Ceva, Giovanni Geometria motus 1692 Bologna la cevag_geome_022_la_1692.xml 022.xml

GEOMETRIA

MOTUS

OPVSCVLVM GEOMETRICVM

A'IOANNE CEVA MEDIOLANENSI

In gratiam Aquarum excogitatum.

CONTINET DVOS LIBROS

Primum de Simplici Motu, Alterum de Compoſito.

BONONIÆ, M. DC. XCII.

Typis HH. Antonij Piſarij Superiorum permiſſu.

SERENISSIMO

MANTVÆ DUCI

FERDINANDO CAROLO.

ITerum, Sereniſſime Princeps, tuis aduolutus genibus opuſculum exhibeo, in quo naturam motuum, pleniori methodo, quàm puto antea ſit actum, geometricè exequor. Neceße habui hæc præmittere, quò viam aperirem, & quo­dammodo alueum ſternerem aquarum doctrinæ, quarum argumentum vtiliſſimum, & profundæ indaginis iam diu meditor. Quam arduum ſit, & per quas ſalebras eun­dum, vt nouum aliquid luce dignum è latebris naturæ eruarur vtinam Celſitudini tuæ aliquis veritatum non vulgarium indagator fidem faceret; ſcio equidem, & laboris improbitas tangeret benigniſſimum animum tuum, & ſimul naturæ inge­nium ſuſpiceres, quæ mentibus aliquorum vim inuentricem inſeruit, vt eorum iugi cogitatione humanis vſibus prouide-ret. Et verò (ſi in hoc genere de me quidquam confiteri decet) niſi aduerſæ valetudinis experimento prudentior factus indo­lem meam huiuſcemodi ſtudijs intemperanter addictam ali­quot ab hinc annis compeſcuißem; nec non quotidie munus à Celſitudine Tua ſummo cum honore & beneficentia demanda­tum (adeo vt hoc etiam nomine Teſeruatorem meum appella­re poſſim) inde me reuocaſſet; eorum, credo equidem, ponderi, aſſiduæque contemplationi ſuccumbere neceſſe erat. Vnde au­tem, Celſiſſime dux, huic ſcientiæ tanta vis, vt quos ſibi ſemet adiunxerit, nonniſi altiori ratione queat a ſe ipſa dimittere? An quod fortaſſe vbi animus publicæ vtilitati deſeruire cæpe­rit, veluti in naturæ concilium admiſſus, ſui quodammodo oblitus, propriam humilioremque ſedem reuiſere dedignetur; an quia, cùm inter cæteras ſcientias Geometria demonſtrationem, hoc eſt veritatem ſinceram, & quandam primi veri particu­lam profiteatur, hinc neſcio quid diuinum habent ſibi propoſitum, vnde nonniſi Deo impellente, vbi nimirum officia, potiorque ratio id poſtulant, ab eius intuitu retrahatur. Hoc equidem puto; atque hinc diuina Geometria iure optimo a doctiſſimis, & clariſſimis viris paſſim nuncupatur. Quamobrem nemo non eam ſuſpiciat, eiuſque cultores oppidò diligat; ob eamque causam huic etiam qualicunque opuſculo benignè annuas ſpero, adeo vt iam Te in terris Dominum, Altorem, Seruatorem, Patro­numque appellare non dubitem, quam vna cum Celſiſſima do­mo mihi, tot tibi nominibus deuincto, ſuperi vt ſeruent ſoſpi­tentque, enixè oro, ac omnibus votis exopto.

Sereniſsimæ Celſitudinis Tuæ

Humillimus, & Obſequentiſſimus Seruus

Ioannes Ceua.

GEOMETRIA

MOTVS.

DEF. I.

CVrrat mobile ab A in D ſecundùm rectam AD, & linea BHI ſit naturæ illius, vt dedu­ctis ad AD perpendicularibus AB, CH, DI ex punctis quibuſcunque A, C, D; veloci­tatum gradus, quos mobile ſortitur in ijſ­dem punctis A, C, D menſurentur ab ipſis rectis AB, CH, CI. Figuram planam BADIHB apellabi­mus geneſim motus ab A in D.

Tab. 1. Fig. 1.

DEF. II.

IIſdem manentibus, ſit etiam alia linea EFG talis natu­ræ, vt protractis rectis BA in E, HC in F, & ID in G ha­beat DG ad CF eandem reciprocè rationem, quam HC ad ID. Item ſit CF ad HE vt reciprocè BA ad HC, vo­cabimus figuram planam ADGIEA imaginem tempo­ris motus ab A in D iuxta geneſim prædictam.

Tab. 1. Fig. 2.

DEF. III.

ADhuc poſita illa geneſi, intelligatur linea PON eius naturæ, vt ſi ſit KL ad LM vt tempus lationis ab A in C ad tempus ab eodem C in D, habeat ſemper KP ad LO eandem rationem, quam AB ad CH; & LO ad NM eandem, quam HC ad ID: Figuram planam PKMNOP vocabimus imaginem iuxta geneſim BADI motus ab A in D.

Tab. 1. Fig. 3.

Corollarium.

Patet, cum motus ſunt æquabiles, geneſes, & imagines figu­ras eße parallelogrammas.

DEF. IV.

Tab. 1. Fig. 4.

SI ſint duæ geneſes, aut imagines ABCD, FEG, ita vt cum geneſes ſint, habeat AB ad FE eandem rationem, quam velocitas in A ad velocitatem in F, & cum imagines velocitatum, quarum tempora AD, FG, velocitas, quam habet mobile inſtanti A ad velocitatem alterius mobilis inſtanti F, ſit vt AB ad FE, & demum ipſis figuris vt imagi­nibus temporum conſideratis habeat velocitas in A ad velocitatem in F rationem eandem, quam AB ad FE, vo­cabuntur tum geneſes illæ, cum imagines inter ſe homo­geneæ.

DEF. V.

EAm planam Figuram, in qua ductæ quotcunque ęquidiſtantes eò deinceps decreſcunt, quò ad idem extremum propiores fiunt, acuminatam nuncupabimus.

DEF. VI. AX. I.

INter maximam, & minimam eiuſdem imaginis veloci­tatem cadit quædam media, qua tantùm velocitate, ſi conciperetur motus æquabilis, nihilominùs eodem tem­pore idem ſpatium curreretur, ac iuxta imaginem propoſi­tam: eam ergo mediam velocitatem dicimus propoſitæ imaginis æquatricem.

AX. II.

SPatium iuxta imaginem velocitatum quamcunque exactum, vel iuxta æquatricem imaginis eſt maius eo ſpatio, quod curreretur eodem tempore minima eiuſdem imaginis velocitate; ſed minus eo, quod velocitate ma­xima.

AX. III.

TEmpus, quo curritur ſpatium iuxta quamlibet tem­poris imaginem, maius eſt eo, quo idem ſpatium curreretur maxima velocitate, ſed contra minus eo altero, quo ipſum ſpatium minima velocitate exigeretur, earum videlicet, quæ ſunt in geneſi, aut imagine velocitatum pro­poſiti motus, cuius nempe illa eſt imago temporis. Fit er­go, vt tempus æquale ei, quo illud ipſum ſpatium currere­tur iuxta propoſitam imaginem, ſit inter vtrumque dicto­rum temporum maximi, & minimi.

AX. IV.

QVæcunque excogitetur figura plana, vel eſt paralle­logrammum, vel acuminata figura, aut ex his com­poſitum. Has tamen figuras inter binas volu­mus parallelas, ita vt vnum latus ſit ipſas nectens normali­ter parallelas, quanquam etiam loco parallelarum poſſint eſſe puncta, nempè vbi deſinunt in acuminatas prorſus figuras.

PROP. I. THEOR. I.

TEmpora, quibus duo motus complentur ſunt in ra­tione imaginum homogenearum ipſorum temporum.

Tab. 1. Fig. 5.

Motus ſint primò æquabiles, curratque mobile ſpatium AB tempore, cuius imago CAB, curratur item ab alio mo­bili ſpatium DE tempore, cuius imago DEF, & ſint ipſæ temporum imagines interſe homogeneæ, ſcilicet FD ad AC eandem habeat rationem, quam velocitas in A ad velocitatem in D. Dico, tempus per AB ad id per DE eſ­ſe vt figura ABC, ad DEF. Cum motus æquabiles ſint erunt figuræ dictarum imaginum rectangula, propterea il­lorum ratio componetur ex rationibus altitudinum AB ad DE, & baſium AC ad DF, ex ijſdem verò rationibus ſpa­tiorum ſcilicet, & reciproca velocitatum (ſunt enim ima­gines inter ſe homogeneæ) nectitur etiam ratio temporum, quibus percurruntur ipſa ſpatia AB, DE iuxta geneſes ima­ginum ACB, DEF, ergo eſt eadem ratio inter illa tempo­ra, ac inter imagines ſuas.

Def. 4. huius.

Cor. Def. 3. huius.

Gal. pr. S de motu æquab. Def. 4. huius.

Tab. 1. fig. 6. Def. 5. huius.

2. Sit motus vnus æquabilis, alter verò quicunque; ſit tamen imago huius temporis figura acuminata vt ALGE, & alterius temporis prædicti motus æquabilis, ſit HFM,

quæ rectangulum erit: Dico, imaginibus homogeneis exi­ſtentibus, fore inter has eandem rationem, ac homologè inter tempora decurſuum ab A in E, & ab F in M iuxtą geneſes imaginum temporum propoſitarum. Si enim non eſt ita, ſit quædam alia magnitudo Y, maior, vel minor imagine acuminata ALGE, quæ ad imaginem FHM ha­beat eandem rationem, quam tempus per AE iuxta imagi­nem ALGE ad tempus per FM iuxta imaginem alteram FHM; ſit verò magnitudinis Y differentia ab imagine ma­gnitudo Z. Secetur AE bifariam in C, pariterque ſeg­menta AC, CE bifariam in B, D, & ſic vlteriùs progredia­tur, donec, ſi compleatur rectangulum poſtremum, & ma­ximum DG, hoc minus exiſtat quam Z. Tum ductis reli­quis æquidiſtantibus CI, BK, & à punctis N, I, K, I alijs etiam æquidiſtantibus rectæ AE, efficiatur ipſi ALGE cir­cumſcripta figura, conſtans ex rectangulis æquealtis AK BI, CN, DG, & inſcripta compoſita ex rectangulis inter ſe pariter æquealtis BL, CR, DI, EN. Cum circumſcriptą figura differat ab inſcripta exceſſu, quo rectangulum DG ſuperat BL; (nam reliqua circumſcripta AK, BI, CN, re­liquis inſcriptis æqualia ſunt) ſequitur, exceſſum illum eſſe minorem magnitudine Z. Si ergo magnitudo Y ponatur maior magnitudine ALGE pro exceſſu Z, maior etiam erit circumſcripta AK, BI, CN, DG. Quòd ſi contrà Y intelli­gatur minor ipſa ALGE ex defectu Z, erit quoque eadem Y minor, quàm inſcripta figura BL, CK, DI, EN. Itaque nunc, ſi fieri poteſt, ſit Y maior magnitudine ALGE per ip­ſum exceſſum Z, & intelligantur tot motus, quot ſunt re­ctangula in circumſcripta figura, ſcilicet ſint ipſi motus ab A in B, à B in C, à C in D, & à D in E ſecundum deinceps, temporum imagines AK, BI, CN, DG rectangula, quæ ſint interſe, & propoſitis imaginibus homogeneæ, qui motus erunt proptereà æquabiles. His poſitis, tempus per FM iuxta imaginem MH ad tempus per AB iuxta ima­ginem rectangulum AK eandem habet rationem, quam re­ctangulum MH ad rectangulum AK, ſimiliter idem tem­pus per FM ſecundùm ipſam imaginem rectangulum MH ad ſingula reliqua tempora per BC, CD, DE imaginibus deinceps rectangulis BI, CN, DG habet eandem rationem, quam rectangulum MH ad ſingula eodem ordine rectan­gula BI, CN, DG. Quo circa totidem rectangula ex MH, quot ſunt illa, ex quibus conſtat circumſcripta figura, ha­bebunt ad ea ipſa circumſcripta rectangula, ſeu ad eandem circumſcriptam figuram AK, BI, CN, DG eandem ratio­nem, quam totidem tempora eiuſdem imaginis MH ad ſi­mul tempora, quorum imagines ſunt illa ipſa circumſcripta rectangula AK, BI, CN, DG. Quare etiam vnicum re­ctangulum MH ad circumſcriptam figuram AK, BI, CN, DG erit in eadem ratione, in quo vnicum tempus per FM iuxta imaginem MH ad omnia ſimul illa tempora iuxtą imagines, quæ ſunt dicta circumſcripta rectangula. Et quoniam figura imaginis eſt acuminata, habetque vi def. 2. huius, applicatas, quæ ſunt in ratione reciproca veloci­tatum, quibus nempe mobile afficitur in punctis ſpatij, à quibus deducuntur ipſæ applicatæ; hinc fit, vt earum ve­locitatum, quas mobile habet in decurſu rectæ AB, ea, quę in A maxima ſit, & quæ in B minima. Eodem modo iuxta reliquas imagines BKIC, CIND, DNGE, quæ itidem acu­minatæ ſunt, velocitates in fine decurſuum C, D, E (ſunt enim omnes versùs A acuminatæ) minimæ erunt, & ma­ximæ initio dictorum ſpatiorum. Ideo tempora, quę im­penduntur iuxta illas imagines, ſeu ipſam imaginem ALGE, cuius illæ ſunt omnes partes, minora erunt temporibus, quæ decurrerent, ſi illi decurſus forent æquabiles ex mini­mis illis velocitatibus exacti, vel quod in idem recidit, ſi illi decurſus eſſent iuxta imagines rectangulorum circum­ſcriptorum AK, BI, CN, DG; itaque rectangulum MH ad figuram circumſcriptam AK, BI, CN, DG habebit mino­rem rationem, quàm tempus per FM imagine MH ad tem­pus per AE imagine ALGE, ſeu quàm rectangulum MH habet ex hypotheſi ad magnitudinem Y; igitur circumſcri­pta figura, quæ priùs minor oſtenſa fuit magnitudine Y; nunc maior concluditur; quod cum ſit abſurdum, ſequi­tur falsò nos poſuiſſe magnitudinem Y maiorem; quàm̨ ALGE. At ſi Y minor ponatur, quam magnitudo ALGE de­fectu Z; inſcripta, vt ſupra, figura conſtante ex rectangulis æquè altis BL, CK, DI, EN, vt ſcilicet differentia ab ima­gine ſit minor magnitudine Z, liquebit, magnitudinem Y minorem eſſe inſcripta figura BL, CK, DI, EN; deindę procedendo vt ſupra, inueniemus rectangulum MH ad in­ſcriptam figuram BL, CK, DI, EN in eadem ratione, iņ quo tempus per FM imagine MH ad omnia ſimul decur­ſuum tempora per AB, BC, CD, DE iuxta imagines re­ctangula inſcripta BL, CH, DI, EN; Hæc verò temporą minora ſunt temporibus iuxta imagines ALKB, BKIC, CIND, INGE (nam velocitates initio decurſuum per dictas rectas diximus eſſe maximas, & quibus conſideran­tur illi motus æquabiles ſecundùm imagines ipſa illa re­ctangula inſcripta) ergo rectangulum MH ad inſcriptam̨ figuram BL, CK, DI, EN habebit maiorem rationem, quam tempus per FM iuxta imaginem MH ad tempora ſimul imaginibus ALKB, BKIC, CIND, DNGE, ſiue ad tempus iuxta imaginem ALGE ex illis compoſitam. Ideoque re­ctangulum MH ad ipſam inſcriptam figuram habebit ma­iorem rationem, quàm ad magnitudinem Y, idcirco Y, quæ minor oſtenſa fuit inſcriptà figura BL, CK, DI, EN, nunc hac alia via maiorem inuenimus; ergo cum rurſus hoc ſit abſurdum, neceſſe eſt magnitudinem Y neque minorem̨ eſſe magnitudine ALGE, propterea æquales inter ſe erunt, atque adeo tempus per FM imagine MN ad tempus per AE imagine ALGE habebit eandem rationem, quam ima­go MH ad imaginem ALGE. Quod &c.

Cor. Def. 3. huius.

Cor. Def. 3. huius.

Ex pramißą parte.

Euang. Tor­ric. lem. 18. in libro de dim. parabolæ.

Ax. 3. huius.

3. Imagines propoſitæ ſint duæ acuminatæ. Dico ni­hilominus, tempora iuxta illas imagines per AE, HI eſſe vt ipſæ imagines ALGE ad HIK, quæ ſint inter ſe homoge­neæ vt ſemper ſupponetur. Nam ſi intelligatur alius mo­tus per MF iuxta imaginem rectangulum MFN, qui æqua­bilis erit, manifeſtum eſt ex ſecundo caſu, tempus per AE iuxta imaginem ALGE ad tempus per FM iuxta imaginem rectangulum MH, habere eandem rationem, quam imago ALGE ad imaginem rectangulum MH; & ſimiliter tem­pus per FM imagine rectangulum MN ad tempus per HI iuxta imaginem HKI habet eandem rationem, quam ima­go NM ad imaginem HKI, ergo ex æquali tempus per AE ad tempus per HI ſecundùm imagines propoſitas erit vt imago ipſa ALGE ad imaginem HKI. Quod &c.

Tab. 1. Fig. 7.

Cor. Def. 3 huius.

4. Demum imagines ſint quæcunque, modò ſint ho­mogeneæ, ADFB, GHKL: Dico rurſus inter ſe eſſe vt tem-pora per AB, AK iuxta ipſa imagines. Vel enim hæ ima­gines ſunt ſimplices, hoc eſt tantùm parallelogrammę, aut tantùm acuminatæ, & tunc ſupra oſtendimus propoſitum, quemadmodum etiam ſi vna acuminata, altera parallelo­gramma; vel non ſunt huiuſmodi & componentur ex illis. Sint ergo in imagine ADFB partes ab æquidiſtantibus di­ſtinctæ ADEN, OFB acuminatæ & NEFO paralellogram-mum, erunt hæ procul dubio inter ſe, totique imagini ho­mogeneæ; ſint pariter in alia imagine partes GHCM, MCKL, per æquidiſtantem MC diſtinctæ inter ſe acumi­natæ, quæ itidem inter ſe, & imagini, cuius ſunt partes, ho­mogeneæ erunt. His acceptis, quoniam tempus per AN iuxta imaginem ADEN acuminatam ad tempus per HC iuxta aliam imaginem item acuminatam HGMC, habet eandem rationem, ac imago ADEN ad imaginem GHCM. ſimiliter tempus per HC iuxta imaginem GHCM ad tem­pus per CK iuxta imaginem acuminatam MCKL eſt vt illa ad hanc imaginem; componendo, inde per conuerſio­nem rationis, & conuertendo, tempus per HC ſecundùm imaginem GHCM ad tempora ſimul per HC, CK, quorum imagines GHCM, MCKL, hoc eſt ad tempus per HK iux­ta imaginem GHKL habebit eandem rationem, quam ima­go GHCM ad imaginem GHCL; & ideo ex æquali tem­pus per AN, cuius imago ADEN, ad tempus per HK, iux­ta imaginem GHKL, erit in eadem ratione, in qua eſt ima­go ADEN ad imaginem GHKL. Præterea tempus per AN iuxta imaginem ADEN ad idem ipſum tempus habet eandem rationem, quam imago ADEN ad eandem ipſam; tempus per NO iuxta imaginem rectangulum NEPO ad tempus prædictum per AN eſt in eadem ratione imaginum NEPO ad ADEN, & ſimiliter tempus per OB iuxta ima­ginem OPFB habet ad tempus per AN eandem rationem, ac imago OPFB ad imaginem ſæpè dictam ADEN; itaque ex lem. 18. Toric. in lib. de dim: parabolæ, erunt tria tempora per AN, NO, OB iuxta imagines deinceps ADEN, NEPO, OPFB, hoc eſt erit tempus per AB iuxta imaginem ADFB ad ſimul tria tempora per AN iuxta eandem imaginem ADEN, vt imago ADFB ad triplum imaginis ADEN, & cum tria æqualia tempora per AN ad vnicum ex illis ſit vt triplum imaginis ADEN ad vnicam imaginem; ſequi­tur ex æquali tempus per AB ad tempus per AN iuxtą imaginem ADEN habere eandem rationem, quam imago ADFB ad imaginem ADEN: & oſtenſum fuit tempus per AN iuxta imaginem ADEN ad tempus per HK iuxta imaginem GHKL habere eandem rationem, quam imago ADEN ad imaginem GHKL, ergo rurſus, & tandem ex æquali, tempus per AB iuxta imaginem ADFB ad tempus per HK iuxta imaginem GHKL habebit eandem rationem, quam imago ADFB ad imaginem GHKL. Quod &c.

Tab. 1 Fig. 9

Ax. 4. huius.

Def. 4. huius.

Def: 4. huius.

Ex tertia parte huius.

Ex 2. partę huius.

Corollarium.

Hinc colligitur, ſi prima magnitudo ad ſecundam fuerit vt tertia ad quartam, item alia prima ad aliam ſecundam vt alia tertia ad aliam quartam, & ſic vlteriùs quoad viſum̨ fuerit, ſint præterea omnes primæ, item omnes tertiæ interſe æquales, conſtat, inquam, primarum vnam ad omnes ſecun­das habere eandem rationem, ac vna tertiarum ad omnes quartas.

PROP. II. THEOR. II.

Spatia, quæ curruntur iuxta quaſcunque homogeneas velocitatum imagines, ſunt interſe, vt eædem illæ ima­gines. Sint primùm motus æquabiles, curraturque ſpa­tium AB iuxta imaginem velocitatum, quæ rectangulum erit ILMK, ſpatium verò DE tranſigatur iuxta imaginem̨ prædictæ homogeneam rectangulum FHNG (nam erunt homogeneæ ipſæ imagines, ſi vt ex Def. 4. huius IL ad HF erit vt velocitas inſtanti I ad velocitatem mobilis inſtanti F) Dico ſpatium AB ad DE eſſe vt imago rectangulum̨ ILMK ad imaginem rectangulum FHNG. Componuntur ipſa illa rectangula ex ratione altitudinum IK ad FG, & ex ea baſium IL ad FH; verùm ex ijſdem, ea nempe temporum IK ad FG, atque ea velocitatum IL ad FH componitur etiam ratio ſpatiorum AB ad DE, ergo ipſa ſpatia erunt vt propoſitę imagines.

Tab. 1. Fig. 9. Cor. Dif. 3. huius.

Gil. de motu æquabili.

Tab. 1. fig 10.

