Marci von Kronland, Johannes Marcus De proportione motus figurarum rectilinearum et circuli quadratura ex motu 1648 Prague la marci_figur_063_la_1648.xml 063.xml

DE PROPORTIONE MOTVS FIGVRARVM RECTI LINEARVM ET CIRCVLI QVADRATVRA EX MOTV Authore Ioanne Marco Marci Medicinæ Doctore et Profeſſore Primario S·C·Mtis· Medico Cubiculario et in Reg. Boh Phyſico Seniore. PRAGÆ Ano. 1648.

SERENISSIMO PRINCIPI.

FERDI­NANDO IV. HVNGARIÆ ET BOHEMIAE REGI.

ARCHIDVCI AVSTRIAE.

DOMINO MEO CLEMENTISSIMO.

SER ENISSIME REX &c.

SOpitis eram ſenſibus; uti contingit his, qui ſomno premuntur: cùm ecce tibi an ao/zi­ston! cui nulla certa ſpecies, omnia tamen ineſſe, ipſum verò cubo inniti videbatur. Cui ego: Quis­es? Tuus, inquit, Motus: adſum, ut tibi nun cius ſim, ad novum Regem, annum auſpicaturus no­vum. Ego verò ſuccenfens: ô ignauiſſime, inquam, adeone tui generis es oblitus? quem pridem in Hungariam deſtinaram; ut inter applauſus tu quoque plauſum ferres. Siue tardus, ait ille, ſiue ve­lox ſim, non degenero à meis natalibus. Namque iraſcor his nouis Zeno­nibus, qui me ignauis morulis concidunt. Quòd verò nunc tardiùs ad­ſum; quàm fortaſſe velles, tibi, non mihi imputa: qui me de circulo qua­dratum feciſti. Quanquam, ſi mihi auſcultes, in lucro reponas hanc meam tarditatem: quæ non abſque nutu accidit illius Genij, qui Symbo­lo Regio in te, libróque tuo præluſit. Eſt enim numerus myſticus huius Anni: quòd 1600 cubos efficiant primi paris 200. atque hi alios cubos ſecundos 25. qui numerus eſt quadratus ſecundi imparis. At veeò nu­merus annorum 48 ſex cubos includit primi paris. Anni demum 9 elapſi, ex quo adMAGNVM CÆSAREM nuncius fui, quadratum abſoluunt pri­mi impatis. Quò nimirum ſtabilitatem præſagiant futuri regni: in quo ſubPRIMO AVGVSTI NOMINIS QVADRATO Sabbatha orbis aget. Quin ipſum nomen auſpicatum FERDINANDVS QVARTVS hoc myſterio numerorum eſt fœcundum. Inſunt enim 1016 Et 1000 qui­dem cubos efficiunt ſecundi imparis octo: cuius duplum dat numerum reliquum 16 & ipſum quadratum ſecundi paris: conſtantem verò du­obus cubis primi Paris. Cui proinde Quadratura debetur Lunulæ ori­entis. Et quid inquam ego, Symbolo Regio, mihique; atque huic meo libro eſt commune? Tum ille: non vides, inquit, hunc circulum Symbolo ad­ſcriptum, hunc abacum parallelogrammis inſcriptum, hanc demum fi­guram ſtellatam è triangulis & pentagono contextam? quid præter has figuras habet tuus liber? Neq, temerè inter radios geometricæ ſtel­læ coruſcat n(g Symbolum medicinæ: quia nimirum utriuſque ſcientiæ gnarum eſſe voluit futurum Vatem: qualem quoque vitæ humanæ cuſto­dem requirit veſter Hippocrates. Rectè quidem tu hæc, inquam ego: at verò huius acerræ atque ignis, quis nam in me typus? Tam citò, refert ille, es oblitus! nam alioquin malorum ſenſus eſſe ſolet diuturnus. Ego verò dic, amabo te, aio quidnam ex igne mali ſum paſſus? namillud qui­dem ego prorſus ignoro. Quòd enim non ita pridem utramque Domum, quæ ex hæreditate meâ erant reliquæ, ignis abſumpſit, tu optimè noſti quàm æquo animo tulerim: leuior enim hæc jactura mihi viſa; quàm ut mentem his aſſuetam turbaret. Ad hæc ille: non meminiſti, inquit, illâ eadem nocte, quâ Phitomorphoſis tua ſymbolo præludebat, ma­num tibi aduſtam? Memini ſanè, inquam ego. Nam ubi ſtudijs feſſum caput in codicem ſacrum reclinaſſem; dormienti mihi, neſcio quo pa­cto, manus dextra ſubducta, & in ignem candelæ paulo remotioris pro­ducta digitum anularem aduſſit: cuius ſenſus acer me quidem euigila­re fecit, manum verò ut inſanam incuſare. Ita quidem tu, ait Motus, à veritate aberrans: at verò illa te longè ſapientior fuit: quæ a Sapien­tiſſimo Genio tum dirigebatur: Vt nimirum etiam hac parte ſymbolum impleres. Deinde veró quòd igne hoc elementari futurum Vatem initi­ari oportebat. Vide nunc has plantas, quibus Symbolum inſignitur. Agnoſcis hanc perpetuò virentem atque victricem LAVRVM: quam ignis Jouius tuetur incluſus? hanc PALMAM canenti OLIVÆ ſociatam? effare: quid ſiles? Agnoſcis nunc demum tuam Phitomorphoſin? Ohe quid audio, inquam ego! etiamne mentis penetralia tibi patent? quem ego rebar ſolis corporibus mancipatum. Et ubi inquit ille maiores per­turbationum motus, quàm in mentibus humanis? At velocitas mentis, inquam ego, omni motu corporeo eſt velocior. Si ergo ineft velocitas, ait, inerit ſanè & motus. Quanquam falleris, ratus mentem Corpori huic terreno alligatam omni motu corporeo eſſe velociorem: quæ neq, huius frigidi Saturni velocitatem ullâ ratione aſſequi valet. At COPER­NICVS, inquam ego, cum GALILÆO & multâ turbâ ſophorum hanc tibi Cœlóque prærogatiuam ademit: qui ſolem in medio mundi ſtare immo­tum, terram verò circumire juſſit. Atqui refert ille, in eo ſatis oſten­dunt animi ſui tarditatem: Dum aſſequi non valent hanc meam in cor­poribus velocitatem. Sed hîs relictis ad tuam Phitomorphoſim me conuerto: neque enim abeſſe potui ex illâ motione; dum planta una ex aliâ naſci videbatur: licet motu velociore, quàm pro tuo voto: cùm necdum ſatiato tibi illarum Species ſubducebantur. Sed quem fuiſſe putas illum Hortulanum, qui tibi in horto, ut videbatur, ſurculum LAVRI cupienti qui­dem, neque tamen ob reuerentiarn viri petere auſo, ultro in manus dedit cum hoc dicto: Poteſt creſcere. Tum ego, ô omniſcie Motus, quando­quidem nihil Te latet arcanorum: tu ſiquidem omnia audis, vidéſque etiam quæ Solem oculatiſſimum & maximè auritum fugiunt; dic obſe­cro quid tibi videtur de illis verſibus, quos SERENISSIMO HVNG: ET BOHEMIÆ REGI FERD: IIII. in felici in au­guratione accinebam? rectène illam Phitomorphoſim fui aſſecutus? Ne dubita, ait Motus, idem enim Genius, qui ea ſimulachra immiſit, eorundem ſenſum tibi inſtillauit. Quid igitur inquam ego, cunctamur? Perge mi Motus, teque; ocyſſimé REGI NOVO ſiſte: ut ſis & munus, & futuræ felicitatis augur. Tibi liberum permitto, ut vel circulus, vel quadratum, imò & cubus fias: prout REGALI TVTELÆ vide­bis ex pedire. Quem terrâ marique; ſecutus, ventos fauentes motu circuli velociore incitabis: eoſdem furentes quadrato, aut etiam cubo inhibe­bis. Faxo lubens, inquit, quod imperas; tu verò boni ominis ergò, in hac eadem pagellâ tuos verſus mihi exhibe: quos ego unâ cum libello mox ad ultimum terræ feram.

FITOMOPFWSIS

Planta cadem LAVRVS, PALMA, & pallentis OLIVÆ, Viſa mihi: demumgermina VITIS crant.

LAVRVS.

Aſſociare virens Regali LAVRE Coronæ, Seruet ut æternus Regia ſceptra viror.

PALMA.

Bella procul, LAVRO nam aſſuetus vincere nouit: Victorem victrix non niſi PALMA decet.

OLIVA.

Naſcitur Imperio defeſſo pinguis OLIVA, Hac non fucatæ ſymbola pacis habet.

VITIS.

Terra Bohema oculos ſicca: noua VITIS inumbrat, Præterita ignorat, qui bibit inde merum.

AD LECTOREM.

NAturam definit Philoſophus eſſe principium & cauſam mo­tûs & quietis eius, in quo eſt, primùm, perſe, & non ſecundùm accidens. Quia verò ubi hic deſinit, ibi Medicus ſuæ Specula­tionis principium ſumit: cuius obiectum eſt natura humana, qua­tenus â ſanitate in morbum, & ex hoc in ſanitatem mouetur; neceſſe ſanè â Me­dico motum haud ignorari. Præſertim verò cùm inter res non naturales, quas Medicina ſpeculatur, numeretur motus & quies. Impoſſibile enim, ait Hip­pocrates, hominem comedentem eſſe ſanum, ſi non laboret. Vbiper laborem in­telligit motum corporeum: Cuius diuerſas ſpecies recenſet libro: 3. de diætâ. quæ tamen ob ignorantiam motûs hoc æuo negliguntur. Cùm ergo mihi propo­ſitum ſit, jámque incœptum habeam tractatum de naturâ humanâ, quatenus eſt mobilis quoad utrum〈que〉 motum, videlicet internum & externum: tam in ſtatu naturali, quàm præter naturam: hoc eſt radicem inveſtigare omnium morbo­rum, qui ad imaginationem motúmque pertinent: id〈que〉 ex intimis, & recondi­tis naturæ principijs (ne〈qué〉 enim ſi paralyſis partem unam plureſue motu pri­uat, ſcire licet undo hac affectio pullulet, aut quo pacto eidem occurri poſſit; niſi quid motus, & quâ ratione in nobis fiat, priùs norim) cùm rectum & ſui, & obliqui ſit index; non videbor ab inſtituto aliena ſecutus; ſi habitu Phi­loſophi aſſumpto, ea principia, â quibus dicendorum veritas pendet, priùs ſtabi­liam. Error ſiquidem in his tameiſi paruus, teſte Ariſtotele, in progreſſu fit magnus. Licet verò hunc libellum de proportione motûs figurarum rectilinea­rum necdum maturum judicarem, qui in lucem prodiret, at〈qué〉 ulteriore limâ eun­dem expolire in animo haberem; doctiſſimorum tamen virorum hortatu in a­liam mentem fui adductus. Inter quos eminet Reuerendiſſimus Praſul Ioannes Caramuel Lobkowitz; qui eùm in re litterariâ ſit laborioſiſſimus, amicos ſues non ſinit eſſe otioſos. Et noſtri ſæculi Phœnix P. Athanaſius Kircher, qui & ſuo & aliorum nomine mihi calcar ad debat. Scribit, inquiens, P. Merſennus opera tua Pariſijs multùm placere: rogat, ut te incitem ad ſimilia plura luci danda. Sed qvid inquies ad Medicum circul: quadratura? Et quid inquam ego ad ſponſam calamiſtrata coma, & cincinni? Quæ verò huic tractatui de eſſe vi­dentur; ſupplebit liber de Motu & huius efficientibus cauſis Grauitate Leuitate & Impulſu; qui proximè librum de Arcu cœleſti, qui iam ſub prælo judat, ſequetur.

PARS PRIMA.

IOANNES MARCVS MARCI PHIL: & MEDIC: DOCTOR et Profeſſor natus Landscronœ Hermundurorum in Boemta anno 1595.13 Iunij.

Reſolutio aliquot dubiorum exlibello De Proportione motús.

LIbellus de proportione motus ante annos novem in lucem datus, ad plures quidem peruenit opinione doctrinæ, & Geo­metriæ famâ claros: illorum de ſe judicia ac cenſuram laturus. Ex quorum tamen numero unus & alter quod ſciam ſubmurmurauit. Atque huic quidem minùs arriſit illa proportio inter motumrectum & inclinatum ad prop. 13. Quam ut diſturbaret, machinâ mirâ, & ingeni­osâ, ex affirmatiuâ negatiuam expreſſit. Ita enim R. P. Bal­thaſar Conradus Soci: IESV. Philoſ. & Matheſeos Profeſſor, ad R. P. Theodorum Moretum Soc: IESV, Matheſeos quoque tum Profeſſorem, atque Geometram percelebrem. Mitto, inquit, R. Væ diſcurſum ſuper prop. 13. Excellentißimi Domini Doctoris Marci: cuius propoſitionis contradictoria eſt hæc.

Motus per lineam perpendicularem & lineam inclinatam, quorum terminos coniungit linea recta, perpendicularis ad lineam inclinatam, non ſunt inter ſe æquales.

Sit eadem figura, quæ Doctoris; & intelligantur duo ſegmenta Sphærica GHF. GIF inter ſe æqualia.

Dico non eſſe id, quod Author prop: 13 proponit: videlicet non per uenturum globum D eodem tempore in plano inclinato BF, à puncto B ad punctum F, quo tempore alius globus eidem æqualis ex codem puncto B, ad A perneniret lapſu verticali. Cùm enim illa duo ſeg­menta Sphærica GHF, GIF, habeant centrum grauitatis in lineà GF: ſit〈que〉 F hypomochlium, æquiponderabunt: quare reliqua tantum Sphæræ pars GKFI deorſum producet impulſum: Quare & im­pulſus motum ſibi æqualem per prop: 2. Doctoris. Eſt autem ut pars Sphæræ GKFI ad totam Sphæram, ita partis eiuſdem impulſus ad to­tius Sphæræ impulſum per propoſ: 2. in Archimede promoto: quare & mo­tus partis eiuſdem ad motum totius erit in eadem ratione. Permutan­do ergo & velocitas partis ad velocitatem totius per Propoſ. 10. Doctor: ergo et interuallum BF ad interuallum BA, uti pars Sphæræ GK FI ad totam Sphæram per propſ: 7. eiuſdem.

Sed pars GKFI non eſt ad totam Sphæram uti CD ad DF, quod certum eſt: & patet ex hoc diſcurſu. Fingatur enim mente recta H D per verticalem GF diuiſa bifariam. tunc ſi eſſet ut CD ad FD Sim­pla ad duplam, ita reliqua magnitudo (ablatis duobus ſegmentis Sphæ­ricis illis dictis) ad totam: Eſſet etiam tota magnitudo dupla illius partis GKFI: quod ad oculum falſum factâ figurâ apparebit. Ergo ne〈que〉 interuallum BF ad interuallum BA, uti CD ad DF, quod oportuit demonſtrare. Motus ergo per lineam &c: Examinet R V. hunc diſcurſum; & ſi putauerit, etiam Excell: Dno Doctori oſtendat. Reliquas ipſius propoſitiones per otium inſpiciam. Hæc ille doctè ſanè ac modeſte. Quæ priuſquàm ad incudem reuocentur, placet non nihil Lucis addere illi propoſi­tioni 13. Tum enim facilè diſpiciemus, an tela huc, an a­liò tendant: et an aliquam partem feriant, demolianturque? an tota, ut aiunt, uiâ aberrent. In illâ itaque propoſitione aſſero: Si duo circuli æquales ex eodem principio motûs ſimul ferantur: hic quidem verticali, ille verò motu inclinato, con­tinuò in eà ratione labi, ut ex quolibet puncto motûs vertica­lis, ducta linea recta ſecet perpendiculariter alterius motum. Huius Apodixis hæc erant fundamenta. 1. ſpatia decurſa eandem rationem ad ſe habere, quam impulſus eiuſdem cor­poris vel æqualis: ita nimirum, ut ſi moueri demus in tempo­re AB, per ſpatium CD; accipiat verò duplum, virtutis im­pulſiuæ, moturum ſit eodem tempore AB, per duplum ſpa­tium CD. Eſt hæc propoſitio Arlis lib. 6. Phyſ. cap: 4. & lib: 1. de Cælo cap: 6. & alibi. Si inquit tanta grauitas per tantum in hoc tempore mouetur; tanta & quod ſupereſt in minori mo­vebitur: Et rationem, quam grauitates habent, tempora è conuerſo habebunt: Vt ſi dimidia grauitas in hoc, dupla in di­midio huius. Vbi grauitas maior pro intenſiuà ſumi debet; quæ idem ſubiectum perficit. At verò ſi pars accedat æquè grauis; tùm huius vi non intenditur motus. Vnde ſi vtraque ſeorſim æquali celeritate ferebatur; neque, ſi connectantur, hæc illam trahet, aut impellet: quemadmodum ſi duo manibus conſertis curſu inæqvali ferantur: velocior enim reſtantem trahit & ad motum æquè velocem impellit. At ſi grauitas illa æqualis ſuo ſubiecto exui, & alteri inſeri detur; tum ſanè gra­uitas dupla dicetur ineſſe illi ſubiecto: & cum agat ſecundum ſe totam, motum producet ſibi æqualem, hoc eſt duplum. Jm­meritò hic aliqui turbantur, hæſitantque quia inquiunt, licet quandoque velocius feratur in eodem tempore per ſpatium du­plum, non tamen conſtare an illa virtus Locomotiua ſit du­pla, an in aliâ proportione. Verùm hi naturam grauitatis & Impulſus videntur ignorare, illam ceu ex atomis conflantes: quæ proinde aliquo numero, aut magnitudine ſit menſurabi­lis. At verò quis qualitates ſenſum latentes, & vix ab animo perſpici valentes menſurabit? quin ipſam coulis ſubiectam al­bedinem quis duplam alteri dabit: Sicuti ergo illas qualita­tes non niſi ex effectu noſcim9; ita ex huius partitione in partes analogas ſecamus: ut dupla ſit virtus, quæ effectum producit duplum; impulſus ergo ſeu grauitas dicetur dupla, quæ mo­tum valet producere duplum. Eſt autem de ratione motus habere extenſionem, & in tempore fieri determinato: & ut tanto magis ſit perfectus, quanto| minùs temporis inſumit. Semiſſis ergo temporis, perfectionem dabit duplam. & quia in altera ſemiſſe motum producit æqualem, perfectio dupla, eo­dem tempore mouebit per ſpatium duplum. Confirmatur ex ijs, quæ poſtea dicam ad quæſt. de cauſa inæqualis reflexio­nis: nimirum motum eſſe plagam continuatam in illo medio, in quo fit motus: atque impulſum à plagâ incipientem in aliam plagam illi æqualem deſtinari: quâ conſecutâ motus termi­natur. Cùm ergo Impulſus ſit æqualis plagæ, neceſſe illam in motu continuatam plagam huic eſſe æqualem. & quia medi­um unius eſt rationis, neque magis in una, quàm aliâ parte reſi­ſtit, erunt partes medij in eâ ratione, in quâ illarum plaga. Medium ergo duplum abſumet plagam duplam. At verò Pla­ga dupla non niſi ab impulſu æquali, id eſt duplo eſſe poteſt: Impulſus ergo duplus per medium mouebit duplum. De­inde cùm velocitas motûs proueniat à minori reſiſtentia me- dij: acrem enim velociùs, quam aquam findit idem mobile: ſi mi­nuatur reſiſtentia medij, ut fiat ſub dupla prioris; Idem impul­ſus habebit velocitatem duplam. At verò eadem eſt propor­tio, ſi manente reſiſtentiâ eiuſdem medij, augeatur Impulſus. Igitur ſi impulſus rationem habeat duplam ad alium impul­ſum, mouebitur in eodem medio velocitate duplâ. Et quia velocitas maior in minori tempore tranſit idem ſpatium, velo­citas dupla in dimidio tempore tranſibit. Quòd ſi necdum perſuaſi in hac luce caligant, ſit ea poſtulatiloco. nam quæ ad huius poſitionem ſequuntur, ſi firmo nexu, & ut linum lino co­hærent, de veritate ſuppoſiti non licebit dubitare: quandoqui­dem firmitas operis de ſubſtructionibus fidem facit. Igitur cùm eadem ſit ratio motûs, quæ grauitatis ſeu impulſus; erit motus verticalis duratione æqualis motui inclinato; Si eo mo­do habeant ſpatia, quo illorum grauitates. Oſtenſum verò illa pro. 13. triangula FCD, ABF eſſe ſimilia, & in ratione ho­mologa ſuorum laterum. latus ergo FD ad DC, ut latus A B ad AF. Eſt autem FD menſura impulſus in lapſu verticali, hoc eſt in AB. CD verò menſura impulſus in BF. propterea quód impulſus ſeu grauitas per poſit. 6am augetur in ratione diſtantiæ centri à linea hypomochlij. Concipitur enim cen­trum grauitatis in hypomochlio librari: cuius vectis linea per­pendicularis à centro productá Quæ ſi æqualis ſit radio, tota grauitas prominet extra lineam hypomochlij: in plano verò in­clinato, quò magis inclinatur, eò propiùs accedit ad lineam hypomochlij: & quò minor fit vectis, eò minùs gravitat. Pro cuius maiori declaratione, Notandum Comparationem inſti­tui grauitatis, non inter partes Circuli, quas linea hypomo­chlij bifariam ſecat: cùm non illarum, ſed centri ratione fiat impulſus, per quartum Theorema huius: in quo omnium vir­tus collecta, in ſingulas ſe effundit. Itaque fit ut pars nulla ſuo motu, ſed motui Centri parallelo feratur: ictusque non huius, ſed vi centri accidant grauiores: verùm centrum grauitatis ad ſe ipſum refertur, quatenus ex inæquali remotione à lineâ hypomochlij inæqualiter ponderat. Neque enim percuſſio fit per lineam verticalem ſeu hypomochlij; ſed eam, quæ duci­tur à centro grauitatis per contactum, per quartum Theor. Vnde fit ut centrum grauitatis ſe ipſo utens ad ſe mouendum, ſibi præponderet in eâ ratione, in quâ eſt vectis. Cùm ergo in lapſu verticali nihil occurrat centro, totum vectem grauitas obtinet: in plano autem inclinato, linea verticalis ducta per contactum inæqualiter hunc ſecat, pro ratione inclinationis. et tum centrum grauitatis ſe ipſum veluti partitur in eam, quæ mouet, & in eam quæ in Hypomochlio quieſcit partem. Opor­tet enim concipere, quemadmodum ſi globus ab alio globo æ­quali ſit levandus. Tum enim ſi uterque æqualiter abeſt à tru­tinâ, fit æquilibrium: retractione verò unius, eam rationem habet grauitas huius ad grauitatem illius, quam interualla.

Obijcies. Huic poſitioni aduerſari ea, quæ propoſ. 32. & 33 ſunt dicta: vbi oſtendi Impulſum eo modo augeri, quo triangu­lum ſibi ſimile manens: rationémque habere ſuorum tempo­rum, in quibus fiunt, duplicatam. Quòd ſi ergo radius totus FD ſit quadratum ab hypomochlio in duo quadrata CD. CF diviſum, uti propoſitio illa vult; erit grauitas in DF ad gra­uitatem in CD, in ratione duplicatâ eius, quam habet ſinus to­tus ad ſinum complementi inclinationis. & quia motus ratio­nem habent, quam impulſus, per quartam poſitionem, erit mo­tus in AB ad motum in BF in ratione quoque duplicatâ. Maior ergo motus BF, quàm utidem tempus vtrumque metiatur. Hanc obiectionem ut diluamus. Aduerte ea, quæ in vecte li­brantur, duplicem habere impulſum, ſeu grauitatem: aliam quidem in ordine ad mundi centrum; aliam verò in ordine ad hypomochlium. Differre enim à ſe conſtat ex eo, quòd hæc augeri poteſt infinitè, nihilo auctâ illâ. Neque enim velociùs de­ſcendit vectis ob remotionem ponderis à lineâ hypomochlij: neque ſi alià trutinâ explores in quouis ſitu, magis ponderabit. Propterea quòd hic impulſus hypomochlium, non verò mun­di centrum reſpicit, quantumuis ab eadem grauitate oriatur. Atque hunc impulſum augeri in eà ratione, quam vectis obtinet, demonſtrat Archimedes in lib. de æquiponderantibus. Alio modo Grauitas, ſeu impulſus in ordine ad motum expenditur abſolutè, abſque ullo reſpectu ad hypomochlium: & tum rationem quadrati habere dicimus; cuius latera ſint duratio motûs. Nam cùm in aliquo tempore produci ſit neceſſe, atque eo modo augeatur, quo triangulum ſibi ſimile manens, per po­ſit. quintam; habebit impulſus hic ad illum, rationem eius, quam habent tempora, duplicatam. per propoſ. 12.

Aduerte ſecundo, duobus modis fieri contactum mobi­lis & plani: vno modo, cùm incidit plano: alio modo, cùm la­bitur per ipſum. Neque eadem ratio utrobique. Nam cùm labi­tur, & labendo tangit planum, eodem modo videtur ſe habe­re ad hypomochlium, eandémque diſtantiam obtinere centrum grauitatis: Manet ergo ratio partis motæ ad quieſcentem, quam linea hypomochlii à principio induxit. At verò cùm incidit eidem plano, plagam infert, & recipit: vnde reflecti contin­git. Oſtenſum verò prop: 37-Plagam in aliquo tempore fieri: à Plaga verò impulſum exſolui. quam ergo rationem habet mora plagæ iam perfectæ ad aliam moram plagæ nec­dum perfectæ, candem habet impulſus totus ad illum duplica. tum. Igitur in caſu verticali, quia hypomochlium occurrit centro, neque percuſſioni cedit, plagam inducit perfectam, totunq, impulſum exſoluit. & cùm æqualem à percuſſo recipiat plaga, eadem, quâ incidit, viâ retro agitur. In occurſu autem plani ad ictum inclinati, quia non per centrum grauitatis ſeu impul­ſus ſecatur à lineà hypomochlij; erit ratio Plagæ, quam habet in hypomochlio quies. quæ tantò eſt minor, quantò velociùs centrum grauitatis à plagâ ſe abducit. Quòd ſi ergo DF ſit mora plagæ perfectæ, atque huius impulſus quadratum DF; erit DC tempus uelocitatis motus, & huius quadratum impulſus: reliquum ergo quadratum FC à percuſſione ſeu plagâ, impul­ſum dabit à reliquo tempore menſuratum. propterea quod quadratum FD ſit æquale duobus quadratis CD. CF: ac pro­inde mora percuſſionis complementum CD ad ſinum totum. Eodem modo ſi plagam metiamur fientem morâ æ­quali C Flateri eiuſdem quadrati, erit huius complementum mora impulſus reliqui. Atque ex his Soluitur illa dubitatio, quam ob rem prop: 13. impulſu & grauitate, horumque diuiſi­one utamur ceu lineâ rectâ, aut parallelogrammo: propoſi­tione autem 32. & 33 motum comparemus ut quadrata. quia nimirum hic impulſum ut fientem, ac proinde iuxta mo­dum menſuramque plagæ expendimus. Non enim à percuſſi­one idem eſt impulſus: ſed illa portio, quæ percuſſit, illi de­cedit: Alius verò huic æqualis & oppoſitus à percuſſo rege­neratur: & cum reliquo impulſu in ordine ad motum medium miſcetur. Neceſſe ergo inter ſe conferri, ut illorum tempo­rum, in quibus producuntur, quadrata. At uerò prop: 13. Impulſum ſeu grauitatem in facto eſſe, & à centro grauitatis, in quo eſt collecta, ſui replicatione in vectem æqualiter fuſam: quam fecat bifariam linea hypomochlij in partem motam & quieſcentem. Hæc autem nullam inducit plagam: verùm continuò in hypomochlio quieſcit, & in ordine ad motum pro nullâ habetur. Vnde augmenta velocitatis motus fiunt absque ullo ad eam reſpectu. Neque enim motu inualeſcente augetur illa grauitas in hypomochlio quieſcens: quòd linea hypomochlij non hunc, ſed huius principium partiatur. Incrementa enim motûs atque impulſûs per lineam fiunt parallelam illi plano, in quo mouetur. Quia ergo grauitas mouens impulſum produ­cit continue maiorem: non quem ſibi grauitas collegit, ſed quem natiuum habet ad grauitatem quieſcentem conferri de­bet: vt eadem ſit proportio vectis, quæ partium gravitatis; Quod non niſi in principio motûs contingit. Augetur ergo gravitas quieſcens eiuſdem mobilis in eá ratione, quam habet reliquum ſegmentum vectis, ad diſtantiam centri grauitatis à lineâ hypomochlij.

