, <33> 140, 1, æquidiſtantes <33> 143, 11, eſt CH <33> 147, 3, cum EK ad EK, vt. Ibide, 25, ſta S 9, ad Ya <33> 149, 19, ad xn. Ibidem, 25, eſt, vt OR. Ibidem, 27, L*g, vt OR ad. Ibidem, 31, vt OR ad zd Ibidem, 32, vt d<10> ad <10>z Ibidem, 34, BD ad Bs, ita. Ibidem, 35, ſit BD ad Dn Ibidem, 36, BD ad Dn Bs. <33> 150, 5, vt OR ad Oc <33> 153, 13, ræ, vt. <33> 157, in poſtill ante 15, primi Ibidem, 17, maiorem. <33> 161, 24, erit KH. <33> 167, 34, efficax. <33> 170, 1, ipſius AC erit. <33> 181, 36, ex dupla ipſius AB, <33> 191, 21, erunt. Ibidem, 22, DKG æquales.

REGISTRVM.

<12> ABCDEFGHIKLMNOPQRSTVXYZ, AA BB.

Omnes duerniones, præter, BB, ternionem.

PISAVRI. Apud Hieronymum Concordiam, M. D. LXXXVII.