2. Sint nunc motus iuxta imagines, quarum altera acu­minata, altera rectangulum ſit. Dico rurſus ſpatium AB, quod curritur iuxta imaginem ABCD ad ſpatium DE, quod curritur iuxta alteram imaginem, eſſe vt imago ABCD ad imaginem PHNG. Niſi ita ſit, erit alia magni­tudo Y maior, vel minor imagine ABCD, quæ quidem ad alteram imaginem HPGN habebit eandem rationem, quam ſpatium AB ad DE. Sit primùm maior exceſſu Z. Cir­cumſcribatur; vt egimus in ſecunda parte primæ huius, fi­gura imagini ABCD conſtans ex rectangulis æquè altis, excedatque imaginem ABCD exceſſu minori, quam Z; ſit ergo circumſcripta illa AE, HF, IG, KG, quam primò fa­cilè oſtendemus minorem magnitudine Y; nam hæc exceſ­ſu magis diſtat ab imagine, quàm circumſcripta illa. Præ­terea ſi intelligantur tot motus æquabiles, quot ſunt rectan­gula circumſcripta, ij nempe, qui fierent temporibus AH, HI, IK, KD iuxta deinceps imagines ipſa rectangula AE, HF, IG, KC interſe, & propoſitis imaginibus homogeneas, velocitates, quibus ijdem motus conſiderarentur, forent HE, IF, KG, DC, nimirum maximæ imaginum ABEH, HEFI, IFGK, KGCD; Cumque ita ſit, longiora ſpatia cur­

rerentur iuxta imagines rectangula circumſcripta, quam ijſdem temporibus, imaginibuſque poſtremis, hoc eſt quam tempore AD iuxta imaginem ABCD; obidque ſpatium AB ad DE, ſeu magnitudo Y ad imaginem HPGN habe-bit minorem rationem, quàm omnes illæ ſimul imagines, ſeu quam circumſcripta figura AE, HF, IG, KC ad ean­dem imaginem HPGN; quare Y, quæ priùs oſtenſa fuit maior, nunc reperitur minor eadem circumſcripta, quod cum fieri nequeat, impoſſibile etiam eſt magnitudinem Y maiorem eſſe magnitudine imaginis ABCD. Sit ergo mi­nor, ſi etiam fieri poteſt, & defectus ipſius Y ſupra ABCD ſit Z. Inſcribatur imagini figura ex rectangulis æquealtis, vt nempe deficiat ab imagine defectu minori Z; ſic enim ipſa inſcripta, quæ ſit AB, IE, KF, DG erit magnitudine pro­pinquior imagini ABCD, quàm Y, ideoque Y minor erit dicta inſcripta figura. Deinde, quoniam, ſi ponantur mo­tus æquabiles, quorum imagines rect angula inſcripta HB, IE, KF, DG, quæque inter ſe, & propoſitis imaginibus ſint homogeneæ; velocitates, quibus efficerentur dicti motus, eſſent AB, IE, KF, DG, minimæ ſcilicet imaginum ABEH HEFI, IFGK. KGCD, & ideo ſpatia, quæ percurrerentur temporibus HA, HI, IK, KD imaginibus illis, maiora eſ­ſent, quàm quæ ijſdem temporibus tranſigerentur iuxtą imagines prædictas rectangula circumſcripta, hinc fit vt ſpatium AB ad DE, ſeu magnitudo Y ad imagine HPGN habeat maiorem rationem, quàm inſcripta figura ad ean­dem imaginem HPGN; quare Y, quæ minor erat inſcripta figura, modò reſultat maior, non ergo Y minor eſſe poteſt imagine ABCD, ſed neque maior vt oſtendimus, ergo ſpa­tium AB ad DE erit, vt imago ABCD ad imaginem PHNG. Quod &c.

Ax. 2. huius.

Cor. pr. 1. hu­ius.

Ex. 2 huius.

3. & 4. Si verò imagines acuminatæ ſint, aut demum quæ cumque, eodem prorsùs modo, quo prima propoſitio­ne, oſtendemus hoc etiam propoſitum, ergo patet omne intentum.

Scholium.

Cum prorsùs geometricè oſtenderimus ſuperiores duas pro­poſitiones, vtiliſſimum eſt obſeruare, quomodo liceat vti tem­poris inſtantibus, non vt punctis prorsùs geometricis, ſed vt quantitatibus dicam minoribus quibuſcunque datis. Hinc oritur indiuiſibilium methodus, quæ intelligentiam affert faciliorem, ac ſi rigori geometrico penitus inſiſteremus, quam­quam eæ tamen difficiliores Geometras mihi magis decerę videantur.

PROP. III. THEOR. III.

Tab. 2, Fig. 1.

SPatia, quæ curruntur iuxta quaslibet homogeneas ve­locitatum imagines, nectuntur ex rationibus tempo­rum, ac æquatricum.

Velocitates æquatrices duorum motuum, quorum ima­gines velocitatum ſint ABCD, EFHI ponantur AG, EL. Dico ſpatia, ſeu ipſas imagines componi ex ratione tem­porum AD ad EI; & ex ea æquatricum AE ad EL. Nam ſi motus, qui eſt iuxta imaginem ABCD perſeueret velo­citate AG, eſſet quidem æquabilis, idemque ſpatium illa

velocitate, & tempore AD percurreretur, ac ſecundùm̨ imaginem ABCD; Itaque exiſtente rectangulo DE, quod eſset imago velocitatum illius motus æquabilis, foret idem æquale imagini ABCD (nam imagines ABCD, & DG homogeneæ ſunt) eodem modo imago rectangulum VL æquale eſset imagini EFHI. Cum ergo duæ imagines re­ctangula DE, IL componantur ex rationibus temporum AD ad EI, & ex ea æquatricum AG ad EL; ex ijſdem̨ prorsùs rationibus etiam imagines propoſitæ prædictis re­ctangulis æquales nectentur. Et ideo ſpatia, quæ propo­ſitis imaginibus tranſiguntur, quæque ipſis proportionalia ſunt, componentur ex rationibus temporum, & ex rationi­bus æquatricum.

Def. 6. Ax. 1.

Cor. 3. Def. 3. huius.

Pr. 2. huius.

Corollarium I.

Hinc patet ſi lineæ, quæ in imagine velocitatum tempus exhibet, aplicetur rectangulum æquale propoſitæ imagini ve­locitatum, fore vt latitudo eiuſdem rectanguli, ſit velocitas æquatrix propoſitæ imaginis.

Corollarium II.

Item constat, vbi tempora, vel æquatrices velocitates fue­rint æquales, rationem ſpatiorum eſſe eandem, quæ æquatri­cum, vel quæ temporum.

LEMMA.

Si quælibet ratio compoſita ſit ex quotcumque rationibus, harum quælibet nectetur ex propoſita, & ex reliquis contra­riò ſumptis rationibus. Sit A ad B compoſita ex rationibus E æd F; G ad H; & I ad K. Dico quamlibet ist arum puta G ad K conſtare ex rationibus A ad B, & ex reliquis reciprocè ſum­ptis F ad E, & I ad K. Vt E ad F, ita ſit A ad C, & vt D ad B ſic I ad K; erit C ad D, vt G ad H; ideoque C ad D, hoc eſt G adH nectetur ex C ad A, ſeu F ad G, & ex rationibus A ad B, B ad D, ſiue K ad I. Quod &c.

A E C F I. K D G B H

PROP. IV. THEOR. IV.

TEmpora, quibus abſoluuntur duo motus componun­tur ex ratione ſpatiorum, & ex reciproca æquatri­cum. Cum enim ſpatia componantur ex ratione temporum, & ex ea velocitatum æquatricum, ſequitur per prædictum Lemma, quòd tempora nectantur ex rationibus ſpatiorum, & reciproca æquatricum.

Pr. 3. huius.

Corollarium.

Manifeſtum eſt ſpatia, vel æquatrices velocitates, ſi ſint æquales, eſſe tempora in reliqua ratione reciproca æquatri­cum, vel ſpatiorum non reciproca.

PROP. V. THEOR. V.

ÆQuatrices velocitates componuntur ex rationibus ſpatiorum, & reciproca temporum.

Cum ſpatia componantur ex rationibus temporum, & velocitatum æquatricum, manifeſtum eſt ex eodem Lem­mate, velocitates ipſas necti ex rationibus ſpatiorum, & reciproca temporum.

Corollarium.

Deducitur, æquatrices velocitates eſſe vt tempora reciprocè ſumpta, vel vt ſpatia, ſi altera ratio fuerit æqualitatis.

D. E F. VII.

Tab. 2. Fig. 2.

SI in geneſibus homogeneis AEC, GFK exiſtente AB ad BC ſicut GI ad IK, habeat AE ad BD eandem ra-tionem, ac GF ad IH, motus, qui fiunt iuxta illas geneſes, vocentur inter ſe ſimiles, & ipſæ geneſes dicentur ſimilium motuum; quod verò attinet ad rectas AE, BD, GF, IH apel­labimus applicatas ad homologa puncta A, B, G, I propor­tionales.

PROP. VI. THEOR. VI.

SI in imaginibus temporum homogeneis, applicatæ v­nius fuerint ad homologa puncta, proportionales ap­plicatis alterius imaginis, motus, quorum ſunt ipſæ imagi­nes, ſimiles erunt.

Imagines temporum ſint &MLABC, &ONGIK, quæ

ſint homogeneæ, & cum GI ad IK ſit vt AB ad BC, habeat quoque AL ad BM eandem rationem, ac GN ad IO. Di­co, motus, quorum ſunt illæ imagines temporum inter ſe ſi­miles eſſe.

Tab. 2. fig. 3.

Sint apud ipſas imagines eorundem motuum geneſes, ſcilicet EAC, FGK interſe homogeneæ. Exiſtente AL ad BM, vt GN ad IO, erit conuertendo BM ad AL vt IO ad GN; ſed vt BM ad AL ita ob geneſim EA ad DB, & vt IO ad GN, ſic FG ad HI. ergo EA ad DB eſt vt FG ad HI, erat autem vt AB ad BC ita etiam GI ad IK, ergo motus ſunt ſimiles, & ipſæ imagines ſimilium motuum.

Def. 2. huius.

Def. 7. huius.

PROP. VII. THEOR. VII.

SI in imaginibus velocitatum vnius, applicate fuerint ex punctis homologè ſumptis proportionales applicatis alterius imaginis, motus iuxta ipſas imagines erunt ſimi­les, ideoque ipſæ imagines ſimilium motuum.

Tab. 2. fig. 4.

Velocitatum imagines ſint ABCD, NPRT, ſitque AB ad EF in eadem ratione, in qua NP ad TR; Dico exiſtenti­bus etiam BF ad FC, vt PQ ad QR eſſe propoſitas imagi­nes ſimilium motuum. Intelligantur eorundem motuum geneſes GHKL, YZ 43. & ſit pariter HI ad IK, vt ſegmen­tum ABFE ad EFCD. Sit ſimiliter Z ad 4 vt ſeg­mentum NPQV ad VQRT, ductiſque applicatis IM, QV, manifeſtum eſt, vt velocitas AB æqualis eſt velocitati GH, ſic EF æqualem fore ipſi IM; nam quia ſpatium tranſactum iuxta imaginem ABFE ad ſpatium tranſactum imagine EFCD eſt vt illa ad hanc imaginem, nempe vt HI ad IK, erit mobile inſtanti F in puncto I, & ideo inibi erit veloci­tas eadem, quam habet mobile inſtanti F, ſcilicet æquales erunt EF, IM. Eodem modo erunt æquales QV, 2, & ſunt etiam æquales NP, YZ, ergo ſicut ſe habet AB ad EF, ita erit GH ad MI, & vt eſt NP ad Vque ita erit YZ ad 2 Præterea concipiatur figura OPRSXO ſimilis ipſi ABCD, ſcilicet ſit CB ad PR vt AB ad OP, vel (cum ſint BF ad FC ita PQ ad QR, vt EF ad homologam XQ, erit ſeg­mentum ABFE ad ſibi ſimile ſegmentum OPQX in dupli­cata ratione laterum homologorum EF ad XQ, & item in eadem duplicata ratione erunt interſe ſimilia ſegmenta EFCD ad XQRS, ſed cum etiam OPQX ſegmentum ad NPQV, & XQRS ad ſegmentum VQRT ſint in eadem ratione eiuſdem QX ad QV, erit ex æquali ſegmentum ABFE ad ſegmentum NPQV, vt ſegmentum EFCD ad VQRT, & permutando, ſegmentum ABFE ad ſegmentum EFCD ha­bebit eandem rationem, ac ſegmentum NPQV ad VQRT ſcilicet erit HI ad IK vt Z ad 4, ob idque conſtat ge­neſium applicatas vnius proportionales eſſe applicatis al­terius, quare ſimiles motus erunt, qui fiunt iuxta imagines velocitatum propoſitas.

Pr. 2. huius.

PROP. VIII. THEOR. VIII.

SPatia, quæ curruntur ſimilibus motibus ſunt in ratione compoſita temporum, & homologarum velocitatum, inter quas ſunt extremæ, aut primæ.

Imagines velocitatum ſimilium motuum ſint BCDE, GMKI, & iuxta eas percurrantur ſpatia A, F. Dico iſta com­poni ex rationibus temporum BE ad GI, & ex ea veloci­tatem extremarum ED ad IK. Fiat vt BE ad GI, ita BC ad GH, intelligatur que GHLI figura ſimilis ipſi BDE. Quo­niam ſpatium A ad F, hoc eſt imago BCDE ad imaginem GMKI componitur ex ratione imaginis BCDE ad figu­ram ſibi ſimilem GHLI, & ex ratione huius ad imaginem GMKI: prior ratio eſt duplicata homologorum laterum̨ BE ad GI, ſeu eſt compoſita ex BE ad GI, & ex huic ſimi­li ratione ED ad IL, & ratio altera, imaginis ſcilicet GHLI ad imaginem GMKI eſt, vt LI ad IK; ergo ex æquali ima­go BCDE ad imaginem GMKI, hoc eſt ſpatium A ad ſpa­tium F, componetur ex ratione temporum BE ad GI, & ex rationibus ED ad LI, & IL ad IK, ſcilicet nectetur ex ra­tione BE ad GI, & ED ad IK, quæ poſtrema cum ſit ratio velocitatum extremarum ED ad IK; conſtat, quod propo­ſuimus, ſpatia ſimilium motuum componi ex ratione tem­porum, & ex ratione homologarum velocitatum, hoc eſt extremarum.

Tab. 2. Fig. 5

Pr. 2. huiu.

Corollarium.

Si tempora fuerint æqualia, ſimilium motuum ſpatia erunt vt extremæ, vel ſummæ velocitates, & contra, ſi iſtæ æquales ſint, erunt ſpatia vt tempora.

Corollarium II.

Cum ſpatia ſimilium motuum nectantur ex ratione tem­porum & ex ea velocitatum ſummarum, ſeu earum, quæ sunt ad inſtantia ſimiliter ſumpta in rectis BE, GI, constat ex lem: infra cor. 2. pr. 3. huius tempora componi ex rationi­bus ſpatiorum ſimilium motuum, & ex recìproca dictarum velocitatum. Ex eadem ratione patet eſſe velocitates ſum­mas, vel homologas vti diximus in ratione compoſita dicto­rum ſpatiorum, & ipſorum temporum.

Corollarium III.

Quare ſi alteræ de duabus componentibus æqualis fuerit, reliqua tantùm computanda erit.

Scholium.

Hinc emergit omnis ferè doctrina grauium cum deſcendunt prorſus libera, aut ſuper planis inclinatis ad horizontem̨: nec accidit veritates iam patefactas huc rurſus lectoris taedio afferre, ſed libeat potius, rationem metiendarum imaginum, quamuis longitudine immenſarum, noſtra methodo exponere.

DEF. VIII.

Tab. 2. Fig. 6.

SInt inter binas parallelas AB, GH, et IK, PQ planæ fi­guræ ABHG, IKQP, & in altera earum ducta altitudi­ne RV, ſint inter ſe ipſæ figuræ talis naturæ, vt cum ſit GABH ad ſegmentum EABF factum per æquidiſtantem ipſi GH ſicut VR ad RT, verificetur ſemper (ducta æqui­diſtanti NTO ipſi PQ) eſſe GH ad EF vt reciprocè NO ad PQ tunc huiuſmodi figuras vocabimus inter ſe auuerſas.

Corollarium.

Sequitur ex vi nunc allatæ deffin., lineam IK tunc eſſe in­finitam, cum AB fuerit punctum, & ideo ſimul conſtat figu­ram IPQK immenſam eſſe longitudine versùs K aut I, aut vtrinque, ſi nempe producerentur nunquam coituræ lineæ QP, IK.

PROP. IX. THEOR. IX.

REctangulum ſub altitudine, & baſi vnius auuerſarum ad ipſam auuerſam figuram, eandem habet rationem, ac altera auuerſa figura ad rectangulum ex baſi in altitudi­nem eiuſdem huius figuræ.

Tab. . fig. 7.

Sint auuerſæ figuræ ACB, GFDEG. Dico rectangu­lum DF in DE ad figuram GFDEG, eandem habere ratio­nem ac figura ACBA ad rectangulum AB in BC. Sint pri­mùm ABC, FDE anguli recti, & ducta qualibet HI paral­lela BC, ſit BAC ad HIA vt DF ad KF, erit ob naturam auuerſarum KL ad DE vt BC ad HI; itaque ſi ponatur eſſe quidam motus ab F in D iuxta imaginem velocitatum BAC, erit GFDEG imago temporis eiuſdem motus; nam imago BAC ad imaginem HIA eſt vt ſpatium DF ad ſpatium FK & velocitas BC ad velocitatem HI vt reciprocè KL ad DE. Sit etiam alius motus, ſed æquabilis, cuius imago velocita­tum æqualis ſit, & homogenea ipſi BAC, rectangulum nen­pe AB in BM, & ideo ſi fiat BM ad BC ſicut DE ad DN, concipiaturque rectangulum FD in DN, erit hoc imago temporis dicti motus æquabilis, homogenea, & æqualis imagini GFDEG; nam tempora, ſcilicet imagines GFDEG, FD in DN rectangulum componuntur ex rationibus ſpa­tiorum, hoc eſt imaginum velocitatum interſe æqualium, ABM, ACB, & reciproca æquatricum pariter æqualium BM, BM. Cum igitur rectangulum FD in DN æquale ſit imagini, ſeu figuræ GFDEG, habebit eadem figurą GFDEG ad rectangulum FD in DE eandem rationem, quam DN ad DE, hoc eſt quam BC ad BM, ſeu quam re­ctangulum AB in BC ad rectangulum AB in BM, aut ad ei æqualem figuram ABC; & conuertendo, manifeſtum eſt quod propoſuimus, nempe rectangulum FD in DE ad fi­guram GFDEG habere eandem rationem, ac figura ACBA ad rectangulum AB in BC. quod erat demonſtrandum primo loco.

Def. 8. huius.

Def: 2. huius.

pr. 2. huius.

Def. 2. huius.

pr. 1. huius.

pr. 4. huius.

Cor. pr. 3. hu­ius.

2. Si verò propoſitæ figuræ ſint quæcunque auuerſæ DAE, QPLMQ poterunt hæ reuocari ad quaſdam alias FKG, RSZX, quæ ſint inter eaſdem parallelas, queis com­prehenduntur propoſitæ figuræ, ad eo vt exiſtentibus re­ctis angulis KFG, RXZ ſint ipſæ binæ figuræ ab ijſdem pa­rallelis interceptæ. inter ſe æqualiter analogæ hoc eſt du­ctis æquidiſtantibus, vt viſum fuerit IHBC, VTNO, ſint ſemper interiectæ lineæ IH, BC, & VT, NO æquales: hoc modo non tantùm liquet figuras FKG, DAE, nec noņ RSZX, PQML æquales inter ſe eſſe, verùm etiam FKG ad IKH eſſe in eadem ratione, in qua QPLMQ ad QPNOQ, quamobrem ex prima parte, rectangulum ZX in RM ad figuram SRXZS, hoc eſt rectangulum LM in altitudinem figuræ QPLMQ ad hanc ipſam figuram habebit eandem rationem, quam figura FKG ad rectangulum KF in FG, vel quam figura DAE ad rectangulum DE in altitudinem eiuſdem huius figuræ DAE; quo circa conſtat omne pro­poſitum.

Tab. 2. Fig. 8.

Corollarium.

Patet in prima parte repertum eſſe rectangulum FD iņDN æquale figuræ GFDEG, licèt hæc immenſe longitudinis ſit versùs G, & ob id manifeſtum eſt, quòd quamuis aliquą figura ſit ſinè fiue longa, non ideo ſemper magnitudinem ha­bet infinitam. Et ſimul illud conſtat, vbi vna auuerſarum, ſeu vbi imago velocitatum, aut temporis ſit magnitudine termi­nata, etiam altera auuerſarum, vel imaginum erit huiuſ­modi &c.

Cor. pr. 18. huius.

PROP. X. THEOR. X.

IN quouis parallelogrammo BD ſint deinceps diagona­les AGC, AHC, AIC, ALC, aliæque numerò infinitæ, ita vt acta quælibet recta EF parallela BA ſecans ipſas dia­gonales in punctis G, L, H, I, ſit ſemper DA ad AF, vt CD, aut EF ad FG; quadratum ex DA ad quadratum AF vt EF ad FH; cubus ex DA ad cubum ex AF vt EF ad FI; quadroquadratum ex DA ad quadroquadratum ex AF vt EF ad FL; & ſic continuò procedendo per infinitas ex ordine poteſtates: Stephanus de Angelis Author ſubtilis, ac celeberrimus, libro ſuo infin. parabolarum vocat trian­gulum rectilineum ABC parabolam primam, BAHC ſe­cundam; tertiam BAIC, quartam BALC, & ita in infini­tum: His definitis docet ex Cauallerio parallelogrammum BD ad quancunque dictarum parabolarum ſibi inſcripta­rum eſſe vt numerus, vel exponens parabolæ vnitate au­ctus ad ipſum exponentem, ſiue numerum parabolę, qua­re ad primam habebit ipſum parallelogrammum eandem rationem, ac 2 ad 1; ad ſecundam vt 3 ad 2; ad tertiam vt 4 ad 3, & ita deinceps de reliquis; itaque per conuerſio­nem rationis habebit ipſum parallelogrammum ad exceſ­ſum illius ſupra quancunque parabolarum dictarum, ſcili­cet ad trilineum primum AGCD eandem rationem, quam 2 ad 1, ad ſecundum quam 3 ad 1, & ſic deinceps quam numerus trilinei vnitate auctus ad ipſam vnitatem. Sed eſt etiam admonendum verticem dictarum parabolarum eſſe punctum A, & per conſequens AB diametrum, & BC ordinatim aplicatam, ſeu baſim.

Tab. 2. Fig. 9.

PROP. XI. THEOR. XI.

IIſdem adhuc manentibus, idem de Angelis monſtrat eo­dem illo tractatu pr. 3. ſi quæcunque ex dictis parabo­lis ſecta ſit qualibet recta parallela baſi BC, eſſe parabolam ad reſectam portionem verſus verticem, vt poteſtas baſis, cuius exponens eſt numerus parabolæ vnitate auctus ad ſimilem poteſtatem ex baſi reſectæ portionis; itaque iņ prima parabola eſt vt quadratum ad quadratum, in ſecun­da vt cubus ad cubum, & ſic de cæteris. Similiter ſi ſece­tur quodlibet ex infinitis trilineis linea GF baſi CD paral­lela, erit trilineum ad ſuperius ſui ſegmentum vt poteſtas ex DA, cuius exponens eſt numerus trilinei vnitate auctus ad ſimilem poteſtatem ex AF. quare trilineum primum̨ CAD ad GAF erit vt quadratum ex DA ad quadratum ex FA, ſecundum CHAD ad ſegmentum HAF vt cubus ad cubum, & ita in cæteris eodem ordine.

PROP. XII. THEOR. XII.

Tab. 3. fig. 1.

SIt modò ACD angulus rectus, & linea FE talis naturæ, vt deductis ad libitum rectis AF, BE parallelis ipſi CD, poteſtas ex CA ad ſimilem poteſtatem ex CB ſit reci­procè vt alia quædam poteſtas ex BE ad ſimilem huic po­teſtatem ex AF; patet rectas CA, CD nondum iungi cum EF, quamuis in immenſum vnà producerentur. Ab hoc proprietate VValliſius & Fermatius ſubtiliſſimi authores vocauerunt curuam FE nouam hyperbolam, & eius aſ­ſymptotos AC, CD. Omnes huiuſmodi hyperbolæ, quæ infinitæ numero ſunt, terminantur ad vnam partem ma­gnitudine, cum hyperbola communis, ſeu Apolloniaca ſit in vtranque partem magnitudine infinita. Quod ergo exi­mium eſt, oſtenderunt ipſi authores rectangulum FA iņ AC ad ſpatium hyperbolicum quà finitum eſt, licèt ſinè fine longum, eandem habere rationem, quam differentia exponentium poteſtatum hyperbolæ ad exponentem po­teſtatis minoris. Quare ſi in hyperbola ſit vt cubus CB ad cubum CA ita quadratum AF ad quadratum BE, erit prædictum rectangulum CA in AF dimidium Spatij ſinè fine producti A & FA; at ſi quadratum CB ad quadratum CA ſit vt recta AF ad rectam BE, rectangulum ipſum CA in AF æquale erit ſpatio A & FA, quòd ſi poteſtas CA vel CB non fuerit altior poteſtate ex BE, vel AF, tunc ipſum illud ſpatium, infinitum quoque erit magnitudine, etenim nullus exceſſus exponentis prædictæ poteſtatis ex CA ſu­pra exponentem poteſtatis BE, habet ad numerum expo­nentis poteſtatis BE rationem infinitam.