His iam definitis: videamus quam vim habeat ille diſcurſus: & an contrariâ illatione noſtram poſitionem conuellat. Cùm itaque aſſumit ſegmenta æqvalia GHF. GIF. Iſorrhopa: propte­rea, quòd centrum grauitatis habeant in lineà hypomochlij F G, ac proinde exceſſum ſeu præpondium ineſſe reliquo ſegmen­to GKFI, motúmque deorſum huius ratione fieri; errat primo quòd ſupponat eadem ratione moueri partes, eundémque dare & recipere impulſum in toto exiſtentes, & dum per ſe mo­uentur: quod à veritate eſt alienum. Mouentur enim partes virtute ſui centri; neque uno modo omnes, neque ſimiliter. Nam cùm per lineas ferantur motui centri parallelas, remotioribus à centro plus ineſt violentiæ: atque unaquæque grauiùs percutit in toto, quàm ſi per ſe moveretur. Licet ergo illa ſegmenta ſint æqualia & Iſorrhopa, non tamen ſequitur in toto eandem uim obtinere: cùm à centro grauitatis mutari poſſit, ſicuti habitu­do ad vectem, ita quoque ratio impulſus. Secundò decipi­tur, quòd comparationem inſtitui velit inter partes mobilis circa hypomochlium ſitas, nullâ habitâ ratione ſitûs, & diſtan­tiæ ab hypomochlio: quod magnum eſt erratum. Neque enim ſegmentum GIF, ſitu permutato C in I, & contrà, æquipon­derabit ſegmento GHF, aut ſibi ipſi: quomodo ergo reliquum ſegmentum GKFI aſſumit in eâ tatione grauitare, in qua eſt pars magnitudinis| Sphæræ? cùm & partium magnitudo ob curvitatem circuli, & ſitus continuò mutentur. Propoſ. autem illa ſecunda in Archimede promoto, impulſum partis in eà ratione eſſe ad impulſum totius, in quà ipſa eſt pars magnitudinis, vera eſt, ſi non ratione ſitûs mutetur illa habitudo. Sed quidquid ſit de hac proportione partium ad ſe, quam in circulo ignoramus, nihil huc facit: ubi centrum grauitatis in eadem magnitudi­ne expendimus, & ad ſe ipſum comparamus: quatenus in di­uerſo ſitu & remotione ab hypomochlio inæqualiter ponderat. Deinde verò efto demus Impulſum diuidi in eâ ratione, in quâ magnitudo; vt quæ pars ſit molis, eadem ſit grauitatis ſeu im­pulſus: an propterea rectè infert in eadem ratione fieri mo­tum? Vt ſi ſegmentum GHFI ſit duplum ſegmenti GHF, ac proinde grauitatem habeat duplam, duplo velociùs moue­ri ſit neceſſe: id enim quæſtione de in æquali ponderum la­pſu negamus. Malè autem propoſ: 10. citat in contrarium: quæ ponit impuiſum producere motum ſibi æqualem. hoc enim de intenſione, non verò extenſione grauitatis ſeu impulſûs eſt in­telligendum: ita nimirum ſi idem mobile accipiat impulſum duplum. At verò cùm acceſſione partis nouæ augetur impul­ſus, nihilo plus virium ad ſe mouendum utraque habet. Quòd ſi ex toto mobili grauitas ſeu impulſus colligi poſſit in partem V.G tertiam; tum verò pars illa celeritate triplà moueretu. Nam ſicuti impulſus magnus in magnam molem receptus ex­tenuatur: ita in paruam molem contractus intenditur. Atq: ex his patet manifeſtè, in conuellendâ illâ prop. 13. & falſa aſ­ſumi, & ex malè aſſumptis vitiosè concludi.

Alter fuit R. P. Joannes Ciermans: qui in anno poſitio­num Mathematicarum, hebdomade tertiâ, menſis Maij, ita in­quit. Putat Ioannes Marcus Marciſeſe globum ſummà violentià vel è tormento bellico excuſſum, medio in itinere detinere poſſe immo­tum: it a ut ne quidem refiliat. id〈qué〉 ſi ſolùm illi alterum globum eius­dem ponderis tangendum ſiſtat. Sed rectè ille impetûs naturam aſſe­quutus non eſt Sic ille. Verùm hac auſterâ cenſurâ ſatis oſten­dit, nimiùm ſuis ſpeculationibus fiſum, experientiam hic negle­xiſſe, quam etiam pueri globulis ludentes norunt. Quòd ſi aliquando experiri lubebit, facilè mihi perſuadeo, virum æqui­ac veri tenacem, non mitiorem erga ſuas de impulſu opinio­nes cenſorem futurum.

Priuſquam verò finem faciam, placet aliquid lucis addere his, quæ de oſcillationibus penduli ibidem ſunt dicta.

An Pendulum æquali tempore recurr at, per arcus maiores & minores.

In Prop: 24-aſſumitur motus ex B in D æqualis duratione motui ex D in F: propterea quòd BD ad DF ſit ut AB ad CD: & ut AB ad CD, hoc eſt vt AW ad WR, ita per prop. 22. vis mouens in B ad uim mouentem in D. eſt enim radius AB æ- qualis radio AW, & ſinus CD eiuſdem arcus DW æqualis ſi­nui WR. Verùm licet in principio illorum arcuum ita res habeat, in lapſu tamen ob nouas inclinationes, continuò mu­tatur illa proportio. Vnde incrementa velocitatis, cùm ex a­liâ atque aliâ radice naſcantur, non eadem ratione fiunt. Nam ſinus AB ad ſinum proximum minorem rationem ha­bet, quàm CD ad ſinum æquè proximum: plus igitur hic quàm ibi decedit virtuti motrici. Quòd ſi itaque fiat BD ad DF, ut AB ad CD; hoc eſt, vis movens in B ad uim mouentem in D, non eodem tempore agitabitur ex D in F, quo ex B in D; verùm per ſpatium minus, quàm ſit DF. Nihil tamen officit hoc noſtræ demonſtrationi: quin imò uim affert maiorem. Sit enim arcus ille minor, per quem ex D fit motus D b: & ducatur ſinus ab. Quia itaque ſinus ab eſt maior ſinu EF, mi­nor verò arcu reſiduo b W; habebit maiorem rationem ad ar­cum minorem D b, quam recta EF minor ad arcum maiorem DF. Igitur per 4. lemma, arcus D b eſt multò minor ſinu ab, ac proinde arcu reliquo b W. Ex quo cùm pars proportionalis abſcindi debeat continuò minor, concludam pendulum non priùs ex D quàm ex B attingere W. Eadémque ratione F non an­te D, & H non ante F, ac proinde neque H ante D vel B præcur­currere in W.

Quod ſi dicas, pendulum ex maiori interuallo præcurrere: ſequitur plura pendula eiuſdem longitudinis, atque in eodem Circulo, ex inæqualibus ſpatijs ſimul recurrendo ſe percutere in motu: quod nemo experitur. Ne tamen ullus dubitationi locus ſuperſit, placet aliâ viâ magis planâ idem demonſtrare.

THEOREMA I.

Lapſus gravium in plano inclinato, eſt æqualis duratione lapſui interciſo ab alio plano: quorum terminos connect it rect a line a, perpendicularis ad motum interciſum.

Moueatur primùm ex A in B per planum AG: ex B verò per planum BF. Dico motum in BF eſſe æqualem duratione mo­tui in BG, quorum terminos connectit recta GF perpendicula­ris ad BF. Nam impulſus in B eſt maior gravitate, per prop. 11. motúmque producit parallelum plano BG, per propoſitio­nem tertiam: propterea quòd â gravitate proveniat extra hy­pomochlium conſtitutâ. Igitur cùm aliud planum occurrit quia rationem habet hypomochlij; ſecabitur impulſus eâ rati­one, quâ grauitas verticalis ſecatur à plano inclinato, in par­tem motam & quieſcentem: ac proinde per propoſitionem 11. motus interciſus à plano, erit| æqualis duratione reliquo motui: qvorum terminos connectit linea recta, perpendicu­laris ad motum interciſum.

LEMMA.

Si in ſegmento Circuli ducantur duæ chordæ, angulus ab his contentus, erit complementum dimidij anguli eiuſ­dem arcus ad duos rectos.

In ſegmento BF ducantur duæ chordæ BC. CF: dico angu­lum BCF ab his contentum eſſe complementum dimidij an­guli BOF ad duos rectos. Nam duo anguli OFC. OCF ſunt complementum anguli FOC: duo verò anguli OCB, OBC complementum anguli COB. Cùm igitur FCB ſit ſemiſſis illorum angulorum; erit complementum dimidij anguli FOB.

Corollarium.

Sequitur angulum externum FCT eſſe æqualem ſemiſſi an­guli FOB: propterea quòd utriuſque complementum ad duos rectos ſit angulus FCB.

THEOREMA II.

Lapſus grauium in quædrante Circuli, per duas chordas æquatur lapſui per unæm chordam.

Secetur primùm AF quadrans circuli æqualiter in B: & ducantur chordæ AF AB. BF: dico lapſum per duas chordas AB. BF eſſe æqualem lapſui per chordam AF. Producatur e­nim AB in G: & ſit AG æqualis chordæ parallelæ FL: Ex F autem excitetur linea perpendicularis ad BF: dico hanc pro­ductam ſecare AG in G. Quia ením arcus FB eſt æqualis ar­cui AL, ſubtendet chorda LF, hoc eſt illi æqualis AG grad: 135 corda vero AB grad. 45. Auferatur AB partium 76, 3668 ex AG partium 18477590: atque reſidua BG erit partium 10823922. Et quia per Lemma huius angulus FBG eſt grad. 45. ſemiſſis nimirum anguli AOF: Si ad huius logarit­mum addatur logaritmus lateris BF, erit aggregatum logarit­mus lateris FG, ſeu BF partium 7653668. Quot nimirum partium erat quoq, chorda AB, hoc eſt illi æqualis BF. Quòd ſi itaque ducatur ex G termino motûs linea perpendicularis ad BF, ſecabit eandem in puncto F: ac proinde motus ex B in G eſt æqualis duratione motui ex B in F per prim. Theorema huius. additóque motu communi ex A in B, lapſus per duas chor­das AB. BF æquatur lapſui per chordam AF: qui per prop. 15. erat æqualis duratione lapſui per chordam LF ſeu AG.

ALITER.

Ducatur ex F perpendicularis ad BF: dico hanc productam ſecare BG. in G. quod ſi non; ſecet ſi fieri poteſt, in alio pun. cto VG: X vel Z. Et quia angulus externus NOL eſt grad: 45. erit angulus OLF internus grad: 22. prim: 30. & angu­lus OLA grad. 67. prim: 30: propterea quod LOA ex hy­potheſi ſit grad: 45: Ablatoque OLF ex OLA, reſiduus FLA, hoc eſt illi æqualis FGB grad: 45, ob parallelas nimirum & æquales FLGA. Cùm itaque in triangulo FBG rectus ſit an­gulus ZFB, & angulus FBG per lemma huius grad. 45: erit quoque angulus FZB grad 45, ac proinde æqualis angulo FG B, externus interno: quod eſt abſurdum. Atque ea­dem ratione probabitur linea AG non ſecari à perpendiculari XF. Aſſumatur rurſum arcus AC grad 67; & CF grad 23. pro­ducatur autem AC in P ſumptâ AP æquali chordæ perallelæ F M. Quòd ſi itaque in F excitetur linea perpendicularis ad FC: dico protractam ſecare AP in P. Quòd ſi non; ſecet, ſi fieri poteſt, in alio puncto V. G: I. Et quia angulus FCI per lemma huius, eſtgrad 45 erit quoque angulus FIC grad 35 Exæquatur autem angulus FMA angulo FPA ob lineas parallelas, & æqua- les FM, PA. Cùm itaque angulus OMF ſit grad. 33. prim. 30. ſemiſſis nimirum anguli externi NOM grad. 67: & angulus OMA grad: 78. prim: 30; quòd æquales ſint arcus AM. FC: ablato angulo OMF ex OMA, erit angulus reliquus FMA, hoc eſt illi æqualis FPA grad: 45. Cùm itaque angulus FIC ſit quoque oſtenſus grad. 45, erit angulus FIC externus æqualis angulo interno FPI: quod eſt abſurdum.

THEOREMA III.

Lapſus grauium in ſegmento Circuli minore, quàm grad: 90. eſt velocior per duas chordas, quàm per unam chordam.

Moueatur graue ex B in F per arcum grad: 45. Dico veloci­ùs moueri per duas chordas BC. CF, quàm per unam chordam BF. Supponatur BC æqualis CF: & ducatur FQ parallela BC: in productâ verò BC ſumatur BT æqualis Fque erit itaque BT partium 11111400, & BC partium 3901806. Quâ ablatâ ex BT manet CT partium 7209594. Adde Logaritmum huius logaritmo anguli CTH grad. 67. prim. 30; qui per lemma eſt complementum anguli FCT grad: 22. prim. 30. eritque aggre­gatum logaritmus lateris CH partium 6659688. Eſt autem CH maius latere BC, ſeu CF partium 3901806. Cùm itaque, motus ex C in H ſit æqualis duratione motui ex C in T, per pri: theorema huius; erit mot9 in CF minor duratione motu in CH: additoque communi motu in BC, motus in BC, CF minor du­ratione motu in BT ſeu Fque hoc eſt per prop. 15. illi æquali motu in BF.

THEOREMA IV.

Lapſus grauium in eodem ſegmento Circuli per plures chordas eſt velocior.

Moueatur graue ex Q in F: Dico velociùs labi per chordas Q B. BC. CF, quàm per chordas QB. BF. Quia enim velociùs de­ſcendit per duas chordas BC. CF, quàm| per chordam BF per Theorema tertium: addito motu communi QB, erit velocior lapſus per QB. BC. CF, quàm per QB. BF.

THEOREMA V.

Pendulum æquali tempore mouetur per arcum Circuli & chordam eidem ſubtenſam.

Moveatur pendulum TC ex C in B: Dico æquali tempore la­bi per arcum CEB, & chordam CB. Concipiantur enim per ſin­gula puncta CGHIK eiuſdem arcus CEB duci tangentes, & chordæ his parallelæ BL. BM.BN. BO & c. Quia itaque ex C la­bendo in ſingula momenta mutat inclinationem, quam indu­cunt lineæ tangentes; erit ratio motûs in his homologa motui per chordas parallelas. Vt ſi labi incipiat per tangentem CD, interuallum motûs in hac erit æquale motui per chordam pa­rallelam AB. Nullus autem fit motus in CD, verùm immedi­atè transfertur in alias tangentes. Simili modo in GHIK ex illâ obliquatione contrahetur motus, inſpatia æqualia chordis parallelis BL. BM. BN, BO: in EPQRS verò æquatur chor­dis BC. BG. BH &c. quæ quidem chordæ ſubten dunt duplum illius arcûs, cuiús tangens eſt parallela. Eſt enim CEB duplum arcùs ESB. Atque hæc ratio arcûs dupli, continuatur uſque ad tangentem BV. quam ubi attigit pendulum ex C, attingit quoque æquale pondus lapſu verticali ex A. Propterea quòd tangenti BV nulla in circulo reſpondet ex B ducta chorda parallela. Motus igitur ex C, per arcum CEB eſt æqualis duratione mo­tui per chordam AB, hoc eſt per theor 15. motui per chordam CB.

THEOREMA. VI.

Pendulum ex quolihet puncto circuli æquali tempore recur­rit in ſuam ſtationem,

Quia enim lapſus per arcum CEB eſt æqualis lapſui per chordam CB & lapſus per arcum ESB æquatur lapſui per chor­dam EB per 5 theorema huius. Sunt autem lapſus per chordam CB & EB inter ſe æquales duratione per prop: 15 erit quoque la­pſus per arcum CEB æqualis duratione lapſui per arcum ESB. Igitur pendulum TC ex C & E æquali tempore recurrit inſu­am ſtationem TB.

Obijcies. Lapſus grauium per plures chordas eſt velocior per 4. theo­rema. Cùm ita〈que〉 in circuli curvaturâ ſint chordæ poteſtate infinitæ; erit velocior lapſus per arcum, quàm per quotcun〈que〉 numero chordas.

Videtur hæc ratio mouiſſe Galilæum, ut in lib. de Syſtemate mundi motum per arcus circuli poſuerit velociorem motu per illorum chordas.

His, inquit, adde mirabile aliud, ſcilicet quòd motus cadentium facti per arcus quadrantis AB fiant breuioribus temporibus, quàm illi, qui per chordas eorundem arcuum fiunt. Et paucis interiectis, mobile, in­quit, diſcedens à puncto A minori tempore perueniet ad B, currendo per duas chordas AD. DB, quàm per ſolam chordam AB. Sed breuiſsimum omnium tempus fuerit, ſi deciderit per arcum ADB.

Verùm diſſoluitur hæc obiectio, quòd motus per plures chor­das interciſus, atque huius exceſſ9 determinetur per lineas, quæ à termino motús per unam chordam, cadunt perpendiculari­ter ad alias, per primum theorem: & quò plures fuerint chor­dæ eò exceſſus penultimæ erit maior. At verò in defluxu cir­culari, quiâ nullum interuallum inter proximas tangentes, ſeu chordas illarum parallelas; neque ulla cadit perpendicularis. Vndè ſi ex quolibet puncto refluxûs labi in cipiat per chordam, erit æqualis duratione reſiduo lapſui, qui cadit per chordam verticalem.

Ad Propoſitionem Vigeſimam.

De causâ decrementi oſcillationum, & an æquales ſint duratione.

Cauſa decrementi oſcillationum non eſt illa, quam attuli ad finem prop. 20. ſicuti enim gravitas ſe habet ad illas inclinatio- ones in excurſu, ita quoque in recurſu; vnde non magis decre­ſcit impulſus, quàm priùs augebatur. Verùm cauſa huius de­crementi eſt plaga, quam infert pendulum in lapſu. Cùm enim hæc per ea, quæ habentur ad finem prop: 27. minuat impulſum; excurſus à ſtatione neceſſariò fit minor recurſu. Et ſi quidem pendulum refluat per medium magis denſum; quia plaga maior plus adimit de impulſu, excurſus erunt mi­nores: uti manifeſtum in oſcillationibus in aquâ factis. Quæ­quidem in vacuo, ſi fieri admittamus, quia nullam inducunt plagam, eſſent interminabiles.

Dices. St plaga minuit impulſum; cùm inæquales ſint plagæ, erit quo〈que〉 inæquale decrementum: Non igitur excurſus interſe, ac proinde ne〈que〉 oſcillationes erunt pares duratione. An prorſus æquales ſint, videtur du­bius Galilæus. In lib: enim de ſyſtemate mundi pagina 444. alterum in­quit ſingulare profectò miraculoſum eſt, quòd idem pendulum vibrati­ones ſuas eâdem frequentiâ, aut minimùm, & inſenſibiliter quaſi diffe­rente faciat: ſiue illæ fiant per arcus maximos, ſiue minimos eiuſdem circumferentiæ.

Dico nihilominus oſcillationes omnes, quæ per arcus fiunt eiuſdem circuli, eſſe æquales duratione. Cuius ratio eſt, quòd menſura plagæ ſit interuallum ſeu arcus, per quem pendulum recurrit. Igitur quemadmodum ſe habent arcus ad ſe, ita quoque decrementum impulſûs. et quia impulſus in recurſu col­lecti candem quoque rationem habent, quam arcus per prop 18. & 30: erunt quoque impulſus reliqui à plagâ in eadem ratio­ne: ac proinde excurſus & inter ſe, & cum recurſibus æquales duratione. Quia verò per arcus minores minor plaga induci­tur: hinc eſt quòd differentia inter excurſum & recurſum con­tinuò decreſcit. Vnde ratio redditur tam numeroſarum o­ſcillationum: quæ etiam pro tatione circuli maioris, quem pendulum deſeribit, augentur. Supponamus itaque grauitatem penduli ad grauitatem aëris eſſe in centuplâ ratione VG: ut colligi videtur ex Ariſt. Et quia impulſus in recurſu collectus æquatur duplo eiuſdem arcus, per prop: 18. erit plagæ pars 200 totius impulſus. deficiet ergò in excurſu pars quoque 200 illius arcûs, quem pendulum deſcribit in recurſu. Vndè vice verſâ ex notâ differentiâ inter ex­curſum & recurſum unius oſcillationis, habetur nota grauitas aëris ſeu medij.

SECVNDA PARS.

DEFINITIO I.

Latera motùs figuræ ſunt lineæ parallelæ motùi centri gra­uit atis: quas deſcribunt in motu figuræ puncta remotiſsi­ma à lineâ motùs centri.

VT ſi moueatur Figura ABCD ad motum centri grauitatis FH: erunt lineæ AE. CG eidem parallelæ, latera motus figuræ: quas deſeribunt AC puncta remotiſſima à lineâ FH motûs centri.

DEFINITIO II.

Semidiameter figuræ motùs eſt line a rect a, â centro grauita­tis ad alterutrum latus figuræ motús perpendiculariter ducta.

In eadem figura ſi|ducatur ex F centro gravitatis, ad alteru­trum latus AE linea perpendicularis FA, erit hæc ſemidiame­ter figuræ motûs: quàm & vectem librationis centri nuncu­pamus.

DEFINITIO III.

Grauit as mouens eſt pars grauitatis mobilis; quam cen­trum grauitatis ſeu mobile retinet in libratione ad ſe mouendum in plano inclinato.

DEFINITIO IV.

Grauitas quieſcens eſt pars grauitatis mobilis; quâ cen­trum grauitatis ſeu mobile in libratione grauitat byp omocblium.

AXIOMA I.

Areæ figuræ eandem rationem ad ſe babent, quam illarum grauitas.

Cùm grauitas magnitudinem ſequatur, hæc autem ſit area figuræ cuiuſque; erit grauitas hæc ad illam in ratione, quam areæ ad ſe habent.

COROLLARIVM I

Sequitur grauitatem figuræ ad grauitatem partis eandem ra­tionem habere, quam area figuræ habet ad illam partem: ut ſi pars ſit tertia figuræ, erit grauitas tota tripla eiuſdem graui­tatis.

COROLLARIVM II

Et cùm impulſus ſequatur grauitatem, erit eadem ratio hu­ius, quæ grauitatis. Impulſus ergo totus ad impulſum partis tertiæ erit quoque triplus.

AXIOMA II.

Vectis continet grauitatem mobilis: totus totam; pars verò partem proportionælem.

Huius veritas conſtat ex prop. 13. & præmiſsâ eiuſdem de­claratione.

AXIOMA III.

Motus grauium fit per lineas rect as ſe interſecantes in mundi centro.

AXIOMA IV.

Lapſus grauium eiuſdem rationis per lineas verticales inter ſe ſunt æquales.

Ex ſe inquam; nam illa differentia, quæ accidit moli maio­ri ob inæqualem plagam; ad medium refertur. Vt conſtat ex quæſtione de inæquali ponderum lapſu.

AXIOMA V.

Si magnitudo aliam percutiat in motu; & ſit contactus in lineâ rectâ, qnæ tranſit per illarum centra, expulsâ æquali, á motu quieſcit. exclusâ verò minori motum continuabit.

AXIOMA VI.

Si plures magnitudines contiguæ & æquales habeant cen­tra in unâ lineâ rectâ: & magnitudo uni contiguarum æ­qualis percutiat primam, omnibus immotis ultima mouetur.

Percutiat circulus B alium circulum ſibi æqualem A in G: aut quadratum C ſibi quoque æquale in F: Dico circulum B ex­pulſis A & C quieſcere à motu. Et ſi plures circuli contigui habeant centra in unâ lineâ rectâ; percuſſo primo ultimus mo­uebitur. Idemque futurum, ſi loco circuli quadratum illi æqua­ le ſubſtituatur. At verò ſi A & C ſit minus quàm B; ijs expul­ſis motum continuabit. Demonſtratum id à me quò ad glo- bos ad prop. 37. poriſ. 1. & 2. problem. 1. in lib. de proport: motûs. Eadem verò eſt ratio reliquarum magnitudinum: ſiue eiuſdem, ſiue alterius ſint figuræ. Nam quòd percutiens à motu quieſcit, huius ratio eſt æqualitas ponderis: quæ to­tam in percuſſo exhaurit plagam. Vtverò circulus B ad circu­lum ſibi æqualem A, ita idem circulus ad quadratum ſibi æqua­le C: eſtque contactus utriusque in puncto G & F. ſicuti ergo A eſt hypomochlium totius grauitatis ſeu impulſus in B; ita C hy­pomochlium eſt eiuſdem grauitatis ſeu impulſus. Impulſus autem æqualis ad magnitudinem æqualem eandem habet rationem.

THEOREMA I.

Grauitas mouens partium ìn toto eſt minor grauitate mouente extra illud totum.

Sit B grauitas mobilis, & A mundi centrum: eritque linea BA motus centri per 3, Axioma: partium verò HD motus eidem paralleli HF. DE. Dico grauitatem mouentem in H. D eſſe minorem, quàm ſi extra lllud totum mouerentur. Cùm enim motus H ſit linea HA, & motus D linea DA per 3. Axioma; erunt HF. DE motus inclinati:

Et anguli in clinationum AHF. ADE. Igitur pars grauitatis H & D in hypomochlio quieſcit: minorque proinde eſt grauitas mouens, quàm ſi extra illud totum mouerentur.

COROLLARIVM I.

Sequitur grauitatem mouentem partium à centro magis re­motarum eſſe minorem: propterea quòd motus ſint magis in­clinati. Nam angulus AIF externus, hoc eſt illi æqualis A DE eſt maior angulo interno AHF. & angulus AKG, hoc eſt ADE maior angulo ACK.

COROLLARIVM II.

Vnde neceſse partes propiores centro, remotiorum; cen­trum verò omnium eſſe hypomochlium huius grauitatis quie­ſcentis.

THEOREMA II.

Centrum grauitatis habet impulſum omnium partium grauitati æqualem.

Cùm enim moveatur ad motum partium mobilis, habebit impulſum illarum grauitati moventi æqualem. Eſt verò idem centrum hypomochlium grauitatis quieſcentis in motu partium eidem parallelo, per Corollarium 2. quæ cùm augeat illius grauitatem, habebit quoque per poſit. 4. impulſum illi æ­qualem.

THEOREMA III.

Centrum grauitatis producit impulſum in omnibus partibus mobilis illarum magnitudini proportionalem.

Quia grauitas movens partium in toto eſt minor, quàm ſi per ſe, & extra illud totum moveatur, per I. THEOREMA; erit quoque illarum motus minùs velox. Mouentur autem æqua­li cum centro velocitate: habent igitur à centro illum motum. At verò centrum grauitatis à partibus mobilis, ex ſe verò nul­lam habet grauitatem; eſtque totus impulſus æqualis grauitati ex omnibus partibus collectæ per THEOREMA II Igitur ut tota magnitudo ſeu grauitas ad totum impulſum, ita pars mo­bilis ad partem impulſus proportionalem.

COROLLARIVM

Quodlibet punctum mobilis non ſuâ, ſed vi centri gravita­tis mouetur.

THEOREMA IV.

Percußuo fit à grauitate ſeu impulſu centri, non verò à grauitate ſeu impulſu partium mobilis.

Moueantur duo globi A & B interſe connexi: percutiatque B in motu globum C ſibi æqualem. Dico impulſum in C eſſe ma­iorem, quàm ut æqualis ſit impulſui ex B: ac proinde illam pla­gam ad centrum referri. Nam globus B, cùm per ſe movetur, percuſſo æquali C, & expulſo vltimo D, à motu quieſcit per AXIOMA 6. At verò B connexus A utrumque expellit D & C, neque eo percuſſo quieſcit; Igitur globus C impulſum habet maiorem, quàm ut æqualis ſit impulſui ex B. Cuius quidem ra­tio eſt partium nexus: unde globus percuſſus fit hypomochli­um non ſolùm illius, quæ percuſſit; ſed etiam partium conne­xarum, ſeu centri gravitatis.

COROLLARIVM

Sequitur tantam eſſe plagam, quantum ineſt hypomochlio de centro grauitatis.

THEOREMA V.

Percußio & qui hanc ſequitur impulſus, fit per lineam rectam, pro­ductam à contactu per centrum corporis percußi.

Cùm enim partes mobilis non ſuâ ſed vi centri grauitatis moveantur, per Corollarium Theorematis 3; neceſſe priùs cen­trum grauitatis ſeu mobilis impelli. At verò principium im­pulſûs eſt contactus: igitur cùm impulſus non niſi per lineam rectam moveat per prop: 3. Via impulſus erit linea recta, pro­ducta à contactu per centrum grauitatis ſeu corporis percuſſi.

THEOREMA VI.

Impulſus centri grauitatis totus quieſcit; cùm ſemidiameter figuræ mo­tûs, vel illius centrum hypomochlio occurrit.

Cùm enim partes mobilis non ſuâ, ſed vi centri graùitatis, & ad huius motum moveantur, per Corollarium theorematis 3. neceſſe ad huius in hypomochlio quietem quieſcere totum im­pulſum.

THEOREMA VII.

Impulſus centri grauitatis totus mouet, cùm huius interuallum ab hypomochlio eſt œquale ſemidiæmetro figuræ motús.

Impulſus enim centri grauitatis prohibetur à motu; cùm vel ipſum centrum, vel pars aliqua à centro mota in hypomochlio quieſcit. At verò cùm interuallum centri grauitatis eſt æqua­le ſemidiametro figuræ motûs; neque ipſum centrum, neque ali­qua pars à centro mota in hypomochlio quieſcit: totus igitur impulſus movet.

THEOREMA VIII.

Impulſus movens ad totum impulſum rationem habet, quam ſegmen­tum ſemidiametri ab hypomochlic & centro grauitatis interceptum, ad ſemidiametrum figuræ motûs.

Cùm hypomochlium ſit trutina; totusque impulſus quieſcat, cùm centrum hypomochlio occurrit, per theor. 6 totus verò impulſus moveat, cùm huius à centro intervallum eſt æquale ſemidiametro figuræ motùs per theore: 7. erit impulſus mo­uens æqualis ſegmento ſemidiemetri inter centrum grauitatis & hypomochlium intercepto In figurâ ſequenti BEC ſit A centrum grauitatis, DE hypomochlium, & AC ſimidiameter æqualis toti impulſui: eritque DA interuallum centri grauitatis A & hypomochlij DE, grauitas mouens centri A. Vt enim AD ad vectem AC; ita per Axioma 2. ratio impulſús ex eodem pon­dere A appenſo.

THEOREMA IX.

Impulſus quieſcens eſt æqualis reliquo ſegmento, quod abſcindit hy­pomochlium à ſemidiametro figuræ motûs.

Quia impulfus mouens & quieſcens ſimul ſumpti, toti impul­ſui, hic autem ſemidiametro figuræ motus AC ponitur æqua­lis per Axioma 2: Eſt veró impulſus movens æqualis uni ſe­gmento AD per theorema 8. erit quoque impulſus quieſcens æqualis alteri ſegmento DC.

LEMMA.

Centrum grauitatis cuius〈que〉 figuræ rectilineæ invenire.

Sit primùm in triangulo iſopleuro ABC inquirendum cen­trum grauitatis. in quo ex duobus angulis B & C demittantur lineæ ad baſim rectæ BD CE. Dico in communi illarum ſecti­one F eſſe centrum grauitatis. Quia enim recta BD ſecat ba­ſim mediam; eritineâ centrum grauitatis, per prop. 13 lib. 1 Archimedis de æquipond. Eſt verò idem in recta CE: igitur in communi ſectione F.

Inquirendum iam ſit centrum grauitatis in quadrato GHIK. in quo ductis diametris GI. HK; erit per prop. 10. eiuſdem li­bri centrum grauitatis in communi ſectione L.