DEMONSTRATIO.

SVpradictum propoſitum habetur in commercio epi­ſtolico Ioannis Valliſij Epiſtola quarta, quem libellum vnà cum alijs doctiſſimis ſuis operibus Vincentius Viuia­nus ingens æui noſtri Geometra, antequam ſumma cum̨ humanitate miſiſſet, eidem ipſi quadraturam vnius ex di­ctis hyperbolis ex noſtris principijs deductam, ac excogi­tatam, indicauimus. Cum verò poſtea nobis eueniſſet vniuerſaliorem ad alias hyperbolas (ſemper communi ex­cepta) accomodatam reperijſſe, huc debemus afferre, pri­mùm vt quendam fructum ſcientiæ huius; deinde cum di­ctorum authorum ipſam propoſitionis demonſtrationem non habuerimus, & demum quia ipſarum hyperbolarum menſura, ac quadratura in aquarum rationibus erunt po­tiſſimum ex vſu. Sit igitur BC vna ex infinitis hyperbolis, quarum aſſymptoti AE, EL; Sint etiam quæcunque apli­catæ AB, DC aſsymptoto EL æquidiſtantes, & habeat DE ad EA eandem rationem v. g. quam cubus ex AB ad cubum DC. Patet ſi proponeretur illi auuerſa figurą FGK, eſſetque AE ad DE vt figura GFK ad figuram IHK eſſe etiam FG ad IH vt DC ad AB, eſt autem cubus ex DC ad cubum ex AB vt AE ad ED; ergo etiam figurą FGK ad IHK (ſunt enim FG, IH parallelę) habebit ean­dem rationem, ac cubus ex FG ad cubum ex IH: Itaquę GFK erit comunis parabola, hoc eſt quadratica, ſeu ſecun­da in ſerie infinitarum parabolarum, & ob id eadem GFK parabola ad rectangulum GF in FK erit vt 2 ad 3, in qua ratione ſe habebit quoque rectangulum BA in AE ad ſpa­tium infinitè longum & BM, et erit vt 2 ad 1; ſcilicet vt ex­ceſſus exponentis maioris poteſtatis, quæ cubica eſt, ſuper numerum exponentis, qui hoc caſu eſt tantùm vnitas ra­dicis, eſt ad hunc ipſum exponentem, ſeu vnitatem lineæ indicantem, quod concordat cum propoſita dictorum̨ authorum.

Tab. 3. Fig. 3.

Tab. 3. fig 2.

Def. 8. huius.

Pr. 10. huius.

Pr. 9. huius.

Exemplum aliud.

In eadem fi­guræ.

SIt etiam cubus ex DE ad cubum ex AE, ſicut quadra­to quadratum AB ad quadroquadratum DC, & rur­ſus propoſita GKF auerſa huius hyperbolæ: patet ſi ſit AE ad DE vt figura GFK ad figuram IKH, eſſe etiam FG ad

IH vt DC ad AB; cumque ſit cubus ex AE ad cubum ex DE ſicut quadroquadratum ex DC ad quadroquadratum ex AB, erit etiam quadroquadratum ex FG ad quadro­quadratum ex IH, vt cubus ex AE ad cubum ex DE; ſi igitur intelligatur quædam ratio, quæ ſit ſubduodecupla tam rationis quadroquadratorum quàm huic ſimilis cu­borum prædictorum, erit porrò FG ad IH triplicata, & AE ad ED quadruplicata eiuſdem dictæ ſubduodecuplæ; quamobrem etiam ratio figuræ GFK ad figuram IHK, quæ eſſe debet vt AE ad ED, erit quadruplicata eiuſdem ſub­duodecuplæ: & ideò ſi ponamus IK ad KI in ratione eiuſdem ſubduodecuplæ, erit figura GFK illius naturæ, vt ſit ſemper cubus ex FK ad cubum ex KI ſicut GF ad IH, & hoc modo eadem illa figura erit trilineum tertium, ſeu cu­bicum, ex quo ergo ſequitur, GFK ad HIK ſit in eadem ra­tione, in qua quadroquadratum ex FK ad quadroqua­dratum ex KI, hoc eſt ſit vt AE ad ED; ſequiturque etiam ob hoc figuram GFK ſubquadruplam eſle circumſcripti rectanguli GF in FK; eſt autem vt trilineum GFK ad rectan­gulum GF in FK circumſcriptum, ſic rectangulum ABME ad auuerſam eidem trilineo figuram AB & EA, ergo re­ctangulum ABME ſubquadruplum erit eiuſdem figuræ AB & EA longitudinis infinitæ, quare ipſum rectangulum erit ſubtriplum portionis & BM & longitudinis pariter im­menſæ. Cum ita ſit, conſtat exemplo hoc quoque, eandem illam rationem eſſe exceſſum maioris exponentis ſuprą minorem exponentem ad hoc ipſum, dictarum poteſtatum hyperbolæ.

Def. 8. huius.

Pr. 10. huius.

Pr. 10. huius.

Pr. 9. huius

PROP. XIII. THEOR. XIII.

SVperior demonſtratio effecta fuiſſet ampliſſima, ſi prę­ponere voluiſſemus quadraturam vt datam omnis ge­neris parabolarum, & trilineorum, verùm cum iſta pars non ſit plenè tradita, vt videre eſt quinto libro infinitarum pa­rabolarum eiuſdem de Angelis, ſatius ideo duximus qua­draturam hyperbolarum à VValiſio, & Fermatio acutiſſi­mis illis viris propoſitam omnino veram admittere, vt indè eam parabolarum & trilineorum vniuerſalem, quam adhuc ab alijs non habemus, facillimè, compendiosèque depro­meremus. Hanc igitur ita proponimus vt ſubinde oſten­damus.

Si ſimiles poteſtates applicatarum fuerint in eadem ra­tione, ac ſunt interſe poteſtates quædam aliæ, & eiuſdem gradus diametrorum ab ipſis applicatis abſciſſarum vſque ad verticem parabolarum, vel trilineorum; erit rectangu­lum ad parabolam ſibi inſcriptam vt aggregatum exponen­tium vtriuſque poteſtatis ad exponentem altioris ipſarum poteſtatum parabolæ; & ad trilineum vt aggregatum ex­ponentium poteſtatum trilinei ad exponentem inferioris poteſtatis eiuſdemmet trilinei. Sic enim in expoſita figu­ra prædicta, ſi eſſet quadratum ex FG ad quadratum ex IH, ſicut cubus ex FK ad cubum ex IH, eſſet rectangulum GF in FK ad figuram GFK (quæ tunc foret trilineum, vt 5 ad 2; nam vbi poteſtas abſciſſarum maior eſt illa applica. tarum eſt ſemper GF trilineum. Simili modo, ſi ſit vt qua­dratum ex FK ad quadratum ex KI ita cubocubus ex FG ad cubocubum ex IH; hoc eſt ſi ſit cubus ex FG ad cubum ex IH, vt linea FK ad KI (tolluntur enim vtrinque ex ſimi­libus ſimiles rationes) erit ſigura GFK parabola, ad quam ſibi circumſcriptum rectangulum eandem habebit rationem, quam 4 ad 3, & ſic dicendum erit de omnibus alijs para­bolis atque trilineis.

DEMONSTRATIO.

VErùm vt propoſitum oſtendamus, eſto quælibet ex parabolis GFK, nimirum quadratocubus ex FG ad quadratocubum ex IH habeat eandem rationem, quam̨ cubus ex FK ad cubum ex IK. Demonſtro, rectangulum GF in FK habere eandem rationem ad parabolam GFK, quam aggregatum exponentium 8 ad maiorem exponen­tem 5. Primùm, quam rationem habet rectangulum GF in FK ad parabolam GFK, eandem habebit rectangulum HI in IK ad parabolam HIK (hoc enim demonſtrabimus in­frà) permutandoque, erit rectangulum GF in FK ad re­ctangulum HI in IK, vt parabola GFK ad parabolam HIK; componuntur verò illa rectangula ex rationibus GF ad IH, & FK ad IK, ergo etiam parabola ad parabolam com-ponetur ex ijſdem rationibus; & quoniam ductis inuicem exponentibus poſſunt conſiderari quindecim rationes in­ter ſe ſimiles, ex quibus conſtet tam ratio dictorum cubo­rum, quàm huic ſimilis altera quadratocuborum, & tunc GF ad IH erit triplicata, et FK ad KI quintuplicata eiuſdem ſubquindecuplæ rationis, quæ ſit A ad B; ergo ſimul ad­ditis ijſdem rationibus, quintuplicata ſcilicet, & triplicata exiliet ratio octuplicata ipſius A ad B; proptereaque pa­rabola GFK ad HIK, ſeu ſi conſideremus figuram & BAEL auuerſam parabolæ GFK, ita vt AE ad ED ſit vt para­bola GFK ad parabolam HIK; AE ad ED erit pariter octu­plicata eiuſdem A ad B; & cum ſit ob naturam auuerſarum FG ad HI vt DC ad AB; erit DC ad AB triplicata eiuſdem rationis A ad B, qnare vt cubus AE ad cubum DE, itą quadratocubocubus DC ad quadratocubocubum ex AB: rectangulum igitur ABME ad ſpatium hyperbolicum infin è longum & BM & erit vt quinque ad tria, & ad vni­uerſum ſpatium & BAE & vt 5 ad 8, in qua nempe ratio­ne debet eſſe parabola GFK ad rectangulum GF in FK. Quod &c.

Def. 8. huius.

Pr. 12 huius.

Pr. 9. huius.

Corollarium.

Conſtat ſi fuerit ratio A ad B eò ſubmultiplicata rationis applicatarum, quoties eſt numerus exponentis poteſtatis ab­ſciſſarum eiuſdem parabolæ, eſſe ipſam parabolam ad ſui por­tionem in tam multiplicata ratione A ad B, ac eſt numerus aggregati exponentium ambarum poteſtatum parabola. Nam cum eſſet quadratocubus ex FG ad quadratocubum ex IH, ſi­cut cubus ex FK ad cubum ex IK, propoſita inſuper eſſet A ad B. ſubquindecupla alterius dictarum ſimilium rationum ex poteſt atibus parabola, oſtenſum fuit rationem A ad B ſubtri­plicatam ipſius GF ad IH, & ſubquintuplicatam alterius FK ad KI, & tandem oſtendimus parabolam GFK ad portionem eius HIK eße in octuplicata ratione eiuſdem A ad B; quod idem omnino diceretur ſi figura GFK trilineum eſſet. Ratio autem A ad B dicetur impoſterum logarithmica poteſtatum parabolæ, ſeu trilinei, aut hyperbolæ.

ASSVMPTVM.

REliquum eſt vt oſtendamus, parabolam GFK ad portionem HIK eſſe vt rectangulum GF ad rectan­gulum HI in IK, ſcilicet eſſe in ratione compoſita baſium, & altitudinum parabolarum, quod nempe ſic oſtendetur, Sit vt ſupra FGK parabola, eiuſque portio IHK; exiſtenti­bus verò applicatis FG, IH, fiat EG ad IE vt FK ad KI, ſit­que IE baſis, et K vertex parabolę IEK ſimilis ipſi GFK pa­tet propter ſimilitudinem figurarum, eſſe parabolam GFK ad parabolam IEK in eadem duplicata ratione FG ad IE, in qua nempe eſt rectangulum GF in FK ad ſibi ſimile re­ctangulum EI in IK, ob idque rectangulum GF in FK ad rectangulum EI in IK, cum ſint interſe vt parabola GFK ad parabolam EIK, hæc verò parabola ad ipſam IHK habeat eandem rationem, ac IE ad IH; ſeu ob eandem altitudinem IK vt rectangulum EI in IK ad rectangulum HI in IK, erit ex æquali parabola GFK ad parabolam HIK vt rectangu­lum GF in FK ad rectangulum HI in IK. Quod &c.

Tab. 3. Fig. 2.

PROP. XIV. THEOR. XIV.

Tab. 2. fig. 3.

IN quacunque hyperbola (excepta ſemper conica) cu­ius aſſymptoti EA, EM, ſi ſit poteſtas applicatarum DC AB altior poteſtate abſciſſarum AE, ED (ſic enim finitą erit magnitudine ſecundum eam aſſymptoton, quæ appli­catis parallela eſt) ſpatium ipſum hyperbolæ & BAE & ad ſui portionem & CDE & habebit eandem rationem, ac rectangulum BAE ad rectangulum CDE, ſeu (aſſumpta ratione logarithmica A ad B poteſtatum hyperbolæ) quam poteſtas ex A, cuius exponens eſt differentia exponentium poteſtatum hyperbolæ ad ſimilem poteſtatem ex B.

DEMONSTRATIO.

QVam rationem habet rectangulum BAE ad ſpatium & BAE &, eandem habet rectangulum CDE ad

ſpatium & CDE, & permutando erit rectangu­lum BAE ad CDE, ſicut ſpatium & BAE & ad ſpatium̨ & CDE &; ſi igitur in eadem propoſita hyperbola ſit po­teſtas applicatarum DC, AB quintuplicata ipſius A ad B, & AE ad ED ſeptuplicata ſit eiuſdem; erit ſeptuplicatą applicatarum in eadem ratione, ac quintuplicata abſciſſa­rum; ſcilicet quadratoquadratocubus ex DC ad ſimilem poteſtatem ex AB erit vt quadratocubus ex AE ad qua­dratocubum ex DE, eritque ſic maior poteſtas applicata­rum, atque adeo componetur rectangulum EAB ad EDC ex ſeptuplicata ipſius A ad B, qualis eſt AE ad ED, & ſub­quintuplicata eiuſdem A ad B, quæ eſt AB ad DC; nimi­rùm erit rectangulum EAB ad EDC in duplicata tantum ratione ipſius A ad B: quare ſpatium & BAE & ad id & CDE &, quæ ſunt inter ſe, vt ipſa rectangula, erit vt po­teſtas ex A, cuius exponens eſt differentia exponentium & S poteſtatum hyperbolæ ad ſimilem poteſtatem ex B. Quod &c.

Pr. 12. huius.

PROP. XV. THEOR. XV.

SI ab exponente poteſtatis applicatarum hyperbolę de­trahatur exponens minoris poteſtatis abſciſſarum, po­teſtas reliqui exponetis erit applicatarum auuerſæ figuræ, in abſciſſis verò adeſt vtrobique eadem poteſtas. Itaque cum in ſuperiori hyperbola reſidui exponentis poteſtas quadratum eſſet, porrò in eius auuerſa eſſet poteſtas appli­catarum quadratica, & abſciſſarum quadratocubica.

DEMONSTRATIO.

Tab. 3. Fig. 3.

ESto rurſus hyperbola & BAE &, et ſicut dictum eſt AE ad ED ſit in ſeptuplicata ratione logarithmicæ rationis A ad B, at DC ad AB in quintuplicata, videlicet quadratocubus ex AE ad quadratocubum ex DE eandem habeat rationem, ac quadratoquadratocubus ex DC ad ſimilem poteſtatem ex AB; Dico in auuerſa figura poteſta­tem aplicatarum eſſe quadratum, cuius exponens 2 eſt dif­ferentia exponentium poteſtatum hyperbolæ; poteſtatem verò abſciſſarum eandem eſſe, abſciſſarum eiuſdem hyper­bolæ. Sit vt ſupra FK ad KI vt hyperbola & BAE & ad & CDE &, hoc eſt, ſit vt poteſtas ex A, cuius exponens

eſt differentia exponentium poteſtatum hyperbolæ ad ſi­milem poteſtatem ex B, & ideo FK ad KI erit duplicata ip­ſius A ad B, ſed DC ad AB eiuſdem illius logarithmicæ quintuplicata; eſtque in hac eadem ratione etiam GF ad IH; ergo cum duplicata huius ſit ſimilis quintuplicatæ KF ad KI (nam vtraque ratio continet decies A ad B) pater, quadratum ex FG ad quadratum ex IH eſſe eam poteſta­tem, quam propoſuimus euenire in applicatis auuerſæ, cum aliàs in abſciſſis ſit vtrobique poteſtas eadem, nempe qua­dratocubi. Quod &c.

Pr. 14. huius.

Corollarium.

Patet ex noto trilineo, vel parabola FGK eſſe in auuerſa, ſcilicet in hyperbola & BAE & (quæ tunc eſt ſemper magnitu­dine finita iuxta aſsymptoton EM &) poteſtatem applicatarum, qua pro exponente habet ſummam exponentium poteſtatum parabolæ, aut trilinei; nam cum eßet in trilineo pracedentiquadratum ex FG ad quadratum ex IH vt quadratocubus ex FK ad quadratocubum ex IK, fuit equidem in hyperbolą quadratoquadratocubus ex DC quadratoquadratocubum ex AB ſicut quadratocubus ex AE ad ſimilem poteſtatem ex DE, ſcilicet inuariata poteſtate abſerſarum in ambabus au­uerſis. Quare ex poteſtatibus notis vnius auuerſarum fa­cilè inoteſcent poteſtates alterius, atque etiam illius magnitu­do. Nunc redeamus ad motus, nouamque adhuc methodum, quam hoc loco reſeruauimus, afferamus.

DEF. IX.

SIt quædam Geneſis ACBH, cuius imago temporis & DCB &; item ſit FCBK geneſis alterius motus ab eodem C in B; & actà rectà OIGE ipſi AFCD parallelą, ponantur CD, GE loco minimorum temporum, ita vt ten­pore CD, dum mobile ex C affectum velocitate CA, currat minimum ſpatiolum indicatum per C, cui eſt æqua­le ſpatiolum aliud indicatum per G, quodque tranſigitur tempore GE velocitate GD (nam vt eſſent illa ſpatia iņ C, G æqualia, effectum fuit vt velocitas AC ad GD ean­dem reciprocè rationem haberet, ac tempus GE ad CD, id quod patet ex natura geneſis ACBH, & imaginis & DCB &) et hic rurſus notatu digniſſimum eſt nulli errori obnoxium eſſe, quòd æquabiles in illis minimis ſpatiolis intellexerimus motus, quamuis potius deberet videri, in ijſdem interuallis reperiri innumeras, ac inæquales veloci­tates, queis nempe efficerentur motus inæquabiles, quòd geneſes inæquabiles ſint. Cur iſta ſe ita habeant, hic non eſt nobis diſputandum, ego enim puto, non ex indiuiſibili velocitates alijs ſuccedere, ſed reuera minutulum tempo­ris conſiderari debere antequam motus diuerſimodè pro­cedat, nempe ac ſi velocitas, quæ ſuccedere debet priori, non ita ſit in promptu, aut non ita ſtatim mobile afficiat ad motum ſibi proportionatum. Sed linquamus hæc alijs diſ­putanda: ſatis nobis ſit, methodum noſtram, quoad noſtrum eſt, demonſtrare. Ijs igitur vt ſupra propoſitis, concipia­tur adhuc tempore CD velocitate FC ſpatium exigi quod­dam, item aliud tempore EG, velocitateque GI, & ſic per omnes quaſcunque applicatas: quæritur, quod ſpatium̨ vltimò exactum eſſet, hoc eſt quam rationem id haberet ad illud alterum ſpatium, quod eodem tempore tranſigitur iuxta geneſim HACB, cuius imago temporis CD & B. Iſti duo motus in exemplo eſſent, ſi in quodam plano mo­ueretur formica, dum ipſum planum vna eius extremitate immobili circumduceretur, Sic formica difficiliùs aſcende­ret prout ipſum planum magis ad horizontem erigeretur. Iam motus extremitatis plani circumactæ habet geneſim ACBH, cuius temporis imago & DCB &, et altera geneſis FCBK tribueretur motui formicæ, nam vt dictum eſt varius motus formicæ pendet ex latione plani, ideò velocitates eiuſdem (nam in plano immobili ponimus æquabiliter fer­ri) durant ijſdem temporibus, quibus velocitates præcipuæ geneſis ACBH. Sit denique LMSR imago velocitatum iuxta geneſim ACBH, cuius temporis imago CD & B; pa­tet ſi ſit MP ad PS ſicut imago temporis CDEG ad ima­ginem & BGE &, fore LM ad PQ vt AC ad OG, & con­cepta etiam figura MNOTS inter parallelas LMN, RST ita vt ſit ſemper MN ad PO ſicut FC ad GI, nec non LM ad MN vt AC ad FC. (ſunt enim initio motuum in C, aut inſtanti M, velocitates geneſium AC, CF, ſcilicet LM, MN; & in G, hoc eſt inſtanti P ſunt velocitates OC, GI; nimi­rum QP, PO) vocetur proinde geneſis FCBK ſpuria, ac adſtricta imagini temporis & DCB &, cuius imago veloci­tatum MNTS pariter ſpuria, homogenea tamen ipſi legiti­mæ LMSR.

Tab. 3. fig. 4.

PROP. XVI. THEOR. XVI.

SI ſint duo motus iuxta geneſes legitimam, & ſpuriam, erunt mobilium exacta ſpatia, vt imagines interſe homogeneæ velocitatum, legitima ad ſpuriam.

Eſto geneſis legitima ACBH, cuius imago temporis & DCA &, & imago velocitatum MLRS. Sit etiam gene­ſis altera illi homogenea, ſed ſpuria, & adſtricta imagini temporis & DCB &, cuius imago velocitatum ſpuria, prio­rique legitimæ homogenea NMST. Dico, ſpatia iuxta has imagines tranſacta eſſe vt ipſæ imagines legitima LMSR ad ſpuriam NMST. Cum temporis momenta M, P in­telligantur ex minimis temporibus, quæ proponi poſſunt, interſe æqualibus, & quibus æquabiliter perdurant ve­locitates, quas mobile ſortitur in aduentu ſuo in punctis C, G, erit vt velocitas FC ad velocitatem GI ſic interſe ſpatia, quæ iſtis velocitatibus, temporibuſque illis æqua­libus percurrerentur, in qua ratione eſt etiam NM ad OP. Deinde momento M peragerentur ſpatia proportionalia velocitatibus FC, AC, ſeu rectis NM, ML, momento autem P ſpatia proportionalia velocitatibus GI, GD, in qua ratione eſt etiam OP ad PQ, & ſic deinceps procedendo per ſingula temporis MR momenta, adeo vt, cum ſpatium velocitate FC exactum ad id veloci­tate CA, ſit vt NM ad ML, ſpatium velocitate IG ad id exactum velocitate GD ſit vt OP ad PQ, & ſint præterea primæ interſe, hoc eſt ſpatia velocitatibus FC, GI tran­ſacta, proportionalia tertijs, ſpatijs videlicet tranſactis velocitatibus ML, PQ ergo vt omnes primæ ad omnes tertias quantitates, hoc eſt omnia ſpatia tranſacta iuxta geneſim FCBK ad omnia ſpatia iuxta geneſim ACB, ita erit ſumma ſecundarum ad omnes quartas, ſcilicet iſta erit imago NMST ad imaginem LMSR. Quod & c.

Tab. 3. Fig. 4.

Pr. 3. huius.

LIBER ALTER

DE

Motu Compoſito.

MOtum appellamus compoſitum, vbi dum fer­tur mobile, conſideratur habere plures iņ diuerſas partes, vel etiam in eandem partem conatus, ex quibus oriatur tertia vis diſtin­cta ab illis. Hunc librum, cum expleueri­mus, non pauca vnà cum priori, dicta erunt de motu, erit­que ea methodus, qua ſimul geometrica quædam, difficil­lima ſcitu ſatis breuiter oſtendemus. Nam vibrationes pendulorum exigi temporibus; quæ ſint in ſubduplicatą ratione longitudinum eorundem, planè tandem conſtabit aliàs nobis diſſentientibus: aperiemus etiam, qua arte in­telligi queant anguli rectilinei curuilineis æquales; nec non exponemus parabolas quibuſdam ſpiralibus æquales, vt eſt vulgata ſpirali Archimedeæ, cùm videlicet baſis para­bolæ radio circuli ſpiralem continentis, & dimidium huius circumferentiæ circuli altitudini eiuſdem parabolæ, æqua­les ſint.

PROP. I. THEOR. I.

Tab. 4. Fig. 1.

SI in eadem recta linea currantur ſpatia temporibus æqualibus, & ſint motus ſimplices, ac ad eaſdem par­tes tendentes, eadem illa ſpatia ſimul motu compoſito, ab eodemque mobili duabus illis geneſibus affecto, vnicoque ex dictis temporibus æqualibus, excurrentur.

Curratur LI iuxta imaginem velocitatum HAEF, et IO iuxta aliam dictæ homogeneam BAED. Dico LO ſum­mam dictorum ſpatiorum LI, IO exactum iri vnico tem­pore AE, ſi nempe mobile feratur ſecundum vtranque ima­ginem.

Per quodlibet punctum, ſeu temporis momentum M agatur recta GMC parallela HB, vel FD. Habebit mobi­le momento A, dum ſcilicet mouetur motu compoſito duas ſimul velocitates AH, AB, ideſt vnicam HB. Similiter mo­mento M habebit GC, & momento E ipſam FD. Itaque

erit HBDF imago velocitatum compoſiti motus, qui fiet tempore AE iuxta imaginem, quæ aggregatum eſt dictarum HAEF, ABDE. Eſt verò LI ad IO vt imago HAEF ad imaginem ABDE; ergo conuertendo, componendoquę erit vt LI ad LO, ſic imago HAEF ad imaginem HBDF; propterea quemadmodum ſpatium LI currebatur iuxtą imaginem HAEF, ſic LO percurretur imagine HBDF ſolo, eodemque tempore AE. Quod &c.

Def. 3. prima.

Corollarium.

Hinc patet graue perpendiculariter, violenterque deiectum minimè ad terram venturum aggregato virium, quarum vna eſt ab impellente impreßa, altera verò à grauitate dependens. Nam ex impartita vt celerior fit caſus, quam vt graue in de­curſu ſuo poſſit ex acceleratione naturali eum gradum acqui­rere, quem certè ſponte ſua tantùm deſcendens in fine eiuſdem altitudinis adeptum eſſet. Hoc ita verum eſt, vt aliquando minimum interſit, inter impetum ab ambabus cauſis proue­nientem, & eum, qui a ſola oritur grauitate, quamobrem pa­rum is proficeret, qui conaretur maiorem impetum componere in caſu grauis, illi nempe adiecta vi, mobile idem in decurſu impellente, vltra natiuam grauitatem, quod tamen fieri haud dubiè poſſet, ſi caſus obliquus eßet.

Illud quoque hac occaſione aperiendum eſt, graue naturali­ter deſcendens eò concitatiùs ferri, quoad potentia reſiſtentis aeris (validior namque iſta fit, vbi mobilis caſus eſt celerior) vi grauitatis mobili inhærenti exaquatur, tunc enim cauſą vlterioris accelerationis adempta eſt, conſumiturque in lucta­tione aeris contranitentis: quare tunc grane progrederetur æquabili motu, id quòd citiùs euenire deberet ſi grane intrą aquam deſcendat.

PROP. II. THEOR. II.

SI in eadem recta duos motus ſibi contrarios, ſimplices, ac eodem tempore peractos intelligamus, mobile di­ferentiam illorum ſpatiorum, ſi vtroque motu eſſet affe­ctum, percurreret.

Tab. 4. Fig. 2.

Curratur à puncto L ſpatium LO imagine velocitatum ABFG, & codem tempore curratur etiam recta OM ex puncto altero O, ſcilicet contrario motu, & iuxta imaginem AHIG prædictę homogeneam. Dico mobile, compoſito ex vtriſque motu, & tempore ipſo AG curſurum differentiam LM dictorum ſpatiorum LO, OM.

Primùm intra parallelas AB, GF non ſe ſecent lineæ BF, HI, & ducatur quælibet DC æquidiſtans AB, vel GF, quæ fecet HI in E. Manifeſtum eſt, mobile, compoſito motu feratur habere duplicem velocitatem, vnam AB al­teram illi oppoſitam AH, ob idque moueri verſus O ſolą velocitate HB differentia dictarum interſe pugnantium velocitatum: pariter momento D feretur mobile veloci­tate EC differentia duarum DE, DC, & inſtanti G habebit differentialem IF; ex quo ſequitur figuram BHEIFCB, dif­ferentiam imaginum ABFG, HAGI, aptatam tempori AC imaginem eſſe velocitatum compoſiti motus. Hoc po­ſito habebit LM ad LO eandem rationem, ac BHIF ad ABFG; Propterea LM, quæ eſt differentia ſpatiorum LO, MO curretur iuxta imaginem BHIF, nempe compoſito motu, & tempore AG.

Tab. 4. Fig. 2.

Def. 3 prima.

Pr. 2. primą huius.

2. Se nunc ſecent lineæ BF, HI in C. Ducatur CD pa­rallela alteri æquidiſtantium AB, GF. Conſtat ex prima parte, quòd mobile compoſito motu, & iuxta imaginem HBC feretur verſus O tempore AD; ſit ergo ſpatium, quod curreretur illa imagine, PR, & ob id LO ad PR eandem̨ habebit rationem quam imago ABFG ad imaginem̨ HBC.

Tab. 4. fig. 3.

Pr. 2. prima

Similiter dum mobile mouetur tempore DG iuxta ima­gines DCIG, DCFG, feretur verè ſecundùm imaginem̨ FCI verſus L, quamobrem ſi ſpatium, quod exigeretur hac imagine ſit RQ, habebit iſtud ad LO eandem rationem, quam imago CFI ad imaginem ABFG, & ideo ex æquali QR ad PR ſe habebit vt imago CFI ad imaginem HBC; ſi igitur ponatur ABFG maior imagine AHIG, demptà co­muniter AHCFG relinquetur HBC maior imagine CEI, & ideo etiam PR maior QR: curritur verò PR versùs R tem­pore AD, & RQ versùs P tempore DG, ergo toto tempo­re AG curretur PQ differentia ſpatiorum PR, RQ Cum verò HBC ad CFI, ſit vt PR ad RQ, erit diuidendo vt ex­ceſſus imaginis HBC ſupra imaginem FCI ad imaginem̨ iſtam, ita PQ ad QR, & oſtenſum eſt QR ad LO, ſicut ima­go FCI ad imaginem ABFG, ergo ex æquali exceſſus ima­ginis HBC ſupra imaginem AHIG habebit eandem ratio­nem ad imaginem AHIG, ac PQ ad LO, at eſt in illa eadem ratione etiam LM ad LO (eſt enim LO ad MO vt imago ABFG ad imaginem AHIG) ergo PQ erit æqualis LM, atque adeo mobile dum currit vtroque motu, hoc eſt iux­ta ſimul duas imagines propoſitas contrariorum motuum, peraget ſpatium LM versùs O ſecundùm imaginem, quæ differentia eſt propoſitarum ABFG, AHIG, tempore AG. Quod &c.

Ex primą parte.

Pr. 2. prima.

Corollarium.

Deducìtur, mobile nullum ſpatium emenſurum, vbi ima­gines ſimplicium motuum fuerint aquales.

PROP. III. THEOR. III.

Tab. 4. Fig. 4.

REperire eam velocitatem, eamque directionem, quæ orirentur, ſi mobile pluribus eodem momento velo­citatibus, ſeu conatibus affectum eſſet. Opportet autem non ſolum has velocitates, verùm etiam earum directio­nes manifeſtas eſſe.

Habeat mobile A, eodem momento conatum AB, quo tendat in R; AC; quo in C; & AD, quo in D. Quæritur ve­locitas, & directio, quas mobile habiturum eſſet in multi­plici illa affectione (Nam actu vnam velocitatem, vnam­que tantùm directionem ſortiri debet) Ex duabus qui­buſque AD, AC intelligatur perfici parallelogrammum ACED, & ducta diametro AE fiat itidem aliud parallelo­grammum ABFE, cuius agatur diameter AF. Dico AF eſſe quæſitam velocitatem, ac directionem, quibus mobile ex illis pluribus conatibus motum ſuum inſtitueret.

Si mobili A currendum eſſet æquabili motu ſpatium AE, pertranſiret eodem tempore tam rectam AD, quàm

ipſam AC; nam cum fertur ab A in E verè deſcendit ab A in C, & ab A in D motu pariter æquabili; ergo AD ad AC, erit vt velocitas, qua curritur per AD ad velocitatem, qua curritur per AC. Itaque ſi mobile dum eſt in A in­telligatur affectum velocitatibus AD, AC habentibus di­rectiones ipſas rectas AD, AC, perinde eſſet, ac ſi ſola fo­ret mobili velocitas vnâ cum directione AE. Eadem ra­tione AF velocitas habens directionem AF, æquipollebit duabus velocitatibus AB, AE iuxta directiones rectas eaſ-dem ABAE; hoc æquiualebit tribus AB, AC, AD. Mo­bile igitur ex affectione trium illorum conatuum, vt ſup­poſitum fuit, nitetur ſecundùm AF velocitate ipſa AF Quod &c.

Gal. pr. de mo­tu aquab.

DEF. I.

ACcelerationem alicuius motus, tunc intelligimus, cum velocitates, quæ ſubinde mobili adueniunt, non de­lentur, ſed prorſus integræ, atque indelebiles mobili in ipſo motu perſeuerant. Ex quo ſequitur motum ſimplicem di­ci, cum præteritæ velocitates protinus euaneſcunt, illæ­que tantum conſiderantur, quæ mobili ſubinde oriun­tur.

PROP. IV. PROB. II.

IMaginem accelerationis cuiuſcunque ſimplicis motus exhibere.

Imago velocitatum ſimplicis motus eſto rectangulum AFDC: ſic motus eſt æquabilis, vt acceleretur debent in­ſtanti C vigere omnes velocitates in imagine AFDC con­prehenſæ, & item ducta quacunque BE parallela AF, vel CD, erit mobile momento B affectum omnibus antece­dentibus velocitatibus, comprehenſis nempe ab imaginis portione AFEB; quare ſi ponamus HLG imaginem eſſę accelerationis, itaut nempe tempus GL æquale ſit tempo­ri AC; item KL æquale tempori AB, erit vt figura CAFD ad figuram BAFE, ſic velocitas, qua mobile fertur momen­to G ad velocitatem, quam habet inſtanti K; & ideo quia ponitur imago ſimplicis motus rectangulum AFDC, erit rectangulum CF ad BF, hoc eſt recta CA ad AB immò LG ad LK, vt GH ad KI; quamobrem GLH imago velo­citatum huiuſmodi motus, erit triangulum. Quod ſi ima-go ſimplicis motus fuiſſet triangulum, imago velocitatum accelerationis foret trilineum ſecundum, & ita pro­portionaliter de infinitis numero accelerationibus.

Tab. 4. fig. .

Cor. def. 3. pri­mi.

Def. 1. huius.

Def. 3 primi.

Corollarium.

Hinc obiter habemus, quo pacto imago velocitatum corpo­rum naturaliter deſcendentium triangulum ſit. Nam quo­libet momento ſui caſus habet graue idem inſe principium̨ motus, ſeu grauitas, ex qua concipitur imago ſimplicis motus ſi nempe priores gradus velocitatis ſubinde deperirent, at quia in eius deſcenſu prorſus perſeuerant (id enim ſupponi­tur abſtrahendo ab aere) inde motus concitatur, & fit vti di­ximus imago accelerationis triangulum.

AXIOMA

QVælibet linea, vt fluxus puncti concipi po­teſt.

AX. II.

VT propoſita linea ex fluxu puncti exarètur, duò tan­tùm neceſſaria ſunt, ſcilicet motus, & puncti di­rectio.

PROP. V. THEOR. III.

REcta, quæ priùs deſcripta eſt, poteſt alijs à primis velocitatibus, rurſus exarari.

Nam punctum poteſt fluere ſecundum quamcunque rectam, quocunque motu, ergo illam poteſt etiam quibuſ­cunque velocitatibus affectum rurſus exarare.

PROP. VI. THEOR. IV.

VT eadem recta ex fluxu puncti renouetur, opportet in quocunque illius puncto ſeruari priſtinas directiones,

Cum, vti diximus, ad deſcriptionem lineæ duo tantùm exigantur, nempe motus, & puncti directio; motus verò po­teſt eſſe quilibet, ſequitur ergo directionem, alteram de duobus, ſeruari debere.

Ax. 2. buius. pr. 5. huius.

DEF. II.

LIneam dicimus curuam, in qua ſumptis duobus ad­libitum punctis, recta, quæ ipſa puncta coniunge­ret, nullam cum propoſita linea partem ſit habitura com­munem.

PROP. VII. THEOR. V.

DIrectiones puncti deſcribentis lineam, iuxta rectas lineas concipi debent.

Dum punctum fluere intelligimus, ineſt in eo ſingulis momentis certus, ac præfixus gradus velocitatis, quo tan­tùm attento, rectà, æquabilique motu in certam partem con­tenderet; at huiuſmodi iter, aliud non eſt, quàm directio puncti, qua eius temporis momento proficiſcitur; ergo iux­ta rectas lineas, directiones omnes conſiderari opportet.

PROP. VIII. THEOR. VI.

TAngens, & directio motus in quouis curuæ puncto eſt vna, atque eadem recta.

Nam in deſcriptione cuiuſcunque rectæ procedit pun­ctum iuxta tendentias rectas, obliquatur tamen ob ſubſe­quentes, aliò tendentes niſus, & ob id diſtrahitur punctum ipſum à priori tendentia, idem accidit ex alia parte ſi re­flaxiſſet idem punctum, nempe hinc inde vnicam rectam eandemque, continuantibus oppoſitis ad idem punctum directionibus, ergo directio, & tangens vna, & eadem eſt recta.

Pr. 7. huius.

Corollarium.

Hinc ſequitur, vnicam lineam dicendam eſſe, cum à quo­cunque illius puncto vnica tantùm ex vtraque parte egre­ditur tangens.

DEF. III.

QVòd ſi ex aliquo puncto duæ tangentes hinc inde egredientes angulum efficiant; tunc propoſitam li­neam inflexam dicemus, & punctum, in quo ſunt contactus, inflexionis appellabitur.

Corollarium I.

Ab hiſce deffinitionibus, & priori coroll. manat artificium componendi duas curuas, vel curuam & rectam, adeout vni­cam lineam efforment, nullumque angulum; nempe cum ſic inuicem iungamus, vt tangentes ad punctum connexus, vnam tantùm rectam efficiant.

Corollarium II.

Sed & illud patet, quibus angulis inflectantur lineæ inui­cem compoſitæ, ſi ad punctum inflexionis angulum tangen­tium obſeruauerimus, ſunt enim interſe æquales, licèt diuer­ſa ſpeciei, cum vnus ſit curuilineus, & rectilineus alter.

PROP. IX. THEOR. VII.

TAngens, ſeu directio motus in quocunque curuæ puncto eſt illa recta, quæ vtrinque ſtatim cadens extra curuæ conuexum ad eandem, quàm fieri poteſt ex vtraque parte accedit.

Nam alia quæque recta tranſiens per punctum conta­ctus ad ſectionem magis accedere nequit, quin ipſam illinc ſecet, ob id extra conuexum eius non cadet, ab altera ve­rò parte magis à propoſita curua ſeparabitur, quamobrem nulla alia recta, quàm tangens poterit ſimul extra curuam eſſe, & quàm fieri poteſt ad ipſam accedere.

DEF. IV.

LIneæ AC, AD occurrant ſibi in A, quod punctum in­telligatur transferri ab A in C vnà cum linea AD ſemper ſibi parallela, quo tempore punctum A currat ip­ſam latam lineam ex A in D. Manifeſtum eſt idipſum punctum A deſcripturum eſſe motu compoſito lineam quandam AB diagonalem ſuperficiei parallelogrammæ ABCD. Vocamus ergo diagonalem illam ſemitam com­poſiti motus, & AC, AD latera illius.

Tab. 4. fig. 6.

Corollarium I.

Manifeſtum eſt mobile dum currit AB tranſire etiam AC, AD, licèt curuæ ſint, nam verè transfertur illo tempore, tam ad lineam CB quam ad DB.

Corollarium II.

Præterea ſi ducerentur, autſint AC, CB, DA, DB, ABrectæ lineæ, efficeretur ex ijs parallelogrammum ACBD, cu­ius diameter AB; quamobrem ex datis punctis C, A, D repe­riretur ſtatim punctum B, ſcilicet extremum ſemitæ compo­ſiti motus, cuius latera ipſæ curuæ, aut rectæ AC, AD —.

PROP. X. PROB. III.

EX datis quotcunque lateribus compoſiti motus, huius ſemitæ terminum exhibere.

Tab. 4. Fig. 7.

Si latera compoſiti motus eſſent duo tantùm AB, AC. Facto parallelogrammo vt dictum eſt, inueniretur pun­ctum E extremum motus: & quæcunque ſit ſemita, ſeu mo­tus, poteſt idem E ſupponi tanquam extremum alterius la­teris, adeoque, ſi motus conſtet ex tribus lateribus AC, AB, AD, perinde ſit ac ſi foret duorum laterum AE, AD; nam AC, AD valent ſimul ac ſolum AE; cum ita ſit, facto etiam parallelogrammo EADF ex datis punctis E, A, D, habebitur F extremum ſemitæ, cuius ſunt tria latera CA, AD, AB —

Corollarium.

Deducitur artificium deſcribendæ ſemitæ AE, vel AF, ſi nempe aſſumptis partibus AG, AH, AI in dictis lateribus, quæ quidem ſciantur percurri temporibus æqualibus, ſi per ipſas ſingulas mobile punctum ferretur eo modo, quo in com­poſito motu nititur per eaſdem directiones; reperietur in­quam punctum K in ſemita AE, atque L in ſemita AF: qua­re hoc modo ſumptis alijs, atque alijs partibus in ipſis lateri­bus, reperientur alia, atque alia puncta ad ipſam ſemitam̨ pertinentia, quorum tandem beneficio, facile erit quaſitam fermè ſemitam exarare.

PROP. XI. PROB. IV.

EX datis imaginibus velocitatum, iuxta quas ſimplici motu currantur latera compoſiti motus; datis item tangentibus ad quæcunque puncta ipſorum laterum, repe­rire ſemitam compoſiti motus, nec non directiones, veloci­tateſque puncti deſcribentis ipſam ſemitam.

Tab. 4. fig. 8.

Opportet tamen latera ipſa, itemque imagines prædictas, in imperatas ſecari poſſe rationes, quamquam nos non la­teat, in lateribus curuis hoc effici non poſſe, præterquam̨ aliquatenus in periphærijs circulorum.

Sint AB, AF latera compoſiti motus, quæ quidem ſeor­ſim currantur eodem tempore QM, ſcilicet AB iuxta ima­ginem MNPQ, et AF iuxta imaginem alteram ei homoge­neam TMQR. Ponatur AB circuli arcus, quem tangat re­cta BC æqualis QB, at AF lineam', quæ parabola ſit, con­tingat recta FG æqualis RQ Reperiemus illicò punctum H extremum ſemitæ compoſiti motus; ſunt enim data pun­cta A, F, B. Cum igitur mobile venerit in H. Dico, eo temporis momento velocitatem, ac directionem HL, quæ recta diameter eſt parallelogrammi, cuius duo latera ſunt dictæ lineæ HI, HK; Iam vti diximus punctum H eſt ex­tremum compoſiti motus, quare eo momento, quo pun­ctum mobile eſt in H, habet inibi eaſdem illas velocitates, quas haberet in B, et F, dum ſeorſim illa latera excurriſſet; ſcilicet conſideratur ipſum mobile habens ſimul velocita­tem HI æqualem, ac æquedirectam, ſeu æquidiſtantem ipſi CB, cui eſt æqualis alia QP; & velocitatem HK æqua­lem, ſimiliterque directam, ipſi GF æquali RQ Cum ita ſit erit HL velocitas, & directio quæſita momento que Eo­dem modo, ſi ſit, vel fiat vt imago PNMQ ad ONMV (ducta ſcilicet applicata SVO) ita BA ad AX, et ONMV ad imaginem VMTS, vt XA ad AI, percurrentur AX, AI eodem tempore MV, eritque ob id in X velocitas, & dire­ctio, tangens ipſa ZX æqualis VO, & in I velocitas, & di­rectio, tangens 2 I æqualis VS; Itaque datis punctis X, I, A dabitur etiam Y extremum ſemitæ compoſiti motus, cuius latera AX, AI, & ideo mobile dum eſt in Y momento V affectum erit duplici velocitate, hoc eſt Y 4 æquali ve­locitati ZX, ſeu VO, ac æquidiſtante eidem ZX, et veloci­tate altera Y 3 æquali, & æquèdirecta ipſi 2 I: quare ex datis punctis 4, Y, 3 inuenietur punctum S quartus angu­lus parallelogrammi habentis diametrum YI, quæ quidem erit directio, & velocitas mobilis currentis compoſito mo­tu inſtanti V. Cumque alia quotcunque puncta eadem methodo reperire queamus, per quæ duci poſſit linea ferè quæſitam ſemitam repræſentans, atque emulans, patet idcir­co, quod propoſuimus.

Pr, 10. huius.

Ex pr. 3. hu.

Pr. 2. primi huius.

Cor. 2. def. 3. huius.

Pr. 3. huius

Corollarium.

Cum verò directiones ſint idem, ac tangentes, liquet HLVS tangentes eſſe compoſiti motus.

Pr. 8 huius.

PROP. XII. THEOR. VIII.

CVm imagines velocitatum, iuxta quas curruntur duę rectæ, quæ ſint latera compoſiti motus, ſunt paral-lelogrammum, & triangulum; tunc ſemita compoſiti motus erit communis parabola.

Tab. 5. Fig. 1.

Tempore HM curratur latus AC iuxta imaginem velo­citatum HILM rectangulum, & latus AB iuxta imaginem triangulum HMN; erit CA ad AB, vt imago parallelogram­mum HILM ad aliam imaginem triangulum NHM. Fiat parellogrammum ACDB erit in D extremum ſemitæ com­poſiti motus, quæ ſi ponatur AFC; Dico eſſe parabolam. Sumatur in ipſa linea quoduis punctum F, ab ipſo dedu-cta FE parallela AB, vti etiam FG parallela AC, erunt AE, AG latera compoſiti motus, cuius ſemita AF: Con­cipiatur modò P momentum, quo mobile adeſt in F, & ducta OPK parallela alteri HI, vel NL, erit imago MHIL ad imaginem PHIK, hoc eſt MH ad HP, vt CA ad AE, ſeu vt BD ad GF. Pariter erit imago NHM ad imaginem OHP, hoc eſt quadratum ex MH ad quadratum ex PH; immò id ex BO ad illud ex GF, vt BA ad AG; quamobrem punctum F cadet in curuam parabolicam communem, cuius diameter AB, & baſis, ſeu ordinatim applicata BD, ſcilicet AFD erit ipſa curua parabolica. Quod &c.

pr. 2. primum huius.

Pr. 3. huius.

Ex eadem.

Pr. 2. huius.

Scholium.

Quoniam graue, quod iaculatur extræ perpendiculum, li­berum ab omni obice, niſi turbaretur eius motus à proprią grauitate pergerct moueri æquabiliter iuxta directionem, ve­locitatemque ei traditam; habet verò coniunctam grauita­tem, qua, niſi ab impreſſo impetu flecteretur motus, deſcen­deret iuxta perpendiculum motu naturaliter concitato, cuius imago velocitatum, triangulum eſt; Hinc propterea granę vltra perpendiculum proiectum deſcribit in curſu ſuo, motu ſcilicet compoſite, parabolam vulgatam. Verùm enim verò deſcriptionem iſt am neceſſe aliquo pacto eſt ex duabus cauſis vitiari, hoc est ab aeris reſiſtentia, & perpendiculis non in­terſe parallelis, quippe in idem, vnumque punctum, vniuerſi centrum, conuergentibus.

PROP. XIII. THEOR. IX.