Similiratione inveniemus centrum grauitatis in pentagono isopleuro. ſinimirum ex angulis O & P ducantur lineæ OV. PS perpendiculares ad latus oppoſitum. Erit enim centrum grauitatis in communi ſectione T. propterea quòd vtraque figu­ram ſecat bifariam: uti manifeſtum, ſi in triangula reſoluatur.

THEOREMA X.

Motus verticalis figuræ rectilineæ ad motum inclinatum eſt in ratione ſemidiametri figuræ motûs ad huius ſegmentum, quod eſt inter centrum figuræ & lineam hypomochlij.

Moveatur triangulum OMN in plano OB: & ex puncto N ducatur linea hypomochlij NS, parallela lateri motus OQ: ex centro autem figuræ P, per proximum Lemma inuento, a­gatur PQ perpendicularis ad OQ Dico motum verticalem in OQ ad motum inclinatum in OB eſſe, ut PQ ad PR. Quia enim gravitas mouens ex præmiſſis, & per poſit. 4- de prop. motûs, eſt æqualis motui; grauitas antem tota, ſeu ver­ticaliter movens ad grauitatem mouentem in OB eſt ut PQ ad PR per theorem 8. erit quoque motus verticalis in OQ ad motum inclinatum in OB, ut PQ ad PR. hoc eſt ut ſemidia­ meter figuræ motûs ad huius ſegmentum inter centrum figu­ræ P & lineam hypomochlij NS.

Simili ratione in quadrato K, ut KZ ad KL: & in pentago­nout TV ad TX, ita illorum motus verticalis ad motum incli­natum in OB.

THEOREMA XI.

Figura rectilinea velociùs mouetur in plano minùs inclinate.

Sint duo plana, quorum inclinatio CAK maior, & CAI minor: dico in plano CAI minoris inclinationis, motum eſſe ve­lociorem. Ducantur ex D centro figuræ ad lineas verticales AI. AK ſemidiametri figuræ motûs DF. DE: & ex angulo A CB lineæ hypomochlij CG. CH parallelæ lincis verticalibus AI. AK. Quia itaque maior eſt DE quàm DF, & DO minor quàm DP; erit reſidua OE maior quàm PF. Maior proinde ratio EO maioris ad OD minorem, quàm FP minoris ad PD maiorem. Et componendo ED ad OD, quàm FD ad PD. Eſt autem ut ED ad OD, ita motus verticalis ad motum inclina tum in plano CAK. Et ut FD ad PD, ita idem motus vertica­lis ad motum inclinatum in plano CAI, per theorem 10. Cùm itaque motus inclinatus in plano CAI ſit magis ſimilis verticali, erit velocior motu inclinato in plano CAK.

THEOREMA XII.

Grauitas movens inæqualium & ſimilium figurarum in eodem pla­no inclinato, eſt inæqualis & æqualiter mouet.

Moueantur in plano AC duo triangula ABC maius, & A DE minus: & ex angulis EC ducantur lineæ EP. CO paralle­læ verticali AQ: lineæ verò FG. CF per illorum centra GF. quæ per problema theorem: 1 erunt perpendiculares ad baſim AB demum exijſdem centris FG cadant lineæ FM. GN. perpen­diculares ad AQ. Quoniam itaque triangula CFH. EGI, & tri­angula CFK. EGL ſunt ſimilia: erit CF ad EG, ut FH ad GI & FK ad GL. ſunt verò & triangula AMF, ANG, atque trian­gula AMK. ANL ſimilia. Igitur ut AM ad AN, ita MF ad NG, & MK ad NL: ac proinde reſidua KF ad reſiduam LG. cùmque ſit ut FK ad GL, ita FH ad GI: & ut eadem FK ad GL, ita FM ad GN; erit quoque FH ad GI, ut FM ad GN. Quiàitaque grauitas mouens ſeu impulſus ad totum impulſum rationem habet, quam GI ad GN, & FH ad FM, hoc eſt ſegmentum ſemidiame­tri inter centrum figuræ & hypomochlium, ad ſemidiametrum figuræ motûs per theo. 3. erit in utroque triangulo eadem pro­portio motûs inclinati ad motum verticalem. Cùmque mo­tus verticales inter ſe ſint æquales; per Axioma 4. erunt quoque motus inclinati inter ſe æquales. Et quia FM eſt maior quàm GN, erit FH grauitas movens in triangulo ABC maior, quàm GI grauitas movens in triangulo ADE.

THEOREMA XIII.

Grauitas quieſcens inæqualium & ſimilium figurarum eſt inæqualis, & inæqualiter grauitat.

In eadem figurâ, quoniam eſt ut FM ad GN, ita FH ad GI per theor. 12. erit quoque HM ad IN, ut FH ad GI. Sed FH eſt maior quàm GI per idem theorema: igitur & HM maior quam IN. Et quia HM atque IN eſt impulſus quieſcens per theor. 9. maior granitas quieſcet in triangulo maiori, ac proin­de ſuum planum magis gravitabit.

LEMMA I

Inclinationem plani invenire: in quo ſemidiameter figuræ motûs ſecetur ab hypomochlio in datâ ratione.

Producatur latus AC in I; & ſit AI ad CI in datâ ratione: ex I verò per centrum figuræ D agatur linearecta IF: atque huic ex angulis C & A parallelæ CE. AH: quas ſecet ad angulos re­ctos, linea ex centro ducta DH. Dico lineam DH, hoc eſt ſemi­diametrum figuræ motûs, ſectam eſſe in datâ ratione. Ex F enim protrahatur linea FK parallela DH; eritque FK ad FL, hoc eſt DH ad DG, ut AF ad EF. Sed ut AF ad EF ita AI ad CI, hoc eſt in datâ ratione.

Aliter breuiùs. ex D centro figuræ ducta DA ſecetur in da­tâ ratione in O: per quod agatur linea CE, atque eidem peralle­la AH: é centro verò D ſemidiameter figuræ motûs DH. Di­co hanc ſecari à lineâ hypomochlij in eadem ratione. Cùm enim ſimilia ſint triangula ADH. ODG: erit DH ad DG, ut DA ad DO, hoc eſt in datâ ratione.

LEMMA II

Si duabus inæqualibus lineis addantur æquales; maiorem rationem ha­bet maior ad minorem, quàm eadem maior aucta ad auctam minorem.

Duabus inæqualibus AB. CD addantur æquales BF. DL. Dico AB ad CD maiorem rationem habere, quàm AF ad CL. Fiat enim ut AB ad CD minorem: ita BF ad aliam minorem DG. erit ergo utraque antecedens AF ad utramque conſequen­tem CG, ut AB ad CD. Sed AF ad CG maiorem habetra­tionem, quàm ad CL: igitur & AB ad CD maiorem habet ra­tionem, quà AF ad CL.

LEMMA III

Si ex eadem baſi deſcribantur plures figuræ rectilineæ æqualium late­rum; & ex illâ baſi per illarum centra agatur linea recta; ea quæ plura habet latera, centrum magis abducit à baſi.

Deſcribantur ex eadem communi baſi AC triangulum A BC, quadratum ADEC, & pentagonum AFGHC æquali­um laterum: & per illarum centra agatur linea recta Gque ſe­cans baſim AC æqualiter per problema theorem. 1. Quia itaque altitudo trianguli BQ eſt minor latere BA, hoc eſt QR; diſtantia verò eiuſdem centri à baſi minor ſemiſſe Bque erit KQ ſemiſſis RQ, hoc eſt diſtantia centri in quadrato, maior quàm Ique Eſt verò diſtantia quoque centri LQ in pentagono maior quam Kque Nam cùm centrum ſit in mutuâ ſectione GQ atque HS perpendicularis ad FA, ſintque duo anguli LSA. LQA recti: & angulus SAQ in pentagono maior recto: erit angulus SLQ minor recto: acproinde latus LQ maius latere SA, ſemiſſe lateris FA ſeu RQ, diſtantiâ nimirum centri in quadrato.

THEOREMA XIV.

Fieri poteſt ut maior figura æqualiter & minùs grauitet.

Aſlumantur duo triangula, quorum hoc illius ſit duplum. Dico id quod eſt maius, poſſe æqualiter & minùs grauitare. Secetur grauitas minoris triangali bifariam & æqualiter à li­neâ hypomochlij, per 1. lemma: eritque grauitas mouens æqua­lis quieſcenti, per theorema 8. ſub quadrupla verò ad grauita­tem trianguli maioris. Quòd ſi itaque ſemidiameter figuræ motûs in triangulo maiori ſecetur quoque à lineâ hypomochlij in eâ ratione, ut grauitas movens ad quieſcentem ſit quadru- pla, per 1. lemma: erit grauitas quieſcens in utroque triangulo æqualis; ac proinde æqualiter grauitabit. At verò ſi augeatur ratio grauitatis moventis ad quieſcentem; quia tum minor grauitas quieſcit, minùs quoque hypomochlium grauitabit.

THEOREMA XV.

Figura rectilinea, quæ plura habet latera, velociùs mouetur in eodem plano inclinato.

Moveatur in eodem plano AN triangulum ABC, & quadra­tum AEFC: Dico huius motum eſſe velociorem. Secetur enim in triangulo ABC ſemidiameter figuræ motûs DI â li­neâ hypomochlij CL bifariam & æqualiter in L, per primum lemma: & ducatur in quadrato AEFC ſemidiameter figuræ motûs GH: quæ maior erit ſemidiametro figuræ motûs DI. Propterea quòd per lemma 3 maior ſit GO quàm DO. Etad­ditâ communi OP maior GP, quàm DP. Et quia ut GP ad DP, ita GH ad DI; erit quoque GH maior quam DI, Dico GK ad GH maiorem rationem habere, quàm DL ad DI. Quia enim HK eſt æqualis IL, erit per lemma 2. maior ratio GK ad DL, quàm GH ad DI: & permutando GK ad GH, quàm DL ad DI. Eſt autem ut GK ad GH, & DL ad DI, ita motus in­clinati ad motum verticalem per theorem: 8. Igitur motus quadrati AEFC eſt velocior motu trianguli ABC in eodem plano inclinato AN.

THEOREMA XVI.

Figura rectilinea & æqualis, quæ plura habet latera, minùs gra­uitat in eodem plano inclinato.

Nam ſemidiameter figuræ motús, hoc eſt grauitas tota, ſeca­tur ab hypomochlio in eam, quæ mouet, & in eam quæ in hy­pomochlio quieſcit, per theorema 9. Eſt autem maior grauitas mouens in figurâ plurilaterâ per theor. 15. minor ergo huius pars quieſcit; ac proinde minùs grauitat.

THEOREMA XVII.

Grauitas eiuſdem parallelogrammi mutato ſitu inæqualiter mouet, & grauitat in eodem plano inclinato.

Moueatur in plano BO parallelogrammum ABCD: Dico ex mutato laterum ſitu inæqualiter moveri: velociùs quidem, ſi minus latus CD, tardiùs verò ſi maius latus BD fiat paralle­lum eidem plano BO. Educantur ex angulis CD lineæ hypomo­chlij CG. DM: & ex centro figuræ E ſemidiametri figuræ motûs EF. EK. Et quia in duobus triangulis ſimilibus MBD. GDC maior eſt DB quàm CD; erit quoque BM maior quàm DG. Et ſi ducantut Bque DI perpendiculares ad DM. CG: erit maior BQ quàm DI, hoc eſt KL quàm FR. Rurſum quia angulus ECD eſt maior angulo ECA, hoc eſt illi æquali EDB: pro­pterea quòd latus AC ſeu BD ſit maius latere BA. ablatis æ­qualibus angulis GCD. MDB, erit angulus reliquus ECG maior angulo reliquo EDM. Aſſumaturitaque angulo EDM æqualis angulus ECS: & ex Ead CS cadat perpendicularis ES: eruntque triangula ECS. EDL ſimilia & æqualia. Propterea quòd baſis EC ſit æqualis baſi ED. Eſt autem ET maior quàm ES, hoc eſt quàm EL: et ER maior quàm ET. Igitur ea­dem ER maior quàm EL. Cùm itaque maior ſitratio grauitatis mouentis ER ad quieſcentem RF, nimirum maioris ad mino­rem, quàm EL ad LK minoris ad maiorem; erit per poſit: 4. velocior motus in ER quàm in EL. Et quia tum minor gra­uitas in hypomochlio quieſcit, minùs quoque ſubiectum pla­num grauitabit.

THEOREMA XVII.

Fieri poteſt ut idem parallelogrammum mutato ſitu moueatur, & quieſcat in codem plano inclinato.

Aſſumatur inclinatio plani æqualis angulo EDB: cadetq, linea hypomochlij DE in centrum figuræ. Et quia tum cen­trum grauitatis hypomochlio occurrit, quieſcet parallelogran­mum in co ſitu, per theorema 6. Cùm verò angulus ECD ſit maior angulo inclinationis EDB; ſi ex C ducatur linea hypo. mochlij, cadet inter EC. DC: ac proinde centrum figuræ ex­tra hypomochlium motum continuabit in eodem plano.

THEOREMA XIX.

Motus circuli in eodom plano inclinato eſt velocior motufiguræ rectilineæ.

Moueatur in eodem plano AN circulus GCA, atq, penta­gonum BILMN: Dico motum circuli eſſe velociorem. Aſſu­matur radius EA æqualis ON & ducantur lineæ hypomochlij AC. NR ſecetur autem ſemidiameter figuræ motús OQ bifa­riam & æqualiter in P: ut ſit OP æqualis Pque per primum lemma: dico EF maioren rationem habere ad FG, quàm OP ad OQ Nam quia rectus eſt angulus DAE, & angulus BNO ſemiſſis anguli pentagoni minor recto: ſunt verò anguli DAC. BNP einſdem inclination is ex hypotheſi æquales: erit angu­lus reliquus FAE maior angulo reltquo PNO. Et quia OP per conſtructionem eſt æqua is PQ, ſi iungatur recta NQ, erit angulus PNQ æqualis angulo ONP, maior verò angulo BNP, hoc eſt illi æquali angulo DAF: ac proinde maior quoque an- gulo minori GAF. Angulus itaque FAE quia maior angulo ONP ſeu PNQ, erit multò maior angulo FAG; & FE ma­ior quam FG. maiorem proinde rationem habet FE ad FG, quàm OP ad Pque Et componendo EF ad EG, quàm OP ad Oque Cùmque impulſus movens ad totum impulſum ſit ut EF ad EG; & ut OP ad OQ, per theor: 8. erit per poſit: 4 velocior motus circuli E in eodem plano AN, quàm pentagoni BILMN.

PROBLEMA I.

Motum circuli, & trianguli Iſigoni ijsdem loci interuallis terminare.

Moveatur triangulum Iſogonum ABC in plano HK: & ex centro E ducatur ſemidiameter figuræ motûs EF: ſitque in­veniendum planum, in quo circulus P æquali celeritate feratur. In lineâ verticali HI centro O deſcribatur circulus HMN: cu­ius diameter HN ſit æqualis ſemidiametro figuræ motûs EF: & ex puncto H ducatur chorda HM æqualis EG ſegmento in­ter centrum figuræ & hypomochlium. Dico inuentum eſſe planum HML, in quo idem ſit circuli, qui trianguli in plano HK motus. Nam ut EF ad EG, ita totus impulſus, ſeu verti­caliter mouens ad impulſum in HK per 8. theor: & per po­ſitionem 4-motus trianguli in HI ad motum eiuſdem in HK. Et ut HN ad HM, ita motus circuli in HI ad motum eiuſdem in HL per prop, 13 de pro por: motûs. At verò eandem ratio­nem habet HN ad HM, quam EF ad EG per conſtructionem. Igitur motus circuli in HL eſt æqualis motui trianguli in HK. motum ergo trianguli iſogoni ijſdem loci interuallis terminaui­mus, quod erat faciendam.

PROBLEMA II.

Exceſſum, quo motus circuli in eodem plano eſt maior motu trianguli Iſogoni, indagare.

In eadem figurâ ſumptâ diametro circuli HN æquali EF, auferatur à plano HR linea HQ æqualis EG; eritque motus trian­guli in HQ æqualis duratione motui circuli in HM per 1. prop. motus verò eiuſdem circuli in plano HR æqualis duratione terminatur chordâ HR. per prop. 15. Exceſſus ergo, quo mo­tus circuli in eodem plano eſt maior motu trianguli, erit æqua­lis lineæ QR, quam inquirebamus.

PROBLEMA III.

Motum figurarum rectilinearum periferiâ eiuſdem circuli terminare.

Centro H deſcribatur circulus: ad cuius periferiam eodem tempore ſit terminandus motus ex H. Inueniantur itaque plana; in quibns ſemidiameter figuræ motûs in unâ quâque figurâ recti lineâ, ſecetur ab hypomochlio in eadem ratione, in quâ ſecatur EF à CD per 1 Lemma. Et quia illarum grauitas mouens in planis iam inventis eandem rationem habet ad ſuum mobile: eruntmotus per poſit. 4 æquales, ac proinde ijſdem ſpatijs, hoc eſt periferiâ eiuſdem circuli terminabuntur.

PROBLEMA IV.

Circulo æquale quadratum ex motu invenire.

Percutiat in motu circulus A alium circulum ſibi æqualem B; moveaturque ex illa plagâ per ſpatium DE rurſum idem circu- lus A habens eundem impulſum, percutiat eundem circulum B contiguum quadrato C. aut igitur moto C circulus B quie­ſcet, aut illius motum conſequetur. Et ſi quidem quieſcet, erit per 3. Axioma grauitas in C, ac proinde per 1. Axioma huius area æqualis circulo B. Quòd ſi verò ad illius motum move­tur; erit quadratum C per idem Axioma minus circulo B. Moveatur itaque B ex illâ plagâ per ſpatium ML: & quadratum C per ſpatium HI. Supponamus verò HI æquale DE, & du­plum ſpatij ML. Cùm itaque pro menſurâ plagæ minuatur im­pulſus, ex demonſtratis ad propoſ. 31. & motus eandem ratio­nem habeant, quam impulſus, per poſit: 4. ſit autem motus in DE ad motum in ML duplus; erit quoque impulſus in A ad reli­quum impulſum in B, ac proinde ad impulſum in C duplus. Quia verò quadratum C movetur ab æquali impulſu per ſpa­tium HI duplum ſpatij ML, erit quoque circulus B duplus qua­drati C. Quòd ſi enim ſemiſſem circuli moveat idem impul­ſus, quia tum per Corollarium 2. theorematis 1. impulſum ha­bet duplum, movebit per poſit. 4. ad intervallum duplum. hoc eſt HI. Igitur ſi aſſumatur duplum quadrati C, inventum erit quadratum æquale dato circulo B.

Alius modus quadrandi circulum ex motu.

LEMMA I.

Si figuræ maior in motu percutiat minorem, habeat verò ſegmentum ſemidiametri figuræ motûs, quod eſt inter lineam hypomochlij, et extre­mum motûs, eandem rationem ad alterum ſegmentum, quod eſt inter eandem lineam hypomochlij & figuræ centrum, quam habet figura minor ad maiorem, motus maioris à percußione erit parallelus lineæ rectæ per contactum.

Percutiat quadratum ABCD circulum H in G. & duca­tur linea hypomochlij GI ſecans ſemidiametrum figuræ mo­tûs AE in F: ſitque AF ad FE, ut circulus H ad quadratum ABCD: Dico motum quadrati à percuſſione eſſe parallelum lateri AB, hoc eſt lineæ rectæ per contactum G. Quia enim ut AF menſura plagæ ad EF reſiduum impulſum, ita circulus H, ad quadratum ABCD: erit permutando AF ad H, ut FE ad ABCD: ac proinde per poſit. 4. eadem velocitas motûs in utrâque figurâ. Quadratum ergo ABCD nullam à circulo per­cuſſo recipit plagam. Et quia præpondium eſt in E, propterea quòd impulſus in AF defecit ex illâ plagâ; neceſſe librationem fieri in G. Nequit autem revolui centrum E, niſilatus AB ſe­cet circulum H, aut hic à plagâ velociùs ſe abducat. Quia ve­rò eadem velocitas motûs, neceſſe motum in E per lineam fi­eri parallelam lateri AB.

LEMMA II.

Si figura maior in motu percutiat minorem; habeat verò ſegmentum ſemidiametri figuræ motûs, quod eſt inter lineam hypomochlij & extre­mum motûs, minorem rationem ad alterum ſegmentum, quod eſt inter eandem lineam hypomochlij & figuræ centrum, quàm habeat figura minor ad maiorem, motus figuræ maioris erit parallelus lineæ mediæ inter tangentem circuli, & lineam productam à centro maioris ad con­tactum.

Habeat AF ad FE minorem rationem, quàm circulus H ad qua­dratum ABCD: dico, motum E figuræ maioris eſſe parallelum lineæ GK mediæ inter GB & GE. Quia enim minorem ra­tionem habet AF ad FE, quàm circulus H ad quadratum ABCD; & permutando AF ad H, quàm FE ad ABCD, mi­nori velocitate movebitur ex illâ plagà circulus H, quàm quadratum ABCD: eandem ergo recipit à circulo percuſſo, quam dedit plagam. Et quia præpondium in E; ob tardita­tem motûs circuli ad lineam determinatur parallelam lateri AB per 1. Lemma: impulſum verò recipit à circulo H per lineam GE per theorem. 5. ſuntque impulſus ſubcontrarij; erit motus E per prop. 31. de proportione motûs, parallelus lineæ GK mediæ inter GB & GE.

LEMMA III.

Si figura maior in motu percutiat minorem; habeat verò ſegmentum ſemidiametri figuræ motûs, quod eſt inter lineam hypomochlij, & ex­tremum motûs, maiorem rationem ad reliquum ſegmentum, quod eſt inter eandem lineam hypomochlij & figuræ centrum, quàm habeat mi­nor figura ad maiorem; motus maioris erit parallelus lineæ mediæ inter tangentem circuli & eiuſdem perpendicularem ad contactum.

Habeat AF ad EF maiorem rationem, quàm circulus H ad quadratum ABCD: Dico, huius motum ab illâ plagâ eſſe pa­rallelum lineæ mediæ inter GB & GH. Quia enim menſura plagæ AF ad reſiduum impulſum in FE maiorem rationem habet, quàm circulus H ad quadratum ABCD: & permu­tando AF ad H, quàm FE ad ABCD, erit velocior motus circuli H, quàm quadrati ABCD. nullam ergo à circulo per­cuſſo recipit plagam. Et quia præpondium in E, neceſſe libra­tionem fieri in G: ac proinde motum in E eſſe parallelum lineæ mediæ inter GB & GH.

PROBLEMA V.

Circulo æquale quadratum ex motu invenire.

Percutiat quadratum ABCD circulum H, & ex illâ plagà moveatur centrum E per lineam parallelam lateri GB: duca­tur autem linea hypomochlij FG ſecans ſemidiametrum figu­ræ motûs AE in F. Eritque per 1. Lemma AF ad FE, ut circulus Had ABCD. Hoc eſt permutando ut AF ad H, ita FE ad ABCD. Quòd ſi itaque fiat ut FE ad AF, ita ABCD ad aliud quadratum: inventum erit circulo H æquale quadratum.

Quòd ſi ex illâ plagâ moveatur E per lineam parallelam GK: erit per Lemma 2. minor proportio AF ad H, quàm FE ad ABCD: Atque huius motus velocior motu circuli. eandem er gò plagam recipit quadratum ABCD, quam infert circulo: ac proinde illius impulſus à percuſſione erit æqualis AE: com poſitus nimirum ex plagâ reciprocâ AF & impulſu reſiduo FE. Supponamus verò AE ad AF eſſe ut 6 ad 2, hoc eſt in ratione triplâ: ſpatium verò decurſum ab E ad ſpatium decurſum ab H ut 3 ad 2. Quòd ſi itaque circulus H accipiat impulſum ut 3. hoc eſt additâ ſemiſſe, movebitur ad idem intervallum cumquadra­to ABCD. Et ſi fiat ut 6 ad 3, ita ABCD ad aliud, inventum erit quadratum circulo H æquale.

Demum ſi motus quadrati E à percuſſione fiat parallelus li neæ mediæ inter tangentem GB, & perpen dicularem GH; erit per Lemma 3 maior proportio AF ad H, quàm FE ad ABCD: & motus H velocior motu ABCD. Ponamus itaque interval­lum motûs Had interuallum motûs ABCD in ſeſqui alterâ ratione, hoc eſt ut 3 ad 2: FE autem ad AF ut 4 ad 2. Quòdſi itaque quadratum ABCD accipiat impulſum ut 6; movebitur eadem velocitate, & ad idem intervallum cum circulo H per poſit. 5. propterea quòd impulſus eandem rationem habeat ad ſuum mobile, per corollarium 2. 1 Axiomatis. Et ſi fiat ut 6 ad 2, ita quadratum ABCD ad aliud quadratum, inventum erit circulo H æquale quadratum.

ALIA QVADRATVRA CIRCVLI

per motum.

DVcatur à contactu G per centrum figuræ E linea GL æ­qualis GB: & ex L ad eam perpendicularis LM ſecans B C in M: eritque LM æqualis BM. Si enim iungatur recta BL, duo anguli GBL. GLB, ac proinde reſidui MBL. MLB ſunt æquales. Centro itaque M, interuallo ML deſcribatur arcus LB ſecans lineam motûs reflexi GK in O: ex O verò demittantur per pendiculares ON. OP. Quoniam itaque punctum G à plagâ re­ciprocâ ex H per lineam agitur GL per 5 theorema: impulſus verò reſiduus in FE per lineam GB per lemma 2. Eſtque motus medius GK, erit per problem. propoſitionis 35 de propor. mo­tûs, vt OP ad ON, ita impulſus in GB ad impulſum in GL, æ­qualem impulſui in H. Et ſi quidem ON eſt ſemiſſis OP, erit impulſus in OP ad impulſum in ON ut 4 ad 2. ſupponamus ve­rò ſpatium decurſum ab E, ad ſpatium decurſum ab H eſſe in ſeſquialterâ ratione, hoc eſt ut 3 ad 2. Igitur ſi circulus H acci­piat impulſum ut 3, movebitur ad idem interuallum cum qua­drato ABCD per corollarium 2 Axiomatis 1 & poſitionem 4. Etſi fiat ut 4 ad 3 ita ABCD ad aliud; inventum erit quadra­tum dato circulo H æquale.

COROLL ARIVM

Eadem ratione inveniemus quadratum æquale ſectionibus conicis, atque adeo illarum fruſtis; ſi loco circuli hu­iuſmodi figuras ſubſtituamus.

PARS TERTIA.

DE MOTV REFLEXO FIGVR ARVM

RECTILINEARVM.

E gi de motu reflexo in lib: de proport: motûs, à prop: 36. ad 40. ve­rùm hunc non niſi in circulo expendi. Licet verò in Quadraturâ cir­culi motus quo〈que〉 reſtexus interueniat; dum ab illatâ plagâ aliò, quàm ferebatur, viam capeßit: hic tamen unà hypomochlium mouetur: ne〈que〉 huius principium eſt grauitas. Neceſſe ergo in figuris quo〈que〉 rectilineis hunc motum reflexum, quatenus à grauitate & hypomochlio immoto procedit, conſidexare.

THEOREMA I.

Motus trianguli Iſogoni ad planum & baſim perpendicularis, in ſe ipſum reflectit.

TRiangulo abc labenti occurrat planum az: ſitque motus centri d ad illud planum, & baſim ab perpendicularis dico hunc motum in ſe ipſum reflecti. Nam in primâ quidem figurâ motus centri atque huius plaga eſt in eadem lineâ dc: da­bit ergo plagam perfectam. & quia per eandem lineam dc re­cipit à percuſſo æqualem illi, quam dedit plagam per 5 theor: 2 partis, motus in ſe ipſum reflectit. In ſecundâ autem figurâ percuſſio fit per idem theor. per lineas da, df, db; eſtq motus centri in lineâ df: erit ergo motus reflexus à plagâ df in ea­dem lineâ df. at verò plaga in ad & bd centrum d reper­cuſſum in partes agit dg. de. & quia plaga in da eſt æqualis plagæ in db; erit motus quoq in de æqualis motui in dg: ac proinde per prop: 31 motus medius reflectit per lineam dc.Cùm igitur hæc ſit via centri, motus trianguli in ſe ipſum re­flectit.

THEOREMA II.

Motus trianguli Iſogoni ad planum, non verò ad baſim perpen­dicularis, in partem baſis maiorem reflectit.

Triangulum abc occurrat plano az ad angulos rectos: ſecetque motus centri d baſim ac in duo ſegmenta kc maius, & ka minus: dico motum reflexum fieri in partem kc ſe ­ gmenti maioris. Excitetur enim linea hypomochlij af: quam ſecet linea de à centro perpendicularis quia itaque vectis eſt da; atque huius quadratum, ideſt totam grauitatem, ſecat bi­fariam linea hypomochlij, iuxta demonſtrata in lib: de propor: motûs; ſi quadratum ed fit grauitas mouens centri, erit hu­ius complementum quadratum ae, menſura percuſsionis ſcu plagæ. Et quia motus centri fit per lineam di tangentem cir­culi centro a deſcripti per prop: 4: motus autem reflexus à plagâ per lineam dg per 5 theor. 2 part. ſi fiat ut de ad ea ita di ad dg, erit per prop: 32 motus medius dh diameter pa­rallelogrammi aihg: ac proinde motus reflexus in partem kc ſegmenti maioris.

THEOREMA III.

Motus Quadrati perpendicularis ad planum, ſi æqualiter ſecet an­gulum, aut latus eiuſdem quadrati, in ſe ipſum reflectit.

Incidat plano ax perpendiculariter Quadratum abcd: ſe­cetque motus centri f latus ad aut angulum adc in duas par. tes æquales: dico, hunc motum in ſe ipſum reflecti. Nam in primâ figurâ, quia coincidit motus centri, & plaga in eandem lineam fd; erit motus à percuſſione in viâ centri: ac proinde in ſe ipſum reflexus. Infigurâ autem ſecundâ plaga fit per lineas fa. fe. fd. per 4. theorema 2 part: & à plagâ quidem in fe, quòd hæc ſit via centri, motus in ſe ipſum reflectit: à plagâ verò in fa & fd, in partes oppoſitas fc. fb agitur centrum grauitatis per 1 theor: & quia angulus bfc eſt minor duobus rectis, ac proinde motus in fc. fb per definit. 4 ſubcontrarij; ob æqua­les verò plagas af. df inter ſe æquales; erit per prop: 32 mo­tus medius in lineâ fg. Cùm ergo hæc ſit via centri, motus Quadrati in ſe ipſum reflectit.

THEOREMA IV.

Motus Quadrati perpendicularis ad planum, inæqualiter autem ſecans angulum ſeu baſim, reflectit in partem ſegmenti maioris.

Idem Quadratum abcd occurrat plano ax ad angulos re­ctos, motu centri e inæqualiter ſecante baſim ad in pd maius, & ap minus ſegmentum: dico motum reflecti in illam partem, in quâ eſt ſegmentum maius pd. Ductâ enim lineâ hypo­mochlij ag, & à centro ad eam perpendiculari ef; erit gra­uitas mouens centri à percuſſione quadratum ef, atque huius complementum quadratum af menſura plagæ: vectis autem ea, cuius quadratum grauitas tota, ſeu impulſus. Et quia plaga fit per lineam ea; erit motus à percuſſione in eadem lineâ ea: per 5 theor. 2 part: motus autem centri à reliquo impulſu in lineâ ek tangente circuli centro a deſcripti. Quòd ſi ergo fiat ut ef motus centri ad af motum repercuſſum, ita ek ad eh; erit diameter parallelogrammi ehik motus medius per prop: 32 ac proinde motus reflexus in partem ſegmenti ma­ioris

THEOREMA V.

Motus Pentagoni perpendicularis ad planum & latus eiusdem, in ſe ipſum reflectit.

Nam in primâ quidem figurâ, quia & motus centri & pla­ga tota eſt in lineâ ef; erit motus reflexus in eadem lineâ ef.In ſecundâ autem figurâ lineæ percuſſionis ſunt fa fg fe:motus ergò reflexus in fh. fc. fi. Et quia motus in fh & fiſunt ſub contrarij atque inter ſe æquales per defini: 4 erit per prop: 32 motus medius linea fc: ac proinde cùm hæc ſit via con­tri, motus in ſe ipſum reflectit.

THEOREMA VI.

Motus Pentagoni perpendicularis ad planum, non verò ad latus eiuſdem, reflectit in partem ſegmenti maioris.

Motus Pentagoni abcde perpendicularis ad planum ſe­cet latus ae in duo ſegmenta le maius, & al minus: Dico à percuſſo illo plano reflecti in partem le ſegmenti maioris. Nam ſi excitetur linea hypomochlij ag, & à centro ducatur li­nea fg ad eam perpendicularis; erit quadratum fg grauitas mouens centri; huius autem complementum quadratum agmenſura plagæ: propterea quòd tota grauitas ſit æqualis qua­drato af. Et quia plaga fit per lineam af, erit motus reflexus in eadem lineâ af: motus autem centri in lineâ fk tangente cir­culi centro a deſcripti. Quòd ſi ergo fiat ut fg ad ga, ita fk ad fh; erit per prop: 32 motus medius diameter parallelogram­mi faik: ac proinde motus pentagoni reflectit in partem leſegmenti maioris.

THEOREMA VII.

Motus Trianguli iſogoni ad baſim, non verò ad planum perpen­dicularis, ſi in verticem moueatur, in ſe ipſum reflectit.

In| 1 figurâ trianguli efg latus ef ſecetur à motu eiuſdem hg æqualiter: occurrat autem plano ik motu in g verticem converſo: Dico hunc motum in ſe ipſum reflecti. Quia enim motus centri & plagæ, quam dat, recipitque centrum, eſt in eadem lineâ hg, erit motus à percuſſione in eadem lineâ hg per 1 theor: ac proinde motus in ſe ipſum reflectit.

THEOREMA VIII.

Motus Trianguli Iſogoni ad baſim, non verò ad planum perpendi­cularis, ſi in baſim moveatur, uno latere eidem plano par alle­lo, ad angulos æquales reſtectit.

In 2 figurâ moveatur triangulum bcd in baſim cd, ſectam bifariam & æqualiter à motu centri in a. ſitque latus bd paral­lelum plano: Dico in hoc caſu triangulum bcd motu reflexo angulum conſtituere æqualem illi, quem facit cum eodem pla­no huius lapſus. Excitetur enim linea hypomochlij cf, du­ctâ lineâ à centro perpendiculari ai. quia itaque ex demonſtra­tis plaga eſt æqualis quadrato ci, & grauitas mouens centri æqualis quadrato ai: eſt autem plaga, & qui hanc ſequitur mo­tus reflexus in lineâ ac per 1 theor: motus verò centri in lineâ tangente circuli centro c atque interuallo ac deſcripti, paralle­la nimirum plano eg: ſi fiat ut ci ad ai, ita cl ad cm; erit mo­tus medius cn diameter parallclogrammi clmn: Dico angu­lum ncm eſſe æqualem angulo fce. Quia enim recta ac per centrum eſt perpendicularis ad eg parallelum ipſi bd, erunt an­guli ace. acg inter ſe æquales. Sunt autem triangula ica. lcnex conſtructione ſimilia; & angulus ica æqualis angulo lcn:quibus ablatis ex ace. acg anguli reliqui ecf. mcn, incidentiæ & reflexionis inter ſe ſunt æquales.

THEOREMA IX.

Motus Trianguli Iſogoni ſi ne〈que〉 ad planum, ne〈que〉 ad baſim ſit per­pendicularis, ad angulos inæquales reflectit.

In 3 figurâ triangulum abc occurrat plano habens latus aceidem parallelum: ſitque Iinea hypomochlij cd, & linea ad eam perpendicularis ef: eritque grauitas mouens centri Quadratum ef: plaga autem huius complementum quadratum go. quod quidem habetur, ſi lineâ gf ſectâ bifarium in p, eo centro de­ſcribatur ſemicirculus gof, ſumaturque chorda fo æqualis fe: nam chorda reliqua og dabit illud quadratum. propterea quòd gra­uitas tota ſit quadratum fg. fiat itaque ut fo ad og, ita fi ad fb;erit motus reflexus in lineâ fh diametro parallelogrammi fb hi:angulus autem reflexionis ifh: quem dico angulo acd eſſe in­æqualem. Quia angulus age externus cſt maior angulo in­terno ecg, æqualis autem angulo ofg; propterea quòd uterque aſſumpto angulo communi ogf facit rectum: eſt verò huic angulo æqualis angulus reflexionis hfi; quòd ſimilia ſint trian­gula gef: hfi: erit ergo æqualis quoque angulo externo age: ac proinde maior interno acd angulo incidentiæ. In 4 demum figurâ centrum e cadat intra lineam hypomochlij. cùm igitur centrum gravitatis contineatur in hypomochlio, erit plaga per­fecta: atque huius lineæ ea. ef. ec: ac proinde per 1 theor: hu­ius motus reflexus in lineâ eb. Quia ergo angulus reflexionis efc, nimirum rectus, maior eſt angulo incidentiæ dcf; motus trianguli in eo ſitu ad angulos reflectit inæquales.

THEOREMA X.

Si motus Quadrati obliquè, huius autem diameter ad angulos re­ctos ſecet planum; ad angulos æquales reflectit.

Motus Quadrati abcd ſecet obliquè planum el, diameter verò ag ad angulos rectos: dico motum reflexum ab hoc pla­no angulum conſtituere æqualem angulo incidentiæ. Sit enim ap hypomochlij, & gh linea ad eam perpendicularis: eritque ex iam demonſtratis quadratum hg motus centri, & ah eiuſdem plaga. Et quia percuſsic in ag, erit motus reflexus in eadem hneâ ag: motus autem centri in lineâ plano el parallelâ. quòd ſi itaque fiat ut ah ad hg, ita af ad ak, erit motus medius ai, & an­gulus reflexionis iak: quem dico eſſe æqualem angulo eap.Quia enim diameter ag ſecat planum in a ad angulos rectos; erit angulus eag æqualis angulo kag. ſunt auté per conſtructio­nem ſimilia triangula gha. afi; & angulus gah æqualis angu­lo fai; igitur angulus reliquus eap eſt æqualis angulo reliquo iak angulus nimirum incidentiæ angulo reflexionis:

THEOREMA XI.

Si ne〈qué〉 motus Quadrati, ne〈que〉 huius diameter ad angulos rectos ſe­cet planum, ad angulos inæquales reflectit.

Motus Quadrati abcd obliquè ſecans planum gr, habeat latus ad eidem plano parallelum: & ſit linea hypomochlij dg.ad eam verò perpendicularis eh; |cuius quadratum grauitas movens centri, atque huius complementum quadratum fi, pla­ga eiuſdem centri. Quod quidem quadratum in ſemicirculo fie conſtituit chorda reliqua, in quo chorda ie ſit ſumpta æ­qualis eh. Et quia plaga fit per lineas ea. ef. ed: per 4. theo. 2 part. erit per 3 theor: huius, motus reflexus in lineâ ek; motus autem centri in lineâ plano qr parallelâ, ſeu tangente cir culi centro f, & interuallo fe deſcripti. quòd ſi ergo fiat ut ci ad if, ita em ad ek, erit per prop: 32 motus medius el diameter parallelogrammi kelm: dico angulum reflexionis lem eſſe in æqualem angulo adg. Quia enim angulus afi externus ma­ior eſt angulo interno adh, æqualis autem angulo ief per 9. theor: atque huic æquatur angulus lem, propterea quòd ſimilia ſint triangula ief, mel: erit quoque æqualis angulo externo afi, maior verò angulo interno fdh angulo nimirum inci­dentiæ.

THEOREMA XII.

Motus Pentagoni ſecans obliquè planum, ſi latus oppoſitum habeat eidem plano par allelum, ad angulos æquales reflectit.

Pentagonum abcde habeat latus cd plano op parallelum & oppoſitum: dico ad angulos reflecti æquales. Sit enim ab linea hypomochlij, & fg ad eam perpendicularis: eritque ex iam demonſtratis fg grauitas mouens, & ag plaga eiuſdem centri. Et quia plaga eſt in lineâ af; erit motus reflexus in eadem lineâ af. quòd ſi ergo fiat ut ag ad gf, ita ah ad ak, erit motus medius in ai, & angulus reflexûs iak: quem dico æqua­lem angulo incidentiæ oab. Quia enim angulus oab eſt æ­qualis angulo afg, propterea quòd uterque ſit complementum anguli fag: angulo autem gfa æquatur angulus iak, quòd ſi­milia ſint triangula agf. iak: erit quoque angulo oab idem angulus iak æqualis.

THEOREMA XIII.

Motus Pentagoni ſecans obliquè planum, ſi latus, quod tangit pla­num eidem ſit parallelum, ad angulos inæquales reſle­ctit.

Motus Pentagoni abcde incidat obliquè plano ſt habens la­tus ae, quod tangit planum, eidem parallelum: dico hunc mo­tum reflecti ad angulos inæquales. Excitetur linea hypomo­chlij en, & fg ad eam perpendicularis: eritque grauitas tota qua­dratum fh; grauitas autem mo vens quadratum fg. dividatur bi­fariam linea hf in p; eoque centro circulus deſcribatur hif.Quòd ſi ergo ſumatur chorda fi æqualis fg; erit chorda re­liqua hi; atque huius quadratum dabit plagam. Et quia plaga fit per lineas fa. fh. fe: erit per 5 theor: huius motus reflexus in lineâ fc, & motus centri in lineâ fm eidem plano parallelâ. Si ergo fiat ut fi ad ih, ita fm ad fl; erit motus medius fk, & angulus reflexionis kfm; quem dico inæqualem angulo in­cidentiæ hen. Quia enim angulus ahi externus eſt maior angulo interno hei, æqualis autem angulo ifh; propterea quòd uterque aſſumpto angulo communi ihf facit rectum: & angulo ifh eſt æqualis angulus kfm; erit quoque æqualis an­gulo ahi, ac proinde maior angulo interno hei, angulo inci­dentiæ.

Obijcies. Si vectis continet gr auitatem mobilis, totus totam, pars ve­rò partem proportionalem per 2 Axioma; et impulſus centri grauitatis totus mouet, cùm huius interuallum ab hypomochlio eidem eſt æquale per 7 theorema 2 partis; neceßè in figurâ 3 theor: 2 huius, cùm tota ſemidia­meter figuræ motûs ſit extra hypomochlium, & non niſi in puncto tan­gat planum AZ; aut nullam, aut inſenſibilem inferre plagam: non igi­tur rectè aſſumebatur ratio plagæ ad reliquum impulſum, quam habet quadratum ED ad quadratum EA: ſiquidem totum impulſum metitur quadratum eiuſdem ED.

Reſpondeo noſtram aſſertionem veram eſſe, cùm ſemidia­meter figuræ motûs eâ ratione ſecatur ab hypomochlio, ut re­liquus impulſus ab illatâ plaga non prohibeatur à ſuo mo­tu: at verò hic impulſus cogitur ab hypomochlio ad motum incli­natum di, per tangentem circuli centro a deſcripti. Erit itaque impulſus reliquus in eâratione ad totum impulſum, quam ha­bet motus in eiuſmodi plano inclinato ad motum verticalem. Ducatur enim el parallela ipſi di: eritque motus verticalis in ea ad motum inclinatum in el, ut quadratum ea ad quadratum el, hoc eſt ut quadratum da ad quadratum de: quòd ſimilia ſunt triangula ael. aed. Et quia quadratum ad hoc eſt totus impulſus æquatur duobus quadratis de. ae; eſt autem quadra­tum de impulſus movens, erit quadratum ae impulſus qui­eſcens, hoc eſt plaga; quam infert eidem plano az. Magis er­go univerſalis eſt hæc ratio, quàm à ſemidiametro figuræ mo- tûs deſumpta. vnde etiam hac ad demonſtrationem horum the­orematum uſi ſumus.

Fortaſſe verò hanc eandem hypotheſim, in motu proiecto­rum, non inconvenienter aſſumere licebit. ut ſi quadratum E percutiat circulum H per 1 & 2 Lemma probl: 5. quia motus centri E à percuſſione fit parallelus rectæ GB, erit inclinatio huius æqualis angulo BGQ, hoc eſt illi ad verticem æquali AGI. Igitur ut GI ad GA, ita motus verticalis ad motum inclina­tum. eſt verò ut GI ad GA, ita GE ad FE. propterea quòd ſi­milia ſint triangula GEF. AGI. eſt enim AGE ſimile utrique triangulo FGE. FAG, atque idem FAG ſimile triangulo AGI. Cùm itaq, FE ſit impulſus mouens; totum verò impulſum metiatur EG; erit huius exceſſus æqualis plagæ. qui nonniſi cùm radius EG eſt æqualis ſemidiametro figuræ motûs EA, æquatur reliquo ſegmento AF. Quòd ſi verò quis opine­tur eandem eſſe rationem motûs proiectorum, & qui pro venit à grauitate: propterea quòd ſicuti lapſus grauium continuò augetur: ita quoque motus proiectorum continuò minuitur: eo videlicet modo, quo triangulum ſibi ſimile manens; ac pro­inde utrumque ſecari ab hypomochlio in duo quadrata: is meo quidem iudicio haud improbabiliter ita ſentiet. Tum itaque ſumpto impulſu toto æquali quadrato EG: ſi EF quadratum ſit vis movens; erit FG quadratum plaga, ſeu impulſus in hy­pomochlio quieſcens. Siue tamen hac, ſiue illâ hypotheſi uta­mur, eadem via erit ad circuli quadraturam.

PROBLEMA I.

Motum verticalem trianguli Iſogoni à plano reflectere ad an­gulum datum.

Sit angulus datus grad. 30. ad quem reflectere oportet mo­tum trianguli abc à plano az. Ducatur linea verticalis af faciens cum rectâ ad angulum fad grad. 30. ſemiſſem complementi anguli reflexionis. Secet autem ad producta latus trianguli bc ad angulos rectos: dico triangulum abcin hoc ſitu à lapſu verticali reflecti ad grad-30. Ducatur enim à centro figuræ recta de perpendicularis ad af. Et fiat ut ae ad ed, ita dg ad di: eritque dh motus centri à reflexi­one. Cuiex a ducatur parallela ac. Quia itaque angulus e ad eſt grad. 30. per conſtructionem; æqualis autem angulo g dh, hoc eſt illi æquali dai: erit angulus compoſitus fai grad: 60, ac proinde angulus reliquus caz grad. 30.

PROBLEMA II.

Motum verticalem quadrati à plano reflectere ad angulum datum.

Inveniendus ſit angulus reflexionis grad. 40. Ductâ ag li­neâ hypomochlij, fiat angulus gae grad: 25. ſemiſſis comple­menti anguli reflexionis. Et ex centro figuræ producatur ef perpendicularis ad af. Quòd ſi itaque fiat ut af ad fe, ita ehad ek; erit ei via motûs reflexi. Cui ex a ducatur paral­lcla ad. Et quia angulus hei, hoc eſt ead æquatur angu­lo fae: erit angulus compoſitus fad grad. 50; & angulus reſiduus dax, nimirum angulus reflexionis grad. 40.

PROBLEMA III.

Motum verticalem pentagoni à plano reflectere ad angulum datum.

Simili modo in pentagono motum verticalem reflectemus ad angulum datum. ſi ducatur ac, verticalis; & angulus gafſiat ſemiſſis complementi ad angulum quæſitum. Ductâ enim ex ap arallelâ motui reflexo fi, erit angulus reliquus à parallelâ, & plano contentus æqualis angulo quæſito.

De lineâ motûs reflexi, & motu proiectorum.

Verùm contra hucus〈qué〉 dicta de motu reflexo poterit quis dubitare: quamobrem hic ex occurſu plani, motus at〈que〉 impulſus figuræ rectilineæ ſecetur in duo quadrata: in probl: verò 4 & 5 in duo parallelogramma: quorum baſis communis ſit radius, ſeu ſemidiameter figuræ motûs; alti­tudo verò eiuſdem ſegmenta.

Reſpondeo hie motum conſiderari naturalem à grauitate: quem prop: 12. oſtendi eo modo augeri, quo triangulum ſibi ſimile manens. Cùm itaque plaga inducatur non abſque ali­quâ morulâ; neceſſe et illum impulſum, quem plaga abſumit, & quem centrum gravitatis retinet ad ſe librandum, habere vim quadrati. At verò in quadraturâ circuli motu utimur ſi­milari: Vnde neceſsè eo modo dividi, quo linea recta, ſeu pa­rallelogrammum.

Inſtabis ſi totus impulſus, VG trianguli ABC, ſecatur in duo qua­drata DE at〈qué〉 EA: quia motus eſt æqualis impulſui; erit ut quadra­tum DE ad quadratum EA, ita motus centri ad motum reflexum à plagâ in DG. maior ita〈qué〉 DG quàm AE: nimirum in ratione duplica­tà eius, quam habet AE ad DE: ac proinde angulus reflexionis minor angulo GDH.

Reſpondeo cùm motus augeatur pro ratione impulſús; hu­ius verò incrementa pro ratione illius morulæ, in quâ perfici­tur plaga, habeant rationem quadrati; neceſse quoque motum inter ſe conferri ut quadrata. Quod confirmatur à poſterio­ri. Conſtat experientiâ, atque omnium aſſenſu pilam reflecti ad angulos æquales: hoc autem nullâ ratione fieri poteſt, niſi motus ad ſe referantur ut quadrata. Aſſumatur enim figura prop: 39: in quâ angulus incidentiæ CDA æquatur angulo reflexionis IAB: dico impulſum, & qui hunc ſequitur motum centri grauitatis reſiduum à plagâ, eandem rationem habere ad motum inde reflexum, quam habet quadratum EF ad qua­dratum FD, hoc eſt per prop: 12. illorum durationem eſſe ut EF. FD latera eorundem quadratorum. Producatur enim linea DE motûs reflexi: atque ipſi DI ſumatur parallela EG ex G verò demittantur perpendiculares GH. GK. Quia itaque recta ED eſt perpendicularis ad AB, & angulus CDA aſſumptus æqualis angulo IDB; erit angulus reliquus CDE æqualis angu­lo reliquo EDI, hoc eſt illi æquali HEG. & cùm rectus ſit uterque angulus EFD. EHG, atque HEG æqualis EDF; erunt triangula EFD. GHE ſimilia. Igitur ut EF ad FD, ita HG, ſeu EK ad EH. Neque verò dicendum in hac demonſtratione circulum committi. ſi quidem hic ab effectu per experientiam cognito, ea principia ſtabiliuntur; ex quibus propoſitione 39. aliâ viâ notis hic idem effectus tanquam illorum concluſio infertur,

Obijcies. Motum reflexum non augeri ea modo, quo triangulum ſibi ſimile manens: non igitur ad ſe referri ut quadrata. Et de impulſu quidem reflexo videtur manifeſtum: Quod hic à percußione oriatur, at〈qué〉 continuò, ex quo cæpit, minuatur. Idem verò probatur de impul­ſu, quem centrum grauitatis retinet ad ſe librandum. Nam cùm prin­cipium huius augmenti ſit grauitas, motus verò reflexus fiat in partes oppoſitas grauitati; nequit grauitas influere in hunc motum: quin poti­us eidem reniti, & grauitando ipſum minuere: uti manifeſtum in fine motûs reflexi & in arcum ſinuati.

Reſpondeo nos hic principia motûs reflexi inter ſe confer­re: quæ conſtat vim quadrati habere: licet fortè in progreſſu mutari contingat illam proportionem. An verò grauitas in­fluat in motum reflexum dubitari poteſt. Nam ſi ita, idem videtur dicendum de motu proiectorum: nullus proinde mo tus rectus. At verò ſi proiecta non ferantur lineâ rectâ, quâ ra­tione ictus certi eſſe poſſunt? et tamen conſtat eſſe inter Scyt­has adeo ſagittandi peritos, ut pomum vertici impoſitum, aut nummum inter duos digitos contentum excutiant. Mulieres quoque Balearicæ non priùs cibum ſuis filijs præſtabant, quàm iactu fundæ eundem attigiſſent. Et ne remotiora ſectemur, an non ictus tormentorum adeo certi; ut globi ab his emiſſi per ipſum os tormenti oppoſiti ſe inferant?

Pro quo notandum ex his, quæ in libro de motu poſtea di­centur, utrumque motum, videlicet naturalem, & qui ex impulſu cauſatur, efficienter quidem à principio interno mobilis; de­terminatiuè verò ab ideâ provenire. Quæ ſi ab extra veniat, motum non naturalem; idea verò interna & à principijs eſſen­tialibus fluens motum naturalem determinat: atque ſi ad mun­di centrum dirigat, grauitas nun cupatur. Fit autem hic mo­tus mediante impulſu: qui cùm neceſſariò producatur, neceſsè hunc in deſcenſu continuò augeri per prop: 10. Idea verò ex­terna impulſum determinat ſimilem vel diſſimilem grauitati. Et ſiquidem impulſus accedat ſimilis illi, qui prouenit à gravi­tate; dico ab utroque ſimul fieri motum: ſiue impulſus ſit ma­ior, ſiue minor gravitate. Et impulſum quidem maiorem grauia incitare videtur manifeſtum. Quòd ab hoc, non verò à gravitate fiant incrementa motûs: qui in omni puncto eſt maior gravitate, per prop: 11. Idem verò dicendum de im­pulſu minori. propterea quòd grauitas non niſi mediante im­pulſu moueat: omnis verò acceſſio impulſûs auget præexi­ſtentem, & ad motum incitat velociorem, per poſit: 4. Quôd ſi motus ſit non naturalis, cuiuſmodi ſagittæ, vel erit contrari­us abſolutè; qui nimirum fit per eandem lineam rectam: vel ſubcontrarius, angulum continens cum lineâ deſcenſus mino­rem duobus rectis. Ft prioris quidem generis, ſi æqualis ſit gravitati, nullus omninò fit motus; verùm mobile tum quie­ſcit. Propterea quòd deſcenſus grauium fiat mediante im- pulſu: Impulſus verò contrarius tollat vel impediat ſuum contrarium in eadem ratione, totus totum; pars verò partem proportionalem. Igitur ſi minor ſit impulſus gravitate, abla­tâ parte æquali à reſiduâ gravitate fit deſcenſus. Quòd ſi ve­rò maior ſit impulſus: erit huius exceſſus principium motûs ſurſum. At verò impulſus ſubcontrarius, ſi angulum conti­neat rectum, vel maiorem recto, cùm illius motus à centro ab­ducat, nullum impulſum videtur gravitas determinare: Vn­de motus ab exceſſu fieri dicendus: quouſque æquatio fiat u­triusque, tum enim motu miſto ferri, & in ſpeciem arcüs ſinuari videtur. Quod quidem ſupponere debent, qui dicunt mo­tum proiectorum fieri per lineam rectam: quod nullo modo eſſet, ſi motu miſto ferrentur ex gravitate atque impulſu. Nam cùm plaga minuat impulſum, gravitas verò eadem maneat; neceſse latera motûs continuò aliam atque aliam rationem ad ſe habere. Cuius ratio eſſe videtur; quòd gravitas nonniſi idealiter concurrat ad motum & impulſum: unde per aliam ideam fortiorem ſuperari & excludi poteſt: ut ad præſcriptum huius, non illius moveatur. At verò impulſus ſubcontrarij neceſſariò miſcentur, actionêsque producunt mixtas. Eſt hæc ſententia multùm probabilis, ſed oppoſita magis placet. Nam cùm motus proiectorum demum ſinuetur manifeſtè: id non­niſi ex impulſu gravitatis eſſe poteſt: qui mobile ex illâ lineâ rectâ ad centrum abducit. At verò hoc contingit non ſolùm æquatâ gravitate, ſed etiam cùm maior eſt impulſus: Igitur in reliquum impulſum, quo moveri cæpit, grauitas influit: ac proinde neceſse hunc motum eſſe miſtum. Aſſumatur enim altitudo ſagittæ AC, cùm iam manifeſtè incipit declinare à li­neâ horizonti parallelâ: cuius motus ſinuoſus AFG eritque AG maior quàm AC. Dico impulſum eſſe maiorem gravitate. Quòd ſi enim æqualis eidem eſſet, motus medius fieret per di­ametrum AG. minor verò effectus grauitate, motum ſinuo­ſum terminabit inter C & G. quod quidem in ſyphonibus atque effluxibus aquæ ſinuoſis magis licebit experiri.

Quam proportionem habeat impulſus ad gravitatem.

Quod verò obijcitur, ſi motus eâ ratione ſit miſtus, cúm plaga mi­nuat impulſum, grauitas verò eadem maneat; nunquam ad deſtina­tam metam mißilia, quæ ad libellam diriguntur, perventura.

Reſpondeo gravitatem ad impulſum VG ſagittæ, valde exi­guam proportionem habere: ac proinde ob inſenſilem cur­vitatem pro lineâ rectâ æſtimari. Quod quidem hac ratione videtur ſuaderi. Cùm in lapſu grauium impulſus in omni puncto motús ſit maior gravitate per prop: 11; atque eo modo augeatur, quo triangulum ſibi ſimile manens, per prop: 12: habebit rationem duplicatam ſuæ longitudinis ad datum tri­anguli latus, quod gravitati, VG unius libræ, ſit æquale. Vt ſi promoviſſe dicatur eo lapſu prius quidem ad digitos 4. In­de ad paſſus 3: habebit impulſus hoc intervallo collectus ad illum rationem, quam 1804. ad 1. At verò ſi pila deſcen­dat ad totidem paſſus; minùs offendit, quàm ſi eadem ex illâ diſtantiâ proijciatur. Eſt autem impulſus ab arcu, ſeu fundâ his muitò vehementior: ut nihil dicam de Cylindro bellico. Deinde dico ab huius modi Iobolis nonignorari hanc motûs curvitatem: unde etiam rationem habent diſtantiæ. aliter e­nim ex magno, aliter ex parvo intervallo ictum dirigunt: neque ſolùm intervalli, ſed etiam ictûs vehementiæ modum expen­dunt.

Dices quamobrem alij alijs feticiùs ſcopum aſſequuntur: tamctſi ijs­dem inſtrumentis uſi, eadem〈que〉 collineatione factâ.

Reſpondeo id ex diverſo pupillæ ſitu provenire. accidit e­nim his, quemadmodum ſi quis digito preſſam loco moveat: tum ſiquidem alius rei, atque imaginis locus. unde cùm ictum dirigant ad locum viſum, quid mirum à loco verò aberrare. Ita quidem in motu proiectorum; quæ lineam ſequuntur ex angulo recto, aut recto maiore. Quòd ſi cum motu vertica­li angulum contineant minorem recto; quia tum mobile fit pro­pius centro, videbitur hic gravitas capere augmentum eo la­pſu: quod ſimilis videatur motui inclinato; in quo velocitas continnò augetur, Dico nihilominus eandem eſſe vtro­bique rationem. Alia autem eſt ratio motûs inclinati. propterea quòd pars gravitatis maneat extra hypomochlium: ac proin de impulſum producat ſibi æqualem: qui in deſcenſu conti- nuò augetur. In proiectis verò tota gravitas ſuperatur ab impulſu, atque in lineam trahitur nonnaturalem.

PROBLEMA IV.

Datâ Proportione impulſûs ad grauitatem, lineam motûs inflexi inuenire.

Data ſit proportio impulſûs ad gravitatem, VG ſeſcupla. aſſumatur autem recta AB via motûs, ad AC motum verti­calem in eadem ratione: & ſecetur AB in ſegmenta æqualia ALMNOPB. Quòd ſi itaque maneret eadem proportio im­pulſus ad gravitatem, motus medius eſſet diameter parallelo­grammi ABDC per prop: 32. At verò quia plaga impul­ſum continuò abſumit: gravitas verò eadem manet; neceſſe continuò mutari hanc proportionem: pro ratione nimirum ſpatij tranſmiſſi Igitur abſumptâ parte impulſus æquali AL: principium motûs reliqui determinat AT diameter parallelo­grammi APTC in E. propterea quòd TC ſit æqualis reſiduo impulſui LB. Rurſum peractâ plagâ æquali AM; erit princi­pium motûs in F communi ſectione MF. atque AS lineæ dia­gonalis parallelogrammi AOSC, eademque ratione invenie­mus puncta reliqua motûs ſinuoſi in GH I&c.