SI ab aſſumpto hyperbolæ puncto, recta axi primo pa­rallela deducatur, quæ ad ſecundam diametrum per­tingat; Quadrilineum comprehenſum ab ipſa curua hy­perbolica. & dictis tribus rectis, erit imago velocitatis il-lius motus deſcribentis curuam parabolicam, cuius baſis ad axem eius habet eandem rationem, quam duplus axis propoſitæ hyperbolæ ad ductam illam æquidiſtantem inter eiuſdem hyperbolæ aſſymptotos interiectam.

Tab. 5. fig. 2.

Hyperbolæ IRS ſit centrum H, ſemiaxis HI, aſſymptoti HT, NH, et SN parallela HI; tùm ducta HM ſecunda dia­metro hyperbolæ, intelligatur deſcriptio parabolæ AFD; itaut duplus axis hyperbolæ, hoc eſt quadruplum ipſius HI ad NT eandem habeat rationem, quam DB baſis pa­rabolæ ad BA axim eiuſdem. Dico quadrilineum HISM eſſe imaginem velocitatum, iuxta quam motu compoſito deſcribitur parabola AFD; & cum ſit homogenea imagi­nibus HILM, HTM, eſſe quoque rectangulum HDLM ad imaginem ipſam HISM vt recta CA ad curuam AFD. Fiat rectangulum ACDB, et HM ſit tempus, quo curritur vtrunque latus AB, AC, nempe axis AB motu grauium iuxta imaginem triangulum HTM, alterum verò latus AC æquabili motu iuxta imaginem rectangulum HILM, quod quidem erit HILM; etenim AB ad ſpatium AC eſt vt ima­go triangulum HMT ad imaginem rectangulum HILM, ſcilicet eſt vt MT ad duplam HI, vel vt NT ad quadru­plam HI, quemadmodum poſuimus. Iam monſtrauimus lineam, quæ curritur iuxta illas imagines motu compoſito parabolam eſſe, cuius diameter AB, & baſis BD; & pro­pterea erit ipſa AFD (nam vnica tantum parabola ex datis AB, BD poſitione, ac magnitudine, axi ſcilicet, ac baſi dari poteſt) Ducatur nunc à quolibet puncto F dictæ parabolæ rectæ FE, FG parallelogrammum conſtituentes AEFG; & P ſit momentum, quo mobile punctum inueni­tur in F. Habebit inibi ipſo temporis momento P veloci­tatem PQ iuxta directionem GF, ſunt verò iſtæ directiones ſibi ipſis perpendiculares; ergo recta, quæ diameter eſſet rectanguli AEFG, & ob id potentiâ æqualis duabus PK, PQ erit gradus velocitatis, quem mobile habet momen-to F motu compoſito currens; verùm quia quadratum ex PR ęquatur rectangulo ORQ vnà cum quadrato ex PQ, & eſt ob hyperbolam rectangulum ORQ æquale quadrato ex HI, vel PK; ergo PR quadratum æquale erit duobus ſi­mul quadratis PQ, PK; itaque PR erit gradus velocitatis prædicti mobilis in F momento P, compoſitoque motu currentis iuxta curuam parabolicam. Pariter momento M, cum mobile eſſet in D velocitas compoſiti motus foret MS poteſtate æqualis duabus MT, ML, ac demum in A initio motus velocitas eſt HI: quare HISM erit imago ve­locitatis motus compoſiti dum mobile punctum deſcripſe­rit curuam parabolicam AFD, eſtque illa imago imagini­bus diuiſorum, ſeu ſimplicium, motuum homogenea; ergo conſtat baſim etiam BD ad parabolam AFD eandem ha­bere rationem, quam rectangulum HILM ad quadrili­neum HISM. Quod &c.

Def. 7. primi & pr. 12. pri­mi huius.

Cor. pr. 4. hu.

Pr. 2. primi huius.

Ex pr. 12. hu.

Pr. 3. huius.

Pr. 11. l. 2. co­nic.

Def. 3. prima huius.

Corollarium. I.

Patet, cum latera compoſiti motus ſint duo, & ſibi ipſis per­pendicularia, tunc gradum velocitatis eìuſdem motus compo­ſiti æqualem eſſe potentiâ duobus ſimul gradibus, quos habet mobile eodem momento, ac ſi ſeorſim intelligatur in ipſis ferri lateribus.

Corollarium. II.

Si verò conſiderentur imagines primi ſecundique Caſus interſe homogenea, erit vt quadrilineum HISM primi adquadrilineum ijſdem literis notatum ſecundi caſus, vt cur­ua illa parabolica ad hanc ſecundi caſus parabolam.

Pr 2. primą huius.

Corollarium. III.

Illud etiam conſtat, eſſe in vtroque caſu vt quadrilineum HIRP ad ipſum PRSM, ita AF ad FD.

PROP. XIV. THEOR. X.

PRopoſitis Spirali Archimedea primæ circulationis ABD, et AGF communi parabola, ſit FG baſis huius æqualis radio DA, et GA ſit dimidium circumferentię cir­culi AEG; erit parabola AGF axem habens GA æqualis propoſitæ ſpirali.

Tab. 5. fig. 3.

Sit PNK communis hyperbola, cuius coniugati ſemia­xes ſint IK, IH, & aſſymptotos IO. Eſto etiam axis hy­perbolæ huius, dupla ſcilicet IK, ad HO illi ęquidiſtantem vt FG ad AG. Iam conſtat quadrilineum IHPK fore ima­ginem velocitatum, iuxta quam curreretur parabola AGF tempore IH: ſi modo oſtendimus hoc ipſum quadrilineum eſſe pariter homogeneam imaginem alterius compoſiti motus, quo videlicet deſcribitur ſpiralis propoſita ABD, palam erit, ipſam parabolam eidem illi ſpirali æqualem fu­turam. Ducatur recta KL, quæ æquidiſtet IH; item ex quouis puncto Q temporis IH alia deducatur recta QRMN parallela IK: erit parallelogrammum rectangulum HIKL imago velocitatum, iuxta quam curritur FG, et HIO trian­gulum imago, qua curritur AG motu grauium deſcenden­tium: Verùm quia eodem tempore IH, ſi mobile currat æquabili motu DA æqualem FG, eſt eius imago idem re­ctangulum IHKL, curriturque illo eodem tempore IH (ſpi­rali exigente) omnis circuli circunferentia AGEA æqua­bili etiam motu ab extremitate A radij AD circumducti in deſcriptione ſpiralis; ob idque factum eſt, vt IK ad HO eſ­ſet vt DA ad circunferentiam ipſam AGEA; nam hoc mo-do rectangulum IH in HO eſt imago velocitatum eiuſ­dem motus per AGEA. Ducatur nunc ex quocun­que momento Q linea QRMN ipſi IK æquidiſtans, & au­ſpicato motu ex centro D momento I, vt nempe oriatur ſpiralis, intelligatur momento Q ventum eſſe in B, quamo­brem ductâ DBE, erit rectangulum, ſeu imago QIKR ad imaginem rectangulum HIKL, ita DB ad DE, in qua ra­tione, cum propter ſpiralem, ſit etiam circunferentia AGE ad circunferentiam AGEA, erit rectangulum IQ in HO imago velocitatis per AGE, eſtque velocitas iuxta tangen­tem in E ad velocitatem iuxta tangentem circulum BC in B vt ED ad DB, ſeu vt HO ad QM; ergo cum iuxta tangen­tem in A, hoc eſt in E velocitas ſit HO, erit ſecundùm tan­gentem circulum BC in B, ipſa QM velocitas; propterea­que imago triangulum HIO, quæ in parabolæ deſcriptio­ne erat per AG, nunc erit per omnes tangentes circulos ſu­binde creſcentes ex D in E: ſcilicet momento I, erit mobi­li puncto ſecundùm DA, velocitas IK; momento Q dum̨ adeſt in B, erit ſecundùm BE velocitas QR, & iuxta tangen­tem in B circuli BC velocitas QM; quæ ambæ, hoc eſt ve­locitates QR, QM cum ſint normaliter directæ, erit eidem mobili in B iuxta ſpiralem velocitas QN potentia ipſis am­babus æqualis. Similiterque momento H cum mobilę fuerit in A, erit velocitas iuxta ſpiralem, ipſa HP æqualis potentiâ duabus velocitatibus HL iuxta radium, et HO iuxta tangentem; & ſic omnino liquet, ipſum quadrilineum HIKP eſſe imaginem velocitatum tam in deſcriptione pa­rabolæ AGF, quàm ſpiralis Archimedeæ DBA, & cum ſit in ijſdem deſcriptionibus homogenea ſibi ipſi, conſtat ip­ſas curuis æquales eſſe. Nam vt imago illa ad ſe ipſam ita parabola ad ſpiralem prædictam. Quod &c.

Pr. 13. huius.

Pr. . prima.

Pr. 2. prima.

Pr. 8. huius & Cor. pr. 13.

Pr. 2. huius.

Corollarium.

Hinc aparet, ſpiralem DB ad ſpiralem DBG eandem habe­re rationem, quam quadrilineum QIKN ad quadrilineum HIKP; pariterque rectam DA ad eandem ſpiralem DCB ha­bere ipſam rationem, ac rectangulum HIKL ad dictum qua­drilineum HIKP. Eodem ferè modo exhiberi pißet ratio ſpi­ralis ad ſpiralem, licèt plurium interſe circulationum, eritque prorſus ea, quam habet vnum ad alterum eiuſdem illius na­turæ, quadrilineorum.

PROP. XV. THEOR. XI.

Tab. 5. Fig. 4.

SPiralis orta ex motu naturaliter accelerato per radium circuli comprehendentis ſpiralem ipſam, & ex motu æquabili circa circumferentiam eiuſdem circuli, æqualis eſt ei curuæ parabolicæ natæ ex motu compoſito, cuius vnum latus curritur iuxta imaginem trianguli, nempe motu gra­uium, alterum verò latus iuxta imaginem trilinei ſecundi, habebitque parabola ipſa axim æqualem radio, & baſim̨ tertiæ parti circunferentiæ eiuſdem circuli ſpiralem com­prehendentis.

Eſto ſpiralis ACB, quæ ſignatur ex motu puncti A æquabiliter lati circa circumferentiam ADA, dum nempe eodem tempore IF, punctum B currit à quiete lineam BA motu grauium deſcendentium; ſit verò imago velocitatum dicti motus æquabilis per ADA rectangulum HGFI, & alte­rius motus imago, (quæ triangulum erit) eſto FEIM. Pa­tet, quia ipſæ imagines ponuntur homogeneæ, eſſe rectan­gulum HGFI ad triangulum IFM vt ADA circumferentia ad radium BA, & propterea IM ad IH erit vt BA ad dimi­dium circunferentiæ AEDA. Sumatur quodlibet momen­tum K, & ducatur ONKL æquidiſtans HM, puteturque eodem illo momento mobile ventum eſſe in C ſpiralis pro­poſitæ BCA: agatur per ipſum punctum radius BCD, & ſic illo momento extremitas A currendo circa periphæriam reperietur in D, eritque circunferentia AED ad ipſam AEDA, vt imago rectangulum OGFK ad imaginem GHIF, hoc eſt erit vt KF ad FI; at BC ad BD erit vt imago trian­gulum KFL ad triangulum FIM, nempe vt quadratum KF ad quadratum FI, eſt autem vt BD ad BC ita velocitas iuxta tangentem in D ad velocitatem iuxta tangentem in C circulum, cuius radius BC; ſcilicet ita velocitas IH ad velocitatem KN, quadrati nempe IF ad quadratum KF, & ob id velocitates, quæ ſunt iuxta tangentes circulos ſubin­de creſcentes ex centro B, erunt expreſſæ in trilineo HNFIH ſecundo, cuius ſcilicet indoles eſt vt abſciſſarum quadrata ſint vt applicatæ. His compoſitis, intellectiſque erit in B, momento F, nulla velocitas, in C momento K duæ velo­citates quarum vnà KI mobile iret iuxta CD, ſed cum al­tera ſit KN iuxta tangentem circulum, cuius radius CB, ne­ctitur vna ex duabus illis, quibus eiſdem potentia eſt æqua­lis, & qua idem mobile mouetur iuxta ſpiralem illo mo­mento K. Similiter cum mobile eſt in D, ſcilicet momento I, habebit velocitatem potentia æqualem HI, qua dirigitur iuxta tangentem, & velocitati IM, qua ſecundùm radium, Itaque imago velocitatum mobilis deſcribentis ſpiralem propoſitis motibus tempore IF, ea erit, cuius applicatæ ſunt vbique æquales potentia ijs applicatis, quæ ab eodem momento intelligi queunt in imaginibus ſimplicibus, nem­pe partialium motuum, HNFI, IFM. Cum præterea OT ponatur tertia pars eſſe circumferentiæ AEDA, & eſt etiam trilineum HFI vtpote ſecundum tertia pars parallelogrammi HGFI, erit triangulum IFM ad trilineum ipſum HFI vt BA, vel ei æqualis QO ad OT; curritur verò vt ſupponi­tur OQ tempore IF iuxta imaginem triangulum IFM, ergo eodem tempore iuxta trilineum HNF curretur alterum la-tus OT, ſiue baſis parabolæ QI. Si itaque parabola ipſa putetur eſſe ORI, in qua punctum R eſto vbi mobile adeſt momento K, deducantur verò ab eodem illo puncto RS parallela axi QO, et RP æquidiſtans QI, vel OT, profectò in O, momento F, ſicuti in ſpirali, nulla erit mobili veloci­tas, ſed cum eſt in R momento K habebit geminam veloci­tatem, KL ſecundùm SR, et KN iuxta PR perpendicularem ipſi SR, quæ duæ velocitates itidem component vnicam potentia ſimul illis æqualem, & cum idem dicatur de qui­buſcunque alijs punctis parabolæ, momentis temporis FI reſpondentibus, manifeſtum eſt ſpirali BCA, & parabolæ ORI vnicam, eandemque eſſe imaginem velocitatum, pro­pterquam quòd ipſæ curuæ, quòd ſint vt imagines, erunt interſe æquales.

Cor. pr. 4. huius.

Pr. 2. primą

Pr. 8. huius.

Cor. prop. 13. huius.

Pr. 10. primi huius.

Pr. 2. primi huius.

Pr. 2. prima.

Scholium.

Exemplo traditarum curuarum, poſſunt innumeræ ſpira­les ſuis parabolis æquales excogitari, nec ideo res minùs de­monſtrabitur, ſi loco rectarum, ſeu laterum OT, OP compoſiti motus, ſubſtituantur circuli, aut circulorum arcus, qui ad re­ctos angulos ſe ſecent, ſcilicet cum tangentes ad punctum infle­xionis, ſeu occurſus ipſarum curuarum ſibi ipſis perpendicu­lares fuerint. Quòd ſi ipſa curua latera ad rectos angulos non ſe ſecent curuæ nihilominus ab ipſo compoſito motu naſcen­tes poterunt exhiberi curuas parabolicas exequantes, quarum itidem latera ſint rectæ eundem angulum, quem prædictæ tan­gentes, comprehendentes. Sed de his ſatis, nunc dicamus ea tempora, quibus duorum pendulorum ſimiles vibrationes ab­ſoluuntur, hoc eſt Galilei ſententiam demonſtrabimus, quam quondam haud ruditer decepti falſam credidimus.

Vincentius Viuianus eximius noſtri æui Geometra vt tue­retur Galilei ſententiam, cuius digniſſimè ſe fuiſſe diſcipu­lum profitetur, tradidit mihi per admodum Reuerendum, at-que cultiſſimum Patrem Ioſeph Ferronum è Societate Ieſu, de­monſtrationem ſuam verè pulcherrimam, ac diſertiſſimè exaratam, qua vna potuiſſem de Galilei aßerto ſatisfactus eſſe; eam demonſtrationem, ijſdem prorſus verbis, ac figuris, quibus ad me peruenit hic duxi reponendam, ne gloriam̨, quam Vir tantus meretur, ipſi videremur noſtra, quam inde ſubdemus, demonſtratione, ſubripere.

Inquit ergo.

TEmpora naturalium de curſuum ſphærarum grauium per ſimiles, ſimiliterque ad horizontem inclinatos arcus curuarum linearum in planis, aut verticalibus, aut ad horizontem æqualiter inclinatis deſcriptarum, & quæ totæ ſint ad eaſdem partes cauæ, interſe ſunt in ſubdupli­cata ratione chordarum eorundem arcuum homologè ſumptarum.

Tab. 6. fig. 1. 2 3. 4.

Ex puncto A ad curuam lineam BCD extra ipſam iņ plano poſitam, & in totum ad eaſdem partes cauam, quæ­cunque ea ſit (vel nimirum pars aliqua circumferentiæ circuli, vel alicuius ex infinitis ellipſibus, aut parabolis, aut hyperbolis, aut ſpiralibus, aut cycloidibus, vel concoidis, vel ciſoidis, ſeu alterius cuiuſcumque ex notis, vel ignotis curuis educantur omnes rectæ AB, AC, AD &c. quæ à punctis E, F, C, vel intra, vel extra eas ſumptis proportio­nalibus ſecentur, ita vt ſit AB ad AE, ſicut AC ad AF, & ſicut AD ad AG &c. & hoc ſemper. Sic enim dubio pro­cul apparet, prout facillimum eſt oſtendere, lineam EFG tranſeuntem per ſingula puncta E, F, G ſic inuenta, cur­uam quoque eſſe, & eiuſdem penitus naturæ, ac data BCD eique ſimilem, ſimiliterque cum ipſa poſitam, atque in to­tum cauam ad eaſdem partes, ad quas ponitur caua ipſą BCD. Concipiatur modò planum, in quo manent huiuſ­modi ſimilium curuarum ſimiles arcus BCD, EFG, vel eſſe ad horizontem erectum, nempè verticale, vel ad ipſum̨ horizontem inclinatum iuxta curuitates ipſorum arcuum BCD, EFG inflexas eſſe ſuperficies eidem plano erectas, ita tamen, vt ſuper has poſitis grauibus ſphæris in A, E per ipſas ſic inflexas ſuperficies eædem ſphæræ naturaliter decurrere queant; id quod ſanè accidet, cum arcus BCD totus fuerit infra horizontalem IL ex arcus ſubli­miori puncto B ductam, fuerintque ab hac continuati re­ceſſus, ac totus ad vnam partem perpendiculi BH: nam ſic talis quoque erit alter arcus EFG illi BCD ſimilis, ſimili­terque poſitus. His omnibus ſic manentibus: Dico tem­pus decurſus ſphæræ grauis E per ſimilem, ſimiliterque po­ſitum arcum EFG, eſſe in ſubduplicata ratione chordarum BO, EG arcus ipſos ſubtendentium. Secto enim bifariam angulo BAD per rectam AC arcum BD ſecantem in C, atque arcum EFG in F, iungantur chordæ BC, CD, et EF, FG, quæ ex huiuſmodi curuarum natura cadent totæ intra ipſos arcus, ſed in prima, & ſecunda figura ad partes poli A, in tertia verò, & quarta ad oppoſitas.

Et quoniam, ex talium curuarum geneſi, eſt vt BA ad AE, ita DA, ad AG, erit BD ipſi EG parallela, hoc eſt vtraque ad horizontem æqualiter inclinata, atque in ra­tione BA ad AE. Similiter cum ſit, vt BA ad AE, ita CA ad AF, etiam BC, EF interſe æquidiſtabunt, ſeu ad hori­zontem æqualiter inclinabuntur, eruntque in ratione ea­dem, ac BA ad AE. Idemque oſtenditur de chordis CD, FG, quare ex magni Galilei ſententia de motu naturaliter accelerato indubitanter ſequitur tempus decurſus ſphæræ grauis ex B in D per binas chordas BC, CD ad tempus decurſus per vnicam BD, eſſe vt tempus decurſus grauis ſphæræ ex E in G per binas EF, FG ad tempus decurſus per vnicam EG: eadem itidem ratione demonſtratur (an­gulis pariter BAC, CAD bifariam ſectis per rectas, quæ ſimiles arcus BC, EF, ac CD, FG duas in partes diuidant) ex quatuor vtrinque arcuum horum cordis, illas interſe homologas, ſimileſque arcus ſubtendentes ad horizonte m eſſe æqualiter inclinatas, ac alteram alteri in ratione ea­dem, in qua ſunt rectæ AB, AE &c: ac propterea ex ea­dem Galilei ſcientia conſtabit vtique, tempus decurſus ex B in C ſphæræ grauis B per quatuor chordas quatuor par­tes arcus BCD ſubtendentes ad tempus decurſus per vni­cam BD, eſſe vt tempus decurſus ſphæræ grauis E ex E in G per quatuor illis homologas chordas quatuor partes arcus EFG pariter ſubtendentes ad tempus decurſus per vnicam chordam EG: & hoc ſemper ita euenire demon­ſtrabitur quantacunque, & maxima fuerit in perpetua an­gulorum biſectione æquèmultiplicitas in vtroque arcu talium chordarum homologè ſumptarum, ac interſe pro­portionalium, æqualiterque ad horizontem inclinatarum: Propterquam quòd ſemper decurſus ex B in D per aggre­gatum chordarum omnium in arcu BCD ad tempus de­curſus per ſolam chordam BD eſſe vt tempus decurſus ex E in G per aggregatum totidem chordarum in arcu EFG ad tempus decurſus per vnicam chordam EG; adeo vt de­nique iure optimo educi poſſe videatur, tempus decurſus grauis ex B in D per aggregatum infinitarum chordarum totum arcum BCD conſtituentium, ſeu tempus per ipſum arcum BCD ad tempus decurſus per ſolam cordam BD eſſe vt tempus decurſus grauis ex E in G per aggregatum totidem infinitarum chordarum dictis homologè propor­tionalium, æqualiterque ſingulæ ſingulis ad horizontem̨ inclinatarum, ac totum arcum EFG conformantium, ſiue vt tempus per ipſum arcum EFG per ſolam chordam EG. Quocirca permutando, tempus, decurſus ſphæræ grauis B per arcum BCD ad tempus decurſus ſphæræ grauis E per arcum ſimilem, ſimiliterque poſitum EG erit vt tempus decurſus per chordam BD ad tempus decurſus per chor­dam EG; ſed ex eadem Galilaica ſcientia de motu, tempus decurſus per chordam BD ad tempus decurſus per æqua-iter inclinatam EG eſt in ſubduplicata ratione ipſarum̨ chordarum BD, EG; ergo tempus quoque decurſus ex B per arcum BCD ad tempus decurſus ex E per arcum EFG eſt in eadem ſubduplicata ratione chordę BD ad chordam EG, quod oſtendendum propoſuimus.

Corollarium.

Ex modò ostenſis ſuper prima, ac ſecunda figura, manife­ſtum fit celeberrimum illud magni Galilei pronuntiatum, quòd videlicet, ratio temporum ſimilium vibrationum pen­dulorum ſit ſubduplicata rationis longitudinum filorum ho­mologè ſumptorum, non tantum verum eſſe de vibrationibus pendulorum per arcus ſimiles, ſimiliterque poſitos, ſumptos ex circulorum quadrantibus ad perpendiculum vſque termi­nantes, ſed etiam de vibrationibus per arcus quoſcumque ſi­miles quadrantum à perpendiculo ſeiunctos: dummodo ipſi ſimiles arcus ſint quoque ſimiliter poſiti: quales nimirùm ap­parent in figuris prima, ac ſecunda arcus BCD, EFG, dum grauia B, E ex filis, aut haſtulis AB, AE circa punctum A conuertibilibus appenſa concipiantur.

Scholium.

Si curua BCD, EFG in prima, & ſecunda figura fuerint ſimiles arcus ex circulis commune centrum A habentibus; ac in verticali plano poſitis, & in prima figura recta AB, AE fuerint fila aut haſtulæ quædam circa clauum A conuertibi­les, in ſecunda verò recta AB, AE concipiantur, vt haſtulæ inflexibiles, volubileſque circa imum punctum E, atque ex huiuſmodi filorum, aut haſtularum terminis B, E pendeant graues ſphæræ B, E (cum eadem ſint tempora prout aſſumi­tur quoque ab ipſo met Ceua) tempora inquam decurſuum liberorum granium B, E per arcus BCD, EFG, ac temporądeſcenſuum ipſorum grauium per eoſdem arcus (vel hac à filis pendeant, vel ab hastulis ſustineantur) erit quoque tem­pus deſcenſus, ſeu vibrationis penduli B per arcum BCD ad tempus deſcenſus, ſeu vibrationis penduli E per arcum EFD in ſubduplicata ratione chordæ BD ad chordam EG; ſed hæc ratio chordarum BD, EG eadem eſt, ac ratio filorum, aut ha­ſtularum AB, AE; Ergo tempus vibrationis penduli AB per arcum BCD ad tempus vibrationis penduli AE per arcum il­li ſimilem, ſimiliterque poſitum EFG est quoque in ſubdupli­cata ratione longitudinum, vel filorum, aut haſtularum, ex quibus eadem grauia pendula ſimiles vibrationes abſoluunt BCD, EFG.

Scholium.

Cæterùm non me latet conſtructionem, ac demonstratio-nem à nobis ſuperiùs allatam nonnullis euidentiorem fortaſſe euaſuram, ſi ommiſſa illa continua biſectione angulorum ſi­miles, ſimiliterque poſitos arcus abſcindentium ex ſimilibus curuis ibidem deſcriptis; atque ommiſſa pariter continua co­niunctione chordarum, vt ibi factum fuit, horum vice, vt in quinta figura, ex punctis B, D binæ tangentes curuam BCD ducantur BH, DH, quæ omninò mutuò ſe ſecabunt in puncto H (ob conditiones in ipſa Theorematis expoſitione vltimo lo­co poſitas) atque ex E, G ipſis BH, DH agantur æquidistan­tes, quæ iunctæ, AH ſimul occurrent in I, curuamque EFG contingent pariter ad E, G (quæ omnia ſi opus fuerit, facilè demonſtrabuntur) ac inſuper, ſi à puncto C, in quo iunctą AH ſecat arcum BCD, agatur tangens LM primas BH, DH ſecans in LM; Per F verò, in quo AICH ſecat arcum EFG agatur NO parallela tangenti LM, quæ curuam pariter EFG tanget ad F, ac tangentes EI, GI ſecabit ad NO: & ſi iunctis inſuper AL, AM, eadem, quam nunc explicauimus, continue­tur conſtructio per alias, atque alias tangentes, ac parallelas&c. ſic enim vnicuique harum curuarum circumſcribetur rectilineum, primò ex binis tangentibus, ſecundò ex tribus, tertiò ex quinque, quartò ex ſeptem, & ſic vlteriùs iuxta re­liquos impares numeros ſucceſſiuè ſumptos; atque omnia pa­ria talium æquidiſtantium tangentium eam ſemper inter ſe rationem ſeruabunt, quam habent chorda BD, EG, ſen quam habent rectæ BA, EA, eruntque interſe æqualiter inclinatæ; adeoque tempora decurſuum grauium B, E tam per ſummas binarum tangentium BH, HD, EI, IG, quàm per minores ſummas, ex quinque ſimul chordis vtrinque ſumptas, aut quàm per alias ſemper minores ſummas huiuſmodi tangen­tium iuxta quantumuis maiorem numerum imparem æquè multipliciter ſumptarum, erunt perpetuò proportionalia tem­poribus decurſuum per chordas BD, EG; & hoc ſemper; etiam­ſi per huiuſmodi decrementa aggregatorum ex tangentibus vtrinque æquèmultipliciter ſumptis, deueniatur ad vltimus, ac breuiſſimas ipſis arcubus circumſcriptiones polygonorum ex lateribus numero innumerabiliter aquèmultiplicibus, hoc eſt ad ipſos ſimiles, ſimiliterque poſitos arcus BCD, EFG, quorum ſingula homologorum laterum, ſeu punctorum paria, vt B, & E; C et F; D, et G &c. haberi poßunt tanquam tot paria parallelarum, ac proportionalium tangentium ipſos ſi­miles, ac ſimiliter poſitos arcus conſtituentia. Quapropter ratio quoque temporum decurſuum per ipſos arcus, ſimilis erit rationi temporum decurſuum per chordas; ſed horum decur­ſuum ratio ſubdupla eſt rationis inter ipſas chordas. Quare, & alia hac methodo conſtaret propoſitum.

Tab. 6 fig. 5.

Hactenus grauiſſimus Vir; ſupereſt modò, vt quemadmo­dum annuimus, veritatem eandem noſtra quoque methodo, confirmemus, vt ijs, quibus ſatis probat demonſtratio allata, ſit nostra, quam afferemus, in experimentum traditarum hùc vſque rerum; & quibus ſecùs acciderit ex aliqua dubitatione, hæc per demonſtrationes noſtras prorſus, ſtatimq tollatur. Illud etiam admoneo, eam rem non tantum me oſtenſurum,vt pulcherrima, vtilimaque veritas pluribus demonſtrationi­bus aperiatur; verùm potius vt ampliſſima Methodus, qua tum vtemur, aliorum motuum demonſtrandorum in exemplum veniat.

PROP. XVI. THEOR. XII.

IN eadem recta CD coeant duæ planæ, interſeque ſimiles, ac prorſus æquales figuræ ADCA, BDCB, & quidem ita, vt ab eodem puncto M ſi ducatur MH parallela CA, et ML ipſi CB, ſit ſemper MH æqualis ML, quemadmo­dum æquales ſunt interſe CA, CB. Dico (ſi concipiatur ſolidum eius indolis, vt ductis rectis BA, LH cadant iſtæ omninò in ſolidi iſtius ſuperficie; ipſum verò ſolidum, quod ſit BADC, ſecetur plano quolibet æquidiſtante figuræ BCD) fore, vt ſectio iſta KFEIK, ſit prorſus ſimilis, æqua­liſque alteri conterminæ AEI; ſed opportet, vt palam eſt, coeuntes illæ figuræ non in eodem plano reperiantur.

Tab. 6. fig. 7.

Cum duo plana inuicem parallela KIE, BCD ſecent alia duo interſe item parallela ACB, HML, erunt commu­nes ſectiones, interſe omnes æquidiſtantes rectæ lineæ KI, GF, ML, CB. Cum verò ob naturam ſolidi, ſectiones BAC, IHM triangula ſint rectilinea, erit vt BC ad CA, ita KI ad IA. Sunt autem priores interſe æquales, ergo & poſtremæ KI, AI interſe æquabuntur. Eademque ratione ſunt æquales HG, GF: & quoniam ob ſimilitudinem figu­rarum angulus BCD æquatur angulo ACD, & angulus BCD æqualis angulo KIE (nam etiam CD, IE ſunt rectæ æquidiſtantes, cum nempe ſint communes ſectiones plani DCA ſecantis duo æquidiſtantia KIE, BCD) ergo cum̨ angulus pariter ACD æquet angulum AIE, erunt anguli KIE, AIE, et FGE, HGF æquales. Quod &c.

PROP. XVII. THEOR. XIII.

IIſdem manentibus. Dico triangula ACB, LHM eſſę ſimilia. Sunt enim parallelæ &c. interſe tam rectæ CB, ML, quàm CA, MH; ideo anguli ACB, HML interſe æquabuntur, & ſunt circa eos proportionalia latera, nem. pe BC ad CA, vt LM, MH; ergo conſtat propoſitum.

Corollarium.

Simul conſtat rectas AB, LH interſe æquidiſtare.

PROP. XVIII. THEOR. XIV.

IIſdem vt ſupra manentibus, ita tamen vt ACD ſit an­gulus rectus (ſic enim DC perpendicularis erit duabus AC, CB) Dico ſolidum huiuſmodi ad priſma, cuius baſis ABC, & altitudo CD eandem habere rationem, quam ſo­lidum rotundum ortum ex rotatione figuræ CAD circą axem CD ad cylindrum genitum ex conuerſione rectan­guli AC in CD circa eundem axem.

Tab. 6. Fig. 8.

Compleatur ipſum priſma, & ſit quidem AQDPBC, quod ſecetur vnà cum propoſito ſolido per quoduis pla­num baſi ACB æquidiſtans: fiet in priſmate ſectio trian­gulum OMN ſimile, æqualeque ipſi ACB, & in altero ſo­lido triangulum LHM eidem ACB ſimile. Triangulum ACB priſmatis ad triangulum idem ſolido propoſito com­mune, eſt vt circulus radio CA deſcriptus ad circulum eundem; Item triangulum NOM ſectio priſmatis eſt ad triangulum LHM ſectionem propoſiti ſolidi, vt circulus ex radio MO deſcriptus ad circulum radio MH. Cum dein­de idem dicatur de alijs omnibus ſectionibus priſmatis, & propoſiti ſolidi erunt omnes ſimul primæ, quæ interſę

æquales ſunt, ad omnes ſimul ſecundas vt omnes tertiæ, his partibus interſe æqualibus, ad omnes quartas; ſcilicet erunt omnia triangula priſmatis, ſeu ipſum priſma ad om­nia triangula propoſiti ſolidi, ſeu ad ipſum ſolidum, vt om­nes circuli eius cylindri, qui oritur ex conuerſione figuræ ADCA circa axem CD, hoc eſt vt ipſum ſolidum rotun­dum, ſeu cylindrus ad omnes ſimul circulos ſolidi rotundi geniti ex rotatione figuræ AHDCA circa axem ipsum CD, ſeu ad ipſum propoſitum ſolidum. Quod &c.

lemmæ 18. in libro de dim. parab. Euang. Tęrricel.

PROP. XIX. THEOR. XV.

ET rurſus ipſa manente figura patet, ſi ducantur HR, LS parallelæ MD, fore non ſolum figuram AHDPA, ſimilem, ac æqualem BLDQB; verùm etiam APRHA ipſi BLSQB: Cum ita ſit, aio, eundem cylindrum ad ſoli­dum rotundum genitum, ex volutatione figuræ APD cir­ca eundem axem CD eandem rationem habere, ac priſma prædictum, cuius baſis ACB, altitudo AP ad ſolidum, quod ſupereſt ex ipſo priſmate, dempto ſolido ACBLDHA.

Nam ex præterita propoſitione nouimus, dictum priſma ad ſolidum eius partem ACBLDHA eſſe vt cylindrus or­tus ex conuerſione rectanguli CP circa axem CD ad par­tem eius rotundum circa axem eundem CD conuerſa fi­gura ADC, ergo per conuerſionem rationis, erit id quod propoſuimus.

DEF. IV.

QVodcunque ex dictis propoſitis ſolidis vocetur ab ea figura, iuxta quam intelligitur ortum. Scilicet ACBLDHA dicatur à figura AHDCA, & alte­rum, quod fuit reſiduum prædictum dicatur à figura AH­DPA.

PROP. XX. THEOR. XVI.

SI à quibuſcunque figuris fuerint duo ſolida, hæc inter­ſe erunt vt ſolida alia genita ex conuerſione illarum figurarum circa communem ſectionem ſimilium, æqua­lium, ac interſe coeuntium figurarum.

Tab. 6. Fig. 9.

Solidum à figura ABC ſit CAFDBC, & quod eſt à fi­gura GLH eſto HGILH. Dico illud ad hoc ſolidum eſſe vt rotundum natum ex conuerſione figuræ ABC circą axem CE ad rotundum ortum ex conuerſione figuræ GLH circa axem HL. Opportet tamen angulos ACF, GHI æquales eſſe. Intelligantur priſmata triangularia, quorum baſes ACF, GHI, & altitudines CE, HL; hoc eſt ſint ipſa ſolida priſmatica AFCEBD, GIHLMK. Solidum à figu­ra ABC ad priſma AFCEBD habet eandem rationem, quam ſolidum rotundum ortum ex conuerſione ſiguræ ABC circa axem CE ad cylindrum natum ex rotatione ABEC circa eundem axem CE; hic verò cylindrus ad cy­lindrum alium natum ex rotatione rectanguli GMLH cir­ca axem HL eſt vt priſma, cuius baſis ACF, altitudineque CE ad alterum priſma baſem habens GHI ſimilem ipſi CF (nam circa angulos æquales H, C ſunt latera etiam pro­portionalia, nempe æqualia) & altitudinem HL. Solidum præterea, hoc eſt priſma GKHM ad ſolidum, quod eſt à plano GLH habet eandem rationem, ac cylindrus, qui fit ex conuerſione rectanguli HM circa axem HL ad ſolidum rotundum ortum ex circumactione figuræ GLH circa ip­ſum axem HL, ergo ex æquali erit ſolidum à figura ABC ad ſolidum à figura GLH, vt rotundum ex rotatione figu­ræ ABC circa axem CE ad rotundum alterum ex conuer­ſione alterius figuræ GLH circa axem HL. Quod &c.

18. huius.

Ex eadem.

PROP. XXI. THEOR. XVI.

PRopoſitis ijſdem ſolidis, erunt inter ſe, vt momenta fi­gurarum a quibus ſunt, quæ tamen figuræ ſuſpenſæ ſint ex longitudinibus deductis ab ipſarum grauitatum̨ centris vſque ad coeuntium figurarum communes illas ſe­ctiones.

Figuræ, à quibus ſunt ſolida, ponantur ABC, GLH, cen­tra grauitatum illarum M, N; axes, ſiue communes ſectio­nes coeuntium binarum interſe ſimilium, ac æqualium fi­gurarum à quibus dicuntur ipſa ſolida; & demum MO, NP perpendiculares ſint ab ipſis centris ad illas communes ſe­ctiones deductæ CE, HL. Dico, ſolidum à plana figurą ABC ad ſolidum a plana GHL eandem habere rationem, ac momentum figuræ ABC pendentis ex MO ad momen­tum alterius figuræ ſuſpenſæ ex NP, ſunt enim hæc ſoli­da interſe, vt rotunda, quorum genetrices figuræ ABC, GLH circa axes CE, HL, huiuſmodi verò ſolida ſunt vt momenta propoſita; ergo ſolidum à plana figura ABC ad ſolidum à plana GLH, erit vt momentum figuræ ABC ſuſpenſæ ex MO ad momentum GLH pendentis ex NP. Quod &c.

Tab. 6. fig. 10.

pr. 20. huius.

Ter. lem. 31. in libro di­men. parabolæ.

Corollarium.

Cum ipſa illa momenta nectantur ex rationibus figurarum ABC, GLH, & ex longitudinibus, ex quibus pendent ipſæ fi­gura (nam habentur vt grauia) ex ijſdem etiam rationibus componentur ſolida, qua ſunt ab ipſis figuris—

Ex mechani­cis,

PROP. XXII. THEOR. XVII.

Tab. 7. fig. 1.

IMagines velocitatum, ſeu ſpatia, quæ curruntur accele­ratis motibus, ſunt vt ſolida ab imaginibus ſimplicium motuum, ex quibus ipſi gignuntur accelerati.

Sint imagines ſimplicium motuum ABC, GLH, & ſoli­da ab ipſis imaginibus (angulis ACQ, GHD ſemper re­ctis, aut ſaltem æqualibus) intelligantur ABCRQ, GLHD. Dico, vt ſunt interſe iſta ſolida, ſic eſſe homologè ſpatium exactum tempore AC motu accelerato ex ſimplici motu imaginis ABC ad ſpatium tranſactum tempore GH motu item accelerato ex ſimplici imagine priori homogeneą GLH: ſecetur ſolidum ABCRQ plano æquidiſtanti QCR,

quod faciat in ſolido ipſo ſectionem TSVX: erit hæc figu­ra prorſus ſimilis, ac æqualis conterminæ ABVI; quare cum in accelerato motu velocitas, quæ habetur momen­to C ad velocitatem momento S ſit vt imago ABC ſim­plex ad ſegmentum eius ABVS: erit etiam QCR æqualis ABC ad ſectionem ſolidi TSVX, quæ æquatur ABVS, vt illa eadem velocitas momento C mobili inhærens ad ve­locitatem momento S alterius accelerati motus. Eſt au­tem ſectio TSVX ad libitum ſumpta; ergo ſolidum ABC­QR poteſt ſumi merito vt imago velocitatum accelerati motus, cuius ſimplex imago ABC: & eodem modo ſoli­dum alterum vicem geret imaginis velocitatum alterius motus ex ſimplici imagine GLH, itaque erit ob homoge­neitatem ſpatium tranſactum motu accelerato iuxta ſim­plicem imaginem ABC ad ſpatium tranſactum motu ac­celerato iuxta ſimplicem imaginem GLH, temporibus AC, GH, vt ſolidum ABCQR ad ALHD,

16. huius.

4. huius,

16. huius.

Def. .3. primi huius.

& Def. 1. hu­ius vnà cum pr. 4. huius.

PROP. XXII. THEOR. XVIII.

SInt nunc CE, HL communes ſectiones imaginum ſim­plicium ABC, GLH, ſi extenderentur cum ſujs æqua­libus, ac ſimilibus coeuntibus figuris. Eſto pariter M cen­trum grauitatis imaginis ABC, et N grauitatis alterius ima­ginis GLH; actis demùm MO, NP perpendicularibus ad ipſas CE, HL. Dico, ſpatium accelerati motus ab imagine ſimplici ABC ad ſpatium accelerati alterius motus ab ima­gine ſimplici GLH componi ex ratione imaginis ABC ad imaginem GLH, & ex ea perpendicularis MO ad perpen­dicularem NP. Cum hæc ipſa ſpatia ſint oſtenſa, vt ſoli­da à figuris ABC, GLH; hæc verò ſunt vt momenta ipſa­rum figurarum ſuſpenſarum ex MO, NP. Ergo quemad­modum momenta iſta nectuntur ex rationibus figurarum tanquam magnitudinum ABC ad LGH, & diſtantiarum MO ad NP, ita pariter ex his nectentur propoſita ſpatia.

Tab. 7. Fig. 2.

21. huius.

20. huius.

Ex mechani­cis.

Corollarium.

Patet communes ſectiones CE, HL eſſe æquidiſtantes ap­plicatis AB, HL, quæ in imaginibus ſumuntur perpendicula­res rectis AC, GH. nam HL est recta, in quam coeunt figura planæ ſimiles, ac æquales.

Pr 2. primą huius.

PROP. XXIV. THEOR. XIX.

SI imagines ſimplicium motuum fuerint ſimiles, ſimili­terque ſuſpenſæ, imagines velocitatum accelerato­rum motuum erunt in triplicata ratione temporum ſimpli­cium motuum, aut in triplicata homologarum, vel extre­marum velocitatum eorundem ſimplicium motuum.

Cum centra grauitatum ſimilium imaginum, ſeu figu­rarum, ſint puncta in ijſdem figuris ſimiliter poſita, ponun­tur verò imagines ſimiliter ſuſpenſæ, ergo ſequitur ipſas longitudines eſſe vt latera homologa dictarum imaginum, ſcilicet vt tempus AC ad tempus FG, vel vt extremæ ve­locitates BC ad KE. Quamobrem imagines ipſæ, cum ſint in duplicata ratione laterum homologorum, ſi huic dupli­catæ addatur alia ratio ſimilis rationi longitudinum, fiet ratio imaginum velocitatum, ſeu ſpatiorum acceleratorum motuum ex ſimplicibus illis deriuantium triplicata tempo­rum, vel extremarum velocitatum ſimplicium motuum.

Tab. 7. Fig. 3.

PROP. XXV. THEOR. XX.

SI verò ſimplices motus extiterint ſimiles, æqualibuſque temporibus abſoluantur, imagines acceleratorum motuum erunt in ſola ratione amplitudinum imaginum ſimplicium.

Tab. 7. fig. 4.

Sint imagines ſimilium, ac ſimplicium motuum BAC, KFG, quarum grauitatis centra D, H, erunt ex hypotheſi tempora AC, FG æqualia; & ideo ſpatia, ſcilicet imagines velocitatum BAC, KFG habebunt eandem rationem, quam ſummæ, aut extremæ motuum ſimplicium velocita­tes, ſcilicet, quam amplitudines imaginum, ſeu geneſum: ſunt verò diſtantiæ DE, HI pariter æquales, quia AC, FG æquales ſunt; ergo cum ſpatia acceleratorum motuum ne­ctantur ex imaginibus ſimplicium motuum ABC, KFG, & ex diſtantijs DE ad HI, liquet ipſa ſpatia eſſe in vnica, ſo­laque ratione amplitudinum BC, KG, aut amplitudinum geneſum.

8 primi huius

2 primi huius

23. huius.

PROP. XXVI. THEOR. XX.

AT ſi ſimplicium, ſimiliumque motuum fuerint imagi­nes æquè amplæ, imagines acceleratorum motuum, ſiue tempora erunt in duplicata ratione temporum iſto­rum, vel illorum motuum.

Amplitudines imaginum ſimplicium, velocitatumque BAC, KFG ſunto BC, KG, quæ æquales ſint. Dico ſpa­tia acceleratorum motuum ab illis ſimplicibus imaginibus fore in duplicata ratione temporum AC ad FG (quę ſem­per in acceleratis ponuntur eadem, ac in ſimplicibus, nec aliter eſſe poſſunt.) Vt FG ad GK, ita ſit AC ad CL, & intelligatur LAC imago alterius motus ſimilis motui, cuius imago BAC, vel KFG. Facilè demonſtrabitur ipſam fi­guram LAC ſimilem eſſe ipſi KFG, & ad BAC eandem̨ habere rationem, quam LC ad BC. Cum ergo imago BAC ad imaginem KFG componatur ex ratione imaginis BAC ad LAC (quæ ſunt vt BC ad CL) & ex ratione imagi­nis ALC ad imaginem KFG, quæ ſunt in ratione compo­ſita LC ad KG, et AC ad FG: priores verò duæ rationes componunt vnicam æqualitatis, ergo relinquitur, imagi­nem BAC ad imaginem KFG eſſe vt AC ad FG; ſpatium verò accelerati motus ex ſimplici imagine BAC ad accele­ratum ex ſimplici KFG nectitur ex ratione imaginum ſim­plicium ipſarum, & ex ea diſtantiarum DE, HI à centris grauitatum deductarum D, H, et ſunt hæ rectæ in eadem ratione, ac altitudines AC, FG (nam in figuris, ſeu imagi­nibus ſimilium motuum BAC, LAC centra grauitatum ſunt in eadem recta parallela ipſi BC, & in LAC, KFG ſunt in punctis ſimiliter poſitis, adeo ut, ſicut poſitum eſt, ratio ipſarum diſtantiarum in ipſis figuris LAC, KFG, ſeu BAC, KEG eadem ſit, ac laterum homologorum LC ad KG, vel AC ad FG) ergo ſpatium accelerati motus ex ſim­plici imagine KFG, erit vt quadratum ex AC ad quadra­tum ex FG, nempe in duplicata ratione temporum ſimpli­cium motuum.

Tab. 7. fig. 5.

Def. 7. primi huius.

23. huius.

PROP. XXVII. THEOR. XXI.

Tab. 7. fig. 6.

DEmùm ſi ſint imagines, quæcunque velocitatum ſim­plicium, ſimiliumque motuum, imagines accelera­torum motuum, ſeu ſpatia ijs motibus exacta componen­tur ex duplicata temporum ratione, & ex ea amplitudi­num, vel applicatarum homologarum earundem imagi­num.

Imagines ſimilium, ſimpliciumque motuum ſint BAC, KFG. Dico, imagines acceleratorum motuum ab illis ſim­plicibus deriuantium habere rationem compoſitam ex du­plicata temporum AC ad FG, & amplitudinum imaginum dictarum, vel geneſum. Intelligatur alius ſimilis motus, cuius velocitatum imago ſit DFG æquèampla, ac homo­genea ipſi BCA; nimirum ſit DG æqualis BC. Quoniam imago accelerati motus ex ſimplici imagine BA ad imagi­nem accelerati ex ſimplici imagine KFG componitur ex ratione imaginis accelerati motus, cuius ſimplex imago BAC ad imaginem accelerati motus ex ſimplici DFG, & ex imagine huius accelerati motus ad accelerati imaginem à ſimplici KFG; eſt autem prior ratio imaginum, ſeu ſpa­tiorum acceleratis motibus percurſorum ipſa temporum

duplicata AC ad FG, & altera dictarum imaginum, ſeu ſpatiorum item acceleratis motibus confectorum, & quo­rum ſimplices imagines ſunt DFG, KFG, eſt eadem, ac ra­tio amplitudinum DG, ſeu BC ad KG. Ergo cum iſtæ amplitudines ſint eædem, ac illæ geneſum, conſtat propo­ſitam rationem acceleratorum motuum ex ſimplicibus imaginibus BAC, KFG habere rationem compoſitam ex duplicata temporum AC ad FG, & ex ea amplitudinum imaginum ſimplicium BC ad KG, ſeu amplitudinum gene­ſum. Quod &c.