THEOREMA XIV.

Linea motûs proiectorum non eſt circulus, ne〈que〉 ulla ſectionum conicarum.

Supponamus primùm eſſe lineam circularem.

Quoniam itaque triangula APT, AEV ſuntſimilia, erit FV ad AV, ut AP ad TP. eſt autem TP pars 5 AP per probl: 4 Igitur & AV pars quinta EV. Et quia quadratum E Veſt æquale re­ctangulo contento AV, atque huius complemento ad diame­trum circuli; EV verò aſſumpta partium 10, qualium AV eſt 2; erithuius complementum partium 50: & tota diameter 52. Rurſum quia CG eſt tripla AC: illius verò quadratum æqua­le rectangulo contento AC, atq, huius complemento ad dia­metrum circuli; eſt verò quadratum CG partium 900, & AC partium 10; erit reſiduum ſegmentum partium 90: tota verò diameter partium 100. eſt verò eadem quoque partium 52. Non igitur linea motûs AEF GHI eſt peripheria circuli. Dico neque eſſe parabolam. Sit enim ſi fieri poteſt, linea para­bolæ. erit itaque ut recta AC ad rectam AV, ita quadratum ſemiordinatæ CG ad quadratum ſemiordinatæ VE. et quia CG eſt tripla VE; erit eiuſdem quadratum noncuplum ad illud quadratum. At verò AC ad AV eſt ut 10 ad 2, hoc eſt quin­tupla. non igitur ut AC ad AV, ita quadratum CG ad qua­dratum VE: ac proinde linea AE FG &c. non eſt parabola. Sit iam ſi fieri poteſt, hyperbole. aſſumatur verò huius diame­ter partium 8, qualium AC eſt 10, & AV 2. Igitur triangu­lum rectangulum contentum AV, & latere compoſito ex AV atque diametro figuræ erit partium 20: triangulum verò contentum AC atque latere compoſito ex AC & diametro eiuſdem figuræ, partium 180: huius verò ratio ad illud noncupla. eſt autem quadratum quoque ſemiordinatæ CG ad quadratum alterius ſemiordinatæ VE in eadem ratione. propterea quòd latus CG ſit triplium lateris VE. Cùm itaque eandem rationem ad ſe habeant rectangula ſubſegmentis axis hyperbolæ, quam habent quadrata ſemiordinatarum; erit permutando eadem quoque ra­tio rectangulorum ſub ſegmentis axis ad quadrata ſuarum ſe­miordinatarum: ac proinde puncta EG in eadem hyperbole. Rurſum verò quoniam AOS. AKF ſunt triangula ſimilia; & AO quadruplumm OS; erit quoque KF quadruplum AK: & AK partium 5, qualium KF eſt 20. triangulum ergo rectangulum contentum AK atque latere compoſito ex AK & diametro figuræ erit partium 65: rectangulum verò conten­tum AV, & latere compoſito ex AV atque diametro eiuſdem figuræ, partium 20. eſt autem ratio 65 ad 20 minor, quàm ſit quadrati KF ad quadratum VE: Igitur permutando non ea­dem eſt ratio rectangulorum ſub ſegmentis axis ad quadrata ſemiordinatarum: ac proinde puncta EF non continentur in lineâ hyperbolæ.

Demum neque ellipſin eſſe hanc lineam motûs, ita oſtendo. Producatur AC in Z: quam ſecetperpendicularis IZ. Cùm itaque in I gravitas fiat æqualis impulſui; erit IZ maior omni­bus rectis, quæ ex lineâ motûs cadunt perpendiculariter ad dia­metrum AZ: ac proinde erit ſemidiameter figuræ. At ve­rò IZ æquatur ſemidiametro AZ: oportebat verò eſſe in­æqualem: non igitur puncta AEFGHI in ellipſi continentur.

De cauſa inæqualis reflexionis

Suppoſui hactenus in reflexione figuras rectilineas æqua­lem dare & recipere impulſum. quod licet ut plurimum fiat; non tamen eſt neceſſarium: ſed quandoque percutiens mino­rem, quandoque nullum recipit impulſum.

Et ſiquidem totam dedit plgam, nullamque recepit, non re­flectit: verùm à plagâ conquieſeit. Ex parte verò plagæ mo­tum continuat centrum gravitatis per lineam tangentem cir­culi; cuius centrum eſt contactus, & intervallum diſtantia eiuſ­dem centri gravitatis. At cùm minor eſt plaga à percuſſo, mutatur ratio motùs reflexi: propterea, quòd centrum præ­dominatur. Inæqnaliter autem reflecti corpora, ſi materiâ differant, quantumvis eandem figuram, & magnitudinem, quin et gravitatem habeant, conſtat: ſi pila plumbea, ferrea, la­pidea, oſſea, lignea, coriacea ex eadem diſtantiâ terræ, aut pari­eti allidatur. Cauſa huius inæqualitatis videtur non niſi ex naturâ impulſûs priùs cognitâ obtineri. Neque enim cur inæ­qualiter recipiatur, conſtare poteſt; niſi quid, & quomodo in corporibus tecipiatur, conſtet. De quo alibi: hic verò non ni­ſi ea, quæ ad inſtitutum facere videntur, delibabo.

Notandum ergo primò, ſi mobile percutiat aliud, produce­re impulſum æqualem illi, quo ipſum movetur: globus enim percuſſo æquali, eadem celeritate hunc movet: quod non niſi ab impulſu æquali eſſe poteſt. At ſi maior aut minor gravi­tas ineſt percuſſo, inæqualiter movetur: velociùs quidem cui minor, tardiùs cui maior ineſt gravitas. Vnde apparet cun­dem impulſum in paruo ſubiecto colligi & intendi; in magno eſſe remiſſiorem: propterea, quòd alia ſit proportio moven­tis ad mobile. Sed dubitabis an in percuſſo æquali idem ſit impulſus. Nam ſi in lineâ rectâ plures globos diſponas ſibi con­tiguos & æquales; percuſſo primo ultimus movetur, omni­bus alijs immotis. Si ergo primus in ſecundo, hic in tertio producit impulſum æqualem illi, quo ipſe moveretur; ſequi­tur à plagâ, quæ unum movere poteſt, moveri poſſe quolibet ſpatio abiunctum: perque globos infinitos illam vim extendi, eſſeque infinitam. E contra vero, ſi illâ ſerie continuò dereſcit pla­ga; ut minor ſit in tertio quàm in ſecundo, et in hoc quàm in primo: ſint globi numero 20. & ſingulorum pondus librale. habebit ergo pIaga 20-minorem rationem ad totum impul­ſum quàm ſubuigecuplam; hoc eſt quàm habeat gravitas illius globi ad omnium grauitatem collectam. impulſus ergo minor, quàm ut moveat pondus librarum 20; maior autem quàm ſit reſiſtentia lib: 10 aut 15; percuſſo primo non movebit ulti­mum. Nam ſi totus impulſus minor eſt grauitate totâ, erit quoque pars impulſûs minor illâ gravitate, quæ in eadem eſt ra­tione ad totam gravitatem. Et cùm pars 20 impulſus neque­at movere pondus lib: 1. neque à plagâ minore quàm ſit pars 20 movebitur. Hoc autem eſt contra experientiam. videmus enim quovis numero interpoſitis globis æqualibus ultimum moveri ex eadem plagâ, æquali cum primo celeritate. Dein­de ſi plaga decreſcens nequit ultimum movere; ſunt verò & in­termedij abſque motu; erit plaga infinita in mobili, abſque eo quòd ullam partem moveat. Augeatur enim numerus glo­borum in eâ ratione, in quâ plaga: eritque impulſus ab ultimâ plagâ in eadem ratione, hoc eſt minori, quàm ut movere poſ­ſit ultimum globum. Quod cùm à ratione & experientia ſit alienum, dicendum omnes globos, quantumvis numero augeantur, ab hoc impulſu peruadi Neque ſequitur virtutis fi­nitæ actionem eſſe inſinitam. non enim ab extra, ſed à princi­pio interno mobilis producitur impulſus; ut ſuo loco oſten- dam: factâ determinatione à ſimili per contactum. Quid ergo mirum mobilia infinita impulſum coacervare infinitum? Atque ex his multa arcana panduntur: cùm tanta ſit vis ſimili­tudinis; ut nullis locorum intervallis definiantur ex eâ naſcen­tes amores: neque iam miremur cœleſtes influxus his illicibus uno ceu momento trahi. Dices Quid ſi inæquales ſint globi & continuò minores: an ab infinito numero erit motus? nam ſi ita, movebitur ſanè ultimus celeritate infinitâ. Reſpondeo, cùm minor globus eadem celeritate feratur à minori impulſu; movebitur ab incipiente, & necdum perfectâ plagâ: ac proin­de reliquus impulſus motum maioris continuabit per poriſma 2. Ex quo illud mirabile; in eodem inſtanti ab uno principio motûs fluere infinitos inter ſe inæquales. Licet verò in infi­nito daretur ultimus, negamus tamen hunc celeritate move­ri infinitâ: propterea quòd impulſus continuò minuatur iuxta decrementum illarum Sphærularum. At verò infinitum quis terminabit? Cùm ergò dicimus numerum infinitum, ſynca­tegorematicè intelligi volumus, quouis dato maiorem: atque in hoc ſicuti cum numero decreſcit moles, ita velocitas mo­tûs augeretur. Iiſdem connexa, & à vulgi opinione remota ſunt hæc.

Plagam infinitam dare absque eo, quòd percutiens mo­ueatur.

Movere corpus in quâcun〈qué〉 diſtantiâ, abs〈qué〉 eo, quòd ullus in medio ſit motus.

Motum eodem inſtanti producere in infinitum.

Nihil ergo mirum inſtante motu terræ, priuſquam hæc con- cuti & tremere incipiat, atque etiam eâ immotâ ruere ædificia: homines pedibus inſiſtere non valentes collabi & vacillare: fa­ctâ enim plagâ in viſceribus terræ medijs immotis impetus huc ſe effundit: quemadmodum percuſsâ muri parte oppoſitâ, ea quæ muro hærent, delabuntur. Notandum ſecundò. impul­ſum non recipi uniformiter in mobili; ſed receſſu à ſummo vi­gore, quem infert plaga, ſenſim attenuari tam in profundum, quàm in latum. Itaque videmus illas partes, quæ ictum exci­pere coguntur, præ alijs frangi & collidi: nequaquam à plagâ remotiores. Quia nimirum cùm unaquæque particula ſuo impul­ſu feratur & incitetur ad motum; dum hæ præcurrere feſti­nant, illæ ob tarditatem ſequi non valent, quà impetus magis urget, ſi uniones habeant ſolubiles, avelli contingit. Ita quidem in principio motûs, quouſque producitur impulſus: quam tamen inæqualitatem æquat centrum grauitatis, omni­um vim colligendo; cùm ab omnibus urgeatur: atque ita fit, ut tardiores incitentur, velociores retardentur: quò eodem cum centro gravitatis motu ferantur.

Motus ergo centri eſt principium motûs reliquorum: & cùm à motu fiat plaga; erit huius motus & ratio in ordine ad cen­trum Itáque fit utictus perpendicularis omnium ſit grauiſſimus: obliquorum verò tantò vim habeat minorem, quantò magis obliquè ferit: eo enim modo habet hic motus, quo grauitas in lapſu inclinato. Quòd ſi ergo corpora eiuſdem molis & ſoliditatis, percutias ictu latiore eóque plano; videbis in medio plagæ ſitas partes priùs frangi, ijs quæ in ambitu ſunt quandoque illæſis. Porro impulſus in mobili, quia à plagâ cæpit, in aliam plagam deſtinatur. & ſi quidem plagam totam peregit, totus; ſi partem, in eadem ratione exſolvitur impulſus, ut conſtat ex propoſ: 37. Quin motus in aëre quid aliud, quàm percuſſio & plaga continuata: unde in aëre craſſiore, licet ab eadem viferatur mobile, minor eſt motus. Ita in aquâ ob ſolidita tem & reſiſtentiam maiorem ad minus intervallum plaga cum motu terminatur. An igitur licebit ex proportione motûs in diverſis elementis coniecturam ſumere illorum gravitatis? an præter gravitatem tenacitas partium huc facit? utlicet æquè gra­ves, non tamen eadem facilitate findantur: cùm & ab eadem gravitate percuſſio fiat inæqualis. At verò ſi motus eſt per­cuſſio continuata; an poſito vacuo nullus erit motus? an ſem­per movebitur illud mobile? cùm nihil percuti poſſit, neque ab ullo minuatur impulſus. Deinde quâ ratione ſpiritus moven­tur, ſi nullus illorum eſt tactus? an non neceſſe eâ ratione mo­veri, quâ corpora, tranſito priùs medio? cùm diaſtima ſit cor­porum, non verò ſpirituum: qui neq, ſibi ſunt vicini, neque cor­poreis abſunt intervallis: cùm neque loco capiantur.

Per accidens tamen moveri videntur, & motum corporeum adumbrare, per operationem ſenſibilem in medio factam.

Quòd ſi ergo ſpiritus ille, qui pacem hic turbat, velit Roma­nos inquietare; non neceſſe hunc per Venetos & loca media ire, at ſi illam columnam, quam| ferunt Româ huc delatam, eò referre velit; celeritatem habebit definitam, et non niſi per loca interiecta movebitur.

Notandum Tertio, impulſum alium habere proportionem ad mobile loco movendum; alium non: ut licet nulli hæreat, inſiſtatque non tamen ex lllâ percuſſione ad motum incitari. atque hic impulſus, quandoque totum mobile, quandoque non niſi aliquam partem pervadit. Et quod attinetilla corpora, quæ percuſſa loco moventur, in quâ proportione eſſe debeant, di­ctum in porismatis ad prop: 37. Dubitatio tamen eſſe poteſt, quamobrem percuſſo maiori quieſcente motoque minus quan­doque reſiliat, nam totam dedit plagam; & cùm moveatur ma- ius à plagâ ſe abducens, nullam recipere videtur. Reſpondeo id provenire ex inæqualitate motûs. Nam cùm tardiùs con­citetur ad motum maius, quàm æquale; in illâ morulâ, priuſ­quam incipiat moveri, reſiſtit: ac proinde repercuſſio fit æ­qualis illi morulæ, quâ veluti hæret in principio motûs. Itaque fieri poteſt, ut quandoque æquali, quandoque minori impulſu re­ſiliat: nunquam verò motum maioris conſequatur: ſicuti neque maior percuſſo minori quieſcere poteſt, aut reflecti. At ve­rò illud mobile, quod percuſſum non movetur, neceſſe illam plagam à minori recipere: nam ſi ab æquali percutiatur ſeu tel­lus, ſeu planctarum unus, locum ſanè mutabit. Et ſi quidem corpus fuerit ſonorum, diu reſonat; cuius partes omnes vi­bratione quadam commoventur. Sonus autem ſibi relictus cum illo tremore ſenſim minuitur & vaneſcit; & non niſi à con­tactu repentè conticeſcit. In corporibus autem ſurdis, quæ percuſſa nihil aut parum ſonant, vibratio quidem fit, minùs ta­men diuturna: quàm ex impulſu reciprocante fieri ex eo con­ſtat. quòd atomi & corpuſcula minuta in ſuperficie illorum corporum eodem tremore convellantur, & incitentur ad motum. Minùs tamen regulariter in his, quàm in corporibus ſonoris fit reciprocatio motûs ſeu impulſus, ob atomos inæqualiter ſi­tas; à quibus via procurſus & recurſus variè detorquetur.

Durat verò impulſus à ſuperficie ultimâ ſe reducens, rurſúmque excurrens veluti ſe ipſum perſequendo, quouſque plaga conti­nuò decreſcens ſe ipſam abſumpſit. Quod quidem in corpo­ribus non continuis, cuiuſmodi lana, promptè fit ob vias mil­le modis interciſas. Piſa verò percuſſo ſacco licet conti­nua non ſint, ſonant: propterea, quòd partes ſenſibiles & ſo­num ex le habentes colliduntur: itaque legumina quò maiora magisque rotunda, magis reſonant. Ita quidem in corpore habet impulſus: quod licet non mouet localiter, omnes ta- men illius partes pervadit. In corpore autem vaſtæ molis, cuiuſmodi tellus, eò uſque procedit, dum illâ extenuatione prorſus inſenſilis euadat: & cùm nulla eſt reciprocatio, neque vibratio contingit. Tremere tamen interdum ſolum ex in­genti plagâ conſtat: cùm partes vehementer preſſæ reaſſur­gunt. At verò quouſque una quæque plaga ſe extendat, necdum liquet: conſtat ſanè longiſſimè protendi: in magnâ enim di­ſtantiâ auribus terræ admotis ſonum etiam non magnum per­cipiunt excubitores. Eſt tamen magna differentia pro qua­litate terræ: cavernoſa enim multúmque aëris continens ſo­num longiùs protendit, quàm uliginoſa & paluſtris: & quæ continua eſt ac veluti concatenata, quàm ſabuloſa & interciſa.

Notandum Quartò, impulſum naturâ ſuâ lineam rectam & viam ſequi percutientis. itaque ſi perpendiculariter incidat pla­no motum ſeu impulſum producit in directum, ſi nihil obſtat. At cùm reſiſtentia maior eſt ex unâ, quàm aliâ parte: ut cùm trabem longiorem percutimus non in centro gravitatis, ſed in parte uni extremo propiore: tum motus non fit in directum, ſed circularis: cuius centrum alterum extremum quieſcens, & à plagâ magis remotum. Quòd ſi percuſſio fiat in centro: tametſi ad partes remotiores à plagâ minor impulſus ſe exten­dat; quia tamen centrum gravitatis æquationem inducit; omnes æqualiter & in directum moventur. In Sphærâ autem ſeu globo impetus à plagâ in centrum dirigitur, ſi moveri de­beat: quod alioqui non eſt neceſſarium: quandoque enim pla­ga ex obliquo illius partem decerpit. At ſi globus alium percutiat quacunque ratione, neceſlariò hæc plaga centrum ſpe­ctat. propterea, quòd utrumque centrum atque illorum plaga ſit in eadem lineâ rectâ. Nulla tamen plaga ex obliquo facta to- tum impulſum abſumit: cùm non tota vis centri percutiat. ne­ceſſe ergò mobile ab eiuſmodi plagâ motum continuare.

Notandum Quintò, hanc differentiam eſſe inter corpora percuſſa, quæ ex illâ plagâ moventur, & quæ immota manent. quòd hæc ictum recipiant reddantque;, nequaquam illa: pro­pterea, quòd licet ab his contactus fiat, non tamen etiam pla­ga: eſt enim plaga irruptio quædam violenta, & veluti pene­tratio: at verò quæ à plagâ moventur, nullam faciunt irrup­tionem, ſed à plagâ celeriter ſe adducunt: non igitur percu­tere dicuntur. Immota verò quia percuſſioni non cedunt eadem violentiâ irrumpunt penetrantque in ea, à quibus pene­trantur: unde percuti & percutere, & impulſum recipere da­reque dicuntur. Qui ſummus eſt in contactu: Inde verò ſen­ſim attenuatur. Et in percuſſo quidem ex illâ vibratione de­mum conquieſcit: in percutiente verò quia priori eſt contra­rius, ipſum retroagit. Dices quid ſi dicamus impulſum non niſi per contrarium impulſum tolli? Nam ſi globus alium per­cutiat ſibi æqualem & quieſcentem, ex illâ communi plagâ in utroque producitur impulſus: qui globum quieſcentem loco movet. propterea quòd huic motui nihil ſit contrarium: alte­rum verò ob impulſûs contrarictatem à motu continet.

Reſpondeo, licet hæc ratio ſit probabilis, non tamen in alijs locum habere. Nam cùm maiori immoto minor globus allidi­tur, ſi æqualem dat recipitque; impulſum, eſtque hic contrarius pri­ori, non reſiliet; verùm à motu conquieſcet.

Dices à maiori corpore ictum fieri maiorem; ac proinde ab huius exceſſu fieri illum motum. Sed contra, quia velocitas motûs reflexi non augetur in eá ratione, in quâ illorum cor­porum magnitudo. Deinde cùm duo globi æquales ſe percutiunt in motu, uterque reflectit: oportebat verò utrumque quieſcere à motu. Dicendum ergo in contactu à plagâ per­fectâ impulſum exſpirare: & ſi percuſſum non cedat, ſed re­nitatur, alium impulſum ſibi comparare ex illâ plagâ: cúmque æqualem; cùm ex toto eſt immotum. At cùm à plagâ ſe ab­ducens locum mutat ſeu totum, ſeu ſecundùm partem, minu­itur in eadem ratione hic impulſus. Itaque ſi corpus per­cuſſum in ſe ipſum ſidit ceditque: ut lana, cera, argilla, plum­bum; quia ictus ſenſim emoritur, nulla vel exigua fit reper­cuſſio. Et quia huiuſmodi plaga non tota ſimul, ſed divi­ſim recipitur: inde fit, ut impulſus ex ea productus minùs la­tè evagetur: idem enim fit quemadmodum ſi multæ plagæ exiguæ continuarentur. At cùm ſolidum corpus firmumque percutitur; quia totam plagam ſimul admittit, omnia latè con­tremiſcunt. Corpus ergo cùm incidit alteri, aut totum dat impulſum ſimul & confertim; aut in plures veluti plagas hunc partitur. Et ſi ita, non reflectit percutiens. Quòd ſi ceden­do demum renitatur; ut cùm partes compreſſæ nequeunt iam premi; pars illa duntaxat plagæ reflectit. At cùm totum dat impulſum; velloco movetur percuſſum, idque eadem celerita­te vel minori: & ab hoc quidem reflectit pro menſurâ illius tar ditatis; non autem ab eo, quod celeritate movetur æquali. Immotum demum à plagâ aut in ſe ipſo terminat impul­ſum, aut aliò transfert: ut ſi plures globi æquales & contigui plagam excipiant. & ab illo quidem, non autem ab his reflectit motus.

PARS QVARTA.

De percuſsionibus.

QVID COLLISIO ET FRACTVRA.

COrpora invicem colliſa aut mutant figuram, aut ſunt abſque mutatione. Mutatur autem figura partis unius plu­riumue amiſſione, aut metasta(ses & ſitu illarum permutato: atque hæc piesta\ dicuntur: quorum ſuperficies in proſundum permutatur, nec dividitur, nec ulla particula aliò transfertur; quemadmodum fit in aquâ preſsâ. Talia verò ſunt Ariſtoteli, quæ meatus habent vacuos cognati corporis, tametſi forte mollioribus ſint pleni, in quos partes preſſæ recipiantur.

Ita enim pila ærea aquâ, aut aëre plena, à vi externâ preſſa ſu­perficiem gibbam, aliâ ſeu planâ, ſeu concavâ permutat: quan­quam & in totum ſolida ob minores meatus piesta\ dicantur. quæ ſi manentem habeant compreſſionem, pilhta ut cera, æs, plumbum, aurum: a)pilhta verò ſunt, quæ à compreſſione re­aſſurgunt. At verò quæ in percuſſione partem unam plureſ­uè amittunt, xataxta\ xai\ drausta\ hoc habent diſcrimen: quòd xa/tazis ſit diviſio in partes magnas: ut cùm lignum aut os fran­gimus: qrau_sis verò in partes plures quàm duas: ut in lapi. de, teſtà, vitro. Cuius rationem reddit Ariſtoteles pollou\s e)/xein paralla/tontas po)rous; Itaque fit ut cùm continui |non ſint, ſed alternâ permutatione poſiti; facto| initio motûs| non in dire­ctum, ſed tortuosè procedat fiſſura: & plaga una, ob|indiſpo. ſitionem ſubiecti, non unum producat eſſectum. Quem mo- tum ſeu impulſum duobus modis fieri docet Ariſtoteles, w)'seiſeu pulſione: ut cùm à tergo motui inſtamus: & percuſſione, in eo à ſe differentes; ut w)sit ſit xi/nhsis a)po) th_s a(/ysews, plh­gh\d a)po\ th=s fora)s. De quo an verum ſit, dubitamus. Nam ſi plures globi inter ſe æquales, & contigui ordine ſequantur; percuſſo primo ultimus movetur omnibus alijs immotis: ne­ceſſe autem hunc à penultimo moveri, habebit ergo plagam ex hoc, abſque eo quòd moveatur. Plagam enim fieri ex eo conſtat: quòd ſi ultimo loco pila cryſtallina aut vitrea excipi­at hunc motum, frangi contingit. Dici tamen poteſt pro Ari­ſtotele, ad plagam inducendam motum eſſe neceſſarium: li­cet non plagam totam, ſed huius principium ſequatur. Hæc enim à primo globo incipiens ad ultimum terminatur, & ve­luti pro unâ plagâ habetur. At verò quamobrem à percuſſi­one nonnulla frangi contingat, maior eſt dubitatio. Nam certum eſt dictas paſſiones ex impulſu provenire: percutere enim eſt producere impulſum, & percuti hunc recipere. Si itaque impulſus corpora, in quibus recipitur, frangit; oporte­bit ſanè illam velocitatem motûs conſecuta, quam affert pla­ga, frangi in ipſo motu: quod tamen non fit. Vaſa enim vi­trea, priuſquàm ſolidum occurrat, in ipſo lapſu non collidun­tur. Sed neque percuſſio per ſe hunc affectum inducit: idem enim eſt ſiuè percutiat, ſiue percutiatur qrausto\n vitrum enim & ſaxo illiſum, & à ſaxo alliſum pari facilitate frangitur. At verò cùm pila vitrea aut cryſtallina aliam percutit ſibi æqualem ſeu ferream, ſeu lapideam, non frangitur ex illo ictu quantumvis intenſo. Videtur ergò huius ratio ex impulſu provenire, non abſolutè, quem habere poteſt quouis dato maiorem, atque adeo infinitum abſque ullâ partium colliſione: ſed ex inæquali mo­do hunc recipiendi. Propterea quòd partes propiores plagæ hunc priùs habeant, magisque intenſum: qui totus non niſi in a- liquâ morulâ producitur. Vnde fit ut partes priùs magisque percuſſæ, priuſquam æquatio fiat à centro gravitatis, præcur­rere feſtinent: aliæ ſequi non valentes mutuâ diſtractione à ſe divellantur. cùm nimirum maior eſt vis ad movendum, quàm illa quies & retentio partium unitiva. Frangi enim contingit illâ parte, quâ impetus magis urget, aut unio minùs reſiſtit: itaque videmus quandoque partes à plagâ remotiores præ alijs frangi. Et quidem qrausto\n in multa fragmenta diſſilit: ut vitrum, cryſtallus, teſta, lapis: Idque præter opinionem-to\ xa­taxto\n verò minùs fallit deſignationem: at〈que〉 in duas plerumque partes abſcedit; factâ diviſione in centro plagæ. Quæ qui­dem xa/tacis magis procedit, cùm plaga longiùs abeſt à parti­bus extremis: tum enim partem illam, quæ interiacet, pro ve­cte habet: cuius hypomochlium ſunt extrema. Atque ita fit, ut vitro fragili, aut ſtramine fuſtem craſſiorem quandoque ſrangi contingat: cùm nimirum maior eft velocitas motûs, quàm re­ſiſtentia: nullaque à percuſſo recipitur plaga. Oppoſito mo­dò habet fractura: cùm hypomochlium eſt in centro plagæ, ſeu diviſionis: extrema verò utrinque adducuntur. Nam in pri­ori quidem xatacq duo, hic non niſi unum eſt hypomochli­um. Dubitabis ergo, quæ harum fractura ſit magis expedita. Dicendum verò impulſum extrema adducentem, ut hypo­mochlium medio ſit loco, prevalere: quod quidem erit ma­nifeſtum, ſi fuſtem parte mediâ præhenſum ijsdem viribus frangere coneris. Huius autem ratio: quòd extrema vim habeant vectis non impeditam: tantâ ergo acceſſione auge­tur impulſus, quanta huius eſt longitudo: reſiſtentiâ in ſolâu­nione hypomochlij vim habente. At verò cùm extrema hy­pomochlio innituntur, & plaga fit in huius centro; impulſus quidem augetur ex illa remotione utrinque ab hypomochlio: verùm partium unio utrique reſiſtit & diviſioni, & vectis de­preſſioni.

De Contrafiſſurâ.