Pr. 26 huius.

25. huius.

PROP. XXVIII. THEOR. XXII.

SI geneſes ſimilium, ſimpliciumque motuum fuerint æquèamplæ, imagines acceleratorum motuum erunt in duplicata ratione temporum, vel altitudinum ipſarum geneſum.

Geneſes ſimilium, ac ſimplicium motuum ſunto ABC, DEF, quarum amplitudines æquales ſint AC, DF. Dico, imagines, ſiue ſpatia acceleratorum motuum eſſe in dupli­cata ratione temporum, vel altitudinum BC ad EF. Cum AC, DF ſint gradus velocitatum in extremitatibus ſimpli­cium decurſuum, etiam imagines velocitatum, iuxta ipſas geneſes, quæ ſint interſe homogeneæ, erunt æquèamplæ, & ſunt ſimilium motuum; ergo imagines acceleratorum motuum, iuxta ſimplices illas geneſes, aut imagines æquè­amplas erunt in duplicata ratione temporum: ſunt autem imagines velocitatum æquèamplæ, ſimiliumque motuum, hoc eſt ſpatia BC ad EF vt ipſa tempora; ergo ſpatia acce­leratorum, propoſitorumque motuum erunt in ratione du­plicata altitudinum BC, EF ſimplicium geneſum, ABC, DEF. Quod &c.

Tab. 7. Fig. 7.

26. huius.

26. huius.

PROP. XXIX. THEOR. XXIII.

SI geneſes ſimilium, ſimpliciumque motuum fuerint æquèaltæ, imagines, ſiue ſpatia, acceleratorum mo­tuum erunt vt tempora, vel reciprocè vt amplitudines ge­neſum ipſorum ſimplicium motuum.

Geneſes ſimilium, ſimpliciumque motuum, ac interſe homogeneæ ſint BAC, DEF, quæ habeant altitudines AC, EF æquales. Dico, imagines acceleratorum motuum eſſe inter ſe, vt tempora dictorum ſimplicium motuum, vel reciprocè vt amplitudines ipſarum geneſum. Concipian-tur imagines velocitatum ſimplicium motuum, ſcilicet GHI iuxta geneſim BAC, et MKL iuxta alteram geneſim DEF, & quia, vtpotè homogeneę, ſunt inter ſe vt ſpatia ęqualia AC ad EF, erunt ipſæ imagines ęquales inter ſe, cum verò ob ſimili tudinem motuum eæ ipſæ imagines nectantur ex rationibus GI ad ML, & ex ea, quam habet HI ad KL, ſequitur eſſe GI ad ML, vt KL ad IH, & demum quia acceleratorum motuum ſpatia à ſimplicibus imaginibus GHI, MKL ne­ctuntur ex duplicata temporum HI ad KL, & ex ea ampli­tudinum GI ad ML, ſiue ex ea, quam habet KL ad HI, re­linquitur, ſpatia acceleratis illis motibus confecta eſſe in ſola, vnicaque ratione temporum HI ad KL, vel in ei ęqua­li ratione, reciproca amplitudinum imaginum ML ad GI, vel geneſum DF ad BC. Quod &c,

Tab. 7. fig. 8.

27. huius.

PROP. XXX. THEOR. XXIV.

QVæcunque fuerint geneſes ſimilium, ſimpliciumque motuum, dum interſe homogeneæ, ſpatia accelera­tis motibus ex illis ſimplicibus exacta nectentur ex duplicata ratione altitudinum, & reciproca amplitudi­num earundem ſimplicium geneſum,

Sint quæcunque ſimilium motuum geneſes BAC, KFG. Dico, ſpatia acceleratorum motuum, ab ijs ſimplicibus de­riuantium, componi ex duplicata ratione altitudinum AC ad FG, & ex ratione extremarum velocitatum, ſeu ampli­tudinum reciprocè ſumptarum ipſarum geneſum: eſto alia geneſis DFG illis homogenea, & motu pariter ſimilis cum ijſdem geneſibus. Eadem ſit amplitudine æqualis BAC, & altitudo eius ſit FG, ſpatia acceleratorum motuum ex ſimplicibus geneſibus æquales amplitudines habentibus, & ſimilium motuum BAC, DFG ſunt in duplicata ratione rectarum, ſeu altitudinum AC ad FG, & ſpatia accelera­torum motuum ex ſimplicibus geneſibus, quæ ſint in ea­dem altitudine DFG, KFG, ſunt in reciproca ratione am­plitudinum, ſeu primarum velocitatum KG ad DG, vel BC; ex æquali igitur ſpatia acceleratorum motuum ex propoſitis ſimplicibus geneſibus BAC, KFG nectentur ex ratione duplicata altitudinum AC ad FG, & reciproca amplitudinum KG ad BC earundem geneſum BAC, KFG. Quod &c.

Tab. 7. fig. 6.

28. huius.

29. huius.

Scholium.

At quia in ſpatijs, quæ accelerato motu peraguntur; non ſeruatur ratio altitudinum geneſum ſimplicium, ex quo ori­tur in hac methodo quædam percipiendi difficultas; ideo ſe­quenti problemate, alijſque iam notis veritatibus, rem planè illuſtrabimus, ac ſimul doctrina vſum trademus.

PROP. XXXI. PROB. VI.

EX datis ſpatijs accelerato motu confectis, cognitiſ­que primis, aut poſtremis ſimilium, ſimpliciumque motuum velocitatibus, reperire tempora ipſorum de­curſuum.

Spatia motibus acceleratis exacta ſunt C, D, & velo­tates, ſeu amplitudines geneſum ponantur eſſe A, B, ſcili­cet A principio motus per C, & B initio motus per D, quæ­ritur ratio temporum, quibus exiguntur propoſita ſpatia. Vt A ad B, ita fiat C ad E, & inter E, et D ſumatur F me­dia proportionalis. Dico ipſa tempora eſſe vt E ad F. Componuntur ſpatia acceleratis motibus exacta ex ratio­ne quadratorum temporum, & ex ea amplitudinum, ſeu homologarum velocitatum in ſimplicibus motibus, ſimili­buſque ſumptarum; & ideo temporum quadrata necten­tur ex ratione ſpatiorum C ad D, & ex reciproca ampli-tudinum E ad C; temporum igitur quadrata erunt vt E ad D, ipſa verò tempora vt E ad F. Quod &c.

Tab. 8. Fig. 1.

27. huiuij

lem. pr. 3. pri­mi huius.

PROP. XXXII. PROB. VII.

EXdatis ſpatijs accelerato motu tranſactis, datis item primis velocitatibus ſimilium, ſimpliciumque mo­tuum, inuenire altitudines ſimplicium geneſum, ex quibus propoſita ſpatia effecta ſunt.

Tab. 7. fig. 1. 30. huius.

Spatia ſint E, D reliquis, vt ſupra, manentibus: quoniam ſpatia accelerato motu tranſacta componuntur ex ratio­nibus amplitudinum geneſum ſimplicium, ſimiliumquę motuum reciprocè ſumptarum B ad A, ſiue E ad C, & ex ea quadratorum altitudinum ipſarum geneſum; erit ratio dictarum altitudinum duplicata C ad D; quare F, ſi ſit me­dia proportionalis, non inter E, & D (vt antea poſuimus) ſed inter C ad D; erit ſanè C ad F ratio altitudinum gene­ſum ſimplicium, ſimiliumque motuum, quam quereba­mus.

Exemplum primum.

SI idem graue naturaliter cadens percurrerit à quiete duo ſpatia; tempora erunt in ratione ſubduplicatą eorundem ſpatiorum.

Ex Cor. pr: 4. huius conſtat rectangula eſſe geneſes ſim­plicium motuum grauium naturaliter deſcendentium, & ex def. 7. primi liquet eaſdem geneſes eſſe motuum ſimi­lium. Cumque eiuſdem mobilis naturaliter cadentis ve­locitas à quiete ſit vna, eademque; ſimplices motus erunt ij, vt geneſum ſimilium, ſimpliciumque motuum amplitu­dines æquales ſint, proptereaque, vt in figura præcedentis propoſitionis æquales erunt C, E, atque adeo ſpatium̨ C, ſiue E ad D erit in duplicata ratione temporum E ad F.

Exemplum II.

PROP. XXXIV. THEOR. XXVII.

TEmpora ſimilium vibrationum ſunt in ſubduplicata ratione arcuum exactorum, ſeu longitudinum pen­dulorum, quorum ſunt vibrationes. Sint grauia pendula LA, LF, quæ ab eadem recta LF diſcedentia currant ſuſ­penſa ex L duos ſimiles arcus circulares FI, AC. Dico tempora horum deſcenſuum eſſe in ratione ſubduplicatą arcuum FI, AC, ſeu longitudinum filorum, aut haſtularum FA, LA. Ducamus quamcumque rectam LBG, erit AB ad BC, vt FG ad GI, & cum præterea velocitates pendu­lorum a quiete in A, F ſint æquales, pariterque velocita­tes æquales a quiete in B, G; erit velocitas in A ad veloci­tatem in B, vt velocitas in F ad velocitatem in G, quare conſideratis arcubus ABC, FGI, vt altitudines rectę, (quæ item forent in B, G proportionaliter ſectę) geneſum ſimi­lium ſimpliciumque motuum, quarum amplitudines æqua les ſunt, erunt ſpatia in acceleratis decurſubus per FI, AC in ratione duplicata temporum, ſcilicet ipſi arcus, aut lon­gitudines LF, LA erunt in ratione duplicata temporum̨. Quod &c.

Tab. 8. fig. 2.

Def. 7. primi.

Idem demonſtratum eſſet beneficio imaginum, quæ vt­pote eorundem illorum motuum ſimplicium, forent etiam ſimilium, & ſunt amplitudines æquales, etenim eædem̨ ſunt, ac geneſum ergo rurſus ſpatia, hoc eſt arcus ABC, FGI, nempe longitudines filorum IF, AC erunt in ratione duplicata temporum. Quod &c.

Scholium.

Vides, quàm breuiter rei diſficillimæ demonſtrationem at­tulimus, nec dubium, quin illa extendi queat ad quaſcum­que lineas decurſuum, dummodo ſimiles, ac ſimiliter poſitas in ijſdem, vel æqualibus ab horizonte planis elenatis, quemad­modum Dominus Viuianus pulcherrimè propoſuit.

Exemplum III.

PROP. XXXV. THEOR. XXVIII.

TEmpora lationum à quiete per plana eandem eleua­tionem habentia ſunt homologè vt longitudines planorum.

Tab. 8. fig. 3.

Sint plana AB, AC eandem eleuationem AD habentia. Dico tempus lationis per AC ad id per AB eſſe vt AC ad AB. (hæc Torricellij propoſitio, expoſitioque eſt, hancque eandem veritatem ex noſtris principijs demonſtrare visum eſt, non vt de re illa dubitemus, immò contrà, quòd de eą plenè ſatisfacti ſimus, ex eo rurſus demonſtrandam ſuſce­pimus, vt exinde methodus noſtra, quàm vera ſit, eluceſ­cat) Momentum deſcenſus inplano AC ad id deſcenſus ſu­per plano AB eſt vt AB ad AC; ſunt autem deſcendentium grauium, etiam ſuper planis inclinatis motus, quos ſimpli­ces appellamus, inter ſe ſimiles, nempe quorum geneſes ſunt rectangula; ergo habebimus ſimplices geneſes, vnam, cuius altitudo AC amplitudoque AB; alteram, cuius am­plitudo AC, altitudo autem AB; itaque propoſitis ſpatijs AC, AB, primiſque velocitatibus AB, AC, ſi fiat AB ad AC vt CA ad EA, erit EA ad AB duplicata temporum, & ideo ratio temporum per AC, AB erit CA ad AB. Quod &c.

Tor. pr. 2. de motu grauium.

Cor pr. 4. huius.

31. vel 27. hu.

Exemplum IV.

PROP. XXXVI. THEOR. XXIX.

IIſdem prorſus manentibus demonſtrarunt Gallileus, ac Torricellius, gradus velocitatum acquiſitos in B, et C eiuſdem mobilis deſcendentis à quiete in A pares eſſe; idipſum nos oſtendemus.

Cum tempora ſint vt AC ad AB, & velocitates à quie­te in ratione reciproca temporum, ſcilicet vt AB ad AC, ſint deinde velocitates eæ vt amplitudines imaginum ſim­plicium, ſimiliumque illorum motuum (nam amplitudines imaginum velocitatum ſunt prorſus eædem, ac illæ gene­ſum) erunt ipſæ imagines ſimplicium motuum æquales; nam tempora, quæ ſummuntur vt altitudines imaginum reciprocantur, vt dictum eſt, amplitudinibus, ſeu primis à quiete velocitatibus, at in motibus acceleratis ipſæ inte­græ imagines ſimplicium motuum ſunt loco graduum ve­locitatum in extremo ſpatiorum acquiſitorum; ergo in B, et C gradus velocitatum æquales erunt.

Tab. 8. fig. 4. 33. huius.

4. huius.

PROP. XXXVII. THEOR. XXX.

SI æqualia pondera, ſuſpenſa ſint ex filis, quorum par­tes interſe æquales, præ tractione æqualiter elongenter tempora in reditu ipſorum filorum, cum ab ipſis graui­bus ſtatim liberantur, æqualia erunt. Hoc primùm demon­ſtrabimus alia via, tum methodo noſtra, vt de ea aliud exemplum tradamus. Sint funiculi AB, DC, & ex ijs pendeant æqualia grauia B, C, adeo vt ſumptis hinc indè partibus æqualibus eorundem funiculorum, conſtet ipſas æqualiter ab ipſis grauibus trahi, atque produci. Dico, ſi elongationes ſint HB, GC, & omnibus ſic ſtantibus pon-dera ſubmoueantur ex B, et C funiculis cæſis, fore vt eæ­dem extremitates reſtituantur in H, et G æqualibus tem­poribus. Sit AE æqualis DC, erit porrò elongatio facta per idem graue B, quæ ſit EF, æqualis GC; propterea li­beratis funiculis ad B, et C, eodem tempore reſtituetur C in G, ac E in F, quo tempore etiam B in H reſtitutum fue­rit; nam vno puncto in primum ſuum locum redito, etiam alia ſingula in ſuum locum perueniſſe, opportebit.

Tab. 8. fig. 5.

Exemplum.

HAc occaſione de funiculis erit non iniucunda diſer­tatio, remque ſic adhuc intactam promouebimus, ſimulque demonſtrabimus.

Idipſum propoſitum noſtris principijs ſic demonſtra­mus.

Sint eadem, quæ ſupra, ſcilicet conceptis in filo AB quot­libet partibus interſe æqualibus, longitudinenque totam im­plentibus, hæ ſingulæ æqualiter à pondere B trahentur, eritque BH ſumma omnium dictarum partium elongatio­num, & eodem pacto EF erit ſumma elongationum partium omnium in AE contentarum, ab eodemque pondere effe­ctarum; propterea vt AB ad BH, ita erit AE ad EF; quamo brem velocitas etiam puncti B ſublato pondere B erit ad velocit atem puncti E ob eandem detractionem, vt BH ad EF, vel BA ad EA (nam quot ſunt partes conceptę iņ vtraque fili longitudine, totidem ſunt etiam impetus inter ſe æquales) idem oſtenderemus ſi loco ponderis B, minus quodcumque ſuſpenderemus, vt ſcilicet puncta B, et E ad quemuis locum ſuperius remanerent, librarenturque cum reſiſtentijs partium eò elongatarum, ergo tranſitus ex B in H, & puncti E in F ſubducto pondere B erunt motus ſimilium ſimpliciumque; ſed motus ex C in G exempto pondere C eſt prorſus idem, ac motus E in F, ergo motus ſimiles, ac ſimplices ex B in H, & ex C in G, ex quibus fiunt accele­rati, geneſes habebunt, quarum primæ velocitates, ſeu am­plitudines proportionales ſunt altitudinibus earundem, ſpatijs nimirum CG, BH accelerato motu exigendis; qua­mobrem componentur ex ratione ipſarum velocitatum, ſeu amplitudinum CG ad BH, & ex ea quadratorum tem­porum, quæ proinde æqualitatis erit; itaque etiam huius ſubduplicata; hoc eſt tempora in tranſitibus accelarato motu exactis, erunt paria.

pr. 4. huius.

Corollarium.

Hinc patet, vbi æquè craſſis filis eiuſdemque materiei vel cedentiæ ſuſpenſa ſint æqualia pondera, tunc primas velocita­tes, ſubductis ponderibus, fore in eadem ratione elongationum, vel longitudinum filorum.

PROP. XXXVIII. THEOR. XXXI.

SI extremitatibus funiculorum ex vna parte firmatorum, ac eandem craſſitiem habentium, nec non eiuſdem cædentiæ exiſtentium, fuerint ſuſpenſa æqualia pondera, quæ inde ijſdem longitudinibus ſeruatis, quomodo opor­tet tollantur, erunt ſpatia recurſuum, temporibus ſimpli­cium motuum exacta in ratione longitudinum pendulo­rum.

Sit funiculus AC æquè craſſus ac BD, & ſuſpenſis hinc inde ponderibus æqualibus, elongatio primi funiculi ſit CE, & alterius ſit DF. Dico ſpatia temporibus ſimpli­cium imaginum, ab extremitatibus ſolutis exacta, fore iņ ratione longitudinum ipſorum funiculorum.

Iam conſtat CE ad DF eſſe, vt AC ad BD, in qua ratione ſunt etiam velocitates à quiete, dum pondera ſubduceren­tur ex E, et F, vel ex alijs punctis quibuſcunque ſi æqualia pondera ſuſpenſa fuiſſent maioris, vel minoris ponderis, ſic enim concipiuntur geneſes ſimilium, ſimpliciumque motuum, quarum altitudines æquantur elongationibus funiculorum; propterea ſpatia recurſuum temporibus ſim­plicium motuum exacta, nectentur ex rationibus duplicata CE ad DF, hoc eſt AC ad BD, & ex reciproca filorum, ſcilicet BD ad AC, quæ ratio, vti diximus, eſt reciprocą primarum velocitatum, ſeu amplitudinum geneſum ſimpli­cium, ergo ipſa ſpatia in reditu filorum ab extremitatibus ſolutis exacta, erunt vt AC ad BF, ſeu vt CE ad DF. Quod &c.

PROP. XXXIX. THEOR. XXXI.

TEmpora ſimplicium, ſimiliumque dictorum motuum ſunt æqualia.

Nam cor. 2. pr. 8. huius primi demonſtratum eſt, tem­pora ſimplicium, ſimiliumque motuum componi ex ratio­ne ſpatiorum, ſeu altitudinum geneſum, & reciproca pri­marum, aut extremarum velocitatum, ſeu amplitudinum geneſum: ſunt autem altitudines geneſum tractiones, ſeu elongationes funiculorum, quæ ſunt vt longitudines funi­culorum, ergo tempora æqualia erunt.

Corollarium.

Conſtat, tempora a ſimplicium geneſum in tractionibus fu­niculorum, eſſe compoſita ex ratione elongationum funiculo­rum, & ex reciproca primarum velocitatum.

Scholium.

Superioris propoſitionis veritas concordat cum prop. 37. hu­ius, in eo tantùm variatur, quod ibi ponuntur data ſpatią elongitiones funiculorum, hic verò tempora ſimplicium̨ motuum, & quia elongationes oſtenſæ ſunt proportionales ſpatijs nunc exactis, manifeſtum eſt, noſtri iuris eſſe modò ſpatia acceleratis motibus exact a ex temporibus ſimplicium motuum datis concludere, modò contrà, ex ſpatijs altitudinibus gene­ſum proportionalibus, qua item data ſunt, tempora inuenire, qua proinde methodus mihi videtur ampliſſima.

PROP. XXXX. THEOR. XXXIII.

SI eiuſdem craſſitiei funiculis pondera dependeant, quę ſint in ratione reciproca longitudinum ipſorum funi­culorum, ſpatia temporibus geneſum ſimplicium motuum exacta erunt in ratione duplicata elongationum.

Tab. 8. Fig. 6.

Nam ſi ſit pondus E ad F ſicuti longitudo DB ad CA, & ſint, craſsities funiculorum æquales erit ſanè ratio, quæ componi­tur ex ratione funiculorum, & ex ea ponderum, æqualitatis; ob idque geneſes ſimplicium motuum, quarum altitudines CE, DF habebunt amplitudines, nempe primas velocitates interſe ęquales (nam cum pondera erant æqualia, primæ velocitates proportionabantur longitudinibus funiculorum, ideo, cum

pondera reciprocantur longitudinibus ijſdem, ſeu viribus funiculorum, fit vt primæ velocitates æquales reddantur) cum ergo ita ſit, ſpatia recurſuum temporibus imaginum̨ ſimplicium & accelerato motu confecta erunt in ratione duplicata elongationum.

28. huius.

Corollarium.

Cum ex eadem pr. 28. huius, eadem ſpatia ſint vt quadra­ta temporum, erunt ipſa tempera in ratione ſubduplicatą elongationum.

PROP. XXXXI THEOR. XXXIV.

SI funiculis æqualem craſſitiem habentibus fuerint ſuſ­penſa inæqualia pondera, ſpatia, quæ acceleratis mo­tibus, ac temporibus geneſum ſimplicium recurruntur ne­ctentur ex ratione duplicata elongationum, & ex duabus reciprocè ſumptis rationibus, nempe longitudinum prima­rum funiculorum, antequam pondera ſuſpenderentur; & ipſorum ponderum.

Tab. 8. Fig. 6.

In antecedenti figura illud primum ſatis patet, quòd ſi loco ponderis F ſuſpenſum fuiſſet pondus aliud grauius, aut leuius, prior velocitas in aſcenſu fili, ſeu funiculi, aut chordæ aucta, vel imminuta fuiſſet pro magnitudine pon­deris ſubſtituti; quamobrem priores velocitates ex inæqua litate ponderum eidem chordæ ſuſpenſorum dependentes forent, vt ipſa pondera; verùm cum ſuppoſitis funiculis æqualia pondera ſuſpenſa veniunt, primæ velocitates ſunt vt longitudines funiculorum, ergo velocitates primæ, cum inæqualia ſunt pondera, quæ ſubtrahuntur, nectentur ex ratione longitudinum funiculorum, & ex ea ponderum inæqualium: quæcumque igitur ſit tractio DF, geneſes ha­bebimus ſimilium ſimpliciumque motuum, vnam, cuius al­titudo CE, & alteram habentem altitudinem DF, & ſunt earundem geneſum amplitudines, ſeu primæ velocitates in ratione compoſita funiculorum AC ad BD, & ponderis pendentis ex E ad pondus ſuſpenſum in F; ergo ſpatia ac­celeratis motibus tranſacta temporibus geneſum ſimplicium nectentur ex ratione dublicata elongationum, ſiue altitu­dinum geneſum, & ex duabus rationibus reciprocè ſum­ptis funiculorum AC ad BD, & ponderum E ad F. Quod &c.

Cor. pr. 37. huius.

30. huius.

PROP. XXXXII. THEOR. XXXV.

IIſdem poſitis, ſi ſpatia recurſuum erunt ipſæ elongatio­nes, tempora, quibus ab extremitatibus ſolutis recur­runtur, erunt in ratione ſubduplicata eorundem. Nam cum geneſes ſimilium, ſimpliciumque motuum ſint æquè am­plæ, erunt, tempora in ratione ſubduplicata imaginum, ſeu ſpatiorum acceleratorum motuum, ſunt verò ſpatia ipſæ elongationes; ergo &c.