Contrafiſſura eſt rima, ſeu fractura cranij in parte à percuſ­ſione ſeu plagâ diſlante: quam Hippoc: propterea, quòd ægrum & Medicum quandoque latens in perniciem adducat, cumfezan ſeu infortunium vocat. Alij reſonitum; quòd opi­nentur ab ictu reſultum fieri in illam partem. Diſſident verò à ſe: quòd alij non niſi in parte oppoſitâ rimam agi volunt: alij hoc negant. Et licet in parte oppoſitâ, & à plagâ aliquo modo diſtante fiſſuram admittant; non tamen excedere vo­lunt os plagâ affectum. Ita Paulus Ægineta, Guido de Cauli­aco, Vidus Vidius, & Fallopius. Probant ex uſu ſuturarum: quas eo fine à naturâ factas dicunt; quò impetus plagæ in ijs terminetur: ne noxa alias quoque partes attingat: quod quidem erat futurum, ſi Cranium continuum atque unioſſe factum fu­iſſet. A ſuturâ verò impalſum ſiſti, manifeſtum in vitro, aut ære rupto, deficiente in illam fiſſuram ſono: ita ergo in illis iuncturis, quibus pectinatim os cranij coit, emori impulſum volunt. Verùm hi imperiti videntur eorum, quæ circa im­pulſum & motum fiunt. Nam globi ordine diſpoſiti, ſeque tangentes minùs ſunt continui, quám cranium in illis ſuturis: in quibus ſi quid ineſt humoris aut ſpiritûs, reliquo in oſſe hu­mori & ſpiritui continuatur: & tamen à primo globo omnes reliqui impulſum recipiunt: quid ergo obſtat, quò minùs cranio percuſſo impetus á plagâ totum pervadat: Sonum autem deficere cogunt partes á fiſſurâ inæqualiter prominen­tes: dum in illâ vibratione partes oppoſitas tangunt: á conta- ctu enim finiri ſonum conſtat. Simili ergò modo fit, quem­admodum ſi lamina incurvetur: quæ ſonum edit quouſque pars reflexa aliam partem tangat. At ſi vitrum perforetur, nihil obſtat ille hiatus, quò minùs partes reliquæ ſonent. Deinde experientia his adverſatur. Nicolaus enim Florentinus ſer: 7 ſum: 2. tract: 4. cap: 1. teſtatur in Reſtiario contrafiſſuram in parte oppoſitâ plagæ deprehendiſſe: Et Petrus Paw vidiſſe ictum os ſiniſtrum bregmatis, quo loco lamdoidi iun­gitur: fiſſo ſyncipitis oſſe dextro, loco ita vicino ſuturæ coro­nariæ, ut pars rimæ eò ſe extenderit. Cùm itaque de facto con­ſtet, cauſam inquirimus. Certum eſt adimpulſum referri à pla­gâ provenientem: at cur non in loco plagæ ſed huic oppoſito, à minori & iam attenuato impulſu hoc patitur? Neque enim di­ci poteſt ob debilitatem findi illam partem; quam impetus in­venit minùs virium habere ad reſiſtendum: tenuiora enim minùsque firma interſunt oſſa, inter os ſiniſtrum bregmatis, & os ſyncipitis dextrum. Qui verò aërem illis cavernulis in­cluſum huc accerſunt, ineptam pro ſe habent rationem: quia nimirum ex ictu commoveatur: & per totam cranij ſubſtan­tiam pervagatus, in parte demum oppoſitâ allidatur: reniténsque os illud findat. Quomodo enim aër in illis mæandris tortuo­ſis, atque in ſe reductis moveri poteſt quantumuis impetuoſus? an non mille modis interciſus; dum vel allidit, vel reſilit, priùs deficiet? Deinde cùm aër ſit mollis & fluidus, nequit illum impetum ſuſtinere, aut conſervare: & eſto demus quacunque vi­olentiâ irrure, ſibique obuiam fieri in parte oppoſitâ: an non ſuis viribus hac ratione occumbet; dum ipſe ſibi inſtat, & in ſe ipſum luctatur? An ergo dicendum in figura cranij ſphæroide ſitam eſſe cauſam? quòd partes ab extra preſſæ magis ſtipen­tur, magisque reſiſtant diviſioni: à centro autem facto motu à ſe diducantur? Ita enim fornices onera videmus ſuſtinere, & contra niti: quòd ſi à parte internâ ſeu cavâ urgeantur; fatiſce­re & diſſolvi. Cùm ergo cranium in modum fornicis ſit re­ductum; non facilè à plagâ ab extra incidente diſſolui poteſt: parte verò oppoſitâ, quia impetus extra fertur, eſtque à centro perpendicularis, nihil mirum diſſolvi illam continuitatem. Accedit quòd impulſus, facto principio motûs à plagâ, non conquieſcit in parte oppoſitâ; cuius violentia ad maius inter­vallum deſtinatur. Cùm itaque reflecti ſit neceſſe: & pars ſi­niſtra dextrorſum, hæc ſiniſtrorſum abeat; in illâ motuum con­trarietate, partibus à ſe divulſis accidit fiſſura. Simili modo res habetin vitro à baſi circulari in conum faſtigiato. quæ pla­no æqualiter alliſa abrumpit pedamentum: propterea, quòd impetus à latiſſimâ parte incipiens, ſéque reforbens, ab interſe­ctione in cono factâ, rurſum in diuerſa abit. Licet verò im­pulſus naturâ ſuâ lineam rectam ſequatur; pro ratione tamen ſubiecti illam rectitudinem variè, atque interdum circulo per­mutat. Et ſi quidem illa corpuſcula, quibus corpora inte­xuntur, continuâ ſerie ſe excipiant, impulſus nullibi offendit: ſed per atomos uniformes ſe circumagens non niſilongâ mo­râ conſeneſcit. At cùm figurâ & ſitu à ſe differunt: quia mil­le modis diſcerpi contingit, citò emoritur. Atque ex his vide­tur manifeſtum, quâ ratione impulſus à parte cranij percuſsâ circumgyrando, ſibique obviam factus in parte oppoſitâ rimam agat. Quia tamen os cranij non inane & vacuum, ſed cere­bro, multisque vaſis in eo contentis eſt refertum, illa ſimilitudo à vitro deſumpta non videtur hic convenire. Et cùm impul­ſus naturâ ſuà rectitudinem ſequatur; quid cauſæ quòd in ce­rebrum non rectâ feratur; ſed per ambages in oſſe cranij ober­rat? Et ſi ita; an non neceſſe ex illâ vehementiâ ictûs plura e­iuſdem vaſa diſcerpi & collidi? Pro quo notandum naturam ſapientiſſimam cerebrum non prorſus contiguum feciſſe: ve­rùm aliquo interuallo inter os cranij & membranas relicto: quò nimirum aëri, quem arteriæ inſpirant, ſit locus: cerebrum verò dilatari, rurſumque contrahi valeat. Quod quidem ab aë­ris, Lunæque mutatione, fieri obſervamus. Turget enim in ple­nilunio cerebrum & veluti ebullit per vulnera: è contra in no­vilunio ſubſidet, & à cranio notabili abeſt intervallo. Cùm ergo ita habeat, optimè videtur natura cauiſſe; quò minùs no­xa eò pertingat: impulſus enim per partes contiguas, non ve­rò à ſe divulſas propagatur.

Dices. Cerebrum incubare oßis sfhnoei/dei, & cum cranio per falcem fi­bras〈qué〉 in ſuturam productas connecti: nihil ergo obſtat, quò minùs hac viá ſe inferat.

Reſpondeo quòd ſi percuſſio fiat in illâ parte, quâ cerebrum ſuſtinetur, eſtque contiguum oſſi, non abſque periculo fieri pla­gam: unde plenilunij tempore, quòd calva cerebrum attingat, eiuſmodi ictus ſunt lethales. At verò illæ fibræ, quibus ce­rebrum cranio ſe inſerit, & à quibus in æquilibri ſitu detine­tur, via eſſe non poteſt irruenti plagæ: propterea, quòd hu­iuſmodi ſuſpenſoria, nec dura nec rigida ſunt, ſed mollia & membranoſa filamenta: quæ tendi & laxari facilè poſſunt: pri­uſquam ergo tractio aut pulſio fiat, in illâ relaxatione perit im­pulſus. Deinde cùm impetus ſe gyrando, non niſi obliquè ſtringat illa filamenta, erit tenſio æqualis motioni illarum par­ticularum, quæ ſolo tremore convelluntur: ac proinde inſen­ſilis, nullam ergo violentiam adducet partibus medio loco ſi­tis; quantumuis ictus quandoque accidant graves. Ita quidem res habet in fiſſurâ partis oppoſitæ: an verò alijs quoque locis non quidem oppoſitis, verùm á plagâ aliquo modo diſiunctis contingat, videndum. Nam ita fieri opinantur, qui negant extra ſuturam illius oſſis, in quo recipitur plaga, fiſſuram pro­tendi. Cuius rationem aſſignant, quòd pars illa à plagâ affe­cta nimis ſit robuſta: ac proinde in partem proximam, quæ ob nativam conſtitutionem minùs reſiſtere valet, illa violentia ſe recipiat. Et quidem experientia his videtur favere. Quan­doque enim à percuſſione neque locum plagæ, neque huic oppoſi tum, ſed quemvis alium infeſtari & frangi contingit. cùm ni­mirum illarum partium unio minorem vim habet ad quieſcen­dum, quàm impetus ad movendum.

Defortificatione aduerſum ictus Tormentorum.

QVia mœnia urbis, caſtelli, aut propugnaculi ictus tormen­torum admittere neceſſitas quandoque cogit; providen­dumquô eiuſmodi ictus debilitentnr, minorem eâ ratione plagam afferentes. Id autem duobus modis aſſequi contingit: primo ma­iori parte ictûs excluſâ, quem totum vitare nequimus: pars enim dimidia, aut tertia minorem noxam dabit, quàm totus. Minuitur autem cùm non niſi obliquè recipitur. Conſide­randum ergo quibus potiſſimum locis urbs ad inuaſionem ſit opportuna & quâ ab hoſtium tormentis minùs tuta: tum enim latus munitionis oppoſitum eiuſmodi locis, quantùm fieri li­cet, oblique ducendum: quò ictus recipiat magis obliquos. Quâ verò parte ob ſitum locorum machinæ admoveri neque­unt, in directum procurrere poteſt. Tum igitur ictus obliquè incidentes non niſi partem plagæ dant à lineâ hypomochlij de­finitam: reliquâ parte, quæ necdum percuſſit, reflexâ: & ſi quidem propugnaculum impetitur; quia latera ſibi oppoſitis, à quibus defenditur, habet parallela, in totum averſâ. Per­cuſſo autem muro licet in aliam partem reflectat: quia tamen ex obliquo ictus fiunt, violentiâ in plures diſtractâ, minùs no­xæ inferunt.

Secundus modus ut ſiue totam plagam, ſiue illius partem recipere cogantur, id cum minori detrimento & concuſſione fiat.

Et cùm ruina proveniat ex ſolutâ compage: cùm vel partium iuncturæ, quibus muri, turres, & propugnacula ſunt ſtructa, de hiſcunt: vel partes ſolidæ ex vehementiâ ictûs fatiſcunt; ne­ceſſe illam violentiam ita diſpenſare; ut nullâ parte inſigniter læsâ pertranſeat; & neque partem ſolidam frangat; neque unam ab aliâ divellat. Hoc autem pendet à duobus: materiâ ni­mirum, atque; huius partium ſitu. In quæſtione enim de fra­cturâ oſtendi in diverſis corporibus inæqualiter recipi impul­ſum. Nam quæ cedendo in plures veluti ictus hunc partiun­tur. minùs noxæ ſentiunt, minùsque latè ſe extendit plaga. Talia verò ſunt psta\ cum lentà viſciditate, et quæ percuſſa minùs ſonant: ob atomos enim inæqualiter poſitas per illas ambages diſcerpitur impulſus. Saxa ergò, quæ ſurda dicun­tur, cæteris paribus ad impetum ſuſtinendum ſunt aptiora. Quod attinet ſitum, quia ſoliditas muri maior eſt longitudine aut craſſitie ſaxi; neceſſe plura ordine diſponi, quouſque ſimul iuncta adæquent illam molem. Alia ergo ſitum extra habent, ictusque; & primum impetum ſuſtinent; alia medio locò: alia demum parieti interno ſunt pro firmamento. Nihil hic dico de illâ concatenatione, quâ duo ſaxa uno ſuperpoſito nectun­tur, atque unum quodque; duobus retinaculis firmatur: ut licet uno exempto nihil detrimenti reliqua ſentiant: quod quidem erat futurum, ſi totâ mole æqualibus ſabſternerentur. De quibus ſapienter, docteque, Architecti: hic enim Geometram, non Architectum agimus. Situm ergo conſideramus, quate­nus impulſus à plagâ ad reliqua, quæ ponè ſequuntur, tranſit: neque enim in ſuperficie vis hæc finitur, ſed altè penetrat. Aut igitur æqualia, aut inæqualia: atque hæc maiora, vel mino­ra ſequuntur. Videmus autem hunc ferè modum ſervari: ut grandiſſima ſaxa ſint à fronte; quæ cum maximo impetu luctentur: interiora verò tanquam ab ictu iam ſecura negle= ctim ſtrui, ruderibus aut minoribus ſaxis explendo illa inter­valla. quod an rectè fiat dubitamus. Nam craſſitudo muri eſt ob firmitatem, quò ſaxa priùs poſita à poſterioribus contine­antur: neceſſe ergo impetum, quo alioquin ſaxa à fronte po­ſita loco moverentur, ſuſtinere. At verò quâ ratione impe­tum maioris id quod multò eſt minus ſuſtinebit? Nam per po­riſ: 2 ſi maius percutiat minus, utrunq: loco movetur: propte­rea, quòd minus eadem velocitate movetur ex impulſu mino­ri. Tametſi ergo partes illæ minores, quæ in muro continen­tur, undique ſint concluſæ; quia tamen totum impetum ferre non valent, nec in alias minores hunc exonerare: divelli à primis, & poſteriores urgere, atque tum metu vacui aërem ſor­bendo, etiam magnas compages diſſolui eſt neceſſe.

Dices. Non eandem rationem videri in muro, ubi omnia per calcem glutinantur, & veluti unum fiunt; at〈que〉 illoram corporum, quæ ſoluta motum & impulſum à ſe recipiunt. Licet ergo impulſus à maiori ſaxo in minora tranſiens omnia loco moveat; non tamen idem futurum in muro; cùm illud gluten non minùs coharere faciat, quàm ſi partes eſſent continuæ unius ſaxi maioris. Ita〈que〉 duo globuli cerâ coniuncti impulſum ſuſtinent duplo maiorem, ne〈qué〉 à percuſſo primo ſecundus rece­dit: quantò ergo minùs calce revincta ſaxa.

Poſſet quis reſpondere, cùm ſaxa minora maioribus cohæreant mediante illo glutine ex calce & arenâ multò levioribus; non poſſe eo modo habere, quo partes continui: neque; per modum unius cenſeri in ordine ad impulſum; quem etiam in eodem ſubie­cto, ob partium diſcrimina, oſtendi inæqualem. Etenim vi­demus, longè differre hunc nexum à partium eiuſdem ſaxi unio­ne, diſſoluto à murarijs cæmento: parte enim averſâ etiam le­viter percuſsâ, illæſo ſaxo, decidunt coagmenta. Neque obſtat in muro omnia vincta teneri, quò minùs impetus ſimili ratione atque in ſolutis pertranſeat. Nam ſi pila in plano ſeu manu, ſeu aliâ ratione firmetur, quò minùs moveri poſſit à plagâ; nihilo­minùs ſibi contiguam movet. Neceſſe ergo matori pericu­lo ſequi ſaxa minora, quàm æqualia aut maiora: cùm per æqua­lia impetus ad extimum uſque; æqualiter ſe effundat: illisq illæ­ſis & immotis pertranſeat. Vnde ſiquid periculi non niſi inter­no parieti creatur, qui facilè refici poteſt. Non ita cùm imme­diatè minora ſequuntur: receſſu enim à primis extima pericli­tantur: neque facilè reparari queunt: unde viſo periculo magis ab hoſte infeſtantur. Vt verò quid mihi videatur, dicam: eiuſ­modi ſaxa, quæ calce glutinantur, aut ſunt partes continuæ e­iuſdem molis, aut contiguæ. Supponamus primùm eſſe conti­guas & plagam incipere à maiori. Cùm itaque maius percutiat minus, ſi non aliunde motus impediatur, movebitur minus ab incipiente & necdum perfectâ plagâ: ad cuius motum ſequitur maius per poriſma 2. Quòd ſi verò ab aliâ vi detineatur ne­ceſse totum impulſum maioris recipere. Et ſi quidem illa vis retentiva ſit minor impulſu; tum ſanè movebitur illud mobile: reliqua verò, quia illorum plaga perfecta, à motu conquieſcent. Vnde tota illa vis diſtractiua partem ultimam obtinet. Si autem à minoribus eadem plaga procedat: quia tum hypo­mochlium ſecundi eſt tertium; neceſse non niſi ultimo moto moveri primum: ac proinde impulſum maioris recipere mi- nus. Cùmque ab æquali plagâ incipiat, erit in utroque extremo impulſus æqualis. Et quia maiorem rationem habet ad mi­nus, maiori quoque vi eluctabitur. Magis ergo periclitatur, ma­iorque ruina imminet extremo; ſiplaga incipiat à percuſſo ma­iori. Ita quidem ſi ſaxa contigua eſſe demus. Quòd ſi verò continua ſint; Dico ab eodem impulſu magis infeſtari mino­ra, ſi ictum primum excipiant. Nam cùm impulſus non re­cipiatur uniformiter, verùm à contactu ſenſim remiſſo vigore ſe extendat in latum, & profundum: neceſse illas iuncturas, quæ circum ſaxa ſunt minora, ab impulſu magis intenſo perva­di: & quia minùs firmo nexu cohærent, quàm reliquum ſa­xum, à ſe divelli. Ad rationem verò in oppoſitum factam, Reſpondeo, licet minùs firmiter glutinentur inter ſe ſaxa; non tamen ob illam inæqualitatem deſinere eſſe continua: alio­quin neque idem ſaxum eſſet continuum: quòd diverſis parti­bus inæqualiter frangi contingat. De quo tamen accuratiùs dicetur in libro de motu: qui propediem in lucem prodibit.

De Percuſſione & motu orbiculorum.

ORbiculi ſunt figuræ circulares, utrâque ſuperficie planâ & parallelâ terminatæ; ſeu portiones cylindri habentes partem axis reſecti minorem ſemidiametro circuli. Eſt autem hoc illis commune cum globis; ut ordine diſpoſiti, ſibique con­tigui eadem ratione moveantur: percuſſo enim primo, ſi æ­quales ſint, medijs immotis ultimus movetur. Atque inde ra­tio conſtat, quamobrem eiuſmodi orbiculis ludentes ab eadem plagâ, non eundem effectum conſequantur. Quan­doque enim ad finem tabulæ orbiculum inſequitur ille, qui percuſſit: quandoque immotus manet. Hoc enim fit ob in æ­qualem gravitatem: inſequitur enim maior minorem, non verò ſibi æqualem aut maiorem. Suppono verò motum fi­eri in lineâ centri: nam ſi inclinet; quia non totam dat plagam, motum continuabit. At verò hoc peculiare habent; quòd non tantùm in lineâ rectâ ſibi contigui fiant; ſed etiam illâ ſu­perficie planâ in ſimilitudinem cylindri aſſurgant. Quòd ſi ergo his ita cumulatis illum orbiculum, qui baſis eſt reliquo­rum, percutiat æqualis; eadem ratione movebitur huic con­tiguus, quantumvis illorum numerus, qui baſi incumbunt, au­geatur: quin etiam quovis onere accepto impulſum tranſmit­tit nihilo minorem. At verò baſis excuti non eadem facilita­te poteſt: verùm pro numero orbiculorum, aut oneris appen­ſi ratione, neceſſe plagam fieri maiorem. Quòd ſi orbicu­lus gravitatem habeat æqualem illi, quâ baſis gravatur, eadem facilitate illam loco movebit: verùm ipſe quoque tranſito illo hiatu, motum baſis ſequetur. Cuius ratio eſſe videtur: quòd impulſus neceſſariò fiat iuxta determinationem plagæ; licet ſubiectum non moveatur ex eo impulſu: & ſi maior ſit quàm ut in ſubiecto terminetur, aliud percutit ſibi contiguum. Neque minor eſt impulſus ſi ab a lienâ gravitate detineatur; non enim gravitas ab extra veniens, ſed nativa hunc attenuat: quæ multam materiam habet coniunctam. Itaque ſi magnitudi­ne non verò gravitate ſint pares; orbiculus maior à minori percuſſus, minorem ex eadem plagâ impulſum reliquis dabit, quàm ſi ab æquali percutiatur: propterea, quòd in multâ ma­teriâ magis hebetatur. Vt verò ſubiectum moueatur, ne­ceſſe & gravitatem nativam, & impulſum contrarium ſupera­re. Itaque fit ut baſis illius cylindri orbiculati motui renita­tur: quæ & ſuâ & illorum, à quibus premitur, gravitate de­tinetur. Quòd ſi gravitas orbiculi augeatur, ut gravitati illius cylindri ſit æqualis: quæ tota in baſim colligitur, atque illius vi à motu detinetur, percuſſio tum fit æqualis: quouſque nimirum à nexu illorum orbiculorum ſe expediat: tum enim motu a­gitur multò velociore, quàm ſi plaga fiat ab æquali: amotâ e­nim illâ reſiſtentiâ, impulſus ad gravitatem multò iam mino­rem, maiorem habet exceſſum.

Dices. Quid ſi orbiculi percutiant illum cylindrum, à quo ſunt reſecti; an non movebunt alios huic contiguos eadem ratione, quà in cylindro orbiculato? Videtur enim eadem ratio eſſe illius ſegmenti, quod percu­titur ab æquali, ſiue reſectum ſit, ſiue continuum: propterea, quòd ma­teria una, ac proinde impulſus, qui viam ſequitur plagæ, æqualiter per­tranſit. Illa autem continuitas non videtur mutare naturam impul­ſus: qui non niſi vi dimovetur à lineâ rectâ: at〈qué〉 eâdem gravitate à motu detinetur pars reſecta & continua: eadem ergo plaga, quæ orbicu­lum excludit, cylindrum quo〈que〉 ſolidum movebit.

Reſpondeo impulſum, cùm à principio fiat interno mobi­lis, totum ſubiectum afficere. Licet ergo viam ſequatur pla­gæ; quia tamen in altum quoque aſſurgit: quantum virium huc confert, tantum decedit plagæ oppoſitæ. Percuſſo itaque cylindro ſolido, minori vi moventur orbiculi contigui; decreſcente plagâ pro altitudine cylindri. Quòd ſi orbiculi inter ſe glutinentur; quia tum extrema fiunt unum, rationem habent continui: unde eadem his, quæ cylindro ſolido conveniunt. Verùm de his cùm ſcitu digna vi­deantur continere. enucleatiùs diſſeren­dum.

DEFINITIO I.

Cylindrus ſolidus eſt, cuius partes omnes ſunt continuæ.

DEFINITIO II.

Cylindrus verò orbiculatus, cuius ſegmenta ſuut orbiculi, ſimul iuncti at〈qué〉 inter ſe par alleli.

DEFINITIO III.

Baſis Cylindri, orbiculati eſt orbiculus tangens planum, à quo reliqui orbiculi eidem par alleli, centrum in eodem axe habentes aſſurgunt.

DEFINITIO IV.

Grauitas ſecunda eſt vis ab extra proueniens, quâ mo­bile detinetur, quò minùs à grauitate primâ, ſeu propriâ aut impulſu moveatur.

THEOREMA I.

Si duo orbiculi ſimul iuncti & æquales eodem impulſu moueantur in plano; ad minus intervallum movetur baſis.

DIxi Motum eſſe veluti continuatam ex aëris diviſione plagam: & ſi medium ſit minùs aptum dividi, minorem eſſe motum; qui non niſi à plagâ perfectâ terminatur. Plaga autem fit cùm medium reſiſtit: & quia in vacuo nihil reſiſtit; interminabilis eſſet in eo motus: in aquâ verò ob reſiſtentiam maiorem, priùs quàm in aëre abſumitur. Reſiſtentia autem fit cùm vel diviſio, vel gravitas mobilis, vel retentio obſtat motui. Ita ergo per plures chartas aliquo intervallo ſeiun­ctas tranſit glans plumbea, quouſque ex illâ diviſione continu­atâ impetus laſſetur. Aut cùm plagam recipit gravitas maior à minori: aut cùm mobile à maiori vi detinetur, quò minùs motum proſequi valeat. Detinetur autem mobile ſeu à gra­vitate coniunctâ, ſeu vi retentivâ: ut ſi Miloni digitum infle­ctere, aut pomum illius manu concluſum extorquere cone­mur: illa enim retentio ab impulſu fluente, & veluti librato procedit: qui non niſi à maiori impulſu poteſt ſuperari. Cui ſimilis videtur retentio ex anguſtiâ loci inducta: ut dum clavus in pariete fixus detinetur. Quò enim maior anguſtia; eò tranſitus magis difficilis, & non niſi maiori vi ſuperandus. Itaque fit, ut licet eiuſmodi rima toto illo tractu æqualiter ex­currat, impetus tamen priuſquam totam tranſeat, exſolvatur: retentio enim illa continuata non aliter, quàm ſi plaga produ­ceretur, impulſum atterit & abſumit: atque eò magis, quò ſtri­ctura magis coarctat. Neque aliâ ratione detineri videtur ba­ſis à gravitate illorum orbiculorum, qui baſi incumbunt; fit enim compreſſio illi ſimilis, quam loci anguſtia inducit. Itaque ſi augeatur numerus, aut pondus orbiculorum; quia magis comprimitur baſis, non niſi maiori vi excuti poteſt. Cùm ergo duo orbiculi ſimul iuncti moventur: quia compreſſio fit baſis continuata, licet impulſus, quo baſis movetur ſit æqualis; ob illam tamen gravitatem acceſſoriam, priùs terminat mo­tum. Quam inæqualitatem motûs adiuvare videtur ſcabri­ties loci, ſeuplani, quod tanſit: atque inde fit quòd quandoque in medio motu orbiculi circumaguntur.

THEOREMA II.

Si duo Orbiculi ſimul iuncti & æquales percutiant alium maiorem, duobus autem illis ſimul ſumptis æqualem; orbiculo ſuperiori reflexo, motum continuat baſis.

Difficultas hic eſt, quòd cùm orbiculus ſolidus percutit ali­um ſibi æqualem, illo moto quieſcit: cur igitur non idem fit, cùm duo ſimul iuncti, atque eidem æquales hunc percutiunt, ve. rùm uterque inæqualiter movetur ex illâ plagâ? Nam eodem impulſu agi videntur: neceſſe ergo eandem inferre plagam: Et cùm gravitas orbiculi maioris ſit dupla, & impulſum reci­piat duplum illius, quo ſinguli moventur; erit quoque eadem ve­locitas motûs. At verò ſi baſis ſequitur motum maioris; ne­ceſſe huius motum eſſe velociorem quàm baſis motum: quæ ab incipiente & necdum perfectâ plagâ movetur. Et ſi refle­ctit alter orbiculus: quia peractâ huius plagâ necdum incipit moveri maior; velocitatem habebit minorem. Pro ſolutione dico, impulſum in utroque orbiculo eſſe æqualem. Secundô inæqualiter moveri, magisque impediri motum baſis per 1 Theor: huius; & cùm impulſum determinet motus; ma iori tempore plagam perficiet baſis. Cùm ergò maior orbi­culus gravitatem habeat duplam; ad illam velocitatem mo­tûs, non niſi ab impulſu duplo perducitur: perfectâ autem pla­gâ unius orbiculi, necdum percuſſit alter: neque igitur ex illâ plagâ ſe abducit orbiculus maior: ac proinde orbiculus, qui iam percuſſit, reflectit. Et quia minor eſt velocitas motûs baſis, velociùs movebitur ab utraque plagâ. igitur ad illam ve­locitatem, quâ movetur baſis, ab incipiente & necdum perfe­ctâ huius plagâ perducetur: ac proinde reliquus impulſus mo­tum continuabit. Idem autem fit, ſi alter orbiculus ſit paulo levior, ſeu baſis, ſeu qui ſuperiori loco ſitum habet. At ſi magnus ſit exceſſus; ut cùm ligneo metallicum adiungimus, gravior in omni ſitu motum ſequitur maioris. Quòd ſi duo orbiculi ſimul iuncti atque inter ſe æquales deficiant à gravitate maioris: minùs quidem movetur baſis, magis autem reflectit alter orbiculus. E contra ſi gravitas excedit: hic quidem mi­nùs reflectit, ille verò motum magis producit. Cuius ratio eſt, quòd horum impulſus maiorem rationem habet ad orbi­culum minùs gravem: igitur cùm à minori plagâ eadem ve­locitas motûs ſequatur; erit maior impulſus reliquus ad mo­tum continuandum. Et quia velociùs à plagâ ſe abducit, erit minor reflexio motûs-Cùm verò impulſus minorem habet rationem; non niſi à maiori plagâ ad motum æquè velocem cietur maior, & non niſi tardè à plagâ ſe abducit: magis proin­de reflectit motus, minùs autem à reliquo impulſu movetur baſis.

THEOREMA III.

Si duos orbiculos ſimul iunctos percutiat maior; adminus inter­vailum movetur baſis.

Nam ſi duo orbiculi ſint æquales; quia ab eadem plagâ idem eſt impulſus, conſtat per Theor: 1. ad minus intervallum moveri baſim. Simili modo cùm orbiculi ſunt inæqvales, & maiorem gravitatem habet baſis; ab æquali impulſu minùs moveri baſim. At cùm pro baſi eſt orbiculus minùs ponde­roſus; oportebat quidem hunc ab æquali impulſu velociùs, & ad maius intervallum moveri. Sed quia detinetur ab aliâ gravitate; quò magis premitur, eò motum habet magis im­peditum. Deinde dicolicet ſimul fiat, eſſe tamen inæqua. lem plagam, & qui hanc ſequitur impulſum. Nam cùm à principio eodem motu ferantur; neceſſe à maiori impulſu mo­veri graviorem: quò minùs ergo velociter irrumpat, totúmque impulſum recipiat minor, à graviori detinetur. Igitur baſis tum quia minori impulſu agitur, tum quia gravitate aliená de­tinetur, ad minus intervallum movetur.

THEOREMA IV.

Si duo orbiculi ſimuliuncti & æquales percutiant alium maiorem & immotum; uter〈qué〉 reflectit.

Quia enim'minor eſt impulſus, à plagâ illorum orbiculo­rum, quàm ut loco moveat maiorem: ſiue à gravitate primâ ſeu propriâ, ſiue ſecundâ detineatur: ut cùm ligneus metalli­cum, aut alium ſibi quidem ſimilem verùm in plano firmatum percutit: neque hic à plagâ ſe abducit, aut alium contiguum movet; recipiet uterque orbiculus à percuſſo æqualem illi quam dedit plagam: igitur cùm impulſus ſit agens neceſſarium, u­terque orbiculus reflectet ex illâ plagâ.

THEOREMA V.

Si plures orbiculi ſimul iuncti percutiant alium maiorem, & à plagâ illâ immotum; ad minus intervallum reflectunt baſi propiores.

Cùm omnes orbiculi percutiant, neque ad ullius plagam moveatur ille orbiculus: recipient à percuſſo æqualem illi, quam quisque dedit plagam. At verò baſis per Theor: 2. mo­tum habet magis impeditum: igitur cùm velocitas motûs de­terminet plagam; minor erit huius, quàm reliquorum plaga. Et quia propiores illi baſi, quæ tangit planum, remotioribus ſunt pro baſi; erit minor illorum plaga: ac proinde ad minus intervallum reflectunt. Idem verò contingit ſiue eandem habeant gravitatem orbiculi reliqui, ſiue præponderet baſis, aut minus ſit gravis. Nam licet baſis magis ponderoſa ma­iorem dat plagam; cùm non niſi à maiori impulſu moveatur eodem cum minoris gravitatis motu: quia tamen in ordine ad motum hanc expendimus; atque; in eadem ratione ſunt mo­tus reflexi, minor autem huius motus; minorem quoque in or­dine ad ſuum motum dicetur dare & referre plagam.

THEOREMA VI.

Si plures orbiculi ſimul iuncti & æquales percutiant Cylindrum ſoli­dum; maiorem impulſum recipiunt partes à baſi remotiores.

Nam baſis quidem minorem dat plagam per 5 theor: eſt au­tem orbiculus propior remotioribus pro baſi: erit ergo maior illorum plaga, & à maiori plagâ maior quoque impulſus. Sed et ratio vectis huc facere videtur. Nam orbiculus ipſo cy­lindro utitur pro vecte: atque eò magis, quò plaga fit remoti­or à baſi: cuius hypomochlium eſt planum, in quo cylindrus firmatur. Itaque à plagâ in medio aut propè baſim factâ immo­tus manet: ſi eandem plagam accipiat in ſummo, invertitur. Atque inde ratio conſtat, quamobrem partes cylindri ſuperiores avertuntur ex illâ plagâ, & celeritate motûs alias antevertunt: à baſi enim cum longitudine cylindri continuò accreſcit pla­ga. E contra verò ſi plaga fiat propè baſim, & infra medium, non percuſsâ reliquâ parte cylindri; reſupinato vertice mo­tum accelerat baſis. Cùm autem cylindrus alium percutit ſi­bi æqualem: quia omnes partes æqualiter moventur; eandem quoque inferunt plagam. Non igitur huius ratione videtur differre motus; verùm acceleratio ad partes ſummas ad ve­ctem referri debet. Atque inde ſequitur, cylindrum ab æqua­li cylindro percuſſum inæqualiter moveri. Et cùm orbiculus ad alium ſibi æqualem, eo modo habeat, quo cylindrus; ne­ceſſe illâ ſucceſſione orbiculorum in plano motum deficere. Vtergo cylindrus æqualiter moveatur ab alio cylindro; inæ­qualis eſſe debet plaga: & tanto maior propè baſim, quanto in ſummo augetur ratio vectis.

THEOREMA VII.

Si duo orbiculi ſimul iuncti & æquales percutiant alios duos, ſimul quo〈que〉 iunctos & prioribus æquales, habeant verò à tergo orbiculum ma­iorem; immotâ baſi primâ, movetur baſi, ſecunda.

Cùm duo orbiculi æquales ſimuliuncti percutiunt alios du­os ſimul quoque iunctos & æquales: licet inæqualem afferant plagam; quia tamen uterque orbiculus ex illâ inæquali plagâ ſe abducit; quiſque ſuo orbiculo expulſo à motu conquieſcit. At cùm alius orbiculus maior accedit: in quem impetus ſe ex­onerat illorum orbiculorum: quia inæqualem atque minorem á baſi recipit plagam; per theor: 2. huius, reflexo altero orbi­culo movebitur baſis. Cùm igitur hæc baſis ſecunda à pla­gâ ſe abducat; quieſcet à percuſſione baſis prima. Conſtat verò illo orbiculo reflexo, reflecti quoque orbiculum priorem huic contiguum.

THEOREMA VIII.

Si baſim cylindri orbiculati percutiat alius orbiculus æqualis; habe- at verò impulſum minorem gravitate ſecundâ; baſim à cylindro non excludet.

Impulſus, quo orbiculus movetur quantumvis exiguus, movere poteſt alium ſibi æqualem: At cùm gravitas huius ab aliâ vi detinetur; non niſi á maiori impulſu, quàm ſit illa vis motui renitens, moveri poteſt. Vt ſi globum ſtylo affixum percutiat globus æqualis; illa quidem plaga non niſi ſtylo fra­cto, aut avulſo globum movebit. Itaq cùm baſis cylindri plurium acceſſione gravatur; neceſſe plagam ab orbiculo illatam eſſe maiorem illâ acceſſoriâ gravitate: quâ velutí affi­gitur plano: non ſolùm in principio motûs, ſed toto illo tra­ctu, quo baſis eluctatur. Nam cùm huius motus non aliter, quàm ſi corpus ſolidum continuatâ plagâ perrumpat, attera­tur: ſi minor ſit quàm reſiſtentia illo tranſitu coacervata; mi­nor quoque erit plaga: deficiet ergo motus priuſquam baſis pertranſeat.

THEOREMA IX.

Si baſim cylindri orbiculati percutiat alius orbiculus æqualis; habe­at verò impulſum æqualem grauitati ſecundæ; excluſam baſim non ultra cylindrum movebit.

Nam quia baſim percutit alius orbiculus æqualis; habebit ex illâ plagâ impulſum æqualem. Et quia gravitas ſecunda huic eſt contraria, & ex ſuppoſitione æqualis; tollet pars qui­dem gravitatis huius partem, tota verò gravitas totum im­pulſum per poſit: 2 de propor: motûs. Cùm igitur gravitas ſecunda diametro cylindri terminetur; deficiet impulſus, ubi cylindrum exceſſit baſis. Et cùm non abſque impulſu moveatur, non ultra cylindrum extendet motum.

THEOREMA X.

Si baſim cylindri orbiculati percutiat alius orbiculus æqualis; ha­beat verò impulſum maiorem gravitate ſecundâ; baſim cylindro ex­cluſam movebit.

Cùm enim gravitas ſecunda tollat partem ſibi æqualem, neque ultra cylindrum ſe extendat: eſt autem ex ſuppoſitione impulſus orbiculi, ac proinde baſis maior gravitate: erit hu­ius exceſſus principium motûs reliqui à contactu: baſis ergo ubi cylindrum ſuperavit, motum à reliquo impulſu continu­abit.

THEOREMA XI.

Si orbiculus æqualis percutiat baſim cylindri orbiculati minùs gra­vem; habeat verò impulſum minorem gravitate ſecundâ; illam ba­ſim à cylindro non excludet.

Quia baſis aſſumitur habere gravitatem minorem, quàm or­biculus; movebitur à minori impulſu quàm idem orbiculus: & multò etiam minori quàm ſit gravitas ſecunda: non igitur tranſire valebit cylindrum, niſi à tergo inſtet maiorem habens gravitatem. At verò huius quoque impulſus aſſumitur minor illâ gravitare ſecundâ; non igitur à cylindro eluctari, neque pro­inde baſim excludere valebit.

THEOREMA XII.

Si orbiculus æqualis percutiat baſim cylindri orbiculati minùs gra- vem; habeat verò impulſum æqualem gravitati ſecundæ; exclus à baſi illius locum obtinebit.

Vt ſi orbiculus metallicus baſim ligneam percutiat: ſitque hu­ius impulſus æqualis gravitati ſecundæ, quâ baſis detinetur à cylindro: cuius pars eſt gravitas propria eiuſdem baſis: dico hunc orbiculum exclusâ à cylindro baſi, illius locum obtinere Vt enim baſis à cylindro excludatur, neceſſe ſuperare illam re­ſiſtentiam, dum in cylindro movetur, à gravitate tum propriâ tum alienâ provenientem: quam quidem ſimul collectam metitur diameter eiuſdem cylindri: propterea quòd ultima pars baſis neceſſariò per hanc moveatur. At verò impulſus, quo baſis urgetur ab orbiculo graviore, aſſumitur æqualis re­ſiſtentiæ ſimul collectæ; in omni ergo puncto motûs cylindri­ci eſt maior reſiſtentia: quouſque in fine motûs eidem gravita­ti fiat æqualis. Et quia baſis per 11 huius non niſi ab impulſu fluente movetur; ſuccedet continuò in locum huius orbicu­lus movens: ac proinde baſi à cylindro exclusâ eundem lo­cum obtinebit.

Dices ſi in fine motûs impulſus eſt æqualis gravitati ſccundæ, in omni verò puncto motûs maior eadem gravitate, quomodo totus impulſus eſſe poteſt æqualis toti gravitati? Nam ſi æqualibus addantur inæqua­lia, erunt tota inæqualia: at〈que〉 maius ab acceßione maiori.

Refpondeo illam æquationem non niſi extrinſecè termina­ri: cùm partes habeant nullâ duratione commenſurabiles. Fit ergo quemadmodum in aſcenſionibus ſignorum; ut licet continuò partes maiores aut minores cooriantur; in fine ta­men motûs quadrantes inter ſe ſint æquales.

THEOREMA XIII.

Si orbiculus æqualis percutiat baſim cylindri orbiculati minùs gra­vem; habeat verò impulſum duplo maiorem gravitate ſecunda; ex­clusâ à cylindro baſi pertranſibit.

Nam ſi impulſum habeat æqualem gravitati ſecundæ; per 12 huius, ſuccedit in locum baſis à cylindro excluſæ: Cùm igi­tur eadem gravitate detineatur, quâ baſis excluſa; non niſi ab impulſu æquali excludi valebit. Vt ergo exclusâ baſi ipſe quoque eluctetur; impulſum habebit duplo maiorem. Quòd ſi verò impulſum habeat illâ gravitate maiorem, minorem ve­rò quàm duplum; exclusâ baſi non totus, ſed pro ratione ex­ceſſûs plus, minuùſuè à cylindro prominebit. Priuſquam hunc motum orbiculorum finiam; admonere volui, ne quis ab uno experimento obiter facto, neque niſi omnibus propo­ſitionibus priùs expenſis, facile pronuntiet: cùm hæ inter­dum illas limitent. Icaque cùm dico orbiculum, ſi alium per­cutiat ſibi æqualem, illo expulſo quieſcere; id non prorſus ve­ritati conſonum videbitur, ſi experimentum fiat in orbiculis magis ponderoſis: cuiuſmodi metallici, ex argento, ferro, ære, plumbo, ſtanno, auro. Percuſſo enim æquali non quieſcunt, ſed aliquantulum ex illâ plagâ ſequuntur: idq magis minùſue pro ratione ponderis. Quod quidem ad finem theor: 6 monui Quia nimirum rationem cylindri habent eiuſmodi orbiculi: magiſque ponderoſus æquivalet cylindro longiori. Itaque diffe­rentia plagæ in his maior; quæ in orbiculis levioribus evane­ſcit, & ob exiguitatem ſenſum latet. Idem fit in globis magni ponderis & molis. Quia vel centrum gravitatis non eſt idem cum centro molis: vel quòd ſuperficiem minùs ſphæricam habentes non in puncto, ſed parte aliquâ dividuâ ſe tangunt, vel quòd plaga aliquantulum inclinet. Quin & volubilitas ſpeciem motûs continuati quandoque præſtat.

PROBLEMA I.

Orbiculorum in cylindro diſpoſitorum quemcun〈que〉 imperatum exclu­dere, alijs non excluſis.

In cylindro orbiculato AI ſit excludenda baſis A. id conſe­quemur cum orbiculo æquali M factâ plagâ per 1 Poriſ: At ſi tertius à baſi C excludi debeat: appone duos à tergo pla­ gæ KL: & cum tribus orbiculis percute cylindrum: namre­liquis immotis tertius exſiliet: propterea, quòd impetus prio­rum in illas anterides ſe exonerat. Quòd ſi artem magis la­tere velis; ſint orbiculi mole, non etiam pondere æquales. Duobus ergo levioribus tertio æquali ſubiectis, ſi percu­tiatur cylindrus; quia minor plaga leviorum, non niſi tertium excludes. Eodem modo ſi quartus, aut quintus poſtuletur; cum totidem numero orbiculis plagam induces: uno verô minus à tergo cylindri plagam excipies: aut certè totidem leviores, quot ſupereſſe velis, ultimo ſuppone.

PROBLEMA II.

Orbiculos plures ſiòi contiguos à cylindro orbiculato excludere, alijs non excluſis.

Si à baſi incipiat numerus orbiculorum; cum totidem per­cute: atque eundem numerum à cylindro excludes. Quòd ſi orbiculi intereſſe debent; totidem à tergo cylindri oppone: tum enim à ſuâ ſtatione dimoventur ex illâ plagâ, quibus núlli or­biculi ſunt oppoſiti. Aut certè totidem leviores ſuppone, quot cum baſi reliquos eſſe velis: nullâ enim motione ab his factâ, numerum quæſitum dabit plaga reliqua.

PROBLEMA III.

Orbiculos plures non contiguos à cylindro orbiculato excludere, alijs non excluſis.

Sint orbiculi tres excludendi, nimirum 1. 3 & 5 omnibus alijs immotis ex illâ plagâ. Quod quidem duobus modis con­ſequimur. uno, ſi orbiculi plagam afferentes ſint inæquales: levioréſque percutiant eos, quos manere volumus. Secundo modo, ſi his æqualiter habentibus ſequantur inæquales: atque illorum plaga, quos excuti volumus, ſe recipiat in minores: tum enim per Poriſ: 2 motum minoris ſequitur maior. Cùm autem dicimus reliquos orbiculos eſſe abſque motu; de illo in­tellige, qui provenit à percuſſione: neceſſe enim in illa inter­valla, à quibus orbiculi ſunt eiecti, alios ſe recipere à gravita­te depreſſos. Quòd ſi tamen dextrè plaga inferatur, omneſque orbiculi inter ſe ſint æquales & ad libellam complanati; abſque ſuccuſſione fit cylindri: qui non niſi ex inæquali orbiculorum lapſu, aut cùm plaga in alios impingit, dilabitur.

Verùm dubitatio non levis occurrit. Nam ſi orbiculi inter ſe æqua­les & contigui longî ſerie diſponantur in lineâ; rectà; percuſſo primo ul­timus movetur non eadem ratione: verùm pro numero orbiculorum minùs, quouſ〈que〉 omnes à plagâ ſint immoti. Marceſcit ergo illâ exten­ſione impulſus; ne〈que〉 totaplaga in ſingulos propagatur. Atqui eadem ratio videtur ſphærularum: quomodo ergo per infinitas hunc extendi volumus, quem in orbiculis cito videmus terminari.

Reſpondeo dici poſſe, quòd ſi orbiculi per omnia ſint æqua­les, in lineâ centri gravitatis ſitum habentes, eadem ratione, quâ in ſphærulis interminabilem fore motum. Verùm quia illorum centrum non neceſſariò eſt idem cum centro gravitatis; cùm partes habeant à ſe differentes: inde fieri ut centrum gravitatis plerumque ſit extra illam lineam, quæ tran­ſit per centra orbiculorum.

Quôd ſi ita: non iam una omninm eſt plaga; ſed minor quæ percutit obliquè: neceſſe ergo dum eâ ratione mutatur cen­trum gravitatis, impulſum minui, ac demum deficere.

Reſpondeo ſecundò, illam poſitionem de interminabili mo­tu ſphærularum non niſi ut probabilem aſſumi. Vt verò gratiam ineamus etiam cum his, qui eam averſantur; videa­mus ſi quâ ratione hunc motum, omnibus immotis, quæ pro fundamento ſunt adducta, terminare valeamus. Cùm ergo ſphærula prima ſecundam hæc tertiam percutit; dico inæqualem fieri plagam. Nam quia impulſus inæquali­ter recipitur in mobili; prout nimirum partes magis, minùſuè abſunt à plagâ; quæ tamen æquationem habent à centro gra- vitatis; quo omnes æqualiter moventur: minor erit vis in centro quàm in loco plagæ. Quòd ſi enim motui velociſ­ſimo accedat minùs velox; hunc quidem incitari, illum verò retardari contingit. Igitur cùm per cuſſio fiat à centro, mi­nor erit plaga à ſecundo quàm à primo. Ratio in oppo­ſitum facta ita diſſolvitur. Impulſum à plagâ 20 ad totum impulſum maiorem rationem habere, quàm ſubvigecuplam. Licet enim plaga ſecunda ſit minor quàm prima: non tamen illud decrementum eſt æquale magnitudini, quam pertranſit, ſed exceſſui, quo plaga maior eſt æquatione centri gravitatis: quæ differentia in eiuſmodi ſphærulis eſt valde exigua. Itaque fit ut globus libr: 20. moveri nequeat à plagâ unius libræ: im­pulſus tamen tranſiens per globos librales 20. ultimum mo­veat.

THEOREMA XIV.

Si orbiculum tangant plures alij eidem æquales; percutiat verò hunc alius orbiculus æqualis, ad intervallum maius quadrante à contactu illorum orbiculorum; omnes contigui à percuſſo movebuntur.

Vt ſi orbiculum A tangant alij C. D. E: percutiat verò eun­dem A æqualis B in puncto H; cuius intervallum HG, vel H L maius quadrante: dico omnes contiguos C. D. E moveri ex illâ plagâ Ducantur à contactu orbiculorum G & L ipſi AH parallelæ GP. LO, ſecantes AT. AK in O & P: dico menſu­ram plagæ OK atque TP ſimul ſumptam eſſe minorem radio AK: ac proinde impulſum reliquum à plagâ movere orbicu­lum D. Ducantur rectæ DE. IL. & quia ut AD ad DE, ita AI ad IL; ſunt verò AD. DE æquales; erit quoque AI æqua- lis IL chordæ grad: 60. cuius ſinus rectus AO; atq, huius complementum OK minus ſemiſse radij. Quòd ſi orbiculus E tangat A inter L&K; erit minor huius plaga, quàm OK ptopterea quòd DE fiat maior quàm AD, & IL maior quàm AI: ac proinde AO maior ſinu grad: 60.

COROLLARIVM.

Idem verò ſequitur, ſi orbiculi C. D. E aſſumantur mino­res, quàm ſit A. propterea quòd hi ex impulſu minori move­antur, quàm orbiculi æquales, per poriſ: 2.

PROBLEMA IV.

Tres orbiculos percutere eadem plagâ: qui in motu percutiant alios tres quolibet intervallo ſeiunctos: â quibus rurſum alij tres percutian­tur in quouis ſitu.

Sint tres orbiculi in ſltu a.b.c: quos alij g.h.i percutere de­bent in motu: à quibus rurſum alij tres d.e.f percutiantur: a ſingulis ſinguli. nempe ab a ipſum d, & à b ipſum e, at〈que〉 de­mum fàc. Ducantur per illorum centra rectæ da. eb. fc: & producantur extra circulum in o.p.q, adintervallum ſemidia­metri eiuſdem circuli: à quibus ducantur aliæ rectæ ok. pk. qkper centrum orbiculi k maioris. Quòd ſi itaque orbiculi g. h. icontigui orbiculo k habeant centra in eiſdem lineis ok. pk. qk:percutiat verò orbiculum k alius æqualis, vel maior l in w: di­co orbiculos g.h.i ex illâ plagâ percutere orbiculos a.b.c: ab his verò rurſum percuti orbiculos d.e.f.Cùm enim orbiculi g.h.i ſint minores quàm k; movebuntur exillâ plagâ per coroll: Theor: 14. Et quia percuſſio, & qui hanc ſequitur impulſus, fit per lineam rectam productam à con­tactu per centrum corporis percuſſi per 5 Theor: 2 part: erit motus orbiculi g in lineâ go. Ducatur per contactum linea rsparallela ipſi ok: quæ ſi ſecet orbiculum a, erit linea hypomo­chlij, & complementum os eiuſdem plaga: quæ ex demonſtra­tis orbiculum a movebit per rectam ad. Quòd ſi verò recta rs cadat extra utrumque orbiculum; problema locum non ha­bebit. Non eſt tamen neceſse per utrumque centrum duci li­neam rectam; niſi cùm totum impulſum dare volumus orbi­culo percuſlo: ſed ſufficit, ſi ex centro unius producta linea re­cta tangat, vel ſecet quacunque ratione alterum orbiculum. Eadem ratione oſtendemus orbiculos b & c percuti abh & i:percutere verò eoſdem e & f.

DE PROPORTIONE MOTVS ORBICVLO­RVM TAM AD SE, QVAM AD MOTVM ORBICVLI CONTIGVI, A QVO IMPELLVNTVR.

In quâ proportione ſinguli orbiculi ferantur, cùm tres con­tigui ab æquali impelluntur, dictum Theor: 14. Quòd ſi ve­rò idem orbiculus non niſi duos habeat ſibi contiguos; aut ipſi quoque erunt contigui inter ſe, aut non contigui. ſint primùm contigui.

THEOREMA V.

Si in diametro orbiculi productâ fiat contactus orbiculorum; percu­tiat verò hunc alius æqualis in parte oppoſitâ diametri; eo immoto u­ter〈que〉 contiguorum movetur.

Percutiat orbiculum A alius æqualis in F: in cuius diametro productâ FQ fiat contactus orbiculorum CD: dico immo­to A utrumque orbiculum C & D moveri ex illâ plagâ. Du­catur linea hypomochlij HG: & ad eam perpendicularis AN quæ ſecabitur in duo ſegmenta æqualia AS. NS. propterea quòd AS ſit ſinus rectus grad: 30. ſemiſſis nimirum GI grad: 60. habebit ergo plaga ſemiſſem totius impulſûs: qui per po­ſit:4 velocitate feretur ſubduplâ illius velocitatis. quâ orbicu­lus A moveretur. Quod idem dicendum de orbiculo D. Cùm itaque duo orbiculi C&D ſimul contineant totum impul­ſum ex A; erit plaga perfecta: ac proinde orbiculus A à motu conquieſcet.

THEOREMA XVI.

Si diameter orbiculi producta ſecet unum exorbiculis ſibi contiguis; percutiat verò hunc alius æqualis in parte oppoſitâ diametri productæ; eo immoto, uter〈qué〉 orbiculorum eidem contiguorum movebitur.

Cùm enim TP menſura plagæ, quam recipit orbiculus C ex A, ſit minor quàm AP ſinus rectus grad: 60; qui reliquum impulſum, quo centrum A moveretur à plagâ, metitur; erit ut AP ad PT, ita motûs in A admotum in C. Quia verò or­biculus A percutit æqualem D, occurrit verò eidem in lineâ centri; dabit plagam perfectam: ac proinde per 1 poriſma A quidem à motu conquieſcet, D verò eadem velocitate feretur. Verùm licet hypomochlium GP eâ ratione impulſum partia­tur; quia tamen utraque plaga fit ſimul; habebit plaga ex A ad plagam ex P eam rationem, quam AT ad PT. Cùm enim vectis ſit AT, cuius fulcimentum in T; erit per prop: 3 Gui­di Vbaldi, ut AT ad PT, ita gravitas appenſain A adean­dem gravitatem appenſam in P. At verò eandem rationem habet vis ſurſum impellens, quam gravitas deorſum movens: quòd gravitas non niſi mediante impulſu agat. Quòd ſi itaque totus impulſus in AT ſit partium 42; & TP pars ſexta AT; erit plaga TP in primâ quidem partitione, quam hypomo­chlium GP inducit, partium 7: impulſus verò reliquus in A partium 35. At verò cùm percuſſio geminatur; plaga ex A quidem eſt partium 36, ex P verò partium 6.

Secet nunc orbiculum D, non per centrum, diameter pro­ducta ex puncto medio inter F&H: in quo eundem percutiat alius orbiculus æqualis: dico immoto A utrumque orbiculum C & D moveri. Ducantur per contactus GI lineæ hypomo­chlij eidem diametro parallelæ: quas ſecent lineæ perpendicu­lares ex A. erit itaq, huic quidem æqualis linea ex G perpendi­cularis ad eandem diametrum ſinus grad: 45. propterea quod GI ſit grad: 60 atque huius ſemiſſis VI grad: 30. cuius comple­mentum 2928992 menſura plagæ in C. Rurſum quia FI eſt grad: 165; erit ſemiſſis ſinus rectus grad: 82 pr:30. cuius ſinus verſus 8694738 metitur plagam in D. Cùm itaque to­tus impulſus ſit partium 10000000, utraque verò plaga ſimul ſumpta partium 11623730 maior ſinu toto; erit plaga per­fecta: ac proinde orbiculus A à motu conquieſcet.

COROLLARIV M.

Quòd ſi itaque ſinus totus ſecetur in eâ ratione, quam habet numerus maior ad minorem; erit motus in D ad motum in C in eadem ratione, quæ paulominor eſt quàm tripla.

THEOREMA XVII.

Si duo orbiculi non contigui tangant alium ſibi æqualem ad inter­vallum maius quàm.grad: 60. percutiat verò hunc æqualis in parte op­poſitâ; uter〈que〉 unà cum orbiculo percuſſo movebitur.

Tangant orbiculum A duo æquales in L & V: percutiat ve­rò hunc alius æqualis in H: dico utrumque orbiculum unà cum A moveri ex illâ plagâ. Cùm enim AZ ſinus grad: 30 ſit ſe­miſſis AT; erit plaga huic æqualis. Et quia AO eſt ſinus grad: 60; erit complementum OK partium 1339746 in mi­nori ratione, quàm ſeptuplâ ad ſinum totum. Eſt autem ut AK ad OK, ita plaga ex Aad plagam ex O. Quòd ſi itaq, to­tus impulſus ſit partium 12; erit in O plaga minor quàm parti­um 2: & utraque plaga ſimul ſumpta minor quàm partium 8. impulſus ergo reliquus in A maior quàm partium 4.

COROLL ARIV M.

Sequitur quô maius intervallum inter contactus orbiculo­rum, eò velociorem eſſe motum orbiculi his contigui: propte- rea quòd impulſus reliquus ad plagam continuò maiorem ha­beat rationem. Et ſicuti ab intervallo grad: 60 incipit motus orbiculi A; ita motus contiguorum terminatur, ubi contactus non niſi quadrante circuli abfuerit à plagâ.

PROBLEMA V.

Duo puncta in peripheriâ orbiculi aßignare: in quibus orbiculi ei­dem contigui eadem cum illo velocitate moveantur.

Secetur diameter orbiculi TK in ſex partes æquales. Sup­ponamus verò TP atque OK eſſe eiuſmodi ſegmenta: à qui­bus ducantur lineæ perpendiculares LO. GP. Dico in pun­ctis L. G orbiculos EC eadem cum A celeritate moveri. Cùm enim PT ſit pars tertia AT; habebit plaga in A ad plagam in P rationem triplam. Quòd ſi itaque impulſus æqua­lis AT ſit partium 12; erit plagain P partium 4. Eſt verò eidem æqualis plagain O; igitur reliquus impulſus in A erit quoque partium 4: ac proinde per poſitionem 4 tres orbiculi A CE: eadem velocitate moventur.

PROBLEMA VI.

Duo puncta in peripheriâ orbiculi determinare: à quicus orbiculi contigui moveantur, tam ad ſe, quàm ad motum orbiculi his contigui in datâ ratione.

Sit proportio data motûs orbiculorum contiguorum tri­pla: motûs verò orbiculi reliqui ad unum ex his ſeſquialtera. Secetur itaque ſemidiameter AT in ſex partes æquales: & du­catur linea à ſecundâ diviſione, quæ à centro, perpendicularis producta ad peripheriam: eritq plaga in A ad illam plagamin feſquialterâ ratione. Rurſum verò ſecentur illa quatuor ſe­gmenta reliqua in tres partes æquales: & ab ultimâ ſectione, quæ ad peripheriam, ducatur perpendicularis: eritque prior plaga ad hanc in ratione triplâ. Quòd ſi itaq, in alterâ ſemidi­ametro uni ſegmento ſumatur æquale; & ducatur perpendicu­laris ad peripheriam; inventa erunt duo puncta, à quibus or­biculi impulſi moveantur in datâ ratione.

THEOREMA XVIII.

Si orbiculum Atangat alius æqualis Q ad intervallum grad: 30 à di­ametro HI; percutiat verò eundem æqualis H; motus centri'ex illâ pla­gâ non dimovetur à lineâ HI.

Ductâ ex V perpendiculari VZ: erit AZ ſinus rectus grad: 30, ſemiſſis radij AT: motus vero in A æqualis plagæ in V. Producatur TQ parallela VZ: eritque AQ ad AT, ut AV ad AZ & VQ ad TZ. ſed ut AQ ad AT, ita TQ ad VZ: & permutando TQ ad VQ, ut VZ ad TZ. Eſt autem VZ ſinus rectus grad: 60 maior quàm AZ ſinus rectus grad: 30. Cùm itaque motus in A ſit æqualis AZ; erit velocior motus in VQ, quo centrum Q à contactuſe abducit, quàm ut aliquod punctum inter VT ipſum conſequi valeat. non igitur cen­trum A dimovetur à lineâ rectâ AI.

THEOREMA XIX.

Si orbiculum A tangat alius æqualis C adintervallum grad: 60 à di­ametro HI, percutiat verò eundem æqualis in H; motus centri A ſit per tangentem circuli, cuius centrum eſt contactus orbiculi C.

Quoniam GP ſinus grad: 30 eſt minor ſinu AP grad: 60; habebit hic ad PT maiorem rationem, quàm GP. Eſt au­tem ut GP ad PT, ita TR ad RG: velocior ergo motus cen­tri A, atque huius parallelorum inter G & T, quàm ſit motus or­biculi C, quo à contactu orbiculi A ſe abducit: neceſse pro­inde centrum A prohibitum à contactu viam proximam ſequi: hoc eſt per tangentem circuli centro G deſcripti.

THEOREMA XX.

Si plures orbiculi tangant alium maiorem; percutiat verò hunc æ­qualis; omnes contigui unà cum orbiculo maiore movebuntur.

Tangant orbiculum k quotlibet alij minores g. b. m. i: per­cutiat verò hunc æqualis l: dico orbiculos g. h. m. i unà cum orbiculo k moveri ex illâ plagâ. Erit enim ex demonſtratis Theor: 16 ut kz ad nz ita plaga orbiculi h ad plagam orbi­culi m: & ut nz ad yz, ita plaga in m ad plagam in i. Quòd idem de plagâ orbiculi g dicendum. maior itaque omnibus pla­ga eſt in h. Quia verò plaga ſequitur impulſum, quo percu- tiens erat moturum; percutit verò k orbiculum minorem h;movebitur hic ab incipiente & necdum perfectâ plagâ: orbicu­lus ergo k per poriſma 2. motum continuabit. Simili modo orbiculi. reliqui g. m. i quia minores quàm k; movebuntur ab impulſu minori: ac proinde à plagâ incipiente: unde huius ex­ceſſus erit principium motûs orbiculi k,

DE GYRATIONE ORBICVLI.