PROP. XXXXIII. THEOR. XXXVI.

CHordæ non eiuſdem craſſitiei, eiuſdem tamen mate­riæ, ac longitudinis, tunc æquè trahentur vbi ſuſpen­ſa pondera craſſitut inibus proportionalia fuerint. Nam craſſior chorda poteſt concipi compoſita ex funiculis eiuſ dem craſſitiei alterius chordæ, ſi illa huius fuerit multiplex, & ſi partes exilior funiculus fuerit alterius craſſioris, erit craſſities alicuius alterius funiculi, quæ pluries acceptą conſtituere poterit vtranque craſſitiem funiculorum pro­poſitorum (hìc enim non accidit enumerare craſſities in­terſe irrationales, quippe quia, quod de iam dictis oſten­derimus, de his quoque facilè eſt iudicare, ſecùs eſſemus longi, quam par eſt, potiſſimùm cum hæc præter inſtitutum adijciantur, & quidem vt conſtet, quomodo methodus iſta noſtra facilis ſit, ac vtiliſſima) quapropter ſi cuique acce­ptarum æqualium chordarum, pondera æqualia ſuſpenſa ſint, porrò hæc omnes æquè trahentur ab ipſis æqualibus ponderibus, & ſic etiam compoſita, nempe choidæ pro-poſitæ; ſuntque ita pondera in eadem ratione craſſitierum, ſicut propoſuimus; ergo patet propoſitum.

PROP. XXXXIV. THEOR. XXXVII.

SI fuerint eiuſdem materiæ funiculi, & ſint illis ſuſpenſa pondera craſſitiebus proportionalia, ratio ſpatiorum in reditibus accelerato motu exactorum, temporibus ſim­plicium geneſum, erit eadem ac funiculorum.

Tab. 8. fig. 6. 42. huius.

Nam, vt in præcedenti figura, erit tractio CE ad DF ita AC ad BD, vel AE ad BF, ſunt autem primæ velocitates, ſeu amplitudines geneſum ſimplicium, ſimiliumque motuum in ratione funiculorum, ergo decurſuum ſpatia motibus acceleratis exacta nectentur ex ratione duplicata altitu­dinum geneſum ſimplicium, nempe duplicata funiculorum, & reciproca amplitudinum, ſuntque ipſæ amplitudines homologè vt longitudines funiculorum, ergo relinquitur vt ipſa ſpatia ſint in vnica ratione longitudinum funicu­lorum.

Cor. pr. 37. huius.

27. huius.

Quòd ſi ſpatia recurſuum ponantur ipſæ tractiones, vel longitudines funiculorum, oſtendetur tempora eſſe æqua­lia, quemadmodum æqualia ſunt tempora ſuperius pro­poſita ſimplicium geneſum.

PROP. XXXXV. THEOR. XXXVIII.

Tab. 8. fig. 7.

SI eiuſdem materiei quibuſcunque funiculis aligentur quæcunque pondera, ijs ſublatis aſcenſuum ſpatia ab extremitatibus ſolutis exacta temporibus geneſum ſimpli­cium, ijs nempe quæ impenderentur in motibus iuxta ſim­plices geneſes, erunt in ratione compoſita quadratorum elongationum chordarum, ex ea craſſitierum, & ex duabus reciprocè ſumptis rationibus, nempe longitudinum fu­niculorum antequam traherentur; & ſuſpenſorum ponde­rum.

Funiculi AB, GH trahantur à ponderibus quibuſcunque C, I in C, et I. Dico ſi exempta ſint pondera, fore, vt ſpatia quæ acceleratis motibus exiguntur ab extremitatibus ſo­lutis C, I ſint in ratione compoſita ex duplicata IH ad BC, craſſitudinis ad craſſitudinem funiculorum AB, GH; dein­de ex funiculi longitudine HG ad longitudinem AB, pon­deriſque I ad pondus C. Intelligatur funiculus, ſeu chor­da, æque craſſa, ac ſimiliter cedens, quàm GH (id quod ſemper intelligimus quoties funiculi, interſe comparantur) ſed æquè longa, ac AB, ſitque illi pondus F adiectum, ad quod C eandem habeat rationem, ac craſſities AB ad craſ­ſitiem DE, conſtat elongationem EF æqualem fieri ipſi CB, & cum primæ velocitates, ſeu amplitudines æquè al­tarum geneſum ſimilium, ſimpliciumque motuum ſint etiam æquales, ſpatia decurſuum acceleratis motibus exacta erunt prorſus æqualia; ſunt verò funiculi DE, GH eiuſdem craſ­ſitiei, eiſque ſunt ſuſpenſa duo'pondera inæqualia F, I; ergo decurſuum ſpatia ab extremitatibus ſolutis exacta necten­tur ex ratione duplicata elongationum FE, ſeu CB ad IH, ex ratione, quam habent longitudines funiculorum HG ad DE, ſeu AB, & ex ea ponderum I ad F; verùm pondera I ad F nectuntur ex rationibus ponderum I ad C et C ad F, quæ poſtrema eſt ratio craſſitiei funiculi AB ad craſſitiem funiculi DE, ſeu GH; ergo vt propoſuimus ſpatia accele­ratis motibus exacta, nectentur ex rationibus quadratorum CB ad HI; craſſitudinum funiculorum AB, GH; ponderum I ad C, & longitudinum HG ad AB. Quod &c.

PROP. XXXXVI. THEOR. XXXIX.

TEmpora geneſum ſimplicium, dum chordis ſuſpen­duntur quæcunque grauia, nectuntur, ex ratione elongationum funiculorum, & ex contrariè ſumptis ratio nibus, craſſitudinum, longitudinumque funiculorum, nec non ponderum funiculis ſuſpenſorum.

Nam Cor: 2. pr. 8. primi demonſtratum eſt, temporą ſimplicium ſimiliumque motuum componi ex ratione ſpa­tiorum, ſeu altitudinum geneſum, & reciproca primarum velocitatum, ſeu amplitudinum geneſum, ſunt autem alti­tudines geneſum tractiones, ſeu elongationes funiculorum; velocitatesverò primæ nectuntur ex rationibus craſſitudi­num, & ex ea longitudinum funiculorum antequam tra­herentur (hoc enim ſubinde oſtendemus) ergo tempora propoſita ſimplicium geneſum, dum chordis alligantur quę­cunque inæqualia pondera, componentur ex rationibus elongationum funiculorum, & ex contrariè ſumptis craſſi­tudinum, longitudinumque funiculorum, & ponderum.

Aßumptum.

Tab. 8. fig. 7.

VErùm primæ velocitates in ijſdem chordis componi ex ratione craſſitudinum, longitudinum funiculorum, & ſuſpenſorum ponderum, ſic oſtendemus,

Quoniam in eadem poſtrema figura velocitas, quam̨ haberet funiculus AB ex liberatione ponderis eſt æqualis velocitati, quam haberet alius funiculus, vbi hic etiam li­beraretur à pondere, ſcilicet cum pondera craſſitiebus fu­niculorum proportionalia ſunt, & ipſi funiculi æquè longi; velocitas funiculi DE à pondere F ad velocitatem eiuſdem funiculi, ſi loco ponderis F ſubſtitutum eſſet aliud æquale ipſi I, eſſet vt pondus F ad ſubſtitutum, ſeu ad I, eſt autem velocitas eiuſdem funiculi DE, dum fuiſſet pondus ei ſuſ­penſum æquale I ad velocitatem funiculi GH a pondere I vt longitudo DE ad GH; ergo patet propoſitum.

43. huius.

Ex 41. huius.

Scholium.

Quod hucuſque ostendimus in funiculis ponderibus de­grauatis, non abſimili modo præst abimus in chordis ad vtran­que extremitatem firmatis, & adductis, hoc tantum diſcrimi­ne, vt ſi in ijs pondere ſublato, motus extremitatis ſolutæ at­tendebatur, hìc media parte attractâ chordâ, & ſubinde ſui iuris relictâ, vibrationem eius obſeruamus, & equidem illa omnia in hunc finem oſtendimus, quippe ab hac re, plurima vtiliſſimæque veritates manere poſſunt. Nam de arcubus poſſes pulcherrima inſtitui ratio, & qui vellet armonicorum ſono­rum, vel vocum per chordarum vibrationes editarum, tempo­ra, cum ſoni ad aures perueniunt, inueſtigare, reor non aliam viam, quàm hanc ingredi nos debere, atque indè conſonantia­rum fortaſſe naturam percipere poſſe, vt primus ui Gal­lileus quamquam vibrationes tenſarum chordarum differant ab ijs pendulorum.

FINIS.

SPIEGATIONE

di vna nuoua ſpecie di Baleſtra.

Tab. 9.

IN queſta figura ſi eſprime vna nuoua inuen­tione di Baleſtra, la quale, maſſimamente in grande, per tirar granate, ò ſaſſi può eſ­ſere di gran conſeguenze nella militare, co­me dimoſtreraſſi.

Dalle ſue parti ſi verrà in cognitione del modo di fabbricarta, e ſono le ſeguenti.

AM, MN ſono amendue le braccia. Il punto M è il cen­tro della machina. Per la cauità M deue paſlar la pallą ſcagliata dalla corda; e per di ſotto M ſi ferma & incaſtra nel manico, al modo delle baleſtre communi. Ai due capi, ò ſiano eſtremità A, N ſi annette la fune. I punti A, E, F, G, I, K ſono in vna linea retta. Gl' interualli AE, EF, FG, GI, IK, ſono, benche non di neceſſità, eguali. Le altezze, ò commeſſure KL, IH, GD, FC, EB perpendiculari, nell' incuruarſi dell' arco, ſi aprono intorno a' centri K, I, G, F, E. Donde ne ſiegue, che prendendo la corda dal ſuo mez­zo, e tirandola verſo O; amendue le braccia ſi aprono nel­le predette commeſſure, come compare nell' vno d'eſſi ſe­gnato a punti con le lettere corriſpondenti. Ciaſcuna delle predette commeſſure viene ſtrettamente rinſerratą da vna molla, come ſi vede in L, H, D, C, B; e queſte mol­le, quanto più ſi auuicinano al centro M, deuono eſſere più grandi e più maſſiccie, in modo che, per cagione della gran­dezza opportuna, vengano ad aprirſi con egual facilità dell'altre, e per cagione della groſſezza, habbiano nel ſer­rarſi maggior forza, ò ſia momento, per la ragione, che ſot­to ſi dirà.

Ciò preſuppoſto, è facil coſa dimoſtrare i vantaggi di queſta machina ſopra le ordinarie.

Primieramente nel triangolo ALK, eſſendo le altezzę EB, FC, GD, IH, KL perpendicolari, e perciò paralelle; ne ſiegue che le proportioni di AE ad EB, di AF ad FC, di AG a GD, di AI ad IH, di AK a KL ſieno tutte eguali; e douendo eſſere parimente eguali le reſiſtenze delle molle in B, C, D, H, L, che ſi ſuppongono di egual neruo nell' aprirſi; ne ſiegue (ſecondo i principij della Meccanica) che attraendoſi con la fune l'eſtremità A, nel medeſimo tempo e con la medeſima facilità vinceraſſi l'equilibrio di tutte le molle; la reſiſtenza delle quali ſi conſidera in ragione di peſo, ſi come le linee AE, EB; AF, FC; AG, GD; &c. ſi con­ſiderano come vetti, ò lieue, che hanno i loro ippomoclij, ò ſiano centri in E, F, G, I, K, e la potenza in A, la quale è comune a tutte.

In ſecondo luogo, hauendo il braccio AE al braccio EB (il ſimile dicaſi degli altri) hauendo, dico, gran proportio­ne, reſterà molto ageuolato il moto.

Terzo eſſendo molte le molle, e a prendoſi tutte, ne deue ſeguire vn notabile incuruamento d'amendue le braccia; onde laſciando l'arco in libertà, e chiudendoſi tutte le ſu­det te molle nel medeſimo tempo, cioè quaſi in vn'attimo; dourà la corda, che era tirata verſo O, paſſare quaſi in iſtan­te verſo M; il che non potendoſi fare ſe non con ſomma ve­locità, per la grandezza dello ſpatio; e a queſta corriſpon­dendo la forza, ne ſeguirà vn colpo molto conſiderabile, e vantaggioſo, come ciaſcuno può arguire.

Reſtano hora a ſciorſi alcune difficoltà. La prima è, che, quantunque ſia vero, che quella forza baſtante in A per vincer l'equilibrio della molla B, quella medeſima al­treſi ſia ſufficiente a vincer l' equilibrio di tutte l'altre, per eſſere eguali le proportioni delle vetti; ciò non oſtante, con­ſiderandoſi il braccio incuruato, come ſi vede nell' arco KLA ſegnato a punti, le proportioni rieſcono alterate; do-uendoſi prendere per le lunghezze delle vetti ſudette, non più le lunghezze di prima, ma bensi le applicate di detto arco, cioe af, ag, ai, ak; delle quali aK, e l' altre a lei più vicine ſi abbreuiano molto più quando l' arco è incurua­to, che quando non è: Onde per tal ragione dourebbero le parti più vicine al centro M aprirſi meno dell'altre più vicine alle eſtremità. A ciò ſi riſponde, che per eſſer la corda a o più obliqua alla lunghezza a e di quel che ſia all' altre più vicine al centro M, quindi ne ſiegue, che per quel' altra cagione s' aprono più ageuolmente le parti vicine al centro; onde, temperata vna ragione con l' altra (quando l' arco non ſia eſtremamente incuruato) ſi conſeguiſce vno ſtato d'apertura opportuna.

La ſeconda difficoltà è che ciaſcuna molla nel ſuo re­ſtringerſi, par che cagioni qualche effetto contrario all'in­tento. Imperoche, per eſempio, nella molla B il mezzo anello, che riſguarda l'eſtremità A, nello ſtringerſi fà benſi il ſuo douere, perche il ſuo moto è verſo il centro M; ma l' altra metà, che riſguarda il ſudetto centro M, nello ſtrin­gerſi, hauendo il ſuo moto verſo A, ſi oppone al chiudi­mento della molla ſeguente C; e il ſimile dicaſi dell' altre. A ciò ſi è poſto rimedio col far più grandi, e più maſſiccie le molle più vicine al centro M, accreſcendole, e ingroſſan­dole di mano in mano opportunamente. Quindi ne ſegue che per la maggior grandezza conſentono egualmente all' aprirſi con facilità; ma all' incontro nel ſerrarſi, per eſſere più maſſiccie, e di maggior corpo, vengono ad hauere maggior momento delle men corpulenti, ſuperando coņ ciò non ſolo il detto moto oppoſto, ma etiandio impri­mendo maggior moto al ferro dell'arco, con cui ſi acco­muna il moto.

Auuertaſi, che quanto ſaranno di maggior numero le commeſture, le molle di maggior peſo, e l'arco più pouero di corpo, tanto riuſcirà il colpo a diſmiſura maggiore, per l' incuruamento notabile delle braccia, e per il maggior mo­mento delle molle; e ciò con adoperare la medeſima forza.

Auuertaſi parimente, che il braccio AE, è il ſuo corriſ­pondente deuono eſſere alquanto più corti, cioè A vna delle eſtremità dell'arco deue eſſere più verſo il centro di quel che ſia il concorſo delle linee LB, KE, come pure dall' altra parte; perche ſi vede che aprendoſi meno le parti vi­cine ad A, l'altre molle fanno miglior effetto.

Finalmente la ſperienza ha moſtrato, che eſſendoſi la­uorata vna tal machina con pochiſſimi nodi, ageuoliſſima ad aprirſi, e ſenza hauer ingrandite e ingroſlate le molle, che più ſi vanno auuicinando al centro M, come ſi è det­to; con tutto ciò l' ordigno è riuſcito di forza molto ſupe­riore a vna baleſtra grande, e difficilifſima a inarcarſi. On­de non dubito, che, facendoſi con tutte le regole accenna­te, non debba riuſcire vna machina di effetto marauiglioſo aggiungendo che per tirar granate dourebbero i bracci eſſer di legno, armati di ferro ſol doue ſi richiede.

Nouum genus Baliſtæ Explicatio.

Tab. 9.

IN hac figura exprimitur nouum genus Bali­ſtæ, quæ machina præſertim in mole maio­ri, non parum vtilitatis afferre poteſt rei mi­litari ad eiaculanda miſſilia, vt demonſtra­bitur. Ex eius verò partibus, quas ſubinde recenſeo, etiam modus ſtructuræ apparebit.

AM, MX ſunt brachia. Punctum M centrum machi­næ. Per cauitatem M tranſit telum emiſſum. Infra M in­ſeritur manubrium, vt in baliſtis vulgaribus. Extremis capitibus A, N adnectitur funis. Puncta A, E, F, G, I, K ſunt in linea recta. Interualla AE, EF, FG, GI, IK ſunt (li­cèt non neceſſariò) æqualia. Altitudinis, ſeu commiſſuræ KL, IH, GD, FC, EB ſunt perpendiculares rectæ occultæ KA. Singulæ autem, dum curuatur arcus, aperiuntur cer­ca centra K, I, G, F, E. Hinc ſequitur vt funis ex medio dum attrahitur in O, aperiantur prædictæ commiſſuræ, ſeu nodi, & curuentur vtraque brachia, vt in eorum altero ap­paret punctis notato. Quilibet ex his nodis arctiſſimè ſtrin­gitur ſupernè, a ſuo elaterio, vt videre eſt in L, H, D, C, B. Elateria autem quò propinquiora centro M tanto maiora, & craſſiora debent eſſe remotioribus: Hinc fit vt, propter molem opportunè auctam, æquè facilè aperiantur, ac cæ­tera; & vice verſa, propter craſſitiem maiorem, ſibi relicta validiùs reſtringantur. Cuius rei paulo infra rationem dabimus.

His poſitis facile eſt oſtendere, quantum præſtet hu­iuſcemodi machina vulgaribus & communibus baliſtis.

Primùm, in Triangulo ALK cùm altitudines EB, FC, GD, IH, KL ſint perpendiculares, ideoque parallelæ, hinc ſit vtrationes AE ad EB, AF ad FC, AG ad GD, AI ad IH, AK ad KL ſint æquales. Sunt pariter æquales reſi­ſtentiæ elateriorum in B, C, D, H, L (poſuimus enim ela­teria ita opportunè aucta vt æquè facile ſingula aperian­tur) ergo (ex primis principijs mechanicorum) dum attra­huntur fune extrema capita A, N, eodem tempore, eadem­que facili ate vincetur æquilibrium omnium elateriorum, quorum reſiſtentia in ſingulis conſideratur in ratione pon­deris, quemadmodum lineæ AE, EB; AF, FC; AG, GD &c. conſiderantur vt vectes, quorum hippomoclia ſeu cen­tra ſunt in E, F, G, I, K, potentia autem conſideratur in A communis omnibus.

Secundò, cùm AE ad EB (idem die de cæteris) habeant magnam proportionem, facilè aperientur nodi, & curuabi­tur arcus; quantumuis augeatur numerus nodorum.

Tertiò Cum ſint plures nodi, atque omnes aperiantur, neceſſe eſt vt brachia arcus valdè incuruentur; quamobrem ſi idem arcus ſibi relinquatur, prædicti nodi omnes, vi ela­teriorum, ictu oculi claudentur; eodemque puncto tempo­ris corda ex O percurret totum ſpatium vſque ad M: Quòd cùm fieri nequeat niſi ſumma velocitate, propter magni­tudinem prædicti ſpatij, & velocitati reſpondent vis, atque impetus, neceſſe eſt vt hinc ſequatur ictus valde notabilis, vt facilè eſt vnicuique conijcere.

Super ſunt nunc difficultates nonnullæ ſoluendæ. Prima eſt, quòd licèt vis ſufficiens in A ad vincendum æquilibrium elaterij B, illa eadem quoque ſufficiat ad vincendum æqui­librium cæterorum, propter æquales proportiones vectium; his tamen non obſtantibus, ſi conſideretur brachium iam incuruatum, vt apparet in KLA punctis notato, proportio­nes illæ cernuntur notabiliter variatæ. Neque enim pro longitudinibus vectium ſumi poſſunt longitudines priores, ſed loco ipſarum accipiendæ ſunt applicatæ arcus, videli­cet af, ag, ai, ak quarum ak, eidemque propinquiores, quan-do arcus incuruatur, breuiores fiunt, quàm eſſent anteą. Reſpondeo, quòd corda ao cùm ſit obliquior reſpectu longitudinis ae, quàm reſpectu cæterarum centro propin­quiorum, hinc fit vt, quantùm eſt ex hac ratione, faciliùs aperiantur partes propinquiores centro; quamobrem, vtra­que ratione inuicem temperata, dummodo arcus non ſit ſummè incuruatus omnes partes aperientur, quantum ſa­tis eſt ad intentum.

Altera difficultas eſt, quod elaterium quodlibet dum reſtringitur videtur obſtare motui elaterij ſequentis. Nam, exempli gratia, in elaterio B ſemiannulus reſpiciens extre­mum A, dum ſtringitur, optimè præſtat ſuum effectum, cum eius motus ſit versùs centrum M At è contrario reliqua pars, ſeu ſemiannulus reſpiciens prædictum centrum M, cum habeat ſuum motum verſus A videtur obſtare, quo minus liberè claudatur ſequens elaterium C. Aque idem de cæte­ris dicendum. Huic incommodo conſultum eſt augendo magnitudinem, & craſſitiem elateriorum, quò magis acce­dunt ad centrum M. Hinc enim ſequitur vt propter ma­gnitudinem facilè conſentiant arcui, dum incuruatur; at dum idem arcus liberè ſibi relinquitur, cum ſint corpulen­tiora & craſſiora habent maius momentum, quàm cætera graciliora, ideoque non modo vincunt motum illum op­poſitum, ſed etiam imprimunt maiorem motum ferro ar­cus, cui ille motus communicatur.

Aduerte quod commiſſuræ ſeu nodi, quò plures fuerint, elateria autem maioris ponderis, arcus denique corporis gracilioris equæ expeditioris, tanto ictus longat præſtan­tior ſequetur, tum propter notabilem curuaturam brachio­rum, tum propter momentum maius elateriorum, & quidem poſita eadem potentia, aut etiam minori, pro vt longitudi­nes vectium ſtatuuntur.

Aduerte etiam, longitudinem brachij AE, eiuſdemquę correſpondentis debere cæteris paribus nonnihil imminui, quod fiet ſi A, alterum extremum arcus, ſit propriùs cen­tro M, quàm ſit concurſus linearum LB, KE. Idem dicen­dum de altero extremo N. Nam cùm minus aperiantur partes propinquiores puncto A, cætera elateria, vt com­pertum eſt, meliorem effectum præſtant.

Fauet denique experientia. Nam huiuſcemodi machi­na pauciſſimis nodis conſtructa, facillimæ curuaturæ, cum elaterijs eiuſdem prorſus molis & craſſitudinis; nihilomi­nus longè ſuperauit vim baliſtæ communis maximæ, & difficillimæ flexionis. Quamobrem non dubito quin, ſi præ­cepta ſuperiùs data exactè ſeruentur, elaborari poſſit ma­china miræ vtilitatis. Adde poſtremo ad iacienda quædam miſſilia, vt eſt genus quoddam bolidum, vulgo granate, op­portuniora eſſe brachia lignea, tantummodo, vbi neceſſi­tas poſtulat, armata ferro.

FINIS.

Vid. D. Bernardus Marchellus Re­ctor Pœnitent. in Metropol. Bonon. pro Illuſtriſs. & Reverendiſs. Domino D. Iacobo Boncompagno Archiepiſ­copo, & Principe.

Vid. Silueſter Bonfiliolus Inquiſitionis reuiſor, & imprimi poſſe cenſuit.

Stante atteſtatione.

Imprimatur.

F. Ioſeph Maria Agudius Vicarius Sancti Offi c ij Bononiæ.

8 00 57

TABVLA I.

TABVLA II.

TABVLA III.

TABVLA VI.

TABVLA V.

TABVLA IV.

TABVLA VII.

TABVLA VIII.

TABVLA VIIII.