Si orbiculus percuſſus alium impellat ſibi contiguum & æ­qualem; duplici motu videtur ferri ex illâ plagâ: nimirum recto & circulari. Nam cùm A movetur per lineam AI, pun­ctum H in peripheriâ transfertur in F. K &c. Quod quidem erit manifeſtum ſi punctum contactûs aliquo ſigno notetur. Huius autem motûs ratio videtur referri ad librationem. Nam cùm ex plagâ in G deceſſerit impulſus æqualis PT; neceſse præpondium fieri in K, atque ita revolui orbiculum circa mobi­le centrum A.

Obijcies. Si ob librationem circumagitur orbiculus, neceße buius mo­tum eſſe æqualem plagæ. cui æquatur exceſſus in parte oppoſitâ. igitur quò contactui propior diameter, quia tum maior plaga; erit quo〈que〉 circulatio maior: quod tamen non fit. Verùm quò maius intervallum, eò arcum deſcribit maiorem. Deinde verò ſi duo orbiculi contigui inæqualiter ab­ſint à diametro, cuiuſmodi in LV, circulatio procedit ex H in N. eſt au­tem maior plaga in V quàm in L: oportebat ergo hunc motum fieri ex H in F, ſi illa circulatio proveniret ab exceſſu.

Reſpondeo cùm motus hic circularis fluat ab eodem impul­ſu, quem retinet centrum ad ſe movendum; hic autem acceſſu ad diametrum continuò minuatur; neceſsc quoque circulatio- nem æſtimari minorem. Deinde verò cùm per Theor: 19 ab intervallo grad: 60 motus centri fiat per tangentem circu­li; neceſſe hanc librationem magis augeri. Vnde etiam ratio petenda, quòd circulatio quandoque fiat in partem plagæ maio­ris: cùm videlicet duo orbiculi inæqualiter abſunt à lineâ mo tûs centri: Hic enim oppoſita circulatio prævalet: quam deter­minat motus centri per tangentem.

Poſſe verò miſceri motui recto circularem, manifeſtum in eodem orbiculo; ſi convexâ parte tangat planum. á digito e­nim compreſſus & eliſus quandoque eidem puncto inſiſtens ro­tari, quandoque à procurſu recurrere, aut etiam retro agi vide­ tur. Quòd ſi enim motus circularis fiat æqualis motui recto; videbitur orbiculus in eodem puncto A circa immobile cen­trum gyrari. Dividatur peripheria orbiculi in ſex partes æqua­les abcdef: & ſumantur his æqualia ſegmenta in lineâ re­ctâ aghikl. Cùm itaque motus in ab ſit æqualis motui centri eiuſdem orbiculi in ag; gyratio autem non niſi per contactum fiat eiuſdem plani; neceſse ubi ex a promovit in g, ipſum brevolui in a. Similiter ubi b perventurum eratex a in g, ipſum c attinget punctum a. Quòd ſi maior ſit motus circuli, quàm eiuſdem centri; contingit ipſum retroagi. Nam cùm ex amovetur in g; motus in peripheriâ fit per maius ſegmentum ab: ac proinde orbiculus tangit planum in puncto medio inter b & c.Demum ſi maior ſit motus centri quàm gyrationis; videbitur motus rectus, & punctum b inter a & g. Inde ergo ratio reddi­tur; quòd motus centri ab illatâ plagâ deflectat à lineâ rectâ AI etiam ante grad: 60. Cùm enim motus orbiculi circularis in plano firmetur, eaque ratione motui centri reluctetur; ne­ceſſe motum mixtum inde procreari.

De Levigatione & Politura.

COrpora polita dicuntur, quæ ſuperficiem habent illius fi­guræ, quâ terminantur, æquabilem: ut in cubo perfectè planam, in globo ſphæricam. His opponitur aſperum ſeu ſca­brum: cuius ſuperficies partes habet inæqualiter ſitas, magis & minùs depreſſas aut elevatas. Neque omnia corpora æqua­liter: ſed alia magis, alia minùs, alia nullâ induſtriâ poliuntur: ut thophus, pumex, ſuber, panni lanei &c. Et cùm ſcabrities ſeu inæqualitas à duobus proveniat: cùm vel partes inſunt verrucoſæ, vel pori ſeu cavernulæ ſuperficiem perforantes, quantum vis ſenſum lateant: polituram obtinemus contrariâ affectione: verrucarum quidem, & quæ prominent, ablatione: ſpatiorum verò inanium repletione. Quòd ſi eiuſmodi um­bilici & verruculæ tolli nequeant: aut lacunæ expleri, impo­libile dicetur corpus, Talia ſunt a)piea\, & quæ dividi neque­unt in partes minimas: quia neque compreſſioni cedunt ad po­rum ſolidandum, receptâ in eas vacuitates parte magis preſsâ: ut vitrum, gemmæ, lapides, omniaque qraua: neque pars minima reſecari valet, cuiuſmodi eſt thophus. Atque illa quidem ſolá partium ablatione poliuntur: & ſi quidem poroſa ſint, nullâ ratione ſuam perfectionem aſſequitur politura: quemadmo­dum neque individua in partes minimas: ablatâ enim parte ma­iori, quàm ſit exceſſus; eadem inæqualitas manet. Corporaer­go paxume/rea & quæ glutinosâ viſciditate tenaciùs cohærent, ut cera, pix, tela linea, papyrus; ſolâ levigatione proficiunt: partibus à compreſſione in eodem ſitu manentibus. Vnde panni lanei, ob pilos à compreſſione ſurrigentes, non levigan­tur. metalla quoque omnia, atque ligna alia magis, alia minùs le­vigationi parent. Quæ enim mollia ſunt, neque compreſſa manent in eo ſitu, ut medulla ſambuci, aut ſpongia, non levi­gantur. Neceſſe enim reniti aliquas partes: quibus aliæ inni­tantur. Quod non fit, ſi omnes à compreſſione moveantur ce­dantque Itaque ligna duriora, cuiuſmodi hebenus, præ alijs levi­gantur. Cùm igitur illa corpora vel partium ablatione, vel illarum ſitu permutato ſuperficiem politam conſequantur; manifeſtum levigationem & polituram non abſque motu & im­pulſu fieri. Cuiuſmodi verò ſit motus, & quâ ratione fiat, nunc dicam, à levigatione incipiendo.

Eſt autem levigatio motus reciprocus in ſuperficie levigandà, factus à corpore polito, non ſine compreßione.

Niſi enim corpus levigans ſit terſum & politum; nequaquam aliam ſuperficiem levigare valebit: novâ aſperitate ex illa­rum partium inæqualitate inductâ: dum magis quidem pro­minentes excavant, & veluti ſulcos incidunt: depreſſæ verò tubercula attollunt. Itaque videmus ab eiuſmodi ſuperficie aſpcrâ & hamatâ pannos aſperari & villoſos reddi: quò filamen­ta atque illorum textura magis lateant. Deinde ſi motus fiat abſque compreſſione, aut non niſi leviter illam ſuperficiem tan­gendo; neque lacunæ expleri, neque verruculæ deprimi valebunt. Neque motu ſimplici, atque uno tractu perficitur politura: ſed motibus iteratis, & in omnes partes reciprocè factis. Et licet quandoque ſolâ compreſſione planities inducatur; non tamen levigatio eſt perfecta: ob plures ſulcos, ſtriáſque à compreſſione relictas: quæ magis in profundum, quàm lateraliter movet. Igitur cùm motus ſit cauſa levigationis; quo partes ſitum variè permutant: & velin locum partium compreſſarum; velin me­dias cavitates trasferuntur: motus autem à percuſſione & à ta­ctu fiat; quem ex his motum dicemus levigationem? eſt enim w(sit xi/nsis a)po\ t_s a(/yews: cùm movens non niſi tangendo movet: at verò partes levigantes non manent, ſed prætere­unt: continuóque alias tangunt partes: non igitur w(/sei ſeu pul­ſione moventur partes levigandæ.

Reſpondeo, licet partes continuò mutentur: quia tamen aliæ atque aliæ ſuccedunt eiuſdem rationis, motum continuan­tes; per æquivalentiam idem videri movens. Eſt autem dif­ferétia inter ea, quæ xi/nhsin habent a)po\ tg_s a(/yews, & quæ a)po\ tg_s plhgh_s xino_nt: quòd hæc in motu ſeparantur à movente: ac proinde acceptâ plagâ non ſit in poteſtate moventis ille mo­tus. Quæ verò a)po\ th_s a(/yews moventur; impulſum habent fluentem: qui non niſi illis motis eſſe poteſt: moxque ubi cæpit, ex illo contactu finit: & non niſi impulſu continuato ſervari poteſt. Atque inde fit, ut nulla particula inter poliendum, ſeu levigandum divellatur: cùm motus in ipſa plagâ finiat, neque ullus reſtet impulſus. Et licet non ſine aliquâ tractione par­tes levigatæ extendantur; non tamen eſt motus exceſſivus: neque per ſe, ſed à compreſſione naſcens: Itaque ſi excedat, ut dum chartam minùs cautè levigamus; partes divelluntur.

Dices. A quo ergo partes compreßa detinentur in eo ſitu? ne〈que〉 enim ſo- la pesa\ levigantur: ne〈que〉 illa filamenta linteorum & minutuli ſlocci in compreßione uniuntur, ſuperficiem unam habentes: verùm contigui inter ſe manent: ita〈qué〉 linteis excußis rurſum à ſe diſiungi, & ſuperfici­em hiſpidam reddi videmus.

Reſpondeo illum ſitum non niſi à novo motu turbari: mo­tum verò non abſque; impulſu advenire. Quòd ſi ergo partes neque à ſe, neque ab extra habeant principium motûs; neceſſe illá ſuperficiem, in quam terminavit motus, retinere. Itaque lin­tea agitata turbantur: dum ex illo motu impetum concipiunt particulæ, ab eo ſitu diſtrahentem. Quæ autem rigidiuſcula ſunt: quia in ſe ipſis habent principium motús; à compreſſio­ne eo modo, quo arcus à curvaturá, reaſſurgunt. Sicuti ve­rò duobus modis levigatio fit; nimirum depreſſione & compreſſio­ne atomorum; ita quoque duobus motibus oppoſitis turbatur: cùm vel eriguntur: vel partes preſſæ retumeſcunt. Superficié le viga­tam ſequitur tanquam proprietas ſplendor: lucis nimirum uni­tæ confertim facta evibratio. Nam quæ ſuperficiem habent aſperam, lucem incidentem diſtrahunt & inæqualiter reflectunt. Neque enim ab aliquâ parte radij uniti, ſed à ſe divulſi, ſeque in­terſecantes in retinam feruntur: ſinguli non niſi luce tenui ſen­ſum afficientes.

An igitur inferre licet omnia, quæ luce alienâ reſplendent ſuperfici­em habere levigatam? Nitent enim margaritæ, conchylia, opera item figulina vitreata, avium pennæ, atramentum, picturæ &c. in quibus tæmen aſperitatem notamus.

Reſpondeo ſplendorem non niſi ex multâ luce unitâ naſci: multa autem fit ratione ſubiecti. nam ſubiectum magis den­ſum plus lucis continet. Corpus ergo denſiſſimum & ſummè politum ſplendorem habet ſummum. Itaque aurum perfectè levigatum præ omnibus alijs ſplendet, aciemque oculorum per- cellit: plumbum verò licet alijs metallis magis denſum; quia tamen ob partes terreas minùs levigari poteſt, & colori atro magis miſcetur; minùs reſplendet. Fieri ergo poteſt ut cor­pus denſum, & ſi minùs politum, magis ſplendeat, quàm rarum, & è contra: at ſummè levigatum neceſſariò ſuperat denſiſſi­mum; ſi prorſus ſit impolitum. Deinde levigatum ſeu poli­tum duobus modis ſumitur: abſolutè, & ſecundum quid. Abſolutè quidem, cuius ſuperficies undique eſt terſa & æqualis: ſecundùm quid autem, quod non totam ſuperficiem, ſed tan­tum aliquas partes habet levigatas, non continuas inter ſe, ve­rum partibus ſcabris interciſas. Multa ergo licet ſuperficiem habeant ſcabram & inæqualem; quia tamen eiuſmodi umbili­cos continent leves & politos; reſplendent. Ita enim figulina poliuntur: dum metallicus humot illitus, atque igne liqueſcens ſuperficiem inungit: & demum æqualiter concretus ſpeciem vitri aſſumit. Similiter panis humido inunctus, cruſtam in igne trahit reſplendentem. Ita atramentum ſcriptorium admiſto gummi ſplendet. quia ob viſciditatem minùs ſorbetur humor: & partes vitriolicæ ceu viſco cohærentes, inter ſiccandum mi­nùs hiulcæ fiunt. Colores quoque & picturæ glutine pellucido affuſo, aut permixto ſimili ratione reſplendent,

Sed dices. aquam eſſe ſummè levigatam, minùs tamen alijs ſplendere.

Reſpondeo ſplendorem eſſe lucem à ſuperficie reflexam: ut autem reflecti poſſit neceſſe priùs terminari. At verò aquam pellucidam lux pertranſit: minùs ergo lucis à reflexione. De­inde cùm aqua ſit fluens & minùs denſa corporibus ex eâ con­cretis; minor copia lucis in eâ colligi poteſt. Nec refert mul­ta corpora eſſe rariora: hæc enim ſuam concretionem aëri de­bent, qui in his prædominatur: cuiuſmodi volucrum pennæ, & ſambuci medulla.

Hæc de levigatione. Politura eundem finem habet; nimi­rum ſuperficiem erugatam, terſámque: differentia eſt in modo & medijs ad hunc finem. Nam levigatio deprimit, aut in lacu­nas transfert: politura adimit ſcabritiem efficientes partes. Quæ quidem differentia in materiâ fundatur: cuius partes neque comprimi valent, neque aliò transferri: Talia ſunt vitra, gemmæ, lapides, atque omnia a)pies a\ x\ qzaua\. Igitur quædam utroque modo hunc finem conſequuntur, & politurâ & levigatione, ut metalla: quædam ſolâ levigatione, ut papyrus, lintea, cera: quædam non niſi politurâ, ut gemmæ, lapides, vitra. Ratio eſt quia nequeunt dividi in partes minimas: ſiue ob viſcidita­tem magis tenacem, ſiue ob craſſitiem. Itaque fit, ut dum plus, minúſue à ſcabritie aufert politura; prior inæqualitas con­tinuò aliâ permutetur. Deinde levigatio in multis incipit à politurâ: cùm nimirum maior eſt aſperitas, quàm compreſſio eſſe poſſit; neceſſe ergo illum exceſſum adimi, quò reliqua ſu­perficies levigationem habeat magis expeditam: ita enim ligna atque metalla non niſi ferro acciſa levigantur. Neque idem eſt modus polituræ in omnibus; neque idem principium. Nam pro­ut materiâ, & ſuperficie magis & minùs aſperâ à ſe differunt; atque ab alijs plus, ab alijs minùs eſt auferendum; ita quoque inſtru­menta varia ſunt inventa. Saxa enim & marmora malleo de­cuſſis, aut ferro acciſis promontorijs æquantur: gemmæ verò affricatione adlapidem arenarium molâ circumactum, corti­cem priùs, quò veſtiuntur, exuunt; inde ſerrâ obtusâ in ſegmen­ta dividuntur: demum arenâ atque huius polline levigantur. Ligna verò ſecuri, cuneo, ſerrâ finduntur & ſecantur: dein­de aſciâ, tornóve poliuntur. Eſt autem nobis propoſitum non niſi de motu & impulſu agere, quo ſuperficiem politam obti­nemus; nequaquam verò de arte poliendi, quæ ſuis Magiſtris eſt relinquenda. Incipiam verò à Lignorum politurâ, utpo- te minùs operosâ. Cuius principium sxi/sis x\ tm_sis: in eo à ſe differentes: quòd sxi/sis ſit diai/zesi)pi\ to\ plon. sxiset ga\z, inquit Ariſtoteles, o(/tan e)pi\ to\ plon dizh_t h(' to/ dizo_un diz, xapzohgtai h( diai/zesis. In fiſſione ergo eſt maior diviſio, |quàm ut ad illam plagam referri poſſit: eamque diviſio anteit. Eſt enim xi/­nhsis a)po\ th_s a(\yews: cùm plaga inſequitur motum: atque impulſum habet fluentem, & à plagâ inſeparabilem. Igitur cùm fiſſura ultra plagam ſe extendat, non eſſe poteſt à plagâ. Huius autem ra­tio. quia to\ diz_n habet vim cunei: cuius ingreſſu in eam pla­gam partes diſtrahuntur. Et cùm fibræ in longitudinem ex­currentes flecti nequeant; neceſſe ultra cuneum agi fiſſuram: atque eò magis, quò fibras habent rigidiores, & minùs lentas. Itaque ligna duriora magis finduntur, quàm mollia ac lenta: quæ magis obliquari & flecti valent. Vnde angulo obtuſiore, illa verò acutiore, fiſſurâ magis productâ finiunt plagam. Cùm ergo inciſio fit, ferrum in fiſſurâ conquieſcit: partes verò hu­ius ingreſſu diſtractæ, quia flecti nequeunt ob rigiditatem, neque comprimi vulneris labra: quemadmodum fit in plumbi ſectu­râ, illam rectitudinem ſervantes findunt partes ulteriores: sxista/ autem dicit Ariſtoteles o(/sa xata\ mh_xos e)/x ts po/zs xasu(\s pzosfu/et a)llh/lois, a)lla\ mhxata\ pla/tos. Eiuſmodi ſunt li­gna ferè omnia fibris in longitudinem protenſis: inter quas pori ſubſtantiâ molliori & veluti fungosâ pleni interſunt, per quas agitur fiſſura: non verò in tranſverſum per illas fibras, in quibus non continuantur eiuſmodi pori. Plaga autem fit à ſectione pro ratione compreſſionis. Igitur ligna, quæ fibras habent directas, fiſſuram quoque agunt rectam: quòd ſi tortuosè procedant, inæqualiter finduntur: cùm plaga viam ſequatur mediam inter illas fibras. At cùm ſerrâ dividuntur, à ſectio­ne etiam inter fibras ductâ nulla ſequitur fiſſura: quia ſerratio partes fibroſas non diſtrahit, ſed diſcontinuas facit. Eſt au- tem ſerratio motus compoſitus ex inciſione & fractione. Neque enim huius dentes aſperiuſculi inter ſe ſunt paralleli; ſed alter­natim ad latus utrinque reflexi: quò diviſio ex obliquo facta oc­currat plagæ oppoſitæ. Itaque partes quidem medias inciden­do, partes verò laterales ſuâ aſperitate radendo auferunt: eaque ratione vulneris labra, quo motum habeant liberiorem, adau­gent. Inciſio enim ſimplex eſt diviſio continui abſque deper­ditione alicuius particulæ: ut cùm pomum per medium ſeca­mus. Differt à ſectione ſciſſura: quòd hæc ſit plaga continu­ata; ſectio verò ſimplex & interrupta: quæ tamen ob vehemen­tiam excedere poteſt illam. Vtraque eſt ſolutio unionum, ſeu diſcontinuatio cum aliquâ compreſſione: neceſſe enim quod incidit recipi in illamm plagam, partésque medias comprimi in la­tus utrumque. Corpus ſerratile eſt xataxto\n xai\ qzauso\n neque enim lapides, vitrum, gemmæ ſerrantur. Nam ſerra, quâ gemmæ mediâ arenâ ſecantur, quia dentibus caret, non niſi impropriè dicitur. Igitur lignis in hunc modum ſerrâ atque ſecuri diviſis, aut cultro inciſis aſcia ſuccedit: quâ ſuperficies aſpera & inæ­qualis aufertur. Eſtque huius motus idem cum inciſione; ma­gis tamen limitatus, ad menſuram ferri inciſorij ab eâ promi­nentis. Non enim profundiùs agitur plaga, quàm ſit illa fer­ri longitudo: quæ contrahi & augeri pro libitu poteſt. Im­pulſum verò habet fluentem: cùm ſit xi/nhsis a)po\ th_s a(/yws: quam aſcia manu librata dirigit, impulſum cohibens, quò mi­nùs latè evagetur. Vnde maioribus aſcijs utuntur in politu­râ: quò maior compreſſio à pondere, & à parte huius planâ & politâ levigatio ſimul fiat. Huic ſimilis videtur motus à tor­no factus: idem enim eſt ſeu ferrum incidens, ſeu corpus inci­dendum moveatur. Eſt ergo manus veluti aſcia, quæ fulcro innixa aciem ferri pro voto inciſuræ libratam ſuſtinet: Velo­cior tamen huius, quàm aſciæ motus atque in circulum reductus: qualis quidem eſſe nequit aſciæ motus ad globum poliendum. ita quidem ſe habet politura in lignis, & quæ his ſunt cogna­ta. At verò torno poliuntur etiam metalla: nequaquam gem­mæ, lapides, aut vitrum: quòd hæc atmhta ſint xa qzausa\: & non niſi in plures partes friantur. Itaque neque aſciâ aut cultro ſecari valent: cùm ſectio in duo terminetur, unámque particulam ab alijs avellat.

Sed cur metalla ab aſciâ non poliuntur, eandem vim cum torno ha­bente?

Reſpondeo in torno eſſe motum velociorem; quo reſiſten­tia & durities metallorum ſuperatur. Idem enim eſt cùm tor­no circumagitur mobile, quemadmodum ſi ferrum celerrimè moveretur: ut cùm gemmæ orbiculis circumactis poliuntur. Et licet illarum politura torno fieri videatur; ob motum cir­cularem illorum orbiculorum, quibus gemmæ ſe affricantes atteruntur: eſt tamen longè diverſus atque alius motus. Non enim orbiculi ſeu umbilici, quibus præpilantur cylindri ver­ſatiles, incidunt: ſed arenulæ his intermixtæ: quo modo in a­lijs orbiculis contingit horizonti parallelis. lutum enim arenu­latum continuò affuſum ſuâ aſperitate radit ſuperficiem ma­gis eminentem. Cùm verò hæc omnia ſint qzausa; erit illo­rum diviſio qrau_s s non xa/tais. quia non una particula, ſed plures ſimul avelluntur: illæ nimirum, quæ impulſum motunque recipiunt à plagâ, pro numero arenularum, non unâ. Vide­tur autem motus compoſitus ex inciſione & fracturâ: com­preſſione quidem in profundum: tractu verò in latum agen­te plagam, ab impulſu fluente inductam. Cùm igitur ſit xi/nh­sis a)po\ th_s a(/yews, nequaquam altè penetrat; ſed mox à com­preſſione & contactu impulſus cohibetur. Cui accedit humi­ditas ex polline arenularum continuò affuſa gemmis, impul­ſum hebetans: alioquin fragilibus, ſi arenulâ ſiccâ poliantur. quæ & calorem ex illo motu naſcentem, quo corpora tene­reſcunt, magisq, fragilia fiunt, obtundit. Vnde adamantes, qui­bus gemmæ ſolidiores poliuntur, ex illâ velocitate motûs ſpe­ciem carbonis igniti aſſumunt. Differentia autem plagæ fit pro ratione arenularum: craſſiores enim & magis duræ ma­iora auferunt ſegmenta. Itaque gemmas rudiores, multúmque aſperitatis habentes priùs ſaxis arenulatis, quæ molis circum­aguntur, affricantes, illâ attritione complanant: inde lapide ſmiri in farinam trito poliunt: & magis ſubtili eiuſdem polline levigantes, demum perfectionem terrâ tripolitanâ inducunt. Vitra tamen quia molliora, calce ſtanni levigantur. Nec differt illarum ſectio per ſerram æream edentulam facta, lentiſſimo tractu arenulis interfuſis radente: pro quarum diverſi­tate mutatur quoque vulneris amplitudo. Nam craſſior arena, inquit Plinins, laxioribus ſegmentis terit, & plus erodit mar­moris, maiúſque opus ſcabritia polituræ relinquit. Ita ſectæ atte­nuantur cruſtæ. Duplex ergo incommodum ab arenâ craſſio­re: nam & plus decedit gemmis à plagâ latiore: & ſuperficies aſpera maiorem in poliendo laborem exigit. Itaque olim uſque ad Æthiopas, & Indos arena petebatur: quarum Æthiopica mollior, nullâque ſcabritie ſecans. Nunc verò lapis ſmiri & terra tripolitana in uſum polituræ ſucceſſit. Neque ſolum gem­mæ, marmora, & vitrum arenâ, ſeu lapide arenoſo poliuntur; ſed etiam metalla: cotibus enim ferrum atteri & pulvere ſmi­ri levigari conſtat. Verùm hæc inſuper limam ſentiunt: quòd gemmis non convenit. Tametſi dicat Plinius nobili­um gemmarum ſoli Topazio id accidere: reliquas verò coti­bus Naxijs poliri. Quod quidem de politurâ rudiori & incho­atâ intelligendum: neque enim aut reliquas gemmas cotibus: aut topazium limâ perfici potuiſſe credendum. Noſtratem quoque topazium licet molliorem reliquis gemmis, limam re- ſpuere experientia docet. Fuerit ergo alterius generis Plinij gemma à noſtrâ: quam inſuo genere virentem, eiuſque ſimilitudinem, ad porri ſuccum dirigi teſtatur: cùm noſtra ſit coloris aurei. Motus, quem lima inducit, eſt compoſitus ab inciſione cancellatâ & xla/te. Nam ſulci præ­tenues inciſi ab aſperitate traſversâ eiuſdem limæ raduntur. Maior ergo durities nobilioribus gemmis ineſt, cuiuſmodi a­damas, calcedonius, ſapphyrus, heliotropia, rubinus: quæ neque ferro incidi, neque limâ radi ſuſtinent: quam tamen ſentiunt marmora, lapides, vitrum, & gemmæ ignobiliores. A cotibus verò hæc univerſa poliuntur: propterea quòd ſuperficiem habeant cotes ſcabram & arenoſam: quæ ſi polita, miniméque friabilis eſſed, haud quaquam attererentur. Mutuâ ergo affrictone arenulæ coacervantur: quarum abſceſſu minui cotes, & demum longo uſu abſumi conſtat. Saxa verò duri­ora, quia atteri non valent, neque uſum cotis habent. Sed quæſtio hic eſt: quamobrem cotes Naxiæ, & quæ nobis ſunt in uſu, aquâ; Creticæ verò & Laconicæ, ut Plinius teſtatur, oleo temperentur: an eiuſmodi cotes naturam habent olei, ſeu bituminis pinguedinem continentes aquæ incommiſcibilem? ineſſe enim quibuſdam lapidibus ſuccum pinguem & oleoſum conſtat exinflammatione. Lapis quoque nephriticus, quem Iſadam vocant, multùm pingueſcit inter poliendum: quan­quam huius pinguedo non oleoſa, ſed quale gummi, aquæ commiſcetur. At quomodo ergo cotes Ciliciæ, eodem Plinio teſte, oleo & aquâ pollent: an utramque naturam eo modo permiſtam habent, quo ſmigma? quod & pingue in ſe tra­hit, & aquâ eluitur. Ita cotes tonſtrinarum humore non quo­uis ſed viſcoſo, cuiuſmodi ſputum, proficiunt. Aquas autem in Italiâ repertas, aciem trahentes acerrimo ſenſu, minerales fuiſle credo, eiuſdem naturæ cum aquâ forti. Magis tamen mirandum, quod tradit Ferdinandus Corteſius, in Mexico eſſe lapidem coloris flavi; ex quo novaculæ fiant acutiſſimæ: quæ non à ferro, aut cote, ſed ex aquâ illam aciem trahant. Videtur autem hæc proprietas innuere huius cognationem cum aquâ; eſſéque veluti glaciem ex aquâ concretam: à quâ rurſum atteratur & liquefiat: mox tamen ab aëre eo modo, quo ovorum cortices, indurari. A motibus iam dictis differt terebratio & perforatio: fitque duobus modis. Vt cùm cavi­tas inducitur abſque deperditione alicuius particulæ: & cùm partes ab illâ cavitate excluduntur. Et primo quidem modo cavitas fit per compreſſionem: quam ſola pies a\ admittunt, cu­iuſmodi metalla & ligna: nequaquam verò ta\ qzaua\ at gem­mæ, lapides, vitra. Cùm deperditione verò ſubſtantiæ & hæc & reliqua omnia cavantur: licet non uno modo omnia. Nam gemmæ quidem & vitra non niſi politurâ, ſenſimque ra­dendo perforantur: terebratione verò ligna, metalla, oſſa. Et ſicuti terebra figurâ à ſe differunt; ita etiam modus perfo­randi. Alia enim circulo; alia formâ ſemilunari terminan­tur: alia cochleatim ſtriata, ab acuto ſenſim augentur & late­ſcunt. Atque hæc quidem à perforatione incipiendo sxi/sei x/ xla/sei terminant motum. Dum enim cochlea circum acta in partem compreſſam vulnus agit, & quæ à tergo ſequitur helix, ambit latiore plagâ; in tenues & friabiles lamellas eâ ratione ſcobinatur helicoides, à plagâ inciſus conus: eoque in helicem cavam recepto terebratio procedit, quouſque cochlea repleta ſcobe, educi & expurgari debeat. Videtur autem hic ratio vectis intervenire: cuius hypomochlium in centro mo­tûs: extrema verò ſunt circelli ſenſim aucti & in conum late­ſcentes. Verùm huiuſmodi terebella ſuperficiem, quæ am­bit plagam, minùs æqualem relinquunt: calorem verò ob multiplicem motum adaugent. Itaque minùs apta cranio per- forando: ne huius medulla nimiùm exæſtuet. Quæ autem circulo finiunt: quia unâ inciſione auferunt quidquid inclu­ditur illo circulo, unóque motu ſimplici peragunt inciſionem; in hunc uſum veniunt. Nam cùm in gyrum agitur hic cir­culus; unaquæque particula incidit: & cùm aliæ eiuſdem rati­onis ſequantur; vulnus continuò fit maius: atque eò magis, quo qli/yis ſeu compreſſio maior, motus autem velocior. Differt ab his terebellum, quo metalla perforantur. Stylus e­nim amfi/zus cylindro infixus veluti torno circumagitur, non ſine compreſſione ad corpus terebrandum. Qui motus inciſione perficitur: duritiémque metalli ſuperat ob illam velocitatem.

FINIS.

PRAGÆ.

Ex Typographia Academica.

Anno 1648.

[Errata not transcribed.]